Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría Facultad de Ingeniería Mecánica Departamento de Mecánica Aplicada
DISEÑO ÓPTIMO DE CAJAS REDUCTORAS PARA MOLINOS DE CAÑA DE AZÚCAR Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Técnicas
Autor: MSc. Ing. José Andrés Llamos Soríz S oríz Tutor: Dr. Ing. José Martínez Escanaverino
Ciudad de la Habana, Noviembre 22 del 2000
I
Tabla de Contenido
I
Introducción.
1
Capítulo 1 Síntesis de las celdas planetarias.
5
1.1 Transmisiones planetarias.
5
1.2 Clasificación de los mecanismos planetarios.
6
1.3 Cinemática de la transmisión de los mecanismos planetarios.
7
1.4 Condiciones de existencia de los mecanismos mecanismos planetarios tipo 2RP- A.
8
1.5 Modelo de la síntesis preliminar.
12
1.6 Situación de la síntesis preliminar
13
1.7 Problema de la situación preliminar
14
1.8 Corrección de los engranajes
18
1.9 Completamiento geométrico geométrico de los engranajes.
23
1.10 Radios de curvatura y parámetros de maquinado de los engranajes.
33
II
1.11
Recortado de la corona.
37
1.12
Interferencia en el engranaje planeta – corona.
41
Capítulo 2: Resistencia a la picadura de los engranajes.
41
2.1 Condición de resistencia a contacto.
41
2.2 Determinación de los esfuerzos básicos
42
2.3 Factores de influencia sobre el esfuerzo básico
43
2.4 Determinación del esfuerzo permisible de Hertz
51
2.5 Modelo matemático de la resistencia al contacto.
54
Capítulo 3: Resistencia a fractura de los engranajes.
67
3.1 Introducción.
67
3.2 Condiciones de resistencia a la fractura.
66
3.3 Factores de influencia influencia en el esfuerzo actuante
68
3.4 Parámetros modificativos modificativos del esfuerzo nominal.
74
3.5 Parámetros modificativos modificativos del esfuerzo nominal.
75
III
3.6 Modelo matemático para el calculo de YF y YS
78
3.7 Coeficiente de seguridad a fractura SF
87
Capítulo 4 Diseño de cajas reductoras reductoras
99
4.1 Diseño de prototipo de cajas reductoras.
99
4.2 Estrategia tecnológica de desarrollo de cajas reductoras para molinos de caña de azúcar.
107
4.3 Validación del modelo modelo matemático matemático para el cálculo de las celdas planetarias 2RP- A. 4.4 Diseño de modelos físicos físicos de cajas reductoras reductoras 4.5 Resumen de la valoración económica del costo de fabricación de la caja reductora para molino de caña.
108
113
140
Conclusiones
143
Recomendaciones
143
Bibliografía.
144
1
Introducción. Antecedentes El país sufrió un rudo golpe a partir de la caída del campo socialista, desde donde recibíamos maquinaria, maquinaria, materias primas e insumos de todo tipo. Este hecho influyó decisivamente sobre la industria azucarera cubana, la cual no solo se vio afectada por la pérdida de los abastecimientos desde el ex campo Socialista, Socialista, sino también por la casi total paralización de la industria mecánica. Si se agregan a estas contingencias los bajos precios del azúcar azúcar en el mercado mercado internacional internacional y fundamentalm fundamentalmente ente el férreo férreo bloqueo impuesto a nuestro país por los Estados Unidos, tendremos tendremos el panorama económico económico del período especial. En la actualidad, la industria azucarera se enfrenta al difícil reto de lograr la rentabilidad. Un componente importante de esa rentabilidad rentabilidad lo constituye la reparación reparación y sustitución de partes y equipos. Muchas de estas piezas de repuesto se fabrican en nuestro país, no así los reductores de velocidad, máquinas máquinas que forman parte importante de los accionamientos, sin los cuales no es posible poner en funcionamiento funcionamiento un central azucarero. En el conjunto de reductores de velocidad son muy importantes las cajas reductoras para molinos de caña, las cuales en general se importaban de Europa Occidental, fundamentalmente, fundamentalmente, de la antigua República Federal Alemana, Alemana, donde el principal proveedor lo era la firma Flender. En la actualidad estas cajas reductoras tienen un precio precio en el mercado internacional que supera los US$ 100 000, mucho más alto que lo que costaban antes del periodo especial. Si se le agregan a esto los gastos de fletes y las difíciles condiciones de financiamiento de estos productos se podrá comprender cuán difícil resulta para la industria azucarera adquirir estas máquinas. Lo antes expuesto justifica sobradamente la investigación desarrollada por el grupo de investigación de transmisiones transmisiones del ISPJAE y particularmente, particularmente, la investigación encaminada encaminada a desarrollar reductores para molinos de caña de azúcar. En el ISPJAE se ha venido trabajando durante más de 20 años en el desarrollo de transmisiones transmisiones por engranaje y reductores de velocidad en estrecha relación con las empresas productoras y consumidoras consumidoras más importantes de Cuba, incluidas incluidas las correspondientes al SIME y el MINAZ. Asimismo, Asimismo, han existido o existen vínculos con instituciones, empresas y personalidades de investigación-desarrollo investigación-desarrollo y producción de Alemania, Polonia, España, Rusia y Estados Unidos. Consultoría y diseño Mecánico del ISPJAE cuenta con una buena base bibliográfica, El actual Grupo de Consultoría suficientemente actualizada, que incluye monografías, revistas especializadas, patentes, normas y catálogos industriales de países países de avanzada en este cam campo. po. A lo largo de los años, la ONIITEM ha registrado registrado a favor del Grupo varias patentes nacionales sobre esta temática. Asimismo, el mayor número de doctores y master del país, en temas relacionados con los engranajes y reductores de velocidad, se ha preparado o se encuentra trabajando en el Grupo.
Los resultados de los trabajos de investigación-desarrollo investigación-desarrollo del Grupo se encuentran aplicados en numerosos reductores de velocidad producidos en el país a partir de los diseños detallados suministrados suministrados por el ISPJAE, y con su asesoría tecnológica directa. Construcciones Los mayores reductores diseñados por el Grupo se han manufacturado en la Empresa de Construcciones Mecánicas Fabric Aguiar Noriega del SIME, en Santa Clara. Ello incluye 12 reductores reductores completos de
3 500 kg para la extracción de petróleo del subsuelo cubano, que llevan quince años en explotación en los yacimientos yacimientos de la costa norte occidental, y la carcasa completa de una caja reductora de 10 000 kg para el segundo molino de caña del Central 30 de Noviembre . En este último último caso, una parte importante importante del trabajo de manufactura de la carcasa se realizó en el propio Central. La caja reductora de 10 000 kg arriba mencionada es precisamente precisamente de la clase que el MINAZ ha establecido como estándar para la mayoría mayoría de los molinos de caña del país. El funcionamiento funcionamiento perfecto ya durante siete años de esta carcasa, equipada con engranajes importados, importados, demuestra el grado de dominio por
2 el Grupo de Transmisiones del ISPJAE de las técnicas de diseño y manufactura necesarias para lograr la construcción íntegra en Cuba, con los medios de producción existentes, de cajas reductoras para los molinos de caña.
Objeto de Estudio Son los reductores de velocidad utilizados para el accionamiento accionamiento de los molinos de caña en los centrales azucareros, los cuales típicamente transmiten la potencia mecánica producida por un motor primario eléctrico o de turbina de vapor de 400 a 1 500 kW y la entregan al engranaje de baja velocidad que mueve el molino de caña. En la terminología del MINAZ, estos equipos equipos se denominan cajas reductoras.
Objetivos de la Investigación 1. Elaborar una estrategia tecnológica de desarrollo para los accionamientos de los molinos de caña de los centrales cubanos, viable y racional en las condiciones de Cuba. 2. Determinar Determinar la estructura y los parámetros de diseño fundamentales fundamentales de los reductores óptimos de la familia familia de reductores tanto para el accionamiento accionamiento de los molinos de caña típicos de la industria azucarera cubana, como para su manufactura con un alto grado de integración nacional. 3. Crear condiciones para demostrar la validez de las soluciones de diseño de la familia de reductores óptimos lograda en el segundo objetivo, por medio del diseño de un modelo físico a escala reducida, a construir posteriormente, antes que el prototipo a tamaño natural.
Hipótesis fundamental del trabajo Se puede desarrollar un diseño de caja reductora para los molinos de caña típicos de los centrales azucareros cubanos, tal que satisfaga todos los requisitos de calidad del MINAZ y, al mismo tiempo, pueda ser manufacturado casi completamente completamente con los medios y la experiencia tecnológica disponible en la industria mecánica nacional, nacional, a un costo competitivo con los equipos importados equivalentes.
Importancia del tema, aspectos novedosos y beneficios esperados Desde los tiempos de la colonia española hasta ahora, los reductores de velocidad de los molinos de caña se han importado. Las grandes compras de estos equipos que Cuba ha realizado durante los últimos últimos treinta años han contribuido al desarrollo de un número de empresas de engranajes en Europa, sobre todo en Alemania y España. España. Este tema de investigación investigación se propone, por primera vez en Cuba, elaborar un diseño cuya manufactura manufactura sea asimilable casi completamente por la industria mecánica nacional. El reto es suficientemente suficientemente difícil como para que un grupo de especialistas en engranajes del país lo consideren imposible. Ahí radican la importancia importancia y lo novedoso novedoso del tema. No se propone como resultado resultado de esta investigación investigación la construcción y ensayo de un prototipo del diseño, pues se trata de un equipo cuyo costo unitario en el extranjero extranjero ronda los US$ 100 000. La construcción y ensayo de dicho equipo solo se podrá lograr a partir del análisis y la comprensión de las posibilidades del nuevo diseño, por parte de los organismos organismos interesados, específicamente específicamente el MINAZ como usuario usuario y el SIME como productor. Otro beneficio esperado esperado es que se aprovechen aprovechen instalaciones instalaciones de la industria industria mecánica mecánica nacional que hoy día tienen muy baja carga de trabajo, contribuyéndose así a su reanimación técnica y económica.
3
La novedad científica del tema Consiste en la síntesis de un diseño propio, con una estructura y unos parámetros de diseño que satisfagan de modo óptimo los requisitos funcionales del MINAZ, al tiempo que resulten óptimos como objetos de manufactura manufactura dentro de las posibilidades de la industria mecánica cubana. La esencia del diseño mecánico es precisamente la anticipación por modelos matemáticos algebraicos y geométricos de objetos que aún no existen, previendo las soluciones de diseño que permitan el uso racional de los materiales y las tecnologías de manufactura disponibles, lo cual permite tomar las decisiones adecuadas sobre la fabricación y ensayo con un mínimo mínimo riesgo económico. Incluso en aquellos casos donde un diseño no llega a realizarse, el mismo puede arrojar luz sobre las vías para la solución posterior de un problema técnico técnico complejo, y puede ser considerado considerado por ello un valioso valioso paso en el desarrollo. desarrollo. La historia de la tecnología está llena de ejemplos de este este tipo.
Resultados económicos contables esperados De inmediato, en los nuevos desarrollo que prevé el MINAZ los siguientes: 1
Un considerable ahorro de energía por cada reductor instalado.
2
Un ahorro de moneda libremente convertible, que en la actualidad y en el futuro habría que asignar para la compra de reductores y piezas iguales a los instalados. instalados.
3
Un ahorro de moneda libremente convertible, que en la actualidad y en el futuro habría que asignar para la compra de reductores y piezas iguales para el nuevo desarrollo desarrollo de los centrales centrales azucareros.
4
La necesaria reanimación reanimación de la industria nacional y el incremento incremento en el acervo de conocimientos tecnológicos nacionales. nacionales. A mediano plazo, partiendo de estos diseños podrán manufacturarse manufacturarse reductores de velocidad para molinos de caña económicamente más convenientes que los importados del extranjero. Podría hablarse del ahorro que la obtención obtención de este diseño implica implica para el país, respecto a la compra del know-how en el extranjero, valorado en millones de dólares.
Análisis bibliográfico Las referencias clásicas por excelencia en el diseño de las transmisiones planetarias planetarias siguen siendo las obras de Kudrâvcev, en primer término término su monografía [Kud67] y también el manual manual de referencia [KK77] editado conjuntamente conjuntamente con Kirdâšëv. En ellas, el autor encontró explicaciones detalladas sobre la elección del esquema cinemático más adecuado, en dependencia de los requerimientos de la aplicación, en especial la relación de transmisión, transmisión, la eficiencia, el peso y las dimensiones principales. Sin excepción, para valores de la relación de transmisión transmisión en el intervalo de 30 a 40, y potencias de 630 a 500 kW, típicos de las cajas reductoras de los molinos de caña, las obras de Kudrâvtsev recomiendan recomiendan reductores planetarios formados por dos o tres celdas planetarias del tipo 2RP-A, ubicadas en serie, donde la etapa rápida puede ser de ejes fijos como alternativa a la celda planetaria. Por otro lado, las condiciones precisas para la síntesis óptima óptima de reductores reductores de este tipo tipo solo se esbozan, en una medida medida que no permite permite pasar al diseño ingenieril ingenieril de las mismas. mismas. Entre las normas de prestigio mundial, se encuentra la [AGMA 6123], importante recomendación recomendación norteamericana norteamericana relacionada con el diseño de mecanismos mecanismos planetarios. En ella se encuentran especificadas las consideraciones de diseño generales a tener en cuenta para este tipo de transmisión, pero en ningún modo orientaciones para obtener un diseño óptimo en uno u otro sentido. Prácticamente Prácticamente todas las normas de cálculo a resistencia de engranajes engranajes cilíndricos hacen referencia referencia al cálculo de engranajes exteriores e interiores, pero brindan muy pocos detalles específicos para el diseño de mecanismos mecanismos planetarios, careciendo de recomendaciones recomendaciones para el diseño óptimo. Estas observaciones son válidas tanto para la norma internacional internacional ([ISO 6336 – 1] a [ISO 6336 – 5]), como para la norma alemana [DIN 3990], la norteamericana norteamericana [AGMA 2001] y la rusa [GOST 21345].
4 Para la síntesis geométrico-cinemá geométrico-cinemática tica de los engranajes de los mecanismos mecanismos planetarios, las publicaciones de Bolotovskij y sus colaboradores, por ejemplo, [BGSŠ77], resultan útiles. No obstante, estos trabajos se limitan a plantear las condiciones de existencia del sistema de engranajes, pero no presentan algoritmos que permitan resolver resolver el problema problema de síntesis síntesis óptima a un nivel ingenieril. ingenieril. Las obras de Vulgakov, Vulgakov, por ejemplo, ejemplo, [Vul87], le presentan al diseñador todas las las posibilidades geométrico-cinemáti geométrico-cinemáticas, cas, gracias al empleo del método de los parámetros generalizados. Este método no permite el empleo empleo de herramientas herramientas estándar, por lo cual cual es aplicable en ámbitos como el aeroespacial, aeroespacial, donde el costo de un herramental especial es aceptable si logra una reducción sensible del peso. Existen algunas recomendaciones recomendaciones para el diseño de engranajes cilíndricos exteriores óptimos óptimos en cuanto al peso, como por ejemplo ejemplo la propuesta norteamericana norteamericana [AGMA 901]. Se trata de un problema problema diferente diferente al planteado, y con un criterio de optimización optimización diferente, diferente, pues en el caso de las las cajas reductoras para molinos de caña objeto del presente trabajo, lo decisivo es lograr que el diámetro de las ruedas dentadas anulares de dientes interiores sea mínimo, mínimo, para que no supere las posibilidades de las dentadoras disponibles actualmente actualmente en el país. En la literatura científico-comercial científico-comercial se hace cada vez más frecuente encontrar que se proponen reductores planetarios para el el accionamiento accionamiento de los molinos molinos de caña de de azúcar. En los catálogos de la firma firma alemana alemana Flender [Flender 99b], se les propone como reductores de alta y baja velocidad para el accionamiento directo del molino. molino. La firma firma alemana Mannesmann los propone como reductores de alta y baja velocidad para el accionamiento accionamiento directo del molino molino o de cada una de las mazas del mismo mismo por separado. Se considera que los reductores planetarios son una alternativa alternativa a los reductores de ejes fijos de simple, doble o múltiple canal, brindando una transmisión más compacta, compacta, con las ventajas que ello conlleva en maquinaria de grandes dimensiones. dimensiones. En todos los casos, por ejemplo, [Flender 99b], los fabricantes han elegido el esquema 2RP-A, según la clasificación de Kudrâvcev, para estos reductores. hidrostático-mecánicas , y denominan En ocasiones, algunos confunden las transmisiones combinadas hidrostático-mecánicas d enominan “hidráulicas” “hidráulicas” a dichas transmisiones. transmisiones. Se trata en general de transmisiones transmisiones hidrostáticas con motores de alta, media o baja velocidad, en serie con reductores planetarios. De ese modo, se logra operar la transmisión transmisión hidrostática en su región de máxima eficiencia, y reducir el costo inicial y de operación del sistema respecto a una transmisión hidrostática pura, sin reductor.
Es importante destacar que la transmisión transmisión combinada hidrostático-mecánica hidrostático-mecánica es la opción propuesta por consorcios como Mannesmann, Mannesmann, que producen todo tipo de transmisiones hidrostáticas y mecánicas, y que pueden por ello elegir elegir la variante variante más conveniente conveniente sin salirse de su programa de fabricación. La La transmisión transmisión hidrostática pura, sin sin reductor, es propuesta por empresas empresas como la sueca Hägglunds, que no producen transmisiones mecánicas. No obstante, cuando cuando la empresa sueca de ingeniería Elof Hansson desarrolló un accionamiento directo Toro , hace un número de años, el sistema para las mazas mazas del central azucarero azucarero cubano Panchito Gómez Toro utilizaba una transmisión transmisión combinada hidrostático-mecánica, hidrostático-mecánica, con motores hidrostáticos Hägglunds y reductores planetarios de la firma alemana Thyssen. Además, es importante tener en cuenta el importante avance que han presentado en los últimos años los controladores de velocidad variable para los motores primarios eléctricos, sobre todo los de corriente alterna para motores de inducción asincrónicos. asincrónicos. Con ello, la variante de transmisión transmisión mecánica pura, integrada completamente completamente por reductores de velocidad, pasa a ser una opción de primer plano, tanto por su costo inicial como por el costo operacional, en combinación con un sistema controlador-motor controlador-motor eléctrico de velocidad variable. Lo anterior demuestra que los objetivos y la estrategia del presente trabajo están en consonancia con las tendencias más fuertes de la técnica actual de los accionamientos para molinos de caña, y que, por otro lado, no se encuentran publicadas informaciones informaciones suficientes para abordar el diseño ingenieril del reductor realización de una investigación investigación buscado, por lo cual existe una situación problémica que justifica la realización científico-técnica científico-técnica que aporte el conocimiento aplicado necesario para que las empresas de proyecto correspondientes puedan resolver el problema planteado de manera certera y eficiente.
5
Capítulo 1 Síntesis de las celdas planetarias El reductor planetario objeto de estudio está compuesto por dos celdas planetarias y una etapa cilíndrica de ejes fijos con dientes helicoidales. Según se muestra en la Figura 1.1
Etapa cilíndrica de ejes fijos, alta.
Celda planetaria intermedia
Celda planetaria de baja
Figura 1.1 Esquema cinemático del reductor propuesto Por poseer este reductor dos celdas planetarias (celdas intermedia y de baja) centraremos nuestra atención en estás, sin dejar de tratar el engran engranaje aje cilíndrico de ejes fijos.
1.1 Transmisiones planetarias 1.1.1 Generalidades Los mecanismos planetarios tienen como característica característi ca distintiva el movimiento de algunas de sus ruedas, conocidas como planetas ó satélites, alrededor de otra denominada sol. Este movimiento describe una trayectoria circular circular equidistante del sol, lo cual determina determina que los ejes de dichas ruedas sean móviles con relación a los ejes de las ruedas centrales (solar y anular ó corona). En este caso, se plantea que el mecanismo mecanismo tiene un grado de libertad en el plano. Las características de este tipo de mecanismos, en relación con los de ejes fijos son:
• • •
Mayores relaciones de transmisión. transmisión. Superior capacidad de carga por unidad de peso. Reducidas dimensiones. dimensiones.
6
1.1.2 Clasificación de los mecanismos planetarios. Según Kudrâvcev [Ku67], los mecanismos mecanismos planetarios se clasifican ante todo por los elementos básicos, esto es, aquellos que reciben momento torsor externo al mecanismo. Un grupo muy importante de los mecanismos mecanismos planetarios tienen como elementos básicos dos ruedas centrales y el portasatélites p ortasatélites.. Por ello, en la clasificación de Kudrâvcev [Ku67] se les denomina mecanismos planetarios tipo 2RP. En la clasificación más reciente de los mecanismos planetarios desarrollada por Kudrâvcev [KK77] y aprobada en su momento como como directiva del Comité Estatal de Normalización Normalización de la URSS, los mecanismos mecanismos planetarios tipo 2RP se pueden subdividir en cuatro subtipos: A, B, C y D, según se muestra en las Figuras 1.2, 1.3, 1.4 y 1.5.
Corona (3) Planeta (2) Portasatélite (P)
Corona (3) Planeta (2,2’) Portasatélite (P)
Sol (1)
Figura 1.2 Tipo 2RP-A
Portasatélite (P) Planeta (2,2’)
Corona (3)
Sol (1)
Figura 1.4 Tipo 2RP-C
Sol (1)
Figura 1.3 Tipo 2RP-B
Portasatélite (P) Planeta (2,2’)
Corona (3) Sol (1)
Figura 1.5 Tipo 2RP-D
7
1.3 Cinemática de los los mecanismos planetarios 2RP-A 1.3.1 Relación de transmisión Corona Portasatélite
ω 2 Sol
ω P Planeta
ω 1
Figura 1.6 Celda planetaria 2RP-A
Las velocidades velocidad es angulares en el movimiento absoluto del mecanismo son:
ω 1 • ω 2 • ω 3 • ω P •
sol. planeta. corona porta satélite.
Teniendo en cuenta que la corona es inmóvil[bar79],
ω 3
=0
(1.1)
Las velocidades en el movimiento movimiento inverso son:
ω P ( P )
= ω − ω = 0
(1.2)
ω 1( P )
= ω 1 − ω
(1.3)
P
P
P
8
ω 2( P )
= ω 2 − ω
P
ω 3( P ) = − ω P
(1.4)
(1.5)
Donde: (P) representa el elemento inmóvil en el movimiento inverso(el portasatélites). Aplicando la expresión de Willis para este caso obtenemos:
i13( P )
ω 1 − ω P ω 3 − ω P
(1.6)
i1 P = 1 − i13P
(1.7)
=
Sustituyendo Sustituyendo 1.1 en 1.6 se obtiene: ( )
Puesto que los sentidos de las velocidades angulares del sol y la corona, en el movimiento movimiento inverso, son contrarios, la relación de transmisión transmisión en el movimiento movimiento inverso es negativa.
( P ) i13
=−
z 3
(1.8)
z 1
1.4. Condiciones de existencia de los mecanismos planetarios tipo 2RP-A Este tipo de celda planetaria esta compuesta por el sol y generalmente generalmente por tres planetas o satélites. Se encuentran reductores planetarios con cuatro, cinco y seis planetas en reductores con coronas especiales flexibles que permiten una distribución uniforme de la carga. Las condiciones de existencia de los mecanismos planetarios 2RP-A son:
• • •
Coaxialidad. Vecindad. Montaje.
1.4.1 Condición de coaxialidad La condición de coaxialidad se puede expresar conceptualmente conceptualmente como la igualdad de las distancias entre centros de los pares Sol - Planeta y Planeta – Corona [Bar79], [Gol70]. y matemáticam matemáticamente ente de la forma siguiente:
aw
=a
w12
=a
w 23
Donde: a w12 Distancia entre centros del par engranado Sol – Planeta.
a w 23 Distancia entre centros del par engranado Planeta – Corona.
(1.9)
9
w
a
Figura 1.7 Condición de de coaxialidad. coaxialidad.
El subíndice subíndice (1) identifica al sol, el el (2) al planeta planeta y el (3) a la corona.
a w12
=
a w 23
=
mn
2. cos β mn
2. cos β
( z 1 + z 2 )
cos α t cos α tw12
(1.10)
cos α t cos α tw 23
(1.11)
( z 3 − z 2 )
Como en el caso que estudiamos se trata de engranajes con dientes rectos 1.11 se reducen a:
(β = 0), las expresiones expresiones 1.10 y
a w12
=
cos α 1 mn ( z 1 + z 2 ) 2 cos α w12
(1.12)
a w 23
=
cos α 1 mn ( z 3 − z 2 ) 2 cos α w 23
(1.13)
Donde: α tw12 Ángulo de engranaje engranaje del par Sol- Planeta.
α tw 23 Ángulo de engranaje del par Planeta - Corona. α , α t Ángulo del perfil de la herramienta en el plano transversal. z 1 , z 2 , z 3 Número de dientes del Sol, Planeta y Corona respectivamente. respectivamente. Igualando las expresiones 1.12 y 1.13 y teniendo en cuenta que en los planetarios 2RP-A los módulos módulos de las ruedas engranadas son iguales y las herramientas tienen el mismo ángulo de perfil, obtenemos:
( z 1 + z 2 ) cos α w12 = ( z 3 − z 2 ) cos α w 23
(1.14)
10
1.4.2 Condición de vecindad La condición de vecindad determina que los círculos determinados determinados por los diámetros de crestas entre dos planetas contiguos, contiguos, [Bar79], [Gol70]. de un total de K pl planetas, no pueden hacer tangencia, Figura 1.8.
