MAKALAH
ANALISIS DATA TIME SERIES DALAM MENENTUKAN MODEL TERBAIK DARI DATA PENJUALAN MOTOR KAWASAKI 20102014 MENGGUNAKAN METODE ARIMA
Makalah Makalah in ini disusun disusun untuk me memenuhi tugas UAS UAS mata ata kuliah kuliahTime Series)
Dosen Penga!"# $a%&'"' Ro()* M+S)
O,e&# M"&aa. L"an NIM+ 12/100/
JURUSAN MATEMA MATEMATIKA TIKA $AKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIERSITAS ISLAM NEGRI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG
201
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Latar Belakan Belakang g
Perkembanga Perkembangan n zaman yang sangat pesat menghasilka menghasilkan n teknologi teknologi yang Dalam kegiatan perencanaan sering kali antara kesadaran akan terjadinya suatu peristiwa dimasa depan dan kejadian nyata peristiwa itu dipisahkan oleh waktu yang cukup lama. Beda waktu inilah yang merupakan alasan utama diperlukannya satu perencanaan (planning) dan peramalan (forecasting). Jika beda waktu itu besar dan kejadian peristiwa dimasa depan dipengaruhi oleh faktorfaktor yang terkontrol! maka dalam hal ini suatu perencanaan akan sangat berperan penting. "alah "alah satu unsur unsur yang yang sangat sangat pentin penting g dalam dalam pengam pengambila bilan n keputu keputusan san adalah adalah dengan peramalan. Peramalan akan sangat diperlukan untuk mengetahui kapan suatu peristiwa akan terjadi sehingga tindakan yang tepat dapat dilakuka. Banyak jenis metode peramalan yang digunakan! dari metode yang paling klasik sampai metode yang paling rumit. Dengan pesatnya kemajuan teknologi dan dan deng dengan an adany adanyaa peng penggu guna naan an komp komput uter er yang yang semak semakin in melu meluas as di dala dalam m berbagai organisasi! maka metode analisis runtun waktu lebih umum dan berdasarkan ilmu statistik yang dikenal dengan Bo#Jenkins atau $%&'$ ($utoregressie &ntegrated 'oing $erage) telah dikembangkan lebih lanjut dan diterapkan untuk peramalan. "elain itu. 'etode ini bertujuan untuk mencari pola data yang paling cocok dari data. $lasan menggunakan metode $%&'$ adalah memanfaatkan sepenuhnya data masa lalu dan data sekarang untuk menghasilkan pola yang hampir menyerupai data aslinya. Berdasarkan uraian diatas! maka pada tugas akhir ini penulis memodelkan pola $%&'$ terbaik berdasarkan data perkembangan penjualan motor kawasaki tahun *+**+,. 1.2 Rumusan Masalah
Berdas Berdasark arkan an latar latar belakan belakang g di atas! atas! maka maka permasa permasalah lahan an yang yang diambil diambil adalah adalah bagaimana menganalisis data time series dalam menentukan model $%&'$ terbaik untuk data perkembangan penjualan motor kawasaki tahun *+**+,-
1.3 Tujuan
ujuan dari makalah ini adalah untuk mengetahui menganalisis data runtun time series dalam menentukan model $%&'$ terbaik untuk data perkembangan penjualan motor kawasaki tahun *+**+,.
BAB II A!IAN PU"TAA
2.1 P#la Data
Jenis Pola Dat "tatistika adalah ilmu yang mempelajari tentang data! berdasarkan waktu pengumpulannya data dapat dibedakan menjadi tiga jenis! yaitu/ a) Data crosssection adalah jenis data yang dikumpulkan untuk jumlah ariabel pada suatu titik waktu tertentu. 'odel yang digunakan untuk memodelkan tipe data ini adalah model regresi. b) Data runtun waktu (time series) adalah jenis data yang dikumpulkan menurut urutan waktu dalam suatu rentang waktu tertentu. 'odel yang digunakan untuk memodelkan tipe data ini adalah modelmodel time series. c) Data panel adalah jenis data yang dikumpulkan menurut urutan waktu yang akan dalam suatu tentang waktu tertentu pada sejumlah kategori. 'odel yang digunakan untuk memodelkan tipe ini adalah model data panel! model runtun waktu multiariat. 'akridakis et.al (+000) mengungkapkan bahwa langkah penting dalam memilih suatu
metode
runtun
waktu
(time
series)
yang
tepat
adalah
dengan
mempertimbangkan jenis pola data! sehingga metode yang paling tepat dengan pola data tersebut dapat diuji. Pola data dapat dibedakan menjadi empat! yaitu/ +.
Pola horizontal terjadi pada saat nilai data berfluktuasi di sekitar nilai ratarata yang konstan. Deret seperti biasanya stasioner terhadap nilai rataratanya. "uatu produk yang penjualannya tidak meningkat atau menurun selama waktu tertentu. Pola khas data horizontal atau
.
stasioner. Pola musiman terjadi bilamana suatu deret dipengaruhi oleh faktor musiman (misalnya kurtal tahun tertentu! bulan! atau harihari pada minggu tertentu). 'isalnya pada penjualan minuman ringan! es krim!
