ALGEBRA 4to.pdf

Índice Unidad I

Capítulo 1

Teoría de exponentes - Ecuaciones exponenciales

5

Capítulo 2

Grados y polinomios

11

Capítulo 3

Productos notables

17

Capítulo 4

División algebraica I

23

Capítulo 5

División algebraica II

30

Capítulo 6

Factorización I

36

Capítulo 7

Factorización II

42

Capítulo 8

Fracciones algebraicas

48

Capítulo 9

Repaso I

54

Unidad II

Capítulo 10

Radicación algebraica

60

Capítulo 11

Factorial - número combinatorio

66

Capítulo 12

Binomio de Newton

72

Capítulo 13

Números complejos

78

Capítulo 14

Ecuaciones de primer grado

84

Capítulo 15

Ecuaciones de segundo grado

90

Capítulo 16

Ecuaciones polinomiales

96

Capítulo 17

Repaso II

102

Unidad III

Capítulo 18

Matrices

108

Capítulo 19

Determinantes

115

Capítulo 20

Sistema de ecuaciones

121

Capítulo 21

Desigualdades e inecuaciones lineales

127

Capítulo 22

Inecuaciones polinomiales fraccionarias

133

Capítulo 23

Inecuaciones irracionales

139

Capítulo 24

Relaciones binarias

144

Capítulo 25

Repaso III

150

Unidad IV

Capítulo 26

Funciones I

156

Capítulo 27

Funciones II

162

Capítulo 28

Progresión aritmética (P.A.)

169

Capítulo 29

Progresión geométrica (P.G.)

174

Capítulo 30

Logaritmos I

180

Capítulo 31

Logaritmos II

186

Capítulo 32

Repaso IV

192

Capítulo

1

TEORÍA DE EXPONENTES ECUACIONES EXPONENCIALES LA CALCULADORA VOYAGE 200 VIRTUAL DE TEXAS En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos, además de una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos. Asimismo, en 1489 el matemático alemán Johann Widmann dÉger inventó los símbolos "+" y "–" para sustituir las letras "p" y "m", que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) La famosa calculadora Texas Instruments ahora llega en su v ersion virtual, y con miles de y minus (menos), empleadas para librerías. Características: Herramienta Personal Educativa para estudiantes universitarios matemáticas, ciencias y estadística • Su Sistema Algebraico Computacional representar la suma y la resta. Luego, de ingeniería, (CAS) permite investigar las matemáticas y ciencias utilizando notación algebraica, gráficos, tablas, matrices y otros recursos. en 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día. Este símbolo era una forma estilizada de la letra «r» de radical o raíz. http://alerce.pntic.mec.es/jjir0003/1cmas/Algebra/polinomios.pdf

En este capítulo aprenderemos .

.

www.trilce.edu.pe

Exponentes y radicales -

Denición matemática

-

Teoremas y propiedades

Ecuaciones exponenciales -

Denición matemática

-

Reglas prácticas de resolución

Cuarto año de secundaria 5

1

Capítulo

Síntesis teórica

TEORÍA DE EXPONENTES

Exponente

Nulo

Operaciones

Radical

Ecuaciones exponenciales

Negativo

Multiplicación

Exponente fraccionario

Resolución

División

Operaciones

Bases iguales

Potenciación

Multiplicación

Analogías

División

Logaritmos

Potenciación

Radicación

Colegios

TRILCE 6

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 1. Efectuar:

4. Completar:

a) x2 .x3

= ...........

b) (x4)3 =...............

c) x21 ÷ x10 = ..........

d) x5 = ................

2

b) x

c) 3–3=...........

d) 2–2=...........

2

2. Efectuar: a)

– 12 =...........

a) x 3 =...........

5. Resolver:

9 . 16

= ............. b) 3 8 . 3 27 =.............

c) 4 16.81= ..............

d)

3 27 8

a) 2x = 4

=..............

b) 3x+2=312

→ x =

3. Reducir:

→ x =

c) x(x–2) = 0

a) (–2)0+20 = ............. b) -10 +10 =...........

'

c) (2012)0 – 20120 = ..... d) 21 +12 =.............

d) (x+1)(x–2) = 0

'

x1 = x2 =

x1 = x2 =

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: x3.x7.x10.x2 4 3

A

3. Completar: x6

x

B

x22

(x2)3)4

C

x24

x4 ÷x–2

D

A. (25 + 3 8 – 623)0

=

...........................

B. 34 + 33 + 32 + 31 =

...........................

C. (x2)3. (x3)4. (x2)5

=

...........................

=

...........................

D.

4

3

5

7

8

2 .2 .2 .2

6

2 .2

24 x

4. Reducir: 2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la teoría de exponentes y las ecuaciones exponenciales:

S=

4

x+ 2

4

x

+4 x

x A. 52 =25 → x=4 .......... .........................( ) 5. Reducir: 5 B. 4x = 64 → x=6 ............ .......................( ) ( 3 3 2 2) 2 M = x y5 2x y4 3 (x ) (y ) C. 33+33+33=34.......... ............................( )

–1

D.

` x1 j

–1 + 1 =x+y ...............................( y

www.trilce.edu.pe

c m

)


1

Capítulo

Aprende más 1.

Relacionar correctamente: 4 2

3 2

(x ) (x )

4

B

2x=5 → 2x+1= .8 x

x

...

8

x

1 4 4 4 24 4 4 3

8 veces

2.

x

C

x2

D

10

x

3

c)

x

22 x2

(225) 2n + 3 .225 52n + 3 .52 .4 + 52n + 3 .53

a) 45 d) 5

3

x

......................................( )

x ...

3

x

x

1 4 4 4 4 4 4244444 4 3

b) 25 e) 1

c) 15

j6=x25 ..............(

)

x+ 4 x+ 3 x+ 2 x+ 1 x S = 7 x –4+ 7 x–3 + 7x–2 + 7x– 1 + x7 7 +7 +7 +7 +7

a) 49 d) 16 807

b) 343 e) 4096

c) 2401

8. Reducir:

10 veces

3 4

C.

24 12

x

=x2y.....................................(

y

3. Completar: -1

A. Si: E=` 1 j

-1

+

x

` x1 j

` x1 j

2

x .

3 x

2

.

3

2

x .

3

81 80

2

x

b) x2 e) x–1

a) x d) xx – 1

m

c) xx

9. Reducir:

-1

+...+

c

S= 3

)

2x+3=512 → x=9 ...............................( )

D.

1 5

7. Reducir:

A. ((x2)2)2 =

`

1 5

2n+3

Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la teoría de exponentes y las ecuaciones exponenciales:

B.

b) 5 e) – 5

6. Calcular:

2

1 2

–

1

A

x12

8

a) 1 d) –

E =

→

–n n

" –n – n nn) n @ , R = n –6n1 1(– n n ; n ≠ 0 "6n (n n) n @ ,

1 4 4 4 4 4 4 42444444 4 3

20 veces

B. Si: 36x = 216 → x =

b) n2 e) 1

a) n d) n–2 C. Si: M =

3 4

x96

M =

→

10. Encontrar "x" en: 26x + 1 + 43x + 1 + 82x + 1 = 3584

D. Si: xx = 256 → x =

a) 2 d) 4

4. Reducir: E=

(x2) 4 (y 3) 2 (x 3) 3 (y4) 2 (x4) 2 (y3) 5 (x2) 6 (y2) 2

x3y5

b) e) 1

; x, y ≠ 0

c m 1

125

11. Hallar "x", si:

–1 –2 –9

b) 3 4 e) 1

c)

–32x –9 8 =

1 2

1 2

c) 51 3 x y

a) –5

5. Simplificar: K=

3

x5y3

a) d) x–3y–5

c) n–1

d)

1 3

b) – e) –

1 5

c)

1 5

1 4

Colegios

TRILCE 8

Central: 6198-100

Álgebra 12. Calcular el valor de "x6" en: 1

6

xx = 12

2

a) 2 d) –

14. Una raza especial de conejos se reproduce de tal manera que cada pareja da lugar a dos machos y dos hembras después de 25 días de

1

b) 1

c)

4

gestación. Suponiendo que cada pareja solo se

1

cruza una vez,¿cuál es la población generada por una pareja después de 125 días?

2

e) - 2

2

15. Un padre decide dar como propina a sus tres

13. Indicar el valor de "x" que verifica: n

xx =

hijos las siguientes cantidades: S/.4 x, S/.2x+1 y S/.8x . Si el monto repartido fue de S/.88,

4

n

x

¿cuánto le tocó a cada uno?

a) 2–n

b) 2n+1

d) n

e)

c)

2 n

n 2

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: (x3) 5 (x2) 3 x16

– 13

8

3x=7 → 3x+1= 9

9x x

3. Completar: A. Si: E= x –1 + x –1 + ... + x – 1 → E=...............

1

A

2

B

x5

C

x

1 4 4 4 4 424444 4 3

10 veces

B. Si: 25x = 625 → x= ...............

C. Si: M =

9x ...

D

1 4 4 4244 4 3

9 veces

3

3

x36 → M= ...............

21 D. Si: x x = 27 → x= ...............

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la teoría de exponentes y las ecuaciones exponenciales: 4. Reducir: 44

A. ((x4)4)4=x4 .......... ( ) B. C.

e 5

x

4

x

x

4

x ...

x

4

x

1 4 4 4 4 424444 4 3

8 veces

20 10

x

y

8

S=

o =x

18............(

=x4y2............( )

D. Si: 3x–2=81 → x=6............( )

)

(x4) 2 (y3) 2 (x2)4 (y3)3 (x2) 4 (y2) 3 (x2)2 (y3)2

5. Efectuar: M=

–0,5 –9–4 –27 8

6. Simplifique:

E=

m+ 1 2m + 1 m 2m .5 –2 .5 m 2 3

2 .5

www.trilce.edu.pe

m

+5

m

; m ≠ 0


1

Capítulo

7. Reducir: K=

11. Hallar "x" en: x+ 1

3

+ 3

x 1

– 3

x+ 2

+ 3

x 2

–

+ 3

x+ 3

+ x

x 3

–

+ 3

+ 3

x+ 4

x 4

–

+ 3

+ 3

45

–2x–1 =

1 5

x

x

1

12. Indicar "x" que verifica:

x

x4

=

8. Reducir: 27

13. Indicar "x", que verifica: xx =

M= ` 3 x2 . 3 x2 . 3 x2 j . x–25 9. Reducir: S=

–n2

2

x

>

n n

n

n

n

x' x ' x '

nx

9 1 3

14. Una raza especial de conejos se reproduce de tal manera que cada pareja da lugar a dos machos y dos hembras después de 30 días de

H

n

x x xnx

1 2

gestación. Suponiendo que cada pareja solo se

cruza una vez,¿cuál es la población generada por una pareja después de 120 días?

10. Si: 2 x + 2x – 1 + 2x – 2 + 2x – 3 + 2x – 4 = 1984

15. Un padre decide dar como propina a sus dos hijos las siguientes cantidades: S/.3 x+3 – 3x+2 y S/.3x+1 – 3x. Si el monto repartido fue de S/.60 x, ¿cuánto le tocó a cada uno?

hallar: x

Tú puedes

;n Simplificar: P =

n+1

1.

a) 1

`n

n

5n n

n – (n n n

jE

b) n

>

2. Simplificar: J =

a) a

1+a2

2

a+ a

2

– 32

= 2–2

c) a + 1

d) a2

e) aa

nn n

x

3

5

x

x

x

7

...

2n 1

x

–

, se obtiene como exponente de "x" a:

b)

c) 18

d) 20

e) 25

; indicar: x + 1

2

b) –1/3

4

c)

3

5. Calcular xx , luego de resolver: a) 1/3

e)

H

b) 13 x+1

2

n d) n

m

4. Resolver: xx 3

c) nn a

b) 1

a) 10

a)

– 1

(a + a) 2 a 1+a2 a . 1+a aa

3. Calcular "a2 + b2", si al reducir: a a – bn + n

c

n)5

x-

1 x x -

3

d)

1 3

e)

1 2

18

=3

c) 1/9

d) –1/9

e) 1/27

Colegios

TRILCE 10

Central: 6198-100

Capítulo

2

GRADOS Y POLINOMIOS DESCARTES Y VIETE Y SUS NOTACIONES ALGEBRAICAS El uso de los polinomios tiene sus antecedentes en la resolución de ecuaciones algebraicas; el estudio de ecuaciones sencillas es muy antiguo, puesto que se conocen problemas propuestos en papiros y tablillas de las civilizaciones griega y babilónica. El simbolismo usado en los polinomios y ecuaciones se ha ido René Descartes Francois Viéte elaborando a lo largo de la historia y no tomó su forma actual hasta el siglo XIX. En 1591, el matemático francés François Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda: representaba a las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes. En 1637, el matemático francés René Descartes fusionó la Geometría y el Álgebra inventando la "Geometría analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas: x, y, z. Introdujo también la notación exponencial que usamos hoy en día. http://alerce.pntic.mec.es/jjir0003/1cmas/Algebra/polinomios.pdf

En este capítulo aprenderemos

www.trilce.edu.pe

.

Expresiones algebraicas

.

Polinomios

.

Teoría de grados

.

Polinomios especiales


2

Capítulo

Síntesis teórica

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Notación

Grados

Variables • Constantes o parámetros •

Monomio

Valor numérico

Polinomio

•

G. Absoluto

•

•

G. Relativo

•

Reglas para calcular grados en operaciones

G. Absoluto G. Relativo

Suma coeficientes • Término independiente •

Monomios

Polinomios

Colegios

TRILCE 12

Central: 6198-100

Álgebra


4.

a) xm . xn = ........ c)

n

xm =............

b) xm ÷xn =.......... d) m n x =............

2. Efectuar:

3

6

8

x .x .x

2

• Variables: .................................... • Constantes: ................................. • Mayor exponente de "x": ........................

a) x4 .x6. x13= ....... b) ((x4)3)2=........... c)

En: Q(x;y;z) = 2ax3y6 - 6x5z6y7 - 219x6y9z12

5

=......... d)

3 4 24 12 x y

=.......

• Mayor exponente de "y": ........................ • Mayor exponente de "z": ........................

x .x

5. Si: P(x) = 4x2 – 3x + 2; calcular:

3. Completar: Coeficiente Parte literal A(x;y)=2005x6y7 T(x;y)=3ax4y6

P(2) = __________

P(–1) = ___________

P(0) = __________

P(1) = ____________

P(x;y)=219a2b3x6y7

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: P(x;y)=5x2y5

A

P(x)=x2+x+2

B

P(x;y)=2x2y5+3x3y4

C

P(x)=2x3+4x+1

D

3. Completar: GA=7 GR(x)=3 Polinomio cúbico GA=7 GR(x)=2 Polinomio mónico

2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto a los polinomios: A. En: Q(x;y)=58xn–3 y; si: n=4 → GA=9..( ) B. Si: Q(x;y)= 25x4y5z6 →

GR(z)=6 ...........( )

A. Un polinomio es .................. cuando sus términos tienen el mismo grado absoluto. B. Sea: M(x;y;z) = 3a 2b3x4y9z13 • G.R.(x) = • G.R.(y) = • G.R.(z) = • G.A.(M) = C. Sea: P(x;y) = 3x 3y2 + 5x5y • G.R.(x) = • G.R.(y) = • G.A.(P) = D. Si un polinomio se anula para todo valor de la

variable, el polinomio se llama......................

4. Dado el polinomio (exponentes de sus variables n n C. El polinomio: P(x;y) = – es enteros positivos): x2 + x3 + x3 ; (n ≠ 0) , el homogéneo .......................................... ( ) mínimo entero "n" que cumple es: D. El polinomio: P(x)=x4+x3+x2+1 es ordenado y completo ....................................... ( ) 5. Si el polinomio es completo y ordenado en forma creciente: P(x) = pxm–7 + nxn–1 + mxp–4 hallar: m . n . p 4x2y3

www.trilce.edu.pe

3xy4


2

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente: P(x)=2x4+5x2+3x

A

P(x)=x2+x3+x+5

B

P(x;y)=2x2y5+3x3y4

C

P(x;y) ≡ Q(x;y)

D

a) 15 d) 18

Polinomios idénticos Polinomio ordenado Polinomio completo Polinomio homogéneo

c) 17

7. El polinomio: P(x;y;z)=xm–nyp–mzn+6+xm–2nyp+3nzn+4+xm+3nyp–2mzn+2

contiene término independiente para cada una de sus variables. Halle: G.A.(P) + G.R.(x) + G.R.(y) + G.R.(z)

2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto al polinomio: P(x;y)=xmyn+xm+1yn–1+xm–1yn+2 A. Si: GR(x)=10 → m =9 ............................( B. Si: GR(y)=12 → n =12 ...........................( C. Si: GA=15 → m+n =14 ........................( D. Si: m=3, n=5 → GA =9 ........................(

b) 16 e) 21

a) 38 d) 24

b) 36 e) 28

c) 40

8. Dados los polinomios "P" y "Q" de los que se ) conoce: ) ) G.A. `4 PQ j = 3 ) G.A. (P3 ÷ Q) = 4

3. Completar:

¿Cuál es el grado de "Q"?

A. El polinomio: P(x;y)=2x4y5+5x6y3+3x2y7 a) 2 b) 4 c) 6 es un polinomio..................... d) 8 e) 10 B. El polinomio: P(x;y)=x100+2x50+3x10+4 es un polinomio..................... 9. Dado el polinomio homogéneo: C. El polinomio: P(x;y)=2x4+5x3+4x2+5x+2 P(x;y)=5x3a+2by4 – x2ayb+7+xa–1ya–3b es un polinomio..................... D. Si los polinomios: ax 2+bx+c y mx2+ nx+p Calcular: G.A.(P) + ab son identicos → a=.....; b=.....; c=..... 4. Dado el polinomio: P(x;y) = xm+2yn–1 + xm+6yn – xm+4yn+4 Si el G.R.(x) = 20 y el grado absoluto es igual a

40, calcular el G.R.(y). a) 22 d) 24

b) 20 e) 28

R(x) = a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

b) 2 e) 5

c) 3

10. Si el siguiente polinomio de 14 términos es

completo y ordenado: P(x) = xn+4+...+xa – 1+xa–2+xa–3

c) 18

5. Indique el grado de "R", sabiendo que: n–1 11 – n 2 x +3x 3 +

a) 1 d) 4

219 es un polinomio. c) 3

6. En el polinomio: P(x;y)=4xm+n–2ym–3+8xm+n+5ym–4+7xm+n–6ym+2 Se verifica que la relación entre los grados

relativos de "x" e "y" es 2; y además el menor exponente de ‘‘y’’ es 3. Hallar su grado absoluto.

Calcular: a + n a) 3 d) 16

b) 9 e) 12

c) -4

11. Calcular "A + B + C", si: (x+1)[A(x+2)+B(x–2)–3x]+15x≡(x–2)[3x+C(x+2)] Se verifica para todo "x".

a) 20 d) 23

b) 21 e) 24

c) 22

12. Si "P(x)" es idénticamente nulo, hallar "a - b" en:

P(x–a) = b(x+2)+a(x+3)+2

Colegios

TRILCE 14

Central: 6198-100

Álgebra a) – 1 d) – 4

b) – 2 e) – 5

c) – 3

14. Las aulas del colegio TRILCE tienen losetas de colores: "A" , "B" y "C" de forma cuadrada (de dimensiones: "x" , "y", "z" respectivamente); y de colores: "D" y "F" de forma rectangular (de dimensiones: "a", "b" y "c", "d" respectivamente) que conforman un área de: 2A+3B+2C+D+F . ¿Cuál es el área total?

13. El siguiente polinomio: P(x)= 5x3a–9+10xa+b–3+20(x2)4b–c+a es ordenado de forma creciente y completo.

15. El sueldo "S 1" y "S2" de dos profesionales

Calcular: ab + bc + ac a) 15 d) 27

b) 20 e) 29

depende del número de semanas "x" que laboran y está dado por: S1: (a – 4)x4 + 12x2 – (b – 2) S2: 12x4 + (c – 2)x2 – 10

c) 22

Si ambos profesionales trabajan tres semanas y

perciben la misma cantidad, hallar "a+b+c" y cuál será su sueldo.

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: P(x;y)=x3+7+x2+4x

A

P(x;y)=3x3y6+8x2y7

B

A(x;y) ≡ B(x;y)

C

P(x)=4x6+8x3y+6x

D

5. Indique el grado de "P", sabiendo que: Polinomios idénticos Polinomio ordenado Polinomio completo Polinomio

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al polinomio: P(x;y) = xayb + xa+1yb–1+xa–1yb+3 A. B. C. D.

Si: GR(x)=14 → a =13 ........................( Si: GR(y)=15 → b =12 ........................( Si: GA=20 → a+b =15.......................( Si: a=5; b=6 → GA =13.....................(

) ) ) )

3. Completar:

P(x) = x

n–1 3 +

3x2n–3 + 219x5–n+2012

es un polinomio. 6. Si el grado absoluto de:

P(x;y) = x2ay3b+1+7xay3b–1–5xay3b–3 es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables, calcular: G.R.(y)

7. En el siguiente polinomio: P(x;y) = 5xn+3ym–2z6–n + xn+2ym–3zn+m Donde: G.R.(x) – G.R.(y) = 3 ∧ G.A.(P) = 13 Calcular: 2m – n. 8. Si: P(x) es de 5to grado.

Q(x) es de 4to grado. R(x) es de 3er grado.

(P4 – Q3) R A. El polinomio: P(x;y)=9x8y5+4x6y7+8x2y11 Hallar el grado de: es un polinomio ..................... P.Q (P – Q) 2 B. El polinomio: P(x) =3+x10+x15+2x20 es un polinomio ..................... 9. Si el polinomio: C. El polinomio: P(x) = x3+ 2x2+ 9x +1 es un P(x;y) = axa+3 – abxa–1yb+2+2byb+8 polinomio ..................... D. Si los polinomios: px2+qx+r y mx2+ ax+f es homogéneo, la suma de sus coeficientes es: son idénticos → p=.....; q=.....; r=.....

4. Dado el monomio: M(x;y)=(3n+1)x6n–5y2n+3 Se tiene: G.R.(x) = G.R.(y)

Calcular: G.A.(M) + coeficiente (M)

www.trilce.edu.pe

10. Si el polinomio: 0

P(x)=3xp–n–5–4xn–m+3+7xm–6+x2+(m+p)

Es completo y ordenado. Calcular: (m + n + p)


2

Capítulo

11. Hallar "a + b + p" en:

14. Las aulas del colegio TRILCE tienen losetas de colores: "P", "Q" y "R" de forma cuadrada a a 5 b 3 5 3 (a – 2)x +(b – 3)x +(p – 7)≡14x +24x +10 (de dimensiones: "a" , "b" y "c" respectivamente); y de colores: "M" y "N" de forma rectangular (de dimensiones: "x", "m" y "c" , "n" 2 2 2 12. Se tiene: (a – 4)xy – (20 – b)x y+ax y ≡ 0 respectivamente) que conforman un área de: 5P+3Q+2R+M+N . ¿Cuál es el área total? Determinar: ab . 15. El sueldo "S 1" y "S2" de dos profesionales 13. Si el polinomio:

P(x) = mxp – 8+nxm–4+pxn+5+qxq – 2 es completo y ordenado en forma descendente, calcular la suma de coeficientes.

depende del número de semanas "x" que laboran y está dado por: S1: (n+1)x5 + 10x2 + (p+1) S2: 8x5 + (m –2)x2 + 11

Si ambos profesionales trabajan tres semanas y

perciben la misma cantidad, hallar "m+n+p" y cuál será su sueldo.

Tú puedes x–25 12

1. Si la expresión: E(a;b)= a

.b

y+3 48

es de cuarto grado con respecto a "a" y de sexto grado absoluto, el

valor de (x – y) es: a) 28

b) 29

c) 31 (b–4)

2. Dado el polinomio: P(x;y) = 2xa

2(b – 4)

– 3ya

d) 32 (b – 4)

– (xy)a

e) 35 (b – 4)

+4y4+a

, donde "a" y "b" son números naturales. Si la suma de los grados absolutos de los términos del polinomio es (a 2 + 2)2, el valor de "b" será: a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

3. Si el polinomio: P(x) = (x2+x+3)(a – b)+(x2+x+4) (b – c)+(x2+x+5) (c – a) es idénticamente nulo,

el valor de: [(b + c) ÷ a] es: a) 1

b) -1

c) 2

d) -2

e) 3

4. Si el polinomio: P(x;y)= 3 xm–2yn–1(x7+y2n–3) es un polinomio homogéneo cuyo grado de homoge-

neidad es 16, hallar "mn". a) 30

b) 20

c) 35

d) 41

e) 45

5. Un polinomio "P(x)" de tercer grado, cumple con la siguiente condición: P(x) – P(x – 1) ≡ 2x(3x + 2). Hallar el coeficiente de "x" en el polinomio "P(x)". a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Colegios

TRILCE 16

Central: 6198-100

Capítulo

3

PRODUCTOS NOTABLES PENSAMIENTO MATEMÁTICO El pensamiento matemático es la capacidad que nos permite comprender las relaciones que se dan en el mundo circundante y la que nos posibilita cuantificarlas y formalizarlas para entenderlas mejor y poder comunicarlas. El desarrollo de los procesos cognitivos en el campo de la Didáctica de la Matemática es capaz de ayudar en la percepción geométrica de los productos notables y de la media geométrica, los cuales se deben realizar coordinando cierta caracterización, en donde el proceso cognitivo de visualización está íntimamente relacionada con la forma geométrica de la figura; es decir, su configuración y el razonamiento se basa en aplicar las afirmaciones matemáticas que les corresponda algebraicamente, tomando en consideración la noción de área. La coordinación de estos procesos cognitivos permitirá construir desde una perspectiva geométrica las fórmulas usadas en algunos productos notables como son el cuadrado de una suma y de una diferencia. Así mismo, se tomará en cuenta las nociones de área para la acepción geométrica tanto de los productos notables como de la cuadratura del rectángulo o la cuadratura del triángulo, las cuales son llamadas muchas veces media geométrica. http://www.sinewton.org/numeros/numeros/71/Articulos_02.pdf


www.trilce.edu.pe

.

Denición

.

Formas generales

.

Identidades auxiliares

.

Igualdades condicionales


3

Capítulo

Síntesis teórica

PRODUCTOS NOTABLES

Binomio al cuadrado

Identidades Legendre

Complementarias

Si: x+y+z=0

I. x2 + y2 + z2 I. (x2n+xn+1)(x2n–xn+1) II. x3 + y3 + z3

Diferencia de cuadrados II. (x+y+z)(x2+y2+z2–xy–xz–yz) Binomio al cubo III. (x+a)(x+b)(x+c) Suma o diferencia de cubos

2 binomios con término común

Colegios

TRILCE 18

Central: 6198-100

Álgebra


4. Efectuar:

a) (x2y7)(x3y4)

= ...................

a) (x+1)(x+1)

b) (x6y5) ÷ (x2y3)

= ...................

b) (x – 1)(x – 1) =................................

c) (–5x2)(+2x3)

= ...................

c) (x+2)(x – 2) =................................

d) (–3x2y3) ÷ (–3xy2) = ...................

d) (x+3)(x – 3) =................................

=................................

2. Reducir: a) –5x2 +4x2–10x2

= .................

b) 3xy+4xy – 6xy

= .................

=.................................

c)

4x3+5x3 –

a) (2x+1)(x2)

= .................

=.................................

d)

4x2y+7x2y

b) (3x+2)(x2)

= .................

c) (2x+1)(x – 1) =.................................

2x3 –

2x2y

3. Efectuar:

5. Efectuar:

d) (3x+1)(2x+1) =................................

a) x (x+y)

= ................

b) x (x – 1)

= ................

c) x2 (x2 +1)

= ................

d) x3 (x3 – y3) = ................

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: (x+y)(x – y) (x–y)(x2+xy+y2) (x+y)2 (x+y)(x2–xy+y2)

A B C D

3. Completar: x2+2xy+y2 x2 – y2 x3–y3 x3+y3

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a los productos notables: A. (x+y)2 – (x – y) 2 = 0 ........................... ( )

A. (x + a)(x +b) = ................................... B. (x + a)(x +a) = ................................... C. (x + y)3

= ....................................

D. (x + y + z)2 = .................................... 4. Reducir: (x - y)(x + y) (x2 + y2) + y4

B. (x+y)2 = x2 + y2 ............................... ( ) C.

x2

-

y2

= (x – y)(y +x) ........................ ( )

5. Si: x + y + z = 0, calcular: 3

D. (x+y)2 + (x – y) 2 = 4xy .....................( )

www.trilce.edu.pe

M=

3

x +y +z

3

xyz


3

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente: 2(x2+y2) 4xy xy=6 x+y+z=0

7. Hallar el valor numérico de: P(x) = (x + 1)(x – 1)(x4 + x2 + 1)

(x+y)2+(x – y)2 x3+y3+z3=3xyz (x+y)2 – (x – y) 2 (x – 2)2+(y – 3)2=0

A B C D

Para: x =

4 + 15 + 4 –

a) 666 d) 999

15

b) 444 e) 333

c) 111

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a los 8. Hallar “n”: productos notables: 8 (13) (85) (74 + 6 4) (78 + 6 8) + 616 = 7n–3 A. (x – y)3 = x3 – y3 – 3 x y (x – y) ............( ) B.

a) 4 d) 8

(x – y )(x+ y )=x – y .......................( )

b) 6 e) 5

c) 7

9. Hallar el valor numérico de: C. (x – 2)4 (x + 2)3 = (x2 – 4)7 ..................( ) (x+1)(x2 – x+1)(x6 – x3+1)(x9 – 1) – x18+1 para: x = 2012 D. x2 + y2+ z2=2(xy+xz+yz)..................( ) a) 0 d) 1

3. Completar:

c) 201218

b) 2012 e) 2012!

A. (x + y)2 +2(x + y) + 1= .......................... 10. Si: a + b + c = 0, calcular: M=

B. ( x + y )( x – y ) =............................. C. Si: x+y+z=0 → x3+y3+z3 ......................

D. (x + y)3 = ................................................. 4. Reducir: P=( a) 2 d) 40

a) 3 d) –2

a) 9 d) 6

c) 20

6. Si:

a)

x y

b) 51 e) 60 +

3 11

d) 2

y x

= 2; calcular: b)

11 3

c) 4

b) 2 e) 1

c) 4 2

12. Si: x2 – 5 x + 1 = 0; calcular:

5. Si: a + b = 4 ∧ ab = 1 hallar: S = a3 + b3

a) 52 d) 49

b) –3 e) 16

11. Hallar el valor numérico de: E = (a2 – b2) [(a2 + b2)2 – a2b2] Para: a3 = 2 +1 ∧ b3 = 2 – 1

7 + 3 ) 2 +( 7 – 3 ) 2

b) 10 e) 16

(a + b) 3 + (b + c) 3 + (c + a) 3 (a + b) (b + c) (c + a)

M = x4 + x2 + c) 50 8x4 y + 3xy4 x5 + 2y5

c) 1

a) 10 d) 13

1 2

x

+

1 4

x

b) 11 e) 14

c) 12

13. Si: x = 4 8 ∧ y = 4 2

Calcular:

a) 2 d) 3 2

e) 1 11

=

4

(x + y) – (x – y) x2 + y2

b) 4 e) 2 2

4

G

1 2

c) 3

Colegios

TRILCE 20

Central: 6198-100

Álgebra 15. Un padre decide poner a prueba la habilidad Largo= x+1, Ancho=x+2 y Altura=x+3 ; matemática de sus hijos Edú y Mathías, para lo para lo cual utilizamos papel de colores. ¿Cuál cual entrega sus propinas en dos sobres cuyos es la mínima cantidad de papel que necesitamontos están escritos de la siguiente manera: mos para forrarlo? Edú → ( 3.5.17.257 + 1) 256 Mathías → 41282 - 41272 ¿Cuánto le tocó a cada uno?

14. Se desea embalar una caja de dimensiones:

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 2(a2+b2) 4ab ab=15 a+b+c=0

9. Multiplicar: S = ^8 2 + 1h^ 8 2

(a+b)2+(a–b)2 a3+b3+c3=3abc (a+b)2 – (a – b)2 (a–5)2+(b–3)2=0

A B C D

10. Si: a + b + c = 0, reducir: S=

2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto a los productos notables: b)3 = a3

b3

A. (a + + – 3 ab(a+b) ...........( B. (a – b )(a + b )=b – a .........................( C. (a – 2)4 (a + 2)4 = (a2 – 4)8 ................... ( D. a2 + b2 + c2 = 3abc ............................ (

4

– 1h^ 2 + 1h^ 2 + 1h^ 2 h

) ) ) )

3. Completar:

c

2

2

2

a b c + + bc ac ab

mc

2

2

2

2

a + ab + b b + bc + c

m

11. Obtener el valor de: S = (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4) (a – b) + 2b8

Para: a =

2 +1

∧ b=

2 –1

12. Si: a + a– 1 = 3, calcular:

M = a–3 + a–2 + a–1 + a0 + a1 + a2 + a3 A. (a+b+c)2+2(a+b+c)+1= ......................... B. ( a + b ) ( a – b ) (a + b)=........................ . 4 4 C. Si: a + b + c =0 →3abc = ........................ 13. Hallar el valor numérico de: (x + y) –(x–y) 2x2 + 2y2 D. (a – b)3 = ..................................................... Para: x = 3 4 , y = 3 16

4. Simplificar:

2

S=

c

x

+

y

y x

2

m c –

x y

–

y x

m ; x,y ≠ 0

5. Si: a + b = 4 ∧ ab = 1

Hallar: P = (a2 + b2)2

6. Si: (x + y)2 = 4xy

Calcular:

3x + y y

7. Reducir: S = (x + 1) (x – 1) (x4 + x2 + 1) Si: x = 3 + 8 + 3 – 8

8. Calcular el valor de: 32

S=

1 + 3 (22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) (216 + 1) (232 + 1) (264 + 1)

www.trilce.edu.pe

14. Se desea embalar una caja de dimensiones:

Largo= x –1, Ancho=x +1 y Altura=x+4 ; para lo cual utilizamos papel de colores. ¿Cuál es la mínima cantidad de papel que necesitamos para forrarlo? 15. Un padre decide poner a prueba la habilidad matemática de sus hijos Paolo y Diego para lo cual entrega sus propinas en dos sobres cuyos montos están escritos de la siguiente manera: Paolo → ( 2.4.10.82 + 1) 81 Diego → 1222 – 1212 ¿Cuánto le tocó a cada uno?


3

Capítulo

Tú puedes 3 3 1. Simplifique: 9 (a + b ) - 23(a + b), si se sabe:

ab

a) 1

b) 2

2

c) 8

2. A partir de la siguiente relación:

a) 2

2

a +b 8 = 4ab 9

d) 0

4 1 1 + a-3 b +3

b) 4

= a + b, reducir:

c) 1

e) 9 216 +18ab

b) 2

3

d) 3

3. Si se sabe que: (a + b - 3)2 = (a - b)2 + 3 ; calcular el valor de: A =

a) 1

3

a –b

c) 3

e) - 4 2ab a + b –1

d) 4

e) - 2

2- 3

d) 2 +3

e)

3

d) 3 2

e) 5 3 3

4. Si: a = 5 - 2

b = 2 - 3 calcular el valor de: 12 2 (a

3

a) 5+ 2

–b3) (a2 –ab + b2) (a 6 + b 6) + b12

b) 5 - 2

c)

2+ 3

5. Si: x = 0,5 ( 3 3 + 3 2 )

y = 0,5 ( 3 3 - 3 2 ) calcular: E = 4xy(3x2 + y2) (x2 + 3y2) a) 4

b) 5

c)

3

Colegios

TRILCE 22

Central: 6198-100

Capítulo

4

DIVISIÓN ALGEBRAICA I HORNER, RUFFINI Y LA DIVISIÓN ALGEBRAICA William George Horner, recibió su educación en la Escuela de Kingswood de Bristol. Resulta sorprendente que, cuando tenía 14 años, se convirtiera en maestro auxiliar de dicha escuela y, años más tarde, en Director. Horner solamente realizó una única contribución significativa a las matemáticas: el método Ruffini W. George Horner de Horner para resolver ecuaciones algebraicas. Este fue presentado a la Royal Society el 1 de julio de 1819 y publicado el mismo año en las Philosophical Transactions of the Royal Society . No obstante, algunos años antes Ruffini había descrito un método semejante, por el cual le fue concedido la medalla de oro por la Italian Mathematical Society for Science, que había reclamado mejoras sobre los métodos para obtener soluciones numéricas de ecuaciones. Sin

embargo, ni Ruffini ni Horner fueron los primeros en descubrir este método, ya que el matemático chino Zhu Shijie (1270 - 1330) lo había empleado quinientos años antes. http://es.scribd.com/doc/4796836/Division-de-Polinomios


www.trilce.edu.pe

.

División algebraica

.

Métodos de división algebraica


4

Capítulo

Síntesis teórica

DIVISIÓN ALGEBRAICA

Definición

Identidad fundamental

Métodos de División

Horner

- Dividendo - Divisor - Cociente - Resto

Propiedades de los grados

Teorema del Resto

Ruffini

Colegios

TRILCE 24

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 4. Si: P(x) = –5x +2x4 + 3x2 + 1, entonces:

1. Efectuar: 25

a)

45x

c)

56x

5

9x

13

=.........

.x

6

12

7x

6

12x

b)

=.........

2

4x

=......... d)

3

6

72x .x 8

9x

=.........

2. Si: P(x) = 5x2 +3x + 1, calcular:

Completar el polinomio: ............................. Ordenar crecientemente:............................. Ordenar decrecientemente:......................... Término independiente: ............................. Suma de coeficientes:..................................

5. Identificar en la siguiente división:

• P(2) = ________

• P(–1) = _________

• P(0) = ________

• P(1) = _________

3. Si: P(x) = 3x3 + 6x4 + 4x2 + 3x + 2, completar: • • • • •

• • • • •

Variable: ................................ Grado del polinomio: ................................ Coeficientes: ................................ Coeficiente principal: ................................ Término independiente: ............................

4x2+8x+9 x+1 3x+8 4x+1 •

Dividendo: .................

•

Divisor:......................

•

Cociente:................

•

Residuo: ................

