1 Propiedades corpusculares de la radiación
1.1
15
Emisión y absorción de radiación térmica. Cuerpo negro 1.1.1 Teoría clásica para la cavidad radiante. Ley de Rayleigh-Jeans 1.1.2 Teoría cuántica de la cavidad radiante. Ley de Planck
17 22
1.2
Postulado de Planck
25
1.3
Interpretación cuántica del efecto fotoeléctrico. Fotones
26
1.4
Efecto Compton 1.4.1 Modelo cuántico para el efecto Compton
31 33
1.5
Naturaleza dual de la radiación electromagnética
36
Apéndices 1.A. Relación entre la emitancia monocromática y la densidad de energía por intervalo de frecuencia en una cavidad radiante 1.B. Expresión de Planck para la energía promedio de las ondas electromagnéticas estacionarias en la cavidad radiante 1.C. La radiación cósmica de fondo 1.D. Dinámica Relativista
38
39 40 44
13
14
1. Propiedades corpusculares de la radiación 1.1 Emisión y absorción de radiación térmica. Cuerpo negro. Todos los cuerpos por el hecho de estar a una cierta temperatura emiten radiación electromagnética, que llamaremos “radiación térmica”. De forma inversa, todos los cuerpos absorben radiación térmica de su entorno. Si un cuerpo está más caliente que los de su entorno se enfriará, ya que la potencia emitida será mayor que la potencia absorbida. En el equilibrio termodinámico, las potencias absorbida y emitida son iguales. El espectro de emisión de un cuerpo a una cierta temperatura (sólido o líquido) es continuo, pero determinadas longitudes de onda son más probables que otras dependiendo de la temperatura. Así por ejemplo, a temperatura ambiente los cuerpos son visibles por la luz que reflejan y no por la luz que emiten. Sin embargo, a altas temperaturas emiten luz visible y, en consecuencia, son luminosos por sí mismos (Ej: cambio de color de una barra metálica cuando se calienta entre 500 ºC y 1000 ºC ⇒ desplazamiento con la temperatura de la longitud de onda correspondiente al máximo de emisión). La forma del espectro de emisión de un cuerpo depende de la temperatura y en general, de la composición del mismo. Sin embargo, existe una clase de cuerpos cuyo espectro de radiación térmico manifiesta características universales que sólo dependen de la temperatura. A estos materiales o sistemas se les conoce con el nombre de cuerpos negros. •
Cuerpo negro. Se llama cuerpo negro a aquel cuya superficie absorbe toda la radiación térmica que incide sobre él. Es decir, el coeficiente de absorción vale 1 ( a = 1 ) y el de reflexión cero ( r = 0 ).
Evidentemente, esto no quiere decir que sean de color negro. Para que un cuerpo negro emita luz visible ha de estar a una temperatura T ≈ 10 3 K , por lo tanto, es negro a temperatura ambiente ya que no refleja nada de la radiación que incide sobre él, y de ahí le viene el nombre.
Ejemplos: • •
Cualquier objeto recubierto con una capa difusa de pigmento negro (negrobismuto o negro-humo). Una cavidad con un pequeño orificio de entrada. Un rayo que entre por el orificio tendrá una probabilidad muy pequeña de volver a salir por éste sin ser absorbido por las paredes interiores de la cavidad ( r = 0, a = 1) (ver Fig. 1.1). Por otro lado, la radiación que sale por el orificio debe haber sido generada en el interior de la cavidad.
Antes de estudiar con detalle como es el espectro de emisión de un cuerpo negro vamos a definir algunas magnitudes útiles. •
Coeficiente de absorción (absorbancia, a ) E a = absorbida Eincidente
15
r=0 a =1
Figura 1.1. Cavidad radiante. •
Coeficiente de reflexión (reflectancia, r ) Ereflejada r= Eincidente Evidentemente entre estos dos coeficientes se cumple la relación: r + a = 1 .
• Emitancia monocromática ( WT (λ ) ). WT (λ ) dλ se define como la cantidad de energía radiada por unidad de tiempo y superficie, a temperatura T , en el intervalo de longitudes de onda entre λ y λ + dλ . De forma análoga se puede definir la emitancia monocromática WT (ν ) dν en el intervalo de frecuencias entre ν y ν + dν . La curva de emitancia monocromática para un cuerpo negro sólo depende de la temperatura. En la Fig. 1.2 se muestra la emitancia de un cuerpo negro para tres valores de la temperatura.
3
WT (ν) (10 W/m2 Hz) -9
2000 K
2
1500 K
1
1000 K
0
1
2
3
4
14
ν (10 Hz) Figura 1.2. Emitancia monocromática por intervalo de frecuencia.
16
Obsérvese que la posición del máximo de emitancia se desplaza linealmente con la temperatura. Por otro lado, la potencia total emitida por unidad de superficie en un cierto intervalo de frecuencias (área bajo la curva) aumenta muy rápidamente con la temperatura. A temperatura ambiente el máximo de emisión se encuentra en la región del infrarrojo. Podemos caracterizar el espectro de radiación de un cuerpo negro a partir de los siguientes resultados importantes: •
La distribución de energía radiada es la misma, independientemente de la forma y la naturaleza del material que constituye el cuerpo negro. Sólo depende de la temperatura.
•
La potencia total emitida por unidad de superficie viene dada por la ley de Stefan-Boltzmann: ∞
ET = ∫ WT ( ν ) dν = σ T 4 , 0
donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann ( σ = (5.6696 ± 0.0010 )× 10 −8 Wm -2 K -4 ) . •
La posición del máximo cambia con la temperatura siguiendo la ley del desplazamiento de Wien: λmaxT = 2.898 × 10 −3 m K .
1.1.1 Teoría clásica para la cavidad radiante. Ley de Rayleigh-Jeans. A principios del siglo XX, Rayleigh y Jeans calcularon la densidad de energía de la radiación en el interior de una cavidad radiante (cuerpo negro) utilizando la teoría clásica y llegaron a un resultado que estaba en seria discrepancia con los resultados experimentales de la Fig. 1.2. Vamos a reproducir aquí, de forma resumida, el modelo de Rayleigh y Jeans. Consideremos una cavidad con paredes metálicas de forma cúbica (lado L ), que se calienta uniformemente a una temperatura T . Como resultado, las paredes de la cavidad emiten radiación electromagnética producida por el movimiento acelerado de los electrones de las paredes que resulta de la agitación térmica. Esta radiación, en el interior de la cavidad, existe en forma de ondas estacionarias, cuyas componentes según los ejes paralelos a las aristas de la cavidad cúbica tienen nodos sobre las paredes perpendiculares a cada una de estas direcciones. Para justificar esto, supongamos que el origen de coordenadas coincide con un vértice de la cavidad y que los ejes cartesianos siguen las aristas confluyentes en dicho vértice. Como las paredes opuestas de la cavidad son paralelas entre sí, las tres componentes de la radiación no se mezclan y se pueden tratar de forma independiente. Consideremos la componente x en la pared metálica en x = 0 . Toda la radiación que incida sobre esta pared es reflejada y las ondas incidentes y reflejadas se combinan para formar una onda estacionaria. Ahora bien, como la radiación electromagnética es una onda transversal, con el vector campo eléctrico ε perpendicular a la dirección de propagación, y como la dirección de propagación para esta componente es perpendicular a la pared considerada, el vector ε será paralelo a la pared. Sin embargo, una pared metálica no es compatible con un campo eléctrico paralelo a su superficie, ya que siempre se puede establecer un flujo de
17
cargas que neutralice el campo. Por lo tanto, la onda estacionaria deberá tener un nodo sobre la superficie. El mismo razonamiento se puede establecer para el resto de paredes de la cavidad, por lo tanto, una onda estacionaria tridimensional en el interior de la cavidad será una superposición arbitraria de las tres componentes según los ejes x, y, z , con nodos sobre las paredes perpendiculares correspondientes a cada una de estas direcciones. Estas condiciones de contorno imponen restricciones sobre los valores posibles de las longitudes de onda de las ondas estacionarias y, en consecuencia, también sobre las frecuencias permitidas. Un estado cualquiera de la radiación en el interior de la cavidad se podrá expresar como una superposición de ondas planas de la forma ε = ε0 exp i k ⋅ r − ω t , con la condición de que los valores permitidos del vector de onda k cumplan la relación π π π k = mx iˆ + my ˆj + mz kˆ L L L mx , m y , mz ∈ Ζ En consecuencia, los valores permitidos de los vectores de onda tienen componentes que varían en incrementos que son múltiplos de π / L , según las tres direcciones coordenadas. Si se representan todos los vectores de onda permitidos a partir de un origen común, en el espacio de vectores de onda, los extremos de dichos vectores forman una red cúbica de espaciado π / L , tal como se muestra en la Fig. 1.3.
