¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA? Estadística es una disciplina que sistematizado las técnicas de recolección y análisis de datos; nos permite inferir consecuencias a partir de estos. La Esta Estadí díst stica ica es la cien cienci ciaa cuyo cuyo obje objetiv tivoo es reun reunir ir una una infor informa mació ciónn cuantitativa concerniente a individuos, grupos, series de hechos, etc. y deducir de ello gracias al análisis de estos datos unos significados precisos o unas previsiones para el futuro. La estadística, estadística, en general, es la ciencia ciencia que trata de la recopilación, recopilación, organización organización presentación, análisis e interpretación de datos numéricos con e fin de realizar una toma de decisión más efectiva. Origen de la estadística
La estadística empieza con los grandes imperios de la antigü antigüeda edad. d. Se han descub descubier ierto to tablil tablillas las de arcill arcillaa de la civi civililiza zació ciónn babi babiló lóni nica ca (500 (50000 a. C.), C.), escr escrita itass en nota notaci ción ón sexa sexage gesi sima mal,l, que que cont contie iene nenn list listas as de pers person onas as,, bien bienes es y cantidades de alimentos traídos como ofrendas. Del Egipto como faraones se tiene datos muchos más exactos: listas de familia, de soldados, de casas, de jefes de familia y de profesiones. Existen documentos del siglo VI a.C. que muestran que todo individuo tenía la obligación de declarar, cada año, bajo pena de muerte, su profesión y sus fuentes de ingreso. Según la Biblia (Números, 1.2), Moisés recibió la orden de contar la comunidad de los hijos de Israel, tribu por tribu, familia por familia. Entre los chinos, la tradición es muy lejana, es conocido el censo de tierras y gente ordenado por el emperadorEn la India se publico, en el siglo IV a. C. un verdadero tratado de ciencia política y economía. En Grecia fueron famosos los métodos usados por los jefes para contar a sus soldados: los hacían pasar a un recinto donde cabían 10 000 soldados muy apretados. También se sabe que en el año 310 a.C. , un censo efectuado bajo el 1
reinado de el emperador Demetrio dio una población de 120 000 personas libres y 400 000 esclavos. En el continente americano, los incas desarrollaron un sistema de estadísticas muy perfeccionado: todos los dato datoss rela relaci cion onad ados os con con las las acti activi vida dade dess econ económ ómic icas as y demográficas se conservan en los “quipus” unas cuerdas gruesas de las cuales colgaban varios hilos de distintos colores según el objeto que representaban, amarillo para las piezas de oro, rojo para los soldados, blanco para las cons constr truc ucci cion ones es,, etc. etc. En la part partee infer inferio iorr de los los nudo nudoss indicaban unidades, mas arriba las decenas, centenas, así hasta las 10 000 unidades. El uso de los quipus estaba reservado a los iniciados y todavía hoy no se han aclarado todas sus características. Hoy la estadística, junto con el cálculo de probabilidades, constituyen una rama independiente de la matemática con aplicaciones en casi todas las actividades humanas: física, astronomía, biología, genética, medicina, agricultura, psicología, educación, etc; en todas ellas se hacen predicciones, encuestas, controles de calidad, etc. Aplicaciones de la estadística
La estadística es un auxiliar de muchas cienci ciencias as y activi actividad dades es humana humanas: s: sociol sociologí ogía, a, psicología, geografía humana, economía, etc. Es una una herr herram amie ient ntaa indi indisp spen ensa sabl blee para para la toma de decisiones. Tambié Tamb iénn es ampl amplia iame ment ntee empl emplea eada da para para mostrar los aspectos cuantitativos de una situación. La estadística está relacionada con el estudio de proceso cuyo resultado es más o menos imprescindible y con la finalidad de obtener conclusiones para tomar decisiones razonables de acuerdo con tales observaciones. El resultado de estudio de dichos procesos, denominados procesos aleatorios, puede ser de naturaleza naturaleza cualitativ cualitativaa o cuantitati cuantitativa va y, en este último caso, discreta o continúa.
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Son muchas las predicciones de tipo sociólogo, o económico, que pueden hacerse a partir de la aplicación exclusiva de razonamientos probabilísticos a conjuntos de datos objetivos como son, por ejemplo, los de naturaleza demográfica. Las predicciones estadísticas, difícilmente hacen referencia a sucesos concretos, pero describen con considerable precisión en el comportamiento global de grandes conjuntos de sucesos particulares. Son predicciones que, en general, no acostumbran resultar útiles. Para saber quien, de entre los miembros de una población importante, va a encontrar trabajo o a quedarse sin él; o en cuales miembros va a verse aumentada o disminuida una familia en concreto en los próximos meses. Pero que, en cambio puede proporcionar estimaciones fiables del próximo aumento o disminución de la taza de desempleo referido al conjunto de la población; o de la posible variación de os índices de natalidad o mortalidad.
¿QUÉ ES UNA POBLACION? Una población es el conjunto total de todos los individuos u objetos que poseen una característica común observable, que sean de interés en un estudio. Son ejemplos de una población: Los alumnos de un curso. Los pacientes de un hospital. Los votantes de una comuna.
¿QUÉ ES UNA MUESTRA? Es un subconjunto de la población. Es de un tamaño menor al total de la población y la estadística pretende obtener conclusiones válidas que pueden aplicarse al total a partir de los resultados observados en la muestra. Son ejemplos de muestra: 1.820 televidentes escogidos al azar. Los automovilistas que acceden a contestar una encuesta de opinión. Uno de cada diez sacos de maíz de un cargamento. 10 alumnos de un colegio particular
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¿Cuál es tu deporte favorito?
