MNP
Prof. Omar Herrera Cáceres
PRODUCTOS NOTABLES MNP
Primera Edición
Julio 2 011
Ninguna parte del presente trabajo deberá ser almacenado, reproducido o trasmitido haciendo uso de sistemas mecánicos o virtuales (fotocopiado, CDs, USB, etc) sin el consentimiento por escrito del autor.
Los derechos de autor quedan protegidos por Decreto Legislativo 822. Ley de Derecho de Autor. INDECOPI
@ DERECHOS RESERVADOS por Prof. O mar Herrera Cáceres
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¿Es posible que un complicado problema tuviera una solución fácil? O mejor aún, que se pudiera encontrar un procedimiento que aliviara los tediosos cálculos que usualmente se tendría que realizar para encontrar la solución.
La respuesta es un rotundo sí. Siempre hay un modo de enfrentar un problema matemático y es posible encontrar procedimientos no estándar para la resolución. Evidentemente un procedimiento así lo será mientras su difusión no haya alcanzado a la mayoría, posteriormente a esto será uno más de los muchos métodos de resolución aceptados; pero hasta que eso llegue, lo importante es ir innovando y creando.
La presente monografía te presenta un tipo particular de problema, así como su resolución. Cuando era alumno como tú, eran problemas bastante asustantes, y más de una vez decline en el intento de resolverlos; ahora, me parecen casi un chiste. Estoy seguro que pronto compartirás conmigo esta opinión.
Espero que esta, al igual que mis otras monografías, sean de tu agrado.
3
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1
RESULTADOS GENERALES LO QUE YA SABEMOS:
1.
CUADRADO DE UN TRINOMIO (1): {a, b, c} R: 2 (a b c)
a2 b2 c2 2(ab ac bc)
De lo que se deduce: 2 a
2.
b2 c2
2 (a b c)
2(ab ac bc)
CUADRADO DE UN TRINOMIO (2): {a, b, c} R: 2 (ab ac bc)
(ab)2 (ac)2 (bc)2 2(ab.ac ab.bc ac.bc)
2 (ab ac bc)
a2b2 a2c2 b2c2 2abc(a b c)
De lo que se deduce: 2 2 a b
3.
CUADRADO DE UN TRINOMIO (3): {a, b, c} R: 4 4 a b
a4c4 b4c4 (a2b2 a2c2 b2c2 )2 2(a2b2 . a2c2 a2b2 . b2 c2 a2c2 . b2 c2 )
4 4 a b
a4c4 b4c4 (N2 2PM)2 2a2b2c2 (a2 b2 c2 ) (N2 2PM)2 2P2 (M2 2N)
4.
a2c2 b2c2 (ab ac bc)2 2abc(a b c)
4 4 a b
a4c4 b4c4 N4 4PN(MN P) 2P2M2
IDENTIDAD AUXILIAR: {a, b, c} R: (a b)(a c)(b c) (a b c)(ab ac bc) abc En efecto: 2 (a b)(a c)(b c) (a
ab ac bc)(b + c) a2 (b + c) (b + c)(ab ac bc) a2b a2c (b + c)(ab ac bc)
Sumando y restando adecuadamente en esta última igualdad el término « abc», queda: 2 2 (a b)(a c)(b c) a b a c abc (b + c)(ab ac bc) abc
a(ab ac bc) (b + c)(ab ac bc) abc
(a b)(a c)(b c) (a b c)(ab ac bc) abc
5.
CUBO DE UN TRINOMIO (1): {a, b, c} R: 3 (a b c)
a3 b3 c3 3(a b)(a c)(b c) 4
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De lo que se deduce: 3 a
6.
