TEORIA DE COLAS
Nomenclatura
λ = Tasa media de llegad llegadas as (número de llegada llegadas s or unidad de tiemo! "#λ = tiemo medio de llegadas µ = tasa media de ser$icio (número de unidades ser$idas or unidad de tiemo cuando el ser$idor esta ocuado! "#µ = tiemo medio re%uerido ara restar el ser$icio ρ = &actor de utili'acin del sistema (roorcin del tiemo %ue el sistema esta ocuado! )n = )robabilidad )robabilidad de %ue n unidades se se encuentren encuentren en el sistema* L% = Numero Numero medio de unidades en la cola (longitud de la cola! Ls = Numero Numero medio de unidade unidades s en el el sistema* sistema* +% = Tie Tiem mo o me medi dio o de de es ese era en la la col cola* a* +s = Tie Tiem mo o me medi dio o de de es ese era en el el sis siste tema ma** λ = Tasa romedio de llegadas de clientes dentro de las instalaciones de ser$icio* +s(t! = )robabilidad )robabilidad de %ue %ue un cliente cliente ermane'ca ermane'ca mas de t unidades de tiemo el sistema*
λ = Tasa media de llegad llegadas as (número de llegada llegadas s or unidad de tiemo! "#λ = tiemo medio de llegadas µ = tasa media de ser$icio (número de unidades ser$idas or unidad de tiemo cuando el ser$idor esta ocuado! "#µ = tiemo medio re%uerido ara restar el ser$icio ρ = &actor de utili'acin del sistema (roorcin del tiemo %ue el sistema esta ocuado! )n = )robabilidad )robabilidad de %ue n unidades se se encuentren encuentren en el sistema* L% = Numero Numero medio de unidades en la cola (longitud de la cola! Ls = Numero Numero medio de unidade unidades s en el el sistema* sistema* +% = Tie Tiem mo o me medi dio o de de es ese era en la la col cola* a* +s = Tie Tiem mo o me medi dio o de de es ese era en el el sis siste tema ma** λ = Tasa romedio de llegadas de clientes dentro de las instalaciones de ser$icio* +s(t! = )robabilidad )robabilidad de %ue %ue un cliente cliente ermane'ca ermane'ca mas de t unidades de tiemo el sistema*
FORMULAS BÁSICAS Para un solo servidor (s = 1)
Para servidores múli!les (s " 1)
Ls Ls = = Longitud Longitud ,L,L- (. (. Cantidad Cantidad de de ersonas! ersonas! en en el el sistema sistema ,s,s-
+s = Cantidad de tiemo (,/- de /ait! en el sistema ,s+s = Cantidad de tiemo (,/- de /ait! en el sistema ,s-
L% L% = = Longitud Longitud ,L,L- (( o o cantidad cantidad de de ersonas! ersonas! en en la la cola cola ,%,%-
FORMULAS BÁSICAS Para un solo servidor (s = 1)
Para servidores múli!les (s " 1)
+% = Cantidad de tiemo (,/- de /ait! en la cola ,%-*
ρ = )orcenta0e de uso del sistema*
). = )robabilidad de %ue el sistema se encuentre desocuado*
FORMULAS BÁSICAS Para un solo servidor (s = Para servidores múli!les (s 1) " 1) )n = )robabilidad de %ue 1a2a e3actamente ,n- clientes en el sistema*
#$#RCICIOS %#ORIA &# COLAS
#$#RCICIO 1' Todos los asa0eros 2 su e%uia0e tienen %ue ser re$isados ara in$estigar si no lle$an armas* Suonga %ue ". asa0eros or minuto4 en romedio4 llegan al aerouerto de 5ot1am Cit2 (los tiemos entre llegadas son e3onenciales!* )ara in$estigar si los asa0eros lle$an armas4 el aerouerto contar con un unto de re$isin %ue consta de un detector de metales 2 un aarato de ra2os 34 se re%uieren dos emleados siemre %ue el unto de re$isin esta en oeracin* 6n unto de re$isin uede $eri7car un romedio de "8 asa0eros or minuto (el tiemo ara re$isar a los asa0eros es e3onencial!* Si se suone %ue el aerouerto tiene slo un unto de re$isin4
a! :Cuál es la robabilidad de %ue un asa0ero tenga %ue eserar antes de ser re$isado en busca de armas; b!:Cuántos asa0eros4 en romedio 1acen 7la ara asar el unto de re$isin; c! :Cuánto tiemo asara el asa0ero en el unto de re$isin4 en romedio;
