607909_Fenômenos de Transportes - Transferência de Calor

Fenômenos de Transporte – 02/2011 Transferência de Calor

Cristiana Brasil Maia

TRANSFERÊNCIA DE CALOR Sempre que existir uma diferença de temperatura em um meio ou entre meios diferentes, haverá, necessariamente, transferência de calor. A transferência de calor é o trânsito de energia provocado por uma diferença de temperatura, no sentido da temperatura mais alta para a mais baixa. O ramo da ciência que trata da relação entre calor e outras formas de energia é a termodinâmica. Seus princípios são baseados em observações e foram generalizados generalizados em leis julgadas verdadeiras para todos os processos que ocorrem na natureza: 1a Lei da Termodinâmica: A energia não pode ser criada ou destruída, mas apenas transformada de uma forma para outra. 2a Lei da Termodinâmica: É impossível existir um processo cujo único resultado seja a transferência de calor de uma região de baixa temperatura para outra de temperatura mais alta. Todos os processos de transferência de calor envolvem a transferência e a conversão de energia. Dessa forma, eles devem obedecer à primeira e à segunda leis da termodinâmica. A literatura reconhece três modos distintos de transferência de calor: condução, convecção e radiação.

Condução Transferência de calor que ocorre em um meio estacionário, que pode ser um sólido ou um fluido. A condução pode ser vista como a transferência de energia de partículas mais energéticas para partículas de menor energia, devido às interações que ocorrem entre elas. Temperaturas mais altas estão associadas a energias moleculares mais altas. Quando moléculas vizinhas colidem entre si, há transferência de energia das moléculas de maior energia para as moléculas de menor energia. Na presença de um gradiente de temperatura, a transferência de energia por condução ocorre, portanto, no sentido da diminuição de temperatura. Em sólidos, as moléculas apresentam menor espaçamento. As interações moleculares são, portanto, mais fortes e mais freqüentes que nos fluidos. A transferência de calor por condução é, portanto, maior em materiais sólidos do que em materiais fluidos, em condições semelhantes. semelhantes. Convecção Transferência de calor que ocorre entre uma superfície e um fluido em movimento, quando estiverem em temperaturas diferentes. A convecção abrange dois mecanismos distintos. Além da transferência de energia devido ao movimento molecular aleatório (condução), a energia também é transferida através do movimento global ou macroscópico do fluido (advecção). Este movimento, na presença de um gradiente de temperatura, contribui para a transferência de calor. A transferência de calor por convecção pode ser classificada de acordo com a natureza do escoamento escoamento do fluido. Ela é dita convecção forçada (Fig. forçada (Fig. 1a) quando o escoamento é causado por meios externos (como (como um ventilador ou uma bomba) bomba) ou quando o escoamento escoamento é de ventos ventos livre (Fig. 1b), o escoamento dos fluidos é induzido atmosféricos. Na convecção natural ou livre (Fig. por forças de empuxo, originadas a partir de variações de densidade causadas por diferenças de temperatura no fluido. Na prática, podem ocorrer situações nas quais ambas as formas de convecção convecção ocorrem simultaneamente simult aneamente.. Diz-se, neste caso, que há convecção mista. mista. 128



Figura 1 – Transferência Transferência de calor por convecção. (a) Convecção forçada. (b) Convecção natural

Radiação Energia emitida na forma de ondas eletromagnéticas por uma superfície a uma temperatura não nula. A radiação térmica é a energia eletromagnética propagada na velocidade da luz, emitida emiti da pelos corpos em virtude de sua temperatura. Os átomos, moléculas ou elétrons são excitados e retornam espontaneamente para os estados de menor energia. Neste processo, emitem energia na forma de radiação eletromagnética. Uma vez que a emissão resulta de variações nos estados eletrônico, rotacional e vibracional dos átomos e moléculas, a radiação emitida é usualmente distribuída sobre uma faixa de comprimentos de onda. Estas faixas e os comprimentos de onda representando os limites aproximados são mostrados na Fig. 2. O processo de transferência de calor por radiação ocorre de um corpo a alta temperatura para um corpo a baixa temperatura, quando estes corpos estão separados no espaço, ainda que exista vácuo entre eles.

129



Figura 1 – Transferência Transferência de calor por convecção. (a) Convecção forçada. (b) Convecção natural

Radiação Energia emitida na forma de ondas eletromagnéticas por uma superfície a uma temperatura não nula. A radiação térmica é a energia eletromagnética propagada na velocidade da luz, emitida emiti da pelos corpos em virtude de sua temperatura. Os átomos, moléculas ou elétrons são excitados e retornam espontaneamente para os estados de menor energia. Neste processo, emitem energia na forma de radiação eletromagnética. Uma vez que a emissão resulta de variações nos estados eletrônico, rotacional e vibracional dos átomos e moléculas, a radiação emitida é usualmente distribuída sobre uma faixa de comprimentos de onda. Estas faixas e os comprimentos de onda representando os limites aproximados são mostrados na Fig. 2. O processo de transferência de calor por radiação ocorre de um corpo a alta temperatura para um corpo a baixa temperatura, quando estes corpos estão separados no espaço, ainda que exista vácuo entre eles.

129



Figura 2 – Espectro Espectro de Radiação Eletromagnética

Exemplo 1 – Modos Modos de Transferência de Calor Uma garrafa térmica tem o objetivo de manter a temperatura de seu conteúdo constante ao longo do tempo, independendo das condições ambientes externas. Identifique os processos de transferência de calor que contribuem para o resfriamento de café quente colocado em seu interior e discuta sobre as características que minimizam as trocas de calor com o ambiente externo. As garrafas térmicas são constituídas basicamente de um vaso de vidro com paredes duplas, distanciadas entre si de 1 cm, como mostrado na figura a seguir. Considerando-se que o fluido no interior da garrafa térmica seja café quente, as trocas de calor entre o café e o ambiente são: convecção natural do café para a primeira parede; condução através da primeira parede; convecção natural da primeira parede para o ar no interior da garrafa; convecção natural do ar para a segunda parede (invólucro plástico); troca líquida por radiação entre as paredes; condução através do invólucro plástico; convecção natural do invólucro plástico para o ambiente externo; troca líquida por radiação entre a superfície externa do invólucro plástico e a vizinhança.

No processo de fabricação, grande parte do ar é retirado do espaço entre as paredes através de um orifício, que a seguir é selado. Com este vácuo parcial, as trocas de calor por condução e convecção 130



são minimizadas. As superfícies das paredes são revestidas por materiais aluminizados (baixa emissividade), fazendo com que elas se tornem espelhadas, provocando a reflexão da radiação para o interior do recipiente, evitando a transmissão de calor para o exterior. A tampa que fecha a garrafa geralmente é oca e feita de borracha ou plástico (materiais isolantes), minimizando a perda de calor para o exterior.

EQUAÇÕES DE TAXA Todos os processos de transferência de calor podem ser quantificados através da equação de taxa apropriada. A equação de taxa pode ser usada para se calcular a quantidade de energia transferida por unidade de tempo. A taxa de energia é denotada por q, e tem unidade de W (Watt) no SI. Outra maneira de se quantificar a transferência de energia é através do fluxo de calor, q " , que é a taxa de energia por unidade de área (perpendicular à direção da troca de calor). No SI, a unidade do fluxo é W/m2.

Condução Lei de Fourier q "cond

onde

dT

 k

dx

q "cond : Fluxo de calor por condução na direção x (W/m 2)

k: Condutividade térmica do material da parede (W/mK) dT dx

: Gradiente de temperatura na direção do fluxo de calor

A taxa de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo de calor pela área perpendicular à direção da transferência de calor, q cond

 kA

dT dx

O sinal negativo aparece porque o calor está sendo transferido na direção da temperatura decrescente. A Lei de Fourier se aplica a todos os estados da matéria (sólidos, líquidos e gases), desde que estejam em repouso.

Convecção Lei de Resfriamento de Newton

Figura 3 – Transferência Convectiva de Calor 131


q "conv  h TS


 T  , se TS > T

q"conv  hT  TS  , se T > TS

onde q”conv: Fluxo de calor por convecção (W/m 2) h: Coeficiente convectivo de calor (W/m 2K) TS: Temperatura da superfície T: Temperatura do fluido Assumindo-se um fluxo de calor por convecção constante, a taxa de transferência de calor por convecção é dada por q conv  q "convA ou q conv  hATs q conv

 T  , se TS > T

 hAT  Ts  , se T > TS

A Tabela 1 apresenta valores típicos do coeficiente convectivo h Tabela 1 – Valores de h (W/m2.K)

Gás

Líquido

Convecção Natural

5-25

50-1.000

Convecção Forçada

25-250

50-20.000

Ebulição ou Condensação

2.500-100.000

Radiação Lei de Stefan-Boltzmann A radiação com comprimento de onda de aproximadamente 0,2 m a 1000 m é chamada radiação térmica e é emitida por todas as substâncias em virtude de sua temperatura. A máxima energia térmica emitida por uma superfície é q"max

 Ts4

onde q”max: Energia emitida por unidade de área da superfície (W/m 2) : Constante de Stefan-Boltzmann (5,67x10 -8 W/m2K 4)

Ts: Temperatura absoluta da superfície (K) Se a energia emitida for uniforme ao longo da superfície, a taxa máxima de calor emitida pode ser dada por: q max

 Ts4 A

onde A: área da superfície Uma superfície capaz de emitir esta quantidade de energia é chamada um radiador ideal ou um corpo negro. Um corpo negro pode ser definido também como um perfeito absorvedor de radiação. Toda a radiação incidente sobre um corpo negro (independentemente do 132



comprimento de onda ou da direção) será absorvida. Embora um corpo negro não exista na natureza, alguns materiais se aproximam de um. Por exemplo, uma camada fina de carbono preto pode absorver aproximadamente 99% da radiação térmica incidente. O fluxo de calor emitido por uma superfície real é menor do que aquele emitido por um corpo negro à mesma temperatura e é dado por q"real   Ts4

onde  é a emissividade da superfície. Esta propriedade indica a eficiência de emissão da superfície em relação a um corpo negro 0    1 . A Tabela A.5 apresenta a emissividade de algumas superfícies selecionadas, a 300K. Se o fluxo de calor for uniforme ao longo da superfície, a taxa total de calor emitida pode ser dada por: q real

  Ts4 A

onde A: área da superfície Análises experimentais mostram que os metais, em geral, apresentam baixa emissividade. No entanto, a sua oxidação provoca um aumento nesta propriedade. Ao contrário dos metais, os materiais não condutores apresentam alta emissividade. Quando uma energia radiante atinge a superfície de um material, parte da radiação é refletida, parte é absorvida e parte é transmitida, como mostrado na Fig. 4. A refletividade  é a propriedade radiativa que representa a fração refletida, ou seja, a razão entre a parcela refletida pela superfície e a radiação incidente sobre ela. Da mesma forma, a absortividade  é a fração absorvida e a transmissividade  é a fração transmitida através da superfície. Como a soma das parcelas absorvida, refletida e transmitida pela superfície deve ser igual à radiação incidente sobre ela, pode-se perceber que a soma das propriedades radiativas deve ser igual à unidade, ou seja,

     1

Figura 4 – Radiação Incidente sobre uma Superfície

O cálculo da taxa líquida na qual a radiação é trocada entre duas superfícies é bastante complexo e depende das propriedades radiativas das superfícies, de seu formato e de seu posicionamento geométrico. Por exemplo, a troca de calor por radiação entre duas placas negras paralelas de 1 m x 1 m, distanciadas de 1m, é de 1,13 kW. Se estas mesmas placas estivessem distanciadas de 2 m, a troca de calor por radiação seria de 0,39 kW. Um caso especial que ocorre com freqüência envolve a troca líquida de radiação entre uma pequena 133



superfície a uma temperatura T S e uma superfície isotérmica bem maior que a primeira, que a envolve completamente (Fig. 5).

Figura 5 – Troca Radiativa Líquida entre duas Superfícies

Considerando-se a superfície menor cinzenta     , o fluxo líquido de transferência de calor por radiação a partir da superfície é dado por q "rad

  Ts4  T4

A taxa líquida de troca de calor é q rad

  ATs4  T4 

onde A: área da superfície menor TS: Temperatura da superfície menor T∞: Temperatura da superfície maior Manipulando-se a equação anterior, pode-se escrever a taxa líquida como q rad

2  ATs  T Ts  T  Ts2  Tviz

Definindo-se h r   Ts

 T Ts2  T2 

a equação da taxa de calor por radiação pode ser escrita como q rad

 h r ATs  T 

Deve ser ressaltado que o resultado independe das propriedades da superfície maior, já que nenhuma parcela da radiação emitida pela superfície menor seria refletida de volta para ela. As superfícies mostradas na Fig. 3 podem também, simultaneamente, trocar calor por convecção com um fluido adjacente. A taxa total de transferência de calor é dada, portanto, pela soma da taxa de calor por radiação com a taxa de calor por convecção, q  q rad

 q conv

A Tabela 2 apresenta um resumo das equações de taxa dos diferentes modos de transferência de calor. 134



Tabela 2 – Equações de Taxa

Taxa Condução

q cond

Fluxo

 kA

Convecção

q conv  hATs

Radiação

q rad

dT

q "cond

dx

 T 

  ATs4  T4 

q "conv  hTS q "rad

dT

 k

dx

 T 

  Ts4  T4 

Exemplo 2 – Taxas de calor: radiação e convecção natural Uma tubulação de vapor sem isolamento térmico passa através de uma sala onde o ar e as paredes se encontram a 25 oC. O diâmetro externo do tubo é de 70 mm, a temperatura de sua superfície é de 200 oC e sua emissividade é de 0,8. O coeficiente associado com a transferência de calor por convecção natural da superfície para o ar é de 15 W/m 2.K. Determine a taxa de calor perdida pela superfície do tubo, por unidade de comprimento. A perda de calor da tubulação para o ar da sala se dá por convecção e, para as paredes, por radiação. A taxa total de calor perdida é, portanto, a soma da taxa perdida por convecção com a taxa perdida por radiação. q  q conv  q rad

A taxa de calor perdida por convecção é calculada pela lei de resfriamento de Newton, q conv  hATs

 T 

onde A é a área de troca de calor, ou seja, a área superficial do tubo, A  dL q conv  dLh Ts

 T 

A taxa de calor perdida por radiação para as paredes pode ser calculada, considerando-se a superfície do tubo cinzenta, pela lei de Stefan-Boltzmann, q rad

  ATs4  T4 

onde A  dL q rad

  dL Ts4  T4 

A taxa total de troca de calor é dada, portanto, por q  dLhTs

 T    dLTs4  T4 

A taxa de calor por unidade de comprimento pode ser obtida dividindo-se a equação anterior por L, q L q L

 dhTs  T    dTs4  T4   .0,07 m.15

W 2

200  25o C  0,8.5,67x108

m .K

W 2

4

m .K

.0,07 m.473,15K 4  298,15K 4 

Deve ser observado que a temperatura pode ser escrita em oC quando se avaliam diferenças de temperatura em processos de transferência de calor por condução ou por convecção (diferença linear 135



de temperatura). No entanto, a temperatura deve ser escrita em K em processos de transferência de calor por radiação (temperaturas elevadas à quarta potência). q L q L

 577 W / m  421W / m  998 W / m

◄

Na situação deste exemplo, as taxas de transferência de calor por radiação e convecção possuem magnitudes comparáveis, pois o valor da temperatura superficial é grande quando comparado ao valor da temperatura das vizinhanças e o coeficiente associado à convecção natural é pequeno.

Exemplo 3 – Taxas de calor: radiação e convecção forçada Um cilindro oco de madeira, de 2 cm de diâmetro e 1 m de comprimento, é aquecido pela passagem de uma resistência elétrica. A temperatura superficial externa do cilindro é mantida constante em 40 oC. Ele é exposto a uma corrente de ar a temperatura de 15 oC, sendo o coeficiente convectivo associado de 100 W/m 2.K. Determine e compare as taxas de calor trocadas entre o cilindro e o ambiente a) por convecção b) por radiação. a) A taxa de calor perdida por convecção é dada por q conv  hATs  T  como A  dL q conv  dLh Ts

 T 

q  .0,02 m.1 m.100

W

40  15o C

2

m K

q  157,08 W

◄

b) A taxa de calor perdida por radiação é dada por q rad

4   ATs4  Tviz 

ou q rad

  dL Ts4  T4 

Da Tabela A.5, a emissividade da madeira a 300K varia entre 0,82 e 0,92. Assumindo-se um valor médio,   0,86 q  0,86.5,67x10 8

W 2

4

m .K

.0,02 m.1m.313,15K 4  288,15K 4 

q  8,34 W

◄

Percebe-se que a taxa de calor perdida por radiação representa apenas 5% da taxa total de calor, podendo ser desprezada em cálculos de engenharia. Isto pode ser explicado pelo alto valor do coeficiente convectivo e pelos valores próximos de temperatura ambiente e da superfície do cilindro.

136



INTRODUÇÃO À CONDUÇÃO A Lei de Fourier é uma lei fenomenológica, ou seja, desenvolvida a partir de fenômenos observados, e não deduzida a partir de princípios fundamentais. dT

" Para a condução unidimensional, q cond,x  k

dx

O fluxo de calor é uma grandeza vetorial, dado por q"  k T onde  é o operador gradiente. A Tabela 3 apresenta, para os três sistemas de coordenadas, a lei de Fourier. Tabela 3 – Lei de Fourier

Sistema de coordenadas Cartesianas Cilíndricas Esféricas

Lei de Fourier

Forma compacta

 T T T  i j  k  x y z       T 1 T T  q"  k  i j  k  r r  z       T 1 T 1 T  q"  k  i j  k  r r  r sen        q"  k 

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

q"  q" x i

 q" y j  q" z k

q"  q"r i

 q" j  q" z k

q"  q"r i

 q" j  q" k

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA A condutividade térmica (k) representa a capacidade de um corpo transferir calor. Ela depende da estrutura física da matéria, a níveis atômico e molecular. Para uma taxa de calor fixa, um aumento na condutividade térmica representa uma redução do gradiente de temperatura ao longo da direção da transferência de calor. Para uma diferença fixa de temperatura, um aumento na condutividade térmica representa um aumento da taxa de calor transferida. Em geral, a condutividade térmica de um sólido é maior que a de um líquido que, por sua vez, é maior que a de um gás. Esta tendência se deve, em grande parte, às diferenças de espaçamento intermolecular nos estados da matéria, mas também se deve às diferenças entre as estruturas moleculares dos materiais. As moléculas de um metal são compactadas e bem ordenadas, permitindo uma melhor transferência de calor do que em um material não metálico, que possui as moléculas mais esparsas. Os elétrons livres, presentes nos materiais metálicos, são em parte responsáveis pela elevada condutividade térmica destes materiais. Assim, bons condutores elétricos geralmente possuem altas condutividades térmicas. Os sólidos inorgânicos com estrutura cristalina menos ordenada que os metais apresentam menores condutividades térmicas. Materiais orgânicos e fibrosos como a madeira têm condutividades ainda menores. No Sistema Internacional, a unidade de k é W/(m.K). A Tabela A.6 apresenta valores da condutividade térmica para alguns materiais, a 300 K. O produto c p (densidade * calor específico), comumente chamado de capacidade calorífica, mede a capacidade de um material de armazenar energia térmica. No Sistema Internacional, a unidade da capacidade calorífica é kg.K/(m 3.s2). A difusividade térmica  é definida como sendo a razão entre a condutividade térmica e a capacidade calorífica 137





k

c p

Esta propriedade mede a capacidade do material de conduzir a energia térmica em relação à sua capacidade de armazená-la. Materiais com valores elevados de  responderão rapidamente a mudanças nas condições térmicas a eles impostas, enquanto materiais com valores reduzidos de  responderão mais lentamente, levando mais tempo para atingir uma nova condição de equilíbrio. Em geral, os sólidos metálicos têm maiores difusividades térmicas, enquanto os sólidos não metálicos apresentam menores valores desta propriedade. No SI, a unidade de  é m2/s.

EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR Coordenadas Cartesianas Um dos objetivos principais da análise da condução de calor é determinar o campo de temperaturas em um meio, ou seja, a distribuição de temperaturas em seu interior. Assim, pode-se determinar o fluxo de calor por condução em qualquer ponto do meio ou em sua superfície utilizando-se a lei de Fourier. Seja o volume de controle infinitesimal de dimensões  representa a geração interna de calor que pode existir no dx, dy e dz mostrado na Fig. 6. E g volume de controle, ou seja, a conversão de outras formas de energia em energia térmica. Esta conversão pode ser através de uma reação química exotérmica ou o aquecimento do volume  é o acúmulo de energia que pode existir no de controle por uma resistência elétrica. E a volume de controle ao longo do tempo. q x , q y e q z são as taxas de calor por condução nas três direções. Fazendo-se um balanço de energia no volume de controle

 E e

 E s  E g  E a

q x  q y  q z   q xdx  q ydy  q zdz   qdxdydz  c p T dxdydz 

t

Figura 6 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas) 138



q : Taxa de geração de energia por unidade de volume do meio (W/m

3

)

T : Taxa de variação de energia térmica do meio, por unidade de volume (W/m 3) t Fazendo-se uma expansão em série de Taylor nas 3 direções, c p

q x dx

 qx 

q x dx x

q ydy

 qy 

q y dy y

q zdz

 qz 

q z dz z

Assim, qx

q y  q q  T  q y  q z   q x  x dx  q y  dy  q z  z dz   q dxdydz  c p dxdydz      x y z t  



q y q x q T dx  dy  z dz  q dxdydz  c p dxdydz x y z t



   T q x dx  q y dy  q z dz  q dxdydz  c p dxdydz x y z t

As taxas q x , q y e q z podem ser determinadas utilizando-se a Lei de Fourier qx



T  k dydz x

qy

T  k dxdz y

qz

T  k dxdy z

   T   T   T T     k dydzdx    k dxdz dy    k dxdy dz  q dxdydz  c p dxdydz x  x y  y z  z t   

  T    T    T  T  k dxdydz   k dxdydz   k dxdydz  q dxdydz  c p dxdydz x  x  y  y  z  z  t Dividindo-se todos os termos pelo volume infinitesimal dxdydz,

  T    T    T   T  k    k    k   q  c p x  x  y  y  z  z  t Muitas vezes, no entanto, é possível operar com versões simplificadas desta equação, adotando-se algumas hipóteses: 

Condutividade térmica constante (k constante):

 2 T  2T  2 T q c p T  2 2  2 x y z k k t Sabendo que a difusividade térmica é



k

c p

A equação anterior pode ser reescrita como:

139



 2 T  2T  2 T q 1 T  2 2  2 x y z k  t Regime Permanente T t  0:



  T    T    T    k    k    k   q  0 x  x  y  y  z  z  Condução unidimensional de calor em regime permanente, sem geração interna de calor



 k dT   0   dx  dx  d

d dx

 q"X   0

ou seja q"X  constante

Em condições de transferência de calor unidimensional em regime permanente, sem geração interna de energia, o fluxo de calor é constante.

Exemplo 4 – Distribuição de temperaturas em uma parede plana – k variável Uma parede plana tem a superfície interna (x = 0) mantida a 300 K, enquanto a superfície externa (x = 0,5 m) é mantida a 550 K. Dada a grande diferença de temperatura entre as extremidades, a condutividade térmica do material da parede não pode ser considerada constante, sendo dada pela expressão

k 

1 1.2965x 2  0.246x  0.06711

. Determine a

distribuição de temperaturas no interior da parede e o fluxo de calor na posição x = 0,3 m, considerando a condução unidimensional em regime permanente, sem geração de calor. A equação da difusão de calor, em coordenadas cartesianas, é dada por

  T    T    T   T  k    k    k   q  c p x  x  y  y  z  z  t Considerando-se a condução unidimensional, em regime permanente, sem geração interna de calor, esta equação se reduz a

 k dT   0   dx  dx  d

Como a condutividade térmica do material da parede não é constante, variando com a posição x, ela deve ser incluída na equação antes que a integração da equação seja feita. Assumindo-se k 

1 1.2965 x

2

 0.246x  0.06711



1 ax

2

 bx  c

1  dT   k dT   d   2  0    dx  dx  dx  ax  bx  c  dx  d

Integrando-se uma vez a equação, obtém-se 140



1   dT  2   C1 ax bx c     dx

(1)

ou dT dx

 C1 ax 2  bx  c

Integrando-se a equação uma segunda vez,

 ax 3 bx 2    T  C1  cx   C 2  3  2  

(2)

ou

 1,2965x 3 0,246x 2    0,06711x   C 2   2  3 

T  C1 

Para a determinação das constantes de integração, é necessário aplicar as condições de contorno. Tx  0  300 K

(3)

Tx  0,5 m  550 K

(4)

Substituindo-se a condição de contorno (3) na equação (2),

 1,296503 0,24602    300  C 1  0,06711.0   C 2   3 2   C 2  300 K

Substituindo-se a condição de contorno (3) na equação (2),

 1,29650,53 0,2460,52  0,06711.0,5   300     3 2  

550  C 1 

C1

 4399 W / m 2

Substituindo-se os valores encontrados para as constantes, T  1901 x 3  541x 2  295 x  300

◄

O fluxo de calor pode ser obtido através da lei de Fourier, dT q"  k dx

Como k dT  C1 (Equação 1) dx

q"  C1 q"  4399 W / m 2

◄

Coordenadas Cilíndricas Efetuando-se uma análise similar à realizada para coordenadas cartesianas, pode-se escrever a equação da difusão de calor em coordenadas cilíndricas e esféricas. 141



Figura 7 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilíndricas)

  T  1   T    T   T  kr   2  k    k   q  c p t r r  r  r     z  z 

1

Coordenadas Esféricas

Figura 8 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esféricas)

  2 T    T    T   T 1 1   kr k ksen q c           p r  r 2sen 2      r 2sen     t r 2 r  1

Condições de Contorno e Condição Inicial A solução das equações que governam um problema depende ainda das condições físicas que existem nas fronteiras do meio (condições de contorno) e, quando a situação for dependente do tempo, também das condições que existem em um certo instante inicial (condição inicial). Como a equação da condução de calor é uma equação de segunda ordem nas coordenadas espaciais, são necessárias 2 condições de contorno para cada coordenada espacial que descreve o sistema. Como a equação é de primeira ordem no tempo, basta apenas uma condição inicial. As figuras a seguir mostram as 3 espécies de condições de contorno comumente encontradas na transferência de calor. Elas ilustram a situação para um sistema unidimensional, especificando a condição de contorno na superfície em x = 0, com a transferência de calor ocorrendo no sentido positivo do eixo x. 1) Temperatura da Superfície Prescrita

142



T (0, t )  T s

2) Fluxo de Calor Prescrito na Superfície

T  k  q x" (0)  x x 0 a) Fluxo de Calor Diferente de Zero

T  k  q S "  x x 0

b) Fluxo de Calor Nulo (Parede Isolada ou Adiabática)

T 0  x x 0 3) Condição Convectiva na Superfície T  k  hT   T 0, t   x x 0

Exemplo 5 – Fluxo e taxa de calor em uma casca esférica Uma casca esférica, com os raios interno e externo r i e r o, respectivamente, contém componentes que dissipam calor. Se a distribuição de temperatura na casca é da forma T(r ) 

C1 r

 C 2 , determine as expressões para o fluxo térmico e a taxa de calor em função do

raio r. O fluxo e a taxa de calor podem ser calculados através da lei de Fourier, dT q"  k dr

Derivando-se a temperatura em função do raio da casca esférica, dT dr



C1 r 2

 C1    r 2 

q"  k  

143



C q"  k 1 r 2

◄

A taxa de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo de calor pela área superficial da esfera, A  4r 2 q  q" A  kA

C1 2

r

 k .4r 2

C1 r 2

q  4kC1

◄

CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM R EGIME PERMANENTE Seja uma parede plana separando dois fluidos em temperaturas diferentes (Fig. 9). Considere a condução unidimensional de calor através da parede, em regime permanente, sem geração interna. A temperatura é função somente de uma coordenada espacial (no caso x) e o calor é transferido unicamente nesta direção. A transferência de calor ocorre por convecção do fluido quente a T1 para a superfície da parede a T S1 em x = 0, por condução através da parede e por convecção da superfície da parede em x = L a T S2 para o fluido frio a T2.

Figura 9 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana

A determinação da distribuição de temperaturas no interior da parede é feita através da solução da equação de calor. Em coordenadas cartesianas, esta equação é dada por

  T    T    T   T  k    k    k   q  c p x  x  y  y  z  z  t Hipóteses: 

Condução unidimensional   T y  T z  0   



Sem geração interna q  0

Regime permanente T t  0 A equação se reduz, então, a 

144



 k dT   0   dx  dx  Considerando-se a condutividade térmica do material constante, d

d 2T k dx 2

0

d 2T

ou

dx

2

0

Integrando-se 2 vezes em x, dT dx

T  C1x  C 2

 C1

Para se determinar as constantes de integração C 1 e C2, aplicam-se as condições de contorno: T0  TS,1

TL   TS,2

Assim, C1



 TS,1

TS, 2

C2

L

 TS,1

 TS, 2  TS,1  x  TS,1 L  

Tx   

Na condução unidimensional em regime permanente numa parede plana sem geração de calor e com condutividade térmica constante, a temperatura é uma função linear de x. A taxa de calor por condução no interior da parede é dada pela lei de Fourier qx

 kA

dT dx

Derivando-se a equação encontrada para o perfil de temperaturas na direção x, qx



kA L

T  T  S,1

S, 2

O fluxo de calor é dado por q "x



qx A



k L

TS,1  TS,2 

Percebe-se, portanto, que, no interior da parede, a taxa e o fluxo de calor são constantes.

Resistência Térmica Da mesma maneira que uma resistência elétrica se opõe à passagem de corrente em um circuito, uma resistência térmica se opõe à passagem de calor. Definindo-se a resistência como sendo a razão entre o potencial motriz e a correspondente taxa de transferência, a resistência térmica assume a forma R t



T q

Assim, para a condução unidimensional através de uma parede plana

145


R t ,cond




L kA

Para a convecção R t , conv 

1 hA

Para a radiação R t ,rad



1 h r A

onde

h r   TS

 T  TS2  T2 

Deve-se ressaltar que as resistências térmicas à convecção e à radiação assumem a mesma forma para qualquer sistema de coordenadas, variando-se apenas a expressão utilizada para a área. No entanto, a resistência à condução assume diferentes expressões para os diferentes sistemas de coordenadas. No exemplo da parede plana, toda a energia transferida do fluido quente para a superfície é conduzida através da parede e, por sua vez, para o fluido frio, ou seja, a taxa de calor é constante. qx

 q conv1  q cond  q conv2

ou qx

 h1AT,1  TS,1  

kA L

TS,1  TS,2   h 2 ATS,2  T,2 

Reescrevendo-se a equação anterior, qx



T,1  TS,1 1 h 1A



TS,1  TS,2 L



kA

TS,2 1

 T,2 h 2A

Utilizando-se o conceito de resistência térmica, qx



T,1  TS,1 R conv1



TS,1  TS,2 R cond



TS,2

 T,2

R conv2

Pode-se então fazer um circuito térmico, análogo a um circuito elétrico, com a forma

146



Figura 10 – Circuito Térmico

Pode-se, da mesma forma, fazer um circuito térmico equivalente, em função da diferença global de temperatura, definindo-se a resistência térmica total R tot. qx



T,1

 T,2

R to t

Como as resistências térmicas condutiva e convectivas estão em série, R tot

 R conv1  R cond  R conv2

R tot



1 h 1A



L kA



1 h 2A

Parede Composta Seja a condução de calor unidimensional, em regime permanente, através de uma parede composta, constituída por materiais de espessuras e condutividades térmicas diferentes (Fig. 11).

Figura 11 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana

A taxa de transferência de calor q x é dada por 147


qx



T,1  TS,1 1

h 1A



TS,1  TS,2 LA

onde R tot   R t 



1 h 1A



 TS,3

TS,2

k A A LA k A A

LB






TS,3

k B A

LB k B A



LC

LC k C A



 TS,4 k C A



TS,4 1

 T,4 h 4A



T,1  T,4 R tot

1 h 2A

No exemplo anterior, desprezaram-se as trocas de calor por radiação entre as superfícies da parede e os fluidos. Ao se considerar estas trocas, a taxa total de calor entre a superfície e o fluido seria dada como a soma das taxas de calor por convecção e radiação. A resistência térmica à radiação seria inserida no circuito térmico associada em paralelo à resistência à convecção, já que o potencial ( T) entre a superfície e o fluido seria o mesmo. O circuito térmico, se forem consideradas as trocas de calor por radiação, é dado por

Figura 12 – Circuito Térmico Equivalente

Exemplo 6 – Circuito térmico: parede plana A parede composta de um forno possui três materiais, dois dos quais com condutividades térmicas conhecidas, k A = 25 W/m.K e k C = 50 W/m.K. A espessuras dos 3 materiais são L A = 0,30 m e LB = LC = 0,15 m e a área da superfície é de 1 m 2. Em condições de regime permanente, medições efetuadas revelam uma temperatura na superfície externa do forno T S4 = 20 oC, uma temperatura na superfície interna T S1 = 600 K e uma temperatura no interior do forno T = 800 K. Se o coeficiente de transferência de calor por convecção no interior do forno é 15 W/m2.K e a emissividade do material A vale 0,7, desenhe o circuito térmico equivalente e calcule o valor da condutividade térmica do material B .

O circuito térmico equivalente do problema é mostrado na figura a seguir

◄

148



Deve ser observado que, uma vez que não foram fornecidos dados a respeito de quaisquer fluidos que possam estar em contato com a superfície C, o circuito termina na superfície externa do material C. Como a temperatura da superfície interna TS1 é alta, os efeitos de radiação são importantes e devem ser considerados nos cálculos. Sabe-se que a taxa de transferência de calor é constante através da parede. q

 TS4

T



R eq



T

 TS1



R eq1

TS1  TS4

(1)

R eq2

onde R eq

 R eq1  R eq2

1 R eq1

1





R conv

1

R eq2

R rad

 R cond1  R cond2  R cond3

As resistências térmicas são dadas por R conv





R rad

1 hA



1 15 W / m 2 .K .1m 2

 0,0667 K / W

1 h r A

onde h r   T



R rad

 TS1 T2  TS21   0,7.5,67x108 1

W

600 K  800 K 6002  8002 K 2  55,566 4

m 2 K

W m 2 K

 0,018 K / W

55,566 W / m 2 .K .1m 2

Assim, R eq

 0,01417 K / W

R cond1



R cond2



R cond3



R eq 2

LA k A A LB k B A LA k A A

  

0,30 m 25 W / m.K .1 m 2 0,15 m k B .1 m 2



0,15 k B

0,15 m 50 W / m.K .1m 2

 0,012 K / W 

0,15 k B

 0,012 K / W

 0,003 K / W

 0,003 K / W

Substituindo-se os valores e expressões das resistências térmicas na equação (1), tem-se T

 TS1

R eq1



TS1  TS4 R eq 2



800 K  600 K 0,01417 K / W



600 K  293,15 K 0,015 K / W  0,15 / k B

k B  22,25 W / m.K

◄

149



Resistência de Contato Em sistemas compostos, a queda de temperatura nas interfaces pode ser considerável. Esta mudança de temperatura é atribuída a uma resistência térmica de contato. A existência de uma resistência de contato se deve principalmente aos efeitos da rugosidade da superfície (Figura 13). Assim, existem regiões vazias na interface que são, na maioria dos casos, preenchidas com ar. A transferência de calor é, portanto, devida à condução de calor através da área de contato real e à condução e/ou radiação através das falhas.

Figura 13 – Resistência Térmica de Contato

A resistência de contato normalmente é adicionada ao circuito térmico como uma resistência em série com as resistências à condução através dos materiais. Para uma área de interface unitária, a resistência térmica de contato é definida pela expressão: T  T R"tc  A B q" x

Para sólidos cujas condutividades térmicas são superiores à do fluido presente nas falhas, a resistência de contato pode ser reduzida pelo aumento da área dos pontos de contato. Este aumento pode ser obtido por um acréscimo na pressão de contato ou junção e/ou pela redução da rugosidade das superfícies em contato. A resistência de contato pode ser reduzida pela seleção de um fluido com elevada condutividade térmica para preencher as falhas. Duas classes de materiais que são adequadas para este propósito são os metais macios e as graxas térmicas. Os metais podem ser inseridos na forma de finas folhas ou películas, ou aplicados como um fino revestimento em um dos materiais em contato. As graxas térmicas à base de silicone (silício) são alternativas interessantes, pois preenchem completamente os interstícios entre os materiais. Tabela 4 – Resistência Térmica de Contato Sólido/Sólido 4 2 Interface R”tc x10 (m .K/W) Chip de silício/alumínio esmerilhado com ar (27 – 500 kN/m ) 0,3 – 0,6 Alumínio/alumínio com folha de índio (~ 100 kN/m ) ~ 0,7 Aço inoxidável/aço inoxidável com folha de índio (~ 100 kN/m ) ~ 0,04 Alumínio/alumínio com revestimento metálico (Pb) 0,01 – 0,1 Alumínio/alumínio, com graxa Dow Corning 340 (~ 100 kN/m ) ~ 0,07 Alumínio/alumínio, com graxa Dow Corning 340 (~ 3500 kN/m ) ~ 0,04 Chip de silício/alumínio, com 0,02 mm de epóxi 0,2 – 0,9 0,025 – 0,14 Latão/latão com 15 m de solda à base de estanho 150



Embora várias técnicas tenham sido desenvolvidas para estimar a resistência de contato, os valores mais confiáveis são aqueles obtidos experimentalmente. A Tabela 4 apresenta valores para a resistência de contato entre sólidos diferentes, com vários materiais intersticiais. A Tabela 5 apresenta valores para a resistência de contato em uma interface de alumínio, para diferentes fluidos interfaciais. Tabela 5 – Resistência Térmica de Contato em uma Interface de Alumínio Fluido Interfacial R”tc x10 (m .K/W) Ar 2,75 Hélio 1,05 Hidrogênio 0,720 Óleo de silicone 0,525 Glicerina 0,265

Configurações do tipo Série-Paralelo Seja a parede composta apresentada na Fig. 14. Embora neste sistema a transferência de calor seja bidimensional, é razoável a adoção da hipótese de condições unidimensionais. Com base nestas hipóteses, podem ser usados dois circuitos térmicos diferentes, mostrados na Fig. 15. No caso (a), supõe-se que as superfícies perpendiculares à direção x são isotérmicas e, no caso (b), que as superfícies paralelas a x são adiabáticas. As taxas de calor são diferentes em cada caso, representando um intervalo dentro do qual está a taxa real de transferência de calor. As diferenças entre os resultados relativos dos dois circuitos aumentam com o aumento da diferença de condutividade térmica entre os materiais B e C, já que os efeitos bidimensionais se tornam mais importantes.

Figura 14 – Parede Composta

Figura 15 – Circuitos Térmicos Equivalentes numa Parede Composta

151



CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM R EGIME PERMANENTE – SISTEMAS R ADIAIS – CILINDRO Seja um cilindro oco cuja superfície interna se encontra exposta a um fluido quente e a superfície externa, a um fluido frio (Fig. 16).

