DISEÑO DE ESTRUCTURA MELALICAS SECCION COMPUESTA

DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO CONSTRUCCIÓN COMPUESTA

Viga compuesta con una abertura reforzada en el alma

Armadura o larguero compuesto

Viga compuesta con tacones (stub girder)

Oscar de Buen López de Heredia

DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO CONSTRUCCIÓN COMPUESTA



Viga compuesta con tacones (stub girder)


SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL, A.C.

DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO CONSTRUCCIÓN COMPUESTA CAPÍTULO 8 Oscar de Buen López de Heredia

© Derechos reservados 2004 Fundación ICA, A.C. Av. del Parque 91 Colonia Nápoles C.P. 03810 México, D.F Tel. 52 72 99 91 Ext. 2722 – 2751 Fax. 2753 e-mail: [email protected] http://fundacion-ica.org.mx Derechos exclusivos de edición reservados para todos los países de habla hispana. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin autorización escrita de los editores ISBN 968-5520 09-7 Impreso en México

Construcción compuesta

3

CAPÍTULO 8

8.1

Introducción .................................................................................................

7

8.2

Sistemas de piso ..........................................................................................

7

8.3

Miembros en flexión ......................................................................................

10

Ventajas de la construcción compuesta ..................................................... Acción compuesta ................................................................................ Hipótesis de diseño ..............................................................................

11 12 14

8.3.3.1 Determinación de fuerzas ............................................................ 8.3.3.2 Análisis elástico ......................................................................... 8.3.3.3 Análisis plástico .........................................................................

14 15 15

Ancho efectivo de la losa ....................................................................... Armado .............................................................................................. Resistencia de diseño de vigas de alma llena con conectores de cortante ....... .

15 18 18

8.3.6.1 Resistencia de diseño en zonas de momento positivo .......................

19

Distribución de esfuerzos en la sección plástificada .......... Acción compuesta completa ........................................

19 20

8.3.1 8.3.2 8.3.3

8.3.4 8.3.5 8.3.6

8.3.6.1.1 8.3.6.1.2

8.3.6.1.2.1 8.3.6.1.3

Acción compuesta parcial ............................................ 8.3.6.1.3.1

35 36 38

Acción compuesta completa ......................................... Acción compuesta parcial .............................................

39 42

Vigas ahogadas en concreto ...................................................................

44

8.3.7.1 Aspectos generales .................................................................... 8.3.7.2 Resistencia de diseño .................................................................

44 45

Resistencia de diseño de secciones plastificadas ..............

46

Conectores de cortante .........................................................................

52

8.3.8.1 Aspectos generales .................................................................... 8.3.8.2 Resistencia ..............................................................................

52 54

Losa maciza ..............................................................

54

8.3.7.2.1 8.3.8

Resistencia en flexión ..............................

21

8.3.6.2 Resistencia de diseño en zonas de momento negativo ...................... 8.3.6.2.1 8.3.6.2.2 8.3.7

Vigas de acero con un solo eje de simetría ...

8.3.8.2.1


4

8.3.8.2.1.1 8.3.8.2.1.2 8.3.8.2.2

Losa sobre lámina acanalada ......................................... 8.3.8.2.2.1

54 56 56

Nervaduras paralelas a la viga de acero ........................................ Nervaduras perpendiculares a la viga de acero .....................................

58

8.3.8.3 Colocación y espaciamiento de los conectores ................................

66

Cortante longitudinal en la losa ............................................................... Resistencia durante la construcción ......................................................... Resistencia de diseño en cortante ............................................................ Estados límite de servicio ......................................................................

69 71 71 71

8.3.12.1 Deflexiones ............................................................................

72

Aspectos generales ................................................. Deflexiones instantáneas ......................................... Reducción del momento de inercia por deslizamiento entre losa y viga ............................. Deflexiones por cargas permanentes o de larga duración .................................................

72 73

8.3.13 Armaduras compuestas ........................................................................

87

Aspectos generales .................................................................. Definiciones ............................................................................ Cargas .................................................................................. Consideraciones de diseño ........................................................ Procedimiento de diseño ...........................................................

87 90 90 90 93

8.3.13.5.1 Cuerda inferior ....................................................... 8.3.13.5.2 Cuerda superior ..................................................... 8.3.13.5.3 Losa de concreto .................................................... 8.3.13.5.4 Resistencia en flexión ............................................. 8.3.13.5.5 Alma .................................................................... 8.3.13.5.6 Conectores de cortante .............................................

93 93 94 94 95 96

8.3.13.6 Criterios de servicio ................................................................. 8.3.13.7 Construcción y montaje .............................................................

97 97

8.3.8.2.2.2

8.3.9 8.3.10 8.3.11 8.3.12

8.3.12.1.1 8.3.12.1.2 8.3.12.1.3 8.3.12.1.4

8.3.13.1 8.3.13.2 8.3.13.3 8.3.13.4 8.3.13.5

8.4

Conectores de barra con cabeza ................... Conectores de canal ..................................

Columnas .................................................................................................... 8.4.1 8.4.2 8.4.3 8.4.4

Aspectos generales .............................................................................. Ventajas y desventajas de las columnas compuestas ................................... Limitaciones ........................................................................................ Colocación de las barras de refuerzo ........................................................

58

78 82

110 110 111 112 113


8.4.5

8.4.4.1 Barras longitudinales .................................................................. 8.4.4.2 Estribos ...................................................................................

113 113

Resistencia de diseño ...........................................................................

115

8.4.5.1 Resistencia en compresión axial de columnas cortas ........................ 8.4.5.2 Columnas esbeltas .....................................................................

115 118

Resistencia de diseño .................................................. Columnas con varios perfiles de acero ............................ Transmisión de cargas .................................................

119 120 120

Flexocompresión ..................................................................................

121

8.4.6.1 Determinación “exacta” de Mpx y Mpy ..............................................

123

Perfiles ahogados en concreto .......................................

123

8.4.6.1.1.1 Flexión alrededor del eje x ............................

123

8.4.5.2.1 8.4.5.2.2 8.4.5.2.3 8.4.6

5

8.4.6.1.1

Eje neutro plástico fuera de la sección de acero .......................................... Eje neutro plástico a través de la sección de acero ......................................... a) El ENP pasa por el patín ............................. b) El ENP pasa por el alma ............................. 8.4.6.1.1.2 Flexión alrededor del eje y ........................... Eje neutro plástico fuera de la sección de acero ........................................ Eje neutro plástico a través de la sección de acero ........................................ 8.4.6.1.2

123 125 126 126 127

128 129

Tubos circulares rellenos de concreto ..............................

138

8.4.6.1.2.1 Determinación del momento plástico resistente ...................................... Concreto en compresión .............................................. Tubo de acero y refuerzo longitudinal ..............................

138 138 140


8.1

7

INTRODUCCIÓN

Los sistemas de piso formados por losas de concreto y vigas de acero se emplearon en los edificios, durante muchos años, sin hacer ninguna consideración relativa a su trabajo en conjunto, y desde principios del siglo XX se utilizaron también, con frecuencia, las vigas y columnas de acero recubiertas de concreto, para protegerlas contra la corrosión y las altas temperaturas que generan los incendios; esta práctica tiene el inconveniente de aumentar de manera importante el peso propio de la estructura, sin contribuir a su resistencia, o sin tener en cuenta su incremento. Desde hace varias décadas se vio que se puede obtener un aumento importante de resistencia haciendo que los dos materiales trabajen en conjunto. Una viga de acero que actúa como sección compuesta con la losa puede, con frecuencia, resistir cargas mucho mayores que las que soportaría por sí sola, y la resistencia de una columna de acero ahogada en concreto, o de una sección tubular rellena de ese material, es también apreciablemente mayor que la de la sección de acero aislada o la de una columna de concreto del mismo tamaño. En la actualidad se utiliza la acción compuesta en la mayoría de los casos en que acero y concreto están en contacto, y la protección contra el fuego del acero expuesto se obtiene con pinturas especiales, con recubrimientos de materiales ligeros o con plafones resistentes a las altas temperaturas. 8.2

SISTEMAS DE PISO

El papel principal de los sistemas de piso de los edificios es formar superficies horizontales que reciben las cargas gravitacionales y las transmiten a las columnas.

Además, bajo fuerzas sísmicas o de viento

desempeñan otras dos importantes funciones: permiten que las columnas adopten la configuración necesaria para resistirlas (o forman parte de los contraventeos verticales), y actúan como diafragmas horizontales que distribuyen las fuerzas entre los sistemas resistentes verticales, en proporción a sus rigideces relativas. Los sistemas de piso más frecuentes en edificios modernos están formados por vigas principales, que se apoyan en las columnas, y vigas secundarias, que descansan en las principales; unas y otras pueden ser perfiles laminados o hechos con tres placas soldadas, de alma llena, o armaduras, de alma abierta (Fig. 8.1). Sobre ellas se apoya el piso propiamente dicho, que suele ser una losa de concreto, colada directamente sobre las vigas, o sobre una lámina acanalada de acero; con las vigas secundarias se reducen los claros de las losas a dimensiones económicas.


8

Fig. 8.1 Sistema de piso con losa colada sobre una lámina acanalada. La lámina acanalada es la cimbra del concreto que se cuela sobre ella y, cuando éste se endurece, constituye el armado inferior de la losa.

Si la adherencia entre lámina y concreto es suficiente para impedir el

deslizamiento relativo de los dos materiales, cuando actúan sobre la losa las cargas verticales se desarrolla una acción compuesta; la adherencia se mejora con protuberancias en la lámina, que juegan el mismo papel que las corrugaciones en las varillas del concreto reforzado.

La losa puede colarse directamente sobre las vigas, sin ligarla con ellas, utilizando una cimbra que se quita posteriormente; la lámina puede colocarse también sin unirla a las vigas; la losa transmite las cargas verticales,


9

incluyendo su peso propio, a las vigas, pero no contribuye a resistirlas. En cambio, si entre vigas y losa se disponen elementos adecuados para resistir las fuerzas cortantes que se desarrollan entre ellas cuando trabajan en conjunto, se obtiene una resistencia mucho mayor que la suma de las de los dos elementos aislados. De acuerdo con la manera en que se ligan la losa, simple o con lámina acanalada, y la estructura de acero, se obtiene alguno de los tres tipos de piso siguientes: Piso con losa de concreto que no participa en la resistencia (no participativa). Piso con losa participativa en una dirección; sólo las vigas secundarias actúan como secciones compuestas. Piso con losa participativa en las dos direcciones; tanto las vigas secundarias como las principales trabajan como secciones compuestas. En el segundo caso, la losa con lámina acanalada participa en la resistencia en la dirección perpendicular a las nervaduras de la lámina; los conectores de cortante se colocan en las intersecciones de las nervaduras y las vigas. Para obtener también acción compuesta en la otra dirección, una de las nervaduras ha de coincidir con el patín, o la cuerda superior, de la viga principal, o las láminas se separan para que el concreto se cuele directamente sobre la viga (Fig. 8.2). El sistema de piso formado por una losa de concreto colada sobre una lámina acanalada, que trabaja en construcción compuesta con las vigas de acero es, probablemente, el más común en la actualidad.

a)La lámina acanalada es continua


10

b) La lámina acanalada se discontinúa en la viga. Fig.8.2 Vigas compuestas con losa de concreto sobre una lámina acanalada.

8.3

MIEMBROS EN FLEXIÓN

En las Figs. 8.2 y 8.3 se muestran las secciones compuestas que se han empleado tradicionalmente en los pisos de edificios. Las vigas pueden estar ahogadas en concreto o unidas a la losa con conectores de cortante. En el primer caso, que se usa poco, pues resulta costoso y ocasiona aumentos importantes de la carga muerta, la fuerza cortante se transmite por adherencia y fricción entre la viga y el concreto, y por la resistencia al cortante de éste a lo largo de las líneas interrumpidas A de la Fig. 8.3a, incrementada, si es necesario, con acero de refuerzo colocado a través de ellas. En el segundo caso (Figs. 8.2 y 8.3b) la losa se apoya en la viga, directamente o sobre una lámina acanalada, y la fuerza cortante se transmite con conectores soldados al patín superior de la segunda y ahogados en la primera.

Fig. 8.3 a) Viga de acero ahogada en concreto. b) Viga y losa unidas mediante conectores de cortante.


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Para satisfacer limitaciones de peralte de entrepiso, y para permitir el paso de ductos para instalaciones eléctricas, mecánicas y de otros tipos, en los últimos años se han desarrollado tres variantes de la viga compuesta tradicional (Fig. 8.4): vigas compuestas con aberturas en el alma, largueros de alma abierta y armaduras compuestas, y vigas con tacones (“stub girders”). Con estos sistemas se pueden obtener pisos con relaciones claro/peralte elevadas, sin perder flexibilidad en la colocación de las tuberías y ductos necesarios para la operación del edificio.



Viga compuesta con tacones (stub girder) Fig. 8.4 Vigas compuestas diferentes de la tradicional. 8.3.1

Ventajas de la construcción compuesta

En la construcción compuesta se usa la alta resistencia en compresión del concreto de una manera muy eficiente, pues se logra que una gran parte de la losa, o toda ella, trabaje en compresión, y el porcentaje del área de la viga de acero en tensión es mayor que si la viga estuviese sola, pues la contribución del concreto hace que suba el eje neutro de la sección, lo que también resulta ventajoso; en construcción compuesta completa la resistencia es mucho mayor que la suma de las resistencias de la losa y de la viga, consideradas por separado. La losa constituye una cubre placa de grandes dimensiones conectada a los patines superiores de las vigas, con lo que aumenta apreciablemente el momento de inercia y la resistencia del sistema de piso. Como resultado, para un claro y una carga dadas se requiere menos acero estructural o, sin cambiar de sección, pueden salvarse claros mayores; las flechas producidas por la carga viva se reducen, y si la construcción se hace apuntalando las vigas hasta que se endurezca el concreto, también disminuyen las ocasionadas por la carga muerta.


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Una ventaja adicional proviene de que pueden obtenerse sistemas de piso de menor peralte, lo que reduce la altura total del edificio; esto es especialmente importante en edificios altos, pues disminuye el costo de muros, fachadas, instalaciones, elevadores y ductos verticales, y se reducen las acciones sísmicas o de viento, con el ahorro correspondiente en estructura y cimentación. La principal desventaja de la construcción compuesta la constituyen el precio de los conectores de cortante y el costo de su colocación. La decisión de que la losa participe o no en el trabajo de conjunto del sistema de piso depende en buena parte del tamaño del proyecto; deben compararse las economías que se obtienen al reducir el peso de las vigas de acero y la altura de los entrepisos, asociadas con el uso de secciones compuestas, con el costo de los conectores, incluyendo su colocación.

Aunque no hay reglas absolutas, las losas participativas suelen

proporcionar soluciones más económicas cuando la superficie de los pisos es grande y se requieren varios cientos de conectores de cortante; en edificios de varios niveles son casi siempre ventajosas.

8.3.2

Acción compuesta

Cuando no se toman medidas para transmitir fuerzas cortantes entre la losa de concreto y la viga de acero en la que se apoya, los dos elementos trabajan por separado.

Como las deflexiones de losa y viga son iguales,

una parte de la carga es resistida por la primera; sin embargo, la diferencia entre momentos de inercia y módulos de elasticidad es tan grande que la carga soportada por la losa es muy pequeña, y suele despreciarse. La acción compuesta se desarrolla cuando losa y viga se conectan entre sí de manera que se deformen como una unidad (Fig. 8.5b); la acción compuesta puede ser parcial o completa, lo que depende de cómo se unen los dos elementos.

Si se desprecia la fricción entre la losa y la viga del sistema de la Fig. 8.5a, cada una soporta una parte de la carga, por separado, sin interacción; cuando el piso se deforma por carga vertical, la superficie inferior de la losa, que trabaja en tensión, se alarga, y el borde superior de la viga, en compresión, se acorta, lo que origina una discontinuidad en el plano de contacto (Fig. 8.6a); sólo hay fuerzas verticales entre los dos elementos. Cuando losa y viga actúan como un elemento compuesto (Fig. 8.5b y 8.6c), se generan fuerzas cortantes horizontales que comprimen y acortan la superficie inferior de la losa y alargan la parte superior de la viga, y desaparece el desplazamiento relativo entre ellas.

(Esto sería rigurosamente cierto si los conectores de

cortante fuesen infinitamente rígidos; como no lo son, y también se deforma el concreto que los rodea, hay pequeños desplazamientos relativos, que no influyen en la resistencia última de la viga compuesta, pero sí deben tenerse en cuenta, en algunos casos, en el cálculo de esfuerzos y deflexiones bajo cargas de servicio).


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a) Viga no compuesta

b) Viga compuesta

Fig.8.5 Comparación de vigas deformadas, con y sin acción compuesta. Examinando la variación de las deformaciones unitarias cuando no hay interacción (Fig. 8.6.a), se ve que el momento resistente total es igual a la suma de los momentos de los dos elementos:

M = Mlosa + Mviga

(8.1)

Hay dos ejes neutros, que pasan por los centros de gravedad de losa y viga, y un corrimiento entre el borde inferior de la primera y el superior de la segunda. Cuando la interacción es parcial (Fig. 8.6b) los ejes neutros se acercan y disminuye el corrimiento en la losa y en la viga aparecen fuerzas de compresión y tensión, C’ y T’, de manera que el momento resistente aumenta en la cantidad T’e’ o C’e’. La magnitud de las fuerzas C’ y T’, que depende del grado de interacción, constituye uno de los parámetros más importantes en el comportamiento de las vigas compuestas; las fuerzas en los conectores, las deflexiones y los esfuerzos en losa y viga de acero dependen, todos, de ella. Si la interacción es completa no hay desplazamiento relativo, y el diagrama de deformaciones axiales unitarias es el de la Fig. 8.6c (en este caso se habla de construcción compuesta completa); el eje neutro es único, las fuerzas de compresión y tensión, C” y T”, son mayores que C’ y T’, y el momento resistente es M = T”e”

o

C”e”

(8.2)


14

Fig. 8.6 Distribuciones de deformaciones en vigas, sin y con acción compuesta. 8.3.3

Hipótesis de diseño

8.3.3.1 Determinación de fuerzas

Para determinar las fuerzas en miembros y conexiones de estructuras con vigas compuestas se tiene en cuenta la sección efectiva en el instante en que se aplica cada incremento de carga. Así, en vigas sin puntales la sección de acero sola resiste las cargas aplicadas antes de que se endurezca el concreto, y la sección compuesta las que actúan después. Para fines de diseño se supone que el concreto se ha endurecido cuando alcanza el 75 por ciento de la resistencia de diseño. Si las vigas están apuntaladas adecuadamente durante la construcción, se considera que todas las cargas son resistidas por el elemento trabajando en sección compuesta. Las cargas aplicadas después de que la losa se agrieta en la zona de momento negativo de una viga compuesta continua, provista de conectores de cortante en toda su longitud, son resistidas, en esa zona, por la


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sección de acero y el refuerzo longitudinal presente en el ancho efectivo de la losa, que esté anclado adecuadamente. En análisis plástico se supone que la viga compuesta resiste las cargas íntegras, ya que para que se alcance la resistencia máxima debe haber deformaciones plásticas considerables en las zonas de las articulaciones asociadas con el mecanismo de colapso. En el Art. 8.3.7 se estudian las vigas ahogadas en concreto, y se presentan las hipótesis en que se basa la determinación de su resistencia. 8.3.3.2 Análisis elástico En el análisis elástico de vigas compuestas continuas sin cartelas en los extremos es aceptable suponer que la rigidez es constante en toda la longitud de la viga, y que puede calcularse con el momento de inercia de la sección compuesta transformada en la región de momento positivo. Esta suposición es análoga a la que se hace en el diseño de estructuras de concreto reforzado. 8.3.3.3 Análisis plástico Cuando se emplea este análisis, la resistencia de los elementos compuestos en flexión se determina considerando distribuciones plásticas de esfuerzos en la viga de acero, en la losa de concreto y en el refuerzo longitudinal incluido en el ancho efectivo. Si se trata de vigas con conectores de cortante, para que pueda utilizarse el análisis plástico se requiere que en las zonas de momento positivo el alma de la sección de acero sea compacta (h/ta ≤ 3.71 E / F ), y que en las regiones de momento negativo lo sea la sección completa. Si y h/ta > 3.71 E / F , el momento resistente positivo se evalúa superponiendo esfuerzos elásticos, considerando y los efectos del apuntalamiento, y cuando la sección de acero no es compacta la resistencia en flexión negativa es la de la viga sola. En perfiles laminados h es el peralte del alma medido entre los puntos en que se inician las curvas de unión con los patines, y en secciones de tres placas soldadas, la distancia libre entre patines. 8.3.4

Ancho efectivo de la losa

Cuando las vigas de acero están muy separadas, la losa de concreto no participa de manera uniforme en la resistencia de las vigas compuestas en flexión positiva; la compresión es máxima en la zona situada sobre el patín, y disminuye en puntos cada vez más alejados de él.


16

El concepto de ancho efectivo es útil para determinar la resistencia de elementos estructurales con esfuerzos no uniformes; el ancho efectivo se obtiene de manera que la fuerza interior calculada suponiendo que actúan en él esfuerzos uniformes, de intensidad igual a la máxima, tenga la misma magnitud y línea de acción que la fuerza interior real, que corresponde a los esfuerzos no uniformes. Introduciendo este concepto se trabaja con esfuerzos uniformes equivalentes, en vez de hacerlo con los reales, de distribución complicada. En la Fig. 8.7 se muestra la distribución “real” de los esfuerzos de compresión y la uniforme equivalente, en el ancho efectivo be.

Fig. 8.7 Esfuerzos “reales” y uniformes equivalentes en el ancho efectivo. De los resultados de estudios paramétricos realizados con el método del elemento finito y, sobre todo, de información obtenida experimentalmente, se ha llegado a las conclusiones siguientes, relativas al ancho efectivo, be, de la losa: be varía a lo largo de la viga compuesta, de acuerdo con la relación L/e, donde L es el claro de la viga y e la separación entre vigas adyacentes. La variación es menor cuando aumenta la relación mencionada, y cuando L/e ≥ 4 puede considerarse que el ancho efectivo es constante. El ancho efectivo es algo menor cuando las cargas son concentradas que cuando son uniformes, y es ligeramente superior al alcanzar la resistencia última de la viga compuesta que en condiciones de servicio, en las que el comportamiento es elástico.


17

Es, también, menor cuando la acción compuesta es parcial que cuando es completa, pues al disminuir la rigidez a la flexión disminuye la participación de la losa en el trabajo de conjunto. El efecto del grado de conexión al corte se toma en cuenta en el cálculo de las deflexiones producidas por las cargas de servicio y en la evaluación de la resistencia última, que ya no se basa en la resistencia de la losa, sino en la de los conectores. El ancho efectivo de la losa de concreto, a cada lado del eje de la viga de acero, se toma igual a la menor de las tres dimensiones siguientes (ref. 8.1): (a)

Un octavo del claro de la viga, medido entre centros de los apoyos.

(b)

La mitad de la distancia al eje de la viga adyacente.

(c)

La distancia al borde de la losa.

Estas recomendaciones se resumen en la Fig. 8.8. be=b’e+b’’e b’e ≤ L ≤ e1 8

b’’e ≤

e1

be=b’e+b’’e L e2 ≤ 2 8

b’e ≤

L e2 ≤ 2 8

b’’ ≤

L e3 ≤ 2 8

e2

e3

Fig.8.8 Anchos efectivos de la losa de concreto (losa colocada directamente sobre las vigas o con lámina acanalada). Para simplificar el diseño, el ancho efectivo se basa en el claro teórico, entre centros de los soportes, tanto para las vigas libremente apoyadas como para las continuas, y se aplican las mismas reglas cuando hay losa en los dos lados de la viga de acero que cuando sólo hay en uno, y para determinarlo en condiciones de servicio o para el cálculo de resistencias, cuando la falla es inminente. Además, se ha omitido el límite basado en el grueso de la losa, que aparecía en normas anteriores. Todas estas simplificaciones se basan en los resultados de extensos estudios experimentales (ver, por ejemplo la ref. 8.2). Sin embargo, aunque se ha indicado que el ancho efectivo depende también del grado de la acción compuesta, esta recomendación no se ha incluido en normas de diseño. Los límites anteriores se aplican a las losas macizas y a las coladas sobre lámina acanalada.


18 8.3.5

Armado

La losa debe tener un armado mínimo, necesario por temperatura y por la contracción del concreto; suele colocarse a la mitad de su peralte y consiste, con frecuencia, en una malla electrosoldada de alambres de acero, lisos o corrugados, dispuestos en dos direcciones ortogonales. Debe ser suficiente para soportar las cargas que obran directamente sobre la losa y transmitirlas a las vigas en que se apoya, y para controlar el agrietamiento en las dos direcciones, a lo largo de la viga y perpendicularmente a ella. Como la losa se cuela en forma continua, en las líneas de apoyo sobre muros o vigas principales aparecen momentos flexionantes negativos, aunque las vigas secundarias estén libremente apoyadas, que tienden a fisurar la cara superior de la losa, y que obligan a colocar un armado que resista las tensiones correspondientes. Desde este punto de vista, no conviene apuntalar las vigas durante el colado, pues así se logra que las rotaciones en los apoyos, producidas por las cargas aplicadas antes de que fragüe el concreto, no ocasionen momentos negativos. También debe controlarse el agrietamiento paralelo al eje longitudinal de la viga compuesta. Pueden aparecer grietas sobre la viga de acero debidas a que la losa trabaja perpendicularmente a ella, y por la transmisión de fuerzas cortantes longitudinales por los conectores que se apoyan en el concreto. Estas grietas pueden ocasionar una pérdida importante de la acción compuesta, al hacer que disminuya la eficacia del concreto que rodea a los conectores; por ello, la losa debe reforzarse también en la dirección transversal, normal a la viga. El armado paralelo a la viga que se coloque en zonas de flexión negativa ha de anclarse ahogándolo en concreto que se encuentre en compresión. En la ref. 8.3 se indica que cuando las nervaduras de la lámina son paralelas a la viga, la cantidad mínima de refuerzo transversal, normal a la viga, distribuido de manera uniforme en toda su longitud, ha de ser igual a 0.002 tcL, donde L es el claro de la viga, y el producto tcL representa la superficie de concreto definida por un corte longitudinal, paralelo a la viga. Este límite es aplicable también a las losas macizas; en ellas, el refuerzo se coloca en la parte inferior de la losa, a diferencia del requerido para resistir flexión, y se ancla para que desarrolle su resistencia de fluencia. Si las nervaduras de la lámina son perpendiculares a la viga la cantidad mínima de acero transversal se reduce a 0.001 tcL, porque la lámina acanalada ayuda a reforzar la losa en esa dirección. 8.3.6

Resistencia de diseño de vigas de alma llena con conectores de cortante

Esta sección se aplica a vigas de alma llena libremente apoyadas o continuas, provistas de conectores de cortante, construidas con apuntalamiento provisional o sin él.


19

8.3.6.1 Resistencia de diseño en zonas de momento positivo La losa forma parte del patín comprimido de la sección compuesta. La resistencia de diseño puede quedar regida por la sección de acero, la losa de concreto, o los conectores de cortante. Además, puede quedar limitada por pandeo del alma, si ésta es esbelta y tiene una parte grande en compresión.

Si la relación peralte/grueso del alma no excede de 3.71 E / Fy , una sección I de acero puede plastificarse por completo, en flexión, sin pandeo local prematuro del alma; como no se cuenta con investigaciones sobre el pandeo del alma de vigas compuestas, conservadoramente se ha adoptado ese mismo límite. Si las almas son más esbeltas, se considera, también de manera conservadora, que la aparición del esfuerzo de fluencia constituye el límite de resistencia a la flexión. Cuando la viga no está apuntalada resiste, por sí sola, las cargas permanentes anteriores al endurecimiento del concreto, y los esfuerzos que producen se superponen con los ocasionados por las cargas que se aplican después. Si las vigas se apuntalan adecuadamente durante la construcción, la sección compuesta resiste la carga total. Si el límite de utilidad estructural es la aparición del esfuerzo de fluencia, para calcular los esfuerzos en la sección compuesta se utiliza la sección transformada elástica, que se determina usando la relación n = E/Ec entre los módulos de elasticidad del acero y el concreto. 8.3.6.1.1 Distribución de esfuerzos en la sección plastificada La resistencia máxima en flexión de una sección compuesta se determina considerando que la viga de acero está completamente plastificada, en tensión o compresión, dependiendo de la posición del eje neutro plástico, y que los esfuerzos en el área comprimida de concreto son uniformes, iguales a 0.85 f’c; se desprecian los esfuerzos de tensión en el concreto. En esas condiciones, la fuerza de compresión C en la losa tiene el menor de los valores siguientes: C = AaFy

(8.3)

C = 0.85 f’c Ac

(8.4)

C = ∑Qn

(8.5)

Aa es el área de la sección transversal del perfil de acero, Ac el área total de concreto correspondiente al ancho efectivo, Fy el esfuerzo de fluencia especificado del acero del perfil, f’c la resistencia especificada del concreto en compresión, y ∑Qn la suma de las resistencias nominales al cortante de los conectores colocados entre el punto de momento flexionante positivo máximo y el de momento nulo, a uno y otro lado del primero.


20 En las refs. 8.4 y 8.5 el término 0.85 f c' se sustituye por f c" , que está dado por "

f c = 0.85 f*c = 0.85 (0.8 f’c) = 0.68f’c

(8.6) "

f*c = 0.8 f’c es la resistencia nominal del concreto en compresión, y f c el valor del esfuerzo en el bloque equivalente. Esta modificación proviene de la manera en que se evalúa la resistencia en compresión del concreto en las ref. 8.4 y 8.5. Se desprecia la contribución del refuerzo longitudinal de la losa a la fuerza de compresión C, excepto cuando gobierna la ec. 8.4; en ese caso, en la determinación de C puede incluirse el producto del área del refuerzo, colocado dentro del ancho efectivo, por su esfuerzo de fluencia. Cuando la viga trabaja en construcción compuesta completa, C está gobernada por la resistencia en compresión de la losa de concreto (ec. 8.4) o la resistencia en tensión de la viga de acero, correspondiente a su plastificación completa (ec. 8.3); en construcción compuesta parcial, en cambio, rigen el diseño el número y la resistencia de los conectores de cortante, que determinan la fuerza máxima que puede transmitirse entre concreto y acero. 8.3.6.1.2 Acción compuesta completa La posición del eje neutro plástico (ENP) en secciones plastificadas que trabajan en acción compuesta completa depende de las resistencias de la losa y la viga de acero. Como las fuerzas interiores horizontales son mecánicamente equivalentes a un par (el momento flexiónate en la sección considerada), la compresión y la tensión totales en la sección compuesta son numéricamente iguales. La condición 0.85f’cAc ≥ Aa Fy indica que la resistencia en compresión de la losa es mayor o igual que la de la viga de acero en tensión; en ese caso, para que se cumpla la condición señalada en el párrafo anterior se requiere que no trabaje toda la losa; el ENP está, por tanto, en ella o, en el caso límite, en su borde inferior. Cuando se invierte la condición anterior (0.85 f’c Ac < Aa Fy) la losa no puede equilibrar la fuerza que se generaría en la viga si toda trabajase en tensión; para que se conserve el equilibrio, parte del acero ha de acudir en ayuda del concreto comprimido; el ENP cruza la viga de acero, y la región que queda arriba de él está en compresión. De acuerdo con las características de la sección compuesta, el ENP puede estar alojado en el patín o en el alma de la viga. Conocida la distribución de esfuerzos en el instante que precede a la falla, es fácil determinar la resistencia última en flexión de la sección compuesta.


21

Han de considerarse tres casos, que corresponden a las tres posiciones posibles del ENP: en la losa de concreto, en el patín o en el alma de la sección de acero. En ocasiones es ventajoso utilizar secciones de acero con el patín inferior mayor que el superior, que se obtienen soldando una placa al patín inferior de un perfil I laminado o formando la sección con tres placas soldadas; el eje centroidal horizontal de la sección de acero no es de simetría. En lo que sigue se deducen las ecuaciones generales para evaluar los momentos resistentes de secciones compuestas cuyas vigas de acero tienen un solo eje de simetría, el vertical. Las vigas con dos ejes de simetría constituyen un caso particular. 8.3.6.1.2.1 Vigas de acero con un solo eje de simetría CASO I La losa de concreto resiste la fuerza total de compresión; el ENP la atraviesa o pasa por su borde inferior (0.85 f’c Ac ≥ Aa Fy). En la Fig. 8.9 se muestran los esfuerzos normales y las resultantes de las fuerzas de compresión y tensión que actúan en la sección transversal completamente plastificada. Las áreas de los patines, del alma y de la sección de acero completa son: Área del patín superior

Aps = bps tps

Área del patín inferior

Api = bpi tpi

Área del alma

Aal = (d - tps - tpi) ta

Área total de la sección de acero

Aa = Aps + Api + Aal

d es el peralte de la sección de acero, ta el grueso del alma, y bps, tps, bpi y tpi los anchos y gruesos de los dos patines, superior e inferior. De acuerdo con las hipótesis en las que se basa el diseño de vigas de concreto reforzado, los esfuerzos de compresión en el concreto se consideran uniformes e iguales a 0.85 f’c, y se llama a a la profundidad del bloque de esfuerzos rectangular equivalente; en esas condiciones, la fuerza de compresión en el concreto es

C = 0.85 f’c abe

be es el ancho efectivo de la losa.

(8.7)


22

be

(a) Sección transversal (b) Esfuerzo y resultantes de las fuerzas internas

Fig. 8.9 Esfuerzos y fuerzas interiores cuando la sección desarrolla su resistencia máxima en flexión positiva. CASOI.- El eje neutro plástico (ENP) está en la losa de concreto. La fuerza de tensión T es igual al producto del área de la viga de acero, Aa, por su esfuerzo de fluencia:

T = AaFy

(8.8)

Puesto que la viga trabaja en flexión pura las dos fuerzas, de compresión y tensión, son iguales. C=T

(8.9)

a se determina despejándola de la ec. 8.7, y teniendo en cuenta las ecs. 8.8 y 8.9.

a=

C '

0.85f c b e

=

Aa f y '

0.85f c b e

(8.10)

Como el ENP está en la losa, o en su borde inferior,

a =

Aa f y '

0.85f c be

tc es el grueso de la losa de concreto.

≤ tc

(8.11)


23

El primer paso en la solución de un problema es la revisión de la condición 8.11, para saber si se está, o no, en el caso I. El momento resistente nominal, Mn, vale (Fig. 8.9): Mn = Cd1 ó Td1 Mn = Aa Fy d1

(8.12)

La distancia dt del centro de gravedad de la sección de acero a su borde superior (Fig. 8.9a) es

dt =

0.5Aps t ps + 0.5 Aal (d + t ps - t pi ) + Api (d - 0.5 t pi ) Aa

(8.13)

El brazo del par de fuerzas interiores, d1 = dt + hr + tc - 0.5a

(8.14)

El momento resistente nominal Mn se obtiene llevando el valor de d1 a la Ec. 8.12. hr es la distancia entre el borde inferior de la losa y el superior de la viga; es diferente de cero cuando el concreto se cuela sobre una lámina acanalada, y se anula cuando se apoya directamente en la viga. CASO II La losa de concreto no resiste, por sí sola, la fuerza total de compresión; el ENP atraviesa la viga. Se caracteriza por la condición a = Aa Fy/0.85 f’c be > tc. Como toda la losa trabaja en compresión, la fuerza en el concreto, Cc, es 0.85 f’c be tc. Deben considerarse dos subcasos, pues el ENP puede pasar por el patín o por el alma de la viga; el límite que los separa corresponde al ENP en el borde inferior del patín. Cuando el ENP está en el borde inferior del patín, C = Cc + Ca = Cc + Aps Fy T = (Aa - Aps) Fy

(8.15) (8.16)


24

C es la compresión total, suma de las compresiones en el concreto, Cc, y en el acero, Ca. SUBCASO IIa Si C ≥ T, donde C y T se calculan con las ecs. 8.15 y 8.16, el ENP se corre hacia arriba, para que disminuya la fuerza de compresión, aumente la de tensión, y se cumpla la condición de equilibrio, C = T. El ENP está en el patín (Fig. 8.10).

(a) (b)

Sección transversal Esfuerzos y resultantes de las fuerzas internas

Fig. 8.10 Esfuerzos y fuerzas interiores cuando la sección desarrolla su resistencia máxima en flexión positiva. SUBCASO IIa.-El eje neutro plástico (ENP) está en el patín de la viga de acero. La fuerza de compresión total es la suma de las compresiones en la losa, Cc, y en la parte superior del patín de la viga de acero, Ca. Cc = 0.85 f’c be tc

(8.17)

T’ = Cc + Ca = Aa Fy - Ca T’ es la tensión total, en la viga de acero. De la última igualdad se despeja Ca.

Ca =

Aa Fy - C c 2

(8.18)


25

La profundidad de la zona comprimida del patín, tpc, se obtiene de la igualdad Ca = bps tpc Fy ∴ tpc = Ca/bps Fy

(8.19)

La distancia dt del centro de gravedad del área de acero en tensión al borde superior de la viga es (Fig. 8.10a)

dt =

0.5 Aps t ps + 0.5 Aal (d + t ps - t pi ) + Api (d - 0.5 t pi ) - 0.5 bps t pc 2 Aa - bps t pc

(8.20)

Las distancias d’2 y d”2 entre las líneas de acción de las fuerzas de compresión Cc y Ca y la de tensión T’ son (Fig. 8.10, a y b): d’2 = dt + hr + 0.5 tc

(8.21)

d”2 = dt - 0.5 tpc

(8.22)

Finamente, la resistencia nominal en flexión de la sección se obtiene tomando momentos respecto a un punto de la línea de acción de T’: Mn = Cc d 2' + Ca d”2

(8.23)

SUBCASO IIb Cuando C < T (ecs. 8.15 y 8.16), la suma de las fuerzas de compresión en la losa y en el patín superior completo de la viga es menor que la tensión en el resto del perfil de acero; para que haya equilibrio el eje neutro plástico debe bajar hasta que se igualen C y T, de manera que atraviesa el alma de la viga (Fig. 8.11) La ecuación para evaluar el momento resistente nominal se determina como sigue: Cc = 0.85 f’c be tc

(8.17)

Ca = 0.5 (Aa Fy - Cc)

(8.18)

Estas dos ecuaciones se obtuvieron en el subcaso IIa. Área de acero en compresión Aac = Aps + hcta hc es la profundidad de la parte de alma en compresión.

(8.24)


26

Ca = (Aps + hc ta) Fy ∴ hc =

(c) (d)

Ca - Aps Fy t a Fy

(8.25)

Sección transversal Esfuerzos y resultantes de las fuerzas internas

Fig.8.11 Esfuerzos y fuerzas interiores cuando la sección desarrolla su resistencia máxima en flexión positiva. SUBCASO IIb; El eje neutro plástico está en el alma de la viga de acero. Distancia del centro de gravedad del área de acero en compresión al borde superior de la viga (Fig. 8.11a):

dc =

0.5 Aps t ps + hct a (t ps + 0.5 hc ) Aac

(8.26)

Distancia del centro de gravedad del área de acero en tensión al borde inferior del perfil de acero (Fig. 8.11a):

dt =

0.5 Api t pi + 0.5 Aal (d - t ps + t pi ) + 0.5 Aps (2d - t ps ) - Aac (d - d c ) Aa + Aac

(8.27)

Distancias entre las líneas de acción de las fuerzas de compresión y la de tensión (Fig. 8.11, a y b), y momento resistente nominal: d’3 = d + hr + 0.5 tc - dt

(8.28)

d”3 = d - dc - dt

(8.29)

Mn = Ccd’3 + Cad”3

(8.30)


27

Todas las ecuaciones anteriores son aplicables a secciones compuestas con la losa colada directamente sobre la viga, haciendo hr igual a cero. Para cumplir con los requisitos de las refs. 8.4 y 8.5 basta sustituir, en todos los casos, f’c por f*c (ec. 8.6). La secuela para calcular el momento resistente nominal de una sección que trabaja en acción compuesta completa, formada por una losa de concreto maciza o con lámina acanalada, y un perfil de acero de alma llena con un eje de simetría (los patines son desiguales), en flexión positiva, es la siguiente: 1.

Se determina a, peralte del bloque de compresión en la losa, con la ec. 8.10.

2.

Si a ≤ tc (ec. 8.11) el ENP atraviesa la losa de concreto ( o está en su borde inferior). Mn se calcula con la ec. 8.12.

3.

Si a > tc pueden presentarse dos casos, pues el ENP puede pasar por el patín o por el alma del perfil de acero. Para saber en qué caso está un problema dado, se supone que el ENP pasa por la base del patín superior y se calculan C y T con las ecs. 8.15 y 8.16.

a)

Si C ≥ T, el ENP está en el patín de la viga de acero, o en su borde inferior. Se utilizan las ecuaciones 8.17 a 8.23.

b)

Si C < T, el ENP está en el alma; las ecuaciones que se emplean son la 8.17, la 8.18 y de la 8.24 a la 8.30.

La sección de acero con dos ejes de simetría es un caso particular, que se resuelve con las ecuaciones anteriores, haciendo bps = bpi = b, tps = tpi = tp, Aps = Api = Ap. En la ref. 8.2 se deducen fórmulas aproximadas para evaluar la resistencia máxima en zonas de momento positivo, y se presenta un procedimiento directo de diseño basado en ellas. En los ejemplos 8.1 a 8.4 se calculan los momentos resistentes de diseño de cuatro secciones compuestas; las vigas de acero de los ejemplos 8.1 y 8.2 tienen dos ejes de simetría, y en los ejemplos 8.3 y 8.4 el patín inferior es mayor que el superior.

EJEMPLO 8.1 Calcule el momento resistente de diseño en flexión positiva (losa en compresión) de la sección compuesta de la Fig. E8.1.1. El perfil estructural es una IR762 mm x 147.4 (ref. 8.6) de acero A36. El concreto de la losa tiene una resistencia f’c = 250 Kg/cm2, y la sección trabaja en acción compuesta completa. Utilice: a) Las normas LRFD-AISC 99 (ref. 8.1); b) Las Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal (refs. 8.4 y 8.5). Propiedades del perfil de acero Aa = 187.8 cm2.

h/ta = 68.0/1.32 = 51.5 < 3.71 E / Fy = 105.3 ∴ El alma es compacta.


28 a)

Normas LRFD-AISC 99

1.

Peralte del bloque de compresión de la losa (ec. 8.10):

a= 2.

Aa Fy 0.85 f' c be

=

187.8 x 2530 0.85 x 250 x 300

= 7.5 cm

a = 7.5 cm < tc = 8.0 cm ∴ El eje neutro plástico pasa por la losa de concreto ; Mn se calcula con la ec. 8.12.

Como la sección de acero tiene dos ejes de simetría, la ec. 8.13 se reduce a dt = d/2. Brazo del par resistente (ec. 8.14): d1 = dt + hr + tc - 0.5a = 0.5 x 75.3 + 7.6 + 8.0 - 0.5 x 7.5 = 49.5 cm Momento resistente nominal (ec. 8.12): Mn = Aa Fy d1 = 187.8 x 2530 x 49.5 x 10-5 = 235.3 Tm El momento plástico de la sección de acero es de 129.4 Tm; al considerar el trabajo compuesto de viga y losa la resistencia a la flexión se incrementa en 82% (2235.3/129.4 = 1.82).

Fig. E8.1.1 Viga compuesta del ejemplo 8.1 Momento resistente de diseño: MR = FR Mn = 0.85 x 235.3 = 200.0 Tm


b)

29

Normas Técnicas Complementarias del Reglamento del D.F.

Se sustituye f’c por f*c = 0.8 f’c = 200 Kg/cm2.

a=

Aa Fy 0.85 f * c b e

Ec. 8.15

=

187.8 x 2530 0.85 x 200 x 300

= 9.3 cm > 8.0 ∴ El eje neutro plástico atraviesa la sección de acero.

C = Cc + Ca = f”c be tc + btp Fy = (170 x 300 x 8 + 26.5 x 1.7 x 2530)10-3 = 408.0 + 114.0 = 522.0 Ton (Cc = 408.0 Ton)

Ec. 8.16

T = (Aa - btp)Fy = (187.8 - 26.5 x 1.7) 2530 x 10-3 = 316.3 Ton C = 522.0 Ton > T = 316.3 Ton ∴ El ENP pasa por el patín de la viga.

Aa Fy - Cc

187.8 x 2530 x 10

-3

- 408.0

Ec. 8.18

Ca =

Ec. 8.19

tpc = Ca/bpsFy = 33.7/(26.5 x 2.53) = 0.50 cm.

2

=

2

= 33.7 Ton

En secciones de acero con dos ejes de simetría la ec. 8.20 se reduce a 2

Ec. 8.20’

dt =

0.5 Aa d - 0.5 b t p

Ecs. 8.21 y 8.22

Aa - bt p

=

0.5 x 187.8 x 75.3 - 0.5 x 26.5 x 0.50 187.8 - 26.5 x 0.50

2

= 40.49 cm

d’2 = dt + hr + 0.5tc = 40.49 + 7.6 + 0.5 x 8.0 = 52.09 cm d”2 = dt - 0.5tp = 40.49 - 0.5 x 0.50 = 40.24 cm

Momento resistente nominal (ec. 8.23): Mn = Ccd’2 + Cad”2 = 408.0 x 52.09 + 33.7 x 40.24 x 10-5 = 226.1 Tm Momento resistente de diseño: MR = 0.85 Mn = 192.2 Tm En las refs. 8.4 y 8.5 se considera una resistencia del concreto en compresión menor que en la ref. 8.1; ésto hace que en el caso b) la resistencia de la losa no sea suficiente para equilibrar la tensión máxima que puede


30

desarrollar la sección de acero, por lo que una parte de ésta trabaja en compresión. La resistencia en flexión que se obtiene en el caso b) es sólo un poco menor que la del a) (192.2/200.0 = 0.96). EJEMPLO 8.2 Determine el momento resistente de diseño en flexión positiva de la sección compuesta de la Fig. E8.2.1. La viga, formada por tres placas soldadas, es de acero A36. El concreto de la losa, que está colada directamente sobre el patín de la viga de acero, tiene una resistencia f’c = 200 Kg/cm2. La sección trabaja en construcción compuesta completa. Utilice las normas LRFD-AISC 99 (ref. 8.1).

Relación de esbeltez del alma

h

=

ta

75 1.44

= 52 < 3.71

E / Fy = 105

El momento resistente corresponde a la plastificación de la sección transversal. Peralte del bloque de compresión (ec. 8.10):

a=

Aa Fy 0.85 f' c be

=

240.0 x 2530 0.85 x 200 x 80

= 44.6 cm > tc = 10 cm

Fig. E8.2.1 Viga compuesta del ejemplo 8.2 El eje neutro plástico pasa por la viga de acero. Ec. 8.17

Cc = 0.85 f’c be tc = 0.85 x 200 x 80 x 10 x 10-3 = 136.0 Ton


31

Ec. 8.15

C = Cc + btp Fy = 136.0 + 30 x 2.2 x 2530 x 10-3 = 303.0 Ton

Ec. 8.16

T = (Aa - btp) Fy = (240 - 30 x 2.2)2530 x 10-3 = 440.2 Ton

C = 303.0 Ton < T = 440.2 Ton ∴ El ENP está en el alma de la viga.

Ec. 8.18 Ca = 0.5 (Aa Fy - Cc) = 0.5 (240 x 2530 x 10-3 - 136.0) = 235.6 Ton C a - bt p Fy

=

235.6 - 30.0 x 2.2 x 2530 x 10

Ec. 8.25

hc =

Ec. 8.24

Aac = btp + hc ta = 30.0 x 2.2 + 18.8 x 1.44 = 93.1 cm2

t a Fy

1.44 x 2530 x 10

2

Ec. 8.26’

dc =

Ec. 8.27’

dt =

0.5 bt p + h c t a (t p + 0.5h c ) Aac

0.5 Aa d - Aac (d - d c ) Aa - Aac

=

=

-3

= 18.8 cm

-3

0.5 x 30 x 2.2

2

+ 18.8 x 1.44 (2.2 + 0.5 x 18.8) 93.1

0.5 x 240 x 79.4 - 93.1 (79.4 - 4.15) 240 - 93.1

= 4.15 cm

= 17.17 cm

Las ecs. 8.26’ y 8.27’ son las formas particulares que adoptan las ecuaciones 8.26 y 8.27 cuando la sección de acero tiene dos ejes de simetría. Ecs. 8.28 y 8.29

d’3 = d + hr + 0.5 tc - dt = 79.4 + 0 + 0.5 x 10 - 17.7 = 67.23 cm d”3 = d - dc - dt = 79.4 - 4.15 - 17.17 = 58.08 cm

Momento resistente nominal (ec. 8.30):

Mn = Cc d’3 + Cad”3 = 136.0 x 67.23 + 235.6 x 58.08 = 22823 Tcm =

228.2 Tm. Momento resistente de diseño: MR = 0.85 Mn = 0.85 x 228.2 = 194.0 Tm En la ref. 8.7 está resuelto este mismo ejemplo, siguiendo las recomendaciones de la ref. 8.4; el resultado que se obtiene en ella es MR = 187.6 Tm


32

EJEMPLO 8.3 Determine el momento resistente de diseño en flexión positiva de la sección compuesta de la Fig. E8.3.1. El perfil estructural está formado por tres placas soldadas de acero A36. El concreto de la losa tiene una resistencia f’c = 250 Kg/cm2, y la sección trabaja en acción compuesta completa. Utilice las normas de la ref. 8.1. La losa de este ejemplo es igual a la del ejemplo 8.1, y las áreas totales de acero son también iguales, pero se ha disminuido el patín superior y aumentado el inferior, de manera que ahora la sección tiene un solo eje de simetría.

Fig. E8.3.1 Viga asimétrica del ejemplo 8.3. Propiedades del perfil de acero. Aps = 10.16 cm2 ; Api = 83.25 cm2; Aal = 94.39 cm2 ; Aa = 187.8 cm2

El peralte del bloque de compresión en la losa es el mismo que en el ejemplo 8.1, y como en él, el eje neutro plástico está en la losa de concreto. a = 7.5 cm < tc = 8.0 cm

Ec. 8.13

dt =

=

0.5 Aps t ps + 0.5Aal (d + t ps - t pi ) + Api (d - 0.5 t pi ) Aa

=

0.5 x 10.16 x 1.27 + 0.5 x 94.39 (75.0 + 1.27 - 2.22) + 83.25 (75.0 - 0.5 x 2.22) 187.8

= 51.40 cm


33

Brazo del par resistente (ec. 8.14): d1 = dt + hr + tc - 0.5a = 51.40 + 7.6 + 8.0 - 0.5 x 7.32 = 63.34 cm Momento resistente nominal (ec. 8.12): Mn = Aa Fy d1 = 187.8 x 2530 x 63.34 x 10-5 = 300.95 Tm Momento resistente de diseño: MR = FR Mn = 0.85 x 300.95 = 255.8 Tm. El momento resistente es 27.9% mayor que el del ejemplo 8.1 (255.8/200.0 = 1.279); este incremento se ha logrado conservando la misma cantidad de acero, pero disminuyendo el patín superior y aumentando el inferior, con lo que el brazo del par resistente sube de 49.5 a 63.34 cm. EJEMPLO 8.4 Determine el momento resistente de diseño en flexión positiva de la sección de la Fig. E8.4.1. El acero estructural es A36.

El concreto tiene una resistencia f’c = 200 Kg/cm2.

construcción compuesta completa. Utilice las normas de la ref. 8.1.

Fig. E8.4.1 Viga del ejemplo 8.4.

La sección trabaja en


34

La sección es semejante a la del ejemplo 8.2. Se ha disminuido el área del patín superior y aumentado la del inferior, conservando el área total (240.93 cm2 contra 240.0). Aps = 17.78 cm2 ; Api = 114.30 cm2 ; Aal = 108.85 cm2 ; Aa = 240.93 cm2 Peralte del bloque de compresión (ec. 8.11):

a =

240.93 x 2530 0.85 x 200 x 80

= 44.82 cm > tc = 10 cm

El eje neutro plástico está en la viga de acero. Ec. 8.17


Ec. 8.15

C = Cc + Aps Fy = 136.0 + 17.78 x 2530 x 10-3 = 180.98 Ton

Ec. 8.16

T = (Aa - Aps)Fy = (240.93 - 17.78) 2530 x 10-3 = 564.57 Ton C = 180.98 Ton < T = 564.57 Ton ∴ El ENP está en el alma de la viga.

Ec. 8.18

Ca = 0.5 (Aa Fy - Cc) = 0.5 (240.93 x 2530 x 10-3 - 136.0) = 236.78 Ton

Ec. 8.25

hc =

Ec. 8.24

Aac = Aps + hcta = 17.78 + 52.65 x 1.44 = 93.60 cm2

Ec. 8.26

dc =

C a - Aps Fy t a Fy

dt = =

236.78 - 17.78 x 2530 x 10 1.44 x 2530 x 10

0.5 Aps t ps + hct a (t ps + 0.5 hc ) Aac

=

Ec. 8.27

=

−3

-3

= 52.65 cm

=

0.5 x 17.78 x 1.27 + 52.65 x 1.44 (1.27 + 0.5 x 52.65)

0.5 Api t

93.60

pi

+ 0.5 Aal (d - t ps + t

pi

) + 0.5 Aps (2d - t ps ) − Aac (d - d c )

Aa - Aac

=

0.5x114.30x2.54 + 0.5x108.85(79.4 -1.27 + 2.54) + 0.5 x17.78(2x79.4 -1.27) - 93.60(79.4 - 22.47) 240.93 − 97.60

= 4.12 cm Ec. 8.28

= 22.47 cm

d’3 = d + hr + 0.5 tc - dt = 79.4 + 0 + 0.5 x 10 - 4.12 = 80.28 cm


Ec. 8.29

35

d”3 = d - dc - dt = 79.4 - 22.47 - 4.12 = 52.81 cm

Momento resistente nominal (Ec. 8.30): Mn = Ccd’3 + Cad”3 = 136.0 x 80.28 + 236.78 x 52.81 x 10-5 = 234.2 Tm Momento resistente de diseño: MR = 0.85 Mn = 0.85 x 234.2 = 199.1 Tm. El momento resistente es muy poco mayor que el que se obtuvo en el ejemplo 8.22 para la sección con los dos patines iguales (199.1/194.0 = 1.026). 8.3.6.1.3 Acción compuesta parcial Las vigas pueden diseñarse para que trabajen en acción compuesta completa o parcial. La acción compuesta es completa cuando la conexión entre losa de concreto y viga de acero se diseña para transmitir toda la fuerza cortante horizontal que se desarrollaría entre los dos elementos si no hubiese ningún deslizamiento relativo entre ellos. Si la letra α representa el grado de conexión al corte (ec. 8.31), α = 1.0 corresponde a una acción compuesta completa. En este caso, los efectos del deslizamiento de la losa sobre la viga son despreciables; la resistencia última de la viga compuesta es la máxima posible, y no aumenta aunque se coloquen más conectores. Cuando se colocan menos conectores que los requeridos para la interacción completa, se desarrolla una acción compuesta parcial; la conexión entre losa y viga permite un cierto deslizamiento de la primera sobre la segunda. De acuerdo con la ref. 8.3, para que se admita la contribución de la losa de concreto a la resistencia última de diseño en flexión de una viga compuesta, el grado de unión al corte, α, debe ser igual o mayor que 0.4, lo que significa que el número de conectores ha de ser, como mínimo, el 40 por ciento de los requeridos para acción compuesta completa. En caso contrario, el deslizamiento entre los dos elementos que forman la viga es demasiado importante para asegurar que trabajarán en conjunto. En la misma referencia se indica que no debe tomarse en cuenta la acción compuesta en el cálculo de deflexiones en condiciones de servicio cuando α es menor que 0.25; con esta restricción se busca evitar deslizamientos excesivos y pérdidas sustanciales de rigidez. La ref. 8.1 no contiene ninguno de los límites anteriores; sin embargo, en el comentario se indica que las expresiones para evaluar el momento de inercia y el módulo de sección efectivos necesarios para cálculos en el


36

intervalo elástico (por ejemplo, para determinar deflexiones bajo cargas de trabajo), no son aplicables cuando α es menor que 0.25.

Las vigas que trabajan en acción compuesta parcial son económicas en muchos casos, por las razones siguientes (recuérdese que el precio de los conectores, incluyendo su colocación, representa un porcentaje elevado del costo total de las vigas compuestas): Una reducción significativa del número de conectores suele ocasionar disminuciones relativamente pequeñas en la resistencia última. (Las vigas compuestas típicas con un grado de conexión al corte alrededor de 50 por ciento alcanzan, con frecuencia, resistencias a la flexión del orden del 80 por ciento de la que corresponde a acción compuesta completa).

La elección del perfil de acero queda gobernada, muchas veces, por consideraciones de diseño y construcción diferentes de la resistencia última de la sección compuesta.

El trabajo compuesto parcial es siempre

económico cuando, en construcción sin puntales, las cargas anteriores al endurecimiento del concreto determinan el tamaño de la sección de acero.

Este aspecto adquiere mayor importancia cuando hay

limitaciones en el peralte disponible. La geometría y la distribución de las láminas acanaladas puede restringir la colocación de conectores, y su instalación por pares puede reducir su eficiencia. Cuando es así, es posible minimizar el costo de conectores usando acción compuesta parcial.

En la mayoría de los edificios comerciales normales, los diseños más económicos se obtienen con acción compuesta parcial, al grado de que, en la actualidad, la mayor parte de las vigas de piso compuestas se construye con conectores que transmiten entre 50 y 70 por ciento de la fuerza cortante teórica requerida para acción compuesta completa (refs. 8.8 y 8.17). 8.3.6.1.3.1 Resistencia en flexión Si la resistencia de los conectores colocados entre la sección de momento flexionante máximo y la adyacente de momento nulo, ∑Qn = N Qn, donde Qn es la resistencia al corte de un conector y N el número de los que hay entre las dos secciones, es menor que el más pequeño de los valores calculados con las ecs. 8.3 u 8.4, la acción compuesta es parcial. α es el grado de conexión al corte: α = ∑Qn/C

(8.31)


37

C es la menor de las fuerzas calculadas con las ecs. 8.3 y 8.4. La compresión en la losa de concreto está determinada por la capacidad de los conectores que la unen con la viga de acero. La fuerza de compresión en la losa, C’c, no puede ser mayor que la suma de las resistencias de los conectores, ∑Qn; como se ha escogido un número, N, menor que el necesario para acción compuesta completa, se conoce ∑Qn, y C’c vale C’c = ∑Qn = N Qn

(8.32)

C’c es menor que C, dada por la ec. 8.7 para acción compuesta completa, cuando el eje neutro plástico está en la losa, y que Cc (ec. 8.17), también para acción compuesta completa, cuando atraviesa la viga de acero. El equilibrio de fuerzas interiores exige que una parte de la sección de acero trabaje en compresión. Si el eje neutro plástico para acción compuesta completa se encontraba en la losa de concreto, pasa a la sección de acero cuando la interacción es incompleta1, y si estaba en la sección de acero, desciende, aún más, dentro de ella. Cuando el trabajo compuesto es parcial, el eje neutro plástico está, siempre, en la viga de acero. Para determinar el brazo del par interno, d’2 o d’3 (Figs. 8.10 y 8.11), que corresponde a la fuerza de compresión en el concreto, debe conocerse el punto de aplicación de la fuerza C’c. Para ello, se considera una superficie equivalente en compresión en la losa, de profundidad

ae =

C' c 0.85 f' c b e

=

∑Q n 0.85 f' c b e

(8.33)

ya que C’c = ∑Qn = 0.85 f’c be ae. ae se mide desde el borde superior de la losa. Como el bloque de compresión en la losa tiene ahora una profundidad ae, en lugar de tc, el brazo del par interno, d’2, cuando el eje neutro plástico está en el patín de la sección de acero, vale (Fig. 8.10) d’2 = dt + hr + tc - 0.5 ae

(8.34)

De manera análoga, cuando el ENP está en el alma de la viga (Fig. 8.11), d’3 vale d’3 = d + hr + tc - 0.5 ae - dt 1

(8.35)

Cuando la viga trabaja en construcción compuesta completa y el ENP está en la losa, la fuerza de compresión en ésta equilibra la tensión en el acero, AaFy. Si el trabajo compuesto es parcial, disminuye la compresión, no puede ya equilibrar la fuerza AaFy, y parte del perfil de acero debe trabajar en comprensión.


38

Puesto que en vigas que trabajan en acción compuesta parcial el eje neutro plástico está siempre en la sección de acero, siguen siendo aplicables las ecuaciones deducidas para acción compuesta completa, en esas condiciones (art. 8.3.6.1.1, caso II), exceptuando las ecs. 8.21 y 8.28, que se cambian por 8.34 y 8.35. Cuando aparece Cc en las ecuaciones del art. 8.3.6.1.1, se sustituye por C’c (ec. 8.32). El camino para determinar el momento resistente nominal de una sección formada por una viga de acero de alma llena con un eje de simetría (las vigas con dos ejes de simetría son un caso particular) y una losa de concreto, maciza o colada sobre una lámina acanalada, que trabaja en acción compuesta parcial, en flexión positiva, es, pues, el siguiente: 1.

Se determina ae, profundidad de la zona equivalente en compresión de la losa de concreto, con la ec. 8.33.

2.

Se calculan C y T, con las ecs. 8.15 y 8.16.

3.

Si C ≥ T, el ENP pasa por el patín de la viga de acero o por su borde inferior; se utilizan las ecs. 8.18 a 8.20, 8.34, 8.22 y 8.23.

4.

Si C < T, el ENP cruza el alma de la viga de acero; se emplean las ecs. 8.18, 8.24 a 8.27, 8.35, 8.29 y 8.30.

Los ejemplos 8.8 y 8.9 ilustran la determinación de la resistencia de diseño en flexión positiva de vigas que trabajan en acción compuesta parcial. 8.3.6.2 Resistencia de diseño en zonas de momento negativo Cuando el momento es negativo, como cerca de los apoyos de vigas continuas y en los extremos de vigas de marcos rígidos, la losa de la sección compuesta trabaja en tensión, pero como la resistencia del concreto en esas condiciones es prácticamente nula, no se toma en cuenta su contribución. En las zonas de momento negativo puede considerarse que la resistencia en flexión es la de la viga de acero sola, con φb = 0.9, o puede incluirse la contribución del refuerzo paralelo a la viga alojado en el ancho efectivo de la losa, con φb = 0.85, si se cumplen los requisitos siguientes (refs. 8.1 y 8.4): 1.

La viga de acero es una sección compacta, provista de contraventeo lateral adecuado.

2.

Se cuenta con los conectores de cortante necesarios en la zona de momento negativo.

3.

El refuerzo de la losa paralelo a la viga de acero, alojado en el ancho efectivo, está anclado de manera adecuada.

La acción compuesta proviene de la adherencia entre las barras de refuerzo y el concreto, y entre éste y la viga de acero, a través de los conectores.


39

Las barras deben prolongarse más allá de los puntos de inflexión en una longitud suficiente para desarrollar su resistencia. 8.3.6.2.1 Acción compuesta completa Como los conectores ligan la sección de acero con las varillas de refuerzo, su resistencia debe ser, cuando menos, igual a la de las varillas: ∑Qn ≥ Ar Fyr

(8.36)

Ar es el área total del refuerzo de la losa en el ancho efectivo, paralelo a la viga de acero, y Fyr su esfuerzo de fluencia. El número de conectores necesario entre la sección de momento negativo máximo (en valor absoluto) y la sección adyacente de momento nulo (punto de inflexión) es N ≥ Ar Fyr/Qn

(8.37)

Eje neutro plástico en el alma de la viga En la Fig. 8.12 se muestran las fuerzas internas en la sección cuando el eje neutro plástico atraviesa el alma de la viga. Se admite que la viga está plastificada en tensión y en compresión, lo cual supone que es tipo 1 y que está contraventeada lateralmente de manera adecuada.

Fig. 8.12 Momentos flexionantes negativos. Eje neutro plástico en el alma de la sección de acero.