1.
dan bahan bakar pemanas ruangan. Pola siklis terjadi bilamana datanya dipengaruhi oleh fluktuasi ekonomi jangka panjang seperti yang berhubungan dengan siklus
bisnis. 'isalnya pada penjualan produk seperti mobil! baja! dan peralatan utama yang lainnya. Pola trend terjadi pada saat terdapat kenaikan atau penurunan sekuler
,.
jangka panjang dalam data. Penjualan banyak pada perusahaan! produk bruto nasional (23P) dan berbagai indikator bisnis atau ekonomi lainnya.
2.2 Runtun $aktu "tas%#ner &an N#n'"tas%#ner
..+ "tasioner dan 3on"tasioner dalam 'ean "uatu data runtun waktu dikatakan stasioner dalam mean adalah jika rata rata tetap pada keadaan waktu yang kondusif atau jika tidak ada unsur trend dalam data dan apabila suatu diagram time series berfluktuasi secara lurus. Time series plot dapat membantu secara isual yaitu dengan jalan membuat plot terhadap data runtun waktu. Jika hasil plot tidak menunjukan gejala trend maka dapat diduga bahwa data sudah stasioner. $pabila data tidak stasioner dalam mean! maka untuk menghilangkan ketidakstasioneran melalui metode pembedaan (differencing ). 3otasi yang sangat bermanfaat adalah operator shift mundur (backward shift ) B! yang penggunaannya adalah sebagai berikut/
B X t = X t −1 Dimana/
B 4 pembeda
X t 4 nilai X pada orde ke X t −1 4 nilai X pada orde ke 3otasi
t t −1
B yang dipasang pada X t ! mempunyai pengaruh menggeser
data + periode ke belakang. Dua penerapan B untuk
X t akan menggeser data
tersebut periode kebelakang! sebagai berikut/
B ( B X t )= B X t = X t − 2 2
Dengan/ X t −2 4 nilai X pada orde ke
t −2
$pabila suatu runtun waktu tidak stasioner! maka data tersebut dapat dibuat lebih stasioner dengan melakukan pembedaan (differencing ) pertama. Pembedaan pertama
X ' t = X t − X t −1 Dengan/ X ' t =¿ pembedaan pertama 'enggunakan operator shift mundur! maka persamaan diatas dapat ditulis kembali menjadi/
X t − X t − 1∧¿ X t − B X t ¿=( 1− B ) X t Pembedaan pertama
dinyatakan oleh (+B) sama halnya
apabila
pembedaan orde kedua (yaitu pembedaan pertama dari pembedaan pertama seebelumnya) harus dihitung! maka pembedaan orde kedua adalah sebagai berikut/ ''
'
'
X t ∧¿ X t − X t −1
¿=( X t − X t −1 )−( X t −1− X t −2 ) ¿= X t −2 X t −1 + X t −2 ¿=( 1 −2 B + B2 ) X t ¿= ( 1− B ) ( 1 −B ) X t ¿=( 1− B )2 X t ' '
Dengan X t merupakan pembedaan orde kedua ujuan menghitung pembedaan adalah untuk mencapai stasionaritas dan secara umum apabila terdapat pembedaan orde ked untuk mencapai stasioneritas! dapat detulis sebagai berikut d
pembedaanorde ke −d =( 1− B ) X t "ebagai deret yang stasioner dan model umum $%&'$(*!d!*) akan menjadi/
( 1− B )d X t = et Dimana/
e t 4 nilai kesalahan (error )
.. "tasioner dan 3on"tasioner dalam 5ariansi "uatu data runtun waktu dikatakan stasioner dalam ariansi jika struktur data dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan dan tidak berubahubah! atau tidak ada perubahan ariansi dalam besarnya fluktuasi secara isual untuk melihat hal tersebut dapat dibantu dengan menggunakan time series plot yaitu dengan melihat fluktuasi dari data.
6etidakstasioneran dalam ariansi dapat dihilangkan dengan melakukan perubahan untuk menstabilkan ariansi. 'isalkan
T ( X t )
adalah fungsi
trasformasi dari X t dan untuk menstabilkan ariansi! kita dapat menggunakan transformasi kuasa/ λ
X t −1 T ( X t )= λ Dengan
λ merupakan nilai parameter transformasi. 3ilai
digunakan adalah transformasi logaritma dalam bentuk
λ yang umum
ln ( X t ) .
2.3 ARIMA (Aut#regress%)e Integrate& M#)%ng a)erage*
'etode $%&'$ ($utoregressie &ntegrated 'oing $erage) merupakann metode yang secara intensif dikembangkan dan dipelajari oleh 2eorge Bo# dan 2wilym Jenkins! oleh karena itu nama mereka sering dikaitkan dengan proses $%&'$ yang diaplikasikan untuk analisis data dan peramalan data runtun waktu. $%&'$ sebenarnya merupakan usaha untuk mencari pola data yang paling cocok dari sekelompok data! sehingga metode $%&'$ memerlukan sepenuhnya data historis dan data sekarang untuk menghasilkan ramalan jangka pendek ("ugiarto dan 7arijono! ***/ +89). "ecara umum model $%&'$ dirumuskan dengan notasi $%&'$ (! ! ). Dalam hal ini/
4 :rde atau derajat $% ($utoregressie) 4 :rde atau derajat pembeda (Differencing) 4 :rde atau derajat '$ ('oing $erage) 'odel $%&'$ secara musiman umumnya dinotasikan/ $%&'$ ( ! ! ) (! ! )s Dalam hal ini / (! ! ) 4 bagian yang tidak musiman dari model (! ! ) 4 bagian musiman dari model
4 jumlah periode musiman 7ubungan antara metode $%&'$ dengan model $%&'$ adalah model $%&'$ merupakan bagian dari metode $%&'$ ("ugiarto dan 7arijono!
