Diseño-Cálculo eje-prob shigley

Univ Univer ersi sida dad d Naci Nacion onal al de de Tru Truji jill lloI oIng ng.. Mec Mecán ánic ica a

Dise Diseño ño de Ele Elem. m. de Máq. Máq. I

http://adrenalinaforex.eu/acc.php

Problema para reforzar lo aprendido del cálculo en el análisis por deflexión y por velocidad crítica

PROBLEMA 7-10 Un eje de acero AISI 1020 estirado en frió con la configuración geométrica que se muestra en la figura, soporta una carga transversal de 7 kN y un momento de torsión de 107 N.m. Revise el eje por resistencia y deflexión. Si la pendiente, máxima permisible permisible en los cojinetes es de 0.001, ¿Cuál es el factor de seguridad que previene contra una distorsión grave? ¿Cuál es el factor de seguridad que previene contra una falla por fatiga? Si el eje resulta ser insatisfactorio, insatisfactorio, ¿Qué recomendaría recomendaría para corregir el problema? Se pide desarrollar el análisis por deflexión y por vida crítica 7 kN kN 155 55 40

35

30

45

40

35

30

20

30

30 55

60 115

10

85 150 375

Todo s los radios d e entalle entalle son de 2 mm

Análisis por deflexión: Se tiene las condiciones de: Inclinación mayor permisible en los cojinetes mide 0.001 rad Inclinación mayor permisible en el acoplamiento del engrane 0.0005 rad Para poder realizar el cálculo de las deflexiones emplearemos el método de integración grafica de SIMPSON dado que las secciones transversales del eje no son constantes y la iner inerci cia a camb cambia ia para para los los diám diámet etro ross resp respec ectitivo voss de cada cada parte parte del del eje. eje. Por Por lo tant tanto o describi describiremos remos las estacion estaciones es de trabajo trabajo que empleare emplearemos mos para realizar realizar este cálculo, cálculo, las cuales serán: Donde se aplique la carga y pares de tensiones puntuales. Donde ocurran las reacciones. Donde cambie la geometría del eje. ○ ○

○ ○ ○

Universidad Nacional de TrujilloIng. Mecánica

Diseño de Elem. de Máq. I

Previamente calculamos reaciones y momentos, con ayuda de un software computacional:

Con los valores encontrados de momentos , hacemos nuestra hoja de cálculo de EXCEL en la cual determinaremos los valores de las deflexiones y de las pendientes por el método de integración grafica.


Estación, i

x (m)

1

0 0,0075

2

0,015 0,0275

3

0,04 0,07

4

0,1 0,105

5

0,11 0,125

6

0,14 0,175

7

0,21 0,2425

8

0,275

Diseño de Eje

M (N.m)

d (m)

0,000 0,000 30,861 30,861 61,723 61,723 113,158 113,158 164,594

0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,035 0,035 0,035 0,035

164,594 288,040 288,040 411,485 411,485 432,059 432,059 452,634 452,634 514,357 514,357 576,079 576,079 459,529 459,529 342,978 342,978 234,753 234,753 126,528 126,528

0,04 0,04 0,04 0,04 0,055 0,055 0,055 0,055 0,045 0,045 0,045 0,045 0,045 0,045 0,045 0,045 0,04 0,04 0,04 0,04 0,035

E (Pa) 2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11

I (m^4)

M/EI

3,98E-08 3,98E-08 3,98E-08 3,98E-08 3,98E-08 7,37E-08 7,37E-08 7,37E-08 7,37E-08

0,00E+00 0,00E+00 3,75E-03 3,75E-03 7,50E-03 4,05E-03 7,42E-03 7,42E-03 1,08E-02

1,26E-07 1,26E-07 1,26E-07 1,26E-07 4,49E-07 4,49E-07 4,49E-07 4,49E-07 2,01E-07 2,01E-07 2,01E-07 2,01E-07 2,01E-07 2,01E-07 2,01E-07 2,01E-07 1,26E-07 1,26E-07 1,26E-07 1,26E-07 7,37E-08