(
)
kz
k
ky π /L
kx Fig. 1.3. Vectores de onda permitidos. Cada cubo elemental de lado π / L tiene sus vértices compartidos por otros 7 cubos vecinos, de forma que cada vértice contribuye a un cubo dado con 1/8. Como cada cubo tiene 8 vértices, a cada cubo elemental le corresponde, en realidad, un nudo, es decir, un valor permitido del vector de onda k . La densidad de vectores de onda permitidos en el espacio k valdrá, por lo tanto,
18
1vector de onda π L
3
Densidad de k ' s permitidos = 3= 3≡ π π en el espacio k L3
V
Nosotros estamos interesados en calcular el número de ondas planas dN que tienen vector de onda cuyo módulo está comprendido entre k y k + dk . En el espacio k , estos vectores de onda están comprendidos en el volumen de una cáscara esférica de radio k y espesor dk , tal como se muestra en la Fig. 1.4.
kz
dk
k
ky
kx Figura 1.4. Vectores de onda con el módulo comprendido entre k y k + dk El número de vectores de onda contenidos en la cáscara esférica de la Fig. 1.4 viene dado por V dN = ( 4π k 2 ) 3 dk . π Sin embargo, no todos estos vectores de onda son necesarios para construir las ondas estacionarias contenidas en la cavidad con vectores de onda comprendidos entre k y k + dk . Cada onda estacionaria tridimensional estará determinada por los valores de las longitudes de onda de sus tres componentes (determinan la posición espacial de los planos nodales), que son magnitudes definidas positivas y que se relacionan con las componentes del vector de onda a través de λi = 2 π / ki . Por lo tanto, bastará con los vectores de onda contenidos en el primer octante y, en consecuencia, la relación anterior entre dN y dk se deberá rescribir como V dN = ( 4π k 2 ) 3 dk 8π Si ahora tenemos en cuenta que, en realidad, buscamos una relación entre el número de ondas estacionarias y la frecuencia de esas ondas (emitancia monocromática), podemos hacer el cambio
19
k=
2π
λ
=
2π ν c
en la expresión anterior y así obtendremos que 4πν 2 dN = 3 V dν . c Este resultado se debe multiplicar por 2 para tener en cuenta que por cada valor de la frecuencia hay dos ondas estacionarias independientes, correspondientes a los dos estados de polarización posibles de la radiación. En consecuencia, 8πV dN = 3 ν 2 dν . c De acuerdo con la ley de equipartición, cada onda estacionaria en la cavidad tiene una energía total promedio E = k BT , que es independiente de la frecuencia de la onda. Este resultado proviene de la teoría cinética clásica para un sistema constituido por moléculas de un gas en equilibrio térmico, las cuales tienen una energía cinética promedio de k BT / 2 por grado de libertad. Este resultado se puede aplicar a cualquier sistema clásico que contenga un número muy grande de entidades en equilibrio térmico. Para el caso de las ondas estacionarias en la cavidad, sólo se tiene un grado de libertad, la amplitud del campo eléctrico, por lo tanto, la energía cinética será k BT / 2 . Sin embargo, cada onda estacionaria tiene una energía total promedio que es el doble de su energía cinética promedio, como ocurre con todos aquellos sistemas con un solo grado de libertad que varía armónicamente. De todo ello, la densidad de energía por unidad de volumen de la cavidad que corresponde a las ondas estacionarias con frecuencias entre ν y ν + dν vale: 8πν 2 k BT ρ T (ν ) dν = dν . c3 Ésta es la fórmula de Rayleigh-Jeans para la radiación del cuerpo negro. Si ahora tenemos en cuenta que la emitancia monocromática WT (ν ) es directamente proporcional a la densidad de energía por unidad de frecuencia que hay dentro de la cavidad en equilibrio termodinámico a temperatura T (ver apéndice 1.A) c WT (ν ) = ρ T (ν ) , 4 es fácil obtener la expresión: 2πν 2 k BT WT (ν ) = . c2
20
En la Fig. 1.5, se comparan las predicciones de esta fórmula con los resultados experimentales. La discrepancia es evidente. Sólo en el límite de frecuencias bajas (longitudes de onda grandes) la predicción clásica se aproxima a los resultados experimentales, pero, a medida que la frecuencia aumenta, la predicción teórica diverge. A este resultado se le conoce como “catástrofe del ultravioleta”. Los experimentos demuestran que la emitancia monocromática siempre permanece finita, como obviamente debe ser, y de hecho, tiende a cero para frecuencias muy altas.
Ley de Raygleigh-Jeans
WT ( ν )
Resultados experimentales
T = 1500 K
0
1
2 3 4 14 ν 10 Hz Figura 1.5. Comparación entre la ley de Rayleigh-Jeans y los resultados experimentales.
(
)
21
1.1.2 Teoría cuántica de la cavidad radiante. Ley de Planck Utilizando un procedimiento heurístico basado en el cálculo de la entropía del sistema, a partir de la extrapolación entre la fórmula de Wien y los resultados experimentales de Rubens para longitudes de onda grandes, Planck propuso la siguiente expresión para la emitancia monocromática: c ν3 WT (ν ) = c2ν /1k BT . e −1 Ajustando las constantes c1 y c2 , Planck reprodujo con increíble precisión los resultados experimentales. Tratando de justificar esta expresión, Planck se dio cuenta que el problema de la expresión clásica se relacionaba con la hipótesis de que todas las ondas estacionarias tenían la misma energía promedio y, por lo tanto, comenzó a considerar la posibilidad de que se violara la ley de equipartición de la energía. De la Fig. 1.5 es evidente que la ley de Rayleigh-Jeans proporciona resultados satisfactorios a bajas frecuencias. Por lo tanto, se puede suponer que E ν → k BT . →0 Además, la discrepancia a frecuencias altas se elimina si, por alguna razón, existe un corte en la ley de equipartición de la energía de modo que E ν → 0 . →∞ En consecuencia, Planck dedujo que la energía promedio de las ondas estacionarias debía ser función de la frecuencia E ( ν ) , con las condiciones que se indican en las dos expresiones anteriores. Para entender estos resultados, vamos a analizar primero el origen de la ley de equipartición de la energía. La probabilidad clásica P(E ) dE de encontrar a temperatura T un ente dado de un sistema con energía en el intervalo entre E y E + dE viene dada por la distribución de Boltzmann e − E / k BT P (E ) = . k BT Evidentemente, para que esta expresión sea válida se debe suponer que el sistema contiene un número muy grande de entes del mismo tipo, en equilibrio termodinámico a temperatura T . A partir de esta función de distribución es fácil calcular el valor promedio de la energía como ∞
E=
E P(E ) dE
∫ 0
∞
∫ P(E ) dE
.
0
El denominador es la probabilidad total de encontrar un ente del sistema con cualquier valor de la energía y, por lo tanto, vale 1. La integral del numerador da como resultado justamente la ley de equipartición de la energía E = k BT . Para seguir el razonamiento llevado a cabo por Planck es conveniente representar gráficamente la función E P(E ) (ver Fig. 1.6). El área bajo la curva de la Fig. 1.6 es el valor promedio de la energía a la temperatura T , el cual para un colectivo de entes clásicos para los que la energía varía continuamente entre 0 y ∞ vale k BT .
