FÍSICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR
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I2299 I22
IESDE Bra IESDE Brasil sil S.A S.A.. / Pré-ve Pré-vesti stibul bular ar / IES IESDE DE Bra Brasil sil S.A S.A.. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2008. 2008. [Livro do Professor] 732 p.
ISBN: 978-85-387-0576-5
1. Pré-vestibular. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título. CDD 370.71 Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Fábio D’Ávila Danton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério Fernandes Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva
Literatura Matemática
Física Química Biologia História
Geografa
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer
Produção
Projeto e Desenvolvimento Pedagógico
Gravitação e movimento harmônico O estudo físico e histórico é o objetivo deste módulo; apresentam-se as antigas teorias sobre o universo e as leis que regem os movimentos dos astros celestes.
Teorias históricas sobre o movimento dos astros
sua vez descreviam circunferências das quais o Sol ocupava o centro. Tycho Brahe, diretor do Observatório de Praga, montou tabelas com observações minuciosas dos movimentos planetários, que foram usadas por Kepler para produzir mais um avanço nesse estudo.
Leis de Kepler a) 1.ª Lei de Kepler: lei das órbitas
Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, que ocupa um dos seus focos. planeta
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
Desde a Antiguidade, uma das grandes preocupações do homem era a construção de um modelo do universo em que vivia. O astrônomo grego Cláudio Ptolomeu, de Alexandria, construiu um modelo que perdurou quase 14 séculos: era um sistema geocêntrico, isto é, admitia a Terra como centro imóvel do universo, enquanto que os demais corpos celestes descreviam órbitas circulares no espaço. A diferença do sistema cosmológico de Aristóteles era a Terra como o centro de todas as trajetórias circulares dos corpos celestes; o sistema de Ptolomeu admitia para os planetas trajetórias circulares cujos centros não eram o nosso planeta. Copérnico (Mikolaj Kopernik, polonês), em 1543, publicou um livro que mudaria todo o panorama cultural do mundo. Admitindo a relatividade do movimento, propôs um sistema cosmológico no qual o centro dos movimentos planetários era o Sol, mas continuava a supor circulares as trajetórias dos corpos celestes. De acordo com Copérnico, os planetas do sistema solar descreviam trajetórias circulares das quais o Sol ocupava o centro, ou então que descreviam trajetórias circulares em torno de pontos que por
Sol
b) 2.ª Lei de Kepler: lei das áreas
Um raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais, entendendo-se raio vetor como um vetor cuja origem é o centro do Sol e a extremidade é um planeta qualquer. A2
t2
Sol
A1 t1
Se D t1 = D t2, obrigatoriamente A1 = A2 A consequência mais importante dessa lei é determinar em que ponto da órbita a velocidade do planeta é maior ou menor. Realmente, se supusermos quatro posições, 1, 2, 3 e 4 para um planeta, para a mesma velocidade areolar, o D t1 2 será igual ao D t3 4, 1
ou seja, como a distância entre 1 e 2 é menor do que a distância entre 3 e 4, significa que, se são gastos intervalos de tempo iguais, a velocidade média entre 3 e 4 é maior do que entre 1 e 2. 3
Aceleração da gravidade Se supusermos um corpo na superfície da Terra, poderemos dizer que a força gravitacional exercida pela Terra é a força peso e escrever
2 V Sol
1
4
P = F grav. ou m.g =
G MT m R
2
em que m é a massa do corpo, M T é a massa da Terra, R é o raio da Terra e, eliminando a massa do
V’
c) 3.ª Lei de Kepler: lei dos períodos
Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas em torno do Sol são diretamente proporcionais aos cubos dos raios médios das órbitas. Entende-se raio médio da órbita o semieixo maior da elipse.
GM
T corpo, g = . Obviamente, se estivermos a uma 2 R altura h do solo, a nossa expressão será:
gh =
indicando que a gravidade diminui com a altitude. Como podemos notar pela expressão acima, só sentiremos variação sensível de g para grandes altiSol R tudes, já que o raio da Terra é de, aproximadamente, 6 370km. Também podemos notar que devido ao acha tamento polar, nos polos o valor da aceleração da gravidade é ligeiramente maior, ou seja, g varia com altitude 2 2 2 T1 T2 Tn e latitude, além de outras variações anômalas. 3 = 3 = ... = 3 = constante R1 R2 Rn Cuidado! Mesmo que a Terra fosse perfeitamen te esférica, o peso de um corpo seria maior nos polos Na resolução de exercícios, para facilidade dos cálculos, podemos considerar as órbitas aproximada- que no equador, em função da rotação da Terra. É por mente circulares, já que, para os planetas e satélites, isso que as bases lançadoras de foguetes espaciais ficam localizadas perto do equador. as elipses são de pequena excentricidade. planeta
Lei de Newton para gravitação A Lei da Gavitação foi estabelecida por Newton a partir das Leis de Kepler. Newton descobriu que a força de interação entre dois corpos era proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Podemos então escrever:
Energia potencial de órbita Vimos em módulos anteriores que, quando um campo realiza trabalho, ocorre diminuição da energia potencial desse corpo. Se admitirmos que a energia potencial de um corpo no infinito é nula, ao ser atraído por qualquer outro corpo, ele ficará com uma energia potencial menor do que zero, e essa energia potencial é expressa por: Ep
entendendo-se que a distância d é a distância entre os centros de massa. Matematicamente, teremos: F=G
onde G é a constante de gravitação universal, constante esta medida por Cavendish com cujo valor, 6,67 . 10–11 unidades SI, trabalharemos hoje. 2
GMm =
−
d
onde M é a massa geradora de campo e m é a massa do corpo que sofre ação do campo.
Velocidade de escape Consideremos um satétilte em órbita de raio d em torno da Terra; a força gravitacional exerce ação centrípeta, ou F grav = F c p. Como a força centrípeta
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
é dada por:
suspensão, que não passa por seu centro de gravidade e que lhe permite tomar a posição de equilíbrio estável. Tem-se o pêndulo simples ou matemático – um pêndulo teórico cuja massa oscilante se supõe condensada em um ponto material, ligado ao centro de suspensão por um fio inextensível e sem peso, oscilando sem atrito ou resistências que perturbem o movimento, imaginando-se, portanto, que este se efetua no vácuo. Esse conjunto ideal, irrealizável na prática, pode ser substituído por uma pequena esfera de metal, suspensa por um fio de seda a um ponto fixo, aproximando-se, dessa forma, das condições teóricas.
