Diseño de pilotes cargados lateralmente Índice Contenido 1.1 – introducción 1.2 capacidad de carga lateral basada en resistencia. 1.2.1resistencia lateral ultima de los pilotes 1.2.1.1 pilotes en suelos cohesivos homogéneos 1.2.1.2 pilotes en suelos sin cohesión o friccionantes Ejemplo 1.1 1.3 capacidad de carga lateral basada en deflexiones 1.3.1 método lineal elástico 1.3.1.1 pilotes sin cabezal (cabezal libre) 1.3.1.2 pilote de cabezal fijo (cabeza fija) Ejemplo 1.2 1.3.2 métodos no lineales. 1.3.2.1 métodos de análisis matriz de rigidez 1.3.2.2 método de análisis – presión lateral – deflexión (p – y) 1.3.2.3 síntesis de curva p – y basada en la instrumentación de pilotes 1.4 capacidad de carga lateral de grupo de pilotes 1.5 factor de carga y resistencia para el diseño de pilotes cargados lateralmente 1.6 efecto de pilotes por chorro (Jetting) en la capacidad de carga lateral 1.7 efecto del predilado en la capacidad de carga lateral
Introducción Pilotes sencillos tales como los postes de señalizaciones y luminarias y grupo de pilotes que soportan los estribos de los puentes y operaciones de construcción de estructura de mar afuera están sujetos constantemente a carga lateral naturales significativas (tales como carga de viento y la acción de la olas) (figura 1.1). Las cargas laterales también pueden ser introducidas en los pilotes debido a causas artificiales como impacto de barcos. Por lo tanto, la capacidad de carga de carga lateral es ciertamente una cualidad significativa en el diseño de pilotes bajo ciertas situaciones en la construcción. A diferencia diferencia del caso de capacidad capacidad de carga axial, la capacidad capacidad de carga lateral debe ser determinada considerando dos mecanismos de falla diferente: 1. la falla estructural del pilote debido a la cedencia del material del pilote o la falla por cortante del suelo confinado debido a la cedencia del suelo y 2. el pilote llega a ser disfuncional debido a deflexiones laterales excesivas Aunque la falla pasiva pasiva del suelo confinado confinado es un modo potencial potencial de falla, falla, tal falla ocurre ocurre solo en en deflexiones relativamente grande que generalmente exceden los movimientos tolerables.
Introducción Pilotes sencillos tales como los postes de señalizaciones y luminarias y grupo de pilotes que soportan los estribos de los puentes y operaciones de construcción de estructura de mar afuera están sujetos constantemente a carga lateral naturales significativas (tales como carga de viento y la acción de la olas) (figura 1.1). Las cargas laterales también pueden ser introducidas en los pilotes debido a causas artificiales como impacto de barcos. Por lo tanto, la capacidad de carga de carga lateral es ciertamente una cualidad significativa en el diseño de pilotes bajo ciertas situaciones en la construcción. A diferencia diferencia del caso de capacidad capacidad de carga axial, la capacidad capacidad de carga lateral debe ser determinada considerando dos mecanismos de falla diferente: 1. la falla estructural del pilote debido a la cedencia del material del pilote o la falla por cortante del suelo confinado debido a la cedencia del suelo y 2. el pilote llega a ser disfuncional debido a deflexiones laterales excesivas Aunque la falla pasiva pasiva del suelo confinado confinado es un modo potencial potencial de falla, falla, tal falla ocurre ocurre solo en en deflexiones relativamente grande que generalmente exceden los movimientos tolerables.
Se comprende que los pilotes cortos empotrados en un terreno relativamente denso (rígido) posiblemente fallen debido a la cedencia del suelo mientras que los pilotes largos empotrados en terrenos relativamente suaves producirían deflexiones excesivas. Por lo tanto la discusión se ocupara de dos puntos principales: 1. capacidad lateral del pilote a partir de consideraciones de resistencia, 2. capacidad lateral del pilote basada en limitaciones de deflexión. Por otra parte pilotes sujetos tanto a carga axial como lateral deben ser diseñados para resistencia de pilotes como vigas- columnas.
1.2 capacidad de carga lateral basada en resistencia. 1.2.1 resistencia lateral ultima de los pilotes. Broms (1964a, b) produjo soluciones simplificadas para la capacidad última de carga lateral de pilotes considerando tanta resistencia última de soporte del terreno y esfuerzo de cedencia del material del pilote. Para simplicidad, las soluciones de Broms (1964a, b) son presentadas separadamente para diferentes tipos de suelos, a saber, suelos cohesivos y suelos sin cohesión.
1.2.1.1 pilotes en suelos cohesivos homogéneos Cuando un pilote es embebido en un suelo predominante de grano fino, el caso de diseño mas critico es el caso donde el suelo esta en una situación no-drenada. La carga máxima que puede ser aplicada en el pilote depende de los siguientes factores: 1. condiciones de fijación en la cabeza (pilotes libres o pilotes fijos). la mayoría de los pilotes solos o sencillos pueden ser considerado como pilotes libres bajo carga lateral mientras pilotes reunidos en un grupo por un cabezal de pilote deben ser ser analizados como pilotes fijos. 2. rigidez relativa del pilote comparada con el terreno circundante. si las condiciones de deformación son tales que el suelo cede antes que el material del pilote entonces se clasifique como pilote corto. similarmente, si el material del pilote cede primero, entonces es considerado como un pilote largo
1.2.1.1.1 pilotes con cabeza no restringida o pilotes de cabeza libre Las figuras 1.2 y figura 1.3 ilustran los respectivos mecanismo de falla que Broms asumió para pilotes cortos y largos, respectivamente. La resistencia lateral última Pu puede ser determinada directamente de la figura 1.4 a y b basada las propiedades geométricas y la resistencia del suelo no-drenado. Para pilotes cortos, Mmax, g, Pu, y f pueden ser determinados de las ecuaciones (1.1) de (1.4). Mmax = momento maximo Pu = carga ultima g = distancia indicada en la figura f = distancia indica en la figura
Puesto que la fuerza cortante es cero donde se localiza el momento máximo, del área del diagrama de la reacción del suelo se obtiene (figura 1.2)
f
Pu 9C n D
Similarmente, tomando el primer momento en la figura (1.2) respecto al punto de cedencia 2
M max
2.25 Dg
C u
M max
H u e 1.5 D 0.5 f
Tomando el primer momento de la figura 1.2 sobre el punto A.