O
γ O’
Figura 1.8 Condición de vecindad
Es decir,
OO' > d a 2 OO' = 2aw12 sin
γ
2
(1.15) (1.16)
Igualando 1.15 y 1.16.
γ
2a w12 sin > d a 2 2 γ =
2a w12 sin
2π K pl
π
K pl
> d a 2
(1.17) (1.18)
(1.19)
1.4.3 Condición de montaje En los mecanismos mecanismos planetarios el montaje del primer planeta se puede hacer sin dificultad ya que se puede hacer girar libremente el sol respecto a la corona para tal propósito. La misma misma facilidad no se presenta cuando se van a colocar el segundo y los restantes planetas pues la disposición relativa del sol y la corona quedará determinada a partir del primer montaje. Por tanto, para poder colocar más de un satélite es necesario satisfacer la llamada condición de montaje del mecanismo mecanismo planetario [Bar79], [Gol70].
11
pQ2 pQ1
o p∆1
a
b p∆2
c
d
Figura 1.9 Condición de de montaje montaje
En la Figura 1.9 se puede ver que los ángulos
∠ aob y ∠ cod son iguales. ∠aob = ∠cod
(1.20)
Y los arcos.
∪ ab = ∪ cd =
pz 1 K pl pz 3 K pl
= pQ1 + p∆ 1
(1.21)
= pQ2 + p∆ 2
(1.22)
Sumando las ecuaciones 1.21 y 1.22 se obtiene:
z 1
+ z 3
K pl
= Q1 + Q2 + ∆ 1 + ∆ 2
(1.23)
Donde: Q, Q1 , Q2 son números enteros.
∆1 , ∆ 2
son números fraccionarios.
Para que se cumpla la condición de montaje, la suma de
∆ 1 , ∆ 2 tiene que ser igual a la unidad
∆1 + ∆ 2 = 1 z 1
+ z 3
K pl Donde: p Es el paso.
=Q
(1.24) (1.25)
12
1.5 Modelo de la síntesis preliminar A partir de las expresiones anteriormente deducidas, se conforma aquí un modelo matemático que sirva adimensional preliminar preliminar del mecanismo planetario tipo 2RP-A. [ESS00a] Este como base para la síntesis adimensional modelo consta de un conjunto de ecuaciones de balance, formadas por un conjunto de variables ligadas entre sí por un conjunto de relaciones, y un conjunto de restricciones, para ( β = 0) .
1.5.1 Ecuaciones de balance del modelo [r 1]
2a w* . cos α tw 12 − z Σ 12 cos α t = 0
[r 2]
2a w* . cos α tw 23 − z Σ
[r 3]
( z 1 + z 3 ) mod K pl − r = 0
[r 4]
z Σ 12
[r 5]
z Σ 23 − ( z 3 − z 2 ) = 0
[r 6]
i1 p
[r 7]
z 1 .i13p
[r 8]
i1 P n (δ + 1) − i1P = 0
23
cos α t = 0
− ( z 1 + z 2 ) = 0
− (i13p + 1) = 0 + z 3 = 0
En la relación [r 3], r es el resto de la división entera situada a su izquierda. En la relación [r 8], δ es el error relativo entre los valores nominal y real de la relación de transmisión transmisión del mecanismo planetario, i1 pn relación total nominal.
1.5.2 Relaciones y variables del modelo El conjunto de relaciones del modelo es
R = {r 1 , r 2 , r 3 , r 4 , r 5 , r 6 , r 7 , r 8}
(1.26)
Con la obvia cardinalidad
| R |= 8
(1.27)
El conjunto de variables del modelo es p , i1 Pn , δ } V = {a w* , α tw12 , α tw 23 , α t , z Σ12 , z Σ 23 , z 1 , z 2 , z 3 , K pl , r , i1 P , i13
(1.28)
Con una cardinalidad
| V |= 15
(1.29)
r = 0
(1.30)
1.5.3 Restricciones del modelo
13
1.5.4 Grafo del modelo El grafo del modelo de la síntesis preliminar preliminar es un grafo bicromático bicromático de un solo componente, ilustrado ilustrado en la Figura 1.10. El grafo del modelo está parcialmente parcialmente orientado, porque las relaciones [r 3] y [r 7] son asimétricas. asimétricas. Como resultado, las variables de entrada y salida de las relaciones antes mencionadas están predeterminadas predeterminadas desde la constitución constitución del modelo. modelo.
K pl z1
z3
7
i1P
6
p i13
i1Pn
8
δ
z2
4 z∑12
r
3
5
1
αt
2
αtw12
* aw
αtw23
z∑23
Figura 1.10 Grafo del modelo de la síntesis síntesis preliminar preliminar
1.6 Situación de la síntesis preliminar Sobre el modelo matemático matemático de la síntesis preliminar, determinado determinado anteriormente, se define el conjunto de variables de entrada siguiente: siguiente:
E = α t , K pl , i1 Pn
(1.31)
De cardinalidad
| E |= 3
(1.32)
El ángulo de perfil de la cremallera de referencia sobre el plano transversal, el número de satélites y la relación de transmisión nominal nominal son valores que deben ser bien conocidos de antemano por el diseñador del reductor objeto de estudio, y por ello se han elegido como variables de entrada. Al definir un conjunto de variables en el modelo, queda determinada una situación. Eliminando las variables de entrada y sus aristas o arcos del grafo del modelo, se obtiene el grafo de la situación. El grafo de la situación de la síntesis preliminar preliminar presenta un solo componente, como se puede apreciar claramente en la Figura 1.11.
14
r
3
z1
i1P
z3
7
6
8
p i13
δ
z2
4
z∑12
1
αtw12
5
2
a*
z∑12
αtw23
Figura 1.11 Grafo de la situación de la síntesis preliminar preliminar
1.6.1 Número de incógnitas de la situación El conjunto de las incógnitas de la situación se define como X = V \ E
(1.33)
De donde se obtiene el conjunto
X = {a w* , α tw12 , α tw 23 , z Σ12 , z Σ 23 , z 1 , z 2 , z 3 , r , i1 P , i13p , δ }
(1.34)
De cardinalidad
| X |= 12
(1.35)
1.7 Problema de la situación preliminar Sobre la situación planteada, se define el conjunto de variables de salida siguientes: *
S = aw ,α tw12 ,α tw 23 , z 1 , z 2 , z 3 , δ , i1 P
(1.36)
Este conjunto de variables de salida es aceptable, pues se cumple que S ⊂ X
(1.37)
15 El grafo del problema es el mismo mismo grafo de la situación pues éste último tiene un solo componente. Por tanto, el conjunto de relaciones del problema es el mismo mismo conjunto de relaciones del modelo. Esto es,
R X = R
(1.38)
1.7.1 Número de grados de libertad del problema Se determina por la expresión
| L |=| X | − | R X |
(1.39)
| L |= 12 − 8 = 4
(1.40)
La cual, en este caso, toma el valor
Por lo que estamos ante un problema indeterminado indeterminado con 4 grados de libertad.
1.7.2 Elección de los grados de libertad del problema L = { z 1 , z 2 , z 3 , α tw12 }
(1.41)
Estos grados de libertad tomarán valores en los intervalos siguientes:
z 1 mín
≤ z 1 ≤ z 1 máx
(1.42)
z 2 mín
≤ z 2 ≤ z 2 máx
(1.43)
z 3 mín
≤ z 3 ≤ z 3 máx
(1.44)
α tw12 mín
≤ α tw12 ≤ α tw12 máx
(1.45)
Cuyos valores límites vienen dados por las expresiones siguientes:
z 3mín
= (i1 Pn (δ mín + 1) − 1)z 1
(1.46)
z 3 máx
= (i1 Pn (δ máx + 1) − 1)z 1
(1.47)
z 2 min
z − z = 3 1 − 1 2
(1.48)
z − z = 3 1 + 1 2 α tw12 mín = α t
z 2 max
α tw12 max
= 30o
(1.49) (1.50) (1.51)
1.7.3 Problema determinado asociado El problema determinado asociado se obtiene del problema indeterminado, considerando conocidos los valores de los grados de libertad. Eliminando Eliminando del grafo del problema indeterminado indeterminado las variables elegidas como grados de libertad y sus aristas, se obtiene el grafo del problema determinado asociado, Figura 1.12.
16 El grafo del problema determinado asociado consta en este caso de tres componentes.
7 r
3
4
i1P
5
p i13
6
z∑12
1
z∑23
2
δ
8
* aw
αtw23
Figura 1.12 Grafo del problema determinado asociado al problema de la síntesis preliminar
1.7.4 Pareo del problema determinado asociado El pareo determina cuál relación calculará cuál incógnita del problema. En este caso, se logra un pareo perfecto; por lo tanto, tanto, el problema problema determinado asociado tiene solución. solución. El grafo grafo del pareo presenta presenta tres componentes, tal como se ilustra en la Figura 1.13. 4
r
3
5
7 z∑12 i1P
6
1
2
p i13
* aw 8
z∑23
αtw23
δ
Figura 1.13 Pareo del problema determinado determinado asociado al problema de la síntesis preliminar
1.7.5 Resolvente del problema determinado asociado El resolvente determina el orden en que debe ejecutarse la resolución de cada una de las relaciones del problema, para la la obtención de las incógnitas. incógnitas. El resolvente contiene todos los posibles algoritmos algoritmos de solución del problema dado. El resolvente del problema determinado asociado al problema de la síntesis preliminar se da en la Figura Figura 1.14. Este resolvente resolvente consta de de tres componentes componentes arbóreos (acíclicos), (acíclicos), por tanto, el problema determinado asociado tiene solución cerrada.
17
7 r
3
4
5 i1P
z∑12
1
6 p i13
z∑23
2
8 * aw
δ
αtw23
Figura 1.14 Resolvente del problema determinado determinado asociado al problema de la síntesis preliminar preliminar
1.7.6 Algoritmo Algoritmo que soluciona el problema problema determinado asociado El resolvente del problema determinado asociado contiene un grupo de algoritmos secuenciales y paralelos, todos equivalentes por sus resultados. En la Tabla 1.1 se presenta uno de tales algoritmos, en forma de diagrama de Nassi-Schneiderman. Nassi-Schneiderman. En la Tabla 1.2 se dan las restricciones que los resultados de dicho algoritmo deben satisfacer.
Tabla 1.1 Algoritmo para el problema determinado determinado asociado de la síntesis preliminar preliminar p1 3, r p p 2 7, i13
p3 6, i1 p p4 8, δ p5 4, z Σ 23 * p6 1, aW
p7 5, z Σ12 p8 2, α tw 23 Tabla 1.2 Restricciones a considerar en el algoritmo de la Tabla 1.1 a)
r = 0
b)
δ ≥ δ mín
c)
δ ≤ δ máx
d ) arg arccos
≤1
18
1.8 Correcciones de los engranajes Aunque la determinación de las correcciones en las ruedas dentadas de los engranajes es parte de la síntesis métrica del mecanismo planetario[Bar79], [Gol70], aquí se trata este tópico independiente, por la importancia importancia que el mismo tiene. En la investigación realizada realizada se ha explorado la región de búsqueda empleando tres métodos de distribución de la corrección en el engranaje sol-planeta: a) Igualdad de deslizamiento deslizamiento específico. b) Igualdad de esfuerzos esfuerzos en el fondo del diente. c) Máxima resistencia a contacto. Después de comparar los resultados de los tres métodos de distribución de la corrección llegamos a la siguiente conclusión: El criterio de igualdad de deslizamiento específico brinda los mejores resultados porque: 1. Brinda un número mayor de variantes realizables. 2. Aparecen las mejores variantes variantes geométricas, geométricas, de resistencia a rotura por contacto superficial y a fractura. Por tanto, en lo adelante se presenta el proceso para la determinación de las correcciones en los engranajes del mecanismo planetario 2RP-A, considerando considerando el criterio de distribución de las correcciones de la igualdad de deslizamiento específico en el engranaje sol-satélite. sol-satélite.
1.8.1 Ecuaciones de balance del modelo matemático [r 1]
2 xΣ 12 tanα t − z Σ12 (invα tw12 − invα t ) = 0
[r 2]
2 xΣ 23tanα t − z Σ 23 (invα tw 23 − invα t ) = 0
[r 3]
d 1*
− z 1 = 0
[r 4]
d 2*
− z 2 = 0
[r 5]
d b*1
− d 1* cos α t = 0
[r 6]
d b*2
− d 2* cos α t
[r 7]
d f 1
*
− d 1* + 2(ha* + c * − x1 ) = 0
[r 8]
d f * 2
− d 2* + 2(ha* + c * − x 2 ) = 0
[r 9]
d a*2
+ 2.c12* + d f * 1 − 2a w* = 0
[r 1100]
d a*1
+ 2.c 21* + d f * 2 − 2a w* = 0
[r 1111]
d a*1 cos α a1
− d b*1 = 0
[r 1122]
d a*2 cos α a 2
− d b*2 = 0
[r 1133]
θ p1 − ((u + 1)(tanα a 2
[r 1144]
θ p 2
− tanα tw )/ (tanα tw − u (tanα a 2 − tanα tw ))) = 0
− ((u + 1)(tanα a1 − tanα tw )/ (u.tanα tw − (tanα a1 − tanα tw ))) = 0
19 [r 1155]
θ p1 − θ p 2
[r 1166]
x1 + x2 − xΣ12
=0
[r 1177]
x3 − x 2 − xΣ 23
=0
[r 1188]
u
−
z 2 z 1
= 01
=0
1.8.2 Relaciones y variables del modelo R = {r 1 , r 2 , r 3 ,..., r 18}
| R |= 18
xΣ12 , xΣ 23 , aw* ,α tw12 ,α tw 23 ,α t , z Σ12 , z Σ 23 , z 1, z 2 , z 3 ,α a1,α a 2 , d a*1, V = * * * * * * * * * d a 2 , d 1 , d 2 , d b1, d b 2 , d f 1, d f 2 , ha , c , x1, x2 , x3 , c12* , c23* , u,θ p1,θ p 2 | V |= 31
(1.52) (1.53) (1.54) (1.55)
1.8.3 Grafo del modelo El grafo del modelo presenta un solo componente, Figura 1.15.
1.8.4 Situación, problema y pareo * * } , c23 E = {aw* ,α tw12 ,α tw 23 ,α t , z Σ12 , z Σ 23 , z 1 , z 2 , z 3 , ha* , c* , c12
| E |= 13
(1.56) (1.57)
Sobre la situación planteada, se define el conjunto de variables de salida siguientes:
S = x1 , x2 , x3 ,θ p1 ,θ p1 ,θ p 2 Este conjunto de variables de salida es aceptable, pues se cumple que:
(158)
S ⊂ X Grados de libertad del problema del problema.
| L |=| X | − | RX |= 18 − 18 = 0
(1.58a)
Se trata por tanto de un problema determinado, para el cual existen dos pareos perfectos.
1.8.5 Grafo del resolvente El grafo del resolvente correspondiente a uno de los dos pareos perfectos presenta un solo componente, y tiene carácter mixto, esto es, tiene una parte arbórea y otra cíclica, Figura 1.16. 1
θ p1 ,θ p 2 Coeficiente de deslizamiento especifico especifico en el punto p del perfil activo.
20
1.8.6 Algoritmo del problema Uno de los dos algoritmos que resuelven el problema de las correcciones se da en la Tabla 1.3, en forma de un diagrama de Nassi-Schneiderman. Nassi-Schneiderman. En la Tabla 1.4 se dan las restricciones a que deben someterse los resultados del algoritmo de la Tabla 1.3. Tanto este algoritmo como el de la síntesis preliminar preliminar se programaron en el lenguaje de programación C, según la norma ISO vigente vigente a nivel nivel internacional. internacional. Trabajando con dicho programa se obtuvo un conjunto prácticamente completo completo de variantes de mecanismos 2RP-A cinemáticamente satisfactorios. satisfactori os.
zΣ23
αt
zΣ12
1
xΣ12
θtw12
x2
16
z1
θtw23
z2
2
3
18
4
xΣ23
d 1*
u
d 2*
17 6
5
x1 x3
ha*
7
15
C *
d f * 1
* c21
* c12
θ p1
θ p 2
8
* d f 2
10
9 * aw 14
13
d a*2
d a*1
α a 2
12
11
α tw
α a1 Figura 1.15 Grafo del modelo modelo de las correcciones
d b*1
d b*2
21
1
2
3
18
4
xΣ12
xΣ23
d 1*
u
d 2* 6
x2
16
5
17
d b*1
x1 x3
7
8
15 *
d f 1
* d f 2
9
10
13
d a*2
d a*1
α a 2
12
θ p1
θ p 2
14
α a1
11
Figura 1.16 Grafo resolvente resolvente del problema de las correcciones
d b*2
22
Tabla 1.3. Algoritmo del problema de las correcciones p1 1, xΣ12 p2 2, xΣ 23 p3 3, d 1* p4 4, d 2* p5 5, d b*1 p6 6, d b*2 p7 18, u12 p8
−, x1 p9 16, x2 p10 8, d *f 2 p11 10, d a*1 p12 11, α a1 p13 14θ p 2 p14 15θ p1 p15 13, α a 2 p16 12, d a*2 p17 9, d *f 1 p18 7, x1
| r 9 | ≤ ε 2 p19 17, x3
2
Precisión del cálculo.
23
Tabla 1.4. Restricciones a los resultados del algoritmo de la Tabla 1.3 * a) s na 2
≥ s na* mín
c) d a*2
≥ d *f 2
b) d a*1
> d *f 1
* d ) s na 1
≥ sna* mín
Donde: s na1, s na 2 , grosores de los dientes en las cabezas (sol - planeta ) o (planeta -corona). -corona). * s namin grosor mínimo pemisible.
1.9 Completamiento geométrico de los engranajes sol-planeta y planeta-corona 1.9.1 Recapitulación En la síntesis métrica del mecanismo mecanismo planetario se obtuvieron para sus engranajes los parámetros cinemáticos siguientes:
z 1 , z 2 , z 3 , x1 , x 2 , x3 ; además, α tw12 , α tw 23 Ahora corresponde completar la geometría y la cinemática de tales engranajes, para lo cual es preciso conocer los parámetros delas herramientas herramientas de maquinado.
1.9.2 Herramientas para el maquinado Estas ruedas se pueden maquinar con una cremallera herramienta herramienta o con piñón mortajador. * ,α , ρ *fP Datos de la cremallera de referencia: mn , ha* , c * , α , ρ *fP y Cremallera herramienta: mn , h fP
Datos del piñón mortajador: Diámetro de cresta: , Corrección: x0 , Número de dientes: z 0 .
1.9.3 Modelo matemático del completamiento geométrico Se ha desarrollado un modelo matemático matemático generalizado (único) para calcular calcular los pares sol-planeta y planeta- corona. En el cálculo del par sol – planeta, designaremos todos los parámetros del sol con el número (1) y al planeta con el número número (2). En el cálculo del par planeta – corona designaremos designaremos todos los parámetros parámetros del planeta como como (1) y a la corona como (2); en el caso de la corona cambiaremos el signo del número de dientes (z 2) y de la corrección (x 2).
Distancia entre centros sol planeta (Planeta – Corona) Sin corrección.
24
a12
=
m
2. cos β
( z 1 + z 2 )
(1.59)
Con corrección.
a w12
=
m
2. cos β
( z 1 + z 2 )
cos α t cos α tw12
(1.60)
Donde:
z 1 , z 2 Número de dientes del Sol y del Planeta (Planeta – Corona).
α tw12
Ángulo de engranaje del par Sol – Planeta (Planeta – Corona).
α t
Ángulo del perfil en el plano transversal.
β
Ángulo de la hélice.
Diámetro de referencia
=
d 1
m
z
(1.61)
d 2
2. cos β
=
m
2. cos β
(1.62)
z 2
Diámetro básico d b1
= d 1 cos α t
(1.63)
d b 2
= d 2 cosα t
(1.64)
Diámetro primitivo d w1
= d 1
cos α t cos α tw12
d w 2
(1.65)
= d 2
cos α t cos α tw12
(1.66)
Diámetro de fondo Maquinado con CH . Maquinado [d − 2(h* + 2c* − x ).m ] a 1 d f 1 = 1 Maquinado con PM . Maquinado 2aw01 − d a 01
Maquinado con CH Maquinado Planeta. * * d f 2 = [d 2 − 2(ha + 2c − x2 ).m] Maquinado Maquinado con P M . 2aw02 − d a02
(1.67)
(1.68)
Distancia entre centros de maquinado sin corrección a 01
=
m.
2. cos β
( z 0 + z 1 )
a02
(1.69)
=
m.
2. cos β
( z 0 + z 2 )
(1.70)
Distancia entre centros de maquinado con corrección a w 01
=
m.
2. cos β
( z 0 + z 1 )
cos α t cos α tw 01
Ángulo de engranaje para el maquinado
(1.71)
a w 02
=
m.
2. cos β
( z 0 + z 2 )
cos α t (1.72) cos α tw02
25
invα tw 01
= invα t +
x0 + x1 z 0 + z 1
tanα
(1.73)
invα tw 02
= invα t +
x0 + x1 z 0 + z 1
tanα
(1.74)
Coeficiente de desplazamiento compensatorio en el engranaje
∆ y12 = xΣ 12 − y
(1.75)
y12
=
− a12
aw
m
(1.76)
Coeficiente de desplazamiento desplazamiento compensatorio en el engranaje con el piñón mortajador
∆ y01 = xΣ 01 − y01
(1.77)
y 01
=
a w01
∆ y02 = xΣ 02 − y 02
(1.79)
y 02
=
a w02
− a01
m
− a02
(1.78) (1.80)
m
Diámetro de cresta El diámetro de cresta es un parámetro del engranaje, las expresiones expresiones de calculo están en relación directa con la herramienta que se utilice para la elaboración de las ruedas.
Si se Maquina con CH el par Sol − Planeta. [d + 2.(h * + x − ∆ y ).m] a 1 1 12 d a1 = Maquinado Maquinad o con P M del Planeta ó la Corona . [d 1 + 2.(ha* + x1 − ∆ y12 + ∆ y02 ).m]
d a 2
Si se maquina con CH el par Sol − Planeta.. [d + 2.(h * + x − ∆ y ).m] a 2 12 = 2 . Si se Maquina con PM el Sol o el planeta [d 2 + 2.(ha* + x2 − ∆ y12 + ∆ y01 ).m]
(1.81)
(1.82)
Angulo de perfil en la cresta
d b1 = 0 d a1
(1.83)
d − arc cos b 2 = 0 d a 2
(1.84)
α a1 − arc cos α a 2 Coeficiente de recubrimiento transversal
ε α 12
=
z 1 (tanα a1
− tanα tw12 ) + z 2 (tanα a 2 − tanα tw12 ) 2π
(1.85)
26
Coeficiente de recubrimiento axial En este caso como los dientes son rectos (β = 0 )
ε β
=
bw sinβ
π .m
=0
(1.86)
Espesor del diente sobre la circunferencia circunferencia de referencia referencia s n1
= m(0.5.π + 2. x1tanα )
(1.87)
s n 2
= m(0.5.π + 2. x2 tanα )
(1.88)
Espesor normal de cresta de los dientes
s na1
s = d a1 n1 + invα t − invα a1 d 1
(1. 89) s na 2
s (1.90) = d a 2 n 2 + invα t − invα a 2 d 2
Puntos característicos del perfil de evolvente 1. El perfil de evolvente evolvente tiene dos puntos característicos. característicos. Fig. 1.17.
•
El punto límite inferior (L).
•
El punto límite superior superior (g), generalmente coincide con el punto(a) situado en la intersección del perfil con la la circunferencia circunferencia de cresta.
2. El perfil de evolvente evolvente tiene además, dos puntos límites límites del perfil perfil activo Fig. Fig. 1.18. El punto inferior del perfil activo (p). El punto superior del perfil activo (h), normalmente el punto h coincide con el punto a
Radio de curvatura del punto superior del perfil activo
ρ a1
=
d a1
2
sinα a1
(1.91)
ρ a2
=
d a 2
2
sinα a 2
h(a) g(a) p L
Fig. 1.17 Perfil de de evolvente
Fig. 1.18. Engranaje de evolvente
(1.92)
27
Radio de curvatura del punto inferior del perfil activo (p)
ρ p1
= a w12 .sinα tw − ρ a 2
(1.93)
ρ p 2
= a w12 .sinα tw − ρ a1
(1.94)
Radio de curvatura del punto inferior del perfil perfil de evolvente (L) del piñón sol Maquinado con CH Sol − Planeta. Maquinado d sinα t 1 − {h fP − ρ fP (1 − sinα ) − x1 }.m / sinα 2 ρ L1 = Maquinado con P . Mortajador Mortajador . Maquinado d sinα a 0 a w 01 sinα tw 01 − a 0 2
(1.95)
Radio de curvatura del punto inferior del perfil perfil de evolvente (L) del piñón planeta
ρ L 2
Con cremallera herramient a. d sinα t 2 − {h fP − ρ fP (1 − sinα ) − x2 }.m / sinα 2 = Con piñón mortajador . d sinα a 0 a w 02 sinα tw02 − a 0 2 O1
2 ρ a1
d a1
2
a2
d a1
ρ a2
d b1
α a1
(1.96)
a2
ρ p1
ρ p1
d b1
ρ p 2
a1
2
2
ρ a1
ρ p 2
a1
ρa2 d b 2
α a 2
d a 2
2
d b 2
O1
2
α tw
2
2 1 w
a
O2 O2
Fig. 1.19 Engranaje sol - planeta
Fig. 1.20. Engranaje planeta - corona
28
Control de interferencia Para que no exista interferencia interferencia entre los perfiles en contacto tienen que cumplirse las cuatro condiciones siguientes:
ρ p1
>0
(1.97)
ρ p 2
>0
(1.98)
ρ L1 ρ L 2
< ρ p1 < ρ p2
(1.99) (1.99a)
Control de socavado Para que no exista socavado de los perfiles en el proceso de fabricación tienen que cumplirse las siguientes siguientes condiciones, (En la corona nunca ocurre el socavado).
