Traitement Analogique du Signal
CNAM Saclay 2006
Aide mémoire mathématique Triangle de Pascal ............................................ ................................................................... .............................................. ................................................ ................................. ........ 1 Dénombrement ............................................ .................................................................... ................................................ ............................................... .................................... ............. 1 Trigonométrie................................................................ Trigonométrie........................................ ................................................ ................................................ .......................................... .................. 2 Logarithmes - Exponentielles.......................... Exponentielles................................................... ................................................. .............................................. ............................. ....... 3 Nombres complexes .............................................. ...................................................................... ................................................ .............................................. .......................... .... 4 Dérivées............................................................... Dérivées....................................... ................................................ ................................................ ............................................ ............................ ........ 5 Série entière .............................................. ...................................................................... ................................................ ............................................ ....................................... ................... 6 Série de Fourier ............................................... ....................................................................... ................................................ ............................................. ................................ ........... 7 Transformée de Fourier .............................................. ...................................................................... ................................................ ............................................. ..................... 7 Transformée de Laplace ............................................. ..................................................................... ................................................ ............................................. ..................... 8
Triangle de Pascal Pasca l 1
(a + b )0 = 1 (a + b )1 = a + b (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b )4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 3 méthode de construction 5
(a + b ) = a + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + b 5
4
3
2
2
3
4
5
…
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
⇓
⇓
⇓
⇓
⇓
(1 + 4) (4 + 6) (6 + 4) (4 + 1) (1 + 0)
1
=5
= 10
=10
=5
=1
⇓
⇓
⇓
⇓
⇓
⇓
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
La forme générale est la suivante (voir : Série entière) :
