Geometría
Lib
d
t {i i db 59
20/09/2014 09 10 26
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/
1 Prisma y tronco de prisma Superficie prismática Se llama superficie prismática, a aquella que genera una recta (generatriz), al deslizarse paralelamente a su posición inicial, a lo largo de una poligonal o polígono (directriz). Si la directriz es una poligonal, la superficie prismática es abierta. Si es un polígono, la superficie es cerrada. n
r
Q R A
P
B C D
Superficie prismática abierta r : generatriz ABCD: directriz
T
S
Superficie prismática cerrada n : generatriz PQRST: directriz
Prisma Un prisma, es el poliedro determinado al interceptar una superficie prismática cerrada, mediante dos planos paralelos entre sí. La figura adjunta muestra un prisma. Las regiones poligonales ABCDE y A’B’ A’B’C’D’E’ C’D’E’ son paralelas y corresponden a los polígonos congruentes. congruentes. Estas dos caras son las «bases» del prisma y la distancia entre ellas es la altura del sólido. Las demás caras son regiones paralelográmicas, llamadas «caras laterales»; sus intersecciones se llaman «aristas paralelas». Todas las aristas laterales son paralelas y congruentes.
B
C D
A E C’
E’
A’
D’ E’
Clasificación de los primas Se clasifican en: recto, oblicuo y regular
a) Prisma recto Es aquel cuyas aristas aristas laterales son perpendiculares a las bases. Las caras laterales son regiones rectangulares, y las aristas laterales son congruentes a la altura. a ltura.
b) Prisma oblicuo Tiene sus aristas laterales oblicuas a las bases. Según sus bases sean regionales triangulares, cuadrangulares, pentagonales, pentagonales, etc, los primas se llaman triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc. Por ejemplo, la figura (a) muestra un prisma recto triangular. 5.°
AÑO
61
(a )
(b)
1
GEOMETRÍA
/
/
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA
c) Prisma regular
Nota
Si B y SR, son las áreas de la base del prisma y de la sección recta, respectivamente; entonces: SR=BCosβ donde β, es la medida del ángulo diedro
Aquel prisma recto, cuyas bases corresponden a polígonos regulares. (En cualquier otro caso, el prisma no es regular)
que forman los planos que contienen a la base del prisma y a la sección recta.
Secciones de un prisma
Una «sección» de un prisma, es la región determinada por la intersección del prisma con un plano. Una «sección transversal» de un prisma, es la sección del prisma con un plano paralelo a la base. Una «sección recta» de un prisma, es la sección del prisma con un plano perpendicular a las aristas laterales. Por ejemplo, la sección PQR, en la siguiente figura.
P SR Q
R
B
Paralelepípedo Aquel prisma cuyas bases son regiones paralelográmicas.
Clasificación de paralelepí paralelepípedos pedos Se clasifican en a) Paralelepípedo recto: sus aristas laterales laterales son perpendiculares a las bases. Las caras laterales son regiones rectangulares. b) Paralelepípedo: tiene sus aristas laterales laterales oblicuas a las bases. Las seis caras son son regiones paralelográmicas. c) Paralelepípedo rectangular: rectangular: aquel paralelepípedo paralelepípedo recto cuyas bases son regiones regiones rectangulares. Llamado también rectoedro. d) Cubo: es un paralelepípedo rectangular que tiene todas sus sus aristas congruentes. congruentes. e) Romboedro: aquel aquel paralelepípedo paralelepípedo que tiene por bases regiones regiones romboédricas. romboédricas.
d
c
b
a Paralelepípedo rectangular (rectoedro) d: longitud de la diagonal d2 = a2 + b2 + c2
Paralelepípedo oblicuo
Fórmulas
I. Superficie lateral y total de un prisma La superficie lateral de un prisma es la suma de las superficies superficies de todas sus caras laterales. laterales. La superficie total del prisma es la suma de superficie material y de las dos bases. A dichas superficies se refieren las áreas lateral y total.
Teorema
El área lateral de un prisma prisma oblicuo oblicuo es el producto producto del perímetro de una sección recta por la longitud longitud de una arista lateral. Así, para el prisma de la figura: a → longitud de la arista lateral P → perímetro de la sección recta
1
GEOMETRÍA
62
5.°
AÑO
/
/
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA
También, el volumen de un prisma, es el producto del área de una sección recta por una arista lateral. Así, llamado SR, el área de una sección recta: V = (SR) ⋅ a
B
Sección recta
h a
αº
B
El área lateral:
SL = pa
Área total Si B, es el área de cada base, el área total será: ST = SL + 2B
II. Volumen de un prisma El volumen de un prisma es el producto del área de una base por su altura. Si h, es longitud de la altura del prisma: V = B ⋅ h
Observaciones
En la figura anterior, αº, es la medida del ángulo que forman las aristas laterales con las bases. Es evidente que, en un prisma oblicuo, α < 90 y h < a. Además, el área de la sección recta, es menor que el área de la base: SR < B. En un prisma recto: α = 90; h = a y SR = B. De lo anterior, se deduce que, el área lateral de un prisma recto, es el producto del perímetro de una base por una arista lateral. Asimismo, el volumen es igual a producto del área de una base por la arista lateral. Si a, b y c, son longitudinales de tres aristas concurrentes de un paralelepípedo rectangular, entonces su volumen será: V=a⋅b⋅c
Si se extiende (se desarrolla) la superficie lateral de un prisma, a p artir de una arista lateral, (por ejemplo: PQ ), de modo que todas las caras laterales queden coplanarias, se dice que se ha desarrollado dicha superficie. P M P R M P’ R Q
N
Q
F
F
N
Q’
Tronco de primas Se obtiene al interceptar la superficie lateral de un prisma, con plano no paralelo a las bases. Las caras laterales son trapecios.
5.°
El volumen es igual al producto del área de una sección recta y la longitud del segmento que une los centros de gravedad de las bases del tronco ( CG’). (Las secciones rectas del tronco son las mismas que el prisma original). Existen fórmulas sencillas para evaluar el volumen de un tronco de prisma de base triangular. Así, para el tronco de la figura 2; el volumen V, se evalúa: h + h + h V = (área AEC) ⋅ 1 2 3 3
AÑO
63
G’
G Fig. 1
1
GEOMETRÍA
/
/
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA
R
F Q h1
También, se pueden presentar gráficos como en la figura 4; donde B es el área de la base, del tronco de prisma recto.
h3
V=B
V=B⋅
b=0
h2
A
a 3
b=0;c=0
C E
a
a
c
Fig. 2
V = (área de una sección recta) ⋅
AF + EQ + CR 3
c
A veces, es frecuente tener troncos originados al interceptar la superficie lateral de un prisma con dos planos como en la figura 5; donde AB , CD y EF son aristas del tronco. área de una ⋅ AB + CD + EF V = sección recta 3
Si el tronco de prisma es recto (originado de un prisma recto), y de base triangular, las caras laterales resultan trapecio rectángulos. (fig. 3). En este caso: a +b + c V=B⋅ 3
a
B
B
También, para la misma figura 2:
a+c 3
C E A Sección recta
Fig. 3 B
b
F
B a, b, c: longitudes de las aristas laterales B: área de la base del prisma recto original.
