Memoria De Las Prácticas de Física General Álvaro Moreno Vallori Licenciatura de Ciencias Físicas, Universidad Nacional de Educación a Distancia
Resumen
En este documento documento se presenta presenta una memoria memoria de las prácticas prácticas de laboratorio llevadas llevadas a cabo en la asignatura de Física General, de la Licenciatura de Física de la Universidad Nacional de Educación a Distancia. Dichas prácticas juegan un papel determinante en la comprensión de la asignatura, puesto que brindan al alumno la oportunidad de experimentar de manera directa los contenidos que comprende el temario. En este trabajo se plasmarán los materiales, métodos utilizados, resultados obtenidos, discusión y conclusiones concernientes a las experiencias realizadas, a saber, carril cinemático, lente delgada, ley de Ohm, ley de Snell, muelle y péndulo. Además, este análisis se completará con material gráfico, y con una consideración de los posibles errores que puedan haberse dado en la medición. Con todo, se pretende demostrar la comprensión de los ejercicios, así como el dominio de los aspectos teóricos relacionados, esenciales para su interpretación.
Índice general
1. Carril Cinemático
Introducción . . . . . Materiales y métodos . Resultados . . . . . . Discusión . . . . . . . Conclusiones . . . . .
1
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2. Ecuación de una Lente Delgada
Introducción . . . . . Materiales y métodos . Resultados . . . . . . Discusión . . . . . . . Conclusiones . . . . .
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5
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3. Ley de Ohm
Introducción . . . . . Materiales y métodos . Resultados . . . . . . Discusión . . . . . . . Conclusiones . . . . .
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12 12 12 13 14 15
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6. Péndulo Simple
Introducción . . . . . Materiales y métodos . Resultados . . . . . . Discusión . . . . . . . Conclusiones . . . . .
8 8 8 11 11 12
5. Constante Elástica de un Muelle
Introducción . . . . . Materiales y métodos . Resultados . . . . . . Discusión . . . . . . . Conclusiones . . . . .
5 5 5 7 7 8
4. Ley de Snell
Introducción . . . . . Materiales y métodos . Resultados . . . . . . Discusión . . . . . . . Conclusiones . . . . .
1 1 2 3 4
15 15 15 16 17 18
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18 18 18 18 19
1. Carril Cinemático
Introducción
El objetivo de esta experimento fue determinar la aceleración de la gravedad, así como verificar la segunda ley de Newton. Materiales y métodos
Los materiales utilizados en el experimento fueron un carril cinemático, dos puertas eléctricas, un carrito que pueda deslizarse por el carril, un hilo y varias pesas. En primer lugar, el carrito se colocó sobre el carril cinemático, y se situaron dos pesas de la misma masa, una sobre cada lado del carrito. La masa conjunta de las pesas y el carrito sería entonces m1 . Para determinar las masas en todo el experimento se utilizó una balanza. A continuación, el hilo fue atado al carrito, y en el otro extremo se puso otra pesa, cuya masa sería m2 (en concreto, m2 fue 0, 0100 kg durante todo el experimento). El hilo se dipuso de manera que recorriera el carril cinemático hasta su borde, y la pesa atada al extremo quedase colgando. Así, si no se sujetaba el carrito, éste deslizaría debido a la gravedad sobre la pesa del extremo. Tras esto, se situaron las dos puertas eléctricas en el carril cinemático, a una distancia d determinada. Medición de la gravedad Para comenzar, se decidió un punto anterior a la primera puerta desde el cual soltar el carrito. Midiendo el largo de la bandera del carrito (0 ( 0, 011 m) y el tiempo que tardaba la misma en pasar a través de la primera puerta (0 (0, 028 s) usando el modo gate en la primera puerta, se obtuvo la velocidad inicial v0 con la que el carrito pasaría por la primera puerta (0 (0, 39 m/s). m/s). Para medir la aceleración de la gravedad se soltó el carrito desde el punto acordado, con masa m1 = 0, 2947 kg y se midió el tiempo tij que tardó en pasar entre ambas puertas, usando el modo pulse en éstas. Para minimizar errores, este procedimiento se repitió para cinco distancias di diferentes (variando la posición de la segunda puerta), cinco veces con cada distancia. Verificación de la segunda ley de Newton Se mantuvo el punto anterior para soltar el carrito, pero esta vez sin variar la distancia. Lo que se cambió fue las masas que se colocaban sobre él (respetando siempre la simetría de masas). Así, se calculó el tiempo tij que tardaba el carrito en recorrer la distancia d que separaba las dos puertas eléctricas, para cinco masas m1 . De nuevo, para minimizar errores, se repitió el calculo 3 veces por cada masa. i
