Trigonometría
LIb
d ti
t í i db 127
15/09/2014 02 39 25
í
/
/
1
Resolución de triángulos oblicuángulos I (Senos y proyecciones)
Concepto
Resolver un triángulo es determinar la medida de los tres lados y ángulos. Para resolver un triángulo oblicuángulo es suficiente conocer la medida de tres elementos entre ángulos y lados, donde por lo menos uno de ellos debe ser un lado.
A
b
C C = 2R ... (1) ⇒ 2R SenC
BCQ = SenA =
a a = 2R ... (2) ⇒ 2R SenA
Trazamos el diámetro que pasa por A se demuestra en forma análoga: b c = = 2R ... ( β) SenB SenC
Se demuestra de (α) y (β):
a
c
BAQ = SenC =
Igualando (1) y (2) c a = = 2R ... ( α) SenC SenA
Ley de senos En un triángulo ABC B
Entonces:
a b c = = = 2R SenA SenB SenC
C
Se cumple: a b c = = = 2R SenA SenB SenC
Ley de proyecciones En todo triángulo ABC: B
R: Circunradio
Todo triángulo es inscriptible en una circunferencia tal como se observa en la figura:
A
B
c
A
R
5.°
í
AÑO
C
c = a CosB + b CosA
a
C A Q
Demostración:
C
Por B trazamos un segmento que pasa por el centro de la circunferencia hasta Q. (BQ = 2R; R: Radio). Observar que: m∠BAQ = 90º y m∠BCQ = 90º Además: m∠BQA = C y m∠BQC = A
b
a = b CosC + cCosB b = a CosC + c CosA
R
a
c
Demostración
129
En la figura, trazamos BH: B a
c n
m A
H
b
C
1
TRIGONOMETRÍA
/
/
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS I (SENOS Y PROYECCIONES)
Se determina sobre el lado AC dos segmentos m y n tal que: b = m + n AHB: m = c CosA CHB: n = a CosC m + n = c CosA + a CosC
Advertencia pre En todo triángulo oblicuángulo se cumple: a = 2R SenA b = 2R SenB c = 2R SenC donde: R: circunradio
∴ b = c CosA + a CosC
Trabajando en clase 6. De la figura, calcula «x» (ABCD: trapecio).
Integral 1. Según el gráfico mostrado, calcula «b».
B
C
C x
a 7
b 30º
2θ
53º
A
θ D
A B
2. En un ∆ABC, m∠+C = 60º ∧ R = 4. Calcula «c» donde R: circunradio.
7. En un ∆ABC, se cumple: SenA SenB SenC = = 2 3 4
Calcula: F =
3. Se tiene un ∆ABC, m∠A = 45º; m∠B = 120º; a = 2. Calcula «b».
b2 + c2 b2 – a2
UNMSM PUCP 4. En un ∆ABC: a = 3 ∧ b = 5. 2SenB + SenA Calcula: S = 2SenB – SenA
Resolución: Por ley de senos: SenB =
8. Para un ∆ABC, reduce: M = (a + b) CosC + (a + c) CosB + (b + c) Cos A
Resolución: M = (a + b) CosC + (a + c) CosB + (b + c) Cos A
b a SenA = ∧ 2R 2R M=aCosC+bCosC+aCosB+cCosB+bCosA+cCosA
Luego:
b a + 2R 2R = 2n + a = 2(4) + 3 S= 2b – a 2(4) – 3 b a 2⋅ – 2R 2R b a 2 – 2R 2R 2⋅
S=
11 = 2,2 5
5. En un ∆ABC: a = 10; b = 13 ∧ c = 15 Calcula: SenA + SenB + SenC SenC – SenA
1
TRIGONOMETRÍA
í
ordenando, se tiene: M=(aCosC+cCosA)+(bCosC+cCosB)+(aCosB+bCosA)
b
∴ M = a + b + c
a
c (Ley de proyecciones)
9. Para un ∆ABC, reduce: N = a(CosB + CosC) + b(CosA + CosC) + c(CosA + Cosb)
130
5.°
AÑO
/
/
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS I (SENOS Y PROYECCIONES) 10. En un ∆ABC; de lado a, b ∧ c, ¿a qué es igual? c – aCosB F= aSenB
