A C A D E M I A P R E U N I V E R S I T A R I A
“CAYETANOHEREDIA IA” Á L G E B R A
N º01
TEO RÍADEEXPO NEN TES– S–EC UACIO NES EXPO NEN CIALES OBJETIVO ESPECÍFICO Aplicar las leyes de Exponentes Exponentes en la 06. EXPONENTE NEGATIVO reducción de expresiones matemáticas
TEORÍA DE EXPONENTES Estudia las características y las relaciones existentes entre la base y el exponente, con el objetivo de reducir y simplificar expresiones. Algunas leyes de exponentes son:
a −n
1 an
=
a − n b n = b a
;
07. EXPONENTE FRACCIONARIO
01.PRODUCTO DE BASES IGUALES m
m
A A
n
=A
m+ n
a
n
=n
=(n
am
a
)
m
02.COCIENTE DE BASES IGUALES
A
m
A
n
08. RAÍZ DE UN PRODUCTO
=
A
m
−
n
n
a.b z =
n
a.n b. n z
03.POTENCIA DE UN PRODUCTO
( a.b.c.....z) m= am.bmcm......zm
09. RAÍZ DE UN COCIENTE
04.POTENCIA 04. POTENCIA DE POTENCIA
[( a
m
)
n
]
p
n
a b
=
n a n b
a
=
z
=
a
mnpz
10. RAÍZ DE RAÍZ
05.POTENCIA DE UN COCIENTE m
a b
n
=
a
n
b
n
p
d
m pd
a
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
ALGEBRA
11.EXPONENTE DE EXPONENTE CADENA DE EXPONENTES ESCALERA DE EXPONENTES De la la forma: forma:
a
b
ó ó
ef d c
Estas expresiones se reducen comenzando por los 2 últimos exponentes y se continúa con los 2 siguientes hasta llegar a la base con un solo exponente.
07. Para inecuaciones inecuaciones:: a) Si: a
> 0,a ≠ ±1 ∧ a x < a y ⇒x< y
b) Si: a
< 0,a ≠ ±1 ∧
Practiquem os 01. Simplificar: Simplificar:
p
n
x
qr
s
x x
=
mpr
a
(n p+q)r+s
216.353.803
S =
12. RADICALES SUCESIVOS CON IGUAL BASE
m
a x < a y ⇒x> y
154.149.302
A) 2 D) 22
B) 3 E) 33
C) 1
02.Si: xm.xn = 3m Xn. ym = 3n
ECU AC IO NES EXPO NEN CIALES
xy
x S = y
Hallar:
D EFIN IC IÓ N Son ecuaciones no algebraicas en las cuales la incógnita se encuentra en el exponente.
A) 27 D) 1/3
B) 3 E) 9
C) 1/ 27
03. Efectuar: −2
PROPIEDADES
3
m 01. Si: a
= a n ⇔ m = n ; ∀a ≠ 0
a
= y a ⇔ x = y ; ∀a ≠ 0
02. Si: x
03. Si:
xx = a a
⇔ x = a ; ∀x ≠ 0
xx = a a ⇔ x = a ; . . . . x x = n ⇔ x= n n 05. x
04. Si:
n x .. . x x 06. x
−2
−1
E = 2 + − 5 + (− 0.75)3 − 4 + − 4
∀x ≠ 0
A) -27/64 D) -2 -27/8
n
2
25
B)-1 E) 125/8
9
C) 8/27
04. Reducir:
1− x1 x − E = ( x A) x2 D) 1
x
2
)
x2 − 1
x +1 ; x≠ 0
B) xx E) x
C)
x
05. Simplifique: Simplifique:
E =
= n ⇔ x= n
A) 10 D) 7
m
2 m + 1.5 2 m + 1 2 3.5 m B) 9 E) 5
− 2 m .5 2 m + 5m C) 8
x
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
ALGEBRA
11.EXPONENTE DE EXPONENTE CADENA DE EXPONENTES ESCALERA DE EXPONENTES De la la forma: forma:
a
b
ó ó
ef d c
Estas expresiones se reducen comenzando por los 2 últimos exponentes y se continúa con los 2 siguientes hasta llegar a la base con un solo exponente.
07. Para inecuaciones inecuaciones:: a) Si: a
> 0,a ≠ ±1 ∧ a x < a y ⇒x< y
b) Si: a
< 0,a ≠ ±1 ∧
Practiquem os 01. Simplificar: Simplificar:
p
n
x
qr
s
x x
=
mpr
a
(n p+q)r+s
216.353.803
S =
12. RADICALES SUCESIVOS CON IGUAL BASE
m
a x < a y ⇒x> y
154.149.302
A) 2 D) 22
B) 3 E) 33
C) 1
02.Si: xm.xn = 3m Xn. ym = 3n
ECU AC IO NES EXPO NEN CIALES
xy
x S = y
Hallar:
D EFIN IC IÓ N Son ecuaciones no algebraicas en las cuales la incógnita se encuentra en el exponente.
A) 27 D) 1/3
B) 3 E) 9
C) 1/ 27
03. Efectuar: −2
PROPIEDADES
3
m 01. Si: a
= a n ⇔ m = n ; ∀a ≠ 0
a
= y a ⇔ x = y ; ∀a ≠ 0
02. Si: x
03. Si:
xx = a a
⇔ x = a ; ∀x ≠ 0
xx = a a ⇔ x = a ; . . . . x x = n ⇔ x= n n 05. x
04. Si:
n x .. . x x 06. x
−2
−1
E = 2 + − 5 + (− 0.75)3 − 4 + − 4
∀x ≠ 0
A) -27/64 D) -2 -27/8
n
2
25
B)-1 E) 125/8
9
C) 8/27
04. Reducir:
1− x1 x − E = ( x A) x2 D) 1
x
2
)
x2 − 1
x +1 ; x≠ 0
B) xx E) x
C)
x
05. Simplifique: Simplifique:
E =
= n ⇔ x= n
A) 10 D) 7
m
2 m + 1.5 2 m + 1 2 3.5 m B) 9 E) 5
− 2 m .5 2 m + 5m C) 8
x
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
65 19
E = 5
ALGEBRA
16 212
214 4
+ (5 ) − (5
2
06. A) 5 D) 625
B) 1 E) -25
)
C) 25
12. Hallar: a2 + 2ª en:
2a+1 + 4a = 80
A) 18 D) 3
B) -18 E) -15
C) 15
13. Calcular el valor valor de:
07.Reducir: −1
x = y
F A) 1 D) x/y
m
m
x y
+n
−n
−n
x y
B) x E) y/x
n
m
20 n
3
4
C) y
3
n
+2
A) 2 D) 5
+1
3
+
2
4+ 4n
B) 3 E) 6
3
C) 4
08.Efectuar:
(11 )
11
11 11− 11
E=
A) 0 D) 11
+ ( x− x
)
x
− x x
B) 1 E) -1
+ (− x)−1 C) x
Hallar: E =
S
1− a b
A) 1 D) ab
+ a +b +
B) a E) a/b
=
M
−b
Sabiendo que a, b A) 5
11.Si:
B) 3
x x
=
Hallar: E = A) D)
4
∈ N
C) 1
5
a
A) 5 D) 1/3
E) 8
E) 8
C) 4
3
−2 3− 4
−1
= 525
5
C) 3
3
=(
17. Hallar “x” en:
3
x
=
1 2
B) 265 E) 0.5
n
n
Hallar E A) 4 D) 2
3)
B) 3 C) 2 E) Absurdo x 2
18. Si:
2
C) 1
1
x 1 + 2 x
B)2
−b
−b
B) 1/5 E) -5
A) 3 D) 1
y a – b > 2001 D) 15
5a
A) 1/256 D) ¼
2
a
16. Hallar el valor valor de “x” en:
+ 3a − b + 3b − a
2
x
= 4 y
5
x
5b − a
a
B) 3 E) 5
b
10.Calcular el valor de:
a
a
15. Hallar el valor valor de “a” en:
C) b
5a − b
a
aa
A) 2 D) 4
09. 09. Sabien Sabiendo do que que:: (a + 1)( 1)( b + 1) = 2 Hallar:
a + b 1 − b 1+ b = 1 − a b 1 − a 1+ a
14. Si sabemos que: que: a
nn
=
C) ½
= 2. n
n
n n
B) 5 E) ¼
+n
n n
C) 1
=
1 2
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
19. Si:
a
a
a
ALGEBRA
=2 a a E = a + a
Hallar: A) 16 D) 8
04. Resuelve:
a +a a
B) 4 E) absurdo
a) 2/3 d) 3/2
C) 32
20. Simplifique a
M
=
x
b
x
a
x
21. Simplificar:
4
4
4 ......
3
3
16
B) 2 E) 8
a)1 d) 28
C) 4
3
−
n
23
1
n
−
2. Si: E =
6 32
E
−
a) 1 d) 3-1
=
a) 3/2 d) 1/2
:
6 32
6E
72
6 32....
−
+
b) 1/3 e) 3/4
c) 1/4
−
b) 2/3 e) 2
− 7 y + 2 G = y + 1 7 − 5 x + 1 ∞
a) 1 d) 38
b) 2 e) 76
c) 23
∞
4
b) 2 e) 0
7 3x
81
08. Si: 5x = 7y, calcular el valor de:
c) 64
RECUERDA:
c) 5 “
3. Calcula el valor de “x” si: 50
a) 1/2 d) 2/3
; se o b tien e
3 64 3 64 3 64....
Calcular:
c) 9
5 x + 3
b) 8 e) 512 32
− 3 2n − 1 + 2n − 3 + − 6 2n − 4 + 2n − 6
b) 5 e) 35
x 3 2 { (3 ) } =
3 ra dica les
a) 2 d) 256
c) 81/4
07.Resolver la ecuación:
PrácticaDom iciliaria ia 1. Al reducir: .........
b) 31/4 e) 3.21/2
06. Al simplificar: 3n − 1 + 3n E = 3 n − 4 + 3n
16 3
3 3 3
= 36
a) 61/3 d) 31/2
16
A) 1 D) 6
c) 4/3
Indica el valor de x.
C) x-1
B) 1 E) xb
=
=3
b) 3/4 e) 1/3
x 3
;
para: a + b = ab
E
27
05. Resuelva:
+ b x a + xb
A) x D) xa
3 x 81
“.
2 c) 1/3
A C A D E M I A P R E U N I V E R S I T A R I A
“CAYETANOHEREDIA” Á L G E B R A
N º02
POLINOMIOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS: • Revisar y estudiar las expresiones algebraicas en el campo real, aplicándolas en la solución de problemas. • Identificar y diferenciar los diversos tipos de polinomios especiales con el fin de resolver problemas diversos.
POLINOMIO. – Es aquella expresión racional entera queconsta de uno, dos o más términos. Ejemplos: Q(x) =1 + x2 − 3x5 + 5 x7 → Polinomio de 4 términos. R (x) = 6x6 + x 5 y2 → Binomio 2 → Monomio Q (x) = 7 x
POLINOMIOS– GRADOS– POLINOMIOS ESPECIALES
REPRESENTACIÓN GENERAL DE UN POLINOMIO DE UNA VARIABLE
NOTACIÓN POLINÓMICA Permite diferenciar constantes de variables. Se tiene: P (x , y )
=
4
8m . x . y
3
EXPRESIÓN ALGEBRAICA. – Es aquel conjunto de números y letras relacionados por las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación o una combinación de ellas en un número limitado de veces. Ejemplos:
= 1 + x + x 3 − x 6 +
x2
E. A. Racional Entera
P ( x , y )
=
x 5 x − 7
+
2 x 3
+ x 6
y 4 E. A. Racional Fraccionaria
P ( x , y )
=
2
6 xy + x 5 y 3 E. A. Irracional 3
4
n
+ a1 x n−1 + a2 x n− 2 + ... + an−1 x + an , (a ≠ 0)
Donde:
Donde: x, y → Variables. 4, 3 → Exponentes. 8m → Coeficiente.