ρ l 1
>0
(1.100)
ρ l 2
>0
(1.101)
Control de continuidad en el contacto entre los perfiles engranados Para β = 0
ε α
≥ 1.1
(1.102)
1.9.4 Relaciones y variables del modelo El conjunto de relaciones del modelo es:
1.59, 1.60, 1.61, 1.62, 1.63, 1.64, 1.65, 1.66, 1.67, 1.68, 1.75, 1.76, 1.81, 1.82, 1.83, 1.84 1.85, 1.87 1.88, 1.89, 1.90
R =
(1.103)
Con una cardinalidad
| R |= 21
(1.104)
El conjunto de variables del modelo es
d 1 , d 2 , d b1 , d b 2 , d w1 , d f 1 , d f 2 , d w2 , d a1 , d a 2 , a, a w12 , mn , V = β , α , α t , α tw12 , ha* , c, x1 , x2 , xΣ 12 , a w 01 , a w 02 , d a 0 , ∆ y01 , ∆ y ,α ,α , s , s , s , s , y , ∆ y , z , z , ε 02 a1 a 2 n1 n 2 an1 an 2 12 12 1 2 α 12
(1.105)
Con una cardinalidad
| V |= 38
1.9.4 Grafo del modelo Se ilustra en la Figura 1.21. Es un grafo de un solo componente.
(1.106)
30
1.9.5 Situación El conjunto de variables de entrada es
mn , β ,α ,α t ,α tw12 , ha* , c * , x1 , x2 , | E |= xΣ 12 , a w01 , a w 02 , d a 0 , ∆ y01 , ∆ y02 , z 1 , z 2
(1.107)
Con una cardinalidad
| E |= 17
(1.108)
Determina una situación con un conjunto de incógnitas
d 1 , d 2 , d b1 , d b 2 , d w1 , d f 1 , d f 2 , d w2 , d a1 , d a 2 , a w12 , a,α a1 ,α a 2 , sn1 , s n 2 , s an1 , san 2 , y, ∆y12 , ε α 12
X =
(1.109)
Con una cardinalidad
| X |= 21
(1.110)
El grafo de este pareo tiene un solo componente.
1.9.6 Problema del completamiento geométrico Sobre la situación planteada en el punto inmediatamente inmediatamente anterior, se establece el conjunto de variables de salida siguiente
d 1 , d 2 , d b1 , d b 2 , d w1 , d f 1 , d f 2 , d w2 , d a1 , d a 2 ,α a1 ,α a 2 , s an1 , san 2 , ε α 12
S =
(1.111)
El cual es aceptable porque S ⊂ X
(1.112)
Con lo cual queda planteado el problema del completamiento completamiento geométrico de los engranajes del mecanismo planetario tipo 2RP-A. 2RP-A. Este problema tiene un número de grados de libertad
| L |=| X | − | RX |= 21 − 21 = 0
(1.113)
Por tanto, se trata de un problema compatible determinado. determinado. El grafo del problema es el mismo grafo de la situación, pues éste éste tiene un sólo componente. componente.
1.9.7 Pareo y resolvente del problema del completamiento geométrico Hay un pareo perfecto único para el problema determinado planteado. Esto da lugar a un resolvente arbóreo único para el problema determinado determinado planteado. El grafo de este resolvente se da en la Figura 1.22.
1.9.8 Algoritmo para el problema del completamiento geométrico Se da en la Tabla 1.5, en forma de un diagrama de Nassi-Schneiderman Nassi-Schneiderman.. En la Tabla 1.6 se dan las restricciones que se aplican a los resultados del algoritmo de la Tabla 1.5.
31
d1
1.61
d b1
d2
1.63
1.62
1.64
1.59 a12
1.76
d b2 1.60
aw12
y12
1.65
1.66
dw1
dw2
df1
1.68
1.67
df2
1.75 1.82
1.87
∆y12 da1
da2
1.81
sn1
1.88
1.84
1.83
Sn2 1.85
αa1 εα12
αa2 1.89
Sna1
Figura 1.22. Resolvente del problema del completamiento completamiento geométrico
1.90
Sna2
32
Tabla 1.5 Algoritmo para solucionar el problema del completamiento completamiento geométrico de cada par dentado p1 1.59, a12 p 2 1.60, a w12 p3 1.61, d 1 p4 1.62, d 2 p5 1.63, d b1 p6 1.64, d b 2 p7 1.65, d w1 p8 1.66, d w 2 p9 1.67, d f 1 p10 1.68, d f 2 p11 1.75, y12 p12 1.76, ∆y12 p13 1.81, d a1 p14 1.82, d a 2 p15 1.83, α a1 p16 1.84, α a 2 p17 1.85, ε α 12 p18 1.87, sn1 p19 1.88, sn 2 p20 1.89, sna1 p21 1.90, sna 2
33
Tabla 1.6 Restricciones que se aplican a los resultados del algoritmo algoritmo de la Tabla 1.5 1. 5
ρ p1 ρ L1 ρ L1
> 0;
ρ p 2
< ρ p1 ;
ρ L 2
> 0;
< ρ p2 ;
ρ L 2 ε α
> 0;
> 0;
≥ 1.1;
1.10 Radios de curvatura y parámetros de maquinado de los engranajes sol – planeta y planeta-corona 1.10.1 Relaciones y variables del modelo De (1.69) y (1.71) se obtiene
aw 01 = a01
cos α t cos α tw01
(1.114)
= a02
cos α t cos α tw02
(1.115)
De (1.70) y (1.72) se obtiene
aw 02
Las relaciones del modelo matemático en este caso forman el conjunto
1.69, 1.70, 1.73, 1.74, 1.77, 1.78, 1.79, 1.80, 1 . 91 , 1 . 92 , 1 . 93 , 1 . 94 , 1 . 95 , 1 . 96 , 1 . 114 , 1 . 115 R = 16
R =
(1.116) (1.117)
Y las variables del modelo forman el conjunto
d a1 , d a 2 ,α a1 , α a 2 , ρ a1 , ρ a 2 , ρ p1 , ρ p 2 , ρ L1 , ρ L 2 , d 1 , d 2 , a w12 ,α tw * * V = x1 , x2 , a w 01 , a w 02 , α tw01 , α tw 02 , h fP , ρ fP ,α ,α t , m, d a 0 , a01 , a02 , α , z , z , z , β , x , x , x , y , y , ∆ y , ∆ y , a Σ Σ 0 0 1 2 01 02 0 01 02 01 02 | V |= 40 1.10.2 Grafo del modelo Se trata de un grafo bicromático de un solo componente, ilustrado en la figura 1.23.
(1.118)
(1.119)
35
1.10.3 Situación El conjunto de variables de entrada
d a1 , d a 2 ,α a1 ,α a 2 , d 1 , d 2 , a w ,α tw , xΣ 01 , xΣ 02 E = * * , ρ fP ,α ,α t , m, d a 0 , α a 0 , z 1 , z 2 , z 0 , β x1 , x2 , x0 , h fP | E |= 24
(1.120) (1.121)
Determina el conjunto de incógnitas
ρ a1 , ρ a 2 , ρ p1 , ρ p 2 , ρ L1 , ρ L 2 , X = a w 01 , a w 02 , α tw 01 , α tw 02 , a01 , a , y , y , ∆ y , ∆ y , 02 01 02 01 02 | X |= 16
(1.122)
(1.123)
Con ello, queda definida una situación cuya estructura se representa por un grafo bicromático de cuatro componentes, ilustrado ilustrado en la Figura 1.24.
1.10.4 Problema de los radios de curvatura y parámetros de maquinado Se define un conjunto de variables de salida
ρa1, ρ a 2 , ρ p1 , ρ p 2 , ρ L1, ρ L 2 , aw 01, aw02 , α tw01 ,α tw02 , y01 , y02 , ∆ y01 , ∆ y02
S =
(1.124)
El cual es aceptable por estar contenido completamente completamente en el conjunto de las incógnitas. Esto es, S ⊂ X
(1.125)
Queda definido de esta forma un problema computacional, cuyo grafo tiene cuatro componentes, todas ellas contentivas de variables de salida. Por tanto, el conjunto de relaciones del problema problema coincide con el del modelo. Así, el número de grados de libertad del problema es
| L |=| X | − | RX |= 16 − 16 = 0
(1.126)
Se trata por tanto de un problema compatible determinado, cuya cuya solución, si existe, es única.
1.10.5 Pareo y Resolvente del problema El problema admite un pareo perfecto, y por tanto tiene solución. El resolvente del problema se representa por un grafo bicromático bicromático de cuatro cuatro componentes, componentes, ilustrado en la Figura 1.25. Todos estos componentes componentes son arbóreos, esto es, acíclicos.
1.10.6 Al Algoritmo goritmo del problema Se da en la Tabla 1.7 uno de los posibles algoritmos que resuelven resuelven el problema de los radios de curvatura y los parámetros de maquinado, en forma de un organigrama estructurado de Nassi-Schneiderman. Es un algoritmo lineal, sin ciclos.
36
ρ p2
ρa1
1.94
αtw01
1.95
1.92
1.91
ρa2
ρ p1
1.93
αtw02
1.96
ρL2
ρL1
aw02
aw01
1.74
1.115 1.114 1.73
1.78
a01
a02
1.80
1.70
y02
1.69
1.79
y01 1.77
∆y02 ∆y01
Figura 1.24. Situación de los radios de curvatura y parámetros de maquinado
ρ p2
ρa1
1.94
1.91
1.92
ρa2
αtw02
1.96
αtw01
1.95
ρ p1
1.93
ρL2
ρL1
aw02
aw01
1.74
1.115 1.114 1.73
a01
1.78
a02
1.80
1.70
y02
1.69
1.79
y01 1.77
∆y02 ∆y01
Figura 1.25. Resolvente del problema de los radios de curvatura y parámetros de maquinado
37
Tabla 1.7. Algoritmo Algoritmo para solucionar el problema de los radios de curvatura y los parámetros de maquinado p! 1.91, ρ a1 p2 1.94, ρ p 2 p3 1.92, ρ a 2 p4 1.93, ρ p1 p5 1.69, a01 p6 1.114, aw 01 p7 1.73, α tw 01 p8 1.95, ρ L1 p9 1.78, y01 p10 1.77, ∆y01 p11 1.70, a02 p12 1.115, aw 02 p13 1.74, α tw 02 p14 1.96, ρ L 2 p15 1.80, y02 p16 1.79, ∆y02
1.11 Recortado en la corona Puede ocurrir recortado en la cresta de los dientes de la corona durante el avance radial del piñón mortajador, Figura 1.26. No existe recortado recortado nunca si se se cumple la condición siguiente: siguiente:
d a 0 d a 2
<
z 0 z 2
(1.127)
38
da02
da2 γ 0022 µo2 O0
δ02 (dao/da2 )µ o2 o2
O2
Fig. 1.26 Recortado en la corona.
En cambio, si se cumple la condición
d a 0 d a 2
≥
z 0
(1.128)
z 2
Entonces no ocurre recortado si:
(µ 02' > µ 02 ) máx
(1.129)
Y tampoco si:
(µ 02' < µ 02 ) ∧ (δ 02 ≥ 0) máx
(1.130)
Donde
µ 02 máx
d a22 − d a20 − 4a w2 02 = arc cos 4 a d w 02 a 0
(1.131)
39
' µ 02
= arc cos
µ 02
= mín (µ 02' , µ 02 máx )
γ 02
=
z 0
δ 02
=
z 0
z 2
z 2
invα a 0
µ 02
1 − 2 d 0 z 22 − 1 2 z 0 d a22
z − invα a 2 + 1 − 0 invα tw02 z 2
d . µ o 2 − arc sin a 0 sin + γ 02 d a 2
(1.132)
(1.133) (1.134)
(1.135)
1.11.1 Modelo R = {1.131,1.132,1.133,1.134,1.135}
(1.136)
| R |= 5
(1.137)
V = {d ao , d a 2 , z o , z 2 , α ao ,α a 2 , α two 2 , µ o 2 , µ o, 2 , µ o 2 max , γ 02 , δ o 2 }
| V |= 12
(1.138) (1.139)
El grafo del modelo matemático del recortado de la corona se da en la Figura 1.27. Este grafo tiene un solo componente.
1.11.2 Situación E = {d ao , d a 2 , z o , z 2 , α ao , α a 2 , α two 2 }
(1.140)
| E |= 7
(1.141)
X = {µ o 2 , µ o, 2 , µ o 2 max , γ 02 ,δ o 2 }
(1.142)
X |=| 12 | − | 7 |= 5
(1.143)
S = {δ o 2 }
(1.144)
L =| X | − | RX |= 5 − 5 = 0
(1.145)
1.11.3 Problema
Problema compatible determinado, determinado, con cero grados de libertad. El resolvente de este problema se da en la Figura 1.28. Se trata de un problema con resolvente de un solo componente, y acíclico. Por tanto, es un problema con solución solución cerrada.
40
αtwo2 αa2 γ oo22
da2
dao
awo2
zo
µo2max
1.131
z2
µ’o2
1.132
µo2
1.133
1.134
1.135
δo2
Figura 1.27 Modelo del recortado en la corona.
µo2max
1.131
γ oo22
1.134
1.135
µ’o2
1.132
µo2
1.133
δo2
Figura 1.28 Resolvente del recortado en la corona.
1.11.4 Algoritmo El algoritmo correspondiente al resolvente de la Figura 1.28 se da en la Tabla 1.8.
Tabla 1.8 Algoritmo para resolver el problema del recortado de la corona. p1 1.131, µ 02 ma ' p2 1.132, µ 02
p3 1.133, µ 02 p4 1.134, γ 02 p5 1.135, δ 02
1.12 Interferencia en el engranaje planeta-corona El conjunto de expresiones 1.127 hasta 1.135 es válido para el cálculo de la interferencia entre el planeta y la corona. Basta sustituir los parámetros de piñón mortajador por los parámetros del planeta. En vez de ocurrir recortado de los flancos de la corona por los flancos cortantes del mortajador, ocurrirá interferencia interferencia entre los flancos del planeta y la corona.
41
Capítulo 2 Resistencia a la picadura de los engranajes Como se explicó en el Capítulo 1, el reductor consta de tres etapas, dos de ellas de tipo planetario: baja e intermedia, y una etapa cilíndrica de ejes fijos. Las etapas planetarias del reductor están conformadas por pares de engranajes de dientes exteriores e interiores, por lo que, a lo largo de este capítulo nos referiremos de forma general a los métodos de cálculos fundamentales aplicados a engranajes cilíndricos haciendo las aclaraciones pertinentes pertinentes en cada caso, pa rticularizando sólo cuando sea necesario. Sin excepción, todos los investigadores coinciden en que los cálculos fundamentales aplicables a engranajes cilíndricos contenidos en reductores de velocidad cerrados son:
• •
El cálculo a la picadura. El cálculo a la fractura.
En este capítulo desarrollaremos el primer cálculo, dejando el segundo cálculo para el tercer capítulo. Al abordar los contenidos nos hemos basado en las normas fundamentales publicadas y aprobadas por los organismos organismos internacionalmente reconocidos como la ISO ([ISO 6336-1] a la [ISO 6336-5]), la DIN DIN [DIN 3990], 3990], [ISO 1328] y la AGMA [AGMA 2001]. También se consultaron catálogos de prestigiosas firmas productoras de reductores [Flender 99b], [Echesa 99], [Lohmann 88] entre entre otras, así as í como en un conjunto de tesis de doctorado [Esc82], [Rey99], [Wel99], [Del88], tesis de maestría maestría [Noa99], [Sor98] y artículos publicados [ET84], [ETC00];
2.1 Condición de resistencia al contacto Para que una transmisión resista a la picadura, [ISO 6336-2], tiene que cumplirse la condición siguiente:
σ H
≤ min (σ HP 1 , σ HP 2 )
(2.1)
σ H
= σ HO K A K V K H β K H α
(2.2)
Donde
σ HO = Z H Z E Z ε Z β Siendo: σ H es el esfuerzo actuante de Hertz. σ HO es el esfuerzo básico de Hertz. σ HP es el esfuerzo permisible de Hertz.
F t1t1
es la fuerza tangencial en el cilindro de referencia.
d 1
es el diámetro del cilindro de referencia del piñón .
bw
es el ancho de contacto del engranaje.
u
es la razón de engranaje.
F t 1 u + 1 d 1bw u
(2.3)
42
2.2 Determinación del esfuerzo básico 2.2.1 Factor de zona
Z H =
2. cos β b cos 2 α t tanα tw
(2.4)
Donde se aprecia que el factor ZH disminuye con el aumento de los ángulos αtw y β y que aumenta con el crecimiento del ángulo de perfil de la herramienta.
2.2.2 Factor de recubrimiento
Z ε =
ε 4 − εα (1 − ε β ) + β 3 εα
Z ε =
4 − εα 3
Para
Para
εβ < 1
(2.5)
εβ ≥ 1
(2.6)
ε y ε β provoca la disminución del factor de
El crecimiento crecimiento de los coeficientes de recubrimie nto α recubrimiento.
2.2.3 Factor del ángulo de hélice
Z β = cos β
(2.7)
El crecimiento del ángulo de la hélice hace disminuir el factor helicoidal.
2.2.4 Factor de elasticidad
1
Z E = π
1 − ν E 1
2 1
1 ν + − E 2
2 2
(2.8)
Donde:
ν 1 , ν2 son los coeficientes de Poisson de los materiales del piñón y la rueda.
E 1 , E 2 son los módulos de elasticidad de los materiales del piñón y la rueda. Aunque todos los aceros no tienen el mismo módulo de elasticidad, sus valores oscilan en un intervalo estrecho, por lo cual se trabaja con un valor medio. Por tanto, si se emplean aceros como materiales para las ruedas dentadas, este factor tendrá un valor único, variando sólo cuando se cambien o combinen materiales con diferentes módulos de elasticidad.
43
2.2.5 Esfuerzo básico de Hertz Expresando la ecuación 2.3 en otra forma, se obtiene
2.T 1 u +1 3 (m. z1 ) ψ bd u
σ HO = Z H Z E Z ε Z β
(2.9)
donde
ψ bd
=
bW d 1
(2.10)
El aumento o disminución del módulo mó dulo o el número de dientes o ambos a la vez hace que el esfuerzo básico disminuya de forma significativa, el aumento de la relación ψ bd bd y u también disminuyen el esfuerzo básico pero en menor cuantía.
2.3 Factores de influencia sobre el esfuerzo básico 2.3.1 Factor de aplicación aplicación de la carga carga K A El factor KA depende de la dinámica del motor primario y de la máquina accionada. Para el caso de reductores para molinos de caña de azúcar, la AGMA [AGMA 6110] plantea las siguientes condiciones de diseño de los reductores, para K A = 1:
• •
Una vida útil de 10 000 h .
•
Un coeficiente de seguridad a la fractura S F F = 1.
Un coeficiente de seguridad a la picadura S H = 1.
El reductor se elige para transmitir un momento torsor nominal:
T N = K AT
(2.11)
donde : T es el momento medio actuante en el árbol del reductor. Para los molinos de caña se establece por la AGMA[AGMA 6110]:
K A = 1.75 2.3.2 Coeficiente de carga dinámica K V En el coeficiente de carga dinámica influyen dos aspectos esenciales: 1. El diseño del engranaje 2. Los errores de fabricación del engranaje. El coeficiente de carga dinámica se puede expresar de la forma siguiente.
(2.12)
44
K V =
F DI + F t F t
(2.13)
Donde: FDI Carga dinámica interna. Ft Fuerza tangencial. Los parámetros que influyen en la carga dinámica interna son: De diseño.
• • • • • • •
Velocidad tangencial. Carga sobre el diente. Inercia y rigidez de los elementos en rotación Variación de la rigidez. Propiedades de la lubricación. Rigidez de los rodamientos y de la caja. Velocidades crítica y vibraciones internas del engranaje.
De fabricación.
• • • •
Desviaciones en el paso. Desviación de la superficie de referencia con respecto al eje de rotación. Desviaciones en los flancos del par engranado. Desbalance de los elementos giratorios.
Aún cuando el momento torsor de entrada sea constante, existirán cargas dinámica producto de la transmisión de errores que provocan una frecuencia de excitación. Cuando ésta frecuencia de excitación o sus armónicos están cerca de la frecuencia de resonancia se producen cargas dinámicas altas que pueden traer coeficientes de cargas dinámicas altos para la transmisión [Hid76a], [Hid76b], [Hid79c]. La frecuencia de resonancia vale
30.10 3 C γ n E 1 = π . z1 mred donde mred es la masa reducida del par engranado y C γ rigidez del engranaje.
di d f da Figura 2.1 Definición de los diámetros en ruedas no macizas
(2.14)
45
m .m mred = 1 2 m1 + m2 q12 =
d i 1, 2 d m1, 2
(2.15)
m1, 2 =
(2.15b)
d m12 =
πd 14, 2 m 2 b1, 2
8 ⋅ d
(1 − q14, 2 ) ρ1, 2
d a1, 2 + d f 1, 2 2
(2.15a)
(2.15c)
Donde el subíndice subíndice 1 señala la masa equivalente equivalente del piñón y el 2 la de la rueda, sobre la línea de engranaje. En el caso de las etapas planetarias.
m red =
m pla .m sol K pl m pla + m sol
(2.16)
Los subíndices sol y pla (planeta), indican indican las masas masas del sol y del planeta respectivamente resp ectivamente y K pl el número de planetas en la etapa. La razón de resonancia
N =
. 1 m red n1 n1π z = n E 1 30000 C γ
(2.17)
donde: n 1 velocidad angular del sol o el planeta. En la razón de resonancia no esta esta incluido el efecto efecto de rigidez de los árboles, rodamientos rodam ientos y caja por esto se define el rango de resonancia con cierta amplitud, por razones de seguridad. . Donde el límite superior de la zona de resonancia es:
N Sup = 1.15
(2.18)
Y el límite inferior de la zona de resonancia está determin ado por las condiciones siguientes: Si:
F t K A < 100 N/mm bW entonces
N Inf = 0.5 + 0.35
F t K A 100 ⋅ bW
F t K A > 100 N/mm bW
Si:
(2.19)
(2.20)
(2.21)
entonces
N Inf = 0.85 El cálculo de K V V depende directamente de la zona de resonancia.
• • •
Zona subcrítica. Zona de resonancia Zona intermedia intermedia
N < NS NS inf < N ≤ 1.15 1.15 < N ≤ 1.5
(2.22)
46
•
Zona supercrítica
N > 1.5
N 1.80 Rango supercrítico 1.5 Rango intermedio 1.15 Rango principal
0.85 0.50
Rango subcrítico
0.30 20
100
200 N/mm
Figura 2.2 Intervalos de resonancia
Teniendo en cuenta que la mayoría mayoría de los reductores industriales operan operan en la zona subcrítica. K V V = (N.K) + 1
(2.23)
K = (C V1 V1 B . p ) +(C V2. V2. B f ) +(C V3 V3 B . k )
(2.24)
Donde: Los coeficientes C V1 V1 , C V2 V2 , C V3 V3 que tienen en cuenta las desviaciones en el paso el perfil y las variaciones de , B p y Bk tienen en cuenta las desviaciones de los dientes y la modificación del la rigidez, mientras que B f , B perfil y su efecto sobre la carga dinámica[ISO-6336-2], [AGMA 2002]. El cálculo de la rigidez del engranaje (C γ γ ) se expone el epígrafe 2. 3. 3
El cálculo de la rigidez del engranaje está basado en el estudio de la rigidez en una rueda dentada de disco sólido, tallada con una herramienta con un perfil básico asumiendo una carga carga especifica F t t /b /bW = 100 N/mm . Usando este método se obtuvo la rigidez teórica, luego, modificada por coeficientes experimentales para obtener la rigidez del engranaje. De las ecuaciones 2.21 y 2.22 se pueden sacar las siguientes conclusion es: Para obtener un bajo coeficiente de carga dinámica es necesario disminuir:
• •
La razón de resonancia. El coeficiente K
Logrando que el engranaje trabaje fuera de la zona de resonancia de ser posible subcrítica, lo que en el caso del reductor objet o de estudio se logra para todas las etapas.
2.3.3 factor de distribución longitudinal de la carga K Hβ Por definición es el coeficiente que tiene en cuenta la distribución no uniforme de la carga en el ancho del engranaje. Sobre la distribución no uniforme de la carga influyen los aspectos si guientes:
47
• • • • • • • • •
Exactitud en la fabricación fabricación de los dientes del engranaje. Alineación de los ejes de rotación de las ruedas en granadas. Deflexiones elásticas de los elementos vinculados vinculados al engranaje, árboles, rodamiento, caja, etc. Holguras en los rodamientos. El contacto Hertziano y las deformaciones en las superficies de los dientes. Deformaciones térmicas. Deflexiones centrífugas debido a la velocidad de operación. La modificación de la hélice. Cargas adicionales, como pueden s er las que produzcan transmisiones por cadena, polea, correa etc.
