Dispense Fisica 2

1.1

04/03/01

1. Aspetti fenomenologici Introduzione all’elettromagnetismo  Tutti i fenomeni della realtà quotidiana sono di natura elettromagnetica L’interazione L’interazione elettromagnetica è molto più intensa di quella gravitazionale: Rapporto tra la forza elettrica e gravitazionale tra due protoni:

|Fe|/|Fg| = 1036 La materia è stabile grazie alla sostanziale neutralità elettrica

Differenza tra Meccanica ed Elettromagnetismo Meccanica:

la forza è dominante

Elettromagnetismo

i campi sono dominanti

Cenni storici  L’esistenza di fenomeni elettrici è nota dall’antichità Elektron = ambra in greco

Studio sistematico dalla II metà del 700 Coulomb, Faraday, Maxwell

04/03/01

1.2

Elettrizzazione per strofinio  Se strofiniamo una bacchetta di ambra (plastica) o vetro con un panno questa attrae piccoli pezzi di carta Una bacchetta di ambra attrae una bacchetta di vetro sospesa ad un filo e respinge una bacchetta di ambra Esistono cariche di 2 tipi che chiamiamo + e – 

Alcuni materiali non si caricano per strofinio Questo avviene perché le cariche si disperdono (conduttori) Se consideriamo un conduttore con un manico isolante questo si carica per strofinio

Isolanti e conduttori (struttura microscopica)  La materia è costituita da atomi:

Nucleo con protoni e neutroni (mp=mn=10-27kg, carica +) Elettroni (me = 10-30 kg, carica -) A = numero di massa, Z = numero atomico Le proprietà della materia sono determinate dagli elettroni Negli isolanti gli elettroni sono “legati” agli atomi o alle molecole Nei conduttori gli elettroni degli “orbitali esterni” sono liberi di muoversi in tutto il materiale

Conservazione della carica  Nell’elettrizzazione Nell’elettrizzazione per strofinio la carica viene ridistribuita

1.3

04/03/01

Alcuni elettroni (ad esempio 106) si trasferiscono dal vetro al panno (carica -) o dal panno all’ambra (carica +) La carica NON si crea ma si ridistribuisce Quando si generano delle particelle a partire da energia (creazione di coppie e+ e-) la carica si conserva (q tot = 0) La conservazione della carica deriva da una simmetria della natura

Quantizzazione della carica  Da raffinati esperimenti si è osservato che le cariche libere sono multiple della carica fondamentale (carica e dell’elettrone dell’elettrone e del protone) e = 1.6 10-19 C

Questa carica è così piccola che negli esperimenti usuali la carica può essere considerata continua Esperimento di Millikan

dell’elettrone → misura della carica dell’elettrone

L’elettroscopio a foglie  L’elettroscopio a foglie mette in evidenza la presenza di cariche su un materiale (isolante o conduttore) Funziona anche senza contatto. Come e’ possibile ? Induzione elettrostatica

L’induzione elettrostatica permette di caricare un conduttore senza contatto

04/03/01

1.4

La carica elettrica come grandezza fisica  Definizione: Un insieme di enti costituisce una classe di  grandezze fisiche quando tra gli enti è possibile stabilire relazioni  di confronto (uguale, maggiore e minore) ed effettuare le  operazioni di somma e differenza (e quindi di prodotto per un  numero e di rapporto)

L’elettroscopio consente di effettuare operazioni di confronto tra le cariche possedute da due corpi Possiamo sommare le cariche o meglio dividerle per un fattore arbitrario (mediante ridistribuzione su conduttori uguali)

⇒ La carica e’ una grandezza fisica Per misurarla usiamo un procedimento indiretto considerando considerando la forza che c he si esercita tra due corpi carichi (forza di Coulomb)

In questo modo sarebbe possibile definire la carica elettrica come grandezza derivata È preferibile definire la carica come grandezza fondamentale In realtà si definisce come grandezza gr andezza fondam. la carica per unità di tempo (intensità di corrente)

2.5

04/03/01

2. Il campo elettrostatico elettrostati co Legge di Coulomb  Per studiare la legge di Coulomb usiamo una bilancia di torsione F=k

q1q2 r

2

ur

ATTENZIONE: La forza agente su una carica elettrica è data da questa espressione solo se la carica è ferma (elettrostatica) Si noti la dipendenza della forza elettrica dall’inverso del quadrato della distanza. Verifica indiretta (Th. di Gauss) La forza è centrale c entrale come la forza gravitazionale La forza è attrattiva o repulsiva a seconda del “segno” delle cariche Diverse espressioni della costante k Sistema c.g.s.

k=1

Sistema Internazionale fondamentale (coulomb)

⇒ carica = unità derivata k = 1/(4πε0)

⇒ Carica unità

In realtà come unità fondamentale si definisce l’ampere (A) = 1 coulomb/1 secondo

ε0 = 8.85 10-12 C2 kg-1m-3s2 [oppure più usualmente Farad/m] F=

1 q1q2 4πε0 r12 2

ur12

=

1 q1q2 r12 4πε0 r12 2 r12

2.6

04/03/01

La forza tra due cariche di 1 C ad un metro è di 109 N !! Il coulomb è una unità molto grande In un sistema di riferimento cartesiano: q1q2 4πε0 (x − x )2 1 2

Fx

=

Fy

= ... = ...

Fz

[

x1 − x 2 2

]

2 32

+ (y1 − y 2 ) + (z1 − z 2 )

Il principio di sovrapposizione  Il legame tra forze e carica è lineare ⇒ Vale il principio di sovrapposizione Legge di composizione vettoriale per la forza agente tra più cariche

F=

1 4πε0

∑ i

qqi ri 2 ri ri

Il campo elettrostatico  Nella legge di Coulomb possiamo pensare che una carica elettrica generi una perturbazione nello spazio (campo elettrico) e che l’altra carica ne risenta gli effetti Per definire il campo elettrico dividiamo la forza per una carica sonda q 0 che deve essere molto piccola

2.7

04/03/01

F( x, y, z ) E( x, y, z ) = q0

=

1

qq0

4πε 0 r

2

ur

=

1

q

4πε0 r

2

ur

Scomposizione Scomposizione nelle componenti cartesiane: E x ( x, y, z ) =

x − x1

q 4πε0 (x − x )2 1

[

]

2 32

2

+ (y − y1 ) + (z − z1 )

E y ( x, y, z ) = ... E z ( x, y, z ) = ... Unità di misura:

newton/coulomb (N/C) = kg m s-2 C-1

Piu’ us usualmente:

volt/metro (V (V/m)

Ovviamente F = q0 E Anche per il campo E vale il principio di sovrapposizione Distribuzione di cariche puntiformi:

E=

1 4πε0

∑ i

qi ri 2 ri ri

Distribuzione continua di cariche (volume):

ρ = coulomb/metro3 E( x, y, z ) =

1 4πε0

ρ( x′, y′, z′)dx′dy′dz′

∫ τ

r

2

ur

Distribuzione continua di cariche (superficie):

σ = coulomb/metro2

2.8

04/03/01

E( x, y, z ) =

1

σ( x′, y′, z′)dS u

∫ 

4πε 0 Σ

r

2

r

Distribuzione lineare di cariche:

λ = coulomb/metro E( x, y, z ) =

1 4πε0

λ( x′, y′, z′)dL

∫ 

L

r

2

ur

Il campo elettrico si rappresenta con le linee di forza e, come vedremo con le superfici equipotenziali Le linee di forze escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative Le linee di forze si incontrano solo in corrispondenza delle sorgenti e si chiudono all’infinito Esempi di campi elettrici: Carica puntiforme, 2 cariche uguali, 2 cariche diverse, strato di cariche con distribuzione uniforme

Il lavoro della forza elettrica  La forze elettrica è centrale ⇒ il campo elettrostatico è conservativo Consideriamo una carica q0 che si muove nel campo E generato da una carica q. Il lavoro della forza elettrica è:

r ⋅ ds dL = F ⋅ ds = q0 E ⋅ ds = q0 E r

= q0 E ds cos ϑ =

qq0 4πε0r

2

dr

2.9

04/03/01

L A →B

B

= ∫ A F ⋅ ds =

qq0 4πε0

B dr

∫  r

A 2

=

qq0   1  4πε0 rA

1   −   rB  

Se il punto B è all’ ∞: L p→∞

=

qq0 1 4πε0 r

Definiamo potenziale elettrostatico elettrostatico V in un punto P del campo generato da una carica puntiforme il lavoro che la forza del campo compie quando la carica + unitaria si sposta da P al riferimento ( ∞) V(p ) =

q 1 4πε0 r

Differenza di potenziale tra 2 punti del campo: B

∆V = VB − VA = − ∫ A E ⋅ ds Lavoro che la forza elettrica compie quando una carica q0 si sposta dal punto A al punto B:

L A →B

= −q0 ∆V = q0 (VA − VB ) = − ∆U

Il segno (-) che compare nella formula precedente dipende dal fatto che ad un lavoro positivo della forza del campo corrisponde una diminuzione di energia potenziale In un punto generico del campo:

U(p) = q0 V(p)

Se il campo è generato da più cariche puntiformi o da una distribuzione continua continua di cariche il potenziale si calcola con il principio di sovrapposizione sovrapposizione

2.10

04/03/01

V

=

1 4 πε0

∑ i

qi ri

( x ′, y ′, z′)dx ′dy ′dz′ ρ V= 4πε0 ∫  r − r′ τ 1

La circuitazione del campo elettrostatico lungo un percorso chiuso è sempre nulla:

∫ E ⋅ ds = 0 Si può dimostrare facilmente dividendo in 2 tratti un qualsiasi percorso chiuso

Il campo elettrostatico è conservativo Questa circostanza più che un vantaggio è un limite perché una carica in moto lungo un circuito chiuso non compirebbe lavoro Non funzionerebbe nessuna macchina elettrica

In condizioni non statiche il campo elettrico non è conservativo

Legame tra potenziale e campo elettrostatico: Per la definizione di potenziale dV

= −E ⋅ dr = − E x dx + E y dy + E z dz

V deve essere una funzione continua e derivabile ⇒

∂V ∂V ∂V dV = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z Quindi Ex

∂V = − dx ∂x

Ey

∂V = − dy ∂y

Ez

∂V = − dz ∂z

2.11

04/03/01

E = −grad V

E = −∇V

Interpretazione Interpretazione geometrica del gradiente: Il gradiente fornisce la direzione di massimo incremento di una funzione scalare, il verso dell’incremento positivo ed il tasso di incremento

V ∂ ∇V = ∂n

derivata normale

Teorema del gradiente: dV

= −E ⋅ ds = gradV ⋅ ds = ∇V ⋅ ds B

∆V = VB − VA = ∫ A ∇V ⋅ ds Operatore ∇:

∂ ∂ ∂ ∇ = ux + u y + uz ∂x ∂y ∂z Può essere scritto anche in altri sistemi di coordinate. Formalmente si presenta come un vettore che deve essere applicato ad uno scalare o moltiplicato per un altro vettore In coordinate sferiche:

1∂ 1 ∂ ∂ uϑ + uφ ∇ = ur + r ∂ϑ r sin ϑ ∂φ ∂r

La relazione tra potenziale V e campo E è utile per calcolare il campo Si calcolano gli integrali di sovrapposizione di una funzione scalare (V) e si ottenere il vettore E tramite la relazione:

2.12

04/03/01

E=-gradV Rappresentazione Rappresentazione di un campo mediante le superfici equipotenziali Ortogonalità delle linee di forze e delle superfici equipot.

Esempi illustrativi di sup. equipotenziali equipotenziali

Il teorema di Gauss  Definiamo una quantità che deriva da un parallelo idrodinamico idrodinamico e prende il nome di flusso di un vettore attraverso una superficie Dato un campo vettoriale v  vettoriale v si si definisce flusso elementare  del vettore v  vettore v attraverso attraverso la supeficie infinitesima dS il  prodotto:  v

ϑ

dϕ v un

= v ⋅ uN dS uN normale alla superficie dS

dS

d

v

=

v cos ϑdS

Il flusso attraverso una superficie estesa S e' dato dall'integrale v

= ∫ S v ⋅ uN dS

Data una superficie chiusa S, si dice flusso uscente del  vettore v  vettore v l’integrale l’integrale esteso alla superficie chiusa  v

= ∫ S v ⋅ uN dS

uN normale uscente

2.13

04/03/01

Consideriamo una carica puntiforme q ed una superficie sferica con centro in q e raggio R Il flusso uscente del vettore E attraverso la superficie vale:

ϕE = ∫ S E ⋅ uN dS = E ∫ SdS =

1

q

4πε0 R

2

(4πR ) = 2

q

ε0

Il flusso non dipende da R, ma solo dalla carica contenuta entro la superficie

G G

R M

Il risultato ottenuto vale in generale per qualunque superficie chiusa

G

Consideriamo una generica superficie chiusa S che contenga una carica puntiforme m e calcoliamo il flusso di E dΩ = angolo solido sotto il quale la superficie infinitesima dS e’ vista dal punto P r = distanza dell’elemento dell’elemento di superficie dS da P

un

ur dω M

l’elemento di superficie dS può essere scritto come dΩ =

dScos ϑ r2

r 2 dΩ dS = cos ϑ

Integriamo lungo la superficie chiusa S

φ = ∫ S E ⋅ uN dS = ∫ S

q 4πε0r

2

cos ϑdS

ϑ

ds

2.14

04/03/01

r 2 dΩ cos ϑ 2 S 4πε r cos ϑ 0 q

φ = ∫ 

=

q 4πε0

q

∫ π dΩ = ε 4

0

Il teorema di Gauss può essere applicato anche a cariche distribuite con densità ρ il flusso del campo E attraverso una superficie chiusa e' pari all'integrale della densità di carica esteso al volume racchiuso dalla superficie

ϕ=

1

ε0

∫ 

(r )dr ρ Vol

Il teorema di Gauss consente di calcolare E in tutti i casi in cui il sistema presenta particolari simmetrie Campo elettrico di una sfera con densità di carica  ρ  omogenea e raggio R 

Le linee di forza del campo sono radiali per simmetria il campo E è lo stesso in tutti i punti di una qualunque sup. sferica concentrica con m Applichiamo il teorema di Gauss ad una generica superficie sferica di raggio r Per r
φ=

1

ε0 2

4πr E

∫ τ =

ρ(r )dr 1  4 3    πr  ρ ε 0  3  

2.15

04/03/01

E

r ρ = 3ε 0

Per r>R 2

4πr E

=

q

E

ε0

=

1

q

4πε0 r 2

Il campo gravitazionale generato da una distribuzione sferica di carica m è uguale al campo che la stessa carica genererebbe se fosse tutta nel centro

E( r )

1 ∝ r2

∝r

V( r )

∝

∝r

r

R

1 r

r

Strato di carica  Campo nell’intorno di uno strato sup. di carica

E1 ⋅ ds1 + E 2 ⋅ ds 2 E t1

= E t1 ds − E t 2 ds = 0

= Et2

E1 ⋅ u1 dS + E 2 ⋅ u2 dS = (E n2 En2

− En1

σ = ε0

In definitiva:

σ E 2 − E1 = un ε0

σ − En1 )dS = dS ε0

E2

+ + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + +

E1

2.16

04/03/01

Le proprietà del campo elettrico in forma locale  Teorema di Gauss  Flusso attraverso un parallelepipedo parallelepipedo infinitesimo

 

dφ = − A ⋅ u x dydz +  A +

∂A   dx  ⋅ u x dydz + ... ∂x

∂A x dφ = dxdydz + ... ∂x  ∂A x ∂A y ∂A z     dφ =  dxdydz + +   ∂x ∂y ∂z dφ = div A dτ = ∇ ⋅ A dτ

Avendo posto:

 ∂A x ∂A y ∂A z     + + div A =  ∂x ∂y ∂z   La divergenza di un vettore  A in un punto P rappresenta il flusso  del vettore  A attraverso la sup. che racchiude un elemento di  τ  nell’intorno di P diviso il volume d τ  τ  volume d τ 

Per un volume esteso: Il flusso che attraversa elementi di volume adiacenti si elide ⇒ resta solo il flusso attraverso la superficie laterale

φ( A ) = ∫ Σ A ⋅ un dS = ∫ τ∇ ⋅ A dτ

(Th della divergenza) divergenza)

2.17

04/03/01

Il flusso di un vettore A attraverso una superficie chiusa Σ è pari all’integrale della div A nel volume racchiuso dalla superficie Σ Per il campo elettrico:

ρ φ(E) = ∫ Σ E ⋅ undS = ∫ τ∇ ⋅ E dτ = ∫ τ dτ ε0 ρ Quindi: ∇ ⋅ E = ε0 Nel vuoto:

∇ ⋅E= 0 Conservatività del campo elettrico 

Rotore di un campo vettoriale Circuitazione lungo un percorso rettangolare element. ⊥ z dCz

dC z

= A x ( x, y )dx + A y ( x + dx, y )dy − A x ( x, y + dy )dx − A y ( x, y )dy = = [A x ( x, y ) − A x ( x, y + dy )]dx + [A y ( x + dx, y )dy − A y ( x, y )]dy = ∂A x dydx ∂A y dydx =− + ∂y ∂x

 ∂A y ∂A x     dxdy =  −   ∂x ∂y

Componente secondo z del vettore

rot A

2.18

04/03/01

ux

uy

uz

Ax

Ay

Az

∂ rot A = ∇ × A = ∂x

∂ ∂y

∂ ∂z

Componenti del rotore:

 ∂A z ∂A y    ∂A x ∂A z    ∂A y ∂Ax       ux +  uz ∇ × A =  − − −  u y +      ∂y ∂z ∂x ∂y   ∂z ∂x   dC = A ⋅ dl = ∇ × A ⋅ n dS = rot A ⋅ n dS

La circuitazione di un vettore A lungo una linea che contorna una superficie infinitesima è data dal flusso del rotore del vettore A attraverso la superficie La componente del rot A lungo una certa direzione è data dal rapporto della circuitazione di A lungo il contorno di una superficie infinitesima ortogonale alla direzione e l’area della superficie Viceversa il rotore di un campo indica la direzione lungo la quale deve essere presa la normale ad una superficie infinitesima per ottenere la massima circuitazione lungo una linea che la contorna Teorema di Stokes:

∫ Σ rot A ⋅ n dS = ∫ A ⋅ dl

∀ Σ concatenat a con C

C

La circuitazione di un campo vettoriale lungo una linea chiusa C è uguale al flusso del rotore del campo attraverso qualsiasi superficie Σ concatenata con la linea C

2.19

04/03/01

Nel caso del campo elettrico, poiché la circuitazione è sempre nulla si ha anche: rot E = 0

∇ ×E = 0

Identità vettoriale: rot E = rot( grad V ) ≡ 0

∇ ×E = ∇ ×∇ V = 0

3.1

4/13/2001

3. Conduttori Proprietà dei conduttori  Nei conduttori alcuni elettroni sono liberi di muoversi lungo tutto il cristallo sotto l’effetto di un campo elettrico In condizioni statiche non ci può essere un campo elettrico all’interno di un conduttore

E=0

all’interno

(condizione media macroscopica)

Conseguenze: 1) All’interno di un conduttore non si hanno cariche libere (per il Th. di Gauss). Le cariche sono solo sulla superficie 2) Lo spazio occupato da un conduttore è equipotenziale

V(P1 ) − V(P2 ) =

P2

∫  E ⋅ ds = 0 P1

⇒

V(P1) = V(P2)

3) Il campo E deve essere normale alla superficie ed uscente per conduttori carichi +, entrante per conduttori carichi –  Infatti la componente tangenziale di E deve conservarsi all’attraversamento della sup. Poiché E=0 all’interno Et deve essere nullo anche all’esterno

Teorema di Coulomb

σ E = un ε0

E

E=0

σ

3.2

4/13/2001

Il campo vicino ad un conduttore dipende sia dalle cariche “adiacenti” sia dalle cariche su tutto il resto della sup. I due contributi si sommano Il campo E è maggiore dove è maggiore σ cioè dove è minore il raggio di curvatura della superficie Potere dispersivo delle punte (parafulmine)

Ponendo un conduttore in un campo elettrico (Eesterno ≠ 0) si ha una ridistribuzione della carica (induzione elettrostatica) in modo tale che il campo risultante (Eesterno + Eindotto) sia nullo nel conduttore

-

-

-

+ + + + + +

Eest

Eind E=0

V=cost.

Schermo elettrostatico  Conduttore con una cavità al suo interno Per il th. di Gauss il flusso attraverso qualsiasi sup. chiusa S che racchiude la cavità è nullo Non ci sono cariche sulle pareti della cavità e non c’è separazione di carica ⇒ E = 0 all’interno della cavità

--NO -

Σ

S

+NO+ ++ E=0

La carica (se è presente) è tutta distribuita sulla superficie esterna del conduttore Consideriamo la cavità:

Se non ci sono cariche all’interno la regione della cavità è equipotenziale ⇒ NON ci sono diff. di potenziale

3.3

4/13/2001

Se la carica sulla sup. esterna del conduttore cambia, cambia il potenziale in tutto il conduttore ⇒ anche all’interno della cavità ma NON si creano diff. di potenziale Introduciamo ora un conduttore carico attraverso la cavità di un conduttore scarico

Si creano cariche indotte entro la cavità e sulla sup. esterna del conduttore. Condizione di induzione completa Per il teorema di Gauss: + + + + +

+

-

= Qcavità = Qesterna

Qint erna

-Q + -+ + +Q + +Q ++ -+ + + -

+

+

Se spostiamo il conduttore entro la cavità cambia la distribuzione delle cariche indotte interne, ma non quella delle cariche indotte esterne +

+ + + +

-Q

-

+ + + +Q + -+ + -

+ +Q

+

-

+

+

+ +

+ + + +

-

+

-Q - + - + + - +Q + + + -

+ +Q

+ + +

+

+

+

L’effetto della carica sul conduttore interno e di quella sulla sup. della cavità è tale da dare un campo E nullo entro il conduttore

3.4

4/13/2001

Possiamo neutralizzare le cariche entro la cavità e NON cambia nulla all’esterno. Viceversa se eliminiamo le cariche all’esterno del conduttore non cambia nulla entro la cavità

⇒ Schermo elettrostatico Capacità di un conduttore isolato  Dato un conduttore con carica q, questa si distribuisce con densità σ(x,y,z) q=

∫ Σ σ( x’, y’, z’ ) dS

Il potenziale in ogni punto P(x,y,z) dello spazio ed in particolare sul conduttore è: V( x, y, z ) =

1

∫ 

4πε 0 Σ

σ( x’, y’, z’ ) dS ( x − x ’ ) 2 + ( y − y ’ ) 2 + ( z − z’ ) 2

Per la linearità tra carica e potenziale: q’ = mq

⇒ V’ = mV

Definiamo capacità del conduttore (isolato) C=

q V

Non dipende dalla carica ma solo dalla geometria del conduttore La capacità si misura in farad: farad: un conduttore ha la capacità di 1 farad se assume un potenziale di 1 volt quando ha una carica di 1 coulomb Unità molto grande in genere si considerano i sottomultipli

Capacità di un conduttore sferico

3.5

4/13/2001

V

=

1 4 πε0

q R

C=

q V

= 4πε0R

Per due sfere conduttrici di raggi R1 ed R2 unite da un filo molto lungo V1

= V2

C1 C2

R1 = R2

q1 q2

=

C2 C1

R2 = R1

σ1 R 2 = σ 2 R1

Sistemi di conduttori  Supponiamo Supponiamo di avere due conduttori con carica Q1 e Q2 in una regione limitata di spazio Supponiamo che uno solo dei due conduttori sia carico il potenziale sui due conduttori sarà alternativamente:

 V1′ = p11Q1  ′ V2 = p 21Q1

 V1″ = p12Q 2  ″ V2 = p 22Q 2

Se entrambi i conduttori sono carichi:

 V1 = p11Q1 + p12Q 2 V = p Q + p Q  2 21 1 22 2

pij = p ji p > 0  ij pii ≥ pij 

I coefficienti pij si dicono coefficienti di potenziale e dipendono dalla configurazione geometrica dei conduttori La matrice p può essere invertita

3.6

4/13/2001

 Q1 = c 11V1 + c 12 V2 Q = c V + c V  2 21 1 22 2

c ij = c ji c < 0 (i ≠  j)  ij c ii > 0

I coefficienti c con c on indice uguale si dicono coefficienti di capacità. I coeff. c con indice diverso si dicono coefficienti di induzione

Condensatore  Un sistema di due conduttori tra i quali ci sia induzione completa costituisce un condensatore La carica sui due conduttori deve essere la stessa in valore assoluto Le linee di campo che escono dal conduttore carico + terminano tutte sul conduttore carico –  +q

Esempi: Condensatore sferico

-q

E

Condensatore cilindrico Condensatore piano

Capacità di un condensatore sferico  Carichiamo l’armatura interna con carica +q L’armatura esterna si carica -q all’interno e +q all’esterno Scarichiamo le cariche esterne a massa

3.7

4/13/2001

Tra i conduttori si stabilisce una d.d.p. ∆V R2

1  ∆V = 4πε0 r  R1 q

Per definizione di capacità:

C = 4 π ε0

∆V =

q C

⇒

R1R 2 R1 − R 2

Il potenziale dell’armatura esterna può essere variato a piacere senza variare da d.d.p. nel condensatore

Capacità di un condensatore piano 

σ E= ε0

2

∆V = V2 − V1 = − ∫ 1 E ⋅ dl = E[x]12 = E(x 2 − x1 )

Q = σA

C=

Q ∆V

=

σA Ed

=

Aε 0 d

Condensatori Condensatori in serie La stessa carica è presente su tutte le armature

C= C=

Q ∆V

∆V = ∆V1 + ∆V2 Q

Q Q + C1 C 2

=

1 1 1 + C1 C 2

Condensatori Condensatori in parallelo

∆V1 = 1 C

=

Q C1

1 1 + C1 C 2

∆V1 =

Q C1

3.8

4/13/2001

Lo stessa d.d.p. è presente sui due condensatori

C=

Q ∆V

Q1

= C1∆V

Q2

= C 2 ∆V

Q = Q1 + Q 2

C = C1 + C 2

Equazioni di Maxwell per l’elettrostatica  rot E = 0 div E =

ρ ε0

∇×E = 0 ∇ ⋅E= ρ ε0

A cui bisogna aggiungere il legame tra V ed E

E = −grad V

E = −∇V

Legge di Gauss e irrotazionalità di E coincidono con la legge di Coulomb ed il principio di sovrapposizione Unendo le equazioni

ρ ∇ ⋅ E = −∇ ⋅ ∇V = −∇ V = ε0 2

Equazione di Poisson

∂2V ∂2V ∂2V ρ ∇ V= 2 + 2 + 2 =− ε0 ∂x ∂y ∂z 2

In una regione di spazio in cui non ci siano cariche

∇2V = 0

equazione di Laplace

3.9

4/13/2001

∂2V ∂2V ∂2V + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z

operatore di Laplace o Laplaciano

Le soluzioni dell’equazione di Laplace sono le funzioni armoniche Teorema della media: il valor medio che una funzione armonica assume sulla superficie di una sfera è uguale al valore che la funzione assume al centro della sfera Il pot. elettrostatico nella regione tra le cariche non ammette né massimi né minimi. Una carica isolata nel vuoto non può rimanere in equilibrio stabile per effetto del solo campo elettrostatico L’equilibrio nella materia è solo dinamico

L’equazione di Laplace è lineare La soluzione di un problema elettrostatico complesso è la somma delle soluzioni dei problemi più semplici in cui può essere scomposto.

Problema generale dell’elettrostatica: risolvere l’equazione di Poisson (o di Laplace) con opportune condizioni condizioni al contorno che possono essere: Conoscenza del potenziale sui conduttori (problema di Dirichlet) a cui bisogna aggiungere la condizione che il potenziale si annulli all’infinito Conoscenza delle cariche sui conduttori (problema di Neumann)

3.10

4/13/2001

Si dimostra che una soluzione dell’equazione di Poisson (Laplace) con la condizione di annullarsi all’infinito coincide con il potenziale calcolabile con l’eq. di Coulomb ed il principio di sovrapposizione V( x, y, z ) =

1 4πε0

∫ 

ρ( x’, y’, z’ ) ( x − x ’ ) 2 + ( y − y ’ ) 2 + ( z − z’ ) 2

Il campo elettrico si calcola poi come E = -grad V

Energia elettrostatica  Distribuzione di cariche puntiformi  Consideriamo una distribuzione di n cariche puntiformi q1, q2,…qn e calcoliamo il lavoro compiuto da una forza esterna per portare le cariche dall’∞ in una regione limitata di spazio Carica q1: W1 = 0

Carica q2: W2

= −L 2 = ∆U = U(p) − U(∞) = U(p) = V(p)q2 =

Carica q3: W3

= −L 3 = V(p)q3

Carica qn:

 q1q3 q2 q3      = + 4πε0 r13 r23   1

1 4 πε0

q1q2 r12

3.11

4/13/2001

Wn

W

= −L n = V(p)qn

=

 q1qn   q q − n 1 n    = + K + 4πε0  r1n rn−1n  

1 1 n n qi q j 2 4 πε0 i=1  j≠i rij

∑∑

1

1 n n qi Vij = 2 i=1  j≠i

∑∑

=

1 N qi Vi 2 i=1

∑

Questa energia è “immagazzinata” nel campo elettrostatico U=

1 N qi Vi 2 i=1

∑

Considerazioni simili valgono anche per una distribuzione continua di cariche (di volume o di superficie) U=

1 ρVdτ τ 2

∫ 

U=

1 σVdS Σ 2

∫ 

Le formule precedenti possono servire per calcolare l’energia immagazzinata in un sistema di conduttori Per un sistema di conduttori: U=

1 N 1 N Vi dS = Vi dS σ σ i i 2 i=1 Σi 2 i=1 Σi

∑ ∫ 

∑ ∫ 

[Vi = costante]

Ad esempio, per una sfera conduttrice: U=

1 1 Q V dS Q σ = Σ 2 2 4πε0R

∫ 

Per un condensatore:

=

1 Q2 2 4πε0R

=

1 Q2 2 C

3.12

4/13/2001

U=

=

1 VdS σ 2 Σ

∫ 

1 Q2 2 C

=

=

1 VA ΣA 2

∫ 

σdS +

1 VB ΣB 2

∫ 

1 σdS = (VA − VB )Q 2

1 2 C (∆V ) 2

Si può immaginare che l’energia elettrostatica non sia localizzata sui conduttori o nelle regioni in cui la densità di carica è ≠ 0, ma sia distribuita in tutto lo spazio in cui c ui è presente il campo elettrico Questa visione è importante nei casi non stazionari (onde)

U=

=

ε0 ε0 ε0 2 1 ρVdτ = τ(∇ ⋅ E)V dτ = τ∇ ⋅ (V E) dτ + τE dτ τ 2 2 2 2

∫

ε0

2 ∫Σ

∫ 

(V E) ⋅ un dS +

∫

ε0

2 ∫ τ

E 2 dτ =

ε0

∫ 

2 ∫ ∞

E 2 dτ =

∫ ∞

ε 0E 2 2

dτ

La densità di energia in un campo elettrico è quindi: u=

1 ε 0E 2 2

Azioni meccaniche sui conduttori  Chi spinge le cariche sulla superficie di un conduttore ? La forza elettrostatica che continua ad agire anche sulla superficie

Quanto vale questa forza ? Bisogna calcolare la forza che il campo generato dalle cariche sul conduttore esercita sulle cariche stesse

3.13

4/13/2001

E=E E

( dS )

( S − dS )

+E

( S − dS )

σ = un ε0

dS

σ = un 2ε 0

F

S

La forza elettrostatica su dS è quindi: 2 dS σ ( S − dS ) σdS = F=E un 2ε 0

È come se le cariche fossero sottoposte ad una pressione:

σ2 1 2 p= = = ε 0E = u dS 2 ε 0 2 F

La forza agente su un conduttore si può ricavare anche con considerazioni considerazioni energetiche (principio dei lavori virtuali) Detta Fx la forza agente lungo x su un elemento di superficie del conduttore si ha: dL

= Fx dx = −dU

⇒

Fx

∂U =− ∂x

Immaginiamo Immaginiamo di dilatare la superficie di un conduttore sferico di dx. Per un elemento dS di superficie: dU = −u dS dh p=

dFh dS

=u

Forza repulsiva

dFh

∂U = − = u dS ∂h

dx dS

3.14

4/13/2001

Per un condensatore: 2 1 S σ 2 Fx = −uS = − ε 0E S = − 2 2 ε0

dU = u S dx

=

Q2 − 2 ε 0S

Forza attrattiva

Il calcolo può essere effettuato anche con un metodo alternativo: Consideriamo un condensatore isolato (non collegato ad un generatore)

U=

1 Q ∆V 2

=

1 Q2 2 C

Per uno spostamento delle armature la d.d.p. varierà:

Fx

U U ∂C 1 Q 2 ε0S 1 Q 2 d2 ε 0 S ∂ ∂ =− =− =− 2 2 =− 2 2 2 2C d 2 ε0S d ∂x Q ∂C ∂x

=

1 Q2 − 2 ε0S

1 σ 2S =− 2 ε0

Il calcolo può essere effettuato anche supponendo che il condensatore sia collegato ad un generatore. La forza deve essere la stessa dL

= −dU ∆V + dL( est )

dL( est )

= ∆VdQ

dL = lavoro della forza elettrica dLest = lavoro del generatore

Si ha poi:

U=

1 Q ∆V 2

⇒

dU ∆V

=

1 1 ( est ) ∆V dQ = dL 2 2

3.15

4/13/2001

Quindi:

dL Fx

= +dU ∆V

2 2 S ε 1 ∂U ∂C 1 1 Q 1 S ∂U σ 2 0 = = = − ∆V 2 = − =− 2 2 ε0S 2 ε0 ∂x ∆V 2 ∂C ∂x d

4.1

4/13/2001

4. Il dipolo dipolo elettrico elettrico Dipolo elettrico  Consideriamo due cariche +q e –q (uguali ed opposte) poste a distanza d

+

r

d

r r r2-

Si definisce momento di dipolo p il vettore che ha: a) |p| = qd b) direzione della congiungente delle cariche c)

verso dalla carica – alla carica +

Calcolo del potenziale a grande distanza dal dipolo

 1 1   q r2 − r1  −   V(P) = =   4πε0  r1 r2   4 πε0 r1r2 p ⋅ ur p cos ϑ 1 p ⋅r ≅ = = 2 2 4 πε0 r 3 4πε0r 4πε0r q

3 ur ⋅ p p     E(P) = −grad V =  3 ur − 3  = 4πε0   r r   1  3 r ⋅ p p    5 r − 3   4πε0   r r   1

Grande distanza

4.2

4/13/2001

Si ha una componente radiale e una componete diretta come p

Se d → 0, q → ∞ il dipolo si dice dipolo elettrico ideale e le formule precedenti valgono esattamente in tutti i punti dello spazio Interazione di un dipolo con un campo E  Su un dipolo in un campo elettrostatico agisce in generale una forza ed una coppia Forza risultante

La forza agente sul dipolo è la somma delle forze agenti sulle cariche - e +: F = F( − )

+ F( + ) = −qE + q(E + dE) = q dE E+dE

r+d

O

r

dE x dE y dE z

d

-q

E

dE = grad E ⋅ dr dr

= dx u x + dy u y + dz uz

∂E y ∂E x ∂E z dx + dy + dz = grad E x ⋅ dr = ∂x ∂y ∂z =K =K

Il termine grad E rappresenta un “tensore del II ordine” cioè un ente dotato di 9 componenti Oppure: grad E rappresenta 3 vettori: grad E x, grad Ey, grad Ez

4.3

4/13/2001

 ∂E x ∂E x ∂E x   ∂x ∂y ∂z  dE x   dx   dE  =  ∂E y ∂E y ∂E y  ⋅ dy   y   ∂x ∂y ∂z    dE z   ∂E ∂E ∂E  dz  z z  z   ∂x ∂y ∂z  F = q dE = q dr ⋅ grad E = p ⋅ grad E = (p ⋅ ∇ )E Fx Fy Fz

∂E x ∂E x ∂E x     dx + dy + dz   = q ∂y ∂z     ∂x =K =K

Se il campo è uniforme F = 0 Momento risultante (−) (

M0 M0

= r × F + r + dr ) × F( + ) = −r × qE + (r + dr ) × q(E + dE) = q dr × E + qr × dE + q dr × dE = p × E + r × F + p × dE = r ×F + p ×E

Se come polo si sceglie il punto occupato dalla carica negativa ⇒ r = 0 M = p×E

coppia di forze

Tende ad allineare il dipolo con il campo elettrico Energia di interazione

L’energia elettrostatica del dipolo è:

4/13/2001

U = −qV(r ) + qV(r + dr ) = −qV(r ) + qV(r ) + q dV U = q dV

4.4

= q dV

= q grad V ⋅ dr = −p ⋅ E = − p E cos ϑ

Energia minima:

dipolo allineato con E

U = −p E

Energia ma massima:

dipoli op opposto ad ad E

U= pE

Momento cui è sottoposto un dipolo: U ∂ = p E sin ϑ = p × E M=− ∂ϑ Sviluppo in serie di multipoli del potenziale  elettrostatico  Consideriamo il potenziale a grande distanza prodotto da una distribuzione qualsiasi di carica ρ(r) P

R

τ

r’

R = r-r’

r

ρ (r ′) dτ′ ρ V(r ) = 4 πε0 ∫ τ r − r ′ 1

il temine

1 r − r′

può essere sviluppato in serie: 2

1 r ⋅ r ′ 3(r ′ ⋅ r ) = + 3 + r − r′ r r 2r5 1

−

(r ′)2 2r

3

+K

4/13/2001

1 r ′ ⋅ r     V(r ) ≅ (r ′)  + 3  dτ′ ρ ∫  4πε 0 τ  r r  

4.5

1

V(r ) ≅

1 ρ(r ′) dτ′ + r ⋅ ρ(r ′)r ′ dτ′ ∫   4πε 0  r ∫ τ r3 τ 1

Posto:

∫ τρ(r ′) dτ′ = Q

∫ τρ(r ′)r ′ dτ′ = p

Si ha: V(r ) ≅

 Q + r ⋅ p      3 4πε0   r r   1

Si hanno diverse situazioni: a) Sistemi a carica totale non nulla: Q≠0

p≠0

[d = distanza dall’origine del baricentro della carica]

|p| = Q d Q≠0

[origine (polo) qualsiasi]

p=0

[origine (polo) coincidente con il baricentro della carica]

b) Sistemi a carica totale nulla: Q≠0 |p| = q+ d

p≠0

[rispetto a qualunque polo] [d = distanza tra il baricentro della carica + e quello della carica -]

5.1

5. Dielettrici Negli Isolanti o dielettrici gli elettroni sono legati ai singoli atomi (o molecole) Non si hanno cariche libere

Osservazioni sperimentali (Faraday, 1831): a) Inseriamo una lastra conduttrice in un condensatore piano con densità di carica σ sulle armature sulla sup. del conduttore si generano delle cariche indotte, con densità σind = - σ e la d.d.p. → 0

σind = -σ

⇒

Eind = -Eo

⇒

Etot → 0

b) Inseriamo un dielettrico tra le armature del condensatore: la d.d.p. diminuisce:

∆V < ∆Vo

⇒

E = ∆V/d < Eo

Applichiamo il Th. di Gauss ad un cilindretto a cavallo della superficie di contatto tra armatura e dielettrico:

φ (E) = E dS =

σtot εo

⇒

∆V =

σ tot d εo

⇒ σtot < σo La carica σ sulle armature non è cambiata ⇒ Sono comparse cariche sulla superficie del dielettrico (cariche di polarizzazione )

5.2 Tagliando un dielettrico polarizzato, sulle due facce del taglio si formano cariche uguali e contrarie

+ + + +

Ogni elemento del dielettrico rimane neutro

+

-

+ +E ≠ 0 + +

-

-

Le cariche non sono libere e possono fare solo piccoli spostamenti

La carica di polarizzazione (indotta) è minore di quella che la induce. Nel condensatore:

σpol < σ

⇒

Epol < Eest

⇒

E≠0

E = Eest – Epol < Eo In generale in un dielettrico omogeneo e isotropo , la legge di Coulomb si modifica: F=

1 qqo ur 2 4πε r

dove: ε = εoεr

ε = costante dielettrica del materiale ε si misura in F m-1

εr = costante dielettrica relativa (al vuoto) εr è una caratteristica del materiale, che misura ili l grado di mobilità delle cariche (εr → ∞ nei conduttori) εr > 1

(Es.: εr,aria ≅ 1.0006, εr,acqua ≅ 80, εr,vetro ≅ 4-7)

5.3 A parità di distribuzione di carica, la forza elettrica, il campo e il potenziale sono meno intensi che nel vuoto F=

Fo

εr

⇒

E=

Eo

εr

⇒

V

=

Vo

εr

Continuano a valere il Th. di Gauss, l’irrotazionalità del campo E, il Th. di Coulomb, ecc. Nelle formule compare ε al posto di εo

Descrizione microscopica Le molecole sono neutre (Qtot = 0), ma si dividono in: a) Molecole non polari : distribuzione di carica simmetrica (p = 0)

+-

⇒ Polarizzazione per deformazione: in un campo elettrico esterno ogni molecola diviene un dipolo indotto di momento p b) Molecole polari : distribuzione di carica asimmetrica (p ≠ 0)

⇒ Polarizzazione per orientamento in un campo elettrico esterno le molecole si allineano

E

+

p E

+ + - + + - + -+ + -+ - + + -+ -+ + -

Descrizione macroscopica  In un campo esterno, un dielettrico si comporta come una distribuzione continua di dipoli, corrispondenti alle singole molecole

5.4 Ogni elemento di volume ∆τ ha carica nulla, ma momento di dipolo ∆p: n

∆p = ∑ pi = np i=1

dove: dove: n = N° N °. di dipol dipolii in

∆τ

Definiamo il vettore il polarizzazione elettrica  P = momento di dipolo per unità di volume  n

∑= p

i

p ∆ = lim i 1 = Np P = lim ∆τ→0 ∆τ ∆τ→0 ∆τ dove: N = n/ ∆τ ∆τ = N°. N°. di dipoli d ipoli per unità un ità di volume volum e

∆τ: abbastanza piccolo perché P sia uniforme al suo interno, abbastanza grande da contenere un elevato numero di molecole (descrizione continua) Nel S.I., P si misura in C m-2

Possiamo descrivere un dielettrico come costituito da due distribuzioni di carica di segno opposto, sovrapposte punto per punto: In ogni punto:

ρ+ + ρ- = 0 Ogni elemento ∆τ è neutro:

∆q = ρ+∆τ + ρ-∆τ = 0

5.5 Quando il dielettrico non è polarizzato, le distribuzioni sono sovrapposte

⇒ ∆p = 0 Quando il dielettrico è polarizzato, si ha un piccolo spostamento delle distribuzioni in verso opposto + +

- -

+

∆p = ρ l ∆τ + ρ l ∆τ = ρ l ∆τ dove: l = l+ - l- = spostamento relativo

l-

l+

ρ-

ρ+

∆p ⇒ P = lim = ρ+l ∆τ→0 ∆τ

E

Il dielettrico è equivalente ad una distribuzione di carica di polarizzazione di volume ρp e di superficie σp Cerchiamo il legame di ρp e σp con P a) Consideriamo un elemento di superficie dS all’interno del dielettrico Quando il dielettrico si polarizza, dS è attraversata dalla carica dQ:

dQ = ρ +l + ⋅ un dS + ρ −l − ⋅ un dS = ρ +l ⋅ un dS = P ⋅ un dS Consideriamo una superficie chiusa Σ, che racchiude un volume τ nel dielettrico Quando il dielettrico non è polarizzato all’interno di Σ non c’è carica  Quando il dielettrico è polarizzato c’è una carica Qp

5.6 Per la conservazione della carica, Qp deve essere uguale alla carica che attraversa Σ

Qp

= ∫ τρp dτ = ∫ τdQ = − ∫ Σ P ⋅ un dS

Segno “-“, perché la carica entra e la normale è uscente

Per il Th. della divergenza:

Qp

= − ∫ τdiv P dτ

⇒ ρp = −div P b) Consideriamo Consideriamo un elemento dS sulla superficie del dielettrico La carica che lo attraversa é:

dQ = σ p dS = P ⋅ un dS

⇒

σ p = P ⋅ un = Pn

Alla superficie di discontinuità di due dielettrici:

σp = Pn1 - Pn2 = -[Pn] Il dielettrico, anche polarizzato, resta neutro: Infatti, per il Th. della divergenza, in ogni elemento

∆τ:

∆Qp = ∫ ∆τ ρp dτ + ∫ ∆Σ σp dS = − ∫ ∆τ div Pdτ + ∫ ∆Σ P ⋅ undS = 0 E’ equivalente descrivere il dielettrico come distribuz. di dipoli ( → P) o come distribuz. di cariche ( → σp e ρp)

5.7 Potenziale e campo E prodotto da un dielettrico con polarizzazione P Considerando Considerando le distribuzioni di carica di polarizzaz.

σpdS   ρpdτ P ⋅ undS  1  div ρpdτ V (r ) = + ∫ Σ = − ∫ τ + ∫ Σ     ∫  τ 4πεo  r − r ′ r − r ′  4πεo  r − r′ r − r′  1

E(r ) = −grad V

Esempio: Cilindro uniformemente uniformemente polarizzato in direzione // all’asse Nel volume:

P = cost

⇒

ρp = -div P = 0

Sulle basi:

σp1 = -|P|

σp2 = |P|

h -

σp1

P

+ + + +

E

σp2

Il campo E non è uniforme ed ha verso opposto a P all’interno A grande distanza, è simile al campo prodotto da un dipolo di momento p = Pτ

5.8 Cilindro indefinito (h → ∞): E → 0, perché σp vanno all’infinito Strato indefinito (S → ∞): E = -P / εo, perché è come un doppio strato con σp = P

Equazioni di Maxwell e condizioni al contorno  Per calcolare E totale bisogna tenere conto delle cariche libere (ρ e σ) e delle cariche di polarizzazione polarizzazione dei dielettrici Per il Th. di Gauss:

ρlib + ρp ρlib 1 div E = = − div P εo ε o εo ⇒ div (εoE + P) = ρlib Si definisce spostamento elettrico (o induzione elettrica) il vettore D: D = εoE + P Nel S.I., D si misura in C m-2

Si ha: div D = ρlib Qlib

= ∫ Σ D ⋅ undS

In alcuni casi D può essere calcolato conoscendo la distribuzione delle cariche libere

5.9 l’irrotazionalità del campo E: Per l’irrotazionalità rot E = 0

⇒

rot D = rot P

Condizioni al contorno  Applichiamo il Th. di Gauss per il vettore D ad una superficie cilindrica a cavallo della superficie di separazione tra due dielettrici

σlibdS = D1 . un1dS + D2 . un2dS ⇒ σlib = [Dn] ⇒ σp = -[Pn] (essendo: σ / εo = [En] e D = εoE + P)

P2 n n P1 1

2

Per l’irrotazionalità di E, anche in presenza di dielettrici rimane valida la continuità della sua componente tangenziale [Et] = 0 Quindi: [Dt] = [Pt]

5.10

Dielettrici lineari  Nei dielettrici isotropi (policristalli, (policristalli, solidi s olidi amorfi, liquidi): P // E

⇒

P = χ(E)E

χ = suscettività suscettività elettrica del materiale ⇒ D = εoE + P = [εo + χ(E)]E = ε (E)E dove: ε = εo [1 + χ(E)] si dice costante dielettrica o dove:

permittività del materiale Nel S.I., ε si misura in F/m

Per campi non molto intensi, il comportamento è lineare :

χ(E) = χ = cost Per caratterizzare un materiale, si utilizza anche

εr

εr = ε / ε0 = costante dielettrica relativa εr = 1 + χ Esempi: Aria:

εr = 1.0006 (si comporta circa come il vuoto)

Acqua:

εr = 80

Vetro:

εr ≅ 4-7

5.11 Per un materiale omogeneo ed isotropo  che riempie tutto lo spazio (ε = cost) La I equazione di Maxwell diventa: div D = ε div E = ρlib

⇒

div E = ρlib / ε

La II equazione di Maxwell rimane:

⇒

rot E = 0

E = -grad V

Le leggi dell’elettrostatica continuano a valere con posto di εo

∇2V = −

ε al

ρlib ε

Esempio: Esempio: campo di una carica puntiforme q in un dielettrico lineare E=

q 4πεr

2

ur

E0

=

q 4πε0r

2

ur

E < E0 (nel vuoto), per la polarizzazione del dielettrico che genera un campo opposto a quello della carica q

Legame tra le cariche libere e di polarizzazione 

ρ ρpol = −div P = −div (χE ) = −χdiv E = −ε0 (εr − 1) ε0 ρ ρlib = div D = ε0εr div E = ε0εr ε0 εr − 1 εr − 1 ⇒ ρpol = − ρlib σpol = − σlib εr εr

5.12 All’interfaccia tra due dielettrici: [D n] = [εEn] = 0 ed [Et] = 0 Legge di rifrazione delle linee di forza: Passando in un mezzo elettricamente più denso ( ε2  > ε1), le linee di forza del campo si allontanano allontanano dalla normale alla superficie di separazione

ε1 ε2

En2 E1

ϑ1

Et1

E2

ϑ2 Et2 En1

tgϑ2 tgϑ1

ε2 = ε1

Misura di E in un dielettrico  Si misura il campo E o in una sottile cavità parallela al campo stesso, in modo che: E E0 = Et0 = Et = E E0 Taglio sottile, in modo che: Eo sia valutato nell’intorno del punto in cui si vuole valutare E Le superfici ⊥ E, su cui si distribuisce σp siano di dimensione trascurabile

Misura di D in un dielettrico  Si misura il campo Do in una sottile cavità ⊥ al campo stesso, in modo che: D D0 = Dn0 = Dn = D D0

5.13 Energia elettrostatica  L’energia elettrostatica elettrostatica U in presenza di un dielettrico è il lavoro necessario per: a) costruire la distribuzione di carica libera ρlib (portare la carica dall’infinito alla configurazione finale) b) polarizzare il dielettrico

Equivalentemente, Equivalentemente, U è il lavoro per costruire la distribuzione di carica libera in presenza del potenziale dovuto sia a ρlib che a ρp U=

1 2

∫ 

V dτ ρ Spazio

dove: E = -grad V

ρlib = div D Quindi: U=

1 2

∫ 

⇒u=

Spazio

E ⋅ D dτ

1 ε oE 2 2

↑ (a)

1 + E ⋅P 2

↑ (b)

a) Lavoro per costruire la distribuzione di carica (come nel vuoto) b) Lavoro di polarizzazione polarizzazione del dielettrico

5.14 Per un materiale omogeneo ed isotropo: D = εE: u=

1 ε o εr E 2 2

=

1 2 εE 2

Esempio: condensatore piano

D=σ=

Q S

Q E0 σ E= = = ε 0 ε r ε 0 εr S ε r ∆V0 ∆V = εr U=

1 Q2 2 C

=

1 C ∆V 2 2

=

C = C0 ε r U0

εr

A parità di carica, l’energia è minore se c’è un dielettrico invece del vuoto All’aumentare dell’inserzione del dielettrico, l’energia diminuisce

⇒

Il dielettrico viene “risucchiato” all’interno del condensatore

In generale, i dielettrici vengono “risucchiati” verso le zone dove il campo è più intenso

-q

+q

F

Esempio: pezzetti di carta attirati verso lo schermo della TV

5.15

Modello microscopico della polarizzazione  Il comportamento elettrico di un dielettrico è caratterizzato dalla relazione costitutiva del materiale P = P(E) = χ(E)⋅E P = P(E) può essere determinata sperimentalmente sperimentalmente o con un modello microscopico del materiale

Una trattazione teorica accurata si basa sulla meccanica quantistica Trattazione classica approssimata Polarizzazione per deformazione  Si ha nelle molecole non polari ( p = 0) Modello della molecola: carica puntiforme positiva al centro della distribuzione sferica di carica negativa di raggio a ( ≈ 10-10 m) In presenza di un campo elettrico, le distribuzioni si spostano in direzione opposta, con uno spostamento relativo s

-e

a +e

s

-e E

+e

A distanza s dal centro della distribuzione negativa, il campo che essa produce è: Epol

=

3

 s   e    2 4πεo  a   s 1

5.16 All’equilibrio, All’equilibrio, sul nucleo, la forza elettrica e E dovuta al campo esterno è bilanciata dall’attrazione dall’attrazione verso il centro della distribuzione di carica negativa eE =

⇒

1 e 2s 4πεo a3

s=

4πεoa3E e

Il momento di dipolo indotto nell’atomo é: p = es = αdE

dove: αd = 4πεoa3 = polarizzabilità elettronica

Quindi:

P = Np = NαdE ∝ E

χ =Nαd

Polarizzazione per orientamento  Le molecole polari possono essere descritte come dipoli. In assenza di un campo esterno, i dipoli hanno orientamento casuale

P=0 In un campo esterno, i dipoli si orientano, ma l’orientamento è contrastato dall’agitazione termica

⇒ Equilibrio statistico: la componente di p di ogni atomo parallela al campo è mediamente minore del modulo di p

5.17 ¯p (E)

α0 Per campi non molto intensi si può supporre che il moment mom ento o indot indotto to medio me dio p ¯ sia ∝ E p ¯ = αoE dove: αo = polarizzabilità per orientamento

αo

p2 = 3kT

1 ∝ T

αo decresce all’aumentare di T, perché aumenta l’effetto dell’agitazione termica, che contrasta il campo

5.18 Tipi di dielettrici 

•

Dielettrici lineari isotropi (P // E) E’ il caso più comune: solidi amorfi e policristallini, liquidi

P = χ(E)E D = εoE + P = [εo + χ(E)]E = ε(E)E Per campi non molto intensi:

•

χ = cost

Dielettrici lineari anisotropi (P non parallelo ad E) Solidi cristallini e liquidi particolari (cristalli liquidi)

Px = χxxEx + χxyEy + χxzEz Py = ... Pz = ...

χ è un tensore (matrice di 9 elementi)

•

Dielettrici non lineari [P = f(E)] Esempio: Materiali con polarizzazione per orientamento Per bassi valori di E i dipoli si allineano e P cresce Per elevati valori di E, tutti i dipoli sono orientati e P non cresce più (In pratica, occorrano campi estremamente elevati)

In molti casi, si può scrivere:

5.19 P = χE + χ2E2 + χ3E3 + ... Applicazioni: modulatori ottici per telecomunicazioni

•

Elettreti Materiali amorfi che acquistano polarizzazione permanente se sottoposti ad un campo Esempio: cera fusa che si solidifica in presenza di un campo elettrico

•

Materiali piroelettrici Una variazione di temperatura provoca una variazione dello stato di polarizzazione Applicazione: rivelatori di radiazione infrarossa

•

Materiali ferroelettrici Cristalli in cui la forte interazione intermolecolare provoca un parziale orientamento dei dipoli, anche in assenza di campo esterno Effetto contrastato dall’agitazione termica Scompare ad elevate temperature (T critica tipica del materiale) Il legame tra tra P e E non è univoco (isteresi)

P E

5.20

•

Materiali piezoelettrici Generalmente cristalli (es. quarzo), ma anche certe ceramiche Se polarizzati (applicando una d.d.p.), si deformano Applicazione: posizionatori micrometrici (<< 1µm), oscillatori elettronici al quarzo

Se deformati (compressione o trazione), si polarizzano e si ha una ddp tra le estremità Applicazione: misuratori di forza

6.1

6. Corrente Corrente elettrica elettrica Consideriamo due conduttori, uno carico e l’altro scarico e colleghiamoli con un filo conduttore +

La carica passa attraverso il filo

+ +

+

+

+ +

+

Dopo un tempo τ il flusso di carica si arresta

+

Definiamo intensità di corrente elettrica attraverso il filo il limite:

∆q dq i = lim = ∆t →0 ∆t dt Unità di misura:

grandezza scalare 

ampere (A)

unità fondamentale

In pratica: 1 ampere = 1 coulomb/1 secondo

In un conduttore la corrente è dovuta al moto delle cariche libere (elettroni) per effetto di un campo elettrico Tipica velocità di agitazione termica degli elettroni in un metallo: Vt = 105 m/s Tipica velocità di deriva degli ele elettron roni: Vd = < 10-3 m/s Supponiamo che i portatori abbiano carica positiva che la loro densità si ρ e la velocità sia v La carica che attraversa una generica superficie dS nel tempo dt è:

6.2 v dS

n

dq = ρv ⋅ n dS dt

Definiamo densità di corrente j il vettore: j = ρ v = nq q v dq = j ⋅ n dS dt dq i= = dt

∫  j ⋅ ndS S

La corrente i attraverso una sezione S è uguale al flusso del vettore densità di corrente j attraverso la superficie Se i portatori di carica hanno segno diverso + e –  + +

− −

j = ρ v +ρ v

+

v v

-

La densità di corrente è la somma dei contributi dei portatori + e dei portatori –  Consideriamo una superficie chiusa Σ dq j ⋅ n dS = − Σ dt

∫ 

La carica che attraversa una superficie chiusa in dt è la variazione della carica nel volume cambiata di segno

6.3

d ρ dτ j ⋅ n dS = − Σ τ dt

∫ 

∫ 

dρ div j dτ = − dτ τ τ dt

∫ 

∫ 

∂ρ div j = − ∂t Equazione di conservazione della carica e di continuità della corrente Il regime si definisce stazionario quando la velocità delle cariche è costante nel tempo v = cos t

∂ρ =0 ∂t

⇒

div j = 0

corrente stazionaria

∫ Σ j ⋅ n dS = 0 In regime stazionario la superficie di un conduttore è un tubo di flusso di j

Σ S1 n1

j S

∫ 

S laterale

S2

∫ Σ j ⋅ n dS = 0

n2

⇒ Flusso attraverso la sup

n

j ⋅ n dS = 0

laterale del conduttore = 0

6.4

poiché j non ha componenti normali alla superficie del conduttore, risulta sempre tangente ad S

∫ 

j ⋅ n1 dS +

∫

j ⋅ n2 dS =

S1

S1

∫ 

S2

∫ 

j ⋅ n2 dS +

S2

∫ 

S laterale

j ⋅ n dS = 0

j ⋅ n2 dS

La superficie di un conduttore è un tubo di flusso di j e il flusso di j è costante attraverso una qualunque sezione

⇒ La corrente entrante è uguale alla corrente uscente i1 = i2 La corrente che attraversa qualunque sezione di un conduttore in regime stazionario è la stessa In generale: j = f (E ) Per alcuni conduttori (ad es. metalli) j = σE

(Legge di Ohm in forma locale)

La densità di corrente è proporzionale ad E

σ è la conducibilità del materiale ρ = 1/ σ è la resistività Consideriamo un conduttore cilindrico di area di base S e lunghezza h

6.5

La corrente è: i=

∫  j ⋅ n dS =  j S = σ E S = S

ES

ρ

La diff. di potenziale è: B

∆V = VB − VA = − ∫  E ⋅ dl = E h A

Quindi:

ρh

∆V = R=

S

⇒

i = Ri

ρh

∆V = Ri

(Legge di Ohm)

Resistenza elettrica

S

Unità di misura

Ω )  ohm ( Ω 

Per un conduttore di forma qualsiasi: dh R= ρ A S B

∫ 

Resistenze in serie: VA

V1 R

V2 R

V3 R

Vn

VB R

VA − VB = (VA − V1 ) + (V1 − V2 ) + L + (Vn − VB ) iR = i(R1 + R 2 + L + Rn ) R=

∑R k

k

6.6

Resistenze in parallelo: i1 i2

VA − VB i= R

R1

R2

VA − VB ik = Rk

R3

i=

i3

in

k k

⇒

Rn VA

∑i

1 = R

1 kR k

∑

i VB

Effetto Joule  Il lavoro necessario per spostare le cariche elettriche in un conduttore viene trasformato in calore (urti dei portatori contro il reticolo) dU = ∆V dq = ∆V i dt Potenza dissipata W=

dU = ∆V i dt

Per un conduttore ohmico (∆V = R i) 2 V W = Ri2 = R

6.7

In ogni punto del conduttore: dq = j ⋅ n dS dt dL = dq E ⋅ dl = (E ⋅ dl) ( j ⋅ n) dS dt = (E ⋅ j) (dl ⋅ n) dS dt dL W= = E ⋅ j dτ dt

dl j

E

Densità di potenza dissipata: dW w= = E ⋅ j = ρ j2 = σ E2 dτ

dS

n

Osservazioni: a) Il vettore j è solenoidale ⇒ la corrente può circolare solo in un circuito chiuso b) È necessario compiere lavoro per fare circolare una corrente: L → calore per effetto Joule c) In un conduttore ohmico Il lavoro è compiuto dal campo elettrostatico (w= σE2) d) rot E = 0 ⇒ il campo elettrostatico E non può compiere un lavoro lungo un percorso chiuso

∫ E ⋅ dl = 0 Esiste una apparente incongruenza: incongruenza: Il campo elettrostatico NON può essere l’unica fonte di lavoro in un circuito elettrico

6.8

Campo elettromotore e forza elettromotrice  In ogni circuito esiste una regione (generatore) nella quale esiste un campo NON conservativo che agisce sulle cariche elettriche Questo campo si dice campo elettromotore è di natura NON elettrica (chimica, meccanica, termica…) ed è definito come:

Fm (Fm = forza agente q sulla carica q) Em =

j

E

E Em

Em agisce solo entro il generatore

∫E

m

G

⋅ dl = ∫  Em ⋅ dl ≠ 0 γ G

Consideriamo la regione del generatore a “circuito aperto”

j=0

B

⇒ E + Em = 0

+ + + +

- A -

Em E

E = -Em Il campo elettromotore è equilibrato da un campo elettrostatico generato da una separazione di cariche Definiamo forza elettromotrice l’integrale:

∫

f .e.m. = Em ⋅ dl =

∫ γ 

G

Em ⋅ dl = −

B

∫  E ⋅ dl = V A

B

− VA

La f.e.m. si misura come differenza di potenziale ai capi del generatore a circuito aperto [E [E è conservativo]

6.9

Circuito chiuso: B

Le cariche fluiscono dall’elettrodo + all’elettrodo – 

i

+ + + +

Em

- A E

E j

Il campo elettrostatico diminuisce

j≠0

⇒

E ≠ Em

Legge di Ohm generalizzata Entro il generatore:

j = σG (E + Em ) =

1

ρG

(E + Em )

Fuori dal generatore:

j = σE =

1

ρ

E

In forma integrale:

∫ γ 

VB − VA = − E ⋅ dl = − G

∫ γ 

G

(ρG j − Em ) ⋅ dl = f.e.m − ∫  ρG j ⋅ dl γ G

Poniamo:

dh R G = ρG (resistenza del generatore) A S B

∫ 

VB - VA = f.e.m. - RG i Essendo

VB – VA = R i

f.e.m. = (R + RG) i

si ottiene:

6.10

Bilancio energetico  (f.e.m.) i = (VB - VA) i + RG i2 = (R + RG) i2 Potenza dissipata nel generatore Potenza dissipata nel circuito esterno Potenza fornita dal generatore

Esempi di generatori  • Pila di Volta • Generatore di Van de Graaf • Disco di Nichols

Pila Weston

6.11

Modello microscopico della conduzione  Regime stazionario Conduttore ohmico (metallo)

j=ρv

v = cost.

Gli elettroni liberi si muovono casualmente per agitazione termica (vt = 105 m/s) e “urtano” gli ioni del reticolo (tempo medio tra gli urti: τ ≈ 10-14 s) Tra 2 urti successivi l’elettrone subisce gli effetti del campo elettrico:

F = -e E Variazione di quantità di moto

∆p = -e E τ Nell’urto la quantità di moto acquistata viene perduta Calcoliamo la q. di m. media di N elettroni in un generico istante 1 N (− e E ti ) mv = n i =1

∑

Per definizione

m v = −e E τ

(ti = tempo trascorso dall’ultimo urto)

1 N ti τ= n i =1

∑

⇒

quindi:

e v = − Eτ m

6.12

La velocità media (velocità di deriva) è proporzionale ad E In generale: (µ mobilità del portatore di carica)

v = µE Per gli elettroni:

e µ= τ m

(τ dipende dal conduttore e dalla temperatura)

Poichè

j = ρv

j=σE

N e2τ j = Nq v = E m N e2 τ σ= m Poiché τ dipende dalla temperatura anche σ dipende da T Il modello è applicabile per conduttori ohmici e per campi elettrici non molto intensi  –  La velocità di deriva v deve essere << vt

6.13

Leggi di Kirchoff  Consentono di calcolare correnti e tensioni in una rete elettrica i4

Legge dei nodi (I legge di Kirchoff)

∑

ik = 0

[div j = 0]

i1 i3 i2

k

La somma algebrica delle correnti che convergono in un nodo è nulla ∆V1

Legge delle maglie (II legge di Kirchoff)

∑ ∆V

k

k

=0

[rot E = 0]

∆V2

∆V4 ∆V3

La somma algebrica delle differenze di potenziale lungo una maglia (linea chiusa in un circuito) è nulla

7.1

7. Campo magnetostatico Aspetti fenomenologici  Interazioni (attrattive e repulsive) tra magneti (magnetite) In ogni magnete si possono individuare due poli che chiamiamo polo + (nord) e polo - (sud) Due magneti si respingono se avviciniamo due poli uguali, si attraggono se avviciniamo poli opposti

F=k

qm1 qm2 r

2

qm = carica magnetica

Non si tratta di una forza elettrostatica perché i magneti sono scarichi

È impossibile isolare una carica magnetica Spezzando un magnete si ricreano 2 poli Il comportamento è simile a quello di un dielettrico polarizzato

Un sottile ago di magnetite si allinea lungo un meridiano terrestre indicando la direzione sud-nord Il comportamento è simile a quello di un dipolo elettrico che si allinea con il campo

Usando della limatura di ferro è possibile mettere in evidenza le linee di un campo (campo ( campo magnetico) magnetico) generato da un magnete

7.2 Esiste una relazione tra fenomeni magnetici ed elettrici Una corrente elettrica in un filo è in grado di modificare l’orientazione di un ago magnetico

⇒ una corrente genera un campo magnetico Una ago magnetizzato può essere usato per esplorare il campo magnetico generato da una corrente

Due fili percorsi da correnti si attraggono o si respingono a seconda del verso delle correnti Non sono forze elettrostatiche, perché non c’è carica netta nei circuiti Se arrestiamo la corrente “fermiamo le cariche” e annulliamo le interazioni

Le considerazioni precedenti ci inducono a ritenere che il magnetismo è una manifestazione manifestazione del moto delle cariche elettriche Una corrente elettrica genera un campo magnetico ed una carica in moto (corrente) ne risente gli effetti La magnetite è un materiale in cui esistono delle correnti elementari spontanee Queste correnti “corrispondono” a dipoli elementari I dipoli “si neutralizzano” all’interno del materiale e manifestano i loro effetti sulle basi di una sottile sbarra (poli magnetici)

In una visione più corretta il campo elettrico ed il campo magnetico sono intrinsecamente collegati

7.3 Una campo magnetico variabile genera un campo elettrico e viceversa → campo elettromagnetico Solo in condizioni stazionarie i campi possono essere studiati separatamente

Forza su una carica elettrica in moto  Una particella di carica q in moto con velocità v è soggetta alla forza F: F = qE qE + qv qv × B Le interazioni tra cariche ferme sono descritte mediante il campo elettrico E Le interazioni tra correnti e cariche in moto sono descritte mediante il campo magnetico B (induzione magnetica B) B) L’espressione della forza consente la definizione  operativa di B Con v = 0, si misura E Con v = v1 e v = v2 (⊥ v1), si misurano 2 forze F1 ed F2 Si determina B dai valori delle forze F1 e F2

Nel S.I., B si misura in Tesla (T) Forza di Lorentz  Una carica q in moto con velocità v in un campo magnetico B subisce una forza: F = qv ×B

forza di Lorentz

7.4 La forza è in ogni punto

⊥ allo spostamento

La forza magnetica non compie lavoro

L

= ∫ γ γF  ⋅ ds = 0

Moto di una carica in un campo magnetico uniforme  Per una carica di massa m in moto in un campo B con vel. v (⊥ a B): v2 F = q v B = m an = m r La particella descrive una circonferen c irconferenza za di raggio mv r= qB

=

p qB

Proprietà del campo magnetico nel vuoto  Flusso del campo magnetico  Analizzando le linee di campo (ad. es. con un ago) ci rendiamo conto che sono linee chiuse

Data una qualunque superficie chiusa il flusso uscente di B è nullo

∫ Σ B ⋅ u

n

=0

Applicando il Th. della divergenza: divergenza: In forma locale div B = 0

Eq. di Maxwell

7.5 Il campo B è solenoidale Non esistono cariche magnetiche che siano sorgenti (o pozzi) delle linee di campo di B Le linee di forza di B sono chiuse o si estendono all’infinito

Σ1 ed Σ2 hanno lo stesso orlo γ :

Se due superfici

∫Σ B ⋅ u 1

n1

= ∫ Σ

2

B ⋅ un 2

Si considera il flusso di B “concatenato” con la linea Il flusso di

γ 

B nel S.I. si misura in: weber (Wb)

Circuitazione del campo magnetico  Legge di Ampere: la circuitazione di B lungo γ  è proporzionale proporzionale alla somma delle correnti concatenate

∫ γ B ⋅ u dl = µ ∑ i = µ I t

o

0

µo = 4π . 10-7 Hm-1 = permeabilità magnetica del vuoto

Le correnti concatenate hanno segno positivo quando vedono come antiorario il verso di percorrenza di γ  Se non ci sono correnti concatenate (o la somma è nulla), la circuitazione è nulla Se γ  è una linea di forza di B, la circuitazione è ut ed equiverso) ⇒ esiste I concatenata

(B //  ≠ 0 (B

7.6 Applicando il Th. del rotore si ha:

∫ Σ rot B ⋅ u dS = µ ∫ Σ J ⋅ u dS n

⇒

o

n

rot B = µoj

Il campo magnetico NON è conservativo Eq. di Maxwell nel vuoto in regime stazionario 

ρ div E = ε0

div B = 0

rot E = 0

rot B = µ 0 j

Forza magnetica su un conduttore con  corrente i (II legge di Laplace)  Forza di Lorentz applicata agli elettroni in moto nel conduttore F = −e v d × B

vd = velocità di deriva

Forza su un tratto dl di conduttore dF = −n (S dl) e v d × B Densità di corrente in un conduttore: j = −n e v d

⇒

dF = (S dl )j × B

Fτ

= j × B (unità di volume)

Per un conduttore filiforme: d F = i dl × B

II legge di Laplace

7.7 Esprime la forza agente su un tratto elementare di circuito percorso da corrente i Per un tratto finito di circuito: F=

B

B

A

A

∫  i dl × B = i ∫  dl × B

Per un circuito chiuso

∫ γ γ 

F = i dl × B In generale la forza su un circuito è

≠0

Casi particolari 

Tratto di conduttore rettilineo in un campo B uniforme B   F = i  ∫  dl    × B = i L B sin ϑ A

La formula vale anche per un filo non rettilineo tra A e B

⇒ se il campo B è uniforme la forza agente su un circuito chiuso è nulla

Bilancia delle correnti

Permette di misurare un campo c ampo magnetico FM

= iL × B

Fp

= mg

Poiché i bracci sono uguali: i L B = mg

mg B= iL

7.8 Azioni meccaniche su un circuito (spira)  Consideriamo una spira rettangolare in un campo uniforme La spira è soggetta ad un momento meccanico

M = b sin ϑ F = i a b B sin ϑ = i S B sin ϑ

Il momento meccanico tende a disporre la spira ⊥ B La spira si allinea al campo B come un dipolo elettrico si allinea al campo E Definiamo momento magnetico della spira il vettore: m = i S un

verso un ⇔ corrente antioraria

Il momento meccanico si scrive: M = m×B La relazione precedente vale per una spira piana di forma qualsiasi (corrente i ed area S) Teorema di equivalenza di Ampère (I parte): una  spira elementare di area  dS percorsa da corrente i è  equivalente ad un dipolo magnetico di momento  dm = i dS un L’equivalenza non è completa perchè le cariche magnetiche non esistono

Energia potenziale di una spira in un campo B U = −m ⋅ B = − m B cos ϑ = − i S B cos ϑ U ∂ ⇒ M = − = − m B sin ϑ ∂ϑ

7.9

Forza magnetica su un conduttore con  corrente i (flusso di B)  Consideriamo un circuito ed una superficie che si appoggi sul circuito Dividiamo la sup. in tanti elementi di area dS L’energia potenziale posseduta da ogni elem. è: dU = −dm ⋅ B = −i dS un ⋅ B L’energia potenziale totale è:

∫ 

U = − i B ⋅ un dS = − i φ C (B) S

Il flusso NON dipende dalla superficie, ma solo dal circuito C Principio dei “lavori virtuali” 

dL

= −dU = − i dφC (B)

per il cambiamento di configurazione del circuito L

= − i φC1 (B) − φC2 (B)

(corrente costante)

Casi particolari:

a) Traslazione:

∂φC (B) dL = Fx dx = i dx ∂x

(asse x)

analogamente analogamente per gli assi y e z

⇒ F = i grad φC (B) = i ∇ ⋅ φC (B) Campo uniforme e circuito rigido ⇒ F = 0

7.10 b) Rotazione ∂φC (B) M= i

∂ϑ

Circuito rettangolare in un campo uniforme

Legge di Laplace: F = iL × B = iL B ux

Variazione di flusso dφ C (B) Fx = i dx

= i B dS = i BLdx dx

dx

F = i L B un

Campo magnetico generato da una corrente  I legge di Laplace: campo magnetico generato da un  tratto infinitesimo di filo d l  l percorso dalla corrente i 

µ o d l × ur dB = i 2 4π r Per un circuito filiforme:

µ o d l × ur B= i ∫  2 4π γ γ  r

7.11 Casi particolari:

a) Campo prodotto da un filo indefinito

µ 0 dy sin ϑ dB = i 4π r2 [r sin ϑ = R] − y tg ϑ = R ⇒ dy = Rdϑ   sin 2 ϑ  µ 0i dy sin3 ϑ µ 0i sin ϑ dϑ µ 0i dB = d(cos ϑ) = = 2 4π R 4π R 4πR 2µ 0i π µ 0i µ 0i B=− d cos ϑ = − ( −1) = ∫  2 π 4πR 2πR 2πR b) Campo Campo prodotto da una spira di raggio R B= B=

µ 0i 2R

µ0

un 2m

2R r

3

m = iSu iSun

(centro della spira) (lungo l’asse della spira r >> R) momento magnetico

µ 0  3 ur ⋅ m m   B=  3 ur − 3   4π   r r  

a grande distanza

7.12 La relazione precedente costituisce la II parte del  teorema di equivalenza di  Ampère 

c) Campo prodotto da un solenoide indefinito B = µ 0ni

n = spire per unità di lunghezza

Calcolo del campo magnetico usando la legge di  Ampère 

Consideriamo il campo prodotto da un filo indefinito percorso dalla corrente i Calcoliamo la circuitazione di B

µ 0i µ 0i µ 0i (r dφ) = B ⋅ dl = u φ ⋅ dl = dφ 2πr 2πr 2π µ 0i µ 0i ∫ γ γB  ⋅ dl = ∫ 2π dφ = 2π [± 2π,0] Se la linea concatena più correnti

∫ γ B ⋅ dl = µ ∑ i 0

k

Per il teorema di Stokes

∫ γ B ⋅ dl = ∫Σ rot B ⋅ u dS = µ ∫ Σ j ⋅ u dS n

rot B = µ 0 j

0

n

legge di Ampère

7.13 Vale solo in condizioni stazionarie (div j = 0) Come il Th. di Gauss, anche la legge di Ampère può essere usata per calcolare B in condizioni di simmetria a) Filo rettilineo indefinito con corrente i

∫ B ⋅ dl = 2πrB = µ i 0

µ 0i B= 2πr

[r > R]

2 r i π 2 d 2 rB r  j ⋅ = π = µ π = µ B l 0 0 ∫  πR 2 µ 0ir B= [r < R] 2 2πR

b) Solenoide indefinito

∫ B ⋅ dl = B h = µ nhi 0

B = µ 0n i c) Corrente piana indefinita

∫ B ⋅ dl = 2 B h = µ  j h 0 s

B=

µ 0 js

2 Attraversando una superficie percorsa da corrente: B n2 B t2

− Bn1 = [Bn ] = 0 − B t1 = [B t ] = µ 0 js

7.14

Forze tra conduttori  Dalle I e II legge di Laplace: Forza su un elemento dl2 del conduttore 2 per effetto del campo di un elemento dl1 conduttore 1:

µ 0i1i2 dF2,1 = i2 dl2 × dB1 = dl 2 × (dl1 × u1,2 ) 2 4π r Forza su un elemento dl1 del conduttore 2 per effetto del campo di un elemento dl2 del conduttore 1:

dF1,2

µ 0i1i2 dl1 × (dl2 × u2,1 ) = 2 4π r

Forza tra circuiti F2,1

= −F1,2 …

F2,1

= −F1,2

µ 0i1i2 dl1 × = 4 π ∫1∫ 2

dl 2 × u1,2 r2

µ 0i1i2 (dl1 ⋅ dl2 )u1,2 = 4 π ∫1∫ 2 r2

Forza tra due conduttori rettilinei (x unità di lunghezza) F

µ 0i1i2 = d 2π r

Definizione dell’ampere: dell’ampere: 1 ampere è la corrente che produce una forza di  µ 0  π  0 /2    π  = 10 -7  newton/metro quando scorre in due fili indefiniti  paralleli a distanza di 1 metro.

7.15

Potenziali del campo magnetico  Per il campo elettrostatico: rot E = 0

[rot grad V ≡ 0]

∇ × E = 0 [∇ × ∇V ≡ 0]

⇒ ∃

V : E = −grad V

⇒ ∃

V : E = −∇ V

In questo caso il campo è conservativo e V è il potenziale scalare

Potenziale vettore del campo magnetico  rot B ≠ 0 ⇒ il campo magnetico non è conservativo e non ammette potenziale scalare Per il campo induzione magnetica: div B = 0

[div rot A ≡ 0]

⇒ ∃

A : B = rot A

∇ ⋅B = 0

[∇ ⋅ (∇ × A ) ≡ 0]

⇒ ∃

A : B = ∇×A

⇒ Si può definire un potenziale vettore A per il campo magnetico B = rot A La definizione non è univoca Consideriamo A′ = A + ∇S e calcoliamo B

B′ = ∇ × A′ = ∇ × A + ∇ × ∇S = ∇ × A Calcoliamo la divergenza di A’

∇ ⋅ A′ = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ (∇S ) = ∇ ⋅ A + ∇ 2S Poniamo A ′ = A + ∇S con S tale che: ∇ 2S = −∇ ⋅ A ⇒ ∇ ⋅ A′ = 0

=B

7.16 Dato un qualunque potenziale vettore A per un campo B possiamo trovare un altro pot. vettore A’ tale che: B = ro t A ′

div A ′ = 0

Questa scelta è quella usuale in magnetostatica : Equazione di Poisson per il campo magnetico:

∇ × B = ∇ × ∇ × A = ∇(∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A = µ 0 j ∇ 2 A = −µ 0 j Nota la distribuzione delle correnti (j ( j) è possibile calcolare il potenziale vettore Soluzione dell’equazione di Poisson

Ax

µ0  j x ( x ′, y ′, z′) dx ′dy ′dz′ = ∫ τ 4π (x − x ′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

µ 0 j dτ A= 4π ∫ τ r Il potenziale vettore A permette di calcolare il campo B come il potenziale V permette di calcolare E Questo procedimento conveniente come in elettrostatica perché A è un vettore (mentre V è uno scalare)

7.17 Potenziale scalare  In una regione (internamente connessa) in cui non siano presenti correnti: rot B = 0 Si può definire anche un potenziale scalare: B=

