Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov" Gerardo Manuel García. Jolman E. López M. José Augusto Siles R.
Álgebra 1. Si los coe…cientes del polinomio a5 x5 + a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 cumplen la relación de recurrencia a1 = 1; 1 ; ak+1 = 3a 3 ak + 1; 1; para k 1 entonces a5 es
igual a:
Solución
Usando el algorítmo ak+1 = 3ak + 1 tenemos que el número siguiente se obtiene multiplicando el anterior por tres y agregándole uno, así los coe…cientes serían: a1 a2 a3 a4 a5
= = = = =
2. La expresión algebraica (x + y)3
1 3 (1) + 1 = 4 3 (4) + 1 = 13 3 (13) (13) + 1 = 40 3 (40) (40) + 1 = 12 1211
3x2y 3xy2 es igual a:
Solución
Recordemos de los productos notables que 3
(x + y) = x3 + 3x 3x2 y + 3xy 3xy 2 + y 3
entonces podemos escribir (x + y)3
3x2y 3xy2
= =
x3 + 3x 3x2 y + 3xy 3xy2 + y 3 x3 + y 3 + 3x2 y
= x3 + y 3 + 0 + 0 = x3 + y 3
1
3x2y
3x2 y
3xy2
+ 3xy2
3xy2
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3. Si x4
y4 = z3 y x2 + y2 = 8;8 ; entonces
z3
8
es igual a:
Solución
Recordemos la diferencia de cuadrados x2
y2 = (x ( x + y ) (x y )
aplicando esto a la primera igualda tenemos x4
y4 =
x2 + y 2
x2
y2 = z 3
sustituyendo en esta última igualdad x2 + y 2 = 8
x2 + y 2
x2
y2
= z3
(8) x2
y2
= z3
aplicando nuevamente diferencia de cuadrados
(8) x2
y2
= z3 = z3 z3 = 8
(8)(x (8)(x + y) (x
y) (x + y) (x y )
despejando y reordenando nos resulta que z3 = (x ( x + y ) (x 8
y)
4. Si x < 2; entonces x
j 2j + jx 3j es igua a:
Solución
Si x < 2 entonces x puede tomar cualquier valor del siguiente conjunto de número reales
f1; 0; 1; 2; 3;:::g 2
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en todo caso ocurre que (x 2) < 0; es decir el resultado es un número negativo, luego su valor absoluto será
jx 2j = (x 2) = 2 x Analogamente ocurre para x 3; si se resta cualquier número de los que puede tomar x con tres, entonces (x 3) < 0 luego su valor absoluto jx 3j = (x 3) = 3 x Y …nalmente la suma será
jx 2j + jx 3j
= (2 x) + (3 = 5 2x = 2x + 5
x)
5. Para que la suma de dos polinomios de grado 2 sea un polinomio de grado 1
se debe cumplir: Solución
Sean los polinomio de grado 2 a1 x2 + a2 x + c b1 x2 + b2 x + c0
Consideremos que su suma es igual a un polinomio de grado 1, esto es
a1 x2 + a2 x + c1 + b1 x2 + b2 x + c2 = kx + c3
entonces debe ocurrir que
a1 x2 + b1 x2 (a2 x + b2 x) (c1 + c2 )
= 0 = kx = c3
Es decir, que los terminos de x2 deben eliminarce a1 x2 + b1 x2 a1 x2 a1
= 0 = b1 x2 = b1
luego, los coe…cientes principales (los de x2) deben ser opuesto.
3
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12 ; la suma f ( f (x) + f
6. Dado el polinomio lineal f ( f (x) = x 3 f x + 4 es igual a:
x+
1 4
+ f x +
2 4
+
Solución
f ( f (x) = x
12
1 4 2 f x + 4 3 f x + 4 f x +
= = =
1 4 2 x+ 4 3 x+ 4 x+
1 1 =x 2 4 1 = x+0 2 1 1 = x+ 2 4
Luego la suma buscada es x
1 12 + x 14 + x + 0 + x + 14 = 4x 4x 2
multiplicamos n2 + 1 veces el número real a, el reultado …nal es: 7. Si multiplicamos Solución
La de…nición de potencia nos dice que
n veces
z }| { a a a a a
a = an
Si aplicamos esto a nuestro caso tenemos n2 +1 veces
z }| {
a = an
a a a a a
8. El polinomio p (x) = x3
por.
2
+1
x2 + x 1 se anula en 1, luego p (x) es divisible
Solución
4
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Teorema eorema del factor: Un polinomio polinomio f ( f (x) tiene un factor x c si y sólo si
f ( f (c) = 0
Aplicando el teorema del factor al caso que nos ocupa tenemos que p (1) = 13 12 + 1 1 = 1 1+1 1 = 0
entonces p (1) = 0; 0; según el teorema el polinomio tiene un factor (es divisible por) x 1: (sug. haga la división) 9. Las primeras 17 letras en la alineación del genoma humano son A
C
A
A T
G
T
C
A
T
T
A
G C
G
A
T
donde A = Adenina, C = Citosina, G = Guanina, T = Timina. Si consideramos a estas letras como variables y admitimos la conmutatividad del producto "yuxtaposición", estas 17 letras pueden reducirse al monomio: Solución
Recordemos que
n veces
z }| {
a = an
a a a a a
Secuencia original A C A A T G T C A T T A G C G A A C A2 T G T C A T 2 A G C G A T
T
Aplicando la propiedad conmutativa C
A A2
T
T
G
C
T 2 C G G A T
A A
aplicando potenciación C
A3
T 2
G C
A2
T 2
C
G2
A T
Aplicando repetidamente estos pasos llegaremos a obtener la ordenación A A3
A2
C
C
C
G
G2
G3
T 5
Finalmente A6
C 3
5
T 2
T 2
T
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10. Si x + y = 1 y xy = 1 , ¿Cuál será el valor de x3 + y 3 ? Solución
El cubo de un binomio es 3
(x + y) = x3 + 3x 3x2 y + 3xy 3xy 2 + y 3
A partir de esto podemos escribir 3
(1) = x3 + y3 + 3x 3x2 y + 3xy 3xy2
( )
Por otro lado podemos calcular cada variable xy
= 1
! x = y1
xy
= 1
! y = x1
Sustituyendo estas dos últimas igualdades en () y reduciendo, tenemos 1 = x3 + y 3 + 3x 3x2 y + 3xy 3xy 2 1 1 = x3 + y 3 + 3x 3x2 +3 x 1 1 1 1 1 3 3 x + y3
= = = = = =
1 y
y2
x3 + y 3 + 3x 3x + 3y 3y x3 + y 3 + 3 (x + y) x3 + y 3 + 3 (1) (1) 3 3 x +y +3 x3 + y 3 2
11. Dos enteros a > 1 y b > 1 satisfacen ab + ba = 57: 57: Determinar la suma a + b:
Solución
6
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Por simple inspección es facil notar que 25 52 25 + 52 25 + 52
= = = =
32 25 32 + 25 57
a partir de este cálculo podemos escribir que a a+b a+b
! = =
2 y b 2+5 7
!5
12. Dada la expresión algebraica x3 y 2 + x2 y 2 ; los valores de x e y para obtener 64 son:
Solución
x3 y 2 + x2 y 2
= x2 y2 (x + 1) = 64 = 2 x (x + 1)
y2
64
Como 64 es un número par, entonces los número x y y deben ser números pares. Fijemos x = 2 (nótese que lo elegimos negativos, puesto que 64 también lo es ) y2
=
y2
=
y2
=
y2
=
y2
=
p
= =
y2 y
x2
64
(x + 1) 64 2 ( 2) ( 2 + 1) 64 (4)( 1) 64 4 16
p 16 4 7
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Como tenemos dos raices evaluamos para elegir la adecuada x3 y 2 + x2 y2 = ( 2)3 ( 4)2 + ( 2)2 ( 4)2 =
64
luego los número buscados son x = 2 y y = 4: 13. Los valores naturales de x e y para la expresión 1 + x + xy + x2 y 2 dé el
menor número par positivo son: Solución
El menor número par positivo es 2 1 + x + xy + x2 y2 x + xy + x2 y2 x 1 + y + xy 2
1 + y + xy2 y + xy2 y + xy2
= 2 = 2 = 1 1 = x 1 = x 1 =
1 1 x x
Ahora, observamos algunas cosas, x no puede ser cero, tampoco puede ser negativo, discriminando el numerador es fácil ver que x debe ser 1; así y + xy 2
1
=
x
x y + y2 = 0 y (1 + y ) = 0 y = 0 ó y=
1
Evaluando los números x = 1 y y = 0 para comprobar 1 + x + xy + x2 y 2 1 + 1 + (1) (0) + (1) (1) 2 (0)2 1+1 2
8
= = = =
2 2 2 2
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14. Si a =
1; b = 3;3 ; c = 5;5 ; entonces a+b a b a + b + c
j j jj jj jj
es igual a: Solución
De…nition 1 El valor absoluto de un número real, a; representado por a ; se
jj
de…ne como sigue.
