PRODUCTOS N
O
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S
JOSEPH LOUIS LAGRANGE LAGRANGE Turín Turín (Italia) 1736 - - París 1813 Geómetra y astrónomo francés
Hijo de una ilustre familia parisina, pasó parisina, pasó sus primeros años en Turín, Turín, su madurez en Berlín y sus últimos años en París donde logró su mayor fama A los dieanueve años fue nombrado profesor profesor de matemti!as en la es!uela "eal de artillería de Turín# Turín# A los veintidn!o obtuvo fama resolviendo el problema isoperím$trí!o# %nventó un nuevo !l!ulo de variadones, &ue ser el tema !entral de su vida# 'espu$s de varios años de esfuerzo (de vez en !uando se enfermaba debido al e)!eso de trabajo* su!edo a+uler en Berlín# ue llamado por ederi!o %% a formar parte de la A!ademia de Berlín en -.//, y allí, trabajó !on gran esfuerzo y $)ito en temas relativos al anlisis, la me!ni!a y la astronomía# "esidió en Prusia durante veinte años produ!iendo obras &ue !ulminaron en su Mecánica su Mecánica Analítica publi!ada Analítica publi!ada en ronda# A la m uerte de ederi!o ederi!o regresó a su país natal donde se dedeo a la metafísi!a, la 0istoria, la religión, la 1lología, la mediana, la botni!a y la &uími!a# +n -./2, 3uis 4%5 de ran!ia le invitó a invitó a trasladarse a trasladarse a París, donde 0izo gran amistad !on el &uími!o 3avoisier, 3avoisier, y en parte agotado por los esfuerzos realizados en Berlín, sufrió fuertes depresiones y desganas para trabajar en matemti!as# 6e di!e &ue !uando en -.// salió publi!ada su obra maestra, la Mecánica la Mecánica Analítica, ni si&uiera &uiso abrir su ejemplar, ejemplar, 3a $po!a del Terror Terror (-.78 9-.7:* le trajo ms sufrimientos, entre otros, el del guillotinamientode su amigo 3avoisier# 3avoisier# 6e le perdonó por ser e)tranjero e in!luso, po!o despu$s, los organismo de la "evoludón re&uirieron su ayuda menos, su esfuerzo estimuló a estimuló a ;au!0y, ;au!0y, &ue siguió un !urso ms a!ertado# ;uando 3agrange m urió rodeado de 0onores, 3apla!e dijo en su elogio fúnebre, &ue $l, al igual &ue
3agrange tuvo, efe!tivamente, la virtud de saber dete!tar y tradudr en fórm ulas matemti!as prin!ipios bsi!os, por ejemplo de la >e!ni!a, de los &ue se derivan los resultados ms insospe!0ados !on ayuda del !l!ulo y &ue, luego, la e)perimentaón pone de mani1esto# >urió !onvertido por
3agrange tuvo, efe!tivamente, la virtud de saber dete!tar y tradudr en fórm ulas matemti!as prin!ipios bsi!os, por ejemplo de la >e!ni!a, de los &ue se derivan los resultados ms insospe!0ados !on ayuda del !l!ulo y &ue, luego, la e)perimentaón pone de mani1esto# >urió !onvertido por
L!tura APORTES SUSTANCIALES SUSTANCIALES DEL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA Sabemos "#e la pa!te teó!ica de la matemática tiene s# o!ien en las esc#elas cientí'cas $ 'losó'cas de la (!ecia anti#a& )na *e+ desc#bie!tos los nme!os i!!acionales, en la an o!talecida matemática !iea, h#bo la necesidad de c!ea! pa!a la in*estiación cientí'ca #na teo!ía matemática ene!al adec#ada, tanto pa!a los nme!os !acionales como pa!a los i!!acionales& En c#anto se desc#b!ie!on los nme!os i!!acionales !es#ltó "#e la colección de manit#des eom.t!icas po! e/emplo, los sementos e!a más completa "#e el con/#nto de los nme!os !acionales, entonces !es#ltó opo!t#no const!#i! #n cálc#lo más ene!al en o!ma eom.t!ica& Este cálc#lo #e c!eado $ !ecibió el nomb!e de Álgebra Geométrica p#es desde este momento los p!od#ctos notables -conocidos en la act#alidadac t#alidad- tienen s# inte!p!etación eom.t!ica& Al#nos de estos e/emplos se m#est!an a contin#ación0 1& T!inomio c#ad!ado pe!ecto 8M-b-M ab 3 3 ab
2a3b 456 a5 3 5ab 3 b5
5& 7ie!encia de c#ad!ados
5
a2a-b4
l ?
a2ab4
f-
b2a -b4
a-b 1
í M9a-b 9:;-b-M M
a
;
3
b2ab4
5 a2a-b4 3 b2a-b4 b2a- b4 6 2a-b4 2a3b4 6 a b5
7esa!!ollo de #n t!inomio al c#ad!ado 3 .