D
CILINDRO Y TRONCO DE CILINDRO Superficie cilíndrica Es la superficie generada, al deslizarse una recta (generatriz), a lo largo de una curva, (directriz), manteniéndose paralela a su posición inicial. r C2 r Fig. 1
C1
C2
Fig. 2
1
GEOMETRÍA
64
5.°
AÑO
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/
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA
En la figura 1: r, es la generatriz de la superficie cilíndrica y c1, la directriz. Como c1 no es cerrada, la superficie obtenida es abierta. En la figura 2: c2 es una curva cerrada, luego, la superficie generada es cerrada.
Cilindro de revolución Se genera al girar una región rectangular, una vuelta, alrededor de un eje que contiene a un lado. Las bases son círculos y la altura mide igual que la generatriz. Es también llamado cilindro circular recto.
Cilindro Es el sólido obtenido al interceptar una superficie cilíndrica cerrada, por medio de dos planos paralelos. Las regiones que determinan dichos planos, son las bases del cilindro y la distancia entre ellos es la altura. Las bases son congruentes. Si «B», es el área de una base y «h» longitud de la altura; el volumen del sólido se evalúa:
g
g
r
h
e j e
V = B ⋅ h B
r B g
SR
h
Fórmulas: Área lateral:
B
Área total:
En la figura, el segmento de longitud g, es la generatriz del cilindro. La sección recta del cilindro, es la intersección del sólido con un plano perpendicular a las generatrices. (Todas las generatrices del cilindro, son congruentes). El cilindro es oblicuo, si las generatrices son oblicuas a las bases. El cilindro es recto, si las generatrices son perpendiculares a las bases. En este caso: g = h y además, las secciones rectas son congruentes a las bases. Si «C», es el perímetro de una sección recta, entonces el área de la superficie lateral, se expresa:
SL = 2πrg St = SL + 2B
Volumen: V = Bh
En este caso: B = πr2
Desarrollo de la superficie lateral Es la región rectangular, obtenida al extender (desarrollar) la superficie lateral, de modo que los lados del rectángulo sean la generatriz y las circunferencias de las bases, del cilindro de revolución original.
SL = C ⋅ g Y, el área total:
St = SL 2B
g
Si SR, es el área de una sección recta, el volumen: V = (SR) ⋅ g 2πr
5.°
AÑO
65
1
GEOMETRÍA
/
/
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA Nota
En el caso de un cilindro oblicuo, el desarrollo puede resultar romboide o rombo.
g
g
Tronco de cilindro Se obtiene al intersectar la superficie lateral de un cilindro, con un plano no paralelo a las bases. O
V = πr2
0+G 2
∴ V = πr2 G 2
G
g
G O’ En la figura 1, OO’ es el eje del tronco; g y G, son longitudes de dos generatrices opuestas. (g < G). Las secciones rectas del tronco son las mismas que del cilindro original. El volumen se puede evaluar, así:
Otras posibilidades
h
V = (área de una sección recta) ⋅ OO’ g+G Donde: OO’ = 2 Si el tronco se deriva de un cilindro de revolu ción, su volumen es: g+G V = πr2 2 (figura 2)
Fig.3
g=0
H B
V=Β
Si una generatriz es nula, el sólido se llama «cuña cilíndrica». Por ejemplo, en la figura 3: elipse
h+H 2
h y H: alturas (h < H) B: área de la base
Tronco de cilindro de revolución, con dos bases elípticas. área de la sección recta: πr2
G g
V = πr2
g+G 2
g
r
G
r (Si g = 0, se trata de una cuña cilíndrica)
base (círculo)
1
GEOMETRÍA
66
5.°
AÑO
/
/
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA
Algunos «desarrollos» de las superficies laterales de troncos de cilindro, son: a) elipse L/2 (longitud L) G
g
L/2 G
g
r 2πr circunferencia b)
elipse (longitud L)
g
L 2
L 2
r
2πr
(aprox.)
g
G
L’ 2
elipse (longitud L’) elipse (longitud L)
L’ 2
L 2
G g=0
G
L 2 (aprox.)
2πr
Problemas resueltos 1. Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad. Se suelta un pedazo metálico y el nivel del agua sube en 3,5 cm. Si el diámetro del cilindro es 8 cm, ¿cuál es el volumen del pedazo? Resolución: La variación es debida al trozo metálico, y su volumen es: 2 π ⋅ 8 (3,5) = 175 4
5.°
AÑO
3,5
variación
trozo metálico
67
1
GEOMETRÍA
/
/
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA
2. ABCD, es un rectángulo. Se traza BH ⊥ AC . Si V1 y V2, son los volúmenes de los sólidos obtenidos al girar la región triangular ABCD, alrededor de AB y BC , respectivamente. V AH 4 Halla: 1 , si: = V2 HC 25 C B Resolución: Con el gráfico: H Alrededor de AB V1 = π(BC)2 ⋅ AB A D
Trabajando en clase Integral
PUCP
1. Calcula el volumen del prisma recto.
D
4. Calcula el área de la superficie lateral del cilindro
circular recto. D
E 1 2 u
u
F 5
C
O2 10m
B
A C
A
2. Calcula el área de la superficie lateral del prisma
regular.
D
E
O1
B
Resolución: De la figura
F 8u
A
53º
D
B
O2 10m
8m
4u
C
C 53º A R=3mO R=3m
3. Calcula la diagonal del rectoedro.
1
F E
B 8m
GEOMETRÍA
ADB: (37º y 53º) ⇒ AD = 8 m y AB = 6 m También 2R = 6 m ⇒ R = 3 m Finalmente: SL = 2πRH SL = 2π(3)(8) SL = 48 πm2
5m
H
A
1
G C D
B
6m
68
5.°
AÑO
/
/
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA 5. Calcula el área de la superficie lateral del prisma
Resolución: Completando la figura:
recto. D
C
O2 4
1 0 c m
E B
O1
A
H
B
m 2 6
C O1 D
10cm
10m
G
m 4 c
C
6m
m 1 0
10m
F
E
6m
D A 8m En el triángulo AEF: AF = 6 2 m En el triángulo ADH y FGH: AH = 10 m = FH Luego: H
6. Calcula el volumen del sólido.
B
G
1 0 m
6 m
37º/2
A
8m
F
h
O2
8cm
A
H
3 2m
H
F
3 2m
102 = h2 + (3 2 )2 100 = h2 + 18 h = 82 m SAHF = (6 2 )( 82 ) 2
7. Dado un prisma recto cuya base es un hexágono
regular inscrito en una circunferencia de diámetro 8 m y cuya altura es igual en longitud al diámetro. Calcula el volumen del prisma.