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente:

3. De la división, completar: 4

D(x)=d(x)q(x)+R(x)

A

R(x)=0

Grado[D] – Grado[d]

B

División exacta

C

Identidad fundamental de la división Grado[R]máx

Grado[d] – 1

D

Grado[q]

3

2

2x + 3x + x + 9x – 15 2

2x + 3x – 5

2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto a la división: 4

3

5

x + 12x + 11x + 3x + 6 2

x + 5x–1

Cociente: q(x) = Residuo: R(x) =

A. El grado del polinomio dividendo es 5 ....( ) B. El grado del polinomio divisor es 2 4. De la división, hallar el resto: 8 4 2 ............................................................( ) 4x –6x + 2x + 1 x –1 C. El grado del polinomio cociente es 2 ....( ) D. El grado máximo del polinomio residuo es 5. De la división, hallar el resto: 1 .........................................................( ) 100

50

2x

–x 50

x

www.trilce.edu.pe

+1

–1


4

Capítulo

Aprende más 1. Utilice el siguiente esquema de Horner, donde la única variable es "x" y relacione las columnas correctamente: 1 2 –1

1

1

–2 4 –4 1 –1 2 –1 0 0 6 –3 4 –2 0 3 2 2 –3 Polinomio divisor Polinomio cociente Polinomio residuo Polinomio dividendo

x5–2x4+4x3–4x2+x–1 A x3+3x+2

B

x2 – 2x+1

C

2x – 3

D

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la división algebraica:

B. Al dividir:

2

3

4

5x - 9x - 5x –8 + 2x –3 + x

•

Cociente: q(x) =

•

Residuo:

R(x) =

4. Calcular "a + b", si la siguiente división deja residuo –12: 5x4 + 4x3 –13x2 + ax + (b + 1) x2 + 2x–1

a) 2 d) – 2

b) 3 e) 1

c) – 3

5. Hallar "m + n + p", si la siguiente división es exacta: 6x5 – 17x4 + 7x 3 + mx2 + nx + p

A. En el método de Horner para dividir, 3x3 –4x2 + 5x–7 se utilizan los polinomios completos y ordenados ........................................... ( ) a) 22 b) 18 c) 17 B. En el método de Ruffini se calcula solo el d) 25 e) 28 residuo ...............................................( ) C. El teorema del resto sirve para calcular los polinomios cociente y residuo ..............( ) 6. Calcular "m+p+n", si la siguiente división: D. El máximo grado del resto es el grado del dividendo menos uno ...........................( ) mx4 + nx3 + px2 + 17x–5 2x2 –x + 1

3. Completar: A. Al dividir: 2 –1

6

4

3

2

6x + 10x–x –5–5x 2

–3 + 2x + x

–1

–5

10

–5

tiene residuo: R(x) = 6x – 3 y un cociente cuya suma de coeficientes es 4. a) 10 d) 100 7. Dividir:

3

b) 70 e) – 7 4

c) – 1

2

4x + x –3x + 4 2x–1

e indicar el producto de coeficientes del cociente. a) 2 d) – 4 •

Cociente: q(x) =

•

Residuo:

b) – 2 e) 6

c) 4

R(x)=

Colegios

TRILCE 26

Central: 6198-100

Álgebra 13. Hallar el resto de:

8. Hallar el residuo en:

x3 (x–3) 3 + 5 (x2 + 1) –15x + 14

x5 + (3 2 – 2) x3 + 2 2 + 7 x– 2+1

a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

x2 –3x + 1

c) 11

a) 14 d) 15

b) 8 e) 13

c) 26

9. Hallar la suma de coeficientes del cociente de la división (n ∈ ): 14. El patio del colegio TRILCE tiene forma rectangular de dimensiones "B(x)" y "H(x)", nx4 + (3–n2 –n) x3 + (5n– 3)x 2 –8nx–8n2 cuya área "A(x)" depende del número de x–n–1 alumnos "x", se sabe que: ÁREA : A(x)= 8x4 + 6x3 – 9x2 + mx + n si el resto es 64. BASE : B(x)= 4x 2 + x – 3 ¿Cuál es el polinomio que representa la otra a) 50 b) 53 c) 51 dimensión? d) 52 e) 60 10. Calcular el resto de la siguiente división: 40

4x

39

+ 8x

+1

x+2

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

División

11. Calcular el resto de: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 4 x2 + 8x + 11

a) - 9 d) - 12

b) - 10 e) - 13

70

60

+x

40

+x 10

x

a) 8 d) 7

www.trilce.edu.pe

20

+x

c) - 11

4

3

2

x + 4x + 6x –7x + 2 2

x + 2x + 1 4

3

5x + 16x –8x + 2

M A T H Í A

4

3

2

4x –5x –2x + 3x–1 2

x –2x–1

4

3

2

2x + 5x –4x –3x + 1 x+3

Cociente

Residuo

x2+2x+1

–11x+1

5x3+x2+4x–2

–1

4x2+3x+8

22x–6

2x3–x2+2x+4

–1

S

+7

+1

b) 9 e) 6

E D Ú

x+3

12. Hallar el resto de: x

15. Edú y Mathías compiten por ser el mejor alumno de Álgebra; para ello deben resolver algunas divisiones, obteniendo los resultados vistos en la tabla:

¿Quién ganó la competencia? c) 10


4

Capítulo

Practica en casa 1. Utilice el siguiente esquema de Horner, donde la única variable es "x" y relacione las columnas correctamente: 5 7

10

6

–37

36

2

3

4

9x - 7x–2x –14 + x

B. Al dividir:

–2 + x

–12

–3

Cociente: q(x) = Residuo: R(x) = 4. Calcular "a + b" si la siguiente división:

10x4+6x3–37x2+36x–12

A

2x2+4x–3

B

5x2–7x+3

C

3x–3

D

Polinomio divisor Polinomio cociente Polinomio residuo Polinomio dividendo

x4 + 3x3 + 5x2 + ax + (b + 1) x2 + 2x–1

deja como residuo a: –2. 5. Calcular (mn)2 si la división es exacta: 4

3

6x + 5x + 2mx–3n 2

2x + x + 3

6. Calcular "b - a" si al dividir se obtiene como resto cero: 2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la división algebraica: 4 2 x + ax + b 2

x +x+ 1 A. En el método de Horner para dividir se utilizan los polinomios con sus variables ..............( ) 7. Hallar el residuo en: B. En el método de Ruffini se calcula el cociente 4 3 2 15x – 8x –9x + 7x + 1 y el residuo ............................................. ( ) 5x–1 C. En el teorema del resto no es necesario realizar la división para calcular el residuo ............( ) 8. Al dividir: D. El máximo grado del resto es el grado del divisor menos uno ................................... ( ) 3 x4 –2 2 x3 – (2 3 –1) x2 – 6 x + m

x– 6

3. Completar : A. Al dividir:

se obtuvo como resto: 3m – 4. Calcular "m". 4

3

2

5x –9x + 8 + 20x 2

4 + x –2x

9. Calcular el valor de "a", si la división: 3

2

2

x –ax –2ax–a x–a–3

deja como residuo: 7a + 2 10. Calcular el resto de la división: (2x + 3) 5 + (x + 3) 4 –6x x+2

Cociente: q(x) = Residuo: R(x) =

11. Calcular el residuo de la división: (x + 1) (x–2) (x + 4) (x–5) (x + 7) (x–8) + 1 (x + 9) (x–10) + 70

Colegios

TRILCE 28

Central: 6198-100

Álgebra ÁREA : A(x)= 8x4 + 6x3 – 23x2 + ax + b BASE : B(x)= 4x 2 – 3x +1

12. Calcular el resto de: y8 + y6 - y4 + y2 + 5

¿Cuál es el polinomio que representa la otra dimensión?

y2 –2

13. Hallar el resto de:

15. Edú, Mathías y Diego compiten por ser el mejor alumno de Álgebra; para ello deben resolver algunas divisiones, obteniendo los resultados vistos en la tabla. ¿Quién ganó la competencia?

x3 (x–2) 3 + 6 (x2 + 1) –12x + 4 x2 –2x + 1

14. El patio del colegio TRILCE tiene forma rectangular de dimensiones "B(x)" y "H(x)", cuya área "A(x)" depende del número de alumnos "x"; se sabe que:

División 4

3

2

Edú

3x + 2x –5x + x + 1

Mathías

x –x + x –3x + 2

Diego

4x –2x + x–1

x–1 4

3

2

2

x +x+2 3

Cociente

Residuo

3x3+5x2+1

1

x2–2x+1

0

4x – 6

5

2

2

x +x+1

Tú puedes 1. En la siguiente división: a) 12

4

3

2

3x –x + 2x + ax + a 2

x + x–1

b) 11

2. En la división:

4

c) 13

3

2

3x –x + 2x + ax + a + 8 2

x + x–1

a) 20

, el residuo no es de primer grado. Hallar el valor de "a".

b) 22

d) 16

e) 22

, hallar el residuo, si no es de primer grado.

c) 28

d) 30

e) 29

3. Según este esquema de Horner:

5 7 –2

20

6a

–3b

(n–4) n (n+4) Encontrar el valor de "a + b + c + d + n". a) (

+2)

121

b) ( 2 +1)

c) (

–17c

9d

34

3

144

– 1)

d)

3

e) 1

25

4. Si al dividir: P(x) = 6x 5 – x4 + (mx)2 + x + 3 – 2n + n2, entre: Q(x) = (x – 2x 2 + 3x3),

se obtiene un residuo que al permutar sus coeficientes extremos es igual al cociente. Hallar "n ÷ m" e indicar su menor valor. a) 0

b) –1

c) 1

5. Calcular "A + B – C", si la siguiente división: a) 41 www.trilce.edu.pe

b) 21

c) 11

d) 5

4

2

e) –

3 3

2

Ax + Bx + Cx + 27x + 19x + 5 3

4x + 3x + 1

d) 10

1 3

es exacta.

e) 40 Cuarto año de secundaria 29

5

Capítulo

DIVISIÓN ALGEBRAICA II LECTURA En las civilizaciones antiguas, las expresiones alg ebr aic as se escribían utili zando abreviaturas solo ocasionalmente. Sin embargo. en

la Edad Media los matemáticos árabes fueron capaces de de sc ri bi r cu alquier potencia de la incógnita "x" , a partir del cual desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. En España, donde la influencia árabe fue muy importante,surgió el término álgebra, usado para referirse al arte de restituir a su lugar los huesos dislocados; por ello, el término algebrista hacía referencia a la persona que sabía arreglar las dislocaciones (en El Quijote podemos encontrar estos términos en muchos de sus capítulos). El libro Kitab al-jabr wa al-muqabalah , fue la obra más importante del matemático árabe; parte de su título dio nombre a toda una disciplina matemática: el Álgebra. Al-jabr quiere decir algo así como "restitución", que es lo que se intenta hacer cuando se resuelve una ecuación, restituir el valor de la incógnita. Con el Álgebra pasamos del número al símbolo, de lo particular a lo general. La gran expresividad del lenguaje algebraico facilita la obtención de relaciones, propiedades y la resolución de problemas. http://exactas.unsa.edu.ar/ingreso/images/pdf/teo2.pdf


División algebraica II -

Cocientes notables

-

Divisibilidad algebraica

Colegios

TRILCE 30

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA

Definición

Propiedades

Si: P(x) ÷ g(x) P(x) ÷ h(x)

En P(x), si: P(a) = 0 ⇒

Si: P(x) ÷ g(x) P(x) ÷ h(x)

R=0 R=0

R=r R=r

COCIENTES NOTABLES (C.N.)

n

x

±a

n

x±a

Casos:

Nº términos

− −

;

+ +

;

Término general

− +

Si:

x

m

x

www.trilce.edu.pe

p

±a ±a

n

q

es un C.N. ⇒


5

Capítulo


3. Hallar "x" en:

a) (x4)5 = ...................................

a)

x 9

=

36 x

b) x5.x4 = ................................... 10

c) x x d)

4

x .x

= ................................... 9

= ...................................

3

x

2. Dado el polinomio: P(x)=x2–5x+1, Calcular:

b)

x+1 6

=

x+2 7

4. Dados: D(x)=dividendo, d(x)=divisor, q(x)=cociente y R(x)==residuo → D(x)=.................................... 5. Hallar el cociente de:

a) P(3) = ...............................

3

2

x + 3x + 3x + 1 x+1

b) P(–1)= ............................... c) P(0)= ............................... d) P(1)= ...............................

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: P (x) =T(x) Q (x) 4

A

x+2

B

x2 – xy+y2

4

x –y x–y

3. Completar:

2

x + 4x + 4 x+2 3

x +y

C

P(x)=T(x).Q(x)

D

x3+x2y+xy2+y3

entonces P(4)=...................... 20

B. En el cociente notable: de términos es .............

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F):

x

2

30

–y

3

, el número

x –y

C. Desarrollar: 4

3

x+y

A. Si el polinomio P(x) es divisible por (x–4),

4

x –y

x–y

=.........................................

D. El polinomio ( x2 – 3x +2) es divisible por (x–1) y por ...................................

A. El polinomio ( x2+x – 20) es divisible por (x – 4) .................................................( ) 4. Hallar "m" si: P(x)=x3+2x2+x +m es divisible por: x – 2. 5 5 x +y B. =x4+x3y+x2y2+xy3+y4 ...........( ) x+y

3

C.

3

x –y

x–y

=x2–xy+y2 .................................( )

5. Hallar "n" para que la división genere un cociente notable: n

x –y 5

D. El polinomio ( x3 – 3x +2) es divisible por (x+1) .....................................................( )

n 20

– 3

x –y

Colegios

TRILCE 32

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente: P(x) es divisible por (x – k) 40

6. Indicar el cuarto término de:

A

x

n

- a

n

x- a

a) 25x6a6 d) a6

12

625x

3

5x –a

b) a18 e) 25x3a6

24

–a 6

c) 5x3a12

16

-y

x

5

B

2

P(k) = 0

x -y

P(x) es divisible por Q(x)

C

Tk=xn–k.ak–1

D

El cociente posee 8 términos Su residuo es

cero

a 1 a +

7. Hallar "a" para que: cociente notable. a) 1 d) 4

x

a

27

–y

genere un

x –y

b) 2 e) 5

c) 3

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al 8. Calcular "n" si la división: 30

cociente notable:

x

10

x

30

5n

+y

x

10

n

+y

6n + 1

–y

2n 3

x –y

A. El término central es: x10y10 ................ ( ) B. El número de términos es tres ................ ( )

–

a) 1 d) 4

genera un cociente notable. b) 2 e) 5

c) 3

C. El producto de sus términos extremos es: 9. Calcular el término central generado por el desarrollo del cociente notable: –x30y10 .................................................. ( ) (x + 1) 20 – (x – 1) 20

3. Completar:

(x + 1) 4 – (x–1) 4

A. Si el polinomio P(x) es divisible por (x–5), entonces se cumple: P(5)=...........

B. En el desarrollo del cociente notable: 120

x

10

x

60

–y

5

, el número de términos es ..........

–y

C. El sexto término en el desarrollo del cociente 9

notable:

9

x –y

x–y

es ..........

a) 8(x2 – 1) d) (x2 + 1)8

b) (x + 1)8 e) (x2 – 1)8

c) (x – 1)8

10. Si el polinomio: ax7 + bx5 – 1 es divisible

por: mx5 + nx4 + px3 – x – 1, calcular el valor de "ab + mn + p". a) 1 d) 5

b) 3 e) 7

c) 4

D. Si: P(x)=x2–4x+m es divisible por (x–1) → 11. Si el polinomio: ax5+bx4+1, es divisible por:

m= ....................................

x2 – 2x + 1, calcular el valor de "ab".

5

4. Al desarrollar el cociente notable: car uno de los términos.

a) x4y d) x+y

b) xy3 e) –xy3

5

x –y x–y

, indi-

c) y5

5. Calcular el segundo término al desarrollar: 12

x

x –3

www.trilce.edu.pe

b) 2x4 e) 3x6

b) –1 e) 20

c) –20

12. Al dividir por separado un polinomio "P(x)" entre los binomios (x + 1) y (x – 1), se obtuvo como restos 7 y 5 respectivamente. Hallar el residuo de dividir "P(x)" entre (x2 – 1). a) 6 – x d) x + 6

–81

3

a) 3 d) x6

a) 1 d) 5

b) x + 1 e) x – 6

c) x – 1

c) 3x2


5

Capítulo

13. Un polinomio "P(x)" de tercer grado es divisible 15. Mathías y Diego compiten por ser el mejor alumno entre (x + 1) y (x + 4), tiene por coeficiente de Álgebra; para ello deben desarrollar algunos principal 2 y como término independiente 20. ejercicios sobre cocientes notables, obteniendo Calcular el resto que se obtiene al dividirlo los resultados vistos en la siguiente tabla: entre (x – 2). a) 180 d) 162

b) 210 e) 124

c) 148

14. La construcción de una base cuadrangular de un edificio está en función de un polinomio cúbico cuya variable "x" representa el número de obreros que laboran. Si las dimensiones de dicha base son

divisibles por (x2+2x+3) y también por (x+1), hallar el área cuadrangular en función de "x" y cuántos obreros trabajan si: x=3.

D I E G O

M A T H Í A

15

x

15

–y

3

x –y

x

2 n

64

y

27

x

12

x

CN: x12+x9y3+x6y6+x3y9+y12

3

–y

Si es CN → n=12

n

12

–y

2

CN:x10+x8y2+x6y4+x4y6+x2y8+y10

2

x –y

x

2 n +5

–y

n

n+ 7

Si es CN → n=5

2

x –y

S

¿Quién ganó la competencia?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente:

8

P(x) es divisible por (x – b)

A

Elcociente posee 5 términos

Tk=xn–k.yk–1

B

P(b)=0

M(x) es divisible por N(x)

C

30

n

x -y

3

n

x

Su residuo es

D

8

2

cero

x -y

3

x –y

x–y

; indicar

5. ¿Cuál es el tercer término del desarrollo de: 10

-y

6

cociente notable: , es .......... x–y 2 D. Si: P(x)=x –5x+m es divisible por (x–2), entonces m= .............................. 4. Desarrollar el cociente notable: el producto de sus términos.

x-y

40

x

8

x –y

5

–y

?

x –y

6. Indicar el sexto término de:

256x16 –y8 2x2 –y

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al 40

cociente notable:

x

20

56

+y

8

x +y

A. El término central es:

7. Si el cociente notable:

4

x16y8 ....................(

)

B. El número de términos es cinco ..............( ) C. El producto de sus términos extremos es: x32y32 .....................................................( )

calcular:

n2+n+1

x

n

–1

x –1

tiene 28 términos,

8. Hallar el número de términos del siguiente 20

cociente notable:

x

n

–y

x +y

n

5 a

9. Hallar el valor de "a" si la división genera un C.N.

3. Completar:

5a 8

x –y 2

–

x –y

9

A. Si el polinomio P(x) es divisible por (x–7), entonces se cumple: P(7)= .....

10. Determinar "a" para que el polinomio: P(x)=x3+ax+3 sea divisible por (x+1). B. En el desarrollo del cociente notable: 100

x

10

x

50

–y

5

, el número de términos es ..........

–y

C. El quinto término en el desarrollo del

11. Determinar "a + b" de manera que el polinomio: P(x) = x3 + ax + b sea divisible por: (x – 1) 2.

Colegios

TRILCE 34

Central: 6198-100

Álgebra 12. Al dividir por separado un polinomio "P(x)" 15. Edú y Paolo compiten por ser el mejor alumno entre los binomios (x + 2) y (x – 2), se obtiene de Álgebra; para ello deben desarrollar algunos como restos 5 y 13 respectivamente. Calcular el ejercicios sobre cocientes notables, obteniendo 2 residuo de dividir "P(x)" entre (x – 4). los resultados vistos en la siguiente tabla: 13. Un polinomio "P(x)" de tercer grado es divisible entre (x + 3) y (x + 2), tiene por coeficiente principal 3 y como término independiente 24. Calcular el resto que se obtiene al dividirlo entre (x – 3). 14. La construcción de una base cuadrangular de un edificio está en función de un polinomio cúbico cuya variable "x" representa el número de obreros

20

P A O L O

x

4

x

2 n

27

–y

8

x –y 16

E D Ú

de dicha base son divisibles por (x2+3x+2) y también por (x–3), hallar el área en función de "x" y cuántos obreros trabajan si: x=4.

CN: x16+x12y2+x8y4+x4y6+y8

2

x –y

x

que laboran. Si las dimensiones

10

–y

Si es CN → n=6

n

12

–y

4

CN: x12+x8y3+x4y6+y9

3

x –y n

36

4

n

x –y

x –y

Si es CN → n=12

¿Quién ganó la competencia?

Tú puedes 1. Calcular "M+N" si: M = a) 3,2

9

8

7

9

8

7

2

9 + 9 + 9 + ... + 9 + 9 + 1

b) 5,8

c) 7,6 3n + 4

2. Indique qué valor toma "n" para que:

x

3n + 2

x

a) 6

2

9 –9 + 9 –...–9 + 9–1

b) 7

34

; N =

2

32

2

32

+2

28

+2

d) 9,8

30

+ ... + 1

24

+ ... + 1

+2 +2

e) 18

4n 4

–

–y

4n 8

-y

–

genere un C.N.

c) 8

d) 9

e) Nunca genera C.N.

3. Si se sabe que: ". . . + x6y6 + xayb + x2y12 + . . ." son tres términos consecutivos de un C.N., hallar

el valor de "a + b". a) 13

b) 15

c) 12

d) 14

e) 10

4. Si se divide "P(x)" entre (x + 2)4, el residuo es: (x3 – 12x + 17). Calcular el residuo de dividir "P(x)"

entre (x + 2)2. a) 4x + 4

b) 4x – 4

c) –16x + 13

d) –16x – 13

e) 33

5. Sea "P(x)" un polinomio de término independiente 21; tal que: P (2) = 3 y P(3) = 3. Hallar el término independiente del cociente de dividir "P(x)" entre (x – 2) (x – 3).

a) 3

www.trilce.edu.pe

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7


6

Capítulo

FACTORIZACIÓN I MATEMÁTICA INCAICA En el campo de la ADN ARN Matemática, los incaicos destacaron principalmente por su capacidad de cálculo en el ámbito económico. Los quipus y yupanas fueron señal de la importancia que tuvo la matemática en la administración incaica. Esto dotó Ácido ribonucleico a los incas de una aritmética sencilla pero efectiva para fines contables, basada en el sistema decimal; conocieron el cero, y dominaron las cuatro operaciones fundamentales. Por otra parte, la construcción de caminos, canales y monumentos, así como el trazado de ciudades y fortalezas, exigió el desarrollo de una geometría práctica, indispensable para la medición de longitudes y superficies, además del diseño arquitectónico. A la par desarrollaron importantes sistemas de medición de longitud y capacidad, los cuales tomaban el cuerpo humano como referencia. http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_incaica


Denición

.

Conceptos previos

.

Criterios de factorización

Colegios

TRILCE 36

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

FACTORIZACIÓN

Definición

- Factor

- Nº factores

- Factor primo

- Nº factores primos

Factorización en: Z, R , C

Factorización en Z

Factor común

Identidades

Aspa simple

Agrupación

www.trilce.edu.pe


6

Capítulo


4. En:

a) x(x+4 )

=.....................

N=23.34.53.72.115

b) x(a+b+c )

= ....................

* Número de factores primos=........

c) x2(x2 +2 )

= ....................

* Factores primos=........

d) x3(x3+x2+3 ) = .................... 2. Efectuar:

5. En:

a) x(2x+3)

=.......................

b) 2x(x – 1)

=.......................

P(x)=4.(x+1)(x –1)(x+3)(x–1)

c) 4x2(x2 –1)

=.......................

* Número de factores primos algebraicos

d) 3x2(x3 + y3) =.......................

=........................................

3. Efectuar:

* Factores primos algebraicos=................

a) (x+2)(x+1)

=.......................

b) (x+1)(x–3)

=.......................

c) (x–1)(x–2)

=.......................

..............................................................

d) (x – 3)(x+2) =.......................

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: Método para factorizar Identidades

3. Completar luego de factorizar: A. L(x;y)=xy+y+x+1= ................................

Polinomio

B. Q(x)=4x2 – 1= ........................................ A

P(x)=x2+7x+10

C. R(x)=x5+3x3+x2= .................................. D. P(x)=x2+4x–21= ....................................

Agrupación de términos Aspa simple

B

P(x)=x2 – 4

C

Factor común

D

P(y)=y3+y2+y P(x;y)=px+qx+py+qy

4. Factorizar: Q(x) = 400x2 – 121

2. Sea: M(x) = 3x2(2x + 1)4 (x – 2) 5

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: A. El número de factores primos es 2 .........( B. La suma de los factores primos es: 4x .....( C. El factor primo de mayor multiplicidad es (x – 2) ................................................( D. Un factor primo es: 3x2 .........................(

5. Factorizar: M(x) = ax + bx + x 2 + ab

) ) ) )

Colegios

TRILCE 38

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente: 8x3+27y3 x2–4xy–32y2 8x3–27y3 x2–8xy–48y2

A B C D

(x+4y)(x–12y) (2x+3y)(4x2–6xy+9y2) (x+4y)(x – 8y) (2x–3y)(4x2+6xy+9y2)

a) F F d) V V

b) V F e) Ninguna

c) F V

8. Factorizar: P(x;y) = (x – y) 3 – (x – y) 2 – 2(x – y) indicando un factor primo. a) x – y + 3 d) x – y – 8

b) x – y + 2 e) x

c) x – y + 1

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) luego de factorizar: A(x) = 6x3 +5x2 – 4x 9. Factorizar: P(x; y) = x9y - x3y7 Indicar un factor primo. A. Tiene tres factores primos ..................... ( ) a) x2 + xy + y 2 b) x2 – xy – y 2 c) x2 + y2 B. Tiene dos factores primos mónicos .......( ) d) x2 + y e) x2 – y C. La suma de sus factores primos es: 6x – 1 ...............................................( ) 10. Indicar el número de factores de: P(m; n; p) = (2m+3n–p)2–14m–21n+7p–18 D. Tiene un factor cuadrático ...................( ) 3. Completar luego de factorizar: A. F(x;y;z)=y2+xy+xz+yz = ........................ B.

P(x;y) = 36x2 – 25y2= ...............................

C. P(x;y) = 216x3 + 27y3= ............................. D.

P(x)=x2(x+8)+2x(x+8)+(x+8) = .............

11. Factorizar: P(x;y) = 4(x + 3y) 2 – 9(2x – y) 2 indicando un factor primo. a) 8x + 3y d) 8x – y

b) 8x – 3y e) 4x – y

c) 8x + 6y

4. ¿Cuántos factores primos de segundo grado 12. Factorizar: tiene el siguiente polinomio? A(n)=(n+3) (n+2) (n+1)+(n+2) (n+1)+ (n+1) P(x;y) = x5y + ax4y + x3y + ax2y indicando el factor primo que más se repite. a) 1 b) 2 c) 3 a) n + 4 b) n + 1 c) n + 2 d) 4 e) 5 d) n + 3 e) n + 8 5. Factorizar: P(x; y) = 2x2y + 3xy2 + xy 13. Factorizar: P(x;y) = 36x4 - 109x2y2 + 25y4 Indicar el número de factores primos. indicando el número de factores primos. a) 2 b) 3 c) 4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 d) 4 e) 6 6. Factorizar: P(x; y) = 3x2 + 20xy + 12y2 14. El volumen "V(x)" de una caja con base e indicar la suma de factores primos. cuadrada, se calcula mediante el producto de sus tres dimensiones y está dado por: a) 4x – 8y b) 4x + 8y c) 2x – 4y V(x)=x3+6x2+9x. ¿Cuáles son las dimensiones d) 2x + 4y e) 3x2 + 12y2 de la caja? 7. Indicar verdadero (V) o falso (F): 15. La base de un edificio es de forma rectangular I. Un factor primo del polinomio: donde "A(x)" representa el área total del terreno P(x;y) = xm+n + ym+n + (xy)m + (xy)n en función de "x". Si: A (x)=6x2+11x+3 hallar n m luego de factorizar es: x + y las dimensiones de la base y cuál es su valor si: II. Factorizando: P(x;y)=(x–y)3–(x–y)2–2(x–y) x=4. la suma de sus factores primos es: 3x–3y–1. www.trilce.edu.pe


6

Capítulo

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 27x3+8y3 x2+3xy–18y2 27x3 – 8y3 x2+3xy–54y2

A B C D

(x+6y)(x–3y) (3x+2y)(9x2–6xy+4y2) (x+9y)(x–6y) (3x–2y)(9x2+6xy+4y2)

7. Al factorizar: P(x) = x2(x+2)2 + x2+2x – 12 I. Existen dos factores primos de segundo grado. II. Existe un factor primo de primer grado. III. El polinomio "P(x)" tiene tres factores primos. 8. Factorizar: P(a;b;c) = (a–b)(a3–c3) – (a–c)(a3–b3) la suma de sus factores primos es:

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) luego de factorizar: A(x) = 9x3 +7x2 – 2x 9. Factorizar: M(a; b) = a2 – 4 + 2ab + b 2 Indicar un factor primo. A. Tiene dos factores primos ..................... ( ) B. Tiene dos factores primos mónicos ....... ( ) 10. Indicar el número de factores primos de: C. La suma de sus factores primos es: 11x–1... ( ) P(x) = (x2 + 7x + 5) 2 + 3(x2 + 1) + 21x + 2 D. Tiene un factor cuadrático ................... ( ) 3. Completar con la expresión factorizada: A. F(a;b;y)=y2+ay + ab + yb= ....................... B. P(x;y) = 81x2 – 49y2=............................... C. P(x;y) = 64x3 + 125y3=........................... D. P(x) =x2(x+5)+4x(x+5)+4(x+5)=............ 4. Factorizar: P(x; y; z)=x2+xy+zx+zy+x+y Indicar un factor primo.

11. Factorizar: P(x;y) = (1 + xy) 2 – (x + y) 2 12. Factorizar: P(x) = (x+4)(x+2)(x+1)+(x+4)(x+1)–2 (x+1) indicando la suma de factores primos. 13. Factorizar: P(x;y) = 100x4 – 29x2y2 + y4 indicando el número de factores primos. 14. El volumen "V(x)" de una caja con base cuadrada se calcula mediante el producto de sus tres dimensiones y está dado por: V(x)= x3+8x2+ 16x. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?

5. Factorizar: F(x) = 8x6 + 7x3 – 1; indicar el 15. La base de un edificio es de forma rectangular número de factores primos. donde "A(x)" representa el área total del terreno en función de "x". Si : A (x) =12x2+11x+2, ha6. Dar la suma de los términos independientes de llar las dimensiones de la base y cuál es su valor los factores primos de: si : x=3. P(x;y) = x2 + 2x + xy + y + 1

Colegios

TRILCE 40

Central: 6198-100

Álgebra

Tú puedes 1. Al factorizar: xn + 4 – xn + 2+x4 + x3 – x2 + x+2, uno de sus factores primos tiene: a) 3 términos

b) 4 términos

c) 5 términos

d) 6 términos

e) 7 términos

2. Uno de los factores primos de: x2x + xx – 12, para: x=3, se convierte en: a) 23

b) 25

c) 30

d) 31

e) 33

3. Factorizar: P(x;y) = x6 + 2x5y – 3x4y2 + 4x2y4 – y6 ; indicando un factor primo. a) x3 – xy+y2

b) x3 – x2y+y2

c) x2 – xy+y3

d) x3 – x2y+y3

e) x2 – xy2+y3

4. Factorizar: F(a;b) = (a + b)7 + c3(a + b)4 – c4(a + b)3 – c7, indicando un factor primo. a) a+b+c

b) ab+bc+ac

c) a2+ab+b2

d) a – b

e) a2+b2+ c2

5. Factorizar: P(x) = (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) 2 – x6, indicando un factor primo. a) x+2

www.trilce.edu.pe

b) x+3

c) x4+1

d) x+7

e) x+8


7

Capítulo

FACTORIZACIÓN II YUPANA, O ÁBACO INCA Su

potencial

de

contabilidad tes aún muy discutido, ya que la información numérica y las operaciones matemáticas eran realizadas en estas. Estos podían ser de piedra tallada o de barro, tenían casilleros que correspondían a las unidades decimales y se contaba con la ayuda de piedrecitas o granos de maíz quinua.

Se

podían

indicar unidades, decenas, centenas, etc., de acuerdo a si estaban implícitas en cada operación. Investigaciones recientes en relación a las yupanas sugieren que eran capaces de calcular cifras considerables basándose en un sistema probablemente no decimal, sino en relación al número 40. En el 2010, el investigador peruano Andrés Chirinos ,revisando dibujos y descripciones antiguas de Guaman Poma de Ayala, descifró que la Yupana es una tabla con once agujeros, que él denomina "calculadora prehispánica" y es capaz de sumar, restar, multiplicar y dividir y posiblemente también registrar textos. http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_incaica


Denición

.

Conceptos previos

.

Criterios de factorización

Colegios

TRILCE 42

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

FACTORIZACIÓN EN Z (Parte II)

Aspa doble

Divisores binomios o Evaluación binómica

Aspa doble especial

A qué polinomios se aplica

Regla para factorizar

A qué polinomios se aplica


"Ceros" del polinomio • Regla para calcular "ceros" •


www.trilce.edu.pe


7

Capítulo

Saberes previos 1. Completar luego de factorizar: A. L(x;y) = x4y2+ x2y2 + xy ........................ .. B. Q(x) = x2 +x – 2 = .................................. C. R(x) = x2+ 5x = ..................................... D. P(x) = x2 – x – 6 = ....................................

3. Si: P(x) = (x+1)2 (x2 + 2x + 3)3, completar: • • • •

Número de factores primos: ......................... Factores primos: ........................................... Factores primos lineales: .............................. Factores primos cuadráticos: ........................

4. Calcular el cociente de: 3

2

x –3x + 4x + 1

2. Completar:

x–1

A. Divisores de 6= ........................................ B. Divisores de 15= ...................................... C. Divisores de 20= ......................................

5. Obtener el cociente de: 4

2

x + 2x + x–1 x+2

D. Divisores de 36= ......................................

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: Posibles ceros

3. Factorizar por aspa doble: Polinomio

±(1;2;5;10)

A

P(x)=x3+8x2+17x–10

± (1;2;4;8)

B

P(x)=x3–7x2+16x–12

± (1;2;3;6)

C

P(x)=x3–6x2+11x–6

± (1;2;3;4;6;12) D

P(x)=x3–8x2–x+8

P(x; y) = 6x2 – 5xy – 25y2 –23x – 5y +20

4. Factorizar por aspa doble especial: P(x) = x4 + 3x3 – x2 + 7x + 2

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F): A. El polinomio: P(x)=x3+3x2+x–2 se factoriza por divisores binómicos ..................... ( ) B. El polinomio: P(x)=x4+x2+2 es mónico ..( )

5. Factorizar por divisores binómicos: P(x) = x3 – x2 – 2x – 12

C. El polinomio: P(x) = x3 – 6x2 +11 x – 6 tiene como un posible cero a: x=2 .................( ) D. El polinomio: P(x)=x4+6x3+7x2+6x+1 se factoriza por aspa doble ......................... ( )

Colegios

TRILCE 44

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 8. Factorizar: P(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6 Indique el número de factores primos.

1. Relacionar las columnas correctamente: Método para factorizar

Polinomio

a) 1 d) 4

Divisores binómicos A Aspa doble B especial

P(x)=x4+3x3–x2+7x+2

Aspa simple C

P(x)=x3–x2–2x–12

Aspa doble D

P(x;y)=x2+3xy+2y2–7x–9y+10

9. Factorizar: P(x;y)=15x2+11xy+2y2+16x+6y+4 Indicar un factor primo. a) 3x+y d) 5x–2y+2

+

a) x2 + 2x + 4 b) x2 + 2x c) x2 – 2x d) x2 – 2x + 3 e) x2 + 6x – 1 12. Indicar un factor primo de: P(x)=6x6–5x5–6x4–13x2–6

II

+

)(

+

+

)

4. Factorizar: P(x) = x3 – 5x2 – 2x + 24 indicar la suma de los términos independientes de los factores primos. a) –7 d) 4

b) –5 e) 6

c) –3

5. Indicar un factor primo de: P(x)=x3(x+1)+2x2+5(x–3) a) x2 – 5 d) x2 – 3

b) x2 + 5 e) x2 + 3

c) x2 – x – 3

6. Factorizar: H(x) = x3 – 7x + 6 Indicar un factor primo. a) x – 3 d) x + 1

b) x + 2 e) x

c) x – 1

7. Factorizar: P(x;y)=6x2+7xy–3y2+11x-11y–10, indicando la suma de sus factores primos. a) 5x+2y+3 d) x+y+1 www.trilce.edu.pe

b) 5x+y–3 e) x+2y+3

c) 5x+2y

) a) 4x + 3 b) 4x + 4 c) 4x + 5 ) d) 4x + 6 e) 4x + 7 ) ) 11. Indicar un factor primo de: P(x) = x4 + 4x2 + 16

3. Completar al factorizar por aspa doble: P(x;y) = x2 + 2xy + y2 + 5x + 5y + 6 I

b) 3x+y+2 e) 5x + 2

10. Factorizar: P(x) = x4 + 5x3 – 7x2 - 29x + 30 indicar la suma de todos los factores primos.

A. El polinomio tiene dos factores primos ... ( B. El polinomio tiene tres factores primos ... ( C. La suma de sus factores primos es: 3x+2...( D. Uno de los factores primos es: x – 2 ....... (

Luego: P(x;y) = (

c) 3

P(x)=x2+3x+2

2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) al factorizar: P(x) = x3 + 2x2 – 13x 10

b) 2 e) 5

c) 5x+2y–3

a) 2x3 – 1 c) 2x3 – 3x2 – 2 e) x3 – 3

b) 2x3 – 3x3 + 2 d) x3

13. Indicar un factor primo de: P(x; y; z) = 10x2 – yz + 3y2 – 17xy + 5xz a) y – x d) 2x – 3y – z

b) 2x+3y+z c) 5x – y e) 5x + y

14. El volumen de una caja está dado por "V (x)" y altura "H(x)". Encontrar los valores de las otras dimensiones si estos son polinomios de coeficientes enteros que dependen del valor de "x"; se sabe que: VOLUMEN : V (x)= x3 – 6x2 + 11x – 6 ALTURA : H(x)= x – 2 Además calcular el valor de dichas dimensiones si el valor de "x" es 8. 15. Los ingresos de una tienda están dados por: I(x)=P(x).Q(x) ; donde: I(x): Ingreso; P(x): Precio de venta; Q(x): Cantidad de artículos vendidos. Si el ingreso es: I(x)=x4+6x3+7x2+6x+1, hallar el precio de venta y la cantidad de artículos vendidos en función de x.


7

Capítulo

Practica en casa 1. Relacionar las columnas correctamente: Método para factorizar Divisores binómicos Aspa doble especial Aspa simple Aspa doble

Polinomio

A

P(x;y)=6x2+7xy–3y2+11x–11y–10

B

P(x)=x2 – 2x – 24

C

P(x)=x4+6x3+7x2+6x+1

D

P(x)=x3+6x2+11x+6

7. Factorizar: P(x;y)=3x2+4xy+y2+4x+2y+1 indicando uno de los factores primos. 8. Factorizar: P(x) = x4 – 2x3 –10x2 + 5x + 12 9. Factorizar: P(x; y)=10x2+11xy–6y2–x–11y–3 Indicar un factor primo. 10. Indicar un factor de: P(x)=x4+7x3+14x2+7x+1 11. Factorizar: P(x) = x4 + 2x2 + 9 indicar un término de un factor primo.

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) al factorizar: P(x) = x3 – 3x +2

12. Indicar la suma de coeficientes de los factores primos de: P(x) = x4 – 4x3 + 11x2 – 14x + 10

A. El polinomio tiene dos factores primos .... ( B. El polinomio tiene tres factores primos .... ( C. La suma de sus factores primos es: 3x+2 ... ( D. Uno de los factores primos es (x – 1) ....... ( 3. Completar al factorizar por aspa doble:

) primo de: ) 13. Indicar un factor P(x; y; z)=6x2 – 20y2 – 14z2+7xy+38yz – 17xz ) ) 14. El volumen de una caja está dado por "V (x)" y altura "H(x)", encontrar los valores de las otras dimensiones si estos son polinomios de coeficientes enteros que dependen del valor de "x", se sabe que: VOLUMEN : V(x)= x3+6x2 + 11x +6 ALTURA : H(x)= x + 2 Además calcular el valor de dichas dimensiones si el valor de "x" es 8.

P(x;y) = 5x2 + 8xy + 3y 2 + 2x + 0y – 3 I

II

Luego: P(x;y) = __________________ 4. Factorizar: P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6 indicar la suma de los factores primos. 5. Indicar un factor primo de: M(x) = 2x3 – 5x2 – 23x - 10

15. Los ingresos de una tienda están dados por: I(x)=P(x).Q(x); donde: I(x): Ingreso; P(x): Precio de venta; Q(x): Cantidad de artículos vendidos. Si el ingreso es: I(x)= x4+3x3+ 7x2 +7x +6; hallar el precio de venta y la cantidad de artículos vendidos en función de "x".

6. Indicar un factor primode: P(x) = x3 + 5x + 6

Colegios

TRILCE 46

Central: 6198-100

Álgebra

Tú puedes 1. Al factorizar: P(x) = x5 + 5x4 + 7x3 – x2 – 8x – 4 , indique "V" o "F" I. El polinomio tiene cinco factores primos. III. La suma de sus factores primos es: 3x+2 a) FVFF

b) VVVV

II. El polinomio tiene tres factores primos. IV. Uno de los factores primos es: (x + 2)2.

c) FVVV

d) FVVF

e) VVVF

2. Factorizar: P(x;y) = 24x3y2+60x2y2 – 6xy4 + 6xy3 + 36xy2 a) 6xy2 (x + y + 1)(2x – y + 3) c) 6xy2 (2x + y + 2)(x – y + 3) e) 6xy2 (2x + y + 2)(2x – y + 3)

b) 6xy2 (x + y + 2)(2x – y + 3) d) 6xy2 (2x + y – 2)(2x – y – 3)

3. Factorizar: P(x) = x5 + x + 1 a) (x2 + x + 1) (x 3 – x2 + 1) c) (x2 – x – 1) (x3 – x2 + 1) e) (x2 + x + 1) (x 3 + x2 – 1)

b) (x2 + x + 1) (x 3 + x2 + 1) d) (x2 – x – 1) (x 3 + x2 + 1)

4. Factorizar: P(x) = x12 – 3x9 – 7x6 + 27x3 – 18 a) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3 – 5)(x3 – 3) c) (x+1)(x2 – x+1)(x3 – 2)(x3+3)(x3 – 3) e) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3+4)(x3 – 3)

b) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3+3)(x3 – 3) d) (x – 1)(x2+x+1)(x3+2)(x3+3)(x3 – 3)

5. Indicar un factor primo de: P(x) = x5 – x4 + 2x2 – 2x + 1 a) x2 + x + 1

www.trilce.edu.pe

b) x3 + x + 1

c) x2 + x – 1

d) x3 – x+1

e) Ninguna


8

Capítulo

FRACCIONES ALGEBRAICAS LECTURA Federico Villarreal a los 20 años obtuvo el título de preceptor el cual le permitió dirigir la escuela oficial de Túcume y dirigió un colegio de instrucción media donde enseñó matemáticas .En 1873, con 23 años descubrió un método para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera. Estudió Ciencias Matemáticas en la Universidad Nacional Mayor de (UNMSM),

San Marcos graduándose

como Bachiller con la tesis:

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Federico Villarreal

Fórmulas y métodos que deben completarse en matemáticas puras; y como licenciado con la tesis: Efectos de la Refracción sobre el Disco de los Astros. En 1881 , se graduó de Doctor en Ciencias Matemáticas mediante la tesis: Clasificación de Curvas de Tercer Grado destacando por su originalidad y conclusiones. Esto le mereció a Villarreal la medalla de

oro otorgada por la Facultad de Ciencias al primer Doctor de su época, quien a la vez, se constituye en el primer matemático profesional del siglo XX en el Perú. http://www.arrakis.es/~mcj/villarreal.htm


Denición

.

Forma general

.

Simplicación de fracciones

.

Operaciones con las fracciones algebraicas

Colegios

TRILCE 48

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Definición

Simplificación de fracciones

Fracciones irreductibles

Operaciones con fracciones

Adición y sustracción

Regla práctica: caso:

a c ± b d

Multiplicación

División

www.trilce.edu.pe


8

Capítulo

Saberes previos c) x14.x11 = ......................................

1. Efectuar:

d) x.x4.x7 = ............................

a) (x+y)(x – y)=............................... b) (x+y)2=.......................................

4. Efectuar:

c) (x+a)(x+b)=..................... d) (x–y)(x2+xy+y2)=.................................... 2. Factorizar:

a) b)

a) x2+5x=......................... x2–9=.....................................

c)

c) x2 – x – 6 =..................................

d)

b)

d) x2 +5x +4 =................................

a)

3

+

2

3

1

–

2

= ...........................

2

3

=.............................

1 3 2 . . 2 4 3 1

'

4

3 5

=..................................

=.......................................

5. Efectuar:

3. Efectuar: x10 .x13 =

1

c mc m= .......................... b) ` j c m =............................ a)

....................................

b) x15 .x23 . x7 = .............................

–

–

1

2

1

4

1

–

3

' +

2

3

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: 25x3 y4 5x2 y2 x y

'

y x

4 5

169x y z

x y

–

A

13xy3

B

x –y

2

y

x

C

2

x -4

B.

x

2

x –4

x–6

2

D. 5xy2

y

+

y

3 (x2 –25) 3x2 –75 2

x

2

'

y

x 3

y

=

=

=

y

4. Reducir: 57x5 x2 y3 y4z6 19x4 y2 z4

=1 ; x ≠ ±2 ..................................( ) –

6 x–6

5. Simplificar:

=1 ; x ≠ 6 ..........................( )

C. Si: x=5, la fracción:

D.

12x2 y3 z4 = 4xyz

y

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a las fracciones algebraicas: A.

B. C.

2

D

x

2

x

+

z

y

A.

xy

6

13x3 y2 z6

3. Efectuar las siguientes operaciones:

2

x + 2x–35 3 x–5

no está definida .( )

1+ 1+ 1= 1 ....................( x y z x+y+z

2

x –3x–10

)

Colegios

TRILCE 50

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente: 2

x –4x + 4 x–2 x+7 x

+

2x–5

+

x

x+6

–

4

B

x–6

C

2

x

2

y

A x–2

x –36

x+y

x–y

D

y

B.

a

x+y xy

1 2

x –x–2

3.

x x+1

)

no está defini-

) es cero, si: x=0 .........( )

Completar luego de reducir: 1

A.

1–

B. C. D.

1

d) 4

e) 1

independiente de

3x + 3 2

x –x–20

A

=

x–5

3

c)

6

2

B

+

x+ 4

Hallar: (A × B)A+B a) 8 d) 12

b) 4 e) 9

c) – 6

9. Obtener el producto resultante:

`1 + x1 jc1 + x +1 1mc1 + x +1 2 m ... c1 + x +1 n m a)

x+n

d)

x–n + 1

2

x+5

=

2

x + 5x + 4 x+4 2

x –25 x–5

mc

A

n

x

b)

x+n+1

e)

x+1

x –x–6

2

x –36 x+6

2

2x –10x 2

x –25

a) 0 d) 3

x–3

=

x

x–n

c)

n

x+n

+

a) - 1

2

x + 16x + 15

2

a+ b+

www.trilce.edu.pe

2

e)

2

c)

x x–y

a) 1

x x+y

1

1

1+

j

1 j

c) 1

e)

5

b)

a–b a

e)

a

4

a 2

2

a –b b 2

2

a +b b b+ 2 2 a –b a a+ 2 2 a +b

x + x + 2xy ; E 2 x–y x+y x –y

d) 1

1

2+ 1+

b) 0

3

c) 2

1 x+y

=

11. Simplificar:

2

x + 6x + 5

b) 1 e) 4

b)

;B

1

Calcular "A2 – B"

m =

5. Simplificar: 1 2 x+y

1

1+

1+

2

+

=

1+

d)

a)

1+x

10. Dado:

x

4. Reducir:

1

c) x2 + 3

1

b)

=

x + 7x + 10

c

x+1

2x + my es 4x + 3y

a) 6

8. Si:

da............................................................( ) D. El valor de (

1–x

+

"x" e "y", hallar "m".

=(x–1+y–1)–1; xy ≠ 0 ....................( )

C. Si: x=2, la fracción:

x

-

b) x2 + 2 e) x2 + 5

7. Si la fracción:

x–2

y)a–1 = 1 (x–y) .................................(

x–1

2

1

+

a) x2 + 1 d) x2 + 4

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a las fracciones algebraicas: A. (x –

3

x

6. Reducir:

d)

b a+b

c)

a+b a–b

2

b2


8

Capítulo

14. El colegio TRILCE tiene su local de forma rectangular; su área "A(x)" depende del número de alumnos "x", y está dada por: A(x) = x4 – 41x2 + 400 , en m2. Si el ancho del terreno es : B(x) = x2+x–20, ¿cuál es la dimensión del largo?