40

Las resultantes de las fuerzas interiores en la sección compuesta son Tr y Ta, resistencias en tensión de las barras de refuerzo y de la parte del perfil de acero arriba del eje neutro plástico, y Ca, resistencia en compresión del resto del perfil. Tr = Ar Fyr

(8.38)

Ca = Aa Fy - Ta

(8.39)

Por equilibrio de fuerzas interiores, Ca = Tr + Ta

(8.40)

Combinando las ecs. 8.39 y 8.40 se obtiene una ecuación semejante a la 8.18:

Ta =

Aa Fy - Tr

(8.41)

2

La resistencia nominal en flexión se determina con ecuaciones similares a la 8.23 y 8.30: Mn = Trd’ + Tad”

(8.42)

d’ y d” son las distancias entre los centros de gravedad del refuerzo de la losa y de la parte de la sección de acero que trabaja en tensión y el centro de gravedad del área en compresión. Las distancias dt, ht y dc de la Fig. 8.12 corresponden, respectivamente, a dc, h c y dt de la Fig. 8.11; haciendo las sustituciones adecuadas en las ecs. 8.25 a 8.29 se obtienen las expresiones siguientes, para secciones en flexión negativa, con el eje neutro plástico a través del alma de la viga de acero:

Ta = (Aps + ht ta) Fy ∴ ht =

dt =

dc =

Ta − Aps Fy t a Fy

0.5Aps t ps + h t t a (t ps + 0.5 h t ) Aat

0.5Api t pi + 0.5 Aal (d - t ps + t pi ) + 0.5 Aps (2d - t ps ) - Aat (d - d t ) Aa - Aat

Aat es el área en tensión del perfil de acero; Aat = Aps + ht ta.

(8.43)

(8.44)

(8.45)


41

d’ = d + hr + tc - hv - dc

(8.46)

d” = d - dt - dc

(8.47)

hv es la distancia del borde superior de la losa al centro de gravedad del acero de refuerzo. Conocidas ld’ y d”, el momento resistente nominal, Mn, se calcula con la ec. 8.42. Eje neutro plástico en el patín de la viga En este caso son válidas las ecs. 8.38 a 8.42, pero las cantidades que aparecen en ellas se calculan como sigue. Profundidad de la zona del patín en tensión Ta = bps tpt Fy ∴ tpt = Ta/bps Fy

(8.48)

Distancia del centro de gravedad del área de acero en compresión al borde superior del patín de la viga:

dc =

0.5Aps t ps + 0.5 Aal (d + t ps - t pi ) + Api (d - 0.5t pi ) - 0.5 ps t pt 2 Aa - b ps t pt

(8.49)

d’ = dc + hr + tc - hv

(8.50)

d” = dc - 0.5 tpt

(8.51)

De nuevo, Mn se calcula con la ec. 8.42. La frontera entre los dos casos corresponde al eje neutro plástico en el borde inferior del patín. Cuando ésto sucede, T = Tr + Ta = Ar Fyr + Aps Fy, C = (Aa - Aps) Fy Si T ≥ C, el ENP está en el patín; en caso contrario, está en el alma. Como en zonas de momento positivo, se han escrito las ecuaciones para vigas de acero con un solo eje de simetría; las vigas con dos ejes de simetría son un caso particular.


42

8.3.6.2.2 Acción compuesta parcial Si el número de conectores en un tramo es menor que el necesario para desarrollar la resistencia total del armado de la losa, es decir, si ∑Qn < Tr, la sección trabaja en acción compuesta parcial, caracterizada porque Tr = ∑Qn

(8.52)

Las expresiones deducidas para acción compuesta completa siguen siendo válidas, sustituyendo en ellas el valor de Tr, ec. 8.38, por el calculado con la 8.52. EJEMPLO 8.5 Calcule el momento resistente de diseño, en flexión negativa, de la sección de la Fig. E8.5.1. El perfil estructural es una IPR 14” x 6 ¾ ” x 44.6 Kg/m (ref. 8.9) de acero A36, y el refuerzo de la losa tiene Fyr = 4200 Kg/cm2. Considere acción compuesta completa.

Fig. E8.5.1 Viga compuesta del ejemplo 8.5. Momento flexionante negativo Propiedades del perfil de acero Aps = Api = Ap = 17.1 x 0.97 = 16.59 cm2; Aal = (35.2 - 2 x 0.97) 0.69 = 22.95 cm2; Aa = 2 x 16.59 + 22.95 = 56.13 cm2. El área total Aa difiere un poco de la tabulada en la ref. 8.9 (56.84 cm2) porque al calcularla aquí se ha considerado el perfil formado por tres rectángulos.


43

b/2 tp = 17.1/(2 x 0.97) = 8.8 < 0.38 E / Fy = 10.8 h/ta = 31.0/0.69 = 44.9 < 3.71 E / Fy = 105.3

La sección es compacta. Ec. 8.38

Tr = Ar Fyr = 12.7 x 4200 x 10-3 = 53.3 Ton

Ec. 8.41

Ta =

Aa Fy - Tr 2

56.13 x 2530 x 10

=

-3

- 53.3

2

= 44.4 Ton

Suponiendo que el ENP coincide con el borde inferior del patín, T = Tr + Ap Fy = 53.3 + 16.59 x 2530 x 10-3 = 95.3 Ton C = (Aa - Ap) Fy = (56.13 - 16.59) 2530 x 10-3 = 100.0 Ton Como T < C, el ENP está en el alma de la viga.

Ec. 8.43

Ta − Ap Fy

ht =

t a Fy

=

44.4 - 16.59 x 2530 x 10 0.69x2530x10

−3

-3

= 1.39 cm

Aat = Ap + ht ta = 16.59 + 1.39 x 0.69 = 17.55 cm2

Ec. 8.44

=

Ec. 8.45

0.5 Ap t p + h t t a (t p + 0.5h t )

dt =

Aat

=

0.5 x 16.59 x 0.97 + 1.39 x 0.69 (0.97 + 0.5 x 1.39)

dc =

17.55 0.5Aad - Aat (d - d t ) Aa − Aat

=

= 0.55 cm

0.5x56.13x35.2 -17.55 (35.2 - 0.55) 56.13 - 17.55

= 9.84 cm

La ec. 8.45 se ha escrito en la forma que toma cuando los dos patines son iguales. Ec. 8.46

d’ = d + hr + tc - hv - dc = 35.2 + 5.1 + 8.0 - 4.0 - 9.84 = 34.46 cm

Ec. 8.47

d” = d - dt - dc = 35.2 - 0.55 - 9.84 = 24.81 cm


44

Ec. 8.42

Momento resistente nominal Mn = Trd’ + Tad” = 53.3 x 34.46 + 44.4 x 24.81 x 10-3 = 29.38 Tm

Momento resistente de diseño

MR = 0.85 Mn = 25.0 Tm

El momento resistente de diseño del perfil de acero es: MR = 0.9ZFy = 0.9 x 775 x 2530 x 10-5 = 17.65 Tm La contribución del refuerzo de la losa incrementa el momento de diseño en 42% (250/17.65 = 1.42). 8.3.7

Vigas ahogadas en concreto

8.3.7.1 Aspectos generales Hasta hace algunas décadas, era común que las vigas de acero de los edificios se recubrieran de concreto para protegerlas contra el fuego. En la actualidad, ese tipo de protección ha dejado prácticamente de usarse, pues se cuenta con procedimientos más económicos y mucho más ligeros, ya que el peso del concreto del recubrimiento resulta considerable. Sin embargo, cuando se trabaja en la revisión o rehabilitación de edificios construidos en la primera mitad del siglo XX y en parte de la segunda aparecen, con frecuencia, vigas de ese tipo. Por ello y, también, por los casos, poco frecuentes, en que se emplean vigas ahogadas en concreto en diseños nuevos, conviene conocer su comportamiento bajo carga, y contar con métodos para determinar su resistencia.

Si se cumplen ciertas condiciones, las fuerzas cortantes que se desarrollan entre la viga y la losa se transfieren de una a otra por adherencia y fricción. Las especificaciones AISC-LRFD 99 (Ref. 8.1) estipulan que para que una viga completamente ahogada en concreto puede suponerse interconectada con él, sin anclaje adicional, es necesario que el recubrimiento se cuele al mismo tiempo que la losa, y que se satisfagan los puntos siguientes: (1) el recubrimiento de concreto, a los lados y debajo del patín inferior de la viga, es, cuando menos, de 50 mm; (2) el borde superior de la viga está, como mínimo, 40 mm debajo del borde superior de la losa, y 50 mm encima del inferior, y (3), el concreto del recubrimiento tiene un refuerzo adecuado, formado por una malla de alambre o acero de otro tipo, que evita su desprendimiento.

Estudios de laboratorio de vigas ahogadas en concreto han demostrado que el recubrimiento reduce drásticamente la posibilidad de fallas por pandeo lateral por flexotorsión, y evita el pandeo local de la sección de acero; además, las condiciones impuestas en sus dimensiones y refuerzo evitan la pérdida de adherencia hasta


45

que empieza el flujo plástico de la viga de acero, y la falla de la adherencia no reduce, necesariamente, la resistencia de esa viga. 8.3.7.2 Resistencia de diseño

Partiendo de los resultados anteriores, en la ref. 8.1 se proporcionan tres métodos para determinar la resistencia de diseño en flexión, φbMn, de las vigas ahogadas en concreto:

1.

En este método, basado en la aparición del esfuerzo de fluencia en el patín en tensión de la viga, Mn se determina por superposición de esfuerzos elásticos, teniendo en cuenta el efecto del apuntalamiento, cuando lo hay; φb se toma igual a 0.90. En vigas sin puntales, los esfuerzos producidos en la sección de acero por las cargas aplicadas antes de que el concreto se endurezca se superponen con los ocasionados, en la sección compuesta, por las que se aplican después; cargas muertas y vivas se multiplican por los factores de carga correspondientes. Si la viga está apuntalada, puede suponerse que la sección compuesta resiste toda la carga. Se considera que la

interacción es completa, sin

deslizamiento entre los dos materiales.

2.

En el segundo método Mn se considera igual al momento plástico resistente de la sección de acero sola; φb = 0.90.

3.

Si se utilizan conectores de cortante, y el concreto y su refuerzo cumplen los requisitos que se mencionan adelante, Mn puede tomarse igual al momento que ocasiona la plastificación completa de la sección compuesta; φb = 0.85. (Este método no aparecía en las normas AISC anteriores a 1999, y no se incluye en la ref. 8.5).

No se impone ninguna condición sobre la esbeltez de la sección compuesta ni la del alma y patines del perfil de acero porque, como se mencionó arriba, el recubrimiento de concreto impide las fallas por pandeo local o lateral.

La contribución del concreto a la resistencia suele ser mayor en las regiones de momento positivo que en las de momento negativo.

Para aplicar el método 3, el concreto en el que está ahogada la viga debe contar con refuerzo longitudinal y estribos, separados no más de dos tercios de la dimensión menor de la sección compuesta, el área de los refuerzos transversales y longitudinales ha de ser, como mínimo de 180 mm2 por metro de separación entre barras, y ambos tipos de refuerzo deben tener un recubrimiento, medido a sus bordes exteriores, de 38 mm o más.


46

8.3.7.2.1 Resistencia de diseño de secciones plastificadas La resistencia de diseño de una sección de acero ahogada en concreto, correspondiente a la plastificación completa de los dos materiales que la forman, se determina de la misma manera que cuando la viga trabaja en sección compuesta completa con una losa apoyada en ella (art. 8.3.6.1.1). Si el borde superior de la viga está al mismo nivel que el inferior de la losa, situación común en construcciones reales, se consideran los mismos casos: Caso I. El ENP está en la losa de concreto (Fig. 8.13)

Fig. 8.13 Esfuerzos y fuerzas interiores cuando la sección desarrolla su resistencia en flexión positiva. Caso I.El ENP está en la losa de concreto. Caso II. El ENP atraviesa el perfil de acero Subcaso IIa. El ENP atraviesa el patín de la viga de acero (Fig. 8.14) Subcaso IIb. El ENP atraviesa el alma de la viga de acero (Fig. 8.15) Cuando toda la sección está plastificada, los esfuerzos en el caso I y en el subcaso IIa son iguales en la viga con losa de concreto y en la recubierta con ese material, como se ve comparando las Figs. 8.13y 8.14 con las


47

8.9 y 8.10 (en la viga ahogada, la distancia hr entre la viga y la losa es nula). En la Fig. 8.14 se ignora la contribución de la resistencia en compresión de la pequeña área de concreto de altura tpc.

Fig. 8.14 Caso IIa: El ENP atraviesa el patín de la viga de acero.

Fig. 8.15 Caso IIb; el ENP atraviesa el alma de la viga de acero. En el subcaso IIb hay una diferencia, pues hay dos, debajo del patín superior y a ambos lados del alma del perfil de acero (sombreadas en la Fig. 8.15a), en las que el concreto trabaja en compresión, lo que aumenta, ligeramente, la resistencia de la sección. Se ignoran también las pequeñas zonas de concreto, de altura tp, situadas a los lados del patín superior de la viga. La secuela para calcular la resistencia es la misma:


48

1.

Se determina el peralte a del bloque de compresión en la losa, con la ec. 8.10.

2.

Si a ≤ tc (Caso I), el ENP está en la losa, o en su borde inferior (Fig. 8.13); Mn se calcula con la ec. 8.12, pero la ec. 8.14, con la que se determina d1, se sustituye por d1 = 0.5d + tc - 0.5a

(8.53)

Las diferencias entre esta ecuación y la 8.14 se deben a que la sección de acero es ahora simétrica, por lo que dt, distancia de su centro de gravedad al borde superior del patín, se reduce a d/2 y, además, hr = 0. 3.

Cuando a > tc, puede presentarse cualquiera de los casos, IIa o IIb:

a)

Si C ≥ T, el ENP atraviesa el patín de la viga de acero, o está en su borde inferior (Fig. 8.14); se utilizan las ecs. 8.15 a 8.19 y 8.21 a 8.23; la ec. 8.20 se sustituye por 2

dt =

0 .5 Aa d - 0.5b p t pc Aa - b p t pc

(8.54)

En la ec. 8.21, hr = 0.

b)

Si C < T (Fig. 8.15), se emplean las ecs. 8.15 a 8.17, 8.55 a 8.58, 8.24 a 8.26 (teniendo en cuenta que tps = tpi = tp, bps = bpi = bp), y 8.59 a 8.63.

C’c = 0.85 f’cbchc/n

(8.55)

Ca = (Ap + hcta)Fy

(8.56)

C’ = Cc + C’c + Ca

(8.57)

T’ = (Aa - Ap - hcta) Fy

(8.58)

dt =

0 .5 Aa d - Aac ( d − d c ) Aa - Aac

(8.59)

d’3 = d + 0.5tc - dt

(8.60)

d”3 = d - dc - dt

(8.61)

d”’3 = d - tp - 0.5 hc - dt

(8.62)

Mn = Ccd’3 + Cad”3 + C’cd”’3

(8.63)

En este caso se procede por tanteos, porque hc (ec. 8.25) depende de Ca (ec. 8.56) que es, a su vez, función de hc.


49

EJEMPLO 8.6 Determine el momento de diseño en flexión positiva de la sección compuesta de la Fig. E8.6.1, correspondiente a su plastificación completa. La viga es una W 21” x 101 lb/ft (ref. 8.24), de acero A36 (Fy = 2530 Kg/cm2), ahogada en concreto de resistencia f’c = 250 Kg/cm2, con peso volumétrico wc = 2400 Kg/m3. Utilice las normas AISC-LRFD 99 (ref. 8.1).

Fig. E8.6.1 Sección transversal de la viga ahogada en concreto. Propiedades del perfil de acero Ap = 63.3 cm2, Aal = 63.8 cm2, Aa = 190.4 cm2, Zx = 4150 cm3 El área total, Aa, es un poco menor que la tabulada en la ref. 8.24 (192.0 cm2), porque se ha supuesto que el perfil está formado por tres placas. No se revisa si la sección es compacta, ya que el recubrimiento de concreto impide el pandeo local. a)

be = 120 cm, tc = 20 cm

Ec. 8.10

a=

Aa Fy 0 .85 f ' c be

=

190.4 x 2530 0 .85 x 250 x 120

= 18.9 cm < tc = 20 cm

El ENP pasa por la losa de concreto (Caso I). Ec. 8.53

d1 = 0.5d + tc - 0.5a = 0.5 x 54.3 + 2.0 - 0.5 x 18.9 = 37.7 cm


50

Ec. 8.12

Mn = Aa Fydy = 190.4 x 2530 x 37.7 x 10-5 = 181.6 Tm

Momento resistente de diseño φb Mn = 0.85 x 181.6 = 154.4 Tm b)

be = 120 cm, tc = 15 cm

a = 18.9 cm > tc = 15 cm

Ec. 8.17


Ec. 8.15

C = Cc + Ap Fy = 382.5 + 63.3 Fy x 10-3 = 542.6 Ton

Ec. 8.16

T = (Aa - Ap) Fy = (190.4 - 63.3) Fy x 10-3 = 321.6 Ton

C > T ∴ El ENP atraviesa el patín (Caso IIa).

Ec. 8.18

Ca = 0.5 (Aa Fy - Cc) = 0.5 (190.4 Fy x 10-3 - 382.5) = 49.6 Ton

Ec. 8.19

tpc = Ca/bp Fy = 49.6/(31.2 Fy x 10-3) = 0.63 cm

(Comprobación. Compresión total = Cc + Ca = 382.5 + 49.6 = 432.1 Ton. Tensión total = T’ = (Aa - bp tpc) Fy = (190.4 - 31.2 x 0.63) Fy x 10-3 = 432.0 Ton) 2

0 .5 Aa d - 0.5 b p t pc

=

0.5 x 190.4 x 54.3 - 0.5 x 31.2 x 0.63

Ec. 8.54

dt =

Ec. 8.21

d’2 = dt + 0.5 tc = 30.2 + 0.5 x 15.0 = 37.7 cm

Ec. 8.22

d”2 = dt - 0.5 tpc = 30.2 -- 0.5 x 0.63 = 29.9 cm

Ec. 8.23

Mn = Cc d’2 + Ca d”2 = (382.9 x 37.7 + 49.6 x 29.9) 10 -2 = 159.2 Tm

Aa - b p t pc

190 .4 - 31.2 x 0.63

Momento resistente de diseño φb Mn = 0.85 x 159.2 = 135.3 Tm c)

be = 60 cm, tc = 10 cm

2

= 30.2 cm

Construcción compuesta 190 .4 x 2530

51

Ec. 8.10

a=

Ec. 8.17

Cc = 0.85 x 250 x 60 x 10 x 10-3 = 127.5 Ton

Ec. 8.15

C = 127.5 + 63.3 Fy x 10-3 = 287.6 Ton

Ec. 8.16

T = 321.6 Ton (pág.50)

0 .85 x 250 x 60

= 37.8 cm > tc = 10 cm

C < T ∴ El ENP atraviesa el alma (Caso IIb). 1 .5

Módulo de elasticidad del concreto (ref. 8.1): Ec = 0.1373 w c

f' c = 0.1373 x 2400

1.5

250 = 255 245

Kg/cm2 n = Ea/Ec = 8.0 1” tanteo. hc = 10 cm Ec. 8.55

C’c = 0.85 f’cbchc/n = (0.85 x 250 x 45 x 10/8.0)10-3 = 12.0 Ton

Ec. 8.56

Ca = (Ap + hcta) Fy = (63.3 + 10 x 1.27) Fy x 10-3 = 192.3 Ton

Ec. 8.57

C’ = Cc + C’c + Ca = 127.5 + 12.0 + 192.3 = 331.0 Ton

Ec. 8.58

T’ = (Aa - Ap - hc ta) Fy = (190.4 - 63.3 - 10 x 1.27) Fy = 289.4 Ton

Las fuerzas de tensión y compresión no son iguales, lo que indica que el valor supuesto de hc no es correcto; debe reducirse, para que C’ disminuya y T’ aumente. 2º tanteo. hc = 4.5 cm C’c = 12.0 x 4.5/10 = 5.4 Ton

Ca = (63.3 + 4.5 x 1.27) Fy = 174.6 Ton

C’ = 127.5 + 5.4 + 174.6 = 307.5 Ton

T’ = (190.4 - 63.3 - 4.5 x 1.27) Fy = 307.1 Ton

C’ y T’ pueden considerarse iguales, luego hc = 4.5 cm. Ec. 8.24

Aac = Ap + hc ta = 63.3 + 4.5 x 1.27 = 69.0 Ton


52

Ec. 8.26’ dc =

0 .5 Ap t p + hct a (t p + 0.5 hc ) Aac 0 .5 Aa d - Aac (d - d c )

=

0.5 x 63.3 x 2.03 + 4.5 x 1.27(2.03 + 0.5 x 4.5) = 1.29 cm 69.0

0.5 x 190.4 x 54.3 - 69.0 (54.3 - 1.29)

Ec. 8.59

dt =

Ec. 8.60

d’3 = d + 0.5 tc - dt = 54.3 + 0.5 x 10 - 12.5 = 46.8 cm

Ec. 8.61

d”3 = d - dc - dt = 54.3 - 1.29 - 12.5 = 40.5 cm

Ec. 8.62

d”’3 = d - tp - 0.5 hc - dt = 54.3 - 2.03 - 0.5 x 4.5 - 12.5 = 37.5 cm

Ec. 8.63

Mn = Cc d’3 + Cad”3 + C’cd”’3 = (127.5 x 46.8 + 174.6 x 40.5 + 5.4 x 37.5) 10-2 = 132.4 Tm

Aa - Aac

=

190 .4 − 69 .0

= 12.5 cm

Momento resistente de diseño. φb Mn = 0.85 x 132.4 = 112.5 Tm Con fines comparativos, se calcula el momento resistente de diseño con el método 2, que es igual para los tres casos considerados en el ejemplo: φb Mn = φb Zx Fy = 0.9 x 4150 Fy = 94.5 Tm Este valor se compara con 154.4 Tm (Caso a), 135.3 Tm (Caso b) y 112.5 Tm (Caso c); el incremento en la resistencia es importante siempre (varía de 19 a 63 por ciento).

Aunque las relaciones anteriores se modifican al cambiar los parámetros del problema (resistencias, dimensiones), es evidente que el tercer método para calcular la resistencia de vigas ahogadas en concreto proporciona valores considerablemente mayores que los otros dos; no debe olvidarse, sin embargo, que es el único método que requiere conectores mecánicos. 8.3.8

Conectores de cortante

8.3.8.1 Aspectos generales

Las fuerzas cortantes horizontales entre la losa de concreto y la viga de acero en que se apoya deben ser resistidas de manera que se anule el deslizamiento entre ambas (Fig. 8.5), para que trabajen como una unidad. La adherencia entre el concreto y el acero se pierde, o se reduce drásticamente, por la contracción del primero y las vibraciones producidas por la carga viva; tampoco es confiable la fricción entre los dos materiales. Por ello, han de utilizarse conectores de cortante mecánicos para transmitir la fuerza íntegra. Idealmente, los conectores deberían evitar por completo los deslizamientos entre las dos partes del miembro compuesto, lo que


53

requeriría una unión infinitamente rígida, que no puede obtenerse en la práctica; por fortuna, los pequeños deslizamientos que se presentan en las vigas compuestas reales no afectan su resistencia.

Se han utilizado diversos tipos de conectores: varillas en espiral, zetas, ángulos, canales y barras de acero con cabeza (Fig. 8.16); los dos últimos son los únicos que se tratan específicamente en las refs. 8.1, 8.3 y 8.4; las barras de acero con cabeza son los conectores más comunes. Un conector de barra de acero con cabeza (“headed steel stud”) es una barra de sección transversal circular, que se suelda en un extremo al patín superior de la viga; en el otro extremo tiene una cabeza, que evita que la losa se separe verticalmente de la viga; el conector queda ahogado en el concreto; se suelda a la viga por resistencia, utilizando pistolas especiales. Aunque es más económico soldar los conectores en el taller, hay una tendencia creciente a colocarlos en obra, después de montar las vigas, pues se pueden dañar durante el transporte y montaje y, además, dificultan y hacen más peligrosas las actividades de los obreros que tienen que caminar sobre las vigas, durante las primeras etapas de la construcción. Se han ensayado vigas compuestas similares, con carga uniforme, unas con los conectores colocados de manera que las distancias entre ellos, medidas a lo largo de la viga, siguen la ley de variación de la fuerza cortante estática, y otras con el mismo número de conectores con separaciones iguales, y se ha encontrado que tienen la misma resistencia última y deflexiones iguales bajo cargas de trabajo (refs. 8.10, 8.11). Esto se debe a que basta una deformación muy pequeña del concreto y de los conectores más cargados inicialmente para que la fuerza cortante horizontal se redistribuya a otros con cargas menores, hasta que, en la cercanía de la falla, todos resisten fuerzas prácticamente iguales.

Fig. 8.16 Tipos de conectores de cortante.

54


8.3.8.2 Resistencia

La determinación analítica de la resistencia de un conector constituye un problema muy complejo, pues el conector y el concreto que lo rodea se deforman inelásticamente bajo fuerzas cortantes, flexión y tensión combinadas, y la magnitud de la deformación depende de muchos factores, como son la forma y el tamaño del conector, su posición a lo largo de la viga, la localización de la sección de momento máximo y la manera en que está unido al patín de la viga de acero; además, cualquier conector particular puede fluir plásticamente, causando deslizamiento entre losa y viga, y obligando a que los adyacentes resistan la fuerza cortante adicional. Por ello, las fórmulas que se emplean para evaluar la resistencia de los conectores tienen un origen experimental.

Cuando el diseño se basa en la resistencia última flexión de la sección compuesta, los conectores deben ser adecuados para mantener en equilibrio el tramo de losa comprendido entre los puntos de momento flexionante máximo y nulo; el deslizamiento no es un criterio para este requisito, pues no reduce la resistencia máxima, mientras se conserve el equilibrio y no se sobrepase el deslizamiento mínimo que puede ocasionar la falla de un conector individual (ref. 8.10).

Los tipos de conectores incluidos en las refs. 8.1, 8.3 y 8.4 son las barras de acero con cabeza, de longitud, después de la colocación, no menor de cuatro diámetros, y las canales de acero laminadas, ahogadas, unas u 3

otras, en losas de concreto de peso volumétrico no menor de 1400 Kg/m . Las referencias mencionadas permiten el uso de otros conectores, pero su resistencia debe determinarse con pruebas de laboratorio adecuadas. 8.3.8.2.1 Losa maciza 8.3.8.2.1.1 Conectores de barra con cabeza La resistencia nominal al corte de un conector de barra con cabeza, ahogado en una losa maciza, colada directamente sobre las vigas, depende de las características del concreto que lo rodea, pero no debe exceder de la resistencia en tensión del conector. Se calcula con la expresión (refs. 8.1 y 8.11): Qn = 0.5 Asc

f'c Ec £ Asc Fu

(8.64)

En la ref. 8.5 se recomienda esta misma expresión, pero sustituyendo f’c por f*c=0.8f’c. 2

Asc es el área de la sección transversal del vástago del conector, en cm , f’c la resistencia nominal del concreto en compresión, Ec su módulo de elasticidad (ecs. 8.71 y 8.72, art. 8.3.12.2) y Fu el esfuerzo mínimo especificado 2

de ruptura en tensión del acero del conector, todos en Kg/cm . Qn se obtiene en Kg.


55

Los factores de reducción que se indican más adelante para losas de concreto coladas sobre una lámina acanalada no se aplican al límite superior Asc Fu. La ec. 8.64 proporciona la resistencia aparente al corte, aunque en pruebas de vigas compuestas se ha visto que los conectores suelen fallar por tensión, después de doblarse considerablemente; a eso se debe el límite superior del valor de Qn. Los conectores de barra con cabeza tienen diámetros comprendidos entre 1.27 cm (1/2”) y 2.54 cm (1”); el valor 2

mínimo de Fu es 4600 Kg/cm (ref. 8.12). En la tabla 8.1 se proporcionan las resistencias nominales de conectores de los diámetros mencionados arriba, colocados en losas macizas de concreto de varias resistencias, calculadas siguiendo las recomendaciones de las refs. 8.1 y 8.5.

T A B L A 8 .1 R e s is te n c ia n o m in a l a l c o rt e , Q n , e n T o n , d e c o n e c to re s d e b a rra c o n c a b e z a , c o lo c a d o s e n u n a lo s a d e c o n c re to m a c iz a f' c K g /c m

Wc 2

K g /m

E c (K g /c m 2 ) 3

A IS C 9 9 (re f . 8 .1 )

D ía m e tro

N T C 2 0 0 4 ( re f . 8 .5 ) C la s e 1 C la s e 2

200 200 250 250 300

1900 2300 1900 2300 2300

160811 214179 179792 239460 262315

--- -197990 --- -221359 242487

113137 -- -- -- -- -- -- -- -- -

200 200 250 250 300

1900 2300 1900 2300 2300

160811 214179 179792 239460 262315

--- -197990 --- -221359 242487

113137 -- -- -- -- -- -- -- -- -

200 200 250 250 300

1900 2300 1900 2300 2300

160811 214179 179792 239460 262315

--- -197990 --- -221359 242487

113137 -- -- -- -- -- -- -- -- -

200 200 250 250 300

1900 2300 1900 2300 2300

160811 214179 179792 239460 262315

--- -197990 --- -221359 242487

113137 -- -- -- -- -- -- -- -- -

200 200 250 250 300

1900 2300 1900 2300 2300

160811 214179 179792 239460 262315

--- -197990 --- -221359 242487

113137 -- -- -- -- -- -- -- -- -

(1 )

(1 )

cm (in )

1 .2 7 (1 /2 )

1 .5 9 (5 /8 )

1 .9 1 (3 /4 )

2 .2 2 (7 /8 )

2 .5 4 1

Q n (T o n ) A IS C 9 9 ( re f . 8 .1 )

N T C 2 0 0 4 ( re f. 8 .5 ) C la s e 1 C la s e 2

3 .5 9 4 .1 5 4 .2 5 4 .9 5 .6 2

--- ---- ---- -4 .2 1 4 .8 3

2 .6 9 - --- - --- - --- - --- -

5 .6 2 6 .4 8 6 .6 4 7 .6 6 8 .7 8

--- ---- ---- -6 .5 9 7 .5 5

4 .2 1 - --- - --- - --- - --- -

8 .0 8 9 .3 3 9 .5 5 1 1 .0 3 1 2 .6 4

--- ---- ---- -9 .4 8 1 0 .8 7

6 .0 6 - --- - --- - --- - --- -

1 1 .0 1 1 2 .7 1 3 .0 1 1 5 .0 1 1 7 .2 2

--- ---- ---- -1 2 .9 1 1 4 .8

8 .2 6 - --- - --- - --- - --- -

1 4 .3 7 1 6 .5 8 1 6 .9 9 1 9 .6 2 2 .4 7

--- ---- ---- -1 6 .8 6 1 9 .3 3

1 0 .7 8 - --- - --- - --- - --- -

L o s re s u lta d o s d e la ta b la d e b e n c o r re g irs e c u a n d o la lo s a s e c u e la s o b re u n a lá m in a d e a c e r o a c a n a la d a

56


En las refs. 8.1 y 8.4 no se especifica ningún factor de resistencia para determinar la resistencia de diseño de los conectores, pues el que se incluye en el cálculo de la resistencia de las vigas compuestas tiene en cuenta todas las fuentes de variabilidad, incluidas las asociadas con ellos. 8.3.8.2.1.2 Conectores de canal La resistencia nominal de una canal embebida en una losa maciza de concreto, utilizada como conector de cortante, es (ref. 8.11)

Qn = 0.3 (tp + 0.5ta) Lc

f' c Ec

(8.65)

tp, ta y Lc son los gruesos del patín y del alma, y la longitud de la canal. Si esas dimensiones se toman en cm, y 2

f’c y Ec en Kg/cm , Qn se obtiene en Kg. La ec. 8.65 se incluye en las refs. 8.1, 8.3 y 8.4. La resistencia de la soldadura que une las canales con el patín de la viga ha de ser, cuando menos, igual a la del conector. 8.3.8.2.2 Losa sobre lámina acanalada En este caso sólo se permiten conectores de barra con cabeza. Para que las fórmulas que se recomiendan más adelante, sean aplicables tienen que satisfacerse varias condiciones: La altura nominal de las nervaduras de la lámina no excede de 7.6 cm (3”). El ancho promedio de las costillas de concreto, wr, no es menor de 5 cm (2”), y en los cálculos se toma, como máximo, igual al ancho libre mínimo cerca de la parte superior de la lámina.

La losa de concreto se une a la viga de acero con conectores de barra con cabeza de diámetro no mayor que 1.9 cm (3/4”), soldados a la viga directamente, utilizando agujeros hechos punzonando o recortando la lámina, o a través de ésta. Después de colocados, los conectores sobresalen no menos de 3.8 cm (1 1/2”) de la parte superior de la lámina.

Los conectores suelen soldarse al patín superior de la viga a través de la lámina, sin agujeros previos, pero cuando el grueso de la lámina excede de 1.52 mm, o de 1.21 mm cuando se traslapan dos, o cuando la lámina


57 2

2

está galvanizada con una capa mayor de 380 gr/m (1.25 onzas/pie ), deben tomarse precauciones y seguir procedimientos especiales, recomendados por los fabricantes de los conectores.

El grueso del concreto sobre la lámina de acero es de 5 cm (2”) o más.

En la Fig. 8.17 se explica gráficamente la terminología y las condiciones indicadas arriba.

Fig. 8.17 Dimensiones de la lámina acanalada. Las reglas de diseño para construcción compuesta proporcionadas en la ref. 8.1 se basan en el estudio reportado en la ref. 8.13; los parámetros anteriores tienen por objeto no salirse de los límites para los que se tiene información experimental.

58


8.3.8.2.2.1 Nervaduras paralelas a la viga de acero

Los resultados experimentales muestran que la resistencia de los conectores es, en este caso, prácticamente igual que cuando la losa de concreto es maciza; para ello, cuando el peralte nominal de la lámina acanalada es de 3.8 cm o más, el ancho promedio, Wr, de la costilla que se apoya en la viga, no debe ser menor que 5.0 cm cuando hay un único conector, ni que 5.0 cm más cuatro diámetros por cada conector transversal adicional. A falta de información experimental adecuada, cuando las costillas son angostas, con relación wr/hr menor que 1.5, se reduce la resistencia de los conectores. La resistencia de un conector se calcula con la ec. 8.64, pero si wr/hr es menor que 1.5, el valor que proporciona esa ecuación se multiplica por el factor de reducción

0.6 (wr/hr) [ (Hs/hr) - 1.0] £ 1.0

(8.66)

hr es la altura nominal de la costilla, Hs la longitud del conector soldado (en los cálculos no se toma mayor que hr + 7.6 cm, aunque la longitud real puede ser más grande) y wr es el ancho promedio de la costilla de concreto, que se definió arriba. Las canales de las láminas que se apoyan en la viga pueden cortarse longitudinalmente y separarse, para formar una costilla de concreto más ancha, o pueden colocarse dos láminas, dejando una separación entre sus bordes.

El concreto situado bajo el borde superior de la lámina (el que rellena las canales), puede tenerse en cuenta al calcular las propiedades de la sección compuesta, y debe incluirse en el cálculo del área efectiva de concreto, para determinar la fuerza horizontal que se desarrolla entre losa y viga y diseñar los conectores. Para ello se obtiene su espesor medio, que depende de las dimensiones de las nervaduras y de los espacios entre ellas; conocidas las dimensiones se determina la posición del centro de gravedad del área de concreto, y el grueso efectivo se toma igual al doble de su distancia al borde superior de la losa. 8.3.8.2.2.2 Nervaduras perpendiculares a la viga de acero El comportamiento es semejante al que se tiene cuando la losa se apoya directamente sobre la viga, pero la resistencia al corte de los conectores se reduce, como una consecuencia, principalmente, de la perforación o agrietamiento del concreto de las costillas en las que se alojan (ref. 8.12).


59

Para determinar las propiedades de la sección, y para evaluar el área efectiva de la losa, se desprecia el concreto situado dentro de las canales, debajo del borde superior de la lámina. La separación entre conectores, a lo largo de la viga de apoyo, no debe exceder de 90 cm. La resistencia nominal de un conector de barra con cabeza se obtiene multiplicando el resultado de la ec. 8.64 por el factor de reducción

0.85 Nr

(wr/hr) [ (Hs/hr) - 1.0] £ 1.0

(8.67)

wr, Hs y hr ya se han definido, y Nr es el número de conectores en la intersección de una nervadura y la viga; en los cálculos no debe exceder de tres, aunque haya más conectores. Para resistir la tendencia a la separación entre losa y viga que se presenta cuando se deforma la sección compuesta, la lámina de acero debe anclarse a todos los elementos en los que se apoya en puntos separados no más de 45 cm; el anclaje puede obtenerse con conectores de cortante, con una combinación de éstos y puntos de soldadura, o con algún otro medio especificado por el diseñador. En estudios realizados recientemente se ha encontrado que la ec. 8.67 proporciona, en muchos casos, resultados inseguros (ref. 8.14) cuando se emplea un solo conector por nervadura. Aunque no se propone ninguna expresión que la sustituya, sí se indica que para utilizarla deben satisfacerse ciertas condiciones adicionales a las estipuladas en la ref. 8.1; una de ellas es que cuando la sección trabaja en acción compuesta parcial, el factor a no sea menor de 0.5, y se recomienda también que los conectores se coloquen en la posición más favorable (Fig. 8.18) y que el factor de reducción de la resistencia no exceda de 0.75 cuando haya un solo conector por nervadura; esta recomendación se ha incluido en las normas AISC de 1999 (ref. 8.1). En la ref. 8.3 se presentan fórmulas más conservadoras que la ec. 8.67.

Fig.8.18 Posibles posiciones de los conectores en lámina acanalada con costilla rigidizadora.

60


En vigas compuestas con lámina de acero de nervaduras anchas la resistencia de los conectores mejora, y la posibilidad de que perforen la costilla de concreto disminuye, si se colocan junto al lado de la nervadura más cercano al apoyo de l a viga (o a la sección de momento nulo más próxima), como se muestra en la Fig. 8.18. Cuando se especifica este requisito, la colocación en obra de los conectores, debe inspeccionarse muy cuidadosamente, ya que es fácil que se pongan al revés. Lo más conveniente, desde los puntos de vista de instalación y supervisión, es colocarlos en el eje de la nervadura, pero muchas veces no puede hacerse, pues es frecuente que las canales de la lámina tengan un doblez rigidizador en esa posición. EJEMPLO 8.7

Determine el número de conectores de barra con cabeza, de 1.9 cm (3/4”) de diámetro,

necesario para que la sección del ejemplo 8.1 desarrolle una acción compuesta completa. El concreto es clase 1.

Resistencia de un conector colocado en una losa de concreto maciza.

Ec = 14000

f ' c = 14000

2

250 » 221 400 Kg/cm

La expresión para Ec está tomada de la ref. 8.5 (es la ec. 8.72a del art. 8.3.12.1.2) 2

Asc = área de la sección transversal del vástago de un conector de f 19 mm = 2.85 cm Ec. 8.64

Qn = 0.5 Asc

f 'c Ec = 0.5 x 2.85

-3

-3

250 x 221 400 x 10 = 10.60 Ton < Asc Fu = 2.85 x 4600 x 10 =

13.11 Ton \ Qn = 10.60 Ton Factor de reducción de la resistencia por el uso de lámina acanalada (nervaduras perpendiculares a la viga de acero)

Se supone que wr = 14 cm, Hs = 12.7 cm, y que hay dos conectores en cada intersección (Nr = 2). hr = 7.6 cm es un dato del ejemplo 8.1.

Ec. 8.67

0 .85 Nr

(wr/hr) ((Hs/hr) - 1.0) =

0 .85 2

(14.0/7.6) ((12.7/7.6) -1.0 = 0.74 < 1.0

Resistencia de un conector = 10.60 x 0.74 = 7.84 Ton

Nº de conectores entre el punto de momento máximo y la sección adyacente de momento nulo.

61


La fuerza cortante que deben resistir los conectores es la menor de las calculadas con las ecs. 8.3 y 8.4, 0.85 f’c -3

-3

Ac = 0.85 x 250 x 300 x 8 x 10 = 510 Ton y Aa Fy = 187.8 x 2530 x 10 = 475.1 Ton (En este caso se sabía que la segunda fuerza es la menor, puesto que el eje neutro plástico está en la losa de concreto).

Número de conectores N = 475.1/7.84 = 60.6 @ 60 Si la viga fuese libremente apoyada y con carga uniforme, se colocarían 60 conectores entre el centro del claro y cada uno de los apoyos, o sea un total de 120 en el claro total. EJEMPLO 8.8 En el ejemplo 8.1 se determinó que el momento resistente de diseño, en flexión positiva, de la sección de la Fig. E8.1.1 en acción compuesta completa, es MR = 200.0 Tm (normas de la ref. 8.1), y en el ejemplo 8.7 se vio que se necesitan 60.6 conectores de 1.9 cm de diámetro, colocados entre el punto de momento máximo y la sección adyacente de momento nulo. Se desea determinar el momento resistente de diseño de la sección, si el número de conectores se reduce a 50.

La sección trabaja ahora en acción compuesta parcial. Aa = 2 x 26.5 x 1.7 + (75.3.2 x 1.7) 1.32 = 185.0 cm

2

No coincide exactamente con el valor del ejemplo 8.1, porque aquí se está suponiendo que el perfil está compuesto por tres placas rectangulares. 1.

Grado de conexión al corte

Ec. 8.31

a = åQn/C, donde C es la menor de las fuerzas calculadas con las ecs. 8.3 y 8.4

Ec. 8.3

C = Aa Fy = 18.5 x 2530 x 10 = 468.1 Ton

Ec. 8.4

C = 0.85 f’c Ac = 0.85 x 250 x 300 x 8 x 10 = 510.0 Ton

-3

-3

åQn = N Qn = 50 x 7.84 = 392.0 Ton

La resistencia de un conector, Qn = 7.84 Ton, se obtuvo en el ejemplo 8.7. a = 392.0/468.1 = 0.84 > 0.4

1.0 > a = 0.84 > 0.4 \ La sección trabaja en acción compuesta parcial.

62 2.

Construcción compuesta Peralte de la zona de losa que trabaja en compresión

Ec. 8.32

C’c = åQn = 392.0 Ton

Ec. 8.33

ae =

3.

åQn 392.0 = = 6.15 cm 0.85f'c be 0.85 x 250 x 300 x 10 -3

Determinación de la posición del ENP -3

Ec. 8.15’

C = C’c + Aps Fy = 392.0 + 26.5 x 1.7 x 2530 x 10 = 506.0 Ton

La ec. 8.15’ es la 8.15, en la que se ha sustituido Cc por C’c. En lo que sigue se utiliza una nomenclatura semejante.

Ec. 8.16

-3

T = (Aa - Aps) Fy = (185.0 - 26.5 x 1.7) 2530 x 10 = 354.1 Ton

Como C > T, el ENP está en el patín de la viga de acero. Se utilizan las ecs. 8.18, 8.19, 8.20, 8.34, 8.22 y 8.23, sustituyendo en todas Cc por C’c.

3

-3

Ec. 8.18’

Ca = 0.5 (Aa Fy - C’c) = 0.5 (185.0 x 2530 - 392.0 x 10 ) 10 = 38.0 Ton

Ec. 8.19

tpc = Ca/bps Fy = 38.0 x 10 /26.5 x 2530 = 0.57 cm

Ec. 8.20

dt =

3

0.5Aps t ps + 0.5Aal (d + t ps - t pi ) + Api (d - 0.5t pi ) - 0.5bpst p 2 c

Aa - bpst pc

2

2

Aps = Api = 26.5 x 1.7 = 45.05 cm ; Aal = 185.0 - 45.05 x 2 = 94.9 cm ; tps = tpi = 1.7 cm ; bps = bpi = 26.5 cm Sustituyendo valores,

dt =

0.5 x 45.05 x 1.7 + 0.5 x 94.9 (75.3 + 1.7 - 1.7) + 45.05 (75.3 - 0.5x1.7) - 0.5x26.5x0.57 2 = 40.97 cm 185.0 - 26.5 x 0.57

Ec. 8.34

d’2 = dt + hr + tc - 0.5ae = 40.97 + 7.61 - 8.0 - 0.5 x 6.15 = 53.50 cm

Ec. 8.22

d”2 = dt - 0.5 tpc = 40.97 - 0.5 x 0.57 = 40.69 cm

Construcción compuesta Ec. 8.23

63

Mn = C’c d’2 + Ca d”2 = 392.0 x 0.535 + 38.0 x 0.4069 = 225.2 Tm MR = 0.85 Mn = 191.4 Tm

Al disminuir los conectores de 60.6 a 50, el momento resistente de diseño, MR, baja de 200.0 Tm a 191.4 Tm, un 4% solamente (191.4/200.0 = 0.96).

EJEMPLO 8.9 Repita el ejemplo 8.8, reduciendo el número de conectores a 25.

1.

Grado de conexión al corte

åQn = 25 x 7.84 = 196.0 Ton

Los valores de C, ecs. 8.3 y 8.4, se conservan, luego a = 196.0/468.1 = 0.42 > 0.4

2.

Peralte de la losa que trabaja en compresión

C’c = åQn = 196.0 Ton

Ec. 8.33

3.

ae =

196.0 0.85x250x300x10 -3

= 3.07 cm

Posición del ENP

-3

Ec. 8.15’

C = 196.0 + 26.5 x 1.7 x 2530 x 10 = 310.0 Ton

Ec. 8.16

T = 354.1 Ton

Igual que en el ejemplo 8.8.

C < T \ El ENP está en el alma de la viga de acero. Se utilizan las ecs. 8.18, 8.24 a 8.27, 8.35, 8.39 y 8.30.

-3

Ec. 8.18’

Ca = 0.5 (185.0 x 2530 - 196 x 103) 10 = 136.0 Ton

Ec. 8.25

hc =

C a - Aps Fy t a Fy

=

136.0 x 10

3

- 26.5 x 1.7 x 2530

1.32x2530

= 6.59 cm.

64


Ec. 8.24

Aac = Aps + hc ta = 26.5 x 1.7 + 6.59 x 1.32 = 53.75 cm

Ec. 8.26

dc =

0.5Aps t ps + hct a (t ps + 0.5hc ) Aac 0.5 x 45.05 x 1.7 + 6.59 x 1.32 (1.7 + 0.5 x 6.59) = 1.52 cm 53.75

=

Ec. 8.27

dt =

2

0.5x45.05x1.7 + 0.5x94.9(75.3 - 1.7 + 1.7) + 0.5x45.05(2x75.3 - 1.7) - 53.75(75.3 - 1.52) = 185.0 - 53.75

= 22.85 cm Ec. 8.35

d’3 = d + hr + tc - 0.5 ae - dt = 75.3 + 7.6 + 8.0 - 0.5 x 3.07 - 22.85 = 66.52 cm

Ec. 8.29

d”3 = d - dc - dt = 75.3 - 1.52 - 22.85 = 50.93 cm

Ec. 8.30

Mn = C’c d’3 + Ca d”3 = 196.0 x 0.6652 + 136.0 x 0.5093 = 199.6 Tm

MR = 0.85 x 199.6 = 169.7 Tm

Al reducir los conectores de 60.6 a 25, MR disminuye 15 por ciento, de 200.0 Tm a 169.7 Tm (169.7/200.0 = 0.85). En este ejemplo se redujo mucho el número de conectores, a menos de la mitad de los necesarios para acción compuesta completa, para ilustrar el caso en que el ENP está en el alma de la viga de acero; sin embargo, el momento resistente de diseño bajo sólo en 15%. EJEMPLO 8.10 a)

Determine el número de conectores de barra con cabeza, de 1.9 cm (3/4”) de diámetro, necesario para que la sección del ejemplo 8.5, que trabaja en flexión negativa, desarrolle una acción compuesta completa. El concreto es clase 1 (ref. 8.5).

La resistencia de un conector de 1.9 cm de diámetro, en un sistema de piso con lámina acanalada con las nervaduras perpendiculares a la viga de acero, se determinó en el ejemplo 8.7: Qn = 7.84 Ton


Ec. 8.37

65

Número de conectores

N=

Ar Fyr

12.7 x 4200 x 10

=

Qn

7.84

-3

= 6.8 » 7

Deben colocarse 7 conectores entre la sección de momento negativo máximo (en valor absoluto) y la sección adyacente de momento nulo. b)

Determine la resistencia máxima, en flexión negativa, de la sección del ejemplo 8.5, suponiendo que el número de conectores se reduce de 7, necesarios para una acción compuesta completa, a 4.

Se considera la sección como si estuviese formada por tres rectángulos. 2

Aps = Api = 17.1 x 0.97 = 16.59 cm

2

Aal = (d-tps-tpi) ta = (35.2 - 2 x 0.97) 0.69 = 22.95 cm

2

Aa = Aps + Api + Aal = 16.59 x 2 + 22.95 = 56.13 cm

Es un poco menor que el área real (56.13/56.84 = 0.988). -3

åQn = 4 x 7.84 = 31.4 Ton < Ar Fyr = 12.7 x 4200 x 10 = 53.3 Ton

La acción compuesta es parcial. Ec. 8.52

Tr = åQn = 31.4 Ton

Ec. 8.41

Ta =

Aa Fy - T r 2

=

56.13 x 2530 x 10

-3

- 31.4

2

= 55.3 Ton

Posición del ENP Suponiendo que coincide con el borde inferior del patín de la viga, -3

T = Tr + Aps Fy = 31.4 + 16.59 x 2530 x 10 = 73.4 Ton -3

C = (Aa - Aps) Fy = (56.13 - 16.59) 2530 x 10 C > T \ El ENP está en el alma de la viga.

= 100.0 Ton

66

Ec. 8.43


ht =

Ta - Aps Fy t a Fy

=

55.3 - 16.59 x 2530 x 10

Ec. 8.44

dt = =

Ec. 8.45

0.5 Aps t ps + h t t a (t ps + 0.5 h t )

= 7.63 cm

2

=

Aat

0.5 x 16.59 x 0.97 + 7.63 x 0.69 (0.97 + 0.5 x 7.63)

dc = =

-3

0.69 x 2530 x 10

Aat = Aps + ht ta = 16.59 + 7.63 x 0.69 = 21.85 cm

-3

0.5 Api t pi + 0.5 Aal

= 1.52 cm 21.85 (d - t ps + t p ) + 0.5 Aps (2d - t ps ) - Aat (d - d t ) i

Aa - Aat

=

0.5x16.59x0.97 + 0.5x22.95x35.2 + 0.5x16.59(2x35.2 - 0.97) - 21.85(35.2 - 1.52) 56.13 - 21.85

Ec. 8.46

d’ = d + hr + tc - hv - dc = 35.2 + 5.1 + 8.0 - 4.0 - 7.35 = 36.95 cm

Ec. 8.47

d” = d - dt - dc = 35.2 - 1.52 - 7.35 = 26.33 cm

Ec. 8.42

Mr = fMn = f(Trd’ + Tad”) = 0.85 (31.4 x 0.3695 + 56.3 x 0.2633) = 22.5 Tm

= 7.35 cm

Al disminuir el número de conectores de 7 a 4, el momento resistente de diseño se reduce de 25.0 Tm (Ejemplo 8.8) a 22.5 Tm (22.5/25.0 = 0.900), pero sigue siendo bastante mayor que el momento plástico de la viga, 17.65 Tm (22.5/17.65 = 1.27). 8.3.8.3 Colocación y espaciamiento de los conectores En una viga compuesta libremente apoyada con carga uniforme, N es el número de conectores entre el centro del claro y uno de los apoyos; en toda la viga, son 2N. Pueden distribuirse uniformemente en toda la longitud. En vigas continuas, esto es aplicable al tramo comprendido entre una sección de momento máximo y la adyacente de momento nulo, que se trata como la mitad del claro de la viga con apoyos libres. Cuando las canales de la lámina son perpendiculares a la viga, los conectores se colocan en sus intersecciones, uno o dos en cada una. Si hay más intersecciones que conectores, puede variarse su separación, poniéndolos, por ejemplo, en dos intersecciones seguidas, y dejando libre la siguiente; esta secuencia se repite a lo largo de la viga. Cuando la carga es uniforme, los conectores pueden colocarse con separaciones constantes entre la sección de momento máximo y la adyacente de momento nulo, pero si hay cargas concentradas, el cambio brusco de la fuerza cortante obliga a modificar la distribución.


67

En la Fig. 8.19 se muestra una viga compuesta libremente apoyada, con dos cargas concentradas simétricas; el número de conectores necesarios entre cada carga y el extremo de la viga, en el instante en que el momento flexionante en la sección media iguala al momento resistente de la sección compuesta, se obtiene del estudio del diagrama de cuerpo libre del tramo de losa comprendido entre las dos secciones consideradas (Fig. 8.19d). Si el momento flexionante en los puntos de aplicación de las cargas concentradas es cercano al máximo, la fuerza cortante en el tramo central es casi nula, y son pocos los conectores requeridos en esa zona; la mayoría debe colocarse entre las cargas concentradas y los extremos de la viga. De hecho, si no hubiese carga uniforme no harían falta conectores en el tramo central, aunque de todos modos se colocarían algunos, para evitar que la losa y la viga se separen. En total, los conectores entre el centro de la viga y cualquiera de sus extremos son N = C/Qn, como se ve estudiando el equilibrio de la mitad de la losa de concreto (Fig. 8.19c), y los que han de colocarse entre una carga concentrada y el apoyo más cercano, N’ = C’/Qn (Fig. 8.19d). Si se supone que es válida la relación C/C’ = Mmáx/M, de donde se obtiene C’ = C M/Mmáx, se llega a

N’ =

C' Qn

=

C

M

Q n M má

=N x

M M má

x

Fig. 8.19 Conectores en vigas con cargas concentradas.

68


Como la resistencia de diseño de la viga de acero (Mr = FR ZFy para secciones tipo 1 o 2, soportadas lateralmente) no depende de los conectores de cortante, debe restarse de M y Mmáx, con lo que la ecuación anterior se transforma en (ref. 8.3)

N’ = N

M - Mr M má

x

- Mr

Aunque la relación lineal entre los momentos y las fuerzas normales en la losa no es rigurosamente cierta si una de las secciones está plastificada por completo y la otra no, la expresión anterior proporciona suficiente precisión cuando M es poco menor que Mmáx. En resumen, los conectores de cortante necesarios a cada lado del punto de momento flexionante máximo, positivo o negativo, pueden distribuirse uniformemente entre ese punto y el adyacente de momento nulo, pero los colocados entre una carga concentrada cualquiera y la sección más próxima de momento nulo deben ser suficientes para desarrollar el momento máximo requerido en el punto de aplicación de la carga concentrada (ref. 8.1). En general, la fuerza horizontal total entre dos secciones de la viga compuesta es igual al cambio del valor de la fuerza de compresión, o de tensión, entre esas dos secciones. Cuando las losas son macizas, los conectores deben tener un recubrimiento lateral de concreto no menor de 2.5 cm. Este requisito no es necesario cuando se instalan en nervaduras de lámina acanalada, pues experimentalmente se ha encontrado que la resistencia de las vigas compuestas no disminuye aunque se coloquen tan cerca de las paredes de las nervaduras como sea posible. Si los conectores no se colocan exactamente sobre el alma de la viga, su diámetro no excederá de 2.5 veces el grueso del patín al que se suelden. Con esta limitación se busca evitar que se arranquen del patín antes de alcanzar su resistencia máxima al corte, fenómeno que se presenta cuando están soldados a patines delgados, a un lado del alma. En losas macizas, la separación mínima entre centros de conectores de barra con cabeza es de seis diámetros a lo largo del eje longitudinal de la viga de acero, y cuatro diámetros medidos perpendicularmente a ese eje. Dentro de las costillas de láminas acanaladas la separación mínima puede reducirse a cuatro diámetros en cualquier dirección. La separación máxima entre centros no será mayor de ocho veces el grueso total de la losa. Los requisitos anteriores provienen de los estudios experimentales con los que se ha determinado la resistencia de las vigas compuestas.


69

Cuando las canales de la lámina son paralelas a la viga de acero y se requieren más conectores que los que caben en ellas, la lámina puede cortarse y, separando las dos partes, obtener el espacio necesario para colocarlos. En la Fig. 8.20 se muestran posibles arreglos de los conectores.

Fig. 8.20 Arreglos de conectores de cortante. 8.3.9

Cortante longitudinal en la losa

En losas macizas, o sobre lámina acanalada con nervaduras paralelas a la viga de acero, debe revisarse la resistencia al cortante a lo largo de las secciones longitudinales por las que se transmite la fuerza de compresión, en el ancho efectivo total, a la zona de la losa que está directamente encima del patín. Esta revisión no es necesaria cuando las nervaduras de la lámina son perpendiculares a la viga. El origen de las fuerzas cortantes longitudinales en la losa es el siguiente (Fig. 8.21):

Fig.8.21 Cortante longitudinal en la losa. La fuerza que se desarrolla en los conectores colocados entre la sección de momento máximo y la adyacente de momento nulo es, siempre, en acción compuesta completa o parcial, igual a la compresión que resiste la losa, que está distribuida en todo su ancho efectivo; la fuerza en la parte de la losa colocada sobre el patín, ACL (sombreada en la Fig. 8.21), es menor que la que recibe a través de los conectores, y por equilibrio en la región

70


comprendida entre las dos superficies longitudinales definidas por planos verticales trazados por los extremos de la nervadura central, aparecen en ellas fuerzas cortantes horizontales. La resistencia de diseño en compresión de la superficie ACL es 0.85 FRC f’c ACL + FRr ArL Fyr, donde FRC = 0.60 y

FRr = 0.90 son factores de resistencia del concreto y del acero de refuerzo, ArL es el área de las varillas de refuerzo longitudinal colocadas entre los dos planos de corte, y Fyr su esfuerzo de fluencia (ref. 8.3). La fuerza cortante que deben resistir las superficies longitudinales de corte entre la sección de momento flexionante máximo y la más cercana de momento nulo es

Vu = åQn - 0.85 FRC f’c ACL - FRr ArL Fyr

(8.68)

Si se desprecia el armado longitudinal colocado en la superficie ACL se obtienen resultados conservadores, pues desaparece el término FRr ArL Fyr, y aumenta VU. Para concreto de peso volumétrico normal, la resistencia de diseño a lo largo de cualquier posible superficie de falla por cortante longitudinal es (ref. 8.3):

Vr = 0.80 FRr Ar Fyr + 28.1 FRC Acv £ 0.50 FRC f’c Acv

(8.69)

donde Ar y Acv son el área del refuerzo transversal que cruza el plano de corte, y el área de éste. 2

2

Utilizando como unidades Kg/cm para los esfuerzos y cm para las áreas, Vr se obtiene en Kg. Si el concreto es ligero la constante 28.1 se reduce a 14.1. El término 28.1 FRC ACV (o 14.1 FRC ACV) representa la contribución del concreto a la resistencia al cortante. La falla por cortante longitudinal no es crítica si

Vr ³ Vu

(8.70)

En general, en vigas interiores hay dos planos potenciales de corte, por lo que Vr es el doble del valor obtenido con la ec. 8.69. Cuando la losa se cuela directamente sobre la viga de acero, los planos críticos pasan por los extremos de su patín superior. En las refs. 8.1, 8.4 y 8.5 no se menciona esta revisión.


71

8.3.10 Resistencia durante la construcción Cuando las vigas no se apuntalan durante la construcción, la sección de acero debe tener la resistencia necesaria para soportar, por sí sola, todas las cargas aplicadas antes de que el concreto se endurezca lo necesario para permitir la acción compuesta, es decir, antes de que adquiera el 75 por ciento de su resistencia especificada, f’c. La resistencia en flexión de la sección de acero se determina de acuerdo con los requisitos de los Capítulos 4 y 5. Las deflexiones que produce el concreto recién colocado tienden a hacer que aumente el grueso de la losa en la parte central del claro y, por consiguiente, la carga muerta, lo que puede ocasionar problemas en vigas de claros grandes; para evitarlos, conviene darles contraflecha. Durante la construcción debe cuidarse la posible falla de las vigas por pandeo lateral; puede convenir el uso de contraventeos provisionales. La resistencia requerida cuando el concreto no se ha endurecido todavía limita los momentos máximos en la sección de acero a los que corresponden a la iniciación del flujo plástico; por tanto, el momento máximo factorizado es, durante la construcción, igual a 0.90 Fy Z (cuando no rige el pandeo lateral), que es aproximadamente igual a 0.9 Fy (1.1S) » FyS. 8.3.11 Resistencia de diseño en cortante La resistencia de diseño en cortante de las vigas compuestas se considera igual a la del alma de las vigas de acero, determinada de acuerdo con el art. 3.10.4.2.1, del capítulo 3; el alma y las conexiones de los extremos de la viga de acero deben diseñarse para soportar la reacción total. El enfoque anterior es conservador, puesto que se desprecia la contribución de la losa de concreto a la resistencia a fuerzas cortantes verticales; al mismo tiempo, el diseño se simplifica. 8.3.12 Estados límite de servicio Cuando las relaciones claro/peralte no exceden los límites aceptados comúnmente, 70000/Fy para vigas de piso 2

y 56000/Fy para techos, con Fy en kg/cm (refs. 8.19 y 8.20), y la flecha por carga viva no es mayor de L/360, suelen satisfacerse las condiciones de servicio, principalmente porque en las estructuras no actúan casi nunca las cargas nominales completas. Sin embargo, hay ocasiones en que, aún satisfaciendo esos límites, no se obtienen resultados adecuados.

72


Cuando obran en la estructura porciones importantes de la carga viva durante periodos largos, o cuando los materiales que constituyen el concreto de la losa son especialmente susceptibles al flujo plástico y a la contracción, deben considerarse las deflexiones a largo plazo ocasionadas por esos fenómenos, sobre todo si los claros son grandes. El empleo, en los últimos tiempos, de vigas de menor peralte, hecho posible por el diseño basado en factores de carga y resistencia, y por el uso de aceros de resistencias elevadas y, con frecuencia, de concretos ligeros, ha originado aumentos de las deflexiones verticales, y los problemas de vibraciones se han vuelto más severos, lo que obliga a revisar las condiciones de servicio con mayor cuidado. Un criterio de servicio que ha recibido poca atención es el agrietamiento excesivo de las losas. Las grietas provienen, principalmente, del fraguado del concreto, la acción de las cargas, y las restricciones no intencionales de las deformaciones; aunque, en general, la seguridad de la estructura no disminuye, las grietas ocasionan dificultades entre el propietario, el diseñador y el constructor. Los problemas ocasionados por vibraciones de los pisos están asociados, en general, con amplificaciones debidas a la coincidencia de las frecuencias de las solicitaciones y del piso, y a valores muy pequeños del amortiguamiento dinámico. 8.3.12.1 Deflexiones 8.3.12.1.1 Aspectos generales Como el comportamiento de las vigas compuestas bajo cargas de servicio es elástico, el momento de inercia de sus secciones transversales con el que se calculan las deflexiones se determina con las hipótesis de la teoría de la elasticidad.

La losa de concreto se sustituye por un área de acero equivalente, con el mismo

centro de gravedad, con lo que se obtiene una sección transformada, ficticia, de acero, de momento de inercia It. Para determinar las flechas se tiene en cuenta lo siguiente: Acción compuesta total o parcial. Construcción con puntales provisionales, o sin ellos. Flujo plástico del concreto, producido por las cargas permanentes que actúan sobre la sección compuesta. Contracciones diferidas del concreto. Las deflexiones son de dos tipos: instantáneas y diferidas; las primeras se deben al peso del concreto colocado sobre las vigas de acero no apuntaladas, o se presentan cuando se quitan los puntales, y a cargas vivas de corta duración; las segundas se producen por la contracción y el flujo plástico del concreto, y el cambio de sus propiedades, a lo largo del tiempo.