a! :Cuál es la robabilidad de %ue un asa0ero tenga %ue eserar antes de ser re$isado en busca de armas; DATOS9 λ = ". asa0eros or minuto* µ = "8 asa0eros or minuto*
REE)LA?ANDO9
ρ = .*@
R#SPU#S%A La !ro*a*ilidad de +ue un !asa,ero en-a +ue es!erar anes de ser revisado es de .'/0 m'
b! :Cuántos asa0eros4 en romedio 1acen 7la ara asar el unto de re$isin;
REE)LA?ANDO9
Lq= 4,17 Lq = 4 pasajeros
R#SPU#S%A #n !romedio a2en 3la 4 !asa,eros !ara !asar el !uno de revisi5n'
c! :Cuánto tiemo asara el asa0ero en el unto de re$isin4 en romedio;
REE)LA?ANDO9
Ws = ½ Ws = ½ minutos
R#SPU#S%A #n !romedio 2ada !asa,ero !asara 6 minuo en el !uno de revisi5n'
#$#RCICIO 7' El deartamento de ciencias de decisin retende determinar si renta una coiadora lenta o ráida* El deartamento oina %ue el tiemo de un emleado $ale "B dlares or 1ora* La renta de la coiadora lenta es de dlares la 1ora 2 un emleado re%uiere un romedio de ". minutos ara comletar el coiado (tiemo con distribucin e3onencial!* La renta de la coiadora ráida es de B dlares or 1ora 2 aun emleado le toma un romedio de minutos terminar el coiado* 6n romedio de emleados or 1ora necesita usar la coiadora (los tiemos entre llegadas son e3onenciales! :Cuál coiadora debe rentar el deartamento;
DATOS9
REE)LA?ANDO9
Costo de demora(esera! = "B
<* LENTA
FO%OCOPIA&ORA L#8%A
FO%OCOPIA&ORA RAPI&A
COSTO DE SERFICIO 9 #1 ". IN#CLIENTE
COSTO DE SERFICIO 9 B#1 IN#CLIENTE
µ = "#". G . = CLIENTES#H λ = CLIENTES#H
µ = "# G . = ". CLIENTES#H λ = CLIENTES#H
= .* <* RA)IDA = .*.
COSTO ES)ERADO9 CT = Cesera G +% J C ser$icio G S
<* LENTA = ("B G .*! J ( G "! = @*KB <* RA)IDA= ("B G .*.! J (B G "! R#SPU#S%A #l de!arameno de*e renar la 9oo2o!iadora = *.B
#$#RCICIO 0' El arr2-s Car +as1 esta abierto seis dMas a la semana4 ero el dMa del negocio mas esado es siemre el sábado* A artir de datos 1istricos4 arr2-s estima %ue los coc1es sucios llegan a una tasa de 8. or 1ora4 todo el dMa sábado* Con una brigada comleta traba0ando la lMnea de la$ado a mano4 l calcula %ue los autom$iles se ueden la$ar a una tasa de uno cada dos minutos* Este e0emlo se tiene una lMnea de esera de canal sencillo4 los autom$iles se la$an de uno a uno* Suonga llegadas de )oisson 2 tiemos e3onenciales de ser$icio a! El numero romedio de autom$iles en la cola* b! El tiemo romedio %ue un autom$il asa en el sistema de ser$icio* c! La robabilidad de %ue no 1a2a autom$iles en el sistema*
DATOS9 λ = Tasa de llegada λ = 8. autos µ = Tasa de ser$icio µ = ("#8 min!(. min! = . autos#1ora
a)#l numero !romedio de auom5viles en la 2ola λ = Tasa de llegada λ = 8. autos µ = Tasa de ser$icio µ = ("#8 min!(. min! = . autos#1ora
SOLUCI8
R##MPLA>A8&O
Ls = 2
R#SPU#S%A #l numero !romedio de auom5viles en la 2ola seria de 7 Unidades'
*) #l iem!o !romedio +ue un auom5vil !asa en el sisema de servi2io λ = Tasa de llegada λ = 8. autos
µ = Tasa de ser$icio µ = ("#8 min!(. min! = . autos#1ora
SOLUCI8
R##MPLA>A8&O
Ls = 0,1
R#SPU#S%A #l iem!o !romedio +ue un auom5vil !asa en el sisema es de .;1'
2) La !ro*a*ilidad de +ue no a
SOLUCI8
R##MPLA>A8&O
Po = 0,33
R#SPU#S%A La !ro*a*ilidad de +ue no a
#$#RCICIO 4' Suonga %ue en una estacin con un solo ser$idor llegan en romedio B clientes or 1ora4 Se tiene caacidad ara atender en romedio a . clientes or 1ora* Se sabe %ue los clientes eseran en romedio minutos en la cola* Se solicita9 a! Tiemo romedio %ue un cliente asa en el sistema* b!Número romedio de clientes en la cola* c!Número romedio de clientes en el Sistema en un momento dado*
&A%OS SOLUCI8 λ = B clientes#1ora (media de llegada de los clientes! = B#.
