Dimensionnement des voiles en BA R. Taleb et B. Eldjouzi
1. Introduction
Sous l’action sismique, des parties plus au moins importantes de l’extrémité du voile en béton, sollicité en compression, peuvent se trouver dans le domaine inélastique, cette situation peut être à l’origine d’une instabilité latérale Risque d'instabilité
a l w Figure - Instabilité Instabilité latérale latérale des murs
Compte tenu de cette éventualité, les règlements parasismiques imposent une épaisseur minimale de l’âme à 15cm. De plus, et a partir d’un certain niveau de contraintes, il ya lieu de prévoir aux extrémités des voiles des renforts conçus comme des poteaux, ou des voiles en retour. Le modèle modèle le plus plus simple simple d'un voile voile est celui celui d'une console console encastrée encastrée à sa base; base; soumis soumisee à un effort effort normal Pu , un effort tranchant Vu et un moment fléchissant Mu qui est maximal dans la section d'encastrement. d'encastrement.
Figure – Le comportement comportement du voile est similaire à celui d’une d’une console console
Selon les règlements parasismiques, il convient que les Armatures verticales nécessaires pour la vérification de la résistance à L’ELU, en flexion composée soient concentrées dans les éléments de rives, aux 02 extrémités de la section transversale transversale du voile ou trumeau.
1
A la base du voile sur une hauteur critique, des cadres sont disposés autour de ces armatures afin d’assurer la ductilité de ces zones. Les armatures de l'âme horizontales horizontales et verticales assurent la résistance à l'effort tranchant. Le voile en béton armé doit faire l’objet des vérifications suivantes : -
Justification de la stabilité de forme (résistance au flambement). flambement).
-
Résistance a l’effort tranchant.
-
Résistance en flexion composée
Dans ce qui suit nous présentant deux méthodes pour la calcul des voile en béton armé : la méthode des contrainte, la méthode de l’ACI 318
2. Calcul des voiles par la méthode des contraintes :
C'est une méthode simplifiée basée sur les contraintes. Elle admet de faire les calculs des contraintes en supposant un diagramme linéaire.
2.1. Justification de la stabilité et de la résistance résistance d’un mur: 2.1.1. Effort de compression à l'ELU:
D’après [3] : L'effort limite ultime Nu lim est donné par les formules suivantes suivantes : §
Dans le cas d’un mur non armé : A = 0
avec : Br = l w [ a - 2(cm)] ,
a =
N u , lim
0,65
æ l ö 1 + 0,2ç ÷ è 30 ø
2
= a ×
Br × f c 28
et l =
0,9 × g b l f × 12 a
lw : Longueur du mur a : épaisseur du mur
f c 28 : Résistance caractéristique caractéristique du béton à 28 jours. f e : Limite élastique élastique de l'acier §
Dans le cas d’un mur armé : A # 0
a =
0,65
æ l ö ÷ è 30 ø
2
Si l ≤ 50 50
N u , lim a =
et
1 + 0,2ç
é B × f f ù = a × ê r c 28 + A s × e ú g s û ë 0,9 × g b 0,65
æ 50 ö ç ÷ è l ø
2
Si 50 ≤ l ≤ 80
Les valeurs de α sont à diviser par 1,10 si plus de la moitié des charges est appliquée appliquée avant 90 jours.
2
Si la majeure partie des charges charges est appliquée appliquée à un âge < 28 jours, jours, on remplace remplace f c 28 par f cj et α par α/1,20. On déduit la contrainte limite ultime qui vaut : s u , lim = s u , lim lim
= s b, NA : Béton non armé
s u , lim lim
= s b, A : Béton armé
N u , lim a × l w
Niveau de vérification du voile : Deux vérifications doivent être faites aux niveaux I et II du mur :
section I-I I-I à mi-hauteur mi-hauteur d'étage d'étage
s u
£ s u ,lim
section II-II sous le plancher haut haut s u £
II
s u ,lim
II
/2
a
I
I
/2
Figure – Niveau de vérification des contraintes l’âme du voile
2.1.2. Armatures verticales / Armatures horizontales: horizontales: Armatures verticales Espacement maximal entre axe des armatures
≤ min
(33cm ; 2a)
Armatures horizontales ≤ min
(33cm)
Armatures minimales Pourcentage minimales
§
Avec : q = = 1.4 pour un voile de rive q = 1 pour un voile intermédiaire
la section section d'armatur d'armatures es correspon correspondant dant au pource pourcentage ntage doit
: % vertical ver tical des armatures verticales de la bande la plus armée
être réparti répartiee par moitié moitié sur sur chacune chacune
des faces de la bonde de mur considérée. §
la section des armatures horizontales parallèles aux faces du mur doit être répartie par moitié sur chacune des faces d'une façon uniforme sur la totalité de la longueur du mur ou de l'élément de 3
mur limité par des ouvertures .