⇒ 2Cos2 – 1 = 1 ⇒ Cos2α = 3 5
3
∴ Cosα = 5
11. En un ∆ABC, simplifica:
R=
(a – bCosC)TanB⋅Sen(A + B) +bSenC
13. De acuerdo al gráfico, calcula «Sen α».
UNI
C
12. De acuerdo al gráfico, calcula «Cosα».
7 7
5
3x
Resolución: Aplicando la ley de senos, tenemos: 5
7
5
7
10Cos2α + 5 = 7 ⇒ 10Cos2α = 2 ⇒ Cos2α =
í
AÑO
x B
14. En el ∆ABC, si a = 14; b = 10 ∧ c = 12.
Calcula el valor de la expresión:
⇒ Senα = Sen3α ⇒ Senα = Senα(2Cos2α+1)
5.°
9
A
3α
α
5
1 5
M=
131
CscB – CscA CscC – CscA
1
TRIGONOMETRÍA
/
/
2
Resolución de triángulos oblicuángulos II (Cosenos y Tangentes)
Ley de cosenos B
2
Nota: En un ∆ABC se cumple: (2p: perímetro) P = R(SenA + SenB + SenC)
2
a = b + c – 2bc CosA a
c A
2
b2 = a2 + c2 – 2ac CosB c2 = a2 + b2 – 2ab CosC C
b
Demostración Demostración
Trazamos la altura BH, determinándose los triángulos rectángulos BHA y CHB.
2RSenA a a SenA = = ⇒ 2RSenB SenB b b
B b A
a
bSenA
H bCosA
c–bCosA C
C
a–b = a+b
A+B A–B Cos a–b 2 2 = a+b A+B A–B 2Sen Cos 2 2
Ley de tangentes
b
A
c
2
a–c = a+c
C
TRIGONOMETRÍA
í
a–b A–B A+B = Tg Ctg a+b 2 2 A–B Tg a–b 2 ∴ a + b = A+B Tg 2
A–B Tg a–b 2 = a+b A+B Tg 2 a
A+B A–B Cos 2 2 A+B A–B 2Sen Cos 2 2 2Sen
2Sen
uno 2 2 2 ∴ a = b + –2bcCosA
B
Aplicando proporciones: a–b SenA – SenB = a+b SenA + SenB
En el BHC: (teorema de Pitágoras) 2 a = (bSenA)2 + (c – bCosA) 2 a2 = b2SenA2 + c2 – 2bcCosA + b 2Cos2A a2 = b2(Sen2A + Cos2A) + c2 – 2bcCosA
Sabemos pr el teorema del seno: a = 2RSenA ∧ b = 2RSenB Dividiendo se tendrá:
A–C 2 A+C Tg 2 Tg
Nota De Ley de cosenos:
B–C b–c 2 = b+c B+C Tg 2 Tg
CosA =
132
b2 + c2 – a2 2bc
5.°
AÑO
/
/
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS II (COSENOS Y TANGENTES)
Trabajando en clase Integral
x2 = 89 – 40 → x2 = 49 ∴ x = 7
1. En un ∆ABC, si m∠B = 120º; b = 3 ; c = 1. Calcula la longitud del lado «a».
5. Del gráfico mostrado, calcula «m».
2. Del gráfico, calcula «x».
B
C
4 30º
2 2
x
2
m
60º A
B
45º
A
3. Del gráfico mostrado, calcula «m».
C
6. En el triángulo mostrado, calcula «a».
C
A
135º
2m
4 2m
(2a+3)
(2a+1) A
120 º
B
13
B PUCP
37º x
30º
8
D
6
60º
C
(2a–1)
7. En un ∆ABC de lados a, b ∧ c respectivamente, se cumple que:
4. En el gráfico mostrado, calcula «x». B
A
D
1 A–C A+C Cot = 3 2 2 SenA Calcula: SenC Tan
C UNMSM
Resolución: ∆BCD: BC = a ⇒ Aplicando ley de senos, tenemos: a 6 Sen30º = ⇒ a = 6 Sen37º Sen30º Sen37º
8. En un ∆ABC, se cumple:
Calcula la m∠c. Resolución:
1 5 a = 6 1 → a = 5 5
5.°
í
AÑO
C a
b
Luego, ∆ABC ⇒ aplicando ley de cosenos, tenemos: x2 = 82 + 52 – 2.8.5 Cos60º x2 = 64 + 25 – 80 1 2
133
A
a+b c–a = a+c b
c
B
Del dato: a+b c–a operando tenemos: = a+c b
2
TRIGONOMETRÍA
/
/
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS II (COSENOS Y TANGENTES) ab + b2 = (a + c)(c – a) ab + b2 = c2 – a2 Luego: c2 = a2 + b2 + ab ... (1) por ley de cosenos: c2 = a2 + b2 – 2abCosc ... (2) (1) = (2): a2 + b2 + ab = a2 + b2 – 2abCos 1 ab = –2abCosc → Cosc – 2 ∴ C = 120º
Por ley de tangentes A+B Tan a+b 2 = a–b A–B Tan 2 120 Tan 3b + b 4b 2 ⇒ 3b – b = ⇒ 2b = Tan60º A–B A–B Tan Tan 2 2 ∴ Tan A – B = 3 2 2
9. En un ---ABC se cumple: bc (a + b + c)(b + c – a) = 4 Calcula «CosA»
Luego:
A–B 2 Tan(A – B) = A–B 1 – Tan2 2 2Tan
10. En un ∆ABC de lados a, b ∧ c respectivamente, reduce: N = 2(a+b)2Sen2 c – 2ab + (a2 + b2)Cosc 2 11. En un ----ABC, se cumple que: ∠A = 45º; b = 10 2 ∧ c – a = 8 Calcula la longitud del lado «c».
