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ANALISIS DE SISTEMAS EN EL ESPACIO DE ESTADOS. Freddy Guillen M Teoria de control III, UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA
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siguientee docume documento nto se especifi especifican can definidefini Abstract—En el siguient cione ciones, s, mode modelam lamien iento to y cálcu cálculo loss de un sist sistem ema a en base base a su espacio espacio de estado estados, s, así como también también se especifi especifica ca el cálculo cálculo y el modelamiento para el diseño del compensador bajo el mismo régimen régimen,, los cálculo cálculoss se facilita facilitaran ran con la ayuda ayuda del softwa software re ’MATLAB’ para obtener la respuesta natural del sistema y la respuesta compensada del sistema en tiempo continuo y en tiempo discreto.
• Ofrece información sobre la dinámica del sistema y puede
ayudar a mejorar el diseño del mismo. • Es posible formularlo a través de métodos matriciales y, cuando eso se hace, el estado del sistema y las respuestas del mismo pueden describirse mediante dos ecuaciones matriciales. • Se puede combinar las técnicas de análisis de variables de estado con las de transformación. [1]
I. INTRODUCCION. III. MODELAMIENTO MODELAMIENTO DE UN SISTEMA. SISTEMA. El análisis de sistemas medianos o grandes puede volverse Se plan plante teaa un sist sistem emaa elec electr tric icoo en el que que se tien tienen en 3 muy tedioso y propenso a errores debido al tamaño del sistema de ecuaciones que se necesita para describirlo y al número variables de estado de la siguiente forma: de manipulaciones algebraicas requerido para encontrar una solución a dichas ecuaciones. Por lo tanto, es necesario encon- A. SISTEMA. trar otros procedimientos que permitan resolver estos sistemas Un sistema modelado en variables de estado tiene la forma de una forma mas rápida y encontrar soluciones con errores casi nulos, entre estos procedimientos se encuentra el análisis de la ecuacion 1, cuya salida tiene la forma de ecuacion 2 de sistemas a través de variables de estado. Un conjunto de (1) x˙ = Ax + Bµ variables de estado es un grupo de señales en un sistema que junto con la excitación del sistema determina por completo el estado de este mismo en cualquier tiempo futuro.[1] El orden (2) y = Cx de un sistema es igual que el numero de variables de estado Donde A y B son matrices cuyos valores se obtienen del necesarias para establecer de manera única su estado, si el sistema, la matriz C escoge la variable que se desea a la sistema se describe mediante una ecuación diferencial o en diferencias, su orden es el mismo que el de la ecuación. el salida del sistema. estas ecuaciones tienen su representación numero de variables de estado que requiere un sistema fija el en bloques como muestra la fig. 1. tamaño del vector de estado y , en consecuencia, el numero de dimensiones en el espacio de estados que es justo un ejemplo de un espacio vectorial, el sistema sigue una trayectoria a través de ese espacio. II. CARACTERISTICAS DE LAS VARIABLES DE ESTADO. Las variables de estado de los sistemas no son únicas. Una persona podría elegir un conjunto y otra elegiría otro y ambos podrían ser correctos y completos. Sin embargo, en muchos casos existe un conjunto de variables de estado que es más conveniente que cualquier otro para algunos propósitos de análisis. [1]El análisis de las variables de estado tiene las siguientes características: características: • Reduce la probabilidad de errores de análisis al hacer sistemático el proceso.[3], [1] • Describe todas las señales importantes del sistema, tanto internas como externas
Figure Figure 1. Diagrama Diagrama de bloques bloques de las ecuaciones ecuaciones de espacio espacio de estados. estados.
Para modelar el sistema de la fig.2, se usan las Leyes de Kirchoff las cuales nos van a dar una perspectiva de las posibles variables de estado del sistema. V ent = R1 ∗ i1 + L1 ∗ i˙1 + R2 ∗ (i1 − i2)
0 = R2 ∗ (i2 − i1) +
1 C
ˆ
i2dt + L2 ∗ i˙2
(3) (4)
2
1
0 = R2 ∗ (x2 − x3) +
C
∗ x1 + L2 ∗ x˙2
(11)
Las ecuaciones (6), (10) y (11) muestran un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas de donde se tiene que despejar las derivadas de las variables de estado quedando de esta forma las ecuaciones (12) , (13) y (14). x˙1 = x2
(12)
x1 R 2 ∗ x3 R 2 ∗ x2 ˙ x2 = − − C L2 L2 L2
(13)
Figure Figure 2. Sistema Sistema Electric Electricoo de tercer tercer orden. orden.