2

3 – 2 x + 4x

12. Si la fracción:

2

2x –x–1

β

es equivalente a: α +

d)

+

θ x –1

α + 3 (θ + β)

Hallar:

15

1

a) –

2x + 1

1

b)

5

1

15. Durante el programa de vacunación nacional contra la gripe porcina, el Ministerio de

3 5

Salud asegura que el costo por vacunar al

1

e)

15

c)

5

"x"% de la población es aproximadamente: 3 P(x)= 8002x 3 , en millones de soles. Calcu-

3

13. Sabiendo que:

a2+b2+c2=3

ab+ac+bc=0

900x –x

lar el costo por vacunar a toda la población.

Calcular: a4 – (bc) 2 b4 – (ac)2 c4 –(ab) 2 + + a (a–b–c) b (b– a– c) c (c–a –b)

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 2

x –6x + 9

A

x–3 x+2 x

+

x

+

x–7 x

2

x –100 x + 10 –

m

5 D.

3x + 5

x +m

C.

x–m m

B

x–3

2

x + 3x + 2 x+1

c

2

x –49 x+7

C

2

4. Reducir:

D

x – 10

5. Reducir:

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a las fracciones algebraicas: 6. Efectuar: A. (m – B.

n)x–1=

1 x

2

x –3x–18

+

x–6

2

mc

=

m=

x –81 x+9

2

a –5a + 6

c

2

2

+

a + a–20 2

a –a–2

1 6x + 1

2

x

x+1

a –3a–4

1

+

6x–1

3

–

2x 2

x –1

2

+

2

x –1

m(x – 1)

2

+

x

x–1

(m–n); x ≠ 0 ....................( )

x+y = 1 + 1 ; xy xy x y

≠ 0 ........................( )

7. Si la fracción: F(x; y) =

mx–12y 4x–6y

es independiente de "x" e "y", calcular "m". , no está 8. Si: 2 3x + 4 = A + B 2 x –2x–8 x+ 1 x+ 2 x + 3x + 2 definida ..................................................( ) Hallar: A.B y+2 D. El valor de ( ) es cero, si: y=2 ........( )

C. Si: x = 4, la fracción:

y–2

3. Completar luego de reducir: 1

A.

1+

B.

1

=

1

9. Reducir: 1 1 1 +..."n" + + n (n + 1) (n + 1) (n + 2) (n + 2) (n + 3)

fracciones

x

2

x + 4x + 3 x+1

=

Colegios

TRILCE 52

Central: 6198-100

Álgebra 10. Calcular "P ÷ Q", si:

13. Si: x–1+y–2+z–3=–3 ×2

calcular: W =

1

P = m+

1

n+

1

m+

1

n+

14. El colegio TRILCE tiene su local de forma rectangular; su área "A(x)" depende del número de alumnos "x", y está dada por: A(x) = x4 – 25x2 + 144, en m2. Si el ancho del terreno es: B (x) = x2–7x +12, ¿cuál es la dimensión del largo?

...3

1

Q = n+

1

m+

1

n+

1

m+

–2 –2 – 1 11. Si: M = (a –1 –b –1) – 1 ; (a b )

...3

15. Durante el programa de vacunación nacional

(a –1–b–1) – 1

N = –2 –2 – 1 (a –b )

+

contra la gripe porcina, el Ministerio de Salud

asegura que el costo por vacunar al "x"% de la población es aproximadamente: P(x)= 750x 2

Hallar "M.N".

2

820x–x

12. Si al reducir: 1 – 2x+x2+

se obtiene:

4 (x3 + y3 + z3) –3xyz xyz

m–nx , a + bx

en millones de soles. Calcular el costo por vacunar al 70% de la población.

4

1–x

2

1 + 2x + x

indicar "a+b+m+n".

Tú puedes 1. Si: x3 = 1, x ≠ 1 , reducir: M =

a) 1

c

3

-4

x

5

1+x

b) - 1

m

c) 2

2. Si: (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 , calcular: K =

a) 2

=

2

G=

7x2 (y - z) - 3 7 (x - z) - 2 . (z - x) 2 (z - y) 2

a) (y - z)4 (x - z)2 d) 7x4 (y - z)-4 (x - z)-2 4. Si:

a b c 7 + + = b c a 2

a) 4

b) 5

www.trilce.edu.pe

b) 2

3

2

e) 9

-1

G

b c a 5 + + = , a b c 2

5. Si: am = bn = cp, calcular: E =

a) 1

d) 2-2

b) 7x (y - z)-4(x - z)-2 e) 7x4 (y - z) (x - z) y

e)

- xyz (x + y + z) (xy) 2 + (xz) 2 + (yz)2

c) 2-1

b) 3

3. Reducir:

d) - 2

hallar:

c) 6

c) x(y - z)-4 (x - z)-2

` ba + 1jc bc + 1m` ca + 1j d) 7

e) 8

mnp (a + b + c)(ab + ac + bc) abc (m + n + p) (mn + mp + np)

c) am

d) abc

e) mnp Cuarto año de secundaria 53

9

Capítulo

REPASO I LECTURA En el año 1900, durante un discurso en el Congreso Internacional de Matemáticos, David Hilbert propuso una lista de 23 problemas matemáticos. Esta lista, que toca varias áreas de las matemáticas, formó un foco central para muchos matemáticos del siglo XX. A la fecha (2011), diez han sido resueltos, siete parcialmente resueltos y dos siguen abiertos; los cuatro restantes están formulados de manera muy vaga para decidir si han sido resueltos o no. Algunas conjeturas notables fueron finalmente probadas. En 1976, Wolfgang Haken y Kenneth Appel usaron una computadora para demostrar el teorema de los cuatro colores. Andrew Wiles, basado en el trabajo de otros, probó el último teorema de Fermat en 1995. Paul Cohen y Kurt Gödel probaron que la hipótesis del continuo es lógicamente independiente de los (no puede ser probada o negada de) axiomas de la teoría de conjuntos. En 1998, Thomas Callister Hales probó la conjetura de Kepler. En el año 2000, el Clay Mathematics Institute anunció los siete problemas del milenio, y en 2003 la demostración de la conjetura de Poincaré fue resuelta por Grigori Perelmán (que declinó aceptar el premio). http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica


Teoría de exponentes / Ecuaciones Exponenciales

.

Grados/ Polinomios especiales

.

Productos Notables

.

División algebraica I

.

División algebraica II

.

Factorización I

Colegios

TRILCE 54

Central: 6198-100

Álgebra

Cruci - álgebra *

Completa el crucigrama algebraico.

1

5

1

4

2 6

3

3

7

8

4 5

6 7 2

HORIZONTAL

1. Método para factorizar expresiones de la forma: ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 2. Forma de encontrar el resto sin dividir. 3. División de polinomios utilizando solo coeficientes y una línea divisoria. 4. Igualdades donde la variable está en el exponente. 5. Polinomios de igual grado absoluto. 6. Método de división de polinomios donde el divisor es de primer grado. 7. Expresiones algebraicas donde la variable está en el denominador.

VERTICAL

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

www.trilce.edu.pe

Método para factorizar expresiones cuadráticas. Transformación de polinomios de suma a productos. Aplicaciones de los productos notables. Teoremas y propiedades de los exponentes y radicales. Exponentes enteros de una o más variables en los polinomios. Multiplicaciones conocidas sin efectuar dichas operaciones. Método para factorizar, por el método de Rufini, polinomios de grado mayor o igual a tres. Divisiones exactas, cuyo resultado es conocido como su desarrollo. Cuarto año de secundaria 55

9

Capítulo

Aplica lo comprendido 1. Simplifique: S=

(x3 y) 2 y3 (x2) 2 (y )

x

a)

2

x

c)

x

2

y

e) x.y

x

y

6. Dar un factor primo de: P(x) = (x–3)(x–2)(x–1)+(x–1)(x–2)–(x–1)

y

b)

y

d)

; x ≠ 0, y ≠ 0 3 2

a) x – 3 d) x – 2

b) x + 3 e) x + 5

c) x + 2

7. Factorizar: F(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6 3n + 1 n

2. Simplifica: L=

x

3

y

3n + 4

x

a) x–1 y–n

b)

d) xyn

e)

4n

y

4 xyn

2 xy

c)

(x – 1)(x + 2)(x – 3) (x + 1)(x – 2)(x + 3) (x – 1)(x – 2)(x – 3) (x + 1)(x + 2)(x + 3) (x + 1)(x + 2)(x + 4)

8. Factorizar:

x y

a) b) c) d) e)

n

P(x;y) = 4x2 + 12xy + 5y2 + 12x + 18y + 9 3.

2

2y 2y – 3x – Reducir: S= 3x + 2y 3x 2y 3x

c

m c

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

4. Simplificar:

a)

7

d)

14

5+

2

5 –

2

3

3

+

b)

7

e)

14

2

2

m

indicar un factor primo.

c) 3 5 –

2

5+

2

9. Dividir: c)

7 6

2

2

4

b) 2x + 5y + 4 d) 2x + 5y + 6 3

2

x + 4x + 6x –7x + 2 2

x + 2x + 1

Indicar el resto. a) 1 – 10x d) 10x – 2

5

b) 1 + 11x e) 4x – 1

c) 1 – 11x

10. Calcular "a + b", si la siguiente división:

5. Si a + b + c = 0, reducir:

R=

a) 2x + 5y + 3 c) 2x + 5y + 5 e) 2x + 5y + 7

5x4 + 4x3 –13x2 + ax + (b + 1)

2

a +b +c ab + bc + ac

x2 + 2x–1

deja como residuo a: –12 a) 1 d) – 2

b) 2 e) 0

c) – 1

a) 2 d) – 2

b) 3 e) 1

c) – 3

Colegios

TRILCE 56

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Simplifique: Q= 25

a)

a b

d)

a

b)

2

e)

2

b

c – – m5 ; b>0 , a>0 a

2

3

3

b

a b

2

b a a b

A1

A2 4

A3 –12 6

5

` j

b) –5 e) 6

2 c) 3

R=(a+b+c+d)2–(a+b+c)(a+b+d)–(b+c+d)(a+c+d)

b) ac + cd e) 0

c) cd + ab

3

–7

A4

A5

–18 –14 6

42 8

se pide encontrar el mayor coeficiente del dividendo. a) 10 d) 6

3. Simplificar:

a) ab d) -cd – ab

3 K1 K2

c) ab

2. Resolver: 7x + 6 = 73x – 4 a) 5 d) 1

8. En el esquema de Horner mostrado:

b) 8 e) 38

c) 4

9. Calcular "x" en: x+3 x–2 = a)

2

4 b) 2 2

72

e indicar:

x

8x

8 c) 2 2

d) 2 e) 4 4. Hallar el número de factores primos del polinomio: 10. Factorizar: F(x;y)=x2(x – y)2 – 14xy2(x – y)+24y4 P(x;y) = 13x10y5 – 26x7y8 + 39x11y9 dar un factor primo. a) 1 b) 2 c) 3 a) x + 2y b) x – 3y c) x – 4y d) 4 e) 5 d) x – y e) x + 8y 5. Factorizar: P(x) = x3 – x – 6 11. Calcular "a + b + c" , si el polinomio: a) (x + 2) (x2 + 2x + 3) P(x;y)=xa+3y2+5xb–5y+bx8yc+4+x10y9 2 b) (x - 2) (x + 2x + 3) es homogéneo. c) (x + 1) (x2 + 2x + 6) d) (x – 1) (x2 – 2x + 6) e) (x – 2) (x2 – 2x + 3)

a) 44 d) 41

6. Calcular (mn)2, si la siguiente división es exacta. 4

3

6x + 5x + 2mx–3n 2

2x + x + 3

a) – 25 d) 21

b) 25 e) 0

c) 24

7. Factorizar: P(x) = x4 + 7x3 + 19x2 + 36x + 18 a) b) c) d) e)

(x2 + x + 3) (x 2 – x + 6) (x2 + 5x + 6) (x 2 – 2x + 6) (x2 – 5x + 3) (x 2 – 2x + 6) (x2 + 5x – 3) (x 2 + 2x – 6) (x2 + 5x + 3) (x 2 + 2x + 6)

c) 42

12. El siguiente polinomio: P(x)=5x3a–9+10xa+b–3+20(x2)4b–c+a es ordenado en forma creciente y completo. Calcular: ab + bc + ac. a) 15 d) 27

b) 20 e) 2

c) 22

13. Si el siguiente polinomio de 14 términos es

completo y ordenado: P(x)=xn+4+...+xa–1+xa–2+xa–3 Calcular: a + n. a) 3 d) 16

www.trilce.edu.pe

b) 43 e) 40

b) 9 e) 12

c) –4


9

Capítulo

14. ¿Cuál es el polinomio de primer grado "P" tal 18. Hallar el resto de la división: que: P(2) = 3; P(3) = 2P(4)? a) P(x) = –2x + 1 c) P(x) = –x + 4 e) P(x) = x + 5

b) P(x) = –x + 5 d) P(x) = x + 4

15. Hallar el grado del término de posición 1 en el a

2

x –y

a) 12 d) 18

x6 –9x + 5

a) – 4 d) – 24

b) 4 e) – 2

c) – 6

5a - 8

x –y

desarrollo de:

(x6 –9x + 6) 2012 + (x 6–9x + 4) 2011–2 (x6 –9x) –14

9

si es un C.N.

b) 14 e) 20

19. Simplificar:

c) 16

1+

E(a;b)=

16. El residuo de la siguiente división:

2ab 2

2

a –ab + b

c

3

3

a –b 3

3

a +b

mc

2a –1 a–b

m

x4 –4x3 + 6x2 – (a + 2) x + (b + 3) (x + 1) 2

es : – (27x+11); indicar "a + b". a) - 3 d) 4

b) 0 e) 5

c) 3

b) 1

2

b a

S=

3 x4 –2x3 + 3 x2 –5x + ( 7– 3 ) x– 3

b) 3 e) 9

d)

1

c)

a b

e) 0

20. Reducir:

17. Indicar el resto :

a) 1 d) 7

a)

c) 5

1 1 1 + + (a–b) (a–c) (b –a) (b –c) (c–a) (c– b)

a) 0 d) abc

b) 1 e) –a–b–c

c) 2abc

Practica en casa

1. Reducir: R =

c

3

–8a

– 6

b

2 3

m

7. Si: x5 + 3x4 –3x3 –4x2 + (A–1) x + (B + 1) x2 + 2x – 2

2

2. Resolver: 32x+3=3x ; dar la mayor solución. 3. Reducir: K=(

8 + 3 )2 + ( 8 – 3 ) 2

4. Factorizar: P(x;y) = 4x2 + 13xy + 10y2 + 18x + 27y + 18 indicar la suma de factores primos.

deja como resto (4x – 10), calcular "A + B". 8. En el esquema de Horner mostrado: 1 m 2

3

5. Factorizar: P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 indicar un factor primo. 6. Calcular "ba" si la siguiente división es exacta. 4

3

2

ax + bx + 9x + 10x + 3

n

a 9

–2

1 d e p

b

c

f g 4

h –3

Determinar: (m+n+p) – (a+b+c) 9. Calcular x,

2

3x + x + 3

x+1

si: xx+1

=227

Colegios

TRILCE 58

Central: 6198-100

Álgebra 10. Dar la suma de factores primos de: P(a;b;c;d) = a2 + 2ab + b2 – c2 – 2cd – d2

13. Si el polinomio "P(x)" es completo y ordenado: 0

P(x)=3xp–n–5–4xn–m+3+7xm–6+x2+(m+p) Calcular: (m + n + p).

11. Si el polinomio: P(x;y)=axa+3–abxa–1yb+2+2byb+8

es homogéneo, la suma de sus coeficientes es: 12. Dado el polinomio homogéneo: P(x;y)=5x3a–2by4–x2ayb+7+xa–1ya+3b

14. Si: a+b+c=60

hallar: M =

(a–10) 3 + (b–20) 3 + (c–30) 3 (a–10) (b–20) (c–30)

15. Calcular "n", si la división:

Calcular: G.A.(P) + ab.

5n

x

n

–y

6n + 1 2n 3

; genera un cociente notable.

x –y

Tú puedes 1. Efectuar:

>^

- 0, 4

h

- 32

1 3

0 -2

^ h c m

+ - 64

a) 1 d) –

4. Dado el polinomio homogéneo: - -

1

2

b) 1

1 - 3-

+

c m 1

125

1

- 16

+

c m 1

6

1 2

1 - 2-

H

c) -1

3

si la suma de todos los exponentes del polinomio propuesto es 42, hallar: E=a+b+c+d+e a) 7 d) 28

e) 3

3

P(x;y) = xa+yb+c+xbyc+xcyb+xdye+xeyd;

b) 14 e) 35

c) 21

2. Uno de los factores primos de: 5. Determinar la suma de coeficientes del factor 4 2 2 2 2 4 4 4 P(x;y;z)=zx + 4x y – 4x y z +4y z- x - 4y , primo con mayor término independiente al es: factorizar: a) 1 + z d) x – 2y

b) 2 – z e) x + 2y

c) z – 1

3. Si: H= (x–5) (x + 6) (x–1) (x + 2) + 196

hallar:

a) –2 d) 6

b) 7 e) 9

c) 8

H + 16, 25

a) 2x + 1 d)

P(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 3x - 28

2x + 1 2

www.trilce.edu.pe

b)

x+1 2

c) x + 2

e) 2x – 1


10

Capítulo

RADICACIÓN ALGEBRAICA NÚMEROS IRRACIONALES FAMOSOS

Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aún quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales. Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido; por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional 2, el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas. Debido a ello, los números irracionales más conocidos son : Número "pi"= 3,14159 ... ; Número "e"= 2,7182 ... ; Número "áureo"= 1,6180 ... http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional


Denición de radicación

.

Radicales dobles

.

Racionalización

Colegios

TRILCE 60

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

RADICACIÓN ALGEBRAICA

Analizar ejemplos: Definición

caso 1: x = 4 caso 2: x2 = 4

Radicales homogéneos

Racionalización

Radicales semejantes

Para expresiones monomias índice 2 o sus potencias

Operaciones Para suma o resta de radicales

índice 3 o sus potencias

Adición y sustracción Radical doble Multiplicación y división Transforman un radical doble a suma o resta de radicales simples.

www.trilce.edu.pe


10

Capítulo

Saberes previos 1. Efectuar las siguientes operaciones: a)

9 +

b)

49 – 121

4. Reducir:

= ....................................

81 + 100 – 169

= ................................

c)

25 36 – 16 49

= .................................

d)

144 256 ' 16 64

= ............................

2. Completar :

1

a)

4

c)

b)

= .............

d)

49.16

36 25

3

= ................

64.27

= ...........

5. Reducir: 4 8

a)

Dado n A

= ..................

b)

= ..................................................

x y

3

6

6

= ................................................

x y

a) n es el ....................................................... b) A es el ....................................................... 3. Reducir: a) c)

3

16

= ...............

b)

81

64

= ................

d)

3 64

8 16

c)

x y

d)

x

= ............................................

16 16

y

= ........................................

= ................ = ..............

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: 1

1

+

3 +1

3 –1

A B

5+2 6 1 x

1 x – y

3. Efectuar: a)

x x 3

C

x +

D

3+

y

x–y

3

B.

3

.............................................. ( )

20 = 2 5

C. D.

5 >

.......................................... ( ) 7

................................... ( )

4 3 . 3 5 =12 15

..................................... ( )

5+

2 =

27 +

5

b)

7 2 + 3 50

c)

5 8 - 3 18

d) ^

- 32

2 h^ 3 -

3+

2h

2

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F): A.

3

81 -

4. Descomponer el radical doble en radicales simples: a)

12 + 2 35

b)

14–2 33

5. Racionalizar las siguientes expresiones: a) b)

5 5

2

=

x

1 7 –

6

=

Colegios

TRILCE 62

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente: 8+

60

1 12

x4 y7 1

12

x6 y4

17 + 2 72

6. Si:

3+2 2

B

F.R.=12 x8 y5 5+

3

D

12

6

F.R.=

a–2 + 2b

Además: a > b; a, b ∈ , descomponer en radicales simples: a + b + 2 a + 6b

A

C

a+4 b+2 =

8

a)

5– 2

b)

3+

2

d) 2 +1

e)

7 +

2

c)

3–1

7. Reducir:

x y

13–2 40 +

T=

7+

33 + 8 2 +

40 + 11 + 6 2

3 – 8 + 11 – 72

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F): A. El radical doble: 13– 120 es igual a: 10 – 3 ................................................ ( )

a)

2

b) 3 2

d) 2 – 1

e) 1

B. El radical doble: 6 + 2 8 es mayor que 2 +3 .................................................. ( ) 8. Al reducir: C. El factor racionalizante de 1 es 3 +1 3 –1 .............................................................. ( ) D. El factor racionalizante de:

3

3 16 es 4 ... ( )

3. Respecto a la Racionalización, completar: Expresión irracional

Factor racionalizante

Expresión racional

5– 3

obtiene:

d) 11

e) 15

1 +2

2

b) 3 e)

c)

5

2 2

10. Efectuar:

7 + 2 ) ( 7 – 2 ) + (3 + 2 ) (3– 2 ) + ( 5 + 2) ( 5 –2)

b) 11 e) 17

c) 13

b)

3 11

e)

6

1 8+

1

+ 6

6 –2

a) 2 d) -1

1

+

2+

– 2

b) -2 e) 0

1 2

c) 1

11. Simplificar:

5. ¿Cuál de las raíces es menor? 8 ó 3 11 ó 4 36

www.trilce.edu.pe

c) 9

1 + ... + 2 1 + 2 3 + 2

2

4. Calcular:

d) 11

, se

9. Simplificar:

T=

8

9 + 2 7 –2 6

a>b. Hallar: a+b

b) 14

d) 6

5 x3 y7

a)

a + b,

5+2

a) 12

a)

3– 2

a) 10 d) 15

7+4

Indicando uno de los radicales simples.

3 xy2

N=(

c) 3 2 –1

c)

36

J=

4 5

+

4 1+

1 5

a) 0 d) 6

1

+

1

1–

1+

b) 1 e) 5 +1

5

c) 5


10

Capítulo

14. Se tiene dos jardines; uno de forma cuadrada

12. Simplificar: 1

M=

–

1

de lado L=

2

–2

1 –2

1 2 –1

b) 1 e) 2 –1

c) 0

a) 1 d) 4

15 +

3

, Si se

sembrado?

4 3+

, y el otro rectangular

costo por m2 es de $120, ¿cuánto costó el

13. Indicar el denominador racionalizado de: 2+

3

desea sembrar con grass ambos terrenos cuyo

–2

a) 2 d) 2 +1

15 +

de base =2 3 y la altura H=

–2

1

12

15. La dificultad para producir una sustancia "α" está dado por: F(x)= 3 x , donde "F(x)" es el número de unidades de la sustancia "α" y "x" es el costo,en miles de dólares, para producirla. ¿Cuántas unidades "α" se producirán, si : x=8 y x=27? 2

5

b) 2 e) 6

c) 3

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 8– 48

1 15

5 8

x y 1

15

x4 y10

15–2 54

4. Calcular:

A

3– 6

B

F.R.=15 x11y5

N=^

10 + 2 h ( 10 – 2 ) + ^ 6 + 2h^ 6 –2h + ^3 + 7 h^3– 7 h

5. ¿Cuál de las raíces es mayor? 6;

C D

6 –

3

3 ; 6 15 ;12 32

2

F.R.=15 x10 y7


6. Dado: a + 60 , donde a∈ ; al descomponer en radicales simples, uno de ellos es 5 . ¿Cuál es el otro? 7. Calcular "A+B", si:

A. El radical doble: 11 + 40 es igual que: A= 12 + 12 + 10 +1 ..................................................( ) B. El radical doble: 5 + 2 6 es mayor que: B= 19 + 2 48 – 3 +1 ..................................................( ) C. El factor racionalizante de 1 es 5 +1 5 +1 ( ) 8. Simplificar: D. El factor racionalizante de 4 8 es 4 2 ......( ) 3. Respecto a la Racionalización, completar: Expresión irracional

Factor racionalizante

Expresión racional

M=

2

3+

12 + ... + 2

13 +

5– 13 +

48 +

3

48

9. Simplificar: 3– 3 +

2+ 2 2

3+

2 – 12 +

18– 128

6– 2

4

2 3

x y

2+ 3 3

2

5

10. Reducir: T=

1 3+

+ 2

1 2+

+ 3

1 5 +2

+

1 6+

x y

Colegios

TRILCE 64

Central: 6198-100

5

Álgebra 11. Efectuar:

14. Se tiene dos jardines; uno de forma cuadrada 2

U=

–1

1– 3

3

de lado L=

1

3 –

3 –

12. Simplificar: 1

–

1

4–

2–

3

13. Indicar el denominador racionalizado de: S=

219 1+

2+

3+

, y el otro rectangular de

15. La dificultad para producir una sustancia "α" está dado por: F(x)=4 x , donde "F(x)" es el número de unidades de la sustancia " α" y "x" es el costo, en miles de dólares, para producirla. ¿Cuántas unidades "α" se producirán , si : x=16 y x=81?

1

4–

3

3

1

4–

2+

base B = 2 3 y altura H= 2 + 3 . Si se desea sembrar con grass ambos terrenos cuyo costo por m2 es de $150, ¿cuánto costó el sembrado?

1 3

M=

1

6

Tú puedes 1. Descomponer en radicales simples la expresión: M= a) n +1 d) n 2 + n

b) 2n +1 e) n –1

2. Si: x2 = x + 1, x > 0, reducir: E =

a) d)

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 2 n + 2 n 2 n

x 2 x

c)

n

c)

2 2

x–1

x+

x –

b)

2x

2

2

e) 2 x

2 100

3. Calcular: /

( k –

4

k ) ;

indicar la parte racional.

k= 1

a) 45 d) 48

b) 46 e) 49

4. Si: 1 < x < 2, reducir:

a) d)

6

3 x + 6 + 2 7x–7 +

b) 7

2 7 +1

e)

2

c) 47

x–2 x–1

c)

7 –1 2

7 2

entre 3– 7 , se obtiene una expresión de la forma "a+ b ", donde "a" y "b" son enteros positivos, entonces "a 2 – b" es:

5. Si al dividir

a) 9 d) 2 www.trilce.edu.pe

26–2 7

b) 15 e) 18

c) 29


11

Capítulo

FACTORIAL - NÚMERO COMBINATORIO FACTORIAL - NÚMERO COMBINATORIO

El matemático francés Christian Kramp fue quien popularizó la notación "n!". Los factoriales se utilizan considerablemente en la rama de la Matemática combinatoria. Por medio de esta, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades y en el ámbito del Análisis. También en las Combinaciones y permutaciones, donde normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. Por ejemplo: "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas". No importa en qué orden pusimos las frutas; podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas": es la misma ensalada. "La combinación de la cerradura es 472". Ahora sí importa el orden; "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente: 4-7-2. Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso. "Si el orden no importa, es una combinación. Si

el orden importa, es una permutación". http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones.html


Factorial de un número

.

Número combinatorio

Colegios

TRILCE 66

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

FACTORIALES COMBINACIONES

Factorial

Combinaciones Definición

Notación

Notación: CnK Número combinatorio Casos: C1n ;

Factorial de: uno y de cero

n

n

C0 ; Cn

Adición Igualdad de factoriales Complementarias Propiedad degradativa Igualdad Superior e inferior Degradación

Inferior Superior

www.trilce.edu.pe


11

Capítulo


3. Simplificar:

a) x11 .x12. x14

= ...............................

b) x25 .x28 . x–27

= ...............................

c) x114 ÷x101

= ...............................

d) (x48 y25)(x36y22) = ...............................

a)

x (x + 1) (x + 2) x (x + 1)

b)

(a + 3) (a–1) (a–4) =............................. (a–1) (a–4) (a + 3)

c)

4.7.9 .8

d)

1.2.3.4 .5

2. Factorizar: a) x(x+2)+y(x+2)+z(x+2)=......................... b) x2(x+1)+y2(x+1)

=.........................

c) x2 – 3x - 18

=.........................

d) x2 +9x –10

=.........................

9.7.4

=.............................

4.3.2

=.............................

=.............................

4. Completar: a) 2.4.8.16= 2

b) 3.9.27.81= 3

5. Resolver: a) 4x+3=21

b) x2 – 169=0

c) 2x+1=16

d) 3x–1=27

Aplica lo comprendido

1. Relacionar correctamente:

3. Completar: A. (x – 2)! =24→ x =

5!+3!

A

x=10

Cx =C10

20

20

B

x=3

B. (x – 5)! =1→ x1 = ; x2=

(x–2)!=4!

C

x=6

C. C 6 = Cx → x1= ; x2=

D

126

20

20

Cx+7 =C10

15 20

A. 5! + 4! = 9! .......................................... ( ) B.

9

9

C. C2 =C7

20

D. Cx+3 = C15 → x1= ; x2=

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al factorial y número combinatorio:

10 10 20 C1 +C1 =C2 ........................................ (

15

)

............................................ ( )

4. Reducir: S=

9!17! 8!18!

5. Reducir: 3

3

3

3

C0 + C1 + C2 + C3

D. (x–4)!=120→x=124 ..............................( )

Colegios

TRILCE 68

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente: 7

C3 n

n

Ck +Ck+1 7

4

C3 +C2 n

Ck

6. Indique la suma de los valores de "x" que verifican la ecuación: 35 35 Cx2 = C2x

A

41

B

n! k! (n–k) !

C

Ck+1

n+1

7

D

3

6

C2

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al factorial y número combinatorio: 31!

A. Si: M=

B.

10 C1 +

29!

→ M=930 ........................ ( )

10 C2 =

4

11 C2

4

.................................. ( )

5

6

C. C0 + C1 + C2 = C4 ........................ ( ) D. Si: E=

51! 49! + 50!

→ E=50! ................... ( )

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

77 76 7. Sabiendo que: 3C7k = 11C7k–1 ; k ∈ +,

Calcular:

(k!)! k!

a) 1 d) 160

b) 20 e) 180

8. Reducir: A =

11!–10!

a) 380 d) 387

C. Si:

=

x C4

24

25

+...

c) 386

Entonces podemos afirmar que: b) A > 2 e) A<1

c) A=1

1 + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = 719 b) 6 e) 9

x x [C3] [C2] =

4. Si:

B=

7!

c) 7

11. Hallar la suma de todas las soluciones de:

D. Si: M=C0 +C1 +C2 → M=

A=

9!–8!

n! + (n–1) !

a) 5 d) 8

→ x=........

24

8!

+

10. Calcular el valor de "n" en:

B. Si: (n – 9)! =1→ n =........ ; ........ x C3

10!–9!

9. Si: A = 2 (n! ) – (n –1) (n–1) ! , n ∈ +.

d) A ∉

A. Si: (5x – 2)! =120 → x =

9!

+

c) 120

b) 385 e) 400

a) A < 0

3. Completar:

c) 6

36x – 2

6! + 7! + 8!

a) 1 d) 6

6! + 7! 71! 69! + 70!

1024.(x – 1)![1.3.5.7....(2x – 3)] = (2x – 2)! b) 560 e) 1

c) 65

5. Calcule el valor de "x", si: (x + 5) ! (x + 11) ! = (x + 6) ! + 5 (x + 5) !

a) 8 d) 11

www.trilce.edu.pe

c) 4

12. Hallar "x" en:

Calcular "A.B" a) 56 d) 650

b) 3 e) 7

b) 9 e) 12

a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

13. Hallar "a+b" si:

20!

a+3

a+1

a+1

a+1

b+2

C10 + C7 + 2C8 + C9 = Cb–3 c) 10

a) 20 d) 26

b) 22 e) 28

c) 24


11

Capítulo

14. La permutación con repetición es una técnica de conteo, donde los elementos a ordenar tienen repetidos uno o más elementos. Este número de ordenamientos diferentes está dado por: n Pa,b,c,... = n! , a!b!c!...

donde:

n : Número de elementos a ordenar a,b,c,...: Elementos repetidos de un primer, segundo, tercer tipo, etc. Según esto,indicar cuántos ordenamientos pue -

den formarse con las letras de la palabra "BÁRBARA". 15. ¿Cuántas ensaladas, que contienen exactamente cuatro frutas, podemos preparar si disponemos de diez frutas diferentes?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 9 C2 x

x

Cn+Cn+1 10

8

n Ck

(a + 7) ! (a + 5) ! = (a + 6) ! + (a + 5) !

A

73

B

n! k! (n–k) ! x+1 Cn+1 9 8 C1 2

C

C2+C8

5. Hallar el valor de "a", sabiendo que:

D

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al factorial y número combinatorio: A. Si: M= 41! 39!

20

20

2n

m+1

m

7. Calcular "m" en: 5C5

= 9C4

8. Hallar "a+b" en:

20

8

9

10

C. C 0 + C1 + C2 = C3 ....................... ( ) D. Si: E=

2n

6. Calcular el valor de "p" en: C10–p = Cp–2

120720 = a(b!)! . [(a – 1)!](b!)! y! + 2. (y–1) ! y!–23 9. Resolver: = → M=1640 ........................ ( ) y! + (y + 1) ! y

B. C1 + C2 = C3 .................................. ( ) 8

15!

31! 29! + 30!

→ E=30 .................... ( )

10. Resolver: 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + x.x! = 40 319 11. Determinar: x+y, si: y x+ 5 x 5 Cx + + Cx + 1 = Cx + 3

3. Completar: A. Si: (4x – 3)! =720 → x =............ B. Si: (n – 81)! =1 → n =............. ; ............ x

12. Simplificar: (1! + 2! + 3!) (2! + 3! + 4!) (3! + 4! + 5!) ..."n" factores (1! + 2!) (2! + 3!) (3! + 4!) ..."n" factores

x

C. Si: C11 = C15 → x=................ 44 D. Si: M=C 0 +

44 C1 +

45 C2

13. Hallar "x":

→ M = ............

x

x

x

x

C0 + C1 + C2 + C3 =

3

x + 6x–3 6

;x∈

+

4. Simplificar: F = 16! + 17! + 18! + (5! ) ! 16! + 17!

120!

Colegios

TRILCE 70

Central: 6198-100

Álgebra 14. La permutación con repetición es una técnica de conteo, donde los elementos a ordenar tienen repetidos uno o más elementos. Este número de ordenamientos diferentes está dado por: n Pa,b,c,... = n! , a!b!c!...

n

Según esto,indicar

cuántos

ordenamientos

pueden formarse con las letras de la palabra "TERRENO". 15. ¿Cuántas ensaladas, que contienen exactamente tres frutas, podemos preparar si disponemos de ocho frutas diferentes?

donde:

: Número de elementos a ordenar

a,b,c,... : Elementos repetidos de un primer, segundo,tercer tipo,etc.

Tú puedes 1. Siendo n ∈

+

a) 1

4

n

6C04n –C24n + C44n –C46n + ... + C44nn @

b) –1 n

2. Reducir: / k= 1

a)

1

, hallar: M =

c) (–1)n

d) 2

e) 4

1

d) 1

e) –

– 1 C kn – 1 2n– 1 Ck

1

b)

n+1

e

3. Calcular: E = a) 1

m–1

2 n+1

o e

2n + 1

c)

+

2n–m

o,

2n + 1

m

/ m > n ≥ k ; reducir: /

b) m + 1 2

5. Calcular: ^C0nh 2n

a) Cn

www.trilce.edu.pe

n

2

n

2

d) mn

2

e)

m+n m–n

e oe o i–1

m–1

k–1

n–k

m

c) m – 1 n

n

∧ m ; n > 1000

c) 0

i= k

a) m

+

para m; n ∈

b) – 1

4. Sean m; n; k ∈

n

1

n

m+1

d) Cn

e) Cn+1

2

– ^C1 h + ^C2h – ^C 3h + ... – ^ C nh

2n

b) (–1)nCn

2n

c) (–1)nCn

2n–1

d) (–1)nCn

e) 0


12

Capítulo

BINOMIO DE NEWTON UN BINOMIO PARTICULAR La mayor parte de la notación matemática que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el siglo XVIII. Antes de eso, las matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limita el avance matemático. En el siglo XVIII, Euler fue responsable de muchas de las notaciones empleadas en la actualidad. La notación moderna hace que las matemáticas sean más sencillas para los profesionales, pero para los principiantes resultan complicadas. Los matemáticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento sistemático. Esto sirve para evitar teoremas erróneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia. El nivel de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pero en tiempos de Isaac Newton los métodos empleados eran menos rigurosos. Ahora, los matemáticos continúan apoyándose entre ellos mediante demostraciones asistidas por ordenador. http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


Denición

.

Forma general del desarrollo del binomio

.

Análisis de los términos

.

Término general

.

Suma de coecientes

.

Suma de exponentes

.

Otros desarrollos

Colegios

TRILCE 72

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

BINOMIO DE NEWTON

Desarrollo de: (x+a)n; n ∈ Z+

Análisis de términos

Término general

Número de términos

Notación

Coeficientes equidistantes

Suma de coeficientes

Caso 1 n

C0

Fórmula

n

n

n

n

n

n

+ C2 + C 4 + ... + Cn

Caso 3 n

C1

www.trilce.edu.pe

n

+ C1 + C2 + ... + Cn

Caso 2 C0

Término central (los 2 casos)

Adicionales

n

+

n

n

En: (a1+a2+a3+...+am)n

Coeficiente


C 3 + C 5 + ... + C n − 1


12

Capítulo


4. Efectuar:

a) (((x)m)n)p= ............ c) x =.................... x m n

b) xn.xm.xp = ............ x

d)

m

.x

x

p

n

=.................

2. Del polinomio cuadrático: P(x) = x2 +3x + 2, calcular: a) P(1) = ................ c) P(2) = ................

b) P(0) =.................. d) P(0)+P(2) = ...........

a) (x + 2)2 = ............................... b) (x – 4)2 = ............................... c) (x + 1)3 = ............................... d) (x – 2)3 = ............................... 5. Completar: n

a) Cn =................... n

3. Dados los monomios, completar:

b) C1 = ................. n

a) P(x;y) = 4x10y12

c) C0 =...................

• GR(x) =......... • GR(y)= ........ • GA=.........

b) P(x;y;z) = –5x8y7z4 • GR(x)=...............

• GR(y)=..............

• GR(z)=...............

• GA=.................

Aplica lo comprendido 3. Respecto al binomio: (x2 +y4)6, completar:

1. Relacionar correctamente:

a) Número de términos =

(x2+y3)4

A

Suma de coef.=27

(x2+2y)3

B

Tiene 5 términos

b) Suma de coeficientes =

(x2+y4)5

C

Suma de coef.=4

c) suma de exponentes =

(x2+y)2

D

Tiene 6 términos 4. El quinto término en el desarrollo (x + y)7 es:

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al desarrollo del binomio de Newton: A. El número de términos de: (5x+y)12 es 12 ..............................................................( )

5. El desarrollo de (x + y)2n – 1 tiene 20 términos. Calcule "n".

B. La suma de coeficientes al desarrollar: (x+y)3 es 8 ..........................................( ) C. El número de términos de: (x2+y)n+1 es 10, si n=9 ..................................................( ) D. El tercer término al desarrollar: (x+1)2 es 2x ..............................................................( ) Colegios

TRILCE 74

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente a partir del binomio 5. Hallar el lugar del término independiente en el (x+a)n: desarrollo de: Suma de

2n

A

n+1

B

n

Tk+1=Ck xn–k.ak

C

(α + β) (n) (n + 1) 2

D

exponentes exponentes en (xα+yβ)n Término general Suma de

coeficientes Número de términos

2. Indicar Verdadero Verdadero (V) o Falso (F) respecto al desarrollo del binomio de Newton:

P(x) = a)

n 2

c

+1

d) n + 2

5

x +

n

1

m

, siendo "n" par.

b)

n

5

x

c)

2

n 2

–1

e) n – 2

6. Si el décimo término en el desarrollo de (x b+xc) d es x18, calcular "c + d".

a) 1 d) 11

b) 2 e) 13

c) 9

7. Si el el grado absoluto del séptimo término en el el 2 n desarrollo de: P(a; b; c) = (a b + c) es 30, haA. El número de términos de: (12x4+y5)12 es

12 ........................................................( ) B. La suma de coeficientes al desarrollar: (x4+y3)5 es 32 ........................................( )

llar el grado de su término central.

a) 16 d) 31

b) 24 e) 47

c) 28

C. El número de términos de: (x2+y3)n+1 es 12, de: si n=10 ..................................................( ) 8. En el desarrollo n 1 + x , x ∈ +, el término de lugar 17 es 2 D. La suma de exponentes al desarrollar: (x6+y2)4 es 80 ........................................( )

3. Respecto a los binomios completar: A. El tercer término de (x2 + y3)6 es: ______________ B. El penúltimo término de (3x2 – y3)12 es:

______________ D. La suma de exponentes de (x3 + y2)4 es:

x

______________

m

n

de la forma: T17 = C16x2. Calcular el valor de "n". a) 16 d) 19

b) 17 e) 20

c) 18

9. Calcular “n” si al desarrollar: F(x) = (x6 – 1)4(x4 + x2 + 1)2n(x2 – 1)2n se obtienen 25 términos. a) 8 d) 18

______________ C. La suma de coeficientes de (2x + y)5 es:

c

b) 10 e) 20

c) 12

10. Indicar el valor de "k" si en el desarrollo de: (x +1)36, los términos de lugares (k – 4) y k 2 tienen coeficientes iguales. a) 7 d) 9

b) 6 e) 10

e

3

c) 5 2

x

7

y

n

o

4. Calcular el término término de lugar 13 en el desarrollo desarrollo 11. En el desarrollo de: y5 + x , existen dos de: términos consecutivos, el primero independiente 15 1 2 de "x" y el segundo independiente de "y". P(x) = x + 5 x Indique el número de términos del desarrollo.

c

a) 252x61 d) 30x6 www.trilce.edu.pe

m

b) 455x–54 e) 4x10

c) 125x–8

a) 54 d) 62

b) 60 e) 63

c) 61


12

Capítulo

15. El código modular de un alumno del colegio 12. Al desarrollar la expresión: y – + x , TRILCE en la UGEL está determinado curiosamente en el triángulo de Pascal en la fila 8 y columnas: colum nas: admite un solo término central cuya parte literal 3; 4; 5 y 6. ¿Cuál es dicho código modular? es: x60y600. Hallar: n ÷ m

e

a) 44 d) 10

x

B(x) =

;c

1 4

x

4

m c

n + 20

n

o

Columna 1 Columna 2

c) 4

13. Si un término del desarrollo de: 4

y

n 10

b) 40 e) 8

x +

m

4

– x –

1 4

x

Fila 1 Fila 2 4 m

mE

es igual a: 3×213; calcular el valor de "m". a) 1 d) 6

b) 2 e) 8

c) 4

14. Un alumno del colegio colegio TRILCE le pregunta pregunta al profesor acerca de su nota del examen bimestral de Álgebra, y el profesor le responde curiosamente lo siguiente: "Tu nota es el término independiente al desarrollar el siguiente 6 binomio: "`x + 1 j ". ¿Cuál fue su nota? x

Practica en casa 1. Relacionar correctamente al desarrollar: (a+x)n A

Suma exp. de

n+1

B

Suma de

n tk+1=Ck an–k.xk

C

(π + θ) n (n + 1) 2

D

2n

b) El penúltimo término de (4x3 + y2)10 es: __________________

(xπ+yθ)n

c) La suma de coeficientes de (3x + y)4 es:

coeficientes Número de términos

Término general

__________________ d) La suma de exponentes de (x4 + y3)5 es:

4. 2. Indicar Verdadero Verdadero (V) o Falso (F) respecto respecto al desarrollo del binomio de Newton: 5. A. El número de términos de: (5x4+y7)10 es 11 ............................................................ ( ) 6. B. La suma de coeficientes al desarrollar: 2 2 3 (4x – y ) es 27 ................................... ( ) C. El número de términos de: (x4+y6)n –1 es 12, si n=12 ................................................. ( ) 7. D. La suma de exponentes al desarrollar: (x4+y3)3 es 42 ........................................ ( )

__________________ Calcular el cuarto término de: c

x 2

+

2 x

6

m

Hallar el término independiente en el desarrollo de: (x3 + x–1)4n ; n ∈ +. Indicar el valor de "n", si la expansión de (x3 + y2)n, contiene a: x 18y16. Calcular el valor de "n" para que el término término 12 del desarrollo de

c

5

x +

1 3

x

n

m , contenga a: x12.

