2. Calcule la media y la varianza de la siguiente distribución de probabilidad discreta
Media
= ∑[(()] = 0 (. 2) + 1(.=4)1. +32(. 3) +3(.1)
Varianza
= ∑[( )()] = (01,3) 01,3)(. 2) + (11,3) 11,3)(. 4) + (21,3) 21,3)(. 3) + (31,3) 31,3)(.1) = 0.81
4. ¿Cuáles de las siguientes variables aleatorias son discretas y cuáles continuas? a) El número de cuentas nuevas conseguidas por un vendedor en un año. Es Aleatoria discreta b) El tiempo que transcurre entre la llegada de cada cliente en un cajero automático. Es aleatoria discreta c) El número de clientes en la estética est ética Big Nick. Es Aleatoria discreta d) La cantidad de combustible que contiene el tanque de gasolina de su automóvil. Es Aleatoria continua e) La cantidad de miembros del jurado pertenecientes a una minoría. Es aleatoria discreta f) La temperatura ambiente el día de hoy. Es Aleatoria continua 6. El director de admisiones de Kinzua University en Nueva Escocia estimó la distribución de admisiones de estudiantes para el segundo semestre con base en la experiencia de años pasados. ¿Cuál es el número de admisiones esperado para el segundo semestre? Calcule la varianza y la desviación estándar del número de admisiones.
600 360 150
[()]
7260 2430 15210
[( )()]
Media
= ∑[()] = 600 +360 +150 = 1110 1110 = ∑[( )()] = 7260+2430 +15210 = 24900 = 157.8
Varianza
Desviación estándar
8. La Downtown Parking Authority, de Tampa, Florida, reportó los siguientes datos de una muestra de 250 clientes relacionados con el número de horas que se estacionan los automóviles y las cantidades que pagan.
a) la información del número de horas de estacionamiento en una distribución de probabilidad. ¿Es una distribución de probabilidad discreta o continua? Es una probabilidad discreta b) Determine la media y la desviación estándar del número de horas de estacionamiento. ¿Qué respondería si se le pregunta por el número de horas que se estaciona un cliente normal? c) Calcule la media y la desviación estándar del pago. b) Media
= ∑ [()] = 20+76+159+180+200+78+35+288 250 = 4.14 4 ℎ 14 ()] [( ) = ∑ 1
Varianza
197,192+174,0248+68,8788+0,882+29,584+44,9749+40,898+536,38 = 249 = 4,3888 = 2,094 Desviación estándar
Parte C Media
Varianza
= ∑[()] = 3+12+27+48+70+96+126+160 = 542 = ∑[( )()] = = 5310.81 = = . 28204732
Desviación estándar
10. En una situación binomial, Determine probabilidades de los siguientes eventos usando la fórmula binomial. a) X=1 b) X=2 Parte A
las
= 5 , = 0. 4 0 , = 1 − () = ∁() (1)
( = 1) = 5∁1(0.4)(10.4)− ( = 1) = 0.2592 Parte B
= 5 , = 0. 4 0 , = 2 − () = ∁() (1)
( = 2) = 5∁2(0.4)(10.4)− ( = 2) = 0.3456
= = .
12. Suponga que existe una distribución binomial en la que a) Consulte el apéndice B.9 y elabore una lista de probabilidades para valores de x de 0 a 5 b) Determine la media y la desviación estándar de la distribución a partir de las definiciones generales de las fórmulas (6-1) y (6-2). Parte A 0.30 x/ 0 0.028 1 0.121 2 0.233
3 4 5 Parte B Media
Varianza
0.267 0.200 0.103
= ∑[()] = 0+0.121+0.4=66+0. 8 01+0. 4 +0. 5 15 2.303 = ∑[( )()] = =
0.1485+0.2054+0.02139+0.1297+0.5759+0.7492 1.8300
Desviación estándar
= 1.35. 14. El Servicio Postal de Estados Unidos informa que 95% de la correspondencia de primera clase dentro de la misma ciudad se entrega en un periodo de dos días a partir del momento en que se envía. Se enviaron seis cartas de forma aleatoria a diferentes lugares. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las seis lleguen en un plazo de dos días? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco lleguen en un plazo de dos días? c) Determine la media del número de cartas que llegarán en un plazo de dos días. d) Calcule la varianza y la desviación estándar del número de cartas que llegarán en un plazo de dos días. Parte A