Para determinar el factor K H β se asumieron los aspectos siguientes:
• • • • • •
• •
El piñón tiene una posición simétrica con relación a los rodamientos. Las holguras de los rodamientos son de tal magnitud (pequeñas) que se pueden ignorar. El diámetro del árbol es igual o algo menor que el diámetro d e fondo del piñón. Las magnitudes de deformación de la caja y las holguras de los rodamientos no se tienen en cuenta. Sólo se usará el momento torsor sobre el árbol del piñón para determinar la carga sobre los dientes y la reacción de los rodamientos sobre el árbol. El factor y β es proporcional a la desalineación equivalente en el engranaje Fβx. La razón de ancho con relación a la altura del diente b/h ≤ 12 El patrón de contacto [6336-1]con bcal / bw > 1 donde K H β ≤ 2
Determinación de KHβ para transmisiones planetarias planetarias tipo 2RP- A En el engranaje engranaje sol -planeta:
Con planetas montados en rodamientos: 4 2 l χβ C γ . f ma b b 4000 C γ 7 w W pla + 5.12.K pl K H β = 1+ + 2 − χ 3π β E 12 d d b sol pla w 2.Fm / bw
(2.25)
En el engranaje planeta-corona: 4
l pla 7 χ β C γ f ma 8000 C γ bw − χβ K H β = 1 + + 2F / b d pla 3π 12 E b m w w F m = F t .K A K V Donde:
C γ γ es la rigidez del engranaje. E es el módulo de elasticidad reducido. bw ancho de contacto. K pl número de planetas. d pla diámetro de referencia del planeta. l pla pla distancia al centro de los rodamientos del planeta. χβ Factor de asentamiento de la superficie de referencia.
f ma ma Desalineación del engranaje debido a errores en la fabricación.
(2.26) (2.27)
48 cálculo del engranaje. bcal ca l Ancho convencional de cálculo El concepto del ancho convencional de cálculo del engranaje se explica gráficamente en las Figuras 2.3, 2.4 y 2.5. La La Figura 2.3 representa un engranaje no sometido a carga alguna, p or lo cual el ancho convencional del engranaje es nulo. En la Figura 2.4 se muestra el caso de un engranaje alineado y poco cargado, o bien de un engranaje desalineado y pesadamente cargado. La Figura 2.5 representa un engranaje alineado y bien cargado. Es de suma importancia en las transmisiones de engranajes cilíndricos minimizar el coeficiente de distribución longitudinal de la carga, tanto en transmisiones de ejes fijos como de ejes móviles. Lo anterior se logra influyendo sobre los dos últimos sumandos de las expresiones (2.25) y (2.26), a través de los parámetros de diseño que aparecen en las mismas, los cuales son factibles de modificar en función de lograr la optimización optimización de la transmisión. El tercer sumando en las expresiones (2.25) y (2.26) tiene una gran influencia sobre el coeficiente de distribución longitudinal de la carga, no así el segundo sumando, que por lo general se mantiene en valores sumamente pequeños.
b
bcal
Fβy
Figura 2.3 Engranaje sin carga aplicada al mismo.
Figura 2.4 Engranaje con carga ligera o alto desalineamiento Fβ y
bcal
.
Figura 2.5 Engranaje con carga pesada y pequeño desalineamiento Fβ y.
49 Determinación de la rigidez (Cγ ) para transmisiones planetarias planetarias tipo 2RP-A.
C γ = C p ( 0.75ε α + 0.25) (2.28) Cálculo de la flexibilidad. 2 2 q – [ C 1 +C 2 /z n1+ C 3 /z n2 + C 4 x 1 + (C 5 x 1 )/z n1 + C 6 6 x ] = 0 2 + ( C 7 7 x 2 )/z n2 + C 8 x 1 +C 9 x 2 ] =
Tabla 2.1 Coeficientes de la ecuacion.
C1
C2
C3
C4
C5
C6
0.04723
0.15551
0.25791
- 0.00635 0.006 35 - 0.11654 0.116 54
C7
C8
- 0.00193 0.001 93 - 0.24188 0.241 88 0.00529
C9 0.00182
Donde: q es el valor mínimo de la flexibilidad flexibilidad para un par pa r de diente.
x 1 , x , x2 Coeficientes de corrección de la rueda 1 y 2 zn1,2 Numero de dientes virtual de las ruedas 1,2 Cálculo de la rigidez teórica.
C pt =
1 q
(2.29)
Cálculo de la rigidez Simple.
Para:
( F t K A ) / bw > 100 N / mm C p = C pt C M C R C B cos β
(2.30)
donde: Factor de corrección C M, C M tiene en cuenta la diferencia entre los valores medido y los valores calculados en los discos de prueba de los engranajes según[6336-1] según[6336-1]
C M = 0.8 Factor de corrección CR, CR tiene en cuenta la flexibilidad entre entre la corona de la rueda S R y el alma b S . S
b
SR b
Figura 2.6 Definición de los parámetros de CR
C R = 1 +
ln (bS / b ) 5e S R /(5⋅mn )
(2.31)
50 Factor de corrección CB, CB tiene en cuenta la desviación de debido a la h erramienta empleada.
C B = [1 + 0.5(1.25 − h fP / mn )][1 − 0.02( 20 − α Pn )] Para:
(2.32)
( F t K A ) / bw < 100 N / mm
C p = C pt C M C RC B cos β [( F t K A / bw ) / 100 ]0.25
(2.33)
2.3.4 factor de distribución transversal de la carga K Hα Este coeficiente surge debido a la distribución de la carga entre más de un par engranado, sobre la línea práctica de engranaje, que es transversal al eje de rotación del mismo. Cálculo del coeficiente de distribución transversal de la carga KHα
a) Cuando el coeficiente de recubrimiento total ε γ ≤ 2 K H α =
C γ ( f pb − yα ) C γ 0.9 + 0.4 ⋅ 2 F tH / bW
(2.34)
b) Cuando el coeficiente de recubrimiento total εγ > 2
K H α = 0 .9 + 0 . 4
2 ( ε γ − 1) C γ ( f pb − y α ) ⋅ ε γ F tH / bW (2.35)
F tH .K A.K V . K H β tH = F t t .K V.K
(2.36)
f pb = f p.cos αt
(2.37)
Donde:
f p es la desviación del paso circunferencial. f pb es la desviación del paso básico. yα es la reducción del error de paso básico debida al asentamiento. Para aceros estructurales, aceros con temple completo y fundición de hierro nodular (Perlítico; bainítico)
y α = Donde : Si v ≤ 5m/s Si 5.0 ≤ v ≤ 10m/s Si
v ≥ 10m/s
160 σ H li m
f pb
no hay restricciones al valor de yα .
yα ≤ 12800/ σHlim yα ≤ 6400/ σHlim
Para fundiciones de hierro gris y hierro nodular.
(2.38)
51
yα = 0.275 f pb
(2.39)
Si v ≤ 5m/s
no hay restricciones al valor de yα .
Si 5.0 ≤ v ≤ 10m/s
yα ≤ 22
Si v ≥ 10m/s
yα ≤ 11
Para aceros cementados, nitrurados o nitro carburados.
yα = 0.075 f pb
(2.40)
yα ≤ 3
Donde:
Cuando los materiales son diferentes, se det ermina para el piñón yα1 y para la rueda yα2 Calculándose el valor yα del engranaje.
yα =
yα 1 + yα 2 2
(2.41)
Condiciones límites para KHα .
Cuando de acuerdo a las ecuaciones 2.34 y 2.35 se produzca la condición siguiente:
K H α >
ε γ
. ε2 ε α Z
(2.42)
Entonces se sustituye:
K H α = Por otro lado, si
ε γ
. ε2 ε α Z
(2.43)
K Hα < 1, el menor valor valor a tomar es 1.
Si el parámetro de medición es f f α se sustituye éste por f pb en las expresiones anteriores.
2.4 Determinación del esfuerzo permisible de Hertz σ HP
=
σ Hlim Z NT
S H min
Z L Z V Z R Z W Z X
(2.44)
2.4.1 Determinación del esfuerzo límite de contacto σ H lim El esfuerzo límite a contacto se determina empleando la norma [ISO 6336-5]. Este documento normalizativo toma como base los experimentos de laboratorio r ealizados en un banco de ensayo, en ruedas dentadas que reúnen los requisitos siguientes:
52
Módulo
aW = 100 mm. m = 3 a 5 mm
Angulo de la hélice
β= 0
Rugosidad superficial
R Z = 3 µ m
Velocidad tangencial
vt = 10 m/s ( Z Z V = 1)
Viscosidad del lubricante
Z L = 1) ν 50 = 100 mm2 / s ( Z
Factor de trabajo
(Z W W = 1)
Distancia entre centros
Grado de calidad
( Z Z R = 1)
4 a 6 según la norma [ISO 1328]
Con los siguientes valores de los factores modificadores de carga:
K A = K V V =K H β = K H α = 1
(2.45)
Los esfuerzos límites se encuentran registrados en tres rangos de valores M E E , M L y M Q, en función de la calidad del material y el tratamiento térmico, refrendada por controles adecuados.
2.4.2 Determinación Determinación del coeficiente c oeficiente de durabilidad Z N Para el caso de aceros estructurales, aceros de cementación, fundiciones de hierro con grafito esferoidal, bainíticas o perlíticas , cuando se permite cierto grado de picadura:
Si el número de ciclos de carga se encuentra en el intervalo intervalo
6 ⋅105 < N L ≤ 107
exp exp = 0.3705 ⋅ log( σ HPest / σ H Pr ef )
3 ⋅ 108 Z N = N L
exp exp
(2.46)
Si el número de ciclos de carga se encuentra en el intervalo 107
(2.47)
< N L ≤ 109 exp exp
exp exp = 0.2791 ⋅ log( σ HPest / σ H Pr ef )
(2.48)
3 ⋅ 10 9 Z N = N L
(2.49)
Para el caso de aceros estructurales, aceros para temple completo, fundiciones de hierro nodular perlíticas o bainíticas, fundiciones de hierro maleable y aceros de cementación cuando no se permite picadura limitada.
Si el número de ciclos de carga se encuentra en el el intervalo 105
< N L ≤ 5⋅107 exp exp
exp exp = 0.3505 ⋅ log( σ HPest / σ H Pr ef )
(2.50)
5 ⋅ 10 7 Z N = N L
(2.51)
El esfuerzo permisible estático (σHPest) se determina por
σ HP est = σ Hlim Z NT est Z L Z R Z V Z W Z X / S H mín
(2.52)
Donde Z NT est es el coeficiente de durabilidad para un número pequeño de ciclos. Este valor depende de la calidad del material, del método de obtención y del tratamiento térmico. Además, en este caso
53
Z L = Z R = Z V = Z W = Z X = 1
(2.53)
El esfuerzo permisible de referencia ( σ HPref ) se determina por
= σ Hlim Z NT Z L Z R Z V Z W Z X / S H mín
σ HP ref
(2.54)
Donde Z NT = 1 . Los demás parámetros se corresponden con los resultados de cada uno de ellos.
2.4.3 Determinación Determinación del factor de lubricación Z L
Z L = C ZL +
4(1.0 − C ZL )
80 1.2 + ν 50
Si:
850 ≤ σHlim ≤ 1200 N/mm2
Si:
σHlim < 850 N/mm2 σHlim > 1200 N/mm2
Si:
2
= C ZL +
C ZL =
4(1.0 − C ZL )
134 1.2 + ν 40
σ Hlim
4375 C ZL ZL = 0.83 C ZL ZL = 0.91
+ 0.6357
2
(2.55)
(2.56) (2.57) (2.58)
2.4.4 Determinación del factor de velocidad Z V2
Z V = C Zv +
2(1.0 − C Zv ) 32 0.8 + v
CZV = CZL + 0.02
Donde:
(2.59)
(2.60)
2.4.5 Factor de rugosidad Z R C ZR
3 Z R = R Z 10
(2.61)
Donde: R Z 10 Rugosidad superficial. En el intervalo
En el intervalo
En el intervalo
800 N/mm2 ≤ σHlim ≤ 1200 N/mm2 C ZR ZR = 0.32 – 0.0002.σHlim
(2.62)
C ZR ZR = 0.15
(2.63)
C ZR ZR = 0.08
(2.64)
σHlim ≤ 800 N/mm2 σHlim ≥ 1200 N/mm2
54
2.4.6
Factor de endurecimiento por el trabajo Zw
Z W = 1.2 −
HB − 130 1700
(2.65)
Donde HB es la dureza en grados Brinell en los flancos de los dientes de la rueda de menor dureza.
Si HB < 130 entonces:
Z W W = 1.2 HB > 470 Z W W = 1
Si:
2.4.7
(4.66) (4.67)
Factor de tamaño ZX
El aumento del tamaño influye en la disminución del esfuerzo permisible a fatiga superficial del material. Esto se debe fundamentalmente a que con el aumento del tamaño aumenta n los posibles defectos debajo de la superficie endurecida, además de los defectos que surgen en el proceso de forjado (variación de la estructura) que afectan la calidad del material. Independiente del tamaño se adopta según[ISO 6336]
Z x = 1
(4.68)
2.5 Modelo matemático de la resistencia al contacto 2.5.1 Ecuaciones de balance
2. cos β b cos α tw =0 cos 2 α t sinα tw
[r1 ]
Z H −
[r2 ]
Si : ε β < 1 4 − ε α (1 − ε ) + ε β β 3 εα Z ε − Si : ε β ≥ 1 4 − εα 3
[r3 ]
[r4 ]
= 0
Z β − cos β = 0
1
Z E − π
1 − ν E 1
2 1
1 − ν + E 2
2 2
= 0
55
[r5 ]
σ H O − Z H Z E Z ε Z β
2T 1 u +1 =0 3 ( m. z1 ) ψ bd u 4
π .d m pla
[r6 ]
m pla −
[r7 ]
30 P1 − T 1 = 0 π n1
2 b pla
8.d
[r8 ]
ψ bd − bw / d 1
[r9 ]
T 1 − F t 1
[r10 ]
q sol −
[r11 ]
q pla n −
[r12 ]
d m sol − d m pla −
[r13 ]
4 (1 − q pla ) ρ pla = 0
=0
d 1 =0 2
d i sol
=0
d m sol d i pla
d m pla
=0
d a sol + d f sol
d a pla
=0 2 + d f pla =0 2
4
π .d m sol
[r14 ]
m sol −
[r15 ]
m red −
[r16 ]
[r17 ]
2 b sol
8.d
4 (1 − q sol ) ρ sol = 0
m pla .m sol =0 K pl m pla + msol
q – [ C 1+C2 /zn1 + C3 /zn2 + C4 x1 + (C5 x1)/zn1 + C6 x2 + ( C7 x2 )/zn2 + C8 x12+C9 x22 ] = 0
Cpt – 1 / q = 0 ln( bs / bW ) S /( 5. m ) = 0 5e R
[r18 ]
C R −
[r19 ]
CB – [1 + 0.5(1.25 – h f P / m)][1 – 0.02 (20º – α np )]= 0
[r20 ]
Cp – Cpt CM CR CB cos β [(Ft1 K A / bw) /100]0.25 = 0
[r21 ]
Cγ – Cp (0.75 ε α + 0.25 ) = 0
56
[r22 ]
[r23 ]
30.10 3 C γ =0 n E 1 − π . z1 mred N −
n1 =0 n E 1
[r25 ]
Para aceros estructura les, Aceros con temple completo y =0 fundición de hierro nodular (Perlítico , bainítico o ferrítico) . G5 − {Para fundición de hierro gris ó hierro nodular } = 0
[r26 ]
G6 − {Para aceros cementados , nitrurados o nitrocarbu rados.} = 0
[r24 ]
[r27 ]
G4 −
160 Si : G4 y f pb ; σ f pb Hlim 160 Si : G4 y f f α ; f f α σ Hlim yα − =0 ( ) Si : G y f ; 0 . 275 . f pb pb 5 Si : G5 y f f α ; (0.275. f f α )0 Si : G6 y f pb ; (0.075. f pb ) Si : G6 y f f α ; (0.075. f f α )
[r28 ]
y p − yα = 0
[r29 ]
y f α − yα = 0
[r30 ]
f pb eff − ( f pb − y p ) = 0
[r31 ]
f f α eff − ( f f α − y f α ) = 0 C P f pb eff
[r32 ]
BP −
[r33 ]
B f −
[r34 ]
BK − | 1 −
[r35 ]
K – [(CV1.Bp ) +(C V2.Bf ) +(CV3. Bk )] = 0
[r36 ]
K A ( F t 1 / bw ) C P f f α eff K A ( F t 1 / bw )
=0 =0
C pC a | =0 K A ( F t / bw )
K V – [(N.K) + 1] = 0
57
F m b − F t 1.K A K V / b w = 0
[r37 ] [r38 ]
Para aceros estructurales, ace ros para t emple completo, G1 − = 0 fundición nodular ba inítica o perlítica perlíti ca
[r39 ]
G2 −
[r40 ]
sup erficies c ementadas, endurecid as por nit ruración Para sup ó nitrocar buración. Para fundicion de hi erro gris ó G3 − =0 fundicion de hierro nodular f errítico
Si : G1 320 1 − σ Hli m − Si : G2 =0 0.85 Si : G3 0.45
[r41 ]
χβ
[r42 ]
f ma − f H β = 0
[r43 ]
C 10 −
= 0
χ β .C γ f ma
=0 2 ⋅ F mb Si : Sol − Planeta.
4 2 4000 C γ bW l pla 7 5.12.K pl bw χβ 2 0 C + − + = 1 + 10 bw 12 d pla E d sol 3π [ r 44 ] K H β − Si : Planeta − Corona. 4 l 7 b 1 + 8000 χ C γ pla w 0 C − + = β 10 3π d pla E bw 12
[r45 ]
ε γ ≤ 2 ε γ − ( ) C f y pb γ 0.9 + 0.4 α 2 F tHb 0 K H α − = ε γ > 2 0.9 + 0.4 2(ε γ − 1) ⋅ C γ ( f pb − yα ) ε γ F tHb
58 [r46 ]
F tHb − F mb K H β = 0
[r47 ]
4(1.0 − C ZL ) Z L − C ZL + 2 = 0 80 1 . 2 + ν 50
[r48 ]
Si : 850 N/mm 2 ≤ σ Hli m ≤ 1200 N / mm 2 σ Hli m + 0.6357 4375 C ZL − Si : σ Hli m < 850 = 0 0.83 Si : σ Hli m > 1200 0.91
[r49 ]
CZv – (CZL + 0.02) = 0
[r50 ]
2(1.0 − C Zv ) Z V − C Zv + =0 32 0.8 + v
[r51 ]
3 Z R − = 0 R Z 10
C ZR
[r52 ]
800 N / mm 2 ≤ σ Hli m ≤ 1200 N / mm 2 (0.32 0.0002 ) − σ Hli m σ Hli m < 800 N / mm 2 C ZR − =0 0 . 15 σ Hli m > 1200 0.08
[r53 ]
Si : 130 ≤ HB ≤ 470 HB − 130 1.2 − 1700 = 0 Z W − Si : HB < 130 1.2 : 470 Si HB > 1
59 [r54 ]
σ
HP ref
− ( σ H lim . Z V . Z R . Z L . Z W . Z X / S Hmí n ) = 0
[r55 ]
z n1 − z1 /(cos 2 β b cos β ) = 0
[r56 ]
z n 2 − z 2 /(cos 2 β b cos β ) = 0
[r57 ]
E −
[r58 ]
σ H − σ HO K A K V K H β K H α
[r59 ]
[ r 60 ]
[r61 ]
σ HP
E 1. E 2 =0 E 1 E 2
=0
− σ HP ref . Z N = 0
Si : 6 ⋅10 5 < N L ≤ 10 7 exp exp = (0.3705 ⋅ log( σ HPest / σ HP ref ) exp exp 3.10 8 N L 7 9 Si : 10 < N L ≤ 10 exp ex p ( 0 . 2971 log( / ) = ⋅ σ σ HPest HP ref exp 9 exp 10 N L Z N − =0 5 7 Si : 10 < N L ≤ 5 ⋅10 exp exp = (0.3705 ⋅ log( σ HPest / σ HP ref ) exp 5.10 7 exp N L 5 6 Si : 10 < NL ≤ 2 ⋅ 10 exp exp = (0.7686 ⋅ log( σ HPest / σ HP ref ) exp 2.10 6 N L σ HP est = σ H lí m Z NTest / S H mín
[r62 ]
σ HG − σ HP S Hmí n
=0
[r63 ]
σ HG − S H = 0 σ H
2.5.2 Restricciones
S H ≥ 1
60
0.2 ≤ ψ bd bd ≤ 1 2.5.3 Relaciones y variables del modelo mo delo matemático
R = {r 1 , r 2 , r 3 ....r 63 } |R| = 63
αt ,αtW , β , βb , εα , ε β , εγ , Z H , Z ε , Z β , Z E , E 1, E 2 , ν1, ν 2 , T 1 , u,ψ bd , P, n , b , d , F , d , d , q , d , d , q , d , d , d , 1 W sol t i sol msol sol ipla mpla pla asol fsol apla d , d , d , ρ , ρ , m , m , m , z , z , z , z , x , x , fpla bsol bpla sol p ln sol pla red 1 2 n1 n2 1 2 C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 , C 7 , C 8 , C 9 , q, C pt , bS , S R , mn , h fp , αnP , C p , V = C M , C R , C B , K A , C γ , N , nE 1, G1 , G2 , G3 , G4 , G5 , G6 , f f α , f pb , yα , y , y , f , f , C , B , B , B , K , K , C , C , C , σ , V V 1 V 2 V 3 Hlim p f α pbeff f αeff a p F K χ β , f ma , f H β , E , K pl , l pla , F mb , C 10, K H β , F tHb , K H α , Z L , Z R , C ZL , C ZV , Z V , C ZR , R Z 10 , Z W , Z X , N L , HB, Z N , ν50 , S H , S H mín, σ HO , σ H Pr ef , σ σ σ σ M T M d Z , , , , v , , , , , HPest HPes t FG H HP AT t o pla NTes t | V |= 131 En la Figura 2.1 se da el grafo que representa la estructura del modelo matemático anteriormente descrito.
2.5.4 Situación El conjunto de datos de entrada
αt , αtW , β , β b , εα , ε β , εγ , E 1 , E 2 , ν1 , ν 2 , u, P10. , n1, d sol , d pla d , d , d , d , d , d , d , d , ρ , ρ , isol ipla asol fsol apla fpla bsol bpla sol pla E = z1, z2 , x1, x2 , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 , C 7 , C 8 , C 9 , bS , S R , m , h , α , C , K , f , f , C , C , C , C , σ , s n fp np M A f α pb a V 1 V 2 V 3 Hlim H mín f H β , K pl , l pla , R Z 10 , Z X , N L , HB, ν 50 , v, M AT , T t , M o , Z NTes t E = 67 Determina un conjunto de incógnitas
61
Z H , Z ε , Z β , Z E , T 1, ψ bd , bW , F t , d msol, qsol, d mpla, q m m m z z q C C C C , , , , , , , , , , , pt p R B pla sol pla red n1 n2 C γ , N , nE 1, G1, G2 , G3 , G4 , G5, G6, yα , y p , y f α , X = V / E = f f B B B K K f E F , , , , , , , , , , , χ V β ma mb pbeff f αeff p F K C 10, K H β , F tHb, K H α, Z L , Z R , C ZL, C ZV , Z V , C ZR, Z W , Z N , s H , σ HO, σ H Pref , σ HPest HPes t , σ H , σ HP , σ HG, de cardinalidad
| X |= V − E = 131 − 67 = 64 2.5.5 Problema El conjunto de datos de salida es unitario
S = {S H } Y adecuado, pues es un subconjunto del conjunto de las incógnitas. El grafo del problema es el mismo grafo de la situación, pues éste último tiene un sólo componente. El número de grados de libertad del problema es
| L |=| X | − | R X | | L |= 64 − 63 = 1 Por lo que estamos ante un problema compatible indeterminado, con un grado de libertad. En la Figura 2.2 se da el grafo de este problema.
2.5.6 2.5.6 Problema determinado asociado El grafo del problema determinado consta de una componente. En el epígrafe 2.5.5 determinamos que el problema tiene un grado de libertad o lo que es lo mism o, existe una variable independiente a la que hay que imponerle valores valores para que el problema tenga te nga solución. El conjunto de grados de libertad será por tanto ta nto unitario:
L = {ψ bd } En principio, cualquiera de las variables pudiera ser escogida para darle solución al problema matemático, pero al determinarla a rbitrariamente se podría resolver un problema en términos matemáticos pero no en términos de ingeniería. La variable ψ bd influ yente en el coeficiente de seguridad a cont acto en los bd es, sin lugar a dudas, la más influyente engranajes sol – planeta y planeta - corona.
2.5.7 Pareo, resolvente resolvente y algoritmo Hay un pareo perfecto único para el problema determinado asociado. Orientando l as aristas remanentes en el grafo del pareo perfecto, se halla un resolvente arbóreo único para el problema determinado asociado. En la Figura 2.3 se da el pareo del problema determinado asociado, y finalmente en la Figura 2.4 se da el grafo del resolvente del problema determinado asociado.