73

El flujo plástico del concreto es el acortamiento diferido que experimenta bajo esfuerzos de compresión de larga duración. Cuando un elemento de concreto se comprime, sufre una deformación instantánea, que crece, a lo largo del tiempo, si la compresión es permanente; la deformación total es la suma de la instantánea y la diferida. Las contracciones diferidas se deben a la disminución de volumen del concreto cuando fragua, al evaporarse el agua que no se necesita para la hidratación del cemento; no dependen de las cargas, pero sí del tiempo transcurrido desde que se aplicaron. Ambos fenómenos producen flechas adicionales, a causa de la liga entre la losa y el perfil de acero. El cálculo exacto de las deflexiones es muy complejo, aun en estructuras sencillas, como las vigas compuestas libremente apoyadas, principalmente porque se ignoran las características no lineales de la conexión que proporcionan los conectores de cortante y por los cambios, a lo largo del tiempo, de las propiedades del concreto de la losa, además de otras incertidumbres, comunes a todas las estructuras, relativas a modificaciones en las cargas durante su vida y a la dificultad de modelar, con precisión, las condiciones de apoyo. 8.3.12.1.2 Deflexiones instantáneas Se ha demostrado experimentalmente que los efectos de los pequeños deslizamientos entre la losa y la viga de acero que hay en secciones diseñadas para desarrollar acción compuesta completa pueden despreciarse para determinar su resistencia última, pero deben incluirse en el cálculo de las flechas; se tienen en cuenta utilizando un momento de inercia efectivo, Ie. Cuando la acción compuesta es completa, Ie es poco menor que el momento de inercia It de la sección transformada, pero cuando es parcial, disminuye con el grado de conexión al corte, a. En la ref. 8.1 no se consideran reducciones de rigidez en vigas que trabajan en acción compuesta completa, mientras que en la ref. 8.3 sí se tiene en cuenta una pequeña disminución, aún en ese caso. En construcción sin apuntalamiento provisional, la flecha debida a la carga anterior al endurecimiento del concreto se calcula con el momento de inercia de la viga, Iv; suele compensarse dándole una contraflecha a la viga de acero. Las deflexiones instantáneas se determinan con un análisis elástico de las vigas compuestas, basado en las propiedades nominales de los materiales que las forman. Momento flexionante positivo Como primer paso para determinar la flecha de una viga compuesta en flexión positiva, se calcula el momento de inercia de su sección transformada, It. Para ello, la losa de concreto se convierte en acero equivalente, por

74


medio del coeficiente n, cociente de los módulos de elasticidad de los dos materiales (n = E/Ec). El ancho efectivo de la losa se divide entre n, para obtener un ancho equivalente de acero. El eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección transformada. En las refs. 8.1 y 8.16 se recomienda la ec. 8.71 para determinar el módulo de elasticidad del concreto:

Ec = 0.1373 wc

1.5

(8.71)

f'c

3

3

wc es el peso volumétrico del concreto, en Kg/m (debe estar comprendido entre 1500 y 2500 Kg/m ), y f’c se 2

toma en Kg/cm ; Ec se obtiene en estas mismas unidades. En la ref. 8.5 se definen dos clases de concretos estructurales, y se dan los valores siguientes para sus módulos de elasticidad: Concreto clase 1.- Ec = 14 000 f' c , Kg/cm Concreto clase 2.- Ec = 8 000

2

f' c , Kg/cm

(8.72a)

2

(8.72b) 3

Los concretos clase 1 tienen un peso volumétrico, en estado fresco, superior a 2200 Kg/m , y una resistencia f’c 2

no menor que 250 Kg/cm ; el peso volumétrico de los concretos clase 2 está comprendido entre 1900 y 2200 3

2

Kg/m , y su resistencia está comprendida entre 200 y 250 Kg/cm . Posición del eje neutro elástico (ENE). Se considera primero el caso en que el eje neutro elástico está en la losa de concreto (Fig. 8.22). Si y es la distancia entre el ENE y el borde superior de la losa, en este caso y < tc; despreciando la resistencia en tensión del concreto, el área total de la sección transformada es

At = Aa +

be y n

El momento estático respecto al borde superior de la losa es (Fig. 8.22)

æb y ö æy ö y At = ç e ÷ ç ÷ + Aa ya è n ø è2 ø


75

Fig.8.22 Eje neutro elástico en la losa de concreto. Combinando las dos ecuaciones anteriores se obtiene

æ be ö 2 ç ÷ y + (nAa) y - nAaya = 0 è 2 ø La solución de esta ecuación proporciona la posición del eje neutro elástico, que pasa por el centro de gravedad de la sección transformada.

y =

æ nAa ç æ 2be y a çç1 + be ç è nAa è

ö ö ÷÷ - 1 ÷ £ t c ÷ ø ø

(8.73)

y y ya son las distancias del eje neutro de la sección transformada completa y del centro de gravedad de la sección de acero al borde superior de la losa. Momento de inercia de la sección transformada. Si y £ tc, el eje neutro está en la losa; el momento de inercia de la sección transformada es (se desprecia la contribución del concreto en tensión)

It =

be y 3n

3

+ Ia + Aa (ya - y )

2

Ia es el momento de inercia de la sección de acero respecto a su eje centroidal.

(8.74)

76


Si y , ec. 8.73, es mayor que tc ( y > tc), el eje neutro elástico está fuera de la losa (Fig. 8.23), y la ec. 8.74 no es válida. El área y el momento de inercia centroidal de la superficie de concreto transformada en acero son, ahora,

æb ö Act = ç e ÷ t c èn ø

(8.75)

3

Ict =

be t c

(8.76)

12n

La posición del eje neutro elástico (o la del centro de gravedad de la sección transformada) está dada por (Fig. 8.23)

y =

(Act )(0.5t c ) + Aa y a

(8.77)

Act + Aa

Fig. 8.23 Eje neutro elástico fuera de la losa de concreto. Si el eje neutro elástico está en la sección de acero, sea en el patín o en el alma, el momento de inercia de la sección transformada es 2

It = (Ict + Ia) + Act ( y - 0.5tc) + Aa (ya - y )

2

(8.78)

El módulo de sección elástico de la sección transformada, con respecto a las fibras extremas en tensión, se determina con la ecuación


St =

77 It d + hr + t c - y

(8.79)

El momento de inercia It se obtiene con una de las ecuaciones 8.74 u 8.78. Momento flexionante negativo Para calcular el momento de inercia de una viga en flexión negativa, que trabaja en acción compuesta completa, se ignora la losa de concreto, en tensión, pero puede incluirse el armado paralelo a la viga, situado en el ancho efectivo de la losa, que debe estar anclado adecuadamente. Como primer paso, se determina la posición del eje neutro elástico de la sección compuesta. Tomando momentos estáticos respecto al borde inferior de la sección de acero, se tiene (Fig. 8.24):

Fig. 8.24 Momento de inercia de una viga compuesta en flexión negativa. Ar (d + hr + tc - hv) + Aa ya = (Aa + Ar) y

\y =

Ar (d + hr + t c - hv ) + Aa y a Aa + Ar

(8.80)

ya, distancia del centro de gravedad de la sección de acero a su borde inferior, se determina de manera semejante a y , pero sin considerar el acero de refuerzo.

78


ya =

0.5 Aps (2d - t ps ) + 0.5 Api t p + 0.5 Aal (d + t pi - t ps ) i

Aa

(8.81)

Si la viga tiene dos ejes de simetría, Api = Aps = Ap, tpi = tps = tp, y la es. 8.81 se reduce a ya = d/2. Conocida la distancia ya (ec. 8.81), se lleva a la ec. 8.80, con la que se calcula y .

Finalmente, el momento de inercia de la sección compuesta en flexión negativa, es 2

It = Ar (d + hr + tc - hv - y ) + Ia + Aa ( y - ya)

2

(8.82)

La ec. 8.82 es válida para cualquier posición del eje neutro elástico, en el patín o en el alma de la sección de acero. El momento de inercia centroidal de la sección de acero, Ia, vale

Ia = Aps

2 2 æ æ æ d + t pi - t ps ö2 Aps t ps 2 + Api t pi 2 + Aal (d - t ps - t pi ) t pi ö t ps ö - ya ÷ + çd - y a ÷ + Api ç y a ÷ + Aal ç è è è ø 12 2 2 ø 2 ø

2

(8.83)

8.3.12.1.3 Reducción del momento de inercia por deslizamiento entre losa y viga El análisis elástico de elementos en flexión se basa en la hipótesis de la sección plana; para que se cumpla, el deslizamiento relativo de los dos materiales de las vigas compuestas debe ser nulo, puesto que las deformaciones han de ser proporcionales a la distancia al eje neutro elástico. Si hay deslizamiento relativo, las deformaciones crecen, y la viga se vuelve más flexible. Para tener en cuenta que el deslizamiento no es nulo, en el cálculo elástico de esfuerzos y deflexiones de vigas compuestas se utiliza un momento de inercia reducido, llamado momento de inercia efectivo, Ie. Se han propuesto varias expresiones para evaluarlo, en función del momento de inercia de la sección transformada, It, y del grado de conexión al corte, a.

La recomendada en la ref. 8.1, que proviene de

experiencias reportadas en la ref. 8.13, es

Ie = Ia +

En la ecuación anterior

( åQn / Cc )( It

- Ia

)

(8.84)


79

Ia = momento de inercia de la sección de acero estructural, cm

4

It = momento de inercia de la sección transformada completa, sin agrietar, cm

4

åQn = suma de resistencias de los conectores de cortante colocados entre la sección de momento positivo máximo y el punto de momento nulo, a uno u otro lado, Ton.

Cc = fuerza de compresión en la losa de concreto para acción compuesta completa, Ton. (El menor de los valores dados por las ecs. 8.3 y 8.4). Si la acción compuesta es completa, åQn/Cc = 1, y la ecuación anterior se reduce a Ie = It; el momento de inercia efectivo no disminuye. El módulo de sección efectivo, Se, referido al patín en tensión de la viga en construcción compuesta, con o sin lámina acanalada, es aproximadamente igual a (ref. 8.1)

Se = Sa +

( åQn / Cc )( St

- Sa

)

(8.85)

Sa y St son los módulos de sección del perfil de acero estructural y de la sección compuesta no agrietada transformada, ambos referidos al patín en tensión de la sección de acero. El módulo de sección no disminuye tampoco cuando la acción compuesta es completa. Las ecs. 8.85 y 8.86 reflejan adecuadamente la reducción en resistencia y rigidez cuando el número de conectores es menor que el que se necesita para acción compuesta total; son aplicables si la losa está colada directamente sobre el patín de la viga o si se utiliza lámina acanalada. Dejan de ser válidas cuando la relación a = åQn/Cc es menor que 0.25. Con esta restricción se busca evitar deslizamiento excesivo y pérdida sustancial de resistencia. Las deflexiones instantáneas de la viga compuesta se calculan con el momento de inercia efectivo, determinado con las ecs. 8.74, 8.78 u 8.82, corregido con la ec. 8.84, cuando sea necesario. EJEMPLO 8.11. Calcule el momento de inercia efectivo de la sección compuesta de la Fig. E8.11.1, que trabaja en

flexión

positiva.

El

concreto

es

clase

1,

peso

volumétrico

de

2400

3

Kg/m , y resistencia

2

en compresión f’c = 250 Kg/cm . Suponga: a) La sección está diseñada para trabajar en acción compuesta total; b) el grado de conexión al corte es igual a 0.60. El ancho efectivo be de la losa de concreto es 220 cm.

80


Fig. E8.11.1 Viga compuesta del ejemplo 8.11.

En la figura se proporcionan las propiedades geométricas necesarias para resolver el ejemplo.

Ec. 8.72a

Ec = 14000

Relación modular

2

f ' c = 14,000 250 = 221 360 Kg/cm n = E/Ec = 2039 000/221 360 = 9.2

Ancho equivalente de la losa de concreto = be/n = 220/9.2 = 23.9 cm. a)

Acción compuesta completa

Se supone primero que el eje neutro elástico está en la losa de concreto.

Ec. 8.73

y =

9.2x97.75 é æ 2 x 220 x 40.5 öù ê ç1 + - 1÷ ú = 14.56 cm > tc = 10.0 cm øû 220 9.2x97.75 ë è

El eje neutro no está en la losa; para determinar el momento de inercia de la sección transformada, It, se utilizan las ecs. 8.75 a 8.78.

Ec. 8.75

Act =

Ec. 8.76

Ict =

220 9.2

2

x 10 = 239.1 cm

220 x 10 3 4 = 1992.8 cm 12 x 9.2

Construcción compuesta 239.1 x 0.5 x 10 + 97.75 x 40.5 = 15.30 cm 239.1 + 97.75

Ec. 8.77 y =

Ec. 8.78 b)

81

2

2

4

It = 1992.8 + 59168 + 239.1 (15.30 - 0.5 x 10) + 97.75 (40.5 - 15.3) = 148 602 cm

Acción compuesta parcial (a = 0.60)

El momento de inercia efectivo se calcula con la ec. 8.84.

Ie = 59168 +

4

0.60 (148 602 - 59168) = 128 443 cm

Este momento de inercia es el 86% del que se obtuvo en el caso a. EJEMPLO 8.12.

Calcule el momento de inercia de la sección compuesta del ejemplo 8.3 (Fig. E8.3.1),

suponiendo que trabaja en flexión negativa.

El área de las barras longitudinales de refuerzo de la losa 2

2

contenidas en el ancho efectivo es Ar = 38.1 cm , y tienen un esfuerzo de fluencia Fyr = 4200 Kg/cm . hv = 4.0 cm. Suponga: a) La sección trabaja en acción compuesta total; b) el grado de conexión al corte es a = 0.60. 2

2

2

2

Aps = 10.16 cm ; Api = 83.25 cm ; Aal = 94.39 cm ; Aa = 187.80 cm a)

Acción compuesta completa 0.5x10.16(2x75.0 - 1.27) + 0.5x83.25x2.22 + 0.5x94.39(75.0 + 2.22 - 1.27) = 23.60 cm 187.80

Ec. 8.81

ya =

Ec. 8.80

y =

Ec. 8.83

æ æ æ 75.0 + 2.22 - 1.27 ö 2.22 ö 1.27 ö ÷ + 83 .25ç23.60 ÷ + 94.39ç - 23.60 ÷ Ia = 10.16 ç75.0 - 23.60 è è è ø 2 2 ø 2 ø

38.1(75.0 + 7.6 + 8.0 - 4.0) +187.80x23.60 = 34.23 cm 187.80 + 38.1 2

+

2

10.16x1.27 2 + 83 .25 x2.22 2 + 94.39(75.0 - 1.27 - 2.22)2 2 = 128 055 cm 12

Por último, el momento de inercia de la sección compuesta es (ec. 8.82) 2

2

4

I = 38.1 (75.0 + 7.6 + 8.0 - 4.0 - 34.23) + 128 055 + 187.80 (34.23 - 23.60) = 259 770 cm

El momento de inercia de la sección compuesta es 1.98 veces mayor que el de la sección de acero. b)

Acción compuesta parcial (a = 0.60).

2

+

82


El momento de inercia se calcula de la misma manera que cuando la viga trabaja en acción compuesta completa, pero en vez de considerar toda el área del acero de refuerzo, Ar, se toma aAr, en este caso, 0.60 Ar. Sin embargo conviene, en general, diseñar las zonas en flexión negativa en acción compuesta completa, pues no hay evidencia experimental relativa a su comportamiento cuando la acción es parcial (refs. 8.17 y 8.18). 8.3.12.1.4 Deflexiones por cargas permanentes o de larga duración Entre los problemas más comunes en los pisos compuestos están las deflexiones excesivas y el agrietamiento que se presentan poco después de la terminación del edificio, que suelen ser ocasionados por la contracción y el flujo plástico del concreto de las losas. El flujo plástico es proporcional al tiempo, a la carga aplicada y a la relación agua/cemento del concreto, y es inversamente proporcional al porcentaje de humedad del medio ambiente. Según la ref. 8.3, sus efectos pueden tenerse en cuenta, de manera aproximada, aumentando en 15% las flechas instantáneas producidas por las cargas de larga duración. En la ref. 8.1 no se indica ningún incremento. La contracción del concreto, que origina una reducción de la longitud de la losa, es proporcional al tiempo y a la relación agua/cemento, e inversamente proporcional al porcentaje de humedad del medio ambiente y a la relación volumen/superficie de la losa. Como está ligada a la viga de acero, la losa no se contrae libremente durante el fraguado por lo que, cuando éste termina, queda sometida a esfuerzos de tensión, y ocasiona compresiones y flexión en la viga. La flexión debida a la contracción restringida produce una flecha, que puede calcularse escogiendo un valor de la contracción unitaria libre y un módulo de elasticidad Ect del concreto en tensión, que depende del tiempo, y teniendo en cuenta la compatibilidad de deformaciones de los dos materiales que componen la sección (Fig. 8.25). La flecha máxima, en el centro de una viga libremente apoyada, se calcula con la expresión (ref. 8.3) en la que

ef = contracción unitaria libre del concreto (varía entre 400 y 1100 x 10-6, con un promedio de alrededor de -6

800x10 , ref. 8.25)

Ac = área efectiva de la losa Ect = módulo de elasticidad efectivo del concreto en tensión 2

@ 84 640 - 4800 sct; 3.0 £ sct £ 12.2, para concreto de resistencia comprendida entre 300 y 400 Kg/cm . 2

El esfuerzo de tensión en el concreto, sct, puede tomarse igual al valor máximo, 12.2 Kg/cm .

Construcción compuesta L

83

= claro de la viga

nt = relación modular, E/Ect (comprendida entre 40 y 60, ref. 8.3) y = distancia del centroide del área efectiva de la losa al eje neutro elástico It = momento de inercia de la sección transformada de la viga compuesta, basado en la relación modular nt Las literales de la Fig. 8.25 que no aparecen arriba tienen los significados siguientes: es

= deformación unitaria en tensión del concreto

er

= contracción unitaria restringida correspondiente

et

= deformación unitaria en compresión del borde superior de la viga de acero

eb

= deformación unitaria en tensión del borde inferior de la viga de acero

T

= fuerza de tensión en el concreto

C, Ctc = fuerzas de tensión en la viga M

= momento en la viga de acero

Los efectos del flujo plástico y de la contracción del concreto sobre las deflexiones de las vigas compuestas no pueden evaluarse con precisión, por el gran número de variables que influyen en ellos, y el poco control que se tiene sobre esas variables. Algunos autores (ver, por ejemplo, la ref. 8.21) afirman que el incremento de las deflexiones a largo plazo, por contracción del concreto, no es significativo en vigas compuestas de características usuales, pero que si se quiere considerarlo en algún caso particular, las propiedades de la sección compuesta que se utilizan en el cálculo de las deflexiones deben determinarse empleando una relación modular de alrededor de 2n.

Fig.8.25 Viga compuesta con fuerzas producidas por la contracción del concreto. a) Deformaciones unitarias; b) Diagrama de cuerpo libre.

∆s =

ε f Ac L2 y 8n t l t

(8.86)

84


EJEMPLO 8.13 La sección compuesta de la Fig. E8.13.1 se va a utilizar para una viga de 10.0 m de claro, libremente apoyada, que soporta una carga de servicio total de 10.5 T/m. El concreto de la losa tiene una 2

resistencia f’c = 250 Kg/cm , y las características de la viga de acero se indican en la figura. Se desea calcular la flecha máxima en el centro del claro, para a) acción compuesta completa, b) grado de conexión al corte a = 0.75.

W30”X99lb / ft (147kg/m) Aa=188.0cm

2

Ix=166 000cm

4

Fig. E8.13.1 Sección transversal de la viga compuesta.

a)

ACCIÓN COMPUESTA COMPLETA

Deflexiones instantáneas Se calculan con el momento de inercia de la sección transformada. Si el concreto es clase 1 (ref. 8.5),

Ec = 14 000

2

f ' c = 14 000 250 @ 221400 Kg/cm

n = Ea/Ec = 9.2 , be/n = 125/9.2 = 13.6 cm Distancia del eje neutro elástico de la sección transformada total al borde superior de la losa.

ya =

75 .3 + 5.0 + 10.0 = 52.7 cm 2

Ec. 8.73

æ nAa ç æ 2b e y a çç1 + y = ç be nAa è è

ö ö ö 188.0 æ æ 2 x13 .6 x 52 .7 ö ç ç1 + ÷ = 26.8 cm > tc = 10.0 cm ÷÷ - 1 ÷ = 1 ÷ ç ÷ ÷ ø 13.6 è è 188 .0 ø ø ø


85

El eje neutro está fuera de la losa (atraviesa la sección de acero). Área y momento de inercia centroidal de la sección de concreto transformada

Ec. 8.75

Act =

Ec. 8.76

Ict =

be 2 tc = 13.6 x 10.0 = 136.0 cm n be t c3 13.6 x 10.0 3 4 = = 1133 cm 12 n 12

Posición del eje neutro elástico (distancia al borde superior de la losa)

Ec. 8.77

y =

Act (0.5t c ) + Aa y a = Act + Aa

136.0 x 0.5 x 10.0 + 188.0 x 52.7 136.0 + 188.0

= 32.7 cm

El ENE pasa por el alma de la viga de acero. Momento de inercia de la sección transformada Ec. 8.78

2

2

2

It = (Ict + Ia) + Act (y - 0.5 tc) + Aa (ya - y ) = (1133 + 166 000) + 136.0 (32.7 - 0.5 x 10.0) + 188.0 2

4

(52.7 - 32.7) = 346 700 cm . Carga de servicio total ws = 10.5 T/m = 105 Kg/cm (Incluye el peso propio de losa y viga) Peso propio de la losa y la viga

-4

w L+V = 125 X 10 x 10 x 2400 + 147 = 447 Kg/m @ 4.5 Kg/cm

Flecha antes de que fragüe el concreto.

(Di)1 =

4.5 x 1000 4 5 w L+V L4 5 = 0.17 cm = x 384 384 166000 E EI a

Flecha posterior al fraguado del concreto Carga adicional wad = 105.0 - 4.5 = 100.5 Kg/cm

(Di)2 =

100.5 x 1000 4 5 w ad L4 5 = x = 1.85 cm 384 EIt 384 346700 E

Flecha instantánea total Di = 0.17 + 1.85 = 2.02 cm

86


Deflexiones diferidas Flecha producida por el flujo plástico Dfp = 0.15 x 2.02 = 0.30 cm

Flecha producida por la contracción del concreto -6

2

es = 800 x 10 ; (sct)máx = 12.2 Kg/cm

2

Ect = 84640 - 4800 x 12.2 @ 26100 Kg/cm nt = E/Ect = E/26100 = 78

En la ref. 8.3 se recomienda que se tome una relación modular comprendida entre 40 y 60. y = y - t c / 2 = 32.7 - 0.5 = 32.2 cm

It es el momento de inercia de la sección transformada, basado en nt = 60; el ancho de losa transformada en acero equivalente es 125/60 = 2.1 cm. El eje neutro atraviesa la sección de acero 2

Ec. 8.75

Act = 2.1 x 10.0 = 21.0 cm

Ec. 8.76

Ict = 2.1 x 10 /12 = 175.0 cm

Ec. 8.77

y =

Ec. 8.78

It = (175.0 + 166 000) + 21.0 (47.9 - 5.0) + 188.0 (52.7 - 47.9) @ 209 160 cm

3

4

21.0 x 5.0 + 188.0 x 52.7 21 .0 + 188 .0

= 47.9 cm

2

2

y = y - tc/2 = 47.9 - 5.0 = 42.9 cm 2

Ec. 8.84

Ds =

Flecha total

e s Ac L y 8 n t It

=

800 x 10

-6

x 125 x 10 x 1000 8 x 60 x 209160

2

x 42.9

= 0.43 cm

4


87

DT = 0.17 + 1.85 + 0.30 + 0.43 = 2.75 cm = L/363

La flecha total es seguramente aceptable; las deformaciones diferidas representan el 26% de la total. b)

ACCIÓN COMPUESTA PARCIAL

Deflexiones instantáneas Momento de inercia efectivo de la sección compuesta

Ec. 8.85

Ie = Ia +

( åQ n / C c ) (It

- I a ) = 166 000 +

4

0.75 (346 700 - 166 000) = 322 500 cm

La flecha anterior al endurecimiento del concreto es igual que en el caso a; la flecha instantánea posterior al fraguado sube a (Di)2 = 1.85 x 346700/322 500 = 1.85 x 1.08 = 2.0 cm Deflexiones diferidas Por flujo plástico. 0.15 (0.17 + 2.0) = 0.33 cm Por contracción. Se conserva la del caso a Flecha total DT = 0.17 + 2.0 + 0.33 + 0.43 = 2.93 cm = L/341

La flecha total ha aumentado, con respecto al caso a, en 7%; sin embargo, sigue siendo aceptable (la flecha calculada corresponde a la carga total, muerta más viva). 8.3.13 Armaduras compuestas 8.3.13.1 Aspectos generales Las armaduras compuestas, que trabajan en combinación con la losa de concreto que se apoya en ellas, constituyen un sistema de piso de uso frecuente; si están libremente apoyadas, la losa resiste las compresiones y la cuerda inferior de la armadura las tensiones formando, entre ambas, el par resistente interior que equilibra la flexión producida por las cargas. Como en las vigas de alma llena, se desprecia la resistencia al cortante de la

88


losa, y se considera que la fuerza cortante vertical es resistida, en su totalidad, por las diagonales y montantes del alma de la armadura, lo que se tiene en cuenta en el diseño de los apoyos o de las conexiones con otros elementos. La losa se cuela, en general, sobre una lámina de acero acanalada (aunque pueda colarse directamente sobre la armadura), y se une a la cuerda superior por medio de conectores de cortante. El empleo de las armaduras compuestas suele ser atractivo en claros mayores de unos 10 m; se han utilizado en longitudes de hasta 24 m, con relaciones claro/peralte total comprendidas entre 15 y 20. Los espacios entre cuerdas, diagonales y montantes, permiten el paso de la mayoría de los ductos para aire acondicionado y otros servicios, con lo que disminuye la distancia vertical entre piso y plafón, y cuando se requieren aberturas más grandes es relativamente fácil, sobre todo en zonas de fuerza cortante reducida, suprimir una diagonal para obtener un tablero tipo Vierendeel, reforzando las cuerdas, si es necesario. Para que las armaduras resulten económicas, las conexiones entre los elementos que las forman han de ser sencillas, con diagonales y montantes unidos directamente a las cuerdas, sin placas de nudo, y el diseño debe hacerse con el mayor número posible de elementos iguales. Suelen construirse sin apuntalamiento provisional, lo que acelera el proceso de montaje. Los perfiles más comunes son tes, dos ángulos o secciones huecas, cuadradas o rectangulares, en las cuerdas, y uno o dos ángulos, o una sección hueca, en diagonales y montantes. Se han realizado algunos estudios de laboratorio con armaduras compuestas de tamaño natural, que han contribuido al desarrollo de una metodología de diseño; los primeros ensayes registrados en la literatura se hicieron durante el diseño de un prototipo que se utilizó, al principio de los años 70 del siglo pasado, en la torre Sears, en Chicago (ref. 8.15). De esos estudios se concluye que puede obtenerse un comportamiento dúctil hasta la falla, sin problemas prematuros en los elementos del alma, basando el dimensionamiento en la resistencia última, en tensión, de la cuerda inferior, y diseñando las diagonales, montantes y conectores de cortante para las fuerzas correspondientes. (ref. 8.8). El análisis estructural se efectúa en dos etapas; en la primera, antes de que se endurezca el concreto, se considera una armadura ordinaria, de peralte efectivo igual a la distancia entre los centros de gravedad de las cuerdas; en la segunda, bajo cargas muertas y vivas, se utilizan las propiedades de la armadura compuesta. Para facilitar el análisis, y de acuerdo con la práctica usual, las juntas suelen considerarse articulaciones perfectas. En la ref. 8.22 se propone una especificación para el diseño de largueros de alma abierta (“joists”) y armaduras (los primeros son comerciales, y las segundas se fabrican especialmente, para cada caso particular; en lo que sigue se llamará armaduras a los dos), que trabajan en construcción compuesta con la losa de piso, de concreto


89

macizo o colada sobre una lámina acanalada de acero; la especificación propuesta debe tratarse como un suplemento de la ref. 8.1. Su aplicación se limita a sistemas de piso formados por armaduras compuestas que trabajan en una sola dirección, y que satisfacen las restricciones que se mencionan enseguida; éstas se han fijado porque sólo se cuenta con información experimental relativa a elementos que transmiten cargas en una dirección, y porque se sabe poco sobre el comportamiento de armaduras compuestas en flexión negativa, o en sistemas continuos. 1.

Las cargas están distribuidas a lo largo de la armadura; si hay cargas concentradas, actúan en los nudos.

2.

Las armaduras están libremente apoyadas, y no forman parte del sistema que resiste las fuerzas laterales, de viento o sismo.

3.

Se diseñan para que trabajen en construcción compuesta completa, aunque se permite la acción compuesta parcial si se demuestra, analítica o experimentalmente, que se obtiene un comportamiento dúctil. La armadura y la losa se unen con conectores de cortante mecánicos, soldados a la primera y ahogados en la segunda.

Las armaduras resisten eficientemente las cargas aplicadas en los nudos; en caso contrario, aparecen momentos flexionantes significativos en las cuerdas, que reciben las cargas y las transmiten a los nudos trabajando en flexión y cortante, y en los elementos del alma, pues la soldadura entre ellos impide las rotaciones relativas de sus extremos, por lo que trabajan en flexotensión o flexocompresión, y no bajo fuerza axial, como suele considerarse en el diseño. Los sistemas de piso con armaduras compuestas satisfacen casi siempre la condición 2. Sin embargo, pueden ser parte del sistema lateral si se diseñan considerando la estabilidad de las cuerdas inferiores en las conexiones; en la ref. 8.22 no se dan recomendaciones para esta posibilidad. Se cuenta con estudios limitados sobre la acción compuesta parcial, y se teme que pueda producir fallas de tipo frágil, por lo que sólo se permite si se demuestra, con pruebas de laboratorio o análisis no lineal, que proporciona resistencia satisfactoria, y propicia una falla dúctil. Entre la armadura y la losa se desarrollan fuerzas de adherencia y fricción, que podrían utilizarse para transmitir fuerzas cortantes; sin embargo, no conviene tenerlas en cuenta cuando el diseño se basa en la resistencia última del miembro compuesto, ya que pueden reducirse drásticamente por las características del concreto (contracción y flujo plástico, proporciones de la mezcla y niveles de consolidación), y por sobrecargas y vibraciones.

90


8.3.13.2 Definiciones · Factor de ductilidad por desplazamiento. Es el cociente del desplazamiento en la sección media de la armadura, producido por la carga máxima que resiste, medido durante una prueba o determinado analíticamente, dividido entre el desplazamiento de fluencia calculado. · Tableros extremos. Son el primer tablero de cada extremo; es frecuente que estén formados sólamente por la cuerda superior y la diagonal, sin cuerda inferior (ésto es cierto, sobre todo, en los “joists”). Todos los restantes son tableros interiores. · Acción compuesta completa. Se obtiene cuando se coloca un número de conectores de cortante suficiente para que la cuerda en tensión desarrolle la fuerza que produce su plastificación completa. · Acción compuesta parcial. En este caso la resistencia está regida por los conectores de cortante; no se desarrolla la fuerza de plastificación completa de la cuerda inferior de la armadura. La acción compuesta es completa cuando la resistencia al corte en el plano de contacto entre losa y cuerda superior iguala o excede la fuerza de fluencia, en tensión, de la cuerda inferior. La contribución de la cuerda superior a la resistencia última no es significativa hasta que las deformaciones son muy grandes, por lo que se ignora en el cálculo de la resistencia en flexión. 8.3.13.3 Cargas Se toman del código que rige el diseño; en la ciudad de México, éste es la última versión del Reglamento de las Construcciones para el Distrito Federal (ref. 8.23). Las deflexiones de la armadura, que trabaja sola durante la colocación del concreto fresco, pueden ocasionar una variación significativa del grueso de la losa, a lo largo del claro; el peso adicional se incluye en la evaluación de las cargas muertas, o que se evita dándole a la armadura una contraflecha que equilibre las deflexiones mencionadas. También debe considerarse una carga adicional durante la construcción. Cuando las cargas no son uniformes u ocupan sólo parte del claro, o cuando hay fuerzas concentradas importantes, el diseño debe hacerse con especial cuidado, sobre todo si se usan largueros estándar de alma abierta, que están dimensionados para cargas uniformes únicamente. 8.3.13.4 Consideraciones de diseño La resistencia nominal en flexión de las armaduras compuestas debe alcanzarse antes de que se produzcan fallas por cortante o por inestabilidad local; para lograr ese objetivo, se siguen los procedimientos de la sección 8.3.13.5, o se realiza un programa de ensayes para verificar su resistencia y ductilidad.


91

El mecanismo de falla preferido es el que corresponde al flujo plástico dúctil de la cuerda inferior; con él se evitan fallas frágiles, potencialmente catastróficas. La falla de una viga compuesta de alma llena puede deberse a 1. Flujo plástico de la parte de la viga que trabaja en tensión 2. Aplastamiento de la losa de concreto. 3. Falla de los conectores de cortante 4. Flujo plástico del alma 5. Inestabilidad, durante la construcción o en la estructura terminada En una armadura compuesta, a los modos anteriores se añaden los siguientes, en los que la falla se inicia por problemas locales: 6. Pandeo de los elementos del alma, y 7. Pandeo, durante la construcción, de la cuerda superior Las recomendaciones de la ref. 8.22 se basan en que el mecanismo de falla que controla el diseño es el que corresponde al flujo plástico dúctil de la cuerda inferior; para asegurarse de que se alcanza la resistencia nominal en flexión antes de que falle algún elemento del alma, se introducen requisitos para obtener ductilidad en flexión; se pretende que las armaduras diseñadas con estas recomendaciones desarrollen un factor de ductilidad por desplazamiento no menor de 3, antes de que empiece a disminuir su resistencia. En el diseño se consideran, cuando menos, dos estados de carga. En el primero, durante la construcción, se revisa la armadura de acero, que soporta las cargas anteriores al endurecimiento del concreto, utilizando las normas de la ref. 8.1 u 8.5; en esta etapa puede ser necesario proporcionar soporte lateral, que puede ser provisional, para evitar el pandeo de la cuerda superior. En el segundo, la armadura soporta las cargas de diseño (factorizadas), trabajando como un elemento compuesto. El cálculo de la resistencia nominal en flexión se basa en las hipótesis siguientes (Fig. 8.26): (1) la cuerda inferior fluye en tensión antes de que se aplaste el concreto, (2) las fuerzas en la losa se representan con un bloque de esfuerzos uniformes equivalente, (3) los conectores de cortante tienen resistencia suficiente para transmitir la fuerza cortante horizontal que se desarrolla entre la cuerda superior y la losa cuando fluye la cuerda inferior, y (4) se desprecia la contribución de la cuerda superior a la resistencia en flexión. Las fuerzas axiales de diseño en los elementos que forman la armadura se calculan, en general, como en las armaduras ordinarias, suponiendo que los nudos están articulados. Se ignoran las resistencias al corte vertical de la losa de concreto y de las dos cuerdas, y diagonales y montantes se diseñan con las fórmulas usuales para miembros en tensión y en compresión. Las deflexiones bajo cargas de servicio, inmediatas y diferidas, se determinan como se indica en el art. 8.3.13.6.

92


Fig. 8.26 Armadura compuesta cuando se alcanza su capacidad en flexión. Además de las fuerzas axiales, en los miembros de las armaduras hay flexión, que puede ser importante, debida a diferencias en las longitudes de los tableros o a cargas aplicadas fuera de los nudos, excentricidades en juntas o conexiones, rotación localizada de los conectores (Fig. 8.27), y rigidez de las uniones entre las barras del alma y las cuerdas.

Fig.8.27 Flexión en miembros de la armadura.


93

8.3.13.5 Procedimiento de diseño Las armaduras se diseñan para que soporten las cargas de construcción factorizadas. Cuando la distancia entre nudos de la cuerda superior no excede de 60 cm, y no hay excentricidades significativas, el análisis puede basarse en la suposición de que todas las conexiones son articuladas, pero si es mayor, la cuerda superior se trata como un elemento continuo flexocomprimido, apoyado en los nudos. La relación de esbeltez, L/r, no debe exceder de 120 en los tableros extremos ni de 90 en los interiores de la cuerda superior (comprimida). L es, en general, la distancia entre nudos, y r el radio de giro mínimo; cuando se usan secciones formadas por varios perfiles (dos ángulos espalda con espalda, por ejemplo), se revisan, también, los elementos individuales. La relación de esbeltez máxima para elementos en tensión es 240.

8.3.13.5.1 Cuerda inferior

Su función principal es proporcionar la componente en tensión del momento flexionante interno. Al elegir el perfil, se tienen en cuenta consideraciones de rigidez, necesarias para facilitar el manejo de la armadura durante transporte y montaje (para ello se limita su relación de esbeltez a no más de 240) y, además, conviene que sus dimensiones permitan que los elementos del alma se unan con ella sin necesidad de placas de nudo. La cuerda inferior, que debe ser continua, se diseña como un elemento en tensión axial. Se dimensiona para que fluya plásticamente antes de que fallen la losa de concreto, los conectores, o los elementos del alma. El efecto de los momentos secundarios en su resistencia última es pequeño, por lo que se ignora; sí debe considerarse la flexión cuando la cuerda soporta cargas aplicadas fuera de los nudos. 8.3.13.5.2 Cuerda superior Se diseña para que soporte las cargas que actúan en la armadura durante la construcción, antes de que se desarrolle la acción compuesta; su resistencia debe ser suficiente para soportar su propio peso y, de ser necesario, cargas de construcción mínimas. Puede convenir usar un contraventeo temporal ligero para alinear la cuerda y darle soporte lateral, antes de colocar la lámina acanalada o la cimbra de la losa; después, se considera que tiene soporte lateral continuo, si lámina o cimbra se ligan con ella adecuadamente. Las deformaciones laterales de la cuerda que, si son excesivas, dificultan la colocación de los conectores, dependen del tamaño y tipo del perfil que se utilice, y pueden influir en la elección del número de contravientos. Cada tablero se diseña como una barra flexocomprimida, bajo las acciones que producen las cargas de construcción factorizadas. En resumen, el diseño de la cuerda superior de las armaduras queda regido por compresión durante la etapa de construcción, o por fuerza cortante en los tableros extremos. Como suele estar situada muy cerca del eje neutro

94


de la sección compuesta, se ignora su contribución a la resistencia en flexión de la armadura, cuando ésta trabaja en acción compuesta con la losa, lo que se ha justificado experimentalmente, demostrando que las fuerzas axiales en ella son pequeñas cuando se alcanza la resistencia máxima en flexión de la armadura compuesta. La cuerda superior tiene dos funciones en el miembro compuesto: proporciona una superficie en la que se colocan los conectores de cortante, cuya capacidad puede verse influida por el grueso del material de la cuerda, y resiste las fuerzas en los tableros extremos, sin depender del trabajo compuesto, a menos que se coloquen conectores sobre el apoyo o en una extensión de la cuerda. Si no se ponen conectores en la zona situada entre el apoyo y la intersección de la primera diagonal, la cuerda debe resistir la compresión que equilibra la proyección horizontal de la fuerza en la diagonal, y transferir al apoyo, por sí sola, la reacción vertical. Para que trabaje en acción compuesta, se coloca un mínimo de dos conectores sobre el apoyo, o en una extensión de la cuerda, en los 30 cm medidos a partir del centro del apoyo (Fig. 8.28). El detalle que se muestra en la figura corresponde, sobre todo, a largueros prefabricados, aunque puede utilizarse también en otros tipos de armaduras. 8.3.13.5.3 Losa de concreto La resistencia última factorizada de una armadura compuesta se determina utilizando el ancho efectivo de la losa, colada directamente sobre la cuerda o sobre una lámina acanalada. Para asegurar un comportamiento dúctil en la cercanía del colapso, el diseño se hace para que se desarrolle trabajo compuesto completo, y el eje neutro plástico tiene que estar en la losa. (refs. 8.3 y 8.22).

Fig. 8.28 Apoyo de un larguero. 8.3.13.5.4 Resistencia en flexión La resistencia de diseño en flexión de una armadura compuesta, fMn, es fMn = fAaFyd

(8.87)


95

Además, deben cumplirse las condiciones

AaFy £ 0.85 f’cbetc

(8.88)

AaFy £ 0.8 AeFu

(8.89)

f = 0.9 es el factor de resistencia para el acero que fluye en tensión, Aa, Fy y Fu el área de la sección transversal, el esfuerzo de fluencia mínimo especificado, y el esfuerzo de ruptura en tensión de la cuerda inferior de acero, d la distancia entre los centroides de la cuerda inferior y de la parte de la losa de concreto que trabaja en compresión (se determina con la ec. 8.90), be y tc el ancho efectivo y el grueso de la losa, y Ae el área neta efectiva de la cuerda inferior.

d=h-

a 2

(8.90)

h es la distancia del centroide de la cuerda inferior al borde superior de la losa, y a la profundidad del área de concreto en compresión:

a=

Aa Fy 0 .85 f ' c be

(8.91)

El ancho efectivo de la losa se determina como se indica en el art. 8.3.4 para las secciones compuestas con vigas de acero de alma llena. Con la ec. 8.89 se asegura que la resistencia en flexión queda regida por flujo plástico, y no por fractura, de la cuerda inferior. El coeficiente 0.8 es aproximadamente igual al cociente de los factores de resistencia para fractura y flujo plástico en tensión (ref. 8.1). 8.3.13.5.5 Alma Las barras que la forman se dimensionan para que resistan la fuerza cortante vertical completa, despreciando la pequeña contribución del concreto y de las cuerdas. Deben soportar la que sea mayor de la fuerza cortante total de diseño y la ocasionada por la carga requerida para que la cuerda inferior fluya en tensión, determinada suponiendo que los nudos de la armadura están articulados.

96


Los elementos comprimidos se diseñan con las fórmulas para columnas biarticuladas, pero se recomienda que el factor de resistencia, fc, se reduzca a 0.75. La relación de esbeltez no debe exceder de 240 para miembros en tensión, ni de 200 para los comprimidos. El factor de longitud efectiva K se toma igual a 1.0. Se ha demostrado experimentalmente que los elementos comprimidos del alma diseñados con fc = 0.85 se pandean poco antes, o inmediatamente después, de que la cuerda inferior fluya en tensión; las fallas de este tipo, debidas principalmente a excentricidades producidas durante la fabricación o al aplicar las cargas, suelen presentarse en los tableros extremos, muestran una ductilidad nula o muy pequeña, y deben evitarse, por lo que se recomienda un factor de resistencia conservador, fc = 0.75. 8.3.13.5.6 Conectores de cortante Los conectores necesarios para obtener acción compuesta completa se determinan con la fórmula

NQn = 1.3 Aa Fy

(8.92)

N es el número de conectores de cortante que se colocarán entre la sección de momento máximo y el apoyo, y Qn la resistencia al corte de cada conector. El coeficiente 1.3 incluye dos factores, uno de resistencia para los conectores, 0.85, y otro de sobrerresistencia para la cuerda la inferior, 1.1, escogidos de manera que la resistencia de la armadura compuesta no quede regida por los conectores, sino por la cuerda. La resistencia de los conectores, y los factores de reducción necesarios cuando la losa se cuela sobre una lámina de acero acanalada, son los mismos que en construcción compuesta con vigas de alma llena (art. 8.3.8.2). El cociente del diámetro del vástago del conector entre el grueso del material en el que se suelda, t, no debe exceder de 4.0. Si t es mayor que 2.5, la resistencia del conector se multiplica por un factor de reducción, Rf:

Rf = 2.67 - 0.67t £ 1.0

(8.93)

Cuando t > 2.5, la falla suele presentarse por separación del conector, bajo una fuerza cortante menor que su resistencia, por lo que ésta se corrige con la ec. 8.93, válida para 2.5 < t £ 4.0. Lo mismo que en vigas de acero de alma llena, los conectores pueden distribuirse uniformemente a lo largo de la cuerda superior, excepto

cuando los claros de cortante son asimétricos o la armadura está cargada

asimétricamente. La soldadura de los conectores se facilita si el ancho del ala horizontal de cada componente


97

de la cuerda superior es de 3.8 cm o más, y su ancho total no es menor de 7.6 cm. Si la cuerda superior está formada por dos ángulos con separadores, los conectores se colocan en uno y otro, alternadamente. 8.3.13.6 Criterios de servicio Deflexiones Las flechas máximas instantáneas producidas por las cargas vivas no deben exceder de L/180 en techos, ni de

L/360 en pisos, cuando ni unos ni otros soportan, ni están ligados, a elementos no estructurales que puedan ser dañados por deflexiones grandes. La flecha máxima total después de colocar los elementos no estructurales no debe ser mayor que L/480 en techos o pisos ligados a elementos que pueden dañarse cuando las deflexiones son grandes, ni que L/240 cuando no es probable que se presenten esos daños. Las deflexiones instantáneas pueden determinarse, aproximadamente, multiplicando por 1.15 las calculadas con el momento de inercia correspondiente a la cuerda inferior y la sección transformada de la losa de concreto; con el factor 1.15 se tiene en cuenta la disminución de rigidez debida al alma abierta. Las deflexiones totales, inmediatas y de largo plazo, se obtienen multiplicando las primeras por 2.0, o utilizando métodos más precisos. Pueden emplearse los del art. 8.3.12.1. Vibraciones Pueden ocasionar problemas en sistemas de piso formados por armaduras compuestas esbeltas y de grandes claros; en la ref. 8.26, entre otras, se proporcionen métodos para evitarlos. 8.3.13.7 Construcción y montaje La cuerda superior se soporta lateralmente durante la construcción, para evitar que se pandee por flexotorsión. Para que, una vez colocada, la lámina de acero acanalada le proporcione soporte lateral, ha de soldarse adecuadamente a ella. Las líneas de contraventeo, que se instalan antes de que se coloquen las cargas de construcción, tienen que estar ancladas correctamente, y proporcionar soporte lateral a las dos cuerdas de las armaduras. En la ref. 8.27 se indica que el radio de giro de la cuerda superior, respecto a su eje vertical, no debe ser menor que Lc/170, donde Lc es la longitud no soportada lateralmente durante la construcción, es decir, la distancia entre soportes. Cuando no se utilizan puntales provisionales, se les suele dar a las armaduras una contraflecha, igual a la flecha producida por su peso propio y el del concreto fresco; en caso contrario, en el diseño se considera el peso del concreto adicional debido a la deformación de la armadura.

98


Conexiones y detalles Las conexiones y otros detalles se diseñan de manera que la fabricación se simplifique lo más posible, y pueda estandarizarse. Cuando se emplean tes en las cuerdas y ángulos sencillos en diagonales y montantes, éstos se colocan, alternadamente, a uno y otro lado del alma de la te, y se sueldan directamente a ella. Es también común el uso de dos ángulos en las cuerdas, montantes de sección transversal cuadrada o rectangular hueca, laminados o hechos con dos ángulos soldados, y diagonales de ángulo, sencillas o dobles, que se sueldan a las alas verticales de los ángulos de las cuerdas. Aunque es deseable que los ejes centroidales de los elementos que concurren en una junta se crucen en un punto, suele ser imposible evitar completamente las excentricidades, que deben incluirse en el diseño cuando produzcan efectos no despreciables. EJEMPLO 8.14 En la Fig. E8.14.1 se muestra el sistema de piso de un edificio de oficinas. Se desea diseñar una de las armaduras de 18 m de claro, que trabaja en construcción compuesta con la losa de piso, formada por una capa de concreto colada sobre una lámina acanalada de acero. Las armaduras, que están libremente apoyadas; no se apuntalarán durante la construcción.

Fig.E8.14.1 Sistema de piso.

Peralte total de la armadura de acero. 1.10 m MATERIALES 2

2

Cuerdas de la armadura. Acero A992 (Fy = 3515 Kg/cm , Fu = 4570 Kg/cm ) Elementos del alma.

Acero A36

2

(Fy = 2530 Kg/cm )

Lámina acanalada trapezoidal, de 7.6 cm de peralte Losa de concreto. 6.4 cm sobre la parte superior de la lámina acanalada


99 2

3

f’c = 200 Kg/cm , peso volumétrico = 2300 Kg/m CARGAS DE SERVICIO Peso propio de la armadura (supuesto). Peso de la losa (incluye la lámina).

2

20 Kg/m 270

“

Tolerancia por grueso real de la losa.

30

“

Plafón, equipos mecánico y eléctrico.

60

“

Canceles (promedio).

100

“_

Carga muerta total.

480 Kg/m

Carga viva

250 Kg/m

Carga viva durante la construcción

100 Kg/m

2

2

2

Ancho efectivo El ancho efectivo total es igual a la menor de las cantidades siguientes: Un cuarto del claro de la armadura = 18.0/4 = 4.5 m La separación entre ejes de armaduras = 6.0 m Por consiguiente, be = 4.5 m Las dimensiones de la sección transversal compuesta se muestran en la Fig. E8.14.2.

Fig. E8.14.2 Sección transversal de armadura compuesta.

100


CUERDA INFERIOR Se dimensiona para que resista la tensión correspondiente al momento máximo de diseño producido por las cargas muertas y vivas totales. -3

Carga de diseño por metro lineal wu = 1.4 (480 + 250) 6.0 X 10 = 6.13 T/m El factor de carga de 1.4 es el recomendado en la ref. 8.23. 2

(Mu)máx =

wu L 8

=

6.13 x 18.0 8

2

= 248.3 Tm

Se supone, por ahora, que el peralte efectivo de la sección compuesta (distancia entre centroides de la losa de concreto y la cuerda inferior) es d1 = 120 cm.

Tensión en la cuerda Tu =

Mu d1

=

248.3 1.20

= 206.9 Ton

Área requerida, Aa: 3

2

Aa (0.90 Fy) = 206.9 \ Aa = 206.9 x 10 /(0.9 x 3515) = 65.4 cm

Se escoge, por ahora, 1WT de 10.5” x 36.5 lb/ft (ref. 8.24); sus propiedades geométricas de interés en este problema son: 2

A = 69.3 cm , ry = 4.62 cm Distancia del centroide al borde exterior del patín, y = 6.6 cm. L/ry = 200/4.62 = 43.3 < 240

Art. 8.3.13.5.1

La esbeltez de la cuerda es adecuada. Fuerza de fluencia de la sección escogida T = Aa Fy = 243.6 Ton -3

0.8 Aa Fu = 0.8 x 69.3 x 4570 x 10 = 253.4 Ton > Aa Fy = 243.6 Ton Se satisface la condición 8.89; la resistencia de la cuerda inferior queda regida por el flujo plástico en tensión.


101

Grueso del bloque de compresión

T = C = 0.85 f’c be a \ a =

243 .6 x 10

3

0.85 x 200 x 450

= 3.2 cm < tc = 6.4 \ El ENP está en la losa.

Peralte efectivo de = d + hr + tc - a/2 - y = 110.0 + 7.6 + 6.4 - 3.2/2 - 6.6 = 115.8 cm -2

Momento resistente nominal Mn = Tde = 243.6 x 115.8 x 10 = 282.1 Tm Momento resistente de diseño f Mn = 0.9 Mn = 253.9 Ton > 248.3 Ton Se utilizará 1 WT 10.5” x 36.5 lb/ft en la cuerda inferior. CUERDA SUPERIOR Su diseño queda regido por las cargas de construcción, que actúan sobre la armadura cuando no trabaja, todavía, en sección compuesta.

Además, debe satisfacerse la relación diámetro del conector/grueso del

material de la cuerda. Se consideran dos condiciones de carga a)

La armadura soporta su peso propio, el de la lámina de acero y la carga viva de construcción, sin soporte lateral (a menos que se coloquen contravientos, provisionales o definitivos).

b)

La armadura soporta las cargas de a, más el peso del concreto (antes de que fragüe). La lámina de acero proporciona soporte lateral continuo a la cuerda (para lo que se ligará adecuadamente a ella, con puntos de soldadura, o de alguna otra manera).

Condición a 2

Peso propio de la armadura =

20 Kg/m

Peso propio de la lámina

10

“

100

“

=

Carga viva durante la construcción = -3

Carga total = 130 x 6 x 10 = 0.78 T/m

Peralte efectivo de la armadura @ 110 - 2 x 6.6 = 96.8 cm

Como por ahora no se conoce el perfil de la cuerda superior se ha supuesto, conservadoramente, que la distancia de su centroide al borde exteriro del patín es igual al de la cuerda inferior.

102


2

Fuerza máxima en la cuerda =

wL

8 x 0 .97

=

0.78 x 18.0 8 x 0 .97

2

= 32.6 Ton ; Pu = 1.4 x 32.6 = 45.6 Ton

Si se emplean conectores de 1.9 cm (3/4”) de diámetro, el grueso mínimo requerido del metal al que se van a soldar es tmín = 1.9/2.5 = 0.76 cm Se ensayará 1WT 5” x 15 lb/ft 4

3

A = 28.5 cm²; d = 13.3 cm; te = 0.762 cm; bp = 14.8 cm; tp = 1.3 cm; .ry = 3.51 cm; Iy = 352cm ;Sy = 47.6 cm tp = 1.3 cm > 0.76 cm Si el patín no se soporta lateralmente, L/ry = 1800/351 @ 513 > 200

Se soportarán cuatro puntos intermedios, lo que reduce la longitud libre de pandeo alrededor de y a 1800/5 = 360 cm, y L/ry @ 103 < 200. Relaciones ancho grueso

Patín

bp/2tp = 14.8/(2 x 1.3) = 5.7 < lr = 0.45 E / Fy = 10.84

Alma

d/ta = 13.3/0.762 = 17.45 < lr = 0.75

E / Fy = 18.06

Si la T satisface los límites de la tabla C-E3.1, del comentario de la ref. 8.1, no es necesario revisarla por pandeo por flexotorsión . bp/d = 14.8/13.3 = 1.11 > 0.5 ; tp/ta = 1.3/0.762 = 1.71 > 1.25 No se revisa el pandeo por flexotorsión. Resistencia en compresión L/ry = 360/3.51 = 103 < 120; lc = Ec. 2.33 (E2.2)

2 l

103

Fy

p

E

= 1.36 < 1.5 2

Fcr = (0.658 c ) Fy (0.658 1 .36 ) Fy = 1621 kg/cm²


103 -3

fc Pn = fb A Fcr = 0.85 x 28.5 x 1621 x 10 = 39.3 Ton < Pu = 45.6 Tm

El perfil escogido está escaso. 1WT 5" x 19.5 lb/ft 4

3

A = 37.0 cm²; d = 12.6 cm; ta = 0.80 cm; bp = 20.3 cm; tp = 1.35 cm; Iy = 942 cm ; Sy = 92.8 cm ; ry = 5.05 cm bp/2tp = 20.3/(2 x 1.35) = 7.52 < lr = 10.84 d/ta = 12.6/0.80 = 15.8 < lr = 18.06 La sección es no compacta. bp/d = 20.3/12.6 = 1.61 > 0.5; tp/ ta = 1.35/0.8 = 1.69 > 1.25 No se revisa el pandeo por flexotorsión. Resistencia en compresión

L/ry = 360/5.05 = 71, lc =

71

Fy

p

E

= 0.938 < 1.5

2

Fcr = (0.658 0 .938 ) Fy = 2432 kg/cm² -3

fPn = 0.85 x 37.0 x 2432 x 10 = 76.5 Ton > Pu = 45.6 Tm

Flexión 2

Se considera sólo el peso propio de la cuerda superior (29 kg/m @ 5 kg/m ), el de la lámina y la carga viva de construcción. -3

Carga total = (5 + 10 + 100) 6.0 x 10 = 0.69 T/m La separación entre nudos es 1.0 m (Fig. E8.14.3). Momento máximo en un tablero intermedio: 2

Mmáx @

WL

16

=

0.69 x 1.0 16

2

= 0.043 Tm; Mu = 1.4 x 0.043 = 0.060 Tm

104


Fig. E8.14.3 Dimensiones y geometría de la armadura.

Resistencia en flexión Las ecuaciones que siguen están tomadas de las ref. 8.1; corresponden a tres o dos ángulos en flexión, cargados en su plano de simetría.

Ec. F1-16

Ec. F-15

B = -2.3 (d/L)

Mn = Mcr =

I y / K - 2.3 (12.6/360)

p EI y GK

L

é êë B +

9 .42 / 20 .27 = -0.549

p 942 x 20.27 EG é 2 ù 1 + B úû = êë -0.549 + 360

2 ù -5 1 + (-0.549) úû 10

= 9.02 Tm > My = Sy Fy = 3.26 Tm \ Mn = 3.26 Tm Revisión en flexocompresión Pu/fc Pn = 45.6/76.5 = 0.596 > 0.2

Ec. 7.60 [H1-1a]

Pu

f c Pn

+

8 0.060 8 M ux = 0.596 + ´ = 0.596 + 0.018 = 0.614 < 1.00 9 0.9 ´ 3.26 9 f b M nx

El perfil ensayado para la cuerda superior está sobrado en esta condición de carga. Condición b Peso propio de la armadura

20 kg/m²

Peso de la losa (incluye lámina)

270 kg/m²

Tolerancia por grueso de la losa

30 kg/m²

Carga viva durante la construcción

100 kg/m²

Total

420 kg/m² -3

Carga total = 420 x 6 x 10 = 2.52 T/m


105

Peralte efectivo de la armadura = 110 – 2.23 – 6.6 = 101.17 cm 2.23 y 6.6 cm son las distancias del centroide del perfil utilizado en cada cuerda al borde del patín.

2 .52 x 18 .0

Fuerza máxima en la cuerda =

2

8 x 1.01

= 101.0 Ton

Fuerza de diseño Pu = 101.0 x 1.4 = 141.4 Ton

Momento máximo =

2 .52 x 1.0

2

= 0.16 Tm; Mu = 1.4 x 0.16 = 0.22 Tm

16

Podría quitarse de la carga el peso de diagonales, montantes y cuerda inferior de la armadura; no se hizo porque es un porcentaje muy pequeño de la carga total. Resistencia en compresión Como la cuerda está soportada lateralmente en toda la longitud, el pandeo sólo puede presentarse en el plano vertical, entre nudos. En esas condiciones, L = 1.00 m, rx = 3.15 cm, L/ rx @ 32, lc =

32

Fy

p

E

= 0.423 < 1.5

2

Fcr = (0.658 0 .423 ) Fy = 3261 kg/cm² -3

fc Pn = 0.85 x 37.0 x 3261 x 10

= 102.6 Ton < Pu = 141.4 Ton

El perfil está escaso en esta condición de carga; se ensayará 1 WT 6" x 26.5 lb/ft 3

A = 50.2 cm²; d = 15.3 cm; ta = 0.876 cm; bp = 25.4 cm; tp = 1.46 cm; y = 2.59 cm; Sx = 58.1 cm rx = 3.83 cm

y es un poco mayor que en el perfil anterior, pero la diferencia es tan pequeña que no se considera en lo que sigue. bp/2tp = 25.4/(2 x 1.46) = 8.70 < lr = 10.84 d/ta = 15.3/0.876 = 17.47 < lr = 18.06 La sección es no compacta.

106


bp/d = 1.66 > 0.5; tp/ ta = 1.67 > 1.25 \ No se revisa el pandeo por flexotorsión. Resistencia en compresión L/rx = 100/3.83 = 26.1, lc =

26 .1

Fy

p

E

2

= 0.345 < 1.5

2

Fcr = (0.658 0 .345 ) Fy = 3344 Kg/cm -3

fc Pn = 0.85 x 50.2 x 3344 x 10 = 142.7 Ton > Pu = 141.4 Ton

Resistencia en flexión -5

fb Mn = fb My = fb Sx Fy = 0.9 x 58.1 x 3515 x 10 = 1.84 Tm

Revisión en flexocompresión Pu/fc Pn = 141.4/142.7 = 0.991 > 0.2

Ec. 7.60 [H1.1a]

Pu

8

Mu

f c Pn 9 f b M n

= 0.991 +

8 9

x

0.22 1.84

= 0.991+ 0.106 = 1.097 > 1.0

Se escoge el perfil inmediato superior: 1WT 6" x 29 lb/ft

ALMA Los elementos del alma se dimensionan para que resistan la fuerza cortante total; deben soportar la que sea mayor de la fuerza cortante de diseño y la ocasionada por la carga requerida para que la cuerda inferior fluya en tensión (art. 8.3.13.5.5). La condición de carga más desfavorable es la final, que incluye carga muerta total y viva de servicio, pero no carga viva durante la construcción. En este caso, la fuerza de fluencia de la cuerda inferior es 243.6 Ton, y la tensión máxima ocasionada en ella por las cargas de diseño, 206.9 Ton. Por consiguiente, las barras del alma deben resistir las fuerzas producidas por las cargas de diseño multiplicadas por 243.6/206.9 = 1.18. Carga de diseño Wu = 6.13 T/m (se obtuvo para diseñar la cuerda superior) Fuerza cortante máxima = 6.13 x 18.0/2 = 55.2 Ton Peralte efectivo de la armadura = 110 - 2.6 - 6.6 = 100.8 cm @ 101.0 cm


107

Se diseñan aquí sólo las dos primeras diagonales, una en tensión (AC, Fig. E8.14.3), otra en compresión (CB). Suponiendo que la carga en la cuerda superior está aplicada en los nudos, se obtienen las fuerzas siguientes: AC. 73.28 Ton (tensión) CB. 64.66 Ton (compresión) DIAGONAL AC L = 1.42 m Fuerza de diseño = 73.28 x 1.18 @ 86.5 Ton = Pu

0.9 Fy Ac = Pu \ A =

Pu 0 .9 Fy

=

86.5 x 10

3 2

0 .9 x 2530

= 38.0 cm

2

2L4” x 4” x 3/8”, espalda con espalda, de acero A36 (A = 36.9 cm @ 38.0). L/rmín = 142/3.15 = 45 < 240 DIAGONAL CB L = 1.42 m Pu = 64.66 x 1.18 = 76.3 Ton (compresión) 2

Se ensayarán 2L 4” x 4” x 1/2” (A = 48.4 cm , rmín = 3.11 cm)

L/r @ 45 , lc =

45

Fy

p

E

2 l

2

2

= 0.505 < 1.5 \ Fcr = (0.658 c ) Fy = (0.658 0 .505 ) 2530 = 2276 Kg/cm

-3

fcPn = 0.75 x 48.4 x 2276 x 10 = 82.6 Ton > 76.3

En el art. 8.3.13.5.5 se indica que el factor de resistencia debe reducirse a 0.75. 2L4” x 9” x 1/2” CONECTORES DE CORTANTE La armadura debe trabajar en construcción compuesta completa (art. 8.3.13.1).

108


El número de conectores en cada mitad de la viga se determina con la ec. 8.92: NQn = 1.3 Aa Fy Aa es el área de la cuerda inferior. Se emplearán conectores de 19 mm de diámetro. 2

Asc = 2.85 cm , Hs = hr + 50 = 7.6 + 5.0 = 12.6 cm Ec. 8.64

Qn = 0.5 Asc

f ' c E c £ Asc Fu

Ec. 8.71

Ec = 0.1373 W

1.5

Qn = 0.5 x 2.85

200

1.5

f ' c = 0.1373 x 2300

´ 214179

2

200 = 214 179 Kg/cm

-3

x 10 = 9.33 Ton

Esta resistencia se multiplica por el factor de reducción dado por la ec. 8.67:

0 .85 é W r ê N r êë h r

æH çç s è hr

öù - 1 ÷÷ú £ 1.0 øúû

Se supone Wr = 15.2 cm öù 0 .85 é15.2 æ12.6 - 1 ÷ú = 1.12 > 1.0 ç ê øû 1 ë 7.6 è 7.6

No hay reducción de la resistencia del conector \ Qn = 9.33 Ton

N=

1.3 Aa Fy Qn

=

1.3 x 69.3 x 3515 9 .33 x 10

3

= 33.9

Se colocarán 34 conectores en cada mitad de la viga (70 en total), distribuidos uniformemente. REVISIÓN DE LA FLECHA Se calcula con el momento de inercia de la sección compuesta que se determina, de manera aproximada, considerando sólo la cuerda inferior de acero y la sección transformada de la losa de concreto (Fig. E8.14.4).