() ==6∁() , = 0.9(1) 5 , =−6
(10.95)− ( = 6) (= 6∁6(0. 9 5) = 6) = 0.7350 Parte B
() ==6∁() , = 0.9(1) 5 , =−5
(10.95)− ( = 5) (= 6∁5(0. 9 5) = 5) = 0.2321 Parte C Media
= ∑[()] = 0+0+0+0. 1 4926+1. 1 6+4. 4 1 = 0.97
Parte D Varianza
= ∑[( )()] = = 1.389 1.93
Desviación estándar
16. Un agente de telemarketing hace seis llamadas por hora y es capaz de hacer una venta con 30% de estos contactos. Para las siguientes dos horas, determine a) la probabilidad de realizar exactamente cuatro ventas b) la probabilidad de no realizar ninguna venta; c) la probabilidad de hacer exactamente dos ventas d) la media de la cantidad de ventas durante un periodo de dos horas Parte A
= 6 , = 0. 3 , = 4 − () = ∁() (1)
)(10.3)− ( = 4) (= 6∁4(0. 3 = 4) = 0.0595 Parte B
() = 6=,∁() = 0.3(1) , = 0 −
( = 0) = 6∁0(0.3)(10.3)− ( = 0) = 0.1176 Parte C
() = 6=,∁() = 0.3(1) , = 2 −
( = 2) = 6∁2(0.3)(10.3)− ( = 2) = 0.3241 Parte D Media
= ∑[()] (0.3025)1+0.32412 +30.18522 +0.05954 = 0.11760++0.01025+7,2910^46 = 1.8012 18. Se reporta que 16% de los hogares estadounidenses utilizan exclusivamente un teléfono celular como servicio telefónico. En una muestra de ocho hogares, encuentra la probabilidad de que: a) Ninguno use un celular como su servicio exclusivo.
b) Cuando menos uno use sólo el celular. c) Cuando menos cinco usen el celular. Parte A
() ==8∁() , = 0.1(1) 6 , =−0
Parte B
Parte C
(10.16)− ( = 0) (= 8∁0(0. 1 6) = 4) = 0.3512
= 8(, =≥ 0.1) 1=6 ,1 (( = 1,2,3=,40)),5,6,7,8
((≥ ≥1) 1) = = 10. 3 512 0.6487 = 8 , = 0. 1 6 , = 5, 6 , 7 , 8 ( ≥ 5) = ( =−5)+( = 6)+( = 7)+( = 8) − − − ( ≥ 5) = 3.4810 + 3.3110 + 1.−8010 + 4.2910 ( ≥ 5) = 3.8210
= = .
20. En una distribución binomial probabilidades de los siguiente eventos. a) X=5 b) c) Parte A
≤≥
Parte B
Determine las
() ==12∁() , = 0.(1) 6 , =−5
)(10.6)− ( = 5) ( = 12∁5(0. 6 = 5) = 0.100
= 12 , = 0. 6 , = 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ( ≤ 5) = ( = 0)+( = 1)+( = 2)+(− = 3)+( = 4)+( = 5) − − ( ≤ 5) = 1.67710 + 3.0( 110 ≤ 5 +) =2.0.4910 + 0. 0 124+0. 0 420+0. 1 00 1572 = 8=,12=,0.=160.,6 ,= 5,=66,7,8 ( ≥ 6) = 1(( = 0)+( = 1)+( = 2)+( = 3)+( = 4)
Parte C
+( = 5))( ≥ 5) = 0.8427
22. Un fabricante de marcos para ventanas sabe, por experiencia, que 5% de la producción tendrá algún tipo de defecto menor, que requerirá reparación. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 20 marcos: a) ninguno requiera reparación? b) por lo menos uno requiera reparación? c) más de dos requieran reparación? Parte A
() = =20∁() , = 0.(1) 05 , =−0
( = 0) = 20∁0(0.05)(10.05)−
Parte B
( = 0) = 0.3584 ( = 20≥ ,1) == 0.1( 05 , == 1,0)2,3,…,2 ( ≥ 1) = 10.3584 ( ≥ 1) = 0.6415
0
Parte C
= 20 , = 0. 0 5 , = 2, 3 ,…, 2 ( ≥ 2) = 1(( = 0)+( = 1))
0
( ≥ 2) = 1(0.3584 ( ≥ 2) = 0.6416
+1.90x10^-25 )
24. Se afirma que 80% de los autos que se aproximan a una caseta individual de peaje en Nueva Jersey están equipados con un transponder E-ZPass. Encuentre la probabilidad de que en una muestra de seis autos: a) Todos tendrán transponder. b) Cuando menos tres tendrán transponder. c) Ninguno tendrá transponder. Parte A
= 6 , = 0. 8 , = 6 − () = ∁() (1)
( = 6) = 6∁6(0.8)(10.8)− ( = 6) = 0.2621 Parte B
= 6 , = 0. 8 , = 3, 4 , 5 , 6 ( ≥ 3) = ( = 3)+( = 4)+( = 5)+( = 6) ( ≥ 3) =