1
Resultados
Medición de la gravedad Los tiempos tij obtenidos según las distancias di fueron: d1 = 0, 40 m t11 = 0, 0 , 750 s t12 = 0, 0 , 748 s t13 = 0, 0 , 751 s t14 = 0, 0 , 751 s t15 = 0, 0 , 748 s
d2 = 0, 45 m t21 = 0, 829 s t22 = 0, 834 s t23 = 0, 833 s t24 = 0, 831 s t25 = 0, 831 s
d3 = 0, 50 m t31 = 0, 904 s t32 = 0, 905 s t33 = 0, 905 s t34 = 0, 905 s t35 = 0, 905 s
d4 = 0, 55 m t41 = 0, 972 s t42 = 0, 973 s t43 = 0, 973 s t44 = 0, 974 s t45 = 0, 977 s
d5 = 0, 60 m t51 = 1, 036 s t52 = 1, 039 s t53 = 1, 037 s t54 = 1, 035 s t55 = 1, 037 s
A partir de la tabla, calculamos la aceleración del sistema, sirviéndonos para ello de la ecuación d = vo t + 12 at2 :
5
1 aa= 5
5
2
di − vo tij tij
i=1
2 = 5
2
1 di − vo tij 5 j =1
5
1 5 tij 5 j =1
i=1
2
1 5 di − vo tij 5 j =1
5
=2
5
1 5
i=1
2
0,36 m/s2
tij
j =1
Teniendo este dato en cuenta, podemos representar la distancia d en función del tiempo t a partir de los resultados obtenidos en la tabla, y ver que se ajusta a una parábola, en concreto a d = 0, 39 39tt + 0, 0, 18 18tt2 , donde 0, 18 es la aceleración del sistema dividida por dos:
Por último, hallamos la gravedad: g=a
m1 + m2 0, 2947 + 0, 0, 01 = 0, 36 = 10 10,, 96 m/s2 m2 0, 01
2
Verificación de la segunda ley de Newton Los tiempos tij obtenidos según las masas m1 fueron: i
m1 = 0, 1948 kg t11 = 0, 0 , 858 s t12 = 0, 0 , 858 s t13 = 0, 0 , 858 s
m1 = 0, 2947 kg t21 = 1, 1 , 041 s t22 = 1, 1 , 040 s t23 = 1, 1 , 044 s
1
m1 = 0, 3143 kg t31 = 1, 1 , 074 s t32 = 1, 1 , 078 s t33 = 1, 1 , 073 s
2
m1 = 0, 3195 kg t41 = 1, 1 , 083 s t42 = 1, 1 , 080 s t43 = 1, 1 , 081 s
3
m1 = 0, 3395 kg t51 = 1, 1 , 119 s t52 = 1, 1 , 116 s t53 = 1, 1 , 113 s
4
5
Según d = v0 t + 12 at2 , la aceleración del sistema para cada masa fue: m1 = 0, 1948 kg a1 = 0, 53 m/s2
m1 = 0, 2947 kg a2 = 0, 39 m/s2
1
m1 = 0, 3143 kg a3 = 0, 36 m/s2
2
m1 = 0, 3195 kg a4 = 0, 36 m/s2
3
m1 = 0, 3395 kg a5 = 0, 33 m/s2
4
5
1 Representando la aceleración del sistema en función de m + m2 se tiene la siguiente gráfica: 1
Como vemos, los puntos se alinean formando una recta, en concreto y = 0,1x + 0, 0,04 04.. La pendiente de la recta coincide con la fuerza aplicada, que era la gravitatoria sobre m2 , es decir F g = m2 g = 0, 01 01··10 10,, 96 = 0, 0, 1096 0, 1 N , N , si tomamos el valor de g hallado en el experimento (si se toma el valor conocido de g, resulta entonces que F g = 0, 01 01··9, 8 = 0, 098 0, 1 N ). ). Por lo tanto, vemos que se cumple la segunda ley de Newton, F = m·a, tanto tomando la masa m2 y g, como tomando la masa m1 + m2 y la aceleración del sistema a. Discusión
Con respecto a los errores instrumentales, tenemos que la medición de los pesos se realizó con una balanza con un error absoluto εm = 0, 0001 kg, kg , la medición del largo de la bandera se llevo a cabo con una regla con un error absoluto de εd = 0,001 m y la medición de los tiempos usando las puertas eléctricas tuvo un error absoluto de εt = 0, 0005 s. Así, el error de la velocidad inicial, siendo d el largo de bandera y t el tiempo que tardó el carrito en pasar por la primera puerta, será: εv0
=
∂ v0 ∂ d
εd
+
∂ v0 ∂ t
3
εt
= 0, 04 m/s
En el cálculo de la aceleración, el error será: εa
= εa =
1 5
5
i=1
∂ ai ∂ d
εd
+
Por último, al hallar la gravedad, el error será: εg
Conclusiones
=
∂ g
∂ a
εa
+
∂ g ∂ m1
∂ ai
εm
∂ t
+
εt
+
∂ g ∂ m2
∂ ai ∂ v0
εm
εv0
= 0, 1 m/s2
= 0, 1 m/s2
Como sabemos, el valor de la gravedad es g = 9, 8 m/s2 . Sin embargo, el valor hallado de la gravedad es g = 11 11,, 0 ± 0, 1 m/s2 . Como vemos, el valor real no entra dentro del margen del error, por lo que probablemente se realizó alguna medición de manera incorrecta.