109

Fig. E8.14.4 Sección transversal transformada. 2

Ec = 204 352 Kg/cm (se obtuvo en la pág. 108). n = Ea/Ec = 9.5 ; be/n = 450/9.5 = 45cm

303.4 x 114.2 = (303.4 + 69.3) y \ y = 92.1 cm

Ix =

45.0 ´ 6.4 12

3

2 2 4 + 288.0 (114.2 - 92.1 ) + 4640 + 69.3 ´ 92.1 @ 734 000 cm

Deflexión máxima bajo carga de diseño W = 6.13 T/m = 61.3 Kg/cm

∆max =

5 WL4 5 61.3 ´1800 4 = ´ = 5.60cm 384 EI 384 734000E

Para tener en cuenta la flexibilidad adicional de las vigas de alma abierta, la flecha calculada con el momento de inercia efectivo se incrementa en 15%: Dmáx @ 5.60 x 1.15 = 6.44 cm

Por último, las deflexiones a largo plazo pueden estimarse multiplicando por 2.0 las de corto plazo. (Dmáx) largo plazo = 6.44 x 2 = 12.88 cm

110


Dmáx/L = 12.88/1800 = 1/140

Esta es la flecha producida por la carga total factorizada; la carga total de servicio ocasiona una deflexión máxima de 9.20 cm @ L196, y la carga viva de servicio, 3.15 cm @ L/570. Las flechas anteriores son admisibles; conviene darle a la armadura una contraflecha cuando menos igual a la deflexión por carga muerta. Pueden emplearse métodos más precisos para calcular las deflexiones a largo plazo (art. 8.3.12.1). 8.4 COLUMNAS 8.4.1 Aspectos generales En la Fig. 8.29 se muestran los dos tipos de columnas compuestas que se utilizan en edificios. La columna de la Fig. 8.29a es un perfil de acero ahogado en concreto, y las de las Figs. 8.29b y c son tubos de acero, de sección transversal circular o rectangular, rellenos de concreto.

Fig. 8.29 Tipos de columnas compuestas. Los elementos de acero más comunes en las columnas del primer tipo son las H laminadas, pero pueden utilizarse también perfiles formados por placas u otros elementos, unidos entre sí; las secciones transversales suelen ser cuadradas o rectangulares (pero pueden tener cualquier forma), y están provistas de barras de refuerzo longitudinales, colocadas, generalmente, en las esquinas o cerca de ellas, y de estribos que las abrazan, que evitan que sean desplazadas durante la construcción, y resistir su tendencia a pandearse hacia fuera bajo carga, lo que ocasionaría la ruptura y el desprendimiento del concreto. Las columnas compuestas se emplean tanto en edificios de poca altura como en los de muchos pisos (refs. 8.21 y 8.28); en los primeros, las columnas de acero se recubren frecuentemente con concreto, por requisitos arquitectónicos o para protegerlas contra el fuego, la corrosión y, en algunos casos, el impacto de vehículos, por lo que resulta conveniente, y económico, que acero y concreto trabajen en conjunto; en edificios altos se obtienen secciones mucho menores que si las columnas fuesen de concreto reforzado, lo que redunda en


111

incrementos apreciables del área útil. Además, las columnas compuestas que forman parte del sistema que resiste las fuerzas horizontales tienen ductilidad y tenacidad adecuadas para su empleo en zonas sísmicas y mejores características de amortiguamiento que las de acero, y el recubrimiento de concreto evita el pandeo del perfil metálico; por todo ello, se usan con frecuencia como parte de los marcos que resisten las acciones de los temblores (ref. 8.29). También se utilizan secciones de acero ahogadas en muros de rigidez de concreto reforzado, colocadas en sus extremos o bajo cargas concentradas. 8.4.2 Ventajas y desventajas de las columnas compuestas Algunas de las ventajas de las columnas compuestas son (varias de ellas se han mencionado arriba): Sección transversal menor que las de columnas convencionales de concreto reforzado Mayor capacidad de carga Ductilidad y tenacidad adecuadas para zonas sísmicas Velocidad de construcción cuando forman parte de marcos compuestos Mayor resistencia al fuego que las columnas de acero Mayor rigidez lateral de la construcción cuando son parte del sistema que resiste las acciones producidas por viento o sismo Mejores características de amortiguamiento Rigidización del perfil laminado, lo que aumenta su resistencia al pandeo local Tienen, también, desventajas. Una de ellas, cuando se emplean en edificios altos, proviene de la dificultad de controlar su acortamiento que es, en general, diferente del de los muros de concreto reforzado y las columnas de acero no recubiertas; el problema se origina, en parte, por la gran diferencia de niveles que suele haber, durante el proceso de construcción, entre la zona en la que se está montando la estructura de acero y aquella, varios niveles más abajo, en la que se cuela el concreto alrededor de las columnas, para hacerlas compuestas (ref. 8.28), y se agrava cuando las fuerzas horizontales, de viento o sismo, son resistidas predominantemente por una parte de la estructura que tiene columnas compuestas, pues, bajo cargas gravitacionales permanentes, esas columnas quedan sometidas a esfuerzos de compresión menores que las que soportan cargas verticales principalmente (ya que han de tener una reserva de resistencia, que se emplea cuando obran las acciones accidentales), y se acortan menos. El efecto neto puede ser que los pisos no queden a nivel. Una manera como se ha resuelto este problema ha sido determinando los niveles reales de los extremos de las columnas, en las distintas etapas del montaje, y corrigiendo las diferencias de elevación con placas de relleno de acero.

112


Como en las columnas de concreto reforzado, puede haber dificultades para colocar el acero de refuerzo, y deben evitarse congestiones que dificulten el colado. Este problema es especialmente crítico en las juntas vigacolumna, en las que es posible que haya interferencias entre las vigas de acero, las barras de refuerzo longitudinal, estribos y conectores. Otros problemas se originan en la falta de conocimiento relativo a la adherencia entre el concreto y los perfiles de acero; hay dudas acerca de la transmisión de fuerzas cortantes y momentos en juntas viga-columna, problema de particular importancia en zonas sísmicas, en las que las grandes inversiones cíclicas de deformaciones pueden ocasionar serias degradaciones de las conexiones. 8.4.3 Limitaciones Para que una columna pueda considerarse compuesta, ha de cumplir las condiciones siguientes (ref. 8.1): El área de la sección transversal del elemento de acero, ahogado en concreto o relleno de este material es, cuando menos, el cuatro por ciento del área de la sección transversal compuesta completa. Este límite inferior separa las columnas compuestas de las de concreto reforzado. Si el área es menor que el cuatro por ciento, una columna con un corazón de acero estructural se diseña como si fuera de concreto reforzado. El concreto en el que está ahogada la sección de acero se refuerza con barras longitudinales de carga y de confinamiento, y con estribos transversales. Las barras longitudinales de carga deben ser continuas a través de los pisos; las de confinamiento pueden interrumpirse en ellos. La separación de los estribos debe ser menor o igual que dos tercios de la dimensión menor de la sección transversal compuesta, o que 300 mm. El área mínima de la sección transversal de cada barra de las que forman el refuerzo, longitudinal y transversal, debe 2

ser de 180 mm por metro de separación entre barras. El recubrimiento, medido al borde exterior de las barras de refuerzo, verticales u horizontales, tiene que ser, como mínimo, de 38 mm. La cantidades mínimas especificadas de refuerzo longitudinal y transversal se requieren para evitar agrietamientos y desprendimientos excesivos del concreto durante incendios. Si el concreto es de peso volumétrico normal, su resistencia especificada en compresión, f’c, estará 2

2

comprendida entre 210 y 560 kg/cm , y si es ligero, no será menor de 280 kg/cm . Se ha puesto un límite superior a f’c, para concreto normal, porque no se cuenta con información experimental suficiente para resistencias mayores, y poniéndole un límite inferior al ligero se busca estimular el uso de concretos de buena calidad.


113

El esfuerzo de fluencia mínimo especificado del acero estructural y de las barras de refuerzo que se emplea en 2

la determinación de la resistencia de las columnas compuestas no debe exceder de 4200 kg/cm , aunque el valor real de Fy sea más grande. Este límite es mayor que el de normas anteriores; aun así, es muy conservador para columnas tubulares compuestas, en las que el concreto está confinado por las paredes del tubo. El grueso mínimo de las paredes de tubos de sección transversal rectangular o cuadrada, rellenos de concreto, es b Fy / 3 E para cada cara de ancho b, D Fy / 8 E en secciones circulares de diámetro exterior D, y 3 mm en cualquier caso. Se fija un grueso mínimo de las paredes para evitar que se pandeen antes de fluir plásticamente. 8.4.4

Colocación de las barras de refuerzo

8.4.4.1 Barras longitudinales Las secciones transversales de las columnas compuestas pueden ser de cualquier forma, cuadradas, rectangulares, circulares, triangulares, u otras que sean convenientes en casos particulares. Sin embargo, las más adecuadas en marcos compuestos son las cuadradas y rectangulares, con las barras de refuerzo longitudinal colocadas en las esquinas, o cerca de ellas. En la Fig. 8.30 se muestra un arreglo conveniente desde el punto de vista de la resistencia de la columna que, además, permite el paso de las vigas que se apoyan en ella, sin interrumpir las barras longitudinales de refuerzo. En las refs. 8.1 y 8.29 no se incluyen requisitos específicos relativos a la separación entre barras longitudinales; sin embargo, conviene establecer valores mínimos, para que el concreto pueda rellenar, sin dificultad, los espacios entre las barras y entre ellas y el perfil de acero. Las separaciones y recubrimientos mínimos se indican en la Fig. 8.30, que se basa en la ref. 8.30. 8.4.4.2 Estribos En general, la columna de acero se monta primero, y las barras de refuerzo, longitudinales y estribos, se colocan después, alrededor de ella, por lo que para proporcionar estabilidad lateral a las barras longitudinales y confinamiento al concreto sólo pueden usarse estribos en U.

114


S = distancia libre entre barras, o entre una barra y el perfil de acero S³1 ½ X db o 1 ½ “. (el mayor de los dos) db = diámetro de la barra Fig. 8.30 Colocación de barras longitudinales y requisitos de separaciones y recubrimientos. Algunos requisitos referentes a la colocación de los estribos, que no aparecen en las refs. 8.1 y 8.29, pero que deben satisfacerse, son (ref. 8.30): La separación no será mayor que 16 diámetros de las barras longitudinales ni que 48 diámetros de los estribos, o la menor dimensión de la columna (Sec. 7.10.5.2). Su tamaño será, cuando menos, del #4 para barras longitudinales #11, #14, #18 y paquetes, y #3 para todas las barras #10 o menores (Sec. 7.10.5.1). Se colocarán de manera que todas las barras longitudinales de las esquinas, y una de cada dos de las demás, o

queden soportadas lateralmente por una esquina de un estribo, doblado en un ángulo de no más de 135 , y ninguna barra estará a más de 150 mm de distancia, medida a lo largo del estribo, de otra soportada lateralmente como se acaba de indicar (Sec. 7.10.5.3). El traslape de dos piezas en U que forman un estribo será, como mínimo, de 1.3 veces su longitud de desarrollo en tensión (Sec. 12.13.5). En las Figs. 8.31 a 8.33, tomadas de la ref. 8.28, se proponen detalles de colocación de estribos.

Construcción compuesta 8.4.5

115

Resistencia de diseño

El diseño de las columnas compuestas cargadas axialmente se basa en una ecuación que proporciona la resistencia de las columnas cortas, que se reduce por esbeltez con los mismos procedimientos que se usan para columnas de acero; se sigue el mismo camino que en éstas, y se emplean las mismas ecuaciones, pero el esfuerzo de fluencia y el módulo de elasticidad del acero estructural, así como el radio de giro de la sección compuesta, se modifican para incluir el efecto, en el trabajo de conjunto, del concreto y de las barras longitudinales de refuerzo (refs. 8.31 y 8.32). 8.4.5.1 Resistencia en compresión axial de columnas cortas La resistencia de una columna corta se obtiene, con buena precisión, sumando las capacidades de las partes que la componen, concreto, perfil o tubo de acero estructural y refuerzo longitudinal. La superposición de resistencias es correcta cuando los componentes conservan rigidez suficiente para soportar deformaciones crecientes hasta que se alcanza la resistencia nominal de todos, es decir, si ninguna de las partes pierde resistencia antes de que las demás desarrollen su capacidad (ref. 8.32). Mientras no se desprende ni se agrieta excesivamente, el concreto evita el pandeo de las barras longitudinales y del perfil de acero ahogados en él, por lo que el esfuerzo en los elementos de acero debe limitarse al que corresponde a las deformaciones unitarias para las que el concreto en compresión axial se agrieta o desprende, 0.0018, aproximadamente (ref. 8.30); este límite sirve para definir analíticamente la condición de falla de las secciones transversales compuestas comprimidas. El esfuerzo en el acero, estructural o de refuerzo, cuando las deformaciones unitarias alcanzan el límite anterior, es 2

2

s = e E = 0.0018 x 2 029 000 = 3679 kg/cm » 4000 kg/cm

Este es el valor que se utilizaba para calcular la resistencia de las columnas compuestas, aunque se empleasen 2

aceros con límite de fluencia mayor que 4000 kg/cm ,(refs. 8.4 y 8.33). Sin embargo, apoyándose en estudios 2

recientes, el límite se ha elevado a 4200 kg/cm (refs. 8.1y 8.5). La resistencia nominal máxima en compresión, Pu, de una sección transversal compuesta (o de una columna corta, en la que no hay inestabilidad), es

Pu = Aa Fy + Ar Fyr + 0.85 f' c Ac

(8.94)

Aa, Ar y Ac son, respectivamente, las áreas de las secciones transversales del elemento de acero estructural, de las barras longitudinales de refuerzo, y del concreto, Fy y Fyr los esfuerzos de fluencia mínimos especificados de los aceros estructural y de refuerzo, y f’c es la resistencia nominal del concreto en compresión (en las refs. 8.4 y 8.5, f’c se sustituye por f*c = 0.8f’c).

116


Fig 8.31 Detalles sugeridos para columnas compuestas. Elevación.


Fig. 8.32 Detalles sugeridos para columnas compuestas. Sección transversal.

Fig. 8.33 Detalles sugeridos para columnas compuestas. Junta viga-columna.

117

118


Pu (ec. 8.94) equivale a la fuerza Py = AFy que produce la plastificación completa de una sección de acero comprimida axialmente. Dividiendo los dos miembros de la ec. 8.94 entre el área del elemento de acero estructural se obtiene una expresión que proporciona un esfuerzo efectivo Fmy en ese elemento:

Pu Aa

= Fmy = Fy + Fyr

Ar Aa

+ 0.85 f' c

Ac Aa

(8.94a)

Esta ecuación se recomienda para tubos de acero rellenos de concreto (ref. 8.32), pues éste, confinado lateralmente por el tubo, puede alcanzar, sin agrietarse, una resistencia cuando menos igual a la de los cilindros, no confinados, con los que se determina f’c; en cambio, hay menos certidumbre de que se llegue al esfuerzo

0.85 f’c en concreto no confinado, y si falla antes es posible que el refuerzo longitudinal tampoco pueda resistir el esfuerzo Fyr. Por este motivo, en columnas formadas por un perfil de acero estructural ahogado en concreto, a los términos de la ec. 8.94 que corresponden al concreto y a las barras de refuerzo se les aplica el factor de reducción de la resistencia de 0.70 que se recomienda en la ref. 8.30 para columnas que no tienen refuerzo transversal en espiral. (En al eferencia 8.30, ese factor disminuye a 0.65). 8.4.5.2 Columnas esbeltas Los efectos de esbeltez en columnas comprimidas axialmente son función de su rigidez en flexión, EI/KL. En columnas de concreto reforzado es difícil, si no imposible, determinar los valores de E e I, ya que no pueden predecirse con precisión las contribuciones de cada uno de los materiales que las forman, el agrietamiento varía a lo largo del eje, el concreto no es homogéneo, y el valor aparente de E cambia bajo cargas sostenidas; en columnas de marcos rígidos tampoco es fácil determinar los factores de longitud efectiva, ante las incertidumbres en los valores de E e I y los de las vigas que las restringen. La influencia en la rigidez a la flexión del concreto contenido en un tubo de acero es mayor que la del que rodea un perfil ahogado. Por otro lado, el tubo de acero influye mucho más en la estabilidad que el concreto mientras que, al contrario, es éste el que tiene una contribución mayor cuando la columna está formada por un perfil ahogado. Las grietas reducen la rigidez efectiva del concreto, inclusive cuando está dentro de un tubo, y su calidad es menos confiable que la del acero; por ello, la expresión para calcular el módulo de elasticidad efectivo de la sección compuesta considera el valor total de E del acero y sólo el 40 por ciento del valor inicial de Ec para el concreto contenido en un tubo y el 20 por ciento del que no está confinado; esos coeficientes tienen también en cuenta la influencia del flujo plástico diferido.


119

La ec. 8.94a emplea relaciones entre las áreas de los materiales que componen la columna, no entre sus momentos de inercia, pues así se obtienen resultados que concuerdan mejor con los determinados experimentalmente (refs. 9.31 y 9.32). La definición convencional del radio de giro no es rigurosamente aplicable a las secciones transversales no homogéneas. La resistencia en flexión de las secciones compuestas depende del perfil de acero y del recubrimiento o relleno de concreto. Si predomina el perfil de acero, es adecuado utilizar su radio de giro para la sección completa; en caso contrario, cuando la deformación por flexión es resistida, principalmente, por el concreto, puede emplearse el de éste. En uno u otro caso, el radio de giro efectivo de la sección es algo mayor que el más grande de los calculados para cada material por separado. Sin embargo, como no se tiene información que permita una definición más rigurosa, se recomienda que la relación de esbeltez de las columnas compuestas se determine con el radio de giro de la sección de acero, pero que cuando la sección esta ahogada en concreto, no se tome menor que el 30 por ciento de la dimensión del lado de la sección compuesta perpendicular al eje de flexión que es, aproximadamente, el radio de giro de un rectángulo macizo. Para diseñar columnas largas de sección compuesta comprimidas axialmente se emplean las mismas ecuaciones que para columnas de acero (refs. 8.31 y 8.32), es decir, las ecs. E2-1 a E2-4 de la ref. 8.1, o las ecs. 3.3 y 3.4 de la 8.5, en las que el esfuerzo de fluencia y el módulo de elasticidad del acero, y el radio de giro, se modifican para incluir el efecto del concreto y de las barras longitudinales; además, se introducen en ellas factores, c1 a c3, que dependen de que la columna sea un tubo relleno de concreto o un perfil ahogado en ese material. De acuerdo con la referencia 8.5, la resistencia de diseño es Rc = FR Aa

(1

FY 2n

+ l

- 0.15

2n

)

, con n = 1.4, o

'

f c AaFcr, donde FR = 0.85 y Aa es el área de la sección transversal del elemento de acero estructural; se emplea esta área por la definición de esfuerzo efectivo de la ec. 8.94a. 8.4.5.2.1 Resistencia de diseño La resistencia de diseño de columnas compuestas comprimidas axialmente se determina con las ecuaciones para columnas de acero (refs. 8.1 u 8.5), en las que se hacen las modificaciones siguientes: El área de la sección transversal que aparece en las ecuaciones es Aa, área del elemento de acero estructural.

r es el radio de giro del miembro de acero estructural, sección H o tubo circular o rectangular, pero cuando se trata de una sección H ahogada en concreto, no se toma menor que 0.3 veces la dimensión total de la sección compuesta normal al eje de pandeo.

Fy y E se sustituyen por los valores modificados Fmy y Em:

120


Fmy = Fy + c1 Fyr

Em = E + c3 Ec

Ar Aa

+ c2 f'c

Ac Aa

Ac Aa

(8.95)

(8.96)

En las expresiones anteriores,

E = módulo de elasticidad del acero Ec = módulo de elasticidad del concreto (ecs. 8.71 y 8.72, art. 8.3.12.1.2) Fy, Fyr = esfuerzos de fluencia mínimos especificados del acero del perfil o sección tubular, y de las barras longitudinales de refuerzo

c1, c2, c3 = coeficientes numéricos; para secciones tubulares rellenas de concreto, c1 = 1.0, c2 = 0.85, c3 = 0.4; para perfiles ahogados en concreto, c1 = 0.7, c2 = 0.6, c3 = 0.2 Las cantidades restantes se han definido ya.

La ec. 8.95, con los valores de c1 y c2 para tubos rellenos de concreto, es la 8.94a; la misma ecuación, con c1

= 0.7 y c2 = 0.85 x 0.7 = 0.6, recomendados para perfiles ahogados, es la 8.94a corregida por la falta de confinamiento del concreto. Se ha demostrado experimentalmente que el método propuesto predice, de manera adecuada, la resistencia en compresión de los dos tipos de columnas compuestas que se han estudiado, tubos rellenos y perfiles ahogados en concreto (ref. 8.32).

8.4.5.2.2

Columnas con varios perfiles de acero

Cuando la columna compuesta incluye dos o más perfiles de acero, éstos deben unirse entre sí por medio de diagonales o placas interrumpidas que eviten el pandeo de los elementos individuales hasta que se endurezca el concreto; después, la columna responde bajo carga como una unidad, lo que sucedería, como se ha demostrado experimentalmente, aunque los perfiles de acero no estuviesen conectados.

8.4.5.2.3

Transmisión de cargas

Para evitar que se sobrecargue el perfil de acero o el concreto, en conexiones con columnas compuestas se requiere que la transferencia de carga se haga por apoyo directo, con conectores de cortante, o por combinación de ambos. En la mayoría de los casos los conectores pueden espaciarse uniformemente, pero cuando las


121

fuerzas son grandes pueden requerirse otros arreglos, para que no se sobrecargue el componente que recibe las cargas directamente, sea la sección de acero o el recubrimiento de concreto. La adherencia entre concreto y acero, que contribuye también a la transferencia de fuerzas, se ignora en secciones ahogadas (ref. 8.28), y aunque se ha utilizado en secciones tubulares rellenas, sólo se cuenta con guías de diseño para plataformas marinas para extracción de petróleo (Comentario de la ref. 8.1). En las refs. 8.1 y 8.5 se

dan algunas recomendaciones, que no se reproducen aquí, para lograr una

transferencia adecuada de las cargas. Hay, todavía, pocos estudios sobre cómo se transmiten las acciones en conexiones rígidas viga-columna. 8.4.6

Flexocompresión

El enfoque que se propone para el diseño de miembros compuestos flexocomprimidos es, también, básicamente el mismo que para columnas de acero (refs. 8.31 y 8.32). Una columna de acero o de concreto reforzado resiste una fuerza axial máxima cuando no hay flexión en ella; si el momento flexionante crece, la resistencia en compresión disminuye. La resistencia en flexión de las secciones de acero es máxima cuando la fuerza normal es nula, y disminuye poco cuando es pequeña; en cambio, las secciones de concreto reforzado desarrollan su resistencia máxima en flexión cuando obra, simultáneamente, una compresión reducida, que restringe las grietas producidas por la flexión. El empleo de una función lineal para representar la interacción de las resistencias en compresión axial y en flexión lleva a estimaciones conservadoras de la resistencia de columnas compuestas flexocomprimidas, en las refs. 8.31 y 8.32 se recomienda que el término que corresponde a la fuerza axial se eleve al cuadrado. Sin embargo, en las refs. 8.1 y 8.5 se utilizan las mismas ecuaciones que para columnas de acero. La resistencia nominal en compresión se determina como se indica en el art. 8.4.5.2.1, y la nominal en flexión es la que corresponde a la plastificación completa de la sección compuesta. En el comentario de la ref. 8.1 se recomienda una fórmula aproximada para calcularla, propuesta en la ref. 8.34, que es aplicable a secciones transversales rectangulares o cuadradas:

M n = M p = ZFy +

æh Aal Fy 2 (h 2 - 2c r ) Ar Fyr + çç 3 1 .7 f ' c h1 è 2

1

ö ÷ Aal Fy ÷ ø

(8.97)

En esta expresión,

Aal = área del alma del perfil de acero estructural ahogado en concreto (para tubos rellenos se toma, conservadoramente, Aal =0).

122


cr = promedio de las distancias de la cara comprimida al refuerzo longitudinal inmediato a ella y de la cara en tensión al refuerzo longitudinal inmediato.

h1, h2 = dimensiones de la sección compuesta perpendicular y paralela al plano de flexión. La ec. 8.97 se utiliza para flexión alrededor de cualquiera de los ejes centroidales y principales, empleando, en cada caso, el módulo de sección Z de la sección de acero que corresponda. Comparando los resultados de la ec. 8.97 con los más precisos tabulados en la ref. 8.29 (o con los que se obtienen con las ecuaciones “exactas” del art. 8.4.6.1), se encuentra una concordancia aceptable al calcular Mnx, pero los valores de Mny proporcionados por ella son excesivamente conservadores. De acuerdo con la ref. 8.1, cuando el término de las ecuaciones de interacción que corresponde a la fuerza axial es menor que 0.3, la resistencia nominal en flexión, Mn, se determina por interpolación lineal entre la correspondiente a la plastificación completa de la sección transversal compuesta, con Pu/fPn = 0.3, y la resistencia a la flexión, calculada para Pu = 0. Si se necesitan conectores de cortante cuando Pu = 0, se colocan siempre que Pu/fPn es menor que 0.3. El requisito anterior proporciona una transición entre las barras flexocomprimidas y las que trabajan en flexión; está relacionado con la adherencia entre la sección de acero y el concreto. Se considera que cuando Pu/fPn<0.3 se reduce la resistencia nominal en flexión, a menos que la transferencia de cortante del concreto al acero se haga por medio de conectores. En la ref. 8.28 se recomienda utilizar, siempre, la resistencia en flexión que corresponde a la plastificación completa de la sección transversal, sin importar la magnitud de la compresión; en esa suposición se basan las tablas de diseño de esa referencia. Para validar la suposición anterior, se sugiere que: Cuando hay espacio suficiente, se coloquen conectores de cortante en las caras exteriores de los patines; si no lo hay, se ponen en las caras interiores, alternados a uno y otro lado del alma. Se coloquen conectores de cortante, distribuidos uniformemente alrededor del perfil de acero y en toda la longitud de la columna, para soportar la mayor de las fuerzas cortantes siguientes: La suma de reacciones de todas las vigas que lleguen a la columna en el nivel considerado. Si la relación entre la fuerza axial de diseño y la resistencia de diseño en compresión, Pu/Rc, es menor que 0.3, una fuerza igual al producto de Fy por el área de la parte del perfil de acero que queda en el lado en tensión del


123

eje neutro plástico. 0.3 es un valor arbitrario, que distingue los elementos que trabajan de manera predominante en compresión de los que lo hacen en flexión. Debe tenerse en cuenta que el momento puede cambiar de signo. La separación máxima entre conectores, en cada patín, no debe exceder de 800 mm. En las Figs. 8.31 y 8.32 se proponen detalles para su colocación.

8.4.6.1 Determinación “exacta” de Mpx y Mpy El momento resistente máximo se desarrolla cuando la sección se plastifica por completo, lo que sucede cuando el concreto en compresión alcanza su resistencia máxima y, simultáneamente, el perfil de acero estructural y las barras de refuerzo longitudinal fluyen plásticamente, en tensión o compresión, a uno y otro lado del eje neutro plástico; se desprecia la resistencia en tensión del concreto. 8.4.6.1.1 Perfiles ahogados en concreto La resistencia del concreto en compresión se determina suponiendo que en una zona limitada por los bordes de la sección y una línea recta paralela al eje neutro, situada a una distancia a = b1c del borde exterior comprimido, actúa un esfuerzo uniforme igual a 0.85 f’c. (Se emplea, como en las vigas, un bloque rectangular de esfuerzos, escogido de manera que la resultante de las fuerzas interiores coincida razonablemente, en magnitud y punto de aplicación, con la resultante de las fuerzas interiores “reales”, ref. 8.30). 2

El factor b1 es igual a 0.85 para resistencias del concreto, f’c, hasta 280 Kg/cm ; para resistencias mayores, b se 2

reduce de manera continua, a razón de 0.05 por cada 70 Kg/cm , con un mínimo de 0.65 (ref. 8.30).

8.4.6.1.1.1. Flexión alrededor del eje x Pueden presentarse dos casos: en el primero, el eje neutro plástico (ENP) está fuera de la sección de acero; en el segundo, atraviesa esa sección. El segundo caso se divide en dos subcasos, según que el ENP pase por el patín o por el alma del perfil. El ENP está siempre encima del eje centroidal de la sección, pues el área en tensión del perfil tiene que ser mayor que el área en compresión, para equilibrar la fuerza de compresión en el concreto.

EJE NEUTRO PLÁSTICO FUERA DE LA SECCIÓN DE ACERO En la Fig. 8.34 se muestra la sección de la columna compuesta, la posición del ENP, los esfuerzos, y las resultantes de las fuerzas correspondientes. Estas son:

124


Fig. 8.34 Flexión alrededor del eje x. ENP fuera de la sección de acero.

Fuerzas de compresión En el concreto

Cc = 0.85 f’c bch1

Si se siguen las recomendaciones de las refs. 8.4 u 8.5, todas las ecuaciones que siguen continúan siendo válidas, sustituyendo en ellas f’c por 0.8 f’c. En el acero de refuerzo

Cre = Are (Fy - 0.85 f’c)

El término - 0.85 f’c Are corresponde al concreto desplazado por el acero. Fuerzas de tensión En el perfil

Ta = Aa Fy

En el refuerzo

Trm = Arm Fyr ; Te = Are Fyr

Are, Arm, son las áreas de refuerzo exterior (en cada cara) y del colocado en la parte media de la sección. Como la sección trabaja en flexión, las sumas de fuerzas de compresión y de tensión deben ser iguales; de esta condición se obtiene la profundidad del ENP, c:


c=

125

Ta + Trm + 0.85 f' c Are 0 .85 bf ' c h1

=

Aa Fy + Arm Fyr + 0.85 f' c Are 0 .85 bf ' c h1

(8.98)

Si c £ 0.5 (h2 - D), el ENP está fuera de la sección de acero; en caso contrario, pasa por ella.

Cuando el ENP está fuera de la sección de acero, las fuerzas internas son las de la Fig. 8.34; el momento resistente nominal, Mn, es igual a la suma de momentos de esas fuerzas respecto al ENP:

Mn = Ccc (1-0.5b) + Cre (c - recy) `(Ta + Trm) (0.5 h2 - c) + Tre (h2 - c - recy)

(8.99)

recx y recy son las distancias del centroide del refuerzo colocado en cada esquina a las caras exteriores de las columnas:

EJE NEUTRO PLÁSTICO A TRAVÉS DE LA SECCIÓN DE ACERO Las fuerzas interiores son: Compresión En el concreto

Cc = 0.85 f’c h1 bc

En el acero de refuerzo

Cre = Are (Fyr - 0.85 f’c)

En el patín superior

Ca = Btpc (Fy - 0.85 f’c)

tpc es la altura de la parte del patín que está encima del ENP. Tensión En el refuerzo medio

Trm = Arm Fyr

En el patín superior

Tps = B (C - tpc) Fy = Btps Fy

En el alma

Tal = Aal Fy = (D - 2C) T Fy

En el patín inferior

Tpi = Ap Fy

126


En el refuerzo inferior

Tre = Are Fyr

Igualando las sumas de fuerzas de compresión y tensión, teniendo en cuenta que tpc = c - 0.5 (h2 - D), y despejando c, se obtiene

c=

0 .85 f ' c

[ Are

- 0.5 B (h 2 - D)

]

+ B (h2 - D) Fy + Aa Fy + Arm Fyr

0 .85 b f' c h1 + 2BFy - 0.85 f' c B

(8.100)

Si c £ 0.5 (h2 - D) + C, el ENP está en el patín; en caso contrario, atraviesa el alma. a)

El ENP pasa por el patín

Puede atravesar el patín superior o el alma; la Fig. 8.35 corresponde al primer caso. Tomando momentos respecto al ENP, se obtiene

Mn = Cc c (1-0.5b) + Cre (c - recy) + 0.5 Ca tpc + 0.5 Tps (C - tpc) + (Tal + Trm) (0.5 h2 - c) + Tpi (D - 0.5C - tpc) + Tre (h2 - recy - c)

(8.101)

Fig. 8.35 Flexión alrededor de x; el ENP pasa por el patín de la sección de acero. b)

El ENP pasa por el alma

La figura correspondiente es la 8.36.


127

Fig. 8.36 Flexión alrededor de x; El ENP pasa por el alma de la sección de acero. Siguiendo el mismo camino que en los casos anteriores, se obtiene

c=

(8.102)

Mn = Cc c (1-0.5b) + Cre (c - recy) + Cpc (hac + 0.5 C) + 0.5 Cac hac + Trm (0.5 h2 - c) + 0.5 tat (D - 2C - hac) + Tpt (D - 1.5C - hac) + Tre (h2 - c - recy)

(8.103)

Los subíndices ac y at se refieren a las partes del alma que están en compresión y tensión, respectivamente.

8.4.6.1.1.2 Flexión alrededor del eje y Sólo interesan dos casos: el ENP fuera de la sección de acero o a través de sus patines (por las razones mencionadas arriba el ENP no pasa por el alma, excepto, quizá, si se usan secciones H de tres placas soldadas, con los patines muy cortos y el alma extremadamente gruesa). Las figuras correspondientes son la 8.37 y 8.38.

128


Fig. 8.37 Flexión alrededor de y. ENP fuera de la sección de acero.

Fig. 8.38 Flexión alrededor de y; ENP en los patínes de la sección de acero. De manera semejante a como se hizo para flexión alrededor de x, se llega a:

c=

Aa Fy + Arm Fyr + 0.85 f' c Are 0 .85 f' c bh 2

(8.104)

Si c £ 0.5 (h1 - B), el ENP está fuera de la sección de acero; en caso contrario, atraviesa los patines.

ENP fuera de la sección de acero


129

Mn = Ccc (1 - 0.5b) + Cre (c - recx) + (Ta + Trm) (0.5 h1 - c) + Tre (h1 - c - recx)

(8.105)

ENP a través de los patínes de la sección de acero

c =

2Ch1 Fy + Aal Fy + Arm Fyr + 0.85 f' c

[ Are

- C (h1 - B)

]

(8.106)

0 .85 f' c b h 2 + 4 C Fy - 1.7 C f' c

Mn = Ccc (1 - 0.5b) + Cre (c - recx) + 0.5 Cpc bpc + (Tal + Trm) (0.5 h1 - c) + 0.5 Tpt (B - bpc) + + Tre (h1 + recx - c)

(8.107)

1

EJEMPLO 8.15 La columna compuesta de la Fig. E8.5.1, de 5.20 m de longitud, forma parte de una estructura compuesta por marcos rígidos ortogonales, que no tienen contraventeos ni muros de rigidez. El perfil, de acero 2

A992 (Fy = 3515 Kg/cm ), es una W14” x 370 lb/ft (ref. 8.24), y el concreto tiene un peso volumétrico de 2400 3

2

Kg/m y resistencia f’c = 560 Kg/cm . Las barras de refuerzo son del Nº 11, con límite de fluencia de 4200 2

Kg/cm . Determine si resiste las acciones nominales de la Tabla E8.15.1, utilizando las normas de la ref. 8.1, con las combinaciones y los factores de carga y resistencia de la ref. 8.23.

Las acciones nominales se han obtenido como se indica en el art. 3.4.2 de la ref. 8.5, por lo que ya incluyen los efectos de esbeltez P-D, y la revisión de la columna se hace con Kx = Ky = 1.0. En los análisis sísmicos se han considerado factores de comportamiento sísmico Qx = Qy = 4.0.

2

Refuerzo longitudinal: 8 varillas No.11 (Ar =80.52cm ) Fig.E8.15.1 Sección propuesta. 1

En este ejemplo se pretende, exclusivamente, ilustrar el diseño de columnas compuestas flexocomprimidas; las acciones nominales no corresponden a ningún edificio real, y los valores de los factores de comportamiento sísmico no son, necesariamente, los más convenientes

130


ACCIONES NOMINALES (Fuerzas en Ton; momentos en Tm) TABLA E8.15.1

Pcv 700.00 Psx 200.00 Psy 250.00

C A R G A V E R T I C A L Mcvxs Mcvys Mcvxi 35.00 22.50 -34.30 SISMO SEGÚN X Msxxs Msxys Msxxi 131.6 98.5 131.6 SISMO SEGÚN Y Msyxs Msyys Msyxi -41.5 112.4 -96.2

Mcvyi 0.00 Msxyi 98.5 Msyyi 112.4

Son acciones del exterior sobre la columna, positivas en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj Los subínidces cv, sx y sy indican carga vertical y sismo paralelo a los ejes x y y de la sección de acero, y el último subíndice, s o i, se indica el extremo de la columna, superior o inferior.

RESISTENCIA EN COMPRESIÓN 2

Aa = área de la sección transversal de la sección H = 702.0 cm 2

Aal = área del alma @ 4.20 (45.50 - 6.76 x 2) = 134.32 cm

rmx = 0.3 x 91.4 = 27.42 cm > rx = 17.9 cm \ rmx = 27.42 cm rmy = 0.3 x 91.4 = 27.42 cm > ry = 10.8 cm \ rmx = 27.42 cm rmx y rmy son los radios de giros modificados de la sección compuesta (art. 8.4.5.2). (KL/r)cr = 1 x 520/27.42 = 18.96 Ac = h1 h2 - (Aa + Ar) = 91.40 x 91.40 - (702.0 + 80,52) = 7571.4 cm Ec. 8.95

2

Fmy = Fy + 0.7 Fyr (Ar/Aa) + 0.6 f’c (Ac/Aa) = 3515 + 0.7 x 4200 (80.52/702.0) + 0.6 x 560 2

(7571.4/702.0) = 7476 Kg/cm

Ec = 0.131w c

1.5

f' c = 0.131 ´ 24001.5 560 = 764487kg/c m2


Ec. 8.96

λc =

KL Πr

131

2

Em = E + 0.2 Ec (Ac/Aa) = 2 039 000 + 0.2 x 364 487 (7571.4/702.0) = 2 825 234 Kg/cm

Fmy Em

Fcr = 0.658

2

lc

=

18.96 Π

7476 0.310 < 1.5 2825234

2

Fmy = 0.658 0.310 x 7476 = 7181 Kg/cm , Pn = Aa Fcr = 702.0 x 7181 x 10 = 5041Ton

2

2

2

-3

-3

Pex = Pey = AaFmy/l c = (702.0 X 7476/0.308 )10 = 54611 Ton. RESISTENCIA EN FLEXIÓN Mnx y Mny son las resistencias nominales en flexión correspondientes a la sección compuesta completamente plastificada. fc = 0.85, fb = 0.90 2

f’c = 560 Kg/cm , b = 0.85 - 0.00071 (f’c - 280) = 0.85 - 0.00071 (560 - 280) = 0.65 La ecuación para calcular b es la propuesta en la ref. 8.30, traducida al sistema métrico ordinario. 2

2

2

At (8fnº 11) = 80.52 cm ; Are = 80.52/2 = 40.26 cm ; Arm = 0 ; Fyr = 4200 Kg/cm ; (rec)y = 6.83 cm, (rec)x= 11.19 cm Flexión alrededor de x

Ec. 8.98

c1 =

702 x 3515 + 0 + 0.85 X 560 X 40.26 0.85 X 0.65 X 560 X 91.4

= 87.93 cm

0.5 (h2 - D) = 0.5 (91.4 - 45.50) = 22.95 cm ; c = 87.93 cm > 22.95 \ El eje neutro plástico (ENP) está en la sección de acero. El eje neutro plástico real está siempre encima del eje de simetría de la sección; el valor tan grande que se acaba de obtener para c1 indica sólo que el concreto y el acero de las barras en compresión no pueden equilibrar las tensiones correspondientes a la plastificación de la sección de acero y de las barras en tensión, por lo que parte de la sección H trabaja en compresión.

132

Ec. 8.100


c2 =

0.85x560 [ 40.26 - 0.5x41.8(91.4 - 45.5)] + 41.8(91.4 - 45.5)3515 + 702x3515 + 0 0.85x0.65x560x91.4 + 2x41.8x3515 - 0.85x560x41.8

= 29.03 cm

0.5 (h2 - D) + C = 0.5 (91.4 -45.5) + 6.76 = 29.71 cm. c2 = 29.03 cm < 29.71 \ El ENP está en el patín. tpc = c2 - 0.5 (h1 - D) = 29.02 - 0.5 (91.4 - 45.5) = 6.07 cm -3

Cc = 0.85 bf’c h1c2 = 0.85 x 0.65 x 560 x 91.4 x 29.03 x 10 = 820.94 Ton -3

Cre = Are (Fyr - 0.85f’c) = 40.26 (4200 - 0.85 x 560) 10 = 149.93 Ton -3

Ca = Btpc (Fy - 0.85f’c) = 41.80 x 6.07 (3515 - 0.85 x 560) 10 = 771.07 Ton -3

Trm = Arm Fyr = 0 ; Tre = Are Fyr = 40.26 x 4200 x 10 = 169.09 Ton ; Tps = B (C - tpc) Fy = -3

= 41.80 (6.76 - 6.07) 3515 x 10 = 101.38 Ton -3

-3

Tal = Aal Fy = 134.32 x 3515 x 10 = 472.13 Ton ;

Tpi = Ap Fy = 282.57 x 3515 x 10 = 993.23 Ton

Como la sección trabaja en flexión pura, la suma de fuerzas de compresión debe ser igual a la de fuerzas de tensión; la primera vale 1741.94 Ton, y la segunda 1735.83 Ton, que pueden considerarse iguales. Ec. 8.101

Mnx = 820.94 x 29.03 (1 - 0.5 x 0.65) + 149.93 (29.03 - 6.83) + 0.5 x 771.07 x 6.07 + 0.5 x 101.38 (6.76 - 6.07) + (472.13 + 0) (0.5 x 91.4 - 29.03) + 993.23 (45.5 - 0.5 x 6.76 6.07) + 169.09 (91.4 - 6.83 - 29.03) = 74 857.8 Tcm = 748.6 Tm.

Flexión alrededor de y -3

Cre = 149.93 Ton ; Ta = AaFy = 702.0 x 3515 x 10 = 2467.5 Ton ; Trm = 0 ; Tre = 169.01 Ton. Las cantidades que no se han calculado aquí se obtuvieron arriba.

Ec. 8.104

c1 =

2467.5 + 0 + 0.85 x 560 x 40.26 x 10 0.85 x 560 x 0.65 x 91.4 x 10

-3

-3

= 87.93 cm

0.5 (h1 - B) = 0.5 (91.4 - 41.80) = 24.80 cm < 87.93 \ El ENP atraviesa la sección de acero; en este caso (flexión alrededor de y) tiene que pasar, necesariamente, por los patines, porque el alma tiene que trabajar en tensión, para equilibrar la compresión en el concreto.


133

2 x 6.76 x 91.4 x 3515 + 134.32 x 3515 + 0 + 0.85x560 [ 40.26 - 6.76(91.4 - 41.8)]

Ec. 8.106 c2 =

0.85x560x0.65x91.4 + 4x6.76x3515 - 1.7x6.76x560

= 40.0 cm

bpc = c2 - (h1 - B)/2 = 40.0 - (91.4 - 41.8)/2 = 15.20 cm -3

Cc = 0.85 x 560 x 0.65 x 40.0 x 91.4 x 10

= 1131.2 Ton -3

Cpc = 2 x 6.76 x 15.20 (3515 - 0.85 x 560) 10 = 624.5 Ton -3

Tal = 472.13 Ton ; Trm = 0 ; Tpt = 2 x 6.76 (41.8 - 15.20) 3515 x 10 = 1264.1 Ton ; Ec. 8.107

Tre = 169.09 Ton

Mny = 1131.2 x 40.0 (1 - 0.5 x 0.65) + 149.93(40.00 - 11.19) + 0.5 x 624.5 x 15.20 + (472.13 + 0) (0.5 x 91.4 - 40.0) + 0.5 x 1264.1 (41.8 - 15.20) + 169.09 (91.4 - 11.19 - 40.00) = 65 861 Tcm = = 658.6 Tm

La ecuación aproximada 8.97, recomendada en el comentario de la ref. 8.1, proporciona los valores de Mnx y Mny que se calculan a continuación. -5

Mpx = Zx Fy = 12 060 x 3515 x 10 = 423.9 Tm -5

Mpy = Zy Fy = 6063 x 3515 x 10 = 213.1 Tm 2

Aal = 134.32 cm

Crx = 6.83 cm ; Cry = 11.19 cm

Mnx = 423.9 +

1 3

(91.4 - 2 x 6.83) 80.52 x 4200 x 10

æ 91.4 134.32 x 3515 ö -5 + ç ÷ 134.32 x 3515 x 10 = è 2 1 .7 x 560 x 91 .4 ø

-5

= 423.9 + 87.6 + 190.1 = 701.6 Tm

Mny = 213.1 +

1 3

(91.4 - 2 x 11.19) 80.52 x 4200 x 10

-5

+ 190.1 = 213.1 + 77.8 + 190.1 = 481.0 Tm

El valor de Mnx es cercano al “exacto”, y está del lado de la seguridad; Mny, en cambio, difiere mucho del calculado arriba; es excesivamente conservador. En la tabla siguiente se comparan los resultados tabulados en la ref. 8.28, para una columna igual a la de este 2

2

2

ejemplo, con L = 17’ = 5.18 m, f’c = 8 Ksi = 562 Kg/cm , Fy = 50 Ksi = 3515 Kg/cm , Fyr = 60 Ksi = 4219 Kg/cm , con los obtenidos aquí. fc Pn corresponde a L = 17’ (5.20 m) y Mux y Muy son los momentos resistentes de diseño cuando Pu = 0;

corresponden a la plastificación completa de la sección.

134

Construcción compuesta fc Pn Ton

Mux = fb Mnx Tm

Muy = fb Mny Tm

Ref. 8.28

4300.0

677.4

598.6

(1)

Este ejemplo

0.85 x 5044 = 4287.4 1.0029

0.9 x 748.6 = 673.7 1.0055

0.9 x 658.6 = = 592.7 1.0100

(2)

(1)/(2)

Los resultados pueden considerarse idénticos, pues en ningún caso difieren en más de 1%; las diferencias se deben, seguramente, al redondeo al pasar del sistema inglés al métrico tradicional. CONDICIÓN I CARGA VERTICAL Las acciones nominales están en la pág.130 (Tabla E8.15.1) Fc = 1.4 Coeficientes B1 M1x/M2x = -34.30/35.00 = -0.980 (curvatura simple) Cmx = 0.6 - 0.4 (M1x/M2x) = 0.6-0.4 (-0.980) = 0.992

B1x =

C mx 0.992 = = 1.010 > 1.00 \ B1x = 1.010 1 - Pu /Pe1x 1 - (700 ´1.4 )/54611

M1y/M2y = 0/22.5 = 0 Cmy = 0.6 - 0.4 x 0 = 0.600

B1y =

C my 1 - Pu /Pe1y

=

0.600 = 0.61 < 1.0 \ B1y = 1.00 1 - (700 ´1.4 )/54611

ACCIONES DE DISEÑO Pu = Fc Pcv = 700.0 x 1.4 = 980.0 Ton; (Mux)máx = B1x (Mcvx)máx Fc = 1.010 x 35.0 x 1.4 = 49.49 Tm; (Muy)máx = = B1y(Mcvy)máxc = 1.0 x 22.5 x 1.4 = 31.50 Tm ECUACIÓN DE INTERACCIÓN Pu/fcPn = 980.0/(0.85x5044) = 0.229 > 0.2


Pu f c Pn

+

M uy 8 æ M ux ç + ç 9 è f b M nx f b M ny

135 ö 8 æ 49.25 31.50 ö 8 ÷ = 0.229 + + (0.073 + 0.053) ÷ = 0.229 + ç ÷ 9 è 0.9x748.6 0.9x658.6 ø 9 ø

= 0.341 < 1.00 CONDICIÓN II CARGA VERTICAL + SISMO x + 0.30 SISMO y RESISTENCIA EN COMPRESIÓN Igual que para carga vertical. Acciones nominales P = Pcv + Psx + 0.30 Psy = 700.0 + 200.0 + 0.3 x 250 = 975.0 Ton Mxs = Mcvxs + Msxxs + 0.3 Msyxs = 35.0 + 131.6 - 0.3 x 41.5 = 154.2 Tm Mys= Mcvys + Msxys + 0.3 Msyys = 22.5 + 98.5 + 0.3 x 112.4 = 154.7 Tm Mxi = -34.4 + 131.6 + 0.3 (-96.2) = 68.4 Tm Myi = 0 + 98.5 + 0.3 x 112.4 = 132.2 Tm RESISTENCIAS EN FLEXIÓN Se calcularon arriba. Momentos resistentes nominales Mnx = 748.6 Tm ; Mny = 658.6 Tm. Coeficientes Cmx y Cmy Se utilizan los momentos nominales calculados arriba (en “Acciones nominales”). M1x/M2x = 68.4/154.2 = 0.444 ; Cmx = 0.6 - 0.4 (M1x/M2x) = 0.6 - 0.4 x 0.444 = 0.422 M1yM2y= 132.2/154.7 = 0.855 ; Cmy = 0.6 - 0.4 x 0.855 = 0.258 Coeficientes B1x y B1y Pu = 1.1 (700.0 + 200.0 + 0.3 x 250.0) = 1072.5 Ton. B1x = Cmx/(1-Pu/Pe1x) = 0.422/(1 - 1072.5/55323) = 0.430 < 1.00 \ B1x = 1.000 B1y = 0.258/(1 - 1072.5/54611) = 0.263 < 1.00 \ B1y = 1.000

136


ACCIONES DE DISEÑO Se calculan con valores absolutos de las fuerzas normales y momentos. De acuerdo con la ref. 8.1, Mu = Fc (B1Mv + B2Ms); según la ref.8.3, Mu = Fc B1 (Mcv + B2 Ms); este valor es el correcto (ref. 8.5). Pu = 975.0 x 1.1 = 1072.5 Ton Mxs = Fc B1x (Mcvxs + Msxxs + 0.3 Msyxs) = 1.1 x 1.0 (35.0 + 131.6 + 0.3 x 41.5) = 196.96 Tm Mys = Fc B1x (Mcvys + Msxys + 0.3 Msyys) = 1.1 x 1.0 (22.5 + 98.5 + 0.3 x 112.4) = 170.19 Tm Mxi = 1.1 x 1.0 (34.3 + 131.6 + 0.3 x 96.2) = 214.20 Tm Myi = 1.1 x 1.0 (0 + 98.5 + 0.3 x 112.4) = 145.44 Tm Mux = 214.20 Tm (El mayor de Mxs y Mxi) ; Muy = 170.19 Tm (El mayor de Mys y Myi). ECUACIÓN DE INTERACCIÓN Pu/fcPn = 1072.5/0.85x5041 = 0.250 > 0.2

0.250 +

8 æ 214.20 170.19 ö 8 + ç ÷ = 0.250 + 9 è 0.9 x 748.6 0.9 x 658.6 ø 9

(0.316 + 0.287) = 0.786

CONDICIÓN III CARGA VERTICAL + 0.30 SISMO x + SISMO y RESISTENCIA EN COMPRESIÓN Igual que para carga vertical. RESISTENCIA EN FLEXIÓN Acciones nominales P = Pcv + 0.3 Psx + Psy = 700.0 + 0.3 x 200.0 + 250.0 = 1010.0 Ton Mxs = Mcvxs + 0.3Msxxs + Msyxs = 35.0 + 0.3 x 131.6 - 41.5 = 32.98 Tm Mys= Mcvys + 0.3Msxys + Msyys = 22.5 + 0.3 x 98.5 + 112.4 = 164.45 Tm Mxi = -34.30 + 0.3 x 131.6 - 96.2 = -91.02 Tm Myi = 0 + 0.3 x 98.5 + 112.4 = 141.95 Tm Coeficientes Cmx y Cmy


137

Se utilizan los momentos nominales calculados arriba. M1x/M2x = 32.98/(-91.02) = -0.362 ; Cmx = 0.6 - 0.4 (M1x/M2x) = 0.745 M1yM2y= 141.95/164.46 = 0.863 ;

Cmy = 0.6 - 0.4 (M1y/M2y) = 0.255

Coeficientes B1x y B1y Pu = 1.1 x 1010.0 = 1111.0 Ton B1x = Cmx/(1-Pu/Pe1x) = 0.745/(1 - 1111.0/55323) = 0.760 < 1.00 \ B1x = 1.000 B1y = 0.255/(1 - 1111.0/55323) = 0.260 < 1.00 \ B1y = 1.00

ACCIONES DE DISEÑO Se calculan con valores absolutos de fuerzas y momentos. Pu = 1111.0 Ton Mxs = Fc B1x (Mcvxs + 0.3Msxxs + Msyxs) = 1.1 x 1.0 (35.0 + 0.3 x 131.6 + 41.5) = 127.58 Tm Mys = Fc B1y (Mcys + 0.3 Msxys + Msyys = 1.1 x 1.0 (22.5 + 0.3 x 98.5 + 112.4) = 180.90 Tm Mxi = 1.1 x 1.0 (34.30 + 0.3 x 131.6 + 96.2) = 186.98 Tm Myi = 1.1 x 1.0 (0 + 0.3 x 98.5 + 112.4) = 156.37 Tm Mux = 186.98 Tm; Muy = 180.90 Tm

ECUACIÓN DE INTERACCIÓN

Pu/fcPn = 1111.0/0.85 x 5044) = 0.259 > 0.20

Pu f c Pn

+

æ M M uy ux ç + ç 9 è f b M nx f b M ny

8

ö 8 æ 186.98 180.90 ö ÷ = 0.259 + + ÷ = ç ÷ 9 è 0.9 x 748.6 0.9 x 658.6 ø ø

= 0.259 +

8 9

(0.278 + 0.305) = 0.777

138


8.4.6.1.2 Tubos circulares rellenos de concreto 8.4.6.1.2.1 Determinación del momento plástico resistente.

En secciones circulares sólo interesa un eje de flexión. El eje neutro plástico (ENP) está siempre arriba del eje de simetría, pues más de la mitad del acero debe trabajar en tensión, para equilibrar las fuerzas de compresión en el concreto y en el resto del acero. Concreto en compresión

La posición del eje neutro plástico, definida por la distancia c al borde de la sección, se determina del equilibrio de fuerzas internas horizontales en la sección compuesta, y el peralte del área en compresión, a = bc, se calcula usando para b la misma expresión que en secciones rectangulares; además, se supone, también, que el concreto comprimido está sujeto a un esfuerzo uniforme igual a 0.85 f’c (ref. 8.25). En diseños de acuerdo con las refs 8.4 y 8.5 se hacen las mismas modificaciones que para secciones rectangulares. La zona en compresión es un segmento de círculo, de altura a (Fig. 8.39a); para calcular la fuerza que hay en ella, y su momento respecto al eje centroidal, se necesitan su área y la posición del centro de gravedad. Ambas pueden expresarse en función del ángulo qc que se muestra en la Fig. 8.39b.

Fig. 8.39 Concreto en compresión en una sección circular sometida a flexión. 2

Ac =

Dc 4

3

y =

(q c

- sen q c cos q c

)

(8.108)

3

Dc

sen q c

Ac

12

qc, que está en radianes (1 rad = 180º/p), vale

(8.109)


139

æD / 2 - aö c -1 ÷ qc = cos çç ÷ è Dc / 2 ø

(8.110)

En la Fig. 8.40 se muestra la sección transversal de una columna formada por un tubo relleno de concreto, reforzada con barras longitudinales colocadas en un círculo, y los esfuerzos uniformes que actúan en el concreto en compresión; se indican también las resultantes de todas las fuerzas interiores. El acero de refuerzo se ha sustituido por un anillo equivalente (Fig. 8.41).

Fig. 8.40 Zonas en tensión y compresión y resultantes de las fuerzas interiores.

s = distancia libre entre el tubo de acero y las barras de refuerzo longitudinal db = diámetro de una barra de refuerzo RR = radio del anillo equivalente Fig. 8.41 Colocación de las barras longitudinales El significado de las literales de la Fig. 8.40 es el siguiente:

140


D = diámetro exterior del tubo de acero Dc = diámetro del relleno de concreto = diámetro interior del tubo de acero d = diámetro del anillo interior que representa el refuerzo longitudinal (corresponde a los centroides de las barras) tT = grueso de la pared del tubo Cc = resultante de las fuerzas de compresión en el concreto

De la ec. 8.110, q C = cos

-1

(D / 2) - a - t T ( D / 2 ) - tT

= cos

-1

(D / 2) - bc - t T ( D / 2 ) - tT

(8.110a)

qc no puede calcularse directamente, porque c no se conoce. Se procede por tanteos: como c define la

posición del ENP, y las fuerzas de compresión y de tensión, arriba y debajo de ese eje, deben ser iguales, puesto que la sección está en flexión pura, se suponen valores de c, hasta que las dos fuerzas se igualan.

Conocido c, se calcula qc y, con las ecs. 8.108a y 8.109a, el área de concreto en compresión y la posición de su centro de gravedad.

Ac =

yc =

( D - 2t T )

( D - 2t T ) Ac

4 3

2

(q c 3

sen q c 12

- sen q c cos q c

( ) EN

; yc

)

(8.108a)

éD ù - A + tT ú = yc - ê ë2 û

(

)

Cc = 0.85 f’c Ac

(8.109a y 8.109b)

(8.111)

Ac es el área de concreto en compresión, y c y ( y c)EN las distancias de su centroide al eje horizontal x y el ENP, y Cc la fuerza de compresión en el concreto.

Las literales restantes se muestran en la Fig. 8.40, y se han definido arriba. Tubo de acero y refuerzo longitudinal

El tubo y el refuerzo longitudinal se dividen en cuatro partes: la que trabaja en compresión, situada arriba del ENP, la parte que trabaja en tensión, que es simétrica de la primera (Fig. 8.42), y las dos partes restantes,

también en tensión, situadas en los extremos del eje horizontal x (Fig. 8.43).


Fig.8.42 Partes superior e inferior del tubo de refuerzo (anillo equivalente).

Fig.8.43 Partes centrales del tubo y del refuerzo (anillo equivalente). a. Partes superior e inferior (Fig. 8.42) Las barras longitudinales se sustituyen por un anillo equivalente, de área total igual, y grueso tR (Fig. 8.41). n Ab = 2p RR tR

\

tR = n Ab/2p RR

n es el número de barras, Ab el área de cada una, y RR el radio del circulo que pasa por sus centroides.

Tubo Las propiedades geométricas de un segmento del tubo se muestran en la Fig. 8.44.

141

142


Fig. 8.44 Propiedades de un segmento de circunferencia (8.112)

RT = 0.5 (D - tT) qT = cos

-1

( D / 2 ) - (tT + c)

(8.113)

RT

ATC = 2 qT RT tT y TC = RT

( y TC ) EN

(8.114)

senq T

(8.115)

qT

éD ù - tT + c ú = y TC - ê ë2 û

(

)

CTC = ATC Fyr

(8.116)

(8.117)

ATC es el área del tubo que trabaja en compresión, RT su radio medio, y TC y ( y TC)EN las distancias del centro de

gravedad al eje x y al ENP, FYT el esfuerzo de fluencia del acero del tubo, y CTC la fuerza de compresión en él. Las propiedades de la parte inferior del tubo, en tensión, son iguales a las que se acaban de determinar, pero cambia la distancia de su centroide al ENP: ù éD - (t T + c) ú ( y Tr 2 )EN = y TC + ê û ë2

(8.116a)

Refuerzo longitudinal Radio medio del anillo equivalente:

RR =

æ d ö - çt T + s + B ÷ è 2 ø 2

D

(8.118)


q R = cos

143

-1

(D / 2) - (tT + c)

(8.119)

RR

ARC = 2qR RR tR y RC = RR

(8.120)

sen q R

(8.121)

qR

éD ù - tT + c ú (y RC )EN = y RC - ê ë2 û

(

)

(8.122) (8.123)

CCR = ARC (FYR - 0.85 f’c)

ARC es el área del refuerzo en compresión, RR el radio medio del anillo equivalente, y TC y ( y TC )EN las distancias

del centro de gravedad de la porción del anillo en compresión al eje x y al ENP, FYR el esfuerzo de fluencia del acero del refuerzo, y CRC la fuerza de compresión en él (el término -0.85 ARC f’c corresponde al concreto desplazado por el refuerzo). Como en el tubo, las propiedades de la parte inferior, en tensión, son semejantes a las de la superior; la fuerza de tensión se calcula con la ec. 8.123, pero sin descontar 0.8 f’c: (8.123a)

TRT = ART FYR

Cambia también la distancia del centroide al ENP:

( y RT 2 ) EN b.

ù éD - tT + c ú = y RT + ê û ë2

(

)

(8.122a)

Partes intermedias (Fig. 8.43)

Tubo ATT1 = (p - 2qT) RT tT

(8.124)

yTT1 = 0

(y ) TT1

EN

=

D 2

- (tT + c)

TTT1 = ATT1 FYT

Refuerzo longitudinal

(8.125)

(8.126)

144


ART1 = (p - 2qR) RR tR y

RT1

= 0

(y ) RT 1

(8.127)

EN

=

D 2

(8.128)

- (tT + c)

(8.129)

TRT1 = ART1 FYR

Las ecuaciones anteriores corresponden a una de las dos partes intermedias del tubo o del refuerzo.

Momento resistente nominal Se obtiene tomando momentos alrededor del eje neutro plástico.

Mn =

( )

Cc y c

EN

+ CTC

(y )EN + CRC (y )EN + 2(T TC

RC

TT1 + T RT1

)(y RT1 )EN

+ TTT2

(y )

TT2 EN + T RT2

(y )

RT2 EN

(8.170)

TRT2 es igual a ART2 FYR; no se considera el concreto desplazado que, por estar en tensión, no contribuye a la resistencia de la sección. TTT2, ( y TT2)EN y ( y RT2)EN son numéricamente iguales a CTC, ( y TC)EN y ( y RC)EN. Cuando tienen las mismas longitudes libres y condiciones de apoyo respecto a los dos ejes principales, no es necesario diseñar las columnas de sección transversal circulares en flexocompresión biaxial; basta encontrar el momento resultante, y revisar la columna con la fuerza de compresión y ese único momento (refs. 8.35 y 8.36).

EJEMPLO 8.16 La columna compuesta de la Fig. E8.16.1, que tiene 4.50 m de longitud, es parte de una

estructura regular, compuesta por marcos rígidos ortogonales, sin contraventeos ni muros de rigidez. El acero 2

del tubo tiene un límite de fluencia Fyr = 2530 Kg/cm , y las barras de refuerzo son del número 8, con FYR = 4200 2

3

2

Kg/cm . El concreto es de peso volumétrico normal, 2400 Kg/m , de resistencia f’c = 560 Kg/cm . Determine si resiste las acciones nominales del ejemplo 8.15 (Tabla E8.15.1) utilizando las normas de la ref. 8.1, con las combinaciones y factores de carga y resistencia de la ref. 8.23.


145

Refuerzo longitudinal: 16 barras n° 8 Fig. E8.16.1 Sección propuesta.

Las acciones nominales, que se han obtenido siguiendo el art. 3.4.2 de la ref. 8.5, incluyen el efecto PD, y la revisión de la columna se hace con Kx = Ky = 1.0. En los análisis sísmicos se ha tomado Qx = Qy = 4.0. Tubo

El grueso de la pared del tubo no debe ser menor que D FYT / 8 E .

(tT)min = 103 2530 / 8 E = 1.28 Se propone una pared de 2.20 cm de grueso.

Área de la sección transversal del tubo AT =

p (D

2

2

- dT ) 4

=

p (103.0

2

2

- 98.60 ) 4

dT es el diámetro interior del tubo.

Área de la sección transversal completa =

696.68/8332.3 = 0.084 > 0.04

pD

2

p x 103

=

4

4

2

= 8332.3 cm

Correcto

Área de las barras de refuerzo AR = 16 x

p x 2.54

4

2 2

= 81.07 cm

2

2

= 696.68 cm

146


tR =

Grueso del anillo equivalente

n Ab

=

2p RR

81.07

= 0.307 cm

2p x 42.03

RESISTENCIA EN COMPRESIÓN L = 4.50 m, K = 1.0

2

Área de concreto

Ac =

2

D + dT

rm (radio de giro del tubo) =

4

pD

103

=

+ 98.6

2

= 35.65 cm ;

4

2

4

2

KL rm

=

1 x 450

= 12.62

35.65

2

- (AT + AR ) =

103 p 4

- (696.68 + 81.07) = 7554.54 cm

2

2

Ec = 364 487 Kg/cm (Ejemplo 8.15)

Ec. 8.96

A 7554.54 2 Em = E + c3 Ec c 2039000 + 0.4 ´ 364487 ´ = 3619945 Kg/cm AT 696.68

Ec. 8.95

Fmy = Fy + c1 FYR

AR AT

= 8180 Kg / cm

λc =

12.62 π

Fmy Em

Fcr = 0.658 0.191

2

'

+ c2 fc

AC AT

= 2530 + 1.0 x 4200 x

81.07 696.68

+ 0.85 x 560 x

2

= 0.191 < 1.5

2

Fmy = 8056 Kg/cm -3

Pn = AT Fcr = 696.68 x 8056 x 10 = 5612.5 Ton 2

-3

2

Pe = AT Fmy/ lc = 696.68 x 8180 x 10 /0.191 = 156 214 Ton. La carga crítica elástica se requiere para determinar los factores de amplificación.

