Page 1 of 16
Modul Mengajar PS S-2 Pendidikan Matematika Hari Ketujuh
Bentuk umum prinsip inklusi dan eksklusi Syamsul Rizal
Prinsip Inklusi-Eksklusi (Principle of Inclusion-Exclusion), Rosen, p 500/526 Berapa banyak unsur dalam penyatuan dua set terbatas? Pada Bagian 2.2 kita menunjukkan bahwa jumlah elemen dalam penyatuan dua set A dan B adalah jumlah dari jumlah elemen dalam set dikurangi jumlah elemen dalam persimpangan mereka. Artinya, IA U BI = IAI + IBI- IA n
BI.
Seperti yang kami tunjukkan di Bagian 5.1, rumus untuk jumlah elemen dalam penyatuan dua set? berguna
dalam
masalah
counting.
Contoh
1-3
memberikan
ilustrasi
tambahan
kegunaan
dari formula ini. In a discrete mathematics class every student is a major in computer science or mathematics, or both. The number of students having computer science as a major (possibly along with mathematics) is 25; the number of students having mathematics as a major (possibly along with computer science) is 13; and the number of students majoring in both computer science and mathematics is 8. How many students are in this class? Solution: Let A be the set of students in the class majoring in computer scie nce and B be the se t of students in the class majoring in mathematics. Then A n B is the set of students in the class who are joint mathematics and computer science majors. Because every student in the class is majoring in either computer science or mathematics (or both), it follows that the number of students in the class is I A UBI. Therefore,
Dalam
kelas
matematika
diskrit
ada
mahasiswa
Unsyiah,
IAIN
Ar-Raniry,
atau keduanya. Jumlah siswa yang berasal UNSYIAH adalah adalah 25, jumlah mahasiswa dari IAIN adalah 13; dan jumlah mahasiswa Unsyiah dan IAIN adalah 8. Berapa jumlah mahasiswa di kelas ini? Solusi:
Misalkan
A
mahasiswa IAIN. Maka A
himpunan ∩
mahasiswa
UNSYIAH
dan
B
adalah
himpunan
B adalah himpunan mahasiswa dari Unsyiah dan IAIN. Karena setiap siswa di
kelas jurusan berasal dari ilmu komputer atau matematika (atau keduanya), berarti jumlah siswa di kelas adalah A U B. untuk itu
IA U BI = IAI + IBI - IA ∩ BI = 25 + 13 - 8 = 30.
Page 2 of 16
Misalkan ada 1807 mahasiswa baru di PPs Unsyiah. Dari jumlah tersebut, 453 yang mengambil mata kuliah ilmu komputer, 567 yang mengambil mata kuliah matematika, dan 299 yang mengambil mata kuliah keduanya: ilmu komputer dan matematika. Berapa banyak yang tidak mengambil mata kuliah baik dalam ilmu komputer atau dalam matematika? Solusi: Untuk menemukan jumlah mahasiswa baru yang tidak mengambil mata kuliah baik dalam matematika maupun ilmu komputer, kita misalkan Yang mengambil MK ilmu Komputer = IAI = 4 53, Yang mengambil MK Matematika IBI = 567, dan IA ∩ BI = 299. Jumlah mahasiswa baru mengambil MK baik ilmu komputer atau matematika. Jadi IA U BI = IAI + IBI-IA ∩ BI = 453 + 567-299 = 721. Akibatnya, ada 1807 - 721 = 1086 mahasiswa baru yang tidak mengambil MK keduanya yaitu komputer atau matematika.
Page 3 of 16
Mencari Formula untuk Jumlah Elemen di Gabungan Tiga Himpunan (Set)
Kita akan menghitung gabungan 3 set. Berbeda dengan gabungan dua set, di mana kita hanya mengurangkan 1 irisan dari dua gabungan tersebut. Pada gabungan 3 set, di samping mengurangi irisan atau intersection yang terjadi, kita juga harus menjumlahkan irisan dari gabungan 3 set. Lihat hubungan dan gambar di bawah ini
Contoh soal
Page 4 of 16
Sebanyak 1232 mahasiswa mengambil MK Bahasa Spanyol, 879 mengambil MK bahasa Prancis, dan 114 mengambil MK bahasa Rusia. Selanjutnya, 103 mengambil bahasa Spanyol dan Perancis, 23 mengambil bahasa Spanyol dan Rusia, dan 14 mengambil Perancis dan Rusia. Jika 2092 mahasiswa mengambil setidaknya satu dari Spanyol, Perancis, dan Rusia, berapa banyak siswa mengambil MK semua tiga bahasa?