Parte C
0.08192+0.2457+0.3932+0.2621
( ≥ 3) = 0,982
= 6 , = 0. 8 , = 0 − () = ∁() (1)
( = 0) = 6∁0(0.8)(10.8)− ( = 0) = 6.410− 26. Una población consta de 15 elementos, 10 de los cuales son aceptables. En una muestra de 4 elementos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 sean aceptables? Suponga que las muestras se toman sin reemplazo
= 15; = 10; = 4 ; = 3 ( = 3) = 10∁3(1510∁43) (15∁4)
( = 3) = 120(5) (1365) ( = 3) = 4910 = 0.439 28. El departamento de sistemas de computación cuenta con ocho profesores, de los cuales seis son titulares. La doctora Vonder, directora, desea formar un comité de tres profesores del departamento con el fin de que revisen el plan de estudios. Si selecciona el comité al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los miembros del comité sean titulares? b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos un miembro del comité no sea titular? Parte A
= 8; = 6; = 63∁3(86∁33) ; = 3 ( = 3) = (8∁3) ( = 3) = 20(1) 56 5 ( = 3) = 14 = 0.356 = 8; = 6; = 3 ; = 1 ( ≥ 1) = ( = 1) +( = 2) +( = 3) ) + 6∁2(86∁32) + 6∁3(86∁33) ( ≥ 1) = 6∁1(86∁31 (8∁3) (8∁3) (8∁3) ( ≥ 1) = 283 + 1528 + 145 ( ≥ 1) = 1
Parte B
30. El juego de Lotto, patrocinado por la Comisión de la Lotería de Louisiana, otorga el premio mayor a un concursante que hace coincidir 6 de los posibles números. Suponga que hay 40 pelotas de ping-pong numeradas del 1 al 40. Cada número aparece una sola vez y las pelotas ganadoras se seleccionan sin reemplazo. a) La comisión informa que la probabilidad de que coincidan todos los números es de 1 en 3 838 380. ¿Qué significa esto en términos de probabilidad? b) Aplique la fórmula de la distribución de probabilidad hipergeométrica para determinar esta probabilidad. La comisión de la lotería también otorga un premio si un concursante hace coincidir 4 o 5 de los 6 números ganadores. Sugerencia: Divida los 40 números en dos grupos: números ganadores y no ganadores. c) Calcule la probabilidad, de nuevo con la fórmula de la distribución de probabilidad hipergeométrica, para hacer coincidir 4 de los 6 números ganadores.
d) Calcule la probabilidad de que coincidan 5 de los 6 números ganadores. Parte A Significa que el resultado puede salir una vez mínimo entre una población de 3838380 Parte B
Parte C
Parte D
= 40; = 6; = 6∁6(406∁66) 6 ; = 6 ( = 6) = (40∁6) 1(1) ( = 6) = (3838380) 1 ( = 6) = (3838380) = 40; = 6; = 6∁4(406∁64) 6 ; = 4 ( = 4) = (40∁6) 15(561) ( = 4) = (3838380) 8415 ( = 4) = (3838380) = 40; = 6; = 6∁5(406∁65) 6 ; = 5 ( = 5) = (40∁6) 6(34) ( = 5) = (3838380) 204 ( = 5) = (3838380) ==? ≤> ??
32. En una distribución de Poisson, a) ¿Cuál es la probabilidad de que x b) ¿Cuál es la probabilidad de que x c) ¿Cuál es la probabilidad de que x Parte A
==4
Parte B
=2
− 4 ( = 2) = 2! ( = 2) = 0.1465 = 14.6% ≤2
==4 ( ≤ 2) = ( = 0) +( = 1) + ( = 2) − 4 − 4 − 4 ( ≤ 2) = 0! + 1! + 2! ( ≤ 2) = 0.2381 = 23.81% >2 ==4 ( > 2) = 1(( = 1) + ( = 0)) − 4 − 4 ( > 2) = 1 0! + 1! ( > 2) = 0.9084 = 90.84% Parte C
34. Un promedio de 2 automóviles por minuto llegan a la salida de Elkhart de la autopista de Indiana. La distribución de llegadas se aproxima a una distribución de Poisson a) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún automóvil llegue en un minuto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos llegue un automóvil en un minuto? Parte A
==2
Parte B
==2
=0
− 2 ( = 0) = 0! ( = 0) = 0.135 = 13.5% =0 − 2 ( ≥ 1) = 1 1! ( ≥ 1) = 0.8466 = 86.466%
