algebra - 4to - pamer.doc

4to Grado de Primaria

ÁLGEBRA El Álgebra es una rama !e las matem"ticas en la #ue se usan letras para representar relaciones aritm$ticas% &l igual #ue en la aritm$tica las operaciones 'un!amentales !el Álgebra son

Suma

(+)

Resta

(-)

Multiplicación ( x )

Álgebra

División

(  )

Potencias

(  )

Raíces

(  )

1


HISTORIA a *istoria !el "lgebra comenó en el antiguo Egipto , abilonia% os anti antigu guos os babi babilo loni nios os reso resolv lvía ían n cual cual#u #uie ierr ecua ecuaci ción ón cua! cua!r" r"titica ca empl emplea ean! n!o o esencialmente los mismos m$to!os #ue *o, se ense.an% os os matem matem"ti "ticos cos ale/an ale/an!rin !rinos os 0erón 0erón , Dio'an Dio'ante te conti continua nuaron ron con la tra! tra!ic ició ión n !e Egipt gipto o , abi abilo loni nia% a% a pala palabr bra a "rab "rabe e al-ŷabr #ue signi'ica signi'ica 1reducción’ es el origen !e la palabra álgebra% En el siglo 23 el mate matem" m"tic tico o al-Jwarizmi escr escrib ibió ió uno uno !e los los prime primero ross libro libross "rab "rabes es !e "lgebra una presentación sistem"tica !e la teoría 'un!amental !e ecuaciones con e/emplos , !emostraciones inclui!as% & 'inales !el siglo 23 el matem"tico egipcio Abu Kamil enunció , !emostró las le,es 'un! 'un!am amen enta tale less e i!enti!a!es !el "lgebra , resolvió problemas tan complica! complica!os os como encontrar las x, y, #ue cumplen y, z #ue

+ y + + z 4 4 56 x +

Álgebra

x 7 + y 7 4 z 7

2

, x.z 4 y 7% %x.z 4


EJERCICIOS PARA LA

5% Escribe Escribe !os e/emplos e/emplos !e operac operaciones iones con con su respectiva respectiva solución solución para ca!a operación !el Álgebra%

7% 8En #u$ pueblo ebloss , en #u$ $poc $poca a el *omb *ombrre inic inició ió su cono onocimi cimien ento to algebraico9

:% 2nvestiga 2nvestiga sobre sobre el el sistema sistema !e !e numeració numeración n egipcio% egipcio%

;% 2nvestiga 2nvestiga , anota anota brevemen brevemente te 8
Álgebra

3


NÚMEROS ENTEROS 2ntro!ucción Des!e *ace muc*o tiempo los c*inos utiliaban bastoncillos !e bamb> o !e ma!era para representar los n>meros , realiar c"lculos comerciales !e una manera pr"ctica pero tambi$n para tratar cuestiones relaciona!as con los aumentos , !isminuciones !e magnitu!es o con !istancias recorri!as en senti!os opuestos? esos bastoncillos eran negros o ro/os seg>n #ue representar"n canti!a!es positivas o negativas% En Europa me!ieval los "rabes !ieron a conocer los n>meros negativos #ue apren!ieron !e los *in!>es #ue los utiliaban para representar p$r!i!as en las negociaciones comerciales% En la Matem"tica actual el con/unto !e los n>meros enteros abarca to!os los enteros tanto negativos como positivos , llega *asta el in'inito *acia ambos la!os !e una recta num$rica%

POSITIOS !"E NO ALCAN#AN El con/unto !e los números naturales:

N $ % 1& 2& 3& '& (& )& *& +& ,& 1-& 11& . . . / nos permite contar lo #ue tenemos lo #ue #ueremos lo #ue necesitamos o lo #ue !amos% Para expresar con ci'ras un con/unto vacío es !ecir i!enti'icar #ue no *abía na!a no #ue!aba na!a o no 'altaba na!a creó el 6 (cero) , 'ormó así otro con/unto num$rico el !e los números cardinales:

N0 $ % -& 1& 2& 3& '& (& )& *& +& ,& 1-& 11& . . . /

Álgebra

'


@on el con/unto !e los n>meros Aaturales el *ombre solucionó sus problemas pero luego se le presentaron nuevas situaciones? así por e/emplo

Pe!ro , Pablo /uegan a las canicas luego !e alg>n tiempo Pe!ro *a gana!o B canicas entonces !ecimos #ue Pe!ro tiene CCCC canicas% Pablo per!ió las : canicas #ue tenía pero siguió /ugan!o , volvió a per!er 7 canicas m"s% &*ora Pablo le !ebe 7 canicas a Pe!ro entonces !ecimos #ue tiene CCCC% @anicas%

as canti!a!es #ue posee o #ue gana una persona se consi!eran positivas , las canti!a!es #ue !ebe gasta o paga se consi!eran negativas% Para expresar canti!a!es positivas se utilian los n>meros naturales con el signo m"s (+)% Para expresar canti!a!es negativas se utilian los n>meros naturales con el signo menos (-)%

Álgebra

(


EL CONJ"NTO E LOS NÚMEROS ENTEROS # El con/unto !e los A>meros Enteros #ue en a!elante lo representaremos por  est" con'orma!o por los n>meros negativos el cero , los n>meros positivos%

Representación Sobre una línea recta ubi#uemos un punto !e re'erencia (origen) al #ue le *acemos correspon!er el n>mero cero% & partir !el cero ubicamos puntos *acia la !erec*a , *acia la i#uier!a *acien!o correspon!er a ca!a uno los n>meros positivos , negativos respectivamente%

AE=&2FGS

@ERG

PGS22FGS

“Los números en Z aumentan de izquierda a derecha”.  Representa los siguientes n>meros enteros en la recta num$rica -B  +;  -7  +7  6  -5  +:  +B  -H

AE=&2FGS

Álgebra

@ERG

)

PGS22FGS


EJERCICIOS PARA LA 5%

8@u"l es el n>mero #ue separa los n>meros positivos !e los negativos9

7%

Menciona tres e/emplos !e la vi!a coti!iana en !on!e se *aga uso !e los n>meros negativos%

:%

Representa los siguientes n>meros enteros en la recta num$rica -I  -H  -7 +7  +B

AAE=&2FGS

;%

PGS22FGS

Representa los siguientes n>meros enteros en la recta num$rica -5  -;  -7  +7  +5  -H

AAE=&2FGS

B%

@ERG

@ERG

PGS22FGS

Representa los siguientes n>meros enteros en la recta num$rica -I  -56  -J  +7  +I  +K

AAE=&2FGS

Álgebra

@ERG

*

PGS22FGS


OP"ESTO E "N NÚMERO ENTERO El opuesto !e un n>mero entero es el n>mero #ue tiene el mismo valor absoluto pero !i'erente signo? por e/emplo El opuesto !e -H es +H El opuesto !e +: es -: El opuesto !e -7; es CCC% El opuesto !e +B6 es CCC%%% El opuesto !e -57 es CCC% El opuesto !e +;6 es CCC%%% El opuesto !e -57J es CCC%%

RELACI4N E OREN EN #

#

es un con/unto or!ena!o% Esto #uiere !ecir #ue *a, n>meros enteros ma,ores o menores #ue otros% Ln n>mero entero es menor #ue otro si est" coloca!o a la i#uier!a !e $l en la recta num$rica? , es ma,or cuan!o est" a su !erec*a% E/emplos  Gr!enaremos !e menor a ma,or -: +; -B , +B% os n>meros or!ena!os son CCCCCCCCCCCCCCCC% 

Gr!enaremos !e ma,or a menor -; +: -H 6 , +B%

os n>meros or!ena!os son CCCCCCCCCCCCCCCC%

REC"ERA5  o!o n>mero entero positivo es ma,or #ue 6%  o!o n>mero entero positivo es ma,or #ue cual#uier n>mero CCC%% CCCC  o!o n>mero entero negativo es menor #ue 6%  o!o n>mero entero negativo es menor #ue cual#uier n>mero CCC%% CCCC

Álgebra

+


EJERCICIOS PARA LA 5% 8@u"l es el n>mero opuesto a -:79 7% 8@u"l es el n>mero opuesto a +J59 :% Escribe el opuesto !e los siguientes n>meros El opuesto !e -57; es CCCCC El opuesto !e +:6J es CCCCC El opuesto !e -B56 es CC%%%CC% El opuesto !e +H; es CCCC%%%% ;% Ltilian!o la recta num$rica or!ena !e ma,or a menor los siguientes grupos !e n>meros a) +7 -I 6 -: +B -B , +H b) +56 -K +J -B +5 -; , +I c) +; -H -5 6 -K , +: B% Gr!ena !e menor a ma,or los siguientes grupos !e n>meros a) +K -I +J -H +B -; +: -7 +5 b) +K +J -5: -5B -B +; 6 +: c) -57 -K +56 -H -5 +H -5B +7 H% Respon!e a las siguientes preguntas a) Si 7: gra!os sobre cero son representa!os por +7:@% 8@ómo se representa 57 ba/o cero9

b) Si 57 pasos al 'rente se representa por +57% 8@ómo se representa 7; pasos para atr"s9

