A INTEGRAÇÃO NUMÉRICA E SUAS APLICAÇÕES NA ENGENHARIA
Resumo
O presente relatório tem como objetivo apresentar o conceito de algarismos significativos, tema da quarta aula da disciplina de Física Experimental, disciplina esta integrante da grade curricular do 2º período letivo do curso de Engenharia Civil da FAIT. Em complementação ao assunto apresentado e discutido em sala de aula, foi realizada experimentação em laboratório, com o objetivo de introduzir os discentes às práticas laboratoriais e aos métodos de planejamento, desenvolvimento e observação dos resultados dos experimentos, bem como aplicar o conceito de algarismos significativos na elaboração dos relatórios resultantes de tais experiências. algarismos laboratoriais, resultado Palavras
chave:
significativos,
precisão,
incerteza,
práticas
Sumário
1 – Introdução 2 – Aplicações 2.1 – metodos 2.2 – exemplo 1 2.3 – exemplo 2 2.3 – exemplo 3 3 – Conclusões 4 – Referencias Bibliográficas 5 – Lista de Figuras 6 – lista de Tabelas
1 – Introdução O calculo diferencial e integral, também chamado de calculo infinitesimal, ou simplesmente calculo, é um ramo importante da matemática. Foi desenvolvido a partir da álgebra e da geometria, e se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido). Isto torna o calculo numérico uma importante ferramenta aplicada aos campos tecnólogico, científico e a todos os ramos da engenharia. O calculo é considerado como a matemática dos movimentos e das variações: nas aplicações onde existe movimento ou ta xas crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o calculo está presente. O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas, principalmente para auxiliar nos problemas relacionados ao estudo da mecânica. Foi desenvolvido paralelamente por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes. Nos dias atuais, o calculo é amplamente aplicado em praticamente todos os segmentos do conhecimento humano, desde a medicina, passando pelas aplicações clássicas em matemática, químicas, física clássica, física moderna, astronomia e chegando as aplicações em economia. Suas aplicações estão relacionadas com a determinação de raízes de equações, interpolação de valores tabelados, solução de equações diferenciais parciais ou ordinárias, integração numérica entre outras. Com o avanço acelerado no desenvolvimento das tecnologias aplicadas às atividades humanas, principalmente durante o século passado, e notadamente o desenvolvimento das tecnologias da informação e processamento de dados por computadores, a partir das décadas de 60 e 70 do século XX, foi possível ampliar significativamente o processamento de cálculos complexos, permitindo expandir a utilização do calculo em problemas de engenharia, bem como em problemas de outras áreas. O calculo tem como base três fundamentos principais, ou seja, o calculo de limites, o calculo de derivadas de funções e o calculo das integrais. No presente trabalho, serão tratadas das integrações numéricas e de suas aplicações na engenharia. A aplicação das integrais está presente em todas as áreas da engenharia, sendo alguns exemplos citados a seguir:
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Modelagem de circuitos elétricos e eletrônicos, calculo de areas complexas calculo de volumes complexos calculo de elementos aerodinamicos calculo de descontos progressivos, em economia Modelagem de curvas de produção x demanda, em economia Otimização de estoques, recursos disponíveis e determinação das quantidades otimizadas de cada produto a ser produzido, em engenharia de produção Calculo do débito cardíaco, em medicina
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Modelagem dos métodos de diagnostico, utilizando tecnologia de ressonância magnética, em medicina Especificamente, na engenharia civil:
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Calculo de cargas resultantes de carregamentos em elementos planos e espaciais calculo de centros de gravidade calculo dos momentos de inercia Calculo das deformações físicas e plásticas solução de estruturas hiperestaticas nos projetos de construção de barragens (calculo estrutural, volume do reservatório, vazão, hidrologia) determinação de volumes de jazidas Calculo de volumes de movimentação de terra, em obras de terraplanagem
Como visto, a gama de aplicações do calculo e extremamente vasta. No presente trabalho, procurou-se apresentar alguns exemplos de aplicação, principalmente as aplicações baseadas nos métodos á estudados em sala de aula.
2 – Aplicações da integração numérica Explicar os métodos aprendidos em sala de aula (trapézio e Simpson) Comparando as regras exemplo 6 pag 383
Exemplo de aplicação 1 Drenando um pântano Uma cidade quer drenar e preencher um pequeno pântano. O pântano tem uma profundidade media de 5 pés. Quantas jardas cúbicas de terra aproximadamente serão necessárias para preencher a área depois que o pântano for drenado?
Solução: Para calcularmos o volume do pântano, estimamos a área superficial e a multiplicamos por 5. Para estimarmos a área, usamos a Regra de Simpson com h= 20 pés e os y iguais as distancias medidas através do pântano, como se vê na figura
Arredondando Erros O volume é de aproximadamente (8.100)(5)= 40.500 pés 3 ou 1.500 jardas 3 Embora teoricamente a diminuição no tamanho do passo h reduza o erro nas aproximações de Simpson e trapezional, na prática isso pode falhar. Quando h é muito pequeno (por exemplo, h= 10-5), os erros acumulados pelo computado ou pela calculadora (na aritmética necessária para calcular S e T) podem se acumular de tal maneira que as formulas para erro não conseguem descrever o que esta realmente acontecendo.