***/+88). 'enurut model Bo# ; Jenkins secara umum model $%&'$ terdiri dari/
.1.+
Proses $% ( Autoregressive) Autoregressive adalah nilai sekarang suatu proses dinyatakan sebagai
jumlah tertimbang nilainilai yang lalu ditambah satu sesa tan (goncangan random) saat ini. Jadi dapat dipandang X t diregresikan pada
p nilai
X yang lalu.
("oejoeti!+0<8). 'odel AR adalah model yang menggambarkan bahwa ariabel dependent dipengaruhi oleh ariabel dependent itu sendiri pada periode sebelumnya. 'odel umum runtun waktu autoregressive adalah/ X t =a1 X t −1+ a2 X t −2 + … + a p X t − p + et Dimana/
X t =¿ data periode ket a p 4 parameter autoregressive kep
X t −1 , … , X t − p=¿ ariabel
bebas
(nilai
masa
lalu
deret
waktu
yang
bersangkutan)
e t 4 nilai kesalahan pada saat
t
:rde dari model $% diberi notasi p yang ditentukan oleh jumlah periode ariabel dependent yang masuk dalam model. .1.
Proses '$ ( Moving Average) Moving Average merupakan proses stokastik berupa model runtun waktu
dengan karakteristik data periode sekarang merupakan kombinasi linier dari white noise periodeperiode sebelumnya dengan suatu bobot
θ tertentu.
'odel umum proses moving average adalah
X t =e t −b1 et −1− b2 e t − 2− …−b q et − q Dimana/
X t =¿ data periode ket bq =¿ parameter moving average ke=
e t −1 , et −2 , … , e t − q=¿
ariabel bebas (nilai masa lalu deret waktu yang
bersangkutan)
e t =¿ nilai kesalahan pada saat t
Perbedaan model $% dengan model '$ terletak pada jenis ariabel independent. Bila ariabel pada model '$ yang menjadi ariabel independet adalah nilai residual pada periode sebelumnya! sedangkan ariabel pada model $% adalah nilai sebelumnya dari ariabel indpendent.. .1.1
Proses $%'$ ( Autoregressive) Proses Autoregressive Moving average merupakan campuran proses dari
$% dan '$. 'odel umum untuk proses $%'$ adalah/
X t =a1 X t −1+ a2 X t −2 + … + a p X t − p + et −b1 e t −1− b 2 e t − 2− …− bq e t −q Dimana/ X t =¿ data periode ket
a p =¿ parameter autoregressive kep bq =¿ parameter moving average ke= e t =¿ nilai kesalahan pada saat
t
Dalam banyak kasus analisis data runtun waktu! proses $%'$ memberikan kesimpulan bahwa data mengikuti proses $% sekaligus '$ atau sebagian mengikuti proses $% dan sebagian lagi mengikuti proses '$.
.1.,
Proses $%&'$ ( Autoregressive Integrated moving average) Proses $%&'$ berarti suatu runtun waktu non stasioner yang setelah
diambil selisih dari lag tertentu atau dilakukan pembedahan menjadi stasioner yang mempunyai model $% derajat p dan '$ derajat =. model $%&'$ dinyatakan dalam rumus sebagai berikut/ d
a p ( B ) ( 1 −B ) X t =b0 + b q ( B ) e t Dimana/
a p ( B )=1− a1 B −a2 B −…− a p B
merupakan operator $% yang stasioner
b p ( B )=1− b1 B −b2 B −…− b p B
merupakan operator '$ yang inertibel
2
2
Jika
p
p
p=0 ! maka model $%&'$ disebut juga integrated moving
average model tersebut dinotasika sebagai proses &'$(d!=)! dan jika
q =0 !
maka model $%&'$ tersebut disebut autoregressive integrated model tersebut dinotasikan sebagai proses $%&(p!d).