Álgebra

,


AICI4N E NÚMEROS ENTEROS Pe!ro ganó B soles luego ganó ; soles m"s 8@u"nto !inero tiene en total9 Pe!ro ganó B soles lo representamos por ( +B ) luego ganó ; soles lo representamos por ( +; ) otal

( +B ) + ( +; ) 4

CCCC

Ricar!o per!ió en el par#ue H soles luego volvió a per!er : soles 8@u"nto tiene Ricar!o en total9 Ricar!o pe!ió H soles lo representamos por ( -H ) uego per!ió : soles lo representamos por ( -: ) otal

( -H ) + ( -: ) 4

CCCC

Regla Para sumar !os n>meros enteros #ue tengan el mismo signo se suman los valores !e los n>meros (los n>meros sin su signo) , al resulta!o se le antepone el signo com>n%

E/emplos (+;) + (+K) 4 (+57) + (+J) 4 (-I) + (-56) 4 (-7) + (-B) 4 (+:) + (+J) 4 (+56) + (+5I) 4 (-57) + (-B) 4 (-I) + (-H) 4

Para sumar !os n>meros enteros #ue tengan !i'erente signo se restan el ma,or valor menos el menor valor (los n>meros sin su signo) , al resulta!o se le antepone el signo !el n>mero #ue tenía ma,or valor%

Álgebra

1-


E/emplos (+;) + (-56) 4 (-H) + (+B) 4 (+H) + (-I) 4 (-J) + (+:) 4 (+I) + (-55) 4 (-I) + (+56) 4 La suma de un número y su opuesto es cero. (Cero no tiene signo).

E/emplos (-;) + (+;) 4 (+B) + (-B) 4 (-K) + (+K) 4 (+B6) + (-B6) 4

Álgebra

11


EJERCICIOS PARA LA 5%

@alcula a) (+B) + (+J) 4 b) (-H) + (-7) 4 c) (+56) + (+J) 4 !) (-I) + (-B) 4 e) (-55) + (-57) 4 ') (-;) + (-7) 4 g) (+I) + (+J) 4

7%

@alcular a) (-B) + (+:) 4 b) (-H) + (+7) 4 c) (-;) + (+J) 4 !) (+56) + (-B) 4 e) (-I) + (+57) 4 ') (-;) + (-5B) 4 g) (+I) + (-H) 4 *) (-5J) + (+5J) 4 i) (+BJ) + (-BJ) 4 /) (-57;) + (+57;) 4

:%

Representa en la recta num$rica , *alla el resulta!o !e a) (-H) + (+:) 4

6 b) (+;) + (-K) 4

6 c) (-B) + (-H) 4

6

S"STRACCI4N E NÚMEROS ENTEROS Álgebra

12


Para calcular la !i'erencia !e !os n>meros enteros se !ebe sumar el minuen!o con el opuesto !el sustraen!o%

a – b = a +( -b) E/emplos (+;) N (-:) 4 (+;) + (+:) 4 CCCCC (-7) N (+B) 4 (-7) + (-B) 4 CCCCC (-J) N (-H) 4 (-J) + (+H) 4 CCCCC (+56) N (+H) 4 (+56) + (-H) 4 CCCCC (-57) N (-56) 4 (-57) + (+56) 4 CCCCC

E6cri7ur8 6i9:;imeros enteros es re!ucien!o los signos para lo cual ten!remos en cuenta lo siguiente -

Ln n>mero entero sin signo #ue lo prece!a se consi!erar" un entero PGS22FG% E/emplos 7B: 4 +7: 5J 4 CCC% 7IJ 4 CCC%

-

Si se tiene un entero entre par$ntesis , un signo positivo lo prece!e el par$ntesis se pue!e eliminar , el entero seguir" con su mismo signo% E/emplos + (-:7) 4 -:7 + (+5I) 4 CCC% + (-76I) 4 CCC%

-

Si se tiene un entero entre par$ntesis , un signo negativo lo prece!e el par$ntesis se pue!e eliminar pero se invertir" el signo !el entero si es negativo se le pon!r" signo positivo , si es positivo se le pon!r" signo negativo% E/emplos - (-7B) 4 +7B - (+7:) 4 CCC% - (-5;7) 4 CCC%

Ejercicios Álgebra

13


Desarrollar las siguientes operaciones con n>meros enteros utilian!o la escritura simpli'ica!a (+;) + (-H) 4 ; N H 4 OOOOOO (-56) + (-B) 4 -56 N B 4 OOOOOO (+B) - (-I) 4 OOOOOOOOOOOOOOOO (-56) - (+K) 4 OOOOOOOOOOOOOOOO (+J) - (+:) 4 OOOOOOOOOOOOOOOO (-I) - (+56) 4 OOOOOOOOOOOOOOOO (+7) - (-J) 4 OOOOOOOOOOOOOOOO (+H) - (-J) 4 OOOOOOOOOOOOOOOO (-76) + (-I) 4 OOOOOOOOOOOOOOOO (+J) + (-5;) 4 OOOOOOOOOOOOOOOO

Álgebra

1'


EJERCICIOS PARA LA 5% @alcular a) -B + 7 4 b) -56 + B 4 c) -K + 56 4 !) -; N 57 4 e) +5B - J 4 ') +:6 - ;6 4 g) -H + 7B 4 *) -5; + 5B 4 i) -;7 N I 4 /) +J - :6 4 7% @alcular a) (-56) - (+H) 4 b) (-57) - (+I) 4 c) (-5;) N (-;) 4 !) (+H) N (-H) 4 e) (-7;) N (+B) 4 ') (+;) N (+B) 4 g) (-57) N (+5B) 4 *) (+I) - (+5B) 4 :% Restar a) (-57) !e (-56)

4

b) (+5B) !e (-H)

4

c) (+7B) !e (-:6)

4

!) (-5;) !e (-56)

4

e) (+I) !e (-J)

4

Álgebra

(-56) - (-57) 4

1(

-56 + 57

4

CCCC


M"LTIPLICACI4N E NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar !os n>meros enteros ten!remos en cuenta !os casos

1= C860%- @uan!o los !os 'actores tengan igual signo es !ecir los !os son positivos o los !os son negativos entonces el pro!ucto ten!r" signo positivo% E/emplos (+:) % (+B) 4 (+7) % (+J) 4 (+K) % (+B) 4 (-B) % (-J) 4 (-H) % (-I) 4 (-:) % (-57) 4 (-56) % (+J) 4

Regla de Signos

(+) . (+) = (+) (-) . (-) = (+)

2= C860%- @uan!o un 'actor es positivo , el otro negativo el pro!ucto tiene signo negativo% E/emplos (-:) % (+;) 4 (+J) % (-7) 4 (- B) % (+H) 4 (-I) % (+5) 4 (+;) % (-H) 4 (-I) % (+;) 4 (+H) % (-J) 4

Recuer!a

Álgebra

Regla de Signos

(-) . (+) = (-) (+) . (-) = (- )

Si los !os 'actores tienen

gual signo

Diferente signo

El producto es positivo

El producto es negativo

(+) . (+) = + (- ) . (- ) = +

(+) . (- ) = (- ) . (+) = -

1)


EJERCICIOS PARA LA 5% @alcula a) (+7) % (+K) 4 b) (-B) % (-7) 4 c) (-J) % (+:) 4 !) (+I) % (-;) 4 e) (-7) % (+57) 4 ') (+B) % (-I) 4 g) (+J) % (-56) 4 *) (-;) % (-H) 4 i) (+:) % (-K) 4 /) (-K) % (+H) 4 ) (-H) % (-:) 4 l) (-57) % (+56) 4 m) (-H) % (-76) 4 n) (-57) % (-:) 4

Álgebra

1*


POTENCIACI4N M"LTIPLICACI4N

POTENCIACI4N

; x ; x ; 4 ;: 4 H; B x B x B 4 B: 4 57B : x : 4 :7 4 K

; x ; x ; 4 H; B x B x B 4 57B :x:4K

¡Sabias que  Lna potencia est" 'orma!a por el pro!ucto !e 'actores iguales !on!e el 'actor #ue se repite se llama >86e eleva!o a un e?:0nen7e #ue in!ica el n>mero !e veces #ue se repite el 'actor%