6,33E-03 1,11E-02 1,11E-02 1,58E-02 4,43E-03 4,65E-03 4,65E-03 4,87E-03 1,09E-02 1,23E-02 1,23E-02 1,38E-02 1,38E-02 1,10E-02 1,10E-02 8,23E-03 1,32E-02 9,02E-03 9,02E-03 4,86E-03 8,30E-03

0,2875 0,3 0,3075 10

0,315 0,3225

11

0,33 0,3375

12

∫M/(EI) dx

∫∫M/(EI) dxdx

y (m)

dy/dx (rad)

0,00E+00

0,00E+00

0,00000000

1,41E-05

0,00E+00

5,62E-05

2,81E-07

-0,002054 -0,00001541 0,00203994 -0,00003053 0,00199776

1,49E-04

1,30E-06

-0,00005519

2,63E-04

4,10E-06

5,91E-04

1,40E-05

9,95E-04

4,03E-05

-0,00007806 0,00179065 -0,00012978 0,00146264 -0,00016506 0,00105926

1,05E-03

4,68E-05

-0,00016890

1,07E-03

5,08E-05

1,20E-03

6,85E-05

1,40E-03

8,71E-05

1,83E-03

1,40E-04

-0,00018824 0,00085521 -0,00020051 0,00065894 -0,00021920 0,00022398

2,17E-03

2,14E-04

-0,00021733 0,00011307

2,45E-03

2,86E-04

-0,00021220 0,00039348

2,67E-03

3,73E-04

-0,00019234 0,00061917

-0,0019045

-0,0010081 -0,00017519 0,00098431

Análisis de Deflexión y velocidad crítica Rodríguez Yengle


9


0,345

84,902 84,902

0,035 0,035

43,277 43,277 18,302 18,302 -6,673 -6,673

0,035 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03

2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11


7,37E-08 7,37E-08

5,57E-03 5,57E-03

7,37E-08 3,98E-08 3,98E-08 3,98E-08 3,98E-08 3,98E-08

2,84E-03 5,26E-03 2,22E-03 2,22E-03 -8,11E-04 -8,11E-04

-5,005

0,03

3,98E-08

-6,08E-04

-5,005

0,03

3,98E-08

-6,08E-04

-3,337

0,03

3,98E-08

-4,05E-04

-3,337 -1,668 -1,668 0,000 0,000

0,02 0,02 0,02 0,02 0,02

7,85E-09 7,85E-09 7,85E-09 7,85E-09 7,85E-09

-2,05E-03 -1,03E-03 -1,03E-03 0,00E+00 0,00E+00

2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11

2,74E-03

4,05E-04

-0,00018554 0,00068438

2,79E-03

4,41E-04

-0,00017529 0,00073691

2,81E-03

4,61E-04

-0,00017092

0,0007559

2,82E-03

4,83E-04

-0,00016398

0,0007612

2,81E-03

5,03E-04

-0,00015953 0,00075587

2,81E-03

5,25E-04

-0,00015264 0,00075207

2,80E-03

5,45E-04

-0,00014825 0,00074671

2,80E-03

5,67E-04

-0,00014144 0,00074286

Universidad Nacional de TrujilloIng. Mecánica 84,902 84,902

0,035 0,035

0,315

43,277 43,277 18,302 18,302 -6,673 -6,673

0,035 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03

0,3225

-5,005

0,03

-5,005

0,2875 9

0,3 0,3075

10

11

0,33 0,3375

12

0,345

Diseño de Eje


7,37E-08 7,37E-08

5,57E-03 5,57E-03

2,07E+11

7,37E-08 3,98E-08 3,98E-08 3,98E-08 3,98E-08 3,98E-08