1) si a
0; entonces jaj = a: 2) si a < 0, entonces jaj = a: a+b a b a + b + c
j j jj jj jj
( 1) + 3 ( 1) 3 1 + 3 + 5 ( 1) + 3 4 1 + 3 + 5 2 4 1+3+5 2 9
j j j j j j j j j j j j j j j j
= = = =
15. La expresión
p 3
an
3
+3n2 +5n+3 ; a
2 R y n 2 N; es:
Solución
Por la propiedad de la potencia ax+y = ax ay , podemos escribir
p 3
3
an
+3n2 +5n+3
p p a p a
= = =
3
n3 +5n+3n2 +3
3
n3 +5n
3
3
an
+5n
p p a3 a3 a a () 3
n2
3
n2
la anterior simpli…cación nos acaba de arrojar luz sobre los dos últimos radicales, los cuales tiene raiz cúbica exacta, ahora veremos que ocurre con el radica
p 3
an
3
+5n
Tomemos el exponente n3 +5n; +5n; si evaluamos n para algunos casos obtenemos: 9
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n 1 2 3 4
! ! ! !
n3 + 5n 5n 13 + 5 (1 (1) 3 2 + 5 (2 (2) 3 3 + 5 (3 (3) 43 + 5 (4 (4)
= 1+5 = 8 + 10 = 27 + 15 = 64 + 20
= 6 = 18 = 42 = 84
Si observamos la tabla anterior, anterior, podemos po demos ver que la expresión n3 +5n +5n siempre da un número múltiplo de 3, esto es 3 n3 + 5n 5n
! n3 + 5n 5n = 3k 3 k ()
j
luego en el radical
p 3
3
an
+5n
Esto signi…ca que la expresión
p 3
p 3 3
=
an
3
a
k
= ak
+3n2 +5n+3
es raíz cúbica exacta.
Nota: Demostración de 3 n3 + 5n 5n n
j
8 2N
Aplicaremos el principio de inducción matemática sobre n: 3 n3 + 5n 5n es equivalente a n3 + 5n 5n = 3k 3k
j
1 ; tenemos 13 + 5(1) = 6 = 3 2, de donde 3jn3 + 5n 5n es verdadero Para n = 1; n = 1: 1 : para
Hipótesis inducctiva inducctiva 3jn3 + 5n 5n 8n 2 N es verdadero.
Tesis de inducción 3j (n + 1)3 + 5 (n + 1) 8n 2 N 3
(n + 1) + 5 (n + 1) = =
n3 + 3n 3n2 + 3n 3n + 1 + 5n 5n + 5 3 n + 5n 5n + 3n2 + 3n 3n + 6
n3 + 5n 5n es múltiplo de 3 por hipótesis de inducción, 3n2 + 3n 3n = 3 n2 + n es evidente que es múltiplo de 3 y claramente 3 divide a 6; luego la suma de tres múltiplos de 3 es un múltiplo de 3; esto es 3 (n + 1)3 + 5 (n + 1) n N es
j
verdadero.
16. Las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 serán recíprocas si: Solución
10
8 2
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Supongamos las raíces x1 y x2 ; ambas raíces de la ecuación dada, ahora vamos a reducir la ecuación dada, así ax2 + bx + c = 0 a 2 b c x + x+ = 0 a a a b c x2 + x + = 0 ( ) a a
la ecuación () es la ecuación reducida de la ecuación ax2 + bx + c = 0; obsérvese que la ecuación () es de la forma x2 + px + q = 0
y sabemos que para estas ecuaciones debemos encontrar dos números que multiplicados nos den q y sumados p; es decir que si existen sus raíces, digamos x1 y x2 ; entonces
Aquí podemos tomar
x1 x2 = q x1 + x2 = p
b =p a
Si la condición es que x1 = entonces x1
1 x2
c = q a
, es decir que sean recíprocas las raíces,
1 x1 x2 = 1 x2 = q = 1 =
!