3. Respecto a los binomios completar: a) El cuarto término de (x3 + y4)5 es:

__________________

8. Hallar "n" para que el "t25" del desarrollo de:

e

2

2

x

y

+

y

x

5n+2

o

, contenga a: x44.

Colegios

TRILCE 76

Central: 6198-100

Álgebra 9. Desarrollando la expresión: 14. El código modular de un alumno del colegio 2 n 2 n + 2 –1 n (a + a) .(a – 1) .(1 – a ) , se obtiene 21 TRILCE en la UGEL está determinado curiosamente términos en total. Hallar "n". en el triángulo de Pascal en la columna 3 y filas : 5; 6; 7 y 8. ¿Cuál es dicho código modular? 10. Calcular el valor de "k" en el desarrollo de Columna 1 (1+x)43, si se sabe que los coeficientes de los Columna 2 términos de lugares (2k+1) y (k+2) son iguales. Fila 1 Fila 2 11. ¿Cuál es el número de términos términos en el desarrollo n

n de: ` 8 x + yj , si los coeficientes de los términos

de lugares 7 y 8 son iguales?

12. Si el producto de la suma de los coeficientes de

los desarrollos de: (a + b)m; (c + d)n; (a + 1)p es 4096, siendo "m", "n" y "p" pares consecutivos, hallar el valor de: mn + np + pm.

13. Determinar "a + b" en la expansión de: b

15. Un alumno del colegio colegio TRILCE le pregunta pregunta al profesor acerca de su nota del examen bimestral de Álgebra, y el profesor le responde de modo que admita un solo término central curiosamente lo siguiente: "Tu nota es el cuya parte literal es: x 24y15. término independiente al desarrollar el siguiente 6 binomio: " x + 12 ". ¿Cuál fue su nota? P(x; y) =

e

b 4x2a – y yb – 5 2x2

o

c

x

m

Tú puedes 12

1. Determinar el coeficiente coeficiente del del término en el desarrollo de: de: P(x;y;z)=`2x3 – 41 y4 z2j , en el que los exponentes de "x", "y", "z" (en ese orden), formen una progresión aritmética. a) 376

b) 495

c) 572

d) 396

e) 478

2. Determine el coeficiente de x6y3 en el desarrollo del producto: (x + y) 5 (2x – y)4 a) 160

b) 36

c) 24

d) – 48

e) – 96

3. ¿Cuántos términos enteros tiene el desarrollo de: ^12 34 + 34 12 h1234 ? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) Más de 4

4. Hallar el cociente que se obtiene al dividir el término central del desarrollo de n+ 1 ( ( n – coeficiente de x en el desarrollo de: (1 – 4x) 2 a) 1

b) – 1

c) 2

d) – 2

e)

4n

`x + x1 j

entre el

1 2

5. Si el el tercer tercer término del desarrollo del binomio (n+x3)n es "nk" veces el cuarto término del desarrollo

de (n + x2)n, hallar "n", si k ∈ a)

3–2k k

www.trilce.edu.pe

b)

1+k k

+.

c)

2 + 3k k

d)

3+k k

e)

3 + 2k k


13

Capítulo

NÚMEROS COMPLEJOS EULER Y SUS APLICACIONES EN LOS NÚMEROS COMPLEJOS Entre 1545 y 1560, los matemáticos it al ia no s Girolamo Ca rd an o y Rafael Bom bel li se dieron cuenta de Producto de Producto de que el uso de un número y dos números los números su conjugado cualquiera imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria). Los números complejos se utilizan en todos los campos de la Matemática, en muchos de la Física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en Ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del Álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado "n" tiene exactamente "n" soluciones complejas. Los números complejos contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo. http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo


Unidad imaginaria

.

Números complejos

Colegios

TRILCE 78

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

NÚMEROS COMPLEJOS

Unidad imaginaria

Definición: i2

Potencias

Propiedades

Números complejos

Conjugados

Operaciones

Opuestos

Suma y resta

Iguales

Multiplicación

Imaginario puro

División

Potencia

Reales

Gráfica en el plano Gaussiano

www.trilce.edu.pe


13

Capítulo

Saberes previos 1. Completar luego de resolver:

3. Reducir:

a) x2 = 16 → x = ...................

a)

b) x2 = 100 → x = ...................

c)

c) x2 = 13 → x = ...................

a)

2. Completar:

c)

12

=...........

= ..........

d)

75

=...........

b)

1

48

1 3

=...........

8

=...........

5. Racionalizar:

x65=x34.x12. x–8

b)

4. Racionalizar:

d) x2 = 48 → x = ...................

a)

8 = ........... ...........

.......

=...........

b) d)

x43=x12.x19.

.......

x–48 =..........

a)

1 2 +1

= ..........

b)

1 3 –1

=...........

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: Z=3+4i W=5+12i –25

i6

3. Completar:

A

Zimag.puro : a=8

B

–1

C

Z=(a–8)+4i

D

5i z+w=8+16i

A. (1 – i)2

= ..................................

B. i+i2+i3+i4

= ..................................

C. z=5+12i →|z| = .................................. D. (1+i)4

4. Determinar el valor de "m", si: imaginario puro.

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) : A. Si: z=4–3i → z=3–4i ........................... ( )

= ..................................

5. Hallar "a", si:

a + 4i 3 + 2i

5 + mi 2 – 3i

es un complejo real.

B. (1 + i)2 = 2i .......................................... ( ) C. Si: z=3+2i → |z|=5 ........................... ( )

D.

–36 +

–9

= 9i .................................. ( )

Colegios

TRILCE 80

Central: 6198-100

es

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente: Z=3+4i W=5 – 12i –9 +

7. Determinar la suma:

A B C

–25

1+2i+3i2+4i3+5i4+6i5 + ......... ("4n" sumandos)

Zimag.puro : a=3 Wreal : b=2 –1 8i

i258 Z=(a–3)+4i D W=5 – (b – 2)i

a) 2+2i d) –n – ni

|Z|=5; |W|=13

Z = (3+4i)(1+ 3 i)(2 2 – 2 2 i) a) 10 d) 60

A. Si : Z ∈ C→Z+Z =2Re(Z) .....................(

1–i

1–i

+

= 2i .............................. ( )

1+i

b) 40 e) 80

c) 20

) 9. Efectuar y dar el módulo del complejo:

B. (1 + i)2 – (1 – i)2= 0 ............................. ( ) 1+i

c) –2n–2ni

8. Determinar el módulo de:

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) :

C.

b) 2n(1 – i) e) –1 – i

D. i + i2 + i3 + ..... + i 48 = 1 .................. ( )

Z=

4 2

i–

a) 2 d) 3

2

9

b) e)

i

4 9

2 3

c) 2

10. Si la gráfica del número complejo:

3. Completar: A. Z1 = 3 – 2i → Z 1= ................................... B. Z2 = – 2 + 5i → Z*2= .............................. C. Z3 = 6+ 8i → |Z3|= ................................ D. Z4 = – 7 + 7i → |Z4|= ............................

Z=

1 + mi ; 1 – mi

m∈

Es la que se muestra en la figura, encontrar el valor de "m". Im(Z)

4. Efectuar: Re(Z)

i343 + i459 + i623 + i975 + i1240 – i4020 a) 4i d) –4

b) 4 e) 0

c) –4i

5. Reducir: A=

9

16

i +i 22

i

13

–i

40

+i

39

–i

a) 1 d) 2i

8

+ 2i

– 2 ; (i =

a) 4 d) –1

)

–1

1 mc1– 2 +1 i m... c1– 2191+ i m=a+bi `1– 1i jc1– 1 + i

c) i

Calcular: (a + b)(2192 + 1)

6. Calcular: 201202

a) 2 d) 1 + i

302303

+i301

403404

+i402

b) 4 e) 2 + 2i

504505

a) 1 d) –2

b) 2 e) 3

+i503

c) 2i

c) -1 2011

12. Calcular el valor de: E = / k= 1

Donde: i = a) 1 d) –i

www.trilce.edu.pe

c) 1

11. Si:

b) 2 e) 4i

i200

b) –2 e) 2

;

2

k+k i 2

ki – k

k

E

–1

b) i e) 0

c) –1


13

Capítulo

13. Indique la parte real de: Z=(1+i)2+(1+2i)2+(1+3i)2+...+(1+ni)2; n∈ a)

n (n + 1) 2

b) n

c)

d)

n (n + 1) 6

e)

n

(2n+5)(1–n)

6

+

n (2n + 5) 3

15. Calcular el perímetro de un terreno de forma triangular, el cual está representado en el plano gaussiano por los números complejos: A=1+2i , B=6+14i y C=15+2i ; además: i= –1 ; |Z1|, |Z2| y |Z3| son módulos. Im(Z)

B |Z2|

|Z1|

14. Calcular la suma de los 100 primeros términos de una sucesión, donde el término general está definido por: Tn=(n+1)i n+1; n ∈ *, siendo: i= –1.

A

|Z3|

C Re(Z)

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: Z=6+8i W=5 – 12i –4 +

6. Efectuar:

–49

i34

T=

Zimag. puro : a=3

A B

–1

C

9i

z=(a–3)+ai D

20 28 36 1819 2627 3435 17 25 33 i +i +i

7. Calcular: S=i2+2i4+3i6+4i8+...+2ni4n

8. Encuentra el módulo del complejo: z=

|Z|=10; |W|=13

(3 + 4i) . (5 + 12i) (1 + i) . ( 7 + i)

9. Calcule el equivalente de:

2

i–

i+

5

i

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) : A. Si: W ∈ C → W+W=2Re(W) ................( )

B. (1 + i)2 + (1 – i)2= 4i ............................ ( ) C.

1+i 1–i – 1– i 1+i

= 0 ................................. ( )

10. Si la gráfica del número complejo:

Z=

m+i ; 1 + mi

m ∈ , es la que se muestra en la

figura, encontrar el valor de "m". Im(Z)

D. i + i2 + i3 + ..... + i480 = 1 .................. ( ) Re(Z)

3. Completar: A. z 1 = 4 – 3i → z 1= B. z2 = – 3 + 6i → z*2 = C. z 3 = 3+ 4i → |z3|= D. z4 = – 6 + 6i → |z4|= 4. Efectuar: i100 + i101 + i102 ...... + i2006 5. Calcular: M =

i

32

+ i

46

+ i

i

54

+ i

520

–i

65

673

11. Si: 1 mi ... c1 + 991+ i m=a+bi `1 + 1i jc1 + 1 +

Calcular el valor de "a – b". 12. Calcular el valor de: 2012

E= / n= 1

;

2

n+n i 2

ni – n

n

E ; donde: i =

–1

Colegios

TRILCE 82

Central: 6198-100

Álgebra 13. Indique la parte imaginaria del complejo definido por:

|Z1| , |Z2| y |Z3| son módulos. 1m(z)

Z=(1+2i)2+(1+3i)2+(1+4i)2+...+[1+(n+1)i]2

B z2

z1

14. Calcular la suma de los 40 primeros términos de una sucesión, donde el término general está definido por: Tn=nin ; n ∈ *,siendo: i = –1 .

A

C

z3

RE(z)

15. Calcular el perímetro de un terreno de forma triangular, el cual está representado en el plano gaussiano por los números complejos : A=2+i, B=10+7i y C=18+i; además : i = –1 ;

Tú puedes 1. Sea "z" un número complejo que satisface:

z+1 z –1

= 1 ; entonces:

b) Re(z) ≤ 0 c) Im(z) ≥ 0 e) "z" es un número imaginario puro.

a) Re(z)>0 d) "z" es un número real.

2. Si: 3 a + bi =m+ni ; {a; b; m; n} ⊂ R, i2 = –1. Calcular:

a) 3i

b) 1

c) –1

c

a

1–

3

m

mc

b 3

n

m

+1

d) –3i

e) 3

d) 3

e)

2 2 z1 + z2 – z1–z2

3. Sean: z1, z2 ∈ C; reducir: Re (z .z ) + Re (z .z ) 1 2 1 2

a) 1 4. Efectuar:

b)

1

c) 2

2

1 3

(m + nw) 2 + (n + mw2) 2 + (m + nw2) 2 + (n + mw ) 2 + 2mn

Si: n > m; w = 3 1

a) m + n

b) m – n

c) n – m

d) 2n – m

e) 2m – n

5. Sabiendo que "z1" y "z2" representan un número real puro e imaginario puro respectivamente, hallar

el valor de: R = a – b; ab ≠ 0 Donde: z1 = a) 30

www.trilce.edu.pe

a + b + 2i a–b–3i

b) –3

; z2 =

a + (b + 8) i a–bi

c) –60

; a ∧ b ∈ d) 10

e) 24


14

Capítulo

ECUACIONES DE PRIMER GRADO EL ÁBACO Y LOS CHINOS Desde el siglo XVII aC. los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas. En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba a "método de la falsa suposición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita. Alrededor del siglo I d.C. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu (que significa El Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos. http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica


Teoría de ecuaciones

.


Colegios

TRILCE 84

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

TEORÍA DE ECUACIONES

Igualdad

Identidad

Ecuación

Solución (Raíz)

Ecuaciones de 1er. grado

Forma general: ax + b = 0

Clasificación

Análisis de la raíz Compatible

Determinado

Indeterminado

Incompatible

Análisis Pérdida de solución

Compatible

Incompatible

Determinado

Soluciones extrañas Indeterminado

www.trilce.edu.pe


14

Capítulo

Saberes previos 1. Del polinomio lineal: P(x) = 12x + 7 completar: 4. Efectuar: • Término lineal = .................................

a) (x + 1)(x + 4) = ...................

• Coeficiente principal = ..............................

b) (x – 3)(x – 1) = ...................

• Término independiente = ....................

2. Efectuar:

5. Completar: a) x+7=12; entonces: x= .............

a) x3. x5 = ...............................

b) x – 5=8; entonces: x= .............

b) x2 . x5. x9 = ........................

c) x – 9 = –11; entonces: x= .............

3. Efectuar:

d)

a) (x + 1)2 = ...................

x 6

=2; entonces: x= .............

e) 4x +3= 8; entonces: x= .............

b) (x – 3)2 = ...................

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: 4

x + x–2 x–6

=4

x xx =2

x

Ec. polinomial

A. Si : 3x+2=3x+2 ; entonces: CS = ........... B. Si : 2x+1=x+4 ; entonces: CS = ...........

x2+x4=2x3+1

3 x +

A

3. Completar:

x

=2

B

Ec. irracional C. Si : 4x+2=3x+2 ; entonces: CS = ...........

C

Ec. fraccionaria

D

Ec. trascendente

D. Si : 6x+5=6x+2 ; entonces: CS = ...........

4. Resolver: (x – 5) (x + 3) = (x + 8) (x – 2) 2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la ecuación: xn–2 + x = 4 A. Si: n=3 es una ecuación lineal ............... ( )

5. Resolver:

2x – 3 3

=

x+2 4

B. Si: n=2 es una ecuación lineal ............... ( ) C. Si: n=3; entonces: x = 2 ........................ ( ) D. Si: n=2; entonces: x = 0 ........................ ( )

Colegios

TRILCE 86

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente, a partir de la ecua- 6. Calcule el valor de "x" en: ción lineal: ax+b=0 5x 7x 4x–5 2

t ⇒x=– b a

a≠0∧b∈

Compatible indeterminada Si: n=2; a ≠0 ⇒Ecuación lineal Compatible determinada Incompatible

A

a=0;b≠0⇒0x=–b B x+axn–1=n

C

a=0;b=0⇒0x=0 D

–

5

+

= 4+

2

a) 0 d) 2

8x–5 5

b) – 1 e) 1

–

11x–3 2

c) 1

2

7. Resuelva: x –

3x–2

a) 0 d) 4

5

= 3–

2x–5 3

b) 1 e) 16

c) 2

8. Resuelva en "x". (x + a2) (x + b2) = (x + ab) 2 ; a ≠ b


A. Al resolver: 2x + 3x – 30 = 3x + 30; el a) {0} b) {1} c) {6} d) {a} e) {ab} valor de "x" es 30 ....................................( ) B. Al resolver: 2-[2–x–(–x)]=x+2; el valor de a x–b =2 – "x" es 2 ..................................................( ) 9. Resuelva en "x": x + b a C. Al resolver: 5(x - 3)=4( 3 – x ); el valor de a) {a+b} b) {b–a} c) {a–b} "x" es 3 ..................................................( ) d) {a} e) {b} D. Al resolver: x+ x + x =44 ; el valor de "x" 2 3 es 24 ......................................................( ) 10. Calcule "x" en: x + x + x + x =6 3 35 15 63 3. Completar las siguientes proposiciones: a) 27 b) 17 c) 37 2 2 2 A. La igualdad: 4x+1=x+7 es una acuación compatible ............ d) 7 e) 1 2

B. La igualdad: 9x+5=5+9x es una ecuación 11. Resuelva: compatible ................ C. Al resolver: 1 + 1 = 1 + x – 2; la x–3 x–3 ecuación es............................. D. Si la raíz de la ecuación;

ax+3= 2x + 31 es: x = 2; el valor de "a" es 7 ....... 4. Resuelva: a)

5x–2 2

1

3x + 4 3

b)

2

d) 3

5. Resolver:

–

=

7x–5 4

1

a) {49} d) { 7 } 9

12. Resolver en "x": a) a+b d) 1

a) 34 d) 18

www.trilce.edu.pe

3

+

x+1 5

=

b) 17 e) – 17

x 2

+

x+7 56

+

x+2 51

b) {32} e) {45}

=3

c) {51}

a a b b + 1– 1– b x a x

`

c m

j

b) ab e) a2+ab+1

=1

c) a – b

13. Indicar el valor de "x" en: 1 3

x–a x–b x–c 1 1 1 + + =2 + + bc ca ab a b c

c

e) – 2 x+2

32

– 1 c) –

3

x–17

a)

+2 c) 33

1 1 1 + + a b c

d) a2+b2+c2

b) a+b+c

m

c) abc

e) a+b – c


14

Capítulo

14. Mathías decide repartir 100 soles entre tres 15. En cierto lugar del país, la temperatura en invierno desciende mediante el comportamiento personas, de manera que la primera reciba 5 soles más que la segunda, y que esta reciba lineal: TF = T0 – 3 t 2 10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibe la Donde: Tf : Temperatura final (°C) tercera persona? T0 : Temperatura inicial (°C) Dt : Variación del tiempo en horas Si a las nueve de la noche la temperatura era

de 8°C, ¿a qué hora la temperatura habrá descendido 2°C?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente, a partir de la ecuación lineal: mx+n=0 m≠0; n∈ ; n x=– n

1

C. Al resolver:

1

+5 =

x–5

x–5

+x ; la ecuación

es ..................... A

Incompatible

m

m=0; n ≠ 0 ⇒0x=–n

B

x+mxn–1=n

C

m=0 ; n=0 ⇒ 0x=0

D

Si: n=2; m ≠ 0

⇒Ecuación lineal Compatible indeterminada Compatible determinada


A. Al resolver: 2x+3x – 30=3x+30; el valor

D. Si la raíz de la ecuación; ax+3 = 2x + 33 25

es: x = 1; el valor de "a" es .............

4. Resolver:

x+2

5. Resolver:

3x–1

4

7

c

–

+

x–4

2x–1 3

m

2 x+1

6. Resolver:

3

=2

2

5

=

=x

3 4

c m x–6 3

de "x" es 30............................................( ) B. Al resolver: 6–[6–x–(–x)]=x+6; el valor de 7. Resolver: x – (5x – 1) –

7–5x 10

=1

"x" es 2 ..................................................( ) 1

C. Al resolver:5(x – 9)=4( 9 – x ); el valor de 8. Resolver:

4

c m x–

7

5

–

1 3

`x– 74 j + 21 cx – 73 m =0

"x" es 9 .................................................( ) D. Al resolver: x+ x

x

x–a x–b =2 + b a

=58; el valor de "x" 9. Resolver: es 40 ......................................................( ) 4

+

5

3. Completar las siguientes proposiciones:

; a ≠ b

10. Dar el C.S. de la ecuación: x 5

+

x 45

+

x 9 .13

+ ... +

x 21 .25

=6

A. La ecuación de primer grado se llama también ............................. 11. Resolver: B. La igualdad: 7x+4=4+7x es una ecuación compatible .........................

x–32 15

+

x–51 4

+

x– 34 13

=1

Colegios

TRILCE 88

Central: 6198-100

Álgebra 12. Dada la ecuación lineal en "x":

15. En cierto lugar del país, la temperatura en invierno desciende mediante el comportamiento

x–a x–b x–c =3 + + b+ c a+ c a+ b

Indique el valor de: (a + b –

lineal:

x)2

TF = T0 – ∅t 2

13. Indicar el valor de "x" en: a + b–x a + c–x b + c–x 4x + + + =1 c b a a+b+c

14. Paolo decide repartir 90 dólares entre tres personas, de manera que la tercera reciba 5 dólares menos que la segunda y esta 10 dólares más que la primera. ¿Cuánto recibe la segunda?

Donde: TF : Temperatura final (°C) T0 : Temperatura inicial (°C) Dt: Variación del tiempo en horas Si a las once de la noche la temperatura era

de 7°C, ¿a qué hora la temperatura habrá descendido 4°C?

Tú puedes x + a2 x–b2 –c2 = + (a + b–c) (a–b + c) (c– a– b) (b–a–c)

1. Resolver en "x": a) a

b) b

2. Resolver en "x":

c) ab

b) a + b – 1

3. La solución de la ecuación: a) 1

c) ab + 1

1–a .

4. Resolver en "x":

x– a +2

a) 20 (1 + x)

www.trilce.edu.pe

4

=

1 y 2

1–x

1–x

e) bc

4 a

–

=3

a 4

–

e) ab

es:

1+x

c) a

b) 16 1 + x4

d) ab – 1

4 1+x = 1+a . 4

b) –1

a) 1+ 3

d) a + b

a+x b+x x–a x–b + = + 1 + a + ab 1 + b + ab 1–a + ab 1–b + ab

a) a + b + 1

5. Resolver:

1

d) –a

e) 2a

d) 8

e) 4

+ a

c) 12

dar como respuesta una solución.

b)1– 3

c)

3+

3+2 3

d)

3 – 3–2 3

e)1 +

3+

3+2 3


15

Capítulo

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO LECTURA En el siglo III, el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no solo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de Álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería la "teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna. Al-Juarismi a menudo es apodado "el padre del Álgebra", por sus importantes contribuciones a este campo. Aportó una exhaustiva explicación a la solución de ecuaciones de segundo grado con raíces positivas. http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica


Denición

.

Forma general

.

Métodos de resolución

.

Propiedades de las raíces

.

Naturaleza de las raíces: Análisis del discriminante

.

Formación de la ecuación cuadrática

.

Ecuaciones cuadráticas equivalentes

Colegios

TRILCE 90

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

ECUACIONES DE 2do. GRADO

Resolución

Factorización

Naturaleza de las raíces

Discriminante (D)

Fórmula general Análisis de las raíces Propiedades de las raíces

Adición

Reconstrucción de la ecuación cuadratica

Observaciones

Raíces simétricas Raíces recíprocas Ecuaciones equivalentes

D > 0 D = 0 D < 0

Multiplicación

D ≥ 0

Sustracción (Legendre)

www.trilce.edu.pe


15

Capítulo

Saberes previos 1. Del polinomio cuadrático: P(x) = 5x2 – 3x+8, 3. Factorizar: completar: a) mx2 + bx2 = ................... a) Coeficiente del término cuadrático : ............. b) 5x2 + 10x = ................... b) Coeficiente del término lineal: ..................... c) 3y3+4y2 = ................... c) Término independiente:........................... 2. Completar:

4. Factorizar: a) x2 + 3x + 2 = ...................

a) Opuesto de 7:.......................

b) x2 – 2x – 24 = ...................

b) Opuesto de –9:.....................

c) x2+x – 12 = ................... 5. Factorizar:

c) Recíproco de 6:....................

a) x2 – 16 = ...................

d) Recíproco de –5:.................. e) Recíproco del opuesto de –8:..........

b) x2 – 100 = ................... c) x2 – 64 = ...................

Aplica lo comprendido 3. Respecto a la ecuación: x2 – x – 2=0, completar:

1. Relacionar correctamente: x2+6x+1=0

A

C.S.={–5;5}

x2=25

B

(x–3)(x–4)=0

C

D=0 x1+x2=–6

x2+2x+1=0

D

C.S.={3;4}

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la ecuación: x2 + 3x + 1 = 0 A. La suma de raíces es igual a –3...............( ) B. Tiene raíces recíprocas ...........................( )

Suma de raíces =

Producto de raíces = Discriminante = 4. Resolver: x2 – 4x – 12 = 0

5. Resolver: x2 – 5x + 2 = 0

C. Su discriminante es igual a 10 ................( ) D. Su producto de raíces es 1 ......................( )

Colegios

TRILCE 92

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente:

7. Relacione:

x2+x+1=0

A

x1.x2=1/4

x2+6x+5=0

B

x1+x2=–1

x2–9x+8=0

C

D=16

4x2+4x+1=0 D

C.S.={1;8}

2. Indicar Verdadero Verdadero (V) o Falso Falso (F) respecto a la 2 ecuación: mx + nx + m = 0 A. La suma de raíces es igual a: –m/n..........( )

I. x2 + 6x + 10 = 0 II. 2x2 + 5x – 1 = 0 III.4x2 – 4x + 1 = 0 A. Raíces reales y diferentes B. Raíces reales e iguales C. Raíces imaginarias y conjugadas a) IA – IIB – IIIC c) IC – IIA – IIIB e) IA – IIC – IIIB

b) IB – IIA – IIIC d) IC – IIB – IIIA

2 B. Tiene raíces recíprocas ........................... ( ) 8. Si: 3x – 7x + 1 = 0 tiene C.S. = {x 1 ; x2}, calcule: E = 1 + 1 x1 x2 C. Su discriminante es igual a: n2–4mn....... ....... ( ) a) 3 b) 4 c) 5 D. Su producto de raíces es 1 ......................( ...................... ( ) d) 6 e) 7

3. Respecto a la ecuación: ces x1; x2 completar:

5x2 –

4x – 2=0 de raí-

x1 . x2 = 4. Luego de resolver: 2x2 – 3x – 1 = 0 , señalar una raíz.

d)

3– 15

2 4

b)

3 + 17

e)

17 –3

4

c)

3 + 17 2

2

5. Sea la ecuación: (2k + 1)x2 + (3k – 3)x+5 = 0. Calcular "k", si la suma de sus raíces es 3/4.

a)

1 4

d) 2

b) e)

1 2

c) 1

3

www.trilce.edu.pe

c) 10

b) 5 e) 1

2 1

calcule el valor de: M= x a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

2

+ x2 + 6c 2

b

c) 4

11. Formar la ecuación cuadrática de raíces: x1 = m + m2 –1 x2 = m – m2 –1 a) 2x2 – mx+2=0 c) 2x2 – 2mx+1=0 e) 2x2 – mx+1=0

b) x2 – 2mx+1=0 d) x2 – mx+1=0

12. Sean "a" y "b" las raíces de: x 2+2012x+2002=0.

4

Calcular: G = a2+b2+a2b2+2ab(a+b+1)

6. Calcular el valor de "p", si la ecuación: 3x2 – (4p - 20)x + 1 = 0 tiene raíces simétricas. a) – 5 d) 0

b) 9 e) 12

10. Si: x 2 + 2bx + 3c = 0 tiene C.S. = {x 1 ; x2},

D =

3– 15

el valor de: T=(1+x1) (1+x2) a) 8 d) 11

x1 + x2 =

a)

9. Si: x (x – 6) = – 3 tiene C.S.={x 1; x2}, calcular

a) 169 d) 121

b) 81 e) 144

c) 100

c) 6

5


15

Capítulo

13. Si las siguientes ecuaciones cuadráticas:

(2m – n)x2 + x = 2x 2 – 1 (m2 + n2)x2 + 2x = – x 2 –

2 (m;n∈ (m;n∈R). son equivalentes, calcular "m.n" a) 3 d) – 2

b) 1 e) – 3

c) 2

15. El profesor de Álgebra Álgebra indica a sus alumnos que las raíces "x1" y "x2" de una ecuación cuadrática cortan al eje X tal como se muestra en el siguiente gráfico. ¿Cuál es la ecuación cuadrática? y 21

14. Edú encuentra dos números cuya suma es ocho y su hermano Mathías encuentra que la suma de las inversas de los mismos números es igual a dos tercios. ¿Cuál fue el mayor número encontrado?

0

x1=3

f (x)

x2=7

x

–4

Practica en casa 6. La ecuación: (2m – 8)x2+3(m+4)x+(m – 7)=0, tiene raíces simétricas. Calcular "m".

1. Relacionar correctamente: x2+3x+1=0

A

x1.x2=1/9

x2+3x+2=0

B

x1+x2=–3

x2–5x+4=0

C

D=1

9x2+6x+1=0 D

7. Relacione:

C.S.={1;4}

2. Indicar Verdadero Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la ecuación: ax2 + cx + b = 0 (c≠ (c ≠0) A. La suma de raíces es igual a: –b/a ..........( ..........( )

B. Tiene raíces simétricas........................... ( ) C. Su discriminante es igual a: c2

– 4ab .....( )

D. Su producto de raíces es: b/a ............ ................( ....( )

3. Respecto a la ecuación: 2x2 – 3x – 4 = 0 de raíces x1, x2 completar: • x1 + x2 = • x1 . x2 = D = •

4.

Resolver: x2 – x – 3 = 0, e indicar el valor de la mayor raíz.

I. x2 + 5x + 6 = 0 II. x2 + 5x + 9 = 0 III.9x2 – 6x + 1 = 0 A. Raíces reales y diferentes B. Raíces reales e iguales C. Raíces imaginarias y conjugadas

8. Si: mx2 + 8(m – 1)x – 2m = 0 tiene C.S. = {x1 ; x2}, y además: 1 + x1

calcular "m".

1 x2

= 3;

9. Si: 3x2 + 7x + 2k = 0 tiene C.S. {x 1 ; x2};

calcular "k" si: (x 1 + 3) (x2 + 3) = 0

10. La ecuación: x 2 – 2x + 2008 = 0; tiene

c

C.S. = {α ; β}. Calcular: G= β +

2008

β

α+β

m

11. Formar la ecuación cuadrática, cuyas raíces son: x1 = 2 – 3 ; x 2 = 3 + 2

5. Hallar "k", "k", si la suma de raíces raíces de la siguiente 12. Sean "m" y "n" las raíces de: ecuación: x2 + 1999x + 2012 = 0 2 (k – 1)x – 8kx + 4 = 0 es 10. Calcular: M=m2+n2+m2n2+2mn(m+n+1) Colegios

TRILCE 94

Central: 6198-100

Álgebra 15. El profesor de Álgebra indica a sus alumnos que las raíces "x1" y "x2" de una ecuación cuadrática cortan al eje "X" tal como se muestra en el siguiente gráfico. ¿Cuál es la ecuación cuadrática?

13. Si las siguientes ecuaciones cuadráticas:

(2n +1)x2 + 5nx + 20 = 0 (5m – 52)x2 + (m–4)x + 4 = 0 son equivalentes, calcular "m.n".

y

14. Paolo encuentra dos números cuya suma es doce y su hermano Diego encuentra que la suma de las inversas de los mismos números es igual a tres octavos. ¿Cuál fue el menor número encontrado?

32 f (x)

x1=4 x2=8

0

x

–4

Tú puedes 1. Si "α" es solución de: x2 – 3 x+1=0, halle: α12 + α6 + 1

a) 3

b) 2

c) 1

d) - 1

2. Si: x2+3x+1=0 tiene C.S. = {x 1 ; x2} , calcular el valor de:

a) 32

b) 43

c) 51

' 52 ; 129 1

b)

' 52 ; 112 1

c)

sitivo de "c". a) 6

b) 12

19 4

c) 8

(x1 + 3)

5

+

1 (x2 + 3) 5

α2 β+1

d)

+

' 32 ; 112 1

β2 α+1

www.trilce.edu.pe

b) 3

c) 4

e) f

= c – 20; calcular el mayor valor po-

d) 16

5. Si una de las raíces de: x2 + px + q = 0 es el cuadrado de la otra, calcular:

a) 2

e) 123

) = 0 (D (D > 0), determinar el conjunto solución.

' 32 ; 92 1

4. Si: x2–x–c=0 tiene C.S.={ α; β}, de modo que:

1

d) 83

3. Si "D" es el discriminante de: x2 – (D (D – 1)x + (D (D +

a)

e) 4

d) 5

e) 14 3

2

p +q +q pq

e) 6


16

Capítulo

ECUACIONES POLINOMIALES LECTURA El desarrollo del Álgebra vino de la mano de Al-Karaji. En su tratado al-Fakhri extiende la metodología para incorporar potencias y raíces de cantidades desconocidas. La primera demostración por inducción matemática de la que se tiene constancia aparece en un libro escrito por Al-Karaji en el 1000 d.C., en el que demuestra el teorema del binomio, el triángulo de Pascal, y la suma de cubos integrales. Durante la primera mitad del siglo XVI, Scipione del

Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia descubren soluciones complejas a las ecuaciones cúbicas, trabajando en la resolución de ecuaciones. Gerolamo Cardano publicará el Ars magna junto con un trabajo de su alumno Ferrari, quien resuelve las ecuaciones de cuarto grado. En 1572, Rafael Bombelli publica su L’Algebra, en el que demuestra cómo utilizar las cantidades imaginarias que podrían aparecer en la fórmula de Cardano para las ecuaciones de grado tres. http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica


Denición

.

Forma general

.

Teorema fundamental del álgebra

.

Teorema de Cardano – Viette

.

Teoremas adicionales

.

Ecuación cúbica

.

Ecuación bicuadrada

Colegios

TRILCE 96

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

ECUACIONES POLINOMIALES

P(x)=a0xn+a1xn–1+...an=0; a0≠0

Teorema de Cardano

Características

C.S. = {x1; x2; x3; ....; xn}


Teorema del factor

Resolución

Cero o raíz

Por factorización

Multiplicidad de raíces

Dos pares de raíces simétricas Resolución

Fórmula

Paridad de raíces Propiedades Factorización Suma

Producto

www.trilce.edu.pe


16

Capítulo

Saberes previos 1. Resolver: a) x2 – 9 = 0 b) x2 + 9 = 0 c) x (x – 2) = 0 d) x2 – x – 2=0

4. Completar: → → → →

2. Resolver: a) x2 +x +5 = 0 b) 4x2 +2x – 3=0 c) x2 – 12 = 0 d) x2 +3x = 0

x1 = x1 = x1 = x1 =

→ → → →

; x2 = ; x2 = ; x2 = ; x2 =

x1 + x2 = x1 + x2 = x1 + x2 = x1 + x2 =

3. Resolver: a) x2 +3x +6 = 0 → b) 2x2 +3x – 12 = 0 → c) x2 – 4 = 0 → 2 d) x + 4x = 0 →

a) b) c) d)

x1 = 4+ 3 → x2 = x1 = 5 – 7 → x2 = → x2 = x1 = 6 x1 = – 2 5 → x2 =

5. Completar: a) b) c) d)

x1 = 3 – 2i x1 = 4 + i x1 = 2i x1 = – i

→ → → →

x2 = x2 = x2 = x2 =

x1. x2 = x1. x2 = x1. x2 = x1. x2 =

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente:

3. Si "x1", "x2" y "x3" son raíces de la ecuación:

2x3 – 6x2 + 7x + 1 = 0, completar:

x4 – 4x2+4=0

A

(x+1)(x+2)(x+3)=0 B

C.S.={–1;–2;–3}


(x2–1)(x2–4)=0

C

Ecuación cúbica

x3–x2–6x+3=0

D

C.S.={1;–1;2;–2}

A. x 1 + x2 + x3 = B. x1x2 + x2x3 + x1x3 = C. x 1x2x3 =

2 2 2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la 4. Resolver: (x – 4)(x – 9) = 0 ecuación polinomial: P(x) = 85(x – 3)2(x + 2)3(x + 1)2=0 5. Hallar el mínimo valor de "x” luego de resolver: x3+x2 – 6x=0 A. Presenta doce raíces ...............................( )

B. Presenta tres soluciones ..........................( ) C. Una raíz es ocho ....................................( ) D. La suma de soluciones es cero................( )

Colegios

TRILCE 98

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Sean "x1", "x2", "x3" y "x4" raíces de la ecuación:

3x4+6x3+2x2–5x+7=0; relacionar correctamente: x1.x2.x3.x4

A

x1.x2.x3+...+x2.x3.x4

B

2 3

a 5, hallar las otras dos. a) – 2

b) – 2 i

d) ± 2 i

e)

c) 2 i

1 2

7 3

–2

x1.x2+x1.x3+...+x3.x4 C x1+x2+x3+x4

6. Si una raíz de: x3 – 5x2 + 4x – 20 = 0 es igual

5

D

3

7. Halle el valor de "a" en la ecuación: x3 + x2 + (1 – 3a)x – 24 = 0, si el producto de dos de sus raíces raíces es - 8. a) – 1 d) 5

b) 2 e) 6

c) 4

2. Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) respecto a la ecuación: 8. Si: 3x3 – 2x2+7x+k=0 tiene C.S.={x ; x ; x }; 1 2 3 ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0; a ≠ 0 además: "b", "c", "d" , "e" ∈ . 1 1 1 8 + + = x1x2

A. Presenta cuatro raíces ...............................( ) B. Si: a≠b≠c≠d ∧ e=0→ x1=0 es una raíz ....( ) C. Si: a=d ∧ b=c=e=0→x1=0 es una raíz..( )

D. Posee solo tres raíces reales ......................( ) 3. Respecto a la ecuación polinomial ,completar: P(x) = 45(x – 6)4(x + 2)8(x – 1)2 x=0 A. La raíz que más se repite es: ....................... B. La raíz: x=–2 tiene multiplicidad: ..............

x2 x3

x1x3

7

Calcular "k". a)

7 4

d) – 1

b) – e)

7 4

c) 1

1 4

9. Calcular el valor de "m", sabiendo que las raíces de: 4x3 – 24x2+mx+18 = 0 son: x1=α+β, x2=α y x3 = α – β. a) 18 d) 25

b) 21 e) 27

c) 23

C. La ecuación tiene ............... raíces. 10. Calcular "a + b" en la ecuación: x3 + ax2 + bx + 7 = 0 para que una de sus raíces sea x1 = 1 – 8 , siendo "a" y "b" ∈ . 4. Si una raíz de: x3 – 3x2 – 13x + 15=0 es igual a 5, hallar las otras raíces. a) 2 b) 5 c) 8 D. La ecuación tiene .............. soluciones .

a) {3 ; – 1} d) {–

1 3

; 1}

b) {– 3 ; – 1} c) {– 3 ; 1} e) { 1 ; – 1} 3

d) – 8

e) – 5

11. Si "x0" es una raíz de la ecuación: x5 – 3 = 4x, 5

5. Si la ecuación: xn+2 + 4xn+1 + 7xn – 1 = 0

hallar el valor de:

presenta cuatro raíces, hallar "n". a) 4 d) 1

www.trilce.edu.pe

b) 3 e) 5

c) 2

a)

1 2

d) –4

2x0 – 5 8x0 + 1

b)

2 3

c) –

3 5

e) 1


16

Capítulo

12. Indicar la suma de la mayor raíz positiva con la 14. Calcular la cantidad mínima de papel decorativo para forrar una caja de galletas que tiene las mayor raíz negativa que se obtienen al resolver: siguientes dimensiones: 36x4 – 148x2 + 16=0. Largo = x1 + x2 + x3 11 5 a) 0 b) c) Ancho= x1x2 + x2x3 + x1x3 6 3 Altura = x1x2x3 11 5 d) – e) – donde: "x1", "x2" y "x3" son raíces de la siguien6 6 te ecuación polinomial: x3–12x2+42x–25=0 13. Formar una ecuación bicuadrada que tenga por 15. El campo de fútbol de un club campestre está dos de sus raíces : – 2 3 y 5. representado por un rectángulo de dimensiones: 4 2 4 2 a) x +42x +280=0 b) x – 40x +390=0 Largo = x1x2 + x2x3 + x1x3 4 2 4 2 c) x – 37x +300=0 d) x – 42x +280=0 Ancho= x1x2x3 + x1 + x2 + x3 4 2 e) x +37x +280=0 donde: "x1", "x2" y "x3" son las raíces de la siguiente ecuación polinomial: x 3– 6x2+11x–6=0. Calcular el área rectangular.

Practica en casa 1. Sean "x1", "x2", "x3" y "x4" raíces de la ecuación:

8x4–3x3+16x2–24x+1=0; relacionar correctamente: x1.x2.x3.x4

A

2

x1.x2.x3+...+x2.x3.x4

B

3

x1.x2+x1.x3+...+x3.x4

C

3

x1+x2+x3+x4

D

8

1 8

B. La raíz: x=–1 , tiene multiplicidad: ............. C. La ecuación tiene .............. raíces. D. La ecuación tiene ............ soluciones. 4. Si una raíz de: P(x) = 2x3 – 27x2 + 73x – 30=0

es igual a

1 2

, hallar las otras raíces.

5. La ecuación: 3xn–8 + 4xn–7 + 5 = 0 presenta diez raíces. Calcular "n". 6. Si una raíz de: x3 – 3x2 + 9x – 27 = 0 es igual

a 3, hallar las otras dos raíces. 2. Indicar si las siguientes proposiciones son 3 2 verdaderas (V) o falsas (F) respecto a la ecuación: 7. Si una raíz de la ecuación: x –12x +39x–n=0 es la semisuma de las otras dos, calcular: n–3 . ax3 + bx2 + cx + d = 0 ; a ≠ 0 "b", "c", "d" ∈ 8. Las raíces de: 2x3 + 9x2 + 10x + b = 0 son proporcionales a 1, 2 y 6. Calcular: b 2 – 1 A. Presenta tres raíces ..................................( ) 9. La ecuación: (n+1)xn–1+6x2 – 2nx + 3n = 0tiene tres raíces: "x1" ; "x2" y "x3". Calcule: G = x1 + x2 + x3 + x1x2x3 C. Si: a=d ∧ b=c→x1=–1 es una raíz.........( )

B. Si: a≠b≠c ∧ d=0→x1=0 es una raíz ........( )

D. Posee solo dos raíces reales .....................( ) 10. Si:3 3 – 22 2 es una raíz de la ecuación: x – 8x + ax + b = 0, calcular el valor de "a – b". 3. Respecto a la ecuación polinomial ,completar: P(x) = 36(x + 2)5(x – 3)6(x + 1)4x2=0 11. Si "b" es una raíz de la ecuación:

A. La raíz que más se repite es: .......................

3

2x3 – x + 5 = 0, calcular: E= b

+1 b–3

Colegios

TRILCE 100

Central: 6198-100

Álgebra 12. Indicar la suma de la mayor raíz positiva con la 15. El campo de fútbol de un club campestre está mayor raíz negativa que se obtienen al resolver: representado por un rectángulo de dimensiones: 9x4 – 37x2+4=0. Largo = x1x2 + x2x3 + x1x3 Ancho= x1x2x3 + x1 + x2 + x3 13. Formar una ecuación bicuadrada que tenga por donde: "x1", "x2" y "x3" son las raíces de la dos de sus raíces a – 2 y 2. siguiente ecuación polinomial: x3 – 4x2 + 10x 14. Calcular la cantidad mínima de papel decorativo – 8 = 0. para forrar una caja de galletas que tiene las Calcular dicha área rectangular. siguientes dimensiones: Largo = x1 + x2 + x3 Ancho= x1x2 + x2x3 + x1x3 Altura = x1x2x3 donde: "x1", "x2" y "x3" son las raíces de la siguiente ecuación polinomial: x3 – 15x2+36x – 20 = 0.