2,84E-03 5,26E-03 2,22E-03 2,22E-03 -8,11E-04 -8,11E-04

2,07E+11

3,98E-08

-6,08E-04

0,03

3,98E-08

-6,08E-04

-3,337

0,03

3,98E-08

-4,05E-04

-3,337 -1,668 -1,668 0,000 0,000

0,02 0,02 0,02 0,02 0,02

7,85E-09 7,85E-09 7,85E-09 7,85E-09 7,85E-09

-2,05E-03 -1,03E-03 -1,03E-03 0,00E+00 0,00E+00

2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11

2,07E+11 2,07E+11 2,07E+11

2,74E-03

4,05E-04

-0,00018554 0,00068438

2,79E-03

4,41E-04

-0,00017529 0,00073691

2,81E-03

4,61E-04

-0,00017092

0,0007559

2,82E-03

4,83E-04

-0,00016398

0,0007612

2,81E-03

5,03E-04

-0,00015953 0,00075587

2,81E-03

5,25E-04

-0,00015264 0,00075207

2,80E-03

5,45E-04

-0,00014825 0,00074671

2,80E-03

5,67E-04

-0,00014144 0,00074286




Las ecuaciones para la integración numérica que se usaran serán: Para la pendiente: ○

dy dx

x

= ∫ 0

M

dx − C 1 EI

dydx=0xMEIdx +C1 ○

Para la deformación: y

x x M  = ∫0   ∫ 0 dx  dx − C 1 x − C 2  EI 

y=0x0xMEIdxdx + C1x + C2 C1=0xa0xaMEIdxdx

○

x

C 1

=

∫

0

 x aM dx  dx − xb xbM dx  dx     ∫ 0 EI  ∫0  ∫ 0 EI  − xa − xb

a

-0xb0xbMEIdxdxxa-xb C2=xb.0xa0xaMEIdxdx

○

x

x



x

∫ ∫ a

aM



dx  dx x

x



x

∫ ∫ b

bM



dx  dx



Las ecuaciones para la integración numérica que se usaran serán: Para la pendiente: ○

dy dx

x

= ∫ 0

M

dx − C 1 EI

dydx=0xMEIdx +C1 ○

Para la deformación: y

x x M  = ∫0   ∫ 0 dx  dx − C 1 x − C 2  EI 

y=0x0xMEIdxdx + C1x + C2 C1=0xa0xaMEIdxdx

○

x

C 1

=

∫

0

 x aM dx  dx − xb xbM dx  dx     ∫ 0 EI  ∫0  ∫ 0 EI  − xa − xb

a

-0xb0xbMEIdxdxxa-xb C2=xb.0xa0xaMEIdxdx

○

xb C 2

=

x

∫

0

 x aM dx  dx − x x b x bM dx  dx   ∫ 0  a∫ 0  ∫ 0 EI   EI  − x a − xb

a

-xa.0xb0xbMEIdxdxxa-xb

Luego para el cálculo de las constantes C 1 y C2 procedemos como sigue: En la “Estación 1” donde está el apoyo izquierdo: Condiciones de frontera; Deflexión =0 x

=0

;

y

=0

;

y =

 M dx  dx = 0 ∫  ∫ EI    x M dx  dx − C x − C ∫0  ∫ 0 EI   1 2 x

0= 0 + C1 + C20=0+ C1(0) + C2 C2 = 0

……. (1)

En la “Estación 10 ” donde está el apoyo derecho, se tienen las siguientes condiciones de frontera: Deflexión=0

Diseño de Eje



x = 0.315 ; y

=0 ;


 M dx  = 6.47 x10 − 4 ∫  ∫ EI  

 x M  y = ∫  ∫ dx  dx + C 1 x + C 2  EI  0  0  x

C1=-1.409x10-3

0 = 6.47 x10−4 + C 1 (0.31 5)

⇒

C 1

= −2.05 4x10−3

C2=

De los resultados de la tabla los que interesan son los 1,6,10 y 12. ○

La estación 1 corresponde al apoyo del cojinete izquierdo y da como resultado:

Deflexión Pendiente ○

: :

-0,00020051 m (Signo indica el sentido) -0,00065894 rad

La estación 10 corresponde al apoyo del cojinete derecho y da como resultado:


0 m -0.002054 rad

La estación 6 corresponde al punto de aplicación de la carga y da como resultado:


: :

: :

-0,00016398m (Signo indica el sentido) 0,0007612 rad

La estación 12 corresponde al apoyo del cojinete derecho y da como resultado:

Deflexión Pendiente

: :

-0,00014144m (Signo indica el sentido) 0,00074286rad

Analizando lo que el problema requiere: En el apoyo del cojinete izquierdo y del derecho se requiere una pendiente de máximo valor igual a 0.001 rad, el eje tiene una pendiente de 0.002054 rad en el cojinete izquierdo este valor excede los límites y 0,0007612rad en el cojinete derecho este valor esta dentro del límite. En el acoplamiento del engrane la inclinación máxima permisible es 0.0005 rad, el eje tiene una inclinación de -0,00065894rad, por lo que no cumple los requerimientos según deflexión y se tendrían que adoptar nuevas medidas Se recomienda aumentar los diámetros, una de las posibles dimensiones puede ser:

Diseño de Eje



60 45

35

30

50


45

35

30

20

30

30 55

60 115

10

85 150 375

Se muestran los diagramas:

Cálculo del ángulo de torsión

θ i

=

TLi GJ i

tramo T (Nm) d (m)

G (Pa)

L (m)

J (m^4)

θ (rad)

6–7 7-8 8–9 9 – 11 11 - 12

79300000000 79300000000 79300000000 79300000000 79300000000

0.07 0.065 0.025 0.03 0.015

4.02578E-07 2.51327E-07 1.47324E-07 7.95216E-08 0.00015708

0.00023462 0.00034897 0.00022897 0.00050903 1.2885E-07 0.0001235

107 107 107 107 107

0.045 0.04 0.035 0.03 0.2

∑θ

Diseño de Eje

i

=




1.84 N 1.62 N 1.84 N

5.77 N

1.82 N

6.25 N

12.17 N

1.62 N

16.52 N

A

B

C

0.72 N

17.13 N

D

E

F

G I H

J

K

L

M N

Ñ

O

P

Q

R

CALCULO DE LA VELOCIDAD CRÍTICA La velocidad crítica para un eje es aquella velocidad a la que el sistema se hace inestable y tiende a fallar, pues las deflexiones cade vez son mayores sin poder alcanzar un límite superior.

DEBIDO A LA PROPIA MASA: Calcularemos por el método de RAYLEIGH que estableció: ϖ 1

=

∑W y ∑W y

g

i

i

2

i

i

Y utilizaremos los coeficientes de influencia para transversales en un eje. δij = b j xi

(l 2 − b 2 − x 2 )

j i 6 EIl a j (l − xi ) ( 2 xi − a j2 − xi2 ) 6 EIl

calcular las deformaciones

xi

≤a

xi

>a

Con procedimiento similar al anterior calculamos los momentos: Posteriormente se hace el cuadro de la integración numérica

Diseño de Eje



Diseño de Eje




(m)

M

x (m)

A

N

0 0.0075

B

0.0150 0.0225

0.030 C

0.0300 0.03625

D

0.0425 0.04875

0.035 E

0.055 0.07

F

0.085 0.1

0.040 G

0.115 0.1175

H

0.12 0.1225

0.055 I

0.125 0.15

Diseño de Eje

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

(N.m)

I (m4)

0 0 0 0.11 0.22

3.97608E-08

0.32 0.41 0.49 0.57

7.36618E-08

0.77 0.96 1.07 1.18

1.25664E-07

1.2 1.22 1.23 1.25

4.4918E-07

1.38

M/EI (m-1)