5 3 a
ab
3 a c
a b
3
b5
3 b e
a c
3
be
3 c5
5 5 2a3b 3 c45 6 a53 b 3 c 3 5ab 3 5ac 3 5bc
SNTESIS TE!RICA Son los !es#ltados de cie!tas m#ltiplicaciones indicadas "#e se obtienen en o!ma di!ecta, sin necesidad de eect#a! la ope!ación de m#ltiplicación& Ello po! lo o!ma ca!acte!ística "#e p!esentan&
PRINCIPALES E"UI#ALENCIAS ALGEBRAICAS $% C&a'ra'o 'e &( bi(omio 2a 3 b45 6 a5 3 5ab 3 b5 2a - b45 6 a5 5ab 3 b5 Al desa!!ollo del c#ad!ado de #n binomio se le denomina T!inomio <#ad!ado =e!ecto&
I'e(ti'a' 'e Lege('re 2a 3 b45 3 2a-b45 6 52a5 3 b54 2a 3 b45 - 2a - b45 6 >ab 3 2a-b4> 6 5@2a5 3 b545 3 25ab45 ? 2a 3 b4> - 2a - b4> 6 ab 2a5 3 b54
TEOREMA ) Todo t!inomio de la o!ma 2ax5 3 be 3 c4 es c#ad!ado pe!ecto, si $ sólo si, s# disc!iminante es i#al a ce!o& Es deci!0 A 6 b5 - >ac 6 C D-
>ac
7esa!!ollo de #n t!inomio al c#ad!ado *% Di+ere(cia 'e c&a'ra'o, 3 .
2a 3 b4 2a - b4 6 a 5 - b5
-% C&bo 'e &( bi(omio 2a 3 b4F 6 aF 3 Fa5b 3 Fab5 3 bF 2a - b4F 6 aF - Fa5b 3 Fab5 - bF
I'e(ti'a' 'e Ca&c./ 2a 3 b4F 6 aF 3 bF 3 Fab 2a 3 b4 2a - b4F 6 aF - bF - Fab 2a - b4
0% ? ? ? ? 6%
1orma, e23licita, 'e a4 5 b+ a5 aF a> aH
3 b5 6 2a 3 b45 - 5ab 3 bF 6 2a 3 b4F - Fab 2a 3 b4 3 b> 6 2a 3 b4> - >ab 2a 3 b45 352ab45 3 bH 6 2a3b4H - Hab 2a3b4F3 H2ab45 2a3b4
De,arrollo 'e &( tri(omio al c&a'ra'o 2a3b3c45 6 a53b5 3 c5 3
5ab35bc 3 5ca 2ab3bc 3 ca45 6 2ab4532bc45 3 2ca45 3 5abc 2a3b 3c4
7% De,arrollo 'e &( tri(omio al c&bo Go!ma exp#esta po!
8% I'e(ti'a'e, 'e Ste9i( 2x3a4 2x3b4 6 ) @ 3 2a3b4x 3ab2x3a4 2x3b42x3c46xF32a3b3c4x532ab3bc3ca4 8 x 3abc
:% I'e(ti'a' tri(;mica 'e Arga(' 2a5n 3 anbn 3 b5n42a5n-anbn 3 b5n 4 6 a>n 3 a5nb5n 3 b>n Go!ma ene!al de ma$o! #tilidad0 2a5n 3 an 31 4 2a5n-a31 4 6 a>n 3 a5n 31
$<% I'e(ti'a'e, 'e Lagra(ge ? 2a5 3 b542x5 3 $54 6 2ax3b$45 3 2a$-bx45 ? 2a5 3 b5 3 c54 2x5 3 $5 3 +546 2ax3b$3 c+45 3 2a$-bx45 3 2b+-c$45 3 2a z 9 ! )f $$% I'e(ti'a' 'e Ga&,, aF3bF 3 cF3Fabc 6 2a3b3c42a53b5 3 c5- ab-bc-ca4 =a!a lo c#al debemos tene! en c#enta "#e0
a5 3 b5 3 c5-ab-bc-ca6 9 @2a-b45 32b-c45 32c-a45
$*% E=&i9ale(cia, a'icio(ale, 2a3b3c42ab3bc 3 ca4 6 2a3b4 2b3c42c3a4 3abc 2a3b4 2b3c4 2c 3 a46ab 2a3b4 3bc 2b3c4 3ca 2c 3 a4 35abc 2a-b42b3 c 42c-a4 6 ab2b-a4 3 be2c-b4 3 ca 2a-c4
IGUALDADES CONDICIONADAS Si a3 b 3 c 6 CJ se c#mplen las si#ientes !elaciones0 ? a5 3 b5 3 c5 6 -52ab3bc 3 ca4 ? aF 3 bF 3 cF 6 Sabe
a>3b> 3 c>652ab3bc 3 ca45 6 9 2a5 3 b5 3 c545 Ki aH 3 bH 3 cH 6 -Habc 2ab3bc 3 ca4 aI 3 bI 3 cI 6 F2abc45 - 52ab3bc 3 ca4F a 3 b 3 c 6 abc2ab3bc3ca45 F2a53b5 3 c54 2aH3bH 3 cH4 6 H2aF3bF3cF4 2a>3b>3c>4 ( 5 ? a 3 b F ö ö 3 cu
a + b +
a3b3c
, F F a3b3c (
aI 3 bI 3 cI 6 F
F
( @ u @ @ 35
a3b3c
*% (@ @ a 3 bU 3 cU 5 K& i K&> Y 6 W1 3 5> 2H 3al42H 3 b 3 3 cl42H
a3b3c
314 PROPIEDADES VÁLIDAS PARA NÚMEROS REALES esol#ción0 o Si0 A5n 3enB5nc#enta 3 <5n 6 C J n e K 3 Se c#mple "#e0 A Teniendo "#e0 6 B5>66< 5H 6 C- 1 6 H5 - 1 la exp!esión "#eda así0 5 5Q 5Q 3 5o Si0 P 3 5B 3 5< 6 C J> n e K Se c#mple C y l32H -l42H 3 l42H 3l42H 3 l4
"#e0 A 6 B 6 < 6 C Aplicando la die!encia de c#ad!os tenemos0 m n n n Fo Si0 mR 3 B> 3 < > 6 -27 3 E 3 G 4 Z 6 1[\ 3 2H -\42H 3\42H 3 14 Siendo m $ n nme!os pa!es& Se *e!i'can las !elaciones n#m.!icaslasim#ltáneasJ eco!dando identidad Leend!e de la