M max A
P u e 1.5 D 0.5 f 1.3
Similarmente, tomando el primer momento de la figura 1.2 sobre el punto B.
g g 2 2
M max B 9C u D
M max B 2.25C u Dg 2 Para la longitud total del pilote (figura 1.2):
L g 1.5 D f
Figura 1.2 deflexión del suelo, y distribución de momento flector para pilotos cortos cargados lateralmente en suelos cohesivos (Broms 1964) ASCE SM3
1.2.1.1.2 pilotes de cabeza restringida o cabeza fija De acuerdo a las formulaciones de Broms (1964a), los pilotes restringidos pueden alcanzar su ultima capacidad a través de tres mecanismos separados dando lugar a 1. pilotes cortos 2. pilotes largos 3. pilotes intermedios Estos mecanismos de falla asumidos por Broms (1964a) para pilotes restringidos son ilustrados en la figura 1.5a, 1.5b, 1.5c. La suposición que lleva a la solución analítica es que el momento generado en la cabeza del pilote puede ser provisto por el cabezal que restringe el pilote con la condición de frontera en la cabeza (i.e., no rotación). La carga lateral ultima, P u, de pilotes cortos puede ser obtenidas directamente de la figura 1.4a. El lector notará que esta condición esta representada a través de una sola curva en la figura 1.4a debido a la insignificancia del parámetro “e”, los valores de M max y KPu también pueden ser determinados usando las siguientes ecuaciones: De la reacción del suelo (figura 1.5a) P u
9C u D L
1.5 D
Haciendo momento en A (figura 1.5a) M A M A M A
L 1.5 D P 1.5 D 2 P 0.5 L 0.75 D 1.5 D P 0.5 L 0.75 D u
u
u
Mecanismo de falla para pilotes de cabeza restringida cortos cargados lateralmente en suelos cohesivos
Para pilotes largos, la carga lateral última, P u, puede ser encontrada de la figura 1.4b. Entonces, las siguientes ecuaciones pueden ser usadas para determinar “f ” y por lo tanto la localización de la cedencia del pilote. Efectuando momento en el punto A de la figura 1.5c:
P u 1.5d 0.5 f 2 My P u
2 My
1.5d 0.5 f
Figura 1.5 c pilotes largos
Figura 1.5 b pilotes intermedio
Mecanismo de falla para pilotes de cabeza restringida cargado lateralmente en suelos cohesivos b- pilotes intermedios c- pilotes lagos
Por la otra parte, para pilotes intermedios donde la cedencia ocurre en la cabeza (figura 1.5b) el momento cortante básico y considerando la longitud total en las ecuaciones 1.1, 1.4 y 1.8 puede ser usada para obtener Pu
f
P u
(1.1)
de la reacción del suelo a la distancia del momento max)
9C u D
My 2.25C u Dg 2 9C u D f 1.5 D 0.5 f (1.8) (momento en el punto B) L g 1.5 D f (1.4) (momento en el punto B)
2
D
Restringido U
C/ tl u
P a mi lt u l ar et la ai c n et si
Cabeza libre s e R
Sin cabezal
Largo empotrado, L/D
Restringido 2
C/
Du lt u
P a mi lt u l ar et la
Cabeza libre ai c n te si s e R
Sin cabezal
Momento de cedencia, M
ield/C uD
Figura 1.4 resistencia lateral ultima de pilotes en suelo cohesivos: (a) pilotes cortos y (b) pilotes largos de Broms
Deflexión
Reacción del suelo
Deflexión
Deflexión
Reacción del suelo
Reacción de suelo
Momento flector
Momento flector
Momento flector
Figura 1.5 mecanismo de falla para pilotes restringidos cargados lateralmente en suelos cohesivos: a- pilotes cortos b- pilotes intermedios c- pilotes largos
Ejemplo 1.1 Estimar la carga lateral última que puede ser aplicada en un pilote de acero H (HP 250X62) (HP 10x57) mostrado en la figura 1.6 asumiendo que el cabezal del pilote puede proveer el momento requerido en el pilote para mantenerlo sin rotación. La resistencia de cedencia del acero es 300 MPa. Los resultado de la prueba de CPT (q c) para el sitio también esta trazado en la figura 1.6a. Los límites de Atterberg para la arcilla: LL = 60% y PL = 25% y el peso unitario saturado en la arcilla es 17.5 KN/m 3
10m
d = 0.256 m
1- calculo del momento de cedencia de la sección estructural de acero De la tabla de secciones de acero y la figura 1.6 (b) Sxx
3
3
0.711 x10 m , d
My Sxx y
256mm (Sxx módulo de sección) (HP 10x57)
0.71110 3 300 MNm 213.3kNm
2- calculo de la resistencia no drenada a partir de las pruebas intrusivas con el cono de penetración. Del perfil q c en la figura 8.6 (a), q c puede ser expresado como:
5.1
qc
z
0.4
10m
qc
4.7 qc
qc
4.7 0.04 zMPa
De Robertson y Campanella (1983)
qT 0 N KT
4.7
0.4 MPa
10
qc 0.04 z
Su
Su = resistencia no drenada
0.4 MPa
0.04 MPa
difertenci a m
Po = esfuerzo vertical efectivo NKT = factor de capacidad de carga qc = valores de resistencia del como medida qT = valores del cono de penetración corregido u = presión de poro medida durante la prueba a = relación aproximada de las áreas (d1/D) 2 (varia típicamente entre 0.6 y 0.9 (Bowles)) PI = índice de plasticidad. NkT = factor de capacidad.