Fc p = igualando teremos:
ou, simplificando,
que é a sua velocidade orbital. Se quisermos saber o período desse satélite, substituiríamos v por e teríamos: T= Se quisermos lançar uma nave da superfície da Terra, com uma velocidade inicial v 0, para que ela escape do campo gravitacional, teremos, dentro do princípio de conservação da energia:
Movimento pendular O movimento do pêndulo é oscilatório, ou seja, periódico e alternativo. Periódico porque, ao fim do mesmo intervalo de tempo, retoma a mesma posição com velocidade igual em módulo, direção e sentido; alternativo porque o sentido do movimento troca de sinal, sucessivamente. Afastando-se o pêndulo de sua posição de equilíbrio M para a esquerda em M 1 e largando-se, pode-se observar que o peso se decompõe em duas componentes: F1 na direção do fio e que é anulada pela resistência deste e F2, que solicita o pêndulo a descer por um arco de círculo. r
ou
, onde:
r
Simplificando,
que é chamada velocidade de escape. Substituindo os valores G = 6,67 . 10 -11, M = 5,98 . 10 24 e R = 6,37 . 106, descobrimos que, para sair da órbita da Terra, uma nave deve ter uma velocidade mínima de 11,2km/s. Para mantê-la em órbita rasante na superfície da Terra usamos:
e temos o valor v = 7,9km/s, isto é, se a velocidade é inferior a 7,9km/s, a nave volta para a Terra; se está entre 7,9 e 11,2km/s, permanece em órbita; e se es tiver a mais de 11,2km/s, ela foge da Terra. 0 1 0 _ S I F _ V _ M E
Pêndulo Define-se pêndulo como todo corpo pesado, móvel em torno de um eixo fixo, chamado eixo de
Na descida, a partir de M 1, a velocidade do pêndulo vai aumentando, de modo que, ao chegar à posição M, ele se encontra possuído de energia ciné tica que o fará chegar até M2, posição simétrica de M1. Em M2 o fenômeno se repete em sentido contrário. No pêndulo simples, em que não há resistências ao movimento, isso permanece indefinidamente. No pêndulo composto em que a resistência do meio se opõe ao movimento, este diminui regularmente e, ao fim de certo tempo, o pêndulo para (movimento pendular amortecido). 3
Leis do pêndulo simples Considera-se quatro leis para os pêndulos simples: a) Lei do Isocronismo: as oscilações de pequena amplitude são isócronas. Pode-se então apreciar as seguintes situações: aceleração normal (centrípeta): máxima em M (nula em M1 e M2). •
•
•
•
aceleração tangencial: máxima em M1 e M2 (nula em M). energia cinética: máxima em M (nula em M 1 e M2) energia potencial: máxima em M1 e M2 (nula em M – nível)
Elementos do movimento pendular Os principais elementos são: a) elongação (e): é a distância da massa pendular, em um instante dado, à posição de equilíbrio ou centro da trajetória.Essa distância pode ser medida sobre o arco de círculo ou então pelo ângulo entre as direções do fio, no instante considerado, e na posição central; b) amplitude ( ): é a elongação ou deslocamen to máximo; c) oscilação simples: é o percurso entre uma posição extrema e a outra; d) oscilação completa ou dupla ou ciclo: é um percurso de ida e volta, compreendendo, portanto, duas oscilações simples sucessivas; e) frequência (f): é o número de oscilações completas executadas em uma unidade de tempo; f) período (T): é o tempo gasto para se efetuar uma oscilação completa. Para pêndulos simples, executando pequenas oscilações (a ≤ 5°), tem-se:
onde é o comprimento do pêndulo e g é a aceleração de gravidade local, para oscilações pequenas, mas não na faixa mencionada acima. Tem-se: 4
b) Lei da Independência da Substância: a duração da oscilação não depende da substância, da massa ou da forma do pêndulo. c) Lei do Comprimento: a duração da oscilação é diretamente proporcional à raiz quadrada do comprimento. d) Lei da Aceleração da Gravidade: o período de oscilação é inversamente proporcional à raiz quadrada da aceleração da gravidade no local. A Lei do Isocronismo foi descoberta por Galileu, mas Mersenne demonstrou que ela era verdadeira apenas para as pequenas oscilações.
Pêndulo composto Para um pêndulo composto, o período é dado por:
onde I é momento de inércia, m é a massa pendular, g é a aceleração da gravidade e L é a distância do centro de massa até o ponto de suspensão.
Movimento periódico Já se viu que um fenômeno é periódico quando se repete identicamente em iguais intervalos de tempo. Matematicamente obedece à relação f(t)= f (t+T), onde t é tempo e T o período (menor intervalo de tempo de repetição do fenômeno). A frequência (f), cuja unidade no SI é o hertz (Hz)= s– 1, é conceituada como o número de repetições do fenômeno na unidade de tempo. Um ponto em MCU executa um movimento periódico. Se o ponto dá 60 voltas completas em 30 segundos, sua frequência é f= 60/30 s – 1 = 2,0Hz (ou seja, duas voltas por segundo).
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
Isso equivale a dizermos que o corpo gasta 0,5s para executar uma volta completa; ou seja, seu período é T= 0,5s = (1/2)s = 1/f. Sua velocidade angular é = 2 /T = 4 rad/s.
Movimento oscilatório ou vibratório É todo movimento constituído de vaivém simétrico em torno de uma posição de equilíbrio. A figura abaixo mostra dois exemplos de movimento vibratório.
Pêndulo simples É um dispositivo formado por uma partícula pesada, suspensa v = nula por um fio ideal e que v = nula a = máxima a = máxima pode oscilar periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio, como mostrado v = máxima na figura por um fio. a = nula O ângulo é a amplitude do pêndulo. O comprimento do fio é . Componentes da força peso: peso normal (PN); e peso tangencial (P t), tais que: P t = P sen e PN = P cos . É importante notar que, nas posições extremas, a velocidade é nula, o afastamento da posição de equilíbrio é máximo e, em consequência, a tendência de fazer o corpo retornar (aceleração) é máxima. Na posição de equilíbrio a velocidade da massa pendular é máxima e a aceleração é nula. Posteriormente, o pêndulo simples será analisado quanto aos aspectos dinâmicos de seu movimento. No exercício resolvido 1 demonstra-se que o período de oscilação do pêndulo simples é dado por: 0 1 0 _ S I F _ V _ M E
T=2
g
onde T é o período, o comprimento do fio e g a aceleração da gravidade local.
Movimento harmônico simples (MHS) Diz-se que um ponto material efetua um movimento harmônico simples quando ele oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio sob a ação de uma força FR (chamada força restauradora), tal que FR=– kr, onde k é uma constante de proporcionalidade e r é a distância do ponto à posição de equilíbrio, justificando-se o sinal negativo pelo fato de FR, que sempre está voltada para a posição de equilíbrio, sempre ser contrária ao sentido do movimento. Na figura do pêndulo simples, mostrada no item anterior, a força restauradora tem módulo igual ao do componente tangencial da força peso: FR = – P t = – P sen = – mg sen = – mgk1 r = – kr, em que k1 é a constante de proporcionalidade entre sen e r, sendo mgk1 = k.
Relação entre o MCU e o MHS (Equações do MHS) Já se disse que, estando um ponto material em MCU, sua projeção sobre o eixo central executa um MHS. Enquanto o ponto móvel desloca-se de P0 a P 1 em MCU, sua projeção E desloca-se no sentido de A para B 0 em MHS. A abscissa x correspondente ao ponto e chama-se elongação. A elongação máxima é a amplitude A do MHS, que iguala o raio R da trajetória. Na figura, usando as equações do MCU, tem-se: aN= 2R, aN=aceleração normal, =velocidade angular, = 0+ t, =espaço angular no instante t, 0=espaço angular em t=0 (fase inicial).
Função horária do MHS Na figura, o triângulo P1OE, retângulo em E, nos dá: x=R cos . Sendo R=A e = 0+ t, tem-se x=Acos( 0+ t) que é a função horária do MHS.