x1 x2 c = 1 a c = a
17. Si n es un entero positivo, la igualdad m4 se cumple si k toma el valor:
km2n + n2
n
Solución
Apliquemos el cuadrado del binomio a la parte derecha, así
h i m2
n
2 n
= m4
11
2m2n + n2
n
= m2
n
2n
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ahora igualemos este resultado a lo que inicialmente teníamos
m4
km2n + n2
n
= m4
2m2n + n2
n
raíz n-ésima a ambos lados y listo
q n
(m4
m4
km2 n
+ n2 )n
km2n + n2
k
p
18. El producto ( x + y +
=
q n
(m4
= m4 = 2
n
2m2n + n2)
2m2n + n2
p x + y z) (p x + y p x + y z) es igual a:
Solución
Obsérvese con atención que lo que tenemos es una diferencia de cuadrados de la forma (a + b) (a b) = a2 b2 ; luego al hacer el producto resulta
p
x+y+
p x + y z p x + y p x + y z
p p 2
= x+y x+y = x + y (x + y z ) = x+y x y+z = z
19. El coe…ciente del término lineal del producto (ax
b) (cx + d) x es:
Solución
Si hacemos el producto de forma directa obtenemos la expresión (ax
b) (cx + d) x
aquí el término lineal es
= acx3 + adx2 bcx2 = acx3 + (ad (ad bc) bc) x2
bdx bdx
bdx; luego su coe…ciente es bd:
Observación:
12
z 2
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Si el producto es simplemente (ax b) (cx + d) ; omitiendo la x que aparece al …nal tendriamos (ax
= acx2 bd + adx bcx = acx2 + (ad (ad bc) bc) x bd
b) (cx + d)
en este caso el término lineal es (ad bc) bc) x; luego su coe…ciente es ad bc: (esta es la respuesta de la guía, tenga en cuenta la aclaración) 20. Si 2 es raíz del polinomio x3
completa de éste es:
x2 14x 14x + 24, entonces la factorización
Solución Theorem 2 Un polinomio f ( f (x) tiene un factor x
c si y sólo si f ( f (c) = 0
14x + 24; 24; entonces anula al polinomio cuando x = 2: 2: Si 2 es raíz de x3 x2 14x Así podemos aplicar el teorema anterior con c = 2 y como factor x 2: Hacemos ahora la división x3
x2 14x 14x + 24 x 2
resulta como cociente el polinomio x2 + x 12; 12; luego podemos escribir x3
x2 14x 14x + 24
= (x = (x
2) x2 + x 12 2) (x + 4)4) (x 3)
lo cual es su factorización completa. 21. El polinomio x4
1 se descompone completamente en el producto de:
Solución
Note que podemos expresar el polinomio como una diferencia de cuadrados x4
1=
x2
1
x2 + 1
luego un factor de estos engendra otra diferencia de cuadrados x4
1
=
x2
= (x
1
x2 + 1
1) (x + 1) x2 + 1
así la descomposición completa de x4 1 es el producto de 3 binomios. 13
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3
22. La factorización de (x + 1) + (y (y + 6) es: Solución
Apliquemos la factorización para la suma de cubos
a3 + b3 = (a ( a + b) a2
(x + 1)3 + (y (y + 6)3
h
ab + b2
= (x + 1 + y + 6) (x + 1)2
h
= (x + y + 7) (x + 1)
2
(x + 1)1) (y + 6) + (y ( y + 6)2
(x + 1)1) (y + 6) + (y ( y + 6)
2
i
i
luego observemos que quedan unos binomios al cuadrado 2
(x + 1) = x2 + 2x 2x + 1 (x + 1) 1) (y + 6) = 6x y xy (y + 6)
6
2
= y 2 + 12y 12y + 36
sumando y reduciendo términos semejantes nos queda 3
(x + 1) + (y (y + 6)
3
= (x + y + 7) = (x + y + 7)
23. Un factor de 5t
h
2
12 + 2t 2t2 es t + 4 y el otro es
Solución
Es su…ciente con hacer la división para encontrar el otro factor 2t2 + 5t 5t 12 2t2 8t 3t 12 3t + 12 0
i
2 (x + 1)1) (y + 6) + (y ( y + 6) x2 + 2x 2x + 1 6x y xy 6 + y 2 + 12y 12y + 36 x2 xy 4x + y2 + 11y 11y + 31
= (x + y + 7) (x + 1)
t+4 2t 3
luego el cociente de esta diviión, 2t 3; es el factor buscado. 14
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24. Si el producto de los monomios x2n y n y xm y es igual a x2 y 3 ; entonces los valores de m y n son respectivamente: respectivamente: Solución
Haciendo el producto y aplicando la inyectividad de la función exponencial, tenemos x2n y n (xm y) = x2 y3 x2n+m y n+1 = x2 y3
como las bases son invariantes, resulta
2n + m = 2 n+1=3
resolviendo este sistema resulta, n+1 = 3 n = 2 2n + m 2 (2) (2) + m 4+m m m
! n =3 1 = = = = =
2 2 2 2 4 6
Así, los números buscados son, m = 6 y n = 2: 2: 25. Para que la factorización de 2y2 + 9y
valer respetivamente:
s sea (2y (2y + k) (y 2k) ; s y k deben
Solución
Hagamos el producto directo de (2y (2y + k) (y 2k) ; esto es (2y (2y + k) (y
2k) = 2y2 3ky 2k2
Ahora igualando término a término los dos polinomios, resulta 15
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2y 2
+
#2
2y
9y
s #2 2k
#
3ky
como la factorización es única resulta claro pensar que
3ky
= 9y 9 = 3 = 3
k
k
s s s s s
2k2
= = = = =
2k 2 2 ( 3)2 2 (9 (9) 18
luego s = 18 y k = 3: 26. El resultado de (am+n + bmn ) (bmn
m+n
a
) es:
Solución
Apliquemos la diferencia de cuadrados
bmn + am+n
p 2
27. El producto de a
bmn
b
1 3
m+n
a
= b(2)(mn)
p con a 2 + b
3
2
bmn
=
1 3
3
am+n
2
a(2)(
m+n)
es igual a:
Solución
Haciendo el producto y aplicando regla de los exponentes resulta p p p p 3 3 3
a
2
b
1 3
a
2
+b
1 3
h =
16
a
2
b
1 3
a
2
+b
1 3
i
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luego lo que está dentreo del corchete es una diferencia de cuadrados
h
p 2
a
b
1 3
p 2
a
+b
1 3
i 3
p 2
=
a
2
b
1 3
2 3
a esta última expresión aplicamos el cubo del binomio
p 2
a
2
b
1 3
2 3
2 3
p 2
=
a
p 2
= a6
p 2
3a4
2 2
p 2
3
a
2 3
b + 3a 3a2
p 2
b
4 3
b
1 3
2
+3
b2
28. Al simpli…car la expresión 2
1
2
x
1 1+ 1 x2
x
obtenemos: Solución
Resolvamos el denominador de la primera fracción compleja 2
2
x12 = 2xx2 1
luego 1 2
1
=
x2
x2 = 2x 1 2x2 1 x 1
2
2
Ahora resolvemos el denominador de la segunda fracción compleja 1+
luego
1 x+1 = x x
2
2
x
x
1+
1 x
=
x+1 x
17
=
2 x+1
p 2
a
2
b
1 3
2 2
b
1 3
2 3
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…nalmente 2
1
x
x2
x2
2 2x2 1 x + 1 x2 (x + 1) 2 2x2 1 (2x (2x2 1) (x + 1) x3 + x2 4x2 + 2 (2x (2x2 1) (x + 1) x3 3x2 + 2 (2x (2x2 1) (x + 1)
=
1+ 1 2 1
x
= = =
29. El inverso multiplicativo de la fracción algebraica
x2 + 1
(x4
2
1)
2
(x + y )
(x2
y2 )
en su forma más simpli…cada es: Solución
El invero multiplicativo de esta fracción es sencillamente el recíproco, es decir
x4
1
2
x2
y2
(x2 + 1)2 (x + y)
=
x4 1 (x + y) (x y ) (x2 + 1) 1) (x2 + 1) 1) (x + y )
= =
x2
=
x4
1
1 x4 1 (x y) (x2 + 1) 1) (x2 + 1) x2 + 1 x2 1 x2 + 1 x2 (x2 + 1) 1) (x2 + 1) x2 1 x2 1 (x y )
=
30. La expresión
x4
en su forma simpli…cada es:
1
2
(x
y)
2x1 + 3y 3y 1 5x1 7y 1
Solución
18
1
1 (x
y)
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2x1 + 3y 3y1 5x1 7y 1
1
=
5x1 7y1
=
5 7
2x1 + 3y 3y 1 x
2
x
y
+
3
y
5y7x xy
=
2y +3x xy
=
1 31. Si f ( f (x) = x10 1 ; x1 = 1 + k ; x2 = 1 +
1
k2
5y 7x 2y + 3x 3x
; donde k = 1; 1; k
6
2 Z+; entonces
Solución
f ( f (x) =
10
10 10 ! f ( f (x1 ) = = 1 = 10k 10 k 1 x1 1+ 1 k
f ( f (x) =
k
10
10 10 ! f ( f (x2 ) = = 1 = 10k 10 k 2 1 x1 1+ 1 k2
k2
luego f ( f (x1 ) < f (x2 )
32. Supongamos que x1 y x2 son las raíces de la ecuaciòn ax2 + bx + c; (a = 0)
6
la expresiòn
1 1 + x21 x22
expresada en funciòn de las raíces, es igual a: Solución
Note antes que todo que la expresiòn puede reescribirse como 1 1 x22 + x21 + = x21 x22 x21 x22
19
( )
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La idea fundamental aquì serà calcular tanto numerador como denomiador por separado y luego realizar la divisiòn. Toda raíz de una ecuacón cuadrática puede escribirse en la forma
p b b2 4ac x= 2a
Luego para cada raíz dada tenemos x1 (2ax (2ax1 )2 4a2 x21
b p b2 4ac
=
2a
p p
=
b2
b
= 2b2
4ac
2
2b b2
4ac
4ac
(1)
si consideramos la raíz x1 eventualmente encontraremos al análogo a lo anterior, esto es 4a2 x22 = 2b 2 b2
p
4ac 2b
b2
4ac
(2)
Ahora vamos a sumar las expresiones (1) y (2) 4a2 x21 4a2 x22 4a2 x21 + x22 a2 x21 + x22
p p
= 2b2 4ac 2b b2 4ac = 2b2 4ac 2b b2 4ac = 4b2 8ac ( 4) 2 = b 2ac
Después de todas esas simpli…caciones encontramos que x21 + x22 =
b2
2ac a2
que es precisamente el numerador de () :
Ahora volvamos a considerar nuestra ecuación original ax2 + bx + c; y encontremos su ecuación reducidad dividiéndola toda por a: ax2 + bx + c
! !