qT
qc
uc 1 a
PI LL PL PI 60 25 PI 35 De Bowles (1996)
5.5
N KT
13
N KT
13
N KT
13.16
PI 5.5 35
13 0.16
Se obtiene la siguiente variación S u para PI = 35
S u S u
qT N KT
P O N KT
qC uc 1 a N KT
1
1
P O N KT
qC uc 1 a P O S u N KT qC uc 1 a s w z S u N KT PO2 = presión de sobrecarga del estrado de suelo a la profundidad z PO = peso unitario suelo x profundidad – peso unitario del agua K profundidad PO = suelo w z en el supuesto que el estrato superior del suelo y nivel freático coincidan
Recordando que: q c = 47 + 0.047 en MPa S
w
17.5 KN m 9.8 KN m
IMPa KPa
3
3
1000 KPa
0.001 MPa
Presión hidrostática nivel freático coincidiendo con superficie U c
w z 9.8
U c
9.8 z
a
S u S u
KN m
3
z
0.5
1 4.7 0.04 z 0.0019.8 z 1 0.5 17.5 9.8 z 13 . 16 0.357 0.0028 zMPa
Evaluando Su para valores z Para z = 0m
para z = 10m
S u
0.357 0.0028 z MPa
S u
0.357 MPa
S u
357kPa
S u
0.357 0.0028 z MPa
S u
0.357 0.0028 10 MPa
S u
0.385 MPa
S u 385kPa
Los rangos de S u a lo largo de la longitud del pilote que varían de 357 a 385 kPa muestran la tendencia linear con la profundidad que es típica para la arcillas. Debido a este rango relativamente estrecho, puede hacerse razonablemente un promedio a lo largo de la profundidad del pilote de los 371 kPa. C u
C u
385 357 2 371kPa
3- calculo de la carga última P u considerando el mecanismo de pilote corto. Asumiremos que las condicion condiciones es del terreno terreno y el pilote son de tal rigidez rigidez que se comporte comporte como un pilote corto. Además se trata de un pilote de cabeza fija D = ancho de sección HP en el eje y-y = 0.256m e
0 0
e
0
0.256
D
10m
L
D
39
0.256m
De acuerdo a ecuación (1.5) P u
P u
9371.256 10
P u
8126.7 KN 8.13 MN (Según grafica P u = 8.22 MN)
9C u D L 1.50
1.5 0.256
De acuerdo a ecuación (1.6)
P u 0.56 0.75 D M max max 8.130.5 10 0.75 0.256 M max max 42.21 MN M max max M max max (Según libro) = 8.22 [0.5x10+0.75x0.256]
42.68 MN . M max max
2
D
Restringido U
C/ tl u
P a mi lt u l ar et la ai c n et si
Cabeza libre s e R
Sin cabezal
Largo empotrado, L/D
Restringido 2
C/
Du lt u
P a mi lt u l ar et la
Cabeza libre ai c n te si s e R
Sin cabezal
Momento de cedencia, M
ield/C uD
Figura 1.4 resistencia lateral ultima de pilotes en suelo cohesivos: (a) pilotes cortos y (b) pilotes largos de Broms
Con la relación obtener
L
39
D
y pilote corto cabeza restringida usamos la figura 1.4 a, se puede
P ult C u D
Como el valor de
2
L D
39
es mayor de 20 la línea representativa debe ser extrapolada
1
0
8.26, y2
y2
y1
2
60 0
8.26 1.6
1
3 39 39 1.6
3 1
y3
y1
37.40
0
y3
Proporción del triangulo
y3 y1
9.009
1
3 1
y3 y1
9.009
3
1
y3 0 336.94 y3
60
9.009
Conocido
2
Pendiente de la recta
1.6, y1
336.94
P ult C u D 2
736.94
337
Pult = 337 CuD2 = 337 x 371 (.256) 2 =8194 KN Pult = 8.20 MN el libro tiene 8,22 MN Si el pilote no tiene falla por cedencia estructural (capacidad de momento) este pilote es capaz de soportar una carga ultima P u de 8.22 MN antes de que el suelo falle. P ult Obsérvese que la relación P ult/CuD2 = 337 se sale de la grafica 1.4b que relaciona con C u D
M cedencia C u D
y no puede hacerse extropolacio lineal
3
Usando ecuación: Mmax = P u (0.5 L+ 0.750) pilotes cortos Mmax = 8.22 (0.5 x 10 + 0.75 x 0.256) = 42.68 MN 4- evaluación del momento máximo del pilote El pilote de sección H es capaz de resistir un momento máximo M y
M y
S xv y
0.71110
3
300 MN m 2
0.2133 MN
m
Momento de 213.3 KN/m es mucho mayor que 42.68 KN/m Entonces debe revisarse si el pilote actuara como un pilote largo
M y C u D
213.3 KN 3
m
371 KPa 0.256m
x = valores de
y = valores de
3
34.27
M u C u D
3
P ult CD
2
De la grafica 1.4b resulta P u C u D P u
2
25
25 371 .256
2
6078
608KN
213.3 KN
m
2
Al transformarse por su comportamiento en un pilote largo, el pilote de perfi H puede resistir una carga ultima P u = 608 KN
1.2.1.2 pilotes en suelos sin cohesión (no cohesivos) Basado en un número de suposición, Broms (1964b) formulo metodologías analíticas para determinar también la capacidad última de carga lateral de pilotes en suelo sin cohesión. Las suposiciones más importantes fueron 1. presión activa del suelo negligibble en la parte posterior del pilote debido al movimiento hacia adelante del fondo del pilote 2. triplicación de la presión pasiva a lo largo del frente superior del pilote
p p
'
3 v Kp
Donde σv’ es la presión vertical efectiva de sobrecarga y K p = (1+sen ϕ’) / (1 -senϕ’) ϕ’ es el ángulo interno de fricción (esfuerzo efectivo). Kp = coeficiente de presión de tierra pasiva (teoría de Rankine).