α (α − 1) α −2 2 α (α − 1)....(α − n + 1) α −n n ( x + y ) = x + α ⋅ x y + x y + ... + x y + ... = 2! n! α
α
α −1
Ú
Ú
C α 1
C α 2
α
α !
∑ (α − n)! n! x
n!= 1× 2 × 3 × ... × n opérateur factoriel
Sylvain LARRIBE Imprimé le 17/03/2006
y
n
n =0
Ú
C α n =
α ! n! (α − n ) !
formule de calcul des combinaisons
Dénombrement Permutations :
α − n
Combinaisons : n!
C n p =
p! (n − p ) !
Page 1/8
(p≤n)
Arrangements : n! An p = (p≤n) (n − p ) !
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Trigonométrie α
0°
30°
45°
60°
90°
0
π 6
π 4
π 3
π 2
= 0.5
0
≈ 0.866
1
cos
1
sin
0
tan
0
cotα
3
≈ 0.866
2
1 3
2
1
≈ 0.707
2 3
≈ 0.707
≈ 0.577
1
3 ≈ 1.732
1
3
+∞
2
2
= 0.5
2
2
2
3 ≈ 1.732 3 3
+∞
0
≈ 0.577
Fonction paire (symétrie suivant l'axe 0y)
: cos(−α ) = cos(α )
Fonction impaire (symétrie suivant l'origine 0)
: sin(−α ) = − sin(α )
cos α =
tan α =
AT 0 A
=
côté adjacent hypoténuse
sin α
=
cos α
=
0 X 0 M
côté opposé côté adjacent
2
sin α =
=
0Y 0 X
=
1 cot α
cot α =
BC 0 A
=
1 + tan 2 α =
2
cos α + sin α = 1
tan(−α ) = − tan(α )
côté opposé hypoténuse
cos α sin α
=
=
0Y 0 M
côté adjacent côté opposé
1
=
0 X 0Y
1 + cot 2 α =
2
cos α
cos(a + b ) = cos a ⋅ cos b − sin a ⋅ sin b
cos(a − b ) = cos a ⋅ cos b + sin a ⋅ sin b
sin (a + b ) = sin a ⋅ cos b + sin b ⋅ cos a
sin(a − b ) = sin a ⋅ cos b − sin b ⋅ cos a
tan(a + b ) =
cos 2a = cos 2 a − sin 2 a
tan a + tan b
tan(a − b ) =
1 − tan a ⋅ tan b
= 2 cos2 a − 1
cos 2 a =
= 1 − 2 sin 2 a
sin 2a = 2 sin a ⋅ cos a = 2 tan a 1 + tan 2 a
1 tan α 1
sin 2 α
tan a − tan b 1 + tan a ⋅ tan b
cos 2a + 1 2
sin 2 a =
=
=
1 1 + tan 2 a
1 − cos 2a 2
produit en somme
cos a ⋅ cos b = sin a ⋅ cos b =
1 2 1 2
(cos(a + b) + cos(a − b ))
sin a ⋅ sin b =
1 2
(cos(a − b) − cos(a + b))
(sin(a + b) + sin (a − b))
somme en produit
sin p + sin q = 2 sin
p + q
cos p + cos q = 2 cos
2 p + q 2
⋅ cos
p − q
⋅ cos
2 p − q
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p − q
cos p − cos q = −2 sin
2
A cosω t + B sin t = C cos( t + θ ) = C sin (ω t + ϕ )
Sylvain LARRIBE
sin p − sin q = 2 sin
⋅ cos
2 p + q 2
p + q
⋅ sin
2 p − q 2
avec C = A2 + B 2 et θ = − arctan B ou ϕ = arctan A B A ou A = C cosθ = C sin ϕ et B = −C sinθ = C cosϕ
Page 2/8
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Logarithmes - Exponentielles Base des logarithmes népérien : e ≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 7 Logarithme népérien : ln(e ) = 1 Logarithme de base n : log n x =
ln x ln n
avec x > 0 et n > 0
Logarithme décimal (base 10) : log10 x =
ln x ln10
ou log x =
ln x ln10
Logarithmes
ln (a × b ) = ln a + ln b ou
ln
b
1,946
1,585 1
1,386
0,301
0,845
0 0
1
2
3
4
y=log10 (x)
0,778
0,699
0,602
0,477
y=ln(x)
1,792
1,609
1,099 0,693
= ln a − ln b
y=log2(x)
2
2
1
a
2,585
2,322
log(a × b ) = log a + log b
3
2,807
3
5
6
7
8
-1
ln a n = n ln a ln n a =
1 n
-2
ln a =
ln a
-3
n -4
-5 200 Exponentielles
e a ⋅ e b = e a+b
x
y=e
x
y=10
180 160
ea
a
= e ⋅e
eb
−b
=e
148,413
a −b
140 128
120
(e )
a b
= e a⋅b
100
100 80
a n = e n ln a
64
60
2 n = e n ln 2 n
10 = e
40
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32 20,086
20
n ln 10
Sylvain LARRIBE
54,598
0,125
0,25
0,5
-3
-2
-1
10
2
1
4
x
x.ln(2)
y=2 =e
16
8
0
0
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1
2
3
4
5
6
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7