⇒ Tan(A – B) =
2⋅ 1–
3 2 3 2
2
=
3 1–
3 4
UNI 12. En un ∆ABC, ∠c = 60º valor de S = Tan(A – B) Resolución:
∧ a = 3b. Determina el
13. En un ∆ABC, ∠B = 30º; a = 4c. Determina el valor de: F = Tan(A – C)
B a=3b 60º C
b
⇒ Tan(A – B) = 4 3
B
14. En un ∆ABC, se cumple que: a+c A– = 4Tan B ⋅ Cot a–c C2 2
Calcula: TanA + TanB + TanC N= TanA ⋅ TanC
⇒ A + B = 120º
2
TRIGONOMETRÍA
í
134
5.°
AÑO
/
/
3 Ecuación trigonométrica Las identidades son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas que verifican para todo valor de la variable (valor admisible). En esta lección estudiaremos las ecuaciones que contienen funciones trigonométricas que verifican solo para ciertos valores, a dichas ecuaciones llamaremos ecuaciones trigonométricas. Ejemplos Tgx + Ctgx = SecxCscx : identidad : identidad Sen2x + Cos2x = 1 Senx =
1 2
Cos x –
π = 1 = 3
Resuelve Cosx =
x = 45º, 315º Para obtener las demás soluciones se les va agregando o restando 360º a cada valor obtenido. Resuelve Sen(2x) =
: ecuación trigonométrica
2
2
2
2 ⇒ > 0, hay solución en el I 2 y IV cuadrante
1 ⇒ > 0, hay solución en el I 2 y II cuadrante
2x = 30º, 150º ⇒ x = 15º, 75º
: ecuación trigonométrica
II. Ecuaciones trigonométricas no elementales Son ecuaciones que requieren del uso de operaciones adicionales para convertirlos en ecuaciones elementales, estas operaciones pueden ser transformaciones, identidades, operaciones algebraicas, etc.
Clasificación de ecuaciones trigonométricas I. Ecuaciones trigonométricas elementales Son de la siguiente forma: F.T. (ax + b) = N
Recuerda Ejemplos: Sen3x =
3 5
π =1 Cos x – 2
Tg 2x –
Si Senx = N ⇒ x = ArcSen(N)
Ec. T. Elemental
–
Ec. T. Elemental
2
π =1
π ≤x≤ π 2
Si Cosx = N ⇒ x = ArcCos(N) 0 ≤ x ≤ π
2
–1 ≤ N ≤ 1
Ec. T. Elemental
3
Trabajando en clase Integral 1. Resuelve e indica la primera y segunda solución de la ecuación trigonométrica: 1 Sen3x = 2 2. Resuelve e indica la segunda solución de la E. T. 2Cos5x – 2 = 0
5.°
í
AÑO
3. Indica la suma de las dos primeras soluciones positivas de: 3Tan2x – 3 = 0 PUCP 4. Halla el menor valor positivo que toma «x» en la E.T.