20
a 2 b c x + x+ a a a 2 x + px + q
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con p = ab y q = ac ; si x1 y x2 son raíces de la ecuación original, también lo son de su ecuación reducida. reducida. Recordem Recordemos os que al resolver resolver la ecuación ecuación reducida reducida por factorización encontramos que x1 x2 x1 + x2
= q = p
la primera de estas condiciones es lo que necesitamos x1 x2
2
(x1 x2 )
= q =
! (x1 x2)2 = q 2 c 2 c2 ! x21 x22 = 2 a a
y asì tenemos el denominador de nuestra esxpresión () ; …nalmente 1 1 x22 + x21 + = = x21 x22 x21 x22
21
2
b
2ac 2
a c2 a2
=
b2
2ac c2
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33. Si r +
1 2
r
1
= 3 entonces r3 +
es igual
r3
Solución. Consideremos el desarrollo de r +
1 r+ r
3
1 3
r
esto es
3 1 + 3 + r3 r r 1 1 r3 + 3 + 3 r + r r
= 3r +
=
( )
Ahora consideremos la expresión r + r1 1 r+ r
3
3
1 r+ r
=
como sigue
2
r+
1 r
la expresión al cuadrado es 3; así, podemos escribir
r+
3
1 r
=3 r+
1 r
Igualando esta última expresión con () ; resulta
1 r + 3 r 3
q p p p p q p q p p p 1 r 1 r3 + 3 r 1 r3 + 3 r
1 r 1 = 3 r+ r
+3 r+
34. El valor de la expresión
24
= 3 r+
3 r+
1 r
= 0
x4 + y4 es:
Solución. Recordemos que en radicales anidados podemos multiplicar los índices x = x; luego de los radicales, es decir, n
24
m
n m
x4 + y 4
= 22 = 4
22
4
x4 + y4
x4 + y4
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35. La racionalización del denominador de la expresión 1 2 3
x
y
da como resultado:
2 3
En principio reescribiremos los exponentes racionales como radicales 1 x
2 3
y
p 2 1 x
=
2 3
p
3
3
y2
como la expresión a racionalizar es un radical 3, multiplicaremos p 4 de índice 2 2 numerador y denominador por la expresión x + x y + y 4 ; esto es
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 3
p 2 1 x 3
3
1
=
p
y2
3
x2
y2
3
3
=
3
3
=
x2
x4 +
4 3
x4 +
3
x2 y2 +
3
y4
3
x4 +
3
x2 y2 +
3
y4
x4 +
x2 y 2 + x2 y 2
2 3
x +x y +y x2 y 2
=
x2 y2 +
3
3
3
2 3
3
3
y2
3
3
x4 +
3
3
y4
x2 y2 +
3
3
y4
y4
4 3
36. La simpli…cación de la expresión
q 6
(x
y + z)
2
r 6
x
1 y+z
14 p x y + z + p x y + z p x y + z 6
3
da como resultado: Solución. Como la expresión no tiene paréntesis, entonces tomamos en cuenta
los ordenes de prioridad, primero división y multiplicación luego suma y resta.
q r 6
(x
y + z)
x
1 y+z
6
r
p p 1 p xy+z+ xy+z xy+z x 4 1 p (x y + z )2 x y + z + (x y + z )3 (x y + z )2 2
6
1 y+z
6
6
4 p x y + z 1 p x y + z + p x y + z 4 p 1 p 2 xy+z xy+z 4 7 p xy+z 4 6
6
6
6
6
6
23
3
q 6
q 6
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p 2
37. La expresión
3
a5 a(2 1) es igual a: (2n 1)3 = n2 2n2 1 sugerencia: 13 + 33 + + (2n n
3
3
a a3
n
Solución. La cantidad subradical es un producto de potencias de la misma
base, así que podemos escribir
p 2
n
3
a a3
3
3
a5 a(2 1) n
p p q 2
=
n
a1
3
2
=
n
=
n
an
2
3
+33 +
2
(2n2
+(2n1) 1)
2
a(2n 1)
= a(2n 1) 2
n2
38. La raíz quinta de la raíz cuarta de la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de a2 + b2 es igual a:
Solución. Traducimos del lenguaje ordinario al lenguaje común, y procedemos
anidando las raices hacia atras.
