Razonamiento Matemático
Lib
d RM i db 99
15/09/2014 02 35 53
1 Psicotécnico El principal objetivo del presente tema es el de incentivar, desarrollar y fortalecer la aptitud de cada alumno, lograr agilizar su razonamiento y potenciar su capacidad de abstracción y entendimiento. En el presente tema analizaremos los sucesivos gráficos, analogías gráficas, figura discordante, matrices con figuras y analogías y distribuciones numéricas.
Figura discordante Se buscará la alternativa que no guarda relación con las demás figuras.
Sucesiones gráficas Conjunto ordenado de figuras que se distribuyen de acuerdo a los siguientes criterios: Criterio de giro: Horario o antihorario Criterio de aparición y/o desaparición de elementos de figura, Unión o intersección de figuras. Ejemplo … las figuras disminuyen en el número de lados de uno en uno, pero los trazos interiores aumentan, así:
Todas las figuras son iguales, sin embargo, al girar las figuras en sentido horario ( ) o antihorario ( ) todas podrán tomar la posición de E salvo la alternativa C que es la figura discordante.
;
;
;
Ejemplo
A
B
es a
es a
5.°
AÑO
como
D
E
Matrices con figuras Por lo general este tipo de ejercicios se resuelve aplicando un criterio en forma horizontal, hallando un criterio con una ley de formación. Ejemplo
; ...
Analogías gráficas Generalmente nos dan 2 figuras que guardan una relación entre sí, y nos piden aplicar dicha relación a una tercera figura con otra (alternativa). Ejemplo Dibuja la figura que falta:
C
? En cada fila y en cada columna hay un cuadrado, un triángulo y un círculo, entonces en la posición que falta debe ir un cuadrado. Además, la figura deberá ir sombreada. Respuesta:
101
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
1
PSICOTÉCNICO
Analogía y distribuciones Son arreglos cuadrangulares o rectangulares de números en la cual se debe calcular un número ubicado en cualquier lugar del arreglo, aplicando una regla de formación en forma horizontal o vertical pero jamás diagonal. Calcula el valor de «x» en la siguiente distribución:
7 + 4 + 2 = 13 x + 10 + 2 = 13 3 + 3 + 7 = 13
→ Se deduce : x = 1
Advertencia pre
7 4 2 x 10 2 3 3 7
Analizando encontraremos que en forma horizontal se cumple:
Leer adecuadamente lo que quieres calcular. En analogías numéricas siempre el trabajo es horizontal. En matrices con figuras el criterio de trabajo debe ser siempre horizontal
Trabajando en clase Integral 1. Calcula «x».
24
4 1 a) 110 b) 120
2
3
60
2 2
3
5
c) 130 d) 140
x
5 4
3
2
?
e) 150
2. Calcula la figura que continúa:
. . .....
a)
c)
b)
d)
e)
PUCP
a)
b)
c)
4. ¿Qué figura no corresponde al grupo?
e)
d)
3. Señala cuál de las cinco figuras siguientes debe
colocarse en lugar de la incógnita:
1
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
102
a)
c)
b)
d)
e)
Resolución: El criterio a utilizar es el número de regiones iguales, por lo tanto la figura que no guarda relación con las demás es la d. 5.°
AÑO
PSICOTÉCNICO 5. ¿Qué figura sigue?
10. ¿Qué figura falta en la siguiente serie?
,
,
a)
c)
b)
d)
?
? ,
,
e)
a)
c)
b)
d)
e) Más de una es correcta
6. Calcula el número que falta en:
40 10 5 a) 4 b) 2
3 4 2
11. ¿Qué figura falta en el círculo interior?
11 6 ( )
c) 1 d) 3
e) 5
7. Calcula «x» en:
3 1
41
0
4
6
3
a) 12 b) 21
x
2 5 0 1
c) 72 d) 27
53
3 8
?
e) 57
UNMSM
a)
c)
b)
d)
e)
8. Calcula el número que falta en:
169 289 361 ( )
23 7 62 5 33 10 52 2
a) 576 c) 284 b) 25 d) 144 Resolución: 169 = [(2 × 3) + 7] 2 = 132 289 = [(6 × 2) + 5] 2 = 172 361 = [(3 × 3) + 10] 2 = 192 144 = [(5 × 2) + 2] 2 = 122 Rpta.: d
UNI 12. Resuelve la siguiente analogía:
es a
e) 196
5.°
AÑO
a)
c)
b)
d)
5 x y
y queda c) 80 d) 25
es a ?
e)
Resolución: Une los dos gráficos:
9. Calcula «x + y» en:
3 7 12 28 9 70 a) 30 b) 40
como
;
e) 36
103
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
1
PSICOTÉCNICO
Luego une
y queda
Rpta.: d 13. Resuelve la siguiente analogía gráfica:
es a
a)
c)
b)
d)
14. Calcula el número que falta en:
5 (7) 2 7 (10) 3 2 ( ) 4
es a? a) 8 b) 5
1
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
e)
104
c) 6 d) 10
e) 9
5.°
AÑO
2 Operaciones matemáticas arbitrarias Operación matemática Es un proceso que consiste en la transformación de una o más cantidades en otra llamada resultado, bajo ciertas reglas o condiciones en la cual se define la operación. Toda operación matemática presenta una regla de definición y símbolo que la identifica llamado operador matemático. Operador matemático Es aquel símbolo que representa a una operación matemática. Nos permite reconocer a la operación matemática a realizar con su respectiva regla de definición: Operación matemática
Operador matemático
Adición Sustracción Multiplicación División Radicación Valor absoluto Sumatoria Límites Integración
+ – ×
:
Ejemplo 2.do componente 1.er componente a ∗ b = 3a2 – 2b + 5
Operador matemático
Regla de definición
Representación de una operación matemática Una operación matemática se puede representar con una regla de definición mediante una fórmula o una tabla de doble entrada.