Los deportes que se practican con mayor frecuencia en los centros escolares son los siguientes: Fútbol, básquet, voleibol, atletismo y ajedrez. Pedro y Jaime son compañeros del tercer grado de secundaria del colegio nueva generación, y quieren saber las preferencias que tienen sus amigos de los tres primeros grados de secundaria en cuanto a la practica de deportes se refiere; para esto han realizado una encuesta a todos los alumnos del primero, segundo y tercer grados en la que la pregunta: ¿Cuál es tu deporte preferido?, cada estudiante respondió señalando a lo mas un deporte. Obtuvieron los siguientes resultados: Deporte Fútbol Básquet Voleibol Atletismo Ajedrez ninguno
Primer grado hombre mujer 12 0 10 10 3 4 9 5 4 1 20 19
Segundo grado hombre mujer 13 0 9 10 5 2 8 5 4 2 10 19
Tercer grado hombre mujer 8 0 6 14 0 2 8 7 4 0 4 10
Los datos presentados a través de esta tabla proporcionan a Pedro y Jaime una información ordenada y condensada, permitiendo analizar e interpretar las respuestas de la encuesta con mayor facilidad. La tabla obtenida por Pedro y Jaime es una muestra estadística. Para leerla es preciso conocer el significado de cada número escrito en ella. En esta caso, el número de cada celda engloba tres conceptos, por ejemplo el numero 10 de la segunda celda de la primera columna nos dice el numero de chicos de primer grado que practican preferentemente básquet. Contesta: a) ¿Cuántos alumnos hay en los tres primero grados? b) ¿Cuál es el porcentaje de ajedrecistas? c) ¿Cual es el porcentaje de alumnos que practican basquetboll? d) ¿Cuál es el deporte que mas seguidores tiene? e) ¿Cuál es el deporte que menos seguidores tiene? f) ¿Qué deporte practican más las mujeres en los tres grados? ______________________________________________________________________ Saberes Previos • Maria tiene 11 años, y sus primos
•
Miguel y Gabriel tienen respectivamente 14 y 12 años ¿Cuál es la edad promedio de los tres? Jaime lanzo un dado 10 veces, y obtuvo los siguientes resultados: 1, 1, 2, 5, 3, 4, 5, 1, 6, 2
a) ¿Cuál de las caras del dado apareció un mayor número de veces? b) ¿En que porcentaje se presento cada cara del dado? c) Grafica los resultados en el plano cartesiano.
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POBLACION, MUESTRA Y VARIABLES ESTADISTICAS 1.- RECOPILACION DE DATOS Población y Muestra Al recoger datos relativos a las características de un grupo de individuos u objetos, sean alturas y pesos de estudiantes de una universidad o tuercas defectuosas producidas en una fábrica, suele ser imposible o nada práctico observar todo el grupo, en especial si es muy grande. En vez de examinar el grupo entero, llamado población o universo, se examina una pequeña parte del grupo, llamada muestra. Una población puede ser finita o infinita. Por ejemplo, la población consistente en todas las tuercas producidas por una fábrica un cierto día es finita, mientras que la determinada por todos los posibles resultados (caras, cruces) de sucesivas tiradas de una moneda, es infinita. Si una muestra es representativa de una población, es posible inferir importantes conclusiones sobre las poblaciones a partir del análisis de la muestra. La fase de la estadística que trata con las condiciones bajo las cuales tal diferencia es válida se llama estadística inductiva o inferencia estadística. Ya que dicha inferencia no es del todo exacta, el lenguaje de las probabilidades aparecerá al establecer nuestras conclusiones. La parte de la estadística que sólo se ocupa de describir y analizar un grupo dado, sin sacar conclusiones sobre un grupo mayor, se llama estadística descriptiva o deductiva. Ejemplo de Población: -
Las edades de los estudiantes del Perú. Las edades del sistema universitario peruano. Los pesos de una fruta de una cosecha. Las placas de los automóviles que circulan en el país. El numero de enfermos con SIDA. El numero de alumnos que desertan del sistema educativo del país. El numero de personas que emigran cada año del país.
Los parámetros mas usados para la población son:
-
La media poblacional = υ ( se lee mu ) Proporción poblacional = ρ(se lee pe) Desviación típica poblacional = σ ( se lee sigma )
Ejemplo de Muestra: Se realiza una votación preliminar para determinar las preferencias de los electores es una elección presidencial. Con este fin se entrevistan 1500 electores registrados y entre ellos 860 están a favor del candidato A
Muestra aleatoria: muestra elegida independientemente de todas las demás, con la misma probabilidad que cualquier otra y cuyos elementos están elegidos independientemente unos de otros y con la misma probabilidad.
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2.- Muestreo En estadística, proceso por el cual se seleccionan los individuos que formarán una muestra. Para que se puedan obtener conclusiones fiables para la población a partir de la muestra, es importante tanto su tamaño como el modo en que han sido seleccionados los individuos que la componen. El tamaño de la muestra depende de la precisión que se quiera conseguir en la estimación que se realice a partir de ella. Para su determinación se requieren técnicas estadísticas superiores, pero resulta sorprendente cómo, con muestras notablemente pequeñas, se pueden conseguir resultados suficientemente precisos. Por ejemplo, con muestras de unos pocos miles de personas se pueden estimar con muchísima precisión los resultados de unas votaciones en las que participarán decenas de millones de votantes. Para seleccionar los individuos de la muestra es fundamental proceder aleatoriamente, es decir, decidir al azar qué individuos de entre toda la población forman parte de la muestra. Si se procede como si de un sorteo se tratara, eligiendo directamente de la población sin ningún otro condicionante, el muestreo se llama aleatorio simple o irrestrictamente aleatorio. Cuando la población se puede subdividir en clases (estratos) con características especiales, se puede muestrear de modo que el número de individuos de cada estrato en la muestra mantenga la proporción que existía en la población. Una vez fijado el número que corresponde a cada estrato, los individuos se designan aleatoriamente. Este tipo de muestreo se denomina aleatorio estratificado con asignación proporcional. Las inferencias realizadas mediante muestras seleccionadas aleatoriamente están sujetas a errores, llamados errores de muestreo, que están controlados. Si la muestra está mal elegida —no es significativa— se producen errores sistemáticos no controlados.
3.- Variable Cada una de las letras que se utilizan en álgebra en expresiones algebraicas, polinomios y ecuaciones, para designar números desconocidos. Véase Indeterminada. También se llaman variables a las letras ( x , y…) que se relacionan mediante las funciones.
VARIABLE CUALITATIVA.- Se llama así cuando la variable esta asociada a una característica de cualitativa. Es decir, son variables cuyos valores son cualidades que presenta la población. Por ejemplo: Profesión, lugar de nacimiento, etc.