b3 c3 (a b c)3 3(a b)(a c)(b c)
CUBO DE UN TRINOMIO (2): {a, b, c} R: 3 3 3 (ab ac bc) (ab) (ac)
(bc)3 3(ab ac)(ab bc)(ac bc) (ab)3 (ac)3 (bc)3 3abc(a b)(a c)(b c)
3 (ab ac bc)
(ab)3 (ac)3 (bc)3 3abc(a b)(a c)(b c)
De lo que se deduce: 3 3 3 (ab) (ac) (bc)
(ab ac bc)3 3abc(a b)(a c)(b c)
LO QUE PUDIMOS APRECIAR: ¿Cuáles son las expresiones que más se repiten en estos resultados? Estaremos de acuerdo en que son: () a+b+c ()
ab + ac + bc
()
abc
LO QUE PODEMOS CONVENIR: abc M ab ac bc N abc P
LO QUE PODEMOS ESCRIBIR: 2 a
b2 c2 M2 2N
2 2 a b
a2c2 b2c2 N2 2PM
4 4 a b
a4c4 b4c 4 N4 4PN(MN P) 2P2M2 (a b)(a c)(b c) MN P 3 a
b3 c3 M3 3(MN P)
3 (ab)
(ac)3 (bc)3 N3 3P(MN P)
LOS OTROS RESULTADOS QUE DEBES CONOCER:
4 a
b4 c4 (a2 b2 c2)2 2(a2b2 a2c2 b2c2 )
4 a
4 a
b4 c4 (M2 2N)2 2(N2 2MP)
b4 c4 M4 4M2N 4N2 2N2 4MP M4 4M(MN P) 2N2 4 a
b4 c4 M4 4M(MN P) 2N2 5
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IDENTIDAD CONDICIONAL: Si 2 En efecto, a partir de: a
2 2a
2 a
b2 c2 ab ac bc a b c
b2 c2 ab ac bc ; duplicando esta igualdad, queda:
2b2 2c2 2ab 2ac 2bc
2 (a b)
2 (a
2ab b2 ) (a2 2ac c2) (b2 2bc c2 ) 0
(a c)2 (b c)2 0
a b 0
a c 0 b c 0
De donde finalmente a = b = c, como queríamos demostrar. ´ La igualdad anterior, escrita en términos de M, N y P nos lleva a: 2 a
b2 c2 ab ac bc
2 M
2N N M2 3N
De modo que: 2 M
3N a b c
IDENTIDADES CONDICIÓN CERO: Esto ocurre cuando a + b + c = 0; esto es: encontrados, tenemos: 2 2 2 2 a b c M 2 2 a b
M 0
reescribiendo los resultados
2N 02 2N 2N
a2c2 b2c2 N2 2PM N2 2P(0) N2
4 4 a b
a4c4 b4c4 N4 4PN(MN P) 2P2M2 N4 4PN[(0)N P] 2P2( 0)2 N 4 4P 2N (a b)(a c)(b c) MN P ( 0)N P P 3 a
b3 c3 M3 3(MN P) 03 3[(0)N P] 3P
3 (ab) 4 a
(ac)3 (bc)3 N3 3P(MN P) N3 3P[(0)N P] N3 3P2
b4 c4 M4 4M(MN P) 2N2 04 4(0)[( 0)N P] 2N2 2N2 2 a
b2 c2 2N
2 2 a b
a2c2 b2c2 N2
4 4 a b
a4c4 b4c4 N4 4P2N (a b)(a c)(b c) P 3 a
b3 c3 3P
3 (ab) 4 a
(ac)3 (bc)3 N3 + 3P2
b4 c4 2N2
6 a
b6 c6 (a3 b3 c3)2 2(a3b3 a3c3 b3c3 )
9 a
b9 c9 (a3 b3 c3 )3 3(a3 b3 )(a3 c3 )(b3 c3 ) 6
MNP 3 3 3 (a b )(a
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c3)(b3 c3) (a6 b6 c6 )(a3b3 a3c3 b3c3) a3b3c3
2
PROBLEMAS RESUELTOS
Hago constar que los enunciados de los siguientes problemas han sido extraídos, con muy pocas modificaciones de redacción, del libro PRODUCTOS NOTABLES, de la Editorial Cuzcano, año 1 999. Muchos estaban resueltos, pero los procedimientos que presento son completamente originales y mucho más concisos como lo podrán comprobar quienes adquieran el mencionado libro. Hago constar esto en respeto al artículo Nº 822 de la ley del derecho del autor .