esol#ción0 !" # A Z 6 ][l32H G 6 s-\42Hs 3 \4 6 n!esta0 A n 6 Teniendo enGc#enta el6binomio n al 5 6 ^ 2a3b4 2a-b45 6 >ab F& Examen Admisión 5CCH c#ad!ado0 2a3b45 6 a5 EJERCICIOS 3 52a42b4 3 b5 DE APLICACION 5 ^ 2a-b4 -2a3b4 5 6->ab 1I Z 6 ^ \ 3 H -\ -11 Si0 eempla+amos los datos0 )sando la se#nda 5 5 5 C6 @25x-$4 3 + 65x-$ 3 +5 6 2H4 6 a 3 52F4 3 K 25x-$-+4 -25x-$3+4 5($) 65W2$-5x4 3+5 X obsei*ación0 5 a3b 6 5H $ ab 6 F, calc#la! Sabiendo "#e0 - $ 5 5 65W2$-5x45 3+5 X b5 5H 6 a 3I3b 5 $5+-5+ @25x-$4-+ -@25x-$43+ el Z 65 H5 Z 56 5H C 6 25x - $45 3 525x Obse!*ación Y @5+(- 5/$$0-)5$42+45 3 halla!0 C eempla+ando0 Y esol#ción0 &&& a 3 5 6 25x-$4 5 b 6 5 1V 5+ $ 62$-5x4 5x 3 5x-+ -[25x + 9 42+46[@25 x-6 4$-+3+ *alo!deiá 3 b
(pro 6temas de Ensayo $% 7emost!a! la identidad0 2x 3 $ 3 +4F 6 xF 3 $F 3 +F 3 Fx5$ 3 Fx$5 3 Fx5+ 3 F$5+ 3 Fx+5 3 F$+5 3 Ix$+ esol#ción0 De>(ici;(? Se dice "#e #na #nción es sim.t!ica con !especto a s#s *a!iables c#ando s# *alo! no se alte!a po! el inte!cambio de c#al"#ie! pa! de ellos& E/emplo0 x3$ 3 +J be3 ca 3 a b J x 3 $ 3 + son #nciones sim.t!icas de p!ime!, se#ndo $ te!ce! !ado !especti*amente&
Ob,er9aci;(? La s#ma, die!encia, p!od#cto $ cociente de dos exp!esiones sim.t!icas c#ales"#ie!a, deben se! tambi.n exp!esiones sim.t!icas& L#eo, en n#est!o p!oblema de demost!ación establecemos "#e se c#mple0 [
_F
D8
8
F _
A [5
5
5
5
5
5_
2x 3 $ 3 +4 6 x 3$ 3+ l 3 Alx $3 x + 3 $ x 3 $ + 3 + x 3 + $ l 3 Bx$+&&&&&&&&&&&&24 donde AAB son independientes de x, $ A +& `aamos +6C
2x3$4F 6 xF 3$F 3 A2x5$ 3
x$5
*% A.ora le corre,3o('e al lector 222
7emost!a! "#e0 a 3 b 3 c 6 ab 3 be 3 ac J con a, b implica "#e0 a 6 b 6 c esol#ción0
A <
e &
(Práctica 1& ed#ci! cada #na de las si#ientes exp!esiones aleb!aicas
G62l3a42l-a4l3a3a5 /l-a3a5 /l-aI 3aF5 /
A 6 2a 3 F45 3 2a - 54 5 -5a2a 3 14-
l3aU1 / ( 6 2m 3 n 3 p -2m - n 3 p -In
B 6 2a 3 545 3 2a - 54 F 3 2a 3 >42a - >41Fa5 < 6 2a - V42a 3 54- 2a - F42a - >43 FC i 5
7 6 F25 3 [F 3iX -253 F - 5 - F X
E 6 2x 3 $4W2x 3 $45 -5x$ 3 2x - $4 5 X-5$F
W2m 3 p45 - n5 X @ 22 5 22* 5 2222* V
*F*FF*2 pta&0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
5& Si0 x3$ 6 1 dan el *alo! de la
& ,0í4_2/T65V
s
5 exp!esión0 Y 6 F2x5 3 $ 4F pta&0 52x 3 $ 4
E
n n
)
-$
F& Simpli'ca!0 5 F =6W2a314 5 ? 2a-14 5 ? 2a -Q4 ? 2a5 3 l4 ? 2a-Q4
íí [ n n *x $
pta&
pta& 0
>& Si0 x 3 $ 6 I x$ 6 > 7ete!mina! el *alo! de0 =
^ F 3 F - >
5
5
V& Al simpli'ca!0 p 2x 3 $3 + 3 #4F-2x 3 +4F-2$3 #4F 25x 3 $ 3 5+ 3 #45 - 2$ 3 =f Se obtiene0 m2$3 #!4& 7ete!mina! m& pta&0 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& pta&0 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
H& Eect#a! cada exp!esión0 =6W2a35b3c4F 2a35b3c4
-2a3b4F
1C& A "#. es i#al0 2m 5 3 V-Fm42m > 3 1 5 3 Vm 42m-F42m 3 F4 5 m 1 p
-F2a-b42b3c4 1Siendo0 ab 6F J a bademás0 2a 3 b4F 3
3 H>m F 35V pta&0 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& a > 3b > 6 11& 7ados0 , ab 61 7ete!mina!0 p
F WF
pta&0 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
15&
aF 3 bF 6 5F2a 3 b4
pta&0 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
x5 3 $56F[f31
) 5 C8EII9J* 31 > >
$-%
$0%
7ados0
Si0