clientes# minutos λ = .4B µ = . clientes#1ora (media de ser$icio de los clientes! = .#.
clientes# minutos µ = "
a! Tiemo romedio %ue un cliente asa en el sistema* SOLUCI8
R##MPLA>A8&O
Ws = 4
R#SPU#S%A #n !romedio un 2liene !asa 4 minuos en el sisema'
b! Numero romedio de clientes en la cola* SOLUCI8
R##MPLA>A8&O
Lq = 2,25
R#SPU#S%A #n !romedio !ueden a*er m:s de dos 2lienes en la 2ola'
c! Numero romedio de clientes en el sistema en un momento dado*
SOLUCI8
R##MPLA>A8&O
Ls = 3
R#SPU#S%A #n !romedio a< 0 2lienes en el sisema'
#$#RCICIO ?' Suonga un restaurante de comidas ráidas al cual llegan en romedio ".. clientes or 1ora* Se tiene caacidad ara atender en romedio a "B. clientes or 1ora Se sabe %ue los clientes eseran en romedio 8 minutos en la cola* Calcule las medidas de desemePo del sistema* a! :Cuál es la robabilidad %ue el sistema este ocioso; b! :Cuál es la robabilidad %ue un cliente llegue 2 tenga %ue eserar4 or%ue el sistema está ocuado; c! :Cuál es el número romedio de clientes en la cola; d! :Cuál es la robabilidad %ue 1a2an ". clientes en la cola;
&A%OS SOLUCI8 Se 2ono2e la si-uiene in9orma2i5n' λ = ".. clientes#1ora (media de llegada de los clientes! = "..#.
clientes# minutos λ = "4 µ = "B. clientes#1ora (media de ser$icio de los clientes! = "B.#.
clientes# minutos µ = 84B
a! :Cuál es la robabilidad %ue el sistema este ocioso; SOLUCI8 4
R##MPLA>A8&O
ρ =
0,668
, Po = 0,333
R#SPU#S%A La !ro*a*ilidad +ue el sisema ese o2ioso ser: de .;00 . un 00;0@
b! :Cuál es la robabilidad %ue un cliente llegue 2 tenga %ue eserar4 or%ue el sistema esta ocuado; SOLUCI8 n= 1
R##MPLA>A8&O
Pn = (1- 0,668 0,668 Pn = 0,2217
R#SPU#S%A #ise la !osi*ilidad de un .;77 o 77;7@ +ue a
c! :Cuál es el numero romedio de clientes en la cola;
SOLUCI8
R##MPLA>A8&O
Lq = 1,3436
R#SPU#S%A #ise la !osi*ilidad de lle-ar a ener un !romedio de 7 2lienes en la lnea de es!era'
d! :Cuál es la robabilidad %ue 1a2an ". clientes en la cola ;
SOLUCI8
R##MPLA>A8&O n = 1.
Pn = ( 1 ! 0,668 0,0176 Pn = 0,0058
R#SPU#S%A #s de2ir es mu< remoo o !o2o !ro*a*le +ue !ueda a*er 1. 2lienes en lnea de es!era'