5
A velocidade angular do MCU é dita ser a pulsação ou frequência angular do MHS.
Velocidade escalar do MHS
1.
No triângulo P1MT da figura, o ângulo em P 1 é igual ao ângulo em P1 do triângulo P1OE, pois são agudos e de lados mutuamente perpendiculares; como este é o complementar de , aquele também o é. Voltando ao triângulo P1MT, a projeção do vetor v na horizontal é o vetor P 1M, de sentido negativo e de módulo igual a v.cos(90° – ) ou v sen . Pode-se então escrever que:
a) gx 9 b) g 3 c) 3 g d) g
vMHS= – v sen = – .a.sen ( 0 + t) que é a equação da velocidade escalar no MHS. O sinal negativo indica que, nesse caso, o sentido da velocidade é oposto ao sentido positivo do eixo horizontal. Na posição de equilíbrio (ponto O), tem-se: + t = 90° e, por ser sen90° = 1, vem: 0 vMHS = – A = – R, que é o máximo valor de velocidade escalar do MHS.
(UFGO) Um satélite descreve uma órbita circular no plano do Equador. Sendo R o raio da Terra, a aceleração centrípeta do satélite, numa órbita de raio igual a 3R, é:
e) 9 g `
Solução: Sendo a C P = a grav. teremos a C P = g 3 R ou a C P =
G M T (3R)
2
=
G M T 2
9 R
=
1 G M T 2
9 R
; e como g =
G M T 2
R
a C P =
g 9
(opção A).
2.
(Mogi) Um satélite articial está descrevendo uma órbita
elíptica em torno da Terra e esta ocupa um dos focos. Assinale a alternativa correta, levando em consideração
Aceleração escalar do MHS
a gura abaixo.
Já se viu que, no triângulo P 1OE da figura, o ângulo do vértice P1 é 90°– . Se projetarmos o vetor aN na direção horizontal, obteremos um vetor de sentido contrário ao sentido positivo de x e de módulo
A
Terra A
B
1
1
O
aN sen(90° – )=aNcos B
que é o módulo da aceleração escalar do MHS. Como: aN= 2R= 2A, vem que: =–
2
a) A velocidade linear do satélite em B é menor do que em A. b) As áreas varridas em OBB 1 e OAA2 são iguais, quaisquer que sejam os intervalos de tempo gastos em varrê-las.
A cos ( 0 + t)
Resumo das funções do MHS: Posição: x = A cos( 0 + t)
c) A velocidade linear do satélite na posição B 1 é maior do que em A1.
•
•
Velocidade escalar: vMHS= – A sen( 0+ t)
•
Aceleração escalar:
d) A razão entre o quadrado do período de revolução do satélite em torno da Terra e o cubo do segmento de reta OB é constante.
= – 2A cos( 0+ t)= – 2x É importante não esquecer os sinais de seno e cosseno de = 0+ t:
e) Nenhuma das anteriores é correta. `
Solução: C a) Errada: na posição mais perto da Terra a velocidade é maior. b) Errada: as áreas só serão iguais se for o mesmo
6
Seno
Cosseno
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
intervalo de tempo.
e)
c) Correta: como OB 1 é menor do que AO 1 a veloci- dade em B 1 é maior do que em A 1 (2.ª Lei de Ke- pler).
`
d) Errada: o segmento OB não é o raio médio.
gM = 0,8 g T
Solução: D M
=
e) Errada: porque (C) está correta.
3.
g T =
(Aman) Designado por R o raio médio da órbita de um planeta e por T o período de sua revolução em torno do
g m
R3 Sol, a expressão 2 = k traduz, matematicamente, a 3.ª T
Lei de Kepler, em que k é uma constante comum a todos os planetas. Determinar o número de anos necessários para Marte completar uma revolução completa ao redor do Sol, sabendo que a distância média de Marte ao Sol é 1,5 vezes a da Terra ao Sol.
g T
5.
a) 3,2 anos. c) 1,84 anos.
b)
d) 10 anos. c)
e) 5,2 anos. `
Solução: C
d) 3 T
R
Aplicando-se a 3.ª Lei para a Terra:
Marte:
3 R M
T M 2
R M = 1,5R T M 2 =
4.
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
1,5
3
R T 3
= k ; igualando teremos 2 T
=
T
3 T
R
T
e T T = 1 ano, vem: 1 3 T
. R
R T 3
= k e para
T T 2
=
( 1,5 RT ) T M 2
gM = 0,05 g T
b)
gM = 0,1 g T
c)
gM = 0,2 g T
d)
gM = 0,4 g T
`
3
R
e g T =
G . 10 M M ( 2 R M )
2
=
G M T R T 2
, portanto,
2,5 G M M 2 R M
, isto é, g T = 2,5 g M ⇒
= 0, 4.
T1 1 = T2 4 T1 1 = T2 2 T1 =2 T2 T1 =4 T2 T1 =8 T2
Solução: E Aplicando a 3.ª Lei de Kepler para Marte (1) e para
ou
Mercúrio (2), vem: T 1
⇒ T M = 1,84 anos.
(PUC) Medidas astronômicas revelam que a massa de Marte é, aproximadamente, um décimo da massa da Terra e que o raio da Terra é cerca de duas vezes maior que o raio de Marte. Pode-se então concluir que a razão entre as intensidades do campo gravitacional (isto é, as acelerações da gravidade) nas superfícies de Marte (gM) e da Terra (gT) vale: a)
e)
3 R M
T M 2 , e como
2 M
(Cesgranrio) O raio médio da órbita de Marte em torno do Sol é aproximadamente quatro vezes maior do que o raio médio da órbita de Mercúrio em torno do Sol. Assim, a razão entre os períodos de revolução, T 1 e T2, de Marte e de Mercúrio, respectivamente, vale: a)
b) 1,5 anos.
G M M
T 2
=
64 = 8 .
T 1 2 R 13
=
T 2 2 R 2 3
ou
T 12 T 2 2
=
( 4 R 2 ) 3 R 2 3
⇒
6.
(PUC) Dois pêndulos simples têm comprimentos iguais a 100cm e 36cm, respectivamente. Para pequenas oscilações (5.º aproximadamente), a razão entre os seus períodos é: 5 a) 4 5 b) 3 c) 25 6 15 d) 16 25 e) 9
`
Solução: B
7
Aplicando a equação do período para pequenas osci- lações e
; para os dois pêndulos . Dividindo-se membro a membro as
expressões, teremos:
. Substituindo os
8.
Tendo em vista os esforços a que o o ca submetido,
a posição em que ele terá mais probabilidade de se romper será: a) A
valores e eliminando-se os termos possíveis, temos:
b) B .
7.
c) C d) D
(UFF) Para pêndulos simples co m oscilações de pequena amplitude, o período é dado por:
e) E `
Nessa expressão, representa o comprimento do pêndulo e g representa a intensidade do campo gravitacional. Se quadruplicarmos o comprimento desse pêndulo e reduzirmos sua massa à metade, o novo período T1 passará a ser de: a) 4T
Como no ponto C a velocidade é máxima, e sabendo-se que a força centrípeta vale
, nesse ponto tem-
se a força centrípeta máxima, pois m e R são constantes. Nesse ponto C, a força centrípeta tem módulo F cp = T – P, e o peso também é constante se F cp máxima ⇒ T máxima .