4
2. Ecuación de una Lente Delgada
Introducción
El objetivo de este experimento fue la determinación de la distancia focal, potencia y aumento lateral de una lente convergente. Materiales y métodos
Los materiales utilizados fueron una fuente de luz con un objeto (dibujo) grabado, un plano y tres lentes. El objeto grabado en la fuente de luz se proyectaba en un plano. Entre la fuente y el plano se colocó una lente y se varió la posición del plano para encontrar aproximadamente el punto en el que la imagen del objeto adquiere la máxima nitidez. Se tomaron las medida pertinentes y a través de la ecuación de una lente delgada se obtuvieron las propiedades buscadas de la lente. El proceso se repitió con tres lentes diferentes, y tres distancias diferentes entre la fuente y el plano por cada lente, para minimizar errores. Resultados
Lente 1 En la siguiente tabla se muestran las mediciones de la distancia d entre el objeto y la lente, la distancia d entre la lente y la imagen, y la altura de h de la imagen (la altura del objeto es siempre la misma, h = 2 cm): cm):
d1 = −48 48,, 0 cm d2 = −30 30,, 0 cm d3 = −20 20,, 0 cm
d1 = 15 15,, 0 cm d2 = 17 17,, 8 cm d3 = 25 25,, 3 cm
h1 = 0, 6 cm h2 = 1, 2 cm h = 2, 5 cm
A partir de estos datos, calculamos el aumento lateral M (por dos métodos diferentes), el foco y la potencia, según las fórmulas:
d M = d −
h M = h
1 1 1 = + f |d| |d |
P =
Tenemos pues que: M 1 = 0, 0 , 312 M 2 = 0, 0 , 593 M 3 = 1, 26
M 1 = 0, 3 M 2 = 0, 60 M 3 = 1, 3
f 1 = 11 11,, 4 cm f 2 = 11 11,, 2 cm f 3 = 11 11,, 2 cm
5
1
−
P 1 = 0, 0877 cm P 2 = 0, 0893 cm P 3 = 0, 0893 cm
1
−
1
−
1 f
Podemos calcular también el foco de forma gráfica, mediante un diagrama de rayos, tomando, por ejemplo, d = d2 , d = d2 y h = h2 :
Según el diagrama, el foco será donde corta el rayo de luz (en azul) al eje X. Como vemos, esto ocurre muy cerca del valor x = 11 11,, 2, que es el que hemos obtenido de forma analítica. Lente 2 Las mediciones con la segunda lente fueron las siguientes: d1 = −30 30,, 0 cm d2 = −40 40,, 0 cm d3 = −50 50,, 0 cm
d1 = 59 59,, 6 cm d2 = 40 40,, 1 cm d3 = 33 33,, 6 cm
h1 = 4, 0 cm h2 = 2, 0 cm h = 1, 3 cm
Calculando los resultados: M 1 = 1, 99 M 2 = 1, 00 M 3 = 0, 0 , 672
M 1 = 2, 0 M 2 = 1, 0 M 3 = 0, 65
1
−
f 1 = 20 20,, 0 cm f 2 = 20 20,, 0 cm f 3 = 20 20,, 1 cm
P 1 = 0, 0500 cm P 2 = 0, 0500 cm P 3 = 0, 0498 cm
1
−
1
−
Lente 3 Las mediciones con la tercera lente fueron las siguientes: d1 = −40 40,, 0 cm d2 = −50 50,, 0 cm d3 = −60 60,, 0 cm
d1 = 60 60,, 6 cm d2 = 46 46,, 8 cm d3 = 40 40,, 5 cm
h1 = 3, 0 cm h2 = 1, 9 cm h = 1, 3 cm
Calculando los resultados: M 1 = 1, 52 M 2 = 0, 0 , 936 M 3 = 0, 0 , 675
M 1 = 1, 5 M 2 = 0, 95 M 3 = 0, 65
f 1 = 24 24,, 1 cm f 2 = 24 24,, 2 cm f 3 = 24 24,, 2 cm 6
1
−
P 1 = 0, 0415 cm P 2 = 0, 0413 cm P 3 = 0, 0413 cm
1
−
1
−
Discusión
En cuanto a los errores instrumentales, tenemos que las medidas de las alturas se realizaron con una regla con un error εh = 0, 1 cm. cm. Asimismo, tenemos que tener en cuenta los errores humanos llevados a cabo en la medida de las distancias, que si bien es cierto que se midieron con la misma regla, existe un error superior a éste. En efecto, las distancias se tomaron en función de cuando se percibía la mayor nitidez de la imagen, pero es inherente a esta medición un error de tipo visual. Así pues, establecemos un margen de error εd = 1 cm. cm. Lente 1 Calculando los errores se tiene que: M 1 = 0, 31 ± 0, 03 M 2 = 0, 59 ± 0, 05 M 3 = 1, 3 ± 0, 1