135
3
TRIGONOMETRÍA
/
/
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA 1 1 = = 8 1 + Cosx 1 – Cosx
10. Resuelve la E. T.: 3 Cosx = 1 + Senx, donde x ∈ [0º; 360º]
Resolución: Operando, tenemos: 1 – Cosx + 1 + Cosx = 8 (1 + Cosx)(1 – Cosx) 4 21 1 = 4 ⇒ 1 = 2⋅2Sen2x 2 = 8 ⇒ 1 – Cos x Sen2x
2Sen2x =
11. Resuelve e indica la suma de las dos primeras soluciones positivas de la E. T.:
Sen6x – Sen2x = 3 Cos4x
1 ⇒ 1 – Cos2x = 1 ⇒ Cos2x = 1 2 2 2
UNI 12. Resuelve la E. T. en el intervalo
Luego: 2x = 60 → x = 30º
3
3
→ 2Sen2x = 2 → 1 – Cos2x = 2
UNMSM 8. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica
〈
0;
π 2
1–
〈
1
∴ 2x = 120º; 240º; 480º; 600º x = 60º; 120º; 240º; 300º
Sen3x = 1 Cos3x
Los valores de «x» son: {15º; 45º; 75º} o π ; π ; 5π 12 4 12 9. Calcula la menor solución positiva de la E.T.
Sen5x + Sen13x = 3 (Cos5x + Cos13x)
TRIGONOMETRÍA
í
3 = Cos2x 2
⇒ Cos2x = – 2 ; x = 60º
∴ x = π ; 2π ; 4π
x = 45º; 135º ∨ Tan3x = 1 → 3x = 45º;225º;405º x = 15º; 75º; 135º
3
〈
3Senx – 4Sen3x + 2(1 – 2Sen 2x) + 1 = 0 3Senx – 4Sen3x + 2 – 4Sen 2x + 1 = 0 (3Senx + 3) – 4(Sen3x + Sen2x) = 0 → 3(1 + Senx) – 4Sen 2x (1 + Senx) = 0 (1 + Senx)(3 – 4Sen2x) = 0 ⇒ 1 + Senx = 0 → Senx = – 1 → x = 270º 3 – 4Sen2x = 0 → 3 = 4Sen 2x
7. Resuelve e indica la solución en el intervalo 〈270º; 360º〉 de la E. T. Senx + Sen3x + Sen5x = 0
2x = 90º; 270º ∨ Sen3x = Cos3x →
3π 2
↓
6. Resuelve: 1 + Cosx = 2Sen 2x Indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas.
Resolución: Por transformaciones, tenemos: 2Sen3x Cos2x = 2Cos3xCos2x 2Cos2x(Sen3x – Cos3x) = 0 Cos2x = 0 ∨ Sen3x – Cos3x = 0
0;
Sen3x + 2Cos2x + 1 = 0 Resolución: Sen3x + 2Cos2x + 1 = 0
5. Halla el menor valor positivo que toma «x» en la E.T. 1 1 8 = = 1 + Senx 1 – Senx 3
Sen5x + Senx = Cos5x + Cosx; x ∈
〈
3
3
3
13. Resuelve la E. T. en el intervalo 〈0; π〉 Cos6x + 3 = 4Cos2x, e indica la mayor solución.
14. Calcula la suma de las tres primeras soluciones positivas de la ecuación: 2Cos2x = –4Cosx – 3
136
5.°
AÑO
/
/
4
Solución general de una ecuación trigonométrica
El objetivo de este capítulo es encontrar la solución general que satisface a una ecuación trigonométrica.
Solución general Si Senx = A ⇒ solución general: x = nπ + (–)n Vp donde Vp = ArcSen(A)
Definiciones
Si Cosx = B ⇒ solución general:
Valor principal (Vp) Es el valor que asume el arco cuando se aplica la función inversa. Si Snx = N ⇒ Vp = ArcSen(N) También Si Cosx = N ⇒ Vp = ArcCos(N) Si Tgx = N ⇒ Vp = ArcTg(N) Ejemplos: Si Tg x = 1 ⇒ Vp = ArcTg(1) 3
donde Vp = ArcCos(B)
donde Vp = ArcTg(C)
∴ n ∈ Z
Recuerda
4
Senx = A ⇒ –
1 Si Cos 2x – π = ⇒ Vp = ArcCos 1 2