÷ √
∑ Lim
∫ :
En este caso, la regla de definición está representada por una fórmula, en la cual solamente hay que reconocer los elementos y reemplazarlos en la regla de definición para obtener el resultado buscado. El reemplazo del valor numérico de los elementos en la regla de definición puede ser un reemplazo directo (como en el ejemplo 1), o puede ser un problema que primero hay que darle forma al valor numérico que nos piden para luego recién reconocer los elementos y reemplazar en la regla de definición. Ejemplo Se define la nueva operación matemática en R mediante el operador ∆ como: 3 2 a ∆ b = a + 2b 8b – 3a Calcula: E = 3 ∆ 2
Ejemplo: ∗; #; ∆; Ο; θ; ψ; ; ... Las reglas de operación se basan en las operaciones matemáticas ya definidas, veamos los siguientes:
AÑO
A. Mediante fórmula
Las operaciones matemáticas arriba mencionadas son conocidas universalmente. En el presente capítulo lo que hacemos es definir operaciones matemáticas con operadores y regla de definición elegidos de forma arbitraria. El operador matemático arbitrario puede ser cualquier símbolo (incluso figuras geométricas).
5.°
105
Resolución: a = 3; b = 2 3 2 E = 3 + 2(2) = 27 + 8 = 19 8(2) – 3(3) 16 – 9 7
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
2
OPERACIONES MATEMÁTICAS ARBITRARIAS
B. Mediante una tabla de doble entrada Para este caso, tenemos: Fila de entrada
∗
a a b c d
a Columna b de entrada c d
b b c d a
b∗ c=d
c c d a b
∗ 1 2 3 4
1 2 3 4 1
2 3 4 1 2
d d a b c
4 1 2 3 4
2∗4=2
4 ∗ 1 = 1
3 ∗ 2 = 1 2 ∗ 1 = 3 E= 1 3
3 4 1 2 3
3 ∗ 3 = 2
E= 3∗2 2∗1
d∗ b=a
Ejemplo: en el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} se define:
1∗2=3
Calcula: E = (1 ∗ 2) ∗ (2 ∗ 4) = (3 ∗ 3) ∗ (4 ∗ 1)
En algunos casos las cantidades a operarse aparecen expresadas con determinada forma. En este caso se recomienda dar a las cantidades pedidas la respectiva forma mostrada. En algunos ejercicios es recomendable inspeccionar si lo pedido puede ser obtenido reemplazando convenientemente los datos. En algunos ejercicios, aún conociendo la regla de definición, operar las cantidades se vuelva tediosamente operativo. Lo que conviene es trabajar a partir del resultado relacionado con la cantidad operada.
Trabajando en clase Calcula «y» en: 3 4 1 + 1 6 5
Integral 1. Si: a ∗ b = 2a + b
Calcula «x»: (x ∗ 3) ∗ (1 ∗ 2) = 14 a) 0 c) 2 e) 5 b) 1 d) 3
a) 1 b) 3
x 5 = y x c) 5 d) 7
1 y e) 9
2. Se define:
a + 2 ; si «a» es par a = 3 a + 3 ; si «a» es impar 3
PUCP 4. Si: a ∫ b =
Calcula (x + y) en: x ∫ 10 = 6 7 ∫ y = 6 a) 8 c) 10 b) 9 d) 11
3 2 Calcula: 3 – 5 a) 1 b) 2 3. Si:
2
c) 3 d) 6 a d
b = ac – bd c
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
a + 3 + b 2 5
e) 0
5. Si:
3
106
e) 12
H = P + H + 15 P 2 x = 14
5.°
AÑO
OPERACIONES MATEMÁTICAS ARBITRARIAS
Calcula el valor de:
5
x2 c) 205 d) 81
a) 125 b) 120
1 a2b + 4b b 5a Calcula el valor de: R = 4 ∗ (4 ∗ (4 ∗ (...)))
10. Sabiendo que: a ∗ b =
e) 60
a) 0 b) 1
6. Si:
x = 2x
c) 2 d) 3
290 operadores e) 4
11. Sabiendo que: x = 2(x) + 3(y)
y
x = 3x – 1
Calcula: 9 3 a) 1 b) –1
x = 2x + 1 Calcula «n» en:
c) 3 d) 9
e) 0
UNI
n – 4 + 4 + 5 = 26
12. Sabiendo que: m & n = m – n + 2(n & m)
a) 6 b) 8
c) 9 d) 5
Calcula: 12 & 3 a) 3 c) 2 b) 4 d) 6
e) 7
7. Si: x + 1 = 2x+1
13. Se define:
a(b∗a) = a ∗ b; a ∗ b > 0 Calcula 16 ∗ 2 a) 2 c) 6 b) 4 d) 8
Calcula: 4 + 6 a) 20 b) 25
c) 35 d) 24
e) 26
x = (x + 1)x 2
2n–1 = 4n + 1; y; 2n+1 = 16n + 9
Calcula «n»
Calcula:
2x + 1 = 21 a) 1/2 b) 2
c) 1 d) 3
a) 81 b) 64
e) 1/3
Calcula «n» n = 100
5.°
AÑO
c) 2 – 1 d) 2
3 + 4 c) 225 d) 188
e) 125
Advertencia pre
9. Si: x = (x + 1) 2
a) 2 b) 2 + 1
e) 2 2
14. Definidas las operaciones:
UNMSM 8. Se define:
e) 9
e) 4
107
No olvides verificar la regla de definición, a veces no necesitas resolver todo el ejercicio. Recuerda comparar, igualar y remplazar los componentes de las operaciones matemáticas.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
2
3 Área de regiones sombreadas En el curso de razonamiento matemático se trata de resolver problemas de situaciones geométricas utilizando principios básicos de geometría y el razonamiento libre. Recuerda que Área es el valor numérico que representa la superficie.