Solusi: Misalkan S adalah himpunan mahasiswa yang mengambil bahasa Spanyol, F adalah himpunan mahasiswa yang mengambil MK bahasa Prancis, dan R adalah himpunan mahasiswa yang mengambil MK bahasa Rusia. maka
dan
Kita masukkan ke dalam formula gabungan tiga set
Page 5 of 16
2092 = 1232 + 879 + 114 - 103 - 23 - 14 + IS n F n RI.
Kita sekarang memecahkan/mencari IS n F n R I. Kita menemukan bahwa IS n F n RI = 7. Oleh karena itu, ada tujuh mahasiswa yang mengambil MK untuk Spanyol, Perancis, dan Rusia. Ini diilustrasikan dalam Gambar 4. Dalam sebuah survey dari 120 orang, diketahui 65 membaca majalah Newsweek 20 membaca majalah Newsweek dan Time, 45 membaca majalah Time, 25 membaca majalah Newsweek dan Fortune, 42 membaca majalah Fortune, 15 membaca majalah Time dan Fortune, 8 membaca kesemua 3 majalah
(A) Tentukan jumlah orang yang membaca setidaknya satu dari tiga majalah. (B) Isikan angka yang benar dari orang pada delapan daerah dari diagram Venn pada Gambar. 1-9 bila N, T, dan F masing-masing menunjukkan himpunan orang yang membaca Newsweek, Time, dan Fortune,. (C) Tentukan jumlah orang yang membaca tepat satu majalah.
(a) (N ∪ T ∪ F)= (N) + (T ) + (F ) − (N ∩ T ) − (N ∩ F) − (T ∩ F) + (N ∩ T ∩ F) = 65 + 45 + 42 − 20 − 25 − 15 + 8 = 100
(b)
Page 6 of 16
(b) Diagram Venn pada Gambar diperlukan. 1-9 (b) diperoleh sebagai berikut: 65 membaca majalah Newsweek 20 membaca majalah Newsweek dan Time, 45 membaca majalah Time, 25 membaca majalah Newsweek dan Fortune, 42 membaca majalah Fortune, 15 membaca majalah Time dan Fortune, 8 membaca kesemua 3 majalah
8 membaca semua tiga majalah, 20-8 = 12 membaca Newsweek dan Time tetapi tidak semua tiga majalah, 25-8 = 17 membaca Newsweek dan Fortune tapi tidak semua tiga majalah, 15-8 = 7 baca Time dan Fortune tapi tidak semua tiga majalah, 65-12 - 8 - 17 = 28 baca Newsweek saja, 45-12 - 8 - 7 = 18 hanya membaca Time, 42-17 - 8 - 7 = 10 baca Fortune saja, 120 - 100 = 20 tidak baca majalah sama sekali. (C) 28+ 18 + 10 = 56 yang membaca tepat 1 majalah
Sekarang kita telah siap membuat formula yang umum untuk gabungan-gabungan set
Page 7 of 16
Misal A, B, C , D masing-masing menyatakan yang mengambil MK art, biology, chemistry, dan drama. Berikut adalah mahasiswa di asrama: 12 mengambil A, 5 mengambil A dan B, 4 mengambil B dan D, 2 mengambil B,C,D, 20 mengambil B, 7 mengambil A dan C, 3 mengambil C dan D, 3 mengambil A, C,D, 20 mengambil C, 4 mengambil A dan D, 3 mengambil A, B,C, 2 mengambil A, B, C dan D , 8 mengambil D, 16 mengambil B dan C, 2 mengambil A, B, D, 71 tidak mengambil sama sekali Misalkan T banyaknya mahasiswa yang mengambil paling sedikit 1 MK. Sesuai dengan Teorema 5.9 T = s1 − s2 + s3 − s4
Di mana: s1 = 12 + 20 + 20 + 8 = 60 , s2 = 5 + 7 + 4 + 16 + 4 + 3 = 39 , s3 = 3 + 2 + 2 + 3 = 10 , s4 = 2. Jadi T = 29, dan N = 71 + T = 100.
Teorema 1: Prinsip Inklusi-Eksklusi Misalkan A1, A2, …., An adalah himpunan-himpunan yang terbatas, maka
Page 8 of 16
References: Epp, Susanna S. (2011). Discrete Mathematics with Applications, 4 th Learning
Edition, Cengage
Lipschutz, S., Lipson, M.L. (2007). Theory and Problems of Discrete Mathematics, Schaum's Outline, 3rd ed. Rosen, K. H. (2007). Discrete Mathematics and Its Applications, 6 th Ed., McGraw-Hill
Page 9 of 16
Page 10 of 16
Page 11 of 16
Page 12 of 16
Page 13 of 16
Page 14 of 16
Page 15 of 16
Page 16 of 16