9.
Com base nas opções apresentadas na gura abaixo, o
vetor que representa a aceleração da esfera, ao passar pelo ponto D, é:
b) 2T c) T T d) 4 T e) 2 `
Solução: C
Solução: B Como
e
, dividindo-se mem-
a) I bro a membro, temos:
b) II
ou T 1 = 2T.
c) III d) IV
(Unicado) As questões 8 e 9 referem-se ao seguinte
e) V
enunciado: Uma esfera de massa m, suspensa por um o a um
ponto 0, é solta, a partir do repouso, de um ponto A, descrevendo um arco de circunferência e passando a oscilar entre as posições extremas A e E. A gura abaixo
ilustra esse movimento.
8
`
Solução: C No ponto D, a massa pendular estará submetida à força peso ( I ) e à força de tração do o (IV).
10. (EN) Um pêndulo simples é constituído por uma esfera de metal, de diâmetro desprezível, suspensa por um o cujo coeciente de dilatação linear é 2,0 . 10 –5 °C–1. Um
relógio desse pêndulo é correto a 20ºC e seu período é de 2s. Quando a temperatura for mantida a 30ºC, o atraso do relógio em uma hora é, aproximadamente, de:
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
Considere: p = 3,14 1,0004 @ 1,0002 a) 30s
1,0002 @ 1,0001
d)
1,0008 @ 1,0004
b) 18s
e)
c) 8,0s d) 1,0s e) 0,36s `
Solução: E
`
Aplicando-se a equação do período para as duas tem- peraturas dadas:
Solução: B As forças que atuam na massa pendular em N são o peso e a tração.
M T
Simplicando e substituindo pelos valores dados, temos:
N
R
ou:
⇒
P
2 1 = T 30 1,0001
A velocidade no ponto N é diferente de zero, pois o ponto N se encontra abaixo do ponto M. Desse modo, no movimento resultante haverá componentes centrípe- ta e tangencial da aceleração. A soma vetorial dessas componentes dá resultado a um vetor que só pode ser representado pela alternativa B.
T 30 = 2,0002s
Então T 30 atrasa 0,0002s ou 0,01 % em relação a T 20 . Podemos montar uma regra de três, para uma hora: 1h ≡ 3,600s 0,01%h ≡ y ; portanto y = 0,36s.
12. (UFC - Adap.) Um carrinho desloca-se com velocidade
constante V 0, sobre uma superfície horizontal sem atrito
11. Em uma das missões cientícas do Programa Apolo, os
(veja gura a seguir).
astronautas determinaram o período de oscilação de um pêndulo simples na superfície da lua. As guras das opções a seguir reproduzem a oscilação
desse pêndulo desde um dos pontos mais altos de sua trajetória (M) até um outro ponto (N). Em qual dessas opções está corretamente representada a resultante R de todas as forças que atuam sobre a massa do pêndulo simples quando esta passa pelo ponto N? a)
O carrinho choca-se com uma mola de massa desprezível, ficando preso à mesma. O sistema mola+carrinho começa, então, a oscilar em movimento harmônico simples, com amplitude de valor A. Pede-se: a) Determine o período de oscilação do sistema.
r
b) Institua analogamente uma fórmula para o período de oscilação de um pêndulo simples.
b) `
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
c)
Solução: Antes devemos instituir alguns conceitos que serão vistos em Dinâmica: 1) Todo corpo em movimento tem a si associada uma
9
v = –2,4 sen (8.t + ) a) v = –0,3 sen (3,2.t + /2)
b) Se o relógio for transportado do nordeste para a Lua, nas mesmas condições de temperatura, ele atrasará ou adiantará?
b) v = –7,2 sen (4. .t + ) `
c) v = –2,7 sen (4.t + )
Como já se viu, o período T de oscilação de um pêndulo
d) v = –1,2 sen (2.t + /4) `
Solução:
simples é determinado pela fórmula T = 2
Solução: A
: comprimento de onda
Dados: m = 50g = 0,050kg; k = 3,2N/m; A = 30cm = 0,30m.
g: aceleração da gravidade. a) No verão do nordeste brasileiro, bem mais quente que o frio inverno gaúcho em que o relógio foi ca- librado, o comprimento do pêndulo aumentará por dilatação térmica. Isso fará aumentar o período de oscilação e, portanto, diminuir a frequência, o que fará que o relógio atrase, em virtude de os movi- mentos dos ponteiros serem em função da quan- tidade inteira de ciclos realizados (podemos dizer que tais movimentos são discretos ou quantizados, e não contínuos).
Deseja-se: equação da velocidade escalar do MHS. No MHS: v MHS = –
A sen (
+ t).
0
O período T é dado pela expressão T = 2 Sendo
=
2/
m . k
, substituindo nessa expressão a do T 3,2 = 8,0rad/s período, tem-se = m =
k
0,050
Substituindo na equação da velocidade escalar do MHS os valores disponíveis, vem: v MHS = –
A sen (
g
+ t) = – 8 . 0,30 sen ( + 8t) ou
b) A aceleração da gravidade na Lua é menor que o valor da gravidade na Terra. Tal diminuição de g fará aumentar o período e o relógio igualmente atrasa- rá, pelos motivos expostos no item a acima.
0
v MHS = – 2,4sen ( + 8t), o que nos conduz à alternativa da letra A.
15. (Unicamp-Adap.) Durante muito tempo, desde que
surgiram, os relógios eram construídos baseados nas leis do pêndulo simples: o ajuste no era dado por meio de
uma rosca na extremidade livre da haste do pêndulo, que permitia alterar o seu comprimento e, por conseguinte, o período de oscilação, facultando adiantar ou atrasar o relógio. Com as grandes navegações dos séculos XV e XVI, no entanto, surgiu a necessidade de um relógio mais aperfeiçoado que permitisse a determinação da longitude com mais precisão, pois o balançar das embarcações equivalia a variações no campo gravitacional terrestre,
1.
certeza armar que:
a) a trajetória do cometa é uma circunferência, cujo centro o Sol ocupa. b) num mesmo intervalo de tempo Dt, o cometa descreve a maior área entre duas posições e o Sol, quando está mais próximo do Sol.
alterando signicativamente o período de oscilação e,
por conseguinte, a precisão do relógio, gerando erros grosseiros na determinação das posições durante as navegações e nas demarcações de territórios. Surgiu então, em decorrência disso, o relógio náutico a balancim, baseado no sistema massa-mola que, independendo da gravidade terrestre, não era afetado pelo jogo dos navios, permitindo uma navegação mais precisa. Foram os precursores dos relógios de pulso que, por sua vez, evoluíram para os relógios a cristal de quartzo, usados até os dias de hoje. A gura mostra um antigo relógio de pêndulo:
(PUC-Rio) Um certo cometa se desloca ao redor do Sol. Levando-se em conta as Leis de Kepler, pode-se com
c) a razão entre o cubo de seu período e o cubo do raio médio da sua trajetória é uma constante. d) o cometa, por ter uma massa bem maior do que a do Sol, não é atraído por ele. e) o raio vetor que liga o cometa ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. 2.
