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Descripción: Traballo de Silvia Larrosa para Taller Europeo 2016-2017
ECUACIONES DIFERENCIALES
UNIVERSIDAD NACIONAL
“HERMILIO VALDIZAN”
E. A. P. INGENIERÍA DE SISTEMAS
TEMA EJERCICIOS
CURSO
:
ECUACIONES DIFERENCIALES
PROFESOR :
ING. CHUQUIYAURI SALDIVAR, Elmer
CICLO
:
VI
:
Fernanda HUAMÁN SOBRADO, Mary Fernanda
ALUMNA
Huánuco - Perú 2011
ECUACIONES DIFERENCIALES
EJERCISIOS 1) El radiactivo tiene una vida promedio de 5600 aproximadamente. ¿En cuántos años desciende el 20% de su cantidad original? SOLUCION
Sea x = cantidad de la sustancia reactiva. Según los datos del problema se tiene: X
X 0
0.2 X 0
0
T
0
t
5600
dx
La descripción matematica es: La solución es:
0
dx
0.2 x
x
5600
t
0.2 x
ln x 0
k
0
dx
x0
x
k
dt
5600
0
dt
kx, k es factor de proporcionalidad k
ln x 5600
dt
t
kt 0
ln 0.2 x
ln x 5600
t 0 t 5600
ln 0.2 x ln x
2) El azúcar se disuelve en el agua con una rapidez proporcional de la cantidad que quedo sin diluir. Si 30lbs de azúcar se reduce a 10lbs en 4 horas. ¿en cuanto tiempo se habrá diluido el 95% del azúcar? SOLUCION
Sea x = cantidad de la sustancia del azucar en lb. Según los datos del problema se tiene:
x
30
10
1.5
t
0
4
T
La descripción matematica es:
dx dt
La solución es: 10
dx
30
x
10
4
k dt 0
4
ln x 30 k t 0
k
ln3 4
kx, k es factor de proporcionalidad
ECUACIONES DIFERENCIALES
1.5
dx
30
x
t
k dt 0
t
ln3 t 4 0
1.5
ln x 30
30 ln 3 t 0 1.5 4
ln
t
3) Un cierto material
4ln 20 ln3
radiactivo tiene una vida media de dos horas. Encuentre el
intervalo de tiempo requerido para que la cantidad dada de este material decaiga hasta un décimo de su masa original. SOLUCIÓN
Sea x = cantidad de la sustancia reactiva. Según los datos del problema se tiene: X
X 0
t
0
La descripción matematica es:
dx dt
X 0
X 0
2
10
2
T
kx, k es factor de proporcionalidad
La solución es:
X 0 2
X 0
dx x
2
k dt 0
X 0
2
ln x X 2 k t 0
k
0
X 0
10 X 0 2
dx x
t
k dt t
ln 2 t 2 2 1
ln x
10 X 0 2
X 0 ln 2 X 0 10 ln 2
2
2
X 0
ln 5
ln 2
1 ln 2 t 2 2
t 2
ln 2 t
2 ln 10 ln 2
ECUACIONES DIFERENCIALES
4) Si el 45% de una sustancia reactiva se desintegra en 200 años. ¿Cuál es su vida media?. En cuanto tiempo se desintegra 60% de la cantidad original SOLUCIÓN
Sea x = cantidad de la sustancia reactiva. Según los datos del problema se tiene: X
X 0 1 1 ln t 0 0.6 200 0.45 X 0
ln
t
200ln 1 0.6
1 0.45
ln
ECUACIONES DIFERENCIALES
5) Hallar la familia de curvas ortogonales a la familia de circunferencias que pasan por el origen y con centro en el eje y. SOLUCIÓN 2 2 2 ( x h) ( y k ) r ....... 2
Como pasan por el origen y con centro en el eje y. k r ;h 0,Remplazando en 1 2
x 2 y r r 2 x 2 y 2 2ry 0 .....1 , Derivando
2x+2y
dy
dx
2r
dy dx
0
r
y
dy
x
dx dy
......... 3
dx Remplazando 3 en 2.
dy y dx x 2 2 x y 2 dy dx Despejando
dy dx
2 xy
x y2 2
dy dx
y 0 . . . . 4
.
,
Realizamos un cambio de
dy dx
x2 y2 2 xy
dy dx
=f x por
dy dx
1
f x
2 2 , 2 xydy x y dx 0,
Reallizando un cambio de variable y=xv, dy=xdv+vdx
2 2 2 2 2x v xdv vdx x x v dx,
Resolviendo esta ecuancion e integrando
2 lnx+ln v 1 ln c ,
Remplazando v=
x v 2 1 c ,
y x
y 2 x 2 1 C x
6) Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
SOLUCIÓN
Derivando:
ECUACIONES DIFERENCIALES
2 xy 2 y 2
dy
x dx
dx
1 0,
dy
Despejando
dy
2
dx
xy
x
2
1
Realizamos el cambio de
dy dx
x
dy dx
f x , Por
dy dx
1
f (x)
1
2
xy
xydy x 2 1 dx 0, Resolviendo la ecuacion
ydy
x
2
1
x
dx C
y 2 2
x2 2
ln x C
7) Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas ( a x) y x (x 3a ) 2
2
SOLUCIÓN Despejando a.
ay 2 xy 2 x 3 3ax 2 a 3x y 2
2
xy
2
x
3
a
xy 2 x 3 3 x y 2
2
Derivando
dy dy 2 2 2 2 2 3 xy y x x y x y xy x 2 3 3 6 2 0 dx dx dy dy 6x 2 y 2 14 y 4 3 4 2 2 8 yx 14 y 6x y 3 dx
Realizamos el cambio
dy dx
8 yx
dx
8 yx
dy dx
f x por
dy dx
1
f x
3
6 x y 14 y 2
2
4
6 x 2 y 2 14 y 4 dy 8 yx 3 dx 0(1)