P ( x , y )
P(x) = a0x
− 12 y 5
x a0; a1 ;a2;…; an Grado de P(x) a0 an
→ Variable. → Coeficientes. → Gdo(P) = n; n∈N. → Coeficiente principal. → Término independiente. 3
2
Ejemplo: W(x) = 3x + 5 x + 7 x + 11 Grado (W) = 3; Coeficiente principal = 5; Coef. de término cuadrático = 7; Coef. de término lineal = 3; Término independiente = 11. DEFINICIÓN. – En todo polinomio cuyo coeficiente principal es la unidad se denomina “polinomio mónico”. Ejemplos: * P(x)= 5x + x 4 + 3x2 + 7. Gdo (P) = 4; coeficiente principal = 1 → P(x) es mónico. * Q(x) = 3x2 – x5 + 2. Grado (Q) = 5; coeficiente principal =–1 → Q(x) no es mónico. VALOR NUMÉRICO. – Es aquel valor que se obtiene al reemplazar las variables por constantes. Ejemplo: P(x)= x2 +3, halla: P (1), T (-2) Solución: x = 1; P (1) = 12 +3 = 4 x =-2; P (-2) = (-2)2 + 3 = 7 Pág. 01
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
ÁLGEBRA
VALORES NUMÉRICOS NOTABLES Si P(x) es un polinomio, se cumple: P(0) = Término independiente y P(1) = Suma de coeficientes. Ejemplo: P(x+3)=5x+16. Calcular T. independiente + ∑coefic. Solución: Se pide: P (0) + P (1). P (0): I. x + 3=0 II. x =–3 III. Reemplazando: P (– 3+3)= 5(–3) +16 ⇒ P (0)=1. P (1): I. x + 3 = 1. II. x =–2 III. Reemplazando: P ( –2+3 ) = 5(–2) + 16 ⇒ P (1)=6. Nos piden: P (0) + P (1) = 1 + 6 = 7. POLINOMIO CONSTANTE: P(x) =m ; (m≠0). Su grado por definición es cero. Ejemplo: P(x) = 10 ⇒ P (1)=10; P (236)=10,P(n+3)=10. GRADOS GRADO. – Es una característica de las expresiones algebraicas racionales enteras relacionadas con los exponentes de sus variables. Hay dos tipos de grados y son: 1. GRADO DE MONOMIOS El grado o grado absoluto de un monomio se halla sumando todos los exponentes de todas sus variables y el grado relativo de una variable está dado por el exponente de dicha variable. Ejemplo: M(x,y) =26x 5y9 → G.A(M) = 5 + 9 = 14. GR. (x) = 5. GR. (y) = 9. Sólo en monomios se cumple que el grado absoluto siempre es igual a la suma de todos sus grados relativos. 2. GRADO DE POLINOMIOS El grado o grado absoluto de un polinomio está dado por el mayor grado de todos sus términos o monomios y el grado relativo de una variable está dado por el mayor exponente de dicha variable en todo el polinomio. Ejemplo: P(x,y) = 3x3y7 + 5x5y6 + 7x4y8
G.A(T1)=3+7=10 ; G.A(T2)=5+6=11 ; G.A(T3)=4+8=12. Entonces: G.A(P) = 12. Asimismo: GR. (x) = 5; GR. (y) = 8. POLINOMIOS ESPECIALES 1. POLINOMIO HOMOGÉNEO Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto. Ejemplo: P(x,y) = x7y - 5x4y4 + 2x2y6 -z4y8 Es un polinomio de grado 8, a este grado también se le llama grado de homogeneidad . 2. POLINOMIO ORDENADO Un polinomio es ordenado respecto a una variable si los exponentes de ella aumentan o disminuyen. Ejemplo: P(x,y) = 5x 9y2 + 7x6y3 + 8x4y5 “x” está ordenado descendentemente. “y” está ordenado ascendentemente. 3. POLINOMIO COMPLETO Un polinomio es completo respecto a una de sus variables si dicha variable aparece en todos los términos desde el mayor exponente hasta el término independiente inclusive. Ejemplo: P(x)= x4+ x3-2x2-9+7x PROPIEDAD: Si P(x) es un polinomio completo se cumple que su número de términos es igual al número de su grado aumentado en uno, es decir: # Términos =Gdo. (P) + 1 Ejemplo: P(x)= x 5+x4+6x3 +x2+3x+8 Gdo. (P) = 5 ⇒ # términos = 5 + 1 = 6. 4. POLINOMIOS IDÉNTICOS Dos polinomios son idénticos si y solo sí sus términos semejantes en ambos miembros son iguales. Ejemplo: ax2 + bx + c ≡ 7x2 + 4x – 6 ⇒ a=7 ∧ b=4 ∧ c=–6 NOTA: Si dos polinomios son idénticos entonces tienen el mismo valor numérico para cualquier valor de su variable, es decir: Si: P(x) ≡ Q(x) ⇒ P(a) = Q(a); ∀a∈R. 5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTENULO Un polinomio reducido es idénticamente nulo si todos sus coeficientes son iguales a cero, es decir, si: ax2 + bx + c ≡ 0 ⇒ a=b=c=0.
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
ÁLGEBRA
6. Calcula a + b si el grado absoluto del monomio.
Ejemplo: (a – 2)x5 + (b+3)x3 + (c– 7) ≡ 0 a– 2 = 0 ⇒ a=2; b+ 3 = 0 ⇒ b=–3; c – 7 = 0 ⇒ c=7.
M ( x , y ) = ( a
NOTA: Si un polinomio de grado “n” se anula para más valores de “n” diferentes entre sí, entonces dicho polinomio es idénticamente nulo. Si: P(x) ≡ 0 ⇒ P(a)=P (b)=P(c)=0; donde a, b ∧ c son constantes numéricos.
1. Sea el polinomio: P(x) = 12 x7 –3x4 + 3x2 –x +1 I. El polinomio es de grado 8 II. El término independiente es 1. III. El coeficiente del término lineal es 1 IV. El coeficiente del término cuadrático es 3 V. Suma de coeficientes es 12 ¿Cuántos enunciados son verdaderos? a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
M
=
a)
3
+ 5x − 3
C P ( F )
( F )
Grado 3
b)
2
2
+
+
c) 2
.( F )
d) 1
e) ½
3. Hallar la suma de coeficientes del polinomio homogéneo: P ( x, y ) = x
n+ 3
a) 17
b) 16
y
2 n−1
+ (a + b) x y + (n − 1) x y n
c) 20
12
d) 21
a
b
e) 22
4. Indicar el grado del polinomio
P ( x )
= x 7 − n + x n− 5 + x n− 3
sabiendo que tiene tres términos. a) 3 b) 5 c) 6 d) 4
7. Halla el coeficiente de M
n 1 m 3m + 2 n 5 m − n = 9 x y 2
33 8. Hallar el valor de: a +
2 a
99
;
e) 2
5. Hallar “m” para que el polinomio − − − P ( x ) = 12 x 2 m 3 + 12 x 5 m + 15 x m 2 sea ordenado. a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
si el polinomio
a6
3
a9
P(x) = (a + b− c− 10)x + (c − b+ 9)x es idénticamente nulo. a) 2 b) 1 c) 0
d) 4
e) 3
9. Halla la suma de coeficientes del polinomio: 2a 5 2a 3 2 2a 4 P ( x ) = 3 x − + (a − 1) x − + a x − si es de quinto grado. a) 15 b) 18 c) 22 d) 21 e) 24 10.Sabiendo que el polinomio P( x) = (a x + b)( x − 1) + c( x 2
T I ( F )
∑ Coef
coeficiente tiene el mismo valor que el grado relativo de x. a) 7 b) 3 c) 4 d) 5 e) 8
cuyogrado absoluto es 20 y el relativo a x es 14. a) 812/8 b) 8/16 c) 16/81 d) 81/16 e) 9/16
EJERCICIOS PROPUESTOS
2. Sea el polinomio: 3 2 F ( x ) = 6 x − 7 x Calcular:
+ b) x 2 (a −1) y 3b es 17 y su
+ x + 1) es
idéntico a Q( x ) = 2 x + 5 x − 1 Calcular: E = a + b – c a) 1 b) –1 c) 0 d) 2
e) 3
11.Si GA(P) = a y GA(Q) = b sabiendo: GA(P2.Q)=11 GA(Q/P)= b-3 Calcula “ 2b–a “ a) 1 b) 3 c) 5 d) 7
e) 9
12.Si: P ( x + 2 ) = ( x + 1)( x + 3) . Hallar E = 4 P (5 ) − P (3) a) 1 b) 2 c) 4 d) 8
e) 3
2
13.Si: P ( x + 1) = x
+ x +1 2 Q( x + 2 ) = a x + bx + c Además: P ( x − 1) = Q ( x ) Calcular: a + b + c a) 1 b) 2
2
c) 3
d) 4
e) 5
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ÁLGEBRA
14.Si el grado de P(x).Q2(x) es 13 y de P2(x).Q3(x) es 22. Calcula el grado de: P3(x) + Q2(x) a) 23 b) 8 c) 15 d) 16 e) 189
15.Calcula “n” si: n− 1
n− 3 n+ 1 2 1 2 n n + − 4 + x + 1 x x n−1 + x n−1 + 1 ( n > 0 ∧ n ≠ 1), es de grado 18 a) 47 b) 24 c) 23 d) 60 e) N.A
16. Si: P ( x
n
a) 1/3
+ 1) = x − 1 , P (3) = − b) 1/9
c) 3
7 8
H ( x , y )
=
−m x
; Hallar “n”
d) –1/3
m 3− m −1 3
18. Sabiendo que los polinomios 2 2 P(x,y) = 3 x m − n y 4 + 3 n3 y
e) ¼
y
−m 9
a) 1
c) 1 o –1
b) 2
1 − mn − n m
c) 3
d) 4
e) 5
cuyo grado absoluto es 17 y el grado relativo a x es 6. Halla la suma de sus coeficientes. a) –5 b) 11 c) 6 d) 51 e) –11 20. Halla el grado de: M(x) = (x 3+1)(x10 +1)(x29+1)....(x1002 +1) a) 2161 b) 2505 c) 5025 d) 1035 e) 3045
22. Si: P ( x , y ) = x m ( m −1) y
+
− ( x 3 ) m−1 y m + x n − 4 y 4
Es un polinomio homogéneo. Hallar “m + n” {m, n} ⊂ Q
a) 6
b) 3
c) 4
d) 5
e) 8
01. Si: P ( x ) = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + x E =
a) 1
− 1) P ( x ).P ( x − 1) P ( x 2
b) ½
c) ¼
d) 2
e) 4
02. Calcular: E = m + p + q + r. Si el polinomio m p p q q r r P ( x ) = 12 x + + 8 x + − 2 + 4 x + −5 + 2 x − 2 es completo y ordenado en forma decreciente. a) 8 b) 9 c) 11 d) 12 e) 13
(n − 1) 4 n x K=3 6 5n − 4 x a) 2 b) 4 c) 6 d) 8
e) 10
P( x, y) = x n+6 y c + x n+5 y b + + x n−8 y 2b+c Calcular E = n + b + c sabiendo que es homogéneo; completo y ordenado de ( n + b) términos respecto de una de sus variables a) 20 b) 22 c) 23 d) 21 e) 19 05. Determinar el grado de: M(x, y) =
(x n + 2
21. Sean los polinomios 2 x 3
e) 4
04.Dado:
M(x,y) = mxm–2yn+5 + 2nxm–3yn + mnxm–1yn+6
=
d) –2
x
19. Dado el polinomio:
P ( x )
c) 2
03. Calcular “n” para que el siguiente monomio sea de primer grado:
8 x 3 y mn
2 2 − 3 x m + n y − mn
son homogéneos. Halla:
b) 1
Calcular:
es 36, halla el valor de m. a) 2/3 o –2/3 b) 3/2 o –3/2 d) ½ o–1/2 e) –2 o 2
Q(x,y) = x m
a) –1
TAREA DOMICILIARIA
17. Si el grado de la expresión: 9
bc .d a c a ( a .c ) Calcular: E = 1 − k
5 x 2
+
Q( x ) = ( a x + b) (cx + d ) c
donde: P ( x ) = Q ( x )
+1
4x a
+ k , k ≠ 1
Siendo: n>=100. a) 1 b) 2
+ y101 ) n + 2 (x n ) n (xy) n + 1 + 1 n + 1 c) 3
d) 4
e) 5
A C A D E M I A P R E U N I V E R S I T A R I A
“CAYETANOHEREDIA” Á L G E B R A
N º03
P R O D U C T O SN O T A B L E S
OBJETIVO
ESPECÍFICO:
Reconocer y 04.Suma por diferencia o diferencia de aplicar los diferentes casos de productos cuadrados: 2 2 notables en la simplificación y reducción de a b a b a b expresiones algebraicas.
• ( + )( − ) =
P R O D U C T O SN O T A B L E S
Los productos notables, también denominadas identidades algebraicas, son un conjunto de fórmulas que permiten calcular los productos sin necesidad de aplicar los criterios generales de la multiplicación algebraica.
−
05.Producto de binomios con término común:
•( x + a)( x +b) = x 2 +(a+b) x + ab ( x+a)( x+b)(x+c) = 3 2 x +(a+b+c) x +(ab+ac+bc) x+abc
Los principales son:
01.Cuadrado de un binomio o Trinomio cuadrado perfecto:
06.Producto variable:
de
binomios
con
igual
•(a +b)2 =a2 +2ab+b2
•(axn +b)(cxn +d ) =acx2n +(ad +bc) xn +bd
• (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 •(− a+b)2 =(a− b)2 =(b− a)2 •(−a−b)2 =(a+b)2 =(b+a)2
07.Suma de cubos: • ( a + b)( a 2 − ab
+ b 2 ) = a 3 + b3
Diferencia de cubos: 02.Identidades de Legendre:
•(a +b)2 +(a− b) 2 = 2(a2 +b2 ) • (a + b) 2 − (a − b) 2 = 4ab
• ( a − b)( a2 + ab + b2 ) = a3 − b3
08.Cuadrado de un trinomio:
•(a+b+c)2 =a2 +b2 +c2 +2(ab+ac+bc) 09.Cubo de un trinomio:
03.Cubo de un binomio: • ( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3 ab 2
+ b3
= a3 + b3 + 3 ab( a + b). • ( a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3 ab 2 − b 3 = a3 − b3 − 3 ab ( a − b).