RESISTENCIA EN FLEXIÓN

7554.54 696.68

=


147

Mn es la resistencia nominal en flexión, correspondiente a la sección compuesta completamente plastificada; tiene el mismo valor para todos los ejes centroidales. Concreto en compresión El valor de c, que define la posición del ENP, se determina por tanteos. Para un primer tanteo, se toma c = 40.0 cm

Del ejemplo 8.15,

b = 0.65,

Ec. 8.110a

q c = cos

Ec. 8.108a

Ac =

-1

a = 0.65 x 40.0 = 26.0 cm

(D / 2) - a - tT ( D / 2 ) - tT

(D - 2 tT )

2

4

= cos

-1

æ 51.5 - 16.0 - 2.2 ö ç ÷ = 1.079 rad è ø 51.5 - 2 .2 2

æ103.0 - 2 x 2.2 ö ( q c - sen q c cos q c ) = ç ÷ (1.079 - sen 1.079 cos 1.079) = è ø 4

2

1610.8 cm Ec. 8.111

-3

2

Cc = 0.85 f’c Ac = 0.85 x 560 x 1610.8 x 10 = 766.7 cm

Tubo en compresión Ec. 8.112

RT = 0.5 (D - tT) = 0.5 (103 - 2.2) = 50.40 cm

Ec. 8.113

qT = cos

Ec. 8.114

ATC = 2qT RT tT = 2 x 1.385 x 50.4 x 2.2 = 307.14 cm

Ec. 8.117

CTC = ATC FYT = 307.14 x 2530 x 10 = 777.1 Ton

-1

( D / 2 ) - (tT + c) RT

= cos

-1

(103 / 2) - (2.2 + 40) 50 .40

= 1.385 rad

2

-3

Refuerzo en compresión

d D æ - ç tT + s + B 2 çè 2

Ec. 8.118

RR =

Ec. 8.119

θ R = cos -1

(D/2 ) - (tT RR

2.54 ö ö 103.0 æ - ç 20.0 + 601 + ÷÷ = ÷ = 42.03cm 2 2 ø è ø + c)

= cos -1

(103/2 ) - (2.2 + 40.0 ) = 1.348rad 42.03

148


2

Ec. 8.120

ARC = 2 qR RR tR = 2 x 1.348 x 42.03 x 0.307 = 34.79 cm

Ec. 8.123

CRC = ARC (FYR 0.85 f’c) = 34.79 (4200 - 0.85 x 560) 10 = 129.6 Ton

-3

Parte inferior del tubo en tensión TTT2 = CE = 777.1 Ton Parte inferior del refuerzo en tensión -3

TRT2 = ART FYT = 34.79 x 4200 x 10 = 146.1 Ton Parte intermedia del tubo (en tensión) 2

Ec. 8.124

ATT1 = (p - 2qT) RT tT = (p - 2 x 1.385) 50.4 x 2.2 = 41.20 cm

Ec. 8.126

TTT1 = ATT1 FYT = 41.20 x 2530 x 10 = 104.2 Ton

-3

Parte intermedia del refuerzo (en tensión) 2

Ec. 8.127.

ART1 = (p - 2qR) RR tR = (p - 2 x 1.348) 42.03 x 0.307 = 5.75 cm

Ec. 8.129

TRT1 = ART1 FYR = 5.75 x 4200 x 10 = 24.2 Ton

-3

Suma de fuerzas interiores CC + CTC + CRC + 2 (TTT1 + TRT1) + TTT2 + TRT2 = -766.7 - 777.1 - 129.6 + 2 (104.2 + 24.2) + 777.1 + 146.1 = -1673.4 + 1180.0 = -493.4 Ton Puesto que la sección trabaja en flexión para, la suma anterior debe ser cero; no lo es porque el valor supuesto para c no es correcto. El resultado es negativo, lo que indica que le ENP real está por encima del supuesto (al subir el ENP disminuyen las fuerzas de compresión y aumentan las de tensión). Para no hacer más tanteos a mano, se toma para c el valor obtenido, también por tanteos, con una hoja de cálculos


149

c = 30.86 cm Concreto en compresión a = bc = 0.65 x 30.86 = 20.06 cm

Ec. 8.110a

æ ö -1 51 .5 - 20 .06 - 2 .2 qc = cos ç ÷ = 0.936 è 51 .5 - 2 .2 ø

(103 .0 - 2 x 2.2 ) 2

Ec. 8.108a

AC =

Ec. 8.111

Cc = 0.85 x 560 x 1114.4 x 10 = 530.5 Ton

(0.936 - sen 0.936 cos 0.936) = 1114.4 Ton

4

-3

(D

- 2tT

)3

3

sen q c

(103.0 - 2 x 2.2) 3 sen 3 ( 0 .936 )

Ec. 8.109a

yc =

Ec. 8.109b

ù ù éD é103.0 (y c )EN = y c - ê - (A + tT )ú = 37.42 - ê - ( 20.06 + 2.2 ) ú = 8.18 cm û û ë 2 ë2

Ac

12

=

1114 .4

12

= 37.42 cm

Tubo en compresión Ec. 8.112

RT = 50.40 cm

Ec. 8.113

qT = cos

Ec. 8.114

ATC = 2 x 1.196 x 50.4 x 2.2 = 265.22 cm

Ec. 8.117

CTC = 265.22 x 2530 x 10 = 671.01 Ton

Ec. 8.115

y Tc = RT

Ec. 8.116

( y Tc ) EN

-1

(103 / 2 ) - (2.2 + 30.86) 50 .40

= 1.196

2

-3

senq T

qT

= 50.4 x

sen (1.196) 1196 .

= 39.22 cm

éD ù é103.0 ù - (2.2 + 30.86)ú = 20.78 cm - (t T + c)ú = 39.22 - ê = y Tc - ê ë2 û ë 2 û

Refuerzo en compresión

150


Ec. 8.118

Rr = 42.03 cm

Ec. 8.119

q R = cos

Ec. 8.120

ARC = 2 x 1.117 x 42.03 x 0.307 = 28.83 cm

Ec. 8.123

CRC = 28.83 (4200 - 0.85 x 560) 10 = 107.36 Ton

Ec. 8.121

y RC = R R

Ec. 8.122

( y RC ) EN

-1

(103 / 2) - (2.2 + 30.86) 42 .03

= 1.117

2

-3

senq R

qR

= 42.03

sen 1.117 1117 .

= 33.82 cm

éD ù é103.0 ù - (2.2 + 30.86)ú = 15.38 cm - t r + c ú = 33.82 - ê = y RC - ê ë2 û ë 2 û

(

)

Tubo en tensión TTT2 = CTC = 671.01 Ton

Ec. 8.116a

ù éD ù é103.0 - (2.2 + 30.86) ú = 57.66 cm - t T + c ú = 39.22 + ê = y TC - ê ë 2 û ë2 û

( y TT2 ) EN

(

)

Refuerzo en tensión -3

Ec. 8.123a

TRT2 = ART FYR = 28.83 x 4200 x 10 = 121.09 Ton

Ec. 8.122a

( y RT2 ) EN = y RT

éD ù é103.0 ù - (2.2 + 30.86) ú = 52.26 cm - (t T + c) ú = 33.82 + ê + ê ë2 û ë 2 û

Partes intermedias

Tubo 2

Ec. 8.124

ATT1 = (p - 2 qT) RT tT = (p - 2 x 1.196) 50.4 x 2.2 = 83.11 cm

Ec. 8.126

TTT1 = ATT1 FYT = 83.11 x 2530 x 10 = 210.27 Ton

Ec. 8.125

( y TT1 ) EN

-3

=

D 2

- (t T + c) =

103.0 2

- (2.2 + 30.86) = 18.44 cm


151

Refuerzo 2

Ec. 8.127

ART1 = (p - 2 qR) RR tR = (p - 2 x 1.117) 42.03 x 0.307 = 11.71 cm

Ec. 8.129

TRT1 = ART1 FYR = 11.71 x 4200 x 10 = 49.18 Ton

Ec. 8.128

( y RT1 ) EN

-3

=

D 2

- (t T + c) =

103.0 2

- (2.2 + 30.86) = 18.44 cm

Suma de fuerzas interiores CC + CTC + CRC + 2 (TTT1 + TRT1) + TTT2 + TRT2 = -530.5 - 671.01 - 107.36 + 2 (210.27 + 49.18) + 671.01 + 121.09 = -1308.87 + 1311.00 = 2.13 @ 0

La posición supuesta de ENP, definida por c = 30.86 cm, es correcta.

Momento resistente nominal

Ec. 8.130

Mn = 530.5 x 8.18 + 671.01 x 20.78 + 107.36 x 15.38 + 2 (210.27 + 49.18) 18.44 + 671.01 x 57.66 + 121.09 x 52.26 = 74521 Tcm = 745.2 Tm

REVISIÓN DE LA SECCIÓN PROPUESTA Las condiciones de carga y las acciones de diseño son las mismas que en el ejemplo 8.15. (Podrían cambiar los coeficientes B1, pero en el ejemplo 8.15, valen todos 1.00, con excepción de B1x en la condición de carga I, que es igual a 1.01; ahora se reduce también a 1.00, pues aumenta considerablemente la carga crítica de pandeo elástico de la columna, pero la diferencia es tan pequeña que no se hace ninguna modificación). CONDICIÓN I. CARGA VERTICAL Acciones de diseño (pag.134) Pu = 980.0 Ton ; (Mux)máx = 49.49 Tm ; (Muy)máx = 31.50 Tm Pu/fc Pn = 980/(0.85 x 5614.5) = 0.205 > 0.2

Pu

f c Pn

+

æ M M ux ux ç + 9 çè f b M nx f b M ny

8

ö 49.49 + 31.50 8 ÷ = 0.205 + x = 0.205 + 0.107 = 0.312 < 1.00 ÷ 9 0 .9 x 745.2 ø

152


Dadas las características geométricas de la sección, Mnx = Mny = Mn En la ref. 8.35 se indica que cuando la columna no está soportada lateralmente entre los extremos, y sus condiciones de apoyo son tales que el factor de longitud efectiva K es el mismo para pandeo alrededor de cualquier eje, el diseño de columnas tubulares de sección transversal circular en flexocompresión biaxial puede hacerse con un momento resultante único, MuT, que vale

2

2

M ux + M uy

M uT =

2

49.49 + 31.50

Aplicando este criterio, M uT =

Pu

f c Pn

+

8

M uT

9

f bMn

(8. 130)

= 0.205 +

8 9

x

2

58.66 0 .9 x 745.2

= 58.66 Tm, y la ecuación de interacción se reduce a

= 0.205 + 0.078 = 0.283 < 1.00

CONDICIÓN II. CARGA VERTICAL + SISMO x + 0.30 SISMO y Acciones de diseño (pág 136.) Pu = 1072.5 Ton ; Mux = 214.20 Tm ; Muy = 170.19 Tm

MuT=

214 .2

2

+ 170.19

2

= 273.58 Tm

Pu/fc Pn = 1072.5/(0.85 x 5614.5) = 0.225 > 0.2

0.225 +

8 9

x

214.20 + 170.19 0 .9 x 745 .2

= 0.225 + 0.509 = 0.734 < 1.00

Utilizando el momento resultante, se obtiene

0.225 +

8 9

x

273.58 0 .9 x 745 .2

= 0.225 + 0.363 = 0.588 < 1.00

El primer camino subestima la resistencia en flexión, de una manera importante. CONDICIÓN III. CARGA VERTICAL + 0.30 SISMO x + SISMO y Acciones de diseño (pág. 136)


153

Pu = 1111.0 Ton ; Mux = 186.98 Tm ; MuT= 180.90 Tm

Mur = 186 .98

2

+ 180.90

2

= 260.17 Tm

Pu/fcPn = 1111.0/(0.85 x 5614.5) = 0.233 > 0.20

0.233 +

8 9

x

186.98 + 180.90 0 .9 x745 .2

= 0.233 + 0.488 = 0.721 < 1.00

Con el momento resultante,

0.233 +

8

260.17

9 0 .9 x745 .2

= 0.233 + 0.345 = 0.578 < 1.00

Comparación de los resultados de este ejemplo con los del Ejemplo 8.15 Longitud

Sec.

Área

Área acero

Transv.

concr.

estr.

m

cm

cm

cm

Ejemplo 8.15

5.20

91.4 x 91.4

7571

Este ejemplo

4.50

103.0

7555

2

Pn

Mnx

Mny

cm

Ton

Tm

Tm

702.0

80.52

5044

748.6

658.6

696.7

81.07

5614

745.2

745.2

2

Acero ref. 2

Las dos columnas son de longitudes semejantes. Las dimensiones de la sección transversal de la circular parecen mayores, pero desde un punto de vista arquitectónico puede no ser así, porque la diagonal de la cuadrada mide 129 cm, más que el diámetro de la circular. Las áreas de concreto, acero estructural y de refuerzo son prácticamente iguales, las resistencias del concreto y del acero de refuerzo son las mismas, pero el 2

esfuerzo de fluencia de la sección H es de 3515 Kg/cm , y el del tubo, 2530. La resistencia en compresión de la columna circular es 11% mayor que la de la cuadrada, los momentos Mnx son prácticamente iguales, y el Mny de la sección circular es 13% mayor que el de la otra sección. Al revisar las dos columnas, con las mismas acciones de diseño, se encuentra que la circular está bastante más sobrada que la cuadrada, sobre todo en las condiciones de carga críticas, II y III, en las que la flexión es importante; la diferencia se acentúa considerablemente cuando la columna circular se revisa con el momento resultante. Todo ésto parece indicar que las columnas tubulares rellenas de concreto son más económicas que las formadas por una sección H ahogada en ese material.

154


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CONSEJO DIRECTIVO DE FUNDACIÓN ICA Presidente Ing. Bernardo Quintana Vicepresidentes Dr. Francisco Barnés de Castro Dr. Daniel Resendiz Nuñez Dr. Julio Rubio Oca Ing. Luis Zárate Rocha Director Ejecutivo. Ing. Juan Visoso del Valle CUERPOS COLEGIADOS DE LOS PROGRAMAS OPERATIVOS Comité de Becas. Dr. Juan Casillas García de León Dr. Javier Suárez Rocha Lic. Alejandra Azuela García Ing. Juan Visoso del Valle Comité de Premios. Dr. Luis Esteva Maraboto M.I. José Antonio González Fajardo Ing. Gregorio Farias Longoria Comité de Publicaciones. Dr. Oscar González Cuevas Dr. Horacio Ramírez de Alba M.I. Gabriel Moreno Pecero Ing. Isacc Lot Muñoz Ing. Gilberto García Santamaría González Ing. José Luis MInaburo Castillo M.C. Fernando O. Luna Rojas Comité de Investigación. Dr. José Luis Fernández Zayas Dr. Bonifacio Peña Pardo Dr. Ramón Padilla Mora Dr. Roberto Meli Piralla Fundación ICA es una Asociación Civil constituida conforme a las leyes mexicanas el 26 de octubre de 1986, como se hace constar en la escritura pública número 21,127, pasada ante la fe del Lic. Eduardo Flores Castro Altamirano, Notario Público número 33 del Distrito Federal, inscrita en el Registro Público de la Propiedad en la sección de Personas Morales Civiles bajo folio 12,847. A fin de adecuar a las disposiciones legales vigentes los estatutos sociales, estos fueron modificados el17 de octubre de 1994, como se hace constar en la escritura pública número 52,025 pasada ante la fe del Lic. Jorge A. Domínguez Martínez, Notario Público número 140 del Distrito Federal. Fundación ICA es una institución científica y tecnológica inscrita en el Registro Nacional de Instituciones y Empresas Científicas y Tecnológicas del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, con el número 2003/213 del 20 de agosto de 2003. Esta edición de "Diseño de Estructuras de Acero. Construcción Compuesta" se terminó en Mayo del 2004, se grabaron 500 ejemplares en disco compacto, cada ejemplar consta de 155 páginas fue grabado en Av. del Parque No. 91 Col. Nápoles C.P. 03810 México D.F. la edición estuvo al cuidado de César Arteaga Ibarra.

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL Mesa directiva 2002-2004

Presidente Ing. Sergio Alcocer Martínez de Castro Vicepresidente Ing. Javier Alonso García Secretario Ing. José María Villanueva Pérez Sandi Tesorero Ing. Carlos López Navarrete Vocales Ing. Javier Cesin Farah Ing. Raúl Jean Perrilliat Ing. Julián Tejada Padilla Ing. Amador Terán Gilmore Ing. Ismael Vázquez Martínez

DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO FLEXIÓN 2 (PANDEO LATERAL) A

B

Mx x

z

θ v

y

z

Mx

(a)

Mx Mξ

A

Mζ

x

Mx

z ζ

(b)

ξ

u Mx

x

ξ Mx

B

v

Mξ y η

φ

(c) φ

x

z

y ξ (d)

ζ η


SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL, A.C.

DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO CAPÍTULO 5 FLEXIÓN 2 ( PANDEO LATERAL) Oscar de Buen López de Heredia

© Derechos Reservados 2002 Fundación ICA, A. C. Av. del Parque No 91 Colonia Nápoles C.P. 03810 México, D.F. Tel 56 69 39 85, 52 72 99 91, 52 72 99 15 Ext. 4002-4079 Ext. Fax 4083 email: [email protected] e-mail: [email protected] http:// www.fundacion-ica.org.mx ISBN 968-7508 97-3 Impreso en México.

Flexión2 (Pandeo lateral)

3

CAPÍTULO 5. FLEXIÓN 2 (PANDEO LATERAL) ÍNDICE: 5.1

Introducción ........................................................................................................ 7

5.2

Comportamiento de vigas en flexión pura ........................................................ 10 5.2.1 Vigas de diversas longitudes ................................................................. 11

5.3

Torsión ............................................................................................................. 13 5.3.1 Introducción ........................................................................................... 13 5.3.2 Torsión pura o de Saint Venant ............................................................. 13 5.3.2.1 5.3.2.2

Barras de sección transversal abierta formadas por rectángulos angostos ................................................................... 13 Barras de sección transversal hueca de paredes delgadas ...................................................................................... 14

5.3.3 Torsión no uniforme de barras de sección transversal abierta y paredes delgadas ................................................................................. 18 5.4

Pandeo lateral elástico ...................................................................................... 25 5.4.1 Caso fundamental: vigas I en flexión pura ............................................. 25 5.4.1.1

Cálculo del momento crítico ......................................................... 26

5.4.1.1.1 Vigas de sección transversal rectangular, maciza o hueca ................................................................ 28 5.4.1.1.2 Vigas I de paredes delgadas ............................................ 28 5.4.2 Otras condiciones de apoyo y carga ...................................................... 29 5.4.2.1

Algunas soluciones aproximadas ................................................. 33

5.4.2.1.1 5.4.2.1.2 5.4.2.1.3 5.4.2.1.4

Momentos desiguales en los extremos ............................ Carga concentrada en el punto medio ............................. Otras condiciones de carga ............................................. Otras condiciones de soporte lateral ................................

33 35 38 42

5.4.3 Soportes laterales intermedios y vigas continuas .................................. 43

4

5.5

Flexión 2 (pandeo lateral)

Pandeo lateral inelástico .................................................................................... 55 5.5.1 Aspectos generales ............................................................................... 55 5.5.2 Criterios para determinar la resistencia ................................................. 58

5.6

Resistencia de diseño en flexión ....................................................................... 62 5.6.1 Miembros en los que el pandeo lateral no es crítico .............................. 62 5.6.1.1

Miembros que no se pandean ...................................................... 64

5.6.2 Miembros en los que el pandeo lateral es crítico ................................... 69 5.6.2.1

Pandeo lateral en el intervalo elástico .......................................... 69

5.6.2.2 Pandeo lateral inelástico .............................................................. 5.6.3 Normas técnicas complementarias del reglamento del D.F …….. 5.6.3.2.1 Fórmulas simplificadas ..................................................... 5.6.3.2.2 Flexión no uniforme ..........................................................

70 71 76 77

5.6.4 Longitudes características ..................................................................... 78 5.6.5 Efectos del nivel en el que están aplicadas las cargas .......................... 81 5.7

Contraventeo ..................................................................................................... 83 5.7.1 Introducción ........................................................................................... 83 5.7.2 Diseño de elementos de contraventeo ................................................... 86 5.7.3 Imperfecciones iniciales ......................................................................... 88 5.7.4 Inelasticidad del elemento contraventeado ............................................ 89 5.7.5 Rigidez del sistema de contraventeo ..................................................... 90 5.7.6 Factores de resistencia y definiciones ................................................... 91 5.7.7 Contraventeo relativo para columnas y marcos ..................................... 91 5.7.7.1

Recomendaciones de diseño ....................................................... 91

5.7.8 Sistemas discretos de contraventeo para columnas .............................. 94

Flexión2 (Pandeo lateral)

5.7.8.1

5

Recomendaciones de diseño ....................................................... 94

5.7.9 Contraventeo continuo de columnas .................................................... 100 5.7.9.1

Recomendaciones de diseño ..................................................... 100

5.7.10 Sistemas de apoyo ............................................................................. 100 5.7.11 Columnas soportadas lateralmente en un patín ................................. 103 5.7.12 Pandeo de vigas y contraventeo lateral .............................................. 105 5.7.12.1 Contraventeo lateral ................................................................... 106 5.7.12.2 Recomendaciones de diseño ..................................................... 107 5.7.13 Contraventeo torsional ........................................................................ 109 5.7.13.1 Recomendaciones de diseño ..................................................... 110 5.8

Especificaciones AISC basadas en factores de carga y resistencia ................ 115 5.8.1 Resistencia de diseño .......................................................................... 118 5.8.1.1

Casos en que no es crítica ninguna forma de pandeo ................ 118

5.8.1.2

Estados límite de pandeo lateral o local (λ>λp) .......................... 119

5.8.1.2.1 Pandeo inelástico (λp<λ≤λr) ........................................... 119 5.8.1.2.2 Pandeo elástico (λ>λr) ................................................... 122 5.8.2 Casos en que Cb es mayor que 1.0 ..................................................... 122 5.9

Vigas de paredes delgadas ............................................................................. 136

5.10 Referencias ...................................................................................................... 138

Flexión 2 (Pandeo Lateral)

7

CAPÍTULO 5. FLEXIÓN 2 (PANDEO LATERAL) 5.1

INTRODUCCIÓN

Los elementos estructurales que trabajan en flexión, vigas, trabes armadas y armaduras, suelen tener resistencia y rigidez, en el plano de aplicación de las cargas (alrededor, casi siempre, del eje de mayor momento de inercia), mucho mayores que en el normal a él, por lo que, a menos que se contraventeen adecuadamente, para evitar deflexiones laterales y deformaciones por torsión, pueden fallar por pandeo lateral por flexotorsión antes de que se alcance su resistencia máxima en el plano. Esta forma de pandeo es especialmente crítica durante la etapa de construcción, cuando no hay soportes laterales, o son muy diferentes de los definitivos. El pandeo lateral por flexotorsión es un estado límite de utilidad estructural en el que la viga deformada se sale del plano de carga, desplazándose lateralmente y retorciéndose; la resistencia disminuye, bruscamente, por los cambios en geometría, que originan torsión y flexión alrededor del eje de menor resistencia, y por la rápida plastificación del material; puede evitarse colocando un contraventeo lateral espaciado y diseñado adecuadamente, utilizando secciones transversales de rigidez torsional elevada, como las secciones en cajón, o asegurando que el momento de diseño no sea mayor que el crítico de pandeo. La variable que más afecta la resistencia al pandeo lateral es la separación entre secciones soportadas lateralmente. Otras variables importantes son: tipo y posición de las cargas, restricciones a los desplazamientos de los apoyos y continuidad en ellos, forma de las secciones transversales, presencia, o ausencia, de elementos que restrinjan el alabeo de secciones críticas, propiedades del material, magnitud y distribución de esfuerzos residuales, imperfecciones iniciales en geometría y carga, discontinuidades producidas por cambios de sección o agujeros, e interacción con pandeo local. En la Fig. 5.1 se muestra una viga de sección I, apoyada de manera que sus extremos pueden girar libremente alrededor de sus ejes centroidales y principales x y y, pero no alrededor del longitudinal z, sometida a flexión pura, producida por pares de magnitudes iguales y sentidos contrarios, aplicados en los extremos. Uno de los patines, el superior en este caso, trabaja en compresión, y se encuentra en condiciones parecidas a las de una columna cargada axialmente; el otro patín está en tensión. Si los momentos crecen, el equilibrio del patín comprimido se vuelve eventualmente inestable, y se pandea lateralmente; el patín en tensión trata de conservarse recto, lo que retrasa, pero no impide, el pandeo del comprimido; su influencia aumenta con la rigidez del alma, que liga los dos patines entre sí, de manera que es mayor en vigas de alma gruesa y poco peralte.

8


A

B

Mx x

θ v

y

z

z

Mx

(a)

Mx Mξ

A

Mx

x Mζ ξ

z

B

ζ

(b) u Mx

x

ξ Mη

v

M ξ Mx η

y φ

(c) φ

x

z

y ξ (d)

ζ η

Fig. 5.1 Pandeo lateral de una viga I en flexión pura. El patín comprimido se pandearía alrededor de su eje horizontal, que es el de menor momento de inercia, pero se lo impide el alma, por lo que se flexiona alrededor del


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vertical, cuando los momentos alcanzan los valores críticos correspondientes. (Sólo las almas muy esbeltas son incapaces de impedir el pandeo del patín en el plano vertical; este problema se estudia en el Capítulo 6) . Cualquier viga apoyada en los extremos y cargada en el plano del alma, con secciones transversales que tengan un momento de inercia respecto al eje de flexión, x, mayor que alrededor del normal a él, y, puede pandearse lateralmente, a menos que ese fenómeno se impida por medio de elementos exteriores; si Ix es apreciablemente mayor que Iy, como en la mayoría de las vigas, el pandeo lateral y el colapso pueden presentarse mucho antes de que los esfuerzos normales debidos a la flexión lleguen al límite de fluencia. Mientras las cargas, que actúan en el plano del alma, permanecen por debajo de una cierta intensidad, la viga se deforma únicamente en ese plano, y su equilibrio es estable: si, por medio de un agente externo, se le obliga a adoptar una configuración ligeramente deformada lateralmente, recupera la configuración plana al desaparecer aquel. Sin embargo, cuando crecen las solicitaciones, llegan a ser posibles formas en equilibrio deformadas lateralmente y retorcidas, además de la plana; la carga menor para la que pueden presentarse esas nuevas formas de equilibrio es la carga crítica de pandeo lateral por flexotorsión de la viga. El comportamiento es semejante al de las columnas en compresión axial; como en ellas, la terminación del equilibrio estable se caracteriza por la aparición de un nuevo tipo de desplazamiento, fuera del plano original de carga, que no existía para solicitaciones inferiores a la crítica.

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5.2


COMPORTAMIENTO DE VIGAS EN FLEXIÓN PURA

Las curvas de la Fig. 5.2 muestran, en forma esquemática, el comportamiento de la viga en flexión pura de la Fig. 5.1; la curva M - θ, momento-rotación en un extremo (Fig. 5.2a), representa el comportamiento de la barra en el plano de carga, y las curvas M - u ó M - φ, momento-desplazamiento lateral o momento-rotación alrededor del eje longitudinal (Fig. 5.2b), describen el pandeo lateral. Si la viga fuese perfectamente recta y no hubiese ninguna excentricidad en los momentos aplicados en sus extremos, las curvas M - u y M φ serían como la representada con línea llena, y el punto A correspondería al instante en que el equilibrio se bifurca; a partir de él la viga puede, en teoría, admitir momentos mayores, manteniéndose en su plano (trayectoria AB), o desplazarse lateralmente bajo momento prácticamente constante, según AC.

M

M

My Mcr

My B

B

Mcr A

A C

0

θ (a)

Bifurcación del equilibrio C Efecto de imperfecciones iniciales

0

u, φ (b)

Fig. 5.2 Comportamiento de una viga en flexión pura. En las vigas reales no se presenta nunca la bifurcación del equilibrio, pues siempre hay imperfecciones iniciales, que hacen que los desplazamientos laterales comiencen bajo momentos mucho más pequeños que el crítico (curvas con línea interrumpida, Fig. 5.2), y la falla no es por pandeo propiamente dicho. Sin embargo, esas pequeñas imperfecciones no afectan mayormente las deformaciones calculadas suponiendo un sistema ideal perfecto más que cuando las cargas se acercan a los valores críticos de ese sistema; cerca de la carga de pandeo, pequeños incrementos en las solicitaciones ocasionan aumentos considerables en las deflexiones. La determinación de la curva acción-deformación de vigas con imperfecciones iniciales es larga y complicada, y rara vez se justifica en la práctica; en el diseño se utiliza la carga crítica de pandeo de miembros inicialmente rectos como un límite de la resistencia de las vigas reales aunque, como se mencionó arriba, el pandeo propiamente dicho, por bifurcación del equilibrio, no se presenta nunca. Muchos estudios de laboratorio y una


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larga práctica de diseño han demostrado que este procedimiento es razonable y proporciona resultados satisfactorios. En resumen, cuando el momento M se aproxima al valor crítico, aparecen desplazamientos u y φ relativamente grandes y, para fines prácticos, puede considerarse que Mcr es el momento máximo que la viga puede resistir. Mientras M es menor que Mcr, las deformaciones del miembro se confinan al plano que ocupa originalmente, pero tan pronto como alcanza el valor crítico se inicia el pandeo lateral por flexotorsión, y la viga falla por flujo plástico después de una deformación considerable, mientras el momento se mantiene prácticamente constante. 5.2.1 Vigas de diversas longitudes Desde el punto de vista de su resistencia al pandeo lateral, una viga de acero en flexión, de sección tipo 1 o 2 (Capítulo 3), se comporta de alguna de las tres maneras siguientes: si es muy corta, sus secciones transversales se plastifican por completo antes de pandearse, y pueden desarrollar el momento plástico; si es de longitud intermedia, la resistencia disminuye por la plastificación parcial que precede al pandeo, que se inicia en el intervalo inelástico, y si es larga se pandea elásticamente, bajo solicitaciones que pueden ser de magnitud muy pequeña. (Las vigas de sección transversal tipo 3 o 4 pueden fallar antes, por pandeo local). Como en las columnas, desde el punto de vista del pandeo lateral no interesa la longitud real de las vigas, sino la distancia entre secciones fijas lateralmente, es decir, la longitud libre de pandeo. La gráfica momento resistente-longitud libre de pandeo de la Fig. 5.3 ilustra los tres intervalos mencionados arriba. El tramo AB describe el comportamiento de miembros muy cortos, en los que el material se endurece por deformación, sin que haya pandeo lateral, y el CD corresponde al pandeo elástico. Las curvas AB y CD son hipérbolas que no se cortan; la transición entre ellas, curva BC, representa el pandeo inelástico, que se inicia cuando parte del material de la viga ha fluido ya plásticamente. A causa de los esfuerzos residuales, el comportamiento elástico termina cuando el momento vale Me, que puede ser bastante más pequeño que My. En las Figs. 5.3 b, c y d, se han trazado las curvas M-u o M-φ de vigas que se encuentran en cada uno de los tres intervalos.

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Momento resistente Diseño plástico

A

u

Diseño basado en esfuerzos permisibles E

L

B

Mp

φ

My C

M e Pandeo

0

en el intervalo de endurecimiento por deformación

(a)

Pandeo inelástico

D Pandeo elástico

Longitud libre de pandeo

M Mp My Me

M

Mcr

M Mm

Mcr

Mcr u, φ (b)

u, φ (c)

u, φ (d)

Fig. 5.3 Comportamiento de vigas de diferentes longitudes.


5.3

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TORSIÓN

5.3.1 Introducción La torsión en elementos estructurales puede ser producida en forma directa por las acciones exteriores (un eje de un motor, cuyo trabajo consiste en transmitir un momento de torsión, es un ejemplo típico), o puede presentarse al iniciarse el pandeo de un miembro originalmente recto sometido, por ejemplo, a flexión; como se vé más adelante, el desplazamiento lateral del eje y las rotaciones de las secciones transversales que caracterizan el pandeo de las vigas ocasionan momentos torsionantes; la resistencia de la viga aumenta cuando crece su oposición a los desplazamientos laterales lo que depende, entre otras cosas, de su resistencia a la torsión. En los artículos siguientes se presenta un resumen de resultados que corresponden, principalmente, a la torsión del segundo tipo, que es la que tiene mayor interés en este libro. El problema puede estudiarse en detalle en la ref. 5.1. 5.3.2 Torsión pura o de Saint Venant El ángulo de rotación, por unidad de longitud, de una barra recta de sección transversal rectangular sometida a torsión pura, producida por pares aplicados en sus extremos, se calcula con la ec. 5.1, y los esfuerzos tangenciales máximos, que aparecen en los puntos medios de los lados largos, con la ec. 5.2 (ref. 5.1): θ =

k1 M T Ga 3b

τ máx =

k2 M T a 2b

(5.1) (5.2)

G es el módulo de elasticidad al esfuerzo cortante del material, MT el momento de torsión, constante, que actúa en la barra, a y b los lados menor y mayor del rectángulo, y k1 y k2 coeficientes que dependen de las proporciones del rectángulo; si b/a = ∞, los dos valen 3.0, y tienen un valor muy cercano, ligeramente mayor que 3.0, si b/a excede de 8 o 10. 5.3.2.1

Barras de sección transversal abierta formada por rectángulos angostos

Los resultados obtenidos para el rectángulo angosto son aplicables a cualquier sección compuesta por rectángulos alargados, unidos entre sí de manera que no rodeen por completo ninguna región del plano en que se encuentran (de aquí el nombre de abiertas), como las secciones I, H, canales y ángulos. Cada uno de los rectángulos actúa como si estuviese aislado; si se ignoran las perturbaciones locales en las zonas de unión entre

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ellos, el momento torsionante total que resiste la sección es aproximadamente igual a la suma de los momentos resistentes de todos. Como los rectángulos que forman los perfiles laminados o hechos con placas tienen siempre relaciones b/a elevadas, se llega a resultados muy cercanos a los reales haciendo, en todos los casos, k1 = k2 = 3.0. Las ecs. 5.1 y 5.2 toman la forma general θ =

MT

(5.3)

G ∑(a 3b 3)

τ máx =

MT ∑ (a 3b 3)

a

(5.4)

a y b son los lados corto y largo de cada uno de los rectángulos que forman la sección que, en general, no son iguales entre sí; la a que multiplica la fracción de la ec. 5.4 es el ancho del rectángulo en el que se quiere calcular el esfuerzo máximo. La cantidad ∑ (a 3 b 3) es la constante de torsión de Saint Venant; se representa con la letra J. Introduciendo esta notación, las ecs. 5.3 y 5.4 se escriben θ =

MT GJ

τ máx = J=

MT a J

1 ∑ a 3b 3

(5.5) (5.6) (5.6a)

El producto GJ es la rigidez a la torsión de Saint Venant. 5.3.2.2

Barras de sección transversal hueca de paredes delgadas

Suelen estar formadas por varias placas de espesor pequeño en comparación con las dimensiones generales de la sección; pueden ser manufacturadas doblando una lámina plana, o compuestas por placas soldadas entre sí. En la Fig. 5.4 se muestran, en forma esquemática, los esfuerzos cortantes que produce la torsión en las secciones transversales de dos barras de paredes delgadas, iguales en todo, excepto en que una es abierta y la otra cerrada. Para que las fuerzas interiores de la sección abierta puedan equilibrar un par de torsión, deben cambiar de sentido a través del grueso de las paredes; el brazo de los pares


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resistentes es muy pequeño. En cambio, en la sección cerrada el flujo de fuerzas es continuo y el brazo es mucho mayor; para valores iguales del esfuerzo cortante, su resistencia a la torsión es mucho más elevada.

(a)

(b)

Fig. 5.4 Esfuerzos cortantes en dos secciones de paredes delgadas, una abierta y otra cerrada. El ángulo de rotación por unidad de longitud, y el esfuerzo cortante máximo, en las secciones cerradas, se calculan con las ecuaciones (ref. 5.1) θ =

MT 4 Ai2G

τ =

MT 2 Ai t

∫ dst = MGJ

T

s

(5.7)

(5.8)

t es el grueso de la pared de la sección, que puede ser constante o variable; en el segundo caso, en la ec. 5.8 se utiliza la t correspondiente al punto donde se desea calcular el esfuerzo, que es máximo donde la pared es más delgada. Ai es el área encerrada por el eje de las paredes. La constante de Saint Venant de una pieza hueca de paredes delgadas es J=

4 Ai2 ds s t

∫

La integración se efectúa a lo largo de todo el perímetro de la sección. Las expresiones anteriores se simplifican cuando el grueso de las paredes es constante; entonces,

∫ dst = 1t ∫ ds = St s

s

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S es el perímetro del eje de la pared. θ =

J=

MT S 4 Ai2 Gt

=

MT GJ

4 Ai2 t S

(5.9)

Cuando el área efectiva de una sección hueca de paredes delgadas de espesor constante es menor que un quinto de la encerrada por el eje de las paredes (A ≤ Ai/5), el error que se comete al calcular los esfuerzos con la ec. 5.8 es menor de 10%; además, si A < Ai, el momento resistente se obtiene con un error no mayor de 10%, de manera que casi todas las secciones huecas de interés práctico pueden analizarse con la teoría desarrollada para paredes delgadas. En las secciones en cajón hechas con placas soldadas más comunes, las placas verticales tienen un grueso, y las horizontales otro; en ese caso, la constante J vale J=

2b 2 d 2 b d + t c

(5.10)

Ai es el área encerrada entre los ejes de las placas que forman la sección (Ai = bd) las demás cantidades se definen en la Fig. 5.5. t

c

c

Ai=bd

d

t

b

Fig. 5.5 Sección en cajón.


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EJEMPLO 5.1 Calcule los esfuerzos tangenciales máximos y los ángulos de rotación por unidad de longitud de dos barras de eje recto, cuyas secciones transversales se muestran en la Fig. E5.1.1, sobre las que actúan momentos MT en los extremos, que ocasionan torsión pura; no tenga en cuenta las concentraciones de esfuerzos que se presentan en las esquinas. Las dos secciones están hechas con la misma cantidad de material. 39cm 3 cm 2 cm 60 cm

1 cm

54 cm

57 cm

3 cm 40 cm

40 cm

Fig. E5.1.1 Sección transversal de ejemplo 5.1. Sección I. G=

J= ∑

a 3b 1 = (2 x 33 x 40 + 23 x 54) = 864 cm4 3 3

E E = = 0.385 E 2(1 + µ ) 2(1 + 0.3) MT MT MT = = 0.00301 GJ 0.385 E x 864 E

Ec. 5.5.

θ=

Ec. 5.6.

τmáx =

MT MT x 3 = 0.00347 MT a = J máx 864

Este esfuerzo se presenta en las zonas centrales de los patines. Sección en cajón. Ec. 5.10

θ=

J=

2b 2 d 2 2 x 39 2 x 57 2 9 883 458 = = = 141 192 cm 4 b d 39 57 70 + + t c 3 1

MT MT MT = = 0.0000184 GJ 0.385E x 141 192 E

Ec. 5.8

τmáx =

MT MT = = 0.000225 M T . 2Ai t mín 2(39x57)1

18


El ángulo de rotación y el esfuerzo máximo en la sección I son, respectivamente, 164 y 15.4 veces más grandes que en la sección en cajón. La sección en cajón es mucho más eficiente que la I; esta observación es de carácter general, por lo que cuando la torsión es una solicitación predominante conviene utilizar miembros de sección transversal hueca formados, por ejemplo, por cuatro placas soldadas, en vez de perfiles laminados. 5.3.3 Torsión no uniforme de barras de sección transversal abierta y de paredes delgadas. Exceptuando las barras de sección transversal circular, maciza o hueca, todos los elementos estructurales sometidos a torsión pura se alabean, es decir, los puntos situados en planos originalmente normales al eje de la barra experimentan desplazamientos variables paralelos a ese eje, lo que ocasiona que las secciones transversales inicialmente planas dejen de serlo. En la Fig. 5.6 se muestra un segmento de una barra de sección I con dos pares MT, iguales y de sentidos contrarios, aplicados en sus extremos; son las únicas acciones que obran sobre la barra, y no hay ningún factor externo que evite o restrinja las deformaciones. Las fibras longitudinales de la barra, inicialmente rectas, se retuercen pero, para rotaciones pequeñas, puede considerarse que siguen siendo rectas, inclinadas respecto al eje; cada uno de los patines gira un cierto ángulo, conservando su forma rectangular, y el alma se alabea. Todas las secciones transversales normales al eje longitudinal se alabean lo mismo, por lo que no cambian las dimensiones de las fibras longitudinales y no aparecen esfuerzos normales; los únicos esfuerzos son los tangenciales correspondientes a la torsión de Saint Venant. Si se empotra uno de los extremos de la barra, impidiendo su rotación alrededor del eje longitudinal y los desplazamientos paralelos a ese eje de los puntos situados en él, la barra se deforma como se muestra en la Fig. 5.7; la sección inferior se mantiene en su posición original y sigue siendo plana, y todas las demás secciones transversales giran alrededor del eje longitudinal y se alabean. Como ni el giro ni el alabeo son constantes, sino aumentan desde cero en el extremo inferior hasta un máximo en el superior, las fibras paralelas al eje no conservan su longitud inicial, como en torsión pura, sino unas se alargan y otras se acortan (por ejemplo, todas las fibras de la porción AEFB del patín anterior de la viga de la Fig. 5.7 se alargan, mientras que se acortan las de la zona EFDC, conservándose sin cambio únicamente la EF), lo que ocasiona esfuerzos normales longitudinales proporcionales a las deformaciones unitarias, que varían linealmente a través de los patines; son máximos en el extremo empotrado, y disminuyen en secciones cada vez más alejadas de él, hasta que desaparecen eventualmente cuando las


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secciones transversales están a una distancia suficiente para que dejen de sentirse los efectos de las restricciones producidas por el empotramiento. MT

MT

Fig. 5.6 Alabeo de una barra de sección transversal I en torsión pura. MT

B

F D

A E

C

Fig. 5.7 Barra de sección transversal I en torsión no uniforme.

Para que aparezcan los esfuerzos normales longitudinales, no es necesario impedir totalmente el alabeo de alguna sección transversal; basta con que, ya sea por las condiciones de apoyo o de carga, o por una combinación de ambas, el alabeo no se

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presente libremente y varíe de unas secciones transversales a otras, lo que ocasiona deformaciones longitudinales de las fibras. Los esfuerzos normales producidos por la restricción al alabeo están acompañados por esfuerzos tangenciales, que contribuyen a resistir el momento de torsión exterior, de manera que éste no es equilibrado sólo por esfuerzos cortantes de Saint Venant, como sucede cuando el alabeo es libre. En la Fig. 5.8 se muestran los esfuerzos normales y tangenciales en una barra de sección I en torsión no uniforme, es decir, con alabeo restringido; tanto los tangenciales simples τs como los debidos a la restricción al alabeo, τa, contribuyen a resistir el momento exterior MT; si los momentos correspondientes se designan Mts y Mta, puede escribirse (5.11)

MT = Mts + Mta

-σa

τs

τa Z

+σa

Z +σa

Z

τa

-σa (a)

(b)

(c)

Fig. 5.8 Esfuerzos producidos por la torsión no uniforme. MT es el momento de torsión total que obra en la sección, Mts el momento resistente correspondiente a la torsión de Saint Venant, y Mta el debido a la resistencia al alabeo de las secciones transversales de la barra. (Los esfuerzos normales y cortantes que aparecen en el alma por este segundo concepto se desprecian, pues la flexión se presenta alrededor de su eje de menor momento de inercia). Los esfuerzos producidos al restringir el alabeo de barras de sección transversal maciza no circular son mucho menores que los de las secciones abiertas de paredes delgadas; además, las piezas macizas no se emplean en estructuras de acero. Por estas razones, se tratan aquí sólo elementos con secciones transversales del segundo tipo.


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b1

b t1

t

w

h

w

h

t2

t b

b2 3 b1t1 +b2t23 +hw3 J= 3

J=

2bt3+hw3 3

(a) b2

(b)

b1

b2

w

b t1 t2 d

h t1

t1

t2

b1 b2 2b1(t1+t2)3+4b2t23 +hw3 J= 3 b2

(c)

J=

w t2

w

4Ao2 4(bd)2 = Σ(b/t) b+b+2d t1 t2 w (d)

Fig. 5.9 Constante de torsión de Saint Venant de diversas secciones. MTs y MTa se calculan con las expresiones (ref. 5.1) M Ts = GJθ = GJ

M Ta = − ECa

d 3φ dz 3

dφ dz

(5.12)

(5.13)

MTa es la parte del momento de torsión resistida por los esfuerzos tangenciales que se originan al alabearse las secciones transversales de una manera no uniforme; se le llama momento resistente de torsión debido al alabeo no uniforme o, por brevedad, momento de torsión por alabeo. Ca es la constante de alabeo (tiene unidades de longitud elevada a la sexta potencia) y el producto ECa es la rigidez al alabeo. Llevando las ecs. 5.12 y 5.13 a la 5.11, se obtiene la ecuación diferencial para torsión no uniforme de barras de sección transversal abierta y paredes delgadas:

22


M T = GJ

dφ d 3φ − ECa 3 dz dz

(5.14)

El signo menos que precede al segundo término proviene de la convención de signos que se utiliza para deducir las ecuaciones; en la solución de la ec. 5.14 los dos términos del segundo miembro se suman. y

t2 t

(a)

d-t

x

x

h d

w

t

t1

y

t

Ca= (b)

t1 y 1

w x

x y 0t 2 y2

Centro de torsión

d

y1

(y1+y2)2I1I2 I1+I2

b13 t1 I1= 12 y0=+_

y

(b t )3+(b2t2)3 Ca= 1 1 36

b1

b b1 y Centro de gravedad

Centro de torsión

b2

(d)

Iy(d-t)2 Ca= 4

(e)

b23 t2 I2= 12

b x Centro de torsión (bt)3 (dw)3 Centro de gravedad C = a 144 + 36

x

d y 2

w

y1I1-y2I2 I1+I2

y

Eje de inercia mínima

b2 x0

(c)

x

y

t

Centro de gravedad d x t

Centro de torsión

Ca=

_ (d-t) 2 Iy+x2A( 4

(d-t) A ) 4I x

(f)

d

x

Centro de gravedad y torsión x

2 d I Ca= 4

_ (d-t)2A x0= x 1+ 4Ix

_ y x

Fig. 5.10 Constante de torsión por alabeo de varias secciones. En las Figs. 5.9 y 5.10 se proporcionan los valores de las constantes J y Ca para algunas secciones comunes. EJEMPLO 5.2 En la Fig. E5.2.1 se muestra una trabe armada reforzada con dos placas soldadas a los patines. Las propiedades de la trabe sin cubreplacas se dan en la figura. Determine los valores de esas propiedades para la sección reforzada.


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C2=1.9

b2=35.0 y c1=2.22

d2=80.04

d1=76.24

x

h=71.8

c1=2.22 C2=1.9

Ix=276 292 cm4 S=7248 cm 3 x Zx=7896 cm3 Iy=24767 cm4 Sy=1220 cm3 Zy=1846 cm3 J=316.7 cm4 Ca=33.9x106 cm6 Acotaciones en cm

b1=40.6

Fig. E.5.2.1 Sección transversal de la trabe armada. Iy = 24767 + 2 x

1.9 x 35.0 3 = 38 344 cm4 12

J se calcula con la fórmula de la Fig. 5.9c: J = [2x35.0 (2.22+1.9)3+4x2.80 x 2.223 x71.8x0.953]/3 = 1693.2 cm4.

La constante de torsión por alabeo se determina con la ecuación Ca = I1

(d 2 − c 2 ) 2 2

+ I2

(d1 + c1 ) 2 2

II e I2 son los momentos de inercia, respecto al eje y, de una placa de refuerzo y de un patín, y las demás cantidades se definen en la Fig. E5.2.1. 1.9x35 3 (80.04 - 1.9) 2 2.22x40.6 3 (76.24 - 2.22) 2 + x = 54.6 x 10 6 cm 6 x 12 2 12 2

Ca =

_

Ca puede determinarse también con la ecuación aproximada Ca = Iy d 2 / 4 , en la _

que Iy es el momento de inercia de la sección reforzada respecto al eje y, y d la distancia entre los centros de gravedad de los patines reforzados, que en este caso _

es d = 75.77 cm. Por consiguiente, Ca ≈

I yd 2 4

=

38 344 x 76.77 2 = 56.5 x 10 6 cm 6 4

Este valor de Ca es prácticamente igual al calculado arriba. Los módulos de sección elástico y plástico de la sección reforzada, respecto al eje x, son

24


2  35.0 x1.9 3  76.24 + 1.9     = 479 352 cm4 Ix = 276 292 + 2  + 35.0 x 1.9     12 2 

Sx =

479352 = 11978 cm 3 80.04 / 2

 76.24 + 1.9   = 13092 cm3 Zx = 7896 + 2 x 35.0 x 1.9    2

El módulo de sección plástico es igual al de la viga sin reforzar más el momento estático de las cubreplacas respecto al eje de simetría horizontal, x.


5.4

25

PANDEO LATERAL ELÁSTICO

5.4.1 Caso fundamental: vigas I en flexión pura Para determinar el valor del momento flexionante, aplicado alrededor del eje de mayor momento de inercia, que ocasiona el pandeo lateral elástico por flexotorsión de una viga, se estudia primero el caso fundamental (Fig. 5.1): una viga I, laminada o formada por tres placas soldadas, de eje recto, flexionada en el plano de mayor resistencia por pares iguales y de sentidos contrarios, de magnitud creciente, aplicados en los extremos. Se admiten las hipótesis siguientes: 1.

La viga es de sección transversal I, con dos ejes de simetría, constante en toda la longitud. El centro de torsión coincide con el centro de gravedad de la sección.

2.

Los esfuerzos normales máximos, obtenidos superponiendo los producidos por los momentos exteriores con los residuales, están en el intervalo elástico cuando se inicia el pandeo.

3.

La forma de las secciones transversales no cambia cuando la viga se flexiona y retuerce.

4.

Los momentos que actúan en las secciones transversales se conservan en el plano que ocupaban originalmente.

5.

La distancia entre las secciones de la viga soportadas lateralmente es igual al claro.

6.

El momento flexionante es constante entre las dos secciones soportadas lateralmente (flexión pura).

7.

Los apoyos extremos son libres para flexión alrededor de los ejes x y y y para torsión, lo que significa que pueden girar libremente alrededor de x y de y, y que las secciones extremas pueden alabearse, pero no puede haber rotaciones alrededor del eje longitudinal z ni desplazamientos paralelos a los otros dos ejes.

La viga empieza a deformarse en cuanto se aplican los pares en sus extremos; mientras son pequeños, se mantiene en el plano inicial, pero eventualmente se sale de él, desplazándose lateralmente y retorciéndose; los desplazamientos verticales v (Fig. 5.1c) se inician con la flexión, pero los laterales u y las rotaciones φ son nulos hasta que los momentos alcanzan el valor crítico. El vector Mx, momento flexionante en una sección cualquiera, que estaba alojado sobre el eje x de la misma, permanece paralelo a su dirección original, de manera que al cambiar la orientación de los ejes principales de la sección deja de coincidir con uno de ellos, y produce momentos alrededor de los tres nuevos ejes de referencia, ξ, η y ζ.

26


Cuando el par que actúa alrededor del eje de inercia máxima alcanza un valor crítico la viga se deforma lateralmente, y el equilibrio exige que haya también torsión y flexión alrededor del eje de menor inercia; el pandeo está asociado siempre con flexión lateral y torsión. El momento de torsión varía a lo largo del eje de la viga, puesto que la proyección de Mx sobre el eje ξ, que lo ocasiona, no es constante; es máxima en los extremos y nula en la mitad del claro, donde el eje ξ es paralelo al z, y el vector Mx es perpendicular a él. La viga se encuentra en un estado de torsión no uniforme; su resistencia a la torsión es la suma de los momentos resistentes correspondientes a la torsión de Saint Venant y a la oposición al alabeo de sus secciones transversales. 5.4.1.1

Cálculo del momento crítico

Interesa determinar la magnitud del momento Mx para la que se presenta una bifurcación del equilibrio, es decir, el momento para el que son posibles configuraciones en equilibrio ligeramente deformadas lateralmente y retorcidas, además de la plana. Las ecuaciones de partida, que se obtienen estudiando el equilibrio de la barra deformada, son (ref. 5.1) EI y d 2 u dz 2 + φM = 0

(5.15)

EC a d 3 φ dz 3 − GJ dφ dz + M du dz = 0

(5.16)

Derivando la ec. 5.16 una vez, respecto a z, y sustituyendo d 2 u dz 2 por su valor dado por 5.15, se obtiene la ec. 5.17, con el ángulo φ como única incógnita: EC a

d 4φ dz

4

− GJ

d 2φ dz

2

−

M2 φ =0 EI y

(5.17)

Esta ecuación diferencial tiene una solución analítica porque el momento flexionante M es constante en toda la longitud, y las condiciones de frontera permiten evaluar las constantes de integración: M cr =

nπ L

 n 2 π 2 EC a   EI y GJ 1 +  GJL2  

(5.18)

Lo mismo que en las columnas, sólo tiene interés el menor de los valores del momento crítico, a menos que se obligue a la viga a pandearse en alguno de los modos superiores, a los que corresponde n = 2, 3, etc, por medio de restricciones exteriores que impidan los desplazamientos laterales y las rotaciones de una o más secciones


27

transversales intermedias; en el caso en estudio, en el que la longitud sin soporte lateral es el claro de la viga, n = 1. También como en las columnas, la solución basada en desplazamientos pequeños proporciona la configuración de la viga pandeada lateralmente, pero no la amplitud de los desplazamientos, que permanece indeterminada. Efectuando las operaciones indicadas dentro del radical, y haciendo n = 1, la ec. 5.18 toma la forma M cr =

π L

EI y GJ + E 2 C a

π2 L2

Iy

(5.19a)

Recordando que G = E/2(1+µ) ≅E/2.6, y sacando E fuera del radical, se obtiene Mcr =

πE L

 J  π 2  Iy  +   Ca   2.6  L  

(5.19b)

Esta forma de la ecuación es un poco más fácil de usar que la 5.19a. La resistencia total del perfil al pandeo lateral por flexotorsión está compuesta por dos partes, representadas por los dos términos del radical de la ec. 5.19a; la primera corresponde al acoplamiento entre las resistencias a la flexión lateral y a la torsión pura, o de Saint Venant, y la segunda, al acoplamiento entre las resistencias a la flexión lateral y a la torsión por alabeo. En vigas I laminadas, que son relativamente robustas, el primer término suele ser mayor que el segundo, pues J es grande; en cambio, en perfiles de gran peralte, hechos con tres placas soldadas, y en vigas de lámina delgada, se vuelve predominante el término correspondiente a la resistencia al alabeo, aunque su importancia relativa decrece cuando aumenta la separación entre secciones soportadas lateralmente, que aparece, elevada al cuadrado, en el denominador. La ec. 5.19a puede escribirse M cr =

π L

EI y GJ 1 + W 2

(5.20)

donde: W=

π L

EC a GJ

(5.21)

El parámetro W mide la importancia de la resistencia a la torsión por alabeo respecto a la torsión pura.

28


Al obtener la ec. 5.19a se ha supuesto que la deflexión en el plano de carga no influye en la resistencia al pandeo lateral por flexotorsión, lo que se justifica cuando EIx es mucho mayor que EIy, y la deflexión en el plano es negligible comparada con la que se presenta fuera de él. Cuando las dos rigideces son del mismo orden, el efecto de la flexión en el plano vertical y-z puede ser importante, y debe tenerse en cuenta al calcular Mcr. La ecuación siguiente representa una solución aproximada que incluye el efecto de las deflexiones en el plano (ref.5.2): M cr =

π L

EI y GJ

(

)

Ir

1+ W 2

donde I r = 1 − I y I x . Si Iy = Ix, Ir se anula, y Mcr se vuelve infinitamente grande. Si Iy > Ix, Ir se hace negativo y Mcr imaginario, de manera que cuando Iy es igual o mayor que Ix, no hay solución. De aquí se concluye que el pandeo lateral por flexocompresión de las vigas sólo es posible cuando la sección tiene rigideces diferentes en los dos planos principales, y las cargas exteriores actúan en el plano del eje de menor momento de inercia (es decir, producen flexión alrededor del eje de mayor inercia). Como una consecuencia, las vigas de sección transversal circular, maciza o hueca, y las de sección en cajón, cuadradas y de grueso uniforme, no fallan nunca por pandeo lateral por flexotorsión. 5.4.1.1.1 Vigas de sección transversal rectangular, maciza o hueca La resistencia al alabeo de las secciones rectangulares, macizas o huecas (secciones en cajón), es mucho menor que la resistencia a la torsión pura; en ese caso, Ca ≅ 0, el segundo término del radical de la ec. 5.19a se desprecia, y Mcr vale M cr =

π EI y GJ L

(5.22)

Sustituyendo E y G por sus valores numéricos, y haciendo I y = Ary2 , se llega a M cr =

3973000 AJ L ry

(5.23)

ry es el radio de giro de la sección respecto al eje de menor inercia. Tomando A y J en cm2 y cm4, respectivamente, Mcr se obtiene en Kg cm. 5.4.1.1.2 Vigas I de paredes delgadas


29

Cuando las paredes de las vigas son muy delgadas, como en perfiles de lámina doblada en frío o en caliente, la constante J, que depende del grueso de las paredes elevado al cubo, es muy pequeña, de manera que el primer término del radical de la ec. 5.19a puede despreciarse, sin pérdida apreciable de resistencia; se obtiene, así, M cr =

π L

E 2Ca

π2 Iy L2

(5.24)

Haciendo Ca = I y d 2 / 4 , donde d es el peralte de la sección, que es, en este caso, casi igual a la distancia entre los centroides de los patines, y sustituyendo Iy por Ary2 , se obtiene M cr

 π =   L ry

2

 EAd 10062000 Ad  =  2 L ry 2 

(

)

(5.25)

A y d se toman en cm2 y cm y el resultado se obtiene en Kg cm. 5.4.2 Otras condiciones de apoyo y carga Varias de las hipótesis que llevan a la ec. 5.19a, principalmente las dos últimas, suelen ser demasiado severas cuando se aplican a casos reales, por lo que el valor de Mcr dado por esa ecuación es, en general, un límite inferior del momento crítico. Si las condiciones de apoyo corresponden, por ejemplo, a un empotramiento en torsión, o si el momento flexionante no es constante en toda la longitud, la ec. 5.19a proporciona resistencias que pueden ser significativamente menores que las reales. Cuando las acciones no son pares aplicados en los extremos de la viga, sino fuerzas concentradas o distribuidas normales a su eje, el nivel de aplicación de las cargas, respecto al centro de gravedad de las secciones transversales, influye también en la resistencia. Sin embargo, a pesar de sus limitaciones, la ec. 5.19a es tan básica para el estudio del pandeo lateral de vigas como la fórmula de Euler lo es para el de la inestabilidad de columnas comprimidas axialmente. Si en la ec 5.19a se sustituye I y por Ary2 y se saca el radio de giro fuera del radical, éste

(

)

queda multiplicado por π L ry : como en todos los problemas de pandeo, el valor crítico de la carga es inversamente proporcional a la esbeltez del miembro, dada ahora por el cociente L ry . Si la distancia entre soportes laterales tiende a cero, el momento crítico tiende a infinito, lo que es físicamente imposible; hay, por consiguiente, un límite superior de Mcr. Cuando el momento es constante en toda la viga, la ecuación diferencial que describe el equilibrio en una posición ligeramente deformada es lineal, con coeficientes constantes. En la práctica, las vigas tienen diferentes condiciones de apoyo y cargas de diversos

30


tipos, de manera que el momento flexionante varía a lo largo de su eje, las ecuaciones diferenciales de equilibrio tienen coeficientes variables, y no se cuenta con soluciones cerradas; las cargas críticas se obtienen con procedimientos numéricos aproximados. Si las condiciones de apoyo impiden la rotación libre de las secciones extremas alrededor del eje y, la longitud L que aparece fuera del radical en la ecuación 5.18 o 5.19 debe multiplicarse por un factor Ky para obtener la longitud efectiva de pandeo, y si el alabeo de las secciones extremas está restringido, ha de introducirse un segundo factor, Kz, que multiplica a la longitud L contenida dentro del radical, para obtener la longitud efectiva de alabeo; de esta manera la ecuación 5.18, con n = 1.0, se transforma en la 5.26, en la que los factores Ky y Kz tienen en cuenta, respectivamente, las condiciones de apoyo correspondientes a giros alrededor del eje y y al alabeo de las secciones extremas. Mcr =

π KyL

 π 2 EC a  EI y GJ 1 + 2   GJ(K z L) 

(5.26)

La ref. 5.3 contiene valores de Ky y Kz para diferentes condiciones de apoyo, tomados de resultados obtenidos en la ref. 5.4. Para simplificar la aplicación de la ecuación 5.26, los valores exactos de esos coeficientes pueden sustituirse por los siguientes, que dan resultados del lado de la seguridad (ref. 5.3): 1.00, cuando los dos extremos están libremente apoyados, 0.70 cuando uno es libre y el otro fijo, y 0.5 cuando ambos son fijos1, semejantes a los que proporcionan la longitud efectiva de columnas con condiciones de apoyo análogas; se obtienen así los momentos críticos para diversas combinaciones de las condiciones de apoyo: si, por ejemplo, uno de los extremos de la viga está soldado a tope, con soldaduras de penetración en alma y patines, a una columna muy robusta, y el otro está conectado a otra columna por medio de un par de ángulos verticales de poca longitud adosados al alma, sin ninguna liga en los patines, puede considerarse que tanto la rotación alrededor del eje y como el alabeo están impedidos en el primer apoyo y que los dos pueden presentarse casi libremente en el segundo; en esas condiciones se obtienen resultados conservadores tomando Ky = Kz = 0.7. Cuando hay dudas respecto a las condiciones de apoyo, conviene suponer que los factores K valen 1.0. El efecto de solicitaciones distintas de la flexión pura se toma en cuenta multiplicando el segundo miembro de las ecs. 5.19 por un coeficiente C1 que depende de las condiciones de carga. La posición de las cargas respecto al centroide de las secciones transversales de la viga también influye en su resistencia al pandeo; las que están arriba de él son más desfavorables que las que actúan debajo, ya que al iniciarse el pandeo las primeras 1

Para determinar Ky se considera que un extremo es fijo cuando su giro alrededor del eje y está impedido, y libre cuando no hay restricciones para ese giro; en la obtención de Kz los extremos fijos son aquellos en los que no puede haber alabeo, y los libres los que pueden alabearse sin restricción.


31

tienden a retorcer el perfil, agravando las condiciones en que se encuentra, mientras que las segundas tienen un efecto estabilizador, y tratan de enderezarlo; las cargas aplicadas en el centroide no influyen en este aspecto del problema (Fig. 5.11).

Fig. 5.11 Posiciones de las cargas respecto al centroide de las secciones transversales. En estructuras reales puede haber cargas en el patín superior (Fig. 5.12a) (es el caso más común, que se presenta cuando las fuerzas se transmiten por apoyo directo sobre el borde superior de la viga, pero los mismos elementos que transmiten las cargas suelen soportar lateralmente el patín, evitando el pandeo lateral), en el centroide (Fig. 5.12b) (por ejemplo, cuando una viga principal recibe vigas secundarias por medio de ángulos o placas adosados al alma), o en el patín inferior (Fig. 5.12c) (algunos tipos de apoyo de vigas secundarias en principales, grúas móviles colgadas del patín inferior de la viga de soporte).