2.+ A,- &an PA,.,.+ $>? ( Autocorrelation Function)
6oefisien autokorelasi runtun waktu dengan selisih waktu (lag) dengan periode signifikan *!+! atau lebih. $utokorelasi berfungsi untuk menghitung dan membuat plot nilai autokorelasi dari suatu data time series. Dalam menghitung koefisien korelasi antara dua ariabel
r xy
untuk n pasangan obserasi
X dan
Y yang dinotasikan sebagai
( X i , Y i) dimana
i =1,2,3, … , n
digunakan rumus sebagai berikut/
r xy ∧¿
¿=
Co v xy
√ Co v xx Co v yy Co v xy
√ Var x ∙ √ Va r y ¿=
Co v xy S x S y
$utokorelasi adalah korelasi antara suatu ariabel dengan ariabel tersebut dengan lag +!!1 periode atau lebih misalnya antara X t dan X t − 1 . 'enurut 'akridakis (+000) koefisien autokorelasi untuk lag +!!1!@!k dengan banyaknya pengamatan n! dapat dicari dengan menggunakan rumus
ρk . Data
X t
r xy dan dinotasikan
diasumsikan stasioner! jadi kedua nilai tengah
X t
dan
X t −k dapat diasumsikan bernilai sama dan dua ariansi dapat diukur satu kali saja dengan menggunakan seluruh data X t yang diketahui! sebagai berikut/ k ∧¿ Cov ( X t , X t −k ) 0∧¿ Var X t =Var X t −k =S X ∙ S X − t
r k ∧¿ 'aka!
k 0
t k
Cov ( X t , X t −1 )
r x x − ∧¿
S X ∙ S X −
t t 1
t
t 1
n
( X − X ´ ) ( X − − X ´ − ) ∑ = t
¿=
t
t 1
t 1
t 2
√
n
√
n
´ − ) ∙ ∑ ( X − − X ´ − ) ( X − X ∑ = = 2
t
t 1
t 1
2
t 1
t 1
t 2
n
´) ( X − X ´ ) ( X − − X ∑ = t
¿=
t 1
t 2
n
( X − X ´ ) ∑ =
2
t
t 2
Dengan menggunakan asumsiasumsi di atas! maka persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi/ n
´ ) ( X − X ´ ) ( X − − X ∑ = t
¿
t 1
t 2
n
( X − X ´ ) ∑ =
2
t
t 2
6eterangan / r k 4 6oefisien autokorelasi lag ke k! dimana k4*!+!...!k n 4 Jumlah data At4 nilai # orde ke t ´ =¿ nilai ratarata mean X .,.
P$>? ( Partial Autocorrelation Function) ?ungsi $utokorelasi parsial (P$>?) adalah himpunan autokorelasi parsial
untuk berbagai lag k yang ditulis dengan ( akk ! k =1,2,3, … , k ) yakni himpunan autokorelasi parsial untuk berbagai lag k . fungsi autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara
X t dan X t −k ! apabila pengaruh dari
1,2,3, … ,k −1 dianggap terpisah. Didefinisikan
selisih waktu ¿ ρ k | | akk = | ρ k |
ρ
Dimana/
ρ
¿ k
k
adalah marik autokorelasi k # k..
adalah
ρ
k
dengan kolom terakhir diganti dengan
[] ρ1 ρ2 ⋮
ρ k
sehingga/
!
a11= ρ1
a22∧¿
| | | | 1 ρ1
ρ1 ρ2
1
ρ1 1
ρ1
2
¿=
ρ2− ρ1 2
1− ρ1
akk ∧¿
|
1
ρ1
ρ1 1
⋮
⋮
⋯ ⋯
|
ρ1 ρ2
⋮
⋮
¿⋯
ρ k −1 ρk −2
| |
ρk −2 ρk −3
ρ1 ρk
1
ρ1
⋯
ρk −2
ρk −1
ρ1
1
⋯
ρk −3
ρk −2
⋮
⋮
ρk −1 ρk −2
¿⋯
⋮
⋮
ρ1 1
ak" ∧¿ a k −1, " − akk ak −1, k − " #nt#k " =1,2,3, … , k −1 3ilai estimasi
akk
dapat diperoleh dengan mengganti
ρi dengan
r i untuk selisih waktu yang cukup besar! dimana fungsi autokorelasi parsial menjadi sangat kecil (tidak signifikan). uenouille menyatakan rumus ariasi
akk sebagai berikut/ Var ( akk ) $
1 %
Dimana untuk nilai 3 sangat besar!
akk dapat dianggap mendekati distribusi
normal.