T@r9in06 de un8 P07enci85

E?:0nen7e

7: 4 7x7x7 4 I

P07enci8

B86e

En!

xn 4 b ? (%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%)  OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO n (%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%)  OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO > (%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%)  OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

Álgebra

1+


E/emplos

:7 4 K

;: 4 H;

Se lee : eleva!o al cua!ra!o%

Se lee ; eleva!o al cubo%

E/emplos a)

:; 4 CCCCCCCCCCCCC 4 CCCCC  Se lee CCCCCCCC%

b)

7B 4 CCCCCCCCCCCCC 4 CCCCC  Se lee CCCCCCCC%%

c)

H7 4 CCCCCCCCCCCCC 4 CCCCC  Se lee CCCCCCCC%

Álgebra

1,


EJERCICIOS PROP"ESTOS 5%- @onvierte las siguientes multiplicaciones a potencia : : x : x : 4 O: OOOO 4 OOO7JO

BxB

4 OOOOOO 4 OOOOOOO

H x H x H 4 OOOOOO 4 OOOOOOO ;x;

4 OOOOOO 4 OOOOOOO

7 x 7 x 7 4 OOOOOO 4 OOOOOOO IxI

4 OOOOOO 4 OOOOOOO

7%- Gbserva , completa el cua!ro Mu;7i:;ic8ción P07enci8 B86e E?:0nen7e

;7

;x;

;

Se ;ee

@uatro eleva!o al

7

cua!ra!o

:x:x:

5H 7J

7: BxB

B

Dos eleva!o al cubo @inco eleva!o al

7

cua!ra!o

I7

H;

:%- Escribe QF o Q seg>n convenga a)

: x : x : 4 :: (

)

b)

;7 4 ; + ; 4 I (

)

c)

B x B x B 4 B: (

)

d)

I x I 4 7H

(

)

e) f)

:H 4 H7 57B 4 B:

( (

) )

Álgebra

8;0r

2-


g)

567 4 566

(

)

")

I7 4 5H

(

)

;%- @ompleta las siguientes tablas 7

Eleva!o al

Álgebra

:

Eleva!o al

5

57

5

5

5:

5

7

77

;

7

7:

I

:

:

;

;

B

B

H

H

J

J

I

I

K

K

56

56

21


C8606 e6:eci8;e6 de ;8 :07enci8ción a)

E?:0nen7e - cer05 Ln n>mero eleva!o al exponente cero (6) es igual a uno (5)%

b6 4 5 ?

b  6

E/emplos a)

I6 4 CCC

b)

7J6 4 CC%

c)

K7J6 4 CC%

E?:0nen7e 1 un05 Ln n>mero natural eleva!o al exponente uno (5) es el mismo n>mero natural% b)

b5 4 b E/emplos

Álgebra

a)

H5

4

b)

:5

4

c)

765

4

d)

I665

4

e)

56665 4

22


PROBLEMAS PARA LA CLASE 5) Expresa como potencia a)

7%7%7%7 4 CCC%

b)

J%J%J 4 CCC%%

c)

K% K% K% K 4 CCC%

d)

x % x % x % x 4 CCC%

e)

56%56%56%56%56%56%56 4 CCC%

7) 0allar a% BKT

4

CCCC%

b% HK:T

4

CCCC%

c% (KJ x H:)T 4

CCCC%

!% K5

4

CCCC%

e% 5J5

4

CCCC%

'% 76B5

4

CCCC%

:) 0allar el resulta!o

Álgebra

a)

:7 x 7:

4

CCCC%

b)

B: x 75

4

CCCC%

c)

B: x KT

4

CCCC%

d)

J5 x 7;

4

CCCC%

e)

;B6 x 7:5 4

CCCC%

23


;) @ompleta el cua!ro seg>n convenga Exponentes 2

7 K J B 56

3

; J7K B

B) Resuelve las potencias luego compara !e acuer!o a la con!ición% @oloca un aspa !on!e correspon!a Ma,or #ue 7: 4 I ;: 4 B: 4 J: 4

5: 4 x

H7 4

K5 4

567 4

¡Sabias que 

El exponente in!ica las veces #ue se repite la base como 'actor I 7 4 I x I 4 H;

Álgebra

2'


PROBLEMAS PARA LA

5) E'ect>a a)

J7 4

b)

7B 4

c)

:; 4

d)

7;BT 4

e)

(K x I)T 4

f)

;B5 x 7IT 4

g)

7: x :5 x JT 4

")

x % x% x % ,% , 4

i)

I% I% I% I 4

#)

56% 56% 56% 56% 56 4

$)

7: % B5 4

l)

5:6 % 5I5 4

7) @ompleta el cua!ro :T ase Exponente Potencia

Álgebra

2(

7B

5K


:) @ompleta A 5

nT 5

n5

n7

n:

K

57B

n;

7 566 ;) Relaciona las potencias con sus resulta!os a% 7: x H



b% ; x :7



' 

c% B7 x 77 

%& &

e% J7 x 7KT 

 *

B) Lne con una 'lec*a seg>n convenga

Álgebra

7B7

7 B66

567

H7B

I:

B57

B67

566

2)

' 


RA# C"ARAA a raí cua!ra!a !e un n>mero es otro n>mero #ue eleva!o al cua!ra!o es igual al primero% E/emplo %*

4 ; por#ue ;7 4 5H

,-

4 B por#ue B7 4 7B

Ra!ican!o Un!ice ,

x



Signo ra!ical

Álgebra

a



Por#ue x 4 a 7

Raí

2*


EJERCICIOS PARA LA CLASE 5) B7 4 OOOOOOOOOOOOO por#ue

4 OOOOOOOOOOOOOOOO

7) :7 4 OOOOOOOOOOOOO por#ue

4 OOOOOOOOOOOOOOOO

:) J7 4 OOOOOOOOOOOOO por#ue

4 OOOOOOOOOOOOOOOO

;) K7 4 OOOOOOOOOOOOO por#ue

4 OOOOOOOOOOOOOOOO

C8;cu;8  c09:;e785 B) B al cua!ra!o es igual a OOOOO la raí cua!ra!a !e OOOOOO es OOOOOOO B7 4 OOOOOOOOO



4 OOOOOOOOOOO

H) J al cua!ra!o es igual a OOOO la raí cua!ra!a !e OOOOOOO es OOOOOOO J7 4 OOOOOOOOOOO 

4 OOOOOOOOOOOO

J) 56 al cua!ra!o es igual a OOOOOO la raí cua!ra!a !e OOOOOOO es OOOOO 567 4 OOOOOOOOOOO 

4 OOOOOOOOOOOO

D H8;;8 ;8 r8F cu8dr8d8 de5 I)

4

7B

K)

;K

4

56)

:H

4

D H8;;8 e; re6u;78d0 de ;86 6iuien7e6 0:er8ci0ne6 55)

5H

-

K

+

57)

7B

%

K

N 56 4

5:)

:H

%(

;

+ 5) 4

5

4

K - 576 4

5;)

:H



5B)

566

566 x 77 N I6 4

K

EJERCICIOS PARA LA

Álgebra

2+

4to Grado de Primaria 

0alla la raí cua!ra!a !e

5)

:H

4

B)

H;

4

7)

5H

4

H)

;

4

:)

5

;)

7B



4

J)

4

I)

I5

;K

4

4

E'ect>a , *alla el resulta!o

5)

+ :H 4 a) : b) I c) J !) K e) 55

7) B(

5;;

a) b) c) !) e) ;) (

Álgebra

575

a) b) c) !) e)

)NH4 :; :H ;6 ; H

H)

K

- 566 4 ; : 7 B A%&%

J)

7B

H;

a) b) c) !) e) :)

B) B7 -

7B

+ 7J6) 77 4 a) 5 b) 7 c) : !) ; e) B

I)

N

:H

%

a) b) c) !) e)

2,

5; 7B 5J 76 55

x 56 - 5I 4 a) 57 b) 5I c) 56 !) :6 e) A%&%

a) b) c) !) e)

;K

4

5H

4

: ; H 5 B ;

57 7; :H J7 5;;