62 El resolvente arbóreo único contiene di versos algoritmos arbóreos, entre los c uales algunos son secuenciales y otros son paralelos, pero todos son equivalentes. Uno de los algoritmos arbóreos secuenciales que resuelve el problema determinado aso ciado se da en la Tabla 2.1, en for ma de un organigrama de NassiNassiSchneiderman. Tanto el modelo matemático con los siguientes pasos dados para arribar al algoritmo son válidos para el engranaje exterior y el engranaje interior de las celdas planetarias del reductor objeto de estudio. A partir del algoritmo contenido en la Tabla 2.1, se elaboró por el autor un programa de computadora en lenguaje C, [ISO 9899] que permite resolver el problema indeterminado, con un grado de libertad, del cálculo a resistencia de cualquier engranaje cilíndrico, exterior o interior. Tabla 2.1. Algoritmo del problema determinado asociado al problema de la resistencia al contacto de un engranaje engranaje cilíndrico.
p1 1, Z H ,
p 2 2, Z ε ,
p3 3, Z β
p 4 4, Z E ,
p5 7, T 1
p6 5,σ HO ,
p7 r 55, zn1 ,
p8 56, z n2 ,
p9 16, q ,
p10 17, C pt ,
p11 18, C R ,
p12 19, C B ,
p13 8, bw ,
p14 9, F t 1 ,
p15 20, C P ,
p16 24, G4 ,
p17 25, G5 ,
p18 26, G6 ,
p19 27, yα ,
p20 28, y p ,
p21 29, y f α ,
p22 30, f pbeff ,
p23 31, f f αeff ,
p24 32, BP ,
p25 33, B f ,
p26 34, BK ,
p27 35, K ,
p28 21, C γ ,
p29 12, d msol ,
p30 10, qsol ,
p31 14, msol ,
p32 13, d mpla ,
p33 11, q pla ,
p34 6, m pla ,
p35 15, mred ,
p36 22, nE 1 ,
p37 23, N ,
p38 36, K V ,
p39 37, F mb ,
p40 38, G1 ,
p41 39, G2 ,
p42 40, G3 ,
p43 41, χ β ,
p44 42, f ma ,
p45 43, C 10 ,
p46 57, E ,
p47 44, K H β ,
p48 46, F tHb ,
p49 45, K H α ,
p50 58, σ H ,
p51 48, C ZL ,
p52 49, C ZV ,
p53 50, Z V ,
p54 47, Z L ,
p55 52, C ZR ,
p56 51, Z R ,
p57 53, Z W ,
p58 54, σ HP ref ,
p59 61,σ HPest ,
p60 60, Z N ,
p61 59,σ HP ,
p62 62, σ HG ,
p63 63, S H ,
,
El problema de la resistencia al contacto de un engranaje cilíndrico resulta por tanto ser un problema indeterminado con un grado de libertad, el ancho relativo al diámetro de referencia del piñón ψ bd bd . Para cada valor del grado de libertad, el problema determinado asociado tiene una solución única, dada por el algoritmo de la Tabla 2.1. Se trata por tanto de un problema de múltiples, en teoría infinitas soluciones. En la práctica el número de soluciones lo determina el número de valores que se le asigne al grado de libertad dentro del intervalo permisible.
67
Capítulo 3 Resistencia a la fractura de los engranajes
67
Capítulo 3 Resistencia a la fractura de los engranajes 3.1 Introducción Introducción Para que las celdas planetarias y el engranaje cilíndrico de ejes fijos cumplan las condiciones de resistencia, deben resistir no sólo a la picadura superficial sino también a fractura. Esta rotura es mucho más peligrosa en el caso de los planetas (satélites ), por estar sometidos sus dientes a cargas alternativas.
3.2 Condición de resistencia a la fractura Para que una transmisión por engranajes cilíndricos resista a fractura tiene que cumplirse la condición siguiente [ISO 6336-3],[Gro80]:
σ F 1 ≤ σ FP1 σ F 2
≤ σ FP 2
(3.1)
Donde, para cada rueda dentada del engranaje
σ F
= σ FO K AK V K F β K F α
(3.2)
Según el Método B de la propia norma ISO:
σ FO O escrita de otro modo:
=
F t Y F Y S Y β bmn
(3.3)
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Capítulo 3 Resistencia a la fractura de los engranajes 3.1 Introducción Introducción Para que las celdas planetarias y el engranaje cilíndrico de ejes fijos cumplan las condiciones de resistencia, deben resistir no sólo a la picadura superficial sino también a fractura. Esta rotura es mucho más peligrosa en el caso de los planetas (satélites ), por estar sometidos sus dientes a cargas alternativas.
3.2 Condición de resistencia a la fractura Para que una transmisión por engranajes cilíndricos resista a fractura tiene que cumplirse la condición siguiente [ISO 6336-3],[Gro80]:
σ F 1 ≤ σ FP1 σ F 2
(3.1)
≤ σ FP 2
Donde, para cada rueda dentada del engranaje
σ F
= σ FO K AK V K F β K F α
(3.2)
Según el Método B de la propia norma ISO:
σ FO
= F t Y F Y S Y β
σ FO
=
bmn
(3.3)
O escrita de otro modo:
2T m z
1 F S β 3 2 n 1 ψ bd
Y Y Y
(3.4)
donde:
σF
es el esfuerzo actuante a fractura.
σFO
es el esfuerzo básico a fractura.
Ft
es la fuerza tangencial en el cilindro de referencia.
b
es el ancho de la rueda dentada.
mn
es el módulo normal del engranaje.
YF
es el coeficiente de forma del diente, diente, para la fuerza interdental aplicada en el punto más alto de engranaje monopar.
YS
es el factor de concentración de tensiones en el fondo del diente, para la fuerza interdental aplicada en el punto más alto de engranaje monopar.
Yβ
es el factor helicoidal; el cual tiene en cuenta el efecto del ángulo de la hélice sobre el momento flector, debido a la aplicación de la fuerza interdental sobre una línea de contacto oblicua.
68 Según el Método C de la propia norma ISO:
σ FO
= F t Y FaY Sa Y ε .Y β
(3.5)
bmn
donde: YFa
es el coeficiente de forma del diente, para la fuerza interdental aplicada en el extremo del diente.
YSa
es el factor de concentración de tensiones en el fondo del diente para la fuerza interdental aplicada en el extremo del diente.
Yε
es el factor de la razón de contacto, el cual transforma el esfuerzo producido por la fuerza interdental aplicada en el extremo de diente, a otro esfuerzo producido por la fuerza interdental aplicada en el punto más alto de engranaje monopar.
3.3 Factores de influencia en el esfuerzo actuante 3.3.1 Coeficiente de forma forma En este epígrafe explicaremos un método único de determinación de este coeficiente, aclarando en el momento oportuno opor tuno cómo pasar pa sar del método B al método C, según [Sor98],[Dud 62].
m n.π /4
mn.π /4
αn
αn
q pr P f
h
P f
h
S pr E
E Sin protuberancia
Con protuberancia
ρ fP
ρ fP Figura 3.1 Perfil de la herramienta de corte.
Y F =
6.h Fe cos α Fen mn 2
S Fn cosα n m n
(3.6)
69 El método de cálculo que se expone se basa en las consideraciones siguientes: La curva generada generada por la herramienta herramienta de corte en el fondo del diente diente es t angente en un punto con una recta a 30° respecto al eje de simetría del diente. El radio de curvatura en la punta punta de la herramienta, Figura 3.1, es mayor que cero ( ρ fP
> 0).
Los dientes pueden ser generados usando piñones mortajadores.
F bn F = bt b / cos β b b αFe
d b e F
ρF
30° 30°
h
γ e
90°
SFn Figura. 3.2 Determinación de la sección crítica S Fn , según el método ISO B.
F bn F = bt b / cos β b b
αFe
d b e F
h
90°
30° 30°
ρF
γ e SFn Figura. 3.3 Determinación de la sección crítica S Fn, según el método ISO C.
70 Valores auxiliares para el cálculo.
E =
π
4
mn − h fP tanα +
S pr ρ − (1 − sinα ) fP cos α cos α
S pr = pr − q
G=
H =
ρ fP
mn
−
h fP mn
+ x
(3.7) (3.8) (3.9)
2 π E π − − 2 mn z n 3
(3.10)
2. = G tan θ − H
(3.11)
θ
z n
Donde: pro Dimensión de la protuberancia. q
Sobreespesor de maquinado.
ρ fP Radio de curvatura de la cabeza de la herramienta. h fp Altura de la cabeza de la herramienta.
Para el cálculo de (3.11), bastará con realizar un proceso iterativo comenzando con un valor de θ = π /6. /6 . Determinación del grosor del diente en el punto de tangencia de la curva de transición con la recta a 30 ° . (Sección crítica a rotura por fractura).
π S Fn G − ρ fP = z n sin − θ + 3 3 cos θ mn m n
(3.12)
Determinación del radio de curvatura en el punto de sección crítica.
2.G 2 = + m n m n cos θ ( z n cos 2 θ − 2.G ) ρ F
ρ fP
βb
= arcsin ( sinβ . cos α n )
z n = ε αn
=
d n =
z
cos 2 β b . cos β εα
cos 2 β b d cos 2 β b
p bn = πmn cos α n
(3.13) (3.14) (3.15)
(3.16)
(3.17) (3.18)
71
R =
d bn = d n cos α n
(3.19)
d an = d n + d a − d
(3.20)
π .d cos β . cos α n
| z |
(ε
αn
− 1)
(3.21) 2
2 2 d bn 2 z d an d bn − − R + d en = 2. | z | 2 2 2
(3.22)
d en en Es el diámetro de la circunferencia del punto más alto de engranaje monopar. El número de dientes z se toma positivo en caso de ruedas de dientes exteriores y negativo en las ruedas con dientes interiores. Si la variable variable R en (3.21) es igual a cero, entonces entonces d an = d en en y con esta condición la carga estará en el extremo del diente.
d = arccos bn d en 0.5π + 2.tanα n x = + invα n − invα en α en
γ e
z n
α Fen
= α en − γ e
(3.23)
(3.24) (3.25)
Determinación del brazo del momento flector:
π hFe 1 d G + ρ fP = (cos γ e − sinγ e tanα Fen ) en − z n cos − θ − mn 2 mn 3 cosθ mn
(3.26)
Para los engranajes de dientes interiores Determinación Determinación del grosor del diente en la sección crítica a rotura por fractura.
ρ −s ρ π h − ρ π S Fn2 = 2 + fP 2 fP 2 tanα n + fP 2 pr − fP 2 cos mn mn mn mn 6 4
(3.27)
Determinación del brazo del momento flector.
ρ fP 2 π hFe 2 d en 2 − d fn 2 π h fP 2 d en2 − d fn 2 = − + − − − α α 1 tan tan sin n n 2mn 2 m n 6 mn m n 4 mn d fn 2 = d f 2 + d n 2 − d 2
h fP 2 =
d n2 − d fn 2 2
(3.28) (3.29) (3.30)
72 Determinación del radio de curvatura de la sección crítica del diente.
ρ fP 2
=
d n f 2 − d f 2 C P = (1 − sinα n ) 2(1 − sinα n )
(3.31)
Si ρ fP2 = 0 se puede emplear la siguiente aproximación, aproximación, que en general no difiere sustancialmente sustancialmente de métodos mucho más exactos [Höh97]
ρ F 2
= ρ fP 2 = 0.15mn
(3.32)
C P S Fn Fn ρ fP2 fP2
30 °
30 ° 2
h
2 e f
h
αFan = αn
2 f
d
2 a
d
Figura. 3.4 Parámetros para la determinación del factor de forma YF en ruedas con dientes interiores.
73
3.3.2 Determinaci Determinació ó n del factor de concentración de tensiones Y S Este coeficiente depende de los siguientes parámetros: Ancho del diente en la sección crítica, Sna. Altura del diente en esa sección, h Fa Radio de curvatura de la sección crítica, ρ F −1
2.3 exp 1.21 + Y Sa = (1.2 + 0.13 La ) ⋅ qS exp L a
(3.33)
Donde:
La =
S Fn hFa
(3.34)
q S =
S Fn 2 ρ F
(3.35)
3.3.3 Determinación del factor de concentración de tensiones Y Sg Las entalladuras creadas por la muela rectificadora cerca de la sección crítica, Figura 3.5, generan un alto concentrador de tensiones. Si este fenómeno se presenta, entonces calcúlese como:
30° tg
ρg
Figura. 3.5 Dimensiones de la entalladura de rectificado.
Y Sg =
1.3.Y S 1.3 − 0.6 t g ρg
t g
(3.36)
ρg
≥0
(3.37)
74
3.3.4 Determinación del factor de la razón de contacto Y ε
Y ε = 0.25 +
0.75
(3.38)
ε αn
3.3.5 Determinación del factor del ángulo de hélice Y β Este factor corrige el esfuerzo calculado en el engranaje virtual de dientes recto al engranaje de dientes helicoidales.
Y β = 1 − ε β
β
120
(3.39)
3.4 Parámetros modificativos del esfuerzo esfuerzo nominal nominal 3.4.1. Factor de aplicación de la carga K A Este término fue analizado en el Capítulo 2. No cambia para este modelo matemático.
3.4.2 Coeficiente de carga dinámica K V Este término fue analizado en el Capítulo 2 .Al igual que el anterior, no cambia.
3.4.3 Factor de distribución longitudinal de la carga K Fβ Tiene en cuenta el efecto de la distribución de la carga en el flanco del diente sobre el esfuerzo en el fondo del diente. N
K F β = K H βF
(b / h )2 1 N F = = 1 + b / h + (b / h )2 1 + h / b + (h / b )2
(3.40) (3.41)
Para el cálculo se toma el menor valor de (b/h) entre las ruedas engranadas,
(b / h) = min(( b / h) 1, (b / h ) 2 )
(3.42)
El valor de la relación (b/h) está limitado al intervalo
3 ≤ (b / h ) ≤ 12
(3.43)
(b / h) > 12
(3.44)
K F β = K H β
(3.45)
Si:
entonces
75
3.4.4 Factor de distribución transversal de la carga K Fα Este coeficiente surge debido a la distribución de la carga en más de un par engranado s obre la línea línea práctica de engranaje. Cuando el coeficiente de recubrimiento total ε γ ≤ 2
K F α = K H α =
C γ ( f pb − yα ) 0.9 + 0.4 ⋅ 2 F tH / b
ε γ
(3.46)
Cuando el coeficiente de recubrimiento total εγ > 2
K F α = K H α = 0.9 + 0.4
2(ε − 1) C γ f pb − y γ
εγ
⋅
α
F tH / b
(3.47)
3.5 Determinación del esfuerzo esfuerzo permisible σ FP σ FP
=
σ Flim .Y NT .Y ST
S Fmin
σ FP
Y δ rel T Y R rel T Y X
= σ FP ref .Y NT
(3.48) (3.49)
Donde:
σ FP ref Esfuerzo permisible de referencia. σ Flim Esfuerzo límite determinado en condiciones experimentales de acuerdo con la (ISO 6336-V).
Y NT
Factor de vida, Toma en cuenta la mayor carga para un número limitado de cargas por ciclos.
Y ST
Factor de corrección del esfuerzo, apropiado para las dimensiones de la s probetas de ensayo.
S Fmin
Factor de seguridad mínimo.
Y δ rel T Factor de sensibilidad a las entalladuras. Y R rel T Factor de rugosidad rugosidad Y X
superficial en la ra íz de diente. diente.
Factor de tamaño.
3.5.1 Determinación del esfuerzo esfuerzo límite a fractura σ F lim El esfuerzo límite a fractura se determina empleando [ISO 6336-V]. Dicha norma toma como base los experimentos de laboratorio realizados en un banco de ensayo en ruedas dentada s que reúnen los requisitos siguientes: Módulo
m = 3 a 5 mm (YX = 1)
Factor de corrección del esfuerzo
YST = 2.0
76 Entalladura del rectificado
qST = 2.5 (Yδrel T =1).
Ángulo de la hélice
β = 0.
Rugosidad superficial en los flancos del diente.
RZ = 10 µm
Grado de calidad calida d
(YR rel T = 1).
4 a 7 para la norma ISO [ISO 1328].
Cremallera de referencia referencia
ISO 53.
Ancho de contacto
b = 10...50 10...50 mm
Con los valores de los factores modificadores de carga siguientes: KA = KV =KFβ = KFα = 1 Los esfuerzos límites se encuentran registrados en tres intervalos de valores: M E, ML y MQ. El intervalo se elige en función del control de calidad del material y el tratamiento térmico.
3.5.2 Determinación del coeficiente de durabilidad Y NT Para aceros estructurales, aceros endurecidos con temple completo, fundición de hierro nodular perlítico o bainítico:
Si:
10 4 < N L ≤ 3.10 6 exp
exp exp = ( 0.4037 log( σ FPest / σ F Pr ef )) (3.50)
3.10 6 Y NT = N L
(3.50a)
Donde:
σ FP est Esfuerzo permisible estático. σ FP ref Esfuerzo permisible de referencia. Para aceros con superficies endurecidas, aceros endurecidos endurecidos con temple completo o nitruradas, nitruración gaseosa, acero con temple completo o temple superficial, nitrocarburadas, nitrocarburadas, fundición de hierro nodular ferrítico o hierro gris en el rango de vida limitada.
Si:
10 3 < N L ≤ 3.10 6 exp
exp exp = ( 0.2876 log( σ FPest / σ F Pr ef )) (3.51)
3.10 6 Y NT = N L
(3.51a)
3.5.3 Factor de sensibilidad a las entalladuras entalladuras Y δ rel T Cálculo de Yδrel T para el esfuerzo de referencia:
1+ ρ | χ * Y δ rel T = 1 + ρ | χ T * Donde:
(3.52)
77
χ
*
ρ|
Es el gradiente del esfuerzo relativo. Es el grosor de la capa corrida (slip -layer thickness)
χ
*
= χ P* (1 + 2qS )
El valor de
*
χT
χT *
(3.53)
= χ P* (1 + 2qS )
(3.54)
χ P*
=
1 5
(3.55)
se calcula de la misma forma que en el cálculo del esfuerzo límite, sustituyendo q S por
q ST = 2.5 Tabla 3.1 Espesor de la capa corrida para diferentes materiales.
Nº
Material
Propiedades
ρ |[ mm]
1
GG
σB = 150 N/mm2
0.3124
2
GG, GGG (Ferr.)
σB = 150 N/mm2
0.3095
3
NT, NV
todas las durezas
0.1005
4
St
σS = 300 N/mm2
0.0833
5
St
σS = 400 N/mm2
0.0445
6
V, GST, GGG (perl,bai)
σS = 500 N/mm2
0.0281.
7
V, GST, GGG (perl,bai)
σS = 600 N/mm2
0.0194
8
V, GST, GGG (perl,bai)
σ0,2 = 600 N/mm2
0.0064
9
V, GST, GGG (perl,bai)
σ0,2 =1000 N/mm2
0.0014
10
Eh, IF(fondo)
todas las durezas
0.0030
Cálculo de Yδrel T para el esfuerzo estático: Para aceros, cuando está bien definido el límite de fl uencia
1 + 0.93(Y S − 1) Y δ rel T =
1 + 0.93
4
4
200
200
σ S
(3.56)
σ S
Para aceros con límite convencional de fluencia conocido
1 + 0.82(Y S − 1) Y δ rel T =
1 + 0.82
4
4
300 σ 0, 2
300 σ 0, 2
(3.57)
78 Para aceros Eh y IF (fondo del diente) bajo esfuerzos hasta el inicio de grieta
Y δ rel T = 0.44.Y S + 0.12
(3.58)
Para aceros NV y NT bajo esfuerzos hasta el inicio de grieta
Y δ rel T = 0.20.Y S + 0.60
(3.59)
Para fundición de hierro GG y GGG(Ferr.) bajo esfuerzos hasta el límite de fractura
Y δ rel T = 1
(3.60)
3.5.4 Factor de rugosidad superficial en el fondo del diente Y Rrel T Este factor es una función del material, tratamiento térmico, método de obtención y la rugosidad de la superficie del fondo del diente. Para el esfuerzo permisible de referencia, con rugosidad en el intervalo RZ < 1 µ m
Para los materiales V, GGG(Perl., bai.), Eh, y IF (en el fondo del diente):
Y R rel T = 1.12
(3.61)
Y R rel T = 1.07
(3.62)
Y R rel T = 1.025
(3.63)
Para St:
Para GG, GGG(Ferr.), y NT, NV.
Para el esfuerzo permisible de referencia, con rugosidad en el de intervalo 1 ≤ R Z ≤ 40 µ m
Para V, GGG(Perl, bai), Eh, e IF en el fondo del diente:
Y R rel T = 1.674 − 0.529( R Z + 1)0.1
(3.64)
Y R rel T = 5.306 − 4.203( R Z + 1) 0. 01
(3.65)
Para St:
Para GG, GGG(Ferr.), y NT, NV.
Y R rel T = 4.299 − 3 .259( R Z + 1)0. 005
(3.66)
Para el esfuerzo estático en general
Y R rel T = 1
(3.67)
3.5.5 Determinación Determinación del factor de tamaño Con el factor de tamaño se toman en consideración la probable existencia de puntos débiles en la estructura del material, el gradiente de tensiones (el cual decrece con el aumento de las dimensiones), la calidad del material determinada por la presencia de defectos y otros. Los tres agentes que influyen sobre este factor son:
79
• •
El material (calidad, pureza, control del proceso de forjado).
•
Módulo (profundidad de la superficie endurecida con relación al tamaño del diente).
Tratamiento térmico (profundidad y uniformidad del mismo)
Sus valores se dan en la Tabla 3.2. Tabla 3.2. Valores del factor de tamaño.
Material
Módulo normal mn ≤
St, V,
Factor de tamaño
Ecuación
Yx = 1
(3.68)
5
GGG(Perl. Bai.)
5 < mn < 30
Yx = 1.03–0.006mn
(3.69)
GTS(Perl.)
mn ≤ 30
Yx = 0.85
(3.70)
Yx = 1
(3.71)
5 < mn < 25
Yx = 1.05 – 0.01mn
(3.72)
mn ≥ 25
Yx = 0.8
(3.73)
Yx = 1
(3.74)
5 < mn < 25
Yx = 1.075 –0.015mn
(3.75)
mn ≥ 25
Yx = 0.7
(3.76)
Yx = 1
(3.77)
Eh, IF (fondo del diente) NT, NV
Para: 3.103 Ciclos
mn ≤
mn ≤ GG, GGG (Ferr.)
5
5
Todos los materiales materiales para esfuerzo estático
Abreviaturas empleadas para identificar los aceros y hierros fundidos:
St: Aceros estructurales con σB < 800 N/mm2. V: aceros bonificados con σB ≥ 800 N/mm2 . GG: Fundición de hierro gris. GGG (perl., bai., ferr.) Fundición de hierro hierro nodular (perlítico, bainítico, ferrítico). ferrítico). GTS (perl) Fundicion de hierro negro negro maleable(perlítico) maleable(perlítico) Eh: Aceros cementados. IF: Acero o GGG, con temple por inducción o a la llama. NT, NV Acero de nitruración, nitruración, acero bonificado nitrurado.