x = nπ + Vp
Si Tgx = C ⇒ solución general:
⇒ Vp = π 6
x = 2nπ ± Vp
2
π ≤ Vp ≤ π 2
2
Cosx = B ⇒ 0 ≤ Vp ≤ π
⇒ Vp = π
π
π
Tgx = C ⇒ – < Vp < 2 2
3
Trabajando en clase Integral
3. Resuelve e indica la solución general:
1. Determina el valor principal (Vp) para cada E. T. π = 3 →Vp = _________ Sen 4x – 2 6
Cos(5x + 10º) =
1 →Vp = _________ 2
2Cos x – 3 = 0 4 PUCP
4. Resuelve e indica la solución:
π = – 3 →Vp = _________
Tan x –
Cos 3x –
10
Tan 2x –
3
π = – 3 →Vp = _________ 6
2. Resuelve e indica la solución general: 2Sen4x – 1 = 0
í
AÑO
4
Resolución:
2
Tan 2x –
5.°
π = 3
π = 3 ⇒Vp = ArcTan 3 = π 2 4
137
4
TRIGONOMETRÍA
/
/
SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
2x –
π = nπ + Vp
2x –
π = nπ + π → 2x = nπ + π + π
4 4
3
2x = nπ +
3
4
7π → x = nπ + 7π 12 2 24
5. Resuelve e indica la solución general. π = 3 Tan 3x + 3 8 6. Resuelve e indica la solución general: π = 3 Sen 4x + 2 6 7. Resuelve e indica la solución general:
Cos
9. Resuelve e indica la solución general de la E. T. 13 Sen6x + Cos6x = ; ∀ n ∈ Z 16
1 x + π =– 2 3 6
10. Calcula la solución general de la ecuación: 3 π π Sen + x + Sen – x = 4Cosx ; n ∈ Z 6 6 11. Calcula la solución general de la ecuación: 1 π π Cos2 – x – Cos 2 + x = ; n ∈ Z 2 8 8 UNI 12. Resuelve e indica la solución general de la E. T. 4π 5π Cos 2x + Sen 2x – – Cos2x + 1 = 0 3 6
Resolución: 4π 5π Cos 2x + Sen 2x – – Cos2x + 1 = 0 3 6
UNMSM
2Cos 2x +
8. Resuelve e indica la solución general de la E. T.: Sen62x + Cos62x + Cos22x = 2
por transformaciones, tenemos: 8π Cos + Cos4x – 2Cos2x + 2 = 0 3 2π Cos + 2Cos22x –1 – 2Cos2x + 2 = 0 3 1 – + 2Cos22x – 2Cos2x + 1 = 0 2
Resolución: 5 3 + Cos4x (Identidad) 8 8
S.q.: Sen6x + Cos6x =
Sen62x + Cos62x + Cos2x = 2
↓
1 + Cos4x 5 3 + Cos8x + = 2 2 8 8
2Cos22x – 2Cos2x +
1 = 0 2
5 + 3Cos8x + 4 + 4Cos4x = 2 ⋅8 3Cos8x + 4Cos4x = 7 3(2Cos24x – 1) + 4Cos4x = 7 6Cos24x + 4Cos4x – 10 = 0 3Cos24x + 2Cos4x – 5 = 0
→ 4Cos22x – 4Cos2x + 1 = 0 (2Cos2x – 1)2 = 0 ⇒ 2Cos2x – 1 = 0 → Cos2x = 1
3Cos4x
5
Cos4x
–1
∴ 2x = 2n π ± π → x = nπ ± π
Luego: (3Cos4x + 5)(Cos4x – 1) = 0 Cos4x – 1 = 0 ⇒ Cos4x = 1 ⇒ Vp = 0
4π 4π Cos – 2x – 2Cos2x + 2 = 0 3 3
Finalmente: nπ 4x = 2n π ± 0 ⇒ x = 2
4
TRIGONOMETRÍA
í
2
Vp =
π 3 3
6
13. Indica la solución general: π x π x = 3 Cosx 2Sen + Cos – 4 2 4 2 14. Resuelve e indica un conjunto solución de la E. T.: Tan2x + Cotx = 8Cos 2x
138
5.°
AÑO
/
/
5 Funciones inversas I Notación:
Tener en cuenta:
Función seno inverso o función arco Seno: Arc Sen Función coseno inverso o función arco coseno. Arc Cos Función tangente inversa o función arco tangente: ArcTan Función cotangente inversa o función arco cotangente: ArcCot Función secante inversa o función arco secante: ArcSec Función cosecante inversa o función arco cosecante: Arc Csc