Exemplo de aplicação 2 O volume de água de uma piscina. Uma piscina retangular tem 30 pés de comprimento e 50 pés de largura. A tabela abaixo mostra a profundidade h(x) da água com intervalos de 5 pés de uma
ponta da piscina ate a outra.Estime o volume de água na piscina usando a regra do trapézio com n= 10, aplicando a integral.
∫
Exemplo de aplicação 3 – elementos finites na construção de barragens Elementos Finitos no Dimensionamento de Barragens
O dimensionamento de barragens tem-se constituído numa área específica dentro da Engenharia Estrutural, quer pela complexidade e diversidade dos fenômenos físicos envolvidos, quer pelas conseqüências catastróficas que adviriam de eventuais acidentes. Os elementos finitos são uma ferramenta fundamental para lidar com essa complexidade. De um modo geral, as barragens são estruturas de grandes dimensões e geometria complexa que confinam com uma grande massa de água, a qual, em conjunto com a rocha de fundação, influencia acentuadamente o seu comportamento.
Ao longo dos tempos tem sido desenvolvidos métodos de análise deste tipo de estruturas, experimentais, analíticos e numéricos, que envolvem um conjunto de simplificações importantes. Assim, na pesquisa de modelos analíticos ou numéricos, tem sido corrente a consideração de geometrias simplificadas para a barragem, a substituição da rocha de fundação por apoios elásticos e, no caso de solicitações dinâmicas, a substituição do reservatório por um conjunto de massas a adicionar a massa da barragem. O método dos elementos finitos é neste contexto um instrumento poderoso quer pela sua capacidade em tratar uma grande gama de fenômenos físicos, quer pela sua facilidade de aplicação. 0 desenvolvimento que este método tem tido a par do crescimento, em termos de capacidade e velocidade de cálculo, que se tem verificado nos computadores, permite a obtenção de soluções cada vez mais aproximadas, excedendo muitas vezes em precisão o grau de conhecimento disponível para os parâmetros que intervêm como dados.
É fundamental a formulação de modelos, e a implementação dos correspondentes programas, que permitam a análise dinâmica de barragens, gravidade e abóbada, tendo em conta a interação barragemfundação-reservatório. A interação entre a fundação e a barragem deve ser considerada associando a barragem uma parcela de fundação com uma profundidade tal que as tensões induzidas nos pontos mais afastados da secção de contacto com a barragem possam ser consideradas desprezáveis. Para ter em conta o efeito dinâmico da água e incluindo na análise o reservatório, adotando na sua discretização elementos que simulam o comportamento de um fluido.
A integração numérica das equações diferenciais, que traduzem o comportamento dinâmico duma estrutura, é feita utilizando O método de Newmark. Sendo um método de integração direta permite assim que as ações sísmicas possam ser incluídas diretamente através dos respectivos acelerogramas, obtendo-se deste modo a resposta completa da estrutura ao longo do tempo de duração do sismo.
Os elementos que são utilizados são essencialmente os seguintes: elementos planos de 8 nós, na análise de barragens gravidade; elementos tridimensionais de 20 nós e elementos de casca de 8 nós na analise de barragens abóbada. Este elemento de casca, que traduz adequadamente o comportamento de cascas espessas, apresenta, no entanto, no caso de lajes delgadas, uma tendência para conduzir a soluções excessivamente rígidas quando se usa uma ordem de integração numérica completa. Contudo, o seu comportamento melhora drasticamente quando é utilizada uma ordem de integração numérica reduzida ou
seletiva. Para este fato, que é conhecido praticamente desde que este elemento foi desenvolvido pela primeira vez, não foram ainda encontradas explicações que o esclareçam completamente. É necessária uma melhor compreensão do referido comportamento e que, ao serem generalizados a outros elementos, permitiram o desenvolvimento de um novo modo de formular e interpretar os elementos finitos.
3 – Conclusões
4 – Referencias Bibliográficas
Falta de mão de obra prejudica construção. Disponível em: http://blogs.estadao.com.br/jt-seu-bolso/falta-de-mao-de-obra-prejudica-construcao/. Acesso em 13/05/2011. Escassez de mão de obra na construção civil acelera industrialização nos canteiros de obra. Disponível em: http://www.engenha.com/informacoes_noticias_detalhes.asp?id=122 . Acesso em 15/05/2011. Disponível Fórum debate questão da mão de obra. http://www.sindusconsp.com.br/msg2.asp?id=4664. Acesso em 18/05/2011.
5 – Lista de Figuras 6 – Lista de Tabelas
em:
