Dispense Comunicazioni Elettriche

` degli Studi di Siena Universita Facoltà di Ingegneria

Dispense del Corso di Comunicazioni Elettriche

Prof. Giuliano Benelli Ing. Filippo Nencini

Indice 1 Richiami sui Segnali Deterministici ed Aleatori 1.1 Requisiti trigonometrici . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Numeri Complessi . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Formule di Eulero . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Fasori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Proprietà della serie di Fourier . . . . . . . 1.3 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Teorema di Parseval per segnali ad energia 1.3.2 Proprietà della Trasformata di Fourier . . 1.3.3 Teorema di Poisson . . . . . . . . . . . . . 1.4 Processi casuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Teoria della probabilità . . . . . . . . . . . 1.4.2 Variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Segnali Aleatori . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Segnali aleatori Gaussiani e Bianchi . . . . 1.4.5 Rumore AWGN . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Banda equivalente e Banda a −3dB . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Prestazioni di un collegamento 3 Rumore Introdotto dai Dispositivi Elettronici 3.1 Rumore Termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Temperatura Equivalente di rumore per dispositivi due porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Figura di rumore per dispositivi due porte . . . . . . 3.1.3 Rete Attiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Rete Passiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Formule di Friis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 Temperatura di Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.7 Rumore nei Ripetitori . . . . . . . . . . . . . . . . . i

1 1 1 2 2 2 3 4 5 5 9 9 9 11 14 18 18 19 21

22 . 22 . . . . . . .

24 25 26 27 27 29 29

ii

Facolt` a di Ingegneria

3.2 Rumore Shot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 Rumore Flicker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4 Modulazioni di Ampiezza 4.1 Modulazione AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Caratteristiche del segnale AM . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Spettro del segnale AM . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Potenza del segnale modulato AM . . . . . . . . . . . 4.1.4 Modulatori AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Demodulatori AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6 Rapporto segnale-rumore nella modulazione AM . . . 4.2 Modulazione DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Caratteristiche del segnale DSB . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Spettro del segnale DSB . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Potenza di un segnale DSB . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Modulatore DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Demodulatore DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Rapporto Segnale/Rumore in una modulazione DSB 4.3 Modulazione SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Caratteristiche del segnale SSB . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Modulatori SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Demodulatori SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Rapporto Segnale/Rumore per una modulazione SSB 4.4 Modulazione vestigiale VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Caratteristiche del segnale VSB . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Modulatore VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Demodulatore VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Circuiti per il recupero della portante . . . . . . . . . . . . . 5 Modulazioni Angolari 5.1 Modulazione di fase e di frequenza . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Spettro di un segnale FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Spettro di un segnale FM nel caso di un segnale modulante sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Spettro di un segnale FM nel caso di un segnale modulante multitono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Banda di trasmissione di un segnale FM (Banda di Carson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Modulatori di frequenza e di fase . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Modulatori FM Diretti (Modulatore di Hartley) . . . 5.3.2 Modulatori FM Indiretti (Modulatore di Armstrong)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 34 34 34 36 37 38 40 43 43 44 45 46 46 47 48 48 50 53 54 55 55 56 57 58

62 . 62 . 65 . 65 . 70 . . . .

70 71 71 72

iii


5.4 Demodulatori FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Demodulatore FM con discriminatore di frequenza bilanciato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Demodulatore FM con rivelatore di zero-crossing . . 5.4.3 Demodulatore FM con PLL . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Rapporto Segnale/Rumore nella modulazione FM . . . . . . 5.6 Effetto Soglia nella modulazione FM . . . . . . . . . . . . . 5.7 Pre-enfasi e De-enfasi nella modulazione FM . . . . . . . . . 5.8 Rapporto Segnale/Rumore nella modulazione PM . . . . . . 5.9 Schema di Ricevitore Supereterodina per trasmissione FM radio broadcasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Schema di un modulatore ed un demodulatore FM stereo . . 6 Modulazioni Digitali 6.1 Rappresentazione vettoriale dei segnali . . . . . . . . . . . . 6.2 Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt . . . . 6.3 Trasmissione su canali vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Ricevitore ottimo a massima verosimiglianza . . . . . . . . . 6.5 Criterio Maximum A Posteriori (MAP) . . . . . . . . . . . . 6.6 Limite superiore della probabilità di errore (Union Bound) . 6.7 Valutazione delle prestazioni nelle modulazioni digitali . . . 6.8 Modulazione On-Off Keying (OOK) . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1 Demodulazione coerente di un segnale OOK e probabilità di errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Modulazioni Phase Shift Keying (PSK) . . . . . . . . . . . . 6.9.1 Modulazione BPSK e probabilità di errore . . . . . . 6.9.2 Modulazione QPSK e probabilità di errore . . . . . . 6.10 Modulazioni Frequency Shift Keying (FSK) . . . . . . . . . 6.10.1 Caratteristiche della modulazione FSK . . . . . . . . 6.10.2 Modulazione BFSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10.3 Demodulazione coerente di un segnale FSK e probabilità di errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 Modulazione Differential Phase Shift Keying (DPSK) . . . . 6.11.1 Probabilità di errore di un segnale DPSK . . . . . . .

. 74 . . . . . . .

74 78 80 82 86 87 90

. 92 . 92 . . . . . . . .

95 96 97 100 103 105 109 110 111

. . . . . . .

112 114 114 116 119 119 120

. 122 . 124 . 126

Capitolo 1 Richiami sui Segnali Deterministici ed Aleatori In questo capitolo sono descritte alcune relazioni fondamentali di trigonometria, la rappresentazione di segnali periodici in serie di Fourier, la trasformata di Fourier e la caratterizzazione di segnali aleatori. Tali argomenti saranno trattati menzionando soltanto gli aspetti che serviranno per la trattazione delle modulazioni analogiche e digitali. Maggiori approfondimenti e relative dimostrazioni saranno affrontati in altri corsi di studio.

1.1 1.1.1

Requisiti trigonometrici Numeri Complessi

Si definisce un numero complesso z = a + j · b = |z|ej

6 z

(1.1)

dove a e b rappresentano rispettivamente la parte reale ed immaginaria di z mentre |z| e 6 z il modulo e la fase di z. Nel piano complesso il numero complesso z può essere rappresentato come un vettore mostrato in figura 1.1. Il complesso coniugato di un numero complesso è cos`ı definito z ∗ = a − j · b = |z|e−j

6 z

(1.2)

inoltre la parte reale e la parte immaginaria possono essere ottenute da modulo e fase e viceversa ½ a = |z|cos(6 z) (1.3) b = |z|sen(6 z) 1


2

Figura 1.1: Rappresentazione di un numero complesso sul piano x − y

½

1.1.2

√ |z| = a2 +¡b2¢ 6 z = arctan b a

(1.4)

Formule di Eulero

Valgono le seguenti equazioni e±jφ = cosφ ± j · senφ e

1.1.3

(

cosφ = senφ =

ejφ +e−jφ 2 ejφ −e−jφ 2j

(1.5)

(1.6)

Fasori

Dato un segnale sinusoidale x(t) = Acos(2πf0 t + φ) si indica il fasore del segnale x(t) z = Aejφ . (1.7) Il segnale x(t) può essere recuperato dal suo fasore mediante la seguente relazione x(t) = Re{z · ej2πf0 t }. (1.8)

1.2

Serie di Fourier

Un segnale periodico x(t) di periodo T = f10 , come mostrato in figura 1.2, può essere rappresentato mediante una serie di Fourier x(t) =

+∞ X n=−∞

n

Xn ej2π T t

(1.9)

3


in cui Xn sono i coefficienti trasformati della serie di Fourier, ottenuti dal segnale x(t) dalla seguente relazione 1 Xn = T

Z

T 2

n

x(t)e−j2π T t dt.

(1.10)

− T2

Figura 1.2: Segnale periodico x(t)

Dalle due precedenti equazioni si osserva che: • è possibile calcolare Xn da x(t) e viceversa; n

• il segnale x(t) è esprimibile mediante una base di funzioni ej2π T t . La proiezione di x(t) su ogni versore della base è Xn ; • le componenti Xn sono generalmente a valori complessi; • la componente X0 =

1 T

R T2

− T2

x(t)dt corrisponde al valor medio di x(t);

• i valori Xn corrispondono alle proiezioni del segnale x(t) su una base con versori a frequenze multiple della fondamentale fn = Tn = nf0 .

1.2.1

Propriet` a della serie di Fourier

Sono elencate in questo paragrafo le principali proprietà della serie di Fourier: • Condizione Hermitiana. Dato un segnale reale, x(t) = x∗ (t), è verificata la condizione Xn = ∗ . Questo comporta che la parte reale ed il modulo della sequenza X−n dei coefficienti trasformati sono sequenze pari, mentre la parte immaginaria e la fase sono sequenze dispari  Re{Xn } = Re{X−n }    Im{Xn } = −Im{X−n } (1.11) |Xn | = |X−n |    6 Xn = −6 X−n


4

In pi` u se il segnale nel tempo è reale e pari, x(t) = x(−t), allora Xn è reale e pari; al contrario se il segnale nel tempo è reale e dispari, x(t) = −x(−t), allora Xn è immaginario e dispari. Esempio. Calcolo dei coefficienti trasformati di un’onda rettangolare P Dato il segnale x(t) = +∞ −∞ A rectτ (t − nT ) con τ < T e rectτ (t) = 1 se |t| ≤ τ e 0 altrove, si vuole calcolare Xn . Applicando la definizione RT P n t −j2π T dt = Xn = T1 −2T +∞ −∞ A rectτ (t − nT )e τ2 R n = T1 −2τ Ae−j2π T t dt = 2 n τ j2π n τ j2π (1.12) T 2 A −e = πn · e T 2 2j = A = πn sen(π τTn ) = τ τn = A T sinc( T ) . • Teorema di Parseval per segnali periodici La potenza di un segnale periodico può essere calcolata sia nel dominio del tempo che nel dominio della frequenza Z T +∞ X 2 1 |x(t)|2 dt = |Xn |2 (1.13) Px = T T −2 n=−∞

1.3

Trasformata di Fourier

Per segnali ad energia finita si definisce la trasformata di Fourier di un segnale a tempo continuo Z +∞

x(t)e−j2πf t dt

(1.14)

e la rispettiva antitrasformata di Fourier Z +∞ x(t) = X(f )ej2πf t dt.

(1.15)

X(f ) = −∞

−∞

Esempio La trasformata di Fourier di un rect, x(t) = A rectτ (t), è R +∞ X(f ) = −∞ A rectτ (t)e−j2πf t dt = Rτ = −2τ Ae−j2πf t dt = 2

τ

τ

j2πf A −ej2πf 2 · e 2 2j πf Aτ sen(πτ f ) πf τ

= = = Aτ sinc(τ f )

= = .

(1.16)

5


1.3.1

Teorema di Parseval per segnali ad energia finita

L’energia di un segnale puè essere calcolata sia nel dominio del tempo che nel dominio della frequenza Z +∞ Z +∞ 2 εx = |x(t)| dt = |X(f )|2 df (1.17) −∞

−∞

dove |X(f )|2 è la densità spettrale di energia del segnale x(t).

1.3.2

Propriet` a della Trasformata di Fourier

In questo paragrafo sono elencate le principali proprietà della trasformata di Fourier: • Condizione Hermitiana. Dato un segnale reale, x(t) = x∗ (t), è verificata la condizione X(f ) = X ∗ (−f ). Questo comporta che la parte reale ed il modulo della trasformata di Fourier sono funzioni pari, mentre la parte immaginaria e la fase sono funzioni dispari  Re{X(f )} = Re{X(−f )}    Im{X(f )} = −Im{X(−f )} (1.18) |X(f )| = |X(−f )|    6 X(f ) = −6 X(−f ) In pi` u se il segnale nel tempo è reale e pari, x(t) = x(−t), allora X(f ) è reale e pari; al contrario se il segnale nel tempo è reale e dispari, x(t) = −x(−t), allora X(f ) è immaginario e dispari. • Dualit` a Trasformata ed antitrasformta differiscono soltanto per un segno: FT

t=f

FT

x(t) −→ X(f ) =⇒ X(t) −→ x(−f )

(1.19)

nel dominio del tempo, mentre nel dominio della frequenza IF T

t=f

IF T

X(f ) −→ x(t) =⇒ x(f ) −→ X(−t).

(1.20)

Esempio. Calcolo dell’Energia. Si vuole calcolare l’energia del segnale x(t) = Aτ sinc(τ t). Per la prima proprietà della dualità è noto che x(t) = A rectτ (t) ha come trasformata di Fourier X(f ) = Aτ sinc(τ f ) da cui X(t) = Aτ sinc(τ t) ha come


6

trasformata x(−f ) = A rectτ (−f ) = A rectτ (f ) essendo il rect una funzione pari. Sfruttando il teorema di parseval si ottiene che Z +∞ Z +τ 2 2 A2 df = A2 τ (1.21) εx = |X(f )| df = − τ2

−∞

• Linearit` a La trasformata della somma di due o pi` u segnali è uguale alla somma di ogni singola trasformata F T {a · x1 (t) + b · x2 (t)} = a · X1 (f ) + b · X2 (f )

(1.22)

• Valore medio e valore iniziale Il valor medio del segnale x(t) è uguale al valore della trasformata in f =0 Z +∞

mx =

x(t)dt = X(f = 0)

(1.23)

−∞

il valore del segnale in t = 0 corrisponde alla media nel dominio della frequenza Z +∞ x(t = 0) = X(f )df (1.24) −∞

• Traslazione nel tempo FT

z(t) = x(t − T ) −→ Z(f ) = X(f )e−j2πf T

(1.25)

• Traslazione in frequenza IF T

Z(f ) = X(f − f0 ) −→ z(t) = x(t)ej2πf0 t

(1.26)

Esempio Si vuole calcolare l’antitrasformata di Fourier per il seguente segnale X(f − f0 ) + X(f + f0 ). Applicando la proprietà della traslazione in frequenza si ottiene: IF T

X(f − f0 ) + X(f + f0 ) −→ x(t)ej2πf0 t + x(t)e−j2πf0 t = 2x(t)cos(2πf0 t) (1.27) • Cambiamento di scala F T {x(at)} =

1 ³f ´ X |a| |a|

(1.28)

7


• Trasformate di: – delta di dirac. Introducendo la definizione di delta di dirac ½ ∞ t=0 δ(t) = 0 altrimenti e

Z

(1.29)

+∞

δ(t)dt = 1

(1.30)

−∞

la trasformata di Fourier della delta è uguale ad una costante F T {Aδ(t)} = A

(1.31)

F T {A} = Aδ(f ).

(1.32)

– costante. Per la proprietà duale

Esempio Si vuole calcolare la trasformata di Fourier di x(t) = A cos(2πf0 t+ φ): x(t) =

A ³ j(2πf0 t+φ) −j(2πf0 t+φ) ´ F T A e +e −→ X(f ) = (ejφ δ(f −f0 )+e−jφ δ(f +f0 )) 2 2 (1.33)

• Risposta impulsiva e convoluzione In un sistema lineare tempo-invariante (LTI) che caratterizza un sistema fisico come ad esempio un mezzo trasmissivo (cavo elettrico, fibra ottica, ecc...) può essere calcolata la risposta impulsiva h(t) = y(t)|x(t)=δ(t)

(1.34)

l’uscita per un generico segnale in ingresso è data dal prodotto di convoluzione tra la risposta impulsiva ed il segnale in ingresso Z +∞ y(t) = h(t) ⊗ x(t) = h(t − τ )x(τ )dτ (1.35) −∞

• Moltiplicazione in frequenza e nel tempo


8

– Moltiplicazione in frequenza FT

x1 (t) ⊗ x2 (t) −→ X1 (f ) · X2 (f )

(1.36)

Esempio Si vuole calcolare la trasformata di Fourier della funzione triangolo: ½ 1 − |fT | |f | ≤ T x(t) = trianT (t) = (1.37) 0 altrove La funzione triangolo può essere espressa come un prodotto di convoluzione tra due funzioni rect della stessa durata T2 , trianT (t) = 1 rectT (t) ⊗ rectT (t). Applicando la proprietà del prodotto in T frequenza si ottiene X(f ) =

1 T sinc(T f ) · T sinc(T f ) = T sinc2 (T f ) T

(1.38)

– Moltiplicazione nel tempo IF T

X1 (f ) ⊗ X2 (f ) −→ x1 (t) · x2(t)

(1.39)

Esempio Sono noti i segnali x1 (t) = A rectT (t) e x2 (t) = cos(2πf0 t), si vuole calcolare la trasformata di Fourier del segnale z(t) = x1 (t) · x2 (t). Sfruttando la proprietà della moltiplicazione nel tempo si ottiene Z(f ) = X1 (f ) ⊗ X2 (f ) = 1 = T sinc(T f ) ⊗ 2 (δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )) = = T2 sinc(T (f − f0 ) + T2 sinc(T (f + f0 )) .

(1.40)

• Derivazione ed integrazione nel tempo – Derivata d x(t) F T −→ j2πf X(f ) dt

(1.41)

Esempio Si vuole verificare la proprietà della derivata per x(t) = cos(2πf0 t). La derivata del segnale è uguale a −2πf0 sen(2πf0 t), nel dominio spettrale invece la trasformata della derivata del coseno vale = j2πf · 21 (δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )) = j2πf0 · 12 (δ(f − f0 ) − δ(f + f0 )) = = −2πf0 · 2j1 (δ(f − f0 ) − δ(f + f0 )) =


9

Il risultato ottenuto antitrasformando l’ultima espressione è uguale alla funzione coseno derivata nel tempo. – Integrale Z

t

FT

x(τ )dτ −→ −∞

1.3.3

X(f ) j2πf

(1.42)

Teorema di Poisson

Un segnale periodico x(t) con periodo T ha la seguente trasformata di Fourier X(f ) =

+∞ n´ 1 X ³n´ ³ δ f− G T n=−∞ T T

(1.43)

dove G(f ) è la trasformata di Fourier del segnale g(t) corrispondente al segnale x(t) su un solo periodo T . Il risultato dell’eq.(1.43) si ottiene dal teorema di Poisson di cui non viene svolta la dimostrazione. Tale teorema afferma che la trasformata di un serie infinita di delta è ancora nel dominio trasformata una serie infinita di delta 1 X ³ 1 n´ ΠT (t) = δ(t − nT ) ←→ · Π 1 (f ) = · δ f− T T T −∞ T −∞ +∞ X

1.4 1.4.1

+∞

FT

(1.44)

Processi casuali Teoria della probabilit` a

Il concetto di probabilità è legato al concetto di esperimento casuale in cui il valore di uscita non può essere definito con certezza ed in cui eventi elementari sono ritenuti equiprobabili. La probabilità di un evento, secondo la definizione classica, è il rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili, purchè questi ultimi siano ugualmente possibili: PA =

nA . ntot

(1.45)

Alcuni esperimenti casuali legati al concetto di probabilità sono ad esempio il lancio di una moneta per testa o croce, il lancio di un dado a sei facce oppure la scelta di una carta da un mazzo di carte. In ognuno dei tre esperimenti elencati non è possibile stabilire quale sar` SaNl’esito esatto dell’esperimento. Lo spazio Ω delle possibili uscite Ω = i=1 ωi può essere a valori discreti quando il numero delle possibili uscite è finito, mentre è a valori continui


10

quando il numero di uscite è infinito. Con E inoltre viene indicato un evento di un sottoinsieme di Ω, in modo da poter definire la probabilità di quell’evento, P (E). Consideriamo adesso le proprietà principali della probabilità: • La probabilità di un evento è sempre compresa tra 0 ed 1 0 ≤ P (E) ≤ 1;

(1.46)

• La probabilità di un evento nullo è 0 P (E = null) = 0;

(1.47)

• La probabilità di un evento che contiene tutte le possibili uscite è uguale ad 1 P (E = Ω) = 1; (1.48) • La probabilità di un evento complementare è uguale ad 1 meno la probabilità dell’evento stesso P (E) = 1 − P (E);

(1.49)

• La probabilità dell’unione di due eventi è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi meno la probabilità dell’intersezione P (E1 ∪ E2 ) = P (E1 ) + P (E2 ) − P (E1 ∩ E2 );

(1.50)

• Se E1 ⊂ E2 allora P (E1 ) ≤ P (E2 )

(1.51)

• La Probabilit` a condizionata di due eventi E1 e E2 con rispettive probabilità P (E1 ) e P (E2 ) è definita come ( P (E1 ∩E2 ) P (E2 ) 6= 0 P (E2 ) P (E1 |E2 ) = (1.52) 0 altrimenti se i due eventi sono statisticamente indipendenti allora P (E1 |E2 ) = P (E1 ) e P (E1 ∩ E2 ) = P (E1 ) · P (E2 ); • Teorema della Probabilit` a Totale S N Dato un insieme N di eventi {Ei }N i=1 con i=1 Ei = Ω e Ei ∩ Ej = null ∀ i, j con i 6= j, la probabilità di un evento generico A è calcolata come somma pesata delle probabilità condizionate agli eventi Ei : P (A) =

N X i=1

P (A|Ei ) · P (Ei )

(1.53)


11

• Teorema di Bayes Dati due eventi A e B il Teorema di Bayes consente di scambiare i termini sulle probabilità condizionate P (B|A) =

1.4.2

P (A|B) · P (B) P (A)

(1.54)

Variabili aleatorie

Una variabile aleatoria x è il risultato numerico di un esperimento quando questo non è deterministico. Ad esempio il risultato del lancio di un dado a sei facce può essere matematicamente modellizzato come una variabile casuale che può assumere uno dei sei possibili valori 1, 2, 3, 4, 5, 6. Pi` u formalmente dato Ω, la variabile aleatoria x è una funzione misurabile dallo spazio Ω allo spazio Euclideo. Ad ogni variabile aleatoria X è associata la sua funzione distribuzione cumulativa, Fx (x), che assegna ad ogni sottoinsieme, dell’insieme dei possibili valori di x, la rispettiva probabilità: Fx (x) = P (x ≤ x).

(1.55)

Sono elencate di seguito alcune proprietà della Fx (x): • 0 ≤ Fx (x) ≤ 1; • Fx (x) non è una funzione decrescente; •

lim Fx (x) = 0 e lim Fx (x) = 1;

n→−∞

n→+∞

• P (a ≤ x ≤ b) = Fx (b) − Fx (a). Si definisce inoltre la funzione densità di probabilità: fx (x) =

d Fx (x) dx

Alcune proprietà della funzione densità di probabilità: • fx (x) ≥ 0 ∀ x; R +∞ • −∞ fX (x)dx = 1; •

Rb

fx (x)dx = P (a ≤ x ≤ b); Rx • Fx (x) = −∞ fx (x)dx. a

(1.56)


12

Esempio (Variabile aleatoria uniforme) Una variabile aleatoria uniforme ha la seguente funzione densità di probabilità ½ 1 ab Esempio (Variabile aleatoria gaussiana) Una variabile aleatoria gaussiana ha la seguente funzione densità di probabilità (x−m)2 1 fx (x) = √ (1.59) e− 2σ2 2πσ 2 come mostrato in figura 1.3(b), e la seguente funzione distribuzione Z x (x−m)2 1 √ (1.60) Fx (x) = e− 2σ2 dx. 2πσ 2 −∞ I termini m e σ determinano la posizione e l’allargamento dell’andamento a campana della funzione. Per caratterizzare una variabile aleatoria gaussiana spesso si indica N(m, σ), cioè si specificano i due termini m e σ. L’espressione della FX (x) può essere scritta anche nella forma: Z +∞ ³x − m´ (x−m)2 1 √ Fx (x) = 1 − (1.61) e− 2σ2 dx = 1 − Q σ 2πσ 2 x dove

Z

+∞

Q(x) = x

t2 1 √ e− 2 dt. 2π

(1.62)

Nel caso in cui si abbiano funzioni di variabili aleatorie y = g(x), la densità di probabilità di y può essere determinata dalla densità di probabilità di x mediante la seguente equazione: X fx (xi ) ¯ (1.63) fy (y) = ¯ 0 i |g (x)|¯ x=xi

dove gli zeri di xi = g −1 (yi ) si ottengono invertendo la relazione y = g(x).