Área de un trapecio b
h
Fórmulas principales S = superficie
S = B + b h 2
B
Área de un cuadrado
Área de un rombo
L
D D
L
S = L2
L
S=
d
D 2
2
S=
D ⋅ d 2
Área de un círculo L
Área de un rectángulo
r O h
S = πr2
S = bh
Área de un sector circular
b
Área de un triángulo
h
S=
r
α
O
b ⋅ h 2
r
πr2α
S = 360º
b
Área de un triángulo equilátero L
L h L
3
Área de una corona circular R O
L2 3 4 2 h 3 S= 3 S=
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
108
r
S = π(R 2 – r2)
5.°
AÑO
ÁREA DE REGIONES SOMBREADAS
Ejemplo 1 Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado y «O» es centro, entonces el área de la región sombreada es:
Resolución: No olvidar B
C
B
BM: Mediana relativa a AC S
S A
O
A
B
D
G: Baricentro de ∆ABC
S S
Resolución: Por traslado de regiones sombreadas
S
4m
B
C
M
A
C
G
S S
S
C
M
R 4m
Del ejemplo tenemos:
R S
C
B
O S
3S
A
3S
D
S
S S
Así tenemos que el área de la región sombreada es un triángulo, que es igual a la cuarta parte del cuadrado.
S A
42 Ssomb = = = 4 m2 4 4
S D
M
Ssomb =
Ejemplo 2 Si ABCD es un cuadrado de 6 m de lado y además «M» es punto medio, calcula el área de la región sombreada.
S
62
12
= 12 = 3 m2
Ejemplo 3 ABC es un triángulo de 24 m 2 de área. Calcula el área de la región sombreada.
C
B
B 2b
N
P b
A
5.°
AÑO
M
A
D
109
3a
M
a
C
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
3
ÁREA DE REGIONES SOMBREADAS
Resolución: No olvidar
Del ejemplo tenemos: Q
S∆BCM =
S∆ABM = 2 S 3
Stotal = 8s = 24 m 2 4S P
S
4a
a
T
R
S∆QTR =
S = 3m2
S∆PQT 4
∴ Ssomb = 3 m2
Trabajando en clase Integral
PUCP
1. Calcula el área de la región sombreada de 10 m de
4. Calcula el área de la región sombreada.
B
lado. a) 15 π b) 10 π c) 37,5 π d) 25 π e) 12,5 π
20
20
20 A a) 50(2 + π) b) 3π + 25 c) 25π + 3 Resolución: 10
2. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD
es cuadrado de lado a 12 m. A
B
S = 10
20
D a) 24 m b) 28 m2
c) 30 m d) 36 m2
2
π ⋅ 102 2 S = 100 + 50 π S = 50(2 + π)
C e) 40 m2
2
Rpta.: a
3
3a
10 10 10 10
5. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4 m. Cal-
cula el área de la figura sombreada. B C
B
A
10
S = 102 +
3. Calcula el área de la región sombreada triangular
ABM. Si el área del triángulo ABC es 40u.
D d) 50π + 7 e) 25(2 + 3 π)
+ 10
a) 10 b) 36
C
a
c) 20 d) 32
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
4m
C
O
e) 30 A
110
D 4m
5.°
AÑO
ÁREA DE REGIONES SOMBREADAS
a) 8 – 2π b) 4 + 2π
c) 8 – π d) 2 + π
e) 2π – 4
9. Calcula el área de la región sombreada:
6. Calcula el área de la región sombreada.
2
2
10m
2 a) 6 – π b) 6 + π
10m a) 40m2 b) 60m2
c) 50m2 d) 35m2
c) 4 – π d) π – 2
e) π + 2
10. En la figura mostrada, calcula el área de la región
e) 70m2
sombreada.
7. Si el trapecio ABCD tiene 120m 2 de área, calcula
el área de la región sombreada (3 ⋅ AD = 5 ⋅ BC).
A a) 10 b) 36
4
C
B
2
D e) 30
c) 20 d) 32
2
4 c) 4 π d) 8
a) 16 b) 8π
e) 12
11. ¿Qué fracción del área total del paralelogramo
ABCD se encuentra sombreada?
UNMSM 8. En el sector circular calcula el área de la región
sombreada. a) π b) π/2 c) π/4 d) 2π e) π/3
a) 2/5 b) 3/8
2
2 –
π(2)2 π(1)2 2
=
AÑO
e) 4/5
12. Calcula el área de la región sombreada en el hexá-
gono regular de área «A». a) A/3 b) 11A/36 c) 7A/24 d) A/2 e) 9A/22 Resolución: Dividiendo la figura adecuadamente se tendrá:
1
π 2
Rpta.: b
5.°
c) 3/5 d) 5/12 UNI
O
2
4
D
A
S=
–
C
2
Resolución: El radio de la semicircunferencia es «1». Luego:
S=
B
111
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
3
ÁREA DE REGIONES SOMBREADAS 14. Calcula el área de la región sombreada.
s
s s s s
3s s
3s
6s
3s 3s
6s 6s
Shexágono = A
36S = A S = A/36 Ssomb = 11S
a)
a2 4
c)
a2 6
b)
a2 5
d)
a2 10
11A
∴ Ssom = 36 Rpta.: b
e)
a2 8
13. ABCDEF es un hexágono regular de 4 cm de lado.
Calcula el área de la región sombreada. C
D
Advertencia pre B
E
A a) 24 3 b) 20 3 c) 16 3
3
F d) 14 3 e) 12 3
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
112
Verificar los gráficos pues en algunos de ellos solo deberás trasladar las regiones sombreadas. No olvidar las unidades métricas. Tener presente algunas fórmulas geométricas.