x CijaF -Wa5 3 bF F GDa9 a5 3 bF
pta&0 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& Obtene! 0 M6
x2x5 3 Fb4 >a
pta&0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
$)% Siendo0 x6l 3 5-F $ 6 -l 3 [53i[F z C -9 G@ F6 =!opo!ciona! el *alo! de0 1
T6x5 3 $5 3 +5 3 2x3 $ 3 +45 pta&0 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(pro 6Gemas &&&&&&&&&&&&&&&&&254 mF 3 n X 3 p X 6 5C&&&&&&&&&&&&&&&&&2F4 E*al#a!0 Y6 Hmnp mn 3 np 3 pm
)% 7e la condición #ndamental
A4 5 B4 F <4 -F 74 -5 E4 -I 5& Siendo0 a 3 gc6b3bc J a W b
B4 5 <4 F 74 > E4 H
K
0 x,$ í T 2x 3 $42x35$42x 3 F$4 $42x-H$42x-I$4 A4 I
B4 1C <4 15 74 5C E4 55
0% Sabiendo "#e0 a1 5 3 b5 3 c5 6
11& 7adas las condiciones0
5 además0 2a3b3c421 3 ab3ac 3 bc4 6 F5 7a! el *alo! de0 2a3b3c4 A4 FB4 > <4 H 74 -5 E4 I
a 6 x5 3 5$+J b 6 $5 - 5x+ L c 6 z 9 5x$
6% Teniendo en c#enta "#e0
15& Si0 x> 3 xW> 6 1>, entonces el *alo!
25 3 T[F4 3 25- T[F4 65 \
\
de0
7ete!mina!0
x 3 x% es0
6 6f U @l 3 25 3 T[F4x/ A4 F
B4 I
<4 V
74 1 E4 5
5 7% Sabiendo "#e0 ab 6 b 3 a - 1 ed#ci! la exp!esión0
Y 6 W[2a 3 b42a 5 3 b542aF 3 b> H42a 3 b43 b1I A4 2 a - l B 4 2 b 3 l <42a3l E4 2a-b
74 2b-l
1C , 1 5C ,15 , 1 5!tx 3 ) F 9 ) F ) 31 F5 >sabiendo "#e0 x - Fx 3 1 6 C HA 4 F B 4 - F < 4 H 7 4 5 E 4 >
A4 5
B4 A[F
'*
E4
6
<4 6
A4 H-5 B4 6 3 5 <4 1 74 69@ E4 6
8% 7os cantidades !eales x e $ *e!i'can0 x> 3 $> 6 > x 3 $ 6 F <4 1I 74 1 E4 5C
:% 7ados0 ab2a3b4 6 5 a (a- 3 bF4 6 >
11C
1>& A pa!ti! de0 a1Cb 1C 3 1Ia 1Cb1C 6 >1, a "#. es i#al0 HM A4 abB4 ab
<4 GN8ab
74 Wab
E4 1
1H&
$<%
a! el *alo! de0 M6$
4
3a
A4 B4 j <4 74 j E4 j 2i[H 3 l4 - 5 b
pa!a a0
b
2H 3 l4b 3 5b
A4 H B4 > <4 F 74 5 E4 1
1I& Si0 x 6
A
jO@
1-1
n n neE - k-QJQ4 ^5 ,
$ n 5 - 1
además0 x + $> 6 F55&
$7%
Simpli'ca!0
W2x3$3+4 2x3$ - +4 2x - $3+42x -$ - +4 3>x5$53+ A4 x% <4 + B4 [ 74 x5 3 $5 E4 x5 3 $5 3 +5 ed#ci!0 $8% a5 3 b5 / 3 a>b>-a53 ab3b5 / a5-ab3b5 / -5a5b5a53b5 /
A4 C 74 a
B4 a5b5 <4 a E4 b
$:% ed#ci!0 [
2 %
x 3
_>
>
L
3 $
$
3
)
2x - $4 3 2$ 3 x4 3 5x$X A4 1 B4 5 <4 > 74 E4
*<% 76
\
ed#ci!0 2a-b4> 3 2c-b4> 3 2c-a4
) a 3 b 3 c - ab - ac - be A4 \ B4 5 <4 -1 74 F E4 >
9@
PRODUCTOS NOTABLES II EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1& Sabiendo "#e0 a3 b3 <6 A a5 3 b5 3 c5 6 5> calc#la! el *alo! de0 ab 3 be 3 ac esol#ción0 7el t!inomio ele*ado al c#ad!ado0
2a 3 b 3 c4 6 a 3b 3 c 3 * 2ab3bc 3 ac4 !eempla+amos datos0 24 5 6 5> 3 52ab3bc 3 ac4 I> - 5> 6 52ab3bc 3 ac4 >C 6 52ab3bc 3 ac4 [& ab 3 be 3 ac 6 5C
-% Sabiendo "#e0 a 6 H-3F -A[5 b6 -H35F c 6 5-FF calc#la! el e"#i*alente de0
aF 3 bF 3 cF /2ab 3 be 3 ac4 5 2a5 3 b5 3 c 42abc4 esol#ción0 )na adec#ada inspección nos pe!mite identi'ca! "#e los datos *e!i'can0 a 3 b 3 c 6 CJ l#eo po! las e"#i*alencias condicionales tenemos0
*% Si0
2Fabc42ab 3 bc 3 ac4 F -52ab 3 bc 3 ac42abc4 -5
a3b3c6 C simpli'ca!0
W 2a 3 b* 3 2b3 c* 3 2a3 c* 2 T2 2
2a 3 b 3 c* 6 F2ab3bc 3 ac4
esol#ción0 =o! dato0 W a 3 b 6 -c
A a 3 b 3 c 6 C 9: b 3 c 6 -a \
a 3 c 6 -b !eempla+ando en la exp!esión Y a 5 5 tenemos0 2-c45 3 2 4 3 2b4 c* 3 a* 3 * *
b
3
3
c
-% Si se
*e!i'ca0
a3b3c
Y 6 ??? Y6 1
Y 6 -F[5
b* a* 3 b* 3 c*
encont!a! el e"#i*alente de0 ) [2a3b3c S 2a 3 b3 I 4 .4 4 6 1 a 3 b 3 c 3c V 2 u2 6 Za 3 b3c esol#ción0 W