2.2. Cas d’une section entièrement comprimée :
Du fait fait d’un d’un schéma schéma linéa linéaire ire des contrai contrainte ntes, s, on pourra pourra consid considére érerr qu’u qu’une ne sectio section n est entière entièremen mentt comprimée si la résultante Nu reste reste à l’intérieur du noyau central, soit une excentricité maximale L/6 pour un voile rectangulaire. rectangulaire. Le DTU 23.1 art 4.224 permet de découper la zone comprimée en bande de longueur l i , tel que : l i
æ h min ç s £ min è 2
,
ö × l c ÷ 3 ø 2
σbA
σ4
lc : longueur de compression σ1
l 1
σ2
l 2
σd
σ3
l 3
σbNA
l 4
Figure – cas d’un voile voile de section entièrement comprimée comprimée
§
Si la la cont contra rain inte te moye moyen nne d’un d’unee ban bande de ne dé dépass passee la la cont contra rain inte te de de bét béton on non non arm armé, é,
on ne
disposera pas d’armatures d’armatures de compression. §
devra augmenter les dimensions du voile.
2.3 cas d’une section partiellement tendue :
§
Pour le découpage et la vérification des contraintes de la zone comprimée voir le 1ér cas
§
Pour Pour la zone zone tend tendue ue,, on pourr ourraa la divi divisé séee en band bandee de même même sect sectio ion n d’ac d’acie ierr par par unité nité de longueur, celle-ci corresponde à la contrainte maximale de traction du béton de la bande (on pourra prendre la contrainte moyenne de la bande pour un voile rectangulaire).
§
Ainsi les contraintes moyennes moyennes de traction traction valent σ4 et σ5 et entraînent une section d’acier :
4
σ ba σd
σ3
σ bna
σ2 σ1
σ4 σ5
σg
L4
L5
L1
L3
L2
LT
LC
Figure III.19 – cas d’un voile de section partiellement partiellement tendue
2.3.1 Aciers Verticaux A s S
=
s i × g s
× D s
D s = a × l i A s S
i
f e
=4
ou 5
a : : épaisseur du mur, S : : Surface de la bande
: est réparti sur S
Pour une section rectangulaire rectangulaire d’épaisseur a et si « L T » est inférieur à la hauteur d’étage, on pourra prendre : l 4 = l 5 =
LT 2
; s 4
2.3.1 Aciers Horizontaux 2 A H = AV 3
= 0,25s g
; s 5
= 0,75s g
; As
4
=
s g × a × LT × g s 8 × f e
; As
5
= 3 × As 4
AV = AS Pr écedemment définit
* æ ö 1 A H V sd + 0,3 × f tj ÷÷ × On vérifie que: t u £ çç 0,8 × f e × avec : t u = × a s 1 , 25 a × l c t è ø
et V * sd = 1, 4 × V sd
lc : : longueur de confinement.
trouvé pour AV S t : Espacement maximal trouvé a : épaisseur épaisseur du trumeau ou voile tranchant obtenu par le calcul dans la combinaison sismique la plus défavorable. Vsd : : effort tranchant
5
3. Calcul des voiles par les méthodes réglementaires 3.1. Justification de la stabilité et la résistance à la compression
Mur non raidi latéralement : valeur de : k =
l f l
l f : Longueur de flambement l : : Longueur libre du mur k : coefficient de flambement Mur armé Mur non armé verticalement verticalement Valeurs de k
Liaison du mur
Mur encastré en tête et en pied
Il existe un plancher de part et d’autre Il existe un plancher d’un seul côté
Mur articulé en tête et en pied
0.80
0.85
0.85
0.90
1.00
1.00
L'élancement mécanique se déduit de la longueur libre de flambement par la relation re lation : l =
l f × 12 a
a : : étant l’épaisseur du mur
Lorsque Pu est un effor effortt de compress compressio ion n axial axial ou excent excentré ré de e ≤a/6 , le voile est stable vis-à-vis du flambement si on vérifie que : Pu ≤ Ф Pn Pn
P n
é æ k × hs ö 2 ù = 0,55 × f bc × A g × ê1 - ç ÷ ú êë è 32a ø úû
Avec : Pu : : Effort normal ultime ultime de compression c ompression de la combinaison la plus défavorable. défavorable. Pn : : Effort nominal limite de la section transversale du voile. Ф : Facteur de réduction ( Ф=0,70) transversale brute du voile. Ag : : Section transversale k : coefficient de flambement hs : : hauteur libre de chaque niveau a : : étant l’épaisseur du mur f bc
: Contrainte admissible admissible du béton.
6
Pu
e
< a6 a 6
a Figure Figure – état d’un d’un mur en comp compressio ression n
La valeur de l’effort normal est limitée, afin de réduire les conséquences de l’éclatement des enrobages et d’éviter les incertitudes, particulièrement importantes, sur la ductilité disponible en cas d’effort normal élevé. -
Pourcentage minimal des armatures de la zone comprimée
Armatures horizontales horizontales Espacement maximal entre axe des armatures Armatures minimales Pourcentage minimales
≤ min
Armatures verticales verticales
( lw /5 ; 3a ; 45cm) lw /5
A sh
≤ min
³ r h × 100 × a
r h
³ 0.0025
( lw /3 ; 3a ; 45cm) lw /3
³ r v × l w × a æ h ö = 0.0025 + 0.5çç 2.5 - w ÷÷( r h - 0.0025) ³ 0.0025 l w ø è A sv
r v
hw : : hauteur totale du voile mesurée a partir de la base jusqu’au sommet de la structure. lw : : longueur du mur en plan. §
la section section d'armatur d'armatures es correspon correspondant dant au pource pourcentage ntage doit
être réparti répartiee par moitié moitié sur sur chacune chacune
des faces de la bonde de mur considérée dans le cas de la compression. compression. §
la section des armatures horizontales parallèles aux faces du mur doit être répartie par moitié sur chacune des faces d'une façon uniforme sur la totalité de la longueur du mur ou de l'élément de mur limité par des ouvertures .