Figura 16 – Transferência de Calor através de um Cilindro Oco

A equação que governa a transferência de calor no interior do cilindro é

  T  1   T    T   T  kr   2  k    k   q  c p r r  r  r     z  z  t

1

Se forem adotadas as hipóteses de 

Condução unidimensional   T   T z  0 



Sem geração interna q  0



Regime permanente



T



t  0

a equação pode ser reduzida a

 kr dT   0   r dr  dr 

1 d

 kr dT   0   dr  dr  d

 q r   0 dr  2L  d

d

q r   0

dr

ou q r  constante

A taxa de calor é, portanto, constante no interior da parede do cilindro. Considerando-se a condutividade térmica k constante,

 r dT   0   r dr  dr 

k d

152



 r dT   0   dr  dr  d

Integrando-se uma vez em r, dT r  C1 ou dr dT dr



C1 r

Integrando-se outra vez em r, Tr   C1 ln r  C 2

Aplicando-se as condições de contorno Tr  r 1   Ts1 Tr  r 2   Ts 2 ,

podem-se obter as constantes de integração C 1 e C2 C1



Ts1  Ts 2 lnr 1 / r 2 

C2

 Ts 2 

Ts1  Ts 2 lnr 1 / r 2 

ln r 2

Assim, T

 r    Ts 2 lnr 1 / r 2   r 2 

Ts1  Ts 2

ln

A taxa de transferência de calor é dada por q r  kA

dT dr

 k 2rL

dT dr

Deve ser ressaltado que a área a ser usada é aquela perpendicular à direção da transferência de calor, ou seja, a área lateral do cilindro. Como

dT dr



1 Ts1  Ts 2 r lnr 1 / r 2 

T  Ts 2 q r  2Lk s1 lnr 2 / r 1 

O fluxo de calor é dado por dT q"r  k dr

q r " 

k Ts1  Ts 2 r lnr 2 / r 1 

A taxa de calor, portanto, é constante para qualquer posição radial (não depende do raio r), o que não acontece com o fluxo de calor, que é função da coordenada radial r. 153



A resistência térmica à condução para sistemas radiais é dada por R cond



R cond



Ts1  Ts 2 q r lnr 2 / r 1  2Lk

Parede Cilíndrica Composta Considere a condução unidimensional de calor, em regime permanente, sem geração interna, através de uma parede cilíndrica composta, como mostrado na Fig. 17.

Figura 17 – Transferência de Calor Através de uma Parede Cilíndrica Composta

A taxa de calor é constante através do cilindro. Assim, desprezando-se os efeitos radiativos, T  T 4 q r  1 R tot



T1  Ts1 R conv1



Ts1  Ts 2 R cond1



Ts 2  Ts3 R cond2



Ts3  Ts 4 R cond3



Ts 4  T1 R conv2

onde R to t

  R t 

1 2r 1Lh1



lnr 2 / r 1  2k A L



lnr 3 / r 2  2k B L



lnr 4 / r 3  2k C L



1 2r 4 Lh 4

Exemplo 7 – Circuito térmico: cilindro Um fluido quente escoa no interior de um tubo cilíndrico de aço AISI 304, de raio interno igual a 10 cm e raio externo igual a 12 cm e 2 m de comprimento. O coeficiente total de transferência de calor (convecção + radiação) entre o fluido quente e a superfície interna do tubo é 25 W/m 2.K. Para diminuir as perdas térmicas para o ambiente a 15 oC, o tubo foi revestido por uma manta de fibra de vidro (emissividade 0,85), de 2,5 mm de espessura O coeficiente convectivo externo é igual a 20 W/m 2.K. Se a superfície externa do revestimento se encontra a 80 oC, determine: a) A taxa total de calor trocada entre o fluido quente e o ambiente externo; 154



b) A temperatura do fluido quente. a) O circuito térmico equivalente do problema é mostrado na figura a seguir

A taxa de transferência de calor é dada por q

TS3

 T2

(1)

R eq2

onde 1



R eq 2

1 R conv2



1 R rad2

As resistências térmicas são dadas por R conv2



1 h c2 A 2

1



h c 2 .2r 3 L



1 20 W / m .K .2.0,1225m.2 m 2

 0,0325K / W

É importante ressaltar que a convecção externa deve ser calculada baseando-se na área superficial externa do cilindro, A 2  2r 3L , onde r 3 é o raio externo do cilindro de aço, somado à espessura do isolamento de fibra de vidro, r 3

 r 2  t  0,12 m  0,0025 m  0,1225 m

R rad 2



1 h r 2 A 2



1 h r 2 .2r 3 L

onde h r 2

  T  TS1 T2  TS21   0,85.5,67x10 8

h r 2

 6,42

R rad2



W

 353,15 K  288,15 K 353,152  288,152 K 2 4

m 2 K

W m 2 K 1 2

6,42 W / m .K .2.0,1225m.2 m

 0,1012 K / W

Assim, R eq 2

 0,246K / W

A taxa de transferência de calor é dada pela equação (1), q

80  15K 0,0246 K / W

q  2644 W

◄

Para se calcular a temperatura do fluido quente, T1, é necessário calcular as resistências térmicas R eq1, R cond1 e R cond2 . A primeira resistência é dada por

155


R eq1



1 h1A1



1 h1.2r 1L




1 2

25 W / m .K .2.0,1 m.2 m

 0,03183 K / W

As resistências térmicas à condução são dadas por R cond1

lnr 2 / r 1 



2Lk 1

Da Tabela A.6, k 1 = 14,9 W/m.K ln0,12 m / 0,10 m 

R cond1



R cond2



2.2 m.14,9 W / m.K

 0,00974 K / W

lnr 3 / r 3  2Lk 2

Da Tabela A.6, k 2 = 0,038 W/m.K R cond1



ln0,1225 m / 0,12 m 2.2 m. 0,038 W / m.K

 0,04318 K / W

Sabendo que q



T1  TS3 R eq

2644  T1

 R cond1  R cond2 T1  80 o C

0,03183  0,000974  0,04318

 200,9 o C  554,1K

◄

Espessura Crítica de Isolamento Suponha que se deseje resfriar um cilindro oco, com a superfície interna exposta a um fluido quente e a superfície externa, a um fluido frio (Fig. 18). Para se aumentar ou diminuir a taxa de calor retirada do cilindro sem alterar as condições do escoamento externo, pode-se colocar uma camada de um segundo material sobre o cilindro, com condutividade térmica diferente do material do cilindro.

Figura 18 – Parede Cilíndrica Composta

A taxa de transferência de calor da superfície interna para o fluido frio irá depender da espessura de material colocado, ou seja, do raio externo do “novo” cilindro, r 2. Como a resistência à condução aumenta com o raio e a resistência à convecção apresenta 156



comportamento inverso, deve existir uma espessura capaz de minimizar a resistência térmica equivalente, maximizando a perda térmica (Fig. 19).

Figura 19 – Comportamento das Resistências Térmicas com r 2

A taxa de calor é dada por q r 

(TS1  T ) R eq

onde R eq



ln(r 2 / r 1 ) 2kL



1 2r 2 hL

Assim, q r 

2L(TS1  T ) ln(r 2 / r 1 ) 1 k



r 2 h

O máximo valor de q r é obtido fazendo-se dq r dr 2

0

157



 1 1   2L(TS1  T )  2  dq r  kr 2 hr 2   0  2 dr 2  ln(r 2 / r 1 ) 1   k  r h  2   Esta condição é satisfeita quando r 2

 r c 

k h

r c = Rai o cr íti co Como a derivada segunda de q r em relação a r 2 é negativa, q r tem o seu valor máximo em r = r c. O comportamento da resistência total é inverso, como mostrado na Fig. 19.

Exemplo 8 – Raio crítico No Laboratório de Transferência de Calor da PUC Minas é feita uma experiência para determinar o coeficiente convectivo associado ao escoamento de ar sobre um cilindro exposto ao ar ambiente. O cilindro é feito de um material metálico e possui diâmetro externo de 2 in e comprimento de 0,78 m. Ele é revestido externamente por lã de vidro (k = 0,06 W/m.K) com 1 in de espessura. A superfície interna do cilindro é aquecida pela passagem de uma corrente elétrica (V = 30 V e i = 2,4 A). São medidas as temperaturas ambiente e da superfície interna do revestimento. a) Para uma temperatura ambiente de 20 oC e uma temperatura interna do revestimento de 480oC, calcule o coeficiente convectivo externo; b) Calcule o raio crítico de isolamento. A espessura do revestimento é superior ou inferior à espessura crítica de isolamento? Determine, qualitativamente, o que aconteceria com a temperatura interna do revestimento se a espessura do isolamento fosse tal que o raio externo do revestimento fosse igual ao raio crítico de isolamento. a) O circuito térmico equivalente do problema é mostrado na figura a seguir, desprezando-se os efeitos de radiação

A energia gerada por efeito Joule é transferida por condução através do cilindro e do isolante e perdida para o ambiente. Assim, pode-se dizer que q  Ri 2

 Vi  30 V.2,4 A  72 W

A taxa de transferência de calor é dada por q



 T R cond2  R conv TS2

onde a resistência à condução no isolante é dada por

158


R cond2




lnr 3 / r 3  2Lk 2

onde r 2 e r 3 representam, respectivamente, o raio interno e o raio externo do isolante térmico. O raio externo pode ser obtido somando-se o raio interno à espessura do isolamento

 r 2  t 

r 3

d2 2

t 

0,0508 2

m  0,0254 m  0,0508 m

É importante ressaltar que as unidades foram convertidas do sistema britânico (in) para unidades do Sistema Internacional (m). Assim, R cond2



ln0,0508 m / 0,0254 m 2.0,78 m.0,06 W / m.K

 2,357 W / m

O objetivo é determinar o coeficiente convectivo h. Para isso, deve-se determinar a resistência à convecção externa. Como q



 T , R cond2  R conv TS2

R cond2

 R conv 

TS2

 T q

ou R cond2



R cond2



TS2

 T q

 R conv

480 C  20 C 72 W

 2,357 K / W  4,032 K / W

Mas R conv 

1 hA



1 h.2r 3 L

Assim, 4,032 K / W 

1 h.2.0,0508 m.0,78 m

h  0,996 W / m 2 .K

◄

b) O raio crítico é dado por k

r c



r c



r c

 0,060 m

h 0,06 W / m.K 0,996 W / m 2 .K

◄

Para a espessura de isolante utilizada, o raio externo é menor que o raio crítico. Como a taxa de calor perdida para o ambiente aumenta até ser atingido o raio crítico, se o raio externo fosse igual ao raio crítico, a temperatura do isolamento seria menor.

159



CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM R EGIME PERMANENTE – SISTEMAS R ADIAIS – ESFERA Seja uma esfera oca cujas superfícies interna e externa se encontram, respectivamente, a temperaturas Ts1 e Ts2 (Fig. 20), com T s1>Ts2. Considere a transferência de calor unidimensional, em regime permanente, sem geração interna nas paredes da esfera.

Figura 20 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica

Partindo-se da equação da condução do calor em coordenadas esféricas, pode-se obter o perfil de temperaturas no interior da esfera, como feito para coordenadas cartesianas e cilíndricas. Com o perfil de temperaturas, pode-se determinar a taxa de calor conduzida através da esfera, dada por q r 

4k Ts1  Ts 2 

 1 1      r 1 r 2 

Assim, sabendo-se que R cond 

Ts1  Ts2  q r

a resistência condutiva é dada por R cond



 1 1     4k   r 1 r 2  1

TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES EXPANDIDAS – ALETAS O aumento da taxa de transferência de calor de uma superfície a temperatura constante para um fluido externo (Fig. 21) pode ser feito através do aumento do coeficiente de convecção h ou através da redução da temperatura do fluido T .

Figura 21 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de Calor 160



Quando não é possível aumentar a taxa de calor por um destes modos, aumenta-se a área de troca de calor, através da utilização de aletas (Fig. 22), que são elementos sólidos que transferem energia por condução dentro de suas fronteiras e por convecção (e/ou radiação) entre suas fronteiras e o ambiente. Elas são utilizadas para aumentar a taxa de transferência de calor entre um corpo sólido e um fluido adjacente. Exemplos práticos de aplicações de aletas podem ser vistos nos sistemas para resfriamento dos cilindros dos pistões de motocicletas e nos tubos aletados utilizados para promover a troca de calor entre o ar e o fluido de operação em um aparelho de ar condicionado.

Figura 22 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de Calor

Tipos de Aletas A Figura 23 ilustra diferentes configurações de aletas.

Plana, de seção reta uniforme

Plana, de seção transversal não uniforme

Anular

Piniforme (pino) Figura 23 – Configurações de Aletas

161



Balanço de Energia para uma Aleta Hipóteses: 

Condução unidimensional de calor



Regime permanente



Condutividade térmica da aleta constante



Radiação térmica desprezível



Sem geração interna de calor

Coeficiente de convecção uniforme Através de um balanço de energia, pode-se obter a equação que governa a condução de calor através da aleta. Considerando-se um elemento infinitesimal de uma aleta de seção reta variável (Fig. 24), pode-se afirmar que a taxa de energia que entra no volume de controle, menos a taxa de energia que sai do volume de controle, mais a taxa de energia que é gerada, deve ser igual à taxa de variação da energia no interior do volume de controle. 

Figura 24 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida

Como a geração interna de calor foi desprezada e a transferência de calor ocorre em regime permanente, qx

 q x dx  dq conv

q x  Energia transferida por condução para o volume infinitesimal  onde q x dx  Energia transferida por condução do volume infinitesimal dq  Energia perdida por convecção para o fluido  conv A taxa de calor por condução na posição x é determinada pela lei de Fourier: qx

 kA c

dT dx

onde Ac é a área da seção reta da aleta na posição x considerada. Fazendo-se uma expansão em série de Taylor, pode-se determinar a taxa de calor por condução na posição x + dx

q dx x

q x dx

 qx 

q x dx

 kA c

dT dx



  kA  c dx  d

dT  dx dx  162



 A dT dx  c  dx dx  dx  A taxa de calor por convecção transmitida do elemento infinitesimal para o fluido é dada por q x dx

 kA c

dT

 k

d

dq conv  hdAs T  T 

onde dAs é a área superficial infinitesimal do elemento. Substituindo-se as equações de taxa na equação do balanço de energia,

 kA c

dT dx

 kA c

dT dx

 A dT dx  hdA T  T   c  s  dx  dx 

 k

d

 A dT dx  h dA T  T   0  c  s  dx  dx  k Como a área da seção reta A c pode variar com x, d

dT dA c dx dx

 Ac

d 2T dx 2



h dA s k dx

T  T   0

 1 dA c  dT  1 h dA s      T  T   0  dx 2  A c dx  dx  A c k dx  Forma geral da equação da energia, em condições unidimensionais, em uma aleta. Aletas com área da seção transversal constante Quando a área da seção transversal da aleta é uniforme (Fig. 25), a equação anterior pode ser simplificada. d 2T

Figura 25 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante Ac

 constante 

As

 Px 

dA s dx

dA c dx

0

P

163


d 2T dx



2

hP kA c


T  T   0

Definindo-se a variável  (Excesso de Temperatura) como a diferença entre a temperatura da superfície em uma posição x e a temperatura do fluido de resfriamento,

(x)  T(x)  T d



dx

d 2 dx

2

dT

d 2

dx

dx 2



hP kA c



d 2T dx 2

0

Definindo-se m2



d 2 dx

2

hP kA c

 m 2  0

Esta é uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes, cuja solução geral tem a forma

( x )  C1e mx  C 2 e  mx Para resolver esta equação, é necessário ainda definir as condições de contorno apropriadas. Uma condição pode ser especificada em termos da temperatura na base da aleta (x = 0) Tx

 0  Tb

x  0  T b  T   b

ou

A segunda condição de contorno deve ser definida na ponta da aleta (x = L). Podem ser especificadas quatro condições, cada uma correspondendo a uma situação física e levando a uma solução diferente. A. Transferência convectiva de calor na ponta da aleta A taxa de calor que chega à extremidade da aleta por condução é dissipada por convecção

 kA c

dT dx x L

d

 k

dx

 hA c (T(L)  T )

 h(L) x L

Aplicando-se estas condições de contorno, chega-se a

(x ) coshm(L  x)  (h / mk )senhm(L  x )   b cosh(mL)  (h / mk )senh (mL) A taxa de calor pode ser determinada através da aplicação da lei de Fourier q f

 kA c

dT dx x 0

 kA c

d dx x 0 164



Derivando-se a expressão encontrada para  (x), q f   b . hPkAc

senh (mL)  ( h / mk ) cosh(mL) cosh(mL)  ( h / mk )senh (mL)

Para simplificar a solução, define-se M   b hPkAc

,

Assim, a equação para a taxa de calor pode ser dada por

 senh (mL)  (h / mk ) cosh(mL)   cosh( mL ) ( h / mk ) senh ( mL )   

q f  M 

B. Ponta da aleta adiabática dT dx x L

0

ou d dx x L

0

Neste caso,

(x ) coshm(L  x )   b cosh(mL) q f  M.tgh (mL)

C. Temperatura da ponta da aleta fixa e igual a T L Tx  L  TL

ou

x  L  L

(x) ( L /  b )senh(mx)  senhm(L  x )   b senh(mL)

 cosh(mL)  (L / b )   senh (mL)  

q f  M 

D. Aleta muito longa Neste caso, quando

L  , TL

 T ou L  0

( x) mx e  b q f  M

A figura 26 apresenta a distribuição de temperatura em uma aleta retangular, utilizando-se a condição de contorno de aleta muito longa. Observa-se que, a partir de uma dada posição, a 165



temperatura da aleta não se altera. Isto acontece porque a aleta já alcançou a temperatura ambiente. A partir deste ponto, como não há diferença entre as temperaturas da aleta e ambiente, não há mais troca de calor por convecção. Percebe-se, portanto, que não haveria necessidade de se utilizar um comprimento maior que L max.

Figura 26 – Distribuição de temperaturas em uma aleta muito longa

A Tabela 6 apresenta as equações de uma forma resumida. Tabela 6 – Taxa de Calor e Distribuição de Temperatura

Condição de contorno na ponta

Distribuição adimensional de temperatura

Troca de calor por convecção

( x ) coshm(L  x )  (h / mk )senhm(L  x )   b cosh(mL)  (h / mk )senh (mL)

Ponta adiabática

( x ) coshm(L  x )  cosh(mL)  b

Temperatura fixa T = TL

( x ) ( L /  b )senh (mx)  senhm(L  x )  senh (mL)  b

Aleta muito longa

( x ) mx e  b

( x )  T( x )  T m

hP kA c

 b  T b  T M   b hPkA c

166

Taxa de calor  senh (mL)  (h / mk ) cosh(mL)    cosh(mL)  (h / mk )senh (mL) 

q f  M 

q f  M.tgh(mL)

 cosh(mL)  (L / b )   senh (mL)  

q f  M 

q f  M

 L  TL  T ,



Exemplo 9 – Aletas Uma aleta retangular de alumínio, com 4 mm de espessura, 10 mm de largura e 12 cm de comprimento, está acoplada a uma chapa plana cuja temperatura superficial é 85 oC. O sistema é exposto ao ar ambiente a 15 oC. O coeficiente convectivo associado é 17W/m 2.K. Determine a taxa de calor dissipada pela aleta se a sua ponta for mantida a uma temperatura fixa de 20 oC e a temperatura na posição x = 5 cm. O primeiro passo é calcular algumas grandezas que serão necessárias futuramente. P  2 w  t   2 0,010 m  0,004 m  0,028 m

 wt  0,010 m.0,004 m  4x105 m 2

Ac

Da Tabela A.6, k = 237 W/m.K m

hP



kA c

17W / m 2 .K .0,028 m 237 W / m.K .4x10

5

m

2

 7,09 m 1

 b  T b  T  85o C  15o C  70o C  70 K  L  TL  T  20o C  15o C  5o C  5 K M   b hPkA c

 70K

17

W

W .0,028 m.237 .4x10 5 m 2 2 m.K m .K

 4,70 W

A taxa total de transferência de calor pela aleta é dada por q f

M

cosh(mL)  ( L /  b ) senh (mL)

 4,70 W.

cosh 7,09 m 1.0,12 m



 5 K / 70 K 



senh 7,09 m 1.0,12 m



q f  6,45 W

◄

A temperatura adimensional em uma posição x da aleta é dada por

( x ) (L /  b )senh (mx)  senhm(L  x )  senh (mL)  b ou T(x )  T T b

 T



( L /  b )senh(mx)  senhm(L  x ) senh(mL)

Na posição x = 5 cm, T  15 85  15



(5 K / 70 K )senh (7,09 m 1.0,05 m)  senh 7,09 m 1 (0,12 m  0,05 m) senh (7,09 m 1.0,12 m)

T  54,7  C

◄

Desempenho da Aleta As aletas são utilizadas para se aumentar a taxa de transferência de calor de uma superfície devido ao aumento da área. No entanto, a aleta impõe uma resistência térmica à condução na superfície original. Deve ser feita uma análise sobre o desempenho da aleta.