2. Langkah'langkah melakukan /eramalan &engan met#&e ARIMA +. 'enghasilkan data yang stasioner Data stasioner yaitu data yang memiliki nilai ratarata dan arians
yang tetap sepanjang waktu. :leh karena itu data stasioner adalah data yang bersifat trend yaitu tidak mengalami penurunan maupun kenaikan. 'isalnya data yang bersifat trend adalah contoh data yang tidak stasioner karena data mengalami penurunan dan kenaikan atau mengalami pasang surut dan memiliki nilai ratarata berubahubah sepanjang waktu. Bila data yang menjadi input dari model $%&'$ tidak stasioner! maka perlu
dilagukan modifikasi data yaitu dengan prroses differencing atau pembeda supaya menghasilkan data yang stasioner. Proses tersebutdilagukan dengan cara mengurangi nilai data pada suatu periode dengan nilai periode sebelumnya . 'engidentifikasi model sementara Pada tahap ini dilagukan dengan cara membandingkan distribusi koefisien autokorelasi dan koefisien autokorelasi parsial aktual dengan distribusi teoritis ("ugiarto! ***). "ecara umum tahapan tersebut memiliki prinsip sebagai berikut/ a) Bila koefisien korelasi menurun secara eksponensial menuju nol pada umumnya terjadi proses autoregressie ($%). Cstimasi ordo $% dapat dilihat dari jumlah koefisien autokorelasi parsial yang berbeda secara signifikan dari nol. "ebagai contoh apabila koefisien autokorelasi menurun secara eksponensial menuju nol dan hanya koefisien autokorelasi parsial orde satu yang signifikan model sementara tersebut adalah $%(+). b) Jika koefisien korelasi parsial menurun secara eksponensial menuju nol! pada umumnya terjadi proses '$ ('oing $erage). a) Jika baik koefisien autokorelasi maupun autokorelasi parsial menurun secara eksponensial menuju nol berarti terjadi proses $%&'$. :rde dari $%&'$ dapat dilihat dari jumlah koefisien autokorelasi dan koefisien autokorelasi parsial yang signifikan berbeda dari nol. 1. Cstimasi parameter dalam model. "etelah
model
sementara
untuk
suatu
runtun
waktu
diidentifikasikan! langkah selanjutnya adalah mencari estimasi terbaik untuk parameterparameter dalam model sementara tersebut. ntuk melagukan hitungan dengan metode
estimasi digunakan
program
komputer dalam perhitungannya! dalam hal ini menggunakan program 'initab. ji hipotesis dilagukan untuk mengetahui apakah parameter yang diperoleh signifikan atau tidak ,.
5erifikasi model (diagnostic check)
Eangkah selanjutnya adalah erifikasi yaitu memeriksa apakah model yang kita estimasi cocok dengan data yang kita jumpai. Pengujian kelayakan model dapat dilagukan dengan beberapa cara/ a. :erfitting :erfitting dilagukan apabila kita menyangka bahwa mungkin diperlukan model yang lebih luas. 3amun! dalam hal ini perlu diperhatikan bahwa dalam metode $%&'$ berlagu prinsip P$%"&':3F artinya model yang dipilih adalah model yang paling sederhana yaitu yang jenjangnya paling rendah dan parameternya paling sedikit. b. 'enguji residual (Crror term) "ecara sistematis residual dapat dihitung dengan cara mengurangi data hasil ramalan dengan data asli. "etelah nilai residual diketahui! dilagukan perhitungan nilai koefisien autokorelasi dari nilai residual tersebut. Jika nilainilai koefisien korelasi dari residual untuk berbagai time lag tidak berbeda secara signifikan dari nol model dianggap memadai untuk dipakai G.
sebagai model peramalan. 'enggunakan model untuk peramalan jika model memenuhi syarat. "etelah diproses model memadai! peramalan pada satu atau lebih periode ke depan dapat dilagukan. Pemilihan model dalam metode $%&'$ dilagukan dengan mengamati distribusi koefisien autokorelasi dan koefisien autokorelasi parsial.
BAB III HA"IL E0IATAN DAN PEMBAHA"AN 3. Has%l eg%atan
Pada makalah ini membahas perkembangan penjualan motor kawasaki tahun *+**+, dengan menggunakan model $%&'$. Pemakalah mendapatkan data pada Januari tahun *+* sampai dengan Desember *+, dari http/HHtriatmono.infoHdatapenjualantahun*+Hdatapenjualanmotortahun **GH dimana data yang diambil sebagai berikut Data Penjualan M#t#r aasak% Tahun 21'21+ Bulan 21 211 212 213 21+ G!0 G!1
3.1 Pl#t &ata Penjualan M#t#r aasak% &engan &ata asl% a. Plot data time series
b.
2rafik rend $nalysis
c. 2rafik $utocorrelation ?unction
d.