SAHF = 6 41 m2 UNMSM
9. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD
8. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD
– EFGH es un rectoedro.
– EFGH es un rectoedro.
F
F
G
6m
E
E 6m
5.°
AÑO
8m
5m
H B
H
C 5m
C
B
A
G
A
D
12m
D
10. Se inscribe un cilindro en un prisma triangular.
Calcula la razón entre las áreas de las superficies laterales del prisma con respecto al cilindro.
69
1
GEOMETRÍA
/
/
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA 11. Calcula el volumen del cilindro circular recto, si
Resolución: Utilizando el triángulo de 15º y 75º. N 75º C
AH = 2(HE) = 6 cm, además, E es un punto medio de la generatriz BC y AB es diámetro. D
C
r
T
R Q
4b
E
75º
r
H 15º O
A
B
P
UNI 12. La figura muestra un tronco de cilindro oblicuo,
si (UN)2 – (CP)2 = 30 m2 y m∠NUP = 15º. Calcula el área de su superficie lateral. N
15º U
C R
Si QR = a ⇒ CP = 4a Si: TR = b ⇒ UN = 4b Dato: (4b)2 – (4a)2 = 30 16(b2 – a2) = 30 15 ⇒ b2 – a2 = 8 (1)
P
Sabemos: SL = 2πr UN + CP 2 SL = πr ⋅ (UN + CP) … (2) Luego: TR – QR = 2r b – a = 2r r= b–a 2 Reemplazando en (2) SL = π b – a (4b + 4a) 2
U
Advertencia pre
SL = 2π (b – a)(b + a) SL = 2π (b2 – a2) Finalmente: 15 SL = 2π 8
Para todo prisma se cumple que su volumen es el producto del área de su base con la altura.
1
GEOMETRÍA
b
∴ SL = 15π/4 m2
70
5.°
AÑO
/
/
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA 13. La figura muestra un tronco de cilindro oblicuo,
14. Calcula el volumen del sólido, si se muestran
si (UN) – (CP) = 32 cm y m ∠NUP = 15º. Calcula el área de su superficie lateral. 2
2
N
prismas regulares y un cilindro circular recto.
2
C Q
1u 4u
6u P
4u
6u
U
5.°
AÑO
71
1
GEOMETRÍA
/
/
2 Pirámide, cono y tronco de cono Pirámide Es el sólido geométrico que tiene como base un polígono cualquiera y como caras laterales triángulos escalenos que tienen un vértice común, que viene a ser el vértice de la pirámide.
S
h
AP
D Cara lateral h
Arista básica
aP
Arista lateral
h
A
Base
Base
C. Pirámide irregular Es aquella que no cumple con las condiciones de la pirámide regular. Cono circular recto o de revolución Es el sólido generado por la rotación de una región limitada por un triángulo rectángulo cuando gira alrededor de uno de sus catetos, tomado como eje. El cateto eje es la altura del cono, el otro cateto es el radio de la base y la hipotenusa es la generatriz del cono.
A. Una pirámide es triangular, cuadrangular, pentagonal, etc, según su base, sea una región triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.
B. Pirámide regular Es aquella pirámide cuya base es un polígono regular, sus caras laterales son triángulos isósceles congruentes. La altura de una pirámide regular cae en el centro de gravedad de la base.
Desarrollo de su superficie
g
Apotema de una pirámide regular
Es el segmento perpendicular trazado desde el vértice de la pirámide a una arista básica. 1.
ASL = Semiperímetro de la base × apotema
2.
AST = ASL + ABASE
3.
1 Volumen = ABASE × h 3
g h
g
α SLATERAL
O r
ASL = πrg AST = πr(g + r)
Ap2 = h2 + ap2
GEOMETRÍA
B
L
L 2
Ap → apotema de la pirámide ap → apotema de la base
Clasificación
2
C
L M2
V=
72
1 2 πr ⋅ h 3
5.°
AÑO
/
/
PIRÁMIDE, CONO Y TRONCO DE CONO
Cono oblicuo Es el cono en el cual el pie de su altura no coindice en un baricentro.
Tronco de cono circular recto o de revolución Es el sólido que se determina al cortar a un cono circular recto con un plano paralelo a su base. Se puede considerar como el sólido generado por la rotación de un trapecio rectángulo alrededor del lado perpendicular a las bases.
h
r g
h R
Advertencia pre
1.
ASL = πg(r + R)
Las caras laterales de una pirámide regular recta son triángulos isósceles y solo en un caso especial serán triángulos equiláteros, en este último caso el enunciado del problema lo especificará.
2.
ASL = πg(r + R) + π(R 2 + r2)
3.
V=
πh (R 2 + r2 + Rr) 3
Trabajando en clase 1. Calcula el área de la superficie lateral de una pi-
Resolución:
O
rámide regular de base cuadrada cuya área es 5 m2 y donde todas las caras laterales son triángulos equiláteros.
8u
2. Calcula el volumen de un cono circular recto si
B
el diámetro de su base mide 14 m y su generatriz mide 25 m. A
radios miden 2 u y 4 u, además tiene 9 u de altura.
12u
6u
M
D
Trazamos HM = 6 u y OM = 10 u; entonces: SL = (Pbase)(Ap) = (24)(10)= 240 m2
4. Calcula el área de la superficie lateral, total y volu-
men en una pirámide cuadrangular regular cuya arista básica mide 12 u y la altura mide 8 u.
AÑO
C H
3. Calcula el volumen de un tronco de cono si sus
5.°
10u
ST = SL + Sbase
73
2
GEOMETRÍA
/
/
PIRÁMIDE, CONO Y TRONCO DE CONO
ST = 240 u2 + (12u)2 ST = 384 u2 Volumen = (Sbase)(altura) Volumen = (12u)2 ⋅ (8u) Volumen = 1152 u3
9. Calcula el área de la superficie lateral de un cono
circular recto si su volumen es 12 m 3 y la distancia del centro de su base a su generatriz es 4 m. 10. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangu-
lar regular cuya arista básica mide 6u, siendo su área de la superficie lateral el quíntuplo del área de la base.
5. Calcula el área de la superficie lateral, total y volu-
men en una pirámide cuadrangular regular cuya arista básica mide 2u y la altura mide 2 u.
11. Calcula el volumen de un tronco de cono, si
la altura y la generatriz miden 5u y 3u respectivamente; además, el desarrollo de la superficie lateral del tronco de cono circular recto es un trapecio circular cuya área 30π u2.