167



A Efetividade de uma aleta é definida como sendo a razão entre a taxa de transferência de calor pela aleta e a taxa de transferência de calor que existiria sem a sua presença. A utilização de aletas somente se justifica se f  2. q f



ε f

hA c  b

onde Ac é a área da seção reta da aleta. A Eficiência de uma aleta é definida como a razão entre a taxa de transferência de calor pela aleta e a taxa máxima de transferência de calor que existiria pela aleta. Esta taxa máxima é obtida quando toda a aleta se encontra à temperatura da base. ηf



q f



q max

q f hAs  b

onde As = área superficial da aleta Nas expressões anteriores, a taxa de calor q f é calculada de acordo com a condição de contorno utilizada para a ponta da aleta.

Exemplo 10 – Eficiência de uma aleta Uma barra cilíndrica de 5 cm de diâmetro e condutividade térmica 280 W/m.K é utilizada para aumentar a taxa de calor retirada de uma superfície mantida a 120 oC, exposta a um ambiente a 15oC, com coeficiente convectivo igual a 25 W/(m 2.K). Se a aleta tem 80% de eficiência, calcule o seu comprimento, considerando a aleta muito longa. P  d  0,05 m  0,157 m

d 2

Ac



AS

 PL  0,157 m.L

4

hP

m

kA c



0,05 m 2



4

 1,963x103 m 2

25W / m 2 .K .0,157 m 280 W / m.K .1,963x10

 b  T b  T  120



M   b hPkA c

3

m

2

 2,673 m 1

C  15 C  105 C  105 K

 105 K .

25

W

W .0,157 m.280 .1,963x10 3 m 2 2 m.K m .K

 154,3 W

A taxa total de transferência de calor pela aleta é dada por q f  M  154,3 W

A eficiência da aleta pode ser calculada por η f



q f q max

0,80 



q f hAs  b 154,3

25W / m 2 .K .0,157.L.105 K

L  0,467 m

◄

168



Em geral, não são encontrados sistemas com uma única aleta. São colocadas diversas aletas em uma superfície, com o objetivo de se retirar uma quantidade maior de calor. A taxa total de calor perdida pelo conjunto superfície + aletas é dada pela soma das taxas de calor individuais. Considerando-se que todas as aletas do conjunto são iguais e que a presença de uma aleta não interfere na taxa de calor dissipada por outra aleta, a taxa total de calor é dada por qt

 Nqf  hA b  b

onde N = número total de aletas qf = taxa de calor perdida por uma aleta A b = área da superfície exposta – área da base das aletas A eficiência da aleta f caracteriza o desempenho de uma única aleta. A eficiência global da superfície o caracteriza o desempenho de um conjunto de aletas e da superfície da base sobre a qual este conjunto está montado. Ela é definida como a razão entre a taxa de calor perdida pelo conjunto e a taxa máxima de calor que poderia ser perdida pelo conjunto, ηo



qt q max



qt hA t  b

onde At = área total exposta At

 A b  NAs

A eficiência do conjunto pode ser dada também em função da eficiência de uma única aleta. Se f é a eficiência de uma aleta, a taxa total de calor pode ser dada por q t  Nf hAs  b

 hA b  b

ou qt

 NA s  1  f  b  h Nf A s  (A t  NA s ) b  hA t 1  At  

Assim,

o  1 

NAs At

(1  f )

Exemplo 11 – Conjunto de aletas Considere uma superfície quadrada, de lado l = 25 cm, em contato com dois fluidos diferentes, como mostrado na figura. O lado interno é aquecido pela passagem do fluido 1, com coeficiente convectivo h1 = 50W/m 2.K, que mantém a superfície da placa a uma temperatura constante de 100 oC. Pelo lado externo, aletado, passa um fluido frio (fluido 2), a uma temperatura de 20 oC, proporcionando um coeficiente convectivo igual a 10W/m 2.K. 169



Foram dispostas 16 aletas circulares, de 2 cm de diâmetro e 17 cm de comprimento cada, igualmente distribuídas pela placa. As aletas, de cobre, foram isoladas na ponta. Considerando que a temperatura externa da placa é igual à temperatura de sua superfície interna, determine: a) A taxa de calor dissipada por uma aleta; b) A taxa de calor dissipada pelo conjunto superfície + aletas; c) A temperatura do fluido quente, considerando que todo o calor fornecido pelo fluido quente seja dissipado para o fluido frio.

a) Para o cálculo da taxa dissipada por uma aleta, devem ser calculados os parâmetros P  d  0,02 m  0,0628 m Ac



d 2 4



0,02 m 2 4

 3,142x10 4 m 2

Da Tabela A.6, k = 401 W/m.K m

h 2P kA c



10W / m 2 .K .0,0628 m 401W / m.K .3,142x10

 b  T b  T2  100



M   b h 2 PkA c

4

m

2

 2,233 m 1

C  20 C  80 C  80 K

 80 K .

10

W

W .0,0628 m.401 .3,142x10 4 m 2 2 m.K m .K

 22,50W

A taxa total de transferência de calor pela aleta é dada por q f  M.tgh(mL)  22,50 W.tgh(2,233m 1.0,17 m) q f

 8,157 W

◄

b) A taxa total de calor dissipada é dada pela soma da taxa de calor dissipada pelas aletas e pela taxa de calor dissipada pela base, qt

 16.q f  q b  16.q f  h 2 A b T b  T2 

onde A b

 l 2  NAc  0,25 m2  16.3,142x104 m 2  0,0575 m 2

Assim, qt

 16.8,157 W  10

qt

 176,5 W

W



0,0575 m 2 100 C  20 C m .K 2

 ◄

170



c) Considerando que toda a taxa de calor fornecida pelo fluido quente é dissipada pelo conjunto superfície + aletas, pode-se dizer que qt

 h1A t T1  T b 

qt

 h1l 2 T1  T b  2

176,5 W  500,25 m T1  100 C T1



 156,5 C 

◄

FUNDAMENTOS DA CONVECÇÃO Considere um fluido qualquer, escoando com velocidade u  e temperatura T  sobre uma superfície de forma arbitrária e área superficial A, como mostrado na Fig. 27.

Figura 27 – Transferência Convectiva de Calor

A Camada Limite Fluidodinâmica Quando as partículas do fluido entram em contato com a superfície, elas passam a ter velocidade nula (condição de não deslizamento). Estas partículas atuam no retardamento do movimento das partículas da camada de fluido adjacente que, por sua vez, atuam no retardamento do movimento das partículas da próxima camada e assim sucessivamente, até uma distância y   , onde o efeito de retardamento se torna desprezível (Fig. 28). A velocidade u aumenta até atingir o valor da corrente livre, u . A grandeza  é conhecida como espessura da camada limite e é, usualmente, definida como o valor de y para o qual u  0,99u  . Como pode ser visto na figura, a espessura da camada limite depende da posição x.

Figura 28 – A Camada Limite Fluidodinâmica 171



A Camada Limite Térmica Da mesma forma que há a formação de uma camada limite fluidodinâmica no escoamento de um fluido sobre uma superfície, uma camada limite térmica deve se desenvolver se houver uma diferença entre as temperaturas do fluido na corrente livre e na superfície. Considere o escoamento sobre uma placa plana isotérmica mostrada na Fig. 29.

Figura 29 – A Camada Limite Térmica (T S > T  )

No início da placa (x = 0), o perfil de temperaturas no fluido é uniforme, com T( y)  T . No entanto, as partículas do fluido que entram em contato com a placa atingem o equilíbrio térmico na temperatura superficial da placa, ou seja, T(x,0)  TS . Por sua vez, estas partículas trocam energia com as partículas da camada de fluido adjacente, causando o desenvolvimento de gradientes de temperatura no fluido. A região do fluido onde existem estes gradientes é conhecida como camada limite térmica, e a sua espessura é definida como sendo o valor de y no qual

T  0,99 Ts  T Ts

Com o aumento da distância x, os efeitos da transferência de calor penetram cada vez mais na corrente livre e a camada limite térmica aumenta. A Camada Limite de Concentração A camada limite de concentração determina a transferência de massa por convecção em uma parede. Se uma mistura de duas espécies químicas A e B escoa sobre uma superfície e a concentração da espécie A na superfície é diferente da concentração na corrente livre, uma camada limite de concentração irá se desenvolver. Ela é a região do fluido onde existem gradientes de concentração, sendo sua espessura definida como o valor de y no qual

 CA  0,99 C A,S  C A, C A,S

O perfil de concentração na camada limite (Fig. 30) é similar ao perfil de temperatura na camada limite térmica.

172



Figura 30 – A Camada Limite de Concentração (C A,S > C A, )

Em um escoamento sobre uma superfície com diferença de temperatura e concentração entre ambos, em geral, as camadas limite fluidodinâmica, térmica e de concentração não se desenvolvem simultaneamente, ou seja, não possuem a mesma espessura    t   c  . O objetivo da definição das camadas limite é a simplificação das equações que governam o escoamento. No interior da camada limite fluidodinâmica, u  v u u v v  , , y x y x No interior da camada limite térmica,

T T  y x Desta maneira, as equações podem ser simplificadas e a solução do problema se torna mais fácil.

Determinação da taxa de calor Considere novamente o escoamento de um fluido sobre uma superfície de forma arbitrária e área superficial A, como mostrado na Fig. 27. Se a temperatura da superfície for superior à temperatura do fluido, haverá uma transferência de calor por convecção da superfície para o fluido. O fluxo térmico local é dado pela lei de resfriamento de Newton q"  h TS

 T 

onde h é o coeficiente local de transferência de calor por convecção. Como as condições variam de ponto para ponto, q” e h irão variar ao longo da superfície. A

taxa total de transferência de calor é obtida integrando-se o fluxo ao longo da superfície



q  q" dAS

  h TS  T dAS

Considerando-se que as temperaturas da superfície e do fluido sejam constantes e iguais, respectivamente, a T S e T, a taxa de calor pode ser dada por: q  TS

 T  hdAS

Pode-se definir um coeficiente médio de transferência de calor por convecção h para toda a superfície, de maneira a representar toda a transferência de calor 173


q  hA S TS


 T 

Igualando-se as expressões para a taxa de calor, os coeficientes local e médio podem ser relacionados por h



1 AS

 hdAS AS

Para uma placa plana de comprimento L e largura b (Fig. 31),

Figura 31 – Escoamento sobre uma Placa Pana A S x   bx

h

h





1 bL 1 L

 hbdx AS

L

 hdx 0

De maneira análoga, se um fluido com concentração molar de um componente A igual a C A, escoa sobre uma superfície cuja concentração molar de A é mantida em um valor uniforme CA,S  CA,, haverá transferência do componente A por convecção. A taxa e o fluxo de transferência de massa podem ser calculados através de um coeficiente local hm. Se CA,S > CA,, N"A  h m C A,S

 C A,

onde N”A: fluxo molar da espécie A (kmol/s.m 2) hm: coeficiente local de transferência de massa por convecção (m/s) CA,S: concentração molar de A na superfície (kmol/m 3) CA,: concentração molar de A no fluido (kmol/m 3) A taxa total de transferência de massa em base molar pode ser escrita na forma N A

 h m AS C A,S  C A, 174


onde


h m : coeficiente global de transferência de massa por

convecção (m/s)

De modo análogo à transferência de calor, o coeficiente médio é relacionado ao coeficiente local por hm



1 AS

 h m dAS dAS

A transferência de uma espécie química também pode ser expressa em termos da massa, através do fluxo mássico n”A (kg/s.m2) ou da taxa de transferência de massa n A (kg/s). Multiplicando-se a equação para o fluxo molar pela massa molecular de A, n"A  h m  A,S   A,

nA

 h m AS  A,S   A, 

onde A,S: densidade mássica (concentração) de A na superfície (kg/m 3) A,∞: densidade mássica (concentração) de A no fluido

(kg/m 3)

A densidade mássica e a concentração molar da espécie A estão relacionadas pela expressão:  A  MM .C A

MM é a massa molecular do fluido.

Parâmetros Adimensionais Os problemas de convecção consistem, basicamente, na determinação dos coeficientes de convecção. Com eles, pode-se então determinar as taxas de transferência de calor. Em geral, são obtidas equações empíricas em função de parâmetros adimensionais e, através de sua definição, calculam-se os coeficientes convectivos. Estas correlações dependem da geometria do escoamento (escoamento interno ou externo, sobre placa plana, no interior de um tubo, etc.), do regime do escoamento (laminar ou turbulento), se a convecção é natural ou forçada, etc. Os parâmetros adimensionais mais importantes na análise da convecção são listados a seguir. Deve-se observar que alguns parâmetros são definidos em função de um comprimento característico x. Para o escoamento sobre uma placa plana, o comprimento característico é a distância x a partir da origem. 

Número de Reynolds

Re x 

ux 

Número de Nusselt

Nu x 





hx k

Número de Prandtl

Pr 

 C p  k  175



Número de Sherwood





Sh x

hmx D AB



Número de Schmidt

Sc



 D AB

onde DAB é a difusividade de massa (m 2/s) Os valores das propriedades da água e do ar, necessárias para se determinar os adimensionais anteriores, encontram-se nas Tabelas A.2 e A.3, para diferentes temperaturas. A difusividade de massa é dada na Tabela A.7. A transição para a turbulência, no interior de tubos, ocorre para números de Reynolds de aproximadamente 2300. Para o escoamento sobre uma placa plana, esta transição ocorre para Re = 5x105, ou seja, o número do Reynolds crítico (ou de transição) é dado por Re x ,c



u  x c  5x105 

onde u é a velocidade da corrente livre. Para escoamento laminar (Rex < 5x105), a espessura da camada limite fluidodinâmica, na forma adimensional, é

 lam x

5



Re x

A espessura da camada limite térmica é dada por

  Pr 1/ 3 t A espessura da camada limite de concentração é dada por

  Sc 1 / 3 c O número de Nusselt local é dado por Nu x



hxx k

 0,332 Re1x/ 2 Pr 1/ 3 , válida para Pr  0,6

O número de Sherwood local é dado por Sh x



h mx x D AB

 0,332 Re1x/ 2 Sc 1 / 3 , válida para Sc  0,6

Para escoamento turbulento (Rex > 5x105) , a espessura da camada limite fluidodinâmica, na forma adimensional, é

176



1 / 5

 turb

 u   0,37 Re x  0,37   x 1 / 5 x    Quando as camadas limite laminar e turbulenta são comparadas, percebe-se que a turbulenta cresce muito mais rápido, já que sua espessura varia com x 4/5, enquanto no escoamento laminar, a espessura varia com x 1/2. Para escoamentos turbulentos, todas as camadas limite apresentam aproximadamente a mesma espessura. 1 / 5

  t  c O número de Nusselt local é dado por

 0,0296 Re 4x / 5 Pr 1/ 3 , válida para

Nu x

0,6  Pr  60

O número de Sherwood local é dado por

 0,0296 Re 4x / 5 Sc 1 / 3 , válida para

Sh x

0,6  Sc

 3000

Uma vez que a temperatura do fluido varia ao longo do comprimento (camada limite térmica), as propriedades do fluido sofrem variações que podem ser significativas ao longo do comprimento da placa. Esta variação pode influenciar a taxa de transferência de calor. Esta influência pode ser tratada se as propriedades do fluido forem avaliadas na temperatura média da camada limite T f , conhecida por temperatura do filme , definida por: Tf



TS

 T 2

Exemplo 12 – Escoamento laminar Ar a 20oC escoa sobre uma superfície plana, de 2 m de comprimento e 10 cm de largura, mantida a 60oC. A velocidade da corrente livre é igual a 1 m/s. Determine: a) o coeficiente convectivo global e b) as espessuras das camadas limite fluidodinâmica e térmica na posição x = 1 m. a) Em primeiro lugar, deve-se calcular a temperatura do filme, ou seja, a temperatura média da camada limite, na qual serão avaliadas as propriedades do ar. Tf



TS

 T 2



20 C  60 C 



2

 40 C 

As propriedades do ar a 40 C se encontram na Tabela A.3. Como as equações para o cálculo do coeficiente convectivo e das espessuras das camadas limite dependem do regime de escoamento, deve-se, em primeiro lugar, calcular o número de Reynolds para determinar se o escoamento é laminar ou turbulento. O número de Reynolds para uma posição x qualquer é dado por Re x



u  x 1,0453kg / m 3 .1 m / s. x   52135x  2,005x10 5 kg / m.s

Como se deseja calcular o coeficiente convectivo global sobre a placa, é necessário saber o número de Reynolds na posição x = L = 2 m. Assim, Re x  2 m

 52135.2  1,04x10 5 177



Como Re < 5x105, o escoamento é laminar. O coeficiente global de transferência de calor por convecção é dado por h

1



L

L

 hdx 0

onde h é o coeficiente local de transferência de calor por convecção, obtido através do adimensional de Nusselt para escoamento laminar,



Nu x

hxx k

 0,332 Re1x/ 2 Pr 1 / 3

h  0,332 Re1x/ 2 Pr 1 / 3

k x

 0,33252135x 1 / 2 0,7031 / 3

0,0287 W / m.K 1,934 x



x1/ 2

Assim, h

1 2

2

 1,934 x

1 / 2

dx 

0

h  2,736

1 2

1,934

x1/ 2 1/ 2

2

0

W

◄

m 2 .K

b) A espessura da camada limite fluidodinâmica, para escoamento laminar, é dada por 5x



Re x

Para a posição x = 1 m, Re = 52135 5.1m



52135

  0,0219m

◄

A espessura da camada limite térmica é dada por   Pr 1 / 3 t ou t 

 1/ 3

Pr



0,0219m

0,7031 / 3

  0,0246m

◄

Exemplo 13 – Escoamento turbulento Água a 10oC escoa a 1m/s sobre uma superfície lisa, de 4 m de comprimento e 20 cm de largura, mantida a 100 oC. Determine o coeficiente global de transferência de calor entre a placa e o escoamento e a taxa total de calor transferida da placa para a água. Em primeiro lugar, deve-se calcular a temperatura do filme, ou seja, a temperatura média da camada limite, na qual serão avaliadas as propriedades do ar. Tf



TS

 T 2

10 C  100 C 





2

 55 C 

178



As propriedades da água, a 55C, podem ser interpolados a partir dos valores encontrados na Tabela A.2. O número de Reynolds para uma posição x qualquer é dado por u  x 985,5 kg / m 3 .1 m / s. x   1,955x106 . x Re x  4  5,04x10 kg / m.s

O número de Reynolds na posição x = L é Re x 4 m

 1,955x10 6 .4  78,2x10 5

Como Re > 5x105, o escoamento é turbulento no final da placa. Considerando-se que a transição de escoamento laminar para turbulento ocorre para Re = 5x105, a posição da placa em que o escoamento se torna turbulento pode ser calculado por 

Re x ,c

u  x c  5x105  1,955x10 6 x c  x c  0,256m 

O coeficiente global de transferência de calor por convecção é dado por h

L

1



 hdx

L

0

onde h é o coeficiente local de transferência de calor por convecção. No entanto, como no início da placa o escoamento é laminar, o cálculo do coeficiente global deve ser feito através da seguinte expressão L x  h    h lamdx   h turbdx  L  x 0  c

1

c

onde Nu lam k



h lam

 0,3321,955x10 6 x  3,221 / 3

h turb



x

 0,332 Re1x/ 2 Pr 1 / 3

k

h lam

x

1/ 2

Nu turb k x

 0,0296Re 4x / 5 Pr 1 / 3

 0,3321,955x10 6 x 

1/ 2

0,648W / m.K x k x

Pr 1 / 3

k x

 444,23 x 1 / 2

 0,02961,955x10 6 x 

4/5

3,221 / 3

0,648W / m.K x

 3055,86x 1 / 5

Assim, h

1

 4 

0, 25 6





4

444,23x

1 / 2

0

dx 



3055,86 x 1 / 5 dx 

0 , 25 6

h  2686,44



W

◄

m 2 .K

A taxa total de calor é dada por q  hATs

 T   2686,44

W



.4 m.0,2 m. 100 C  10 C m .K 2





q  193,4 kW

 ◄

Deve-se ressaltar que, se o coeficiente global fosse obtido pela integração do coeficiente local turbulento ao longo de toda a placa, o erro na taxa de calor seria de aproximadamente 8%.