(UERJ) A gura ilustra o movimento de um planeta em
torno do Sol.
Sabendo que esse relógio foi calibrado no frio inverno gaúcho, responda e justique: 0 1 0 _ S I F _ V _ M E
a) Ele atrasará ou adiantará se for transportado para o quente verão nordestino? 11
ao cubo do semieixo maior de sua órbita”. Com respeito à órbita da Terra em relação ao Sol, sabe-se que o período é de um ano e o semieixo maior é de 15 . 1010metros. A partir dessas informações, pode-se armar que a
ordem de grandeza da constante de proporcionalidade, em s2/m3, é: a) 10-12 Se os tempos gastos para o planeta se deslocar de A para B, de C para D e de E para F são iguais, então as áreas A1, A2 e A3 apresentam a seguinte relação: a) A1 = A2 = A3
b) 10-15 c) 10-19 d) 10-23 7.
b) A1 > A2 = A3 c) A1 < A2 < A3 d) A1 > A2 > A3 3.
(Fuvest) Considere um planeta em órbita elíptica em torno do Sol. O ponto A é o ponto da órbita mais próximo do Sol e o ponto B é o mais distante. Com base nessas informações, no ponto A temos:
a) 0,5
a) a velocidade de rotação do planeta é máxima.
d) 8
b) a velocidade de translação se anula.
e) 16
c) a velocidade de translação do planeta é máxima.
b) 2 c) 4
8.
d) a força gravitacional sobre o planeta se anula. e) a velocidade de rotação do planeta é mínima. 4.
a) 25m/s2
a) 4 unidades.
d) 2m/s2
b) 8 unidades.
e) 0,3m/s2
d) 64 unidades. e) 128 unidades. (PUC-SP) Sabe-se que um planeta gira em torno do Sol com raio de órbita 4 vezes maior que a distância da terra ao Sol. Quantos anos terrestres leva esse planeta para dar uma volta completa em torno do Sol? (Considere as órbitas circulares). a) 64 anos. b) 8 anos. c) 4 anos. d) 2 anos. e) 1 ano. 6.
12
(Cesgranrio) Qual é, aproximadamente, o valor do módulo da aceleração de um satélite em órbita circular em torno da Terra, à uma altitude igual a cinco vezes o raio da Terra?
(Mackenzie) Dois satélites de um planeta tem períodos de revolução de 32 dias e 256 dias, respectivamente. Se o raio da órbita do primeiro satélite vale 1 unidade, então o raio do segundo terá:
c) 16 unidades.
5.
(UERJ) Se um corpo fosse levado para a superfície de um astro de forma esférica, cuja a massa fosse oito vezes maior que a da Terra e cujo o raio fosse quatro vezes maior que o raio terrestre, qual seria a relação entre o seu peso naquele astro e o seu peso na Terra.
(AFA-SP) De acordo com Johannes Kepler (1571-1630), “o quadrado do período de qualquer planeta é proporcional
b) 5m/s2 c) 6m/s2
9.
(FEI-SP) No sistema solar, um planeta em órbita circular de raio R demora 2 anos terrestres para completar uma revolução. Qual o período de revolução de outro planeta em órbita de raio 2R?
10. (Fuvest) Um satélite articial move-se em órbita circular ao redor da Terra, cando permanentemente sobre a
cidade de Macapá. a) Qual o período do satélite? b) Porque o satélite não cai sobre a cidade? 11. (Unitau) Indique a alternativa que preenche corretamen-
te as lacunas da questão a seguir. a) Um pêndulo simples está animado de um movimento harmônico simples. Nos pontos extremos da trajetória, a velocidade da bolinha do pêndulo é ________, a aceleração é ________, e a energia potencial é ________. À medida que a bolinha se aproxima do centro da trajetória, a velocidade
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
________, a aceleração ________ e a energia potencial _______.
15. (Mackenzie) Um pêndulo simples tem comprimento L e massa m. Quando este pêndulo oscila num local onde a aceleração gravitacional é g, o período do movimento é T. Se quadruplicarmos seu comprimento e reduzirmos r
b) nula, máxima, máxima, diminui, aumenta, diminui. c) máxima, nula, máxima, diminui, aumenta, diminui. d) máxima, máxima, nula, diminui, aumenta, diminui. e) nula, máxima, máxima, aumenta, diminui, diminui. f) nula, mínima, mínima, diminui, diminui, diminui. gasto numa oscilação completa. Um pêndulo executa 10 oscilações completas em 9,0s. Seu período é:
T 2 c) T
a) 0,9s
d) 2T
b) 1,1s
e) 4T
12. (Unesp) Período de um pêndulo é o intervalo de tempo
c) 9,0s d) 10,0s e) 90,0s 13. (Fatec–SP) O período de oscilação de um pêndulo L simples pode ser calculado por T= 2 p g , onde L é o comprimento do pêndulo e g a aceleração da gravidade
(ou campo gravitacional) do local onde o pêndulo se encontra. Um relógio de pêndulo marca, na Terra, a hora exata. É correto armar que, se esse relógio for levado para a Lua: a) atrasará, pois o campo gravitacional lunar é diferente do terrestre. b) não haverá alteração no período de seu pêndulo, pois o tempo na Lua passa da mesma maneira que na Terra.
b)
16. (Mackenzie) Comenta-se que o célebre físico e matemá-
tico Galileu Galilei, ao observar a oscilação do lampadário da catedral de Pisa, na Itália, concluiu tratar-se de um movimento periódico, semelhante ao que hoje chamaríamos de pêndulo simples. Para tal conclusão, teria medido o período do movimento, utilizando, como unidade de medida para o tempo, seu próprio batimento cardíaco. Se considerarmos um grande pêndulo simples, de comprimento 10m, oscilando num local onde g=10m/s2, e que a frequência dos batimentos cardíacos é de 86 batidas por minuto, o período do movimento desse pêndulo será de aproximadamente: a) 3 batidas. b) 6 batidas. c) 9 batidas. d) 12 batidas. e) 15 batidas.
c) seu comportamento é imprevisível sem o conhecimento de sua massa.
17. (PUCRS) Um pêndulo simples está oscilando, e os atritos com o ar e no ponto de xação reduzem gradualmente a amplitude de seu movimento. Arma-se que:
d) adiantará, pois o campo gravitacional lunar é diferente do terrestre.
I. A velocidade escalar média do pêndulo está diminuindo.
e) não haverá alteração no seu período, pois o campo gravitacional lunar é igual ao campo gravitacional terrestre.
II. A aceleração escalar média do pêndulo está aumentando.
14. (UECE) Um pêndulo simples oscila com pequena am-
III. O período de oscilação e a amplitude diminuem na mesma proporção.
plitude na vizinhança da posição de equilíbrio. Podemos
Analisando as armativas acima, deve-se concluir que:
armar que a grandeza, referente à partícula oscilante,
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
sua massa 1/4 da inicial, o novo período do movimento será: a) T 4
que permanece invariável durante o movimento pendular, é a:
a) somente I é correta.
a) velocidade linear.
c) somente III é correta.
b) frequência de oscilação.
d) I e II são corretas.
c) aceleração centrípeta.
e) I e III são corretas.
d) energia cinética.
b) somente II é correta.