22
Planck dedujo que la única forma de conseguir que el valor promedio de la energía de las ondas estacionarias cumpliese las condiciones para ν → 0 y ν → ∞ era suponer que, por alguna razón, la energía debía tratarse como una variable discreta, cuyos valores estaban uniformemente distribuidos con un espaciado que era directamente proporcional a la frecuencia. De esta forma, se puede conseguir que para ν → 0 la energía se transforme en una variable casi-continua y E → k BT , mientras que para ν → ∞ el espaciado entre energías permitidas diverge y el promedio tiende a cero. 1/e E P(E)
área = kBT
kBT
E
Fig. 1.6. Promedio de la energía para un colectivo de entes clásicos en equilibrio termodinámico a temperatura T. En consecuencia, la gran contribución de Planck a la interpretación de la radiación del cuerpo negro fue suponer que las ondas estacionarias, en el interior de la cavidad, no podían tener cualquier valor arbitrario de la energía, sino que ésta estaba cuantizada según la ecuación E = n hν ; n ∈ Ν , donde la constante de proporcionalidad h , es la constante de Planck (constante fundamental de la Física Cuántica), cuyo valor fue deducido por primera vez por Planck buscando el mejor ajuste de su teoría a los resultados experimentales. A partir de la hipótesis de Planck se puede calcular de forma detallada el valor medio de la energía de las ondas estacionarias en función de la frecuencia, tal como se hace en el apéndice 1.B de este capítulo, y así obtener la expresión hν E (ν ) = hν / k BT . e −1 Teniendo en cuenta que e hν / k BT → 1 + hν / k BT para hν / k BT → 0 , se tiene que
E → k BT ; y que en el límite hν / k BT → ∞ , E → 0 , en concordancia con las
condiciones límite exigidas a E (ν ) . Resumiendo estos resultados, la expresión heurística propuesta por Planck puede justificarse a partir de las siguientes hipótesis:
1. Los átomos de las paredes de la cavidad se comportan como pequeños osciladores con una frecuencia característica ν . Emiten y absorben radiación electromagnética dentro de la cavidad, de manera que se puede establecer el equilibrio térmico entre la radiación dentro de la cavidad y los átomos de las paredes. La excitación de estos osciladores depende de la temperatura. 2. La radiación electromagnética presente en el interior de la cavidad sólo existe en forma de ondas estacionarias con nodos en las superficies de la cavidad. La
23
densidad de ondas estacionarias contenidas en una cavidad de volumen V , con frecuencias comprendidas entre ν y ν + dν puede calcularse clásicamente y viene dada por la expresión: 8πν 2 dN = 3 dν . c 3. Los osciladores atómicos no pueden adoptar cualquier valor arbitrario de la energía, sino algunos valores discretos que vienen dados por la expresión: E n = n hν ; n ∈ Ν , donde h es la llamada constante de Planck. Esta es la hipótesis que introduce la Física Cuántica en el modelo. En consecuencia, la energía media de las ondas estacionarias presentes en la cavidad en equilibrio térmico a una temperatura T , no viene dada por la ley de equipartición de la energía, sino que depende de la frecuencia y se calcula a partir de la expresión de Planck hν E (ν ) = hν / k BT . e −1 4. Cuando un oscilador atómico no absorbe ni emite energía, se encuentra en un estado caracterizado por el número cuántico n . A partir de estas hipótesis se puede calcular la ecuación para la emitancia monocromática propuesta por Planck c 8πν 2 hν 2π hν 3 1 WT (ν ) = = , 3 hν / k BT 2 hν / k BT 4 c e c −1 e −1 y comparando este resultado con la expresión heurística propuesta por Planck, determinar las constantes c1 = 2π h / c 2 y c2 = h / k B . Al analizar resultados experimentales, es conveniente expresar la emitancia monocromática en términos de la longitud de onda, en lugar de la frecuencia. Para ello, simplemente hay que tener en cuenta la relación WT (ν ) dν = −WT (λ ) dλ , donde el signo menos proviene de que dν y dλ tienen signos opuestos (cuando ν aumenta, λ disminuye). De la relación ν = c / λ se tiene que dν = − (c / λ2 ) dλ , o bien dν / dλ = − ( c / λ2 ) , de manera que
dν c = WT (ν ) 2 . dλ λ Por ejemplo, utilizando esta última expresión se puede obtener la densidad de energía por intervalo de longitud de onda que utilizó Planck para ajustar los resultados experimentales y que se reproduce en la Fig. 1.7. 4 c 8π hc 1 ρT ( λ ) = WT ( ν ) 2 = 5 hc / λk BT . c −1 λ λ e WT (λ ) = −WT (ν )
24
ρT (λ )
(10
3
J/m 3 m
1.75
)
1.50
T = 1595 K
1.25 1.00 0.75 0.50 0.25 2
0
λ (10 m )
4
6
−6
Figura 1.7. Modelo de Planck comparado con los resultados experimentales de Coblentz (1916) para una cavidad radiante a 1595 K. 1.2 Postulado de Planck La hipótesis cuántica del modelo de Planck para la radiación del cuerpo negro se puede generalizar y escribir en la forma del siguiente postulado: •
Cualquier sistema físico con un grado de libertad cuya “coordenada” realiza un movimiento armónico simple, sólo puede tener un valor de la energía total E que satisfaga la relación E = nhν ; n = 0, 1, 2, 3,... , donde ν es la frecuencia de oscilación y h la constante de Planck.
En este postulado la palabra coordenada se usa en sentido amplio y se refiere a cualquier magnitud que varíe sinusoidalmente con el tiempo (Ej.: campo eléctrico de una onda plana, longitud de un resorte, etc.) •
¿Por qué esta cuantización de la energía no se observa en sistemas clásicos?
Ejemplo: Un resorte de constante k = 10 2 N/m del que pende una masa de 1 kg que realiza un movimiento armónico simple de amplitud 1 cm. 1 k = 1.59 Hz 2π m 1 E = kA2 = 5 × 10 −3 J 2
ν=
La energía del sistema está cuantizada según el postulado de Planck, luego los cambios en la energía sólo pueden realizarse en incrementos
25
∆E = hν = 1.05 × 10 −33 J . Por lo tanto, la variación relativa de la energía es: ∆E / E = 2.1× 10 −31 , que no es detectable con ningún equipo experimental. 1.3 Interpretación cuántica del efecto fotoeléctrico. Fotones En el modelo original propuesto por Planck para explicar el espectro de radiación del cuerpo negro, sólo se cuantizaban los estados energéticos de los osciladores atómicos. En 1905, Einstein fue un poco más allá y postuló que la energía de una onda electromagnética también estaba cuantizada (forma general del postulado de Planck). Einstein cuestiona la validez ilimitada de la teoría de Maxwell que proponía la distribución continua de la energía del campo electromagnético, y en su lugar sugiere que la energía de la onda electromagnética estaba cuantizada en paquetes localizados, que se propagan sin dividirse y sólo pueden ser absorbidos o generados como unidades completas. Einstein supuso que cada uno de estos paquetes tenía una energía dada por la relación de Planck-Einstein E = hν Esta idea es auténticamente novedosa ya que implica que las ondas electromagnéticas están constituidos por un conjunto de cuasi-partículas (la energía se propaga localizada en paquetes que se pueden contar), para referirse a las cuales el químico Gilbert N. Lewis acuñó el término fotón en 1926. La ecuación de Planck-Einstein establece una relación entre dos clases de objetos que en Física Clásica son totalmente disjuntos: las ondas y las partículas. Relaciona la energía, que es un concepto clásicamente asociado a las partículas, y la frecuencia, clásicamente asociada a las ondas. Esta relación se establece a través de la constante de Planck (constante cuántica), que es la que modifica la naturaleza de los conceptos implicados. La relación de Planck-Einstein caracteriza un nuevo “objeto”, que sólo tiene sentido en el marco de la Física Cuántica y que pertenece a una clase nueva de objetos físicos que se llaman “cuantos”. El fotón, en particular, y en general todos los cuantos no son ni ondas ni partículas, en el sentido clásico de estos términos. En realidad, representan un nuevo concepto cuántico, que se manifiesta con carácter corpuscular u ondulatorio de forma indistinta. Sólo en el límite clásico (cuando se ponen en juego muchos fotones y la acción característica del proceso físico es mucho mayor que h ) recobran su sentido clásico las propiedades ondulatorias (difracción, interferencias, etc.) de la onda electromagnética en su conjunto. A partir del concepto de fotón, Einstein logró dar una explicación satisfactoria al efecto fotoeléctrico. Para ello estableció dos hipótesis. •
Un haz de luz monocromática de frecuencia ν está formado por un conjunto de fotones de energía fija hν .