6. Calcula el área de la superficie lateral de un cono
circular recto si su altura y generatriz miden 15 u y 17 u, respectivamente. 7. Calcula el volumen de un tronco de cono deter-
minado por un plano perpendicular a la altura, trazado a una distancia de 3u desde el vértice y cuya área de la base del cono circular recto es de 64π u2, además; la altura del cono es de 12 u.
12. Calcula el volumen de un cono de revolución si el
área de la base es A 1 y el área de una sección axial es A2. Resolución: Datos_: B A1 = pr2 ... (1) (2r)h A2 = = rh 2 Sección ... (2) axial Piden: h πr2h V= 3 Ah V = 1 ... (3) r r 3 A C O
8. Calcula el área de la superficie lateral de un cono
circular recto si su volumen es 10 m 3 y la distancia del centro de su base a su generatriz es 3 m. Resolución: Piden SL = πrg ….. (1) Recordamos V
ch = ba C a
g
h
b
h
B
A
Calculando «h» La ec. (2) la elevamos al cuadrado A22 = r2h2 Reemplazamos (1)
c 3m A
r
O
B
A22 =
V=
π A1 A2 A 3 1
13. Calcula el volumen de un cono de revolución si
Dato: V = 10 m3
el área d ela base es 9 m 2 y el área de una sección axial es 4 m2.
πR 2h = 10 3
14. Calcula el volumen de la pirámide regular S–
ABCD, si la base se encuentra inscrita en una circunferencia de radio R y cada arista lateral tiene una inclinación de 60º con el plano de la base.
Finalmente en (2) SL= 10 m2
GEOMETRÍA
π
h2 ⇒ h = A2 A π 1
Finalmente en (3)
En el problema: rh = 3g ⇒ g = rh y reemplazamos en (1) 3 πr2h ... (2) rh SL = πr = 3 3
2
A1
74
5.°
AÑO
/
/
3 Tronco de pirámide y esfera Tronco de pirámide Es la porción de pirámide comprendida entre las bases y la sección plana determinada por un plano secante a la pirámide y paralelo a su base. A la base y a dicha sección se les denomina bases del tronco de pirámide; sus caras laterales son regiones trapeciales, sus bases son regiones poligonales semejantes y su altura es la distancia entre sus bases. P
En el gráfico, se muestra un tronco de pirámide pentagonal. Notación: ABCDE – A’B’C’D’E’
Cara lateral Base superior
B’ A’
C’
’
B
h
B
D’
Base inferior
Área de la superficie total (A ST)
C
E’
Área de la superficie lateral (ASL) ASL=∑(Áreas de las caras laterales)
AST = ASL + B + B’
B
A
D E
Volumen (V) V = h (B + B’ + BB’) 3 B y B’: área de las bases
Aristas básicas En el gráfico, se muestra un tronco de pirámide regular «hexagonal».
Tronco de pirámide regular Es aquel tronco de pirámide cuyas bases son regiones poligonales regulares de modo que sus centros están sobre una misma recta perpendicular a dichas bases. Sus caras laterales son regiones trapeciales isósceles congruentes entre sí, la altura de cada una de ellas se denomina apotema del tronco de pirámide. B’ C’ A’
’
B
F’
A
B
F
5.°
AÑO
O’ E’
Área de la superficie lateral (A SL)
D’
M h
Notación ABCDEF – A’B’C’D’E’F’ MN: apotema del tronco de pirámide regular (MN = ap) O y O’: centro de las bases (OO’ = h)
C
AST = (p + p’)ap
O
D E
N
p: semiperímetro de la base ABCDEF p’: semiperímetro de la base A’B’C’D’E’F’
75
3
GEOMETRÍA
/
/
TRONCO DE PIRÁMIDE Y ESFERA
Se cumple:
Nota
En un tronco de pirámide cuyas bases tiene por áreas A y B (A < B), se tiene una sección plana de área S paralela a las bases del tronco y que dista de dichas bases menor y mayor m y n respectivamente.
S = n A + m B m+n
Esfera Es aquel sólido generado por un semicírculo al girar 360º, en torno a su diámetro.
Área del círculo máximo (ACM)
Plano secante
360º
A(CM) = πR 2
Semicírculo generado
Área de la superficie esférica (ASE) A(SE) = 4πR 2
r O
O
R
Círculo máximo Eje de giro
Volumen de la esfera (VE) VE = 4 πR 3 3
T Plano tangente
Nota Segmento esférico de dos bases, es la porción de esfera comprendida entre dos planos paralelos entre sí y secantes a la esfera. 3 2 2 VSE = πh + πr 1h + πr 2h 6 2 2
r1 h
VSE: volumen del segmento esférico de dos bases h: distancia entre los planos paralelos.
r2
Trabajando en clase 2. Según la figura, calcula el área de la superficie es-
Integral
férica.
1. Calcula el volumen de la siguiente esfera si el área
de la superficie esférica es 36 πu2.
2 m
R
3
GEOMETRÍA
76
5.°
AÑO
/
/
TRONCO DE PIRÁMIDE Y ESFERA 7. En el gráfico, T es punto de tangencia si m AP =
3. En el gráfico, se muestra un tronco de pirámide
regular, calcula su volumen. 2
120º y TQ = 4(PQ) = 4u, calcula el área de la superficie semiesférica.
E
3 m
D h=9m
F
T
B O
A A
P
C
3 3m
Q UNMSM
PUCP
8. Se traza un plano secante a una esfera de modo que
4. Si el radio de una esfera es el cuádruple del radio
la distancia del centro a dicho plano es 6u, además el área de la sección plana determinada de la esfera es 64πu2. Calcula el volumen de la esfera. Resolución: Graficando:
de otra, ¿en qué razón están sus volúmenes? Resolución: Graficando:
O
4R
O1
R
H
R
6u
V2
M
r
Plano secante
O
V1 V1 = 4 π(4R)3 3 V1 = 4 π(R)3 3 Piden: V1 V2
Dato: 64πu2 = π ⋅ r2 64u = R 2 8u = R ← ∴ OHM (Teorema de Pitágoras) R 2 = 62 + r2 R 2 = 62 + 82 → R = 10 u
4 3 V1 3 π(4R) V2 = 4 (R)3 = 64 π 3 5. Si el radio de una esfera es el triple del radio de
VE = 4 πR 3 = 400 πu3 3 3
otra, ¿en qué razón están sus volúmenes? 6. Las áreas de las bases de un tronco de pirámide
9. Se traza un plano secante a una esfera de modo
son 3u2 y 12u2. Calcula el lado de una base de un prisma equivalente que tenga la misma altura y de base cuadrada.
5.°
AÑO
que la distancia del centro de dicho plano es 5u, además el área de la sección plana determinada en la esfera es 144 πu2. Calcula el volumen de la esfera.
77
3
GEOMETRÍA
/
/
TRONCO DE PIRÁMIDE Y ESFERA 10. Si el volumen de la esfera es
lumen del cilindro.