1.2.1.2.1 pilotes sin cabezal-cabezal libre Para la siguiente terminología similar al caso de suelos cohesivos, los mecanismos de falla de pilote largo y cortos son ilustrados en la figura 1.7 y 1.8, respectivamente La carga lateral última para pilotes cortos puede ser estimada a partir de la figura 1.9 a o la siguiente ecuación: 3
P u
DL KP 0.5 e L
Momento en el punto A (figura 1.7)
P u e L
3 2
L 3
DLKpL
P u e L 0.5 DL Kp 3
3
P u
DL Kp 0.5 e L
Entonces, la localización del máximo momento (f en la figura 1.7) puede ser determinada por la siguiente ecuación:
P u
1
2
fX (pu = área de la reacción del suelo, en el punto B
DLK P 3
X (Relación de triangulo del diagrama de reaccion del suelo al punto B y al punto A) L a X 3 DfK P
1
P u
P u
f 2
2 3
2
f 3 DfK P f 2 DK P 2 P u
3 DK P
f 0.82
0.67
P u DK P
P u DK p
Finalmente, el momento máximo en el punto B puede ser estimado por la ecuación 1.12 (figura 1.7)
M max P u e
2 3
f
Figura 1.7 Mecanismo de falla para pilotes cortos lateralmente cargados en suelos sin cohesión o friccionantes
Si el Mmax calculado a partir de la ecuación 1.12 es mayor que M yield para el material del pilote, entonces obviamente el pilote se comportaría como un pilote largo y la actual carga lateral ultima Pu puede ser calculada a partir de las ecuaciones 1.11 y 1.12 ajustado haciendo M max = Mcedencia Por otra parte, la figura 1.9b. Nos permite determinar directamente la carga lateral última para pilotes largos.
1.2.1.2.2 pilotes restringidos o pilotes cabezal fijo. Para pilotes cortos restringidos, las consideraciones de cedencia de equilibrio horizontal están en la figura 1.10 De la reacción del suelo 1
L 3 LDK p
pu
pu
pu
1.5 L DK p
pu
L DK p 1.5
2 3 2
L2 DK p 2
2
Por lo tanto P u puede ser encontrada con cualquiera de las dos, a partir de la ecuación 1.13 o la figura 1.9 a también de la figura 1.10 sigue que:
Si el Mmax calculado a partir de la ecuación 1.14 es mayor que M yield para el material del pilote, entonces aplica el mecanismo de falla de la figura 1.10b. Pilote intermedio para este caso, la siguiente expresión puede ser escrita para el momento sobre la parte inferior del pilote de la cual será calculada la carga lateral última: Para pilotes intermedios Momento en A figura 1.10b
1 L DLK P P u L * L * 3 2 3 3 M y 0.5 DL K P P u L M y
La solución anterior solo aplica si el momento máximo en una profundidad de f es calculado por:
P u
f 0.82 P u
1
2
DKP
fX
3 DLK p
L
X f
X 3 DfK p 1
P u
P u
f 2
2 3
2
f 3 DfK p f 2 DK p 2 P u
3 DK P
f 0.82
P u DK p
Finalmente, si el anterior M max es mayor que M yield, entonces aplica el mecanismo de falla en la figura 1.10c. Pilote largos de esta manera, la carga lateral ultima puede ser calculada de la siguiente ecuación o esta en forma adimensional en la figura 1.9b.
2
P u e f 2M y 3
1.3 capacidad de carga lateral basada en deflexiones La máxima línea de deflexión permisible del terreno debe ser comparada con la deflexión lateral del pilote lateralmente cargado para cumplir un importante criterio del procedimiento de diseño. Un número de inctado comúnmente adoptado para determinar la deflexión lateral es discutido en las siguientes secciones.
1.3.1 método lineal elástico Un pilote lateralmente cargado puede ser idealizado como un cilindro infinitamente largo deformado lateralmente en medio elástico infinito (Pyke and Beikae, 1984) con deformaciones horizontales gobernadas por la siguiente ecuación:
p
k h y
Pero, de la relación carga distribuida vs momento 2
pB
d M
dz 2
4
E p I
d y dz 4
Donde B es el ancho del pilote y E pI es rigidez del pilote Entonces la ecuación gobernante de la deformación lateral puede ser expresada al combinar 1.17 y 1.18 como:
E p I
d 4 y dz 4
BK h y 0
El coeficiente característico de la solución de y esta definido por
k D h 4 E p I
1 4
1/β es conocido como longitud adimensional, donde k h es el coeficiente de la reacción horizontal del subgrado. Broms (1964a,b) demostraba que un pilote lateralmente cargado se comporta como un miembro infinitamente donde el coeficiente β es menor que 2. Además cuando βL ≥ 4 mostró comportarse como un miembro infinitamente largo en el cual la falla ocurría cuando el Máximo momento flector excede la resistencia a la cedencia de la sección del pilote Para el caso simple donde k h puede ser asumido constante a lo largo de la profundidad del pilote, Hetenyi (1946) a derivado las siguientes soluciones
1.3.1.1 pilotes de cabeza libre 1.3.1.1.1 caso 1: deformación lateral debido a la carga H
Las siguientes expresiones pueden ser usadas en combinación con la figura 1.11, para un pilote de ancho d. Desplazamiento horizontal:
Pendiente
2 H
k h d
K H
2
Momento
2 H
k h d
Fuerza cortante M
H
K H
K MH
V HK VH
Los factores de influencias K ΔH, KΘH, KMH, y KVH son dados en la tabla 1.1
1.3.1.1.2 caso 2: deformación lateral debido al Momento M. Las siguientes expresiones pueden ser usadas con la figura 1.12. Desplazamiento horizontal
Pendiente
2 M 0
2
k h d
K M
3
2 M 0
K M
Momento
Fuerza cortante
M M 0 K MM
k h d
V 2 M 0 K VM
Los factores de influencia K ΔM, KθM, KMM, y KVM son dados también en la tabla 1.1.