•
Cada fotón interactúa con un solo electrón, comunicándole la energía hν , que puede ser suficiente o no para abandonar el metal.
Cuando un fotón del haz incidente choca con un electrón del metal y es absorbido por éste, le confiere la energía cinética K = hν − W0 ,
26
donde W0 es la energía mínima necesaria para arrancar un electrón del metal (energía de ligadura más pequeña), que normalmente se llama función de trabajo. Si hν < W0 no se produce la emisión. La frecuencia umbral, a partir de la cual hay emisión de electrones, corresponde a la condición W ν0 = 0 . h La función de trabajo es una característica de cada material, en consecuencia, la frecuencia umbral también depende de la naturaleza del material. La energía cinética K es la máxima que pueden tener los electrones que emergen del metal, ya que corresponde a los electrones menos ligados. Por lo tanto, el potencial de frenado vendrá dado por eV f = hν − W0 , tal como previamente habíamos deducido en el capítulo introductoria a partir de razonamientos empíricos. La teoría de Einstein también explica porque la emisión del electrón es prácticamente instantánea. Cada fotón excita un solo electrón, no siendo posible el proceso por el cual un electrón va capturando fotones de energía hν < W0 hasta llegar a la energía necesaria para abandonar el metal. Esto es debido a que un electrón que absorbe una energía hν < W0 pasa a un estado excitado del metal, pero el tiempo de desexcitación es tan pequeño que la probabilidad de absorber otro fotón en un tiempo menor es prácticamente nula. Ejemplos •
La función de trabajo para la mayoría de los metales que son buenos conductores es del orden de algunos eV (típicamente 2 eV) y la frecuencia umbral ν 0 ≈ 1014 − 1015 Hz ¿Se puede predecir que para explicar el efecto fotoeléctrico será necesaria la teoría cuántica? La acción característica implicada en el fenómeno de absorción de un fotón por un electrón es A = W0ν 0−1 = ( 2 eV ) (1.6 × 10−19 J/eV ) / ( 5 × 1014 Hz ) = 6.4 × 10−34 Js A ≈ h ⇒ Física Cuántica
•
Se ilumina una placa metálica mediante una fuente de luz amarilla o
( λ = 5890 A ). Si la potencia que incide en cada m2 es 1 W, calcular el número de fotones que inciden sobre la placa por unidad de tiempo y área. 1W 1 J 1 eV eV = 2 = 6.25 ×1018 2 2 -19 m m s 1.6 × 10 J m s Cada fotón tiene una energía c (6.63 ×10 −34 Js) 3 × 108 m/s E = hν = h = = 3.4 × 10 −19 J = 2.1 eV −7 λ 5.89 × 10 m Por lo tanto, el número de fotones N que inciden sobre la placa por unidad de tiempo y área vale eV 1 fotón fotones N = 6.25 × 1018 2 = 2.98 ×1018 . m s 2.1 eV m 2s
(
)
27
Este ejemplo sugiere que la intensidad de una onda electromagnética se puede considerar como el producto de N por hν (la energía de un fotón). De este ejemplo, además se puede ver que incluso para potencias bajas ( ≈ 1W ) el número de fotones que atraviesan la unidad de área por unidad de tiempo es enorme, de manera que la energía de cada uno de ellos es muy pequeña. En consecuencia, la granularidad de la radiación es extremadamente fina y, en la mayoría de los experimentos ordinarios, es muy difícil detectarla. •
En un experimento de efecto fotoeléctrico en sodio, se observa que el potencial o
o
de frenado es 1.85 V para λ = 3000 A y 0.82 V para λ = 4000 A . determinar el valor de h , la función de trabajo del Na y la longitud de onda umbral. hc eV f = − W0 , por lo tanto
λ
h=
eV f − eV f ' ≈ 6.6 ×10 −34 Js , c c − λ λ'
la función de trabajo es
W0 =
hc
λ
− eV f = 2.27 eV
y la longitud de onda umbral
λ0 =
o hc = 5445 A . W0
Comentarios •
En realidad, los fotones introducidos por Einstein son “partículas” con un cierto momento lineal p y una energía E = hν . ¿Cómo se puede asociar un momento lineal a una entidad física que no tiene masa en reposo? m0 c 2 m c2 E= fotón → E = 0 → m0 = 0 . 0 1 − v 2 / c 2 v =c
Un fotón es una partícula con m0 = 0 y E = hν finita, e igual a su energía cinética. Su momento lineal se puede evaluar a partir de la relación E 2 = c 2 p 2 + (m0 c 2 ) 2 , teniendo en cuenta que m0 = 0 p= •
E hν h = = . c c λ
Obsérvese que en el efecto fotoeléctrico el fotón es absorbido por el electrón. Para que esto ocurra el electrón ha de estar ligado a un átomo o a un sólido, ya que un electrón libre no puede absorber un fotón conservándose en el proceso la energía y la cantidad de movimiento. Supongamos que el electrón se encuentra en reposo antes de absorber el fotón de energía E = hν y momento p f = E / c . Por lo tanto,
28
E + m0c 2 = m02c 4 + pe2c 2 p f = E / c = pe y evidentemente este sistema no tiene sentido. Las fuerzas de ligadura sirven para transmitir la cantidad de moviendo del fotón al átomo o al sólido. Debido a que el átomo o el sólido tienen una masa mucho mayor que el electrón, el sistema puede absorber una gran cantidad de momento sin variar apreciablemente su energía. •
La interpretación del efecto fotoeléctrico fue una de las razones que se adujeron en 1921 para conceder a Einstein el premio Nobel. Sin embargo, en el artículo original, dicha explicación no supone el centro del trabajo, ni siquiera su motivación principal, sino tan solo una de las aplicaciones de su nueva teoría de la radiación electromagnética. El efecto de fotoemisión en sólidos, es decir la emisión de carga negativa (el electrón todavía no había sido descubierto) como respuesta a la incidencia de luz, había sido descrito por primera vez por Herzt en 1887. Posteriormente, otros científicos contribuyeron a la interpretación del fenómeno (JJ Thomson descubre que la carga negativa se emite en forma de electrones) y a la realización de medidas metódicas (Lenard), pero no fue hasta el trabajo de Einstein en 1905 cuando se propuso la primera descripción teórica del efecto fotoeléctrico en términos de la absorción de cuantos de luz por los electrones del metal. Hoy en día, el efecto fotoeléctrico tiene importancia no sólo porque contribuyo significativamente al desarrollo de las nuevas teorías cuánticas, sino también porque está en la base de diversas técnicas de caracterización espectroscópica que han podido desarrollarse en los últimos cien años, y que se emplean en la actualidad para estudiar sólidos, superficies y, átomos y moléculas en forma gaseosa.
•
La hipótesis de la existencia del fotón es aplicable a la totalidad del espectro electromagnético y no sólo a la región luminosa. En la Fig. 1.8, se indican las energías de los fotones correspondientes a cada rango de longitudes de onda y los procesos físicos que normalmente intervienen en su generación.
hν (eV ) 107
λ (m )
106
105 104
103
102
101
100
10-1
10-2
10-3 10-4
10-5 10-6 10-7
10-13 10-12 10-11 10-10 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101
Rayos γ Núcleos
Rayos X
Ultravioleta
Vis.
Electrones Electrones valencia internos
Infrarrojo
Micro-ondas
Vibraciones moleculares
102
10-8 10-9
103
104
Ondas de radio Rotaciones moleculares
Figura 1.8. Espectro electromagnético. •
Posteriormente a la formulación de Planck para explicar el espectro de radiación del cuerpo negro, Bose y Einstein llegaron a ecuaciones análogas reemplazando
29
las ondas estacionarias clásicas, presentes en el interior de la cavidad radiante, por un gas de fotones.