179



LISTA DE EXERCÍCIOS – TRANSFERÊNCIA DE CALOR 1) a) Identifique os processos de transferência de calor que determinam a temperatura de um pavimento de asfalto em um dia de verão. b) Uma tela para lareiras com lâmina dupla de vidro é colocada entre uma lareira a lenha e o interior de uma sala. A tela consiste em duas lâminas verticais de vidro que estão separadas por um espaço através do qual o ar ambiente pode fluir (o espaço está aberto no topo e no fundo). Identifique os processos de transferência de calor associados a esta tela de lareira. 2) Uma parede de concreto, com área superficial de 20 m 2 e espessura de 0,25 m, separa uma sala com ar condicionado do ar ambiente. A superfície interna da parede é mantida a 25 oC e a condutividade térmica do concreto é 1 W/mK. Determine a taxa de calor perdida através da parede para as temperaturas da superfície externa de -15 oC e 38oC, que correspondem aos extremos atingidos no inverno e no verão. Comente os resultados.

Exercício 2

3) A parede de um forno industrial é construída em tijolo refratário com espessura de 0,15 m e condutividade térmica de 1,7 W/(m.K). Medições efetuadas durante a operação em regime permanente revelaram temperaturas de 1400 K e 1150 K nas superfícies interna e externa da parede do forno, respectivamente. Qual a taxa de calor perdida através de uma parede com dimensões 0,5 m x 3,0 m? 4) Um aquecedor elétrico encontra-se no interior de um cilindro longo de diâmetro igual a 30 mm. Quando água, a uma temperatura de 25 oC e velocidade de 1 m/s, escoa perpendicularmente ao cilindro, a potência por unidade de comprimento necessária para manter a superfície do cilindro a uma temperatura uniforme de 90 oC é de 28 kW/m. Quando ar, também a 25 oC, mas a uma velocidade de 10 m/s está escoando, a potência necessária para manter a mesma temperatura superficial é de 400 W/m. Calcule e compare os coeficientes de transferência de calor por convecção para os escoamentos da água e do ar. 5) Uma superfície com área de 0,5 m 2, emissividade igual a 0,8 e temperatura de 150 oC é colocada no interior de uma grande câmara de vácuo cujas paredes são mantidas a 25 oC. Qual a taxa de emissão de radiação pela superfície? Qual a taxa radiante líquida trocada entre a superfície e as paredes da câmara? 6) Uma tubulação de vapor sem isolamento térmico passa através de uma sala onde o ar e as paredes se encontram a 25ºC. Considere que o coeficiente associado à transferência de calor por convecção é de 15 W/m².K. O diâmetro externo do tubo é de 70 mm, a temperatura de sua superfície é de 200ºC e a sua emissividade é 0,8. Para um comprimento de tubo de 5 m, determine a taxa de emissão de radiação pela superfície e a taxa total de calor perdida pela superfície. 7) Um circuito integrado quadrado com lado w = 5 mm opera em condições isotérmicas. O chip está alojado no interior de um substrato de modo que suas superfícies laterais e inferior estão bem isoladas termicamente, enquanto sua superfície superior encontra-se 180



exposta ao escoamento de uma substância refrigerante a temperatura de 15 oC. A partir de testes de controle de qualidade, sabe-se que a temperatura do chip não deve exceder a 85oC. a) Se a substância refrigerante é o ar, com coeficiente de transferência de calor por convecção correspondente de 200 W/m 2K, qual a potência máxima que pode ser dissipada pelo chip? b) Se a transferência líquida de calor por radiação da superfície do chip para a vizinhança também for considerada, qual o aumento na potência máxima que pode ser dissipada pelo chip? A emissividade da superfície do chip é 0,9. 8) Um calefator elétrico tem a forma de um cilindro, com comprimento L = 200 mm e diâmetro externo D = 200 mm. Nas condições normais de operação, o calefator dissipa 2 kW, imerso em uma corrente de água a 20 oC, que proporciona um coeficiente de transferência convectiva de calor h = 5.000 W/m².K. Calcule a temperatura da superfície do calefator, Ts, desprezando a transferência de calor pelas suas extremidades. Num certo instante, o fluxo de água é suspenso e o calefator continua a operar com a superfície exposta ao ar, que também está a 20 oC, mas que tem h = 50 W/m².K. Qual será então a temperatura da superfície do calefator? Quais são as conseqüências da interrupção do fluxo de água? 9) As temperaturas das superfícies interna e externa de um vidro de janela são 20 oC e – 12oC, respectivamente. Se o vidro tem 80cm por 40cm, espessura de 1,6cm e condutividade térmica k = 0,78 W/(mK), determine: a) a taxa de transferência de calor através do vidro da janela e b) a perda de calor através do vidro durante três horas. 10) Considere uma placa de espessura L = 1,0m e condutividade térmica k = 20 W/mK, sem geração interna de calor. A superfície em x = 0 está mantida na temperatura uniforme T 1 e a superfície em x = L, na temperatura uniforme T 2. Calcule o fluxo de calor através da placa, em condições estacionárias, em cada um dos seguintes casos: T1 (oC) 100 -20 -40 o T2 ( C) 0 40 -10 11) A distribuição permanente de temperatura, numa parede unidimensional de condutividade térmica k e espessura L, tem a forma T  ax 3  bx 2  cx  d . Obtenha a expressão para a taxa de geração de calor por unidade de volume da parede e os fluxos de calor nas duas faces da parede (x = 0 e x = L). 12) A distribuição permanente de temperatura em uma parede com 0,3 m de espessura é dada por T(x)  a  bx  cx 2 , onde T é dado em K e x em metros, a  400K , b  400K / m e c  300 K / m 2 . A parede possui uma condutividade térmica de 1,2 W/m.K e uma área de

2 m2. a) Determine a taxa de transferência de calor em x = 0 e em x = L; b) Se a superfície externa (x = L) está exposta a um fluido a 100 C, qual o coeficiente de transferência de calor por convecção entre esta superfície e o fluido? 13) A taxa de calor em uma parede plana, de condutividade térmica k = 12 W/m.K, é dada pela expressão q  12000 x 2  3600 x  2400 , onde x é dado em m e a taxa de calor em W. A área transversal da parede é de 4 m 2 e a sua espessura L é de 50 cm. Sabendo que a temperatura da superfície externa (x = L) é de 450 K, determine: a) A temperaturas da superfície interna da parede (x = 0); b) Uma expressão para a taxa de geração de energia por unidade de volume. 14) No interior de uma parede plana com espessura L = 20 cm e condutividade térmica k igual a 50 W/m.K, ocorre uma geração interna de 20 kW/m 3. Se as temperaturas das faces interna (x = 0) e externa (x = L) são mantidas em, respectivamente, 290 K e 325 K, obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas no interior da parede. 15) Em uma parede com 0,5 m de espessura e 10 m 2 de área, há uma geração uniforme de calor, q = 10.000 W/m 3. A temperatura interna da parede (x = 0) é 100 oC e a externa (x = 181



0,5m), 250oC. Considerando condições de regime permanente, obtenha a equação da distribuição de temperatura ao longo da espessura da parede e o fluxo de calor nas posições x = 0 e x = 0,5 m. Considere a condutividade térmica da parede k = 20W/mK. 16) Em uma parede plana com 5 cm de espessura e condutividade térmica de 20 W/m.K, há 3 uma geração interna de calor uniforme q  1000 W / m . A temperatura interna da superfície (x = 0) é mantida em 300 K, enquanto a temperatura da superfície externa é mantida em 380 K. a) Determine a distribuição de temperaturas no interior da parede; b) Determine o fluxo de calor na superfície externa. 17) Em uma parede plana de tijolo com 20 cm de espessura e área de seção transversal de 4 m2, há uma geração não uniforme de calor, dada por q  ax  b  q em W / m3 , onde a  5000 W / m 4 e b  800W / m3 . A superfície em x = 0 está exposta a um fluido

quente, mantendo sua temperatura constante em 450 K. A superfície em x = L está a temperatura ambiente, T = 300 K. Obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas ao longo de x e uma expressão para a taxa de calor ao longo de x. 18) Uma parede plana, de espessura L = 0,15 m e área de 3 m 2, tem suas faces mantidas em temperaturas constantes T(x = 0) = 300 K e T(x = L) = 400 K. Há uma geração interna de calor no interior da parede, dada por q  30.000x  400 (W/m3). Se a condutividade térmica do material da parede é constante e igual a 20 W/(m.K), determine a distribuição de temperaturas no interior da parede e o fluxo de calor em x = 0. 19) A taxa de calor em uma parede de condutividade térmica k = 0,75 W/m.K tem a forma q  ax 2  bx  c , onde a  1000 W / m 2 , b  500W / m e c  50 W . A parede tem uma área transversal A = 2 m 2 e uma espessura L = 0,2 m. Se a temperatura da superfície interna da parede (x = 0) é igual a 20 C, determine a temperatura da superfície externa (x = L) e os fluxos de calor nas posições x = 0 e x = L. Considere a condução unidimensional em regime permanente. 20) A taxa de calor em uma parede plana de condutividade térmica de 0,35 W/m.K, com 2 m 2 3 2 q ( x )  ax  bx  c , onde de área transversal e 0,15 m de espessura tem a forma

a  15 000W / m3 , b  2000W / m 2 e c  150W . A temperatura da superfície interna

(x = 0) é 400K. Determine a temperatura da superfície externa (x = L). 21) Uma parede plana de 50 cm de espessura e condutividade térmica de 50 W/(m.K) tem sua face interna mantida em uma temperatura constante de 300 K e sua face externa, em 360 K. No interior da parede há uma geração interna de calor dada por q  50.000x  5000 , onde q é dado em W/m 3. a) Obtenha a distribuição de temperaturas no interior da parede; b) Sobre a superfície externa, escoa ar a 230 C. Determine o coeficiente de troca de calor por convecção entre a superfície e o ar. 22) No interior de uma parede plana de espessura L = 0,5 m, há uma geração interna de calor dada por q  3.000x 2  500 (em W/m3, sendo x dado em m). A parede tem condutividade térmica constante e igual a 50 W/m.K). Na superfície interna (x = 0), a temperatura é mantida constante em 500 K. Na superfície externa (x = L), a temperatura é mantida em 400 K. a) Obtenha o perfil de temperaturas no interior da parede. b) Determine o fluxo de calor em x = L/2. 23) No interior de uma parede plana de espessura L = 0,5 m, há uma geração interna de calor uniforme de 3 kW/m3. A condutividade térmica do material da parede varia de acordo 182


com k 

c a  bx


, onde c = 40, a = 1, b = 1 e x é dado em m. A superfície interna da parede

(x = 0) está em contato com um fluido aquecido, que mantém sua temperatura constante em 80˚C. A superfície externa (x = L) é mantida em 20˚C.

a) Obtenha uma expressão para o perfil de temperaturas no interior da parede. b) Determine o fluxo de calor em x = L. Neste ponto, a parede está ganhando ou perdendo calor? Justifique. 24) Uma parede plana, de espessura L = 0,15 m, tem suas superfícies mantidas em temperaturas constantes T (x = 0) = 300 K e T (x = L) = 400 K. Há uma geração uniforme de calor de 20.000 W/m 3 no interior da parede. Devido à grande variação de temperatura entre as superfícies, a condutividade térmica do material varia de acordo com a equação k 

1 ax  b

, onde a e b são constantes (a = 3,33x10 -4 K/W e b = 2,49x10 -3 m.K/W).

Obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas no interior da parede. 25) A superfície interna (x = 0) de uma parede plana tem sua temperatura mantida constante em 300 K e a superfície externa (x = L), em 450 K. A condutividade térmica do material da parede varia de acordo com k 

c ax  b

, onde a = 12, b = -10 e c = -120. x é dado em m

e k, em W/m.K. Considere B = 20 cm, H = 80 cm e L = 50 cm (veja figura). a) Determine a distribuição de temperaturas na parede b) Determine a taxa de calor em x = L/2.

Exercício 25

26) Um cilindro oco, de raio interno r 1 = 0.8 m e raio externo r 2 = 1.0 m, tem as suas paredes a temperaturas constantes T s1 = 40oC e Ts2 = 85oC, respectivamente. Há uma geração interna de energia entre as paredes do cilindro, dada por q = 2000r, onde r é o raio do cilindro em uma posição arbitrária. Considerando condução unidimensional em regime permanente e a condutividade térmica do material constante e igual a k = 10 W/mK, determine a distribuição de temperatura na parede do cilindro e o fluxo de calor nas posições r = 0,8 m e r = 1,0 m. 27) Um cilindro oco de ferro, de raio interno r1 = 0,5 m e raio externo r2 = 1,0 m, tem as suas paredes mantidas a temperaturas constantes T(r1) = 450 K e T(r2) = 300K. Há uma geração interna de calor entre as paredes do cilindro, dada por q  2000 / r , onde r é o raio do cilindro em uma posição arbitrária. Para condições de regime permanente, determine a temperatura e a taxa de calor por unidade de comprimento na posição r = 0,75 m. 28) Um cilindro oco de ferro, de 80 cm de raio interno (r1) e 1 m de raio externo (r2), tem suas paredes mantidas a temperaturas constantes T(r1) = 350K e T(r2) = 450 K. No interior das paredes do cilindro, há uma geração uniforme q  10 kW / m3 . 

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a) Obtenha uma equação para a distribuição de temperaturas no interior da parede. b) Determine a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento, em r = 0,8 m 29) No interior de um cilindro oco de aço (k = 20 W/m.K), há uma geração interna de calor uniforme, dada por q  5 kW / m 3 . Na superfície interna (r1 = 0,5 m), a temperatura é mantida constante em 600K. Na superfície externa (r2 = 1,0 m), a temperatura é mantida constante em 400 K. a) Obtenha o perfil de temperaturas no interior da parede. b) Determine a taxa de calor (por unidade de comprimento) em r = r2. O calor está sendo transferido do cilindro para o ambiente ou do ambiente para o cilindro? Justifique. 30) No interior de um cilindro oco há uma geração interna uniforme de calor dada por q  3000 W / m 3 . O cilindro tem sua parede interna (r = r1 = 50 cm) mantida em uma temperatura de 400 K pela passagem de um fluido aquecido. A parede externa (r = r2 = 100 cm) é mantida em 300 K. A condutividade térmica do material do tubo pode ser assumida constante e igual a 20 W/m.K. Considere condições de regime permanente. a) Obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas no interior do tubo; b) Determine o fluxo de calor na superfície interna do tubo; c) Sabendo que o fluido escoa no interior do tubo a uma temperatura de 450 K, determine o valor do coeficiente convectivo associado à transferência de calor entre o fluido e a superfície interna do tubo. Despreze efeitos de radiação 31) Uma casca esférica, de raio interno r1 = 1,0 m e raio externo r2 = 1,2 m, tem suas paredes mantidas em temperaturas constantes T(r1) = 300 K e T(r2) = 450 K. Há uma geração interna de calor entre as suas paredes, dada por q  2000 / r 2 , onde r é o raio da casca em uma posição arbitrária e q é dado em W/m3. A condutividade térmica do material da casca pode ser modelada por k  50 / r 2 , onde k é dada em W/(m.K). a) Para condições de regime permanente e condução unidimensional, obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas ao longo da parede. b) Obtenha a taxa de calor na posição r = 1,2 m. 32) Uma esfera oca, de raio interno r1 e raio externo r2, tem as suas paredes mantidas em temperaturas T(r1) = Ts1 e T(r2) = Ts2. a) Para condições de regime permanente, condução unidimensional e ausência de geração interna, obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas ao longo da parede, a partir da equação da difusão de calor. b) Obtenha uma expressão para a taxa de calor conduzida através da parede. c) Sabendo que a resistência térmica à condução é dada por R = T/q, determine a resistência à condução para esta situação. 33) Uma casca esférica de alumínio possui uma geração interna de calor q  5000W/m 3 . A temperatura no raio interno r 1 = 0,2 m é de 200 K e a temperatura na posição correspondente ao raio externo r 2 = 0,5 m, é de 250 K. Determine a distribuição de temperaturas ao longo do raio r e a temperatura e o fluxo de calor na posição radial r = 0,35 m. 34) Uma casca esférica de alumínio possui uma geração interna dada por q  2000 / r 2 , onde r é o raio da casca em uma posição arbitrária. No raio interno da casca (r 1 = 0,6 m), a temperatura é de 500 K. No raio externo, r 2 = 1,0 m, a temperatura é de 300K. a) Para condições de regime permanente e condução unidimensional, obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas ao longo da parede. b) Obtenha a taxa de calor na posição r = 1,0 m. 35) A distribuição de temperaturas em uma esfera é dada por 3 2 T  475r  2200r  6700 lnr  . Determine a taxa de geração de energia por unidade 184



de volume em uma posição radial arbitrária r. Calcule ainda a taxa de calor em r = 1 m, se a condutividade térmica do material da esfera é k = 50 W/m.K. 36) Uma mistura quimicamente reativa é armazenada no interior de um recipiente esférico, de raio interno r 1 = 200 mm, raio externo r 2 = 220 mm e feito de um material com condutividade térmica igual a 0,05 W/m.K. A reação exotérmica gera uma taxa uniforme de calor, q  4000W/m 3 . As temperaturas interna e externa do reator são mantidas, respectivamente, em 95 oC e 40oC. Considerando condução unidimensional de calor em regime permanente no interior do recipiente, determine a distribuição de temperaturas no interior do reator. 37) Uma parede plana é um compósito de materiais, A e B, de condutividades térmicas 75 W/(m.K) e 150 W/(m.K), respectivamente e de 50 mm de espessura cada. A parede feita do material A possui uma geração uniforme de energia dada por q  1 ,5 x106 W / m3 . a) Sabendo que as faces da parede constituída pelo material A possuem temperaturas T1 = 415 K e T2 = 390 K, obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas ao longo da parede. b) Obtenha o fluxo de calor na posição x = L A (ou seja, na interface entre as duas paredes). c) Considerando que não existe geração interna na parede feita pelo material B , determine a temperatura do fluido de resfriamento T , para um coeficiente convectivo de 1000 W/(m2.K).

Exercício 37

38) Um chip de silício é encapsulado de tal modo que, sob condições de regime permanente, toda a potência por ele dissipada é transferida por convecção para uma corrente de fluido, com coeficiente convectivo de 10000 W/m 2.K e temperatura de 25 C. O chip está separado do fluido por uma placa de alumínio com 4 mm de espessura. Se a área da superfície do chip é de 100 mm 2 e sua temperatura máxima permissível é de 85 C, qual é a máxima potência que pode ser dissipada pelo chip? 39) As paredes de um refrigerador são normalmente construídas encaixando-se uma camada de isolante entre painéis metálicos. Considere uma parede construída com isolante de fibra de vidro com condutividade térmica 0,046 W/m.K e espessura de 50 mm e com painéis de aço, com condutividade de 60 W/m.K e 3 mm de espessura. Se a parede separa o ar refrigerado a 4C do ar ambiente a 25 C, qual é o fluxo de calor transferido? Os coeficientes associados à convecção natural nas superfícies interna e externa podem ser aproximados por hi = ho = 5 W/m 2.K. 40) Uma casa tem uma parede composta de madeira, isolamento de fibra de vidro e gesso, conforme a figura. Num dia frio de inverno, o coeficiente de transferência convectiva de calor é hi = 60 W/m2K no interior e ho = 30 W/m2K no exterior. A área superficial total da parede é 350 m 2. Se a temperatura no interior da parede é T  i = 20oC, a temperatura ambiente externa é T  o = -15oC,as espessuras das camadas de gesso, fibra e madeira são, 185



respectivamente, Lg = 10 mm, L f = 100 mm, Lm = 20 mm, e as condutividades térmicas do gesso, da fibra de vidro e da madeira são, respectivamente, k g = 0,17 W/mK, k f = 0,038 W/mK e k m = 0,16 W/mK, determine: a) a resistência térmica total do sistema, b) a taxa de calor perdida para o exterior.