(a)

(b)

(c)

Fig. 5.12 Casos en que las cargas están aplicadas en el patín superior, en el centroide o en el patín inferior de las secciones transversales. Para tener en cuenta la posición del punto de aplicación de las cargas con respecto al centroide de la sección, se introduce un nuevo factor, C2. Con los factores C1 y C2, y los coeficientes de longitud efectiva Ky y Kz, se obtiene una fórmula general para el cálculo del momento crítico de pandeo de vigas I con cualquier condición de apoyo y de carga; como en la mayoría de los casos prácticos las rotaciones φ alrededor del eje longitudinal están impedidas en los dos extremos, condición supuesta en la casi totalidad de los estudios teóricos, puede obtenerse una expresión general conservadora para el cálculo del momento crítico que incluye sólo el factor de longitud efectiva Ky (ref. 5.5):

32


C 1π Mcr = KyL

 2 EC a  π  C2π  EI y GJ 1 + 1 + C 22 ±  GJ  K y L  KyL 

(

)

 EC a  GJ  

(5.27)

Se toma el signo negativo que antecede al último término cuando las cargas están aplicadas en el patín superior, y el positivo cuando actúan en el inferior; si obran en la viga sólo momentos en los extremos, o cargas aplicadas en el eje centroidal, C2 = 0, y la ecuación 5.27 se reduce a la 5.26 multiplicada por C1. Por comodidad en la obtención de tablas y gráficas que faciliten su uso, conviene escribir la ecuación 5.27 en la forma (ref. 5.5): M cr =

C4 L

EI y GJ

(5.28)

en la que C4 es igual a C4 =

C 2 πa  C1  π 2a2 2  ) (1 + C π  1+ ± 2 KL  K ( KL) 2 

(5.29)

K es el factor de longitud efectiva para flexión alrededor de los ejes principales verticales y. El parámetro ECa/GJ, cociente de las rigideces al alabeo y a la torsión simple, desempeña un papel muy importante en el pandeo lateral de vigas, y aparece en muchas de las fórmulas relacionadas con él; su raíz cuadrada se ha designado con la letra a: a=

EC a GJ

(5.30)

La ref. 5.1 contiene curvas con las que se determinan los coeficientes C4 de vigas I con condiciones de carga y apoyo frecuentes en estructuras reales. Aquí se reproducen sólo las de vigas en flexión con pares en los extremos de diferentes magnitudes y signos (Fig. 5.13); cubren las dos condiciones extremas de restricción alrededor de los ejes y de los apoyos, giros libres o totalmente impedidos.


50 C4

5B 4B

33

3B

2B

1B

46 Nomenclatura

42

Cada curva está designada 5A por un número y una letra. El número indica la condición de carga; se han considerado los cinco casos siguientes:

38

4A

34

M

1

M

30

M

2

M 2

26

M 3A

22

M M

18

2A

14

1A

10

3 4 5

M 2 M

La letra se refiere a las condiciones de apoyo de la viga relativas a giros alrededor del eje vertical “y”. A, los extremos pueden girar libremente. B, los extremos están fijos.

6 2

0

02

04

06

08

10

a/L 12 14

Fig. 5.13 Valores del coeficiente C4 para vigas I flexionadas por pares aplicados en sus extremos. 5.4.2.1 Algunas soluciones aproximadas 5.4.2.1.1 Momentos desiguales en los extremos Si las únicas acciones son momentos aplicados en los extremos de la viga, de magnitudes diferentes (Fig. 5.14), el momento flexionante a lo largo del eje es función de

34


z, y la ecuación diferencial de equilibrio tiene coeficientes variables, lo que obliga a emplear un procedimiento numérico complicado, que utiliza series de funciones especiales, para resolverla. Afortunadamente, se ha demostrado (refs. 5.6 y 5.7) que el efecto de la variación del momento sobre la resistencia al pandeo lateral puede tenerse en cuenta, con buena aproximación para fines de diseño, sustituyendo el momento variable real que ocasionaría el pandeo por un momento uniforme equivalente ficticio, que produce el mismo resultado. El momento crítico de la viga de la Fig. 5.14 se obtiene multiplicando el del caso fundamental por un factor de momento equivalente, Cb, de manera que (5.31)

M cr = C b M 0 cr

Mocr es el momento crítico de pandeo de la viga en flexión pura (ec. 5.19 o 5.20), y Cb se calcula con la expresión C b = 1.75 + 1.05(M 1 M 2 ) + 0.3(M 1 M 2 ) ≤ 2.3 2

(5.32)

M1 es el menor y M2 el mayor de los momentos en los extremos (pueden ser iguales); el cociente M1/M2 es positivo cuando la viga se flexiona en curvatura doble y negativo cuando lo hace en curvatura simple. M1

M2

M2 M1 Flexión en curvatura doble M1/M2 es positivo

M1

M2 Flexión en curvatura simple M1/M2 es negativo

Fig. 5.14 Viga sujeta a momentos aplicados en sus extremos. En la Fig. 5.15 se comparan los valores de M cr , dados por la ecuación aproximada 5.31, con los valores teóricos: los resultados de la ec. 5.31 están muy cerca de los momentos críticos reales, y son ligeramente conservadores.


35

1.00

Mocr 0.75

1 Cb

Mcr

0.50 M1

M2

0.25

Banda de resultados teóricos

M1 M 2 0 -1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0

Curvatura simple

0.25

0.50

0.75

1.00

Curvatura doble M1/M2

Fig. 5.15 Comparación de la ec. 5.31 con resultados teóricos. Puesto que M 1 M 2 está comprendido, en todos los casos, entre -1 y 1, Cb es siempre mayor que la unidad (excepto en el caso particular en que M1/M2 = -1.0, en el que Cb = 1.0), lo que confirma que la flexión pura, producida por momentos iguales y de sentidos contrarios, es la condición de carga más severa. 5.4.2.1.2 Carga concentrada en el punto medio La ecuación diferencial de equilibrio de una viga libremente apoyada, con una carga concentrada en el centro del claro, tiene un coeficiente variable; su solución se obtiene con el método de series infinitas (ref. 5.8). Los resultados se indican con línea continua en la Fig. 5.16, en la que se muestran tres casos: carga aplicada en el patín superior, en el centro de torsión y en el patín inferior de la sección transversal. Con fines de diseño se utiliza la ec. 5.31, en la que Mcr es el momento máximo en la viga en el instante en que se inicia el pandeo: M cr =

Pcr L = C b M 0cr 4

AB A A/B

para carga en el patín inferior para carga en el centro de torsión para carga en el patín superior

donde cb =

(5.33)

36


Los valores de A y B (ref. 5.9) son: A = 1.35 B = 1 + 0.649 W - 0.180 W2 W se calcula con la ec. 5.21. Los valores aproximados de Pcr, obtenidos con la ec. 5.33 y los coeficientes Cb indicados arriba, coinciden prácticamente con la solución “exacta” (Fig. 5.16). P L/2

L/2

50 P P crL 2 Ely GJ

40 P

30 20

P 10

Resultados teóricos Resultados aproximados

0

0.5

1.0

2.0

1.5 W 2=

2

L

2

2.5

( EC a ) GJ

Fig. 5.16 Viga con una carga en el centro del claro; comparación de resultados teóricos y aproximados.


37

(a) Diagramas de momentos flexionantes

Mcr

Cb

L

Mcr

1.00

L

Mcr

1.75

Mcr

2.30

PcrL

1.35

Cargas M

M

M

M

M L P L/2

L/2

4

w

WcrL2

L P

P L/2

L/4

8 PcrL 4

L/4

P

3PcrL 16

L/4

1.13

1.04

1.44

3L/4

(b) L/4

L/4

L/4

L/4

M MA M

M máx B

Cb= C

12Mmáx 2Mmáx+3MA+4MB+3M

C

Tabla 5.1 Valores de Cb para varias condiciones de carga (Las fuerzas concentradas están aplicadas en el centro de torsión de la sección transversal).

38


5.4.2.1.3. Otras condiciones de carga La Tabla 5.1a contiene soluciones aproximadas para varias condiciones de carga; las fuerzas están aplicadas en el centro de torsión de la sección transversal de la viga, o son pares que actúan en sus extremos. Las cargas críticas se obtienen con la ec. 5.31, en la que Mocr se calcula con la ec.5.19 o 5.20, y Cb se lee en la cuarta columna de la tabla; la columna tercera contiene las expresiones de Mcr para cada caso. Cuando las cargas producen diagramas de momentos que no varían linealmente entre los extremos de la viga, Cb puede calcularse con la fórmula empírica (ref. 5.2): Cb =

2M máx

12M máx + 3M A + 4 M B + 3M C

(5.34)

MA, MB y MC son los valores absolutos de los momentos en el primer cuarto, el centro y el tercer cuarto del claro de la viga, y Mmáx es el momento máximo en la viga, también en valor absoluto (Tabla 5.1b). En la Tabla 5.2 se proporciona información adicional para fuerzas que no están aplicadas en el centro de torsión. Diagrama de momentos flexionantes

Carga

M

A

B

PL 4

1.35

1-0.180W 2+0.649W

wL2 8

1.12

1-0.154W 2+0.535W

PL1

L1 2 1+ ( 2L +L ) 1 2

1-0.465W 2+1.636W

P L/2

L/2

w L

P

L 1

L

P

2

L

1

Tabla 5.2 Coeficientes A y B para vigas con cargas transversales. EJEMPLO 5.3 Una viga libremente apoyada, cuya sección transversal se muestra en la Fig. E5.3.1, tiene 10 m de claro y ningún soporte lateral intermedio; sobre ella


39

actúa una carga uniformemente repartida. Calcule el valor de la carga por unidad de longitud, wcr, que ocasionaría la falla por pandeo lateral elástico, suponiendo que está aplicada en el patín superior, en el centroide de las secciones transversales, y en el patín inferior. b=30.5 cm t=2.54 cm 1.27 cm

d=157.48 cm

h=152.4 cm

t=2.54 cm 30.5 cm

Fig. E5.3.1 Sección transversal de la viga del ejemplo 5.3. Las propiedades geométricas de la sección transversal son: A = 348.5 cm2, Ix = 1 304 580 cm4, Iy = 12 037 cm4, J = 437.3 cm4, Ca = 72.2 x 106 cm6.

La carga crítica por unidad de longitud se determina con una expresión semejante a la 5.33: Mcr =

wcr L2 = Cb M ocr 8

∴

wcr =

8C b M ocr L2

El momento crítico en el caso fundamental (ec. 5.19b) es M ocr =

πE L

 J  π  2  πE  437.3  π  2   172.2 x 10 6  = + I y  +   C a  = 12037   2.6  L   1000  2.6  1000  

πE 2 024 531 + 8 577 391 = 20 857 363 Kgcm = 208.6 Tm. 1000

Cb tiene los valores siguientes (Tablas 5.1 y 5.2): Ec. 5.21,

W=

π L

EC a π = GJ L

2.6

Ca π 72.2 x 10 6 = 2.058 = 2.6 x 437.3 J 1000

40


A = 1.12, B = 1 + 0.535 x 2.058 - 0.154 x 2.0582 = 1.449

a) b) c)

Carga en el patín inferior. Carga en el centro de torsión. Carga en el patín superior.

Cb = AB = 1.12 x 1.449 = 1.623 Cb = A = 1.12 Cb = A/B = 1.12/1.449 = 0.773

Cargas críticas elásticas. a) b) c)

wcri = 8 x 1.623 x 208.6/102 = 27.1 Ton/m wcrc = 8 x 1.12 x 208.6/102 = 18.7 Ton/m wcrs = 8 x 0.773 x 208.6/102 = 12.9 Ton/m

En el caso b, Cb puede calcularse también con la ecuación aproximada 5.34, utilizando el diagrama de momentos de la Fig. E5.3.2: Cb =

12 M máx 12 x 12.5 = = 1.14 2 M máx + 3M A + 4M B + 3M C (2 + 4) 12.5 + (3 + 3) 9.375

Este valor es muy cercano al obtenido arriba, 1.12.

M

A

=M

C

M

=9.375w

A 2.5m

B 2.5m

B

=M

máx

=12.5w

C 2.5m

2.5m

10m Fig. E5.3.2 Diagrama de momentos de la viga del ejemplo 5.3. Como se ve observando las cantidades dentro del radical de la ec. 5.19b, la resistencia al pandeo lateral que proviene de la torsión por alabeo es mucho mayor que la que corresponde a la torsión de Saint Venant. EJEMPLO 5.4 Igual que el ejemplo 5.3, pero la viga es ahora de sección W12” x 35 lb/ft (30.5 cm x 52 Kg/m), tomada de la ref. 5.22, de 6 m de claro, y tiene una carga concentrada aplicada en la sección media. Se desea calcular los valores de esa carga que ocasionarían el pandeo lateral elástico de la viga. Propiedades geométricas A = 66.5 cm2; Iy = 1020 cm4; J = 30.8 cm4; Ca = 236 x 103 cm6


41

EC a = 141.0 cm. GJ

Las propiedades geométricas se han tomado de la ref. 5.22. La ec. 5.33 proporciona la carga crítica: Pcr L 4 Cb M ocr = M cr =Cb M ocr ∴ Pcr = 4 L

De la ec. 5.19a Mocr =

πE 600

2

πE 1020 x 30.8  π   1020 x 236 x 10 3 = + 12083 + 6599 = .  600  2.6 600

= 1459 243 Kgcm = 14.6 Tm W=

141.0π = 0.738. 600

A = 1.35,

B = 1 + 0.649 x 0.738 - 0.180 x 0.7382

= 1.381.

Los valores de A y B se han tomado de la Tabla 5.2. a) b) c)

Carga en el patín inferior . Carga en el centro de torsión. Carga en el patín superior.

Cb = AB = 1.864 Cb = A = 1.35 Cb = A/B = 0.978

Cargas críticas. a) b) c)

Pcri = 4 x 1.864 x 14.6/6.0 = Pcrc = 4 x 1.35 x 14.6/6.0 = Pcrs = 4 x 0.978 x 14.6/6.0 =

18.1 Ton 13.1 Ton 9.5 Ton

En el caso b, Cb puede calcularse con la ec. 5.34. Mmáx = MB = PL/4 = 1.5 P ; ∴ Cb =

MA = MC = 0.75P

. 12 x 1.5 = 1.333 = 1.35 1.5 (2 + 4) + 0.75 (3 + 3)

La resistencia debida a la torsión de Saint Venant es ahora mayor que la que proviene de la resistencia al alabeo.

42


5.4.2.1.4 Otras condiciones de soporte lateral Hasta ahora se ha supuesto que, desde el punto de vista del pandeo lateral, los soportes son apoyos simples en flexión lateral y en torsión, a los que corresponde el valor mínimo de Mcr. En uniones diseñadas para transmitir sólo fuerza cortante (dos ángulos soldados o atornillados al alma de la viga, de longitud bastante menor que el peralte de ésta, por ejemplo), las condiciones anteriores se cumplen razonablemente; aunque hay algunas restricciones contra la rotación alrededor de y y el alabeo, no pueden cuantificarse con exactitud, y es conservador considerarlas nulas. Si la conexión transmite flexión, además de cortante, como en las uniones entre vigas y columnas de marcos rígidos, las condiciones de soporte se aproximan al empotramiento, tanto en flexión lateral como en torsión, y Mcr aumenta de manera importante. Se cuenta con varios métodos para considerar las diversas condiciones de apoyo y soporte lateral. Uno de ellos, en el que se utilizan dos coeficientes de longitud efectiva, para flexión lateral y torsión (Ky y Kz, respectivamente), se ha tratado en el art. 5.4.2. En secciones en cajón, que tienen una resistencia a la torsión por alabeo despreciable M cr =

π KyL

EI y GJ

(5.35)

Otro método consiste en definir un coeficiente Cbs, semejante a Cb, que incluye, al mismo tiempo, las condiciones de apoyo y el tipo de carga que actúa sobre la viga. De esta manera, la ec. 5.31 se convierte en M cr = C bs M 0cr

(5.36)

Si la viga está empotrada en los dos extremos, y tiene una carga concentrada en el centro o repartida uniformemente en toda la longitud, se tiene (ref. 5.9):  Pcr L/ 8 para la carga concentrada Mcr =  2  wcr L / 12 para la carga uniformemente distribuida  AB para carga en el patín inferior  Cbs =  A para carga en el centro de torsión  A/B para carga en el patín superior  Las expresiones para A y B están en la Tabla 5.3, y Mocr se calcula con la ec. 5.19 o 5.20.


43

Los coeficientes Cb de la ec. 5.31 y Cbs de la 5.36 no son iguales, pues el primero sólo toma en cuenta el efecto de la variación del momento sobre la carga crítica de pandeo lateral, y el segundo incluye también las condiciones de apoyo en los extremos de la viga. Carga

A

B

1.643+1.771W-0.405W 2

1+0.625W-0.339W 2

1.916+1.851W-0.424W 2

1+0.923W-0.466W 2

w L P L/2

L/2

Tabla 5.3 Expresiones para A y B para una viga empotrada en los extremos. Las referencias 5.7, 5.9 y 5.10 contienen información adicional para otras condiciones de apoyo y carga, incluyendo vigas en voladizo. 5.4.3 Soportes laterales intermedios y vigas continuas En vigas continuas, formadas por varios tramos unidos entre sí en los apoyos, es frecuente que se soporten lateralmente una o más secciones intermedias de alguno de los tramos; lo mismo sucede en vigas de marcos rígidos, sobre todo durante la construcción de la estructura. Si una viga con soportes laterales intermedios trata de pandearse lateralmente, el tramo crítico interactúa con los adyacentes, y su resistencia, y la de la viga completa, aumentan; la importancia de la interacción depende de la geometría de la viga y de las cargas que obran sobre ella. La viga de la Fig. 5.17 está apoyada libremente; el eje deformado vertical, que se muestra en a), es una semionda. Sin embargo, desde el punto de vista del pandeo lateral es continua, a causa de los soportes laterales intermedios (Fig. 5.17b), que son proporcionados, con frecuencia, por las mismas vigas transversales que aplican las cargas; en otras ocasiones, se colocan elementos especiales para dar apoyo lateral a las secciones intermedias. En el tramo central el gradiente de flexión es nulo, y en los laterales el momento varía de un máximo en un extremo a cero en el otro; estos tramos tienen mayor resistencia al pandeo que el central, restringen la rotación de sus extremos, y retrasan el fenómeno hasta que se igualan las resistencias de los tres.

44


* S o p o rtes la tera le s P

*

P

* L /3

*

*

L /3 L

L /3

a ) E le va ció n y d e form a ció n e n e l pla n o ve rtica l

P u n to s d e in fle xió n b ) P la n ta y de form ació n la te ral

Fig. 5.17 Viga libremente apoyada con soportes laterales intermedios. La viga de la Fig. 5.18 es continua vertical y lateralmente; sin embargo, desde el punto de vista del pandeo lateral su comportamiento es análogo al de la viga de la Fig. 5.17, aunque ahora es el tramo central el que restringe a los laterales.

*

* L s2 =L 2

*

* L s2 =L 2

L s1 =L 1

a) Elevación y deformación en el plano vertical

b) Planta y deformación lateral

* Soportes laterales

Puntos de inflexión

Fig. 5.18 Viga continua.

Los puntos de inflexión de la curva de deformación lateral se sitúan siempre en los tramos más débiles, y no coinciden con los de la deformada vertical, que aparecen en las secciones de momento nulo; por consiguiente, al estudiar la resistencia al pandeo lateral es erróneo considerar que los puntos de inflexión de la curva vertical pueden considerarse soportados lateralmente, y las distancias entre secciones de momento nulo no son las longitudes efectivas de pandeo. La Fig. 5.19 muestra el efecto de la interacción en los modos de pandeo elástico de una viga continua de tres claros. Si sólo están cargados los laterales (P2 = 0), ellos son los tramos críticos, en los que se inicia, eventualmente, el pandeo; sin embargo, el fenómeno está restringido por el tramo central, sin carga, y en la curva de pandeo


45

aparecen puntos de inflexión en los claros extremos (Fig. 5.19b); si, en cambio, el central es el único claro cargado (P1 = 0), lo restringen los laterales, y la curva de pandeo es la de la Fig. 5.19c, con puntos de inflexión en él. Entre esos dos extremos existe una condición de carga para la que no hay interacción, cada claro se pandea como si estuviera aislado de los demás, y aparecen puntos de inflexión en los dos apoyos intermedios (Fig. 5.19d). P1 L1

P2 L2

P1 L1

Los apoyos están soportados lateralm ente (a) Elevación

Puntos de inflexión (b) M odo1, P 2 =0 Puntos de inflexión (c) M odo 2, P 1 =0 Puntos de inflexión (d) M odo 3, no hay interacción

Fig. 5.19 Modos de pandeo de una viga continua de tres claros. Las curvas de las figuras b, c y d, características del pandeo lateral, corresponden a la configuración deformada de la viga fuera del plano de flexión; la curva elástica de la viga, en su plano vertical original, no depende del contraventeo lateral sino, únicamente, de las cargas. Se cuenta con abundante información teórica para evaluar la carga crítica de pandeo lateral de vigas continuas con soportes laterales entre los apoyos incluyendo, en la solución del problema, la interacción de los tramos que las componen, pero los resultados son demasiado complicados para aplicarlos en problemas rutinarios de diseño (refs. 5.20, 5.21, 5.25); por ello, se han propuesto métodos simplificados. En el más sencillo, aplicable a vigas formadas por varios segmentos con extremos apoyados o provistos de contraventeos que evitan que se alabeen y desplacen lateralmente, se ignora la continuidad lateral entre tramos adyacentes, y se considera cada uno de ellos como si, lateralmente, tuviese apoyos libres; el pandeo elástico de cada segmento se estudia considerando los momentos flexionantes que actúan en él, obtenidos con un análisis de la viga en el plano de carga, y con una longitud efectiva Le igual a la longitud L del segmento (cada tramo, entre apoyos verticales o soportes laterales, se trata como si estuviese aislado). El momento crítico elástico de cada

46


segmento se utiliza para evaluar el conjunto de cargas correspondiente, y el menor de ellos se considera el crítico. Se obtiene, así, un límite inferior de las cargas que ocasionan el pandeo que, en muchos casos, es bastante cercano al real. (En problemas de diseño basta, en general, con conocer el momento crítico de la viga, que se toma igual al menor de los calculados para los tramos que la componen; no suele ser necesario determinar las cargas correspondientes). Los resultados anteriores se pueden mejorar considerablemente, sin complicaciones excesivas, incluyendo en el análisis, de manera aproximada, la interacción del segmento crítico con los adyacentes (refs. 5.20, 5.21, 5.25); se supone que las restricciones contra el desplazamiento lateral y el alabeo de las secciones extremas son idénticas, y que las que hay en el plano de flexión se tienen en cuenta por medio del diagrama de momentos flexionantes en ese plano. Los pasos para resolver un problema son (en vez de las cargas criticas pueden utilizarse los momentos críticos, lo que suele ser ventajoso): 1.

Se determina el diagrama de momentos flexionantes en el plano de carga (Fig. 5.20a).

2.

Se determinan Cb (ec.5.32 o 5.34) y Mcr (ec. 5.31) para cada uno de los segmentos no contraventeados, con una longitud efectiva igual a la distancia real entre puntos soportados lateralmente, y se identifica el tramo que tiene la carga crítica menor. Pm, PrI y PrD (Fig. 5.20b), son las cargas críticas de pandeo del segmento más débil y de los situados a uno y otro lado de él, determinadas suponiendo que sus extremos están apoyados libremente.

3.

Se calculan las rigideces de los tres segmentos; para el segmento crítico: αm =

2 EI y Lbcr

Para los tramos adyacentes: αr = n

EI y  Pm  1 −  L  Pr 

n vale 2 si el extremo opuesto del segmento adyacente es continuo, 3 si está articulado, y 4 si está empotrado. 4.

2

Se determinan las relaciones entre rigideces G = α m α r en los dos extremos del segmento crítico, y se obtiene su factor de longitud efectiva, K, con el nomograma para columnas restringidas, sin desplazamientos lineales relativos entre sus extremos.2

El nomograma puede verse, por ejemplo, en las refs. 5.1, 5.12 ó 5.26, y se incluirá en un capítulo posterior de este libro. Aparece también en la Fig. E5.5.2.


5.

47

Se calcula el momento crítico de pandeo lateral del segmento más desfavorable con la ecuación: M cr =

Cb π KL

EI y GJ + E 2 C a

π2 (KL) 2

Iy

que es la ec. 5.19a, en la que se han introducido el coeficiente Cb y la longitud efectiva KL. Puede utilizarse también la ec. 5.19b, con los factores Cb y K. Conocido Mcr puede determinarse, si se desea, la carga crítica elástica correspondiente.

Mn

Mn+1 (a)

PrΙ, αrΙ

Pm , αm

PrD , αrD

Lbcr

LD

LΙ

(b) Fig. 5.20 Efectos de las restricciones en los extremos: (a) momentos flexionantes en el plano de carga, (b) contraventeo lateral y longitudes de pandeo. El problema puede resolverse trabajando sólo con momentos, sin recurrir a calcular las cargas críticas, como se ilustra en el Ejemplo 5.5. El método anterior está basado en una similitud entre el pandeo elástico de columnas continuas con extremos fijos linealmente y el pandeo lateral por flexotorsión de vigas formadas por varios tramos (ref. 5.21). EJEMPLO 5.53 La viga de la Fig. E5.5.1 es un tramo de una viga continua, o forma parte de una estructura reticular; los apoyos y los puntos de aplicación de las cargas (1 a 5) están soportados lateralmente. Se desea determinar su momento crítico elástico, a) considerando cada tramo, entre puntos fijos lateralmente, aislado de los demás; b) teniendo en cuenta la interacción de los tramos. La viga es una W 24” x 55 lb/ft (61.0 cm x 82 Kg/m). 3

Este ejemplo esta basado en uno de la ref. 5.25.

48


15.8T.=2P; 23.7T.=3P; 7.9T.=P 1 3.80m

90.0Tm=0.75PL 5

2

3

4

3.80m

3.80m

3.80m

a) Dimensiones y cargas

75.0= 90.0= 0.625PL 0.75PL

15.0= 0.125PL

b) Diagrama de momentos flexionantes (Tm)

90.0= 0.75PL

Fig. E5.5.1 Viga del ejemplo 5.5. Propiedades geométricas de la viga (ref. 5.22). Iy = 1210 cm4; J = 49.1 cm4;

Ca = 1039 x 103 cm6

Coeficientes Cb. Pueden calcularse con la ec. 5.32, pues el momento flexionante varía linealmente en cada tramo. Tramo 1.2 M1/M2= 0, Cb = 1.75 Tramo 2.3

M1/M2 = -(75.0/90.0) = -0.833

Cb = 1.75 + 1.05 (-0.833) + 0.3 (-0.833)2 = 1.084 < 2.3.

Cb = 1.084

Tramo 3.4. M1/M2 = -(15.0/90.0) = -0.167. Cb = 1.75 + 1.05 (-0.167) + 0.3 (-0.167)2 = 1.583 < 2.3.

Tramo 4.5

Cb = 1.583

M1/M2 = 15.0/90.0 = 0.167

Cb = 1.75 + 1.05 x 0.167 + 0.3 x 0.1672 = 1.934 < 2.3.

Cb = 1.934

Momentos críticos elásticos, suponiendo tramos aislados. Se calculan con la ec. 5.19a o 5.19b, incluyendo en ellas el coeficiente Cb (ec. 5.31), y tomando la longitud de pandeo de cada tramo igual a su longitud real. Tramo 1.2


Mcr =

=

49

 J  π 2  CbπE Iy +   Ca  L  2.6  L    49.1  π  2  1.75πE  x 1039 x 10 3  x 10 -5 1210  + 380  2.6  380  

= 97.30 Tm. Mcr/Mmáx = 97.30/75.0 = 1.30.

Como L = 3.80 m en todos los tramos, la única cantidad que varía en la ecuación anterior es Cb.

Tramo 2.3

Mcr =

Tramo 3.4

Mcr =

Tramo 4.5

Mcr =

a)

97.30 175 . 97.30 175 . 97.30 175 .

x 1.084 = 60.27 Tm ;

60.27 Mcr = = 0.67 Mmáx 90.0

x 1.583 = 88.01 Tm ;

88.01 Mcr = = 0.98 Mmáx 90.0

x 1.934 = 107.53 Tm ;

107.53 Mcr = = 1.19 Mmáx 90.0

Considerando cada tramo por separado, el crítico es el 2.3; el momento crítico elástico de la viga puede tomarse, conservadoramente, igual a (Mcr)2.3 = 60.27 Tm.

La viga no resistiría las cargas que actúan sobre ella, que producen momentos mayores que el crítico, pero eso no invalida el ejemplo. Las acciones que ocasionarían el pandeo elástico de la viga (determinadas sin considerar la interacción de los diversos tramos) y el diagrama de momentos correspondiente, se obtienen multiplicando por 0.67 las cargas y momentos de la Fig. E5.5.1. Rigideces aproximadas (del tramo crítico y los dos adyacentes). Tramo 1.2. α 12 =

3EI y  (M cr /M máx )mín 1 L  (M cr /M máx )12

 3 x 1210 E  0.67  1  = 9.44 x 106 Kgcm. =  1.30  380 

Tramo 2.3. α23 = 2EIy/L = 2 x 1210E/380 = 12.99 x 106 Kgcm. Tramo 3.4. α34 =

2EI y  (M cr /M máx )mín  2 x 1210E  0.67  1  = 4.11 x 106 Kgcm. 1 = 380  0.98  L  (M cr /M máx )34 

50


Coeficientes G.

G2 = 12.99/9.44 = 1.38;

G3 = 12.99/4.11 = 3.16.

Factor de longitud efectiva. De la Fig. E5.5.2, K23 = 0.85. b)

Momento crítico elástico corregido (Tramo 2-3).

(Mcr) 2.3 =

 49.1   2 1.084πE π  x 1039 x 10 3  x 10 -5 = 80.95 Tm 1210  + 0.85 x380  2.6  0.85 x 380  

Al considerar la continuidad del tramo crítico con los que están a sus lados, el momento crítico elástico de la viga sube de 60.37 Tm, que corresponde al tramo 2-3 aislado, a 80.95 Tm, lo que representa un incremento de 34%. (80.95/60.37 = 1.34). El incremento en resistencia del párrafo anterior se refiere a pandeo elástico; sin embargo, como se ve más adelante, la mayoría de las vigas de estructuras reales se pandean en el intervalo inelástico, lo que obliga a corregir los resultados obtenidos hasta ahora; la diferencia entre los momentos críticos reales, corregidos por inelasticidad, suele ser mucho menor que la que hay entre los elásticos. El pandeo lateral puede ser más crítico durante la construcción que en la estructura terminada; esto sucede, por ejemplo, en las vigas compuestas, antes de colar la losa de concreto. El problema puede resolverse también en función de las cargas críticas de cada tramo, en vez de los momentos críticos; para ello, se expresan las cargas y los momentos en función de la menor de ellas, P, y del claro L = 15.20 m de la viga (Fig. E5.5.1). Se obtiene, así: Tramo 1-2. Mcr = 97.30 Tm = 0.625 PcrL ∴ Pcr = 10.24 Ton. Tramo 2-3. Mcr = 60.27 Tm = 0.75 PcrL ∴ Pcr= 5.29 Ton. Tramo 3-4. Mcr = 88.01 Tm = 0.75 PcrL ∴ Pcr = 7.72 Ton. Tramo 4-5. Mcr = 107.53 Tm = 0.75 PcrL ∴ Pcr = 9.43 Ton. El tramo crítico es el 2-3.


51

oo

Gs

5 0.0 1 0.0 5 .0 4 .0 3 .0

K

Gi 1 .0

0 .9

2 .0

oo 5 0.0 1 0.0 5 .0 3 .0 2 .0

0 .8 1 .0 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5

0 .7

1 .0 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5

0 .4

0 .4

0 .3

0 .3

0 .2

0 .6

0 .1 0

0 .2 0 .1

0 .5

0

Fig. E5.5.2 Nomograma para determinar el factor de longitud de columnas en marcos con desplazamientos laterales impedidos.

Rigideces aproximadas. α 12 =

3EI y  (Pcr )2-3  3 x 1210 E  5.29  1  = 9.42 x 106 Kgcm. 1 =  10.24  L  (Pcr )1-2  380

α23 = 2EIy/L = 12.99 x 106 Kgcm. α34 =

2EI y  (Pcr )23  2 x 1210E  5.29  1  = 4.09 x 106 Kgcm. 1 = L  (Pcr )34  380  7.72 

Los resultados son prácticamente iguales a los de arriba, de manera que se obtiene el mismo momento crítico corregido. (Mcr)2-3 = 80.95 Tm = 0.75 PcrL ∴ Pcr = 7.10 Ton. 7.10/5.29 = 1.34, igual que arriba.

52


Las cargas que ocasionarían el pandeo elástico de la viga se obtienen sustituyendo P por Pcr = 7.10 Ton en la Fig. E5.5.1a. EJEMPLO 5.6 Igual que el ejemplo 5.5. La viga es una W12” x 50 lb/ft (31 cm x 74 Kg/m), con las dimensiones y cargas que se indican en la Fig. E5.6.1. 2.3T.

3.5T.

2

3

1 2m

3m

5.8Tm 4 4m

R=2.7Ton a) Dimensiones y cargas

5.4

(+) 6.6

(-) 5.8 b) Diagrama de momentos flexionantes (Tm)

Fig. E5.6.1 Viga del ejemplo 5.6.

Propiedades geométricas de la W12 x 50 (ref. 5.22) Iy = 923 cm4; J = 74.1 cm4; Ca = 504 847 cm6

Coeficientes Cb. Pueden calcularse con la ec. 5.32, pues el momento flexionante varía linealmente en cada uno de los tramos. Tramo 1-2. M1/M2 = 0, Cb = 1.75 Tramo 2-3. M1/M2 = -(5.4/6.6) = -0.818 (curvatura simple). Cb = 1.75 + 1.05 (-0.818) + 0.3 (-0.818)2 = 1.09 < 2.3 ∴ Cb = 1.09

Tramo 3-4. M1/M2 = +5.8/6.6 = 0.879 (curvatura doble) Cb = 1.75 + 1.05 x 0.879 + 0.3 x 0.8792 = 2.90 > 2.3 ∴ Cb = 2.3


53

Momentos críticos elásticos, suponiendo tramos aislados. EC a 504 847 = 2.6 X = 133.1 cm. GJ 74.1

Esta cantidad es constante para todos

los tramos. Tramo 1-2. Ec. 5.20, con el coeficiente Cb. =

1.75π 200

E2 x 923 x 74.1 2.6

 π  1+ x 133.1  200 

Mcr =

Cb π L

1+W 2 =

EI y GJ

2

x 10-5 =

0.027 x 330.70 x 106 x 2.32 x 10-5 =

210.7 Tm. Mcr/Mmáx = 210.7/5.4 = 39.02.   133.1 π  2  1.09π   (330.7 x 10 6 ) 1 +  Tramo 2-3. Mcr = 300   300   Mcr/Mmáx = 64.8/6.6 = 9.82.

Tramo 3-4. Mcr =

0.5

  133.1 π  2  2.90π   (330.7 x 10 6 ) 1 +  400   400  

x10-5 = 64.8 Tm ;

0.5

x 10-5 = 109.0 Tm ; Mcr/Mmáx = 109.0/6.6

=16.52

a) Considerando cada tramo por separado, el tramo crítico es el 2-3, y el momento crítico elástico de la viga puede tomarse, conservadoramente, igual a 64.8 Tm. Rigideces aproximadas. Tramo 1-2. α12 = Tramo 2-3

3EI y  (M cr /M máx )mín  3 x 923 E  9.82  1  = 21.13 x 10 6 1 = L  (M cr /M máx )12  200  39.02 

α23 = 2EIy/L = 2 x 923 E/300 = 12.55 x 106

Tramo 3-4. α34 = Coeficientes G.

3EI y  (M cr /M máx )mín 1 L  (M cr /M máx )34

 3 x 923 E  9.82  1  = 5.72 x 10 6 = 400  16.52  

G2 = 12.55 x 106/21.13 x 106 = 0.59 G3 = 12.55 x 106/5.72 x 106 = 2.19

Factor de longitud efectiva. Del nomograma de la Fig. E5.5.2,

K23 = 0.78

54


b)

Momento crítico elástico corregido del tramo crítico (2-3).

(Mcr)23 =

1.09π 0.78 x300

 133.1π  E2  x 923 x 74.1 1 +   0.78x300  2.6

2

x 10-5 = 99.1 Tm.

Teniendo en cuenta la continuidad de los tramos, el momento crítico de la viga es de 99.1 Tm, 53% mayor que el que se obtiene considerando los tramos aislados (99.1/64.8 = 1.53).


5.5

55

PANDEO LATERAL INELÁSTICO

5.5.1 Aspectos generales De la misma manera que la teoría de Euler sobrestima la resistencia de las columnas que se pandean fuera del intervalo elástico, las ecuaciones que se han visto hasta ahora para calcular Mcr proporcionan valores que pueden ser mucho mayores que la resistencia última de las vigas, si el pandeo se inicia cuando parte de sus secciones transversales está plastificada. Se presenta, en este caso, un fenómeno de pandeo inelástico, característico de vigas de longitud libre (separación entre secciones soportadas lateralmente) intermedia (art. 5.2.1 y Fig. 5.3). A causa de los esfuerzos residuales, la plastificación comienza antes de que se alcance el momento plástico, Mp = Zx Fy, en las secciones tipo 1 o 2, o el momento elástico límite, My = Sx Fy, en las tipo 3. La plastificación parcial de las secciones transversales ocasiona una disminución de las diversas rigideces (EIx, EIy, GJ y ECa), pues las zonas plastificadas se deforman libremente bajo carga creciente, y la sección efectiva, desde el punto de vista de la resistencia al pandeo lateral, disminuye (se reduce a la parte que se conserva en el intervalo elástico). La complejidad del problema del pandeo lateral inelástico se debe a varias razones: 1.

La distribución de esfuerzos residuales en las secciones transversales depende de su geometría y del proceso de fabricación del perfil, y puede variar de manera apreciable aún entre vigas teóricamente iguales.

2.

Cuando comienza la plastificación, las secciones bisimétricas pierden la simetría respecto al eje de flexión, porque al superponerse los esfuerzos producidos por la flexión con los residuales el flujo plástico se inicia en los extremos del patín comprimido y en la zona central del que está en tensión y, cuando crece el momento, se extiende hacia el interior del primero y hacia los extremos del segundo penetrando, además, en la parte del alma que está en contacto con éste (Fig. 5.21).

3.

Si el momento flexionante varía a lo largo del eje de la viga, la amplitud de las zonas plastificadas y la geometría del núcleo elástico, del que proviene la resistencia al pandeo lateral, cambian de unas secciones a otras; el problema se convierte en la determinación del momento crítico de una viga con un solo eje de simetría y de momento de inercia variable.

4.

Los defectos geométricos inevitables, sobre todo que el eje de la viga no sea rigurosamente recto, como se supone en la teoría, influyen mucho más en la resistencia al pandeo inelástico que en el elástico.

El análisis teórico es tan complicado que no se cuenta con soluciones analíticas del problema general en el intervalo inelástico.

56


σrt

σrc

σσ rc=0.3y σrt=

bt bt+c(d-2t) σrc b t c

d 2 x

x x

d 2

Zonas plastificadas en compresión Centroide de la sección Centro de cortante del núcleo elástico

t y

Zona plastificada en tensión

Fig. 5.21 Esfuerzos residuales simplificados y zonas plastificadas. Suponiendo una distribución de esfuerzos residuales y procediendo por etapas sucesivas, con métodos numéricos o elementos finitos, se puede seguir el comportamiento de una viga hasta que falla por pandeo inelástico; aunque los resultados que proporcionan estos métodos analíticos son de aplicación práctica muy limitada, combinándolos con resultados experimentales permiten definir curvas sencillas de transición entre el pandeo elástico y la plastificación total de las secciones tipo 1 o 2, o la parcial de las tipo 3. En la Fig. 5.22 se muestra la curva adimensional Mcr M y − L ry típica de las secciones I laminadas en caliente, relevadas de esfuerzos residuales, en flexión pura, producida por momentos iguales y de sentidos contrarios aplicados en los extremos (curva a); en el intervalo inelástico Mcr M y > 1 , la variación del momento resistente en función de la

(

)

esbeltez es casi lineal. También se muestra en la figura una curva típica de las secciones I laminadas en caliente, con esfuerzos residuales, con la misma condición de carga (curva b). Los esfuerzos residuales reducen de manera apreciable la resistencia del perfil al pandeo lateral por flexotorsión, en el intervalo inelástico, y hacen que el momento para el que se inicia el flujo plástico esté muy por debajo de My.


57

1.4 1.2 Mocr My

Endurecimiento por deformación

Pandeo elástico Momento plástico

(a) 1.0

(b)

Vigas Ι sin esfuerzos residuales

0.8 0.6 0.4

Vigas Ι laminadas en caliente, con esfuerzos residuales Mocr

Mocr L

0.2 0

50

100

150

200

250

300

L/ry

Fig. 5.22 Resistencia de vigas en función de su esbeltez (momentos iguales y de sentidos contrarios en los extremos). La ref. 5.11 contiene resultados numéricos obtenidos para vigas I, laminadas en caliente, con diversas condiciones de carga; algunos de ellos se muestran en la Fig. 5.23, en la que se han trazado curvas adimensionales M 2 M p − M y Mcr , donde M y Mcr es una esbeltez modificada. La condición de carga más severa es la que producen dos pares iguales y de sentidos contrarios, que flexionan la viga en curvatura simple, y la menos severa la correspondiente a pares iguales, que la flexionan en curvatura doble. En el primer caso hay flujo plástico en toda la longitud de la viga, y en el segundo se limita, en general, a porciones pequeñas, en los apoyos o cerca de ellos.

Fig. 5.23 Resistencia de vigas con momentos desiguales en los extremos. Cuando las vigas son muy robustas, fallan por formación de un mecanismo de colapso con articulaciones plásticas, sin que haya inestabilidad lateral; en la Fig. 5.22 se indica, con línea interrumpida, el momento plástico resistente de una sección I laminada típica,

58


que es del orden de 1.12 veces My. Aunque una viga completamente plastificada resiste, en realidad, un momento mayor que Mp, por el endurecimiento por deformación del material, este efecto suele ignorarse en el diseño. 5.5.2 Criterios para determinar la resistencia Se han propuesto varios métodos para calcular aproximadamente, con fines de diseño, el momento crítico de pandeo de vigas que fallan en el intervalo inelástico. Entre ellos están los siguientes: 1.

Se supone que la relación entre las resistencias al pandeo elástico e inelástico es la misma para vigas que para columnas, de manera que el momento crítico de las vigas que fallan por pandeo lateral en el intervalo inelástico se determina calculando su momento crítico elástico ideal, correspondiente a una respuesta elástica ilimitada, y corrigiéndolo con una curva esfuerzo crítico - relación de esbeltez obtenida para columnas. Este procedimiento es la base de las fórmulas de diseño de las refs. 5. 12 y 5.13. La ecuación de partida es la 2.28 del Capítulo 2,  σy   σ cr = σ y 1 −  4σ cre 

(2.28)

que proporciona el esfuerzo crítico de pandeo inelástico de una columna, σcr, en función del esfuerzo crítico elástico ideal correspondiente, σcre. En la deducción de la ec. 2.28 se supone que los esfuerzos residuales máximos de compresión son iguales a σy / 2 , de manera que el pandeo lateral se inicia en el intervalo inelástico siempre que las acciones exteriores ocasionan esfuerzos mayores que el cincuenta por ciento del de fluencia. En términos de momentos, la ec. 2.28 toma la forma 

(M cr ) corr = M y 1 − 

My   4 M cre 

(5.37)

Mcre es el momento crítico elástico hipotético, correspondiente a las condiciones de apoyo y carga de la viga real, My = Sσy es el momento para el que se iniciaría el flujo plástico de la sección, si no hubiera esfuerzos residuales, y (Mcr)corr es el momento crítico real, corregido por inelasticidad. De acuerdo con las hipótesis aceptadas, el pandeo se inicia en el intervalo inelástico, y el momento crítico se calcula con la ec. 5.37, siempre que Mcre es mayor que My/2.


59

La ec. 5.37 no tiene en cuenta que en vigas muy cortas puede alcanzarse el momento de plastificación de la sección, Mp, sin pandeo lateral prematuro, pues el valor máximo de (Mcr)corr dado por ella, para un momento crítico elástico infinitamente grande, que corresponde a L = 0, es My. Sus resultados mejoran sustituyendo My por Mp, para que el momento crítico corregido tienda a Mp cuando L tiende a cero. 2.

El pandeo lateral por flexotorsión en el intervalo inelástico se representa con una línea recta que une los puntos correspondientes a la longitud máxima para la que se alcanza el momento Mp, sin capacidad de rotación, y la longitud mínima para la que el fenómeno se inicia en el intervalo elástico. La primera longitud se determina experimentalmente, y la segunda depende del valor supuesto para los esfuerzos residuales máximos de compresión. Este es el criterio que se utiliza en la ref. 5.14.

3.

En la ref. 5.15 se define la zona de transición empleando el módulo de elasticidad tangente, Et, para tener en cuenta la pérdida de rigidez ocasionada por la plastificación parcial de la viga. De acuerdo con ese criterio, el momento que produce el pandeo es M cri = M cre E t E

Si se admite que para la longitud máxima para la que la viga se plastifica por completo, sin pandearse lateralmente, E t E = 0.25 , se obtieneM cri = M cre 0.25 = M p , de donde M cre = 2M p . Para definir el límite superior de la zona de transición, en la ref. 5.15 se toma M cre = 2.15M p , que corresponde a E t E = 0.22 (Fig. 5.24). . , El límite inferior de la zona de comportamiento inelástico, en el que E t E = 10 queda definido por el punto de la curva para pandeo elástico en el que M cre = 0.67M p . Dicho de otra manera, si M cre < 0.67M p , el pandeo lateral es elástico, y si Mcre ≥ 0.67M p , se inicia en el intervalo inelástico. Esto equivale a suponer que los esfuerzos residuales máximos de compresión valen 0.33 Fy, independientemente del tipo de acero, del proceso de fabricación, y de la forma de las secciones transversales de la viga.

60


Mu 2,15Mp

Secciones tipo 1 o 2

1,15Mp Mp

Mcri(Ec.5.39)

0,67Mp Mcre (Ec.5.19a

Lp

L

Fig. 5.24 Criterio para definir la zona de transición (ref. 5.15). Con los dos límites anteriores, la zona de transición puede definirse con la ecuación

(

M cri = a + b M p M cre

)

(5.38)

Las constantes a y b se determinan con los dos puntos conocidos, M cri = Mp cuando Mcre = 2.15M p , y Mcri = 0.67M p cuando M cre = 0.67 M p :a = 1.15 M p , b = -0.322 M p Llevando estos valores a 5.38,   0.28M p  0.322M p   = 1.15M p 1 − ≤ Mp M cri = M p 1.15 − M cre  M cre   

(5.39)

Aunque Mcre no varía linealmente con L, la representación gráfica de la ecuación anterior es casi una línea recta. La ec. 5.39 es válida para secciones de los tipos 1 y 2, y se utiliza también para las tipo 3 admitiendo como límite del comportamiento elástico Mcre = 0.67My, y sustituyendo Mp por My:


 0.28M y  ≤ My M cri = 1.15M y 1 − M cre  

61

(5.40)

En la ref. 5.16 se utilizan también las ecs. 5.39 y 5.40. Los coeficientes correctivos correspondientes a las diferentes condiciones de apoyo y carga se introducen en las ecs. 5.37, 5.39 y 5.40 modificando el valor de Mcre. Su influencia disminuye cuando Mcri se acerca a Mp o My.

62

5.6


RESISTENCIA DE DISEÑO EN FLEXIÓN

Cuando el contraventeo lateral es adecuado, está regida por la resistencia de las secciones transversales, que pueden fallar por pandeo local (capítulos 3 y 4); en caso contrario, la controla el pandeo lateral por flexotorsión. 5.6.1 Miembros en los que el pandeo lateral no es crítico La resistencia a la flexión de miembros provistos de soporte lateral continuo, o con separaciones L no mayores que Lu, (Fig. 5.25), depende de las relaciones ancho/grueso de los elementos planos que los componen, pues como el pandeo lateral está impedido la falla se produce, eventualmente, por pandeo local.4 M y F R

Mp en Secs. tipo 1 y 2 My en Secs. tipo 3 A Ec. 5.50 o 5.51 (Secs. tipo 1 a 4) Ec. 5.48 en Secs. tipo 1 y 2 Ec. 5.60 en Secs. tipo 3 y 4

2 M en Secs. tipo 1 y 2 3 p

B

2 M en Secs. tipo 3 3 y Falla por pandeo local

Diseño plástico

0

0

Lp

Falla por pandeo lateral

L

Lr

Lu

Vigas robustas

Vigas intermedias

Vigas esbeltas

Pandeo local (no hay pandeo lateral)

Pandeo lateral inelástico

Pandeo lateral elástico

Fig. 5.25 Resistencia al pandeo lateral de vigas de diversas longitudes. En el art. 3.10.2, capítulo 3, se estudia el pandeo local de vigas, y en la Tabla 3.6 se indican los límites de los diversos tipos de sección, clasificados de acuerdo con este fenómeno. En vigas de sección transversal tipo 1 ó 2 en las que L, distancia entre secciones soportadas lateralmente, no excede de Lu, el momento resistente de diseño MR es 4

La falla puede presentarse también sin pandeo local, cuando se forme un mecanismo con articulaciones plásticas.


63

MR = FRZFy = FRMp

(5.41)

producto del factor de resistencia FR por el momento plástico nominal de la sección, Mp = ZFy, puesto que no se producen fallas prematuras por pandeo local ni lateral. FR suele tomarse igual a 0.9. Además, si las secciones son tipo 1, L no excede de Lp en zonas de formación de articulaciones plásticas asociadas con el mecanismo de colapso, y se cumplen las condiciones adicionales señaladas en la sección 1.3 de la ref. 5.16, puede utilizarse la teoría plástica para el análisis de la estructura y el diseño de sus vigas.5 Si las secciones son tipo 3 y L ≤ Lu, tampoco es crítico el pandeo lateral; la viga falla por pandeo local cuando se inicia el flujo plástico en la sección crítica; en ese caso, (5.42)

MR = FRSFy = FRMy

Pueden, sin embargo, tomarse momentos resistentes mayores cuando las relaciones ancho/grueso de patines y alma están comprendidas entre los límites que definen a las secciones tipos 3 y 2 (Fig. 5.26). Para ello, se interpola linealmente entre los puntos A y B de la Fig. 5.26, cuyas coordenadas se conocen, o se evalúan directamente con la ecuación de la recta AB (ecs. 5.43 y 5.44). Pandeo de los patines. Las coordenadas de los puntos A y B son (0.378 E/F y , FRMp) y (0.581 E/F y , FRMy), y la recta que los une tiene por ecuación  b  MR = FRMp 1.1693 - 0.4427 2t 

F y  E 

(5.43)

Pandeo del alma. La ecuación de la recta que une los puntos A (3.712 E/Fy , FRMp) y B (5.602 E/F y , FRMy), es  h MR = FRMp 1.1785 - 0.0485 t 

5

F y  E 

(5.44)

Las secciones tipo 2 tienen capacidad de rotación suficiente para ser utilizadas en estructuras diseñadas plásticamente que se construirán en zonas no sísmicas; las tipo 1 son adecuadas para vigas de estructuras en las que se requiere una gran ductilidad, como son los edificios de varios pisos en zonas de alta sismicidad.

64


En las dos ecuaciones anteriores se ha supuesto que el perfil tiene un factor de forma de 1.10 (f = Mp/My = 1.10). MR

Secs. tipo 1 o 2

FR Mp

A

Secs. tipo 3

Secs. tipo 4

B

FR M y

0.378

E/Fy 0.581

E/Fy

(b/2t) patines

3.712

E/Fy 5.602

E/Fy

(h/t) alma

Fig. 5.26 Momentos resistentes de diseño en vigas con secciones tipo 3. El pandeo lateral no es crítico. Por último, si el alma o almas y los patines de la sección, o alguno de ellos, es tipo 4, el estado límite de falla es por pandeo local del elemento plano más desfavorable. 5.6.1.1

Miembros que no se pandean

El pandeo lateral no puede presentarse, cualquiera que sea la longitud libre, en vigas de sección transversal circular o cuadrada, maciza o hueca, de cualquier tipo (1 a 4), o cuando la flexión es alrededor del eje de menor momento de inercia de las secciones transversales; en todos esos casos las vigas son estables desde el punto de vista de esa forma de pandeo. La resistencia de diseño se determina con la ec. 5.41 ó 5.42, si la sección es tipo 1, 2 ó 3, o queda regida por pandeo local, cuando es tipo 4. EJEMPLO 5.7 La viga libremente apoyada de la Fig. E5.7.1a, de sección transversal constante y 8.00 m de claro, debe soportar tres cargas concentradas, en las posiciones que se indican. El sistema de piso proporciona soporte lateral continuo a su patín superior. Determine las intensidades máximas de diseño de las cargas, tomando como estado límite el agotamiento de la resistencia a la flexión en la sección crítica, para vigas con las secciones transversales hechas con tres placas soldadas que se indican en las Figs. E5.7.1.b a e. El acero es A36 (Fy = 2530 Kg/cm2). El peso propio de la viga se considera incluido en las cargas exteriores.


65

P

P

t =1.27 p

P

2m 2m 2m 2m

d=40.6cm

t =1.27 p

t =0.63 a h=38.1cm

L=8.00m

ta=0.63

d=60.0cm h=57.46cm

(a) 1.27

(b) b=20.3cm t =1.27 p

d=80cm

t =1.27 p

t =0.63 a h=77.46cm d=80cm

b=20.3cm

t =0.63 a h=77.46cm

1.27 (d) b=38cm

1.27

(c)

1.27 (e)

b=60cm

Fig. E5.7.1 Viga del ejemplo 5.7 y secciones transversales que se consideran en él. Mmáx = 1.5 P x 4 - P x 2 = 4.00 P. Tomando P en Ton,

Mmáx se obtiene en Tm.

Como no puede haber pandeo lateral, la resistencia queda regida por el pandeo local de los elementos planos que forman la sección o por agotamiento de la resistencia a la flexión en la sección de momento máximo (Art. 5.6.1). Como la viga es isostática, una sola articulación plástica la convierte en un mecanismo. A continuación se indican las relaciones ancho/grueso máximas de patines y almas de secciones I sometidas a flexión alrededor de su eje de mayor momento de inercia, para acero con Fy = 2530 Kg/cm, correspondientes a los diferentes tipos de sección que se especifican en el art. 3.10.2.1: SECCIÓN Patines (b/2tp) Alma (h/ta)

TIPO 1 9.1 69.6

Sección b. Clasificación (art. 3.10.2.1). Patines.

b/2tp = 20.3/(2 x 1.27) = 8.0 < 9.1

TIPO 2 10.7 105.4

TIPO 3 16.5 159.0

66


Alma.

h/ta = 38.1/0.63 = 60.5 < 69.6

La sección es tipo 1; el estado límite de resistencia en flexión se alcanza cuando se forma una articulación plástica en el centro del claro, donde el momento es máximo. Z = 1242.1 cm3, Mp = ZFy = 1242.1 x 2530 x 10-5 = 31.4 Tm.

El valor máximo de diseño de P se obtiene de la igualdad Mmáx = MR = FRZFy = FRMp (Ec. 5.41). 4.00 P = 0.9 x 31.4 ∴ Pu = 0.9 x 31.4/4.0 = 7.1 Ton.

El valor máximo de diseño de las cargas P que resiste la viga con la sección transversal b) es Pu = 7.1 ton. Sección c. Clasificación (art. 3.10.2.1). Patines.

b/2tp = 20.3/(2 x 1.27) = 8.0 < 9.1

Alma.

h/ta = 57.46/0.63 = 91.2 69.6 < 91.2 < 105.4

Los patines satisfacen los requisitos de las secciones tipo 1, pero la relación h/ta del alma está comprendida entre las tipo 1 y 2. La sección es tipo 2. Como en las secciones tipo 1, se alcanza el estado límite de resistencia en flexión cuando se forma una articulación plástica en el centro del claro. (No hay diferencias en el comportamiento de las secciones tipo 1 y 2, pues como la viga es isostática la falla se presenta, en las dos secciones, cuando se forma la primera articulación plástica, sin redistribución de momentos). Z = 2034 cm3, Mp = ZFy = 2034 x 2530 x 10-5 = 51.46 Tm.

El valor máximo de diseño de P se obtiene de la igualdad Mmáx = MR = FRMp (Ec. 5.41). 4.00 P = 0.9 x 51.46 ∴ P = Pu = 0.9 x 51.46/4.0 = 11.6 Ton.

Las cargas máximas de diseño, Pu, que resiste la viga con la sección transversal c) son Pu = 11.6 Ton.


67

Sección d. Clasificación. Patines.

b/2tp = 38/(2 x 1.27) = 15.0 10.7 < 15.0 < 16.5

Alma.

h/ta = 77.46/0.63 = 123.0 105.4 < 123.0 < 159.0

Las relaciones ancho/grueso de patines y alma están entre los límites de las secciones tipo 2 y 3. La sección es tipo 3. La resistencia de diseño de la viga, MR, corresponde a la aparición del esfuerzo de fluencia en los bordes superior e inferior de la sección media, en la que el momento flexionante es máximo; está dada por (Ec. 5.42) MR = FRSFy = FRMy S = 4530 cm3, MR = 0.9 x 4530 x 2530 x 10-5 = 99.0 Tm.

El valor máximo de diseño de P se obtiene de la igualdad Mmáx = MR. 4.00 P = 99.0 ∴ P = Pu = 99.0/4.0 = 24.8 Ton.

El momento MR puede incrementarse de acuerdo con el art. 5.6.1 (Fig. 5.26 y ecs. 5.43 y 5.44): Z = 4745 cm3, Mp = 120.0 Tm.

Como b/2tp = 15.0 está comprendido entre 0.378 E / Fy = 10.7 y 0.581 E / Fy = 16.5, MR está entre 0.9My = 99.0 Tm y 0.9Mp = 108.0 Tm. Se obtiene por interpolación lineal entre FRMp y FRMy, teniendo en cuenta las relaciones b/2tp a las que corresponden esos dos momentos (Fig. E5.7.2a). De manera análoga se determina el momento resistente correspondiente al pandeo local del alma (Fig. E5.7.2b). MR está regido por el pandeo local de los patines, producido por un momento de 101.3 Tm, menor que 105.0 Tm, que ocasiona el pandeo local del alma. La aplicación de las ecuaciones 5.43 y 5.44 lleva a los mismos resultados: pandeo local de los patines, MR = 101.0 Tm, pandeo local del alma, MR = 104.6 Tm. Por consiguiente, MR = 101.3 Tm, Pu = 101.3/4.0 = 25.3 Ton.

68


La viga de sección d) resiste cargas máximas de diseño de 25.3 ton.

Patines Tm

Alma Tm

FRMp=108.0

101.3

FRMy=99.0

FRMp=108.0

105.0

FRMy=99.0 b/2t p

10.7=0.378 E Fy

15.0 16.5=0.581 E Fy

108.0-99.0 M =99.0+ 16.5-10.7 (16.5-15.0)=101.3T m R (a)

3.712

h/ta E =105.4 E =159.0 5.602 Fy Fy 123.0

108.0-99.0 M =99.0+ 159.0-105.4(159.0-123.0)=105.0Tm R MR=101.3Tm

(b)

Fig. E5.7.2 Incremento del momento resistente de la sección d (tipo 3). Sección e. Clasificación. Patines.

b/2tp = 60.0/(2 x 1.27) = 23.6 > 16.5.

Alma.

h/ta = 77.46/0.63 = 123.0 105.4 < 123.0 < 159.0


69

El alma es tipo 3 y los patines tipo 4; el momento resistente corresponde a la iniciación del pandeo local del patín comprimido. Vale (ref. 5.16, y sec. 3.10.1.2.3): MR = FRQsSFy = FRQsMy ≤ FRMy        0.378 E = 10.7  <  b = 23.6  < 1.029 E = 29.2       2t  Fy Fy     p   ∴ Qs = 1.415 - 0.00052 x 23.6

2530 = 0.798

S = 6578 cm3, My = 166.4 Tm, MR = 0.9 X 0.798 X 166.4 = 119.5 Tm < FRMy = 149.8 Tm. ∴ Pu = 119.5/4.0 = 29.9 Ton. El momento resistente máximo de diseño está regido por

la resistencia al pandeo local del patín comprimido. 5.6.2 Miembros en los que el pandeo lateral es crítico Cuando la distancia entre puntos soportados lateralmente es mayor que Lu (Fig. 5.25), el estado límite de falla de vigas de sección transversal I o H flexionadas alrededor de los ejes de mayor momento de inercia suele ser el de pandeo lateral por flexotorsión, que ocasiona disminuciones, que pueden ser muy significativas, en la resistencia a la flexión. (En vigas con secciones transversales tipo 4 pueden presentarse fallas prematuras por pandeo local, bajo solicitaciones más pequeñas). El pandeo lateral no suele ser crítico en estructuras terminadas, en las que las vigas están soportadas lateralmente, casi siempre, por los sistemas de piso; sin embargo, puede serlo en casos particulares, o durante el proceso de montaje. 5.6.2.1

Pandeo lateral en el intervalo elástico

En una viga libremente apoyada de sección I o H, flexionada por momentos en los extremos, aplicados alrededor de los ejes de mayor inercia, que producen flexión uniforme, es decir, momento flexionante constante y curvatura simple, el momento crítico, para el que se inicia el pandeo lateral por flexotorsión, se calcula con la expresión: Mcr =

π L

2

 πE  πE EI y GJ +   I y C a =  L  L

 J  π 2  I y  +   C a   2.6  L  

(5.19, a y b)

Las ecs. 5.19 son válidas cuando el pandeo se inicia en el intervalo elástico, lo que sucede cuando la longitud libre L es igual o mayor que Lr. En buena parte de los casos reales proporcionan resultados conservadores, pues el momento flexionante no suele ser constante en toda la longitud L, y las conexiones entre la viga y los elementos estructurales en los que se apoya, que pueden ser columnas u otras vigas, producen restricciones que no se tienen en cuenta al deducirla. Sin embargo, en otros casos pueden ser inseguras, ya que tampoco consideran el efecto desfavorable de las cargas aplicadas arriba del centro de gravedad de las secciones transversales.

70


En la fig. 5.25 se muestra esquemáticamente la relación entre el momento resistente nominal, MR/FR, y la longitud libre L, distancia entre puntos soportados lateralmente. Las ecs. 5.19 son válidas para longitudes L mayores que Lr; si L está comprendida entre Lu y Lr, sus resultados se corrigen para tener en cuenta que el pandeo se inicia cuando parte del material está plastificado, y si L < Lu no hay pandeo lateral; la falla es por pandeo local. En las últimas décadas las ecs. 5.19 han sido la base para el diseño de miembros de sección transversal I o H en flexión, cuando el estado límite de falla es el pandeo lateral. Sin embargo, hasta hace pocos años se consideraban demasiado complicadas para diseños rutinarios, por lo que en las normas de diseño se proponían fórmulas simplificadas basadas en ellas. La simplificación más común consistía en despreciar uno de los dos términos del radical, conservando sólo la resistencia a la torsión de Saint Venant o la resistencia al alabeo, con lo que se obtenían, siempre, resultados conservadores. En la mayoría de los casos una de las resistencias es bastante mayor que la otra, por lo que si se toma en cuenta el término más grande el error que se comete suele ser aceptable. De aquí proviene el uso de dos fórmulas para evaluar, en cada caso, el esfuerzo permisible o el momento resistente, tomando para el diseño el mayor de los dos valores. Este método se recomienda todavía en las especificaciones del AISC para diseño basado en esfuerzos permisibles (ref. 5.12). El uso cada vez más frecuente de las computadoras electrónicas para resolver problemas de diseño, y el empleo universal de las calculadoras de bolsillo, hacen que las ecs. 5.19 no resulten ya demasiado complicadas, por lo que se recomienda que se tome la ecuación completa como base para determinar la resistencia en flexión de vigas de sección H o I, flexionadas en el plano de mayor resistencia, cuando es crítico el pandeo lateral. Las ecs. 5.19 proporcionan el momento resistente nominal, Mu, de una viga de sección I o H, flexionada alrededor de sus ejes de mayor momento de inercia, cuando el pandeo lateral se inicia en el intervalo elástico. 5.6.2.2


Si las secciones son tipo 1 o 2 y el momento flexionante para el que se inicia el pandeo lateral, calculado con las ecs. 5.19, es mayor que 2Mp/3, aproximadamente, las suposiciones que llevan a la obtención de esas ecuaciones dejan de ser válidas; el momento resistente nominal se calcula con la ecuación semiempírica 5.39, que proporciona la resistencia reducida por plastificación parcial de la viga; si el valor de Mcr obtenido con ella excede de Mp, éste es el momento resistente nominal, ya que Mp es la resistencia nominal máxima posible de una viga en flexión (ignorando el endurecimiento por deformación).