7
3.2. Justification de la la résistance à l’effort tranchant -
Introduction
L'expérience a montrée que les dégradations dues au cisaillement alterné des voiles, poutres ou poteaux rendent les structures inutilisables ou causent leur effondrement. Les zones dégradées par cisaillement alterné ont un aspect en "diabolo". (Voir modes de ruine indésirables des voiles). Ces dégradations résultent de fissurations inclinées alternée à 45° en cas de cisaillement pur, générées par l’alternance des mouvements de la structure. Cet ensemble de fissures croisées transforme le matéri matériau au béton béton en un amas amas de pierr pierres es disjo disjoint intes, es, ce qui qui entraî entraîne ne une perte totale totale de résist résistanc ancee et de raideur tant axiale que flexionnelle de l’élément structural. structural. On empêche la ruine des sections par cisaillement en les surdimensionnant selon le principe du dimensionnement capacitif : il convient que les armatures longitudinales entrent en plasticité alors que les armatures d’âme d'effort tranchant et les bielles inclinées de béton restent en régime élastique. On assure un dimensionnement surabondant des armatures d'effort tranchant dans un voile. La fissuration prématurée de l’âme des murs, due à l’effort tranchant, doit être empêchée en disposant une quantité minimale d’armatures d’âme dans les zones critiques. -
Pourcentage minimal des armatures en dehors des zones de rives a
Prévoir 02 nappes si V u > 0.166 Acv
×
f bc
épingle
Sh
a
r v
v S
= r h ³ 0.0025
Coupe horizontale
Coupe verticale
Figure - Disposition des des armatures de l’âme du du voile
8
Valeur de l‘effort tranchant
Pourcentage Armatures horizontales et verticales
Vérification V u < 0,664 × Acv
× f bc
Il faut que : FV n > V u r v
= r h = r n ³ 0,0025
en 02 nappes disposées sur chaque V u > 0,166 × Acv
Ou
× f bc
a ≥ 25cm
face du mur reliées reliées par des épingles. épingles. Espacement S≤ min
avec :
F = 0.75 V n
= Acv (a c × 0,083 × f bc + r n f y )
a c
= 3 pour :
hw
a c
= 2 pour :
hw
(3a ; 45cm)
l w
l w
£ 1,5 ³2
Il ya lieu d’interpoler les valeurs de a c , linéairement pour des valeurs de
hw l w
entre 1,5 et 2
Armatures verticales verticales : - r v ³ 0,0012 avec des barres HA16 - r v ³ 0,0015 autres barres HA V u < 0,083 × Acv
a < 25cm
× f bc
Armatures horizontales horizontales : - r v ³ 0,0020 avec des barres HA16 - r v ³ 0,0025 autres barres HA
S≤ min
(3a ; 45cm)
9
Il faut que : V n
FV n
> V u
= Acv (a c × 0,083 × f bc + r n f y )
Acv : section brute du béton par mètre linéaire dans la direction de l’effort tranchant Acv
= a × 100
F = 0.75 : Coefficient de sécurité. tranchant obtenu par le calcul de la structure dans la combinaison sismique sismique de calcul V u : effort tranchant tranchant nominal de la section transversale dans la direction de l’effort tranchant V n : effort tranchant dépondant de l’élancement du mur a c : coefficient dépondant Pourcentage des armatures verticales dans l’âme du mur. r v : Pourcentage Pourcentage des armatures horizontales horizontales dans l’âme du mur. r h : Pourcentage Pourcentage nominale des armatures dans l’âme du mur. r n : Pourcentage hw : : Hauteur totale du voile mesurée a partir de la base jusqu’au sommet de la structure.
: Longueur du mur en plan. lw : En effet l’application d’un coefficient de sécurité f = 0.75 a l’effort tranchant nominal V n , est une majoration de l’effort tranchant Vu , obtenu par le calcul. Cette majoration est faite de façon appropriée pour tenir compte du fait que la notion de coefficient de comportement ne s’applique pas nécessairement de façon identique à l’effort tranchant et au moment fléchissant, et pour faire en sorte que la rupture par effort tranchant se produise après la plastification par moment fléchissant.[Eurocode8]. L’Eurocode 8 prescrit que les efforts tranchants de calcul soient augmentés de 50 % par rapport aux efforts tranchants issus de l’analyse. Selon l’Eurocode8 : r min
V * sd =
q +1 2
× V sd et un pourcentage d’armatures verticales et horizontales
³ 0,002 réparti en deux nappes.
tranchant obtenu par le calcul de la structure dans la combinaison sismique sismique de calcul ; Vsd : : effort tranchant q
: coefficient coefficient de comportement comportement pris en en compte compte dans dans le calcul de la la structure structure q ≥1.
Selon le RPA (Art .7.7.2) : V = 1.4 × V u Le pourcentage d’armatures verticales et horizontales r min ³ 0,002 La vérification dans ces cas est la suivante : il faut que t b =
V b0 × d
bo : épaisseur du linteau ou du voile d : : hauteur utile d=0,9h et h : : hauteur totale de la section brute.
caractéristique du béton a 28j d’âge. f c 28 : Contrainte caractéristique 10
£ t = 0.2 f c 28
Dans les systèmes à contreventement mixte contenant des murs élancés, il convient d’utiliser l’enveloppe de calcul des efforts tranchants selon la, afin de prendre en compte les sollicitations qui résulteraient de la contribution de modes de vibration autres que le 1er mode [Eurocode8].