3.6 Modelo matemático matemático para el cálculo de YF y YS 3.6.1 Ecuaciones de balance balance para ruedas con con dientes exteriores
[r1]
π S pr ρ fP (1 − sinα ) E − mn − h fP tan α + − 4 cos α cos α
= 0
80
[r2]
S pr − pr − q = 0
ρ fP h fP − + x = 0 mn mn
[r3]
G −
[r4]
2 H − z n
[r5]
θ
[r6]
G ρ fP S Fn π + 3 = 0 − z n sin − − θ mn 3 cos θ mn
[r7]
ρ fP 2.G 2 − + mn m n cosθ 1 ( z n cos 2 θ − 2.G
[r8]
βb
[r9]
z n −
[r10 ]
ε αn −
[r11 ]
d n −
[r12 ]
d bn − d n cos α n = 0
[r13 ]
d an − (d n + d a − d ) = 0
[r14 ]
Si : MétodoB 0 R − Si : Método C =0 . d cos . cos π β α n (ε αn − 1) | z |
π E π − − 3 = 0 2 m n
2.G tanθ − H = 0 − zn
ρ F
=0 )
− arcsin ( sinβ . cos α n ) = 0 z
cos 2 β b . cos β εα
cos 2 β b
=0
=0
d =0 cos 2 β b
81
2
[r15 ]
[r16 ]
[r17 ] [r18 ]
d an 2 d bn 2 d bn 2 z − − R + = 0 d en − 2. | z | 2 2 2
d − arccos bn = 0 d en 0.5π + 2.tanα n x + invα n − invα en γ e − = 0 z n α Fen − (α en − γ e ) = 0 α en
G ρ + fP ) = 0 cos θ mn
[r19 ]
C − (−
[r20 ]
π hFe 1 d − (cos γ e − sinγ e tanα Fen ) en − z n cos − θ + C = 0 mn 2 mn 3
6.hFe cos α Fen mn
[r21 ]
Y F −
[r22 ]
* S nF −
S nF =0 mn
[r23 ]
* h Fe −
hFe =0 mn
[r24 ]
* S Fn L − * = 0 hFen
[r25 ]
* − ρ F
[r26 ]
q S −
[r27 ]
2
S Fn cosα n m n
ρ F
mn
=0
=0
S Fn =0 2 ρ F 1 2 . 3 1.21+ L
Y S − (1.2 + 0.13 L )q S
=0
82
[r28 ]
t g : 0 > Si ρ g1 0 Y Sg − 1.3.Y S = 1.3 − 0.6 t g ρg
3.6.2 3.6.2 Relaciones y variables del modelo
R = 28
d , ε α , q, z , pr , h fP ,α n , ρ fP , β , mn , x, t g , ρ g , E , S Pr , S Fn * hFe ρ F * * , S Fn , , β b , z n , , ρ F , d en , hFe , ε αn , V = G, H ,θ , mn mn mn d bn , d an , R, d n ,α en , γ en , α Fen , C , Y F , Y S , Y Sg , L, q S | V |= 41
(3.78)
(3.79)
(3.80)
3.6.3 3.6.3 Situación, problema, resolvente y algoritmo
E = d , εα , q, z, p r , h fP ,α n , ρ fP , β , mn , x, t g , ρ g ,
| E |= 13 E , S , G, H ,θ , S Fn , S * , hFe , β , z , ρ F , ρ * , d , h * , Pr mn Fn mn b n mn F en Fe X = ε αn , d bn , d an , R, d n ,α en , γ en ,α Fen , C , Y F , Y S , Y Sg , L, q S | X | = 28 S = {Y F , Y S }
| L | = | X | − | R X |= 0
(3.81) (3.82)
(3.83)
(3.84) (3.85) (3.86)
Por lo cual estamos ante un problema determinado, esto es, con cero grados de libertad. El grafo del problema consta de una componente. Los grafos de la situación y del problema son iguales. Hay un pareo perfecto único para el problema. Se halla un resolvente arbóreo único para el problema. El resolvente arbóreo único contiene diversos algoritmos arbóreos, entre los cuales algunos son secuenciales y otros son paralelos, pero todos son equivalentes. Uno de los algoritmos ar bóreos secuenciales que resuelve el problema planteado se da en el e l organigrama de Nassi-Schneiderman Nassi-Schneiderman de la Tabla 3.3:
83 Tabl Tabl a 3.3 Algoritmo para el cálculo de YF y YS en ruedas exteriores.
p1 1, E
p2 2, S pr
p2 2, S pr
p4 4, H
p5 4,θ
p 6 6,
p8 8, βb
p9 9, z n
p10 10, ε αn
p11 11, d n
p12 12, d bn
p13 13, d an
p14 14, R
p15 15, d en
p16 16, αen
p17 17, γ e
p18 18,α Fen
p19 19, C
p20 20,
* p 22 22, S Fn
* p23 23, hFe
p 24 24, L
p25 25, ρ F *
p26 26, qS
p27 27, Y S
p7 7,
ρ F
mn
hFe mn
S Fn mn
p21 21,Y F
p28 28, Y Sg
3.6.4 Ecuaciones de balance para ruedas con dientes interiores
− arcsin ( sinβ .cos α n ) = 0
[r1 ]
βb
[r2]
z n −
[r3]
ε αn −
[r4]
d n −
[r5 ]
d bn − d n cos α n = 0
[r6]
d an − (d n + d a − d ) = 0
z 2
cos β b . cos β εα
cos 2 β b
=0
=0
d =0 cos 2 β b
84
[r7]
Si : MétodoB 0 Si : Metodo C 0 R − = π .d cos β . cos α n (ε − 1) αn | z |
[r8]
z d en − 2. | z |
[r9]
[r10 ]
2
2 d an − d bn − R + d bn = 0 2 2 2 2
2
d − arccos bn = 0 d en 0.5π + 2.tanα n x γ e − + invα n − invα en =0 z n α en
− (α en − γ e ) = 0
[r11 ]
α Fen
[r12 ]
S pr − ( p r − q ) = 0
[r13 ]
C −
[r14 ]
π h − ρ S Fn − 2 + fP fP tanα n + C = 0 mn mn 4
[r15 ]
* S Fn −
[r16 ]
C 1 −
[r17 ]
hFe d en − d fn π h fP d en − d fn tan tan C − − + − − α α n n 1 = 0 2mn mn 2 mn 4 mn
[r18 ]
d fn − (d f + d n − d ) = 0
ρ fP − s pr ρ fP π cos − = 0 α m cos m 6 n n
S Fn =0 mn
ρ fP
1 − sin π = 0 6 mn
85
[r19 ]
Y F −
6.hFe cos α Fen mn 2
=0
[r20 ]
S Fn cosα n mn d n − d fn h fP − =0
[r21 ]
C P − d fn − d f = 0
[r22 ]
C P 2(1 − sinα ) n ρ F − Si : C P = 0 = 0 0.15.mn
[r23 ]
S n* F La − * = 0 hFe
2
ρ F
[r24 ]
* − ρ F
[r25 ]
* S Fn q S − * = 0 2 ρ F
[r26 ]
mn
=0
1 1.21+ 2. 3 L
Y S − (1.2 + 0.13 L )q S
=0
3.6.5 Relaciones y variables del modelo
R = 26
d , ε α , q, z , pr , h fP , α n , ρ F , β , mn , x, S Pr , d f , da S Fn * hFe * V = , S Fn , , β b , z n , ρ F , ρ fP , d en , ε αn , C 1 , d fn , C P mn mn d bn , d an , R, d n ,α en , γ en , α Fen , C , Y F , Y S , L, q S | V |= 38
(3.87)
(3.88)
(3.89)
86
3.6.6 Situación, problema, resolvente y algoritmo
E = d , ε α , q, z , pr ,α n , β , mn , x, d a , d f , ρ fP
| E |= 12
(3.90) (3.91)
, , , S Fn , * , h Fe , , h fP ρ fP S Pr m S Fn m β b n n * X = V \ E = z n , ρ F , d en , ε αn , C 1 , d fn , C P , d bn , d an , R, d , α , γ , α , C , Y , Y , L, q F S S n en en Fen | X |= 26
(3.92)
(3.93)
S = {Y F , Y S }
(3.94)
| L |=| X | − | R X |= 26 − 26 = 0
(3.95)
Puesto que no tiene grados de libertad, se trata de un problema determinado. El g rafo del problema consta de una componente. Los grafos de la situación y del problema son equivalentes, por lo cual el conjunto de relaciones del problema coincide con el del modelo. Hay un pareo perfecto único para el problema dado, lo cual da origen a un resolvente arbóreo único. El resolvente contiene diversos algoritmos arbóreos, algunos secuenciales y otros paralelos. Uno de los algoritmos arbóreos secuenciales antes mencio nados se da en el diagrama de Nas sisiSchneiderman de la Tabla 3.4. Tabla 3.4 Algoritmo para para el cálculo de YF y YS en ruedas interiores
p1 1, βb
p2 2, z n
p3 3, ε αn
p4 4, d n
p5 5, d bn
p6 6, d an
p7 7, R
p8 8, d en
p10 10, γ e
p11 11, α Fen
p12 12, S pr
p9 9, α en
p13 13, C p14 14, S Fn / mn p17 17, hFe / mn p21 21, C P
p18 18, d fn
* p15 15, S Fn
p16 16, C 1
p19 19, Y F
p20 20, h fp
p 22 22, ρ F
p 23 23, L
p25 25, qS
p26 26, Y S
p 24 24, ρ F *
87
3.7 Coeficiente de seguridad seguridad a la fractura SF 3.7.1 Ecuaciones de balance del modelo mo delo matemático
0.75
[r1]
Y ε − 0.25 +
[r2]
Y β − 1 − ε β =0 ε αn
εα
β
=0
(b / h)2
[r3]
N F −
[r4]
Si : 3 ≤ (b / h ) ≤ 12 N K H β K F β − = 0 > Si : ( b / h ) 12 K H β
[r5 ]
K F α − K H α = 0
1 + b / h + (b / h ) 2
=0
F
[r7]
Método B 2.T 1 3 2 Y F .Y S .Y β mn z1 ψ bd σ FO − =0 Método C 2T 1 3 2 Y F Y S Y ε .Y β mn z1 ψ bd σ F − σ FO .K A .K V .K F α .K F β = 0
[r8]
χ * − χ P* (1 + 2 ⋅ qS est )
[r9]
Si : Esfuerzo estático 6 * χ T − 5 =0 Si : Esfuerzo de referencia * χ P (1 + 2 ⋅ q S )
[r6]
=0
88
Si : GG , (σ B = 150 N / mm 2 ); i = 1 2 (GG , GGG (Ferr ),σ B = 300 N / mm ); i = 2 = ( NT , NV ; Para todas las durezas ) ; i 3 ( St ; (σ S = 300 N / mm2 )); i = 4 2 (St ; (σ S = 400 N / mm )); i = 5 [ r 10 ] Gδ i − (V , GTS , GGG( perl, bai); (σ S = 500 N / mm 2 ) ); i = 6 (V , GTS , GGG( perl, bai); (σ S = 600 N / mm 2 ) ); i = 7 2 (V , GTS , GGG( perl, bai); (σ 0, 2 = 800 N / mm ) ); i = 8 ( 2 V , GTS , GGG( perl, bai); (σ 0, 2 = 1000 N / mm ) ); i = 9 (Eh, IF ; Para todas las durezas ); i = 10
[ r 11 ]
[r12 ]
Si : Si : Si : : Si Si : | ρ − Si : Si : Si : Si : Si :
Gδ1 ; 0.3124
Gδ 2 ; 0.3096
Gδ 3 ; 0.1005
Gδ 4 ; 0.0833 Gδ 5 ; 0.0445
=0
Gδ 6 ; 0.0281 Gδ 7 ; 0.0194 Gδ 8 ; 0.0064
Gδ 9 ; 0.0014 Gδ10 ; 0.0030
1+ ρ |χ * Y δ rel T − =0 1 + ρ | χ T *
89
[ r 13 ]
[r14 ]
Ace ros, σ S Aceros, 1 + 0 .93 (Y − 1) 4 200 S σ S 200 1 0 .93 4 + σ S Aceros, Ace ros, dado σ 0 , 2 1 0 .82 (Y 1) 300 4 S − + σ 0,2 =0 Y δ rel Test − 1 + 0 .82 4 300 σ 0,2 Ace ros, Eh e IF (fondo del de l diente) Aceros, 0.44 Y 0.12 ⋅ S + Para aceros NT y NV 0 .20 ⋅ Y S + 0 .60 Para GG y GGG ( ferr fer r ) 1
V, GGG( Perlítico , bainítico) , ; 1 i = Eh, Eh , y IF en el fondo del diente S t ; i = 2 (GG, GGG( Ferrítico) , y NT, NV); 3 = i G Ri − =0 (St, V, GGG(Perl. Bai.), GTS(Perl.) ); i = 4 (Eh, Eh, IF(fondo del diente ), NT, NV ); i = 5 ( GG, GG , GGG GG G (Ferr.) ) ; 6 i =
90
[ r 15 ]
[ r 16 ]
[r17 ]
[r18 ]
Si : R < 1 y G ; 1.12 Z R 1 Si : G R2 ; 1.07 Si : G R3 ; 1.025 Si : 1 < R Z < 40 Y R rel T − Si : G R1 ; (1.674 − 0.529( R Z + 1) 0. 1 ) = 0 0.01 ( ) Si : G R2 ; ( 5.306 − 4.203 R Z + 1 ) 0.005 Si : G R3 ; ( 4.299 − 3.259( R Z + 1) ) Para Esfuerzos estático 1 Si : N L = 3.10 6 y G R1 ó G R 2 ó G R 3 ó G R4 ó G R5 ó G R 6 5 ≤ mn ; 1 y 6 Si : N L = 3.10 y G R1 ó G R 2 ó G R 3 5 < mn ≤ 30; 1.03 − 0.006.mn Si : N = 3.10 6 y G ó G L R 4 R 5 5 < mn ≤ 25; 1.05 − 0.01.mn Y X − Si : N L = 3.10 6 y G R 8 ; 1.075 − 0.015.mn Si : N L = 3.10 6 y G R1 ó G R 2 ó G R 3 30 ≤ mn ; 0.85 Si : N = 3.10 6 y G ó G L R4 R5 25 ≤ mn ; 0.8 Si : N L = 3.10 6 y G R6 25 ≤ mn ; 0.7 S t , V, GGG(Perl, bai), GTS(Perl) i = 1 G Ni − =0 E h , V, NT, NT , NV, IF, GGG(Ferrit .) i = 2 σ FP est −
σ Flim .Y NTest .Y ST
S Fmin
Y δ rel Test Y R rel Test Y X = 0
91 [r19 ]
[r 20 ]
[r21 ] [r22 ]
σ FP ref
−
σ Flim .Y ST
S Fmin
Y δ rel T Y R rel T Y X = 0
Si : G N 1 y 104 < N L ≤ 3.106 σ FP est 3.106 log ) exp( 0.4037 log σ N L FP ref Y NT − =0 3 6 Si : G N 2 y 10 < N L ≤ 3.10 3.106 σ FP est ) exp( 0.2876. log σ N L FP ref σ FG − σ FP ref Y NT S F mín = 0 S F −
σ FG σ F
=0
3.7.2 Relaciones y variables del modelo
R = {r 1 , r 2 , r 3 ....r 22} |R| = 22
Mat , Tt , Mo ,σ 0,2 , σ S , mn , bw , h, q S , χ P* , K H α , ε ε ε ψ , , , , , , , , , , K K K z T Y H β V A αn β α bd 1 1 F q , R ,σ , Y β , Y S , Y NT est , , , N Sest z Flim R relT est L V = * * Y ε , Y β , N F , K F β , K F α , σ FO ,σ F , χ , χ T , Gδ i ρ | , Y , Y δ rel T δ rel Test , G Ri , Y R rel T , Y X , G Ni , σ FG ref , σ FG est , Y NT , σ FG , S F , S F , Y ST mín | V |= 53
(3.96) (3.97)
(3.98)
(3.99)
3.7.3 Situación, problema, resolvente y algoritmo
Mat , Tt , Mo, σ 0, 2 , σ S , mn , bw , h, q S , χ P* , K H α , E = K H β , K V , K A , ε β , ε α , ε αn ,ψ bd , z, T 1 , Y F , Y R rel Test , q Sest , R z , σ Flim, N L , β , Y S , Y NT est , S F mín , Y ST | E |= 31
(3.100)
(3.101)
92
Y ε ,Y β , N F , K F β , K F α ,σ FO ,σ F , χ * , χ T * , Gδ i | X = V \ E = ρ ,Y δ rel T , Y δ rel Test , G Ri , Y R rel T ,Y X , G Ni , σ FP ref ,σ FP est ,Y NT , σ FG , S F | X |= 22
(3.102)
(3.103)
| L |=| X | − | R X |= 22 − 22 = 0 El problema es determinado, pues presenta cero grados de libertad. El grafo grafo del problema consta de una componente. Hay un pareo perfecto único para el problema. Orientando las aristas remanentes en el grafo del pareo perfecto, se halla un resolvente arbóreo único para el problema. El resolvente arbóreo único contiene diversos algoritmos arbóreos, entre los cuales algunos son secuenciales y otros son paralelos, pero todos son equivalentes. Uno de los algoritmos arbóreos secuenciales que resuelve el problema planteado pl anteado se da como c omo un organigrama organigra ma de Nassi-Schneiderman Nassi-Schneiderman en la Tabla 3.5. 3.5. Tabla 3.5 Algoritmo para la determinación de S F.
p1 1,Y ε
p2 2, Y β
p3 3, N F
p4 4, K F β
p5 5, K F α
p6 6, σ FO
p7 7,σ F
p8 8, χ *
p 9 9 , χ T *
p10 10, Gδ i
p11 11, ρ |
p12 12, Y δ rel T
p13 13, Y δ rel Test
p14 14, G R i
p15 15, Y R rel T
p16 17, G Ni
p17 16, Y X
p18 18, σ FG est
p19 19, σ FP ref
p20 20, Y NT
p21 21, σ FG
p22 22, S F Todos los procedimientos empleados hasta aquí, salvo cuando se diga expresamente lo contrario, son válidos tanto para engranajes de diente exteriores como para engranajes de dientes interiores. Esta generalización no afecta la precisión de los cálculos en ninguno nin guno de los casos, siendo el cálculo de los engranajes de los reductores planetarios un problema particular de aplicación de los procedimientos generales.
χ*
Gδi 11
12
χ
8
10
ρ|
*
13 Yδ rel T NF
3
KFβ
4
17 14 16
GNi
KFα
5
GRi
YR rel T
15
SF
20 .
6
σF0 Yβ
7 2
YX
σF
Yδ relT est 18
22
χ*
Gδi 11
12
χ
8
10
ρ|
*
13 Yδ rel T NF
3
17 14
KFβ
4
16
GNi
KFα
5
GRi
YX
YR rel T
15
SF
20 .
σF0
6
Yβ
Yε
σF
7
Yδ relT est 22
18
2
1
σFG
19
σFPest σFPref
21
YNT Figura 3.11 Grafo del resolvente para el cálculo del coeficiente de seguridad a la fractura, S F. 98
99
Capítulo 4
Diseño de cajas reductoras
4.1 Diseño de prototipos de cajas reductoras 4.1.1 4.1.1 Programas para el diseño de celdas planetarias 2RP-A A partir de los algoritmos cuya obtención está descrita en los capítulos 1, 2 y 3 del presente trabajo, el autor abordó el desarrollo del software necesario para automatizar la ejecución de los mismos. De ese modo, el proceso de diseño se puede realizar con ayuda de comp utadoras (en inglés: Computer Aided Design, CAD ), lo cual acelera su realización y disminuye drásticamente el número de errores en comparación con el cómputo manual o el realizado en calculadoras. Se elaboró con ese objetivo el sistema de programas Planetario, el cual consta de los siete programas secundarios siguientes:
99
Capítulo 4
Diseño de cajas reductoras
4.1 Diseño de prototipos de cajas reductoras 4.1.1 4.1.1 Programas para el diseño de celdas planetarias 2RP-A A partir de los algoritmos cuya obtención está descrita en los capítulos 1, 2 y 3 del presente trabajo, el autor abordó el desarrollo del software necesario para automatizar la ejecución de los mismos. De ese modo, el proceso de diseño se puede realizar con ayuda de comp utadoras (en inglés: Computer Aided Design, CAD ), lo cual acelera su realización y disminuye drásticamente el número de errores en comparación con el cómputo manual o el realizado en calculadoras. Se elaboró con ese objetivo el sistema de programas Planetario, el cual consta de los siete programas secundarios siguientes: 1. Síntesis Métrica . 2. Correcciones . 3. Geometría. Limit aciones es . 4. Limitacion Resis tencia ia a Contacto Cont acto.. 5. Resistenc Resis tenciaa a Fractura. Fract ura. 6. Resistenci
7. Precisión. Estos programas se elaboraron en el lenguaje de programación C , de acuerdo al estándar internacional vigente [ISO 9899], en un sistema de desarrollo para operar e n computadoras de arquitectura Wintel. El intercambio de información entre cada uno de los siete programas secundarios se realiza por medio de archivos ASCII ubicados en el disco duro de la computadora.
4.1.2 4.1.2 Proceso de diseño de cajas reductoras El problema fundamental en el diseño de cajas reductoras de posible producción nacional consiste en lograr que todas sus ruedas dentadas se puedan mecanizar en las generadoras disponibles en el país. Aquí la limitación esencial viene dada por las dentadoras tipo Fellows, con herramienta herramienta de corte del tipo piñ ón mortajador . Las mayores máquinas-herramienta de este tipo disponibles en el país son las soviéticas del modelo 5B150 según [5B150], las cuales pueden elaborar ruedas dentadas interiores de precisión acorde con la norma [GOST 658-56] hasta un diámetro de fondo igual al valor crítico
d f 3crit = 800 mm
(4.1)
Más allá del valor crítico, el diseño de la máquina herramienta 5B150 permite generar, con precisión reducida, ruedas dentadas interiores hasta un diámetro de fondo igual al valor supremo
d f 3sup = 1 600 mm
(4.2)
100 Además, el módulo y el ancho de las ruedas dentadas elaboradas por la generadora 5B150 cumplen las restricciones
m ≤ 12 mm b ≤ 170 mm
(4.3)
Puesto que la etapa de baja velocidad del reductor es la que maneja el mayor momento torsor, el diámetro, ancho y módulo de su rueda anular constituyen los parámetros decisivos. Si se puede diseñar una etapa de baja con suficiente capacidad de carga, cuya rueda anular no supere los límites de las dentadoras nacionales actuales, se habrá allanado el camino al diseño de una caja reduct ora cubana apta para los molinos de caña MIN AZ . típicos del MINAZ Debido a que maneja un momento torsor varias veces menor, el diámetro de la rueda anular de la etapa intermedia puede ser sensiblemente menor que el de la etapa de baja. Por tanto, el diseño de la etapa probl ema subalte sub alterno rno del diseño de la etapa de baja. intermedia es un problema Puesto que la relación de transmisión de las cajas reducto ras se encuentra, aún en lo s casos extremos, en el intervalo entre 25 y 45, la relación de transmisión de la etapa de alta resulta ser pequeña. Ello, unido al proble ma subalterno subal terno del relativamente pequeño momento torsor que debe resistir, hace que su diseño sea un problema diseño de la etapa intermedia. intermedia. Por tanto, la estrategia de diseño de las cajas reductoras lleva a d iseñar en primera instancia ins tancia la etapa de baja velocidad, en segunda instancia la etapa intermedia, y en última instancia la etapa de alta velocidad. Como muchos procesos del diseño mecánico, el proceso de diseño de las cajas reductoras debe presentar en alguna medida un carácter iterativo de las tres instancias antes mencionadas, pero ello no hace más que confirmar la estrategia planteada. En el presente capítulo, se aplica aplica el sistema de notación siguiente para los reductores de velo cidad y sus etapas: Las etapas del reductor se numeran en orden ascendente a partir de la de baja, asignándole a ella el número 1. Esta etapa también se denomina etapa principal, debido a su mayor tamaño tamaño y masa. Los árboles del reductor se numeran consecutivamente en orden ascendente a partir del de baja, asignándole al mismo el número 0. La relación de transmisión de la etapa de número n se denota por el símbolo in . El momento torsor en el árbol
m se denota por el símbolo T m . La relación de transmisión del reductor se denota pori R .
Diseño de la etapa planetaria de baja
Para diseñar la etapa planetaria de baja, se utiliza el sistema de programas Planetario , descrito en el epígrafe 4.1.1. Ante todo se establecen los datos de entrada , que incluyen los materiales, las herramientas de generación de los engranajes y la tolerancia relativa de la relación de transmisión δ respecto a la nominal. Por otro lado, se determinan los límites de variación de los grados de libertad del problema de diseño, que incluyen la relación de transmisión transmisión nominal de la celda planetaria 2RP-A, los número s de dientes de sus ruedas dentadas y el módulo de los engranajes, según (4.1):
i1P min ≤ i1P ≤ i1P max z1min ≤ z1 ≤ z1max z 2min ≤ z2 ≤ z 2 max z3 min ≤ z3 ≤ z3 max m min ≤ m ≤ m max
(4.4)
Para cada valor de la relación de transmisión i1P y cada díada de valores ( z1 , z3 ) , el número de dientes z2 del satélite puede tomar tres o más valores posibles, con los correspondientes valores de los coeficientes de corrección sumarios, determinando así un número de variantes geométricas adimensionales preliminares. preliminares. Cada variante geométrica adimensional preliminar puede tomar uno o más valores del módulo, lo cual determina un número de variantes geométricas dimensionales preliminares, cuyas ruedas anulares no superan
101 las posibilidades de las las generadoras dis ponibles en el país. El proceso de generación de las variantes geométricas preliminares, primero adimensionales y luego dimensionales, se realiza por el programa secundario Síntesis Métrica . A los engranajes de cada variante preliminar, se les asignan correcciones y juegos radiales de acuerdo a diversos criterios, y tomando el ángulo de engranaje del par sol - planeta como grado de libertad. Se obtiene así un conjunto de variantes geométricas preliminares corregidas. Esta fase del cálculo se realiza por e l programa secundario Correcciones . El proceso de cálculo detallado de todos los parámetros geométricos restantes de los engranajes de cada variante geométrica preliminar corregida, se realiza por medio del programa secundario Geometría. Las variantes que qu e presentan interferencia en el engranaje, socavado de los perfiles o aguzado excesivo de las Limit aciones es , obteniéndose como resultado un crestas de los dientes, son filtradas por el programa secundario Limitacion conjunto de variantes geométricas definitivas. Los engranajes de cada variante geométrica definitiva se someten al cálculo de resistencia al contacto y la Resis tenciaa a Contacto Conta cto y Resistencia Resistenci a a Fractura , obteniéndose los fractura, con los programas secundarios Resistenci coeficientes de seguridad seguridad correspondientes. correspondientes. Como grado de libertad en este proceso de cálculo a resistencia, se toma el ancho relativo del engranaje respecto al diámetro de referencia del piñón sol,ψ bd . Para el engranaje sol - planeta, denominado abreviadamente abreviadamente engranaje 1-2, el coeficiente de segurida d a las tensiones de contacto es igual al valor mínimo de dicho coeficiente para cada una de sus ruedas, según
S H 12 = min(S H 1 , S H 2 ')
(4.5)
Para el propio engranaje sol-planeta, el coeficiente de seguridad a las tensiones de fractura es igual al valor mínimo de dicho coeficiente para cada una de sus ruedas, según
S F 12 = min(S F 1 , S F 2 ')
(4.6)
Para el engranaje planeta - corona, denominado abreviadamente engranaje 2-3, el coeficiente de segur idad a las tensiones de contacto es igual al valor mínimo de la resistencia a contacto de cada una de sus ruedas, según
S H 23 = min (S H 2 ' ' , S H 3 )
(4.7)
Para el propio engranaje planeta - corona, el coeficiente de seguridad a las tensiones de fractura es igual al valor mínimo de dicho coeficiente para cada una de sus ruedas, según
S F 23 = min(S F 2 ' ' , S F 3 )
(4.8)
Para la etapa planetaria de baja, el coeficiente de seguridad a las tensiones de contacto es igual al valor mínimo de dicho coeficiente para los engranajes sol - planeta y planeta - corona, según
S H = min (S H 12 , S H 23 )
(4.9)
Para la propia etapa etapa planetaria de baja, el coeficiente de seguridad a las tensiones de fractura es ig ual al valor mínimo de dicho coeficiente para los engranajes sol - planeta y planeta - corona, según
S F = min (S F 12, S F 23 )
(4.10)
De acuerdo con el procedimiento establecido por la AGMA [AGMA 6110], los coeficientes de seguridad a las tensiones de contacto y fractura en los engranajes de un reductor de velocidad estándar deben cumplir las restricciones
S H ≥ 1.0 S F ≥ 1.0 para una vida útil
L = 10 000 h
(4.11) (4.12)
102 En el caso de las cajas reductoras para molinos de caña de azúcar, la pro pia norma [AGMA 6110] establece que los cálculos a resi stencia deben realizarse tomando para el factor de aplicación un valor
K A = 1.75
(4.13)
Para la etapa planetaria de baja, el coeficiente de seguridad de la capacidad de carga es igual al valor mínimo que resulte entre el cuadrad o del coeficiente de seguridad a las tensiones de contacto y el coeficiente de seguridad a las tensiones de fractura de la misma etapa, según
S = min (S H 2 , S F )
(4.14)
Como resultado del proceso descrito con anterioridad, se obtiene un conjunto de variantes de celdas planetarias aptas desde el punto de vista cinemático, geométrico y de resistencia. El diseño óptimo está constituido en primer término por una ser ie de problemas indeterminados, cuyos resultados se filtran sucesivamente en cada fase del proceso. En segundo término, del conjunto final de variantes de celdas planetarias se obtiene una solución óptima única que satisfaga la función objetivo
d f 3 → min
(4.15)
Diseño de la etapa planetaria intermedia
Para diseñar la etapa planetaria intermedia, se utiliza el sistema de programas Planetario, descrito en el epígrafe 4.1.1. Este es un problema de diseño subordinado al problema del diseño de la etapa de baja, puesto que el momento torsor que recibe el portasatélites de la etapa intermedia es igual al momento de salida del reductor dividido por el producto de la relación de transmisión y la eficiencia de la etapa de baja. Esto es,
T 1 =
T 0 i1η1
(4.16)
El proceso de diseño de la etapa intermedia es similar al de la etapa de baja, en cuanto al pro ceso de generación de las variantes por problemas parciales indeterminados, pero con las particularidades siguientes: 1. El diámetro de fondo de la rueda anular se restringe a un valor máximo algo menor que el diámetro de fondo de la rueda anular de la etapa de baja, para facilitar la interconexión de ambas etapas. 2. La elección de la solución óptima se hace de acuerdo a la función objetivo
bw → min
(4.17)
Una etapa intermedia de ancho mínimo implica mínima concentración longitudinal longitudinal de la carga carg a en sus propios pr opios engranajes, y facilita el vínculo del portasatélites de la etapa intermedia con el piñón sol de la etapa de baja. Diseño de la etapa cilíndrica de alta
Para diseñar la etapa cilíndrica de alta, se utiliza el sistema de programas Planetario, descrito en el epígrafe 4.1.1. Este es un problema de diseño subordinado al problema del diseño de la etapa intermedia, puesto que el momento torsor que recibe el árbol de salida de la etapa rápida es igual al momento de salida de la etapa intermedia dividido por el producto de su relación de transmisión y su eficiencia. Esto es,
T 2 =
T 1 i2η2
(4.18)
Además, la relación de transmisión de la etapa rápida viene determinada unívocamente por
i3 =
i R i1 ⋅ i2
(4.19)
103 El proceso de diseño de esta etapa consiste, en primera instancia, en la gener ación de un conjunto de variantes del engranaje, como soluciones de una serie de problemas indeterminados, partiendo de los datos de entrada que incluyen la razón de engranaje con su respectiva tolerancia cinemática, y asignándole valores al grado de libertad
m min ≤ m ≤ mmax
(4.20)
En segunda instancia, a partir del conjunto de variantes aptas cinemática y a resistencia, se realiza la elección de la solución óptima de acuerdo con la función ob jetivo
a w2 bw → min
(4.21)
El criterio de optimización (4.21) se corresponde aproximadamente con un volumen mínimo del engranaje de alta, lo cual asegura una distancia interaxial suficientemente pequeña, pero no tanto como para para aumentar excesivamente el ancho del propio engranaje. En este caso, una distancia interaxial muy pequeña provoca una fuerza muy elevada en el plano transversal, lo cual puede traer dificultades en cuanto a la selección de rodamientos rodamie ntos suficientemente suficientemente duraderos para el montaje de los árboles de la propia etapa de alta.