13


Figura 1.3: Variabile aleatoria con: a) densità di probabilità uniforme; b) densità di probabilità gaussiana

Esempio Si consideri la seguente variabile aleatoria composta y = a x + b, la densità di probabilità di X è N(0, 1), si vuole determinare la densità di probabilità di Y. ³ ´ 0

Noto che |g (xi )| = |a| e che xi = quindi fy (y) = N(b, a).

y−b , a

si ottiene fy (y) =

fx

y−b a

|a|

e

Sono elencate adesso le principali statistiche che possono essere calcolate su una variabile aleatoria: • Media d’insieme Z

+∞

mx = E[x] =

x · fx (x)dx −∞

(1.64)


dove il termine E[·] è indicato come il valore aspettato. Se la variabile aleatoria è una funzione composta allora Z +∞ my = E[y = g(x)] = g(x) · fx (x)dx;

14

(1.65)

−∞

• Valore Quadratico Medio (V.Q.M.) Z +∞ 2 V.Q.M. = E[x ] = x2 · fx (x)dx

(1.66)

−∞

e nel caso di funzione composta Z 2

+∞

V.Q.M. = E[y ] =

g 2 (x) · fx (x)dx;

(1.67)

−∞

• Varianza σx2 = E[(x − mx )2 ] = V.Q.M (x) − m2x

(1.68)

e nel caso di funzione composta σy2 = E[(y − my )2 ] = V.Q.M (y) − m2y .

1.4.3

(1.69)

Segnali Aleatori

Un segnale aleatorio, indicato con il termine x(t), può avere le due seguenti definizioni: 1. una collezione infinita di segnali deterministici ottenuti fissando, per ogni realizzazione, il termine aleatorio; 2. una serie infinita ed ordinata nel tempo di variabili aleatorie. Per caratterizzare completamente un segnale aleatorio è necessario fornire la densità di probabilità congiunta su ogni possibile combinazione di istanti temporali: (t1 , t2 , ..., tn ) ←→ fx(t1 ),x(t2 ),...,x(tn ) (x1 , x2 , ..., xn )

(1.70)

valido ∀ t1 , ..., tn . Un segnale aleatorio è descritto dalle sue statistiche di ordine M quando l’eq.(1.70) vale ∀ n ≤ M . Nei sistemi di telecomunicazioni si richiede tipicamente M = 2, in modo da conoscere fx (x) e fx(t1 ),x(t2 ) (x1 , x2 ). Sono riportate adesso le principali misure statistiche di un segnale aleatorio:


15

• Media d’insieme Z

+∞

mx(t) = E[x(t)] =

x · fx(t) (x)dx

(1.71)

−∞

e per segnali aleatori composti Z

+∞

my(t) = E[y(t) = g(x(t))] =

g(x)fx(t) (x)dx

(1.72)

−∞

Esempio Si consideri il seguente segnale aleatorio y(t) = A cos(2πf0 t + θ) di cui si conosce le densità di probabilità della variabile aleatoria θ ½ 1 0 ≤ θ ≤ 2π 2π fθ (θ) = 0 altrimenti Si vuole calcolare la media d’insieme. Applicando la definizione si ottiene Z 2π 1 A my(t) = E[y(t)] = A cos(2πf0 t+θ)· dθ = sen(2πf0 t+θ)|2π 0 = 0 2π 2π 0 (1.73) • Funzione di Autocorrelazione Rx(t1 ),x(t2 ) (t1 , t2 ) = E[x(t1 ) · x(t2 )] = R +∞ R +∞ = −∞ −∞ x1 x2 · fx(t1 ),x(t2 ) (x1 , x2 )dx1 dx2

(1.74)

e per segnali aleatori composti Ry(t1 ),y(t2 ) (t1 , t2 ) = E[y(t1 ) · y(t2 )] R +∞ R +∞ = −∞ −∞ g(x1 )g(x2 ) · fx(t1 ),x(t2 ) (x1 , x2 )dx1 dx2

(1.75)

Si elencano alcune proprietà della funzione di autocorrelazione: – La funzione di autocorrelazione è una funzione pari Rx(t1 ),x(t2 ) (t1 , t2 ) = Rx,x (τ = t2 − t1 ) = Rx,x (−τ );

(1.76)

– Il massimo della funzione di autocorrelazione è in τ = 0 |Rx,x (τ )| ≤ Rx,x (0);

(1.77)

– Se si verifica che ∃ T0 tale che Rx,x (T0 ) = Rx,x (0) allora ∀ k vale che Rx,x (T0 ) = Rx,x (0).


16

Esempio Si vuole calcolare la funzione di autocorrelazione dell’esercizio precedente: Ry(t1 ),y(t2 ) (t1 , t2 ) = E[A cos(2πf0 t1 + θ) · A cos(2πf0 t2 + θ)] = 2 = A2 E[cos(2πf0 (t2 − t1 )) + cos(2πf0 (t1 + t2 ) + 2θ)] = 2 2 = A2 cos(2πf0 (t2 − t1 )) = A2 cos(2πf0 τ ). (1.78) • Valore Quadratico medio (V.Q.M.) V.Q.M. = E[x2 (t)] = Rx,x (t1 , t1 ).

(1.79)

Il V.Q.M di un segnale aleatorio corrisponde alla potenza media del processo. • Varianza 2 σx(t) = E[(x(t) − mx(t) )2 ] = E[x(t)2 ] − m2x(t) ;

(1.80)

• Funzione di Crosscorrelazione Rx,y (t1 , t2 ) = E[x(t1 )y(t2 )];

(1.81)

• Funzione di Covarianza Cx,x (t1 , t2 ) = E[(x(t1 ) − mx(t1 ) ) · (x(t2 ) − mx(t2 ) )];

(1.82)

• Funzione di Crosscovarianza Cx,y (t1 , t2 ) = E[(x(t1 ) − mx(t1 ) ) · (y(t2 ) − my(t2 ) )].

(1.83)

Sono elencate adesso le principali proprietà dei segnali aleatori: • Stazionariet` a di un processo. Un processo si dice stazionario in senso stretto quando si verifica che la densità di probabilità congiunta su n istanti temporali dipende soltanto dalla posizione relativa degli istanti temporali e non dai valori stessi fx(t1 ),x(t2 ),...,x(tn ) (x1 , x2 , ..., xn ) = = fx(t1 +∆),x(t2 +∆),...,x(tn +∆) (x1 , x2 , ..., xn )

(1.84)

valido ∀ t1 , t2 , ..., tn . Un processo si dice stazionario in senso lato quando si verificano le due condizioni:

17


1. la media d’insieme non dipende dal tempo mx(t) = mx

(1.85)

2. la funzione di autocorrelazione dipende soltanto dalla distanza relativa tra t2 e t1 e non dai valori stessi Rx(t1 ),x(t2 ) (t1 , t2 ) = Rx(t1 ),x(t2 ) (t2 − t1 = τ )

(1.86)

• Densit` a spettrale di potenza media di un segnale aleatorio Per un segnale aleatorio la Trasformata di Fourier non può essere calcolata. Per avere quindi una rappresentazione spettrale si valuta la densità spettrale di potenza media ottenuta dalla trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione: Z +∞ Px,x (f ) = Rx,x (τ )e−j2πf τ dτ. (1.87) −∞

E’ definita anche l’antitrasformata di Fourier della densità spettrale di potenza media Z +∞ Rx,x (τ ) = Px,x (f )ej2πf τ df. (1.88) −∞

Per la densità spettrale di potenza media è sempre verificato che: – Px,x (f ) ≥ 0 ∀ f ; – Px,x (f ) = Px,x (−f ); – Px = Rx,x (τ = 0) = media del processo.

R +∞ −∞

Px,x (f )df corrispondente alla potenza

Esempio La densità spettrale di potenza media di un segnale aleatorio la cui 2 funzione di autocorrelazione è Rx,x (τ ) = A2 cos(2πf0 τ ) vale Px,x (f ) =

A2 (δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )) 4

• Segnali aleatori in ingresso a sistemi lineari tempo-invarianti Un segnale aleatorio x(t) stazionario in senso lato in ingresso ad un sistema LTI caratterizzato dalla risposta impulsiva h(t) genera in uscita al sistema un segnale, y(t), anch’esso stazionario in senso lato in cui la media, la funzione di crosscorrelazione e la funzione di autocorrelazione valgono:


– Media

Z

18

+∞

my = mx ·

h(t)dt = mx · H(f = 0)

(1.89)

−∞

– Crosscorrelazione FT

Rx,y (τ ) = Rx,x (τ ) ⊗ h(−τ ) → Px,y (f ) = Px,x (f ) · H ∗ (f ) (1.90) – Autocorrelazione FT

Ry,y (τ ) = Rx,x (τ ) ⊗ h(−τ ) ⊗ h(τ ) → Px,y (f ) = Px,x (f ) · |H(f )|2 (1.91) Esempio Un segnale aleatorio la cui funzione di autocorrelazione è y(t) = A cos(2πf0 t+ θ) viene posto in ingresso ad un sistema derivatore. Si vuole calcolare la funzione di autocorrelazione del segnale aleatorio all’uscita del sistema. La trasformata di Fourier di un sistema derivatore è H(f ) = j2πf , sfruttando l’eq.(1.91) si ottiene Px,x (f ) = |H(f )|2 · Px,x (f ) = 2 = 4π 2 f 2 · A4 (δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )) = 4π 2 f02 ·

A2 (δ(f 4

− f0 ) + δ(f + f0 ))

da cui antitrasformando Ry,y (τ ) = 2π 2 f02 A2 cos(2πf0 τ )

1.4.4

Segnali aleatori Gaussiani e Bianchi

Un segnale aleatorio si definisce gaussiano e bianco quando la densità di probabilità congiunta per ogni ordine n è gaussiana e quando la densità spettrale di potenza media è costante ∀ f , Px,x (f ) = C. Il rumore termico, trattato nel capitolo 3, è un esempio di segnale aleatorio gaussiano e bianco.

1.4.5

Rumore AWGN

Il rumore AWGN, n(t), è un segnale aleatorio che soddisfa le seguenti condizioni: • rumore stazionario in senso lato; • segnale aleatorio additivo sul segnale utile;


19

• segnale aleatorio gaussiano e bianco; • segnale aleatorio con media d’insieme nulla. La costante della densità spettrale di potenza media viene indicata con il termine N20 se viene fatto riferimento alla densità bilatera, altrimenti N0 se viene fatto riferimento alla densità monolatera.

1.4.6

Banda equivalente e Banda a −3dB

• Banda equivalente La definizione di Banda equivalente per un sistema LTI con risposta impulsiva h(t) è la seguente: R +∞ |H(f )|2 df Beq = 0 . (1.92) max|H(f )|2 Il significato di banda equivalente è quello di avere un sistema LTI equivalente in cui Heq (f ) ha un andamento passa-basso ideale con banda (−Beq , Beq ) ed ampiezza max|H(f )|2 ed in cui, se in ingresso è posto un segnale aleatorio bianco, la potenza media dei due sistemi (reale ed equivalente) è uguale: Z N0 N0 +∞ |H(f )|2 df ↔ Py = · max|H(f )|2 · 2Beq (1.93) 2 −∞ 2 • Banda a −3dB E’ definita come la frequenza del filtro H(f ) di un sistema LTI che verifica la condizione: 1 |H(f−3dB )|2 = (1.94) 2 Esempio Sia h(n) la risposta impulsiva di un sistema LTI la cui risposta in frequenza è 1 . (1.95) H(f ) = 1 + j ffc Si richiede di calcolare la banda equivalente e la banda a −3dB. Per quanto riguarda la banda equivalente: |H(f )|2 = 1+

1 ³ ´2 f fc


20

con max|H(f )|2 = 1 in f = 0 e Z

+∞ 0

1+

1 ³ ´2 df =f fc · f fc

v= f

c

Z

+∞ 0

π 1 dv = fc · atan(v)|+∞ = fc · . 0 2 1+v 2

La banda equivalente è quindi uguale a Beq = π2 fc . Per quanto riguarda invece la banda a −3dB si ottiene

1+

1 1 ³ ´2 = 2 f fc

da cui B−3dB = fc . Da cui si osserva che in questo esempio la Beq > B−3dB

Capitolo 2 Prestazioni di un collegamento Si faccia riferimento alle slides “Prestazioni di un collegamento” consultabili alla “Home Page” del corso.

21

Capitolo 3 Rumore Introdotto dai Dispositivi Elettronici In questo capitolo sono descritte le principali fonti del processo di rumore presenti nei sistemi di telecomunicazione, e di come ne venga tenuto in considerazione in fase progettuale. Vedremo che il rumore è modellato matematicamente come un segnale aleatorio, da cui è possibile calcolare la potenza media, utile nel calcolo del rapporto segnale-rumore caratterizzante il sistema di trasmissione. Principalmente tratteremo il rumore termico in quanto in ogni collegamento tra modulatore e demodulatore avremo sempre a che fare con questa forma di rumore.

3.1

Rumore Termico

Ogni elemento conduttore è caratterizzato da perdite resistive, che circuitalmente indichiamo con R. Un resistore che si trova ad una temperatura superiore allo zero Kelvin (0◦ K) produce ai suoi capi una tensione rumorosa misurabile a circuito aperto. Tale tensione rumorosa è dovuta all’agitazione termica degli elettroni che si muovono in modo caotico all’interno della resistenza. La resistenza rumorosa, Rn , è possibile rappresentarla equivalentemente come un resistore non rumoroso in serie ad un generatore di tensione, figura 3.1. Il generatore produce un segnale aleatorio di tensione, v(t), la cui densità spettrale di potenza media è Pv,v (f ) =

2Rh|f | h|f |

e kT − 1

(3.1)

dove h è la costante di Plank, uguale a 6.63 · 10−34 , T è la temperatura del resistore espressa in gradi Kelvin e k è la costante di Boltzmann, uguale a 22


23

1.38 · 10−23 . La trasformazione che consente di esprimere una temperatura da gradi centigradi a gradi kelvin è la seguente T◦ k = T◦ C + 273.

(3.2)

Inoltre la temperatura T = 17◦ C corrispondente a T = 290K è indicata come temperatura ambiente T0 . | Se si considera a temperatura ambiente la condizione h|f << 1 che corrikT0

Figura 3.1: Resistenza rumorosa e rappresentazione equivalente

sponde a |f | << kTh0 = 6 1012 , è verificata per ogni modulazione che tratteremo nei successivi capitoli, quindi l’espressione dell’eq.(3.1) può essere cos`ı approssimata: 2Rh|f | = 2RkT (3.3) Pv,v (f ) ∼ = | 1 + h|f −1 kT Si osserva quindi che il rumore termico sulle frequenze che interesseranno le modulazioni trattate può essere considerato come un segnale aleatorio bianco in quanto nell’espressione della densità spettrale di potenza media non compare dipendenza dalla frequenza. Il massimo trasferimento di potenza della resistenza rumorosa ad un carico Zc si verifica quando Zc = R, figura 3.2. La massima potenza sul carico è Pc =

E[v2 (t)] . 4R

(3.4)


24

Se la densità spettrale di potenza media del rumore termico è calcolata sulla banda del segnale utile modulante (cioè il segnale informativo che deve essere trasmesso), si ottiene RB Pv,v (f )df 2RkT · (2B) kT Pc = −B = = · (2B) = kT B (3.5) 4R 4R 2 dove il termine bilatera).

kT 2

viene indicato con

N0 2

(densità spettrale di potenza media

Figura 3.2: Trasferimento di potenza della resistenza rumorosa ad un carico Zc

3.1.1

Temperatura Equivalente di rumore per dispositivi due porte

Si consideri una rete due porte mostrata in figura 3.3 in cui sono note le tensioni e le correnti in ingresso ed in uscita, Vi , Vu , Ii e Iu . Per tale dispositivo può essere definito il guadagno in tensione, in corrente o in potenza del dispositivo: GV = VVui GI = IIui (3.6) GP = PPui Nella trattazione successiva faremo sempre riferimento al guadagno in potenza, GP = G. Per definire la temperatura equivalente consideriamo quindi di avere un


25

Figura 3.3: Dispositivo due porte

dispositivo due porte al cui ingresso è posta una resistenza rumorosa e che le impedenze viste dalla porta di ingresso e di uscita siano poste in condizione di massimo trasferimento di potenza, figura 3.4(a). Per tale dispositivo la potenza media in uscita è uguale a Pu = G · Pi + Pd = GkTi B + Pd

(3.7)

dove Pd è la potenza media di rumore, di cui non ne conosciamo la natura, introdotta dal dispositivo. La temperatura equivalente rappresenta l’incremento di temperatura che deve essere fornita al resistore di ingresso in modo tale da ottenere la stessa potenza media di rumore in uscita al dispositivo supposto non rumoroso, 3.4(b),: Pu = Gk(Ti + Teq )B = GkTi B + GkTeq B = GkTi B + Pd .

(3.8)

Il termine Tu = G · (Ti + Teq )

(3.9)

prende il nome di temperatura di uscita del dispositivo due porte.

3.1.2

Figura di rumore per dispositivi due porte

La figura di rumore serve per avere una misura di rumorosità del dispositivo due porte. E’ definita come il rapporto tra la potenza media di rumore all’uscita del dispositivo due porte e la potenza media di rumore all’uscita del dispositivo supponendo che la rete due porte non introduca rumore: F =

Pu G · Pi

(3.10)

Esprimendo con Si ed Su le potenze medie in ingresso ed uscita al dispositivo del segnale utile, l’eq.(3.10) può essere scritta anche come F =

Pu Pu Si SN Ri Si · = · = . Si G · P i G · Si P i SN Ru

(3.11)


26

Figura 3.4: Temperatura equivalente: a) dispositivo rumoroso; b) rappresentazione equivalente con dispositivo due porte non rumoroso ed incremento della temperatura di ingresso di Teq

L’eq.(3.10) è sempre maggiore o uguale ad 1 visto che la potenza media di rumore in uscita potrà essere uguale al limite alla potenza media di rumore in ingresso amplificata in potenza.

3.1.3

Rete Attiva

Il guadagno in potenza può essere maggiore di 1, in quel caso si parla di rete attiva o di amplificatore figura 3.5(a), mentre quando è minore di 1 si ha una rete passiva (attenuatore) figura 3.5(b). Una rete attiva è costituita circuitalmente da resistenze, condensatori e induttanze mentre una rete passiva da sole resistenze. Svolgendo l’eq.(3.10) relativa alla figura di rumore si ottiene: F =

Gk(Ti + Teq )B Teq =1+ . GkTi B Ti

(3.12)

Poichè in tale espressione la figura di rumore, che rappresenta una misura di rumorosità del solo dispostivo, dipende anche dalla temperatura della resistenza in ingresso, si fissa la Ti alla temperatura ambiente, ottenendo cos`ı l’espressione della figura di rumore e della temperatura equivalente per una rete attiva: Teq F =1+ (3.13) T0 Teq = T0 · (F − 1). (3.14) Se si vuole calcolare il SN Ru noto il SN Ri e la figura di rumore è necessario utilizzare la seguente equazione SN Ru =

SN Ri 1+

Teq Ti

=

SN Ri 1+

Teq T0

·

T0 Ti

=

SN Ri 1 + · (F − 1) T0 Ti

(3.15)

27


Figura 3.5: Rappresentazione a blocchi di: a) un amplificatore; b) un attenuatore

3.1.4

Rete Passiva

In una rete passiva il guadagno è minore di 1 e quindi esprimibile anche come G=

1 A

(3.16)

dove A è indicata con il termine di attenuazione. Supponiamo ora tutti i componenti alla stessa temperatura e quindi Ti = Tu , si ottiene Tu = G · (Ti + Teq ) = Ti (3.17) e quindi le espressioni della temperatura equivalente e della figura di rumore di una rete passiva valgono ³1 − G´ Teq = Ti · = Ti · (A − 1) (3.18) G F =1+

3.1.5

Teq =1+A−1=A Ti

(3.19)

Formule di Friis

Se pi` u dispositivi due porte sono posti in cascata, figura 3.6, è noto che il guadagno in potenza complessivo è dato da G=

N Y

Gi .

(3.20)

i=1

Si vuole determinare anche la temperatura equivalente e la figura di rumore complessiva di tutte rle reti due porte.


28

Consideriamo per il momento di avere soltanto due dispositivi e di estendere successivamente i risultati ottenuti ad N dispostivi. Con due dispositivi, figura 3.6, vale   Tu1 = G1 · (Ti + Teq1 ) Tu2 = G2 · (Tu1 + Teq2 ) (3.21)  Tu2 = G1 G2 · (Ti + Teq ) da cui

Figura 3.6: Due dispositivi due porte in cascata

Tu2 = G2 (G1 (Ti +Teq1 )+Teq2 ) = G1 G2 Ti +G1 G2 Teq1 +G2 Teq2 = G1 G2 (Ti +Teq ) (3.22) e quindi Teq2 Teq = Teq1 + (3.23) G1 con la figura di rumore complessiva F2 − 1 . (3.24) G1 Dalle due equazioni determinate si osserva che se il dispositivo a monte è una rete passiva, G = 1/A < 1, il secondo termine della somma può crescere proporzionalmente in funzione di A. Per limitarne gli effetti viene posto a monte di un attenuatore, se possibile, un amplificatore a basso rumore (LNA) in modo da ridurre la rumorosità complessiva del sistema. Estendendo i risultati ad N dispositivi, figura 3.7 , si ottengono le formule di Friis F = F1 +

N X

Teq2 Teq3 Teqi = Teq1 + + + ... Qi−1 G G G G 1 1 2 j j=1

(3.25)

N X F2 − 1 F3 − 1 Fi − 1 F = F1 + = F1 + + + .... Qi−1 G1 G1 G2 j=1 Gj i=2

(3.26)

Teq = Teq1 +

i=2


29

Figura 3.7: N dispositivi due porte in cascata

3.1.6

Temperatura di Sistema

In un sistema con N dispositivi due porte la temperatura di sistema è definita all’ingresso del primo dispositivo come Tsist1 = Ti + Teq

(3.27)

mentre all’ingresso del secondo dispositivo Tsist2 = G1 · Tsist1

(3.28)

all’ingresso del terzo dispositivo Tsist3 = G2 · Tsist2 = G2 G1 · Tsist1

(3.29)

e cos`ı via... La temperatura di sistema è utile nel calcolo del rapporto segnale rumore in uscita a tutti i dispositivi in quanto SN Ru = SN Ri |Ti =Tsist1

(3.30)

cioè utilizzando la temperatura di sistema il SN R si mantiene costante ed uguale a quello di uscita.

3.1.7

Rumore nei Ripetitori

Analizziamo il problema con riferimento ad un collegamento radio, anche se la trattazione può essere estesa ad altre tecniche trasmissive. Supponiamo che il collegamento da effettuare tra la stazione trasmittente e la stazione ricevente sia molto lungo, tanto da impedirne la realizzazione mediante un’unica tratta, o a causa dell’eccessiva attenuazione disponibile, oppure per la mancanza di condizioni di visibilità. In questo caso è necessario suddividere il collegamento in pi` u tratte (consideriamo M tratte). Tra ogni coppia di tratte si trova un ripetitore,che può essere non rigenerativo oppure rigenerativo.

30


• Ripetitori non rigenerativi Nel caso di ripetitori non rigenerativi il segnale tra una tratta ed un’altra viene semplicemente amplificato. Di solito l’amplificatore ha un guadagno tale da compensare le perdite dell’attenuatore, Gamp = Aatt . Nel caso in cui si utilizzi per la trasmissione una modulazione analogica, il SN R complessivo è il seguente SN R = PN

1

1 i=1 SN Ri

(3.31)

dove SN Ri è il rapporto segnale-rumore ottenuto su ogni singola tratta. Per le modulazioni digitali invece il rapporto energia per bit su densità spettrale di potenza media monolatera è Eb 1 = PN N0 i=1

1

(3.32)

Eb | N0 i

• Ripetitori rigenerativi Nei ripetitori rigenerativi il segnale non soltanto viene amplificato, ma anche demodulato. In particolare vengono eseguite le seguenti operazioni: 1. Il segnale è amplificato con un amplificatore a basso rumore; 2. Successivamente è demodulato; 3. Elaborato e rimodulato ad una frequenza f2 diversa dalla frequenza di arrivo f1 per non generare interferenza; 4. Amplificato con un amplificatore ad elevato guadagno in potenza. Nel caso di modulazioni digitali la probabilità di errore può essere approssimata con la seguente espressione Pe ∼ =

N X

Pei

(3.33)

i=1

dove Pei sono le probabilità di errore calcolate su singola tratta.