71

Como en todos los casos de pandeo de elementos o estructuras de acero, el problema teórico está resuelto cuando el fenómeno se inicia en el intervalo elástico, lo que sucede en estructuras muy esbeltas. (Sin embargo, sigue habiendo incertidumbres al aplicar los resultados teóricos al diseño de estructuras reales debidas, entre otras cosas, a la falta de conocimiento exacto de las restricciones que imponen los apoyos en los movimientos del elemento). Además, por medios experimentales se han obtenido las características geométricas de las estructuras para las que no se presentan fenómenos de pandeo. En el caso de las vigas, se cuenta con expresiones analíticas para calcular la carga crítica elástica, que son aplicables a partir del punto B de la Fig. 5.25, es decir, para longitudes libres mayores que Lr (el punto B se determina fijando su ordenada de una manera más o menos arbitraria, basada en los esfuerzos residuales que hay en los perfiles de acero), y se conoce la longitud libre correspondiente al punto A (Fig. 5.25), hasta la cual no hay pandeo lateral. Un número importante de vigas, entre las que está la mayoría de las que se emplean en estructuras reales, tiene longitudes libres comprendidas entre Lu y Lr, es decir, se encuentra entre los puntos A y B; en todas ellas el pandeo se inicia en el intervalo inelástico. La determinación de la carga crítica de pandeo inelástico es un problema complejo, y no se cuenta con soluciones prácticas aplicables a la mayoría de los casos de interés en estructuras reales, por lo que para diseño se emplean curvas semiempíricas que unen los puntos A y B, sancionadas comparando los resultados que proporcionan con los obtenidos con métodos experimentales. Cuando las secciones son tipo 3 ó 4 se emplean expresiones semejantes (ecs. 5.39 para pandeo elástico y 5.40 para pandeo inelástico), en las que Mp se sustituye por My; Mu sigue calculándose con las mismas ecuaciones. En la determinación del momento resistente máximo de las secciones tipo 4 se tiene en cuenta la posible pérdida de resistencia por pandeo local, ya que, independientemente de los resultados de un estudio del pandeo lateral, la resistencia de la viga puede quedar regida por ese fenómeno. 5.6.3 Normas técnicas complementarias del reglamento del D.F. A continuación se presentan los métodos que se utilizan en las refs. 5.16 y 5.19 para evaluar las resistencias de diseño6 correspondientes a los estados límite de pandeo local y de pandeo lateral por flexotorsión; son aplicables a vigas laminadas o formadas por lámina delgada, doblada en frío o en caliente, y a trabes armadas de eje recto y sección transversal constante, flexionadas alrededor del eje de mayor momento de inercia. Las ecuaciones de partida para el segundo estado límite son la 5.19, a o b, que proporciona el momento crítico de vigas que se pandean en el intervalo elástico, y la 5.39 y 5.40, con las que se calculan los momentos críticos, corregidos por inelasticidad, de 6

Las resistencias de diseño se obtienen multiplicando las nominales por un “factor de resistencia”, FR, siempre menor que la unidad. En flexión suele tomarse FR = 0.9.

72


secciones tipo 1 y 2, o tipo 3. El segundo miembro de la ec. 5.19, a o b, se multiplica por un factor 1/C, que se estudia más adelante, para tener en cuenta la variación del momento flexionante a lo largo del tramo de viga sin soporte lateral. Se definen tres longitudes características, Lp, Lu y Lr, que son las distancias entre secciones transversales soportadas lateralmente (o sea las longitudes libres de pandeo) que separan los diferentes comportamientos de las vigas, desde el punto de vista de su posible falla por pandeo lateral (Fig. 5.25). Esas longitudes dependen, en cada caso particular, de la geometría de las secciones transversales de la viga, de las propiedades mecánicas del material, y de la variación del momento flexionante en el tramo considerado. Lp es la longitud máxima sin soporte lateral para la que las vigas de sección transversal tipo 1 pueden desarrollar el momento plástico MP, y conservarlo durante las rotaciones necesarias para la formación de un mecanismo de colapso; se calcula con las ecs. 5.45 y 5.46, que provienen de estudios experimentales (ref. 5.17); son válidas, respectivamente, para secciones I y para secciones rectangulares, macizas o en cajón.   M 1   E     ry Lp = 0.12 + 0.076   M 2   F y     M 1   E   Lp = 0.17 + 0.10   M 2   F y 

   r ≥ 0.10  E  y F   y

(5.45)  r  y 

(5.46)

M1 y M2 son el menor y el mayor de los momentos en los extremos del tramo no soportado lateralmente, y ry el radio de giro de la sección transversal, respecto al eje de menor momento de inercia. El cociente M1/M2 es positivo cuando el segmento de viga entre puntos soportados lateralmente se flexiona en curvatura doble, y negativo cuando lo hace en curvatura simple. M2 es, con frecuencia, el momento plástico resistente del miembro, Mp. Si se satisfacen las condiciones 5.45 y 5.46 se obtienen capacidades de rotación de 3.0 o más, suficientes para estructuras diseñadas plásticamente bajo cargas estáticas y viento. En estructuras que se construirán en áreas de alta sismicidad, diseñadas teniendo en cuenta su capacidad para disipar energía por comportamiento inelástico, en las que pueden requerirse capacidades de rotación comprendidas entre 7 y 9, o algo mayores, la ec. 5.45 se sustituye por (refs. 5.14 y 5.18) Lp = 176 000 ry /Fy

(5.47)

Deben soportarse lateralmente todas las secciones en las que aparecen articulaciones plásticas asociadas con el mecanismo de colapso. Lu es la longitud libre más grande para la que las vigas tipo 1 ó 2 pueden, todavía, desarrollar el momento Mp, pero no conservarlo durante rotaciones plásticas, de manera


73

que ese momento se alcanza sólo un instante y disminuye inmediatamente después; si L ≤ Lu, los miembros tipo 3 desarrollan el momento My. Por último, Lr es la distancia entre puntos soportados que separa el pandeo lateral elástico del inelástico. Más adelante se calculan Lu y Lr. La parte de las normas de la ref. 5.16 relativa a este problema, con pequeñas modificaciones, es la que sigue. La resistencia de diseño de miembros en flexión provistos de soportes laterales con separaciones mayores que Lu, es igual a: a)

Para secciones tipo 1 o 2 con dos ejes de simetría, flexionadas alrededor del eje de mayor momento de inercia: Si Mu >

2 Mp, 3

 0.28M p   ≤ FR Mp MR = 1.15 FR Mp 1 − Mu  

(5.48)

Esta ecuación es la 5.39, en la que se ha introducido el factor de resistencia FR para pasar de resistencias nominales a resistencias de diseño. Si Mu ≤ (2/3) Mp,

(5.49)

MR = FR Mu

En vigas de sección transversal I o H, laminadas o hechas con tres placas soldadas, Mu, momento resistente nominal de la sección, cuando el pandeo lateral se inicia en el intervalo elástico, es igual a: Mu =

π CL

2

 πE  πE EI y GJ +   I y C a =  L  CL

 J  π 2  Iy  +   Ca   2.6  L  

(5.50, a y b)

Estas ecuaciones son las 5.19, de las que sólo difieren en el coeficiente C que aparece en el denominador; más adelante se explica su significado. En secciones I o H laminadas o hechas con placas, de dimensiones semejantes a las laminadas, puede tomarse; Mu = (1/C)

donde:

2 2 M c1 + M c2

(5.51)

74


Mc1 =

Mc2 =

EAt (L/r y )

(5.52)

4.7 EAd

(5.53)

(L/r y ) 2

En las ecuaciones anteriores FR es el factor de resistencia, que vale 0.90, A y d son el área total y el peralte de la sección considerada, Iy y ry su momento de inercia y radio de giro respecto al eje de simetría situado en el plano del alma, t el grueso del patín comprimido, L la separación entre secciones transversales fijas lateralmente, J y Ca las constantes de torsión de Saint Venant y por alabeo de la sección y C, que puede tomarse conservadoramente igual a la unidad, está dado por: C= 0.60 + 0.40 M1/M2

para tramos que se flexionan en curvatura simple.

C = 0.60 - 0.40 M1/M2

pero no menor que 0.4, para tramos que se flexionan en curvatura doble.

C = 1.0

cuando el momento flexionante en cualquier sección dentro del tramo no soportado lateralmente es mayor que M2, o cuando el patín no está soportado lateralmente de manera efectiva en uno de los extremos del tramo.

M1 y M2 son, respectivamente, el menor y el mayor de los momentos en los extremos del tramo en estudio, tomados en valor absoluto. En miembros de sección transversal en cajón (rectangular hueca) se toma Ca = 0. Lu es la longitud máxima no soportada lateralmente para la que el miembro puede desarrollar todavía el momento plástico Mp (no se exige capacidad de rotación), y Lr la longitud que separa los intervalos de aplicación de las ecs. 5.48 y 5.49 (la ec. 5.48 es válida para L ≤ Lr y la 5.49 para L > Lr). Lu y Lr se calculan con las expresiones siguientes: Miembros de sección transversal I: Lu =

2π Xr

EC a GJ

1 + 1 + X u2

(5.54)

Lr =

2π Xr

EC a GJ

1 + 1 + X r2

(5.55)

E es el módulo de elasticidad del acero y G su módulo de elasticidad al esfuerzo cortante; valen 2 040 000 Kg/cm2 y 784 000 Kg/cm2, respectivamente.


Xu = 4.293 C

ZF y GJ

75

Ca 4 ZF y = 3.220 X r , X r = C Iy 3 GJ

Ca Iy

En secciones I laminadas o hechas con placas soldadas, de proporciones semejantes a las laminadas, pueden utilizarse las expresiones simplificadas. Lu =

6.55 dry Xu t

1 + 1 + X u2

(5.56)

Lr =

6.55 dry Xr t

1 + 1 + X r2

(5.57)

donde 2  d  Fy Xu = 7.7 C   = 3.208 X r , t E

2  d  Fy X r = 2.4 C   t  E

Miembros de sección transversal rectangular, maciza o hueca:

b)

Lu = 0.91

E CZF y

IyJ

(5.58)

Lr = 2.92

E CZF y

I y J = 3.21 Lu

(5.59)

Para secciones tipo 3 ó 4 con dos ejes de simetría y para canales en las que está impedida la rotación alrededor del eje longitudinal, flexionadas alrededor del eje de mayor momento de inercia: Si Mu >

2 My, 3

 0.28 M y   MR = 1.15 FR My 1 Mu  

(5.60)

pero no mayor que FR My para secciones tipo 3, ni que el valor calculado teniendo en cuenta la posible falla por pandeo local cuando las almas cumplen los requisitos de las secciones 1, 2 o 3 y los patines son tipo 4. La ecuación 5.60 proviene de la 5.40. Si Mu ≤

2 3

My,

76


MR = FR Mu

(5.61)

Mu se calcula con una de las ecuaciones 5.50 o, cuando sean aplicables, pueden utilizarse las ecs. 5.51 a 5.53. Estas tres ecuaciones pueden emplearse también para las canales, haciendo en ellas Mc2 = 0. Los límites de aplicación de las diversas ecuaciones se determinan también con las ecs. 5.54 a 5.59, pero al calcular Xu y Xr y al aplicar las ecs. 5.58 y 5.59 a miembros de sección transversal rectangular hueca debe sustituirse Z por S. Cuando los patines cumplen los requisitos de las secciones tipo 1, 2 o 3 y las almas son tipo 4, el momento resistente de diseño no debe exceder el valor obtenido teniendo en cuenta la esbeltez del alma (en este caso la viga es una trabe armada; se estudia en el capítulo 6). En miembros de sección transversal en cajón (rectangular hueca) se toma Ca = 0. 5.6.3.2.1 Fórmulas simplificadas En secciones I o H laminadas, o hechas con placas, de dimensiones semejantes a las laminadas, el momento resistente nominal para pandeo elástico, Mu, puede calcularse con la expresión simplificada 5.51. Las ecs. 5.52 y 5.53, con las que se evalúan los términos Mc1 y Mc2 del radical (ref. 5.1), corresponden, respectivamente, a la resistencia a la torsión de Saint Venant y a la resistencia al alabeo. La ec. 5.51 puede tener ventajas sobre las 5.50 cuando no se cuenta con valores tabulados de las constantes de torsión, J y Ca (que, por otro lado, no son difíciles de calcular). En la Fig. 5.27 se muestran varias curvas que relacionan el momento resistente con la longitud libre de pandeo lateral de una viga IPR 14” x 8” x 64.1 Kg/m (ref. 5.19), de acero con Fy = 2530 Kg/cm2, sometida a flexión pura. Las curvas (1) a (4) corresponden a valores de Mu obtenidos con las ecs. 5.50 a 5.53; todas están corregidas con la ec. 5.48 cuando el pandeo se inicia en el intervalo inelástico; el momento resistente máximo es el momento plástico de la viga. Las curvas (1) y (2) tienen en cuenta la resistencia completa a la torsión del perfil; proporcionan resultados muy semejantes, como en todas las secciones I laminadas o hechas con tres placas soldadas, de proporciones semejantes a las laminadas. En la curva (3) se conserva sólo la resistencia por torsión de Saint Venant, despreciando la contribución de la resistencia al alabeo, y en la (4) se ha considerado únicamente la resistencia a la torsión que proviene de la oposición del perfil al alabeo.


77

De acuerdo con la ref. 5.12, el momento de diseño es el correspondiente a aquella de las curvas (3) y (4) que se encuentra por encima de la otra para la longitud libre L de interés. Se obtienen siempre resultados conservadores, excepto en vigas muy cortas, en las que rige el momento plástico. En la ref. 5.12 el diseño se basa en los esfuerzos permisibles que corresponden a las curvas mencionadas.

MR/FR,TM

M Mp=28.9

30 25

M L IPR14”x8”x64.1kg/m Fy=2530kg/cm 2

(2/3)M p=19.3

20

(1)

5 0

0

1

2

3 (1) (2) (3) (4)

Lr=7.39

10

5.84

Lu=3.46

15

4

5

6

7

(3)

(4) 8

9

(2)

10

11 12 13 L,m

14

Ecs. 5.41, 5.48, 5.49 y 5.50 Ecs. 5.41, 5.51, 5.48 y 5.49 Ecs. 5.41, 5.52, 5.48 y 5.49 Ecs. 5.41, 5.53, 5.48 y 5.49

Fig. 5.27 Relaciones momento resistente-longitud libre de pandeo. Las curvas (3) y (4) se cruzan en el punto de abscisa L = 4.7 dry/t (5.84 m para la viga de la figura); este valor se obtiene igualando los segundos miembros de las ecs. 5.52 y 5.53 y despejando L. Para longitudes mayores domina la resistencia a la torsión de Saint Venant, mientras que en las más cortas predomina la oposición al alabeo. 5.6.3.2.2 Flexión no uniforme Las ecs. 5.32 y 5.34 proporcionan coeficientes Cb por los que se multiplica el momento crítico de pandeo elástico de vigas en flexión pura, dado por las ecs. 5.19 ó 5.20, para obtener el de vigas en flexión no uniforme. En el diseño de miembros flexocomprimidos aparece otro coeficiente, llamado Cm en las refs. 5.12 y 5.14, que depende también de la ley de variación del momento flexionante a lo largo de la columna; se puede demostrar que Cb (ec. 5.32) es prácticamente igual a 1/Cm, en todo el intervalo de valores de M1/M2, por lo que en la ref. 5.16 se emplea un solo coeficiente, C, igual al Cm de los otros reglamentos. Así, para incluir el efecto, en Mcr, de la variación de los momentos flexionantes, se introduce en el segundo miembro de la ec. 5.19 el factor 1/C, con lo que se llega a la ec. 5.50.

78


La expresión 5.32 para el cálculo de Cb, y las que se dan en la ref. 5.16 para determinar C, son bastante precisas si se aplican a tramos de vigas en los que el momento varía linealmente, pero pierden exactitud cuando el diagrama es curvo, sobre todo si el momento máximo en la zona central del tramo es mayor que el más grande de los momentos en los extremos, M2; cuando esto sucede se toma, conservadoramente, C = 1.0. Para resolver ese problema, en la ref. 5.14 se recomienda la ec. 5.34, ligeramente modificada. En la Fig. 5.28 se muestra como evaluar C para diagramas de momentos de diversas formas, teniendo en cuenta las secciones de las vigas que están soportadas lateralmente. 5.6.4 Longitudes características Las ecs. 5.54 a 5.59 proporcionan Lu y Lr para vigas de sección transversal I o rectangular, maciza o hueca; con ellas se calcula la longitud libre máxima para la que el pandeo lateral no es crítico para un perfil determinado y la longitud que separa el pandeo elástico del inelástico. Lr se obtiene igualando el momento dado por la ec. 5.50, en la que se ha sustituido L por Lr, a (2/3)Mp, que es el momento crítico más grande para el que el pandeo se inicia, todavía, en el intervalo elástico (Fig. 5.25): π CLr

 πE  2 2 2 EI y GJ +   I y C a = M p = ZF y 3 3 L  r

Despejando Lr se llega a la ec. 5.55. Lu es la longitud máxima para la que el momento resistente es aún igual a Mp. Se determina con la ec. 5.48, en la que se sustituye Mu por el valor dado por la ec. 5.50; se iguala a Mp y se despeja L, que es la longitud Lu buscada (Fig. 5.25).

1.15 FR M p

   1 −  π  CL 

   0.28 M p  = FR M p = FR ZF y   πE  2 EI y GJ +   I y C a   L  

De esta igualdad se obtiene la ec. 5.54. En vigas de sección transversal rectangular, maciza o hueca, flexionadas en el plano de mayor resistencia, la contribución a la resistencia al pandeo que proviene de la torsión de Saint Venant es mucho mayor que la debida a la oposición al alabeo, por lo que se


79

comete un error de poca importancia, siempre del lado de la seguridad, si se desprecia el segundo término de la ec. 5.50; se convierte en Mu =

π CL

EI y GJ

(5.62)

Procediendo de manera análoga a como se hizo arriba, pero sustituyendo la ec. 5.50 por la 5.62, se obtienen las ecs. 5.58 y 5.59. En vigas I de mucho peralte, como son la mayoría de las trabes armadas, sucede lo contrario que en las vigas en cajón; ahora predomina la resistencia al alabeo, y el momento crítico de pandeo lateral elástico se obtiene, con buena precisión, con la ecuación: 2

Mu =

π  πE    I C CL  L  y a

(5.63)

VALORES DE C

DIAGRAMA DE MOMENTOS

SOPORTE LATERAL (PLANTA)

CARGAS

1.0

L 1

M

L

L :0.60 2

L :1.0 1

L 2

M 1

1

1

SiM

2

1 0.4

M

M2

M ,1.0 1 3

M

2

M , 3

M

M

1

3

Si M

M

M

L

0.6 -0.4

M

2

1 M

L

1

M

1

M

3

3

2

2

M

L

2

M

M

2

L :0 .6-0.4 M 2

2 0 .4 3

M

M L :0.6-0.4 3 0.4 M 1 1

M

M1

1

1

1

M

2

3

L

M

2

4

2

5 M

3

M

L

M

M

M ;M M M M 3 5 4 3 2

L

1

M

L :0.6-0.4 2 o.4 M 3 4

L :1.0 2

L :0 .6-0.4 3 o.4 M 1 1

M

M

M

L

1

2

1 M

1

M

2

L :1.0 2

L :0.6 1

M

M

L

2

1

L

3

1 M2 M M 2 1

2

M

L

M L :0.6+0.4 1 M 2 2

L y L =0.6 1 3

L

80 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

fig.5.28 Miembros en flexión. Valores del coeficiente C para distintos casos de carga y soporte lateral


81

Los resultados de esta ecuación son, también, conservadores. Siguiendo, una vez más, el camino que llevó a las ecs. 5.54 y 5.55, utilizando la ec. 5.63 en lugar de la 5.50, se obtiene Lu =

Lr =

1.52 C 2.72 C

E Fy

I yd

E Fy

I yd

Z

Z

(5.64)

(5.65)

d es la distancia entre los centros de gravedad de los patines. Estas expresiones son aplicables a trabes armadas esbeltas, de sección I. Tanto las ecs. 5.58 y 5.59 como las 5.64 y 5.65 proporcionan resultados conservadores (es decir, longitudes Lu y Lr menores que las que se obtienen con las ecs. 5.54 y 5.55), cuando se aplican a las secciones adecuadas. La determinación de Lu y Lr puede ser necesaria para elaborar gráficas o tablas que sirvan como ayudas de diseño, pero no se requiere para calcular la resistencia a la flexión; para ello, basta evaluar el momento resistente nominal de pandeo elástico Mu con las ecs. 5.50 ó 5.51 (haciendo en las primeras Ca = 0 si la sección es en cajón) y compararlo con (2/3)Mp; si Mu > (2/3)Mp el pandeo se inicia en el intervalo inelástico, y el momento resistente de diseño se calcula con la ec. 5.48; si Mu ≤ (2/3)Mp el pandeo es elástico, Mu es el momento resistente nominal, y el de diseño se obtiene con la ec. 5.49. Las ecs. 5.54 a 5.59 son válidas también para vigas de sección transversal tipo 3 ó 4, sustituyendo en ellas el módulo de sección plástico Z por el elástico S. 5.6.5 Efecto del nivel en el que están aplicadas las cargas Las ecuaciones proporcionadas en la ref. 5.16, reproducidas aquí, para determinar la resistencia de diseño de miembros en flexión en los que es crítico el pandeo lateral, se han deducido suponiendo que la flexión es producida por momentos que actúan en los extremos de la viga, o por cargas transversales aplicadas en su eje centroidal. Si las cargas descansan sobre el patín superior, y éste no está soportado lateralmente, en cuanto se inicia el `pandeo ocasionan momentos de torsión adicionales, que aceleran el fenómeno y reducen el valor del momento crítico; en cambio, si están aplicadas en el patín inferior, o colgadas de él, producen un efecto estabilizador que incrementa la resistencia al pandeo lateral (Fig. 5.11). El nivel de aplicación de las cargas no afecta la resistencia de los miembros en flexión cuando están impedidos los desplazamientos laterales y los giros de sus secciones transversales.

82


En algunos casos (en vigas cuyo patín inferior sirve como soporte para una grúa móvil, por ejemplo), puede ser conveniente tener en cuenta los efectos favorables de las cargas aplicadas debajo del centro de gravedad de las secciones transversales; por otro lado, puede ser indispensable, para evitar diseños inseguros, considerar el efecto desfavorable de las que actúan encima de él; esta condición puede presentarse durante el proceso de montaje de la estructura, o cuando en el patín superior de la viga descansa una cubierta ligera y poco rígida que no proporciona soporte lateral adecuado. Las refs. 5.1, 5.9 y 5.10 contienen curvas y fórmulas para calcular el momento crítico de pandeo elástico correspondiente a cargas aplicadas en el patín superior, en el centroide y en el patín inferior de vigas con varias condiciones comunes de apoyo y carga. En el artículo 5.4.2 se han presentado algunos resultados. El efecto que se está discutiendo es más importante en vigas de gran peralte y claro pequeño que en las de sección transversal robusta y peralte reducido utilizadas en claros grandes. El momento crítico reducido por el efecto desfavorable de las cargas aplicadas en el patín superior puede aproximarse, de manera conservadora, igualando a cero el segundo de los dos términos del radical de las ecs. 3.50 y 3.51, lo que equivale a despreciar la contribución de la resistencia al alabeo a la resistencia total al pandeo lateral. Si se desea calcular las longitudes Lu o Lr, debe hacerse con las ecs. 5.58 y 5.59.


5.7

83

CONTRAVENTEO

5.7.1 Introducción Los elementos con los que se da soporte lateral a las vigas deben evitar el movimiento lateral y el giro de las secciones transversales contraventeadas. Para ello esos elementos (que pueden ser las mismas vigas secundarias que transmiten las cargas, o miembros colocados especialmente) y sus conexiones, han de tener resistencia y rigidez, bajo fuerzas axiales de compresión, y, a veces, de momentos flexionantes, suficientes para resistir la tendencia de la trabe a girar y deformarse lateralmente. En las estructuras terminadas se cuenta con un contraventeo lateral que suele ser adecuado, proporcionado por la losa que se apoya en las vigas, o por elementos secundarios que llegan a ellas, pero el contraventeo existente durante la construcción es con frecuencia escaso, por lo que debe revisarse también el posible pandeo lateral de las vigas en esta etapa. Este aspecto puede ser especialmente importante en estructuras compuestas, antes de que se cuelen las losas de concreto. En las normas solía prestarse poca atención al diseño de los elementos de contraventeo; cuando se trataba el problema, tradicionalmente se indicaba que los elementos que proporcionan soporte lateral al patín comprimido de las vigas (o a la cuerda en compresión de las armaduras), y sus conexiones, debían diseñarse para resistir, como mínimo, una fuerza igual a un pequeño porcentaje, entre el uno y el 2.5 por ciento, de la compresión existente en el patín (o en la cuerda) en el punto soportado. No solía hacerse ninguna indicación referente a la rigidez del contraventeo. Esta situación está cambiando en los últimos años (ref. 5.25 y 5.27). Si sobre la viga se apoya una losa de concreto reforzado en la que queda ahogado el patín comprimido, o si ambos están interconectados mecánicamente, como en la construcción compuesta, o con un número adecuado de varillas del refuerzo transversal de la losa soldadas al patín, la restricción es suficiente para evitar todo desplazamiento lateral o torsional si la losa y los elementos de unión entre ella y la viga pueden resistir una fuerza total, aplicada en el plano de la losa y considerada uniformemente distribuida a lo largo del patín comprimido, igual, como mínimo, al cinco por ciento de la fuerza de compresión máxima existente en el patín (ref. 5.15). Esto es aplicable, también, a cuerdas comprimidas de armaduras. También puede considerarse que el pandeo lateral está impedido cuando el sistema de piso, o la cubierta de la estructura, están constituidos por láminas metálicas soldadas al patín comprimido de la viga, que satisfacen los requisitos del párrafo anterior. Si hay transmisión de fuerzas de unos elementos de contraventeo a otros, para diseñarlos debe tenerse en cuenta la fuerza total acumulada.

84


Cuando los elementos que proporcionan el contraventeo lateral están conectados al patín en tensión, han de tomarse las medidas necesarias para evitar distorsiones de las secciones transversales de la viga y para impedir que su patín comprimido se desplace lateralmente. Esta situación es frecuente en zonas de momento negativo en vigas de edificios, en las que el patín comprimido es el inferior y el soportado, por medio del sistema de piso, el superior. La restricción contra la deflexión lateral del patín inferior es proporcionada únicamente por la rigidez a la flexión del alma, fuera de su plano, que puede ser insuficiente para evitar distorsiones de la sección transversal, como se muestra en la Fig. 5.29. El problema puede ser crítico en vigas de mucho peralte y alma delgada; se evita colocando atiesadores verticales, ligados al alma y a los dos patines.

+

Fig. 5.29 Deformación de vigas de gran peralte cuando sólo el patín en tensión está soportado lateralmente. En las refs. 5.2, 5.9, 5.10, 5.20 y 5.21 se tratan problemas especiales, relativos al pandeo lateral de vigas, que no suelen incluirse en especificaciones de diseño. La resistencia de columnas o vigas esbeltas puede incrementarse hasta cualquier nivel deseado (teniendo como límite la resistencia de las secciones transversales, que puede agotarse por plastificación o por pandeo local) colocando contraventeos, con los que cambia la forma de pandeo del elemento, o se elimina por completo. Las recomendaciones de este artículo se refieren a columnas, vigas, y algunos tipos de marcos (ref. 5.25). Se consideran cuatro tipos de contraventeos (Fig. 5.30): relativos, discretos (o nodales), continuos y de apoyo (“lean-on”). Los contraventeos relativos restringen el desplazamiento relativo de pisos consecutivos de marcos, o de puntos adyacentes situados a lo largo de una columna o viga (ejemplos: diagonales verticales en marcos, muros de rigidez, armaduras de contraventeo). Los contraventeos discretos restringen sólo el movimiento de las secciones transversales en las que están colocados; por ejemplo, las vigas de la Fig. 5.30b están contraventeadas discretamente en los puntos 1, con diafragmas, o marcos transversales, que las ligan entre sí.


85

En los sistemas continuos la longitud sin contraventeo es nula; no puede haber pandeo lateral. Patín comprimido

1 1

Marcos transversales Contraventeo Diafragmas

b) discreto

a) relativo

Lámina metálica A

Viga

B

Columna Pared metálica ligada a las columnas c) continuo

A

B

d) de apoyo

Fig. 5.30 Tipos de sistemas de contraventeo. Si una viga o columna depende, para su estabilidad, del soporte que le proporcionan otras vigas o columnas adyacentes, el sistema de contraventeo es de apoyo. Se caracteriza porque los elementos que lo forman están ligados entre sí de manera que ninguno puede pandearse individualmente, con desplazamiento lateral; el fenómeno es de conjunto, y los desplazamientos laterales son iguales en las secciones conectadas (Fig. 5.30d). En el marco, la columna B “se apoya” en la A. (Desde luego, la columna B puede pandearse por sí sola, sin desplazamientos lineales de los extremos, si este fenómeno se presenta bajo una carga menor que la de pandeo de conjunto). Un sistema de contraventeo adecuado debe satisfacer requisitos de resistencia y de rigidez; las recomendaciones que indican que se diseñe para que soporte una fuerza igual a un porcentaje de la compresión en el miembro contraventeado (2%, por ejemplo) son incompletas, pues se refieren sólo a la resistencia.

86


5.7.2 Diseño de elementos de contraventeo El diseño de los elementos que proporcionan soporte lateral a vigas o columnas se basa, en buena parte, en un estudio aproximado del comportamiento de columnas en compresión axial (ref. 5.23). La columna AB de la Fig. 5.31a tiene un resorte de rigidez k en el extremo superior B; si k es suficiente, el resorte proporciona una fuerza horizontal que evita el desplazamiento de ese punto. P B

k

∆ P

Q=k∆

k Q=k ∆

∆=0 L A P (a)

P (b)

Fig. 5.31 Contraventeo de una columna aislada. El estudio del equilibrio de la columna de la Fig. 5.31b, cuyo extremo superior tiene un pequeño desplazamiento lateral ∆, lleva a la ecuación P∆ = QL = (k∆)L

k es la rigidez del resorte, y Q = k∆ la fuerza que aparece en él cuando se deforma una cantidad ∆. B se desplaza lateralmente cuando (k∆)L es menor que P∆, pero no cuando es mayor; en ese caso, la columna se comporta como si estuviese articulada en los dos extremos. El contraventeo ideal es el que tiene la rigidez mínima necesaria para evitar el desplazamiento; con él se cumple la condición P∆ = (k∆)L, de donde k=

P L

La carga máxima en la columna de la Fig. 5.31 para la que puede requerirse contraventeo es su carga crítica de pandeo, elástico o inelástico, con los dos extremos articulados; el valor correspondiente de k es el óptimo,


k opt =

87

Pcr L

pues no se obtiene ningún beneficio adicional con contraventeos más rígidos. En el intervalo elástico, Pcr es la carga crítica de Euler. El concepto anterior puede extenderse a una columna soportada lateralmente en la sección media (Fig. 5.32). Cuando ésta no se desplaza, el pandeo es en dos semiondas (Fig. 5.32c), y la carga crítica, Pcr = π 2 EA / ( L / r 2 ) ; si se introduce una articulación ficticia en el punto de inflexión, y se toman momentos respecto a ella, en la columna ligeramente deformada (Fig. 5.32b), se obtiene la ecuación Pcr ∆ =

Q ( k∆ )L L= 2 2

kopt es la rigidez mínima necesaria para crear un punto de inflexión (de desplazamiento lateral nulo) en la sección media: kopt =

2 Pcr L

Pcr

Pcr

Pcr

Q/2 L L’=2L

∆

k

Q

Q

L Q/2 Pcr (a)

Pcr

(b)

Pcr (c)

Fig. 5.32 Contraventeo en la sección media de una columna. Aplicando el mismo procedimiento a columnas con soportes laterales que las obligan a pandearse en tres o más semiondas de longitudes iguales, se llega a la expresión general kopt = β

Pcr L

β vale 2 o 3 para dos o tres semiondas de pandeo, y 4 para cuatro o más.

(5.66)

88


La ec. 5.66 proporciona la rigidez óptima de los contraventeos, necesaria para evitar el desplazamiento lateral de los puntos soportados; a esa condición se le ha de agregar una de resistencia. Los análisis anteriores, referidos a miembros perfectos geométricamente, no proporcionan información sobre la fuerza que deben resistir los contraventeos; con ellos sólo se obtiene la rigidez necesaria para obligar a la columna a pandearse en más de una semionda. Para investigar las fuerzas en los contraventeos han de analizarse columnas con imperfecciones geométricas iniciales; aunque el problema analítico es muy complejo, se cuenta con soluciones aproximadas. 5.7.3 Imperfecciones iniciales La fuerza que aparece en el contraventeo óptimo de la columna perfectamente a plomo de la Fig.5.33a es Fcon = kopt∆

igual al producto de la rigidez del contraventeo por su cambio de longitud.

P Columna "perfecta"

L

∆ο

P

∆τ ∆ο ∆ P k∆

Falta de verticalidad inicial

A P P P Fig. 5.33 Columna con imperfecciones iniciales. Como ∆ es nulo hasta que se inicia el pandeo, Fcon vale cero hasta ese instante. Los miembros estructurales reales no son nunca perfectos. Si se supone que el extremo superior de la columna de la Fig. 5.31 (o de la Fig. 5.32) está desplazado lateralmente una cantidad ∆o, antes de que se apliquen las cargas, la ecuación de equilibrio (Fig. 5.33) es P(∆ + ∆o) = (k∆)L

Para P = Pcr , kreq =

 ∆  Pcr  ∆ o   = k 1 + o  1 + L  ∆  opt  ∆ 


89

En general, kreq = β

Pcr  ∆ o  1 +  L  ∆ 

(5.67)

El factor β depende del número de semiondas de pandeo. kreq es la rigidez requerida de los elementos que contraventean miembros comprimidos con defectos iniciales ∆0. El requisito de resistencia es Fcon = kreq∆ = β

Pcr  ∆ o  P 1 +  ∆ = β cr (∆ + ∆ o ) L  L ∆ 

(5.68)

La fuerza en el contraventeo, Fcon, es función de la falta de rectitud (“out-of-straightness”) inicial de la columna, ∆o, y de su propia rigidez k. Para llegar a las recomendaciones que se dan más adelante, se supone un valor particular de la falta de rectitud (o de verticalidad) inicial, y se consideran contraventeos de rigidez igual, como mínimo, a dos veces la óptima, con lo que se evitan fuerzas Fcon excesivas, y se conserva el desplazamiento ∆, correspondiente a cargas factorizadas, dentro de límites aceptables; la fuerza en el contraventeo disminuye cuando crece su rigidez, pues ∆ se reduce, y tiende a Pcr∆o/L cuando es muy rígido. Pcr se calcula teniendo en cuenta los contravientos de que está provista la columna. Las ecs. 5.67 y 5.68, deducidas para columnas, sirven también para determinar las características de los contraventeos de vigas o armaduras. Son las que se recomiendan en la ref. 5.15, en la que se indica que en vez de Pcr se utilice la fuerza en la columna, en la porción comprimida de la viga, o en la cuerda en compresión de la armadura, producida por cargas de diseño (multiplicadas por el factor de carga). En las refs. 5.12, 5.14 y 5.16 no se da ninguna recomendación para el dimensionamiento de los contraventeos, pero sí se dan en la ref. 5.27. 5.7.4 Inelasticidad del elemento contraventeado Los pocos estudios realizados sobre el contraventeo relativo o discreto de columnas y vigas que se pandean fuera del intervalo elástico indican que su diseño no se modifica sustancialmente por la plastificación parcial de los elementos contraventeados (ref. 5.25).

90


En sistemas continuos y de apoyo, el diseño del contraventeo se basa en la rigidez, elástica o inelástica, de los miembros contraventeados; el efecto de la inelasticidad se aproxima, razonablemente, con el módulo de elasticidad tangente, ET = τ E, donde τ = ET/E es el factor de reducción por inelasticidad; el esfuerzo normal en el miembro, no su esbeltez, define el intervalo de comportamiento elástico, pues las barras con relación L/r baja responden elásticamente, si el esfuerzo normal es reducido; de acuerdo con la ref. 5.14, la columna es elástica si el esfuerzo normal no excede de 0.33Fy. Los factores de reducción de la rigidez tabulados en la ref. 5.22 para diferentes niveles de esfuerzo P/A, se calculan con las expresiones Para Pu/Py ≤ 1/3 (comportamiento elástico): τ =1.0 Para Pu/Py > 1/3 (comportamiento inelástico): (5.69)

τ = -7.38 (P/Py)log (1.176 P/Py)

Pu es la carga de diseño (factorizada) en la columna, y Py = A Fy. Pu no debe exceder de FR Py.  0.877π 2 EI   ; si 2  (kL) 

La fuerza axial máxima que resiste una columna, cuando P/Py ≥ 1/3, es τ 

P/Py < 1/3 se usa la misma expresión, con τ = 1.0, con lo que se reduce a la recomendada

en la ref. 5.14. 5.7.5 Rigidez del sistema de contraventeo Si las conexiones del contraventeo son flexibles o pueden deslizar, deben tenerse en cuenta al evaluarse la rigidez: 1 k sis

=

1 k conex

+

1 k con

(5.70)

ksis, rigidez del sistema de contraventeo, es menor que la más pequeña de las rigideces de la conexión, kconex, y del contraventeo, kcon. Al diseñar el contraventeo de varias columnas o vigas paralelas, no debe olvidarse que las fuerzas se acumulan a lo largo de sus diversos tramos, lo que ocasiona desplazamientos diferentes en las secciones soportadas. Las soluciones de este problema son demasiado complejas para diseño; conviene disminuir las fuerzas aumentando el número de crujías contraventeadas, y empleando contraventeos rígidos. Se ha recomendado contraventear, cuando menos, una crujía de cada ocho (ref. 5.25).


91

5.7.6 Factores de resistencia y definiciones Las recomendaciones se basan en la resistencia última de las estructuras. Se utilizan cargas de diseño (factorizadas) en columnas y vigas. Las fuerzas en el contraventeo, producidas por esas cargas, se comparan con su resistencia de diseño y la de sus conexiones, que incluyen ya el factor de resistencia FR adecuado. ∆0 es un desplazamiento inicial pequeño de los puntos soportados, medido desde las posiciones teóricas, en la estructura con geometría perfecta, que no es debido a las cargas gravitacionales o a las fuerzas de compresión. En sistemas relativos y discretos, se define respecto a la distancia entre puntos soportados adyacentes, L. Por ejemplo, ∆0 puede ser producido por viento o sismo o tolerancias de montaje, como falta de verticalidad inicial. En todos los casos, las recomendaciones para calcular las fuerzas en los elementos de contraventeo se basan en un valor supuesto ∆0 = 0.002L; para otros valores puede hacerse una proporción directa. Cuando un sistema de contraventeo estabiliza n columnas, cada una con un ∆0 aleatorio, se recomienda un valor promedio ∆0 =0.002L / n . Para el contraventeo torsional de vigas o columnas se considera una rotación inicial θo = 0.002L/hO, donde h0 es la distancia entre los centroides de los patines. En estructuras formadas por marcos, Pu es la suma de las cargas de diseño (factorizadas) en todas las columnas de un entrepiso que son estabilizadas por el contraventeo en consideración. En un contraventeo discreto de un miembro, Pu es el promedio de las fuerzas de compresión arriba y abajo (o a un lado y otro) del punto soportado.

5.7.7 Contraventeo relativo para columnas y marcos 5.7.7.1 Recomendaciones de diseño La fuerza y la rigidez requeridas en los contravientos en diagonal, muros de cortante, u otros medios equivalentes, que proporcionan la estabilidad lateral necesaria en marcos contraventeados, son (5.71)

Fcon = 0.004 Σ PU FR = 0.75;

K req =

2 ∑ Pu FR L

(5.72)

L es la altura del entrepiso. Las ecuaciones anteriores se basan en la 5.67 y 5.68, con ∆ = ∆0 = L/500 = 0.002L, y en una rigidez inicial del contraventeo doble de la óptima. Si ∆0 es diferente de 0.002L, Fcon

92


cambia en proporción directa al nuevo valor. Si la rigidez real del contraventeo, kreal, no es igual a kreq, Fcon se modifica como sigue: Fcon = 0.004 ∑ Pu

1 2 − k req / k real

(5.73)

No se especifica ningún factor de reducción de la resistencia del contraventeo porque se incluye en las recomendaciones para diseño de elementos estructurales y conexiones. Los requisitos de estabilidad del entrepiso deben combinarse con las fuerzas laterales y desplazamientos que provienen de otras causas, como viento o sismo. Las recomendaciones anteriores son válidas también para columnas individuales soportadas lateralmente en puntos intermedios, separados distancias iguales; en este caso, Pu, fuerza axial factorizada en la columna, sustituye a ΣPu. El ejemplo 5.8 ilustra el diseño de un contraviento relativo. EJEMPLO 5.8 Diseñe el contraventeo relativo de la Fig. E5.8.1. Suponga que un contraventeo típico debe estabilizar tres marcos, y que sólo trabaja la diagonal en tensión. Las fuerzas de la figura son de diseño (están factorizadas).

100T.

200T.

2

θ

2

8.0m

F y =2530kg/cm

F u =4100kg/cm

70T.

4.0m

Fig. E5.8.1 Estructura del ejemplo 5.8. Carga total en un marco = 100 + 200 + 70 = 370.0 Ton. En las recomendaciones de diseño se supone que la fuerza en el contraventeo, Fcon, y el desplazamiento del extremo de las columnas, ∆, son perpendiculares a las columnas. Fuerza en el contraventeo. Ec. 5.71.

Fcon = 0.004 ∑ Pu = Fd cosθ


93

Fd es la fuerza en la diagonal. ∑Pu = 370 x 3 = 1110.0 Ton Fd cos θ = 0.004 ∑Pu,

Fd =

0.004 x 1110.0 = 4.96 Ton 0.895

Se revisan los dos estados límite de elementos en tensión. Flujo plástico de la sección total.

Fd = 4.96 Ton = 0.9 Fy At ∴ Ad = 4.96 x 103/0.9 x 2530

= 2.18 cm2

Fractura de la sección neta.

Fd = 4.96 Ton = 0.75 Fy An ∴ An = 4.96 x 103/0.75 x 4100

= 1.61 cm2

Una varilla roscada de 1.90 cm (3/4”) de diámetro, con At = 2.85 cm2, y An = 2.01 cm2, es adecuada desde el punto de vista de resistencia, aunque está ligeramente escasa. Acero con Fy = 2530 Kg/cm2. Rigidez del contraventeo. Ec. 5.72

kreq =

kreq =

2 ∑ Pu ; FR = 0.75 FR L

2 x1110.0 = 740.0 T/m = 7400 Kg/cm 0.75 x 4.0

Alargamiento de la diagonal de contraventeo ∆d = ∆cosθ (Fig. E5.8.2).

L =4.00m c

∆ θ L d=

4m 8.9

∆d

θ 8m Senθ=0.447

Fig. E5.8.2 Alargamiento de la diagonal.

94


De la ley de Hooke: Pd = EAd

∆d Pd E∆ d EAd cos θ ∴ Constante de resorte k d = = = Ld Lc ∆d Ld

Proyección horizontal de la constante de resorte

7400 =

kdcos θ =

EAd cos 2 θ Lc

7400 x 400 EAd cos 2 θ ∴ Ad = = 1.81 cm2 Lc 0.895 2 E

Rige la resistencia del contraventeo; puede utilizarse una barra roscada de 1.90 cm de diámetro. En este ejemplo las diagonales se han diseñado, exclusivamente, como elementos de contraventeo; no se ha considerado que, como sucede en muchas estructuras reales, sirvan, además, para resistir fuerzas horizontales, de viento o sismo. 5.7.8 Sistemas discretos de contraventeo para columnas 5.7.8.1

Recomendaciones de diseño

Resistencia: (5.74)

Fcon = 0.01 Pu

Rigidez: FR = 0.75;

kreq = Ni

2 Pn FR L

(5.75)

Ni ≈ 4 – (2/n)

Pu es la carga de diseño (factorizada) en la columna, n y L el número de contraventeos y su separación, constante. La Fig. 5.34 representa un sistema discreto con tres contraventeos intermedios. Si no hubiese contraventeo, Pcr = π2 EI/(4L)2; si tiene una rigidez pequeña, Pcr crece sustancialmente, aunque la columna continúa pandeándose en una sola onda (primer modo); cuando aumenta la rigidez, la forma de pandeo cambia. El contraventeo es completamente efectivo cuando kL/Pe = 3.41 = Ni. Si hay varios contraventeos con


95

separaciones iguales, el factor de rigidez adimensional Ni varía de 2.0, para un contraventeo, a 4.0, para un número grande de ellos (ref. 5.8), de manera que puede tomarse 4.0 en todos los casos, con resultados conservadores. La recomendación de diseño se basa en contraventeo completo, para una carga Pcr = π2 EI/L2; La fuerza en el contraventeo se obtiene suponiendo que su rigidez es dos veces el valor ideal; si es otra, puede usarse el factor de ajuste dado por la ec. 5.73. Cuando la separación real entre puntos soportados lateralmente es menor que la longitud no contraventeada máxima para la que la columna resiste la fuerza que hay en ella, con K = 1, la L de las ecs. 5.72 y 5.75 puede sustituirse por esa longitud. Si hay un solo contraventeo discreto, en cualquier punto de la columna, Ni se determina con la ecuación Ni = 1 +

1 a

(5.76)

L es la longitud del segmento más largo, y aL la del más corto. Pcr

1.0 P cr 0.8

L

Pe

k

0.6

Límite (contraventeo completamente efectivo) π2EI P e= L 2 3.41

0.4 0.2 0

0

1

3

2

4

kL/P e

Fig. 5.34 Sistema discreto con tres soportes laterales intermedios. Si la sección de la columna soportada lateralmente es la media, a = 0.5, y con la ec. 5.76 se obtiene Ni = 2, como se determinó arriba. En el ejemplo 5.9 se diseña el contraventeo discreto en la sección media de una columna, y en el 5.10 se revisan dos columnas contraventeadas entre ellas, y se diseñan puntales y diagonales, EJEMPLO 5.9 La columna de la Fig. E5.9.1 está soportada lateralmente, en la sección media, por un elemento que impide que se desplace girando alrededor del eje de menor momento de inercia. Las cargas que se muestran están factorizadas. Diseñe el elemento de contraventeo, utilizando acero A36. Rigidez del contraventeo. FR = 0.75

96


Ec. 5.75. kreq = N i

2 Pu FR L

; N1 = 4 - 2 / 1= 2 ∴ k req = 2 x

2 x 80 x 10 3 = 1219 Kg/cm 0.75 x 350

80.0Ton

A

A m 2.50

3.50m F

∆

2.50m 3.50m

2.50m

2.50m

Fig. E5.9.2 Viga de contraventeo. Contraventeo

Corte AA Fig. E5.9.1 Columna del ejemplo 5.9. Esta rigidez debe ser proporcionada por una viga libremente apoyada, de 5.0 m de claro, con una fuerza en la sección media (Fig. E5.9.2). ∆=

FL3 F 48EI ∴ k con = = 3 = k req 48EI ∆ L

∴ I con =

k req L3 48E

=

1219 x 500 3 = 1557 cm 4 48E

1 [ 20.3 cm x 31.62 Kg/m (Ix = 1988 cm4)

Esta canal, colocada con el alma horizontal, satisface sobradamente el requisito de rigidez. Revisión de la resistencia. Ec. 5.74. Fuerza en el contraventeo Fcon = 0.01 P = 0.01 x 80.0 = 0.80 Ton. Mmáx = 0.80 x 5.0/4.0 = 1.0 Ton.


fb =

97

M máx 1.0 x 10 5 = = 511 Kg/cm 2 Sx 195.7

Sx = 195.7 cm3 es el módulo de sección de la [ 203 x 31.62.

Si la canal tiene soporte lateral continuo, proporcionado, por ejemplo, por la lámina de pared de una estructura industrial, el esfuerzo fb calculado arriba indica que está sobrada, desde el punto de vista de resistencia. En caso contrario, se determinará el esfuerzo admisible, reducido por pandeo lateral, y se comparará con el calculado.

EJEMPLO 5.10 a) Revise si el perfil de acero grado 50 (Fy = 3515 Kg/cm2) indicado en la Fig. E5.10.1 es adecuado para las columnas que se muestran en ella. Suponga que trabajan en compresión axial, y que las cargas son de diseño (están multiplicadas por el factor de carga adecuado). La longitud libre de pandeo alrededor del eje x es la total. Utilice las normas AISC-LRFD 93 (ref. 5.14). b) Diseñe el contraventeo requerido entre las dos columnas, utilizando acero A36 (Fy = 2530 Kg/cm2) para los elementos que lo forman. Pu=140T.

G

1

Senθ =0.447

H

E

Puntal

C

Tirantes m . 18 =11

A Ld

Cosθ =0.895

θ

Puntal

F

D

1

3@5m=15m

Columnas.-w14”x53lb/ft

Pu=140T.

B y x

10.0m Corte1-1

Fig. E5.10.1 Columnas contraventeadas del ejemplo 5.10. Propiedades de la sección de las columnas: A = 101.0 cm2; rx = 15.0 cm ; ry = 4.69 cm.

98


a) Se supone, por ahora, que el contraventeo es adecuado para hacer que las columnas se pandeen en tres semiondas, al flexionarse alrededor del eje y. (En la parte b del ejemplo se diseñarán los elementos de contraventeo necesarios para que se cumpla esa condición). Relaciones de esbeltez. Las restricciones en los apoyos y en los extremos superiores de las columnas justifican que se tome (KL)x = 15 m, (KL)y = 5 m.  KL   KL  1500 500   =  = = 102 = 100 ;   r  y 4.89  r  x 15.0

Rige el pandeo alrededor de y.  KL   λc =   πr  y

Ec. 2.33

Fy E

=

102 π

Fy E

= 1.348 < 1.5 2

2

Fy = (0.658 λ c ) F y = (0.658 1.348 ) Fy = 1643kg/cm2

Rc = FR Pn = FR A Fcr = 0.85 x 101.0 x 1643 x 10-3 = 141.0 Ton ≈ 140.0 Ton. (De la tabla 2.7, para KL/r = 102,

Rc/A = 1396 Kg/cm2,

Rc = 1396 x 101.0 x 10-3 = 141.0 Ton).

El perfil propuesto es adecuado. b) El tirante AD, trabajando en tensión, evita que el punto D se desplace hacia la derecha y, de manera semejante, el tirante BC impide que C se mueva hacia la izquierda; además, el puntal CD, que debe resistir compresiones, impide que los puntos C y D se acerquen uno al otro, lo que no está evitado por los tirantes; de esta manera, el conjunto formado por los dos tirantes AD y BC y el puntal CD fija linealmente los puntos C y D, en el plano que se indica en la figura. De igual manera, partiendo de los puntos C y D se fijan E y F y, por último, G y H. En el plano perpendicular al de la figura los tirantes y puntales no ejercen ninguna restricción, por lo que la longitud libre de pandeo de la columna, por flexión alrededor de los ejes x, es la total, 15 m. Los tirantes colocados en diagonal deben proporcionar las fuerzas y rigideces necesarias para evitar que se desplacen lateralmente las secciones intermedias y extremas de las columnas; en cada punto trabaja un solo tirante, que ha de ser capaz de resistir los efectos de las dos columnas, pues ambas pueden tratar de desplazarse hacia el mismo lado (en ese caso, el puntal que liga las dos secciones se traslada lateralmente, sin oponerse al movimiento). Rigidez del contraventeo. FR = 0.75


Ec. 5.75 kreq = Ni

99

2 PU ; FR L

Ni = 4 -

2(2 x 140 x 10 3 ) 2 2 = 4 - = 3 ∴ k req = 3 x = 4480 Kg/cm n 2 0.75 x500

La proyección horizontal de la constante de resorte de un contraventeo es (ver ejemplo 5.8) kd cosθ = EAd cos2θ/Lc ∴ 4480 = E Adcos2θ/Lc,

Ad = 4490 x 500/0.8952 E = 1.37 cm2

Fuerza en el contraventeo. Ec. 5.74

Fcon = 0.01 Pu = 0.01 (2 x 140) = 2.80 Ton = Fd cosθ

Fuerza en cada diagonal. Fd cosθ = 2.80 ∴ Fd = 2.80/0.895 = 3.13 Ton. Diseño de las diagonales. Se revisan los dos estados límite de elementos en tensión. Flujo plástico de la sección total .

Fd = 3.13 Ton = 0.9 Fy At ∴ At = 3.13 x 103/0.9 x 2530 = 1.37 cm2

Fractura de la sección neta. Fd = 3.13 Ton = 0.75 Fu An ∴ An = 3.13 x 103/0.75 x 4100 = 1.02 cm2

Puede utilizarse una varilla roscada de 1.6 cm (5/8”) de diámetro, que tiene At = 1.98 cm2 y An = 1.30 cm2, de acero con Fy = 2530Kg/cm2. Esta varilla satisface también los requisitos de rigidez. Puntales. En la condición más desfavorable, cuando las dos columnas tienden a flexionarse hacia adentro, cada puntal debe soportar una compresión, calculada arriba, de 2.80 Ton. Radio de giro mínimo. L/r = 200 ∴ rmín = L/200 = 1000/200 = 5.0 cm (se está suponiendo que los puntales están articulados en los extremos). Puede usarse, por ejemplo, un tubo de sección cuadrada de 12.7 cm x 12.7 cm x 0.48 cm (5” x 5” x 3/16”), con rmín = 4.96 cm ≈ 5.0

Para L/r = 200 y n = 1.4, con Fy = 2530 Kg/cm2, Rc/At = 422 Kg/cm2 (Tabla 2.3).

100


∴ Rc = 422 At = 422 x 22.7 x 10-3 = 9.58 Ton >> 2.80 Como en este ejemplo, el diseño de los puntales queda regido, con frecuencia, por la relación de esbeltez máxima admisible. 5.7.9 Contraventeo continuo de columnas La carga crítica de columnas con contraventeo continuo se determina con la expresión aproximada 5.77, que proviene de resultados de la ref. 5.8: Pcr = Pe +

2L kPe π

(5.77)

k es la rigidez del contraventeo por unidad de longitud. En el intervalo inelástico, τ Pe sustituye a Pe. 5.7.9.1

Recomendaciones para diseño

Fcon = 0.04 Pu/Lo

(5.78)

FRC Pcr = Po + ( L / π ) 2 FRcon KPo

(5.79)

Po = FRC (0.877)τPe , FRC = 0.85, FRcon = 0.75.

Estas recomendaciones se basan en la ec. 5.77, con k dividido entre 2 para limitar las fuerzas en el contraventeo, añadiendo FRcon = 0.75, y tomando para P0 la resistencia de diseño de la columna (ref. 5.14). La resistencia del contraventeo debe ser Fcon = π 2 P∆Τ/L0, donde L0 es la longitud máxima no contraventeada para la que la columna resiste la carga. Haciendo ∆Τ =2∆0 y ∆0 = 0.002 L0, se obtiene Fcon = 0.04 P/Lo. 5.7.10

Sistemas de apoyo

La Fig. 5.35 ilustra el comportamiento de sistemas en los que unos miembros se apoyan en otros.


101

Dos columnas, A y B, la primera con una carga P, y la segunda sin carga, están ligadas entre sí por tres vigas separadas distancias iguales, L. El conjunto puede pandearse en una sola semionda entre los extremos, o en cuatro, entre los extremos y las vigas horizontales. Si B es muy esbelta, el modo de pandeo es el primero (con raya-punto en la Fig. 5.35a); la resistencia del sistema es la suma de resistencias de las dos columnas; es estable si las cargas aplicadas, ΣP, son menores queΣ PCR . En cambio, si la columna B tiene rigidez suficiente, el pandeo de A es en cuatro semiondas. Cuando las columnas unidas entre sí son más de dos, el comportamiento es semejante. Deben revisarse los dos modos, en todos los casos.

P 1.0

Pcr Pe

L L

π

2

L

Pe =

L B

A

(a)

15.3

EIA

L2

Sinusoide 0

0

(b)

10

20

I /I B A

Fig. 5.35 Contraventeo de apoyo. La Fig. 5.35b representa una solución elástica “exacta”; cuando aumenta la relación IB/IA de los momentos de inercia de las dos columnas, Pcr crece linealmente, y el pandeo es en una semionda, hasta que IB/IA llega a 15.3; para relaciones mayores, A se pandea en cuatro semiondas, B permanece recta, y la carga crítica del sistema es (Pe)a=π2EIA/L2; L es la separación entre vigas. En el primer modo de pandeo, las resistencias elásticas de las dos columnas son π2EIA/(4L)2 y π2EIB/(4L)2; en el segundo modo, Pcr=π2EIA/L2. El valor aproximado de IB para que el contraventeo sea completamente efectivo se obtiene despejándolo de la igualdad π 2E(I A + I B ) = π 2 EI A / L2 ( 4 L) 2

Se llega a IB/IA=15, casi igual a la solución “exacta”. En el intervalo inelástico se usa τI, que se determina para cada columna por separado.

102


EJEMPLO 5.11 En la Fig. E5-11.1 se muestran dos columnas, ligadas entre sí por medio de vigas provistas de conexiones diseñadas para transmitir sólo fuerza cortante, por lo que se puede suponer, conservadoramente, que están articuladas a las columnas. Los extremos superiores de las columnas están fijos lateralmente. La columna A es una W14” x 48lb/ft, con el alma perpendicular al plano de la figura, y la B, una W14” x 34, tiene el alma en ese plano. El acero es A36 (Fy = 2530 Kg/cm2). En la columna B actúa una carga vertical de 50 Ton. Determine la carga máxima que resiste la columna A, considerando sólo la posibilidad de pandeo en el plano de la figura. Utilice las Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones del D. F.

3m

3m

w14x34

3m

50T. P=?

B

A w14x48

Fig. E5.11.1 Columnas del ejemplo 5.11. Propiedades geométricas. Col. A W 14 x 48 Col. B W 14 x 34

A = 91.0 cm2; A = 64.5 cm2;

Iy = 2139 cm4 ; Ix = 14152 cm4 ;

ry = 4.85 cm rx = 14.81 cm

Dependiendo de las rigideces relativas de las dos columnas, el pandeo puede presentarse en tres semiondas, entre los elementos horizontales, o en una sola, de toda la longitud, de manera análoga a como se muestra en la Fig. 5.34. a)

Pandeo en una semionda.

Columna A. L/ry = 900/4.85 = 186 De la Tabla 2.3 (para n = 1.4), RcAt = 481 Kg/cm2, Rc = 481 x 91.0 x 10-3 = 43.8 Ton

Columna B. L/ry = 900/14.81 = 61 De la Tabla 2.3,


103

Rc/At = 1847 Kg/cm2, Rc = 1847 x 64.5 x 10-3 = 119.1 Ton > 50.0

Resistencia del sistema = ΣRc = 43.8 + 119.1 = 162.9 Ton. Como en la columna B hay una carga de 50 Ton, a la A le corresponderían 162.9 50 = 112.9 Ton; sin embargo, 112.9 > 43.8 Ton, por lo que la resistencia de la columna A es RcA = 43.8 Ton. b)

Pandeo en tres semiondas.

Columna A. L/ry = 300/4.85 = 62, Rc/At = 1832 kg / cm 2 , Rc = 1832 x 91.0 x 10-3 = 166.7 Ton. Suponiendo PA = (Rc)A = 166.7 Ton, se revisa si la columna se pandea en el intervalo elástico o en el inelástico. PA 166.7 1 = = 0.724 > 3 Fy A 2530x91.0x10 3

El pandeo es inelástico (Art. 5.7.4).

Ec. 5.69. τ = -7.38

FR PA =

 Pu Pu  log 1.176 = -7.38 x 0.724 log (1.176 x 0.724) = 0.373 Py Py  

0.85τ (0.877)π 2 EI

Columna B.

(kL) 2

=

0.85 x 0.373 x 0.877 π 2 E x 2139 300 2

x 10 -3 = 133.0 Ton

PB 1 50 = 0.306 < = 3 3 A Fy 64.5 x 2530 x 10

∴ τ = 1.0 ; la columna se conserva en el intervalo elástico.

FR PB =

0.85(0.877)π 2 Ex14152 900 2

x 10 -3 = 262.1 Ton

Resistencia del sistema = ∑ FR P = 133.0 + 262.1 = 395.1 Ton > ∑P = 133.0 + 50 = 183.0 Ton. La columna B proporciona las restricciones laterales necesarias para que la A se pandee en tres semiondas. La carga máxima que resiste esta columna es (Rc)A = FR PA = 133.0 Ton. 5.7.11 Columnas soportadas lateralmente en un patín Las columnas con secciones transversales con dos ejes de simetría se pandean por flexión entre los puntos contraventeados cuando se evitan en ellos, al mismo tiempo, el

104


desplazamiento lateral y la rotación. Si no se impiden las rotaciones (por ejemplo, cuando se coloca una varilla unida a la columna en el centro del alma), puede presentarse un modo de pandeo por torsión. La Fig. 5.36 muestra un contraventeo frecuente en estructuras industriales. Los largueros de pared, unidos al patín exterior de la columna, restringen su desplazamiento lateral, pero si son discontinuos no evitan la torsión: el pandeo puede producirse por rotación alrededor del punto soportado (Fig. 5.36b). Punto soportado a

d

Punto soportado

è Ä

a) Contraventeo lateral en el patín.

F

b) Forma de pandeo

Fig. 5.36 Pandeo por torsión alrededor de un punto soportado. La carga de pandeo por torsión, PT , de una columna restringida lateralmente, es (ref. 5.8): PT = 0.9

[(

)

]

τPey d 2 / 4 + a 2 + GJ 2

(5.80)

2

a + rx + r y 2

a es la distancia entre el punto restringido y el centroide de la columna, d el peralte de la sección transversal, y Pey la carga crítica de Euler, calculada con la longitud entre puntos con giro impedido; τ se calcula con la ec. 5.69. El factor 0.9 tiene en cuenta que los elementos de contraventeo no son infinitamente rígidos. Si la fuerza de compresión de diseño es mayor que PΤ, el contraventeo debe evitar la torsión, para lo que se emplean, por ejemplo, soluciones como las de la Fig. 5.37. La rigidez torsional del contraventeo debe ser, como mínimo kT = MT/θ = Fd2/∆ = kd2. Conexión que resiste momento

Atiesador de peralte parcial a) Patas de gallo.

b) Conexión que resiste t ti d

Fig. 5.37 Soluciones para evitar el pandeo por torsión.