32 πu3, calcula el vo3
Por dato: Vcubo = 64u3 = l 3 4u = l ⇒ R = 2 3 u
∴ VE = 4 πR 3 = 32 3 πu3 3
13. Si el volumen del cubo mostrado es 216u 3, calcula
R
el volumen de la esfera circunscrita al cubo.
11. Se tiene el segmento esférico, calcula el volumen
si h = 6u, r 1 = 2u y r 2 = 4u. r1
O2 14. En el gráfico, se tiene un cilindro de revolución.
h
Si T es punto de tangencia, CD = (AC) 3 , BM = 3(AM) y MT = 7 u, calcula el volumen de la semiesfera.
O r2
O1
A
M
B
O1 T
UNI 12. Si el volumen del cubo mostrado es 64u 3, calcula
el volumen de la esfera circunscrita al cubo.
C
Resolución:
O
D
Advertencia pre Notar: A
E
O
l
GEOMETRÍA
2
R E
A
3
l
C
El área de la superficie semiesférica: l
R
R O l 3
C
78
O
Ssemi = 3πR 2 esfera
5.°
AÑO
/
/
4
Figuras de revolución y teorema de Pappus
Un cuerpo de revolución es aquel que se origina al girar una figura plana alrededor de un eje. Las caras de un cuerpo de revolución son curvas. L
L
⇒ L
O
⇒
Segundo teorema (Volumen)
Teorema de Pappus
Primer teorema (Áreas)
Af
L
L
x
CG
L x
Asólido = 2π ⋅ x ⋅ L
Vsólido = 2π ⋅ x ⋅ Af
CG: centro de gravedad L: longitud
5.°
AÑO
CG
Af: área de la figura x : distancia del centro de gravedad al eje de giro.
79
4
GEOMETRÍA
/
/
FIGURAS DE REVOLUCIÓN Y TEOREMA DE PAPPUS
Trabajando en clase Integral
PUCP
1. Calcula el volumen del sólido generado al girar 360º el
4. Calcula el volumen del sólido generado al girar la
trapecio rectángulo ABCD alrededor de la recta L . A 10m
figura 360º alrededor de la recta L .
L
L
53º B
C
B
53º
10m
6m A
C
D
D
3m
Resolución: 2. Calcula el volumen del sólido generado al girar
L
360º la figura sombreada alrededor de la recta L . A
B
37º
C
C m 1 0
A
B
6m 4m
4m
D 3m
8m
3u
x=7m D
V = 2πx ⋅Afig V = 2π(7)(8 × 6) V = 672 πm3
3. Calcula el volumen del sólido generado al girar
360º la figura sombreada alrededor de la recta L .
5. Calcula el volumen del sólido generado al girar la
figura sombreada 360º alrededor de la recta L .
L
B
3 u
C
L
O 0 m 2
7 u
A
4
GEOMETRÍA
80
37º
D 4m
5.°
AÑO
/
/
FIGURAS DE REVOLUCIÓN Y TEOREMA DE PAPPUS 6. Calcula el volumen del sólido generado al girar la
la altura BH y que está a una distancia del vértice B igual a 5m, si AB = 6 3 m.
figura sombreada 360º alrededor de la recta L . L
8m
B
10. Calcula el volumen del sólido generado por el
triángulo equilátero ABC, al girar 360º alrededor de la recta L .
C E
L
53º B D
A
6m 7. Calcula el volumen generado al girar la figura
360º alrededor de la recta L . B
C
C
9u
L
A
Af=75u2
11. Calcula el volumen del sólido generado por el
5u
A 1u
rectángulo ABCD al girar 360º alrededor de la recta L . L
B
UNMSM
A
8. Calcula el volumen del sólido generado por un
triángulo equilátero ABC, al girar 360º alrededor de una recta exterior al triángulo perpendicular a la altura BH y que está a una distancia del vértice B igual a 2m; si AB = 4 3 m. Resolución:
10m C 53º
B
2m º
º 0 0 3 3
3 m 4
2 x Af = (4 3 ) 3 = 12 3 m2 4
4m 4 G
5m
D
L
UNI
x=6m
12. Calcula el volumen generado al girar 360º el
triángulo equilátero ABC cuyo lado mide 4m alrededor de la recta L .
3 m
2m 60º 60º A 2 3m H 2 3 m C
L
B
V = 2πxAf V = 2π⋅6⋅12 3 V = 144 3 πm3
15º
A
9. Calcula el volumen del sólido generado por un
triángulo equilátero ABC, al girar 360º alrededor de una recta exterior al triángulo perpendicular a
5.°
AÑO
C
81
4
GEOMETRÍA
/
/
FIGURAS DE REVOLUCIÓN Y TEOREMA DE PAPPUS
Resolución:
13. Calcula el volumen generado al girar 360º el
triángulo equilátero ABC sombreado cuyo lado mide 6m, alrededor de la recta L . 4m A G 2m
30º
º 3 0 3 3 4 /
45º x
H
L
B B
15º
15º
A
4m 2m 60º C C
x = 2 6m 3 42 3
14. Calcula el volumen generado al girar 360º el hexá-
gono regular sombreado cuyo lado mide 10m, alrededor de la recta L .
3
L
C
x 2 6 3
B
3
V = 16π 2
4
GEOMETRÍA
D
20m
82
E A
F
5.°
AÑO
/
/
5 Geometría analítica c) Área de una región triangular El área de una región triangular puede calcularse dadas las coordenadas de los vértices. R(x3;y 3)
Propiedades a) Punto medio un segmento de recta y
P2
(x1;y 1)
P(x1;y 1)
M
O
(x,y)
P1 (x1;y 1)
O
Q(x2;y 2)
x
x1 ; y 1 x2 ; y 2
x1 + x2 2
x=
SA = 1 (B – A) 2
y 1 + y 2 2
y=
M=
x1 ; y 1
x1 + x2 y 1 + y 2 2 ; 2
(–)
A
B
Ecuación de la recta
Ecuación punto pendiente y
b) Distancia entre dos puntos y
(0; b) B(x2,y 2)
y 2 d A (x1;y 1)
y 1
O
x2–y 1
x1
α
y 2–y 1 O
H x2
x
Ec. general
x
a,b,c son ax + by + c = 0 constantes
Ec. simétrica x y + = 1 p y q: con constantes p q
d = (x2–x1)2 + (y 2 – y 1)2
AÑO
(a; 0)
L : y = mx + b
Por el T. de Pitágoras ABH
5.°
x3 ; y 3
(+)
83
5
GEOMETRÍA
/
/
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Ejemplo gráfico y numérico y
Recta que pasa por el origen de coordenadas Sea la ecuación y = –x Vemos que la ecuación anterior carece de ordenada al origen es decir, b = 0. La recta para por el origen O.