13
18. (Unesp) O período de oscilação de um pêndulo simples,
que oscila com amplitude muito pequena, é dado por
A à extremidade C. Supondo g = 10m/s2, então o comprimento do o em metros é de, aproximadamente:
L
T = 2p g , onde L é o comprimento do pêndulo e g a aceleração da gravidade. Se esse comprimento fosse quadruplicado: a) O que ocorreria com seu período? b) O que ocorreria com sua frequência? 19. (Cesgranrio) Dois pêndulos apresentam comprimentos diferentes. Sendo L1 o comprimento do primeiro e L2 o do segundo, pode-se armar que sendo L1 > L2 a relação entre os períodos T 1 e T 2 é:
a) T1 = T2 b) T1 =
T2
2
c) T1 < T2
b) 4,0 c) 3,0 d) 2,0 e) 1,0 23. (Fuvest) Um trapezista abre as mãos e larga a barra
de um trapézio ao passar pelo ponto mais baixo da oscilação. Desprezando-se o atrito, podemos armar
d) T1 > T2
que o trapézio:
e) T1 = 2T2
a) para de oscilar.
20. Regulamos, num dia frio e ao nível do mar, um relógio
de pêndulo de cobre. Esse mesmo relógio, e no mesmo local, num dia quente, deverá: a) não sofrer alteração no seu funcionamento. b) adiantar. c) atrasar. d) aumentar a frequência de suas oscilações. 21. (Fuvest) Considere três pêndulos, conforme indica a gura.
As massas de A e B são iguais a 1kg e a massa de C é igual a 2kg. Quando os mesmos são postos a oscilar, com pequenas amplitudes, podemos armar que:
b) aumenta a amplitude de oscilação. c) tem seu período de oscilação aumentado. d) não sofre alteração na sua frequência. e) aumenta sua energia mecânica. 24. (Mackenzie) Uma partícula descreve um movimento π
harmônico simples segundo a equação X= 0,3cos( 3 +2t), no S.I. O módulo da máxima velocidade atingida por essa partícula é: a) 0,3m/s b) 0,1m/s c) 0,6m/s d) 0,2m/s e) p /3m/s 25. (Cesgranrio) Uma partícula descreve um movimento harmônico simples, com equação horária, escrita em unidades do Sistema Internacional, x(t)= 4sen (2t). A frequência, em Hz, desse movimento é igual a:
a) os três pêndulos possuem a mesma frequência.
a) 2p
b) a frequência do pêndulo B é maior que as dos pêndulos A e C .
b) p
c) os pêndulos B e C possuem a mesma frequência. d) os pêndulos A e C possuem a mesma frequência. e) o pêndulo C possui a maior frequência. 22. (Mackenzie) O pêndulo a seguir é constituído de um o
ideal e a massa suspensa m oscila periodicamente, gastando um tempo mínimo de 2,0s para ir da extremidade 14
a) 8,0
c) 1 1 d) p 1 p e) 2
26. Um móvel executa um Movimento Harmônico Simples π
de função horária: x = 4 cos ( + 3πt) , no Sistema 5 Internacional. Determine:
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
a) a fase inicial.
a) 1 000
b) a pulsação.
b) 10
c) a velocidade máxima.
c) 1
27. (UFRGS) Um corpo em Movimento Harmônico Simples
desloca-se entre as posições –50cm e 50cm de sua trajetória, gastando 10s para ir de uma a outra.Considerando que, no instante inicial, o móvel estava na posição de equilíbrio, determine:
d) 0,1 e) 0,001 3.
a) a amplitude do movimento.
(UFF) O tempo (T) necessário para que um planeta qualquer complete uma volta em torno do Sol, considerando sua órbita como sendo circular, pode ser relacionado com raio (r) de sua órbita pela expressão:
b) o período. c) a frequência. d) a pulsação.
Onde G é uma constante e M, a massa do Sol.
e) a equação horária do movimento.
Para obter-se tal expressão, é suciente a aplicação
conjunta das seguintes leis da física: a) Lei dos Períodos de Kepler e Primeira Lei de Newton.
28. (UFGO) Seja uma partícula em Movimento Harmônico
Simples regida pela função: x = 0,1cos (2 pt), para x em metros e t em segundos. Responda: a) O que representa as constantes 0,1 e 2 p. b) Qual a frequência em Hz, do movimento.
b) Lei da Conservação de Energia e Lei da Ação e Reação.
c) Em que posição se encontra a partícula em t = 0s? Qual a velocidade nesse instante.
c) Lei da Gravitação Universal e Segunda Lei de Newton.
d) Em que posição a energia cinética é máxima? Em que instantes isso acontece.
d) Lei da Ação e Reação e Lei da Gravitação Universal. e) Lei da Conservação do Momento Linear e Lei dos Períodos de Kepler. 4.
(UFOP) A gura seguinte mostra a órbita de um planeta
em seu movimento em torno do Sol. 1.
(UFRGS) O módulo da força de atração gravitacional entre duas pequenas esferas de massa m iguais, cujos centros estão separados por uma distância d é F. Substituindo-se uma das esferas por outra de massa 2m e reduzindo-se a distância entre os centros das esferas para d/2, resulta uma força gravitacional de módulo: a) F b) 2F c) 4F d) 8F e) 16F
2.
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
(Fuvest) No Sistema Solar, o planeta Saturno tem massa cerca de 100 vezes maior do que a da Terra e descreve uma órbita, em torno do Sol, a uma distância média 10 vezes maior do que a distância média da Terra ao Sol (valores aproximados). A razão (F sat/F T ) entre a força gravitacional com que o Sol atrai Saturno e a força gravitacional com que o Sol atrai a Terra é de aproximadamente:
Arma-se que:
I. Se o tempo que o planeta gasta para se deslocar de A até B é igual ao tempo que ele gasta para se deslocar de C até D, então as áreas hachuradas da gura são iguais.
II. A velocidade do planeta no ponto A é maior do que no ponto D. III. A energia mecânica do planeta no ponto A é maior do que no ponto D. Assinale a opção correta. a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas I e II são verdadeiras.
15
c) Apenas II e III são verdadeiras.
relação ao centro da Terra. (Sugestão: use a resposta do item anterior)
d) Apenas I e III são verdadeiras. 5.
e) I, II e III são verdadeiras.
8.
(Unirio) Um satélite de telecomunicações está em sua órbita ao redor da Terra com período T. Uma viagem do ônibus espacial fará a instalação de novos equipamentos nesse satélite, o que duplicará sua massa em relação ao valor original. Considerando que permaneça com a mesma órbita, seu novo período T’ será:
(UFSCar) Suponha que uma das Luas de Júpiter, de massa m, descreva uma órbita circular durante um período T. Determine o raio R da órbita dessa Lua se a massa de Júpiter é M.
9.
(UFF) Em certo sistema planetário alinham-se em um dado momento, um planeta, um asteroide e um satélite, como representa a gura.
a) T’ = 9T b) T’ = 3T c) T’ = T d) T’ = 1/3T e) T’ = 1/9T 6.
(UFRJ) A tabela abaixo ilustra uma das leis do movimento dos planetas: a razão entre o cubo da distância D de um planeta ao Sol e o quadrado do seu período de revolução T em torno do Sol é constante. O período é medido em anos e a distância em unidades astronômicas (UA). A unidade astronômica é igual à distância média entre o Sol e a Terra. Suponha que o Sol esteja no centro comum das órbitas circulares dos planetas.