M 1 = 0, 30 ± 0, 02 M 2 = 0, 60 ± 0, 08 M 3 = 1, 3 ± 0, 1
1
−
f 1 = 11 11,, 4 ± 0, 6 cm f 2 = 11 11,, 2 ± 0, 5 cm f 3 = 11 11,, 2 ± 0, 5 cm
P 1 = 0, 088 ± 0, 005 cm P 2 = 0, 089 ± 0, 004 cm P 3 = 0, 089 ± 0, 004 cm
f 1 = 20 20,, 0 ± 0, 6 cm 20,, 0 ± 0, 5 cm f 2 = 20 f 3 = 20 20,, 1 ± 0, 5 cm
P 1 = 0, 050 ± 0, 002 cm P 2 = 0, 050 ± 0, 001 cm P 3 = 0, 050 ± 0, 001 cm
1
−
1
−
Lente 2 Calculando los errores se tiene que: M 1 = 2, 0 ± 0, 1 M 2 = 1, 00 ± 0, 05 M 3 = 0, 67 ± 0, 03
M 1 = 2, 0 ± 0, 2 M 2 = 1, 0 ± 0, 1 M 3 = 0, 65 ± 0, 08
1
−
1
−
1
−
Lente 3 Calculando los errores se tiene que: M 1 = 1, 52 ± 0, 06 M 2 = 0, 94 ± 0, 04 M 3 = 0, 68 ± 0, 03
M 1 = 1, 5 ± 0, 1 M 2 = 1, 0 ± 0, 1 M 3 = 0, 65 ± 0, 08
f 1 = 24 24,, 1 ± 0, 5 cm f 2 = 24 24,, 2 ± 0, 5 cm f 3 = 24 24,, 2 ± 0, 5 cm
1
−
P 1 = 0, 0415 ± 0, 0009 cm P 2 = 0, 0413 ± 0, 0009 cm P 3 = 0, 0413 ± 0, 0009 cm
1
−
1
−
Conclusiones
Las medidas más precisas han sido las de el foco y la potencia, y entre los dos métodos usados para medir el aumento lateral, el que se sirve de las alturas ha sido mucho más impreciso, como cabía esperar, ya que las alturas son medidas mucho menores que las distancias, lo que ocasionará errores mayores al medirlas. Los errores relativos de cada medida de aumento lateral por distancias (azul), (azul), aumento aumento lateral por alturas alturas (verde), (verde), foco (rojo) y potencia potencia (amarillo) (amarillo) se han representa representado do en la siguiente gráfica:
7
3. Ley de Ohm
Introducción
El objetivo de este experimento fue hallar el valor de una resistencia mediante la Ley de Ohm. Materiales y métodos
Los materiales utilizados fueron cuatro resistores, una fuente de alimentación continua, un amperímetro, un voltímetro, y cables para conectarlos entre sí. Para determinar el valor de un resistor, se organizó un circuito de manera que el amperímetro se conectase en serie y el voltímetro se conectase en paralelo. Se aplicó un voltaje de al menos 5 V , V , regulado por el voltímetro, y con el amperímetro se midió la intensidad que recorría el circuito. Para minimizar errores, se repitió este proceso con cinco voltajes diferentes, entre 5 y 25 V . V . A través del valor de la intensidad determinada, y teniendo en cuenta el voltaje aplicado, se pudo inferir la resistencia del resistor, mediante la Ley de Ohm. Para comprobar el resultado, se miró el valor nominal del resistor empleado. Resultados
Resistor 1 Las intensidades I i según los voltajes V i fueron: V 1 = 5, 07 V I 1 = 0, 0 , 00109 A
V 2 = 10 10,, 10 V I 2 = 0, 0 , 00218 A
V 3 = 15 15,, 03 V I 3 = 0, 0 , 00325 A
V 4 = 20 20,, 0 V I 4 = 0, 00435 A
V 5 = 25 25,, 0 V I 5 = 0, 00542 A
Representando el voltaje en función de la intensidad, se tiene la siguiente gráfica:
8
Los puntos se alinean formando la recta y = 4600x 4600x, cuya pendiente, 4600 4600,, es aproximadamente la resistencia que obtenemos a través de la Ley de Ohm: R=
V I