30
1.4 Efecto Compton El efecto Compton es una confirmación más de la naturaleza corpuscular del fotón. El experimento que lo pone de manifiesto se muestra de forma esquemática en la Fig. 1.9. Fuente de rayos X Colimador
Material
θ
Detector
Figura 1.9. Esquema del dispositivo para la observación del efecto Compton. Se envía un haz de rayos X sobre un material y se observa la intensidad dispersada en función del ángulo θ . El haz de rayos X utilizado en el experimento tiene una longitud de onda λ bien definida. Aunque el fenómeno ya había sido observado previamente, en 1923, Compton realizó los primeros experimentos rigurosos. Compton observó que para cada ángulo de dispersión de la radiación secundaria, aparecía un máximo en la intensidad correspondiente a la misma longitud de onda λ que el haz incidente, y un máximo secundario a una longitud de onda más grande. La separación entre estos dos picos se hace mayor al aumentar el ángulo de observación θ , tal como se muestra en la Fig. 1.10. La Física Clásica sólo explicaba el pico correspondiente a ∆λ = 0 , que se conoce con el nombre de dispersión Thomson. Según la explicación clásica, los rayos X penetran en los átomos del material, hacen oscilar los electrones, y como consecuencia de esta vibración (cargas aceleradas) se emite radiación de la misma frecuencia que la incidente. De acuerdo con este modelo, la intensidad emitida en función de θ viene dada por ne 4 ( 1 + cos 2θ ) ( ) I θ = I0 , 2 me r 2 c 4 donde I 0 es la intensidad incidente, me y e son la masa y la carga del electrón, r es la distancia entre el blanco y el detector, y n es el número de átomos dispersores por unidad de volumen. Esta expresión, debida a Thomson, sólo funciona para longitudes de onda grandes o θ ≈ 0 . Sobre todo, no funciona bien para longitudes de onda pequeñas. Para θ > 0 predice intensidades más pequeñas que las observadas.
31
θ = 0º
intensidad θ = 45 º
θ = 90 º
θ = 135 º
0.700
0.750 o
λ( A ) Figura 1.10. Intensidad dispersada en un experimento de efecto Compton en función del ángulo de dispersión θ . La intensidad del pico que aparece a λ + ∆λ depende del material que se utiliza como blanco y es especialmente grande para materiales ligeros (materiales compuestos por átomos con Z pequeño). Su origen es totalmente inexplicable mediante la Física Clásica, lo que sugiere la existencia de algún mecanismo de dispersión que modifica la longitud de onda y que no está contemplado en el modelo clásico. En 1923, Compton da una explicación detallada de este proceso de dispersión a partir de la siguiente hipótesis cuántica: •
El haz de rayos X está formado por un conjunto de fotones de energía hν , que chocan inelásticamente con los electrones más débilmente ligados del blanco. Cada fotón choca con un electrón, y este choque está gobernado por la conservación del momento lineal y la energía.
Según esta hipótesis los fotones de “retroceso” que emergen del blanco constituyen la radiación dispersada. Dado que el fotón incidente transfiere parte de su energía E al electrón, el fotón dispersado deberá tener una energía E ' menor; y en consecuencia, tendrá una frecuencia menor ( ν ' = E ' / h ) , lo que implica una longitud de onda mayor (λ ' = c /ν ') . De esta forma se explica el llamado corrimiento Compton ∆λ = λ '−λ .
32
Comentarios •
¿En qué se basa la hipótesis de que los fotones chocan con los electrones del átomo? Se observa experimentalmente que la longitud de onda de la radiación dispersada es independiente del material que forma el blanco. En consecuencia, en el proceso de dispersión no interviene el átomo completo.
•
¿Por qué en la dispersión Compton sólo intervienen los electrones menos ligados? Para electrones muy ligados, la probabilidad de absorción, y por lo tanto, de que se produzca efecto fotoeléctrico, es mucho mayor que la probabilidad de que se dé la dispersión Compton. De hecho, la probabilidad de absorción crece como Z 3 .
1.4.1 Modelo cuantitativo para el efecto Compton Dado que el efecto Compton sólo tiene una probabilidad significativa de producirse para electrones en que la energía de ligadura sea mucho menor que la energía del fotón incidente, por simplicidad supondremos que a efectos del cálculo los electrones están libres y en reposo.
E = hν pf =
y
E ' = hν '
hν c
p' f =
hν ' c
θ ϕ
x
Ee = m0c 2
E ' e = m0 c 2 + K
pe = 0
pe ≠ 0
Figura 1.11. Esquema de la colisión fotón-electrón en el efecto Compton. En consecuencia, vamos a considerar en detalle el proceso de colisión entre un fotón y un electrón libre en reposo. Para ello utilizaremos las ecuaciones de la Mecánica Relativista, ya que el fotón siempre debe tratarse en ese contexto y el electrón, después del choque, también se mueve en muchos casos a velocidades relativistas. En la Fig. 1.11, se describe esquemáticamente el proceso de colisión. Aplicando la conservación de la energía y del momento lineal hν + m0c 2 = hν ' + m0c 2 + K
hν hν ' = cosθ + pe cosϕ c c hν ' 0= sinθ − pe sinϕ c Elevando al cuadrado y sumando las dos ecuaciones de la conservación del momento lineal se obtiene:
33
h2 hν hν ' 2 + − 2 2 νν ' cosθ = pe , c c c que combinada con la ecuación de la conservación de la energía y la ecuación: 2
2
(K +m c )
2 2
0
= c 2 p 2 + m02c 4
permite obtener la relación h 1 1 ( 1 − cosθ ) , c − = λ '−λ = ∆λ = m0c ν ' ν o
donde h / m0 c = λC es la longitud de onda Compton, que adopta el valor λC = 0.0243 A . Obsérvese que el corrimiento Compton ∆λ sólo depende del ángulo de dispersión θ y no de la longitud de onda del haz incidente. Esta expresión predice los corrimientos Compton observados experimentalmente. La anchura del pico se debe a que el electrón inicialmente no está en reposo, tal como hemos supuesto en nuestro modelo simplificado, sino que se mueve con una cierta velocidad alrededor del núcleo. El desplazamiento Compton varía desde cero, para una colisión rasante, hasta 2h / m0 c = 0.049 Ǻ, para una colisión frontal con θ = 180 º . En experimentos posteriores realizados por Compton, Wilson, Bothe, Geiger y Blass, se detectó el electrón emergente después de la colisión, y se mostró que éste aparece en coincidencia con la detección de un fotón dispersado. También se confirmó cuantitativamente las predicciones para la energía y la dirección del electrón dispersado, obtenidas del modelo de Compton. h 2ν 2 K= hν + m0c 2 / ( 1 − cosθ )
(
)
cotg ϕ = 1 + hν / m0c 2 tg θ / 2 Comentarios •
El pico correspondiente a ∆λ = 0 también puede explicarse según el modelo de Compton. Si el electrón que sufre la colisión con el fotón está fuertemente ligado o la energía del fotón es muy pequeña, el electrón no es arrancado del átomo, y podemos considerar que la colisión se produce entre el fotón y el átomo completo. En este caso, la masa M del átomo es la que interviene en el proceso; por lo tanto, el corrimiento Compton viene dado por: h ∆λ = ( 1 − cosθ ) . Mc Para el átomo más ligero M / m0 ≈ 2000 , por lo tanto ∆λátomo 1 ≤ , ∆λelectrón 2000 que es prácticamente indetectable.
•
El efecto Compton se manifiesta con mayor o menor intensidad según la región del espectro electromagnético que consideremos. 1. La dispersión Compton es muy poco importante cuando la energía de ligadura del electrón es grande comparada con la energía del fotón.
34
2. En el espectro visible, microondas y ondas de radio, ∆λ es mucho más pequeño que λ y el efecto Compton no es detectable. En este caso, la dispersión Thomson es la dominante y las predicciones clásicas y cuánticas coinciden.
•
3.
Para rayos X la dispersión Compton se hace importante, particularmente para átomos con Z pequeño, para los cuales los electrones no están fuertemente ligados.
4.
En la región de los rayos γ, la energía del fotón es tan grande que durante el proceso de colisión siempre se libera un electrón y domina la dispersión Compton.
La interpretación del efecto Compton contribuyó a dar soporte a la hipótesis de la existencia de los cuantos (fotones) y, en particular, a demostrar la realidad de la naturaleza corpuscular de las ondas electromagnéticas.