B Légende
a = diagramme des obtenus par l’analyse b = augmenté c = enveloppe de calcul A : Vmur, base B : Vmur, sommet ≥ 0.5 Vmur, base
2 3 hw
c
b a
b
1 3 hw
A Figure - Enveloppe de calcul calcul des efforts tranchants dans les murs murs d'un système à contreventement mixte.
11
3.3. Calcul des armatures armatures verticales de traction dans le voile ou trumeau : 3.3.1 Introduction
Le calcul d’un voile ou trumeau est effectué en flexion composée, il convient que les armatures verticales nécessaires pour la vérification de la résistance sous la combinaison sismique la plus défavorable, soient concentrées dans les éléments de rives, aux 02 extrémités de la section transversale du voile. Les résistances à la flexion sont calculées de façon classique, en utilisant la valeur de l’effort normal Pu et le moment fléchissant Mu , résultant de l’analyse dans la situation sismique de calcul. Elles visent à éviter les modes de ruine par cisaillement. Le mode rupture par plastification des armatures verticales tendues et écrasement du béton comprimé est le schéma de ruine le plus satisfaisant satisfaisant qui correspond à la formation formation d’une rotule rotule plastique dans la partie inférieure de voile avec une importante dissipation d’énergie. d’énergie. La détermination des efforts internes dans le voile (moments, efforts normals, efforts tranchants et contra contraint intes) es),, est effect effectué ué souven souventt à l’aide l’aide de logici logiciels els inform informati atiqu ques, es, car l'appa l'apparit rition ion de ces logici logiciels els modernes d'analyse a considérablement aidé l'étude du comportement global de la structure, mais aussi d'obtenir les efforts et les contraintes (dans les voiles) ou éléments résistant de la structure en tout point. ce qui facilite, de prévoir le férrailage nécessaires a la résistance de ces éléments structuraux du projet, et ce après une bonne interprétation des résultats du modèle.
12
Maillage du Voile
P A
V
M
A
lw
lw
a
a Efforts internes dans le voile
x1
f 5
f 4 T
f 3 f 2
C Etat de contraintes dans le voile f n sont les contraintes Figu Figure re - f 1, f 2, …. f contraintes aux niveaux niveaux de la section A- A, obtenues obtenues après analyse et calcul de la st ructure.
F i
normal dans la maille Ai de la section AA . = Ai × f i : Effort normal
å F : Effort normal axial obtenu au niveau de la section AA. M = å F × x : Moment fléchissant obtenu au niveau de la section AA. tranchant au niveau de la section AA. AA . V = å V × A : Effort tranchant P =
i
i
i
i
i
13
f 1
Pu d u δ?uu
Pu
V
Pu Ag
hw
Mu . l'w
hw
Ig
h cr
Hauteur critique hcr
Encastrement
Vu
Pu
Vu
Mu lw
l'w
c l =max
Pu
Mu
2
Mu
Eléments de bords conçus pour rep rendre la totalité de Pu et Mu
2
c
Mu l'w
c-0,1lw c/2
l'w.
Figure - modèle d’un voile sollicité en f lexion composée eléments de bord conçus c spécialement si :
³
l w 600 d 600( d u / hw )
Figure Figure – Schéma Schéma d’un d’un mur en béton béton armé armé sollicité sollicité en flexion composée
Pu, Vu, Mu : Efforts internes respectivement (Effort normal, Effort tranchant et moment
fléchissant) ultimes résultants de l’analyse dans la situation sismique de calcul. hcr : La hauteur de la zone où se produisent les déformations plastiques, zone de la rotule
plastique en pied de mur également appelée zone critique. hw : : hauteur totale du voile mesurée a partir de la base jusqu’au sommet de la structure. lw : : longueur du mur en plan. c : longueur de la zone à confiner mesurée depuis la fibre de compression extrême du mur
jusqu’au point où le béton non confiné peut éclater à cause de déformations de compression importantes. u : : δ u
déplacement du voile au sommet.
transversale du voile ou trumeau. Ag : : Section transversale
14
2
d’inertie du voile. Ig : : Moment d’inertie
3.3.2 Dispositions constructives pour la ductilité locale des murs élancés
Les murs élancés sont ceux dont le rapport entre la hauteur et la longueur hw/lw est est supérieur à 2. Les incertitudes concernant la distribution réelle des moments mo ments sur la hauteur du mur pendant le séisme de calcul doivent être prises p rises en compte de manière appropriée. appropriée. Le concept retenu dans les dispositions ci-après est basé sur l’organisation des zones critiques selon les principes du dimensionnement en capacité, en vue d’une dissipation d’énergie localisée dans ces zones. Le diagramme de moment fléchissant de calcul en fonction de la hauteur est donné par une enveloppe du diagramme de moment fléchissant calculé, déplacée verticalement (décalage de traction), d’une distance égale à la hauteur hcr de la zone critique du mur. La courbe enveloppe peut être supposée linéaire, si la structure ne présente pas le long de sa hauteur de discontinuité importante de masse, de raideur ou de résistance.