V = 4616, 4616, 33 Ω I
Resistor 2 Las intensidades I i según los voltajes V i fueron: V 1 = 5, 01 V I 1 = 0, 000501 A
V 2 = 10 10,, 06 V I 2 = 0, 001006 A
V 3 = 15 15,, 01 V I 3 = 0, 0 , 001502 A
V 4 = 19 19,, 80 V I 4 = 0, 001981 A
V 5 = 25 25,, 0 V I 5 = 0, 00252 A
Representando el voltaje en función de la intensidad, se tiene la siguiente gráfica:
Los puntos se alinean formando la recta y = 10000x 10000x, cuya pendiente, 10000 10000,, es aproximadamente la resistencia que obtenemos a través de la Ley de Ohm: R=
V I
V = 9970, 9970, 71 Ω I
Resistor 3 Las intensidades I i según los voltajes V i fueron: V 1 = 5, 06 V I 1 = 0, 0 , 00108 A
V 2 = 10 10,, 09 V I 2 = 0, 0 , 00215 A
V 3 = 15 15,, 04 V I 3 = 0, 0 , 00321 A
V 4 = 20 20,, 0 V I 4 = 0, 00429 A
V 5 = 25 25,, 0 V I 5 = 0, 00536 A
Representando el voltaje en función de la intensidad, se tiene la siguiente gráfica:
9
Los puntos se alinean formando la recta y = 4600x 4600x, cuya pendiente, 4600 4600,, es aproximadamente la resistencia que obtenemos a través de la Ley de Ohm: R=
V I
V = 4673, 4673, 09 Ω I
Resistor 4 Las intensidades I i según los voltajes V i fueron: V 1 = 5, 05 V I 1 = 0, 0109 A
V 2 = 10 10,, 06 V I 2 = 0, 0217 A
V 3 = 15 15,, 02 V I 3 = 0, 0326 A
V 4 = 20 20,, 0 V I 4 = 0, 0 , 0437 A
V 5 = 25 25,, 0 V I 5 = 0, 0549 A
Representando el voltaje en función de la intensidad, se tiene la siguiente gráfica:
Los puntos se alinean formando la recta y = 460x 460x, cuya pendiente, 460 460,, es aproximadamente la resistencia que obtenemos a través de la Ley de Ohm: R=
V I
V = 458 458,, 7 Ω I
10
Discusión
Con respecto a los errores instrumentales, tenemos que el control del voltaje se realizó con un voltímetro con un error absoluto εV = 0, 05 V para medidas superiores o iguales a 20 V , V , y un error V ; la medición de la intensidad se llevo a cabo con εV = 0, 005 V para medidas inferiores a 20 V ; un amperímetro con errores absolutos de εI = 0, 00005 A, εI = 0,000005 A y εI = 0, 0000005 A, dependiendo del resistor en cuestión y del voltaje. Así, el error absoluto de medida para la resistencia de cada uno de los resistores fue: εR1
=
εR2
=
εR3
=
εR4
=
∂ R1
V1 ∂ V
∂ R2 ∂ V V2
∂ R3
V3 ∂ V
εV 1
εV 2
εV 3
∂ R4
V4 ∂ V
εV 4
+
+
+
∂ R1
I1 ∂ I
∂ R2 ∂ I I2
∂ R3
+
I3 ∂ I
εI 1
εI 2
εI 3
∂ R4
I4 ∂ I
εI 4
= 22 22,, 4 Ω
= 66 66,, 7 Ω
= 22 22,, 8 Ω
= 2, 2 Ω
Si elaboramos una tabla con los resultados obtenidos de la medición de las resistencias, contemplando los errores mencionados, y comparando los datos con el valor nominal de cada uno de los resistores, y teniendo en cuenta la tolerancia de los mismos, que es del 5 % en todos ellos, tenemos: medición
valor nominal
R1 = 4616, 4616, 3 ± 22 22,, 4 Ω R2 = 9970, 9970, 7 ± 66 66,, 7 Ω R3 = 4673, 4673, 1 ± 22 22,, 8 Ω R4 = 458 458,, 7 ± 2, 2 Ω
R1 = 4700 ± 235 Ω R2 = 10000 ± 500 Ω R3 = 4700 ± 235 Ω R4 = 470 ± 23 23,, 5 Ω
Conclusiones
Como Como podemos podemos observ observar ar en la tabla tabla anter anterior ior,, las medici medicione oness realiz realizada adas, s, inclus inclusoo tenien teniendo do en cuenta los errores, se encuentran dentro del rango de valores de resistencia que indican los valores nominales. Por lo tanto, concluímos que el experimento ha sido un éxito.