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VARIABLE CUANTITATIVA.- Se llama así cuando la variable esta asociada a una característica cuantitativa. Es decir, estas surgen cuando se puede establecer cuanto o en que cantidad se posee una determinada característica Por ejemplo: El ingreso familiar, numero de accidentes de transito, longitud, tiempo. Las variables cuantitativas se dividen en discretas y continuas
Variable discreta Los distintos valores que puede tomar un carácter cuantitativo configuran una variable estadística. La variable estatura , en cierta población estadística, toma valores en el intervalo 147-205; y la variable número de hermanos toma los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Una variable estadística como esta última es discreta, ya que sólo admite valores aislados.
Variable continua Una variable estadística es continua si admite todos los valores de un intervalo, como ocurre con la estatura . Las variables también se pueden clasificar en:
Variables unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (por ejemplo: edad de los alumnos de una clase). Variables bidimensionales: recogen información sobre dos características de la población (por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase). Variables pluridimensionales: recogen información sobre tres o más características (por ejemplo: edad, altura y peso de los alumnos de una clase).
Individuo: cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un individuo; si estudiamos el precio de la vivienda, cada vivienda es un individuo. 4. Muestra de población Selección de un conjunto de individuos representativos de la totalidad del universo objeto de estudio, reunidos como una representación válida y de interés para la investigación de su comportamiento. Los criterios que se utilizan para la selección de muestras pretenden garantizar que el conjunto seleccionado represente con la máxima fidelidad a la totalidad de la que se ha extraído, así como hacer posible la medición de su grado de probabilidad. La muestra tiene que estar protegida contra el riesgo de resultar sesgada, manipulada u orientada durante el proceso de selección, con la finalidad de proporcionar una base válida a la que se pueda aplicar la teoría de la distribución estadística. Se distinguen varios tipos de muestras: la muestra simple, en la que cada individuo del universo considerado tiene las mismas probabilidades de resultar elegido; la muestra estratificada, si la selección se realiza sobre grupos o estratos diferentes; y, finalmente, la muestra por agrupamientos, que se basa en los segmentos o asociaciones organizadas dentro del universo considerado.
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Identificación de variables.Marque con una X según corresponda CUANTITATIVA VARIABLE
CUALITATIVA DISCRETA
Ciudad donde naciste Nivel de alcoholemia Tiempo dedicado a chatear Horas que vez TV. Tipo de municipio ( rural , urbano, capital) Número de habitantes del distrito donde vives Frecuancia de asitencia actividades deportivas
a
Tipo de colegio donde estudiaste Cursos de una especialidad en la universidad Cociente intelectual Numero de verbos en un texto. Cantidad en soles de ingresos en una familia. Rendimiento en un examen. Tipo de bebedor (Abstemio, leve, grave) Numero de mensajes enviados desde un celular. Años de estudio en el colegio. Numero de capacitaciones en un año. Conducta electoral Abstención)
(
Vota
Cantidad de alcohol en la sangre.
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–
CONTINUA
Créditos por cada curso aprobado. Actividades que realizas en un fin de semana. Nivel de estudios (inicial, primaria, secundaria, superior) Hablar inglés. Tiempo de espera en un consultorio. Tipo de auto. Nivel de satisfacción laboral ( alto, medio, bajo) Talla de una persona. Estado civil. Número de hermanos. Religión que profesas. Valoración (de 0 a 10) de la actuación de un político. Número de CDs en música criolla en una casa. Numero de cigarrillos que fumas. Marca de cigarrillos que fumas. Sexo de un estudiante. Peso. Estado de salud. Grupo sanguíneo
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DISEÑO O ELABORACION DE FORMULARIOS En toda actividad de carácter científico, lo que se hace en última instancia, es dar respuesta a ciertas preguntas. De a cuerdo con esto, necesitamos un documento donde plantear preguntas y registrar sus respuestas, resultando así que una de las primeras y realmente mas decisiva etapa en cualquier investigación es la confección de formularios.
DEFINICIÓN.- Bajo la denominación de formularios, se incluye toda forma impresa destinada a la recolección de datos. Ejemplo Las historias clínicas; las fichas epidemiológicas, etc. Los formularios recogen dos tipos de datos: Datos administrativos o de identificación. Datos sobre el problema que se estudia. Los primeros ayudan a identificar las unidades estadísticas de observación o incluyen el nombre de la persona, su edad, sexo, residencia o ubicación, fecha de realización del estudio, etc. Los segundos se refieren específicamente al problema que se investiga. Ante de elaborar el formulario debe considerarse: 1. El propósito para el cual será utilizado. 2. Circunstancias bajo las cuales se recogerán la información. Lo primero tiene importancia para decidir sobre los tipos de datos que se recogerán y o segundo para la determinación del tamaño y del material mas conveniente. 1. PRINCIPIOS BASICOS QUE SE DEBE TENER EN CUENTA EN LA CONFECCIÓN DE FORMULARIOS. a) b)
c) -
d)
Decidir sobre los datos que se recogerán En todo formulario se deben recoger solo los datos útiles y adecuados al estudio. Formularios muy extensos no son convenientes Decidir sobre el orden en que se aceptarán los datos La s preguntas deben hacerse de manera lógica y ordenada. Por ejemplo, preguntas sobre ocupación, educación, vivienda y otras referentes a condiciones económicas y sociales no deben estar separadas. Considerar como se hacen las preguntas: Evitar alguna ambigüedad en la pregunta como consecuencia de la respuesta recibida. Todo pregunta efectuad debe tener respuesta. Usar un lenguaje claro y poco técnico. Evitar respuestas inducidas.
Planear como se anotaran las respuestas El espacio que se deja debe ser adecuado para las respuestas que se esperan y siempre que sea posible se adoptará el sistema que exige el menor esfuerzo.
Ejemplo: Sexo:____________________
Sexo: M
F (Marque con un aspa)
Sexo: 1 Masculino 2 Femenino e)
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Elección de varias respuestas debe procurarse que se pueda elegir entre varias respuestas, evitando ambigüedad u omisión de datos.
Ejemplo: Enfermedades que usted ha padecido. ____________________ ____________________ ____________________ Incorrecto
Enfermedades que usted ha padecido Sarampión______ Varicela ______ Bronquitis ______ Correcto
El entrevistado solo marca las que ha padecido y las cuales se desea recoger.