s r q qp p 5
4
(a2 + b2 ) = =
p 80
(a2 + b2 )
a2 + b2
1 80
39. Dadas las ecuaciones 2x + 3y 3y = 4 y 2kx + 3ky 3ky = 4k; k = 0; el conjunto de
6
todas las soluciones es:
Solución. La segunda ecuación es múltiplo de la primera en un factor k; así
estas serán rectas paralelas. Luego 2x + 3y 3y 3y y
2x 2x 3
x; puede tomar valores arbitrarios y los de y están determinados por y = Así, el conjunto solución será x; 432x : x R y = 432x
4 2x 3 :
= 4 = 4 4 =
24
2
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y
4 3 2 1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1
4
5
x
-2
40. El conjunto solución del sistema de ecuaciones es:
j j x
y
1 + jy 5j = 1 jx 1j = 5
Solución. Recordemos la de…nición de valor absoluto
jaj = a;a;sisiaa=<00 Debemos considerar entonces los casos positivos y los negativos. Primero que los valores absolutos sean positivos
Reduciendo
(x
1) + (y ( y 5) = 1 y (x 1) = 5
x+y =7 y x =4
resolviendo este sistema por eliminación 2y y
si y =
11 2 ;
= 11 11 = 2
entonces x+y = 7 x = 7 x = x =
25
y 11 7 2 3 2
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sol. 32 ; 11 2
La segunda combinación es
jx 1j + jy 5j (x 1) + (y (y 5) x + 1 + y 5 x + y
= = = =
1 1 1 5
Para la segunda ecuación y x 1 [ (x 1)] y+x 1 x+y
j j y
= = = =
5 5 5 6
Así formamos el sistema de ecuaciones
x+y =5 x+y =6
eliminando x; resulta
2y y
si y =
11 2 ;
= 11 11 = 2
entonces x+y = 6 x = 6
y 11 6 2
x =
1 2
x =
luego, sol. 12 ; 11 2 La solución al sistema original es
3 11 2; 2
;
1 11 2; 2
:
41. Hallar tres números, sabiendo que el segundo es mayor que el primero en la
misma cantidad que el tercero es mayor que el segundo, que el producto de los dos menores es 85 y que el producto de los dos mayores es 115. Solución. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraico
26
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: primer número : segundo número : tercer número
x1 x2 x3
> x1 y x3 > x 2 x3 = x2
x2 x2 x1
x1 x2 x2 x3
= 85 (1) = 11 115 5 (2)
Teniendo en cuenta todas estas relaciones, resolvemos las ecuaciones. Primero dividamos las dos ecuaciones x2 x3 x1 x2 x3 x1
115 85 23 17
= =
x3
= x1
23 ( ) 17
Por otro lado consideremos la proporción x2 x1 x22
x3 x2 = x1 x3 ( ) =
Sustituyendo () en () resulta
r
x22
= x1 x1
x22
= x21
x2
= x1
27
23 17
23 17
23 () 17
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Sustituyendo () en (1) x1 x2
= 85
23 17
= 85
r ! r
x1 x1
x21
23 17
= 85
x21
=
x1
=
x1
= 8:5
85
q v ut q 23 17
85
23 17
Sustituyendo este valor en las ecuaciones (1) y (2) resulta x1 x2 (8: (8:5) x2
= 85 = 85 85 = 8:5 = 10
x2 x2
x2 x3 (10) x3
x3 x3
= 115 = 115 115 = 10 = 11: 11:5
Sol. (8: (8:5; 10; 10; 11: 11:5) 42. El sistema
tiene solución única si:
kx + y = 1 x + ky = 5
Recordemos os que según la regla de Cramer, un sistema de dos variSolución. Recordem ables tiene solución única si el determinante de la matriz de coe…cientes no es cero, esto es
28
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k2
k 1
1 k
= 0
k 1
1 k
= k2
6
1 =6 0
1 =6 0 , esto obliga a k a tomar valores distintos de 1 y 1:k =6 1;1 ; 1
43. La suma de dos números es 666 y si se divide el mayor entre el menor el cociente es 5 y el residuo 78. Dichos números son: Solución. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraico
x1 x2
: primer número (mayor) : segundo número (menor) x1 + x2 x1
= 666 (1 (1) = 5x2 + 78 (2)
x1 + x2 x1 5x2
= 666 = 78
Resolvemos el sistema por eliminación, multilplicando por (1) la ecuación (2) para eliminar x x1 + x2 x1 + 5x 5x2
6x2 x2 x2
= 666 = 78
= 588 588 = 6 = 98
Sustituyendo en (2) x1
5x2 x1 x1 x1
= = = =
Sol.(568; (568; 98) 29
78 78 + 5x2 78 + 5 (98 98)) 568
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44. Si suponemos que el cociente intelectual de Einstein era 170 y si éste se
calcula al dividir la edad mental por la edad cronológica multiplicado por 100, la edad mental de Einstein cuando publicó en 1905 su teoría sobre el efecto fotoeléctrico era: co e…ciente intelectual intelectual (IQ) Solución. El coe…ciente IQ ), edad mental (EM ) EM ) y la edad cronológica (EC ) EC ) EM IQ = 100 EC
Si publicó su teroría del efecto fotoeléctrico en 1905 y según su biografía nació en 1879 1879;; entonces su edad cronológica era 1905
1879 = 26
Luego, EM 100 EC IQ EM = EC 100 170 EM = 26 100 EM = 44: 44:2 IQ
=
45. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era
cuatro veces más joven. ¿cuántos años tiene? Solución. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraico
x : edad actual del padre y : edad actual del hijo
Planteamos el sistema
Simpli…cando
x = 3y 3y x
5 = 4 (y 5)
x
3y = 0 (1) x 4y = 15 (2)
Resolvemos por eliminación, multiplicando por (1) la ecuación (1) para eliminar x:
30
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y y
x + 3y 3y = 0 x 4y = 15 (2)
= 15 = 15
luego, el hijo tiene 15 años. 46. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unas empanadas, y lo
pusieron pusieron todo en una cuenta cuenta que ascendió ascendió a 36 córdobas. córdobas. Todos iban a pagar por igual, pero tres de ellos se habían ido, por lo que a cada uno le tocó pagar 1 córdoba córdoba más. ¿cuánta ¿cuántass person p ersonas as conformaban conformaban el grupo original? Solución. Digamos que x representa el número de personas en el grupo
(x
nx = 36 (n lo consumido por cada uno) 3) (n + 1) = 36 (se van 3 y agregan un córdoba)
Despejemos n de la primera ecuación y sustituimos en la segunda, así nx = 36
(x
3) (n + 1)
! n = 36x
=
36
!
(x
! ! ! !
! (x
3)
36 +1 x
= 36
36 + 1 = 36 x 36 + x (x 3) = 36 x (x 3) (36 + x) = 36x 36x 2 36x 36x + x 108 3x = 36x 36 x 3)
2
x
3x 108 = 0
Llegamos a una ecuación cuadrática, factorizando resulta en x2 3x 108 = 0 (x 12)(x 12)(x + 9) = 0 x = 12
_
x=
9
tomamos la solución positiva, así habían 12 personas.
31
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hombre entró entró en la cárcel cárcel para cumplir cumplir una condena condena.. Para Para que su 47. Un hombre castigo fuera más duro no le dijeron cuanto tiempo tendría que estar allí dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente y el preso le había caído bien. Preso:¡vamos! ¿puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré
que estar en este lugar? Carcelero:¿cuántos años tienes? Preso: veinticinco Carcelero: yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste? Preso: Hoy es mi cumpleaños Carcelero: Increíble. ¡también es el mío!. Bueno, por si te sirve de ayuda te
diré (no es que deba, pero lo haré) que el día que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás. ¿cuánto tiempo dura la condena del preso? Solución.
Digamos que x es la edad del carcelero y y la edad del preso, esto sería x = 54 y = 25
Luego podemos establecer una relación entre las edades x
y
= 54 25 x = 29 + y
recordemos, que el preso saldrá cuando la edad del carcelero sea el doble que la del preso, es decir 2y 2y y y
= 29 + y = 29 = 29
lo que signi…ca que saldrá cuando tenga 29 años, así la condena dura 4 años.
32
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48. La suma de las cuatro raíces de la ecuación ax2 +bx+ bx+c = 0 y ax2 bx+ bx+c = 0; 0; 2 con a = 0 y b 4ac > 0 es igual a:
6
cuadrática están dadas por Solución. Las raíces de toda ecuación cuadrática
p b b2 4ac x= 2a
Para la primera ecuación las raíces serán
p b b2 4ac x1 = 2a
Para la segunda ecuación, tenemos
p (b) b2 4ac x2 = 2a
Luego la direncia será
p ! p !
x1 + x2
=
x1 + x2
= 0
b
b2 2a
4ac
+
49. El número de soluciones de la ecuación x2
b
b2 2a
4ac
5 jxj + 2 = 0;0; si x =6 0 es:
solución. Recordando la de…ción de valor absoluto podemos plantear lo sigu-
iente x2 5x + 2 = 0 x2 + 5x 5x + 2 = 0
hemos obtenido dos ecuaciones cuadráticas distintas, como cada una tiene 2 soluciones, la ecuación original poseerá 4 soluciones. xj 50. Si x es un número real distinto de cero, la solución de la proporción j18 = x 7
es:
12
33
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Solución.