5.°
AÑO
4 Orden de información Ordenamiento lineal Consiste en ordenar un grupo de objetos o personas de acuerdo a una característica común, por ejemplo: la posición, el peso, la edad, la talla, antigüedad, etc. Para obtener un esquema claro, luego de leer los datos, debes fijar un eje de referencia (esquema).
Tu esquema debe representar todos los posibles ordenamientos generados por datos y reglas del problema. Ejemplo: Pedro y Ramón son mayores que Beto. Aldo es menor que Beto, quien no es menor que César.
El orden lineal puede ser:
Pedro
Ramón
Horizontal Ejemplo: Seis amigos se van al teatro y se ubican en una fila con seis asientos consecutivos, enumerados del 1 al 6 de izquierda a derecha. 1
2
3
4
5
Beto
César
Aldo
6 La expresión «Beto no es menor que César», se refiere a que Beto es mayor o igual que César.
izquierda
derecha
Sugerencias
Vertical Ejemplo En un edificio de cinco pisos viven cinco amigos cada uno en un piso diferente. Superior 5.º 4.º 3.º 2.º 1.º Inferior
5.°
AÑO
Es mejor ordenar de forma horizontal cuando los datos hagan referencia a la izquierda y a la derecha, y de forma vertical es arriba y abajo. Si se generan pocos ordenamientos es mejor colocar todos.
Ordenamiento circular Consiste en ordenar una serie de objetos o personas alrededor de un determinado lugar. Por lo general estos ordenamientos se refieren a mesas circulares con asientos distribuidos simétricamente (iguales espacios). Sin embargo, pueden presentar ordenamientos circulares en otros contextos, como por ejemplo algunos niños haciendo una ronda, un jardín circular de árboles, etc. Antes de empezar a resolver los problemas obser va la cantidad de asientos y la cantidad de personas, ya que si no coinciden, habrá algunas sillas desocupadas (asiento vacío).
113
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
4
ORDEN DE INFORMACIÓN
También debes fijarte si es un número par o impar de asientos igualmente espaciados alrededor de la mesa; ya que si es un número par de asientos como quedaran frente a otra, de lo contrario jamás ocurriría que haya uno al frente del otro. Ejemplo Se tiene una mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente. Del gráfico podemos decir que: X
Q, R y S están a la izquierda de P. X, W y S están a la derecha de P. T está frente a P.
Observaciones
En una distribución simétrica en una mesa circular, la cantidad de elementos debe ser par para que pueda haber uno frente al otro. Adyacente quiere decir junto, al lado.
Advertencia pre
P
W
Q
U
R T
S
En el orden lineal ubicar correctamente los puntos cardinales. En el orden circular debes empezar graficando el dato que diga que un elemento está frente a otro.
Trabajando en clase a) Paco b) Iván c) Daniel d) Juan o Daniel e) Luis
Integral Enunciado
Cinco amigas viven en la misma calle y se sabe que la casa de Claudia está al oeste de la de Laura, cuya casa está al oeste de la de Diana. Además la casa de Ana está adyacente a las casa de Laura y Milagros. 1. Indica el número de ordenamientos que se generan. a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4 2. ¿Quién vive al oeste de todas?
a) Ana b) Laura
c) Claudia d) Diana
e) Milagros
3. En una reunión se encuentran un aviador, un mi-
litar, un comerciante y un deportista. Los nombres aunque no necesariamente en el orden de las especialidades son Paco, Daniel, Iván y Luis. Si se sabe que: Paco y el militar no se llevan bien. Iván se lleva muy bien con el deportista. Daniel es pariente del comerciante y éste es amigo de Luis. El aviador es muy amigo de Luis y del deportista. ¿Quién es el comerciante?