−∇ Vm

∇ 2 Vm = 0

Vm (P) − Vm (P′) =

P′

∫  B ⋅ dl P

In generale il potenziale scalare è una funzione polidroma

7.18

Auto e mutua induzione  Consideriamo un circuito percorso da corrente i: Il flusso di B concatenato con il circuito è:

φ γ (B) = ∫ S

γ 

B ⋅ un dS

Il campo B è lineare nella corrente i:

µ 0 i d l × ur (B) =∝ i ⇒ φ B= ∫  2 4π γ γ  r φ γ (B) = Li (equivale alla relazione Q = CV) L si dice coefficiente di autoinduzione  Si misura in henry (H) 1 henry = 1 weber/1 ampere

Consideriamo due circuiti (linee orientate)

Il flusso di B nel circuito 2 prodotto da una corrente nel circuito 1 è:

φ 2,1(B) = M21 i1

(lineare nella corrente i1)

7.19 Analogamente:

φ1,2 (B) = M12 i2

(lineare nella corrente i1)

Si dimostra che M1,2 = M2,1

B = rot A

φ(B) = ∫ S B ⋅ un dS = ∫ S rot A ⋅ undS dl φ(B) = ∫ γ γA ⋅  

µ 0 j1 µ 0 i dl1 A1 = dτ = ∫  4π τ r 4π ∫ γ 1 r µ 0i1 dl1 ⋅ dl 2 M2,1 i1 φ 2,1(B) = ∫ γ  A1 ⋅ dl2 = = ∫ ∫  2 4π γ1 γ 2 r µ 0i 2 dl1 ⋅ dl 2 φ 2,1(B) = ∫ γ  A 2 ⋅ dl1 = = M1,2 i2 ∫ ∫  γ γ  1 4π 1 2 r Esempi di calcolo del coefficiente di autoinduzione  Solenoide lungo (L >> R)

B

= µ 0ni φ(B) = B N S = B n LS = µ 0 n 2 i S L L

= φ(B) i = µ 0n2S L

7.20 Esempi di calcolo del coefficiente di mutua induzione  Solenoidi concentrici di lunghezza L

B1

= µ 0n1 i1

B2

= µ 0n 2 i2

Flusso di B nel solenoide 2 per una corrente nel solenoide 1

φ 2,1(B) = n2 L S1 B1 = µ 0n1n2LS1i1 ⇒

M2,1

= φ 2,1

i1

= µ 0n1n2S1 L

Flusso di B nel solenoide 1 per una corrente nel solenoide 2

φ1,2 (B) = n1 L S1 B 2 = µ 0n1Ln 2S1i2 ⇒

M1,2

= φ1,2

i2

= µ 0n1n 2S1L = M2,1 = M

8.1

8. Campo magnetico nei mezzi materiali Aspetti fenomenologici  Ragioni storiche: il magnetismo nei mezzi materiali è molto importante (magnetite) Magnetismo nella materia ↔ polarizzazione dei dielettrici con importanti differenze Nei materiali magnetici lineari gli effetti del mezzo sono generalmente trascurabili Nei materiali magnetici non lineari (ferromagnetici) gli effetti sono molto evidenti → numerose applicazioni

Come nei mezzi dielettrici gli effetti del mezzo possono essere rappresentati da un “continuo” di dipoli magnetici (correnti elementari) Osservazione sperimentale Consideriamo un solenoide percorso da corrente ed una bobina sospesa ad un dinamometro La forza è proporzionale al momento magnetico della bobina

dB F = ±m dx

m = Niπr 2

Sostituiamo la bobina con un volumetto τ di materiale

Forza F ≠ 0 ⇒ materiale si crea un momento magnetico indotto m

8.2 Definiamo il vettore intensità di magnetizzazione  magnetizzazione pari pari al momento magnetico per unità di volume M=

m

τ

=

1

dB F τ dx

A seconda della forza di distinguono 3 casi a) Forza debole e repulsiva (mat. diamagnetici) b) Forza debole e attrattiva (mat. paramagnetici) c) Forza intensa e attrattiva (mat. ferromagnetici)

in In generale si definisce intensità di magnetizzazione  magnetizzazione in un mezzo materiale il vettore:

∆m M = lim = Nm ∆τ→0 ∆τ La magnetizzazione è associata all’esistenza di correnti molecolari jmol Una sup. dS nel materiale è attraversata dalla corrente mol:

imol

= jmol ⋅ undS

Consideriamo una superficie S che si appoggia ad una linea γ  La corrente che attraversa S è dovuta alle spire concatenate con γ  Ipotesi: tutte le spire sono ugualmente orientata e hanno area A

8.3 Un elemento dl di γ  attraversa le spire contenute nel volume

Vol =

m A ⋅ dl m

m

=iA

Se nel materiale ci sono n spire/unità di vol.

imol

m = Ni A ⋅ dl = N m ⋅ dl = M ⋅ dl m

⇒ la corrente che attraversa la superficie S è:

∫j

S mol

⋅ undS = ∫ γ M ⋅ dl = ∫ S rot M ⋅ undS

rot M = jmol

(all’interno di un mezzo magnet.)

Sulla superficie del mezzo M è discontinuo: jsup

= M × un

Sulla superficie di separazione tra 2 mezzi jsup

= (M1 − M2 ) × un

un = norm 1→2

Leggi della magnetostatica nei mezzi materiali  div B = 0 rot B = µ 0 ( jcond

+ jmol )

Usando il vettore M

  B   − M   = jcond rot    µ0

∫ γ γB  ⋅ dl = µ (I

0 cond

+ Imol )

8.4 Definiamo vettore intensità di campo magnetico H magnetico  H H=

B

µ0

−M

Si ha allora:

∫ γ γH  ⋅ dl = I

rot H = jcond

cond

Unità di misura di H: A/m (amperespire/metro) (amperespire /metro) Attenzione: non è vero che H dipende solo dalle correnti di conduzione perché:

  B   div H = div  − M  = − div M   µ0 H non è solenoidale ma ha delle sorgenti (in genere sulle superfici di discontinuità dei mezzi) Legame tra B ed H:  Consideriamo un solenoide toroidale 2 π r H = Ni

⇒

H=

Ni 2π r

Nei materiali lineari B = µ H = µ 0µr H B = µ 0H + µ 0M

  1 1   −   M =  B   µ0 µ

8.5 Diamagnetici Paramagnetici Ferromagnetici

µ < µ0 µr < 1 µr ≈ 1-10-5 µ > µ0 µr > 1 µr ≈ 1+10-4 µ >> µ0 µr >>1 µr >> 1

M ↑↓ B M ↑↑ B B=B(H)

Condizioni al contorno per B ed H  Alla superficie di separazione tra 2 mezzi:

div B = 0

⇒

Bn1 = Bn2

µr1 Hn1 = µr 2 Hn2

rot H = 0

⇒

Ht1 = B t 2

µr 2 B t1 = µr1 B t 2

tg α1 tgα 2

Ht1 Hn1 = Ht 2 Hn2

µ = r1 µr 2

Campo B prodotto da un corpo unif. magnetizzato  a) Magnete permanente cilindrico

Densità di corrente superficiale

M = cost

jsup

= M × un

8.6 Il campo B è ≈ a quello prodotto da un solenoide Campo H:

esterno: H =

B

interno: H =

µ0

B

µ0

−M

Il campo H si inverte entro il magnete Sulle basi div H ≠ 0

⇒

sorgenti del campo

b) Magnete permanente indefinito B l = µ 0  jsl = µ 0 M l

B = µ0 M  =0 H

c) Disco sottile so ttile magnetizzato m agnetizzato B= 0

B = 0 H = −M 

Campi B ed H in un mezzo materiale  Misura di B → disco sottile ⊥ linee di campo

Bcav = B  Hcav = B − M  µ0 Misura di H → cilindro stretto || linee di campo Bcav = B − µ0M H = H  cav

8.7

Interpretazione microscopica del magnetismo  Diamagnetismo  Atomi o molecole che non hanno un momento magnetico proprio Consideriamo una spira di corrente atomica percorsa da un elettrone Equilibrio delle forze mω2r

=

e2 4 πε0r 2

Applicando un campo B ⊥ alla spira l’elettrone subisce una forza (f.e.m. ← induzione elettromagnetica) elettromagnetica) F dB = πr2 e dt riceve un impulso 2 πr

⇒

F=

e r dB 2 dt

e r dB er B dt = = 2 dt 2 e subisce una variazione di quantità di m.

∫

I = Fdt

me r ∆ω =

∫ 

er B 2

⇒

∆ω =

e B 2 me

a cui corrisponde una variazione di corrente i e di momento magnetico m

∆ω ∆i = e 2π

⇒

m = πr 2 ∆i =

e 2r 2 B 4 me

8.8 Il momento magnetico è opposto a B e 2r 2 m=− B 4 me Le spire atomiche elementari creano un campo magnetico (debole) che si oppone a B Questo fenomeno (precessione di Larmor) giustifica il diamagnetismo (µr < 1)

Paramagnetismo  Simile alla polarizzazione per orientamento dei dielettrici Gli atomi o le molecole di alcuni materiali hanno un momento magnetico proprio Può essere dovuto alle correnti elettroniche o agli “spin” degli elettroni In un campo magnetico esterno i momenti magnetici (spire elementari) tendono ad allinearsi

m

=

m2 B 3k T

M = Nm

Questo rafforza il campo magnetico ( µr > 1) L’allineamento dipende dalla temperatura T

8.9 Ferromagnetismo  Il ferromagnetismo è concettualmente simile al paramagnetismo Nei materiali ferromagnetici l’orientazione dei dipoli non è prodotta solo dal campo B esterno, ma anche da un effetto legato all’allineamento degli “spin” elettronici

Si hanno regioni microscopiche (domini di Weiss) in cui i dipoli sono naturalmente allineati Senza campo B esterno I domini sono orientati casualmente ⇒ effetto nullo Con campo B i domini ruotano e si espandono ⇒ polarizzazione

Nei magneti permanenti i domini restano orientati anche in assenza di campo esterno Sopra una temperatura caratteristica (temperatura di Curie) il ferromagnetismo scompare ferromagnetismo → paramagnetismo

9.1

9. Il campo elettromagnetico Aspetti fenomenologici  Spira conduttrice in moto in un campo magnetico costante Spira conduttrice ferma in un campo magnetico variabile In entrambi i casi si ha una corrente indotta nella spira ⇒ deve esistere una f.e.m. indotta

Legge di Faraday  In entrambi i casi si ha una variazione del flusso di B entro la spira dφ(B) f .e.m. = − Legge di Faraday dt Il segno (-) nella Legge di Faraday è legato alla conservazione dell’energia dell’energia (Legge di Lenz) Se la spira è chiusa circola una corrente: f .e.m. 1 dφ(B) i( t ) = =− R R dt Se la spira è aperta si ha comunque una f.e.m. misurabile come d.d.p. (voltmetro)

9.2

d E m ⋅ dl = − γ  dt

∫ 

f .e.m. =

∫  B ⋅ u dS S

n

Flusso tagliato 

Moto di un circuito c ircuito in un campo magnetico costante La f.e.m. ha origine nella forza di Lorentz F = qv x B Em

= v ×B

Integrando lungo tutto il circuito

∫ γ E

f .e.m. = v=

dr dt

m

⋅ dl = ∫ γ v × B ⋅ dl = ∫ γ dl × v ⋅ B

per il moto del circuito dr dl × ⋅ B γ  γ  dt

∫ 

f .e.m. =

dl × dr è pari all’area di un elemento della superficie “spazzata” dal circuito in dt

dl × dr

= dS′ un

⇒

dl × dr ⋅ B = dφ′

Per tutto il circuito:

dφ tagl

= ∫ γ dl × dr ⋅ B = ∫ dS B ⋅ undS′

Per la solenoidalità di B

9.3

φ finale (B) + dφtagl (B) = φiniziale (B) dφ(B) = φ finale (B) − φiniziale (B) = −dφ tagl (B)

∫ γ γ 

f .e.m. = v × B ⋅ dl =

dφ tagl (B) dt

dφ(B) =− dt

Esempio

Circuito con un lato mobile

Forza di Lorentz

∫ γ γ 

f .e.m. = v × B ⋅ dl =

B

∫  v × B ⋅ dl = −v B h A

Variazione di flusso

dφ(B) d f .e.m. = − =− dt dt Corrente nel circuito

i=

f .e.m. vBh =− R R

dx B ⋅ un dS = −B h S dt

∫ 

= −v B h

9.4

Flusso concatenato  Variazione del flusso concatenato con un circuito fermo La f.e.m. ha origine in un campo elettrico non conservativo che dipende dalla variazione di B f .e.m. =

d E ⋅ dl = − γ  m dt

∫ 

∫  B ⋅ u dS S

n

Applicando il teorema del rotore d rot E ⋅ undS = − S dt

∫ 

B ∂ ∫ S B ⋅ undS = −∫ S ⋅ undS dt

∂B ⇒ rot E = − ∂t Il campo elettrico in regime non stazionario NON è conservativo In ogni regione in cui si ha una variazione temporale del campo B si genera un campo E non conservativo NON è necessaria la presenza di un mezzo materiale (conduttore) come nel caso della forza di Lorentz

9.5

Considerazioni energetiche  Consideriamo la seguente configurazione: configurazione:

Potenza elettrica dissipata nel circuito Pe

= ( f.e.m.) i

i=

f .e.m. R

( f .e.m.)2 Pe = R dφ(B) f .e.m = − dt

⇒

Pe

=

dφ(B) dt

= Bhv

(B h v )2

R Potenza meccanica necessaria per muovere il tratto AB Bh v F = ihB = hB R

⇒

Pm

=

(B h v )2 R

= Pe

9.6

La potenza meccanica viene dissipata per effetto Joule sulla resistenza del circuito

Generatori di corrente alternata  Una spira di area S ruota con velocità angolare ω in un campo magnetico B costante ed uniforme

φ(B) = S B cos ϑ ϑ = ωt dφ(B) dϑ f .e.m. = − = −S B sin ϑ = −S B ω sin(ωt ) dt

dt

Circuiti elettrici in regime variabile  Consideriamo un circuito con coefficiente di autoinduzione L

φ(B) = Li Se la corrente cambia nel tempo i = i (t) → dφ(B) di (f.e.m.)L = − = −L dt dt

φ = φ (t)

9.7

Quando la corrente in un circuito varia nasce una f.e.m. che tende ad opporsi alla sua variazione Transitorio di accensione  a) Circuito con resistenza R

f .e.m. = R i

i( t ) =

f .e.m. R

b) Circuito con resistenza R e coeff. di autoinduzione (o induttanza) L f .e.m. + (f .e.m.)L

= Ri

di f .e.m. = R i + L dt i( t ) =

f .e.m. (1 − e −t τ ) R

L τ= R

La presenza dell’induttanza “ritarda” la crescita della corrente (e la diminuzione della corrente)

9.8

Aspetti energetici  Dalla legge di Ohm, moltiplicando per i di 2 (f.e.m.) i = R i + Li dt a)

b)

c)

a) potenza erogata dal generatore b) potenza dissipata per effetto Joule sulla resistenza c) potenza “spesa” per aumentare la corrente da i i+di

→

In un intervallo di tempo dt:

(f.e.m.) i dt = R i2 dt + Li di Il termine Li di rappresenta l’energia “accumulata” nell’induttore Per una variazione della corrente 0 UL

ifinale

= ∫ 0

L i di =

1 2 L ifinale 2

→ ifinale 2

=

1  f .e.m.   L   2 R

L’energia precedente è associata al campo magnetico generato dalla corrente e viene “restituita” quando la corrente ifinale → 0

9.9

Solenoide indefinito (tratto di lunghezza h) L = µ 0n 2 S h UL

=

1 2 Li 2

=

B = µ 0ni 1 µ 0n 2 S h i 2 2

=

1 B2 Sh 2 µ0

Detta u la densità di energia del campo magnetico: 1 B2 u= 2 µ0 UL

=

1 2 Li 2

1 B2 dτ ∞2µ 0

= ∫ ∞ u dτ = ∫ 

In un mezzo materiale l’energia viene spesa sia per creare il campo che per magnetizzare il materiale 1 1 u = B ⋅ H = µ H2 2 2

1 B2 = 2 µ

In un mezzo non lineare u=

B

∫  H dB 0

A causa del ciclo di isteresi la trasformazione NON è reversibile

9.10

Corrente di spostamento  Dalle legge di Ampère: rot B = µ 0 j

⇒

div rot B = µ 0 div j = 0

(a)

Dalla legge di continuità della corrente

∂ ρ div j = − ∂t

(b)

(a) e (b) sono compatibili solo in regime stazionario Carica di un condensatore:  Considerando la superficie S1

∫γ B ⋅ dl = ∫  j ⋅ u S1

n

=i

Considerando la superficie S2

∫γ B ⋅ dl = ∫ 

S2

j ⋅ un

=0

Le equazioni precedenti sono incompatibili in regime variabile

⇒

La legge di Ampère deve essere modificata

Dal teorema di Gauss (vale anche in regime variabile)

ρ div E = ε0

∂( ∂E 1 ∂ρ ) div E = div = ∂t ∂t ε 0 ∂t

9.11

⇒

∂ρ ∂E = ε0 div ∂t ∂t

Si ha quindi: E     ∂ div  j + ε 0  = 0 ∂t

 j + ε ∂E   è solenoidale e rappresenta rappresenta una il vettore  c   0 ∂t densità di corrente “generalizzata” jc = densità di corrente di conduzione

E ∂ ε0 ∂t

= densità di corrente di spostamento

Legge di Ampère – Maxwell E   ∂   rot B = µ 0  jc + ε 0   ∂t N.B: la corrente di spostamento NON corrisponde al moto delle cariche elettriche, ma rappresenta un legame tra la variazione del campo elettrico ed il campo magnetico In presenza di dielettrici: div D = ρlib

jtot

∂D = jc + ∂t

9.12

Se si hanno materiali magnetici

∂D rot H = jc + ∂t Equazioni del campo elettromagnetico  In regime stazionario le equazioni del campo elettrico e magnetico sono disaccoppiate disaccoppiate Q

∫ Σ E ⋅ u dS = ε ∫ γ γE  ⋅ dl = 0 ∫ Σ B ⋅ u dS = 0 ∫ γ B ⋅ dl = µ ∑ i n

0

n

0

ρ div E = ε0 rot E = 0 div B = 0 rot B = µ 0 j

L’unico elemento comune è la carica elettrica (Q, ρ; i,j)

In regime variabile, la variazione di un campo magnetico produce un campo elettrico e viceversa

∂B rot E = − ∂t

Legge di Faraday

∂E rot B = µ 0 j + µ 0 ε0 ∂t

Legge di Ampère - Maxwell

Le equazioni di Maxwell permettono di spiegare qualunque fenomeno elettromagnetico elettromagnetico

9.13

Onde elettromagnetiche  Nel vuoto (j = 0, simmetriche: D = ε0E rot E = −

ρ

= 0) le equazioni di Maxwell sono

B = µ 0H

∂B ∂t

div E = 0

rot H = ε0

∂E ∂t

div H = 0

Applicando il rotore alla I equazione: B   ∂ ∂   rot (rot E ) = −rot  = − (rot B)   ∂t   ∂t rot (rot E ) = grad(div E ) − ∇ 2E = −∇ 2E 2 E E ∂ ∂ ∂ ∂     − (rot B) = −  µ0ε0  = −µ0ε0 2 ∂t ∂t ∂t ∂t

Quindi: 2 E ∂ 2 − ∇ E = −µ0ε0 2 ∂t Ponendo µ 0 ε 0 = 1 c 2 2 E ∂ 2 ∇ E− 2 2 =0 c ∂t

1

si ha infine:

Equazione delle onde

Analogamente Analogamente per H si ottiene:

9.14 2 ∂ ∇2H − 2 H =0 2 c ∂t

1

Le equazioni precedenti corrispondono a 6 equazioni scalari: 2 ∂ φ 2 ∇ φ− 2 2 =0 c ∂t

1

Onde piane  Supponiamo che:

∂φ = ∂φ = 0 ∂y ∂z Corrisponde a supporre che φ abbia lo stesso valore in tutti i piani ⊥ all’asse x → si ottiene:

∂ 2φ − 1 ∂ 2φ = 0 2 2 2 ∂x c ∂t L’eq. precedente ammette soluzioni del tipo: x    t + x   t g φ = f   − +       c

c

Corrisponde a due perturbazioni che si propagano in direzione (x+) e (x-)

9.15

x   x   Verifica: consideriamo f  t −   e poniamo ξ = t − c

c

∂f = df ∂ξ = − 1 df c dξ ∂x dξ ∂x ∂ 2f ∂   1 df   1 d2f = −  = 2 2 2 ∂x ∂x   c dξ   c dξ Quindi la funzione f soddisfa l’eq. di partenza:

∂ 2f − 1 ∂ 2f = 0 ∂x 2 c 2 ∂t 2 Consideriamo f0 = f(t0, x0) e f1=f(t0 + ∆t, x0 + ∆x): x 0     = − f0 f  t 0   c     x ∆ Se ∆x = c∆t → =c ∆t

x 0 ∆x     = + ∆ − −   f1 f  t 0 t c c    

⇒

f1 = f0

La funzione f è invariante per un osservatore che si muove con velocità c ⇒ si propaga con velocità c f f rappresenta un’onda

c

x0

x0 + ∆x

x

9.16

Onde elettromagnetiche piane  Consideriamo un’onda elettromagnetica descritta dalle due equazioni 2 E ∂ 2 ∇ E− 2 2 =0 c ∂t

1

2 B ∂ 2 ∇ B− 2 2 =0 c ∂t

1

Supponiamo che i campi E e B siano costanti lungo piani ⊥ all’asse z

∂E = ∂E = ∂B = ∂B = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y L’onda è descritta dalle equazioni:

∂ 2E 1 ∂ 2E − 2 2 =0 2 ∂z c ∂t

∂ 2B 1 ∂ 2B − 2 2 =0 2 ∂z c ∂t

Poiché: E x ∂E y ∂E z ∂ + + =0 div E = ∂x ∂y ∂z ∂B x ∂B y ∂B z div B = + + ∂x ∂y ∂z ∂E z = ∂B z = 0 ∂z ∂z cioè le componenti Ez e Bz sono costanti rispetto a z

9.17

Poiché: E x ∂E y Bz ∂ ∂ (rot E )z = − =− ∂y ∂x ∂t B x ∂B y ∂E z ∂ (rot B)z = − = ∂y ∂x ∂t ⇒ ∂Ez = ∂B z = 0 ∂t ∂t Poichè Ez e Bz sono costanti costanti sia rispetto a z che a t, non contribuiscono all’onda → assumiamo Ez = Bz = 0 E e B hanno solo componenti secondo x e y e risultano sempre ortogonali alla direzione di propagazione z Le onde elettromagnetiche sono onde trasversali

Usando le altre componenti di rot E e rot B risulta: E ⋅ B = E xB x

+ E yB y = 0

E

= cB

E e B sono sempre ortogonali tra di loro e ortogonali alla direzione di propagazione propagazione E, B e z formano una terna ortogonale E = sin(kz − ωt )u x H=

1 sin(kz − ωt )u y Z0

µ0 Z0 = εo

9.18

Teorema di Poynting  Al campo elettromagnetico è associata un’energia

⇒ le onde e.m. trasportano energia Dalle equazioni di Maxwell:

∂B rot E = − ∂t

∂D rot H = j + ∂t

a

b

Moltiplichiamo a) per H e b) per E H ⋅ rot E = −H ⋅

∂B ∂t

E ⋅ rot H = E ⋅ j + E ⋅

c

d

Sottraiamo d) da c):

∂B ∂D H ⋅ rot E − E ⋅ rot H = −H ⋅ −E⋅ j−E⋅ ∂t ∂t Per ogni coppia R,S di vettori: S ⋅ rot R − R ⋅ rot S = div R × S

⇒

∂B ∂D div E × H = − H ⋅ −E⋅ j−E⋅ ∂t ∂t

Per i mezzi leneari: B = µH

D = εE

∂D ∂t

9.19

∂B 2 ∂B 2 B = ∂t ∂t ∂D2 ∂D = 2D ∂t ∂t

⇒

B 1 ∂B 2 ∂ H⋅ = ∂t 2µ ∂t

⇒

D 1 ∂E 2 ∂ E⋅ = ε ∂t 2 ∂t

Quindi: B 2   ∂  εE 2   ∂     div E × H = −    −  −E⋅ j     ∂t  2µ   ∂t   2  

Integrando su un volume τ:

 B2 εE 2   ∂ ∫ τdiv E × H dτ = − ∂t ∫ τ  2µ + 2    dτ − ∫ τE ⋅ j dτ Applicando il teorema della divergenza:

 B2 εE2   ∂ ∫ Σ (E × H) ⋅ un dS = − ∂t ∫ τ  2µ + 2    dτ − ∫ τE ⋅ j dτ Per la legge di Ohm: E + Em

= σj

E ⋅ j = σ j2

⇒

E = σj − Em

+ Em ⋅ j

Definiamo vettore di Poynting il vettore: P = E×H

9.20

Sostituendo si ottiene:

∂   B 2 εE 2   2    P u dS d E j d  j dτ ⋅ = − + τ + ⋅ τ − σ m ∫ Σ n ∫  ∫  ∫     τ τ τ ∂t  2µ 2   Il flusso di P attraverso una superficie chiusa Σ è pari alla potenza uscente dal volume racchiuso dalla superficie

 B 2 εE 2   ∫ τ   2µ + 2    dτ

∫ τE ∫ τσ j

m 2

Energia elettromagnetica

⋅ j dτ

Potenza sviluppata dai generatori

dτ

Potenza dissipata per effetto Joule

Esempio:  Conduttore cilindrico di lunghezza L, raggio r e conducibilità σ E = σ j  jπr 2 B(r ) = µ 0 2πr P(r ) = E

B

µ0

= µ0

 jr 2

r = σ j 2 2

r P ⋅ un dS = σ j 2πr L = −σ πr 2 L j2 Σ 2

φ(P) = ∫ 

2

= − R i2

9.21

La potenza elettrica sviluppata dal generatore entra nel resistore attraverso la sup. laterale e viene dissipata per effetto Joule

Energia e quantità di moto di un’onda e.m. Un’onda elettromagnetica trasporta energia La potenza e.m. che attraversa una superficie S si ottiene come flusso del vettore P attraverso la sup. Pot =

∫  P ⋅ u dS S

n

Intensità di un’onda 

I = P ⋅ un

potenza per unità di sup. ⊥ alla direzione di propagazione propagazione

Un’onda elettromagnetica elettromagnetica trasporta anche una quantità di moto: Q=

∫ ∞ ε µ Pdτ 0 0

⇒ quando un’onda e.m. incide su una superficie esercita una pressione (pressione di radiazione)