01
Si se verifica que:
x + y + z
a) 17
2
=
xy + xz + yz 3
b) 16
=
xyz 4
= 2 ; calcular: x
c) 13
3
+y
3
+z
3
.
d) 15
e) 14
RESOL.: Sustituyendo según lo convenido, considerando que han usado las letras x, y, z, lo
Recuerda: a+b+c= M ab + ac + bc = N abc = P
cual es solo un cambio de variables tenemos: M 2
Recuerda: 3 a
b3 c3
3 M
3(MN P)
3 Pide: x
M 4 2 N6 3 4 P8 N
P
y3 z3 M3 3(MN P) 43 3[(4)(6) 8]
16
02
2 2 2 Calcular el valor de «xyz» si: x + y + z 2 = x + y + z
a) 7
b) 4
c) 5
CLAVE
B
CLAVE
A
5 = x 3 + y 3 + z 3 32 = 0 . d) 10
e) 3
RESOL.: De las igualdades dadas obtenemos:
Recuerda: a+b+c= M ab + ac + bc = N abc = P Recuerda: 2 a 3 a
b2 c2
b3 c3
2 M
3 M
2N
M2 x y z2 2 2 2 2 x y z 5 M 2N 5 3 3 3 x y z 32 M3 3(MN P) 32 De ( ) en ( ) obtenemos: 22
2N 5
N=
3(MN P)
. . . () . . . () . . . ()
1 2
De () y ( ) en ():
3 2
1
3[(2)( ) P] 32 2
8 3 3P 32
P=7
03
Reducir: 3(m + n + p)(mn + mp + np) + m3 + n 3 + p 3 (m + n + p) 3 . 7
MNP
a) m2 + n2 + p2
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b) mn+mp+np
c) m + n + p
e) m2n2 + m2p2 + n2p2
d) 3mnp
RESOL.: Sustituyendo adecuadamente en la expresión dada:
Recuerda: a+b+c= M ab + ac + bc = N abc = P
3 3 3MN [M 3(MN P)] M
El resultado es:
3MN M3 3MN 3P M3
3xyz
Recuerda: 3 a
04
CLAVE
D
b3 c3 M3 3(MN P)
Si se verifica:
a2 + b2 + c 2 2 ; calcular: a + b + c. (a + b + c)(1 + ab + ac + bc) 32
a) 4
b) 16
c) 8
d) 64
e) 2
RESOL.: En las igualdades dadas tenemos:
Recuerda: a+b+c= M ab + ac + bc = N abc = P
M2 2N 2 M2 2N 2 M(1+ N) = 32 . . . ()
. . . ()
De () ( ) y disponiendo adecuadamente:
Recuerda: 2 a
2 M =2(N+1)
2 M
b2 c2 M2 2N
32
2(N + 1) M(1 + N)
3 M =64
05
CLAVE
A
Calcular el valor numérico de: (a + b+ c)
4
4(ab+ ac + bc)(a2 + b2 + c2 + ab+ ac + bc)
si: a = 2 ; b = 3 ; c = 5
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
RESOL.: Escribiendo en términos de M, N y P:
Recuerda: a+b+c= M ab + ac + bc = N abc = P
b2
4N[(M2 2N) N]
4 M
4M2N 4N2
2 (M
2 2 2 Sustituyendo los datos: a2 + b2 + c2 2 + 3 + 5
Recuerda: 2 a
4 M
c2
2 M
2N
2N)2 M2 2N a2 + b2 + c 2
2 3 5
8
10
CLAVE
C
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x 2 + y 2 + z 2 = 9 06 Si: x 3 + y3 + z 3 = 1 ; calcular «abc» si {a, b, c} xy + xz + yz = 4 a) 3
b) 5
+ .