4
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
PUPC Enunciado
Cinco amigos viven en un edificio de cuatro pisos que tiene dos departamentos en cada piso. Cada uno vive en un departamento diferente y además se sabe que: Andrés vive más arriba que Luis y este vive en el mismo piso que Pedro. Otto vive más arriba que Andrés pero más abajo que José. Juan vive un piso más arriba que Beto. Diego nunca usa el ascensor para subir 4. Luego, ocurre necesariamente que:
114
I. Juan no vive más abajo que Otto. II. Andrés vive más abajo que Juan. III. Diego vive en el mismo piso que Andrés. a) Solo I c) II y III e) Todas b) I y II d) I y III 5.°
AÑO
ORDEN DE INFORMACIÓN 5. ¿Cuál de los siguientes amigos puede vivir en el
mismo piso que Diego? a) Otto c) Beto b) Luis d) José
10. De tres amigos, uno tiene S/.10, otro S/.15 y el úl-
timo S/.20. ellos desean comprar una pelota, un mandil y un florero, un artículo cada uno. Si se sabe que: A Daniel le sobraría S/.5 si comprase el florero, mientras que a Coco le falta S/.5 para comprarlo. A Beto le falta S/.2 para comprar el mandil y a Coco le sobraría S/.2 si comprarse la pelota. Si Coco tuviera S/.5 más, ¿qué artículo no podría comprar y cuánto cuesta? a) Florero, S/.17 b) Pelota S/.20 c) Mandil, S/.17 d) Florero, S/.20 e) Mandil, S/.318
e) Juan
6. En una granja, por las mañanas, se escucha el
canto de algunos animales. El orden en que se escuchan estos cantos cumple con las siguientes condiciones: El canto de los gallos se escucha antes que el canto de los patos y el de estos antes que el canto de las palomas. El canto de los pavos se escucha después que el de los gallos pero antes que el de los jilgueros. El canto de los gorriones se escucha antes que el de los jilgueros y después que el de los patos. El canto de las palomas es el último en escucharse. ¿Cuántos ordenamientos son posibles? a) 1 c) 3 e) Más de 4 b) 2 d) 4
11. Juan, Abel, Alberto y Miguel nacieron en los años
1990; 1992; 1994 y 1996, aunque no necesariamente en este orden. Cuando Abel nació Juan no caminaba todavía. Si Miguel no es el menor de todos pero sí menor que Abel, ¿en qué años nacieron Abel y Alberto respectivamente? a) 90 y 92 d) 96 y 94 b) 92 y 90 e) 92 y 93 c) 94 y 96
7. Del problema anterior, ¿cuál es el único animal
cuyo canto puede haberse escuchado en 2.º; 3.º y 4.º lugar? a) Gallos d) Gorriones b) Patos e) Jilgueros c) Pavos
UNI Enunciado
UNMSM Enunciado
Siete cadetes están preparándose para un desfile militar y debe marchar obedeciendo las siguientes condiciones: A debe marchar inmediatamente delante de E. D no puede marchar delante de A. G debe marchar cuarto y delante de E. F no puede marchar primero ni quinto.
En una mesa circular con seis asientos colocados simétricamente se sientan cinco amigos: Alberto, Betty, Camila, Diana y Erick. Sabemos que: Alberto se sienta frente a Betty y junto a Camila. Diana se sienta frente a Camila. Erick no se sienta junto a Diana 12. Afirmamos con certeza que:
I. Erick se sienta junto a Alberto II. Camila se sienta junto a Erick III. Diana se sienta junto al lugar vacío a) I y II b) I y III c) II y III d) Todas e) Ninguna
8. ¿Cuál sería un orden aceptable?
a) BFCGEAD b) AEDGFBC c) BEAGCFD d) CEAGFBD e) CBFGAED 9. Si C marcha en segundo lugar, ¿quién puede mar-
char en primer lugar? a) B c) E b) D d) G
5.°
AÑO
e) A
Enunciado
Andrés, Pepe y Frank tienen dos ocupaciones cada uno: chofer, comerciante, pintor, jardinero, barbero y músico. El chofer ofendió al músico riéndose de su cabello largo, el músico y el jardinero solían ir a
115
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
4
ORDEN DE INFORMACIÓN
pasear con Andrés, el pintor compró al comerciante un reloj de Suiza y el chofer cortejaba a la hermana del pintor. Pepe debía 500 soles al jardinero, Frank venció a Pepe y al pintor jugando cachito. 13. ¿Qué ocupaciones tenía Andrés? a) Comerciante – músico b) Barbero – músico c) Chofer – jardinero d) Pintor – barbero e) No se puede determinar
4
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
14. Del texto se deduce necesariamente que:
116
I. Pepe tiene cabello largo II. Frank corteja a la hermana de Andrés III. El músico le debía 500 soles a Frank a) Solo I b) Solo II c) I y III d) II y III e) Todas
5.°
AÑO
5 Cronometría Capítulo relacionado en gran parte con el tema de planteo de ecuaciones y razonamiento lógico. Los relojes y su utilidad para la medición del tiempo son motivo de una gran variedad de problemas y acertijos que para un mejor estudio se trata como tema aparte, teniendo en cuenta los siguientes objetivos específicos. 1. Analizar y comprender la relación entre el tiempo transcurrido y el tiempo no transcurrido, para un tiempo determinado. ¿Qué hora es?
Hora marcada (hora falsa) Hora correcta (hora real) Mediante las siguientes expresiones: HM = HR – Atraso HM = HR + Adelanto
3. Problemas sobre campanadas El tiempo que se mide al tocar una cantidad «n» de campanadas siempre genera «n – 1» intervalos. Gráficamente «n» campanadas
1
2 i
Tiempo total
3 i
... i
i
i
(n–1) intervalos
i = tiempo que demora cada intervalo.
Advertencia pre
Tiempo transcurrido
Tiempo no transcurrido
2. Problemas sobre adelantos y atrasos Para desarrollar estos problemas, se puede aplicar criterios lógicos y regla de tres; teniendo en cuenta lo siguiente:
Recordar que un día tiene 24 horas. Tener en cuenta que un reloj de manecillas tiene 12 horas que recorrer y no reconoce si es de día o noche. Los intervalos son 1 menos que el número de campanadas.
Trabajando en clase 3. Una campana de un campanario tarda 5 segun-
Integral
dos en tocar 3 campanadas. ¿Cuántas campanadas tocará en 25 segundos?
1. Si un reloj que marca la hora con campanadas
demora 12 segundos para marcar las 4 horas. ¿Cuánto demorará para marcar las 8 horas?
PUCP 4. Un reloj indica la hora con igual número de cam-
2. Un reloj marca las horas con igual número de
campanadas, ¿cuántas campanadas dará en 1 día?
5.°
AÑO
117
panadas si para indicar las 5 empleó «x» segundos. ¿Cuánto tiempo tardará para indicar las «y» horas (y < 12)? RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
5
CRONOMETRÍA
Resolución: Campanadas 5 y
9. Un reloj se atrasa 4 minutos cada hora, si se pone
Intervalos 4 y–1
a la hora correcta a las 7:00. ¿Qué hora marcará cuando sea 21:00 horas?
