24
PISANA PREDAVANJA IZ PREDMETA FUNDIRANJE
5.
METODA SUPERPOZICIJE ZA GREDU KONAČNE DUŽINE
Za temeljne nosače sa složenim opterećenjem, prethodni postupak postaje neprikladan. Za složena složena opterećenja, opterećenja, za analitički analitički postupak postupak je podesna metoda superpozicije koju je predložio Hetenyi (1936). Osnovu metode predstavljaju pojedinačna rešenja za beskonačnu gredu, opterećenu vertikalnom silom, spregom i jednako podeljenim opterećenjem. Konačna greda se posmatra samo kao deo beskonačne grede (zauzima samo određeni deo beskonačne grede). U metodi se implicitno implicitno pretpostavlja da važi princip superpozicije, superpozicije, odnosno da je reaktivno opterećenje nosača linearna funkcija sleganja podloge. Da bi se zadovoljili granični uslovi za temeljni nosač konačne dužine, treba dodati nepoznate granične sile (moment, transverzalne sile) u tačke koje odgovaraju krajevima konačne grede. Tačne vrednosti graničnih sila se određuju na osnovu četiri uslovne jednačine, jednačine, postavljene po graničnim uslovima (po silama i/ili i/ili pomeranjima) na krajevima nosača konačne dužine. 5.1
TEMELJNA GREDA KONAČNE DUŽINE
Posmatra se deo beskonačnog nosača na Winklerovoj podlozi, između tačaka A i B, na rastojanju L, koje odgovaraju krajevima konačnog nosača. Koordinatni početak je u tački A i osa x je usmerena od tačke A prema tački B. Između tačaka A i B, na nosač deluje proizvoljno opterećenje (koncentrisana sila, spreg sila, linijsko opterećenje). Krajevi konačnog nosača u tačkama A i B su slobodni (Slika 5.2a), što znači da moment savijanja i transverzalna sila moraju biti jednaki nuli ( M=T =0). T0A M 0A
a
P
p
T0B M0
b
A
M0B B
a
L
x
b
z
Slika 5.1
Konačni nosač kao deo beskonačnog nosača, sa opterećenjem i nepoznatim graničnim silama
Presečne sile na beskonačnom nosaču, usled zadatog opterećenja, u tački A blisko desno (presek a-a) i u tački B blisko levo (presek b-b), iznose M A , T A , MB , T B. Da bi se zadovoljili granični uslovi na slobodnom kraju konačnog nosača, pored zadatog opterećenja, u tačke A i B beskonačnog nosača, treba dodati nepoznate granične sile M0A , T 0A 0A , M0B , T 0B 0B.
Prof dr Petar SANTRAČ, Građevinski Fakultet SUBOTICA
25
PISANA PREDAVANJA IZ PREDMETA FUNDIRANJE
Ukupan moment savijanja u beskonačnom nosaču na Winlerovoj podlozi, u tački A blisko desno (presek a-a), usled dejstva opterećenja i nepoznatih graničnih sila, mora biti nula: T0 A 4λ
C (0 ) +
T0 B 4 λ
M0 A
C (λ L ) +
2
D (0 ) −
M0 B 2
D (λ L ) + M A
(5.1)
=0
Jednačine oblika (5.1) se mogu napisati i za preostale granične uslove: transverzalnu silu u tački A blisko desno (presek a-a), moment savijanja u tački B blisko levo (presek b-b) i transverzalnu silu u tački B blisko levo (presek b-b). Sve četiri uslovne jednačine, za konačan nosač na Winklerovoj podlozi, koji ima slobodne krajeve, pregledno se mogu napisati u matričnom obliku:
C (0) 4 λ C (λ L) 4 λ − D(0) 2 D(λ L) − 2
C (λ L)
D(0)
4λ C (0 )
2 D(λ L)
4λ D(λ L) 2 D (0) 2
− −
2 λ A(0)
2 λ A(λ L) 2