Tú puedes 1. Si "x 1", "x2" y "x 3" son las raíces de: x 3+mx+10=0; calcular la suma de cubos de las mismas.

a) – 18

b) 27

c) – 30

d) – 27

e) 18

2. En la ecuación cúbica: x3 + 2007x2 + 2008x + 2009 = 0, la suma de inversas de dos de sus raíces es igual a la tercera; halle esta última. a) 2 3.

b) 3

Sea la ecuación: x3 –

a) 1 4. Si:

5x2 =

c) - 1

d) 4016

e) 2007 2 α2 + β 6α – 1 6β – 1

5x – 1, cuyas raíces son: – 1, α y β. Calcular el valor de:

b) 2

c) – 3

d) 4

e) – 2

d) 4

e) 5

"α" es una raíz de la ecuación: x 2 = – x – 1 "β" es una raíz de la ecuación: x 5 = x + 2

Indicar el valor de: β5 – α3β+2 a) 1

b) 2

c) 3

5. Si: x1 = 3 – 2 3 , x2 = – 3 y "x 3" son raíces de la ecuación: x 3 + ax2 + bx + c = 0; determinar:

(a – x3), si: c = 4 3 – 6 a) 2

3+

4 3

www.trilce.edu.pe

b) –8–2 2

c) –9+ 3

d) 2 3

e)

4 3

–2 3


17

Capítulo

REPASO II MATEMÁTICA MODERNA La historia matemática del siglo XIX es rica y fecunda. Numerosas teorías nuevas aparecen y se completan trabajos comenzados anteriormente. Domina la cuestión del rigor; esto se manifiesta en análisis con Cauchy y la suma de series (la cual reaparece a propósito de la Geometría), teoría de funciones y particularmente sobre las bases del cálculo diferencial e integral, al punto de desplazar las nociones de infinitamente pequeño que habían tenido tanto éxito el siglo pasado. Más aún, el siglo marca el fin del amateurismo matemático: las matemáticas eran consideradas hasta entonces como obra de algunos particulares; en este siglo, se convierten en profesiones de vanguardia. El número de profesionales no deja de crecer y las matemáticas adquieren una importancia nunca antes vista. Las aplicaciones se desarrollan rápidamente en amplios dominios, haciendo creer que la ciencia todo lo puede; algunos sucesos así parecen atestiguarlo, como el descubrimiento de un nuevo planeta únicamente por el cálculo, o la explicación de la creación del Sistema Solar. El dominio de la Física, ciencia

experimental por excelencia, se ve completamente invadido por las matemáticas: el calor, la electricidad, el magnetismo, la mecánica de fluidos, la resistencia de materiales y la elasticidad, la cinética química, ... son todas matematizadas. http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica


Radicación algebraica

.

Factorial - número combinatorio

.

Binomio de Newton

.

Números complejos

.


.

Ecuaciones de segundo grado

.

Ecuaciones polinomiales

Colegios

TRILCE 102

Central: 6198-100

Álgebra

Cruci - álgebra *

Completa el crucigrama algebraico. 7 3 1 2 3 5

8

1 4 5 4

2

6 6

7

8

HORIZONTAL

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Igualdades de la forma: ax+b=0 (a≠0). Igualdades de la forma: ax2+bx+c=0 (a≠0). Expresiones algebraicas de la forma: n x , n ∈ , n ≥ 2. Combinaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k". Raíces de una ecuación cuadrática cuyo producto es uno. Ecuaciones cuárticas de la forma: x4n+x2n+1=0. Expresiones binomiales elevados a un cierto exponente natural. Los números complejos de la forma: z=a+bi, están expresados mediante la forma...

www.trilce.edu.pe

VERTICAL

1. Cantidades que tienen parte real y parte imaginaria. 2. El producto de números consecutivos desde el 1 hasta el mismo número inclusive. 3. Igualdades polinomiales de grado "n" (n ≥ 2). 4. Forma de efectuar los radicales presentes en el denominador. 5. Representan el conjunto solución de una ecuación. 6.

Son raíces opuestas de una ecuación cuadrática cuya

suma es cero. 7.

Son radicales de la forma:

A+

B

8. Es la unidad que representa a las cantidades imaginarias.


17

Capítulo

Aplica lo comprendido 1. Reducir: E=

18 + 2 8 – 50 – 98

2. Transformar a radicales simples: a)

b)

4+2 3

6+

8.

x1.x2

( )

9.

2x2 – 5x + 2 = 0

( )

10. Raíces reales y diferentes

20

( )

11. El polinomio: P(x)=x3–x tiene: ( ) 3. Al racionalizar:

6 +

7

7 –

6

12. La ecuación:

, se obtiene: "a+b c "

4

Hallar "a + b + c".

x–1

5

=

4 x–1

+

1 5

es:

( ) ( )

30

5. De la igualdad: C3x = Cx+6

14. El polinomio: H(x)=2(x–1)4(x+2)7; tiene:

Hallar un valor de "x". 6. Obtener el quinto término en la expansión de: (x3 + 1)7.

15. Unidad imaginaria.

; i=

(

) ( )

Relacionar:

7. Simplificar: 1+i i– 1+i 1– 1+i 1– 1– i

2x–1

13. La ecuación: x–(2x+1)=8–(3x+3)+2x–6 es:

4. Hallar "x" en la ecuación: (x – 2)! = 120. 30

+

A. -1

b c

B. D = a2 – 4cb

8. Resolver: 9x–(5x+1)–{2+8x–(7x–5)+9x}=0

C. x = 0 ∨ x = 10 D. Raíces recíprocas

9. Hallar "m", si las raíces de la ecuación: (m – 3)x2 – (m + 2)x + 3m – 15 = 0 son recíprocas.

E. D = 0 F. –

10. Relacione correctamente, de acuerdo a la ecuación: cx2 + ax + b = 0, (c ≠ 0) , donde "x1" y "x2" son sus raíces. 1.

Raíces reales e iguales

( )

2.

x1 + x2

( )

3.

Discriminante

( )

4.

x2 = 16

( )

5.

 x1 – x2

( )

6.

Raíces imaginarias conjugadas

( )

7.

x2 = 10x

( )

a c

G. D > 0 H. x = 4 ∨ x = –4 I. D < 0 J.

2

a –4cb c

K. Once raíces L. Compatible indeterminada M. Incompatible N. i = (0; 1) =

–1

N. Tres raíces

Colegios

TRILCE 104

Central: 6198-100

Álgebra Aprende más 1. Descomponer los siguientes radicales dobles en 9. Hallar el mayor valor de "α", tal que una de las radicales simples. raíces de: P(x) = x3 – 28x + α es el doble de la otra. a) x + 1 + 2 x a) 24 b) 48 c) - 48 b) 5x + y + 2 5xy d) - 24 e) - 12 c) 2x + 2 x2 –4 ; (x ≥ 7) 10. Calcular "k", si las raíces de la ecuación: x3 – 6x2 + kx + 10 = 0 están en progresión 2. Calcular "A + B", si: aritmética. 15 + 2 56 – 8 + 2 7 =

a) 6 d) 9

A– B

b) 7 e) 10

a) 4 d) - 6

c) 8

3. Hallar el lugar del término independiente en la expansión de: P(x) = (x2 + 13 )15 ; x ≠ 0. b) Lugar 7 e) Lugar 10

c) 3

11. Si "a" y "b" son las raíces de la ecuación:

x2 – 6x + c = 0 , entonces:

2

2

a + b + 2c 9

es igual a:

x

a) Lugar 6 d) Lugar 9

b) – 8 e) 2

c) Lugar 8

a) 3 d) 4

b) 6 e) – 3

c) – 6

4. A partir de la ecuación: a! (a! - 5) = 6, calcular 12. Sea la ecuación: (m – 5)x + 2n = 12 el valor de: a + 1. indeterminada; hallar "mn". a) 2 b) 3 c) 4 a) 5 b) 6 c) 30 d) 5 e) 6 d) 18 e) 36 5. Calcular "n" a partir de: 13. Resolver: (x+1)2 + (x+2)2 = (x+3)2 + (x+4)2 11 8 8 9 10 C2 + C3 + C4 + C5 = Cn a) 1 b) – 1 c) 3 2 2 2 a) 9 b) 7 c) 6 d) 3 e) 1 d) – 3 e) – 5 2 2 5 n 8 6. A partir del binomio: P(x,y) = (x + y ) 14. Si una solución de la ecuación dada es 3 , halle 2 Hallar el valor de "n", si el grado del sexto 2 + 10mx – 2m – 11 = 0 el valor de "m": 4mx término es 45. a) 6 d) 12

b) 8 e) 9 8

7. Si: z= (1 + i) + (14 + i)

c) 4 10

(1–i)

a) 4 d) 12

b) - 4 e) - 6

, hallar: Re(z)+Im(z) c) - 12

a)

b) –

3

d) –

5 3

www.trilce.edu.pe

3 5

e) - 1

b) – 4

d) 5

e)

2

x + 7x + 12 2

c)

z–w

c)

1 2

1 4

15. Resolver: 2

=

x + 5x + 15

8. Si: w = 3 – 2i y z = i + w , hallar: 5

a) 2

x + 8x + 13 2

x + 6x + 16

Indicar una de sus raíces.

3– z 3

a) 1

b)

5

d) –

1 2

3

c)

2

e) –

1 2

3 2


17

Capítulo

16. Siendo "x 1" y "x2" raíces de la ecuación:

19. Si "x1", "x2" y "x3" son raíces de:

x2 –

8x – 12 = 0 calcular: (x1 + 1)–1 + (x2 + 1)–1 a)

8

b)

5

10

x3 – 6x2+11x – 6=0 c) –

21

10

Calcular: (x1x2x3) ÷ (x1 + x2 + x3)

3

e) – 5

a)

17. Hallar el valor de “k” para el cual la ecuación: x2 + 2(k + 2)x + 9k = 0 tiene raíces iguales. Indique el mayor valor.

d)

d)

2 15

a) 4 d) – 1

b) 2 e) 3

c) – 4

b) – 1

6

11

e)

5

c) 1

3

20. Simplificar:

18. Dada la ecuación: 5x2+7x+3=0, determinar la ecuación de segundo grado que tiene por raíces las inversas de las raíces de la ecuación dada. a) x2+7x+5=0 c) 2x2 – 7x+3=0 e) 3x2+7x+5=0

1 2

=

( 2 i) 3 + 8 i6 i9 – i4

a) 8 d) – 4

2

G

;

-1

i=

b) – 8 e) 2

c) 4

b) x2+2x – 3=0 d) x2+5x+7=0

Practica en casa 1. El término central en la expansión de: P(x)=(x4+xn)14 ; es de grado 49; hallar "n".

6. Efectuar: 1 5+2 6

2. Hallar "x" en la ecuación:

3 (x– 4) ! –2 = (x–4) ! + 2

+

7 + 2 10

2 8 + 2 15

2 7. Resolver: 16x–[3x – (6–9x)] = 30x+[–(3x+2) – (x+3)]

3. De la ecuación: a+1

3

–

a+2

a+3

2a

Ca +Ca+1+Ca+2+...+C2a–1 =126 8. Formar la ecuación de segundo grado, si sus raíces son: x1 = 3+ 5 4. Calcular la posición del término en el desarrox2 = 3 – 5 2y 4 llo de: ax3 + 2 , x ≠ 0, que adopta la forma: x 24xnyn. Obtener el valor de: M=

c

5a + 4

m

15

9. Simplificar:

5i

3

6

25

–4i + 7i 13

2 i + 4i

28

+ 4i

5. Efectuar: 16–2 63 + 12 –2 35 + 8 –2 15 +

4 – 12

10. Hallar "m", si las raíces de la ecuación son iguales: x2 – 2 (1+3m)x+7(3+2m)=0; (m>0)

Colegios

TRILCE 106

Central: 6198-100

Álgebra 11. Resolver en "x": (a –

2

2 2

2

a - bi +i a + bi

14. Reducir: M =

2

b)x+ (a + b ) = 2a (a + b ) (a + b) x (a + b)

; i =

a + bi - i a - bi

-1

15. Si "x 1", "x2" y "x3" son raíces de la ecuación:

12. Al resolver la ecuación: x 4–5x2–6=0 en C, hallar una raíz.

2x3 – x2 + 3x – 4 = 0, calcule el valor de: 1 x1

+

1 x2

+

1 x3

+

1 x1x 2

+

1 x1x 3

+

1 x 2x 3

13. Si: z= a + 2i es un número real, halle el valor b–3i

a+b . a

de:

Tú puedes 1. Siendo "a" y "b" raíces de la ecuación: 5x 2 – 23x + 11 = 0; hallar el valor de E=

a)

1

b)

2

2. Indicar la solución de: a) 2

3

c) 1

2

3

2

x +

4

x –1 +

b) 0

2

x –

4

x –1

c

4

m c

d) 2

e) 4

d) 3

e) – 3

d) 5

e) 6

4. Hallar el cociente que se obtiene al dividir el término central del desarrollo de

a) 1

b) – 1

5. Calcular: 1 + 3 + 3.5 + 4

a) 2 3

www.trilce.edu.pe

4.8

c

n+

c) 2 3.5.7

4.8 .12

b) 3 2

+

3.5.7.9 4.8 .12 .16

m

m

c) 3

coeficiente de "xn" en el desarrollo de: (1 – 4x) –

mc

4

1+ 7i 1– 7 i + 2 2

b) – 1

3a–1 3b–1 . 2a–9 2b – 9

= x

c) 1

3. Indicar el equivalente de: a) 1

3

c

1 2

m

`

x+

1 x

4n

j

, entre el

. 1

d) – 2

e)

d) 3 3

e) 4 2

2

+ ...

c) 2 2


18

Capítulo

MATRICES BIOGRAFÍA DE GAUSS, KARL FRIEDRICH Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido de una familia humilde, desde muy temprana edad dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su

Gauss Universidad Göttingen

negocio para indicarle un error de cálculo). Su tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema fundamental del

Álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que Gauss demostró. Su fama como matemático creció considerablemente cuando fue capaz de

predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primera vez pocos meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en 1794 y aún hoy día la base computacional de modernas herramientas de estimación astronómica. En 1807, aceptó el puesto de profesor de Astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargo en el que permaneció toda su vida. En esos años maduró sus ideas sobre geometría no euclidiana, esto es, la construcción de una geometría lógicamente coherente que prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas aunque no publicó sus conclusiones, se adelantó en más de treinta años a los trabajos posteriores de Lobachewski y Bolyai.


Denición y orden de la matriz

.

Tipos de matrices

.

Relación entre matrices

.

Operaciones con matrices

Colegios

TRILCE 108

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

MATRICES

Arreglo rectangular de números ordenados en filas y columnas

Adición

Multiplicación por un escalar

Multiplicación de matrices

A = [aij]m×n

A = [aij]m×n

A = [aij]m×n

B = [bij]m×n

"k" es un número real

B = [bij]n×p

A + B = [aij +bij]m×n

www.trilce.edu.pe

kA = [kaij]m×n

A m×n

A × B = C . B n × p = C m

× p


18

Capítulo

Saberes previos 1. Resolver: •

3x–1

•

x

=x+5

→

x = ___________

x

→

x = ___________

→

x = ___________

2

3

+

3. Resolver:

=

2

5 6

• (x+1)(x+3)=x 2 2. Siendo: A =

e

4 8 5 3 1 6

o

• x+2[x+2(x+2)] x+2(x+2)] = 6 → x = • 3 – {x – (1 – x)} = x → x =

eo eo e o Calcular "mn", en: e o e o e o

4. Si:

a

b

+

c

d

=

a+c

b+d 1

+

2

3

4

=

m n

Completar: • • • • •

Elementos de la fila 1: __________________ __________________ Elementos de la fila 2: __________________ __________________ Elementos de la columna 1: _____________ _____________ Elementos de la columna 2: _____________ _____________ Elementos de la columna 3: _____________ _____________

5. Si: (a b) – (c d) = (a – c b – d)

Calcular "x+y", en: (7 4) – (1 3) = (x y)

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente dada la siguiente 3. Completar correctamente a partir de la matriz: matriz: 4 1 C = 4 3 0 3 A= 8 7 • Ct =

e o

e o

a11+a12

A

11

Traz(A)

B

10

a11+a21

C

7

a12+a22

D

12

2. Indicar verdadero verdadero (V) o falso (F) respecto respecto a la siguiente matriz: B= • • • •

e o 2 1

•

2C =

•

C2 =

4. Calcular "abcd" si:

e o e a c

b d

=

oe o

3 –2 –1 0

5

–

1

4 –1

5. Calcular "x+y+z+w", si:

9 5

Su traza es 10 .......................................(

) La traza de su transpuesta es 7 ..............( ) Es de orden 4 .......................................( ) a11 + a22 = 8 ......................................( )

e o e o e o x z 1 –1 – y w 2 3

=

2

0 –2 1 –1

Colegios

TRILCE 110

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente las siguientes columnas: 5. Sean las matrices: Condición para sumar, restar o A igualar matrices Condición para multiplicar ma- B trices La matriz transC puesta La traza de una D matriz

Cambia filas por columnas Suma los elemen -

tos de la diagonal principal Número de columnas de la primera igual al número de filas de la segunda Igual orden

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

A=

e

2x–1 y 3–y 2

C=

e

–2 5

• Al elevar una matriz al cuadrado, todos los

elementos se elevan al cuadrado ............ ( )

e

; B=

5–y 2–x x+1 2

o

o

–1

Hallar "A+C", si: A = B a)

e o

b)

e o

d)

e o

e)

e o

5 3

3 1

1 2

0 1

5 3

9 1

c)

e o

c)

e

c)

f p

5

2

4 –2

5 2

3 1

6. Escribir explícitamente la matriz: A = (aij)2x3 / aij =

• Para multiplicar matrices necesariamente

deben tener el mismo orden orden ................... ( ) • Toda matriz tiene inversa ............ .................. ........... ..... ( )

4

o

a)

e

d)

e

3 4 5 1 0 0

o o

2 –1 –2 5 6

–1

)

2i + j ; i H j i – j; i < j

b)

e

e)

e

3 1 2

o

5 6 –1

o

3 –1 –2 5 6

–1

o

3 1 2

5 6 1

• Una matriz y su transpuesta siempre tienen

la misma traza ........................................ ( ) 7. Escribir explícitamente la matriz: A = (aij)3x2 / aij = i+2j 3. Completar: a) • La matriz que tiene igual número de filas y • La matriz que al multiplicar por otra matriz

resulta la matriz identidad, se llama matriz _________________ • El producto indicado de la cantidad de filas

y columnas se llama ____________ de la matriz.

e

o e o

a x–2 4 3 = 3 5– y 3 –3

www.trilce.edu.pe

b) 6 e) 3

4 8

5 6

5 7

6 8

7 9

4 5

e)

0 0

1 4

1 6

0 7

8. Sean las matrices:

A=

e o 0 1 3 2

; B=

e o 2 3

0 –1

que verifican el sistema de matrices x, y

calcular: a – x + y a) 8 d) 7

b)

4 6

4 2

d)

f p f p 3 7

5 7

columnas se llama matriz ______________

4. Si:

f p f p 3 5

c) 5

)

x + 2y = A x – y =B

Calcular la matriz "x".


18

Capítulo

a)

J3 K b) K 2 K2 L J9 K e) K 43 K L4

f p 4

7

3 1

3 0

J K3 d) K 4 K L3

–

9N

O O –7 O P 2

N O 2 O 1 – O 2 P 7N O 2 O –1O P 5

c)

e o 4 7

3 0

9. Dado el sistema matricial:

e o 5

x+y=

1

–2 3

e o

a) d)

e o

b)

e o

e)

6

2 12

1 –1

2

1

e

6

e

–6

1 0

0 –1

0 1

1 2

o

2 –12

c)

e o 5 –5 2

0

o

–2 12

e o ; además: F(x) = 3 –1 2

1

x2 +

2x – 5

Hallar "F(A)" e indicar la suma de sus elementos. a) 6 d) 12

b) 8 e) 15

a)

e o

d)

e

4 0

0 4

–4

0

0

–4

o

2 –1

m 1

3

n 5

Si "A" y "B" son permutables respecto a la

multiplicación, hallar "m+n". b) 2 e) 5

c) 3

traza de "xtB", siendo: A = b) 1

d) 3

e)

e)

e

0 4

c)

4 0

0

–4

–4

0

e44 44o

o

de kilogramos de artículos vendidos diariamente en cada una de las tiendas. Calcular la ganancia de Edú en cada tienda y la ganancia total.

a b c

Tiendas 2 100 200 200

1 200 300 100

3 200 100 300

Eucalipto Huarango

Mercado A 80 40

B 50 90

La ganancia por la venta de cada árbol es: S/.8 por el eucalipto y S/.6 por el otro. Calcular

12. Si "x" es matriz solución de: Ax = B, calcular la

a) 0

e o

una ganancia de S/.0,4 por el "b" S/.0,3 y por el "c" S/.0,5. La siguiente tabla muestra el número

Clase de árbol

a) 1 d) 4

b)

15. En un vivero se cultivan dos árboles: eucalipto y huarango que son distribuidos en dos mercados, como se muestra:

e o ; B = e o 1

–1 0

c) 10


A=

1

hallar: (A + B)2

Artículos 10. Si: A =

2

14. Edú administra tres tiendas y en cada una de ellas produce tres tipos de artículos: "a", "b" y "c". Por cada kilogramo de artículo "a" obtiene

2 7

–6

6

e o; AB=e o ; BA= e o

1 1

; x–y=

Hallar: xt . yt 6

13. Si: A2=B2=

e o y B = e o 1 1

2

2 1

1

la ganancia obtenida en cada mercado y la ganancia total.

c) 2

1 2

Colegios

TRILCE 112

Central: 6198-100

Álgebra

Practica en casa 1. Relacionar correctamente las tablas respecto a 7. Sean las matrices: la matriz. A=

e o 6 4

A=

2 5

A

6

a21+a12

B

–22

Traz(–At)

C

11

a21a12 – a11a22

D

–11

)

3 5

1

2

x - 2y = A 2x + 3y = B

A=

7 4

3. Dada la siguiente matriz:

A=

e o ;B= e o 6 –3

12 8

7

–7 8

4

2 –1

5

1

1 2

0 –1

10. Dada la matriz: A=

f p

e o ; B = e o

Si: P(x; y) = x+y+2, hallar: P (A; B)

3 4 5

>

x–2y x + 3y 2x 3y–x x + y 2x–y 9 8 7

H

0 2 3

Donde se cumple:

0 0 1

Traz(A) = 16 ; a21+a31=a22+1

• "A" se denomina matriz triangular _________ • El valor de su traza es: __________________ • La suma de sus elementos es: ____________ 4. Sean las matrices:

A=

4

9. Dados:

e o

• El orden de la matriz es 2 ×2 ...................( )

Completar:

1 2

Donde: x ; y ∈ k2x2

• b11b22 = b21+b12 ..................................( ) • La traza de "B" equivale a 12 ...................( )

1 –2 3

8. Hallar "x" al resolver el sistema de matrices x,y

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda, dada la matriz:

A=

o

2 3

Hallar "AB".

Traz(A)

B=

e o ;B= e

=

x–2y x 3 x–y

Calcular "xy". 11. Calcular "xy", si las matrices: A=

G ; B = =

2 y+4 3 4

G

e o 12 3 1

4

;B=

e

o

21x 48 16 y–1

verifican: A2 = B

Hallar "xy", si: A = B.

12. Hallar la matriz "x" que resuelve:

e o e o 1 3

5. Luego de escribir explícitamente la matriz, hallar "Traz(B)", si: B = [b ij]3x3 / bij = 2i – j

2 1

x=

11 4 7

3

Indicar como respuesta la suma de sus elementos.


A=

e

x–3y x 1 y

o ; B =e

2 6–y 1 6–x

Si: A = B, hallar: 3A + 2C. www.trilce.edu.pe

o ; C = e

–4 –8 2

3

o

13. Sea: B = [b ij]3x3 ; si: bij = 2i – (–2) j

Indique la traza de "B".


18

Capítulo

14. Mathías produce los artículos "A", "B" y "C" 15. En una fábrica se recogen dos producciones al año, y las vende en cajones a dos supermercados que se distribuyen en tres mercados. La tabla muestra diferentes "La Oferta" y "La Rebaja". La ganancia el número de paquetes enviados a cada mercado. que se obtiene es de S/.10 por cada cajón de artículo "A", S/.8 por el de "B" y S/.6 por el de

"C". Calcular la ganancia generada por las ventas en cada supermercado, si el número de cajones vendidos a los supermercados se muestra a continuación:

1 2

La ganancia de la primera producción es de S/.6 por paquete y S/.8 en la segunda producción.

Supermercados La Oferta La Rebaja 60 80 80 100 70 50

Artículos

A B C

Supermercados A B C 100 90 50 60 110 80

Producción

Calcular la ganancia obtenida por cada mercado y la ganancia total anual.

Tú puedes 1. Si: A =

a)

e

e o ;B= e o –3 5

2 –3

–2 2

4

o

29

–4

6

–28

b)

e

;C=

5

29 –4 –6 28

o

e

o; resolver: 3(x – 2A) = 5(B – C) + 2(x – A – B)

–7

3

2

–1

c)

e

o

–29

4

–6

28

d)

e

4

6

28

2. Hallar el valor de "F(A)", si: F(x) = x3 – 3x2 – 2x + 4; siendo: A = a)

e

4

8

12 16

o

b)

e

–4

8

12 –16

f p

o

c)

e

–4

–8

–12 –16

o

d)

e

o

29

e)

e

–29 –4 6

28

e)

e

–4

21

o

e o. 2 3

3 –1

–4

o

21

21 –25

o

–21 25

1 –1 1

3. Dada la matriz: A =

2 –1 0 1 0

a) A

, calcular: A100.

0

b) – A

c)

e) f

d) 2I

I

f p f 2

4. Hallar la suma de los elementos de la matriz: C =

(BA)t –

2A, si: A =

–1 4 1 2

a) –2 R0 S S1 5. Calcular: S S2 S3 T R5 V S W S10 W a) S W S15 W S20 W T X

b) –1 V W 2W W 3 W 4W X

0 1 1 2 3

0 1

; B =

6

3

2

–2

4

0

2 1

c) 0

d) 1

e) 2

R5 V S W S15 W c) S W S25W S30 W T X

R5 V S W S10 W d) S W S20 W S30 W T X

R5 V S W S15 W e) S W S25W S35W T X

1

p

–5 –2

> H= G –1 –1 2

2

1

1

R5 V S W S15 W b) S W S20 W S25W T X

4

1

Colegios

TRILCE 114

Central: 6198-100

Capítulo

19

DETERMINANTES ¿DE DÓNDE SURGIERON LOS DETERMINANTES? Por supuesto, en el contexto de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Pero no solamente ahí: una vez dentro del cálculo diferencial e integral, también en los sistemas de ecuaciones diferenciales, cambios de variables en métodos de integración, y en el estudio de propiedades de las formas cuadráticas en tres o más variables que se pueden ver asociadas, por ejemplo, a la teoría de números, pero que aparecen en muchas otras partes de las matemáticas. Es casi increíble pero se encuentra un método matricial en la China del 200 a.C.; se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Ya en el siglo XVI, Cardano ofreció un método para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones, que es básicamente lo que conocemos como la "regla de Cramer'' (aunque no llega a la noción de determinante). Tampoco se puede dejar de reconocer en el trabajo Elements of curves de Witt, en 1660, lo que podría señalarse como una diagonalización de una matriz simétrica. Puede decirse que los sistemas de ecuaciones lineales fueron iniciados por Leibniz en 1678; de hecho, en 1693 usó índices en los coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas y, eliminando las variables, obtenía una expresión como "determinante". Se afirma

Cardano

que la primera aparición del determinante en Europa se dio en una carta de Leibniz a L'Hôpital, en 1683, e incluso usó el término "resultante'' para sumas combinatorias de términos de un determinante. Algo similar a la regla de Cramer se encuentra en algunos de sus trabajos. También estudió sistemas de coeficientes de formas cuadráticas, que lo empujaron hacia las matrices.


www.trilce.edu.pe

.

Denición

.

Regla de Sarrus

.

Propiedades generales

.

Menor complementario de una componente

.

Método de Cramer


19

Capítulo

Síntesis teórica

DETERMINANTES

|A| o Det (A)

"A" una matriz cuadrada

Orden 1

Orden 2

A=

A = [a11]

Orden 3

a11 a12 A = a21 a22 a31 a32

a11 a12 a21 a22

a13 a23 a33

|A| = (a11a22 a33 +a12 a23a31+a21a32a13)

|A| = a11

|A| = a11 a22 –a21 a12

– (a31a22a13+a21a12a33+a32a23a11)

Propiedades

•

•

|A| = |At|

•

|AB| = |A||B|

•

A B

=

A B

; B ≠ 0

|kA| =kn |A|

k : Es un escalar ; A : una matriz de orden "n"

Colegios

TRILCE 116

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 1. Resolver:

3. Hallar "x" en: x –1

• 2x – 1 =

3

→ x = ____________

7x 8

3x

+

2

= 38

• 3(x – 2) = 4(x – 3) → x = ____________

4. Efectuar: •

x 2

+

x 3

=

5

→ x = ____________

6

e o e o 2 4

+

3 1

5 3

-1 0

2. Resolver: • x2 – 9 = 0

→ CS =________________

• x2 – 5x = 0

→ CS = ________________

• x2 –

5x + 6 = 0 → CS = ________________

5. Efectuar:

e oe o 2 1

3

1 2

1

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: a c 0 b

A

3. Completar correctamente: ad – bc

• El ......... de la matriz identidad es la unidad. • El determinante es un valor asociado a una

a a b b a d c b

B C

ab – cd 0

• En la matriz de orden 2: A =

e

a+b b a

a

o

Su determinante equivale a: ....................

a+b b c+d d

D

ab

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) respecto a: B=

matriz ...............

= G

4. Calcular "x" en: x 2 5 1

=4

6 9

2 3

• |B| es positivo ...................................... ( )

5. Calcular: 1 0 0

• |B| = |B t| ............................................ ( )

2 4 0

• |Bt| = 0 ................................................ ( )

3 5 6

• |B| es negativo ..................................... ( )

www.trilce.edu.pe


19

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente las tablas:

6. Indicar la suma de las soluciones al resolver: x –1

a c

A

b d ab bc ab ad c a

C

d b 2

a

B

ab –

b d

x

4 x

a) 1 d) 4

=0

b) 2 e) 5

c) 3

b d

ad bc

7. Calcular: P(–1; 0; 2), si: P(x;y;z) =

bc ad

a) 19 d) 22

a b

D

b2 d2

2

a c

2

c

a c

1 0

–3

c d

b) 20 e) 23

x y z 2 0 1 1 4 3

c) 21

8. Hallar el determinante de la matriz: 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

A=

• El determinante de una matriz cuadrada es

=

14 387 14 388 14 386 14 387

a) 14 386 d) 14 387

igual al determinante de su transpuesta ..( ) • El determinante de la matriz identidad es

G

b) 1 e) 0

c) 2

cero........................................................( ) 9. Si "α" y "β" son raíces de: x 2 – 4x+1=0, • Si dos filas son iguales el determinante de la calcular el determinante de: matriz es cero ........................................( ) α+β α+β • Si su determinante es cero, la matriz es A= α –β simétrica ...............................................( ) a) 4 b) 9 c) 16 3. Completar: d) 25 e) 36

G

=

• Al intercambiar dos filas o columnas

contiguas en una matriz, el valor del 10. Calcular "x" al resolver: determinante cambia de ________________ • Un escalar que multiplica a un determinante • El método de Sarrus solo se aplica para

a) 2 d) 8

matrices de orden _____________

4 –3

5

3 –2

8

x b) 90 e) 0

c) 80

5. Calcular:

b) 4 e) –2

6 2x + 3

= 7

5

c) 6

= G= G 7 4 5 3

=

8 5

6 4

a) 1 d) 4

b) 2 e) –3

c) 3

12. Indicar la suma de las soluciones al resolver:

1 5 25 1 7 49

x+3

–1

1

5

x–3

1

6

–6

x+4

1 8 64

a) 5 d) 3

4

x–3 2

4

11. Calcular el determinante de la matriz "x" que verifica:

1 –7 –5

a) 100 d) 10

3

Indicar como respuesta: 3x+2.

solo afecta a una __________ o ___________

4. Calcular el determinante:

x

b) 4 e) 2

c) 6

a) 0 d) 4

= 0

b) – 5 e) – 4

c) 6

Colegios

TRILCE 118

Central: 6198-100

Álgebra 13. Resolver:

15. Si el ingreso diario de un producto está dado por x+3

x

x

x

+

x+1 x+5 x+1 x+2 x+7 x+2

a) – 4 d) –2

6

0 –2 8 0

b) 6 e) 7

0

la relación: I = P.Q., donde:

7

= 8

1

c) 3

4 1

A 2

= 15 ;

1 3

2 2 3

T 1

= 200 ;

0 X 1

2 3

0 0 5

: Ingreso

P

: Precio unitario

Q : Cantidad vendida

14. Un alumno del colegio Trilce tiene sus notas de Aritmética (A), Álgebra (X), Geometría (G) y Trigonometría (T), representados por los siguientes determinantes: G 0

I

¿Cuál fue el ingreso mensual si está representado por el valor de los siguientes determinantes? P=

= 46

+

1 T 2 3

Q=

= 19

3

4

3

2

0

1

5

7

1

3 4 2 5

¿Cuál fue su mejor nota?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: x 2 5 1

2 1 3

4. Calcular el determinante: A

= 4

5 3 2 1 4 3

x=4 2

x 3 x 4

1 a a

8

2 5 x 9

x=14

5. Calcular:

2

1 b b

1 c c2

x 16 2

B

= 0 = 0

C

x=2

D

= 8

6. Dadas las matrices: A = hallar:

x=0

AB

e o y B = e o ; 3 1

4 2

1 1

0 3

B A

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres- 7. Calcular "x" al resolver: –1 2 –4 3 ponda: |A| = ; |B| = 3

–4

2

x

x

x

5

2

4

= 24

25 4 16

–1

910 450 370

•

|A| < |B| ....................................... (

)

•

|A| > |B| ....................................... (

)

•

|A| = |B| ....................................... (

)

•

|A| + |B| = – 4 ............................. (

)

3. Completar respecto al determinante: |M| =

1 1

1

1 a

b

1 a2 b2

•

Es el determinante de ...........................

•

El valor de |M| es ................................

8. Calcular: |B| =

500 230 180 410 220 190 2012 2013 2014

9. Calcular: |C| =

0

5

25

0

0

2

10. Indicar el producto de las soluciones al resolver: x 0

0

5 x –1 + 8 2

11. Resolver:

1

3

3

–2 x

=0

1

x

3

0

–1 1

= 0

–4 –2 2

www.trilce.edu.pe


19

Capítulo

15. Si el ingreso diario de un producto está dado por

4 5 2 4

12. Calcular: |A| =

la relación: I = P.Q., donde:

3 6 4 3 2 7 6 2 1 8 8 1

1

13. Hallar "|A|" si:

A=

b

>

c

1 a+b b+c 1

2b

a+c

H

14. Un alumno del colegio Trilce tiene sus notas de Aritmética (A), Álgebra (X), Geometría (G) y Trigonometría (T), representados por los siguientes determinantes: 3 2 4 X

2 A

= 52 ;

4 5

3 0 0 2 G 0

= 96 ;

1 4 2

2 1 T 4

T 3 2 5

: Ingreso

P

: Precio unitario

Q : Cantidad vendida ¿Cuál fue el ingreso mensual si está representado por el valor de los siguientes determinantes? P=

= - 54

+

I

2

3

5

5

2

4

2

3

4

; Q=

5 3 3 6

= 62

¿Cuál fue su mejor nota?

Tú puedes 1. Sea la progresión geométrica: ÷÷2:n2:n3:n4...

4. Calcular: x 0 –1 1 0 1 x –1 1 0 de los cuatro primeros términos es igual a 80. + 1 0 x–1 0 1 (k ∈ ). Hallar: 2a – b, a partir del siguiente 0 1 –1 x 1 resultado: 0 1 –1 0 x a 1 ak k ak2 k2 ak3 k3 =120 + + + b 2 bk 2k bk2 2k2 bk3 2k 3 a) (x2+x+1)(x3+x+1) b) (x2 – x+1)(x3+1) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 c) (x2 – x+1)(x3 – x – 1) d) (x2 – x – 1)(x3 – x – 1) 2. Si "A" es una matriz definida por: 2 – x+1)(x3 – x+1) e) (x h –1 0 0 cuya razón es: k2; se cumple en ella que la suma

A = hx2 h –1 0 , hx hx h –1 hx3 hx2 hx h entonces el valor del "Det(A)", es: a) h3(x+h)3 c) (x+h)3 e) h(x+h)3

5. Hallar: x 1 0 n–1 x 2 0 n–2 x 0 0 n–3 . . . . . . . . . 0 0 0

b) x3(x+h) d) x(x+h)3

0 0 3 x . . . 0

... ... ... ...

0 0 0 0 . . . ... x

3. Calcular: 0 –a –b –c a) (af+be – cd)2 c) (af – bd+ce)2 e) (ad – bf+ce)2

a 0 –d –e

b d 0 –f

c e f 0

b) (af – be+cd)2 d) (ad+bf – ce)2

n

a) % (x+n – k)

b)

k= 1 n

c) % (x+n – 2k) k= 1

n

% (x+n+2k) k= 1

d)

n

% (x+n+1 – 2k) k= 1

n

e) % (x+n – 1 – 2k) k= 1

Colegios

TRILCE 120

Central: 6198-100

Capítulo

20

SISTEMA DE ECUACIONES GABRIEL CRAMER Fecha y lugar de nacimiento: 31 de julio de 1704 en Génova (Suiza).

Fecha y lugar de fallecimiento: 4 de enero de 1752 en Bagnolssur-Cèze (Francia). Un poco de su vida : Cramer viajó bastante y conoció a muchos grandes matemáticos de su época, con los que mantenía correspondencia intercambiando información sobre nuevos descubrimientos matemáticos. Aunque la regla lleva su nombre, hay razones para pensar que Mc Laurin usó esta regla antes. Escribió sobre filosofía de la leyes y del Gobierno, y sobre la historia de las matemáticas. Trabajó en una oficina pública, participó en la artillería y en actividades de fortificaciones para el Gobierno, instruyó a trabajadores sobre técnicas de reparación de catedrales. El trabajo más conocido es Introduction á lÁnalyse des Lignes Courbes Algebriques (1750); estudió y clasificó las Curvas Algebraicas (la regla de Cramer aparecía en el apéndice). El exceso de trabajo, combinado con la caída de un carruaje provocaron su fallecimiento. Fue una persona de buen corazón y Cramer agradable, nunca contrajo matrimonio.


www.trilce.edu.pe

.

Denición, forma general de un sistema lineal

.

Solución de un sistema, sistemas equivalentes

.

Clasicación de los sistemas lineales

.

Método de resolución de un sistema lineal


20

Capítulo

Síntesis teórica

SISTEMAS DE ECUACIONES

Definición

Resolución

Clasificación

Igualación

Reducción

Compatible

Incompatible

Sustitución

Cramer

Determinado

Indeterminado

(1er grado)

Colegios

TRILCE 122

Central: 6198-100

Álgebra


4. Resolver:

x+4

•

=

3 2x–1

•

2

x–5 2

3x–1

+

3

= x

→ x=

•

4x2 – 49 = 0 → C.S. = {

;

}

→ x=

•

9x2 – 1 = 0

→ C.S. = {

;

}

→ C.S. = {

;

}

5. Resolver:

2. Resolver: •

= 5 → x =

•

x2 – x = 20

= 2 → x =

•

x2 + x = 30→ C.S. = {

x–4 3

•

x –1

;

}

3. Resolver: 1

•

x

+

1 x+1

1

•

x+2

–

=

5

→ CS =

6

1 x+3

=

1 6

→ CS =

Aplica lo comprendido 1. Resolver:

) ) ) )

3. Completar respecto al sistema:

x+y = 9 x – y =1 2x + y

=

11

2x – y = 1 2x + y = 11 x + 2y = 4 x + 3y = 3 3x + y = 13

A

xy=15

B

x+y=5

C

xy=20

D

x+y=4

)

• • • •

x + my = 1

•

Si: m=1, el sistema es .............................

•

Si: m=–1, el sistema es ...........................

•

Si: m=2, el sistema es .............................

4. Indicar el valor de "x+y" del sistema:

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) dado el sistema:

)

mx + y = 1

)

7x + 4y = 3 5x + 3y = 1

4x + 5y = 2

5. Calcular "x" al resolver el sistema:

5x + 6y = 1

Es compatible indeterminado ...............( No tiene solución .................................( Es compatible determinado ..................( Se cumple que: x+y=–1......................(

www.trilce.edu.pe

) ) ) )

Z4 3 ]x +y =3 [2 6 ] + =3 \x y


20

Capítulo

Aprende más

)

1. Relacionar al sistema: ax + by = c

mx + ny = p

incompati- A

a =b =c m n p

compatible B

a b ! m n

Sistema

ble Sistema

determinado Sistema

compatible C

indeterminado

a =b! c m n p

6. Calcular "x – y" al resolver: Z1 2 7 ]x + y = 6 [2 1 4 ] + = \x y 3 a) 2 d) –1

)

•

El sistema indeterminado no tiene solución

a) –12 d) 6

•

3. Completar: • •

Un sistema lineal es de ............... grado. Se usa los determinantes para resolver un

4. Calcular "xy" al resolver:

)

)

5x + (a + 3) y = 8

a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

9. Indicar el valor de "m" en el sistema indeterminado:

)

Las ecuaciones de un sistema lineal,

gráficamente representan .......... en el plano cartesiano.

c) 0

(a + 2) x + 2ay = 7

sistema lineal usando la regla de ................. •

b) –6 e) 12

8. Calcular "a" en el sistema incompatible:

.............. .............................................. ( ) Todo sistema inconsistente es incompatible ............................................... ( ) Todo sistema indeterminado es inconsistente ............................................... ( )

•

2 (x + 3) + 3 (y + 2) = 18

3 (x + 4) + 4 (y + 3) = 36

El sistema incompatible tiene infinitas

soluciones ............................................ ( )

c) 1

7. Calcular "x" al resolver:

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: •

b) 3 e) –2

–mx + y = 1 x – my = 1

a) 1 d) 2

b) – 1 e) – 2

c) ±1

10. Calcular "m" para que el siguiente sistema sea inconsistente:

2x + 3y = 8 4x + 5y = 14

)

(m – 3) x + 3y = 5

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

a) 1 d) 7

5. Resolver:

*

x+y =2 7 3 x–y = 4

b) 3 e) 9

c) 5

11. Calcular "m" para que el siguiente sistema tenga solución única:

Indicando el valor de "x+y" a) 3 d) 12

2x + (m – 2) y =7

b) 7 e) 15

c) 10

Z 2x + 3y = 13 ] [ 4x + 5y = 23 ] 6x + my = 18 \ a) 2 b) 4 d) 7 e) 8

c) 6

Colegios

TRILCE 124

Central: 6198-100

Álgebra 12. Calcular "a" para que el sistema siguiente sea compatible determinado: Z x – 3y = – 1 ] [ 5x – 7y =11 ] 9x – ay =35 \ a) 3 b) 5 d) 9 e) 11

c) 7

13. Calcular "6x" del sistema: Z 2 4 ] 3x + y + 3x – y = 3 [ 2 4 =1 – ] \ 3x + y 3x – y

a) 1 d) 7

b) 3 e) 9

c) 5

14. Edú, Mathías y Carla pueden soldar 37 metros lineales por hora cuando trabajan juntos. Edú y Mathías juntos pueden soldar 22 metros lineales por hora, mientras que Edú y Carla juntos pueden soldar 25 metros lineales por hora. ¿Cuántos metros lineales por hora pueden soldar cada uno de ellos por separado? 15. Un ciclista tiene un promedio a distintas velocidades cuesta arriba, en terreno llano y cuesta abajo. Él estima el siguiente kilometraje para sus tres últimos recorridos: km cuesta km terreno km cuesta Tiempo arriba llano abajo total (horas) 2 15 5 1,5 6 9 1 1,4 8 3 8 1,6 ¿Cuáles son las velocidades promedio cuesta arriba, en terreno llano y cuesta abajo?