b
b
Légende
a = diagramme des moments obtenus par l’analyse b = enveloppe de calcul 1 Système à murs 2 Système à contreventement mixte
a
a
Msd
Msd M'sd
M'sd
hcr
hcr
1
2
Figure– Enveloppe de calcul calcul pour les moments fléchissant fléchissant dans des murs élancés
La hauteur hcr , où se produisent les déformations plastiques, plastiques, ou appelée zone de la « rotule plastique » en pied de mur également appelée zone « critique » est estimée par : hcr = max .[l w , ( M u / 4V u )]
15
h w ZONE PLASTIQUE
h cr
h s
l w Figure Figure – Hauteur Hauteur de la zone zone critique critique
-
ì2 × l w ï Selon l’Eurocode8 : hcr = max .[l w , ( hw / 6) ] mais : hcr £ íh s pour n £ 6 niveaux ï2h pour n ³ 7 niveaux î s
h s : Hauteur libre de chaque niveau et où la base est définie comme étant le niveau des fondations ou de
l’encastrement dans le soubassement, en présence de diaphragmes et de murs périphéri p ériphériques ques adéquats. Des Des cadr cadres es sont sont disp dispos osés és d’un d’un espa espace ceme ment nt cons consta tant nt sur sur toute toute la haut hauteu eurr crit critiq ique ue hcr, autou autourr des armatures verticales concentrés aux éléments de rives. Ces éléments de rive constituent en quelque sorte des membrures latérales plus résistantes et plus duct ductil iles es que que le rest restee du voil voile. e. Comme Comme ces ces zone zoness sont sont les les plus plus soll sollic icit itées ées,, c’es c’estt à cet cet endro endroit it que que se produirait en premier lieu l’éclatement du béton. On empêche donc donc la ruine en commençant par le le renforcement de de ces zones. Les armatures armatures de confinement sont des cadres ou des épingles similaires à ceux des poteaux. On définit les zones confinées de rive de la façon suiva s uivante nte : En élévation élévation,, les armatures de confineme confinement nt doivent doivent être présentes présentes sur toute toute la hauteur hcr de de la zone critique. En plan, la zone à confiner s’étend horizontalement sur une longueur l bz mesurée depuis la fibre de compression extrême du mur jusqu’au point où le béton non confiné peut éclater à cause de déformations de compression importantes.
16
Armatures transversale de confinement Tbz
Tbz
z b L
z b L
Armatures de l’effort tranchant
r v
= r h = r n ³ 0,0025
Espacement ≤45cm
a
a
Figure – vue en plan plan d’un détail de confinement confinement des éléments éléments de bords sur sur toute la hauteur critique hcr
17
3.3.3 Dimensionnement des éléments éléments de rives d’un voile
Sous l’action sismique, des parties plus au moins importantes de l’extrémité du voile en béton peuvent se trouver dans le domaine inélastique, cette situation peut être à l’origine d’une instabilité latérale. A partir de certain niveau de contraintes, il ya lieu de prévoir aux extrémités des voiles des renforts conçus comme des poteaux, ou des voiles en retour. La ruine d’une section fléchie est toujours en fait atteinte par l’écrasement du béton vu la différence de caractères au 2 ELU de matériaux acier-béton (fragile – non fragile). Les murs murs sismi sismiqu ques es primai primaires res doiven doiventt être être de dimens dimension ionss dans dans le but de limit limiter er le risqu risquee de ruptur rupturee fragile sous sollicitation d’ensemble due au séisme, l’effort normal de compression de calcul est limité par la condition suivante :
P u P 0
£ 0.35
Tel que : P 0 = 0.85 f bc A g - A s + A s f e et A g = a × l w Pu : désigne l'effort normal ultime de calcul s'exerçant sur une section de béton ; Po : étant la charge axiale nominale (limite) de la section du voile. transversale brute du voile. Ag : : Section transversale épaisseur du voile. a : épaisseur S ection d’armature vertical de calcul ou choisit. As : : Section f e : : contrainte élastique de l’acier. contrainte admissible du béton. fbc : : contrainte
On peut prendre pour la simplicité des calculs As=0 donc P 0 = 0.85 f bc × Ag , ou bien un pourcentage minimum des Armatures verticales (article III.2.1) A sv ³ r v × l w × a r v
æ h ö = 0.0025 + 0.5çç 2.5 - w ÷÷( r h - 0.0025) ³ 0.0025 et calculer en suite la valeur de Po avec la l w ø è
formule précédente. [Selon le RPA-99 Art.7.4.3.1 : on vérifie que l’effort normal réduit n =
N d Bc × f c 28
£ 0.30
calcul s'exerçant sur une section section de béton ; Nd désigne l'effort normal de calcul est l'aire (section brute) de cette dernière Bc est fcj est la résistance caractéristiqu caractéristiquee du béton] [Selon le L’Eurocode 8 : Les murs sismiques primaires doivent être de dimensions telles que l’effort normal réduit ν respecte : n =
N d Bc × f bc
£ 0.40
On remarque que la condition de l’effort normal réduit est plus sévère dans l’Eurocode 8 par rapport a notre règlement RPA et le code ACI 318-02. 18
Il existe deux (02) approches pour la détermination des dimensions des éléments de rive « Boundary Elements » dans les voiles ou trumeaux : Diagramme des contraintes
1er approche simplifiée :
Si :
P u A g
> 0.20 × f bc
³ 0.20 × f bc
l w Eléments de rives
Pu Vu
w h
Mu
Figure Figure – Etat de contrain contraintes tes dans dans un mur mur
Dimension des éléments de rives (Boundary Zones) : Lbz = 0.25 × l w pour
P u
Lbz = 0.15 × l w pour
P u
Pour des valeurs de
P u P 0
= 0.35
P 0 P 0
= 0.15
compris entre 0.15 et et 0.35 il il ya lieu l ieu d’interpoler linéairement. L bz > 0.15 l w
t z b
T
lw Figure Figure – longueu longueurr minimale minimale des des éléments éléments de rive rive confinés confinés
Il n’ya pas de condition selon le code ACI 318-02 pour une épaisseur ép aisseur minimale minimale T bz des éléments de rive de mur, mais on peut se référé a l’Eurocode 8 qui prévoit prévoit les dimensions minimales suivante : - T bz ³ 200 mm et T bz ³
h s 15
, hs étant étant la hauteur d’étage.