%

K

4


LEES E EPONENTES 1

Mu;7i:;ic8ción de >86e6 iu8;e6 Gbserva los e/emplos a) 77 x 7: 4 (7 % 7) % (7 % 7 % 7) 4 7 % 7 % 7 % 7 % 7 4 b) :: x :; 4 (: % : % :) % (: % : % : % :) 4 : % : % : % : % : % : % : 4 c) ;B x ; 4 (; % ; % ; % ; % ;) % (;) 4 ; % ; % ; % ; % ;% ; 4 !) I7 x I: x I; 4 (I % I) % (I % I % I) % (I % I % I % I) 4 I % I % I % I % I % I % I % I % I 4 De los e/emplos anteriores po!emos ver #ue cuan!o tengamos una multiplicación !e !os o m"s potencias #ue tengan bases iguales po!emos simpli'icar a una sola potencia con la base com>n , como exponente se colocar" la suma !e los exponentes !a!os%

am% an 4 OOOOO

E/emplos

77% 7: 4 OOOOOOOOOOOOOOOOO HJ% H7 4 OOOOOOOOOOOOOOOOO B7% B; 4 OOOOOOOOOOOOOOOOO KH% KB 4 OOOOOOOOOOOOOOOOO 7657% 76:B 4 OOOOOOOOOOOOOOOOO

2

ii6ión de >86e6 iu8;e6 Gbserva los e/emplos 7;  7: 4 (7 % 7 % 7 % 7) 4 (7 % 7 % 7) b) :B  :; 4 (: % : % : % : % :) 4 (: % : % : % :) c) ;B  ;7 4 (; % ; % ; % ; % ;) 4 (; % ;) d) IH  I7 4 (I % I % I % I % I % I ) 4 (I % I) a)

Álgebra

3-

4to Grado de Primaria De los e/emplos anteriores po!emos ver #ue cuan!o tengamos una !ivisión !e !os potencias #ue tengan bases iguales la potencia resultante ten!r" la base com>n , el exponente se obten!r" restan!o los exponentes !a!os%

 a≠ 6

E/emplos 7I  7: 4 OOOOOOOOOOOOOOOOO :;  : 4 OOOOOOOOOOOOOOOOO HJ  H7 4 OOOOOOOOOOOOOOOOO BK  B; 4 OOOOOOOOOOOOOOOOO ;H  ;B 4 OOOOOOOOOOOOOOOOO 5756  57B 4 OOOOOOOOOOOOOOOOO 3

E?:0nen7e nu;0 Si en un caso resulta #ue 9 $ n entonces ten!ríamos a a

m

n



a

mn 

a

& 

%

Por lo tanto

a6 4 5  a≠ 6 E/emplos

Álgebra

a)

7:6 4

b)

576 4

c)

B6 4

d)

(57 x I5)6 4

e)

(K + B x I  7)6 4

31


'

E?:0nen7e ne87i0 Siguien!o con el e/emplo anterior (:T) si en un caso resulta #ue m 4 6% en!ríamos % a

n

a 

a

&

n



a

&



n 

a



n

Por lo tanto % a

Álgebra

n

 a n

 aV 6

32


EJERCICIOS PARA LA CLASE 5) Expresa como potencia a) b) c) d) e)

7%7%7%7%74 :%:%:4 x % x% x % x% x % x 4 m % m% m % p% p % p 4 # % # % # % # % %%%%%%% # % # 4 5B 'actores

7) 0alla la potencia !e a) b) c)

;: 4 :; 4 7H 4

:) 0alla la potencia usan!o la primera le,

a) b) c) d) e) f) g) ")

7: % 77 % 7 4 :: % :7 % :6 4 ; % ;7 % ;6 4 m7 % pB % m: % p: 4 x7 % x: % x 4 xa % xb 4 p56  pJ 4 n;  n: 4 5:  J 4 #I  #H 4

a) b) c) d) e)

5;6 % : 4 (5J % 7:)6 4 (Bm)64 (a % b % c)6 4 x: % x-7 4

a% b%

;) E'ect>a

B) Escriba F si es ver!a!ero ,  si es 'also a) b) c) d) e) f)

Álgebra

756 % 7 4 755 B: % B; 4 B57 7; 4 I x; % xB 4 x;B x: % ,7 4 (x % ,)H m: % m 4 m;

33

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )


EJERCICIOS PARA LA 1 E
aB % a: 4

b)

m; % m: % m7 4

c)

x % x: % x7 4

d)

p%p%p4

e)

5:  H 4

f)

c56  c57 4

g)

#K  #J 4

")

(;m + B)6 4

i)

(J76  J5H)6 4

#)

#7  # : 4

$)

mI  mT 4

7) Expresa como potencia a)

7 % 7 % 7 % 7 % %%%%%% % 7 %7 4 Qb 'actores

b)

)

b%b%b%c%c%c%b%b%c%b4

c)

(x % x % x % x)  (x % x % x) 4

d)

BB  (B % B % B) 4

e)

(: % : % :)  (; % ;) 4

Escribe F o  seg>n correspon!a (Recuer!a para aplicar la regla estu!ia!a las bases !eben ser iguales)

Álgebra

a) 7: % :7 4 HB (

)

b) m: % mB 4 mI

(

)

c) #K  #: 4 #:

(

)

!) x56  xB 4 x7

(

)

e) x57  xJ 4 xB

(

)

3'


EPRESIONES ALGEBRAICAS Se !enomina expresión algebraica al con/unto o unión !e n>meros , letras uni!os entre sí por cual#uiera !e las operaciones matem"ticas !e a!ición sustracción multiplicación !ivisión potenciación , ra!icación o una combinación !e estas en un nK9er0 ;i9i78d0 !e veces% E/emplos Bx

?

:x7 ?

7x N ,

?

;x:, + 

El "lgebra emplea @GAS&AES , F&R2&ES% 

CONSTANTE Es un símbolo #ue a!mite un solo valor conoci!o o ,a !e'ini!o por e/emplo

: ? -J ? I ? 6B ? etc% 

ARIABLE Es un símbolo #ue a!mite cual#uier valor !epen!ien!o !e la expresión !e la #ue 'orma parte% E/emplo: ! ; " ; z ; ..... ; etc.

TRMINO ALGEBRAICO



Es un con/unto !e letras , n>meros enlaa!os entre sí solamente por las operaciones !e multiplicación !ivisión potenciación , ra!icación o una combinación !e $stas en un n>mero limita!o !e veces% E/emplos a)

Hx;,B

b)

(7xI + ,B)  algebraica

Álgebra



Es un t$rmino algebraico% Ao es un t$rmino algebraico es una expresión 'orma!a por !os t$rminos algebraicos%

3(


Elementos !e un t$rmino algebraico

Signo

Exponente

3

- 12x

Coeficiente

Parte literal

5T Sin05 Puede ser positivo (+) o negativo (-)% 7T C0emero #ue va /unto a la parte literal%

E/emplos    

:,B 5HmK Jx7 x5;

   

@oe'iciente : @oe'iciente 5H @oe'iciente J @oe'iciente 5

:T P8r7e ;i7er8;. Es a#uella parte 'orma!a por to!as las letras o variables !el t$rmino% E/emplos

 HmH  Ia7b:  7:x7y :

 parte literal Qm  parte literal Qa , Qb  parte literal Qx , 11y 

;T E?:0nen7e5 Son los n>meros escritos en la parte superior !erec*a !e ca!a letra% E/emplos

 76a:  7Bb57  Bx

Álgebra

  

exponente !e a  : exponente !e b  57 exponente !e x  5

3)


EJERCICIOS PARA LA CLASE %)

En las siguientes expresiones algebraicas in!ica cu"ntos t$rminos algebraicos *a, , cu"les son% a)

-:, + x + m

CCCCCCCCC%% (

)

b)

55ab + :ax N b, 7

CCCCCCCCC%% (

)

c)

B7x, - m7 + B,: N mx

d)

:, + x, + 7x 7 - mx, N Im

CCCCCCCCC%% (

)

e)

5Bx7 + Hbx + c - 7m, 7 N Ix N Ka

CCCCCCCCC%% (

)

f)

Ix, + :, N Bx - : + ;,7 + 

CCCCCCCCC%% (

)

g)

Bx7  ,: N 7x + (7,)%(7x) - Ix7,

CCCCCCCCC%% (

)

")

57  ab7 + Bb7 N Ia:b + 7a7b

CCCCCCCCC%% (

)

i)

Bx: + 7, N m

CCCCCCCCC%% (

)

#)

x7 + :x: + Bx;

CCCCCCCCC%% (

)

$)

KN,

CCCCCCCCC%% (

)

CCCCCCCCC%% (

)

7) @omp @omple leta ta el el cua! cua!ro ro $rmino algebraico

Signo

@oe'iciente

-x5H J,B -57m7 57m-7 -57BxB -IJsI

Álgebra

3*

Parte literal

Exponente


EJERCICIOS EJERCIC IOS PARA LA @ompleta el cua!ro

l)

$rmino &lgebraico

Signo

@oe'iciente

Parte literal

Exponente

:x7 - ImB -5B -aJ :aK

7)