) )

2x + 3y = 4 4x + 6y = 8

10x + 15y = 30

)

2x + 3y = 5 2x + 3y = 5 3x + 2y = 5

A

B

C

Compatible determinado Comtapible Indeterminado Incompatible

)

ax + by = c

3. Dado el sistema: bx + ay = d Completar: • El sistema es inconsistente si .............. • El sistema es indeterminado si ..................... • El sistema es .......... si: a=b y c ≠ d

4. Calcular: (x + y)y – x , al resolver:

)

2x + 5y = 26 3x – 4y = –7

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres5. Calcular "xy" al resolver: ponda: • Todo sistema incompatible es inconsistente

)

23 x + 32 y = 6

)

3 (x + 5) + 5 (y + 3) = 36

..............................................................( ) 42 x + 24 y = 8 • Todo sistema inconsistente es indeterminado ......................................................... ( ) 6. Indicar el valor de "7y" luego de resolver: • Un sistema compatible puede tener dos

soluciones .............................................. ( ) • El sistema incompatible no tiene solución ... ( )

www.trilce.edu.pe

4 (x + 2) + 2 (y + 4 ) = 18

7. Indicar "x" que verifica el sistema: Z4 3 ]x+ y = 4 [2 6 ] – = –3 \x y


20

Capítulo

8. Resolver e indicar el valor de "y": Z ] 3x – 4 = 5 y ] [ 1 = 2 ] x+ 2 5 ] y \ 9. Para qué valor de "m" el siguiente sistema:

)

(m – 2) x + 3y = 4 6x + (2m + 1) y = 12

tiene infinitas soluciones. 10. Hallar "m" para que el sistema sea incompatible:

)

13. Luego de resolver el sistema:

)

3 x + y + 2 – 2x–3y–7 = 10 2 x + y + 2 + 3 2x–3 y–7 = 14

Indicar el valor de "3x – 2y". 14. La edad de Edú es la suma de las edades de Fatima y Mathías. La edad de Fatima es 2 años más que la suma de las edades de Mathías y Marco. La edad de Mathías es cuatro veces la edad de Marco. La suma de las cuatro edades es 42. ¿Qué edad tiene Edú?

(1 + 2m) x + 5y = 7

15. En una feria campestre los boletos para los (2 + m) x + 4y = 8 adultos se venden en $ 5,50; para los jóvenes en $ 4,00 y para los niños $ 1,50. El día de la 11. Calcular "α2 + β2" en el siguiente sistema comapertura, el número de boletos para jóvenes y patible indeterminado. niños que se vendieron fue 30 más que la mitad (α – 3) x – (β – 5) y = 10 de los boletos de adultos vendidos. El número 4x – 3y = 5 de boletos para jóvenes vendidos tiene cinco más que cuatro veces el número de boletos 12. Calcular " x + y " al resolver: para niños. ¿Cuántos boletos de cada tipo se 9x – 4y = 108 vendieron, si la venta total de boletos ascendió 3 x + 2 y = 18 a $ 14 970?

) )

Tú puedes 1. Calcular "y" al resolver:

)

x + 2y + 8xy x – 2y

a) 4 d) 16

=

a) 9

d)

=1

b) 6 e) 32

c) 8

2. Hallar "xy" del sistema: x + y–3 2x + y–5 = = 2 3 x–y + 4 x–2y + 7

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

3. Calcular "xyz" al resolver: Z1 1 1 ] + – = ]] x y z 1 1 1 [x – y + z = ] 1 1 ]] + = y z \

1 2

1

1

c)

90

1 60

e) 1

30

4. Indicar "xy" luego de resolver el sistema: Z b = a+ b ] a + ]x– a y– b [ a – b ]] = a – b x– a y– b \

c) 4

a) a d) a+b

b) b e)1+

c) a – b a + b + ab

5. Indicar "x – y" al resolver:

6

)

4 1 x

b)

a) a+b d) b

ax + by = 2 (a2 –b2) bx + ay = a2 – b2

b) a – b e) 1

c) a

Colegios

TRILCE 126

Central: 6198-100

Capítulo

21

DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES NÚMEROS REALES En la gran mayoría de los temas que se tratan en Matemática, se tiene como Universo un conjunto que es llamado el conjunto de los números reales. Conoceremos algunas de sus propiedades fundamentales; además, se tendrá una idea descriptiva de dicho conjunto. De una manera inductiva se analizará la formación del conjunto universo de los números reales, empezando por los números naturales, considerados como un conjunto primitivo en la construcción de los números. Veremos como surge la necesidad de aumentar dicho conjunto para formar el conjunto de los números enteros, continuando con los racionales y paralelamente con los irracionales, hasta llegar finalmente al conjunto universo de los números reales. Definición número real, todo número racional o irracional y se designa por la letra . Los números reales se expresan en forma decimal, un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas. En Matemática, los números reales incluyen a los números racionales y los números irracionales.


www.trilce.edu.pe

.

Desigualdades

.

Inecuaciones lineales


21

Capítulo

Síntesis teórica

DESIGUALDADES

Definición

Notación • Relación de orden •

Teoremas

Inecuaciones

Intervalos C ∈ R

Solución

Operaciones entre desigualdades Inecuaciones de 1er. grado

Multiplicando o dividiendo por "C" a los 2 miembros Sumando o restando "C" a los 2 miembros Elevando a exponente par

Suma

Resta

Acotados

Multiplicación

No acotados

División

Elevando a exponente impar Colegios

TRILCE 128

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 3. Completar usando los símbolos mayor (>),

1. Completar: •

menor (<) o igual (=).

El opuesto de – 6 es ................ •

• • •

El opuesto de

3 4

es ............... •

3 4

–

El recíproco de – 6 es ............... El recíproco de

3 4

•

es ...............

•

1 2

–

5

..........

3

.......... –

4

4 5 4

2

..........

1

.......... –

2

3 1 3

2. Indicar si los valores son reales o imaginarios 4. Resolver: en: • x2 + 1 = 0 → CS= .................................. •

x=

•

y=

•

z=–

•

–16 3

w=

–8 25

(–4)

→

x es .........................

→

y es .........................

→

z es .........................

→

2

w es .........................

•

x2 – 2 = 0 → CS= ..................................

5. Resolver: 1

1

→ CS= .....................

•

x+

•

5(x – 6) = 3(x – 6) → CS= ........................

x–4

=4+

x–4

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: a+b=b+a a(b+c)=ab+ac a(bc)=(ab)c a+0=0+a=a

A B C D

3. Completar correctamente: Ley distributiva Ley conmutativa Elemento neutro Ley asociativa

•

Si: x ∈ 〈 – 3 ; 2〉 → x2∈ .......................

•

Si: x ∈ 〈 0 ; 1〉 →

•

Si: x ∈ 〈– 2 ; 3〉 → x3 ∈ .......................

1 x

∈ .........................

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en: •

Se cumple siempre: x 1 .................................(

)

Se cumple siempre: x
)

x

•

• •

y

Se cumple siempre: x
www.trilce.edu.pe

4. Resolver:

x–1 2

+

x–1 3

<1

5. Resolver: (x – 1)(x – 5) ≥ (x – 3)2 ) )


21

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente: a ≥ b b≤a≤0 0≤b≤a a ≤ 0 ≤ b

a) 5 2 d) 10

ab+a3

≤0 ≥ b2 a3 ≥ b3 a2 ≤ b2

A B C D

x

–

3

•

x ≥ 1 → x2 ≥ 1 ...................................... ( )

•

–1 < x ≤ 2 → 0 ≤ x2 ≤ 4 ...................... ( )

•

–4 < x ≤ – 2 → 4 ≤ x2 ≤ 16 .................( )

•

x ≤ – 2 → x2 ≤ 4 .................................. ( )

x 6

<

como

un

x 2

–

10

1 4

a) 2 d) 5

b) 1 e) Ninguno

c) 3

9. Indicar la suma de los valores enteros que verifican: 1 – 2x < 10 + x < 15 – 4x

a) – 2 d) – 3

b) – 6 e) – 5

c) – 4

10. Indicar el menor valor que puede tomar "x" en: 2x + 1 3x – 1 ≥ x + 3 + 3

3. Completar adecuadamente: gráficamente

c) 10

8. ¿Cuántos valores enteros negativos verifican?

a2


• Representado

b) 5 e) 25

4

a) 5 d) –3

b) 8 e) 7

c) 4

segmento de recta, al conjunto de infinitos puntos reales se le denomina ..................... 11. Indicar la raíz cuadrada del mayor número entero que verifica la inecuación: • Ningún número real elevado al cuadrado puede ser ............... 1 x

1 x 1 x + 1j + ` j + ` + 2j < 3 ` 6 2 2 5 3 10

• El único número real que no tiene inversa es

el ............... 4. Si: –2 < x ≤ 3, calcular el intervalo de:

a) ]– 1 ; 8] d) [– 1 ; 8]

b) [3 ; 9] e) ]– 1 ; 8[

x 2 –

1

c) ]3 ; 8]

a) 5 d) 2

Z 2x–3 x–1 <2 + ] 9 5 [ x + 2 3x–2 >4 ] + 5 \ 3

2x + 1 x–6

; 83 ; 11E d) ;– 11 ; 3 8 a)

;– 83 ; 11E e) 3 ; 11@ 8 b)

c)

;– 38 ; 3E

c) 4

12. Indicar cuántos valores enteros de "x" verifican el sistema:

5. Si: x ∈ 〈– 2 ; 5], hallar el intervalo de variación

de: M =

b) 3 e) 6

a) 5 d) 2

b) 3 e) 1

c) 4

13. Para: a
podría tomar "x" en la desigualdad:

+, calcular el máximo valor que puede tomar "xy", si: x+y=14

6. Si: x, y ∈

a) 50 d) 7

b) 49 e) 0

x 6

+

150

c

c) 48

+, indicar el mínimo valor que toma:

7. Si: x ∈

b2 + (1 + 4x) a – b # a b a b a2

a)

a2 4b (a + b)

d)

a 4b

2

m

b)

b2 4a (a + b)

e)

b 4a

c)

4ab a+b

2

x

Colegios

TRILCE 130

Central: 6198-100

Álgebra 14. Las lecturas de temperaturas con las escalas 15. La producción estimada "x" en la refinería "La Fahrenheit y Celsius se relacionan mediante la Pampilla" verifica: fórmula: 200 000 ≤ 5x - 4 500 000 ≤ 225 000, donde "x" 5 es la medida en barriles de petróleo. C = (F - 32). ¿Qué valores de "F" corresponden 9 Determinar: a los valores de "C" tales que: 30 ≤ C ≤ 40? • La producción máxima de la refinería. • La producción mínima de la refinería.


5. Si: a
afirmaciones son verdaderas? b<0
A

0< 1 < 1

a>b>0

B

a – b<0

a

a
C

ab<0

a
D

ab>0

I. m2 – (a+b)m+ab<0

b

II.

2

∉

2

a –m

III. a–1>b–1

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 6. Si: x ; y ∈ +, tal que: x + 2004y = indique el máximo valor de "xy". 1 • 01 ..................................( )

2004

,

x

• 0
1 2

x

>

1 3

x

..............................( )

7. Si: x > 5, ¿cuál es el mínimo valor que toma la expresión: E(x) = x + 49 ? x-5

• – 1
) 8. Indicar cuántos valores enteros positivos verifican:

• –1
→ x3
..............................( )

x 2

3. Completar adecuadamente: • El ............................ cerrado incluye a los

extremos.

–

2x 3

<

1 2

–

x 4

9. Indicar la suma de los valores enteros de "x" que verifican: 3 2

$

1– x 6

$

2 3

• La media aritmética de números positivos,

siempre es ............ o .............. que la media 10. Indicar cuántos valores enteros de "x" verifican el sistema: 2x+8 ≤ 5x – 1 ≤ 3x + 7 geométrica. • La media aritmética es igual a la media

geométrica cuando los elementos que la conforman son .....................

11. Resolver el sistema: 4x–9 7

4. Sea: a; b; c ∈

M= a + b + c b c a

www.trilce.edu.pe

+;

< x–3 /

3x + 10 4

> 2x–5

hallar el intervalo de "M" en: 12. Si: a>0, resolver:

x–1 a

+

x+a 2a + 1

>2


21

Capítulo

13. Si: a>b; además: a y b ∈

+, resolver:

15. La producción estimada "x" en la refinería "La Pampilla" verifica: 100 000 ≤ 30x - 5 600 000 ≤ 325 000 donde "x" es la medida en barriles de petróleo.

ax b bx a + < + b a a b

14. Las lecturas de temperaturas con las escalas Fahrenheit y Celsius se relacionan mediante la fórmula: C = 5 (F - 32). ¿Qué valores de "F" 9 corresponden a los valores de "C" tales que: 50 ≤ C ≤ 60?

Determinar: • La producción máxima de la refinería • La producción mínima de la refinería.

Tú puedes 3 1. Sea: a>0 y b>0, determinar el menor valor de "k" tal que: (a3+ b)3 ≤ k ; k ∈ .

a +b

a) 2

b) 3

2. Si: a ; b ; c ∈

a) k≤1

c) 4

d) 5

2 2 2 + , se puede afirmar que: k = (a + b + c) (a + b + c ) es: abc

b) k≤2

c) k≥1

3. Si: x>0, calcular el mínimo valor de la expresión: K = x +

a)

3

3

b)

3

2

k = (a + b + c)

c)

+ donde: a ≠ b (a–1 + b–1 + c–1)

4. Sabiendo que: a ; b ; c ∈

a) 9

e) 6

b) 10

3

3 2

d) k≥9

e) k≤20

4 2

x

d)

3

2 3

e) 3

≠ c ; indicar el menor valor entero que puede tomar:

c) 8

d) 11

e) 6

5. Calcular el mínimo valor positivo de: E= a + b + c , si f (x)=ax2+bx+c es no negativo 6x ! R / a > 0 b–a

a) 3

b) 2

c) 4

d)

5 2

e)

7 2

Colegios

TRILCE 132

Central: 6198-100

Capítulo

22

INECUACIONES POLINOMIALES FRACCIONARIAS INECUACIÓN DE GRADO SUPERIOR Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad; una expresión algebraica acompañado con una desigualdad nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente “x” puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. y

Región de viabilidad

x

La región de viabilidad en un problema de programación lineal está definida por un juego de inecuaciones.

OTRAS APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL


www.trilce.edu.pe

.

Inecuaciones polinomiales

.

Inecuaciones fraccionarias


22

Capítulo

Síntesis teórica

INECUACIONES POLINOMIALES Y FRACCIONARIAS

De 2do grado

Inecuaciones de grado superior

Método de los puntos críticos y signos en los intervalos

Inecuaciones fraccionarias

Aplicación directa de las propiedades en R

Criterio del discriminante

Colegios

TRILCE 134

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 4. Si: x∈〈–2; 6〉, indicar los intervalos de variación

1. Resolver: •

x –1

•

x

3 6

+

>

x 3

de:

2x – 1 5

$1

•

(x2 – 4) → x ∈

•

(x – 4)2 → x ∈

2. Si: x ∈ 〈1; 7] , indicar a qué intervalo pertenece: •

(8 – x) ∈ ..........

•

(2x – 1) ∈ ..........

5. Si: x ∈ [1; 5], indicar el intervalo de variación

de:

3. Si: x ∈ [2; 5〉, indicar el intervalo de variación

de: •

c

3

m

x+1

!

•

c

x+2 x+1

m ∈ ..........

..........

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: x2+1 ≥ 0 x2+1<0 x2 – 1≤ 0 (x – 1)2 ≤ 0

A B C D

3. Completar: x∈f x ∈ {1} x∈ x ∈ [–1 ; 1]

• Si: (x – 5) 2<0 → x ∈ ........... • Si: (x – 5) 2 ≤ 0 → x ∈ ........... • Si: (x – 5) 2 ≥ 0 → x ∈ ........... • Si: (x – 5) 2 >0 → x ∈ ...........

2. Indicar verdadero (V) o falso (F): 4. Resolver: • Si: x2 – x+1<0 → x ∈ f .......................( ) • Si: x2 – x+1>0 → x ∈

......................( )

• Si: x2 – x>0 → x ∈ 〈0 ; 1〉 ....................( ) • Si: x2+x<0 → x ∈ f ............................. ( )

www.trilce.edu.pe

(x – 2)(x – 4) (x – 6) < 0

5. Resolver: (x2+4)(x2 – 4) ≥ 0


22

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente: (x – n)2 ≥ 0 (x – n)2 ≤ 0 (x – n)2 < 0 (x – n)2 > 0

x∈{ } x ∈ – {n} x ∈ {n} x∈

A B C D

7. Calcular el valor de (a – 2) si la inecuación en "x": x2 + 2(1 – 2 )x+ a ≤ 0, se verifica para un solo valor de "x". a) 2 d) 2 2

b) 1+2 2 e) 1 – 2 2

c) 2 2 – 1

8. Resuelva la inecuación polinomial: 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: (x+2)(4x – 1)(–x + 3) > 0 e indica cuántos enteros no negativos la verifican. 2 • Si: –3–1 → x3>–1 .............................. ( ) que se cumpla lo siguiente: x2 – 5x+4 – M ≥ 0 ; ∀ x ∈ 3. Completar: a) – 3 b) – 5 c) – 4 • En una inecuación fraccionaria, los puntos d) 0 e) –2 críticos que provienen del ................. siempre son abiertos. 10. Luego de resolver la inecuación: • Si el discriminante de un polinomio de (x – 4)5 (x2 – x+2)2 (2x – 1)3 (x4 – 16)<0 segundo grado es positivo, se aplica el se obtiene: C.S. = 〈– a ; 1 〉 ∪ 〈a ; b〉 método de los puntos ............. a

• Un polinomio de segundo grado será no

negativo, si el coeficiente principal es positivo y el ............ negativo o cero.

Calcular el valor de "ab". a) 2 d) 8

b) 4 e) 12

c) 6

a) 9 d) 1

b) 8 e) 0

c) 4

4. Resuelva: 15x2 – 2x – 8 ≤ 0; calcula el producto del mínimo y el máximo valor de su conjunto 11. Luego de resolver la inecuación: solución. (x2 – x)2 (x3 – 1)(2x2 – 3x+1) (2x – 1) 4<0 se obtiene: C.S. = 〈– ∞ ; m〉 – {n} 4 2 1 a) b) – c) – Calcular el valor de: mn. 15

5

8

d) –

15

e)

15

8 15

5. Si: 〈–∞ ; b] ∪ [1; +∞〉, es el conjunto solución

de la inecuación: 2x2+ax+1≥ 0; calcular: b – a 12. Resuelva las siguientes inecuaciones: 2x–1

a) 7 d)

b)

1 2

e)

7

c) –

2

3 2

1 4

6. Resuelva la inecuación cuadrática: x2+14x+49 ≥ 0 a) 〈 5 ; +∞〉 3

c) e)

+

b) 〈–∞; –2] ∪ 〈3;+∞〉 d) f

x+4

2

G 0

/

x + x–2 x–1

>

0

e indica el intervalo solución común. a) 〈–4 ; d) 〈– 4 ;

1 2

〉

1 2

]

b) 〈– 2 ;

1

]

2

c) 〈–2; +∞〉

e) 〈–2 ; 2〉

13. Luego de resolver la inecuación fraccionaria: x–2 2x –1

+

1 x

<0, se obtiene: C.S.= 〈a;0〉 ∪ 〈b;–a〉

Calcular el valor de (2b + a).

Colegios

TRILCE 136

Central: 6198-100

Álgebra 1

a) 0

b)

d) 2

e) 4

2

Determine los valores de "t" para los cuales: N(t) > 0.

c) 1

14. Un rebaño de venados se introduce en una isla 15. Un fabricante de cierto artículo ha estimado pequeña. Al principio el rebaño aumenta con que su ganancia en miles de dólares está dada rapidez; pero finalmente, el alimento disminuye por la expresión: - 6x4+30x2 - 10, donde "x" y la población también. Suponga que el (miles) es el número de unidades producidas. número "N(t)" de venados, a los "t" años, es: ¿Qué nivel de producción le permitirá obtener una ganancia de al menos $ 14 000? 4 2 N(t) = - t + 21t + 100, donde: t > 0

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: x2 ≤ 9 (x2+3)(x–3) ≤ 0 x2 ≤ –9 x2 ≥ –9

A B C D

7. Hallar el mínimo valor entero de "a", que verifique la inecuación: 1+8x–3x2
x∈f x∈ x ∈ [–3 ; 3] x ∈ 〈–∞ ; 3]

8. Resolver: x3 > x

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: • • • •

Si: x2 ≤ 0, entonces: x ∈ f ...................( Si: x2 ≥ 0, entonces: x∈ ...................( Si: x3 ≤ 0, entonces: x ∈ – ..................( Si: x3 ≥ 0, entonces: x ∈ + .................(

9. Dadas las inecuaciones: •

) ) ) )

•

2x – 1 x+2

1– x 1+x

< 1 → C.S.=A

> 0 → C.S. = B

Hallar "A – B".

3. Completar al resolver las inecuaciones: x–a < x –b

10. Indique el conjunto solución de: x3+x2 ≤ 42x 0 ; a
•

Si:

•

Si: (x – a)(x – b) ≥ 0 ; a>b → x ∈ ..............

11. Resolver:

•

Si: (x – a)2(x – b) ≤ 0 ; a

(x+6)4 (x+2)6 (x – 4)8 (x – 3)11 > 0

4. Resolver: 3x2 – x –10 > 0 12. Indica la suma de valores enteros que verifican: 5. Resolver la siguiente inecuación cuadrática: 4x2 – 4x + 6 ≤ 0

(–x + 8) (x2 + 2x – 8) (x2 + 9) (–x–4)

≤ 0

6. Luego de resolver la inecuación: ax2+bx+c ≤ 0, 13. Resuelva la inecuación polinomial: por el criterio de los puntos críticos, se obtiene: (x – 2)(x – 4)(x – 6) ... (x – 44)<0 1 b–c indicar la suma de soluciones enteras. C.S.=[ ; 2] . Calcular el valor de: 2

www.trilce.edu.pe

a


22

Capítulo

14. El precio de venta de un artículo está dado por: 15. Un rebaño de venados se introduce en una isla p = (200 - 3q) dólares, en donde "q" es el número pequeña. Al principio el rebaño aumenta con de artículos vendidos. El costo de producir estos rapidez, pero finalmente, el alimento disminuye "q" artículos es: C=(650+5q) dólares. ¿Cuántas y la población también. Suponga que el número unidades de este artículo se deben producir y "N(t)" de venados, a los "t" años, es: vender de manera que la utilidad no sea menor N(t) = - t4 + 32t + 144 ; donde: t > 0 que 2500 dólares? Determine los valores de "t" para los cuales: N(t)>0.

Tú puedes 1. El C.S. de la inecuación: (a – b) (x + 1) – 1 < (a – b ) x – 1

a) a – b = 2 2. Resolver: (x – 2)3 .

b) b – a = 1 5

x es: x–a+b

c) b + 2a = 1 4

x + 1 . 7 x + 3 . (x – 4) 6 . 64 – x2

a) [–3; –1] ∪ [2 ;+∞> d)

〈– ∞ ; – 1〉; entonces: d) 3b + 2 = a

e) b – 2a = 1

≥ 0

b) [–3; –1] ∪ [2; 8] e) +

c) [–3; –1] ∪ [2; 8] ∪ {–8}

3. Resuelva: x(2x + 1) (x – 2) (2x – 3) > 63 Indique el producto de valores enteros negativos mayores que –5. a) 6

b) –6

4. Determinar el conjunto "A", si: A = a) x<17

b) 7
c) 24

'x

3

!

–

b) 〈–1; 0〉

e) 12 3

(x – 19) – 2 (x – 19) – 4 / < 2 2 (x – 19) + 1 (x – 19) + 2

c) 0
5. Indique las soluciones negativas de la inecuación: a)

d) –24

c) 〈–7; 0〉

1

d) x>19

(x2 –2x–35) (x + 2) (x3 –1) x5 + 2x3 –x2 –2

d) [–5; –2]

e) 0
≥ 0 e) [–5; –1]

Colegios

TRILCE 138

Central: 6198-100

Capítulo

23

INECUACIONES IRRACIONALES ALGO DE HISTORIA DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES La introducción de los distintos sistemas de números no ha sido secuencial. En el siglo VII a.C, los griegos descubrieron las magnitudes irracionales, es decir números que no pueden ser expresados a través de una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado; familiarizados con la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas, sin embargo no conocían los números negativos y el cero; tampoco tenían un sistema de símbolos literales bien desarrollado. Cuando la matemática Griega comenzó a declinar, Diofanto abandonó la representación geométrica de los números y empezó a desarrollar las reglas del Álgebra y Aritmética, utilizando un literal, por ejemplo, para representar las incógnitas de una ecuación. Fueron los indios, entre los siglos V- XV, los que inventaron el sistema de numeración actual, introdujeron los números negativos y comenzaron a operar con Longitud Circunferencia Número π = = 3,14159... los números irracionales de forma semejante Diámetro que con los racionales, sin representarlos Número e = Lim (1+ 1 )n= 2,7182818... geométricamente. Utilizaban símbolos n x→∞ Base Logaritmos Neperianos especiales para las operaciones algebraicas, como la radicación, encontraron métodos para Número f = 1 + 5 = 1,61803... Número Áureo resolver ecuaciones y descubrieron la fórmula 2 del binomio de Newton (en forma verbal). A principios del siglo XVI, los italianos Tartaglia y Ferrari lograron resolver por radicales, de forma general, las ecuaciones de tercer y cuarto grado. La notación algebraica se perfecciona gracias a Viéte y Descartes. A mediados del siglo XVII en Gran Bretaña, Neper inventa los logaritmos y Briggs elabora las primeras tablas de logaritmos decimales. A partir de esta época el nacimiento del análisis hizo que se despreciase un poco el álgebra debido al interés sobre los estudios de magnitudes variables. Los matemáticos G. Cantor, R. Dedekind, K. Weiertrass y B. Bolzano fueron los que culminaron la obra, que duró medio siglo de investigaciones, sobre los números naturales, enteros, racionales e irracionales, que considerados juntos, constituyeron lo que se denominó el sistema de los números reales.


www.trilce.edu.pe

.

Forma general

.

Método de resolución


23

Capítulo

Síntesis teórica

INECUACIONES IRRACIONALES

Q (x) # impar

P (x) #

impar

P(x) ≤ Q(x)

Q (x)

impar

par

P (x)

P (x) $ Q (x)

P(x) ≥ 0 Q(x) ≥ 0 (Q(x))par ≤ P(x)

P(x) ≥ (Q(x))impar

P(x) ≥ 0 Q(x) < 0

UNIÓN

par

P (x) # Q (x)

P(x) ≥ 0 Q(x) ≥ 0 P(x) ≤ (Q(x))par

par

P (x) #

par

Q (x)

P(x) ≥ 0 Q(x) ≥ 0 P(x) ≤ (Q(x))

Colegios

TRILCE 140

Central: 6198-100

Álgebra


4. Resolver:

•

x3<1 → x ∈ ............

•

x2<1 → x ∈ ............

2. Resolver:

•

(x – 1)5 (x – 2)7 ≥ 0

•

(x – 5)2 (x – 8) 3 ≤ 0

5. Resolver:

•

x2+2<3 → x ∈ ............

•

5
•

x –4

3. Resolver: • (x2+1)(x4+1)>0 → x ∈ ............

•

x +9

•

2

2

x –9

≤ 0

2 2

x +4

<0

(x3+1)(x6+32)<0 → x ∈ ............

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: A B C D

x >2 x <2 x> – 2 x <– 2

3. Completar: x ∈ [0 ; +∞〉 x∈f x ∈ [0 ; 4〉 x ∈ 〈4 ; +∞〉


•

≤ 0 → x ∈ ......

x–1 + 1–x

•

4

x–3

•

3

x–3

≤ 1 → x ∈ ...... ≤ 1 → x ∈ ...... ≥ 2

4. Resolver:

x–4

5. Resolver:

25–x

• Si: x <2, entonces: x<8 ......................( ) 3

• Si: x ≤ 0, entonces: x ∈ f .......................( ) • Si:

3

x <0, entonces: x ∈ f ......................( )

2

≤ 4

• Si: x < 5 , entonces: x ∈ [0; 5〉 .............( )

Aprende más 1. Relacionar correctamente: x >0 x <0 x ≤0 x ≥ 0

x∈{ } x ∈ R+

A B C D

x∈R x ∈ {0} + 0

• Solo dos valores reales verifican: 2

2

x –n

+

2

2

n –x

≥ 0 ............................. ( )

3. Completar adecuadamente: • El radicando de una raíz de índice par en una

inecuación irracional no puede ser .............


• Todo radical de índice impar puede ser

x <–1 ........( )

• Al resolver una inecuación irracional el

• Cualquier valor real verifica: x >–1 .....( )

resultado obtenido se debe .............. con las condiciones de existencia.

• Ningún valor real verifica:

• Solo un valor real verifica: x–n +

www.trilce.edu.pe

n–x

.......... o .............

≤ 0 .................................. ( ) Cuarto año de secundaria 141

23

Capítulo

4. Resolver:

12. Resolver la inecuación:

x – 4 <3

8

a) [0; 1[ d) ]–2; 2] 5. Resolver:

x–2

6. Resolver:

3– x

b) 〈–∞; 11〉 e) [11; +∞〉

b) 〈–∞ ; –3] e) [3 ; +∞〉

7. Resolver:

c) 〈–3; 3〉

c) [4; 6[

b) ]0; 2] e) ]1; 2] x – 5 +3<0

a) [0; 5[ d) ]–3; 5] 9. Resolver:

x–4

b) ]0; 5] e) f ≤ x –1

c) [0; 3[

b) 〈–∞ ; 4〉 e) [4; +∞〉

c) 〈1; 4〉

a) 〈–∞ ; 4] d) 〈1 ; +∞〉 10. Resolver:

x–3+

a) 〈–∞ ; 3] d) [3; 6] x – 11

a) 〈–∞ ; 3] d) 〈11 ; +∞〉

b) 〈2; 3〉 e) 〈5; 6〉 2

x + x – 2 <5

a) 〈– ∞ ; –1] ∪ [1;

25

c) 〈– ∞ ; –4] ∪ [2;

23

11

11

c) 〈3; 4〉 –x

〉 b) 〈– ∞ ; –2] ∪ [1; 27 〉 11

〉 d) x ∈ {0}

6–x

14. Para que un medicamento tenga efectos benéficos, su concentración en la sangre debe ser mayor que un determinado valor, llamado concentración terapéutica mínima. Supóngase que la concentración "C", en mg/L, de

determinado medicamento a las "t" horas después de haberla ingerido oralmente, es: C(t) = 220t . t +4

≥ 0

b) 〈–∞ ; 6] e) [3; +∞〉 3

13. Resuelve:

<0

e) x ∈

2 – x
a) [0; 1[ d) ]–2; 2]

11. Resolver:

c) 〈2; 9〉

+1>0

a) 〈–∞ ; 3] d) 〈3; +∞〉

(x + 1) 2 (2x + 5) 9

a) 〈1; 2〉 d) 〈4; 5〉

≥ 3

a) 〈–∞; 3] d) 〈11; +∞〉

8. Resolver:

c) [4; 13[

b) ]–3; 2] e) ]1; 3]

4x + 2 (x2 –25) 3 . 5 2x–8

Si la concentración terapéutica mínima es 4 mg/L,

determinar cuándo se rebaja esta. 15. Para el tratamiento de la arritmia. Se aplica

c) 〈3; 6〉

un medicamente mediante una inyección intravenosa. Supóngase que la concentración "C"

del fármaco, después de "t" horas, está dado por:

≤ – 2

C(t) =

b) 〈–∞ ; 11] e) [11 ; +∞〉

c) 〈2; 11]

3, 5t mg/L. Si la concentración terapéutica t+ 1

mínima es 1,5 mg/L, determine cuándo se rebasa

esa concentración.

Practica en casa 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

1. Relacionar correctamente: x+1 ≤ 0 x – 1 ≥ 0 x– 1≤0 x +1 ≥ 0

A B C D

x ∈ [0 ; +∞〉 x ∈ [1; +∞〉 x∈f x ∈ [0; 1]

• Si: 3 x <–1 , entonces: x ∈ f ................... ( )

x >–1 , entonces: x ∈ ................. ( )

• Si:

• Si: 3 x ≤ 0 , entonces: x ∈ {0} ................( ) • Si:

3

x $

3

2

, entonces: x ∈ [2;+∞〉........( )

Colegios

TRILCE 142

Central: 6198-100

Álgebra 3. Completar:

10. Resolver: (x – 2)3.^

5

7

x + 1h . ^ x + 3 h

(x – 4)6.^

4

64–x

2

h ≥0

• En las inecuaciones irracionales de radicales

de índice ........ no se hace restricciones previas. • En los radicales de índice par se hace la

11. Si: A = 〈– ∞ ; a] ∪ [b ; c〉 , es el conjunto solu-

ción de: x –5x + 4 <7 – x; calcular el valor de "a+b+c". 2

restricción: ........ mayor o igual a cero. • El radicando puede ser ......... o ........... en

x–2

12. Resolver:

4–x

radicales de índice impar. 4. Resolver:

13. Resolver:

5x– 2 > 10–x

5. Resolver:

1 x +1

3

>x+1

14. Después de "t" minutos de introducir un bactericida experimental en cierto cultivo, el número de bacterias está dado por: 10 000 + 2000. Determine el momento en 2

> x –1

6. Resolver la desigualdad: x+2 ≤

6x – 2

< 2

3

x +8

t +1

7. Resolver:

2

x –9

≤ 4

2

x –4

8. Al resolver:

que el número de bacterias esté por debajo de 4000. 15. Para que un medicamento tenga efectos benéficos, su concentración en la sangre debe ser mayor que un determinado valor, llamado concentración terapéutica mínima.

+5>0

2

9–x

Se obtiene: x ∈ 〈a ; b] ∪ [c ; d〉

Supóngase que la concentración "C", en mg/L,

Hallar el valor de: E = a + b + c + d

9. Resolver:

–x2 + 6x–8 . (x 2 –5x) x –1

de determinado medicamento a las "t" horas después de haberla ingerido oralmente, es: C(t) = 212t . Si la concentración terapéutica

≥ 0

t + 3

mínima es 3 mg/L, determinar cuándo se rebaja

esta.

Tú puedes 1. Indica un intervalo solución de la siguiente inecuación: 1–x – 1–3x > 3 + x – 3–x b) <0; 1 ] 3 d) [–3; 0〉

a) [–1; 3〉 c) 〈–1;3] ∪ 〈4;+∞〉 e) 〈–3; 1] ∪ [3; +∞〉 2. Resolver:

3. Sea

"S"

2

2

5– 16–x

2

el

x –4x + 2

c) [

≥ x2 – 2x – 29

e) 〈

4 8

conjunto

≠

2

≥ (x – 3)

solución x+2

x–2+

5

2 3 + 10

S ⊂ [–2; 2] S = [0; 1〉

x – 1> 2x

b) [ 1 +

; +∞〉

2 3 + 10

2

b) d)

d) 〈

; +∞〉

7

2 1+ 7 2

; +∞〉 ; +∞〉

; +∞〉

5. Resolver:

b) [–3; –1] ∪ {4} d) [–2; 1] ∪ {4}

x – x + 5x + 5

www.trilce.edu.pe

4. Resuelva: a) [ 2 +

x –3x–4

a) [–4; –1] ∪ {4} c) [–2; –1] ∪ {4} e) x ∈ {0}

a) S = 〈–2; 3〉 c) S ⊂ [1; +∞〉 e) S ⊂ 〈– ∞ ; 0]

de:

; entonces:

x + 1–

4

x + 1–

8

a) x ∈ {1; 2} c) x ∈ 〈0; 1] e) x ∈ {2}

x –1 x –1

8

# 8

x + 1+

8

x + 1+

16

x –1 2

x –1

b) x ∈ {9; 12} d) x ∈ {1}


24

Capítulo

RELACIONES BINARIAS LECTURA En esta sección estudiaremos formalmente las parejas de objetos que comparten algunas características o propiedades en común. La estructura matemática para agrupar estas parejas en conjuntos es la teoría de relaciones binarias. Se llama relación entre los conjuntos "A" y "B" a un subconjunto del producto cartesiano AxB. Esta puede estar formada por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de AxB. Si establecemos una

relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación: reflexiva, simétrica y transitiva. Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada. Se llama función a una

relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida le corresponde solo un elemento del conjunto de llegada. A

B

"A" menor que "B" RELACIÓN

A

B

"A" mitad de "B" FUNCIÓN


Denición

.

Producto cartesiano

.

Relación binaria

Colegios

TRILCE 144

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

RELACIONES BINARIAS

Par ordenado

Producto cartesiano

Relación

Definición

Definición

Definición

Notación

Igualdad de pares

Notación

www.trilce.edu.pe

Dominio

Notación

Rango

Propiedades


24

Capítulo


4. Indicar el número de elementos de los conjuntos:

• 3x – 4 = 2(x – 1) → x = • 2x+1= x

3

+

x 4

• A = {x ∈ / x ∈ 〈1 ; 5〉} → n(A) =

→ x =

• B = {y ∈ / y ∈ 〈2 ; 10〉} → n(B) =

2. Resolver: 5. Si: A = {x ∈ + / x ∈ 〈–3 ; 4〉}

• 3x+1>13

B = {y ∈ – / y ∈ 〈– 5 ; 2〉} Indicar el número de elementos de:

• 5x – 2<0

3. Calcular "xy" en:

• A ∩ B = ________________

• (x – 1; y+1) = (3; 7) → xy=

• A ∪ B = ________________

• (x+y; x – y) = (9; 1) → xy =

Aplica lo comprendido 1. Relacionar los conjuntos con su número de 3. Completar correctamente: elementos, siendo: • El número de elementos de "A×B" y el núme A = {1 ; 3} ro de elementos de "B×A" son ................... B = {2 ; 4 ; 6} • El número de elementos de .................. es

n(A×B) n (A2) n(B2) n (A2xB2)

A B C D

igual a n(A) × n(B)

9 4 36 6

• Una relación de "A" en "B" es un ........... del

producto cartesiano: A×B *

Siendo: A = {–1; 2; 3} ; B = {–2 ; –1}

4. Indicar por extensión: 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) a partir de los conjuntos: A = {–1; 2; 3} ; B = {–2; –1}

R1 = {(x; y) ∈ A×B / xy<0} 5. Indicar el número de elementos de:

• • • •

(–1; 3) ∈ A×B .......................................( (–1; 2) ∈ B×A .......................................( (–1; –1) ∈ B2 .........................................( (2; –2) ∈ A2 ............................................(

) ) ) )

R2 = {(x; y) ∈ B×A / x+y>0}

Colegios

TRILCE 146

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente, a partir de los siguientes conjuntos:

d) 49

e) 30

7. Calcular la suma de elementos del dominio de: R1 = {(x; y) ∈ A×B / x
A = {x ∈ / x ∈ 〈0 ; 4] } B = {x ∈ / x ∈ [2 ; 4}

Si: A = {7; 19; 21; 24} y B = {4; 5; 16; 20}

n(A×B)

A

16

n(B2)

B

144

n(A2)

C

12

n(A2×B2)

D

9

a) 33 d) 26

b) 47 e) 76

c) 28

8. Si: A={9; 10;15} y B={5; 7}, indicar el número de elementos de: R2={(x; y)∈A×B/x+y≥17}

a) 1 b) 2 c) 4 2. Indicar verdadero (V) o falso (F), dados los d) 3 e) 0 conjuntos: A = {1; 2; 3} ; B = {1; 3; 5} 9. Si: A={x ∈ + / –3 ≤ x ≤ 3} B={x ∈ – / –2 ≤ x ≤ 2} • El par (2; 5) ∈ A×B ............................... ( ) Indicar el número de elementos de: A2×B2 • El par (3; 3) ∈ A2 .................................. ( ) a) 36 b) 4 c) 25 • El par (5; 1) ∈ B×A ............................... ( ) d) 9 e) 16 • El conjunto: R = {(2; 3), (3; 3), (1; 1)} es una

relación de A×B ................................... ( )

10. Calcular " x " en la siguiente igualdad: y

3. Completar a partir de los conjuntos: A = {3; 4; 5} ; B = {4; 5} • Si: R={(x; y) ∈ A×B / x=y}

entonces: R = { _______________ } entonces: R = { _______________ } • Si: R = {(x; y) ∈ A×B / x
entonces: R = { _______________} 4. Calcular "ab" en la igualdad: (a+b; 8) = (10; a+1) b) 21 e) 24

a) –1 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

11. Si: A={–6; –8; 3; 4} y B={–4; –2; –1; 2},

• Si: R = {(x; y) ∈ A×B / x ≥ y}

a) 12 d) 9

(x+y; 4) = (12; x – y)

c) 18

5. Calcular el número de elementos del producto cartesiano: A2×B2, si: A={1;2;3;4} y B={5;6;7} a) 150 d) 160

b) 144 e) 80

c) 81

a) 21

b) 32

c) 48

indicar el número de elementos de: R4={(x; y) ∈ A×B / xy>0} a) 8 d) 9

b) 12 e) 10

c) 4

12. Dado el conjunto: A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} se define: R = {(x; y) ∈ A×A / 2x+y=10} Indicar la suma de elementos del dominio de "R". a) 18 d) 19

b) 15 e) 10

c) 14

13. Del conjunto: A = {x ∈ / (x – 2)5 (x+3)7(x – 5)6<0} se define: R={(a; b) ∈ A×A / a+b ≥ 0}. Indicar 6. Si: A={x ∈ / 1
www.trilce.edu.pe

a) 2 d) 6

b) 5 e) 7

c) 4


24

Capítulo

14. Un ciclista corre en línea recta 200 m hacia el este. Luego 200 m hacia el norte, 300 m al nor este y 100 m hacia el este; 100 m al norte y 150 m al nor este. ¿A qué distancia del punto de origen está?

B Entradas

Segundo Sopa Arroz con pato Choclo con queso Ají de gallina Papa con ocopa Mondonguito a la italiana Rocoto relleno Tallarín verde Ceviche Cau Cau Patasca

15. En un negocio de comidas se observa los siguientes carteles: A Entradas Sopa

Ensalada mixta Papa a la huancaina Papa rellena Salpicón de pollo

Segundo Arroz con pollo Escabeche Cau Cau Tallarín rojo Ají de gallina Lomo saltado

Responder: • ¿Cuántas relaciones de Entrada - Segundo

hay en el cartel "A? • ¿Cuántas relaciones de Entrada - Segundo

hay en el cartel "B"? • ¿Cuántas relaciones comunes de Entrada Segundo hay en "A" y "B"?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente a partir de los conjuntos: A = {x ∈ /x ∈ 〈1; 5〉} ; B = {x ∈ /x ∈ [0;3]} n(B×A)

A

16

n(B2)

B

9

n(A2)

C

12

n(A2×B2)

D

144

• Si: R3={(x ; y) ∈ A × B / x = y}, entonces:

n(R3)= _______________________ 4. Calcular "ab" en la igualdad: (a + b ; 5) = (12 ; a – 4) 5. Calcular el número de elementos del producto cartesiano "A×B", si: A={8; 9; 0} y B={5; 6; 2; 7} 6. Si: A={x ∈ / 3 ≤ x ≤ 5} y B={x ∈ /2
2. Indicar verdadero (V) o falso (F), dados los conjuntos: A = {2; 4; 6} y B = {0; 2; 4} 7. Calcular la suma de elementos del dominio de: R = {(x ; y) ∈ A×B / x=2y} • (2; 4) ∈ A2 ............................................. ( ) Si: A={8; 9; 10} y B={4; 5; 16; 20} • (2; 0) ∈ B×A .......................................... ( ) • (A×B) ∩(B×A) tienen dos pares ordenados en su intersección ................................. ( ) 8. Si: A={6; 8} y B={5; 9}, indicar el número de elementos de: R={(x;y) ∈ A×B / x+y<15} • R={(2; 2), (4; 4), (6; 6)} es una relación de "A" en "B" . ........................................... ( ) 3. Completar correctamente, dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4} y B = {4; 6; 8; 10}

9. Calcular la suma de elementos del dominio de: R = {(x; y) ∈ B×A / x
• Si: R1={(x ; y) ∈ A × B / x < y}, entonces:

n(R1)= _______________________ • Si: R2={(x ; y) ∈ B × A / x = 2y}, entonces:

n(R2)= _______________________

10. Si: A={–6; –8} y B={–5; –3; 1; 2}, indicar la

suma de elementos del rango de: R={(x; y) ∈ A×B / xy<0} 11. Si: A={–1; 0; 1} y R={(x; y) ∈ A2 / x2=y2},

indicar el número de elementos de "R".