1.3.1.2 pilotes de cabeza fija Debido a la naturaleza elástica de la solución, la deformación lateral de los pilotes de cabeza fija puede ser manejada por la superposición de las deformaciones causadas por 1- la fuerza lateral de deformación lateral y el momento desconocido en la cabeza del pilote restringido 2- momento deformante conocido y el momento desconocido del cabezal restringido. entonces colocando la rotación la cabeza del pilote igual a cero (para externos condiciones fijas) se puede conocer el momento restringido desconocido y la solución resultante pueden ser determinados.
Ejemplo 1.2 El pilote de acero de 300 mm de ancho mostrado en la figura 1.13 es un miembro de un grupo que se mantiene unido por un cabezal de pilote que ejerce una carga lateral de 8kN en el pilote dado y cierta magnitud del momento requerido para restringir la rotación en la cabeza del pilote El coeficiente del modulo horizontal del subgrado es 1000 kN/m 3 e invariante con la profundidad determine la deflexión lateral y el momento de restricción en el cabezal. Asumir que el segundo momento del área (I) de la sección de acero es 2.2x10 -6m4 y el modulo elástico del acero es 2.0x10 6 kPa.
Solución 1- determinación del coeficiente β
K h
1000 kN
m3
0.3m
E p
2 10
6
kPa
I 2.2 10 6 m4
1
1
k h B 4 1000 * 0.3 4 2.03m 1 4 E I 4 * 2,000,000 * 0.0000022 p Pero L= 3.75m, véase figura 1.13 por lo tanto, βL = 7.61 = 2.03 x 3.75
2- determinar el desplazamiento lateral y la pendiente, debido a la fuerza de 8kN. (ecuación 1.21) L Z
0 En la cabeza del pilote
Z I
7.61
0
2.1 determinado KΔH La z = 0, por lo tanto
Z L
0
3.75
0 y L
7.61
(usamos 5.0)
Razones: Tabla 1.1 factores de influencia para la solución lineal βL
Z/L
K (ΔH)
K (θH)
K (ΔM)
K (θM)
2.0
0
1.1376
1.1341
-1.0762
1.0762
3.0
.125
0.649
0.8919
-0.3854
0.6433
4.0
0
1.0008
1.0015
0.0282
-0.0847
5.0
0
1.0003
1.003
-1.0003
1.0002
La tendencia de K ( ΔH) para valores De βL > 5.0 y Z/L = 0 es de 1.0 KΔH = 1.0 Similar conclusión para el valor de K ( θH)
Por tanto
K H 1.0 K H 1.0 d B 0.3m
Carga lateral = 8 KN M = M0 = desconocido
H
2 H
282.03
1.0 0.108m 108mm 1 , 000 0 . 3 k h d 2 2 2 H 282.03 1.0 0.219rad H K H 1,0000.3 k h d H
K H
3- determinar el desplazamiento lateral y la pendiente, debido al momento M. (ecuación 1.22) Z
La z = 0, por lo tanto M
M
2 M 0
2
k h d 2 M 0
3.75
0 y L
7.61
2 M 2.03
2
1.0 0.0275 Mm 10000.3 2 M 2.03 1.0 0.056rad 1000
K M
3
3
k h d
L
0
K hH
Para la rotación restringida en la cima QH + θM = 0 (no rotación) θH = rotación debido a carga lateral H en la cabeza del pilote θH = rotación debido al momento no en la cabeza del pilote 0.056 M 0.219 0
M
0.219 0.056
3.9107 KN .m M o
Como: M 0.0275 M
M 0.0275 3.9107 0.1076 0.108 KN .m
Desplazamiento total = desplazamiento horizontal por carga lateral H + desplazamiento lateral debido al momento M = M 0 Δtotal = ΔH + ΔM = 0.108m + 0.108m =0.216m Por tanto el desplazamiento total = 0.216 m.
1.3.2 método no lineales Muchos métodos numéricos no lineales vienen siendo populares hoy en día debido a la superior disponibilidad de capacidad computacional. De ellos los mas ampliamente usados son el método de análisis de matriz de rigidez y el de fuerza lateral –deflexión (p-y)
1.3.2.1 métodos de análisis usando la matriz de rigidez Este metido también es conocido como método de elemento finito debido a la semejanza en la formulación básica del convencional método de elemento finito y método de análisis de matriz de rigidez. Primero. El pilote es discretizado dentro de un número de elemento (vigas) dimensionales. La figura 1.14 muestra una discretización de un pilote en preparación para un análisis de carga deflexión. Las siguientes notaciones aplican a la figura 1.14 1,2,…N (en negrita) –numero de nodo
Pi (i par)- fuerzas laterales internas en los elementos concentrados agrupados en los nodos. Pi (i impar) – momentos internos en los elementos concentrados agrupado en los nodos Xi (i par) – deflexión nodal de cada elemento del pilote. Xi (i impar) – rotación nodal para cada elemento del pilote. K3 – resistencia lateral del suelo representado por resorte rígido equivalentes (KN/m). Basados en relaciones de pendiente-deflexión en análisis estructurales, las siguientes relaciones de rigidez pueden ser escritas para elementos de pilotes libres.