Determinar las características del formulario Decidir sobre la forma, el tamaño, color, etc. Del formulario de acuerdo a ¿quien recogerá la información?, ¿De quien se recogerá la información, ¿Cuándo y donde se recogerán los datos?, ¿Cómo se procesará la información? Realizar estudio piloto Debe realizarse un estudio preliminar antes de que el formulario sea impreso de manera definitiva, con el fin de probarlo y ver la operatividad del formulario y para darse cuenta de las fallas que pueda tener y hacer las correcciones necesarias. Redactar las instrucciones necesarias Aunque se debe tratar de que cada pregunta sea autoexplicativa, de ser necesario, debe redactarse las instrucciones de cómo anotar las respuestas. Estas pueden imprimirse en el mismo formulario o aparte cuando son muy extensas.
f)
g)
h)
EJEMPLO DE CUESTIONARIO Se le pide de favor conteste este cuestionario marcando la alternativa de su preferencia. 1. ¿Cuál es tu edad? _____años 2. Sexo.
a) Femenino
b) Masculino
3. ¿Fumas? a) Si 4. ¿Cuándo fumas? a) Solo e) Otra
b) No b) En fiestas
5. ¿Cuánto tiempo tienes fumando? a) 1 año o menos
c) Estoy nervioso
b) 1 a 2 años
6. ¿Con qué frecuencia fumas? a) Diario b) Cada 3er. día 7. ¿Cuántos cigarros fumas al día? a) de 0 a 4 b) de 4 a 8 d) de 12 a 16 e) 16 o más 8 ¿Haz intentado dejar de fumar? a) Si
b) No
9. ¿Qué métodos haz utilizado? a) Chicles
b) Parches
d) Estoy de mal humor
c) 2 a 4 años
d) 4 o más años
c) Eventualmente c) de 8 a 12
c) Abstinencia
d) Otros
2. VENTAJAS DEL EMPLEO DE MUESTRAS En ocasiones el muestreo es una necesidad, como cuando estamos en presencia de poblaciones virtuales o infinitas, o poblaciones finitas grandes. También es obligado en situaciones como las que se presentan, digamos en el control de calidad de productos farmacéuticos, en que el examen del producto que haya que desechar
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luego de efectuado el control. En otras ocasiones, muestrear constituye una alternativa frente al estudio de todo el universo. La alternativa de muestrear es generalmente favorable, por que ella significa un ahorro de tiempo, recursos y esfuerzo.
3. DESVENTAJA DEL EMPLEO DE MUESTRAS Una de las principales desventajas, es que el empleo de muestras introduce el llamado error de muestreo, que tiene su origen en la variabilidad de los elementos que componen la población, muestras del mismo tamaño arroja resultados diferentes. Supongamos, por ejemplo que tenemos una población formada por cuatro personas, cuyas estaturas son 158, 160, 166 y 172 cm. respectivamente. La talla promedio de esta población es de: υ=
158+ 160+ 166+ 172 4
= 164cm
Si no se considera dicho promedio poblacional, podríamos estimar esta estatura promedio con una muestra, por ejemplo de solo dos individuos. Los resultados serían como se muestran en el cuadro siguiente: Valores Estatura Personas muestrales promedio 158+ 160 1,2 158, 160 = 15 2
1,3
158, 166
1,4
158, 172
2,3
160, 166
2,4
160, 172
3,4
166, 172
158+ 166 2 158+ 172 2 160+ 166 2 160+ 172 2 166+ 172 2
= 16 = 16 = 16 = 16 = 16
Como se observa cada muestra corresponde un valor promedio diferente, y diferente a su vez del verdadero promedio de la población. Esta diferencia entre el valor promedio que arroja la muestra promedio de la población, se llama error de muestreo.
4. CONDICIONES DE UNA BUENA MUESTRA Aunque cualquier parte o subconjunto de una población constituye una nuestra, parece intuitivamente evidente que no cualquier muestra resulta útil para hacer inferencias adecuadas en la población. Las muestras deben cumplir determinadas condiciones. Podríamos decir que estas son dos: -
la relativa al tamaño muestra, y la calidad muestral.
De lo que se trata a menudo es pues, de tener una muestra suficientemente grande pero no mayor de lo necesario. Esto depende generalmente de la frecuencia con que el fenómeno o característica en estudio se encuentre en la población y de la variabilidad de esta. Sin embargo, el tamaño por si solo no puede garantizar que la muestra sea útil o adecuada. Por ejemplo, pensemos lo que ocurriría si para estudiar la presencia del cólera en la población de la ciudad de Lima, tomaríamos una muestra del cercado de Lima. Esta muestra auque fuese tan grande que cubriera toda la población del cercado, no seria una muestra representativa d la población. Entonces, la condición de calidad solo se garantiza con muestra representativas, que son las producen las características esenciales que posee la población que se desea
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estudiar, y con muestra exentas de errores sistemáticos, que son originados al no tener en cuenta determinados principios de selección.
