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INSTIIUTO TECNOLOGICO DEOUERETARO RECONOCIMIENTO Cfl¡1¡¡" f'\c f \tF0Rr\i¡cfóN
,Queremos agradecera todos los profesoresy ayudantes de la materia Ingenie::a de Control I de la Universidad Nacional Autónoma de México por sus i ¡liosos comentarios durante el periodo en que la versión preliminar de esta .bra fue usada como notas de clase. Particularmente, en la elaboración del primer borrador, colaboraron: Luis Rodríguez, Antonio Alonso e Ismael Espinosa. En versionesposteriores se icorporaron los comenta¡ios de: Daniel Pachcco, Federico Kuhlmann, An,irés Buzo, Horacio Martínez y Marcial Portilla. Los problemas de ejercicios :.reron recopilados de las ta^reassemanalesdel curso de los últimos seisaños; la recopilación y revisión participaron principalmente: Guillermo Rebo-r iedo, Joaquín Collado, Daniel Toral y Eduardo Aguirre. Los comentarios de \figuel Valdés fueron de gran utilidad en la redacción de la versión final. El entusiasmo desinteresadoy la crítica constructiva de Antonio Alonso :ueron factores decisivosen la producción de este trabajo. Las sugerenciasde Servio Tülio Guillén influyeron notablemente en la forma que tomaron los :uatro primeros capítulos. El Instituto de Ingeniería de la Universidad Na;:onal Autónoma de México fue quien patrocinó la elaboración de la mayor :arte del material de este libro. En nuestro agradecimientoqueremosresaltar el excelente trabajo de las secretarias Mercedes González e I¡ene Martínez, ;uienes mecanografiaronlas diferentes versionesdel libro.
Roberto CanalesRuiz Renato Barrera
Gudad Universitaria, mayo 1976
INSnTUT0 TECN0l.0Glry DE0UERETAR0PREFACIO cFNTRo
DElNFcñMióréru
Iste libro, adecuado para cursos de licenciatura en los que se estudien sis:ernasdinámicos y control automático, es una excelente respuestaa la necesi:¡d de un texto sobre el tema escrito originalmente en español. La obra es producto de siete años de experiencia de los autores en la :rseñanza de un curso de control automático en la Facultad de Ingeniería de Nacional Autónoma de México. Por su contenido, e indepen' Universidad :;.entemente del idioma en que fue escrito, es Lrnaobra sólida en la que las .d,easson precisas, matemáticamente rigurosas cuando se requierer pero al :rismo tiempo presentadascon sencillez y claridad, y en la que nunca se :ierde de vista que el estudio de los sistemasdinámicos y el control auto:ático es un puente entre el mundo físico y la abstracción matemática. Siempre que es posible, se introducen los conceptos en la forma más general '.' se hacen explícitas las consecuenciasrle la particularización. Así se logra -ina excelente unificación de los enfoques clásico y moderno que por lo ¿eneralse tratan como disciplinas diferentes. La presentación de algunos conceptos fundamentales, como el de estado, oe hace de manera novedosadespegándosede lo ya tradicional a estenivel de enseñanza.Asimismo, las demostraciones tratan de evitar, hasta donde es nzonable y posible, que el lector sienta la aparición mágica de Conceptoso rerramientras que no le ha¡r sido presentadoscon anterioridad. Algunos de "os resultados que se prueban en el texto (como en el capítulo de lugar eeométrico) son más fuertes que sus equivalentesen la mayoría de los libros icbre el tema. A todo lo largo de la obra hay un delicado balance entre la teoría y la :úctica, y el gran número de ejercicios constituye una colección de problemasconstructivos en los que se refleja la dedicación de los autores. El contenido de la obra está repartido de la siguiente manera: En el ;apítulo 1 se presenta, luego de un bosquejo histórico, una discusión de lo :ue es un problema de control y sus diferentes aspectos.Se comparan las dos :osibles soluciones,malla abierta y malla cerrada;se ejemplifican las ventajas l problemas de esta última, justificando desde un punto de vista práctico y ::eurístico, el uso de la realimentación. La definición rigurosa de sistemaoen zu forma más general, se da en el capítulo 2, y se le agregansecuencialmente -,s restricciones de unicidad y causalidad. Se introduce el concepto de en:adas equivalentes, el cual se ilustra con numerosos ejemplos originales y ".aliosos.Se define estado como una clasede equivalenciade entradas;de esta :,¡rma no es necesario asociar el estado de un sistema con el conjunto de :ondiciones iniciales de una ecuación diferencial. Además de la generatidad :ue con esto se gana, la clasificación de los sistemasdinámicos en algebrai;cs, autómatas finitos e infinitos, de parámetros concentrados y de paráme:os distribuidos del capítulo 3 resulta natural. En este mismo capítulo se rresentan las propiedadesde linealidad e invariancia con el tiempo y, después Ce distinguir entre sistemascontinuos y discretos, se procede a dernostrar
t1
que Para los de parámetros concentrados,una descripción de la relación entrada-salidapor medio de üna ecuación diferencial de orden n es equivalente a una de un sistemade n ecuacionesdiferencialesde primer orden; esto esa una rcprcstntadón tn ya¡iab)n dt ntado. El capítulo 4 está dedicado al problema de modelado de sistemas y la descripción de los modelos en variablesde estado. Se consideransistemas eléctricos,mecánicos(traslacionales y rotacionales),hidráulicosy térmicos,y el capítulo termina con una breve discusión de modelos híbridos y una mención a la existenciade modelos no lineales. Los reogramas,como elemento de análisisde los sistemasdinámicos,es el objeto de estudio del capítulo 5. En él se reunen,por conveniencia,tan,tola descripción como el álgebra de esta herramienta gráfica. En un curso de licenciatura, si el instructor lo considerapertinente, el contenido de este capítulo puede distribuirse sin ninguna dificultad a lo largo del curso o presentarse,por ejemplo,en el capítulo 7. En el capítulo 6 se analizan los sistemaslineales de parámetros concentrados en el dorninio del tiempo y se introducen los conceptosde matriz de transición y de respuesta impulso. Se deriva la fórmula de variación de parámetros y se trata el problema de linealización. La matriz de transferencia, el-patrón de polos y ceros, y los sistemasde segundoorden se estudian en el capítulo 7. El capítulo 8 está dedicado al problema de estabilidad.Se define sistema estable y se obtienen condiciones necesariasy suficientespara el caso lineal e invariable. Al tratar sistemas que además son de parámetros concentrados, dichas condiciones se expresanen el dominio de la frecuenciay se presentael criterio de Routh-Hurwitz. En el capítulo 9 se estudia el lugar geométrico de las raíces (positivo y negativo), se obtienen reglas para su trazo y se indica, con un par de ejemplos, cómo adquirir de él información útil para el análisis o diseño de sistemas. Finalmente, el capítulo 10 trata de la respuestaen la frecuencia.Para sistemasestables,lineales e invariables con el tiempo se obtiene la respuesta debida a la entrad,asen ot cuando el estado inicial es arbitrario. Se identifican las respuestastransitoriay permanentey a estaúltima se le da el nombre de respuesta en frecuencia. Se describen las representacionesgráficas de la respuestaen frecuencia, esto es, traza polar, diagramasde Bode, y diagrama de Nichols y se trata con detalle el criterio de estabilidad de Nyquist. Se introducen los conceptos de margen de fase y de ganancia-La última parte del capítulo está dedicadaal problema de compensación. Se incluyen tres apéndices;los de transformada de Laplace y álgebralineal cubren de manera concisaconceptosde estos tcmas, que se usan frecuentemente en el cuerpo del libro. El último apéndice contiene problemas de ejercicios.
Antonio Alonso C.
1'2
DEOUERETARO TECIIOLCCICO INSTITUTO c E N T R 0 i , ' E ii{ F n p t' tt t' n N
CONTENIDO
Capítulo 1. Introduccron l . Bo s quejo his t ór ic o 2. El cclnccpto de contr<¡l 3. El concepto de realimcntación 4. Efectos de la realimentación 5. Conclusiones
t7 t7 t7 20 22 30
Capítulo 2. Definición de sistema y concepto de estado 1 . In tro duc c ión 2. Definición de sistema 3. Sistemas causales 4. Equivalencia entre entradas 5. El c<¡ncepto de estado
31 31 3l 33 36 49
Capítulo 3. Clasificación de sistemas dinámicos l . l n tro duc c ión 2. Clasificación de acuerdo con el número de estados 3. Sistem¿rslineales. Sistemas invariables con el tiemp
53 53 53 58 62 63
Capítulo 4. Modelado de sistemas 1. Intr<¡ducciírn 2. Sistemas eléctricos 3. Sistemas mecánicos traslacionales en una dimensiór 4. Sistem¿s mecánicos rotacic¡nales 5. Sistemas hidráulicos y neumáticos 6. Sistemas térmicos 7. Modelos no lineales 8. Elementoshíbridos
69 69 70 73 77 80 84 88 90
Capítulo 5. Reogramas l . l n tro duc c ií ¡ n 2 . D e fi nic iones f unda me n ta l e s 3. Reducción de reogramas por absorción de nodos 4. Solución de reogramas por inspección. Fórmula de Mason 5. Inversión de trayectorias. lnversión de mallas 6. Mr¡delad<¡de sistemaspor mcdio de reogramas 7 . Di a gr am a dc bloqu c s
95 95 95 99 104 113 118 r2I
Capítulo 6. Sisternas lineales de parámetros concentrados l . In troduc c it in 2. Lcy de transici
r25 r25 r25
3. 4. 5. 6. 7.
Matriz exponencial Sistemas invariables con el tiempo Linealización Controlabilidad Observabilidad
138 t44 r46 150 t54
Capítulo 7. Sistemas lineales e invariables con el tiempo 1 . In tro ducci ón 2. Integral de convolución 3. t a t. ^atriz de transferencia 4. Síntesis de sisternas 5. Patrón de polos Y ceros 6. Obtención de la respuesta impuls<-ra partir del patrírn de polos y ceros 7. Polos d<-rminantcs 8. Sistemas de segundo orden 9. Parámetros de diseñ
L57 t57 r57 r63 r67 t73
Capítulo 8. Estabilidad de sistemas 1 . In tro ducci ón 2. Definiciones fundamentales 3. Condición neces¿triapara la estabilidad 4. El criterio de Routl-r 5. Ubilizacióndel criterio de Routh en el diseño
205 205 205
Capítulo 9. Lugar geométrico de las raíces 1 . l n troducci ón 2. Reglas Par¿ cc)nstruir el lugar geométrico positivo 3 . Es b o zodel probl ema de compensaci ón' C ompensadores
229 229 240 266
Capítulo 10. Análisis de sistemaspor medio de la respuesta en frecuencia 1 . In troducci ón 2. Respuestaspermalrcnte y traDsitot'ia 3. Propicdades de il (j
295 295 298 304 306 308 333 336 360 367 372
Apéndice A. 'l'ransformada de Laplace I In troducci ón 2 D e fi n i ci ón 3 Propicdades de la transformada de Laplace 4 'I'ransformada inversa de Laplace 5 Funciones generalizadas
379 379 379 281 39i 397
14
175 184 185 190 193 195
2r+ 215 217
Aoéndice B. Algebra lineal l. Introducción 2. Espacio cartesianode n dimensiones 3. Espacio vectorial real 4. Transformación lineal 5. Espacio nulo y codominio 6. Matrices 7. Producto interior y nonna 8. Solubilidad de ecuacioneslineales 9. Inverso de una matriz 10. Vectores y valorescaracterístic<¡s 11. Derivada de una matriz
405 405 405 405 408 409 409 4I6
4r7 419 42r 423
Apendici C. problemasde Ejercicio l. Identificación
425
I\DICE, ALFABETICO
515
r5
29. 3 i i 8 CAPITULO
lntroducción
Bosquejo histórico \leunos principios de control automático ya eran utilizados en el ..r t€rc€ro antes de Cristo; Tesibio, inventor griego, diseñó en esa : ,:a una clepsidra que utilizaba un mecanismo similar al usadÓ en , ¡arburadores de los automóviles actuales. El termostato y algunos . ::atos que hacían que los molinos mantuvieran las aspas contra el :r.Io, áup cuando éste cambiara de dirección, fueron inventados en , siglos XVII y XVIII respectivamente. Sin embargo, los sistemas de control automático comenzaron su :=:arrollo intenso durante la revolución industrial' En esa época, Ja' --.s Watt adaptó el primer regulador automático'de velocidad a Ia -:lquina de vapor. A mediados del siglo XIX, James C. Maxwell anapor primera vez diversos tipos de gobernadores de velocidad, y el problema de la estabilidad de los mismos con uno alge';ionó :.j;o, el cual fue resuelto posteriormente por Hurwitz. Alrededor de :,r, Nyquist y Bode desarrollaron técnicas de análisis para sistemas ::¡alimentados utilizando conceptos de respuestaen frecuencia. )urante la segunda guerra mundial, el interés en las aplicaciones ..--as,hizo que se consideraran problemas de dirección y guía de ,rectiles balísticos,lo que tuvo como consecuenciael estudio de sis' :as estocásticosy no lineales.Desde los últimos años de la década i950, gracias al advenimiento de las computadoras digitales, se han y se han estudiado más profun::scubierto las variables de estad<-¡ :.ente problemas tales como <.rptimacióny control bajo incertidum. también se ha desarrollado en los últimos veinte años el control .:.cirico y el control jerarquizado. Recientemente se ha n<¡tado un ::.'cio en el campo de aplicación de la teoría de contrc¡l y los inge::,¡s d€ esta rama ayudan a analizar, entre ellos, problemas ecoló --s, socialesy económicos. El coneepto de control : 1 Planteamiento :.::riciones generalessobre una disciplina cs una tarea difícil de varic.¡s ----,J;. Difícil, porque se trata de resumir el cc¡ntenidt.¡ .. -: lrncas en unas cuantas, y arriesgada,porque siempre cabe :ad de dejar fuera de la definición algunos aspectos impor:- .-, disciplina./Por ello se ha <-rptadopor recurrir a una serie . --.:,.r5 -r, ya formada una idea intuitiv¿rdc los problemas que se
t7
18 Introducción
plantean en la ingeniería de control, se darán definiciones más exactas, empleando un lenguaje matemático. De una manera informal, el problema de control consiste en seleccionar, de un conjunto específico o arbitrario de elementos (o parámetros, configuraciones, funciones del tiempo, etc.), aquellos que, aplicados a un sistema fijo, hagan que este se comporte de una cierta manera deseada. Así, un problema de control es seleccionar el punto de apoyo de la palanca de un regulador de nivel (figural)para que la altura del líquido en el recipiente se mantenga constante a pesar de las variaciones en el gasto de salida.
Palanca
Flgure l. nivel.
Regulador de
Otro problema de control es el siguiente: un inversionista posee cierta cantidad de dinero al principio del año y desea colocarla en el mercado de valores. Suponiendo que el inversionista no puede solicitar préstamos y que su única fuente de información son las cotizaciones que se publican en la sección financiera del periódico, ¿cuál debe ser su política de inversión para tener el mayor capital posible al finalizar el año? Un tercer problema de control es el que se plantea a continuaciú¡r: la composición del torrente de salida de un reactor químico depende de la temperatura y composición del flujo de entrada. ¿Cómo debe variarse dicha temperatura para obtener una conversión máxima a cierto producto en la salida? A pesar de que las disciplinas bajo las cuales sería necesario anaIizar los problemas anteriores son diferentes, muestran tres elementos en común ( figura 2): a) uno que se puede modificar, llamado entada, b) otro, llamado salida, que se desea q.ue tenga ciertas características, y c) un tercero, llamado planta, que relaciona la entrada con la sali. da y que no puede ser modificado. En la tabla I se identifican la entrada, la salida y la planta de los ejemplos propuestos. Recapitulando, el problema de control consiste en escoger, para un sistema dado, una entrada que haga responder a ia planta de una manera deseada; esto es, que se obtenga una salida con cierta carac-
¡ql
I
El coneepto del oontrol 19 ::-{rica. En el primer ejemplo sería mantener invariable el nivel del :"::jo; en el segundo, máximo capital al finalizar el año; en el ter:,='- la m¿íxima conversión a un producto de la salida.
Fl¡urr 2. Representación esquemática de rur sistema.
TABI,/T I. Problema
Entrada
Salida
Planta
Control de nivel
Localización del punto de apoyo
Variaciones en el nivel del líquido
Relaciones mecánicas del sistema
Irversionista
Cantidad de accio nes a comprar y vender en cierta fecha
Cantidad de efectivo al finalizar el año
Mecanismo de la bolsa de valores
Reactor químico
Temperatura del Composición del flujo de alimenta- torrente de salida ción
Relaciones de balance y cinética del reactor
2,2 Diversos aspectoe del problema de control Al tratar de resolver en un caso concreto el problema de control, :cfinido anteriormente, surgen las preguntas: ¿Cómo ha de modelarse ; planta? ¿Cómo verificar el comportamiento de este modelo? ¿Qué -:;er cuando la planta es desconocida parcialmente y afectada por -:rómenos aleatorios? ¿Cómo lograr que el sistema se comporte de ,;lerdoconuna política prescrita? Las interrogaciones anteriores plan:an las siguientes facetas del problema de control: a) Modelado.lPara poder hacer un análisis es necesario tener una ::resentación de la planta; esto se logra mediante un modelol La <.ección del modelo depende fundamentalmente de los usos que se le y el costo de su elaboración. Así, en el sistema de la figura l, -rán ilotador puede considerarse como un elemento con o sin masa, según :. :
CaSO.
b) SimptíÍicaeión., Un modelo muy preciso de la planta suele resulr demasiado complejo. Entonces conviene indagar cuáles son las ieosiciones simplificadoras posibles y su influencia sobre la verosi' =iitud del modelo.rPor ejemplo, al analizar un circuito eléctrico y :'-csiderar altas frecuencias,suelen remplazarse algunas capacitancias r-r cortocircuitos. También, al elaborar un modelo económico de una -:zión, se engloban las industrias de extracción de hierro, zinc, ní' :r-el, etc., en una sola industria ficticia .de "minerales ferrosos". Símulaeión.i lJna vez elaborado el modelo, es posible verificar '') r, validez por medios analíticos o de simulación. Este último suele rsarse también para familiarizarse con el comportamiento del siste'
2O Introducción ma.,Por ejemplo, antes de probar un avión en el aire, se hacen en tierra simulaciones de vuelo. Las simulaciones pueden lograrse con modelos a escala, con computadoras analógicas o digitales, mediante cálculos manuales, etc. d) Edabitiitctit.¡ Uno de los aspectos de mayor importancia sobre el comportamiento de un sistema es el referente a su estabilidad. Un sistema es estable si al aplicársele una entrada pequeña los efectos que produce son pequeños.Para determinar si un sistema es o no estable pueden utilizarse métodos de simulación o estudios analíticos. e) Estimación. Muchas veces es necesario indagar el valor de cier' tas variables internas del sistema a partir del conocimiento de la de' entrada y la salida, porque algunas decisiones para controlarlo ben tomarse en función del valor de esas variables.Un ejemplo de problema de estimación consiste en determinar la temperatura en cierto ptrnto de un reactor con base en la composición de los productos de la entrada y de la salida. f) Id,entifica.sión., El estimar el valor de ciertos parámetros desco nocidos de una planta basándose únicamente en el conocimiento de la entrada y la salida, es el propósito de la identificación. Es un problema de identificación, por ejemplo, determinar la posición del punto de apoyo del sistema de la figura I a partir del conocimiento de los flujos de suministro y de consumo. g) Regulación. Es el problema de control que consiste en mantener la planta en un estado prefijado. Un ejemplo de regulación es mantener la temperatura de un frigorífico en -5oC a pesar de las variaciones de la temperatura exterior. h) Optimación.n.z Cuando el objetivo de un problema de control es minimizar o maximizar alguna cantidad, se tiene un problema de optimación. Este es el caso en r¡n reactor químico cuando se desea maximizar Ia conversión a cierto producto a la salida. El objetivo principal de este libro es presentar varias técnicas usadas en la solución de problemas de modelado, simplificación, estabilidad y regulación. 3. El concepto de realimentación Dado un sistema con sus tres elementos: entrada, planta y salida, el problema de control consiste en seleccionar una entrada para que la salida tenga ciertas características. En particular, cuando la entrada y la salida son funciones del tiempo, puede resolverse el problema de dos maneras diferentes. Una, llamada de "¡nalla cerrada", consiste en seleccionar de antemano la entrada, en función del tiempo, con la cual se obtendrá la salida deseada. Esta entrada se aplica al sistema de una manera preprogramada. La otra forma, llamada de "malla abierta" o de realimentación, es generando la entrada en función de la salida que se vaya produciendo. En este último enfoque se utiliza el concepto de realimentación (o retroalimentación), por medio del cual se toman los valores de la salida para modificar la entrada. Los ejemplos que se presentan a continuación ilustrarán la diferencia entre estos dos enfoques.
-f
2 9 6 08 El coneepto de realimentación
EI objetivo del alumbrado público es mantener un nivel mínimo de iluminación en las calles, al menor costo. Para lograr este objetivo se pueden proponer dos soluciones: la primera consiste en encender los focos del alumbrado a la hora en que comúnmente empieza a oscurecer, y apagarlos al amanecer. Así, pues, se puede decidir encender el alumbrado a Ias ó:30 P.M. y apagarlo a las ó:30 A.M. En este sistema, la entrada (cambio de posición del intermptor) es independiente de la salida (cantidad de luz en la calle). Este mecanismo, simple de llevar a cabo y económico, puede acarrear dificultades, ya que la hora en que empieza al oscurecer y aquella en que empieza a aclarar, varían de acuerdo con la estación del año; además, en días nublados se puede tener una oscuridad indeseable. La otra solución, más efectiva, consiste en instalar un dispositivo (fotocelda, fototransistor, etc.) para detectar la cantidad de iluminación y de acuerdo con esto se encendería o apagaría el alumbrado público. En este caso, la entrada (cambio de posición de los intermptores) sería modificada por la salida del sistema (iluminación en las calles). En la figura 3 se muestran los diagramas de ambas soluciones. Alumbrado
Alumbrado
2l
a
G
s2
go H( )
á<,
:=
EA
SP 62,
()
dx c)
HO
PF 32,
F- L¡J
6CJ z
Figura 3. Control del siste ma de alumbrado público. Relevado¡
-ü.
tK -
T L -JI
Amplificador
Reloj o) Preprogramado
b) Realimentado
En el caso del inversionista de la sección 2, él puede darle a su ;orredor de bolsa dos tipos de órdenes: a) "El 15 de abril venda todas las acciones del tipo A que ¡)osea", ó b) "Venda las acciones tipo A, :uando lleguen a 180 puntos". La primera orden, en la que no !c- toma en cuenta el valor de las acciones, equivale a un control je malla abierta. La segunda, en donde sí se toma en cuenta la salida valor de las acciones), equivale a uno de malla cerrada. El mecanismo fisiológico para escribir una lÍnea manuscrita puede :onsiderarse como un sistema de malla cerrada, ya que a medida que -e escribe, se tiene el conocimiento a través de la vista de la direc-:on de la línea (salida). Si esta sale torcida entonces el cerebro envía ,'ra orden (entrada) al brazo (planta) para que este corrija el de':;to. El mismo sistema, en su versión de malla abierta es el usado ,. escribir un dictado con los ojos cerrados. Es conveniente hacer la aclaración siguiente: La diferencia entre el c<¡ntrol de malla abierta y el de malla -::rada depende de qué parte del sistema se considera planta. Por
22 Introducción ejemplo,elsistemamecánicomostradoen la figura 4. ea donde la fuerza f es Ia entrada y el desplázamiento r, la salida. rei.xionadas por la ecuación
ry = f ' -k x dt" puede considerarse como un sistema de control ¡¡no de malla cerrada.
Ft¡ure 4. cánico.
dg m:ll¡
abierta o
Un sistema me
T,4 En efecto, cuando se toma a la masa como planta la entrada a esta será la fuena neta fr dada por f x : f -k x y por tanto la salida (¡) afecta la entrada de la planta. De allí que el sistema sea de malla cerrada (figura 5) ?LA I¡A
r------8l¡un 5. Sistema de la figura 4 visto como uno de malla cerrada.
Entrada a la planta k.a
Por otra parte, cuando se.considera al conjunto masa-resortecomo planta y se escribe la ecuación del sistema en la forma Mdx.I
T+kx:f la entrada a la planta (l) no es afectada por la salida (¡), por esto el sistema es de malla abierta ( figura ó)
4.
Efectoe de la re¡li:nentación A continuación se presentarán algunos ejemplos q,ue señalan cier-
El concepto de realinent¡ción
23
P T AN T A
Sistema de la Figur¡ ó. figura 4 visto como uno de malla abierta.
tl
\.'z PT A N T A
tas diferencias entre el comportamiento de los sistemas de contror de malla abierta y los de malla cerrada. Ejemplo I objetivo es Considérese un amplificador electrónico(figuraT)cuyo obtener a la salida un voltaje y(f) que sea réPlica exacta del de entrada u(t), pero de mayor amplitud. Esto es
y(t)=A u(t)
dond e A > l
Fisuru 7.
Amplificador.
En algunos casos, sin embargo, el factor de amplificación A (gananeia) vá.ía con el tiempo.En lafigura8 se muestra un caso de dicha variación.
Figura 8. Variación de la ganancia con el tiemPo.
Si se aplica un tren de pulsos a la entrada del amplificador de las características descritas, la salida no es una réplica exacta de la entrada (figura 9)
24 Introducción
Fisura 9. Salida correspondiente a un tren de pulsos.
[
- -
Entrada
'-tr-t
Pl.ANf A
El efecto de la variación de la ganancia con el tiempo, puede dis. minuirse mediante realimentación. Para ello, se realimenta el amplificador como lo indica la figura 10.
Figura 10. El amplificador realimentado.
Las ecuaciones que describen al sistema son
e = u -r r: k y !: Ae y eliminando r y e de las ecuaCionesanteriores se obtiene ! : A (u -k y ) A
r = 7477u Si se escoge ft de tal modo que kA (la ganancia de malra) sea mucho mayor que la unidad, la relación la entrada v la salida "ntr" puede aproximarse por
Y:m
Au
A
o Áu :Í,
u
Las variaciones de la amplificación (ganancia) para el caso no realimentado eran de -+ 2oo o sea 2s%. Al éxaminar lá que sucede cuando se incluye la realimentación con /< : 0.1, se obtiene- que si A : 1000, la ganancia para el sistema realimentado es A -:
r+kA
y cuando á:
1000 : 1000 (. 1 )(1 0 0 0 ) l + ldr:
ó00 se tiene
l+ k A
ó00 ó00 ( .1) ( ó00) I + 6r
9'90
El coneepto de realimentación
2l
o sea que lavariación de la ganancia es 0.3% entre los casos extremos. Nótese,sin embargo, que la ganancia del nuevo sistema (aprox. 9.9) €s como un centésimo de la ganancia sin realimentación (aprox. 800). Se concluye que la salida del sistema realimentado es menos sensible a la variación de la ganancia que el amplificador original. Eiemplo 2 Tómese por caso un servomotor cuya función es cambiar su velocidad angular de acuerdo con un voltaje (y) que se aplica a la entrada de un amplificador (figura 1l) La ecuación que relaciona la entrada y (voltaie) (velocidad angular) es
,
da
i:
con la salida r¿
AV- Ba
en donde J es la inercia de la carga, A una constante y B, el coeficiente de fricción del motor.
+ !
Amplilicrdor
E¡ure
ll.
Servomotor.
Al aplicar una entrada como la que se muestra en la figura 12, se obtiene la salida mgstrada allí mismo. Y(ú), o,(t)
rLur. 12. Entrada y salida del sistema.
Se observa que la salida no es una'fiel reproducción de la entrada. La razón de esto es que el efecto transitorio es muy prolongado. Es pocible lograr una salida más parecida a la entrada mediante realimen-
26
Introdueción tación. Para ello se mide la velocidad angular por medio de un voltaje generado por un tacómetro que se acopla al vástagodel motor(figura12) Este voltaje se resta al de entrada y dicha diferencia se aplica al ampli
+ Amolificador \
Motor
Fi¡un 13. Servomotor realimentado.
ficador. Si Vr : ko entonces V¿: V - k, y en este caso la ecuación que describe al sistema es d' I -= - AV - (B+Ak)dt
Con la nueva configuración la salida correspondiente a la entrada dada se muestra en la figura 14 donde se observan dos efectos: a) La salida es una mejor reproducción de la entrada que en el caso del sistema de malla abierta b) hay una disminución en la velocidad angular que se obtiene con el mismo voltaje V
lt(t), o¡(t)
Fi¡ure 14. Entrada Y salida en el servornotor realimentado.
EntradaV(¿)
l |
z' ./
l' r
I
'r
[r2-- \.'\\
|
..r'r' -/-r'
I
Salidasin -¡ealimentación --"ti-o^to^i
¡ealimentación
l/r<:;;;;;;,;;;-'-
i
'
I
l
I
I
Para compensar este último efecto sólo hace falta aumentar V. En I la figura 15 se muestra el resultado obtenido cuando V se aumenta tresl veces. I
I
A través de este ejemplo se ha ilustrado cómo los efectos transitorios de la respuesta son menos prolongados al usar una realimentación. I Aunque por medio de la realimentación es posible mejorar el com' portamünto d" Iot sistemas, como se ha ilustrado en l<.¡sdos ejemRlos
I
I
I
El eoneepto
do realiment¡elón
27
I'(l), or (l)
Figure 15. car I/.
Salida al tripü-
Salida conreal¡mentac¡ón y lumenlo dev
anteriores, cuando la realimentación es excesiva el sistema puede presentar características indeseables tales como oscilaciones con amplitudes cada vez mayores. Para ilustrar este efecto considérese el siguiente caso: Ejenrplo 3 Supóngase que se cuenta con una planta en la cual la relación entre la entr'¿rda tt(t) y la salida y(r) está dada por
Y (t+r):0 .7 Y (t)*2 u (t) y póngase por caso que se desea que y(l) tenga la misma forma que ¡r(¡). Si para t (0, y(r) - 0 y el sistema se opera en malla abierta óon a(r) igual a la unidad, a partir de f = 0,t(r) será la que se muestra en la figura 1ó.
t
I
2
3
4
5
6
7
8
9
u(t)
I
I
I
I
I
I
I
I
I
y(t)
2.W
3 .40
4.38
s.0ó 5.54
5 .87
6.10
6.27
6.66
Fi¡lrrn 16. Entrada y salida del sistema en malla abierta.
Para disminuir el tiempo en que la salida alcanza el %)o/ode su valor final, se puede utilizar un sistema de control de malla cerrada, como se hizo en el ejemplo anterior. El sistema de control propuesto se muestra en la figura 17.
28
lnrmduceión
Y(t+ I)- 0 .7 v Q)* 2 e (t)
Fi¡ura 17. Sistema realimentado.
La ecuación que describe al sistema realimentado es
v( t+r ) - - o .7y( t)* 2e( t) : o .7y( t)+ 2lu( t) - ky( t) l : ( 0.7 - 2k) y( t)* 2u( t) En la figura 18 se presenta la salida que se obtiene para el caso en que ft - 0.1 Como puede observarse, con la realimentación se producen los dos efectos que fueron comentados en el ejemplo 2: disminución del valor final de la salida y un transitorio más rápido. Podría pensarse entonces
t
I
2
3
u(t)
I
I
I
y (t)
2.00
3.00
3.50
4 3.75
)
6
7
I
¡
I
3.88
3.94
3.97
8
3.9E
I
4 3 2 I Fl¡urr 18. Entrada y salida del sistema realimentado con & = 0.1.
\
k -0.t
El conecpto dc ncelincnfrión
t
I
2
3
4
5
u(t)
l.
I
I
l.
I
v(t)
2.W
1.40
1.58
I .53
l.54
A,
a
2 ,
¡É 0.5 -
0
Fi¡un 19. Entrada y salida del sistema realimentado para k= 0.5 y l c= 1.
EntrldrZ_
¡t- 1.0
que al continuar aumentandoel valor de ft se disminuirla el tiempo del transitorio. sin embargo, puede apreciarse en ra figura l9l para _como valoresde ft mayoresde 0.35, se producenoscilacionesen el sistema.
30
Introducción
5.
C,onelu¡ioncs
En los ejemplos de la sección anterior se mostró $E pú mcdio de la realimentación se puede hacer que la relación entrad..lrl¡da de un sistema sea menos sensible a variaciones de algunc puácrtros de la planta y que los efectos transitorios del sistema sean É rápidos. Sin embargo, en algunos casos, el aumento excesivo d€ l¡ ralimentación puede producir una degradación del comportamiento .Ll sistema, al prcsentarse efectos no deseables como son las oscifacirrc- En este libro se presentarán métodos de análisis de sistemas reali'neotados y se estudiarán con más detenimiento los efectos presentadc ea l,os ejemplos de este capítulo.
CAP¡TULO
Definición de sistema y concepto de estado l.
Introducción
En el capítulo anterior se indicó que para resolver algunos problemas de control es adecuado elaborar un modelo matemático del sistema en cuestión o sea obtener una abstracción de éste y expresarlo en términos matemáticos. Cabe aclarar que en este texto se tratarán, indistintamente, problemas relativos a redes eléctricas, redes mecánicas, sisternas químicos, sociales, etcétera, por lo que surge la pregunta de si dichos sistemas tienen algo en común. La respuesta es afirmativa porque, como se verá, todos pueden describirse mediante modelos matemáticos con la misma estructura. También se verá que a partir de suposiciones muy simples puede llegarse a formular una estructura matemática adecuada para describir una gran diversidad de sistemas. A partir de la suposición de que los sistemas son causales(no predictivos), se definirá el concepto de estado, cuyo papel es de gran importancia en los desarrollos que posteriormente se efectuarán. El enfoque que aquí se presenta difiere bastante de los que se encuentran en los textos de este nivel, en que el propuesto consiste en desarrollar los conceptos en vez de proporcionarlos en forma axiomática. 2.
Definición de sistema
El término "sistema" es ampliamente utilizado. Al respecto, es fácil escuchar expresiones tales como "el sistema económico", "el sistema métrico decimal", "derrocar el sistema", "el sistema eléctrico central,,, etcétera, por lo que surge la pregunta: ¿Qué es un sistema? podrÍa considerarse como "un ligados por una relación", pero es 9*o,njgnto!e e_nte_s demasiado generál para nue5troé ¡iiopósitos; de ahí qué conviené hacer una división entre los entes separándolos en dos categorías, una que llamaremos conjunto de entradas y otra, conjunto de salidas, por lo que una definición factible es "una relación entre entradas y saiidas". un ejemplo de un sistema, d;;criérfitlon la riéfinióiéñ áñtdrior, puede ser una fábrica de coches que transforma materias primas como lámina de acero, hule, pintura, etcétera, y otros insumos como mano de obra, energía eléctrica, etcétera (entradas), en automóviles (salidas). otro ejemplo sería el de un motor de inducción, que transforma energÍa eléctrica (entrada) en energía mecánica (salida). Si la entrada se representa como u y la salida como y, el tipo de sistemas que estudiaremos podría denotarse matemáticamente for la relación: (1 ) , = S[¿¿]
3l
32
Definición de sistema y concepto de estado Gráficamente corresponde a la Fig. l.
u(Entrada)#y(satidr)
Figura l. Representación gráfica de un sistema.
Si, además, se hace Ia suposición de unicidad (o determinismo), esto es, que a cada entrada le corresponde una y sólo una salida, entonces la relación (l) es una función. Nuestro mayor interés estará concentrado en aquellos sistemas en los cuales, tanto la entrada como la salida pueden ser representadaspor funciones de una variable independiente f, que en la mayoría de los casos será la variable tiempo. Se considerará también que asociado a cada sistema, existe un tiempo /,,, tiempo de creación, que representa el instante en que principia la existencia del sistema ( no se excluye la posibilidad que el tiempo f.. sea - co). De esta nranera, las funciones que representan la entrada y la salida están definidas para cuaiquier tiempo / que cumpla con /" ( f ( co.
2.1
Notación
Para evitar ambigüedades, conviene hacer algunas aclaraciones de notación: a) Siguiendo la nomenclatura matemática clásica, el conjunto de todos los valores de t que satisfacen la desigualdad a(r(ó se denotará fa, bl, y el de valores de t que satisfacenla desigualdad a{t
z(t) : z.'(t)
si
t, < t < tz
z(t) = 2."(t) si
t- 1 t 1 t:t
Las igualdades antcriores se expresarán:
\
Slstcmea e¡uc¡lc¡
z
33
Ffuurr 2. Significado de la definición del segmento
1t, trl
zl t ytl .
tz
r ", i
z lt t , t . l: 7' 1t r ,
z "lr r . r " l
donde la operación +, que comúnmente recibe el nombre de conca. tenación de segmenfos,se muestra en la figura 3. Resumiendo, un sistema consiste en:
Fi3urr 3. Significado de la operación i.
z 1r, tx l :
2'1t,trt
*
z"ltr ,¿ "|
tt
tt
Un conjunto de entradas, {r,r), cuyos elementos son funciones del tiempo definidas en el intervalo [f,, oo). 2 . Un conjunto de salidas, {y}, cuyos elementos son funciones del tiempcl definidas en el intervalo It,, oo). 3 . Una función S, que define una correspondencia unívoca entre los elementos del conjunto de entradas, trtt".*,, y los elementos dcl conjunt<.¡de las salidas, !tr". nt : S{ur,". -,}. l.
3.
Sistemaseausales
A lo largo de este libn¡ se considcrarán aquellos sistemas cn que para cualquicr f,, cl vak¡r'dc la salida v(/,) dcpcnde únicamente de la
U
llÚlnlclón
dc ¡lstem¡ y concopto de eetado
función de entrada a en el intervalo ft", tr7. Estos sistemas se denominan causal,eso no anticipatoriós, pues la salida en un instante dado no dependedel valor de la entrada en instantes posteriores. Usando la notación señalada en 2.1, es posible definir formalmente un sistema causal. 3.1 Definición del siet€n'.acausal Un sistema es causal si para dos entradas cualesquiera4'1r",,¡ y u"st,, para todos los valores de t en que se cumple la igualdad -t, u''¡t", t7 = u"[t*
tl
las salidas correspondientes Y' 1t,, = S{a' tr., .l} -l y' ' úo,.t = S (¿" tr.,.¡)
satisfacen !'tc., tt :
Figura 4. Sistema no causal.
\
t''ft,, t¡
SlÉtcmae causalcs
¡xi
es causal' ya qYe aun cuando La figura 4 ilustra un sistema que no resulta qrrey'+y2 las entradasar ,l ,r-*itt"iá"., "r, "f intervalo lt",t,), en el mismo. f ) f"' s€ cumple que En los sistemascausales,para cualquier = 5 {a¡1", lt } ! tt", t1
depende únbamente del de eno sea que el segmento de salida /rr"' rt trada t)ú", tt. en un instante arbitrario f' En particular, el valor de la salida hasta entonces' esto es iunción del segmento de entrada aplicado la característica tienen ""u ", anticipaiorios ü1t., t,tl en cambio,-1|''i't"*a-s queenalgúnirr.turrt"-r,,elvalordelasaliday(f')dependedealgún rialor de i en el segmento (f,, o)' Eiemplo = 0' en el cual la relación entre Considérese un sistema creado €r f¿ la entrada Y la salida es y(t) : u(at) donde a)
0.
furu qrr. el sistema sea causal, de acuerdo *"
, -^^-:^- ^-
l:t-^:"1"1:l,Tt:-":;
delosi11':: l"-fl||::] ,".tiill, l,i;' ;^d;; á"p"',á"'únicame¡te. = arfin.l:.n""f].'1":T:':: u(at')' ;;.;-;';" vU) úl:ima i E'tu r'' arr que ';ffi;i;'ü,;'i. :'i:"i.'f';":iir"'i"¿i'pensable-1eiiry"yid:: ¿ áclusivu-:"t-",:]:*:^:Í
:ffi[
;;;';"ffi;;;'];1".'= .¿, : :i =2 cuandoa i,1'rfi."ttu"r,r"'ir-."r1""i0" entre la entraday la salida
y a:0.5 para dos entradds ür ! üz' que aun cuando Nótese que si a = 2, el sistema -no es causal, Ya los segmentos de las entradat ,, Y az coinciden en el intervalo [0,4] a) Entradas
u,( t)
t a-2 curndo b) Srtidas
t,Q\ = u"(2t\
),(f ) = u,(2t)
02468 a-0.5 cuando c) Salidas
1,(f) = r¿'(.5f)
*(t)
= u"(.St)
Ftgura 5. Entradas Y sali Aai aet sistemaY(tl=u(at )'
,i l l l $l r l ,l Ll l l l l l l l l i r 'i l l l ti l l i i l l l l fr l tl i
ú
lMlnlclón
de shtena y concepto de esrado salida h y !¿ en éste son diferentes, mientras que s: : < i s:empre que las entradas coincidan en un intervalo [0,f.l las ::=espondien---:.. tes serán iguales en el mismo; inclusive coincii::--e- intervalo -:i.
[0, -].
a Conviene aclarar que se analizarán, casi en fo=:a :r:--iva, sistemas causales y determinísticos, los cuales comú¡=-e:::: --cnocen en la literatura especializada como sistemas dinámícos. 4.
Equivaleneia enlre enlradas
Como el problema que con mayor frecuencia s€ ri?l3r-: :: este texto es el de analizar las relaciones entre entradas ¡' Ias en un intervalo de tiempo lto,trl, donde t" 1to ( f, ( :.. si:::: --:&s -: :regunta: ¿es indispensable conocer exactamente u¡t,,r't pa:'a :::=:-:: la salida nlrto,t¡?. Por fortuna la respuesta es negativa en u:t ;:-i- ::-::nero de casos, como se ilustrará mediante ejemplos: a) Tómese por caso un banco, creado en el añc c: I l-r-, Desde su fundación sus transacciones (,entradas) han s:j: =-,":lcles: ha aceptado depósitos, recibido y pagado intereses ;-=::.sjo y vendido terrenos, etcétera. Si se considera su capi:a- ::=-: la salida del sistema y es deseableconocerla al 3l de C:;::=-::= j: 1932,estando a primero de julio de este año, no es ::-:<-::¡ revisar operación por operación desde su fundacion l:.s:= i.:r va que la historia que afectará el aumento de caplt:- :-::= ::sumirse en varias cifras (dinero en inversiones, cuen:as :.:: ::':rar, dinero en caja y otras más) que forman el s-.::-:'--:= ::.itas al primero de julio de este año. b) Supóngaseque se cuenta con un circuito con'rDues:: :::esistencias y capacitancias.Si se desea conocer la cor::=:-:. :-'je pasará por cierta resistencia,a partir de un instante ¡ e: :--= :: conecta al circuito una batería de l0 volts de corriente C::=::: ::o h.Lia necesidad de saber cuáles han sido los voltaies a:.:::i:s al circuito desde su ensamble hasta to, la que bastari :::r conocer los voltajes a través de las capacitancias en el i;rs:a:.:e :-. De los ejemplos anteriores se intuye que para cualquie: tiempo fo posterior á f", €S posible agrupar los segmentos de entrada ei el intervalo [t", fo) en clases, de modo tal que dos entradas que pertenecen a la misma clase, tienen igual efecto en la salida a partir de : . De esta manera, en un instante determlnado, fo, par€r conocer cuál será la sali da para tiempos posteriores cuando se aplique cierta entrada a partir de f,, será suficiente saber la clase a que pertenece la entrada que se ha aplicado al sistema hasta entonces. 4.1
Definición de equivalencia
Para los sistemas causales y para cada fo ) f" pueden definirse formalmente equívalenci¿s entre segmentos de entrada que se inician en t", de la siguiente forma:
\
Equivalencia entr¡ Dos segmentos de las entradas u y i son equivalentes en fo ) úc corl respecto a un sistema S, si y sólo si para toda ú y todo segmento de función r¡to. t7,los segmentos de las salidas y y ,, definidas como !rt". t't = S{ar,",,0,i
r,ro,,¡}
S{7r¿",,0,i
r,,0,,i}
lu". ,t:
son iguales en el intervalo [fo, f], es decir, ! t t o, t 1 = jr t o, t t
Informalmente esto significa que dos entradas definidas en un intervalo lt", to) son equivalentes si producen el mismo efecto en la salida a partir de fo. Para ilustrar dicho concepto, se incluirán algunos ejemplos. 4.1.1
Ejemplos
Se presentan diversos casos con los cuales se puede ilustrar concepto de entradas equivalentes:
el
Eiemplo I Considérese un sistema definido por la relación entrada-salida y(t) _
ñ, = | u(o)d" J t"
Para determinar si dos entradas wlt,,tot y ús,".r,,,son equivalentes, basta confirmar que para las funciones l.hltc,
tl
:
*
f l to, t1
,", tot I
f fto, tl
WÍtc,tol
v IlzItc,
t' ! :
Ñf
se cumple la igualdad
y ' ( t,) : para
fr'
!," u '(" )d "
=
f¡t
- y,( tt) 1 ," r,(") d"
to l ttl t
Como Ptt
Pfo
ff¡
= * J, .u , ( o ) d o I ,"u'{")d" J ,,u,(")d" -v en el intervalo 1t,., t,,), ¡rr coincide con w, mientras que en [ro, t] co i n ci de con r, se tiene la identidad .
y,(r,) - ["*,(")d" t,. .l
+ [" r(o)do to J
entrad¡s
37
88
llefintclón
de gietem¡ y concepto de eerado
De manera análoga, se deduce que
yz(t,)=
l túo
ftt
* l r,w(o)do J r,r(")do
Restandolas dos ultimas ecuacionesse tiene que
- f' r',,*{")d" v,(r,) - v2(t)- l',".wG')do entonces, para que yl(fl) - y2(tr) sea cero para toda en el intervalo [/o, f] es necesario y suficiente que
G)d.,: t',i,,* G)ao t'n",*
fc+l
li;ot d'l= |
.fí:@ d'l ! Figur
6. Para el sistema ft y(f) = | u(a)do, las entraJA"
das a, y a3 son equivalentes en fo, utientras que a, no lo e s niaur t iau" .
f,+3
y todo fr
¡ Equlvdcnc¡e
Gntrc G¡rrlrdü
89
Así, se concluye que para el sistema en cuestión, dos entradas son equivalentes en fe, si y sólo si sus integrales de t" a úo son iguales. En la figura ó se muestran tres entradas, de las cuales las dos primeras son equivalentes, mientras que la tercera no lo es a ninguna de éstas. Un sistema físico que puede representarse por la relación entradasalida del ejemplo anterior consiste en un tanque con agua que se muestra en la figura 7. Ia salida corresponde a la altura del agua, medida de acuerdo con la escala indicada, mientras que la entrada corresponde al gasto q (lt/seg) que puede ser positivo o negativo, e inicialmente h(t") : O. 4 3
i,*,
q"(t)---+
-l -2 -3 -4 -5
Flsure 7. Sistema ffsico en el cual la relación de entrada-salida es h(t) = l
P,
q(o)tto r Jt" q(f) representa la f_ enra. da, y h(t) ta salida.
Eiemplo 2 Considéreseahora el sistema en que la relación entrada-salidaes
y(t) :
Tl'x"t')
o sea que la salida en un tiempo f es igual al valor máximo de la entrada en el intervalo [f", t). En la figura 8 se muestran dos entradas y sus correspondientes salidas.
u,( t)
Y , (t )
Figura 8. Dos entradas y sus correspondientessalidas para el sistema y(t) = máx u(o). t.
n
Dofinición do gietema y concepto de estado En este sistema, dos entradas, ¿t y 7, serán equivalentes en el tiempo ,o, si el valor máximo de utt", tot es igual al valor máximo de i¡t", tot, como se muestra a continuación: Fórmense dos entradas definidas en el intervalo [f", f ) concatenan' do u¡t",tot y -tt¡t.,ro) con una entrada arbitraria, rlto,o, quedando dos entradas que se denominarán u, ! uz Íespectivamente. Supóngase ahora que a:
máxu(o) t c3o
a -
máxi(o) tc
y que F :
máx r(o) tÉo
entonces las salidas y(t)
:
rnáx u,(o) t csq
v !,(t)
:
máx u,(o) t c3o
para Í ) fo estarán dadas por las expresiones ( y' ( t) : I Ir si a2B /É si 13)o
!,( t) =
io", u> B lU ,, p > a
(cualquierp),
y para que y,(t) sea igual a y,(t) para cualquier debe cumplirse que a : d¡ o sea que
= má\,u(") t=iI""G) El sistema anterior puede conesponder al circuito de la figura 9, formado por un diodo y una capacitancia, donde el voltaje l/"(t) representa la entrada y el voltaj e V,(t) la salida, e inicialmente la capacitancia está cargada a un voltaje negativo muy grande.
+ l+ FlSrre 9. Sistema cuya r€lación entrada-salida corresponde a la del sistema del ejemplo 2.
V , (t )
I
rl (t\
Ejemplo 3 Considérese ahora un sistema en el cual la relación entre la entrada y la salida es y(t) : [signo u(t)f" donde n es el número de veces que ar(r) pasa de un valor positivo a un valor cero o negativo (que llamaremos cambios) en el intervalo
Equivalenci¡
enlre
entr¡d¡s
4l
Figura lO. Una entrada y su corres¡rondiente salida para el sistema y(r) = [ signo a(t)1", donde ¿ es el número de cambios de a(f) en el intervalo [f", f].
[f",f], y signo r.r(t) es una función que vale l cuando r,r(r) es positivo y -I cuando r.r(t) es cero o negativo. La figura l0 muestra una entrada y su correspondiente salida. Un sistema físico que puede ser representado por esta relación es el mecanismo de trabe que se utiliza en algunos interruptores e inclusive en diversos tipos de bolígrafos (figura ll). Si l(r) representa la i':erza aplicada al botón y Ia salida es Ia posición del mismo, usando a convención (-/) si está afuera y (+f¡ si se halla adentro, la ::lación entre la entrada y la salida, cuando en f" el botón se encuen.:= adentro, es y(t) - [signo f(t)J^ .
f >o
!=-l Partemóvil
t= *
|
Figura ll. Sistema flsico con la relación entradasalida y(t): [signo u(t)J", donde n es el número de cambios de a(t) en el intervalo [r", r].
42
Dcfinictón
de sbtcma
y concepto
de estado
donde z es el número de veces (can:: -:ri: pasa de un valor positivo a uno negatr'. La explicación del mecanismo €S c--: en que el botón se encuentra afuera r :.¡ - . positiva, la esfera de acero, que puede -: *de la ranura, gira respecto a la leva :. sentido de las manecillas del reloi (b). S: ,, : (l(r) < 0), la esfera se aloja en la parte S- .: la parte móvil (c). De esta forma, el botór: :-, -y allí permanecerá debido a la acción del :... cación, al momento de presionar nuevam€ñi: : en la posición indicada en (d) y cuando:. girará con respecto a la leva por el lado C.:..positada en la parte inferior de esta (l). Para este sistema, dos segmentos de ent:::. si la paridad del número de cambios es i" ur(tr-) ur(tr-) es positivo, como se verá a : Considérensedos entradas arbitrarias form,:: de ¿rr",,,t y irr", r,r corl rttt, tt las salidas corr-:. po r, son y(t) : [signo r(t))" iQ) : [signo r(t)); donde ñ y ñ representan el número de cambi,. función: Ñr,".r, - ur,".r,r i
l'tr,.r¡ y
:;s!a t, f(t) :-.¡lo [r",r]. -: -' ---- instante j la fuerza ._.:i::e dentro --,n en el .:-: el botón ::teniendo - ::, inferior :' :sta colo-::a se aloja '. ---, .e fuerza, de- -:edar : :-. i €S
:
€Il
fr
froducto
-:=: enaCión
:
: - =:l OS d e
ñit.. t1 : i
respectivamente. Si se denomina mr(t) al número correspond:.: ' segmentode entrada ryt,.11,mientras queñ, y ñt, .. ,. bios de los segmentosde entrada l¡t",,,t ! 1,r".r,, i::r,: tonces se tendrá si w no tiene cambic . \7ñ.,+ mr(t) "- -- l rn, * m,(t) * 1 si ñ tiene cambio en .
- - - ---,rs del '
-
.-:
C 3III-
: - : : - : e, gn-
y de igual manera o -"
si ri'no tiene cambio .:\ /n, + m'(t) si íú tiene cambio en :, 1 ñ' m,(t) + * )
A fin de que se cumpla - [signo r(t)]n
i para cualquier r(/), es necesario que n' y ñt sean ;rr r - : :r:.'s o impares. Por otra parte, si r¿(fr -) y ü(t'- ) son de diferente s::- - .1..::e un t"t¡r,¿r gü€ hace queTñ'y ñ' tengan distinta paridad, por :i. i- =: Il€c€sario que u(t'-)ñ(t,) ) 0 para que 7 y ñ sean equira.=:.:-: en fr. Además si 7(r,-)ü(t,-) >0, Ia condición de que ñ, r' ';: :=:.:an la misma paridad es equivalente a que esa condición se cump." ::.'.re ñ, ) ñ'. En resumen u y i son equivalentes €n tr si VQ) : [signo r(t)]i
* u( t t -
I
) indica el valor de z(rr-r)
cuando e -+ 0
Equivdonctr ontru cntnd¡s
43
a) i(t'-) es del mismo signo que fr.(tr-) y b) m-, V ñ, tienen la misma paridad. En la figt¡ra 12 se ilustran las cuatro posibilidades de equivalencia cuando se aplica una entrada a partir de tú se ilustran los casos: r(tt) positiva y r(r') negativa.
tu I v"(t)
-tn lul - lr
lI
I
clase 2: rar impar, ¿(to-) ) 0
y'(r)
*'l-r ¡ t"G) lt
-rl
I
clase 3: fth par, u(tn-) < O
v'(r)
clase 4: zr impar, a(tr- ) ( 0 y'(t)
Figurr f2. Salida para f ) f, cuando se aplica al sistema una entrada que es negativa en f, y r¡na que es positiva en -f, habiéndosels aplicado anteriormente al siste ma cada uno de los diferentes tipos.
M
Dofinición
de sistema y concopto de estado De acuerdo con las condicis mostradas en la figura 13 se tú
b
qfltr
t ¡r
ar es eeuivalente d ttt' eD f- ql impar de cambios (l l' ¡ qfltGrninan un valor positivo. De manera similar tl2 es eqturz¡E-¡d ,la es eQuirzl--
r {
¿. es equiraic
¡ d
u ,(t)
r-,,,.3'tll
Flgure 13. ut es equivalen te a u' para el sistema descrito en el ejemplo 3.
entradas
n -
número con
Equivalencia entre entradas Sin embargo, !{r no es equivalente a u4 porque aunque ambos terminan .R fr €n un valor positivo, el número de cambios de ¡,¿res impar y el de an es par. Eiemplo 4 Por último, considérese un sistema con una relación entrada-salida dada por y(t) : lu(t))' Para averiguar si dos segmentos de entrada u y u son equivalentes en f -, se forman las entradas 'wr ! 1Nz wt : t t Í t ",
r or *
t f r o, r ¡
W z = it t ", r n, + , , r , , , t
con f y /¡¡0,¿¡ arbitrarios. Los valores de las salidas correspondientes !, y lz para f ) fo estarán dados por !,(t) : lr(t)f" t"(t) : lr(t)l' v como y,(t) - y,(t) para todo r, se concluye que cualesquiera dos segmentos de entradas iu",to,t ! tt1t",ro) son equivalentes. 4,2
Clasesde oquivaleneia
Es fácil verificar que la relación de equivalencia definida en 4.1 :umple con las siguientes tres propiedades: Dado un sistema S, entonces a) u' es equivalente a sí misma en cualquier fo ) fc b) si u' es equivalente a uz en ,0 entonc€S az es equivalente a ¿¿ren f0 c) si en fo, ur €s equivalente d uz ! az es eeuivalente a !lr, entonces a' es equivalente a ¿¿, De las tres propiedades señaladas es factible demostrar que el con'unto de todas las entradas definidas en un intervalo [f", fo) puede agruparse en clases, de modo que cada una esté formada por todás las :ntradas equivalentesentre sí. con base en el comentario que se hizo inmediatamente después de -a definición de equivalencia, dado un sistema, dos entradur p"it.n"."n : una misma clase si las "caracterÍsticas" de las entradas en [r", ro) :ue afectan el valor de la salida para tiempos mayores eü€ fo, son iguales. ;stas "características" pueden ser muy diferentes (como se ilustró en :s ejemplos anteriores): la integral de /,. a to, el valor máximo en el .:ttervalo de f. a fn, la paridad del número de veces que la entrada pasa :e un valo'r positivo a uno no positivo junto con el signo en /,,, etcétera. Entonces, dado un sistema, pueden identificarse (como se efectuó :r los ejemplos anteriores) las clases de equivalencia de las entradas :ara cada instante de tiempo. A su vez cada clase de equivalencia puede .jentificarse con uno o varios números reales, de tal suirte que al decir
45
6
Dcftntción
de sistcnr
y ooncepto de cotado que un sistema en fo está en la clase de equivalencia X(fo), se podrá determinar Ia salida a partir de ?o cuando se aplique cualquier entrada definida en el inten¡alo [fo, t). Asl, no es necesario conocer Ia entrad,a qre se le ha aplicado al sístema de tc d tot sino la clase de equivalencia a la caal dicha entrada Wrtenece en to.
4.2.1 Propiedadesde lae elaeesde equivaleneia Como para los sistemas causales la salida hasta un tiempo f está determinada por la entrada ¿ en el intervalo f-t", tJ, esto es !tt" . tor:
3{¿l rr" ,rr}
y como l ,l 1tc, ,t =
y ft",t) c lt", ú], entonces
U
It,, 6t *
üU o, tl
ltto, tt = .5{rrr",ro,* 4tr",o} De acuerdo con las consideraciones en secciones anteriores, para determinar y(r) cuando f ) fo, es posible reemplazar ult",fo) por cualquier elemento que pertenezca a su clase de equivalencia. Entonces para t ) to, y(t) depende de la clase de equivalencia de la entrada en fo y de uato,t, lo que se denota como yrto,tr = F{X(t"),
ütto,q}
donde X(t") es la clase de equivalencia a la cual pertenece uuc, to, De la última ecuación y haciendo t : to, puede deducirse que
y( t") : flx( t") , u( t") l lo cual significaque I la función que determinael valor de la salidaen
cualquier tiempo fo, depende únicamente de la clase de equivalencia de la éntrada aplicada hasta entonces y el valor de la entrada en fo. Volviendo a hacer referencia a los ejemplos de 4.1.1, se ilustrarán para cada caso las funciones f y F. Eiemplo 1
En este caso, cada clase de equivalencia en un tiempo arbitrario fo se caracterizaba por la ir¡tegral de la entrada desde f" hasta fo, por lo que resulta natural denominar a cada clase por el valor de dicha integral. De esta manera, si al sistema en cuestión se ha aplicado una entrada a en el intervalo lt", to) que pertenece a la clase ftr, entonces la salida que se obtendrá al aplicar un segmento de entrada ürto,tl será y(t) = O, *.[,. u(n)d.o
porque
: t',i,"r{da" y(t)=t',,u{n)d' * J,.u(o)do - k,*t',,rG)d"
-
\
I
I I
Equivdcncts
de esta forma
F{kt,uttn¡} : k, +
J'
a(") d"
y cuando t : to, se tendrá y(úo) : fÍk',u(to)) - k'. Un sistema flsico que tenía la relación entrada-salida
y(n): I" u(c)
da
consistía en un-tanque en el cual la altura del nivel de agua repnesentaba Ia salida, y el gasto g, la entrada. Para ese sistema flsico, ¿qué sig' nifipado tiene que hasta fo se ha aplicado al sistema una entrada que pertenecea la clase de equivalencia ft?. La respuesta es sencilla: significa que en to Ia altura del agua en el tanque es ft. Este resultado es inmediato cuando se observa que la salida en el instante fo eS
/(fo) = l', u(o)dn= k entonces,en cualquier momento f basta conocer la altura del agua en el tanque para determinar la clase de equivalencia de la entrada aplicada al sistema desde tc a t. Conociendo dicha clase y la entrada que se le aplicará al sistema, puede determinarse la salida futura mediante la función F. Eiemplo 2 En é1, las clases de equivalencia de las entradas se caracterizaban por el valor máximo de éstas desde tc z to. Cada clase puede ser identificada por dicho valor. De acuerdo con esa nomenclatura, es factible establecer la función F para el sistema en consideración. Conforme al desarrollo del cjemplo, si al sistema se le ha aplicado hasta fo ün& entrada que pertenece a la clase de equivalencia fc, entonces la salida en un instante f ) fo cuando se aplica después de úo d segmento de entrada tt$o,tr cuyo valor máximo es p, estará dada por
y(')={r:lft"f y(r)=
*fI tft,¿(o)l
o sea que el valor de la salida es igual al mayor de k ó máx u(o) ,Éo<, asl que F{k,u¡¡n,,r}= tft,u(o)) ** y cuando t = ta, entonces
/ ( ro ) = fl k,u (t,)J: má xfk,u( t") J
cntrrc cntndn
in
48
Dofinición
de sistoma y conccPto de estado El sistema físico presentado en. la figura 9 tiene la relación entrada' salida
u(') v(t) = y=15
cuando se identifica a V(t\ como la entrada y v,(t) como la salida' En dicho sistema, la clase de equivalencia en tt a la cual pertenece un segmento de entrada u1t",rr),es igual al valor del voltaje de la capacitancia en fr y, en cualquier instante, basta medir el voltaje %(f ) para establecer la clase de equivalencia de la entrada aplicada hasta entonces; por tanto, podrá determinarse la salida futura cuando se conozca la entrada que se aplicará a partir de f'. Ejemplo 3 Considérese ahora el sistema del ejemplo 3, en el cual se tenían cuatro clases de equivalencia en f' formadas por: entradas en entradas en entradas en entradas en
que que que que
fth ES par y lflt €s impar nrh es par y /7h ES impar
a(t'-) > y a(t'-) a(¿'-) ( y ¿¿(f'-)
0 > 0 0 < 0
Si las clases anteriores se denotan como 1,2,3 y 4 respectivamente, entonces X(¡") podrá tener únicamente estos valores. Así, con dicha nomenclatura, puede establecersela función F(X(fo), uuo,n\. Si m"(t) refresenta el número de veces QtJaü1t0,¿r Pdsá de un valor positivo a uno no positivo, entonces (figura 12)
: {[:i:il;l;]];::i.':l ;[l]:: F{t, uv^,,, : {[:l:::;[:]il::].,:i ;[l] :: F{2, u¡,.,,,r F{3, ulto.¿r} - [signo u(t)f*'rtt F{-4, u1to,¿r}- [signo u(t)f*'ttt't y como m,(t) es cero y cuando se tiene t: to, /(fo)': flx(t"),u(ü)l igualdades: las siguientes obtienen se irro o.tr."n cambios), flt, u(t")) :
flL, u( t,) l :
signo ¿¿(ro)
I
Í13, u(to)) : 1 fl4, u(t,)f = signo u(t")Debido a que en cualquier instante ru, la localización relativa de la esfera .or, ,"rp".to a la leva, junto con la entrada que se aplique a partir de entonces, determinarán la salida para valores-de f ) fo, €s Posible establecer una correspondencia biunívoca entre dichas posicioneg y las clases de equivalencia identificadas (figura 14)'
El concepto de cst¡do
41,
clase 2 clase I clase 3 clase 4 Figur¡ 14. Relación entre las posiciones relativas de la esfera y las clases de equivalencia del ejemplo 3.
5.
El eoncepto de estado
La definición de clase de equivalencia se circunscribió a sistemas causales; en dicho caso, las clases de equivalencia de las entradas se denominan comúnmente estados del sístema. Ahora bien, de acuerdo con las definiciones anteriores, se puede escribir la siguiente relación ltto, n:
F{X(fo), uno,n}
o sea que el valor de la salida en un instante t ) to depende únicamente del estado en que se encuentra el sistema en el tiempo fo y la entrada en el intervalo [ro, r]; además
y(tu ): fl x(t" ),u (t,) f Esta última ecuación, como ya se dijo, significa que el valor de la salida en cualquier tiempo fo depende únicamente del estado y el valor de la entrada en ese instante. Debido a que los estados o las clases de equivalencias de las entradas,tienen un significado físico preciso, resulta natural preguntar cómo evolucionan éstos, o sea que dado un sistema en un estadó Xeo), ¿en qué estado estará el sistema en un tiempo fr ) fo cuando se aplica un segmento de u¡¡0,tr¡? Lo anterior tiene importancia porque a través de la función f se podrá determinar el valor de la salida cuando se conocen en un instante el estado y el valor de Ia entrada. Ya que lr t o, t 1 = F{ X( t . ) , ü1t o,
t,t *
¡r,,,, ,r}
el estado en fr de un sistema, que se halla en el estado x(t,) y se le aplica el segmento de entrada u¡ro,r,r, €Stá bien definido, pues corresponde a la clase de equivalencia de la entrada formada poi la concatenación de cualquier elemento que pertenece a X(t,) con arro,r,r. Enton_ ces existe una función { que relaciona el estado de un sistema en un instante con el estado del sistema en otro posterior cuando se le aplica un segmento de entrada entre estos dos tiempos. Dicha función iiene
50
llcflnlctón
dc gicbn¡
y coroepto dc esredo
como argumentos er tiempo finar. (r'), er segmento de entrada (a), er estado inicial(x(r,))y el tiempo iiritiai (r"1. i"o ¡";1;. se utilizará Ia nomenclatura: g{h, u, x(úo), to} 5.1 l.oy de cvolución de eetados Para cada uno de los ejemplos tratados anteriormente es posible describir en forma explícita tly, "rü a) En el ejemplo l, como la salida (el nivel de agua del tanque) era igual al estado, entonces Ia ley de transición es
x(rr) - 6(tr,u,k,to)=ft * E)
l," r(")0"
I"q el ejemplo2, como tambiénla saridaes iguar ar estado,la función ó es: X(r') = g(h,u,c,fo)=,p* tr, u(")J
c) En el.ejemplo3 el estadodel sistemano es igual a la salida.La fun¡i{¡r f puede darse en forma tabular como a continuación se indica: ENTRADA Cambiosde a¡ro,rrr signo de a(fo) signo de u(tr-)
ESTADO INICTAL I 2 3 4
asÍ, si el estado €D f = 0 es 3, y la entrada que se aplica es ¿¿(r)- f - I y el tiempofinal es, = 6,e1 estadoallí serái, o r"" X (6 ) = I = f (ó , r - 1 , 3 , 0 ) porque el segmento de entrada no tiene ningún cambio de un valor positivo a uno no positivo, y además u (6 -)> 0 y a (0 )< 0 La ley dc evolución de estados,ú, cumple con Ia propiedad x(t") = ! {t", u, X(to), tol =,b {tz,u, ó ft,, u,-X(ti, l"l, lr} p"ri a' el intervalo fto,t"). ""}fqrri", "i
El coneepto
de estado
5l
La relación anterior significa que si un sistema se encuentra en un estado X(t,o), y se le aplica una entrada uúo,tzt,el estado en el tiempo /" se determina unívocamente. Sin embargo, dicha evolución puede considerarse de otra forma equivalente, debido a la propiedad de unicidad del sistema: se toma un tiempo arbitrario fr eue pertenece al intervalo (to,tr) y se considera la evolución del estado en dos etapas: de fo a fr y de f' a /, (figura 15).
Xt
$lt',u,X(/"),f"]
X(tr) : {ltr,u, X(f,), f,l = - gftr,u,{lt',u,X(to), fo], f'] \r.-
x(to)
Figura 15. Esquema de la evolución de estados.
La ley de evolución de estados, junto con la función f que relaciona el estado y el valor de la entrada en un instante con el valor de la salida allí, forman una descripción equivalente a la original de enrrada-salida cuando el sistema es causal. La ventaja que se obtiene con esta nueva descripción es que dado el sistema, es posible determinar la salida a partir de cualquier instante, si se conocen el estado en que se encuentra y el segmento de entrada que se aplicará a partir de entonces. En la figura 1ó se muestran las diferentes descripciones de un sistema: Se parte de una descripción entrada-salida (i). Con la propiedad de causalidad se puede representar el sistema mediante una relación entrada-salida entre segmentos de funciones (ii). Cuando se introduce la definición de estado, es factible describir el sistema mediante una función que relaciona el estado y un segmento de entrada con un segmento de salida (iii). Por último, con la ley de evolución de estados, se describe el sistema a través de dos funciones: una que determina el estado' final a partir del estado inicial y un segmento de entrada, y otra que determina el valor de Ia salida en el tiempo final, a partir del estado final y el valor final de la entrada.
12
Definición
de sistema y corrcepto de estado
i)
!¡t",at
',,",-,-*|T-F + Propiedad de causalidad
ii)
,,,",,, -*l-Ff--* /,,".,, + Definición de cstado
iii ) ü1t,,t1 =
I,l .Itc,tot*
t¿tto,t!
ttto,tl
x(&,) + Leyde kansiciónde estados
iv) 4 1 t,,t7 =. l l tt.,tot j
|,t1tn.t,¡*
urt.tl
v ( t) Figura 16. Cuatro maneras de describir un sistema v sus interrelaciones.
x( f.)
CAPITULO
Clasificaciónde sistemas dinámicos l.
fntrodueeión
Los sistemas dinámicos, o sea aquellos que son causales y determirrísticos, pueden clasificarse de acuerdo con varios criterios: número de estados, linealidad de la relación entrada-salida, invariancia con el tiempo de la relación entrada-salida, etcétera. En este capítulo se establecerán dichas clasificaciones las cuales serán ilustradas con ejemplos. 2.
Clasificación de acuerdo con el número de estados
La primera clasificación se hará de acuerdo con el número de estados diferentes en que se puede encontrar el sistema, o sea conforme al número de clases de equivalencia de segmentos de entradas; así es factible distinguir los siguientes tipos de sistemas: a) Si sólo hay una clase de equivalencia, o sea que todos los segmentos de entrada son equivalentes, el sistema es olgebraico. ó) Si el número de clases de equivalencia es finito, se dice que el sistema es un autómata finito. c) Si el número de clases de equivalencia es infinito pero numerable (esto es, que existe una correspondencia uno a uno entre las clases de equivalenciay los números naturales l, 2, 3 ... ), el sistema es un autóntata infinito. d) Si existe un número infinito no, numerable de clases de equivalencia, pero se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los números reales y las clases de equivalencia, entonces se dice que el sistema es de parántetros concentrados. e) Si existe un número infinito no numerable y además no es posible establecer una correspondencia biunívclca entre los números reales y las clases de equivalencia, el sistema es de Wrdmetros distribuídos. A continuación se desglosarán las definiciones anteriores y cada caso se ilustrará con un ejemplo. 2,1
Sistemas al¡;ebraicos
Si para cualquier instante de tiempo, /, todas las entradas pertcnecen a la misma clase, el estado es único y el sistema cs algebraico. Ejemplo Considéreseuna báscula ideal cuya entrada es la función dcl tiempo que represcnta cl peso que sc cc¡locacn clla, y la salida sc toma como
53
-
il
Clasificación
de sistemaa dinómicos
la función del tiempo que representa la desviación de la aguja indicadora del peso. En dicho sistema, el valor de la salida en el tiempo h depende únicamente del valor de la entrada en /r ] es independiente del peso de los cuerpos que se hayan colocado sobre la báscula anteriormente. Por esta razón, a los sistemas algebraicos también se les denomina amnésicos. En el ejemplo 4 de la sección 4.I.1, capítulo 2, se presentó un sistema cuya relación entrada-salida era: y(t) : lu(t\l y como se demostró que todas las entradas pertenecen a la misma clase de equivalencia, el sistema es algebraico.
2,2
Autómata finito
Si para cualquier tiempo f el número de clases de equivalencia de las entradas es finito, se dice que el sistema es un autómata finíto. En el ejemplo 3 de la sección 4.1.1, capitulo 2, se presentó un sistema que tenia cuatro estados diferentes; por lo tanto, es un autómata finito.
2.3
Autórrata infinito
Los autómatas infinitos son aquellos sistemas en los cuales se puede establecer una relación biunívo,ca entre las clases de equivalencia y los números naturales; por ejemplo, considérese el sistema creado en f" : 0 cuya relación entrada-salida es 0 ( t,
2 sfu(k)l v ( t \ : k=0 donde la función g está definida como g(o) : mayor número entero menor o igual a a; de esta manera, el valor de la salida del sistema en un tiempo f es igual a Ia suma de los valores enteros elu(0)1, glu(l)1, . . ., glu(N)], donde r>N>t-1. No es difícil verificar que dos entradas, r,h ! uz, pertenecen a la misma clase de equivalencia en fo, si y sólo si s ( tol
]eta'(e)l
g( to)
= 3 g lu , ( k ) J
Pero como Slur(k)l es un número entero y la suma de éstos también lo es, a cada clase de equivalencia se le puede hacer corresponder un número entero y viceversa, de tal manera que a dos clases de equivalencia diferentes les corresponden dos números distintos, por lo que el sistema es un autómata infinito.
Ix Clasifieación de aeuerdo con el número de estados 55 2.4 Sistemas de parámetros concentrados Cuando existe una correspondencia biunívoca entre las clases de =quivalencia de las entradas para t ) f" y la línea real (todos los nú:reros reales), entonces se dice que el sistema es de parámetros con: ¿ntrados. En los ejemplos 1 y 2 del capítulo 2, sección 4.1.1,se presentaron dos sistemas de pardmetros concentrados, porque en ellos se podía hacer ;orresponder a cada clase de equivalencia un número real, y viceversa. Sin embargo, como es factible establecer una correspondencia biunívoca entre los números reales y los vectores de n dimensiones cuyos componentes son reales, se puede, en un sistema de parámetros concentrados, definir una correspondencia biunívoca entre las clases de equivalencia v un vector de n dimensiones con componentes reales. Cuando la selección de zr se hace de tal modo que sea el número más pequeño con el cual la Ley de transición de estados es una función continua, el sistema de parámetros concentrados es de dimensión n. A continuación se presentará un ejemplo de un sistema de parámetros concentrados, de dos dimensiones. E jemplo Considérese el sistema esquematizado en la figura I el cual consiste en una masa que se desliza sin fricción sobre una superficie.
tuetzau(t)
Figura l. Sistema dimensiones.
En /,, la masa está en reposo (velocidad cero) y la posición inicial es / - 0. Cuando se considera la fuerza ¿rcomo la entrada y la posición de la masa como la salida, la relación entrada-salida está dada por
: t',l'," ,g',
u (o ) d o d,
cuando M:
l.
Si se divide el segundo intervalo de integración en dos partes, de tc íL to y de /, a f, se tendrá
y(t): I',""1',"u6 dod¡* f',"f',"u{") d."d, v si a continuación se divide el primer intervalo de integración del segundo término en dos partes, de l, a /,, y de t, ? t, se tendrá
ye): l',""1',. u(o)doO,*
d"d,+ l,"f'," u(,,) do d, f',"!,',"rf"¡
de dos
fi
(X¡¡lflc¡ción
de gl¡temss
dinárnicog
pero, como la derivada de y con. respecto al tiempo (f),
q.r"
\r¿¿ '
velocidad (rr) de la masa, está dada por
",
tu
v(t) - 9 yO -- Jt" l' u6)dn dt' y observandoque el primer término de la expresióny(r) es /(fo) y el t,
segundo es I u(r") dr, se-, concluye que ,t to
y(t): /(r")+ dod, J,."rnl,t . f;J; u@) Llevando a cabo la integral del segundo término, se obtiene
y(t) :y(r") + (t-t")u(ro)* f' f' uG)d, d, .J to rl to De la expresión anterior se puede concluir que dos entradas, ü y f,, son equivalentes en fo, si y sólo si las salidas correspondientes 7(f) y iG) junto con sus derivadas son iguales en f : to, la que para que se satisfaga la igualdad
i@ - y(t) - jtt,> - f(r") + (r-ro) i(r") - (r-ro) i(ro) = 0 para cualquier f ) fo es necesario y suficiente que y (t , ) : l(t " ) dn .
( t' ) = d ú . Ví i¡ ( ti. De esta manera, para especificar la clase a la cual pertenece una
entrada,bastacon determinardos númerosrealesy(r.) y
fr{r"). ""ro es,dos segmentosde entradas(fuerzas)son equivalentesen fo,si tanto la posición como la velocidad de la masa en t" debidas a ellas son iguales; por tanto, el sistema es de dos dimensiones porque cada estado se identifica por dos números reales. Sin embargo, puede hacerse una identificación distinta de los estados: asl por ejemplo, si se especifican dos números reales, wr(to) y w2(to), que están biunívocamente relacionados con y(ro) V
!¡O
mediante
: 3y(ro) w,(ro) +fl ft,> w,(t"):y(ro) - O#rr", dos entradas pertenecen a la misma clase cuando los valores de w'(fo) y wr(to) que producen son iguales; por tanto, la representación del estado no es única.
Sietemas lineales. Sistemas invariables
eon el rlcm¡n
l7
2.1 Sistemas de parómetros distribuidoe Son aquellos en los cuales a cada estado le corresponde un segmento (o segmentos) de función y viceversa. Por ejemplo, considérese el sistema esquematizado de la figura 2 que consiste en una banda transportadora en la cual se deposita arena mediante una tolva colocada a una distancia * del extremo de la banda, la que se mueve con velocidad v en el sentido de las manecillas del reloj.
Tolva
Ftgur¡ 2. Sistema de parámet¡os distribuidos.
Si se considera como entrada la función del tiempo que representa el gasto de arena en la boquilla de Ia tolva, y la salida el gasto en el extremo derecho de la banda, la relación entrada-salida del sistema en cuestión es
="('- +) y(t) porque el gasto en el extremo en un instante es igual al gasto a la salida de tolva .r/u segundos antes. Un sistema que tiene una relación entrada-salida de la forma y(f)=u(t-T) se denomina retraso de T unidades, y para determinar cuándo dos entradas son equivalentes, se puede proceder asl: Se toma un tiempo arbitrario fo, ] al observar que y(t) en el intervalo [fo, fo + T] es una réplica desplazada de la entrada a(r) en Ito - T, fo], entonces dos entradas serán equivalentes en fo rlnicamente si coinciden en este último intervalo (Fig. 3), por tanto, se requiere del segrtento ,tud-r, tor para especificar la clase de equivalencia de la en.trada. 3.
Siet€maE üneales. Sistemas invariables con el tiompo
En este libro se estudiarán con particular énfasis los sistemas en los cuales la ley de evolución de los estados se representa por üDB €cü8:. ción diferencial vectorial de primer orden y de la forma
#r*rrr:
i(r) - flx(r),u(r),rl
58
Clasifieaeión
de sistemas dinámicos
Figur¡ 3. Las entradas t¿r Y u2 paÍa el sistema Y ( t) = u (t-T ) pertenecen a la misma clase de equivalencia en ú0, porque coinciden en el intervalo lto - T, toJ.
donde u es la entrada y x es el vector de n componentes reales que r"epresentael estado del sistema en el tiempo f. Para estos sistemas la salida y(t) se da mediante una ecuación de la forma y(t) : s[x(r), u(r), t] Estos sistemas son dinárhicos, de parámetros concentrados y de n di' mensiones, que por brevedad se denominan "sistemas de n dimensiones". Existen dos propiedades adicionales cuya presencia hace que eI análisis de un sistema sea particularmente elegante y sencillo: linealidad e invariancia con el tiempo. Los modelos lineales e invariables con el tiempo no sólo son importantes por representar una extensa clase de sistemas, sino además por el hecho de que bajo ciertas restricciones muchos otros sistemas físicos pueden aproximarse por dichos modelos. En esta sección se supondrá que el estado se representa por un número finito (o infinito) de números reales y se hará referencia a las propiedades de linealidad e invariancia de las r,epresentacionesy no de los sistemas mismos, porque como se comentó anteriormente, la representación del estado de un sistema no es única. Sin embargo, en algunas ocasiones se hablará, por abuso del lenguaje, de un "sistema lineal" o de uno "invariable con el tiempo", queriendo realmente decir "representación lineal de un sistema" o "representación invariable de un sistema". 3.1
Linealidad
Se dice que la representación de un sistema dinámico es lineal si para cualquiir fo > ¿", todas las entradas üt ! a, definidas en [fu, f], iodos los éstados x,(fu) Y x,(t,,) y cualquier número real k se cumple que (figura 4) kF {xr(¡,,),a,rr0,,1 } a kF {xr(t,'), Ltz¡t 011}: - F{k[x,(¿u) + *,(¿,,)f, k(u, * u")uolt\ Se pueden deducir algunas propiedades interesantes a partir de la definición anterior que ayudarán a comprender mejor el concepto de representación lineal de un sistema. Una primera propiedad dice que la respuesta de un sistema lineal es la suma de dos iartes: una debida al estado inicial x(t") y la otra a la
Sistemas linoales.
Sistemas invariablee
eon el tiempo
59
Figura 4. Condiciones pÍ¡ra linealidad de r¡n sistema.
entrada u. Para deducir esta propiedad basta hacer en la ecuación de la definic ión k: l, xr(lo) :O, ur:0, Itr- ü,! x'(fn): x(fo), con lo que rcsulta: q): F[x(lo),0] + r[o, urto,n) F[x(ro), u1to. Los dos términos a la derecha de esta ecuación corresponden, respectivamente, a la solución homogénea y a la solución particular encontradas al resclver ecuaciones diferenciales lineales. Una segunda propiedad que se puede deducir de la definición de linealidad es que FlO, ur * u,f = FfO, u,7 + FlO, u,)
v
F[x,(ro) a x,(ro),0] : F[x,(ro), 0] + F[x,(to),0]
Estas indican que la salida debida a la suma de dos entradas, cuando el estado inicial es cero, es igual a la suma de las salidas debidas a cada una de las entradas y, además, que la salida que se obtiene con la suma de dos estados iniciales y entrada nula es igual a la suma de las salidas debidas a cada estado inicial por separado. Esta propiedad se llama superposición o aditividad. Por último, a partir de la definición fundamental, se obtienen las siguientes propiedades: FlO, ku') = kFlO, u')
v
F[ftx(to),0] : frFlx(fo), 0l
que equivale a afirmar que si el estado inicial es cero, entonces al multi plicar la entrada por un escalar ft se obtiene /
F[ O , a¡ t r o, r l] i
i :
1,2, ...
ftl
60
Claslficación de sistemas dinómicos y además se conocen las salidas debidas a r2 condiciones iniciales xr(fo), xr(to), .. . x"(ro) cuando la entrada es cero¡ esto es : F[x¿(fo),0]; i : 1,2, ... fl ?ir"o,t1 Si se cuenta con una entrada u y un estado inicial x(t") arbitrarios, ¿puede entonces conocerse, a partir de las yitto,¡ y las ziuo,¿1,la respuesta del sistema cuando a es la entrada y x(to) el estado inicial? Es decir, se desea conocer ltto t1 :
F[x(fo),
u¡to, n)
La respuesta es afirmativa si se puede expresar ¿¿como una combinación lineal de las ui, y x(to) como una combinación lineal de los x¡(fo), es decir, si se pueden encontrar a¿ y É¿ tales que
u : 3, o,u, i=1. n
x(fo)
:
), /3ixi(fn)
Si éste es el caso, entonces, utilizando las propiedades de linealidad de la representación se tendrá naa
!tt,
t' 1:
F[x(fo), ürto,¡) :
F[> p, x¡(t,),2
ot ui f =
i =r m
n
: ) Ét F[x¡(r"),0] I =1.
*
) o¡ F[O, airro,r¡] : i:r
nnt
3.2
=2Btz¡
*2aiy¡
i =1
l =l
Invariancia con el tiempo
Algunos sistemas tienen la característica de que los análisis que se efectúan en un tiempo determinado son válidos para cualquier otro tiempo, es decir, sus propiedades son invariables con traslaciones en el tiempo. Ejemplo: Considérese un sistema que en el tiempo t = 0 se halla en el estado xo, y que al aplicársele la entrada z produce la salida y (figura 5).
fir¡u 5. Salida y de un sistema producida por una entrada ü.
xn
.
Sietemas üneale6. Sistemas invariables
con el tiempo
ól
Por otra parte, si en el tiempo t --T, el sistemase halla en el estado xo, y se le aplica la entrada ñ(t) : u(t-T) se produce la salida /r. Si la relación entre las salidas es tal que y(t-T) - y,(t) (figura ó), se dice que el sistemaes intariable con el tiempo.
Fi¡ura 6. Efecto producido en la salida al retrasar la entrada.
Para introducir formalmente el concepto invariancia conviene dar la definición de retraso. Un sistema Rr (retraso) es aquel en el cual la relación entradasalida es y(t) -- u(t - I) = R¡[a(r)] (ejemplo de la sección 2.5). La representación de un sistema es invariable an el tiempo cuando !1to,t7 = F{xo, aruo,l¡}
implica ltto-t,o-rt = Rt{ /tro,r¡ } = F(xo, Rr(¿tro,u )}
Esto es, la salida retrasada es idéntica a la que se obtiene con la entrada ¡etrasada (fig. 7).
ry:P Ejcmploz Tómese por caso un resorte, de constante de elasticidad lc, y supóng¡rs€ que la entrada es la función del tiempo que nepresenta la fuirza eplicada al mismo y la salida es la función del tiempo que representa elongación.si el resorte es invariable con el tiempo, cada vez que se L- aplica una fuerza fo se alargará una distancia ¡, independientemente del instante en que se aplique la fuerza, asl que
y"=+
Figure ?. Sistema invariable.
62
Claeificación
de siglemas dinómicos
Sin embargo, si se toma un resorte hecho de un material sintético que envejece y que por ello cambia de características (por ejemplo, su elasticidad es k : lcoe-t) no será invariable con el tiempo, Porque una fuerza de magnitud l" aplicada en f : 0 producirá un desplaza' miento:
Yo:6
\
h
pero cuando otra fuerza de la misma magnitud se aplica €rl f : 25, el desplazamiento será
I
l
1r ^=-
Ío k n{25
que es diferente al caso anterior. 4.
Sistemas continuos y sistemas discretos
Hasta ahora se ha considerado que la variable t puede tener cualquier valor real y cuando éste es el caso, se dice que el sistema es contütuo. Sin embargo, existe otro tipo de sistemas para los cuales el modelo que los representa admite que la variable f tome únicamente valores discretos,por ejemplo: {0, 1,2, ... n, ...} o bien (1.25,2.50, 3.75, ...). En este caso, se dice que el sistema (o más correctamente, su modelo) es discreto. Como ejemplo del último caso considérese que en un banco se deposita el primero de enero un capital G. Supóngase además que dicha institución paga intereses el día último de cada mes con una tasa f sobre el capital total acumulado hasta la fecha y que éstos pasan a formar parte del capital. Si se llama 0 al mes de enero d,e 1977, y 1 al de febrero, etcétera, la ecuación que determina el capital al principio del ftésimo mes es
c( k) = ( l+t) c( k- 1)
esto es, el capital en un mes determinado es igual a (l+i) vecesel del mes anterior. Como se mencionó al comienzo de la sección 3, los sistemas dinámicos que serán objeto de estudio en este texto, tienen la siguiente estructura:
i1 r¡ : f [ x (r), u (l), l] y (t ) : g [ * (¿ ),u (¡), ¡] donde x represcnta el estado, u la entrada Y y la salida. En cuanto la estructura correspondiente de los sistemas discretos, ésta es x( r*r,) :
f [x( tr,),u( tr) , kf
y(r*) : g[x(rk), u(tr), k1
I ; I
\
Si el sistema dinámico es lineal, cada una de dichas estructuras toma la forma
Sistemas eontit¡uos
ilr¡ : A (l)x(r) + B (r)u(r) y(r) : C(r)x(r) + D(f )u (f ) dondeA(r), B(t), C(l) y D(r) son matricesy x(rr*,) : F(rk)x(,rk) + G(Í&)u(fk) y(rr) : H(tr)x(rr) + J(re)u(r*) en las que a su vez F(fr), G(r*), H(fr), J(t*) también son matrices. Finalmente,si ademásde la propiedad de linealidad se añade la de invariancia, se obtienen las siguientesestructuras: ilr¡:A *(t)+B u(r) y(t):Cx(t)*Du(¿) x(fr*,) : Fx(f&)a Gu(fr) y(fr)=Hx(rr)+Ju(a) en donde cada una de las matrices es constante. 5.