2rafik Partial $utocorrelation ?unction
3.2 Pl#t &ata Penjualan M#t#r aasak% &engan melakukan &%55eren6%ng &ata a. Plot data time series
b. 2rafik rend $nalysis
c. 2rafik $utocorrelation ?unction
d. 2rafik Partial $utocorrelation ?unction
3.3 Pemahasan 1. Meng%&ent%5%kas% m#&el %. Data /enjualan m#t#r kaasak% &engan &ata asl%
2rafik trend analysis dari penjualan motor kawasaki dengan data asli menunjukkan tidak ada pola seasonal (musiman) karena tidak ada pola yang teratur. ntuk menentukan bahwa data tersebut sudah stasioner atau tidak! bisa dilihat dari grafik data tersebut. erlihat bahwa data masih belum stasioner baik dari mean maupun ariasi karena masih terdapat unsur trend. 'aka perlu dilakukan proses transformasi data dengan melakukan differencing pada data tersebut untuk melihat data telah stasioner . %%. Data Penjualan M#t#r aasak% &engan melakukan &%55eren6%ng &ata "etelah dilakakukan transformasi differencing terlihat pada 2rafik rend $nalysis diperoleh data yang sudah stasioner! ini di tunjukkan pada diagram time series yang berwarna merah berfluktuasi secara lurus. 'aka
langkah selanjutnya akan dilakukan analisis time series dengan menggunakan $>? dan P$>?. a. 2rafik $>? Dari 2rafik $utocorrelation ?unction terlihat bahwa grafik terputus pada lag +. 7al ini karena nilai lag + keluar dari garis batas dan nilai lag adalah mendekati nol! sehingga menunjukkan proses '$(+). b. 2rafik P$>? 2rafik Partial $utocorrelation ?unction terlihat bahwa grafik tersebut terputus pada lag +! dan lag ,! sedangkan pada lag berikutnya menuju nol dan tak melewati batas signifikan! sehingga menunjukkan proses $%(+) dan $%(,). 2. Menentukan m#&el ARIMA
6emudian untuk menentukan model $%&'$ yang cocok berdasarkan 2rafik $>? dan P$>?! berdasarkan tingkat signifikan $>? terlihat bahwa nilainya sangat signifikan pada lag + sehingga diduga di bangkitkan oleh '$(+). 6emudian berdasarkan tingkat sifnifikan P$>? nilainya signifikan pada lag + dan lag , sehingga diduga data dibangkitkan oleh $%(+) dan $%(,). :leh karena itu didapatkan modelmodel $%&'$ sebagai berikutI abel 'odelmodel $%&'$ yang dapat terbentuk $%&'$ $%(*)
'$(*)
$%(+)
$%&'$(+!+!*
$%(,)
) $%&'$(,!+!* )
'$(+) $%&'$(*! +!+) $%&'$(+! +!+) $%&'$(,! +!+)
"etelah didapatkan modelmodel $%&'$ yang mungkin! langakah selanjutnya yaitu mengestimasikan perameternya. Eangkah estimasi parameter dari modelmodel diatas adalah dengan melakukan uji hipotesis untuk setiap parameter koefisien yang dimiliki untuk setiap model.
3. Est%mas% M#&el %.
M#&el ARIMA(+7171*
?inal Cstimates of Parameters
ype >oef "C >oef P $% + +!,9<* *!+,+1 +*!10 *!*** $% *!80+ *!1G+ 1!18 *!**+ $% 1 *!9*+< *!,* !G* *!*+G $% , *!10GG *!+,0 !88 *!**< '$ + *!08G+ *!*88* +!98 *!*** >onstant *!,G9, *!9+1 *!8G *!,G0
Differencing/ + regular difference 3umber of obserations/ :riginal series 9*! after differencing G0 %esiduals/ "" 4 1*1!+<+ (backforecasts e#cluded) '" 4 G!8* D? 4 G1
'odified Bo#Pierce (EjungBo#) >hi"=uare statistic Eag + , 19 ,< >hi"=uare 0!, +8!* ,!, 8!, D? 9 +< 1* , P5alue *!+G, *!G9 *!8G, *!09*
o
3ilai koefisien > sebesar *!,G9,! nilai statistik nya tidak signifikan dengan nilai probabilitas
o
0,459 > 0.05 . 3ilai koefisien $%(+) sebesar
&va#e> ( ( 5 ) atau
−1,4680 ! nilai statistik
nya signifikan dengan nilai probabilitas o
atau 0,000 < 0,05 . 3ilai koefisien $%() sebesar *!80+! nilai statistik nya signifikan dengan nilai probabilitas
o
&va#e< ( ( 5 ) atau
0,001 < 0,05 . 3ilai koefisien $%(1) sebesar *!9*+
o
&va#e < ( ( 5 )
¿
&va#e< ( ¿ G)
atau 0,015 < 0,05 . 3ilai koefisien $%(,) sebesar *!10GG ! nilai statistik nya signifikan dengan nilai probabilitas &va#e < ( (G) atau 0,008 < 0,05 .
3ilai koefisien '$ (+) sebesar
o
−0,9751 nilai statistik
nya signifikan dengan nilai probabilitas &va#e < ( (G) atau
0,000 < 0,05 .
'odel $%&'$(,!+!+) yt
=
*!,G9, − +!,9< yt
−+
−
*!80)+ yt
−)
−
*!9*+9 yt
−1
−
*!10GG yt
−,
−
*!08G+e
+ θ
Berdasarkan analisis di atas diketahui bahwa koefisien parameter $%&'$ (,!+!+) tidak dapat digunakan karena tidak memenuhi tingkat signifikan nilai karena Pvalue yang lebih dari %%.
( ( 5 ) pada koefisien constant(>).
M#&el ARIMA(17171* ?inal Cstimates of Parameters
ype $% + '$ + >onstant
>oef "C >oef P *!*<0< *!+G0 *!G0 *!GG0 *!09G *!++*8
Differencing/ + regular difference 3umber of obserations/ :riginal series 9*! after differencing G0 %esiduals/ "" 4 G9!,<8 (backforecasts e#cluded) '" 4 ,!G<* D? 4 G9
'odified Bo#Pierce (EjungBo#) >hi"=uare statistic Eag + , 19 ,< >hi"=uare 0!* +G!, ,!0
o
3ilai koefisien > sebesar *!+0+0! nilai statistik nya tidak signifikan dengan nilai probabilitas
o
0,000 < 0.05 . 3ilai koefisien $%(+) sebesar
&va#e< ( ( 5 ) atau
0,0898 ! nilai statistik
nya signifikan dengan nilai probabilitas o
atau 0,559 > 0,05 . 3ilai koefisien '$ (+) sebesar
&va#e > ( ( 5 )
0,9625 nilai statistik
nya signifikan dengan nilai probabilitas &va#e < ( (G) atau
0,000 < 0,05 .