=o! condición0 2a3b3c45 6 F2ab3bc 3 ac4 a5 3 b5 3 c5 3 52ab3bc 3 ac4 6 F2ab3bc3ac4 a5 3 b5 3 c5 6 ab 3 be 3 ac
!econocemos "#e esta exp!esión es #na implicancia notable, de modo "#e0 a 6 b 6 c L#e o0 2a 3 Y3 @ 2 a 3 b 3 c 4 > b3 c4I / I aI 3, Ib 3 1 H / a > 3 b > c > 2a 3 - 2 a 3 a 3 a 3 a4I Y6 F W a4> H a> 3
F l2F a4 >
í Fa> Y6
si 2Fa4 I
i
FaI
Y 6
Y 6 F 3 F 6 I
(pro 6Cenias de Ensayo 1& 7emost!a! "#e0 2a 3 b4H - aH - bH 6 Hab 2a 3 b4 2a5 3 ab 3 b54 esol#ción0 Sea0 E 6 2a 3 b4H - aH - bH ?
a $ b $ de se#ndo !ado $ de la o!ma0 Aa 3 Bab 3 Ab
? Entonces0 E 6 2a 3 b4 H - aH -bH 6 ab2a 3 b4WAa5 -l-Bab-l- Ab5 / `aciendo a6l , b 6 1 9 1H 6 5A 3 l#eo A6B6H B 1 a65 , b 6 -1 - 1H 6 HA - 5BX =o! lo tanto0
E 6 2a 3 b4H - aH -bH 6 ab2a 3 b4WHa5 3 Hab3 Hb5 / E 6 2a 3 b4 H - aH -bH 6 Hab2a 3 b4Wa5 3 ab 3 b5 /
*% Demo,trar =&e? bF 3cF /2b-c4 3 cF 3 aF /2c- a4 3 a F 3bF /2a-b4 6 2b-c42c -a42a -b42a 3 b 3 c4 esol#ción0
{Práctica 1& Simpli'ca! las stes explosiones0
)% Si0 x,$eR5 H*e!i'can0 x
2a5 3 b5 4F - 2aF 3 bF 45 3 asbF
6W[H 3 x$ J$ 6 GD@ F x$
@ab2a 3 b45
Y 6 Wx5-x 3 l/ -/Wx5 3 x-l/ 3 52x-l4F 3 IxH
pta&0 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
62a3b45-2b3c-a42a3c-b432a-b452b3c3a4 2a-c3b4 S62a3 b3 c4 -2b3 c-a4 -2a-b3 c4 F
F
0% Si0 \ 5 3
\ -5
6 5
F
9
-2a3 b-c4F 2x-F4 2\-H42\3542\> x2x->42x3>4-
8 í 5 >4 \ \535\>4
-
3
1 1 < 39 O
6%
3
1-
pta&0 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& pta&0
*% 7ados0
- $5 il 3 >-W5
5 x
7% Si se c#mple0 x 3 xU A C 6 3 x-> - H 3 -W[x5 3 x-5
)y C GD@
pta&0 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
N 6 ij) F $ :
>
pta&0 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& -% Si0 a-b b3 c
A<3
a1
8% `alla! el *alo! n#m.!ico de0 W[2a5 3 x542a> 3 x>42a 3 x43x1I Si se sabe "#e0 a 6 9Jb 69> >
ca
7ete!mina! el *alo! de0 a-5b-cW5 a-b-5cW5 b 3 c-5aW5
pta&
:% Si x> 3 x-> 6 F> halla! el *alo! de0
= 6 2xI 3 x“I4 2x-x-14 2xF 3 x-F4
1C ,
I
H
> ,
Xx 3 \ - \ 3 \ 3 1 1 E*al#a!0 = i -----------------6
7ete!mina! el *alo! de0a53#5b@Q -c
pta& 0
$
%$a3b3c a3b-c b3c-a a-b3c a3b-c a3b3c a3c-b b3c-a
`alla! la !aí+ c#ad!ada de0 E62a3b3c4>->2ab3ac3bc4a1 5 3b5 3
pta&0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
1>& Si0 a-b 6 1 ab6-
c53ab3ac3bc/ $ e*al#a! pa!a0 a 6 9E@ J b 6 fe J c 6 9E+
be 3 C
>
E*al#a!0 = 6 a 3 a5 3 aF 3 bF 3 b5 3 b pta&0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
pta&0
$*%
ed#ci!0
1H& Sabiendo "#e0 &JE 3i& F
2a3 b 3 F4F -F2a3 b3 54F 3 F2a3 b 3 14F -2a3 b4F pta&0 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
1 7ados0aF-bF 6 5Cab 6 5C E*al#a!0 = 6 W[a> - 15ab 3 b> A4 B4 1 <4 H 74 5 E4 V
5 Simpli'ca!0
x
6
&' F
$ 6 5 3 69GD@96 Obtene!0 S 6 x> - $>
pta&0
(proSfernas
Si x e $ *e!i'can la !elación0 59 6 E G 3 $ * l-x$ A4 51 B4 1I <4 1C 74 11 5 E4 1 -$
5x - $ 5x 3 $ 2>x5
6
F F F F F c 2a-b4 3a 2b-c4 3b 2c-a4
3
2a - b4F 3 2b - c4F 3 2c - a4F B4 abe A4 F 74 <4 Sabe E4 Iabc Vabc
>& Simpli'ca!0 Y
2x-a3b-c42x-a3b-d4 2x3a-b3d4-od 52xa3b4 52x-a-b4 5 F > A4 x B4 x <4 x 74 x E4 C
H& Si0
G2 \ 46 I
x 3 Hx 31 1C
7ete!mina! el *alo! de0
2x5 3x$ 3 $ 5Wx5 -x$ 3 $5 / Y6 [ 5 , 5_ W x$2x 3$ X
H
7a! el *alo! de0 G25 3 yD8* A4 1 B4 5 <4 F 74 > E4 H 6 .
