KONSEP DASAR TURUNAN TURUNAN FUNGSI
TURUNAN FUNGSI DI SATU TITIK Oleh :
Saptana Surahmat
Pada pembahasan tentang tentang persamaan garis, telah disinggung tentang tentang kemiringan atau gradien suatu garis lurus. Secara umum, jika A A dan B terletak pada suatu garis lurus x 1, y 1) dan ( x x 2, y 2), maka kemiringan atau gradien garis dengan koordinat masing-masing ( x yang memuat kedua titik tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus : m =
y 2
−
y 1
x2
−
x 1
Bagaimana kalau berupa garis lengkung, dapatkah ditentukan gradiennya ? Secara umum, rumus di atas hanya berlaku untuk garis lurus. Dengan kata lain, gradien dari suatu garis lengkung tidak dapat ditentukan nilainya. Namun demikian, dengan menggunakan pendekatan tertentu, gradien dari suatu garis lengkung di suatu titik dapat ditentukan. Konsep ini akan mengantar kita pada penjelasan tentang pengertian dari turunan fungsi. Perhatikan gambar 1 di bawah ini.
Gambar 1
Misalkan h = x = x 2 – x – x 1 atau x atau x 2 = x = x 1 + h, y 1 = f ( x x 1) dan y dan y 2 = f ( x x 2) = f ( x x 1 + h). Gradien garis AB adalah : m =
y 2 x2
y 1 f ( x1 + h) − f ( x 1 ) atau m = h − x 1 −
Jika titik B digeser sepanjang kurva mendekati titik A, A, maka nilai x nilai x 2 akan mendekati x 1. Dengan kata lain, jika titik B sudah sangat dekat ke titik A, A, maka nilai h → 0. Dalam keadaan demikian, gradien di titik A titik A dapat dapat ditentukan dengan menggunakan perhitungan limit sebagai berikut :
MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA
WAJIB
1
KONSEP DASAR TURUNAN FUNGSI
m = lim
f ( x1 + h) − f ( x1 ) h
h→0
Perhitungan nilai m di atas menunjukan laju perubahan nilai f ( x ) terhadap x dititik x = x 1. Laju perubahan ini disebut sebagai turunan fungsi di satu titik yang dilambangkan dengan f ’( x 1). Secara formal, pengertian tentang turunan fungsi di satu titik diuraikan dalam bentuk definisi sebagai berikut : Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama (disingkat turunan) dari fungsi f di titik c, ditulis f ’(c), didefinisikan sebagai : f (c + h) − f ( c )
f '(c ) = lim h
h
0
→
Bila limit ini ada. Contoh 1. Jika f ( x ) = x 2, hitunglah f ’(x) di titik x = 1. Penyelesaian : f (1 + h) − f (1)
f '(1) = lim
h
h→0
=
h (2 + h)
lim
Contoh 2. Jika f ( x ) =
1
x
1 + 2h + h2 − 1 = lim h 0 h
→
=
→
lim (2 + h) = 2.
h→0
h
h→0
(1 + h)2 − 12 = lim h 0 h
, hitunglah f ’(x) di x = 2.
Penyelesaian :
1
1 f (2 − h) − f (2) 2+h 2 f '(2) = lim = lim h 0 0 h h h
2 − (2 + h)
−
=
h→0
→
→
−
= lim
h→0
h
h (4 + 2h)
= lim h
→
0
1
−
4 + 2h
=
−
lim
2(2 + h) h
1 4
Contoh berikut memperlihatkan fungsi yang tidak mempunyai turunan disatu titik karena limitnya tak hingga. Contoh 3. Jika f(x) =
1 x 3 ,
hitunglah f ’(0).
Penyelesaian : f '(0) = lim
f (0 + h) − f (0)
h→0
MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA
h
WAJIB
=
lim
h→0
1 h3
−
h
0
= lim h
→
0
1 2
= ∞ (tak hingga)
h3
2
KONSEP DASAR TURUNAN FUNGSI
Hasil di atas menunjukan bahwa turunan di titik dengan x = 0.
f ’(0) tidak ada atau f tidak mempunyai
Latihan Dengan menggunakan definisi turunan di satu titik, tentukan turunan fungsi : 1.
f ( x ) = x 2 + x – 5 di titik dengan x = -1.
2.
f ( x ) =
3.
f ( x ) = x 3 – 1 di titik dengan x = -1.
4.
f ( x ) = 3 x −
5.
f ( x ) =
1 2
2 x
di titik dengan x = -2.
1
x
di titik dengan x = 3
x + 1 dititik dengan x = 4
MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA
WAJIB
3