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Nombres complexes La multiplication par j correspond à une rotation de 90° ou π radians dans le plan complexe. 2 2
j = −1 z = a + jb
forme algébrique
avec a la partie réelle et b la partie imaginaire du nombre complexe z. z = ρ
θ
forme trigonométrique
avec ρ le module et θ l’argument. Passage de la forme algébrique à trigonométrique :
a = ρ cosθ
⇒ θ = arctan b + k π
et tan θ = b
ρ = a 2 + b 2
Passage de forme trigonométrique à algébrique :
a
b = ρ sin θ
a
soit z = ρ cosθ + j ρ sin θ = ρ (cos θ + j sin θ ) Deux nombres complexes : z 1 = a + jb = ρ 1 θ et z 2 = c + jd = ρ 2 θ 1
2
Opérations
algébrique
Adition
z = z 1 + z 2 = a + c + j (c + d )
soustraction
z = z 1 − z 2 = a − c + j (c − d )
multiplication
z = z 1 × z 2 = ac − bd + j (ad + bc ) z =
Division
(
z = z 1
Puissance
n
z 1 z 2
=
trigonométrique uniquement sous forme algébrique
z = z 1 × z 2 = ρ 1 ρ 2 1
θ +θ 2
ac + bd + j (bc − ad )
θ 1 −θ 2
z 1
ρ z = = 1 z 2 ρ 2
c 2 + d 2
n = (a + jb ) il faut développer
(voir Triangle de Pascal)
( ) = ( ρ )
z = z 1
θ 1
n
1
n
= ρ 1
n n×θ 1
Si a = c et b = -d , Z 2 est le conjugué de Z1, et il est noté Z 2 = Z1*. On a également ρ1 = ρ2 et θ1 = -θ2. Z1 + Z1* = 2a : nombre réel
Z1 - Z1* = 2jb : nombre imaginaire Z 1 = 12θ * Z 1
Z1 x Z1* = a2 + b2 = ρ2 : nombre réel Formule de Moivre : (cos θ + j sin θ )n = cos(nθ ) + j sin (nθ )
e jt = cos t + j sin t et son complexe conjugué cos t =
e jt + e − jt 2
sin t =
e − jt = cos t − j sin t
e jt − e − jt 2 j
Fonction Hyperbolique sinus hyperbolique sinh t =
e t − e 2
cosinus hyperbolique
− t
cosh t =
e t + e
tangente hyperbolique
− t
tanh t =
2
sinh t cosh t
=
e t − e −t e t + e −t
Fonction intéressante pour modéliser un comparateur (fonction binaire).
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Dérivées Par simplification, on écrit :
f ( x) dx
= f ( x)'
( a ⋅ x n )' = a ⋅ ( x n )' = n ⋅ a ⋅ x n −1 ln( x )' =
1
'
n '
ln(u )' =
x
(e x )' = e x
( x ) =
((ax ) ) = n ⋅ (ax)
n −1
⋅ a = n ⋅ a n ⋅ x n −1
u'
ln(ax)' =
u
(e u )' = u '⋅eu 1
'
2 x
(
2 u
cos' ( x ) = − sin( x)
cos' (ax + b) = − a sin( ax + b)
sin' ( x ) = + cos( x)
sin' (ax + b) = a cos(ax + b)
tan' ( x) = 1 + tan 2 ( x ) =
cos 2 ( x )
1 x
tan' ( ax) = a ⋅ (1 + tan 2 (ax) ) =
)
a
'
ax =
2 ax
a cos 2 ( ax)
−1
arccos' ( x ) =
1 − x 2 1
arcsin' ( x ) = arctan' ( x ) =
1
ax
=
(e ax )' = a ⋅ e ax
u'
( u) =
a
1 − x 2 1
arctan' (u ) =
1 + x 2
u' 1 + u2
(u + v )' = u '+v'
( f ( x) + g ( x) )' = f ( x)'+ g ( x)'
(uv )' = u ' v + v' u
( f ( x) × g ( x) )' = f ( x)'× g ( x) + g ( x)'× f ( x) n
Formule de Leibniz : (uv )
''
(uv ) = u ' ' v + 2u ' v'+uv' '
= u n v + C n1u n−1v'+C n2u n−2v' '+... + uv n
Pour le calcul des coefficients, voir Triangle de Pascal ou Dénombrement '
'
f ( x) f ( x )'× g ( x) − g ( x )'× f ( x ) = g ( x ) g ( x) 2
'
1 − g ( x )' = 2 g ( x ) g ( x )
u u ' v − v' u = v2 v
'
1 − v' = 2 v v
Intégrales b
Intégration par parties :
b
∫ f ' (t ) g (t )dt = [ f (t ) ⋅ g (t )] − ∫ f (t ) g ' (t )dt b a
a
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a
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Série entière Développement en série entière au voisinage de 0
t 2
t
e = 1 + t +
t
a =e 1 1 + t 1 1 − t
t ln a
t 3
+
2!
+
3!
t 4
+
4!
= 1 + (t ln a ) +
t 5
+ ... +
5!
(t ln a ) 2
t n n!
+ ... =
∑ n! n =0
(t ln a) 3
+
2!
+
3! n n
= 1 − t + t − t + t + ... + (− 1) t + ... = 2
3
4
t n
∞
(t ln a ) 4 4!