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EJERCICIOS 1. Se tienen 10 vendedores empleados por la empresa Ford. Las cantidades de autos nuevos vendidos el mes pasado por cada vendedor fueron: 15, 23, 4, 19, 18, 10,10, 8, 28, 19. . Calcular el promedio 2. El departamento contabilidad en una compañía de pedidos por correo, contó los siguientes números de llamadas que entraron por día al teléfono de uso sin cargo de la empresa. Durante los primeros siete en mayo de 1998:14, 24, 19. 31, 36, 26. 17. Calcular el promedio 3. La empresa de servicio eléctrico Cambridge Power, selecciono 20 clientes residenciales al azar los siguientes son los importes (en dólares, redondeados a unidades) que se cargaron a los clientes por el servicio eléctrico en el ultimo mes. 54 48 58 50 25 47 75 46 60 70 67 68 39 35 56 66 33 62 65 67 Calcular el promedio 4. El director de personal en la Clínica “Santa Maria” comenzó a realizar un estudio acerca de las horas de tiempo extra de las enfermeras registradas. Se seleccionaron al azar 15 de ellas, y durante el mes de junio se anotaron las siguientes horas de tiempo extra: 13 13 12 15 7 15 5 12 6 7 12 10 9 13 12 Calcular el promedio 5. El restaurante “La Pizza Loca” vende refrescos de tres tamaños: pequeño, mediano y grande. El tamaño pequeño cuesta $0.50 (en dólares), el mediano $0.75, y el grande $1.00. Ayer se vendieron 20 pequeños, 50 medianos y 30 grandes. ¿Cuál fue el precio medio ponderado por refresco? 6. Una librería especializada se concentra principalmente en libros usados. Los libros de pasta rústica cuestan 1.00 dólar cada uno, y los de pasta dura, 3.50 dólares. De los 50 libros vendidos el pasado martes por la mañana, 40 fueron de pasta rústica, y el resto de pasta dura. ¿Cuál fue el precio medio ponderado de un libro? 7. El Hospital Metropolitano emplea 200 personas en su cuerpo de enfermeras. De ese personal, cincuenta son ayudantes de enfermera, 50 son enfermeras prácticas y 100 son enfermeras registradas. Las primeras reciben un sueldo de $8 (dólares) por hora; las segundas, ganan $10 por hora, y las últimas $14 por hora. ¿Cuál es el valor medio ponderado del sueldo por hora? 8. El bufete de abogados Sánchez C. y Asociados se especializa en derecho corporativo. Cobra un cargo por hora de $100 (dólares) por la investigación de un caso, uno de $75 por consultas y uno de $200 por la redacción de un informe La semana pasada uno de los socios dedicó 10 horas a consulta con un cliente, 10 horas a la investigación del caso y 20 horas a la elaboración del informe. ¿Cuál fue el valor medio ponderado de los servicios legales? 9. Conteste: ¿Son representativas las siguientes muestras? a) Se entrevista a los estudiantes de una clase de estadística de sus actitudes hacia la legalización del aborto; sus respuestas se utilizaran para predecir la opinión de la comunidad universitaria en lo referente a este problema. b) El editor de una revista desea predecir el resultado de la siguiente elección presidencial y con esta finalidad entrevista a 1000 suscriptores de su revista para determinar sus preferencias al votar. 10. Una organización no lucrativa esta efectuando una encuesta domiciliaria de opinión sobre los servicios que presta la municipalidad a la comunidad. La organización ha ideado un esquema para realizar el muestreo aleatorio de las casas y planea efectuar la encuesta los días laborales de las 12 del día a las 5 de la tarde. ¿Producirá este esquema una muestra aleatoria?
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PROMEDIOS Definición.- Promedio es una cantidad tal que de varias diferentes ésta es menor que la superior y mayor que la inferior. Hay varios tipos de promedios, los cuales tienen mecha aplicación en la Estadística (mediana, moda, etc.), para nuestro caso solo veremos los siguientes: MEDIA ARITMÉTICA (MA) Si tenemos “n” cantidades, cuyos valores son: a1 , a2 , a3 ,...an ; La media aritmética o promedio aritmético de ellos será: Pn =
Sumade las cantidades a1 + a2 + a3 + ...an = N°deCantidad es n
PROMEDIO ARITMÉTICO PONDERADO o simplemente PROMEDIO PONDERADO, esta ponderación se considera como significación, peso, importancia o número de veces. Entonces: CANTIDADES PESOS(# VECES) a1 n1 a2 n2 a3 n3 a4 n4 a5 n5 . . . . . . ax nx
DE
TOTAL a1n1 a2n2 a3n3 a4n4 a5n5 . . . axnx
Ahora el promedio ponderado (simbolizado por Pp o Pm) es: a n + a2n2 + a3n3 + ...axnx Pm = 1 1 n1 + n2 + n3 + ...nx
Así, si 10 Kg. de arroz cuesta 0,8 soles el Kg., se mezclan 15 Kg. de arroz de S/ 0,84 y 25 Kg. de otro arroz que cuesta 0,92 el Kg. ¿Cuánto costará el Kg. de arroz, si todo se mezcla?
Pm=
CANTIDADE S
S/ Kg
10 15 25
0,8 0,84 0,92
10x0,8+ 15x0,84+ 25x0,9 10+ 15 + 25
8 + 12,6+ 23 43,6 = = 0,872 50 50 Rpta El Kg. de arroz costará S/ 0,872 Pm=
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TOTA L
8 12,6 23
EJERCICIOS 1.Jorge tiene un promedio en sus notas de 12,62 puntos en cuatro exámenes. Si primera es de 16,34 la segunda de 08, la tercera de 14,14 ¿Cuánto es la cuarta nota? 2.En un salón de clases de 20 alumnos, la nota promedio es 14 en Matemática; en el mismo curso la nota promedio para un aula de 30 alumnos es 11 ¿Cuál será la nota promedio, si se juntan a los 50 alumnos? 3.La suma de dos números es 100 y su media armónica es 32. La media geométrica de ellos es: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 4.Hallar uno de tres números que tienen como promedio 50, si se sabe que el promedio de los otros 2 es 65. a) 100 b) 120 c) 130 d) 20 e) 150 5.Se mezclan 30 litros de vino de 5 soles, con 20 litros de vino de 4 soles el litro y una cantidad no determinada de vino de 6 soles el litro, obteniéndose un precio promedio de 5,3 soles por litro ¿Cuántos litros corresponden al vino de 6 soles? a) 50 b) 230 c) 10 d) 50 e) 35 6.-
Las notas de un alumno son: Examen Parcial Examen Oral Examen Final
NOTA
PESO
13 10 ?
1 2 3
¿Cuánto tuvo en el examen final si su promedio fue de 11? a) 10 b) 20 c) 11 d) 15 e) 05 7.¿Cuál es el promedio de edad entre 5 amigos, Si Antonio tiene 10 años, José 2 años menos que Antonio, Luis 3 años más que la semi-suma de las edades de Antonio y José, Miguel es contemporáneo de Antonio y Pedro tiene el doble de la de José? a) 11 años b) 11,2 años c) 12,1 años d) 12 años e) 12,2 años 8.El promedio de 20 alumnos en álgebra es 12, el de otros 13 alumnos es 14, y el de otros 27 es 18. ¿Cuál será el promedio en general de todos ellos? a) 17,20 b) 15,13 c) 14,32 d) 15,09 e) 15,32 9.Se compran las siguientes cantidades de aceite a los precios que se indican: 30 litros a S/ 15 cada litro 30 litros a S/ 18 cada litro 40 litros a S/ 15,25 cada litro Se pide calcular el precio promedio de la mezcla. a) S/ 14,5 b) S/ 16,00 c) S/ 12,00 d) S/ 15,00 e) S/ 14,25 10.El promedio de edad de cuatro hermanos es 40; calcular la edad del mayor si se sabe que tiene el doble de la edad del tercero, y que entre los otros dos tienen 16 años a) 8 años b) 5 años c) 11 años d) 96 años e) 10 años
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ESTADISTICOS Y PARAMETROS INTERPRETACION DE POSICION CENTRAL, MEDIA, MEDIANA, MODA Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. Estas medidas permiten conocer diversas características de esta serie de datos. Las medidas de posición son de dos tipos:
a) Medidas de posición central: informan sobre los valores medios de la serie de datos. b) Medidas de posición no centrales : informan de como se distribuye el resto de los valores de la serie. a) Medidas de posición central Las principales medidas de posición central son las siguientes:
Media Número calculado mediante ciertas operaciones a partir de los elementos de un conjunto de números, x 1, x 2,…, x n, y que sirve para representar a éste. Hay distintos tipos de medias: media aritmética, media geométrica y media armónica. La media aritmética es el resultado de sumar todos los elementos del conjunto y dividir por el número de ellos:
La media geométrica es el resultado de multiplicar todos los elementos y extraer la raíz nésima del producto:
La media armónica es el inverso de la media aritmética de los inversos de los números que intervienen:
Por ejemplo, para el conjunto de valores 4, 6, 9:
En estadística, la media es una medida de centralización. Se llama media de una distribución estadística a la media aritmética de los valores de los distintos individuos que la componen.