•(a+b+c)3 =a3 +b3 +c3 +3a2b+3a2c+3b2a+ 3b2c+3c2a+3c2b+6abc 3
( a+b+c) =a3 +b3 +c3 +3( a+b)( a+c)(b+c) =a3 +b3 +c3 +3( a+b+c)( ab+ac+bc) − 3abc
Álgebra
CENTROPRE UNIVERSITARIO
10.Identidades trinómicas o de Argand:
•(a2 +a+1)(a2 − a+1) =a4 +a2 +1
03.Reduce: M A) 2 – 1
=
(x − y )3 + (y − z )3 + (z − x )3 9( x − y )( y − z )(z − x )
B) 2
C) –3
E) 3 – 1
D) 1
•(a2 +ab+b2)(a2 −ab+b2) =a4 +a2b2 +b4 04.Si: m–n = n–p = 2. Halla el valor de:
•(a2n+an+1)(a2n−an+1) =a4n+a2n+1
A)1
11.Identidades auxiliares: 3
3
)=(a+b)(a+c)(b+c) 2) (a+b+c)(ab+ac+bc 12.Identidades condicionales:
Si : a + b + c = 0, se cumple que :
+ b3 + c3 = 3abc 2 2 2 a + b + c = −2(ab + ac + bc)
1) a 3
2
3)
a2 + b2 + c2 = 2 a4 + b4 + c4
4) (a
2
+b +c ) = 4(a b + a c +b c ) 2 2
2
6
C)2 – 1
B)2
D)2 – ½
;.
E)4
3
1) (a−b) +(b−c) +(c−a) =3(a−b)(b−c)(c−a)
2)
P=
(m − n)2 + (n − p )2 + ( m − p )2
2 2
2 2
2 2
4 4 4 5) a +b +c
= 2(a2b2 +a2c2 +b2c2 )
6) (ab+ ac+ bc)
2
= (ab) 2 +( ac) 2 +(bc) 2
05.Si se cumple que:
m + m 2 − n2
=4;
m − m 2 − n2
= 2.
4
Halla: n . A) 16 B) 64
C) 8
D) 24
2 2 2 06.Si: ( x − y ) + ( x − z ) + ( y − z ) Calcula: M
=5
donde x, y, z
2x x
E) 32
=0
+y 5 x 2+y 2 + + 2y 2x z
∈ R. 55
A)1
B)
D)3
53 E) 1
,
C)2
+
07.Dadas las condiciones:
a x 01.Si
se
cumple
Calcula:
M A)3
a3
=
y
2 y
2 y x
= b3 ; a≠b.
=2,
Calcula: a+b+c. A)6 B)2 C)3
D) 4
E) 5
3
D) 8
E) –8
Halla el valor de:
ab
(a − b)2 . B) –3 –1
+ b2 + c2 = 2
( a + b + c )(1 + ab + bc + ac ) = 108
4
. x B) –16 C) 2 – 4
A)16
02.Si:
que:
+
2
C)3 –1
D)30
E) –1
x + 1 = 27 08.Si x −
A= x4 +x 4
Calcular A) 9 B) 30
C) 47
D) 72
E) 81
Álgebra
CENTROPRE UNIVERSITARIO
09.Siendo abc=1 Efectuar:
a ab+ a+1
14.Si se sabe que:
b
+
bc+b+1
+
A) 1
B) a+b+c
C)ab+ac+bc
D)
2
c
a
ac+ c+1
b
1
E)
a+ b+ c
−
2
b
a
1 abc
Calcular : A)5
1 10.Si
xy
+
1
yz xyz ≠ 0 ,
1
1
zx
xyz
+ =−
B) –1 E) – 2
N =
B) – 4
( x − 2 y )
+
xy
(a b ) 2
C) 8
2
2
D) – 3
E) 6
2
C) 1
x
B) 25 E) 1
C) 125
+ 9z = 0
11.Siendo: x 4 y Según ello reducir: 2
+ b8 )
x + 1 = 5 15. Si: ; x 6 x2 − 1 hallar: 2 A)5 D) 15
+
4 ( a8
;
x( y + z) z( y +x) y( x + z) f = + + calcule: 1+ x 1+z 1+ y A) 0 D) 2
= 3 ( a − b) .
(2 y − 3 z )
2
yz
A) 42
B) -36
D) 31
E) 23 xyz
16.Indique el valor de:
(3 z − x)
2
+
C)
+18 +2 , = 3 1+ 3 14 + 3 1− 3
M=
xz
22 xyz
si: x A)1 D)4
a+ ac=b+ bc; además a ≠ b y abc ≠ 0 .Calcular
x 3 +15x x 3 +15x B)2 E)5
14
C)3
12.Si
a
el valor de:
+
bc
A) 0
B) 3
D) ½
E)
b ac
+
c ab
R
C) 1
(a− b)
(b− c)(c− a) A) 1 D) abc
+
= (x + y)2 + (x − y)2
A) 4
B) 3
C) 2
D) 5
E) 6
3
13.Simplificar: 2
− y 4 = 6 x2 − y 2 = 3
4
17.Si: x Calcular:
(b− c)
2
(c− a)(a− b)
+
B) a + b + c C) 0 E) 3
(c− a)
2
(a− b)(b− c)
18.Si
2
m
A) ½ D) 2
+
1
=2. Halle: 2
m
B) 4 E) 3 / 2
m12
3m
C) 4 / 6
+1 6
.
Álgebra
CENTROPRE UNIVERSITARIO
19.Sabiendo que tres números reales y 23.Efectua : positivos a,b y c cumplen con: A) 9 1 1 1 (b c) (c a) (a b) 6, D) 6
+ +
a
+ +
b
A) 1 D) 1 / 9
B) 3 E) − 1 / 9
3
− 3x + 1 = 0 x Calcular: T = x +
20.Si: x
A)60 D) 91
A) 18 D) 16
( )
B) 22 E) 20
( )
1 x
x + (
1 x
C) 26
TAREA DOMICILIARIA 1 21. Si:
5
a
E
)
x
25.Si
a
( a + a )( a + a ) = 3
+
y
a b
A) B) 4/3 E) 1
D) 3
C) 2/5
z x
= 0;
B) 0 E) – 2
+
Calcular:
4 a6
A) 5/2 D) 2
z
+
A) 1 D) – 3
3
Hallar:
y
C)70
xyz ≠ 0 . x2 + yz y 2 + xz z 2 + xy Calcule x2 y 2 z 2
26.Si:
5
)
C) 10
B)25 E) 75
x
2
1 x
3
E=(ab(a+b)4 + bc(b+c)4 +ac(a+c)4 )
C) 9
1 x
2−
24.Si a+b+c=0 y abc=5. Hallar el valor de :
+ b + abc
a
3
−
2+ 3 B) 4 E) 8
+ =
c
(a + b + c)3 simplificar:
(
6
5
b a
=7
M=8 a b
−2
C) – 1
−8b
B) 1
a C)
5
−1
E) 5
22.Si se sabe que:
x2 + y 2 + z 2
= xy + xz + yz Prof. Rolando FLORENCIO VENEROS
Calcular el valor de:
M = 9 A) 4 D) 5
( x + y + z )10 10
x
+ y10 + z10 B) 3 E) 2
C) 1
A C A D E M I A P R E U N I V E R S I T A R I A
“CAYETANOHEREDIA” Á L G E B R A
N º04
D IV IS IÓ ND EP O L IN O M IO SY COCIENTES NOTABLES
División de Polinomios: Es la operación que consiste MÉTODOS DE DIVISI N en hallar una expresión llamada cociente [q(x)] conociendo otras llamadas dividiendo [D(x)] y divisor I. Método de Horner [d(x)]. D(x) = d(x) . q(x) División exacta Para este método sólo se utilizan los coeficientes . D(x) = d(x) . q(x) + r(x) División inexacta En la linea horizontal escribir los coeficientes del dividendo con su propio signo PROPIEDADES En la columna escribir los coeficientes del divisor 1. El grado del cociente es igual al grado del con signos cambiados excepto el primero, que dividendo menos el grado del divisor conserva su signo. o o o Ósea Q(x) = D(x) - d(x) 2. El grado máximo del resto es el grado del divisor Separar de derecha a izquierda, tanto coeficientes disminuido en uno como unidades tenga el grado del divisor: o o Ósea RMAX = d(x) –1 3. Si la división es exacta, el resto es un polinomio Ejemplo:Dividir: idénticamente nulo. 5 4 3 2 Osea R ≡ 0 10 x 4 x 8 x 6 x − + + − 5 x + 11 4. Si una expresión es divisible por otra al residuo de la división de ambos será nulo 2x 2 − 2x + 4 CASOS QUE SE PRESENTAN
II. Método de Ruffini Se aplica cuando el divisor es un binomio de primer 1. División de Monomios: En este caso primero se grado de la forma ax+b. dividen los coeficientes teniendo en cuenta la ley de Al igual que en Horner, utilizaremos solo signos y a continuación la parte literal de acuerdo coeficientes . con la ley de exponentes. Ejemplo: Dividir : − 81 x 10 y 15 z 6 Ejemplo: Dividir 3 x 9 y 12 z 3x 5 − 2 x 4 + 7x 3 − 11x 2 + 5 x + 1 2. División de un Polinomio entre un monomio x−2 Se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio Observación: Si el divisor es ax + b , a ≠ 1, luego de dividir por Ruffini, los coeficientes del cociente deben 42 a 8 b 5 − 35 a 10 b 9 + 56 a 6 b 6 dividirse entre “a” para obtener el cociente correcto M = 4 3 7a b Ejemplo : 3. División de polinomios 3 x 4 + 5 x 3 − 17 x 2 + 8 x + 7 Se desarrolla por cualquier método ordenando los Dividir 3x − 1 polinomios en forma descendentes y completando con ceros en caso de faltar un término.
Álgebra
CENTROPREUNIVERSITARIO
TEOREMA DEL RESTO
Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma ax + b y en algunos casos especiales. Regla práctica: Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se despeja el valor de la variable y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto
+ 3x + 5 x−2
x5 Ejm. Calcular el resto en
04. Hallar : m + n , sabiendo que la división: 3 x 5 + mx 3 + nx 2 − x + 2 x 2 + 3 deja un residuo: 5 x − 10 a)11
b)5
3
a 9
n
-2
1 d e
b
x a) x − 1
p
+
4
02. Sea:
b)-1 Q ( x )
c)0
d)5
3 x
+
2
b) x − 2 c)1
d)0
e)-1
+ 16 x 29 + 9 x + n 3 x + 4 b) 8
c) 10
d) 12 e) 16
− 1 ) + z ( z − 1 ) x + y + z + 3
−
6 x 1 entre: 01. Si al dividir: 5 x 2 x + 3 x − 2 se obtiene un resto de la forma: a)1 mx + n , calcular: m − n a)-4
−
07. Halla el resto de: ( x + y ) 2 + ( x + y )( 2 z
PROBLEMITAS 3
2
06. Hallar “n” si la división es exacta:
a) 6
h -3
e)4
( x − 1 ) 7 − ( x − 2 ) 7 − 1
c
f g 4
d)7
05. Calcular el residuo de la división siguiente:
12 x 30 1 m 2
c)1
e)4
= ax 2 + bx + c el cociente de la
b)2
c)3
d)6
e)9
08. En el esquema de Horner mostrado determinar el valor de: ( m + n + p ) − ( a + b + c ) a)20
b)18
c)15
d)5
e)-3
división de: 2 x + 3 x − 8 x + 1 − 4 x entre: 2 x − ( x + 1) . Calcular: a − b + c 09. En una división efectuada por el método de Horner se obtuvo el siguiente esquema: a)-3 b)-4 c)1 d)2 e)3 a 6 e f g h j b 2 m 4 03. Un polinomio c 3 n 6 3 2 2 P( x)= x − 2 x −15 x − a x + 2 a x +15 a d 1 -1 2 2 3 1 -4 -2 5 se anula para los valores x= a y x=5. Otro valor de x que también lo anula es : Calcule: e + f + g a)0 b)-1 c)2 d)-3 e)4 a)7 b)-7 c)1 d)10 e)3 4
3
2
Álgebra
CENTROPREUNIVERSITARIO
10. Determinar
el
residuo
en: 15. Calcula “m+n+p” si el resto de la división:
mx8 + nx6 − 3x5 + 2x − 1 , x3 + 1
( 2 x − 5 ) 4 + x 2 4 x a)8
− 12
b)11
c)12
d)10
2 es 7 x
e)9
a)6
+ px − 3 . b)2
c)3
d) 4
e) 5
11. En el siguiente esquema de Ruffini: 5 *
*
2
*
9
-5
*
-9
*
*
*
*
11
*
16. Indique el resto en: a) − 8 ( x + 3 )
Calcular la suma de coeficientes del cociente. a) 3
b) 1
c) 2
d) 4
e) 5
-1 e
B
C
D
E
F
1
3
5
7
9
d
c
b
a
0
b)-50 c)50
13. Halle el resto en:
d)-25
e)0
− 1 ) 3 + ( x − 2 ) 4 ( x − 1 )( x − 2 ) c) x − 2
14. Calcula “a+b” si la división es exacta: Si: ax 5
+
bx
4
2x 2
a) 18
b) 19
− +
c)16
x 3 3 x
− −
18 x
+
1
d)14
e)15
5
c)0
e) 8 ( x + 3 )
b) 1
c) 13
( x + 1)( x 2 − x) x a) 21 x d) 18 x
b) 2 x e) x
4
d) 10
e) 20
18. Señalar el residuo en la siguiente división:
x ( x
a) x − 1 d) x + 1
d) 3 ( x + 3 )
a) 11
Determinar la sumatoria de coeficientes del polinomio dividendo. a)100
b) 8 ( x + 3 )
4
17. Determinar el valor de my n para que el polinomio: P( x ) = nx20 − mx19 + mx − 1 sea divisible por ( x − 1) 2 . Dé como respuesta: 9 mn
12. Del esquema de Paolo Ruffini: A
( x + 1 ) 3 ( x + 3 ) 4 ( x + 3 ) 5
.