3.2

Rumore Shot

Il rumore shot è causato da dispositivi elettronici o fotoelettronici quali diodi o fotodiodi; l’effetto che si ottiene da un punto di vista circuitale è che la


31

corrente non ha un andamento deterministico ma è soggetta anche ad una componente aleatoria iN (t) = I0 + i(t) (3.34) Tale rumore si presenta quando la corrente che fluisce in un determinato dispositivo è costituita da portatori discreti, che vengono emessi in istanti casuali e si muovono liberamente per un certo tratto prima di essere raccolti. La condizione, in sostanza, è che ciascun elettrone, sotto l’azione di un campo elettrico, attraversi lo spazio compreso fra gli elettrodi conservando la sua individualità, senza cioè che avvengano collisioni o ricombinazioni con altri portatori di carica. Il caso tipico che illustra questo comportamento è quello di un diodo a vuoto: gli elettroni vengono emessi dall’anodo per effetto termoionico in istanti casuali, si muovono nello spazio fra gli elettrodi con un moto di deriva uniformemente accelerato e poi vengono raccolti al catodo. Questo meccanismo shot viene definito di tipo macroscopico, poichè è possibile separare nettamente l’emissione dei portatori ed il moto libero. Anche il rumore che ha origine nella zona di giunzione in un diodo a semiconduttore è dello stesso tipo. La densità spettrale di potenza media di tale corrente rumorosa detta granulare è Pi,i (f ) = qI0 (3.35) dove q è la carica di Coloumb, q = 1.59 1019 . La potenza media di rumore è quindi Pi = qI0 · 2B

3.3

Rumore Flicker

E’ un rumore presente nei semiconduttori e in alcuni tipi di resistori. A differenza del rumore termico e del rumore shot che sono rumori bianchi, il rumore flicker presenta la seguente densità spettrale di potenza media Pi,i (f ) =

aI02 |f |γ

(3.36)

Esso compare in modo significativo a frequenze molto basse (al di sotto della decina di hertz) e la sua densità spettrale cresce al diminuire della frequenza. Il rumore flicker è legato a fenomeni provvisti di un certo grado di memoria. Infatti, l’andamento dello spettro, che cresce andando verso le basse frequenze, ci dice che due misure successive di una grandezza affetta da rumore flicker sono fra loro correlate. In sostanza, anche se in modo piuttosto approssimativo, possiamo dire che la frequenza dei disturbi di questo tipo è inversamente proporzionale alla loro intensità. Questo fatto, d’altra parte,


32

non è certo sorprendente se si suppone che il sistema sia dotato di una certa memoria, infatti, un disturbo pi` u intenso lascia una traccia pi` u duratura. Il rumore flicker, inoltre, è estremamente dannoso per le misure di precisione. Infatti, se non esistesse il rumore flicker, sarebbe possibile ottenere misure accurate a proprio piacimento semplicemente allungando il tempo di osservazione. Vale la pena ricordare che questo rumore compare in una serie di fenomeni estremamente disparati: non solo le fluttuazioni di resistenza nei materiali semiconduttori, ma anche il battito cardiaco, il flusso delle correnti oceaniche, le oscillazioni dell’asse terrestre, il flusso della sabbia che scende in una clessidra, ecc...

Capitolo 4 Modulazioni di Ampiezza L’operazione di modulazione viene generalmente effettuata sul segnale informativo prima di trasmetterlo nel canale di comunicazione e ha lo scopo di trasformare il segnale stesso in una forma pi` u adatta per la sua trasmissione a distanza. La modulazione consiste nel far variare le caratteristiche di un segnale sinusoidale, detto portante, in funzione del segnale informativo s(t), detto segnale modulante. Le modulazioni si distinguono in modulazioni analogiche e modulazioni digitali ; le prime sono utilizzate per trasmettere segnali analogici, mentre le seconde segnali digitali. In questo capitolo e nel prossimo saranno descritte le principali tecniche di modulazione per i segnali analogici, mentre nel capitolo 6 saranno descritte le modulazioni digitali. Indichiamo con s(t) il segnale informativo da trasmettere; s(t) prende il nome di segnale modulante. Consideriamo quindi un segnale sinusoidale v(t) con ampiezza V0 , frequenza f0 e fase Φ0 , cioè: c(t) = V0 cos(2πf0 t + Φ0 )

(4.1)

Il segnale c(t) rappresenta la portante ed il processo di modulazione consiste nel far variare l’ampiezza V0 , la frequenza f0 e la fase della portante in funzione del segnale modulante s(t). In questo capitolo sono descritti diversi tipi di modulazione di ampiezza, in cui cioè l’ampiezza del segnale trasmesso varia in modo proporzionale al segnale modulante, mentre la frequenza e la fase rimangono costanti. Per semplicità consideriamo successivamente Φ0 = 0. Nel capitolo 5 saranno invece descritte le modulazioni di frequenza e di fase, in cui la frequenza o la fase del segnale trasmesso variano proporzionalmente al segnale modulante, mentre l’ampiezza rimane costante.

33


4.1 4.1.1

34

Modulazione AM Caratteristiche del segnale AM

Una tecnica di modulazione di ampiezza molto utilizzata nelle applicazioni pratiche è quella indicata con il termine AM (Amplitude Modulation). Dato il segnale modulante s(t), il segnale modulato AM può essere espresso nella seguente forma: y(t) = V0 [1 + k · s(t)]cos(2πf0 t) (4.2) dove k è una costante tale che |k · s(t)| ≤ 1

(4.3)

Con m viene indicato l’indice di modulazione AM ed è cos`ı definito m = k · max|s(t)|.

(4.4)

Nel caso in cui m ≤ 1, il termine V0 [1 + k · s(t)] è sempre positivo. Si definisce inviluppo superiore del segnale y(t) la curva che unisce i valori assunti dal segnale y(t) in corrispondenza degli istanti in cui c(t) = V0 , mentre si definisce inviluppo inferiore la curva che unisce i valori del segnale y(t) in corrispondenza agli istanti in cui c(t) = −V0 . Nel caso in cui m ≤ 1 l’inviluppo superiore è sempre positivo, mentre l’inviluppo inferiore risulta sempre negativo o uguale a 0. Il motivo per cui m deve essere minore o uguale a 1 risulta chiaro anche dei segnali rappresentati nella figura 4.1. La portante (4.1) è mostrata nella figura 4.1(a) ed il segnale modulante s(t), supposto di tipo sinusoidale, è mostrato nella figura 4.1(b). Nella figura 4.1(c) viene rappresentato il segnale modulato y(t) nel caso in cui m = 0.7, mentre il caso m = 1 è rappresentato in figura 4.1(d). Come si può osservare da queste figure l’inviluppo superiore ed inferiore del segnale modulato sono proporzionali al segnale modulante, per cui s(t) può essere correttamente recuperato dall’inviluppo. Questa proprietà sarà particolarmente utile per effettuare la demodulazione di y(t) e quindi per il recupero del segnale modulante. Nella figura 4.1(e) è mostrato il caso in cui m = 1.3. L’inviluppo superiore e quello superiore interferiscono l’uno con l’altro ed in questo caso non è pi` u possibile recuperare il segnale modulante dall’inviluppo (condizione valida per tutti i valori di m > 1). Nel caso in cui m = 1 si dice che il segnale è modulato al 100% mentre quando m > 1 si ha sovramodulazione.

4.1.2

Spettro del segnale AM

Lo spettro di un segnale modulato AM può essere facilmente calcolato in funzione di quello del segnale modulante s(t). Supponiamo che s(t) abbia


35

Figura 4.1: Modulazione AM: a) portante; b) segnale modulante; c) segnale AM con m = 0.7; d) segnale AM con m = 1; e) segnale m = 1.3


36

uno spettro S(f ) tra (−B, B), come è schematicamente mostrato in figura 4.2(a). Essendo s(t) un segnale reale, si ha: Z B s(t) = 2 |S(f )|cos(2πf0 t − Θ(f ))df (4.5) 0

dove S(f ) e Θ(f ) rappresentano rispettivamente lo spettro di ampiezza e di fase di S(f). Il segnale modulato AM, y(t), può essere scritto nella forma: Z B h i y(t) = V0 cos(2πf0 t)+k·V0 |S(f )| cos(2π(f +f0 )t−Θ(f ))+cos(2π(f −f0 )t−Θ(f )) df. 0

(4.6) Lo spettro del segnale AM è quindi costituito (analizzando le sole frequenze positive) da una delta di dirac a frequenza f0 con un valore pari a V20 e da due bande laterali, superiore ed inferiore, come mostrato schematicamente in figura 4.2(b). La banda di tramissione necessaria a trasmettere un segnale AM è quindi 2B, essendo B la massima frequenza del segnale s(t).

Figura 4.2: Spettro del segnale AM: a) spettro del segnale modulante; b) spettro del segnale AM

4.1.3

Potenza del segnale modulato AM

La potenza media, Ptx , necessaria per trasmettere un segnale modulato AM dipende dal segnale modulante. Applicando la definizione di potenza di un


segnale, si ha: Ptx =

i V02 h 1 + k 2 · s2 (t) + 2k · s(t) . 2

37

(4.7)

purchè f0 >> 2B. In molte applicazioni il valor medio s(t), cioè s(t), è uguale a 0, per cui: i V 2h Ptx = 0 1 + k 2 · Pm (4.8) 2 dove Pm = s2 (t) rappresenta la potenza del segnale modulante s(t). Essendo m ≤ 1, il termine k 2 · Pm risulta minore o uguale ad 1, per cui la potenza spesa per trasmettere la portante risulta maggiore di quella utilizzata per trasmettere le due bande laterali, che rappresentano il segnale informativo utile per l’utente. Esempio Se il segnale modulante è sinusoidale s(t) = Vm cos(2πfm t) allora la potenza del segnale trasmesso in AM è uguale a V 2 k 2 Vm2 V02 (4.9) Ptx = 0 + 2 4 essendo Pm =

4.1.4

2 Vm . 2

Modulatori AM

Lo schema di principio di un modulatore AM è mostrato nella figura 4.3(a) e prende il nome di modulatore quadratico, cioè un dispositivo in cui il segnale di uscita v2 (t) può essere rappresentato in funzione di quello di ingresso v1 (t) nella seguente forma: v2 (t) = a1 v1 (t) + a2 v12 (t) (4.10) dove a1 e a2 sono due costanti: la caratteristica del dispositivo quadratico è mostrata nella figura 4.3(b). Nel nostro caso si ha: v1 (t) = V0 cos(2πf0 t) + s(t).

(4.11)

Il segnale all’uscita del dispositivo quadratico può essere scritto nella forma: h 2a i h a2 V02 i a2 V02 2 2 + cos(4πf0 t)+a1 V0 1+ ·s(t) cos(2πf0 t) v2 (t) = a1 s(t)+a2 s (t)+ 2 2 a1 (4.12) Se B è la massima frequenza contenuta in s(t), s2 (t) occupa una banda tra (−2B, 2B), per cui il segnale all’uscita del filtro passa-banda centrato su f0 risulta: h i 2a1 y(t) = a1 V0 1 + · s(t) cos(2πf0 t) (4.13) a2 2 . da cui si ottiene l’espressione del segnale modulato in AM posto k = 2a a1


38

Figura 4.3: Modulatore AM: a) schema a blocchi del modulatore; b) caratteristica del dispositivo non lineare

4.1.5

Demodulatori AM

L’operazione di demodulazione viene generalmente effettuata al ricevitore per recuperare dal segnale ricevuto il segnale informativo s(t). La modulazione AM presenta il vantaggio di richiedere circuiti di demodulazione molto semplici. Esistono due tipi di demodulatori: • Con recupero della portante (f0 ) Lo schema di demodulazione è riportato in figura 4.4. Com è si osserva per demodulare correttamente il segnale è necessario conoscere esattamente la frequenza e la fase della portante c(t). Una volta nota il segnale ricevuto è moltiplicato per cos(2πf0 t) cos`ı da ottenere: v(t) = cos(2πf0 t) · y(t) =

V0 (1 + k · s(t))(1 + cos(4πf0 t)) 2

(4.14)

Il segnale v(t) è successivamente filtrato passa-basso e dal segnale filtrato è sottratto il termine V20 in modo da ottenere il segnale modulante: u(t) = (v(t)

O

hlp (t)) −

V0 V0 V0 V0 = (1 + k · s(t)) − = k · s(t) (4.15) 2 2 2 2

• Senza recupero della portante (f0 ) Il circuito pi` u utilizzato per demodulare un segnale AM è quello mostrato nella figura 4.5(a), che prende il nome di rivelatore di inviluppo. Tale circuito è formato da un diodo, che viene polarizzato in modo da lasciar passare soltanto le semionde positive (oppure quelle negative)


39

Figura 4.4: Demodulatore AM con recupero della portante

del segnale modulato. La capacità del condensatore, C, si carica seguendo l’andamento delle semionde positive; quando l’ampiezza della semionda diminuisce, il condensatore tende a scaricarsi sulla resistenza R, per cui anche la tensione ai capi di C tende a diminuire. Tuttavia, scegliendo opportunamente il valore della costante di tempo RC, si può fare in modo che la capacità si scarichi lentamente. Quando la successiva semionda del segnale torna a crescere, la tensione ai capi del condensatore è diminuita di poco. In questo modo la tensione ai capi del condensatore segue approssimativamente l’andamento dell’inviluppo del segnale modulato. Alcuni esempi sono mostrati nella figura 4.5. Il segnale ricostruito mediante il rivelatore di inviluppo è distorto rispetto al segnale s(t). La distorsione dipende dalla scelta della costante di tempo RC. Se RC è troppo grande, il demodulatore non riesce a riprodurre in modo corretto rapide variazioni presenti nel segnale modulante; al contrario se è troppo piccolo, il condensatore si scarica rapidamente durante i periodi di semionda negativi ed il segnale riprodotto presenta forti distorsioni. In generale occorre scegliere RC in modo tale che: 1 1 << RC << (4.16) f0 B In termini matematici, dato un segnale con le rispettive componenti in fase e quadratura v(t) = v1 (t)cos(2πf0 t) ± v2 (t)sen(2πf0 t) (4.17) il rivelatore di inviluppo recupera il seguente segnale q R(t) = v12 (t) + v22 (t).

(4.18)


40

Figura 4.5: Demodulatore AM: a) demodulatore AM di inviluppo; b), c) e d) esempi di segnali modulati per diversi valori di RC

Per il segnale modulato AM, il rivelatore di inviluppo quindi recupera, se ben progettato, il segnale R(t) = |V0 (1 + k · s(t))|.

4.1.6

(4.19)

Rapporto segnale-rumore nella modulazione AM

L’operazione di demodulazione influenza il rapporto segnale/rumore, SNR, il quale caratterizza la qualità del segnale ricevuto e quindi del sistema di comunicazione. Il calcolo di SNR è spesso difficile da effettuare in modo esatto: per questo motivo sarà considerato un rumore AWGN visto che rappresenta il tipo di rumore pi` u semplice da analizzare. Infatti, come noto, i valori di rumore in istanti temporali diversi risultano essere incorrelati. Consideriamo il segnale modulato AM secondo l’eq.(4.2). Il segnale ricevuto può essere cos`ı scritto: r(t) = y(t) + n(t) (4.20) dove n(t) rappresenta il rumore introdotto dal sistema di comunicazione che supporremo AWGN con densità spettrale di potenza media bilatera uguale


41

a N20 . Il rumore all’ingresso del demodulatore risulta essere limitato in banda dopo aver attraversato numerosi stadi di amplificazione e conversione di frequenza. Nel seguito si suppone che la banda occupata dal segnale ricevuto r(t) sia coincidente con quella del segnale modulato. Lo schema del ricevitore può quindi essere considerato quello mostrato nella figura 4.6(a). Il filtro passa-banda, supposto ideale, serve per limitare h lo spettro del sei Btx Btx gnale ricevuto e quindi anche del rumore nella banda f0 − 2 , f0 + 2 , dove Btx rappresenta la banda del ricevitore, figura 4.6(b). Utilizzando la

Figura 4.6: Circuito di demodulazione AM considerato per il calcolo del rapporto segnale-rumore: a) schema del ricevitore; b) funzione caratteristica del filtro passa-banda

rappresentazione a banda stretta del rumore, è possibile scrivere: h i r(t) = V0 (1 + k · s(t)) + a(t) cos(2πf0 t) − b(t)sen(2πf0 t)

(4.21)

dove a(t) e b(t) sono le componenti in fase e quadratura del rumore (due segnali aleatori scorrelati, a media nulla, con densità di probabilità gaussiana e densità spettrale di potenza media uguale ad N0 nella banda (−B, B). Per valutare l’effetto dell’operazione di demodulazione sulla qualità del segnale, conviene confrontare il SNR all’uscita del demodulatore con quello all’ingresso del demodulatore. Tale rapporto prende il nome di fattore di merito: SN Ru (4.22) Fm = SN Ri e misura quanto il rapporto SNR all’uscita del demodulatore migliora o peggiora rispetto al SNR all’ingresso del demodulatore.


42

Il calcolo della potenza del segnale nell’eq.(4.21) non è semplice a causa dei termini misti in cui compare sia il segnale che il rumore. Per questo motivo il SNR viene determinato considerando le seguenti ipotesi: 1. la potenza del segnale utile è calcolata in assenza di rumore, cioè n(t) = 0; 2. la potenza del rumore è calcolata in assenza di segnale utile, cioè y(t) = 0; 3. La potenza media del rumore all’ingresso del demodulatore è calcolata nella banda del segnale modulante (−B, B) in modo tale da ottenere una misura indipendente dalla banda di trasmissione. In queste ipotesi la potenza del segnale utile, per la modulazione AM, all’ingresso del demodulatore risulta, come determinato già nell’eq.(4.8) Si =

i V02 h 1 + k 2 · Pm 2

(4.23)

La potenza media del rumore all’ingresso del demodulatore AM risulta uguale a Z B Z B N0 Ni = Pn,n (f )df = df = N0 B (4.24) −B −B 2 Il SNR all’ingresso del demodulatore AM risulta cos`ı uguale a h i V02 1 + k 2 · Pm SN Ri = 2N0 B

(4.25)

Un demodulatore AM ideale recupera il segnale k·s(t). In presenza di rumore, il segnale all’uscita di un demodulatore AM ideale risulta uguale a: 0

r (t) = V0 k · s(t) + a(t).

(4.26)

0

In assenza di rumore il segnale r (t) ha una potenza uguale a Su = V02 k 2 s2 (t)

(4.27)

mentre per la potenza media di rumore, annullando il segnale utile, si ottiene Z B Z B Nu = Pa,a (f )df = N0 df = 2N0 B (4.28) −B

−B


43

considerando la densità spettrale di potenza media della ³ ćomponente in fase f (e quadratura) uguale a Pa,a (f ) = Pb,b (f ) = N0 rect 2B . Il SNR all’uscita del demodulatore è cos`ı uguale a SN Ru =

V02 k 2 s2 (t) . 2N0 B

(4.29)

Combinando le eq.(4.25) e (4.29), la Fm del demodulatore AM risulta uguale a SN Ru k 2 s2 (t) k 2 Pm Fm = = = (4.30) SN Ri 1 + k 2 Pm 1 + k 2 s2 (t) per cui Fm < 1 e quindi il SN Ru è sempre minore all’SN Ri . Si può concludere quindi affermando che il processo di demodulazione AM degrada la qualità del segnale ricevuto. Esempio Si consideri il segnale modulante sinusoidale. Dato m = k · Vm e la potenza 2 Pm = V2m , si ottiene m2 Fm = . (4.31) 2 + m2 Considerando che 0 ≤ m ≤ 1, il massimo valore di Fm per un segnale sinusoidale in una modulazione AM si verifica quando m = 1 e risulta uguale a Fm = 13 .

4.2 4.2.1

Modulazione DSB Caratteristiche del segnale DSB

Come abbiamo visto in precedenza, nella modulazione AM classica una notevole parte della potenza generata dal trasmettitore viene utilizzata per trasmettere la portante a frequenza f0 . Tuttavia, tale portante non contiene nessuna informazione relativa al segnale modulante, per cui si può evitare di trasmetterla. In queto caso si ottiene una modulazione di ampiezza a doppia banda laterale con la portante soppressa, indicata generalmente con la sigla DSB (Double Side Band ). Dato il segnale modulante, il segnale modulato DSB è: y(t) = V0 s(t)cos(2πf0 t)

(4.32)

Nella figura 4.7(a) viene mostrata la portante e nella figura 4.7(b) un segnale modulante di tipo sinusoidale. Il segnale modulato DSB corrispondente è

44


mostrato nella figura 4.7(c). Come si può notare l’inviluppo superiore del segnale non è pi` u distinto da quello inferiore, per cui non sarà possibile recuperare correttamente il segnale dell’inviluppo del segnale modulato, al contrario di quanto non accade nella modulazione AM classica.

Figura 4.7: Segnale DSB: a) portante; b) segnale modulante; c) segnale modulato

4.2.2

Spettro del segnale DSB

Lo spettro Y (f ) del segnale DSB può essere calcolato facilmente utilizzando alcune proprietà della trasformata di Fourier. Dall’eq.(4.32) si ottiene: Y (f ) =

V0 [S(f − f0 ) + S(f + f0 )] 2

(4.33)

dove S(f ) è lo spettro del segnale modulante. Come esempio, lo spettro S(f ) del segnale modulante è mostrato nella figura 4.8(a), mentre lo spettro


45

Y (f ) del segnale DSB corrispondente è rappresentato nella figura 4.8(b). Lo spettro Y (f ) di un segnale DSB differisce da quello di un segnale AM per la mancanza delle due delta di dirac centrate a frequenza f0 e −f0 . La banda di trasmissione di un segnale DSB è uguale alla banda di trasmissione di un segnale AM, cioè Btx = 2B.

Figura 4.8: Spettro di un segnale DSB: a) spettro del segnale modulante; b) spettro del segnale DSB

4.2.3

Potenza di un segnale DSB

La potenza di un segnale DSB può essere calcolata facilmente dall’eq.(4.32) e risulta uguale a : V 2 s2 (t) V 2 Pm Ptx = 0 = 0 (4.34) 2 2 Tutta la potenza Ptx viene utilizzata per trasmettere le due bande laterali. Esempio Dato un segnale modulante sinusoidale, il segnale DSB risulta: V0 Vm V0 Vm cos(2π(f0 −fm )t)+ cos(2π(f0 +fm )t). 2 2 (4.35) La potenza richiesta a trasmettere questo segnale è: y(t) = V0 Vm cos(2πfm t)cos(2πf0 t) =

2

V02 V2m V 2V 2 Ptx = = 0 m. 2 4

(4.36)

46


4.2.4

Modulatore DSB

La modulazione DSB è ottenuta effettuando semplicemente il prodotto tra il segnale modulante s(t) e la portante. Lo schema del modulatore prodotto è mostrato nella figura 4.9.

Figura 4.9: Modulatori DSB: a) modulatore prodotto; b) modulatore bilanciato

4.2.5

Demodulatore DSB

Il segnale DSB non può essere demodulato mediante circuiti a rivelazione di inviluppo, come nel caso del segnale AM. In questo caso è necessario rigenerare al ricevitore la portante utilizzata dal trasmettitore, ricostruendo in modo esatto sia la fase, sia la frequenza (demodulazione coerente). Lo schema generale di un demodulatore DSB è mostrato nella figura 4.10. Il segnale ricevuto viene moltiplicato per la portante ricostruita al ricevitore e filtrato mediante un filtro passa-basso. Nel caso in cui la frequenza e la fase del segnale generato in ricezione dall’oscillatore locale sia uguale a quella generata dal trasmettitore, il segnale z(t) dopo il moltiplicatore risulta: z(t) =

V0 s(t)[1 + cos(4πf0 t)] 2

(4.37)

0

per cui il segnale z (t) dopo l’operazione di filtraggio passa-basso è 0

z (t) =

V0 s(t) 2

(4.38)

che risulta proporzionale al segnale modulante s(t). Il precedente demodulatore funziona correttamente nel caso in cui il ricevitore ricostruisce perfettamente la fase e la frequenza della portante. Nel caso in cui questa condizione


47

Figura 4.10: Demodulatore DSB 0

non sia verificata, il segnale recuperato z (t) risulta distorto. Supponiamo ad esempio che la portante ricostruita c0 (t) ricostruita al ricevitore sia c0 (t) = cos(2π(f0 + ∆f )t + θ)

(4.39)

dove ∆f e θ rappresentano rispettivamente la differenza di frequenza e di fase tra la portante generata al trasmettitore e quella al ricevitore. In questo caso si ottiene V0 z(t) = s(t)cos(2π∆f t + θ) (4.40) 2 per cui il segnale modulante non è recuperato correttamente. Ad esempio se 2π∆f t + θ = π2 il segnale all’uscita del demodulatore risulterà nullo indipendentemente dal segnale trasmesso. Per eliminare questi inconvenienti si possono utilizzare opportuni circuiti per il recupero della portante.

4.2.6

Rapporto Segnale/Rumore in una modulazione DSB

Nel caso di una modulazione DSB, il segnale ricevuto in presenza di rumore può essere scritto nella forma: r(t) = V0 s(t)cos(2πf0 t) + n(t).