En las las sig sigu uien ientes tes exp expre ressione ioness alg algeb ebra raic icas as in! in!ic ica a cu cu"nto "ntoss t$ t$rmi rminos nos algebraicos *a, , cu"les son% a)

56, + x + 

CCCCCCCCC%% (

)

b)

55abx N b, 7

CCCCCCCCC%% (

)

c)

B7x, + B,: N :mx

CCCCCCCCC%% (

)

d)

(:,)%(x) + 7x7 N Im

CCCCCCCCC%% (

)

e)

5Bx7 + Hbx N Ix N Ka

CCCCCCCCC%% (

)

f)

Ix, + :, N Bx  :

CCCCCCCCC%% (

)

g)

Bx7  ,: N 7x + (7,)%(7x)

CCCCCCCCC%% (

)

")

57  ab7 + BIa:b + 7a7b

CCCCCCCCC%% ( )

Álgebra

3+


TRMINOS SEMEJANTES Son a#uellos t$rminos #ue tienen iguales letras a'ecta!os !e iguales exponentes% Por e/emplo a) -BxI ? 67xI ? W x I

son t$rminos seme/antes

b) Bx7,: ? ;x:,7

no son t$rminos seme/antes

c) OOOOOOOOOOOOOOO !) OOOOOOOOOOOOOOO

Reducción de 7@r9in06 6e9e8n7e6 Si !escubrimos #ue !os o m"s t$rminos son seme/antes estos pue!en ser re!uci!os a uno solo suman!o o restan!o los coe'icientes , escribien!o la misma parte literal% E/emplos a) Re!u Re!uci cir r 56ab 56ab + Jab Jab 4 (56 + J)ab 4 OOOOOO b) Re!u Re!uci cir r 7abc 7abc + Babc 4 (7 + B)abc 4 OOOOOO c) Re!u e!ucir ir

-7m -7m7 + :m7 4 (-7 + :)m7 4 OOOOOO

!) Re!u e!ucir ir

Ix Ix7 + ;x7 4 (I + ;)x7 4 OOOOOO

e) Re!u e!ucir ir

B, B,; N:,; 4 (B - :),; 4 OOOOOO

') Re!ucir

-H -Ha; + :b7 + ;a7 4 (- H + ;)a ;)a7 + :b7 4

OOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOO g) Re!ucir Re!ucir -;m + Hp Hp N :r :r N m + p -:r -:r 4 (-; - 5)m 5)m + (H + 5)p 5)p + (-: - :)r :)r 4 OOOOOOOOOOO

Cuid8d05 &l sumar o restar los coe'icientes !e los t$rminos seme/antes recu recurr rrim imos os a la regl regla a !e sign signos os para para la suma suma , rest resta a !e n>meros enteros%

Álgebra

3,


Sin06 de c0;ección

#ecuerda Los principales signos de colección son:

P8r@n7e6i6 



C0rce7e6 L;8e6

Si e6706 6in06 de c0;ección 6e encuen7r8n un06 den7r0 de 07r06. Se 8n e;i9in8nd0 de6de 8den7r0 8ci8 8
P8r8 6u:ri9ir 6in06 de c0;ección 6e :r0cede de; 6iuien7e 90d05 a) Si !elante !e un signo !e colección aparece el signo + eliminamos tal signo !e colección , los signos + o N !e los t$rminos interiores no cambian% E/emplos a) + (7x N Bx7) 4 7x: N Bx7 b) + (-Hx + 7) 4 -Hx + 7 c) + (-x: N x7 + ;) 4 OOOOOOOOOOOOOOOOOO !) + (;x N I) 4 OOOOOOOOOOOOOOOOO Álgebra

'-


b) Si !elante !e un signo !e colección aparece el signo menos (-) eliminamos tal signo !e colección , los signos + o N !e los t$rminos interiores cambian% E/emplo a) N (-x + :, N  ) 4 x N :, +  b) - (-7x; + b7 + Jc) 4 7x; - b7 - Jc c) - (-7x; + b7 + Jc) 4 7x; - b7 - Jc c) - (Ba7 N :b7 + 5) 4 OOOOOOOOOOOOOOOO !) - (I, - ) 4 OOOOOOOOOOOOOOOOOO e) - (-5:c; + 5:b7 N H) 4 OOOOOOOOOOOOOOOOO ') - (-:x + , - ) 4 OOOOOOOOOOOOOOOOOO

Álgebra

'1


ACTIIAES PROP"ESTAS 5) Se tienen los n>meros (-:) ? (+7) ? (-B) , las variables Qx e Q, Escribe : !i'erentes t$rminos algebraicos con los n>meros , variables !a!as% E/emplo -:x7 7) Escribir : t$rminos seme/antes para ca!a uno !e los B t$rminos escritos en el caso (5)%

:) uego !e e'ectuar la in!icación (7) re!ucir ca!a grupo !e t$rminos seme/antes a uno solo%

;) Re!ucir las expresiones mostra!as a continuación% a% (-Ba) + (-Ka) 4 b% 57bc N Jbc -:bc + Kbc 4 c% (-:m + ;m + Jm N Km) 4 !% (7a - :b) + (Ha + Jb) 4 e% 56ab N (;ab N :ab) 4 '% (-;m + Hp N :r) N (Bm + 7p -:r) 4 g% (7! N :e + ;') + (:' + ;! N 7e) 4 *% :x7 + (;, N x7) +7,) +Bx7

Álgebra

'2


CLASIQICACI4N E LAS EPRESIONES ALGEBRAICAS De acuer!o al n>mero !e sus t$rminos las Expresiones &lgebraicas se clasi'ican en

M0n09i06  P0;in09i06. 2%

22%

M0n09i065 Es la E% &% #ue consta !e un sólo t$rmino% E/emplo :x ? -J,7 ? x,: ?

Jab ?

x7,:

P0;in09i05 Es la E% &% !e !os o m"s t$rminos% E/emplo ;x N :, 7 % &%

?

Bx7 - :, + x, ?

:x, + B, N :x + H

: % &%

; % &%

De acuer!o al n>mero !e t$rminos se utilian !enominaciones especiales para nombrar a los polinomios% &sí a) Bin09i05 Es la expresión algebraica #ue consta !e !os t$rminos% E/emplo :x7 N , Ix7, + , 7x + : b) Trin09i05 Es la expresión algebraica #ue consta !e tres t$rminos% E/emplo :x7 N Jx + : 7a7 - :ab + b7 :a7 + Bb: N c7

GRAO E "N MONOMIO 

Gr8d0 de un8 8ri8>;e Sea el t$rmino algebraico Exponente

3

- 12x

Álgebra

'3

4to Grado de Primaria La aria!le es “x” y su exponente es ". Luego, diremos que el grado de la aria!le “x” es ".

Recuerd85 El gra!o !e una variable es el exponente !e !ic*a variable% E/emplos En el t$rmino Bx7,:  =ra!o !e la variable Qx es 7 o segun!o gra!o%  =ra!o !e la variable Q, es : o tercer gra!o% En el t$rmino 77IaHb  =ra!o !e la variable Qa es CCCC%%%  =ra!o !e la variable Qb es CCCC%%% 

Gr8d0 de un 90n09i0 El gra!o !e un monomio pue!e ser relativo o absoluto%  E; r8d0 re;87i0 es el exponente !e una letra o variable en particular% E/emplos El grado relativo con respecto a / x0 es  o tercer grado El grado relativo con respecto a / y0 es , o segundo grado

Kx:,7 El grado relativo con respecto a / a0 es  El grado relativo con respecto a / b0 es 

56;aIbJ  E; r8d0 8>60;u70 !e un t$rmino algebraico esta !a!o por la suma !e los exponentes !e la parte literal% E/emplos

+,=

 El gra!o absoluto !e ,?3 2 es  +  = %

 El gra!o absoluto !e 1-'8+ >* es

Álgebra

''


GRAO E "N POLINOMIO El grado de un polinomio puede ser relativo y absoluto.