Sistemas dinámicos
de parómetros
concentrados
Aquí se verá que los sistemas continuos, en los cuales la entrada z(r) y la salida y(r) cumplen la relación dada por la ecuación diferencial*
y("r(t) - hly<"-rt(¡), yru"tTt¡, . . . y(t),u(t), tl
(l)
admiten una representación mediante las ecuaciones
i l r¡ : f[x(r),u (t),tf y(t) : g [*(l ), u (t), tl
(2a\ (2b)
donde x(r) es un vector de n componentes, que bajo las suposiciones de determinismo y causalidad del sistema, representará el estado en el tiempo t. De esta manera, estos sistemas son dinámicos, continuos y de dimensión n. En forma similar, es posible demostrar que los sistemas en que fa entrada u(k) y la salida y(ft) cumplen con lá ecuación de diferencias
y ( k + n ) = h l y(k+n -1 ), y(k*n -2 ), ... y( k) , u( k) , kl puedendescribirsetambién mediante: x(ft* l) = f[x(& ), u(k), k ] t(k): g[*(ft), u(k), k ]
* Lanotació y@r(t) ,nOr"u ^ ry#!.
( 3)
y sietemae discFotos
6¡l
&
Clssificlci.in
dc elgtcn¡s
dinó'hicoa
donde x(ft) es un vector de ¿ dimensionesque nepresentael estado del sistema en el tiempo ft. Por esta razón estos sistemas son dinámicos y discretos de dimensión n. Considérense los sistemas cpntinuos. Primero se verá que es posible escoger h, la iésima componente del vector x, de tal manera que la ecuación I sea equivalente a las ecuaciones2. En efecto, si se definen n (t ) = y (t )
r,(t): r(,)(r) : x"(t) - rt*tr(t) entonces, de la ecuación I se obtiene ,t"t(t) : hlx"(t), xn (t), "'
xr(t), u(t), tl
Además
i, ( t ) : ] e ) : x , ( t \ :.rtzt(t):
i"(ü
¡.(f)
i,- ' ( t) : x,( t) i"(t) : ,t"t(t) -- hlx"(t),x,-,(t),. . . x,(t),u(t), tl y la relación entre la salida y los estados es simplemente
Y (t ) : x , (t ), por lo que la ecuación I tiene una representacrónde la forma de las ecuaciones2. También, si a
X t:
Íz
a X z:
Ís
(4) a *n-l
*n
-
tx, !:
:
hÍ-xr, xn-r¡ " ' u, tl N'
implica que u y y satisfacen la ecuación l, la cual se logra eliminando las variables r¡; en efecto
Sistem¡s contlnuos y slebmae dl¡cretos l=xt aa
t:Ít:x z a
t:tz=xs : y ( r t - l| - ir ¡ = t ,
y(or= i, = hlxr, frrt,... h,r,tl reemplazandolas variables rr de las 11anteriores, en la última ecuación se obtiene y (" ) = h l y t* -rt,y tu " t,...
!,U ,t)
o sea, la ecuación l. En conclusión, las ecuaciones I y 4 son equivalentes,esto es, cualquier par {u(t), y(r)} que satisfagala ecuación l, debe hacerlo con las ecuaciones4, y viceversa. Para que el sistema en cuestión sea dinámico, basta suponer que la función ft es de tal naturaleza que dada cualquier entrada tttt,, ¡ ! cualquier conjunto de n parámetros (ar,az,...,h), solamenteexiste una función yrú",r¡ que satisface la ecuación diferencial en el intervalo ft", t) y que, además,cumple con las condiciones y(t") : a,
jg) = a, : y(n_D(tc) __ ar
Así pues, para describir completamente el sistema dinámico, es necesario, además de especificar la ecuación diferencial, suministrar los parámetrosdr, ... a* No es diflcil comprobar que las condiciones anteriores implican que el sistema,además de ser determinístico,es causal; entonces,es posible definir las clases de equivalencia entre entradas. A continuación se verá cómo existe una relación biunlvoca entre estas clases en fo y el vector x(to), demostrandoasl que éste puede representarel estado del sistema. Antes de continuar, conviene hacer unas consideracionespreliminares a fin de facilitar la demostración: Integrando n veces la ecuación l, se obtiene que si a una entrada a le correspondela salida /, ésta debe satisfacerlas ecuaciones
6l
6
Cl¡eificación de slstemas dinámicos
,rru (f
)
y (n " r(t)
:fi. =J:"
hfy<"-tt(gr), . . .}'(or), u(or), otl dot * a, fot
{hltG')(',),
¡,.
.. . y(",)u(n,)l dn, * a,l do, * an-,
:
v(t)
: J:" J;
. . . { h ly ' * " ( o , ).,. . y ( , , ) , u ( o , ) ,o d ,i a*, J, , * a"\ dn, ...
+ q.2|don * a,
si el intervalo de integración a la derecha de la última ecuación se divide de f" a fo y de to a t y se procede de manera similar como se hizo en el ejemplo de la sección 2.4, utilizando las ecuaciones anteriores se logra el siguiente resultado:
y(t) :
ft
lor
J,.J,,
*.
...
fo.
J,"
h ly @t t (o , ),. . . y (n , ), u (o , ), o , )d o , do , . . d . on
(;'-t",t'rr*r(ro) (j,, * (n_z¡r + ...y(r") 1*' ,,,-zt(to) (n_t)t. (5)
Ahora bien, supóngase que se desea encontrar bajo qué condiciones . dos entr-adas,i¡t",a ! íí¡r,,€1,pertenecen a la mismatt"r" a" equivalencia en el tiempo to. Para ello deben formarse dos entradas lt¡t,,tl :
fr1t".tol *
rrro,r,
6¡t",tt :
ñ¡r".ro,l
rrro,r,
Con l'¡ro, arbitraria. -r De acuerdo con la definición, u y ñ son equivalentes si /r0,, y jrto,r, las salidas asociadas a d y 6, respéctirra-"rrte, son iguales. Conforme la ecuación 5, se tendrá que lc
j-(t) J,.' .' ( f - f ^ ) *'
l ot
l,,,r lr - - "( o,) ,
+, +Í,*',(ro) (n -r)t '
... iG) ,,( o,) , o,l do,dn"... d,o
( ¡ - t o \ u '- .
yt"-z>(to) + #_ + ... I(r") (n -¿ )t ' (ó)
y también i(t) :
It
J,.
.. .
fo,
l, " O f rr" -' )(r, ),
. . . y (" , ), , (o r), o , f d c , d o " , ,. d o ,
tll1' +' 9'-t",t'y'-'(ro) * !i, + ... y(r") ( n- t) t' ( n- z) t r,,-zt(to) e)
Si¡temae eontinuos y aletemas dlecretog Si se impone la condición de que y-(f) : iG), para t ) fo las integrales en las dos ecuaciones anteriorés son iguáles'pórq,r" en el intervalo de integración [/o, f] se cumple que ó'(r)=;(f)=¡(1)
,(t) - T,G) pues, si se restan las ecuaciones6 y z se obtiene que para -Asl toda r debe cumplirse la igualdad
o=
(l-o]ir * (n-r). ry<*u(ro)-¡r*,r(ro)J ( t _t o) " 4
6
__.
¡¡t" -zr(ro )--t*'r(ro+)I ... ti( r ") - í( r ") l
lo que es equivalentea las siguientesz condiciones: /(t,) -- i(t") t-trr(fo ) = i r' )(ro )
y-,*t,( ro) _ iti-1) (to,
con lo cual se demuestra que la clase de equivalencia en fo de una entrada queda especificadamediante los valores de la salida y sus n-l primeras derivadas en el instante fo. Ahora bien, como para obtener la representación de la ecuación l mediantelas ecuaciones4 se hizo Ia ideniificación x,(t) : y(t) xt(t) : y(,'r(t); para d :2 , . . . n se concluye que el vector x(r), representael estado del sistema en el tiempo t. Para los sistemas descritos por la ecuación 3, puede hacerse un razonamientosimilar al empleado para los sistema-scontinuos. Cuando Ia función ft es de h lorma h l y ti- !t( ¡ ) ,y,* t(t), . . . y(t),u(t),tl = a"- ,( t) r t"- r t(t)* a*,(t)rt*zt(t) + ... a , , (t )y (t ) + b (t )u (t ) la representacióndel sistema en variables de estado puede estructu=rse como i(r) = A (l)x(r) + b(t)u(t ) y(t) = c(r)x(r) lo que se verá a continuación:
z
67
68
CX¡stfbrción de sl6t€mü din¡imicos
De las ecuaciones4, para el caso particular considerado,
i,(r) = ¡,11¡ i,(r) = ¡,(r) :
i *,(t):
*"( f)
á (l ) = a*,( t) x,( t)¡ a,- ,( t) x,- ,( r*) ... a,( t) r ,( t)+ b( t\u ( t) /(t) : ¡ ,( r ) o en forma matricial
t0
I
o
0
lo
li^-,(t)l lo
o
o
l i ,(r)l
li,(r)l tl t' l l =l ' ttl .
Li"tr) J
1
la.(t) a,(t) a,(t)
y (t ) : [
I 0
1,,, 1,,,1 ffi].L .ri:l]
Cuando los coeficientes a¿ y b son constantes, las matrices A, b y también lo son y se obtiene un sistema lineal e invariable con el tiempo" como será demostrado en capítulos pc,steriores. A lo largo de este capítulo se ha considerado que tanto las entradas como las salidas son escalares, debido a la facilidad de exposición. Todos los argumentos que se han presentado para el caso escalar pueden e{tenderse, sin ninguna dificultad, al caso vectorial; esto es, cuando la entrada y la salida (o ambos) son funciones vectoriales del tiempo.
I
Il;
L
CAPITULO
Modelado de sistemas l.
Introdueeión
En el capítulo anterior se definieron los sistemas dinámicos y se introdujeron los conceptos de linealidad e invariancia con el tiempo. En éste se presentarán algunos ejemplos de la obtención de modelos de sistemas físicos poniendo énfasis en el concepto de estado. La mayoría de los casos tratados corresponden a sistemas lineales, invariables con el tiempo, y de parámetros concentrados. No se pretende en este capítulo dar una descripción profunda del proceso de modelado para cada uno de los sistemas a tratar: eléctricos, mecánicos, hidráulicos, etcétera, pues el objetivo de los cursos correspondientes a cada una de estas disciplinas es precisamente desarrollar las técnicas de modelado. Los sistemas que serán analizados (y en general todos los sistemas) están compuestos por elementos interconectados, y el ingeniero se interesa en saber cómo el valor de ciertas variables asociadas a ellos (voltaje, velocidad, temperatura, etcétera) cambia en función del tiempo cuando se aplica al sistema una entrada. Para cada elemento existen leyes físicas que pueden representarse por relaciones matemáticas entre las variables asociadas a ese elemento. Dichas leyes se denominarán Ieyes d,e elemento. Además de éstas existen otras, llamadas de conjunto que relacionan variables de diferentes elementos cuando éstos forman parte de un sistema. De acuerdo con Io tratado en el capítulo 2, los modelos en variables de estado de los sistemas de parámetros concentrados, toman la forma
* ,(t) : f,lxr(t), x"(t)',. . . x" (t ), u (t ), t f * "(t) f"lx,(t), xz(t), . . . x" (t ), u (t ), t f .
(1 )
x" (t) - f"lx,(t),x,(t), ... x^ (t ), u (t ), t ) y(t) : glx,(t),x,(t), . . . x^(t ), u (t ), t )
( 2)
en donde ¿¿representa Ia entraduy y la salida. Las variabres ¡,(l), x"(t), . . . x"(t) llamadas comúnmente variables de estado representan el estado del sistema en el tiempo f. Nótese que cada variable ¡¿ aparece derivada del lado izquierdo de alguna de las ecuaciones I y que en el lado derecho aparecen funciones de xr(r), x,(t), *^ei, i1t¡ y t. Además, el valor de la salida en el tiempo t, y(t), es una función de los valores de las variables de estado en t y el de la entrada ese instante. F,n este capítulo se verá cómo cohstruir modelos que tengan Ia forma de las ecuaciones I y 2,para algunos sistemas físicos, a partir de las leyes de los elementos y las leyes de conjunto. 69
Model¡do de slstcm¡r
2.
Slstom¡s elóctricos
Uno de los tipos de sistemas que se tratarán brevemente, es el llamado eléctrico, en el cual las variables de interés son voltaje, corriente, tlujo, carga, etcétera.Aunque existen muchos elementos(o componentes) eléctricos, nuestra presentación se reducirá a los más simples: resistencias, capacitancias e inductancias, considerándoseúnicamente dos variables asociadasa estos elementos: voltaje y corriente. 2.1 Reeietenclao resistor [,a representación gráfica de este elemento corresponde a la que se presenta en Ia figura l, donde y¿ es la caída del voltaje en el éle-
->
mento, e d¿la corriente a través de é1. La ley que relaciona estas dos variables, para el caso de una resistencia lineal R, es la ley de Ohm, que dice: vn = inR
( 3)
Entonces, si se toma i¡ como la entrada ] vn como la salida, se ve claramente que el sistema (de un elemento en este caso) es lineal. Además, debido a que para cualquier valor de ir se puede conoc€r 1¡¡ sin necesidadde ningún antecedentede las entradas pasadas,este el+ mento (o sistema) es algebraico. Capacitancieo capaeitor
Se presenta gráficamente confonne a la figura 2
Ft¡ur¡ 2. Representación gráfica de una capacitancia.
I
I
+
2.2
i
i
irR
Fl¡un l. Representación gráfica de una resistencia.
.
Vc
La ley que relaciona la corriente que circula a través del elemento (de) con la caída de voltaje en él (v,'), es
i"-c#
(4)
'T
Sietemas eléctricoe
7l
donde C es el valor de la capacitancia. Si se considera nuevamente a la coniente, en este caso i", como la entrada ! ve como la salida, y debido a que para determinar rrc de la ecuación diferencial de primer orden, es indispensable conocer su condición inicial, entonces vc(to), o sea el voltaje en el instante /o, r€sumiría los efectos de entradas pasadas que son relevantes para encontrar los valores de vc a partir de fo, debidos a una entrada d" desde el instante indicado. Resumiendo lo anterior, se puede decir que, la variable ec repr€S€nta el estado de Ia capacitancia.
2.3
fnduet¡ncia o induetor
La representación gráfica de este elemento se indica en la figura 3.
L
It,
-Figura 3. Representación gráfica de una inductancia.
+
Las dos variables que intervienen en su modelo matemático están relacionadas por la ecuación l) t:
, di"
L:
dt
(s)
donde Z es el valor de la inductancia. Con el mismo tipo de razonamiento que se hizo para el caso de la capacitancia, puede verse que i¿(ro) representa el estado de dicho elemento en el instante fo. Cabe señalar, que si no se hubieran escogido las corrientes y los voltajes como variables, sino otras tales como la carga q (en el capacitor) y el flujo ó (en el inductor), las leyes propias de cada elemento hubieran sido diferentes, pero también válidas. A partir de interconexiones de elementos eléctricos se integra un sistema de tipo eléctrico, y las leyes de conjunto que relacionan las variables de los diversos elementos son las leyes de Kirchhoff: Ley de corrientes: (LCK) La suma algebraica de las corrientes que llegan a un nodo (punto de conexión de elementos) debe ser nula. Ley de voltaies: (LVK) La suma algebraica de las caídas de voltaje alrededor de una malla cerrada debe ser cero. Con las descripciones anteriores se está en condición de plantear las ecuaciones de un sistema eléctrico.
2.4
Ejemplo
Supóngase que se cuenta con un conjunto de elementos eléctricos interconectados (circuito) como se indica en la figura 4, y se quiere
72
Modelado de eisremas conocer la corriente i¡ gue pasa por la resistencia, a partir de cierto instante f : 0; además se supone que se sabe el valor del voltaje de la fuente a partir del instante t:0, esto es, v(f) para f ) 0.
it
_>R
Flsul¡ 4. Un circuito eléctrico.
+ v( r )
Por la estructura de las ecuaciones I y 2, se tratará de seleccionar unas variables de estado del circuito en cuestión, determinar las ecuaciones que las rigen y por último, expresar Ia salida (¿n) como una función algebraica de los estados y la entrada (en este caso ?(f)). Escójanse lc € it como las posibles variables de estado, entonces, de las leyes que rigen los elementos (ecuaciones 3, 4 y 5), se obtienen las siguientes relaciones: Va = inR
io = c * l )t:
L:
clt dit dt
(ó) (7)
(8)
Ahora, de las leyes de Kirchhoff de corriente y voltaje se deducen Ias ecuaciones que interrelacionan las variables de los elementos. Tomando la malla del lado izquierdo del circuito se obtiene v(t)-vn*lr,
(e)
de Ia malla del lado derecho vc:vL
( 10)
y del nodo 1 de la figura 4 i n:
i c * i t.
(ll)
Las seis ecuaciones pueden manipularse para eliminar todas las variables a excepción de io, vc y v(t). En efecto, de las ecuaciones6,9 y I I se puede obtener v(t) :r¿R * ec - (ic+ L) R * uc con la ecuación 7 se obtiene
meeánieos traslacionalee en u"a dimaeión 73 y(r) : *r#. 'jemáscon8yl0
r,:l;$
_ din LZI
vt:
Las dos últimas ecuaciones son de estado del sistema, porque la de cada una de las variabl€s ec e i¿ es función exclusiva de ::ivada .: entrada y ellas mismas, y la salida, i¿, Puede expresarse en función :: la entrada y las variables de estado como: 1)B
.
v(t)
-
rt(t) - v"
vr,
'* :T:.T: :on lo cual quedaría resuelto el problema de modelado, ya que si se conocen los valores iniciales de v" e ir,., se pueden en principio encontrar las funciones uc(ú) e l¿(r). De éstas, y mediante una relación algebraica, es factible determinar el valor de la salida i¡. I-as últimas tres ecuaciones pueden expresarse de tal manera que tengan la estructura de las ecuaciones I y 2, así dv"
I
=ñ u " -
Zl: d.L
-:dtL
it
+
C
I
..
ñY( ll
ltc
t': *u(r)- f;," y en forma matricial
_rRc _11 cl
tJ
#l';"1: ,! ,lL"l. I u"I
t.l"-1 : 3.
lRclv(f)
[,1
L- F-
'lffl+[f]"r'r
Sigtemae mecónicoe traelaeionales en una dimensión
Este es el segundo tipo de sistemas que se describirá brevemente, e igual que para el sistema eléctrico, se verán únicamente tres elementos (masa, resorte y amortiguador viscoso), sin que esto implique que son Ios únicos existentes (hay otros elementos meqánicos: engranes, poleas, palancas, etcétera). Se considerarán en la formulación que sigue dos variables fundamentales: fuerza y velocidad, y se darán las leyes de los tres elementos mencionados, como relaciones entre estas dos variables. 3.1
Mas¡
Se representa gráficamente conforme la figura 5.
*f
74
Model¡do de efutcm!¡
t_
{ 5. Representación FLur¡ gráfica de r¡na masa.
Las dos variables asociadas a este elemento, fuerza neta aplicada f y velocidad relativa v (con respecto a un eje de referencia) están rela" cionadas mediante dv
* l :i
donde M es el valor de la masa. Si se considera f como la entrada y v como la salida, para encontrar la respuesta debida a cierta entrada es necesario conocer la velocidad en el momento en el que se aplica la fuerza; por ello, la velocidad inicial ?(f0) es una variable que representa el estado de la masa en fo. 3,2
Resorte
Este elemento se representa como en la figura ó donde I es la fuerza aplicada entre los extremos del mismo y ü es la velocidad relativa con que se mueven éstos; ft es la constante del resorte. La ley que relaciona las dos variables es
*, d u f: T i
<-
t
k
F
,
fi3rr¡ 6. Representación gráfica de un resorte.
V\AMAF
O
f 4
t,
Si se considera u como la entrada y f como la salida, puede verse fácilmente que debe conocerse f(to), o sea la fuema que inicialmente ejercía el resorte, para encontrar el valor de f para t) to. Asl que l(1") representa el estado del resorte en fo. 3.3 Amortiguador Es un elemento mecánico cuya representación gráfica se muestra en la figura 7 B
f= - t t
<__+l____-..._4 ?. Rqrresentación ntlrl gráfica de un amortiguador visooso.
-J
Sietemas mecónicos tr¡slacionales cn un¡ dlmenslóNr 7l donde tanto y como f tienen el mismo significado que en el caso del resorte. La relación entre las variables cs
f-B v donde B es el valor del amortiguador. Debe notarse que este elemento es amnésico, porque si se considera f como la entrada y ü como la salida, el valor de ésta para t ) to es independiente de los valores de aqu+ lla previos a fc. El comentario posterior a las definiciones de los elementos eléctricos, es también válido aquí. Es decir, que se hubiera podido seleccionar otro par de variables (tales como fuerza y desplazamiento) para describir las leyes de los elementos. 3.4
Leyes de conjunto
En los sistemas mecánicos traslacionales, las leyes que relacionan las variables de los elementos interconectados son: la tercera ley de Newton, que dice: "si un elemento A ejerce una fuerza sobre otro elemento B, éste ejerce una fuetza opuesta y de igual magnitud sobre el elemento A", y la suma algebraica de las velocidades relativas alrededor de una malla es cero. A continuación se presentará un problema de modelado de un sistema inecánico. Ejemplo Supóngase que se cuenta con un sistema como el de la figura 8. Se desea con(rcer el desplazamiento de la masa cuando se aplica una fuetza f(t) a partir de f = fo.
B
r(r)
I
ngur¡ & Un sistema mecánico.
Los diagramas de cuerpo libre de los elementos se muestran en Ia figura 9. '
fr ..---> ta -..+
"; ; 'l
f( tl Flgun 9. Diagrama de crrerpo libre del sistema de le figura 8.
76
Uode
dt,¡lltou¡¡ De las leyes de los elementos se obtiene: para la rnasa _-dvr Mi_fG)_f*_t" para el resorte dtt v;:
. Kva
y para el amortiguador fe = Bvt además Il n=l l t=h:1)
De las ecuacionesantcrioieg se obtienen las siguientes fa 'Bv tG) Ivt- M - T
dv
dÍt
I ku
::
I¿ salida ¡(r)
(r2) ( 13)
está relacionada con f* v fU) mediante la ecuación
n(t) - x(t") =
I
aft"Gl - f^(to)J
la cual se obtiene al integrar la relación
dt, , .dx T=rcv=Kai y oomo inicial¡nente r(to) =
|flu>,
entonces
x(t)-1 I) k
De esta manera, Ias variables l¡ y ü representanel est4rdo.delsistema porque si se conocen sus valores en f : t" y f(t) a partir de ese insrante, mediante las ecuaciones diferencjales 12 y t3, puede en principio determinarse v(t) y fa(t) para t ) toi además,la salida ¡(r) és qná función algebraica de f"(t). si se hubiese seleccionadoa fr(r) como la salida, o sea la fuerza que opone el amortiguador al movimiento de la masa, la representación del estado del sistema por medio de fa y v seguirfa siendo adecuada, ya que f¡ es la función de y(l) Ía(t) = By(t)
Sieten¡s meoinicoe rotacion¡Ioa
l.
77
Sistemas meeánieos rotaeionales
Como en los sistemas anteriores, también para éstos únicamente se :onsideran tres elementos y se tomarán como variables fundamentales ¿sociadas, el par torsional (f) V h velocidad angular (r). .4.1 Inercia I-a figura 10 la representa gráficamente. [^as dos variables asociadas a este eleinento, el par torsional neto y la ; eiocidad angular, están relacionadas por medio de:
T -t'
d,
dt
ionde J es el valor de la inercia. Si se considera I(r) como la entrada y como la salida, para '(t) 3f,contrar la respuesta debida a cierta entrada es necesario conocer la r elocidad angular en el instante fo, en que se aplica el par torsional; por :llo la velocidad inicial es una variable que representa el estado '(ro) :e la inercia en fo. 4.2
Fbrr¡ f0. Represeotación gráfica de una inercia.
Resorte
Considérese una flecha como la de la figura 11.
Il3!¡r ff. Fbcha actuando como resorte torsional.
El lado izquierdo de la flecha se desplazaun ángulo d con respecto :. derecho,debido al par T. Este tipo de elemento será modelado como ;¡ resorte torsional y se representa gráficamente conforme a la figu-z
l')
a arr2
I
.-/
Figur¡ f2. Representación gráfica de un resorte tor. sional.
78
Modcldo
de sistcm¡s
si se defin" .(r) = {,r - o,2 como la velocidad relativa entre los dos extremos del resorte torsional, las variables asociadasal elemento,el par torsional en los extremos y la velocidad angular relativa, están relacionadasmediante dT
7 l:
K'
Si se considera y para encon'(r) cotrnoentrada T(t) como salida, trar la respuesta debida a cierta entrada es necesario conocer el par torsional en el instante fo en que se aplica la velocidad angular relativa ,(r); por esto el par torsional inicial, T(t"'), es una variable que repre senta el estado del resorte torsional en el instante fo. 4.3
Amortiguamiento
Existe una serie de elementos que sostienenuna flecha (chumaceras, baleros, soportes, etcétera) en lcs que se produce r¡n par torsional que se opone al movimiento y que es función de la velocidad angular de ella. Se supondrá que el par resistivo es proporcional a la diferencia de velocidadesangularesentre elementos.Esto es cierto en el caso de juntas con lubricación en las cuales el fluido está en el régimen viscoso. Este ele' mento se llamará amortiguamiento torsíonal y puede representarsegrá' ficamente como en la figura 13. Oz
I ff3¡¡. f3. Representación gráfica de r¡n amortiguamiento torsional.
I
't-/ Las variables asociadas al elemento, par torsional y velocidades an' gulares de los extremos, están relacionadas mediante: T=B(.t--r) 4.4
Lye"
de eonjunto
En los sistemas mecánicos rotacionales, las le1es que relacionan las variables de los diferentes elementos, esto es, las leyes de conjunto, son: la tercera ley de Newton aplicada a los sistemas mecánicos rotacionales, o sea, que si un elemento á ejerce un par sobre un elemento B, éste ejerce sobre A otro par de igual magnitud y sentido contrario, y la suma aigebraica de las velocidades relativas alrededor de una malla es cero.
i I
lilrtom¡s 4.5
mecinlcos
¡otrclon¡los
79
EJemplo
Considérese el sistema esquematizado en la figura 14 Tr t t
Iftun 14. Sistema mecán$ co rotacional.
Se deseaconocer la velocidad angular., de la inercia J¿ cuando se aplica un par torsional T a la inercia Jr. En la figura 15 se presentan los diagramas de cuerpo libre de los cinco elementos que forman el sistema oo = 0
T,
oDr
T,ot
T"
at
T", r,
)}9)Uffi3€)v) ,/"Ñ\\
/?\\
Tt
J,
.T ^
r
T,,
J,
De dicha figura es factible obtener las relaciones entne las variables asociadasa cada elemento:
para el resorteft' dT,
7l
= -&'"
(1 4 )
para la inercia Jr
TtTz-Ts=r,#;
(ls)
para el amortiguador B (1 ó )
Tr-To=8., para el resorte ftz d.T" É:
k " (u -
'2)
(1 7 )
para la inercia J¿ d-, T, _- r. n"T
( l8)
Il¡urr f5. Diagramas dc cuerpo übre de los elemo tos del sistema mecánio de la figura 14.
m
Modd¡fu
ds sl*m¡g De acuerdo con las leyes de cgnjunto, se obtienen las siguientes relaciones:
(le) (20) (2t) (22)
Tt=Ts Ts=Tt la: Te Ta: Tz
Como I(f) es la entrada y or(f) la salida, deben escogerseunas variables que representen el estado de tal manera que la relación entre f y o,t tenga la estructura ,.' ttrt
¡ |
+at - Ax( r ) + b r ( r ) y(t) :
'r(t)
: cx(t)
,.
Si se seleccionan las variables Tr, o1,Ta ! &)zcomo las que representan el estado, es posible eliminar todas las demás a exce¡rción de T(t) que representará la entrada. De esta manera se obtiene: de las ecuaciones 15 y 1ó, y 19 a 2l
(23)
r"=nff
(24)
Las ecuaciones14, 17, 23 y 24 son ecuacionesde estado del sistema, que puestas en forma matricial, son
ti + -+ oll,, .[i
Tt
d
E
ú11
Ta
- k,
o
o l| .r ,
k,
o
- k"llTu
o + oJ[*
02
y la relación entre el estado y la salida resulta ! : . r: [ 0
5.
0 0 1]
rfil
Slstomss hidróulicos y neumóticos
En este tipo de sistemas se consideran únicamente dos variables: gasto, g, y presión, p. Los elementos que se describirán son: resistencia y capacitancia fluldicas,
Sistemas hidróulicos y neumóticoe
gl
5.1 Resistencia fluídica Al tenerse un ducto, orificio, etcétera, con presiol€s pr ] pz en sus e\tremos, se establece un flujo o gasto q que es función de p, y p". supóngase aquí que esta relación entre flujo y diferencia de presiones es lineal 1
4 : E (P '-P,) .
Este tipo de elemento será llamado resistencia y su valor es R; la representación que será utilizada corresponde a ra figura ló. ú r I- ^ n -
Figura ló. Representación gráfica de una resistencia fluídica.
R 5.2 Capaeitancia fluídica otro efecto en sistemas hidráulicos o neumáticos es el que presenta un tanque de gas cuya presión crece al incrementarse el-número de moles de gas almacenadas en é1, o por un tinaco en cuyo fondo la presión aumenta al crecer el volumen de agua almacenada en él (figura 17).
a ¡-) --+
Qt4
Qz
La ley que relaciona las variables asociadas al elemento es d Q,-e,-gtil(p,-p,) donde Cr es Ia capacitancia fluídica. cabe hacer notar que el nivel der fruido en el elemenro es propor- -:al a la diferencia de presión, p, - pz, esto es, h: (l/*)e: _-';t, :' - - cue la ley de elemento también se puede escribir: ^dh
"v t E
= Qt-Qz
: -:: ;: es el nivel de fluido en el tanque. Las leyes de conjunto, para los iistemas fluÍdicos y neumáticos, se derivan de las leyes de balance de presiones y conservación de masa. Con la selección de las variables q i p equivaien a
Figura l?. Representación gráfica de una capacitancia iluídica.
82
Modelado de sislem¡e i) La suma algebraica de los gastos en un nodo es cero. ii) La suma algebraica de las'caídas de presión alrededor de una malla es cero. i:
! 5.S
lEjemplo Cóiéid¿reseel sistema hidráulico representadoen la figura 18.
Po Ft¡un 18. dráulico.
-+
Un sistema hi
Qr
Si se considera qo como la entrada y h la salida, las leyes de los elementos junto con las de conjunto dan las siguientes ecuaciones: Para la capacitancia d(p,-p")
4o-Qr:tT ^ Para la resistencia q, :
I
(P,-Po)
E
Sustituyendo{r de la segundaecuación en la primera, se obtien. d (p ' -p , ) _
T:
|
I
,. -m(p,-tu)*7eo
y la salida h está relacionada con pr-po mediante la ecuación I
h=2(p,_po) así que la diferencia de presiones es una variable que representa el estado del sistema.
'+ez Figura 19. Un sistema hi dráulico de dos tangues.
!
Sistemas hidróulico¡ Si se modifica el sistema agregando un segundo tanque (figura 19) y considerando qo como la entrada y 4z como la salida, la, que describen el nuevo sistema, son: "cira"ion"s
e,-e,=r,* (p,-p " ) q, =
*(p ,-p " )
e t - e ,: r,*(p ,-p") q" = *(p,-po) Pcro como
o,:l(p,-po) ," :
l(p,-po)
las ecuacionesanteriores pueden escribirse como d
Qu- Qr: o C rfth, q':
a
Í,(h'-hr')
Q, - 4r:
¿ nCrlh" dt
oh,
q"=8.
Eliminando e, y g" de las cuatro últimas ecuaciones, se obtiene
( h, - h*,)* n ,
#= - *
#=ft3'-(#**)0" y como la salida Qz está relacionada con h, mediante
Qz:
¿hz
entonces las variabl es h, y ft, ,.pr"r"rrtan adecuadamente el estado del sistema. Las ecuaciones de dicho sistema puestas en forma matricial son
y neumótlcor
U
l[odd¡do
de elstGnls
d f''l=
7¡ L',j
1
ll
c,R,
c,R, |
I C"k
r -C"& -
v ( t ) = q,1r¡= [o 6.
| I
ll C"R'I
[].F] ')l qo( t )
o,t ¿] |
In t,l J
Slstemas tórmleos
En los sistemas térmicos dos de las variables que se pueden considerar son: temperatura, I y flujo de calor, g. Solamente se tomarán en cuenta dos tipos de elementos: resistencias y capacitancias térmicas. 6.1
Regigtencia térmiea
El flujo
de calor a través de una resistencia
se mantienen a diferente temperatura,
q:
térmica,
cuyos extremos
(figura 20) está dada por
| ,^
il( T , _ T , ) .
Esta es la idealización del flujo de calor a través de un cuerpo que tiene un calor específico muy bajo.
20. Representación Iturl de una resistencia térmica.
6.2
Capacitancia
térrniea
No sólo puede haber flujo de calor a través de los cuerpos; también es factible que éstos almacenencalor, dando como resultado un aumento de temperatura en el cuerpo. El cambio de temperatura de un cuerpo de masa M, cuando recibe un flujo neto de calor q, está dado por dT M"'zl : q donde co es el calor especffico del cuerpo y I su temperatura. La cantidad Cr - Mco se denomina capacitancia térmica (figura 2l).
Sl¡tcm¡s rórulooc
85
Mco -- g,
Figun 21. Capacitancia térmica
En estos sistemas, las leyes de conjunto son: la de balance de energía, que equivale a decir que en la interfaz entre dos elementos el flujo de calor que emana de un cuerpo es igual al flujo de calor que recibe el otro cuerpo, y la suma de las caídas de temperatura alrededor de una malla cerrada es cero. 6.3
Ejemplo
Considérese el sistema térmico representado en la figura 22 el cual Cr
Figurr 2r¿. Un sistema térmico.
consiste en tres capacitancias térmicas interconectadas mediante tres resistencias. Supóngase que la entrada es un flujo de calor go(t) y se desea conocer el flujo de calor q'(t). Las relaciones entre las variables indicadas en la figura 22 se deducen de las leyes de elementos y de las de conjunto. Asl, para las capacitancias térmicas se obtiene
dT,
,rA l :
Qn -
q#:
er- et
c"#:
ez* es
Qt -
4z
{
i 8ó
Modelado de ¡lslom¡c y para las resistencias térmicas
I 7 (T'-T") fir I
1(7,-7")
: q, : qz
Rz
!l(¡ 1r,-r)= n" : )' n
e o
Al eliminar las variabl€s {r¡ Qz y es se obtienen las ecuaciones dife. renciales dT, I 1l
i: dT, á: d T " ll
i * lt' lt ri
I f,
ll
t
ñ:
-
( T , - T , )(f'-f.) * C. R, A* án, ll (f ' -7 " ) C, R,
-
d (T " -T ' )
,,r.,Q'-r.) + ñ"(T"-7").
Así que si se conocen Ir, T, y T" en un instante dado y la entrada q"(t) a partir de entonces, pueden conocerse Tr, T" y Is en instantes posteriores, y como el flujo de calor {s, gu€ se ha tomado como la sa. lida, está dado por q" : : (7,-7") r(r podrá determinarse a partir del conocimiento de T, y T". De esta manera, las temperaturas de las capacitancias térmicas representan el estado del sistema. Las leyes de elementos para sistemas mecánicos, eléctricos, de fluidos y térmicos se resumen en la tabla 1. De los ejemplos anteriores surge la pregunta ¿cómo deben seleccio narse las variables que representan el estado de un sistema? En general se deberán tomar todas aquellas variables con las cuales se pueda calcular la energía (o en general la información) que almacenan algunos elementos. Para ello es conveniente proceder de la siguiente forma: i) Escríbanse las ecuaciones de los elementos del sistema. id) Escríbanse las ecuaciones de conjunto del sistema. iid) Selecciónense como posibles variables de estado aquellas que aparecen derivadas en alguna de las ecuaciones obtenidas. iu) Verifíquese que las variables seleccionadas sean independientes, esto es, que no estén ligadas por una relación algebraica. v) Elimine todas aquellas variables redundantes. vd) Exprese las variables de estado en la forma: i :
f(x, u, f).
vii) Determine la salida en función de las variables de estado como y = g(x, u, f). Si se satisfacen las condiciones (vi) y (vii), x representa el estado del sistema.
Sietemas témicoc Tabla Tipo de elemento
l.
Resumen de las leyes de elemento
Elemento físico Inductancia eléctrica
INDUCTANCIA
Resorte traslacional
Resorte rotacional
Ecuación representetit)a
rdÍ 9or=--
vr
f1-
k dt
o-z\¡!!\¡r
=
-
k dt
T,Kt4 -
dv",
Masa
l=M'
vr
dt dv d.t
v
do
T-t-
dt
dpzr ^ - jl Q z r = L!
Qtl
ft
Capacitancia térmica
Resistencia eléctrica
RESISTENCIA
cl
dT
I
9r
': E u^ f = Bv "t
Amortiguador rotacional
T = Buzt
v2
T ot
Q=
I
+q
Pt
* Pz r
Pz
Resistencia térmica
Qz
-4
q =cta
Amortiguador traslacional
Resistencia fluídica
-+.,
I dT ( dot
i-c-
Capacitancia fluÍr:!ica
i
+
di !" , = L dt
Capacitancia eléctrica
CAPACITANCIA Inercia
Símbolo
I q.R=, -T -,
->q Rr
87
88
Model¡do de sistemar Donde: F T i q v ú, p L k 7.
fuena par y temperatura* corriente gasto, flujo de calor* velocidad traslacional, voltaje* velocidad angular presión inductancia constante de resorte
C M I C¡ Ct R B Rt R¿
capacitancia masa momento de inercia capacitancia de fluido capacitancia térmica resistencia eléctrica fricción viscosa resistencia fluídica resistencia térmica
Modelos no linealos
En las secciones anteriores se han presentado ejemplos de elaboración de modelos para algunos tipos de sistemas físicos. En todos los casos tratados se ha considerado que la relación entre las variables asociadas a cada elemento es una furición lineal. Es un hecho, sin embargo. que en el mundo físico dichas relaciones, en su mayoría, son no lineales y por tanto los modelos que representarían fidedignamente el comportamiento físico deberían ser de este tipo. A modo de ejemplo se presenta un sistema no lineal, en el cual dos de sus elementos incluyen características no lineales. 7.1
Ejemplo de un sistema no lineal
Considérese el sistema físico de Ia figura 23 que consiste en dos tanques idénticos colocados en cascada, que tienen una sección horizontal de área constante. 4o1
I'
langueI
*l,
P¡
T NL Figun 23. Sistema hidráulico.
I I
I
itlI'ir , Y
* Los símbolos I, 4 y y se utilizan para indicar variables distintas, pero su significado está implícito en el contexto que aparezcan. El subíndice 2l indica diferencia, por ejemplo, úr2res la diterencia de velocidades angulares o¡-r,rz.
I
I I
I
I I
Modelos no lineales Por una tubería se descarga al primer tanque cierto líquido (por ejemplo, agua) con un gasto de ft(r) unidades/ieg. Dicho tanque tilne un orificio en la parte jnferior por el cual fluye él üquido al segundo depósito con un gasto de q,(f) unidades/seg. Aáemás li"y ,rrru deJcarga del segundo tanque de qr(t) unidades/s"g. si se considéra qo(t) la-entrada y h,(t) (la altura del líquido en el segundo depósitó)'como "orño la salida, se desea construir un modelo que describa el comportamiento del sistema. se tiene además que la naturaleza de los orificios es tal que la relación entre la diferencia de presiones y los gastos está dada mediante las ecuaciones no lineales:
q ,(t) - y,'/V d )-p "
(26)
q '(t) - y,/Ñ d :n
(2s)
donde 7 constante que depende de la geometría del orificio. p' y pz presiones en las partes inferiores de Ios tanques I y 2 respectivamente. p" presión externa. Las relaciones entre las presiones pr ] p, y las alturas del líquido en cada tanque (h, y h") son p,(t) - pg ht(t) * p" p(t) = pg h,(t) + p"
(27) ( 28)
donde p es la densidad del lÍquido y g la constante de gravedad. para cada uno de los tanques la cantidad-de" liquido q"" la cantidad que sale debe ser igual a ra cantidud a".rm,rlada, "rrii"'menos o sea que para el tanque I
.[-. n Q)d.,- J'- e'{') d¡ - Ah,(t) y para el tanque 2
d'- Jl. a,r'ld,- Ah,(t) f'-*e'..') donde A es el área de la sección horizontal de los tanques. Las dos ecuaciones anteriores pueden escribirse
q,(t)-q,(t)-oLT
;.h,(t)
.rh"Q) q'(t) - q,(t) - o= *
(2e) (30¡
A partir de éstas, debe describirse la dinámica del sistema mediante dos ecuaciones de la forma i.-f(x,u,t) y - g(x, u, t).
89
90
ltlodct¡do
de sistemas Para lo cual deberán seleccionarse las variables de estado correspondientes, como se indicó en la seéción 6. Una selección adecuada de las variables de estado podría ser las alturas h, y h,. De las ecuaciones 25 a 28 y eliminando p, y pz se obtiene
q'(t) - r,'/;lE6
v
q , (t ) - v . ' ,P 1ghdü Al remplazar er ! qz en las ecuaciones29 y 3Ose obtiene , dh,(t)
A_
ii:
,_ pg ,'/h'(t) q,,(t)- y,'l
.- - .. dh,(t\ A-'-')'' : t',/ Pg l-',/hr(t)- 'l hr(t)). 4t Para facilitar el álgebra de los pasos subsiguientes,se hará la supo' sición que los valores numéricos de los parámetros son
A:t t'lll:
I
en un sistema adecuado de unidades. Por tanto, las ecuaciones que describen el sistema son
d.h, dt dh" dt
- , , / h ' (t ) + q , (t )
(31)
'ITID - ,fñt,
(32)
y (t ): h , (t ): f 0
ul\"Í")rl
Estas son no lineales, porque la parte de la derecha de las ecuacio nes 31 y 32 no tiene la forma aitht * aí2h2+ btqo. Con or, 8íz y br independientes de h.r, h" y qr. Sin embargo, el modelo que se obtuvo tiene la estructura de un sistema dinámico como se hizo saber en el Cap. 3. 8.
T ,o
Ft¡un 24. Esquema de un motor.
Elemenros híbridos
Los elementos considerados a lo largo de este capítulo se han descrito mediante una o más relaciones entre las variables de un solo tipo. Así, los elementos eléctrrcos, esto es, resistencia, capacitancia e inductancia, se describieron como relaciones entre las variables eléctricas consideradas: voltaje y corriente. Existe, sin embargo, una extensa gama de elementos cuyas variables asociadas no son de una sola clase; por ejemplo, un motor eléctrico ideal de corriente directa y excitación constante tiene asociadas cuatro variables: dos eléctricas y dos mecánicas. Las eléctricas son el voltaje y la corriente de armadura y las mecánicas, el par torsional producido en la flecha del mctor y su velocidad angular (figura 24).
l
Modelos
no lineales
Las relaciones entre las variables asociadas son
T :ki y:
ko q
donde k¡ y k son los parámetros del motor. La enumeración de los elementos mixtos sería demasiado abundante para presentarla en este capítulo. Sin embargo, a lo largo de este libro algunos de ellos serán introducidos en los ejemplos ilustrativos. Para cerrar este capítulo se presentará un ejemplo de un sistema compuesto por elementos eléctricos, mecánicos y electromecánicos. 8.1
Ejemplo
Considérese el sistema esquematizado en la figura 25. Se desea ob____J> in
+ ü(f)
Figurr 25. Un sistema electromecánico.
tener la velocidad angular ,,¡zde la inercia "I cuando se aplique un voltaje v(f) al circuito. De igual manera a como se procedió en los ejemplos anteriores, de las leyes de los elementos y las de conjunto se obtienen las siguientes relaciones: De la malla izquierda del circuito t
t" :
ñ-
[y(¿) -y"]
(3 3 )
del nodo I
de la malla derecha
dv" : ' ¿,
in-i^
(3 4 )
. di^ "Zl:
lc-em
(3s)
del motor T : v-:
lcaot
(3 ó ) (3 7 )
rt(
(3 8 )
k¡in
del resorte torsional
dT
:
Zl
de la inercia J
Jd-' = T dt
(3e)
'rilll
9I
92
Model¡do de eigtomss De acuerdo con los lineamientos presentados al final de la sección ó,se podrían seleccionar comovariables de estado d e",ú, T y .or; sin embargo como existe una relación algebráica entre i- y T (ecuación 3ó), se puede eliminar una de ellas, por ejemplo I. Al sustituir la ecuación 36 en las ecuaciones 38 y 39, se obtiene eI conjunto de ecuacio nes 33 a 35, 37 y
k,*=
(40)
ft(or1- o,)
, #=k¡i^
(41)
que describenal sistema.Como en dicho conjunto aparece ff ecuaciones(35 y 40), estas se pueden sustituir por di-
,
lk :(v" -v-)
ao'
.l
Wc - v ^ )
Z l:
"n
T
-r(t,
-i ,¿r)
LK t
Al tomar !c, í- y t¿¿ coÍlo variables de estado se puede eliminar el resto de las variables, a excepción de rr(l) que es la entrada. De esta forma se obtiene:
I dv" ., T = V { u t t ldi^
I I CRv c -7 t n
k
kk"
7 l= m vc- ffi@ ü z do,
7;
:
k¡ .
7'*
que corresponden a la descripción del sistema por medio de variables de estado, ya que la salida (u'r) es una de las componentes de este
y la derivadade cadauna de las variablesde estado +,+,# es una función del valor las variables de estado (v", i^, tr) y la entrada v(r). El modelo obtenido se expresa en forma matricial como
Modelor no lineclcs
1 - RC k Lk.. + /*kt 0
_ T1 0 k¡
7
I RC
0 -knk
m
ü(f)
0
= ro o 1l y(t)=orz(r)
j;l
1,, l
98
CAPITULO
Reogramas
l.
Introdueeión
En el análisis de un sistema es frecuente encontrar en juego un gran número de variables. Interrelacionarlas para integrar un modelo completo del sistema y su posterior análisis son problemas arduos debido a la creciente laboriosidad de los cálculos con el número de r,ariables involucradas. El planteamiento de modelos matemáticos de sistemas proporciona una serie de relaciones simultáneas. Para los casos que se van a tratar en este texto las relaciones serán lineales. Con frecuencia las relaciones mencionadas consistirán en ecuacio nes diferenciales ordinarias o, con Ia ayuda de la transformada de Laplace, podrán reducirse a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas. Sin embargo, dicho conjunto de ecuaciones (que forman el modelo del sistema) no presentan de manera inmediata las relaciones causa-efecto de todo el sistema simultáneamente; desde el punto de vista de percepción visual, las ecuaciones se ven como relaciones aisladas y es ilifícil lograr un panorama global del sistema. Por esta :azón la estructura de las interrelaciones del sistema, o más correc:amente, su topología, es difícil de descubrir. Debido a ese tipo de inconvenientes se recurre, en muchas disciplinas, a descripciones gráficas de los sistemas, bien por medio de 'diagramas de bloque" o por "diagramas de flujo". Para el análisis ie sistemas dinámicos también se cuenta con medios similares: fos '¿ogramas, mediante los cuales la visualización de la totalidad de las reaciones entre las variables se capta con mayor facilidad que con las :escripciones matemáticas convencionales. De la misma manera que las ecuaciones simultáneas pueden mani:ularse y resolverse, los reogramas se manipulan y se resuelven como =< r'erá más adelante. Es factible representar mediante reogramas ¿ los sistemas descritos por relaciones lineales; además, a :.:tir de los reogramas las relaciones directas entre las varia:.es pueden obtenerse por simple inspección. En resumen, Ios reogramas ::z una notación grdfica para describir coniuntos de relaciones lineales, ;:::rdo útiles no sólo para la solución de dichas relaciones, sino ":¡bién para construir directamente modelos de sistemas lineales. L
Definiciones fündamentales a) Nodo. Es la representación de uná de las variables del sistema, rnismo que se indica mediante un punto. b ) Rama. Representa la .relación efecto-causa entre dos variables 95
-
9ó Reogramas
c) d) e)
f)
(nodos) y se indica por una línea dirigida que va desde el nodo causa hasta el nodo efecto. Nodo fuente. Es un nodo del cual emergen todas las ramas conectadas a é1. Nodo pozo. Es un nodo del cual no emerge ninguna de las ramas conectadas a é1. Transmísión de una ra.ma. Es el "valor" de la rama e indica la operación que debe efectuarse sobre la variable causa a fin de obtener la variable efecto. Se considerarán dichas operaciones lineales, entonces la transmisión puede ser. una multiplicación por un escalar, una ecuación diferencial lineal, un retraso, etc. Reogram¿. Es un grupo de nodos interconectados por ramas que representa un conjunto de relaciones lineales.
2.1
Ejemplo
Considérese el sistema de la figura I.
n3ulr
'l,+^
l. Sistema eléctrico.
Supóngaseque las variables del sistema son el voltaje v y la corriente i. Por la Ley de Ohm, la relación entre dichas variables es: v:
Ri
Si se toma a la co¡riente i como la variable independiente (causa), la expresión, mediante reogramas de la relación anterior, se indica conforme la figura 2.
Il3rrn 2. Una representación del sistema por r¡n reo grama.
(Causa) (f{odofuente)
(Transmisíón)
(Efecto)
En caso de tomar el voltaje v como la variable independiente, la relación anterior, representada mediante reogramas, se muestra en la figura 3.
Vn I'isrr¡ 3. Otra rePresentación del sistema.
(Causa)
(Efecto)
(Tr¡nsmisión)
l)eliniciones fundamentdes 97 En la representación de un sistema en forma de reograma cada val riable debe representarse por uno y sólo un nodo; de tal suerte que si se tiene un sistema como el indicado en la figura 4, donde v es la variable independiente:
dri
R
,,I
Figura 4. Sistema eléctrico.
R¿
se tendrán las ecuaciones
.t
tr :
¿u
.t
tz =6v en las cuales la variable y se presenta dos veces: una por cada ecuación. Sin embargo, al representar el circuito mediante recgramas, el voltaje ? se presenta por un solo nodo,tal como se indicaenlla figuraS.
Figura 5. Representación del sistema de la figura 4 me diante un r€ograma.
Esta economía en la representación de sistemas es una de las ventajas que ofrecen los reogramas. Cuando una variable dependiente es igual a la suma de dos o más variables modificadas por un operador lineal, como por ejemplo ) et : dJ Cz * bx "* c x ,
(1 )
su representación consistirá en un nodo al cual Ilegan ramas desde los nodos de las variables que la afectan, y la transmisión de cada una de las ramas será la operación que se efectúa sobre cada una de las variables contributivas; así, para la expresión I se tendrá la representación de la figura ó. Entonces, el valor de una variable representa.da por un nodo es igual a Ia suma de todas las variables transformadas que llegan al nodo en c'uestión.
98 Reogramae
Flgur¡ 6. Reograma para la ecuación 1.
2.2
Ejemplo
En la parte derecha de la figura 7 se muestra un reograma que representa el sistema de ecuaciones que se encuentran en el margen izquierdo. Xz = M t ¡ bx s Xs: QXz * tt = AÍz
dxt
Figura 7. Conjunto de ecuaciones y su representación por reogramas.
Con mucha frecuencia en el análisis de sistemas se desea conocer el efecto que produce una variable sobre otra, sin interesar las relaciones que puedan existir entre otras variables del sistema. En los sistemas complejos la relación que se busca puede encontrarse por métodos matemáticos estándar al respecto; la alternativa que a continuación se presenta consiste en la manipulación del reograma para eliminar todas las variables "intermedias" y lograr una relación de efecto-causa entre dos variables de interés. En lo que resta de este capítulo, se hará la suposición que las variables son cantidades escalares y las transmisiones, multiplicaciones por escalares. A fin de ilustrar el problema que comúnmente se desea resolver, puede tomarse el siguiente ejemplo: En un reograma como el que se indica en la figura 8 se desea en-
Figura 8. simplificar.
Reograma por
contrar el valor de la transmisión & en el reograma de la figura 9, de tal manera que la relación que exista entre r'r ¡l rr s€3 la misma para los dos reogtamas.
Reduceión de reogramrs trxrr absorción de nodos 99 En general, el problema de reducción de un reogramta consiste en obtener otro reograma en el que únicamente aparezcan nodos fuentes y nodos pozo, y todas las ramas vayan de un nodo fuente a uno pozo. Para resolver el problema se presentan dos formas: Fl¡ura 9. Reograma simpll ficado. 2ca
Por reducción del reograma mediante absorción de nodos. Por la fórmula de Mason.
3.
Reducción de reogrom¡s IDor absoreión de nodos
Para aplicar el primer método es necesario presentar las reglas de manipulación de reogramas,las que, como se verá más adelante, corresponden a manipulaciones en el sistema de ecuacionesque el reograma representa. 3.1
Transform¡eiones de reogramae.
Las transformaciones elementalesque reducen en uno el número de nodos de un reograma son:
# tfi
ab
ab
--\
tc2
tts
#
-t/
Xt
a) ad )c2
+
Jt2
b)
tcs
--{ -
c)
--{
-1/ d)
bd
l(X) Reogramae Cada una de las transformaciones anteriores corresponde a la eliminación de una de las variables en el sistema de ecuaciones que representa el reograma correspondiente. A continuación se muestra para cada caso la equivalencia de las operaciones con reogramas y con ecuaciones simultáneas: a)
xz= ah f I eliminando xr:)
x" -- bx" J
¡.i
b)
tt = erh I bxz * c.r. I frs = dnt
c)
xz:
fs : abNt
eliminando &-)
ctSt
Í, s: : dhbb ÍÍt t I r h'i.i ¡, :) I : y^ n= ?:: I eliminando it s : nÚdtt its: dÍt
::- f :
;:: -l* ' , j d> I
t
frs=Mt*bx") *' - e*s
I I eliminand,oxr:)
xs:dÍs
,;
Ía=€*s
I
t, t
ts = adxt * bdx, I cdx"
f
l
I
f r't: I ,o:
dcÍt ¡ bcxz adx, * bdx,
L;:=;;:
ií í ; ,
Además,la reducción del reograma
: ¡
a
a* b ,11
t, l:
b
,
corresponde a la equivalencia entre las ecuaciones oh * btr: (a*b)x': 3.2
x" x,
Ejemplo
Considérese el reograma de la figura 10
Figura lO. Reograma en el que se desea eliminar los nodos .r2,tt y Ís
se desea eliminar los nodos intermedio s Í2, Ít j rs para obtener un reograma en el que únicamente aparezcan el nodo rr (como fuente) y el nodo xs (como pozo). Aplicando la regla a para'eliminar los nodos xtJ Ísse obtiene el reograma de la figura ll.
Figura ll. Eliminación de los nodos Ít y ra.
Reducción
de reogranat
lxlr absorción de nodo¡
l0l
Con la regla b, se elimina el nodo ¡, y se llega al reograma de la figura 12. debc Fisura 12. Eliminacién nodo *r. "\1
Para continuar el proceso de eliminación(3.4) es necesario introducir el concepto de aúomalla y el procedimiento para eliminar este tipo de rama. 3.3
Definición de automalla
una autornalla es una subgráfica de un reograma formada por una sola rama que parte de un nodo y llega a él mismo. La manera en que pueden eliminarse las automallas es la siguiente: Considérese una párte de un reograma que contiene un nodo, con una automalla v varias otras ramas conectadas a dicho nodo (figura l3)'
Flgura 13. Parte de un ree grama con una automalla.
tta at '
Recordando que el valor de la variable representada por el ¡odo en cuestión es igual a la suma de los valores de las transmisiones de las variables en donde se originan dichas ramas, se tendrá que para la figura 13 se cumple. x : bx 4 etzt j &zzzI a'¡ztI
"'
De la ecuación anterior puede despejarsex y obtenerse: (l-b)x
= otzt I azzz! &ttu+ "'
' x=( # )'' + ( 9 "*(& )z'*"'
que La representación por reogramas de la ecuación anterior es la se indica en la figura 14.
lO2 Reogranae
a,/ (L- b)
a"l Q- b) a"l (lFigura 14. Eliminación automalla.
b)
de la
too
De lo anterior se deduce que una automalla de un nodo se puede eliminar dividiendo cada una de las transmisiones de las ramas que llegan a éI por (l-b), donde á es el valor de la transmisión de la automalla. 3.4
Continuaeión del ejemplo 3.2
A partir del reograma de Ia figura 12 se obtiene el reograma final de la figura 15.
Fisura 15. Reograma final que se obtiene al eliminar los nodos intermedios del reograma de la figura 10.
abc
F¿"6c
Para verificar la validez de las reglas empleadas en la reducción del reograma original, se parte de las ecuaciones que éste representa, y a través de manipulaciones algebraicas se obtiene la relación entre xr yra. L,as ecuaciones que representa el reograma de la figura l0 son: )Cz:4X,, X:,:bXz
{
dXn
X : t =C X s Jh :.4 x:t
(2) (3) (4)
(s)
al eliminar xz de las ecuaciones 2 y 3 se obtiene: )es:bext-lbdx,
(ó)
y de las ecuaciones ó y 5, eliminando .r4 se obtiene: xs=bdh*bdex" por último, si se elimina ¡o de las ecuaciones 4 y 7, se obtiene: xs:cbax'*cbdex"
x" =
cba
11;67¿rc''
(7)
I i
Reducción de reogramas por abeorción de nodos
ro3
Este resultado es equivalente al que se obtuvo mediante la mani, pulación de los reogramas. 3.5
Ejemplo
Considérese ahora un ejemplo más complicado de reducción de reogramas. En Ia figura ló se desea transformar el reograma de la izquierda al de la derecha.
X1
.fg
'f,5
Al respecto, se desea encontrar el valor de l¿. A continuación se muestran los diferentes pasos a seguir en la eliminación de los nodos intermedios Í2, x3 ! ta. Eliminando ¡":
X IA X z
Eliminando la automalla
bc
JC1
I
Eliminando ¡.:
bcd
t=;
Ft¡orr ló. Un reograma y su reducción.
l
l 1
104 Reogremar
Eliminando la automalla
trCs
J(2
2i
bcd/
- f' ¡
t
\ , - d - l= r a 7 n t
I
bcd
\ t _f r1
Eliminando el nodo 12 se obtiene
f¡
J(1 abcd
l-fc
-ed
Por último, con la eliminación de la automalla 2c1
abcd
_*!_ l-cf
-ed
bcdg
r
l-c¡-de .' . 11-
4.
|-
"f
- ed- b.cd.g
abcd l-cf -de- bcdg
Soluclón de roogramas por inspección. Fórrrula
de Mason
Como pudo apreciarse en el ejemplo 3.5, el método presentado en la sección anterior para reducir reogramas no ofrece mayores ventajas sobre la solución algebraica de las ecuaciones; asi, en el ejemplo mencionado, para llegar a la solución fue necesario pasar por cinco reogramas intermedios, por lo qire para reogramas como el de la figura 17, dicho procedimiento se vuelve demasiado elaborado. Samuel J. Mason desarrolló un método por el cual es posible en' contrar por inspección la relación entre dos variables de un reograma. Así como el método de absorción de nodos corresponde a la solución de ecuaciones lineales simultáneas por eliminación sucesiva de variables,
Solución
de reogranas
por inapección.Fdrmul¡
de Mason IOS
FLur¡ 17. Reograma para reducir por absorción de nodos.
el método de Mason corresponde a Ia solución de estas ecuaciones usando determinantes y cofactores. Existen algunas expresiones en un reograma que son invariables respecto a la selección del nodo pozo. 4.1
Ejemplo
Considérese el reograma de la figura 18.
Figurs 18. Reograma.
Como puede verificarse, por medio de la absorción de nodos inter. medios, se llega a los siguientes reogramas:'
h'
ht =
h, hz :
h#tc
h" f0+fs
la expresión I - ab - e * abe¡
r I
l-e l-ab-e+abe-bcd a(l-e)¡"¿ l-ab-e*abe
-bcd
,c
,.t- T
,l-ab- e + a b e -o c d
bcd,es independientedel nodo pozo
106 Roogrenas y se denom ina det erminant e del r epgr ama. P ata definirla formalmente es necesario introducir algunos conceptos tales como malla, trayectoria, etc. de trayoctoria y mallas
4.2 Definición
a) Trayectoria es una subgráfica de un reograma formada por una sucesión de ramas conectadas, una después de otra, sin contravenir el sentido de las flechas, de tal manera que ningún nodo aparece más de una vez. b) Matta simple es una trayectoria cerrada en la que ningún nodo aparece más de una vez Por ciclo. .r.u subgráfica de un reograma for' c) uatla múItiple de orden [ ". mada por /c mallas simples que no tienen ningun nodo en común. 4.3
Ejomplo
Considérese el reograma de la figura 19, en el cual existen cinco
X1
z F¡tü.
f9.
d
)t1
1
f¡
c
Reograma. 'tr\
Jc6
Xs
trayectorias que van del nodo ¡, al ¡r. Estas se encuentran identificadas en la figura 20. En la 2l se presentan todas las mallas simples; en la 22 todas las dobles y en la 23 la única malla triple del reograma. o
x ¡1
,,< 6i,-=u-+--+>+-.. V'\i- jf ,v: ;1, )t
;\ft{/,í-a-!'' lts I)
2O. Trayectorias Fl¡nrr nodo .r, al nodo rr.
x t i-
del
T-
Soluoión-de rrcogr¡m¡s por inrpcoeión Fótmul¡ dc ürúon lO?
\
)t,
ilxtjx" ->--+-:>--*\
a. rY .i. - .,,'1.-'\ \ ¡ \ l - z 'r !/'" ,ifi t),n (-L--L"
t)'*.'i' n3¡n 2f. Mallas sinples del reograma de l¡ figura
m.
fOB Aqr¡¡nae o
".Q.-=r!--+--)J-i¡\ -'.-,( }i, t¿i'r*N ,r{,í'{á
"'\.j,-,i#t'=--Y ltg
iá¡
2) doble.s Illur¡ 2il. Mallas del reograma de la figura 20.
llg
3)
F¡surr 23. Malla triple del reogra¡na de la figura 20.
Cabe hacer la aclaración que las mallas I y 2 no forman una malla doble por tener el nodo tr en común. 4.4 l)efiniciones de gananela" dererrninante y cofactor I-a gmnnCia.de ww trayectoria es el producto de- las trasmisiones que forman dicha trayectoria. Apí pues, la ganancia de.allas.Lmas Ae gunas de las trayectorias dgf ejemplo anterior son: de la trayectoña lz cf de la trayectoria 3: dí de la trayectoria 5: diml.
Solución de reogranas lxrr inepecciónFórmul¡
de M¡son l(X)
De acuerdo con la definición anterior, la gananaa de wta malla de orden ft será el producto de las trasmisiones de todas las ramas que forman dicha malla. Del ejemplo anterior se deduce que las ganancias de las mallas son: de de de de
la la la la
malla malla malla malla
simple 1: o simple 3: adihgb doble 2: omn triple: ofghmn.
Supóngase que en un reograma hay rnr mallas simples, z¿ mallas de orden 2, m" mallas de orden 3,etc.,hastazermallasdeorden p. Eldeterminante de este reograma, a, se define como la unidad menos la suma de las ganancias de las mallas simples, más la suma de las ghnancias de las mallas dobles, menos la suma de las ganancias de las mallas triples, etc. Matemáticamente esta definición puede expresarse como mr
A:
I -2M,r" l= L
,rh
frt
+2M,r" t= t
+7 ,u'Í': l + &=r É J=r
-)Mr , u r + . . . l= t
3t-t)hM tsc, j=r
donde M/k) denota la ganancia de la iésima malla de orden ft. Como las ganancias de mallas de segundo o más alto orden son iguales al producto de ganancias de mallas simples que no tienen ningún nodo en común, una definición equivalente de determinante es A:
I (1-M,t'r)
(l-M,,',)
... (l-M.,,',)
I
*
donde la operación I l* indica la supresión de todos los términos que contengan productos de las ganancias de mallas que posean al menos un nodo en común. 4.5
Ejemplo
Para el reograma de la figura 24 se tienen las siguientes mallas simples:
Fieur¡ 2t.
Reograma.
Ue noopemrl
ganancia:. ab
ganancia: bcd
o
ganancra: e
y la malla doble
De lo que se deduce que el determinante del reograma es A:
l-a b -b c d -e + a b e .
Otro concepto necesario para prpsentar la'fórmula de Mason es el de cofactor dZ una trayectória, o sea el determinante del reograma que queda al suprimir del original los nodos de la trayectoria y las ramas conectadas a ellos. En el reograma de la figura 24 se presentan dos trayectorias del nodo a al nodo ¡r:
Solución de reogremee por inrpeociónFórnul¡
Trayectoria I El cofactor de la trayectoria I es (l-e), pues el reograma que queda al suprimir los nodos :6, xt y rz es l4 automalla del noJo ¡". coilo no- queda ninguna malla al suprimir los nodos de la trayectoria 2, su cofactor es l. con base en las definiciones anteriores se puede presentar la fórmula de Mason. 4.6 Fómul¡
de M¡son
La transmisión entre un nodo fuente r¡ ] rrno no fuente r", está dada por t
Íc
) T¿r k=t -
fr¡a
z es el número _delas trayectorias diferentes entre x¡ y x¡ T* la ganancia de Ia ftésima trayectoria. A* su cofactor. a el determinante del reograma. Para el reograma de la figura 24,la trasmisión entre el nodo fuente xo y el nodo ¡, será Xz
-=
.Xo
a(l-e) + cd l-ab-bcd-e+abe
Las expresiones que intervienen en la fórmula ejemplo anterior.
A, determinant€, = I - ab -
bcd -
de Mason para el
e + abe.
Debe señalarseque la fórmula de Mason es válida cuando la trasmisión por encontrar surge de un nodo fuente y llega a uno no fuente; en general cuando estas condiciones no se c,r-it"n] los resultados qué
dc lf¡¡on
lll
---'1
ll2
Reogramae
se obtienen son erróneos. Para ilustrar reograma de la figura 25.
este último caso, considérese el
Ffuun 25. Reograma para ilustrar el mal uso de Ia fórmula de Mason.
Si se aplica la fórmula de Mason para encontrar la trasmisión del nodo ¡g al nodo .r2 se obtiene
lr ".=!= tz
c l -cd
-
y la trasmisión del nodo ¡¡ al nodo ¡¡ h u r: Z : xs
d = = l-cd
Lógicamente, los dos resultados son inconsistentes pues
h""++. flu
El emor radica en que ni ¡¿ ni rs Son nodos fuente. Si se aplica la fórmula de Mason para obtener las trasmisiones .tr¡\ ir --' se llega a los resultados I = yI /xz \tt
ttl
frz -= Ít
ns -= frt
a* bc l -cd
b+ad l-cd
por tanto Ít
Ít *z -:-=x"- t"-
a*bc b+ad'
; Este último resultado es correcto, pues si se trata el problema alge braicamente se llega al mismo valor de la trasmisión, como se indica a continuación: tz -- ClJ,t* CXs Ía= bÍt* dxr.
Después de la eliminación de la variable r' se obtiene (a+bc)x": .
Íz -:re
(blda)xz a*bc b+ad
(8)
Invereión de trayeetoriae. fnvergión de mallas ll3 5.
Inversión de trayectorias. Inversión de rndlas
Como se demostró en el ejemplo anterior, la fórmula de Mason generalmente no es válida cuando el nodo inicial no es un nodo fuente. Sin embargo, en muchas ocasiones se desea encontrar la trasmisión entre dos nodos no fuentes, xo y r¿, de un reograma dado. Para resolver el problema existen tres alternativas: 1. Proceder como en el ejemplo anterior, esto es, encontrando la trasmisión de un nodo fuente x¡ a cada uno de los nodos en cuestión y tomar la razón entre las dos trasmisiones obtenidas. 2. Replantear las ecuaciones del reograma y considerar ra como una variable independiente a fin de construir nuevamente otro reograma en el cual xo aparezca como un nodo fuente. 3. Modificar el reograma usando inversión de trayectorias, y convertir un nodo no fuente en uno fuente. En esta sección estudiaremos la alternativa nrlmero 3. 5.1
Inversión de una trayectoria
La inversión de una trayectoria (como se verá después) corresponde a intercambiar los papeles de causa y efecto en un reograma, o lo que es equivalente, a invertir la forma de variables dependientes a variables independientes. En el ejemplo 2.1 se vio cómo el reograma de la figura 2 era equivalente al de la figura 3, en el sentido que representan la misma relación algebraica entre las dos .variables v e i. Antes de mostrar el resultado general, considérese el reograma de la figura 2ó.
Figura 26. Reograma para la inversión de una trayec. toria.
Las ecuaciones correspondientes son: Íz=4ÍtIbx"*ex" ¡6¡: cÍz * fx" X t:
dÍt,
Los nodos fuente son r,r, z,s,¡u (variables independientes)
ll4
Reogramaa
y los no fuente son *2, ts,.rr (variables dependientes). Supóngase que se desea hacer de ¡" una variable independiente y de *o una variable dependiente, lo que equivale a despejar ¡¡ de la primera ecuación la b ft=-'¡z--f¿--'t
eee
al despejar ¡¡ de la segunda ecuación I
Íz:-ts--Xr cc
y dejar igual la riltima &=d*s
el nuevo neograma que se obtiene es el de la figrrra 28.
Fl¡¡rr Zf. Reog¡ama quc se obüene al inverür la ü?' del rco ]rectoria \-4-rl grama de la fuura 27.
De dicho reogt?ma se pueden hacer las siguientes observaciones: ¿) El sentido de la trayectoria del nodo ¡¡ al nodo .t¡ se invierte. ü) El valor de las trasmisiones de las ramas invertidas es el inverso de las trasmisiones originales. c) Las ramas que acudfan al nodo ¡s ahora Ilegan a r,z, ! las que llegaban a *z ahora lo hacen a t¡; además, el valor de las nuevas trasmisiones es el valor original dividido por el negativo de la trasmisión de la rama de la trayectoria invertida con la que eran convergentes. Siguiendo los mismos lineamientos del caso anterior, si se cuenta con r¡n reograma arbitrario y se desea invertir una trayectoria de un nodo a otro, se invierte cada una de las ramas de ésta. Las modificaciones que resultan del cambio se ilustran en la figrrra 23. La justificación del proceso anterior se debe a que como z -- dy * ax, I bxz+ ... + crt
Invereión
de trayectoriae.
Invereión
de malla¡
ll5
entonces labc t = A z - A * '- A nz- ... - A r " .
Il¡ur¡ 28. Eftcto vertir un¡ rana.
5,2
Ejemplo
Volviendo al ejemplo de la figura 2 para encontrar 3
conviene
fffr
fs
vertir la rama de trasmisión á. Asl se obtiene el reograma
.{hora, aplicando la fórmula de Mason para encontrar la trasmisión ¡') se tiene h/
a=l
+(o D
T t : CiAr:1
f , : la ; o
4 Íz
a ¿= |
Xs
"+T r +da T
cb+ a
___ b+da
,: que coincide con la ecuación 8. 5.3 -;
Inversión de mallas
l:s mismas reglas que se emplean en la inversión de una trayecto:ueden aplicarse a la inversión de una malla, esto es, se aplica Ia
dc in'
116 Reogramaa
regla general de la inversión a eada una de las ramas de la malla en cuestión. Lógicamente el propósito de inversión de una malla es diferente al de inversión de una trayectoria (cuyo propósito es cambiar un nodo no fuente en uno fuente), pues ningún nodo que forme parte de una malla puede ser fuente. sin embargo, existen dos razones por las cuales la inversión de mallas puede ser importante: a) Reducir el número total de mallas (dobles, triples, etc.) en un reograma. b) Cambiar los valores de algunas trasmisiones. Cada caso se ilustrará mediante un ejemplo. 1.4
Ejemplo del primer caso:
considérese el reograma de la figura 29, en el cual se presentan
Flgun 29. Reograma para la inverslón de una malla.
cuatro mallas simples, tres mallas dobles y una triple, o sea un total de ocho mallas. Si se invierte la malla que pasa por los nodos )h, xz ! ¡e se reducirá el número total de mallas. Al respecto, en los diagramas siguientes se ilustra la inversión de cada una de las ramas. Nótese que las ramas punteadas son las del reograma original que no han sufrido modificación alguna, mientras que las continuas son las ramas que formarán parte del reograma final después de invertir la malla.
rl--) xofF-
Lb/
i(.
I
d/o
¿) Inversión de la rama de ganancia a.
fnvereión
de trayectorias.
Invereión
de malla¡
ll?
I
o ) Inversión
d/o
de la rama de ganancia b.
c) Inversión de la rama de gananciac. Sumando las trasmisiones de las ramas en paralelo se obtiene el reograma de la figura 30 en el cual hay una soti malla.
Figura 30. Reograma que se obtiene a partir de la figura 29, al invertir la malla .r, - Íz- xs.
- hlb
| -d a
5.5
Ejemplo
considérese
del segundo easo!
el reograma
de la figura
3l
donde
las variables
son
ll8
Reogramae
Ft¡ure 31. Reograma para ilustrar la inversión de una malla.
x" (s)
*' (s)
r' (s)
funciones de la variable independiente s. Para propósitos de simulación, sin embargo, sólo se permiten multiplicaciones por un escalar e integraciones, esto es, ramas que tienen trasmisiones del tipo & y ftr. Si se invierte la automalla, es posible llegar a un reograma en el que aparrecenúnicamente estos dos tipos de trasmisiones (figura32)l
fLr¡rl 32. Reograma que se obtiene de la figura 3l al invertir la automalla.
*r (s)
6,
,t, (s)
r' (s)
Modelado de sietemas por medio de reogramae
Una de las formas de analizar los sistemas físicos es mediante reogramas que, como se explicó en párafos anteriores, tiene algunas ventajas sobre los métodos algebraicos. [.a ma¡rera más usual y tradicional de obtener un reogralna que represente el comportamiento de un sistema físico es, como primer paso, escribir las ecuaciones correspondientes, despejar las variables dependientes (una diferente por coda ecuación) y después construir el reograma; sin embargo, se han desarollado métodos que permiten pa' sar directamente del sistema físico al reograma sin utilizar como paso inlermedio la escritura de las ecuaciones. Por ser un tanto diferentes los métodos usados para los sistemas eléctricos, mecánicos, hidráu' licos, etc., no se presentarán aquí en forma explícita, aun cuando se insertará un ejemplo en el cual se podrá apreciar la sencillez y sistematización que puede obtenerse, cuando se utilizan directamente los reo' gra¡nas para modelar las diversas partes de un sistema. 6.1
Ejemplo
Un posicionador es un sistema electromecánico que permite colocar
I
i
Modelado de eistemas ¡ror nedio de reogramae U9 una carga J (el timón de un barco, la torrecilla de un telescopio, etc.) en una posición deseada, mediante la manipulación de un potenciómetro; dicho sistema se presenta en la figura 33.
trf
_t'
EeE
El posicionador cuenta con un potenciómetro de entrada en el que el ángulo d. es al que se desea colocar la carga "I. Por medio del potenciómetro se produce un voltaje .E", proporcional a d", esto es, E. : kr|". Este voltaje se compara con el voltaie Er, el cual a su vez es proporcional al ángulo de la carga J, o sea Et = kt|r.
I
I
La diferencia de los voltajes E" y E. se alimenta a un amplificador a fin de producir, a la salida, un voltaje Ez, eü€ a su vez alimentará la armadura de un motor de corriente directa de excitación constante. El motor produce un par torsor T : krlo, donde /n es la corriente de armadura y una fuena contraelectromotriz E't = kp (donde r,¡es la velocidad angular de la carga). El par torsor del motor cambiará el ángulo 0, y a su vez el voltaje 8.. Cuando E" ) E', el motor girará en sentido de incrementar 0r, y cuando E" 1 Er,lo hará en sentido contrario. a'(s) (o sea la razón de Se desea obtener la función de trarsferencia ñ las trasformadas de Laplace de los ángulos de entrada y salida). Aun cuando una de las formas para encontrar la función de trasferencia deseada es escribir las ecuaciones del sistema, pasar a un reograma y luego, por uno de los métodos presentados en este capítulo, encontrar la relación d,(s) + d,(s), aquí se resolverá el problema construyendo modelos parciales de los componentes del sistema, después interconectándolos a fin de obtener el modelo global.
Modelo del amplificador.
li,
k,
ti"
Figürs ¡13. Esquema de un posicionador.
l2O Reogramae l/s
0s
Modelo de la parte mecánica.
!i::
a¿ a a
Modelo del circuito eléctrico a la salida del amplificador. -1
1r
r- --1 Modelo del motor ideal
ll l_ _ _ J 0e
k'
Ee
Modelo de los potenciómetros.
0s
k,
E4
Modelo del sistema eléctrico a la entrada del amplificador. Ee
EL
-1
Et
Nótese que en cada uno de los modelos parciales los nodos fuentes corresponden a un nodo pozo de otro modelo o a una variable independiente del sistema global, como Io es 0". Los modelos anteriores, interconectados, producen el reograma glo' bal del sistema que se presenta en la figura 34.
Die¡¡¡ma de bloque l2l
I Ftgura 34. Reograma bal del sistema.
[-a función de transferencia se puede obtener utilizando la fórmula Mason. Hay dos mallas simples cuyas ganancias son, respectivamente:
ct
G
EZ p9
Hc¡ 6<
-(-r)(ft"),', M,,,¡ (#) rarffi)(l)rar
HF 8P g=
M"0,=,-t,(#) rr,l(r1)rnr así que el determinante del reograma es -
krkrk"
':i-1"¿*¡¡¡'-.ffi)
k k,
y la única trayectoria de 0" a 0" es
(ft,)[+)(:) r. = (ft,)(1)(k,)(1)(+".J y el cofactor es la unidad, por lo que
0, 0, 7.
k,krk" (sL*R)Jf + k,(k,k" * t.s)
Diagrama de bloque
Otra manera gráfica de representar las relaciones entre las variables de un sistema es mediante diagramas de bloque. Este método, aunque anterior al de los reogramas, aún se usa con frecuencia. Porque la diferencia entre los métodos no es conceptual sino meramente notacional, en lugar de presentar los métodos convencionales de reducción de diagramas de bloque, tan sólo se ilustrará la equivalencia entre éstos y los reogramas. En los diagramas de bloque las variables se representan por ramas, las relaciones causa-efecto por bloques, la suma de variables por sumadores, como se detalla a continuación. a) Bloque. Es un elemento que r'epresenta le relación causa-efecto entre dos variables y equivale a la rama de un reograma. La representación de la relación Íz: Hxt se muestra en la figura 35.
du¡
= ct
(J
Ho
oF
=z
Fut
6<¡
a
glo
122 Reogramaa
x,1 (#
H
b)
xz
Figura 35. Represenu;,r de la relaciói Í,, = l:la. : Por díagramas de bi.4-e (b) Por reogramas.
Figura 36. Representacicc de la relacióo !=tt-r:-4 por medio de (¿) diaEr= mas de bloque (b) reoS:-. mas.
a)
Figura 37. Diagrama de b'' -que y su reograma eq'-.l-! lente
Diagrama
de bloque
123
Figure 38. Diagrama de blo que y su neograma equft¡a. Iente.
b)
b) Sumadol. Es un elemento de un diagrama de bloque al cuat convergen ramas (que representan variables) y emerge tan sólo una que representa Ia suma (con su signo) de las variables contributivas; asf la relación ! = tt - xz * rs S€ representa en la nomenclatura del diagrama de bloque como se ilustra en la figura 36a y que equivale al reograma de la figura 3óá. Con las definiciones anterior€s es factible convertir un diagrama de bloque a un reoflrama y en las figuras 32 y E8 se presentan dos ejemplos.
CAPITULO
Sistemas lineales de parámetrosconcentrados
l.
Intnoducción Considéreseel sistema descrito por las ecuaciones *1r¡ : A (r)x(r) 4 B (r)u (r) y(r) = c(r)x(r) + D(t)u (l)
(1 ) (2 )
donde x(r) es un vector de dimensión n que r€presenta el esta.do del sistema en el tiempo t. u(t) es un vector de r componentes que representa la entrada del sistema (algunas veces llamado control). y(t) es un vector de z componentes que representa la salida del sistema. A, B, C y D son matrices n por n, n por r, m poÍ ny m por r respectivamente. El problema que se tratará en la primera parte de este capltulo es determinar la salida y(f) a partir del conocimiento del estado en el tiempo fo, es decir x(lo), y de la entrada en el intervalo [fo, f], o sea U t ro, r l.
Este valor se obtiene al determinar el estado en el cual estará el sistema en el tiempo f cuando se aplica la entrada urro,¡ y el sistema se encuentra en el estádo xo en f - fo (ecuación 2). Esta última condición requiere conocer la ley de transición de estados que implica la ecuación diferencial (ecuación l). Para ser más precisos en desamollos posteriores, la ley de transición de estados se indica,como se hizo en el capftulo 2, mediante: 9(f, u, &, f.) que representa el estado en el cual estará el sistema en el tiempo f cuando se aplica la entrada urro,,r hallándose en fo en el estado ¡ro. 2.
tey
de transición
de estadog
Para determinar en forrra expllcita la relación entradacstadosalida para un sistema descrito por las ecuacionesI y 2, es necesario conocer la ley de transición. Inicialmente se estudiarán propiedades de dicha función. Una de'las propiedades que facilita el estudio de los sistemas en cuestión es la linealidad ile la función I , o sea kP (t, ur, xr fo) * k ctQ, ü2, xs, f¡)
- I (r, ft(u''+ ur), ft(x' + x2), to) 125
126 Sietemae linealer
de parámetroe
concentrados
Para comprobar lo anterior,.únicamente hace falta notar que si x(r) -
I (f, u, xo, fo)
(3)
entonces, integrando ambos lados de la ecuación I de fo a f, se obtiene
x(r)- J,lo,,r*,,, o,* l,"B(,)u(,)d, { xo
(4)
Si se indica mediante * " (¿) :
I (f, ut, xr, fr)
xu(f ) =
I (t, ur, xz, to\
y por dichas funciones satisfacen las identidadcs
x.( r ) : [' n( "' ) o( ,) d,*[' n1,¡ ,.,1,) d¡ * x, Jtt rlfo x ¿ (r) - [ ' . 1 , 1 ' ¡* r1 " )d*,[ ' ir
rf fo
ol
n 1 ' ¡, r, 1 )d ' ¡ * x,
Multiplicando por k cada una de las ecuaciones anteriores, sumándolas y utilizando el hecho de que rff
kJfG) sG) d* ,k) f{ ,) t"G) a ,:) f{ ,) k[s( " )+ h ( ,)7d, se obtiene la igualdad
ft{x"( l)+ xD( r ) }:
J.o,,r { ft[x"( ' ) a
x6( ") ]]dr
f¿
+ J,,B( ' ) { ft[u,( ' ) a u,( r ) ]]d"* ft{ x'* x ,} que, de acuerdo con las igualdades 3 y 4, implica que &(r"(r) + x¿(r)) -
.Pft, ft{u, * u"}, k(x, + x,),tol
o sea, el resultado deseado. Entonces por la linealidad de la función g, se tendrá que 9 (t,ur,¡,, fu) -
I (t,O,h, to) +
I (t, ur, O,fn)
es decir, que el estado de un sistema en f > fo puede calcularse como la suma de dos térmrnos: uno que corresponde al estado en que se hallará el sistema cuando se encuentra en f,n en el estado xo y se le aplica la entrada cero y otro en el cual estará el sistema al tiempo f, cuando en fo el sistema se encuentra en el estado inicial cero y se aplica la entrada u. Así cs factible separar los efectos debidos al estado inicial xo y los de Ia entrada u. Inicialmente se analizaráel término I (f, O, xo, fo), al que se denominará x¡(t). Debido a que la entrada es nula en el intervalo [fo, f], x¡(¡) satisface la ecuación diferencial
fu( r ) : A( t) x¡ ( )f y la condición inicial x¡(fn) = xn
I.cy de traneición de eetadoo127 El estado inicial
también se puede expresar mediante ¡n :
3
l=l
i I
"o,",
donde ei representa el vector cuya désima componente es I y las demás cero* Laevolución de estados I , por ser función lineal, es, para este caso xr(f) = I (t,O,&,úo)= ? (f,O, 3 ¡n¡e¡,b): i=1
= 3 ¡o, I (t, o, e¡, fo) i=1
donde ? (t, O, e¡, fo) reprresenta la evolución del estado cuando la en. trada es nula y el estado inicial es el r¡ector e¡. Asl pues,si se conoce la evolución de n estados iniciales G't h, . . ., e, cuando la entrada es nula, es'posible determinar I (t, O, xo, fo) para cualquier xo. 2.1
Mafriz do transición
La ecuación inmediata anterior puede escribirse eompacta, utilizando notación matricial: x¡(f) : O(t,
en forma
más
fo)xo
donde iD(f, fo) es una matriz cuadrada cuya iésima columna es I (f, O, e¡, fo) o sea aD(f, t0) = [ I (ú, O, er, f¡), 9 (f, O, er, to), ..., 9 (r, O, e", to)] A la matriz (D(t, fo) se le denomina matriz de transición y jugará un pa¡rel importante en desarrollos posteriores. La matriz de transición del sistema descrito por
i1r¡ - A(r)x(r) cumple las siguientes propiedades t)
o(fo, to) : I
donde I representa Ia matriz identidad
ii) 3*(r, dt
ro): A(r)o(ú,ro)
I-a primera propiedad puede probdrse fácilmente si se observa que o,
'? ( fo, O, e¡, fo) -
b)
La iésima columna de la matriz I es e¡
ei
,
'Recuérdese que cualquier vector x puede escribirse como
l -ql
l'll
ror
l' ; l ="1 I n l .'[ l'l '=
[ai
;|
rol
l. I =rrGr*':c'+"'*r"o"
; i+"'+"1i ]
128 Sietem¡e lineales de parómetros
Goncentr¡dos
La segunda propiedad se deduce del hecho que la función face la ecuación diferencial
I
satis-
I (t,O, e¡, fo) : A(r) ? (f, O,e¡, fo) Puede demostrarse, aunque no se hará aquí, que sólo existe una matriz que satisface las condiciones f y ii. De esta manera, para confirmar si una matriz es la de transición, basta comprobar que cumple üchas condiciones. Otra propiedad que cumple la matriz iD(f, fo) es la siguiente iii)
.D(t, to) = O(f, f')O(f',
fo)
Esta puede deducirse de la propiedad de la ley de evolución de estados, enunciada en el capítulo 2: 9 (f, O, x" , fo) :
? 1t,0, 9(f' , 0, no, fo) fr].
Y como I (r, O, xo, fo) - O(t,
fo)xo
se tendrá que o(f,
fo)xc - o(f, :
O(f,
r' ) I (r' , O, xo, fo) f,)@(fr,
fo)xo
Por ser Ia última igualdad válida para cualquier xo, se concluye que O(f,
y si se particulariza
f") = O(t,
f ') @ ( f ',
fo)
para el caso t : to, se obtiene I - o(fo, ¡o) - o(fo, f1)o(fr, fo)
o sea que el inverso de la matriz de transición 3D(f, r) es simplemente iD(r, f ). A continuación se presenta un ejemplo de la matriz de transición de un sistema de dos dimensiones. Utilizando esa matriz, se confirmarán las propiedades i, ii y iii.