(4.41)

Rappresentando il rumore nella sua forma a banda stretta si ottiene: h i r(t) = V0 s(t) + a(t) cos(2πf0 t) − b(t)sen(2πf0 t). (4.42)


48

La potenza Si del segnale all’ingresso del demodulatore risulta: V02 s2 (t) V02 Si = = Pm 2 2

(4.43)

La potenza di rumore Ni è ancora determinata dall’eq(4.24), per cui il SN Ri è uguale a V 2 s2 (t) V 2 Pm SN Ri = 0 = 0 . (4.44) 2N0 B 2N0 B La demodulazione viene effettuata mediante il circuito della figura 4.10. Il segnale ricevuto è moltiplicato per la portante rigenerata al ricevitore e filtrato mediante un filtro passa-basso. Il segnale all’uscita del demodulatore 0 z (t) risulta: V0 s(t) a(t) 0 z (t) = + . (4.45) 2 2 Per cui la potenza del segnale in assenza di rumore è Su =

V02 s2 (t) V 2 Pm = 0 4 4

mentre la potenza media di rumore è Z B N0 1 Nu = df = N0 B 2 −B 4

(4.46)

(4.47)

da cui il SN Ru è uguale a SN Ru =

V02 Pm 4 1 N B 2 0

=

V02 Pm . 2N0 B

(4.48)

Si osserva che SN Ru = SN Ri quindi per la modulazione DSB la figura di merito vale Fm = 1 (4.49) cioè l’operazione di demodulazione non cambia il SN R.

4.3 4.3.1

Modulazione SSB Caratteristiche del segnale SSB

Nella modulazione AM come in quella DSB sono trasmesse ambedue le bande laterali. Queste tecniche richiedono una banda di trasmissione doppia rispetto a quella del segnale modulante.


49

La modulazione a singola banda laterale, indicata brevemente con la sigla SSB (Single Side Band ), richiede per la trasmissione del segnale s(t) una banda B, cioè uguale a quella del segnale modulante s(t) stesso e rappresenta, da questo punto di vista la modulazione ottima. Un segnale SSB può

Figura 4.11: Spettro di un segnale SSB: a) spettro del segnale modulante; b) spettro del segnale SSB nel caso in cui venga scelta la banda laterale superiore; c) spettro del segnale SSB nel caso in cui venga scelta la banda laterale inferiore

essere rappresentato nella forma: y(t) = V0 s(t)cos(2πf0 t) ± V0 sb(t)sen(2πf0 t)

(4.50)

dove sb(t) rappresenta la trasformata di Hilbert di s(t). Scegliendo il segno − si ottiene la sola banda superiore, mentre con il segno + viene selezionata la banda inferiore. Nel calcolo dello spettro del segnale SSB con soppressione


50

della banda inferiore, si può facilmente dimostrare che: Y (f ) =

V0 V0 S(f + f0 )[1 + segn(f + f0 )] + S(f − f0 )[1 + segn(f − f0 )] (4.51) 2 2

ponendo F{b s(t)} = −jsegn(f ) · S(f ). Per cui si ha   V0 S(f + f0 ) per f < −f0 0 per −f0 < f < f0 Y (f ) =  V0 S(f − f0 ) per f > f0

(4.52)

Dato un segnale modulato con lo spettro uguale a quello mostrato nella figura 4.11(a), lo spettro del segnale y(t) è rappresentato nella figura 4.11(b) nel caso in cui si sopprime la banda inferiore, nel caso invece della soppressione della banda superiore si ottiene lo spettro della figura 4.11(c). Esempio Nel caso di un segnale modulante sinusoidale, l’espressione del segnale SSB con banda laterale inferiore soppressa è y(t) = V0 Vm cos(2πfm t)cos(2πf0 t)−V0 Vm sin(2πfm t)sen(2πf0 t) =

4.3.2

V0 Vm cos(2π(f0 +fm )t) 2 (4.53)

Modulatori SSB

Un segnale SSB può essere generato utilizzando due diversi schemi che sono basati sulla descrizione in frequenza o nel tempo dei segnali SSB. Questi schemi sono indicati con il nome di discriminatori di frequenza e discriminatori di fase. In questo paragrafo saranno descritte brevemente le caratteristiche principali di tali modulatori. • Il modo pi` u ovvio da un punto di vista concettuale di generare un segnale SSB è quello ottenuto partendo da un segnale DSB in cui viene eliminata una banda laterale, inferiore o superiore, mediante un’operazione di filtraggio passa-banda. In questo caso lo schema del demodulatore SSB è quello mostrato in figura 4.12. In linea di principio questo schema di modulazione SSB è molto semplice. Tuttavia, la realizzazione del filtro passa-banda, richiesto per eliminare una delle due bande laterali, può porre notevoli problemi da un punto di vista pratico. Il filtro passa-banda deve avere una banda di transizione minore o uguale a 2fm , cioè uguale al doppio della minima frequenza contenuta nel segnale modulante 4.13(b). Questo modulatore richiede perciò in molti


51

Figura 4.12: Modulatore SSB ottenuto da un modulatore DSB

casi l’utilizzo di filtri notevolmente selettivi, che possono essere difficili o costosi da realizzare. Per facilitare l’oprazione di filtraggio passabanda nel caso in cui fm sia piccola, si preferisce spesso effettuare la modulazione SSB mediante due o pi` u operazioni successive di modulazione, come mostrato schematicamente nella figura 4.13(a). In questo caso il segnale s(t), il cui spettro è mostrato nella figura 4.13(b), subisce una prima operazione di modulazione DSB a frequenza intermedia f1 << f0 , come mostrato nella figura 4.13(c). Mediante un’operazione di filtraggio passa-banda si può eliminare una banda laterale del segnale DSB, nella figura 4.13(c) si suppone di eliminare le due bande inferiori (rappresentate dagli spettri tratteggiati). Il segnale SSB cos`ı ottenuto viene nuovamente modulato DSB a frequenza f0 mediante la moltiplicazione per una portante a frequenza f2 = f0 − f1 , come mostrato nella figura 4.13(d) dove è disegnato soltanto lo spettro per f > 0. Le due bande laterali sono separate da una banda di transizione uguale a 2(f1 + fm ) e quindi sufficientemente grande da poter utilizzare filtri reali per eliminare una delle due bande laterali. Lo spettro del segnale SSB, supponendo di utilizzare la banda laterale superiore in ambedue le operazioni di conversione di frequenza, è mostrato nella figura 4.13(e) per f > 0. • Un altro possibile schema di un modulatore SSB può essere ottenuto considerando l’espressione dell’eq.(4.50) e viene mostrato in figura 4.14. Tale modulatore, detto modulatore di Hartley, consente di ottenere direttamente il segnale SSB senza richiedere nessuna operazione di filtraggio passa-banda. Esso risulta composto da due modulatori prodotto, che operano in parallelo su s(t) e sulla trasformata di Hilbert


52

Figura 4.13: Modulatore SSB mediante due operazioni di modulazione DSB: a) schema del demodulatore; b) spettro del segnale modulante; c) spettro del segnale modulato dopo la prima operazione di modulazione; d) spettro del segnale DSB dopo la seconda operazione di modulazione; spettro del segnale SSB; e) spettro del segnale SSB sulle sole frequenze positive

di s(t), sb(t). Il precedente circuito può essere utilizzato per qualunque segnale s(t) e quindi anche segnali con componente continua o vicina alla continua, che invece non possono essere modulati SSB mediante lo schema precedente a causa dell’operazione di filtraggio passa-banda. Da un punto di vista pratico l’elemento pi` u critico nel modulatore di

53


Hartley è rappresentato dal blocco che determina sb(t). Effettuare la trasformata di Hilbert significa sfasare di π2 tutte le frequenze positive di s(t) e contemporaneamente non introdurre distorsioni di ampiezza. Poichè lo spettro di s(t) è spesso ampio, può non essere semplice realizzare un dispositivo che soddisfi queste condizioni.

Figura 4.14: Modulatore di Hartley

4.3.3

Demodulatori SSB

La demodulazione di un segnale SSB può essere effettuata mediante il circuito di figura 4.10, già utilizzato per la demodulazione di segnali DSB. Il segnale z(t) dopo l’operazione di moltiplicazione con la portante rigenerata al ricevitore può essere scritto V0 V0 s(t) + [s(t)cos(4πf0 t) + sb(t)sen(4πf0 t)] 2 2

z(t) =

(4.54)

0

per cui il segnale z (t) dopo l’operazione di filtraggio passa-basso risulta 0

z (t) =

V0 s(t). 2

(4.55)

0

Il segnale z (t) è quindi proporzionale al segnale modulante s(t). Come nel caso della demodulazione DSB, occorre che la portante ricostruita al ricevitore abbia la stessa fase e frequenza di quella del trasmettitore per evitare l’introduzione di distorsioni. Supponiamo ad esempio che il ricevitore 0 ricostruisca la portante v (t) data nell’eq.(4.39). In questo caso si ha: z(t) =

V0 [s(t)cos(2π∆f t + θ) + sb(t)sen(2π∆f + θ)] 4

(4.56)


54

per cui il segnale di uscita è una combinazione del segnale informativo s(t) e della sua trasformata di Hilbert sb(t). Per ovviare a questo inconveniente si utilizza generalmente un circuito per il recupero della portante, che sarà descritto successivamente.

4.3.4

Rapporto Segnale/Rumore per una modulazione SSB

Un segnale modulato SSB, y(t), può essere scritto nella forma dell’eq.(4.50). La trasformata di Hilbert sb(t) del segnale s(t) ha una densità spettrale di potenza uguale a quella di s(t), come si dimostra utilizzando la definizione di densità spettrale di potenza Psb,bs (f ) = | − j · segn(f )|2 Ps,s (f ) = Ps,s (f ). Inoltre i segnali s(t) e sb(t) sono scorrelati. Consideriamo il caso del segnale SSB con soppressione della banda inferiore. La potenza del segnale all’ingresso del demodulatore SSB, in assenza di rumore risulta Si =

V02 2 V2 V2 V2 s (t) + 0 sb2 (t) = 0 s2 (t) + 0 s2 (t) = V02 s2 (t) = V02 Pm . 2 2 2 2

(4.57)

La potenza del rumore all’ingresso è ancora esprimibile mediante l’eq.(4.24). Il SN Ri risulta cos`ı V 2 s2 (t) SN Ri = 0 . (4.58) N0 B Valutiamo adesso il SN Ru . La banda del segnale modulato SSB è uguale a B, per cui la banda risulta centrata sulla frequenza f0 + B2 , avendo supposto di trasmettere la banda laterale superiore; il rumore n(t) nella sua rappresentazione a banda stretta può essere cos`ı scritto " Ã !# " Ã !# B B n(t) = a(t)cos 2π f0 + t − b(t)sin 2π f0 + t (4.59) 2 2 La demodulazione del segnale viene effettuata mediante il demodulatore prodotto di figura 4.10. Il segnale z 0 (t) dopo il moltiplicatore per cos(2πf0 t) e il filtraggio passa-basso risulta: z 0 (t) =

a(t) b(t) V0 s(t) + cos(πBt) + sen(πBt). 2 2 2

(4.60)

La componente sb(t) viene eliminata dal demodulatore; tuttavia si può notare una differenza rispetto ai demodulatori AM e DSB: ambedue le componenti del rumore, quella in fase e quella in quadratura, influenzano il segnale demodulato, contrariamente ai casi precedenti in cui soltanto la componente in


55

fase a(t) contribuiva al segnale di uscita. In assenza del rumore, la potenza del segnale demodulato risulta Su =

V02 s2 (t) . 4

(4.61)

Valutiamo la potenza del rumore in assenza del segnale. Posto: x(t) = a(t)cos(πBt)

(4.62)

la densità spettrale di potenza media Px,x (f ) risulta uguale a " Ã ! Ã !# 1 B B Px,x (f ) = Pa,a f − + Pa,a f + 4 2 2

(4.63)

da cui si ottiene, come rappresentato in figura ??(c), ½ N0 per −B ≤ f ≤ B 4 Px,x (f ) = 0 altrimenti La potenza media di rumore di x(t) è uguale a Px = N40 2B = la potenza media del rumore all’uscita del demodulatore

(4.64) N0 B 2

1 1 1 N0 B Nu = Px + Px = Px = 4 4 2 4 da cui SN Ru SN Ru =

V02 s2 (t) 4 N0 B 4

=

V02 s2 (t) = SN Ri N0 B

e quindi

(4.65)

(4.66)

La figura di merito, Fm , è uguale a 1 come nella modulazione DSB.

4.4

Modulazione vestigiale VSB

4.4.1

Caratteristiche del segnale VSB

La modulazione SSB richiede una banda di trasmissione uguale a quella del segnale informativo. Tuttavia, come abbiamo visto in precedenza, la sua realizzazione può risultare alquanto critica. Il modulatore SSB richiede ad esempio l’uso di filtri passa-banda notevolmente selettivi o di trasformatori di Hilbert. Per ovviare a questi inconvenienti senza aumentare in modo significativo la banda di trasmissione si può utilizzare la modulazione con banda laterale residua, VSB (Vestigial Side Band ).


56

Consideriamo il caso in cui il segnale modulante s(t) abbia uno spettro di frequenze diverso da 0 nella regione (−B, B), come mostrato in figura 4.15(a). Nella modulazione VSB una banda laterale (superiore o inferiore) viene trasmessa completamente mentre l’altra viene trasmessa soltanto in piccola parte. Nella figura 4.15(b) viene mostrato lo spettro di un segnale VSB. La larghezza della banda di trasmissione, Btx , in questo caso risulta Btx = B + fv

(4.67)

dove fv rappresenta la larghezza della banda residua, che generalmente viene scelta molto minore di B.

Figura 4.15: Spettro di un segnale VSB: a) spettro del segnale modulante; b) spettro del segnale VSB

4.4.2

Modulatore VSB

Un segnale VSB può essere ottenuto da un segnale DSB mediante un’opportuna operazione di filtraggio passa-banda. Lo schema di un modulatore VSB


57

è quindi quello mostrato nella figura 4.16. Indicando con H(f ) la funzione

Figura 4.16: Schema di un modulatore VSB

di trasferimento del filtro passa-banda, lo spettro Y (f ) del segnale all’uscita del modulatore è Y (f ) =

V0 [S(f − f0 ) + S(f + f0 )]H(f ). 2

(4.68)

La funzione di trasferimento H(f ) deve essere scelta in modo opportuno per poter recuperare in ricezione il segnale s(t) senza distorsione. Le caratteristiche di tale filtro sono illustrate nel successivo paragrafo.

4.4.3

Demodulatore VSB

Lo schema generale di un demodulatore VSB è mostrato nella figura 4.17. Supponendo di effettuare una demodulazione coerente, il segnale all’uscita del modulatore prodotto risulta uguale a v(t) = y(t)cos(2πf0 t)

(4.69)

1 V (f ) = [Y (f + f0 ) + Y (f − f0 )]. 2

(4.70)

e il suo spettro è

Sostituendo nell’equazione precedente il risultato dell’eq.(4.68), si ottiene: V0 {S(f )[H(f −f0 )+H(f +f0 )]+S(f −2f0 )H(f −f0 )+S(f +2f0 )H(f +f0 )}. 4 (4.71) 0 Dopo il filtro passa-basso lo spettro V (f ) è uguale a V (f ) =

0

V (f ) =

V0 {S(f )[H(f − f0 ) + H(f + f0 )]}. 4

(4.72)

58


Figura 4.17: Schema di un demodulatore VSB 0

Per avere una riproduzione esatta del segnale s(t) occorre che V (f ) sia uguale a S(f ) a parte una costante moltiplicativa e quindi deve risultare H(f − f0 ) + H(f + f0 ) = 2H(f0 ) = c per

−B ≤f ≤B

(4.73)

dove c è una costante. Un esempio di filtro passa-banda che soddisfa la precedente condizione è mostrato nella figura 4.18. La funzione di trasferimento di tale filtro ha una simmetria dispari intorno a f0 .

Figura 4.18: Caratteristica H(f ) di un filtro passa-banda utilizzato per la modulazione VSB

4.5

Circuiti per il recupero della portante

Come è stato visto in precedenza per la demodulazione dei segnali DSB o SSB è necessario ricostruire al ricevitore la portante e quindi conoscere la sua fase e la sua frequenza con esattezza. Queste informazioni sono generalmente estratte dallo stesso segnale modulato ricevuto mediante un opportuno circuito, detto circuito per il recupero della portante. In questo paragrafo sono descritti i due schemi pi` u utilizzati per questo scopo. • Ricevitore di Costas Lo schema generale di un ricevitore di Costas viene mostrato nella figura 4.19. Il segnale ricevuto y(t) viene inviato a due canali, che operano


59

in parallelo. Il primo canale, detto canale in fase, moltiplica y(t) per un segnale sinusoidale generato da un opportuno oscillatore locale del tipo V0 cos(2πf0 t + θ), che risulta sfasato di un angolo θ rispetto alla portante generata al trasmettitore. Ovviamente θ rappresenta sia una differenza di fase, sia una differenza di frequenza tra le portanti generate al trasmettitore e al ricevitore. Nell’altro ramo, detto canale in quadratura, il segnale y(t) viene moltiplicato per V0 sen(2πf0 t + θ). I segnali dopo la moltiplicazione e dopo il filtraggio passa-basso sono: ½ z1 (t) = V20 s(t)cos(θ) . (4.74) z2 (t) = V20 s(t)sen(θ) Il segnale v(t) dopo il moltiplicatore risulta: v(t) =

V02 2 s (t)sen(2θ). 4

(4.75)

Il filtro di loop è un filtro passa-basso con frequenza di taglio molto vicina a 0, per cui il segnale di uscita contiene soltanto la componente continua e frequenze molto vicine allo 0. Pertanto il termine s2 (t) può ritenersi costante dopo il filtro e quindi il valore dell’uscita dipende sostanzialmente soltanto dal valore della fase θ. Il segnale all’uscita del filtro di loop viene inviato all’ingresso di un oscillatore che genera una frequenza determinata dall’ampiezza del segnale al suo ingresso. Tale oscillatore, indicato con la sigla VCO (Voltage Controlled Oscillator ), genera la portante da moltiplicare per il segnale ricevuto, sia sul canale in fase che su quello in quadratura.

Figura 4.19: Ricevitore di Costas per il recupero della portante


60

• Ricevitore Quadratico Un altro schema che può essere utilizzato per recuperare la portante del segnale ricevuto è quello che prende il nome di ricevitore a loop quadratico, mostrato nella figura 4.20. Il segnale ricevuto y(t) viene

Figura 4.20: Ricevitore a loop quadratico per il recupero della portante

prima di tutto inviato ad un dispositivo quadratico e successivamente ad un filtro passa-banda centrato sulla frequenza 2f0 con una banda passante molto stretta in modo da far passare soltanto la frequenza 2f0 e quelle vicine. Il segnale z(t) all’uscita dell’elemento quadratico risulta: V2 z(t) = 0 s2 (t)[1 + cos(4πf0 t)]. (4.76) 2 Se indichiamo con ∆f la banda del filtro, il segnale s2 (t) può ritenersi costante in tale banda, per cui Z

2f0 + ∆f 2 2f0 − ∆f 2

s2 (t)dt ∼ = E∆f

(4.77)

dove E rappresenta l’energia del segnale modulante s(t). Il segnale all’uscita del filtro è quindi z (t) ∼ = 0

0

V02 E∆f · cos(4πf0 t). 2

(4.78)

Il segnale z (t) ha una frequenza doppia rispetto a quella della portante, a causa dell’operazione di elevazione a quadrato. Questo segnale


61

viene inviato all’ingresso di un circuito PLL (Phase Locked Loop), che è formato da un moltiplicatore, un filtro passa-basso ed un VCO. Il se0 gnale z (t) viene moltiplicato per un segnale a frequenza 2f0 generata localmente dal VCO, cioè per un segnale w(t) = sen(4πf0 t).

(4.79)

Il segnale dopo il filtro passa-basso risulta e(t) ∼ =

V02 ∆f · sen(θ). 4

(4.80)

Questo segnale pilota il VCO, genera w(t) e viene inviato al moltiplicatore del PLL ed a un blocco che divide la frequenza per 2. La frequenza recuperata in questo modo è quella utilizzata per effettuare la demodulazione coerente del segnale ricevuto.

Capitolo 5 Modulazioni Angolari 5.1

Modulazione di fase e di frequenza

La modulazione angolare consiste nel far variare la fase o la frequenza della portante proporzionalmente al segnale modulante s(t). In questo caso l’ampiezza della portante viene mantenuta costante. Le modulazioni angolari presentano caratteristiche molto interessanti, soprattutto perchè consentono di ottenere migliori prestazioni in presenza di rumore rispetto alle modulazioni di ampiezza viste nel capitolo precedente. Consideriamo il segnale y(t) y(t) = V0 cos(θi (t))

(5.1)

dove θi (t) è la fase istantanea. Si definisce pulsazione istantanea, ωi (t), la grandezza dθi (t) ωi (t) = (5.2) dt e la frequenza istantanea, fi (t), fi (t) =

1 dθi (t) · . 2π dt

(5.3)

Le modulazioni angolari possono essere divise in due classi: • Modulazione di Fase (PM) Nella modulazione PM la fase istantanea θi (t) viene fatta variare proporzionalmente al segnale modulante s(t), per cui θi (t) = 2πf0 t + k · s(t)

62

(5.4)


63

dove k rappresenta l’indice di sensitività in fase. Il segnale modulato può quindi essere scritto nella forma y(t) = V0 cos(2πf0 t + k · s(t)).

(5.5)

Un esempio di segnale modulato in fase, ottenuto modulando la portante, è mostrato nella figura 5.1(a) con il segnale modulante sinusoidale mostrato nella figura 5.1(b), è mostrato nella figura 5.1(c). La massima deviazione di fase, ∆θmax , è il max|k · s(t)| = k · max|s(t)| e prende anche il nome di indice di modulazione di fase. • Modulazione di Frequenza (FM) Nella modulazione FM la frequenza della portante viene fatta variare proporzionalmente al segnale modulante, per cui fi (t) = f0 + kf · s(t)

(5.6)

essendo kf l’indice di sensitività in frequenza. In questo caso la fase istantanea risulta Z t Z t θi (t) = 2π fi (t)dt = 2πf0 t + 2πkf s(t)dt = 2πf0 t + α(t) (5.7) 0

per cui

0

Z t ´ ³ s(t)dt . y(t) = V0 cos 2πf0 t + 2πkf

(5.8)

0

Il segnale modulato FM nel caso in cui la portante ed il segnale modulante siano quelli nelle figure 5.1(a) e 5.1(b) rispettivamente, è mostrato in figura 5.1(d). La massima deviazione di fase è uguale al massimo valore di α(t). Si definisce massima deviazione di frequenza, ∆fmax , il massimo valore della derivata α(t). L’indice di modulazione della FM è definito come ∆fmax m= . (5.9) B Esempio Consideriamo il caso in cui il segnale modulante è sinusoidale, cioè s(t) = Vm cos(2πfm t). In questo caso il segnale trasmesso in PM è y(t) = V0 cos(2πf0 t + k · Vm cos(2πfm t)).

(5.10)

La massima deviazione di fase è quindi uguale a k · Vm e rappresenta l’indice di modulazione di fase. Il segnale modulato in FM risulta ´ ³ kf Vm sen(2πfm t) . (5.11) y(t) = V0 cos 2πf0 t + fm


64

Figura 5.1: Esempi di segnali modulati in fase ed in frequenza: a) portante; b) segnale modulante; c) segnale modulato in fase; d) segnale modulato in frequenza

La massima deviazione di frequenza è ∆fmax = kf Vm

(5.12)

per cui l’indice di modulazione in frequenza risulta: m=

∆fmax . fm

(5.13)

Le modulazioni PM e FM sono strettamente legate tra di loro. Infatti, dalle precedenti relazioni, un segnale modulato FM può essere ottenuto da un modulatore di fase aggiungendo al suo ingresso un integratore, come mostrato


65

nella figura 5.2(a). Analogamente un segnale modulato in fase può essere generato da un modulatore di frequenza inserendo al suo ingresso un derivatore, come mostrato in figura 5.2(b). Per questo motivo le due modulazioni presentano aspetti molto simili e quindi saranno analizzate insieme. Nel seguito si parlerà della modulazione FM, che risulta maggiormente utilizzata nelle applicazioni pratiche. Tuttavia, le proprietà della modulazione, salvo non sia detto esplicitamente in modo contrario, possono considerarsi estese al caso della modulazione PM.

Figura 5.2: Modulatori di fase e di frequenza: a) uso di un modulatore PM come modulatore FM; b) uso di un modulatore FM come modulatore PM

5.2

Spettro di un segnale FM

Lo spettro di un segnale modulato in fase o in frequenza ha un’estensione infinita e risulta generalmente molto complesso da calcolare anche nel caso in cui s(t) sia un semplice segnale. In questo paragrafo consideriamo in primo luogo alcuni esempi di segnali molto semplici e valutiamo l’estensione dello spettro del segnale FM (o PM) in funzione delle caratteristiche della modulazione. Successivamente viene fornita un’espressione empirica per calcolare in modo approssimato la banda di trasmissione di segnali FM o PM per un qualsiasi segnale modulante.