–
π ≤ ArcSen x ≤ π ; –1 ≤ x ≤ 1 2
2
0 ≤ ArcCosx ≤ π ; –1 ≤ x ≤ 1
–
π < ArcTanx < π ; –∞ < x < ∞ 2
2
Trabajando en clase Integral 1. Calcula el valor de: α = ArcSen 3 2
5
2 6
θ
2. Calcula:
1
θ = ArcSen 1 + ArcCos 2
Nos piden Tanθ = 2 6
2
2
3. Despejar «θ» de:
π Sen θ + 3 6
5. Calcula:
=a
M = Sen ArcTan PUCP
4. Calcula: J = Tan ArcCos 1 5
Resolución: 1 Senθ = ArcCos 5 ⇒ Cosθ = 1 5 5.°
í
AÑO
6. Si: θ = ArcCot
1 3
1 2
Calcula: P = Senθ ⋅ Cosθ 1 7. Si α = ArcSen . 4 Calcula: Sen2α
139
5
TRIGONOMETRÍA
/
/
FUNCIONES INVERSAS I 10. Calcula
UNMSM
1 1 M = Tan ArcTan + ArcTan 5 3
8. Calcula:
1 C = Sen(ArcCot3 + ArcTan ) 2
11. Calcula: 1 Cos ArcCot 3 2 4
Resolución: Sea: α = ArcCot3 ⇒ Cotα = 3 β = ArcTan 1 ⇒Tanβ = 1 2 2
UNI
Nos piden: C = Sen(α + β) C = Senα Cosβ+ Cosα Senβ Sabemos:
12. Reduce: Sec2 (ArcTanx) – Csc2(ArcCoty) J= Sen(ArcSenx) – Cos(ArcCosy)
10 Cotα = 3 ⇒
1
α
También: Sec2(ArcTanx) = 1 + Tan2(ArcTanx) = 1 + [Tan(ArcTanx)]2 = 1 + x2 Csc2(ArcCoty) = 1 + Cot2(ArcCoty) = 1 + [Cot(ArcCoty)]2 = 1 + y 2
Reemplazando 1 + x2 – (1 + y) 2 J= x – y
3 5 Tanβ =
1 ⇒ 2
1
β 2
Resolución: Sea: α = ArcSenx ⇒ Senα = x β = ArcCosy ⇒ Cosβ = y
reemplazando: J=
C = 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 10 5 10 5 C=
5 = 1 = 5 2 5 2 2
x2 – y 2 (x + y)(x – y) = x – y x – y
⇒ J = x + y 13. Reduce: Tan2(ArcSecx) – Cot2(ArcCscy) J= Sen(ArcSenx) + Cos(ArcCosy)
9. Simplifica:
R = Sen ArcCot 5 – ArcCos 3 12 5
5
TRIGONOMETRÍA
í
14. Calcula:
J = Cos ArcCos Tan ArcTan
140
1 4
5.°
AÑO
/
/
6 Funciones inversas II Propiedades
π ArcSenx + ArcCosx = ; ∀ x ∈ [–1; 1] 2
ArcTanx + ArcCotx =
π ; ∀ x ∈ R
ArcSecx + ArcCscx =
π ; ∀ x ∈ 〈–∞; –1] ∪ [1; ∞〉
2
2
Para valores negativos: ArcSen(–x) = –ArcSenx ArcCos(–x) = π – ArcCosx ArcTan(–x) = –ArcTanx ArcCot(–x) = – ArcCotx ArcSec(–x) = π – ArcSecx ArcCsc(–x) = –ArcCscx
Trabajando en clase 5. Reduce: J = (3ArcSenx + 2ArcCosx); x ∈ 〈0; 1〉
Integral 1. Calcula:
θ = ArcSen – 3 + ArcCos – 1 2
2
6. Resuelve el sistema y halla
2π 2. Si ArcSenx + ArcSeny = 3
ArcSen(2x + y) = ArcTan(x – 2y) =
Calcula: θ = ArcCosx + ArcCosy 3. Calcula:
ArcSen Q=
1 3 – ArcTan – 2 3
Arc Tan(–1) + ArcCos – 2 2 PUCP
4. Reduce: J = Sen(ArcSenx + 2ArcCosx); x ∈ 〈0; 1〉
π 4
8. Calcula x si: ArcSenx = ArcCosx Resolución: Del dato ArcSenx = ArcCosx = ⇒ Senα = x Cosα = x Sabemos que:
ArcSenx + ArcCosx =
π
α
π 2
α + α = π 2
α = π
J = Cos(ArcCosx) J=x
í
6
UNMSM
J = Sen 2 + ArcCosx
AÑO
π
7. Determina el valor de x en: Arc Cos (–x) = 4ArcSenx
