ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Capítulo 13 Engranes: descripción general Realizado por: Willer Wladimir Pozo Peñaherrera Edison Fabián Sánchez Meneses Febrero, 2016
CAPÍTULO 13: Engranes, descripción General
13-1. Un piñón recto de 17 dientes tiene un paso diametral de 8 dientes/pulg, funciona a 1 120 rpm e impulsa a un engrane a una velocidad de 544 rpm. Encuentre el número de dientes en el engrane y la distancia teórica de centro a centro. Solución: dp
17 = 8 =2.125 in
dG
N2 1120 d p= (2.125 )=4.375 = N3 in 544
NG
= Pd =8 (4.375) = 35 dientes G
C= (2.125 + 4.375)/2=3.25 in
13-2. Un piñón recto de 15 dientes con un módulo de 3 mm funciona a una velocidad de 1 600 rpm. El engrane impulsado tiene 60 dientes. Determine la velocidad del engrane impulsado, el paso circular y la distancia teórica entre centros. Solución: nG =1600
( 1560 )=400
rev/min
p = πm=3 π mm C = [3(15 + 60)]/2=112.5 mm
13-3. Un juego de engranes rectos tiene un módulo de 6 mm y una relación de velocidades de 4. El piñón tiene 16 dientes. Calcule el número de dientes en el engrane impulsado, los diámetros de paso y la distancia teórica entre centros. Solución: N G =16 (4) = 64 dientes d G = N G m = 64(6)= 384mm d p = N p m = 16(6)=96mm
C= (384 + 96)/2 =240mm 13-4. Un piñón recto de 21 dientes se acopla a una rueda de 28 dientes. El paso diametral es 3 dientes/pulg y el ángulo de presión es de 20°. Haga un dibujo de los engranes, que muestre un diente en cada engrane. Encuentre y tabule los siguientes resultados: cabeza (addendum), raíz (dedendum), claro, paso circular, espesores de los dientes y diámetros de los círculos base; las longitudes del arco de ataque, de salida y de acción, así como también el paso base y la relación de contacto. Solución: Malla: 1 1 a= = =0.333∈¿ P 3
b=
1.25 1.25 = =0.4167∈¿ P 3
c=b−a=0.0834∈¿
π π p= = =1.047∈¿ P 3
p 1.047 t= = =0.523∈¿ 2 2
Piñón Base-Circulo: d 1 b=9.33 cos 20 ° =6.578∈¿
Engrane Base-Circulo: d 2=
N 2 28 = =9.333∈¿ P 3
d 2 b=9.333 cos 20 ° =8.77∈¿
π pb= p c cosø = cos 20° =0.984∈¿ 3
Radio de contacto: mc =
L ab 1.53 = =1.55 pb 0.984
13-5. Un piñón cónico de dientes rectos a 20°, con 14 dientes y paso diametral de 6 dientes/pulg, impulsa una rueda de 32 dientes. Los dos ejes son perpendiculares y se encuentran en el mismo plano. Calcule: a) b) c) d)
La distancia de cono. Los ángulos de paso. Los diámetros de paso. El ancho de la cara.
Solución: (a) 2 1 2
[( ) ( ) ]
14 2 32 6 6 A 0= + 2 2
=2.91∈¿
(b) 14 =23.63 ° 32
−1
γ =tan
Γ=tan −1
32 =66.37 ° 14
(c)
d p=
14 =2.333∈¿ 6
d G=
32 =5.333∈¿ (d) Tomadao de la tabla 13-3 6
A 0=0. ( 2.91 )=0.873∈¿
10 10 = =1.67 P 6
0.873<1.67
F=0.873∈¿
13-6. Un juego de engranes helicoidales paralelos utiliza un piñón de 20 dientes que impulsa un engrane de 36 dientes. El piñón tiene un ángulo de hélice a la derecha de 30°, un ángulo normal de presión de 25° y un paso diametral normal de 4 dientes/pulg. Calcule: a) Los pasos circulares normal, transversal y axial. b) El paso circular base normal. e) El paso diametral transversal y el ángulo de presión transversal. d) La cabeza (addendum), raíz (dedendum) y diámetro de paso de cada engrane.