T 0 A M A 0 2 D(0) T M 0 0 B B − 2 ⋅ + = λ A(λ L) T 0 − M 0 A A 2 λ A(0) − 2 M 0 B T B 0 −
D (λ L)
(5.2)
Rešenjem gorje matrične jednačine, dobijaju se nepoznate granične sile M0A , T 0A , M0B , T 0B na beskonačnom nosaču na Winklerovoj podlozi, kojima se zadovoljavaju granični uslovi konačnog nosača sa slobodnim krajevima. Pri proračunu ugiba, nagiba i presečnih sila u bilo kom preseku nosača između tačke A-B, osim zadatog opterećenja treba dodati i granične sile. a)
b)
M(0)=0 T(0)=0
p(x)
M(L)=0 T(L)=0
p(x)
M(0)=0 w(0)=0
x
L
M(L)=0 w(L)=0
x
L
z
z c)
θ(0)=0 w(0)=0
p(x)
θ (L)=0 w(L)=0
x L z
Slika 5.2
Granični uslovi na krajevima nosača: a) Slobodan, b) Zglobno oslonjen, c) Uklješten
Prof dr Petar SANTRAČ, Građevinski Fakultet SUBOTICA
26
PISANA PREDAVANJA IZ PREDMETA FUNDIRANJE
Na sličan način, mogu se definisati i drugačiji granični uslovi. Ako je konačni nosač slobodno oslonjen na krajevima, u tačkama A i B (Slika 5.2b), moment savijanja i ugib moraju biti jednaki nuli ( M=w=0). Da bi se zadovoljili granični uslovi na kraju konačnog nosača, pored zadatog opterećenja, treba u tačke A i B beskonačnog nosača, dodati nepoznate granične sile M0A , T 0A , M0B , T 0B. Ugib beskonačnog nosača na Winlerovoj podlozi, u tački A blisko desno (presek a-a), usled dejstva zadatog opterećenja iznosi w A. Usled delovanja zadatog opterećenja na nosaču i nepoznatih graničnih sila, ukupan ugib u tački A blisko desno (presek a-a) mora biti nula: λT0 A 2Bk
(0 ) +
λT0 B 2Bk
A(λ L)
+
λ2M0A Bk
B (0 ) −
λ 2 M0 B B ( λ L ) + w A Bk
(5.3)
=0
Sve četiri uslovne jednačine, za konačan nosač na Winklerovoj podlozi, koji je slobodno oslonjen na krajevima, pregledno se mogu napisati u matričnom obliku:
C (0 ) 4λ C (λ L) 4λ λ A ( 0 ) 2Bk λ A ( λ L ) 2Bk
4 λ 2 2 C (0) D ( λ L ) D ( 0) − 4 λ 2 2 2 2 λ ( λ L) λ B (0) λ B ( λ L ) − 2Bk Bk Bk λ A(0) λ 2 B ( λ L) λ 2 B ( 0 ) − 2Bk Bk Bk
C ( λ L)
D ( 0)
−
D ( λ L)
.
T 0 A M A 0 T0 B M B 0 + = M 0 A wA 0 M 0 B wB 0
(5.4)
Ako konačni nosač ima uklještene krajeve u tačkama A i B (Slika 5.2c), ugib i nagib na krajevima moraju biti jednaki nuli ( w=0 , θ =0). Ugib i nagib nosača u tački A usled zadatog opterećenja je w A i θ A. Da bi se zadovoljili granični uslovi na kraju konačnog nosača, pored zadatog opterećenja, u tačke A i B beskonačnog nosača treba dodati nepoznate granične sile M0A , T 0A , M0B , T 0B. Usled delovanja zadatog opterećenja na nosaču i nepoznatih graničnih sila, ukupan nagib u tački A blisko desno (presek a-a) mora biti nula:
−
λ 2T0 A Bk
B ( 0 ) +
λ 2T0 B Bk
B (λ L) +
λ3M0 A Bk
C (0 ) +
λ3M 0 B C ( λ L ) + θ A Bk
=0
(5.5)
Sve četiri uslovne jednačine, za nosač konačne dužine, sa uklještenim krajevima, koji leži na Winklerovoj podlozi, pregledno se mogu napisati u matričnom obliku:
Prof dr Petar SANTRAČ, Građevinski Fakultet SUBOTICA
27
PISANA PREDAVANJA IZ PREDMETA FUNDIRANJE
λ 2 B (0 ) − Bk λ 2 B ( λ L ) Bk λ A (0 ) 2Bk λ A ( λ L ) 2Bk
λ 2 B (λ L) Bk λ 2 B (0) Bk λ (λ L) 2Bk λ A (0) 2Bk
λ 2C ( 0 )
λ 2 C ( λ L )
Bk Bk 2 2 λ C ( λ L) λ C ( 0 ) Bk Bk 2 2 λ B (0) λ B ( λ L ) − Bk Bk λ 2 B ( λ L) λ 2 B ( 0 ) − Bk Bk
.