+
(t ln a )5 5!
+ ... +
(t ln a ) n n!
∞
+ ... =
∑ n =0
(t ln a ) n n!
∞
∑ (− t ) n
n =0
∞
2
3
4
n
= 1 + t + t + t + t + ... + t + ... =
∑ t
n
n =0
t 2
ln (1 + t ) = t −
sin t = t −
t 3 3!
sinh t = t +
t 3 3!
cos t = 1 −
2!
cosh t = 1 +
t 5
+
t 2 2!
5!
+ t 4 4!
+
α
−
4
n −1
+ ... + (− 1)
+ ... + (− 1)
t 5
+
3
3
t 4
+ ... +
t 5 5
t 4 4!
(1 + t ) = 1 + α t +
n
+ ... + (− 1)
+ ... + (− 1)
+ ... +
α (α − 1) 2!
2
( x + y )α = xα + α ⋅ xα −1 y +
n
t 2 n +1
n
n =0
(2n + 1)!
t 2 n+1
∑ (2n + 1)!
t 2 n+1
∞
2n + 1
+ ... =
∑ (− 1)
∞
+ ... =
∑ (− 1)
n
2n + 1
t 2 n
(2n )!
n =0
+ ... =
t 2 n+1
n
n =0
t 2 n
∞
t +
∑ (− 1)
t n
n =0
(2n )!
(2n)!
∑ (− 1)
n −1
n =0
+ ... =
+ ... =
t 2 n
t 2 n
+ ... =
∞
(2n + 1)!
n
∞
∞
(2n + 1)!
t 2 n+1
t n n
t 2 n+1
n
5!
t 3
arctan t = t − t 2
+
2
+
t 3
∑ (2n)! n =0
α (α − 1)(α − 2) 3!
3
t + ... +
α (α − 1)....(α − n + 1) n!
α (α − 1)
α (α − 1)....(α − n + 1)
2!
n!
xα −2 y 2 + ... +
α
n
t + ... =
xα −n y n + ... =
α !
∑ (α − n)!⋅n! t
n =0 α
α ! xα −n y n n=0 (α − n )!⋅n!
∑
pour le calcul des coefficients pour α petit, voir Triangle de Pascal ou Dénombrement.
formule générale de développement en série entière au voisinage de a :
f ( x ) = f (a ) + ( x − a ) f (a ) + '
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( x − a )2 2!
f (a ) + ... + ''
( x − a )n n!
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n
f n (a ) + ... + ( x − a ) ε ( x − a ) n
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Série de Fourier Joseph FOURIER 1768 – 1830 Mathématicien français Un signal périodique d'expression y(t) et de période T peut toujours être décomposé et cela d'une seule façon, en une somme de fonction de sinus et de cosinus dont les périodes sont des multiples de T. Ces séries sont théoriquement infiniment longues, mais dans la pratique, la décomposition peut être arrêtée après un petit nombre de termes sans en altérer le résultat.
y(t ) = a0 + a1 cos ω t + b1 sin ω t + a2 cos 2ω t + b2 sin 2ω t + ... + an cos nω t + bn sin nω t + ... ∞
y(t ) = a0 +
∑ (an cos nω t + bn sin nω t )
∞
= a0 +
n=1
∞
∑ (α sin (nω t + ϕ )) n
= a0 +
n
n =1
∑ (α cos(nω t + θ )) n
n
n =1
avec α n = an2 + bn2 et θ = − arctan b ou ϕ = arctan a b a les coefficients a0, an et bn sont calculés avec
a0 = an =
1
T
∫ y
T 0 2
( t )
dt
représente la valeur moyenne du signal
T
∫ y
T 0
( t )
cos nω t dt
bn =
2
T
∫ y
T 0
( t )
sin nω t dt
Il est aussi possible d'écrire une série de Fourier avec les notations complexes, ce qui donne : ∞
∑ (C e )
y(t ) =
jnω t
n
n = −∞
les coefficients Cn sont calculés avec
C n =
1
T
y T ∫
( t )
e − jnω t dt
0
*
Cn et C-n sont deux complexes conjugués, que l'on note C-n = Cn .
|Cn| = |C-n| et θn = -θ-n. Le spectre d'amplitude est donné par le module de Cn, il s'agit d'une fonction paire et le spectre de phase est donné par l'argument de Cn, il s'agit d'une fonction impaire. Comme l'indice n ne prend que des valeurs entières, le spectre d'un signal périodique y(t) n'existe que pour un ensemble de fréquences nf 0. Les spectres sont donc formés de raies ou de peignes de dirac.