'odel $%&'$(+!+!+) yt
=
*!+)0+0 + * !*<0< yt
−+
+
*!09)Ge
+ θ
Berdasarkan analisis di atas diketahui bahwa koefisien parameter $%&'$ (+!+!+) tidak dapat digunakan karena tidak memenuhi tingkat signifikan nilai karena terdapa Pvalue yang lebih dari %%%.
( ( 5 ) pada $%(+).
M#&el ARIMA(7171* ?inal Cstimates of Parameters
ype >oef "C >oef P '$ + *!09++ *!+*** 0!9+ *!*** >onstant *!+,,*9 *!*1*,< ,!81 *!***
Differencing/ + regular difference 3umber of obserations/ :riginal series 9*! after differencing G0 %esiduals/ "" 4 G
'odified Bo#Pierce (EjungBo#) >hi"=uare statistic Eag + , 19 ,< >hi"=uare +*!9 +9!9
3ilai koefisien > sebesar *!+,,*9! nilai statistik nya
o
tidak signifikan dengan nilai probabilitas o
atau 0,000 < 0.05 . 3ilai koefisien '$ (+) sebesar
&va#e < ( ( 5 )
0,9611 nilai statistik
nya signifikan dengan nilai probabilitas &va#e < ( (G) atau
0,000 < 0,05 .
'odel $%&'$(*!+!+) yt
=
*!+,,*9 + *!09++e
+ θ
Berdasarkan analisis di atas diketahui bahwa koefisien parameter $%&'$ (*!+!+) dapat digunakan karena memiliki nilai Pvalue yang kurang dari
( ( 5 ) .
Dan nilai '" dari $%&'$(*!+!+) lebih kecil daripada $%&'$ yang lain maka dari itu $%&'$(*!+!+) dapat digunakan. %).
M#&el ARIMA(1717*
?inal Cstimates of Parameters ype >oef "C >oef P $% + *!,9 *!+*+ 1!G *!**+ >onstant *!++0< *!11*1 *!19 *!8+<
Differencing/ + regular difference 3umber of obserations/ :riginal series 9*! after differencing G0 %esiduals/ "" 4 199!<* (backforecasts e#cluded) '" 4 9!,1G D? 4 G8
'odified Bo#Pierce (EjungBo#) >hi"=uare statistic Eag + , 19 ,< >hi"=uare +*!+ +G!, 1!* 9!0 D? +* 1, ,9 P5alue *!,11 *!<,9 *!0G *!0<0 o
3ilai koefisien > sebesar *!++0
o
0718 > 0.05 . 3ilai koefisien $%(+) sebesar
&va#e> ( ( 5 ) atau
−0,4226 ! nilai statistik
nya signifikan dengan nilai probabilitas atau
&va#e < ( ( 5 )
0,001 < 0,05 .
'odel $%&'$(+!+!*) y t
=
*!++0< − *!,))9 y t
−+
+ θ
Berdasarkan analisis di atas diketahui bahwa koefisien parameter $%&'$ (+!+!+) tidak dapat digunakan karena tidak memenuhi tingkat signifikan nilai karena terdapa Pvalue yang lebih dari ).
M#&el ARIMA(+717*
?inal Cstimates of Parameters ype
>oef "C >oef
P
( ( 5 ) pada koefisien constant(>).
$% + *!9*10 $% *!19*9 $% 1 *!,90G $% , *!1G9 >onstant *!1,<*
*!+1** *!+,8* *!+,08 *!+1,8 *!1*8*
,!9, !,G 1!+, !9 +!+1
*!*** *!*+8 *!**1 *!*++ *!9
Differencing/ + regular difference 3umber of obserations/ :riginal series 9*! after differencing G0 %esiduals/ "" 4 00!G+8 (backforecasts e#cluded) '" 4 G!G,8 D? 4 G,
'odified Bo#Pierce (EjungBo#) >hi"=uare statistic Eag + , 19 ,< >hi"=uare 9!, +!, ,! 0! D? 8 +0 1+ ,1 P5alue *!,0+ *!<99 *!<*, *!0,9 o
3ilai koefisien > sebesar *!1,<*! nilai statistik nya tidak signifikan dengan nilai probabilitas
o
0,262 > 0.05 . 3ilai koefisien $%(+) sebesar
&va#e> ( ( 5 ) atau
−0,6039 ! nilai statistik
nya signifikan dengan nilai probabilitas o
atau 0,000 < 0,05 . 3ilai koefisien $%() sebesar *!19*9! nilai statistik nya signifikan dengan nilai probabilitas
o
&va#e< ( ( 5 ) atau
0,017 < 0,05 . 3ilai koefisien $%(1) sebesar *!,90G! nilai statistik nya
¿
signifikan dengan nilai probabilitas
o
&va#e < ( ( 5 )
&va#e< ( ¿ G)
atau 0,003 < 0,05 . 3ilai koefisien $%(,) sebesar *!1G9 ! nilai statistik nya signifikan dengan nilai probabilitas &va#e < ( (G) atau 0,011 < 0,05 .