Las variables de estado se definen u organizan buscando la variable de estado de orden más bajo con respecto a sus derivadas como muestra la tabla 1. varia variable ble de estado estado
forma forma idt
x2
i
di dt 2 di
x3 x4
V ent R 1 ∗ x3 R 2 ∗ x3 R 2 ∗ x2 − − + L1 L1 L1 L1
d2 t
Table I
x˙ = Ax + Bµ
I DENTIFICACION DE VARIABLES
x˙1 x1 x˙2 = A x2 + Bµ
∴
x˙3
por lo tanto para el sistema de la fig.2. se tienen 3 variables de estado B. PLANTEAMIENTO DE LAS VARIABLES VARIABLES DE ESTADO. Tomamos la ecuación (4) como punto de partida, la ’ i2dt’ es nuestra primera variable de estado, por lo que se plantea la ecuaci ecuación ón (5) luego luego de esta esta misma misma ecuaci ecuación ón se obtien obtienee la segunda variable de estado derivando a (5) quedando la ecuación (6) la misma que al derivarse nos da la ecuación (7). Ahora sobre la ecuación (3) obtendremos la tercera variable de estado x3, la misma que se plantea con la ecuación (8) y a esta se la deriva obteniendo la ecuación (9)
´
ˆ ´ d i2dt dt
(14)
En este punto se completa la ecuación matricial característica de un sistema de 3 estados como muestra la ecuación (15), donde u es la entrada o V ent,
´
x1
x˙3 =
ahora por ultimo se reemplaza los valores quedandonos la ecuacion (16).
x˙1 0 x˙2 = − ∗
1
C L2
x˙3
0
R2 L1
y = C ∗ x ∴
x1
i2 = x2
1 2 −R L2
0 −(
R2 L2 R1+R2 L1
)
x1 0 x2 + 0 µ x3
1
L1
(16) y cuya salida se especifica mediante la matriz C segun las variables de estado propuestas en las ecuaciones anteriores como muestra la tabla. 2.
variabl variablee de estado estado ∴
x3
y= 0
1
x1 0 x2 x3
(5)
i2dt = x1
dx1 = dt
(15)
∴
x˙1 = x2
(6)
x2 x3
represent representacion acion
´
i2dt i2 i1
Table II
x˙2 = i˙2
(7)
i1 = x3
(8)
i˙1 = x˙3
(9)
El siguiente paso es reemplazar estas variables obtenidas, en las ecuaciones (3) y (4) quedando las ecuaciones (10) y (11) respectivamente. respectivamente.
REPRESENTACION DE LAS VARIABLES DE ESTADO
C. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD ESTABILIDAD La matriz A lleva la información acerca de las características como la estabilidad, sensibilidad, ubicación de polos y ceros etc. del sistema, por lo que se plantea la ecuación (17) donde λ es una variable análoga a ’s’ del plano Laplace. det |λI − A|
V ent = R1 ∗ x3 + L1 ∗ x˙3 + R2 ∗ (x3 − x2)
(10)
resolviendo la ecuación (17) se obtiene lo siguiente:
(17)
3
1 det λ 0 0
0 0 0 1 0 − − C ∗1L2 0 1 0
1 2 −R L2 R2 L1
0 −(
R2 L2 R1+R2 L1
con la ayuda de MATLAB se obtiene:
)
(18)
codigo : sy ms lmd; gx = det ∗ (lmd ∗ I − A) raices = solve(gx, lmd); raices = double(raices )
de donde se observa en el Command Window de MATLAB la ecuacion obtenida y sus raices : gx = lmd3 + 3 ∗ lmd2 + 2 ∗ lmd + 2 raices = −2.5214 −0.2393 − 0.8579i −0.2393 + 0.8579i
Figure Figure 3. Raices Raices del sistema. sistema.
la ecuacion (19) es la ecuacion caracteristica del sistema, de donde se tiene que despejar los polos dominantes del sistema para obtener los factores de frecuencia natural, frecuencia y factor de amortiguamiento.
cuyas graficas se encuentran en la fig.5, LAS CUALES NOS MUESTRAN UNA RESPUESTA NATURAL DEL SISTEMA (sin compensador) ante un escalon unitario, con R1,R2,L1,L2 y C =1.