3u 6 1u
1
3u b = m = Tgx = –1u 1u
x
3
x
–1 y
y = – x
–x
1u
6 + x 3 = y
y = – 1 / 3 x + 3
x
Rectas paralelas Dadas dos rectas que responden a las siguientes ecuaciones: y 1 = m1x + b1 y 2 = m2x + b2
y 2 = –1 x + 3 3
Dichas rectas serán paralelas si: m1 = m2
Casos particulares
Ejemplo gráfico y numérico
Si m = 0 resulta y = b = constante
y 1 = 2x+ 2 y 2 = 2x + 3 m1 = m2 = 2
y 1 = 3x + 6
y
y y=b 2u
7
b
1u
x 2u
+x
7 + x 2 = y 3 + x 2 = y
7
Se representación será una recta paralela al eje «x». Ejemplo y = 4 Un caso similar se presenta si x = a = constante
1u O
y
–x
x=a a
–y x Su representación será una recta paralela al eje «y».
Rectas perpendiculares Dadas dos rectas y 1, y 2 que responde a las siguientes ecuaciones.
Advertencia pre
y 1 = m1x + b1 y 2 = m2x + b2 –1 Si m1 = m 2
5
Distancia de un punto P(x,y) a la recta L. Dada la ecuación: L : ax + by + c = 0 las rectas serán perpendiculares.
GEOMETRÍA
+c 1 d(p; L ) = ax1+by 2 2 a +b
84
5.°
AÑO
/
/
GEOMETRÍA ANALÍTICA
O sea:
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Dadas las coordenadas de dos puntos de una recta es posible encontrar la ecuación de la recta que determine. Dados: P1(x1; y 1) y P2(x2; y 2) Dos puntos cualesquiera, representamos ambos en el plano.
m = y – y 1 x – x1 Donde se cumple: y – y 1 = y 2– y 1 (x – x1) x2 – x1
y P2=(x2; y 2) M(x; y)
y 2–y 1
α
P1=(x1; y 1) y y x1
x
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Ejemplo numérico Dados P(4; 3) y P(2 – 1) reemplazando en la fórmula se tendrá:
y x
y – y 1 = y 2– y 1 (x – x 1) x2 – y 1
x2
y – 3 = (–1)–3 (x – 4) 2–4 Tgα = y 2 – y 1 x2 – x1
y = 2x – 8 + 3 = 2x – 5
Tomando un punto cualquiera entre P 1 y P2 en nuestro caso M(x, y), la tangente de la recta en este punto es: m = Tgα
⇒ y = 2x – 5
Trabajando en clase Integral
PUCP
1. Calcula las coordenadas del punto medio del AB ,
4. Determina para que valor de «a» la recta:
si A = (1; 7) y B = (32; 5)
L 1: (a + 2)x + (a 2 – a)y + 3a 2 – 8a + 5 = 0 es para-
lela al eje de abscisas Resolución: Sabemos que la ecuación de la recta, está dada por: y = mx + b
2. Calcula el área de la región determinada por los
puntos: M = (9; 9), N = (3; 4), P = (7; 8) 3. Calcula las coordenadas de punto medio de AB .
y
45º B
5.°
AÑO
pendiente
A(4; 8)
Ahora, por condición del problema; y = k por lo que m = 0; entonces: (a + 2) = 0 a = –2
x
85
5
GEOMETRÍA
/
/
GEOMETRÍA ANALÍTICA 5. Determina para que valor de «b» la recta:
9. Determina la ecuación de la mediatriz del seg-
mento de recta determinada por los puntos A(1; 2) y B(5; 2).
L 1: (2b – 1)x – by + 1 = 0 es paralela al eje de or-
denadas.
6. Los vértices de un triángulo ABC son A(2; 7),
10. Dada las rectas paralelas:
B(5; 1) y C(x; 3) si su área es 18u . Calcula el valor de la abscisa de «C».
L 1: 2x + ay – 4 = 0 L 2: (a + 1)x + y + 1 = 0
7. Determina la ecuación de la recta que pasa por el
Calcula el valor de «a»
2
punto A(1; 5) y tiene pendiente igual a 2. 11. Una recta que pasa por los puntos A(3; –1) y B(2;
–6). Determina su ecuación en la forma simétrica.
UNMSM 8. Determina la ecuación de la mediatriz del seg-
UNI
mento que tiene por extremos A(–3; 2), B(1; 6) Resolución:
12. Determina la ecuación de la recta que pasa por
M(2; 1) y es perpendicular a la recta: L : 5x + 3y – 3 = 0 Resolución:
B(1; 6)
mL = –5 ⇒ mL ⊥ = 3 3 5
P(x1;y 1) A(–3; 2) x1 = –3+1 = –1 2 y 1 = 2 + 6 = 4 2
(por ser perpendiculares) L (Mediatriz)
mL mL⊥ = –1
P(–1; 4)
y – 1 = 3 ; de donde x–2 5 L ⊥: 5y – 3x + 1 = 0
13. Determina la ecuación de la recta que pasa por el
mAB = 6 – 2 = 1 ⇒ mL ⊥ = –1 1–(–3)
punto (2; 1) y es perpendicular a la recta 3x – 4y + 12 = 0
Entonces: y – 4 = –1 x–(–1)
14. Los vértices de un triángulo son los puntos A(3;
6), B(–; 3) y C(2; –1). Calcula la longitud de la altura trazada dese «C».
y + x – 3 = 0 (ecuación de la mediatriz)
5
GEOMETRÍA
86
5.°
AÑO
/
/
6 Circunferencia y parábola Ecuación canónica
Circunferencia Es el lugar geométrico de aquellos puntos equidistantes de un único centro ubicado en el mismo plano r.
El centro tiene como coordenadas al punto (0; 0)
⇒ x2 + y 2 = r2
Centro: C(h, k) Longitud del radio: r La ecuación ordinaria será (x–h)2+(y–k 2)=r2
y C r h
k
Ecuación general x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 D = –2h F = h2 + k 2 – r2 E = –2k
x
Parábola Es el lugar geométrico de aquellos puntos que poseen la misma distancia hacia un punto fijo (foco) y una recta (directriz). L
y
R
P
Q
2p
k
P
V(h;k)
Vértice: V(h; k) Foco: F Parámetro: p Directriz: L Eje focal: L’
F L’
P
2p
A h
Lado recto: RS RS = 4 p x
S
5.°
AÑO
87
6
GEOMETRÍA
/
/
CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA
Eje focal paralelo al eje y
Ecuación Eje focal paralelo al eje x
y
y F
p V p F (h;k)
k
eje focal
V(h;k)
x
h
x
(x – h) 2 = 4p(y – k)
(y – k)2 = 4p(x – h)
Recomendación Para determinar la ecuación de la circunferencia necesitamos: 1. Longitud del radio 2. Coordenadas del centro Para determinar la ecuación de la parábola necesitamos: 1. Parámetro (p) 2. Coordenadas del vértice (h, k)
Trabajando en clase
3. Determina la ecuación de la circunferencia.
Integral 1. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo
centro es C(–3; 2) y cuyo radio mide 3 u.
y
2. Si OA es el radio de una circunferencia. Determi-
na su ecuación.