Selon le RPA-99 Fig.7.13 Fig.7.13 Lbz = 0,10 × l w
19
2eme approche rigoureuse : c³
L’élément de rive confiné est nécessaire si :
l w 600(d u / hw )
et que
(d u / hw ) ³ 0.007
ìc - 0.1 × l w îc / 2
Dans ce cas : Lbz = max í
minimales précédentes. T bz respecte les conditions minimales Avec : c : : la distance de l’axe neutre par rapport à la fibre la plus comprimée de la section du voile ou trumeau h w : hauteur totale du voile mesurée a partir de la base jusqu’au sommet de la structure. l w : longueur du mur en plan. u : : δ u
déplacement ultime du voile au sommet.
Pour Pour le calc calcul ul de δ u u on peut utiliser la formule du RPA 99-v.2003, on considère le déplacement du dernier niveau obtenu par l’analyse dû aux forces sismiques d ek majoré par le coefficient de comportement comportement de la structure R.
d u
= R × d ek
comportement de d e la structure (Tablea (T ableau u 4.3 RPA-99-v.2003) RPA-99-v.2003) R : coefficient de comportement
d ek : déplacement dû aux forces sismiques sismiques (y compris l’effet de torsion). torsion). Détermination de la position de l’axe neutre ne utre : La position de l’axe l’axe neutre neutre c correspondant correspondant à la courbure ultime après éclatement du béton situé hors du noyau confiné des éléments de rive. La distance c peut être déterminée on construisant construisant la courbe d’interaction d’interaction (P-M) (P-M) correspondant correspondant a la la section et ferraillage du voile (voir chapitre II application pour une section rectangulaire). rectangulaire).
20
Mu
N u
Vue en plan du voile
es es es es es es es es es es es 17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
c
7
es es es es es 5
Diagramme des déformations
5 3 0 0 . 0 = c
4
3
2
e
1
1
Ts
2
Ts 0,8 c
f b b c
L b z Diagramme des contraintes
N c
N s
Figure – Estimation de de la distance de l’axe neutre neutre en fonction de la déformation dans le voile
3.3.4 Disposition constructives et pourcentage pourcentage minimum minimum dans les les éléments de rives rives -
Le pourcentage des armatures longitudinales dans les é léments de rive doit être ê tre ≥ 0,5%. r v
-
³ 0.005 c’est à dire :
A sv
³ 0.005 × Lbz × T bz avec un minimum Asv = 4T16
la distance maximum entre barres longitudinales longitudinales consécutives maintenues par des armatures de confinement : sens xx : hx =30 cm, cm, sens yy : min (hy=Tbz/4 ; 10 + [(35-hx)/3]) cm.
[Selon le RPA-99 RPA-99 le pourcentage pourcentage min. est 0,20 % avec un espacement espacement max de 15 15 cm.]. [Selon l’Eurocode8 le pourcentage pourcentage min. est 0,50 % avec un espacement max de 15 cm.].
21
3.3.5 Armatures transversales dans dans la zone de confinement confinement
Les armatures de confinement doivent être présentes sur toute la hauteur hcr de la zone zone critiq critique. ue. En plan, la zone à confiner s’étend horizontalement sur une longueur Lbz. La section d’armatures transversales est donnée par la formule suivante : At sh
³ 0.09 × st × hc ×
f bc
avec : hc = T bz - 2( enrobage)
f e
At sh : Section d’armatures transversales totale. admissible du béton f bc : Contrainte admissible f e st
: Contrainte élastique des armatures transversales. transversales.
ì0.25 × T bz ï : Espacement verticale des cadres. Avec : st = min min í6d b ï s î x æ 14 - hx ö £ 15cm 10cm £ s x = 4 + ç ÷ è 3 ø
d iamètre min. des Asv d b : diamètre
h x : étant l’espacement dans le sens xx entre les barres longitudinales dans la zone confinée.
At sh hx
hx hx
hx
³ 0.09 × st × hc ×
f bc f e
Tbz
Espacement vertical y h
z b L
y h
ì0.25 × T bz ï st = min min í6d b ï s î x
z b L
y h
10cm £ s x
14 - hx ö = 4 + æ ç ÷ £ 15cm è 3 ø
t
t
Figure – Détail de confinement de de l’élément de de bord ou ou de de rive
22
4. Exemple de calcul
On va traiter l’étude d’un voile d’un immeuble à usage de bureau et commercial par la méthode du code ACI-318-02. ACI-318-02. Définition du projet : -
Bâtiment a usage de bureaux et commercial (vue en plan et élévation représentée sur la figure ci-dessous).