T 0 A θ A 0 T 0 B θ B 0 + = M 0 A wA 0 M 0 B wB 0
(5.6)
Prema parametru krutosti λ i dužini nosača L, može se izvršiti klasifikacija temeljnih nosača u pogledu krutosti. Kod vrlo savitljivih temeljnih nosača/greda (dugačke grede), opterećenje na jednom kraju nosača praktično nema uticaj na drugi kraj. Nasuprot tome, kod vrlo krutih temeljnih nosača/greda (kratke grede), uticaj opterećenja na jednom kraju nosača, neznatno se smanji na drugom kraju. Klasifikacija
λ L
Klasifikacija (Vesić,1961)
λ L
(Hetenyi,1936)
Kratke grede Grede srednje dužine Dugačke grede Tabela 5.1
< π/4 π/4 – π -
>π
Kratke grede Grede srednje dužine Srednje dugačke grede Dugačke grede
< 0.80 0.80 – 2.25 2.25 – 5.00 > 5.00
Klasifikacija temeljnih nosača/greda prema parametru krutosti λ L
Prof dr Petar SANTRAČ, Građevinski Fakultet SUBOTICA
28
PISANA PREDAVANJA IZ PREDMETA FUNDIRANJE
5.2
BROJNI PRIMER -2
Dat je temeljni nosač na Winklerovoj podlozi, dimenzija i opterećenja prema Slici 5.3. Potrebno je izračunati sleganje w , nagib elastične linije θ , transverzalnu silu T i moment savijanja M nosača, ispod koncentrisane sile. Proračun izvršiti analitički, metodom superpozicije. 0,4
P=1,3 MN p=50,0 kN/m B
A
0 , 1
x
4 , 0 3
k=30,0 MN/m 3,0
B=1,5
2,0
4,0
1,0
L=10,0
E b=21,0 GPa I=0,159 m 4
z
Slika 5.3
Opterećenje između tačaka A i B konačnog nosača
Rešenje: Parametar krutosti sistema temeljni nosač – podloga (tlo), iznosi: λ =
kB
4
4Eb I
=
30,0 ⋅ 1,5
4
4 ⋅ 21000 ⋅ 0,159
=
0,2409 m −1
Greda je srednje dužine ! (Vesić,1961)
λ L = 0,2409 ⋅ 10,0 ≅ 2,41
Proračun presečnih sila od zadatog opterećenja u tačkama A (blisko desno) i B (blisko levo) P
M A
=
M A
=
1300,0
M B
=
P
M B
=
4λ
C ( 3λ ) −
0,964
4λ
0,964
T A
=
P
T A
=
1300,0
2
B ( 5λ ) − B ( 9λ ) 50,0
B ( 1,205 ) − B ( 2,169 ) = 18,028 kNm 0,232
(11,59)*
p
B ( 5λ ) − B ( λ ) 4λ 2
C ( 1,687 ) +
D ( 3λ ) +
2
2
4λ
C ( 0,723) −
C (7 λ ) +
1300,0
p
p
50,0
B ( 1,205 ) − B ( 0,241 ) = − 257 ,049 kNm (257,20)* 0,232
C ( 5λ ) − C ( 9λ )
4 ⋅ λ
D ( 0,723 ) +
50,0
C ( 1,205 ) − C ( 2,169 ) = 235,914 kN 0,964
Prof dr Petar SANTRAČ, Građevinski Fakultet SUBOTICA
(228,08)*
29
PISANA PREDAVANJA IZ PREDMETA FUNDIRANJE
T B
=−
P
T B
=−
1300,0
2
D (7 λ ) +
2
pB
C ( 5λ ) − C ( λ )
4λ
50,0