2.2
Ejemplo de una matriz de transición
Considérese el sistema descrito por las ecuaciones
: I o tl[''(r)l* [ol,<,1 [t'(',.¡ 0 lL *,( r ) l L IJ
l*,( t' tl L - l
[¡'(r)lI
y(t) -- [l 0]r
L*"G)J
La matriz de transición asociada a este sistema es
I cos1t- t.)
.D(r'ro): L-r"r,(r-ro) ya que las propiedades i y ii se cumplen
sen( r - r o) l
,o, (r-r")l
i
Ley de tr¡ndeiló¡
Propiedad d:
cos(to-fo) o(fo, r") : I L-sen (ro-ro)
sen(fo-to)f
f='
= [t cos(ro-ro)L [o
Propiedad di:
asen(r-r")l --rl
? cos (t-fo)
at 0[-sen1r-r")I at
aO(f, to) -=
at
=[
a cos(r-ro) |
-sen (t-to)
T] cos(r-r.)l
-coe (t-to)
-sen (r-to)J
Por otra parte llf cos(r-ro) sen(r-ñ)l _ ll OJL _ se(r_ n r" ) cos(r-ro)J r(r-ro) cos(t-ro)l = [-sen
l- 0 Ao ( r , r o ) = | L_t
L-"o, (t-t)
entonces
-sentr-r"lj
aoll to) - A(r)o(r, ro) at
Propiedad fid: Por ser O(t, to) una matriz de transición, resulta cierto que o(f'
fo) = @(f' f')o(fr'
fo)
en efecto, aD(t, tl)Q(f',
|
"*
fo) =
(r-r,)
l-r"r, (r-r,)
sen(r-a):l[
cos(r,-ro)
sen(r,-ro)l
cos(r-r,)J[-*" (r,-ro)
cos (l-r,) cos (f,-ro) (t-f')sen (fl-to) | -sen | -sen (t-tl) cos (r,-ro) | -cos (t-fl) sen (tr-fo)
= (r,-ro)J "o,
cos(r-rr) sen(r'-ro) 1 *sen (r-r, ) c o s(1 , -u ) | -sen (f -1,) sen(t,-r.) | *cos (f -1 , ) c o s(t , -ro ) J Ahora, utilizando las igualdades trigonométricas I
cos (¿+D) = sos aensb -sen4 sen b cos ( -a) = cos ¿ sen ( -a) = -sen 4 la última matriz es tt
J cos(t-t, + f,-fu) I L-sen (t-tr
-f /,-fn)
sen(r-r,+ r,-r")l . . cos (t-t,
I cos(r-r.)
sen(r- r")l
[-se.n(t-r")
cos(r-
I
l=
* f,-fo)J
: o(t' f") ,,,)J
de c¡t¡drr'l!ó
l3O Sistem¡s linesles de parómetroe concentradoe
Conocida la matriz de transición del sistema, se puede determinar el estado para cualquier tiempo t > to cuando la entrada es cero y el estado €n fo €S xo:
x(r)o sea
sen(r-t")l[¡.'-l
cos(r-r")
I
cos(t-r"ll[",,J
L-r.r,1t-t,)
.forcoS(f -to) * ¡o, sen (t-f") ¡'(f ) = : -ror serl (t - t") * ¡o, cos ( I - l") xr(t)
En resumen, la ley de transición de estados I , para una entrada nula, puede escribirse como I
(f,0,
xo, fo) -
@(f,
fo):co
donde O(t, t") es la matriz de transición del sistema que cumple las condiciones t)
O(fo, A
ii) i
dt
2.3
fo) :
I
o(r, 1") : A(r)iD(r, to).
Evolución del osttdo nulo
En esta sección se analizará el segundo término de la ley de transi' ción de estados' o sea g (fr, u, o, f.) Como se ha supuesto (sección 1) que la entrada es una función vectorial del tiempo r con componentes' es posible expresar u(r) - ur(t)er -l u,(t)e' + ... *u'(t)e, donde los vectoreS e¡ Sorl los unitarios definidos en la sección ante':lor y las funciones r¿¿(f) son escalares. Aplicando la propiedad de lineali' dad de la ley de transición de estados se obtiene g (fr, u, o, to) : É ? (tt, u¡ei, o, to) De esta forma, el prnblema de la determinación de la evolución del estado nulo queda prácticamente resuelto una vez que se conoce I (h,ui ei, O, to). Ye que cualquier función a (que tenga un ¡úmero finito de discontinuidades) púede aproximarse en el intervalo [fo, frl por la suma de unas funciónes pulio, es posible efectuar las siguientes operaciones: ¿) se divide el intervalo [fo, fr] en n subintervalos iguales, cada intervalo de longitud
t'=nto
- a-
b) Se define la función pulso Pa(f) como (figura 1)' I
I
Lcy de |rou¡lcfón de e¡tedo¡ lSl
pd(f-4A\
nr¡r¡ f. Dcdnictón dc l¡ ñmdóu po$).
=.l+si 0 (f p^(r)
L0 para ot¡os valo¡es de t.
c) Entonces el valor de ¿r en el intenralo [fo, frJ puedeaprcximarse por (figura 2). ut(t)
[¡ rllur¡ dclpulmcs:
u(t,+Al aaaaa
to*2L
to
u(t) - ld5e(r"+l¿) pa(t-r"-&¡)¡ d) la er¡olución del estado nulo en el intervalo [fo, fr] crrando la entrada es qr¿r pude aproximarse, debido a la linealidad de 9, p o r 9 (h,eu¡\,h)
=
I [tr, 3 ¿¡ (to*ft¿) p¡G-to-kt)Ae¡, }{
o, fo] =
t
= 2 w (rr+fta)¿ ? [fr, p6(t-to-&¡), *=o
c¡Q t ]
q,O,fo) es el estado del sistema en fr donde g (tupa,G-t"-lct) cuando en to es O y se aplica h entrada pa(t-to-A)et.
narl!¡ t Aprodmadón dc úa¡ fr¡ndón ür(f).
132 Sistemas lineales de parámetros coneentradog
Antes de continuar el desarrollo, conviene presentar un ejemplo. Ejemplo Considéreseque la entrada ¿(t) es como se indica en la figura 3 y que el intervalo [fo, ft] se divide en tres partes iguales. En este caso, la aproximación de a se ve en la figura 4.
0.9 0.7 0.5
Figura3. La funciótr4rro,r,t.
Figur¡ 4.
Aproximación de
41t., I.
Supóngase ahora que las funciones ?lt, p^(t-ts-la)e¡, como se muestran en la figura 5.
Í.¡gur¡ 5. Las evoluciones g Í . Q ,p^( t - r o-k 4 )e o ,o ' fo 1 .
0, f6] son
po(r- r.)
glt, p^(t - fn)c r,o, fn]
pa1 - t,'-a)
gIt, pa(f -f,,-a)
e i, O , f o]
tt
pÁt-t,-2L)
glt, p^(t-f,'-2a)
t
e¡,O,f,,]
ky de traneición de e¡t¡do¡ 133 Entonces: g(h,u e¡,O,f¡) : {0.59(f,, p6Q-to)er,O, fo) + 0.79(t,, pa(t-to-a)e¡, O, fn)* 0.9g(f,, pÁt-to-2L\, ei, O, fo))a = : (0.5 X 0.1 + 0.7 X 0.3 * 0.9 x0.4)a :0.554. En general, para. cualquier valor de ú en el intervalo [to,fr) el valor aproximado de 9(t,u¡e¿,O, fn) se obtiene de manera similar. La función f(f,*). tu(to+lct)p¡Q-tr-A)",,
O, fo) se muestra en la
figura ó.
Figura 6. Aproximación g(t,u e¿,o,to).
Cuando re, el número de subintervalos en que se divide [fo, f'] se aproxima a @, entonces la función p¡ se acerca a un impulso de área unitaria, o sea
l ¡g r^tr¡: 8(t )
donde I es la función generalizada impulso. variables De esta rorma'si se hace
:t:"1::1^ue se tendrá que L:
do
v para el intervalo de valores de t entre t¡ y tt, es cierto que fr t
u¡(t) : I u,(")t(t-") d " .t !o v l a a pr ox im ac ión d e g (f,, u ¡e r,O ,fu ) s e c o n vi erte en l a i gual dad ep( t t ,ü & i ,o , f,,) :
[ ,),(" )* (r,, .t r"
ó (f -o)e¿, o, to)do
(s)
Entonces, es posible expresar la evolución del estado cero debido a ::na entrada uiei en función de la evolución del estado nulo cuand<¡ la cntrada es el impulso 8(t-o)e¿,eü€ ocurre en f : o. Por las conside' raciones anteriores conviene examinar la función 9(t',6(t-")e,,
o, f,,)
: la cual se designaráx"¡(f'). De acuerdo con la ecuación 4 de la sección 2, x"¡(t) debe ser la única '¡nción que satisfaga la ecuación
134 Sigtemas üneales de parrímetros
concentradoe
*"t ( r)
fLurl 7. Esquematización g(fr, 8(t-c)e¡, 0, to) para el sistema: i( r ) = A ( t ) ¡ (t) + B(f)u (t)
+J'B (r)8(" -o)e¡dr - J',1"¡*o¡")d" g(fr,0, B( c) c, i, a)
b ¡(' ):B (n)e¡
Para determinarx"¿(f) se dividirá el intervalo lto,trf en tres partes. Considérese f ( a; entonces, como 8(z-c) es cero para valores de ¡ en el intervalo fto,o), se tiene que o)e¡ dr = o
['
¡l to
y resulta
"1'¡r1"-
x,,(r) = [' n1,¡* oi(,)d, J t¡ y la única solución de esta ecuación es *oo(') : O, ya que la entrada vale cero y el estado inicial es nulo. Considérese ahora el intervalo [o - r, o * donde € es un número "), positivo arbitrariamente pequeño. En este caso I o+e cuando s +0;
A{,)*"¡(,)dt- o J"_"
así que xo¡(o*r) :
["*'Bq"¡r1r- o)e¡ d+
J o-e
pero de acuerdo con la propiedad de la función impulso f o*c
: f(o) J"_"l{')a{'-o)dt se tendrá x"r(ofe ) - B(o)e¡. En el interwalo [o*",1']
la función 6(z-c)
vale cero; por ello
x"o(f) : 9(t,O, B(o)e¡,o) ; t2o que de acuerdo con las consideraciones de la sección anterior se puede expresar como x"¿(f) - O(t, o)B(o)e¡i tlo donde .D es la matriz de transición del sistema. De esta manera es posible escribir la igualdad lOsic)r 9(r,6(t-o).¿, O, ¡n) : J L o(r, o)B(o)e¡ si o ( r
ky de tr¡u¡tclón de e¡t¡doe 135 Volviendo a la igualdad 5, se tendrá que p(t,uiet,O, fo) :
Pt
I a,(")E(r, 8(f -o)e¿, O, to)do
rl fo
en el interr¡alo de integración c 1t; g(t, u+et,O, ro) : 2.4
por lo que se concluye que
Pt
I iD(f, c)B(")w(r)etdr.
rI t¡
Fórmula de variación de parómetros
Conjugando los resultados de las dos últimas secciones, puede escribirse en forma explícita la ley de evolución de estados, denominada :omúnmente fórmula de yaríación d.e pardmetros: g (f, u, xo, fo) = 9(t,0, xo,fo) + gG, u, 0, fo) - o(t,
fo)xo* g(t,iuo"r,O,to) r
:
0 @ (t, fo )x e 4 ) p (r, u i ei ,O,to) i=l
,lt
:
rD(f, l"):r. + )
I
i=r ¡l úo
e
rD(r, o)B(c)eido r
ltt
= O(r, ro)xo*
ui(o)e¡ do | o(r, c)B(c) 2 i=l n'!'
- .D(r, ru)xo*
| to o(r, o)B(o)u(o)da
S/eZl
g( t , a, : K o , fo ) = @ (f, fo )x o *
l¿ J ,"
* (t ,
c)B (c)u(o)do
De la propiedad de la matriz de transición O (r,
c) :
C i (f, ¡o )O(fn, o)
a formula de variación de parámetros puede escribirse como: rfr'l I (r, u, ¡5",fo) : Q(¡, fn) | x, + | o(f,,, o)B(o)u(o)do I Jtn L
J
Para saber si la ley de evolución de estados efectivamente es la ;ú:rccta, basta comprobar, de acuerdo con la sección ó del capítulo 2, {E s€ cumplen dos condiciones: Si x(r) : g(f, u, xo,fn) d) x(f,) : a ii)
r(r)
: A(l)x(r) + B(f)u(t).
Fara ello considérese la condición i). C,D
136 Sietemas üneales de parómetroe
eoneentr¡dos
x(fo) :
i o(fo, fo)xo *
["
o(ro,c)B (o)u(a)dc
rl t¡
y como O(fo, fo) : I y el intervalo de integración es nulo, se concluye que x(to) - xo. Para la condición fd), derivando los dos términos de la fórmula de variación de parámetros 3
¡t?
x(r): = ' o( r ,r o) xo* o( r ,r ) B( r ) u( l) + I io( r ,o) B( o)u( o) dc ot todt J
= A(r)o(r, ro)xo+ B(r)u(r) + [' .l(r)o(r,o)B(o)u(o)do tl to :A(f )
l-
¡t
lo (r, f o )x 6 4 I L
'l
o (r, c )B (o )u (c )d " l*
B (l)u ( l )
J
Jtr
= A(r)x(r)+ B(r)u(r). La secuenciade pasos utilizados en la derivación de la fórmula de variación de parámetros se representa en forma esquematizada en la figura 8. Conocida la ley de evolución de los estados, puede entonces presen tcse la relación entre la entrada-salida+stado que corresponde a la función f [x(r), u(f)] del capltulo 2. Como y (r) = C(r)x (r) + D(f )u (r) - f lx (l), u (r), 1 entonces,utilizando la fórmula de variación de parámetros, se obtiene y(t) = F{xo,u¡r"r¡} = = c(r)o(t, ro)xo+ [' c(r)o(r,o)B(c)u (o)do * Jtr
+ D(t )u (r)
(ó)
De la expresión anterior puede comprobarse que los sistemas des' critos por i1 r¡ : A (r)x (l) + B (r)x (r) y (t ) : C(t )x (t ) + D(r)u (r) son lineales de acuerdo con la definición del capítulo 2. La matriz* T (r, O = [ C(r)iD(t , t )B (()u -' (t - O + D(O ¡(¿ -( ) ] conocidacomo patrón de peso o matril de respuestaa impulso del sis* ,-r(t)
indica un escalón unitario.
Iey de transición
¡:
* B (t)u :
l (t)x
de estcdoe 13?
r(fo) :¡o
Lcyde evoluci6nde cstrdos p( t t , u, ¡ o, f o )
fi :
::..._ t.t::.,
)?(rt, i =1:::::.:" :
.
.
:.- ^ .
ui e¡,O,to) :
:
:
::
,",,")P[¡',s(r-o)Gi,o,ro] I ,.á
9 (l ' ,8 (f
-o )
e ¡,O , fo )
g (ú ,,O , B(o )e t,a )
o (f, o )B (a )€ ,i
t o( /r, úo)rn
'ema tiene un significado especial y este es: si en lel estado del s,:itema es O, el elemento (i,i) corresponde al valor de la iésima com:-::ente de la salida cuando la i-ésima componente de u(r) es un im::lsc unitario que ocurre en el tiempo f y todas las otras componentes =- n nulas. La importancia del patrón de peso radica en que a partir de él puede :alcularse la respuesta del sistema debida a cualquier entrada cuando :l estado inicial es cero, sin necesidad de realizar ninguna otra medi:ión sobre el sistema. De esta forma el patrón de peso caracteriza completamente la rela-
üUlllml
Figura 8. Esquema de la de rivación de la fórmula de variación de parámetros.
138 Si¡tem¡s
lineales de parómetros
concentradoe
ción entrada-salida, con estado nulo, en los sistemas lineales de pará' metros concentrados. De la ecuación ó se deduce que el valor de la salida para cualquier f ) /o puede determinarse si se conocen el estado €Il fo, la entrada en el intervalo fto, t) y la matrtz de transición' En la siguiente sección se presentarán algunos métodos para obtener la matriz tD(t, fo) para aquellos sistemas en que A es una matnz constante. 3.
Matriz exponencial Considérese el caso en que la descripción interna del sistema tiene una matriz A constante. Dé acuerdo con la sección 2, la matriz de transición debe ser la única que satisfaga las condiciones i) ii)
iD(f,f):
I
a
:
dt -@(f,1o)
A i D (f, fo).
Considérese la matriz
dada por la serie infinita
G (r ,r o: ) I + ( /- /,,¡ l*
( ¿ - - r ' ) ' A= +'
"'
+ Ak+
la cual es convergente. Nótese que G(fn, to) :
I.
Si se toma la derivada , con respecto a t, de cada uno de los términos, resulta la serie
o + A *? Po 2 + .'
' *k( t- l:) *' A- ,+
Factorizando la matri z L y observando q,re : : (k-1)! :* ' kt.
se obtiene
( ,t;t:t;' A*- ' ¡ ,[r + ( t- t,,) a+ . . (/<_l)! + "' - l I
L-
gue es igual a AG(r,t,,). Como esta última serie es también uniformemente convergente, la derivada de G(t,t',) es igual a la serie que se obtiene derivando cada uno de los términos. Así, puede concluirse que AG , (t, t,,) : ct
AG(t, tu).
Por satisfacerG(/,/,,) las condicionesf) y ii), es la matriz de tran' sición buscada, luego entonces
o(r,r,)= t+ (r-¡,)n*
(?A'+'
+A*+
...
Illatriz
Por similitud con la serie que define ,¿o',esto es a2
ah
r*a+l+...
¿c=
+ t l + ...
se ha convenido en denotar como eu, cuando M es una matriz, a la serie M2
I+M+
2r
entonces, haciendo M - (t-fo)A
+
M3
3!
Mk
+"'+
H +"'
se puede escribir la igualdad (ú-fo)k
Q - t o) "
.r-1")l+:fA'+'
¿tt-tota :I+r
Ñ+ "'
o sea que la matriz de transición puede escribirse en forma iompacta como fo) :
o(f,
¿GutotA'
Por ser ¿(t-totA,la matriz de transición del sistema i(r) : A*(l) tiene las siguientes propiedades i)
O(fo ,
t¡) -
¿t t o- t o) a-
eo^ :
eo :
I
ód
ii)'dtat ;:O( f , iii)
iD( f z ,
f o) = f o) : :
iv)
e( t ' - t nt [ :
[ ¿( ú - r o l r -
AaD(f,
fo)
O(f,, g( tt- tr \t
f r ) O ( f 1, ¿( tr tollA
to) :
¿ ( tr tol a
haciendo tz : to en la igualdad anterior se obtiene l :
e ( to - tt,t g ( tr to lA
o sea que fet,rl-r:
g-ta.
Debe tenerse presente que er^ es sólo una convención de notación, por eso algunas de las propiedades de ¿ot cuando a es un escalar, no se pueden extender a la funciín ét excepto bajo condiciones especiales. Por ejemplo, la igualdad d eb :
eo'b
aunque válida para el caso en que ¿ y á son escalares, no es en general cierta para el caso matricial; esto es e^ eB + eA+B
sin embargo, cuando AB - BA (las matrices A y B conmutan) enton-
F
exponencial
139
i'lfl)r k
.hnorlcde prrfnoeroe oouocnrr¡do¡ ces puede afirmarse que . e^ea= éú Por la forma de la serie que define la matriz exponencial, se cumple que Act^ _ et^L
esto es, la matriz
ex¡ronencial de a conmuta con la matriz
r,As-las
aLI+at+;t,+...J
=a+.Nr *;n
a porque
$... =
= + o '* [t # * * ...]o La serie que define ¿(''t¡tl puede utilizarse para enoontrar "la , matriz de transición. Ejemplo Considéreseque un sistema está descrito por:
f ¡ l,.l I o
ll fr , I l- s] = [i,J [-' oJ|.;J.IiJ"ttr I¿ matriz de transición es
o(r, ro)= ¿(t-tu¡¡= exp(r-r") e t^ =r *r A4
;]
[_l
***...
=f; I.'[_:ll.+[-l;]t_l ;l .sf_l;lt_: ;lf_:;J. = -#l =[ I. [_:o1.|-# :1 .[ : J 'Io - # ] [* ¡ i oJ
Efectuando la suma se obtiene
r-'+T-
-t2t1 ota
_
- t,+
ftn
3!
"'
- 5! + "'
tE
tó
t --+ -+ 3!
5!
t-!*r
3!, ' 3!
I .J
Matriz ex¡nnencial
l4l
Identificando cada una de las series que aparecen en la matriz anterior resulta senf-l f cos/
g 'n :l
cosfl
L-senf
o sea que
I
sen(t-t")l c o s( r - r . ) J
co s(t-r'" ) ", , _,rn _L-sen l (¡-t")
a ,l ,
.l
a' {t
que, de acuerdo con la comprobación que se hizo en el ejemplo 2.2, es la matriz de transición del sistema. 3.1
Obtención de eA' modiante la transformada de Laplace
De la sección 3 se puede concluir que la matriz de transición para un sistema en el que la matriz A es constante, tiene la propiedad @ ( /,
fo ) :
¿ ( t- to ¡ ¡ -
O( f
-fo,0)
por lo que la rnatriz de transición depende únicamente de la diferencia t-to, lo cual quiere decir que I (f, O,xo,fu) : I (f -fo, O,xo,0). De esta manera, si se conoce O(f,0), para cualquier valor de tz y fr, ¡la eüe
puede determinarse @(fr, fz)
rD(fr, fr) : @(fr -t",0). Vale la pena examinar entonces @(f,0), ción satisface d
o sea e,A. Como esta iun-
lle tA - 'd€tt^ :
es posible tomar la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación, o sea* fdI
I
lí
"'^J:
-tllt'et^l
* La transformada de Laplace de una matriz se define como otra matriz cuyos elementos son las transformadas de Laplace de cada uno de los elementos de la matriz original, o sea
I p,,(l) 0,,{t) _' ' {p(f )) = _/, -l |
I p * ,( r \
p,,(t) . . . pr"(t) f
Pr r ( t ) . . . P"o( t . )
p^ ,(t) . . .
| Prnrft) ]
f /i r,'(r)J
!|p,,(t)l Ilp,Jt))
l1'¡p-,trti
!lpn2(t)l
-- | J ' [p ,,(t)]
.. . -Ctp,"(t)l f ... Alp""(t)7 ...
| -Clp^^(üll
¡.t
\
f.
;l
142 Si¡tcmas line¡lee de ¡nrlmetroe
concentradoa
y de acuerdo con las propiedades de la transformada de Laplace
rl*L c t t"'4: s[f.et^1 -"'^llt -o J : sllet^-J - I Además, debido a la linealidad de la transformada de Laplace lffuet^l - lúfet^l se obtiene la ecuación s-C.fet^f - I:
A-Clet^f.
Factorizando-tfet^j se logra la igualdad (sI-A)
llet^J - |
y se concluye que !le'^J - (sI-A)-. De acuerdo con el resultado anterior, para encontrat et^ puede determinarse primero (SI-A)-' y encontrar su transformada inversa de Laplace. Ejemplo Considéresenuevamentela matriz A del último ejemplo
A:f la matriz (sI-A)
0
1l
L-r
ol
es,
ll | 0 I s -l l : = Lo 'J |--' oJ L*, s_JI [s
0l
( s I - A) .
Para encontrar el inverso de la última matriz puede utilizarse la igualdad*
M-'.:
Adi Gvl) det (NI)
clonde det (Nl) denota el determinante de la matriz Nl y Adj (M) es la matriz adiunta (o adjugad,a) de lll que se define como la que se obtiene al trasponer M y rernplazar cada elemento por su cofactor. Así que det (Is-A)
: s2 * I
y ndi Qs-A, : [_; * Apéndice 2.
:]
Motriz ex¡nnencial
cntonces
.:]
( r s - A) -:*[_ ;
f s : ls' + t
I sf+ l
Ls'+ t
s'+ t
s
| -1
s 1 es cos r, y la de -e s s'+ t s'* l
v como la transformada inversa de sen t, se concluye que
sentf
I cos t | L-sent
e'n:
| costJ
resultado que coincide con el obtenido mediante la serie que define et^. Ejemplo Considérese ahora la matriz
A:l
I
2
-4 ]
L_t
s-lJ
para este caso
ol
( r s - A ): [ t - '
s -5 J L I de t ( l s- A) = (s-2)(s-5) -4: s'- 7 s * ó : (s -1 )(s -6 ) -4 ]
Is-5 A di (Is-A ) = | L -l
I s -2 1
v reuniendoestos resultados
['-s-4
I
(rs_A¡_, : ffi : l,'-tl,;-.,,'-:,1,-r,l IFil('-ótl tis{)G5-
y la transformada inversa de Laplace de la última matriz es:
" ,] l! " , a!s " , , !s" ,-!" s
,t.4- 15 lr
I
lg "'-3 ""'
1 .4 ^ .1
I
5e' * 5e"' l
Debe aclararse que al tomar la transformada inversa de una función de s, la función del tiempo que se obtiene está definida únicarnente para /)0.
143
144 Sietemae lineslee de parámetros
concentradoe
Es de utilidad obtener la matriz de transición por medio de la transformada de Laplace, cuando la dimensión del sistema es pequeña y se desea una expresión analítica para o(r,0). En el caso de que la dimensión del sistema sea grande y se desee obtener valores numéricos cle la matriz, hay una manera eficiente para hacerlo utilizando la computadora digital. El método se basa en la propiedad el t[
etz A :
¿ ( ttt2¡ A
así pues, si se desea calcular etA para valores de / : a,2a,3a, ..., nL, mediante la serie que define la matriz exponencial, se calcula ea1 Conforme ¡ es más pequeño, la serie converge más rápidamente. Conocido €aa, se puede calcular eL^ eL^ :
e z A A:
(eat¡z
e iterativamente d^^
"tt
" ( r - ') t t
La ventaja de proceder de acuerdo con el esquema anterior es que se utiliza la serie que define etA sólo una vez. 4.
Sistemas invariables con el tiempo
En la sección anterior se demostró que la matriz de transición de los sistemas que tienen una matriz A constante era rD(r, o) - @(f -o,0)
: s(t-o\t'
Considérese ahora Ia relación entrada-estado'salida para los sistemas descritos por ecuaciones del tipo
*( r ) :Ax( ¿) aBu( r ) y( /) = Cx( r ) aDu( r )
(7) (8)
donde A, B, C y D son matrices constantes. De acuerdo con la fórmula de variación de parámetros
y(f):
Cett-to'^**J;
Al cambiar f por f-I
C ett-o,^B u(o)dc + D u(t).
se logra P t-z'
Bu(o)do + Du(t-T) Cett-'r-or^ I -. Al sustituir la variabf" ¿" i.,llgración o por ( - Z se obtiene y(t_ T) - Ce,t"-t,rn*
y(f -?")
:
Cett-tÉrtAo,*
[ t *t 'J
Cett-(,^Bu((-T)d(
t o'r
+ Du (¡-I ) y por ello el sistemaes invariablecon el tiempo de acuerdoa la definición del capítulo 2, porque If ¿0.¿i :
F{x,,, u1¿0, t1)
Si¡temae invariabler oon ol üempo l4{l implica !¡to-r, t-r1 = F[xo., Rr{u1¡0, tl}]
:
RtF{xo, u¡¿0,¿l}
El patrón de peso (o la respuesta a impulso) de estos sistemas es :
H(f -o)
Ce(t'o)aBa-r(f-")*D8(f
-o)
y como esta función depende únicamente de f-c, pulso puede escribirse como
la respuesta a im.
H(t) = Cct^Bu-,(¡.)+ D8(t) esto es, si el estado en f = 0 es cero y se determina la salida cuando cada componente de la entrada es un impulso que ocurre en f = 0* la salida asociada a cualquier entrada estando el sistema en el estado g puede ser calculada sin necesidadde conoeer absolutamentenada adicional del sistema, porque y(r) - [' H(r-o)u(c)dc. tl úo Esta propiedad no abarca los sistemas variables con el tiempo porque en ese caso la respuesta a impulso no sólo es una función de la diferencia f-o sino de f y s. Esto quiere decir que debe determinarse la respuesta a impulso para cada valor de o y no sólo pora c = 0. Eiemplo Considéreseun sistema lineal e invariable con el tiempo. Al aplicarle un impulso en f = Oestando el sistema en el estado nulo, se obtiene la salida que se muestra en la figura 9.
Fl¡¡ura 9. Respuesta a impulso del sistema.
Entonces si la entrada fuera u(t) - cos t, la salida serla Y(t) = f' e-"-n' cosa d,o J0
: r'
eo coso d.o: e-t ,feo (cos o + ,rro "){'
Ito ¡t
:?(e, (cost + sent)-l) ¿. -l[cost+sent-e-'f, b
Gr¡i.reraciones
de Ia sección 2, capltulo 2.
146 Siatemae lineelee de parrímetroe concentradoe
Esta función se muestra en la figura 10.
Y (t ) / rt ,
(c o s r * s e n r)
.-
--I Figura 10. Respuesta del sistema cuando la entrada es cos t.
0.5 e-l
5.
Linealización
Como se mostró en la sección 7 del capítulo 4, es posible elaborar modelos que no tengan la propiedad de linealidad. Ya que no existen procesos generales para resolver analíticamente ecuacionesdiferencialesno lineales,en la mayoría de los casoses preciso recurrir a métodos numéricos. Sin embargo, a diferencia de lo que sucede en los sistemas lineales,t en los no lineales, para cada entrada y cada estado inicial se debe recurrir a los métodos numéricos a fin de encontrar la salida, porque ésta no puede inferir a partir del conocimiento de las salidas debidas a otras entradas y otros estados iniciales Ante la dificultad de conocer el comportamiento de un sistema nc lineal bajo todas las entradas posibles y todos los estados iniciales se trata de describir su comportamiento alrededor de una soluciór' esto es, que una vez conocida la salida y*(l) del sistema debida a una entrada u*(f) y un estado inicial x"(f,) se requiere conocer la s^liC: y(r) debida a una entrada u(f) "parecida" a u*(l) y un estado inici:,, "cercano" ax*(t). Como se verá a continuación, es posible obtener una descripción line:del sistema cuya salida i(t) debida a la entrada ü(t) : u(l) - ¡*r: y al estado inicial i(f,,): x(f,,)-x*(/,,) es aproximadamenteigual a -' diferencia y(¿) -y*(¡). De esta forma Y(t)=y.(/)+i(f). Considéreseun sistema no-lineal, invariable con el tiernpo des;:.:, por las ecuaciones
i1 r¡ : f [ x (¡), u (¿ )] (9, y(f) :
g[x(t), u(t)]
t Como se vio en secciones anteriores, dichos sistemas tienen la propicdad que si se encuentran las respuestas a unos cuantos estad<.¡siniciales y unat entrada, se puede construir la respuesta para cualquier estadc¡ inicial y cualquicr cntrada.
Lincaliaión La función de evolución de estados para este sistema, I (,t, u, xo, /o), . debe satisfacer: i)
la ecuación diferencial ñY
;:f(e,u) ii)
la condición inicial ? (fo, u, xs, f¡) :
xo.
Supóngase que la evolución del estado se ha determinado el estado inicial es rq* y la entrada es u*(f ), esto es I
cuando
(f, u * , x o * , f" ) - x * ( t).
La función x*(r) debe satisfacerlas dos condiciones t7x- tfl
- f[x*(r),u * ( f) ]
i
v x"(fo)
:
xo
así que y*(l) : g[x*(r), u"(t)]. Ahora, si la entrada que se aplica al sistema es u(t) y el estado inicial es xo, pueden definirse las nuevas funciones u (f) - u(r)-u*(t)
:
i .(r)
i ,(r):
g (f, u , x o , fo ) -x * (f
)
f(p ,u )-y*(r).
Cuando las funciones f y g puedén expanderse en una serie de Taylor alrededor de u"(r) y x*(f), entonces las siguientes relaciones son válidas.t
df af son las formas abreviadas de escribir las matrices v t üx-
0t
-0f t
ot,
dJc, 6x,
al dx
¿¡f üfz "
u:.,
at, oÍ, -*t
,,,
H
,l ,i,l ,r" )
af -=
f af' itt, | ,", oü" 0Í, ol,
a Í r1
,"_I
du
0l^ 0l.. 0u, 0u,
A
147
148 Sistemas linealea de parámetros eoncentradog
f[x(r),u( r)] : f [ x * (r), u * (r)] .
.
(* * , r* )]
[ x (r)-x * (r)]
*
( x * , u * l] t " r t l- u * ( r ) t + . . .
[*
g [x(r),u ( r ) ]: g[x*( r ) ,u"( r ) ].
.
[*
[H
[*
( x*,u*l] t"fr l- x"( r ) l +
( *" ,o *) ] [u ( r )- u *( r ) ] + . . .
Las series que aparecen en las dos ecuaciones anteriores pueden aproximarse por los primeros términos cuando las diferencias y [u(l)-u*(r)] son suficientementepequeñas, lo que [x(r)-x*(r)] equivale a decir que ñ1r¡ y;(t) son pequeñas. Si es el caso, entonces es factible obtener un sistema lineal que describa la evolución de i(t) y iG).Dicho proceso se denomina linealidet sistema. zación A continuación se determina el modelo lineal mencionado arriba y se presenta un ejemplo de aplicación de esta técnica. Restando las ecuaciones diferenciales que satisfacen las funciones g y ** se obtiene . I -** - f[ 9,u] - f[ x* ,u*] pero como ilr¡ : g -x* y utilizando la aproximación de la expansión de f ( 9r *, ü* ), se obtiene
i(,) :
[*,*.,'.¡]
;trl .
[*
qx*,u"¡] fi1t¡.
Nótese que una vez determinada la función x*(f), los coeficientes ¿e i(t) y ñ(r) son funciones del tiempo gue no depende de i(r). oe esta manera se obtiene una ecuación del tipo itr) : A(r)i(r)+B(r)ñ(l) que es lineal. Para determinar la ecuación que satisface y(t) se procede de ma' nera análoga: Restando las ecuaciones que determinan y(f) y y*(l) se obtiene
i( r ) : y( r ) - y*( r ) : s( 9,u) - g( x*,u*) y utilizando la expansión de g(9,u)
se logra la ecuación lineal
i(r): [H,*.,'.)]it,l +.[*(**,'*)] ñ(¡)
Linealización
que es de la forma
i ' G ) : c ( r ) i ( r )+ D ( r ) ñ ( r ) . 5.1
Punto de equilibrio
En los sistemas no lineales son de particular
interés los estados ll¿-
ryú?t de equilibno, o sea aquellos para los cuales existe una entrada u*(r) tal que 9 ,(f, u * , x * , fo ) :
x * p a ra t )
to.
(1 0 )
Esto significa que el sistema pennanecerá en el mismo estado mientras se aplique la entrada u*. con la ecuación 9, un punto de equilibrio cumple con ,^ ^O^"_-1,"-Y:.do ra condtclón i*-o-f(x*,u*) o sea, que el estado no cambia. Ejemplo Considérese nuevamente el ejemplo 7.1 del capítulo 4. Las ecuaciones que describían ei sistema eran dh,
i :-!h ,(t)+q a (t) dh" ,t/h ,(t) -,J h,( t) : i
Y ( t ):
h , ( t ): l 0 rt ffr ' ftl1 L h , (t ))
do.1{eq-o(t)representala entrada,h,(t) y r¡,(l) ros estados y y(t) ra salida. si q* - 3, entonceser punto de équilib.io estádado por ros valores de h, y h, que satisfacenlas ecuaciones
-t/7 ,*3 :0 ,/-F ,- !h ,: h i :9 ;
o
h i =9 .
Ahora bien, si la entrada es 3 * ií(t) y lñ(t¡l ( ¿ donde r es pequeño y además,h,(0):9 * E,, h,(0):9 I' Y 6, SOncan+ 6,, d<_¡nde tidades pequeñas,la evolución de ñ, (r) : h,(t)_g y ñ,(t) : h,(t)-9 cumple con la ecuación
a [ñ,1t¡
[,' f
n li,,t,¡ = l -l¡ h; tro .
.. llñ,(t)
,q^)ll lL lt,( t )
.L; (h.,qn) 7t(t)
149
l5() Si¡tcm¡s
linealee de parómetro¡
concentradoe
pero como
t =l-'/-h' + q''l L ,tA -,/El
entonces
Ia(-{T, + q.)
u'=l TTl =1 ffi
a[-l
d(-fi_+ qf ]
[+
vo ]l
dto/-F, -,/Dl
I I
-l I
ryo/E-,/T) ah,
¡
?h, f a
J
Lzllh,
2,,/h,J
I
ar I u^( - \ / h' + e") | f t l v *:ig (,,r8 r " zt ' -- -nl=LoJ J L?qo " al evaluar las derivadas parciales anteriores en el punto de equilibrio setiene r-r l
=lT j, l,#(h*,q*): ft(r*,r., l;] Ló -e-J af
o sea que el modelo linealizado alrededor del punto de equilibrio es
=l-',',2 #l\:,',',ll l']ot'r -:,.]lf""l',:,1* y la salida [G) : y(t) -y*(t) : y(r) -9 estará dada por -'l
rio 1fle * Lü(h",s*))O(,) i(t) - Lfit..,e.)Jh(r¡
: [o t]f,( r ) . 6.
Controlabilidad
En ocasiones es necesario resolver el siguiente problema: ¿Dada la representación de un sistema por medio de variables de estado y si en f = to está en el estado xo, existe una entrada ürrn,r,t que lleve al sistema al estado xr €rr f : fr? Utilizando la notación que se introdujo en este capftulo, el proble' ma anterior puede plantearse así: dados xe, X1, to ! tr. ¿Existe una entrada urro,rrt tal que I (fr, u, &,, fu) : Xr? Cuando la transferencia entre los estados definida arriba, se puede realizar a partir de cualqui€r xr €rl fu, 4 cuolquier x' en un tiempo arbitrario tr ) tu, se dice que la representación del sistema en cuestión es completamente controlable o (por brevedad) controlable. Si la representación del sistema es lineal y es posible transferir
C.onhohbüdúrl
l5I
cualquier estado al estado cero, entonces, es controlable. Esüo puede rerificarse de la siguiente manera Para los sistemas lineales la igualdad (11 ) I (tuü, x¡, f6) = xr es equivalente a x, = e(fr, r")x. + [" o1rr,c)B(c)u(c)dc Jtr
y oomo esta ecuación puede escrlbirse como o - o(úr, ro) [xo-o(fo, r,)xr] + [t' o(t,,c)B(c)u( o)da J rr
€ntonces la ecuación ll es equivalente a 9 (tr,,u ,x o -O (to ,
fr)x r, l o ) = O.
Esto quiere decir que la transferencia de & a xl es equivalente a la transferenciadel estado *-o(fo, fr)x, a cero. Por ser x6, f6, fr J¡ x1 arbitrarios, la representación lineal de un sistema es controlable si dado cualquier estado inicial x, y cualesquiera valores de fo y fr ) fo es posible encontrar una entrada u, tal que I (fr,u,x, fs) = O . Puede probarse, aunque no lo haremos aquf, que un sistema lineal invariable con el tiempo y de dimensión n es controlable si, y, sólo si f' n^rlB'e-o^' d.o
Jo
no es singular. Esta última condición es a su vez equivalente a que la matriz [B, AB, . ..., A*t B] renga los rengloges linealmente independientes. 6.1
EJemplo
considéreseel circuito de la figura ll, donde la entrada es el voltaje
R,
Rt
v(t) Figur¡ ll. Circuitr¡ para ilus, trar el concepto de co¡¡trolabi. lidad.
152 Sistemas lineales de parómetros concentradoe
v(f) y las salidas son los voltajes lr ! ez. Las ecuaciones que describen el sistema son
l'l tl t.
0lI
i-1 -l -l
I
L,,J
lR' C'
-'l
lo L
.[=]
.,,,
-l
R,C,I [|
Se desea conocer las condiciones que deben satisfacer las constantes de tiempo R'C, y RzCz para que la representación del sistema sea controlable, esto es, para que exista una entrada v(t) tal que los voltajes et ! rtz puedan alcanzar cualquier valor a partir de ctralesquiera valores iniciales. De acuerdo con el criterio mencionado, debe examinarse la matriz [8, AB] que para el caso específico es
-l
f1
I
I
R,G'ml
[B,AB]: lR' c' ll
-l -l
L R,C,
r I
R,C, R,C,J
Esta matriz cuadrada tiene los renglones linealmente independientes si su determinante es diferente de cero. Como
- t#. #] detrl,ABl
+* ^"c,-L
se obtiene que la condición pÍrra que el sistema sea controlable es* R,C"* R,C, Si R,C, - I y RzCz: lf2 entonces el sistema es controlable y por tanto existe un control v(r) que transfiera el sistema
del
[ v , ( o ) l lll Iv,(1)l fol l: l la l l: l l; L v , ( o ) J L o J L v , ( l) J L I J
para determinar una v(t) que satisfaga la condiciones arriba señala' das se puede proceder así: se determina la matriz de transición, que en este caso es
0 I
l" '
Lo .-") * Además de las condiciones triviales: R r*
a,
R r*
a,
C'*
ú,
C'*
6.
Gonlrotrbilfrl¡d 158 El problema entonces se reduce a encontrar v para que se satisfagA la siguiente ecuación
. J.[;'-" [:]: [;' :,lt;]
:,,,-,][
'r] *"'0"
o sea que
¡oI e"1
f-ll
Lr J : I,L;" f v ( ") d " Para este caso particular puede seleccionarse una Y que sea constante a intervalos, esto es,si
'o ={Íi ür 3;:Í:i se obtienen dos ecuaciones que satisfacen kt ! kz
- 1) ft' + [ (€P'5
(¿'-eo'sJkzl
I- II
L( " - r )o, + ( e' - e "k)l : L * l que numéricamente son
por lo que
f o.ós 1.0?l[o,l = I - |--t z.+oJ 4.7 lLt,J | lr.tz
!"'=-t3:3?' En la figura 12 se muestra un control v(f) que hace la transferen' cia deseada
ngur¡ 12. Control quc traqsfiene al sistema del es tado (1,0) en ú = 0 al estado (Ol)enl=1.
tl
'ri
tl11tr,
' friliiiltiliill[l|lilllllll
154 Sietemae üne¡lee de parámetroe concentradoe
7.
Observabilidad
Otro concepto de importancia es el de la observabilidad, el cual aparece cuando se plantea el siguiente problema: Dada la representación de un sistema dinámico del que se conoce la salida en un intervalo de tiempo lto,trf, debida a una entrada conocida en ese mismo intervalo, ¿es posible determinar unívocamente el estado x(r')? El problema, planteado formalmente para el caso de los sistemas lineales, se traduce al siguiente: Dados y(t) y u(r) para tol t 1. tt,éexiste un único xo tal que se satisfaga la ecuación y(r) : c(r)iD(r, ¿o)xo* [' *(r,o)B(o)u(')do? to ')
Si se define t(/) : y(r)-
la cual se supone
[tto
-(r,o)B(o)u(o)dn, conocida, el problema se reduce entonces a determinar las condiciones que deben cumplir O(t, f.)y C(r) para que dado y sólo exista un xo que satisfaga la ecuación: 'l
vQ) : C(r)iD(f, f,)x".
( 12)
Cuando la ecuación anterior puede resolverse para un solo xo, para cualquier f(t), en cualquier intervalo de tiempo lto,t,f se dice que la representación del sistema es completamente observabl.e o por simpli cidad observable. Si existiese un estado inicial x* +O tal que CG)a(t,
fs)x* = O
( 13)
en el intervalo nto,tr), el sistema no sería observable porque además de x*, cualquier otro estado &x* para /< arbitrario produciría la misma salida VG),y por ende habría más de un estado inicial que satisficiera la ecuación 12. Existe un criterio para determinar si la representación de un sistema lineal, invariable, de dimensión n, es ,observable. Si la matriz
J"
e-o^' C, C e-"^ do
no singular, la representación del sistema es observable v viceversa. Dicho criterio es equivalente a: Si Ia matriz
l-c
l.l
t. Lcn ,t]
tienen n columnas independientes,la representación del sistema es observable y viceversa.
Obeen'obiüdsd f55
7.1 Ejemplo Considéreseun sistema similar al presentado en la sección 5.3 del capítulo 4, que consiste en dos tanques interconectados (figura l3).
Figur¡ f3. Sistema hidráulico para ilustrar el concep to de observabilidad.
En este sistema se considerará como la entrada el gasto go(f) V oomo la salida el gasto q"(t). A partir de las ecuaciones
"A,# = ea-et-es &#=
et-ez
e,--fth, e"= fth, u, = * (h,-h,) se obtiene la siguiente repnesentacióndel sistema
1\ r(r I -e\a*n/
dlh,f_l eh,l-l L
I c"R
Para ciertos valores de las constantes, la representación obtenida no es observable. En particular si se supone que Ct : Cz : Cs = l,
156 Sigtemag linealee de parÉmetroa concentrados
Rr : Rz = Rs :
l, a:
I entonces la representación del sistema es
y en este caso existe un estado inicial, diferente de cero, que satisface la ecuación l2;este estado inicial es lz'(0) : h,(0) : ft. En efecto, si inicialmente las alturas del líquido en los tanques son iguales, el gasto entre ellos, y por tanto Ia salida, será cero. De allí se concluye que la representación obtenida no es observable. Para verificar matemáticamente que la ecuación 12 se satisface para x* : fft; ft] es necesario encontrar la matriz de transición. Esta, calóulada de acuerdo con el método presentado en la sección 3.1 de este capítulo, es
y entonces
e-t - e-3tf | l et J "_st
I e., + e, et^ =0.5 | Lrt _ €st f s4t ¡
s-t
e-t -
e-"rlf k1
Ce^tx"=[0.5 - 0.5]l ll I l.e_,_ e_"t e_",.* e, J Lk l f 2ke-'1
[ o. s- o. s ] l_.- l: o. l2ke-t J
Este resultado es consistente con el criterio para determinar si un sistema es o no observable, porque los renglones de la matriz
-:l t_: :[;l
no son linealmente independientes.
CAPITULO
Sistemas lineales e invariablescon el tiempo
l.
Introducción
En este capítulo se estudiarán detalladamente los sistemas lineales : invariables con el tiempo. Como se dedujo en la sección 4, capítulo ó, =: dichos sistemas, cuando son de n dimensiones, la relación entre la ::.:rada y la salida para un estado inicial cero, está dada por una inte:-l de la forma
y(r)=
J'n(r-"¡..@)d.o
(1 )
:::ide H(f) es el patrón de peso del sistema. En la primera parte se verán algunas propiedades de las integrales :: la forma anterior y posteriormente se introducirá el concepto de -,"-:iz de transferencia, que equivale a la transformada de Laplace :: la respuesta a impulso. También se estudiarán las maneras de pade la función de transferencia de un sistema a representaciones de -: por medio de variables de estado. En la última parte del capítulo -:e estudiará una caracterización gráfica de los sistemas lineales, inva..: --:iles con el tiempo y de dimensión /!, que se denomina patrón de r'. : s v ceros. Se verán algunos criterios de diseño de servomecanismos , ?r€sentará el concepto de polos dominantes así como las caracte-:i.-.3S de los sistemas de sep¡undoorden.
:
Integral de eonvolueión '"
integral que aparece en la ecuación 1, conocida como integral = --:,nvolución, juega un papel muy importante en el estudio de los : i'::"ras lineales e invariables con el tiempo, no necesariamente de : -.:rsión finita. Dicha importancia radica en que mediante esta inte' :2. ruede determinarse la salida de un sistema debida a una entrada :i-: :-:ia cuando el estado inicial es cero y se conoce el patrón de peso j,:s:ema. La integral de convolución tiene algunas propiedades que -c !.: :3n srandemente el cálculo de las salidas, conocidas las entradas. ¡.¡--.3s de estas propiedades se demostrarán para el caso en que el r¿ --:. de peso es un escalar. i: :ndica por h(t)*u(t) la integral l' nG-du(n)d'. t:::=rás se considerará que ,""r"
l-"" mo
uson cero para tiempos
l{ ' i : l ' \ ' O S .
r5?
158 Sistemas linealee e invariables
con el tiempo
2.1
Propiedades
La integral de convolución, cuando h(.t) es escalar, posee las si-
guientespropiedades: t)
Es conmutativa, esto es h (t )* u (t ) : u (t )* h (t )
lo cual puede probarse con facilidad ya que el lado izquierdo de la ecuación es Pt
I h (t -" )u (o )d a y si se hace un cambio en la variable de integración, por ejemplo, t: t-o, se obtiene .to
l tt
=
l" h { t -" )u (o )d n
fo
lt
- l,t ( 0 "G- 0 d ( : I"h ( ( ) r (t-t)d(
siendo esta última integral u(t)*h(t) ) ii) - h (t )* u (t ) + h (o )u (t ) - ü (t )* h (r) + u ( o ) h ( t ) . á Í h (t )* u (t )l Esta propiedad se comprueba efectuando la derivación directamente: ,1 P t
I
P tA
: h(t-o)u(') d ofi !" h ( t - " ) u ( o ) d o f" = ,* J , ; lh ( t - " ) u( o ) )
: h(o)u(t\ *f,l*h¡-üfu-)da = h(o)u(t) + h(t)*u(t). Si se utilizan los conceptos de función generalizada y se supone que ft(l) es discontinua en / - 0 y vale cero para t ( 0, la propiedad puede escribirse como
( w| ) .u ( r ) l = n e ) " u ( t)
dt
entendiendoque if¡
|f=0 : h(O+)ó(f ), donde s(f ) indica un impulso I
unrtario. Con la propiedad de conmutatividad de la convolución, se obtiene d.r.
= 'l tt( r : ít( t)n* Q) fi Ur { t)"(" r ) l fi1 " { t) " ) l donde nuevamente se utiliza la convención que si a(r) es discontinua en / : 0, ñ(t) debe incluir un impulso en el origen cuya magnitud es rgual al valor de Ia discontinuidad de a. Aplicando repetidas veces el resultado anterior se obtiene: si y(t) = h(t)*u(t)
Integral
entonces y("t(t) - h&t(t)* utn+r(ú). iii) La convolución de una función con un impulso unitario es igual a Ia función' esto es u(t) :n(r)*6(r).
i i
La desigualdad anterior es una consecuencia inmediata de la definición de impulso, (Apéndice A), porque fú
J. iv)
|
z(" )S (t-n )d o : u (" )1,= ,: u( t) .
Por último It
lt
rlt
-l
= !"u(")*h(")d" ¿(r).J, u(o)d" LJ.h(")d")*u(t). La prueba de esta igualdad es: la integral del lado izquierdo es f,
fo
f(t) - J"J",("- ()u(t)dtdo l¿
porque en el intervalo de integración h("-Ou(()d(:0, Jo :l argumentode ft es negativoy h(t): 0 para f < 0, entonces xro como
Pt lt
f ( t ) : J . J " , ( " - ) u ( Od td " I t lt
- J"J. h("-()u(Od"d( Cambiando la variable de integración o por p, donde p se define como P: o- (
:::rdrá que -
r como la integral I !, -a
ft
f t- (
f(t) : J" J_,ft(n)u(()dpd( hb)dp= 0 porque el argumentode h es nega-
::i'o se tendrá P, Fr - ( ,
h(p)u(()dpd( l(t) : J. J" hb)dp*u(t), con lo que qucda demostradala se J. ¡;nda parte de la propiedadiy). La primera parte sc t¡bticnecambiancc los papelesde u y h, :xe no es más or"
de eonvolución
159
16O Sietemas lin€ales e invariablee
con el tiempo
2.2
Coment¡rios
La propiedad r implica que si un sistema de entrada y salida escalares tiene una respuesta a impulso h(t) y se aplica una entrada u(t) y el estado inicial es cero, la salida coincide con la de otro sistema que teniendo a u(t) como respuesta a impulso y estando en el estado cero se le aplica la entrada h(t); en resumen, los papeles de respuesta a impulso y entrada son intercambiables (Figura 1). Sistema
Fig¡¡r¡ l. Ilustración de la propiedad i.
Entrada
Salida
Enkada
Salida
Las propiedades iii) y iv) son consecuencias inmediatas de la linealidad del sistema y las demostraciones dadas pueden extenderse sin mayor dificultad para los sistemas en que la relación entre la entrada y la salida para estado cero es y(t) :
t' ,(,,o)u(o)do
J0
donde h(t,") es la respuesta a impulso. La propiedad ii) implica que si un sistema tiene una respuesta a impulso h(t) y se le aplica una entrada u(t), cuando el estado es cero, se obtiene una salida y(t); al aplicársele otra entrada que es la derivada de u(t), ú(t),la salida correspondientees y(t),lu cual se obtiene cuando a otro sistema cuya respuesta a impulso es h(t) se le aplica la entrada rz(r) hallándose en el estado cero. Algo similar sucede con la integración según la propiedad iv). Las propiedades ii), iii) y iu) pueden ser extendidas al caso matricial, esto es, cuando tanto la entrada como la salida son vectores y el patrón de peso es una matriz. En el eiemplo siguiente se ilustra la aplicación de las propiedades mencionadas. Considéreseun sistema cuya respuesta impulso h(t) está dada por ,,\.r_ h( t) :
t 0.
\e_,, Si el sistema es lineal e invariable con el tiempo y se halla en el estado cero. ¿Cuál será la salida causada por la entrada u(t) : u-'(t) -u-,(t-l)? I que r.r-,(/) es un escalónunitario (ApéndiceA) t Recuérdese
trn@rel de oonvolooión 16l Como la derivada de la entrada son dos impulsos uniüariros, uno en f = 0 y otro én f = I (figura 2), de acuerdo con las propiedades ii) y iii) se tendrá que
: - #*h(t) - [s(r)-s(t-1)]*ft(r): 8(t)*t?(r)-8(t-1)*fr(r) 7u¿ uL =
h!)-h(t-l)
-
e-tu-t(t\-e:tt-rt¡,¡-r(f-l)
I"t"
t-l
I[¡tr!. ¿ La ent¡ada ¿(t) y su derivada.
-
Integrando Ia ecuación anterior, se obtiene que la salida está dada por
y(t) =
Pr
loilildo
=
fr
l,
f
d" -
fú
*' (s-l) d,o. l"s-(o-tt
En la figura 3 se muestran iG) V yG).
Fl¡ur¡ l. Respuestadel sis tema y su derivada.
2.3
C,onvoluclóngrófica
Como la relación entre la entrada y la salida para algunos sistemas lineales e invariables con el tiempo, entre ellos los de dimensión n, está dada mediante la integral
y(r) = h(t)*u(t) =l' hG-o)u(o)do, ésta puede interpretarse gráficamente como el área ,bajo una elrnva. Considéreseque se deseaobtener el valor de la salida en un tiempo
lé2
Sietemae linealee e invariableg con el tiempo
fr, cü?ndo al sistema se le aplica una entrada a(t). Según la fórmula de convolución, en el tiempo f' la salida se halla dada por h(t,-")u(n)d" rfal ==J. Por lo que el valor de la integral, o sea y(t,), es igual al área bajo la cun¡a de la función u(t)h(t'-t). Para dar una interpretación gráfica a la integral de convolución es la imagen espejo de h(t), hace falta observar que la función h(-t) o sea la función dibujadá para tiempos negativos en vez de positivos (de derecha a izquierda, en vez de izquierda a derecha). Además, la función h(t,-() corrida fr unidades de tiempo es la función h(-() hacia la derecha. Todo ello se expresa en la figura 4.
Figura 4. Obtención de ,r( f, -f ).
hl- ( ( - r ,) l
- h( t,- o
A continuación se multiplica a(() por h(t,-t) y el área bajo la curva así obtenida es y(r'). En la figura 5 se muestran dos funciones, de las que se desea obtener su convolución.
Figura 5. Dos funciones por convolucion¿rr.
En la figura 6 se incluyen los valores de y(r) : u(t\*h(t) obtenidos por el método gráfico descrito, para los tiempos t : O, 0.5, . . . 2.5, y en la número 7, la función y(r).
La matriz de transfcüGnci¡ 163
h(t -r)
u(r)
r:o
h(o-,)
lFr
I
Area = 0 u (, )h (-¡)
l"t
)rrol=o
'¡
-Tr rt-r
r-o.sI l"( -r----
uG) h( t- ¡ )
h(0.5-,)
fi:i^=':- í) r(r'5): e'p6
rFr f : 1.0 |
| "(
It--
f: r . 51 l " r
ft(1 .5 -')
F
t : 2 . 0| l,r ff rt---r t=2.51 l" ( tf---r t=3 - I l"f
+
0.75 0.50 0.25 0
3.
La matriz de traneferencia
Mediante la transformada de Laplace se puede dar una caracterización alternátiva de los sistemas lineales e lnvariables con el tiempo,
Flg¡rn 7. Gráfica de y(r), de acuerdo con las áreas de la figura ó.
164 Si¡tema¡ llneales e lnv¡riables con el tiem¡n
en los cuales la relación entre la entrada y la salida, cuando el estado es cero, es
y(r): J', H (f -c)u(o)do,
I
( 2)
en la que H(r) representa la respuesta a impulso del sistema. De acuerdo con uno de los teoremas sobre la transformada de Laplace, si ar(f) y y(t) están relacionadas por la ecuación 2, entonces
i(s) - n(s)a(s) donde i, ff y I rep.esetrtan las transformadas de Laplace .de las vaA la matriz ff(s) se le riables y(r),-ft(r) V respectivamente.* "(r) denomina matriz de translerencia del sistema y coffesponde a la trans' formada de Laplace del patrón de peso del sistema. Cuando fi1s¡ es escalar, comúnmentese conoce con el nombre de función de tansferencia y se denota por fi("). Para determinar la matnz de transferencia de un sistema a partir de datos experimentales,se puede proceder d.ela siguiente manera: Si la entrada es un vector de z dimensiones,se seleccionantn vecy se obtienen tores {ur(f ),.rr(l), ...,.r-(r)} linealmenteindependientes las salidas{y'(r), ya(t), ..., y-(t)}correspondientesa cada una de las entradas seleccionadas.Como el sistema es lineal e invariable con el tiempo y en reposo, las transformadas de Laplace de las entradas y de las salidas están relacionadas por medio de las siguientes ecuaciones:
i,(s) : u(s) ú,(s) i,(s) = r(") t'.(")
y.(s) = H(s) fi.(s) De las relaciones anteriores se puede formar la ecuación matricialt
i( r ) : [i,( s) ,],( s) ,..., !- { r ) l : ri(") [ú,(s),ü,(s),..., ú-(s)] : fi(s)ü(s) y como se conoceni(r) y Ü1r¡, l" matriz de transferenciaestá dada por
fi(") =i(r)ú'(") en dondeÚ-'(r) es el inversode la matrizO(r) : [ü,(s),úr(s¡,...,0-(s)1 cuya existencia está garantizadapor la independencialineal de los vec' tOf€S u¡.
Una vez determinadala matríz de transferencia del sistema se puede determinar la salida debida a cualquier entrada r,r(f), cuando el sistema * Véasesección3.7,del ApéndiceA. t Ver notación en el ApéndiceB.
i
está en reposo; más especlficamente:
L¡ hrtd,
de fr¡n¡lcrcnd¡
y"(r) - r'tÉ.(s)r(s)]. En conclusión, Ios sistemas lineares e invariabres con er tiempo, cuando están en neposo,pueden caracterizars" conjuntode z pareJ?:_1i':",g*;-ii,(r);;ói;ffi"oÁp[t"mente por un cuares to¡€s ui(t) son linealmente independientes. los vec_ Esta propiedad tiene impricacíüi prácticas muy importantes - que se ilustra la como en el siguiente effipro. Eiemplo Considéreseun circuito
lineal, invariable con el tiemp si Iaentrada es el vgrta¡e ;:;É,"*: h;";;;;".;;:JiJr"?"TfSj; j(t) cuandov"(t)
h ñrn"ioi Jr"?'supóngase q,r" ' mismo circuito "t aI aplicarle la entrada {figu¡:a;t' "r la salida obtenida fue
v"(t) = t
(t)
í ( t ) - qt t ( t ) .
+
+ If¡nrr S. Ilustración dct uso $e la matriz de transfc rencia.
De las consideracionesanteriores, Ia función de hansferencia sistema es del
h1s¡= i(s) t¿(")I -, - Ui u_,(t)|l 1.-, f.t{t,(t)l)_,
s =fl-lfll-' -s +, t-s +U Ls J = ----Tll|llnmr-Tilnilnr"--*-- *-
165
r6ó)gratmee ltnmle¡.e,inv¡rfublee oon el tiempo y como la transformada de Laplace de.{sez t} tLL(t) pedida tendrá la transformada de Laplace s
I
"r
"*+
t
la saüda
(mD
La función del tiempo correspondiente es
i(r)= {#[-"('-;)] -1,'] u-,(t) la cual se ilustra en la figura 9.
t( r )
l ,- ! - ,^.r(t-4:) frc,os
n¡r¡rl 9. Respuesta del circuito cuando la entrada es {ss¿ tl u_r(tl.
Considérense ahora los sistemas descritos por las ecuaciones (3) *1t¡ : Ax(r) a Bu(f) (4) y(t) : Cx(l) 4 Du(t) en las que x representa el estado, u la entrada y y la salida. Si ade más A, B, C y D son matrices conslantes, el patrún de peso de estos sistemas (como se vió en el capítulo anterior), es Ce t B u -' (t )+ D8 (r) la lineaentonces como consecuenciade que !fe'^ u-t(t)l - (sI-¡¡", lidad de la transformada de Laplace yJ[8(t)] = 1, se obtiene que +D¡(r)}' = C(rs-A)"B + D -t {C*t^E,l¿-.'(t) o sea que !a matriz de transferencia de los sistemas dinámicos descri. tos por las ecuaciones3 y 4 es C(Is-A)'1B + D. Eiemplo Considérese un sistema descritq por las ecuacionei
t; ;l[:].f;l
u( t)
:[:
y(t) = [0
"f,,]
* 5a(t).
Síntesis de gietemas 167
La función de transferencia de este sistema será
á ( ") : c(Is-A ){B 1 D : [o
"["_] "i]-[:] f"-o ,_il +5
y tomando ei inverso indicado en la expresión anterior
f '- t L -3
-21^ s-4J
tt-
(s- I )(s-4 ) -ó
L¡
entonces J2 ñ( t \ :
s'-5s-2
* 5=
)s--z5s-
/
s ' -5 s -2
4. Síntesis de sistemas. (De la función de transferencia a variables de estado.) La matriz de transferencia caracteriza completamente a los sistemas lineales e invariables con el tiempo y como fué comentado en la sección anterior de este capÍtulo, puede obtenerse a partir de cualquier conjunto de m parejas de entrada-salida [rr,(r),yo(r)] en donde los vectores u, son linealmente independientes. Para propósitos de análisis y diseño de sistemas es conveniente contar con un método por medio del cual se puedan "construir" sistemas que tengan una función de transferencia prescrita, pues así es posible hacer más expedito el proceso, al contar con sistemas que simulen el comportamiento de otros. En el capítulo ó se presentó una manera de llevar a cabo la simulación digital de un sistema lineal e invariable descrito por medio de variables de estado; en esta sección también se describirá la manera de simular dichos sistemas con la ayuda de una computadora analógica. Concretamente, en esta parte, se analizará el problema inverso al último tratado en la sección anterior; esto es, dada una función de transferencia, bajo qué condiciones y cómo pueden obtenerse matrices A, B, C y D para que dada É(r) se.cumpla la igualdad C(Is-A)-'B+D:U(s). Como los elementosde la matriz (sl.-l¡-' son funciones racionales propias de s (tanto el determinante como los cofactores de (Is-A) son polinomios, y los cofactores a lo máximo son polinomios de grado n- 1, donde n es el número de variables de estado) puede concluirse que la matriz de transferencia de los sistemas descritos por las ecuaciones 3 y 4 tienen todos sus elementos de la forma F1¡¡(s):
o *tSu l
*
4 r - "so - 2 *
s " * b o -rs u t+ ..
...
*
* b"
A
*
kii
entonces la síntesis de sistemas que será presentada aquí estará restringida a aquellos en que fflr¡ es una matriz cuyos elLmentos son fun::¡nes racionales de s y el grado del numerador no excede al del ienominador. Debe hacerse notar que no todas las funciones de transferencia son expresables en forma racional. Por ejemplo, si un sistema consiste en
168 Si¡tema¡ line¡le¡ e invari¡bles con el tiempo un retraso de Z unidades de tiempo, su función de transferencia es e-'t, la cual no puede ser expresada como un coeficiente de polinomios en s de grado finito. Por facilidad de exposición se restringirá la teoría al caso en que h É(s) es un escalar, esto es, una matriz de I X 1. Considérese un sistema cuya función de transferencia puede expns' sarse como cociente de los polinomios ¿(s) y á(s). Sea z el grado del numerador y n el del denominador, donde n ) m '
f t (s ) : a (s )/ b (s )
,,t,
.ú'
: fr1s¡
a*s^ *
/,tn-tsÉr + ...
+ aLs + ao
s' * á*rs*' * bn-"s"-'+ ... * b$ * bo
donde los coeficientes aí ] ái son números reales. Al expresar¿(") como a(s)/b(s) se hará que el coeficientedel término so de b(s) sea unitario, lo cual siempre puede lograrse dividiendo numerador y denominador entre el susodicho coeficiente. Ta¡nbién se considerará tan sólo el caso en que n ) z, porque al hacer la división del numerador entre el denominador se puede obtener directamentela matriz D para el caso en que m: n. Por ejemplo si
fr(")='ffi:3*";ffi
ct:3
y el problema se reduce a encontrar únicamente A Ll y C. Si se introduce una variable intermedia i1s¡ lfigura 10) se tendrá
Fl¡ura 10. Introducción la variable i(s).
de
Y (s ) : , \ otrl :¡(s ) -)
i(r) : ¿(s)i(s)
(s)
i(") tó:
a(s): b(s)i(s)
(ó)
r J ñ=)
o sea
r2(s): (s"* p,-'s"-'+. .. *p,,s+ p")i(s) lo cual, en dominio del tiempo es u(t) - ¡(")(r) +p*ú(u't(r) donde ¡(')(f) significa
d"x(t) dt"
+ ..- +pox(t)
Súteds de d¡teinai
De la ecuación 5, se tiene l ( s) - (a*s-*¿'¡-rs*l +...
*¿ rs + ¿ " ); (s )
y en el dominio del tiempo (7) I 6'r(*'t (r) + ... + atx(t) ^*tnt(t) si se hace un cambio de una variable,definiendoel vector x, de n dimensiones,tal que su ¡ésima componente f¡ s€o: *, -ü-x1t¡ y(t) :
F'
de manera similar a lo realizado en la sección 1, capltulo 3, la ecuación diferencial 8 es equivalente a las ecuaciones ir:
*"
*::"
i, =
but*o* u(tt);
-'bun-'btr-z
además
x(t) = x,
entonces,la salida t(r), dada por la ecuación 7, se puede expresar c{)mo tG)
= &sfrn+t*
...
arún+
* út*z ]
@r
Las ecr¡acionesprerrias, en forma matricial, son:
f 0 lO
H
=L-t
I 0
0 I
0 lf¡'l 0 ¡ ¡ *,1
....
-'b, b"
.L:1,,,
l*t
y(t):Í.qa'..- ho ... olli
I
l?'l lo J
Asl, dada una función de transferencia i(t) gn" es el cociente de polinomios a(s\/b(s), existe un sistema cuya representación en variables de estado es * = Ax + br¿ Y : q*du donde los elernentos de las matrices y vectores A, b y c son tales que c(Is-A )-b+d-ñ(s).
169
l7O Sistemae üneales e invariables
eon el tiempo
Eiemplo Supóngaseque se deseasintetizar por medio de variables de estado la función de transferencia y (s ) -: ¡2(s)
ad*bs2*cs*d s4{es3*ls'*gs+h
Solución
I 0
fi,l fo 0 li, l_l
l&ll o L''J L-h y( t) :ld
0
-s
c b
0 I
o
-f
f''l
.lll"," iltll
" ll::" 1 Lx' J
Las ecuaciones anteriores pueden expresarse en forma como --
*t
extendida
Xz
iz -- )C" *s :
tct
**:
-hxt
y -
- grc" - fx" -
€x* * ü
dx' * cxz* bx" + axn
(e)
y de allí se puede construir el reograma correspondiente (figura 11)
( o"I," l r, l *, Reograma que Figura ll. representa las ecuaciones 9.
en donde las ramas que tienen la transmisión J indican que debe realizarse la operación de integración sobre la variable causa para obtener la variable efecto. Al tomar la transformada de Laplace del reograma, esto es, otro reograma en el cual cada variable del original se reemplaza por su transformada de Laplace y cada trasmisión por la operación correspondiente en el dominio de la frecuencia (de esta forma las ramas con
Slntesie de eist€mas l7l
trans' trasmisión J en el reograma original tendrán trasmisión | s "o "t formado) se obtiene el de la figura 12.
I s*¡
^l^s
s,ns
1t2
st2
I sh l/s Ifgurl f2. Reograma de la frgt¡ra 1l transformado.
El reograma anterior tiene cuatro mallas, tocándose todas en el nodo s.i*.Las mallas tienen ganancias-e/s, -f /s', -g/f , -h/í. Luego el determinante vale
'*+. ++ + * + .
[:
Se presentan c,uatro trayectorias del nodo fuente hacia f(s), cuyas .
I
a
b
c
d
r ! L_
como dichas trayectorias tocan todas las ma' l, ;, ;,1; llas, entonces sus co{bctores son unitarios, por lo que gananciasson
abcd
i(') : 12(s)
;+,,+F+T
as3+ bs'*
+ .+ '*:***
cs * d
sn*¿ . f * f s ' * g s * h
que es la función de transferencia original. Si se obsenta con cuidado, tuede verse en la última figura que este reograma tiene dos tipos de elementos: l/s integradores, dados por amplificadores, dados por
.
&,
.
l' por ello es fácil sintetizar la función de transferencia en las compundoras analógicas,porque en su forma más simple, son aparatos que rienentres tipos de elementos: a)
Integradores, dados ¡ror
l?2
Sietemae lineales e invariables
con el tiempo
b) Amptificadores, dados Por
que los cuales precisamente tienen el mismo tipo de transferencias las ramas del reograma de la figura 12'
c)Potenciómetros*
0< k< l
-@-U* \-/
Eiemplo E xpre s e p o rme d io d e u n d ia g ra ma d e a la mb ra d o d e c o m p u t a d o r a analógica ui sistema cuya función de transferencia es i(" )_ ú (s )
t*2 . s'z* 4s * 3
Las ecuaciones en variables de estado son:
[:l=[-:-ltt.[:]"
(10)
y(t)- 12 t,l;J 13' a los cuales le corresponde el reograma de la figura I Figure 13. RePresentación de la ecuación 10.
i ( s)
Eldiagramadealambradodelacomputadoraanalógicasemuestra en la figura 14.
de f,|" Diagrama ffíúr computadora analógica Para el ejemplo.
un sistema En las secciones anteriores se ha visto cómo
Patrón
lineal, invariable con el tiempo y de parámetros concentrados, cuyo estado inicial es cero, puede ser descrito mediante una función que relaciona la entrada a¡¡l¡ con la salida yro,-r. Dicha función puede re presentarse de diversas maneras: ¿) Por r¡na ecuación diferencial escalar de orden n á rro-L = ... * b,;Y(r)+ boY(t) bn,fuvtr>+ * hrfr> tfir
: o^
&
O r - u( t)
dil¡-r
+ a*,6.#(t)
+ ... +
du ( t) . * au(t); ,(& )(0): 0 para k = O ,. . . , f 1 -1 . + o ,7 b) Por una ecuación diferencial vectorial de primer orden y una ecuación algebraica
i1r¡ : Ax(r)+ b¿(r);x(0) = o. y( f) :cx( f) + ¡ [u(t). c) Mediante la ecuación y(t) =
ft
l"h(t-")u(a)do
donde l¡(r) es la respuesta a impulso. d) Por la fórmula algebraica
l(s) - ?r(r)¿(r)= [c(Is-Af'b+d] 4(s): f,Otrt a (s , en la que ¿(s), l(s) y !'(s) representanrespectivamentelas transformaáas de Laplace de la entrada, la respuesta a impulso y la salida¡
;
Se ha estudiado también cómo pasar de una descripción a otra. En este capltulo se tratará de caracterizar los sistemas en cuestión de otra manera más. Por este otro método es posible adquirir un gran coff> cimiento intuitivo sobre el comportamiento de los sistemas, lo que facilita el análisis y el diseño de los de control.
5.
Patrón
de poloe y celros
La función de transferencia de los sistemas lineales, invariables y de dimensión n es la razón de dos polinomios en s con coeficientes reales,así que: sf:-:?r(rl:9 ''t-bG)
a ^ s ^ * 4 ^ -$ * r* ..
so*b*rs-'+
* as* ao
... *brs*bo
de poloe y ceroe 173
174 Sistemae linealee e invariablee eon el tiempo
Cada uno de los polinomios b(s) y a(s) puede ser expresadoen forma factorizada como a (s ) - ¿ -(s -z r)(s -a , )(s -z z ). . . (s -z -)
v
D(s ) : (s -p , )(s - p , )(s -p u ). . . (s -p " )
donde z¡ y p¡ son en general números complejos. Como es sabido,si los coeficientesde los polinomios ¿(s) y b(s) son números reales, las raíces complejas deben aparecer en pares conjugados. Por ejemplo, si: zi = a * ib V¡: a - ib
es una raíz de a(s), entonces también debe ser una raiz de ¿(s).
Dicho de otra forma a(zi') =0, implica que ¿(Z¡) - 0 Los números complejos ZttZztZst ..'
Z^, Pt, Pz, ., . pt
junto con a4, caracterizan completamente la función de transferencia de estos sistemas. Los números pi se denominan polos y los ei, ceros del sistema. Tanto los polos como los aeros pueden ser representados gráficamente en el plano complejo (parte real vs. parte imaginaria), utilizando la convención: I,,ospolos serán representados por X y los ceros por Q. Entonces, a excepción de la constante eñ, ttn sistema puede ser representado en el plano complejo por un conjunto de polos y ceros. Ejemplo Considérese un sistema con una función de transferencia
( s+ 1) ( s- 3)
( s ' * 2 s * 2 ) ( s + 2 ) ( s + 1 - i ) ( s + 1 + i)( s+ 2 ) entonces ñ1"¡ tiene un patrón de polos y ceros como lo indica la figura 15. Existen casos en que algunas raíces del numerador o del det¡ominador de ft(s) son múltiples, entonces los polos (o los ceros) son múltiples, lo que se indica explícitamente en el patrón de polos y ceros. Ejemplo Sea
hq''¡:
(s * 1 )' s'* 2s *l : -. (s * 2 )" s " * ó s ' * 1 2 s* 8
Obtención de la respuesta impuleo a partir de poloe y ceroe l?5
Parteimaginaria
Fisur¡ 15. Gráfica de polos y cenos.
Plrlc roal
,l I
)t----
Su representación mediante polos y ceros se indica en la figura 16. Parteimaginaria
Triple
-x
6.
Figur¡ 16. Patrón de polos y cenos crrando existen ralces mrlltiples.
P¡rtere¡l
Obrención de la respuesta impulso a partir del patnón de polos y oeros
En esta sección se presenta un método gráfico para obtener la respuesta a impulso de un sistema a partir de su caracterización por medio del patrón de polos y ceros. Como se r€cordará, una manera de encontrar la transformada inversa de Laplace de una función racional era mediante la expansión ae ñ(s) en fracciones parciales.* Así, en el caso de polos simples y cuando nlm setenía
ft(s) :
(s-2,) (s-2,).. .(s-¿ñ)
(s-p,)(s- p,). . .(s-p " )
(ll)
y los parámetros Ar, A", . . . An, se determinaban multiplicando h(s) por (s-p¡) y evaluando s en el punto pi, o sea
l¡ - (s-p;¡ Afs) I
ls=p¿
'Apéndice A.
(12)
176 Sietemas lineales e invariables
con el tiem¡ro
Recordando que la transformada de Laplace es lineal y que la de I eot es .i, se tiene que la transformada inversa de Laplace de ft(s) es s-a
J -' t A (s )l - lA , d ' t * A " € b t+ . . . * A ^ e o * )u -, ( t )
( t3)
De la expresión anterior y de la ecuación 11 puede deducirse que las funciones exponenciales que aparecen en la expresión /- [ñ(s)] están determinadas por los polos del sistema. Más específicamente, la respuesta a impulso del sistema con una función de transferencia fr("), et una combinación lineal de las funciones ¿r'r, dond€ pi es un poto de ñ(r). Co-o veremos a continuación, la combinación lineal de estas funciones está determinada por todos los polos y ceros del sistema. Supóngase que se desea evaluar el coeficiente A¿, cuando las raíces son simples. De acuerdo con la ecuación 12, se tendrá Ai=
(p¡-2,)(pt-2")
. . .(pr-z^)
(p - p , )(p ¡- p " ) . . . (p ¿ - p ¿ -' )(p ¡-p ¡, , ). . . (p r- p" )
(14)
Lo que implica que para evaluar los parámetros A¡ se necesitan operaciones de resta, multiplicación y división entre números compleios, las que pueden realizarse gráficamente como se explicará más ade' lante. Antes de continuar, conviene recordar algunos conceptos básicos acerca de los números complejos. Cualquier número complejo a * ib donde i representa V-l puede ser expresado como a*ib:RetQ donde R es la "magnitud" del número complejo, y viene dado por
R: { 7 + ü y ó es el "ángulo" del número complejo, o sea
,n+:!; La justificación de esta igualdad se basa en etQ:cosó*isenó y en las igualdades trigonométricas cos6:
{TTTF o
: senó:-
{TT¿oF+
de tal suerte que utilizando las definiciones de R, de { y las identi-
obteneión de la reepueeta impureo a partir de poroe y eeroa rr7 dades anteriores se comprueba que RetQ-
\f a, +F
(cos ó * i sen6)
fr = \,rd+ bil
¡
[t'+a
:
a +i b .
-*
I
lre
La reprresentación de un número complejo mediante Rerr se denomina representación polar. También es común utilizar las convencrones:
R =l a+j bl ó: { @ +i b) con lo cual un número complejo RerQ también puede repnesentarse como o bien
I a + i b | 4 @ +i b)
R<É. Si un número complejo se-interpretase como un vector en el plano complejo (figura l7),la diferenciade dos númeroscomplejosp.réd"
P¡rtererl
interpretarse como la diferencia de dos vectores. Entonces, si
e +if : @ +i b)-(c +i d) = R ,{ ó , - R" 4 ó " =R¡{ó.
cada uno de los ángulos y magnitudes tendrá la interpretación indicada en Ia figura 18. Así, la diferencia de dos números c,mprej.s w y z pucclc intcrpretarse como un vector que une el punt<_rz con cl puntow. A las operaci.nes de multipticación y dc división pueclc clársclcs también una interpretación grálica.
Figure l?. Interpretación del número a * ib como un vector.
178 Siatemae üneslee e invariablee con el tienpo
z:c+ id
Figura 18. Interpretación gráfica de la diferencia de dos números complejos.
Considérense dos númeroscomplejos(a+ib) y (c+id) entonces,si a+ib:p.r¿ilt c+id-R¿eie' se tendrá que (a+ ib)(c+ i'd) :
(R'eio') (R,eio'¡ :
p,p.,¿itQ*Qú
o sea que el producto de dos números complejos es otro número conrplejo cuya magnitud es el producto de las magnitudes de los factores y cuyo ángulo es la suma de los ángulos de los factores. utilizando la notación abreviada puede escribirse
(R, { ó,) (R, { ó,) : R,R,{ (ó, + +,). Similarmente, R IQ'
a + ib
ffi='fu
P' - i)l¿itP'-r:r
es un número complejo que tiene una magnitud igual a la razón entre las magnitudes del numerador y denominador, y cuyo ángulo es la diferencia entre los ángulos del numerador y el denominador. Con la no tación abreviada se tendrá que R'{ó'
R, 4 ó "
=# o (c,-+,).
En las figuras l9a y 19b se presentan las operaciones de multiplicación y división de números complejos.
Obtención de la reepueefa inpuleo a portir de poloe y oeroa'l?9
( c* i
(c + id \
(a + i b ) ( c + i d \
(a +i b )
B
?,
(a+ ib)
0t-t0z
Re
( a + ib )
@ 6.1
Fisura 19. a) Multiplicación gráfica de números comple jos. D) División gráfica de números complejos.
Evaluacién gnifica de reslduos
La evaluación de los coeficientesá¿ (llamados también residuos), se pueden realizaren forma:gráfica. si se deseaevaluarel residuo envn polo simple p¿, esto es Ai, de acuerdo con la ecuación 14 se debe calculár la diferencia entre el polo pi y túos los ceros, efectuar el producto de dichas diferencias y dividirlo entre el producto de las difeñncias entre el polo p¡ y los restantes. Ejemplo Considérese la configuración de polos y ceros de la figura 20. Prrtcima¡lnrrh
I I I
Flgur¡ 20. Ilustración de cómo evaluar el residuo á¡.
I
I pz
Aú, ¿.dlComo los segmentosdirigidos de z, y Zza pr representan la diferencia p'-z' y pt-zz, respectivamente, y los de pzV pr a pr las diferencias y p'-p, respectivamente, el número complejo ?r-p, A t:
(p,-zr) (pr-2")
(p,-p)(p,-tu)
l8O Sietema¡ linealee e inv¡ri¡ble¡
eon el tiempo
tendrá la representación polar dada por el producto de los segmentos punteadosdividido por el producto de los no punteados.su rnagnitud será igual a R"
& donde R" es el producto de las distancias a los ceros y R, es el de las distancias a lo_spolo.s; será igual a la sumá de los ángulos -el_ángulo 9t Y {z menos la suma de los ángulos 0t y 02,esto es
n-R" ,=E{(ú'**,-0,-0r). En el caso general se tendrá entonces que el residuo en un polo . simple pr está dado por: Att-
producto de las distancias dirigidas de cada oero al polo p¡ producto de las distancias dirigidas de los demds polos al poro pr,
o lo que es-equivalente (cuando hay n polos y m oeros) a la siguiente expresión de r{*: m
A*:
n
d=1
lm - zol
n
II lpr - p,l
(á
*
(pr-zo)
¡\ -
) { ( ¡ ¡ , - p ") .1
€=l e*lc
c=l eth
/
En el siguiente ejemplo se ilustra la manera gráfica de evaluar los residuos Ar, a partir de la representacionñ(s) mediante un patrón de plos y ceros. una vez obtenidos los residuos, se determinará la función del tiempo cuya transformada de Laplace tiene el patrón de polos y ceros dado. Ejemplo considéreseel patrón de polos y ceros que apareceen Ia figura 21. Parteimáginaria
p ,Y- - -
-2
-t
I
I I
P "F --Fisura 21. Un patrón polos y ceros.
Obtencióu de la rerpueetaimpulso ú pardÍ de folo¡ y'cerog l8l Como existen tres polos (pr, p, y pt), habrá necesidad de evaluar tres residuos (Ar, A, y A"). En la figura 22 se muestran los segmentos
Parteimaginrdr
{2 Ftgur¡ 2il. Evaluación gráfica del residuo en pr.
á_z
dirigidos que intervienen en la evaluación de A,, el residuo en el polo pr ! en la figura 23 eI caso correspondiente para la evaluación del residuo en el polo pr.
,$z Figura 23. Evaluación grá' fica del residuo en p". 900
Entonces,los residuosAr y A¿ serán 2
A, - (l,frl^i{ ¡, -
!
- I { 0o: le'o= I (0o+4s"-4so)
"-< (45.-90o-135o) : I { (-180") :
2{z
l¿-tt-
-1.
Como Ar €S el complejo conjugado de A, (las magnitudes son las
182 Sistemae linealee e invariablee
con el tiem¡ro
mismas y el ángulo de A. es el negativo del ángulo de A"), se tendrá que
A": - i. La función del tiempo, que corresponde al patrón de polos y ceros dado de acuerdo con la ecuación 13, es
ÍG) :/-'tt(s)l
: l,seú* A,"o"'* A"o,' l x e ( o ) t _ L e G a +t r t _ l
-
¿ {- t - i t t
- 1 -+ er (2cos f ) : I -,e-t cos t. Para evaluar residuos por el método gráfico descrito, y determinar posteriormente la función d'el tiempo que corresponde al patrón de polos y ceros dado, son necesarias las siguientes observaciones. Debido a que los coeficientes del numerador y del denominador de ^ lr(s) son reales, cuando un polo (o un cero) es complejo (parte imaginaria no nula), habrá otro polo (o cero) cuyo valor sea el complejo conjugado del primero por lo que: i) Los residuos en los polos reales son reales como se aprecia en la figura 24. Esto se debe a que la contribución de ángulos de los otros
Vr,
Flgura 24. Los residuos en polos reales son reales.
Áq'
polos y ceros reales es un múltiplo de 180o, mientras que la suma de los ángulos desde dos polos (o ceros) complejos conjugados es cero. Así pues A¡ - Me¡"r y como la parte imaginaria de eino es cero, el residuo es real. ii)
Los residuos en dos polos que son complejos conjugados son
también complejos conjugados. Supóngase que dichos polos son p y p; los residuos serán Mcjo
A:
v !
-
n,1¿-to
Obtención de h reapuertaflnFleo a perrtr de ¡nloa y coroelgS respectivamente. De esta manera, la función del tiempo que corresponde a los términos de la expansión en fracciones parciales Á
A
s-p
s-p
-+ es
Mete ept * Me4" eit
Y si P - 4 * ib, la función anterior es lyf¿lt f¿tto+vt, + e_t(e+btrl= 2Meot cos (bt + 0).
Aunque este método gráfico no necesariamentees la manera más eficaz de obtener transformadas inversas de Laplace, sl es útil en la visualización de la forma de ésta. A continuación se incluyen algunas configuraciones muy frecuentes y su respectivafunción del tiempo cuando en: l.
,'
184 Sietemas lineal€s e invarisblee
con el tiempo
1
7.
Polos dominantes
Es muy frecuente encontrar en los sistemas configuraciones de polos y ceros de cierto tipo que hacen que éste se comporte de manera similar a otro sistemi de orden mai ba¡o o sea con menor número de polos que el original. Por ejemplo, si Ia configuración es tal que existen áos polos con párte real menoi negativa que la del resto de los polos del sistemu, sr comportamiento está esencialmente determinado por aquellos. Dicho par se conoce como polos dominantes.
rog;unilooirilen f85 Einpio S¡póngase que la función de transferencia de un sistema es
(s+3Xs*.5)(s+20) ("+3Xqt?Q_("+!)_rrcr-ñtJ' (s'*4s+ 5)(s+ 10Xs+ 100)-(s+ 2- iKs*2 *iXs+ 10)(s+100) ta configuración de polos y ceros se muestra en la figura 25.
nsü. 25. Configuración de polos y ceros.
[-a respuesta a impulso de este sistema está dada por
=r-'[##i.;fjd.#Íñ] h(t) = K€ut cos (t+ó)
* Aze-'ot *
As€toot.
Nótese que las exponenciales 6toú ! e:-tootdecrecen mucho rnás rápido que e-"t, poÍ lo que, después de un corto tiempo, la respuesta impulso será en esencia Kdt cos (t+ó). [.os polos pt: -2* j P z: -2-i son dominantes. Como para tiempos grandes los polos dominantes describen el comportamiento del sistema, es conveniente estudiar detalladamente los sistemas de segundo orden, o sea, aquellos que tienen tan sólo dos polos. 8.