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Mediana En estadística, una de las medidas de centralización. Colocando todos los valores en orden creciente, la mediana es aquél que ocupa la posición central. En geometría, cada uno de los tres segmentos rectilíneos que unen un vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto. Moda (matemáticas) En estadística, el valor que aparece con más frecuencia en un conjunto dado de números. Es una de las medidas de centralización. En el conjunto {3,4,5,6,6,7,7,7,10,13} la moda es 7. Si son dos los números que se repiten con la misma frecuencia, el conjunto tiene dos modas. Otros conjuntos no tienen moda.
Ejemplo: vamos a utilizar la tabla de distribución de frecuencias con los datos de la estatura de los alumnos Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas (Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada x x x x x 1,20 1 1 3,3% 3,3% 1,21 4 5 13,3% 16,6% 1,22 4 9 13,3% 30,0% 1,23 2 11 6,6% 36,6% 1,24 1 12 3,3% 40,0% 1,25 2 14 6,6% 46,6% 1,26 3 17 10,0% 56,6% 1,27 3 20 10,0% 66,6% 1,28 4 24 13,3% 80,0% 1,29 3 27 10,0% 90,0% 1,30 3 30 10,0% 100,0% Vamos a calcular los valores de las distintas posiciones centrales: 1.- Media aritmética: (1,20*1) + (1,21*4) + (1,22 * 4) + (1,23 * 2) + ......... + (1,29 * 3) + (1,30 * 3) Xm = -------------------------------------------------------------------------------------------------30 Luego: Xm = 1,253 Por lo tanto, la estatura media de este grupo de alumnos es de 1,253 cm. 2.- Media geométrica: X= ((1,20^ 1) * (1,21^4) * (1,22^ 4) * .....* (1,29^3)* (1,30^3)) ^ (1/30) Luego: Xm = 1,253 En este ejemplo la media aritmética y la media geométrica coinciden, pero no tiene siempre por qué ser así. 3.- Mediana: La mediana de esta muestra es 1,26 cm, ya que por debajo está el 50% de los valores y por arriba el otro 50%. Esto se puede ver al analizar la columna de frecuencias relativas acumuladas. En este ejemplo, como el valor 1,26 se repite en 3 ocasiones, la media se situaría exactamente entre el primer y el segundo valor de este grupo, ya que entre estos dos valores se encuentra la división entre el 50% inferior y el 50% superior.
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4.- Moda: Hay 3 valores que se repiten en 4 ocasiones: el 1,21, el 1,22 y el 1,28, por lo tanto esta seria cuenta con 3 modas.
MEDIA, MEDIANA Y MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS EJERCICIOS 1.- Los datos siguientes corresponden al número de libros prestados por día. 35 47 22 15 13 28 39 41 43 36 24 23 17 19 21 31 35 37 41 43 47 5 12 19 Hallar media, mediana y moda. 2.- El número de goles de un equipo de fútbol en 26 partidos son: 2, 4, 6, 6, 4, 4, 5, 5, 4, 7, 3, 5, 4, 3, 3, 5, 6, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 2, 4 Resumir los datos anteriores en una tabla de frecuencias absolutas y relativas 3.- Los pesos, en Kg. de 20 alumnos de cierto centro son: 51,47, 55, 53, 49, 47, 48, 50, 43, 60, 45, 54, 62, 57, 46, 49, 52, 42, 38, 61. Calcular la media y moda de los datos. 4.- Los datos siguientes representan la temperatura del fluido de descarga de una planta para el tratamiento de aguas negras durante varios días consecutivos. 43 47 51 48 52 50 46 49 45 52 46 51 44 49 46 51 49 45 44 50 48 50 49 50 a) Calcular la distribución de frecuencias de los datos b) Calcular la media muestral , la mediana y la moda 5.- Se controló el tiempo, en horas, de utilización de dos impresoras en una empresa, en una serie de días elegidos al azar, y se obtuvieron los siguientes resultados: a) Impresora I: 3.2 2.1 2.7 3.4 1.9 4.2 3.8 2.6 5.2 4 b) Impresora II: 3.4 3.3 2.5 4.6 2.8 3.6 4.3 Hallar el tiempo medio de utilización de cada impresora 6.- El gerente local de Food Queen está interesado en el número de veces que un cliente compra en su almacén durante un período de dos semanas. Las respuestas de 51 clientes fueron: 5 3 3 1 4 4 5 6 4 2 6 6 6 7 1 1 14 1 2 4 4 4 5 6 3 5 3 4 5 6 8 4 7 6 5 9 11 3 12 4 7 6 5 15 1 1 10 8 9 2 12
a) Elabora una tabla de frecuencias de los datos b) Calcular la media muestral , la mediana y la moda