11
4. Ley de Snell
Introducción
El objetivo de este experimento fue la determinación del indice de refracción de un material a través de la Ley de Snell Materiales y métodos
Los materiales utilizados fueron un prisma trapezoidal (de trapecio rectángulo), una fuente de luz, y hojas de papel. Se situó el prisma sobre una hoja, se le incidió un rayo de luz usando la fuente, y se marcó sobre la hoja las direcciones de incidencia del haz en el prisma y la de salida del haz después de pasar por el prisma, así como el contorno del prisma. Tras esto se retiró el prisma y se unieron las dos lineas que llegaban hasta el contorno del prisma, consiguiendo así la dirección del haz refractado. Después, Después, se realizaron realizaron las medidas medidas de los ángulos de incidencia incidencia y de refracción, refracción, para hacer hacer el cálculo del índice de refracción a través de la Ley de Snell. El procedimiento se repitió tres veces, con ángulos de incidencia diferentes, para minimizar los errores en la medición. Resultados
Para medir los ángulos se construyeron triángulos rectángulos de la siguiente manera:
Así, usando el teorema del seno: A1 A2 = 13 13,, 0 A2 O = 15 1 5, 0
=⇒ sin θi =
12
13 13,, 0 = 0, 867 15 15,, 0
B1 B2 = 8, 7 B2 O = 14 14,, 9
n2 = n1
=⇒ sin θr =
8, 7 = 0, 59 14 14,, 9
sin θi 0, 867 = = 1, 5 sin θr 0, 59
Lo probamos para un ángulo de incidencia diferente y obtenemos:
A1 A2 = 6, 6, 1 A2 O = 12 12,, 7 B1 B2 = 5, 4 15,, 7 B2 O = 15
n2 = n1
=⇒ sin θi =
6, 1 = 0, 48 12 12,, 7
=⇒ sin θr =
5, 4 = 0, 34 15 15,, 7
sin θi 0, 48 = = 1, 4 sin θr 0, 34
Por último, volvemos a realizar la medición para un tercer ángulo:
A1 A2 = 5, 5, 5 A2 O = 14 14,, 2 B1 B2 = 3, 8 B2 O = 14 14,, 5
n2 = n1
=⇒ sin θi =
5, 5 = 0, 39 14 14,, 2
=⇒ sin θr =
3, 8 = 0, 26 14 14,, 5
sin θi 0, 38 = = 1, 5 sin θr 0, 26
Discusión
εd
En cuanto a los errores instrumentales, las distancias se han medido con una regla con un error = 0, 1 cm. cm. Teniendo esto en cuenta, el error del cálculo del seno de los ángulos será: =
εsin θ
∂θ ∂ d1
εd
+
∂θ ∂ d2
εd
Aplicando esto a los seis cálculos efectuados, los errores son: εsinθi
1
= 0, 01
εsinθr
1
= 0, 01
εsinθi
2
= 0, 01
εsinθr
2
= 0, 009
εsinθi
3
= 0, 01
εsinθr
3
= 0, 009
A partir de esto, podemos calcular el error del cálculo del índice de refracción: εn
=
∂ n ∂θ i
εθi
+
∂ n ∂θ r
εθr
Aplicando esto a los tres índices calculados, los errores son: εn1
= 0, 04
εn2
= 0, 07
ε n3
= 0, 09
Los subíndices de la tabla indican aquí el número de intento en el que se midieron esos índices, siendo todos ellos los índices de refracción del prisma. Por lo tanto, los resultados obtenidos, teniendo en cuenta los errores, quedan como sigue: n1 = 1, 5 ± 0, 04
n2 = 1, 4 ± 0, 07 13
n3 = 1, 1 , 5 ± 0, 09
Conclusiones
Como vemos en la tabla anterior, las mediciones primera y tercera concuerdan con el resultado, que sabemos que tiene que ser n = 1, 5. En la segunda medición habrá habido algún error humano a la hora de dibujar o de medir las distancias entre puntos.