R
c) 1
d) 4
e) 3
RESOL.: Escribiendo en términos de M, N y P; y que además por dato: N = 4
Recuerda: a+b+c= M ab + ac + bc = N abc = P
Sustituyendo en la primera ecuación dada: 2 M
Recuerda: 2 a 3 a
b2
2N 9 M2 2(4) 9
2 M 1
M= 1
3 1 3[(1)(4) P] 1
P = 4
Sustituyendo en la segunda ecuación dada:
c2
b3 c3
2 M
3 M
2N
3 M 3(MN P) 1
3(MN P)
07
Si: abc = 0 a + b + c = 1; calcular:
a) 0
b)
2 2 2 a +b +c
1
2
c)
3
CLAVE
D
3 3 3 a +b +c 3
1
d)
4
1
e)
6
1 8
RESOL.: Escribiendo en términos de M, N y P; considere además que P = 0
Recuerda: a+b+c= M ab + ac + bc = N abc = P
2 M 2N 2
3 M 3(MN P) 3
2 1
Recuerda: 2 a 3 a
08
b2
b3
c2
c3
2 M
3 M
Si se verifica:
2 1
2N 2
3 1 3[(1)N 0]
1 3N 1 1 3 3 2 3
3
2N
1
2
6
2N
3(MN P)
M = 1:
3 3 3 a + b + c = 4abc a+b+c 2 2 2 . a + b + c = ab + ac + bc + 1 ; calcular: abc abc 0
9
CLAVE
D
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a) 1
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b) 2
c) 3
d) 1
e) 3
RESOL.: Escribiendo en términos de M, N y P; considere además que P = 0
Recuerda: a+b+c= M ab + ac + bc = N abc = P Recuerda: 2 a 3 a
b2
c2
2 M
3 M 3(MN P) 4P
3 M 3MN
2 M 2N N 1
2 M 1 3N
3 2 De ( ) en (): M M(M 1) P
2N
b3 c3 M3 3(MN P)
Justo, es lo que pide:
a b c abc
M P
P
M = 1:
. . .() . . . ()
M=P
1
Si se verifica: a3 + b3 + c3 = 0 ; reducir:
09
a) abc
b) a + b + c
3abc a(b a) + b(c b) + c(a c)
c) 2abc
CLAVE
A
; abc 0 .
d) 3abc
e)
abc 2
RESOL.: Escribiendo en términos de M, N y P; lo que pide es:
Recuerda: a+b+c= M ab + ac + bc = N abc = P
3abc 2 2 2 (ab a ) + (bc b ) + (ca c )
3
3 a
b2 c2 M2 2N
b3
3
3P 3N M
. . . ()
2
3
A partir de la condición dada: a + b + c = 0, tenemos:
Recuerda: 2 a
3P 2 N (M 2N)
c3
3 M
3 M 3(MN P) 0
3(MN P) De ( ) en ():
3 M 3MN 3P 0
3P = M (3N M2 )
2 M(3N M ) M a+b+c 2 3N M
2 Si se verifica: (x + y + z)
10
a) 8
b) 4
3(x 2 + y 2 + z 2 ) ; {x, y, z}
R ;
calcular:
c) 32
4(5x 2 + 3y 2 ) . 2 2 2x 3z
d) 16
e) 8
RESOL.: Escribiendo en términos de M y N; el dato es:
Recuerda: 2 a
b2 c2 ab ac bc abc
de lo que se deduce: 2 M
3N
que implica la misma conclusión anterior.
. . .()
2 2 M 3(M 2N)
2 M = 3N
x=y=z
Sustituyendo en lo que nos piden:
2 2 2 2 2 4(5x 3y ) 4(5x 3x ) 32x 2 2 2 2 x2 2x 3z 2x 3x 10
32
CLAVE
B
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11 Si se verifica: x 1 + y 1 + z 1 0 ; calcular: a) 1
b) 1
CLAVE
C
4 4 4 (xy) + (xz) + (yz) . 2 2 2 2 2 2 x y z (x + y + z )
c) 2
d) 3
e) 5
RESOL.: Multiplicando la condición dada por «xyz», obtenemos:
Recuerda: 4 4 a b 4 N
xy xz yz 0
a4c4 b4c4 4PN(MN P) 2P2M2
Si en esta identidad:
N=0 4 4 a b
a4c4 b4 c4 2P2M2
4 (0)
queda:
N= 0
4 2 2 N 4PN(MN P) 2P M ; ahora como N =0, 2 2 P (M 2N)
Sustituyendo en lo que nos piden:
queda:
4P(0)[M(0) P] 2P2M2 2P2M2 2 2 2 2 P [M 2(0)] P M
2
12 A partir de:
3 3 3 a +b +c =3 (a+ b)(a+ c)(b+ c) = 1
a) 1
; calcular:
b) 2
2 + b2 + c 2 ; 1 1 1 2 (a + b + c ) a
c) 3
CLAVE
C
abc 0 .