Resolución: J = Sen [ArcSenx + ArcCosx + ArcCosx]
5.°
x y
4
141
6
TRIGONOMETRÍA
/
/
FUNCIONES INVERSAS II
⇒ Sen π = 1 4
Resolución: Sen 2π = Sen π 3 3
2
9. Calcula x, si: ArcSen2x = ArcCos2x
θ = ArcSen Sen π + ArcSen Sen π 3
3
θ = π + π
10. Calcula: ArcSec5 + ArcCsc5 M= 1 1 ArcCot + ArcTan 4 4
3
3
θ = 2π 3
11. Calcula: R = 2(ArcSec3 + ArcCsc3)(ArcTan2 + ArcCot2)
13. Calcula:
α= ArcSen Sen π + ArcSen Sen 3π 5
5
UNI 12. Calcula
θ = ArcSen Sen π + ArcSen Sen 2π 3
6
TRIGONOMETRÍA
í
14. Calcula: β = ArcSen(Sen2) + ArcCos(Cos3)
3
142
5.°
AÑO
/
/
7
Funciones trigonométricas (seno y coseno)
Funciones trigonométricas seno Representación
Del gráfico se afirma: D(Coseno) = R R(Coseno) = [–1; 1] Es continua en R Creciente y decreciente Función par: Cos(–x) = Cosx Periódica; período principal: 2 π No es inyectiva
F. T. (Seno) = {(x; y) / y = Senx; x ∈ D(seno)} Gráfica y 1
π
Senx1
π
π – 2
Senx2
x2
3π 2
x1
Criterios de periodicidad 2π
2
5π 2
Las consideraciones a tener en cuenta para el cálculo del periodo será: Dada la función: f(x) = A + B F.T. n (kx + φ) Donde k ∈ R – {0}; n ∈ Z+ ⇒ Para Seno y Coseno n: impar n: par
3π x
–1
Del gráfico se afirma: D(Seno) = R R(Seno) = [–1; 1] Es continua en R Creciente y decreciente Periódica, período principal: 2 π Es una función impar: Sen(–x) = –Senx No es inyectiva
2π T = k
π
T = k
Ejemplo: f(x) = 4Cos2x 2π n=1 ⇒ T= = π 2 k=2 g(x) = Sen4x π = π n=4 ⇒ T= 1 k=1
Función trigonométrica Coseno Representación
F.T. (Coseno) = {(x; y) / y = Cosx; x ∈ D (coseno)} Gráfica y
Advertencia pre
1 Cosx1
–
π
π 2
2 x2 0 Cosx2
x1
π 3π 2
2π
5π 2 3π
La gráfica de una función par siempre es simétrica con respecto al eje «y» mientras que la función impar es simétrica respecto al eje «x».
x
–1
5.°
í
AÑO
143
7
TRIGONOMETRÍA
/
/
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO)
Trabajando en clase Integral
UNMSM
1. Completa los pares ordenados de la siguiente función:
F. T. (Sen) = (0;
),
π 6
;
,
π 4
;
...
2. Señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda en: I. La función y = f(x) = Senx, tiene un máximo en 〈0; π〉 II. la función y = f(x) = Senx es inyectiva en
〈π π – ; 2 2
8. Halla el dominio y rango de la función: y = f(x) = Cosx–1
Resolución: Analizando: y = f(x) = Cosx–1 ⇒ Cosx – 1 ≥ 0
〈
Cosx = 1 Cosx ≥ 1: Cosx > 1
∴ Cosx = 1 ⇒ x = 2nπ; n ∈ Z Dom(f) = {x ∈ R / x = 2n π; n∈ Z}
III. La función y = f(x) = Senx es impar sabemos que: Cosx = 1 Cosx – 1 = 0 Cosx–1 = 0
3. Halla el período de: f(x) = 4Cos62x
∴ Ran(f) = {y ∈ R / y = 0}
PUCP 4. Dada la función seno, calcula un valor de «x» si el par ordenado π + x; 1 pertenece a dicha fun3 2 ción.