Sistcmat de eegundo orden Considéreseun sistema con una función de transferencia de la forma
fi 1s ¡:r,
(s*a),
,t= <,2 = +
en el que fi(s) puede escribirse convenientemente como 1 d+2(.*s*o'.' entonces to o :
a
u n 2 :d + .POS e a rr¡= * r1 ffi
186 Sietemaa ünealeg e invariables
con el tiempo
A los parámetros e.,ú),o)ny f comúnmente se les dan los nombres a. ú) t .'\
amortiguamiento r,eal frecuencia real amortiguamiento relati'tto o coeficiente de amortiguamiento frecuencia natural.
La figura 26 muestra las relaciones geométricas cuando la parte real de las raíces de s 2 *2 ( - n s *a n 2
es negativa.
Figura 26. Gráfica de Ios parámetros de s2+2(@ns +.nn2.
Los polos del sistema están dados en función de ( y ,oopor
pr = -(an + i." \/T-e pz = -tan - ju,^ t/i] y dependiendo del valor de (, se pueden distinguir cuatro casos, pues el carácter de un sistema de segundo orden es drásticamente distinto en cada uno de ellos:
i) 0<(
(:l
iii)
(> |
iv)
(:O
En este caso los dos polos son estrictamenre complejos (tanto la parte real como la imaginaria son diferentes de cero) y se denomina subamortiguado. Los dos polos coinciden y son reales, por lo que se dice que el sistema está críticamente amorti[uado. Los polos son reales pero no coinciden, en cuyo caso se dice que el sistema está sobreamortiguado. Aqui sucede que los dos polos están exactamente sobre el eje imaginario y se dice que el sistema es no amortiguado.
Es conveniente visualizar gráficamente lo que sucede a los polos del sistema de segundo orden cuando se tienen ( varía continua_ ",,, fija y mente entre los valores de 0 y l. si se cuenra con un polo p,, entonces ptpt:
l p l " = ( o , ', - F u , t , ( l - t r )
= u,r,,
.. Sistcú¡s de equndo oldsn;il8? por lo que la distancia de los polos al origen penna¡receconstante (esto es, están en un círculo de radio ,"). Además, el ángulo que forma la lÍm que une al origen con los polos y con el eje real está dado por (figura 27).
c os o:9:t. @¡
(:0
I I I
¡> 1
I
/
Figur¡ 2?. Efecto de la variación de f en la localización de los polos.
>1
is \ \ \
\
(:0
Para ( 2 I los polos se encuentran sobre el eje real, por tanto | : (P. A medida que ( crece a partir de ( : 1, los dos polos se irán qar:ando del punto s: -o,¿. 8.1
Respuesta a escalón de un eistema de segundo orden
Se ha visto en los párrafos anteriores cómo del patrón de polos y oEnos es posible obtener la respuesta a impulso del sistema; además ha hecho énfasis en la importancia de los de segundo orden. Sin complicación adicional se puede obtener de la misma forma la Eyor rcspt¡esta a un escalón unitario (o en general a cualquier otra entrada). Considérese el caso en clue el sistema es de segundo orden y con una función de transferencia
?"1t¡: v(s) -: ¿(s)
ttn2
s2 *
2(<¿¿s*
o¡3o
y que la entrada es un escalón unitario. Entonces la transformada
de
188 Sistemae lineslee e invariables
con el tiempo
Laplace de la salida tendrá el patrón de polos y ceros que se muestra en la figura.28a, para el caso en que 0 < ( < l.
Figura 28a. Patrón los v ceros de
de
Polosdel sistema
^o'
s(s2*2fors*or2 )
para 0
En el caso en que (:
1, el patrón aparece en la figura 28b.
Figur¡ 28b. Patrón de po los y ceros de att¡z
s(s +
Y para valores de ( ) 1, el patrón se muestra en la figura 28c. La transformada
de Laplace de la salida es i'(s) :
s(s+i7t+;l) --;-'.u'o
y por ello, para cada uno de los casos anteriores y(t) es:
i ) si0<( <1
Sistemss de oegt¡ndo ordon 189
Ifgür 28c. Patrón de los y ceros de fiJ s(sr*2(ro"sf or2) para valorcs de 3 ) l.
I
'l
rlo.t
-- f t - ft sen(-, Yl=ttr+ D y(t) )u-,(t) L V l -r en donde o = cos-r E = arctan E ii)
g
Si( =1 y(t) = fl-e"t
i i i ) si ( > l
(ls)
- ',tsqtf
u4(t)
y(t)=1,- *"'*' + :r.^"lu-,(t)
( 1ó) ( 17)
en donde
r: - {+ V e,-1 En la figura 29 se muestra la respuesta a escalón, y(t), para diversos valores de f. 2 t.9 1.8, t.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 l .t t.0 .9 .8 .t .6 .5
.a .3 .2 .¡
o¡¿
Flgurl 29. Respuestaa es c¿lón de un sistema de se gundo orden.
l9O Sistemag lineales e invariables
9.
con el tiempo
Parámetros de diseño
Para diseñar un sistema de control es necesario especificar algunas condiciones que éste debe cumplir, las cuales pueden durr" de formas muy diversas, desde especificaciones directas en el dominio del tiempo, hasta indirectas, en el dominio de la frecuencia. En esta sección se verán algunas de las primeras. una de las señales de prueba más comunes en sistemas de control, oarticularmente para servomecanismos (o sea aquellos sistemas que tienen por objeto lograr una salida que reproduzca fielmente la entrada) es el escalón unitario. La respuesta de un sistema estable a dicho tipo de entrada, tiene en general la forma mostrada en la figura 30.
Figura 30. Respuesta a es. calón de un sistema de segundo orden.
2 1 .9 1 .8 t.7 1.6 1 .5 1.4 1 .3 t.2 l .l 1 .0 .9 .8 .7 .6 .5 .4 .3 .2 .l
¡\alor linal de y(t)
Si el propósito es que la salida sea lo más parecida a la entrada, ha resultado conveniente definir varias cantidades que dan una medida de la fidelidad del sistema. Aquí únicamente se consideran cuatro de ellas que se refieren al comportamiento transitorio del sistema (figura 30), y posteriormente se verán condicionesreferente al estadopermanente o sea cuando t -->x. a) Sobrepaso (M). Es la máxima sobredesviación cr¡n respecto al valor final de la respuesta del sistema. Generalmente se expresa como el porcentaje de exceso del valor máximo de la salida con respecto al valor final. b) Tiempo de retardo (r,). Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance,por primera vez,el 50 por ciento de su valor final. c) Tiempo de levantamiento (1,). Es el tiempo que le toma al siste
Parónetroe de die€ño l9l rria para que la respuesta pase del l0 al 90 por ciento del valor final. d) Tiempo de asmtamiento (t"). Es el mínimo valor del tiempo a partir del cual la respuesta estará dentro del 5 por ciento de su valor final. Debe hacerse notar que hay muchos sistemas para los cuales dichas definiciones son de utilidad nula (por ejemplo, sistemas inestables); sin embargo, ya que en general son especificaciones de diseño, es fácil verificar si un sistema dado las cumple o no. Pocos son los sistemas en los cuales es posible expresar analíticamente cada uno de los parámetros (Mp, tr y t")l no obstante, para sistemas de segundo orden puede hacerse. 9.1
Sobrepaso (Mr)
Para obtener (M) el sobrepaso en el caso que 0 < ( < I se deriva la respuesta y(t) dada por la ecuación 15 y se iguala a cero a fin de encontrar el tiempo f en el cual la función tiene un máximo o un mínimo. Entre las posibles soluciones, debe extraerse aquella que corresponde al sobrepaso. Se sabe que si y(r) es la respuesta de un sistema de segundo orden a un escalón unitario, tiene la transformada de Laplace
. s 2f "1
Í(s) :
,,, 2( or os { . 2 o
Además y(0) vale cero, por lo que
Reacomodando algunos términos
,,f dy1
J--l:l:-'.. . : : '
L cttJ
ú)¡ { l-r
.,'/ I-P (s*(.^)' + (.,y'I-F)'
v tomando la transformada inversa,
: +e-prt 9 ,,/I-( dt La expresiónpara
fl
t:
sen(l-14
ú)
r^L cero cuando Nzr =;;
N = 0,1,2, ...
El valor máximo de y(¡) ocurre cuando N = 1, o sea
- :' L
l-(' '"''/ evaluando en este tiempo Ia respuesta a escalón, se obtiene -lt
y(tu,) - 11 ¿f4
192 Sistemas lineales e invariablee
con el tiempo
entonces Mr:
J" - ev'+'
y(tu) -l
lo cual se muestra en la figura 31.
M, (oto)
r00 75 Figura 31. Sobrepaso en función del amortiguamien. to relatiüo en un sistema de segundo orden.
Es interesante hacer notar que el sobrepaso es únicamente función de ( y no de o,,. 9.2
Tiempo de levantamiento (l¿)
se ha definido como el tiempo que se requiere para que ra respuesta pase de 10 a 90 por ciento del valor final. En sistemas subamortiguados oe segundo orden (0 < ( ( l) generalmente se usa el tiempo necesario para pasar de 0 a 100 por ciento del valor final. Este último tiempo es solamente un poco mayor que fr. Esta aproximación no es válida para sistemas sobreamortiguados, (( > t ) o que no sean de segundo orden. Para calcular el tiempo de 0 a 100 por ciento del valor final, sólo hace falta calcular el tiempo más pequeño para el cual /(¡) es igual al valor final, esto es er** sen (u,,,11-1'tt * #) Y(tr ): I : | \/ | -(" por tanto o-t@¡t
---:\'7-(
t
sen (u',,{ l-('tt
*'Q) : 0'
Como que
"-tu"t
r f
o
sen (u,,,t/I -f- f r * é) : 0. Utilizando conversionestrigonométricas resulta que debe cumplirse (sen(-,,,1;¿.t,) + \f-l-t" cos(u,,,rt1 r,f¿ ) = 0
Tiempo de a¡ent¡oienso
tr9Íl
que puede ponerse en la forma tng (an\i-l-F tt ) - -
{ 1-gz
y así llegar al resultado I - / vrrF\ ttl to -w o q o :;;T T =a tn- ' |];l:) lO.
Tiempo
de asentamiento subamortiguado
En un sistema escalón es (
de segundo
'a.-lo"t y( t) : j t - +l s enw ,,/l -('t\ v l- 1
orden,
la respuesta
a
+ +-')llu - ( t )
son las envolventes de la respuesta a esca' Las curvas | * Z, { l-(" fón unitario. La curva de respuesta y(t) permanece dentro de dichas curvas como lo indica la figura 32.
Figura 32. Curvas envolventes de la respuesta a escalón de un sistema de segundo orden.
Las envolventes son exponenciales del tipo e-rrr, donde I se denomina I Lu vel<¡cidad con que el tranla constante de tiempo y es igual a k^. sitorio decrece depende de esta constante de tiempo' En la figura 29 ée aprecia que para la misma or¡] pdrs un intervalo de ( entre 0 y l, el tiempo de asentamiento disminuye conforme ( aumenta. Para calcular el tiempo de asentamiento puede procederse así: llá-
194 Sletemas lineala
e inv¡riablee
con el tiempo
mese yú"(t) a la parte transitoria de la respuesta a escalón, entonces yt,(t):l-y(t) o sea yt"(t) : :
! r-t,
Porque lsen(.,\n4t desigualdad
sen (.n \fl-
(r
+ et).
+É)l ( l, la parte transitoria cumplirá la
<+ lyt,(t)l ! r-(, como el tiempo de asentamiento (f") es aquel a partir del cual /r, es menor de 0.05 X y( ) entonces, si f, es tal que gta*tr
ffi-0'05 se puede garantizar que lyr,(f)l <.05 para f ) /', pudiéndose aproximar fo por fr. Al tomar logaritmos naturales en ambos lados de la expresión anterior resulta -(o,,f' - 1n0.05* In i t-f como ,ttT4 tanto
es menor que la unidad, entonces tn { t-C'(
0 y por
-(rnt, ( ln 0.05: -2.9957 por lo que si 2,9957
se garantiza que yt,(t) es menor que 0.05y(oo); Por tanto fo puede apro' ximarse mediante 3
' "- G , o sea, que fa es aproximadamente tres veces la constante de tiempo de la envolvertte e-tu't del sistema. Ejemplo Supóngase que un sistema de segundo orden tiene una función de transferencia
i( r ) :
-=* s,*2s*9
¿Cuáles son los valores de Mo, tt ! to? (Esto es, los valores de los parámetros de diseño). Solución Los valores de ( y 'o están dados por
.,:
{ g - 3; 2( - , _- z _?/ r-_\ó _t3 :?:!
Conportamiento
y el sobrepasopor
( á ) : * , (+A: 0333 El tiempo de levantamiento es
¡ 1t1-e'1
I
tt=-
tn-' l-l=\ -g
t-o
.n tfQ' / ( 0 : cos-7 : cor'[0.333] :7Oo = 1.23 ra.d .^
t/ | - ( '
,o./r_c: , fJ
:2 {l _ 2. Bz
, , : 3 'l o --=='''3 : o .ó 8 . 2 .8 2 El tiempo de asentamientoes 33 to:fi,:l:3' Estos valores pueden verificarse con la curva correspondientea ( :0.33que apareceen la figura 20. ll.
Comportamiento asintético Existen otros tipos de especificaciones que se refieren al comportamiento asintótíco del sistema, esto es, la respuesta del sistema cuando t --+*. Lógicamente, este comportamiento dependerá no sólo del sistema, sino además de la entrada. Generalmente las entradas que se utilizan como funciones de prueba para este propósito son un escalón u-'(t), una rampa u-"(t) y una entrada parabólica u-,(t).Dichas funciones, como se verá, tienen interpretación física en algunos sistemas de control, tales ccmo posicionadores. El tema se trata, parcialmente, en el Apéndice sobre transformada de Laplace, por lo que aquí se utilizarán algunos de los resultados allí obtenidos. Los sistemas modelados hasta ahora han tenido funciones de transferencia expresablescomo cocientes de polinomios ñ(s) = :f:¿. unicab(s ) mente para este tipo de sistemas se darán las condiciones para que l,hy h(t) exista, donde h(t) : J.' 'Il¿(s)]. Para que l,í1ght.t) exista,los polos de /¡(s) deberán estar en el semi¡rlano R¿(s) ( 0, incluycndr¡el origen; si esto se cumple ft(s) puede cxpanclcrsc cn l'raccioncs parciales como ^.AB,B" /l(.s) : - + (.sl¡),) s
+ ... *:------------: (s*p,)'
*
8,,
C
+ (r+h +' tr ' *"t
c¡r clondc la partc rcal clc cada uno de los p¿ es menor que cero. l-ir trirnslirrnurcluinvcrs¿rdc il(.s), cn este caso cs del tipo {constante
¡sintótico
195
196 Sietemaa linealee e invariableg con el tiempo
+ exponenciales * senoidales amortiguadas X (polinomios en t)ju4(t). cuando /r1s¡ tiene por lo menos un polo en un punto del eje imaginario que no sea el origen, entonces ft(r) tendrá términos de la forma sen(at t S) en dicho caso,I,fu h(t) no existe y cuando 2r(r) ti..t" un polo con parte real postiva h(t) tiene términos de la forma ebt cot:rb > O y por tanto lÍ:: h(t) tampoco existe. Considérese el sistema de malla cerrada de la figura 33.
Figura 33. Reograma de un sistema con retroalimenta. ción unitaria.
á(s)
[ ('l
é(s)
i(s)
i ( s)
La variable que representaal nodo é(s) es la diferencia entre la entrada y la salida y se denomina error de| sistema. La función de transferenct":!'l obtenidapor la fórmula de Mason es ú (s) ¿(s) -:-;-
ú( s)
I
1 + /¿( s)
o también é(s) :
á(s)
El estado estable del error, dado por el teorema del valor final es lím e(t) - líms é(s) : lím s¿2(s) ( 18) "-" 1 * /z(s) Como y(t): u(t) - e(t) y se conoce a(l), se describirá el compori.amiento asintótico en función del error e(t) para los tres tipos estándar de entradas. I -ro
ll.l
¡ J{l
Entrada esealónr¡nitario ¿l ,(l)
El err<¡r en estad<¡estable para un escalón unitario es, según la ecuación l8 /1\
r (: ) : c . . (t ): lí m \ -, , I + h (s ) l+ f t (O ) y K ,, s c dcnomi l .t¿rconsl anl c de error el e posi ci ótt.
r+ K t ,
Conpórtrnl,ento Claramente, la forma de ñ(s) es la que determina el error en estado estable. Si se supone que l(s) es de la forma nl
i/ \ /r(s)
K II (s*z ¡ ) i=l
izi + o , pr *0 -,-f--s'II (s*p¡)
donde N es un entero no negativo. Se ve que cuando s + 0, el valor de fr1s¡ depe.rderá del número de integraciones N. Si N > O, ñ(O) ser¿ infinitá y él error tenderá a cero para tiempos grandes. El número N de polos en el origen se indicará diciendo que el sistema es de tipo N. i-il.z Entrada rampa unitaria u-r(t) EI error en estado estable cuando r2(s) = 1
/1\
e" ( t ) - l í * \ . t !
'-" I + /r(s)
:ftm+
¡-o s * sft(s)
95
= tím :
r-'st?(s)
Un vez más, el error depende de ir{s¡, y por consiguiente dcl tipo de sistema. Para un sistema tipo 0 (N : 0), el error en estado establc es infinito. Para un sistema tipo l, N : 1, el error es .tt
Iím e(t) : I ->&
lím --
3 ----r---
nJ-
" -n sKfI (s*e ¡) i=t
K l I ( s+z¡ ) l.-l
-_;-
s fI (s * p¡)
I K.
n (s+p¡)
donde Ku se denomina constante de error de velocidad. Cuando h(s) er de tipo 2 o mayor,el error en estad<¡estable es cero. ll.3
Entrada parábola uniraria u-r(t)
Cuando la entrada al sistema es I a-"(i), el err<¡r en estado estable es
.^\,. "(+) .. r Í* "'(t)= rygr .ft' : tir;,ta;i El error en estado estable para N ( 2 es infinito; y para N = 2 se tiene l1 lím e"(t) : (20) t+€
*frr,=l' il
Ir,r,'
aslntóÉliio ig?
198 Si¡temas li¡ealeg e invariablea
con el tiempo
donde K" se denomina coeticiente de error de aceleración. Cuando N > 3, el error del sistema en estado estable es cero. Los sistemas de control se describen frecuentemente en términos de su tipo y su coeficiente de etror. t a tabla I resume los resultados obtenidos. TABLA I. Coeficientes de error y su relación con el error en estado permanente para diferentes tipos de sistemas.
ENTRADA
t
u-'(t)
: 1 r2-,(s) s
I
I s'
F
e"(t)-+"
0
u-"(t)
@
e " (t ) : o e"(t) = 0
Nótese que para los sistemas unitariamente realimentados, e" disminuye a medida que se aumeota la ganancia K porque /¿(0) es proporcional a ésta (ecuaciones t8 a 20). Ejemplo Supóngase que un sistema está descrito por un reograma como el de la figura 33 en donde la función de transferencia del sistema es lls*ó . .. h ls) _ s,G+ ó,
Debido a que los polos de la función de transferencia de u a y están en el semiplano izquierdo, es posible encontrar los coeficientes Kr, K, ! Ka, a,sípues: lls*ó K1'== t:!:;GT6j: Ko= = t::: t
ú
lls*6
r,f,+ ol
lls*ó .. : um;[ffij:
K o : t ísm s 2 1 lt * 9 . = u +o s.(s *
ó)
-
l' 6:
A partir de los valores anteriores se puede obtener el comportamiento asintótico del error e(t), para diversas entradaS. Estos se indican a para los tres tipos de entrada considerados continuación anteriormente.
Comportamiento
u: u-'(t) o' cuando
,**r:l ftr:
K, I
Ko
aeintótico 199
- 0, cuando u:
u-"(t)
- l,
*"(t)
cuando u:
Así pues si la entrada al sistema descrito es un escalón unitario, debido a que el error (la diferencia entre la entrada y la salida) tiende a cero, entonces ésta se acercará arbitrariamente a la función entrada. Algo similar sucede cuando la entrada es una rampa: la salida para tiempos grandes se aproximará a la rampa de la entrada. Por último, cuando u(t) es una función parabólica para tiempos muy grandes de salida, tenderá también a una función de ese tipo, pero habrá una diferencia de una unidad con la entrada (figura 34).
ff, y(t) : u(t)
Figura .!14.Errores en estado permanente del sistema del ejemplo, para los tres tipos de entradas.
¡ ¡ {
Ahora bien, si se supone que el sistema representa un servomecanismo de posición y tanto la variable de entrada como la de salida son ángulos, entonces, el error es una medida de la diferencia entre éstos. Cuando Ia entrada es un escalón, lo que equivale a cambiar el ángulo de entrada de un valor a otro instantáneamente, entonces e(t) para t --t ú indica la diferencia entre el valor deseado y el de'salida; de allí el nombre de error de posición.
2(X) Sietemae lineales e invari¡bles
con el tiempo
Además, si la razón de cambio del ángulo de entrada es constante, esto es, que el servomecanismo tiene como entrada una velocidad angular constante (una rampa si la variable de entrada es un ángulo), el error será la diferencia entre las posiciones de la entrada y la salida y por tener aquella una velocidad constante se le da el nombre de error de velocidad. De un modo similar, cuando la entrada es un ángulo producido por una aceleración constante, o sea una función parabólica del desplazamiento, la diferencia entre la entrada y la salida se denc' mina error de aceleración. Luego las constantes Kr, Ko y Ko son una medida de la capacidad de un sistema para "seguir" entradas de los tipos mencionados. Ejemplo En una planta química se quiere controlar la apertura de ciertas válvulas desde un puesto central de mando. Para ello se sugiere un sistema como el indicado en la figura 35.
Figura 35. Sistema lador de posición.
El sistema propuesto funciona de la siguiente manera: el operador acciona un potenciómetro en el puesto de mando cuando desea abrir o cerrar la válvula. El ángulo al cual coloca el cursor del potenciómetro será proporcional a la apertura deseada de la válvula. Esto produce un voltaje v, (proporcional a dr) entre un par de terminales. Mediante un elemento comparador, se le resta al voltaje ?r otro voltaje, vr, que es proporcional a la apertura real de la válvula (la manera de producir u, es idéntica a la de u,). La salida del comparador es pues la diferencia v, - uz: lsi este voltaje se amplifica y se aplica a un motor de corriente directa. La velocidad angular, ., de la flecha del motor está relacionada con el voltaje aplicado, por medio de la función de transferencia. ó(') -= úr(s)
K s'*5s*8'
La flecha del motc¡r y la que abre o cierra la válvula están acopladas por engranes de inercia insignificante. Esta última flecha tiene acoplado un potenciómetro quc produce un voltaje proporcional a la apcrtura real de la válvula. La función de transferencia ertre la velocid¿rd
por"tamrbnüoaeintóti@ 2Ol
angular de la ftecha del rotor y el eje de la válvula está dado por ó(') :;' 3 ;G) Para facilidad de exposición, se considerará que todas las constantes de proporcionalidad son la unidad y que K :2; el diagrama gue representa la dinámica del sistema de control se indica mediante la figura 3ó.
I
v,g
s'*5 s+8
Figura 3ó. Reograma del servomecanismo de posición.
Se desea determinar si el sistema considerado es apropiado para propósitos de control de flujo de cierta componente química que pasa por la válvula. Para ello se desea encontrar tanto el comportamiento transitorio como el asintótico. La función de transferencia de malla cerrada es
u,(s) hG) :-: á , ( " ) I + ¿ (s)
s''+5 s2+ 8s+ó
Los polos de este sistema están dados por las raíces del polinomio s3+ 5s'* 8s * ó:0 o sea
(¡ + g) (s'* 2s * 2) : 9 .
Entonces,el sistema tiene un polo real en .r : -3 y dos polos complejos en s: -l -f i (figura 37) Por tanto, el sistema cumple con las condiciones para las cuales es aplicable el teorema del valor final. Como el sistema es del tipo l, de la tabla I se obtiene Kp :
ú,
error de posición : 0
2O2 Sistemas linesler
Figur¡ 37. y ceros.
e invari¡bles
con el tiempo
Patrón de polos
Ko:
?4 1, error de velocidad : = 4'3
Ko:
0, error de aceleración:
cc.
Como los polos dominantes del sistema son los localizados en - I -{- i, el comportamiento del sistema estará determinado esencialmente por ellos. El coeficiente de amortiguamiento ( y la frecuencia naturdl
V2:I.41 L
(:
:0'707.
!2 Esto implica que el sistema está subamortiguado y que las características de su comportamiento transitorio pueden obtenerse de las expresiones para los sistemas de.segundo orden. (o Mp = e'/4-
-"/5 e'-\w/ : {Í :0.043 -n-
tuo: -L-
ú!¡vl_(" ,fr+
: a : 3.14 seg
\¿
t-0
tt - 4; t" 'l l-?
I -
cotr ( :
cos-' (0.707) - O.79rad
3.14-0.79 tt E -- 2.35seg. I 3 ta-;--3seg. Éú)¡ Así, después de haber hecho un examen del sistema propuesto, se pueden obtener las siguientes conclusiones: ¿) El sistema tenderá a llegar a la apertura deseada por ser del tipo l.
Comporfamiento asintótico 2O3 S: se deseara abrir la válvula continuamente, de manera tal que ei gasto en ella se incrementara en forma gradual, el sistema de control propuesto no cumpliría fielmente con este cometido, por ser el error de velocidad casi la unidad. -- El sobrepaso es suficientemente pequeño para garantizar que no se va a exceder demasiado la apertura propuesta. Esto puede ;onvenir en algunos casos para evitar g
t I
En los párrafos anteriores se han obtenido, pero, no utilizado, los tiempos de asentamiento, retraso y levantamiento. Estos pueden ser útiles al diseñador en criterios sobre rapidez de respuesta del sistema, suavidad de comportamiento del mismo, etc.
CAPITULO
Estabilidad
l.
Introducción
En capítulos anteriores se han puesto de manifiesto las ventajas que se logran con altas ganancias de malla en los sistemas realimentados; particularmente, en el primero se ilustró que a medida en que se aumentaba el valor de la ganancia de malla, la relación entrada-salida del sistema se hacía menos sensible a las características de la planta. En el número 7 se demostró que es posible disminuir los errores permanentes de los sistemas unitariamente realimentados, cuando se aumenta el factor de amplificación de la trasmisión ciirecta. Parece entonces natural pensar que siempre es deseabletener valores altos de ganancia de malla. Sin embargo, como se verá en este capítulo, al aumentarla se puede llegar a tener una de las característicasmenos deseables en los sistemas de control: que la salida debida a una entrada pequeña sea arbitrariamente grande, porque en caso de que se introduzcan perturbaciones al sistema, éste las amplificaría. El propósito de este capítulo es estudiar los aspectos relacionados con dicho problema y, particularmente, determinar las condiciones bajo ias cuales es posible garantizar que la salida (o respuesta) sea "pequeña", mientras la entrada, las perturbaciones externas, y el estado inicial lo sean. Este problema, conocido como problema de la estabilidad, ha tenido varios enfoques. En el enfoque más utilizad<¡, mismo que será tratado en este capítulo, se considera la descripción externa del sistema, o sea, la relación entrada-salida.El análisis de este tipo de estabilidad fue tratado en detalle por Nyquist (1932), y considera que un sistema es estable cuando la salida no crece indefinidamente debido a entradas o perturbaciones lruido) pequeñas.
2.
Definiciones
I'r¡ndamentales
Par a s im plif ic ar a l g u n o s d e l o s d e s a rrol l os y defi ni ci ones de esta se cci ó n, c s c onv en i e n te u ti l i z a r l o s c o n c e p to s de funci ón acotada y funi i ó n abs olut am c nt e i n te g ra b l e . Sc dic c que un a fu n c i ó n /(¡) e s a c o ta da cuando exi ste una constri n tc M ( : ¿ t al q u e f (tl I M p a ra to d a ¡. P or ej empl o, sen I es ru ra l' r r r - r c iónac c , t a d a p o rq L l c s e n I I ' + 3t * 8 n < -¡c s ¿ rc c ¡ta d ¿ yt,a q u e d ada cual qui er constante M -(1 ): ri crl p r c c s pc ls ible c n c o n tra r u r.r ti c m p o /r parn el cu¿tl ¡i f 3/r + 8 > M f ;cL ¡ r - aI ) .
20.5
ry
Sd¡biird¡d
Iflur¡ f. (¿) función acotada (D) tunción
re+3r+g
)
o) Una función h(t) es absolutamenteintegrable si g(t) : It V"t,¡l do es acotada. Así h(t) = e-I u-t(t') iriu función absotutamenteintegrabre por"r que la función'.
g(t):
(o)l I' -r"-'u-, do- !',r" dn= | -e-t
es acotada otra parte (sen t)u-,(t) , -Por la función
g (t) :
It
no es absolutamente integrable porque fr
( o) l d" ol do = 2n *t- cos ( t- 2¡ n) I __l{ tr n")u- , J t"r ,
Deñnicionee
::r donde n es un entero positivo que satisface tt,r < f < [z*1]"') => acotada (figura 2 ) .
2O7
no
e-r u-'(t)
Figura 2. (a) función absolutamente integrable. (á) función no absolutamente integrable.
(¿)
(sent)ut (t)
lsenoldo
4 3 2 I 0 (b''
I
¡ 2.1
Definición de sistema estable
Un sisterna dinámico es estable en el sentido entrada-salida, si es¡ando en reposo: d) cualquier entrada acotada produce una salida acotada, ii) entradas suficientemente pequeñas producen salidas sufi;ientemente pequeñas. Dicha definición puede darse mediante símbolos matemáticos. Si ¿(r) representa la entrada y y(t) la salida, entonces el sistema es estable, si (figura 3): ü(Entrada)
u(Entndr)
s(Selidr)
(¿) D¡dollf existeIV
(b) DedoI existe e
Figura ,3. Sistema estable en el sentido entrada-salida.
2O8 Estabilidad
¡) lu(t)l < M implicaque existeuna constanteN tal que ly(r)l < N. ii) Para todo 6 ) 0 existeuna s ) 0 tal que si lu(t)l q,, entonces
l y (r ) l< 4 .
La definición de sistema estable es aplicable a cualquier tipo de sistema: lineal, no-lineal, distribuído, etc. sin embargo, nuestra atención se concentrará a los descritos por ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes, tal como se hizo en capítulos anteriores. Antes de entrar a fondo en los detalles de las condiciones para determinar la estabilidad de un sistema, las implicaciones de la deiinición anterior se ejemplificarán con casos sencillos. 2.1.1
Ejemplo
considérese un sistema lineal e invariable, cuya función de transferencia /r(s) :l/(s*l). La respuesta a impulso h(t):r'{ñg¡\ "s por h(t) - e-t está dada u_,(t). Si z(r) es una entrada arbitraria que vale cero para tiempos negativos,,la salida y(t) correspondiente se expresa mediante la integralte convolución
y( t) : Para este caso lu(t)l
ft
J"u( t- ( )
e- rd( .
implica la existencia de una constante
lv(¡)I < ¡¿ como a continuación se demuestra. utilizando la desigualdad: "el valor absoluto de una integral es menor o igual a la integral del valor absoluto del integrando", esto es
at =J"lx (t )l d t f'"*1¡
y la identidad
lf( t) s1 )I - - ll( ¿ )I le ( t)I Ce la integral de convolución, se obtiene oue
ly( r ) lI J' i,,tt- o i ¡ e - rdl ( y como se supone que a(l) es acotada, es decir que lu(t)l 1M, concluye que
lv(t)|
dc:rt', le-(ldc =l',rle-(l
y notando que
f"le \ d ( : f : ,
se
resu)ta ly(t)l < M (l-e')
1 M para t ) O
de modo gue, para este ejemplo, cualquier entrada acotada que se aplique al sistema, producirá una salida acotada. Haciendo ¿ : 8, se encuentra que para cualquier e > 0 tal que u(t) | ( e, se Earantiza que I y(f) | < 8. El sistema por lo tanto es estable. 2.1.2
Ejemplo
Considérese ahora el caso en que la función de transferencia del sistema es
,,("):t; Aquí podrá demostrarse la existencia de una entrada acotada que produce una salida no acotada. Como la respuesta a impulso es h(t):(sen t)u-'(t), al tomar como entrada la función u(t):(cos t)u-'(t) se tendrá
rdf
J ' l y ( t ) l - i (s) : (s'*l)(s'+l)
I
1
1¿' L t t "+ DI i
por tanto (1
y(t) :
\,
)
t sen tj u-'(t).
Esta función no es acotada pues no existe constante N alguna tal que
l y (t)l <¡r para loda f. Así que el sisterna en cuestión no es estable. A los sistemas que no son estables se les llama inestables. La condición íi) no es redundante porque hay sistemas que aunque cumplen con la condición i)no satisfacen la segunda. Un ejemplo se muestra a continuación. Eiemplo Considérese un péndulo invertido como el mostrado en la figura 4a que consiste en una masa M sostenida por una barra. Si se sup<.rneque esta última no tiene peso, que no hay fricción y que el péndulo está en un campo gravitacional, entonces cuando se considera a la fuerza /(t) como la entrada y el desplazamiento vertical 1,(f), como la salida, las ecuaci<¡nesque describen el movimiento del sistema son (figura 4b). á20
Ml!::
elt '
: lf (t) + ug s e n0 lI
y(t) : I(l -cos 0). Lógicamente para crralquier entrada f(t),la
salida no podrá exceder
"rq
2lO Eetabiüdad
I I
I
v ( t) M
I
óa
Figura 4. Péndulo invertido. (a)
el valor 2I y por tanto entradas acotadas producen salidas acotadas, o sea que el sistema satisface la condición i). Sin embargo, si f (t) : e ) 0 donde s es arbitrariamente pequeño se tendrá que para algunos valores de t, y(t) ) t y por tanto no se cumple la coadición ii). A partir de la definición ciada no es fácil determinar si un sistema es estable, porque aún para ciertos inestables, existen entradas acotadas a las cuales les corresponden salidas del mismo tipo. Sin embargo, cuando el sistema es lineal e invariable la estabilidad del sistema puede caracterizarse completamente con la respuesta a impulso como a continuación se demuestra.
2.2 Estabilidad de sis:emas lineales invariables Un sistema lineal e invariable cumpl,e con Ia condición i)si y sóIo si tu respu,estaa impulso es absolutamente integrable. Demostración. Primero se probará que si la respuesta a impulso es absolutamente integrable, entonces cualquier entrada acotada produce una salida acotada.Supóngaseque lr.r(r)| < M y q"" ¡rara toda t. Entonces
¡ y( r )|
:,J: .J:
J,
VG)l do 1K
u (t -O h (O d (l
lu (t -O l
lh(0td(< Mr"lh (()l d ( <
MK,
lo cual demuestra que la salida es acotada. La segunda parte de la prueba consiste en demostrar que cuando la respuesta a impulso no es absolutamente integrable, entonces es posible encontrar ia(r)l< I para la cual la salida y(r) excede en valor absoluto cualquier valor prescrito. Supóngase que dicho valor es N. Debido a la no integrabilidad absoluta de la respuesta a impulso, existe
Doffiderc¡ un valor del tiempo, digamos fr, tal gue fir
J , l f t ( o l d (> N . Ahora se seleccionaráuna a(r) que en valor absoluto sea igual a la unidad,que hagaque ly(l)l> N. Como el sistema es lineal e invariable, la salida está dada por la integral de convolución
Ytr): Jt h(t-t)u((l
¡1(
y particularmente para t= tt
y(t,) =
f,r
l,
h(t,-Ou(OdE
Además,si se escogeuG) como tb\ = ( lcuandoft(r'-O )0 u\(t ( o | -t ".r"trdoft(t,-() se tendrá que ¡ y( r ,)l = r[" ¡t 1r,-()l d( = [" ¡f t 1 ' ¡l d o ] N lo Jo
por tanto /(l) excedeal valor N prescrito. A continuación se demostrará que sí un sistema lineal e invariable satisfacela condicióni)entonccs satisface la condicíón ii). Demostracíón. Como el sistema satisface la condición i.) la respuesta a impulso es absolutamente integrable, o sea que existe un valor K tal quc
J- trt,¡¡dt< K v como
y(t) :
P,
l,
lt(r-a)u(" )d o
se concluye que f tt
-'l
ly(r)l< Lt,,lh(t_")ld"I i:i:, lu(o)l 1 K má x l u (" )l existe uri e )0 tal que la(c)l
2ll
212 Eetabiüd¡d la selección
t(tr-
I
A partir de esta última demostración puede concluirse que un sistema lineal e invariable es estable en ,eI sentido entradasalida si y sólo si su respuesta a impulso es absolutamente integrable. 2.2.1
Ejemplo
considérese un sistema lineal e invariable cuya respuesta a impulso es h(t) = e-' - c"t, para f ) 0. Dicho sistema es estable en el sentido entrada-salida porque la respuesta a impulso es absolutamente integrable:
g(r) =
d.o: da J' VG)l f'" @-o "-zol
= [' 1"-" Jo
e-ro)do: -s-t * o.Se-rta g.5
y g(t) es acotada para r > 0. Debe hacerse énfasis en que, aunque la respuesta a impulso de un sistema lineal e invariable tienda a cero cuando ú tiende a infinito, no es una condición suficiente para garantizar la estabilidad del sistema. 2,2.2
Ejemplo
considérese un sistema lineal e invariable con el tiempo cuya respuesta a impulso se muestra en la figura 5.
h(t)
lh (t )ld t
Figura 5. Respuesta a impulso de un sistema lineal e invariable y la integral de su valor absoluto.
t
La integral del valor absoluto de la respuesta a impulso es rt
( ¡
s ( t ) : 1 , ,lh ( " ) ld " : () | .1,' '
paraf(l *lnlparat)l
pero como esta función no es acotada ( figura 5) el sistema es inestable.
Delinicionee 213 2.3
Estabilidad de sistemas lineales, invariablee y de parámetrot concentrados
Si el sistema en cuestión además de ser lineal e invariable es de -i:rmetros concentrados,* su estabilidad queda determinada por la lo' -=.:zación de los polos, porque como fue comentado en el capítulo 7, : :cspuesta a impulso de estos sistemas es una combinación lineal de -:-ninos de la forma ¡ h¿ott
_i : o
5¿4
( .if
*
ó¡ )
es
h ( t) :
sen(,o rf* ó r) 9,5' o,rro"o't i=l
k=0
::nde los polos del sistema están localizados en S¡:o¡*i^t;i=1,...,n ! rn¡ es la multiplicidad del iésimo polo. Entonses para que se cumpla que
J,
lh(")l da 1K
para toda f y alguna K es necesario y suficiente Qü€ o¡ ( 0 para toda i. La prueba de suficiencia es simPle. Sior(0entonces fuI itr""" sen (v¡t * ó¡) t dt 1
Jo
:
t I
I
kl -ffi l oi l '
.'sto implica que
f,
r t,- t
folr
sen(. ¡t + 4 , ' ) d t > A ¡úkeo't > k.o l h( t) l dt : .rI o I i=l I
n
mt- l
la
¡ :l
t o
Jo
'V,-l:< - ;5 ' loi lr-t i---rr--.r ' :-r tanto la respuesta a impulso es absolutamente integrable. La prueba de necesidad, en la que se demuestra que si hay al menos - r..¡lc¡con parte real no negativa, entonces el sistema es inestable, es =:-.:ién muy simple, pero no será incluida aquí. En resumen y1 sistema lineal, invariable y de pardmelros conaentrados es estable si y sólo si todos los polos de la función de transferencia tienen parte real negativa.
Debe recordarsc que un sistcma con cst¿r:i trcs características tienen Un al de c er os ' -:u d e p olo s igu al o m av or
214 E¡t¡bilidad 2.3.1
Ejemplos
El sistema lineal, invariable y de parámetros concentrados con función de transferencia (s*5)(s- l0)
@ es estable porque las partes reales de los polos, (-3, negativas. El sistema con función de transferencia
-4
y -4)
son
(s * . 1 )(s + 4 ) s(s*3 )(s+7) es inestable por tener un polo en el origen (su parte real no es negativa). En los ejemplos anteriores fue sencillo determinar la estabilidad de los sistemas considerados ya que los polinomios característicos (denominadores de las funciones de transferencia) estaban dados en forma factorizada. Podría entonces pensarse que para establecer la estabilidad de un sistema lineal, invariable y de parámetros concentrados es necesario factorizar el polinomio característico, sin embargo, existen dos argumentos para no hacerlo. a) En muchos problemas de control interesa conocer el intervalo de valores que puede tomar un parámetro para los cuales el sistema es estable.Si se utilizara la técnica de factorizar el polinomio característico habría que realizar la tediosa tarea de obtener las raíces del polinomio característico para cada valor del parámetro en cuestión. b) Existen métodos, que serán estudiados en la próxima sección, mediante los cuales se puede determinar el número de raíces de un polinomio que están en el semiplano izquierdo Re[s] ( 0, sin necesidad de determinar las raíces del polinomio.
3.
Condición necesaria para la estabilidad
De acuerdo con la sección 2.3, para determinar si un sistema lineal invariable y de parámetros concentrados es estable, es necesario y suficiente establecer que todos los polos de la función de transferencia tienen parte real negativa, pero antes de presentar los criterios por los cuales se determina si esta condición se cumple se hará una observación: Para que todas las raíces de un polinomio de grado m y coeficientes reales tengan parte real negativa, es necesario que l<¡scoeficient es dg
s t ', s 'r , . , .
su
potencias de s sean diferentes de cero y del
mismo signo. Esta aseveraciónes fácil de verificar. Supóngaseque todas las raíces del polinomio en cuestióna(s),tienenparte real negativa,entonces,como las raíces complejas aparecen en pares conjugados, a(s) es factorizable
El eriterio de Routh 215 =: la forma a(s) : ¿'(s*o,)(s+o,).
. .(s*",*i,¡)(s*o¡-lb,).
..
n factores Conde o* ) 0 para toda ft. Al realizar la multiplicación = (s' * 2o¡s} o¡2{ <,r¡2 (s { o¡,{ lor¡) (s+ ) "i-i,i ) se obtiene un polinomio de segundo orden con coeficientes positivos. De esta forma, al efectuar todos los productos indicados en la facto' rización de ¿(s), los coeficientes de S se forman mediante sumas y productos de números positivos y por tanto son positivos. De acuerdo con dicha observación puede concluirse que los poli:::nios a) b) c)
so+7sn+s'?+3 s'¿-3s*8 s? f 5s" a 3s'* $5nf l8s" + lls'
tienen al menos una raíz con parte real no negativa. El primero porque el coeficiente de s" es cero; el segundo por causa de que no todos sus coeficientes son del mismo signo y el último por no tener término independiente. Sin embargo, el hecho de que un polinomio de grado n cumpla con ia condición de que todos sus coeficientes sean distintos de cero y del mismo signo, no implica que todas las raíces del polinomio tengan parte real negativa, como se demuestra en los siguientes ejemplos. Considéreseel pclinomio a(s) - s'l * s' + s + 1 : (s*l)(s'*l)
: (sfl)(s+i)(s-i)
Dos de sus raíces tienen parte real igual a cero:
s:i ,s=-i . El polinomio a(s) - s" * s'* lls * 5l : (s+3)(s'-s+17): : (s*3)(s- I +4i )(s- r-qi) tiene dos raíces cc;n parte real positiva: s:l*4j,s:l-4i. I
l I
I
El criterio de Rourh Por medio de este análisis se puede determinar el númer<¡ de raíces de un polinomio de orden /l que tienen parte real positiva. 4.
4.1
Preliminares
En el criterio de Routh interviene una cadcna dc polinomicls f"(s), respcctivamcnte,que se for' /,-,(s ), ...1,,(s) de grados ft,fl-I,'..0, cxplica. a continuación sc man como Dado el polinomio p(s) de grado n, se toman d<¡spglinomios: uno par p,,(s), formado por todos los términos dc potcncias pares de s en
I H,
216 Eetabilidad
p("1: y uno impar, p¿(s),.integradopor las potenciasimpares. Si 1 es par, se.hace l"(s) : pof) y l*,-(s) = p¡(s), y trario /"(s) = pr(s) y l"_,(s) : p;(s). "o "uro "orA partir de l"(s)-y l*,(s) re g"rerun otros r?-l polinomios , f,,_r(s), l-'(s), ... l"(s) utilizando el altoritmo de Euclides de la manera siguiente: igual al residuo que se obtiene de dividir f*"\s) f"(s) entre f*,(s), -es o sea l*r(s) satisface l"(s) - ft,sf*,(s) * f*"(s) o sea
l"(s) l-'(s)
:&rs .#
donde ¡tr €s uDa constante. , A partir de los últimos polinomios obtenidos lr(s) y f*-r(s), se forma tw"(s), de manera análoga,to-o el residuo de la'divísíoí nr"j + l¡-,(s). De la cadena de polinomios l"(s) : 40.t"+ 4rs-2 * ... l*'(s) : bos*' * br5"-3+ ... lr(s) : cos&* ct/u2* ... +
fo(s) : do se toma el número de cambios de signos de ra sucesión (¿o, ba, . . ., &, .. . d") y el criterio de- Routh dice que el número de raíces del polino mio p(s) con parte real positiva es igual al número de cambios dé signo de la sucesión. 4.1.1
Ejemplo
Considérese el polinomio P(s) : 4s' + 8s' *3s a 9 en esrc caso PrG) :8s' + 9 P¿(s):4s'+3s y como el polinomio p(s) es de grado impar, se toma
l.( s) = 4s' + 3s f"( s) :8s' + 9
Para formar f, se efectúa la división
o sea
0.5s 95, a 9/-l'.u 3s -4 s ' - 4 . 5 s I . 5s
y el residuoes -1.5s, entonces f ' (s ): -1 ' 5 s por último l.(s) es igual al residuo que se obtiene al dividir fr(s) entre
El citerio
f'(s), o sea
8s 1 .5 -t.S sV -8 .* + 9 -8s,
9 :9 lo(s) De esta forma puede concluirse que p(s) tiene dos raíces con parte rral positiva porque en la sucesión (4,8, -1.5,9) hay dos cambiosde signo, de 8 a -1.5 y de -1.5 . ?. Routh sistematizó lis operaciones del algoritmo de Euclides, for' mando un ameglo que lleva su nombre, al notar que los coefici'entes del polinomio fi,-, pueden obtenerse de forma sencilla a partir de los coeficientes de fw y f*z Supóngaseque fn, = answ * ¿rsLl * ¿¿sH *
...
f* = b o ** b '*'+ .. . al efectuarla división f*,, * fr se tiene h
t' bosr* br*'*
br!'+ -úroshl- ^!ir*, - 9r*.+ bob o-
(a,-ffi Entonces lr-,(s) -
(boa'-qb') b,
r-' *
...
s&-1 + \*-T)*8+...
(boa'-hb') bo
*+
...
La obtención de los coeficientes del polinomio f¡-, se puede hacer err forma simplificada colocando en dos renglones los coeficientes de l¡*, y f* y efeciuando multiplicaciones cruzadas de acuerdo con la regla
tu'
fu, 4.2
bo
bo
El arreglo de Routh
Con esta observación se pueden calcular rápidamente todos los polinomios l¿(s). Para ser más específicos, considérese que el polinomio en cuestión está dado por P(s) :
Prs" *
PwtS*r *
Pr-,s"-z + ...
+ Pt
derRouth 21?
218 Eetabilidsd Los dos primeros
renglones
del arreglo
I p"
Í"
Po-z
son
Pn-n
, ii Pit'I z Pnrz { '/ Pn-sI / f"-,
A partir de estos dos se forma un tercero (con (n-l)/2 si ra es impar y n/2 elementos cuando z es par) fn,
b"
br
I
elementos
b"
donde los b¡ están dados por ,
P"-, pn-zi -
pnpa-zi-r
p*, Con los dos últimos renglones obtenidos se procede a calcular el siguiente renglón de la manera indicada:
t-
do
dr
d."
f*-' I t, fu, I xo y los .tr están dados por
€t xt
€z )b
eod¡r, -
doé¿r,
€o
I
i
El proceso termina cuando se han obtenido n * | renglones. El criterio de Routh dice que el número de raíces con parte real positiva, del polinomio p(s), es igual al número de cambios de signo que hay en la primera columna del arreglo descrito. De lo anterior se deduce que cuando todos los elementos de la primera columna son del mismo signo, se cuenta con un polinomio en el cual ninguna de las raíces tienen parte real positiva.
4.2.1
Ejemplos
¿) Considérese el polinomio p(s) : so * 2sn-¡ 3s3* 2s'+ 3s + 4. El arreglo de Routh en este caso es
cambiodesigno-f
t '¡; l:i -r^
33 24 l0 4 0
Puede asegurarse que el polinomio p(s) tiene dos rajces con parte real positiva áebido a que hay dos cambios de signo (de * | a -7 y de -7 a +4). b) El polinomio p(s) : s, * 2s' ¡
2s,*4s * 3
no tiene ninguna raíz con parte real positiva, pues en la primera columna del u.."glo de Routh que se presenta a continuación, los elementos
El orttcrio de Bouü
son positivos:
f,
t: f,
fo
4.8
183 240 63 30 3
C,asossingulares
Comúnmente la diferéncia de grado de dos polinomios consecrrtivos en la cadena (f,, f,-r, . . . l') es la unidad, en ctryo caso es posible obtener el arreglo completo de Routh .siguiendo la regla de la sección anterior. Hay sin embargo dos situaciones llamadas singulares. Caso I La diferencia entre el grado de fr y f¡-, es mayor que la unidad y fr-'(s) * 0. Caso 2 lr-'(s) -- 0 en los cuales no es posible continuar con el arneglo de Routh más allá del renglón correspondiente a f*r, porque para obtener el siguiente habrla que efectuar una división entre cero. 4.3,1 Ejemplo (caso singular 1) Considéreseel polinomio p(s) :.s. * s'a 4f * 4 s * 6 . Los primeros tres renglones del arreglo de Routh son Í,
f"
fo
t'
t46 t4 06 .?
y no se podría calcular el cuarto porque implicaría una división entre cero. 4.3.2 Ejemplo (caso singular 2) Tómese por caso el polinomio p(s) : s6+ 8.t' * 8s{ * 24f + 16.f + 8s * 5. Los cuatro primeros renglones del arreglo de Routh son
fu l l f, l 8 fn l s
t" lo
8 248 15s 0
1ó.
5
f, l ?
No serla posible continuar con los cálculos de los coeficientes de fz, por implicar una división entre cero.
219
22O Eatabiüdad
Para cada uno de los casos singulares Routh dio una solución. 4.3.3
Solución del caso singular I
En el primer caso singular se remplaza el cero que aparece en la primera columna por un número e arbitrariamente pequeño. Se continúa el proceso de cálculo de los renglones restantes, cuyos elementos serán funciones racionales de y a continuación se examina el número " de cambios de signo de la primera columna del arreglo en función de '. Considérese nuevamente el ejemplo 4.3.1, si se remplaza 0 por el ' arreglo completo es: fn
f" f" fr fo
r 46 l4 e6
4- 61, 6
cuando e es suficientemente pequeño se tiene la sucesión (1, 1, e,-6fe, ó); si e ) 0, se presentan dos cambios de signo en ella: de a -6/" y " de -6/e a ó. Por tanto, se concluye que hay dos raíces con parte real positiva. Si e ( 0 también se tendrán dos cambios de signo: de I a ' y de e a -6f e, por lo que el polinomio p(s) tiene dos raíces con parte real positiva. La razón del procedimiento sugerido por Routh para tratar el primer caso singular se basa en la propiedad de que la localización de las raíces de un polinomio varía de manera continua con respecto a los coeficientes del mismo. Cambiar el cero obtenido en la primera columna por un número pequeño e, equivale a cambiar uno o más de los coeficientes del polinomio original por una cantidad del mismo orden. En particular, para el ejemplo dado equivale a cambiar el polinomio, p(s):l*s3*4s'*4s*ó por el polinomio p(s) : sn * s' + (4+€) s' * 4s * ó. 4.3.4
Solueión del caso singular 2
El segundo caso, o sea, cuando en el arreglo de Routh se tiene un renglón de ceros, ocurre cuando p(s) tiene un factor del tipo s" (st-
I
a.2g2t^-tl *
ots2t'uzl +
... I
az^)
lo cual puede verse al examinar detalladamente la obtención de la cadena de polinomios: fo,fo t¡...,fr. Como éstos satisfacenlas ecuaciones
l'(s) : &'sf"-'(s)* l'-,(s) + /"- .( s) l"- ' ( s): k,sf^- "( s)
Í*,G):
ftn-r-r's /*-'(s) + /t(s)
y si lr(s) : 0, entonces de acuerdo con el algoritmo de Euclides, se puede concluir que frr,(s) es factor común de l,'(s) y l,-,(s) y como
p( s) :1,( s) + 1,- ' ( r )
Utilizacidn del criterio de Routh ú d d¡e
t2l
éste es divisible por lr*'(s). Routh demostró que si se continúa el arreglo remplazando el ren' glón de ceros correspondiente a l*(s) por el renglón formado a partir de los coeficientes del polinomio dfn,(s)
T' el número de cambios de signo de la primera columna colresponde al de las ralces de p(s) con parte real positiva. En el ejemplo 4.3.2, los números que deben colocarse en el renglón corespondiente a lr(s) se rían los del polinomio
d t . G )- d r * * + t s ,,+ 5 ) -ftru o
-F
= 20s'* 30s o seaque el arneglocompletoquedar
I: t, f" f,
.fr fo
18165 8248 5155 20 30
rs/2 sa/3
ITISTITUTO TECNOLOGICO DEOUENETARO
cENTRo DElruronu¡Ci'ór-l
5
5
y se concluye que por no haber cambios de signo en la primera columna, ninguna raíz de p(s) = so * 8su+ 8sÉ+ 24f + l6s'z* 8s * 5 tiene parte real positiva.
5.
Urilfuaclón del criterlo de Routh en el diseño
Se presentan dos ejemplos en los cuales se utiliza el criterio de Routh para determinar el intervalo de valores de un parámetro que hacen estable un sistema.
5.1
Ejemplo c) Serwomeeanismo eléctrico
Considérese el sistema posicionador de válvula (figura tado en el capítulo 7, sección 2.
ó) presen-
Supóngase ahora que el amplificador tiene una ganalcia K. El neogr"*" qué describe lal rehciones entre las variables es eI de la figura 7. Simplificando. el reograma mediante la fórmula de Mason, la fun' ción dc transferencia h(.s) es
222 Eet¡biüd¡d
FLur¡ 6. eléctrico.
Servomecanismo
.t,
3 ló rle ,
Figura 7. Reograma del po sicionador.
en donde
á(s) : s( s' * 5s 8) + Como se recordará, en el capítulo 7 se indicaba que el coeficiente de error a escalón era
Kr: l"íIKá(s) = l"!*
3K s (s ' * 5 s * 8 )
y el coeficiente de error a rampa:
K,:
I í ms K á (s ) = I í m ,-O
tro
s3K :3K/g s (s ' * 5 s * 8 )
por tanto, al aumentar K se incrementará K,, con lo cual mejora el comportamiento asintótico del sistema. Además como se'enfatizó en el capítulo l, es conveniente incrementar la ganancia de malla para disminuir, entre otros, los efectos que puedan tener las no linealidades de la planta. sin embargo, para valores de K muy grandes, el sistema puede ser , inestables. En este ejemplo se determinará la relación entre los valores de K y la estabilidad del sistema.
Utilización
del criterio
Como la función de transferencia del sistema es
3K
s'+ 5 s' * 8s+ 3K
F
I
el polinomio característico es s'* 5s'+ 8s + 3K. Si éste tiene una o más raíces con parte real no negativa, implicará que el sistema es in' estable. Para aplicar el criterio de Routh al polinomio característico, primero se obtiene el arreglo.
f" f"
I
8
)
3K
Ír
8-
Ío
3K
3K 5
y de allí las siguientes consideraciones. Cuando K < 0, los primeros tres elementos de la columna inicial del arreglo son positivos, mientras que el último es negativo; por lo que habrá un cambio de signo y el sistema tendrá un polo en el semiplano derecho (parte real positiva). Para 0 < K < 40/3, todos los términos de la primera columna son positivos; por tanto, al no haber cambios de signo, el sistema es estable. Para K > 40/3, el primer término del renglón correspondiente a f' es negativo, y hay dos cambios de signos: uno entre 5 y 8 -
$,
ot'o
AK y 3K. entre g _-+ f,
En este caso, dos polos están localizados en el semiplano derecho y el sistema es inestable' para K : 0, se tiene que lo(s) : 0, lo que significa que el polinomio característico incluye a s como factor, o sea que existe una raíz en el origen y el sistema es inestable. Para K :
40 f,
l'(s) : 0, y como el renglón correspondiente a fr(s) es
f,
40
el polinomio característico tiene como factor a 5s' * 40, o lo que es lo mism o, a s'* 8. En efecto, s'* 5s'* 8s a 40: (s'*8) (s+5); entonces se tienen dos raíces sobre el eje imaginario. La siguiente tabla resume los resultados anteriores.
de Routh en el diseño 223
224 Estsbilidad Valo¡
de K
Posición
de
polos
Estabilidad
K <0
dos en el semiplano izquierdo uno en el derecho
inestable
K:0
dos cn eI semiplano izquierdo uno en el origen
inestable
0
tres en el semiplano izquierdo
estable
K = 40/3
uno en el semiplano izquierdo -r j{T dos potos complejos ",
inestable
K> 40/3
uno en el semiplano izquierdo dos en el derecho
inestable
Por tanto, para que el sistema sea estable, K deberá estar en g-^l intervalo 0 < K < 40/3, por lo que el máximo coeficiente de erro: rampa posible s€Íá Ka^a*: 3K/8 < 5. Sin embargo, es aconsejable no usar valores de K cercanos a 40 ,i pues podría presentarse entonces un comportamiento inadecuado desistema (sobrepaso excesivo, tiempo de asentamiento muy grande, etc. l. Ejemplo
b)
Servomecanismo hidráulico
La figura 8 presenta un bosquejo de un servomecanismo hidráulico de posición. Por medio de este sistema se pretende que una masa, M, siga fielmente los desplazamientos horizontales que se apliquen a un punto de una palanca.
l, Altt Presión I , 1,8ria ?¡
c
id#'
l fr
o'.,/1 I I
=z
tl , , l l l¿
t.t'o -2., Carreté
t-
voválvula -. T
to
L+ 'v
B
P'
M P,
Fv-] -
e
'¿
F
Actuado¡
Mcc¡nismo de realimentrc¡ón LP:
Pt - Pz
Qt. :
l) v!
-:-
-
t't '<:
El sistema consta esencialmentede cuatro partes: una servoválvula, un actuador, una carga y un sistema mecánico de realimentación. Su funcionamiento consiste en Io sisuiente:
Utilización del criterio de Routh en el dieeño 225 Cuando el punto D se cambia de posición (se desplaza horizontalmente una distancia x), la palanca gira instantáneamente con respecto : B l' el punto C se desplaza haciendo que los carretes de la servoválrrla se muevan hacia la derecha. Esto permite que un líquido (gene-alrnente aceite) fluya hacia la cámara izquierda del actuador. Al rroducirse una diferencia de presión entre las dos cámaras, el émbolo jel actuador se mueve, resultando un desplazamiento de la masa. Si=ulráneamente a este movimiento, el punto B se desplazay la palanca ::i? con respecto a D. De esta forma, C se desplaza hacia la izquierda ::,lliendo los carretes de )a sertová)vu)a a )a posición original. Se desea examinar en este ejemplo la estabilidad del sistema para :-:::entes localizaciones verticales del punto D,' más específicamente, ':s valores de l, para los cuales el sistema es estable. ,{:rtes de realizar el análisis matemático correspondiente debe obser.::s que si /: /,, el sistema será inestable porque en este caso los r-::-rs D y C coinciden, y la servoválvula permanentemente estará haciendo que la masa se desplace continuamente. :::::a C-:ando /r es muj pequeño, el sistema también es inestable, porque i ::oducirse un pequeño desplazamiento de D, la servoválvula se abre lo que hace que la masa adquiera gran velocidad; al desésta una pequeña cantidad, la servoválvula cambia de posición :-=¿siado, "':rse -. el fluido hace que la masa adquiera una velocidad en el sentido ::'.resto y el ciclo se repite, produciendo así oscilaciones de amplitud :ada vez mavores. Las relaciones matemáticas entre las variables que intervienen en el sistema son: Si Q, representa el gasto medio que fluye por la servoválvula, xr, el desplazamiento de los carretes con respecto a su posición central, y AP, la diferencia de presión entre las cámaras del actuador, la versión linealizada de la relación entre estas variables es: et : krxr-k" Ap. Si y(r) representa la velocidad con que se mueve el émbolo del actuador, entonces d^P
= k. Q¿ -k'v'
i
Si A es el área del émbolo, la fuerza aplicada a él debida a la diferencia de presión de aceite entre las dos cámaras es F : Además si
-v(f)
ÁrP.
es la posición de la masa, entonces v(t) :
dy(t) 'r' . dt
La relación entre la fuerza aplicada al pistón y la velocidad de la masa es Mdv _E _ _,. dt
226 Estsbilidad
En cuanto al sistema mecánico de realimentación, si la distancia vertical entre los puntos B y C es t, y entre los puntos B y D es lr, la relación geométrica es similar a la mostrada en la figura 9.
Flr¡¡r 9. Relación entre las variables de posición del mecanismo de realimenta. ción.
{;t, r-Por triángulos semejantes se deduce que x-y _:
l,
:
l et
l -1"
i
th-
't
I -1,
I
\' * x = (r-t/t,)y + t * G-y)
De las ecuaciones anteriores se puede construir un reograma en el que se presenta la relación entre todas las variables (figura 10).
111 s ¡P
A
F Ms
?
s
Y
Figur¡ lO. Reograma que representa las relaciones entre las variables del sistema.
-(+-') ^^ obtiene ^' La función de transr^-^-^'^ del reograma utilizando ;ferencia i(s) r" áó
Utitfuacidn del crtterio de Rontü en el ümño 12? la regla de Mason y es
(*)(#x+) Í(s)_ áGt:' .+*#(+) - ('-+)(#)(+) llJl &'1"4i
=
Antes de continuar con el ejemplo, por facilidad de exposición se supondrán los siguientes valores numéricos: krk"A -'--_-= l0 krA M
=tr
kk"
=
I
I
:
I
Asf que la función de transferencia del sistema queda
10
T
i(s) i(s)
ss*$2*5s*to(+-r)
El arreglo de Routh para el polinomio caracterlstico es 5
f,
ro( f- r )
f, f'
15-ro (i) 10(*-1)
Para que el sistema sea estable es necesario que no haya cambios & signo en la primera colqmna, lo cual implica dos desigualdades:
rs-ro(*) to \ ltl Il,
toto
228 Eetabiüdad
Ftgurr ll. calón del hidráulico valores de
Respuesta a es sen¡omecanismo para diferentcs lr.
que al resolverlas se obtiene )
;.t,.t. Cuando l' ) I se tiene un solo cambio de signo en la primera columna del arreglo, por tanto, la función de transferencia cuenta con un polo en el lado derecho del plano complejo. Si 0 < l' < 2/3 hay dos cambios de signo en el arreglo, por lo que se concluye que existen dos raíel polinomio ces con parte real positiva. Finalmente cuando l,:2/3, 5, o sea que factor s'* l'(s) es cero y el característico presenta como -+¡rfll : 0, resull,l.(s) cuando L: tiene dos raíces imaginariat, "tt tando que la función de transferencia tiene un polo en el origen. En la figura 1l se presenta la respuesta del sistema Para los valores de fr =0.5,0.7,0.8,0.9, I cuando la entrada es un escalón.
') .,"1
CAPITULO
Lugar geométrico de las raices
l.
Introduocién
Al final del capítulo anterior se ilustró Ia aplicación del método de Routh para determinar la estabilidad de dos sistemas; en el primero, un posicionador de válvula, el parámetro por modificar era la ganancia K de un amplificador. EI sistema era estable para valores pequeños de K; al aumentar el valor de ésta, mejoraba la constante de velocidad del sistema (y por tanto su comportamiento asintótico); sin embargo, al rebasar la ganancia el valor K : 40/3, el sistema dejaba de ser estable. En el segundo caso se examinó la estabilidad de un servomecanismo hidráulico según se variaba el brazo /' de la palanca de retroalimentación. La estabilidad cle ambos sistemas se determinó por el método de Routh. Sin embargo, a pesar de ser la estabilidad una condición que deben satisfacer los sistemas de control, en la mayoría de los casos, deben cumplirse otras especificaciones. Estas pueden ser de varios tipos; por ejemplo, que el sobrepaso a una entrada a escalón, no exceda un valor prefijado, que el error cuadrático a una entrada determinada sea mínimo o que algún parámetro del sistema (como puede ser la localización de algún polo) esté dentro de cierto intervalo de valores. El criterio de Routh da información solamente acerca de la estabi' lidad del sistema, sin suministrarla sobre el comportamiento mismo ni señalar formas para mejorarlo. En este capítulo se considerarán dos temas: i) ¿Cómo se modifica el comportamiento de un sistema bajo diferentes realimentaciones? ii) ¿Cómo seleccionar subsistemas cuya introducción en la malla de realimentación mejoren el comportamiento del sistema ? Se estudiarán solamente sistemas de parámetros concentrados, los que pueden ser modelados por un número finito de ecuaciones diferen' ciales con coeficientes constantes. Para ellos, la función de transferencia (y por tanto toda la información necesaria para describir el sistema desde el punto de vista de entrada-salida) puede ser representada mediante un patrón de polos y ceros. En consecuencia,si se desea conocer el comportamiento de un sistema de control bajo diferentes condicio nes de diseño, es necesario saber cómo se modificará este patrón de polos y ceros. En el siguiente ejemplo se ilustra la manera como varía un patrón de polos y ceros cuando se modifica un parámetro de la realimentación. 229
23O Lugar geonétrico de las ralce¡
Ejemplo I Para elevar la temperatura de un llquido es común usar un intercambiador de calor. Este dispositivo tiene un arreglo similar al mostrado en la figura 1. Válvul¡ ds conhol da 8¡¡to
UquidoB ?g
Uquidoá f¡
¡tnrl f. Esquema de un intercambiador de calor.
El lfquido á entra con una temperatura Tt al intercambiador y el liquido B, llamado de senticio,,entraconuna temperatura constante I¡. Si ¡ ) T+ la temperatura del líquido A a la salida (Io) será mayor que T¿ debido a que el llquido de servicio le cede calor a través de las paredes de los tubos del intercambiador. Para mantener la temperatura Io constante a pesar de las variaciones que Ie pueda tener, se modifica mediante una válvula el gasto Q del líquido de servicio. Esta operación puede llevarse a cabo de manera automática usando el sistema de reali mentación que se muestra en la figura 2. El sistema de realimentación consiste en lo siguiente: G se mide con un termopar, dispositivo que produce un voltaje Vr proporcional a To. Este voltaje se compara con otro de referencia V,. La diferencia de voltajes LV = V, - Vt se aplica a un amplificador electrónico de ganancia ft, la que será el único parámetro libre para diseño. El voltaje, Vo = AV de la salida del amplificador, energiza el actuador de la válvula, la que al abrirse o cerrarse regula el calor trasmitido de un líquido a otro. La respuesta del termopar a un cambio en la temperatura Io re' quiere algrin tiempo, lo que implica un cierto retraso, qug puede modelarse por medio de la función de transferencia ?,(s)
I
ir"): 6 Se sabe además que los msdelos linealizados del intercambiador de calor y del conjunto actuador-válvula tienen las siguientes funciones
Introdueeión 231
Llguido Á,?^
Figura 2. Sistema de control de temperatura en un intercambiador de calor.
de Voltaie refsrencia
de transferencia:
f,(r) - l¡ - :
Q(s)
I -
( I +3s)
é(rl :- - - :5 .
V"(s)
El reograma del sistema de la figura 2 se muestra en la figura 3.
3ar
I
+3
Figura 3. Reograma del sis tema de control.
Utilizando la fórmula de Mason, la función de transferenciaes:
r "( s) i, , nls) - - :
4 ( s)
3k t +3s 3k I + (l+3s)(l+s)
f t (I * s ) 4l s -+' 3-s + k + -
(1 ) 3
t'
232 Lugar geométrico
de la¡ raícee
como se ha dicho, el parámetro de diseño es la ganancia /c del amplificador, y se desea conocer el comportamiento ¿e /¿(s) para diferentes valores del mismo. En la ecuación I se obserua que. el único cero de á1r¡, .it,rudo en s: -1, no depende de la ganancia, mientras que la localización de los dos polos del denominadoi está determinada por el valor de /c. El polinomio del denominador es
s' + ls + k + l: JJ
( r - p ,) ( s- p ,) ,
donde pt y pz son los polos del sistema y están dados por
pt:-
2 3+
{r-ek
--T
2 .,19F:1 ?'=-3-tT-
Pz:
-;
P" = -;
1/--1-9¡6 para - a-JJ 2
2 JJ
\,19k=
- /;-
para
k
or;
La figura 4 muestra Ia Iocalización de los polos y de los ceros de ^ &(s) para diversos valores del parámetro de diseño ft. Encontrado el
Fi¡u.ra 4. Patrón de polos v ceros de l¡(s) para diversos valores de t.
k= 0
r:|
r:$
patrón de polos y ceros de /¿(s) en función de k, puede conocerse la respuesta en el tiempo a diversos tipos de entrada por diferentes métodos, por ejemplo el de fracciones parciales. Para describir el comportamiento deru¡ 5i5¡srna realimentado al variar un parámetro de diseño ft, se llegó a una ecuación del tipo
P (s )+ & g (s )= 0 cuyas raíces debenconocersepara toda ft.
(2)
q(s) : 1, fue po. l, i sible obtener las raíces en forma explícita. Desafortunadamenteno es posible resolver el problema analíticamente en el caso general y por ello es necesario recurrir a métodos aproximados. Uno de ellos, llamado "lugar geométrico de las roíces" será el tema de las siguientes secciones. En el caso anterior en que p(s) : ss *
Lugar geoméúrioode l¡e r¡fceg 233 Este método tiene dos ventajas: 1. Proporciona sin muchas operaciones, el patrón de polos y ceros del sistema para cualquier valor de ft. 2. Permite determinar la sensibilidad del sistema y variacioneg en el parámetro de diseño. l.
Lugar geométrico de las raíees Definición.
En esta sección se planteará formalmente el problema de encontrar las raíces de
p (s)+ftq (s)=o
( 3)
conforme k varía. Por ejemplo, si se deseara encontrar las ralces de s' * (ft*1)s' * 20s',* ks + 20k * 2 : o en función de ft, la expresión anterior se factorizar{a en la forma de la ecuación 2, como (s. * s. * 20s, + 2) + ft (s' * s * 20) El problema de encontrar los valores de s que satisfacen la ecuación 2 puede plantearse de otra forma; al dividir los términos de esta ecuación entre p(s) resulta 1*fcG(s):O donde G(s) : q(s)/p(s )
(4 )
La ecuación 3 tiene exactamente las mismas ralces que la ecuación 2 y apareceen el problema de determinar los polos del sistema realimentado de la figura 5.
y(s) F|3urr 5. Diagrama de blo que de un sistema.
En efecto,como la función de transferenciadel sistemaes ftG(s) i(s) rf(s)=mr=iTE¿(;'. v si G(s) -
qG¿ P(s)
entonces &q(s)
rr(s)=
oÍ'),-. r+
ftqÍ"] P (s )
234 Lu'gat geométrico
de las raíeee
Despuésde multiplicar numerador y denominador por p(s), se ob. tiene:
n( s ) : p(s) , ! nG ==) . . + kq(s)' De donde se puede concluir que i) Los ceros de ¡/(s) y los de G(s) coinciden, por ser ambos las raíces de q(s) - 0. ii) Los polos de II(s) son las raíces de p(s) + ftq(s) : 0, o sea las de I * ftG(s). Para que un número complejo, su : os + ,lro, sea una raíz de I + ftG(s) :0, es necesario que tanto la parte real como la imaginaria de esta ecuación sean iguales a cero, lo cual implica que
Re { &G( s.) }- - r Im{ kG( s") \:
0
6
R¿[G(s.)]: i-l
ó
Im lG(so)) =
0
De allí la utilidad de la siguiente definición: eI lugar geométrico de las raíces (o por brevedad lugar geornétrico) de G(s) es el conjunto de todos los puntos so en €l plano complejo tales que /z
{G(so)} :
0.
Si la parte real de -G(s,) es positiva, entonces el lugar geométrico correspondiente se denomina positivo, y cuando se tiene la situación contraria, negativo. Cuando G(s) :9, O" la definición anterior, se tiene que si so p(s)' pertenece al lugar geométrico positivo (abreviado I g p) de G(s), entonces será una raíz de p(s) + ftq(s):g para algún valor positivo de ft. En efecto si Im lG(s")f = 0 Re [G(s,)] : c (, 0 entonces
p(s,,) + kq(s")-p(s,,) [t * t 49J p( s,,)J L
- p(s") ll + k {ReG(s,,)+ iImG(s,)ll - p(s,) [1 + ft"].
Si se hace k :
-l
) 0, se tendrá el resultado deseado.
De manera simillr puede demostrarse que si s,, pertenece al lugar geométrico negativo (abreviad<¡como /gn) existe un valor negativo de k para el cual p(s,,)+ftq(s,,):0' A continuación se ilustrará la definición mediante dos ejemplos:
Lugar geométrico de l¡¡ r¡lce¡ 235
Eiemplo 2 Se desea saber el lugar geométrico cuando la función de trans ferencia es G(s) =
(s-¡¡o)"
donde ¡ro es real, y m un entero positivo. La ecuación 2 es en este caso ft : 0.
(s-po)'*
Despejando s de la ecuación ihmediatamente anterior se obtiene r
s=?o*l-=l tkJ Ahora bien, si ft >0, entonces
I
ll - E= lI
l]1/'
e-llzt+rrt para l= O, lr?, . . ..
o sea que .rm ,(¡¡+r)' = { l t =0, r, 2, . . . il'L-il l''11/.
f
De esta forma el lugar geométrico positivo estará dado por todos los puntos
so: Po . ilTl .-'#
I =o'r'2'"'
y similarmente el l g n estará dado por los puntos que saüsfacen s
= P o + '/l ll 'et)t {l i le---
l= 0 ,1 ,2 ,...
En 11 figura ó se ilustran los lugares geométricos para tn = 1,2 y 3, Los Iugares geométricos de G(s) - (s-zo). tienen la mism¿ forma
quelos anteriores,cambiandorinicamente {l
*" it
Ejemplo 3 Encontrar el lugar geométrico de G(s):s*1
F-'
Susti tu ye n d os=o*i, t*l'+i.o
Gls) - \- '-=o .* I* i'=
( o + i .)t -""=e6 _ _
(c* l)(d-"J')*
2rPc* jo,{d-o'-2c(c*t)}
y separando las partes real e imaginaria se obtiene * Recuérdese que e-2ti¿=1, l= 0,1,....
236 Lugar geométrico
de las raícee
l 7 l =2
FiSur¡ 6. Luga.res tricos de
geomé
t
G(s)=G=h;
m= 3
k< 0
k>0
Re [G(s)] =
Im fG(s)l -
(" * 1)(" ' -^' )
* ?" u' o
@ 'lr"r--'=-2n(:.!l')) (o'-*')"
*
4,'t'ot
El lugar geométrico de G(s) está formado por aquellos Puntos en el plano complejo que satisfacen G*i') Im
{G ( s ) \ :
0, o S€4 or[o2-o2-2o(o]
cuyas soluciones son or :
Q (esto es, el ej e real ), s,' " -' r2-2o\-2o
- Q.
l)]
:0
Lugar geométrieo de las rrurlcrn237
Esta última ecuación puede escribirse como (o*l)'
+.' : I
que es la fórmula de un círcuio con centro en - I y radio 1. En la figura 7 se presentan gráficamente estos resultados o sea los puntos del lugar geométrico.
ngur¡
7. Lugar geométric!
s+1
de:.
93
Al examinar Re [G(s)], se pueden separar las partes positiva y negativa del lugar geométrico. Debido a que el denominador de la expresión obtenida para Re [G(s)] es positivo, gl srgno de ella queda determinado por el de (o*l) (''-.") *2,' y para que RetC(s)l sea negativoen el eje real (. = 0), es necesarioque (o*l)d ( 0 o sea o < -1. I pertenezca Para que un punto en la circunferencia (o+l)'*.'= a l l g p e sfor zo so que ('* I ) (é +.¿ +2o) -2 (o'12o)
Como la circunferencia está a la izquierda del eje imaginario, todos sus puntos pertenecenall gp. De las dos últimas condiciones se concluye que el lugar geométrico positrvo es como se indica en la figura 8.
Fiau¡¡ 8. Lugar geométrlco s+l posiüvo de -.
2!18 Lugar geométrioo
de las ralcee
El lugar geométrico negativo estará sobre el eje real y es el segmento c ) -1 (figura 9).
n¡u ¡ 9. Lugar geométrico s+l negativo de S2
Para saber a qué valor de ft conesponde el punto o = -1, (que está en el lugar geométrico) se calcularán R¿ [G(s')]
ro= |
Re lG ( - l+ i)'l:2 - l Y como | + k Re [ G (s ' )] : 0 k: (r:
2.
La otra raíz del polinomio para este valor de k estará en el punto -1, .: -1, por venir en pares conjugados(figura l0). Im
I
I
a'
I -Ir-l ¡r
fO. Localización de Iltun las rafces para k=2.
_21 \
Como puede notarse, los cálculos involucrados en ese ejemplo, no obstante tan simple, resultan algo laboriosos; como para sistemas con más polos o ceros los cálculos aumentan de dificultad, se necesitaría una computadora digital. Hay sin embargo, resultados que facilitan la labor de encontrar el lugar geométrico de las raíces de una función
Lugar geométrieo de lae raícee 239 de transferencia, y aunque el resultado que se obtiene es aproximado, ayuda grandemente tanto en el análisis como en el diseño de sistemas de control. Dichos resultados auxilian en la localización de las raíces de I + ft[G(s)] : 0 para diferentes valores de ft, cuando G(s) es el cociente de dos polinomios con raíces conocidas. El análisis del lugar geométrico es útil para el estudio de sistemas del tipo de la figura 5. Sin embargo hay sistemas con otras configura:iones que se pueden estudiar mediante dicho método. Por ejemplo si
ú( s)
i(s) Figu¡¡ ll. Un sistema re. alimentado.
para el sistema de la figura 11, se desea indagar cómo varían los polos ]'ceros de I/(s) en función de ft. Para ello, se procede así
I +fts
I / (s) :
q(s)
r + loE tG) , ,
I +fts q (s) I + l0 fts p(s)
( 1+fts)' q( s) [p (s) + q( s) ] + fts[q( s) + 10p( s) ]
Los ceros de I/(s) son las raíces de q(s) - 0 y el punto s:
I _E
los polos de ll(s) son las raícesde I * ftG,(s), donde
tq(':).+to P ( f ) 1 . G,(s -¡\v/ ):, q(s)+p(s)
Por tanto, los polos de I1(s) estarán en el lugar geométrico de G,(s). En este capítulo se estudiará la manera de bosquejar el lugar geométrico para valores de & ) 0, pues las reglas correspondientes para el caso ft ( 0 pueden deducirse fácilmente a partir de las que se presenten. El lugar geométrico positivo de G(s) se ha definido como el conjunto de puntos so tales que
t) /z [G(s,)] :0 ii)
Re [G(s,,)] :
-k
I
(e> o).
Otra manera, en algunos casos más conveniente, de expresar estas condiciones es { G(s,,) :
180" * 360o1;I:0,-+
:1. lc(s")l
l,'1- 2, ...
2tlA Lr¡gar geométrico
de lae r¡íces
Debe recordarse además, que el lugar geométrico positivo describe las trayectorias de las raíces de p(s) + ftq(s) :0 I
cuando ft se varía desde 0 hasta o.
L
2.
Reglas para construir el lugar geométrico positivo
En los desarrollos que se presentarán a continuación se hará la suposición que p(s) y q(s) son polinomios primos, esto es, que no tienen ninguna raíz en común. Antes de presentar algunas reglas que simplifican la construcción del lugar geométrico de una función racional, conviene introducir el concepto de rama del lugar geométrico. Se dice que una línea continua en el plano complejo es lna rama nÍ"] si a cada punto su de dicha línea del lugar geométrico de G(s) : P(s) le corresponde un valor de k que satisface
p (s . )* & q (s u )= 0
y viceversa. Esto es, hay una correspondencia biunívoca entre los puntos de una rama y los valores de k en el eje real. Se entenderá además por rama de I g p si k, en la definición anterior, se restringe al intervalo de valores positivos. En el ejemplo 3 se pueden identificar cuatro ramas de I gp como se ilustra en la figura 12.
Fi¡un 12. Cuatro ramasdel s+l tsp de T.
En este ejemplg, aunque existen cuatro ramas diferentes, cr.¡n sólo dos de el.las (c y b o c y d) queda determinadg el lugar geométrico positivo; por esta razón conviene introducir la siguiente definición
Reglae¡rara eonatruir el lug¡r geomóúricoporttivo 2ll Dos ramas de un lugar geométrico son independient,essr no rienen ningún segmento en común. Así en el ejemplo en cuestión las ramas a y d no son independientesporque tienen en común el intervalo (o ( -2), mientras que c y d son independientes porque sólo tienen en común los puntos (-2,0) y (0,0). Regla 1. Principio y fin del lugar geométrico El lugar geométricopositivo comienza (ft :0) en los polos y termina (k - cc) en los ceros, y tiene tantas ramas independientescomo el máximo entre el número de polos y el de ceros de G(s). Justificación: Para k:0, la ecuación3 se convierteen P (s) :0' Para k:
oo,la misma ecuación,reescritacomo
*.
q(s) = 0 se
vuelve q(s) : 0. Esta regla se cumple también para el lugar geométrico negativo (l sn). Por tanto el I g p coincide con los polos de G(s) para k: 0 y con los ceros de G(s) para k - o. Supóngaseahora que se tiene un polo de orden m en s = pn¡,y que p(s) se factoriza en la forma p(s) = (s-p,,). i(s ). Se deseasaber el comportamiento de las soluciones de p(s) * kq(s):g en lacercaníade pr, paÍ? una & suficientemontepequeña. si una solución en dicha cercaníaes p, * a, la nueva ecuaciónresulta @ )^F@ "+ a) + kq(p,* a ) : 0 . Al hacerla expansiónen seriesde Taylor d"i@" +a) y q(p"* L) alrededor de p" y tomar únicamente el primer término de cada expansión se obtiene (t)"' p(p,) * kq(p,) = o y de allí
- ( A ) -= ¡ 1 @ ".) P(p,,) Esta ecuación tiene z soluciones distintas (ejemplo 2), por tanto, para pequeños valores de k, del polo de orden n? se apartarán m ramas del lugar geométrico. Como t) ti )
El lugar geométrico coincide con los polos para k = O, lím,L=0,
iii)
en el entorno de un polo de orden rlz existen z diferentes,
soluciones
puede concluirse que el lugar geométric<¡ c<¡mienza en los polos para & : 0 separándose de cada polo una rama conforme ft crece.
242 Ltgac geométrico de l¡s raíces
Un razonamiento similar puede efectuarse para el caso de un cero de orden z situado er s : ¿o,haciendo k* :l
y obr"ruando el compor-
ktamiento de k* .p(s) * q(s) : 0 en las cercanías de zo, pudiéndose concluir que Ios ceros de G(s) son límites, cuando ft tiende a infinito, de las raíces de la ecuación 3 y que a cada cero le llega una rama. Por tanto, el lugar geométrico comienza en los polos, termina en los ceros, y tiene tantas ramas como el máximo de los grados del numerador o denominador de G(s). Regla 2. Asíntotas del lugar geométrico Si el grado de p(s) (:n) n-m raTcesde la ecuación
es mayor que el de q(s) (:m\
existirán
( 5)
p( s) + fts( s) :0 que, conforme ft --r @, son asintóticas a las raíces de la ecuación
( s- c) *- *ft=o
(ó)
en donde c (llamado centroide*) está dado por ¡m
c:
2p*2zr k=rft=r
(7)
n-fn
en donde p* ! z* corresponden a los polos y ceros de G(s) :
qÍ"] ."rp(s)
pectivamente. Debe recordarse que el I gp (ejemplo 2) de (s-6¡o-"'*ft:o
está formado por líneas rectas que se cruzan en c y forman ángulos 1 8 0 0(2 1 + 1 ) n-m
;
I:0,
1,...,n-m-l
con el eje real. Justificación: Se probará que conforme /< crece, las raíces de la ecuación ó y n-m raíces de la ecuación 5 se aproximan asintóticamente (las otras m raices de la ecuación 5 tienden asintóticamente alos m ceros). Para ft ) 0 las raíces de la ecuación ó (ejemplo 2) están dadas por
s¿:R4ü+c donde
R,, -
"-rrt;
ltftl l8o"( 2i+l)
i r :0,1,2, ...,n- m - r .
n-m * c es llamado asi por coincidir .con el centro de gravedad de un conjunto de masas unitarias positivas y negativas, las primeras localizadas en los ceros y las segundas en los polos.
Reglaepara conatruir el lu¡¡ar geométrioopodüvo 24"9 En el análisis subsecuentese considerarán solamente singularidades. (polos o ceros) en el eje real. El desarrollo para el caso complejo, aunque idéntico en forma, no se incluye para mantener la notación lo más sencilla posible. Si s¡ es una ralz de la ecuación ó se demostrará que y que
{ G(s¡) = l80o(21+t) + c,
l c ( s r )-l ]K 1 t + ",) en donde et Y ezson tales gU€ er R' y. r" R'zestán acotados para tOda R. De esta manera quedará establecido que s¡ se aproxima asintóticamente a una raíz de la ecuacion 5. Para la evaluación de { G(s¡) se derivará una expresión para el ángulo de sr-¿¡ en donde a* es una singularidad de G(s) sobre el eje real y s¡ es üra rafz de la ecuación ó. El :ángulo de s*-ec está dado por (figura 13)
Fl¡un 13. Distancia y án gulo entre una solución de La ecuación ó y una singularidad.
sen O
*h= arcnf
A¡
cos++ T-
en donde Lr=4-c. Al hacer una expansión en series de Taylor de senQl
f arctnLT) alrededor del punto x:
I
cosI se obtiene
{r : Q-(sent)+ * 2!enÉ)(cos+l ff +
-lT
;:
244 Lugar geométrloode l¡¡ ralcer Por ta¡¡to -S -G e n # )* * t *
{ (s r-a , ) :
fi
en donde R'lsnl es acotadopara toda R. De la sección ó capftulo 7, { G(s¡) está dado por
:_
{ G(s¡) =2 &tgulos de los ceros a s¡ - } ángulosde los polosa st o sea
{ G(s¡)=",).(++ac*)-r,X,(ó+aóo)
- (m-n)r *t#(r;,.o* Pero debido a que ( m- n) 6 - ( m- n)
+ "P-,on)"?,j* ñ,g*
180"( 2t+l)
: - l80o( zt+t)
n-tn
yaque
)¿* - ) a*=li o') -nc-13 il +mc=o
9o,o.
ccna
\f=r
-
/
\l=1
( B)
/
se concluye que I I
en donde
{ G (s r) = -1 8 0 0 (z t + l) + ' ,
". llri
:l
="p_.9*_r),tn
es tal que Rtl",l es acotado para toda R. En cuauto a la magnitud de $c-d*, de la figura 13 se obtiene que
R *=@="@ y al usar la expresiónpara lG(s¡)l dada por (secciónó, capítulo Z) l^/_ \ , : Producto de las dístanciasde los c€tos o st l('(s¡| se obtiene R---'
R'
*",II,, 1it* z}"orr*+ o sea
Íz Ís . .. x^)Y I""(r, lc(sr)l = ftn-r II (¡* t t¡+ 2... frr* ^)* golo. en donde
-A¡
x*=l+- 2¿cos+ +: ft
A*' '
R'z'
ncglrrep.r¡ Gonrtrui" cl lngar gomdlrloo poddvo 241 Al hacer una expansión en series de Taylor de lG(s¡)l alrededor del punto tt = tz = ... = Í*t = I se obtiene
f I+ - fI¿ n ) + ,,) G ( s r )=l R * ' $ + " o 1 + (ccro. pao. ,( I )
.
en donde los términos agnrpados en ¿r son tales que er Rl está acotado para toda R. Pero en vista de la ecrración 8 y del hecho que
R*=(*'y'TÍT).-=*, lftl
se obtiene I
l G(s¡)i=lK(l *c r ) que es el resultado deseado. Un argumento similar al anterior puede utilizarse para el caso en que mln, en donde el resultado es: Las raíces de p(s)+ftq(s)-o para
t>0, se aproximan asintóticamente, cuando ft +'0, a las rafces de I
(s-c)*"+i-o en donde c está definido por la ecuación 7. Ejemplo 4 Se ilustrará la aplicación de las reglas hasta ahora descritas para el caso en que r ? lc) :
(s*3)s s ¡* 3 s (s'*2s*2) (s+ l) (s- 1) s ' * 2 s ' + s : ¡- 2 s -2
El patrón de polos y ceros correspondiente se indica en la figura 14.