Solución: Pn
=
Pt
= Pn /cosψ = 0.7854/cos30º = 0.9069 in
Px
= Pt /tanψ = 0.9069/tan30º = 1.571 in
b)
Pnb
=
Pn
cos
c)
Pt
=
Pn
cosψ = 4cos30º = 3.464 dientes/ in
a)
π / Pn
= π /4 = 0.7854 in
∅n
= 0.7854cos25 ° = 0.7380 in
∅t
−1 −1 ∅ /cosψ = tan (tan n ) = tan (tan25 ° /cos 30 ° ) = 28.3
°
d) a = ¼ = 0.250 in b = 1.25/4 = 0.3125 in dp
dG
=
20 4 cos 30 ° = 5.774 in
=
36 4 cos 30 ° = 10.39 in
13-7. Un conjunto de engranes helicoidales paralelos se compone de un piñón de 19 dientes que impulsa un engrane de 57 dientes. El piñón tiene un ángulo de la hélice a la izquierda de 30°, un ángulo normal de presión de 20° y un módulo normal de 2.5 mm. Encuentre: a) Los pasos circulares normal, transversal y axial. b) El paso diametral transversal y el ángulo de presión transversal. c) La cabeza (addendum), raíz (dedendum) y diámetro de paso de cada engrane.
Solución: N p = 19 dientes N G = 57 dientes ∅n = 20 ° mn = 2.5 mm Pn
a)
π mn
=
= π (2.5) = 7.854mm
Pt
= Pn /cosψ = 7.854/cos30º = 9.069 mm
Px
= Pt /tanψ = 9.069/tan30º = 15.71 mm
b)
∅n
mt
=
mn cos ψ =
2.5 cos 30°
= 2.887mm
tan20 °
−1 = tan ( cos 30° ) = 22.80 °
c) a =
mn
b = 1.25
= 2.5 mm mn
= 1.25 (2.5) = 3.125 mm
N Pt
dp
=
dG
= 57(2.887) = 164.6 mm
=N
mt
= 19(2.887) = 54.85 mm
13-10. Para un juego de engranes rectos con _ 20°, procure evitar interferencias y determine: a) El número mínimo de dientes del piñón que funcionará consigo mismo. b) El número mínimo de dientes del piñón para una relación mG = 2.5, así como el número máximo posible de dientes con este piñón. c) El piñón más pequeño que funcionará con una cremallera. Solución: (a) Np≥
2k (1+ √ 1+3 ( sinø )2 ) 2 3 ( sinø )
Np≥
2 (1 ) (1+ √ 1+3 ( sin 20 )2 ) 2 3 ( sin 20 )
N p ≥12.32
Por lo tanto, son 13 dientes. (b) si mG = 2.5 Np≥
Np≥
2k ( m+ √m2 +(1+2 m) ( sinø )2 ) 2 (1+2 m) ( sinø )
2 ( 1) ( 2.5+ √ 2.52 + ( 1+2∗2.5 )( sin 20 )2 ) 2 ( 1+2 ( 2.5 ) ) ( sin 20 )
Por lo tanto, 15 dientes.
N p ≥14.64
(c) Np≥
2( 1) 2k = 2 ( sinø ) ( sin 20 )2
N p=17.097
Por lo tanto, 18 dientes.
13-11. Repita el problema 13-10 para un conjunto de engranes helicoidales con øn = 20° y Ψ= 30°.
ø t=tan −1
tan 20 =22.80° cos 30
(a)
Np≥
2 kcosΨ 2 1+ 1+ 3 ( sin ø t ) ) 2( 3 ( sin ø t )
Np≥
2(1) cos 30 (1+ √ 1+3 ( sin 22.80 )2) 2 3 ( sin 22.80 )
√
N p ≥8.48 Por lo tanto, 9 dientes.
(b)
Np≥
2 ( 1 ) cos 30 ( 2.5+ √ 2.52 + ( 1+2∗2.5 )( sin 22.80 )2 ) 2 ( 1+2 ( 2.5 ) ) ( sin 22.80 )
N p ≥9.95
Por lo tanto, 10 dientes.
Np≤
N 2p sin2 ø t −4 k 2 cos2 Ψ 4 kcosΨ −2 N p sin2 ø t
Np≤
102 sin 2 22.8−4 (1) cos 2 30 4 ( 1 ) cos 30−2(20)sin 2 22.8
N p ≤26.08 °
Por lo tanto, 26 dientes (c)
Np≥
2 kcosΨ 2 ( 1 ) cos 30 = 2 2 ( sin ø t ) ( sin 22.80 )
N p ≥11.53
Por lo tanto, 12 dientes.
13-14. Mediante el empleo de un ángulo de presión mayor que el estándar, es posible emplear un piñón con menos dientes y se pueden obtener, por lo tanto, engranes menores sin rebaje durante la generación de los dientes. Si los engranes son rectos, ¿cuál es el ángulo mínimo de presión posible ø que se puede obtener sin que haya rebaje para que un piñón de 9 dientes se acople con una cremallera?
N p=
2k 2 sin ø
K= 1 para profundidad total del diente. Con Np = 9 dientes, y despejando ø.