5.2.1

Spettro di un segnale FM nel caso di un segnale modulante sinusoidale

Consideriamo il caso pi` u semplice in cui il segnale modulante sia sinusoidale, s(t) = Vm cos(2πfm t). Il segnale modulato FM può quindi essere scritto nella forma y(t) = V0 cos(2πf0 t + m · sen(2πfm t)). (5.14)


66

A seconda del valore dell’indice di modulazione lo spettro può assumere forme molto diverse. Vediamo i due casi: • Spettro di un segnale a banda stretta (m << 1) Sviluppando il segnale dell’eq.(5.14) e tenendo conto che m << 1 si ottiene y(t) = V0 (cos(2πf0 t)cos(m·sen(2πfm t))−sen(2πf0 t)sen(m·sen(2πfm t))) (5.15) ∼ cos(m · sen(2πfm t) = 1 (5.16) sen(m · sen(2πfm t)) ∼ (5.17) = m · sen(2πfm t) per cui il segnale FM modulato a banda stretta risulta mV0 · (cos(2π(f0 − fm )t) − cos(2π(f0 + fm )t)) 2 (5.18) Lo spettro di questo segnale, mostrato nella figura 5.3(a) è molto simile a quello di un segnale AM. Si osserva che un segnale FM a banda stretta richiede la stessa banda di un segnale AM. Nella figura 5.3(b) viene rappresentato graficamente il segnale y(t) nel caso FM a banda stretta. Come si può notare la risultante è sfasata di un certo angolo rispetto alla portante, indicata con V0 . Nel caso invece del segnale AM la risultante si trova lungo la stessa direzione della portante. y(t) = V0 cos(2πf0 t) −

• Spettro di un segnale a banda larga (m >> 1) La modulazione di frequenza viene generalmente utilizzata con alti valori dell’indice di modulazione, quindi le considerazioni precedenti hanno un interesse limitato. Il calcolo dello spettro di un segnale FM per un qualsiasi valore di m risulta molto pi` u complesso. Per questo consideriamo n o y(t) = Re V0 ej·[2πf0 t+m·sen(2πfm t)] . (5.19) Posto

0

y (t) = V0 ej·[m·sen(2πfm t)]

(5.20)

0

si può facilmente osservare che y (t), detto inviluppo complesso di y(t), è un segnale periodico di periodo T = f1m , per cui può essere sviluppato in serie di Fourier, cioè 0

y (t) =

+∞ X n=−∞

Yn0 ej

2πnt T

(5.21)


67

Figura 5.3: Segnale FM a banda stretta nel caso di segnale modulante sinusoidale: a) spettro del segnale FM; b) rappresentazione vettoriale del segnale FM

dove

Z Yn0

= V 0 fm

1 2fm

ej·[m·sen(2πfm t)−n2πfm t] dt.

(5.22)

− 2f1 m

Il precedente integrale non può essere calcolato in forma chiusa. Si definisce funzione di Bessel di prima specie e di ordine n la funzione Z pi 1 ej·[m·sen(x)−nx] dx. (5.23) Jn (m) = 2π −π Posto x = 2πfm t si ottiene: Yn0 = V0 Jn (m)

(5.24)

per cui 0

y (t) = V0

+∞ X n=−∞

Jn (m)ejn2πfm t .

(5.25)


68

Il segnale modulato FM può quindi essere scritto per qualsiasi valore di m +∞ X y(t) = V0 Jn (m)cos[2π(f0 + n · fm )t]. (5.26) n=−∞

Lo spettro di un segnale FM viene quindi a dipendere dalle funzioni di Bessel; tali funzioni godono delle seguenti proprietà ½ Jn (m) = (−1)n J−n (m) P+∞ (5.27) 2 n=−∞ Jn (m) = 1 Nella figura 5.4 sono mostrate alcune funzioni di Bessel al variare di m. Lo spettro del segnale FM a larga banda nel caso di un segnale

Figura 5.4: Funzioni di Bessel di prima specie

modulante sinusoidale è composto da infinite delta di dirac a frequenza f0 + n · fm con n intero ed ampiezza V0 Jn2(m) . Lo spettro dipende in modo significativo dall’indice di modulazione. Nelle figure 5.5(a), 5.5(b), 5.5(c) e 5.5(d) sono mostrati gli spettri di ampiezza del segnale FM per m = 0.25, m = 1, m = 2 e m = 5 rispettivamente, supponendo V0 = Vm = 1. Come si può notare nel caso di indice di modulazione piccolo (m = 0.25) sono presenti soltanto tre delta significative: una delta a frequenza f0 e due delta a frequenza f0 −fm e f0 +fm ; lo spettro è simile a quello di un segnale AM. Nel caso m = 1 si hanno oltre alla portante quattro delta con ampiezza non trascurabile rispetto a quella della portante, per cui lo spettro del segnale FM è praticamente raddoppiato rispetto al caso AM. All’aumentare di m lo spettro aumenta


69

in modo significativo. Per certi valori dell’indice di modulazione si ha J0 (m) = 0, per cui lo spettro non presenta nessuna componente alla frequenza della portante. La potenza necessaria per trasmettere il segnale modulato FM risulta: +∞ V02 X 2 V2 Ptx = · Jn (m) = 0 2 n=−∞ 2

(5.28)

Figura 5.5: Spettri di segnali FM nel caso di segnale modulante sinusoidale: a) m = 0.25; b) m = 1; c) m = 2; d) m = 5


5.2.2

70

Spettro di un segnale FM nel caso di un segnale modulante multitono

Consideriamo il caso in cui il segnale modulante sia formato dalla somma di N sinusoidi, cioè: N X s(t) = Vi cos(2πfi t). (5.29) i=1

Il segnale FM risulta N h i X y(t) = V0 cos 2πf0 t + mi · cos(2πfi t)

(5.30)

i=1

essendo mi =

kf Vi fi

(5.31)

l’indice di modulazione relativo all’i-esimo segnale sinusoidale contenuto in s(t). Utilizzando le precedenti considerazioni si ottiene P P+∞ P+∞ y(t) = V0 h +∞ n1 =−∞ n2 =−∞ . . . nN =−∞ Jn1 (m1 )J i n2 (m2 ) . . . JnN (mN )· ·cos 2π(f0 + n1 f1 + n2 f2 + . . . + nN fN )t (5.32) Per cui lo spettro contiene tutte le possibili combinazioni tra le frequenze f1 , f2 , ..., fN .

5.2.3

Banda di trasmissione di un segnale FM (Banda di Carson)

La banda di trasmissione di un segnale FM è teoricamente infinita. Tuttavia le ampiezze delle delta tendono generalmente a 0 quando si è sufficientemente lontani dalla portante. Queste frequenze sono perciò insignificanti e possono essere trascurate. La larghezza di banda, Btx , necessaria per trasmettere un segnale FM è tuttavia difficile da definire in modo univoco. Nelle applicazioni pratiche si utilizza generalmente le seguente formula empirica ricavata da Carson corrispondente alla banda minima necessaria a trasmettere almeno il 98% della potenza di y(t) Btx = BCarson = 2(∆fmax + fm ) = 2(m + 1)fm

(5.33)

dove fm rappresenta la massima frequenza contenuta nel segnale modulante. Esempio


71

Nelle radio commerciali operanti nella banda FM le norme internazionali impongono che ∆fmax = 75kHz e fm = 15kHz, per cui m = 5. Con questi valori si ottiene una banda di trasmissione per ciascuna stazione uguale a Btx = 180kHz.

5.3

Modulatori di frequenza e di fase

La modulazione di frequenza può essere effettuata con due metodi diversi: 1. Modulatore Diretto; 2. Modulatore Indiretto. Nel metodo diretto la frequenza della portante viene fatta variare direttamente dal circuito in funzione del segnale modulante. Nel metodo indiretto il segnale modulante viene prima inviato a un modulatore FM o PM a banda stretta e successivamente viene trasformato in modo da ottenere indici di modulazione elevati.

5.3.1

Modulatori FM Diretti (Modulatore di Hartley)

I modulatori FM diretti sono costituiti sostanzialmente da un oscillatore controllato in voltaggio, in cui la frequenza generata varia proporzionalmente al segnale modulante. Il Modulatore di Hartley, figura 5.6(a), è composto da un condensatore con capacità fissa C 0 , da un’induttanza L e da un diodo varicap, in polarizzazione inversa, la cui capacità C 00 varia con la tensione applicata al suo ingresso. Il valore definito dalla capacità C di figura 5.6(c) si ottiene dal parallelo dei due condensatori di figura 5.6(b) ed è uguale a C = C 0 + C 00 = C 0 + k0 s(t).

(5.34)

Il circuito di figura 5.6(c) è un circuito risonante LC del secondo ordine la cui frequenza istantanea vale fi (t) =

1 1 1 1 √ = √ = p ·q 0 0 2π LC 2π LC 2π L(C + k0 s(t)) 1 + Ck00 s(t)

(5.35)

se | Ck00 s(t)| << 1 la radice del secondo termine può essere sviluppato con Taylor fino al primo ordine e quindi ³ ´ ³ ´ k0 k0 1 1− s(t) = f · 1 − s(t) (5.36) fi = √ 0 2C 0 2C 0 2π LC 0

Facolt` a di Ingegneria 0 f0 posto kf = − k2C 0 si ottiene l’espressione del segnale trasmesso Z Z su (t) = s0 cos(2π fi (t)dt) = s0 cos(2πf0 t + 2πkf s(t)dt)

72

(5.37)

Figura 5.6: a) Modulatore di Hartley; b) rappresentazione equivalente con capacità C 00 funzione del segnale informativo; c) rappresentazione equivalente con un’unica capacità C

5.3.2

Modulatori FM Indiretti (Modulatore di Armstrong)

Un circuito molto utilizzato nelle applicazioni pratiche è rappresentato dal Modulatore di Armstrong, mostrato schematicamente nella figura 5.7(a). Questo modulatore, che effettua una modulazione di fase, può operare correttamente soltanto per bassi valori dell’indice di modulazione. Tuttavia, attraverso opportuni accorgimenti, si può togliere questa restrizione. Il circuito di figura 5.7(a) utilizza un modulatore prodotto ed il segnale y(t) all’uscita del sommatore risulta: y(t) = V0 cos(2πf0 t) + V0 k · s(t)sen(2πf0 t).

(5.38)

La rappresentazione grafica del segnale y(t) è mostrata nella figura 5.7(b). Il segnale y(t) può essere espresso nella forma y(t) = R(t)cos(2πf0 t − Ψ(t)). dove

½

p R(t) = V0 1 + k 2 · s2 (t) Ψ(t) = atan(k · s(t))

(5.39)

(5.40)


73

Il segnale y(t) risulta perciò modulato sia in ampiezza sia in fase. Nel caso in cui |k · s(t)| << 1, si ha: ½ R(t) ∼ = V0 (5.41) Ψ(t) = atan(k · s(t)) ∼ = k · s(t) In prima approssimazione si può supporre che il segnale y(t) sia modulato

Figura 5.7: Modulatore di Armstrong: a) schema del modulatore di Armstrong; b) rappresentazione vettoriale dei segnali; c) schema del modulatore di Armstrong per alti valori dell’indice di modulazione

soltanto in fase, essendo la fase proporzionale a s(t). Il limitatore di ampiezza dopo il modulatore di Armstrong viene generalmente inserito per eliminare le piccole variazioni di ampiezza presenti in y(t). Il parametro m rappresenta l’indice di modulazione di fase. Il modulatore di Armstrong è un modulatore di fase. Per ottenere un modulatore di frequenza è sufficiente introdurre un integratore prima di inviare s(t) al modulatore bilanciato. In questo caso m rappresenta l’indice di modulazione in frequenza. La limitazione imposta sull’indice di modulazione (cioè m << 1) nel precedente schema non può essere verificata nelle applicazioni pratiche, poichè i principali vantaggi offerti dalla modulazioni PM e FM possono essere ottenuti per alti valori dell’indice di modulazione. Per ovviare a questo inconveniente si può introdurre dopo il modulatore di Armstrong un moltiplicatore di frequenza, come viene mostrato nella figura 5.7(c).


74

Il moltiplicatore di frequenza è un dispositivo che moltiplica la frequenza del suo ingresso per n. Se il segnale y(t) all’ingresso del moltiplicatore è un segnale FM o PM, cioè: y(t) = V0 cos(2πf0 t + Ψ(t))

(5.42)

la sua frequenza istantanea risulta 1 dΨ(t) (5.43) 2π dt Il segnale y 0 (t) all’uscita del moltiplicatore di frequenza ha una frequenza f1 = nf0 , per cui y 0 (t) = V0 cos(2πnf0 t + nΨ(t)). (5.44) fi (t) = f0 +

La massima deviazione di frequenza del segnale e l’indice di modulazione risultano moltiplicati per n. Attraverso un’opportuna scelta di n, è possibile ottenere un qualunque valore dell’indice di modulazione.

5.4

Demodulatori FM

Ci sono vari metodi per demodulare un segnale FM e vengono generalmente raggruppati in due categorie: • Diretti Si ottengono andando a recuperare la frequenza istantanea del segnale trasmesso FM. Nel seguito sono considerati due diversi demodulatori: – Discriminatore di frequenza bilanciato; – Rivelatore di zero-crossing. • Indiretti Il segnale modulante viene recuperato mediante l’utilizzo di retroazioni all’interno del circuito utilizzato. Nel seguito sarà descritto il demodulatore PLL del 1◦ e del 2◦ ordine.

5.4.1

Demodulatore FM con discriminatore di frequenza bilanciato

Si consideri un sistema LTI al cui ingresso si trova il segnale modulato FM, yF M (t). Tale sistema ha la seguente funzione di trasferimento  ´ ³ Btx  f0 − B2tx ≤ f ≤ f0 + B2tx j2πa f − f +  0 2  ³ ´ H1 (f ) = (5.45) j2πa f + f0 − B2tx −f0 − B2tx ≤ f ≤ −f0 + B2tx    0 altrimenti


75

con a costante e Btx la banda di Carson, come mostrato in figura 5.8. Per

Figura 5.8: Funzione di trasferimento del filtro H1 (f )

determinare l’uscita del sistema consideriamo gli inviluppi complessi del segnale di ingresso e della risposta impulsiva. Per quanto riguarda il filtro, e 1 (f ), è determinato dal pre-inviluppo complesso l’inviluppo complesso, H

e quindi

b 1 (f ) = 2H1 (f ) ∀f > 0 H

(5.46)

e 1 (f ) = H b 1 (f + f0 ) H

(5.47)

³ 2 · jπa f + 0

(5.48)

( e 1 (f ) = H

Btx 2

´

|f | ≤ B2tx altrimenti

come mostrato in figura 5.9. Per il segnale FM, essendo un segnale sinusoidale, l’inviluppo complesso, yeF M (t), è determinato come ybF M (t) = V0 ej[2πf0 t+2πkf yeF M (t) = V0 ej2πkf

Rt 0

Rt 0

s(τ )dτ ]

s(τ )dτ

(5.49) (5.50)

purchè il segnale modulante sia un segnale a banda stretta. Il segnale trasmesso FM può quindi essere determinato dall’inviluppo complesso con la seguente equazione o n j2πf0 t (5.51) . yF M (t) = Re yeF M (t)e


76

e 1 (f ) Figura 5.9: Funzione di trasferimento del filtro H

L’uscita del sistema, z(t), può quindi determinata dal suo inviluppo complesso, ze(t). La trasformata di fourier dell’inviluppo complesso dell’uscita è e ) = 1H e 1 (f )YeF M (f ) = j2πaf YeF M (f ) + jπaBtx YeF M (f ) Z(f (5.52) 2 la sua antitrasformata ze(t) = a · d yeFdtM (t) + jπaBtxR yeF M (t) = R j2πkf 0T s(t)dt j2πkf 0T s(t)dt = = aj2πV0 kf ³ s(t)e ´ + ajπBtx V0 e = jaπBtx V0 1 +

2kf Btx

j2πkf

· s(t) e

RT 0

(5.53)

s(t)dt

e quindi l’uscita del sistema LTI Z T ´ ³ ´ 2kf z(t) = −aπBtx V0 1 + · s(t) sen 2πf0 t + 2πkf s(t)dt . Btx 0 ³

(5.54)

Valutiamo il modulo del seguente termine: ¯ ¯ ¯ 2kf ¯ 2kf kf max|s(t)| 1 m ¯ ¯= · s(t) · = (5.55) ¯ Btx ¯ 2(m + 1)fm |s(t)| ≤ fm (m + 1) m+1 possiamo affermare quindi che per ogni segnale modulante e per ogni m il modulo del termine dell’eq.(5.55) è sempre minore o uguale ad 1. L’eq.(5.54) ci mostra come a partire dall’informazione del segnale modulante contenuta nelle variazioni di frequenza del segnale FM si sia ottenuto un’espressione in cui tale informazione è contenuta anche nelle variazioni di ampiezza. Per recuperare completamente il segnale s(t) può quindi essere utilizzato in cascata


77

al sistema LTI un rivelatore di inviluppo che produrrà in uscita il seguente segnale ³ ´ 2kf v1 (t) = aπBtx V0 1 + · s(t) . (5.56) Btx Per eliminare il termine in continua dell’eq.(5.56) si utilizza una struttura bilanciata del demodulatore, come mostrato in figura 5.10. Il filtro H2 (f ) ha

Figura 5.10: Rappresentazione a blocchi del demodulatore FM bilanciato

il seguente inviluppo complesso ³ ( j2πa − f + e 2 (f ) = H 0

Btx 2

´

|f | ≤ B2tx altrimenti

(5.57)

e 2 (f ), figura 5.12. vedi figura 5.11 ed il corrispondente inviluppo complesso, H Il segnale v2 (t) ha quindi la seguente espressione,

Figura 5.11: Funzione di trasferimento del filtro H2 (f )

´ 2kf · s(t) v2 (t) = aπBtx V0 1 − Btx ³

(5.58)

78


da cui si ottiene il segnale v(t) proporzionale al segnale modulante s(t) v(t) = v1 (t) − v2 (t) = 2aπBtx V0

2kf · s(t). Btx

(5.59)

Il circuito di Foster-Sealy rappresenta un’implementazione pratica del di-

e 2 (f ) Figura 5.12: Funzione di trasferimento del filtro H

scriminatore di frequenza bilanciato, figura 5.13. Tale circuito è formato da due circuiti risonanti, accordati sulla frequenza f0 della portante e da due rivelatori di inviluppo. Il funzionamento di questo discriminatore dipende dalla differenza di fase tra le tensioni ai capi dei due circuiti rivelatori di inviluppo: questa differenza di fase varia con la frequenza del segnale ricevuto. Alla frequenza f0 le tensioni presenti ai capi dei due rivelatori di inviluppo hanno la stessa ampiezza e quindi il segnale di uscita, rappresentato dalla differenza delle tensioni ai capi dei due circuiti, è uguale a 0; al contrario si avrà una tensione di uscita non nulla. Le variazioni di frequenza del segnale di ingresso sono convertite in tale circuito in variazioni di ampiezza e la curva di trasferimento è lineare attorno a f0 , figura 5.14.

5.4.2

Demodulatore FM con rivelatore di zero-crossing

La frequenza istantanea di un segnale modulato FM risulta uguale a fi (t) = f0 + kf s(t)

(5.60)

da cui si osserva che il segnale modulante può essere ricostruito a meno di una costante uguale alla portante f0 . Poichè il segnale trasmesso con una modulazione FM risulta sinusoidale, supponiamo di poter approssimare la frequenza istantanea del segnale con la seguente espressione 1 fi (t) ∼ (5.61) = 2∆t


79

Figura 5.13: Circuito di Foster-Sealy

Figura 5.14: Funzione di trasferimento del discriminatore

dove ∆t è l’intervallo presente tra due nulli della sinusoide. Il demodulatore funziona ricostruendo il segnale modulante s(t) su intervalli T in cui tale valore è scelto opportunamente in modo che: • T <<

1 B

in modo che su ogni intervallo il segnale modulante si possa

80


considerare costante; • T >> f10 in modo che nel periodo T sono contenuti molti cicli della portante. Per sempllicità poniamo T = n0 · ∆t da cui si ottiene 1 n0 fi (t) ∼ = . = 2∆t 2T

(5.62)

Il circuito demodulatore deve quindi contare il numero di attraversi negli zeri del segnale modulato, figura 5.15. Una volta che il segnale modulato è stato

Figura 5.15: Rappresentazione a blocchi del demodulatore FM con rivelatore di zero-crossing

limitato in ampiezza entra nel blocco indicato con il termine generatore di impulsi il quale produce in uscita un impulso ogni volta che il segnale ingresso ha un attraversamento sullo 0. Infine l’integratore somma nell’intervallo T il numero di impulsi in modo da ottenere alla fine del periodo n0 .

5.4.3

Demodulatore FM con PLL

Il funzionamento del demodulatore a PLL si basa su una retroazione come mostrato in figura 5.16. Se indichiamo con v(t) il segnale in ingresso al Voltage Controller Oscillator (VCO), in uscita si ottiene Z t ¡ ¢ r(t) = −VB sen 2πf0 t + 2πkv v(t)dt (5.63) 0


81

Figura 5.16: Rappresentazione a blocchi del demodulatore FM con PLL

con

Z

t

φ2 (t) = 2πkv

v(t)dt

(5.64)

mentre φ1 (t) è la fase del segnale yF M (t) con Z t φ1 (t) = 2πkf m(t)dt

(5.65)

0

0

del segnale modulato in ingresso al demodulatore. Il filtro di anello è un filtro passa-basso a banda stretta con risposta impulsiva H(f ). La fase errore viene cos`ı indicata φe (t) = φ1 (t) − φ2 (t) ed il segnale e(t) in ingresso al filtro d’anello e(t) =

V0 VB V0 VB sen(φ1 (t) − φ2 (t)) − sen(2π(2f0 )t + φ1 (t) + φ2 (t)) (5.66) 2 2

da cui

V0 VB h(t) ⊗ sen(φe (t)) (5.67) 2 essendo la componente del segnale errore in alta frequenza filtrata dal filtro passa-basso. Si vuole esprimere adesso la fase errore in funzione del segnale modulante m(t) e successivamente il segnale demodulato v(t) in funzione di m(t). Per questo motivo la derivata della fase errore vale Z +∞ Z +∞ dφ1 (t) dφe (t) dφ1 (t) h(t−τ )·e(τ )dτ = h(t−τ )·sen(φe (τ ))dτ = −2πkv −2πk0 dt dt dt −∞ −∞ (5.68) kv V0 VB posto k0 = . Con l’ipotesi φe (t) −→ 0 si sviluppa con Taylor fino al 2 primo ordine l’espressione di sen(φe (t)) ∼ = φe (t). L’eq.(5.68) è un’equazione integro-differenziale e dato che non è semplice da risolvere direttamente nel tempo si calcola la soluzione nel dominio della frequenza v(t) =

j2πf Φ1 (f ) = j2πf Φe (f ) + 2πk0 · Φe (f )H(f )

(5.69)

82


da cui si ottiene Φe (f ) =

1 1+

) k0 H(f jf

Φ1 (f ) =

1 Φ1 (f ) 1 + L(f )

(5.70)

) posto L(f ) = k0 H(f la funzione di trasferimento ad anello aperto. jf Sostituendo l’eq.(5.70) nell’eq.(5.67) trasformata in frequenza, si ottiene

V (f ) =

jf jf L(f ) k0 H(f ) · Φe (t) = L(f ) · Φe (f ) = · Φ1 (f ). kv kv kv 1 + L(f )

(5.71)

Se sulla banda del segnale modulante |L(f )| >> 1 allora Φe −→ 0 e V (f ) −→ jf Φ (f ). Antitrasformando l’ultima espressione si ottiene kv 1 v(t) =

1 dφ1 (t) kf = · m(t) 2πkv dt kv

(5.72)

e quindi il segnale risulta demodulato correttamente. La progettazione del filtro ad anello semplice, L(f ), determina quindi la corretta demodulazione del segnale. Tipicamente L(f ) è scelta in modo da P (f ) essere espresso come L(f ) = Q(f dove P (f ) e Q(f ) sono due polinomi. Il ) grado del polinomio di Q(f ) determina il grado del demodulatore PLL. Si indica cos`ı una PLL del primo ordine se il polinomio Q(f ) = b0 + b1 f , PLL del secondo ordine se Q(f ) = b0 + b1 f + b2 f 2 , ecc.... Mediante opportuni calcoli che in queste dispense non sono considerati è possibile dimostrare che per demodulare correttamente il segnale non è sufficiente un circuito PLL del primo ordine, ma è necessario utilizzare almeno un PLL del secondo ordine.