(19)
λ3 + 3 λ2 + 2 λ + 2 = 0
al “factori “factorizar zar la ecuacion ecuacion (19)” 1 obtenemos obtenemos la ecuacion ecuacion (20) (20) de dond dondee se dete determ rmin inaa la exis existe tenc ncia ia de 3 polo poloss al lado izquierdo del plano (LO QUE DEMUESTRA ESTABILIDAD), un polo netamente real y dos polos complejos conjug conjugado adoss los mismos mismos que son los polos polos domina dominante ntess del sistema como muestra la fig.3. (λ + 2.521) ∗ (λ2 + 0.4786λ + 0.7932) = 0
Figure Figure 4. Simulacio Simulacionn del sistema sistema sin control control
(20)
Con estos datos obtenemos la frecuencia natural y el factor de amortiguamiento del sistema, especificados en las ecuaciones 21 y 22. ωn =
α = ζ ∗ ωn
(−0.2393)2 + (0.8579)2 = 0 .8906
∴
ζ =
α ωn
∴
ζ =
0.2393 0.8906
∴
(21)
ζ = 0 .2687
(22)
IV. MODELAMIENTO DEL SISTEMA EN ’SIMULINK’ DE ’MATLAB’. A part partir ir de este este punt puntoo vamo vamoss a simu simula larr el sist sistem emaa en ’simulink’ de MATLAB para estimar su respuesta ante una señal de entrada en particular. Para ingresar a simulink , en el ’command window’ de MATLAB se digita ’>> simulink’ y se pres presio iona na ’ ente enterr ’, lueg luegoo se crea crea un nuev nuevoo arch archiivo y construimos nuestro sitema como lo muestra la fig.4. y 1 Se
puede factorizar la ecuación (19) mediante MATLAB con el código zpk, de la siguiente manera: ’gp=tf([1],[1 3 2 2]);zpk(gp)’
Figure Figure 5. Respuesta Respuesta natural natural del del sistema sistema
V. DISEÑO DEL COMPENSADOR. Para el diseño del compensador en régimen de espacio de estados, se prioriza el concepto de OBSERBABILIDAD y de
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CONTROLABILIDAD, los mismos que son indispensables para poder aplicar un compensador con éxito, luego se aplicara el controlador al sistema bajo las nuevas características impuestas por el diseñador con su repectiva simulacion y por último se analizara el concepto de OBSERVADOR con su aplicacion y la simulacion del sistema completo. A. OBSERVABILIDAD OBSERVABILIDAD y CONTROLABILIDAD. CONTROLABILIDAD. El criterio de OBSERVABILIDAD se refiere a una característica del sistema en donde sus variables de estado pueden ser medidas desde la salida del sistema y que se define en base a la propiedad de "RANGO COMPLETO" de la matriz Po ecuacion (23). El criterio de CONTROLABILIDAD se refiere a una característica del sistema en donde se define si al sistema se le puede aplicar un compensador, y que también se define en base a la propiedad de "RANGO COMPLETO" de la matriz Pc ecuacion (24). A continuación se calculara el rango de la matriz Po y Pc del sistema propuesto el mismo que se definirá con R1, R2, L1, L2 Y C =1, con la ayuda de MATLAB determinaremos si es observable y controlable, mediante el condigo ’rank’ ecuaciones (25)(26).
Po =
C CA
.. .
C ∗ An−1
.
.
.