2
2
( x − 5 x + 6 ) 2
− 2 x − 4 b) 20 x e) 17 x
c) 19 x
19. Hallar el valor de: a + b + c si el resto de la división indicada siguiente: ax 5 + bx 4 + cx3 − 5 x − 3
2 x 3 + x 2 − x − 2 2 es: 7 x + 8 x − 3 a)21
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
Álgebra
CENTROPREUNIVERSITARIO
20. Halle el resto f ( x ) = ( x con x
en
la 2 )( x
−
división
+
2
de: 25. Al dividir un Polinomio P( x ) entre el producto de ( x + 1)( x + 3 )( x − 2 ) , el resto obtenido es:
)5
−4
2
x c) 0
d) 5 e) 3
entre: x a) x + 5 d) 2 x − 1
TAREADOMICILIARIA el
resto
de
dividir:
14
2
+ 2x + 2
a) 2 x d) − 4 x + 5
b) 2 x + 11 e) x + 11 x
+
22. Hallar el resto en:
x
x
5
x 2 a) x ( x − 1)
d) − x 2 ( x + 1)
c) 2 x + 1
+1
11 9
2
− x−2 b) − 2 x + 3 e) − 4 x
se obtuvo un resto R(x), en consecuencia, halla el R(− 1) valor de: R(1) a)7/5 b)5/7 c)8/7 d)7/8
c) x( x − 1)
e) x 4 ( x + 1)
+1 23. Hallar el resto de dividir: 2 x − x + 1 2 x11 9
a) x − 3 e) 3 − x
b) 4 x − 2
c) 3 − 2 x d) 2 x − 3
24. Calcular " n" si el residuo de la división:
( x + 3 ) n ( x + 1 ) n + nx ( x − 1 )( x + 5 ) + 1 es: ( x + 2 ) 2 2 (1 − 18 x ) ; n es par. a)5
b)4
c)3
d)2
e)1
c) − 4 x + 3
5 2 x + 1 + ( x − 1)3 + 3 x x 3 − x 2 + x − 1
−1 −1
b) x 3 ( x − 1)
P( x )
26. Al realizar la operación:
( x +1)35 + 7( x2 + 2 x +1) +3( x +1)17 + (− x −1)6 +3 entre: x
− 5x + 1.
Encontrar el resto que se obtiene al dividir
a) x + 2 b) x − 2
21. Calcule
2
INGRESO DIRECTO
e)1/7
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“CAYETANOHEREDIA” Á L G E B R A
COCIENTES NOTABLES
N º05
4) La condición para que una fracción de la
±a x±a
x Forma general :
n
± aq r s x ± a
x
Son aquellos cocientes exactos que se pueden obtener sin efectuar la división
forma
n
p
n ∈ Z+
r
=
q s
p
sea un C.N es
=n
Donde “n”; número de términos Casos de cocientes notables TÉRMINO GENERAL
Forma
− an x− a xn + an x+a xn − an x+a xn + an x−a xn
Siempre es C.N
± an x±a
xn
Cociente Notable
Si
es un C.N y Tk es el término que
ocupa el lugar “K” en su desarrollo, entonces Si “n” es impar
t k
= ( signo ) x n − k .a k − 1
El signo se coloca según el caso al que corresponda. Si “n” es par PROBLEMAS
Nunca es C.N
01. Sea el cociente notable:
x Características de un Cociente Notable: 1) El número de términos que tiene el desarrollo se obtienen dividiendo los exponentes de una misma variable; se representa por “n”. 2) Si el denominador es de la forma “x-a” los signos de los términos en el desarrollo serán positivos. 3) Si el denominador es de la forma “x+a” los signos de los términos en el desarrollo serán alternados positivos y negativos.
2 a +1
− y b+3 3 2 x − y a
2
+b
si posee 5 términos indique:
a
A) 3 D) 7
C) 8
B) 5 E) 2
02. Si el cociente notable: 5a +7 24
x
− y x 4 − y 3
si posee “m” términos, indique: “a.m” A) 35 B) 27 C) 40 D) 45 E) 50
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ÁLGEBRA
03. Indicar el cuarto término del C.N
07. Sea el C.N
(3 x + 1) 17
− y 9 x − y
x 9 A) –x5y3 D) x5y3 04.
B) x3y4 E) x2y4
6 x Si: t13 =(3x + 1) p(3x -1) q indicar el valor “pq”
C) x7 y
A) 45 D) 55
Indicar el 5to término del C.N
− y 16 x 3 − y 2
x 24 A)-x9y8 D) x6 y14
+ (3 x − 1)17
B) 48 E) 70
C) 60
08. Indicar cuántos términos tiene el desarrollo del C.N 3a 2a
− y 3 2 x − y
x
B) x8y9 E) –x6y14
C)x9y8
Si el sexto término tiene como grado absoluto 19 A) 6 B) 8 C) 7 D) 9 E) 11
05. Si el sexto término es x8yb del C.N:
− y 27 2 3 x − y
x m
09. Calcular “m + n” si el término de lugar 17 del C.N:
Indique: “ m - b” A) 4 B) 7 D) 2 E) 5
C) 3
A) 6 D) 9
16
( ) Es un C.N: A) VVF D) FVV
60
+ y 7 x + y
x
C) 8
( x + 1) 20
− ( x − 1) 20 4 x
el t7 =( x +1)m. ( x – 1)n
7
B) VVV E) FFF
B) 7 E) 10
10. En el C.N:
− y 90 4 6 x − y
x
4m
− y 69 n − y 3 n
es: x120 y96
− y ( ) Es un C.N: x 3 − y 6 7
( ) Posee 15 términos:
92 m
x
06. Dar los valores de verdad:
x
x
C) VFV
Dar el valor de: m + n A) 18 B) 15 D) 12 E) 11
C) 13
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11. Hallar el valor numérico del término de lugar 23 para x =-1; del desarrollo del C.N:
( x + 4 ) 26 − x 26 x + 2 2
1 A) 81 D) 64
B) 9 E) 8
16. Determine el términocentral en la siguiente división notable:
( x + a )14
+ a 14 x 2 + 2ax + 2a 2
C) 27
A) a6(x+a)6 D) –a7(x+a)6
B)-a7(x +a)7 E) –a6(x+a)6
C) a7(x +a)6
12. En la división:
(3 x − 1)
25
+ (3 x + 1) 25
m a 2 +3
x
17.- Calcular " m"
tiene un término de la forma: m(9x 2 – 1)n Hallar “ m + n”. A) 16 D) 20
B) 14 E) 22
Señale: A) 4 D) 7
C) 18
13. Sea elC.N: 5 m −1
x
c
−a − a2
[
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5 x
( x
b
n
,
(a + b)
− (a − b) ab+ b2
n
como una división notable y siendo uno de los términos de su cociente notable
2( a A)12 D)18
2
− b 2 ) 5 , calcular el valor de “n”. B)16 E)20
)
n 2 −1
A) 72 D) 60
C) 59 n
C)17
C) 3x
n 2 −1 n 29 − 7 n
− ( y 27 − 27 81− x −
29 − 7 n
1
B) 79 E) 99
15. Luego de expresar:
]
19. Hallar el número de términos de la siguiente división notable
indicar el valor de: “ m + b + c” A) 69 D) 89
B) 5 C) 6 E) No es C.N.
14. Si xma24 es termino central del desarrollo del C.N
x
2
mp+ x2p − H= (m−1)p (m−2)p 1 x 2p p x +x +...+x +x +1
Calcular el grado absoluto del término central de su desarrollo A) 56 B) 63 C) 60 D) 71 E) 70
75
( m + m + 1)
18.- Simplificar: x(2m−1)p +x(2m−2)p +....+x2p +xp +1
12 m − 5
− y 5 1 x m − − y m −
x
− b m+7 que: a 2 m− 2 − b m+ 2
B) 71 E) 50
)
1
y 9 C) 70
20. Si los grados absolutos de todos los términos van disminuyendo de 3 en 3 y si además el t(40) de su desarrollo tiene grado absoluto(G.A) =87, hallar el numero de términos siendo el C.N.: np p
−a n x − a
x
A) 52 D) 30
B) 50 E) 42
C) 47
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05. Calcular el valor numérico del término central del desarrollo de:
TAREA 01. Hallar el número de términos de la siguiente división notable
x
150 n
x A) 7 D) 4
+ y n + y 6 B) 6 E) 8
C) 5
( x + y) 100 − ( x − y) 100 8xy ( x2 + y 2 ) para
x = 3; y = 2 2
A) 1 D) 4
B) 2 E) 2
C)
3
06.Si un término del cociente notable que resulta al
xm − ym+ n
02. Simplificar
+ x 76 + x 74 + + x 2 + 1 E = 38 x + x 36 + x 34 + + x 2 + 1 x
78
A) x40 +1 D) x20
B) x40 –1 E) x40
C) x20 + 1
dividir:
x3y m− 3 − y m+ 2
es x12 , Hallar el valor de: ( m+ n) A) 51 B) 52 C) 53 D) 54 E) 55
03. Que grado ocupa el termino de grado 34 en el cocientenotable generado por:
− y 20 x2 − y
x 40 A) 4 D) 8
B) 5 E) 6
C) 7
04. Sabiendo que al dividir
x x
25n
3n
25n
−y −1 + y3
n
−1
Se obtiene como segundo termino–x 16 y. De cuantos términos está compuesto su cociente notable. A)4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
INGRESO SEGURO
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F A C T O R IZ A C IO N
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
N º06
METODOS DE FACTORIZACION METODO DE FACTOR COMUN
Identificar la factorización como una operación inversa de la multiplicación y manejar Factor común monomio .- Es el monomio que adecuadamente los métodos para factorizar está contenido en todos los términos del expresiones algebraicas con rapidez y polinomio considerado. El factor común se extrae de cada término, elevado a su menor seguridad. exponente.
FACTORIZACION DE POLINOMIOS
+ x y . Factorizar es el proceso que consiste en Ejemplo (1): Factorizar x y transformar una expresión algebraica racional y entera en un producto indicado de factores Factor común polinomio .- Cuando existe un polinomio contenido en todos los términos del primos en el campo R. polinomio considerado. FACTOR.- El factor de una expresión es aquél que la divide exactamente. Ejemplo: Ejemplo (2): Factorizar x (a −1) + (a −1). *a.b.c = X ⇒ a, b y c son factores de X. Solución: Extraemos el factor común (a-1) 2 * y(y+1)=y +y ⇒ y y (y+1) son factores de x( a − 1) + (a − 1) = (a − 1)( x + 1) y2+y. Factor común por agrupación de términos .Factor primo .- Es aquel que no se puede Se agrupan los términos de 2 en 2, de 3 en 3, descomponer en otros factores (diferentes de etc. considerando alguna característica común. uno). Ejemplo (3): Factorizar x 4 a + x 4 y + z 4 a + z 4 y Ejemplo: (5) (7), donde 5 y 7 son factores Solución: Agrupando en la forma indicada: primos. 5
4 POLINOMIO PRIMO. – Es un polinomio de x (a
3
2
+ y ) + z 4 (a + y ) ⇒ (a + y )( x 4 + z 4 )
grado diferente de cero divisible sólo entre sí y METODO DE LAS IDENTIDADES 2 entre cualquier constante. Por ejemplo: x +1 es un polinomio de segundo grado divisible sólo En este caso utilizaremos los productos entre sí mismo. notables. Si en una multiplicación indicada, uno de los Diferencia de cuadrados: factores tiene las características de un polinomio cero , dicho factor se denomina factor primo . a2 b2 (a b)(a b)
− = +
−
PROPIEDADES
Solamente se pueden factorizar las Ejemplo (4): Factorizar expresiones compuestas (no primas). ( x − 1) 2 − ( y − 1) 2 El máximo número de factores primos que puede tener una expresión estará dado por su Solución: grado. ( x 1) ( y 1) ( x 1) Las expresiones de primer grado, llamadas ( x y 2 )( x y ) también expresiones lineales, necesariamente son primos.
⇒[ − +
⇒
+ −
− ][ − − ( y −1)]
−
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• x 3 − x + 6 ,
posibles ceros:
METODO DEL ASPA ................................................... Método del aspa simple .- Se utiliza para • 7 x 5 + 2 x 4 − 3 , posibles ceros: factorizar
ax 2 m
trinomios
+ bx
Ejemplo (5): 2 Factorizar a
m
yn
de
+ cy
2n
la
forma.
.
2
+ b + 3 a + 3b + 2 ab − 2 8
Solución:
.................................................. x 3 + 3x − 4 Solución: Posibles “ceros”: ± 1, ± 2 , ± 4 .
Ejemplo (8): Factorizar:
Se anula para x = 1 ⇒ (x - 1) es factor. El otro factor se obtiene al dividir por Ruffini entre (x-1) 1
0
3
-4
+ b )2 + 3( a + b ) − 2 8 = ( a + b + 7 )( a + b − 4 ) 1 1 1 4 ⇓ ⇓ 1 1 4 0 a + b + 7 Segundo grado a + b - 4 2 Método del aspa doble .- Se utiliza para La expresión factorizada es: ( x − 1)( x + x + 4 ) . factorizar polinomio de la forma: METODO DE LOS ARTIFICIOS.- En este caso, 2 2 mediante sumas y restas trataremos de formar A x + B xy + C y + D x + E y + F trinomio cuadrado perfecto para exponentes Ejemplo (6): Factorizar pares o suma o diferencia de cubos para x 2 + 3 x y − 4 y 2 + 7 x + 8 y + 12 exponentes impares. También se pueden hacer cambios de variables. ⇓ ⇓ ⇓ 8 4 x + 4y + 4 Ejemplo (9): Factorizar 4 x + 8 1 y + 3 x - y (a
Los factores son: (x+4y+4)(x-y +3). Caso particular.– Se emplea para factorizar polinomios de la forma:
Ax 4 n +Bx 3 n +Cx 2 n +Dx n +E.