105

MT = Fd es el momento de torsión, F la fuerza necesaria en el patín no restringido (Fig. 5.37b), y k la rigidez del contraventeo discreto de la Sec. 5.7.8, determinada con P igual a la mitad de la fuerza en la columna, que es la carga aproximada que resiste cada patín. El momento de torsión, que corresponde a una rotación inicial supuesta de 1°, es 0.0175kΤ. 5.7.12

Pandeo de vigas y contraventeo lateral

Los puntos de inflexión de las vigas no pueden considerarse soportados lateralmente, como se hace a veces, erróneamente. La viga a de la Fig. 5.38 tiene un momento exterior en un extremo; se flexiona en curvatura simple; la longitud libre de pandeo, Lb, es igual a L, y Cb =1.67; la viga b, con momentos en los dos extremos, tiene un punto de inflexión en el centro, Cb =2.3, y Lb=2L. Si el punto de inflexión actuase como si estuviera soportado lateralmente, los momentos críticos de las dos vigas serían iguales; sin embargo, la b, de claro 2L y punto de inflexión en el centro, se pandea bajo cargas que son el 68% de las críticas de la viga a. Cuando b se pandea los dos patines, superior e inferior, se mueven lateralmente, en direcciones opuestas, en el centro del claro (Fig.5.38c). Ni siquiera un contraventeo real, unido a un patín en el punto de inflexión, proporciona soporte lateral adecuado en la sección media. 100 C b = 1.67

(a) L

Diagramas de momentos

68

L

(b) Punto soportado lateralmente

L

C b = 2.3 68

Eje centroidal

Patín superior

(c) Patín inferior Forma de pandeo

Fig. 5.38 Viga con un punto de inflexión. El contraventeo de las vigas debe evitar que las secciones giren, no que se desplacen lateralmente. Puede ser lateral o torsional; cualquiera de ellos debe impedir el desplazamiento relativo de los patines, para que la sección no se retuerza. Tanto el primero (largueros o vigas secundarias ligados al patín comprimido de una viga

106


libremente apoyada, por ejemplo) como el segundo (diafragmas entre vigas adyacentes) pueden controlar de manera efectiva la rotación de las secciones transversales, y algunos sistemas restringen, a la vez, el desplazamiento lateral y la rotación (una losa ligada al patín superior con conectores de cortante). Puede utilizarse cualquiera de los dos sistemas, pero suelen obtenerse mejores resultados cuando se usan en combinación. El contraventeo lateral es relativo, discreto, continuo o de apoyo (aquí se presentan recomendaciones sólo para los dos primeros tipos); el torsional, relativo o discreto. Cuando varias vigas están unidas entre sí, se apoyan unas en otras, de manera que las secciones conectadas no pueden pandearse lateralmente hasta que se pandean todas; el sistema estructural es estable hasta que la suma de los momentos máximos en todas las vigas supera la suma de sus resistencias individuales al pandeo. Las vigas individuales de sistemas de apoyo sólo pueden pandearse entre miembros transversales; no se requieren contraventeos adicionales. Si dos vigas adyacentes están interconectadas en el centro del claro, con un diafragma o con dos puntales horizontales y diagonales verticales, correctamente diseñados, puede considerarse que su sección media está contraventeada. La eficacia de este contraventeo ha sido cuestionada, porque las secciones medias de las dos vigas pueden desplazarse lateralmente; sin embargo, si sus dos patines se desplazan lo mismo, las secciones no giran, y pueden considerarse contraventeadas; ésto ha sido confirmado teórica y experimentalmente (ref. 5.25). 5.7.12.1

Contraventeo lateral

La eficiencia de un contraventeo lateral depende de su posición en la sección transversal de la viga, del número de contraventeos discretos en el claro, y del nivel de la carga, respecto al centroide de las secciones; todos esos factores se han incluido en las recomendaciones que siguen. El contraventeo es más eficiente cuando se conecta al patín comprimido, exceptuando en los voladizos, en los que conviene ligarlo al patín superior (en tensión); es inútil si se coloca cerca del centroide de la sección transversal. Las recomendaciones sólo son válidas para contraventeos relativos y discretos unidos a la viga cerca del patín comprimido; se ha supuesto que la carga actúa en el patín superior, que es el caso más desfavorable, y puede usarse cualquier número de contraventeos discretos. La fuerza de compresión en el patín se considera, conservadoramente, igual a Mf/h0; h0 es la distancia entre los centroides de los patines. Cuando la viga tiene un punto de inflexión, el contraventeo lateral cercano a él ha de unirse a los dos patines, y la rigidez necesaria aumenta, como lo indica el factor Cd. Los requisitos referentes a la fuerza de diseño son semejantes a los del contraventeo de las columnas (secciones 5.7.7 y 5.7.8); están basados en un desplazamiento inicial del patín comprimido igual a 0.002 veces la distancia Lb entre secciones contraventeadas. Se han considerado rigideces del doble del valor ideal.


5.7.12.2

107

Recomendaciones de diseño

FR = 0.75

Contraventeo relativo Fcon =

kL =

0.008M u C d h

4M u C d FR Lb h

(5.81) (5.82)

Contraventeo discreto Fcon =

kL =

0.02M u C d h

10M u C d FR Lb h

(5.83) (5.84)

Mu es el momento máximo de diseño, y Cd = 1.0 para curvatura simple, 2.0 para curvatura doble. h y Lb se han definido arriba. Cd = 2.0 se utiliza sólo para el contraventeo más cercano al punto de inflexión. EJEMPLO 5.12 Las trabes libremente apoyadas de la Fig. E5-12.1 trabajarán en construcción compuesta con la losa de concreto que se colará sobre ellas; sin embargo, durante el proceso de construcción, sus patines superiores, en compresión, deben soportarse lateralmente, lo que se logra por medio de un conjunto de diagonales y puntales colocados en el nivel de esos patines, que constituyen un sistema de contraventeo lateral relativo. Cada armadura de contraventeo estabiliza tres vigas. Las diagonales de contraventeo, de acero A36 (Fy = 2530 Kg/cm2), trabajan en tensión. El momento máximo, en el centro del claro de cada viga, es de 120 Tm.

108


Senθ=0.827 Cosθ=0.562

θ

5tramos@5m=25m

L c =5 .0 5m

h=1,40m

[email protected]=17.00m Planta en el nivel de la cuerda superior de las trabes

Fig. E5.12.1 Sistema de vigas y contraventeos del ejemplo 5.11. Rigidez de las diagonales. Ec. 5.82

kL =

4 M c C d 4 x 120 x 10 5 x 1.0 = = 914 Kg/cm = 0.91 Ton/cm FR Lc h 0.75 x 500 x 140

La proyección normal al eje de la viga de una diagonal es (ver Ejemplo 5.8): kd =

EAd cos 2 θ EAd 0.562 2 = 1064 Ad = Lc 605

1064 Ad = 914 x 3 ∴ Ad = 2.58 cm2

El factor 3 se debe a que cada tirante estabiliza tres vigas. Resistencia. Ec. 5.81

Fcon =

0.008 M f C d h

=

Ad (0.9 x 2530) cos θ = 686 x 3 ∴ Ad =

0.008 x 120 x 10 5 x 1 = 686 Kg 140

686 x 3 = 1.61 cm 2 0.9 x 2530 x 0.562


109

El diseño queda controlado por la rigidez; puede utilizarse 1L 1 ¾ x 1/8 (A = 2.74 cm2 > 2.58). En las crujías contraventadas deben colocarse puntales que resistan compresión (ver ejemplo 5.10); los elementos que unen las dos vigas centrales con las armaduras horizontales trabajan en tensión. 5.7.13

Contraventeo torsional

Son ejemplos los diafragmas en secciones discretas, y el soporte continuo proporcionado por el sistema de piso en armaduras y trabes de paso a través, o por lámina acanalada y losas de concreto. Los efectos del número de contraventeos, de su posición en la sección transversal, y de la carga en el patín superior, son poco importantes, de manera que la eficiencia de estos contraventeos es la misma si están conectados al patín en tensión o al comprimido; tampoco influye que la viga se flexione en curvatura simple o doble. La conexión entre un contraventeo torsional y la viga debe resistir el momento que se indica más adelante. En cambio, la distorsión de la sección transversal contraventeada (Fig. 5.39) afecta mucho su efectividad, pues aunque el patín superior no se retuerce, el inferior se desplaza lateralmente; este problema puede evitarse con atiesadores verticales. Contraventeo torsional

Alma

Fig. 5.39 Distorsión de la sección transversal. Los requisitos para el diseño de estos contraventeos se basan en la resistencia al pandeo lateral de vigas restringidas torsionalmente a lo largo de toda su longitud. Los contraventeos discretos y los continuos se diseñan con la misma fórmula básica. La rigidez torsional de los continuos es k T = kTn/L donde kT es la rigidez torsional de un contraventeo discreto, n su número, y L el claro de la viga. La rigidez del sistema. kT, depende de la del contraventeo, kcon, y de la del alma, con o sin atiesadores, ksec: 1 1 1 = + k T k con k sec

(5.85)

110


Diafragmas

Trabes de paso a través hc

Ib

bs

hb

h

s

hs

Mcon Mcon

θ Kcon = 6EIb s

θ 2EIb Kcon = s

ht

Fig. 5.41 Alma rigidizada parcialmente.

Fig. 5.40 Rigidez del contraventeo. En la Fig. 5.40 se proporcionan valores de kcon para diafragmas de varios tipos, y en la 5.41 se muestra un alma rigidizada parcialmente; la rigidez de cada una de sus porciones, hi, es kc , k s , kt =

2 3.3E  h   1.5hi t a3 t s bs3     +  hi  h1   12 12 

(5.86)

Tomando E en kg/cm2 y las dimensiones en cm, las k se obtienen en kg cm / rad. 1/ksec = ∑ (1/ki), y ts = grueso del atiesador. Si el contraventeo es continuo, 1.5hi se sustituye por 1cm, y si no hay atiesador, ts = 0. La porción del alma que corresponde a hb (peralte del elemento de contraventeo) puede considerarse de rigidez infinita.. En secciones con h/ta ≤ 60 (condición que se cumple en la mayoría de los perfiles laminados), la distorsión de la sección transversal deja de ser significativa cuando la conexión del diafragma ocupa, al menos, la mitad del peralte del alma. 5.7.13.1

Recomendaciones de diseño (Fig. 5.42)

FR = 0.75

Resistencia:

M con = Fbr hb =

Rigidez:

kT =

0.04 LM u2 2 nEI ef Cbb

2.4 LM u2 kT L = 2 n FR nEI ef Cbb

(5.87) (5.88)


111

Mu es el momento máximo de diseño, Ief = Iyc + (t/c)Iyt, n el número de claros contraventeados, y Cbb el factor de modificación de los momentos para la condición de contraventeo completo. Iyc e Iyt, son los momentos de inercia de los patines, en compresión y en tensión, respecto al eje vertical y. Patín comprimido y

c h

x

x t

y Patín en tensión Fig. 5.42 Contraventeo torsional. En secciones con un eje de simetría, Iyc e Iyt son los momentos de inercia de los patines en compresión y tensión, respecto a ese eje; si la simetría es doble, Ief = Iy. El factor 2.4 en la fórmula de la rigidez proviene de usar el doble de la rigidez ideal, y un incremento adicional de 20% para tener en cuenta la carga en el patín superior. En el cálculo de Mcon se considera un giro inicial de 1° (0.0175 rad). El ejemplo 5.13 es semejante al 5.12, pero con contraventeo torsional. EJEMPLO 5.13 Igual al ejemplo 5.12, pero se utiliza contraventeo torsional a cada 5 m, con las características que se indican en la Fig. E5.13.1. PL de 20x2 cm 1.27 1.40 m

72.20 cm

bs

15.2 cm 50 cm

PL de 40x3.2 cm 3.40 m

3.40 m

Fig. E5.13.1 Vigas y contraventeos torsionales del ejemplo 5.13. Las propiedades geométricas de las vigas son: h = 137.4 cm, c = 86.4 cm, t = 51.0 cm

112


h, c y t se definen en la Fig 5.42. Ix = 946352 cm4; Iyc = 1333 cm4 ; Iyt = 17067 cm4 Ief = 1333 +

51.0 x 17067 = 11407 cm 4 86.4

Cada contraventeo, y la unión entre él y la viga, debe resistir un momento igual a (ec. 5.87): M con =

0.04 L M u2 n EI ef C b2

=

0.04 x 2500 x (120 x 10 5 ) 2 4 x 2039 x 10 3 x 11407 (1.0) 2

x 10-5 = 155 Tm

El módulo de sección y la rigidez necesarios en cada elemento de contraventeo son: ( S x ) cm =

M con 1.55 x 10 5 = = 68.0 cm 3 FR F y 0.9 x 2530

Ec. 5.88 kT =

2.4LM u2 FR nEI ef C b2

=

2.4 x 2500 x (120 x 10 5 ) 2 0.75 x 4 x 2039 x 10 3 x 11 407 (1.0) 2

x 10 -5 = 123.8 Tm/rad.

La rigidez de los diafragmas en las vigas exteriores es 6EIcon/s, donde s es la separación entre vigas; en las vigas interiores, esa rigidez se duplica, por lo que la rigidez promedio con que se cuenta en cada viga, kT, es EI con 2 x 6 + 4 x 12 EI con x = 10 s s 6

Icon es el momento de inercia I x del elemento de contraventeo. 10

EI con 123.8 x 10 5 x 340 = 123.8 x 10 5 ∴ I con = = 206 cm 4 s 10E

Se ensayará 1[6” x 12.2 Kg/m (Fig. E5.13.1) Sx = 71.0 cm3 > 68, Ix = 541 cm4 > 206 Aunque aquí no se hace, deberá revisarse si la canal puede resistir el momento FR SxFy, lo que depende de su longitud y soporte lateral. kcon =

10EI con 10 x 541E = x 10 -5 = 324.4 Tm/rad s 340


113

1 1 1 1 1 1 1 = = + = + , = 0.0081 - 0.0031= 0.0050 kT 123.8 K con k sec 324.4 k sec k sec

De la ec. 5.85,

ksec = 200.2 Ton/rad. 1 1 1 1 1 = + = = + k sec 200.2 x 10 5 k c k t 3.3E  174.4  2  1.5 x 50 x 1.27 3 0.95 bs3     +  50  50   12 12  +

1 2

3.3E  174.4  1.5 x 72.2 x 1.27 3 0.95 bs3     +  72.2  72.2   12 12 

En esta expresión se ha supuesto t s = 0.95 cm (3/8" ). E 200.2 x 10

5

1

=

6.381 + 0.039 b s3

+

1 3.060 + 0.013 bs3

∴ bs = 9.0 cm.

Se utilizarán atiesadores de 9 cm x 0.95 cm (3/8”) En la ref. 5.27 se dan las recomendaciones siguientes para el diseño del contraventeo torsional de vigas: El contraventeo torsional puede ser nodal o continuo a lo largo de la viga. Puede unirse a cualquier sección transversal, y no es necesario que esté cerca del patín comprimido. La conexión entre el contraventeo y la viga debe resistir el momento que se indica adelante. a)

Contraventeo nodal

El contraventeo debe resistir un momento M con =

0.024 M u L nC b Lb

(5.89)

La rigidez requerida en el marco transversal o diafragma de contraventeo es k con =

kT  k  1 - T   k sec 

(5.90)

donde kT =

2.4LM u2 FR nEI y C b2

(5.91)

114


k sec =

3.3E  1.5ho t a3 t s bs3  + ho  12 12 

(5.92)

FR = 0.75 L = claro de la viga, cm. n = número de secciones contraventeadas de la viga Cb = factor de modificación del momento (Art. 5.4.2.1) ta = grueso del alma de la viga, cm. ts = grueso del atiesador del alma al que se conecta el contraventeo, cm. bs = ancho del atiesador cuando está colocado en un solo lado del alma (para atiesadores en los dos lados del alma se toma igual a la suma de los dos anchos), cm. kT = rigidez del contraventeo, sin incluir la distorsión del alma, kg-cm/rad. ksec = rigidez distorsional del alma (incluye el efecto de los atiesadores transversales colocados en ella), kg cm/rad. Si ksec < kT, la ec. 5.90 proporciona resultados negativos, lo que indica que el contraventeo torsional no es efectivo porque el alma de la viga no tiene rigidez distorsional adecuada. a)

Contraventeo continuo

Se emplean las ecs. 5.89, 5.90 y 5.91, con L/n = 1.0; se obtienen momentos y rigideces por unidad de longitud. La rigidez torsional de un alma no atiesada es 3.3Et a3 k sec = 12ho

(5.93)

Flexión 2 (Pandeo lateral)

5.8

115

ESPECIFICACIONES AISC BASADAS EN FACTORES DE CARGA Y RESISTENCIA (REF. 5.27)

En estas especificaciones se proporcionan fórmulas y procedimientos para determinar la resistencia de diseño en flexión de canales y vigas de sección transversal H o I con uno o dos ejes de simetría, flexionadas en el plano de mayor o de menor resistencia, vigas de sección transversal maciza con dos ejes de simetría, vigas en cajón, con dos planos de simetría, cargadas en uno de ellos, y tubos circulares de paredes delgadas; se indica, también, cómo evaluar la resistencia de diseño de miembros de sección transversal I de peralte variable, que satisfacen ciertas condiciones indicadas en las Normas. Aquí se reproducen y comentan únicamente los requisitos de diseño referentes a miembros de sección transversal constante, H o I, con uno o dos ejes de simetría, y a canales, estas últimas restringidas lateralmente y contra la torsión en los apoyos y en los puntos de aplicación de las cargas. Las ecuaciones se han escrito como en la ref. 5.14 y, cuando es posible, también en forma adimensional, entre paréntesis, como aparecen en la ref. 5.28 y aparecerán, también, en las refs. 5.27 y 5.29. Los miembros en flexión de sección I, cargados en el plano del alma, se subdividen en dos categorías, vigas y trabes armadas, de acuerdo con la esbeltez del alma. h/t = 8134/ Fyp (5.70 E/F yp ) es la relación peralte/grueso que separa las dos categorías. h es el peralte del alma (distancia libre entre patines en secciones hechas con placas soldadas, o distancia entre los puntos donde se inician las curvas que unen el alma con los patines en perfiles laminados), t su grueso, y Fyp el esfuerzo de fluencia del material de los patines, en Kg/cm2. (En sus especificaciones, el AISC cubre los perfiles “híbridos”, fabricados con placas de acero de características diferentes en los patines y el alma; no se tratan aquí). Las almas con relación peralte/grueso mayor que la indicada son esbeltas, de manera que su resistencia puede quedar regida por pandeo local; se tratan en el Apéndice G de la ref. 5.14, que se refiere al diseño de trabes armadas. (El límite correspondiente, en la ref. 5.16, es 8000/ F y (5.60 E/F y ) ; las trabes armadas se tratan en el capítulo 6). Deben investigarse cuatro estados límite: flujo plástico, pandeo lateral por flexotorsión de los tramos entre puntos soportados lateralmente (lateral-torsional buckling: LTB), pandeo local del patín comprimido (flange local buckling: FLB) y pandeo local del alma (web local buckling: WLB)7. A cada uno le corresponde un momento resistente; el menor de los cuatro es el momento resistente de diseño del elemento.

7

En el resto de este artículo se utilizan las iniciales de los nombres en inglés, LTB, FLB y WLB, para identificar las tres formas de pandeo.

116


En vigas compactas soportadas lateralmente, con Lb ≤ Lp, sólo es aplicable el estado límite de flujo plástico; en vigas compactas no contraventeadas son aplicables los estados límite de flujo plástico y de pandeo lateral por flexotorsión, y si la flexión es alrededor del eje de menor momento de inercia, el pandeo lateral no es posible. Cada momento resistente es función de un parámetro de esbeltez, λ, que se define como sigue: Estado límite de pandeo lateral por flexotorsión: λ = Lb/ry = longitud sin soporte lateral/radio de giro de la sección transversal respecto al eje normal al de flexión. Estado límite de pandeo local del patín comprimido: λ = bp/2tp = mitad del ancho total del patín comprimido/grueso del mismo. Estado límite de pandeo local del alma: arriba)/grueso de la misma.

λ = h/t = peralte del alma (definido

Se definen también tres relaciones de esbeltez características: λpd = esbeltez máxima hasta la que es aplicable el diseño plástico, desde el punto de vista del pandeo lateral por flexotorsión. λp = valor máximo de λ hasta el que Mn = Mp, donde Mn es el momento resistente nominal. (Para el estado límite de pandeo lateral por flexotorsión λp sólo tiene significado cuando el momento es constante en el tramo considerado, es decir, cuando Cb = 1.0; más adelante se estudia este coeficiente). λr = valor máximo de λ para pandeo inelástico. (Si λ > λr el pandeo se inicia en el intervalo elástico). En la Fig. 5.43 se muestra la respuesta generalizada para las tres formas de pandeo en consideración. Si todas las relaciones de esbeltez se hallan en el intervalo 0 ≤ λ ≤ λp (tramo A-B de la figura) la sección es compacta y no hay pandeo de ningún tipo; el estado límite es el de plastificación completa de la sección crítica; la resistencia a la flexión es la máxima que puede proporcionar el miembro; su momento resistente nominal es el momento plástico, Mp. Cuando alguna de las relaciones λ es mayor que λr, la forma de pandeo correspondiente se inicia en el intervalo elástico (tramo C-D). Entre los puntos B (λp, Mp) y C (λr, Mr), que corresponden a la esbeltez máxima para la que el momento resistente nominal es Mp y a la iniciación del pandeo elástico, se encuentra la región en la que el pandeo comienza en el intervalo inelástico, cuando algunas porciones de la viga han fluido ya plásticamente; el pandeo inelástico queda representado de manera adecuada, en los tres casos, por la línea recta que une los puntos mencionados.


117

Mp

λ-λp _ )
Mn (A) Mn=Mp

(B)

(C)

Mr LTB.-FLSx Mr FLB.-F S L x WLB.-F ypSx

_ M (M se calcula con la ec. 5.106) LTB.-Mn=Mcr < p cr _ p Sec. Laminados.-Mcr=1406200 Sx/λ2
(D) 0

λ pd

λp

λr

(Ec. 5.95 o 5.96) LTB.-1.762 E/F yp (Ec. 5.98) λr λ p FLB.-0.38 E/F yp (1) WLB.-3.71 E/F yp Secciones compactas

LTB.-Lb/ry λ FLB.-b/2t WLB.-h/t a

LTB.-Ec. 5.71 Sec. Laminadas, 0.83 E/F L FLB Sec. Soldadas, 0.95 Ek /FL (2) c WLB.-5.70 E/F yp

Secciones no compactas

Secciones esbeltas


Pandeo lateral elástico

Pandeo local (FLB y WLB)

Dis. Plástico El pandeo lateral no es crítico

(λ ) p

No hay falla por pandeo de ningún tipo

Pandeo lateral (LTB)

(λ ) r Falla por LTB, FLB ó WLB

(1) Límite superior de las relaciones ancho/grueso de secciones compactas. (2) Límite superior de las relaciones ancho/grueso de secciones no compactas.

Fig. 5.43 Resistencia nominal en flexión de vigas de sección transversal Ι, Τ y [ (ref. 5.14). La relación de esbeltez λpd = Lpd/ry corresponde a la longitud máxima sin soporte lateral, en las zonas de formación de articulaciones plásticas, para la que todavía puede utilizarse la teoría plástica; se obtienen capacidades de rotación del orden de 3 ó 4, que son suficientes en la mayoría de los casos. Ese límite no es aplicable a las otras dos

118


formas de pandeo porque la esbeltez λp garantiza capacidades de rotación del mismo orden, después de alcanzar Mp y antes de que se inicie el pandeo local. Por consiguiente, para que se pueda utilizar la teoría plástica han de satisfacerse las condiciones λ ≤ λpd, a ambos lados de las articulaciones, para LTB, y λ < λp para FLB y WLB. Las capacidades de rotación mencionadas pueden ser insuficientes en estructuras que se construirán en zonas de alta sismicidad; cuando ese sea el caso, véanse los artículos 3.7.1 y 3.10.3 del Capítulo 3. Si el cociente Lb/ry está comprendido entre λpd y λp la sección desarrolla el momento Mp, pero el pandeo lateral reduce la capacidad de rotación a valores insuficientes para diseño plástico. 5.8.1 Resistencia de diseño 5.8.1.1 Casos en que ninguna forma de pandeo es crítica. (Tramo AB, Fig. 5.43) El estado límite es por flujo plástico. a) La capacidad de rotación es suficiente para diseño plástico (λ≤ λpd para LTB, λ< λp para FLB y WLB). La resistencia de diseño en flexión es φb Mn = φbMp, donde φb = 0.90 y Mp = Zx Fy ≤ 1.5 My

(5.94)

My es el momento correspondiente al inicio del flujo plástico, sin tener en cuenta esfuerzos residuales = FyS. Limitando Mp a 1.5My se controlan las deformaciones inelásticas, bajo cargas de servicio, de secciones con factor de forma f = Mp/My mayor que 1.5, como las secciones I y H flexionadas alrededor del eje de menor momento de inercia. φb es el factor de reducción de la resistencia y Mn el momento resistente nominal. Las esbelteces máximas hasta las que puede utilizarse el diseño plástico son: LTB.-

λ = Lb/ry = Lpd/ry = λ pd

FLB.-

λ = bP/2tP = 0.382 E / Fy = λ p

WLB.- λ = h/t = 3.758 E / Fy = λ p


119

Para secciones I con dos ejes de simetría o con uno solo, con el patín de compresión igual o mayor que el de tensión, cargadas en el plano del alma, λpd es igual a λpd =

L pd ry

  M 1   E   = 0.124 + 0.076  M   2   F y

   

(5.95)

Fy es el esfuerzo mínimo de fluencia del patín comprimido, en Kg/cm2, M1 y M2 el menor y el mayor de los momentos en los extremos del tramo no contraventeado, y ry el radio de giro alrededor del eje de menor momento de inercia; M1/M2 es positivo cuando el tramo se flexiona en curvatura doble, y negativo cuando lo hace en curvatura simple. M2 suele ser el momento plástico de la sección. En estructuras que se construirán en zonas de alta sismicidad, diseñadas con fuerzas laterales disminuidas por comportamiento inelástico, la ec. 5.95 se sustituye por λpd =

b)

L pd ry

= 0.086

E Fy

(5.96)

La capacidad de rotación no es suficiente para diseño plástico.

λpd < (λ = Lb/ry) ≤ λp; λ ≤ λp para FLB y WLB.

La resistencia de diseño sigue siendo φbMp, pero la longitud libre es mayor que la admisible en diseño plástico. 5.8.1.2

Estados límite de pandeo lateral o local (λ > λp)

Cualquiera de las formas de pandeo puede iniciarse en el intervalo elástico (λ ≥ λr, Fig. 5.43) o fuera de él (λp < λ < λr). La resistencia de diseño es el menor de los productos φbMn, donde φb = 0.90 y Mn el momento resistente nominal correspondiente a cada estado límite de pandeo. La resistencia nominal en flexión, Mn, para cada estado límite, se determina como sigue: 5.8.1.2.1 Pandeo inelástico (λp < λ ≤ λr) El momento nominal de pandeo inelástico se obtiene con buena precisión representando el fenómeno con la línea recta que une los puntos B (λp, Mp) y C (λr, Mr) (Fig. 5.43). a)

Estado límite de pandeo lateral por flexotorsión (LTB)

120


  λ - λp   ≤ M p Mn = Cb M p - (M p - M r )   λr - λp     λp =

λr =

Lp ry

E F yp

= 1.762

Lr X 1 = ry FL

1 + 1 + X 2 FL2

(5.97)

(5.98)

(5.99) (5.100)

Mr = FL Sx

FL es el menor de los valores (Fyp - Fr) o Fya. X1 =

π SX

X2 = 4

EGJA 2

Ca  S x    I y  GJ 

(5.101)

2

(5.102)

Cb es un factor correctivo para momentos flexionantes no uniformes entre las secciones extremas, soportadas lateralmente, del tramo en estudio, dado por Cb =

12.5 M máx 2.5 M máx + 3 M A + 4M B + 3 M C

(5.103)

donde Mmáx = valor absoluto del momento máximo en el tramo sin soporte lateral. MA, MB, MC = valores absolutos de los momentos en el primer cuarto, el centro y el tercer cuarto del tramo sin soporte lateral. Cb puede tomarse, conservadoramente, igual a 1.0, en todos los casos. En vigas en voladizo con el extremo libre no contraventeado, Cb = 1.0. La ec. 5.103 es la 5.34, ligeramente modificada. Cuando el momento varía linealmente a lo largo del tramo sin contraventeo, Cb puede calcularse con la ec. 5.32, que se recomendaba en normas anteriores del AISC; sigue utilizándose en las refs. 5.12, 5.15 y 5.16.


121

λ = Lb/ry; Lb es la distancia entre puntos en los que el patín comprimido está soportado lateralmente, o entre secciones provistas de un contraventeo que evite el desplazamiento lateral y la rotación. Fyp y Fya son los esfuerzos de fluencia de los aceros del patín comprimido y del alma, respectivamente, y Fr es el esfuerzo residual máximo de compresión en los patines, igual a 10 Ksi (700 Kg/cm2) en perfiles laminados, y a 16.5 Ksi (1160 Kg/cm2) en secciones soldadas. Mr es, por consiguiente, el momento para el que empieza a plastificarse la sección, teniendo en cuenta los esfuerzos residuales de fabricación que hay en ella. Las expresiones anteriores son válidas para miembros de sección I, con dos o con un eje de simetría, con el patín comprimido igual o mayor que el de tensión, y para canales cargadas en el plano del alma. En la ref. 5.14 se proporcionan también recomendaciones para secciones en cajón y para secciones rectangulares macizas, flexionadas alrededor de su eje de mayor momento de inercia. Las ecs. 5.98 y 5.99 sólo son aplicables cuando Cb = 1.0. X1 y X2 están tabulados en la ref. 5.22 para todas las secciones laminadas H e I que aparecen en ella. También están tabuladas las longitudes Lr y Lp de las secciones que se utilizan como vigas. b)

Estados límite de pandeo local del patín comprimido o del alma (FLB o WLB).  λ - λp Mn= Mp - (Mp - Mr)   λr - λp

   

(5.104)

Para FLB, λp = 0.382 E/F y; , λr = 0.828/ E/FL para secciones laminadas; λr = 0.951 Ek c FL para secciones soldadas; Mr = FLSx. Para WLB, λP = 3.758 E/F y , λr = 5.696 E/F y ; Mr = FypSx kc = 4/ h / t a , pero 0.35 ≤ kc ≤ 0.763.

El factor kc tiene en cuenta la interacción del pandeo local de patines y alma. Para un perfil dado, Mn (ec. 5.104) es una cantidad fija, independiente de la longitud libre Lb, puesto que Mp, Mr, λ, λp y λr son función, exclusivamente, de las características geométricas y mecánicas del perfil.

122


5.8.1.2.2 Pandeo elástico (λ > λr) a)

Estado límite de pandeo lateral por flexotorsión (LTB). (5.105)

Mn = Mcr ≤ Mp

Mcr es el momento crítico de pandeo elástico, que se determina con la ecuación. π Mcr = Cb Lb

 πE  2 Cb S x X 1 2 EI y GJ +   I y C a = Lb /ry  Lb 

1+

X 12 X 2 2(Lb /ry ) 2

(5.106)

Esta expresión es válida para secciones I, T y C. b)

Estado límite de pandeo local del patín comprimido (FLB). (5.107)

Mn = Mcr = Sx Fcr Fcr =

0.690E

= c)

λ2

para perfiles laminados

0.903E k c λ2

para miembros hechos con placas soldadas.

Estado límite de pandeo local del alma (WLB).

Cuando λ > λr = 5.696 E/F yp el elemento es una trabe armada (Apéndice G, ref. 5.14).

5.8.2 Casos en que Cb es mayor que 1.0 Con el coeficiente Cb se incluye en las fórmulas, de manera aproximada, la influencia de la ley de variación del momento sobre la resistencia de las vigas al pandeo lateral por flexotorsión. Esa variación influye también en la resistencia al pandeo local, del patín comprimido o del alma, pero su efecto es mucho menos significativo en estos casos, por lo que Cb no aparece en las fórmulas que proporcionan las resistencias de diseño correspondientes. Por este motivo, lo que sigue se refiere sólo al estado límite de pandeo por flexotorsión. Cuando Cb es mayor que uno, la resistencia al pandeo lateral por flexotorsión se obtiene multiplicando la resistencia básica, que corresponde a Cb = 1.0, por Cb, teniendo en cuenta que el momento resistente nominal, Mn, no puede exceder de Mp (Fig. 5.44). En la figura se observa que los valores de Lp y Lr, dados por las ecs. 5.98 y 5.99, sólo tienen significado físico cuando Cb = 1.0; si Cb > 1.0 puede alcanzarse el momento Mp


123

con longitudes no contraventeadas más grandes (L’p > Lp), y aumenta también la longitud Lr, llegando, incluso, a desaparecer la región de pandeo inelástico.

Ec. 5.97

Mn

Mr.Cb

Mp

Resist. básica x Cb (Ec. 5.106) Ec. 5.97 con Cb=1.0 Ec. 5.106 con Cb=1.0 LTB inelástico

Mr Diseño plástico Mp

0

(1)

Lpd

Lp

Cb>1.0 LTB elástico Lr L’p

Cb=1.0 (Resist. básica) Lb

(1) En este tramo se alcanza Mp pero no se tiene capacidad de rotación suficiente para usar el perfil en diseño plástico.

Fig. 5.44 Influencia del coeficiente Cb en la resistencia al pandeo lateral por flexotorsión. Si Cb es mayor que la unidad se presenta alguno de los casos indicados en la Fig. 5.45. (Recuérdese que Lp es la longitud libre máxima para la que la viga puede desarrollar el momento plástico, Mp, y Lr la que separa el pandeo inelástico del elástico, ambas para momento uniforme, es decir, para Cb = 1.0). La frontera entre los dos casos corresponde a Mr Cb = Mp ∴ Cb =

Mp Mr

=

Fy Z x FL S X

La resistencia nominal de la viga se conserva igual a Mp hasta que Lb = Lr; para longitudes libres mayores el pandeo es elástico; desaparece la zona de pandeo inelástico. En estas condiciones, L’p = Lr, donde L’p es la longitud no contraventeada máxima hasta la que Mn es igual a Mp, teniendo en cuenta el efecto benéfico de la variación del momento flexionante.

124


En perfiles laminados de acero A36, Cb =

2530 Z x = 1.383 f (Si se supone que el factor 2530 - 700 S x

de forma f vale 1.12, Cb = 1.55). En vigas del mismo acero, soldadas,

Zx 2530 = 1.847 f (Para f = 1.12, Cb = 2.07). 2530 - 1160 S x

Las longitudes (L’p)1 y (L’p)2 para las que la viga puede resistir, todavía, el momento Mp, se obtienen, respectivamente, igualando las ecs. 5.106 y 5.107 a Mp, y despejando Lb de cada una de ellas. Mr.Cb>Mp (caso 1)

Mn

Mr.Cb=Mp Mp Mr.Cb
Mr

0

Lpd

Lp

(L’p)2

Cb>1.0 Cb=1.0 Ec. 5.106, con C b =1.0 Lr (L’p)1 Lb

Fig. 5.45 Curvas Mn – Lb cuando Cb > 1.0. Si Cb tiene un valor mayor que los calculados arriba, (L’p)1 es mayor que Lr, de manera que Mn se conserva igual a Mp hasta que se inicia el pandeo elástico. Si, en cambio, es menor, Lp < (L’p)2 < Lr; se amplía la zona correspondiente a Mn = Mp con respecto al caso en que Cb = 1.0, pero sigue habiendo un intervalo de longitudes libres en el que el pandeo es inelástico. EJEMPLO 5.14 La viga libremente apoyada de la Fig. E5.14.1, de 8 m de claro, debe soportar las cargas de trabajo, muerta y viva, que se indican. El piso proporciona soporte lateral continuo al patín superior. Escoja el perfil W más económico de la ref. 5.22, utilizando acero grado 50, con Fy = 3515 Kg/cm2. Utilice las normas de las refs. 5.14 y 5.16. Como el patín superior de la viga está soportado lateralmente en toda su longitud, el pandeo lateral no es crítico. Los estados límite de resistencia que deben


125

revisarse son el de agotamiento de la resistencia a la flexión en la sección crítica (la viga es isostática, y no puede haber redistribución de momentos), el de resistencia del alma al cortante y, dependiendo de las características geométricas del perfil que se emplee, los de pandeo local. Además, ha de revisarse el estado límite de servicio de deflexiones. Carga muerta=1.0 T/m Carga viva=2.0 T/m

L=8.00 m a) Geometría y cargas

tp=1.35

k=3.33 ta=0.77

h=32.0

dc=28.04

d=34.7

k=3.33

tp=1.35 b=20.3

b) Sección transversal: W14x43 (acotaciones en cm)

Fig. E5.14.1 Viga del ejemplo 5.14. a)

Ref. 5.27.

Acciones de diseño. Wu = 1.2 x 1.0 + 1.6 x 2.0 = 4.4 T/m. (Mu )máx = 4.4 x 82/8 = 35.2 Tm ; ( Vu )máx = 4.4 x 8/2 = 17.6 Ton.

Diseño por flexión. Debe satisfacer la condición MR ≥ Mu. Si la sección es tipo 1 o 2, el momento resistente vale MR = FR Mp = FR Z Fy ≤ 1.5 FR SFy. Se requiere un módulo de sección plástico Z no menor que FR Z Fy = Mu ∴ Z =

Mu 35.2 x 10 5 = 1113 cm3 = FR F y 0.9 x 3515

126


Una W14” x 43 lb/pie, con Z = 1140 cm3, es el más ligero de los perfiles de la ref.5.22 que cumple el requisito. En este caso, FRZFy = 0.9 x 1140 Fy x 10-5 = 36.1 Tm ≤ 1.5 FR SFy = 1.5 x 0.9 x 1027 Fy x 10-5 = 48.7 Tm.

Clasificación de la sección. En la Fig. E5.14.1 se muestran las dimensiones de la sección escogida. Patines. Alma.

b/2tp = 20.3/(2 x 1.35) = 7.5 < 0.38 E / F Y = 9.2 dc/ta = 28.0/0.77 = 36.4 < 3.76 E / F Y = 90.6

Como la sección es compacta puede desarrollar el momento Mp ∴ La sección es correcta. Revisión por cortante. dc/ta = 36.4 < 2.45 E/FY = 59.1 ∴ VR = 0.6 Fy Aa = 0.6 x 3515 x 34.7 x 0.77 x 10-3 = 56.4 Ton > Vu = 17.6 Ton.

El área del alma se toma igual al producto de su grueso por el peralte total del perfil. La viga está muy sobrada por cortante, lo que sucede casi siempre en este tipo de problemas. Estado límite de deflexiones. La ref. 5.27 no proporciona valores límite específicos de las deflexiones, por lo que se utilizarán los de la ref. 5.24. De acuerdo con ella, la flecha máxima, producida por cargas de servicio, no debe exceder de L/240 + 0.5 cm, donde L es el claro de la viga. Flecha máxima admisible =

800 + 0.5 = 3.83 cm. 240

Flecha máxima producida por las cargas de servicio ∆máx =

5 ωL4 5 30 x 800 4 = 4.40 cm > 3.83. = 384 EI 384 17815E

La flecha máxima es un poco mayor que la admisible; se escogerá un perfil de momento de inercia mayor, probablemente conservando el peralte, puesto que el incremento requerido es pequeño. Inec = 17815 x 4.40/3.83 = 20 466 cm4 1W 14” x 48 lb/ft (I = 20187 cm4

≈ 20 466)


127

Según el destino del piso del que forma parte la viga, podría ser necesario revisar el estado límite de vibraciones; si no se cumple, convendría, seguramente, escoger un perfil de mayor peralte. Los estados límite de deflexiones y vibraciones son más críticos cuando, como en este ejemplo, se utiliza un acero de resistencia elevada. Si se hubiese usado acero A36, la flecha máxima habría quedado, sin duda, por debajo de la máxima permisible. b) Ref. 5.16. En este caso las normas de esta referencia son casi iguales a las de la ref. 5.27, por lo que al aplicarlas se llega a los mismos resultados. No se presentan los cálculos correspondientes. EJEMPLO 5.15 Revise el perfil escogido por resistencia en el ejemplo 5.14 en los dos casos siguientes: I) II)

La viga no tiene ningún soporte lateral entre los apoyos. La sección central de la viga está soportada lateralmente.

Los apoyos tienen soporte lateral adecuado en los dos casos. Utilice las normas de las refs. 5.14 y 5.16. Aunque en el ejemplo 5.14 se aumentó ligeramente el perfil para satisfacer el estado límite de deflexiones, aquí se conserva la sección necesaria por resistencia, para estudiar la influencia del tipo de soporte lateral. Si, al disminuir las restricciones laterales, fuese necesario escoger un perfil mayor, es probable que se cumpla automáticamente el estado límite de deflexiones. En el ejemplo 5.14 se ha demostrado que la sección es compacta. I) La viga no tiene soportes laterales entre los apoyos. Las propiedades de interés de la sección transversal de la viga son: W14” x 43 lb/ft A = 81.3 cm2; Ix = 17815 cm4; Iy = 1881 cm4; Sx = 1027 cm3 ; Zx = 1140 cm3 ; ECa J = 43.7 cm4 ; Ca = 523 645 cm6 ; = 176.0 cm. GJ

Los valores de las constantes de torsión se han tomado de la ref. 5.22; si no se cuenta con ellos, para secciones I hechas con placas soldadas, por ejemplo, pueden calcularse con las fórmulas aproximadas, que se utilizan aquí con fines ilustrativos.

128


Ec. 5.6a

Fig. 5.10.

J= I y d '2

Ca =

4

1 1 ∑bt3 = (2 x 20.3 x 1.353 + 32.0 x 0.773) = 38.2 cm4. 3 3

=

1881 x 33.4 2 = 523 023 cm6 4

El valor de Ca es prácticamente igual al tabulado, y J es algo menor. En lo que sigue se utilizan las constantes de la ref. 5.22. a)

Ref. 5.16.

Acciones de diseño.

WD = (1.0 + 2.0) 1.4 = 4.2 T/m ; (MD)máx = 4.2 x 82/8 = 33.6 Tm ; (VD)máx

= 4.2 x 8/2 = 16.8 Ton.

Diseño por flexión. Como primer paso se determina la longitud Lu, para saber si el pandeo lateral es o no crítico. El momento en el centro del tramo sin soporte lateral es más grande que el mayor de los momentos en los extremos (que son nulos), de manera que C = 1.0. Xu = 4.293 C

ZF y GJ

Ca 1140 x 3515 = 4.293 x 1 x Iy 784000x43.7

2π Xu

ECa GJ

523 645 = 8.38 1881

Ec. 5.54 Lu =

1 + 1 + X u2 =

2π x 176.0 1 + 1 + 8.38 2 = 286.7 cm. 8.38

L = 800 cm > Lu = 286.7 cm ∴ Es crítico el pandeo lateral por flexocompresión.

Resistencia de diseño. El estado límite es de pandeo lateral por flexotorsión y la sección es tipo 1, con dos ejes de simetría, de manera que la resistencia de diseño se calcula como sigue: Ec. 5.50. Mu =

πE CL

 43.7  π  2   J  π 2  πE  523645 x 10-5 = 17.32 Tm. I y  +   C a  = 1881  + 1.0x800  2.6  L    2.6  800  

Puede utilizarse también la expresión aproximada 5.51: Mu =

1 C

2 2 Mc1 + Mc2


Ec. 5.52.

129

M c1 =

Ec. 5.53.

M c2 =

Mu =

EAt 31.3 x 1.35E = x 10 -5 = 13.43 Tm L/r y 800/4.8

4.7EAd (L/r y )

2

=

4.7x81.3x34.7E (800/4.8) 2

x 10 - 5 = 9.73 Tm.

1 13.43 2 + 9.73 2 = 16.58 Tm. 1.0

Las contribuciones de las dos formas de torsión son parecidas, aunque es un poco mayor la correspondiente a la torsión de Saint Venant. Las fórmulas aproximadas (ecs. 5.51 a 5.53) y la exacta (ec. 5.50) proporcionan resultados muy semejantes; las ecuaciones aproximadas no tienen, en realidad, ninguna ventaja. Mp = Z Fy = 1140 x 3515 x 10-5 = 40.1 Tm. Mu = 17.32 Tm <

2 3

Mp = 26.7 Tm ∴ El pandeo se inicia en el intervalo elástico.

MR = FR Mu = 0.9 x 17.32 = 15.6 Tm < 33.6

El perfil del ejemplo 5.14 sin ningún soporte lateral entre los apoyos no es adecuado para resistir las cargas que actúan en él. b)

Ref. 5.14.

Ec. 5.98

Lp = 1.762 ry/ E/F y = 1.762 x 4.8 E/F y = 203.7 cm < L= 8.00 m

Ec. 5.99

Lr =

ry X 1 FL

1 + 1 + X 2 FL2

[

De la ref. 5.25, X1 = 163 119 Kg/cm2, X2 = 0.991 x 10-6 1/ (Kg/cm)

2

]

FL = Fy - Fr = 3515 - 700 = 2815 Kg/cm2 Lr =

4.8 x 163 119 1 + 1 + 0.991 x 10 -6 x 2815 2 = 554.6 cm < L = 800 cm 2815

El pandeo se inicia en el intervalo elástico. Resistencia nominal en flexión Mn = Mcr = 17.32 Tm < Mp Mcr es igual a Mu, calculado arriba.

130


FR Mn = 0.9 x 17.32 = 15.76 Tm < 35.2 Tm. El perfil ensayado está muy escaso.

El momento de diseño Mu = 35.2 Tm se obtuvo en el ejemplo 5.14. II)

La sección central de la viga está soportada lateralmente. (L = 4.00 m).

a)

Ref. 5.16

Este problema se resolverá sin calcular las longitudes características. C = 0.60, pues M1/M2 = 0. M1 es el momento en un extremo, libremente apoyado, de

la viga, y M2 el momento en el centro del claro. Mu =

πE CL

 J  π 2   43.7  π  2  πE  523645 x 10 -5 = 81.1 Tm. Iy  +  Ca  = 1881 +  2.6  400   2.6  L   0.6x400 

Mu = 81.1 Tm >

2 Mp = 26.7 Tm 3

∴ El pandeo se inicia en el intervalo inelástico.

 0.28M p MR = 1.15 FR Mp 1 Mu  FRMp = 0.9 x 40.1 = 36.1 Tm.

Ec. 5.48

  = 1.15 x 0.9 x 40.1 1 - 0.28x40.1  = 35.8 Tm <  81.1  

MR = 35.8 Tm > MD = 33.6 Tm.

El perfil del ejemplo 5.14 con la sección central soportada lateralmente es correcto. b)

Ref. 5.14

Lp = 203.7 cm < Lb = 400 cm < Lr = 554.6 cm.

1m

1m

1m Lb=4 m

35 2 Tm M

Mc=33.0 Tm

MB=26.4 Tm

MA=15.4 Tm

Es crítico el pandeo lateral, que se inicia en el intervalo inelástico.

1m

Fig. E5.15.1 Cálculo del coeficiente Cb.


Ec. 5.103

131

Cb=

=

2.5M máx

12.5 Mmáx = + 3M A + 4MB + 3MC

12.5 x 35.2 = 1.30 2.5 x 35.2 + 3 x 15.4 + 4 x 26.4 + 3 x 33.0

Los momentos de la ecuación anterior aparecen en la fig E5.15.1 Resistencia nominal en flexión (ec. 5.100):

M= FLSx = 2815 x 1027 x 10-5 = 28.9 Tm.r

Ec.5.97  Lb - L p  400 - 203.7   Mn=Cb M p - M p - M r =  = 1.30 40.1 - (40.1 - 28.9 ) L L 554 .6 − 203.7    r p   = 44.0 Tm > M p = 40.1 ∴ Mn = 40.1 Tm.

(

)

FR Mn = 0.9 x 40.1 = 36.1 Tm > 35.2 ∴ El perfil es adecuado.

Al soportar lateralmente la sección media de la viga crece su resistencia al pandeo por dos motivos: a) disminuye la longitud libre de pandeo y b), crece el coeficiente Cb (o 1/C, cuando se aplican las normas de la ref. 5.16). EJEMPLO 5.16 Revise si la sección W18” x 76 lb/ft de la Fig. E5.16.2 (ref. 5.22) es adecuada para la viga de la Fig. E5.16.1. Los apoyos y los puntos de aplicación de las cargas están soportados lateralmente. El acero es A36. Las cargas indicadas son nominales (o de trabajo), y los diagramas de elementos mecánicos corresponden a ellas. Clasificación de la sección (Tabla 3.6, art. 3.10.2.1) Patines. b / 2tp =28.03/(2 x 1.73) = 8.10 < 0.32 E/F y = 9.1 Alma. dc/ta = 39.3/1.08 = 36.4 < 2.45 E/F y = 69.6 La sección es tipo 1; no hay problemas de pandeo local. Deben revisarse los estados límite de pandeo lateral por flexotorsión y de resistencia del alma al cortante.

132


12.0 Ton

A 7.30 m

5.2 Ton

B

D

8.50 m 15.80 m

C 6.50m

+31.51 -33.80

4.32

5.20 7.68

3.5 tp=1.73 ta=1.08

M (TM)

V (Ton)

dc=39.3

d=46.3

A=143.87 cm2 Ix=55360 cm4; 5x=2393 cm3 Zx= 2671 cm3 Iy=6327 cm4; ry=6.63 cm J=117.8 cm4 6 Ca=3141 870 cm Acotaciones en cm

tp=1.73

3.5

b=28.03

Fig. E5.16.1 Cargas y diagramas de elementos mecánicos (nominales).

Fig. E5.16.2 Dimensiones y propiedades geométricas de la sección W18´´x76 lb/ft.

Revisión de la resistencia al pandeo lateral Normas Técnicas Complementarias del Reglamento del D. F. (Ref. 5.16) Se toma Fc = 1.4. Tramo BC. Este es, probablemente, el que se encuentra en peores condiciones, por lo que se revisará primero. Longitudes características (Ecs. 5.54 y 5.55). C = 0.6 (El momento en un extremo es nulo). Xr =

4 ZF y C 3 GJ

Ca 4 2671 x 2530 = x 0.6 x Iy 3 784000 x 117.8

3 141 870 = 1.305 6327

Xu = 3.220 Xr = 4.202 EC a EC a Ca Ca = = 2.6 = 1.612 GJ (E/2.6)J J J

Lu =

Ca 2π x 1.612 Xu J

1 + 1 + X u2 =

2π 3 141 870 x 1.612 4.202 117.8

1 + 1 + 4.202 2 = 642.0 cm

Lr =

Ca 2π x 1.612 Xr J

1 + 1 + X r2 =

2π 3 141 870 x 1.612 1.305 117.8

1 + 1 + 1.305 2 = 1 457.4 cm

Puesto que (Lu = 642 cm) < L = 650 cm < (Lr = 1457.4 cm), el pandeo se presenta en el intervalo inelástico, y MR se calcula con la ec. 5.48.


133

Resistencia de diseño Ec. 5.50 πE Mu = CL

-5

 J  π 2   117.8  π  2  πE  3 141 870  x10 −5 = 142.3Tm Iy  +  Ca  = 6327  +  2.6  L   0.6 x 650  2.6  650  

Mp = 2671 x 2530 x 10-5 = 67.6 Tm

Ec. 5.48  0.28 M p     = 1.15 x 0.9 x 67.6 1 - 0.28 x 67.6  = MR = 1.15 FR Mp 1  142.3  Mu   = 60.7 Tm < 0.9 Mp = 60.8

Como L es muy poco menor que Lu, el momento resistente MR es casi igual a FRMp. Las longitudes Lu y Lr no son necesarias en un problema como éste, en el que pueden aplicarse directamente las ecuaciones. Mu = 142.3 Tm > (2/3) Mp = 45.1 Tm

Se aplica la ec. 5.48, y se obtiene MR = 60.7 Tm El tramo ensayado está sobrado, pues MR = 60.7 Tm > Mu = 33.8 x 1.4 = 47.3 Tm (47.3/60.7 = 0.779)

El tramo BC es seguramente el crítico; sin embargo, para completar el problema se revisarán los otros dos. Tramo AD. L = 7.30 m. Mu =

 117.8  π  2  πE  3 141 870  x 10 -5 = 118.3 Tm 6327  + 0.6 x 730  2.6  730  

 0.28 x 67.6   = 58.8 Tm > 1.4 x 31.51 = 44.1 Tm MR = 1.15 x 0.9 x 67.6 1  118.3 

Tramo DB.

Mu =

L = 8.50 m ; C = 0.6 - 0.4

31.51 = 0.227 < 0.4 ∴ C = 0.4 33.80

 117.8  π  2  πE  3 141 870  x 10-5 = 140.8 Tm 6327  + 0.4 x 850  2.6  850  

134


 0.28 x 67.6   = 60.6 Tm > 47.3 Tm MR = 1.15 x 0.9 x 67.6 1  140.8 

El perfil ensayado está sobrado. Normas AISC-ASD 89 (ref. 5.12) Tramo BC. 637b Fy Fb =

=

L = 6.50 m

637 x 28.03 2530

= 355 cm < L = 6.50 m; Cb = 1.75, pues M1/M2 = 0

843720 x 1.75 = 2379 Kg/cm 2 > 0.6 Fy ∴ Fb = 0.6 Fy = 1518 Kg/cm2 650 x 46.3/(28.03 x 1.73)

fb = Mmáx/Sx = 33.8 x 105/2393 = 1412 Kg/cm2 < 1518 (1412/1518 = 0.930)

El perfil propuesto está sobrado; no es necesario revisar los otros tramos. Obsérvese que al revisar la sección con las recomendaciones de la ref. 5.16 se encuentra que está mucho más sobrada que con la ref. 5.12. Normas AISC-LRFD (ref. 5.14) Se toma Fc = 1.4 (valor propuesto en la ref. 5.16) Tramo BC.

L = 6.50 m.

Mmáx = 33.8 x 1.4 = 47.32 Tm.

Clasificación de la sección (Tabla B5.1, ref. 5.14). Patines.

b/2tp = 8.10 < 0.38 E/F y = 10.8

Alma.

dc//ta = 36.4 < 3.76 E/F y = 106.7

La sección es compacta; no es necesario revisar los estados límite de pandeo local de alma o patines. Ec. 5.98

Lp = 2516 ry/

Fy = 2516 x 6.63/ 2530 = 331.5 cm < L = 6.50 m.

Debe revisarse el estado límite de pandeo lateral por flexotorsión. De la ref. 5.22: X1 = 2180 Ksi = 153 276 Kg/cm2 ; X2 x 106 = 6520 (1/Ksi)2 = 1.319 (1/(Kg/cm))2 X2 = 1.319 x 10-6

FL = Fy - 700 = 1830 Kg/cm2 ; Mr = FLSx = 1830 x 2393 x 10-5 = 43.8 Tm.


Lr =

ry X 1 FL

135

1 + 1 + X 2 FL2 =

6.63 x 153276 1830

1 + 1 + 1.319 x 10 -6 x 1830 2 =

Ec. 5.99

= 1013 cm > L = 6.50 m Cb = 1.75

Ec. 5.92 Resistencia nominal  L - Lp  Mn = Cb  M p - M p - M r = Lr - L p    650 - 331.5  =1.75 67.6 - ( 67.6 - 43.8) = 98.8 Tm > Mp  1013 − 331.5 

(

)

∴ Mn = Mp

Resistencia de diseño = φb Mn = 0.9 x 98.8 = 88.9 Tm > Mmáx = 47.32 Tm El perfil propuesto está sobrado; no es necesario revisar los otros tramos. Revisión de la resistencia al cortante VD = 7.68 x 1.4 = 10.75 Ton. Ref. 5.16. h = 46.3 - 2 x 1.73 = 42.84 cm.

h 42.84 = = 39.7 < 1400 ta 1.08

k 5.0 = 1400 = 62.2 Fy 2530

∴ VN = 0.66 Fy Aa

Resistencia de diseño VR = FR VN = 0.9 x 0.66 x 2530 x 46.3 x 1.08 x 10-3 = 75.1 Ton >> 10.75 Ton Como en la mayoría de los problemas reales, el estado límite de resistencia al cortante no es crítico.

136

5.9


VIGAS DE PAREDES DELGADAS

De acuerdo con las normas AISI para diseño por factores de carga y resistencia (ref. 5.13), la resistencia de diseño φbMb de tramos no contraventeados lateralmente de vigas de sección transversal con dos ejes de simetría8, que fallan por pandeo lateral, se determina con φb = 0.9, y Mn se calcula como sigue: Mn = Mc

Sc Sf

(5.108)

donde Sf = módulo de sección elástico de la sección transversal completa, respecto a la fibra extrema en compresión. Sc = módulo de sección elástico de la sección transversal efectiva, determinada con el esfuerzo Mc/Sf en la fibra extrema en compresión. Mc = momento crítico calculado como se indica a continuación. El momento Mc de secciones I flexionadas alrededor del eje centroidal perpendicular al alma (eje x), se calcula con las ecuaciones siguientes: Para Me ≥ 2.78 My, (5.109)

Mc = My

Para 2.78 My > Me > 0.56 My, Mc =

 10M y 10 M y 1 9  36M e

  

(5.110)

Para Me ≤ 0.56 My, Mc = Me

(5.111)

En las expresiones anteriores, My = momento que ocasiona la iniciación del flujo plástico en la fibra comprimida extrema de la sección transversal completa = Sf Fy (5.112) Me = momento crítico de pandeo elástico. En la ref. 5.13 se proporcionan expresiones para calcular Me; cuando se aplican a secciones con dos ejes de simetría, se reducen a las que se han visto aquí. 8

La ref. 5.13 contiene recomendaciones para secciones con un solo eje de simetría y para las que tienen un centro de simetría, como las Z; no se incluyen aquí.


137

En el art. 5.5.2 se propuso la ec. 5.37 para calcular el momento crítico de pandeo inelástico; es válida cuando Me excede de My/2; en caso contrario, el pandeo se inicia en el intervalo elástico, y el momento crítico se evalúa con la ec. 5.19a del art. 5.4.1.1.  My   M cr = M y 1  4M cre 

(5.37)

Los resultados que proporciona la ec. 5.37 mejoran sustituyendo My por Mp, para que el momento crítico de pandeo inelástico tienda a Mp cuando L tiende a cero; suponiendo que Mp = (10/9)My = 1.11 My, y haciendo la sustitución, se obtiene la ec. 5.110, que es válida para Mc mayor que Mp/2 = 1.11 My/2 ≈ 0.56 My ; si Mc ≤ 0.56 My, el pandeo es elástico (ec. 5.111). De manera conservadora, el valor máximo del momento crítico se limita a My, y la ec. 5.110 es aplicable sólo hasta que Mc = My; de esta condición se obtiene el límite Me = 2.78 My, arriba del cual se toma Mc = My (ec. 5.109). En vigas de paredes delgadas, la interacción del pandeo local de los elementos comprimidos con el pandeo lateral de conjunto puede ocasionar una disminución en la resistencia al pandeo lateral; el efecto del pandeo local en el momento crítico se toma en cuenta con la ec. 5.108.

138


5.10

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Fundación ICA es una Asociación Civil constituida conforme a las leyes mexicanas el 26 de octubre de 1986, como se hace constar en la escritura pública número 21,127, pasada ante la fe del Lic. Eduardo Flores Castro Altamirano, Notario Público número 33 del Distrito Federal, inscrita en el Registro Público de la Propiedad en la sección de Personas Morales Civiles bajo folio 12,847. A fin de adecuar a las disposiciones legales vigentes los estatutos sociales, estos fueron modificados el 17 de octubre de 1994, como se hace constar en la escritura pública número 52,025 pasada ante la fe del Lic. Jorge A. Domínguez Martínez, Notario Público número 140 del Distrito Federal. Fundación ICA es una institución científica y tecnológica inscrita en el Registro Nacional de Instituciones Científicas y Tecnológicas del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, con el número 2001/213 del 29 de agosto de 2001. Esta edición de "Diseño de estructuras de acero. Flexión 2 (Pandeo lateral)" se termino en agosto del 2002 se grabaron 500 ejemplares en disco compacto, fue grabado en Av. del Parque 91 col. Nápoles C.P. 03810 México DF. la edición estuvo al cuidado de Fernando Oscar Luna Rojas, César Arteaga y Carolina Zempoalteca Durán.

Otras publicaciones del Ing. Oscar de Buen López de Heredia

•

"Un método para el trazo de líneas de influencia de estructuras hiperestáticas". Ingeniería. Julio 1959.

•

"Diseño de columnas de acero cargada axialmente". Ingeniería. Abril 1963.

•

"Pandeo lateral de vigas de acero". Ingeniería. Octubre 1963.

•

"Diseño de piezas flexocomprimidas de acero estructural". Ingeniería. Abril 1964.

•

"Pandeo de placas comprimidas". Ingeniería. Julio 1964.

•

Apuntes sobre "Análisis plástico de estructuras de acero". Facultad de Ingeniería. División de Estudios de Superiores. 1964.

•

"Plastic desing of a three – story steel frame".Engineerring Journal, American Institute of Steel Construction (A.I.S.C.), Nueva York. Julio 1965.

•

"Estabilidad de placas sujetas a esfuerzos cortantes y esfuerzos normales no uniforme". Ingeniería. Octubre 1965.

•

"Diseño de trabes armadas". Ingeniería. Enero 1966.

•

"A plastically designed five – story building in México City". (A.S.C.E.) Structural Engineering Conference. Miami, Florida. Febrero 1966.

•

"Un método para el análisis y diseño plástico de marcos de acero para edificios de varios pisos". Ingeniería. Abril 1966

•

"Diseño plástico de marcos rígidos de edificios". Ingeniería Civil. Abril, Enero – Febrero 1966.

•

"Conexiones para marcos rígidos de acero". Parte Experimentales. Diseño Elástico. Ingeniería. Julio 1966.

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"Conexiones para marcos rígidos de acero". Parte II. Diseño Plástico. Ingeniería. Julio 1967.

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"Diseño plástico de marcos rígidos no contraventeados". II Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, S.M.I.S. Veracruz, Ver. Mayo 1968.

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"Estructura de acero de la cubierta del Palacio de los Deportes". Ingeniería. Octubre 1968.

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"Estudio metalográfico del acero de las aspas del ventilador de un generador de la Central Hidroeléctrica de Malpaso". (Con Marcos de Teresa y Carral). Instituto de Ingeniería. Febrero 1970.

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"Estudios experimentales en el puente Bulevar Aeropuerto". Ingeniería. Julio – Septiembre 1970.

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Consejo Directivo de Fundación ICA Presidente Ing. Bernardo Quintana Vicepresidentes Dr. Francisco Barnés de Castro Dr. Daniel Resendiz Nuñez Dr. Julio Rubio Oca Ing. Luis Zárate Rocha Director Ejecutivo M. en C. Fernando O. Luna Rojas Cuerpos Colegiados de los Programas Operativos Comité de Becas Dr. Juan Casillas García de León Dr. Sergio Gallegos Cazares Ing. Miguel Angel Parra Mena Comité de Premios Dr. Luis Esteva Maraboto Ing. Gregorio Farias Longoria M.I. José Antonio González Fajardo Comité de Publicaciones Dr. Oscar González Cuevas Dr. Horacio Ramírez de Alba M.I. Gabriel Moreno Pecero Ing. Gilberto García Santamaría González Comité de Investigación Dr. José Luis Fernández Zayas Dr. Bonifacio Peña Pardo Dr. Ramón Padilla Mora Dr. Roberto Meli Piralla

Universidad Autónoma del Estado de México Directorio Dr. en Q. Rafael López Castañares Rector Lic. en T. Maricruz Moreno Zagal Secretaria de Docencia M. en A.P. José Martínez Vilchis Secretario de Administración M. en E.S. Gustavo A. Segura Lazcano Coordinador General de Difusión Cultural

FACULTAD DE ARQUITECTURA Y DISEÑO

Directorio Lic. en D.I. Enrique Aguirre Hall Dirección M. en Arq. Ma. de Lourdes Ortega Terrón Subdirección Académica Arq. Ricardo Rolando Cruz Jiménez Subdirección Administrativa

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

Mesa Directiva 2001 – 2002

Presidente Ing. José María Riobóo Martín Vicepresidente Ing. José Gaya Prado Vicepresidente Técnico Dr. Sergio Alcocer Martínez de Castro Secretario M. I. José Carlos Arce Riobóo Tesorero Ing. Sergio Escamilla Aguilar Vocales Dr. Mario Rodríguez Rodríguez Ing. Germán Cervantes Hernández Ing. Fernando González Roser Ing. Héctor Soto Rodríguez

Ing. Oscar de Buen López de Heredia

El Ing. Oscar de Buen López de Heredia, termino sus estudios de ingeniería civil en 1952, empezó su carrera como docente con la cátedra "Elasticidad de la Construcción", seguida de "Estructuras de Acero", "Estructuras Hiperestaticas " y "Análisis y Diseño Estructural". Ha sido profesor de la UNAM y de otras Universidades en el extranjero. Tiene reconocimientos por su brillante desempeño profesional, Fundación ICA lo reconoció como un Gran Valor Mexicano de la Ingeniería y recibió el Premio Nacional de Ingeniería. Tiene un sinnúmero de publicaciones en revistas nacionales y del extranjero, ha publicado un libro y ha participado en varios más. En los últimos dos años se han publicado por parte de la Fundación ICA los siguientes títulos: • • • •

Diseño de estructuras de acero. Miembros en Tensión. Diseño de estructuras de acero. Miembros en Compresión Diseño de estructuras de acero. Placas. Diseño de estructuras de acero. Flexión 1 (Vigas sin pandeo lateral).

DISEÑO DE ESTRUCTURA MELALICAS SECCION COMPUESTA

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