Colegios

TRILCE 148

Central: 6198-100

Álgebra 12. Dados los conjuntos: A={x ∈ /|x – 1|=4} y 15. En un negocio de comidas se observa los siguiente carteles: B={x ∈ / 2 < 3x–1 < 5} 4 A B hallar "A×B" y "B×A". Entrada

Segundo Arroz con pato Arroz con pollo

Sopa

13. Si los pares ordenados (2n;0) , (0; –n) y (n;1)

pertenecen a la relación: R= {(x; y) ∈ × / y = ax+b}, hallar el valor de "a+b".

Ensalada

Papa rellena Lomo saltado

14. Un ciclista corre en línea recta 100 m hacia el este, luego 100 m hacia el norte, 150 metros al nor este y 50 m hacia el este, 50 m al norte y 75 m al nor este. ¿A qué distancia del punto de origen está?

Causa Papa a la huancaina

Tallarín rojo Lentejas con pescado

Ceviche

Chicharrón

Entrada

Segundo Arroz a la Ensalada cubana Arroz con Causa pato Papa a la Tallarín huancaina saltado Papa con ocopa Cau Cau Choclo con Lentejas con queso pescado Pescado Sopa frito Ceviche Jalea

Responder: • ¿Cuántas relaciones de "Entrada - Segundo"

hay en el cartel "A"? • ¿Cuántas relaciones de "Entrada - Segundo"

hay en el cartel "B"? • ¿Cuántas relaciones comunes de "Entrada Segundo" hay en "A" y "B"?

Tú puedes 1. Dados: A = {x ∈ / x 3 = x} y B = {x ∈ / x 2<16}; hallar "n(R)", siendo: R = {(a; b) ∈ A×B / a+b=0} a) 2

b) 0

c) 4

d) 1

e) 3

2. Dados: M={x ∈ / x4 – x=0} y N={x ∈ / x4 – x2=12}; hallar "n(R)", siendo: R = {(a; b) ∈ M×N/a–b>0} a) 2

b) 0

c) 4

d) 1

e) 3

3. Dados: A = {x ∈ / ||x – 2| – 3 | = 0}; hallar "n(R)", siendo: R = {(a; b) ∈ A2 / 0
b) 0

c) 4

d) 1

e) 3

4. Hallar la suma de elementos del dominio de "R", si: P={x∈ / x3 – x2 – 6x=0} y R={(a;b)∈P2 /ab<0} a) 2

b) 0

c) –2

d) 1

e) –1

5. Sean los conjuntos: M = {x ∈ / (x – 2)2 – |x – 2| – 6=0}, N = {x ∈ R = {(a; b) ∈ N×M / a – b = °3}. Hallar: n(R).

a) 2 www.trilce.edu.pe

b) 0

c) 4

d) 1

/x2 ≤ 4x – 4} y


25

Capítulo

REPASO III TARTAGLIA Y LAS ECUACIONES DE TERCER GRADO Niccoló Fontana Tartaglia (1499 - 13 de diciembre de 1557), fue un matemático italiano apodado Tartaglia (el tartamudo), debido a que en su niñez recibió una herida cuando las tropas de Gastón de Foix tomaban Brescia, su ciudad natal. Descubridor de un método para resolver ecuaciones de tercer grado, estando ya en Venecia, en 1535 su colega del Fiore, discípulo de Scipione del Ferro, de quien había recibido la

fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas, le propone un duelo matemático que Tartaglia acepta. A partir de este duelo y en su afán de ganarlo Tartaglia desarrolla la fórmula general para resolver las ecuaciones de tercer grado. Por lo que, consigue resolver todas las cuestiones que le plantea su contrincante, sin que este logre resolver ninguna de las propuestas por Tartaglia. El éxito de Tartaglia en el duelo llega a oídos de Gerolamo Cardano que le ruega que le comunique su fórmula, a lo que accede pero exigiéndole a Cardano jurar que no la publicara. Sin embargo, en vista de que Tartaglia no publica su fórmula, y

que según parece llega a manos de Cardano un escrito inédito de otro matemático fechado con anterioridad al de Tartaglia y en el que independiente se llega al mismo resultado, será finalmente Cardano quien, considerándose libre del juramento, la publique en su obra Ars Magna (1570). A pesar de que Cardano acreditó la autoría de Tartaglia, este quedó profundamente afectado, llegando a insultar públicamente a Cardano tanto personal como profesionalmente. Como consecuencia de lo anterior las fórmulas de Tartaglia serán conocidas como fórmulas de Cardano.


Matrices

.

Determinantes

.

Sistemas de ecuaciones

.

Desigualdades e inecuaciones lineales

.

Inecuaciones polinomiales y fraccionarias

.

Inecuaciones irracionales

.

Relaciones binarias

Colegios

TRILCE 150

Central: 6198-100

Álgebra

Cruci - álgebra *

Completa el crucigrama algebraico.

3 4 5

1

2

6 2 3

4 7

5 6 7 1

HORIZONTAL

1. Es un conjunto de dos elementos que tienen un orden. 2. Es un conjunto de ecuaciones que verifican simultáneamente para los mismos valores de sus incógnitas. 3.

VERTICAL 1. 2.

Son sistemas de ecuaciones que no tienen solución. Son subconjuntos del producto cartesiano y que

Son arreglos rectangulares de elementos en filas y

tienen una condición determinada. 3. Es el producto (sin efectuar) de filas y columnas en un arreglo rectangular: "... de la matriz"

columnas.

4.

4. Son comparaciones que se establecen entre

cantidades reales utilizando las relaciones de orden. 5. Método para resolver un sistema sumando o restando para eliminar una variable. 6. Inecuaciones donde la variable está afectada por un radical. < 0, A ≠ 0. 7. Inecuaciones de la forma: Ax+B > www.trilce.edu.pe

Son inecuaciones de la forma:

a0xn+a1xn–1+a2xn–2+...+an > < 0 ; a0 ≠ 0. 5. Es el valor que se obtiene escalarmente al desarrollar convenientemente una matriz cuadrada. 6.

Son inecuaciones de la forma:

ax2+bx+c > < 0 ; a ≠ 0. 7. Es una forma de resolver un determinante de orden tres, aumentando filas o columnas. Cuarto año de secundaria 151

25

Capítulo

Aplica lo comprendido 1. Hallar "x" en la siguiente igualdad:

e

a + 2b

3

a–b

a+ b

7. Resolver: • x2 (x – 3) – 16(x – 3) = 0

o e o x 3

=

2 6

• x2 – 2x – 35 ≤ 0

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8


c) 6

• 16x–3 > 64x+2 • (x–6) (x + 5) ≤ 0

e o; además:

x–1

2 1

0 1

P(x) = x2 – 5x+2; hallar la suma de los elementos de "P(A)". a) 8 d) –8

b) 6 e) –4

c) –6

(x - 3)5(x – 4)6(x2 – x – 6) > 0

3. Hallar "x" en: 1 0 1

1 0 2

1 0 3

1 0 x

1 1 0 + 1 2 0 + 1 3 0 + ... + 1 x 0 0 1 1

0 1 1

0 1 1

a) 9 d) 10

b) 8 e) 7

8. Resolver:

=72

a) ] – 2 ; + ∞ [ b) ] - 2 ; + ∞ [ – {3} c) [2 ; + ∞] d) ] - ∞ ; – 2[ e) ] - 2 ; + ∞[ – {3 ; 4}

0 1 1

c) 11

9. Resolver: 2

x -x-2 2

4. Resolver:

x + 4x + 3

≤ 0

1 2 1

3+

x=

–1 0 1 2

2 0

x

x

0

–8

x

a) 8 d) 6

–5

b) 3 e) 10

c) 4

5. Sea: x ∈ [5 ; 7]; indicar el intervalo de: g(x) = x2 – 4x + 9

a) [5; 30] d) [14; 30] 6. Si: x ∈

G= a) 8 d) 11

+, x 8

b) [7; 30] e) [15; 30]

c) [10; 30]

hallar el mínimo valor de:

+

200 x

b) 9 e) 12

a) b) c) d) e)

] – 3 ; – 1[ ∪ ]1 ; 2] ] – 3 ; – 1] ] – 3 ; – 1[ ∪ ] – 1 ; 2] ] – 1 ; 2] ] – 3 ; 2[

10. Determine el C.S. de: x

4

2

-x -6 2

x -1

≤0

a) ] – 1 ; 1[ b) [3 ; +∞[ c) ]– ∞ ; – 2[ d) [- 3 ; 3 ] e) [– 3 ; –1[ ∪ ]1 ; 3 ]

c) 10

Colegios

TRILCE 152

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más d) 40

= G y B== G

1. Sean las matrices: A=

4 3

5 6

2 1

7 8

Hallar la traza de la matriz: 2A – B+I, donde "I" es la matriz identidad. a) – 4 d) 1

b) – 5 e) 2

=

2

1

G ;B=>

4

1

>(x – 6) (x + 4)+

x–8

H

sión:

2 3 1 2

2x + 1 x–2

–

1 2

?

a) 〈 5 ; 2〉

b) [ 5 ; 4〉

a) 8 d) 5

d) [ 5 ; 4]

e) 〈–

c) 6

=

x–3y x 1 y

2

2

2

5 2

c) [2; 4]

; 4〉

9. Resolver: x2 – 4x+1 ≤ 0


A=

x–8

b) x ∈ c) x ∈ {5} e) x ∈ 〈0;+∞〉 – {8}

Calcular la suma de los elementos de la matriz: A×B. b) 9 e) 4

1

8. Si: x ∈ [4 ; 7], ¿entre qué límites varía la expre-

1 1

–3

3 –2

7. Resolver: (x – 5)(x+3)+ a) x ∈ f d) x ∈ – {8}

c) – 1

2. Dadas las matrices: A=

e) – 36

G ; B = =

2 6–y 1 6–x

G ;C==

–4 –8 2

3

G

a) x ∈ [2 – 3 ; 2+ 3 ] b) x ∈ [1– 3 ; 1+ 3 ] c) x ∈ [– 3 ; 3 ] d) x ∈ f e) x ∈

Si: A=B, calcular: 2B+C.

= G d) = G a)

= G e) = G

0 2

b)

4 5

1 0

0 3

5 4

c)

= G 2 0


= G

F(x) =

3 –1

b) 2 e) 9

c) 11

2

x

–3

1 0 4 x

=0

Indicar la suma de soluciones.

a) 1 d) 0

b) 2 e) – 3

c) 3

0

31 1

0


3 0 0

1 + 2 2 4

74 –1 –2

1 0 6

b) 32

x

+ 5 b) E ≥ 2 e) E ≤ 2

c) E ≥ 7

a) 2 d) 1

2

x – 2x + 2 x –1

; ∀ x > 1

b) 3 e) 3

c)

2

a) b) c) d) e)

[0 ; 2] ∪ [3 ; +∞〉 〈– ∞ ; 0] ∪ [ 2 ; 3] [– 2 ; 3〉 〈–2 ; 3] [– 2 ; 0] ∪ [3 ; +∞〉

13. Resolver: (x – 4)x3 ≤ 9x(x – 4)

6. Calcular el valor de: 4

y

12. Resolver: x3 – 5x2+6x ≥ 0

5. Luego de resolver la ecuación: x –1

y

+

hallar la variación de:

11. Hallar el valor mínimo de:

1

Calcular la traza de: A2 + 2A. a) 13 d) 10

x

a) E ≥ 5 d) E ≤ 7

5 4

2

E=

5 4

0 1

4 5

+,

10. Si: {x; y} ⊂

c) 38

a) b) c) d) e)

〈– ∞ ; – 3] ∪ [0 ; 3] 〈– ∞ ; – 3] ∪ {3 ; 4} [– 3 ; 0] ∪ [3 ; 4] 〈– ∞ ; – 3] ∪ [0 ; 3] ∪ [4 ; +∞〉 [– 3 ; 3] ∪ [4 ; +∞〉


25

Capítulo

14. Indicar un intervalo solución de: x–2 ` x + 2 j ≤ 0

c

x–3

m

a) b) c) d) e)

x

a) 〈 0 ; 3〉 d) 〈– 2 ; 0]

b) [–2 ; 2] e) [– 2 ; 0〉

c) 〈 0 ; 2]

〈– ∞ ; 2] ∪ [3 ; + ∞〉 〈– ∞ ; – 3〉 ∪ [2 ; + ∞〉 〈– ∞ ; – 3〉 ∪ [2 ; + ∞〉 〈– 3 ; 2] ∪ {3} – {–1} 〈– ∞ ; 2] ∪ {3} – {1}

15. Indicar la suma de los valores enteros que no satisfacen la inecuación fraccionaria siguiente: 18. Si se verifica: ax 2 – (a – 1)x – 1 > 0 ; ∀ x ∈ , 2x – 11 1 ¿qué se puede afirmar de "a"? # 2

2

x – 3x – 10

a) 5 d) 3

b) 7 e) 8

a) d)

c) 6

b) e) Ø

– {1}

c)

–

19. Si la siguiente inecuación:

16. Sean los conjuntos:

–ax2+2x>2x2 – ax+1>x2+x – a

A = {x ∈ / 3x – 1 > – 2} B = {x ∈ / x + 2 $ x –x–1} Indicar el conjunto: A ∩ B. 3

3

2

a) [–1 ; 3]

b) [–1;3]–{ 1 } c) [–1 ;

d) [ 1 ; 3]

e) 〈 1 ; 3]

3

3

+ +

Se verifica para todo "x" que pertenece a

los reales, entonces "a" ¿en qué intervalo se encuentra? 1 3

3

17. Indicar el C.S. de la siguiente inecuación: (x–3) 50 (x + 1) 7 (x–2) 23 (x + 1) 3 (x + 3) 37 (x + 1) 4

≤ 0

]

a) 〈– ∞ ; – 2〉 d) 〈0 ; + ∞〉

b) Ø e) 〈3 ; + ∞〉

c) 〈– ∞ ; 1〉

20. Si: x ∈ 〈0 ; 2〉 , entonces: 2x2 – 12x+19, ¿en qué

intervalo se encuentra? a) [1 ; + ∞〉 d) 〈3 ; 19〉

b) [1 ; 19〉 e) 〈0 ; 19〉

c) [– 4 ; 8〉

Practica en casa 1. Si: C=

5. Si:

= G 2

3

1 –2

A=

Hallar la traza de: C2. m+4 2

2. Si:

1

5

+

–2

1

5

–1

=5 A

Hallar: |A|.

= G ;B== G 0 3

–3 1

4 5

4

2

Hallar: 2At – 3B+5I. 6. Resolver: (5+2x)(3 – 4x) ≥ 0

3. Calcular: 3

4 –6

2

5 –4

–1 7

7. Calcular el mayor número entero "m" que satisface la desigualdad: 2x2 – 4x+1>2m 6 x ∈ .

2

8. Si: |x| ∈ [ 1 ; 2 ], indicar la suma del mayor y

4. Resolver e indicar el mayor valor de "x" en: 3

x

2

–1 3

x + 10

1

–x

1

3

3

menor valor de:

2 x +1 x

= 6 9. Resolver: 2x+8(x+1)>3(2x+1)+15

Colegios

TRILCE 154

Central: 6198-100

Álgebra 10. Hallar el conjunto solución de la inecuación: 40[2(x–2)+7]<6[6{2(x–1)+2}]+160

13. Hallar el conjunto solución de: 3x – 6x + 8 > – 4

11. Si: {a ; b} ∈

14. Calcular "xy" en la igualdad:

xa2 –

2

, resolver: (a+b)2 ≥ a2 – 2ab+b2 – xb2

^x + 3 ; 27 – yh =^ 12 ; x + 3 h

12. Al resolver: (a+1)x+1
15. Si: A = {–2; 0; 2} y R = {(x; y) ∈ A2 /x2=y2}

.

hallar el número de elementos de "R".

Tú puedes 1. Encontrar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: –1 < – x < e ⇒ x2 ∈ [0 ; e2〉 II. – 5 ≤ x2 < 4 ⇒ x ∈ 〈– 2 ; 2〉

I.

III. x2 > 1 ⇒ x ∈ 〈1 ; +∞〉 a) V V F

b) F V V

c) F F F 2

x +2

2. Calcular el mayor número real "m" tal que: a) – 1

b) 0

3. Resolver en : a) [–

7 2

;

4. Resolver: a) 〈– ∞ ;

7 2

a a–2b

5. Resolver:

www.trilce.edu.pe

〉

3–x –

a) [– 15 ; 1]

c) 〈

2

>

2 a

e) 3

7 2

; +∞〉

d) 〈

17 4

; +∞〉

e)

– [7 ] 2

, si: a>2b>0.

b) 〈– 4–

d) 2

2x – 7.

b) [ 7 ; 51]

x+1 bx + a

e) V F F

≥ 2m ; ∀ x ∈ .

c) 1

x – 3 +1 <

]

2

x +1

d) V V V

a ; a b 2b–a

1– x

〉 c) 〈–

a ; –a b 2b–a

〉 d) 〈

a 2b–a

;–

a b

〉 e) 〈

–a b

;

a 2b–a

〉

<0

b) [– 15 ; 1 〉

c) 〈 0 ; 1]

d) 〈– 15 ; 1 〉

e) 〈– 1 ; 1]


26

Capítulo

FUNCIONES I LAS FUNCIONES EN EL DESARROLLO DE LAS MATEMÁTICAS Mientras que el cálculo diferencial e integral surgió en el siglo XVII, el concepto de función vino a conocerse un siglo después; y el Límite, entendido de una manera formal y rigurosa, solo a finales del siglo XIX, lo cual difiere de la forma como se presenta actualmente el Cálculo, en donde primero se enseñan funciones, luego límites y finalmente derivadas o integrales. En la obra Introductio in Analysi Infinitorum, Leonhard Euler intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que: "Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o cantidades constantes". Como puede observarse, esta definición difiere de la que actualmente se conoce. "Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las últimas las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. Esta denominación es bastante natural y comprende cada método mediante el cual una cantidad puede ser determinada por otras. Así, si "x" denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de "x" en cualquier forma están determinadas por "x" y se les llama funciones de "x". En la historia de las matemáticas se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler(1707-1783) por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgió desde los inicios de la Matemática en la humanidad, con civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la china. Antes de Euler, el matemático y filosofo francés René Descartes(1596-1650) mostró en sus trabajos de Geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de "variable" y "función", realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultánea, las ecuaciones que las representan.


Denición de función en pares ordenados

.

Regla de correspondencia

.

Identicación de una función y su gráca

.

Cálculo del dominio y rango de una función

Colegios

TRILCE 156

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

FUNCIONES I

Definición y regla de correspondencia

Notación

Cálculo del dominio y rango

Regla para reconocer una función

Si: (x; y) ∈ "F" ∧ (x;z) ∈ "F" Función con regla de correspondencia y=z

(x; y) ∈ "F" ↔ y=F(x) A B

Pre-imagen (dominio)

Imagen (rango)

www.trilce.edu.pe

par

impar

∈ R ↔ B ≠ 0

A

A

∈ R ↔ A ≥ 0

∈ R ↔ A ∈ R


26

Capítulo

Saberes previos 1. Si: A={1; 2}, B={3; 5}, indicar por extensión: • A×B = _______________________

4. Si: P(x) = x2+3x+2, calcular: • P(1) + P(2) = _____________________

• A2= __________________________ • P(–3) + P(0) = ____________________

2. Si: A = {x ∈ / x ∈ [2 ; 5]} B = {y ∈ / y ∈ 〈0 ; 3〉}

Indicar:

5. Si: P(x) = 2x+5; calcular:

• n(A×B) = ________________________

• P(x – 1)= __________________________

• n(A2)= ___________________________ • P(3x+1) = _________________________

3. Resolver: • (x – 1; 5) = (3; y+2) → xy= • (x+y; x – y)= (6; 4) → xy=

Aplica lo comprendido 1. Relacionar las reglas de correspondencia y los pares ordenados: F(x)=x2+x – 2

A

(–1;1)

G(x)=2x+1

B

(–1;2)

H(x)=2x2 – 1

C

(1;0)

I(x)=x2+1

D

(–1;–1)

2. Indicar verdadero (V) o falso (F): • F={(1;2),(3;5),(1;2)} es función .............. ( ) • G={(0;1),(2;1),(4;1)} es función ............. ( )

• En una función a cada primer componente le

corresponde solo una .................. • Se llama función ................... a aquella cuya

regla de correspondencia es de primer grado. 4. Dada la función: F(x)=

x+2

Calcular: F(–1)+F(7) – F(14) 5. En la función: F(x)={(2;7), (1;8), (6;1), (8;5)} Calcular: S=F[F(1)] + F[F(6)]+F[F(8)–3]

• H={(–1;1),(–1;–1),(1;–1)} es función ..... ( )

3. Completar correctamente: • Un conjunto de pares ordenados se obtiene

al relacionar dos conjuntos por medio del producto .....................

Colegios

TRILCE 158

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente, respecto al dominio de las funciones: x–4

A

G(x)= x–2

B

F(x)=

x–4

H(x)= I(x)=

2

4–x

1 2

x –4

x∈

a) 0 d) 3

–{±2}

x ∈ –{4}

D

x ∈ [4; +∞〉

a) {0;7} d) {2}

b) {0} e) { }

7–x

c) {7}

2

) ) ) )

a) d)

– {3}

• Toda función es una ...................... • A la ................ solo le corresponde una

segunda componente • El dominio de la función es el conjunto de

b) –{9} e) { }

c)

–{3;–3}

c)

– {2}

9. Indicar el rango de: H(x)= 6x–5 3x–4

a)

– {4}

d)

3. Completar:

.....................

x–7 +

x –9

2

F(0) = 3 ................................................( No existe "F(4)" .....................................( ( 5 ; 2) ∈ F ...........................................( (– 8 ; 1) ∈ F ........................................(

c) 2

8. Indicar el dominio de: G(x)= x + 7

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda, dada la función: F(x)= 9–x • • • •

b) 1 e) 4

7. Indicar el rango de: F(x)=

x ∈ [–2; 2]

C

Calcular: f [g(3)]+g[f(2)]+g[f(0)]

3

b)

– {4}

e) { }

10. Indicar cuántos valores enteros pertenecen al dominio de: F(x)= 4–x 2

a) 6 d) 2

b) 4 e) 5

c) 3

4. Calcular la suma de los elementos del dominio 11. Indicar la suma de los elementos del dominio de la función: de la función: F={(7; 4), (m–1; 9), (m; 6), (7; m+3)} F={(3;4), (n+1;7), (n;1), (3;n2), (2;9)} a) 5 d) –4

b) –2 e) 0

c) 2

5. Sea la función:

F= {(3;5), ` 4; a j , (5;2), (4;9), 3; b }

c 4m

2

Calcular "a – b" a) –6 d) 18

b) –2 e) 38

c) 2

6. Sea "f" y "g" dos funciones donde:

f 0 1 2

www.trilce.edu.pe

b) 11 e) 12

c) 10

12. Si (2;m) y (n;7) pertenecen a la función: F(x)=4x+3, calcular "mn".

a) 16 d) 9

b) 11 e) 8

c) 4

+x–1 es de la forma: [a ; b] – {c}, hallar ab+ac+bc.

13. Si el dominio de la función: F (x)=

a) –3 d) 0

g –1 1 3

a) 8 d) 9

b) –2 e) 1

2

1–x

c) –1

1 2 4


26

Capítulo

14. Si la producción inicial es de 30 artículos y se

sabe que en los primeros 12 meses aumenta la cantidad de artículos producidos en forma lineal; además en el cuarto mes se produjo 190 de ellos. Obtener: • La expresión que define la producción "P"

en función al tiempo "x" en meses.

15. Para niños cuyas edades están entre seis y diez años, la altura en pulgadas "y" en promedio es una función lineal de la edad en años "t". La altura de un niño es 48 pulgadas a la edad de seis años y de 50,5 pulgadas a la edad de siete años. • •

• La producción al año.

Expresar "y" en función de "t". ¿Qué altura en promedio tiene un niño de ocho

años?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente, dada la función: F(x)=

)

6. Dadas las funciones "f" y "g" definidas en los siguientes diagramas:

x + 2;x < 5 x2 + 1 ; x $ 5

F[F(1)]

A

26

F[F(3)]

B

37

F[F(4)]

C

3

F[F(–1)]

D

1 2 5

5

(2; 2) ∈ F ..............................................( (–1; 4) ∈ F ............................................( F(1) – F(0) = 0 ......................................( F[F(–2)]+F[F(2)]=0 ................................(

4 5 2

2 5 4

) ) ) )

3. Completar: • En un par ordenado que proviene de una

6 3 5

f (1) + g(2) f [g(4)] + g[f(2)]

Hallar el valor de:

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda, dada la función: F(x)=x2–x+2 • • • •

g

f

x+1

7. Hallar el dominio de: F(x) =

x–2

8. Hallar el dominio de la función: F(x) = x – 3 + 3 – x 8

4

9. Sabiendo que:

F(x) =

)

3x + 4 ; x < 0 2x – 3 ; x $ 0

regla de correspondencia, a la primera Calcular: E = F[F(1)] – F[F(0)] componente se le denomina pre imagen y a 10. Si el rango de la función: la segunda ....................... F(x) = 8 • La abscisa se obtiene de la primera x +9 componente y la ....................... se obtiene es: 〈a+1 ; b+1] , calcular: a . de la segunda componente. b 2

• Se llama función ............. a aquella cuya regla

de correspondencia es de segundo grado. 4. Calcular "ab" en la función: F = {(2; 7), (6; a–b), (6; 1), (2; a+b)} 5. Calcular "n" en la función: F={(5; 9), (3; 6), (n; 1), (5; n2)}

11. Hallar el rango de la función: F(x) = 4+2x – x 2 ; x ∈ [–2; 3〉. 12. Determinar el rango de la función: G(x) = 4x 2

x +1

Colegios

TRILCE 160

Central: 6198-100

Álgebra 15. Para niños cuyas edades están entre 5 y 11 años, la altura en pulgadas "y" en promedio es F(x) = x –5x + 6 una función lineal de la edad en años "t". La 7x–x –12 altura de un niño es 42 pulgadas a la edad de es: [a ; b〉 – {c}, calcular "a+b+c". cinco años y de 58 pulgadas a la edad de siete años. 14. Un vendedor tiene un sueldo mensual de 13. Si el dominio de: 2

2

S/.1000 más el 40% de comisión sobre el monto

vendido en ese mes; entonces: • Hallar la expresión que defina el ingreso " I"

• Expresar "y" en función de "t". • ¿Qué altura en promedio tiene un niño de

ocho años?

mensual del vendedor en función del monto (x) vendido en el mes. • Si en un mes vendió S/.3500, ¿cuál fue su

ingreso en ese mes?

Tú puedes 1. Dada la función "F" tal que: F(4)=1; 2F(2)=3F(3). 4. Un hombre dispone de 40 m de alambre para Además: F(x) = ax+b. Luego podemos afirmar: cercar un jardín rectangular. Sabiendo que solo debe colocarlo sobre tres lados porque el cuarto a) F(2)=2 b) F(3)=1 c) F(10)=5 limita con su casa, determinar el área máxima d) F(–2)=7 e) F(2)+F(8)=3 que puede cercar. 2. Si: F(x+y)=F(x)+F(y) ; F(2)+F(5)=42

Calcular la pendiente de la función lineal "F" a) 7 d) 21

b) 4 e) 6

a) 120 m2 d) 300

b) 180 e) 240

c) 200

5. Hallar el rango de: F(x) = ex + e–x – 2

c) 12

Si: e = 2,7182

a) [– 2 ; +∞〉

b) [ 2 ; +∞〉

c) [ 2 ; 2]

20

3. La gráfica de la función: f (x)=mx2+nx – 3 intersecta al eje "x" en los puntos (–2; 0) y (5; 0); al eje "y" en el punto (0; p). Hallar el valor de: m – 3n+p a) –2 d) 1

www.trilce.edu.pe

b) –1 e) 2

d) [2– 2 ; +∞〉 e) [2+ 2 ; +∞〉

c) 0


27

Capítulo

FUNCIONES II EL PLANO CARTESIANO Está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas (x), y la vertical, eje de las ordenadas (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. ¿Quién inventó el plano cartesiano? El plano cartesiano se atribuye a René Descartes, filósofo, matemático y científico francés. El diccionario establece que Descartes es considerado el pionero de la Filosofía Moderna. René Descartes nace el 31 de marzo de 1596 cerca de Poitiers. Hijo de jurista, su madre muere al año de su nacimiento durante el parto de un hermano que tampoco sobrevivió. Él y sus dos hermanos fueron educados por su abuela, pues su padre se ausentaba largas temporadas por razón de su trabajo en el Parlamento de Bretaña y René Descartes acabó dejando atrás a sus hijos al contraer nuevas nupcias con una doncella inglesa. A los 18 años ingresa en la Universidad de Poitiers obteniendo su licenciatura en 1616. Descartes fue siempre un alumno sobresaliente.Fundamentó su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un "punto de partida" sobre el que edificar todo el conocimiento. En su faceta matemática que le lleva a crear la Geometría analítica, también comienza tomando un punto de partida: dos rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en un punto denominado "origen de coordenadas", ideando así las denominadas coordenadas cartesianas.


Funciones especiales

.

Trazado de grácas especiales

.

Intersección de grácas

.

Cálculo de áreas

.

Cálculo de valores máximos y mínimos

Colegios

TRILCE 162

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

FUNCIONES II

Gráficas especiales

Función lineal

Función cuadrática

Valor absoluto

Raíz cuadrada

Dominio Rango

Dominio Rango (según la gráfica)

Dominio Rango

Dominio Rango

Gráfica

Gráfica

Gráficas Gráficas

Si: a > 0

Si: a < 0

Si: a > 0

www.trilce.edu.pe

Si: a < 0


27

Capítulo

Saberes previos 1. Si: F(x)=x+5, calcular:

4. Indicar el rango de:

• F(x–2)=

• F(x)=x2+9 →

• F(x+3)=

• G(x)= x – 5 →

2. Si: G(x)=x2+4, calcular:

5. Dadas las funciones: F(x) = x + 3 ; G(x) =

• G(3)+2=

x –1

• G(2) – 1=

3. Indicar el dominio de: • F(x)= • G(x)=

2

4–x

Calcular: • F(0) + G(2) →

→

x–6

x–1

• F(2) + G(5) →

→

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: Funciones

Valores

F(x)=x2 –1

A

Máx=–1

–1

B

Mín=–1

H(x) = x2 – 2x+1

C

Mín=–2

I(x) = – x2 – 1

D

Mín=0

G(x) =

x2+2x

3. Completar correctamente, dada la función lineal: y = 3x+7 • Su gráfica es una .................... • Al coeficiente 3 se le denomina ...................

de la recta. • El ................... con el eje "y" equivale a 7.

2. Indicar verdadero (V) o falso (F), dada la función: 4. Calcular el área de la región formada por la y = F(x) = (3 – x) (3+x) recta: y = –2x+8, con los ejes coordenados. • Su mínimo valor es 9 ............................ ( ) • Su máximo valor es 3 ............................ ( )

5. Calcular el área de la región formada por la función: y = |x| – 6, con el eje de abscisas. • Su mínimo valor es 3 ............................. ( ) • Su máximo valor es 9 ............................ ( )

Colegios

TRILCE 164

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente las tablas respecto a 6. Indica cuántas gráficas corresponden a funciola gráfica y el cuadrante en el que se definen. nes: F(x)= x

A

I y II C

G(x)=x2

B

I y III C

H(x)=– x2

C

IC

I(x)=x3

D

III y IV C


I.

II.

y x

III.

• La gráfica de: x=5 no corresponde al de una

función................................................... ( )

x

IV.

y

• La gráfica de: y=(x – 1) 2 – 1 es una

parábola ................................................ ( ) • El mínimo valor de: y = x es cero ....... ( ) • La gráfica de: y=5 es una recta .............. ( )

y

y

x

a) 1 d) 2

x

b) 4 e) 3

c) 0

7. Al graficar: F(x)=x2 – 4, calcular "m.n+p".

3. Completar:

y

• F(x) = – x+6 es decreciente y ..............

F

sobre el origen. • G(x)=x2 tiene mínimo valor en el punto ............ • H(x)= –x se define en el ............ cuadrante.

m

n

x

p

4. Al graficar: F(x) = 2x – 4, se obtiene: a) –10 d) 6

y F a

b) –12 e) –6

8. Bosquejar la gráfica de: F(x)=x – 3, si: x ∈ [4 ; 6].

x

a)

b

b) y

b) –10 e) –9

www.trilce.edu.pe

b) –3 y 5 e) 0 y –5

x

c) –4

5. Hallar los interceptos con el eje "x", en la gráfica de la función: F(x)=x2+2x–15. a) –5 y 3 d) –5 y –3

y x

Hallar "a×b". a) –6 d) –8

c) –8

c) 5 y 3

c)

d) y

y x

x


27

Capítulo

e)

c)

d)

y

y

y x

x

x e)

y

9. Hallar el punto de intersección de las gráficas de las funciones: F(x)=2x – 1 ∧ G(x) = 3x+2. a) (–2; –4) d) (–3; –7)

b) (–3; 7) e) (0;2)

x

c) (–4; –10)

10. Calcular el área encerrada por el eje "x" y las 13. Al graficar: F(x)=x2 – 6x+5, se obtiene la figura gráficas de las funciones: F(x) = x; G(x) = 6 – x. siguiente: a) 10 u2 d) 8

b) 9 e) 6

11. Graficar: F(x)= a)

c) 12

3x2+6x+1

c

b)

y

x d)

y

e)

Calcular: a+b+c+d a) 6 b) 5 d) –2 e) 7

c) 4

14. Desde un tejado situado a 80 metros de altura, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con

y

x

a

F d x

b

y

x c)

y

x

y

una velocidad inicial de 20 m/s. La altura "y" de

la bola sobre el nivel del suelo viene dada por: y=–5x2+20x+80, donde "x" es el número de segundos que ha transcurrido desde el instante que se lanzó la bola. • ¿Qué altura alcanza la bola para: x=0, x=2

x

y x=5? • ¿Cuándo alcanzará el punto más alto? ¿A

qué altura está ese punto? 12. Graficar: F(x)= –2x2+8x–10 a)

b)

y x

15. La tarifa de los taxis de una ciudad es de 1 euro por bajada de bandera y por cada kilómetro recorrido 0,8 euros; luego:

y x

• Elabora una tabla que exprese el precio del

viaje según los kilómetros que hagamos. • Encuentra la función que relaciona los

kilómetros recorridos (x) y el precio del viaje (y).

Colegios

TRILCE 166

Central: 6198-100

Álgebra

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: F(x)=1–|x|

A

Mín=0

G(x)=|x|–1

B

Máx=1

H(x)=|x–1|

C

Mín=1

J(x)=1+|x|

D

Mín=–1

8. Hallar la suma de las ordenadas de los puntos de intersección de las funciones siguientes: F(x)=x2 – 4; G(x) = 14 – x2 9. Hallar "ab" de la gráfica: y

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda, dada la función: y=ax 2+b • • • •

Tiene máximo, si: a<0 .........................( Tiene mínimo, si: b<0 ..........................( El mínimo es b, si: a>0 .........................( El máximo es "b", si: a<0 .....................(

) ) ) )

F(x)=ax3+b (1; 2)

(0; a)

x

10. Esbozar el gráfico de la función: F(x)= 1– 2 x + 2 3

3

3. Completar: • La gráfica de la función constante es ............

al eje "x". • La gráfica de la función identidad: y=x,

forma un ángulo de ............. grados con el eje de abscisas. • La gráfica de: y= –x, se define en el ........ y

en el ......... cuadrante. 4. De:

x2 –5x + 6

12. Del gráfico de la función "f", hallar: Dom(f) ∩ Ran(f) y 4

F

2 3 Calcular:

2

y 6 4 2

11. Grafique la función: F(x)= (x –x–2)(x–3)

F (2) + F (6) 2F (3)

6

–2 x

f

2 1 2 –2

3

6

x

13. Hallar el máximo valor de la función: F(x)=10x – x2 – 25

5. Calcular el área encerrada por las siguientes 14. El peso de un recién nacido es 3,8 kg. Si en los funciones: F(x)=x; G(x)=–x; H(x)=4 primeros 10 meses aumenta su peso en formal lineal y en el tercer mes pesa 5,6 kg, entonces: 6. Calcular el área encerrada entre los ejes • Hallar la expresión que define su peso "W" positivos de "x" e "y" y la gráfica de la función: en función al tiempo "X" en meses. F(x) = – 3x + 6 • Hallar el aumento mensual de peso. 7. Calcular "m.n+p", si la gráfica de: F(x)=x2 – 4 • Hallar su peso en el décimo mes. es: y 15. Si la producción mensual de "x" artículos, viene dada por: P(x)=–x2+40x – 300, entonces: F • Hallar la cantidad de artículos que se debe x m n producir para obtener la máxima producción en un mes. p • Hallar la máxima producción en un mes.

www.trilce.edu.pe


27

Capítulo

Tú puedes 1. Si "h" es una función lineal, de pendiente 3 e intersección con el eje "y" igual a 5, hallar la regla de

correspondencia de la función "g (x)" si: g(x) – x = h(1) + h(x+1) a) g(x)=4x+4 d) g(x)=3x+13

b) g(x)=4x+16 e) g(x)=3x+12

2. Del siguiente gráfico:

c) g(x)=4x+12

y

x

(2; 0)

Hallar la ecuación de la parábola, si el punto (3; 2) pertenece a ella y su rango es el intervalo: [– 1 ;+∞〉. 4

a) y=x2 – 3x+2 d) y=2x2+3x+2

b) y=x2+3x+2 e) y=2x2 – 3x – 2

c) y=x2 – 3x – 2

3. Indicar cuántos puntos de la forma (a; b), donde "a" y "b"∈ , se encuentran dentro de la zona limitada por las funciones: F(x)=(x+2)(x – 2) y G(x) = (2+x)(2 – x). a) 21

b) 19

c) 14

4. Calcular el área de la región sombreada:

d) 12

e) 17

y F(x)=x2–2x–3 x

5

a) 36 u2

b) 18

c) 24

d) 12

e) 25

c)

d)

e)

5. Graficar: F(x) = x2+2mx+m2 si: m<0. a)

b) y

y x

y x

y x

y x

x

Colegios

TRILCE 168

Central: 6198-100

Capítulo

28

PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.) AQUILES Y LA TORTUGA

Supongamos, decía Zenón de Elea (490-430 a.C.), que Aquiles, que corre cinco veces más rápidamente

que una tortuga, juega con ella una carrera dándole una ventaja de cinco kilómetros. Cuando Aquiles recorra esos cinco kilómetros, la tortuga habrá avanzado un kilómetro. Cuando Aquiles cubra ese kilómetro que lo separa ahora de su contrincante, esta habrá caminado a su vez un quinto de kilómetro, es decir, doscientos metros. Pero cuando Aquiles trate de alcanzarla corriendo esos doscientos metros, la tortuga habrá recorrido cuarenta metros. Y una vez que Aquiles salve esos cuarenta metros, con la esperanza de alcanzarla, la tortuga habrá avanzado ocho metros, y todavía le llevará ventaja. Una ventaja que disminuye sin cesar, pero que siempre está, porque cada vez que Aquiles recorre la distancia que lo separa de la tortuga, esta, en ese lapso de tiempo, se habrá movido algo, por poco que sea, y en consecuencia, lleva siempre la delantera. En conclusión, Aquiles nunca la alcanza.


www.trilce.edu.pe

.

Denición

.

Principales fórmulas

.

Medios diferenciales o aritméticos


28

Capítulo

Síntesis teórica

PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.) Representar: • 3 términos • 4 términos Notación

Suma de términos equidistantes

Término de posición "n"

Suma de "n" términos

Interpolación Término central

Medios aritméticos

Razón de interpolación

Colegios

TRILCE 170

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 1. Calcular el número que continúa en las sucesiones: 4. Sea la sucesión: ak=2k+3. Indicar el valor de: • 2; 7; 12; 17; 22; ...

• a1+a2+a3+a4

• 3; 1; –1; –3; ...

2. Efectuar la suma:

•

• S = 1+2+3+...+20 → S= • E=2+4+6+...+30 → E=

a

5

+

a

a

10

2

5. Sea la sucesión: ak=k+1.

3. Resolver:

¿Qué lugar ocupa el número 99?

• 3(x–2)+4(x–5)=2(4x–1) → x= •

2 (x + 3) x+1 x–1 + = 3 2 5

→ x=

Aplica lo comprendido 1. Sea la progresión aritmética: ÷ a1.a2.a3. ... .an

Relacionar las columnas correctamente. Razón

A


B

Suma de

términos Término central

a1+an 2 an–a1 +1 r

C

2a1+(n–1)r .n 2

D

a3 – a2

2. Calcular el vigésimo término en cada una de las siguientes progresiones.

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. • El décimo término de una P.A. es 57, y la

razón es 5. Entonces el primer término es 9 ..................................................... ( ) • En una P.A. el tercer término es 18 y el séptimo

término es 30. Entonces la razón es 6 ........ ( ) 4. En la P.A.: '4; 7; 10; 13; ... Calcular: • a2013 – a2011 • La suma de los 10 primeros términos.

5. Calcular la razón de una P.A. si se sabe que: a8 = 19 y a13 = 44

• ÷ 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; ... • ÷ 81 ; 77 ; 73 ; 69 ; ...

Aprende más 1. Relacionar correctamente:

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en la P.A. de término general: an=6n – 5.

÷2; 5; 8; ...

A

a15=71

÷2; 6; 10; ...

B

a15=58

÷1; 6; 11; ...

C

a20=39

÷1; 3; 5; ...