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EJERCICIOS 1.- El número de nuevos lectores que se dan de alta por día en una biblioteca y para un total de 16 días viene dado por la siguiente tabla: Nuevos Días Lectores 12 1 13 2 14 2 15 4 16 3 17 2 18 2 Hallar media, mediana y moda. 2.- Los datos siguientes corresponden al número de libros prestados por día. 35, 47, 22, 15, 13, 28, 39, 41, 43, 36, 24, 23 17,19, 21, 31,35, 37, 41, 43, 47, 5, 12, 19 Hallar media, mediana y moda. 3.- Los siguientes son los números diarios de chompas, terminadas y listas para ser entregadas por una fabrica de ropa, durante un periodo de 20 días: 142, 163, 108, 157, 124, 132, 135, 130, 140, 128, 136, 133, 146, 137, 149, 137, 131, 129, 144 y 139. Determine la media del número diarios de chamarras terminadas y listas para ser entregadas. 4.- Veinticinco entrevistas de personal durante 37, 30, 23, 46, 42, 18, 40, 58, 43, 39, 55, 64, 42, 28, 21, 57, 40, 57, 59, 42, 35, 26, 13, 42 y 38 minutos. Determinar: a) la mediana, b) la media, c) la moda de la duración de esta entrevista. 5.- Los siguientes datos corresponden a los resultados obtenidos en un examen de Estadística: 25 – 26 – 28 – 24 – 26 – 29 – 31 – 33 – 25 – 40. Determina la mediana de la serie. 6.- Dada la siguiente serie: 22 – 25 – 28 – 25 – 24 – 25 – 23 – 27 – 26 – 25 – 14 – 26 – 27. Calcule la moda. 7.- En 10 días un banco tuvo 18; 13; 15; 12; 8; 3; 7; 14; 16 y 3 transacciones con moneda extranjera. Determine la Mediana. 8.- La inspección de 18 rollos de tela de algodón reveló 2; 0; 1; 0; 2; 1; 1; 0; 0; 4; 0; 1; 0; 0; 0; 3; 1 y 0 defectos de fabricación. Determine la media, mediana y la moda de estos defectos. 9.- Las puntuaciones finales de un estudiante en Matemática, Física, Inglés e Higiene son, respectivamente, 82, 86, 90 Y 70. Si el crédito que se asigna a estas asignaturas es de 3, 5, 3 y 1, respectivamente, determine el promedio de puntuación adecuado
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MEDIDAS DE DISPERSIÓN RESPECTO A LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las medidas de dispersión permiten tener una idea de cómo se agrupa la población o la muestra con respecto a las medidas de tendencia central y también pueden ser definida como la variación en tamaño que existe entre los individuos o conjuntos que constituyen la serie o la distribución Entre las medidas de dispersión más importantes tenemos: EL RANGO O RECORRIDO: El recorrido o campo de variación de la variable, es la diferencia entre el mayor valor que toma la variable y el menor. Por ejemplo, si el mayor valor es 85 y el menor es 17, entonces el recorrido es:
DESVIACION MEDIA: Corresponde a la diferencia numérica entre una medida individual o número y la media aritmética de una serie completa de tales medidas o números. Por ejemplo, si la media de alturas de todos los alumnos de un curso es 1,51 m y uno de ellos mide 1,63m, la desviación media de su altura con respecto a la media es de +0.12 metros.
DM = x − x
DESVIACIÓN ESTANDAR: Es un dato que representa la variabilidad existente en un conjunto de datos, ya que por ejemplo dos conjuntos de datos pueden presentar la misma media aritmética, pero poseer distinta variabilidad, por eso este estadígrafo nos permite saber acerca de la variabilidad o dispersión de los datos. Matemáticamente se define como "la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de las desviaciones medias de cada valor de la variable con respecto de la media aritmética"
DE = s
=
(x − x)
Σ
2
x −1
VARIANZA: Este tipo de medida nos permite saber la variabilidad de las puntuaciones en una muestra. Esta medida nos permite identificar la diferencia promedio que hay entre cada uno de los valores respecto a su punto central ( Media ). Este promedio es calculado, elevando cada una de las diferencias al cuadrado (Con el fin de eliminar los signos negativos), y calculando su promedio o media; es decir, sumado todos los cuadrados de las diferencias de cada valor respecto a la media y dividiendo este resultado por el número de observaciones que se tengan.
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Ejemplo: Determine cada uno de los estadígrafos (media aritmética, media geométrica, media armónica, mediana y moda) y las medidas de dispersión (rango, desviación media y las desviación estándar) 1-2-2-2-3-3-4-4-5-6-7-7-8-8-8 - 8- 8- 8 - 8 - 9 - 9 - 10 - 12 - 13 - 15 - 16 - 19
Solución: a) Media Aritmética:
205 27
= 7,5 es
el valor de la media aritmética para los datos
dados. b) Mediana: En los datos anteriores, la mediana es el valor: c) Moda: De los datos anteriores, la moda corresponde a : d) Rango: e) Desviación media: Datos = 1- 2 - 2 - 2 - 3 - 3 - 4 - 4 - 5 - 6 -7 - 7 - 8 - 8 8 D. media = -6.5 , -5.5, -5.5 , -5.5 , -4.5 , -4.5 , -3.5 , -3.5 , -2.5 , -1.5 , -0.5 , -0.5 , 0.5 , 0.5 , 0.5 Datos = 8 - 8 - 8 - 8 - 9 - 9 - 10 - 12 - 13 - 15 - 16 - 19 D. media = 0.5 , 0.5 , 0.5 , 0.5 , 1.5 , 1.5 , 2.5 , 4.5 , 5.5 , 7.5 , 8.5 , 11.5. f) Desviación estándar: •
las desviaciones medias de cada valor, calculadas anteriormente se elevan al cuadrado 42.25 , 30.25 , 30.25 , 30.25 , 20.25 , 20.25 , 12.25 , 12.25 , 6.25 , 2.25 , 0.25 , 0.25 , 0.25 , 0.25 , 0.25 , 0.25 , 0.25 , 0.25 , 0.25 , 2.25 , 2.25 , 6.25 , 20.25 , 30.25 , 56.25 , 72.25 , 132.25.•
la suma de los cuadrados se divide por el promedio menos 1 =
530.75 •
/ 7.5 - 1 = 81.65
calculamos la raíz cuadrada de 81.65 =
√ 81.65 = 9.04 •
el valor de la desviación estándar es de 9.04 en el ejemplo señalado.