FLiu¡ f4. Patrón de polos y eeros de G(s)
24ó Lugar geométrico de l¡s r¡íee¡ De acuerdo con la primera regla, el lugar geométrico comienza en los polos (ft - 0) y termina en loi ceros ([ - ;).Como hay dos polos más que ceros (n-m-2) dos de las raíces de la ecuación 5 tienden a infinito a lo largo de las asíntotas, conforme k crece; las asíntotas torman con el eje real ángulo de
l80o( 2x0+I ) : 2 180' ( 2xl+ l)
9Oo
:2709
El centroide c está en
2polos:2cer os_ ( - l+i) + ( - l- i) +( - 1) + ( t) - ( 0- 3) -2_-2" = - 2- ( -E) 2
-2 t
Así Dues, según ft crece, dos raíces de (5) se aproximan a las asíntotas mostradas en la figura 15.
k=0 X k=*
ftur. 15. Centroidey asín totas del lugar geométrico.
k=0
k=0
-l
k=U
x
Regla 3.
Lugar geométrico sobre el eje real.
Perterecen al I gp aquellos segmentos del eje real que tienen número impar de singularidades (polos * ceros) a su derecha.* * . - Para el lugar geométrico negativo, se necesita un número par de singularidades a la derecha.
Reglae ¡rara conetrnir
el lugar geométrieo
poeitivo
24?
Iustificación: Por definición, un punto so pertenece al I g p si y solamente si cumple con la condición G(s") : 1800+ l'360,;(t = 0, tl,
t2, ...)
Se demostrará que los únicos segmentos en el eje real que cumplen con lo anterior son aquellos descritos en el enunciado de la regla. para ello, tómese un punto cualquiera so sobre dicho eje. La contribución de ángulo de un par de polos (o ceros) complejos conjugados a { G(s") será de cero grados, ya qué si el ángulo entre so ] uDá singularidad compleja es de d, el ángulo con la singularidad conjugada será de - d (figura ló).
Figure 16. Contribución de ángulo de polos y ceros complejos { G(so).
Por tanto las singularidades sobre el eje real son las únicas que contribuyen a {G(s"). Además de éstas últimas, las situadas a la izquierda de s, participan con un ángulo igual a cero grados. De donde se deduce que las únicas singularidades que colaborarán son aquellas a la derecha del punto en cuestión. La aportación de un cero a la derecha de sr,€S d€ l80o y la de un polo de - 180o,así que para tener un total de 1800 + t.3ó0" es necesario que haya un número impar de singularidades sobre el eje real a la derecha del punto en cuestión. Eiemplo 5 Para G(s¡ = , , = !s.13)t', , ,., el lugar geométrico positivo ts-*2s*2) (s*l)(s-l) sobre el eje real se muestra en la figura 17.
Regla 4. Angulos de partida y llegada det I g p a Singularidades complejas. r) El.ángulo de partida, 0, del I g p desde un polo complejo es de los ceros. 0 = 180o- > { de otros polos+ >{
2,fA LuSlr geomélrico de lae r¡lcee
Ft¡un 17. Lugar geométri' co positivo en el eje real.
ii\ El ángulo de llegadaó del f gp avn cero complejo es 6 = 1800 + > { de polos - > { de otros ceros.* Iustificación: Se ha mencionado repetidamente, para que s0 pertenezca al I g p, es necesarioy suficienteque { G(s.) : l80o + ,'3ó0o (l entero). Para justificar d), considéreseun polo complejo en pt y un punto pertenLncia al I g p, muy próximo d pt, de tal forma que para cualso quier polo pt*pr-(o z¡\, el ángulo del vector sn-p¡ (ó s'-zi) ""ro que el del vector P-pi (ó p¿-¿¡). Si se prácticamente mismo el sea tiene se llama d el ángulo de so-pr, - 0 - 2 4 de otros polos + > { de los ceros = -180" y al despejar d se logra la condición i). En ú iigura 18 se ilustra el uso de esta regla' La condición r¿) se prueba de üna manera análoga' Ejemplo ó Considéresela función de transferencia (s * 2 )(s ' * 4 s + 5 )
G(s/:Tl:':m
cuyo patrón de polos y ceros se muestra en la figura 19' * P a ra e l lgn
0 : ) { ceros - ) { otros polos ó : ) 4 polos- > { otros ceros.
R"gl"" para eonstmir el lugar geoméúrico poeiüvo 249
e:180.
- 0,-02*ót*
#z
fLur¡ f& A¡gulo de partida de un polo.
II¡un f9. Gráfica de po los y ceros.
Al respecto, se evaluarán los rángulosde partida del polo complejo situado en pt : i y el ángulo de llegada al cero zt = -2 * i. En la figura 20 se muestran los ángulos de los polos y los ceros al polo complejo pr por tanto el ángulo de partida desde el polo pr es d : 18 0 0- 10 7 u+720 = 1450.
I I I
I
{ri
25O Lugar geomótrico de las raíces
::
45"
ór= ór-
270 0o
9a:
ftü. 20. Determinación del ángulo de partida de un polo.
> {
ceros: 72o
0:.: 90" 0z:
l7o
24polos:102.,
Para obtener el ángulo de llegada al cero zt, ss procede como se muestra en la figura 2l y por tanto el ángulo de llegada al cero en cuestión es ó: 180o+ 3ó0" - 180o:3óoo.
tz
i. .' I
Ftlrlr. 2f. del ángulo eeFo.
Determinación de llegada al
S'-
,'(' -3
-2
o
\'
* ,-_ -j
)
90"
óz:
90o
{. ceros:
l80o
0r= l35o o"= 45o dr:
l80o
)4Polos:3ó0o
Como el número de polos y el número de ceros son iguales no hay asíntoras. El lgp sobre el eje real existe en el intervalo (-2, -3). Con estos datos, puede bosquejarse el I g p de G(s) del ejemplo en la forma que se muestra en la figura 22.
R"gh" ¡rora eonetnrir el lugar geoméúrioo poeitivo 2Sl
naun 22. lep de las ra$ ces de G(s).
Del lugar geométrico de G(s) - (s*l)/c (ejemplo 3) puede observarse que el punto s = -2 es un punto comrln a áos ramas independ"ientes.Para s -
-2,1a ft conespondientees fr.:
4 y er #= polinomio p(s) + ftog(s) es S + 4s * { - (s+2)' (ralces repeüdas). Cuando €n so li ecuación p(s) + &q(s) tiene una ralz mriltiple de orden f, por él pasan I ramas independientes del lugar geométrico. Esta aseveración puede comprobarse factorizando en donde
P(s) + lc.q(s): (s-s)r l(s)
-P!""1 ft": q(s") y escribiendo la ecuación 5 como p(s) + kq(s): p(s) + k"q(s) + (k-tdq(s)
= (s-so)'f(s) + + (k -k )Q (s )= o
que, de acuerdo con la regla 2, tiene I namas que parten del punto so. Regla 5.
Ralces múltiplc,s,
El valor de s1 para el cual existen rafces múltiples en el lugar geo, métrico positivo* (llamado punto silla), cumple.con la condicién dG(s) |
- +AS -l 'Esta
l¡ = .
=0
condición se cumpli también para el tgz.
r I
I
lu'
252 Lugar geoméhico
de las raíces
Iustificación: Debido a que si so es una raíz múltiple de p (s )+ / < g (s )= o cuando k = lco,entonces es posible expnesar el polinomio anterior como p(s) + fr"q(s)- (s-so)'l(s), donde r ) 2 además, al tomar la derivada de la expresión anterior con respecto a s y evaluarla en so se tendrá: dp(s) |
É
,lf (s) | t(s-$)''l(s)| * (r-",)'T o l,=,.: l,=," l*,.:
dq( sl |
,. *, h? l,=,.
de lo cual se concluye eue so debe satisfacer las dos condiciones siguientes: p(so) * ft"q(so):0 d p (s )l
. , d q (s \ r tfco , ' |
:o tls lr=e¡ -rdS le=r¡ Al eliminar ftn de las ecuacionesanteriores, se obtiene que
:o -o{,,) e{ü ffi)l"_,. #1,=,. la cual es la condición del enunciado de la regla. Debe notarse que esta condición es solamente necesariay no suficiente; su importancia radica en que por medio de ellas es posible determinar los puntos en los cuales hay cruces de ramas del I gp. Esto se ilustrará a continuación mediante un ejemplo. Eiemplo 7 Encontrar el lugar geométrico positivo de la función de transferencia
c(s) -
(s+3) (s * l)(s -l)
crryo patrón de polos y ceros se muestra en la figura 23.
Iltl¡¡ te Patrón de polos y oeros de G(s).
R"Star ¡rara eonrtmir el lugargeonéúrloo ¡locidvo 25i De las reglas enunciadas se obtienen los siguientes datos: ¿) Número de ramas = 2. D) Nrimero de asfntotas : una, a 1800. c) Lugar geométrico sobre el eje real en los segmentos (1, -l) y (-3, -o). d) Puesto que en el segmento (1, -1) hay lugar geométrico entre ¡rolos, deberá exisür algrin punto altf para eI cual el I g p tenga ralces dobles. Ese punto estará dado por'na de las rarces det polinomio
q@d* ) -po )q¿ = o o sea
(s+3 X 2 s)-(s'-1 ) :0 d +ó s*l =0 €sto es So: {
[-r - /6'- -s.83 L-3 + V 8: - 0 . 1 7
Asi, existe un punto silla en el intervdo (1, -l) localizado en : -0.U, que corresponde al lugar en el que los dos polos se separ?n ! dd eje real. I^a otra rafu (-5.83) corresponderá al sitio donde se juntan lrs dos ramas del I g p, pues una de ellas debe terminar en el cero t la otra en - @. En la figura 24 se muestra el lugar geométrico ¡lositivo obtenido.
-s.&l
-a
-3
-:z
_i = rr
Eera encontrar los valores de ft en los cuales ocurren las rafces
-tlcs
se utiliza e = -1Í"+ teniéndosecomo resultado: q(s) so=-0.17, So
k=
0. 3 4
ñ¡E ta. Irrgar gsoné trico positivo de G(s).
254 Lugar geométrico
de las raíceg
Regla 6. Cruces con el eje imaginario. Por medio del criterio de Routh es posible determinar los puntos de cruce del I g p con el eje imaginario, así como los valores de ft para los cuales ocurre dicha intersección. Recuérdeseque por medio del criterio de Routh es posible determinar el número de raíces con parte real positiva, gue tiene un polino' mio. Debido a que cuando el I g p crclzaeI eje imaginario generalmente cambia el número de raíces con parte real positiva, es posible entonces, saber el valor de & cuando esto ocurre y además determinar el punto de cruce. Para ilustrar el método propuesto se analizará el caso gue se indica en la figura 25,
Figrr¡ 25. Un ¡rolos y ceros.
patrón
de
esto es
G (s ) =
( s+ l) ( s+ 2) ( s+3)
De acuerdo con las reglas dadas, existirán tres asíntotas formando ángulos de ó0o, 1800 y 3000. El centroide está dado por
Zpolos - áceros : n-. m
-9- -2 3
además, los intervalos del eje real (-1, -2) y (-3, -o) pertenecen al lugar geométrico positivo; también es posible encontrar el punto silla sobre el eje real utilizando
dG(s) ds
:0
esto es
dc( s) :d/ ds
ds\s'*
I ós'*
\= o
lls * 6/
o lo que es equivalente 3s'?* l2s * 11 :0.
Regl,ae¡rara conatmir el lugar geométrico poaitivo 255
-2 =
íl
pero como el punto li silla debeestar en el intervalo(-1, -2) se utilizará la rafz Este polinomiotiene las raícess:
s=-2 +V T --1 .4 2 2 ; el valor de ft asociadoestá dado,como se ha visto por k-
- 2.6
l c (-1.422)l
Se encontrará ahora la frecuencia . en donde hay cruce con el eje imaginario y los valores de ft asociados a esos puntos. Para ello considérese p ( s ) + kq( s) : ( r +1)(s+2)(s+3) + ft : s 3* ó s 2* lls + 6 + f t = 0 El arreglo de Routh correspondiente es
f" I f" 6 b tr l0 -: 6 f" 6+k
11 6 +k
Para k ) ó0 existen dos cambios de signo, y por tanto dos ralces con parte real positiva; como para 0 < fr < 60 no hay ningún cambio de signo, se concluye que cuando ft: ó0 habrá dos raíces sobre el eje imaginario y los valores de fr asociados a esos puntos. Para ello conel arreglo de Routh produce un renglón de ceros (para lc = 60, en el renglón de f'), entonces el polinomio correspondiente al renglón ante' rior, ós2+ ó + ft, o sea 6s' * 66, es factor del polinomio original; en sste CaSO,
s3 +6 s2 *l l s+ó ó - (s'* 1 1 )(s + ó) v el valor de
'.
6stTgspondiente al cruce es
*:ff Con esta información adicional puede bosquejarse el lgp considerado(figura 2ó).
del caso
A continuación se muestran algunos ejemplos de obtención y utiliz a c i ó nde ltgp . Eiemplo 8 En ocasiones el método del lugar geométrico de las raíces puede aplicarse para la determinación aproximada de los ceros de un poli nomio. En este ejemplo se muestra cómo utiluar las reglas del lugar geométricopara obtener las ralces de un polinomio de tercer grado. Se trata de determinar las raíces del polinomio s"*5s2*3s*12:O.
256 Lugar geonétrico de las ralceg
o=3.32i r-60
mn
Bosquejo I
CTins+7,G¡') -i ,zi -3i -4j \
El primer paso es reordenar el polinomio en la forma
p (s )+ k " q (s )-0 donde p(s) y q(s) son polinomios factorizados. una vez rearizadoesto, se aplican las reslas generalesp"r-rrr"orrtrar el lgp. Et polinomio-pueae reorden-arse como sigue s 3 + 5 s ? * 3 (s * 4 )= O siendo factible escribirlo como s ' (s * 5 )* f t o (s + 4 )= 0 en donde la = 3. .E"r"..f9rTa poseedos_polosen el.grigen, uno en _5 y un cero en -4, pudiéndose aplicar er hetodo a"t t,rg". geométrico para encontrar las raíces del polinomio. EI putrárr-á" poros y ceros es conforme a ra figura 27.
t. l
lj lr I
\.
oror"t.l|fSt-tottllltco
en el eje real está en et segmento compren-
Reghr ¡nra conrtnrir el lugar gcou&rloo poddvo 2tí7
FL;uI 2?. Patrón de polos y cenos del polinornb re ordenado.
Hay dos aslntotas que forman ángulos de 90" y 2700. El centroide está en c=-i
-5+4
I
El valor de lc para el cruce del I gp con el eje imaginario está dado por el criterio de Routh; como la ecuación caracterlstica es .f(s*5)*t(s+4)=0 s'+ 5s2* fts * 4k=0 . d arreglo de Routh es
t"
f,
rk 54k k
Í',
.5
f,
4k
Como no puede haber dos cambios de 5igno sea cual fuere el valor & t entoncesel I g p no cÍrt?ael eje irnaginario (excepto en el origen). El único punto de despegue es el origen (puesto que hay polos dobles). Con estos datos y utilizando la condición de magnitud y ángulo, es psible obtener el I g p (figura 28).
Usando la condición de magnitud ft =
se determinarán =H# bs puntos del lugar geométrico con ft : 3. Usando un método de ensato6, se encuentra el valor s - -4.89. Aun cuando es factible seguir usando estc mótodo para encontrar bs dos raíces restantes,también es posible fact<¡rizarcl polinomio por
258 Lugar geométrico ¡le las raíees
If¡ur¡ 2& trico de
Lugar
geomé
s+4
s7(s+S)
medio de la división (s3{5s'z*3s*12)/(s*4.89)
: s' * O.lls + 2.462
y las raíces del cociente son _.055 -+ 1.56ói. Las reglas citadas anteriormente, permiten bosquejar el I g p. Sin embargo, par¿r mayor precisión, suelen usarse trans¡rortadores especiales, a fin de verificar la condición de ángulo en puntos determinados. Ejemplo 9 Considérese el sistema posicionador de válvula de la figura 29, mismo que ha sido analizado en el capítulo 7 sección 2, y el capítulo 8, sección 5. El amplificador tiene una ganancia k. Se desea: t) El lugar geométrico de los polos del sistema realimentado. íi) El valor de ft necesario para que los polos dominantes tengan un amortiguamiento I : 0.ó. A partir del análisis de la sección 2 del capítulo 7 se obtuvo que la función de transferencia del sistema es
d,(s) : _ 3ftG(s) 0 , (s ) 1 + 3 f t G (s )
R.gl." para conetrulr el lugar geonéúrieo poritivo 2S9
Ffuur¡ 29. Servomecanismo posicionadory su reograma
k vs. s2+5s+8 o,
donde I
G(s):*=-ffis+6-ffi'
El patron de polos y ceros de G(s) se muestra en la figura 30.
iú) 2i
¡
Ft¡urr 30. Patrón de polos y cenos de G(s).
'{11'
260 Lugar geométrico de las ralcee
Las reglas de construcción del I g p arcojan los siguientes resulados: t) El I g p en el eje real está definido en el intervalo a ( 0. ii) Existen tres asíntotas, a ó0o, 180" y -@o, que parten de un centroide situado en polos
O - 25 - 2.5
2 c= ff= - - - --3 -2ceros =T
-5
iii) El ángulo de partida del polo situado en (-2.5 * 1.32i) está dado por l80o - 0,- e, -- l80o - 9Oo- l52.l3o = -62.13". iv) Como los puntos silla, cuando existen, satisfacen la ecuación
p@ry-q1s¡@-s es necesario investigar si alguna de las raíces del polinomio anterior está sobre el lugar geométrico, y €tr dicho caso corresponderá a un punto silla; en el caso en cuestión g(s) : I y p(s) = s(sP* 5s 4 8) como las raíces del polinomio 3 s r+ 1 0 s { 8 : 0 que son _2
St:
," : _3! están sobre el lugar geométrico (el eje real negativo), serán puntos sillas del lugar geométrico. v) Para encontrar la intersección del lgp con el eje imaginario, es necesarioconstruir el arreglo de Routh que para el polinomio caracterlstico .f *.5se * 8s 4 3&, que es 8
f" f,
t, h
5
3k
,_+ 3k
* :*,el Según el ejemplo a de lasec. 5.1. cap. -3 8, cuando
polinomio
característico tiene un par de raíces imaginarias (dadas por to: Asl pues, el tgp corta el eje imaginario en . : y'f,-: '+2.828.
1,fg).
Ya dibujado el lgp, se traza una recta con pendiente
{T=r
.8 : j: : 1 . 3 3 3 ,
que corta al lgp en el punto -.81 + 1.3ói (fieura 31). A este punto correspondeuna ganancia dada por k:2.8. Puede averiguarsefácil-
Regh¡ pora coneFuir el lug¡r geomódco poddvo 261
2.82i,l =
qg¡3
F¡aü.3f.
I IW de-. s(sz+5siE)
mente que Ia tercera rafu está localizada en s = -3.37. La respuesta a escalón unitario del sistema para el valor de k = 2.8 se muestra en la figura 32.
Fh¡r. 32. Respuestaa qscalón del posicionador dc válvula.
262 l.argat geométrico
de las ralcea
Ejemplo 10 considéreseel caso del servomecanismohidráulico del capítulo anterior con los valores k,k"A/M = = k"k" k,A/M : = I
l0 5 6 I
se desea saber el valor de I, necesario para tener un sobrepaso de 4Yo cuando la entrada es un escalón. paralograrlo, suponiendo predominancia en la respuesta de un par de poloJ complejls, hs siigularidades en cuestión deberán tener, de acuerdo a ia figura 2l áel capítulo 7, un amortiguamiento de 0.20. ' í(s) La función de tranrsferencia ' pdra los valores numéricos supuesáCi, tos es
ro/h s' + 5s' * ós* 10( ;- t) Haciendo ft = l0 (i - t), queda s(s) = l, p(s) = ss * 5s, * ós o sea que los polos están localizados en 0, -2 y -3 que son las raíces de s'+ 5s'* 6s y no hay ceros en el sistema. Aplicando las reglas, existe lugar geométrico positivo en los segrnentos (fieura 33) o ( -3 .
-2 < c (0 ,
Hay tres asíntotas, a -¡ ó0o y a 1800,cuyo centroide yace en s:-1.óó Porque "
-2 " u * = Z P o lo t n -m
: -:
5
: _1.66
Existe un punto de desprendimiento en el lgp, dado por la solución de CI
d;(f
+ 5sr + ós) - o = 3s' * los 4 6
ecuaciónque tiene una raíz en s = -.78 (la otra, en s = -2.54, corresponde al lugar geométrico negativo). Los cruces con el eje imaginario se obtienen de la tabla de Routh paraC*5s 2 a 6 s + k
f"
t6
f"
sk
f,
6-kls
f"
k
Regl¡s lDaraconstuir el lugar geométricoporiüvo 263 para t<: 30 se tienen dos raíces complejas, soluciones de 5t' * 30: 0 (s = + 2.45il,Iográndose así la intersección del lgp con el eje imaginario.
(- 0.7,0.7¡)
f¡sur 83. lgp para p(s) = 5ralsr{ósr g(s) = l.
Una vez trazado el lgp (figura 33), se dibuja una recta a 45o (lugar geométrico de los puntos con amortiguamiento 0.70), que cruza - -.7 -+-.7j, correspondiendoa estosvalores una lc : 3.514. .l t1p " "n ne áte valor de lc puede determinarse el valor de t' que es lr = .74. b r7rrz restante puede obtenerse fácilmente, ya sea despejando de f.(s) + ftq(s) = 0 las raíces conocidas, u obteniendo por aproximacio' sucesivasla su(s,,< -3) que corresponda al valor de k anterior. -s punto es s : -3.ó0ó. Tal Luego,la función de transferenciapara ft : 3.51 está dada por
0 (s) i-= (s)
13.514
(s'+ l.4s+.98)(s+ 3.ó0ó)
ssrdo su respuesta a un escalón unitario: I | [3.824- O.4lg4e-,'itr't- 3.27e-'' cos ( .7t - 32' ) ]u-' ( t ). De los coeficientes de la fórmula anteri<¡r se observa que los polos son dominantes, y que su posición es el principal deter::r I -.7't-7i) E:nante del comportamient<¡ dinámico del sistema. Así pues-,la ft obte' :¡da dará con aceptable aproximación el sobrepaso impuesto como candición de diseñ<¡,como puede comprobarse observando en la figu:¡ I. del capítulo 8, la respuesta de escalón al sistema cuando It = .7 rl=.8.
264 Lrrgar geomótrico de las raícee Ejemplo 11 Se tiene un sistema realimentado, muestra en la figura 34.
cuyo diagrama
de bloque se
(s* l )(:s* Z:)(:s* ¡) Figura 34. Diagrama de blo que de un sistema realimentado.
Se quiere encontrar el valor de lc tal que se cumplan las siguientes condiciones: a) El tiempo de asentamiento debe ser menor o igual a 4. b) El sobrepaso a escalón debe ser menor o igual a 0.025 c) La constante de error a escalón necesita ser la mínima que cumpla las condiciones a') y b). Siguiendo los pasos usuales para la construcción I g p, se obtiene el que aparece en la figura 35.
aproximada del
(-1.3r 1.3¡) F.sur¡ 35. lgp para G(s) = s+4
( s+ l Xs+2X s+3)
Las intersecciones entre el I S p y el lugar geométrico de los puntos con amortiguamiento (-O.7O7 (correspondiente al sobrepaso deseado) ocurren €n so: (-1.3-r- 1.3i) con un valor de k=1.2. No hay inter-
R"gl"" para conetruir el lugar geoméüico ¡nriüvo
265
sección con la recta s: -1.0, por ende, la condición a) es siempre satisfecha. Como para k ) 1.2 el amortiguamiento de las raíces asociadas es menor que el deseado, el punto so cumple con las metas del diseño. El polo restante ,fácilmente obtenible al hacer la división
p (s) + r.2 q (s) [(s+1.3)'+ 1. 3 ' ] o mediante aproximaciones sucesivasen el intervalo -4 < s ( -3, está en -3.233. La función de transferencia del sistema realimentado resulta (s*4) 1.199
[(s*1 .3 )' + 1 .3 '](s*3.233) Analizando esta función de transferencia es aparente que los polos complejos €n s¡: -1.3-+ 1.3i dominan la respuesta a escalón, tanto por encontrarse mucho más cerca del origen como por hallarse el polo remanente (s: -3.233) mucho más próximo al cero (s = -4),lo que prácticamente cancela su residuo. El análisis de la respuesta mediante polos dominante es adecuado. En la figura 3ó se muestra la respuesta a escalón del sistema para el valor de k :1.2.
ffuur¡ 36. Respuestaa calónpara k=12
En los dos últimos ejemplos se tuvo como parámetro de diseño una ganancia, presentándose en ellos dos fenómenos: t) El tiempo de asentamiento del sistema realimentado' no pudo disminuirse arbitrariamente incrementando ft, ya que en el I g p los polos dominantes no se desplazan hacia la izquierda al crecer la ganancia. ii) Si se desea disminuir la constante de error a la velocidad se incrementa el sobrepaso a escalón, teniéndose así, un sistema poco estable.
266 Lugat geométrico
de las raícee
Por tanto, la aplicación de una ganancia como única variable libre no es completamente satisfactoria, de ahí que convenga analizar métodos de diseño más generales que permitan obtener mayor rapidez, exactitud y estabilidad de la respuesta del sistema en cuestión. Uno de dichos métodos consiste en introducir en la malla de control un sistema lineal e invariable con memoria, llamado compensador (en oposición a los párrafos anteriores, en los que se agregaba una ganancia, esto es, un sistema lineal e invariable sin memoria). En la siguiente sección se esbozará el problema de diseño de dos tipos clásicos de compensadores,llamados de adc.lanto y de atraso. Además, se analizani el compensador formado por la combinación de una ganancia, uno de adelanto y uno de atraso. Este compensador se llama de tres modos y su empleo abunda en aplicaciones ind.ustriales. se discutirán las ventajas y limitaciones de cada tipo de compensador. 3.
Esbozo del problena Com¡rensadoree
de compenaación.
Considéreseun sistema estable i-A x + b ¿ y=ex cuya representación es controlable y observable, y cuyo estado inicial x(0) es cero. Se desea obtener un compensador que haga más rápida su reSpuestaa un escalón unitario. Al aplicar u-'(t) a este sistema, sus estados evolucionan de acuerdo con: x(t)
-
¡-t
b { | t*-or '}
De acuerdo con el teorema del valor final, el estado estable x, del sistema será:
*. - lÍ* {*(r)}= lT : {i,"-n,-'o } -A-,b La función de transferencia del sistema es:
:c(rs-A)-, ll.o h1,¡ --' b : c f^Íi S:'-i: I o : " 4:-lr:l-'det(ls-!r'¡ ldet(ls-A'))está compuesta por polinomios en s, por tanLa matriz Adj (ls-L) es otro es un polinomio en s Además, det (ls-L) to cAdi(Is-A)b polinomio en s. Entonces, los polos del sistema coinciden con las raÍ ces de def (Is-A) : g. De lo anierior puede concluirse la existencia de A-', ya que la esta' bilidad del sistema implica la ausencia de polos en s = 0; esto es, det (sl-t¡)l,a = det ( -A) + 0. Según lo expresadoen el capítuloó,la hipótesis de controlabilidad
Eebozodel problema de compeneirclónC,ompenedoree267 implica que para cualquier tercia (to, tr, x') existe un contrcl u"(tl que tomando el sistema del estado x(to) :0, hace qrre x(f') sea :&. Como fr puede estar arbitrariamente próximo a to,la hipótesis de controlabilidád garantiza la existencia de controles que aceleran la llegada e su estado estable x". Se considerarán dos enfoques para generar r¿",utilizando en ambos casos sistemas invariables. Enfoque d) Formar 4c coÍlo .trna suma pesada de los estados y el control tt-rea sea, hacer u"(t) -- d*(r) +cu^(t). El término dx es una realimentación de los estados, procesados por un sistema sin memoria. La restricción a este tipo de sistemas se basa intui' tivamente en que los estados resumen la información relevante (desde el punto de vista de entradas y salidas), sin necesitarse otro tipo de información. Enfoque fd) Formar a"(t) como la suma de las respuestas de dos sistemas lineales e invariables (no necesariamente algebraicos), uno excitado por la salida y(t), y otro ¡ror *r(t). Los dos enfoques se ilustran en la fig. 37.
i--;--i__t í-----l+
u"(t)
y (ú )
---1 ¡f,(s) !-'{. J L---
iL-----
- -1
i----
i |
L--
Ftgun 37. Dos enfoques para sintetizar a"(f).
I{,(s) ----
!---|
| ---J
-¡
Se hará un paréntesis para notar qlre el conocimiento de los estados del sistema es una condición previa para sintetUar u"(t) de acuerdo con el primero de los enfoques. Sin embargo, esto es üffcil en muchos
I ?,::
268 Lugar geométrico de I¡s raíces
casos. Por ejempfo, las velocidades y desplazamientos en cada uno de sus grados de libertad son los estados de un cohete espacial, y no se pueden medir directamente. sin embargo, las aceleraciones (salidas) sí pueden obtenerse mediante giróscopos, y éstas, integradas una o dos veces, ¡rermiten la obserrraciónindirecta de los estados. Como se verá más adelante, bajo ciertas condiciones, los estados pueden reconstruirc€ a partir de observaciones de las entradas y salidas. Al tratar de hacer esto, se verá que el primer enfoque es un caso particular del segundo. 3.1
Realiment¡ción
de eettdos
Considéreseel primer enfoque para generar u"(t). La ecuación de evolución de los estados es * -A x + b ¿ ¿ " (r). Sustituyendo u"(t) por dx + eLr(t), ésta queda oomo x -A x
¡b u " = (A + b d )x + h e u -, (t ).
Introduciendo ':na variable auxiliar 6 : x - x,, la fórmula anterior se transfo¡ma en E - (A + b d ) E - (A + b d )A b + b e * , (t ). Si se hace e: dA-' b + 1, la ecuación queda autónoma (depende únicamente de 6), en la forma é:
1 l + b d )6 , 8 (0 ) = x (o ) - x , .
Se recordará que los polos de un sistema cuyos estados evolucionan según la ecuación i(r) = Ax + b¿, coinciden con las raíces de la ecuación det (ls-L) = 0, llamada ecuación característic¿. Conforme a ello, si las ralces de la ecuación característica det (Is-A,-bd) = 0 tienen partes reales lo suficientemente negativas, 6(r) (la diferencia entre x(t) y x,) tenderá a cero con gran rapidez y el sistema se apro ximaná velozmente a su estado estático. La pregunta que surge es: teniendo A, b fijados ¿es posible encontrar un vector d tal que las - 0 puedan colocarse en una posición deraíces de det (Is-A-bd) seada?Cuando la realización es controlable, la respuesta es afirmativa. La demostración, aunque sencilla, está fuera de los propósitos de este texto; sin embargo, el procedimiento para obtener d se ilustra a continuación. Eiemplo 13 Sea un sistema lineal e invariable, cuya representación en variables de estado es
0 0r Ir . -,i :l [r] [l]""''v('í,= [;;] FJ=[-g
E¡bozo del problema de eompeneaciónConpencadoler 269 (o en forma comPacta x : Ax + bu, Y - cx). El sistema está en la forma descrita en la sección 7.4. En la citada sección, si el denominador p(s) de la función de transferencia era r-l
p(s) - s" * ) á¡si, los elementos de la matriz
A estaban dados por
0 si i
bd=[3 Ld,
o
0 d.,
ol
0l dl
á
[o
A +b d :l o Ld,-ó
dr-ll
?I
dr-.6J
Como A + bd sigue estando en la forma especificada en la sección 7.4, det (Is-A-bd) = sf + (ó-¿)sP + (11-¿)s + 6-d,. Ya que éste tiene que ser igual a (S+5)'- .f + l5s9+ 75s + 125, se necesita que: d,- -125+ ó- -ll9 dz: -75 * 1l = -ó4 d"= -15 + ó : -9
Se ha mencionado que obtener rc coÍlo la suma dx + eu-, presu-:one conocer los estados del sistema; sin embargo, generalmente sólo ¡rden medirse las entradas y las salida¡-,Entonces, para una represen:¡ción dada ¿es posible conocer los estados a partir de estas medi::ones? La respuesta es afirmativa cuando la representación es obs¿-tt'abIe. Se desea conocer el estado de un sistema descrito por * - Ax *bu,
t:
cx.
Puesto que sólo se conocen las entradas y salidas del sistema oris¡al, una posible forma de obtener los estados es construir una ré:iica del sistema original, excitada no solamente por a(f), sino por una función del error entre la salida del sistema original -'''bién I l" ^de la réplica (que llamaremos observador). Denotemos por i, y ¡or i' al estado y a la salida del observador, respectivamente, y sea r.t, i) una función tal que g(yo,y,): 0 para toda yo. [-a ecuación diferencial que rige al sistema propuesto es:
i:¡i
¡bu* s (y ,j ),
i=oi
áonde y es la salida del sistema cuyos estados desean observarse. Es
II !',:t
r b I
i.: ,r
27O Lugar geométrico
de las raíces
fácil comprobar que si el obsenador y el sistema a observarsecomienzan del mismo estado (x(0) : i(0)), las salidas de ambos son idénticas, anulándose g;(¡.,9). Al ocurrir esto, ambos sistemas est¡in descritos por la misma ecuación diferencial, excitados por el mismo control, y comienzan del mismo estado. por lo que sus estados evolucio' nan idénticamente. Ahora, se examinani el caso en que s0,9): h(y-i) donde h es un vector columna. ¿Qué pasa cuando el obsen¡ador comierüzaen un estado i(0) +x(0)? Mediante la introducción de una nueva variable 6(r¡ = i(r)-x(r) (el error entre los estados real y observado), la ecuación diferencial del obsenador se transforma en i-É
- A (x -B ) ¡ b u * h (c x -c 8 -y )
C,omo i - .lx + bu, la ecuación de 8(r) forma
queda autónoma en la
é : (a + hc)t, B(o): x(o) - i(o) Siguiendo r¡n razonamiento similar al de piírrafos anteriores, se podrá hacer que 6(r) tienda tan rápidamente como se desee hacia cero si fuese posible encontrar un vector h tal que hs raíces de det(ls-A,-hc)-0(queson los polos del sistema que determina la evo lución de 6) puedan colocarse arbitrariamente en el plano complejo. Esto es factible cuando la representación es obserttable.Tal hecho, que no se demostrará, se ilustra en el siguiente ejemplo Ejemplo 14 Se requiere construir un observador para el sistema del ejemplo 13, tal que las raíces de det (Is-A-hc) :0 estén todas en s - -10. Sea h' - (hr,h",h"). Las matriceshe, A 4 hc son, pues:
lh, hc :l h , Lh"
o 0 o
o'l 0l 0J
Aah"-[1":
L-ó + h" -ll
Expandiendo det (Is-d-hc),
?l
á
-óJ
resulta la ect¡ación
s" + (h,+6)s' + (6h,+h,+ll)s + ll'¡- ¡ 6h, * h3,= (s* 10)3, que al ser resuelta da h = (-2 4 , -1 4 5 , 1 4 0 ). La ecuacióndel observadores:
u:fúi_,i il,. l?l ".f_úíl " t:
xt
Eeqozodel problena de oom¡rens¡ción.Conpenaadore 271 La figura 38 ilustra el comportamiento del sistema y del obsenrador cuando u(t) - *'(t), x(0) - 0, x(0) : (-.2, -.2, -.2).
a) Estadosr' i.
b) Estados r, 12.
.2
c) Estadosr.,ir.
Flgura i|8. Estados r(r), i(f) del ejemplo 14.
272 Lrgar
geomótrico
de l¡e raíce¡
En caso de tener disponibles únicamente la entrada y la salida de un sistema, para modificar su patrón de polos puede colocársele un observador y realimentar i (los estados observados), en vez de x (mediciones directas de los estados), quedando un arreglo como el de la figura 39.
Figura 39. Sfntesis de un compensador, mediante la realimentación de los estados calculados por un ob servador.
En esta figura puede verse que la realimentación de estados equivale a la de la salida (procesadapor un sistema con memoria). Ejemplo 15 Sea un sistema con función de transferencia
j( s) /i' ( s) :
( s+ l) ( s+ 3)
con la siguiente realización controlable y observable
[;:]= [-l -;]t:l.[:]"
t= xt
Por vía de ejemplo, se desea modificar el sistema mediante la realimentación de estados, en tal forma que los polos del nuevo sistema queden en .r : -2, -3. Para obtener los estados, se sintetizará un observador cuyos polos están en s : -K, K > 0. Siguiendo el procedimiento de los ejemplos anteriores, se obtienen
h:
(4 -Z K , 8 K -K ' -1 3 ),
e:2,
d = (-3 ' -l ) .
Esbozodel pnoblemade oompencecüón. Conpcnndoree 2?3 Haciendo las reduccrones necesarias para pasar a diagrama de blo ques, resulta un sistema como el mostrádo en la figura ,00.
(s+2K-l)
,u r \
ffz(s)--Zi-
(s+K )'
( s + lX s + 3 Fl¡un ,10. Sistema que dectúa ta realimcnt¡ción planteada en el ejenplo 15.
Puede obserrrarse que para lograr los resultados deseados se usaron dos sistemas ar(s) y ¡¡r(s) cuyos polos corresponden a los del observador. Lo ideal serla tener un observador instantáneo (con polos en K = - o ). Como para toda s con valor absoluto finito Hr(s) = 2 tfm tr+€
lg¡r'(s)=s*3,
en el caso ideal, la entrada se multiplica por un factor constante, y se rcalimenta al sistema una combinación lineal de la salida y sus áerivadas.
se ha mostrado mediante ejemplos que el patrón de polos de un sistema controlable puede modificarse arbitrariamente mediante realinlentación de estados. Si éstos no son accesibles,es factible calcularlos aproximadamente mediante un obserr¡ador, o exactamente usando de¡'ivadores. No siempre es posible construir estos dispositivos, aunque existen aparatos como los tacómetros y los acelerómetnosque los aproximan bastante. En el diseño de sistemas de control, las finciones de trans. ferencia del tipo (s+l/T), como la encontrada al final del e¡emfto 15, suelen aproximarse mediante los llamados sistemas de aielaito, cuya función de transferencia ll"¿(s) es del tipo Il"¿(s) -os*l/T sla/T
c )1 .
En la figura 4l se muestra Ia respuesta a escalón unitario de un sistemade adelanto; esto es
lr
\
-
J', ( : A "a(s),)= u-,(t)[l + (o- l)e n u t T Existen diferentes métodos para sintetizar un sistema de adelanto; su elección depende del tipo de energla que actúe al sistema de control. A continuación se ejemplifica un método.
274 Luger geométrico
de lae raleee
Figura 41. Respuesta a escalón de un sistema de ade lanto.
Ejemplo 16 El tipo de sistema de adelanto que se conoce como releva.dor de acción derhtatitta (FiS. a2) se utiliza ampliamente en controles neumáticos. Consta de tres cámaras de fuelles, unidas por una flecha.
Resorte de constante =
PistónArea= Ar Aleta Presión de p¡ suministro, presión P* Btran- ¡ gulam¡entol variableI Resistencia-_ R
Presión- P Figura 4il. Relevador de ac' ción derivativa.
E¡bozo del problema de codpeneeción.Com¡nnredoree275 La excitación del sistema es una presión de entrada p.. Para el análisis de su funcionamiento, se supondrá que pueden ignorarse loc siguientes efectos: i) l-a inercia del sistema de flecha y fuelles. ii) El almacenamiento de aire en las cámaras I y 3. (Se considera ausencia de restricciones en el accesoa dichos compartimientos, lo que permite su llenado casi instantáneo). La amplificación en este tipo dispositivo se logra mediante un elemento sensor de desplazamiento (figura 43) en el cual la presión p es una función del desplazamiento *. Cuando x = 0, eI orificio se encuentra obstruido y p es igual a la presión de suministro p¿, mientras que si el orificio está completamente abierto, p es igual a la presión ambiental po. Entre ambos extr€mos, p se rige mediante la relación p : t(fu,p,, r) altamente no lineal.
-r | tl
lr I
|
rfEston po ambiental,
do salida, Presión P
tf-
tl
I t
otttio
P¡csiónde suminifro,pr
En los dispositivos comerciales, para desplazamientos pequeños, el modelo linealizado del sensor de desplazamiento P:
-kzx
posee un parámetro k" que varla en un intervalo de valores mucho mayores qrrc k'/ (A"-Á"). I-a ecuación de balance de fuerzas en el sistema es p"A'- p,(Ar- A,) - p4' + *'.r = 0. I-a variación de la cantidad de gas confinada en la cámara 2 y en la botella es igual al flujo de moles en el estrangulamiento R. Supo:¡endo proceso isotérmico y pequeños desplazamientos, la variación iel número de moles en los receptáculos citados es Cdp,/dt (donde C deprs¡¿. del volumen de la cámara y la botella). Sup<¡niendo régimen bminar, el flujo en el estrangulamiento es proporcional a la diferencia oe presiones en sus extremos (esto es, flujo : (p-p,)/R.) P<¡r tanto, ¿ ecuación de continuidad en el estrangulamient<¡es
Cdp,/dt: (p-p,)/R.
Flgur¡ 4¡1. Sensor de des plazamiento del relevador de la figura 42.
iPr,'
276 Lugar geomótrico de l¡e raíces
Resumiendo, las ecuaciones que describen al sistema son: ñ_--
At A,-A"
kú (A"-A")
-
(equílibrio de fuerTas).
P = h + RCd p ld t
(continuidad miento).
x - -P/k,
(relación presión-desplazamiento en el sensor).
en
cI
estran¿tla-
El neograma de la figura 44 describe estas relaciones
k,/(A,-A,) Fi¡ure 44. Reograma del dis¡rositivo del ejemplo 15.
-A"/(Ar-
Ae)
Usandola fórmula de Mason,la función de transferencia F(s)/i"(s) es .( l+ sRc) '', .
iG)/f"(r): - Como sucedeque ft, >k'/(A,-A.), plificarse a
la expresiónanterior puede sim-
(l+ s RC) A, A' A ' (l+ s RC) A, _0 = pts .) /,pc\s). = f,E"_rR¿_ E + r@ Llamando a a Az/ Aa,T a RC, resulta entonces A ,.,^zr
p\s) lp¿\s) :
G+ r/T)
At
1r ¡ r ¡ r ¡
E
Como Az) As, c ) l. El valor de I puede regularse con facilidad mediante una válvula que modifica el estrangulamiento.
El sistema descrito tiene una ganancia fija; la introducción de más cámaras y más estrangulamientos variables permite la posibilidad de modificarla. A un relevador neumático, cuya ganancia puede ser regu-
Esbozodel problena de oompenerción C.ompeneadorer2??
t
lada, se le llama de accün proporcional. Anteriormate se mencionó que el patrón de polos de un sistema lineal e invariable podla modificarse arbitrariamente meüante la realimentación de sus estados; cuando éstos no son accesibles,pueden computarse a partir de las entradas y salidas mediante un sistema llamado obsentador. Como se mostró en el ejemplo 15, la realimentación lo grada tiende a una combinación lineal de Ia salida y sus derivadas, conforme se hace más rápida la respuesta del observador. Esta realimentación de la salida y sus derivadas puede aproximarse, para el caso de un sistema de segundo orden, mediante un compensador de adelanto. En la práctica, los sistemas de adelanto suelen utilizarse tam. bién en sistemas de otros órdenes. Este tipo de compensadorespuede introducirse en diversos puntos de la red de rcalimentación, como se muestra en la figura 45; su localización depende de las dificultades técnicas para sintetizar el sistema.
(b) En realimentación
(¿) En (¿) En cascada cascada
Ftgure ,15. Diversas mane ¡ras de colocar un compen sador de adelanto.
Por ejemplo, el método (¿) se usa en sistemas neumátic.os,y el (b) en aquellos sistemas electromecánicosen que la velocidad o aceleración se obtienen fácilmente mediante'tacómetros o acelerómetros. A continuación se muestra un ejemplo de selección de un compensador de adelanto. Ejemplo 17 Sea un sistema cuya función de transferencia G(s) es 1
ffi Se desea compensar mediante el arreglo de la figura 46.
Fl¡ure 46. Un sistema su compensador.
El problema de diseño consiste en encontrar k y T tales que .:) El amortiguamientode los polos dominantes sea .707 á ) Su parte real sea lo más negativa posible.
278 Lugar geométrico
de las raíces
Se hará un paréntesis para notar que en un diseño interesa tlpicameñte que la salida a cierta entrada se comporte adecuadamente. Más concretamente, en este caso importa que la respuesta a escalón tenga un tiempo de asentamiento mlnimo, con un sobrepaso menor que .O4. Para verificar tales condiciones es necesario contar con una computadora, ya que el lugar geométrico sólo puede darnos estos datos para sistemas de segundo orden. Sin embargo, estos requerimientos sobre la salida pueden aproximarse por restricciones en el lugar geométrico, suponiendo la existencia de polos dominantes. En el capítulo 7 se demostró que para un sistema de segundo orden, el tiempo de asentamiento fo está dado por fc = 3/t , y el sobrepasopor Me = s-nEf'A-f'. De estas fórmulas puede verse la equivalencia entre las condiciones de diseño dadas por el lugar geométrico y por la respuesta en el tiempo. El lugar geométrico de las ralces de G(s) se muestra en la figura 47.
3 2 l( - 13.12 +t.ilz
. r+ i) I
Fl¡ura 47. lgp de I
( s+ l Xs+3X s+5)
En la figura 47 se observa que si no se usa compensación, una k - 13.12 localiza los polos dominantes en (-1.542 * 1.542i\, estando el tercer polo en -5.916. La función de transferencia de malla l?':?=r, cerradaes,pues,, = = ==t y el coeficientede error t.f *3.084s+a.755)(s+rgló) a escalónKo es .875. Ahora, el compensador mencionado se introducirá al principio del ejemplo. Tras aproximaciones sucesivas,se obtuvo que la combinación k:147.8, l/T:1.48. A continuaciónse muestran los lugares geométricos para tres intentos (l/T = 1, 1.48,3) (figura 48).
Esbozo del problena de compenerción" Compensadoree 279
3.121.Gl+i) l\
-3
a) IgP de I
-2
-l
s+l
( s +I X s+ 3Xs+ 5) tr+rOl
-3
a) lgp ¿e (s+ 1.48) 14.8) t s+ I Xs+3)(.s+5Xs+
-2
-t
Fl¡urr ,18. Efectos sobre el lqp de diversas redes de aclelanto.
28O Lugar geonétrico
de las raíeee
+2.78(-l+j \ u\ l\
\
c) lgq ae (s+3)
(s+I Xs+3Xs+5Xs+30)
El par l/T:1.48, k- 147.8,que cumple las condicionesde diseño, proporciona una constante de error a escalónKp - O.9.La función de transferencia del sistema realimentado es II"¿(s)G(s) I + Il,¿(s)G(s)
147.8(s+1.48) (s+1.2ó)(f*ó.6s+21.79)(s*15.87)
La respuesta a escalón del sistema realimentado con y sin compensaciónse muestra en la figura 49.
Hay sistemas en los que la introducción de un compensador de adelanto no causa una mejoría aparente, como se ilustra a continuación.
E.boro del problcrne de eompcn¡¡ción
Compenrdoree
281
.5 .4 .3 .2 .l 1 .6 1.8
2.1 2.6 2.8
Flacl 49. Respuesta a e$ calón del sistema del ejemplo 17.
Ejemplo 18 Sea un sistema cuya función de transferencia G(s) es
(s2f 2s* 1.8)(s+l) y el cual se deseacompensar en la misma forma que en el ejemplo 17El lgp del sistema en cuestión se muestra en la figura 50, en la cual puedé obserrrarse que ft - .15 proporciona el amortiguamiento desea' do, y una Kp: .0833.
:.e08(-.1+i
l,'¡|lu ¡ il. co de
G(s) -
Lugar geométri' I
(s+lXs¡+2s+1.8)
282 Lugar geonétrico
de lae raíees
De manera idéntica a la del ejemplo 17, se desea introducir una red de adelanto con a = 10, tal que los polos dominantes tengan un amortiguamiento de 0.7ü, y una parte real lo más negativa posible. Mediante aproximaciones sucesivas, construyendo varios lugares geométricos, se obttrvo el compensador con función de transferencia .806(s*0.a5) Ho¿: lgp de Ho¿G(s) se muestra en la figura 51, en ffi.El donde se puede obsewar que los polos dominantes que cumplen la condición de diseño están situados en s: (-1.024¡.1.024i). K, es igual a 0.044.
Fi¡ura 51. IgP a. (s+.45) (s+45Xs+ I )(sz{2s{ l.E)
La figura 52 muestra las respuestasa escalón de los sistemas compensado y sin compensar.
Fl3ú. 52. Respuestaa es calón dcl sistema del ejemplo 18.
Egbozodel problena de compeneación.Compcmndoree283 De la observación de las figuras 50 a 52 puede deducirse que, en este caso, la introducción de un compensador de adelanto: '
i) No modificó notablemente la rapidez del sistema. ii) Hizo que Kp bajara (de .0833 a .M4).
Además, hay un sobrepaso más grande en el sistema compensado. Este sobrepaso, que no corresponde.al amortiguamiento de los polos complejos del sistema realimentado, proviene de que éstos no cumplen con ser dominantes. Entonés se concluye que, para el sistema tratado, no se justifica usar un compensadorde adelanto. El compensador de adelanto es siempre útil para sistemas de seg¡undo orden con polos reales, o poco amortiguadr¡s, o para sistemas de mayor orden cuyos dos polos más cercanos al origen cumplen con la condición citada. En el ejemplo anterior muestra que si esto falla, la compensaciónde adelanto puede no ser útil. Una regla práctica para la localización de los polos y ceros de compensadoresde adelanto es la siguiente: i) Cuando los polos más cercanosal origen sean reales, el cero del compensador deberá colocarse entre el primero y segundo polo del sistema. ii) Cuando sean complejos, el cero deberá colocarse en las cerlcanías de la proyección de tales polos sobre el eje real. iii) La localización del polo del compensador quedará automáticamente determinada por la del cero y por el valor de c. Este último depende de consideracioneseconómicas (alfas grandes, aunque deseables,costosas). 3.2 C.ompenaadoresde atraso En sistemas realimentados, los compensadoresde adelanto se utili¿an para aumentar la velocidad de respuesta,y para que mediante su efecto derivativo, sean fuertemente realimentados los cambios bruscos de la diferencia entre la entrada y la salida, y lograr así sistemas de nejor comportamiento dinámico. Además, éstos permiten aumentar la calidad de la respuesta estable, incrementando Ko (o Ko, etc.) Sin embargo, en muchos casos la respuesta estable no cumple las :ondiciones deseadas,no pudiéndose además mejorar ésta mediante rumPensaciónde adelanto. En ocasioneses necesariotener valores altos Ce (por ejemplo) Kr, afin de hacer que la salida sea r¡na reproducción fiel de la entrada. Valores altos de K, permiten que el sistema, además de ser exacto, sea poco sensible a variaciones de parámetroS. un método convenientepara incrementar las ganancias de malla ¿bierta para s - 0 (y por ende Kr, Ko, etc.), consiste en colocar en .-ascadacon el sistema a controlar, uno cuya función de transferencia H."(s) lenga un polo, ya sea cercanoa s = 0 o sobre el origen. Debido a que al incluir únicamente dicho polo aumentaría el número de asíntotas del lugar geométrico y degradaría en general el comportamiento dinámico del sistema,es necesarioincluir .m c"ro para evitar una de-
'
284 Lugar geométrico
de las raícee
formación demasiado severa del tgp. Las formas más utilizadas para sintetizar tal sistema, llamado compensadol de atraso o de efecto de reposición, son: I / " ¿ ' (s ): l* k r/ s I +sT Ha ' (s ): r+ " r io (c (1 EI nombre de acción de reposición se dio originalmente en los sistemas de control neumático. El motivo de llamarlo también de 4traso se explicará en el capítulo de respuestaen frecuencia. A continuación se ilustra un método de lograr dicho compensador en controles neumáticos. Ejemplo 19 El relevador neumátibo de la figura 53 se utiliza para lograr acción proporcional más acción de reposición. su entrada es la presión p" y su_salida es p. El valor de la función de transferencia pará s : 0 y Jr valor de T se regulan variando los estrangulamientosRl, Rr. para iimplificar el análisis, se considerará que R, = 0 (abierto), modific¿índose T mediante Rr. Resortede constante- k¡
Fl¡urr 53. Relevador neu mático con acciones pro porcional y de reposición
p Pres¡ón= Estrangulamiento variable : ft, Resislencia
Diferenciade areas-4,
Botelle Prcsilln pz Capcitancia- f,
Estrengu¡amionto variable iesistencia- Rz
|rteu¡,
Para obtener la función de transferencia del sistema, se supondrán insignificantes : i) La inercia mecánica del sistema. ii) Los efectos de almacenamiento de las cámaras l, 2, 3.
E¡bom det problemr de conponrrcldn
f.onpordou
2SE
Rc = 0, Ias presiones Pt V Pz son iguales, siendo Ia ecuación - 9opo de balance de fuerzas: gnA r*pA r-p& +k*:0 . EI balance de flujo de mores en el est.angula'iento
variabre .es:
Cdpldt * (p,-p,),/R, = 0. Se supondni, además, una relacrón linealizada entre p y 8, de la fomra: P = -k'x donde ft¿ es lo suficientement€ grande para que tr/(&"{r) < t. EI reograma que vincula las-relaciones anteriorrs se'muestra en la .. figura 54.
(l*R,Cs)
a,/4" Este, al resolverse, proporciona la función de transferencia: A"/h
á(")
( 1 + R,cs) .Ar /A,
F;G':IM; - 'il A" +*;¿F)- Q - A'/^) + R.cs W v si se llama | = RrC,a = A"/(Ar-Ar),la
H,t,(s)= iG)/f"(s¡ :
función de transferenciaes
á,fl + sr) á'(1 + csf)
Cabe-notar qu., cuando Rr*', la variación tanto de R, como de R' modifica ambos parámetros, a y la ganancia lfor,(s)]r-. EI uso de compensación de atáso se muestra en seguida: Ejemplo 20 Sea el sistema de la figura 55, en, donde G(s) --
(s*.1)(s+2)(s+ l0)
rror'(s)-lsklr) s
k
n¡u.Sf. Rcognn¡ de u ¡eleuador coa cGoctos y de rcposi:r?;1o*t"*
286 Lugar geométrieo de lae raíeee
Figua 55. Sistema con compensador.
Se desea encontrar los valores de l/T
y /c tales que:
i) Los polos complejos dominantes del sistema realimentado tengan un amortiguamiento de 0.ó. ii) K, se incremente bastante, sin disminuir mucho la rapidez del sistema. Se construyeron lgp con diversos valores de l/7, y se obtuvo el valor de ft que hacía que los polos complejos dominantes del sistema tuvieran el amortiguamiento especificado. Los resultados se presentan en la Tabla 1. TABLA L. Valores d.e k, t/T, y localización de polos dominantes para el sistema de la figura 55.
r tt
k
0.00 .10 .20 .40 .ó0 .80 .85 1.00 l.l0
29.59 29.39 29.t3 28.35 27.08 25.03 24.12 21.67 19.33
Polo¡ dominonls¡ complelot -1.312 1- r.7489i -1.284 i r.7rri -1.253 I r.67r i -1.190 i l. s E i - 1 .103 -r r. 4 7 ri -l .001 a 1 . 3 3is - .972 1- r.296i - .872 ! r. 1 6 3i - .797 ! r. 0 6 2 i
Polo reol
- .062 - .r29 -.281 - .466 - .ó98 - .761 - 1.0 -t.t7
De la tabla anterior se observa que para l/T < 0.8, el polo real está mucho más cerca al origen qué los complejos, causando una respuesta demasiado lenta. En cambio, para l/T > l, los polos complejos están a la derecha del polo real, siendo éstos los de respuesta lenta. Por tanto, conviene seleccionar l/T en el intervalo (0.8, 1.0). Considérese el par l/T :.85, ft :24.12. Los polos complejos de sistema realimentado están en -.972-+ 1.296i, y el real más cercano al origen en -.7ó05. Aunque el polo real es algo lento en comparación con los complejos, su cercanía al cero en -.85 disminuye su residuo. Así pues, se considerará satisfactorio el uso de un compensador H ,t,(s ) -
24.12( s + .8s)
Para esta selécción, Kp -- r,, Ku = 1.025 (vs.
s 14.78,y 0 para el caso no compensado).l,oslqp de los sistemascon y sin compensaciónse muestranen la figura 5ó.
Esboro del problena de compeneación" Conpenradorea 287
5 4 3
lg p d e
2 (-1.312 + 1.75¡)
I 0
-10 -l -2 Flgura 56. lpgt del siste ma del ejemplo 20. 5 4 3
IgP de
s*.85
s (s+l Q)(s+lX s+2 ) hg72 + r.296¡)
2 I 0 -t 2
La figura 57 muestra la respuesta a escalón de los sistemas compensado y sin compensar. Pt¡ede verse que el sistema compensado: i) No tiene error a escalón. ii) Tiene el mismo sobrepaso que el sistema original, aunque su tiempo de asentamiento es 30% mayor. Esto coinclde con lo predicho por los polos dominantes.
Así, pues, concluimos que en este diseño se ha cambiado algo de rapidez por mucha exactitud.
288 Lugar geomótrico
de las raíces
r.0 .9 .8
tr
.7 .o
.5 ,1 .3 .2 Fifur¡ 57. Respuesta a es- .l calón del sistema del ejemplo 20.
Ejemplo 21 Se quiere aumentar Ko en el intercambiador de calor mostrado en la figura l; para ello, el amplificador de ganancia & se sustituirá por un compensador de atraso con función de transferencia
k(s+ r/T)
Éfor"(s)- +
t" + o .t/r ) '
Las condiciones de diseño son: i) Que los polos del sistema realimentado tengan un amortiguamiento igual o mayor que 0.ó. ii) Que no disminuya demasiado la rapidez de la respuesta a escalón. El reograma del sistema realimentado (incluyendo compensador) se muestra en la figura 58.
3
út")
n¡url 5t. Reograma de un sistema de control para r¡n intercambiador de calor.
H,t,(s) ?,(r)
i+ 3 t
- l/( s+ I )
it'l
E bom del prublena de com¡rn¡ecióu. C.ompcncedor.el 2g9 La función de transferencia de malla cerada es
k(s+ r/r) ( s + 1 / 3 ) ( s + o .r /T ) (s a 1/3)(sJ- )(sJ offi) Para estudiar el efecto de k y l/T en Ia rocarización de ros poros del sistema realimentado, es tr""ér"úo estudiar il lli-á., G(s) -
(s +r/ T )
(s+l/3)(s+t)G+oFE)
En la tabla 2 se muestran los resultados de la eraboración der lgp para diversosvalores de r/T.I-a ft taburada es ;i ;;;1", poroc cqmplejos del sistema realimentado tengan un amortiguamiento r'i. ó.0. TABLA 2. Polo¡ domlnonte¡ complciot .0 .l .2 .3 .35 .4
.901 .842 .775 .ó90 .637 .575 .416
-.ó ó 6 -.6 2 6 -.5 8 0 -.5 2 0 -.4 9 3 _ .4 5 5 -.3 ó g
I + {* ra +
.EEsi .E3si .774i .7úi .6s7i .óoEi .4eti
-.E05 - .r73 -.283 - .348 - .421 -.5%
con un razonamiento análogo ar del ejemplo anterior, se sereccionó un compensador (s + '35) Hu,,(s) - 'ó37 (s * 0.035) ' La Ko del sistema sin compensador es de 2.069r. La del sistema compensado es de 19.il. Esta decuplicación de Kn se ha conseguido a expensas de una reducción de la parte real de los pol,rs dominantes lde -.666 a -.495), lo que imprióa un aumento aproximado de 25o/o en el- tiempo de asentamiento. Esto es confirmad<¡ p,ri ru figura 59, que despliega la respuesta a escalón de ambos ,¡rt"riur. La figura ó0 muestra los lugares geométricos en cuestión.
3'3 compensador de aderanlo-atr¡¡soo de rres modo¡ En un mismo sistema de contror, r<¡sefectos de c'mpensadores de adelantc¡y de atraso pueden combinarse, ya sea intr<¡duciendo amb<¡s aparatos en cascada, <¡ utirizando un sor' dispositiv<¡ ad hoc. u; -¿:
290 Lugar geométrico
de [¡¡ raíees
¡.0 .9 .8
fr(t)
.7
t
.6
Sin compensar
.5 Figura 59. Respuesta a escalón del sistema del ejemplo 21.
.4 .3 .2 .l
(-213+ 8l syl
1.0 .9 .8 .7 .6 .5 .4 .3 .2 .1 0, -.1 ,-.2
Figiqr¡ 60. plo 21.
lg?'s del ejem-
E¡bozo del prcblena de compenración C-ompenrdonce 291
1.0 .9 .8 ,7 .6 .5 .{
Fl¡re 6O. plo 21.
lgpb del ejem-
todo para seleccionar los compensadores es el de aproximaciones succsivas, que puede proceder asl: Primero se diseña el compensador de atraso; luego, dejando fijo éste, se diseña el de adelanto. Tomando estos dos compensadores como una solución inicial, se ajustan alternativamente los parámetros de cada compensador hasta no obtener mejoría apreciable. El método se ilustra a continuación. Eiemplo 22 Se desea introducir
un compensador de adelanto-atraso, con fun-
ción de transferencia ll(s):
k(s+ | /7 ,)(s + | lT,) s(s+ l0ll, )
¡ en el sistema de
la figura ó4.
s * l X s +2Xs + 1 0 ) Fl¡un ó1. Un sistema su compensador.
lltll'
292 Lugar geométrico
de la¡ r¡íees
Los valores de Tr, T" y k se escogerán en forma tal que: i)I{ingunpolocomplejotengaamortiguamientom€norque0.ó. ii\ ' Se i"t ga un com¡romiso adecuado entre la posición de los po-
\os cimp\€¡os:\¡¡t
p\o cunes¡uN-rt\>\\S\NÑr\
atraso. Los polos complejos deben estar lejos del origen.
Como primera aproúmación,
se tomó el compensador
rr,,,(s)-/c(s+.85)
s utilizado en el ejemplo 20. Posteriormente, se buscó el compensador de adelanto de manera que, puesto en cascada con rifar,(s)G(;), diera polos complejos con .ó de amortiguamiento y lo más a la izquieida posible. Tal compensador resultó ,"r Í(t + 1'8) La tigura ó2 muestra
CTj8i.
el lugar geométrico de G(s)I/(s) para lfT,: .g5, l/Tz: l.g. para k :721, los polos del sistema realimentado se localizados "r"tr"rri.ur en sr.z: -3.ó7 +4.88i, se =-1,727, sn - -.809, ss: -21.15.
Il(s) :
Fierura 62. plo 22.
lgp del ejem-
72r( s*.85) ( s+1.8) s (s * 1 8 )
E¡bozo dcl probleme de conpcnnción.
i
Las raíces s:r, sr, aunque correspondientes a polos lentos, están casi canceladas por los ceros en -.85 y -1.8, ¡ror lo que no disminuyen mucho la rapidez del sistema. Intentos posteriores para mejorar el djseño de I{",'(s) demostraron ser infructuosos, por lo que se seleccionó una función de transferencia
t
I i I
Compcnerdorcl 293
Ifrsj-w
72r (s + .85)(s + 1.8)
La figura ó3 muestra la respuestaa escalón del sistema compensado y sin compensar.
t
t Ffuure 63. Respuesta a escalón del sistema del ejemplo 22.
t+
La compensación de atrasc¡ descrita en el ejemplo 20 disminuyó en algo la velocidad del sistema, incrementando grandemente la exactitud. l.a compensación de adelanto-atraso triplicó la velocidad del sistema, aumentando aún más la exactitud (Ku: ú, K, = 3.07)
CAPITULO
f0
Análisisde sistemas por medio de la respuestaen frecuencia l.
Inrroducción
Para el diseño y análisis de sistemas de control es necesario contar con un modelo de la planta. Se ha visto en capítulos anteriores que cuando ésta es lineal, invariable con el tiempo y se halla inicialmente en reposo, la salida correspondiente a una entrada cualquiera puede obtenerse con base en la respuesta a impulso del sistema h(t), en la función de transferencia É(s) o en las ecuaciones en variables de estado que representan al sistema. Sin embargo en la práctica el logro de estos modelos puede ser difícil . Considérese, por ,ejemplo, la obtención de la función de transferencia del circuito de la figura l, que representa un amplificador operacional; aun cuando las conexiones y los parámetros significativos de sus componentes sean conocidos, la determinación ¿. á(") a partir de un modelo analítico es una tarea ardua.
Qo
Q,
Fi¡ure l. Esquema de un amplificador operacional
295
296 Anlttds de ¡i¡tem¡¡ por rccpueata en hecuenci¡ Un procedimiento alternativo es obtener experimentalmente la respuesta a impulso (o la respuesta a escalón), y utilizarla para modelar el sistema y predecir los efectos de la inserción del circuito de Ia figura I en un sistema mayor. Este método, como se demostrará en el ejemplo siguiente, es útil únicamente si se cuenta con instrumentos de excitación y medición suficientemente exactos. Ejemplo 1 Considérense dos sistemas, A y B con las siguientes funciones de transferencia: ^) ( s): Í/.'
G,+2s+A'
i0"(r):# Las correspondientes respuestas a escalón unitario son:
sn(t):r'{ffiJ-
I + fie-'sen(r-l3s')
sn(t):t-{#:
I -'fúq'o' + l'471e-t sen(r-139')
Aunque las expresionespara Ér(s) y É"(s) difieren mucho, las respuestas a escalón son prácticamente iguales: la máxima diferencia es .025 (figura 2). Así pues, de medirse la respuesta a escalón con un instrumento de 2 por ciento de precisión, sería difícil discriminar entre ambos sistemas con base en esta medición.
g, (f)
s "(t)
figur¡ 2. Respuesta a escalón a) Respuesta a escalón del sistema A b) Respuesta a escalón del sistema B
No obstante lo anterior, al colocar el sistema A en una malla de realimentación como la de la figura 3a) se tiene un sistema estable, habiendo en cambio, una oscilación autosostenida de frecuencia . : 7.21 al introducir en su lugar el sistema B. Se produce dicha oscilación porque el sistema de malla abierta de la figura 3b) alser excitado con e(t) = sen (7.21t) produce una salida !s(t) : r(t) :
- sen (7.21t)
Inlroduoción
2197
y como e(t)-u(t)-r(t) es factible tener en el sistema realimentado (figura 3a) una entrada u(t) - 0 y una salida senoidal, habiendo, por tanto, inestabilidad.
¡) Sislon¡r¡¡llm¡ntrdounlbri¡ncntr
Figure 3. a) Sistema realimentado r¡¡ritariamente b) Sistema sin realimentar r
I
b) Sistcmr sinn¡llmcnhr En caso de colocar en el arreglo de la figura 3D) alsistema A y excitándolo con e(t): sen(7.21t), la salida y¡(f) sería 1.047sen(7.21t-lffio) y en este caso no es necesaria mucha precisión para distinguir entne y.'(t) v yu(t). En este capítulo se presentará un método, basado en la respuesta a excitaciones senoidales, para representar a sistemas estables, lineales e :nvariables con el tiempo, el cual es particularmente adecuado para. la obtención de modelos a partir de datos experimentales. La caracterización a lograrse se denomina resryesta en frecuencia del sistema y es equivalente a evaluar É(t) u lo largo del eje imagi' nario s: i'. El método que será estudiado en este capítulo recibe dicho nombre por que es factible obtener É(i*) a partir de la respuesta asintótica del sistema cuando la entrada es una función senoidal de frecuencia -o. La respuesta en frecuencia presenta las siguientes ventajas sobre las caracterizaciones anteriormente estudiadas: ¿) Los modelos experimentales basados en la respuesta en frecuen' cia suelen ser más fidedignos que los resultantes de la respuesta aimpulsooaescalón. b) La dimensionalidad del sistema tiene menos influencia en la complejidad de los análisis al usar respuesta en frecuencia que al emplear el patrón de polos y ceros, o la representación de variables de estado. c) Algunos análisis, tales como el de estabilidad, no requieren que las funciones de transferencia sean racionales. d) Los criterios de diseño utilizados suelen ser más fáciles de manejar.
298 Anáüsis de eietemss ¡ror respueeta en lrecuenci¡ 2.
Respuestae permanente y transitoria
Como ya se mencionó, la respuesta en frecuencia se denomina así debido a que la salida y(r) de un sistema estable, lineal e invariable debida a la excitación sen ,ooftiende asintóticamente a* y(t) : M('o) senl,'nt + ó(",.)] M(.'") y {(,") están relacionados con la función de transferencia É(s) en la siguiente forma. Si É(ir.) se expresa en su forma rectangular como
x( " ,0*) lt' ( .,)
u ( iú : entonces
M ( .,) : ffi) + I? GJ #(.0) = te-' lY(,") /x(,0)1.
Con esta definición, y recordando que dQ: puede expresarse también en la forma
cosó + i senó, É(i*)
M('',,) ei+@o'
U(iú:
donde M y + se llaman, respectivamente, la magnitud y la fase de la respuesta en frecuencia.** El siguiente ejemplo ilustra la representación de un sistema mediante la respuesta en frecuencia, Ejemplo 2 Sea la función de transferencia
F / (s ):
s+a
Por tanto
a-i,
a(iú 1ot!A
a' +.'
Las partes real e imaginaria de la respuesta en frecrrencia son
x( ,) :
,t1. ,t;
Y(.):
4- * of
=l' ,,
a- + at-
y la magnitud M y la fase f:
M(" ,)-+ t
ó(,) :
-tg'
(./a).
{a '*u , -
* Esto es 2n':.t1 f / = M(,,,,)senl u,.,t* É (o¡,)l i 0 = t 2n¡. , l ím I y { t a -¡¡ n ,- l- \ or,,/J ** El númcro complejo MeiQ se reprcsentará com<.¡M { ó en la misma forma que en el capítul
Reapueetae¡rermanente y traneitoria 299 Las gráficas de X(,), figura 4.
Y(.), M(')
y ó(.) vs. (t) Se mueStran en la
{(' ) 7f
2
De la figura anterior puede notarse que X y M son funciones pares de o,,o sea X(lro) : X(-i.) y M(i,): M(-i.), mientrasque y y ó son impares, esto es Y(¡:o,)- -Y(i,) y óU,): -é( -i.). Esta propiedad, cierta para cualquier función de transferencia, permite la caracrerización de fr1¡.¡ utilizando solamente el intervalo , ) 0. El siguiente ejemplo ilustra la relación entre la respuesta en frecuenciay la respuestaa una excitaciónsenoidal. Eiemplo 3 Considéreseun sistema lineal e invariable, en reposo en f : 0, con función de transferencia I É (r) s+a
Figure 4. Gráficas de la respuesta en frecuencia de ^l = Il(s) s+ ¿ a) Forma cartesiana D) Forma polar
1:
8.D A¡d|fd,¡ de ai¡temr¡ por ¡espuertr en ftieeue¡ei¡
siendoa) o rconirgiol necesariapara 13 estab'idad del sistema). entrada;ó":"""0 t, t^satida y(t),-aeacuerdo con ", ":;rl;re¿:?la
y(t)=r-{*
#} y deacuerdo arpatrón deporos y "*X"fffr'f"'il,'llt[";lff ,iy;n t@=ffieut+¡7fi¡sen
(oror-6)
S.- patrún de polos _T*r! y ceros de I
riz.ffi,
r¿ salida y(r) puede descomponersecomo Ia suma de dos términos: yr(t)
lzlt) ,.
El término /,(f)
;#"!;Í|!=
-
o',, -
-o a"¡-u" I
77ñsen
(o¡,fg f)
5s llama respuesta
0' A la tunciónp"iáái"" transitoria ,,Potqat",como a)0, y,(r) se frama respuesta
per-
Debe nohrse que como
v
Ó=-ts-'(;):
fa respuesta permanente del ejemplo es
t"(t) = lfr(.,)! senfu,,,t + < rt(i.,,))
Las diversasrespuestas se muestran en Ia figura 6.
Reepneeúarp€rt!¡!€núe
y iranriúorh
3Ol
Y (t) .) Rcspucsta tnnsltod¡ Fi¡un 6. Respr¡estas transitoria y permanente a) Respuesta transitoria D) Respuesta lrcrmanente c ) Respuesta total c) RcspüGsb bbl
D) Rrspücstrpcrmm.ntr
En general,cuando un sistema lineal, estable e invariable (no necesariamente reposo), se excita con una entrada senoidal, r,r tlrprrerta_en consta de dos partes: una función senoidal (respuesta permanente) y otra que tiende a cero conforme t r a (respuesta transitoria). nstá última depende de las condiciones iniciales. Para comprender las relaciones entre respuesta a impulso, respuesta en frecuencia, estado inicial y respuesta tránsitoria, cdnsidéreseel siguiente sistema: i=A x+ba
-(ol=; como ¿At es la matriz de transición, la respuestaa impulso ft(r) está dada por la expresión h(t)=cétb y cuando la entrada es a(r) : sen<,¡of, la respuestay(r) está dada por (sección 2.4, capítulo 6). ,
Y(r) :
cét xo +
l. J.
¿(t) s€lr ottt(t-r\d,
Introduciendo dos nuevas variables w(t) y ze) -
w(t)
ee^t xu
zG)=l' ,@ sen<,)s(t-t )d , Jo
la ecuación I queda como
y(t):w(t)+zQ)
(r)
3O2 Anrilisis de sfutemas ¡nr reepüest¡ pn frecr¡enci¡
La estabilidaddel sistemaimplica We Ift e^t = O; Vor tanto, li13 w(t) : O La integral de convolución que define a z(t) puede expresarse como la diferencia entre dos integrales, una de cero a infinito y la otra de r a infinito, esto es: fo
= | zU) -
Jo
fo
h(r) sen.q (t-,)dt
-
|
Jt
h(,) sen-' (t-,) dr
Usando la identidad trigonométrica : sen a cos b-sen b cos a,
sen (a-b) y(t) puede rescribirse como y(t) : w(t) +
fo
fo
-h(r) t (r) cos a¡or d¡ Sét4.0ú* l, J" \--¡/C,
*["
-rr)
sen <'ntd¡ cos
s e n -o (t -, )d t
zrt) La función e,(r) tiende a cero conforme t+ a. Esto se demuestra observando que l P@
I
¡ .-
IlJ¡I ¿t,l sen.,,o(l-,)d,l( I lhG)ld, I -Jr y que la respuesta a impulso de un sistema estable es absolutamente integrable, esto es f@
J " lt t r ) ld r 1 a Entonces se tendrá que l¡@
lí m lz , (t )l { lí m I ,+e
t+o
lh (, )ld t : 0 .
Jt
Reuniendo los resultados anteriores, la salida y(t) tarse como y(t) : w(t) + z'(f) + t,(f)
puede represen-
donde y,(f ) es periódica y de la forma ttf)
: Ct sen otut* Czcos ot{t
además, tanto w(t) como Z,(f ) tienden a cero conforme el tiempo crece. Asl pues, y'G) es la respuesta permanente, siendo la transitoria la sunra de z'(t) y w(t). Los coeficientes Ct ! C, de la respuesta permanente obedecen las
Reapueatae ¡rermanentey tranaitoria 3O3 siguientes ecuaciones
c,:
fo
f-f-
- 'l
l -f-
-l
h ( t ) c o sa o td t: n , I I ¿ -i o o¡1t r¡dtl: JIo LJo J fo
ne[it1¡ ","¡ 1:x( ,")
^ C" : l - h ( t ) s € n a ¡td t : tml I e -i o h l t(ü dtl: tmtfr Gúl: Jo LJ o
y( ,o)
J
o sea que la respuesta permanente puede escribirse como y,(t) - X(",") sen aot* y(.,") cos ..ot: M(.,o) senl,¡ot + é(.")]
: lfrUúl senf^ot + { É1¡"¡1
En vista de lo anterior, es factible obtener experimentalmente la respuesta en frecuencia de un sistema mediante la áplicación de una senoidal de amplitud unitaria. La magnitud de frq¡,\ ierá la amplitud de la respuesta permanente,-y su ángulo, el defasamiento entre la respuesta permanente y la entrada. como la parte transitoria de la respuesta a una senoide de frecuencia roo€Stá dada por w(t) + z,(t) -
eétxo -
fi ""*o
senao(t-r)d.r
es posible encontrar un estado inicial xn tal que la anule. En efecto, como w(t) + z,(t) - cear[xo f' "^n-,rb sen.o(t-r)d.¡l al realizar el cambio de la variable de integración o:t-t seobtiene w(t) + z(t) :
ce^tlxu * fJo
"^"
b sen.oo dol
de ahí que cuando se hace la selección Xo= xo = -
l'. e^ob sen.uodo J"
se logra el resultado deseado. , ,Utu,manera alternativa de expresar la condición inicial xo se basa en la relacron
-
[ó
t^"b senu,uo do - l¡n Ju
- 'l
[-f-
LJ,, "^"
b¡.i.'" dof
pero de acuerdocon Io tratado enla sección3.1 capítulo 3 se tiene que fo
|
J o
"^"\ ¿J auo
d" -
(. ls - A) - r
6 r=¡o¡
V Por tanto
xo : Im [i.,' I-A]-'
b
il04
Anfli¡ie
de sist€mar ¡ror reepueata en hecnencia
Ejemplo 4 Considérese el sistema representado por las ecuaciones
1l["'l,f0l |. 0 fi'l r l:l ll l+l l" L*,) L- to -r7 JLx"J LtoJ ¡'l
y: [ 1 o,| L*J al cual se le aplica la entrada u(t) : sen 4ú. El valor di xo que anula la respuesta transitoria estará dado por
: rml,f'l:t a:mlrai xo: rmri4r-Ar-, i] ^,::_l'1,:] En la figura 7 se muestra la respuesta y(t) para diferentes valores de xo donde se observa que la respuesta transitoria disminuye a medida que la condición inicial se aproxima a xo.
v( f)
[ +l *"=l,rI L oJ
Figure 7. Respuesta y(tl para algunos valores de las condiciones iniciales
3.
Propiedade" ¿" É(io¡)
3.1
Relación enlre la respuelila en fret:r¡eneia y la respuesla a imprrlso
La respuesta en frecuencia de un sistema estable es la función de transferencia evaluada en el eje imaginari<-1,contiene t<¡da la inf<¡rma-
Propiedadee deH (i or ) 3O5 ción pertinente al mismo desde el punto de vista de entrada-salida. Para demostrar esto, es suficiente probar que la respuesta a impulso ft(r) puede calcularse a partir de A1¡.¡. , En el capítulo 8 se vió que un sistema era estable si y solo si su respuesta a impulso era absolutamente integrable, esto es
["l rrrrl tdt
J- '
esta condición implica que para o ) 0, se cumple que fe
| | h(t\l q"! dt 1 o
Jo '
por tanto, el semiplano derecho del plano complejo (incluyendo el eje irnaginario) pertenece a la región de convergencia de la transformada de Laplace de h(t') (Apéndice A). Siendo este el caso, h(t),la transfor' nrada inversa de Laplace de É(s), puede obtenerse mediante
h ( t ) : ¡ - r t É ( " ) l= * . 1 ] . r ,' ' u ( iú d .Entonces, basta conocer it(iúÍn!) evaluada en el eje imaginariol para caracterizar al sistema. Aunque existen métodos numéricos eficientes para obtener h(t\ a partir de É1¡.¡, en general no es necesario efectuar dicha transformación por la presencia de técnicas de diseño de sistemas realimentados que utilizan solamente conceptos de respuesta en frecuencia, siendo más común en Ia práctica dar especificaciones en el dominio de la frecuencia que en el del tiempo. Los índices de desempeño en el dominio de la frecuencia, que se presentarán más adelante, están basados fundamentalmente en criterios de estabilidad. 3.2
Simetría
En el ejemplo 2 se hizo notar que la respuesta en frecuencia del sistema en cuestión cumplía con las siguientes condiciones de simetría
t) x(",) - x( -.) -
-Y(.)
M(,,,) ó(.) -
M(--) -ó(-")
Y(.) ii)
¡' se mencionó, sin dem<¡strarlo,que las propiedades anteri<¡ressc¡n válidas para cualquier sistema cuya respuesta a impulso sea una función real. A continuación se demostrarán estas propiedades de simetría. Usand<¡las definiciones de X(",) y Y(",) se <¡bservanlas siguientes relaci<¡nes la
(-t)] h(t)dt : X(u,) = | [c,¡.s J" -
- Y( - ) =
f*
fa
I cos ( -.r)
J,'
h(t)dt =
X( -,,,)
fn
(-t)) h(t)clt : ( -, , , r) h (t )d t : J,,[.serr J,,.rar
-Y ( --)
3O6 Anáüaie de sietemar lxrr respueet¡ en frecuencia
lo que coincide con Ia condición i), la cual puede reexpresarse como
u( iú : X( ,) * iv( ,) : X( - - ) - iY( - o) - n( - i.) o bien
rt(iú: fr(-i^)
en donde If representa el complejo conjugado de I/, siendo esta expresión equivalente a la condición ii). 4.
Represenracionesgráficas de É(j-)
Las tres maneras gráficas más comunes de representar la función ^ l/(i.) son: i) La traza polar, en la que se gráfica Y(o,) vs. X(,) con la frecuencia o como parámetro. ii) Los diagramas de Bode, que consisten en dos gráficas: en una t se presenta 20 log M(.) vs. log ., y en la otra {(r,r) vs. Iog .. iii) El diagrama de Nichols,en el que segrafica20 log M(.) vs. {(.), usando o ccrno parámetro. Las tres representaciones gráficas contienen la misma información; sin embargo, sus trazados especiales hacen que cada una sea particularmente adecuada a un fin como se verá en secciones posteriores.
Ejemplo 5 Considéreseun sistema cuva función de transferencia es
É1'¡:
( s+ 1) ( s+ 5)
En la fig. 8 se presenta su trazar polar o sea Y(,) vs. X(.).
n1¡,¡:
Como
5 [ (5 -, ' ) -6 i-f ( 5 - o , ') '{3 ó . '
-u,2|6ia!5
entonces
x (o , ) -
5 (5 -. ' ) (5-o,' )' + 3óu,'
J"
r(",)-
- 30, (5 -,' )' *
3óu,'
En la figura 9 se muestran los diagramas de Bode de la función É/(s)
Por último, en la figura 10 se presenta el diagrama de Nichols de la función É(s).
Repreeentacionee grrílicaa de Il (jo
) 30?
Figure 8. Gráfica polar de
o:0 !
=
Re
5 (s+1)G+5)
-20
E o o
ñ¡
-6 0 90 o
Eo E
X -go '/ -180 -210
Fisurr 9. Diagramasdc Bo dc la función 5 (.t'+t X.r+5)
3O8 Anriüeie de eietemas por reepueata en hecueneia
Figura lO. Diagrama de Ni chols de la ft¡nción
-10
G ._2
5
-15
E u I o N
(s+l Xs+5)
-20
-210" -3300 -300 - 1500 -900 -270" _300o _60o _0o _240" _120" _lg0o
Traza polar
La traza polar, también llamada de Nyquist, representa en coordenadas rectangulares el lugar geométrico de n1¡r¡ para valores -co (. ( co, o sea, la gráfica de Y(.) vs. X(.), usando o como pará:netro (figura 8). Conviene señalar que dicha gráfica puede construirse si se conocen la magnitud y el ángulo de H(iú; esto es lÉ(i.)l y 4 É1¡.¡ en la forma indica en la figura 11.
Figura ll. Traza polar de frUd, en donde se indican
T¡ez¡ polar 3ü)
Por cumplirse la igualdad*
tit-¡-) : ti(i,) solo es necesario conocer ftjú En las figuras 8 y 11 latraza punteado) en la imagen espejo cuencias positivas (trazo firme). tido en Qü9 ar crece. 5.1
para or) 0. polar para frecuencias negativas (trazo sobre el eje real de la traza para fre. La flecha sobre la traza indica el sen-
Congtruceión de la traza polar
Los datos necesarios para construir la gráfica polar de una función de transferencia de un sistema pueden obtenerse de resultados expe' rimentales o analíticos. En ambos casos, por lo general, se elaboran primero las gráficas de Bode, que serán presentadas más adelante. Sin embargo, es posible construir directamente la gráfica polar de un sis' tema a partir del diagrama de polos y ceros usando los métodos presentados en el capítulo 7, sección ó. Para calcular l/i(t,)l o sealÉ(s)[s-¡., solo es necesario efectuar el productode lasdistancias al puntoi, desde los ceros y dividir dicho producto por las distancias a i, a cada uno de los polos. Similarmente, 4 H(jr) se evalúa como la suma de los ángulos desde los ceros a i., menos la suma de los ángulos desde los polos. Para ilustrar la construcción de la gráfica polar a partir del patrón de polos y ceros se presentan dos ejemplos.
L
Eiemplo 6
s+ó
cuyo Considéresela función de transferencia É(s) ( s+ 3) ( s+l) patrón de polos y ceros se muestra en la figura 12. Cualitativamente se pueden hacer las siguientes observaciones: para valores de , cercanos a cero, lfr$,)l será aproximadamente igual a 2; a medida eüe o, crece, pero aún de valor pequeño, el { É(i,) será esencialmente -0, (los otros ángulos 0, y ú' son prácticamente iguales a cero); por otra parte la magnitud irá disminuyendo a medida eüe a, aumenta. Cuando ot: l, 4 H(i,) será algo menor que -45o (0, = 45" y 0"-ú' ) 0). Cuando , es aproximadamenteigual a seis, { lítjúl: ú,-0"-0r=45o80o - 90o :
-
l25o mientras que la magnitud será lit(i,)
= #
=
6{T = 24 6x6 Por último cuandooJ co, 4tt1¡,,¡ se aproximaráa -9Oo (,/,-r, -02:90o-90o-90o : -90o) mientrasque la magnitudtenderáa cero. En la figura 13 se presentanlli(¡,)l V { frU.) para diversosvalores de , junto con la traza polar correspondiente. * F indica el complejo conjugado clc H.
.',:
3lO Anóli¡is de si¡tem¡s ¡ror reepueete en hecuenci¡
F¡¡un 12. Patrón de polos y ce¡os de s+6 G+3)G+t)
)d
4c '.!iI.i
,t'-)
I
.t \
r'a
I r r',,P i Lt
2 3
' .i
6
l0 @
t'. jz//
-v
) \-1
13.