14
5. Constante Elástica de un Muelle
Introducción
El objetivo de este experimento fue la determinación de la constante elástica de un muelle. Materiales y métodos
Los materiales utilizados fueron un muelle, pesas y una regla. La constante elástica del muelle se determinó siguiendo dos procedimientos diferentes. La determinación estática de la constante elástica del muelle se llevo a cabo colgando el muelle por uno de los resortes, y por el otro colgando una pesa de masa conocida. Se observó el alargamiento del muelle producido por la pesa, y se utilizó ese dato, junto con la masa de la pesa, para determinar la constante elástica. Este procedimiento se efectuó con cinco masas diferentes, con ob jeto de minimizar el error en la medición. La determinación dinámica de la constante elástica del muelle se llevó a cabo colgando el muelle por uno de los resortes, y por el otro colgando una pesa de masa conocida. Se tiró de la pesa y se determinó el periodo del muelle. Esto se repetirá cinco veces, para minimizar el error en la medición. Con la masa y el periodo se puede calcular la constante elástica del muelle, pero antes hubo que tener en cuenta otro factor. La masa del muelle, o masa efectiva, también influye en el periodo de la oscilación. Por ello, se repitió el procedimiento para dos masas diferentes, quedando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, siendo posible despejar entonces la constante elástica. Resultados
Determinación estática de la constante elástica El alargamiento siguiente: m1 = 0, 0100 kg ∆x1 = 0, 013 m
∆xi
del muelle en función de las masas mi colgadas se muestra en la tabla
m2 = 0, 0100 kg ∆x2 = 0, 014 m
m3 = 0, 0105 kg ∆x3 = 0, 015 m
m4 = 0, 0127 kg ∆x4 = 0, 018 m
m5 = 0, 0127 kg ∆x5 = 0, 018 m
Mediante la relación mg = −k ∆x se calculan los diversos valores obtenidos de la constante elástica k. Después, se halla la media de estos valores, que será el resultado obtenido por este procedimiento. Todo ello se muestra en la siguiente tabla:
k1 = 7, 5 N/m
k2 = 7, 0 N/m
k3 = 6, 9 N/m
15
k4 = 6, 6 , 9 N/m
k5 = 6, 9 N/m
k = 7, 0 N/m
Determinación dinámica de la constante elástica En primer lugar se tomó una pesa de masa m = 0, 1000 kg. kg . Las medidas de los periodos fueron las siguientes: T 1 = 0, 9205 s
T 2 = 0, 0 ,9675 s
T 3 = 0,9640 s
T 4 = 0,9680 s
T 2 = 0,9675 s
T = 0,9575 s
Después se tomó una pesa de masa m = 0, 1127 kg. kg . Las medidas de los periodos fueron ahora las siguientes: T 1 = 1, 008 s
T 2 = 1, 005 s
T 3 = 1, 001 s
T 4 = 0, 9985 s
T 2 = 1, 1 , 005 s
T = 1, 1 , 004 s
Realizando el sistema de ecuaciones se tiene: T 1 = 2π
T 2 = 2π
m1 + me 0, 1000 + me =⇒ 0, 9575 = 2π k k m2 + me 0, 1127 + me =⇒ 1, 004 = 2π k k
=⇒
Discusión
k = 5,521 N/m me = 0, 02832 kg
En cuanto a los errores instrumentales, los pesos se midió con una balanza con un error εm = 0, 0001 kg, kg , y el alargamiento del muelle se determinó con una regla con un error εd = 0, 001 m. Según esto, el error al medir la constante elástica por el método estático fue: εk
= εk
1 = 5
5
i=1
∂ ki ∂ m
εm
+
∂ ki ∂ ∆x
εd
= 0, 52 N/m
Por otro lado, en el método dinámico, los tiempos, al ser medidos con un cronómetro controlado por un ser humano, tienen un margen de error más amplio. Podemos calcular este error en las dos mediciones de periodos mediante la desviación estándar: εT 1
εT 2
= σT = 1
= σT = 2
1 N
1 N
5
(xi − x)2 = 0, 03 s
i=1
5
(xi − x)2 = 0, 003 s
i=1
Eliminamos la constante k en la ecuación por igualación: T 1 = 2π T 2 = 2π
m1 + me k m1 + me =⇒ = k 4π 2 T 12 m2 + me k m2 + me =⇒ = k 4π 2 T 22
=⇒
m1 + me m2 + me T 22 m1 − T 12 m2 = =⇒ me = T 12 T 22 T 12 − T 22
Ahora, usando lo anterior, calculamos el error de me : εme
=
∂ em
T1 ∂ T
εT 1
+
∂ em ∂ m1
εm
16
+
∂ em
T2 ∂ T
εT 2
+
∂ em ∂ m2
εm
=
= +
= +
= +
∂
T1 ∂ T ∂
T2 ∂ T
∂
∂ T T1
T 22 m1 − T 12 m2 T 12 − T 22
T 22 m1 − T 12 m2 T 12 − T 22
∂
T2 ∂ T
T 22 m1 T 12 − T 22
T 22 m1 T 12 − T 22
T 22 m1 T 12 − T 22