 E; r8d0 e6 re;87i0 o con respecto a una letra si se re'iere al ma,or exponente !e !ic*a letra o variable en el polinomio% E/emplo 5 En el polinomio 7x: ,; + JxB ,: -

-

=ra!o relativo con respecto a Qx es OOOOOOOOOOO =ra!o relativo con respecto a Q, es OOOOOOOOOOO

E/emplo 7 En el polinomio 5JBxH,: N 7Hx:,;7 -

=ra!o relativo con respecto a 1Xx es =ra!o relativo con respecto a Q, es =ra!o relativo con respecto a Q es

OOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOO

 E; r8d0 8>60;u70 !e un polinomio es igual al gra!o !e su t$rmino !e ma,or gra!o absoluto% E/emplo 5 En el polinomio

7 7 ; Hx , N 7x , + ;x, 7

=ra!o absoluto !el monomio 5 + 7 4 : =ra!o absoluto !el monomio 7 + ; 4 OOOO =ra!o absoluto !el monomio OOOO + OOOO 4 OOOO El gra!o absoluto !el polinomio Hx 7, N 7x7,; + ;x,7 es  o sexto gra!o E/emplo 7 En el polinomio

; 7 Hx, 7  N Bx 7 , + 56x,  N Jx, B

=ra!o absoluto !el monomio OOOOO =ra!o absoluto !el monomio OOOOOOOO =ra!o absoluto !el monomio OOOOOOOOO =ra!o absoluto !el monomio OOOOOOOOO El polinomio Hx, 7 N Bx7, + 56x,;7 N Jx,B tiene por gra!o absoluto OOOO o 6@:7i90 r8d0.

Álgebra

'(


EJERCICIOS PARA LA CLASE

5)

2!enti'ica el coe'iciente , parte literal !e ca!a uno !e los monomios siguientes @GE2@2EAE

a) 7x:



OOOOOOOOOO ? OOOOOOOOOO

b) H,




c) ;J,7




:,7




e) N7ab;cB



OOOOOOOOOO ? OOOOOOOOOOO

') -5Hmn:



OOOOOOOOOO ? OOOOOOOOOOO

!)

7)

P&RE 2ER&

, -

Encierra con una línea curva a a#uellos t$rminos #ue sean seme/antes en ca!a uno !e los polinomios siguientes a) 7a N :ab7 + Bab + Hab 7 b) Jx;, + 7 x,; N :x;, N x;, c) ab7 N7ab + :ab7 + ;a7b N Jab7 !) 55x,: N B,:x N 5Bx, : + Bx7, e) Bx7a N 7xa7 + :x7a N :x7a + Jx7a7 N :ax :) De #u$ gra!o absoluto es ca!a uno !e los monomios siguientes  a) ;x7,7



OOOOOOOOOO ?

OOOOOOOOOO

b) 7a:b7



OOOOOOOOOO ?

OOOOOOOOOO

c) Hx:,7



OOOOOOOOOO ?

OOOOOOOOOO

Álgebra

')


!) NIx:,:



OOOOOOOOOO ?

OOOOOOOOOO

e) :x7,B



OOOOOOOOOO ?

OOOOOOOOOO

') xB,:7



OOOOOOOOOO ?

OOOOOOOOOO

g) Hx7,;



OOOOOOOOOO ?

OOOOOOOOOO

;) En el polinomio 7Jx:,7 N H6x7,:7 a) =ra!o relativo con respecto a 1Xx es

OOOOOOOOOOO

b) =ra!o relativo con respecto a Q, es

OOOOOOOOOOO

c) =ra!o relativo con respecto a Q es

OOOOOOOOOOO

B) En el polinomio a:b7c56 N Ia7b7cB a) =ra!o relativo con respecto a 1Xa es

OOOOOOOOOOO

b) =ra!o relativo con respecto a Qb es

OOOOOOOOOOO

c) =ra!o relativo con respecto a Qc es

OOOOOOOOOOO

H) 0alla el gra!o absoluto !e ca!a uno !e los polinomios siguientes%

Álgebra

a) 7x:, + x:,7 N ;x7,7 + 7x:,;

 =%&%OOOOOOOOOOOOOOOOOO

b) x:,; N Bx,7 + Bx,7 - 7x7,:

 =%&%OOOOOOOOOOOOOOOOOO

c) Hx7, N Ix:,; + x;,B- ;x7,:

 =%& OOOOOOOOOOOOOOOOOO

!) 7x,: N :x,7: + x7,: N 7x,H


e) x:,7 N Jx:,7 + :x,H N Jx7:,


'*


ALOR N"MRICO @uan!o en un monomio o en un polinomio reemplaamos ca!a letra por un valor especí'ico , e'ectuamos las operaciones in!ica!as entonces estamos *allan!o el 8;0r nu9@ric0 !e !ic*o monomio o polinomio%

Ee9:;0 15 8@u"l es el valor num$rico !e :m9 Si m 4 J Solución Reemplaan!o :m 4 : (

) 4 OOOOOOO

Ee9:;0 25 8@u"l es el valor num$rico !e 7ab9 Si a 4 ; , b 4 B Solución Reemplaan!o 7ab 4 7(

)%(

) 4 OOOOOOOOO

Ee9:;0 35 0allar el valor num$rico !e 7c + bc  a7 Sien!o a 4 7 ? b 4 : , c 4 I Solución Reemplaan!o los valores !e a b , c 7c + bc  a7 4 7( ) + ( )%( )  ( )7 4 4 OOOOOOO + OOOOOO  OOOOOO 4 4 OOOOOOO + OOOOOOO 4 OOOOOOO

Ee9:;0 '5

0allar el valor num$rico !el polinomio x7 + Bx N H? cuan!o x 4 7

Solución Reemplaan!o x 4 7 7 x + Bx N H 4 ( )7 + B ( ) N H 4 4 OOOOOOO + OOOOOOO N H 4 4 OOOOOOOOOO

Ee9:;0 (5

x: N H  x7 - 7

0allar el valor num$rico !e

si x 4 :

Solución Reemplaan!o x: N H 4 ( ): N H 4 OOOOOOOO x7 - 7 ( )7 N 7

Álgebra

'+

4

OOOOO


EJERCICIOS PARA LA 5)

7)

Para el polinomio Bx7 N :x + 7% 0alla su valor num$rico para ca!a uno !e los valores !e Qx siguientes a) x 4 -5



b) x 4 7



c) x 4 :



!) x 4 5



e) x 4 6



B(-5)7 N :(-5) + 7 4 B + : + 7 4 OOOOOOO 4 OOOOO

Sabien!o #ue ca!a polinomio%

Álgebra

x 4 :? , 4 7? a 4 5? *alla el valor num$rico !e

a) 7x7, + :x N J

4 7(:)7(7) + :(:) N J 4 OOOOOOOOOOOOOOO

b) :a7 N x,

4

c) x7,: N J, + a

4

!) Ba: N :x, + ,

4

e) Ba N :a7 + x,

4

') :x7, + Ia N J

4

g) :a,7 N ,

4

*) x7a: N J, + x

4

i) Ba: N :x, + , 7

4

/) Ba, N :a7 + x7

4

',


OPERACIONES CON MONOMIOS #ecuerda:

- 7B x,7

O>6er8ción5 Dos o m"s t$rminos algebraicos son seme/antes si OOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

AICI4N  S"STRACCI4N E MONOMIOS Para sumar o restar !os o m"s monomios seme/antes se 6u98n 0 re678n 6u6 c0e
a) 55mx + Kmx 4 (55 + K)mx 4 76mx $rminos seme/antes

b) 7a + Ba 4 (7 + B) a 4 CCC c) B,7 + I,7 + J,7 4 (B + I + J) ,7 4 CCC !) 57x, + Hx, + 5:x, 4 CCCCCCCCC% e) 7Bab N 5:ab 4 (7B N 5:) ab 4 57ab $rminos seme/antes

Álgebra

(-


') Ix N x 4 (I N 5) 4 g) -Bx7 + 7x7 + ;x7 4 (-B + 7 + ;) 4 *) 56x N 57x 4 i) Is7 N 56s7 N Hs7 + ;s7 4 /) Jx7 + 7x7 N Kx7 + ;x7 4

M"LTIPLICACI4N E MONOMIOS Para multiplicar !os monomios primero 6e 9u;7i:;ic8n 6u6 c0e
Álgebra

(1


EJERCICIOS PARA LA 5) E'ectuar a) Hx: N 56x: 4 b) NHabc + Iabc N abc 4 c) N56x, + Ix, 4 !) 5Bmb N 7:mb 4 e) mnp N ;mnp + Jmnp 4 ') 7x7, + Hx7, + 57x7, N Jx7, 4 g) 5Ix N 5Hx + Kx 4 *) 7m + :n N Hm + 7n 4 i) Habc + Ibca N Bcab 4 /) Kmx N Jxm + 57mx 4 7) 0alla el resulta!o !e Recuer!a

am%an 4 am+n a) (57s)%(Hs:) 4 b) (Ba7b:)%(;abB) 4 c) (-Jx)%(-Bx) 4 !) (ab)%(7bc)%(:ac) 4 e) (:mn)%(;n:)%(Bm7) 4 ') (:a)%(Bb)%(-;a) 4 g) (57ab)%(-56ba)%(-7ac) 4 *) (-7a)%(:a)%(-;a)%(Ba) 4 i) (a7 b) (-b7c) (-c7a) 4 /) (-x)%(:,)(7x7)(-Bx,) 4