P c = [ B ..AB .. . . . ..An−1 B ]
0 P o = −1 1 0 Pc = 0
1 −3 ;
1 0 −1 1 ; 1 −3
0 1 1 −2
rank(P o) = 3
(23)
(24) (25)
Figure Figure 6. Esquema Esquema del del sistema sistema con con
máximo sobresalto del sistema, ecuación(27), ecuación(27), que es del 41% y el tiempo de establecimiento (ecuación 28) que es de 12.5363 s. Mp = e
ts =
√ −ζπ
1−ζ 2
3 ζ ∗ ωn
∴
= 0 .416289
(27)
ts = 12 .5363
(28)
Se impone un máximo sobresalto del 15% y un tiempo de establecimiento del 50% del tiempo de establecimiento natural (50% de 12 = 6seg), por lo tanto al factor de amortiguamiento natural le incrementamos un 60% de su valor natural para obtener un Mp% menor al 15%, (ecuación 29) y en base a la (ecuación 28) despejamos la nueva frecuencia natural (ecuacion 30). 0.520361π
nuevoζ = ζ ∗0.60+ζ = 0 .52 ∴ M p = e
√ −
1−0.5203612
= 0 .147436
(29) rank(P c) = 3
(26)
ωn =
5
para definir si un sistema es controlable y observable, el rango de la matriz Po y Pc tiene que ser diferente de 0, por lo tanto nuestro sistema con R1, R2, L1, L2 Y C =1 si es controlable y observable. B. COMPENSADOR. El COMPENSADOR es un bloque mas aplicado a nuestro sistema el cual recoge información de las variables de estado y las multiplica por una constante impuesta por el diseñador para una respuesta deseada del sistema . En la fig.6. podemos ver el esquema del sistema con compensador.
3 ζ ∗ ts
∴
ts =
3 = 0 .9608 0.52 ∗ 6
(30)
Ahora con estos datos se obtienen los nuevos polos para calcular la constante del compensador de la siguiente forma: α = ωn ζ = 0 .9608 ∗ 0.520361 = 0.5 ωn =
α2 + ω 2
∴
ω=
ω
2
2 n − α
∴
ω=
(31)
0.96082 − 0.52 = 0 .8204
(32)
por lo tanto nuestras nuevas raices son: −α ± ω
∴
−0.5 ± i 0.820449 y − 3.5
(33)
y un polo real en -3.5. la ley de control es: µ = −kx quedando quedando las siguiente siguientess C. CALCU CALCULO LO DE LA CONS CONST TANTE ANTE Ka DEL DEL COMP COMPEN EN-- ecuaciones : SADOR. (34) x˙ = Ax + Bµ Para obtener un valor de la constante Ka del compensador se necesita definir los nuevos polos o condiciones por donde se necesita que el sistema responda, por lo tanto nos referimos a la fig.3 de donde se obtuvo la frecuencia natural y el factor reemplazando µ−kx =⇒ x˙ = Ax+B (−kx) ∴ x˙ = ( A−Bk )x de amortiguamiento, el mismo que nos sirve para calcular el (35)
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siendo (A − Bk ) una A˜equivalente o testeada, y se obtiene la ecuación característica (ecuación 36) de donde se obtiene los valores del vector k del compensador.
˜ (det λI − A) (det |λI − A + B ∗ k |) (36) 0 0 1 0 0 + 0 k1 k2 0 −− ∗ − ∴
λ
0
0 0
λ
0
1
C L2
λ
0
R2 L2 R2 L1
−(
R2 L2 R1+R2 L1
)
1
k3
L1
(37) para nuestro sistema se utiliza R1, R2, L1, L2 y C = 1 y obtenemos:
λ det 0 0
0 λ
0
0 0 1 0 0 0 0 0 − −1 −1 1 + 0 0 0 λ k1 k 2 k 3 0 1 −2
(38) resolv resolvemo emoss este este sistem sistemaa y obtene obtenemos mos los valor valores es de k1 k2 y k3; pero con la ayuda de Matlab y el comando “>> acker” podemos simplificar este procedimiento de la siguiente manera: codigo : acker(A,B,raices );
Figure Figure 8. GRAFICAS GRAFICAS DEL DEL SISTEMA SISTEMA COMPENSAD COMPENSADO O
se hará una comparación con la respuesta natural del sistema y la respuesta compensada en base a la fig.9.
donde “raices” son las raíces propuestas por el diseñador para alcanzar las caracteri caracteristic sticas as deseadas deseadas de respuesta respuesta,, en este caso la ecuacion 33 muestra las raices deseadas. codigo : acker(A,B, [−3.5, −0.5 − j ∗ 0.8204449, −0.5 + j ∗
0.8204449]);
el cual nos entrega este vector de constantes Ka: Ka = [− [ −0.2690 0.9231 1.5000];
D. SIMULACION DEL SISTEMA COMPENSADO. Si la variable escogida para la salida en la matriz C es la corriente i2, debido a la naturaleza del sistema por la acción del condensador esta se tiene que estabilizarse en 0, como observamos en la fig.8 y en la fig.7 se observa el esquema simulado.