PlaneJúpi- SaturMercúrio Vênus Terra Marte ta ter no
— o raio do satélite é muito menor que o raio R do planeta. Determine a razão entre as forças gravitacionais exercidas pelo planeta e pelo satélite sobre o asteroide. 10. (Fuvest) Se fosse possível colocar um satélite em órbita rasante em torno da Terra, o seu período seria T. Sendo
G a constante de gravitação universal, expresse a massa especíca média da Terra em função de T e G.
T2
0,058
0,378
1,00 3,5
141
868
11. (UFRJ) Considere a órbita da Terra em torno do Sol
D3
0,058
0,378
1,00 3,5
141
868
circular, de raio igual a 1,5 × 1011m. Sendo a constante de gravitação universal aproximadamente 6,7 × 10-11 N.m2/kg2 e um ano aproximadamente p × 107s, estime a ordem de grandeza em kg, da massa do Sol.
Um astrônomo amador supõe ter descoberto um novo planeta no sistema solar e o batiza como planeta X. O período estimado do planeta X é de 125 anos. Calcule: a) a distância do planeta X ao Sol em Unidades Astronômicas.
7.
12. (UFRRJ) Dois pêndulos simples, A e B, estão oscilando
num mesmo local. Enquanto A faz uma oscilação em um segundo, B faz duas. Pode-se armar, sobre cada um
dos pêndulos, que:
b) a razão entre a velocidade orbital do planeta X e a velocidade orbital da Terra.
a) o comprimento de B é quatro vezes mais curto que o de A.
(UFMG) Um satélite brasileiro é lançado ao espaço de tal forma que entra em órbita circular em torno da linha do Equador terrestre.
b) o comprimento de A é quatro vezes mais curto que o de B.
a) Considerando que a única força que age no satélite é a força gravitacional terrestre, devido a Lei da Gravitação Universal, determine a relação entre a velocidade angular do satélite ω e a sua distância R ao centro da Terra. b) Satélites de telecomunicação são, na maioria, geoestacionários, ou seja, uma antena parabólica xa
na Terra o “veria” parado no céu. Considerando que o período de rotação deste tipo de satélite é 24 horas, calcule o valor aproximado de sua distância em 16
Sabendo-se que: — a massa do satélite é 1 000 vezes menor que a massa do planeta;
c) os comprimentos de A e de B são iguais, só suas velocidades é que são diferentes. d) a massa de A é menor que a massa de B. e) a massa de B é menor que a massa de A. 13. (UFRRJ) Em 1581, na Catedral de Pisa, Galileu
teve sua atenção despertada para um candelabro que oscilava sob a ação do vento, descrevendo arcos de diferentes tamanhos. Reproduzindo esse movimento com um pêndulo simples de comprimento L e massa m, como o representado na
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
gura a seguir, Galileu constatou que o te mpo de uma oscilação pequena (para a qual sen θ@θ ) era função:
16. (ITA) Dois pêndulos de comprimento L 1 e L2, conforme a gura, oscilam de tal modo que os dois bulbos se en -
contram sempre que decorrem seis períodos do pêndulo menor e quatro períodos do pêndulo maior.
A frequência de oscilação do pêndulo depende: a) do comprimento do pêndulo, de sua massa e da aceleração da gravidade. b) apenas do comprimento do pêndulo. c) do comprimento do pêndulo e da aceleração da gravidade.
b) 3/2 c) 2 d) 4/9 e) 2/3 17. (UFMA) Dois relógios (A e B) de pêndulo estão no
d) apenas da aceleração da gravidade.
mesmo local e foram acertados às 17h.
e) apenas da massa do pêndulo. 14. (UERJ)
O TEMPO DE OSCILAÇÃO DE UM PÊNDULO NÃO DEPEN- DE DO PESO DO CORPO SUSPENSO NA EXTRE- MIDADE DO FIO.
A relação L2/L1 deve ser: a) 9/4
u e l i l a G
Com base nesse conhecimento, Galileu, antes mesmo de realizar seu famoso experimento da torre de Pisa, armou que uma pedra leve e outra pesada, quando
abandonadas livremente de uma mesma altura, deveriam levar o mesmo tempo para chegar ao solo. Tal armação é um exemplo de:
a) lei. b) teoria.
Os pêndulos têm comprimentos iguais a 30cm, porém suas massas são: m A = 60g e m B = 90g. Após 12h, podemos armar que:
a) o relógio A estará atrasado em relação ao relógio B. b) o relógio B estará atrasado em relação ao relógio A. c) o relógio A marcará a mesma hora do relógio B. d) o relógio A estará adiantado 30min em relação ao relógio B. e) o relógio B estará adiantado 30min em relação ao relógio A. 18. (ITA) Dois pêndulos simples são abandonados a partir de uma posição P em que eles se tocam, como ilustra a gura. Sabendo-se que os comprimentos dos
pêndulos estão na razão L 2/L 1 = 4/9 e que os períodos são T1 e T2, depois de quanto tempo t eles se tocarão novamente?
c) modelo. d) hipótese. 15. (UFSM) Um corpo de massa m é preso a um o de
comprimento L, constituindo um pêndulo que passa a oscilar em movimento harmônico simples com amplitude A. Em meio período, o corpo percorre uma distância de, aproximadamente: a) A b) 0 1 0 _ S I F _ V _ M E
2A
c) 2A d) 3A e) 4A
a) t = 3T1 b) t = 2T1 c) t = 4T2 d) t = 9T1 e) Eles nunca se tocarão outra vez. 17
19. (ITA) Um pêndulo simples oscila com um período de 2,0s. Se cravarmos um pino a uma distância 3L do 4
ponto de suspensão e na vertical que passa por aquele ponto, como mostrado na gura, qual será o novo pe ríodo do pêndulo?
a) 9,10 b) 8,99 c) 9,80 d) 9,86 e) 9,14 23. O período de um pêndulo simples é de 12s. No mesmo
local, determinar o período de um segundo pêndulo, cujo comprimento é a quarta parte do comprimento do primeiro. 24. (ITA) Uma técnica muito empregada para medir o valor
Despreze os atritos. Considere ângulos pequenos tanto antes quanto depois de atingir o pino: a) 1,5s
da aceleração da gravidade local é aquela que utiliza um pêndulo simples. Para se obter a maior precisão no valor de g deve-se: a) usar uma massa maior.
b) 2,7s
b) usar um comprimento menor para o o.
c) 3,0s
c) medir um número maior de períodos.
d) 4,0s
d) aumentar a amplitude das oscilações.
e) o período de oscilação não se altera
e) fazer várias medidas com massas diferentes.
20. (Fuvest) O pêndulo de Foucault – polarizado pela famosa
obra de Umberto Eco – consistia de uma esfera de 28kg, pendurada na cúpula do Panthéon de Paris por um o
de 67m de comprimento. Sabe-se que o período T de oscilação de um pêndulo simples é relacionado com o seu comprimento L e com a aceleração da gravidade g pela seguinte expressão:
25. (Fuvest) Uma peça, com a forma indicada, gira em um eixo horizontal P , com velocidade angular constante e igual
a prad/s. Uma mola mantém uma haste sobre a peça, podendo a haste mover-se na vertical. A forma da peça é tal que, enquanto a extremidade da haste sobe e desce, descreve, com passar do tempo, um movimento harmônico simples como indicado no gráco.