Tiempo x n
10. El reloj de William se adelanta 8 minutos cada 5
horas. ¿A qué hora empezó a adelantarse si a las 10:15 pm marca las 10:39 pm?
(y – 1)x n= 4
11. Se tiene 2 relojes, el primero adelanta 8 minutos
cada hora y el segundo se atrasa 2 minutos cada hora, se ponen a la misma hora a las 6:00 am. ¿Después de cuántas horas volverán a marcar la hora correcta?
Tardará: (y – 1)x segundos 4 5. Un reloj que marca las horas con campanadas
demora «n» segundos para marcar las 6 horas. ¿Cuánto demorará para marcar las «t» horas? (t < 12)
UNI 12. Si la mitad de tiempo transcurrido desde las 7:00
am es la tercera parte del tiempo que falta para las 5:00 pm. ¿Qué hora es? Resolución: 7:00 am 5:00 pm
6. Un reloj tarda 42 segundos en tocar «x» campa-
nadas si entre campanada y campanada tardar tanto segundos como campanadas da. ¿Cuánto tardará en tocar 11 campanadas?
tiempo transcurrido
7. Un reloj que marca las horas con campanadas
x
tarda (n + 1) segundos en marcar las n 2 horas. ¿Cuánto tardará en marcar las «n» horas?
falta transcurrir
10 – x 10 horas
UNMSM
x = 1 (10 – x) 2 3
8. Un reloj se adelanta 5 minutos cada hora, si se
pone a la hora correcta a las 6:00. ¿qué hora marcará cuando sean las 20:00 horas? Resolución: adelanta 6:00 → 1 hora _______ 5 10:00 → 14 horas _______ x x = 14 × 5 = 70’ = 1 hora 10 minutos 1 marcará:
20:00 + 1:10 21:10
Resolviendo: x = 4 h Respuesta: son: 7:00 + 4:00 11:00 am 13. Si las 2/3 partes de tiempo transcurrido desde las
6:00 am es igual a las 2/5 partes del tiempo que falta para las 5:00 pm. ¿Qué hora es? 14. Son más de las seis, sin ser las ocho de esta ma-
ñana, y hace diez minutos, los minutos que habían transcurrido desde las seis eran iguales a 1/9 del tiempo que faltará transcurrir hasta las ocho, dentro de diez minutos. ¿qué hora es?
Respuesta: Marcará 21:10
5
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
118
5.°
AÑO
6
Ángulo formado por las manecillas de un reloj
Concepto Instrumento empleado para medir o indicar el paso del tiempo y divide el día en horas, minutos y segundos. 11 12 1 10 2 m 30º 3 9 4 8 H 5 7 6
Cálculo del ángulo «θ» Primer caso: Cuando el minutero adelanta al horario. 10
11 12 1
9 8
θ 7
6
2 3 4
θ = 11 m – 30H 2
5
«m» antes que «H» 5 divisiones
Segundo caso: Cuando el horario adelanta al minutero.
H: horario m: minutero θ: ángulo formado por el horario y el minutero
11 12 1 10 m 2 θ 3 9 4 8 7 6 5
Observación En 1 hora el minutero recorre 60 divisiones, luego: 1 h < > 60 div < > 60 min < > 360º
→ 1 div = 1 min = 6º
θ = 30H – 11 m 2
«H» antes que «m»
Relación del recorrido del horario y minutero En cada hora la relación de recorrido de «H» y «m» es: H 5 divisiones m = 60 divisiones
Observaciones
El valor de H < 12, si es mayor que 12 se le debe restar 12. Así tenemos 14:48, lo trabajaremos en nuestras fórmulas como 14 – 12 = 2; 2:48. Si el ángulo θ > 180º, entonces el ángulo es falso, el ángulo verdadero es 360º – θ.
H 1 m = 12 Lo cual significa que cada vez que el minutero avance «m» divisiones el horario avanzará «m/12»divisiones. 12
m div
Advertencia pre
3
9 H 6
5.°
AÑO
m/12 div
119
Cuando las agujas se superponen es porque las agujas están una sobre otra. También pueden relacionar: H=6m M = 1 m 2 Las 12 horas también pueden ser las 0 horas.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
6
ÁNGULO FORMADO POR LAS MANECILLAS DE UN RELOJ
Trabajando en clase 8. Salí a trabajar muy temprano, entre las 4 y las
Integral
5 mañana; al regresar, por la noche, me percaté que el minutero estaba en la misma posición que cuando salí y el horario en sentido opuesto al de mi salida. ¿Cuánto tiempo estuve fuera de casa? Resolución:
1. ¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj a
las 2 h 20 minutos? 2. Entre las 4:00 h y las 5:00 h. ¿a qué hora las mane-
cillas formarán un ángulo de 180º?
11
3. Un reloj en lugar de tener 12 divisiones tiene 9 y
2 3
9
4
8
PUCP
7
4. ¿Cada cuánto tiempo las agujas de reloj se super-
ponen? Resolución: 12
1
10
cada vez gira una vez a su eje. ¿Qué hora marcará a las 4 pm?