Ejemplo •
Calcular la pérdida porcentual de energía de un fotón que es dispersado un o
ángulo de 90º por un electrón libre, en los tres casos siguientes: λ1 = 5500 A o
o
(visible), λ2 = 1.0 A (rayos X) y λ3 = 1.88 × 10 −2 A (rayos γ). El corrimiento Compton para 90º es: ∆λ = λC ( 1 − cosθ ) = λC = 0.0243 A , independientemente de la longitud de onda del haz incidente. Los haces dispersados tendrán las siguientes longitudes de onda: o
o
λ '1 = 5500 + 0.0243 = 5500.0243 A o
λ '2 = 1.0 + 0.0243 = 1.0243 A o
λ '3 = 1.88 × 10 −2 + 0.0243 = 0.0431 A Por lo tanto, las energías de los fotones incidentes y dispersados son hc hc E1 = = 3.61× 10 −19 J = 2.25886 eV E '1 = = 2.25885 eV λ1 λ '1
E2 = 1.99 ×10 −15 J = 12.43 keV
E ' 2 = 12.14 keV
E3 = 1.06 × 10 −13 J = 661 keV E '3 = 288 keV La variación porcentual en tanto por uno, en cada uno de los casos, es: o visible λ = 5500 A → 10 −5 o rayos X λ = 1.0 A → 0.023 o rayos γ λ = 1.88 × 10 − 2 A → 0.565
35
1.5 Naturaleza dual de la radiación electromagnética Hemos visto tres ejemplos (radiación del cuerpo negro, efecto fotoeléctrico y efecto Compton) que se interpretan suponiendo que la radiación electromagnética está integrada por paquetes de energía hν . Además, tanto en la explicación del efecto fotoeléctrico como del efecto Compton, hemos supuesto que los fotones se comportan como partículas que colisionan con los electrones. Sin embargo, los experimentos de difracción e interferencias mostraban que la radiación electromagnética tiene un comportamiento ondulatorio, que en el caso de una onda monocromática está caracterizado por una longitud de onda λ y una frecuencia ν = c / λ .¿Cómo se pueden conciliar estos dos conjuntos de experimentos, que parecen conducir a conclusiones contradictorias acerca de la naturaleza de la luz? Para entender mejor esta dualidad de comportamientos vamos a imaginar el siguiente experimento: A través de una pequeña rendija dejamos pasar un haz de luz de longitud de onda comparable al tamaño de la rendija y observamos la imagen de difracción que se forma sobre una pantalla situada inmediatamente después (ver esquema en la Fig. 1.12).
rendija
haz de luz pantalla Figura 1.12. Difracción de un haz de luz a través de una rendija. Si la intensidad del haz luminoso es suficientemente grande, estaremos en el límite clásico y en la pantalla se obtendrá la imagen de difracción correspondiente a la rendija. Si ahora, se repite el experimento con un haz de luz de muy poca intensidad, que permita detectar la llegada de fotones individuales a la pantalla (por ejemplo, utilizando el efecto fotoeléctrico), la curva de distribución espacial del número de impactos de fotones, que alcanzan la pantalla, seguirá la imagen de difracción de la rendija que se había obtenido en el primer experimento (ver Fig. 1.13). Cuando en el experimento de difracción por una rendija se pone de manifiesto el carácter corpuscular de la radiación (para intensidades muy bajas de la radiación), no podemos predecir la trayectoria que va a seguir un fotón, sólo podremos conocer la probabilidad de que alcance un punto determinado de la pantalla. La distribución de probabilidad de los impactos coincidirá con la figura de difracción de la rendija calculada utilizando las leyes de la Física Clásica. El fotón pertenece a una familia de cuasi-partículas cuánticas que se conocen con el nombre genérico de cuantos. Los cuantos tienen una naturaleza dual, y solamente cuando la acción característica del proceso en el que intervienen es mucho mayor que 36
h , se manifiestan como ondas o como partículas sin ambigüedades. En los procesos físicos en que h es comparable a la acción característica del fenómeno, los conceptos de onda y partícula no están bien definidos, y en consecuencia, un cuanto podrá manifestarse en cualquiera de las dos formas, dependiendo del experimento que se realice.
P(n )
haz de luz rendija
pantalla
Fig. 1.13. Experimento de difracción fotón a fotón de un haz luminoso por una rendija.
37
Apéndice 1.A. Relación entre la emitancia monocromática y la densidad de energía por intervalo de frecuencia en una cavidad radiante Dado que la radiación del cuerpo negro es totalmente isótropa, ρ T ( ν ) / 4π es la densidad de energía por unidad de ángulo sólido y de frecuencia en el interior de la cavidad radiante. Si en la superficie de la cavidad se considera un orificio de área unidad, la cantidad de energía correspondiente a radiación electromagnética con frecuencia entre ν y ν + dν que incide sobre él por unidad de tiempo, según un ángulo sólido d Ω centrado en la dirección definida por las coordenadas esféricas ( θ , ϕ ) , es igual a la energía contenida en un cilindro cuya base tiene área unidad y cuya generatriz tiene una longitud igual a la de la velocidad de la luz multiplicada por la unidad de tiempo y es paralela a la dirección ( θ , ϕ ) . Por lo tanto, según el ángulo sólido d Ω , la energía incidente sobre el orificio será:
dΩ
θ c
ρT ( ν ) dν c cosθ d Ω 4π
ϕ
Teniendo en cuenta que d Ω = r sin θ dϕ r dθ / r 2 = sin θ dθ dϕ , la emitancia monocromática WT ( ν ) por unidad de área del orificio se calcula integrando para todas las direcciones ( θ , ϕ ) interiores a la cavidad
WT ( ν ) dν =
2π
π /2
0
0
∫ dϕ ∫
dθ sin θ
c ρT ( ν ) dν c cos θ = ρT ( ν ) dν . 4π 4
38
Apéndice 1.B. Expresión de Planck para la energía promedio de las ondas electromagnéticas estacionarias en la cavidad radiante La energía promedio E de un conjunto de entidades físicas en equilibrio termodinámico a temperatura T se calcula a partir de la razón entre las integrales ∞
E P(E ) dE
∫
E=
0
∞
∫ P(E ) dE
,
0
donde P (E ) = e / k BT es la distribución de probabilidad de Boltzmann. Según la hipótesis de Planck la energía de las ondas estacionarias, presentes en el interior de la cavidad radiante, es una variable discreta que sólo puede adoptar valores E = 0, hν , 2hν , 3hν ,... ; de manera que las integrales en la expresión de la energía promedio deben substituirse por sumatorios ∞ ∞ ∞ nhν − nhν / k BT e E P ( E ) nα e − nα ∑ ∑ ∑ k T E = n = 0∞ = n =∞0 B = k BT n = 0∞ , 1 − nhν / k BT − nα e e P(E ) ∑ ∑ ∑ n =0 n = 0 k BT n=0 donde se ha hecho el cambio α = hν / k BT . La expresión anterior puede evaluarse más fácilmente si se tiene en cuenta que ∞ ∞ d ∞ −nα d −nα −α e −∑α e nα e −nα ∑ ∑ ∞ d dα n = 0 dα −α = n =0 ∞ = n =0 ∞ , ln ∑ e −nα = ∞ dα − nα − nα − nα n =0 ∑e ∑e ∑e − E / k BT
n =0
n =0
n =0
de manera que ∞ ∞ d d E = k BT − α ln ∑ e- nα = − hν ln ∑ e- nα . dα n = 0 dα n = 0
Ahora bien, ∞
∑e
− nα
= 1 + e −α + e −2α + e −3α + …
,
n =0
= 1+ X + X 2 + X 3 + … pero
donde
X = e −α
( 1 − X )−1 = 1 + X + X 2 + X 3 + …
de modo que: E = − hν
(
d ln 1 − e −α dα
)
−1
=
=
− hν
(1−e )
−α −1
(− 1) ( 1 − e−α )− 2 e−α
hν e − α hν hν = α = hν / k B T −α 1−e e −1 e −1
39
Apéndice 1.C. La radiación cósmica de fondo En la década de los cincuentas los laboratorios Bell ya hacían estudios para trabajar en comunicaciones vía satélite. Con este fin desarrollaron equipos receptores capaces de captar señales de radio muy débiles y para ello desarrollaron instrumentos que tuvieran poco ruido ("estática"). Entre estos equipos novedosos había una antena en forma similar a la de un cuerno, aunque de sección rectangular, la cual fue empleada durante varios años para captar señales del satélite Echo. Posteriormente, empezó a ser utilizada para trabajos astronómicos. Con este instrumento Arno Penzias y Robert Wilson planeaban hacer mediciones de fuentes astronómicas de radio con muy alta precisión. Sin embargo, desde que se empleaba con el satélite Echo, la antena invariablemente media una señal mayor de lo esperado. Penzias y Wilson observaron que, mientras que parte de esta señal podía atribuirse a nuestra atmósfera y a la antena, más de la mitad no era explicable y aparecía independiente de la dirección del cielo a la cual apuntara la antena. Esta señal tenía una frecuencia de 4.08 GHz (longitud de onda de 7.35 cm). Sospechando que se pudiera tratar de un defecto de funcionamiento del instrumento, comprobaron todos los componentes posibles de la antena, incluso llegaron a desalojar a un par de palomas que habían anidado en su interior, sin lograr deshacerse de la señal parásita. Después de repetidos intentos, decidieron ir a la Universidad de Princeton y discutir este asunto con el físico Robert Dicke.