Figura 1.14 método de matriz de rigidez para analizar pilotes lateralmente cargados Donde EI es la rigidez del pilote y L es la longitud para cada elemento del pilote. Si se asume el pilote como una viga en una fundación elástica, entonces el modulo de reacción lateral del subgrado k h a cualquier profundidad puede ser relacionado a la deflexión lateral del pilote en esa profundad por la siguiente expresión:
p
k h y
Por lo tanto la rigidez del resorte Kj puede ser expresada convenientemente en término del modulo de reacción lateral del subgrado kh como sigue: Para los nodos enterrados:
Kj LBk h
Para los nodos superficiales:
Kj
0.5 LBk h
Donde B es el ancho del pilote (o el diámetro) 1.3.2.1.1 estimación del modulo de reacción horizontal (lateral) del subgrado k
h
Bowles (1996) sugirió el uso de la siguiente relación para evaluar k h (en diferentes nodos) correspondiendo a diferentes profundidades. k h
Ah
n
Bh Z
Donde Ah y Bh son evaluados las expresiones de capacidad de soporte siguientes:
Ah
F w1C mC cN c
Bh
F w2C mC N q
0.5 BN
Donde z es la profundidad del punto evaluado. Los siguientes valores son sugeridos por Bowles (1996) para las constantes de arriba: C = 40 cuando se usa unidades de kN/m 3, Cm = 1.5-2.0, n = 0.4-0.6 y Fw1 = 1.3 – 1.7 Fw2 = 2.0 – 4.4 Para pilotes redondos Estas ecuaciones pueden ser usadas para evaluar k h y por lo tanto KJ en cada nodo relevante. Esto es ilustrado en el siguiente ejemplo.
Determinación de la matriz 1.23 Solución por elemento finito de la viga sobre una fundación elástica. El método de elemento finito es el más eficiente para resolver el tipo de problema de una viga sobre una fundación elástica. Ecuaciones generales para la solución: P i
Ai F i
Esta quiere decir, que las fuerzas externas P pueden ser relacionadas con las fuerzas internas F mediante una constante A. P y F pueden ser fuerzas o momentos. Para todos los nodos tenemos: P
AF
Podemos relacionar la deformación interna e con el desplazamiento externo X mediante una constante B e
BX
Donde e y X pueden ser rotaciones o desplazamientos. También podemos decir que la constante B es igual a la traspuesta de A de esta forma: e
T
A X (b)
Tenemos que las fuerzas internas F están relacionadas con los desplazamientos internos e mediantes: F
Se (c) Estas tres ecuaciones fundamentales en el método de análisis de elemento finito.
Substituyendo (b) en (c) F
Se
T
SA X
(d)
Substituyendo (d) en (a) P
AF
T
ASA X (e)
Efectuando una suma de momento en el punto 1 en la figura d tenemos
M
0
1
P 1 F 1 0 F 2 0 F 3 0 F 4 0 P 1
F 1 0 F 2 0 F 3 0 F 4
Similarmente haciendo suma de fuerzas en el mismo punto:
F 1
P 2
P 2
F 2
L L F 1 F 2
L
L
F 3 0 F 4
0
F 3 0 F 4
Suma de momentos en el punto 2 en la figura d:
M
2
0
P 3 0 F 1 F 2 0 F 3 0 F 4 0 P 3
0 F 1 F 2 0 F 3 0 F 4
Suma de fuerzas en el punto 2
P 4
F 1
P 4
L F 1 L
F 2 L F 2 L
0 F 3 F 4 0 0 F 3 F 4
Por lo tanto la matriz A seria
EA=
Desarrollando matriz s De acuerdo al principio de área momento:
e1
1 3
e
2
1
1
2
2
2
4
2 L 3 F 1 L
F 1 L
L
3 EI
L
L F 2 L 1 2 3 F 1 L 2 1
L
6 EI
L
L F 2 L 4 2 3 F 2 L 3 1
L
6 EI
L
2 L F 2 L 3 2 3 F 2 L 4 1
L
e1
e2
3 EI
L
F 1 L
F 2 L
3 EI
(i)
6 EI
F 1 L
F 2 L
6 EI
3 EI
(j)
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones i y j para el primer segmento, donde L = a tenemos:
F 1 F 2
4 EI
a 2 EI a
e1 e1
2 EI
a 4 EI a
e2
e2
Y similarmente 4 EI
F 3
F 4
b
e5
2 EI
b
2 EI
b
4 EI
b
e6
e6
La fuerza F 11 es simplemente F 3
K 1e3
F 4
K 2e4
Luego K 1
L
2
Bks
K 2
L
2
Bks
Ejemplo 1.3 Evaluar la rigidez de los resortes equivalente para cada nodo de un pilote cuadrado de 300 mm x 300 mm mostrado en la figura 1.15. Asumir que el valor de SPT (N) promedio corregido por efecto de la sobrecarga del terreno (overburden) y el peso unitario de la capa de arena es 15 y 16.5 KN/m 3 respectivamente Solución: Primeramente se debe calcular los coeficientes de capacidad de carga N c, Nq y Nγ La estimación de estos coeficiente de resistencia al corte C y ϕ derivados de la prueba SPT (Standard penetration test) de campo Existen varias formulas empíricas para estimar el valor del Angulo ϕ por tratarse de arena C = 0 (N1)60 = Cu N60 Corrección por profundidad de la prueba – efectote la presión de confinamiento σ0’ a la prof Z de la prueba.
1 C u 0 pa
0.5
1 41 . 25 100
0 q z 16.5 KN / m 2
0.5
1.49
5m 2
41.25 KN / m 3
N 60 N 60
N
1 60
C u
15 1.49
10
Según Hatanalc y Ushida (libro Das) pg 82
20 N 1 60 20
20 15 20 37.32
Según peek-Hanson.