Ejemplo (7): Factorizar
x 4 +7x 3 +17x 2 +26x+12.
M A X IM OC O M U ND IV IS O RY M IN IM OC O M U NM U L T IP L O M Á X IM OC O M Ú ND IV IS O R
PROCEDIMIENTO PARA LA OBTENCIÓN : Para
obtener el MCD de dos o más expresiones algebraicas, en primera instancia se factoriza DIVISORES BINOMICOS.- Se utiliza para éstas y luego se forma el producto de los factorizar polinomios de cualquier grado factores comunes elevados a su menor siempre que tenga por lo menos un factor de exponente. primer grado. Regla: Se calcula los valores de las variables que anulen al polinomio para obtener factores M ÍN IM OC O M Ú NM Ú L T IP L O binomios (ceros del polinomio). PROCEDIMIENTO PARA LA OBTENCIÓN : Para Ejemplo, si se anula para: determinar el mcm de varias expresiones se * x = 3, entonces (x - 3) es factor factorizan estas y a continuación se forma el * x= - ¼, entonces (4x + 1) es factor producto de los factores comunes y no Se divide por Ruffini al polinomio entre el factor comunes elevados a su mayor exponente. o factores binomios obtenidos, para obtener el PROPIEDADES: factor que falta.
Regla para obtener los posibles “ceros”: Si el coeficiente del término de mayor grado es la unidad, los posibles “ceros” son los divisores del término independiente. Si el coeficiente del término de mayor grado es diferente de la unidad, los posibles “ceros” serán, los divisores del término independiente divididos por los divisores del coeficiente del término de mayor grado. Ejemplo:
–
–
El MCD de dos o más expresiones primas entre sí es la unidad y su m.c.m es el producto de ellas. Sólo para dos expresiones algebraicas A y B se cumple que:
A.B = MCD ( A,B ).m.c.m. (A, B ) –
Cuando no hay factores comunes el MCD será 1 y el mcm, el producto de ellas.
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EJERCICIOS
10. Factorizar: 1. Encuentre una diferencia de los factores primos y mónicos de: R(x) = (x+10) (x+11)(x+12) + (x+10) (x+11) + x+10 a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 0
F(x;y)=(x+1)(x+4)-9y(y-1) Indicar un factor primo
a) x+2y+1 c) x-3y-5 e) x+y+3
b) x+3y+1 d) x+4y-6
11. Si luego de factorizar T(x)=4x4-13x2+9 2. Factorizar: P(x;y) = 25x – 109x y + 36y Se obtiene: Indique el número de factores primos A = ∑ de los factores primos lineales. B = ∑ de los términos a) 1 b) 2 c) 3 independientes de sus factores d) 4 e) 8 primos. C = Número de sus factores primos 3. Factorizar: 6 2 P(x) = x – x – 6x – 9 AB C Calcular: R= Indicando el número de factores primos obtenidos 2 x 2 c) 2 a) 1 b) 2 c) 3 a) 1 b) d) 4 e) 5 4
2 2
4
+
+
6 x
+4
x
+
4
d) e) 4. Cuál es el binomio que es divisor de la suma de los factores primos de: 12. Determine “β” si es un cero de P(x) P(a;b) = a4 + b4 – 4ab(a2+b2)+5a2b2 P(x) = 7X3 – 57X2 + 57x-7 a) a+b b) a-2b c) a-b a) β =2 b) β = -7 c) 1/7 d) a+2b e) 2a-b d) β = -1 e) β = -1/7 5. Calcular la suma de los factores primos de: 13. Factorizar: R(x;y) = X2(x-y)2 – 14xy2 (x-y) + 24y4 X3 – 3x2 + 4x-2 a) 2 (2x-y) b) 4x-y c) 4x e indicar un factor. d) 4 (x-y) e) 4(x+y) a) x + 1 b) x-1 c) x2+x+1 2 d) x +2x-2 e) x+2 6. Calcular un factor de: a2 + 2a + ab + b + 1 a) a+b+1 b) b+1 c) b-1 14. Luego de Factorizar: d) a-1 e) a+b N(x;y) = 6x2 + 19xy + 15y2-11x+4-17y Indicar un factor: 7. Factorizar: m2-4p2+4mm+4n2 y calcular la suma de los factores primos obtenidos a) 2x + 3y-1 b) 2x-3y+1 a) 2m + 4n b) m + n + 2p c) m+n c) 3x-5y+4 d) 3x+y+4 d) 2m+n e) m+2n e) 3x+5y+4 8. Calcular la suma de coeficientes de un factor 15. Factorizar: primo: P(x) = x5(x-3) + x3(2x-1) + (x+2)2-8 e indicar un 4 2 4 8 S(m;n) = 7m +29m n – 36n factor primo a) 48 b) -1 c) 35 a) x +2 b) x3-x-2 c)x3-x2+x-2 2 2 d) 42 e) 0 d) x +1 e) x -x-3 9. Factorizar: P (a;b;c)= a2+a-b2+b-c2-c+2bc Y dar un factor primo: a) a+b+c b) a-b+c++1 c) a-b-c d) a-b-c+1 e) a+b+c-1
16. Luego de factorizar 5 4 3 2 M(y) = y -3y -23y +51y +94y-120 indique cuál es el factor que no proviene de “M” a) y-5 b) y+4 c) y+2 d) y-1 e) y+3
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17. Factorizar: P(x;y) = 6x2 – 2xy – 3x – 24y – 8y2 – 18 e indicar un factor primo a) 3x+4y-6 b) 2x+2y-3 c) 2x+2y+3 d) 3x+4y+6 e) 3x-4y+6 18. Factor:
R(x;y) = 28x2-69xy-22y2-36x-71y-40
25. Hallar el MCD de los siguientes A = 3x5 - 2x4 – x3 + 2x2 – 2x B = x5 – x e indica el número de divisores algebraicos que posee a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e)10
e indicar el término independiente de un factor 26. Hallar el término lineal del MCD de : primo obtenido A = x4 + x3 – 6x2 – 5x – 1 a) 5 b) 4 c) 8 d) 2 e) 1 B = x4 – 7x2 + 1 a) x b) 2x c) 3x 19. Si luego de factorizar: d) –3x e) –2x
M(x) = 2x4 – 3x3 – 1
Un factor se evalúa para x = 2 , se obtiene: a) 2- 2
b) 1- 2
d) 1+ 2
e) 3 +
c) 5 +
2
2
20. Indicar un factor primo obtenido al factorizar: E(a;b;x;y) = ab(x2+y2) + xy (a2 + b2) a) a+x b) a+y c) ab+x
d) b+xy
e) ax+by
21. Al factorizar:
A = (n-1) (n+2)(n-3)(n-6)+7n2-28n+1 Se obtiene 2 factores que se diferencia en: a) 2 b) 5 c) 7 d) 12 e) 16
22. Hallar el MCM de los polinomios P(x;y) = 2x2+xy-15y2-4x+10y Q(x;y) = 2x3-5x2y+2xy2-5y3 2
2
a) (2x-y) (x+y-2) (x +y ) 2
2
b) (x-5y) (2x+y-2) (x +y ) 2
2
c) (x+5y) (2x-y+2) (x +y ) 2
2
d) (2x-5y) (x+3y-2) (x +y ) 2
2
e) (2x+5y) (x-3y+2) (x +y )
27. Hallar el MCD de :
A = x5 – ax4 – a4x + a5 B = x4 – ax3 – a2x2 + a3x a) x+a d) (x+a)/x-a)2
b) (x-a)2 e) (x+a)2
c) (x-a)(x+a)2
28. Hallar el MCD de :
A = x6 – y6 B = x3 – 2xy3 + y3 +2x2y2 C = x8 + x4y4 +y8 a) 1 d) (x-y)2
b) (x+y)2 e) x2 – 1
29.El T.I. del MCD de : A = x4 + x3 + x2 + 2x + 1 B = x5 + 2x3 + x2 + x + 1 a) 1 b) 2 d) -1 e) –2
c) (x+y)(x-y)
c) 3
30. Hallar la suma de coeficiente del MCD de :
A = x6 + x4 + x – 1 B = x6 – 2x3 – x2 + x + 1 a) 3x2 d) –x2
b) –2x2
c) x2
e) no tiene
23. Hallar el MCD de los polinomios
M(x) = 2x4 + 5x3 + 2x2 – x – 2 N(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8
e indica la suma de sus coeficientes a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) – 2 24. Indica la suma de coeficientes del MCD de los polinomios
P(x) = x25 + x2+1 y Q (x) = x 5+x+1 a) -2
b)1
c)3
d) -4
e) – 1
ESTUDIA MUCHO Y TRIUNFARÁS
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In e c u a c io n e s
Donde:
− ∞ : menos infinito + ∞ : mas infinito
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: Al finalizar el tema el alumno será capaz de: 1. Poder determinar la relación correcta entre los números reales y aplicar correctamente las propiedades de las desigualdades. 2. Saber definir los intervalos (abierto, cerrado, etc.) 3. Determinar el conjunto solución gráficamente (recta numérica) Es la relación de orden que se establece entre dos cantidades que poseen diferente valor.
DEFINICIONES
Siendo a ∈ R, se establece: a es positivo ⇔ a>0 a es negativo ⇔ a<0 a es no positivo ⇔ a ≤ 0 a es no negativo ⇔ a ≥ 0
Sean a, b, c, y d ∈ R 1. Si: a > b ......... ( i ) y c > d ......... ( ii ) ( i ) + ( ii ): ⇒ a+c>b+d
2. Si: a > b ........ ( i ) y c < d ........ ( ii ) ( i ) – ( ii ): ⇒ a-c>b–d INECUACIONES Es toda desigualdad condicional que contiene una o más cantidades desconocidas (las variables) y es verdadera sólo para determinados valores de las mismas.
3x+ 4< 0; 4x2 − 1≥ 0;
x2 + 1< 4
Las inecuaciones pueden ser lineales, cuadráticas, exponenciales, etc.; de acuerdo a la expresión representada.
entonces se define: 1. Ley de Tricotomía: Siendo a y b reales, una y solo una de las siguientes sentencias es valida.
A
b 2. Ley Aditiva Si a < b y c ∈ R ⇒ a + c < b + d
Conjunto Solución , lo constituyen todos los números que desigualdad.
hacen
verdadera
la
INTERVALOS
3. Ley multiplicativa Si a < b y c > 0 ⇒ ac < bc 4. Ley Transitiva Si a < b y b < c ⇒ a < c RECTA DE LOS NUMEROS REALES ( R ) Sea el numero “n” ( n ∈ R)
−∞
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Ejemplo:
AXIOMAS DE ORDEN: Si a; b y c ∈ R,
n<0
N º07
Es aquel subconjunto de los números reales, definiendo un conjunto de valores entre dos limites, inferior y superior . Intervalo abierto: Es aquel conjunto de números comprendidos entre dos que tiene la propiedad de no tomar los valores extremos. Se representa: Gráficamente
a
b
° Simbólicamente: a
n>0
+∞
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Intervalo cerrado: Es aquel conjunto de números comprendidos entre dos que incluye los valores extremos. Se representa: Gráficamente
* Si la ecuación presenta las relaciones ≤ ó ≥, los intervalos son cerrados a excepción de los valores que aparecen formando parte de un denominador.
Ej.: Halla el conjunto solución de: (x–3)(x+1) ≤0 a
b
Solución:
Los puntos críticos son: –1 y 3. +
Simbólicamente: a≤ x ≤b ó xε[a,b]
–
+
Intervalo mixto: Aquellos que son abiertos en uno de sus extremos. Se representa: Gráficamente °
a
-1
3
C.S: [–1,3]
b
INECUACION RACIONAL
Simbólicamente: a< x ≤b ó xε〈 a,b]
Intervalos infinitos: Algunos son: a) 〈a,+∞ 〉 ó x > a c) 〈 –∞, a〉 ó x < a
b) [a,+ ∞ 〉 ó x ≥ a d) [–∞,a〉 ó x ≤ a
PUNTO CRÍTICO. – Sea P(x) un polinomio de grado “n”; si uno de los factores es (x–r), entonces r es un cero o valor crítico de P(x); es decir, son los valores que anulan al polinomio.
Algunas propiedades:
→ – a > – b. 1 1 b → > ; a,b ≠ 0,a,b
1) Si: a < b 2) Si: a < 3) 4) 5) 6) 7)
a
b
tienen el
mismo signo. Si: x < y < z → x < y ∧ y < z. Si: |x| < a → a > 0 ∧ – a < x < a. Si: |x| ≤ a → a ≥ 0 ∧ – a ≤ x ≤ a. Si: |x| > a → x > a ∨ x < – a. Si: |x| ≥ a → x ≥ a ∨ x ≤ – a.
MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS: Se considera los pasos siguientes: * Los coeficientes de la variable factorizada deben ser positivas. * Se iguala cada factor a cero y se hallan las raíces (o puntos críticos). Estos se ordenan en la recta numérica en forma creciente. * Entre éstos puntos se escriben los signos (+) y (–) alternadamente, de derecha a izquierda. * Si la expresión factorizada es mayor que cero, el conjunto solución estará dada por los intervalos abiertos donde aparezcan el signo (+); si es menor que cero, el conjunto solución estará dado por los intervalos abiertos donde aparezcan el signo (–).