-
Projet situé en zone sismique III (classement suivant le RPA 99-v.2003).
-
Plancher en corps creux creux 20+5 : Gétage =5 = 5,8 kN/m2
Gtérrasse =6,8 kN/m2
-
Surcharge d’exploitation : Qétage =2 =2,5 kN/m2
Qtérrasse =1,0 kN/m2
-
Poteaux carrés de section constante sur toute la hauteur 50x50 cm x cm.
-
Poutres porteuses de section 30x55 cm x cm.
-
Poutres secondaires de section 30x35 cm x cm.
contreventement : - Voile de contreventement a=25 cm
lw = 4.50 m
hw = 39.3 m
Caractéristiques des matériaux : -
Béton : fc28 = 25 MPa M Pa ; fbc = 18,48 MPa ; gb =1,15 (situation accidentelle),
400 MPa ; - Acier: Fe E 400, fe = 400
gs =1,0 (situation accidentelle), Es = 2 x 10 5 MPa
Etude dynamique : -
Spectre de repense RPA99-V.2003 RPA99-V.2003 correspondant à la zone III, II I, sol meuble S3.
-
Coefficient de comportement R = 5 (portiques/voiles avec interaction) Tab.4.3 RPA99.
Logiciel d’analyse : -
ETABS V-9
Résultats d’analyse : La section déterminante est située au rez-de-chaussée: rez-de-chaussée: combinaison d’action : G+Q+E -
Mu = 13 802 kN.m
kN - Vu = 1 504 kN -
Pu = 6 202 kN
23
Vue en plan A
B
C
E
D
F
G
H
4
3
Voile
Voile
m 5 , 4 x
3
2
1
7 x 6,5 m
Vue en élévation
m 0 2 , 3 x
1 1
1 , 4
Figure – Projet d’un d’un immeuble immeuble en R+12
24
1. Vérific Vérificatio ation n de la la stabil stabilité ité du du voile voile au au flambem flambement ent
On vérifie que
Pu ≤ Ф Pn Pn
Pu = 6 202 kN Ag = 0.25 x 4.5 = 1.125 m2 P n
é æ k × hs ö 2 ù = 0,55 × f bc × A g × ê1 - ç ÷ ú êë è 32a ø úû
k = 0.8 P n
a = 25cm
hs = 4.10 – 0.55 = 3.55 m
é æ 0.8 × 3.55 × 10 3 ö 2 ù ÷ ú ×10 -3 = 10230 kN = 0,55 × 18.48 × 1.125 × 10 6 ê1 - çç ê è 32 × 250 ø÷ ú ë û
ФPn
= 0.70 x 10 230 = 7 161 KN > Pu = 6 202 kN la stabilité au flambement est assurée. assurée.
2. Vérifica Vérification tion de la résis résistance tance vis-à vis-à-vis -vis de l’effo l’effort rt tranch tranchant ant
Vu = 1 504 504 kN a. Vérifica Vérification tion si 02 nappes nappes d’armatu d’armatures res dans l’âme l’âme du voile voile sont nécessaire nécessairess pour la résista résistance nce à l’effort tranchant 0.166 × Acv
-3 × f bc = 0.166 × 1.125 ×10 6 × 18 .48 ) × 10 = 802.80kN < Vu = 1504kN
Et a = 25 cm Donc 02 nappes d’armatures verticales et horizontales sont nécessaires et disposées sur chaque face du mur reliées par des des épingles Toute fois la valeur de l’effort tranchant Vu doit vérifie la condition de résistance : V u < 0,664 × Acv 0,664 × Acv
× f bc
× f bc = 0.664 × 1.125 × 10 6 × 18.48 ) × 10 -3 = 3211 kN > V u = 1504 kN
b. Pourcentage minimum des armatures horizontales et verticales verticales de de l’âme du voile r v
= r h = r n ³ 0,0025 Espacement max Smax≤ min (3a ; 45cm)
La section minimale d’armatures verticales et horizontales par ml : : A s ,min
= 0,0025 × 25 ×100 = 6.25 cm 2 / ml
Si on choisit des aciers HA 12 sur les deux faces on a (2 x 1.13= 2.26 cm2) cm2) s
=
2.26 6.25
´ 100 = 36.16cm < 45cm
25
OK.
c. Armatu Armatures res d’âme d’âme nécessa nécessaire ire pour pour l’effor l’effortt trancha tranchant nt On opte pour deux nappes d’armatures en HA 12 avec un espacement s = 20 cm On vérifie que : FV n > V u
avec :
F = 0.75 et V n = Acv (a c × 0,083 × f bc + r n f y ) Acv
= 450 ´ 25 = 11250 cm 2
=39.3/4.5 = 8.73 > 2) ac = 2 (hw/lw =39.3/4.5 Pour une distance distance de 100cm on a : 2 x 5 HA 12 12 = 11.3 cm2 r n
=
11.3 100 ´ 25
= 0.0045
FV n = 0.75 ´ 11250 ´ 10 2 ´ ( 2 ´ 0.083 ´ 18.48 + 0.0045 ´ 400) ´ 10 -3 = 2121 kN On a bien FV n = 2121 kN > V u = 1504 kN
OK
La vérification de l’effort tranchant est assurée par 02 nappes en HA 12 espacement s=20 cm réparties sur chaque face de l’âme du voile reliées par des épingles. épingles.