C ( 1,205 ) − C ( 0,241) = − 24,930 kN 0,964
D ( 1,687 ) +
(-23,92)*
Pored vrednosti presečnih sila dobijenih analitičkom metodom, u zagradi su date vrednosti prema programu za statičko-dinamičku analizu konstrukcije ( Tower6)*. Uslovne jednačine (5.2) za krajeve nosača A–B konačne dužine (slobodan kraj) glase:
1,037366 −0,131713 0,500000 0,033419 T 0 A 18,028 −0,131713 1,037662 −0,033419 − 0,500000 T − 257 ,049 ⋅ 0B + −0,500000 −0,033419 − 0,120463 0,000812 M0 A 235,914 0,033419 0,500000 0,000812 − 0,120463 M 0 B − 24,930 Granične sile u tačkama A-B beskonačne grede iznose:
= 1000,917 kN M 0 A = −2112,390 kNm
= −333,954 kN M 0 B = −1329,640 kNm
T 0 A
T 0 B
Proračun ugiba w, ispod koncentrisane sile P, na odstojanju x =3.0 m : w ( 3,0 ) =
+
T0 Aλ 2Bk
A ( 3λ ) + 2
M 0 B λ Bk
T0 B λ
A (7 λ ) +
2Bk
B (7 λ ) +
p
P λ 2Bk
A( 0) +
M 0 Aλ 2 Bk
B ( 3λ ) +
D ( 2λ ) − D ( 6 λ )
2Bk
− 333,954 ⋅ 0,241 A ( 1,687 ) + 2 ⋅ 1,5 ⋅ 30000,0 2 ⋅ 1,5 ⋅ 30000,0 1300,0 ⋅ 0,241 − 2112,390 ⋅ 0,2412 A ( 0 ) + B ( 0,723 ) + + 2 ⋅ 1,5 ⋅ 30000,0 1,5 ⋅ 30000,0 −1329,640 ⋅ 0,2412 50,0 D ( 0,482 ) − D ( 1,446 ) + B ( 1,687 ) + 1,5 ⋅ 30000 2 ⋅ 1,5 ⋅ 30000 w ( 3,0 ) = 0 ,0049 m = 4 ,9 mm w ( 3,0 ) =
1000,917 ⋅ 0,241
A ( 0,723 ) +
Proračun nagiba θ , ispod koncentrisane sile P, na odstojanju x =3.0 m : θ ( 3,0 ) = −
−
T0 A λ 2 Bk
M 0 B λ 3 Bk
B ( 3λ ) + C (7 λ ) +
T0 B λ 2 Bk pλ
B (7 λ ) +
P λ 2 Bk
B ( 0) +
M 0 Aλ 3 Bk
C ( 3λ ) −
A ( 2λ ) − A ( 6 λ )
2Bk
Prof dr Petar SANTRAČ, Građevinski Fakultet SUBOTICA
30
PISANA PREDAVANJA IZ PREDMETA FUNDIRANJE
1000,917 ⋅ 0,2412
− 333,954 ⋅ 0,2412 θ ( 3,0 ) = − B ( 0,321) + B ( 1,687 ) + 1,5 ⋅ 30000 1,5 ⋅ 30000 − 2112,390 ⋅ 0,2413 1300,0 ⋅ 0,2412 + B ( 0 ) + C ( 0,723) − 1,5 ⋅ 30000 1,5 ⋅ 30000 −1329,640 ⋅ 0,2413 50,0 ⋅ 0,241 A ( 0,482 ) − A ( 1,446 ) C ( 1,687 ) + − 1,5 ⋅ 30000 1,5 ⋅ 2 ⋅ 30000 θ ( 3,0 ) = − 0,361 ⋅ 10 −3 rad
Proračun momenta M, ispod koncentrisane sile P, na odstojanju x =3.0 m : M ( 3,0 ) =
−
T0 A
C ( 3λ ) +
4λ p
T0 B 4λ
C (7 λ ) +
P 4 λ
C (0 ) +
M0 A 2
D ( 3λ ) +
M0B 2
D (7 λ ) −
B ( 2λ ) − B ( 6 λ )
4 λ 2
− 333,954 1300,0 C ( 1,687 ) + C ( 0) + 4 ⋅ 0,241 4 ⋅ 0,241 4 ⋅ 0,241 − 2112,390 −1329,640 + D ( 0,723) + D ( 1,687 ) −
M ( 3,0 ) =
−
1000,917
2 50