R (0;0) A(2;5)
O
(8;0) x
O(0; 0)
6
GEOMETRÍA
88
5.°
AÑO
/
/
CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA PUCP
UNMSM
4. Determina la ecuación de la circunferencia ins-
8. Determina la ecuación de la parábola
crita en el ∆ABC.
Resolución:
y
y
A(0;8) P (2;3) F C
B(15;0) y
Resolución:
V
y (0;8) A
La forma de la ecuación será: x2 = 4py Reemplazando el punto (2; 3) (2)2 = 4p(3) 4 = 4p(3) ⇒ 4P = 4 3
17 C
3
r 3
15
x
B (15;0) x
La ecuación será: x2 = 4 3
Aplicamos Poncelet: 8 + 15 = 17 + 2r 6 = 2r 3=r El centro sería C(3; 3) Por lo tanto la ecuación será: (x – 3)2 + (y – 3) 2 = 9
9. Determina la ecuación de la parábola.
y
P(1;2)
V
x
5. Determina la ecuación de la circunferencia ins-
crita en el ∆ABC. y
10. Determina la ecuación de la parábola cuyo foco
B(0;9)
es F = (5; 5) y su directriz es L: x – 3 = 0 11. Determina la ecuación de la parábola si PQ : lado
recto.
C A(40;0) x
P
y 4 5u
6. Calcula el área del círculo cuya circunferencia tie-
ne como ecuación: C: x2 + y 2 – 10x – 2y + 1 = 0
O
F
x
7. Calcula las coordenadas del centro de una circun-
ferencia cuya ecuación es: C: x2 – 4x + y 2 – 6y – 12 = 0
5.°
AÑO
Q
89
6
GEOMETRÍA
/
/
CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA 13. Calcula la medida del radio de la circunferencia.
UNI 12. Determina las coordenadas del centro de la cir-
y
cunferencia. y
(x–3)2=4p(x–4)
V
P T
V
x
14. Determina las coordenadas del foco de la parábo-
x
la si FPOQ es un cuadrado y S = 16u2. y
Resolución: El vértice V será (3; 4) por lo tanto el centro de la circunferencia estará en el punto (3; 2)
P S F
6
GEOMETRÍA
(y–2)2=4p(x–4)
90
Q
V O
x
5.°
AÑO
/
/
7 La elipse Definición Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.
Ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenadas y A(0;b)
P(x,y)
a
Elementos b L’
V’(–a;0)
E B
P(x,y)
A D
F’(–c;0)
c (0;0)
V’ C
V(a;0) x
M A’(0;–b)
V F’
F(c;0)
F
L
Su ecuación será: E’ B’ D’
A’
x2 y 2 + =1 a2 b2
M’ Además:
a2 = b2 + c2
F, F’: focos de la elipse C: centro V, V’: vértices de la elipse L : eje focal L ’: eje normal VV’ : eje mayor AA’ : eje menor MM’: lado recto BB’ : cuerda EE’ : cuerda focal DD’ : diámetro PF’ , PF’ : radio vectores
Observación Área de una región elíptica A=a⋅bπ
Ecuación de la elipse con centro C(h, k) A(h,k+b)
y b
a
c C F’(h–c,k) (h,k) F(h+c,k) A’(h,k–b) O
5.°
AÑO
91
x
7
GEOMETRÍA
/
/
LA ELIPSE
Su ecuación será:
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen de coordenadas
(x–h)2 + (y–k)2 =1 b2 a2
y
Excentricidad (e)
A(0,b)
Se llama excentricidad a la razón e=
c a
c
2b F’(–c,0)
Observación
2c 2a V’(–a;0) (0;0)
V(a,0) F(c;0)
x
Como c < a se tiene siempre que: e < 1 La hipérbola
A’(0;–b)
Definición Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. L’
Su ecuación será: x2 – y 2 =1 a2 b2 Además:
L’
E
c2 = a2 + b2
S’
S A
P
Ecuación de la hipérbola con centro C(h, k) y
D’
S’
A(h,k+b)
V’
F’
C
V
F
L
D
c
b
A’
a F’(h–c,k)
V’(h–c,k) C(h, k)
V(h+a,k) F(h+c,k)
E’ L
A’(h,k–b)
Elementos
(0;0)
F, F’: focos de la hipérbola C: centro V, V’: vértices de la hipérbola L ’: eje focal L : eje normal VV’ ; eje transverso AA’ : eje conjugado LL’ : lado recto SS’ , SS’’ : cuerdas EE’ : cuerda focal DD’: diámetro FP , FP’ : radio vectores
7
GEOMETRÍA
x
Su ecuación será: (x–h)2 (y–k)2 – =1 a2 b2
Excentricidad (e) Se llama excentricidad a la razón: e=
92
c a
5.°
AÑO
/
/
LA ELIPSE Observación:
Como c > a se tiene siempre que e > 1.
Las rectas hipérbola.
L 1
y
L 2 son
llamadas asíntotas de la
x2 y 2 – = 1 a2 b2
Asíntotas de la hipérbola L 1
Tienen por ecuación:
A(0;b)
L 1: bx + ay = 0
c
b
L 2: bx – ay = 0
a V’(–a;0)
F’(–c;0)
V(a;0) F(c;0)
Advertencia pre La distancia entre los vértices de la elipse es: V1V2 = 2a
A’(0;–b) L 2
Trabajando en clase Integral 3. Calcula el área de la región elíptica F 1 y F2 son
1. Determina la ecuación de la elipse si F 1 y F2 son
focos.
sus focos.
y y 5u 4u F1
O
53º
F2 F2
12u
F1
x
x
PUCP 4. Determina la ecuación de la elipse que tiene su
2. Para la ecuación dada de la hipérbola 9x 2 – 4y 2
centro en (0; 0) y cuyos focos son los puntos F 1(3; 0) y F2(–3; 0); además uno de sus vértices tiene por coordenadas V 1(5; 0).
= 36. Halla las coordenadas de los vértices y los focos.