d) 4
e) 5
RESOL.: Expresando las ecuaciones dadas en términos de M,N y P, queda:
Recuerda: a+b+c= M ab + ac + bc = N abc = P Recuerda: 2 2 a b
a2c2
b2c2
N2 2MP
3 De ( ) en ( ), queda: M
Nos piden:
3 M 3(MN P) 3
. . . ()
MN P 1
. . . ()
3(1) 3
2 b2 c2 1 1 1 2 (a b c ) a
1 2 a
1
3 M
1 2 b
1 2 c 2
1
1
ab c
Escribiendo todo en términos de M,N y P:
0
M= 0
2 2 2 2 2 2 a b a c b c 2 2 2 a b c 2 ab ac bc
2 N 2PM 2 P 2 N
P
abc
2 N 2P(0) 2 P 2 N 2 P
11
2 N 2 N
1
CLAVE
A
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Si se verifica que: x 2 + y 2 + z 2
4(xy + xz + yz) ; calcular el valor numérico de: 4 4 4 4 18(x + y + z ) 7(x + y + z) 2xyz(x + y + z)
a) 16
b) 72
c) 36
.
d) 24
e) 38
RESOL.: Escribamos la condición en términos de M,N y P, queda:
Recuerda: a+b+c= M ab + ac + bc = N abc = P
2 M 2N 4N
2 M
6N
También en la relación a calcular: Recuerda: 4 a
4 18[M
b4 c4
4 M
4M(MN P) 2N2 ] 7M4 2PM
4M(MN P) 2N2
2 18[(6N)
22 2 2 22 18[(M ) 4M N 4MP 2N ] 7(M ) 2PM
4(6N)N 4MP 2N2 ] 7(6N)2 2PM
Reduciendo los términos en N2 queda CERO, luego:
72MP
2PM
36
14
2 2 2 Si se verifica que: a + b + c
C
5(ab + ac + bc) ; calcular el valor numérico de: 4 4 4 4 49(a + b + c ) 23(a + b + c) 49abc(a + b + c)
a) 2
CLAVE
b) 3
c) 4
.
d) 5
e) 6
RESOL.: Escribamos la condición en términos de M,N y P, queda:
Recuerda: a+b+c= M ab + ac + bc = N abc = P
2 M 2N 5N
2 M
7N
También en la relación a calcular: Recuerda: 4 a
b4 c4
4 M
4M(MN P) 2N2
4 49[M
4M(MN P) 2N2 ] 23M4 49PM
22 2 2 22 49[(M ) 4M N 4MP 2N ] 23(M ) 49PM
2 2 2 49[(7N) 4(7N)N 4MP 2N ] 23(7N) 49PM
Reduciendo los términos en N2 queda CERO, luego:
12
49(4MP) 49PM
4
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CLAVE
C
3
15
Calcular el valor numérico de:
a)
b)
2
3
(ab + ac + bc) 2 3abc
c)
a2
; si:
bc
+
a
b2
b
d)
5
ac
+
c2
ab c
=0 .
e) 1
7
RESOL.: Sólo por observación de la relación dada, vemos que se verifica para a = b = c .
Recuerda:
x
2
y2 z2 xy xz yz xyz
Multipliquemos por «abc», queda: 2 2 2 2 2 2 a bc b c ab c a c
de lo que se deduce: 2 M
3N
abc2 a2b2 0
2 2 2 2 22 abc(a b c) a b a c b c
2 PM N
2MP
Pero si: x = ab y = ac z = bc 2 N = 3MP
2 N =3MP
a=b=c
Sustituyendo en lo que nos piden: 3
a=b =c
(ab ac bc)2 3abc
3
2 2 2 (a a a ) 2 3 3a
3
2 (3a ) 2 3 3a
6 27a 3 3a
3 3 3a 3 3a
16
3
CLAVE
B
5 5 5 3a bc 6(ab+ ac + bc)abc + 3ab c + 3abc ; si se verifica que b + c = a. 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3a b c a + 3a bc b + 3ab c c a) 2(ab b2c2 ac) b) 3(a2c b2a c2b) c) 2(ab ac bc)
Reducir:
d) 8a2b c2a b2c
e) a b c
RESOL.: Considerando que:
Recuerda: 4 a
a+b+c=0
b4 c 4
4 M
4M(MN P) 2N2
pero si: M = 0 queda: 4 a
b4 c4 2N2
b3 c3
y asociando adecuadamente queda: 4 4 4 3abc[a b c 2(ab ac bc)] 3 3 3 3abc(ab ac bc) (a b c ) Escribiendo todo en términos de M, N y P, queda:
Recuerda: 3 a
M=0
3 M
3(MN P)
2 3P[2N 2N] 6PN(N 1) 3 3 3PN [M 3(MN P)] 3PN [ 0 3((0)N P)]
6PN(N 1) 3PN 3P
6PN(N 1)
13
2N
CLAVE
C
3P(N 1)
MNP
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Reducir: (2a + b + c) 3 + (a + 2b + c) 3 + (a + b + 2c) 3
a) a4 b4 c4
b) 2abc
d) a3 b3 c3
e) 0
6(a + b + c) 3 3(a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 )
.