' 27.1 0.3 N 1 60 0.0054 N 1 60
2
27.1 0.315 0.005415
2
31.48 ' promedio
37.32 31.48
34.4
2
Usando la tabla 3.4 (libro Das) pg 138 Para ' 34
N c 42.16 N q 29.44 N 41.06
Como es pilote cuadrado F w1
F w 2 C m
c
1 .0 1.0
1.5a 2.0
0.4a 0.6 40
3- ecuación para la variación de kh Aplicando la ecuación 1.27 k h
Ah
n
Bh Z
0.5
6097 28710 Z
3
en KN m
4- evaluando la ecuación anterior para valores de z. z 0 kh
6,097
6097 287100
0.5
kN m
3
6097 kN m
3
z 1m kh
z kh
6097 287101
0.5
kN m
3
34,807 kN m
3
2m
Valores de k h con la profundidad
34,807
6097 287102
0.5
kN m
0.5
kN m
3
46,699kN / m
55.824 kN m
3
z 3m kh
6097 287103
3
3
46,699 kN/m
55,824 kN/m
34,807
46,699
55,824
5- procedimiento para calcular los valores K de los resortes a) en la superficie b) a un metro de profundidad c) a 2 metro de profundidad Suponiendo que el pilote se ha dividido en 4 elementos El primer elemento va del punto 1 a punto 2 (superficie del terreno) El segundo elemento de 2 a 3 (L= 1 m) El tercer elemento de 3 a 4 (L = 1 m) El cuarto elemento de 4 a 5 (L = 1 m) Como el valor K h varia con la profundidad, se deben usar valores promedio dentro de ciertos rangos de profundidad K h
6097 28.710 Z
Z
0 K h
Z
0.25
K h
Z K h
K h
6097
6097 28,7100.25
0.5
20,452 kN m
3
0.5
Z
0.5
6097 28.7100.5
0.5
26,398 kN m
3
0.75
6097 28.7100.75
0.5
30,960 kN m
38,196 kN m
3
Z 1.25 K h
6097 28,7101.25
0.5
3
Z 1.5 K h
6097 28,7101.5
0.5
41,259kN / m
3
Z 1.75 K h
Z K h
K h
K h
44,077 kN m
3
6097 28,7102.25
0.5
49,162 kN m
3
2.50
Z
0.5
2.25
Z
6097 28,7101.75
6097 28,7102.5
0.5
51,491 kN m
3
2.75
6097 28,7102.75
0.5
53,707 kN m
3
5- calculo de la K del resorte en los nodos Nodo superficial K 2 K 2
K 5
0.5 LBK h
LBK h
Donde B = ancho del pilote en la dirección de la carga horizontal Kh = valor promedio de K h con la profundidad debido a que varia de valor según la profundidad. En las dos figuras a continuación se indica dos alternativa para obtener los promedios K h → con el propósito de conocer la K de los nodos
Según estas alternativas los valores de K g varían Nodo 2 3 4 5
KJ (KN/m) Alternativa 1 Alternativa 2 3068 2437 10,373 10,149 13,985 13,912 16,097
La figura 1.15 también muestra la distribución de Kh con la profundidad y el resorte rigido equivalente correspondiente a cada nodo. Las matrices de elementos rígidos dadas por las expresiones tales como la ecuación 1.23 pueden ser reagrupadas para producir la matriz global de rigidez usando los principios básicos de análisis estructural. Durante este proceso, los resortes rígidos Kj de cada nodo bajo tierra pueden ser agregados a la correspondiente diagonal de elemento de [K] [P] = [K] [X] Entonces, conociendo el global de fuerza se puede resolver la ecuación 1.29 para obtener global de deflexión.
Ejemplo 1.4 Un pilote de acero de 300 mm de ancho mostrado en la figura 16 es miembro de un grupo que se mantienen unido por un cabezal de pilote que ejerce una carga lateral de 8Kn sobre el pilote dado y cierta magnitud del momento requerido para restringir la rotación en la cabeza del pilote El coeficiente del modulo horizontal del subgrado es 1000 Kn /m 3 y no varia con la profundidad determine la fuerza P y los vectores de deflexión asumiendo que el numero total de nodo es 6. También ilustre el procedimiento de solución para obtener la deflexión lateral del pilote y el momento requerido en el cabezal. Asumir que el segundo momento del área I de la sección de acero es 2.2x10 -6 m4 y el modulo clástico del acero es 2.0x10 6 kPa.
P1 = momento aplicado a la cabeza del pilote P2 = carga horizontal = 8 KN
Calculo de los valores K de los resortes en los nodos
P1 = M1 = momento ofrecido por el cabezal para disponer de cabeza restringida P2 = 8 KN carga lateral aplicada P3 = 0 (momento externo) P4 = 0 (no hay carga externa aplicada P5 = 0 momento externo P6 = 0 no hay carga externa aplicada P7 = 0 momento externo P8 = 0 no hay carga externa P9 = momento externo P10 = 0 no hay carga externa aplicada P11 = M11 = momento que deben desarrollarse dentro del empotramiento del suelo para que la rotación sea = 0 en el fondo del pilote ( θ6 = 0) P12 = fuerza horizontal desconocido que asegura no se producirá desplazamiento en el fondo del pilote 6 0