D

a20=59

www.trilce.edu.pe

• La razón es –5 ....................................... ( ) • Los tres primeros términos suman 20 ...... ( ) • Todos sus términos son positivos ............ ( )


28

Capítulo

3. Completar correctamente:

a) 2,5 d) 1,8

• Si la ............ es negativa, la P.A. es decreciente. • A los números que se ubican entre otros dos

para formar una P.A. se les llama ................

b) 2,4 e) 1,6

c) 3,5

10. Calcular el término siguiente en la P.A.: ÷(3x – 5) ; (4x+6) ; (6x+10) ; ...

• La suma de los términos .......... es el doble

del término central. 4. En la P.A.: ÷3; 8; 13; 18; ... Calcular el lugar que ocupa el número 53. a) 13º b) 10º c) 18º d) 15º e) 11º 5. Calcular "x" en la P.A.: ÷(x – 2) ; (2x+6) ; (4x+10); ... a) 6 d) 8

b) 4 e) 5

c) 7

6. Calcular la razón de una P.A., si se cumple que el cuarto término es 10 y el décimo es 4. a) – 6 d) – 3

b) – 2 e) – 1

c) – 4

7. En la P.A.: ÷12 ; x ; y ; z ; 29 calcular: x+2y+z a) 66 d) 78

b) 84 e) 82

8. En la P.A.: ÷ 1 ; x ; 3

1 2

c) 74

; ...

d)

7 12

7 6

b) e)

5 12

c)

1 6

5

b) 70 e) 80

c) 58

11. Calcular la suma de los 15 primeros términos de una P.A. cuyo término enésimo es: 4n+1. a) 420 d) 372

b) 480 e) 515

c) 495

12. La suma del cuarto y décimo término de una P.A. es 60 y la relación del segundo y décimo término es como 1 es a 3. Hallar el primer término. a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 9 13. En una P.A. el término de lugar "m" es "n" y el término de lugar "n" es "m". Calcular la razón. a) 6 d) – 3

calcular el cuarto término. a)

a) 60 d) 68

b) – 1 e) – 4

c) – 2

14. Un alpinista escala una montaña de 5700 m de altura. En el transcurso de la primera hora alcanzó una altura de 800 m; mientras que durante cada hora siguiente subió a una altura de 25 m menor que en la precedente. ¿Cuántos metros ascendió durante la última hora en que alcanzó la cima? 15. Una deuda se paga en cuotas que conforman una progresión aritmética. El primer pago realizado es S/.31 y el último S/.94. Si la suma que se debía es igual a S/.625, determinar el

6

incremento que se realizó en cada pago. 9. En la P.A.: ÷7 ; x ; y ; z ; 21 calcular la razón.


2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en la P.A.: ÷ (3x–7); (4x+1); (6x–1).

÷ –4; –1; 2; ...

A

a8=31

÷ 6; 2; –2; ...

B

a6=31

÷ 1; 7; 13; ...

C

S5=10

÷ 3; 7; 11; ...

D

S5=–10

• • • •

La razón es 10 ......................................( ) El cuarto término es 76 .........................( ) El valor de "x" es 10 .............................( ) El primer término es 23 ......................... ( )

Colegios

TRILCE 172

Central: 6198-100

Álgebra 3. Completar:

10. ¿Cuánto es la suma de los 25 términos de una P.A., cuyo primer término es 4 y la razón es 10?

• Si la razón es positiva, la P.A. es ..................... • Se llama ................. a la diferencia de dos

11. Una P.A. de 30 términos tiene por primer términos consecutivos. término 200 y por suma 5130. ¿Cuánto valen la • La suma de todos los términos de una P.A. se razón y su último término? puede hallar multiplicando el término ......... por el número de términos. 12. Hallar la suma de los 25 primeros términos de la P.A.: 4. En la P.A.: ÷2; 6; 10; 14; ... ÷ 2 ; 11 ; 16 ; ... 5 15 15 calcular el vigésimo término. 13. Hallar el número de términos y la suma de ellos, 5. En la P.A.: ÷1; 5; 9; 13; ... de una P.A. cuya razón es 3, su primer término calcular la suma de los 15 primeros términos. es 6 y su último término 123. 6. En la P.A.: ÷2; x; y; 23; ... calcular la razón.

14. No pudiendo cancelar una deuda de S/.12 950,

Mathías le propone a su acreedor pagarle del

7. Hallar el término de lugar 120 de la progresión aritmética: ÷ –8; –3; 2; 7; 12; ...

siguiente modo: S/. 600 al final del primer mes y cada mes siguiente S/.50 más que el anterior.

¿Cuál será el importe del último pago?

8. Hallar el término de lugar 26 de la P.A.:

15. Un peón debe llevar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 9 árboles que están a lo ... ÷ largo lado de una calzada; los árboles tienen entre sí 8 m de distancia y el montón de arena 9. En una P.A., el término de lugar 40 es 59 y está a 10 m antes del primer árbol. ¿Cuánto el término de lugar 27 es 33. Hallar el primer habrá recorrido después de haber terminado su término y la razón de dicha progresión. trabajo y vuelto la carretilla al montón de arena? 2 7 5 ; ; ; 3 6 3

Tú puedes 1. Indique el número de términos de una P.A., si el primer término es (m – 2), la razón (2 – m) y la suma de términos (10 – 5m). a) 10

b) 8

c) 7

d) 6

e) 5

2. Indicar la relación correcta de la P.A.: ÷(m – n)–1 ; (2m)–1 ; (m – p)–1. a) n=mp 3. Calcular:

b) m=n+p 2

2

b +c

a) 0,5

2

a

c) m=np

c) m2=np

e) m=(np)2

d) 4

e) 0,25

de la P.A.: ÷ (a+b)–1 ; (b+c)–1 ; (a+c)–1. b) 1

c) 2

4. La suma de los seis términos centrales de una P.A. creciente de 16 términos es 141 y el producto de los extremos es 46. ¿Qué lugar ocupa en la progresión el número 7? a) 5º

b) 7º

c) 9º

d) 2º

e) 3º

5. Si "Skn" es la suma de los "kn" primeros términos de una P.A., calcular el valor de: M=


b) 6

c) 9

d) 12

S 9n S5n - S4n


29

Capítulo

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (P.G.) EL PREMIO AL INVENTOR DEL AJEDREZ La famosa leyenda del inventor del Ajedrez, dice que el Rey de Persia, aburrido en los ratos muertos, de repente quedó fascinado por el juego del ajedrez, el cual le presentó un inventor ingenioso e inteligente. Se cuenta que quedó tan agradecido que el Rey

ofreció al matemático oriental lo que deseara. El inventor contestó: -Me conformo con 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta y así hasta la casilla 64 del tablero. (Es decir la suma de los 64 primeros términos de una P.G. de razón 2 y cuyo primer término es 1). El rey se mofó pensando la minucia que le estaba pidiendo y, solicitando a su visir que preparara el premio solicitado, hizo los cálculos y se dio cuenta que era imposible cumplir la orden, pues la suma de los granos de las 64 casillas era nada menos que la cantidad de: 18.446.744.073.709.551 616 granos. (En cada kilogramo de trigo caben aproximadamente unos 28 220 granos, por lo que el resultado sería de unas 653 676 260 585 toneladas; que ocuparían un depósito en forma de cubo de algo más de 11'5 kilómetros de lado. Para producir tal cantidad de trigo se necesitaría estar cultivando la Tierra (incluidos los mares), durante ocho años.


Denición

.

Principales fórmulas

.

Medios geométricos o proporcionales

Colegios

TRILCE 174

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (P.G.)

Producto de términos equidistantes

Término central

Suma de términos

Producto de términos

Término de posición "n" Limitada

Ilimitada

Interpolación

Medios geométricos

Razón de interpolación

www.trilce.edu.pe


29

Capítulo

Saberes previos 1. Indicar el número que continúa en las sucesio- 4. Sea la sucesión: ak=2k–1 nes: Calcular: •

1 1 ; ; 4 2

• a1+a3

1 ; ...

• 9 ; 3 ; 1 ; ...

•

a a

8 6

2. Si: Sk = k2+1, hallar: • S4

5. Dada la sucesión: bk=31–k , indicar el lugar que

• S5 – S2

ocupa el número

1 729

.

3. Resolver: • (x+3)2 – (x – 3)2 = 48 • (x+2)2+(x – 2)2 = 8x

Aplica lo comprendido 1. Sea la P.G.: ÷÷ t1 : t2 : t3 : ... : tn

3. Indicar verdadero (V) o falso (F):

Relacionar las columnas correctamente. Término central

A

t1

qn –

1 q–1

• En la siguiente progresión geométrica:

÷÷ 512 : 256 : x : 64 : y, el valor de "x+y" es igual a 160 ........................................( )

• En una P.G., el quinto término y el segundo Suma de los "n"

primeros términos Razón de interpolación

B C

m+1

tn t1

t1.tn

son 81 y 24 respectivamente; entonces la 2 razón es: ...........................................( ) 3 4. Calcular:

c m c 1

1

1

m c

1

1

m

+... 2 3 4 9 8 2. Calcular el sexto término de cada una de las progresiones: 5. Calcular la razón en una P.G., si se cumple que: t9=3 y t14=96 • ÷÷ 3 : 6 : 12 : 24 : ... 2 • ÷÷ : 1 : ... 3 S=

1–

+

–

+

–

Colegios

TRILCE 176

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 8. En la P.G.: ÷÷ 48; 72; 108; ... Calcular el lugar que ocupa el número 243.

1. Relacionar correctamente: ÷÷ 64; 32; 16; ...

A

a5=5,3

÷÷ 24; 12; 6; ...

B

a8=0,5

÷÷ 16; 24; 36; ...

C

a6=0,75

÷÷ 27; 18; 12; ...

D

a5=81

a) 6º d) 7º

b) Ninguno e) 5º

c) 8º

9. Calcular el término siguiente en la P.G.: ÷÷ (x – 1) ; (2x+1) ; (7x – 1) ; ...

a) 80 b) 81 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las sumas de d) 68 e) 70 infinitos términos. S = 1+ 1 + 1 +... 10. En la P.G.: ÷÷ 18 ; x ; y ; z ; 88 2 4 calcular: x.z – y2. E = 1+ 1 + 1 +... 3 9 a) 6 b) 4 d) 1 e) 0 • S>E ...................................................... ( )

c) 64

c) 2

• S
11. Una progresión geométrica admite cuatro términos, siendo la suma de sus extremos 27 y • S+E= 7 ................................................ ( ) 2 la de los centrales 18. Calcular la suma de cifras del mayor de estos números. 3. Completar correctamente: a) 3 b) 4 c) 5 • Si la ........ es menor que 1 y mayor que 0, la d) 6 e) 7 progresión geométrica es decreciente. • La P.G. es alternada cuando la razón es

12. Tres números positivos en progresión aritmética son aumentados en 3; 3 y 7 respectivamente, • El ....... de los términos equidistantes es constanformando una progresión geométrica de suma te. 28. ¿Qué números son? 4. Calcular "x" en la P.G.: a) 3; 5 y 7 b) 2; 6 y 10 c) 3; 6 y 9 ÷ ÷ (2x – 6) ; ( 3 x) ; (2x+6); ... d) 1; 5 y 9 e) 3; 7 y 11 a) 3 b) 6 c) 7 d) 4 e) 5 13. La diferencia del tercer término con el sexto de menor que ..............

5. Calcular la razón de una P.G., si se cumple que el cuarto término es 96 y el noveno es 3. a) 0,5 d) 1

b) 0,2 e) 2

c) 0,4

b) 84 e) 114

c) 74

www.trilce.edu.pe

b) 2,4 e) 1,6

b) 234 e) Ninguna

c) 243

de la cual cayó la última vez. ¿Qué distancia total recorre la pelota hasta quedar en reposo? 15. Se tiene una circunferencia de radio "R"; dentro

7. En la P.G.: ÷÷ 32; x; y; z; 162 calcular la razón. a) 3,5 d) 1,8

a) 245 d) 342

14. Se deja caer una pelota desde una altura: h=270m. En cada rebote la pelota se eleva 2/5 de la altura

6. En la P.G.: ÷÷ 16 ; x ; y ; z ; 81 calcular: x+y+z. a) 96 d) 128

una progresión geométrica es 26 y el cociente 27. Calcular el primer término.

c) 1,5

de ella se dibuja una circunferencia concéntrica y de radio la mitad de la primera; luego se dibuja otra circunferencia concéntrica y radio la mitad de la segunda y así indefinidamente. Si se suman las

áreas de todas las circunferencias, se obtiene la misma área de una circunferencia cuyo radio sería: Cuarto año de secundaria 177

29

Capítulo

Practica en casa 1. Relacionar correctamente respecto a las siguien- 9. La suma de los términos de una P.G. decreciente tes sumas límite. y prolongada indefinidamente, es el doble de la suma de los cinco primeros términos. Hallar la razón. 32 A M=8+2+ 1 +.. 3

2

N=8+4+2+1+... P=8+1+ 1 +... 8

1

1

2

32

Q=8+ +

+...

B

128 15

C

16

D

64 7

10. Si el segundo y el sexto término de una P.G. son

24 y 96, ¿cuál es el cuarto término? 11. El primer término de una progresión geométrica es 1 y la razón es 2. Hallar el producto de los siete primeros términos.


12. Una hoja de papel se parte por la mitad; después se superponen las dos mitades y se vuelven • Si la razón es mayor que 1, la progresión a partir por la mitad, y así sucesivamente. geométrica es creciente .........................( ) Después de ocho cortes, ¿cuántos trocitos de • Si la razón está entre –1 y 1, la P.G. se papel habrá? aproxima a cero ....................................( ) • La suma límite se puede calcular para

cualquier valor de la razón ....................( ) • Las P.G. siempre crecen al infinito ........( ) 3. Completar respecto a la P.G.: ÷÷ (x – 8) ; (x – 4) ; (x+8) • La razón equivale a ............... • El cuarto término equivale a .................... • La suma de los .......... primeros términos

equivale a 80. 4. En la P.G.: ÷÷ 0,25; 0,5; 1; 2; ... , calcular el décimo término. 5. En la P.G.: ÷÷ 1; 3; 9; 27; ... Calcular la suma de los seis primeros términos.

13. La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica creciente es 2186, y la razón del séptimo término sobre el segundo término es 243. Hallar el término de lugar 4. 14. Se dibuja un triángulo equilátero de lado "m";

si se unen los puntos medios de los lados, se forma otro triángulo equilátero. Al efectuar la misma operación indefinidamente, la suma de los perímetros de todos los triángulos es: 15. Calcular la suma de las áreas de todos los cuadrados que se forman en la figura, al unir los puntos medios de los lados. b

b

6. En una progresión geométrica, el primer término es 6 y el término de lugar 15 es 54. Hallar el octavo término. 7. Hallar la suma de los seis primeros términos de la progresión geométrica: ÷÷ 4 ; 2 ; 1 ; ... 3

3

3

8. En una progresión geométrica el primer término es –5 y la razón es –1/5. Hallar el término de

lugar 10. Colegios

TRILCE 178

Central: 6198-100

Álgebra

Tú puedes 1. Si: "x"; "y" ; "z" son términos consecutivos de una P.G. creciente, indicar el valor de "z" en el sistema:

)

2x + y + z = 40 3y – z = 10

a) 16

b) 12

c) 20

d) 32

e) 15

2. En una P.G., la suma de los seis primeros términos es igual a nueve veces la suma de los tres primeros términos. Hallar la razón de la progresión. a) 3

b) 2 1

3. Indique el valor de: a)

1 100

2

–1

c) 5

81

+

2

b)

1 80

2

1 82

+ ... +

2

d) 4

e) 6

1 100

2

–1

c)

100

2

–1

80

2

d)

20

2

–1

100

2

e)

80

2

–2

101

2

4. Encontrar una P.A. y una P.G., si se sabe que los primeros términos son iguales a 2, tienen el mismo tercer término y el undécimo término de la P.A. es igual al quinto término de la P.G. Indicar la suma de las razones de ambas progresiones. a) 8 5. Calcular: S = 1+2

a) 2

www.trilce.edu.pe

b) 2

c) 3

d) 5

e) 6

d) 6

e) 4

c m c m2+4c m3+5c m4+... 1

2

+3

b) –4

1

1

1

2

2

2

c) –6


30

Capítulo

LOGARITMOS I MÚSICA Y LOGARITMOS Los grados de tonalidad de la escala cromática no son equidistantes por el número de vibraciones ni por la longitud de onda de sus sonidos, sino que representan los logaritmos en base 2 de estas magnitudes. Supongamos que la nota do de la octava más baja, que representaremos por cero, está determinada por "n" vibraciones, el do de la m-ésima octava producirá "n.2m" vibraciones cada segundo. Si hemos llamado cero a do, y seguimos numerando las notas, tendremos que sol será la 7a, la la 9a, la 12a será de nuevo do, en una octava más alta, etc. Como en la escala cada nota tiene 2 más vibraciones que la anterior, entonces el número de estas en cualquier tono se puede expresar con la fórmula: N pm=n.2m( 2 )p. Tomando logaritmos: p logNpm=logn+(m+ )log2 12

12

12

Al tomar el número de vibraciones del do más bajo como unidad y pasando los logaritmos a base 2, se tiene que: p logNpm = m+ 12

En el tono sol de la tercera octava: 3+

7 12

≈3,583; donde 3 es la característica del logaritmo del número de

vibraciones y 7/12, la mantisa del mismo logaritmo en base 2. Se tiene que el número de vibraciones es 23,583, que es 11,98 veces mayor que las del tono do de la 1a octava.


Denición

.

Propiedades fundamentales

.

Cambio de base

.

Regla de la cadena

.

Otras deniciones

Colegios

TRILCE 180

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

LOGARITMOS I

Definición

Cologaritmo b

logbA

=A Antilogaritmo

Logaritmo del producto Cambio de base logbA

c

propiedades

logbc

=A

Logaritmo del cociente

Logaritmo de una potencia

Logaritmo de una raíz

Regla de la cadena

Logb M =Log nMn b

Logb M =Log

n

n

M

b

Log nM = 1 Log M b

Log

www.trilce.edu.pe

n

n

b

b

M =n Log M b


30

Capítulo


4. Resolver: x

• 3x= 1 → x=

23 = 512 → x =

3

• 4x=8 → x=

2. Resolver:

5. Resolver:

• x2=7 → x=

• 2x–1=49 → x =

• x2 – 20=0 → x= •

52x–5 = 125 → x=

3. Resolver: • xx = 318 → x= x

• xx = 16 → x=

Aplica lo comprendido 1. Relacionar las columnas correctamente, siendo: 2. Hallar "x" en cada una de las ecuaciones: A>0 , B>0 , b>0 ∧ b ≠ 1 • log2x=4 • log2(2x – 1)=3

A

logb( A ) B

logbA–logbB

B

bx=A

blogbA

C

logbA+logbB

logbA=x

D

A

logb(AB)

3. Indicar verdadero (V) o falso (F). • log44=0 • log91=9

........................................... ( )

• log264=8

........................................... ( )

........................................... ( )

4. Calcular: S = log2(log24) + log3(log327)

5. Calcular: M = log100 + Ln 1 + log381 e

Aprende más 1. Relacionar correctamente: Es la base del logaritmo natural Es el logaritmo decimal de 10 Es el logaritmo decimal del logaritmo natural del número "e" Al sumar logaritmos decimales se obtiene un logaritmo en base

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según correslogbc

A

Cero

ponda en: E = a

B

Diez

• Si E=1, entonces: a=1 ó c=1 .................( )

C

"e"

• Si E= c , entonces: a=b2 ......................( ) • Si E= a , entonces: c= b .....................( )

D

Uno

• Si "c" es igual a "b2", el resultado es "a2" ....( )

Colegios

TRILCE 182

Central: 6198-100

Álgebra 11. Calcular:

3. Completar:

6

• En una multiplicación de logaritmos, se puede

1 + log 3

• En el logaritmo natural y el logaritmo decimal

a)

no se coloca la ............... • Al dividir el logaritmo natural de "a" entre

d)

el logaritmo natural de 10 se obtiene el logaritmo .................. de "a".

a) 0,2 d) 0,5

b) 3 e) 1

2

d)

2

3

9

b)

3

e)

5

2

15

d)

8

7

15

a) d) 8.

3 5 9

13

e)

5

2

5

b) e)

5

c)

4

2

x

www.trilce.edu.pe

e)

log 4

b) 130 e) 127

c) 134

1

c) 1

Donde:

Responder: magnitud del movimiento telúrico. • Si se produce un terremoto de grado 6 en la

escala de Richter, indicar la magnitud de la lectura del sismógrafo.

c) 14

15. La demanda "D" de un producto se relaciona con su precio de venta "P" mediante la ecuación: logaD = logaC – k.logaP Donde "a", "C" y "k" son constantes positivas. • Despejar "D" de esta ecuación. • Para un precio de S/.10 con: C=1000 y k=2,

c)

x

b) 2 e) 0,5

• Si se registra una lectura de 10 2, indicar la

c) 4

b) 13 e) 10

x+1

2 + log 4

+8

x → Lectura del sismógrafo x0 = 10–3 → Lectura referencial

5

10. Si x=log53, calcular: log153.

d)

5

14. La magnitud de un terremoto en la escala de Richter se calcula mediante la fórmula: x M(x) = log( x )

9. Calcular: (2+log27)(2+log72)–(log249+log74)

x–1

1

3

2

e) 1

4

0

c)

2

d) 5

2

1

13. Calcular:

7

3

c)

1 1 1 + + 1 + log4 36 1 + log2 72 1 + log18 8

b)

b)

3

a) 3 d) 4

b) 3

1

e)

1

3

3

a) 2

a)

1

a) 128 d) 135

1 – 1 Calcular: log50 5 log2 5

a) 8 d) 5

7

8

7. Calcular: log276.Ln81.Log36e 2

b)

3 + log 8

6. Calcular: log89.log274 log1625.log12532 a)

1

4

c) 4

c)

5

12. Calcular:

5. Calcular: log86 . log310 . log64 . log3 a)

5 + 3log56

6

cancelar la ..................... de un logaritmo con el número de otro logaritmo.

4. Calcular: log1000+Ln e +log0,1 – Lne2

log 3

1

indicar el valor de la demanda.

x+1

x+1 x


30

Capítulo


8. Calcular: (1+log53)(1+log35) – log53 – log35

log816

A

–2

log8127

B

–3

log0,2125

C

4

log0,01

D

3

9. Calcular: log3 4 log7 2 log5 18 + + log3 12 log7 12 log5 12

3

10. Si x=log23, calcular: log62.

4

11. Calcular:

2. Indicar verdadero (V) o falso (F):

4 + log34

2

6

• El (log20,5) es negativo ......................... ( )

2 + log32

+4

8

log316

• El (log0,10,01) es positivo ...................... ( ) • No existe [log(log10)] ........................... ( ) • No existe [log(log0,1)] .......................... ( )

12. Calcular: log35

36 5

log34

3. Completar correctamente: • La base del logaritmo decimal es ................. • El logaritmo de la .............. siempre es cero.

13. Calcular: 1 1 1 + + 1 + logx yz 1 + logy xz 1 + logz xy

• El logaritmo equivale a 1 cuando la ............

y el ........... son iguales.

14. Si "P" representa el precio de venta de un

4. Calcular: log0,25+log0,52+log0,254 5. Calcular: log25 0, 2 + log4 0, 5 log2 0, 25 + log5 0, 04

6. Calcular: log

2

8 + log

3 3

9

7. Calcular: 1 + 1 log2 6 log108 6

81 + log

4 4

8

64

artículo, y "x" es la demanda correspondiente en cantidad vendida por día, entonces la relación entre "P" y "x" se puede expresar, algunas veces, mediante: P=P0e–ax , donde "P0" y "a" son constantes positivas. Exprese "x" como función de "P".

15. La ley de Pareto para países capitalistas, afirma que la relación entre el ingreso anual "x" y el número "y" de individuos cuyo ingreso es mayor que "x" es: logy=logb – klogx, donde "b" y "k" son constantes positivas. Despeje "y" de esta ecuación.

Colegios

TRILCE 184

Central: 6198-100

Álgebra

Tú puedes 1. Si: xy.yx = (xy)2 con x ≠ y, reducir:

a) 0,5

b) 1

y x + log y x + 1 logx y + 1

c) 2

d) 0

e) 0,25

2. S log1428 = a, calcular: log 4916.

a)

2 (a–1) 2–a

b)

2 (1–a) 2–a

log

3. Si x2+y2=1, reducir:

a) 2

c)

1–a 2–a

d)

a–2 1–a

e)

2–a a

c 1–xy m + log c 11+–yy m . x–y+1 log c m x+y+1 2

b) 1

c) 0,5

d) 0,25

e) 4

c) 3

d) 6

e) 9

5

e) 1

4. Calcular: log(log 3)(log936) 6

a) –36

b) –1

5. Si logaba=3, calcular: logab(

a)

1 6

www.trilce.edu.pe

b)

2 5

a

3

b ).

c)

2 3

d)

6


31

Capítulo

LOGARITMOS II LOS LOGARITMOS Y LA INTENSIDAD DEL SONIDO La intensidad del sonido es el flujo de energía por unidad de área que produce, medida en watts por metro cuadrado. La intensidad de sonido mínima que puede escucharse (el umbral de audibilidad) es aproximadamente 10 –2 W/m2. La

sonoridad

de

un

sonido

se

define

como

I

L = 10log ( –2 ) , donde "I" es la intensidad y "L" se mide 10 en decibelios. Los escalones de sonoridad: 10 decibelios, 20 decibelios, etc. forman en nuestro oído una progresión aritmética; en cambio la energía de estos sonidos constituye una progresión geométrica de razón 10. Como ejemplo, una conversación en voz alta produce 65 decibelios, el rugido de un león 87 decibelios (posee una energía 158 veces mayor que la conversación en voz alta), el ruido de un martillo sobre una lámina de acero 110. Un ruido superior a 80 decibelios es perjudicial.


Ecuaciones logarítmicas

.

Aplicación de propiedades

.

Otras aplicaciones

Colegios

TRILCE 186

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

LOGARITMOS II

Ecuaciones logarítmicas

logbx=N ↔ x=bN; b>0; b≠1; x>0

logbx = logby

logbxx = logby

x=y

xx = y

cologbx=–logbx

www.trilce.edu.pe

Lnx=y → ey = x

ax = m

x = logam

antilogbx=bx


31

Capítulo


4. Resolver: • 4x – 9(2x) + 8 = 0 → x = 1

• 3(x – 1)+2(x – 2)=4(x – 3) → x= •

x–1 3

–

x–2 4

=

x–3

• 9x = 4(3x) – 3 → x1=

→ x=

6

; x2=

; x2=

5. Resolver:

2. Resolver: • (x – 4) (x – 1) = 10 → x1= • x(x – 2) = 15 → x1=

• 32x–10 = 7x–5 → x=

; x2=

• (3x+2x)(3x–2x)=0 → x=

; x2=

3. Resolver: • 4x–1 . 2x–3 = 16x–5 → x= • 2x–8 = 4x → x=

Aplica lo comprendido 1. Relacionar las columnas correctamente: log25 +log663

2

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), si: f (x)= 4 +log4x 3

A

6

log3 3

B

8

• f (1)=0 ................................................. ( )

antilog5(log56)

C

1 2

• f (16)=

lne5

D

5

• f (64)=4 ................................................ ( )

2. Hallar "x" en cada caso:

10 ............................................ ( ) 3

4. Resolver: logx+log(x – 1)=log6

• log3(5x+1)=4 →

x= 5. Resolver:

log 7 • x=log7(3 3 ) →

x=

log4log2(x – 1)=0

Colegios

TRILCE 188

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente: logbx=a

A

x= a

logxb=a

B

x=ab

logax=b

C

x= b

logxa=b

D

x=ba

8. Indicar el producto de las soluciones al resolver: log23x=4

b

a) 3 d) 6

b) 4 e) 1

c) 2

a

9. Indicar el producto de las soluciones al resol2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresver: (Lnx+1)Lnx=90 ponda en: logb(logax)=c. a) 1 b) e c) e2 e • Si: c=0, entonces: x=a .......................... ( ) • Si: c=1, entonces: x=a b ....................... ( ) d) e3 e) 1 c • Si: b =1, entonces: x=a ....................... ( ) • Si: c=–1 y b=2, entonces: x= a ......... ( ) 3. Completar:

10. Indicar la suma de las soluciones al resolver: x

• En una igualdad de dos logaritmos, se igualan

los números siempre y cuando tengan la misma ...................

a)

17

d)

10

• El cologaritmo y el logaritmo en la misma

base se diferencian solo en el ............... • El antilogaritmo decimal del logaritmo

log3x =

4

3

81 b)

82

e)

26

c)

9

5 2

5

decimal del número "π" es igual a ............ 4. Calcular

, si: log3(log2x)=1

x+1

a) 1 d) 5

b) 3 e) 2

11. Indicar la menor solución al resolver: log2x – logx2 = 15

c) 4

a) 0,1 d) 100

5. Calcular log3(x+2), si:

b) 0,001 e) 10

c) 0,01

log x log32 +2 2 =antilog32

3

a) 4 d) 5

b) 3 e) 2

c) 1

12. Indicar la suma de las cifras de la solución de: log3(log2x – 1) = 1

6. Calcular "log3x", si:

a) 11 d) 7

log636–colog3x=antilog23 a) 6 d) 3

b) 5 e) 4

c) 2

www.trilce.edu.pe

b) –1 e) 1

c) –2

c) 10

13. Calcular "x" al resolver: 10logx – 3 = 2,012

7. Calcular log9(0,5x) en: log36=log9(2x) a) 2 d) –3

b) 9 e) 8

a) 2,032 d) 2,015

b) 2012 e) 2015

c) 2009


31

Capítulo

14. La potencia de entrada (Pi) de un amplificador 15. En la figura siguiente se presenta la gráfica: es de 1w (watt); entonces: f (x)= Lnx ; (x>0). El valor máximo de "f (x)" se x

3

tiene cuando: x=e; responder:

Calcular la potencia de salida (P0), si la ganancia en decibelios (db) es de 10 db. Usar la fórmula:

y Lnx y= x

P Pi

G=10.log( 0 )

0,1

• G = Ganancia (db) • P0 = Potencia de salida (watt) • Pi = Potencia de entrada (watt) 3

x

5

3

Se considera "volumen moderado" un volumen de 80 db. Si un amplificador tiene

P0 igual a 1 000 000, indicar si Pi excede o no el volumen moderado.

Los enteros 2 y 4 tienen la rara propiedad de que: 24=42. Demostrar que si: xy=yx, para números reales positivos "x" e "y", entonces: Lnx = Lny . x

la relación:

3

y

Emplee la gráfica de "f" para explicar por qué muchos pares de números reales satisfacen la ecuación: xy=yx.

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: log4x=

5

A

e10

Ln(logx)=0

B

0,2

log5x=–1

C

10

log(Lnx)=1

D

32

2

log375 – log35 = 1 + log3x 6. Calcular "

Si: b=1, entonces: c=1 .......................... ( Si: a=1, entonces: c=0 ......................... ( Siempre "a" debe ser positivo ................ ( Siempre "c" es positivo .......................... (

eLn8+antilog2=10logx+colog100 ) ) 8. Calcular "log2(x+2)", si: ) ) colog2antilog26+log3antilog3x=logx+cologx

3. Completar correctamente: • La .............. de logaritmos es igual al

logaritmo del producto de los números. • "e" es la base del logaritmo ................ • El .............. es un exponente.

4. Calcular "a+b+c", si: log3a = 2 ; log 4b = 1 ; log6c = 0

", si: log3(log4(log2x))=0

7. Calcular "log(x – 10)", si:

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en: logba=c • • • •

x+9

9. Indicar la menor solución obtenida al resolver:

2+log3x2 = log372 – log32

10. Indicar el producto de las soluciones al resolver:

(logx+2)logx=3

5. Calcular "x", si: Colegios

TRILCE 190

Central: 6198-100

Álgebra 11. Indicar la suma de las soluciones al resolver: log2x =

x

16

14. La temperatura "T" en ºC de un objeto en el momento "t" se expresa: T=75.e–2t Donde: t : Horas T : Temperatura en ºC expresar "t" en función de "T".

12. Indicar el producto de las soluciones al resolver: 15. La energía "E(x)" de un electrón, después de pasar a través de un material de espesor "x", x está expresada por: E(x)=E 0e– x0 , donde "E0" es la energía inicial y "x 0" la longitud de radiación; entonces:

log23x – log3x3 = 10

13. Calcular "x", al resolver:

• Expresar en términos de "E 0", la energía de

100logx – 2 = 1,44

un electrón al pasar a través del material de espesor "x0". • Expresar en términos de "x 0", el espesor al cual el electrón pierde el 99% de su energía inicial.

Tú puedes 1. Hallar "x" en: logx a)

4

1

125

=

3 2

.

b) 2

5

c)

5

d) 5

e) 25

2. Calcular el valor de "x" en: 3logx81=x. a) 1

b) 3

c)

1 3

d)

1 9

e)

1 27

3. Resolver: 4x=2(14x)+3(49x). a) log73

b) log27

4. Dado el sistema: a) 2

c)

log 3 log 2– log 7

d)

log 7 log 3 + log 2

e) log3

10x + 10y = a , calcular: 10 x – 10y. a + b x – y = log a–b

*

c

m

b) a

c) b

d) 2b

e) a+b

b) logb(logac)

c) loga(logca)

d) logacb

e) log(logbac)

x

5. Resolver: ab =c a) loga(logbc)

www.trilce.edu.pe


32

Capítulo

REPASO IV EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT El teorema en cuestión establece que para: n>2, la ecuación: xn+yn=zn no tiene soluciones enteras positivas (para n=2 se trata del teorema de Pitágoras, que sí tiene soluciones enteras: son las llamadas "ternas pitagóricas"). En realidad no se trataba de un teorema, sino una conjetura, porque Fermat nunca publicó una demostración. En un libro sobre la obra de Diofanto escribió que había encontrado una solución maravillosa del enunciado, tras lo que añadió: "este margen es demasiado estrecho para contenerla". La gracia del asunto estriba en que estamos hablando del siglo XVII y en qu e durante más de trescientos años los más grandes matemáticos buscaron sin éxito la dichosa demostración, hasta que, por fin, en los años noventa del pasado siglo XX, Wiles y Taylor lo consiguieron utilizando unas matemáticas inimaginables en la época de Fermat. Eso sí; la cantidad de buenas matemáticas que se han desarrollado por culpa del comentario "al margen" es extraordinaria. De lo que siempre nos quedara la duda es de si Fermat realmente había encontrado una "maravillosa demostración" o simplemente se trató de una broma.


Funciones I

.

Funciones II

.

Progresión aritmética

.

Progresión geométrica

.

Logaritmos I

.

Logaritmos II

Colegios

TRILCE 192

Central: 6198-100

Álgebra

Cruci - álgebra

*

Completa el crucigrama algebraico. 1 3

4 6

1

7 5

2

3 2 4

5

6 7

HORIZONTAL

1. Es el logaritmo del inverso multiplicativo de un número. 2. Se define mediante: antilogbN = bN. 3.

Su gráfica es una parábola.

4.

Es el conjunto de los segundos elementos de los pares ordenados de una función o los valores de: y = F(x) 5. Es el logaritmo donde no es necesario colocar su base, llamado también logaritmo de Briggs. 6. Gráficas cuya forma es una "V".

VERTICAL

1.

Es aquella sucesión en la cual cualquier término, después del primero, es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante. 2. Es aquella suma de términos en progresión geométrica cuya razón está entre 0 y 1 y su número de términos es ilimitado. 3.

Son logaritmos cuya base es el número trascendente

"e" (e = 2,718281...). 4. Es aquella sucesión en la cual cualquier término, después del primero, es igual al anterior sumado con 7. Son igualdades donde la variable está incluida o forma parte de un logaritmo. una cantidad constante. 5. Es el conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados de una función o los valores de "x". 6. Gráficas cuya regla de correspondencia es: F(x)= x 7. En una progresión aritmética se calcula así:

à www.trilce.edu.pe

n

+ a1 2a1 + (n–1) r n= n 2 2

j

c

m


32

Capítulo

Aplica lo comprendido 1. Hallar el dominio de la función:

6. Obtener el valor de:

–15+8x – x2

f(x) = a) x∈[1;2 ] d) x∈[3; 5]

S = 0,25+(0,25)2+(0,25)3+...

b) x∈[2; 3] e) x∈[3; 6]

c) x∈[3; 4]

a) 1 d) 14

2. Sea la función "f" cuya regla de correspondencia es: f (x)=x3 – 2x+1; calcular el rango de "f", si el

Dom(f)={–2; 0; 3}. a) {–11; 1; 22} c) {0; 1; 22} e) {1; 13; 22}

b) {–3; 1; 22} d) {–8; 0; 27}

Calcular:

a) 42 d) 162 b) 1 e) 4

b)

y

x

c) 144

F={(3; a2), (3; 1), (5; 4), (5;a+b), (b; 4)} Representa una función, indicar la suma de elementos del dominio. c)

y x

e)

y

b) 152 e) 216

9. Sabiendo que el conjunto de pares ordenados:

x

d)

c) 13

c) 2

4. Graficar: F(x)=2x+3 a)

b) 12 e) 16

8. Indicar el quinto término de una P.G. creciente de siete términos, si la suma de los tres primeros es 26 y la suma de los tres últimos 2106.

f (85)+f (31)+f (7) g(100)+g(1000)–g(10)

a) 0 d) 3

c) 13

7. Tres números consecutivos de una progresión aritmética creciente tienen como suma 42 y como producto 2688. Hallar el tercer término. a) 11 d) 22

3. Sea: f (x)=log3(x – 4) y g(x)=logx

b) 12 e) 15

y x

a) 3 d) 13

b) 5 e) 11

c) 8

10. Calcular el área de la región sombreada limitada por las funciones indicadas. y

y x

H(x)=6–|x–2| G(x)=4

x

5. Se tiene la función: F(x)=ax+6; si la gráfica pasa por el punto (2; 8), calcular: F(7)

a) 8 d) 13

b) 10 e) 14

c) 11

a) 24 u2 d) 16

b) 32 e) 20

c) 48

Colegios

TRILCE 194

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes 5. Si: ÷ (x+y); (4x – 3y); (5y+3x) son tres términos proposiciones: consecutivos de una progresión aritmética, cuál es la relación entre "x" e "y"? • logaM+logaN=loga(M.N) ......................( ) • logaMn=nlogaM ..................................( ) a) x = 1 b) x =2 c) x =3 y y y 3 • loga1=a .................................. ( ) • logaM – logaN=loga(M – N) ................( ) d) x =5 e) x = 1 y

y

4

2. Relacionar las columnas: F(x)=|x| Función valor absoluto F(x)= x Función raíz cuadrada

6. Si se sabe que: "a"; "a2" y "3a" son tres términos

y

de una P.A., calcular la suma de los 10 primeros términos.

A x y

B 45º

F(x)=x Función identidad

b) 100a+11 e) 110a

c) 111a

7. Hallar el valor de "c2", en la P.A.: x

÷ a; b; c; d; e; si se sabe que: a+e=20

y

F(x)=ax2+bx+c Función cuadrática

a) 11+10a d) 55a

a) 400 d) 10

C 45º

45º

b) 100 e) 160

c) 20

x

8. Las dimensiones de un paralepípedo rectangular están en P.A. cuya suma de dichas dimensiones

y

es 30m. Si el volumen del paralelepípedo es de

D x

3. Calcular el valor de "x" en cada una de las siguientes ecuaciones:

640 m3, ¿cuánto miden las aristas? a) 6; 10; 14 d) 4; 10; 16

b) 8; 10; 12 e) 2; 8; 14

c) 2; 10; 11

9. Al resolver la ecuación: log(x+4)(x3 – x)=log(x+4)(5 – x)x

• log2(5x+1)=4 → x =

Indique su conjunto solución. • log5(x – 3)=log52+log53 → x = • log(

2x – 1 )=log3 – log2 → x = x–5

4. ¿Cuántos términos hay que tomar en la progresión aritmética: ÷ –2; 2; 6; 10; 14; ... para que la suma sea 8190? a) 63 d) 66 www.trilce.edu.pe

b) 64 e) 67

c) 65

a) {–3} d) {–3; 2}

b) {2} e) {–3; 0; 2}

c) {0;2}

10. Luego de resolver la siguiente ecuación: logx2 – log x 2 = log( x )2 (16) 64 Indicar el producto de sus soluciones. a) 12 d) 16

b) 17 e) 24

c) 1


32

Capítulo

11. Calcular "x", en:

logx

17. Si "x", "y", "z" son términos consecutivos de

x1–lnx = e5

loge a) ( 105 ) e

5ln10 b) ( e ) 10

5 ln10 d) ( e ) 10

ln10 e) ( 105 ) e

una P.A., simplificar:

5loge c) ( 10 ) e

E=

a)

x2 (y + z) + y2 (z + x) + z2 (x + y) (x + y + z) 3

1

b)

9

7

c)

9

2 9

12. Hallar el valor de:

' c m e

Ln log 15 –2 log 8

a) e d) 0,47712

c m 5 3

+

b) log2 e) 5

d)

c m1

log 16 27

c) Ln2

4

e) 1

9

18. Si la suma de un número infinito de términos

de una P.G. decreciente es cubos es

13. A partir de la función: F = {(4; a+3), (–2; a), (4; 2a–1)}

a)

1 2

8 511

2 7

y la suma de sus

, hallar la razón.

b)

1

c)

3

1 4

Calcular: F(4)+F(–2) a) 13 d) 10

b) 9 e) 11

d)

c) 8

1 6

e)

1 8

19. El costo de un producto es igual al número de productos "x" fabricados. El precio de venta de

14. Dada la función:

cada uno es de S/.200, entonces:

F={(4; 8), (b; 3), (4; a+b), (5; 9), (5; a2)} Calcular: ab. a) –33 d) 27

b) 18 e) –27

• Hallar la función ganancia "G(x)" en términos

c) –23

de la cantidad "x" de productos fabricados. • Hallar la máxima ganancia.

15. Dada la función "G" con correspondencia: G(x)=x+b Calcular "G(2)", si: G(–2) = 1

regla

de

20. El costo de un artículo es igual al número de artículos "x" producidos. El precio de venta de cada uno es de S/.400, entonces:

a) 6 d) 5

b) 8 e) 9

c) 3 • Hallar la función ganancia "G(x)" en términos

de la cantidad "x" de artículos producidos. 16. Sea la función "f" con dominio: {2; 3; 4}y f (x)=x2+1; hallar la suma de elementos del rango de "f (x)".

a) 30 d) 28

b) 24 e) 26

• Hallar la máxima ganancia.

c) 32

Colegios

TRILCE 196

Central: 6198-100

Álgebra

Practica en casa 1. Resolver: x

log5 (log4 x) log5 x

9. Hallar el dominio de la función "F", si: F(x)=

4

x – 2x – 1

= – colog23 10. Sea la función: F (x)=7 – x2

2. Calcular la suma de soluciones de: 9log8x + 2logx8 = 9

Calcular: Dom(F) – Ran(F)

3. Calcular el logaritmo en base 16 del logaritmo 11. Sea "F" una función cuyo rango es un conjunto de 2 2 en base 8. unitario, además: F={(x+y;y), (xy; x–y), (x–y; y), (4y; x–1)}. Hallar la suma de los elementos del dominio de 4. Calcular: "F". 1 1 Ln 25 E= 2 + log 5 1– log 9 Ln3 12. Calcular el valor de "x" que satisface:

c

3

mc

45

mc

m

logx

20

343 =

1 10

5. La suma de los tres primeros términos de una P.A. es la raíz positiva de la ecuación: x2–17x–84=0. Siendo el sexto término 15, 13. Determinar la suma de las soluciones de la ecuación: hallar la razón. log9 [log(x2+x+4)]

9

=1

6. Determinar el mayor de los cinco primeros términos en una P.A., sabiendo que la suma 14. Se quiere construir un jardín de forma de los tres últimos es igual al duplo de los tres rectangular de perímetro 60 m. ¿Cuál sería el primeros, y que la suma de estos cinco términos área máxima que tendría este jardín? es 90. 7. Hallar la suma de todos los números de dos 15. La figura muestra un terreno en forma de trapecio sobre el cual, se desea construir una cifras que son múltiplos de 3. pileta circular de área máxima. Hallar dicha área H 8. Dado el conjunto: A={1; 2; 3; 4} y dadas las si: B=8 – H, b= ; (H : Altura del trapecio). 2 funciones "F" y "G", definidas de "A" en " " por: b F(x)=mx – b G = {(1; a), (1; 7), (2; 5), (m; 6), (4; b), (4; 8)} r Calcular: F(2)+a o B

www.trilce.edu.pe


ALGEBRA 4to.pdf

Recommend Documents