Sean P(x) coeficientes
P ( x) Q ( x )
y Q(x) dos polinomios de principales positivos, luego
>< 0;
Q( x ) ≠ 0 se llama inecuación
racional. Para resolverla aplicaremos el método de los “puntos críticos”. 1. Se factoriza los polinomios P(x) y Q(x), para luego hallar las raíces reales.
OBSERVACION: P(x) = ( x-1)2 (x +3)3 Luego:
1 es una raíz de multiplicidad “2” (par) no se ubica sobre la recta real
-3 es una raíz de multiplicidad “3” (impar) esta raíz se ubica sobre la recta real.
2. Si:
P ( x ) Q ( x )
> 0 el
conjunto solución estará
formado por la unión de los intervalos positivos.
P ( x) 3. Si:
Q ( x )
< 0 el
conjunto solución estará
formado por la unión de los intervalos negativos. Resolver:
( x − 1) ( x + 2) 2
x − 4
3
≥0
CENTRO PRE UNIVERSITARIO ALGEBRA –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Observación:
1 es una raíz de multiplicidad par( no se considera en la recta real) , -2 es una raíz de multiplicidad 3 ( se considera en la recta real) o impar 4 es una raíz simple ( se considera en la recta real.
4.- Una vez resuelta la inecuación:
( x2+2x+3 ) ( x – 5)3 ( x – 8)4 ( 7 – x)7 ( x2 + 1) < 0 Su con junto solución es:
ℜ − {[a; b] ∪ {c}} +
-
A) 0 E) 8
4
C.S = <- ∞ , -2] U < 4, + ∞ > U {1}
1.- Hallar el mayor “a” y el menor “b” , tal que, para todo x [ 1/2 , 1 ], se cumple:
x + 2 x + 3
≤b
( x +1)( x + 2)( x + 3) ( x +3)( x + 2) ≥ ( x +5)( x −3) ( x −3)
C)
[− 2;3[ [ − 3;2]
E)
[ − 3;3[
A)
B) 13/415 E) 37/14
C) 23/12
2.- Para a
]− 5;−2[
D)
]− 5;3[
2
A) a D) 0
B) b E) 1
x
− 3 x + 3 > 2 x − 1
2
C) a-b A)
x
3.- Determine el conjunto solución de:
x − b
x − a
a b
B)
x
C)
x
D) x
; si 0 < a < b
]− ∞; a[∪]a + b;+∞[ B) ]− ∞; a + b[ ∪]a;+∞[
A)
C) ]a; a + b[ D) ]a + b; a [ E)
B)
6.- Hallar el conjunto solución de la desigualdad:
b b 1 1 2 2 x x + ≤ + 2 2 2 a b + a a b − a 1+ 1 − b b 2
C) 2
Indique un intervalo de solución:
determine la suma de ( a + b) A) 41/28 D) 15/29
B) 1 E) 16
5.- Luego de resolver:
PROBLEMAS
≤
]− ∞; a + b[
a
+
-2
a
Encuentre: ( c-b)
E)
x
1 2 1
∧x
5
∧x
−2 3 −5
3
1
1 3 3
4
∧ x 1
∧ x 1
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7.- Hallar el valor de P = x − y ; donde x, y son números enteros positivos que satisfacen las siguientes desigualdades
(a + 1) x 2 + ax + a 11.- Si
5x – 3y > 2 2x + y < 11 y > 3 a) -1 d) 8
c) 1
ax – c = b x ; es cierta ? siendo a > b y a,b, c Positivos.
D)
B)
a+b
c E)
c
C)
a+b a+b
∧
12.- Dados los conjuntos
x ∈ ℜ / x + 2 > x − 2 M= x x − − 9 1
c
∈ ℜ / 1 > 1 ≥ 0 3 x − 13 2 x − 71
N = x
c a −b
Halle M ∩ N
[9;+∞[ C) ]9;+∞[ E)
ax2 + ( 1 – a2) x – a > 0 tomando en valor absoluto es menor o igual a 2.
∈ ] -1/2;0] ∈ [-2;-1/2] ∈ [-1/2;2]
B) a D) a
∈ ]1/2;1[ ∈ [-2;2]
x
13.-
B)
]13 / 3;+∞[
Si al resolver la inecuación:
( x + 3) ( x + 6) ( x − 4 x + 5) ( x − 3) ≤ 0 2
9
3
2
5
4
( x − 2)2( x + 3)7( x − 3)999
Se obtiene como conjunto solución a:
10.- Resolver la inecuación:
x2 + x +
[− 9;+∞[ D) ]− 9;9[
A)
9.- Hallar los valores de “ a ” para los cuales todo valor de “ x ” que satisface la desigualdad:
A) a C) a E) a
“ a ”
]− ∞;2[ B) ]2;+∞[ C) ]2 / 3;2[ D) ]2 / 3;2] E) ]− ∞;2 / 3[ ∪ ]2;+∞[
a−b
c
a−b
∀ x ∈ ℜ ,
A)
8.- ¿Para que valor o valores de “ x ” la siguiente desigualdad :
A)
+ x + 1
>2
entonces podemos afirmar que pertenece al intervalo.
b) 7 e) 0
c
x
2
]− ∞; a ]∪]b; c[∪]c; d [
+1 ≤ 0
Halle a + b+ c + d A)
]0;1[
B)
]− 1;0[
D)
ℜ
E)
C)
]− 1;1[
A) 3 D) -1
B) -5 E) 9
C) 6
CENTRO PRE UNIVERSITARIO ALGEBRA –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
14.- Demuestre las desigualdades
a+b 2
≥
17.-Resolver la desigualdad
∀a, b ∈ ℜ0
ab
y cual es la menor cota superior que toma 21 , “ c “ es un entero positivo A) 10 D) 6
x 2
+
B) 11 E) 4
C) 5
− ∞,−1 ∪ 2,+∞ B) x ∈ − ∞,−1 ∪ 2,+∞
A) x∈
[2,3]
C) x∈ 15.- Si “ n “ es un entero mayor que la unidad que verifica D) x∈
n2
1 n2+n . 2
1 7+6n . 2 2n+n . . . . .
.
. . . .
1 1 3n
1 1 3n
1 2n >
n
3
B) 32 E) 27
3
(
2 x−3
33
2(0.125)
−1))
<3
A)
2,−∞
B)
C)
− ∞,−2
D)
E)
0,+∞
3
+
1 − x
3
3
≥
6
1 − x
6
(0.5)
2x
27(18..3
4,+∞
≥ 1 ∨ x ≤ −1 B) x ∈ ℜ
A)
x
C)
x= 0
E)
x
C) 21
x+1
1 + x
se verifica si y solo si :
16.- Señale el intervalo no solución al resolver la desigualdad: x
[ 2,+∞]
8
Determine la suma de todos ellos A) 28 D) 20
[1,+∞]
D) x∈
18.- La siguiente desigualdad:
1 2n n
− x − 2 > 1 − x
D)
x ∈
≤1
19.- Hallar el conjunto solución de:
x
−1)
2
−
x 6
+
A)
1, 6
C)
−
E)
[ 5 + 6[,+∞
3,+∞
5+
6
5
≤
30
B)
] − ∞,
D)
[−
]
6+ 5
5,+∞
]
CENTRO PRE UNIVERSITARIO ALGEBRA –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
20.- Un comerciante disponía de una cantidad de dinero para comprar un cierto numero de objetos iguales entre si. Pensaba comprarlo al peso al precio de S/. 50 c/u y le faltaba mas de 48 soles, después pensó comprarlo al precio de S/. 40 c/u y le sobraban mas de S/. 152, por ultimo los compro al precio de S/. 30, y le sobraron menos de S/. 392 ¿Cual fue el número de objetos comprados? A) 15 B) 18 C) 21 D) 12 E) 16
4.- Se compra igual cantidad de lapiceros de 2 colores, al venderse la cuarta parte, quedan menos de 118 por vender, y si se vendiera la sexta parte quedarían mas de 129 por vender ¿Cuantos lapiceros se compraran? A) 160 D) 150
B) 156 E) 148
5.- Señale las raíces negativas de la inecuación Siguiente:
abx + a
− b2 <1 2 2 abx + a + b
TAREA DOMICILIARIA
x
1.- Sabiendo que
b
<
x
1
A)
x
C)
Indique: b + c E) B) +a 3 E) -a
2
Siendo a > b
−1
1−
A) -a 2 D) a
2
se deduce que: 2
3
C) 154
-2
C) a
− 1;0 a;0
−
a b
, a
B)
− a;0
D)
−
;0
2.- Halle el conjunto solución de:
( x − 1)( x − x − 2) ≤ 0 3
2
A) x ∈ 1;2
B) x ∈ [1;2]
D) x ∈ (− ∞;−1]
E) x ∈ (− ∞;−1] ∪ [1;2]
C) x ∈ [1;2)
3.- Hace dos años Pepe pesaba 1 Kg. menos, si entonces el cociente entre su peso y su edad era 5/3 y ahora el cociente esta entre 1 y 6/5 ¿Que edad tiene Pepe? A) 2 D) 8
B) 3 E) 9
C) 4
ES TU ALTERNATIVA
b a
;0
Álgebra
CENTROPREUNIVERSITARIO A C A D E M I A P R E U N I V E R S I T A R I A
“CAYETANOHEREDIA” Á L G E B R A OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
N º08 M=2! – 1! + 3! – 2! + 4! – 3! M= 4! – 1! M=24 – 1 = 23.
– Aplicar las reglas de cálculo del Binomio de Newton
en la simplificación de expresiones algebraicas. Aplicar las reglas de cálculo de la potenciación n– 02. COMBINACIONES esima en la simplificación de expresiones algebraicas. n! n C = – Operar con radicales y racionalizar el denominador Definición: k ( n − k )!k! ; n,k N, n k. de una fracción algebraica.
BINOMIO DE NEWTON 01. FACTORIAL DE UNNÚMERO NATURAL Se define y denota el factorial de un número natural “n” como el producto que resulta de multiplicar los “n“ primeros números naturales. Así: n!= 1.2.3.( n − 1).n ; n∈N, n≥2
Ejemplo:
9 i) C 2
9!
=
13 ii) C 13
( 9 − 2 )!.2!
=
13 ! 0 !. 13 !
9 .8.7!
=
7!.2!
= 36
=1
También:
PROPIEDADES
Ejemplo i) 5!=1.2.3.4.5=120 ii) (k+2)!=1.2.3.4…k.(k+1).(k+2)
n 1. C n
= 1 = C 0n
Nota:
DEFINICIÓN iii)
1!=1
vii)
0!=1
2. Complementaria:
PROPIEDADES
2003 Ejemplo: C 2002
1. Si: a! = b! ⇒ a = b. Nota: Si: x! = 1 ⇒ x = 0 ∨ x=1. 2. n! = n(n – 1)! Ejemplos: i) (k+2)!=(k+2)(k+1)k! 3. n (n!)=(n+1)! – n!
3.
n C k
Solución:
=n
n n C = k n − k
= C 12003 = 2003
+ C k n+1 = C k n++11
Ejemplo:
10
i) C 2
+ 2C 310 + C 310
10 + C 10 2 3
C Ejemplo: Efectúa: M= 1(1!) + 2(2!) + 3(3!)
C
n C 1
C
11 3
+
+ C 310 +
C
11 4
10 4 C
= C 12 4
Álgebra
CENTROPREUNIVERSITARIO
4. Reducción de índices:
2. Los coeficientes de sus términos equidistantes son iguales por ser combinaciones complementarias.
n = n C n −1 C 4.1. k k k −1
3. La suma de sus coeficientes es
Cn 0
n n − k + 1 C n 4.2. C k = k −1 k n n n 1 C C − = 4.3. k n − k k n
5. Si: C k
C n 0
i) n = a ∧ k = b = C ba ii) n = a ∧ k = a − b
n(n −1)(n − 2)(n − 3)( n − k +1) ;
k!
n,k∈N, n≥k.
Ejemplo:
8 C 3
=
8.7.6 3!
+ C1n + C n2 + + C nn = 2 n .
También se cumple:
REGLA PRÁCTICA
C=
= 56
03. BINOMIO CON EXPONENTE NATURAL Si:
( x+ y)n =C 0n xn +C 1n xn−1 y+C 2n xn−2 y2 ++C nn yn; ∀n∈N.
+ C 2n + C 4n + = C 1n + C 3n + C 5n +
4. Si el binomio es suma los términos del desarrollo serán positivos, si es diferencia los signos son alternados; lugar par “positivos”; lugar impar “negativos”.
n 5. Los coeficientes de la expansión de ( x + y ) forman el triángulo de Tartaglia. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
6. TÉRMINO GENERAL DE ( x + y ) n n n − k k y ⇒ t k +1 = C k x Donde: k+1=Lugar buscado. x,y = bases. n = exponente del binomio.
Ejemplo:
Ejemplo: Halla t 8 de
(a+b)4 =C04a4 +C14a3b+C42a2b2 +C34ab3 +C44b4
t
Efectuando:
(a + b)4
= a4
t
+ 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
PROPIEDADES DE ( x
+
2 n , es decir:
y ) n
( x + y)9
= C9 x 2 y 7 7 ( 7 +1) 8
=
9! 2!.7!
x 2 .y 7
= 36 x2 y7
COEFICIENTES BINÓMICO O BINOMIAL Definición: " k" factore s
1. El número de términos de su desarrollo es “n+1”. Ejemplo: Si ( x tiene 85 términos.
+ y) 84
su expansión
n n ( n − 1)( n − 2 )... ( n − k + 1) = ; k! k ∀n∈R ∧ k∈N
Álgebra
CENTROPREUNIVERSITARIO
RADICALES DOBLES
n Además: = 1; 0
n = n. 1
2 +1 ( 2 +1)( 2)( = Ejemplo: 3! 3
DEFINICIÓN.– Son
)=
2 −1
2 6
aquellos que se caracterizan porque dentro de un radical, se encuentra(n) contenido(s) otro(s) radical(es) ligados con otras expresiones, a través de las operaciones de suma o resta. Ejemplos:
A± B ,
3
NOTAS:
etc
n α β P( x, y ) = ax + by 1.