Vector de deflexión [X] θ1 = x1 = 0 no rotación en la cabeza del pilote Δ1 = x2 = Δ = valor del desplazamiento valor requerido θ2 = x3 Δ2 = x4 θ3 = x5 Δ3 = x6
θ4 = x7 Δ4 = x8 θ5 = x9 Δ5 = x10 θ6 = x11 = 0 (no rotación) Δ6 = x12 = 0 no desplazamiento del fondo del pilote
Puede observarse que en el extremo b del pilote se añadió una fuerza desconocida P
1- determine el vector global de fuerza externa:
2- vector de deformación externa:
3- matriz de rigidez para los 4 primeros elementos (L = 1m) Elemento 1 2 3 4
Nodo 1a2 2a3 3a4 4a5
L 1m 1 1 1
Reemplazamos los valores de EI y L en la matriz mostrada EI = 2x106x2.2x10 -6 =4.4m2
12
4 matrices de rigidez para el elemento 5. (L =0.75m) de nodo 5 a extremo b
Matriz 3 x 3 26.4 0 0
52.8 0 0
26.4 0 0
= K11
Matriz 3 x 9 -52.8 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 11.7 -46.9
0 46.9 -125.2
0 23.5 -46.9
0 -46.9 125.2
Matriz 9 x 3 17.6 8.8 -26.4 0 0 0 0 0 0
26.4 26.4 -52.8 0 0 0 0 0 0
8.8 35.2 0 8.8 -26.4 0 0 0 0
= K21
Matriz 9 x 9 -26.4 0 255.6 26.4 -52.8 0 0 0 0
0 8.8 26.4 35.2 0 8.8 -26.4 0 0
0 -26.4 -52.8 0 405.6 26.4 -52.8 0 0
0 0 0 8.8 26.4 35.2 0 8.8 -26.4
0 0 0 -26.4 -25.8 0 405.6 26.4 -52.8
Como: [P] 2 = [K]21 [X]1 + [K]22 [X]2 [X]2 = - [K21] [X]1 + [K]-122 [P]2 = [K]-122 [P]2 Dado que [x] 1 = [0,0,0]
0 0 0 0 0 8.8 26.4 41.1 20.5
0 0 0 0 0 -26.4 -52.8 20.5 440.5
0 0 0 0 0 0 0 11.7 46.9
0 0 0 0 0 0 0 -46.9 -125.2
= K22
= K12
Reemplazando en: [P]1 = [K]11 [X]1 + [K]12 [X]2 [P]1 = [K]12 [K]-122 [P]2 [P]2 = [800000000] puede calcularse M1 M11 P12 Con la ecuación
[X] 2 = [K]-122 [P]2
Calcular Δ θ2 Δ2 θ3 Δ3 θ4 Δ4 θ5 Δ5 Por lo tanto, la fuerza externa desconocida puede ser determinada a partir de la ecuación (1.37). Por consiguiente, a partir de la ecuación (1.36), Δ = 0.304m y M1 = 16kN m. entonces, por la sustitución en la ecuación (1.36) la deflexión desconocida [X] 2 puede ser determinada. 7 – resolviendo ecuación
Operación [K] 12 [P]2 [K]12 -52.8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11.7
46.9
23.5
-46.9
0
0
0
0
0
-46.9
-125.2
46.9
125.2
[P]12 8 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
[K]12 [P]2 -422
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Operación [K] 12 [P]2 * [K]22-1 [K]22-1 -0.0379 0 0 0 0 0 1.1002 -0.23 0.114 0 0 0 0.3667 -0.11 0.038 0 0 0 -8.5561 3.419 -0.84 -0.23 0.114 0 -1.423 0.837 -0.13 -0.11 0.038 0 7.0388 -13.7 0.201 3.419 -0.84 -0.23 -8.3284 -0.2 -0.97 0.837 -0.13 -0.11 206.7155 -55.7 21.44 -2.75 -0.97 1.504 51.6903 -24.9 4.869 2.57 -0.99 0.126
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.118 0 0 0.038 0 0 -0.29 -0.17 0.064 0.045 -0.06 0.016
[K]12 [P]2* [K]22-1 16.00896 0 0
0 0 0
[M1 M11 P12] =
M1 = 16.01 kN.m
0 0 0
16.00896 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Luego [K] 22-1 [P]2 [P]2 8 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
[K]22-1 -0.0379 0 0 0 0 0 0 0 1.1002 -0.23 0.114 0 0 0 0 0 0.3667 -0.11 0.038 0 0 0 0 0 -8.5561 3.419 -0.84 -0.23 0.114 0 0 0 -1.423 0.837 -0.13 -0.11 0.038 0 0 0 7.0388 -13.7 0.201 3.419 -0.84 -0.23 0.118 0 -8.3284 -0.2 -0.97 0.837 -0.13 -0.11 0.038 0 206.7155 -55.7 21.44 -2.75 -0.97 1.504 -0.29 -0.17 51.6903 -24.9 4.869 2.57 -0.99 0.126 0.045 -0.06
-0.3032 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
[ Δ θ2 Δ2 θ3 Δ3 θ4 Δ4 θ5 Δ5] = [K] 22-1 [P]2 Δ = - 0.3032m
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0.064 0.016
0 0 0
8 – resolviendo todas las incógnitas del sistema. Para obtener todos los valores que desconocemos, formulamos las 12 ecuaciones y las resolvemos simultáneamente. [P] = [K] [X] [P] = [M1] 8 0 0 0 0 0 0 0 0 M11 P12] [X] = [ 0 Δ θ2 Δ2 θ3 Δ3 θ4 Δ4 θ5 Δ5 0 0]
Para obtener las ecuaciones, multiplicamos la matriz de rigidez K por el vector X Ecuaciones 26.4 8.8 2
26.4 2 M 1 0
52.8 26.4 2
52.8 2 8
26.4 35.2 2
8.8 3 26.4 3 0
52.8 255.6 2 26.4 3 52.8 3 0 8.8 2
26.4 2 35.2 3 8.8 4 26.4 4 0
26.4 2 52.8 2 405.6 3 26.4 4 52.8 4 0 8.8 3
26.4 3 8.8 5 26.4 5 0
26.4 3 52.8 3 405.6 4 26.4 5 52.8. 5 0 8.8 4
26.4 4 41.1 5 20.5 5 0
26.4 4 52.8 4 20.5 5 440.5 5 0 11.7 5
46.9 5 M 11 0
46.9 5 125.2 5 P 12 0
Arreglo matricial de las ecuaciones anteriores:
Resolviendo el sistema simultáneamente:
0.3668m
2
0.2864rad
2 0.0721m
3
0.0166rad
3 0.095m
4
0.0033radç
4 7.09 10
5
7.77 10
5 2.26 10
M 1
4
4
rad
m
5.26kN .m
M 11 P 12
5
0.0015kN .m
0.008kN