10. Halla el período de la función: f(x) = 4 + 3Sen4x
Resolución: Como π + x; 1 ∈ f(seno) 3 2
9. Halla el dominio y rango de la función: y = f(x) = 1–Senx
11. Halla el dominio de: 3Senx + 1 g(x) = 1 + Cosx
Sen π + x = 1 = Sen π 3 2 6
UNI
π + x = π 3
6
∴ x = –π 6
5. Dada la función coseno, calcula un valor d e «x» si el par ordenado π +2x; 2 pertenece a dicha 10 2 función.
12. Calcula el rango de la función: y = f(x) = Senx (1 – Senx) Resolución: y = f(x) = Senx – Sen2x = –(Sen2x – Senx) Completando cuadrados 1 y = f(x) = – Sen2x – Senx + 1 4 4 2 1 f(x) = – Senx – 1 4 2
6. Halla el dominio de: y = f(x) = 1 + 2Senx
Sabemos que: –1 ≤ Senx ≤ 1
7. Halla el rango de: y = f(x) = 4 + 3Cos2x
3 1 1 – ≤ Senx – ≤ – 2 2 2
7
TRIGONOMETRÍA
í
144
5.°
AÑO
/
/
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO) 2 9 0 ≤ Senx – 1 ≤ 4 2 2 9 – ≤ – Senx – 1 ≤ 0 4 2 2 1 1 –2 ≤ – Senx – 1 ≤ 4 4 2
13. Calcula el rango de la función: g(x) = Cosx(Cosx – 1)
14. Halla el período de:
y = f(x) = Sen x – π + Sen x + π 3 3
∴ Ran(f) ∀ y ∈ –2; 1 4
5.°
í
AÑO
145
7
TRIGONOMETRÍA
/
/
8 Repaso 1. Halla el rango de la función: y = f(x) = 3 + 2Csc3x a) R – [1; 5] d) R – 〈 1; 5〉 b) R – [–1; 5〉 e) R – 〈–1; 1〉 c) R – 〈–1; 5〉 2
B
c) π
b) 3π 2
d) π
e)
b)
1 8 1 b) 4 a)
a) nπ – b) nπ +
bcCosA + acCosB + abCosC a2 + b2 + c2 c)
1 2
e) 2
a) n
d) 1
TRIGONOMETRÍA
í
d) 2π
π
c) nπ ±
8
π
π 6
d) 2nπ ±
12
e) nπ ±
π 3
π 6
11. Resuelve e indica un conjunto solución de la E. T. Cot2x + Tanx = 4Cos2x; n ∈ R .
π + (–1)n π 2
12
b) n + (–1) n
7. En la figura mostrada calcula la medida d el ángulo B, siendo BD bisectriz.
8
5π 2
10. Calcula la solución general de: Tan x + π + 3 = Tan x – π ; n ∈ R 3 3
4 9
6. En un triángulo ABC reduce la expresión:
P=
e) 30º
9. Resuelve: 2Cos2x + 3Cosx – 2 = 0; x ∈ 〈0; 2π〉 e indica la suma de soluciones en el intervalo dado. 3π 3π a) 3π c) e) 4 2
5. En un triángulo ABC, C = 2A; a = 9 y c = 14. Calcula CosA
2 3 5 d) 9
e) 150º
8. Resuelve: Sen5x + Senx = 3 Cos5x + Cosx 3 a) 5º c) 15º b) 10º d) 20º
4. Si 0º ≤ x ≤ 360º, halla el número de soluciones de: Tg2x = 3Tgx a) 4 c) 6 e) 8 b) 5 d) 7
c)
c) 60º d) 120º
e) 0
3. Halla la solución principal en: Tanx + Cotx = 4 a) 10º c) 18º e) 30º b) 15º d) 20º
8 9 7 b) 9
C
D
a) 30º b) 45º
2
a)
42
A
Reduce la expresión: E = ArcSen Sen 7π + ArcCos Cos 9π 8 8 a) 2π
140
60
146
c) 2nπ ±
π 6
d) n
π ± π
e) n
π + (–1)n π
2 4
24 24
π 24 5.°
AÑO
/
/
REPASO 12. Halla los valores de x, si 0 < x < 2 π y se cumple: Cosx > Senx 5π π ; 2π a) 0; ∪ 4 4
b)
〈 〈〈 〈 〈 π π 〈∪ 〈π π 〈 〈 π 〈∪ 〈π π〉 〈 π π 〈∪ 〈 π π 〈 4
c) 0; d)
e)
4
;
2
;
2
4
;
5π 4
〈
Claves
5 4
;2
;
〈π
5 ; 2 4
1.
d
5.
b
9.
d
2.
c
6.
c
10.
e
3.
b
7.
d
11.
e
4.
d
8.
b
12.
a
Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5. 6.
5.°
í
AÑO
ALVA CABRERA, Rubén: Trigonometría teoría y práctica. Editorial: San Marcos. AYRES, Frank: Trigonometría plana y esférica. Editorial: MacGranw-Hill. HALL; H.S.; KNIGHT, S.R.: Trigonometría elemental. Editorial Uteha. HOBSO, E.W.: Plane anda advance trigonometry. Cambridge University Press. RIBNIKOV, K.: Historia de las matemáticas. Editorial: Mir. Moscú. Trigonometría. 5º Pre RACSO editores.
147
8
TRIGONOMETRÍA
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í
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