4 ⋅ 0,2412
C ( 0,723) +
2
B (0,482 ) − B ( 1,446 )
M ( 3,0 ) = 1054,723 kNm
Proračun transverzalne sile T l blisko levo ispod koncentrisane sile P, na x =3.0 m : Tl ( 3,0 ) = −
T0 A 2
D ( 3λ ) +
T0 B 2
D (7 λ ) +
P 2
D (0 ) −
M 0 Aλ 2
A ( 3λ ) +
M 0 B λ 2
A (7 λ ) +
p
C ( 2λ ) − C (6 λ ) 4λ − 333,954 1000,917 1300,0 Tl ( 3,0 ) = D ( 0,723) + D ( 1,687 ) + D ( 0) − 2 2 2 − 2112,390 ⋅ 0,241 − 1329,640 ⋅ 0,241 − A ( 1,687 ) + (0,723 ) + 2 2 50,0 C ( 0,482 ) − C ( 1,446 ) + 4 ⋅ 0,241 +
Tl ( 3,0 ) = 695,906 kN
Proračun transverzalne sile T d blisko desno od sile P, na odstojanju x =3.0m: Td ( 3,0 ) = Tl ( 3,0 ) − P = 695,906 − 1300,0 = − 604,094 kN Prof dr Petar SANTRAČ, Građevinski Fakultet SUBOTICA
31
PISANA PREDAVANJA IZ PREDMETA FUNDIRANJE -1
-0.15 0
0.65
1
1.44
) m m 2 ( w a č a s 3 o n b i g U 4
2.48 2.87
3.05 3.52
3.34 3.77
3.67 4.4
5.27
5
1.35
2.22
5.22
5.13
0.93
1.83 2.35
3 3.74
4.9 BESKONAČNA GREDA KONAČNA GREDA
6 0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00 Odstojnje x (m)
6.00
7.00
8.00
9.00
-0.77
-0.78
-0.79
-0.79
-0.50
-0.53
-0.50
10.00
-1.0
-0.71
-0.8
-0.79
-0.60 -0.6
-0.36
) -0.4 d a r
-0.42
-0.45
-0.14
3 -
0 -0.2 1 (
-0.04
-0.06
-0.38
-0.24
θ θ
a 0.0 č a s o n 0.2 b i g a N 0.4
0.08
0.38 0.6
0.59
BESKONAČNA GREDA
0.54
KONAČNA GREDA
0.8 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Odstojanje x(m)
-400
-123.29
-200 ) m N k (
-5.80
18.03 0
102
118.2 0
M 200 a č a s 400 o n a j n 600 a j i v a s t 800 n e m o 1000 M
-257.05
-208.17
30.68
258.21
314.09
9.36
0
2.66
167.47
471.23 557.62 419.67 747.04 1054.72
796.47 BESKONAČNA GREDA
1200
1337.66
KONAČNA GREDA
1400 0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
-8.09
-11.25
0
-97.41
-75.98
-24.93
Odstojanje x (m)
800
674.15
600 ) N 400 k ( T a č 200 a s o n a l 0 i s a n l a z r -200 e v s n a r -400 T
508.96 360.50 235.91
695.91
469.35
236.06 -108.04
0
-40.44
-209.97 -208.98
-393.82
-141.46
-298.91 -604.09
-600
-457.26
BESKONAČNA GREDA KONAČNA GREDA
-625.85 -800 0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
Odstojanje x (m)
Slika 5.4
Grafički prikaz rezultata proračuna za temeljni nosač iz Primera-1 i Primera-2 Prof dr Petar SANTRAČ, Građevinski Fakultet SUBOTICA
32
PISANA PREDAVANJA IZ PREDMETA FUNDIRANJE