Antena utilizada por Penzias y Wilson.
Dicke se dio cuenta de que Penzias y Wilson habían encontrado la débil radiación de fondo cósmico, vestigio del violento nacimiento del Universo. La primera predicción concreta de este fenómeno fue hecha en 1949 por Alpher y Herman quienes, siguiendo algunas ideas de George Gamow, consideraron la posibilidad de la existencia de radiación de fondo como consecuencia del posible nacimiento del Universo en una gran explosión (Big Bang). Al expandirse, el Universo se iría enfriando paulatinamente y, según los cálculos de Alpher y Herman, hoy en día, unos quince mil millones de años después de la explosión, la temperatura del Universo debería haber disminuido hasta unos 5 K. Desgraciadamente Alpher y Herman terminaron su artículo expresando dudas de que esta radiación primigenia pudiera haber sobrevivido hasta nuestra época y ser detectada. Ya sea por éste o algún otro motivo, la predicción de un fondo cósmico de
40
radiación de cinco grados fue prácticamente olvidada y sólo existía un grupo, encabezado por el propio Dicke, que estaba planeando una búsqueda específica de ese fondo de radiación. ¡Cuál debió ser la sorpresa de Dicke cuando Penzias y Wilson le presentaron el descubrimiento fortuito del eco distante de la Gran Explosión! Penzias y Wilson descubrieron que la radiación de microondas de fondo presente en el Universo correspondía a que éste se comportara como un cuerpo negro a una temperatura aproximada de T = 3 K (la predicción de Alpher y Herman estaba equivocada en dos grados) y publicaron el descubrimiento en la revista Astrophysical Journal (en el mismo número se publicó otro artículo de Dicke y dos colaboradores explicando el profundo significado de este hallazgo). Trece años después, Penzias y Wilson recibieron el premio Nobel de física por estos resultados. De acuerdo con la ley del desplazamiento de Wien la longitud de onda λmax correspondiente al máximo del espectro de radiación de un cuerpo negro a T = 3 K se puede evaluar como λmax T = 2.898 ⋅10−3 m K ⇒ λmax ≈ 10−3 m , que corresponde a la región de las microondas. En realidad, Penzias y Wilson sólo habían obtenido un punto del espectro de radiación del Universo (que ni siquiera correspondía al máximo de emisión a T = 3 K ). No fue hasta unos 24 años después cuando se pudo completar la curva y obtener unas medidas con la suficiente fiabilidad como para poder corroborar sin ambigüedades que la radiación de fondo del Universo correspondía con mucha exactitud a la curva de emisión de un cuerpo negro a T = 2.725 K . En la figura, se muestran, en una escala doble logarítmica, todas estas medidas comparadas con la curva de emisión teórica de un cuerpo negro a T = 2.725 K .
10
Longitud de onda [cm] 1
0.1
Brillo [erg cm-2 s-1 Hz-1 sr-1]
10-14 10-15 10-16 10-17
Penzias & Wilson T=3.5±1.0 K
10-18 10-19
1
FIRAS DMR LBL-Italy Princeton Cyanogen
COBE satellite COBE satellite White Mnt. & South Pole ground & ballon optical
Blackbody
T=2.725 K
10 Frecuencia [GHz]
100
Para poner mejor de manifiesto la semejanza entre estos datos y la curva teórica de emisión del cuerpo negro vamos a representar en la siguiente figura únicamente los datos alrededor del pico de emisión, que corresponden a medidas muy precisas realizadas por el satélite COBE en 1989.
41
Intensidad relativa
6 FIRAS (COBE) cuerpo negro
5 4 3 2
T = 2.725±0.002 K
1 0 1
2 3 Longitud de onda [mm]
4
5
Esta curva no es que se asemeje a la de emisión de un cuerpo negro, sino que es la curva experimental que más se parece a la predicha por la teoría para un cuerpo negro. La diferencia entre los datos experimentales y la curva de emisión de un cuerpo negro a 2.725 K es menor que una millonésima. De hecho, es mil veces mejor que cualquier espectro de cuerpo negro que podamos generar en un laboratorio. Además, esta radiación de fondo es completamente isótropa, homogénea y uniforme. Da igual hacia dónde apunte el detector que haga la medida, el resultado es siempre exactamente el mismo. Esta radiación de fondo, en la región de las microondas, tiene su máximo de emisión en los 160 GHz, y corresponde a una densidad de unos 400 fotones por cm3 en el Universo. La explicación cosmológica de Dicke (1965) para la existencia de esta radiación de fondo de microondas se puede resumir en los siguientes puntos. • En los primeros estadios después del Big Bang, cuando ya se habían formado electrones y, núcleos de hidrógeno y helio (núcleo-síntesis), la temperatura era aún demasiado alta para que estos pudieran recombinarse formando átomos. La radiación interaccionaba fuertemente con los electrones y el Universo era opaco. • Después de un cierto tiempo (aproximadamente 3·105 años) de la singularidad inicial (Big Bang), la expansión del Universo ha dado lugar a una reducción de la temperatura suficiente como para que se formen átomos y se produzca el desacoplo entre la radiación y la materia (átomos). A partir de ese momento la interacción radiación-materia puede considerarse inexistente y, materia y radiación evolucionan de forma independiente. El Universo se vuelve transparente a la radiación. Por lo tanto, desde entonces la radiación se ha mantenido en el estado de equilibrio térmico con la materia, que correspondía a la temperatura a la que se produjo el desacoplo (unos 3000 K). • Desde entonces, el Universo se ha expandido en un factor κ (del orden de ' ' = κ λmax , donde λmax y 1000), dado por la cosmología. En consecuencia, λmax
λmax corresponden a las longitudes de onda en la actualidad y cuando se produjo •
el desacoplo radiación-materia, respectivamente. Utilizando la ley del desplazamiento de Wien se puede estimar la temperatura del Universo en el momento del desacoplo radiación-materia a través de la
42
' igualdad λmax T ' = λmaxT ⇒ T = κ T ' . En consecuencia, la temperatura en ese momento de la evolución del Universo debía ser de unos 3000 K.
El descubrimiento del fondo cósmico de radiación inclinó el debate entre las dos teorías cosmológicas más plausibles: la de la Gran Explosión y la del estado estacionario, la cual postulaba la creación continua y espontánea de materia. Mientras que en esta última debía buscarse como acomodar la presencia del fondo cósmico, en la primera esta radiación es una consecuencia directa de la Gran Explosión inicial. Aun cuando algunos partidarios de la teoría del estado estacionario no se han rendido, el descubrimiento de Penzias y Wilson es considerado como la prueba más clara de que vivimos en un Universo en expansión, originado en una explosión inicial. Existe otra evidencia importante que es la abundancia de helio observada en el Universo, la cual puede explicarse al considerar las reacciones nucleares que se dieron cuando el Universo en su totalidad se hallaba a miles de millones de grados.