4.1.3 4.1.3
Variantes optima de caja reductora
En la Dirección de Maquinaria Industrial del MINAZ se han propuesto cajas reductoras para el accionamiento de molinos de caña con los p arámetros de diseño dados en la Tabla 4.1. Esta caja reductora presenta una relación de transmisión mayor que la anteriormente utilizada en las cajas reductoras típicas, utilizadas en los centrales construidos por el MINAZ y en otras inversiones. Ello se debe a la nueva tendencia de moler a menor velocidad y con un e spesor mayor del colchón de bagazo, lo cual permite reducir la energía mecánica necesaria para moler una misma masa de caña. Esto implica una disminución de la potencia instalada en el motor eléctrico, eléctrico, tradicionalmente igual a 630 kW, cifra que ahora pasaría a ser igual a 500 kW. Los valores de los momentos torsores que aparec e en la Tabla 4.1 se ha obtenido por el autor suponiendo una eficiencia energética del reductor aproximadamente igual al 94%. Tabla 4.1 Parámetros de diseño de cajas reductora para molinos de caña
Parámetro
Símbolo
Valores propuestos
Valores instalados
Potencia de entrada
P3
500 kW
630 kW
Momento torsor de salida
T 0
200 000 Nm
182 000 Nm
Frecuencia de rotación de entrada
n3
900 min -1
900 min -1
Frecuencia de rotación de salida
n0
22.5 min -1
32.14
Relación de transmisión
i R
40
28
La fase fundamental de todo el diseño lo es la obtención de la etapa de baja. En la Tabla 4.2 se dan los intervalos de valores para los grados de libertad en la generación de variantes de diseño de la celda planetaria.
104 Tabla 4.2 Intervalos de valores de los grados de libertad en la síntesis de variantes de la etapa de baja
Grado de libertad
Intervalo de valores
Relación de transmisión total etapa de baja
2. 7 ≤ i1 p ≤ 8
Número de dientes del piñón sol
12 ≤ z1 ≤ 50
Número de dientes de la rueda anular
36 ≤ z3 ≤ 210
Número de dientes de la rueda planeta
12 ≤ z2 ≤ 80
Módulo [mm]
8 ≤ m ≤ 12
Ángulo de engranaje en el par sol - planeta [...º]
20 ≤ α tw ≤ 28
Se consideraron consideraron como materiales para los engranajes un acero aleado cementado (15CrNiMo6) y rectificado para las ruedas dentadas de dientes exteriores y un acero aleado bonificado(35CrNiMo) para la rueda anular, de dientes interiores. El proceso de generación de variantes completamente completamente aptas, tanto desde el punto cinemático como geo métrico como de resistencia, alcanzó una cifra su perior a las 50 000. En el gráfico de la Figura 4.1 se muestra el comportamiento del coeficiente de seguridad de la capacidad de carga para variantes óptimas de la etapa de baja en función de la relación de transmisión.
S
1.01
5.6
i
Figura 4.1 Punto de diseño óptimo de la etapa de baja del ejemplo.
El comportamiento mostrado en la Figura 4.1 es típico. El máximo coeficiente de seguridad seguridad de la capacidad de carga tiene lugar para un determinado valor de la relación de transmisión de la celda planetaria, tanto mayor cuanto mayor sea la diferencia de durezas entre las ruedas sol y planeta, por un lado, y la rueda anular por otro. Para valores menores o mayores de la relación de transmisión de la celda planetaria, el coeficiente de seguridad de la capacidad de carga disminuye de manera sensible. En la Tabla 4.3a se dan algunos de los valores característicos de la cinemática, la geometría y la capacidad de carga de la celda óptima de baja, junto a l os datos análogos de las otras dos etapas qu e conforman en conjunto una caja reductora óptima para el diseño considerado.
105 Detalles adicionales sobre los engranajes de la caja redu ctora de este diseño se da n en e n el epígrafe 4.4, conjuntamente con los datos del modelo físico a escala reducida, para evitar repetir un conjunto relativamente voluminoso de datos. Tabla 4.3a Resumen de datos de las etapas de la caja reductora óptima de la familia de reductores.
Parámetro
Etapa de baja
Etapa intermedia
Etapa rápida
m [mm]
12
10
12
a w [mm]
261
195.5 195. 5
225
b w [mm]
170 17 0
75
90
α [...º]
20
20
20
β [...º]
0
0
11
h a*
1
1
1
c*
0.3
0.3
0.25
z1
15
15
15
z2
26
22
21
z3
69
60
-
i
5.6
5
1.4
x 1
0.694
0.616
0.318
x 2
0.797
0.624
0.127
x 3
1.058
1.229
-
d a3 a3
829.13
603.49
-
d f3
882.04
647.32
-
S H1
1.004
1.188
1.074
S H2’
1.004
1.188
1.112
S H2’’
1.926
1.196
-
S H3
1.086 1.08 6
1.21
-
S F1 F1
2.521
3.689
-
S F2 F2’
1.766
2.861
1.894
S F2 F2’’
2.084
2.817
1.690
S F3 F3
1.461
2.284
-
106 Teniendo en cuenta que en este momento en el país existen mas de 500 cajas reductoras con los parámetros descritos en la tabla 4.1 (valores instalados), la segunda variante de diseño de caja reductora puede sustituir no solo la batería de reductores del tandem sino que pudiera sustituir cada reductor independientemente puesto que tiene los mismos parámetros que los instal ados. En la tabla 4.2b se presenta un resumen de resultados resultados de 2da variante, en la misma se mantienen iguales la etapa de baja e intermedia y se elimina la etapa de entrada (etapa cilíndrica). Tabla 4.3b Resumen de datos de las etapas de la caja reductora óptima de la familia de reductores.
Parámetro Parámetro
Etapa de baja
Etapa entrada
m [mm]
12
10
a w [mm]
261
195.5
b w [mm]
170
75
α [...º]
20
20
β [...º]
0
0
h a*
1
1
c*
0.3
0.3
z1
15
15
z2
26
22
z3
69
60
i
5.6
5
x 1
0.694
0.616
x 2
0.797
0.624
x 3
1.058
1.229
d a3 a3
829.13
603.49
d f3
882.04
647.32
S H1/
1.062
1.188
1.062/2.024
1.188/1.196
S H3
1.149
1.21
S F1 F1
2.794
3.689
S F2 F2’ / S F2 F2’’
1.957 / 2.281
2.861 / 2.817
S F3 F3
1.611
2.284
S H2’ / S H2’’
2
2
SH ’, F’ Coeficiente de seguridad a contacto , fractura para Sol – Planeta Planeta y SH ’’, F ’’ Planeta corona.
107
4.2 Estrategia tecnológica de desarrollo de cajas reductoras para molinos de caña de azúcar. Según datos de la dirección de maquinarias del MINAZ en la actualidad se encuentran se encuentran instaladas 500 cajas reductoras del tipo: reductores de tres etapas cilíndricos de ejes fijo, con motores eléctricos en la entrada de 630 kW. Los cuales tienen una frecuencia de rotación de 900 min-1 Estos reductores fueron suministrados al MINAZ en la década del 70 por por la firma firma Flender radicada entonces en la antigua República Democrática Alemana. Problemas fundamentales que confronta el MINAZ con relación a los Accionamientos para molino de caña.
•
La rotura de los reducto res para molino de caña se produce p roduce como como regla general en la etapa de baja.
•
No es posible construir en Cuba el reductor instalado en la actualidad por las siguientes razones: La etapa de baja de estos reductores tiene una distancia entre centros de aW relación relación de transmisión transmi sión de i con un ancho de 400 mm.
= 710 mm .
Con una
= 2.8 por lo que la rueda tiene un diámetro diámetro exterior superior a
1 200 mm
Estas ruedas están fabricadas con aceros de alta calidad 17CrNiMo6, cementadas y rectificada. Con estas est as característica podemos afirmar lo siguiente: siguiente: -
En la actualidad en Cuba no se ha podido obtener fundiciones de acero que alcancen estas características.
-
El país no tiene ni prensa ni forja con potencia suficiente para obtener un semi producto de estas dimensiones.
-
No poseemos rectificadoras de engranajes para estas dimensiones.
-
EL MINAZ no tiene en este momento los recursos financieros para adquirir estos reductores ni las piezas de repuesto (Engranajes de la etapa de Alta).
Definición de la estrategia tecnológica.
Una vez demostrada la valides del diseño de las cajas reductoras optimas para molinos de caña la estrategia tecnológica se puede definir para las dos posibles variante de la forma siguiente:
•
La industria mecánica cubana esta en capacidad de producir las dos variantes de reductores propuestas.
1. Reductores instalados. Variante 1 . Cualquiera de los reductores instalado en el tandem se puede sustituir por el reductor que aparece en la tabla 4.3b puesto que cumple con los requisitos solicitados por el MINAZ. 2. Reductor propuesto. Variante 2 . Este reductor (tabla 4.3a) da respuesta a los requerimientos de MINAZ para los nuevos desarrollo teniendo en cuenta que el mismo significa un ahorro de energía de 130 kW / hora una vez instalado, además de que los costos de fabricación y precios, están muy por debajo de lo que este costaría un reductor igual en el mercado internacional. 3. Las piezas de repuesto estarían garantizadas en el país, lo que junto a la fabricación constituiría la necesaria reanimación de la industria mecánica cubana.
108
4.3 Validación del modelo matemático para el cálculo de las celdas planetarias 2RP- A. Para validar el modelo matemático se realizaron varias corridas con los datos de catalogo de los reductores Flender del tipo PZA en las tablas 4.4, 4.5, 4.6, 4.11 Se encuentran reflejados los parámetros geométricos y dinámicos calculados según la Flender basados en la norma ISO 6336 I –V y la norma DIN 3990. En las tablas 4.7, 4.8, 4.9, 4.10, 4.12 Se encuentran reflejados reflejados una muestra de los parámetros geométricos y dinámicos calculados según el modelo matemático creado por el autor basado en la norma ISO 6336 I – V y la norma DIN 3990. Como se puede apreciar, existe una correspondencia exacta ente ambos cálculo, lo que permite afirmar que el modelo matemático elaborado para este tipo de transmisión cumple todas las condiciones contempladas en dichas normas y confirman la valides del modelo matemático de cálculo. En el gráfico 4.1 las dos primera columnas corresponden a la validación del modelo y la tercera columna columna corresponde a los calculo realizados con los mismos parámetros y con las maquinas y herramientas que en la actualidad poseemos.
400 350 300
PZA
250
M. Matematico
200
MM
150
Logarítmica (PZA)
100 50 0 PZA 265 PZA 250 PZA 224 PZA 200
Figura 4.1 Gráfico de la validación del modelo mate mático Modelo.
Tabla 4.4 Datos de las etapas de baja de los reductores Flender modelo PZA
Parámetros
PZA 265
PZA 250
Módulo [mm]
12
12
Distancia entre en tre centros [mm] [m m]
261
243
Angulo del perfil per fil de referencia. referen cia. (...º) (...º )
20
20
109 Tabla 4.5 Parámetros geométricos de las etapas baja de los reductores Flender modelo PZA
PZA 265
Geometría de las ruedas
PZA 250
Sol
Planeta
Planeta
Corona
Sol
Planeta
Planeta
Corona
Numero Numer o de dien tes
15
26
26
69
14
24
24
64
Ancho [mm]
195
195
195
219
182
182
182
206
Coeficiente de corrección
0.605
0.886
0.886
1.147
0.639
0.869
0.869
1.130
Diámetro referencia ref erencia [mm]
180
312.000 312.000 828.000 168.000 288.000 288.000 768.000
[mm]
169.145 293.184 293.184 778.065 157.868 270.631 270.631 721.684
Diámetro Diámetr o primitivo primiti vo [mm]
190.976 331.024 315.628 837.628 179.053 306.947 291.600 777.600
Diámetro Diáme tro de fon do [mm]
158.525 297.266 297.266 881.919 147.330 272.846 272.846 821.517
Diámetro de cresta [mm]
212.734 351.475 351.475 881.916 201.154 326.670 326.670 770.846
Diámetro Diámetr o básico
Tabla 4.6 Parámetros dinámicos de las etapas baja de los reductores Flender Flender modelo PZA
Parámetros dinámicos
Torque de salida T 0
PZA 265
PZA 250
260000
170000
22.5
22.5
PZA 265
PZA 250
[Nm.]
ω0 [r.p.m.]
Parámetros dinámicos Sol
Planeta Planeta Planeta Planeta Corona
Sol
Planeta Planeta Planeta Planeta Corona
Material Mate riales es
17CrNi 17CrNi 17CrNi 35CrNi 17CrNi 17CrNi 17CrNi 35CrNi Mo6 Mo 6 Mo6 Mo6 Mo 6 Mo6 Mo6 Mo6 Mo6 Mo6
Dureza superfic s uperficial ial
58 HRC 58 HRC 58 HRC 300 HB 58 HRC 58 HRC 58 HRC 300 HB
σ Hlim [MPa]
1500
1500
1500
770
1500
1500
1500
770
σFlim [MPa]
550
385
385
320
550
385
385
320
K A
1
1
1
1
1
1
1
1
K V V
1.001
1.001
1.023
1.023
1.001
1.001
1.002
1.002
K H β
1.237
1.237
1.298
1.298
1.298
1.298
1.384
1.384
K H α
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Z ε
0.977
0.977
0.915
0.915
0.982
0.982
0.918
0.910.
Z H
2.079
2.079
2.383
2.383
2.057
2.057
2.376
2.376
-0.5 Z E E [MPa ]
Z β
189.800 189.800 189.800 189.800 189.800 189.800 189.800 189.800 1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
110 Z B,D
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Z L
1.047
1.047
1.047
1.090
1.047
1.047
1.047
1.090
Z V V
0.938
0.938
0.938
0.866
0.937
0.937
0.937
0.849
Z R
0.988
0.988
0.918
0.852
0.986
0.986
0.916
0.849
Z W W
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Z X
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Z NT
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
σ H [MPa]
1191.75 1191.75 1191.75 626.723 688.580 1094.53 1094.53
σ HP [MPa]
1456.07 1456.07 1352.62 688.580 1452.29 1452.29 1349.64 685.688 1.222
S H
1.222
2.158
1.099
1.327
194.53
585.688 585.688 585.688
1.327
2.304
1.171
Tabla 4.7 Datos de las etapas de baja de los reductores según el modelo matemático
Parámetros
PZA 265
PZA 250
Módulo [mm]
12
12
Distancia entre en tre centros [mm] [m m]
261
243
Ángulo del perfil per fil de referencia. referen cia. (...º) (...º )
20
20
Tabla 4.8 Parámetros geométricos geométricos de las etapas baja de los reductores según el modelo mate mático
PZA 265
Geometría de las ruedas
PZA 250
Sol
Planeta
Planeta
Corona
Sol
Planeta
Planeta
Corona
Numero Numer o de dien tes
15
26
26
69
14
24
24
64
Ancho [mm]
195
195
195
219
182
182
182
206
Coeficiente de corrección
0.605
0.886
0.886
1.147
0.639
0.869
0.869
1.130
Diámetro referencia refe rencia [mm]
180
312.000 312.000 828.000 168.000 288.000 288.000 768.000
[mm]
169.145 293.184 293.184 778.065 157.868 270.631 270.631 721.684
Diámetro Diámetr o primitivo primiti vo [mm]
190.976 331.024 315.628 837.628 179.053 306.947 291.600 777.600
Diámetro Diáme tro de fon do [mm]
158.525 297.266 297.266 881.919 147.330 272.846 272.846 821.517
Diámetro de cresta [mm]
212.734 351.475 351.475 881.916 201.154 326.670 326.670 770.846
Diámetro Diámetr o básico
Tabla 4.9 Parámetros dinámicos dinámicos de las etapas ba ja de los reductores según el modelo matemático
PZA 265
PZA 250
Torque de salida T 0 [Nm.]
260000
170000
ω0 [r.p.m.]
22.5
22.5
Parámetros dinámicos
111 Tabla 4.10 Parámetros dinámicos de las etapas baja de los reductores según el modelo matemático
Parámetros dinámicos
PZA 265
PZA 250
Contacto Sol
Planeta Planeta Planeta Planeta Corona
Sol
Planeta Planeta Planeta Planeta Corona
Materiales
17CrNi 17CrNi 17CrNi 35CrNi 17CrNi 17CrNi 17CrNi 35CrNi Mo6 Mo 6 Mo6 Mo6 Mo 6 Mo6 Mo6 Mo6 Mo6 Mo6
Dureza superficial
58 HRC 58 HRC 58 HRC 300 HB 58 HRC 58 HRC 58 5 8 HRC 300 HB
σFlim [MPa]
550
385
385
320
550
385
385
320
K A
1
1
1
1
1
1
1
1
K V V
1.001
1.001
1.023
1.023
1.001
1.001
1.002
1.002
K H β
1.237
1.237
1.298
1.298
1.298
1.298
1.384
1.384
K H α
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Z ε
0.977
0.977
0.915
0.915
0.982
0.982
0.918
0.910.
Z H
2.079
2.079
2.383
2.383
2.057
2.057
2.376
2.376
-0.5 Z E E [MPa ]
189.800 189.800 189.800 189.800 189.800 189.800 189.800 189.800
Z β
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Z B,D
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Z L
1.047
1.047
1.047
1.090
1.047
1.047
1.047
1.090
Z V V
0.938
0.938
0.938
0.866
0.937
0.937
0.937
0.849
Z R
0.988
0.988
0.918
0.852
0.986
0.986
0.916
0.849
Z W W
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Z X
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Z NT
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
σ H [MPa]
1191.75 1191.75 1191.75 626.723 688.580 1094.53 1094.53
σ HP [MPa]
1456.07 1456.07 1352.62 688.580 1452.29 1452.29 1349.64 685.688
S H
1.222
1.222
2.158
1.099
1.327
194.53 1.327
585.688 585.688 585.688 2.304
1.171
Tabla 4.11 Parámetros dinámicos de las etapas baja de los reductores Flender modelo PZA
Parámetros dinámicos
PZA 265
PZA 250
Fractura Sol
Planeta Planeta Planeta Planeta Corona
Sol
Planeta Planeta Planeta Planeta Corona
σFlim [MPa]
550
385
385
320
550
385
385
Y F F
2.197
1.830
2.102
2.1
2.166
1.829
2.120
Y S S
1.8457
2.157
2.027
2.247
1.862
2.143
2.005
320 2.101 2.242
112 K FA FA
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
K F F β
1.201
1.201
1.247
1.247
1.250
1.250
1.313
1.313
K F F α
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Y ε
0.910
0.910
0.755
0.755
0.929
0.929
0.759
0.759
Y ST ST
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.000
2.000
Y NT
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Y R rel T
0.960
0.960
0.960
0.960
0.960
0.960
0.960
0.960
Y δ rel T
1.007
1.026
1.026
1.046
1.008
1.008
1.025
1.046
Y X
0.930
0.930
0.930
0.958
0.930
0.930
0.930
0.958
σF [MPa]
326.178 317.386 317.386 295.030 290.70
259.730 252.286 252.286 235.400 235.521
σFP [MPa]
989.161 705.606 705.606 615.878
990.37 990.3 7
704.77
3.813
2.794
S F F
3.033
2.223
2.389
2.119
704.774 615.878 2.994
2.672
Tabla 4.12 Parámetros dinámicos de las etapas baja de los reductores según el modelo matemático
PZA 265
Parámetros dinámicos Sol
PZA 250
Planeta Planeta Planeta Planeta Corona
Sol
Planeta Planeta Planeta Planeta Corona
σFlim [MPa]
550
385
385
320
550
385
385
320
Y F F
2.197
1.830
2.102
2.1
2.166
1.829
2.120
Y S S
1.8457
2.157
2.027
2.247
1.862
2.143
2.005
2.242
K FA FA
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
K F F β
1.201
1.201
1.247
1.247
1.250
1.250
1.313
1.313
K F F α
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Y ε
0.910
0.910
0.755
0.755
0.929
0.929
0.759
0.759
Y ST ST
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.000
2.000
Y NT
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Y R rel T
0.960
0.960
0.960
0.960
0.960
0.960
0.960
0.960
Y δ rel T
1.007
1.026
1.026
1.046
1.008
1.008
1.025
1.046
Y X
0.930
0.930
0.930
0.958
0.930
0.930
0.930
0.958
2.101
σF [MPa]
326.178 317.386 317.386 295.030 290.70
259.730 252.286 252.286 235.400 235.521
σFP [MPa]
989.161 705.606 705.606 615.878
990.37 990.3 7
704.77
3.813
2.794
S F F
3.033
2.223
2.389
2.119
704.774 615.878 2.994
2.672
131
En el modelo. ' Z P' = Z NT Z L' Z V ' Z R' Z W ' Z X ' ' ' σ Hli m Z P ' σ HP = ' S Hmi n
(4.98) (4.99)
Sustituyendo (4.92) en (4.94) y (4.965), se obtiene el indicador de semejanza (4.100).
C ZP = C ZNT C ZLC ZV C ZR C ZW C ZX
(4.100)
Sustituyendo los parámetros anteriores en la condició n de resistencia obtenemos. En el prototipo:
σ H
= σ HO K A K V K H β K H α ≤
σ Hlim Z P
S Hmin
K = K A K V K H β K H α
(4.101) (4.102)
En el modelo:
σ H ' =
' σ HO
' A
' V
'
' H α
K K K H K β
' ' σ H lim Z P
≤
S H ' min
K ' = K A' K V ' K H ' K H ' α β
(4.103) (4.104)
Sustituyendo las ecuaciones (4.98) en (4.100) y (4.101) se obtiene el indicador de semejanza(4.84).