Álgebra

(2


) (57x)%(Bx,) 4

Álgebra

(3


POTENCIAS E MONOMIOS a potencia !e monomios es una multiplicación !e 'actores monomios iguales% Para !esarrollar una potencia tambi$n po!emos elevar in!epen!ientemente el coe'iciente , las variables al exponente !a!o% E/emplos

a)

(7x)7 4 (7x)%(7x) 4 (7%7) x%x 4 ;x5+5 4 ;x7

b)

(:a): 4 (:a)%(:a)%(:a) 4 (:%:%:) a%a%a 4

c)

(-7m:)7 4 (-7)7%(m:)7 4

d)

(Ba7b): 4 (B):%(a7):%b: 4

e)

(-:x,7)7 4 (-:)7%x7%(,7)7 4

f)

(-:mn7p:): 4

g)

(-7abBcI); 4

IISI4N E MONOMIOS Para *allar el cociente !e !os monomios se !ivi!e el coe'iciente !el !ivi!en!o entre el !el !ivisor , a continuación se escriben las letras en or!en al'ab$tico poni$n!ole a ca!a una un exponente igual a la !i'erencia entre el exponente #ue tiene en el !ivi!en!o , el #ue tiene en el !ivisor% E/emplos a)

%, x ' x

.



-

*

b)

,+ a b -

.a b

)

c)

Álgebra

+ y x %, yx

%, '

.

)



 x .   -   ) x . -   x  ,+ .

 a * b .   - )   ' a * - b . )   a b 

 y x      %,  yx  +

)

('

, )

y

) %

x

%%




EJERCICIOS PARA LA 5) E'ectuar las siguientes potencias !e monomios a% b% c% !% e% '% g%

(Bx,7): 4 (:ab7c:): 4 (56p7#I); 4 (7b7 c:)B 4 (-7x7): 4 (-BxH)7 4 (x7,:); 4

7) 0alla el cociente a)

(7IxB)  (;x:) 4

b)

(-7Ix7,)  (Jx) 4

c)

(;Kab:)  (Jab) 4

d)

(KHpB#:r 7)  (:p#7r)4

e)

(;B6mnB)  (B6mn:) 4

f)

(:Hmx7)  (;mx) 4

g)

(H:a7b:)  (Jab7) 4

")

(5IJx55b5: )  (55xBbK ) 4

i)

(:K6m5Jn5; )  (5:m5H ) 4

Álgebra

((


PLANTEO E EC"ACIONES 8
EN"NCIAO ABIERTO



Es a#uel en el #ue aparece por lo menos una letra o palabra llama!a variable #ue al sustituirla por !i'erentes valores se trans'orma en una proposición% E/emplos !e enuncia!os abiertos (a) x 4 I

(b) x  J

(c) : + x 4 I

(!) 7x N 5 4 J

(e) x + J  57

(') 56 N x  B

(g)

(*)

(i)

PROPOSICION



Es una expresión !e nuestro lengua/e a la #ue se pue!e cali'icar como ver!a!ero o 'also% E/emplos PRGPGS2@2GAES FERD&DER&S

PRGPGS2@2GAES &S&S

(a) B  :

(b) H  I

(c) Miguel =rau nació en Piura

(!) ; es numero impar

(e) a capital !e Per> es &re#uipa

(') :7 4 H

(g) 7I  ; 4 J

(*) B x H 4 :B

(i)

(/)

()

(l)

Álgebra

()


Plantear una Ecuación

Plantear una ecuación signi'ica tra!ucir a!ecua!amente el enuncia!o !e un problema a una expresión matem"tica me!iante una ecuación% o!o enuncia!o !e un problema siempre nos pi!e *allar el valor !e Qalgo% & ese valor por el momento !esconoci!o se le !enomina INC4GNITA , se le representa por una letra (x? ,? ? etc)% o!a 'rase en lengua/e com>n pue!e ser tra!uci!a a lengua/e matem"tico% Por e/emplo

Enunci8d0 8>ier705 GRM& FER&

GRM& S2M[2@&

Ln n>mero aumenta!o en ; Ln n>mero !isminui!o en K El !oble !e un n>mero a mita! !e un n>mero a cuarta parte !e un n>mero El !oble !e un n>mero aumenta!o en : a e!a! !e 2v"n *ace H a.os a e!a! !e our!es !entro !e ; a.os a suma !e tres n>meros consecutivos es 5I a suma !e !os n>meros pares consecutivos es 7H El !oble !e la e!a! !e &lexan!ra es 5H a.os a mita! !e la e!a! !e Daniel aumenta!a en B a.os es 7: a.os El !inero #ue tiene Diana !isminui!o en s\%5;6

Álgebra

(*


Enunci8d0 8>ier705 GRM& S2M[2@&

GRM& FER&

:x 37 + B (x + B)7 (7x): x+,+ Wx ;x: :x + ; :(x + ;)

Álgebra

(+


EJERCICIOS PARA LA 5) 1raducir los siguientes enunciados a la forma simb2lica! GRM& FER&

GRM& S2M[2@&

Ln n>mero aumenta!o en 5B Ln n>mero !isminui!o en I El !oble !e un n>mero aumenta!o en B El !oble !e un n>mero aumenta!o en B El #uíntuplo !e un n>mero !isminui!o en J @inco veces un n>mero !isminui!o en J El !inero !e Fanesa aumenta!o en S\%5B a e!a! !e our!es *ace ; a.os El !oble !el !inero !e Manuel a suma !e !os n>meros es 5I a tercera parte !e un n>mero !isminui!o en 5: El cua!ra!o !e un n>mero aumenta!o en 5H a mita! !e un n>mero !isminui!a en 5; 7) Da un enuncia!o verbal #ue se a!apte a ca!a una !e las siguientes expresiones GRM& S2M[2@&

GRM& FER&

x + 55 x N 5: 7x N 5: 7(x N 5:) x+, :x N H ;x 4 76 x7 - 5 (x - 5)7

Álgebra

(,


EC"ACIONES Iu8;d8d Son !os expresiones aritm$ticas o algebraicas #ue tienen el mismo valor% 

Por e/emplo a) b) c)



Lna !ecena 4 56 uni!a!es B + 7 4 5J N 56 Bx 4 76

P8r7e6 de un8 ecu8ción

En una ecuación encontramos !os partes llama!as miembros !e la ecuación #ue se encuentran !e uno , otro la!o !el signo !e la igual!a! (4)%

7 x 4 56 5 Miembro



7 Miembro

R8F de un8 ecu8ción

Es el n>mero #ue al reemplaar a la variable !e la ecuación la trans'orma en una proposición ver!a!era% E/emplos ] 0alla la raí !e las siguientes ecuaciones a)

x N K 4 5H

b)

x + : 4 ;5

c)

x + 5J 4 ;5

d)

x N :7 4 :6

e)

Bx + :7 4 K7

f)

;x N 5B 4 ::

Álgebra

)-


:x N :6 4 x + I

g)

;6 + x 4 :(56

")

+ x)

56x N 7; 4 7x

i)

+I

 Soluciona los problemas tra!ucien!o los enuncia!os a la 'orma simbólica%

a)

a suma !e !os n>meros es :7 si b) El !oble !e un numero aumenta!o uno !e ellos exce!e al otro en 7 en 75 es B5 cual es el numero9 uni!a!es% 0allar !ic*os n>meros%

c)

a e!a! !e 2v"n *ace K a.os era d) a suma !e tres n>meros 5J a.os? #ue e!a! tiene 2v"n consecutivos es :: cuales son los a*ora9 n>meros9

Álgebra

)1


EJERCICIOS PARA LA %)

0alla la raí !e ca!a ecuación a)

x + 57 4 7H

b)

:x + 75 4 ;B

c)

Jx N 5J 4 :7

d)

BH + x 4 B (I+ x)

e)

(:x N ;) 4 7x + 57

f)

J(x-:) 4 75

g)

H(x - I) 4 7x + 57

7) Resuelve los problemas tra!ucien!o los enuncia!os a la 'orma simbólica% a)

a suma !e !os n>meros pares consecutivos es :6 8@u"les son los n>meros9

b)

El triple !e un n>mero aumenta!o en H es igual al !oble !el mismo n>mero aumenta!o en 5;% 8@u"les son los n>meros9

c)

a mita! !e un n>mero aumenta!o en J es 5H% 8@u"l es el n>mero9

!)