c) 3
RESOL.: Escribiento todo en términos de M y N:
Recuerda: a+b+c= M ab + ac + bc = N abc = P
3 (M a)
(M b)3 (M c)3 6M3 3M(M2 2N)
Efectuando y asociando adecuadamente: Recuerda:
3 2 2 3 M 3M a 3Ma a
3 (x a)
3 2 2 3 M 3M b 3Mb b
x3 3x2a 3xa2 a3
3 2 2 3 M 3M c 3Mc c
Recuerda: 3 a
6M3 3M3 6MN
b3 c3
3 M
3(MN P)
Luego: 3 2 2 2 2 3 3 3 3M 3M (a b c) 3M(a b c ) (a b c ) 3 2 2 3 3M 3M (M) 3M(M 2N) [M 3(MN P)] 3 3 3M 3M
6M3 3M3 6MN
6M3 3M3 6MN
3M3 6MN M3 3MN 3P 6M3 3M3 6MN
3 M
18
3 3 3 Simplificar: (y + a) + (y + b) + (y + c)
a) y2
3abc ; si: ab + ac + bc =y 2 c) y3
b) y
3(MN P)
CLAVE
a + b + c = x.
d) 1
e) 0
RESOL.: Recuerda: a+b+c= M ab + ac + bc = N abc = P
b3
c3
3 3 (y a) (y b)
(y c)3 3abc
Efectuando y asociando adecuadamente:
Recuerda: 3 a
2 Por dato x = M y = N; desarrollando, queda:
y
3 M 3(MN P)
y y
Luego:
3y
3
3
3y2a 3ya2 a3 3abc
3
3y2b 3yb2 b3
3
2 2 3 3y c 3yc c
3y2(a b c) 3y(a2 b2 c2) (a3 b3 c3) 3abc
Escribiendo todo en términos de M, N, P: 3 2 2 3 3M 3M (M) 3M(M 2N) [M 3(MN P)]
14
3P
D
MNP
Prof. Omar Herrera Cáceres 3 3 Finalmente reduciendo obtenemos: M y .
Si: a 4 + b 4 + c 4 = 48
19
2 2 2 2 2 2 a b + a c + b c = 48
ab + ac + bc = 12
3 3 3 a +b +c
b) 9
C
+ {a, b, c} R ; calcular :
11
abc + 5
a) 1
CLAVE
.