12 x
j j
jxj 18 12 jxj 12 jxj
x
7 12 18 (x (x 7) 18x 18x 126
=
= = 18x 18x + 126 = 0
Por la de…nición de valor absoluto, podemos plantear 12x 12x 12x 12x
18x 18x + 126 18x 18x + 126
= 0 = 0
Resolviendo la primera ecuación 12x 12x
18x 18x + 126 6x + 126 6x
= 0 = 0 =
x =
126 126 6
x = 21
Para el segundo caso
12x 12x 18x 18x + 126 30x 30x + 126 30x 30x
= 0 = 0 = 126 126 x = 30 21 x = 5
Evaluando la primera solución en la proporción resulta
jxj 18 j21j
=
x
7 12 21 7
= 18 12 21 14 = 18 12 21 12 = 18 14 252 = 252
34
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Para la segunda solución se obtiene
21 5
18 21 40
= =
21 5
7
12
7 30
Lo cuál es falso, así la solución que veri…ca la proporción es x = 21 . 51. Daniel y Arturo, dos viejos amigos, vuelve a encontrarse en la calle al cabo
de algunos años. Después de saludarse, Daniel: ¿cuántos hijos tienes? Arturo: Tres hijos Daniel: ¿Qué edades tienen? Arturo: Tú mismo lo vas 36: vas a averig averiguar. uar. El producto de sus edades es 36:
Daniel, Daniel, después de pensar durante durante algún algún tiempo, tiempo, le dice a Arturo Arturo que necesita necesita más datos. Arturo: En efecto, la suma de sus edades es igual al número de la casa que tenemos enfrente, Daniel mira el número de la casa que le indica Arturo y quedándose pensativo durante un par de minutos. ¡No es posible!- responde, con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Me falta una dato más. Arturo: Perdona Daniel, olvidé decirte que mi hija la mayor toca el piano. Daniel: En ese caso, ya sé sus edades. edades. ¿Qué ¿Qué edades edades tienen tienen los hijos hijos de arturo? Solución. Primero encontramos todas las triadas que multipliquen 36 1 3 2 2 6 18 12 36
94 34 29 63 61 21 31 11
35
= = = = = = = =
36 36 36 36 36 36 36 36
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Ahora sumamos estos números 1+9+4 3+3+4 2+2+9 18 + 2 + 1
= = = =
14 10 13 21
12 + 3 + 1 36 + 1 + 1 2+6+3 6+6+1
= = = =
16 38 11 13
¡No es posible!- responde, con lo que me has dicho no puedo conocer las edades edades de tus hijos. Está exclamaci exclamación ón resulta porque él conoce el número de la casa, la decisión no se puede tomar porque el número debe ser el número repetido 2 + 2 + 9 = 13 y 6 + 6 + 1 = 13; 13 ; luego la mayor toca el piano, esto nos obliga a elegir (2; (2; 2; 9) : 52. El producto de tres enteros positivos consecutivos es 3360 y su suma es 45.
¿cuál es el mayor de esos tres números? Solución. Si tenemos tres números consecutivos entonces x1 : 1er número x1 + 1 : 2do número (x1 + 1) + 1 : 3 er número
Si su producto es 3360 entonces (x1 ) (x1 + 1) 1) (x1 + 2) = 3360
45; es decir Su suma es 45; x1 + x1 + 1 + x1 + 2 = 45 3x1 + 3 = 45 3x1 = 45 42 x1 = 3 x1 = 14
36
3
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Luego los número buscados son x1 = 14 x1 + 1 = 15 x1 + 2 = 16
El mayor desde luego es 16: 16: comienza su trayecto trayecto con cierto número número de pasajeros. pasajeros. En la 53. Un autobús comienza 1 primera parada descienden 3 de los pasajeros y suben 8: En la segunda
parada descienden 12 de los pasajeros que quedan quedan y suben 2 nuevos nuevos.. En este momento, el autobús lleva la mitad del número de pasajeros de los que llevaba al principio del trayecto. ¿cuántos pasajeros habia al principio?
Solución.
Llamemos x al número de pasajeros que había al inicio: 1ra parada quedan en el bus 2da parada quedan en el bus
x 2 3
13 x + 8 = 23 x + 8
x
2
2
x+8
+ 2 = 13 x + 6 =
Luego resulta que;
1 x+6 3 x 1 x 2 3 3x 2x 6 x
=
x 2
= 6 = 6 = 36
navidad, en cierta cierta empresa todos los empleados empleados se ofrecen ofrecen regalos. En 54. En navidad, esta ocasión las mujeres se han dado mutuamente un regalo, pero los hombres lo han repartido: La mitad han dado un regalo a sus compañeros y la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compañeras. Sabemos que el doble del número de mujeres excede en 6 al número de hombres. Si en total se han dado 38 regalos, ¿cuántos empleados tiene la empresa?
37
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Solución.
Llamemos x al número de hombres de la empresa y y al número de mujeres, luego Sabemos que el doble del número de mujeres excede en 6 al número de hombres 2y = x + 6
Si las mujeres se dan un regalo mutuamente signi…ca que una da un regalo a las demás, excepto a ella misma, así como hay y entonces el número de regalos que dan las mujeres serán. y (y
1)
En el caso de los hombres, la mitad han dado un regalo a sus compañeros y la otra mitad lo han ofrecido ofrecido a cada una de sus compañeras. compañeras. La mitad de los hombres dan un regalo asu compeñero, excepto a si mismo, luego x (x 2
1)
La otra mitad da un regalo a las mujeres, cada hombre da un regalo a cada mujer esto es, La ecuación …nal para los regalos es y (y
x (y ) 2
1) + x2 (x 1) + x2 (y) = 318
resolviendo esta ecuación resulta 2
y + x2 x2 + xy2 2y 2 2y + x2 x + xy y2
2y 2
2 2y + x2
despejamos x de la primera ecuación
x + xy
= 318 = 318 = 636
2y = x + 6 x = 2y 6
y sustituimos
2y2 2y + x2 x + xy 2 2y2 2y + (2y (2y 6) (2y (2y 6) + (2y (2 y 6) y 2 2 2y 2y + 4y 4y 24y 24y + 36 2y + 6 + 2y 2 y 2 6y 8y2 34y 34y + 42 636 8y 2 34y 34y 594 2 4y 17y 17y 297
38
= = = = = =
636 636 636 0 0
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Aplicando la fórmula general, tenemos y
=
y
=
y
=
y
=
y1
=
y2
=
q
(17) ( 17)2 4(4)(297) 2(4) p 17 289 + 4752 8 p 17 5041 8
17
71
8 17 + 71 88 = = 11 8 8 17 71 54 = 8 8
tomamos solución y = 11; 11 ; para el caso la que tiene sentido, sustituimos esta en la primera ecuación para encontar x: x x x x
= = = =
2y 6 2 ( 11 11) 6 22 6 16
luego la solución es 11 mujeres y 16 varones para un total de 27 personas. 55. Al resolver el sistema de ecuaciones respecto a x e y si (a b = 0; 0; a = b
^ 6
6
(a
b) x + (a ( a + b) y = 1 1 x
+ ab
y
a+b
=
a2
2
b
b) =6 0; a =6 0
(1) (2)
la solución que se obtiene es: Solución.