H A
Si0 aF 3 bF 3 cF 6 F 2a3b4 2b 3 c4 2c 3 a4 6 -1 7ete!mina!0
B
1 F - F -5 < > q
11& Si0 RE) F 3 T[K 6 C , calc#la!0
N
3b 3 c a $ * a 5 b 5c A4 1 B4 5 <4 F 74 * J -5 , , -5 , -5
xF 3 $F 3 +F 5x$+ 2x 3 $42x 3 +42$ 3 +4
> E4 H &
A4 F B4 -F <4 C 74 1 E4
-W2a - l42a > 3 a F 3 a 5 3 a 314
6a 15& A pa!ti!
T 6
lí^ 3>11 a > Xl
Wll a 5 ,
F
A4 1 B4 a
a
12
+*
i 1I X a a , -
<4 a5
74 a F
A4 ab
E4 a >
74 Wab H o, H A
& Si0 * 6 5 x x
>
5
I
B4 ab <4 GS8b
3x
F
V+ 6 C Simpli'c a!0
V& Si0 x 3 >$ 3 2x-5$45 25x-F+4 5 2F+-x45 x$ $+
E
A4 x$+ 74 -1>
B4 -FI E4 x 3 $ 3 +
[F
x+
<4 1> n3 l n6 5
1C& Siendo kxJ$
> 1 $-%
Si0 abe 6 5 a3b3c6C aI 3 bI 3 cI 6 5C
F, F , , F F ,
FF F ,,F ,
a b 3b c 3c a
F
a 3b 3c
A4 i B4 j <4 74 E4
$)%
X 2a 3 b 3 c4 n3l , n3l la 3 b 3 c
n3l
si se *e!i'ca "#e0
l2b 3 c4 3 l2c 3 a4 3 l2a 3 b4 6 I
A4 m2m 3 54
B4 * r n & l )
<4 2m-l42m 3 54
74 j
E4 m2m 3 l4
F
F
F
$0 Si se *e!i'ca "#e0 a 3 b 3 c 6 .
Fabc,
V,V
!ed#ci! 0
V
a3b3c 2a 3 b 3 c4V
$o#ución% Tenemos dos soludonesW ADIVINANA A!i"ina
H5F H5F H5F 3 H5F 5CV5
#a e!a!
Puedes adivinar la edad de una persona $ el mes en &ue nadó si 0a!es &ue piense en el número del mes de nadmiento (enero C -, febrero C@ ,, # #* $ despu$s lepides &ue lo multipli&ue mentalmente por @ $ le sume al resultado# 'espu$s de0e multipli!ar el resultado &ue 0a obtenido por U $ sumarle su edad# Haz &ue te diga el resultado 1nal de todos estos !l!ulos y, mentalmente, r$stale@U# +l número obtenido tendr F o : dfras# 3as dos !ifras de la dere!0a son las de la edad, y las de la iz&uierda son el número del mes de nadmiento# V6abrías dedr por&u$ es asíM $o#ución% 3lamemos A al número del mes de nadmiento $ Ba[a edad 6eguimos las siguientes operadonesW @A X@AF X (@AF* x U 9(#@AF* x UFB -3 (@AF* ) U FB 9@U Yperando &ueda -UUA 3 @U F B9 @U C -UUA 3 B Así, siempre tendremos B en las unidades $ de!enas, $ A en !entenas $ unidades de millar (si es el !aso*# 7 O 7 &'IPG'A*A O 7 O %ntenta determinar el 7O valor de !ada una de las letrasW 5 SSS
s
OC@O
5F 5F 5F 3 5F 5V5
&+AD'AD
+n un !uadrado debemos !olo!ar los números del - al 7 sin repetirse ninguno (uno en !ada !uadro*# 'isponemos de las siguientes pistasW 9 3os vednos del - suman -# 9 3os vednos del @ suman 2# 9 3os ved nos del : s um an @8# 9 3os vednos del suman -2# 9 6obre los vednos del 2,.,/, y 7 no tenemos datos# Zn número es vedno de otro sólo si la !asilla en la &ue $ste est !omparte alguno
9
de sus lados !on el otra V [u$ número o!upar la !asilla !entralM $o#ución% +l número &ue o!upa la !asilla