c) 16
d) 1
e) 5
RESOL.: Por dato: N = 12; y escribiendo las igualdades en términos de M, N y P queda:
Recuerda: a+b+c= M ab + ac + bc = N abc = P Recuerda: 4 a
b4 c 4
4 M
4M(MN P) 2N2
Recuerda: 2 2 a b
a2c2
b2c2
N2 2MP
2 2 2 2 2 2 a b a c b c
4 a
48
2 N
2 12
2MP 48
2MP 48
b4 c4 48 M4 4M(MN P) 2N2 48 M4 4M2N 4MP 2N2 48
Sustituyendo y efectuando: 4 2 2 M 4M (12) 4(48) 2(12)
48
4 M
2 2 (M 36)(M 12)
0
48M2 432 0
Elegimos M = 6, luego P = 8 y N = 12. Pide: 3 3 3 a b c 11 abc 5
3 M 3(MN P) 11 P5
3 6
3[(6)(12) 8] 11 8 5
20
1 1 1 = 0 ; calcular: Si: x + y + z
1
CLAVE
A
9 9 9 6 6 6 3 3 3 3 x + y + z 3xyz(x + y + z ) + 6x y z . 6 6 6 2 2 2 x + y + z 3x y z
b) 3x2y2z2
a) 3xyz
MP = 48
c) x + y + z
d) xyz
e) 3
RESOL.: En este problema: x+y+z=m xy + xz + yz = n xyz = p
1 1 1 0 A partir de: x y z 3 Hacemos: x
a+b+c= M ab + ac + bc = N abc = P Recuerda: 2 a
b2 c2
2 M
2N
3 a
b3 c3
3 M
3(MN P)
xy xz yz 0
n
a; y3 b; z3 c ; y por tanto la relación anterior es:
3 ab 3 ac
y luego:
3 bc 0
3 2 22 ab ac bc 3 a b c
N 3
3 2 P
Haciendo las sustituciones respectivas: 3 3 a
b3 c3 3
3
2 2 2 abc(a b c ) 3 2 2 2 2 2 2 a b c 3 a b c
Escribiendo todo en términos de P:
15
6abc
3 [M
3
3
2 P (M 2N) 3 2 2 M 2N 3 P
3(MN P)] 3
6P
MNP
Prof. Omar Herrera Cáceres 3 3 2 3 M 3(MN P) 3 P(M 2N) 6P 3 2 2 M 2N 3 P
3 2 3 2 3 3 23 M 3M(3 P ) 3P 3 M P 6(3 P ) P 3 3 2 3 2 2 M 2(3 P ) 3 P
3 2 3 23 M 9M P 3P 3M P 18P 6P 3 3 2 3 2 2 M 2(3 P ) 3 P 3 2 3 2 2 M(M 9 P ) 3 P[M 3 3 2 2 M 9 P 3
3 M 3 P
3
3 3 3 m 3(mn p) 3 p
3
3 2 P ]
9P
3 a b c 3 abc
3
6P
3 2 3 23 M 9M P 3M P 3 3 2 2 M 9 P 3 2 3 2 (M 9 P )(M 3 P) 3 3 2 2 M 9 P
3 3 3 3 3 3 3 3 x y z 3 x y z
3 m 3(0) 3p 3p m
27P
x+y+z
16
CLAVE
C
MNP
Prof. Omar Herrera Cáceres
3
PROBLEMAS PROPUESTOS 01.
Si:
4 2 4 2 4 2 a c +b a +c b a2b2c 2
a) 3 02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
b) 2
c
.
c) 5
d) 1
e) 3
d) 1
e) 5
d) 7
e) 5
d) 2
e) 5
6 6 6 3 a + b + c + 2(ab + ac + bc) . 2 2 2 a b c c) 3 d) 4
b) 1
b) 2
e) 6
3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b + a c + b c 3a b c . 3 (ab+ ac + bc)
c) 5
d) 7
e) 9
d) a + b + c
e) 1
7 7 7 7abc(a + b + c ) . 2 (ab + ac + bc)
c) a2 + b2 + c2
b) abc
b) 3
b
abc(ab+ ac + bc) . 5 5 5 a +b +c
b) 3
(*) Si a + b + c = 0, calcular: a) 1
b
c) 5
b) 3
(*) Si a + b + c = 0, calcular: a) 1
10.
b) 1
(*) Si a + b + c = 0, calcular: 16 a) 1
a
7 7 7 10(a + b + c ) . 2 2 2 5 5 5 7(a + b + c )(a + b + c )
(*) Si a + b + c = 0, calcular: a) 7abc
a
. Calcular:
c) 0
(*) Si a + b + c = 0, calcular: a) 1
b
5 5 5 6(a + b + c ) . 2 2 2 3 3 3 5(a + b + c )(a + b + c )
(*) Si a + b + c = 0, calcular: a) 1
b
+
c) 0
(*) Si a + b + c = 0, calcular: a) 2
c
c
+
b) 1
Si a + b + c = 0, calcular:
a) 7
a
b) 1
Si a + b + c = 0, calcular:
a) 5
4 2(ab+ ac + bc) . 8 8 8 2 2 2 a + b + c + 8a b c (ab + ac + bc)
c) ab + ac + bc
d) a + b + c
e) abc
4 4 4 4 4 4 4 a b + a c + b c (ab + ac + bc) . 2 2 2 a b c (ab + ac + bc)
c) 3
d) 4
a 9 + b 9 + c 9 + 9abc(ab + ac + bc) 2 3 3 3 a b c c) 27
e) 5
3
.
d) 729
17
e) 6 561
MNP
11.