Traza polar de s+6
( s+ 3X s+l)
2 5
,,''5
.-.' ';\tt
ÉG-)
(r)
0
'f l' - '
i'
t'
{ ¡lti,l oo
177 1.36 0.78
_ ?10
0.5 o.2l 0.11 0
-900 -qoo
- -540 -7R
70
-98.50
-90"
Trar¡ polar 3ll
Eiemplo 7 Considéreseahora qr.r" É(") =
240(s- I )
cuyo patrón de
(s+4 )(s' *s+ó4.25) '
polos y ceros se muestra en la figura 14.
Fig¡¡r¡ 14. Patrón de polos y ceros de 2¡t0(s-I ) (s+4)G'+s+ó425)
En este caso, un análisis cualitativo conduce a las siguientes conclusiones: para valores pequeños de . el ángulo será 180o, y la magnitud ó0 l; cuando r,¡crrec€ú' disminuye más rápido de lo que 0r crece M= y los ángulos d, Y d,¡ se cancelan; por tanto, { ¡i(i,) será menor que l80o; por otra parte la magnitud aumentará porque el punto jro se aleja más rápido del cero que de los polos. Cuando o está cerca del valor 4 se tendrá 0r=45o, f'1000, 0r* 0" =0o, o sea que el ángulo total será = 55o. La magnitud para este caso es 5 aproximadamente. Cuando el punto ¡or,sobre el eje imaginario, pasa en frente del polo complejo p, ocurre un cambio brusco en el ángulo; para ax7 el ángulo es prácticamente cero (tü'=9Oo,0,,=9Oo,0r* 0, =0o), mientras que para o¡!8 el ángulo de la función de transferenciaes -ó0o (gr=0',=90o, 0"=Oo, tl,=60o\ y para ¡¡,-9 el {É(i-) es -1200 (g,=0,,=g}o,0"=6Oo, a,=60"). La magnitud también sufre un cambio drástico en las proximidades de o, : 8, porque allí la distancia al polo pr es mínima, el valor
z A 0 R ,, 2 4 0 x8 .¡ d- e | H ( i , ) | "' # , n = ffi =3 o ;p a ra va l o re- sd eo,) 8lam ag. nitud va disminuyendo a medida que o aumenta y como hay dcls polos más que ceros, el ángulo tenderá a -180". C<¡m<¡en el ejemplo anterior, en la figura 15 se presenta una tabta ae lÉ(i.)l v { n(i.) para divcr-
L
3f2 Anlliet¡ de si¡tem¡¡ por recpueeta en frecuend¡
sos valores de .ujunto con la gráfica polar de nUú.
Im.
,r 0r: I nO )
Fi¡ur.
f5.
ro\
{^
R
\
Traza polar de
2{0(s-1) (s+4Xsz+s+ó425)
20
-10
(lr-
-20
\
-30
o
nGr)
<Éu,)
0
0.93
-l R n
I
t.i
-l)o
4
3.ó t2.5 27
I
8 9
20 00
ll.ó
0.7 0.0
54.3" 13.2 -
54.50
-121.4 -1 6 2 . 4 " - 1800
A continuación se presentará el criterio de estabilidad de Nyquist, el cual brinda información no solo sobre la estabilidad o inestabilidad de un sistema realimentado, sino también acerca de la calidad de su comportamiento. 5.2 Criterio de esrabilidad de Nyquist. Preliminares El criterio de Nyquist, aplicado a la traza polar, establece la estabilidad de un sistema realimentado a partir de la respuesta en frecuencia de su cofnponentes. Considérese, por ejemplo, un sistema como el de la figura 1ó donde É1s¡ no tiene polos en el semiplano Re(s) ) 0. Mediante el criterio en cuestión, se pueden determinar los valores de K para los cuales el sistema es estable, conociendo únicamente n(iú. una función racional, la función de transSuponiendo que É(s) "t ferencia del sistema realimentado es
Tr¡z¡polaF
3fB
FigE¡ f6. Sistema unitariamente realimentado
i(s) _
KII(s)
¿ lt : I +K
I(4! ^-p(s)
(")::-=(t: l*lf' -
K q (s ) p (s ) * K q (s )
?(s) Los polos de y(s)/tú(s) coinciden con los ceros de I * f¡i(s). Ahora bien; usando la teorÍa de variable compleja, y en particular el teorema llamado principio del argurmento, ptrcde determinarse el número de ceros de t + fÉ(s) en Re tsl 2 0 si se conoce la traza polar de I * xÉ(iú. Para entender el citado principio se necesitan introducir los concgptos de puntos interiores, puntos exteriores, encierros, etc. 5.3
Pttn:os interior:s y puntos exteriores
Considérese una curva cerrada, C, en el plano complejo. Si esta curva no se cruza sobre sÍ misma, se dice que es simple" y si además es de longitud finita, se llama rectificable. En las figuras 17 y 18 se n'luestran una curva simple y una no simple, respectivamente. Cualquier curva cerrada simple y rectificable, llamada también de .fordan, divide al plano complejo en dos conjuntos: uno acotado y otro no acotado. Los puntos pertenecientes al primero se les denomina pantos interiores de C, y a los del conjunto no acotado puntos eúeriores. En la figura 19 se muestra el interior y el exterior de una curva cerrada simple y rectificable. A las curvas de Jordan se les puede asociar una dirección. Se dice que una curra está positivamente orientada si al tomar la dirección de la curva, Ios puntos inmediatamente a la izquierda de ella son interiores. En caso contrario se dice que la curva está negati'rram.enteorientada. En las figuras 20 1t 2l se ilustran estos conceptos. Si F(s) es una función de la variable compleja s, se define la imagen de la curva C, denotada por Ciare,corno el conjunto de todos los puntos * Más formalmente,si C se define como el conjunto de todos los puntos del planocomplejoZ(t):a(f) + iQftl.dondea y B son funcionescontinuasdet intervalo [0, l] a los númerosreales,entoncesla curva es cerrada si Z(0) = Z(l); exceptuando estosvaloresde f, si t, *t, implica que Z(tr)*Z1tr¡, se dice que la curva es simple.
314 A¡dli¡it
de gist€n¡s ¡nr reepueeta en hecuensi¡ r del plano complejo tales que ;r-f(r¡ Y Z es algún punto de la curva C. Para que esta transformación se encuentre bien definida es necesario que la función F sea analítica* en la curva C, y en este caso, si C es cerrada y orientada, la imagen Cr.o también tendrá estas dos características.
Figura 17. simple.
Curva
cerrada
Figura 18. Curva no simple.'
cerrada
f9. Interior y exte Fi¡ü. rior de una curya cenada, simple y rectificable.
* Una función F(s) es analítica en el punto s,, si ahí existen sus derivadas de cualquier orden. Cuando F(s) cs racional, esta definición equivale a que sr) no sea un polo de F(s).
T!¡z¡ polsr 3f5
Fi¡un 20. Curva positivamente orientada.
F¡3ull'2f. Curva negativa. mente orientada.
Ejemplo 8 Considéresela curva C de Jordan de la figura2?-a.Si F(s)
+, ", s + z entonces la curva imagen Ci,o €S la que aparece en la figura 22b. Irn l.si Z¡
Zt
Za
.5
-.5
Re
z l'si
Figura 22. ¿) Curva cerrada
C
316 AnÍIids de eist€mas por reepueeta en heeuencia Irn l.5i
!¿^o
i .si
Figurr 22. á) Imagen bajo la transfor4 ¡¡¿si$¡ -
0.5
s+2
-.5i
-i - l .5i
Para ilustrar la transformación, a continuación se presenta la co rre-pondencia entre algunos puntos de C y los de la curva imagen Cns.
punto
Punto
Zt = l
44 r, : f i---l' 3 3 3 ,li
,,=f(1 + i)
4
1.38- .3ói
fz:
9 rr+ i l + 2 4
Zs: i
'''t:
,i5
4=_J (_ t ¿
Zo:
-l
+ i)
a4
l+¿ --':
1.ó -
.8i
4
-
:2.38 - l .3i
9r r-r+il+z r s- L- 4.
En el ejemplo anterior tanto la curva C como su imagen eran curVas simples positivamente orientadas, pero puede suceder, como se ilustrará en el siguiente ejemplo, que Ia imagen de una curva de Jordan no sea simple.
Eiemplo 9 Considérese la funciónF(s) - -2(t+s) (s+üút
Y la curva de Jordande
la figura 23a. La curva imagen Co.o,d€ la figura 23b no es una curva simple. Los conceptosde punto interior y exterior pueden aplicarse a curvas no simples porque estas pueden descomponerseen varias curvas de fordan de modo tal que cada segmento de la curva original pertenezca
Tr¡z¡polr I I
3f7
a una y solo una de las curyas de la descomposición. Si un punto es interior a m curuas positivamente orientadas, e interior a t¿ curvas ne' gativamente orientadas y r = m-n entonces se dice que es interiot r (o está encerrado r veces por) la curva. De acuerdo con la í""", " definición anterior, r puede ser un número negativo.
-3
-2
-l
o)
Im
9¿*c
'3 i (
'z¡ -i
-r -\/
\ /\
6
/
Re
-,r, '-2i
\
Figur¡ 23. a) Curva de Jordan b) Imagen de C bajo
--3i
t\
2(s+5) (s + 1 X s + 2 )
318 Anilisie de sietemas lxrr rerpuerta en fueeuencia Ejemplo 10 En la figura 24 se muestra una curva C, orientada pero no simpie, la que puede descomponerse en las curvas simples que se muestran en la figura 25.
Figura 24. Una curva cerrada, orientada y rectificable pero no simple.
Como las curvas Cr'y C" son positivamente orientadas, mientras que C" y Co son negativamente orientadas, se puede obtener la interioridad de los puntos Pt, ... Pr corl respecto a la curva C. El punto Pr es interior a C", C, j Cr, por tanto está encerrado -l vez por la curva C; el punto Pz es interiora C, y Cr por lo que se halla encerrado 0 veces; Po está encerrado una vez v P, dos veces.
i\r i P,1 ) \-
¿-
"--L'
\- -
Figun
25.
- - - 2/
Tt¡r¡ pohr 319
Im
l-\\_\
,lj:x
/
Re
\
t
I I I
I
/
--tjl------\\ l ---- - --- \:^ , PI
l t
-\
. p.'\. tr-'{
^./ \
\ \ Figura 25. Descomposición de la curva de la figura 24 en las curvas simples C1, C2, C. Y Cn.
320 Anrili,¡is de eistemaa ¡ror ree¡meata en hecuencia
Con las definiciones anteriores puede enunciarse el principio argumento.
del
5.3 Principio del argumenlo Si C es una curva de Jordan positivamente orientada, F(s) es una función racional y analítica en C, y Cno es la imagen de C bajo F(s), entonces el punto 0 + i0 estará encerrado N* veces por Cr-s, en donde N' : Z-P cuando Z y P son el número de ceros y de polos de F(s), respectivamente, que están en el interior de C. En el teorema anterior, si C está negativamente orientada, entonces N' : P-Z Para ilustrar el principio del argumento se presentarán dos ejemplos. Eiemplo 11
2 (s * 1 ) y el camino rectangular de (s - 1 )(s -2 )
Tómese la función F(s) :
la figura 26a. De acuerdo con el principio del argumento, la imagen de C encerrará al origen - I vez, pues en el interior de C, F(s) tiene l-2: -1. En efecto en la dos polos y un cero, esto es N* =Z-P: figura 26b se aprecia que Ci.o encierra al origen -l vez.
Im
C
?
i
1 3-
-l
2
l
Rc
-t
3i Im
a
r 'i
u4 tl 2
-2
\
FtBr. 2ó. Ilustración del principio del argumento.
'-i
X_ 3
3
Ite
Trals potrr 321
Ejemplo 12 s'z * 2 s * 2 y la curva C de la 2 (s * 4 ) figura 27a. Como en el interior de C existe igual número de polos que el origen del plano complejo está encerrado 0 veces por Cr-r, la ".=-r, imagen de c bajo la transformación F(s) (figura Tlb). una consecueñcia casi inmldiata del principio del argumento es el criterio de estabilidad de Nyquist, mediante el cual, como ya se mencionó, es pg. sible determinar si un sistema realimentado es estable, conociendo de la malla abierta tan solo la respuestaen frecuencia y el número de polos con parte real positiva. Supóngaseque la función F(s) :
Im
INSTITUTO TECNOLOGICO DEOUERETARO CENTRODE INFORMACION
FLurd 2?. Ilustración del principio del argumento'
¡
I
1.4 Criterio de cstabilid¡d de Nyquisr
t n
{
I
t {
El criterio de estabilidad de Nyquist indica, a partir de la traza ¡¡lar de É(r) r¡ t<¡ssistemas realimentados, como l<¡s de la figura 28 -(Jn o no estables en cierta región es igual.at I l:#;(r) rúmero de ceros de I * KÉ(s) en la misma, para determinar la estabilidad dc sistemas con este tiptl dc funci<¡nesde transferencia se dará Como el número de potos d"
322 Anrílisie de gistemas por reepueeta en lrecuencia
Figura 28. Algunos tipos de sistemas realimentados.
ít,fi, :fr un criterio enfocado a obtener el número de ceros de 1 * trÉ(s) en el semiplano Re [s] 2 0. Para ello considérese la curva de J^ordan C, negativamente orientada, que es muestra en la figura 29. Si ll(s)^es una función que no tiene polos en el eje imaginario y además l:: H(i,) - a ( co (el caso complementario será examinado más adelante), la curva imagen de C bajo la transformación t + fÉ(s) encerrará al origen un número de veces
Figura 29. Curva de Jordan usada en el criterio de estabilidad de Nyquist.
N* igual a la diferencia entre el número de polos y ceros de I * K¡I(s) que están en el interior de C (N- : P-Z). Nótese que dicho interior coincide con el semiplano Re [s] 2 0, a medida que R tiende a infinito. Como la curva C está formada por dos partes: i) el eje imaginario y dí) un semicírculo de radio R, la curva imagen estará formada por la imagen de cada uno de estos segmentos. La del primero es | + Kfr(i-) y la del segundo,el punto | + Ko, pues se está haciendo
Traze peler 823
la suposiciónque lim fr1¡'¡:
c. En la figura 30 se ilustran los pasos
irtl I o
a
tna pohrdcftG,tl
A
l*KH(s)
t
I
t
t
"--ll \
,
\
\
\
t
Figura 30. Construcción de la curva imagen de C bajo la tra4sformación I + KII(s)
I
t
I I I
I I
\r
X a!
Tr.¿! pohr dc fH (¡w)
lrr¡. dr l+fH , i* , \ - - /
+l necesaqiospara obtener la curva imagen de C bajo la transformación I * KH(s). A partir .del número de veces que está encerrado el origen ^por C¡,,0,N* (en la figura 30 son dos) y el número de polos de I * KII(s) (Z) posible determinar el número de ceros de en el interior de C, es I + KP(s) que están dentro de la región sombrpada de la figura 29 que, como ya se comentó, coincide con el semiplano Re [s] ) 0 cuando R + co. En caso que fI(s) sea -una función racional, los polos de I + ¡(É(s) coinciden con los de É(s) y de esta^forna a partir del conocimiento de H(j,) y el número de polos de H(s) con Re [s] ) 0 se tletermina el número de ceros de I * KFI(s) que tienen parte real positiva (Z - P-N.). El método indicado en la figura 30 tiene el inconveniente de que para^cada valor de K habría necesidad de redibujar la gráfica de I * KH(i.). Sin embargo, como i) tanto l<.rspolos como los ceros de r + rÉ(s)
coinciden c<¡n l<¡s ¿" j + É(s) ¡(
y di) el númer<¡ de veces
que la curva imagen de bajo la transft¡rmación
* Étrl
encierra al
"1 dicha curva, bajo origen es el mismo que el númer<¡ de veces que
324 An¡ílisie de sietem¡s por neapueetaen trecue.nci¡
posible determinar N* ", para cualquier valor de K, directamente de la traza polar de ¡?(i,). Asi en el caso de la figura 30, para el valor de K = 2, se concluye que N* la transformaciOn É(s), encierra al punto -*1,
es 2, observando el número de encierros del punt ' ¡\ "
-tpor
la traza
polarde frG').
Ahora bien, si en vez de calcular AP para un valor ile K, como -el número de encierros en el sentido positivo matemático del punto -f, se calcula N, el número de encierros en el sentido de las manecillas^ del reloj, la fórmula que lo relaciona con P, el número de polos de II(s) con parte real positiva,y Z, el número de ceros con Parte real positiva de l*KIf(s) es
z - N+ P .
Este resultado es conocido como criterio de estabilidad de Nyquist. Ejemplo 13 Supóngase el sistema de la figura 31, en donde
É1"¡=
( s*1.75) ( s' + .25s*. 5ó)
s3+ 2s'+ s + I
no tiene polos en el semiplano derecho. Se desea indagar para qué valores de K es estable el sistema realimentado. Usando el método
Figu¡a 31. Un sistema re alimentado.
presentado en la sección 5.1 de este capítulo es posible construir la gráfica polar que se muestra en la figura 32; ahí se distinguen cuatro segmentos del eje real de acuerdo con el número de encierros N
A. si -o B.
( -
si-1(-
I K I
K<
C. si
0< -
D. si
1< -
I K I K
-l
setieneN:0 0 se tiene N :2 lsetieneN:1 co se tiene N : 0
Para determinar los valores de K que satisfacen las desigualdades
Tr¡z¡ polar 325
FLurl
32.
ffiT
anteriores es útil recurrir a la gráfica de -F
I
u.. K como se muestra
en la figura 33. En dicha gráfica es fácil determinar qué valores de K satisfacen
desigualdades del tipo c = -+
( B. Así por ejemplo,,i -f
pertenece
al intervalo C (eje vertical), K pertenece al intervalo C' (eje horizontal). De esta forma, para el ejemplo en cuestión se concluye que para - o ( K < - l, N : I - l
Traza polar de I
326 Anrilisi¡ de eietemae-por reepuests eu hecuencia
Figun 33. Gráfica para re solver desigualdades del I
tipoc(+<8. It
de K entre -l y I y dos polos con parte real positiva para valores de K mayores que l. Los resultados anteriores se confirman por medio del lugar geométrico (positivo y negativo) que aparece en la figura 34. Conviene hacer notar que la transiciin de 0 a 2 encierros ocurre para el valor de K: 1, datos gue pueden I y para la frecuencia ,: obtenerse indistintamente del lugar geométrico, la traza polar o el criterio de Routh.
K:1 (.r25+.74i
Figura 34. co de
Lugar geométri I
F;fF
+ s'+ t'
b, lcp
a) lgn
Eiemplo 14 se desea determinar los valores de K para que el sistema realimentado de la figura 35 sea estable, cuando la función de transferencia s'z* 1 9s*90 _ (s+9)(s+10) ¡ ? ( ") ., (s*l)" s3* 3s'* 3s+l
li(")
La gráfica polar de frUú que se muestra en la figura 3ó divide al eje real en cinco segmentos.utilizando el mismo procedimiento del ejemplo anterior se concluye que N:0
para
0
N :2
para
.342< K < 1 . 2 3 6
N:0
para
N:lpara N:0para
*
1.236< K ( -¡(K <-. 0 1 1 -.011
Como t<¡doslos polosdc É(s) estánen el semiplanoizquierdo,p = 0, Z: N. El número de polosc'n Rc[s] ) 0 del sistemarealimentadopara los divers<¡svalores de K cs
- ly-1K <-.011, -.Oil
Z=l
.342,
Z:0
1.236 ,
Z:2
't,
Z=0
El lugar gcomótrico positivo dcl sistcm¿r(figura 37) conl'irma cstos rcsultados. I nici¿rlmcn te (K = 0) cl sistcm¿rcs cstablc y al aumcntar K dos polos cruzan cl cjc imaginarrio(Z : 2) y postcriormcnlc rcgrcsan .rl scmiplan
8ll8,A¡llid¡
& útms.
¡lor rcr¡nerte en lreenenci¡ Itn
Im figrl i¡ó. Traza polar del slstema.
0.3
I I I I
I I
0.2
0.1 ol:3. 15 2
or:5.1 .81
(rr: @
-0.1
-02.
-0.3
(Detall6)
-0.4
Tr¡¡¡ pol¡r 329
i.l 5.la¡
3.1¡i 63
-3¡5j -$tli
5.4.1
Funciones de tr¡nderencia
no acotades cn el eje imaginario
Al definir la curva C que encierra las singularidades de .É(s) en el semiplano derecho(figura29) se han hecho dos suposiciones:
t ) Wfr< ¡' =,a > ( o. ii)
.á(s) carece de polos sobre el eje imaginario.
Cuando una o ambas de estas condiciones se violan, la curva C que encierra al semiplano derecho debe modificarse. A continuación se explicará cómo efectuar esta modificación para cada caso. Caso d) Esta situación se presenta en las funciones racionales guando el orden del numerador es ttüyor que el del denominador. Si É(s) se expresa como
ri1"¡:
a-(s^ * qn s*r * s" * D*rso-L !
anzs*" + "' Sn 5*z + "'
¿o) bo
; m> n
se iomportará como e*s'n conforure lsl + o y por tanqo la imagen de la semicircunferenciade radio R bajo la transformación .fr(s) no sená un solo p!!to y por ello habrá necesidad de complementar la gnáfica polar de H(i,), Como la circunferencia de radio R puede expresarse como el conjunto de todos los puntos Rei" en donde 0 varia de 90" a -90o(figura38)la imagen correspondiente bajo la transformaciOn I?(s) = aasnútestará dada por h(R"l
" ¡*"
-
e-Rn-n¿i eln>¡¡
en donde
-900 < e
2(s+l)!s+3). s+2
se deseaencontrarel intervalo de valo
Fi¡un
3?.
lep del sistema
(s+9)G+r0) -ffi'
33O Anrilieia de eisf€mar ¡ror reepueeta en hecueneia
Figure il8. Parametrización del semicÍrculo.
res de K para los cualesla función de transferencia ffi,i"n" todos sus polos en el semiplano Re[s] ( 0. Como 2(s'{4sf3) 4,. Il(s):-+:2s*4-s+¿
¿ s+¿
se comporta como 2s en la medida en que lsl + o, la imagen de C polar de bio la-transformación É(s) estará compuesta por la gráfica H(i-) y el conjunto de todos los puntos 2Rei" ctando á varía de 90o a -90o. En la ffura 39 se muestra este resultado y de ahí puede con-
¡t(,-' cfu i rseq""ffitieneunpoloenelsemiplanoRe( s) ) 0par a -¿
Polos en el eje imaginario
Si É(s) tiene un polo en el eje imaginario, s = iu., no es posible aplicar directamente el criterio de Nyquist porque se violaría la restricción de que ¡i(s) debe ser analítica en la curva C. Por ello ésta se modifica dándole una pequeña vuelta a l
s(s+ I )(s + 2 )
es estable, para el caso en q,t" É1r¡ :
. La figura 40¿ muestra una curva C quc deja fucra cl
Traza polar 331
Im [-----
i
".,\-¿f(sr)
I
,
I I
\
, ,
I
I
l0
Figura 39. Traza polar de 2 2s+4 s*2
20
o): 5
C¡^o (l ):15
Im. I/(sa)
---
I I I I I I I
--'-... cnag
t
I I I I
-l
I I
i
I/(sr) Re
0) : I
-1
ltt:.2
-2
('):¡5
-3
a(st polo en el eje imaginario (localizado en s = 0). Se muestra además la rmagen correspondiente Ci,,s (figura 40b). Al analizar la figura 40 se concluye que el sistema
,1*KII(s) ÍÍ"r);, . ", cstable para 0 < K < 6; para valores de K en el intervalo [ó, oo] el iistema tiene dos polos en el semiplano derecho (porque C¡¡¿g€ncielra Para valores negativt-rsde K el sistema es --s veces al punto - lr. K' ::Érnpre inestable, porque C¡,,, encierra una vez al eje positivo real (lo -.-: cquivalc a K(0).
Figura
40. Curva
C y C¡*0.
332 Anóli¡is
de aistemar ¡nr reepueeta en frecueneia
El criterio de Nyquist, como ya se mencionó, es también aplicable a sistemas con funciones de transferencia no racionales. La demostración de esta aseveración será omitida en este texto. El siguiente ejemplo ilustra su utilización en una de esas situaciones. Ejemplo 17 Supóngase que se cuenta con un sistema de control que consta de un controlador, una planta y un sensor. Un diagrama esquemático del sistema aparece en la figura 41.
Controhdor Flgun 41. Diagrama de ble ques de un sistema de control.
La función de transferencia del sistema realimentado es
K
r+1 rt
I J- Ks*l Se desea saber el intervalo de valc¡res de K para el cual el sistema t-, es estable.Como el denominador es 1+ f . se tomará.orno É(r) s*1 ra
a la función -l-;. Para construir el diagrama polar correspondiente s*1 es preciso notar que
l#l:l# ,o( #,) :( #)-o sea que a cada punto de la traza polar dc j=
i- ]- l
se lc dcbc sumar el
' ángulo ds s'iu' eu€ €S -or. El diagrama polar ae fr(iú sc muestra en la figura 42. De ahí sc concluye que el sistema será cstablc para val<¡resdc K cn cl intcrval<¡ --1 < K <2.27.
I
I Grado de est¡bilid¡d
I ¡
I
333
Im ,'.----\\\ /
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-\ \ \
/ /t .5
I I
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t t.a
\
--
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:\rl/ffi
\
\
I
I
ñ:'
":'l't.;::"q ryi
1l
a, :0
Figure 4i¿. Diagrama polar de e-i,o
¡;lt
- -.5
6.
Grado de estabilidad
En la sección anterior se demostró que un sistema realimentado, como el de la figura 43, es estable si la iraza polar ae frUúG(¡'"r) no tiene polos con parte real posiencierra el puntó -l y É(r)é(r).no tlva.
H(i,) G(i,)
Figura -43. mentado.
Sistema reali'
334 Anáüeis de ¡istemas IDor rerpueeta en heeuencia
De este resultado es factible pensar en definir "el grado de estabilidad" de un sistema ^realir-nentado con base en qué "tan próxima" está lagráfica polar ae É1¡,¡G(i.) de en€errar al printo -1. Ásí, al compa-fruU,)GuU.) rar las gráficas polares ¿" fto1¡.)Gn(l'.) y (figura 44)
Ftgura 44. Gráficas polares de dos sistemas.
Ht(i,)
frsj") ia(j,)
Gt(j,)
resultaría natural decir que el sistema con función de transferencia
fr"G)
Ér(" )
es "más estable" que el sistema -= Tam--. 1*f/¡(s)G¿(s) H'(s) bién parece adecuado considerar al sistema es "más
t+É " (s) é,( s)
estable" n""
ffi,G,
i
polares cuando lastrazas ¿efr"(idG,(i.)
#;frt,
y Ho(j')Go(i",)
son las que aparecen en la figura 45. Por las razones an-
Im
fr. ,/\
I -l I
I ú¡: I I
Figua 45. Trazas polares de dos sistemas.
HcQ,) GcU,)
Ho$,) GnQ",)
teriores se han establecido medidas de la cercanía de la traza polar al punto -1. Una de ellas es el margen de ganancia (G.) y la otra el margen de fase (+-). La primera corresponde al mínimo factor por el cual habría que multiplicar ^F1(s)G(s)para que el sistema se volviera inestable; dicho factor es igual al negativo invers<¡ del valor en el cual
Grado de eetabilidad
335
latraza polar crvza el eje real. En^la figura 44 se observa que el mar'
es G. :
del sistema gende ganancia que el de
"ffi
É"(")
I +É,(s)d'(s)
-l
es G- : =ii
+
: 2 mientras
- 1.15. Entre mayor sea el
margen de ganancia, más estable será el sistema realimentado. Cuando en este se cuenta con una ganancia Ko como es el caso de las figUras 4óa y 46b, el margen de ganancia se obtiene de la siguiente forma: (-a)G*:
:) *
G^:
*
a)
b)
Figun 4ó. Sistemas reali' mentados y su gráfica Polar.
H(i,) GU,)
El margen de fase, qi:e es otra medida del grado^de estabilidad, para .rrrespondé a la mínima fase que debe sumarse á < É(i,)61¡,¡ gue el sistema sea inestable; corresponde a su vez al ángulo que girarse la tr^za polar para que encierre al punto - |. La ::tr
336 AníIi¡i¡ de ¡istemae ¡nr reepueetr en heeuencia manera de conocerlo es encontrando la intersección de la circunferencia, de radio unitario y centro en el origen, con la traza polar; übuiando un vector que parte del origen y llega a la intersección encontrada, y midiendo el ángulo l- (margen de fase) que forman este vector y el eje real^negativo. De la figura 45 se de{uce que el margen de fase Q^ de
É"(i)
ffi
esóooY el de ffi-,
Fi,"
esde2oo'como
en el caso del margen de ganancia, entre mayor sea el de fase, más estable será el sistema. Para los sistemas de la figura 4ó el margen de fase se obtiene con el procedimiento descrito pero usando un círculo de
radio -l-. K" Para un buen comportamiento de un sistema se recomienda, con base en la experiencia en sistemas de bajo orden, que el margen de fase se encuentre entre 30o y ó0o y que el margen de ganancia sea mayor que 2. Otra medida del grado de estabilidad es la distancia mínima de la traza polar al punto - I y se determina por el radio del círculo de centro en -l y tangente a la gráfica polar (figura 47).
Ft¡un 47. Distancia mínima al punto-l
7.
Trazas de Bode. Introdueción
Otra manera de representar gráficamente la respuesta en frecuencia de un sistema es por medio de las trazas de Bode. Estas representan en forma gráfica ei logaritmo de la magnitud (log lfr(i.)l) y el ángulo 4 H(i") vs. log u,. EI motivo de su gran uso se debe a que a partir de ella: i) Es fácil manipular las funciones de transferencia de sistemas compuestos por bloques en cascada. íi) Se pueden obtener con facilidad otras gráficas, como la polar y la de Nichols. iii) S<¡nsencillas de dibujar en caso que ÉI(s) esté factorizado en forma adecuada.
II
¡
Tr¡r¡r de Bode.Iulroducción 33? iv\ Pueden usarse para el diseño de sistemas realimentados cuando las especificacionesestán dadas en función de márgenes de fase y de ganancia. v) Son usadas para representar resultados experimentales. Considérensedos sistemas en cascada, cuyas funciones de transferencia son É,(s) y fr,{s) (figura 48). La reipuesta en fiecuencia del
F¡Jú. 18. Dos sistemas en cascada.
sistema compuesto, frG-), está relacionada co¡r Ér(i,) y lir(l'.) (las respuestasen frecuencia de las componentes) mbdiante la expresión
fr,Uú. frU,): fr,Gú Al representar en forma polar las respuestasen frecuencia que aparecen en la fórmula anterior, esto es frU,) - MetQ;fr,Uú = l1!,¿t$.fr"U') = fifir¿i)z se obtiene la siguiente relación frUú
= ltl¿h = fÚ,ett'f f6ret*1 -- filrfilr¿ttht*,
de tal suerte que É(fu)r = M,Mt y al tomar logaritmos, se logra
- IosM, * logMz= los ¡É,{¡,)l * log|fr,{¡,¡¡ tog1fr1¡.¡1 A su vez el ángulo
+ frU.): e =,h* g¿- 4ffr,U')l+ 4Í.fr,0')J De los resultados anteriores se desprendeque al contar con sistemas en cascada,es conveniente disponer de la respuesta en frecuencia de cada elemento en forma logarítmica, ya que el logaritmo de la respuesta en frecuencia del bloque resultante será la suma de los logaritmos de las componentes. Las trazas de Bode fueron utilizadas inicialmente Por ingenieros en comunicaciones.A consecuenciade ello ha persistido la nomenclatura propia de esa rama de la ingeniería. Algunos de los términos usados son: octava, décaday decibel. Estos se describena continuación: a) Octava. Entre las frecuencias n,, y norhay una octava si '¿ = i't' Este nombre se debe a gue la frecuencia ., corresponde a un sonido de ocho notas fundamentalesmás alto que .'. b) Década. Entre
ott Y otzhay una década si or¿-
tQ,t.
c) Bel, decibel. La intensidad de un sonido se mide logarítmicamente scgún su potencia. Al decuplarse la potencia de un sonido, se dice que la intensidad ha ascendid<¡un bel. Un decibel (abre' viado db) es la décima parte de un bel.
338 AnÍti¡is de ¡istemar por respueata en hecuencia
Como la potencia de un sonido es proporcional al cuadrado de la amplitud de vibración, al aumentar diez vecesésta, aumenta cien veces la potencia, y sü intensidad sube log (100) :2bels
o sea 20 db.
La fórmula para obtgner la magnitud de una cantidad M en db es M(db) - 2OlosM. 7,1 Mérodo para dibujar las trazas de Bode Supóngaseq.r" F1¡;¡ es el producto de r factores
fruú=á,(i,)É"U.) ...fr,U,) al tomar el logaritmo de frU-)
resulta
4frUú: 4fr,Uú+ 4fr,Uú+... + 4fr,Gú. mientras que
toglÉ1¡,¡l:IoelÉ,(i,)l+ tog1fr,g,)l + .. . toglfr,Uúl Como consecuencia de esto, al descomponer .á1¡-¡ como el producto de una serie de factores, la gráfica log lfrl u^s.log r,¡s€rá Ia suma de las trazas logJog individuales de los factores Hr(ir), tanto para las magnitudes como para los ángulos. En esta sección se dará un método para dibujar las trazas de Bode de cierta clase de funciones de transferencia. Se supondrá, por el momento, que la función de transferencia está expresada como un producto de cinco tipos de factores: a) Término constante, K. \ /1 b) Polosocero:s en el origen (¡, "-/;
/L,t/r: 1,2, . ..
c) Polos y ceros en el eje real, del tipo J-
y +
" +r
pk
{ l, respec-
"r
tivamente.
v{+9a1,
d) Polos y ceros complejos del tipo
{ * 4* t
tn
@¡
a¡
^;
respectivamente. e) Retraso de T unidades de tiempo (función de transferencia igual a e-"). Se supondrá inicialmente que tanto los polos como los ceros de ^ i/(s) están localizados en la mitad izquierda del plano complejo. Esta restricción será relajada en la sección 7.2. t Debe hacerse hincapié en que los factores correspondientes a los
'lb¡zss de Bode.'Inlr.odnocüón tXI9 polos y ceros dados en los incisos c) y d\ deben estar en la forma
l\¡ha + r )t '
(#.**')
r) ( ; + ' ) ' ( É + 3e :+ de tal suerte que cada factor valga 1 para s = 0. Así la función de transferencia
se factoriza como
La forma para encontrar las trazas de Bode de cada componente se describen a continuación. l) Térmíno constante, K. En escala log-log, K posee una fase de 0o y una magnitud de 20 log K ilb (figara 49). 2) Pdosg osrosen el orígm. El factor correspondiente a un cero de orden m et el origen es s-, siendo la respuesta en frecuencia corres¡rondiente, (i.)-. La representación polar de la respuesta en frecuencia de este factor es
(i')^ : l'^l^lm X 90"
por lo que, tomando logaritmos, la magnitud es z log ory la fase mx 90! En la figura 50 se muestran las gráficas de Bode correspondientes. La traza correspondiente a la magnitud en db es una recta que pasa, en 0.: 1 (log ' 0), por 0 db, con una pendiente de 2O m db/década (ó 6 m db por octava, ya que 2O log 2 es aproximadamente igual a 6). l-a traza de la fase es una recta horizontal a m.xgoo En el caso de un polo de orden z en el origen, un factor del tipo l/s'; las trazas de magnitud y fase son como las del caso anterior pe ro con signo cambiando, como se indica en la tigura 5i. Esto se debe al hecho de que ' /l\ :
trrbJ
-Ioss".
3) Polosy oerosen el eje real. Se describirá ahora el caso de un polo en el eje real. negativo. Este
iMO Anlüd¡
de ¡ietem¡¡ ¡nr reepueetr er¡ hecueneia
a .lt g
== e
E
Itt|un ,09. Trazas de Bodc de un término constante K
Frccu¡ncir, r¡di¡ncsr¿ I
factor es de la forma
con p, ) 0.
l*t pr
Como ja
É,(ro):-+:,-+- +T^,-al+ l: f:) + 1 la ) + t Pr
\Prl
\PJ
la magnitud y la fase son respectivamente:
M- - J:.
{ÉJ.'
f = - tg
[e
€onsidérese primero la magnitud M. Para valores de , tales que ' Pt l
| < l, el término
l(;)'*'
I
Tru¡s
de Bode.Introducdón
il4l
Fi¡urr 5(). Gráfica de Bodc (magnitud y fase) para so.
Frccncncit,ndbno¡ to
En cambio,paravaloresde l:l> IP' I
iguala
t
rerrnino/fm'rerá v\p,/
"t
casi
lo que ft o", rrl
M=+paralal>r orlpr I Pt
:
Entonces la magnitud puede aproximarse por
M=4
t I
I |
lu,/p r ,
para ln,fp,l< I -)
M(d b )= 2 0 lo g l
=0
para ,l",f , r . ,p,l 7 > = ) M(db) =2Dlog(,,,/p)
-, Esta representación aproximada se mucstra cn cscala log-log en la rigura 52.
342 Anólfuis de sietemat Ixlr rerpuesta en frecuencia
20
a E E
= Éo E
Figura 51. Gráficas de Bode 1 de s"
-40 0o
Frecuencia, radianest¡
It
0
= -t o N
Figura52. aproximada
Representación de 20 log M
-20
Trazae de Bode" Introdusción
348
La gráfica exacta de la magnitud M vs. p, en escala log-log ee 'f muestra en la figura 53.
Ffuura 53. Gráfica de ,-
-20log t *o= l
y su aproximación
l0
20
50
(r)
P
Puede verse que, para 3.*o,
--+
Ia curva se aproxima asintóticamente
Pt
t que para 3-.¡-ó, la curva se acercaasintóticamentea ,rnu ."outf,Liron,"l .r o fü. La frecuencia o : pt se Ilama lrecuencia de quiebre. El error máximo ocurre cuando r la recta correspondientea 20 log (l),
I y e s 20 l os.ll + l:2olog
fi=3
d b . P a raa : 1 0
Pt
y a:0.1
pt
Pt
- : error es 0.1 db. Una octava arriba y una abajo el error es de 1 db. el En la figura 54 se muestra el ur. 1. pr "..o.
|
|
I
ti
€l tt
t2 Figua 54. Gráfica del error entre M(o¡) y su aproximación.
3
.5 .76 I
l.3l 2
g.+ pt
La figura 55 muestra la curva de f'asc de la función de transferencia en cucstión, la cual
344 Anfli.i.
dc ¡i¡tcmu
(.
¡nr rccpuceta en fr.ecuend¡ 0o - 5.7"
r
-
i.. -26,60
it
I
I i
-{5"
Fturl
\
55. Gráfica de
o- -ts-, (;)*.;
\
-63.40
-84.30 -900
.t
t2 9--¡-
.2
t0
pt
tiene una fase de -45o en el punto 3 - l. Además, exhibe una simetría pr alrededor del punto (^f p, = l, ó : -45o) simetría que es consecuencia de la identidad trigonométrica arctg(a) :q)o
-
"r"rt(:)
Una manera de aproximar la curva fase-log (-/pr) por segmentos de recta es la mostrada en la figura 55, formada por los siguientes segmentos: t) Una recta que va del punto (,f pr= 0.1, ó - -5.7o) al punto ('/pr= 0.5,ó - -26.6"). ii) Una recta que va de (-/p, - 0.5, ,b: -26.60) hasta (./p, - 2, ó: -ó3.4o) que pasa por ('f p,= l, ó: -45o). iii) Una recta que va de (./p,:2, ó : -84.3o).
ó - -ó3.4o) hasta (-f p,:
El error de esta aproximacióñ en el intervalo 0.1 < i
10,
( l0 es menor
pt que 3.óo. Una forma menos exacta, de obtener la fase pero más sencilla, es por medio de una recta que va desde 0o, una década antes de t't/pt: l, hasta -9Oo una década después. Considérese ahora el caso que coffesponde a É(") : l: * t) / \pr
(un cero en el eje real)
La magnitud y la fase de su respuesta en frecuencia son: M(-) -
(;)'*
0(')
',
=
tg-t (a/pt)
Traz¡s de Bode.Inrroducción 345 La magnitud de este término es la inversa de la del término corres' pondiente a un polo en la misma posición, por lo que en db será la negativa de la magnitud para el polo. Similarmente, la fase será la del polo tomada con signo opuesto. Así pues, las asíntotas de la magnitud del término É(") = I + : pt son como se muestra en la figUra 5ó.
Figun 5ó. Aslntotas de un cero en el eje real.
.01
.02.1
1050
.2.,r2 Á*
4) Pdoe U oerosumplejos. El siguiente tipo de factor a considerar es el de un par de polos complejos de la forma
,
f/(s):
0< (
$* x* * ' cuya localización en el plano complejo es la mostrada en la figura 57.
Figure 5?. Localización de los polos de
c? G
i+ z g : - * 1 o)¡-
{t¡r
34ó Anóüsis de eigtemas lxlr rerpuesta en hecueneia
Como la respuesta en frecuencia es
frq¡.¡:
-(-/,")" + 2iE('/,") + |
la magnitud y la fase valdrán, respectivamente M(.) -
,,/Í!- @/
^")'f' * 4('(- /,")' I
tt ' 2( ('/'") É("n ): t 8 -' W De la expresión de M puede notarse que ¿) Cuando l-/,"1 (
l,
M= | 1
ií) Cuandol./."1 > l, M= (-/'")" y por tanto, si l,/,"1 ( l, la gráfica de Bode de la magnitud podrá aproximarse por la recta 20 log M :2O log I - 0, y para l./."1 ) I se podrá aproximar por 20 logM:2Olost#]
que es igual a
Iog,(,/-") Así, en la gráfica de magnitud de Bode resultan dos asíntotas: una recta horizontal en 0 db para l./."1 4 I y una recta con una pendiente -40 db/década ( -12 db/octava) para l./-,1 ) I tal como se indica en la figura 58. En las trazas para t pequeñas (polos cerca del eje imaginario), el ángulo varía rápidamente al pasar frente al polo y para ( cercanas a I el ángulo varía lentamente. La figura 59 muestra las gráficas de Bode (magnitud y fase) para un polo complejo, según diversos valores de (. -&
En el caso de un cero complejo, los diagramas de Bode de magnitud y de fase cambian simplemente de signo con respecto a los diagramas para un polo complejo, por lo que no se mostrarán. La frecuencia . : o¿ ssrá llamada frecuencia de corte. En los párrafos anteriores se encontró la influencia de en la traza " de magnitud de Bode para dos polos complejos y a continuación se hará lo propio con (. Para eso se localizará primero el máximo de la tunción M(o,), por lo que es necesario encontrar los valores de a, eu€ -dM = 0. Obteniendo la derivada correspondiente se llega al reIracen f sultado: ,)r¡úx3 uro{Tl7? Esta frecuencia será llamada frecuencia de resonancia. Se puede
Trazas de Bode" Introducción
34?
Figura 58. Asíntotas para la magnitud de H(iol = I
_H)',*,r¡ *, (3J
I
S--*
-40 .4 .6 .8 1 2 a
a* 0o
- ¡15" - 900 - 135 " - 1900
Figur¡ 59. Diagramas de Bode (magnitud y fase) para un polo complejo.
348 Anili¡ie de sfutemar ¡ror respueet¡ en hecuenei¡
!'er que sólo habrá resonancia,enlos ca s o sq u e t a A
I
Sustituyendo el valor de la frecuencia de resonancia en la r:xpresión de M resulta que
Mmí,=# Ha de notarse que la magnitud M^e, (factor de resonancia) depende únicamente de ( y que decrece monotónicamente con é1. En la sección 8.1 se analizará en forma más general el concepto de frecuencia de resonancia. El siguiente ejemplo ilustra el uso de las reglas anteriores para obtener las gráficas de Bode. Eiemplo 18. Se tiene la función de transferencia de un sistema de ccntrol, que es 4 9 (s * 1 X s + 1 0 )
f4r,( s. r - - i? T @ g ) s y se deseanobtener las curvas de.Bode. Procedimi'ento
¿) Se ponen los factores en forma apropiada
É1'¡-
lO (s * l) (;.
')
#'*'] "[(i)'*
D) Se hace una clasificación de factores, ordenándolos según las frecuencias de quiebre de las asíntotas de magnitud: Característica de lase
Asíntota de magnitud
quiebre
r0
Horizontal, a 20 log l0 = 20 db
no hay
0o
/s
Desciende a -20 db/década
no hay
- 900
i+l
Inicialmente a 0 db, después +20 db/rJécada
or=l
varía de 0o a 90o
Inicialmente a 0 db, después +20 db/década
,r= 10
varía de 0o a 90o
Inicialmente 0 db. después -40 db/década
d=
varía de 0o a - l80o
Factor
s/10)+ I I /s\ 1
6
-l +-s+l 4e \71
I
c) Se trazan las asíntotas de magnitud. Esto se puede hacer de dos maneras: trazando las asínt<¡tasindividuales y sumándolas, o tra' zando la asíntota resultante como a c<¡ntinuaciónsc indica ([igura ó0).
Trazaa de Bode. Introduesión 349 i) Al comenzar el trazo en , : I se tiene una ordenada de 40 db y una pendiente de -20 db/década. El valor de la ordenada es la contribución de todas las ganancias, que son 0 db, excepto las de los primeros dos factores. La pendiente de -20 db/ década es la suma de todas las pendientes para ' ( l; todas , - I hay un quiebre. ;.t" ii) El término (s+l) comienza a tener un efecto importante en , = I y como a partir de este punto contribuye con una pen' diente de 20 db/década, la resultante tiene O db/década. Esta situación se mantiene igual hasta , :7. iii) En este punto ocurre otro quiebre y la pendiente cambia en son cero, a excepción del término
-4O db/década (contribución del término
(s/7)" +o!s+ r
y por tanto la resultante es de -40 db/década, hasta llegar ao-10. iv) Allí vuelve a darse otro quiebre que incrementa la pendiente 20 db/década, resultando una recta con pendiente de -20 db/década. La asíntota se mantiene así hasta o : co. e) Se dibujan las curvas de fase para cada uno de los factores cuidando colocarlas en el lugar correspondiente a la frecuencia de corte. Las curvas se suman en algunos puntos clave, para así obtener la curva total (figura ól). l) Se corrigen las asíntotas de magnitud en puntos clave. Una ma'
t
I
=
EO
€ - 90'
¡rdi¡nes t¡ Frecuencia,
Flgure 6O. asintótica.
Aproximación
35O Análieis de eistem¡s por reapueEta en frecuencia
Ffuura 61. rrecciones.
Trazas con co
Frecuencia, ¡adianes o
nera de hacerlo es añadir a los término,s correspondientes a lcs polos (o ceros) en el eje real (términos del tipo
c (s/p;+ 1 (s/p') + I quitando (o añadiendo) 3 db en a: pt y .01 db en las frecuencias o¡: 70p, y :.1p'. Los términos provenientes de polos o ceros complejos suelen necesitar más puntos de corrección. 5) Retarilndnl tiempo, Algunos elementos de sistemas de control se caracterizan por retra' sar cierto tiempo la salida con respecto a la entrada. Si el retraso se encuentra en la trayectoria entrada-salida, al cambiar ésta repentinamente hay rrn período "muerto" antes de que la salida sea afectada por el cambio. Este tipo de retardo de tiempo ocurre, por ejemplo, en sistemas donde hay trasporte de material (bandas trasportadoras, tuberías, etc.), en los que aparecen fenómenos de propagación de ondas (radar, sistemas acústicos, etc.), en los que la medición toma cierto tiempo antes de ser procesada (analizadores espectrales) y otros. La figura 62 muestra un sistema para detectar la diferencia de mate' ñal que s'e envía por un oleoducto, en el que la entrada es cierta concentración de trazadores radioactivos en el punto A y la salida es la
Tarzas de Bode.Introducción
351
Tr¡zadorc¡
) FLurl {12. Sistema son ns tardo de tiempo.
zorm
l+-
lectura de un contador Geiger situado en el punto B, a 20 km de distancia. El material en el oleoducto tarda'un tiempo T en viajar del punto A al punto B. Si se supone que no hay difusión del material raüoactivo, un par tfpico de curvas entrada y salida al sistema serían las que aparecen en la figura ó3.
Figur¡ ó3. Curvas de entrada y salida eD un sistema con retardo.
Un retardo de T segundostiene una caracterfstica de entrada salida dada por v(t)=u(t-T) y por tánto su respuestaa impulso es h(t) = 8(r - r) y la función de transferencia
É(r):9\tl-r" á(s)
De ahí que la respuesta en frecuencia sea frUü
: e-tat
pudiéndose expresar en la forma
frG,)- r4--T Entonces, la magnitud logarítmica del retardo de tiempo qi.r rgual a 0 db, y su ángulo de fase es 4fr1¡.¡
-
--T (radianes) :
ia que se muestra en la figura ó4
-57.3 .T (grados)
es
352 Anríüeis de eietemañ llor respuests e¡r hecuer¡cia
00
- 900
- lg00 lr
3
Tq)
ffuurl ó4. Traza de Bode del ángulo de fase de e*.
s
-270' -3600 -450' - 540' .3 .4 .5 .6.7.8.91
2
4 5 6 78910
aT+
Ejemplo 18 Si se desea reducir, a un nivel dado, la humedad h de un material a granel, se puede utilizar un sistema como el que a continuación se describe. Inicialmente el material, almacenado en una tolva, se introduce continuamente a un horno, mediante una banda transportadora, como se muestra en la figura 65. La humedad es detectada a cierta
l--rrr.olo-j i
Fh¡n ó5. Sistema reductor de hurnedad.
der¡¡dr
-d::'J:.i
I
llcdidor dc humcdad
distancia d de la salida del horno mediante un instrumento de medi. ción, cuyo voltaje de salida r¡ es comparado con una señal de referencia v,. La diferencia (v,-v¡) se aplica a un controlador. compuesto de un amplificador electrónico con efecto de reposición, cuyo voltaje de salida regula los tiristores que alimentan a las resistencias del horno, modifi' cando así el calor Q que se introduce al sistema. La banda trasportadora se desplaza a una velocidad ü, constante. El tiempo que tarda el mate'
. Tl¡rs! de Bodq Int¡oducdón 358 rial en viajar de la salida del homo hasta el punto de medición car¡sa un retardo de tiempo inherente al sistema. El diagrama de bloques de un modelo linealizado del sistema se muestra en la figura óó.
Huncd¡d Control¡dor cl6ctrico
fubrúo
n¡ul 6. O¡¡gr¡n¡ bloqrcs det ststcm¡.
Tnn¡ducbr
Se desea encontrar el valor de K para que el sistema de controt tenga un margen de fase de 45o cuando menos y un margen de ganancia superior o igual a 2 (ó db). Como fue explicado en la sección 6 es necesario encontrar las trazas de Bode de la función de transferencia de Il(s)G(s) que en el caso que nos ocupa es
lo€..r
É(s)6(s)s(s+l )(s+0.5) Cuando la velocidad de la banda es I m/seg y la distancia entre la salida del horno y el punto de medición es 10 m, la resPuestaen frecuencia es
frG,)GU-) -
20e-t.tro,
i.Q'* rXof+ r)
porque7: d/v - l0 seg. Al hacer una clasificación de factores, ordenándoles segrln las fre. cuenciasde corte, se tendrá: Factor Kr, = 20
l/i'
Asíntota de magnítud
Quiebre
Fase
Horizontal a 2ó db
no hay
0o
Desciende con -20 db/década y pa s a p o ro r= l a 0 d b
no hay
-900
0 db, después rz(fr+r)Inicialmente -20 db/década
l/(i,¿+ l) e-roi@
o= .5
de 0o a -9()o
Inicialmente 0 db, después -20 db/década
e ¡ =l
de 0o a -90o
Horizontal a 0 db
no hay
varla con o: -573 oT = -573 o
354 Anóüeis de dstemae lxrr respueats en hecuencia Siguiendo una secuela similar a la del ejemplo anterior se obtiene la gráfica de la figura ó7 dcnde puede apreciarse el efecto del retraso sobre la curva de fase. Antes de continuar conviene establecer la manera en que se determinan los márgenes de ganancia y fase a partir de las trazas de Bode.* Como el primero corresponde (ver Sección ó) al factor mínimo por el
Fisur¡ 67. Trazas de Bode para 2}e-tot.
. € g
tl
jo ( ir o *rll3+r\ \0.s I
00 _ 900 - 180' o q c
'-270" -3600 -4500 - 5400
radi¡nes Frecuencia, o en el sistema realicual hay que multiplicar la ganancia it(iúC(i-) mentado para que latraza polar encierre al punto -l (que tiene magnitud 0 db y fase -180o), el margen de ganancia no^es otra cosa que en db para la cantidad (en db) que habrá que desplazar lH(i')G(i,)l que al ángulo de -180" le corresponda una magnitud de 0 db (figura * Se hace la suposiciónde que tanto la traza de magnitud como la de fase s<¡n monotónicamente
decrecientes con o.
Trazas de Bode.Introducción 355 ó8). Por otra parte, el^margen de fase es el mínimo ángulo que habrá que sumar a lH(i')G(1',) para que la traza polar encierre al punto (0 db, -180o), entonces corresponde -L la^ diferencia e{rtre ^a 4H(i,")G(i",") Y - l80o en donde ¿¡oes tal que !If(i.,')C(i,")l - I (0 db).
zologlé(i,lar¡l I
Figure 68. Márgenes de fase y ganancia en las trazas de Bode.
De las anteriores consideraciones y una vez obtenida las trazas de Bode del ejemplo en cuestión, se indagará cual de las dos restricciones (margen de fase o margen de ganancia) es más severa. t) Margen de ganancia. La gráfica de fase de Bode indica que para ,.,:0.114 la fase total vale -180". Para esta misma frecuencia, Ia ganancia del sistema vale 43 db; siendo así, para que el margen de ganancia sea cuando menos ó db, la magnitud deberá decrecerse por lo menos una cantidad 43 - (-ó) : 49 db. ii) Margen de fase. EI diagrama de fase de Bode indica que para u,,- 0.0ó la fase del sistema vale 135" - (180" - margen de fase). A esta frecuencia corresponde una magnitud de 50 db. Entonces, para que el sistema tenga una ganancia de 0 db a la frecuencia <'¡r,es necesario disminuir la ganancia por lo menos 50 db. Comó la restricción del margen de fase es la más fuerte (50 > 49) habrá que bajar en 50 db la ganancia del sistema. Las gráficas que se utilizaron tenían K = 0 db. Pt¡r tanto, la nueva K deberá ser: 0-50:
-50 db
o sea .31ó X l0'. De las trazas de B<¡dedcl sistema es fácil obtener el diagrama polar, .-l cual se presenta en la figura ó9, en donde puedc apreciarse los márg,nes de fase y de ganancia para K - .31ó x l0'.
85é A¡did¡
ff¡ur
69.
de ¡l¡tcmr¡ ¡nr r.ce¡uede en hecnencút
Tnazr polrr dc
0.31óx t$r srrolo
' L(i¡ +u (j!+r)
SlnSul¡dddcs con lnrto neal ¡roeidva En esta sección se considerará el caso de trazas de Bode de sistemas gue tienen singUlaridades con parte real positiva. Para la construcción de la tnza de la magnitud se procede de manera idéntica a la descrita en l¡a sección anterior, debido a las igualdades 72
lf*.'l:l-f*'l: - ** ú);
2 iEL +r olr
Sin embargola ttaza de la fase es diferente. Considéresepor ejem' r) v (4plo la diferenciade fase que existe entre(!!+ - - - \p l- \p
r) t
En el primer caso la fase varla de 0o a No cuando o, cambia de 0 a o mienlras en.el segundo se tiene la variación de l80o a 90o para la misma variación de . (figura 70). Cualquier factor que-contenga raíces con Parte ,real positiva puede expresarse como el producto de uno con parte real negativa por otro
'fraz¡s de Boda Introducción
35?
Fl¡ur¡ ?O. Variaciones de fase de 1io-1) y !ig+l). pp
art
t
p
a I I
de magnitud unitaria para todas las frecuencias. Por ejemplo
[:-'l i - r = ( ! + r ) la ' l a \¿
' Li * tJ
#,-rr**,:(*{+ztL.t)lfr ,*]i:] lvéase figura 7l).
Fisurr 71. Composición de singularidades con parte real positiva.
358 Anríüeia de eistemar por respuerta en frecuencia
Al considerar con la descomposición anterior la fase de un sistema que tiene polos o ceros en el semiplano Re [sJ> 0,so1o hace falta agre gar a las curvas de fase obtenidas por los métodos de la sección pre' cedente las de los factores de magnitud unitaria. Considérese por ejemplo los dos sistemas representados por sus patrones de polos y ceros que aparecen en la figura 72. Las magnitudes y fr"{¡ü son iguales para cualquier valor de , de É,(¡¡
i
/-\,
: g:El lfr^G.)l:lfrB¡,)l {t * \tJ la pero los ángulos de fase son diferentes como puede apreciarse ^en lfo(s), sistema la fase del figura 73. Puede notarse que la variación de que cuenta con un cero eh el semiplano derecho es mayor que el del sistema lfr(s).
Figura 72. Patrones de po los y ceros.
FI,(s )
-J-f1f 150.
1000
50"
TI TI llt tllI
\.-
^.i*2 -+ ¡"+-¡t r tl
IIIt lt¡
# ]I
t-t
0"
-f I ,],,i+i
4L+
- 50'
I iof lJ
10 Figura 73.
Trazas de fase.
r00
Trazasde Bode.Introducción tl59 De las consideraciones anteriores surge el nombre de "fase mlnima" aplicado a un sistema que tiene todas sus singularidades en la parte izquierda del plano complejo, pues la variación de fase corespondiente es men'or que la de otro que tenga la misma traza de magnitud pero con algunos ceros o polos en el semiplano derecho. 7.3
Determinación de l¡ faee de un slstcm¡ a portlr do ¡u magnlrud
Se ha visto cómo, a partir de los polos y cerq¡ de una función de transferencia, es posible conocer su curna de magnitud y cómo los quiebres en las asíntotas están determinados por la colocación de los polos y ceros, es válido pensar que, a partir de las asfntotas de las gráficas magnitud-frecuencia,se puedan obtener los polos y los ceros del sistema. Con esto hay una dificultad: es imposible, a partir de las curvas de magnitud, decir si los polos (o ceros) son de fase mfnima. Sin embargo, si se parte de la premisa de tener un sistema de fase mlnima, puede deterryrinarsecompletamente la función de transferencia de un sistema,como se demuestraen el siguiente ejemplo. Eiemplo N Se desea determinar la función de transferencia de un sistema; supóngaseque para ello no se tiene más que un oscilador y un medidor del valor cuadrático medio. En el sistema,a un entrada cos (.r) le correspondeuna salida B cos (,f + ó) y por tanto sólo se conoceB para cada valor, (figura 74>.El resultado de la medición de B aparece en la figura 75.
Fl¡urr tion.
a JD
, t
VoltlmctroRfrlS
A la curva obtenida se le trazan las asíntotas que presentan l. Un quiebre de -40 db/dec eÍ a: l. 2. Un quiebre de *20 db/dec €n or: $. 3. Un quiebre de -20 db/dec €n or- lQ. Además, cuando , --r 0, la ganancia es 0 db y por lo tanto K = 1. Los hechos anteriores muestran que hay 1. Un par de polos complejos c
2 . Un cero en s = 5. 3 . Un polo en s = 10. El coeficiente ( de los polos(conro= 2) se logra a partir del factor de resonancia. A la frecuencia de resonancia, el cero €D s = 5 coopera
74. Sistema en cueg
8ó0 A¡llid¡
de d¡tane¡
l¡ot rrc¡t uc.ta en hecnenci¡
ñ
fl3ur 75. Ampütud I frccuencia.
Frccucnci¡
con I db y el polo en s =-10 con 2 db (ver figura Z5). Al factor de resonancia de 8 db, se le resta la contribución en db de los otros polos y cenosy se obtiene que el polo doble tiene un factor de resonancia de (8 - 1 + 0.2) :7.2 db. Según la figura 59 esto correspondet =O.25, lo que hace que el término
(. )'*ze$+r y por tanto
É1 "¡ : (0 . 2 5 s ' *
{+o.zsr+r
.2s*1 0 . 2 5 s+ l)(. ls * 1 )
Es pertinente hacer el siguiente comentario. Conocer la magnitud de la respuesta de frecuencia de un sistema (de fase mínima) permite conocer-su fase. Algo similar pasa con la parte real X y la parte imaginaria Y de II(i,); conocer una de ellas es suficiente para determinar la otra, mediante una herrainienta llamada "Transformada de Hilbert". No se elaborará sobre este tema por quedar fuera del alcance de este texto. 8. Cír c u lo e My N Al diseñar un sistema de control retroalimentado es necesario cono cer el comportamiento del sistema global a partir de las características
Clrsr¡losMyN36'L
de cada uno de sus'elementos. Para ejemplificar lo anterior, considé rese el caso de un sistema de control (figUra 7ó) integrado por un controlador, una planta y un sensor. Si se conoce la respuesta en fre cuencia de cada uno de estos elementos, ¿cómo obtener la respuesta de frecuencia del sistema retroalimentado? ¿Cómo caracterizar su des empeño?
á,(r)
ft¡c. ?6. Un sistema e t¡oalimcntado.
Para contestar la'priméra pregunta (obtener la respuesta en frecr¡encia del sistema r€troalimentado), basta estudiar sistemas del üpo de la figrrra 77a ya que loe otros Pueden reducirse fácilmente a este caso.
a ) Sisteml_unitariamente fl. ntü. mcniado
".Q'ffi
-l l-1g1
L-r
ldl l-l
II
D) Reducción ht3#:-a realimentado.
Así pues, se-fijará la atención a ohtener la respuesta en frecuencia
¿e6(i,): ffi,
fr(iú. enfunción
Sistem¡s rcsli
362 Anátisis de eistemas Ixrr retpuesta
en freeuencia
Si se denota por M la magnitu¿ ¿e 6(i,) suerte que
y 0 a su fase, de tal
G:ML| y si X y Y representan las partes real e imaginaria de H, tras alguna manipulación algebraica, puede demostrarse que
M-
( l + x) ' + v,
o=ts,[í]_n,[*]
Al llamarN a tg 0 y alaplicarla fórmulate@-b) : resulta que N_
ffi
X( 1 + X) + Y"
Las fórmulas anteriores proporcionan la magniturd y el ángulo de ^ G(iú en función de las partes real e imaginaria de H(j,). Así pues, en el plano X-Y (traza polar), el lugar geométrico de los puntos tales que
M está dado por la ecuación:
#: M':
x, + Y, ( L+ X) ' ,+ Y' ,
que se transforma en
/
Mr\2
\* * fu)
M
I +v', = l t,M,_rJ
Esta última ecuación quiere decir que el lugar geométrico de los puntos de M = constant€ es un círculo de radio (- =!' .,0) \ M'z-t'I
h
y centro en
q,-," tiene varias propiedades interesantes:
a) Cuando M:
l, el radio es infinito y el centro está en (-'t,0)'
Esto da una indeterminación. Sin embargo, de la ecuación original se obtiene X" + Y,: I * 2X + X' * Y' o sea que el lugar geométrico de los puntos tales que M: I es la recta X : -*. b) Lcs círculos para magnitud l/M son la imagen a espejo sobre la recta X --l¿de los círculos de magnitud M'
Clrculo¡MyN363
Esto se puede comprobar fácilmente sustituyendo M por l/M la ecuación del círculo (figura 78).
en
Im 3 2 .'' '/t:
Figl¡l¡ ?8. constante.
Volviendo al desarrollo del tema, se había logrado demostrar que N:
x(l + x)+ v"
Manipulando esta ecuación resulta
(" *l )'*(" -* l :o* -* " y por tanto, el lugar geométrico de los puntos del plano X-Y la tangente del ángulo del sistema realimentado : I;; l+ H
dadaspor el círculode radio #y (figura 79).
tales que
valga N, están
centro "" t;;*)
Con la ayuda de una carta en donde estiánsuperpuestoslos círculos M y N (figura 8O) es posible transformar el punto x + iY
fl. "n r + x+ iY L-a utilidad de esta gráfica se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 21 Considéreseel sistema que tiene Ia función de transferencia É (r):
15(s*1 ) s'+ 3s + 4 '
Se desea encontrar la respuesta en frecuencia del sistema unitaria-
Círculos
de M
364 Anllid¡
de ¡ist€Nner ¡nr reepuesta en lnecueaoi¡ Im
ntlur 79. Cl¡tr¡los de iV aonstaotc.
menterealimentadr , o sea ffi
frGü
N trazarla gráficapolarde É(l'.)
sobre la cafia de los clrculos M y N (figura 8l) se pueden obtener directamente las curyas de magnitud y fase del sistema realimentado. La respuestaen fiecuencia (magnitud) del sistema realimentado, de acuerdo con la gráfica de la figura 81, es la que apareioeen la figura 82. kigicamente, el método empleado en el ejemplo anterior no sería neaesario si se contara con una expnesión analltica de la fuqción de iran"t"rut"ia ñ1¡,'¡, lrcro en muchas ocasiones los datos de. É(s) son experimentales,y por tanto no es posible construir la función analítica que representael sistema con realimentaciónunitaria. 8.1
F¡ctor
de resonancia.
Sobre la segunda se tiene que el factor
Ancho
de b¡nda
pregunta pianteada al cámienzo de la sección 8 de resonancia y el ancho de banda son dos medi-
C¡rcclo¡ trdy iV 8ó5
3
o.r¡?
9 í--o.n Fl¡ul¡ flt Carta de d¡cr¡lc M.v N.
-3 *t -5
'-'l i>-wi,/* I
$É1L"'/ $lj--"t., E:{
\ |
o.n¡rz
--z n¡lu¡ ü. Traz¡ polar dc 15(jo + r) -d + 3 t r+ 4
36ó Anrilisie de detemas lxrr respuetta
en hecuencia
Figura 8!1. Magnitud de un sistema con y sin realimentación unitaria
das sobre la respuesta en frecuencia de un sistema que caracterizan respectivamente, el grado de estabilidad, y su rapidez y selectividad a cierto tipo de señales. El faotor de resonancia, denotado generalmente pot Mr, se define como el máximo valor absoluto de la respuesta en frecuencia de un sistema, esto es M, : mdx lH(j.)l En los resultados del ejemplo anterior, la magnitud presentaba un máximo €r r¿: 2.4.Ese máximodauna buena idea de qué tan estable es el sistema, ya que los poco estables dan salidas grandes a entradas pequeñas. Un valor grande de M, está correlacionado con sobrepasos grandes y tiempos de asentamiento prolongados. La frecuencia u, a la que ocurre M, es muy cercana a la frecuencia de oscilación libre del sistema. El valor de M, corresponde al máximo valor de M del círculo tangente a la gráfica polar. La frecuencia a la cual se presenta esta tangencia es Ia frecuencia de resonancia del sistema. Sobre la otra medida, el ancho de banda, no existe una definición que satisfaga a todos los interesados.Al considerar el sistema realimentado del ejemplo anteri<¡r se cbserva que para frecuencias pequeñas ia magnitud de la respuesta está entre 0.8 y 0.88. Para frecuencias mayores la magnitud desciende y la respuesta es muy pequeña. Esto
Traza de Nichol¡. Carta de Niohols 36? significa que el sistema realimentado sólo podrá responder adecuadamente a entradas con cierta gama de frecuencias. El intervalo de esta gama se llama ancho de banda y es un indicador de la rapidez del sistema, ya que aquellos que cuenta con amplios anchos de banda suelen tener bajos tiempos de levantamiento. Si se considera que el sistema responde adecuadamente cuando la magnitud de la respuesta es My el ancho de banda puede definirse como el conjunto de frecuencias para las quel H(i.)l > .7ü M' (o tales que la magnitud no baje más de tres decibeles de la magnitud Mr). Este número se ha tomado porque al.bajar la amplitud de la señal a 0.7W de su valor original, la potencia transmitida por un canal de comunicación baja a S0otoy se considera entonces que su funcionamiento no es adecuado. En la práctica es usual especificar las caracterlsticas de la respuesta en frecuencia de un sistema en la siguiente firrma "en el intervalo de 20 Hz a 4 kHz la respuesta no varla más de lÚo/o". Es claro que este tipo de especificación puede traducirse con facilidad a ancho de banda y factor de ¡esonancia. 9.
Traza de Nlchols. Carts de Nichols
La carta de los círculos M y N permite conocer la magnitud y la fase de sistemas realimentados a partir de la respuesta en frecuencia de sus componentes. Presenta, sin embargo, un serio inconveniente: hay que regresar y redibujar la gráfica polar cada vez que se cambia la ganancia del sistem4. Además en el caso de multiplicar dos funcio. y Hr(j') nes de transferencia H'(i.) hay que rehacer prácticamente todos los cálculos. Estos problemas se evitan si se trabaja con logaritmos, ya que las multiplicaciones se transforman en sumas, y éstas pueden efectuarse gráficamente sin gran dificultad. Por ello es gue se utilizan ampliamente la traza de Nichols, que es Ia grafica de H(j'), usando como ordenada la magnitud en decibeles !- como abcisa la fase en grados, teniendo la frecuencia to como paráIIletro. Similarmente a lo que se hizo con los círculos M y N para la gráfica plar, en el plano 20 log M-fase pueden obtenerse los lugares geomé=icos de los puntos de magnitud y fase constantes para el sistema '-ritariamente realimentado. Si p es la magnitud lÉ(fu)l y d su fase, resulta que pcos0 l: Y - psen9 ' =¡eden sustituirse estos valores en las ecuaciones de M y N para l : las funciones M(p,0) y N(p,0). En Ia figura 83 se muestran ür ,ros de M constantes y en la figura 84 los de N constante. Al "'r'¡riiar estas dos gráficas se logra la carta de Nichols, Ia cual apa!E = la figura 85. Su utilización se muestra a continuación. E c,ajs 22 i¡r*=e -m
:ad,o
por caso un sistema de control (figura 8ó) en el cual ¡i(s) por
É (s):
s(s*5) (s* l0)
!ló8 Anfliei¡ de ¡istemas ¡nr reepueeta en beeuenci¡
r 0É f,lawr t3. oonstante.
Curr¡as de M
o o E G a g' t t,e -E
¡ -
-30
0"
Se desea encontrar el valor de K para que el error a rampa sea mfnimo, pero con la.restricción de que Mi sea menor que 1.2ó (2 db). Además se desea conocer para este valor de K el ancho de banda y la frecuencia de resonancia. El primer paso para la solución del problema es determinar las gráficas de Bode de H(¡'r). Estas se muestran en la figura 87. De allí se obtiene la traza de Nichols (trazo firme figura 88). Porque al usar logaritmos, la multiplicación se transforma en suma, para encontrar la K deseadaque hace que M, :2 db, se desplaza verticalmente la traza de Nichols hasta que sea tangente a la curva M = 2 db (traza punteada). Como latraza se desplazó11 db hacia arriba, esto equivale a multiplicar frU,) por K:3.55 (ll db) y por tanto el coeficientede error a ramP ae s K ¡: lí mrs É (s ) : 3 . 5 5 La respuesta en f.".',r1rr"iu del sistema realimentado aparece en la figura 89. En ella puede verse que el ancho de banda es 4.8 y la frect¡encia de resonancia , - 3. Si se desearaaumentar el ancho de banda (desplazando hacia arriba la traza de Nichols) para lograr un sistema más rápido, se degradaría la estabilidad de sistema, al producirse un M, excesivo.
Traza de Nichols. Carta de Nichole 369 -r'r -t---¡--T--T-r-'l
T-r--r-..T- r-T
20
,
_200
lo E o a o O E G o U5 ^E-
= E E! G
-10
\\\
Flí¡r¡ 84. Curvas constante.
de
N
) C
,
\\\' t-l-L
iili \ i \ 1i_i]i
II\
i -I I
-3600 -330" -3000 -2700-240" -210" -lgoo -150" -t20.-90" Angulods lase
-30
-600
-300
0o
I
I I
Puede ocurrírsele al lector que si la traza de Nichols pudiera moverse por algún medio hacia la derecha, el ancho de banda podría incrementarse sin que se tuviera un factor de resonancia demasiado alto.
Esta se logn pD) rDEüiDdr:léto$os Ssnominados"de coss¡essrciór('. =?.--:< -<3.i<-<<<
I
2<
1<-<-e
--z4re,<.:¿a-r)¿
2
.¿-W
2'
.A.¿
H-.-
:: -: sistemarealimentadounitariamente,a partir de Ia respuestadel :::=:.3 sin realimentar,es útil tomar en cuenta las siguientesrelaKH(i-)
| + K H ( i - ) -- ' xítU.l ffi
| si iKFl(r'.)t F t
=lKH(i.)l si IKH(¡'.)|
l= =s:a forma todos los puntos que se encuentran arriba de 0 db se en 0 db al realizar la realimentación unitaria, y todos los -r-;:--:an 'e r-: : se hallan abajo de 0 db pennanecen invariables con la re-i ::---:::3. En la figura 90 se muestra la aproximación descrita, para r*
:-::Sd eK.
"'--::I
c're Por medio de las relaci<¡nes descritas es posible de-
1 i I
370 Aníüsis de eietemas l¡or respuerta e¡r hecueneia
F¡tur
85. Carta de Nichols. a g o
5 0 3 It E o tt
== t' so
l, '
-
figur¡ 86. Sistema mentado.
Traza de Nichol*
Cart¡ de Nichols
371
m 0 a E E
=
-20
e
E
-40 -60 Fisur¡ 87. Trazas de Bode d€ 5()
s(s+5Xs+10)
r¡di¡nesr,¡ Frecuenci¡,
0 g o a o o E t o
l -;
=c= aa a
l0
Fisurr 88. Traza de Nichols de 50 t
defase
s (s + 5 X s + t 0 )
372 Anil¡eie
de eietemar lror respuerta er¡ lrecuencia
F¡gl¡l 89. Traza de Bode (-'agFitud) del sistema re alimentado con K=3.55
Frecucncia
Figura 90. Aproximación de la magnitud de un sistema unitariamente realimentado.
lO.
Compensadores de adelanto y de atraso
si las características de un sistema realimentado (factor de resonancia, ancho de banda, coeficiente'de error a escalón, etc.) no son satisfactorias, es posible modificarlas mediante la inclusión de un compensador en la malla de control. En esta sección se mostrará el uso de los compensadores introducidos en el capítulo 9, en la modificación de estas características. se considerarán compensadores de adelanto y de atraso, con funciones de transferencia FI,¿(s), Hat,(s) dadas por
FI"¿( s) : r /"r ,( s) :
t!t/,!. s +d l
I
t!' /:. s*o/T
a) l l> a) o
Las figuras 9l y 92 muestran los diagramas de Bode de tales compensadores; en ellas, pueden observarse las siguientes propiedades del compensador de adelanto (atraso). i) La ganancia es prácticamente constante en los intervalos .T 1.1 ,
Compeneadoree de adelanto y atraeo 373
I
aT+ Figura 91. Diagramas Bode de s+ l l T H o¿G)= ---:;= " )l s+ al r
2.0 3.0 o tT +
a
= c I a
-
2.0 3.0 aT+ 2.0 3.0
8.0l0
8.0 l0
¿0 30
20
30
-100
a i
t
- 300
l'igure 92. B<¡dc de É , , , r 1 '') =
Diagramas dc s+llT l )a)0 s*n/T
374 Anrilisie de sistemas por respueeta en frecuencia
.T ) 10. Dentro del interr¡alo .1 ( .r =í 10, ésta crece (decrece) monotónicamente 2O log (.) db. ii) t-a fase es positiva ('negativa), por tanto, adelantando (atrasando) la de los sistemas con los que se coloca en cascada. La fase alcanza su máximo (mínimo) €n
.10K(s * z,) s * 102'
(ver figura 93), seleccionando k, ,, d" modo que se maximice el ancho de banda, conservando w M, menor que 1.2ó(2 db).
Figura 93. Sistema ejemplo 23.
d e I
I/(s) :
s( s*5) ( s +10)
La regla práctica énunciada en el capítulo 9 indica que zr debe estar entre los dos polos más cercanos al origen; así pues 0 ( ¿, ( 10. Tras de múltiples intentos, y usando la traza de Nichols, se encontró que Ia combinación e. : 3, K : 6.4 era la que satisfacía las condiciones de diseño. La figura 94 muestra con trazo .firme la gráfica de Nichols del sistema con la función de transferencia dada por
500( s+3)
ffi Esta traza se desplazó hasta que fuese tangente a la curva M : 2 db de lacarta de Nichols (ver traza punteada). El desplazamiento fue de 16.2db, por lo que K : 6.45 La figura 95 muestra la respuesta en frecuencia del sistema compensado. Se obtiene un ancho de banda de 14 (.vs. 4.8 del logrado en el e.iemplo 2J).
Com¡renaadoree de adelanto y atraso 37S
t2 t
o o
€ 0
{ 0
o E E o E
=
Fisur¡ 94. Trazas de Nichols del ejemplo 23.
c a0 o
-l
-
.E -t?
? ? ? + ? ? ? + R Angulode fase
Anchode banda = 14 t a
=
Fi¡urr 95. Rcspucsta cn frccucncia dcl sistema del cicmplo 23.
376 Anrilisie de eistemae por rerpuesta en frecuencia
Ejemplo 24 Para el sistema de la figura 9ó, se desea obtener un par K, zt, tal que M, sea menor que 5 db arriba de la magnitud obtenida a frecuencia cero, que K, sea alta, y el ancho de banda no sea mucho menor (sin compensación). al obtenible cuando zt:0
Figun 96. Sistema del ejemplo 24.
I o ¡o la
,l + E lc
¡-[
-=
E
g
-{H -8
Figura 97. chols de
Trazas I
s2 + s + I
de
Ni-
a g ÉÉ s 3 3 3É eac3 lT"iTiii' ir ?"i ? i
+N
Angulode lase
C,,ompenaadoresde ¡delanto y ahaoo 37V
a
€ ¡ a
-
-t2
Figura 98. Respuesta en frecuencia del sistema de la figura 96 (K :2, zr:0).
-16 -20
o
E
€ o o E
c o E 3
== u0 o
-
q F F F ;+ ?+??FC Angutode fase
Figura 99. Gráfica de Nichols del sistema del ejem' plo 24 (2, = .5¡.
378 Anríüsis de detemas lxrr r€spuerta en hecuenqia
Anchode banda -
2.0
Figur¡ lOO. Respuesta en frecuencia del sistema del ejemplo 24.
La figura 97 muestra, con trazo firme, la gráfica de Nichols de ^ il(s); en ella se observa que si se desplaza la gráfica ó db hacia arriba, la gráfica de Nichols (traza punteada) cofta las curvas M en -4 db y I db, por lo que M,: 5 db. Mayores desplazamientos verticales causan más resonancia. Así pues, se utilizará K :2 siendo Kt, :'2. La respuesta en frecuencia del sistema realimentado sin compensar se muestra en la figura 98. Tras varios intentos, se encontró que los parámetros zt = '5, K : l.l7 daban buenos resultados en la red de atraso. La figura 99 muestra, con traz<¡ firme, la gráfica de Nichols de cI5
" - ill(s). Al subir verticalmente 3.5 db esta gráfica (traza puns*.05 teada), se obtuvo una resonanciade 5'db, valiendo Kt' 11.7. La figura 100 muestra la respuesta en frecuencia del sistema com pensado; en ella se puede notar que el anch<¡de banda ha disminuidcr un 2oo/o (de 2.4 a 2), pero que el error a frccuencia cero también ha baiado.
l li
t $ I
rf ,!
APE]IDICE
Transformada de Laplace
l.
Introducción La transformada de Laplace es una de las he¡ramientas más prácticas en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de coef¡cientes constantes. Su utilidad se manifiesta al permitir resolverlas por mé todos meramente algebraicos. 2. Definición La transformada de Laplace convierte una función del tiempo, l(t), en otra función f(s) donde s es una variable compleja. Por ejemplo, la función l(t) dada por
r@=lL,P?-y,^t#o se transforma, como se verá en secciones subsecuentes, en la fi¡nI
c ió n l ( s ) -
l =.
s+ l y La variable compleja s es de la forma s =
rffQ)l
y se define mediante la integral f ó'
^ r{fÍ)}=f(s)-l-
'lf
o
e'f(t)dt
(1 )
En el texto se hará referencia a l(r) como la función expresaoa"en cl dominio del tiempo", y d f1s¡ como la función expresada"en el dominio de la frecuencia". 2.1. Obserraciones i) La integral (1) se efectúa entre llmites definidos, por lo tanto la variable real t desaparece, quedando la integral en función de la variable s. íi) La integral (1) considera únicamente la parte de l(r) definida en el intervalo f > 0. Por ello, dos funciones idénticas en este intervalo tendrán la misma transforma de Laplace. Para evitar ambigüedades al respecto, se supondrá que las funciones bajo estudio valen cero para f < 0. Esto, aunque limita el campo de aplicación, será suficiente para nuestros propósitos, pues en la solución de ecuacionesdiferenciales con condiciones iniciales en
¡
38O Apénüce A
f = 0 se requieren únicamente funciones que estén definidas para f ) 0. 2.2. Condiciones de existencia de la transfomada
de Laplace
Se sabe de la existencia de funciones como tt, e(t't, e(¿') que no tienen transformada de Laplace, por lo que surge la pregunta: ¿Qué clase de funciones la tienen? Puede responderse parcialmente a través de una condición suficiente, esto es, una que al ser cumplida garantiza la existencia de la transformada de la función. La condición es:* "si existe una 8 ) 0 tal que se cumpla f.@
( 2)
f lf( r lleatdt
entonces existe una función i(s) : !{f(t)}" Se llama región de convergencia a la parte del plano complejo dada por Re(s) ) 8. La mayoría de las funciones de interés en la solución de ecuacio nes diferenciables con coeficientes constantes cumple la condición (2) para algún valor de 8. Cuando este es el caso, Ia integral (1) existe y continua y posee todo tipo de derivadas en la región de coni(t) "r vergencia. Se volverá a hablar de esta región al tratar acerca de la transformada inversa de Laplace. Fuera de ahí, se supondrá que la condición (2) se satisface para algún valor de 8. Cuando I{f(t)} existe, puede definirse también como un límite
IÍt@ 1 : i( ") : lím l,( s) donde l'(")
".
( 3)
la integral propia
ñ(") : Jf'O '"'¡1t¡dt
(4)
punto a punto (junto con sus derivadas), "otrnerge hacia fr(s) conforme I tiende a infinito. La función f'1r¡
2.3.
Transforrnada
de Laplaee de algunae funciones
elementales
Ejemplo 1. Escalón unitario Considéreseun escalónunitario, denotado por u4(t) (figura l). Esta función, que será usada frecuentemente,se define formalmente como:
:1loI r¿_,(r)
para f<0 para f>0
Utilizando la definición dada por la ecuación 4, la transfbrmada de Laplace de a-,(r) es * Cabe hacer notar que dicha condición no es necesaria, es decir, que hay funciones para las que esta no se cumple, y aun así tienen transformada de Laplace.
Apénüce A 38f
f( t) = t (t) f. Fi$ü. r¡nita¡io.
_4 I{u-'(t)} :,|1grl" e-"u-r(t)dt:
eu'dt:
U* [t ?+€
Jo
n Lfml1
?.x
-5
=üm f+ú
e'r-l -S
o
Puesto que s es una variable compleja: s = o * iú¡, entonces e-'r : e-o-re-toi = €or {cos ,T-; sen orT}.Cuando o ) 0 (ó Re(s) ( 0), se tiene que €'r :0. Así pues lg t{u-,(ül
- ! para Re(s) ) o s
Ejemplo 2. Exponencial f >0 S ea r(ü:l{'para sec ¡rrr-f0 para t < 0 donde ft es un número complejo Utilizando la definición de transformada de Laplace IttG)l:
lím lr r't út dt r+o J f,-
si se toma una s tal que Re(s-fc) > 0 (o sea Re(s) ) Re(k), se tiene que
lím T+6
f'r,"*,,dt: fu$r,,*,,
Utilizando un procedimiento É que
T 0
similar al del ejemplo anterior, resul-
t(d u .=* .3. Propiedades de la lransformada de Laplace A continuación se presentan algunas de las propiedades más impor.. rantes de la transformada de Laplace, que serán de utilidad tanto para
ffimtm"'
Ft¡nción
escalón
382 Apénüe A adquirir un conocimiento más profundo sobre las relaciones entre los dominios del tiempo y de la frécuencia, como para tener herramientas adecuadas para la solución de_ecuaciones difeienciales. 3.1. Linealidad La transformada de Laplace es lineal; esto es para cualesquiera constantes et¡ dz, y cualesquiera funciones lr(f) y fr(t\ que posean transformada de Laplace (dadas por ¡1r¡ v l,(s)), se cumpre que
: at{{f'(t)\ ¡ a,t1¡,(r)} : -C.{a,f,(t)+a,f"(t)} : a,f,(s)* a,l,(s)
Esta propiedad proviene para valorar (l). Ejemplo 3. Transformada Es muy fácil obtener la propiedad de linealidad y el
(5)
de la linealidad de la integración necesaria
de un coseno transformada de esta función aplicando la resultado del ejemplo 2. e-t't Por el teorema de Euler, cosat ==T"t" * Y aProvechando la
linealidad
de la transformada
: t (:ei,,+ !{cos.r} l.'.,):( i ) lr{",.,)* I{e-''tl: :-*-: 2 (s- j-) ' 2 (s*l'.) !{cos.of} =
De un modo
3.2.
idéntico
.s2+ ,)2
s2+ 12 puede probarse que úr !{senarf} = s2+ o)2
(ó)
I)eeplazamiento
Si f(s) es ld transformada de Laplace de f(t), ¿cuál es la transformada de Laplace de f(t-D?, esto es, de la función desplazadaa lo largo del eje del tiempo, tal como Io indica la figura 2.
f(t-r)
IEgE¡ 2. Gráfica y de l(t-T).
de tQ)
Nótese que f(t-T) es cero cuando 0 < f < I por la suposición que se hizo al principio: /G): 0 para f < 0.
Apónd¡ccA 883 Por aplicación directa de la definición de la transformada de La' place, se tiene
Xtf?-z)'t= Jo f f(r-r) *, dt Si se efectria el cambio de variable de integración t: -CtfG-T)l
= ['
il- t
d' = [' f(') ¿',,",+r,
Jo
t-T,
se tend¡á
f(¡) ¿i,*'+t,dt
El lfmite inferior de la rlltima integral se cambio de -T a cero de bido a que l(r) = 0 para r ( O por lo cual puede procederse a realizar Ia integración
.ttf1-nl =.[]
f(,) d, : eof' e-,f(,) d,,- q,r íG)
-,*,, ttf?-r)\:
r"f(s)
(?)
Ejemplo 4 Para encontrar la transformada de Laplace de la función definida por (figr¡ra 3).
=l?ru:;=.?¿ft>r tG) fltlrr
3. Gráfica
fr¡nciónBulso.
se utilizará la propiedad de desplazamiento. En la figura 4 puede verse que la fuirción f(l) está dada por f(t) = & ,(t)-a-,(t-T ).