5.5

Rapporto Segnale/Rumore nella modulazione FM

Lo schema di principio del demodulatore FM che consideriamo per valutare il SNR è mostrato nella figura 5.17. Il filtro passa-banda, centrato su f0 , serve a limitare la banda del rumore e ha una banda passante uguale a Btx . Il limitatore di ampiezza viene introdotto per rendere costante l’ampiezza del segnale da demodulare, mentre il discriminatore produce un segnale in uscita proporzionale alla deviazione di frequenza del segnale al suo ingresso. Il filtro passa-basso ha una banda B uguale a quella del segnale modulante. Il segnale ricevuto r(t) può essere scritto: r(t) = V0 cos(2πf0 t + θ(t)) + n(t)

(5.73)


83

Figura 5.17: Schema di principio del demodulatore FM

con

Z

t

θ(t) = 2πkf

s(t)dt.

(5.74)

0

All’ingresso del demodulatore la potenza Si del segnale è Si =

V02 2

(5.75)

mentre la potenza del rumore è Z

B

Ni = −B

N0 df = N0 B. 2

(5.76)

Il SN Ri è quindi

V02 . (5.77) 2N0 B Il rumore può essere espresso mediante la forma a banda stretta per cui SN Ri =

r(t) = [V0 cos(θ(t))+a(t)]cos(2πf0 t)−[V0 sen(θ(t))+b(t)]sen(2πf0 t). (5.78) Il segnale ricevuto r(t) può essere rappresentato mediante il suo inviluppo R(t) e la fase Ψ(t), cioè r(t) = R(t)cos(2πf0 t + Ψ(t)) essendo (

R(t) =

p 2 2 (V0³cos(θ(t)) + a(t)) ´ + (V0 sen(θ(t)) + b(t))

Ψ(t) = atan

V0 sen(θ(t))+b(t) V0 cos(θ(t))+a(t)

(5.79)

(5.80)

Il discriminatore di frequenza produce un segnale in uscita, v(t), proporzionale alla derivata della fase Ψ(t), cioè v(t) = c

Ψ(t) dt

(5.81)


84

essendo c una costante di proporzionalità. Calcoliamo prima di tutto la potenza Su del segnale utile all’uscita del discriminatore in assenza di rumore. In questo caso si ottiene Z t Ψ(t) = θ(t) = 2πkf s(t)dt (5.82) 0

e quindi v(t) = c2πkf s(t)

(5.83)

La potenza media del segnale utile in uscita al demodulatore è Su = c2 4π 2 kf2 s2 (t)

(5.84)

Nel caso in cui si consideri presente soltanto il rumore, si ottiene Ψ(t) =

b(t) V0 + a(t)

(5.85)

Per ottenere il calcolo della potenza media di rumore supponiamo di trattare situazioni con alti SNR, in modo tale che sia valida la condizione V0 >> a(t), b(t). Si ottiene cos`ı b(t) Ψ(t) ∼ . (5.86) = V0 Come abbiamo detto in precedenza, il discriminatore effettua la derivata della fase Ψ(t), per cui il derivatore può essere schematizzato come un sistema lineare con funzione di trasferimento H(f ) uguale a H(f ) = j2πf · c.

(5.87)

La densità spettrale di potenza media del segnale di rumore all’uscita del discriminatore risulta ³ f ´ 4π 2 c2 f 2 Pv,v (f ) = N rect . (5.88) 0 V02 Btx Tale densità spettrale è mostrata in figura 5.18. Il filtro passa-basso a valle del discriminatore di frequenza ha una banda (−B, B), per cui l’espressione della densità spettrale di potenza media dopo l’operazione di filtraggio diventa ³ f ´ 4π 2 c2 f 2 Pu,u (f ) = N rect (5.89) 0 V02 2B da cui la potenza media di rumore Z B 8π 2 c2 N0 B 3 Nu = Pu,u (f )df = 3V02 −B

(5.90)


85

Figura 5.18: Schema di principio del demodulatore FM

La potenza di rumore è direttamente proporzionale a B 3 e inversamente proporzionale a V02 e quindi alla potenza della portante. In una modulazione FM l’aumento della potenza della portante riduce la potenza del rumore. Questo risultato non trova analogie nelle modulazioni di ampiezza e risulta legato alla struttura del rivelatore FM. Il SN Ru vale quindi 3V02 kf2 s2 (t) SN Ru = 2N0 B 3

(5.91)

La figura di merito, Fm , nella modulazione FM risulta cos`ı Fm =

3V02 kf2 s2 (t) 2N0 B 3 V02 2N0 B

3kf2 s2 (t) = . B2

(5.92)

Esempio Dato un segnale modulante sinusoidale, s(t) = Vm cos(2πfm t), l’indice di k V modulazione FM risulta essere, m = ffmm , e la potenza media del segnale modulante Pm = s2 (t) =

2 Vm . 2

Fm =

La figura di merito del demodulatore FM vale

3kf2 s2 (t) 3kf2 Vm2 3 = = m2 2 2 B 2B 2

(5.93)

86


Mentre nel caso della modulazione AM si ottiene al massimo Fm = 1/3, la figura di merito nella modulazione FM può essere anche maggiore di 1 e comunque risulta migliore di quella di un segnale modulato AM.

5.6

Effetto Soglia nella modulazione FM

L’eq.(5.91) risulta valida soltanto nei casi con alto SN R. Quando la potenza del rumore all’ingresso del demodulatore diviene comparabile con la potenza del segnale utile, non sono pi` u valide le approssimazioni per il calcolo di SN Ru . In particolare, quando SN R diviene piccolo, a(t) e b(t) non risultano trascurabili rispetto a V0 . Per una descrizione qualitativa definiamo in primo luogo il rapporto NCIF tra la potenza della portante e la potenza effettiva del rumore all’ingresso del demodulatore (a Frequenza Intermedia) sulla banda di trasmissione, Btx . Si ha C V02 = (5.94) NIF 2N0 Btx Analisi teoriche e misure sperimentali hanno mostrato che generalmente la formula del SN Ru in funzione di SN Ri ricavate precedentemente sono valide se il rapporto NCIF è maggiore di 10dB. Per valori superiori a 10dB, SN Ru aumenta linearmente con NCIF , mentre per valori inferiori diminuisce rapidamente con NCIF . Il rapporto NCIF è collegato con SN Ri all’ingresso del rivelatore FM dalla relazione C Si B = · NIF Ni Btx

(5.95)

dove B rappresenta la banda del segnale modulante. Indicando con ρ la soglia sopra la quale il ricevitore funziona correttamente, si ottiene Si Btx ≥ρ· Ni B

(5.96)

Utilizzando la formula di Carson per la banda di trasmissione si ottiene Si ≥ 2ρ(m + 1) Ni Nel caso in cui ρ = 10dB, il ricevitore opera sopra la soglia se Si ¯¯ ¯ ≥ 13 + 10log10 (m + 1) Ni dB

(5.97)

(5.98)


87

Quando il ricevitore opera sopra la soglia il SN Ru aumenta linearmente con C , mentre per valori inferiori alla soglia SN Ru decresce rapidamente con NIF C . Alcuni esempi della variazione di SN Ru in funzione di NCIF per diversi NIF valori di m sono mostrati nella figura 5.19.

Figura 5.19: Rapporto segnale-rumore nella modulazione di frequenza

5.7

Pre-enfasi e De-enfasi nella modulazione FM

Come abbiamo visto in precedenza, la densità spettrale di potenza media all’uscita del demodulatore FM, Pu,u (f ), dell’eq.(5.89) cresce con il quadrato della frequenza. A causa di questo fatto, durante la demodulazione le frequenze pi` u elevate contenute nel segnale modulante sono affette da un rumore


88

con una densità spettrale di potenza media maggiore rispetto a quello che altera le componenti a bassa frequenza. Le componenti in frequenza pi` u alte presenti nel segnale utile demodulato sono perciò maggiormente degradate dal rumore. Questo inconveniente, tipico delle modulazione FM, può essere eliminato modificando in modo opportuno lo spettro del segnale modulante prima che questo venga trasmesso. Questa operazione, che prende il nome di pre-enfasi, consiste nell’esaltare la potenza delle componenti di frequenza pi` u alte contenute nel segnale modulante. Al ricevitore viene ripristinato, dopo l’operazione di demodulazione, lo spettro del segnale modulante mediante l’operazione inversa, detta de-enfasi. Lo schema di principio di un sistema FM è mostrato nella figura 5.20. I circuiti di pre-enfasi e di de-enfasi han-

Figura 5.20: Rapporto segnale-rumore nella modulazione di frequenza

no le seguenti funzioni di trasferimento Hp (f ) e Hd (f ). Tali circuiti devono essere tali che, in assenza di rumore, il segnale utile dopo l’operazione di de-enfasi risulti uguale a s(t) e quindi Hp (f ) · Hd (f ) = c

(5.99)

con c costante per −B ≤ f ≤ B. La funzione Hp (f ) viene generalmente scelta imponendo che la potenza media del segnale dopo il circuito di pre-enfasi risulti uguale a quella del segnale modulante s(t), per cui la Btx del segnale FM risulti la stessa sia in presenza che in assenza di pre-enfasi. La funzione di trasferimento del circuito di preenfasi deve variare cos`ı in modo proporzionale a f 2 , come la densità spettrale di Pu,u (f ). Una funzione che soddisfa la seguente condizione è Hp (f ) = j2πf

(5.100)

cioè un derivatore. In questo caso, facendo precedere al circuito di modulazione FM un derivatore, si ottiene una modulazione PM. Tuttavia la scelta della modulazione PM nella sua versione classica pone numerosi problemi da un punto di vista realizzativo; perciò si preferisce utilizzare una tecnica che può considerarsi un’opportuna combinazione delle due modulazioni. Un dispositivo adatto per realizzare l’operazione di pre-enfasi e di de-enfasi ha quindi una funzione di trasferimento uguale ad una costante per basse frequenze e si comporta come un derivatore per le alte frequenze. Un esempio

89


Figura 5.21: Funzioni caratteristiche dei circuiti di pre-enfasi e di de-enfasi: a) funzione caratteristica del circuito di pre-enfasi; b) funzione caratteristica del circuito di de-enfasi

tipico della caratteristica Hp (f ) è mostrato nella figura 5.21(a) in cui |Hp (f )| è costante fino ad una certa frequenza f1 ed aumenta linearmente tra f1 e la massima frequenza B del segnale modulante. La frequenza f1 viene generalmente scelta come la frequenza per cui la densità spettrale di s(t) è inferiore a 3dB rispetto al massimo valore (f = 0). Il corrispondente circuito di deenfasi deve avere la funzione di trasferimento Hd (f ) mostrata nella figura 5.21(b). L’introduzione dei circuiti di pre-enfasi e di de-enfasi influenza il SN Ru . Per determinare in modo qualitativo l’effetto, calcoliamo la potenza media Nu(d) del rumore in presenza del circuito di de-enfasi. Si ottiene quindi Z B Z 4π 2 c2 N0 B 2 2 Nu(d) = |Hd (f )| Pu,u (f )df = f |Hd (f )|2 df. (5.101) 2 V0 −B −B Nel caso ideale, le operazioni di pre-enfasi e di de-enfasi per l’eq.(5.99) non alterano la potenza del segnale modulante. Il SN R vien quindi migliorato da un fattore di miglioramento del SNR R RB 2 Su(d) Su 4π 2 c2 N0 B f 2 df f df SN Ru(d) Nu Nu(d) Nu(d) −B V02 γ= = Su = Su = = 4π2 c2 N R B = R B −B 0 SN Ru Nu(d) f 2 |Hd (f )|2 df f 2 |Hd (f )|2 df 2 Nu Nu V0

−B

−B

(5.102)

Esempio Un esempio di circuito utilizzato per effettuare la pre-enfasi è mostrato nella figura 5.22(a); la sua funzione di trasferimento è Hp (f ) =

R2 (1 + j2πf CR1 ) . R1 + R2 + j2πf CR1 R2

(5.103)

Nel caso in cui R2 << R1 e 2πf CR2 << 1, si ha R2 ³ f´ R2 ∼ (1 + j2πf CR1 ) = 1+j . Hp (f ) = R1 R1 fc

(5.104)

90


1 dove fc = 2πCR . 1 Il circuito corrispondente di de-enfasi è mostrato nella figura 5.22(b); la sua funzione di trasferimento risulta

1 ´ Hd (f ) = ³ 1 + j ffc

(5.105)

per cui si ottiene

R2 =k Hp (f ) · Hd (f ) ∼ = R1 ed il γ dell’eq.(5.102) vale γ = RB −B

2 3 B 3 f2

³ ´2 df

1+

f fc

2 3 B 3

= fc2 (v

¯B/fc ¯ − atan(v))¯

(5.106)

¡ B ¢3 1 fc ¡ ¢¢ . = · ¡B 3 fc − atan fBc

−B/fc

(5.107)

Figura 5.22: Esempi di circuiti di pre-enfasi e di de-enfasi: a) circuito di pre-enfasi; b) circuito di de-enfasi

5.8

Rapporto Segnale/Rumore nella modulazione PM

Il calcolo del SN R per la modulazione PM è analogo al procedimento utilizzato per la modulazione FM. Il segnale in ingresso al demodulatore può essere scritto secondo l’eq.(5.78). Il ricevitore produce un segnale proporzionale a Ψ(t), cioè z(t) = c · Ψ(t) con c una costante di proporzionalità. In


91

assenza di rumore, si ha che z(t) = cks(t) e quindi la potenza del segnale utile all’uscita del demodulatore è Su = c2 k 2 s2 (t).

(5.108)

Consideriamo adesso il caso in cui sia assente il segnale e si abbiano alti SN R, per cui all’uscita del demodulatore si ottiene Ψ(t) ∼ =c

b(t) . V0

(5.109)

La densità spettrale di potenza media all’uscita del demodulatore è cos`ı espressa ³ f ´ c 2 N0 Pu,u (f ) = rect (5.110) V02 2B e la potenza media di rumore ottenuta in uscita è Z +∞ c 2 N0 Nu = Pu,u df = 2B. V02 −∞

(5.111)

Il SN Ru vale quindi V02 k 2 s2 (t) . (5.112) 2N0 B e, dato che SN Ri è uguale a SN Ri della modulazione FM, si ottiene la seguente figura di merito SN Ru =

Fm =

V02 k2 s2 (t) 2N0 B V02 2N0 B

= k 2 s2 (t).

(5.113)

Esempio Nel caso in cui il segnale modulante sia sinusoidale, il SN Ru dell’eq.(5.113) risulta V 2 k 2 Vm2 SN Ru = 0 . (5.114) 4N0 B Posto l’indice di modulazione delle modulazione PM, m = kVm , si ottiene Fm =

k 2 Vm2 m2 = . 2 2

(5.115)

Confrontando con il risultato ottenuto nella modulazione FM (Fm = 32 m2 ), a parità di SN Ri e di m (e quindi di banda occupata), la modulazione FM presenta un SN Ru tre volte superiore rispetto alla modulazione PM. Per questo motivo la modulazione FM è pi` u utilizzata nelle applicazioni pratiche.


5.9

92

Schema di Ricevitore Supereterodina per trasmissione FM radio broadcasting

In un sistema di trasmissione FM radio broadcasting pi` u stazioni radio modulate singolarmente in FM sono trasmesse con portanti distinte in modo da non generare interferenza. La banda complessiva di tutte le stazioni radio è tra 88M Hz e 108M Hz. Le portanti di ogni segnale modulato FM sono separate di 200kHz, la ∆fmax = 75kHz e la banda utile di ogni segnale modulante (segnali audio per trasmissioni radio) è 15kHz. Si ottiene quindi che ogni segnamax le modulato FM ha un indice di modulazione uguale a m = ∆f = 75k =5 fmax 15k e la banda di trasmissione è Bc = 2(m + 1)fmax = 180kHz. Considerando che le portanti sono spaziate di 200kHz e che ogni banda di trasmissione vale 180kHz, non viene generata interferenza dato che tra ogni trasmissione è presente un margine di banda pari a 20kHz. Nel sistema trasmissione/ricezione sono utilizzati i circuiti di pre-enfasi e di de-enfasi in modo tale da incrementare le prestazioni del demodulatore in termini di SN R. Lo schema del demodulatore è mostrato in figura 5.23. Si osserva che è costituito principalmente da: • Un circuito a super-eterodina; • Un demodulatore FM a discriminatore di frequenza; • Un circuito di de-enfasi ed un amplificatore audio. Il circuito a super-eterodina consente di selezionare tra tutte le stazioni radio quella desiderata e portarla, variando la frequenza fx dell’oscillatore locale, a frequenza intermedia la cui frequenza fI è uguale a 10.7M Hz, vedi figura 5.24. Il filtro corrispondente all’amplificatore a frequenza intermedia elimina tutte le altre stazioni radio.

5.10

Schema di un modulatore ed un demodulatore FM stereo

Un sistema di trasmissione stereo consente di trasmettere due segnali generati da due sorgenti distinte senza che si generi interferenza tra i due segnali ed in modo che la compatibilità con i sistemi di trasmissione ad un solo segnale siano garantiti. Nel caso di segnali audio le bande dei due segnali sono rispettivamente (−15kHz, 15kHz) e fanno riferimento tipicamente al canale


93

Figura 5.23: Ricevitore FM radio broadcasting

Figura 5.24: Funzione di trasferimento del filtro a frequenza intermedia

destro (dx) ed al canale sinistro (sx). Lo schema del modulatore e del demodulatore sono riportati nelle figure 5.25 e 5.27. Nel modulatore FM i due segnali sono combinati insieme in modo da generare due nuovi segnali corrispondenti alla somma ed alla differenza, successivamente si utilizzano i circuiti di pre-enfasi ed infine il segnale w(t) che viene inviato all’ingresso del modulatore FM classico è ottenuto come w(t) = (mr (t) + ml (t))|pre + (mr (t) − ml (t))|pre cos(2π38k t) + cos(2π19k t) (5.116) Lo spettro del segnale w(t) è mostrato in figura 5.26. Per recuperare i due segnali, dopo la demodulazione FM classica, sul ramo


94

superiore si filtra tra (−15kHz, 15kHz) e successivamente si utilizza un filtro di de-enfasi, sul ramo inferiore invece si filtra tra (−53kHz, −23kHz) e (23kHz, 53kHz), successivamente si demodula DSB il segnale con frequenza della portante recuperata dal filtro a banda stretta a 19kHz ed infine si utilizza il circuito di de-enfasi. I due segnali sono di nuovo combinati in modo da ottenere mr (t) e ml (t). Nel caso di segnali monofonici invece di segnali stereofonici la compatibilità viene garantita in quanto viene recuperato soltanto la somma delle due sorgenti audio.

Figura 5.25: Schema di modulatore FM stereo

Figura 5.26: Spettro di ampiezza, W (f ), del segnale FM stereo

Figura 5.27: Schema di demodulatore FM stereo

Capitolo 6 Modulazioni Digitali Il principale problema nel progetto di un sistema di comunicazione è quello di individuare strutture ottime dei segnali e dei ricevitori, che minimizzano la probabilità di errore al ricevitore in presenza di rumore e di distorsioni nel canale di comunicazione. La struttura generale di un sistema di comunicazione numerico è mostrata nella figura 6.1. La sorgente genera simboli appartenenti a un alfabeto discreto A di dimensione M , avente cioè M simboli diversi, che saranno indicati con 0, 1, ..., M − 1. Ad esempio, nel caso binario si ha M = 2 e quindi i simboli sono 0 e 1, mentre nel caso M = 4 i simboli sono 0, 1, 2, 3. Nel seguito con ai sarà indicato il simbolo i-esimo generato dalla sorgente. I simboli ai possono rappresentare i dati generati da una sorgente discreta oppure i simboli corrispondenti ai campioni di un segnale analogico discretizzato. I

Figura 6.1: Schema generale di un sistema di comunicazione digitale

simboli ai vengono inviati a un modulatore digitale, che ha lo scopo di convertirli in forme d’onda continue nel tempo adatte alla loro trasmissione su 95

96


un canale di comunicazione. La scelta della forma d’onda si (t) utilizzata per la trasmissione del simbolo ai è un problema molto importante, perchè può influenzare diversi parametri, quali la banda, la complessità del sistema di comunicazione e la probabilità di errore. Supporremo, come per le modulazioni analogiche, che il rumore introdotto dal canale sia AW GN .

6.1

Rappresentazione vettoriale dei segnali

Consideriamo un segnale si (t) definito sull’intervallo [0, T ], essendo T il tempo richiesto per trasmettere un simbolo. Il segnale si (t) viene utilizzato per trasmettere nel canale di comunicazione il simbolo ai . L’energia Ei del segnale si (t) è definita come Z

T

2

Ei = ksi (t)k = 0

s2i (t)dt.

(6.1)

Nel seguito saranno considerati segnali ad energia finita, cioè tali che Ei < ∞. Due funzioni ψm (t) e ψn (t) definite sull’intervallo [0, T ] si dicono ortogonali se Z T ψm (t)ψn (t)dt = 0 (6.2) 0

Un insieme di funzioni

{ψm }+∞ m=1

si dice ortonormale se Z

T

< ψm (t), ψn (t) >=

ψm (t) · ψn (t)dt = δm,n

(6.3)

0

dove δm,n , rappresenta la delta di Kronecher, cioè ½ 1 se m = n δm,n = . 0 se m 6= n

(6.4)

Un insieme di funzioni ortonormali è quindi costituito da segnali ortogonali tra loro e con energia unitaria. Un qualunque segnale si (t) può essere espresso in modo univoco mediante un insieme di funzioni ortonormali. In particolare si può sviluppare si (t) in serie di Fourier generalizzata mediante le funzioni ψm (t), cioè: si (t) =

+∞ X m=1

si,m ψm (t)

(6.5)


97

dove si,m rappresenta la componente di si (t) proiettata sulla funzione ψm (t), cioè: Z T si,m =< si (t), ψm (t) >= si (t) · ψm (t)dt. (6.6) 0

Come conseguenza dello sviluppo in serie di Fourier generalizzato, un segnale si (t) può essere rappresentato in modo univoco mediante le componenti si,m e quindi ad esso si può considerare associato un vettore si con infinite componenti definito come si = (si,1 , si,2 , si,3 , si,4 , ...)

(6.7)

Valutiamo la quantità < si (t), sj (t) >: Z

T

< si (t), sj (t) >=

si (t) · sj (t)dt = 0

+∞ X

si,m sj,m

(6.8)

m=1

per cui essa è equivalente al prodotto scalare tra i vettori si e sj e viene perciò anche indicata con il nome di prodotto scalare tra i due segnali si (t) e sj (t).