12
12
1
12
6
5
4:x am < > 4 h × min
1
10:x pm < > 22 h: × min 11
12
1
10
θHM = 11 M – 3H
2 3
9
2
4
8
0º = 11 M – 30(1); M = 60 2 11
7
6
5
Tiempo transcurrido = 22 h: × min – 4 h: × min t = 18 horas
M = 5 + 5 min = 5 min + 300 s 11 11 M = 5 min + 27 + 3 s 11 t = 1 h 5 min 27 3 s 11
9. Julio inicia sus clases en la UNI entre las 8 y las 9
de la mañana, cuando las manecillas de su reloj están superpuestas y termina sus clases entre las 2 y las 3 pm cuando las manecillas de su reloj se oponen. Calcula el tiempo que duraron sus clases.
5. ¿Cada cuánto tiempo las agujas de reloj forman
un ángulo de 90º? 10. ¿A qué hora entre las 2 y las 3, las agujas de un 6. ¿A qué hora entre las 4 y las 5, las agujas de un
reloj forman un ángulo de 120º por segunda vez?
reloj forman 60º por primera vez? 7. ¿A qué hora inmediatamente después de las 15:00
11. El ángulo formado por las manecillas de un reloj
horas el minutero adelanta al horario, tanto como el horario adelanta a la marca de las 12?
6
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
120
que marca las 6 h 24 minutos es (x + 18)º, calcula el valor de «x».
5.°
AÑO
ÁNGULO FORMADO POR LAS MANECILLAS DE UN RELOJ 12. Según el gráfico, qué hora indica el reloj. 12 1 2
θHM = 11 M – 30 H 2
90 – α + 90 + 2 α = θHM
α
9
3
2α
180 + α = 11 [2(α – 30)] – 30(1) 2
α = 54
6
M = 2(54 – 30) = 48 H = 1:48
Resolución: 12
α–30
M = 2(α–30)
13. ¿Qué hora indica el reloj de la figura?
2 90– α 9
2α
2α
3
θHM
6
5.°
AÑO
3α 14. ¿Cuál es el mayor ángulo formado por las agujas
de un reloj cuando sean las 8:27 pm?
121
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
6
7 Suficiencia de datos En cada pregunta se plantea un problema y se ofrecen dos datos o dos series de datos para resolverlo. Debe identificar que datos se necesitan y marcar de acuerdo a estas alternativas. A. B. C. D. E.
Si los combino tengo un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Si las sumo puedo encontrar el valor de «a». Fin del análisis. Rpta. C. ¿Acaso me debí preocupar por el valor final de «a»? Pues, no hizo falta.
El dato I es suficiente y el dato II no lo es. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. Se necesitan más datos.
En algunos casos que se pide el valor numérico de alguna expresión grande, deberá primero pensar en factorizarla o reducirla. No intente reemplazar el dato de manera directa. Casi siempre lo único que se logra es complicar más el problema.
Indicaciones: En esta parte se manejan conceptos básicos de los cursos de ciencias (Aritmética, Álgebra, Geometría y Razonamiento Matemático).
El procedimiento adecuado debe ser el siguiente:
Primero se intenta resolver el problema con solo el primer dato. Si se puede resolver, la respuesta ya no podría ser ni C ni E. Luego se intenta resolver con el con el segundo dato. Si se puede resolver, la respuesta ya no podría ser tampoco C ni E. Si con ambos datos se pudo (por separado) la respuesta sería D. Si no se pudo con los datos por separado, recién debería intentar resolver el problema con ambos datos. Si se puede la respuesta sería C y si no se puede la respuesta sería E.
Conclusión: En este capítulo se plantean problemas y en cada uno se ofrecen 2 datos para resolverlo. Debe identificar qué datos se necesitan para llegar a la solución, aunque no es necesario hallar el resultado.
En esta parte, solo interesa saber si se puede resolver la interrogante planteada, así que se deberá evitar hacer cálculos innecesarios.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Advertencia pre
Ejemplo: Calcula «a» I. a + 3b = 5 II. a – 3b = 2
7
Con el primer dato es imposible (hay infinitas soluciones). Con el segundo dato es imposible (hay infinitas soluciones)
122
No es necesario resolver todo el problema. Leer bien las alternativas para no perder tiempo al momento de marcar. La alternativa C se refiere a que necesitan ambos datos para resolver el problema.
5.°
AÑO
SUFICIENCIA DE DATOS
Trabajando en clase 5. Calcula la edad de Jorge y de Pablo.
Integral
En cada pregunta se plantea un problema y se ofrecen dos datos o dos series de datos para resolverlo. Debe identificar que datos se necesitan y marcar de acuerdo a estas alternativas. A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. D. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. E. Se necesitan más datos.
Datos: I. Jorge nació 15 años después que Pablo. II. La suma de sus edades actuales es 55. 6. ¿Cuál es el valor de 3x–y?
I. x = y + 1 II. x + y = 3 7. ¿Cuántos alumnos hay en una clase?
I. Hay más mujeres que hombres. II. Hay menos que 50 alumnos.
1. ¿Cuánto dinero le falta a Pablo para comprar 6
chocolates? I. Cada chocolate cuesta S/.2,50. II. Tenía solo un billete de S/.10
UNMSM 8. Calcula el volumen de un cubo
Datos: I. Su área es 96 cm2 II. Su diagonal mide 4 3 cm Resolución: Con el dato I si es posible calcula el volumen del cubo. El área del cubo es 6L2 = 93 cm2; L = 4 cm. Si la arista es 4 cm, entonces el volumen será: 43 = 64 cm3 Con el dato II si es posible calcula el volumen del cubo. Si la diagonal mide 4 3 cm entonces cada arista del cubo mide 4 cm. Por lo tanto su volumen es: 43 = 64 cm 3.
2. Juan compra manzanas y naranjas. ¿Cuánto gastó
en estas frutas? I. Compró 8 manzanas y 5 naranjas. II. Cada manzana cuesta 3 soles. 3. ¿Cuánto gana por hora una enfermera?