Exercício 40 41) A face esquerda de uma placa plana de área transversal igual a 1,0 m 2 e espessura igual a 0,25 m, de aço inox 304 (emissividade 0,4), está exposta a um ambiente determinado por uma temperatura de 850 C e coeficiente convectivo igual a 10 W/m 2.K. A temperatura na face esquerda é igual a 630 C. Determine a taxa de calor trocada e a temperatura na face direita da placa. 42) Uma parede composta é constituída por uma placa de ferro de espessura L 1 = 3 cm, por uma camada de compensado de madeira de espessura L 2 = 0,5 cm e por um isolamento de espessura L3 = 4 cm e condutividade térmica k = 0,05 W/mK. a) Calcule o fluxo de calor através desta parede composta, com uma diferença de temperatura de 400 oC entre as superfícies interna (ferro) e externa (isolamento). b)Se a diferença de temperatura entre a superfície externa e o ar for de 25 oC, calcule o coeficiente convectivo de calor entre a parede externa e o ar. 43) Uma parede plana de área 10 m 2 separa dois ambientes. A superfície externa é mantida a 80°C pela passagem de um fluido a 30°C, com coeficiente convectivo de 5 W/m 2K. A parede é constituída por 3 materiais distintos: na superfície interna, aço (k = 15 W/mK e espessura de 15 cm), em seguida uma parede de vidro de 10 cm de espessura (k = 1,4 W/mK) e um isolamento de fibra de vidro (k = 0,04 W/mK, emissividade 0,7 e 2 cm de espessura) na superfície externa Determine a temperatura na superfície interna. 44) Um vidro duplo de janela é constituído por duas placas de vidro de 7 mm de espessura, com um espaço cheio de ar entre elas, com a espessura de 7 mm. A janela separa o ar ambiente interno, a 20 oC, do ar do ambiente externo, a -10 oC. O coeficiente convectivo associado à face interna (ambiente interno) é 10 W/m 2K e o associado ao lado externo (ambiente externo) é 80 W/m 2K. Pode-se admitir que o ar entre os vidros esteja parado. Considere k vidro = 1,4W/mK e k ar = 0,0263W/mK. a) Qual é a perda de calor através da janela, com 0,8m de comprimento e 0,5m de largura? b) Calcule qual seria a taxa de calor se a janela fosse constituída por apenas uma folha de vidro com 7 mm de espessura. Comente o resultado. 45) O vidro traseiro de um automóvel é desembaçado pela fixação de um aquecedor em película, fino e transparente, sobre sua superfície interna. O seu funcionamento fornece um fluxo de calor uniforme na superfície interna do vidro. Para um vidro com 6 mm de espessura e 2 m 2 de área, determine: a) a potência elétrica necessária para manter a temperatura na superfície interna em 15C, quando a temperatura do ar no interior do carro e o respectivo coeficiente convectivo são de 25 C e 12 W/m2.K e a temperatura e o coeficiente no lado externo do carro são de -10 C e 56 W/m2.K; b) a condutividade térmica do vidro do carro, desprezando a espessura do aquecedor. 186



46) Deve ser construída uma parede com 5 cm de espessura para separar dois ambientes. A temperatura do ambiente interno é igual a 100 oC e o coeficiente de transferência de calor associado é igual a 25 W/m 2K. No ambiente externo, passa um fluido a uma temperatura de 0oC, com um coeficiente convectivo de 60 W/m 2K. Qual deve ser a condutividade térmica do material da parede para garantir que a parede, com 3,5 m 2 de área, dissipe uma taxa de calor de 5 kW? 47) Uma parede composta, de 2 m 2 de área, é utilizada para separar dois ambientes. O ambiente interno é mantido a 25 oC e o ambiente externo, a -15 oC. Os materiais A e B possuem condutividades térmicas de, respectivamente, 0,17 W/m.K e 0,1 W/m.K. A espessura do material A é de 10 mm. Os coeficientes convectivos interno e externo são iguais a 50 W/m 2.K e 25 W/m 2.K e a temperatura da superfície interna é mantida em 20oC. Desprezando efeitos de radiação, determine: a) A taxa de calor trocada e b) A espessura do material B

Exercício 47

48) Um aparelho de ar condicionado é programado para manter a temperatura no interior de um recinto fixa em 20oC. Se a temperatura do ambiente externo é de – 5oC, calcule a taxa de calor transferida do ambiente interno para o externo nas situações a seguir: a) A parede é constituída apenas por uma camada de tijolo comum com 10cm de espessura. b) A parede é constituída por uma camada de tijolo comum com 10 cm de espessura e por uma camada de gesso (k = 0,25 W/m.K) com 10 cm de espessura. Para ambos os casos, considere o coeficiente convectivo interno h 1 = 15 W/m2.K e o coeficiente convectivo externo h2 = 20 W/m2.K. A área da parede é de 10m 2. 49) Um ambiente a 100 C deve ser separado do ambiente externo a 20 C por meio de uma parede composta formada por dois materiais. O material A tem 10 cm de espessura e condutividade térmica de 2,5 W/m.K. Sabendo que a espessura do material B é de 10 cm, determine a sua condutividade térmica, necessária para garantir que a temperatura da superfície externa (Ts3) seja de 50C. Os coeficientes convectivos associados aos escoamentos interno e externo são, respectivamente, 25 W/(m 2.K) e 5 W/(m2.K). Despreze efeitos de radiação.

Exercício 49

50) Uma casa está exposta a um fluxo de calor uniforme devido à radiação solar de 100W/m 2. Deseja-se manter a temperatura no interior da casa em um valor o mais baixo possível. Em uma dada face, tem-se a opção de utilizar uma parede de tijolo (k = 0,7 W/m.K) de 10 187



cm de espessura ou uma placa de vidro pyrex de 6 mm de espessura. Se a temperatura na superfície externa da parede (vidro ou tijolo) é constante e igual a 50 C, calcule a temperatura do ar no ambiente interno para cada uma das duas situações (parede de vidro ou parede de tijolo) e determine qual material irá permitir alcançar um menor valor de temperatura no ambiente interno. Considere que o coeficiente convectivo associado ao escoamento de ar no interior da casa é de 10 W/m 2.K. 51) Uma janela composta separa o interior uma residência do ambiente externo. O ar interno é mantido artificialmente a uma temperatura de 27 C, enquanto o ambiente externo está a 5C. Os coeficientes convectivos associados aos escoamentos interno e externo são de, respectivamente, 10 W/m 2.K e 12,5 W/m2.K. A janela é composta por duas placas de vidro de condutividade térmica k = 1,4 W/(m.K), com espessura L cada, entre as quais existe um espaço de espessura L cheio de ar em repouso, com condutividade térmica k = 0,025 W/(m.K). Se a janela possui uma área de 2 m 2, determine a espessura L necessária para que a temperatura da superfície interna seja de 22 C. 52) Considere uma parede composta de área transversal A = 2 m 2, mantida entre dois fluidos a temperaturas constantes T ∞1 = 80C e T∞2 = 10C e coeficientes convectivos h1 = 10 W/m2.K e h2 = 20 W/m 2.K, como mostrado na figura. Os materiais A, B, C e D possuem condutividades térmicas de 20 W/m.K, 30 W/m.K, 40 W/m.K e 100 W/m.K, respectivamente e espessuras L A = LB = LC = LD = 15 cm. A transferência de calor é bidimensional. Em algumas situações, o problema pode ser considerado unidimensional. Em uma primeira avaliação, considera-se que as superfícies perpendiculares a x são isotérmicas. Em uma segunda avaliação, considera-se que as superfícies paralelas a x são adiabáticas. Considerando-se o primeiro caso, desenhe o circuito térmico equivalente e determine a taxa de calor trocada entre os fluidos. Despreze a radiação.

Exercício 52

53) Em um processo de fabricação, uma fonte de energia radiante é utilizada para fornecer um fluxo de calor que é completamente absorvido pela superfície composta mostrada na figura, de área transversal de 2 m 2. Os materiais que compõem a superfície possuem k 1  60 W / m.K , k 2  3 W / m.K , 1  0,8 e  2  0,37 propriedades termofísicas e espessuras L1 = 25 cm e L 2 = 2 cm. A superfície externa do material 2 é mantida a uma temperatura constante T S3 = 200C, através da passagem de uma corrente de fluido de resfriamento com temperatura igual a 80 oC e coeficiente convectivo de 50 W/m 2.K. a) Desenhe o circuito térmico que representa a transferência de calor em regime permanente, indicando o sentido da transferência de calor e nomeando as temperaturas e resistências térmicas. b) Determine o fluxo radiante necessário para manter o sistema na condição especificada. c) Determine a temperatura da superfície interna T S1.

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Exercício 53

54) Uma parede plana de área A = 1,5m é composta por 2 materiais diferentes, A e B, com k A = 100 W/m.K e k B = 50 W/m.K As espessuras são L A = 0,2 m e LB = 0,5 m. A superfície em x = L está exposta a um ambiente a 450 K, com h = 80 W/m 2.K. Se a temperatura em x = L é TS3 = 400 K, calcule a temperatura da parede entre os 2 materiais. A emissividade do material B é B = 0,7. 55) Um ambiente a 200 C deve ser separado do ambiente externo. Para isto, deverá ser utilizada uma parede composta por dois materiais. O material A, em contato com o ambiente interno, possui 25 cm de espessura, condutividade térmica de 20 W/m.K e emissividade de 0,5. O material B, em contato com o ambiente externo, possui 5 cm de espessura e condutividade térmica de 1 W/m.K. A temperatura da superfície em contato com o ambiente interno é de 150 C e o coeficiente convectivo associado à transferência de calor interna é de 20 W/m 2.K. a) Determine a temperatura da superfície externa do material B. b) O coeficiente convectivo associado ao escoamento externo é dado por h  5,8  3V , onde V é a velocidade do ar. Determine a velocidade do ar requerida para garantir que a temperatura do ambiente externo seja de 25 C. Despreze a radiação externa. 56) Uma parede composta separa as paredes de um ambiente a alta temperatura do ambiente externo. A parede é composta por dois materiais (A e B). A condutividade térmica e a emissividade do material A são, respectivamente, k A = 15 W/m.K e εA = 0,2. A condutividade térmica do material B é k B = 2 W/m.K. O ambiente interno é mantido a uma temperatura de 250 C, proporcionando um coeficiente convectivo de 15 W/m 2.K. A superfície interna de A tem temperatura T S1 = 190C. a) Determine o fluxo de calor perdido para o ambiente externo; b) Se os coeficientes convectivo e radiativo associados ao escoamento externo são, respectivamente, 16 W/m 2.K e 2 W/m2.K, determine a temperatura do ambiente externo.

Exercício 56

57) A parede composta de um forno é constituída de três materiais diferentes, sendo dois com condutividades térmicas conhecidas, k A = 400 W/(m.K) e K B = 237 W/(m.K), com espessuras L A = LB = LC = 0,25 m e área A = 1,5 m 2. A superfície externa está exposta ao ar ambiente, com T 2 = 20oC e coeficiente convectivo h 2 = 400 W/(m2.K). O ar no interior 189



do forno está a uma temperatura de 1000 oC, com um coeficiente convectivo igual a 30 W/(m2.K), fazendo com que a temperatura na superfície interna da parede (de emissividade 0,9) seja igual a 650 oC. Desprezando a radiação na face externa, determine a taxa de calor transferida do forno para o ambiente externo e a condutividade térmica do material C.

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Exercício 57

58) Uma parede plana de 10 m de área separa as paredes de um forno a alta temperatura do ambiente externo. O material da parede tem condutividade térmica k = 50 W/m.K. O coeficiente convectivo associado à transferência de calor do interior do forno para a parede a TS1 = 1000 K é h 1 = 200 W/m2.K e o coeficiente convectivo associado à transferência de calor da parede para o ambiente externo é h 2 = 100 W/m2.K. A emissividade do material da parede é 0,92. Se a taxa de calor por radiação do forno para a parede interna é 175 kW, calcule as temperaturas T S2 e T2. Despreze a radiação externa. A espessura da parede é L = 0,32 m. 59) Uma parede plana de 2,5 m 2 de área possui condutividade térmica k = 50 W/m.K e emissividade  = 0,8. A sua face interna (x = 0) está a uma temperatura T S1 = 337oC e está em contato com um fluido a 527 oC, com coeficiente convectivo h 1 = 50 W/m2K A sua face externa (x = L = 0,5 m) está em contato com um fluido frio, com coeficiente convectivo h2 = 200 W/m2K. Desprezando a radiação na face externa, calcule as temperaturas da face externa T S2 e do fluido frio T2. 60) A parede composta de um forno é construída encaixando-se um material isolante de condutividade térmica k = 0,5 W/(m.K) entre duas chapas metálicas de 2,5 cm de espessura cada e condutividade térmica k = 150 W/(m.K). O ar no interior do forno se encontra a uma temperatura de 400 C, com um coeficiente convectivo associado de 30 W/m2.K, fazendo com que a temperatura da superfície interna do forno (de emissividade 0,85) seja igual a 200 C. Determine a espessura do material isolante necessária para manter a superfície externa do forno a uma temperatura segura ao toque de 40 C. 61) Um fabricante de eletrodomésticos propôs o projeto de um forno auto limpante que envolve a utilização de um visor de compósito para separar o interior do forno do ar ambiente, como mostrado na figura. O compósito consiste em dois plásticos resistentes a altas temperaturas (A e B), de espessuras L A = 2 LB e condutividades térmicas k A = 0,15 W/m.K e k B = 0,08 W/m.K. Durante o processo de auto limpeza, a temperatura da superfície interna do visor é T S1 = 385C. A temperatura do ar ambiente é T  = 25C e o coeficiente convectivo é 25 W/m 2.K. Qual a espessura mínima do visor, L A + LB, necessária para garantir uma temperatura igual ou inferior a 50 C na superfície externa do visor? Despreze as trocas de calor por radiação.

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Exercício 61

62) Uma parede plana é composta por dois materiais diferentes, A e B, com condutividades térmicas k A = 20 W/m.K e k B = 5 W/m.K, emissividades A = B = 0,75 e espessuras L A = LB = 0,15 m. A superfície interna (material A) está exposta a um ambiente com coeficiente convectivo de 50 W/m 2.K. A superfície externa (material B), a 320 C, está exposta a um ambiente a 400 C e coeficiente convectivo igual a 17 W/m 2.K. Determine o fluxo de calor trocado e a temperatura da superfície interna do material A (em contato com o fluido no ambiente interno). 63) Um fio elétrico, com raio r 1 = 5 mm e resistência por unidade de comprimento 10 -4 /m, está revestido por um isolamento plástico de 1 mm de espessura e condutividade térmica k = 0,20 W/mK. O isolamento está exposto ao ar ambiente cuja temperatura é 300 K e o coeficiente de convecção é h = 10 W/m 2K. Se a temperatura máxima admissível no fio for 450K, qual é a corrente máxima possível que pode passar pelo fio? 64) Uma corrente elétrica de 100 A passa em um cabo de cobre com diâmetro de 10 mm e resistência elétrica por unidade de comprimento de 5x10 -4 Ω/m. O cabo se encontra em um ambiente a 20 C, com um coeficiente convectivo de 20 W/m 2.K. Para reduzir o valor da temperatura superficial do cabo, ele foi revestido com uma camada de material isolante de 3 mm de espessura (k = 0,15 W/m.K). Determine a temperatura superficial do cabo. Considerando que a temperatura máxima admissível no cabo é de 100 C, avalie se este isolamento seria suficiente e justifique. 65) Uma corrente elétrica de 500 A passa em um cabo de cobre com diâmetro de 5 mm e resistência elétrica por unidade de comprimento de 6x10 -4 /m. O cabo se encontra em um ambiente a 30 C, com um coeficiente de troca de calor de aproximadamente 25 W/m2.K. a) Se o cabo estiver desencapado, qual será a temperatura em sua superfície? b) Há preocupação em relação à capacidade do isolamento em suportar temperaturas elevadas. Qual a espessura do isolamento (k = 0,5 W/m.K) que produzirá o menor valor para a temperatura máxima na camada de isolamento? Qual será o valor da temperatura máxima quando esta espessura de isolamento for utilizada? 66) Um tubo de aço inoxidável AISI 304 é utilizado para transportar resíduos de um processo. O fluido escoa no interior do tubo com uma temperatura de 50 C, com um coeficiente convectivo associado de 10 W/m 2.K. O tubo tem 50 cm de diâmetro interno e 3 cm de espessura. O conjunto é exposto ao ar atmosférico a 20 C, com um coeficiente convectivo de 6 W/m2.K. Para um trecho de 10 m de comprimento, determine: a) A taxa de calor perdida para o ambiente; b) A taxa de calor perdida, se o tubo for recoberto por uma camada de 2 cm de espessura de um material isolante (k = 0,5 W/m.K). 67) Uma tubulação de cobre tem um diâmetro interno de 10 cm e um diâmetro externo de 12 cm. Vapor saturado a 110 C com coeficiente convectivo de 10.000 W/m 2.K flui através da 191



tubulação, que está localizada em um ambiente a 30 C com coeficiente convectivo de 15 W/m2.K. O isolamento disponível para reduzir as perdas de calor tem uma espessura de 5 cm e condutividade térmica de 0,20 W/m.K. Desprezando a radiação, calcule as perdas de calor por unidade de comprimento para a tubulação com isolamento e sem isolamento. 68) Um tubo de aço inoxidável [k = 14 W/(m.K)], utilizado para transportar um produto farmacêutico resfriado, possui um diâmetro interno de 36 mm e uma espessura de parede de 2 mm. O produto farmacêutico e o ar ambiente estão a temperaturas de 6 C e 23C, respectivamente. Os correspondentes coeficientes de convecção interna e externa são de 400 W/m2.K e 6 W/m2.K, respectivamente. a) Determine a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo; b) Qual seria a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo se fosse aplicada, na superfície externa do tubo, uma camada de 10 mm de espessura de isolante de silicato de cálcio (condutividade térmica de 0,050 W/(m.K)? 69) Nitrogênio líquido é armazenado em um contêiner cilíndrico de aço (k = 15 W/m.K) com diâmetro interno de 60 cm e diâmetro externo de 80 cm, mantendo a temperatura interna do contêiner em 77,3 K. Sobre a superfície do tanque, existe uma camada de 25 cm de um isolamento térmico com k = 0,05 W/m.K. O coeficiente de convecção externo é de 50 W/m2.K para um ambiente a 15 C. O cilindro tem 3 m de altura. Desprezando as trocas de calor pelo topo e pelo fundo do cilindro, determine a taxa de calor fornecida para o nitrogênio. 70) Um cilindro oco de ferro é utilizado para transportar vapor d'água a 300 oC. Sobre a superfície externa, escoa ar com um coeficiente convectivo de 6 W/(m 2.K). A temperatura da superfície interna do cilindro é de 270 oC. Se o coeficiente convectivo associado ao escoamento de vapor d´água é de 50 W/(m 2.K), determine a taxa de calor (por unidade de comprimento) perdida para o ambiente e a temperatura do ar externo. São dados: raio interno do cilindro: 75 cm, espessura da parede: 5 cm. 71) Uma barra cilíndrica de cobre, com diâmetro D = 5 cm, é aquecida pela passagem de uma corrente elétrica. A superfície externa da barra é mantida a uma temperatura de 175 oC enquanto está dissipando calor por convecção para um ambiente a 25 oC, com um coeficiente de transferência de calor de 100 W/m 2K. Se a barra, mantida à mesma temperatura, for recoberta por uma película de 6mm de espessura e condutividade térmica k = 0,6 W/mK, a sua perda de calor irá aumentar ou diminuir? Quais os valores da taxa de calor por unidade de comprimento perdida para o ambiente, com e sem a película? 72) Vapor de água, na temperatura de 250 oC, passa por um tubo de aço AISI 1010 (k = 58,7 W/mK) de 60 mm de diâmetro interno e 75 mm de diâmetro externo. O coeficiente total de transferência de calor (convecção + radiação) entre o vapor de água e a superfície interna do tubo é 500 W/m 2K e o coeficiente convectivo, na superfície externa do tubo, é 25 W/m2K. Se a temperatura ambiente é 20 oC, determine a quantidade de calor perdida (por unidade de comprimento do tubo). Despreze os efeitos de radiação na superfície externa. 73) Um tubo de aço AISI 304 é utilizado para transportar vapor d’água. O vapor d’água está a uma temperatura de 300 C, com coeficientes convectivo e radiativo de, respectivamente, 10 W/m2.K e 6 W/m2.K. O tubo de aço, com 33 cm de raio interno e 5 cm de espessura, é recoberto com uma camada de isolante de 2 cm de espessura. No ambiente externo, escoa ar a 20C, proporcionando um coeficiente convectivo de 15 W/m 2.K. Determine qual deve ser a condutividade térmica do isolante para manter a temperatura externa do isolante em 40C. Despreze a radiação externa. Considere L = 50 m 74) Uma tubulação de aço inoxidável (k = 14,9 W/m.K e ε = 0,17) é utilizada para transportar vapor d’água a 200C. O diâmetro interno da tubulação é de 30 cm e o diâmetro externo, 36 cm. A tubulação é revestida com um isolante (k = 0,5 W/m.K) de 5 cm de espessura. A 192