CONVERSIÓN SIMPLES
x± y ,
a+ b+ c + d,...
DE RADICALES
DOBLES
A
No siempre se podrá transformar los radicales dobles a simples. En esta guía estudiaremos los dos casos más – La suma de los coeficientes es: . usados con los correspondientes presupuestos que se – La suma de los exponentes de los términos de consignan para dicha transformación. ( n )( n 1 ) RADICALES DE LA FORMA: ( ) α β su expansión es: .
( a + b) n +
+
(
+
+
2
+ k − 1 Cn . n
∑
n!
x
=
cumplirá solo
=
±
y
si existe
un número
o
A2 − B
Donde “c” es raíz exacta; si esto es verdadera, entonces:
En el desarrollo de (a+b+c+d+...) n, n ∈
( a + b + c+...) =
Se
expresión: C
(Fórmula de Leibnitz)
n
A± B
)n
+
a2 ak 2. Si: a1 – El número de términos de su expansión es:
A ± B = A+ C 2
a .b .c ..... !.!. !.....
+ + +.... = n ; {, , ,......} ⊂ +0
donde:
Ejemplos: simples:
Descomponer
±
A-C 2
en
radicales
2− 3
RADICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Solución: Reconocimiento de elementos: DEFINICIÓN.– Es la operación que consiste en hallar
−
=
−
⇒ = 2 ∧ B= 3
una expresión llamada raíz de modo tal que se A B 2 3 A cumpla, que al ser elevada esta a un número llamado índice reproduzca otra expresión denominada sub2 radical o radicando. A B Calculemos de C: C n n A = r r = A, donde n ∈ ¡Raíz exacta! Donde: n : es el índice ; RADICALES DE LA FORMA : signo radical 2 A : Cantidad sub-radical o radicando A B 2 A B A B + ± = ± r : raíz.
=
(
− =
) =
2
2
−3 =1.
A± B
Álgebra
CENTROPREUNIVERSITARIO
Forma Practica.- Consiste en buscar (o lograr) un trinomio cuadrado perfecto en el radicando. Ejemplos: 5.- Simplificar : Descomponer en radicales simples: 18
10
+2
E =
21
Solución: Debemos encontrar ahora dos números que
C5
+ C 618 + C 719 + C 820 21 21 C8 + C 13
A) 5 D) ¼
B) 4 E) ½
C) 3
sumados de 10 y multiplicados 21. Es decir: 10 = 7 + 3 y 21 = 7 x 3 (siempre el primer sumando y el primer 6.- Calcular el valor de “ n “ sabiendo que la suma de factor debe ser mayor que el otro). coeficientes de lugar par del siguiente desarrollo
10
+2
7 +3
21
=
7 + 3 + 2 7.3
=
7
+
( x + y ) −3
4
3
n
es igual a 4096
7x3
A) 15 D) 1 2
RACIONALIZACIÓN
B) 14 E) 13
C) 10
Es el proceso que consiste en transformar a uno de los componentes de una fracción (numerador o denominador) que esta en forma irracional en otra 7.- Hallar el númerode términos del desarrollo: equivalente parcialmente racional. 12
( x + y + z + w )
PROBLEMITAS
A) 355 D) 25
B) 455 E) 155
C) 30
1.- Hallar el valor de “ P” sabiendo que:
( P + 5) ! = 40320 A) 5 D) 2
2.- Simplificar:
B) 4 E) 1
E
C) 3
( x3 + y )
m n
4 !− 5!+ 6!
=
5!+ 6!− 7!
−
A) 5
B)
D) 2
E) 1
26 175
A) 5 D) 2 C) 3
n! ( n! -3 ) = 18 ( n! + 4 ) A) -4 B) 4 D) 2 E) 1
4.- Hallar “ n “ si A) 5 D) 8
C
B) 4 E) 1
C) 3
9.- Hallar el coeficiente del termino independiente de “ − 4 12 8 x “ en el desarrollo de A) 495 B) 490 C) 493 D) 492 E) 491
C) -3
10.- Hallar el lugar que ocupa el término de máximo valor en el desarrollo de:
= 28
B) 7 E) 9
es 8
( x + x )
3.- Hallar el valor de “ n” sabiendo que:
n n−2
8.- hallar el valor de “ m “ sabiendo que la diferencia entre los grados absolutos de los términos noveno y quinto del desarrollo del binomio
C) 3
( 2 x + y) 14
para x = 4; y = 5
Álgebra
CENTROPREUNIVERSITARIO
A) 5 D) 8
B) 4 E) 6
C) 3 16.- Transformar el siguiente radical n
3 x2 y7 5 + 11.- En el desarrollo del binomio x y
existen dos términos consecutivos el primero independiente de “x” y el segundo independiente de “y” Calcular “ n “. A) 59 D) 6 2
B) 64 E) 61
C) 60
+2
10
+ 2+ 6+ 2− 2+
+ 4+ 2+ 3+ 3−
2
A) B) C) D) E)
6
+2
3
10
+2
15
5 5 5
5
5
12.- Halla el número de términos en el desarrollo de 17.-Simplificar
(a + b )
2 2 k
3
−[ x x
si la suma de los grados de sus términos de su desarrollo es 275.
E = 2 x
A) 15 D) 12
A)
2x
B)
2 x
D)
2 2x
E)
−
B) 14 E) 11
C) 13
n2
n2
13.- En el desarrollo de la quinta potencia de un cierto 4 binomio se verifica que el cuarto termino es (-40 a 2 18.- El valor equivalente a b6x2 ) y el ,ultimo termino ( -b10 ) Hallar el primer termino del binomio.
6
A) 2ax D) 5ax
B) 4ax E) ax
C) 3ax
A)
−
2
3+ 2
C)
2
14.- Si el producto de la suma de los coeficientes de los
6
E)
3
+
D)
n
C)
7 + 48 6
+
47
2
6
−
n
es
2
2
2
( a + b) , ( c + d ) , ( e + f ) p es 4096 siendo m, n y p números 19.- Simplifique y señale el valor de : m
x
x
B)
2
]
2
. x . x−n x ..........
2
desarrollos
consecutivos ( m
B) 47 E) 51
4 1+ 4
C) 39
( + )
( + )
n
3 + 2 2
A)
2+x
B)
2 +1
C)
2 −2
D)
2 −1
15.-La diferencia de números de términos de los m
1+ 2
(1+ 2 )
b y a b es dos el binomios a E) 2 3 producto de dichos binomios posee tres términos mas que el primero hallar el numero mn 20.- Para que valor de “ n “ se cumple. A) 50 B) 47 C) 39 D) 52 E) 53
−
2−1
Álgebra
CENTROPREUNIVERSITARIO
n !!!
( n !!− 1) ! A) 3
=
720 ! 7 18 !+ 7 19 !
B) 7
C) 6
− 614
D) 4
señale uno de ellos
D)
+ 4 x+ 1 3 x − 4 x + 1 3 x − 4 x− 1 3 x + 6 x + 1
E)
2 x3 + 4 x + 1
A)
E) 5
B)
TAREA DOMICILIARIA
a !! 1.- Efectuar
R=
A) 3 D) 4
0 !!
−
C)
a !!!+ a !!
( a !!− 1) !+ 1
B) 0 E) 5
x3
C) 6 5.- Hallar el numero de términos del desarrollo de
x + y 2
2.- Simplificar
22 x23 x24 x............... x70 53 x54 x55 x................ x70 52!
A)
53!
B)
21!
21!
D)
E)
21!
C)
54! 21!
A) 53 D) 54
B) C) D) E)
+ 2− 2+ 3+ 2+
5−
7
5− 7
5+
7
5− 7 5− 3
4.- Después de transformar en radicales simples
2 x3 − x+ 2 x6 − x4 −20 x2 −9x−1
C) 56
6.- Halle el termino de lugar 5 en el desarrollo de 2
(5 + 3 x2 ) 3 A)
14 + 2 10 − 56 − 140
2
, si el termino de
B) 57 E) 55
21!
3.- Expresar en forma de radicales simples la expresión.
A)
y
lugar 25 tiene a “ x ” con exponente 44:
55!
50!
5n + 2
x 2
−
7 3 25 1875
93 25 C)
1875
7 3 25
8
x
5
x
B)
1875
7 3 25 D)
1075
ES TUALTERNATIVA
8
x
x9
A C A D E M I A P R E U N I V E R S I T A R I A
“CAYETANOHEREDIA” Á L G E B R A
N º09
F U N C IO N E S
OBJETIVO. – Reconocer, analizar y representar relaciones, funciones y aplicaciones, así como determinar el dominio, rango y grafo de los mismos y saber construir con seguridad las gráficas de las funciones. iii)
FUNCIÓN
DEFINICIÓN. – Dados dos conjuntos no vacíos A y B se define una función de A en B como un conjunto de pares ordenados (x; y) tal que a cada elemento x∈ A existe un único elemento y∈ B .
Notación:
Si “f” es una función de A en B, luego:
f:A
B
Condición de existencia y unicidad Sea f : A B; se debe cumplir:
...................... Función
1.
∀ x ∈ A; ∃! y ∈ B /( x; y ) ∈ f
2. Si
( x; y ) ∈ f ∧ ( x; z ) ∈ f
Obs.:
→ y = z
DOMINIO DE UNA FUNCION Es el conjunto de todas las primeras componentes y se denota por:
Df o Dom f
Df = {x ∈ A/ ∃!y ∈ B∧ (x,y)∈ f } ⊆ A
∀ ; se lee para todo ∃ !; se lee existe y es único
Nota: De la definición de una función se deduce; que dos RANGO DE UNA FUNCION
pares diferentes no deben de tener la misma primera Es el conjunto de todas las segundas componentes y se componente denota por R f o Ran f:
Ejemplos: i)
R f = {y ∈ B/ ∃x ∈ A ∧ (x, y) ∈ f } ⊆ B
Ejemplo:
f
A
B
Sea f = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)} su dominio y rango es:
Df = {1,3,5,7};
R f = {2,4,6,8}.
REGLA DE CORRESPONDENCIA Es aquella relación que se establece entre la primera y segunda componente de una función. Esta relación se establece mediante una formula matemática.
f:A
........... F u n c ió n
i)
A
B
B
y = f(x) ...................... Función
Propiedad: Toda función queda completamente definida si se conoce el dominio y la regla de correspondencia de la función.
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
CENTRO PREUNIVERSITARIO
ALGEBRA
⊆ℜ ∧ ⊆ℜ
B Sea f : A B, Si A f es una función real de variable real.
diremos que
Teorema fundamental de las funciones reales Una función es real de variable real, si toda recta vertical corta a su gráfica en un sólo punto.
Ejemplos: Y
DF = { x
∈ R / G ( x) ≥ 0 }
Ejemplos:
6− x
i) F(x) =
≥ ⇒ ≥ x ⇒ x≤ 6
Obs. 6 –x 0 6 Luego: DF =<- ∞ ; 6]
+3 x − 4
x
ii) G(x) =
Obs. x - 4 >0
⇒ x>4
Luego: DF = < 4; + X
∞>
Nota: No existe una regla especifica para el cálculo del rango, sin embargo se recomienda despejar x en función de y para luego analizar para que valores de “y” la función está definida.
...........Función Y
Ejemplo: Halle el rango de: Solución:
X
≠ ⇒
i) x – 2 0 x Luego: DF= R – {2}
.
ii) Rango: y
=
3 x−1 ( x) = F x− 2
≠2
3 x − 1
............ Función
x − 2
⇒ yx –2y = 3x – 1 ⇒ yx – 3x =2y–1 2 y − 1 REGLA PRACTICA PARA CALCULAR EL DOMINIO = x ⇒ x(y-3) =2y– 1 ⇒ 1. Si la función es polinomial el dominio es el conjunto de los y − 3 números reales ( R ). Además si la función polinomial es Como: y – 3 ≠ 0 ⇒ y ≠ 3 de grado impar, el rango también es R. Ejemplo:
i) F(x) = 6x8 +x5 + x3 + 3 ii) G(x) = x3 –2x2 +x +3
⇒ ⇒
DF = R DG = R y RG = R
H ( x ) 2. Si la función es racional : F(x) =
G ( x )
2 x x
+3 ⇒ − 2
x ii) G(x) =
iii) H(x) =
x − 9 x + 5 2
x
2
DF = R – { 2 }
⇒
⇒ + 16
Observación: x2 + 16
≠
Donde Df =R; R f = {c}. Su gráfica es:
Y
F(x)=c
DF = R – { 3, -3 }
c
DF = R
0
3. Si la función es irracional: F(x) = se obtiene como:
f(x) = c
f = {(x, y) ∈ RxR/y = c, " c" es constante)}
Ejemplos: F(x) =
FUNCIONES ESPECIALES
, el dominio se 1. FUNCIÓN CONSTANTE.
obtiene como: DF = R– { x/ G(x) = 0 } i)
Luego: RF = R– {3}
0
G ( x ) , el dominio
X
2. FUNCIÓN LINEAL
f = {(x, y) ∈ RxR/y = ax + b, a
≠ 0} ,
CENTRO PRE UNIVERSITARIO
ALGEBRA
Donde: Df = R; R f = R.