6.2

Procedimento di ortogonalizzazione di GramSchmidt

Il procedimento di Gram-Schmidt consente di costruire un insieme di funzioni ortonormali partendo da un insieme qualsiasi di funzioni si (t) e quindi sarà utilizzato nel seguito per costruire una base di funzioni ortonormali adatta per descrivere le forme d’onda utilizzate per trasmettere i simboli dell’alfabeto A. Si considerino M segnali {si (t)}M i=1 definiti sull’intervallo [0, T ] e nulli al di fuori di tale intervallo. Si vuole determinare un insieme di N funzioni ortonormali definite sull’intervallo [0, T ], tali che un qualunque segnale si (t) possa essere espresso come combinazione lineare di tali funzioni. La cardinalità di tali funzioni ortonormali sarà inferiore o uguale alla cardinalità dei possibili segnali trasmessi, N ≤ M . Il procedimento di Gram-Schmidt opera nel seguente modo: • Si pone v1 (t) = s1 (t) e successivamente si determina la prima funzione ortonormale: v1 (t) ψ1 (t) = p (6.9) Ev1 dove Ev1 è determinata secondo l’eq.(6.1);

98


• Si calcola la seconda funzione ortonormale, ψ2 (t), definendo la funzione v2 (t) nel seguente modo v2 (t) = s2 (t)− < s2 (t), ψ1 (t) > ψ1 (t)

(6.10)

cioè si sottrae a s2 (t) la sua componente lungo la funzione ψ1 (t). La funzione ψ2 (t) è cos`ı ottenuta v2 (t) ψ2 (t) = p Ev2

(6.11)

• Si continuano a calcolare i segnali vi (t) per ogni segnale si (t) della costellazione degli M segnali vi (t) = si (t) −

i−1 X

< si (t), ψj (t) > ψj (t)

(6.12)

j=1

e successivamente si determinano le restanti funzioni ortonormali vi (t) ψi (t) = p Evi

(6.13)

Può accadere che per una o pi` u funzioni si verifichi la condizione vi (t) = 0. In questo caso il segnale si (t) viene descritto dalle funzioni della base precedentemente costruite e quindi non è necessario utilizzare la funzione ψi (t). In questo caso si ottiene che N < M . Esempio. Segnali Antipodali Due segnali s1 (t) e s2 (t) si dicono antipodali se s1 (t) = −s2 (t). In questo caso per descrivere i due segnali è sufficiente una sola funzione ψ1 (t), per cui M = 2 e N = 1. Nel caso in cui i due segnali abbiano la stessa energia E, si ottiene la seguente rappresentazione √ grafica, figura√6.2. La rappresentazione √ dei due √ segnali è quindi s1 (t) = Eψ1 (t) (s1 = E) e s2 (t) = − Eψ1 (t) (s2 = − E) Esempio. Segnali Ortogonali Gli M segnali s1 (t), s2 (t), ..., sM (t) sono detti ortogonali se < si (t), sj (t) >= 0 ∀ i j con i 6= j. In questo caso occorre utilizzare N = M funzioni orto` normali per descrivere i segnali. La funzione ψi (t) per 1 ≤ i ≤ M definita come si (t) ψi (t) = p . (6.14) Esi Se tutti gli M segnali si (t) hanno la stessa energia E, il vettore corrispondente a si (t) risulta √ si (t) = (0, 0, ..., 0, si,i = E, 0, ..., 0). (6.15)

99


Figura 6.2: Segnali antipodali: a) rappresentazione vettoriale; b) esempio di segnali antipodali

Figura 6.3: Esempio di funzioni ortogonali e corrispondente rappresentazione vettoriale.

si veda figura 6.3. Esempio. Segnali Biortogonali Si considerino quattro segnali che soddisfano le seguenti condizioni: ½ s1 (t) = −s3 (t) s2 (t) = −s4 (t)

(6.16)


100

Questi segnali, detti segnali biortogonali, possono essere descritti mediante una base di due funzioni ortonormali ψ1 (t) e ψ2 (t) definite nel seguente modo si (t) ψi (t) = p Esi

(6.17)

per i = 1 e i = 2. Nel caso in cui i quattro segnali abbiano la stessa energia E, possono essere rappresentati nello spazio bidimensionale come √  E, s = (  1 √ 0)   s2 = (0,√ E) (6.18)  s3 = (− E, 0)  √  s4 = (0, − E) si veda figura 6.4.

6.3

Trasmissione su canali vettoriali

Si consideri il caso in cui M segnali diversi sono trasmessi. Questi segnali possono essere descritti mediante N funzioni ortonormali con N ≤ M . Ad ogni segnale si (t) può essere associato un vettore si = (si,1 , si,2 , ..., si,N ) dove si,m rappresenta la proiezione del segnale sulla funzione ortonormale ψm (t). Si supponga inoltre che il canale di trasmissione introduca un rumore AWGN cos`ı che il segnale ricevuto, trasmesso il simbolo ai ,: r(t) = si (t) + n(t)

(6.19)

dove n(t) è il rumore. I due segnali r(t) e n(t) possono essere rappresentati mediante una serie generalizzata di Fourier utilizzando un insieme di funzione ortonormali, che indichiamo con φm (t). In questo caso sono necessarie infinite funzioni ortonormali per descrivere i due segnali r(t) e n(t). Definendo ( RT rm = 0 r(t) · φm (t)dt RT (6.20) nm = 0 n(t) · φm (t)dt r(t) e n(t) possono essere descritti mediante i due vettori r = (r1 , r2 , r3 ...) e n = (n1 , n2 , n3 ...), rispettivamente. Le funzioni φm (t) possono essere qualsiasi, tuttavia una scelta ovvia è quella di considerare φm (t) = ψm (t) per 1 ≤ i ≤ N e ψm (t) per m > N un insieme qualsiasi di funzioni ortonormali. In queste ipotesi si può scrivere ½ rm = si,m + nm per 1 ≤ m ≤ N (6.21) r m = nm per m>N


101

Figura 6.4: Segnali biortogonali: a) rappresentazione vettoriale dei segnali biortogonali; b) esempio di segnali biortogonali

Nell’ipotesi di canale AWGN, le varie componenti di rumore nm sono scorrelate tra di loro, per cui dall’osservazione della componente nm non si nessuna informazione sulle altre componenti. Pertanto, le componenti rm = nm per m > N non forniscono informazioni sulle prime N componenti e quindi sulla


102

scelta del segnale trasmesso. In questo caso si dice che le prime N componenti costituiscono una statistica sufficiente per la scelta del segnale. Naturalmente, questa ipotesi non risulta pi` u valida quando cambia il tipo di rumore introdotto dal canale di comunicazione. Definiamo i seguenti due vettori r e n: ½ r = (r1 , r2 , r3 , ..., rN ) (6.22) n = (n1 , n2 , n3 , ..., nN ) l’eq.(6.19) può essere scritta in forma vettoriale r = si + n

(6.23)

sulle prime N componenti. Di conseguenza si può supporre di trasmettere segnali vettoriali e quindi che il ricevitore operi su vettori. Questa rappresentazione è molto utile sia per valutare le prestazioni dei segnali in presenza di rumore, sia per individuare la struttura ottima del ricevitore. Consideriamo adesso le statistiche delle componenti ni del rumore nel caso in cui il canale di comunicazione introduca un rumore AWGN a media nulla e varianza N20 . La componente ni , ottenuta dall’eq.(6.22), è una variabile aleatoria di tipo gaussiano e risulta perciò completamente definita una volta noto il suo valor medio e la sua varianza. Il valor medio di ni risulta uguale a hZ T i Z T mni = E[ni ] = E n(t) · ψi (t)dt = E[n(t)] · ψi (t)dt = 0 (6.24) 0

0

essendo E[n(t)] = 0 per ipotesi. La varianza di ni è σn2 i = E[n2i ] − m2ni = E[n2i ] per cui σn2 i

hZ

Z

T

=E 0

i

T

n(t1 ) · ψi (t1 )dt1

(6.25)

n(t2 ) · ψi (t2 )dt2

(6.26)

0

Scambiando l’operazione di integrazione con l’operatore di media, si ottiene Z TZ T 2 σni = E[n(t1 ) · n(t2 )]ψi (t1 )ψi (t2 )dt1 dt2 . (6.27) 0

0

La funzione di autocorrelazione del rumore AWGN risulta uguale a Rn,n (t1 , t2 ) = E[n(t1 ) · n(t2 )] = N20 δ(t1 − t2 ), quindi l’eq.(6.27) può essere scritta come Z Z Z N0 T 2 N0 N0 T T 2 δ(t1 − t2 )ψi (t1 )ψi (t2 )dt1 dt2 = ψi (t1 )dt1 = σni = 2 0 0 2 0 2 (6.28) essendo le funzioni ortonormali, ψi (t), ad energia unitaria. Le componenti ni mantengono la stessa media e varianza di n(t).


6.4

103

Ricevitore ottimo a massima verosimiglianza

Il ricevitore deve decidere quale simbolo è stato trasmesso osservando il segnale ricevuto r(t) o il corrispondente vettore r. Supponiamo che il simbolo trasmesso sia ai e che il canale sia di tipo AWGN. Il ricevitore ottimo è quello che minimizza la probabilità di errore. Pertanto si vuole determinare il criterio da seguire per decidere sul simbolo ricevuto in modo da minimizzare la probabilità di errore. Per questo definiamo P (si |r) = P (ai |r)

(6.29)

la probabilità che sia stato trasmesso il simbolo ai condizionata al fatto che sia stato ricevuto il segnale r. Il ricevitore effettua una decisione non corretta se sceglie il simbolo aj con j 6= i come simbolo trasmesso. Indicando con Pe|r la probabilità di errore condizionata ad aver ricevuto r, si ha Pe|r = 1 − Pc|r

(6.30)

dove Pc|r rappresenta la probabilità di corretta ricezione supponendo di aver ricevuto r. La probabilità di errore risulta quindi uguale a Z Pe = Pe|r p(r)dr (6.31) r

dove p(r) rappresenta la densità di probabilità di r e l’integrale si intende esteso a tutto lo spazio a N dimensioni di r. Poichè p(r) risulta non negativa, la probabilità di errore Pe è minimizzata se per ogni valore di r il ricevitore sceglie il simbolo aj per cui P (aj |r) è massima. La regola ottima di decisione sceglie il simbolo aj per cui P (aj |r) = max P (ak |r). 1≤k≤M

(6.32)

Se esistono uno o pi` u simboli aj , che hanno lo stesso valore massimo P (aj |r), si può scegliere in modo arbitrario uno qualsiasi di questi simboli. Per poter applicare la regola di decisione ottima, occorre conoscere P (aj |r) u semplice valutare la per tutti i simboli aj e i segnali r. Spesso risulta pi` densità di probabilità p(r|aj ). Utilizzando la formula di Bayes, eq.(1.54), la regola ottima di decisione dell’eq.(6.32) risulta uguale a p(r|aj ) · P (aj ) p(r|ak ) · P (ak ) = max 1≤k≤M p(r) p(r)

(6.33)


104

dove P (aj ) rappresenta la probabilità a priori del simbolo aj . Essendo r e n indipendenti tra di loro, dall’eq.(1.63), si ha p(r|aj ) = p(r|sj ) = pn (r − sj ) = pn (n)

(6.34)

dove pn (n) rappresenta la densità di probabilità di n. Pertanto la regola di decisione ottima risulta pn (r − sj )P (aj ) = max pn (r − sk ) · P (ak ) 1≤k≤M

(6.35)

Un ricevitore che utilizza la precedente regola di decisione minimizza la probabilità di errore e prende il nome di ricevitore a massima verosimiglianza. Consideriamo il caso in cui n(t) è AWGN a media nulla e varianza N20 . In questo caso, dato che le componenti sono scorrelate tra di loro e gaussiane, quindi indipendenti, la densità di probabilità congiunta di tutte le componenti è espressa dal prodotto della densità di probabilità di ogni componente: ³ 1 ´ N2 − pn (n) = pn (r−sj ) = pn (rk −sj,k ) = e N0 2π 2 k=1

PN 2 k=1 (rk −sj,k ) N0 2 2

³ 1 ´ N2 kr−sj k2 − N0 = e . πN0 (6.36) Tenendo presente che ln(x) è una funzione monotona crescente di x si può considerare il logaritmo naturale di ambedue i membri nell’eq.(6.34) e cambiando di segno si ottiene ° ° °r − sj °2 − N0 · ln[P (aj )] = min {kr − sk k2 − N0 · ln[P (ak )]}. (6.37) N Y

1≤k≤M

Definendo

Z Cj = r · sj =

T

r(t) · sj dt

(6.38)

0

tenendo presente che Esi = ksi (t)k2 e sviluppando i termini quadratici dell’eq.(6.37) la regola di decisione ottima può essere alternativamente scritta come r · sj −

Esj N0 Es N0 + · ln[P (aj )] = max {r · sk − k + · ln[P (ak )]}. (6.39) 1≤k≤M 2 2 2 2

Le due regole (eq.(6.37) e eq.(6.39)) rappresentano due metodi equivalenti per effettuare la decisione ottima e quindi possono essere utilizzate per la realizzazione del ricevitore ottimo. Si definisce distanza euclidea tra due segnali r e sj la grandezza s Z T ° ° ° ° De = r − s j = [r(t) − sj (t)]2 dt. (6.40) 0

105


Nei casi di segnali con la stessa energia, di definisce la distanza euclidea normalizzata De de = √ . (6.41) 2E La struttura ottima del ricevitore è quella mostrata nella figura 6.5(a) nel caso in cui si utilizza la regola di decisione dell’eq.(6.37). Tale ricevitore viene detto ricevitore a distanza minima. Analogamente, poichè l’eq.(6.38) corrisponde al prodotto di correlazione tra i segnali r(t) e sj (t), il ricevitore dell’eq.(6.39) prende il nome di ricevitore a massima correlazione, come mostrato in figura 6.5(b). Le due strutture sono equivalenti da un punto di vista delle prestazioni. Nel caso in cui i segnali abbiano la stessa energia e la stessa probabilità a priori, la regola di decisione dell’eq.(6.37) diventa ° ° °r − sj °2 = min {kr − sk k2 } (6.42) 1≤k≤M

come mostrato in figura 6.6(a), mentre per l’eq.(6.39) diventa r · sj = max {r · sk } 1≤k≤M

(6.43)

come mostrato in figura 6.6(b).

6.5

Criterio Maximum A Posteriori (MAP)

In molti casi può risultare conveniente visualizzare i diversi segnali e le regioni di decisione utilizzate per la scelta dei diversi simboli. Per questo motivo introduciamo alcune definizioni, che sono particolarmente utili per il calcolo della probabilità di errore e per la realizzazione di strutture ottime di ricezione. Il criterio MAP permette di determinare nello spazio vettoriale ottenuto con il procedimento di Gram-Schmidt, paragrafo 6.2, le regioni di decisione. Si definisce regione di decisione relativa al simbolo i-esimo (1 ≤ i ≤ M ), indicata con Ii , l’insieme di tutti i vettori r che sono demodulati nel simbolo ai in modo tale da massimizzare la probabilità di corretta ricezione, come nell’eq.(6.32): Ii = {r ∈ S : p(r|si )P (si ) = max P (ak |r) ∀ j = 1, ..., M } = 1≤k≤M

= {r ∈ S : p(r|si )P (si ) ≥ p(r|sj )P (sj ) ∀ j = 1, ..., M }

(6.44)


106

Figura 6.5: Ricevitore Ottimo: a) ricevitore a distanza minima; b) ricevitore a correlazione

La regione di decisione Ii può essere alternativamente calcolata come l’intersezione di pi` u regioni di decisione calcolate tra coppie di segnali secondo la relazione M \ Ii = Ii,j (6.45) j=1 (j6=i)


107

Figura 6.6: Ricevitore ottimi per segnali iso-energetici ed equiprobabili: a) ricevitore a distanza minima; b) ricevitore a correlazione

con Ii,j = {r ∈ S : p(r|si )P (si ) ≥ p(r|sj )P (sj )}.

(6.46)


108

Supponendo il rumore AWGN e sfruttando i risultati delle eq.(6.35) e (6.36), si ottiene

= = = =

{p(r/si )P (si ) ≥ p(r/sj )P (sj )} = ( ) ³ ´ N2 kr−si k2 ³ ´ N2 kr−sj k2 − − 1 N0 e N0 P (si ) ≥ πN1 0 e P (sj ) = πN0 ° °2 {− kr − si k2 + N0 · ln[P (ai )] ≥ − °r − sj ° + N0 · ln[P (aj )]} = {−E ) · sj + N0 · ln[P (aj )]} = ( si + 2r · si + N0 · ln[P (ai )] ≥ −Esj + 2r h i ³ E −E ´ si sj P (a ) r · (si − sj ) ≥ N20 · ln P (aji ) + 2 (6.47)

e quindi ( Ii,j =

" # Ã !) Esi − Esj N0 P (aj ) r ∈ S : r · (si − sj ) ≥ · ln + . (6.48) 2 P (ai ) 2

Osservazione: Propriet` a geometriche delle regioni di decisione Le regioni di decisione sono molto utili nell’analisi di un sistema di segnali, sia per caratterizzare le proprietà di essi, sia nel definire la struttura del ricevitore ottimo. In vari casi non sono facilmente definibili ed utilizzabili; tuttavia, esse godono di alcune proprietà che consentono di semplificare la loro struttura • Propriet` a1 L’insieme delle probabilità condizionate, p(r ∈ Ii /aj ), dipende esclusivamente dall’insieme dei vettori si (t) e dalle probabilità a priori P (aj ), ma non dalla scelta delle funzioni ortonormali, ψj (t). • Propriet` a2 Dato un arbitrario insieme di segnali, l’insieme delle probabilità condizionate è uguale a quello di un qualunque altro insieme di segnali ottenuto dal precedente mediante un moto rigido. In altre parole, una trasformazione che lasci inalterate le posizione relative dei segnali non modifica la probabilità di errore. Pertanto traslazioni rigide o rotazioni rigide non influenzano la probabilit` a di errore.

109


6.6

Limite superiore della probabilit` a di errore (Union Bound)

In molti casi il calcolo esatto della probabilità di errore può risultare impossibile o molto complesso da effettuare. In questi casi si preferisce spesso fornire limiti inferiori e superiori sulla probabilità di errore. In questo paragrafo descriviamo un limite superiore sulla probabilità di errore, detto Union Bound, che risulta generalmente semplice da calcolare e che perciò viene spesso utilizzato nelle applicazioni pratiche. Questo limite risulta stretto (cioè fornisce un’indicazione della probabilità di errore vicina a quella reale) soltanto per alti rapporti segnale rumore, mentre per bassi rapporti segnale rumore il limite è spesso inutilizzabile. Indichiamo con I i la regione complementare della regione di decisione Ii relativa al simbolo ai I i = {r ∈ S : p(r|si )P (si ) ≤ p(r|sj )P (sj ) ∀ j = 1, ..., M }

(6.49)

con I i = S − Ii . Tale regione può essere espressa anche come M [

Ii =

I i,j

(6.50)

j=1 (j6=i)

dove I i,j = {r ∈ S : p(r|si )P (si ) ≤ p(r|sj )P (sj )}.

(6.51)

Dal teorema della probabilità totale (eq.(1.53)), la probabilità di errore può essere espressa come M X Pe = Pe|si P (si ) (6.52) i=1

supponendo i simboli emessi dalla sorgente in modo equiprobabile P (si ) =

1 ∀ i = 1, ..., M M

(6.53)

da cui Ã M M M 1 X 1 X 1 X Pe = Pe|si = P (r ∈ I i /si ) = P r∈ M i=1 M i=1 M i=1

M [

! I i,j |si

j=1 (j6=i)

(6.54)


110

e considerando che la probabilità dell’unione di pi` u eventi può essere maggiorata con la somma delle probabilità dei singoli eventi, eq.(1.50), Ã ! M M M M [ 1 X 1 X X Pe = P r∈ I i,j |si ≤ P (r ∈ I i,j |si ) (6.55) M i=1 M i=1 j=1 (j6=i)

j=1 (j6=i)

Il calcolo di P (r ∈ I i,j /si ) è molto semplice una volta nota la distanza euclidea, De(i,j) , tra i due segnale si e sj . Infatti si ottiene Ãs P (r ∈ I i,j /si ) = Q

2 De(i,j)

! (6.56)

2N0

L’espressione dell’Union Bound è quindi M M 1 X X Q UB = M i=1 j=1 (j6=i)

Ãs

2 De(i,j)

2N0

! .

(6.57)

L’eq.(6.57) può essere approssimata anche con la seguente espressione Ãs ! 2 D 2α e,min UB ∼ Q (6.58) = M 2N0 dove De,min è la distanza euclidea minima tra tutte le possibile coppie di segnali e α è il numero di coppie di segnali a distanza euclidea minima.

6.7

Valutazione delle prestazioni nelle modulazioni digitali

La trasmissione di segnali numerici (dati o segnali campionati) richiede lo sviluppo di tecniche di modulazioni diverse rispetto a quelle utilizzate per segnali analogici. Anche in questo caso il segnale informativo modula una portante generalmente di tipo sinusoidale analoga a quella utilizzata nelle modulazioni analogiche. Tuttavia, esistono numerose differenze tra modulazioni analogiche e digitali, per cui è necessario trattare separatamente i due tipi di tecniche. I principali parametri che caratterizzano una modulazione digitale sono la probabilità di errore, il tipo di demodulatore richiesto e la banda occupata. Questi parametri possono variare in modo significativo a secondo del tipo di


111

modulazione utilizzata. Il simbolo informativo trasmesso nell’i-esimo intervallo può assumere un valore tra gli M simboli dell’alfabeto A. Naturalmente se M = 2 si ha una trasmissione binaria, che rappresenta il caso pi` u frequente. I sistemi non binari consentono in generale di ottenere maggiori velocità di trasmissione (bit rate) dlog2 (M )e (6.59) Rb/s = Tsimb (Tsimb durata del simbolo), ma tipicamente presentano probabilità di errore pi` u elevate rispetto ai sistemi binari. In particolare la probabilità di errore può essere espressa in funzione del rapporto energia per bit/densità spettrale Eb Eb di potenza media di rumore, N , cioè Pe = f ( N ). L’espressione esatta della 0 0 Eb funzione della Pe dipende dal tipo di modulazione utilizzata. Il termine N 0 può essere calcolato nel sistema di trasmissione numerico di figura 6.7 nel seguente modo Ptx Gtx Grx Eb Ptx Gtx Grx Lf s = = (6.60) N0 N0 Rb/s Lf s N0 Rb/s dove N0 = k · Tsistema (Tsistema relativa ai quadripoli dopo l’antenna ricevente (se presenti)) ed in scala logaritmica ¯ Eb ¯¯ ¯ = Ptx (dB) +Gtx (dB) +Grx (dB) −Lf s (dB) −10·log10 (N0 )−10·log10 (Rb/s ). N0 ¯ dB (6.61)

Figura 6.7: Trasmissione e ricezione in un sistema digitale

6.8

Modulazione On-Off Keying (OOK)

Come nel caso dei segnali analogici, le modulazioni che consideriamo consistono nella variazione dell’ampiezza o della fase o della frequenza della portante in funzione del segnale informativo. Data quindi una portante sinusoidale, la modulazione OOK consiste nel far variare l’ampiezza della portante in funzione del segnale informativo. Indicando con Tsimb la durata del simbolo, il


112

segnale s1 (t) corrisponde al simbolo 0, mentre il segnale s2 (t) corrisponde al simbolo 1: ( s1 (t) = 0q [0, Tsimb ] (6.62) 2E s2 (t) = Tsimb cos(2πf0 t) [0, Tsimb ] Un esempio di segnale OOK è mostrato nella figura 6.8, in cui si suppone di trasmettere la sequenza 0, 1, 0, 1, 1. Se ai = 0 non viene trasmesso alcun segnale, mentre per ai = 1 viene trasmessa una sinusoide a frequenza f0 per una durata Tsimb . Un segnale OOK può essere demodulato sia con

Figura 6.8: Segnale Modulato OOK

una tecnica coerente (cioè con il recupero della portante), sia mediante una tecnica incoerente (senza recupero della portante). Valuteremo soltanto il primo caso.

6.8.1

Demodulazione coerente di un segnale OOK e probabilit` a di errore

I due segnali corrispondenti s1 (t) e s2 (t) possono essere descritti mediante una sola funzione ortonormale ψ1 (t) definita come r 2 ψ1 (t) = cos(2πf0 t) [0, Tsimb ]. (6.63) Tsimb La rappresentazione vettoriale di questi segnali è mostrata nella figura 6.9(a). La distanza euclidea normalizzata tra i due segnali è uguale ad 1. La demodu-

113


lazione coerente di un segnale OOK può essere effettuata mediante il circuito mostrato nella figura 6.9(b). Il segnale ricevuto r(t) viene moltiplicato per il segnale ψ1 (t). Se indichiamo z il segnale all’uscita del filtro passa-basso, in assenza di rumore si ottiene ½ 0 se ai = 0 z= √ (6.64) E se ai = 1 1 posto f0 = Tsimb . Come stabilito nel criterio MAP, nel caso di segnali equiprobabili (P (a1 ) = √ E P (a2 ) = 0.5) il ricevitore sceglie il simbolo 1 se z > 2 , mentre nel caso opposto sceglie il simbolo 0. Supponiamo che il simbolo da trasmettere sia

Figura 6.9: Modulazione OOK: a) rappresentazione vettoriale dei segnali; b) demodulatore OOK

1 e quindi venga trasmesso il segnale s2 (t). Nel caso di canale AWGN, il segnale ricevuto è uguale a r(t) = s2 (t) + n(t). Il ricevitore effettua una √ E decisione errata se z < 2 , per cui la probabilità di errore condizionata alla trasmissione del bit 1 risulta ³ ³√ √ ´ √ ´ E Pe|s2 = P E + n < 2 = P n < − 2E = =

R − √E 2

−∞

Ã q

= Q

q 1 N 2π 20

!