Recordemos que a2 b2 = (a + b) (a b) ; luego multiplicamos la ecuación número (2) por a2 b2 39
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( (a
(a b) x + (a ( a + b) y = 1 1(a b ) (a b )x (a b )y + a+b = a b ab 2
2
2
2
2
2
(a b) x + (a ( a + b) y = 1 (a + b) x + (a ( a b) y = 1
2
2
(1) (2)
Ahora multiplicamos la ecuación (1) por [ (a + b)] y la ecuación (2) por
b) ; así
[ (a + b)] (a b) x + [ (a + b)] (a + b) y = [ (a b) (a + b) x + (a (a b) (a b) y = (a (a
(a + b)] b)
Eliminando resulta
[ (a + b)] (a + b) y = [ (a + b)] (a b) (a b) y = (a ( a b)
ya2 2yab yb 2 = a b ya2 2yab + yb 2 = a b 4yab =22b b y = 4ab y = 21a
Sustituyendo para encontrar x (a + b) x + (a (a (a + b) x + (a (a
b)
b) y 1 2a
= 1 = 1
(a2a b) 2a a + b
(a + b) x = 1 (a + b) x = (a + b) x = x =
Así, la solució al sistema es
2a a+b 2a 1 2a
1 1 2a ; 2a
56. Determin Determinar ar un entero entero positivo positivo con los datos siguiente siguientes: s: si se añade un 5 a
la derecha el número resultante es divisible exactamente por un número que sobrepasa en 3 al buscado, siendo el cociente igual al divisor menos 16. 40
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Solución.
Llamemos x al número buscado, luego añadimos 5 a su derecha y resulta x5: Ahora vamos a escribir estos número en su representación decimal (con dos dígitos, de no resultar debe de seguirse con tres dígitos y así). x = a1 10 + a0 x5 = a1 102 + a0 10 + 5
Usando el algoritmo de la división ( p = q k + r) resulta que: a1 102 + a0 10 + 5 = (a1 10 + a0 + 3) 3) (a1 10 + a0 13) 2 = a0 + 20a 20a0 a1 10a 10a0 + 102 a21 102 a1 = 102 a1 (a1 1) + 10a 10a0 (2a (2a1 1) + a20
a1 102 + a0 10 + 5 = 10 2 a1 (a1
39 39
1) + 10a 10a0 (2a (2a1 1) + a20 39
Segúnn este desarrollo decimal podemos igualar los sumandos, así a1 102 = 102 a1 (a1 1 = a1 1 a1 = 2
a0 10 + 5 a0 10 + 5 a0 10 + 5 a0 10 + 5 2 a0 + 20a 20a0 44 (a0 + 22) 22) (a0 2) a0
= = = = = = =
1)
10a0 (2a (2a1 1) + a20 39 10a0 (2(2) 1) + a20 39 40a0 10a 10a0 + a20 39 30a0 + a20 39 0 0 22 a0 = 2
_
Para a0 tomamos el valor positivo así el número buscado es x x x x
= = = =
a1 10 + a0 (2) 10 + 2 20 + 2 22
41
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La solución de mayor valor numérico de la ecuación jxj + x3 = 0 es: Aplicando las propiedades del valor absoluto, podemos escribir para esta ecuación los casos que siguen:
jxj + x3
= 0 = x = x ó x3 =
x3 x3
j j
(x)
Resolviendo la primera ecuación x3 = x x3 + x = 0 x x2 + 1 = 0
x = 0
x2 + 1 = 0
_
nótese que la ecuación x2 + 1 = 0 no tiene solución en los números reales. Para el segundo casos tenemos 3
x x(x2
x3 x 1) x
= ( x) = x = 0 = 0 = 0 x2 1 = 0
_
0; Resolviendo la ecuación x2 1 = 0; x2 = 1 x = 1
_
x=
1
Luego las soluciones de la ecuación original son: de mayor valor numérico es 0:
42
1 y 0; luego la solución
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58. Para que la ecuación x2
2x + k = 0 () no tenga solución en R debe
cumplirse que:
Aplicando la fórmula general para esta ecuación tenemos x = x = x = x =
q
(2) ( 2)2 4(1)(k 4(1)(k ) 2 p 2 4 4k 2 2
x = 1
2 4(1 k ) 2 2 (1 k ) 2 (1 k)
p p p p p
Luego analizando el discriminante discriminante (1 k); resulta que para que la ecuación () no tenga solución debe ser k > 1; así (1 k ) 2 = R: 59. Si los valores de R1 ; R2 y R3 representan resistencias en ohmios, al calcular el recíproco de R2 utilizando la ecuación R1 = R1 + R1 + R1 se obtiene: 1
Se trata de despejar
1 R2
2
3
de la expresión para la resistencia, así 1 R 1 R2
1 1 1 + + R1 R2 R3 1 1 1 R R1 R3
= =
60. Una solución irracional de la ecuación
x2 + 1
es:
2x2
x2
8
(x
2:5) = 0
Recordemos que un número irracional es aquel que no puede expresarse como un cociente indicado de dos números enteros, luego las soluciones de esta ecuación serán:
x2 + 1
= 0
2
x = x =
43
p 1 1
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las cuales son soluciones imaginarias en los números complejos.
2x2
8
= 0
2x2
= 8 8 x2 = 2 2 x = 4 x = 4 x = 2
p
las cuales son soluciones reales.
x2
= 0
x2 = x2 = x =
p
las cuales son raices irracionales, puesto que es irracional. x
2:5
= 0 x = 2:5
la cual es una solución racional. Por lo tanto una solución irracional es
p :
61. Calcular los valores de x en la siguiente ecuación de segundo grado. 1
2b
x
a2 b2 = 2 a a + x2 2ax
Primero simpli…camos la expresión a2 b2 2b + 2 2 x 2ax + a x a 2 2 a b 2b 2 + x a (x a)
a2 b2 + 2b 2b (x a) (x a)2 a2 b2 + 2b 2b (x a) a2 b2 + 2bx 2bx 2ba 2 x 2ax 2bx + b2 + 2ab 2ab 2 2 x (2a (2a + 2b 2b) x + b + 2ab 2ab
44
= 1 = 1 = 1 = = = =
(x x2 0 0
a)2 2ax + a2
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En este punto aplicamos la fórmula general para ecuaciones cuadráticas
x = x =
(2a (2a + 2b 2 b)
q
[ (2a (2a + 2b 2b)]2
4(1)(b 4(1)(b2 + 2ab 2ab))
2 p (2a (2a + 2b 2b) 4a2 + 8ab 8ab + 4b 4b2 4b2 8ab
(2a (2a + 2b 2 b) 2 (2a (2a + 2b 2 b) x = 2 x = a+b a x =
2
p
4a2
2a
separando las raices resulta que x1 = 2a 2a + b
^
x2 = b
62. Determinar la ecuación de segundo grado cuyas raíces sean los cubos de las de x2 + 2x 2x 8:
Resolviendo esta ecuación por factorización tenemos. x2 + 2x 2x 8 (x + 4) 4) (x 2) (x + 4) x1 x31
= (x + 4) 4) (x 2) = 0 = 0 (x 2) = 0 = 4 x2 = 2 = 64 x32 = 8
_ _ _
Luego la ecuación buscada debe tener por raíces a
64 y 8:
Consideremos la forma de una ecuación cuadrática factorizable x2 + bx + c = 0
sabemos que puede escribirse en la forma de dos productos lineales (x + m) (x + n) = 0
45
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donde n y m tienen las propiedades siguientes m n = c m+n = b
si 64 y 8 son soluciones de una ecuación cuadrática, entonces podemos escribir ( 64)(8) )(8) = 512 [( 64) + (8)] = 56
así, la ecuación buscada es x2 + 56x 56x
512 512::
63. El número -1 es solución de la ecuación de segundo grado 3x2 + bx + c = 0: 0: Si los coe…cientes b y c son números primos, el valor de 3c b es:
0 ; entonces Si 1 es solución de la ecuación 3x2 + bx + c = 0; 2
3 ( 1) + b ( 1) + c 3 b+c c b b c
= 0 = 0 = 3 = 3
entonces se trata de encontrar dos números primos cuya diferencia sea 3; por inspección inspección podemos elegir elegir b = 5 y c = 2; ambos primos y además 5 3 = 2; luego 3c
b
= 3 (2 (2) 5 = 6 5 = 1
46
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representa ta un número número en el siguiente siguiente arreglo. arreglo. La suma de cua64. Cada letra represen lesquiera tres números consecutivos es 18. ¿cuánto vale H? 3
B
C
D
E 8
G
H
Podemos plantear las siguientes relaciones 3 + B + C = 18
de donde B + C = 15
Luego B + C + C + D 15 + D D D
= = = =
18 18 18 3
= = = =
18 18 10 7
15
siguiendo el mismo argumento D + E + E + 8 3 + E E E
8 3
para las siguientes tres letras E + E + 8 + G = 18 7 + 8 + G = 18 G = 18 G = 3
15
y …nalmente 8 + G + H 8 + 3 + H H H
= = = =
47
18 18 18 7
11
I
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65. El conjunto de las soluciones positivas de la inecuación x + 5 <
j
j 4 es:
Recordemos la siguiente propiedad del valor absoluto
jaj < b () b < a < b aplicando esta propiedad tenemos
jx + 5 j 4
< 4 ( 4) < x + 5 < 4 < x+5 < 4 5 < x+5 5 < 4 5 1 < x< 9 sol: ( 1; 9)
()
4
nótese que este conjunto solución no satisface a la inecuación original, basta con tomar un valor de prueba, digamos k = 3; al evaluar resulta
jx + 5 j j3 + 5j j2j
< < < 2 <
4 4 4 4
lo que es absurdo, luego el conjunto solución de la inecuación es el conjunto vacío, : 66. Hallar un número de dos cifras sabiendo que el número de unidades excede
en dos el número de decenas y que el producto del número deseado por la suma de sus dígitos es 144. Sabemos que es un número de dos cifras, escibamos su desarrollo decimal 10x 10x + y
donde x es el número de las decenas y y el de las unidades. Como el número de las unidades excede en dos al de las decenas, entonces y
x =2
(1)
por otro lado, si el producto del número deseado por la suma de sus dígitos es 144, entonces (10x (10x + y) (x + y ) = 14 144 4 (2) (2)
podemos emplear la ecuación (1) y reducir términos y
x y
= 2 = 2+x
48
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sustituimos en la ecuación (2) (10x (10x + y) (x + y ) (10x (10x + (2 + x)) (x + (2 + x)) (11x (11x + 2) 2) (2x (2x + 2) 22x 22x2 + 26x 26x + 4 22x 22x2 + 26x 26x
140
= = = =
144 144 144 144
= 0 (3)
Resolvemos la ecuación (3) usando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas x = x = x = x = x1
=
x1
=
26
q
(26)2
4(22)(140)
2(22) p 26 676 + 12320 44 p 26 12996 44
26 114 44 26 + 114 = 2 44 26 114 = 35 44
11
tomamos para x el valor entero y positivo, 2; y lo sustituimos en la ecuación (1) y y
x 2 y y
= = = =
2 (1 (1) 2 2+2 4
Así el número buscado es 10x 10x + y = 10 (2) + 4 = 20 + 4 = 24
49
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67. Si x < y y z es un número real diferente de cero, entonces la proposiciòn
falsa es: 2
2
a) ( z ) x < ( z ) y
b) 1 + z 2 x < 1 + z 2 y
c) z 2 x > z 2 y
d)
1
z2
x<
1
z2
y
Nótese que en el inciso c) z está al cuadrado, así que este valor (z 2 ) siempre será positivo, luego x < y; z 2 > 0
entonces por propiedades de las desigualdades se cumple que z 2x < z 2 y
de donde c) resulta der falsa. 68. Si x > 1; entonces se cumple que:
a)
p x2 + x + 4 > x + 2
b)
p x2 + x + 4 = x + 2
c)
p x2 + x + 4 < x + 2
Tomando a) y eliminando el radical obtenemos
p
x2
+x+4
2
> (x + 2)2
x2 + x + 4 > x2 + 4x 4x + 4 x > 4x
como x > 1 esto no puede ser. Tomando b) y eliminando el radical obtenemos
p
x2 + x + 4
2
= (x + 2)2
x2 + x + 4 = x2 + 4x 4x + 4 x = 4x
por el mismo razonamiento b) tampoco es posible. Del mismo modo para c)
p
x2 + x + 4
2
< (x + 2)
2
x2 + x + 4 < x2 + 4x 4x + 4 x < 4x
Gracias a la condición x > 1; c) si es posibles. Evidente Evidentemen mente te d) es absurdo. 50
d) x = 0
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69. Si 0 < x < 1, entonces se cumple la relación a)
1 x
<1
b)
1 x
>
1
x2
c)
1 1+x+x2
<
1 1+x
d)
1 x
=
1
x2
Partiendo de la desigualdad dada como hipótesis tenemos 0 < x< 1 x2 < x 1 + x2 < 1 + x
al agregar x sólo al lado izquierdo de la desigualdad, entonces el signo se invierte 1 + x + x2 > 1 + x
luego tenemos que 1 + x + x2 1 + x + x2
>
1 > 1 1+x 1 1+x 1 1 + x + x2
> > <
1+x 1 + x + x2 1+x 1 + x + x2 1+x 1 2 1+x+x 1+x 1 o 1 + x + x2 1 1+x
51
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70. Al resolver la ecuación
p p
2 + x = x; se obtiene que el valor de x es:
2
Primero eliminamos los radicales de la ecuación
q p p p 2
2
= x2
2+x
2 + x = x2
2
2+x
x4
4x2
2
x2
=
x + 2 = x4 x+2 = 0
2
2
4x2 + 4
De lo que resulta una ecuación de cuarto grado. Tengamos presente el siguiente teorema Theorem 3 Si el polinomio f ( f (x) = an xn + an1 xn1 + an2 xn2 +
+ a0
tiene coe…cie coe…cientes ntes enteros enteros y c=d es un cero ero racional acional de f ( f (x) tal que c y d no pose posean an un factor factor primo primo común, omún, etonc etonces i) el denominador denominador c del cer cero es un factor común del término constante a0 , ii) denominador d del cero es un ii) el denominador factor del coe…ciente coe…ciente inicial an :
Para la ecuación que nos ocupa tenemos opciones para el denominador c opciones para el numerador d opcines para c=d
1; 2 1 1; 2
Al efectual la división por el factor x + 1; 1; resulta la descomposición x4
x3
4x2 x + 2
x2 3x + 2
=
x3
(x + 1) = 0
x2 3x + 2
de donde una raiz de la ecuación es x+1 = 0 x = 1
de forma análoga resolvemos la ecuación cúbica
x3
x2 3x + 2 52
=0
(x + 1) = 0
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al dividir por el factor x 2; resulta la descomposición de donde otra raiz es
x2 + x
x
1
(x
2) = 0
2
= 0 x = 2
…nalmente resolvemos la ecuación cuadrática x2 + x
1
= 0
x = x = x1
=
x2
=
1
p
12 4(1)( 1) 2(1)
1 p 5 2 p 1 + 5
p
1 5 + 2 2 1 5 2 2
= p 1 5 = p 2 2
53