a tercera parte !e un n>mero !isminui!o en 57 es ::% 8@u"l es el n>mero9

e)

os 7\: !e un n>mero m"s B es igual a !ic*o n>mero aumenta!o en una uni!a!% 8@u"l es el n>mero9

Álgebra

)2


EC"ACIONES P&RE 222

5)

Resolver a)

x + 5J 4 7K

b)

x + J 4 77

c)

x + B 4 5I

d)

x + K 4 5;

7)

0alla la raí !e las siguientes ecuaciones a)

:x N I 4 :I

b)

7x + 7 4 7;

c)

;x + H 4 7H

d)

:x N B 4 5K

e)

Jx N H 4 ;:

f)

Bx N 7 4 ;:

g)

7x N I 4 H

Álgebra

)3

4to Grado de Primaria ")

:)

a)

Resuelve los siguientes problemas utilian!o ecuaciones%

Si al !oble !e la e!a! !e mi pa!re le aumentara H a.os ten!ría H7 a.os% 8
8@u"l es el n>mero #ue !isminui!o en B7 es igual a :69

b)

c)

5Bx N K 4 HK

8@u"l es el n>mero #ue multiplica!o por 55 , !isminui!o en 5B es igual a J:9

8@u"l es el n>mero #ue aumenta!o en :B es igual a B69

d)

e)

El !oble !e la e!a! !e Pe!ro aumenta!a en 5: a.os seria 7K a.os% 8
f)

a !i'erencia entre las e!a!es !e un pa!re , su *i/o es :B a.os , la e!a! !el *i/o es 77 a.os% 8
Álgebra

)'


EJERCICIOS PARA LA a)

Desarrolla las siguientes ecuaciones 5) x + K 4 76 7) n N56 4 5I :) 7x + 7I 4 B7 ;) 57a + 5; 4 5B;

b)

Desarrolla los siguientes problemas primero plantea tus ecuaciones% 5)

8@u"l es el n>mero #ue aumenta!o en 5B !a H69

7)

8@u"l es el n>mero cu,o triple !isminui!o en H !a K9

:)

8@u"l es el n>mero #ue aumenta!o en 57 !a B;9

;)

Si la e!a! !e María le !isminu,era 5J a.os entonces ten!ría 5B a.os% 8
B)

8@u"l es el n>mero #ue aumenta!o en 7; !a H:9

H)

El !uplo !e un n>mero aumenta!o en 5B a.os !a :5% 8@u"l es el n>mero9

J)

Si al !uplo !e un n>mero le !isminu,o K a.os !a 5J% 8@u"l es el n>mero9

Álgebra

)(


I)

Álgebra

Si a la e!a! #ue tiene mi ma!re le !isminu,era K a.os ten!ría 5I a.os% 8
))


INEC"ACIONES Lna inecuación es una !esigual!a! !e n>meros naturales #ue contiene una o m"s variables es !ecir canti!a!es no conoci!as% Resolver una inecuación consiste en *allar el con/unto solución #ue satis'aga la !esigual!a! propuesta? para ello es necesario #ue se apli#uen las !i'erentes propie!a!es !e las operaciones% Gbservemos los siguientes e/emplos 5%

0allar el valor !e la variable en la inecuación

x +: ^ B

Solución x+:^B x+:^:+7 x ^ 7

2necuación !a!a !e'inición !e a!ición propie!a! !e cancelación

Respuesta El con/unto solución es cual#uier n>mero menor !e 7

@% S% 4 _65`

@omprobación Sustitu,en!o en la inecuación !a!a cual#uiera !e los valores !el con/unto solución tenemos #ue Si x 4 5? entonces

7%

x+:^B 5+:^B ;^B

0allar el valor !e la variable en la inecuación x N ;  H Solución xN;H x N ;  56 N ; x  56

2necuación !a!a !e'inición !e sustracción Propie!a! !e cancelación

Respuesta El con/unto solución es cual#uier n>mero ma,or !e 56 @%S% 4 _55 57 %%%%%` Álgebra

)*


@omprobación Reemplaan!o en la inecuación !a!a cual#uiera !e los valores !el con/unto Solución Si x 4 55? entonces x N; H 55 N ;  H JH 

Re60;ución de inecu8ci0ne6 en <0r985 ?  8  > Resuelve la siguientes inecuaciones in!ican!o los pasos , /usti'ican!o las raones 5) x + ; ^ J pasos

raones

7) x + J ^ K pasos

raones

:) x + B ^ I pasos

raones

;) x + 7 ^ ; pasos

raones

B) n + 56 ^ 7; pasos

raones

H) , N 7J ^ :7 pasos

Álgebra

raones

)+


J) , N JI ^ 566 pasos

raones

I)  N J ^ 5; pasos

raones

K) n N 75 ^ :JI pasos

raones

56)x N :: ^ HH pasos



raones

Re60;ución de inecu8ci0ne6 en <0r985 ?  8 U > Resuelve las siguientes inecuaciones in!ican!o los pasos , /usti'ican!o las raones% 5)  + J:  K pasos

raones

5) , + 56B  767 pasos

raones

7) a + KH  57H pasos

Álgebra

raones

),


:) x + B  :HI pasos

raones

;) n + ::  57I pasos

raones

B)  + J:  KK pasos

raones

H) x N :I  57I pasos

raones

J) , N 556  ;7I pasos

raones

I) n N JI  :7J pasos

raones

K)  N BH  7;: pasos

raones

Álgebra

*-


Resuelve las siguientes inecuaciones in!ican!o los pasos , /usti'ican!o las raones a) as e!a!es !e elipe , Daniel /untas sobrepasan los 5K a.os% Si Daniel tiene I a.os 8
b) Dos canastas /untas contienen m"s !e :IH panes% Si en una !e ellas se guar!an 775 panes 8@u"ntos panes po!rían estar guar!a!os en la otra canasta9

c) Divi!ir el n>mero II; en !os partes tales #ue una parte como mínimo exce!a a la otra en KI uni!a!es%

Álgebra

*1


INEC"ACIONES II 2necuación es una !esigual!a! 'orma!a por constantes , variable% &sí son inecuaciones x N : ^ H? 7x + 5  :? ;x N 7 ^ 56? Bx + 7  77?

etc%

Resolver una inecuación es *allar su con/unto solución pero como la solución es en N se !ebe tener en cuenta #ue el con/unto solución sean n>meros naturales% El proce!imiento para resolver inecuaciones es el mismo #ue para resolver ecuaciones%

Álgebra

*2


EJERCICIOS RES"ELTOS Resolver 5)

:x + ;

7)

 7x + H

:)

B(x + 7) ^ :x + 76

;)

7(x - 7)  : (7x - ;)

B)

7x N : ^ B + x

H)

;x + 7  7 (x + :)

J)

:(7x - 5) ^ ; (x + 7) + 5

I)

;x N 57 ^ x

@% S% 4 _ ` 8Por #u$ no son solución 7 5 , 69 K)

H(x - ;)  : (x + 7)

@% S% 4 _

`

EJERCICIOS PROP"ESTOS Álgebra

*3


Resolver 5) 7x + :  x + I 7) :x + B ^ x + K :) Bx N : ^ 5I N 7x ;) ;x N 5  5B N ;x B) Hx + I ^ Bx +K H) Jx + K  Hx + 5: J) Kx N 76 ^ Bx + ; I) 7x + 56 5; K) Bx + I  7: 56);x N B ^ J 55):x N H ^ K 57)7x + H  I 5:)Hx + 5 ^ 5: 5;)x + I ^ 57 5B)x + 56  5H

Álgebra

*'


METOOS E SOL"CI4N E INEC"ACIONES Lna inecuación pue!e resolverse por el m$to!o !e ransposición !e t$rminos o aplican!o Propie!a!es% E/emplos 5)

Resuelve las siguientes inecuaciones aplican!o propie!a!es%

a)

Ix ^ ;6 P&SGS

c)

R&GAES

P&SGS

@%S% 4 _%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%` b)

R&GAES

@%S% 4 _%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%`

:x N H ^ ::

d)

P&SGS R&GAES

Jx N B ^ 7: P&SGS R&GAES

@% S% 4 _%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%`

7)

Bx + 7  5J

@% S% 4 _%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%`

Resuelve las siguientes inecuaciones transponien!o t$rminos% a) ; + :x  5H

b) 7B ^ 7x + 55

@% S% 4 _%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%`

@% S% 4 _%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%`

c) 7a + 55  7: N 7a

!) 56x N B  Ix + 5B

@% S% 4 _%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%`

Álgebra

@% S% 4 _%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%`

*(

algebra - 4to - pamer.doc

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