−
T 22 m1 T 12 − T 22
−
−
T 12 m2 T 12 − T 22
−
T 12 m2 T 12 − T 22
εT 1
εT 2
εT 1
εT 2
+
∂ m1
+
+
T 12 m2 T 12 − T 22
εT 2
+
∂
∂ m1
+
εT 1
∂
∂ m2
+
T 12 m2 T 12 − T 22
∂
∂
∂ m2
∂
T1 ∂ T ∂
∂ T T2
= +
=
+
T1 ∂ T ∂
∂ T T2
1
∂ T 22 m1 ∂ T T1
m1
T 22 m1
m1
∂
−
T 12 − T 22
∂
T 22
T2 ∂ T
T 12 − T 22
2T 1
−
−
T 12 − T 22
2
−
m2
∂ T T1
∂ T 12 m2 T2 ∂ T
T 22 m1 − T 12 m2 T 12 − T 22
T 22 m1 T 12 − T 22
T 22 m1 − T 12 m2 T 12 − T 22
T 22 m1 T 12 − T 22
∂
∂ m1 ∂
∂ m2
T 12
∂
T 12 − T 22 1
T 12 − T 22
2T 2 T 12 − T 22 − T 22 (2T (2T 2 ) T 12 − T 22
−
T 12 m2
−
εT 1
εT 2
2T 2
T 12 − T 22
= 0, 09707 kg
+
εm
=
εm
+
−
T 12 m2 T 12 − T 22
εm
=
∂ −
∂ m1 ∂
−
∂ m2
T 12 m2 T 12 − T 22
T 12 m2 T 12 − T 22
T 22
2
+
+
−
T 12 − T 22
0−
εT 1
εT 2
0
T 12
T 12 − T 22
εk
Conclusiones
=
∂ k ∂ m1
εm
+
∂ k ∂ me
εme
+
∂ k ∂ T T1
εT 1
+
+
εm
+
εm
=
T 22
T 12 − T 22
−
εm
T 12
+
εm
=
+
4π 2 (m1 +me ) T 12
εm
εm
T 12 − T 22
Por último, calculamos el error de la constante de elasticidad k, sabiendo que k =
2T 1 T 12 − T 22 − T 12 (2T (2T 1 ) T 12 − T 22
m2
εm
−
T 22 m1 T 12 − T 22
T 12 m2 T 12 − T 22
T 22 m1 T 12 − T 22
=
:
= 4, 4 , 530 N/m
Como cabía esperar, el método más preciso de medición es el estático, puesto que en el dinámico se produce un error considerable al tener que pulsar la persona el botón del cronómetro. Así, por el método estático, la constante elástica del muelle resulta ser k = 7, 0 ± 0, 52 N/m. N/m. Por otro lado, por el método estático, el resultado obtenido ha sido k = 5, 521 ± 4, 530 N/m. N/m. Podemos ver que el resultado resultado más preciso preciso hallado por el método estático estático entra dentro del rango de valores del resultado conseguido por el método dinámico. Concluimos pues que el experimento ha sido un éxito.
17
6. Péndulo Simple
Introducción
El objetivo de este experimento fue determinar la aceleración de la gravedad mediante la medida del periodo de oscilación de un péndulo simple como función del la longitud del mismo. Materiales y métodos
Los materiales utilizados fueron una cuerda, una bola de masa conocida y cinta métrica. Se colgó la bola con el hilo, se desplazó ligeramente la bola de su posición de equilibrio, y, con ayuda de una puerta eléctrica, se midió el periodo de la oscilación. Se repitió el proceso para cinco longitudes diferentes, realizando cinco medidas por cada una de ellas, con objeto de minimizar el error. Resultados
Los periodos T ij ij en función de las longitudes Li fueron los siguientes: L1 = 1, 005 m T 11 11 = 2, 008 s T 12 12 = 2, 002 s T 13 13 = 2, 004 s T 14 14 = 2, 005 s T 15 15 = 2, 003 s T 1 = 2, 004 s
L2 = 1, 050 m T 21 21 = 2, 041 s T 22 22 = 2, 042 s T 23 23 = 2, 037 s T 24 24 = 2, 042 s T 25 25 = 2, 040 s T 2 = 2, 2 , 040 s
Teniendo en cuenta la fórmula g =
L3 = 1, 087 m T 31 31 = 2, 079 s T 32 32 = 2, 077 s T 33 33 = 2, 076 s T 34 34 = 2, 078 s T 35 35 = 2, 079 s T 3 = 2, 078 s
L4 = 1, 110 m T 41 41 = 2, 111 s T 42 42 = 2, 111 s T 43 43 = 2, 112 s T 44 44 = 2, 109 s T 45 45 = 2, 110 s T 4 = 2, 111 s
L5 = 1, 130 m T 51 51 = 2, 145 s T 52 52 = 2, 144 s T 53 53 = 2, 146 s T 54 54 = 2, 144 s T 55 55 = 2, 146 s T 5 = 2, 2 , 145 s
4π 2 L , los valores obtenidos para g son: T 2 g1 = 9, 879 m/s2 g2 = 9, 961 m/s2 g3 = 9, 938 m/s2 g4 = 9, 833 m/s2 g5 = 9, 696 m/s2 g = 9, 861 m/s2
Discusión
En cuanto a los errores instrumentales, las distancias se midieron con una cinta métrica con un error εL = 0, 001 m, y los tiempos se midieron con una puerta eléctrica con un error de εt = 0, 0005 s. 18
Teniendo esto en cuenta, el error de medida de g fue: εg
Conclusiones
= εg
1 = 5
5
i=1
∂ gi ∂ L
εL
+
∂ gi ∂ t
εt
= 0, 01 m/s2
El valor de la aceleración de la gravedad medido en el experimento ha sido de g = 9, 86 + 0, 01 m/s2 , de manera que el valor conocido de la gravedad, g = 9, 80665 m/s2 se encuentra dentro del rango dado por el resultado del procedimiento empleado. Por lo tanto, concluímos que el experimento ha sido un éxito.
19