5.3
ODREĐIVANJE VERTIKALNOG MODULA REAKCIJE TLA
Modul reakcije tla/podloge/posteljice nije fundamentalna fizička veličina, kao npr. modul elastičnosti ili Poissonov broj, već izveden parametar definisana kao količnik kontaktnog napona i sleganja u tački kontaktne površine. Modul reakcije se menja ne samo u zavisnosti od vrste tla i nivoa opterećenja već i u zavisnosti od oblika i veličine kontaktne površine. Modul reakcije tla se određuje terenskim ispitivanjem pomoću kružne ploče prečnika 76.0cm (2.5 ft) ili 30.5 cm (1.0 ft), gde je ft =stopa imperijalna jedinica za dužinu. Srpski standard, opitom pomoću kružne ploče definiše modul stišljivosti (SRPS U.B1.046:1969) i modul deformacije (SRPS U.B1.047:1997), dok određivanje modula reakcije tla nije definisano. Standard ACI 360R, specijalno usmeren za proračun ploča na deformabilnoj podlozi, definiše modul reakcije tla na osnovu ispitivanja kružnom pločom prečnika 76.0 cm (2,5ft). Ploča se opterećuje do sleganja od 1.25 mm (0.05 in), gde je in =inč imperijalna jedinica za dužinu ( 1.0 in =2.54 cm) . Modul reakcije tla k je količnik opterećenja q i sleganja w . (Slika 5.3a). a)
b) q0
Opterećenje (q )
D
d
p
p
w0 =1,25mm
k 1
a n o z a n j a c i t u
~1.5d
)
w
( e j n a g e l S
a n o z a n j a c i t u
~1.5D
φ=76,0 c m (2,5 ft)
Slika 5.5
a) Definicija modula reakcije k , b) Efekat veličine temelja
Detaljan opis postupka određivanja modula reakcije tla/podloge/posteljice u funkciji vrste tla i veličine opterećene površine, dali su Terzaghi (1955), Teng (1962), Bowles (1977) i drugi, a sumiranje različitih pristupa detaljno je prikazao Nair (1974). Uglavnom je uočeno, da modul reakcije k nije konstanta, već da zavisi od vrste tla, vlažnosti, zbijenosti, nivoa opterećenja, veličine i oblika opterećene površine i dubine fundiranja. Da bi se za tlo na nekoj lokaciji, uopšte mogla uspostaviti veza između veličine i oblika opterećene površine, neophodno je da tlo u zoni dejstva opterećenja (Slika 5.5b) bude homogeno.
Prof dr Petar SANTRAČ, Građevinski Fakultet SUBOTICA
33
PISANA PREDAVANJA IZ PREDMETA FUNDIRANJE Prečnik ploče 0.0
0.5
1.0
d (ft)
1.5
Prečnik ploče 2.0
2.5
3.0
0.0
5
0.5
1.0
d (ft)
1.5
2.0
2.5
3.0
10
(Stratton, J.H.)