Transformée de Fourier Pour les signaux apériodiques, on ne peut plus parler de série de Fourier mais de transformée de Fourier. +∞
∫
Y ( f ) = y( t )e − jω t dt −∞
Calcul de la transformée de Fourier Inverse avec +∞
y( t ) =
∫ Y
( f )
jω t
e
df
y(t ) =
−∞
1
+∞
Y 2π ∫
(ω )
e jω t d ω
−∞
Le spectre d'amplitude est donné par le module de Y(f) et le spectre de phase est donné par l'argument de Y(f). Il s'agit d'une fonction continue, les spectres sont donc continus.
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Transformée de Laplace La relation générale qui permet de passer d'une fonction du temps f(t) définie pour toutes valeurs de t>0 à une +∞
∫
= f (t ) ⋅ e − pt dt
fonction de Laplace notée F(p) est F ( P )
[f(t)] = F(p)
0+
Propriétés : Linéarité :
Dérivation :
[αf(t)+βg(t)] = α [f(t)]+ β [g(t)] = αF(p) + βG(p)
df (t ) dt = pF ( p ) − f ( 0
+
d 2 f (t ) 2 ' dt 2 = p F ( p ) − pf ( 0 ) − f ( 0 + ) +
)
Translation :
d 3 f (t ) 3 2 ' ' ' dt 3 = p F ( p ) − p f ( 0 ) − pf ( 0 + ) − f ( 0 + ) t 1 ∫ f (t )dt = F ( p ) 0 p [ f (t − τ )] = e −τ p F ( p ) avec τ > 0 (fonction retard)
Homothétie :
[ f ( at )] = aF ( ap ) avec a > 0 (car la fonction est causale)
+
Intégration :
Multiplication par t :
[t × f (t )] = − F ( p' ) = −
Produit de convolution :
[h(t ) ∗ e(t )] =
dF ( p ) dp
t
∫ h(τ ) ⋅ e(t − τ )d τ = H
( p )
× E ( p )
0
Fonction périodique : Soit g(t) une fonction nulle en dehors de l'intervalle [0..T] et G(p) sa transformée de Laplace. Soit f(t) une fonction causale, périodique de période T et se confondant sur [0..T] avec g(t). G( p ) La transformée de Laplace de f(t) est donnée par F = ( p ) 1 − e −Tp f(t) (pour t > 0) F(p) f(t) (pour t > 0) F(p) 1 1 fonction échelon p 1 1 t n forme générale t + 2 p p n 1 n! 1 1 − A ⋅ 2 A ⋅ t e at p + a p 1 1 t n −at forme générale ⋅e t ⋅ e − at 2 ( p + a ) ( p + a )n +1 n! sin ω t
e − at ⋅ sin ω t sin(ω t + θ ) sinh ω t
ω 1 1 1 = − 2 p + ω 2 j p − jω p + jω ω 2
2
( p + a ) + ω
p sin θ + ω cosθ 2
p + ω
ω p − ω 2
sin t
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cosh ω t
2
e
1
p 2
2
p + ω
2 p + jω p − jω
p cosθ − ω sin θ p 2 + ω 2 p 2
p − ω 2 p n
1
π
t 1 − e −t
2
p + 1
t
Page 8/8
1
( p + a )2 + ω 2
dt
coth (π 2 p )
+
p + a
n
−τ p
1
=
d nδ (t )
1
impulsion de dirac
e − at ⋅ cosω t cos(ω t + θ )
2
δ (t ) δ (t − τ )
2
cos ω t
p ln
p + 1 p
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