0 0 0 0 0 0 1.33650E-05 1.33650E-05 2.67299E-05 1.44281E-05 2.09864E-05 2.09864E-05 2.68888E-05 2.68888E-05 3.21354E-05 3.21354E-05 3.73820E-05 2.19126E-05 2.96013E-05 2.96013E-05 3.69055E-05 3.69055E-05 4.11342E-05 4.11342E-05 4.53630E-05 1.26909E-05 1.29060E-05 1.29060E-05 1.31211E-05 1.31211E-05 1.32286E-05 1.32286E-05 1.34437E-05 2.99999E-05 3.31199E-05 3.31199E-05

0.045 K

L

0.040 M

N

0.035 Ñ

O

ψ (m)



0

y (m)

θ (rad)

0

7.12058E-08

-4.74705E-06

0

0

-4.74705E-06

1.002E-9

-7.02034E-08

-4.54658E-06

4.973E-9

-1.25571E-07

-4.28630E-06

13.106E-9

-1.76776E-07

-3.88460E-06

51.132E-9

-2.81161E-07

-2.99945E-06

121.437E-9

-3.53269E-07

-1.76542E-06

136.505E-9

-3.61935E-07

-1.70089E-06

151.901E-9

-3.70275E-07

-1.63462E-06

0 0 50.119E-9 200.4743E-9 311.1447E-9 460.7546E-9 645.2052E-9 862.4471E-9 1.2488E-6 1.7476E-6 2.3329E-6 2.9816E-6 3.0136E-6 3.046E-6 3.079E-6 3.1124E-6 3.9014E-6



J


36 0.175 37 38 0.2 39 40 0.225 41 42 0.24125 43 44 0.2575 45 46 0.27375 47 48 0.29 49 50 0.29625 51 52 0.3025 53 54 0.30875 55 56 0.315 57 58 0.3225 59 60 0.33 61 62 0 3375 63

1.52 1.35 1.19

2.01289E-07

1.08 0.97 0.76 0.55

1.25664E-07

0.47 0.39 0.29 0.2 0.09 -0.02 0 02

7.36618E-08

3.64799E-05 3.64799E-05 3.23999E-05 3.23999E-05 2.85599E-05 4.57474E-05 4.15187E-05 4.15187E-05 3.72899E-05 3.72899E-05 2.92168E-05 2.92168E-05 2.11438E-05 3.60703E-05 3.08237E-05 3.08237E-05 2.55772E-05 2.55772E-05 1.90189E-05 1.90189E-05 1.31165E-05 2.42999E-05 1.09350E-05 1.09350E-05 -2.42999E-06 -2.42999E-06 -2.42999E-06 2 42999E 06


4.7714E-6

347.648E-9

-4.11881E-07

2.43791E-08

628.444E-9

-3.68437E-07

1.64737E-06

858.934E-9

-2.92226E-07

2.99673E-06

1.127E-6

-1.77981E-07

3.94628E-06

1.239E-6

-1.26107E-07

4.33157E-06

1.354E-6

-7.03018E-08

4.57136E-06

1.495E-6

0

4.73539E-06

5.6324E-6 6.3944E-6 7.1035E-6 7.7438E-6 8.2842E-6 8.6933E-6 8.9024E-6 9.0786E-6 9.2180E-6 9.3184E-6 9.4505E-6 9.4824E-6 9 4642E 6


J

0.045 K

L

0.040 M

N

0.035 Ñ

O

0.030 P

Q

0.020 R

36 0.175 37 38 0.2 39 40 0.225 41 42 0.24125 43 44 0.2575 45 46 0.27375 47 48 0.29 49 50 0.29625 51 52 0.3025 53 54 0.30875 55 56 0.315 57 58 0.3225 59 60 0.33 61 62 0.3375 63 64 0.345 65 66 0.3525 67 68 0.36 69 70 0.3675 71 72 0.375 73