-r)
¿l- r ( l)
]'burr 4. Oblc¡rciri¡r dc ln lunción pulvr u prltil dt' ck¡s c¡¡r'ult¡nr'sr¡¡tit¡¡rir¡s.
de u¡a
384 Apéndice A Utilizando la linealidad de la transformada de Laplace, se tiene que
I{ÍG>}: I{u-,(t)} - t(*,(t-T)}
r{t?)} :
I
qrI
ss.s
:-
l_dI
(8)
3.3. Trangfomada de ú,1(t) _ Si se conoce /(s), la transformada de Laplace de f(t), es'sencillo obtener la transformada de d,f(t), ya que es l(s-ft). Para demostrar esto, nótese que por definición
=I-" *,rrr)e,,dt :f-o s-(a-*ttf(t) ttek,f(t)l
dt = f(s_k)
o sea
(e)
I{ú'f(t)}:f(s-k)
Queremos hacer notar al lector la semejanza que existe entre las ecuaciones 9 y 7:
-t{fft-r)} : e-'tf(s)
(7)
Puede verse en la ecuación 9 que multiplicando l(r) por d', en el dominio del tiempo, equivale a desplazar ft unidades la función en el dominio de la frecuencia. Asímismo, la ecuación 7 indica que multiplicar por e-'? en el dominio de la frecuencia equivale a desplazar la función T unidades en el domino del tiempo. De lo anterior puede intuirse que los dominios del tiempo y de la frecuencia son "duales", es decir, grosso modo, que existe cierto paralelismo en los efectos de una operación en un dominio con respecto al otro. En las páginas subsecuentes se encontrarán ejemplos que retorzarán esta idea. A continuación se incluye un ejemplo que indica la utilidad de la propiedad 3.3. Ejemplo t , Sin embargo tam' Se dedujo que la transformada de dt era [¿. bién puede deducirse ese resultado obteniendo la transformada de üt L,(t).Usando la ecuación 9 resulta
I f ú ' * , (t )j:
:-
f { u -, (t )) !r=r+
I
:-
Sr
!r=t-f.
I s -k
3.4. Mulriplicación por poteneiaede t. A continuación se indagará la relación entre f(s) (la transformada de f(t), y la de tf(t). Para ello, debe observarseque
t e -tf (t ):
-
* { e -, ,
f (t )}
--------
¡ Apéndtce A 385 de ahí que
rtü@t =J"rffrl r,t dt= -f:
'{
ftn,f(t)dt.
,
como los límites de la última integral no dependen de s, puede exd traerse d" la integral, quedando E
r{tf(t)}= -
*f" -, f(t)dt= - *fr,,
(ro)
Aplicando -repetidamenteeste resultado puede obtenerse Ia transfbr_ mada de Laplace de t" f(t).
- (- u"#i
(ll)
Ejemplo ó. Función rampa ConsidéreseIa función definida por u-"(t) : f(t):
o P ara r ( o { ¡fparal)0
la cual se conoce como rampa unitaria, muy frecuente por cierto en los problemas de control. para obtener su trarisformada de taplace p;;; u¡ilizarse la propiedad vista anteriormelrte,esto es
= -* (l)=+ ttu-(t)) -!(tu-,(t)) 3.5. Transformada de
ez)
¿ lQ)
¡
Se desea evaluar
l#,,,,)=J,:-.,#0, Para calcular dicha integral se emplea la fórmula de integración por partes
f- d, - ,rl' 'l-
1,,-Juv d u
"'
-cn rt: e-,t; du : -se-,,dt, du : fr Xr>dt; v : f(t) , b i e n i e n do d
.
16
la
l: ;
J'(T¡fG))=f(t) s'' * r = [,, !,, l{0"', dt -f(o) + "l("1
38ó Apónüoe A ya que al seleccionar adecuadamente Re(s) puede lograrse que
e-'r: O
lí*lttl luego tl
r { ; f ( t ) l:
s l( s )- / ( o )
( t3)
Si se aplica n veces la regla anterior, se establecerá la fórmula general como á t^ EL
qhfQ)\:
s"l(s) - !-s*'-' ¡
donde ái
lri' (o): #f(t) ,* Cuando f(t) V sus (n-l) sión anterior se reduce a
primeras derivadas son cero en la expre-
ü#fG)\:s"i(")
(14)
Se recomienda que el lector note la evidente dualidad entre la ecuación anterior y la ecuación 11. án^
r f ( t ) - ( - r ) ' #l( ' ) Eiemplo 7.
(11)
Transformado d,e la función coseno
La transformada como en el caso de obtenerla utilizando lG) : fsen 'tf u-,(t)
puede obtenerse directamente de fcos .rtJu-{t) la función seno, aun cuando también es factible la propiedad anterior. Si /(l) se define como entonces
i(r) : !{senorr}: +-" s " *a '
(15)
La transformada de Laplace de la función coseno se obtiene en la siguiente forma
= : t(+, ! ,"n r}:1t"i(r)-l(0)l : jt !{cosror} *fo - 0) :ñ
.s
Eiemplo 8 Se tiene la ecuación diferencial
f+ y:o
(ló)
Apénüoc A ¡!8?
con las condiciones iniciales y(0) = l, y(O) - 2. Transformándola mediante la expresión 14 y la propiedad de linealidad se obtiene
f,$+yt - I{y} + I{y} = s'i(s)-s/(o)-t(0) * i(s) : o. Agrupando y factorizando resulta
(s'+1)i(s)= sy(o)+ y(0) Ahora, sustituyendo i(0) y y(0) por sus valores, queda A/ \ S2
/ ( s ): ; - , 1 +
;,
.
Recordando las ecuacionesó y 15, se tiene Y (t):cost+2sent. 3.6. Transform¡t¡ de l'- ¡6¡a, Jo
En el párrafo anterior se relacionó frr), la transformada de Laplace de f(t),con
la transformada de
Aquí se verá la relación entre la ry transformada de una función y la de su integral. Hágase
eG):f' f?)d,
-
Jo
Al respecto, nótese que
dcU): ÍG)
(1 7 )
v además que 8(0) :0 Transformando los dos miembros de la ecuación l7
s e ( s ) - g ( o ) - i ( s¡ ! como g(0) = 0, resulta que 8i(s, :
ft"l T
ie lo cual se concluye
u!',fola'l= I
( l8 )
vecespuedededucirseque Aplicandola ecuación(l8)repetidas . . l t Ír,
J:(J" t"
f" ,-, -.
... l"
itr l
/ ( r , - ,d) , , - ,...d r ,d t) = f
(19)
388 Apéndice A Ejemplo 9 a) Es posible obtener la transformada de Laplace ¿" [ ' ¿-7f,.t, utiJo
lizando la propiedad anterior. Recordando que f{r\: I I ^.Í' ¿tl e-'d.,):--:, Jo s (s*1)
#
luego
I s(s*l)
b) Puesto que la integral de un escalón u-,(t) es una rampa tu-r(t), al dividir la transformada de u-,(t) por s se tendrá la transformada de la rampa unitaria nr.r"
f. ", s'
3.7. Convolueión La convolución es una operación frecuentemente utilizada en el análisis de sistemas lineales e invariables con el tiempo. La convolución tcma un par de funciones l(¿) y g,(t) (ambas con valor cero para tiempos negativos) y las transfonna en otra función &(r), definida por
h( t) :{ '
r { ") f( t- ,' ) d,
(20)
La integral(20) suele también indicarse como
h( t) : s( t) *f( t) En general no es fácil obtener la convollución de dos funciones l(r) y g(t); sin embargo, la operación de convolución en el dominio del tiempo, corresponde en el de la frecuencia a la multiplicación de las transformadas de Laplace,de f(t) y SQ). Se probará que si f(t) V g(r) son dos funciones del tiempo, y h(t) es su convolución Itt
h ( t ) : 1 , s G ) lÍ - , ) d , entonces
donde 2(,),e(")v ir,l 'Sfkigll$Ladas deh(t),e(t)y Í(t), respectivamente. Prueba: Se desea demostrar que Pt
- át'lft'l t{ I: gG)fG-t)d,} Aplíquese la definición de transformada de Laplace .'
f@
P@
Pt
J ' { h ( t ) }: J , , e ' ' h ( t ) d t : J , , s ( ' ) / ( t - , \ d ,} d t : "*'{J"
J: L
e^'|g(')f(t-')d'dt
(22¡
dice A 389 fo ¡ pero como d" es cero porque el argumento de es L "-"' g(r)f(t-t) f negativo paia el intervalo de integración y para o ( 0, se tenf("):0 drá que
tth(t)\:f
_) :Íi-, sG)fG d,dt
Ai cambiar el orden de-li integraciónse logra
, - C(h (t)l :[* [- e -" s(,)f(t,) dtd¡ J ort 0
= [' e(') [' rf o t-t
f (t-t) dtd.t "--, se obtiene
t{h(t)} =J"rt,l[l
e-s,p+r' f (p)dpd,
Jo
y al introducir la variable p:
:J
f6
C€
e-"1 ,,S(') ne-'efb)dpd,
f@ .=J" e (') e -" d' tlf@ o " -.0f ( p)dp- á( ") i( r ) .
3.8. Teorema del valor inieial Muchas veces es imp'rtante conocer el varor inici4l de la función partiendo del conocimiento de 'rr), (cuando r:0*), lis), Ia transfor'nada de f !t)- + manera común de hacer esto es encontrar la /(r) que .orresponde a l(s) y.después evaluar /(r) cuando f :0+. Sin ._bur!o, rriste una forma más rápida de conocer /(0+). para que /(r) es analítica, esto es que todas'sus áerivalas"ilo,ufl"girJ existen; por r¡nto puede expresarse como una serie de Taylor. En estas condiciones si tenora l(t) = Ía, * a,t + 3'!.
d't"
zt
* J ;_ + . . . 1 u - ' ( t )
. Lógicamentc /(0a ) : a",. Este 'cs el valor que se debe <¡btencr de 's). P^aral'grarlo sólo hace falta observar quc ia transfr¡rmada de l(l), ,-.,sca /(s) puede cscribirsc como
i G ) = 3s
At
(12
- r - - r - : - T- - T. , .
s-
s'
A:t
s'
Si sc multiplican los dos micmbros de la cxprcsión antcrior por s, =.'cbticnc (l:t
ri(r):u^,+!+2+
* ... .s' . rj sc hac c quc . t + c n , c n to n c c s s c ti c n c la igualdad .t
.t-
lÍn, ,i(r) - o,,
l - '@
iJi
(23)
sc conocc c()mo lcorcnta clcl valor inicial. Si también intcrcsa conoccr cr var<¡r crc ra crcrivada crc /(f ) cuando
390 Apónüce A t = 0*, puede derivarse y obtenerse 2azt
d
Vf@=a.*T+
3agt'
3!
+...
y es su valor en ú : 0*
=o, frrctl,=* siendo ¿r el valor inicial de la derivada de f(t). Para obtener dicho^valor a partir de la transformada de Laplace {c f(r), se multiplica (sf(s)-¿"), o sea la transformada de la derivade de l(t), por s a fin de obtener
: a,+ ? + 4 + ... s(si(s)-¿") ss' y si se hace que s + € en el llmite, se tendrá al
fims(si(s)-q) : o, -;f{Dl,=",
(24)
Procediendode manera similar, se podría obtener el valor inicial & todas y cada una de las derivadas de f(r) sin necesidadde evaluar expli citamehte l(r). Esta es precisamente la importancia del teorema aDtF rior. Ejemplo 10 Considéreseel siguiente par f(t) - eat sen,f; l(s) :
(s+ft)'+,'
El límite de l(r) cuando f -+0+, es: lím ef' s€n ott= O +tl)+
Si se utiliza el teorema del valor inicial se puede encontrar dicbo límite aunque no se conozcaexplícitamentel(r)
ríml(r) =r"'*"f(r): líms1;#4;
=
1T+s * 2 k * -* -
a =Q
que es el mismo resultado que se obtuvo anteriormente. 3.9. Toonema del valor final Supóngase ahora que interesa conocer el valor final de l(r)
esto es
lím l(t) t+o
Para ello basta con observar que
lf?) - f(o)l=}4 f (t)-f(o) lia I.tG)do: 1íT t-t+o Jo Ot'
(2s¡
además
+gl" i6¡a"= lig.f- í{')"'"do- ri* tsi(s)-l(o)l lím 8-l)
si(s)-l(o)
(26',|
AptodcA S9r De las ecuacionesE y ú se concluye que
si(s) üm f(r) - t¡m a+l) t+o y a esta ultima relación se le conoce con el nombre de teorema del valor fínal. El teorema anterior solo tiene aplicación en el caso de que lfm l(t) exista y sea finito. Ejemplo 1I Considérese
tG) - l-€-' entonces r ll l ( s ) = -s -
l:=
s ( s+l)
s+r
MÍr' ):lig " i(" ):y**=
t
io cual puede comprobarse directamente obteniendo Considéreseahora f(t) - et cuyo tlgg fkl
"l $g no existe.
tQ) - t
En este caso el teorema del valor final da un resultado erróneo que s,=0. predice que lím sl]r¡=lím r_os*I {
Tranefomada
invcrsa
de Laplace
El problema que se tratani en esta sección es encontrar una función del tiempo l(l) de la cual se conoce su transformada de Laplace. Formalmente, Ia transformada inversa de Laplace está definida con lia ecuación
¿''{f(s)}= f(t) =
* iúd, +l-.^oo,t.tti(oo
(27)
donde oo€Sur número real que está dentro de la región de convergencia definida al principio de la sección 1.3. La trayectoria de integración de la ecuación 27 puede verse en la figura 5.
Trayctoria de integración
Fl¡un 5. Traycctor¡a de intcgración dc la transf<¡rmada invcrsa dc Laplauc.
392 Apénüce A La integral 27 se puede evaluar en forma cerrada, por medio de ta' blas o calcularse con computadora digital. Se examinará aquí un método para obtener la transformada inversa de cierto tipo de funciones que ocurren a menudo en la práctica y que son las dadas por cocientes de polinomios. El punto de vista que se adoptará es el iiguiente: si f(s) puede expresarse como una suma de términos de los cuales se conoce la función del tiempo que les colTesponde, entonces debido a la linealidad de la transforn:ada de Laplace, se podrá conocer la función del tiempo de la cual l(s) es transformada de Laplace. Ejemplo 12 ^lll Sil(s)=a+ --'\-'
s
s*l
entoncesdebidoaque
+ 7¡ (s*2)''
I{*'1t¡¡ : Ls I t s*l
:
!{rtu-,(t)}
:,,1=. = -t . { t e -" u -r(t )} (s * 2 )' por la propiedad de linealidad se tiene que f(t) : ¿-¡f(s)l - {l + e-t+ te-"t}u(t) 4.1. Mérodo de fracciones parciales El método que será utilizado para obtener la transformada inversa de Laplace es el que se denomina de fracciones parciales. Al respecto, supóngase que
q (s ) p (s )
i('):
donde p(s) y q(s) son polinomios de grados n y m respectivamente, siendo n ) m. Además considérese que la n raíces de p(s) son distintas; en'tal caso p(s) : (s-c')(s-
o,). . .(s-o")
.En las condiciones anteriores es posible escribir la siguiente igualdad q (s )
i("):8:
(s-o' )(s-or).
At
: j["¡-
Az
1s-"0
-T ' "
. .(s-a" ) An
G-".)
El problema entonces se reduce a determinar los valores de A,, A. ... A, llamados residuos, a fin de que la igualdad anterior se cumpla. Uno de los métodos para determinar estos residuos es: si se multiplica
Apénüco.lt ¡t98 la igualdad anterior por (s-a.), se obtendrá (s-c¡)g(s) (s-or) l(s) : (s-c¡)(s-or) ...(s-or) .
(s-',)..
(s-o,)
(s -c r)
(s - cr)
...(s-o,)
=.--¡-Íaz5
+ ... At* ... á"Í"-*l (S-q¡, y si se obtiene sl límifs de (s-a,)
i(s) cuando s--rc¡ resulta lfm (s-c¡) i(s) = ¿
(28)
aJat
por supuesto, lo anterior se puede hacer para cualquier valor de i. Eiemplo 13 Considérese
= i(")=sf+3 =1"1t s+2 Factorizandoel denominadorde f(") ." ,1"r" n* :-. 2 s+3
r(s)-fuD
puüéndose escribir t.
At
l (s ):s +l +rE
A,
Los valores de A' y Az están dados por la ecuación 28; .
g ¿,= (s*rl it"ll = 2(-l)+ -cfEJ::' t¡*r
Fr
tanto
/^ll (s):r+t+rE crespondiéndole en el tiempo la función f(t) : {e-,+ r,r} u-,(t). ft.l.
R¡íeee repeüdas
En caso que p(s) tenga ralces__repetidas se procede de la siguiente Ercta: supótrgase que una de ellas, ar, €stá repetida r veces, esto es p(s) = (s-c,)'(s-cr)(s-cr). lr cryansión
. . (s-o,_,*,)
en fracciones toma la forma
itrl=n9l--B'-r p(s) (s-o,)
A' ' F"
."'-+...+,8' ' (s-o,)* "r' ¡ (.s-a,)'' * (s-o,)
(]f,J
t' (29)
394 A¡Énüce A Nótese que para obtener los residuos Ar, A", . . ., An-¡+t,el método presentado en el párrafo anterior es adecuado pues al multiplicar sólo quedará el término n-/*1, f(s) por (s-or) donde i:2,3,... A¡ en el lado derecho de la ecuación; sin embargo, para evaluar los residuos Br, Br, ... Br, el procedimiento no funciona, ya que al hacer la evaluación en s - cr, los términos B, B, B"
'15_'')'-
G:-.¡,-G;ir,'
tienden a infinito. Por tanto hay que recurrir a otro artificio. Al multiplicar flr¡ pot (s-o,)', la ecuácién(29)queda (s -o r)' i(" ) : (s -o r)' -' 8 , * (s -o ' )* ' B r+ .. . á' á' O'-'*' * (s-or) B " -, * 8 , + (s -c , ¡, [ +' - +' .".' . , (s -o, - , * rr)ll K s -o r) (s -c r)
(30)
Para facilitar las manipulaciones posteriores se llamará á(r) u A" Ar_,t, A, . ' (s-qr)
(s-or)
'
"'
- 15-t"; 30 en s:
Al evaluar ambos lados de la ecuación
rrl, se obtendrá
B, : (s-a,)'i(r) l,*.
pues los términos restantes son cero por tener como coeficiente a (s-c')¡. Véamos ahora cómo calcular los residuos Br, 8", ... B-r. Si se deriva la ecuación 30 con respecto a s, se tendrá d,, = (r- 1)(s-o')'' B' + {(s-"')'l(s)} ;;
*(r-2 )(s- o,) ' - ' B" * ... ! B,- r * ( s- a,) ' !*e< t> * r ( s-a,) " - 'á( s ) al evaluar esta expresión en s : ar, se obtiene la siguiente igualdad:
=Br-t ft{r-.')'rt"r,l"=,,
( 3 1)
Utilizando el mismo procedimiento, derivando de nuevo y calculando el resultado en s :
+ Kl
*[( s- o,) ' l( s) l
dS"
t=cr
: B,- r
k : 0 , 1 , . . . , r-l Ejemplo 14 Si l(s) está dado por
r= i( r ) : s "= ' '(s * I ) su expansiónen fraccionesparciales es :.-
l( s ) - - +
B,
Br
.r,
+
B"
",
A¿
*r+r
(32¡
A¡ñdoA uülizando el método expuesto anteriorurente para calcular los resi. duos, se obtiene .. á,:( s* t) l ( s)' l
I
:c
lror
I
=-l
S'
a-!
E"=s,i(s)l; *f ,,,=r
,,: *Ls,i(s)) _#*|._=_, : : *,"hrl.* 1,."
= =I#i¡l.-=, +*t- #] f"', ', r*{.*i(s)} l,_=
por tanto ..
llll
f(s )=:-;+---sszsss+l correspondiéndole en el dominio del tiempo
r(t)=
T''!)'1*Y'"i::t;(t)-
q'u-'(r) =
cuando existe más de una ralz repetida, se utiliza el mismo procedimiento para cada una de ellas. Hay otras maneras de realizar la expansión en fracciones parcialeq particularmente en aquellos casos en los cuales existen ralces repetidas. Fuesto que la suma de los térmrnos Bt
B'
(s -a ' )
-
B,
J - ...
(s -o ' )'
(s-or)'
puede escribirse como Cr-r St-r *
Cn"s"-3 *
...
G
(s-o')' en lugar de evaluar los residuos Br podrfa pensarse en evaluar los -en coeficientes c¡. Para ilustrar como se este caso, nos valdrefrocede mos de un eiemplo: Ejemplo I5 Si
i(r):+ .s"(s+I ) se plantea la ecuación ?t -,
,.-'?
I
ffi:--.
C'sr*Crs*Cn
á,
--"-;I-T
El valor de .ár se puede calcular utilizando el métod. estudiado ante-
8qi
396 A¡Énüce A riormente, esto es
:+1"_,--l
= (s+t,i',1,=_,
A,
una vez obtenido este valor, se suman las fracciones del lado derecho (s{ I )(C,s'*C's*Co) -s'
I .;G+T=
s ' (s * I )
de donde se obtiene que 1 : (s*1)(C,s, * Crs * Co) - s, .'. I - (C,-l)s'* (C,*C,)s'+ (C,+Co)s+C, Los coeficientes de las potencias de s. deberán ser iguales en ambos lados de la ecuación. Esto producirá una serie de ecuaciones lineales que determinarán los valores de los coeficientes C¡. En el caso particular que nos ocupa, esas ecuacionesson: Cr- 1:0 Cr*C":O Cr * C,,:0 Cu:l
y su soluciónes C¿: l,
Ct :
C,,= I
-1,
entonces I
t( r +D
:-
I
s'-s*l
r'
-i
r+f
1
I
ll
F-
r'
-
r +t
que es el mismo resultado que se obtuvo en el ejemplo anterior. Veamos por último lo que sucede cuan{o el grado del numerador es mayor o igual al del denominador siendo l(s) una función racional. En este caso se procede a hacer una división larga hasta que el residuo sea de gra.do menor que el del divisor. Específicamente,si :. l(s ) :
anns^ *
bs,\
(L* tsm-1 *
h, s' +
"'
-
ats
*
a,,
bs + h;
t'r ? tt
entonces,i(r) p,r"d" expresarsecomo
t+ "' r ,' * a ( s ) r s^ i( t) : D' ,s" t"* D^ - o - u fri d<¡ndelos coeficientesD,,-,, D,,.,-,, ..., D,, se c¡btienenpor medic¡de la divlsión larga. La tracción que queda pertenece a la clase de funciones que fueron estudiadas anteri<.¡rmente,y por tanto, puede expresarse en fracciones parciales. F.ientplo I6 Si /(s) :
s"+s'*3s*l
s +s'*3s*l
(s* l)(s*2)
s *3.s*2
Apé.ndice A 597 la división larga se obtiene
s-2 s,*3s*2 f-s,lf -st-3s'-2s
-2s¿*sf I 2s'!*6s*4
G
+ +I +s + 2 vi t r l: s - z +r'+3s+2 = 1 T=1 :s - 2 - s* La única dificultad que se nos presenta es identificar las funciones del tiempo a las que corresponde una transfonnada de Laplace 1, s, s', etc. Este es el tema que se estudiará en la siguiente sección. 5. Funciones generalizadae Se desea encontrar la transformada inversa de 1. Para ello se utilizarán dos resultados obtenidos anteriormente. a) L^transformada
de Laplace de un escalón unitario z.(r)
es I s
t{ es f(r), entonces #f(¿)} {, f(r) l(0)}.
b) si r{fi)\.,
Sc había definido el escalón unitario como
y se tiene que
i:ll í;B "-,(,)={? t' {
o2;"
} : {"(
¿r_,(o)} "1)-
p€ro por la definición dada
a-,(0) - 0 lucgcl
t ( #¿ - , ( r ) )-l
( 33)
Entonces la derivada de un escalón tiene una transformada de Laplace igual a la unidad, pero al examinar la función escalón unitario se cbserva que la derivada es cero para t ) 0 y f ( 0 y no está definida en ¡ =0 por haber una discontinuidad en ese punto (figura ó).
Para entender el significado de
d
7¡ u-r(t)
es necesario extender el
concepto de derivada a funciones con discontinuidades, y este es el tema que se tratará a continuación.
398 Apóndice A
u-r(t)
nalu¡ 6. Gráfica de la función escalón y de su de rivada.
5.1. Obtención de la derivada de .'n escalón r¡nit¡rio La manera convencional en que se define la derivada de una función es
df( t) -
dt
,? ¡ 1t+ ,\- ÍG) ttñ
¿-ú
a
pero no es aplicable a funciones discontinuas en los puntos de discontinuidad porque rr_ f G + " )-f (t )
1*-
,
es diferente cuando ¿ tiende a cero del lado positivo que cuando la hace del lado negativo. Otra manera alternativa de definir la derivada de una función se basa en la fórmula de integración por partes: i(l) es la derivada de .r(r) en el intervalo a 1t 1á, si para cualquier función v(r) (que tenga derivadas) se cumple que
: p(t)x,t, lt,;,*dt l.-,f
b,v(t)*(t)dt
La definición anterior será utilizada para enconrr^,
!,
(34)
u-r(t). Considé-
rese el problema de evaluar la integral
f' u- ,( t) v( t) dt
(3s)
J -'
Si se sustituye r,r-,(f) por su valor, la integral 35 queda ¡!1
Pl
I a- ' ( r )i,( üdt - - .lr o i( t) dt: u( 1) - v( 0) J_i
(3ó)
Ahora, si se emplea en la ecuación 3.( la fórmula de integración Por partes, se tiene que
J'
ü-(t)v(t)dt t)dt- u:,(t)v(t) a-,(r)ü( l-,'-J-,
( 32¡
Apénüoe A 399 Al sustituir ur(t) por su valor resulta que 1
fl
I a - ' ( r ) ú ( t )d t: u -,(r)v(r)-u -,(-l )u ( - l) ¡l -r
|r1
+ | L,U) v( t) dt J-1 _r
¡rl
= v(l ) -J_,¿-,(r)v(t)dt f r
I u - , ( t ) i ( t)d .t:v(l )-[ ¡l-r
I r
( 38)
L ,G\v(t) dr
.l -t
Si las ecuaciones36 y 37 se igualan, entonces resulta u(l) -u(0) : r,(l) - [' O,(r) v (t )d t ¡l -¡
o sea cr v(0) =l_,tt-'(t)v(t)dt
(39)
por lo que se concluye que a) la derivada de u-r(t) deberá ser cero para f > 0 ó) ia derivada de w,(t) deberá cumplir la ecuación 39. La manera de obtener una función que cumpla con a) y á) será tomando w'(t) como el límite de una sucesión. La función *r(t) se puede considerar como el límite de una sucesión infinita de funciónes u"(t), ut'r(t), ... u("r(t), ... dadas por
para r
lo :l r, It tt
(40)
para ,ri
D:chas funciones se muestran en la figura 7. En la figura 7 pueüe verse que conforme n crece, u|"t(t) se asemeja -as a u-'(t). Esto implica que al aumentar n, la integral,
fr
estoes | . n'',(r)u(r)dr se aproxima^ ) -,n,(r)v(t)dt, -
t"T
I
fr ("t(t)v(t)dr = u-,(t)v(t)dt J _," t _. f
:or lo cual es posible sustituir u-r(t) por lím u6t(t).
La derivada de
d I
4{X) Apénüce A A'
u (rt (t)
t.,
L.
ut"t(t) esta dada por
p a ra f < 0 p a ra 0 < r(l p a ra t > -
I
(41)
n
I n
.La gráfica de esta función corresponde a la figura 8. U r" r(t)
Figun 8. Gnífica de ¡r">(t).
t El objetivo ahora es probar que la derivada del escalón unitario u(t) es el límite de ún,(t) esto es
lím ü,") ( l)=1u- ,( t) D-)@
(42)
dt
Para ello basta probar que para toda función v(l) regla de integración por partes
se cumple la
d t : v( t) u - ,( t) - ' ,v( t) ü ,,(r) u ( r ) a rt)- ,( dt J, l, f De la ecuación 39 se sabe que la regla de integración por partes se
Apénüce A 4.01
que --umplirá si es cierto 11 = Hm r.,(0) I _r v(t)ú'"t(t) d t ¿-'o
(43)
J
La ecuación 43 se Prueba así: la 41, se tiene que Ái sustituir ¡r"t(t) pot tu valor, dado en F 7/n
( 44)
¿ I nvQ\dt l í m.[' á '" '1 )v(t)d t: l íT Jo
¡-)@.,
"-'-
-1
porw(r) -l' uQ)d', Al definir ahora una nueva función w(r) dada J-t ¡--n to n c €S' í v ( t ) :
v (t).
Introduciendo
w(r)
en la ecuación 44, se obtiene
F r/n
Hm I n -n J
Pl/t
nvj)dt: u
lím I n,iv(t)dt: lí m r ' €Jo
w (l /n)
;'n
-i l l (0)
lln
que .,¡ cual, por definición convencional de derivada, implica
w (rl n ) -w (0 )'-'h(o): v(o )' ,,r,y,,,\aff Esto indica que para toda función u(l) lim I ,--
ut^ t(t\v(t)dr- v(0 )
(4s)
J -t
:.-: :anto, se ve que
: -- es lo que deseábamos Probar' una función' D'ce constatarse,sin embargo,que este límite no es de lonintervalo .-, ;-. ri "'(/), loule t"ro en todó ei eje excepto en un una integral es la unidad. Al tomar el límite se tendría ;:-:11'su ----:rn que vale cero en todo el eje excepto en un- pu-ntg y tendrá área ya que todo rectángulo de base cero'tiene -:-:.::a. Esto no puede ser, tr
L-:3
--3 f
O.
se .resuelve de una manera simrlar al surgido cort :-:l,_:lo conflicto de inr"ntando i. La respuesta consiste en ampliar el concepto como --:,:' -: definiendo función generaliTada es una función generalizada' - Cualquier función o'rdinaria de funciones generalizadas es sucesión - El límite de cualquier :na función generalizada. -:.:funcióngeneralizadasiempretienesuderivadadefinida'siendo :::¡ también una función generalizada' el límite de Ia suEn eI caso en cuestion,"ta derivada de ¿¿-'(f) es cuando ¿ tiende a infinito' Este límite ¡esión de funcion'---j''(r)
4O2 Apénüce A se llama ímpulso unitario y se representa comrr u4lt). A veccs también se denomina delta de Dirac y se representa por 8(r). 5.2. Observaeiones i) Como la función generalizada u"(t) vale cero para t ( 0 y para / > 0, los límites de la integral del lado derecho de la ecuación(38) pueden cambiarse a {0, co}, resultando entonces que [*a"(r)v(r) dt: -
it'(o) \-/
(4ó)
.ro
Se puede probar además mediante un cambio de variable ¡: que
f-
u , , { r - r ) v ( t ) d:t v ( T )
t-7,
((47)
ii) Es factible lograr la misma función generalizada a partir de diversos procesos de aproximación. Por ejemplo uo(t) puede obtenerse g'"'(¡) o como l# h'"'(t) (figura 9). como I*
g'"'(t)
g" ' ( f )
s"'' : l+;ñe-'I!/!n ¡rzt (t)
¡,' t (t)
Figura 9. Dos sucesiones de función cuyo límite es u, , ( t ) '
h(,t(t)
:
para f(0 f0 ln'tpara01t1l/n I Z/"-nlt para l/n 1 t 12/n \0 para t)2/n
ApénfloeA403 iii) La transformada de un irnpulso unitario es l, lo cual puede probarse utilizando la definición de transformada y la propiedad de ta ecuación 50
f{la?)} =t-,u(ü.atf,¡=
t "-'l ro=
(48)
o bien definiendo ¿¿o(r)como lím ¿(')(r). Obsérveseque tt.",(t)- n {u-{t)-u-, (r
\
- I )l nl
Aprovechando la linealidad de la transformada se tiene que (t)} - n-c{tt-,(t)-n -c,{tr",,
(r - ] )l - n r¡/ \
1-e-"o s
Utilizando la regla de L'Hopital y haciendo c : l/n, puede verse que
= H{L(s}: tím¿{t)@(r)}
(1-"2: r. Líg.
derivsrse,generauna familia de du"(t) ' ' 'la denvaú^ funcionesgeneralizadas. Para obtener aProxrmese iv) tl ,*Jrrc
unitario )rr,al
T, ao(r) por la serie de funcion"r ¿t"r(/) de la figura 9 o sea
u,(t) - lfihatG) entonces
o\|') at
--r'it",(.r). r.{
La derivada de aa,(.r) se llama a veces doblete unitario y se repre. s€nta como u'(r) (figura 10).
Figur¡ 10. Gráfica de ¡tnt(t) ut(t) = tt-
¿tar(f )
a0{ ApÉdiceA Empleando un método parecido al utilizado al deducir las ecuaciones 4ó y 47, es fácil probar lo siguiente: l@
l.
u,(t)f(t)dt: -f(o)
P@
l^u,G-t) fG)dt:
(4e)
-/1r,¡
Nótese que ht"t(t¡ se puede representar mediante una suma de es calones unitario con diferentes desplazamientos: , < , t (t l : n " { u -t (t )-2 u -t (, -: )*
, -, (, -' r),
La transformada de a'(r) viene dada por
-:) lu-,(t)-z*,(, .. -n'(L-2eu/n *. "-,(| ¡ -a2 ll. ligtff): )J):
+ e-2'h),
I ,, i $r','(r-e-E/n)2
s2
:-=s s luego
t{ u,( t) } - s
(s0)
Puedeprobarse que en general,si se define
- fitr"{t) ot*(t) entonces
J{ar(r)} - $ y que
ry\^ l- u*atcodt:(-r)* TABII\
A.f.
Transformada
de Laplace de algu"as funeiones
l(s) u-'(t) étu4(t) (cos <,rf ) u-'(t) (sen rt) u-r(t) dtc
6 u a lt )
.l/s I
s 2 + -' (r,
s'*^" st
(s2)
APEND!CE
1.
Introducción
En este apéndice se presentan nociones de álgebra lineal, necesarias para comprender algunos conceptos y desarrollos que se incluyen en el texto, así como para introducir la notación correspondiente. Se incluyen las demostraciones de algunos teoremas atendiendo a su importancia y/o brevedad, y por ello, este apéndice en manera alguna pretende ser un sustituto de un texto sobre el tema. 2,
Espacio carlesiano de ¿ dimensiones
Se indicará como R" el conjunto de todos aquellos objetos de la forma (x',x",... ¡,) donde ri es un número real. Si entre los elementos de R" se definen las operaciones: i) la suma de dos elementos (x,, x,, . . . x^) y (y,, y,, . .. t") como (h+y', x,+y,, ... x"ty") y ii) eI producto de un elemento (x,,xz, ... r,) por un escalar o real como
(axr, axr, oh,
. . . qx,),
entonces dicho conjunto, R", se denomina espacio cartesiano d,e n dimen siones?,a su vez sus elementos se llaman rectofes y se indican con letras negritas minúsculas,por ejemplo, x, y, z. El vector (0,0,...0) se rep¡esenta mediante O. Si x, y,.z pertenecen a R" y o y p son escalares, se cumplen las siguientes relaciones: a) (x* !) * z : xf b) O + x: x c) x * I: y + x d) x+ (-x):o e)¿(xly):ax*ay f) ("+B)x=cx*Fx e) ("F)x : d(px) h) lx:x
(y-| z)
como puede verificarse fácilmente utilizando las propiedades de los uúmeros reales. 3.
Espacio vectorial real
Cualquier conjunto de objetos entre los cuales se han definido las operaciones de suma entre dos de ellos y de multiplicación por un 405
iüL
ll{)ó Apénüce B escalar y que además satisfacen las ocho condiciones de la sección an. terior, recibe el nombre de espacio vectorial reali por ejemplo, el conjunto de todas las funciones continuas de valor real definidas en el intervalo cerrado [0, 1] forman un espacio vectorial cuando se definen las operaciones siguientes: La suma de dos funciones I y g es la función i que asocia a cada valor re[0, 1] el valor h(t) : f(t) + g(t). La multiplicaciún de una función I por un escalar ¿ es la función que asocia a cad.atel0,ll, el valor *l(r). Los lz vectores(1,0,...0), (0, 1,...0)... (0,0,... 1) forman lo que se conoce como la base estándar de R" y se denotan por er, c,, . . . er, respectivamente. Es fácil verificar que cualquier vector x de R" se puede expresar como x =,rrer * x2e2+..- xner. Si se toma una colección arbitraria de n o menos vectores de R". {xt, x,, . .. x&) y otra de igual número de escalares {a,,<,",. .. dÁ.},entonces el vector y dado por y = d:xr + o?x,+ ... d¡xÁ será una combinación lineal de los vectores {x1, x,, . . . x¡}. El conjunto de todos los vectores formados por combinaciones lineales de los vectores del conjunto S : {x,, xz, . . . x¡} que pertenecen a Ro se denomina subespacio de R generad.o por S y se representa por {S}. Nótese que si w. y w:¿so4 dos elementos cualesquiera de {S}, entonces para cualquier par de escalares . y p, la combinación lineal aw1 f
P w , =w
también pertenece a {S}. En efeclo, como w1 y w: pertenecen al espacio generado por {x¡,x,, ... xr} se pueden expresar como
w, :
)7¡x,
w. :
) 6¡x,
por ranto
w : dw, + pw, = a) 7¡x¡ { B) 6¡x¡
:
)
(c7i f
É8¡ )x¡
!' por ser este vector una combinación lineal de los del coniunto {x,, x,, . . . xr}, también pertenece a {S}. Esta última condición no sólo es necesaria sino suficiente para de. finir un subespacio vectorial.
I
ApdniüceB 407 Se dice que un vector x de R" e; Iineabnente inilEwndiente de vn conjunto S de vectores de R* si x no pertenec€ a {S}; en caso contrario x es thnícafltente linealmente de S. Cuando se habla de tectotes linealtnente indepetúientes' se quiere decir que cada u¡o de ellos no pertenece al espacio generado por el resto de los vectores del conjuntb. Para demostrar que si S = (xr, x2, ... x¡) es un conjunto de vecto res linealmente independientes, entonces la condición crxr +c2x2 + ""t't¡b
- 0
(l)
implica que c¡ = O para toda i, y qúe si la ecuación I inplica que o¡ = 0 pa¡a toda !, entonces los vectores x¡ son linealmente independientes, se puede proceder asl: Supóngaseque en la ecuación I existe c¿lQ er¡tonces: x¡ = ) ---: ¡, i¿t
lo cual contradice que los vectores x¡ son linealmente independientes, porque fue posible expresar uno de ellos como una combinación lineal del resto de los del conjunto. Por otra parte, supóngase que la ecuación I implica Que a¡ : Q; 5i los vectores {x¡} fueran linealmente dependientes, entonces x¡ = )P¡x¡ ¡- por ende ) B¡x¡-x¡ = 0 lra
lo cual contradice que todos los 'coeficientes son cero. Si un conjunto 5 : {x1,xr, ... x¡} de vectores linealmente independientes generan un espacio, cualquier otra colección de vectores que generan el mismo debe tener por lo menos 7 elementos, y si tiene exactamenteese ntlmero, sus vectores deben ser linealmente indepen' dientes.En dicho caso se dice que la dimensiónilel espacio{3) es j (esto se denota generalmentecomo dim {S} = l) y que {x', x,, . . . xi} forman una base para {S}, o sea que la base de un espacio {S} es un conjunto de vectores linealmente independientesque generan el espacio. Si el conjunto {x,,xr, ... xr} forma una base para un espacio (S} y y si = a,x, * a,x, * ... a^-x¡,entonceslos c¡ son únicos; es decir, que si también y = Érxr * É¿xz* ... p¡x¡, entonces B¡ = d¡ para toda i, lo cual implica que la representaciónde. un vector con respecto a una base es única. La demostración de este hecho es sencilla, porque si
y:)B rxr
J
y = ) c ixi
408 A¡Érdice B
se tiene que al tomar la diferencia de las dos representaciones de y, se obtiene 0 : ) (B¡-cr)x¡ y debido a Ia independencialineal de los vectores {x¡}, se concluye que F; = ¿¡ para toda i, 4.
Tr¡¡rsformación üne¡l
El concepto que no solamente hace útiles sino interesantes las definiciones anteriores es el de transformrción o sea una regla que asocia a cada elemento de R" uno de R', escrito en forma simbólica como Z: R"-+¡'. La transformación Z es lineal si para todo x y todo y en Ro y cualquier par de escalares a y p, se cumple que ¿ (. x + É y ): a L (x )+ F L (y ) (La misma definición se utiliza también en el caso de transformaciones entre espaciosvectoriales reales). De una manera similar como se definieron las operaciones de suma de dos elementos y multiplicación por un escalar en un espacio vectorial, se pueden definir operaciones semejantes entre 1as transformaciones lineales. Esto es, si L, y Lz son transformacioneslineales de R" a R'" se define la ednn de L, y L, como la transformación Z de R" a R', que al elemento x de R" le asocia el elemento Z (x ): Z r(x )* Z z (x ) de R'; y la multipli.caciónde L, por un escalar d como la transformación que hace correspondera cada elementox de R" el elemento aZ,(x) de R^. El conjunto de las transformacioneslineales de R, a R. con las dos operaciones definidas arriba (suma y multiplicación), es un espacio vectorial. Ejemplo I Tómeseun vector x : (xt,x,,sct,xn) y supóngaseque la transformación ,L se define como L:(x,,x,,x.,rn) --+(x,-x,,3 x.,O). Para averiguar si es lineal se debe verificar que si x :
v
(n, r.t, x:,, Ít)
y : (y,, y,, y,, y,)
entonces
L(ax ¡ py) = cl(x) + pL(y).
Apéndice B ,l{X)
En efecto, ox+py : (ax' * lJlt, at2 + Pyz, axt i
Fys,qx{ + Py4)
Z(cx+Ér) = (ax,{ Byr-ax,- Py",3"x,+3py",0) = a(x,- t,, 3x,,0) + F(y,- y", 3y",0)-a¿(x)+p¿(y)
I
por tanto la transformación es lineal. 5.
Espacio nulo y codominio
Supóngase que f, es una transformación lineal de R" a R-; se dice que el vector * de n dimensiones, está en el espacio nulo (núcleo) de I si Z(x*) : o, y que el vector z* de m dimensiones pertenece al codominio ( recorrido) de Z si €xiste un vector xj de z dimensiones que satisface L(4) : zr, E jemplo 2 En la transformación lineal del ejemplo I se tiene que el vector (0,0, 1,8) está en el espacio nulo de Z porque ¿(0,0, 1,8) - (0-0, 3 x 0,0,0) : O. A su vez el vector (3,3,0) está en el codominio de Z po¡que L(4,r,6'2) : (3,3,0) El espacio nulo y el codominio son subespacios vectoriales de R" y R-, respectivamente. Para verificarlo sólo hace falta comprobar que . si w, y w, son elementos del subespacio, entonces para cualquier par (a, B), los elementos cw¡ { pw, lo son también. Como resultado de la aseveración anterior es posible dar las siguientes definiciones: a la dimensión del espacio nulo de -L se le denonina nulidad de la transformación Z y a la dimensión del condominio, rango de L. Si Z: R'-+ R-, nulidad de (¿) + rango (L) : n. ó.
Matrices
Supóngase que S.: {x,,x",... x,} es una base de R", entonces si L(x¡) = z¡ y éstos se conocen para i : 1,2, ... n, la transformación lineal queda especificada completamente. En efecto, supóngase que u €R"; ¿cuál es l(u)? El vector u puede expresarse como u:)c¡x¡
y por la linealidad de la transformación L se tiene que
=j ..,L(* , ) = j. . , , , z (u) = ! LG¡x ¡) Además de la base S, de R", definida arriba se denotará por S,,: {y', y,,, . . . y-} una base de R"'.
4rO Apdnilice B Entonc€s, si I(x¡) = z1= f,".11Y¡ los nrlmerosati paÍa i = 1,2, ...n y i = 1,2, ... tt especificancomple' tamente la transformación lineal üna vez que las bases S' y Se han sido escogidas,Ahora bien, hágase que R'"' represente el conjunto de todas las tablas rectangulares tn por n y de la forma lolet
t. l^,
a,tz at
Aú. A¿t
@a¡
denotadas algunas veces como (¿)¡¡. Estas tablas se llapan matrices y serán representadas por letras negritas maylsculas, por ejemplo, A, B, Z, Entonces, para cada par de bases (S',Sr) I rrña transformacióD lineal Z corresponde 'ña y sólo.una matriz m pot ?t; asl pues, sin ninguna anbigüedad puede escribirse A = {Z}¡,-¡. Ejemplo 3 Si se define la transformación ¿: Rr -+ R'¿como L:(n, xz,xs) '-+(t'-4x",
5x'-2x')
entonces, tomando tanto en Rs como en .ff las bases estándares se tiene que z(e') : z(1,0,0) : (1,0) - e1 L(oz) - L(O,l,0) : (-4,5) : -¿ler* 5e¿ L(ot) = L(0,O,1) : (0, -2) : -2e"
trx)r tanto ¿,-= l dt= 0
0 dr¡ = az' = -2
etz: -4 a.. -5
luego la matriz
-i -l'l: =f l ^ ",
{e} €R" -+ {e} €R"
De igual manera que en el caso de las transformaciones lineales, el conjunto de las matrices m por n forman un espacio vectorial lineal,
Apénüce B 4ll bajo las definiciones
adición y multiplicación por un escalar:
o-l
An
Arr
'l-1 .
":, anz
A¡¡
fa''+D,'
dl
l^,
D'" I b," I 'l
b,"
lb,,
b^J
Lb,,, b*"
"^")
_ | a^+b^ tl la-,+b^, an | "clz2 I a^
b,"
lt,,
a,,,I
a,,*bp
a,,+b,,f
azz*bzz
a,"*b""
I a^,+b.4
a^z*b¡z an
| -
l-l
otz
atTp
f aa-
a', I
^")
oa'" I
da¿" I
| aan
daz2
L*'
a.tnz
I
"^,)
Para poder justificar plenamente la equivalencia entre matrices transformacioneslineales conviene demostrar que si A : {¿,h,-.s, B = {2"}s,_,., entonces a) A1n - {L *2,h,-^, b)
oA
:
{cZr}r,-,x,
Prueba: a) Habrá que demostrar que {a+b},¡ - {L,*i,}s,-*, Para ello, simplemente tómese l'(x¡):2a¡¡y¡;
L¿(xi) =2b¡f
l= t
i ='
t
por tanto
I , ( x ¡ ) + Z " (x¡)= (¿ ,+¿ ,)(x¡)- f .'. A +B =(L ,*tr)*," e á)
Se demostrará quc
(ur¡¡) = {"r1,,}*, *, al tomar . L, ( x ¡ )
= a ) r t ¡ i! ; : jt
v por tanlo .rA =
{ , r ¿, } . , . "- ,
)cd¡i)¡ ir
@,,+ bt,) yt
412 Apéndice B I-a razón para introducir la definición de matriz es simplificar la aritmética necesaria para manipular las transformaciones lineales, siendo una de las aplicaciones encontrar el efecto producido al utilizar dos o más transformaciones lineales sucesivamente. Tómese por caso que Zr es una transformación lineal de R" a R' v que In es otra tmnsformación lineal de R' a Re, y además que S', Su y Ss son bases de los espacios R, R^ y R¡ respectivamente. A un elemento, x €R", se le aplica la transformación ¿,, esto es que I'(x) = y€R'. Ahora, al elemento y se le aplica la transformación lineal 2,, o sea Zr(y) : z€Rt'. Escrito de otra manera, se tiene que L,lL,(x)l: ". Se desea averiguar, por una parte, si es posible encontrar una transformación lineal Z de R" a R¿ tal que Z(x) : z, y por otra, cuál es la relación entre la matriz C, asociada con L, y las matrices A y B asociadas con las transformaciones .L, y t, respectivamente. Para ello se demostrará la existencia de Z, esto es, si se define Z: Z, Z' indicando la operación L(x) - L{L'(x)1, entonces Z es lineal; en verdad L(a¿¡J c2x2): üfL,(a'x' * a,x.)l : L,l",L'(x' ) + c"I' (x,l)l = L,(atY,* a"Y,) : a,L,(Y,) * ozL,(Yz) --
atZt*,azzz
Ahora bien, si se supone que las bases mencionadasarriba son J, : i.5,,Ez,... 9"_l S, - tz¡',t¡,,... q.) S.:(9r,9,,...9,) entonces, si ,'' L,(Et) :2at¡¡¡t¡;
L"(q¡) --2br¡9r
i=\
lr.1
L(E¡) : 2 cr¡qr ¡:1
se tiene que
¿"tI,(E¡)l = L"l2 at¡4¡l :
Ao¡,L,(rt')
--
Aa¡'?_brtqr
: ) f, b*¡a br¡o¡ 3, (5 ),p ¡,sr = k=r l=L i=lk=r y por ende se puede hacer la identificación ¿r, =f
bt¡a¡t
Esta última relación motiva la siguiente definición: si A es una matriz de R--" y B es üna matriz Rr'*"', entonces el producto de B por A, escrito BA, es otra matriz C, del espacio ¡i"", tal que ¿¡¡ :
) b4a¡i
Ái¡€iifbB
4IB
jj ;:q"i*'#"rrT**'jr":"*#";.H,#:r",ri$i á== ÍÍ*ji entonces BA = {Z}6,_,¡;= l.LL¡1",n, Eienplo 4
.*t":?lffi!f,rgi,
ilrt
"
& sonlasbases estándares deR!,R, y ¡..
t[::,r.;p¿f:;.?,t)^,.,, entonces L = IoL, = ( xn, 3xr_ 6*o_ o, rr_lr*, o)
aorerioros, iig$Hr'tr"T'fffi"1áo:J y ¿op"ÁT'üilplá¡l,ü 1*t¡.1"** ;,ltHTü
derasexpresiones
"=[-;t],'=li-rJ,"=fí -i-rt LóU L;-i tl asuvez l-o
-¡--l u=ls -il
r-
l, _2 o J
Lá tJ L'
lJ=
iiiii;lxs srsir:ilxl /E;i;;;; i;i:;j{jris ái[_-;]iÍis ixsri¡i,"J
|-
l0 t? l1
L0
0 -ó -2
o
-tl
-á/=c
414 Apóndlce B
Dos matrices tienen un significado especial: O, matriz con todos sus elementos cero, llamada matríz nula, e I, matriz cuadrada (m - n) éuyos elementos de la diagonal (o sea air), son la unidad y el resto son ceros, llamada motriz identídad, esto es
ol It o1 .. .'. 0l l0
; I=
L á , : :r l
Nótese que O + A - A para toda A de las mismas dimensionesde O, y que IA : AI = A, para todas las matrices A. Cuando los vectores se escriben en la siguiente forma ft
pueden ser consideradoscomo elementosde R"'1, entonces el producto Ax tiene una interpretación ya definida para cualquier A en R-'". Por esta razón, al examinar detenidamentela ecuación Ax = z, resulta ser una manera abreviada de escribir un conjunto de ecuaciones simultáneas. Frecuentemente conviene interpretar una matriz como compuesta de dos o más submatrices.Si A, B, . . . C son matrices con el mismo número de renglones,la matriz:
r'atL l
Ltz
"'
a,^ br
o,
&¡"
"'
&r' bu, br,
I
b' ,
o:" ' a"r'b1 u: ,'.'. l':' f
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btu C rL C t
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b,F cq, c,e
'''
c', I
b: ": ": '... "".' I ",', )
se denotacomo (A, B, ... C). Si las matricesA, B, ... C, tienenel mis mo número de columnas entonces la matriz 4ú
":
4u
o'.'
an¡,
Qaz
b,r b,,
b,, b,,
b^,
bu
Crr
Cn
":, ? Cpt
Ctz
Apénüce B 415
se r€presentacomo (A; B; ... C). Así, la partición de acuerdo con las columnas se indica mediante comas, y de acuerdo con los renglones por punto y coma. Por rlltimo las pariiciones de la forma
B-l
I
LC
D]
se indicancomo {(A, B); (C, D)} ó {(A; C), (s; D)). De igual manera como se definieron codominio y espacio nulo para transformaciones lineales, se definen los mismos conceptos para matrices. Se dice que un vector x ( €R*') está en el codominio de una matriz A ( e n*'¡, si existe un elemento, ( €R"") tal qqe Az: x. Un vector y ( €R"') está en el espacío nulo de la matriz A ( €R'-), si Ay : O. Estas dos definiciones ayudan a aclarar las correspondientes de transformacioneslineales. Puesto que una matriz ¡6¡"''" puede escribirse, de acuerdo con Ia anotación definida arriba, como A:
(¡' ,a r, ... a " )
donde Ar i azi 8¡=
Aú i
representan los veclores columna de la matriz, se concluye que Az = Z,ar* 2.a..* ... Z¡s¡ : x P<¡r ende, un vector x está en el codominio de una matriz A si y sólo si es una combinación lineal de los vectores columna de ella, y puesto que el rango de una transformación lineal se define como la dimensión del codominio, el rango de una matriz A (denotado generalmente como r(A)) es igual a la dimensión del espacio generado por los vectores columna de A, o dicho de otra forma, el rango de A es igual al miáximo número de vectores columna linealmente indeoendientes. De una manera semejante, un vector
está en el cspacio nulo dc la matriz A si Ax = x¡ur +.r..jo,+ ... rr¡¡:
O
416 A¡Énüce B
A cada elemento de Rn- hay asociado uno de R"- denominado traspuesto de A, que denota por A', Esta matriz tiene el elemento de la columna i y el renglón 7 de A, en la columna I y el renglón i. Ejemplo 5 El traspuesto de Ia matriz
[r
13 12 Ll
2l
l7 ls Le
6 4 0
3l 6l 8_l
7 6 3
s 4 6
el 0l 8__l
Es interesante obsetvar que r(A) - r(A')
.
o sea, que el rango de una matriz es igual al de su traspuesto. Adviértase que ésta, no implica que los codominios de A y A, coincidan. La nulidad de una matriz A (denotada como r4(á)), se define como la dimensión del espacio nulo de A. Existe un resultado que relaciona la nulidad y el rango de una matliz: si A €R,4,, entonces
n( A) + r ( L) - p 7.
Producto interior y norme
El producto de dos vectores de una misma dimensión, y por x se y se define por _ denota como (y,*> < y,x > : y.x : yúL + y2r2 + ... y"r. Esto, considerado como el producto de dos elementos de R (no como el producto de un elemento de R"' por otro de R""), se denomina producto interior estándal en Rn. Las propiedades que satisface son a) b) c) d)
(y' *y,,x.): (y',x') -l- (yz,xr) (c¡,x. =c(yr,xr) ) (y',x'> = s¡¡e¡ss5 y:0. y si :0, 20,
El espacio cartesiano con la definición de producto interior, se llama espacio euclidiano est.indar y se denota generalmente como E¡. La norma (o longitud) de un vector x en E' se define como Vx'x
Apéndice B 417 y se escribe como 1xll. Entre las propiedades de la norma se encuent!'an las siguientes:
a) llcxll:
"l l * l l b ) ll< * , v > l I I *ll llyll (desigualdad de Schwartz) c) ll* + y l l< l*ll + llyll (desigualdad del triánsulo). Por la segunda de las propiedades anteriores, se justifica definir el ángulo entre dos vectores no nulos x y y, como un número d entre 0 y r tal que COSü ^ =
x'y :-i---:-i--:-i-
-
llxll llv I
Es razonable decir que dos vectores son perpendiculares (u ortogoo ,"u cuando x'y = ¡. ". i, Si un conjunto de vectores ,ro i.rlos de E,,, {x,,x,,... xu} son ortc. gonales, esto es si x'¡x; =O para il i, entonc:s son linealmente independientes.Para demostrar esto basta tomar una combinación lineal de ellos que sea nula, esto es nales), si el ángulo entre ellos
dr x j + a! x ! f
. . . a, , x , ,
=O
y concluir que ai = O para i = 1,2, ... ni para esto se multiplica la ecuación anterior por x'¡, obteniéndose que c ix ' ¡ x ¡ : 0
y como x'¡ x¡ ) 0, se concluye Qü€ a¡ = 0 para i = 1,2, ... n B.
Solubilidad de ecuaciones lineales
Con las definiciones y observaciones presentadas hasta ahora, se cuenta con material suficiente para establecer los resultados fundamentales sobre la solubilidad de ecuacionesalgebraicas lineales. La ecuación vectorial ArK= z para A( €R'-) y z( €R-) dados, tiene una solución, si y sólo si una de la's tres condiciones equivalentes: a) z pertenece al codominio de A á) los rangos de las matrices A y (A,z) son iguales c) z es perpendicular a todos los vectores del espacio nulo de A, es cierta. Prueba: La condición (¿) equivale a decir que existe un vector x, tal que Ax = z. Para demostrar que (a) y (b) son equivalentes,basta observar que los rangos de A y (A,z) son iguales, si y sólo si z es linealmente dependiente de los vectores ct¡lumna de A. La equivalencia de (a) y (c) es más difícil de demostrar.
af8 ^{p6odfoeB Si z pertenece al codominio de A y el vector y al espacio nulo de A', entonces existe una x tal que Ax=z además A ' v -O de lo cual se deduce que ly = { Ny = x ' O = O o sea, que los vectores del codominio de A son ortogonales a los vectores del espacio nulo de A'. Tómese ahora una base del espacio nulo de n", esto es S, = {r¡r,r¡",q",... ?o} y una base para el codominio de A
S"= { E"8 ,... S} Como los vectores de {Sr} son ortogonales a los de {S'), el con' junto de vectores S s= { q ¡, ? " , . . . q " E , E " . . . S ) son r¡na base para €l espacio forr¡ado por la unirtn del codominio de A y el espacio nul,o de A,. Supóngase que A €Rirñ, entonces .A:€R"" por lo que / (x )+ n (t t )= f t pero como r(A') = r(A) se tiene que r(a )+ z (A ' )-2 . Por lo anterior {S,) es un subespaciode R-, ya que e * P -t ? (A )+ r(A )-m aún más, {&}:
R-.
Esto quiere decir que si z( €R^) es ortogonal al espacio nulo de f entonces z:)a¡l¡
Apénüce B 419 y por ende pertenece al codominio de A. Si xo es una solución de la ecuación Ax: z y el espacio nulo de A no es vacío, entonces existen muchas soluciones a la ecuación, porque si x' está en el espacio nulo de A se tiene que x0 + ax, es otra solución, A(x"+cx,)
: Axo + aAx, = z t O : z
De esta observación se concluye que una condición necesaria para que haya una sola solución de Ax: z es que las columnas de A sean linealmente independientes. Por otra parte se tendrá siempre una solución para cualquier z, sólo si el codominio de la matriz A( €R.,") es todo R'. 9.
fnverso de una matriz
Si se requiere que exista una solución única para la ecuación... Ax = z para toda z, es necesario que A sea una matriz cuadrada de columnas independientes. En dicho caso se dice que la matriz A tiene un inverso, o sea una matriz escrita A-' tal que AA-' : A-' A - I. En este caso la solución única, como puede verificarse, es x=
L-l z
Se supondrá que el lector está familiarizado con el concepto de determinante.(denotado usualmente como det A) de una matriz cuadrada, A las matrices cuadradas que tienen el determinante diferente de 0, se les llama no-singulares y, al resto, singulares. La condición para que una matriz sea no singular es equivalente a que tenga inverso. Por A (i/l) se denotará la matriz obtenida a partir de la matriz A, una vez que se le han suprimido el renglón i y la columna l. E jemplo 6
si
A =l
s zl l - rI e ó 8 0
L 4 o 2 t)
entonces
l(lt) =
a (3 /1 ) =
l-tt
--l
0l
l -4
2
1l
l-r
q
)l 8l
L i;
'-J
|
42O ApÉddtceB una marnz cuadrada (z xz) su determinante, como "_,está dado debe recordarse --'" ro"ma drr.rü ""j":*,1_ ; "n d e t A = i¿ -rrr. r ,= .
ar,detA(i/ i)
AI escalar (-l)ti ¿", O,r ,- a, y de a Ia matriz formada 0, ior denomina ad.iugada de A la ,fl-". matriz se denota como Un resultado imponanie "ai es el
para i = 1,2, ... n
y l" Ilama comúnme nte cofactor ii b. ;.i";;;;;-i"r'oro.r"ro, ." ," veces,por desgracia,adjunta). Esta siguiente:
A (adj A) _ (det A)r Prueba: Ia igualdad propuesta arriba se puede escribir como
=f ,i*, t-t¡",¿u, ^(ilil f"t^ :; f ;l La primera iguatdad es,simplemente la expresiónpara el determi_ nanre,que se dio arriba. ta ségunaa(*;;;-;; J" * po* _a" difrcil de probar). Suprínmse o gy;l il;;;r;í; Iolo difiere de r en et renglón i el cuat f"-. susiituido po"lñütd; L a. B es singular porque tit:ne dos _ renglonesiguales y det B = g, ps, ende 0 = detB = j 1-¡¡*, ¡,, detB(i/i) parte, det B (í/i) = d:t!,(¡/il, l:i:t":. ¡-- a -- yr B sólo difieren ^_ eI en r€nglónr, que se está suprimienáo. .va que rero Como a+t = b¡t, se ConCluye
o =j
1-1¡,-,* t detL(i/il
para k*i
y cuandoel determinantedet A+0 se logra
r-' -n l. taatrl Eiemflo T Sea
f-t A=14 Lr4
2 s
Apéndice B 421 'NsrrrurorrffiNEÉ?Rt8ffi t8ffifl *" entonces
l] : r - o: t
d e tA G/r): r-D,a * [i
d et^(t/2 )=<-,x0" , l]: -. *2- -2 I d e tA (r/3):t-tl ,u* [
|] = t.- ro=6
d e ta= ( 1)(1) + (2)(-2) + (3)(6) - I -4 *
1 8: 1 5
De igual manera 10; d e tA(2/1) = deta(2/2) : - 5; 0; d e tA(2/3):
det A (3/l ) = -13 11 det A(3/2) = ,tetA(3/3) = - 3
POr Énto
fr
a d j A - l -2
L6
10 -5 0
l0 o-,:rf-l rsLó -)0
-13 "1 l1 |
-3 1 -1 3. l ll I
-3J
Vectores y valores caracteríliti.os Un vector característico x*O(o autovector,vector latente "eigenvector") de una matriz cuadrada A, es aquel para el cual existe un escalar I, llamado ralor caracterísfico (o autovalor, valor latente, "eigenvalor") tal que la igualdad lO.
Ax = ,\x se cumple. De la definición antefior se concluye que si )' es un valor caractex = O; es singular, puesto que (A-rI) rístico de A, la matriz (A-rI) por consiguiente (A-rI) tiene un espacio nulo. Además, todos aquees singular, serán llos valores de s para los cuales la matriz (sI-A) caracteristicos de A. Debido a que la singularidad de una matriz es cquivalente a que su determinante sea 0, se tiene que las raíces de la ecuación P(s) : det (sI-A)
:0
4lD Apóuücc B son los valor',es caracteristicos de A. p(s) es un poliDomio en s y recibe el nombre de polinomio caracterlstico de A, Uno de los t@remas de importancia es el llamado de Cayley-Hamilton, el cual dice que si P(s) - s'*
¡'"-rs-1 * ... P's 4 ¡¡
es el polinomio caracterlstico de la matriz A entonces p(A) - A" + ¡h-,4*'+
... &A a p6I - O
La demostración de este teorema no es diflcil: Se probó en uno de los párrafos anteriores que una matriz multiplicada por su adjugada es igual a la mariz identidad multiplicada por el determinante de la matriz en cuestión; si se apüca el r€sultado a:rterior a (sI-A), se obtiene (sI-A) adj (sI-A) = {det (sI-A)}I Puesto que la matriz de cofactores (adjugada) tiene como elementos polinomios en s de grado z-1 o menor, Ia rlltima ecuación Puede Gxpresarse en la forma (sI-A)(B*'
s*' -f B"-¡sÉ + . .. B's + Bo)
- P(s)I - s"I * P*' s*'f + .. . P'sI + &I AJ igualar los coeficientes matriciales de cada una de las potencias de s, se obtienen las siguientes igualdades: Bn-' = I B*2-AB"-1 = p¡-t I B"-s-AB"-¡ = p"-¿I
B6-A8¡ = p¡I AB" : p"I
y al multiplicar la primera igualdad por A", la segundapor A"-1,s1s.,y sumar las ecuaciones,se logra O - A' + p"-rA*' * ... p'A -|. p"I I¿ importancia del teorema de Cayley-Hamilton radica en que cualquier potencia de la matriz A puede expresarse como una combinación lineal de las ¿-l primeras potencias de A, esto es
A- = 5.¡A¡
ApéniüoeB tl23 ll.
Dertvsd¡ de un¡ m¡trl¡
Los elementos de un vector o una matriz Pueden ser funciones del tiempo, Por ejemplo
o,,tDl ¿,¡(ú)"' ... a,¡(t)
c"lt)
I
*,(r):::;"(rll
La ileripada ile un Yector se
fi,,'rl
It",,, I
;G)=LdfG)
l,l
lrt"-l
y la de rma matriz como
= i<ü=*,^<,)
#..r,,ir--u' ...fi o '.tl i,*u"#,"r,,..'#',u, i,'"nu*^uu p--u,
Nótese que si
c(o = A(r)B(r) donde
C€R'-, en¡onces
e€F" "a¡**
"
B(r)+ A(r)L =[#^,', *=",r,1 *",,, 1
En efecto, como
f :
I
APEiIDICE
l.l
Identific¡ción
I
El crecímíento. ilmngrdlia de una nación puede describirse en forma simplificada por medio de la ecuación diferencial d
aP(t)
= úP(t)
en donde P(t) representa la población de la nación en el tiempo f, y c su tasa de crecimiento. si P(0) = 100 habitantes y P(10) - 1.5 x 10e. ¿) Determinar el valor de c. á) Determinar el tiempo & para el cual la población será de 2 x lOe habitantes. 1.2 Idenrlfic¡clón C,onsidéreseel circuito eléctrico mostrado en la figura 1.1.
1_
Flrur¡
v(t)
La ecuación que relaciona el volta¡'e de la fuente con la corriente en la resistencia es: y(t )
dt(t)
R...
n_+
Lr\t)= L _
Supóngaseque, en t = 0, la corriente en la inductancia es cero y que en ese instante se cierra el interruptor. Si en I = ó, la corriente a través de R es 5 amp y el valor R/1, es l0/seg, determinar los valores de R v L. 1.3 E¡timación Supóngaseque C(l) rcpresenta,en mill<¡ncsde pesos,el ¿rccrv<¡ de
f.f.
426 Ap6ndiceC 'Ii
capital de una empresa, Debido a la depreciación, el acervo C evoluciona de acuerdo con la ecuación d ¿ c (t )
= -6 c (t )
en donde 8, la toso de ilepredodón,se supone igual a 0.1. Determíneseel valor inicial del capital C(0) si C(10):500. 1.4 Oprimación A una fuente de voltaje delO voltios y resistencia interna R' = 1o se conecta, en f i 0, un circuito que consiste en una capacitancia descargada de l0 pf en serie con una resistencia R, (figura 1,2).
Figü¡r 1.2.
c - rOpf
Encuentre el valor de R'. para que E, Ia energía disipada en esta ¡ .@
resistencia, E = | i"(t)Rdr),sea mríxima.(Sugerencia:exprésesei como J,, función de R,, sustitúyaseen la expresión de la energía disipada y en¿lE _ cuéntrese Rr para Cue:*:0). 1.5 Estimación La ecuación que rige la velócidad vertical de un cuerpo en un campo gravitacional es: d v (t )
B ,.,
-7;-+úvrt)=8
en donde u(r) es Ia velocidad del cuerpo, B el coeficiente de fricción del cuerpo con el aire, M la masa del cuerpo y g la aceleraciónen el campo, Para los val,ores numéricos B/M : I y g'= lO, determínese el valor inicial de la velocidad;esto es, v(0), si v(l) - 0. 1,6 Oprimación Tómese por caso que un objeto de masa M:
I tiene una veloci-
Apóndicc C 427 dad inicial v(0) - 10 m/seg. Se desea aplicar una fue¡za l(t) detener la masa, pero de forma tal que J=l
.to
para
[f(f) +!'z(t ))d t
sea mlnima. Es posible democtrar que la fuerza óptima debe ser p¡G porcional a la velocidad; esto es
tG, = _Kv(t) a) Encuentre el valor de K que hace J mlnima (ver la sugerencia del problema 1.4). á) Determine el valor constante de I para que v(l) - Q. c) Confirme que el valor de J que se obtiene con la polltica del inciso á) es mayor que el correspondienteal inciso c). 1.7 M¡lt s tblcrta y ccrrrda En el circuito mostrado en la figura 1.3 se considera que la co rriente f es h entrada y el voltaje t" la salida. ------_-t
Fuente de corriente ¡
¿) Si se toma como planta a la parte sombreada del circuito, el sistema es de malla abierta. Escribir la ecuación que relaciona f con Y.. á) Cuando se considera al capacitor como planta y se toma f,.como entrada, el sistema es de malla cerrada. Para este caso elabore un diagrama como el de la figura 5, capítulo l. 1.8 Efoc¡os de re¡liment¡ción
II i
La realimentación se usa para disminuir las características no lineales de los sistemas. En este problema se estudia dicho efecto. La relación entrada-salidade un amplificador se muestra en la figura 1.4. Cuando la entrada varia en forma continua de cero a más de un voltio, la salida no es una fiel reproducción de la entrada.
I i
I I
I
L._
I>
a) Obtenga en forma gráfica la salida del amplificador cuando lá entrada es la que se muestra en la figura t.5. á) Al c<¡nectarel amplificador cn la f<¡rmaindicada en la figura
fl¡ur¡
1.3.
428 Apénüce C (srl¡d¡)
Figüra 1.4.
Figu.¡
1,5,
l.ó, se obtiene una nueva relación entrada-salida, Determine_la q¡rva que relaciona a(t) con y(r) y expréseseen forma gráfica la salida r(t) vs. /, cuando ¿it) es la iunción de Ia figura 1.5.
v( t) Figura 1.6.
c) Para establecer que la relación y vs. a del inciso antenor no es simplemente una reducción de la ganancia, determÍnese la curva /(t) vs. ri(r) para el sistema de la figura 1.7 y obténgase y(t) cuando z(l) es como en la fisura 1.5.
Apéi¡iIiCC 4¿9
Flgpri
l.?.
d) Compárense los resultados de los dos incisos anteriores. (Sagelencaa: para encontrar la relación entráda-salida del inciso (D) es conveniente tomar un valor de V" y establecer de alll los valores correspondientesde /(f) y de ¿(f)). 1.9 U¡os de l¡ re¡tinenr¡cftón Un sistema realimentedo consta de un amplificador de ganancia .r{ y un'dispositiVo que efectfia lá operación o (figura 1.8).
v(t) Fl¡ure l.6.
L¿ relación entre 4(t) y t(r) es aproximadamentey = o-(a) cuando el operador Ao es de ganancia alta. Esto puede deducirse de la siguiente forma: e - u-@(y) Si e es p€queño comparado con a, de la ecuación anterior, se <¡btiene u = o(y) y por tanto y = o"(u) ¿) Al considerar un sistema en que o(r) =ff obtendrá que
t
y(t) =
.on /(0) :0,
se
l.
| u(")do.
Encuéntrese la salida exacta t(l), cuando a(f) es la. función que aparec€en la figura 1.9para los valores A _ l0 y A : 1(X).Obsérvese cómo,amedidaque A aumenta,y(f) se aproxima a la integral de ¿(i). E) Considéreseahora que ut(y\ = y,. Encuentre y cuando a :9 para los valoresá: 10, A = 100 y A+ :o.
430 Apéilücc C
Figun
1.9.
l.l0
Amplificador opcrac¡on¡l
Un amplificador operacional es aquel que tiene ganancia alta (- - 10), impedancia de entrada casi infinita e impedancia de salida nula, El esquema eléctrico equivalente,que se muestra en la figura 1.10,contiene una fuente de voltaje controlada por voltaje.
Figu¡. l.lo.
Cuando se conectan dos resistenciasR, y R,, como se muestra en la figura l.ll, se tiene un circuito realimentado.CuandoA+"o la relación y/u e5 -R,/R,; variando R,, se puede obtener cualquier ganancia entre 0 y -á. a) Para el circuito de la figura 1.11, exprésese¿ en función de uy y .
Fiura
Ll l.
Apéndicc C 431
b) Sustiü1yasela expresión anterior en la ecuación y = -Ae. c) Obténgase1 en función de R,, R", A y u. d) Del inciso anterior demuestre que lím y/u -- -R"/R,. A+ú
l.ll
Realiment¡ción
Debido a defectosde construcción, la ganancia de los amplificadores que salen de una línea de producción puede tener cualquier valor entre 20 000 y 50 000. A los amplificadores se les conectan dos resistencias en la forma que se indica en la figura 1.12,
Ftgura 1.12.
La impedancia de entrada del amplificador es infinita y la'de salida es cero .¿Cuántodebe valer Rz para que las gananciasde dos amplifi cadoresrealimentadoscualesquieraque salen de la linea de producción no difieran en más de un cinco por ciento, cuando R,: lO'a? l.l2
Usos de rcaliment¡ción
La realimentación también se utiliza para reducir la proporción de señal a ruido en algunos sistemas. Considéreseuno que puede representarsepor medio de un amplificador con saturación que a la salida se le suma ruido ( figura 1.13).
Figura 1.13.
,l!|2 Apénüce C
La salida de este sistema es y(l) : s(¡) * r(l) Si máx r(t) = R, entonces es posible disminuir el efecto del ruido sobre la salida, aumentando s(¡); pero como el amplificador se satura, no puede obtenerse un valor mayor que áa, porque entonces se produciría distorsión; de esta forma, la máxima relación de señal a ruido que puede lograrse con dicho sistema es: s(r)
Aa
;(r):
R
Para aumentar la relación anterior se utiliza un sistema realimentado como el que se muestra en la figura l l4.
Fi¡un
1.14.
4) Determlnesela expresióndel m¿íximovalor de ¿ cuando r(l) - R para que el amplificador no se sature, esto es, para que
ls(r)| < á¿. ó) Obténgaset(r) en función de u(t) y r(t) en el caso que no haya saturación. c) Establézcasela relación de señal a ruido para el sistema reali mentado; o sea, si y (t ): ü u (t )+ B r(t ) encuéntrese au(t)
Wttl d) ConsidéreseA - lO', a -- l, R = lü. Para cada un<¡ de los dos casos, con realimentación y sin ella, evalúese la razón señal a ruido. Tómese como entrada el máxim<¡valor de ¿¿que no produce saturación.
Ap¿nüoe C 4AB l.l3
Regulación
El objetivo de rn regulad.or es ¡nantener la salida en un valor constante a pesar de las perturbaciones que sufra el sistema. Un aparato que usa un sistema de regulación es una plancha eléctrica, cuyo ftrncionamiento puede describirse así (figura Ll5): por medio de una resistencia electrica se calienta la lámina de metal, ésta transfiere calor a la ropa, por contacto; el objetivo del dispositivo de control es mantener constante la temperatura de la lámina, a pesar del calor transferido a la ropa.
Fi¡ura 1.15.
Si T representa la temperatura de la Limina, To la temperatura de la ropa, Q el galor generado en Ia resistencia por unidad de tiempo, Q' el calor que se transfiere a la ropa por unidad de üempo, entonces, la ecuación que relaciona estas variables es I ^dT ^ ," i= a-a,=o-T;(r-?") en donde Cr es la capacitanciatérmica de la lámina y Rr la resistencia térmica €ntre la l¡ímina y la ropa.. Supóngase que en f = 0 las temperaturas son T =To:3OoC y que los parámetrosson ^ ^kcal cr=¿-;eynr=;goC -
kcal
Se deseaque la temperatura T sea 180oC para f ) 0. a) Para lograr el objetivo anterior se hace Q=constante=3oogl. seg la temperatura I,, descienderepentinaSupóngaseque en f:5 mente a 10oC y se mantiene en ese valor hasta ú = 10. Obténgase una gráfica de ? en función del tiempo, desde f:0 hasta t = 10. Este es el funcionamiento de las planchas qt¡e carecen de mecanismosde reeulación.
434 Apendtcc C
b) Examínese ahora el comportamiento de T cuando se introduce el mecanismo regulador que hace
n , , , -_ J o s i r ( r - 0 . 5 )> r d -r'r | óoosi r(l-0.5) < r¿ en donde I¿ = l80o es la temperatura a la cual se desea mantener Ia lámina. Obténgese la gráfica de ? para el mismo intervalo de inciso anterior. Obsérvese que se producen oscilaciones. Este mecanismo de regulrción se llama "de dos posiciones" y es ampliamente usado en los reguladores industriales porque su implantación es muy económica. c) Para evitar las oscilaciones,se puede utilizar una estrategia de regulación más elaborada que consiste en generar calor en la resistencia eléctrica proporcionalmente a la diferencia entre las
temperaturas deseada I : llil:" t-^^l
Considéreseque ft = 1ó#
y Ia:
1800. Bosquéjese I en fun-
ción del tiempo para el iitervalo de f = O a t - 10. Obsérvese que ahora la temperatura I permanece casi invariable a pesar de la variación de Io. 2.t Para cada uno de los casos siguientes verifíquese que la relación entr¿da-salidano es determinista, seleccionandouna entrada para la cual existe más de una salida oue satisface la relación dada dp
a ) +(t) : u( t) dT b) tn y(t) = u(t) c) y'(t) = la(t) | d) y"(t) = u'(t) 2.2 Un sistema creado en f" = 0 tiene la relación entrada-salida y(t) - u(t'). Demuéstrese que no es causal exhibiendo dos entradas que coinci dan en el intervalo [0,4] y cuyas correspondientessalidas sean difer€ntes en ese mismo intervalo. 2.3 Considéreseel sistema creado en f":0
l i daes
g < t l - u < t l. AT
cuya relación entrada-sa-
Apóuüce C 1135
Para que sea deterministico se selecciona de todas las funciones .v(l) que satisfacenla ecuacióndiferencial,la que cumple y(2):1. _ Demuéstreseque el sistema así definido no es causal , estogierrdo dos entradas que coincidan en el intervalo [0, l], para las cuaiÉs hs salidas sean diferentes en ese mismo intervalo. 2.4 La relación entrada-salida de un sistema creado en t.:0
es
ilt) -f'g-,),G)a" a) Demuéstrese que dos segmentos de entrada iro,ror / 4¡e,¡o¡so¡ equivalentes en /o si, y sólo si, satisfacen tas dos ijualdááes lt'
[' o
_ ' lo"i(o)it" 1"" u(o)d.
{"a{"1a" :l'o o,ro)do á) Confírmese que los segmentosde entrada i(t) = t no son equivalentes en i? para el cual
i 3;ir""r""ando un segmen¡o rr,,2l
I
I
f(¡):
S{7,,,.,+ rr.,,r}+S{aro,,r* rrr,¿r}= i¡(l)
en el intervalo[1,2]. 2.5
I
Considéreseun sistema creado en L - 0 y definido por la relación cntrada-salida y(t)-y(t-1):u(t). Para que el sistema sea determinístico se cuenta con la condición adicional y(t):O para -l<¡<0. Agnipense las entradas ut, üt, us y a. (figura 2.1) de acuerdo con la clase de equivalencia a la cual pertenecen en t :2. 2.6 Considérese el sistema que se presenta en Ia figura 2.2 y que co: :esponde a la simplificación de una presa de almacenamiento. A Ia presa le llega agua por escurrimiento con un gasto u(t) m" /día ' de ella se extrae agua a un gasto constante k m" /dia. La presa tiene ':::a capacidad de almacenamiento máximo I/,,o, m", determinada Dor
,!É16Apéndice C
ffuu'¡ ¿1.
. Bcunin¡ento Altür¡
ivel de agu¿ Fl¡u!.2.2.
de g¿sto constants
Ia altura de la 'cortina. Si Ia cantidad de agua almacenada en f : O es Vo, u(tl se consideracomo la entrada y la salida en el tiémpo t se toma como la cantidad de agua almacenada, agrúpense las entradas que se dan en la figura 2.3 de acuerdo con Ia clase de equivalencia a que pertenecen en t = 10, para los siguientes datos V.¿. = lffm', y. : 0.5 X 1ffm3, ft = 10'm"/día.
Apúndicc C 437
Fhü¡
l
2.7 Un almacén de depósito inicia sus operaciones con r{ unidades de cierto producto. Las salidas del almacen en el dia & se representanpor s(ft) unidades y las órdenes de adquisición que se efectúan ese dla, por a(ft) unidades. El tiempo de entrega de las compras es de 2 días y por ello, si se representa por z(k) las existencias del almacén al fjnalizar el ftésimo día, la ecuación que relaciona las variables de interés es x(k) = x(k-i)
- s(k) + u (k -2 )
Considéreseque ro = *(0) - 5; u(k) - O para ft ( 0. Si a(ft) representa la entrada ál sisterna y x(k) la salida, agrrlpense las entr¿das dadas en Ia siguiente tabla de acuerdo con la clase de equivalencia a que pertenecenen a)
k -4
b) k -s c)
k -6
251
s(ft) 0 0 f,f,
f,J
5f5
72 65 83
t9 45 18
ó06 5lo2 0010
23.
4:18 Apéndice C
28 Un sistemacreadoen l":0
tiene la relaciónentrada-salida
¿(o) 1(t) - mráxa(c) - mín /d3.,
(l)
o
es decir, el valor de la saüda en un tiempo t es igual a la diferencia entre los valorEs máximo y mínirno de la entrada, ocurridos hasta entonces. ¿) Caracterícense las clases de equivalencia de las entradas para este sistema. b ) Un sistema físico que se puede representar así es el termóm+ tro mostmdo en la figura 2.4 que consta de tres agujas:
Fl¡u¡¡
2.,1"
La aguja A indica Ia temperatura instantánea y desplara a las agujas B y C de tal forna que éstas inücan las temperaturas máxima y mlnima, respectivamente, ocurridas hasta entonces. Para que el sistema flsico tenga como relación entrada-salida la ecuación 1, identifiquense la entrada, la salida y los estados. c) Determínense las funciones F, I y g del capítulo 2, para el sistema anterior. (Sugerencia: Para la función + represente al estado por un vector de dos componentes $l). 2.9 Se tiene un sistema cuya relación entrada-salidaes d.y(0) - 0 + 2y(t) = u(t\; ¿tQ) a) Determínense las condiciones que deben satisfacer dos entradas ur(t) y u"(t), para que pertenezcana la misma clase de equi' valenciaen t=to. b) Dé un ejemplo de un sistema físico, en el cual la relación entrada-salida pueda representarse por la ecuación diferencial dada.
ApóndtccC 4S9
2.lo La figura 2.5 rcpresenta r¡n sistema mecánico que consiste en r¡na masa v un resorte.
Aa¡r. 2.5.
l(t)
Si en ¡ = O el sistema está en reposo (la masa tiene velocidad nula y la fuerza que ejence el resorte es cero) y se aplica una ftrerza l(t), el desplazamiento está dado por la fórrrula It
r(r) = J. lsen(r-ú)] f(o)d" Si y(t) se consideracomo la saliday l(¿) como la entrada, c) Compruébeseque dos fuerzas l'(t) y l,(t) son equivalentesen f = fo si, y sólo si
r,(ro)= x,(k\ =
l¿¡
f r¡
l¿o
f to
tsentr"-'¡1 f'Gliln = J" lsen(r"-")] f'(")da t" (t"-o)] Í,G)d = (t"-")JÍ"G)do. Jo [co. J. [cos
Nota: Obsénreseque sen(r-') = sen[(r-úo) * (1"-")] : sen(t-to) cos (to-')+ cos (f -fo) sen(úo-o) D) Si el estado en el tiempo ú se representa por el vector
I f''(t) L¡"(r)I determlnese el segmento de salida y1¡, cuá[do la entrada tlr¡,o=0 Y r'(l) = ¡,(l) = l. c) Interprétese en téminos del sistema flsico el significado de !
fl
fz.
3.1 Un sistema algebraico puede definirse también como aquél en que la salida en cualquier instante r dependeexclusivamentedel valor de la entrada en ese mismo instante, o sea y(t) = glu(t)l
440 ApéndtceC donde g(.) es una función. Cuando z y ¿ estiin relacionadas por me_ dio de la ecuación
z() - !' e-eu(,)d"
( 3.1)
y se considera a ¿ como la salida y a a co¡rx) la entrada el sistema no es algebraico. a) Demuéstrese la aseveración anterior seleccionando dos entradas que coincidan en f = I y produzcan valores diferentes de z(t). b) Si se define un nuevo sistlma en el cual ta enira¿a es a y la salida es y dada por
&z "dz rG:':-al*E+Pz (z(t) definida en (3.1)). Determínenselos valores de a y B para que el sistema sea ¡lgebraico. 3,2 In{íluese para cada uno de los sistemas descritos por las relaciones entrada-salida
a) y(t): f,{n*Da" b)
y(t) = ['
zq,)d"
.t,r
c)
y(t) : u(t) * 2
d)
y(t) = signo {¿(¡_l)}
e)
y\t):
['¡.igno
u(")]do
,,0
si.,son algebraicos,de parámetros concentrados, o de parámetros dis Bosquéjesein cada *; i"-;;id;' ;; intervato _ ::b.r'g*. ru,¿zt, que corresponda la entrada a(t) = sen ,. "i 3.3 El sistemadescrito oor r,(f) = z, en donde z es el número de veces que la.e-ntrada,(r) ,ts";;;;i'ñ;;i;ri,1t, o un autómata infinito.Si l" - ""*uií¿" para cada -"f"irr-reri"üJ de entrada que pertenezca ""Á;
z1')d'.
c) y(t) : F[x,,,a¡ro.r¡] - (r + ¡") xo + [' (r + o)u(o)do. Jr.
l o tl
d) y(t) - F[xn, = tr-r"] *" * z¡rn.,rl u(")d". t t," I 3.7 Si en un sistema lineal se satisfacen las igualdades F [x..,1¿'] - /. F l2*,, u,-) = y, determl¡reseF [x",0] y F fo, u,f en función de y, y y,. 3.8 Conflrmese que el sistema s,: t(t) = F [xo,¿rr¡,¡]= *u + [' ,bu(o)ito es lineal, mientras que no lo es el sistema &: y(r) = F[xo,a¡r,"rr1=
',
+ [l bu!)ilo * a
442 Apóniltcc C en donde tr es un v€ctor constante diferente de cero. ¿Cuál de las pro piedades de homogeneidad o superposición viola el sistema Sz? :¡.9 En .el capltulo 3 se demostró que los sistemas que cumplen con una relación entrada-salida yt'",u) = hly@_lt(t),,t*zt(t) ... y(t), u(t\, tJ son dinámicos y de dimensión n En la prueba se estableció que dichos sistemas admiten una representación por medio de ecuaciones de Ia fo¡ma x = f(x, ¿, l) y -- g(x, u, t) donde x tiene ,? componentes. Una generalización del caso anterior se puede lograr cuando ft no sólo es función de a(r), sino de sus r¡-1 primeras derivadas. Para. ejemplificar dicha generalizació¡i, demuéstrese que la relación entre y(t) y a(f) que se logra con las ecuaciones
[;:13 ] =l-l-ll I rul] * l?l"r', YQ ) - U s if . r , ( r ) l L ",(f)I es la misma que la ecuación diferencial ytor(t)+ 3y(1)(ú)+ 2r(t) : Su\'\(t) + 4u(t) (Sugercncía: en la representación por medio de variables de estado, elimfnense las variables tr ! rz). 3.lo Es más factible representai un mayor nrlmero de sistemas por medio de ecuaciones
x ( ¡ ) - r lx ( ¡ ) , ¿ ( r ) l y(t) - glx(t), u(t)l
( 3.2) ( 3.3)
donde tanto a como y son escalares, que por medio de una ecuación diferencial de orden z. Pcr eiemplo, la relación entre ¿¿y y que implican las ecuacionesdiferenciales simultáneas
h'lt, z, u1= ¡ h"ly, z'J -- 2 no puede representarse por una sola ecuación diferencial
( 3.4)
(3.s) pero
si
Apónüo
admite una ftprcseutación por m€dio de ecr¡aciones de la forma de (3¿) y (3.3). Detemlnense f y g para que (32) y (33) rcprescoten la relación entnea y y de las ecuaciones(3.a) y (3.5). (Ayuda: procédase de manera similar a la usada en la seccióu 5 del ca¡r-lürlo 3. utilizaodo como variables de estado tt - Y; ,z = z), 3.ll Un sistema está rcpr€sentado por la ecuación diferencial
# . + + $ = a u +S Encuéntrense los parámetros a, b, c y d para que la relación entrada-salida del sistema
Ir]=[: ]l[r:].