temperatura da superfície interna da tubulação é igual a 150 C. O coeficiente convectivo associado ao escoamento interno é de 25 W/m 2.K. Determine a temperatura da superfície externa do isolante. 75) Um fluido quente, a uma temperatura de 200 C, escoa no interior de um tubo de aço (condutividade térmica de 50 W/m.K e emissividade 0,8), com 60 cm de diâmetro interno e 2,5 cm de espessura. A temperatura na superfície interna do tubo é de 180 C. O coeficiente convectivo associado ao escoamento do fluido quente é de 20 W/m 2.K. Para reduzir as perdas de calor para o ambiente, o tubo foi recoberto por uma camada de 3 cm de material isolante, com condutividade térmica de 0,15 W/m.K. Os coeficientes convectivo e radiativo associados ao escoamento do ar externo são de, respectivamente, 25 W/m2.K e 10 W/m 2.K. a) Determine a taxa de calor (por unidade de comprimento do tubo) perdida para o ambiente externo; b) Determine a temperatura do ar externo ao sistema. 76) Um fluxo de calor uniforme é fornecido para a superfície interna de uma casca esférica de raio interno igual a 12 cm. A casca é constituída por dois materiais, sendo o material interno o ferro (k = 50 W/m.K), com 5 cm de espessura e o material externo, uma manta isolante (com condutividade térmica igual a 2 W/m.K), com 2 cm de espessura. O conjunto é mantido em um ambiente com temperatura T 2 = 20ºC e coeficiente convectivo h = 10 W/m 2.K. Se a temperatura no raio interno da casca é igual a 80ºC, determine: a) O valor do fluxo de calor transferido para a superfície interna da casca. b) A taxa de calor na superfície externa do material isolante. 77) Deseja-se determinar a emissividade de um determinado material. Uma tubulação de aço (condutividade térmica de 50 W/m.K), de 30 cm de raio interno e 5 cm de espessura, é coberta com uma camada de 3 cm do material para o qual se deseja determinar a emissividade. O lado externo do conjunto é exposto a um escoamento de ar a 300 C e coeficiente convectivo de 30 W/m 2.K. São medidas as temperaturas nas superfícies interna e externa do conjunto, iguais a, respectivamente, 180 C e 200C. Com estes dados, determine a emissividade do material, que possui condutividade térmica de 13 W/m.K. 78) Uma corrente elétrica passa através de um cabo de 15 mm de raio interno e resistência elétrica por unidade de comprimento de 0,005  / m . O cabo é coberto por dois materiais isolantes: o primeiro, com 0,5 mm de espessura e condutividade térmica de 0,25 W/m.K e o segundo, de mesma espessura, condutividade térmica de 0,15 W/m.K e emissividade de 0,9. A temperatura superficial externa do segundo isolamento é de 75°C. O sistema é resfriado pela passagem de um fluido a 25°C, com coeficiente convectivo de 25 W/m 2K. Considere as trocas de calor por convecção e por radiação. Determine: a) A taxa total de calor dissipada por unidade de comprimento do cabo; b) A corrente elétrica que passa através do cabo; c) A temperatura na superfície interna do cabo. 79) Vapor d’água, a uma temperatura de 200C, escoa no interior de um tubo com condutividade térmica de 5 W/m.K e emissividade 0,8. O diâmetro interno do tubo é 20 cm e a espessura da parede, 5 cm. Medições efetuadas revelam que a temperatura interna da parede é de 150 C. O coeficiente convectivo associado ao escoamento do vapor no interior do tubo é 12 W/m 2.K. O coeficiente convectivo associado ao escoamento do ar no exterior do sistema é 10 W/m 2.K e o coeficiente radiativo associado ao escoamento de ar no exterior do sistema é 10 W/m 2.K. Determine a taxa de calor perdida por unidade de comprimento do tubo e a temperatura do ar externo ao sistema. 80) Um fluido quente, a uma temperatura de 800 C, passa no interior de um cilindro feito de um material com condutividade térmica igual a 100 W/m.K e emissividade 0,75. O 193



coeficiente convectivo associado ao escoamento do fluido quente é de 200 W/m 2.K. Pelo lado externo do cilindro, escoa ar a 20 C. Qual deve ser o coeficiente total (convecção + radiação) externo para garantir que a superfície interna do cilindro se mantenha constante em 600C? São dados: raio interno do cilindro: 0,6 m; raio externo: 0,9 m; comprimento: 10 m. Considere ainda que o cilindro é coberto externamente por uma película de tinta que afeta sua emissividade, mas não afeta a distribuição de temperaturas em seu interior (a temperatura superficial do material do cilindro é igual à temperatura ao longo da película de tinta). 81) Uma tubulação de vapor de 200 mm de diâmetro externo passa através de uma grande sala em um porão. A tubulação é feita de aço (k = 20 W/m.K) e possui 2 cm de espessura. A temperatura externa da parede da tubulação é de 500 C, enquanto o ar ambiente da sala está a 20C. Determine: a) a taxa de transferência de calor da tubulação de vapor para a sala, por unidade de comprimento, para uma emissividade da superfície da tubulação de 0,8 e para um coeficiente de transferência de calor por convecção natural estimado em 10 W/m 2.K. Avalie se a radiação pode ser desprezada e justifique. b) a temperatura da superfície interna da tubulação. 82) Um tubo de cobre, com raio interno igual a 0,5 m, 12 cm de espessura e 2 m de comprimento, é colocado em um ambiente a 1000 oC, com coeficiente convectivo de 25 W/m2.K. Após o equilíbrio térmico ser atingido, a medição de sua temperatura externa revela um valor de 840 oC. Sabendo que a emissividade do material é 0,75, calcule a temperatura da superfície interna do tubo. 83) No interior de um forno cilíndrico de raio interno 0,5 m, raio externo 0,62 m e 5 m de comprimento, ar quente possui um coeficiente convectivo h 1 = 300 W/m2.K e um coeficiente radiativo h r1 = 300 W/m2.K. A condutividade térmica do material da parede é k = 50 W/m.K. Se a temperatura da parede externa é 650 K e o ambiente externo ao forno possui temperatura T 2 = 500 K, com h 2 = 10 W/m2.K , calcule as temperaturas do ar no interior do forno e da parede interna do forno. A emissividade do material da parede é  = 0,9. 84) Um fluido quente a uma temperatura de 400 oC passa no interior de um tubo feito de um material de condutividade térmica k = 4 W/mK. A temperatura na superfície externa do tubo é mantida constante em 250 oC. Na superfície externa, escoa um fluido frio a 20 oC e o coeficiente convectivo associado é 17 W/m 2K. Se o coeficiente radiativo na superfície interna do tubo é 35 W/m 2K, calcule: a) A temperatura na superfície interna do tubo b) A taxa de calor trocada com o ambiente c) O coeficiente convectivo associado ao escoamento do fluido quente. São dados: Raio interno do tubo: 0,15 m; Raio externo do tubo: 0,17 m; Comprimento do tubo: 0,75 m; Emissividade da superfície externa do material do tubo: 0,9. 85) Um fluido quente, a uma temperatura de 350 C , escoa no interior de uma tubulação de aço (de condutividade térmica k = 15 W/(m.K) e emissividade 0,2) de 20 cm de diâmetro interno e 5 cm de espessura. Um termopar colocado na superfície interna indica uma temperatura de 250 C. O coeficiente convectivo associado ao escoamento interno é de 20 W/m2.K. Para reduzir as perdas de calor para o ambiente, o tubo deve ser recoberto com uma camada de um material isolante com condutividade térmica k = 0,15 W/(m.K). Determine a espessura do material isolante necessária para manter a superfície externa do isolante a uma temperatura segura ao toque de 40 C. 86) No interior de um tubo de aço (  = 0,15 e condutividade térmica desconhecida), com 50 cm de diâmetro interno e 20 cm de espessura, escoa vapor d’água a 400C. O coeficiente convectivo associado é de 10 W/m 2.K. A medição da temperatura na superfície interna do 194



tubo revelou um valor de 250 C. A tubulação foi revestida com um isolante térmico de 2 cm de espessura e condutividade térmica de 0,5 W/m.K. O conjunto é exposto ao ar ambiente a 30C. O coeficiente convectivo associado ao escoamento externo é de 10 W/m2.K. a) Calcule a taxa de calor por unidade de comprimento perdida para o ambiente externo. Despreze a radiação externa. b) Calcule a máxima temperatura do isolante térmico. Sabendo que a temperatura de fusão do isolante é 300 C, avalie se este isolante poderia ser utilizado. Justifique. 87) Uma esfera oca de alumínio, com um aquecedor elétrico em seu centro, é usada em ensaios para determinar a condutividade térmica de materiais isolantes. O raio interno da esfera é 0,15m e o externo, 0,18 m. O ensaio é realizado em condições de regime permanente, com a superfície interna do alumínio mantida a 260 C. Num certo ensaio, a superfície externa da esfera é revestida por uma casca esférica de isolante, com uma espessura de 0,12 m. O sistema é mantido em um ambiente com a temperatura do ar de 20C, com um coeficiente convectivo externo medido de 30 W/m 2.K. Qual é a condutividade térmica do isolamento quando a dissipação do aquecedor, em regime permanente, for de 80 W? Despreze as trocas de calor por radiação. 88) Um fluxo de calor uniforme é fornecido para a superfície interna de uma casca esférica de raio interno igual a 10cm. A casca é constituída por dois materiais, sendo o material interno o alumínio, com 5 cm de espessura e o material externo, uma manta isolante (com condutividade térmica igual a 2 W/m.K), com 2 cm de espessura. O conjunto é mantido em um ambiente com temperatura T 2 = 20oC e coeficiente convectivo h = 10 W/m 2.K. Se a temperatura no raio interno da casca é igual a 80 oC, determine o valor do fluxo de calor transferido para a superfície interna da casca. 89) Uma casca esférica composta tem raio interno r 1 = 0,25 m e é constituída por uma casca de chumbo (k = 35 W/mK) com raio externo r 2 = 0,30 m e por uma outra casca de aço inoxidável (k = 18 W/mK) com o raio externo r 3 = 0,31 m. A cavidade está cheia de rejeitos radiativos que geram calor à taxa q = 30.000 W. O vaso esférico está submerso em águas oceânicas, cuja temperatura é uniforme T  = 10 oC, proporcionando um coeficiente de transferência convectiva de calor uniforme de h = 500 W/m 2K, na superfície externa. Qual a temperatura na casca inferior da esfera? 90) Um recipiente esférico metálico (k = 50 W/m.K) é usado para armazenar nitrogênio líquido. A sua superfície interna é mantida fixa em 77K. Os diâmetros interno e externo do recipiente são, respectivamente, 0,48 m e 0,50 m. Ele é coberto por uma camada de isolamento térmico refletivo (k = 0,0017 W/m.K), com 25 mm de espessura. A sua superfície externa está exposta ao ar ambiente a 300 K, com coeficiente de transferência de calor por convecção no ar de 20 W/m 2.K. Calcule a taxa de transferência de calor para o nitrogênio líquido e a temperatura externa do isolamento. 91) Uma indústria possui 2 reatores esféricos, ambos com diâmetro interno d 1 = 1,0 m. O primeiro reator, denominado R1, possui espessura de parede t = 0,1 m e é feito de aço inoxidável AISI 304 (Temperatura de fusão Tf = 1670 K). O segundo, chamado de R2, possui espessura de parede t = 0.01 m e é feito de alumínio (Tf = 933K). Para uma determinada aplicação, deverá ocorrer uma reação interna que fornece um fluxo de calor uniforme q”= 2x105 W/m2 para a superfície interna do reator. Ele será mantido em um banho líquido a uma temperatura T  = 350 K, no qual o coeficiente convectivo é de 500 W/m2K. Determine qual modelo de reator (R1 ou R2) deverá ser adotado e justifique a sua resposta. 92) Uma indústria possui 2 modelos de reatores: um esférico e um cilíndrico, ambos de aço inoxidável AISI 304, com diâmetro interno d 1 = 1,0 m e espessura de parede t = 0,1 m, sendo o comprimento do reator cilíndrico de 0,8 m. Para uma determinada aplicação, 195


Cristiana Brasil Maia 5

deverá ocorrer uma reação que fornece um fluxo de calor uniforme q”= 2x10 W/m

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para a superfície interna do reator. Ele será mantido em um banho líquido a uma temperatura T = 250 K, no qual o coeficiente convectivo é de 500 W/m 2K. Sabendo que a temperatura de fusão do aço inoxidável é Tf = 1670 K, determine qual o modelo de reator mais adequado e justifique a sua resposta. Considere condução unidimensional de calor nos dois casos. 93) Uma haste de seção circular deve ser projetada para ser utilizada no carregamento de peças recém-fundidas. Considere que a ponta da haste em contato com a peça quente esteja a 250 C. A outra ponta pode ser considerada isolada. O diâmetro e o comprimento da haste são 5 cm e 1,5 m, respectivamente. Sabe-se que a temperatura ambiente é de 30C e que a temperatura da face isolada não pode ultrapassar 60 C. Se o coeficiente convectivo local for 15 W/m 2.K, determine o material que poderá ser utilizado na haste: cobre (k = 401 W/m.K) ou alumínio (k = 237 W/m.K). Justifique sua resposta através de cálculos. 94) Deseja-se resfriar um componente eletrônico através da colocação de aletas. A máxima temperatura que pode ser atingida pelo componente é de 90 C. O sistema é mantido em um ambiente com temperatura controlada de 15 C, sendo o coeficiente convectivo global de 20 W/m2.K. Deve-se analisar a possibilidade de se acoplar aletas retangulares de alumínio de 2,5 cm de largura, 0,5 cm de espessura e 5 cm de comprimento. Considerando que as pontas das aletas são isoladas termicamente, determine: a) A eficiência de cada aleta; a) A temperatura em x = L/2 95) Deseja-se retirar calor de uma superfície mantida a 200 C, exposta a um ambiente a 25 C, com um coeficiente convectivo de 17 W/m 2.K. Para isto, são colocadas aletas cilíndricas de cobre, de 3 cm de diâmetro e 15 cm de comprimento. Determine a taxa de calor retirada por cada aleta, considerando troca convectiva de calor na ponta da aleta. Determine a temperatura na ponta das aletas. 96) Uma barra de ferro (k = 80 W/mK) de seção reta quadrada (de lado a = 5 mm) está fixada a uma base mantida a 100 oC. Esta barra está exposta a uma ambiente a T  = 15oC e coeficiente convectivo h = 20 W/m 2K. Se o comprimento da barra é de 0,15 m, determine a taxa de calor transferida pela barra, considerando condições de: a) Aleta muito longa b) Condição convectiva na ponta. 97) Considere uma aleta retangular de alumínio, com 5 cm de largura, 1 cm de espessura e 20 cm de comprimento. A aleta é fixada a uma base mantida em 120 C. O conjunto é exposto ao ar atmosférico, com temperatura de 20 C e coeficiente convectivo de 25 W/m 2.K. Considerando condição convectiva de troca de calor na ponta da aleta, determine a taxa de calor perdida pela aleta. Avalie se a aproximação de aleta infinita poderia ser utilizada. Justifique. 98) Deseja-se aumentar a dissipação de calor de motores elétricos de elevadores. Para tanto, pretende-se usar aletas de aço carbono (k = 15 W/mK), a serem soldadas na superfície primária. As aletas têm diâmetro d = 3 cm e comprimento L = 40 cm. A superfície do motor está a uma temperatura de 80°C e o conjunto está exposto a um ambiente a 30°C, com coeficiente convectivo de 20 W/m 2K. Considere que a ponta das aletas é isolada termicamente. a) Determine a taxa de calor perdida por uma aleta; b) Por algum motivo, a perda de calor de (a) é insuficiente. Você tem outras duas opções. Usar aletas de mesmo diâmetro e comprimento 2L ou usar aletas de mesmo comprimento e diâmetro 2d. Calcule a taxa de calor retirada com as novas configurações e apresente a melhor solução. Justifique sua resposta. 196



99) Uma barra cilíndrica de alumínio, com 4 cm de diâmetro e 30 cm de comprimento, está colocada entre duas placas mantidas em 120 C. O conjunto é exposto ao ar ambiente a 20C, com coeficiente convectivo h = 50 W/m 2.K. a) Determine a taxa total de calor perdida pela barra; b) Determine a temperatura nas posições x = 10 cm, x = 15 cm e x = 20 cm. 100) Um bastão de latão (k = 110 W/m.K), com 100 mm de comprimento e 5 mm de diâmetro se estende horizontalmente a partir de uma solda que se encontra a 200 oC. O ambiente a seu redor está a T  = 20oC, com h = 30W/m2.K. Quais as temperaturas no bastão a 25 mm e 100 mm da solda? Considere condição convectiva na ponta do bastão. 101) Considere 2 bastões A e B longos e delgados de diâmetros iguais d A = dB = 4cm, porém feitos de materiais diferentes. Uma extremidade de cada bastão está fixada a uma base mantida a 80 oC. Os bastões estão expostos ao ar ambiente a 17 oC, com um coeficiente convectivo de 20W/m 2.K. Ao se mover um termopar ao longo do comprimento de cada bastão, foram observadas temperaturas iguais nas posições x A = 0,15m e xB = 0,075m, onde o valor de x é medido a partir da base. Se a condutividade térmica do bastão A vale k A = 70W/m.K, determine o valor da condutividade térmica do bastão B e a temperatura do bastão A, na posição x A = 0,10m. 102) Uma barra cilíndrica, com 2 cm de diâmetro e condutividade térmica k = 300 W/m.K, é utilizada para retirar calor de uma superfície mantida a 100 oC. O conjunto está exposto a um ambiente a 20 oC, com coeficiente convectivo igual a 17 W/(m 2.K). Determine o comprimento necessário para se retirar uma taxa de calor igual a 25 W, considerando a ponta da aleta adiabática. 103) Considere uma aleta retangular de cobre, com 2 cm de largura, 5 mm de espessura e 50 cm de comprimento, fixa a uma chapa com temperatura uniforme de 100 oC, exposta a um ambiente de 15 oC, com um coeficiente convectivo h = 20 W/m 2K. Determine a eficiência e a efetividade da aleta, considerando que a ponta da aleta tenha uma temperatura uniforme de 25 oC. 104) Uma barra (com condutividade térmica de 150 W/m.K), com 25 mm de diâmetro e 250 mm de comprimento possui uma de suas extremidades mantida a 100 C e a outra, isolada termicamente. A barra está sujeita a um processo convectivo com T  = 30 C e h = 50 W/m2.K. a) Determine a taxa total de calor perdida pela barra; b) Determine a temperatura na ponta isolada da barra. 105) Um bastão de aço (k = 50 W/mK) com 200 mm de comprimento e 10 mm de diâmetro se estende horizontalmente a partir de uma solda que se encontra a 200 oC. O ambiente a seu redor está a T  = 25 oC, com um coeficiente de transferência de calor por convecção h = 25 W/m2K. Calcule a taxa de transferência de calor pelo bastão e a temperatura na ponta do bastão (x = L), considerando condição convectiva de calor na ponta da aleta. 106) Seja uma aleta com seção reta retangular, com 6 mm de espessura, 2 cm de largura e 10 cm de comprimento. Se a aleta estiver em um ambiente a 25 oC, com h = 15 W/m 2K e a troca de calor da aleta com o ambiente for igual a 3 W, calcule a temperatura na base da aleta e na posição x = 5 cm, considerando a ponta da aleta adiabática. A condutividade térmica do material da aleta é k = 15 W/mK. 107) Deseja-se retirar calor de uma superfície mantida a 180 oC. Pode-se utilizar uma aleta piniforme, de 2 cm de diâmetro e 15 cm de comprimento ou uma aleta retangular, de 1 cm de espessura, 3 cm de largura e 17 cm de comprimento, ambas de alumínio (k = 240W/m.K). O conjunto aleta + superfície ficará exposto a um ambiente a 50 oC, com um coeficiente convectivo de 17 W/m 2.K. Considerando que a ponta das aletas é adiabática, calcule e compare as eficiências das duas aletas. Qual aleta seria a mais recomendada? 197