Figure 7. ESQUEMA DE SIMULACI SIMULACION ON DEL SISTEMA COMPENSADO.
Figure 9. COMPARACIO COMPARACION N DE LAS RESPUESTAS. RESPUESTAS.
según la fig.9 se puede observar claramente una reducción del máximo sobresalto y del tiempo de establecimiento. VI. OBSERVADOR. En la fig.7 se muestra un esquema del sistema compensado pero inaplicable físicamente ya que implicaría desarmar la planta del sistema para conseguir llegar a las variables de estado del sistema y es por eso que se aplica el concepto de OBSERVADOR, el cual es una simulación de la planta y que permite estimar las variables de estado y cuyo esquema se encuentra en la fig.10. en el cual el valor de las constantes Ke se calcula con MATLAB mediante el codigo acker y cuyas raices a usar son “Ka” pero multiplicado por una ganancia de 5 a 10, y cuya respuesta se encuentra en la fig.11. VII. DIGITALIZACIÓN DEL SISTEMA. Para Para la digita digitali lizac zación ión del sistem sistemaa vamos vamos a necesi necesitar tar la func funció iónn de tran transf sfer eren enci ciaa en el plan planoo s, en este este caso caso es
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Figure 10. ESQUEMA SISTEMA SISTEMA COMPENSADO COMPENSADO CON OBSERV OBSERVADOR
Figure Figure 12. Resultad Resultados os de la Digitaliza Digitalizacion cion del Sistema Sistema
Figure Figure 11. RESPUEST RESPUESTA A DEL SISTEMA COMPENSA COMPENSADO DO CON OBSEROBSERVADOR
"ecuación(39)" y con la ayuda de matlab vamos a digitalizar el mismo: s s3 + 3 s2 + 2 s + 2
=
i2 V i (s)
(39)
el denominador de la función de transferencia coincide con la ecuación 19 y ahora se procede a digitalizar el sistema con el comando codigo : ss(tf ([num], [den]))
Figure Figure 13. sistema sistema control controlado ado digita digitall
sysd1 = c2d(sys, 0.5,opt)
aplicamos “s2z” para mapear las raices calculadas para el diseño en el plano z obteniendo la siguiente respuesta de matlab fig.12.
Entonces Entonces en nuestras nuestras simulaciones simulaciones se cambian cambian los integradores de tiempo continuo por los de tiempo discreto como muestr muestran an la figura figura (13) (13) y cuyas cuyas simula simulacio ciones nes estan en la opt = c2dOptions ( Method , tustin , FractDelayApproxOrder , 3); con un periodo de muestreo de 0.5. figura(14) sys = ss(tf ([1 0], [1 3 2 2]))
7
Figure Figure 14. 0.5
respuesta respuesta del sistema sistema digitaliza digitalizado do con periodo periodo de muestreo muestreo de
VIII. CONCLUSIONES. El análisis en espacio de estados es una herramienta más para el diseño de compensadores para sistemas lineales y no lineales. El análisis en espacio de estados también es aplicable en el dominio del tiempo discreto. El observador es una simulación de la planta donde se puede obtener información estimada de las variables variables de estado. MATLAB es una herramienta primordial para el cálculo en espacio de estados. Existe relación exacta entre la ecuación característica en el plano s y en espacio de estados por lo que se puede aplicar el mismo principio para el cálculo de compensadores. REFERENCES [1] M.J. Roberts, Roberts, SEÑALES Y SISTEMAS, SISTEMAS, análisis análisis mediante métodos métodos de transformada y MATLAB, McGraw Hill, 2001. [2] Kailath, T., T., Linear Systems, Prentice-Hall, 1980, 1980, p. 201. [3] Katsuhico Ogata, SISTEMAS SISTEMAS DE CONTROL CONTROL EN TIEMPO DISCRETO, DISCRETO, Prentice Hall, 2da edicion, 1996