Y
X
4. FUNCIÓN RAIZ CUADRADA.– f(x)
=
x.
Donde: D f = R + ; R f = [0,∞ . D =R F
D F=R
4 ac − b2 R F=[
∞ > R =<-∞ ,
,
4a
4 ac − b2
F
4a
5. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO– A la función f le llamaremos función valor absoluto si su regla de correspondencia es: f(x)= x donde:
x
x, x ≥ 0, = − x, x < 0.
Df = R ; R f = [0,∞ . Y = f(x)
P R O B L E M A S 01. Dada la función F = { ( 2; a+b ); (b; b2 +1 ); ( 2; 7 ); ( b; 5)}. Halle ab + 30
6 .
F U N C IO NC U A D R Á T IC A F(x) = ax2 +bx + c, a
A)12
B) 40
D)60
E)8
C)50
02. Sea: A = {1; 2; 4} y “F” una función definida en A por:
≠0
F= {(1;3), (2;a), (a +1; 2), (1; b -1)} Según esto, calcular: S = F(1) – F(2) + F(4)
é rtic e *v: V
V = −
b
2a
;
4 ac − b 2 4a
S ia > 0s etie n eS ia < 0 ,s etie n e
A) 1
B) 2
D6
E 3/2
C) 3
]
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03. Sea A = {0; 1; 2; 3} el dominio de la función f, se cumple 08. Si f es una función tal que:
∀ x ∈ R
que:
f (n − 1) + f (n) = n f (3 ) = 5 Halle
f(x +5) =f(x) + f(5),
¿Cuales son verdaderas?
+ + + , si , ,
I. f(0) = 0
y son
III. f(15) = 3f(5)
diferentes elementos del rango de f. A 1
B2
C3
D4
E5
04. Hallar el dominio de: F(x) =
6 − x
II. f(-5) = -f(5)
A) VVV
B) VFV
D)VFF
E) FVV
09. Hallar el dominio de la función:
+
x− 4
4 + 3 x − x 2
F(x) =
Y dar como respuesta la suma de valores enteros de su
A) [1;4]
B) [-1;4]
dominio.
D) [-4;1]
E) [-1;
A) 5
B) 20
D) 15
E) 0
05. Si
C)FFF
11.Si el intervalo < 1; 2> es el rango de la función f tal que
= (3 a ) x + 1 ; a > f ( x − 1) = 9 f ( x + 1)
D) 9
E) 1/27
f = ( x, y ) / y =
0
Halle el valor de a. B) 1/3
halle su dominio. A) <3/4; 2> C) <4/3; 2> E) <1/3; 2/3>
y
E)12
= F ( x ) = x 2 + 10 x + 21
observar que el menor valor de su rango es:
1 + x
A) 21
B) 4
D) –4
E) -5
C) 5
C) 5
f : N → R
halle la suma de elementos del dominio.
D) 11
B) [3/4; 12] D) <1/3; 1>
12.Al graficar la función:
es una función tal que : A ⊂ Z → Z x → 4 − x + B) 10
2 x + 1 , 3 x − 1
C) 3
06. Si
A)9
∞>
C) 39
f ( x )
A) 1/9
C) [-4; 1]
13. Si:
x → 2
−x
halle la suma de elementos del rango 07. Dado el polinomio P(x) = x3 + (a+1)x2 + x, se define la función f con dominio {0,1,2,3,4,5},por: f(a) = resto de la división de P(x) entre (x + a). Calcular f(2) + f(3) A) 8
B) 7
D) 10
E) 5
C) 9
A) 0
B) 1
D) ½
E) 3
C) 2
podemos
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14. Siendo F una función lineal tal que:
{ (n; n), (3;9), (-1;1)}
18. A partir de una hoja rectangular de metal 12 pulgadas
⊂F
de ancho, se desea construir un canalón para desaguar la lluvia. Para ello se doblan hacia arriba dos lados de
Halle el valor de: 2n2 + 3 A) 35
B) 3
D) -32
E)21
manera que quedan perpendiculares a la hoja ¿Cuántas
C) 53
pulgadas se deben doblar para que el canalón tanga
15. f es una función tal que{ (-2,0),(5,0),(0,r)
⊂
capacidad máxima? f
2 2 f ( x) = x + mx+ n ; además 3
f ( x)
A)-42
B)38
D)-38
E)-40/3
C)42
16. Dada una función constante (F) que verifica:
3 F (3000) + 5F (5000) 4 F ( 4000) + 2 Halle: (F(2005))-F(2006) A) 1 B) 4
2
B) 2 D) 18
19. Hallar el rango de la función:
el valor de m –3 (n+r) .
D)
A) 3 C) 4 E) 16
=1
= x 2 − 4 x + 7,
A) [ 3, 4]
B) < 3, 4>
C) [ -3, 4]
D) [ 2, 4 ]
x ∈ [2,3 ]
E ) < 2, 4 >
20. Sea f(x)=7 + 4x–x2 ; g(x)= 2–2x + x2, xCVR.
∩ Rang.
Halle Ranf C) 9
A) D) [-11,-1]
B) R E) [1; 11]
C) R+
E) 1/9 21. Hallar el dominio de la función:
16. Si I(x) = x(2000 – x) representa el ingreso donde x es el número de artículos vendidos, encuentre el ingreso
f ( x) =
máximo. A) 1000
B) 1 000 000
C)10 000
D) 2 000
A) R- [0,1> D) R – [1, 2 >
1
[ x ] B) R E) R –
C) R- [-1,1> 0
E) 2 000 000
17. Si los elementos del rango de la función f tal que
2n
f ( x) = x
2
− ax +
1
; n ∈ Z +
4
ESTUDIA Y TRIUNFARAS
Son siempre positivos, halle la variación de a.
∞
A) <-1, 1>
B) < -1, +
C) [ -1, 1/2]
D) < 1/2, +
E ) < 2, 4 >
>
∞>
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TAREA
26. Hallar el valor mínimo de la función:
3 − ( 2 cos 2 x + cos 2 x ) 2
2
22. Hallar el rango de la función F(x)= x2 –2 A) [-4,+ D) <-
∞
x
-3
>
B) R
∞ , -4]
C) [3, +
= x −
px
B) 0 E) 1/64
C) 1
>
E) R - {4 }
23. Al graficar la función cuadrática 2
F ( x )
∞
F(x) = A) No existe D) 1/8
27. Considérese la función f con máximo dominio posible,
=
f ( x )
+
q
2
+
x
+
Entonces, el rango de f es: A) [ -2, 2 ]
Se obtiene:
D) [ 2, 2
B) [0, 2 ]
C) [ 2, 4]
2 ] E) [4, 8]
−b p − a q
Calcular:
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
ES TU ALTERNATIVA 24. Dado un triangulo ABC cuya base es AC= 12 y su altura BD= 6 está inscrito un rectángulo KLMN cuya altura es x. Hallar el valor x0 que maximiza el área del rectángulo. A) 3
B) 18
D) 2
E) 5
C) 4
25. El área de la región limitada por las funciones
f ( x ) A) 30 u
2
D) 80 u
2
= 5 − 2 x B) 100 u E) 50
u
2
2
y g(x)= -5 es: C) 40
u
2
2
−
x
Álgebra
CENTROPRE UNIVERSITARIO A C A D E M I A P R E U N I V E R S I T A R I A
“CAYETANOHEREDIA” Á L G E B R A
N º10
L O G A R I T M O S
6. LOGARITMO DE UNA POTENCIA:
01. DEFINICIÓN
log N M M . log N Se denomina logaritmo de un número b b positivo “N” en una base dada “b” positiva y diferente de la unidad, al 7. LOGARITMO DE UNA RAÍZ: exponente real “x” al que se debe 1 MN log log N elevarse la llamada base para obtener b b M una potencia igual al número dado. Simbólicamente: log b N
bx
x
N
Se lee: “El logaritmo del número N en base b es x” N es el número al que se toma logaritmo y debe ser positivo. b es la base del logaritmo y debe ser positiva y diferente de 1. x es el logaritmo (exponente)
34
Ejemplos:
5 2
81
log 81 4
log
25
1
2.LOGARITMO log
b
1
log
e) P
FUNDAMENTAL:
N
Ejemplo:
A n
log
b
ab
n m
A p
log
q
N
log
b
b
N
P
13
log 13 5
DE
5
LA
UNIDAD:
De
base “b” log N k log N b log b k
a
base
log N
Consecuencia:
b
log b b
DE
LA
BASE:
1
“k”:
1 log
0
3. LOGARITMO
aN
n
m
N
log
m
A m
n A
ba
Na
9. CAMBIO DE BASE:
1. PROPIEDAD logbN
b) log
c)
log
b
2
5 25
02. PROPIEDADES
b
a)
log N
p d) log q N b
3
1
8. PROPIEDADES ADICIONALES:
N
b
10. REGLA DE LA CADENA:
log a . log b . log c b c d
log a d
4. LOGARITMO DE UN PRODUCTO: log
b
(M.N)
log
b
M
log
b
5. LOGARITMO DE UN COCIENTE: log
M b N
log M b
log N b
N
03. SISTEMA
DECIMALES,
DE
LOGARITMOS
VULGARES
BRIGGS Base
: 10
Notación : log 10 N
log N
O
DE
Álgebra
CENTROPRE UNIVERSITARIO
PROBLEMITAS
Ejemplos:
∗
log1
∗
log 10
0
1
∗
log0,1
∗
log 0,01
1
01.- Hallar el logaritmo de :
2
5
∗
n ∗ log 0,00...1
log 1000....0
55 A)
04. LOGARITMOS IMPORTANTES log 2 = 0 ,30 10 3
log 3 = 0 ,47712 D)
log 5 = 1 – log 2
05.
SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS, O NATURALES e
Base: e 2,718
1
Lim 1
log A e
ln A
B) 55
2 56
E)
3
C)
55 3
50 3
02.- hallar la suma de los valores de “x” que satisfacen el siguiente logaritmo:
x
log 10 ( x
2
− 15 x) = 2
x
x
Notación:
en base
2
n
n cifras dec.
n cifras cero
83 4
L A
A) 20
B) 15
D) -5
E) 21
C) 25
06 COLOGARITMO IMPORTANTES Definición:
03.- Indicar la menor raíz:
1 Colog N log b b N
log x log x
Donde: N > 0 ; b > 0 ; b ≠ 1 Consecuencia: Colog b N * Colog
Ejemplos: * Colog
5
25
log
log N b
1 2
5
log
8 25
1 2
8
Donde: x
* Antilog
∈R
* Antilog
4
D) 0.01
E) 2
log x − 40 b
bx
x
4 2
2
5
C) 10
3
3
> 0 ; b > 0 ; b ≠ 1
( 2)
B) 0.1
log( x + 1 + 1)
* Antilog 5 2
Ejemplos:
A) 1
04.- hallar el valor de “ x ”
2
07. ANTILOGARITMO Definición;
− log x 4 = 5
32
=3
A) 48
B) 1
D) 49
E) 2
C) 50
05.- Resolver: log3 x
1 16
Propiedades:
8 − log5 x log x x log 5
1. log b (antilog b x)
x
A) 25
B) 24
2. Antilog b (log b N)
N
D) 20
E) 21
−1 = 0 C) 26
Álgebra
CENTROPRE UNIVERSITARIO
x si z log 64 2 = z
06.- hallar el valor de: log 2
1 log x = 2 Λ 9 A) 0
B) 1
D) 1/6
E) ½
12.- hallar el valor de “ x “ de tal manera que:
C) 2
= log a a.log3 a a es 07.- El valor de E A) 1
B) 3
D) 7
E) 9
C) 5
= x3
log 9 2 x
A) 6
B) 5
D) 3
E) 2
09.- Hallar
la suma
ecuación
A) 39
B) 49
D) 29
E) 50
log 5 x
B) 17
D) 13
E) 11
log 3
5
= 2 log 2 3 log
A) 1/2
B) 1/3
D) 1/5
E) 1/7
= log 2
de
(
x
3
A) 4
B) 1/4
D) 1/2
E) 7
x C) 15
1 + log 2 ( x − 4) ( x + 3 − x − 3 ) 2 B) 3
log 2 ( x − 2) + log 2 (3 x + 5) = 2
D) 5
E) 6
3
B)
5 D)
3
4
E)
C)
3
3
7
7
3
= 11
A) 6
B) 12
D) 30
E) 36
16.- Si
log 2 = x
Hallar
y
2 log x
x −1
C) 24
=1
C) 4
log 3 = z
log 5!
A) 2x + z +1 C) x + z + 1 E) 2x + 2z + 1
11.- Calcular el producto de los valores de “ x ” que satisfacen a la ecuación: log x ( x 2 +10 x + 25)
C) 2
15.- La solución de la ecuación:
log
2
es
la
A) 2
A)
2
C) 1/9
+ 19 ) =3 log ( x + 1)
log
10.- hallar la suma del conjunto solución de la ecuación:
1
x
14.- El valor de “ x ” en la ecuación:
de raíces
A) 19
C) 59
13.-: Resolver la ecuación
C) 4
log 2 x
7
para 0
08.- Calcular el valor de “ x ” si
81
+ 3 xlog 5 = 125
log7 x
25
B) 2x – z – 1 D) 2x + z –1
17.- Hallar la suma de los valores de “z” que hacen que exista la siguiente ecuación:
log z z z
A) -4
B) 2
D) 4
E) 0
+ z 2 log z C) -2
2
z
=4