108) Considere uma aleta de seção reta circular com 2 cm de diâmetro e 85% de eficiência. Se a base onde ela for fixa estiver a uma temperatura igual a 180 oC e a sua superfície estiver exposta a um ambiente a 20 oC e coeficiente convectivo h = 22 W/m 2K, calcule o comprimento da aleta, considerando a ponta da aleta adiabática (k = 37 W/mK). 109) Uma aleta retangular de alumínio, com 600 mm de comprimento, 15 cm de largura e 10 mm de espessura é utilizada para ligar duas superfícies iguais, mantidas a 100 C. O sistema é exposto ao ar ambiente a 15 C , com um coeficiente convectivo de 25 W/(m2.K). a) Determine a taxa de calor trocada entre a aleta e o ambiente. b) Em que ponto da aleta a temperatura é mínima? Por quê? Determine o valor da temperatura mínima da aleta 110) Uma aleta retangular, com 2 cm de espessura, 3 cm de largura e 12 cm de comprimento, é presa a duas superfícies mantidas em temperaturas diferentes. A base da aleta é fixada a uma superfície mantida em 85ºC, enquanto a sua ponta é fixada a uma superfície mantida em 35ºC. O conjunto é exposto a um ambiente a 15ºC, com coeficiente convectivo de 20 W/m 2.K. A aleta é feita em alumínio. Determine: a) a taxa de calor perdida pela aleta; b) a temperatura em x = 8 cm, medidos a partir da base da aleta. 111) Deseja-se resfriar um componente eletrônico através da colocação de aletas retangulares de cobre de 2 cm de largura, 5 mm de espessura e 10 cm de comprimento. A temperatura superficial do componente é mantida em 85 C. O sistema é exposto a ar ambiente a 15C, com coeficiente convectivo de 17 W/(m 2.K). Considere condição de troca convectiva de calor na ponta das aletas. a) Determine a temperatura na ponta da aleta; b) Suponha que as aletas sejam substituídas por aletas de mesmas dimensões, porém de aço inoxidável (k = 50 W/m.K). Determine a temperatura na ponta de cada aleta. A temperatura é maior, menor ou igual à temperatura encontrada no item (a)? Justifique. 112) Um dispositivo eletrônico com 50 mm de largura e 50 mm de altura dissipa uma potência de 4 W. Ar a 25 C escoa sobre o dispositivo, com um coeficiente convectivo de 15 W/m2.K. A temperatura superficial do dispositivo não pode, no entanto, ultrapassar 75C. Determine o número mínimo de aletas de cobre, de 1 mm de largura, 1 mm de espessura e 25 mm de comprimento que deve ser soldado ao dispositivo para dissipar pelo menos 4 W de potência, mantendo a temperatura superficial fixa em 75 C. Para este número mínimo de aletas, determine a eficiência do conjunto base + aletas. Considere condição convectiva de calor na ponta das aletas. 113) Devido ao grande número de componentes nos chips dos PCs atuais, sorvedouros de calor aletados são utilizados com freqüência para manter os chips a uma temperatura de operação aceitável. Dois projetos de sorvedouros aletados devem ser analisados, ambos com a área da base (sem aletas) de dimensões de 53 mm x 57 mm. As aletas possuem seção reta quadrada e são fabricadas em uma liga de alumínio que possui condutividade térmica de 175 W/m.K. Ar para o resfriamento pode ser suprido a 25°C. A temperatura máxima permissível para o chip é de 75°C. Outras características do projeto e das condições operacionais são apresentadas na tabela a seguir. Através de cálculos, determine o melhor arranjo de aletas. Justifique sua resposta. Para efeitos de cálculo, considere que a ponta das aletas é isolada termicamente. Projeto A B

Seção reta w x w (mm2) 3x3 1x1

Comprimento L (mm) 30 7

198

Número de aletas na matriz 6x9 14 x 17

Coef. Convectivo (W/m2K) 125 375



114) Um sistema é composto por duas superfícies iguais, de 40 cm de altura e 30 cm de largura cada, mantidas a uma temperatura de 80 C, espaçadas de 25 cm. O sistema é exposto ao ar ambiente a 20 C. O coeficiente de troca de calor por convecção entre as superfícies e o ar pode ser admitido constante e igual a 10 W/m 2.K. Para aumentar a taxa de calor retirada das superfícies, foram utilizadas 8 aletas cilíndricas de alumínio de 1,5 cm de diâmetro. As aletas têm um comprimento tal que a ponta e a base ficam em contato com ambas as superfícies. a) Determine a taxa total de calor perdida por uma aleta; a) Determine a taxa total de calor perdida pelo sistema compreendido pelas 8 aletas e pelas duas superfícies. 115) Suponha que uma matriz 4x4 de pinos de cobre (k = 400 W/m.K) de 1,5 mm de diâmetro e 15 mm de comprimento seja unida metalurgicamente à superfície externa de um chip quadrado com 12,7 mm de aresta. O chip, com temperatura superficial de 75 oC, tem sua superfície exposta a um líquido dielétrico com h = 1000 W/m 2.K e temperatura de 20oC. Considerando troca convectiva de calor na ponta dos tubos, calcule: a) a taxa de calor dissipada por um pino de cobre e b) a taxa de calor total dissipada e a eficiência do conjunto de aletas + base.

Exercício 115

116) Para aumentar a dissipação de calor de um circuito integrado de 30 mm de largura e 40 mm de altura, propôs-se a utilização de 16 aletas piniformes de cobre de 5 mm de diâmetro e 2 cm de comprimento. O circuito integrado é mantido em um ambiente a 15 C, com um coeficiente convectivo de 12 W/m 2.K. A temperatura superficial do chip é de 80C. Considerando-se que as pontas das aletas são isoladas termicamente, determine: a) A eficiência de uma aleta b) A eficiência do conjunto base + aletas. 117) Aletas piniformes são amplamente utilizadas em sistemas eletrônicos para promover resfriamento, bem como para dar sustentação aos componentes. Considere aletas piniformes de 150 mm de comprimento e 25 mm de diâmetro, feitas de alumínio, conectando dois dispositivos eletrônicos de seção quadrada (aresta a = 200 mm). Admita que as superfícies expostas dos componentes se encontram a uma temperatura uniforme de 80C e que a transferência de calor por convecção ocorra das superfícies expostas para um fluido adjacente a uma temperatura de 20 C, com coeficiente convectivo de 30 W/(m2.K). As superfícies laterais e traseiras dos componentes eletrônicos são perfeitamente isoladas. a) Obtenha a taxa de calor perdida por uma aleta; b) Para um sistema constituído por 4 aletas piniformes ligando os dois dispositivos, obtenha a taxa total de calor perdida para o ar ambiente.

199



Exercício 117

Exercício 118

118) Lâminas de turbina montadas sobre um disco rotativo em um motor por turbina a gás estão expostos a uma corrente de gás que se encontra a uma temperatura de 1200 C e que mantém um coeficiente de transferência de calor por convecção convecção h = 250 W/(m 2.K) sobre a lâmina. As lâminas, fabricadas em um material com condutividade térmica k = 20 W/(m.K), possuem um comprimento L = 50 mm. O perfil da lâmina tem uma área da seção reta de 6,0x10 -4 m2 e um perímetro de 110 mm. Um esquema proposto para o resfriamento da lâmina é capaz de manter a base de cada lâmina a uma temperatura de 300C. Despreze quaisquer efeitos de radiação. a) Se a temperatura máxima permitida para a lâmina é de 1050 C e a ponta da lâmina pode ser considerada adiabática, determine, através de cálculos, se o esquema de resfriamento proposto é satisfatório; b) Para o esquema de resfriamento proposto, determine a taxa de calor trocada tr ocada entre cada lâmina e a corrente de gás. 119) Como um meio para melhorar a transferência de calor em chips lógicos de alto desempenho, é comum a fixação de um sorvedouro de calor à superfície do chip, com o objetivo de aumentar a área superficial disponível para transferência de calor por convecção. Seja um chip com largura B  16 mm , resfriado por um líquido dielétrico a uma temperatura de 25 oC e com h = 1500 W/m 2.K. O sorvedouro de calor é fabricado em cobre (k = 400W/m.k). Para um um chip específico, específico, o sorvedouro de calor é constituído por por 16 aletas quadradas de aresta a = 0,25 mm e comprimento L = 6 mm. Se a temperatura máxima permissível para o chip é 85 oC, qual é a potência máxima que ele pode dissipar? Considere que todo o calor gerado é dissipado através do conjunto chip + sorvedouro de calor e que a ponta da aleta é isolada termicamente.

Exercício 119

120) À medida que se aumenta o número de componentes colocados em um circuito integrado, a quantidade de calor dissipada também aumenta. Entretanto, este aumento está 200



limitado pela máxima temperatura de operação permissível para o chip que é de aproximadamente 75ºC. Para maximizar a dissipação de calor, propõe-se que um conjunto de aletas de alumínio fixadas em uma base seja instalado sobre a superfície externa do chip. Considerando que as pontas das aletas são adiabáticas, pede-se: a) A taxa de calor dissipada por uma aleta; b) A taxa de calor dissipada pelo conjunto superfície + aletas; c) A eficiência de uma aleta.

Exercício 120

121) A adição de aletas de alumínio foi sugerida para aumentar a taxa de dissipação de calor de um dispositivo eletrônico com 1 m de largura e 1 m de altura. As aletas devem ter seção transversal retangular, com 2,5 cm de comprimento e 0,25 cm de espessura, como mostrado na figura. Devem ser instaladas 100 aletas. O coeficiente de transferência de calor por convecção é estimado em 35 W/m 2.K. Determine a razão entre a taxa de calor dissipada pelo componente eletrônico (se não forem utilizadas aletas) e a taxa real dissipada. Considere que as pontas das aletas são isoladas termicamente.

Exercício 121

122) Considere um chip quadrado de silício de 20 mm de largura, resfriado por um líquido dielétrico a uma temperatura de 15 C, com coeficiente convectivo uniforme de 850 W/m2.K. Sabe-se que a temperatura máxima admissível para o chip é de 85 C. a) Determine a potência máxima que o chip pode dissipar. b) A fim de aumentar a potência máxima que o chip pode dissipar, foram colocadas 16 aletas piniformes de cobre, com 1 mm de diâmetro e 5 mm de comprimento. 201



Considerando condição convectiva nas pontas das aletas, determine a potência que o conjunto chip + aletas é capaz de dissipar. 123) Sobre uma placa plana de 0,5 m de largura e 20 m de comprimento, escoa ar a 20 oC. A placa é mantida em uma temperatura uniforme de 100 oC. O fluxo de calor da superfície para o ar varia com a posição posição da placa, placa, de acordo com a expressão expressão q"  ax 2 , onde a = 4W. Determine: a) o coeficiente convectivo local na posição x = 10 m, b) o coeficiente global de transferência de calor por convecção convecção na placa e c) a taxa total t otal de calor transferida. 124) Um longo cilindro circular de naftaleno sólido, com 20 mm de diâmetro e fabricado em é exposto a uma corrente de ar que proporciona um coeficiente de transferência convectivo de massa de hm  0,05m / s. A concentração molar do vapor de naftaleno na superfície do cilindro é 5x10 -6 kmol/m3 e a sua massa molecular é de 128 kg/kmol. Calcule a taxa mássica de sublimação por unidade de comprimento do cilindro. 125) Para o escoamento de ar a 20 oC e velocidade de 0,5 m/s sobre uma placa plana a uma temperatura de 60 oC, determine as espessuras das camadas limite fluidodinâmica e térmica para as seguintes posições: a) x = 4 m, b) x = 20 m. 126) Para o escoamento do exercício anterior, determine o fluxo de transferência de calor por convecção convecção nas posições posições x = 4 m e x = 20 20 m. 127) Ar a 20C escoa sobre uma placa plana de comprimento L = 5 m e largura b = 1 m, com uma velocidade de 2,5 m/s. A placa se encontra a uma temperatura de 180 C. Determine: a) A espessura da camada limite fluidodinâmica em x = L/2; b) A taxa total de calor perdida pela placa. 128) Ar a 20oC escoa sobre uma placa plana de 10 m de comprimento e 2 m de largura, com uma velocidade igual a 2 m/s. A chapa se encontra a uma temperatura igual a 80 oC. Calcule: a) o fluxo de calor na posição x = 6 m, b) a taxa total de calor transferida tr ansferida para o ar, considerando escoamento turbulento desde o início da placa, c) a taxa real de transferência de calor. 129) Para o escoamento de ar a 25 oC e velocidade de 2 m/s sobre uma placa plana de 15 m de comprimento mantida a 95 oC, determine: a) uma expressão para o coeficiente local de transferência de calor por convecção em função da posição, b) o coeficiente global de transferência de calor e c) a espessura da camada limite fluidodinâmica na posição x = 10m. 130) Água a 20 C escoa sobre uma placa plana de 0,5 m de comprimento e 0,25 m de largura, com velocidade igual a 0,5 m/s. A placa se encontra a uma temperatura igual a 60C. Determine: a) O fluxo de calor em x = 0,5 m; b) A taxa total de calor transferida da placa para a água. 131) Ar a 100C escoa sobre uma placa plana de 5 m de comprimento e 0,75 m de largura, com velocidade V = 3,5 m/s. A placa se encontra a uma temperatura igual a 20 C. Determine: a) A espessura da camada limite fluidodinâmica no final da placa; b) O fluxo de calor em x = 2,5 m. 132) Ar a 25C escoa sobre uma placa plana de 3 m de comprimento e 0,9 m de largura, com uma velocidade de 2,5 m/s. Se a placa se encontra a uma temperatura de 75 C, determine: 202



a) Uma expressão para o coeficiente de transferência de calor por convecção da placa para o ar em função da distância x e b) O fluxo de calor na posição x = 1,5 m. 133) Um chip quadrado de silício, de aresta a = 10 mm, está isolado em uma de suas superfícies e é resfriado na superfície oposta com ar atmosférico, em escoamento paralelo, com temperatura de 20 C e velocidade de 20 m/s. Se a temperatura do chip não pode exceder 80C, qual é a potência máxima permitida?

Exercício 133

134) Ar a 20C escoa sobre uma placa plana de 6 m de comprimento e 1 m de largura, com uma velocidade de 1,5 m/s. A chapa se encontra a 100 C. Determine a taxa total de calor transferida para o ar. 135) Água a 20C escoa sobre uma placa plana de 10 m de comprimento e 1,5 m de largura, com uma velocidade de 2 m/s. A chapa se encontra a 80 C. Determine a taxa total de calor transferida para a água. 136) Deseja-se resfriar uma superfície plana de 2 m de largura e 7 m de comprimento, mantida em uma temperatura de 100 C, através da passagem de uma corrente de ar a 20C. a) Considerando que o escoamento é laminar ao longo de toda a placa, determine qual deve ser a velocidade da corrente livre (constante) para garantir que seja retirada a taxa de calor de 2 kW. b) Verifique se a condição de escoamento laminar ao longo de toda a placa é aceitável. 137) Ar escoa sobre uma superfície plana aquecida, a uma velocidade de 1 m/s. A superfície tem 1 m de largura e 50 m de comprimento. Se a superfície é mantida a 100 C, determine qual deve ser a temperatura do ar para garantir que uma taxa de calor de 10 kW seja retirada da superfície. Assuma as propriedades para o ar: (   1,076 kg / m3 ,   1,99x105 kg / m.s, k  0,0288W / m.K e Pr  0,705 ). 138) Ar a 20C e 1 m/s escoa entre duas placas planas paralelas, separadas por 5 cm (ver figura), mantidas a 60 C. As placas têm um comprimento total de 1,4 m e 20 cm de largura. a) Determine o comprimento necessário para que as camadas limite fluidodinâmicas se encontrem; b) Determine a taxa de transferência de calor trocada entre as placas e o ar, até uma distância de 0,7 m. Considere que, até as camadas limite fluidodinâmicas se encontrarem, uma placa não interfere na outra.

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Exercício 138

Exercício 139

139) Determine a taxa de calor perdida pela parede de um edifício, resultante de um vento de 4,5 m/s soprando paralelo à superfície. A parede tem 8 m de comprimento e 20 m de altura, sua temperatura superficial é de 40 C e a temperatura do ar ambiente é de 20 C. 140) Uma placa plana com 1 m de largura é mantida a uma temperatura superficial uniforme de 220C, pelo uso de fitas aquecedoras controladas independentemente, cada uma com 50 mm de comprimento. Ar atmosférico a 20 C escoa sobre a placa a uma velocidade de 60 m/s. a) Quantas tiras são necessárias para que se inicie o escoamento turbulento? b) Considerando que o comprimento da placa é de 10 m, determine a taxa total de calor transferida para o ar. Justifique todas as hipóteses adotadas. 141) Um aquecedor elétrico de ar é constituído por um conjunto horizontal de finas tiras metálicas que possuem, cada uma, 10 mm de comprimento na direção do escoamento do ar, que é paralelo à superfície superior das tiras. Cada tira possui 0,2 m de l argura. 25 tiras são posicionadas lado a lado, formando uma superfície lisa e contínua (de 25 cm de comprimento e 20 cm de largura), sobre a qual o ar escoa a uma velocidade de 2 m/s. Durante a operação, cada tira é mantida a uma temperatura de 180 C, enquanto o ar se encontra a 20 C. a) Determine a taxa total de calor transferida para o ar. Justifique todas as hipóteses adotadas. b) Avalie a espessura da camada limite fluidodinâmica no final da superfície. 142) Uma placa de cobertura de um coletor solar plano possui 1 m de largura e 1 m de comprimento, A placa se encontra a uma temperatura de 90 C. Ar a 30C escoa sobre a placa com uma velocidade de 2 m/s. a) Determine a taxa total de calor perdida para o ar. b) Determine a máxima espessura da camada limite fluidodinâmica. 143) Uma placa de cobertura de um coletor solar plano, de largura b = 1 m e comprimento L = 2 m, encontra-se a uma temperatura de 100 C. Ar ambiente a 20 C escoa paralelamente sobre a placa com uma velocidade de 2 m/s (ver figura). Determine a taxa total de calor perdida para o ar se: a) O ar escoa paralelamente ao comprimento da placa; b) O ar escoa paralelamente a largura da placa

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607909_Fenômenos de Transportes - Transferência de Calor

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