I. Trabaja 5 días a la semana, 10 horas diarias. II. En dos días de trabajo gana S/.100. PUCP 4. Calcula la edad de Juna y de Pedro.
Datos: I. Juan nació 6 años antes que Pedro. II. La suma de sus edades actuales es 30. Resolución: Con el primer dato es imposible saber la edad de cada uno de ellos, lo único que podemos saber es que Juan es mayor que Pedro por 6 años y esa diferencia permanece constante siempre. Con el segundo dato es imposible (habría muchas soluciones). Pero si combinamos los dos datos (juntamos los datos), tendríamos que Juan = x + 6 y Pedro = x; y además la suma sería: 2x + 6 = 30 x = 12 Juan tiene 18 años y Pedro 12 años. Clave C.
5.°
AÑO
Clave D 9. Calcula el volumen de un cubo
I. Su área es 150 cm2 II. Su diagonal mide 5 3.—cm 10. Teresa triplica su dinero, luego gana 1 sol y por
último pierde 5 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente? I. Al final Teresa quedó con 35 soles II. Lo que tenía inicialmente es un cuadrado perfecto 11. A cierto espectáculo asisten adultos que pagan
123
9 soles cada uno y niños que pagan 6 soles cada uno. ¿Cuántos niños asistieron? I. Asistieron 92 personas II. Se recaudó 660 soles
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
7
SUFICIENCIA DE DATOS UNI
13. Calcula el valor numérico de: x 2 + xy + y 2
I. x + y = 3 II. x3 + y 3 = 4
12. Calcula el valor numérico de: x2 + 2xy + y 2
I. x + y = 2 II. x2 = 4 Resolución: Antes de usar los datos debo notar que: x2 + 2xy + y 2 = (x + y) 2 Lo cual posibilita que el análisis sea más sencillo Con el dato I si se puede Con el dato II no se puede Clave C
7
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
14. Abel demora 6 días en hacer una obra, César y
Daniel demoran 4 días en hacer la misma obra, ¿cuánto demora Daniel en hacer la obra? I. César demora 12 días en hacer la obra. II. Abel y Daniel demoran 3 días en hacer la obra.
124
5.°
AÑO
8 Repaso a
1. Si
4. En el conjunto «N» se define:
∑b r = residuo de dividir a + b entre 8
π
x2 – 2 = x2 – 1
a
y
Resolver: r = residuo de dividir a × b entre 8
...
b
1 +
2
+ 4 + 6 ...
a
∑b r
entonces
π a
r es igual a:
∑b r
a) 3 b) 4
c) 5 d) 6
e) 7
a) 250 b) 251
2. Las siguientes operaciones representan giros del
cuadrado en sentido antihorario, alrededor de su centro. o
Si:
x
y
c) 625 d) 626
e) 51
5. Según la lógica, ¿qué figura debe venir a conti-
nuación? ,
,
,
,
?
,
R
; R
25 operadores
o
; x será
a)
c)
b)
d)
e)
6. De acuerdo a la relación entre la gráfica y los nú-
a)
c)
b)
d)
meros representados, elegir la opción correcta:
e) N. A.
a b 3. Si: c d = ad – bc, calcula el mayor número que
3 a) 1/6 b) 2/6
a) –1 b) –2
c) 0 d) 1
AÑO
? e) 6/5
cula la longitud de radio OA. B 0 1 e) 2
R O
5.°
5/3 c) 5/3 d) 3/5
7. El área de la región sombreada mide 8 π m 2. Cal-
satisface la ecuación. x 1 1 2 x 1 2 x 3 x – 2 4 = 3
4/3
125
A RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
8
REPASO
a) 4 m b) 16 m
c) 12 m d) 6 m
e) 8 m
10. Rita sale de su casa a las 1 pm (según su reloj) y
llega al colegio a las 2 pm (según su colegio); luego se percata que su reloj estaba atrasado 6 min y el del colegio adelantado 14 min. ¿Cuánto tiempo se demoró Rita? a) 32’ c) 48’ e) 42’ b) 40’ d) 52’
8. En la figura ¿qué tanto por ciento de la región
sombreada es el área de la región no sombreada?
11. Un reloj adelanta 5 min cada hora y otro adelanta
a) 50% b) 100%
c) 150% d) 200%
2 min cada hora ambos relojes se ponen a la hora a las 12 del día. ¿Después de cuántas horas el primero estará adelantado una hora respecto al otro? a) 20 h c) 10 h e) 40 h b) 18 h d) 15 h
e) 175%
9. A partir de la figura ¿qué parte de la región no
sombreada es el área de la región sombreada? B C
12. Un campanario señala las horas con igual núme-
D
A a) 2/3 b) 1/7
ro de campanadas. Si para indicar las 2 n horas empela (2n + 1) segundos y para indicar las 7 horas emplea (2n+1 + 2) segundos, ¿qué hora señala en un tiempo de (4n – 1) segundos? a) 10 am c) 9 am e) 8 am b) 11 am d) 4 am
c) 2/9 d) 1/8
e) 1/16
Bibliografía 1. RUBIÑOS TORRES, Luis: Razonamiento matemático. Lima. Editorial Moshera, 2000. 2. RUBIÑOS TORRES, Luis: Razonamiento matemático. Lima. Editorial Moshera, 2001. 3. Exámenes de admisión San Marcos. Lima. Editorial Delta. 2000-2012 4. Exámenes de admisión UNI. Lima. Editorial Delta. 2000-2012 5. Razonamiento matemático. Lima. Editorial PAZ. 2012-2013.
8
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
126
5.°
AÑO