Glina (K.Terzaghi) 9
Glina (K.Terzaghi)
(Stratton, J.H.) 4
8
Pesak (K.Terzaghi)
5 . 0 3
2 . 6 7
k / d k 3
Pesak (K.Terzaghi)
7
k / d 6 k
φ
t n e j i c i f 2 e o K
t n 5 e j i c i f 4 e o K 3
Normirano na 30.5 cm (1,0 ft) k d
~
16d -0.8
1
φ
Normirano na 76.0 cm (2.5 ft) k d
~
32d -0.8
2 1
0
0 0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
0.0
10.0
Prečnik ploče d (cm)
Slika 5.6
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
Prečnik ploče d (cm)
Zavisnost modula reakcije od prečnika opitne ploče
Zavisnost modula reakcije tla k od prečnika opitne ploče d , prikazan je na Slici 5.6, gde je izvršeno normiranje na opitnu ploču prečnika ∅76cm i (ekonomičniju) prečnika ∅30.5 cm. Modul reakcije opada sa povećanjem prečnika. Na slici su prikazane empirijske vrednosti po Terzaghi-u i eksperimentalne (merene) vrednosti prema Stratton-u. Određivanje modula reakcije je spor i neekonimičan opit, pa se u praksi retko koristi. Kao parametar za dimenzionisanje kolovoza, piste za aerodrome i industrijski pod, modul se češće određuje korelacijom sa drugim terenskim opitima (CBR, opit sa padajućim tegom i sl.). Za temeljni nosač na homogenom sloju gline ili prašine (sitnozrno odnosno koherentno tlo), Terzaghi (1955) predlaže sledeću zavisnost između modula reakcije k za pravougaoni temelj dužine L i širine B i modula reakcije k 0 za ploču ∅30.5 cm : k = k 0
0,305 L + 0,1525 B
1,5 L
≈ k 0
0,3 L + 0,15 B
1,5 L
(5.7)
Kod mekih (normalno konsolidovanih i senzitivnih) glina ( cu <50kPa), zbog velike krutosti λ L, proračun temeljne konstrukcije se vrši prema pravolinijskoj raspodeli kontaktnog napona. Ako temelj leži na homogenom sloju peska, prema Terzaghi-u, modul reakcije ne zavisi od dužine temelja L, već samo od širine B i dubine fundiranja temelja D f :
B + 0,305 k = k 0 ξ 2 B
2
, ξ = 1 + 2
D f B
≤2
(5.8)
Na osnovu paralelnog proračuna temeljnog nosača opterećenog vertikalnom silom u sredini, na Winklerovoj podlozi odnosno elastičnom poluprostoru, polazeći od jednakosti ugiba ispod sile, Vesić (1961) predlaže sledeći izraz : Prof dr Petar SANTRAČ, Građevinski Fakultet SUBOTICA
34
PISANA PREDAVANJA IZ PREDMETA FUNDIRANJE
k
=
0,65E s B ( 1 −ν
2 s
)
12
Es B 4 Eb I
,
za
L B
> 10
k
≈
0,65Es B ( 1 −ν s2 )
(5.9)
U nedostatku eksperimentalnih podataka, za preliminarni proračun Terzaghi (1955) predlaže sledeće orijentacione vrednosti modula reakcije k 0 za ploču ∅30.5cm. Relativna zbijenost peska Dr (%) 25
50
75
100
200 300 Jednoaksijalna čvrstoća gline qu (kPa)
400
300 Glina Pesak - suv ili vlažan Pesak - potopljen
250 ) 3 m / N M 200 ( 5 , 0 3
k
e j 150 i c k a e r l 100 u d o M
50
0 100
Slika 5.7
Orijentacione veličine modula reakcije tla (Terzaghi, 1955)
U poglavlju 1.1 je pokazano, da delovi grede koji su na odstojanju većem od |λ x | ≥2.5, nemaju bitan uticaj na sleganje i moment savijanja grede. Može se pokazati da isti zaključak važi i za kružnu ploču opterećenu koncentrisanom silom u sredini, stim što se umesto |λ x | ≥2.5, uvodi | β r| ≥2.5, gde je: β =
gde je:
4
k D
, D
D h E b
ν b
=
E b h
3
(5.10)
12(1 − ν b ) 2
2
- cilindrična krutost temeljne ploče u MNm - debljina temeljne ploče u m 2 - modul elastičnosti temeljne ploče u MN/m - Poissonov koeficijent temeljne ploče