(*) Si a + b + c = 0, calcular: 5 a) 5
12.
14.
15.
ab+ac+bc
d) 1
.
e) 3
c) 1
d) 11
e) 0
7 7 7 7 7 7 4 4 4 a b + a c + b c 7a b c (ab + ac + bc) . 4 7 2 2 2 (ab + ac + bc) [(ab + ac + bc) + 7 a b c )
c) 5
d) 7
e) 5
8 8 8 8 8 8 a b +a c +b c . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (ab + ac + bc) [(ab + ac + bc) + 6a b c ][(ab + ac + bc) + 2a b c ]
c) 4
d) 4
e) 1
d) 9abc
e) abc
9 9 9 a +b +c . 2 2 2 3 a b c 3(ab + ac + bc)
b) a + b + c
c) 3abc
15 15 15 a +b +c (*) Si a + b + c = 0, calcular: . 6 2 2 2 3 4 4 4 15(ab + ac + bc) 50a b c (ab + ac + bc) + 3a b c
b) a + b + c
(*) Si a + b + c = 0, calcular: a) 9
20.
e) 1
11 11 11 3 3 3 a + b + c + 11a b c (ab + ac + bc) . 4 abc(ab + ac+ bc)
b) 8
(*) Si a + b + c = 0, calcular:
a) abc
19.
c) 0
b) 1
(*) Si a + b + c = 0, calcular:
a) abc
18.
10 10 10 5 a +b +c + 2(ab + ac + bc) 15a 2 b 2 c 2 (ab+ ac + bc) 2 (ab+ ac + bc) 5
b) 1
(*) Si a + b + c = 0, calcular:
a) 8
17.
d) 2
6 2 2 2 3 4 4 4 (ab + ac + bc) + 6a b c (ab + ac + bc) + 3a b c (*) Si a + b + c = 0, calcular: . 6 6 6 6 6 6 a b +a c +b c a) 6 b) 1 c) 0 d) 6 e) 1
a) 7
16.
c) 3
b) 1
(*) Si a + b + c = 0, calcular: a) 11
5 5 5 5 5 5 a b +a c +b c . 5 2 2 2 2 (ab+ ac + bc) + 5a b c (ab+ ac + bc)
b) 4
(*) Si a + b + c = 0, calcular: a) 3
13.
Prof. Omar Herrera Cáceres
b) 3
(*) Si a + b + c = 0, calcular: a) abc
b) 7abc
c) 3abc
d) 9abc
e) abc
(ab + ac + bc)9 + 9a 2b2c 2 (ab + ac + bc)6 + 18a4b4c 4 (ab + ac + bc)3 + 3a6 b6c 6 . 9 9 9 9 9 9 a b +a c +b c c) 1 d) 3 e) 9 4 4 4 5 5 5 2 7(a + b + c )(a + b + c ) . 2 2 2 2 2 2 7 7 7 (a b + a c + b c )(a + b + c )
c) 5abc
d) 25abc
(*) Los problemas indicados así han sido propuestos por el autor. 18
e) 50abc
MNP
Prof. Omar Herrera Cáceres
CLAVES 01
c
02
b
03
b
04
e
05
c
06
a
07
a
08
a
09
b
10
c
11
e
12
d
13
b
14
b
15
b
16
e
17
c
18
a
19
c
20
e
19
MNP
Prof. Omar Herrera Cáceres
Obras Publicadas por el Autor
Area de regiones sombreadas determinadas en una region cuadrangular (1 999)
Porcentajes (2 000)
Sistema de los Números Reales (2 000).
Operaciones Binarias (2 000)
Introducción a la Teoría intuitiva de Conjuntos (2 001)
Sumas Geométricas e Hipergeométricas (2 002) Nueva Edición 2 010
Gráfica de Funciones (2 003)
101 Problemas de Olimpiadas Matemáticas Internacionales (2 004
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Sistemas Posicionales de Numeración: Escritura Decimal (2 005).
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Trabajo Conjunto (2 011).
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Habilidad Operativa: Ley de Signos (2 011).
Inecuaciones Racionales (2 011).
20
coautor)