'odel $%&'$(,!+!*) yt
=
*!1,<* − *!9*10 yt
−+
−
*!19*9 yt
−)
− *!,90G yt − 1 −
*!1G)9 yt
−,
+ θ
Berdasarkan analisis di atas diketahui bahwa koefisien parameter $%&'$ (,!+!+) tidak dapat digunakan karena tidak memenuhi tingkat signifikan nilai karena Pvalue yang lebih dari
( ( 5 ) pada koefisien constant(>).
+. Uj% Asums% Res%&ual ( Diagnostic checking *
"etelah memperoleh modelmodel $%&'$ yang telah diestimasi maka langkah selanjutnya yaitu memilih model terbaik dengan cara melihat ukuran ukuran standar ketepatan peramalan. kuranukuran tersebut dapat menjadi perbandingan model peramalan terbaik dalam menggunakan $%&'$. "etelah memperoleh model $%&'$ yang layak digunakan yaitu $%&'$(*!+!+) maka langkah selanjutnya menguji kelayakan model o $%&'$(*!+!+) a. ji nonautokorelasi ji nonautokorelasi bertujuan untuk menguji apakah antara data residual terdapat korelasi ataukah tidak. "uatu model yang baik mempunyai nilainilai residual yang tidak saling berkorelasi satu dengan yang lainnya. ji autokorelasi yaitu dengan melihat grafik $>? dan P$>?.
Berdasarkan plot $>? dan P$>? diatas terlihat bahwa tidak terdapat time lag yang melebihi batas signifikan. "ehingga dapat disimpulkan bahwa pada $%&'$ (*+!+) tidak terdapat autokorelasi pada residual artinya nonautokorelasi residual terpenuhi maka untuk sementara model $%&'$ (*!+!+) merupakan model yang terbaik. "elain itu model $%&'$(*!+!+) memiliki
)S yang terkecil diantara model yang lain
yaitu ,!G1G. 'aka model $%&'$(*!+!+) dapat digunakan.3amun selain melihat dari nilai
)S perlu juga mengetahui nilai dari $&> dan B&>
dari masingmasing model.
b. &dentifikasi 3ilai $&> dan B&> +. 'odel $%&'$(,!+!+) DimanaI n49* k4,K+ '"C4G!8*
n + k n− k −2 60 + 5 *+C = log5,720 + 60 −5−2 *+C = 1,9838 k log n )S +¿ n B+C = log ¿ 5 log60 5,720 +¿ 60 B+C = log ¿ B+C = 0,9055 Jadi untuk model $%&'$ (,!+!+) diperoleh *+C = log )S +
1,9838 dan
B+C = 0,9055 . . 'odel $%&'$(+!+!+) DimanaI n49* k4,K+ '"C4,!G<* n + k *+C = log )S + n− k −2 60 + 2 *+C = log 4,580 + 60−2 −2 *+C = 1,768
k log n n B+C = log ¿ 2 log 60 4,580 +¿ 60 B+C = log ¿
)S +¿
B+C = 0,720 Jadi untuk model $%&'$ (+!+!+) diperoleh B+C = 0,720
*+C = 1,768
dan
1. 'odel $%&'$(*!+!+) DimanaI n49* k4*K+ '"C4,!G1G n + k *+C = log )S + n− k −2 60 + 1 *+C = log 4,535 + 60−1 −2 *+C = 1,74429
k log n n B+C = log ¿ 1 log60 4,535 +¿ 60 B+C = log ¿
)S +¿
B+C = 0,68621 Jadi untuk model $%&'$ (*!+!+) diperoleh
*+C = 1,74429
dan
*+C = 1,8787
dan
B+C = 0,68621
,. 'odel $%&'$(+!+!*) DimanaI n49* k4+K* '"C49!,1G n + k *+C = log )S + n− k −2 60 + 1 *+C = log 6,435+ 60 −1−2 *+C = 1,8787
k log n n B+C = log ¿
)S +¿
1 log60 60 B+C =log ¿
6,435 +¿
B+C = 0,838 Jadi untuk model $%&'$ (+!+!*) diperoleh B+C = 0,838
G. 'odel $%&'$(,!+!*) DimanaI n49* k4,K* '"C4G!G,8 n + k *+C = log )S + n− k −2 60 + 4 *+C = log5,547 + 60 −4 − 2 *+C = 1,929
k log n n B+C = log ¿ 4 log60 5,547 +¿ 60 B+C =log ¿ B+C = 0,8626 Jadi untuk model $%&'$ (,!+!*) diperoleh
)S +¿
*+C = 1,929
dan
B+C = 0,8626 Dari perolehan $&> dan B&> untuk setiap model dari $%&'$! $&> dan B&> terkecil merupakan model terbaik untuk $%&'$ (p!d!=) dalam hal
ini
adalah
$%&'$
*+C = 1,74429 ! dan adalah model terbaik.
(*!+!+)
yang
memiliki
)S =4,535 !
B+C = 0,720 . sehingga model $%&'$ (*!+!+)