5.°
AÑO
93
7
GEOMETRÍA
/
/
LA ELIPSE
Resolución: Como uno de los vértices de la elipse es V 1(5; 0), se tiene que a = 5 y como c = 3 se tiene que b 2 = 52 – 32 = 16 → b = 4
Además: c2 = a2 + b2 → c = 9+4 = 13 y el centro es (3; 1) Luego las coordenadas del foco son F 1(3; 1 + 13 ) y F2(3; 1 – 13 ) Los radios vectores son:
y
5u V2(–5;0)
F2
0
3u
F1
d(PF1) = (3 – 3)2 + (4 – (1 + 13))2
→ d(PF1) = 3 – 3
x V1(5;0)
d(PF2) = (3 – 3)2 + (4 – (1 – 3 ))2
→ d(PF2) = 3 + 3 Luego su ecuación viene dada por:
∴ Los radios vectores son: 3 – 3 u y 3 + 3 u.
x2 y 2 x2 y 2 + = 1 + = 1 ⇒ a2 b2 52 42 x2 y 2 = 1 ∴ + 25 16
9. Calcula las longitudes de los radios vectores al
punto M(5; –2) de la hipérbola x2 – 9y2 – 4x + 36y – 41 = 0 10. Los vértices de una hipérbola son (0; 4), (0; –4)
y su excentricidad es igual a 3/2. Determina la ecuación de la hipérbola.
5. Determina la ecuación de la elipse que tiene su
centro en (0; 0) y cuyos focos son los puntos F 1(4; 0) y F2(–4; 0), además uno de sus vértices tiene por coordenadas V(–5; 0).
11. Del gráfico, calcula el área de la región sombreada
F1 y F2 son focos.
6. La ecuación de la elipse es: 9x 2 + 4y 2 = 36. Calcula
y
su excentricidad.
C
7. Determina la ecuación de la elipse cuyos vértices
son V1(4; 0) y V2(–4; 0) y cuyos focos son los puntos F1(3; 0) y F2(–3; 0)
F2
O
8. Calcula las longitudes de los radios vectores al
punto P(3; 4) de la hipérbola. 9x2 – 4y 2 – 54x + 8y + 113 = 0 Resolución: Vamos a reducir la ecuación anterior a la forma ordinaria completando cuadrados 9(x2 – 6x) – 4(y 2 – 2y) = –113 9(x2 – 6x + 9) – 4(y 2 – 2y + 1) = –113 + 81 – 4 De donde: 9(x – 3)2 – 4(y – 1) 2 = –36
ε :
UNI 12. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes
de pendiente 2 a la elipse 4x 2 + 5y 2 = 8 Resolución: Las rectas tangentes de pendiente 2 tendrán la forma: y = 2x + k; k ÷ cte luego reemplazando y en la ecuación de la elipse tenemos: 4x2 + 5(2x + k) 2 = 8
(y– 1)2 (x–3)2 – = 1 9 4
GEOMETRÍA
x2 y 2 + = 1 144 81
C : x2 + y 2 = 81
Luego: a2 = 9 → a = 3 b2 = 4 → b = 2
7
O
ε
UNMSM
F1
94
5.°
AÑO
/
/
LA ELIPSE
4x2 + 5(4x2 + 4kx + k 2) = 8 24x2 + 20kx + 5k 2 – 8 = 0 Como las rectas son tangentes la ecuación cuadrática anteriormente mencionada debe de tener solución única, entonces: ∆ = (20k)2 – 4(24)(5k 2 – 8) = 0
13. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes
→ k = ± 4 15
14. Determina el ángulo agudo de intersección de las
de pendiente 3 a la elipse. x2 y 2 + = 1 9 4
asíntotas de la hipérbola:
5
∴ Las ecuaciones de las rectas tangentes serán:
x2 y 2 – = 1 9 4
10x – 5y – 4 15 = 0 10x – 5y + 4 15 = 0
5.°
AÑO
95
7
GEOMETRÍA
/
/
8 Repaso 1. Calcula el volumen del prisma.
F E
a) 200 m2 b) 240 m2
C
H
c) 280 m2 d) 300 m2
e) 350 m2
4. Calcula el área de la superficie total del cono de
revolución mostrado. 13m
V 30º C 5m
B A a) 250 m3 b) 300 m3
D c) 380 m3 d) 410 m3
O
A
e) 450 m3
a) 40π m2 b) 42π m2
2. Calcula el área de la superficie total del cilindro
circular recto.
B
4m
c) 46π m2 d) 48π m2
e) 53π m2
5. Calcula el volumen del tronco de pirámide.
4m
A=4m2 8m
6m O
a) 64π m2 c) 78π m2 e) 128π m2 2 2 b) 70π m d) 100π m 3. Calcula el área lateral de la pirámide regular mostrada. 12m
B A
8
B=16m2 c) 58 m3 e) 62 m3 3 d) 60 m
a) 54 m3 b) 56 m3
C
6. Calcula el área de la superficie esférica (AB = 16 m)
B
D 45º
M A
2m
r R
8m O
V
8
GEOMETRÍA
96
5.°
AÑO
/
/
REPASO
a) 340π m2 b) 360π m2
c) 470π m2 d) 500π m2
e) 512π m2
10. Determina la ecuación de la parábola cuyo foco
es (4; 2) y la directriz es x = –6. a) (y – 2)2 = 20(x + 1) b) (y + 2)2 = 20(x + 1) c) (y – 2) 2 = 20(x – 1) d) (y + 2)2 = 20(x – 1) e) y 2 = 5x
7. Calcula el volumen generado por la figura al rotar
360º alrededor de la recta L . B
360º
6m
11. Calcula el área de la región encerrada por la elipse
mostrada. (F1: foco; O: centro) D
y 3m A
C V1
L
a) 108π 3m3 c) 210π 3 m3 e) 360π 3m3 b) 200π 3 m3 d) 330π 3 m3
x
F1
8. Calcula la ecuación de la recta perpendicular a la
recta 4x – 3y + 7 = 0 y pasa por el punto P(–2; 3). a) 4x + 3y – 6 = 0 d) x + y – 12 = 0 b) 2x – 2y – 3 = 0 e) x – y – 6 = 0 c) 3x + 4y – 6 = 0
53º
O (–7;–3)
60u
9. Determina la ecuación de la circunferencia.
y
A x
5m
V2
O
a) 360π u2 b) 410π u2
B a) x2 + y 2 = 5 b) x2 + (y – 5) 2 = 25 c) (x – 5) 2 + y 2 = 25
c) 440π u2 d) 540π u2
e) 560π u2
12. Sea la hipérbola 2x 2 – 6y 2 – 4x + 18 y – 42 = 0.
Determina la distancia del centro de la hipérbola hacia la recta 3x – 4y – 1 = 0 a) 1 u c) 3 u e) 5 u b) 2 u d) 4 u
d) x2 + (y + 5)2 = 25 e) (x + 5)2 + y 2 = 25
Bibliografía 1. ROBLES, Victor. Editorial Lumbreras. Lima. Perú. I Edición. 2. RINCÓN ABELLO. Un recorrido por la geometría. Bogotá. Colombia. I Edición. 3. DONAYRE PEÑA, Milton. La geometría en las Olimpiadas matemáticas. Lima. Perú. I Edición.
5.°
AÑO
97
8
GEOMETRÍA
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