L T = 2π g
a) Qual o período de oscilação do pêndulo de Foucault? Despreze as frações de segundos. b) O que aconteceria com o período desse pêndulo se dobrássemos a sua massa? (Adote g = 10m/s 2 e 10 = ) 21. (EN) A frequência de um pêndulo simples de 1 milímetro
de comprimento, ao nível do mar, é 16Hz. A frequência, em Hz, de um outro pêndulo simples de 4 milímetros de comprimento, num local em que a extremidade xa do
mesmo encontra-se a uma distância, do centro da Terra, de 4 vezes o raio terrestre é: a) b) c) d) e)
2 4 8 16 32
22. (AMAN) Um pêndulo simples de comprimento 100cm
18
efetua em 2,00 segundos uma oscilação completa. Calcular o valor da aceleração local da gravidade em m/s 2.
Assim, a frequência do movimento da extremidade da haste será de: a) 3,0Hz b) 1,5Hz c) 1,0Hz d) 0,75Hz e) 0,5Hz 26. (UFSC) A equação de um movimento harmônico simples π
é: x = 10 cos (100 pt+ 3 ), onde x está expresso em centímetro e t em segundos. Determine o valor numérico da razão entre a frequência e a amplitude deste movimento em Hz/cm. 27. (Faap) Um móvel com movimento harmônico simples
obedece à função horária x = 7 cos (0,5 pt), onde x é medido em cm e t em s. Determine o tempo necessário para que esse móvel vá da posição de equilíbrio para a posição de elongação máxima.
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
28. (Acafe) O gráco abaixo mostra a elongação em função
do tempo para um movimento harmônico simples.
a) Qual é a frequência do MHS executado por M? Determinar a função horária do movimento. 29. O gráco abaixo mostra a posição em função do te mpo
de uma partícula em Movimento Harmônico Simples no intervalo de tempo entre 0 e 10s. Determinar:
b) Determine o tempo necessário para o ponto M deslocar-se do ponto B ao ponto C. Nota: B e C são os pontos médios de AD e A’D, respectivamente. 33. (ITA) Uma partícula em movimento harmônico simples oscila com frequência de 10Hz entre os pontos L e – L de uma reta. No instante t1 a partícula está no ponto L 3 2
a) a frequência. b) a pulsação. c) a velocidade máxima. 30. (Fuvest) Um ponto P percorre uma circunferência de raio R com velocidade angular constante ω. No instante t = 0, o ponto se encontra na posição A, indicada na gura.
caminhando em direção a valores inferiores, e
atinge o ponto
L 2 −
2
no instante t 2. O tempo gasto
nesse deslocamento é: a) 0,021s b) 0,029s c) 0,15s d) 0,21s e) 0,29s
a) Qual a equação horária do movimento do ponto Q, projeção de P sobre o eixo x? b) Para que valor de x a velocidade de Q é máxima? 31. (Unesp) A distância entre as posições extremas ocu-
padas por um pistão, no decorrer de seu movimento de vaivém, é igual a 0,5m e a velocidade média do pistão, quando se desloca de uma posição extrema para a outra, é 0,4m/s. A partir destes dados, determine: a) o período. b) a frequência desse movimento. 32. (Unicamp) Enquanto o ponto P se move sobre uma
circunferência, em movimento circular uniforme com velocidade angular = 2 rad/s, o ponto M (projeção de P sobre o eixo x) executa um movimento harmônico simples entre os pontos A e A’. 0 1 0 _ S I F _ V _ M E
19
13. A 14. B 1.
E
2. A 3.
C
4. A
16. C 17. A 18.
a) o período é proporcional: período dobra.
5.
B
6.
C
7.
A
8.
E
19. D
T12 T22 22 T22 = = ⇒ ∴4 . 8 = T22 e R13 R23 R3 (2R)3 T2 = 32 = 4 2 anos.
20. C
9. Aplicando
10.
a) Como a órbita é estacionária, 24h. b) A força de atração é igual a força centrípeta. 11. D 12. A
20
15. D
∴
4 =2
.O
b) Temos que a frequência é inversamente proporcional ao período ⇒ a frequência cai pela metade.
21. D 22. B 23. D 24. C 25. D
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
r3 = 3 000 . 10 = 75.1021m 40 3 r = 75 . 1021 = 4,2 . 107m 2 2 GM GM F C = F A ⇒ v2 = P = ∴ R T R 21
26.
a) θ0 = rad 5 b) ω = 3p rad/s 8.
c) v = ω A = 3p . 4 = 12pm/s 27.
2 2 3 GMT GMT R = ∴R= 4 2 4 2 3
a) A = 50cm b) T = 20s
9. Temos F = G Mm F 1 = G
c) f = 0,05Hz d) ω =
e F 2 = G mS .m A
2
(3 R )2
d
∴
rad/s
10 e) x = 50 cos 28.
2
+
10
t ou x = 50 cos
3
2
+
10
t 10.
a) A amplitude e a pulsação
r
FC
GM
=
=
11. ∴
4π R 3 . M = 2 2 GT 4 πR
F 2
, mas
R
2 3
⇒
b) ƒ = 1Hz c) v = 0 d) t = 2k + 1 s, k ∈ N 4
2 π ∴ 2 R v F A v = T r
F 1
M =
=
90
4π
2
2
2
R
GM =
T
R
3 π 2
GT
2 2 4 R 2 R 2 GM = . Substituindo ∴ M = 2 T G T R π
OG[M] = 1030kg 12. A 13. C
1.
D
14. D
2.
C
15. C
3.
C
16. A
4.
B
17. C
5.
C
18. B 19. A
6.
a) Tx2 = Dx3 ⇒ (53 )2 = Dx3 ⇒ Dx = 25UA 2 2 . . 25UA b) V x= =5 e 125 V V T= 2 1 ⇒ V x = 2 . 1 e 1 5 2 T V x 1 V T = 5 = 0,2 7.
a) FC = F ATRAÇÃO ⇒ mω2r =
GMm GM ∴ ω2 = 3 2 r r
GM ⇒ω= r3
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
GM b) Da questão anterior: ω2 = GM ⇒ r3 = 2 3 r ω 2 ⇒ ω = T GMT2 6,7 . 10-11 . 6 . 1024 . (8,64 . 104 )2 = ∴ r3 = 4 2 4 . 10
20.
a) T = 2p = 2 10 .
67 10
=2
67 @ 16,4s
b) Permanece constante. 21. A 22. D 23. T1= 6s 24. C 25. B 26. A razão é igual a 5Hz/cm 27. t =1s 28. x = 2 cos ( p +
π
2
t)
29.
a) f = 0,1Hz 21
b) ω =
rad/s 5 c) v = 4pcm/s 30. π
a) = Rcos ( + ωt) 4
b) x = 0 31.
a) T = 2,5s b) f = 0,4Hz 32.
a) f = 1Hz b) = 1 s 6 33. B
22
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
23
24
0 1 0 _ S I F _ V _ M E