!entral es el 2# 3a dave est en &ue para empezar el @ sólo puede estar en una es&uina y sus vednos sólo pueden ser el - y el #
7 F
> 6 1 H
5
PRODUCTOS NOTABLES ni
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1& Si a l , b l $ @ / M 3 >
05H enton
'eso#ución%
eco!dando #na de las p!opiedades de las p!o posiciones0
ces el *alo! de la % an 3 5bn \ an-bn exp!esión0
a
Si0 b
T
5n
n
x n 9 xm
\xm
an 3 5bn
Y3l ]f m 3 n Y-l Y3l m3n 9 9 Y-l m- n Aplicando n#e*amente p!opocisiones0 n n C Z Y 6 i n \ \
5
L#eo ib 0 Sacando la !aí+ cbica
i an 3 n 5b ib
Si0 x 6 -
-% , entonces el *alo! de la
exp!esión0
m n \
n
3x m
m Y 6 xn9
xm
n
=e!o !eempla+ando0
2an 3 5b14 6 5 ib
_
Wxn
m n m 5 -n 5
6 a 3 >b 6 5Ha b n S#mando en ambos miemb!os>anb 0 n 1 n a5n 3 >a b 3 >b5n 6 5Ha tT 3 >anb1 1 5 n 1 - 2an 3 5b 4 6 5Va b Sacando la !aí+ c#ad!ada en ambos miemb!os
*%
Y x n 3xm W Y 3 l
1 i T W Y-l
'eso#ución%
5n
ca3bd c 3 a-b d cd
n
es 0
Si0 a5 3 b5 3 c5 6 5 2a3b3c42l 3 ab3bc 3 ac46 F5 Entonces, el *alo! de T 6 a3b3c es0 'eso#ución% M#ltiplicando po! 5 ambos miemb!os0 2a3b3c4 2535ab35bc 3 5ac4 6 I> i 5 2a3b3c42 a 3 b5 3c5 35@ab3bc 3 ac 46I>
2a3b3c42a3b3c45 6 I> 9 2a3b3c4F6I> entonces0 a3b3c 6 >
) % Si0 2a3b42c 3 b4 2a3c4 6 IC ab 3 be 3 ac 6 11 abe 6I Entonces, el *alo! de0 Y 6 9 2aF 3 bF 3 cF4 2a> 3 b> 3 c>4 es0 15
'eso#ución%
ec#e!da la identidad0 2a3b3c42ab3bc3ac4-abc 6 2a3b42b3c4 2a3c4 eempla+ando0 2 a 3 b 3 c 4 2 l l 4 - I 6 IC 6 a3b3c 6 I Tambi.n, !ec#e!da la identidad0 2a3b3c4F 6 aF3bF 3 cF3S2a3b42b3c42a3c4
eempla+ando0 2I4F6aF3bF 3 cF3S2IC4 6 aF3bF3cF6SI =o! ot!o lado0 2a 3 b 3 c45 6 a5 3 b5 3 c5 3 52ab3bc3 ac4 6 I56a53b53c5 3 5 2 l l 4 Wa53b53c561> L#eo0 2ab3bc 3 ac45 6 a5b53b5c5 3 a5c5 3 5abc2a3b3c4 6 211 f 6 a5b5 3 b5cr 3 a5cr 3 52I42I4 6 a5tr3b5c5 3 a5c5 6>V Tambi.n0 2a5 3 b5 3 c 5 4 6 a> 3 b> 3 c> 3 52a5b5 3 b5c5 3 a5c54 6 21>45 6 a>3b> 3 c> 3 52>V4 6 a>3b> 3 c> 6 V L#eo0 T6 W-2aF3 b F 3 c F 4 2 a > 3 b > 3 c > 4
G
T C
J 2FI42V4 W T 6 5V>
(pro 6Cenias efe ! Ensayo *% Problema
c6 C, demost!a! "#e0
Siendo0 a, b, ! e , además0 a 3 b 3 , , , 5 esol#ción0
,, ,
,
F
H
,
{Práctica 1& Si0 x 3 x 1 6 >, indica! el *alo! de0 &
5
-5
F
-F
H
I )NMSM 25CCH - 4
-I
.
M6x3x 3x3x 3x3x
Si se satisacen0 x 3 $ 6 yD
pta&0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
x$ 6 5 `alla!0 Y 6 3 x$
*% Si0 2x 3 1 45 6 Hx %H
pta&
WH
7% )NMSM 25CCH-4 Si0
7ete!mina!0 E 6 x 3x -5
2 5 x - $ - + 4 5 - 2 5 x - $ 3 +45 6 5W2$-5x4 3+ X
pta&0 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
`alla!0 Y 0 5x-+
5+-$
5
-%
5x - $ 5+
pta&0
X
X
8 .