−

e

n2 N 2· 20

q

dn =

R−

−∞

E 2N0

2

v √1 e− 2 2π

dv =

(6.65)

E 2N0

e considerando che posto nel cambio di variabile dell’integrale v = √ n N0 /2 q E l’integrale della gaussiana da [−∞, − 2N ] è uguale all’integrale della guas0 q E siana da [ 2N , +∞] poichè la funzione è pari. Dato che i simboli sono 0 equiprobabili e che Pe|s1 = Pe|s2 , per il teorema della probabilità totale vale che Pe = 0.5 · Pe|s1 + 0.5 · Pe|s2 = Pe|s1 . L’energia media per bit Eb nel caso della modulazione OOK risulta uguale a Eb =

Es1 + Es2 0+E E = = 2 2 2

(6.66)


114

Eb per cui l’espressione della probabilità di errore in funzione del rapporto N 0 può essere scritta come Ãr ! Eb Pe = Q (6.67) N0

6.9

Modulazioni Phase Shift Keying (PSK)

Una tecnica di modulazione digitale molto utilizzata nelle applicazioni pratiche è la modulazione di fase, in cui la fase della portante assume valori diversi a seconda del simbolo da trasmettere. Questa modulazione viene spesso indicata con la sigla PSK e nel caso in cui l’alfabeto di sorgente sia costituito da M simboli si usa spesso la notazione M-PSK. Quando M = 2 si ottiene la modulazione BPSK e per M = 4 la modulazione QPSK. Tali modulazioni presentano spesso buone prestazioni per la trasmissione dati. In una modulazione M-PSK si hanno M differenti fasi, ciascuna delle quali viene associata ad un diverso simbolo. Il segnale si (t) corrispondente al simbolo ai = (i − 1) per 1 ≤ i ≤ M , può essere scritto r ³ 2E (i − 1)π ´ [0, Tsimb ] (6.68) si (t) = cos 2πf0 t + Tsimb M il segnale si (t) può essere scritto anche come r ³ (i − 1)π ´ ³ ´ r 2E ³ (i − 1)π ´ ³ ´ 2E si (t) = cos cos 2πf0 t − sen sen 2πf0 t [0, Tsimb ] Tsimb M Tsimb M (6.69) I segnali M-PSK con M > 2 possono essere descritti mediante le due funzioni ortonormali  q 2  ψ1 (t) = cos(2πf0 t) [0, Tsimb ] q Tsimb . (6.70) 2  ψ2 (t) = sen(2πf t) [0, T ] 0 simb Tsimb La demodulazione di un segnale PSK può essere effettuata soltanto in modo coerente, cioè ricostruendo la fase e la frequenza della portante.

6.9.1

Modulazione BPSK e probabilit` a di errore

Nel caso in cui M = 2, i somboli informativi possono assumere soltanto due valori, 0 e 1. I segnali modulati risultano perciò  q 2E  s1 (t) = cos(2πf0 t) [0, Tsimb ] q Tsimb q (6.71) 2E 2E  s2 (t) = cos(2πf t + π) = − cos(2πf t) [0, T ] 0 0 simb Tsimb Tsimb


115

Un esempio di segnale modulato è mostrato in figura 6.10(a), in cui si suppone di trasmettere la sequenza 0, 1, 0, 1, 1. Come si può osservare tutte le volte che il simbolo informativo cambia, la fase del segnale modulato presenta una variazione di π. In questi istanti il segnale modulato ha forti discontinuità, per cui la banda necessaria alla trasmissione di un segnale BPSK risulta elevata. Essendo s1 (t) = −s2 (t), i due segnali sono antipodali e possono essere scritti

Figura 6.10: Modulazione BPSK: a) segnale modulato BPSK; b) rappresentazione vettoriale di un segnale BPSK

mediante un’unica funzione ortonormale r 2 ψ1 (t) = cos(2πf0 t) Tsimb

(6.72)

La rappresentazione grafica dei due segnali nello spazio S è mostrata nella figura 6.10(b). I due segnali hanno la stessa energia E, per cui la distanza euclidea normalizzata tra i due segnali risulta d21,2 = 2. La probabilità di errore per i due segnali risulta Pe = 0.5 · Pe|s1 + 0.5 · Pe|s2 considerando i due segnali equiprobabili. Come stabilito dal criterio MAP, l’errore in ricezione è commesso se il segnale è minore di 0 se è stato trasmesso s1 (t) mentre maggiore di 0 se è stato trasmesso s2 (t). Si ottiene quindi √ √ Pe|s1 = P ( E + n < 0) = P (n < − E) = q n2 √ 2E − R− E R− N N0 v2 = −∞ q 1 N0 e 2· 2 dn = −∞ 0 √12π e− 2 dv = 2π 2 (6.73) ! Ã q 2E = Q N0


Lo stesso risultato si ottiene considerando Pe/s2 e cos`ı Ãr ! Ãr ! 2E 2Eb Pe = Q =Q N0 N0

116

(6.74)

dato che Eb = E. L’andamento della probabilità di errore è mostrato in Eb figura 6.11 (curva a) in funzione di N . 0

Figura 6.11: Probabilità di errore di alcune modulazioni binarie

6.9.2

Modulazione QPSK e probabilit` a di errore

La modulazione QPSK utilizza 4 fasi diverse per trasmettere 4 possibili valori per ogni intervallo di simbolo, Tsimb , e quindi è una modulazione PSK con M = 4. I quattro segnali risultano sfasati di π2 l’uno rispetto all’altro. Nella figura 6.12(a) viene rappresentato un esempio di segnale modulato QPSK nel caso in cui la sequenza informativa sia {0, 2, 1, 0, 3, 1}; sono visibili le discontinuità di fase presenti all’inizio dell’intervallo di simbolo. I segnali trasmessi possono essere rappresentati con due funzioni ortonormali, per cui possiedono una componente in fase e una componente in quadratura. La rappresentazione vettoriale per i quattro segnali corrispondenti ai simboli


117

dell’alfabeto A sono mostrati nella figura 6.12(b). Questi segnali soddisfano le seguenti condizioni: ½ s1 (t) = −s3 (t) (6.75) s2 (t) = −s4 (t) e quindi sono segnali bi-ortogonali. La loro rappresentazione vettoriale coincide con quella mostrata nella figura 6.12(b). La distanza euclidea normalizzata tra due segnali si (t) e sj (t) dipende da i e j. In particolare, si ha d21,2 = d21,4 = 1, mentre d21,3 = 2. Le distanze tra gli altri segnali sono analoghe alle precedenti. Lo schema per la demodulazione di un segnale QPSK è mostrato nella figura 6.12(c) e risulta formato da quattro rami paralleli, in ciascuno dei quali si valuta la correlazione tra il segnale ricevuto ed uno dei possibili segnali trasmessi. Uno schema alternativo per la demodulazione di un segnale QPSK è mostrato nella figura 6.12(d), in cui si hanno due rami paralleli. Il primo ramo consente di valutare la componente in fase, mentre sul secondo ramo la componente in quadratura. Il circuito di decisione ha lo scopo di individuare il simbolo trasmesso. La probabilità di errore della modulazione QPSK è uguale a " Ãr !#2 E Pe = 1 − 1 − Q (6.76) N0 dove E rappresenta l’energia per simbolo. Per confrontare il risultato ottenuto con la BPSK, conviene esprimere E in funzione di Eb . Poichè l’alfabeto è composto da 4 simboli, la trasmissione di un simbolo nella modulazione QPSK è equivalente alla trasmissione di due simboli binari, per cui Eb = E2 , quindi " Ãr !#2 Ãr ! 2Eb 2E b ∼ Pe = 1 − 1 − Q (6.77) =2· N0 N0 Eb La probabilità di errore di una modulazione QPSK in funzione di N è mo0 strata nella figura 6.13; per completezza nella figura viene riportata anche la probabilità di errore di una modulazione BPSK. Si può notare che per Eb un fissato valore di N , una modulazione QPSK presenta una probabilità di 0 errore Pe leggermente superiore a quella della BPSK (Pe QP SK = 2·Pe BP SK ).


Figura 6.12: Modulazione QPSK: a) esempio di segnale modulato QPSK; b) rappresentazione vettoriale dei segnali; c) demodulatore QPSK con quattro rami paralleli; d) demodulatore QPSK con due rami paralleli

118


119

Figura 6.13: Probabilità di errore di una modulazione QPSK

6.10

Modulazioni Frequency Shift Keying (FSK)

6.10.1

Caratteristiche della modulazione FSK

Come nel caso analogico si può utilizzare una modulazione di frequenza per trasmettere segnali digitali. La modulazione FSK utilizza M frequenze diverse per trasmettere gli M simboli dell’alfabeto A, per cui il segnale modulato può essere scritto r 2E cos(2πfi t) [0, Tsimb ] (6.78) si (t) = Tsimb dove fi per 1 ≤ i ≤ M rappresenta la frequenza utilizzata per trasmettere l’i-esimo simbolo. La scelta delle frequenze fi è molto importante, in quanto influenza sia la banda di trasmissione, sia la probabilità di errore.


6.10.2

120

Modulazione BFSK

Nel caso binario (M = 2) i due segnali s1 (t) e s2 (t) risultano  q 2E  s1 (t) = cos(2πf1 t) [0, Tsimb ] q Tsimb 2E  s2 (t) = cos(2πf2 t) [0, Tsimb ] Tsimb

(6.79)

Generalmente si sceglie f1 = f0 −∆f e f2 = f0 +∆f , dove f0 prende il nome di frequenza della portante. Un esempio di segnale modulato FSK è mostrato nella figura 6.14, supponendo di trasmettere la sequenza {0, 1, 0, 1, 1} (nel disegno si è supposto f2 = 4f1 per evidenziare la differenza tra il segnale corrispondente al simbolo 0 e quello corrispondente al simbolo 1). Valutiamo

Figura 6.14: Esempio di segnale modulato FSK

adesso le caratteristiche di un segnale BFSK al variare di ∆f . Per questo si definisce coefficiente di autocorrelazione, ρ, tra i due segnali s1 (t) e s2 (t) il parametro Z 1 Tsimb ρ= s1 (t) · s2 (t)dt. (6.80) E 0 La correlazione è legata alla distanza euclidea normalizzata tra i due segnali dalla seguente relazione d21,2 = 1 − ρ. (6.81)


121

Per un segnale BFSK si ha Ã !¯Tsimb Z Tsimb Z Tsimb ¯ 2E t sen(4πf t) 2E ¯ 1 Es1 = s21 (t)dt = + cos2 (2πf1 t)dt = ¯ ¯ T T 2 4πf simb 0 simb 1 0 0 (6.82) posto 4πf1 Tsimb = k1 π vale Es1 = E e Ã !¯Tsimb Z Tsimb Z Tsimb ¯ 2E t sen(4πf t) 2E ¯ 2 Es2 = s22 (t)dt = + cos2 (2πf2 t)dt = ¯ ¯ T T 2 4πf simb 0 simb 2 0 0 (6.83) posto 4πf2 Tsimb = k2 π vale Es2 = E; mentre ρ R Tsimb 2 ρ = Tsimb cos(2πf1 t) · cos(2πf2 t)dt = Ã0 !¯Tsimb ¯ (6.84) sen(4π(f2 −f1 )t) sen(4π(f2 +f1 )t) ¯ 2 = Tsimb + ¯ 4π(f2 −f1 ) 4π(f2 +f1 ) ¯ 0

Essendo f0 =

f1 +f2 2

e 2πf0 Tsimb = kπ, si ottiene

sen(2π(f2 − f1 )Tsimb ) 2π(f2 − f1 )Tsimb Si definisce indice di modulazione h ρ=

h = (f2 − f1 )Tsimb

(6.85)

(6.86)

per cui

sen(2πh) . (6.87) 2πh La correlazione ρ è mostrata nella figura 6.15 in funzione dell’indice di mo2 dulazione h. La correlazione assume il valore minimo uguale a − 3π per h = 0.715. Si può notare che ρ = 0 per h = 0.5 e h = 1, per h ≤ 1. Per questi due valori di h i due segnali s1 (t) e s2 (t) sono ortogonali tra di loro. Definendo ψ1 (t) e ψ2 (t) le due seguenti funzioni ortonormali  q 2  ψ1 (t) = cos(2πf1 t) [0, Tsimb ] Tsimb q (6.88) 2  ψ2 (t) = cos(2πf t) [0, T ] 2 simb Tsimb ρ=

Per h = 0.5 e h = 1 si ha che la distanza euclidea normalizzata è uguale a 1. Le modulazioni FSK con h = 0.5 e h = 1 hanno la stessa probabilità di errore; tuttavia il caso h = 0.5 è di particolare interesse perchè la banda di trasmissione risulta minore rispetto al caso h = 1. Quando h = 0.5 la modulazione viene indicata con la sigla FFSK (Fast FSK) e la distanza tra 1 , mentre nel caso h = 1 si ha le due frequenze è uguale a f2 − f1 = 2Tsimb 1 f2 − f1 = Tsimb .


122

Figura 6.15: Correlazione tra i segnali FSK in funzione dell’indice di modulazione

6.10.3

Demodulazione coerente di un segnale FSK e probabilit` a di errore

Il valore di h influenza la banda di trasmissione, poichè all’aumentare di h le due frequenze h1 e h2 sono maggiormente distanti, allo stesso tempo h influenza la probabilità di errore. Valutiamo quindi la proabilità di errore nel caso di canale AWGN. Lo schema del ricevitore ottimo è quello mostrato nella figura 6.16 considerando i segnali equiprobabili. Supponiamo di aver trasmesso il segnale s1 (t) e di aver ricevuto r(t) = s1 (t) + n(t), dove n(t) rappresenta il rumore gaussiano introdotto dal canale di comunicazione, che per le ipotesi fatte risulta a valor medio nullo e densità spettrale di potenza media pari a N0 /2. Indichiamo con u1 e u2 le variabili aleatorie all’uscita del primo e del secondo ramo dopo i due integratori, si ha: ( RT RT u1 = 0 simb s21 (t)dt + 0 simb s1 (t)n(t)dt RT RT (6.89) u2 = 0 simb s1 (t) · s2 (t)dt + 0 simb s2 (t)n(t)dt Per cui D = u1 − u2 risulta D = E(1 − ρ) + N

(6.90)


dove N è la variabile aleatoria Z Tsimb N= n(t) · [s1 (t) − s2 (t)]dt

123

(6.91)

0

a media nulla hZ

Tsimb

mN = E[N] = E

Z

i

Tsimb

n(t)[s1 (t)−s2 (t)]dt = 0

E[n(t)]·[s1 (t)−s2 (t)]dt = 0 0

(6.92)

2 e varianza σN uguale a

E[N2 ] = R Tsimb R Tsimb E[n(t1 )n(t2 )][s1 (t1 ) − s2 (t1 )][s1 (t2 ) − s2 (t2 )]dt1 dt2 = R0Tsimb N00 [s1 (t1 ) − s2 (t1 )]2 dt1 = 2 0 N0 · 2E(1 − ρ) = 2 N0 E(1 − ρ) (6.93) Poichè n(t) è un segnale aleatorio con densità di proabbilità gaussiana, a media nulla e varianza N20 , la variabile aleatoria D ha una densità di proba2 bilità, pD (D), gaussiana con media E(1 − ρ) e varianza σN . L’errore viene commesso quando u1 < u2 , cioè D < 0, per cui la probabilità di errore Pe/s1 risulta Z 0 Z −q E(1−ρ) [D−E(1−ρ)]2 N0 v2 1 1 − p √ e− 2 dv Pe/s1 = P (D < 0) = e 2E(1−ρ)N0 dD = 2π 2πE(1 − ρ)N0 −∞ −∞ (6.94) D−E(1−ρ) con il seguente cambio di variabili v = √ . 2 σN = = = = =

E(1−ρ)N0

Si ottiene quindi Ãs Pe = 0.5 · Pe|s1 + 0.5 · Pe|s2 = Pe|s1 = Q

! Eb (1 − ρ) . N0

(6.95)

considerando che Eb = E. La minima probabilità di errore si ottiene per segnali antipodali (BPSK) con ρ = −1, mentre nel caso di FSK la minima probabilità di errore si ottiene quando h = 0.715 con ρ = −0.212. Le precedenti considerazioni si riferiscono allo schema di demodulazione mostrato nella figura 6.16, che rappresenta uno schema di demodulazione coerente. La probabilità di errore di un segnale FSK ortogonale (ρ = 0) vale Ãr ! Eb Pe = Q (6.96) N0


124

Figura 6.16: Schema ottimo per la demodulazione coerente di un segnale FSK binario

ed è riportata nella figura 6.11(curva d). Si può osservare che la modulazione FSK ortogonale ha sempre prestazioni inferiori rispetto a quelle di una modulazione BPSK; in particolare per ottenere la stessa probabilità di errore Eb una modulazione FSK ortogonale richiede un valore di N superiore di 3dB 0 rispetto alla modulazione BPSK. Nella figura 6.17 è mostrata la probabilità di errore di un sistema FSK per diversi valori della correlazione ρ. La minima probabilità di errore si ottiene per h = 0.715; tuttavia la riduzione della probabilità di errore rispetto al caso h = 0.5 è compensato dal fatto che per h = 0.5 lo spettro del segnale modulato risulta pi` u compatto.

6.11

Modulazione Differential Phase Shift Keying (DPSK)

La modulazione PSK richiede il recupero della fase e della frequenza della portante, poichè l’informazione è contenuta nel valore assoluto della fase della portante. Tuttavia, in diversi sistemi di comunicazione, il recupero della portante con la richiesta precisione può risultare difficile a causa di disturbi o delle caratteristiche del canale di comunicazione. In questo caso le prestazioni di una modulazione PSK possono degradare facilmente a valori intollerabili e può risultare conveniente o necessario utilizzare modulazioni che non richiedono il recupero della portante. Un esempio di questo tipo di modulazione è rappresentato dalla DPSK. In un segnale DPSK l’informazione da trasmettere è contenuta nelle variazioni di fase da un intervallo al successivo, per cui non risulta necessario ricostruire il valore assoluto della fase della portante.


125

Figura 6.17: Probabilità di errore di un segnale FSK demodulato in modo coerente in Eb funzione di N per diversi valori dell’indice di modulazione h 0

Il segnale modulato DPSK può essere scritto nella forma r 2E si (t) = cos(2πf0 t + ϕi ) [0, Tsimb ] Tsimb

(6.97)

dove ϕi rappresenta la fase utilizzata per trasmettere il simbolo ci nell’i-esimo intervallo. Anche in questo caso, come nella modulazione BPSK, il simbolo 0 è sempre associato alla fase 0 ed il simbolo 1 alla fase π, nella modulazione DPSK però il valore della fase ϕi dipende dal valore ci e da ϕi−1 secondo la seguente regola ½ ϕi = ϕi−1 se ci = 0 (6.98) ϕi = ϕi−1 + π se ci = 1 In questo modo il simbolo 0 corrisponde ad una fase costante da un intervallo a quello successivo, mentre il simbolo 1 corrisponde ad una variazione di π. Un esempio della codifica delle fase ϕi in un segnale DPSK è mostrato nella figura 6.18(a), in cui sono riportate la sequenza informativa e la corrispondente sequenza di fasi ad essa associata. Lo schema di demodulazione di un segnale DPSK è mostrato nella figura 6.18(b). Il segnale ricevuto r(t) viene moltiplicato per una versione ritardata di Tsimb dello stesso segnale. Dopo l’integrazione ed il filtraggio passa-basso si ha z = E · cos(ϕi − ϕi−1 )

(6.99)


126

Figura 6.18: Modulazione DPSK: a) sequenza di simboli e corrispondenti fasi del segnale modulato; b) demodulatore DPSK

per cui in assenza di rumore risulta ½ z=E se ci = 0 z = −E se ci = 1

(6.100)

La decisione sul simbolo trasmesso viene perciò effettuata mediante una soglia centrata sullo 0. La demodulazione di un segnale DPSK non richiede la ricostruzione della portante e quindi il circuito di demodulazione risulta semplificato. Tuttavia, le prestazioni di una modulazione DPSK sono inferiori rispetto a quelle di un segnale BPSK con recupero della portante. Prima di determinare la probabilità di errore di un segnale DPSK, evidenziamo un inconveniente della demodulazione differenziale. Consideriamo il caso in cui la sequenza trasmessa sia quella mostrata nella figura 6.18(a) e supponiamo che le differenze di fase ricevute siano {0, π, π, 0, π, 0, π, 0} per cui si è verificato un errore sulla sesta fase; il demodulatore sceglie come sequenza trasmessa la seguente {0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1}; dal confronto con la sequenza trasmessa, si osserva che la sequenza demodulata contiene due errori, mentre il canale ha introdotto soltanto un errore. Questa propagazione dell’errore è tipica della demodulazione differenziale ed è dovuta al processo di memoria introdotto durante l’operazione di scelta delle fasi rappresentato dall’eq .(6.98).

6.11.1

Probabilit` a di errore di un segnale DPSK

Valutiamo adesso la probabilità di errore di un segnale DPSK nel caso di canale AWGN. Senza perdita di generalità si può supporre che l’(i − 1)-esimo


127

e l’i-esimo simbolo trasmesso sia uguale a 0, per cui ϕi−1 = ϕi . Inoltre se ni−1 (t) e ni (t) rappresentano il rumore introdotto nell’(i − 1)-esimo e nell’i-esimo intervallo, si: ½ ni (t) = ai cos(2πf0 t) − bi sen(2πf0 t) (6.101) ni−1 (t) = ai−1 cos(2πf0 t) − bi−1 sen(2πf0 t) Posto

r Ac =

e

½

2E Tsimb

xj = Ac + aj y j = bj

(6.102) (6.103)

con j = i − 1 o j = i, il segnale z all’uscita del filtro passa basso di figura 6.18(b) è 1 z = (xi · xi−1 + yi · yi−1 ) (6.104) 2 Il demodulatore commette un errore se z < 0, avendo supposto di trasmettere il simbolo c1 = 0. Si può facilmente osservare che ´ ³ í 1 h³ (xi +xi−1 )2 +(yi +yi−1 )2 − (xi −xi−1 )2 +(yi −yi−1 )2 xi ·xi−1 +yi ·yi−1 = 4 (6.105) Posto ½ u1 = xi + xi−1 ; u2 = xi − xi−1 (6.106) v1 = yi + yi−1 ; v2 = yi − yi−1 le variabili u1 , u2 , v1 e v2 sono gaussiane con varianza 2σ 2 , inoltre u1 ha valor medio uguale a 2Ac , mentre le altre tre variabili aleatorie hanno un valor medio uguale a 0. La covarianza delle quattro variabili aleatorie è uguale a 0 dato che tali variabili sono statisticamente indipendenti. Possiamo indicare con i termini aleatori R1 e R2 le seguenti espressioni p ½ R1 = pu21 + v21 (6.107) R2 = u22 + v22 La variabile aleatoria R1 ha una densità di probabilità di Rice, mentre R2 ha una densità di probabilità di Rayleigh. La probabilità di errore quindi è Pe = P (z < 0) = R21 −R22 = P ( 4 < 0) = = P (R1 < R2 ) Ã = ! R +∞ R +∞ = 0 pR1 (R1 ) R1 pR2 (R2 )dR2 dR1

(6.108)


128

avendo considerato che R1 e R2 sono maggiori o uguali a 0 per definizione. Poichè Ã ! R1 − A22c Ac · R1 pR1 (R1 ) = 2 e σ I0 (6.109) 2σ σ2 e pR2 (R2 ) = con

Z

+∞ R1

si ha

R1 − R222 e 4σ 2σ 2

R2 R1 − R222 − 1 4σ dR = e 4σ 2 e 2 2σ 2

Ã ! 2 c R1 − R12 +4A A · R c 1 e 4σ2 I0 dR1 . Pe = 2 2 2σ σ 0 √ Effettuando il cambiamento di variabile t = 2R1 Ã ! Z 2 1 − A22c +∞ t Ac · t − t2 √ Pe = e σ e 4σ I0 √ dt 2 2 2σ 2 2σ 2 0 e posto A1 =

Z

2A √c, 2

(6.110) (6.111)

+∞

(6.112)

(6.113)

si ha

1 A2c A21 Pe = e− σ2 e 4σ2 2

Z

+∞ 0

Ã ! t − t2 +A2 21 Ac · t e 4σ I0 dt. 2σ 2 2σ 2

(6.114)

Il termine dentro l’integrale rappresenta una distribuzione di Rice e quindi, integrando su tutti i valori di t, risulta uguale ad 1, per cui 1 − A2c2 Pe = e 2σ . 2

(6.115)

Essendo σ 2 la varianza e quindi la potenza media di rumore all’uscita del filtro passa-basso con banda (−B, B), si ottiene che σ2 = N20 · 2B = N0 B. La probabilità di errore può quindi essere scritta come 1 − A2c Pe = e 2N0 B . 2

(6.116)

Come si può osservare da questa relazione, la probabilità di errore dipende dalla banda B del filtro ed al diminuire di B diminuisce anche la probabilità di errore. Il valore minimo della banda ncessario a non avere interferenza 1 , per cui inter-simbolica è B = Tsimb 1 −E Pe = e N0 2

(6.117)


ed essendo E = Eb si ha

129

1 − Eb Pe = e N0 . (6.118) 2 La probabilità di errore della modulazione DPSK è mostrata nella figura 6.11(curva b). Come si può notare la modulazione DPSK presenta una probabilità maggiore rispetto alla modulazione BPSK demodulata in modo Eb coerente; tuttavia si avvicina ad essa per alti rapporti di N . 0

Dispense Comunicazioni Elettriche

Recommend Documents