[
:
]*',
y(r)=[o tff ,, I
L ''J
sea la misma que la de Ia ecuación diferencial. 3.12 Para el sistema descrito por la ecrración de difertncias
r(r<)+ sr(¡-l) + 6v(k-2)= u(k-2) encuéntrense unas matrices F, G, H y f para que las ecuaciones
x(fr+l )=h (e )+Gu( &) y(l c)=l l x(& )+Ju( &) lo rqrresenten.(Sugerencia:use ¡r(&) = y(ft), ¡¡(ft) = y(t-f) método análogo al de la sscción5, capltulo 3).
y un
4,1 En el circuito mostrado en la figura 4.1 considérensecomo €útred¡ el voltaje.v(f) de la fuente y como salida el volaJe V', Escdbanselas
+
F||m 4'r.
C 4,tlil
444 Apéndice C
ecuacionesde los elementos y de conjunto, encuéntreseuna rePresen' tación del sistema por medio de un modelo en variables de estado y expréselo en forma matricial. 4.2 Considéreseuna versión linealizada del sistema hidromecánico mos' trado en la figura 4.2.
-l I
o Fi¡ure
,
i1"2.
Th
#
El tanque es de sección uniforme A y el sistema mecánico, formapor el flotado., la palanca y la válvula, tiene un momento de inercia do J cán respecto al punio de apoyo. La resistencia hidrá"lica es tal que la relación entre l; alttra h áel fluido, el gasto Q" y el ángulo d de la palanca es q" - k, h-k"o El par neto que se ejerce sobre el sistema mecánico, por efecto cle la gravedad y la fuerza del fluido sobre el flotador es T : k,,h-k,0 La entrada al sistema es el gasto q, y la salida la velocidad angular de la palanca. Identifiquense las variables que representan el éstado del sistema y determínense las ecuaciones que rigen su comrrortamiento, en la forma i=Ax+br, Y=cx+du en donde x es el estado del sistema.
I I
Apóodioe C ,146
4.3 Ca¡ncitancia fluídica En este problema se examinará, más detalladamente que en las notas, el cor¡cepto de capacitanciá fluídica. I ,
¿) Cuando se cuenta con un fluido incompresible, y una cámara en forma de cilindro con paredes cornrgadas (flexibles) y bases rígidas como se muestra en la figura 4.3, se tiene una capacitancia fluldica, elemento extensamente usado en sistemas de con trol industrial. l-rnio! rlgid!
Fl¡un
4.3.
Fi¡un
4.4.
L¡n¡nr flarlbta
I-as paredes flexibles actúan como un ¡esorte y ejercen una fu! erza. kx en donde /c es una consta¡rte y r el despt'?lmiento de la base del fuelle.- El gasto Q. (gm/seg) que entra al cilindro está relacionadocon el vólumen y de éste por medio de la ley de conservación de masa por medio de la ecuación
O^= r# en donde v es el volumen del cilindro y p el peso especlfico del fluido. Si Cy es Ia capacitancia fluÍdica o sea ctE : ^dP
Q-
donde P es la presión del fluido dentro del recipiente, demuéstre se que ^ .K PA" en donde á es el área de la base del fuelle. ó) Cuando se cuenta con un fluido compresible (aire, por ejemplo) y un recipiente de volumen constante (figura 4,4) se tlene también una capacitancia flufdica.
{4ó Apóndfcc C
Q. (gm/seg) reprresentael gasto de gas que se introduc€ al recipiente y P la presión dentro de é1. La relación entre éstas, está Cada por dP Q^ - CtZ; Ilemuestrese que
^ v=w -ñ¡ir, vt en donde R es una constante universal, ul el peso molecular del gas y T la temperatura absoluta del mismo; utilícese la ley de conservación de masa y el hecho que en un gas ideal PV = mRTlw en donde rz es la masa contenida en el recipiente. 4.4 Selecclón de las variable€ de est¡do En este problema se ilustrará que la representación del estado de un sistema no es única y que si dos representaciones son adecuadas debe existir entr€ ellas una transformación no singular. Considérese el circuito de la figura 4.5, en que todos los elementos son unitarios.
,!t'92 ' l ^¡^
Rr +
R,
* l tt
1)"-C
v (ú ) na¡n
:-r¡l t
íLl
+ L
YL
45"
Si y(¡) es la entrada y r'(r) sistema en que
es la salida encuéntreseun modelo del
a) Las variables que representan el estado del sistema sea v" e i¿. b) Las variables de estacioseanlz ! 1sr. c) Encuéntresela matriz Il, tal que
[;:] =[l; k::][r ] y compruébeseque es no singular.
Ap6naüc.C {47
4.t Si en el circuito mostrado en la figura 4.óse consideran, como en-
R ¡=5
R¡= ó
.r
v",lc, - I
V",
Cz=l
nfur¡
46.
fL!¡¡.
4.?.
lrada a la corriente I de Ia fuente y como salida a la corriente ir, a) Seleccióneseun conjunto de variables que t€presenten el estado del sistema, á) Encuéntrense las ecuaciones de estado que rigen el comportamiento del sistema. ,L6 Dado el circuito de la figura 4.7,
+ V
c &de
las leyes de los elementos A y B son di^ V;* air =V t
y
d,v a E+
^tv" P Z ; + . ¡V a = it
q:ctiyamente, con a, p y y números reales, encuéntrese un modelo d slstema en variables de estado y expréselo en la forma *-A x+ba
Y =ü +d u
L7 Casidérese el sistema neumático mostEdo en la figura 4.8,
448 Apdndice C
y-4
Figure
,l.8.
en donde M y r P" R' = R, et,ez Pr,Pz á
es la masa del pistón es la posición del pistón es la posición de la lengüeta es la presión de suministro son ¡€sistenciasneumáticas son gastos del fluido por las boqtrillas de escape (lt/seg) son presiones es el área transversal del pistón.
Las boquillas de escape son idénticas y las relaciones entre las variables son qr:aP t-px
qz:aP"*Fx
donde c y p son riúmeros reales. La lengüeta, que está sujeta en su parte superior, regula el gasto de fluido por las boquillas; si la lengüeta se acerca a la boquilla del lado derecho, el gasto q, será menor que gr. Esta diferencia entre los gastos induce una diferencia de presiones en los tubos que alimentan la cámara del pistón de masa M; esta diferencia de presiones hace que el pistón se desplace hacia la izquierda si P, ) P, y viceversa. Tome como entradas al sistema p., la presión de suministro y *, la posición de la lengüeta. Considéreseque /, la posición del pistón, es la salida. Encuéntreseun modelo del sistema en variables de estado, bajo la suposición que el fluido es incompresible. 4,8 Para medir la aceleración se usa un dispositivo llamado aaelerómetro, que puede representarsecomo en la figura 4.9, ¿ es la aceleración del marco de masa M, y / es la posición de la rnasa M" con respecto al marco. Considéreseque ¿ es la entrada y I la salida. Encuéntreseun modelo matemático del sistema v exDréselo en variables de estado en forma matricial.
ApéndtcoC 449
fh¡r.
,1.9 Reducción del número de vari¡blee do oetado La evolución de la economía de un país puede modelarse con las té€nicasdesamolladasen este capítulo. Las variables relevantesque se utilizan en este modelo son: f
el tiempo.
N (r ) población total del país (nlmero de personas). número de habitantes incorporados a la fuerza de trabajo (número de personas), K( r) acervo de capital (máquinas, edificios, etc.) ($). Y( t) prod.uctointerno bruto ($/unidad de tiempo). c(t) velocidad de consumo ($/unidad de tiempo). I(t) velocidad de inversión en bienes de capital. E( f) velocidad de inversión en educación. L( t)
Las ecuacionesque describen la dinámica del sistema son: a) Crecimiento demográfico dN(t) : (n-m)N(t) -------i-dt
en donde r¿ representala tasa de natalidad y n la tasa de mor' talidad. . dL(t) b) --71- = -mL\t)
I
E(¡)
*
" en donde ¿ es el costo en educación para que un habitante ingrese a la fuerzzi de trabajo. d K( ') = - 6K (r) + 1(r) .) 'd r en donde I es la tasa de depreciacióndel capital' K (f ) d) v(t) - L(t) f ( -r* ) t-l '
t
4,9.
4lt0 AF6r¡üce C
(El producto interno bruto es una función de la razón capltzl/ trabajador y el nrimero de éstos.) e) El producto intertro se divide en tres partes: Educación E(t) - d(t)Y(t) Inversión
¡(t) = p(f)Y(t)
Consumo
C(f) = u-,a(r)-P(r)l
y(r),
en doride c y p son los parámetros que representan la polftica econo mica y bumplen con las restricciones c )0
P>0
c { P (1
Si las entradassonc(¡) y p(t) y la salidaes t(t) : sumo p¿r c¡tpita, demrtéstres€ qr¡e t\t) -
K(t) ZGI
ffi,
"f
corr-
L(t, *(t) : -----j--i-
t€presentan el estado del sistema; es decir, escriba las ecr¡aciones que rcpr€sentan al sistema eD la forma 'r1t¡ = g,fr(t), w(t), a(r), p(r)l :i,1t¡ - g,lr(t), w(t),4(r), p(r)I C,G)= h lr(t), w(t), ¿(f), p(r)l 4lo El sistema mecánico traslacional de la figura 4.10 consta de dos ma!¡a¡t y dos resortes. Encuéntrese la representación del sistema por medio de variables de estado cuaudo la salida es la velocidad de la masa Mr y a) La entrada es la fuer¿a externa f- aplicada z la masa M". á) La entrada es la velocidad vz de la masa M,. Nótese que el nrlmero de variables de estado es diferente en cada u¡o de los incisos anterio¡es.
Firsr.
4lO.
Apóndioc C 451
{.ll
Sistema neumático
El sistema neumático mostrado en la figura 4.11 consta de un fulle (ver problema 4.3), en cuya parte movible se encuentra adherida una masa, qu€ está conectada a r¡na fuente de presión P(r) a taves de una resistencia neumática.
Figu¡¡ 4.11.
l*x f.a constante del resorte del fuelle es ft y el área de la parte móvil es A. Identifíquense las variables de estado del sistema cuando la entrada es P(¡) y la salida ¡(¡), suponiendo que el fluido es incompresible. Escríbanse las ecuacionesde estado del sistema en forma matricial. 4.t2 En el laboratorio de Ciro Peraloca existen tres tipos de elementos eléctricos cuyas relaciones de yoltaje y corriente están dados por a)
t¡*i:P
b)
¿- v=H\i
c)
1 t+ i:
tlt' ,12;
W*.'at'
donde P, II y W son constantes. Además, en dicho laboratorio rigen las leyes de Ciro, que son: i) La suma algebraica de los productos v'i en una malla debe ser igual a cero () rd : O). ii) La suma algebrbica de las corrientes que llegan a un nodo debe ser igual a cero () i : 0). Para el circuito de la figura 4,12 a) Identifiquense las variables de estado del sistema. E) Considerando a I/o cono Ia entrada y a 4 como la salida, represéntese al circuito por medio de un modelo en variables de estado.
452 Apéuüce C
+ Vo ll!tr¡.
4.f2.
5.1 Dado el reograma de la figura 5.1
¡lgr¡r¡ 5.f.
encuéntnesela razína
,r.
empleando cada uno de los métodoo siguientes:
a) Escribiendo las ecuaciones algebraicas que represenb el reo grama y eliminando las variables Nz, xs, tca. b) Reduciendo el reograma a una sola rama mediante absorción de nodos. c) Utilizando la fórmula de Mason, t.2 Encuéntrese la razón a
Xr.
Figrr¡
d"l ."og-a
de Ia figura 5.2.
5.2.
a) Escribiendo las ecuaciones que representa dicho reograma y eliminando las variables intermedias rz, Ís, Ía, Ís. b) Reduciéndoloa r¡na sola rama, por absorción de nodos. c ) Utilizando la fór¡nula de Mason.
Apéudico C tl53 I
I I
I
5.3 Identiflquense en eI reograma de la figura 5.3, todas las mallas simples, dobles, triples, etc. (hay 13 mallas simples, 1o dobles y una triple).
I
Fi3urr 5.3.
5.4 Considérese el sistema de ecuaciones representado por el reograma de la figura 5.4.
Figur¡
5.4.
a5a ApáudiceC Encuéntrese la matriz de transferencia F que relaciona los nodos fuente con los nodos no fuente:
[;]="'',
4) Utilizando la fórmula de Mason. ó) Escribiendo las ecuaciones que el reograma reprEsenta.
D.¡'
La función de transferencia de un sistema dinánico lineal e invariable con el tiempo se define como la razón de las transformadas de Laplace de la saüda y la entrada cuando las condiciones iniciales son nulas. Considérese un sistema descrito por
i ,l ::l= [l - s r][,].1 ál * ', y(r)-tl-rrtí:
]*.,,,,
Se desea encontrar la función de transfe¡encia de este sistema; esto es i(s)/¿(s). a) Constrúyase {¡n reograrna que rtpresente las ecuaciones que describan al sistema tomaado como nodos las variables u, r,r, Í2, h, i", y. Oonsidérense la salida t oomo nodo pozo y la entrada a como nodo fuénte. Considérese adernás que la relación *¡ =Z i
puede e*presarse mediante el reograma
ti
donde la transmisión indica la operación de integración.
Apeüac C 455 á) Obüíngase la transfo¡mada de Laplace del reograma, o sea o¡¡o reograüra en el cual las variables corlespoaderr a Ias variables originales transformadas, y las transmitancias a las o¡reraciones r€spectivas en eI dominio de la frecuencia. c) Obténgase i(s)/¿(s) a partir del reograma encontrado en á).
5.6 Un sistema .está re¡rresentado mediante el reograma de la figura 5.5.
t¿(s) F¡g¡r.5.5.
s(s+l )
Para simular el sistema en "ta computadon analógica es ¡ecesario construir otro reograma en el cual las ramas tengan rlnicamente transmisiones 1 v ft. sa) Encuéntrese un reograma ¡tara simular el sistema aDterior. á) Encuéntrense las funciones de transferencia f(s)/A(s) para el t€ogr:¡¡na original y el que se obtuvo en el inciso a) y comprué bese que son iguales.
s.7 _-_Se desel modelar el. flujo de calor en el túnel de un metropolitano (fieura 5.6).
Dentro del túnel se genera calor a una tasa de q.(cal/h); la pared de concreto se puede representar mediante dos resistencias térmicas (R,,R,) y una capacitancia (C,). EI subsuelo se supone de capacitancia caloúfica infinita (C, = :c) y con una temperatura constante.7,. La capacitancia térmica del túnel es Cx.
456 AprÉndiccC
¿) Encuéntr€se r¡n rbogranra que describa el comportamiento térmico del trlnel y en el cual aparezcan todas las variables indicadas en la figura además de Tz y Tsi considérese qo y fi como nodos fuente. b) Encuéntrese la función de transferencia f"(s)/á"(s) cuando T'=0 . llum dr corcrsto
Cr + fi¡ur
5,ó.
@
Ta
.'ilr Rr
R¡
5.8 Es posible pasar directamente de una sistema flsico a r¡na representación del mismo mediante un reognatna sin necesidad de escribir explícitamente las ecuaciones de dicho sistema, Obténganse las transmisiones de las ramas del reograma de la figura 5.8 de tal manera que
I'¡F¡.
5.?.
+ 9i
.,ste represente al circuito de la figura 5.7.
Figua
6.8,
Apiuüce G ttliT Para ello, en los nodos superiores se deben satisfac€r las leyes de voltaje de Kirchhoff; en los inferiores, las de corriente, y en las ramas verticales, las leyes de los elementos. ¿Cuánto vale la atenuación v"lvi?
5.9 Considéreseel filtro llamado " ptenteado en T" qve se muestra en la figura 5.9.
n'i¡urr 59.
Para el análisis de la sensibilidad de este filtro respecto a cada uno de sus elementos, es conveniente elaborar un ¡eograma en el cual aparezca el valor de cada elemento en la transmisión de una y sólo una rama. Constrúyaie un reograma con tales caracterlsticas tomando ?¿ cottro nodo fuente. (Sugerencia:utillcese el bosquejo de la figura 5.10.)
a. a
o
.l).,
4,,
a
a
a. o
a.r a
Ft¡ur¡
ü a
ü a
i,,
i,"
o
a
; a
5.lo Un rtoilelo htMdo de un transistor (figura 5.1I) se representa
5.1O.
458 Apérdice C
,i,ht
Fisur¡ Éff.
por medio del reograma de la figura 5.12.
h.
Figua 5,12.
1rz
ns
hl
It
hr
lz
Considérese que el transistor se conecta en un circuito como lo indica la figura 5.13.
________----J
Figura 5.f3.
ApfoüoetC
a) Complétese el reograma de la figura 5.14 para repr€sentar el
Yt a
I
9a I
Fig¡¡¡¡ ll4.
o is
circuito de la figura 5.13, de tal forma que ormpla con los ¡e quisitos: i) ir sea un nodo fuente. ii) v. sea un nodo pozo á) Encuéntrese; a partir del reograma, la ¿dmitancia de entrada del circuito; esto es;, i/rr'.
5.tl Es frecuente encontrar en el análisis de cadenas de Markov reo, gramas de Ia forma de la figura 5.15.
Fi$rr
5,15.
túlilD
4ór0 Apéndice C
Para hallar el determinante correspondiente, se puede emplear la fórmula de Mason, o bien utilizar el siguiente resultado
a.:a->¿¡A" donde:
determinante del reograma completo determinante del reograma cuando se suprime un nodo Lx
ganancia de la k-ésima nalla que pasa Por el nodo suprimido cofactor de la k-ésíma malla.
Encuéntrese el determinante del reograma con el método propuesto, suprimiendo el nodo 2, y veúfique que se obtiene el mismo resultado al aplicar la fórmula de Masbn al reograma completo.
5.12 Se desea que los motores conectados conforme se indica en el cir' cuito de la figura 5.16 giren a las velocidades angulares 'dr y ú'2'
Firur.5.fó. Tz, az
Represéntese el sistema mediante un reogr¿¡ma y, a partir de éste, los valores de los pares Tt ! Tz para que las velocidades "n"odtr".rr" or y ¡'2 sean iguales. Considéreseque los motores son idénticos y recuéidese que rin motor ideal tiene la representación mostrada en la figura 5.17.
Apóndtce C ,f6f
-----"1 i: ll ll ll
!ft, |
:
1 |
' li
-7'
figur¡
l.l7.
k" 1r -l----------Ho,
¡
L-
donde ft' y ft2 son constantes, r¡ es la caída de voltaje a través de las terminales eléctricas del motor, i la corriente a través de é1, . la velocidad angular y I el par mecánico. 5.13 Para el reograma de la figura 5.18:
Figtrr¡ 5.f8.
a) Encuéntrese la relación j/A wando la fórmula de Mason. á) Obténgase el reograma correspondiente cuando se invierte la malla que se indica. A partir de éste, encuéntrese nuevamente f/4 y compruébese que es igual al resultado del inciso a). 5,14 Los reogramas pueden utilizarse de una manera efectiva para invertir matríces rafas (aquéIlas en las que la mayoría de los eleme¡tos son cero). En este problema se verá dicha aplicación. Como es sabido, en matemáticas,el inverso de una matriz A(nXn) puede obtenerse resolviendo las z ecuaciones: I Axr:
i
ó
Ax, =
?l 'l
:l
0l
; .. . A x " -
fql l :l
L'l
,fó2 ApÉndice C de donde resulta A-r = (x1,xr, ...,x.), o sea Ia matriz formada con los vectores columna de las soluciones de las ecuaciones antenores. Encuéntr€se el inverso de la matriz
o 0
00 00 10 0 00
;l
0l -l
Procediendo de la siguiente manera:
ll
'J
a) Descríbase mediante un reograma las ecuaciones Aw = z toman do a las r.r¡rlas iésimas componentes del vector w, como nodos
fuente. 6) Inviértanse las ramas correspondientespara hacer de ei nodos fuente. c) Encuéntrese w.i,, que es el valor de w¿ cuando z¡ = | y zt = O para 1t' j. d) A- es la matriz cuyos elementos son 1rir. Compruébeseque AA-1: I. 5,15 Encontrar por reogramas las fórmulas de conversión d¿lta- estrella Y edrella- d¿tta. ¿) Considéreseel circuito de Ia figura 5.19.
Figu¡a
5.19,
Tomando ir e iz como nodos fuente, determínenselos valores de las transmisiones-del reograma de la figura 5.20 que representa las ecua_ cionesde la figura 5.19.
Figür¡ 5.20.
rrytuilie 6 a6e D) Considérese el circuito de Ia figura 5.2.
FlgtE¡
l2f.
FL!¡¡
5.2.
Fl¡urr
123.
Tomando ahora r¡' J¡ /u coÍlo nodos fuente, deter¡¡ínense los valores & las tr¿nsmisiones del reograma de la figura 5.22 yara qu€ repr€sente las ecuacionesdel ci¡cuito de la fisura 5.21.
c) Transfórmese el reograma del inciso a) al del inciso á) y viceversa. A partir de estas transformaciotres se pueden determinar las resistencias en función de las adrnita¡sias v viceversa. 5.16 Se cuenta con un reogrann de forma
Si d(t)
es el det€rminante del reograma con ,( nodos, demuéstrese d(k)=d(k-r)-ad(k-z).
(Sugerencia:úsese la fórmula del problema 5.11.) 6.1 Confírmense las tres propiedadcs de la matriz de transición enun-
464 Ap6nüee C ciadas en la sección 2.1 del capítuto 6, para la matriz
= -'-l* "7 -,,,0,[f asociada a la matriz
= ^ro [á
6]
6,2 Compruébese que la matriz de transición asociada a
l ^ - [ e . l0J "= l- b' es f
I
I cosb (¿-¡o) o(ú, to) = | s e nb (t -t ) l-á
6.3 Considérese el circuito de la figura ó.1:
F¡lur¡
6.1.
c.:3
Inicialmente, en f :0, el interruptor está cerrado y u(0) - -1, i(0) - l. En t --2r, el intermptor se abre. Encuéntrese el valor del voltaje v(r) én t : ---. (Sugerencia: utihlese el resultado del problema ó.2.) 6,4 Supóngase que de un sistema lineal e invariable con el tiempo se conoce lo siguiente:
f e)', .r
i"
. ..l
=l r<',0,"'",0>l l; vl,o,*,0)ií,*_ríJ,\l L IL J
Apendice C 4ó5
c) Encuéntrensexo y x'o. b ) Encuéntresela matriz de transición ¡D( t, 0), c) Encuéntresela matriz A del sistema. 6.t Supóngaseque se cuenta con un sistema lineal e invariable con el la entrada es cero y tiempo y de dimensión dos. Si a partir de t:0,
-,t,= |
'1,-(,)=[l],*,,:[ :J
3.l.
encuéntreseel estado en que se hallaba el sistema en f = 0. 6.6 Considéreseel sistema físico bosquejado en la figura ó.2. Consiste en dos tanques interconectados y entre ellos hay una válvula que se abre en f =O 9 en I =2, y se cierra en f = I y t = 3. Si en r = O, las alturas del líquido de los tanques son h, = l0 y &. = 15, calcúlenseestas alturas para t:4 (si es necesariosupóngasá pg:8 para el líquido considerado). Que A¡ar
A rc¡-I
- 4 \
Figura 6.2.
R'=3
Rz=2
ll¡nómlt.o
Figura ó,3.
6.7 En un sistema hidráulico, compuesto de tanques y resistencias li neales(figura ó.3), se determinó experimentalmenteque cuando la en-
aóó Apeüoc C traila (gasto 4n) pasa ¡elrentinamente de cero a r¡no, siendo el estado inicial cero, la presión P' varió conforme se indica en la figura ó.4.
Fi¡urr
6,L
Determfnese gráficamente & en el intervalo 0l gasto qo varla como s€ muestra en la figura ó5.
Il¡ura
t ( 10, cuando
6.5.
En general, cuando la matriz A del sistema i:
a (f )x
es una función del tiem_ po, no es posible obtener la matriz de transición asociada a A(t) por los métodos presentadoo en la sección 4, capí tulo 6. Sin embargo, cuando A(f) y su integral conmutan, esto es, crrando
entonces se cumple la igualdad J;^t"'un o (t, úo)= ¿ Usando este hecho, encué¡trese la matriz de transición asociada a
"r,r=l-á y confírrnese el resultado.
-í"1
Ap6nrüc C aó7 6.9 En un sistema lineal e invariable con el tiempo se obtuüer,on las siguientes evoluciones de estado
[,] [ , 1 v(t,u-.(D,l; l,rlLzri_.,r -'-'',1I L -l f
r
[r e(t,u_,(t),| I ,l_".I L Il,rlL I r - ".'l fl e1r,o,l I lor=ltrZ:,, I L -J L I
,
a) DetermíneseI (,2tL'(tr,O,O). á) Encuéntrese la matriz de transición del sistema. c) Encuéntrese la mat.¡iz A del modelo i - Ax a Ba. 6.lo
.l:l :l Fl|; i::l
Sea el sistema
y(t) - *{t)
a) Encuéntrese la matriz de transición. D) Encuéntreseel valor de la salida en t=2 cuando se aplica la entrada que se presenta en la figura ó.6 y el estado en f = 0 es cero-
Fl¡u¡¡
6.ll En el circuito eléctrico de la ffgura ó.7, la entrada es el voltaje de la fuente, que tiene la forma que apareceen la figura 6.E,
6.ó,
4ó8 Apénilice C
Fi¡un
Fi¡un
c =t *v"
6.7.
6.8,
Bosquéjesey,(t) en el intervalo [0,4] cuando 4) r"(0) - 0.
á) v"(0) - s. 6.t2
Por medio de la transformadade Laplaceencuéntrese Ia matriz de transición del sistema
[Ir"] ,
l
f
l_a
l .l =l l l l
I
a I
r
l¡ ,
I
I
L'l Lu -b) L'.1 en donde a y ó son parámerros constantes y positivos.
6.r3 Considérese el circuito de Ia figura ó.9
C t= l
Figura 6.9.
Cz=2
Apónüce C 469
si el interruptor está abierto desde f=0 hasta ú=l y l¡ermanece. cerrado después de ú = l, encuéntrese una matriz F que relacione los voltajes en las capacitancias en el tienpo t - 0, con los mismos voltajes en el tiempo t = 2, esto es
illll ''tzrI -. I u'tor I L '"(o)j
L "'Q)I
(Sugerencia: úsese la matriz de transicióir del problema 6.12.) 6,14 En un sistema lineal, invariable con el tiempo y de dos dimensiones, representado por i:A xaba cuando x(0) = O y se aplica la entrada z(r) - 8(ú), se obtiene
f' l
I' l
f'r'l
L I
LI
L I
x ( 1)- l l;x(2)-l l ; x( l) = l I t4t tlt t4 l Determine el vector b, 6.15
un amortiguador y un resorte
Un sistema consiste en w pénlub, torsionales (figura 6.10). 4
I
\\
nq Figuro ó.1O.
=1
El par T(¡) que se aplica al péndulo se toma como entrada. El par producido por el amortiguamiento I¡(t), no. indicado en la figura, se opone al movimiento y es proporciona! a 0, la velocidad angular de la masa; especlficamente,T^(t) -- 20. El par que ejerce el resorte es Tn(t) = k0. a) Encuéntrese la representación del sistema en variables de estado, cuando se toman éstos como d Y d. b) Encuéntrese los puntos de equilibrio cuando ? = O e interprete
4?0 Apón¡ücsC físicamente cada rmo de ellos. c) Lineallcense las ecuaciones del sistema alrededor de uno de los puntos de equiübrio. 6.t6 El movimiento de vn dA e alrededor de la tierr¿ puede ser des" crito por un par de ecuaciones difercnciales de segundo orden. Si se supone que el satélite cuenta con un par de "jets", uDo que produce una fuerza r¿1en Ia dirección radial y otro, ortogonal al primero, pre duce una hterza us en la dirección tangencial (figura ó.ll), Ias ecua-
Fl¡sr¡ 6.11,
ciones mencionadas, en u¡r sistema de unidades adecuado, son a) De acuerdo con la v4mih ley d4 Nerotor.:
u,tr¡ i(t)- t(t)[a(r)], fi,* en donde el primer tér¡nino del lado derecho corresponde a la fuerza centrlfuga. y el segundo, a la de gravedad. á) De acuerdo con la ley de unscfla¿ión¿l¿monmroangulat
o sea
fig'd¡= ru,tt) ' i= * + * u , { t )
Apóndco C 4?f
i) Demuéstrese que cuando u,(t) = u,(t) = 0, una solución a las ecuacio¡es diferenciales anteriores es r(t) = a (c constante) (o constante) eG) -.t ¿é=k ii) Considérese como el vector de estados a
' [t] la
i
y lineallcense las ecuaciones del sistema alrededor de la so lución dada. 6.17 Tómese por caso una presa, bsquejada en La frgtira 6-12' en la que en el extremo inferior de la tr¡berla de vaciado se ha colocado una turüna. hülróulirn coD el proPósito de generar energla eléctrica. Entre la presa y la turbina hay una cámara de compensación o amortiguador hidráulico, Para elaborar un modelo matemático se han tomado en cuenta los siguientes aspectos. ¿) Por las caracteristicas de la turbina:
q' =C'x'{E 9
seg en donde gr es el gasto de agua por la turbina, * la posición de los átabes que regulan el paso del agua a la turbina, l. la altura de la columna de agua en la cámara de compensación y Cr una constante.
II h"
4?2 Apéodico C
ley ila Nad,on,la masa de agua en la tubería de presión satisface la ecuación
b) Pe la qunih
Md a
; i= A g ( h , - h , ) - c " q , en donde M es la masa de agua en la tuberla, A el área transversal de la misma, g la aceleración de la gravedad, l¡, la altura del agua en la presa y G una constante; el término Crq2 representa la fuerza de fricción en la tuberla. c) Por la ley de conservación de masa se tiene:
q=qt*q"=qr+A"# doude q es el gasto ile agua en la tuberla de vaciado, qn el gasto de agua a la cámara de compensación y á. el área tranversal de ésta. d) Finalmente, la potencia eléctrica Po, generada por la turbina, está dada por Po = Czqth
(lcw)
en donde C, es una constante. i) Identiflquense las variables de estado cuando * es la entrada y Po Ia salida. Exprésese la dinámica del sistema por medio de las ecuaciones de estado. di) Encuéntrese el punto de equilibrio cuando r = ro. idi) Lineallcense las ecuaciones alrededor del punto de equilibrio del inciso anterior. 6.18 En el.sistem¿ mecánico mostrado en Ia figura 6.13, taDto el resorte como el amortiguador son elementos no lineales. t-a relación ent¡e la fuerza aplicada al resofe (l') y su elongación.r es:
f. = c,f y la fuerza que se olxme al movimiento relativo de los extremos del amortiguador es:
f' = C' (lvl + l)v Si la fuena extemal(t) aplicadaa la masase consideracomo l¡
entrada y la salida es la energfa al¡nacenada en el sistema, esto es y(t) - E = ener$a potencial 4 energla cinética ?r
: rM1f + |
.to
f,(o)ilo
Apénilice C 4?3
f(t)
I
fisn¡
6.13,
Ilsqr.
6.14.
Encuéntrense las ecuaciones linealizadas del sistema alrededor del punto de equilibrio que se obtiene con l(r) - 5. 6.19 Una reacción exotén¡rice de A a B se lleva a cabo en un ¡€actor, bosquejado en la figura ó.14. Las ecuaciones non¡alizadas que repre s€ntan las ¡elaciones entre las variables del sistema so¡;
ff=t-t-!e *( * 'i) *= * - , ¡ - ! " *( á -i) -!6 -¡¡
Tr||rprntún?o
T6mplntürs ?
donde: f es la ? es la g es eI ?o es la ?'es la
concentración de A a la salida (0 < f < l). temperatura a la salida. gasto. temperatura de entrada. temperatura del enfriador.
a) Encuéntrense t y rr' para que se tenga un punto de equilibrio con las condiciones: q : l;
w:
1.8; é - 0 . 5 .
474 Apéndice G
á) Linealícense las ecuaciones alrededor del punto de equübrio cuando 7' es la entrada y t3,¡to q como t¡operrnanecen constantes. 7.1 I-as respuestas a impulso de cada utro de los sistemas S, y S, se muestran en Ia figura 7.1.
h,(t) firrcr
?.f.
*rf_!-l_.*,,,,,
lo""'
'l-_ l , . ,
Si los dos sistemas se conectan en cascada (figu¡a 72), encuéntrese la respuesta a impulso del sistema interco.nectado.
firurl
7.2.
7.2 Otra integral que, adenás de la de convolución, es importante en el estudio de sistemas .linárnicos, es la integral de correlación, definida a continuación: Si r(f) = y(¡) - 0 para f ( 0, entoncesg(r), la función de correlación entre x y !, se define como
0 : ll (ir.:+id, c(ú)='(r)@r( I)emuéstrese que: ¿) Si e(r) - x(t)@y(t) y f(t) = y(t)@r(t), entoncess(t) - t(-t). b) G(s) : x( -s)r(s), en donde G, X y Y son las transformadas de Laplace de C, x y y, respectivamente. 7.3 Sean l,(r) y l,(l) dos funciones no negativasen el intervalo [0, o].
AptoücC,175
si
J:f,G)at=
=' f u'¡o'
entonces la integral de cero a infinito de la convolución de I, con l, es también la unidad. 7.4 La operación de convolución también se utiliza en la teorla de lias probabilidades. Si l(o) es la densidad de probabilidad ¿s ""a r¡ariable aleatoria r, la probabilidad de que dicha variable sea menor que a es
P(.r(c)= l
Jo
¡6¡a,
Si dos variables, con densidades de pmbabilidú f, ! fr respecti vamente, son independientes, entonces la densidad de probabilidad de la suma de ellas está dada por
f" = l'* f" Cuando las variables aleatorias independientes r y, tienen las densidades de probabilidad que apareoen en las figuras 7.3 y 7.4, respectivamente. ¿Curiües la probabilidad de la suma r + / s€a mayor que E?
t'G)
F¡¡¡¡r ?'t.
Fi¡urr
?.4.
4?6 Aptudioc C l.it
Encuéntrese la matriz de transferencia del sistema modelado por las ecuaciones
l "l . f : * I l; l [ :L: L t ll;:
lilIri] ;:].ii-¿][ ,rt I
¡ ii)
"')
¿) De la fórmula E(s) = C(rs-A)-B + It. á) A pa*i¡ de ul reograma que r€pr€senteIas ecuaciones( í) y ( r'l') y encontrando las funciones de transferencia
í,,t"t:ffi
par ai= 1,2,3 y i - 1,2
úx=0
k+i 7.6
La representación de la relación entr¿da-salida de r¡n sistema con función de transfe¡encia q(s)/p(s) por medio de las ecuaciones x (r)= A x (t )a b z (t ) y(r) : cx(t). en donde A, b y c son las matrices de la sección 4, capltulo 7, se denomina controlable esttirtilar. Hay muchas otras maneras de representar a un sistema con una función de transferencia racional, siendo una de ellas la representación observable estánda1 en la cual las matricesA ,byc s o n
lo A-l
r
o
-tu
-pz
0
l0
1000 | -p" L
e=$
l
l ]"1:
0 "' 01
en dondepi son los coeficientesde p(s) o sea p(s) = s" * p.-'s"1 + "' P"
Aftücn y los parámetros r¡, llamados parámetros de Markov, son los coeficien' tes de la expansión
nÍ"J- ,,t' + ,"s-¡ +...
P(s) y que se pueden obtener por medio de la división larga de g(s) enúe p(s). ¿) Demuéstrese que con las matrices A, b y c de la representación observable estándar se cumPle i(s] c(Is-A)-'b ' P(s) á) Confln¡ese el resultado anterior para r¡n sistema con función de transferencia
s'*3 s*E
d+7s '+ós +3
Un método, conocido bajo el nombre de división contifiuda, para sintetizar una función de transferencia, o sea para encontrar matrices A, b, c tales que
c(Is-A)-b=
q!"? ¿t"l p(s) -
en donde h(s) es una función racional propia, se basa en las siguientes consideraciones: El reograma de la figura 7.5 tiene la función de transferencia
r¿(s)
1 ¿(s)
I
I
t(s) F¡!¡¡¡¡
b(s)
/(s)
I
a(s)
a(s)+ á(s)
asl que cuando el grado de g(s) es menor que el de p(s) se puede lograr
,,("):8=#: .
;6
r(s)
a$+bt+----
s ( s)
7.5.
C tlrlT
4?8 ApótrdiceC ' en donde /(s) tiene rm grado Eenor que g(s). A su vez, a
r(s)
' razon ffi
puede sintetizarse de manera análoga a como s€ hizo con l¡(s). El proceso puede continuarce hasta que el último divisor sea la u¡idad. a) De acuerdo con las consideraciones auteriorcs, encr¡éntrense los yalores de a y ü (i = 1,2,3) para que el reograna de la figura 7.ó tenga la fu¡ción de transferencia
,(s)
Fl¡un
I a"sñ
7.6.
I
7.s+t-;
ft(s) =
2C*3s*E C+6f,+7s
á) Co¡fírmese el r€sultado por la fórmula de Mason. c) Usando el hecho que la función de transfer€ncia I
;;TE puede sintetizarse como se indica en la figura 7.7, dibuje el diagrama de alambrado de computadora analógica para simular la f'r¡nción de transferencia del inciso ¿).
I 41
n¡¡r.
T s
?.?.
d) Del inciso anterior encuéntrense las matrices A, b y c tales que c(Is-A)-1b = h(s).
Lfuiftú e 479 78 A un sistema de segundo orden s€ le aplica como entrada el pulso npresentado en la figura 7.8. La salida que se obtiene se muestra en
Fl¡ur¡
?.8.
la figura 7.9. Determínese la función de transferencia del sistema'
Figsr¡ ?.9.
7.9 Las ecuaciones, en variables de estado, que rqlresenten el comportami€nto de un sistema son x,(t): -2tt(t) +3t,(t) i,(t): -ttc,(t) - 4x"(t) + u\t) : y(t) n(t)
I
en donde y(t) representa la salida y u(t), la entrada. Bosquéjese la respuestaa esc¿lóndel sistema pÍa ¡= 1,5 y- 20 y muéstreuselas característicasmás importantes, tales como Mo 1í las oscilacionesalrededor del valor final.
4.8O Apénüce C
7,lo Considéreseel sistema linealizado del problema ó.19. Si las variaciones de ?' se toman como entrada y las desviacionesde 4 como salida, encuéntrensela frecuencia natural ,+ y el amortiguamiento relativo €. Bosqueje la respuestaa escalón. 7.lt Un sistema de segundo orden puede representar adecuadamenteel comportamiento de un galnanómdro . Cuando la entrada (corriente I) es un escalón de I ma, el ángulo de giro d que se produce, se presenta en forma esquematizadacomo función del tiempo, en la figtrra 7.10,
Figura 7.10.
Encuéntresela función de transferenciadel sistemaa partir de los datos proporcionadosen Ia figura 7.10. 7.t2 Se dice que un sisteirra de segundo orden está sobreamoñiguadn cuando el coeficiente de amortiguamiento relativo es mayor que ta unidad; esta situación corresponde al hecho de que los polos del sistema están sobre el eje real y son distintos; en este caso, la respuesta a impulso vale ce¡o tan sólo en f:0 (figura 7.11), La definición de
Figura 7.11.
r(seg)
ApduüccC48l
sistema sobreamortiguado puede generalizarse de muchas maneras, siendo una de ellas la siguiente: un sistema está sobreamortiguado si la respuesta a impulso no cambia de signo, o sea que h(t) *O para t > 0, De acuerdo con Ia definición anterior, determínese el intervalo de valores de K para que el sistema de la figura 7.12 esté sobreamorüguailo.
rLul.
7.f¿
Fi!ür.
?.f3.
7.13 El patrón de polos y ceros de un sistema se muestra en la figura 7.13.
Re
Determínese la respuesta del sistema cuando se le aplica la entrada u(t): (l + ea)u-,(t). 7.L4 En la figura 7.14 se muestra u¡ moil¿lo inaramenlal d¿ un tratus?dor. Se considera que e! voltaje v es Ia entrada y que el voltaje u. es la salida. (Nótese que hay una fuente de cori€nte controlada por voltaje). ft
cp
SmYt Fl8ü¡¡ ?.14.
482 Ape.ücc C Los valores de loc parámetros del modelo son n =l Ka,
¡ a=!lgt, c,=l} opl, y r. = l
Cp= l0- ' pl, g- = IOO+
volt
Ma
Determlnese la frecuer¡cia natural .', el amortiguamiento relativo t y bosquéjese la ¡€spuesta a esc¿lón mitaris. ?.ll El sistema de la figura 7.15 representa un sistema lineal e invariable con el tielnpo. Cuando el estado inicial es c€no Jt se aplica la entrada e(t) = r¿-,(t), se obüene La salid¿ y(t) = v"(t) ñostrada en L¡ ñgura 7.1ó.
ItrE
¿rl
ntúr
?.fC
Si C = l, determlnense los valores de R y Z.
7.16 Considérese un sistema lineal, invariable con el tiempo y de parámetrls concentrados, de una entrada y una salida. Demuéstrese que
Apdc si el sistema tiene & polos más que ceros, entonces las ft - I primeras derivadas de la respuesta a escalón, evaluadas en f = 0, so¡¡ cero. 7.t7 Encuéntrense los valores de K y a pañ¡ que el sistena descrito por el reograma de la figura 7.17
i(s) ffag.
?.1%
Fl¡un
7.18,
cumpla con las especificaciones de diseño. i) El sobrepasodebe estar entre l0 y 20%. ii) El tiempo de asentamiento debe ser menor de 0.4 para una tolerancla de 2oA. 7.18 El funcionamiento de la vejiga natatoria de un ¡rez es complicado; sin enbargo, la siguiente simplificación da una idea general del mecanismo involuc¡ado. Obsérveseel dispositivo de la figura 7.18. El pistón 1{lr!l dllaiua
I Pislt¡ d¿ l¡r¡¡
¡-)
tiene por objeto cambiar el volumen del dispositivo sin modificar su masa. Al disminuir ¿ el volumen decrece, y s€ logra, por el principio de Arqulmedes, que la fuerza neta hacia arriba sea nrenor. EI mecanismo de la figura 7.19 tier¡e por objeto controlar la profundidad a la que se coloca el dispositivo. Los detalles son los siguientes: por medio de un manómetro se obtiene un voltaje v,, proporcional a z, Ia profundidad a la que se encuentra el dispositivo. Sea v, : ft,2,. este voltaje se resta de otro proporcional a la profundidad deseada (tz = kzz¿),la diferencia e' se amplifica y la señal obtenida acciona el motor que muerrc el pistón.
C l8t
{84 Apedc
C AmDlllc.dol
-z lf
ah
é,
llo¡of
F¡¡u¡. ?.f9.
^^l:" l, l, Pbló¡
Por sencillez del e"álisis su¡rongaseque dt = K2el v¡ Considérese que existe una fuerza de fricción proporcional a la velocidad del dispositivo, o sea
f ' : B *d t, que la masa es{1, gue el volurren del dispositivo cuando ¡ = O es y,, y que el área del pistón es A a) Obténgasela función de transferencia
2(s)/i(s) á) Encuéntrese lfm (z¿z) cuando z¿ es í) un escalón unitario, ,-ú ' ii) Una rampa unitaria y iij) una parábola unitaria. 8.1 _ _ Indiquese si cada uno de los siguientes sistemas lineales e invariables-con el tiempo, caracterizados pá" su ,".pue"t, , impulso, son o no estables. En caso negativo encl¡éntrese una entrada que haga que la salida tenga u¡a magnitud arbitrariamente grande.
h(t) = fu-,(t)-¿-,(r - I ) I + lu-,(t- 2) - r¿-,( r -2 - ¡)l +{r¿-,( r- 3)- a-.( r- 3- t ) I +. . . ta_,(t - k)- u_,(t - k- ; ) 1 + . . . b) h(t) - le',$1a-,1¡¡. c) ft(r) - [coshr - senhr] rr-,(ú). d) ft(r) = [coshr + senhl] u_,(l). 4)
Apóoücc C {45 8,2 Indlquense cuáles de los siguientes sistemas, caractcrizados por su función de transferencia, son estables
a) h(s) =
s¡ +2f+8s f + 10 s'+5s +3
b) h(s) -
= ,)í(") "+s-8
üf i$t = e '(* +2s +2) 8.3 Detennlnese si los siguientes sistemas, descritos por su relación entrada-saüda, son o no estables. a) y(t) =l
l'
u,(a)ilo
.lo
b) y(t) = máx [¿(o)]
c) y(t) - ni n es el número de cambios de signo de a(o) en el in ter va lo 0(o(f.
tI) y( r)+ r(t-l)
e) r( ,=[
= u(t) para t>l
flz(")l.-
(y (t ): 0
P a ra r(l).
(sen dc ')a(o)l
8.4 Considérense los sistemas lineales e invariables con ét tiempo, caracterizados por una entrada y una salida, que se muestran en la figura 8.1, Determíneseen cada caso si el sistema es o no estable.
,418ó Ap&dtaeG
t s¡ú.nr(t )
P|¡u¡ &f.
t
sr*rmr ( c ) 8.5 Considérese el sistema descrito por las ecuaciones fr
Xt
Xz
Íz
Xc
&a
.L'J [;I.,,,
y(t) = n(t). Determlnese el intervalo de valores de r para el cual el sistema es estable. 8.6 Indfquese cuántas rafces con Re(s) > 0, y cuántas con Re(s) ( 0 tienen cada uno de los siguientes polinomioe
¿) s "* 5 C+ 3 C+ 7 S + 2 r + 1 á) sl*31
*4s3 * 14s!+ E .
c ) s '+3 d + s , + 3 s + 5 .
Apúrto C a8f
&7 SombrÉese en el planoc, B lr regiónen la cual el polinomio s l +d+pC +s +a Do tieDe nt¡g|¡na ralz con parte r€al positiva. 8.8 Determlnee, en cada u¡o de los casos, el i¡te¡ado de r¡alo¡eg de & en el cr¡al el poliuomio tlene todas sus ralces con parte real negativa.
4) C+&s+1 ó
¿) t '+& r+ & + r c) ( s +t X t '+ & s + t ) + ¡ d) c(s + 2) + &(s+ 10Xs+ 20). 8.9 Bncrréntrense, con el criterio de Ror¡th, el v¡lor de K para que un sistema ca¡yaecuactón caracterlstica eB
d +5 C +ó s*K =0 tenga polos dominant€scon parte real igual a 0.1. (Sugeretrcia:hágaseel cambio de variable z = 0.1 * s). 8.lo para el caso gsneral,quesi en el arreglo de Routh de D€rnuésü€se, p(s) se tiene l¡(s) = 0, eutoncesp(s) es diüsible por fr.'(s). Veriflquese el resultado anterior para el pollnonio p(s) = s" + 8C + 8l + 24C+ lóC + 8s + 5
&u Considérese el ejemplo á), sección 5, capltulo 8,y supóngase que el siste[ta es estable para un conjunto de valores de los parámetroa.
¿) Dcnuéstrcse que el sistema seguirá siendo estable para todos los valorcs posiüvos y finitos de M y k. á) Demuéstreseque el sistcma se vuelve inestable para valores grandes de ft'. c) Demuéstreseque Él sistema se vuelve inestable para valores pequeñosde k, y k,. &t2 En este problema se estudiará la manera de aplicar el criterio de Routh para determinar en un polinomio el ntlmero de ralces que es.
!88 Ap{inüoo C tá¡ dentro del cuadrante de la figura 8.2.
lllgr
8¿
a) Denuést¡€se que si s es r¡n nrlmero complejo que está en el área indicada, entonces la parre real de s.'es positiva, ¿) Si todas las ralces de p(s) tienen parte real negativa, demués" trese entonces, que el nrlmero de raíces de p(s) que están en el cuadra¡te mostrado, coincide con el número de ralces cou parte .real positiva del polinomio á(z), en donde: h(21 -- h(f) - p(s)p( -s) (Sugerencia: expr€se p(s) en la forma (s -s' )(s- s,) ... (s-s") c) Encuéntrese cuántas ralces de s.+4s3+gs'+10s+g están dentro del cuadrante indicado en la figura E,2. 8.13 El L¡üeño ¡l¿ Hun itz establ€ce que si un polinomio p(s) = p.si 4 pr-rsÉr a .'. Ih,s + pa, con coeficientes reales y ¡}" > O, tiene todas sus ralces €n el medio plano Re(s) ( 0, si, y solamente si, los 7r determinantes Ar = &-l
a,= d"tF:'
P"-"-l P-)
Fp.-. tu-r a"- det|l. P,-t P*t
p*4 P*, I P*tJ
Apónüc C 4e9
lp*, lP,
A.-- detlS
P.-" P*z
f'
I l. Lq00
P*o Ptt
t#, .
son positivos. Es declr, para determinar si todas las rafces de un polinomio de grado z tienen parte real negativa, se forma a pasir de los coeficientes del polinomio, üna matriz de z por ¿ de acuerdo con la siguiente regla:
lfr'-lt"-fij = " lgo0 ll #'-T; en donde los coeficientes con sublndice negativo son iguales a cero; de esta matriz se toman los determinantes de las matrices formadas por las & primeros renglones y columnas (subdetermina¡rcs de o¡den &) para ft- 1,2,...,n. Si todas estas son positivas, el polinomio tiene todas sus ralces en el medio plano Ra[s] ( 0Demuéstrese el criterio de Hurwitz probando que el iésimo (i = 3, 4, . . . ) elemento de la primera columna del arreglo de Routh, es igual a: Ar-r ¡"-"
en donde ar es el subdeterminante de orden i de la matriz de Hurwitz. Us€se el siguiente polinomio para confirmar el resultado s6*41 *2.f+f+3s+1 . 8.14 Tómese por caso un amplificador ideal que tiene una ganancia -K, esto es y = -Kr, Considérese el cirouito eléctrico de la figura 8.3 que consiste en un amplificador ideal realimentado con r¡na red RC:
a) Constniyase r¡n ¡eograma que rep¡Esente las ecuaciones que el circuito implica. ¿¡ 6"¡"6¡sss .v,'(s¿. v.(s) c) t¡etermlnese el intervalo de valores de K para que el sistema sea estable (tómes€ R = 20(X)o, C = l00pf).
4!n Apórdie C fiDlihdor
+
+
V¿
f
v
9t
Fi¡un 8.t,
8.r5 Se tiene el sistema mostrado en la figura 8.4,
nt¡
9(s)
t 4.
en donde
Il(s) =
s+2 ( s ' + 2 s + 2 X . f * s * l) '
Determlnese el valor de K 2 0 para el cual el sistema mostrado tiene dos ralces sobre el eje imaginario. a.l6 Demuéstrese que el número de ralces del polinomio p(s), que tienen magnitud menor que la unidad, coincide con el número de rafces con parte real negativa del polinomio numerador de -'l
t-
Pl'*l I L .-rJ Para ello demuéstreseque si 5.-oljo,
Ap&rücc C .|Df
Zr=a*
iF
€ntonoes, cuando se hace
s,=f,T ^ *l implica que c)0. (Sugerencia: obsérrese qrrc: d { o¡ ( l). Veriflquese lo anteri,or par¿ el polinomio
p(s)= (s*O.9)(s-0.8Xs+5) - c + 5.ts + 62s- 3.6 8.17 A partir del criterio de Routh, dedúzcase un procedimiento para determinar el urlmero de ralces de un polinomio lue son puramente imaginarias y apllquelo a
sr * 3C * ól + 12C+ 24C + 48s * 32.
El modelo de un sistema es
;]t;1.It] [+t,L:_t,. y_ xr+k(xr+*r). a) Obténgaseél lular geométrico del denominador de la función i(s) conforme * varla de 0 e. " de transferencia a Ayuda: ffi
C + 7t' + 17s* 15= (s*3Xs'+4s+5). á) Dibújese el lgp para el polinomio T del numerador ce us¡ * i(s) cuas '¡u¡t'¡rr¡t' 'u¡¡¡n¡¡!t¡(T ¡Gt
do & varfa de o a co.
c) D,e los lugares geométricos de los incisos a) y b) determlnese Ia respuesta a impulso del' sistema cuando lc = lO. 9.2 Considérese el sistema de la ffgura 9,1. Encuéntrese el valor de K
4.92 ApóndiocC
nLr¡¡ 9.f.
para el cual la función de transferencia tiene polos dg¡ainanl¿s s6¡ un coeficiente de amortiguamiento relativo E =
;.
93 Para el circuito de lh figura e:
R' = l0o
+
n3ü. 9.2.
¿) Obténgase la gráfica del lugar geométrico de los polos y los ce Z varía de 0 ros de la fu¡ción de transferencia S,r(s ) "rr¿o¿e a o o.
ú) De las gráficas obtenidas en el inciso anterior, dibújese el patrón de polos y ceros de $,/0, para que los polos tengan un amortiguamiento relativo { = 0.5. 9.4 Sea el polinomio ¿(s) - (s+2)3(s+l) + K(s- l)(.t'+s+ 100) Determínense los valores de .K para que a í) if) rii) ir) v)
No tenga raíces cón Re(s) > O. Tenga una raíz con Re(s) ) 0. Tenga dos raices con R¿(s) > 0. Tenga tres raíces con R¿(s) ) 0. Tenga raíces imaginarias,
Apónücc C 493 9.5 Considérese el sistema formado por una masa, un Frnortiguador y u¡ r€sorte, o(xno se muestra en la figura 9.3. Bosquéjese cómo varlan lc pol,os de ta función de transfbrencia p caü uno de Ios si"n ) l(s gu€ntes casos: a ) K= 1,8=1 y0(M(o b ' ) K= r ,M - t y0(B ( c ) B- - l ,M =l y0(K (
o o.
Flrr¡r¡ 9.t.
9.6 Tómese por caso el polinomio á(s)=(s{l)s*K (s-l)". i) Determlnese el intervalo de vatcres positivos de K para que ú(s) tenga: a) Una sola ralz con parte real positiva. b) Unicamente dos ralces con parte real positiva, c) Tres ralces con parte r€al positiva, íi) Generalícese el caso anterior para ¿15)=(s+l)"+K (s_{) , y determlnense los valores de K para que b(s) tenga dos ralces en el eje imaginario. 9.7 Bosquéjese el lugar geoñétrico negativo de las ralces del polinomio
(s¡+ló)(s* I ) (s+ 3) + r. (Recuérdeseque K debe variar de -o
a 0).
{D4 r¡&üoG 9.8 Dado el .pstrón de polos y ce¡os de lr figura 9.4, enct¡éntreseel valor de E pan que el tgp lf,jn4¿a sólo un punto silla. Para ese valor de b, dibrtjese el fgp.
fLF¡
9.'Ú.
9.9 EncuéDtr€se el tugar gieométrico ¡rositivo de los polos de la fun' ción de transferencia
ro/1,
it") i(s)
s + s ¡+ s " + f-r
que corresponde al ejemplo ü, sección 5 del capítulo 8, cuando tt varla de 0 a o. Conpárense sus resultados con las gráficas de la figura l1 del mismo capftulo, 9.lo Un amplificador operacional realimentado unitariamente se repres€Dta como eu la ñgura 95, y tiene la función de tranderetrcia
llar'.
9.l.
i', =;TT -1
il
en donde a es lm nrlmero muy pequeño. Encuéntrese el má¡imo valor positivo ft para que el sistema nostrado en la figura 9.6 sea estable.
Ap6aüo C 4!r5
naú¡ 9.6.
Con base eú el lugar geométrico obténgase el máximo valor de t para que tdas las ralces de
(as+l)" + ft tengian lrarte real nega.tiva. 9.ll el del ejemplo I del Considérese un hú¿ttrlrribíú¡ ite úb¡ w transferencia: capltulo 9, pero con las siguientes funciones de Go(s) = UnlLV= k I
G"(s) = QNo=--: s+5 I
G-(s) = VlTo=4 s+ I c ¿5 =r"/o=Gffi G¡(s)
4) Encuéntrese el lugar geométrico de los poloe de In función dt' transferencia Í.,/% cuando ft varla de cerc I infinito. D) Determine el valor de & para que los polos dominnnlcs lt'ngrrn un amortiguamiento relativo ( = .8óó. 9.t2 Tóinese por caso el polinomio s{ * (¿s_D!).s!_4,¡r,+ ¡( y bosquéjeseel lugar geométrico posilivo curl¡¡do f, v¡¡t'l¡rtlt' () u ¡, para cada uno de los siguicntcs calros: i ) a>b ii) a =b . iii) a < b'
4)6 Apóndfoc C
9.18 El sistema electromecánico de Ia figura 9.7 consiste en r¡na fuente de voltaje, una resistencia, una inductancia, un motor, una c¿rga inercial J, un amortiguador B, Si se rePresenta al motor por medio de las ecuaciones T = k' i. v" = k"0 L
Fl.!r¡
9.7.
a) Descrlbase la relación entrada salida por medio de variables de estado cuando se toma al voltaje u como la entrada y a la velocidad angular.. como la salida. D) Bosquéjese el lugar geométrico que describen la función de transferencia del sistema anterior cuando ft, varia de cero a infinito y los parámetrosson R - 10,L=1, k' = 15' J -5 y B -3. 9.14 Considérese el circuito de la figura 9.8 (ver problema 5.9) en don-
Flturl
9.&
de r¡ es la enrada y v. la salida. ¿) Encuéntrese la función de transferencia en términos de Rr cuando R, : lfi) o, C' = 0.1 pl y C" : O.5pÍ. b) Exprésese gráficamente la variación de los polos y ce-ros-del sisiema cuando Rr varla de 0 a e, e indíquese alll la localización de los polos y ceros cL¡andoR, = l00o, R' = I ko'
Apénüco C:r,lüf
9.15 En d e!4lo á), sección 5 del capítulo E, se presentrí un &rDrF Es posible ller¡ar a cabo la reali¡neatación elecl;ttuúia. mffi6ú túca ea wz de meoánicanente. Esta sustitución permite mayor flexibilidad en el tipo de entradas que pueden aplicarse al sistema y en Ia selección de variables que se pueden realimentar. En este pmblema se analizará el comportamiento del sistema hidráulico con coatrol eléctrico. En la figura 9.9 se muestra el sistema; consta de los siguientes dispositivos: Poshionador
¡molificadof
tf Trsnlductof d¡fersncial Ftgú¡
i) Un LVDT ("tinear varíable dilferentiat transformer" ), transduc' tor usado para medir desplazamientos. Supóngase que el voltaje rr,, salida del LVDT, está relacionado con el desplazamiento del émbolo del actuador por medio de 9, -- ks! ii) lJn tronailudor il¿ 'üIerensia es está dado Por *:
ila presiones, en el cual el voltaje
ko tP
iii) Un amplificador en el que la corriente de salida es proporcional a la suma de los voltajes a la entrada I=k,(v,+1,2+u) I
I
IL-
(a es un voltaje proporcional al desplazamieirtodeseadoy representa la entrada al sistema).
9.9.
tf90 Apón llcc C iv) Un poúcüfur que acfila sobrc los carretes ddmmaÁniu de la se¡vovllvula y cuya función puede ¡epres€ntarse por la ecuación *, = kJ. El rcsto
á = 0 .1m ' ,M = lú kg ,t,- O.tI,
segm'
m"
fr"- 1ü"E,
E
ft"= l(' r " ltg
segkg
kg
ft.- 10'ñ
lo.l Determlnense las respuestas perrnanente y transistoria que se obüenen cuando el sistema descrito por:
[",-| [..ll " I l+l L* l L* l y=3al se le aplica la entrada ¿(l) - sen t a partir de t=0 cial es [l; l].
y el estado ini
to,2 En el circuito de la figura 10.1 se considera como entrada al voltaje r(t) de la fuente y como salida al voltaje v" del capacitor. Si se denota por üo al voltáje inicial del capacitor y v(r) = lsen @t]a-'(r). a) Encuéntrese v"(t) pata f ) 0 en función de vo, usando la fórmula de variación de parámetros.
\
Apáücc
á ) Ideatififrnse tas respuestas permanente y transitoria. c) C-onfírmeseque la respuesra perrnanente esté dada por
lH(r'ó0)lsen t6ot+ 4H(i6o)l .. en dondelf(s) es la función de transferenciaí/ó-_ d) Determfnese el valor det voltaje ;;;;';#"iiisea perioaica a partir de r _- 0 y confírmese q"" ¿i"fró-"jj", "i-tirfu"u yo* = _fm [¡b0 I_¡1-
¡
R = 20* o
1t(t)
+
C= IpÍ
Fi¡un
10.1.
lo,3 En eI sistemamecánicomostradoen la figura 1O.2,f(t) es la entrada y y(r) es la salida.Encuéntrese la condiiiJn initir tufol, ytoll para que la respuestadebidaa la entrada r;i^,(r) no tenla;t=-i; ga parte transitoria.
l(t) (tuo".) fl¡un
Jr(t) (dÁphrln¡cnro)
v1r¡= !1r¡ lo.4 Considéreseque en un sistema la relación entre la entrada a(r) y la salida t(f) está dada por lu " á-i1"."]r"i"-f """""i¿" d'v(t) _ _ A F _ +dv(tl " i + B t ( t ) : " 1r ¡ cuando a(r) : (sen .,r)a-,(r), ra parte periódica de ra salida, por ser
lO2,
C {9!l
5OOAp&dioc C el sisterra lineal e invariable, es
/*"(r) = III(¡',)l senf't + 4H(i')f en dondell(s) = (s* + as + p)-. Una manerade e.ncontrar las condicionesiniciales y(0) y j,(0) para que ,(r) = /0.,(f) para I ) 0, es haciendo¡.¡sode las igualdades: ,(o) = r*;(0) = llr(¡.)l sent4ll(io,)l
j(Q =
,1
fry*,(t) l,= 'l¡t(i,)l
cost4¡r(1,)l
Confírmese que el resultado anterior es consistente con el presentado en la sección 2 del capftulo 10, esto es
ltroil ["'.-l I l= l_ * l= I m [ r ' . I + A ] ' b P(oll L*l en donde
^-['
Ip
:]
""{:]
Siguiendo los lineamientos de la sección 5.1 del capltulo 10, ocuéntrese la gráfica polar de la respuesta en frecuencia del sistema mostrado en la figura 9.3 del pr.oblema 9.5, con los valores numéricos M = 3, B = 12 y K - 1. De la gráfica polar deterrrrineseen forma apr'o' ximada la frecuencia a la cual se obtiene que si l(t) = sen,¡, vD.,(f)= cosof. l0.6 Codlrmese el principio del argumento, obteniendo la curva imagen de cada una de las curvas de Jordan mostradas en la figura 10.3,
Clrcúb:n¡d¡o3 : Ccntm-2 fi¡u¡.
f03.
Apénüo
bajo la transformación
fc - !
?)t
y obs€ra¡do el nrlmeto de encie: rros del origen bajo la curla imagen. lo.7 a) Bosquéjenselas cu¡vas imagen de C, y G de la figura 10.4bajo
Re
F|ror¡ fO.4.
la transformación F1(s) = s * 2, y verifíquese en cada caso el principio del argumento. ó) Haga lo mismo para la transformación &(s) =
verificando # también el principio del argumento. (Ayuda: para este inciso puede auxiliarse con los resultados obtenidos en a), recordando que el reclproco del número complejo r 1.0 es ! ¿ -t.', f
lo.8 Si la imagen de la curva G (figura 10.5) bajo la transformación F(s) es la curva Cr-g (figura 10.ó), dibrljese la curva imagen de Cr bajo la transformación 5 + 8F(s) y la curva imagen de C" (fieura 10.7), bajo la transformación F(s).
Fl¡un
1O.5.
C f)l
f)2
Apówlice {,
Fi¡un
1O.6.
F¡¡ur¡
f0.?.
lo.9 Determínese la respuesta permanente de un sistema cuya función de transferencia es s=., I I (s ) = , (s + J,rsi la entrada es s lO u(t) -2, i2,fusen (2n+ r)t
lo.ro La gráfica polar del sistema con función de transferencia l6 s ' * 2 (. " s * , 1 aparece en la figura 10.8 Determínenselos valores de t y ,".
Apóndtcc C 5()3
Fig!¡i!
lO,&
Fi¡orr
1O.9.
lo.rl a) Bosquéjesela gráfica polar que corresponde a una función de transferencia II(s) con el patrón de polos y ceros de la fig. 10.9.
b) Determínese,para el sistema dado con base en la gráfica polar del inciso anterior y el criterio de Nyquist, el número de polos que
Hf') I + K¡I(s) tiene en Re(s) > 0, para todos los valores de K (positivos y negativos). c) Confirme la respuesta del inciso anterior por medio ilel criteúo de Routh.
ro.l2 Un sistema tiene la representaci$npor iliagram¡ tle bloque de lB fieur! 10.10
(s+l )(s+8 )
Fi3ura lO.lO.
5o1 A@dice C De G(s) se tiene la información
lG(i,)l
4 G ( i. )
I
5
2
4
-3 { )
3
5
f,
) I
- 90
4
6
0.5
0o
- ll00 - 1800
n
-2700 -3ó00
Si G(s) no tiene polos en R¿ (s), determineel valoi de K para el cual el sistemaoscila (tiene polosen el eje imagina¡io) y encuentrela frecuenciade oscilación. lo.l3 De una función de transferencia G(s) se tiene la información que se presentaen la figura 10.11
ImG(i.)
Imc(i^+o) o:o
ReG(i.) FI¡I¡I¡
!
i-1.")
IO.ll.
Determínese en función de K ) 0 el número de polos del sistema realimentado que aparece en la figura 10.12que cumplen con la condición o-R¿[s] <0. KG(s) Figr¡ra l0.l2.
lo.l4 Si la gráfica polar de Il(s) es la de la figura 10.13,encuéntreseel
ReH(j-)
Figu¡¡ 10.13.
Apánrüé C Sl)s r"r.¡& & ¡(.cot ¡O l¡ e ar¡e
Fr¡que
el sistema mostrado en la figura
{¡r(s)}"
ftur¡
f0.f4
llrs los valores positivos de K para los cuales el sistema Ikmlnense ü reograrna de la figura 10'12, en donde G(s) no tien€ polos con parte reat positiva y tiene la respuesta en frecuencia mostrada en la figura lo.l5, es estable.
lc(i¿)l'
It¡un
lo.l6 Si G(s) tiene únicamente un.polo en el semiplano derecho R¿(s) > O y la imagen de la trayectoria indicada en la figura 10.1ó,bajo la transformación G(s), es la mostrada en Ia figura 10,17, detern¡ínenselos
l0.ll.
5(t6 Apóndico C
valores de K para los cuales el sisrema de la figura 10,12 es estable,
Fi¡ur
10.16.
flur
fO.U.
lo.l7 Dibrijese la traza polar de la función de transferencia
c(s):..g -EG;TZ;ft' y encuéntr€se el intervalo de valores de K para que el sistema de la figura 10.12sea estable. (Sugerencia: úsese la relación: ,/;¡T
= r'F4O
_ -Y¡;¡ r +r -9.) .
lo.18 Para el sistemade la figura l0,lg, a) Determínese por medio del criterio de Routh el intervalo de valores de K para los cualeses estabte. á) Encuéntresela imagende la curva mostfadaen la figura 10.19 bajo la transformaci¿r,1 - i. s"+ 4'
r¡áIc
F¡aú. lO.ft.
Fl¡un
l0l9.
Sc¡rilrr¡los d! rad¡o€
c) Conflrmese el resultado del inciso 4) usando la gráfica obtenida en b) y el criterio de Nyquist. lo.l9 Usando el criterio de Nyquist determlnese, para todos los valores de K (positivos y negativos), el nrlmero de polos con parte real negativa que tiene el sistema de la figura 10.20.
u lK s'l
Flar¡r. f0.to
-l
1o.20 I)e un sistema lineal e invariable con el tiempo, se conoce la pareja entrada-salida que se muestra en la figura 10.21.
Fl¡un
l'-.
l0.2l.
C 5{n
508 Apénüce C
Si dicho sistema se realime¡ta como lo muestra en la figura 10.22,
Fi¡ur¡
l0Jll.
determlnese, utilizando el criterio de Nyquist, para qué valores de K positivos, el sistema de malla cerrada es estable,
to.2l Se cuenta con la respuesta en frecuencia (en forma tabulada) dc un sistema estable G(s).
lc(t,)l o I
2 15 @
4G(i.) 0o
J
4 2
-ó 0
I 0
- 1200
-90 - 1E00
Dlgase para qué valores de K el sistena ¡ealimentado de la figura 10.23,es estable.
f'l¡rr¡
fO.23¡
(Ayuda: es necesarioconocer la respuestaen frecuencia del sistema de malla abierta),
to.22 El reograma que representa el sistema hidráulico estudiado en la sección 5 del capítulo 8, para un conjunto dado de valores numéricos, se muestra en la figura 10.24. Usando el crit€rio de Nyquist determíneseel intervalo de valores de ft, para los cuales el sistema es estable.
ABúndicc.C fi9
F|¡¡t
f(Ltf
ltr23 Dibrijenselas trazas de Bode correspondientesa los sistemas
¿)a(s)=(T#i,áh-{ft, l(X)s'
b) ¡r(s) - ( s +20)(c +40s +l oÉ ) 1o.24 Encuentre la aproxirnación asintótica de traza de magnitud de Bode de un sistema con función de transferencia tt
(s + 10)(s'+5s+ 4) 1o.25 En el sistema mecánico mostrado en la figura 1O.25,la entrada es la fuerza f(t) aplicada a la masa y la salida, el desplazamiento *(f).
lQ)
Si la aproximación asintótica del diagrama de magnitud. de la respuesta en frecuencia es la de la figura 10,26, determlnense los valores de la masa M, el amortiguamiento B y la constante K del resorte,
Fl¡o¡¡
1O.25.
SfO Apéudicc C
F¡r¡r¡¡ 10¿6.
1o.26 En Ia práctica, los "derivadores" construidos electrónicamente tienen, en aproximación asintótica, una magnitud como la que se muestra en la figura 10.27.
Fi¡¡r¡
10.2?.
La raz6n por la cual se construyen de esta forma es evitar derivar señales con componentes de alta frecuencia. Considérese que al derivador de la tig:a..a10.27 , que es de fase mlnima, se le aplica la entrada u (t ): lt ¡$ e t lu _ , (t ) Determínesela salida, bosquéjela y compárela con la derivada de la entrada.
1o.27 El sistema representado en la figura 10.28 corresponde al servomecanismousado en algunas graficadoras; / y v son voltajes, ¡,' veloci dad angular y y la posición de la pluma. Considéreseque un motor tiene la función de transferencia
T = G+ l) G+ t'
Apóodc C 5Ir
Fl¡ur¡
;
f0.l&
< ¡ Et - r yqu e j,= 3,. Si-se ajusta la ganancia del controlador paft¡ que el margen de fase sea 3Oo,¿cuánüovale el margen de ganancia?
1o.28 Tómesepor caso el sistema de la figura 10.29.
f¡rm
f O,!).
Ifrür.
fOA¡.
a) Si K = 1, determine el valor de c para que el margen de fase sea 45o. D) Si K = 4, determine el valor de c para que el margen de fase sea 2ó.óo.
ro.2!) a) Encuéntrese anallticamente el máximo de la magnitud de la función transferencia del sistema de la figura 10,30, y confifrmese
gráficamente el resultado al ttazar la gráfica polar de Ia función de transferencia de malla abierta sobre los clrculos M. E) Obténgase el rnáximo de la función de transfe¡encia del inciso aDterior con las gráficas de Bode y Nichols.
Apiaüce
C 5f2
1o.30 Considérese el cirauito, mostradoen la figura 10.31,formado por
c,
c,
C2
F¡er¡r¡ 10.31,
6- lp.f; C,-- l0pl iR: lMa i R, = l,ko ; R¿: lko resistencias, capacitancbs y amplificadores operacionales.Estos últimos se suponen ideales: ganancia infinita, Z"*,"u, --t o y Zor ro"-) 0. a) Dibrijese un reograma que represente la función de transferencia del sistema y en el oual sólo aparezcanramas con transmisiones de la forma
: y con d, p y y, nrlmeros reales. s + p--- 7,
á) Dibújense los diagramas de Bode de magnitud y fase de la respuesta en frecuencia del sistema sin realimentar (sin considerar la línea punteada de conexión). c) Obténgasela respuesta en frecuencia del sistema realimentado y determlnese: el ancho de banda, y el factor y la frecuencia de resonancia,
roSl En este problema se ilustra cómo es posible incrementar la ganancia de malla de un sistema sin incrementar el valor de M,, por medio de la colocación de una red de compensación. Considéreseel sistema de la fizura 10.32, K Fi¡o¡a 10.32,
u
I
r(1+05t
I
v
á) Obténgaseel valor de K para que el factor de resonancia sea también 2 db. ¿) Obténgaseel valor máximo de K para el cual M.:2 considéreseel sistema de la fieura 10.33.
db. Ahora
SfB Apéoilice C
Flgur. f033.
I
I
ra¡t
I
h ¡n
d sistena representado por el diagrama de bloques de la fil03l, €ocuéntr€nse r¡nos valores de K y p que hacen que la ñrn-
(s+1)(s+100) ngur¡ f0.¡t4
ción de transferenc¡¿ ]rX 1s¡g¡ una r€spuesta en frecuencia cuya mag4(s) nitud varla entr€ 0.8 y 125 en el intervalo 0 < I < 1,5 ¡iz.
INDICE
i¡tcgrablc, 206, 210 ü¡t¡.ú.ntc dc nodos, 99 tuEión ..d.róEct¡o, ,148 ¡ditivlt¿d,59 rdjugada (ulasa adjunta) ¡d¡¡nta, 142 .hb.rico (pá¿r¿lictcDa) ehobrado púbüco, 2l ¡ úqtituador torsional, 78 enoniguador traslacional, ?5 ¡Edtiguamicnto rc¿I, 186 a dtiguamicnto ¡clativo (oáasc c ocficicntc dc) eoplificador clccuónico, 29 aoplifi cador opcracional, 295 .Dcho dc b¡nda, 366 ángulo dc farc, 303 ángulo dc partida dcl LGP, 24? aaticipatorio (udo.resistcma) ¡¡gumcnto (uáascprincipio dcl) errcglodc Routh,2l? rrlotatar dc ganancia, 543, 348 .rfototrr dcl LGP,242 automa¡la,l0l lutóm¡t¡ ñnito, 53, 54 autólrst¡ infinito, 53, 54 mnd¿ t¡alpo¡tado¡at 57 barc crtánda¡ dc RN. 405 bcl (bclio), 537 bloquc, 121 Bodo (uáascdiagramasdc) bolígafo, 4l calor crpccífico, 84 cambio.40 capacitanci¡ cléct¡ica, 70 capacita¡ci¿ fluídic a, 8I, 445 capacitancia térmica, 84 capacitor,70 ca¡ga cléctrica, 7l carta dc Nichols, 306, 367 c¡rtdia¡o (váosacrpacio) caror ringularcs dcl ctitcrio dc Routh,219 causal (uácscrirtccra) Csytey-Hamilton,tcoraoa dc, 422 ceros,174 circuito cléctrico, 7l círculor iM y IV, 360 codominio,A. 409, 415,417
cr,cficicntc dc amotiguamicnto ¡dativo. 186 cofactor dc una matúz, 422 cofactor dc una trayccto¡ia, I l0 combinación lincal, 406 compc¡rsador, 267 coFpcr¡sado¡ dc acción dc repoeiciór (arfosacompcnrador & ataro) compcns¿dor & acción dc¡ivativa (náarecompcnsador dc adcla¡to) compcnsadordc adclanto,283, 289 compe¡sadorde ¡t!a!o, 283,293 compcnsador dc trcs modor, 289 conputadora analógica, I 72 conc¿tcnación dc tcgmcntos, 33 conjunto (uécre lcycr dc) constantcdc crro¡ dc posicióu, 196 con¡tantc dc crror dc vclocid¿d,19? control dc dor posicioncr, 434 coutrol dc posición, 200 control, conccpto dc, 17-20 controlabiüdad, f 50-153, 266, 267 controlablc, 150 cont¡olablc cstánda¡, ¡eprescntación, 476 convcf,lión dclta-cstrclla.462 convolución,388 convolución gtáfica, I 6 I corrclación,474 cor¡icutc,70 c¡ccimiénto dc¡aogr áfrco, 246, 413 qitcrio dc Nyqutut, 924 critcrio dc Routh,218 cu¡rt¿ccrr¿da.3l3 cun-adc Jordan, 313 cun¡asimplc, 313 década.33? decibel(decibelio), 337 dcacomposiciónda una curvo, 319 dcaigualdaddc Schwartz,417 dcsigualda
5r5
diodo, 40 divi¡ión co¡tinuad¿, ¡cpr€EDt¡ción por, 471 doblctc unit¿¡io, 403 cconomía, cvolució¡ dc, 4¡lg ccuacioner lincalcr, solubiüdad dc, 4t74t9 cjc tcd (LGP lobrc Gl), 2¿t6 dcmcnto! (véo* lr.ya illcl clcmcnto!, 69 clcmcntos, varisblesd6, 0g clcmento híb¡ido, 90 climinación dc nodo¡, 100 cncrgía disipada, 426 cnEada,18,31 cntrada, parábola ulit¿¡ia, f97 cr¡E¿da csca¡ónutitario, 196 cntrad¿rampa, 197 cqu¡v¿¡cuci¡ cnt¡c cuE¡d¡r, 36,45 cquivalcnciar, dascr dc, 4548 c¡¡or dc acclqación, 200 crror dc porición, 199 crror dc vclocidad 200 crror dcl sistcma, 196 cacalónunita¡io, 196, 380 crpacio ca¡tcsianodc n dimcnrionct, 405408 cspacio euclidi{¡o cstándar, 416 crpacio nulo, 409, 415 crpacio vcctorial rcal, ,105-408 qt¡bilidad 20 dt¡biüdad dc ri¡tcmas dc pa¡ámct¡o¡ conccntrados, 213 crtabilitad dGlirtcmas li¡c¿lcs invariabler,2l0 clt¡do nulo, cvolución dcl, 190 elt¿do, conccpto dc, 49-50 crtado, lcycsdc cvolución dc, 50, 126 cstimación,20 factor dc rc¡onancia, 348, 366 filt¡o pucntcado cn T, 457 lluido comprcsiblc,,l45 fl uido incomprcsiblc,,l45 flujo dc calor, 85, 455 flujo cléctico, 71 fórmula dc Maron, 104, ¡fl-l lz fórmuli dc v¡¡i¡ción dc p¡¡ámatro!, 135-138 fraccioncsparcialcs,392
516
lndice
ftccucncia dc cortc. 346 frccucncia dc rc¡onancia. 346 frccuc¡cia natu¡al, I 86 frccucnciarcal, 186 frccucncia de quicb¡c, 343 fricció¡, 25 fuerz¡, ?3, 88 función dc transfcrcncia, r64, 165, 213 ñ¡nción dclta (.ráar¿impulso unitario) función dclt¿ dc Dirac (u¿¿r¿ it¡puko u¡ita¡io) función gcncralizada, 39 7 ga¡va¡ómcuo,480 gananciadc ma¡la, 24 gana¡¡ciadc mall¡ dc ordcn ,c 109 ganancia dc un ampüficador, 23 gananciadc una traycctoria, 108 gaito,80 gráfica dc Nicholr (uar traza dc Nichol¡) gráfica polar (var traza polar) gaficadora, 5 I 0 hlbrido (uáo.rcclcmcnto) hom ogcncidad, 59 Hu¡witz, critcrio d., 488 idcntificación, 20 impulso unitario, 388 inducta¡cia, 7 I inducto¡. 7l inctciz,26,77 inc¡tabilidad, 209 irtcgrador, 171 intcgral dc convolución, 157 intdca¡¡biado¡ dc calor, 230 inyaria¡rcia con cl ücmpo, 60-62 i¡vcrsión dc mallar, 113, 115 ¡nverrión d€ traycctodas, I l3 invcrsionfuta,18,21 Küchhoff (uáaselcycs dc) lcy dc conjunto, 69 lcy dc couscrvación & masa, 472 lcy dc conscwacióo dc momc¡rto angular,470 lcy dc'corricntc dc Kirchhoff, ?1 lcy dc clcmcnto, 69 lcy dc Ncwton, scgunda,4?O,472 lcy dc Ncwton, tcrccra, 75 lcy dc Ohm, 70 lcy dc voltajc dc Ki¡chhoff, ? I LGP (olaaclugar geométrico pocitivo) lioeal (uéasesistcma) lincalidad,58-60 li¡e¡lización, 146-148 lincal¡ncn tc indcpcndicntc, 407 localización dc polos y cctos de un compcnsador,266 lugar gcorné&ico dc las raíces, ttq
tc,9
lugar gcométrico ncgativo, 234 lugar gcométricopolitivo, 234 LVTD, 497 mall¡ abicrta, 20 malla ccrrada, 20 malla múltiplc dc ordcn k, 106 malla simple, 106 rnalla,invcnión dc, I13, ll5 mar8cn dc ga¡ancia, 334 margcn dc fa.rc, 334 úas¿. 22,73 Maron (uéasefórmula dc) mat¡iccs, dcrivada dc, 423 matricer, ptoducto dc, 423 mat¡iz dc tr.¡lfcrcncia, 163 matriz d€ trandción, 127-128, 467 mat¡iz cxponcncial, 138-l4l mat¡iz idcntidad, 417 matriz invc¡sa.419-421 mat¡iz no singula¡,421 ¡trat¡iz nula. 416 matriz rala, invcrsión dc, 461 matrü singular, 421 matriz, dctcrminantc dc, 419 matriz, tra¡¡sfoÍnada dc Laplacc dc una, l4l Maxwcll, JamcsC., l7 modclado,19,69-93 modclos no lincalcr, 88-90 ¡notor, 90 multiplicación dc una transforrnación, 408 ncumático (.rl&r. rktcma) Ncwton (uá¿r¿lcy) no lincal (ulasemodclo) nodo,9ó nodo fucntc, 96 nodo pozo, 96 n orma,416-417 nulüad, 409, 416 númcro complcjo, rc¡rrcscntación pola¡ dc, 176 númcror complcjor, multiplicació!¡ dc, 178 Nyquilt (rrá¿¡ecritcrio dc) Nyquilt, 17 ob¡c¡vabilida4 l5,l'l 56, obscrvablc,154 obscrvablc cstándar, rcp¡cscntación 476 octava,937 Ohm (udaralcy dc) optimación,20 oricntación dc una cu¡va, 3lg ortogonal,4l8 oscilacioncs,29 par torsional, 77 parábolaunita¡ia, 197 parárnctros conccntr adot (ttéose sistcma) parámctrosdc dh€ño, 190
parámctoe di.rtrüuidos (véosc si.stcma) Pstrón dc pcso, 157 patrón dc polos y cc¡os, 174, 17¡, fi0 péndulo invc¡tido, 209 pcrpcndicular,417 plano complcjo, 177 pl¿nt¿, f8 polinomio caractc¡í stico, 174,422 poloocomplojorconiugado, rcaiduoscr¡, 182,3{5 polos dominantcr, 184 poricionador, ll8 potcnciómctro, I 19, 172 prcaa,495 prc¡ión,80 principio dcl a¡gumcnto, 320 problcma dc atabilidad, 20 producto dc mat¡icct (véae mahvl producto dc un crcalarpot un vcctor, producto intaio¡, 416-417 producto int.rior c¡t¡índa¡, 4 I 6 punto dc cquilibrio, 149 puntor i¡tc¡io¡ca y cxtcrio¡cs, 319 raíccr múltiplcr cn cl LGP, 251 raíccs rcpctidar, 393 ¡ama dc un ¡cograma, 95 ramar dcl LGB 2lO rampa, 197 rango,409,415 rcacción cxotérmica, 473 rcactot quíDico, lE rcalimcntacón, conccpto dc, 20.22 rcalimcntación,dccto¡ dc, 22-29 rccorrido.409 rcducción dc un ¡cograma, 99 ¡cgión dc cotrvc.gcncia, 380 ¡cgulación, 20 ¡cgulado¡, 17, 433 ¡clcvado¡dc acciónproporciorral,284 rcograma,96, 170 rcsiduosdc polor, 179 rcsiduos dc polor, cvaluación gníficadc, 179 rcsistcnciacléctrica, 70 rcsirtcnci¿ lluídica, 8 I rcristcncia tcmica, 84 ¡cso¡!áncia(uáoseñccucncia) rcaortc rot¿ciona¡, 7 7 rdortc tra¡lacional, 74 rcq>ucrtaa impulso, 136, 175, 210 rcapucrt¿ cn frccucncia, ¡cprcscntación gráfica dc, 306 rcrpucrta cn ftcc-ucncian297 rcspucsta cn f¡ccr¡cncia dc mall¡ ccrrada.361 rcspucstapcrma¡¡cntc,298 rcrpucrta tr¡nritoria, 29E ¡ctraro dcTunidadcs, 57, 61, ¡ct¡oalimcntación (¿á¿J¿ ¡calimcntaciónl Rouü (oáasearrcglo,critcrio, casossingularcs)
I¡dicc -rr¡. ¡G:E
- t- !: f-:
btu¿ld¡d dc) 5r::.e-= rÉ 275 e¡¡ i ¡i+*¡ai¿¡to, e"¡aodécrico,20O, ::- :5¡ hid¡áulico, 224, e:c<¡ioo -5:,¡9; É[email protected] 224 -¡sr¡lrul¡19 e¡iificxióo, e.---rrco. 19, 171 Ea':-i-¡d¡d lolarc polo, ccro) t:=a¡r da rittc@as, 167 31.33 ¡¡¡ar rrtcoa alpbraico, 53' 54 rsrcna amnésico, 54 ¡istc¡ua causal, 33-36 ristc¡oa continuo.62 ¡¡s¡r¡¡a co¡Eolado¡ dc porición (udarc posicionador) ¡Étcda ciíüca¡ncntc a¡no¡tiguado, 186 iirteroa dc adcl¡nto (r¿¿s¿ compcnsador dc ¿dclanto) sistema dc ¡ dimcnsioncs, 58 sLtema de pa¡ámct¡os concant¡ados, 55-50
sistcraadc parámctrosdiscibuidos, 5 7-5E siltcm¿ dc acgundoordcn, 185,187 sistcDadctc¡minista. 3l siltcma dinámico, 63 sistcmadiscrcto, 62 sistcmacléct¡ico, 70 3iltcma cltablc. 207
¡i¡tcma hi
5I7
Fa¡r¡fo¡n¡ción lincd, 408-{09 t¡a¡dormads dc Laplacc, 3 79 tr¡¡dor¡ada i¡vcú¿ dc Laplacc, 39 I tan¡ittor, modclo hibrido, 457 tra¡¡lhtor, modclo iDcrcnc¡td, 497 bansitorio, cfccto, 26 tranrmi¡ión dc una ¡ama, 96 tanspucsto,416 l¡aycctori¿, 106 taza dc Bod€ (oáascdiagrama dc) traza dc Nichob, 306, 36? tnza polar, 306, 907 rrnáagulo (aáosedcaigualdeddcl) turbina hid¡áulica, 47 I unicidad,32 valor ca¡acte¡i¡tico, 42 I válvula, 200 variablcs dc crttdo, ¡clccció¡ dc, t67 -t70 variablcs intcrmcdiar, 9E vcctor, dcrivada dc un, 423 vcctor caractcríltico, 42 I vcctor columna,416 vcjiga Dst¡toris, 408 vclocidad angular, 77 vclocidad lincal, 73 voltajc, T0 Wstt, Ja¡nc¡, 17