)NMSM 25CCH-4 Si0 x 3 x 1 6 -_[5 , calc#la!0 xV 3 xV
pta& 0
pta&0
pta&0 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
pta&0
:% )NMSM 25CCH-14 Si0 ab C A[F J a5 - b @ C F El *alo! de la exp!esión
$<% )NMSM 25CCH-14 es0
pta&0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
pta&0
Sean x, $ nme!os !eales no n#los& Si0 K 6 $x 22
el *alo! de la exp!esión0 x -x$-I$ es0
pta&0
11& )NMSM 25CCH-14 Si0 ax3 bx3 ex F !z F a0!)yz C C
2ax 3 l42b$ 3 l42c+ 3 l4 2ax - l42b$ - l4 2c+ -14 pta& 0
1I& )N< 25CC54 Sean a $ b nme!os !eales positi*os tal "#e0 a F b5 C 1F $ a 8 0 C 1F 2 TT41 Simpli'ca! la exp!esión0 X+l
X
a 3b 8 a
Y6 1F
8F) i 8 x
a 3 b 8 a X
pta&
15& )NG 25CCH4& Si0 x 3 $ 6 F, x$6>, halle0 F %)$\ 3 Y6
2
$ 53 $ \
1& )N< 25CC54 aFb a9b Sea0
pta&0 &&&&&&&&&
5a b a 3 b F2a-b4 a3 15b-F +
1F& )N< 25CCH4 ->
Sabiendo "#e0
x$+
Fx$
=, z i
pta&0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
Ib-V
u
1& )NMSM 25CC>4 S#poniendo "#e0 a 3 b 3 c 6 C $ a, b, c no n#los, halla! el *alo! de0
* * * Y C @9 F 0] F !G be a! ab
e $ 6 V,1>F>H 2ax 3 b$32]c-b
2a$3 bx45 32ax -b$45 pta&0
1H& )N< 25CC14 Si0 C, $ C
55
5
1>& )N< 25CCH4
p6
:
a3 3b
`alla! pta& el *alo! de0 Y 6 V 2a 3 b4
i
pta&0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
1V& )NMSM 25CC>4 Si0 x$ 6 a, x+ 6 b , $+ 6 c $ nin#na de estas 222
*a!iables es ce!o, entonces0 + 3$ Fz es0
W 3 6 1I, x i
i
pta& 0
5C& Si0 5>\ 3 5>\ 6 11V A xC , halla!0 5\ 3 5 x 3 HC
CPro6Cemas
& Si se c#mple0 x -Fx 3 1 6 C, calc#la! el
1& Simpli'ca!0
7
5
3
\ -Y0 \3\ *alo! de0
< A4 1 B4 -5 <4 F 74 > E4 -F
A4 1 B4 5 <4 > 74 I E4 & Si0 93969-9, calc#la!0 Y 6 ----9 F x $ x 3 $ A4 C B4 -1 <4 1 74 5 _$E4 ^3$ W V&
5& Simpli'ca!0 2+3$3+4 5 32x3$-+4 5 32x-$3+4 5 32Y x3$3+4 x *** 3$ 3+ A4 O B4 1 <4 > 74 F
2x - 45 3 2x - 5b45 3 2x - Fc45
E4 5
F& Si0 m F n C m ^ n C > halla! el *alo! de0 " m >F n > m 8F n 8
Y 6
5 5 5 52 3>b 3Vc 4
A4 5 B4 <4 F 74 > E4
A4 5 B4 1 <4 74 E4 F nin
>& a F b F ! C C, calc#la!
5.5, 5
a3b3c Y 2 3 b45 32b 3 c4 5 32 3 c4 5
A4 C W 74 5 3 b 5 3 c 5
ti , i_
1C& Si0 v-3 O 6 , calc#la!0 Y, 3b bK
B4 1 E 4 aFb F !
A4 5 B4 yN8 <4 5 74 F E4 I <4 5
* * 11& Si se sabe "#e0 w 9/ 6 F2a- b4 , b a > (a F
calc#la!0
H& Simpli'ca!0 Y
F 2-b42F3b 4 3 2 3 b42F-bF4
"?
9a > b A4 -1 B4 -5 <4 H 74 1C E4 C
\
12
A* m 9n 12 74 n 9m
2a5b54
&>
6 .
12 6
o\
<4 m ` n
-
B4 r-, 24 E4 m 9n
12
A4 B4 5 <4 I 74 E4 1F
Simpli'ca!0
r, ( @ ( > , 5 1I , > , _ [ 5 , Q = m - n l l m + n J i m +m n + n J i m + n l A
b/ *
_
15& Si0 x 3 X C A[F , calc#la!0
$< $< "
x3E4x1C 3F A4 5 B4 > <4Y I674
8 a 5
m
$-%
$8% 7ado0 x Hx 6 1 ed#ci!$ da! el *alo!
m
de0 -n4 8 2a31 3 a - 1 m F n 5 yjm ^ n
Y- u E4
5 B F
>
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1> C
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[ 31 F
B4 1
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$)% Si0 ab 6 A
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$:%
"
a - l42a> 3 aF 3 a5 3 a 31 / 6 a
[a 8 x5n - b il Y - v A4 W B4 W <4 F 74 5 E4 -1 A4 1
a 8 F a F a a B4 a
<4 a
15 , 1a 74 a
a E
*alo! de0
$0% Si0 [x/ 6 ax3 bx ademys0 2l4 6 1 A[2F4 6 >
calc#la!0
Y6
A4 5 B4 F <4 1 74 > E4 I
2H4-2>4 a9b
W3X[5
E*al#a!0 Y 6 5m 8 n 8WFm5 3 n5 / 8 Wm5 -lFn5 / A4 5 B4 5 <4 74 > E4 H
$6% Si0 a 6 W 3 lAb 6 F >
[
*$% Sabiendo "#e0 x 3 5 9 && U>
92a9 Y6a 11a 53,5b ----5b A4 > B4 -5 <4 5 74 C E4 1 $7% Si0 2x - 1 4
calc#la!0
5F[5x da! el *alo! de0 Y 6
$5x
A4 W B4 F <4 H 74 > E4 1H 2x- 54 6 1
1C
I
H
>
-,
\ 3\-\3\31
obtene!0 Y 6 F A4 11 B4 - <4 1C 74 H E4 5
**% Si0 2a 5 b4 2a 5 14 6 b obtene!0
Y 6 Ga8 9 8ab F b8 J a W C
A4 C B4 5 <4 - 74 -5 E4 -1