Imajući u vidu prethodno, može se zaključiti, da je za dimenzionisanje grede/ploče na Winklerovoj podlozi, potrebno odrediti modul reakcije podloge za efektivni radijus, koji za gredu iznosi x =2.5/λ a za ploču r =2.5/ β . U putogradnji se za dimenzionisanje krute kolovozne konstrukcije od betona, koristi formula koju je predložio Westergard. Provera napona zatezanja u betonu prema Prof dr Petar SANTRAČ, Građevinski Fakultet SUBOTICA
35
PISANA PREDAVANJA IZ PREDMETA FUNDIRANJE
metodi Westergarda se vrši za 3 položaja sile: unutar ploče, na ivici i na uglu ploče. Teorijski, maksimalni napon zatezanja usled dejstva koncentrisane sile u centru beskonačne ploče, određuje se prema sledećoj jednačini:
E b h 3 2,5 5 ≈ = = σ i = 0.275 2 (1 + ν b ) log , d 2 r 2 4 β β h k β P
(5.11)
Za ploču na prekonsolidovanoj glini, za L ≈ B = d , sledi: k = k 0
0,305 d + 0,1525 d
1,5d
= k 0
0,305 5 β + 0,1525 1,5 ⋅ 5 β
5 β
≈
2 β 5
k 0
Za ploču na pesku, za L ≈ B = d , sledi: 2
2 5 β + 0,305 d + 0,305 ≈ (0.5 + 0,03β )2 k 0 k = k 0 = k 0 2 d 2 ⋅ 5 β
Iz prethodnih jednačina se vidi da je odgovarajući modul reakcije podloge funkcija efektivnog radijusa, koji je funkcija karakterističnog broja β , a karakterističan broj je opet funkcija modula reakcije podloge, ili matematički k =k 0⋅ f(k). Pošto je jednačina implicitnog oblika, odogovarajući modul reakcije se može odrediti samo iterativno, metodom direktne zamene (supstitucije): 0-iteracija
β 0
=4
1-iteracija
β 1
=4
k 0 D k 1 D
→
k 1
= k 0 ⋅ f ( β 0 )
→
k 2
= k 0 ⋅ f ( β 1 )
..................................................................................... m-iteracija
β m
max odstupanje
=4
k m +1
k m D
− k m
k m
→
k m +1
= k 0 ⋅ f ( β m )
< 0,01
Nakon što se odredi odgovarajući modul reakcije podloge, prema modelskoj sličnosti za glinu ili pesak, može se izračunati napon zatezanja σ i u kolovoznoj ploči.
Prof dr Petar SANTRAČ, Građevinski Fakultet SUBOTICA
36
PISANA PREDAVANJA IZ PREDMETA FUNDIRANJE
5.4
BROJNI PRIMER – 3
Odrediti modul reakcije podloge temeljnog nosača dimenzija B/L=1.8/12.0m, koji je fundiran na dubini od D f =0.8m. Ispod temeljnog nosača se nalazi homogen sloj debljine oko 8.0m Pretpostaviti da se homogen sloj sastoji od: a) b) c) d)
zbijenog, potopljenog peska, relativne zbijenosti Dr =70%, zbijenog, vlažnog peska, relativne zbijenosti Dr =70%, prekonsolidovane gline, jednoaksijalne čvrstoće qu =280.0 kPa, prekonsolidovane gline, koja ima modul elastičnosti za efektivne napone (drenirani modul) u iznosu od E s=20.0 MPa i Poissonov koeficijent ν s =0,3.
Modul reakcije tla za ploču ∅30.5cm, za površinu terena, proceniti na osnovu dijagrama na Slici 5.7. Proračune izvršiti prema odgovarajućim izrazima (5.7)-(5.9). Rešenje: a) zbijen, potopljen pesak
Dr
= 70%
→
k0
≈ 35,0 MN
m3
2
2 D f 1,8 + 0,305 B + 0,305 0,8 + = + k = k0 1 2 35,0 1 2 2 ⋅ 1,8 = 22,6 MN B 1,8 2B
m3
b) srednje zbijen, suv pesak Dr
= 70%
→
k0
B + 0,305 k = k0 2B
2
≈ 120,0 MN
D f 1,8 + 0,305 + = 120,0 1 2 B 2 ⋅ 1,8
c) prekonsolidovana glina k
= k0
0,305 L + 0,152
⋅
B
1,5 ⋅ L
qu
= 50,0 ⋅
d) prekonsolidovana glina k
≈
0,65E s
(
B 1 −ν
2 s
m3
)
=
E s
0,65 ⋅ 20,0
(
1,8 1 − 0,30
2
)
2
1 + 2 0,8 = 77,4 MN m 3 1,8
= 280,0 kPa →
k0
0,305 12,0 + 0,152 1,8
⋅
1,5 ⋅ 12,0
= 20,0 MPa,
= 7.9
= 5,8
ν s
MN m3
Prof dr Petar SANTRAČ, Građevinski Fakultet SUBOTICA
≈ 50,0 MN
m3
MN m3
= 0,30