43
Apéndice 1.D. Dinámica Relativista En la teoría especial de la relatividad se deben utilizar las transformaciones de Lorentz, en lugar de las usadas en Física Clásica (transformaciones de Galileo), para transformar las variables de espacio y tiempo entre dos sistemas que se mueven a velocidad constante uno respecto al otro. Este hecho se fundamenta en la observación experimental de que la velocidad de la luz es independiente del movimiento del observador y de la fuente. El uso de las transformaciones de Lorentz, lógicamente implicará modificaciones en las ecuaciones de la Mecánica, respecto a la forma que adoptan en Física Clásica. Sin embargo, es posible preservar en su forma original las siguientes tres ecuaciones fundamentales de la Mecánica Clásica: dp F= ; donde p es el impulso mecánico de la párticula sobre la que actúa F ; dt = ∑ p ; conservación del impulso total en un sistema aislado; ∑ p partículas partículas inicial final p = mv : impulso lineal de una párticula;
siempre que supongamos que la masa de las partículas es función del módulo de su velocidad m ≡ m(v ) . La forma explícita de esta función está por determinar. Sin embargo, sabemos que, en el límite v / c << 1 , m (v ) = m0 , donde m0 es la masa de la partícula medida clásicamente, ya que en este límite las transformaciones de Lorentz se reducen a las de Galileo. Para evaluar la función m(v ) vamos a considerar el siguiente experimento imaginario. Tal como se muestra en la Fig. 1.C.1, los observadores O1 y O2 se mueven en direcciones paralelas al eje de las x , con velocidades de magnitud igual pero direcciones opuestas. Cada uno de los observadores lanza una bola de billar (B1 y B2, respectivamente), de masa m0 medida cuando están en reposo, de forma que sigan trayectorias de colisión, tal como se muestra en la Fig. 1.C.1 desde un sistema de referencia en reposo. y
O2
θ2 f
θ1i
B2
B1
θ 2i θ1 f
x
O1 Figura 1.C.1. Colisión entre las dos bolas vista desde un sistema en reposo respecto a O1 y O2 .
44
Suponiendo válida la conservación del impulso lineal y que la colisión es elástica, es fácil demostrar que θ1 f = θ 2 f y que los módulos de las velocidades de las bolas son los mismos antes y después de la colisión. Sin embargo, según el punto de vista de los observadores O1 y O2, cada uno lanza su bola para impactar sobre la otra con una velocidad dirigida perpendicularmente al eje de las x y de módulo u . Por ejemplo, desde un sistema de referencia que se mueve solidario con O1, la bola B1 es lanzada siguiendo una dirección paralela al eje y con una velocidad de módulo u (ver Fig. 1.C.2), que supondremos muy pequeña respecto a c . En cambio, según O1 la bola B2 mantiene una componente x de la velocidad igual a v , que es la velocidad relativa entre O1 y O2, y que supondremos cercana a c . También, según O1 la componente y de la velocidad de B2 cambia de signo después de la colisión pero mantiene constante su magnitud. Para evaluar su magnitud se supone que la componente y de la velocidad de B2 medida por O2 es u . Transformando esta velocidad al sistema de referencia de O1 se obtiene u 1 − v 2 / c 2 para la componente y de la velocidad de B2 medida por O1 (ver Fig. 1.C.2).
u 1 − v2 / c2
v u 1 − v2 / c2
B2
v y
u
B1
O1 x
Figura 1.C.2. Colisión vista desde el sistema de referencia de O1.
Es obvio de la Fig. 1.C.2 que si las masa de B1 y B2 son iguales no se puede conservar el impulso mecánico total a lo largo del eje y . Sin embargo, si suponemos que la masa de las partículas es función del módulo de su velocidad y que v >> u podremos escribir la siguiente ecuación: m(u ) u − m(v ) u 1 − v 2 / c 2 = 0 ; de la que se puede despejar 1 1 m(v ) = m(u ) = m0 , 2 2 1− v / c 1 − v2 / c2 donde se ha supuesto que m(u ) = m0 ya que u es muy pequeña respecto a la velocidad de la luz. Por lo tanto, una teoría de la mecánica relativista, consistente con la conservación del impulso lineal, requiere que la masa m(v ) de una partícula, medida cuando ésta se mueve con una velocidad de módulo v , debe ser su masa en reposo m0 multiplicada por el factor 1 / 1 − v 2 / c 2 . A la masa m(v ) se le llama masa relativista de la partícula. Vamos a obtener ahora una expresión para la energía relativista de una partícula de masa en reposo m0 . Supongamos que la partícula se encuentra inicialmente en reposo
45
en x = 0 . Si se le aplica una fuerza F en la dirección positiva del eje x , la partícula se moverá debido al trabajo K realizado por la fuerza. En particular, se puede evaluar el trabajo realizado por F entre 0 y x f a partir de la expresión xf
K=
∫
tf
Fdx =
0
∫ 0
dx F dt = dt
tf
∫
Fv dt ,
0
donde t f es el instante en el que la partícula llega a x f . Si suponemos que sigue siendo válida la segunda ley de Newton en su forma original (con m(v ) ) tendremos que tf
vf
vf
dp v K=∫ v dt = ∫ v dp = [vp ]0 f − ∫ p dv , dt 0 0 0 donde la integral se ha calculado por apartes. Substituyendo p en esta expresión por
m0v 2
p = mv =
( )
1 − v2 / c2
y escribiendo v dv como d v 2 / 2 , se obtiene que vf
m v2 m 0 K = − 0 2 1 − v 2 / c 2 0
vf
∫ 0
( )
v2 / c2 = m0c 2 + 1 − v2 / c2 1 − v 2 / c 2 d v2
=
m0c 2
vf
1 − v2 / c2 0
− m0c 2
1− v /c donde el subíndice f se ha eliminado para simplificar la notación. En la Mecánica Clásica, el trabajo K , que acabamos de calcular, coincide con la energía cinética de la partícula en el instante t f . De hecho, la expresión anterior en el 2
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límite clásico v / c << 1 se puede desarrollar como −1 / 2 v2 1 v 2 m0v 2 2 2 K = m0c 1 − 2 − 1 → m c 1 + −1 = . 0 v c 2 c 2 2 c <<1 Por ello, se puede suponer que, en el caso relativista, K también coincide con la energía cinética relativista de la partícula. Por otro lado, la expresión relativista para K (v ) nos indica que esta magnitud se obtiene a partir de la diferencia entre una energía que depende de la velocidad y una energía constante (m0c 2 )
K (v ) = E (v ) − E (0) ,
donde E (v ) = m0c 2 / 1 − v 2 / c 2 = mc 2 y E (0) es el valor de E (v ) para v = 0 . Para identificar las energías que intervienen en esta expresión es más conveniente reordenar los términos en la forma E (v ) = K (v ) + E (0 ) = K (v ) + m0c 2 = mc 2 . Esta ecuación nos proporciona la energía total (energía relativista) de una partícula que se mueve con velocidad v , siendo ésta la suma de su energía cinética relativista y una energía intrínseca E (0) asociada con la partícula cuando se encuentra en reposo (energía de la masa en reposo). Esta última ecuación establece la famosa relación de Einstein entre la masa relativista de una partícula y su energía total. En muchos casos, es conveniente disponer de una expresión para la energía total relativista que contenga explícitamente el impulso lineal p . Para ello, evaluaremos la diferencia
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1 v2 / c2 2 4 − = = c 2 m 2v 2 = c 2 p 2 , m 2c 4 − m02c 4 = m02c 4 1 m c 0 2 2 2 2 1− v /c 1− v / c o lo que es lo mismo m 2c 4 = c 2 p 2 + m02c 4 E = c 2 p 2 + m02c 4 A pesar de que todas las hipótesis que hemos utilizado aquí para deducir las ecuaciones de la Mecánica Relativista parecen razonables, su justificación última se obtiene al comparar las predicciones de la teoría con los resultados experimentales. Por último, es importante hacer notar que a partir de desarrollos más complejos que los efectuados aquí se puede demostrar que ni la segunda ley de Newton ni las ecuaciones de Maxwell cambian de forma ante una transformación de Lorentz de un sistema de referencia a otro que se mueve en relación al primero. Sin embargo, estos mismos cálculos demuestran que tanto la fuerza como los campos eléctrico y magnético sí cambian ante una transformación de Lorentz.
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