C K = C KA C KV C KH β C KH α
(4.105)
Poniendo las ecuaciones anteriores en función del coeficiente de seguridad.
S H ≥ ' H
S ≥
σ H lím Z P S H mín σ HO K ' ' σ Hli m Z P S H mín ' K ' σ HO
≥1 ≥1
(4.106) (4.107)
Donde ambos coeficientes de seguridad son los complejos adimensionales que caracterizan dinámicamente la rotura por contacto en el modelo y el prototipo. Para que sean dinámicamente semejantes a contacto, los complejos adimensionales, en este caso, los coeficientes de seguridad, deben estar lo más próximos posible y en ambos deben cumplirse las condiciones condiciones expresadas en (4.106) y (4.107).
4.4.4 4.4.4 Semejanza dinámica a la fractura fractura entre prototipo y modelo Determinación de la semejanza en los esfuerzos a fractura.
σ F ≤ σ FP
(4.108)
= σ FO K FA K V K F β K F α σ FO = F t Y F Y S Y ε Y β /( bm )
(4.109)
σ F
(4.110)
Los coeficientes Y F , Y S , Y ε , Y β , dependen de la geometría de la herramienta y del engranaje, engranaje, por lo que tanto en el modelo como en el prototipo serán igua les, ' (4.111) σ F ' ≤ σ FP '
' = σ FO K F ' K V ' K F ' β K F ' α ' ' ' ' ' ' σ FO = F t 1Y F Y S Y ε Y β /(bm)
σ F
(4.112) (4.113)
132 Poniendo las ecuaciones en función del momento torsor y de la relación ψ bd bd , sin incluir los coeficientes K A , K V V , K F Fβ , K F Fα , Obtenemos las expresiones siguientes:
σ FO
=
' σ FO
2.T 1 Y F Y S Y ε Y β ( z1 ) 2 ( m ) 3ψ bd
2.T 1' = ' 2 ' 3 Y F ' Y S 'Y ε'Y β' ( z1 ) (m ) ψ bd
(4.114)
(4.115)
3
m ' T 1' = m T 1
(4.116)
Simultaneando (4.114) y (4.115) se obtiene (4.116), que demuestra que se sigue manteniendo la misma relación entre el tamaño y el momento torsor que en los esfuerzos a contacto. Análisis de la semejanza en los coeficientes K FA FA , K F Fα , K F Fβ , K V V. Coeficiente de aplicación de la carga a fractura KFA
Para el modelo y el prototipo este coeficiente es el mismo, porque solo depende de la maquina movida y la maquina motriz. (4.117) K ' = K FA
FA
(4.118)
' FA
C KFA = K / K FA = 1 Coeficiente de carga dinámica K V V
Es el mismo que para el esfuerzo a contacto, por lo que también se cumple
K V ' ≠ K V
(4.119)
C KV = K V ' / K V ≠ 1
(4.120)
Coeficiente de distribución longitudinal de la carga a fractura K Fβ
K F ' β ≠ K F β
(4.121)
C F β = K F ' β / K F β ≠ 1
(4.122)
Coeficiente de distribución transversal transversal de la carga a fractura K Fα
(4.123)
K F ' α ≠ K F α C K α = K F ' α / K F α ≠ 1
(4.124)
Esfuerzo permisible a fractura σFP
σ FP
σ FlimY ST Y NT
=
S min
Y δ rel T Y R rel T Y X
(4.125)
El límite de fatiga a la fractura, σF lím , depende del material de empleado empleado y del tratamiento térmico, térmico, por lo cual no depende de la escala de las transmi siones. ' σ Flim
' = σ Flim
C σ F lím =
' σ Flim
σ Flim
(4.126)
=1
(4.127)
133
, Y δ rel T , Y R rel T ,Y ,Y X , solo sufrirán variación. Y δ rel T , Y R rel T , Y X De los factores Y SN, SN, Y NT Criterio de semejanza. ' NT
Y = Y NT ! Y SN = Y SN
Y 'δ
=Y
rel T
' R rel T
Y
CYδ
δ rel T
' Y NT C Y NT = =1 Y NT ' Y SN =1 C Y SN = Y SN Y' δ rel rel T
=
T
Yδ
≠1
(4.128)
rel T
Y ' R rel T ≠1 C Y R rel T = Y R rel T
= Y R rel T
Y X ' = Y X
Y X ' C YX = ≠1 Y X
'
Llamemos Y y Y a los productos de todos los coeficientes modificativos del límite de fatiga a la fractura en el prototipo y en el modelo. En el prototipo
Y = Y NT Y SN Yδ
Y
Y
(4.129)
rel T R rel T X
En el modelo
Y ' = Y ' NT Y ' SN Y 'δ
Y ' R
rel T
rel T
Y ' X
En el prototipo
σ FP
=
En el modelo
σ FlimY
σ
S Fmin
σ FOY F Y Fs Y ε Y β
≤
(4.130)
σ FlimY
σ
S Fmin Y ∏ = Y F Y Fs Y ε Y β
' FP
=
' Y ' σ Flim ' S Fmin
' ' ' ' ' FO F S ε β
Y Y Y Y ≤
Y '∏
' Y ' σ Flim
' S Fmin = Y ' F Y ' Fs Y 'ε Y ' β
(4.131) (4.132) (4.133)
Sustituyendo (4.131) y (4.133) en (4.132) se obtiene el coeficiente de seguridad a fractura: En el prototipo En el modelo
σ Y S S F ≥ Flin H mín σ FO Y ∏
≥1
σ F ' limY 'S Hmí n S ≥ ' Y ∏' σ FO ' F
≥1
(4.134)
Donde ambos coeficientes de seguridad son los complejos adimensionales que caracterizan dinámicamente la rotura por fractura el modelo y el prototipo. Para que sean dinámicamente semejantes a fractura, los complejos adimensionales, en este caso, los coeficientes de seguridad deben estar lo más próximos posible y en ambos deben cumplirse las condiciones (4.134) A continuación se expone un conjunto de Tablas que reflejan los cálculos del prototipo y del model o donde se demuestra la semejanza dinámica a rotura por contacto y fractura.
134 Tabla 4.30 Semejanza dinámica de la etapa de baja
Parámetro Parámetro
[kW] [N/mm] [ms [ms-1 ] [(N/mm)/ µ m] [(N/mm)/ µ m] [min-1 ]
Potencia Fuerza tangencial por unidad de ancho Velocidad periférica en el cilindro de referencia. Rigidez de una pareja de dientes. Rigidez media del engranaje Frecuencia de resonancia. Relación de resonancia Coeficiente de carga dinámica KV
Prototipo
Modelo
500
8
780
177
1.19
0.29
14
14
13.8
13.8
11 500
23 000
0.01100 0.01100
.00025
1.004
1.003
Tabla 4.31 Semejanza a la picadura del engranaje sol-planeta de la etapa de baja
Sol Parámetro
Planeta
Prototipo
Modelo
Prototipo
Modelo
σ Hlim Hlim [MPa]
1500
1500
1500 15 00
1500
K H β K H α K A Z ε Z H -0.5 Z E E [MPa ] Z β Z B,D Z L Z V V Z R Z W W Z X Z NT σ HO [MPa] σ H [MPa] σ HP [MPa] S H
1.225
1.225
1.225
1.225
1.0
1.0
1.0 1 .0
1.0
1.75
1.75
1.75
1.75
0.978
0.978
0.978
0.978
2.079
2.079
2.079
2.079
189.8
189.8
189.8
189.8
1
1
1
1
1
1
1
1
1.047
1.047
1.047
1.047
0.957
0.949
0.957
0.949
0.988
0.952
0.988
0.952
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1008.5 1008. 5
959.7
1008.5 10 08.5
959.7
1479.2 1479. 2
1406.9 1406. 9
1479.2
1406.9 1406. 9
1484.7 1484. 7
1419.3 1419. 3
1484.7
1419.3 1419. 3
1.004
1.009
1.004
1.009
135
Tabla 4.32 Semejanza a la picadura del engranaje planeta-corona de la etapa de baja
Planeta Parámetro
Corona
Prototipo
Modelo
Prototipo
modelo
σ Hlím Hlím [MPa]
1500
1500
770
770
K H β
1.225
1.138
1.138
1.225
K H α
1
1
1
K A
1.75
1.75
1.75
1.75
Z ε
0.937
0.937
0.937
0.937
Z H
2.383
2.383
2.383
2.383
-0.5 Z E E [MPa. ]
181.4
181.4
181.4
181.4
Z β
1
1
1
1
Z B,D
1
1
1
1
Z L
1.047
1.047
1.090
1.090
Z V V
0.957
0.949
0.907
0.891
Z R
0.918
0.885
0.852
0.795
Z W W
1
1
1.2 1. 2
1.2
Z X
1
1
1
1
Z NT
1
1
1
1
σ HO [MPa]
505.5
481.0
505.5
481.0
σ H [MPa]
716.4
706.4
716.4
706.4
σ HP [MPa]
1379.7
1319
777.8
712.6
S H
1.926
1.867
1.086
1.009
136
Tabla 4.33 Semejanza Semejanza a la fractura del engranaje sol-planeta de la etapa de baja
Parámetro
σFlim [MPa]
Y F F Y S S K FA FA K F Fβ K F F α Y ε Y ST ST Y NT Y R rel T Y δ rel T Y X σOF [MPa] σF [MPa] σFP [MPa] S F F
Sol Prototipo 550 1.755 1.953 1.75 1.193 1.0 1 2 1 1.043 1.006 0.930 203.4 426.0 1074.2 2.521
Planeta Modelo 550 1.755 1.953 1.75 1.193 1.0 1 2 1 1.043 1.008 1 184.2 385.4 1155.0 2.99
Prototipo 385 1.685 2.036 1.75 1.193 1.0 1 2 1 1.043 1.006 0.930 203.4 426.4 753.1 1.766
Modelo 385 1.685 2.036 1.75 1.193 1.0 1 2 1 1.043 1.008 1 184.8 385.8 809.8 2.099
Tabla 4.34 Semejanza a la fractura del engranaje planeta-corona de la etapa de baja
Parámetro
σFlim [MPa]
Y F F Y S S K FA FA K F Fβ K F F α Y ε Y ST ST Y NT Y R rel T Y δ rel T Y X σOF [MPa] σF [MPa] σFP [MPa] S F F
Planeta Prototipo 385 1.983 1.911 1.75 1.119 1 1 2 1 1.043 1.008 0.930 0.93 0 183.0 361.3 753.1 2.084
Modelo 385 1.983 1.911 1.75 1.193 1 1 2 1 1.043 1.008 1 165.7 347.9 809.8 2.327
Corona Prototipo Modelo 320 320 1.924 1.924 2.726 2.726 1.75 1.75 1.119 1.193 1 1 1 1 2 2 1 1 0.960 0.960 1.096 1.096 0.958 0.95 8 1 223.6 203.9 441.5 448.2 644.9 673.2 1.461 1.572
137 Tabla 4.35 Semejanza dinámica de la etapa intermedia
Parámetro Parámetro
Prototipo
Modelo
550 480
7.5 103
5.09
1.27
14.000 14441
14.000
Relación de resonancia.
0.045
0.011
Coeficiente de carga dinámica KV
1.016
1.007
[kW] [N/mm] [m.s-1 ] [(N/mm)/ µ m] [min-1 ]
Potencia Fuerza tangencial por unidad de ancho Velocidad periférica en el cilindro de referencia. Rigidez de una pareja de dientes. Frecuencia de resonancia.
57764
Tabla 4.36 Semejanza Semejanza a la picadura del engranaje engranaje sol-planeta de la etapa intermedia
Parámetro
σ Hlím Hlím [MPa]
K H β K H α K A Z ε Z H -0.5 Z E E [MPa ] Z β Z B,D Z L Z V V Z R Z W W Z X Z NT σ HO [MPa] σ H [MPa] σ HP [MPa] S H
Sol
Planeta
Prototipo 1500.0
Modelo 1500.0 15 00.0
Prototipo 1500.0
Modelo 1500.0
1.130
1.225
1.130
1.225
1.000
1.000
1.000
1.000
1.75 0.972
1.75
1.75
0.972
1.75 0.972
0.972
2.098
2.098
2.098
2.098
189.8
189.8
189.8
189.8
1
1
1
1
1
1
1
1
1.047
1.047
1.047
1.047
0.983
0.957
0.983
0.957
0.980
0.945
0.980
0.945
1.0
1.0 1 .0
1.0
1.0
1.0
1.0 1 .0
1.0
1.0
1.0
1.0 1 .0
1.0
1.0
898.2
833.6
898.2
833.6
1273.5
1224.6
1273.5
1.224.6
1513.3
1421.6 14 21.6
1513.3
1421.6
1.188 1.18 8
1.16
1.188 1.18 8
1.16
138 Tabla 4.37 Semejanza Semejanza a la fractura del engranaje sol-planeta de la etapa intermedia
Parámetro
σFlím [MPa]
Y F F Y S S K FA FA K F Fβ K F F α Y ε Y ST ST Y NT Y R rel T Y δ rel T Y X σOF [MPa] σF [MPa] σFP [MPa] S F F
Sol Prototipo 550.0 1.881
Planeta Modelo 550.0
Prototipo 385.0 1.835
Modelo Modelo 385.0
1.941
1.941
1.75 1.163 1.000 1.000 2 1 1.043 1.005 1.000 131.4 269.2 1153.6
1.75 1.75 1.095 1.000 1.000 2 1 1.043 1.006 0.950 152.7 297.4 767.8
1.75 1.163 1.000 1.000 2 1 1.043 1.006 1.000 131.5 269.5 808.2
4.286
2.581
2.999
1.881 1.891
1.891 1.75 1.095 1.000 1.000 2 1 1.043 1.006 0.950 152.5 297.1 1095.9 3.689
1.835
Tabla 4.38 Semejanza Semejanza a la fractura del engranaje planeta-corona planeta-corona de la e tapa intermedia
Parámetros
σFlím [MPa]
Y F F Y S S K FA FA K F Fβ K F F α Y ε Y ST ST Y NT Y R rel T Y δ rel T Y X σOF [MPa] σF [MPa] σFP [MPa] S F F
Planeta
Corona
Prototipo 385 2.134 1.834 1.75 1.093 1.000 1.000 2.000 1.000 1.043 1.006 0.950 138.5
Modelo 385 2.134 1.834 1.75 1.163 1.000 1.000 2.000 1.000 1.043 1.006 1.000 119.3
Prototipo 320 1.9 2.737 1.75 1.093 1.000 1.000 2.000 1.000 0.960 1.096 0.970
272.5 767.8 2.817
245.7 808.2 3.289
285.9 652.99 2.284
145.3
Modelo Modelo 320 1.9 2.739 1.75 1.163 1.000 1.000 2.000 1.000 0.960 1.096 1.000 125.4 258.3 673.2 2.606
139 Tabla 4.39 Semejanza dinámica del engranaje de la etapa de alta
Parámetro Parámetro
Prototipo
Modelo
550
8
707
145
8.64
2.16
12.093
12.093
8656
34 624
Relación de resonancia.
0.104
0.026
Coeficiente de carga dinámica K V V
1.034
1.025
[kW] [N/mm] [m.s-1 ] [(N/mm)/ µ m] [min-1 ]
Potencia Fuerza tangencial por unidad de ancho an cho Velocidad periférica en el cilindro de referencia. Rigidez de una pareja de dientes. Frecuencia de resonancia.
Tabla 4.40 Semejanza a la picadura del engranaje de la etapa de alta
Parámetro
Piñón
Rueda
Modelo
Prototipo
Modelo
Prototipo
σ Hlím Hlím [MPa]
1500.0 1500. 0
1500
1500
1500
K H β K H α K A Z ε Z H -0.5 ] Z E E [MPa Z β Z B,D Z L Z V V Z R Z W W Z X Z NT σ HO [MPa] σ H [MPa] σ HP [MPa] S H
1.109
1.247
1.109
1.247
1.0
1.0
1.0
1.0
1.75
1.75
1.75
1.75
0.905
0.904
0.905
0.904
2.268
2.268
2.268
2.268
189.8
189.8
189.8
189.8
0.991
0.991
0.991
0.991
1.035
1.035
1.0
1.0
1.047
1.047
1.047
1.047
0.996
0.979
0.996
0.979
0.999
0.962
0.999
0.962
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
992.5
897.8
992.5
897.8
1455.4 1455. 4
1389.6
1405.5
1342.8
1.562.6
1480.0
1562.6
1480.0
1.074
1.065
1.112
1.102
140 Tabla 4.41 Semejanza a la fractura del engranaje de la etapa de alta
Piñón
Parámetro
Rueda
Prototipo
Modelo
Prototipo
Modelo
σFlím [MPa]
550
550
550
550
Y F F Y S S K FA FA K F Fβ K F F α Y ε Y ST ST Y NT Y R rel T Y δ rel T Y X σOF [MPa] σF [MPa] σFP [MPa] S F F
1.584
1.584
1.733
1.733
1.944
1.944
1.830
1.830
1.75
1.75
1.75
1.75
1.077
1.174
1.077
1.174
1.0
1.0
1.0
1.0
0.958
0.947
0.958
0.947
2.0
2.0
2.0
2.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.052
1.052
1.052
1.052
0.998
0.998
0.996
0.996
0.930
1.0
0.930 0.93 0
1.0
153.5
126.0
179.1
146.6
299.1
265.4
349.1
309.0
566.3
609.0
565.5
608.1
1.894
2.294
1.620
1.968
4.5 Resumen de la valoración económica económica del costo de fabricación de la caja reductora para molino de caña. Los cálculos del costo de producción de un reductor están basado en una producción unitaria, los indicadores vigentes varían de un centro de producción a otro, no obstante esta variación no sobrepasa los $ 5000.00 USD.
4.5.1 4.5.1 Costo de producción.
C Pr od = MP + CC + SB + SC + SS + FE + OC Donde:
C Pr od Costo de producción, MP Materia prima y materiales, CC Costo de contratación.
SB
Salario básico
SC Salario complementario
SS Seguro social
FE
Fondo estatal
OC Otros costos Materia prima y materiales
141
Precio de los materiales.
Materiales (MP)
Costo ($/Ton)USD
17CrNiMo6
1860
35CrNiMo6
1860
Acero 4
1450
Hierro nodular GGG 70
1400
Hierro Hierro gris
450
Cantidad de materiales
Piezas
1
cdad
Material Mate riales es MPi
Peso ( Kg)
MPT =
i =n
∑ MP (USD) i
i =1
Satélites Satéli tes (E.B)
3
17 CroNiMo6
747
1 392.00
2
Sol (E.B)
1
17 CroNiMo6
166
309.00 309.0 0
3
Corona
1
35CroNiMo6 35CroN iMo6
547
1 017.00
4
Porta satélite
1
Ac 4
2000
3 000.00
5
Satélites (E.I)
3
17 CroNiMo6
190
1 392.00
6
Sol (E.I)
1
17 CroNiMo6
150
279.00 279.0 0
7
Corona
1
35CroNiMo6 35CroN iMo6
350
1 450.00
Porta satélite
1
Ac 4
1000
1 500.00
8
Piñon (E. E)
1
17 CroNiMo6
115
215.00 215.0 0
8
Rueda (E. E)
1
17 CroNiMo6
169
315.00 315.0 0
Carcaza etapa de baja
1
Ac 4
200
290.00
11
Carcaza delantera. delantera .
1
Ac 4
250
362.00 362.0 0
12
Apoyo intermedio
1
Ac 4
350
507.00 507.0 0
13
Eje Satelite Satelit e
6
Ac 45
20
38.00 38. 00
Soporte del Reductor
1
Ac 4
750
1087.00
Rodamientos Rodami entos
17
-
-
7 500.00
Elementos normalizados
-
-
-
350.00 350.0 0
Pintura
-
-
-
150.00 150.0 0
+ 15 %
-
-
-
317.25 317.2 5
Total(USD)
21470.00
Total(M.N)
4723.00
142
Costo de contratación (CC).
No se considera para este cálculo el costo de contratación. CC = 0 Salario básico ( SB)
SB =
∑T ⋅ T P
E
Donde: T P Tiempo de ejecución. T E E Tarifa escala de cada participante. Salario complementario ( SC )
SC = SC = 0.0909 ⋅ SB Seguro social ( SS )
SS =0.08(SB+SC) Fondo estatal
FE = 0.25 SB
En la ejecución del reductor intervienen. Calificación.
Cdad.
Tornero Torner o “A”.
T E E ($/h)
T P(h)
SC
SS
FE
SB
2
1.30
46
10.80
10.38
29.75
119.00
Fresador Fresad or “A”.
2
1.49
71
19.32
18.55
53.14
212.58
Mecánicos Mecáni cos de taller “A”
2
1.49
66
17.87
17.16
49.17
196.68
Termista Term ista “A”
1
1.49
32
4.33
4.16
11.92
47.68
Pailero Paile ro
1
1.49
35
4.72
4.54
13.03 13.0 3
52.15 52.1 5
O. de rectificadora rectifica dora “A”
1
1.49
56
9.45
9.21
26.00
105.79
Ayudante Ayud ante
3
0.78
71
15.08
14.48
16.5
166.00
Total
12
-
-
80.57
78.48
199.78
899.09
-
-
-
-
Total General
-
1257.92
Otros costos.
OC = 350.00 Resumen del costo de producción de una unidad del reductor objeto de estudio.
Reductor Reduct or
Firma
País País
Prototipo
Producciones Mecánica
PZA
Flender Flende r
Precio U.S.A
M.N
Cuba
20 000 – 30 000
5980.00
Alemania
100 000 – 150 000
20 000 –30 000
143
Conclusiones. 1.
Los modelos matemáticos matemáticos obtenidos, relacionados con la cinemática, Resistencia Resistencia a la picadura, picadura, y Resistencia a fractura para los engranajes cilíndricos a evolvente interiores y exteriores están por su enfoque y contenido al nivel más actualizados de la técnica , refrendado en las normas ISO, DIN y AGMA.
2. Se llega a un enfoque orig inal a partir de las condiciones de formación de las transmisiones planetarias tipo 2RP-A, de un modelo único de cálculo para los engranajes cilíndricos interiores y exteriores . Se consideraron tanto los aspectos geométricos como los cinemáticos y los de resis tencia. 3. Se llega a un enfoque original En el cálculo de los coeficientes de correcciones para este tipo de mecanismos donde los coeficientes de corrección en el par sol planeta son suficiente para garantizar las condiciones de resistencia a contacto y a fractura simultáneamente. cálculo a partir del cual se logra 4. Se obtiene un método de cálculo logra el diseño optimo de cualquier cualquier reductor de máxima capacidad de carga. Con este método se puede emplear cualquier función objetivo.
5. Los algoritmos obtenidos dan solución solución al problema del diseño óptimo de reductores 2RP-A . Este diseño es apto para la creación de cajas reductoras para molinos de caña. Estas cajas reductoras se caracterizan por poseer engranajes anulares de diámetro mínimo en la etapa de baja . 6. Un resultado importante de trabajo lo constituye el paquete de programa Planeta elaborado por el autor en lenguaje C sin el cual se hace imposible optimizar dicha transmisión. prototip o de caja reductora reduct ora , con relación de transmisión 40:1 y capacidad de carga igual a 7. Se diseñó un prototipo 500 kW a una frecuencia de rotación de entrada igual a 900 min min-1 . Este da respuesta a los nuevos desarrollos del MINAZ. prototip o de caja reductora reduct ora , con relación de transmisión 28:1 y capacidad de carga igual a 8. Se diseñó un prototipo 630 kW a una frecuencia de rotación de entrada igual a 900 min min-1 . Éste da respuesta a las sustituciones de los reductores que actualmente se encuentra fuera de servicio individualmente o en baterías de 5 reductores. 9. El diseño de caja reduct ora antes mencionado se puede construir en el país con los medios tecnológicos disponibles actualmente. Con ello, se demuestra la hipótesis principal del trabajo, y se refutan declaraciones que afirmaban la imposibilidad de lograr este objetivo. 10. El reductor objeto del presente estudio es factible construir en Cuba porque las maquinas y herramientas para su fabricación fabr icación están disponibles, porque los materiales seleccionados son asequibles a a través de los proveedores instalados en el mercado nacional, porque la fuerza de trabajo calificada se encuentra disponible, e incluso subutilizada. 11. Se obtuvo, después de un estudio minucioso de análisis de semejanza, el modelo físico del prototipo de la caja reductora que cumple simultáneamente con las condiciones necesarias y suficientes. El procedimiento de diseño de un modelo físico de reductor de velocidad brindado en el trabajo es totalmente general y aplicable a otros casos análogos. 12. La investigación de los costos de producción del prototipo, en la industria mecánica nacional, arroja una gran dispersión en cuanto a los valores de cotización. El precio en el mercado internacional de estos reductores es de 100 000 – 150 000 USD. Los costos de producción en el mercado nacional no sobrepasan los 20 000 a 30 000 USD. Esta cotización fue obtenida de fuentes confiables en la industria nacional. Es evidente, por la diferencia, lo factible de su construcción en las condiciones de la industria Cubana.
Recomendaciones 1. Construir el modelo a escala con los parámetros que se plantean en los cálculos realizados para éste y que se encuentran tabulados en el epígrafe 4.2 del Capítulo 4.
144 2. Someter dicho modelo a un plan de ensayos para validar la capacidad de carga, determinando los posibles cambios en el diseño y la fabricación. 3. Debe precisarse en condiciones de fábrica el costo del prototipo.
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