Diseño de Eje

1.52 1.35 1.19

2.01289E-07

1.08 0.97 0.76 0.55

1.25664E-07

0.47 0.39 0.29 0.2

7.36618E-08

0.09 -0.02 -0.02 -0.01

3.97608E-08

-0.01 0 0 0

7.85398E-09

3.64799E-05 3.64799E-05 3.23999E-05 3.23999E-05 2.85599E-05 4.57474E-05 4.15187E-05 4.15187E-05 3.72899E-05 3.72899E-05 2.92168E-05 2.92168E-05 2.11438E-05 3.60703E-05 3.08237E-05 3.08237E-05 2.55772E-05 2.55772E-05 1.90189E-05 1.90189E-05 1.31165E-05 2.42999E-05 1.09350E-05 1.09350E-05 -2.42999E-06 -2.42999E-06 -2.42999E-06 -2.42999E-06 -1.21500E-06 -6.15092E-06 -6.15092E-06 -6.15092E-06 0 0 0 0 0 0


4.7714E-6

347.648E-9

-4.11881E-07

2.43791E-08

628.444E-9

-3.68437E-07

1.64737E-06

858.934E-9

-2.92226E-07

2.99673E-06

1.127E-6

-1.77981E-07

3.94628E-06

1.239E-6

-1.26107E-07

4.33157E-06

1.354E-6

-7.03018E-08

4.57136E-06

1.495E-6

0

4.73539E-06

1.637E-6

7.07688E-08

4.70349E-06

1.778E-6

1.40687E-07

4.63429E-06

1.919E-6

2.10201E-07

4.63429E-06

5.6324E-6 6.3944E-6 7.1035E-6 7.7438E-6 8.2842E-6 8.6933E-6 8.9024E-6 9.0786E-6 9.2180E-6 9.3184E-6 9.4505E-6 9.4824E-6 9.4642E-6 9.4505E-6 9.4044E-6 9.3813E-6 9.3813E-6 9.3813E-6





Diseño de Eje





CUADRO RESUMEN

W (N)

1.622239906 1.840040635 5.767964112 1.817509525 12.166799299 6.248627788 1.840040635 1.622239906 0.720995514

y (m)

0 -1.25571E-07 -2.81161E-07 -3.61935E-07 -4.11881E-07 -2.92226E-07 -1.26107E-07 0 1.40687E-07 Σ

Wy (N.m)

0 -2.31056E-07 -1.62173E-06 -6.57821E-07 -5.01127E-06 -1.82601E-06 -2.32043E-07 -1.71761E-22 1.01435E-07 -9.47849E-06

Wy2 (N.m2)

0 2.9014E-14 4.5597E-13 2.3809E-13 2.064E-12 5.3361E-13 2.9262E-14 1.8186E-44 1.4271E-14 3.3643E-12

Calculamos finalmente la velocidad critica para un valor de

g 0

= 9.81 m / s 2



CUADRO RESUMEN

W (N)

y (m)

1.622239906 1.840040635 5.767964112 1.817509525 12.166799299 6.248627788 1.840040635 1.622239906 0.720995514

0 -1.25571E-07 -2.81161E-07 -3.61935E-07 -4.11881E-07 -2.92226E-07 -1.26107E-07 0 1.40687E-07 Σ

Wy2 (N.m2)

Wy (N.m)

0 -2.31056E-07 -1.62173E-06 -6.57821E-07 -5.01127E-06 -1.82601E-06 -2.32043E-07 -1.71761E-22 1.01435E-07 -9.47849E-06

0 2.9014E-14 4.5597E-13 2.3809E-13 2.064E-12 5.3361E-13 2.9262E-14 1.8186E-44 1.4271E-14 3.3643E-12

Calculamos finalmente la velocidad critica para un valor de

g 0

nc

=

30 π

∑W y g ∑W y 0

Diseño de Eje

2

=

30 π

= 9.81 m / s 2

( 9.478x10 −7 ) ( 9.81) = 50203.169 (3.36x10 −12 )

∴

nc

= 50203 rpm


Diseño-Cálculo eje-prob shigley

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