Ejemplo: El director del programa de educación a distancia tiene 10 solicitudes para su admisión el próximo verano. Las calificaciones de la prueba sobre treinta puntos de los solicitantes son: 27, 20, 28, 27, 25, 25, 26, 20, 26, 26 etermine cada uno de los estadígrafos (media aritmética, media geométrica, media armónica, mediana y moda) y las medidas de dispersión (rango, desviación media y las desviación estándar) de las notas obtenidas
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PRESENTACION Y ORDENAMIENTO DE DATOS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS a) Rango (R ) .- Se define como la diferencia entre el mayor de los datos y el menor de los datos, esto es: Xmax
Xmin
−
b) Numero de Intervalos de clase (K ) .- No existen reglas fijas para determinar el valor de K. Si este es muy pequeño, entonces se pierde información, si K fuese muy grande se introducen irregularidades. Generalmente entre 5 y 20. Si [a, b[ es el intervalo de clase, se define: a = limite inferiordelintervalode clase b
de clase = limitesuperiordelintervalo
c) Marcas de Clase xi' .- Se le llama marca de clase a los valores representativos de todos los valores incluidos en el intervalo respectivo; equivale a la semisuma de los límites inferior y superior de un intervalo. (a + b ) '
xi
=
i
i
2
d) Amplitud del intervalo ( Ai ) .- La amplitud es el tamaño numérico que existe entre los intervalos, esto es: Ai =
R K
e) Frecuencia Absoluta ( f i ) .- Es el número de datos que corresponde la i- ésimo intervalo de clase. f) Frecuencias Acumuladas (Fi ) .- Se define la frecuencia acumulada del i- ésimo intervalo de clase como la suma de las frecuencias absolutas, primeros intervalos.
f i
, correspondientes a los i
i
Fi = f 1 + f 2 + f 3 +...f i = ∑f j j =1
g) Frecuencia Relativa ( hi ) .- Número de casos que toman un valor en relación con el número total de casos analizados. La importancia que tiene la frecuencia relativa, es que mide el “peso” que tiene cada frecuencia absoluta respecto al número total de observaciones hi =
f i n
donden es el númerototalde dato
h) h) Frecuencias Relativas Acumuladas (Hi ) .- Se define la frecuencia relativa acumulada del i- ésimo intervalo de clase como la suma de las frecuencias relativas , hi , correspondientes a los i primeros intervalos. i
Hi = h1 + h2 + h3 + ...hi = ∑h j j =1
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Propiedades: Las frecuencias absolutas y las frecuencias acumuladas son siempre enteros no negativos. La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al número total del conjunto de observaciones. Las frecuencias relativas y las frecuencias relativas acumuladas son siempre números fraccionarios no negativos, no mayores que uno. Ejemplo: 1. Dados las siguientes estaturas, en centímetros, de 35 alumnos en edad escolar, entre 11 y 13 años: 151 152 154 157 159
151 152 154 157 159
151 152 154 157 159
151 153 154 158 160
152 153 154 158 162
152 153 155 158 163
152 153 155 158 163
Construir una distribución de frecuencias con K = 5 intervalos de clase de igual amplitud Solución: a) Rango: Xmax − Xmin = 163 – 151= 12 cm. 12 cm b) Como K = 5, entonces la amplitud será: A = = 2,4 cm redondeando la 5 respuesta por exceso A = 3 c) Formando la tabla de Distribución de Frecuencias: i
Ii
xi'
f i
Fi
hi
hi %
Hi
1 [151,15 2 [154,15 3 [157,16 4 [160,16 5 [163,16 Ejemplo: La siguiente son las notas de 50 alumnos, Construir una distribución de frecuencias con K = 10 intervalos de clase de igual amplitud
88 - 77 - 74 - 64 - 67 - 69 - 49 - 82 - 69 - 71 38 - 65 - 86 - 68 - 77 - 84 - 66 - 73 - 75 - 58 94 - 78 - 67 - 75 - 78 - 89 - 69 - 91 - 84 - 62 50 - 72 - 39 - 62 - 58 - 74 - 79 - 81 - 70 - 79 90 - 81 - 79 - 86 - 97 - 78 - 75 - 90 - 98 - 81.
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ELABORACION DE TABLAS Para datos No Agrupados Construya un cuadro de distribución de frecuencias para cada uno de los ejercicios 1.- La agencia de viajes TRAVEL PERU, una agencia de viajes nacional, ofrece tarifas especiales en ciertas travesías por el Cuzco a ciudadanos de la tercera edad. El presidente de la agencia quiere información adicional sobre las edades de las personas que viajan. Una muestra aleatoria de 40 clientes que hicieron un viaje el año pasado dio a conocer las siguientes edades. 77 34 62 71
18 63 44 41 65 61
84 58 52
38 58 60
54 53 60
50 51 45
59 62 66
54 43 83
56 52 71
36 53 63
23 63 58
50 62 67
2.- El gerente de un local de comida rápida está interesado en el número de veces que un cliente compra en su local durante un período de dos semanas. Las respuestas de 51 clientes fueron: 5 3 3 1 4 4 5 6 4 2 6 6 6 7 1 1 14 1 2 4 4 4 5 6 3 5 3 4 5 6 8 4 7 6 5 9 11 3 12 4 7 6 5 15 1 1 10 8 9 2 12 3.- Los siguientes datos presentan las cantidades mensuales (en dólares), gastadas en comestibles según una muestra de hogares 271 363 159 76 227 337 295 319 250 279 205 279 266 199 177 162 232 303 192 181 321 309 246 278 50 41 335 116 100 151 240 474 297 170 188 320 429 294 570 342 279 235 434 123 325 4.- Los siguientes datos indican el número de minutos que ocuparon sus asientos 50 clientes de una cafetería. 73 75 58 43 49
65 67 75 51 47
82 65 89 59 55
70 60 70 38 60
45 75 73 65 76
50 87 55 71 75
70 83 61 75 69
54 40 78 85 35
32 72 89 65 45
75 64 93 85 63
5.- Los siguientes datos indican la talla de un grupo de alumnos
1,68 1,66 1,72 1,73 1,75
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1,72 1,70 1,74 1,75 1,77
ESTATURA DE PERSONAS EN METROS 1,70 1,67 1,76 1,82 1,59 1,66 1,68 1,65 1,74 1,80 1,57 1,64 1,72 1,69 1,78 1,84 1,61 1,69 1,75 1,72 1,81 1,87 1,64 1,70 1,76 1,72 1,81 1,87 1,64 1,72
1,82 1,80 1,84 1,86 1,87
1,70 1,68 1,74 1,74 1,77
EJERCICIOS
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