3. Calcul Calcul des des armature armaturess nécessair nécessaires es a la flexi flexion on compo composée sée
Mu = 13 802 kN.m Pu = 6 202 kN
dek = 0.0725 m a. Limitatio Limitation n de l’effort l’effort normal normal de compres compression sion de de calcul calcul par la conditio condition n de résistance résistance : Il faut que : P 0
P u P 0
£ 0.35
= 0.85 f bc A g - A s + A s f e
A g
= 4.5 ´ 0.25 = 1.125 m 2
On prend un pourcentage minimum pour calculer As soit r=0.0025 A s
= 0.0025 ´ 1.125 ´ 10 4 = 28.13 cm 2
P 0
= 0.85 ´ 18.48 ´ (1.125 ´ 106 - 2813) + ( 2813 ´ 400) ´ 10 -3 = 18752.5 kN
P u
=
P 0
6202 18752.5
= 0.33 < 0.35 condition vérifiée. OK.
(le cas de la condition du RPA n =
N d Bc × f bc
=
6202 ´ 10 3 250 ´ 4500 ´ 25
26
= 0.22 < 0.30 OK.)
b. Armatures Armatures de résistance résistance à la la flexi flexion on comp composée osée Pour un moment Mu = 13 802 kN.m kN.m et un effort normal Pu = 6 202 kN la section d’acier correspondantes est As = 41.58 cm 2
Soit As = 2x12 HA 16 = 48.25 48.25 cm2 répartie sur chaque chaque
extrémité du voile dans les éléments de débords. c. Dimensi Dimension onnem nemen entt des éléme éléments nts de de rives rives ou de de bord Suivant la 1 er approche simplifiée : P u
= 0.33 × f bc > 0.20 f bc
A g
Þ
Soit Lbz = 1.10 m T bz ³
hs 15
=
3.55 15
Þ
Lbz = 0.24 × l w
T bz ³ 0.20m
= 0.24 ´ 4.50 = 1.08m
et T bz ³
hs 15
=
3.55 15
= 0.24m
= 0.24m
Soit Tbz = 0,25 cm Suivant la 2eme approche rigoureuse :
La distance de l’axe neutre par rapport à la fibre la plus comprimée de la section du voile c= 1,66 m d u
= R × d ek = 5 ´ 0.0725 = 0.363 m =
d u / hw
0.363 39.3
l w 600(d u / hw ) c
= 1.66 m >
Soit
=
= 0,0092 > 0.007 4.5
600( 0.0092 )
= 0.81 m
ìc - 0.1 × l w = 1.66 - ( 0.1 ´ 4.50) = 1.21 m = 0.81 m Þ Lbz = max í 600(d u / hw ) îc / 2 = 1.66 / 2 = 0.83 m l w
Lbz = 1.20 m Tbz = 0.25 cm
On rema remarq rque ue que que les les deux deux résu résult ltat atss obte obtenu nuss par par les les deux deux méth méthod odes es sont sont proc proche hes, s, on opte opte pour :
Lbz = 1. 1.20 m Tbz = 0.25 cm
27
transversales dans la zone de confinement confinement d. Armatures transversales At sh hc
f bc f e
= T bz - 2( enrobage ) = 25 - 2 ´ 2,5 = 20 cm = 18, 48 MPa
f bc f e
³ 0.09 × st × hc ×
= 400 MPa : Espacement verticale des cadres. Avec :
st
ì ï0.25 × T = 0,25 ´ 50 = 12,5 cm bz ïï s t = min min í6d b = 6 ´ 1,6 = 9,6 cm ï æ 14 - h x ö ï s x avec 10 cm £ s x = 4 + ç ÷ £ 15 cm ïî 3 è ø Soit s t = 10 cm sur toute la hauteur de la section critique critique hcr . A t sh
³ 0.09 × st × hc ×
f bc f e
= 0,09 ´ 10 ´ 20 ´
18, 48 400
= 0,83 cm 2 .
Pour 2HA8 Ast = 1.01 cm² On utilise des cadres et des épingles é pingles en HA 8 autour des armatures verticales de la zone critique Lbz. e. Hauteur de la zone critique -
lw = 4.50 m
hw = 39.3 m
-
Mu = 13 802 kN.m
- Vu = 1 504 kN hcr = max .[ l w , ( M u / 4V u ) ] = max .[ 4,50 m , (13802 / 4 ´ 1504 = 2, 29 m ) ]
Soit hcr = 4,50 m Selon l’Eurocode8 : hcr = max .[l w , ( hw / 6) ] = max[ 4,50 m, 39,3 / 6 = 6,55 m]
ì2 × l w = 2 ´ 4,5 = 9,0 m î2h s = 4,10 + 3,20 = 7,30 m
hcr £ í
Pour simplifier l’exécution du refend, il est judicieux de prolonger les mesures constructives de la rotule plastique jusqu’au deuxième étage.
28
1,20 Epingle 5/m²
5 2 , 0
0 5 , 0
02 nappes HA12 St = 20 cm 02 x 12 HA16
(Armatures de l'effort l 'effort tranchant)
(Armatures de traction) Cadres et épingles en HA8 (Confinement de la zone critique)
Figure - détail de ferraillage du voile, coupe horizontale. horizontale.
29