ø=sin
−1
√
√
2k −1 2(1) =sin =28.126 ° Np 9
13-15. Un par de engranes de ejes paralelos se compone de un piñón de 18 dientes que impulsa un engrane de 32 dientes. El piñón tiene un ángulo de hélice a la izquierda de 25°, un ángulo de presión normal de 20° y un módulo normal de 3 mm. Encuentre: a) Los pasos circulares normal, transversal y axial. b) El módulo transversal y el ángulo de presión transversal. c) Los diámetros de paso de los dos engranes.
(a) pn=π mn=3 π mm
pt =
pn 3π = =10.40 mm cosΨ cos 25
px =
pt 10.40 = =22.30 mm tanΨ tan 25
(b) mt=
Pt 10.40 = =3.310 mm π π
ø t=tan
−1
tan 20 =22.80° cos 30
(c) d p=mt N p =3.310 (18 )=59.58 mm
d G=mt N G =3.310 ( 32 )=105.92 mm 13-16. El tren de engranes helicoidales de doble reducción de la figura se impulsa mediante un eje a con una velocidad de 900 rpm. Los engranes 2 y 3 tienen un paso diametral normal de 12 dientes/pulg, un ángulo de la hélice de 30° y un ángulo de presión normal de 20°. El segundo par de engranes del tren, engranes 4 y 5, presenta un paso diametral normal de 8 dientes/pulg, un ángulo de la hélice de 25° y un ángulo de presión normal de 20°. Los números de dientes son: N2 = 12, N3 = 48, N4 = 16, N5 = 36. Determine: a) Las direcciones de la fuerza de empuje que ejerce cada engrane sobre su eje. b) La velocidad y dirección del eje c. c) La distancia de los centros entre los ejes.
(a) Los diagramas de las figuras son mostradas para determinar fuerzas axiales por inspección. La fuerza axial en el engrane 2 en el eje a está en la dirección z negativa. La fuerza axial en el engrane 3 en el eje b está en la dirección z positiva. La fuerza axial en el engrane 4 en el eje b está en la dirección z positiva. La fuerza axial en el engrane 5 en el eje c está en la dirección z negativa.
(b) nc =n5=
12 16 ( 700 )=+77.78 rev /min 48 36
( )
(c) d p 2=
12 =1.55∈¿ 12cos 30°
dg 3=
48 =4.619∈¿ 12 cos 30 °
C ab=
1.155+ 4.619 =2.887∈¿ 2
d p4=
16 =2.207∈¿ 8 cos 25°
d G 5=
36 =4.965∈¿ 8 cos 25 °
Cbc =3.586∈¿
13-17. El eje a de la figura gira a 600 rpm en el sentido que se muestra. Encuentre la velocidad y el sentido de rotación del eje d.
Solución:
e=
nd
=
20 40
8
20
4
( 17 )( 60 )= 51
4 51 (600) = 47.06 rev/min
13-18. El tren de engranes del mecanismo que se ilustra consiste en diversos engranes y poleas para impulsar la corona 9. La polea 2 gira a 1 200 rpm en el sentido que se indica. Determine la velocidad y sentido de rotación de la corona 9.
e=
n9
6 10
( 38 )( 48 )( 36 )= 304
18
20
3
3
=
3 304 (1200) = 11.84 rev/min
13-19. En la figura se ilustra un tren de engranes compuesto por un par de engranes helicoidales y un par de engranes cónicos en escuadra (inglete). Los
engranes helicoidales tienen un ángulo normal de presión de 17 ángulo de la hélice como se muestra. Indique:
1 2 y un
a) La velocidad del eje c. b) La distancia entre los ejes a y b. c) El diámetro de los engranes en escuadra.
a)
nc
12 1 = ( 40 ) 1 (540)= 162 rev/min sobre x
b)
dp
12 =1.630 = (8 cos 23 ° ) in
dG
40 =5.432 = (8 cos 23 ° )
in
d p+ d G = 3.531 in 2
d) d =
32 4
= 8 en el extremo mas grande de los dientes
13-25. Los números de dientes del diferencial de automóvil de la figura son N2=16, N3=48, N4=14, N5 = N6 =20. El eje impulsor gira a 900 rpm. a) ¿Cuáles son las velocidades de las ruedas si el automóvil se desplaza en línea recta sobre un camino de superficie uniforme?
b) Suponga que la rueda derecha se levanta con un gato y que la izquierda reposa sobre la superficie del camino. ¿Cuál es la velocidad de la rueda derecha? c) Suponga, en el caso de un vehículo con tracción en las ruedas traseras, que está estacionado con la rueda derecha reposando sobre una superficie cubierta de hielo y húmeda. ¿La respuesta al inciso b) ofrece alguna pista respecto de lo que pasaría si se enciende el automóvil y se intenta conducirlo?
(a) n A =n3 =900
(b) n F=n5=0
rev ( 1648 )=300 min
n L=n6
e=−1
−1=
n6−300 0−300
300=n6−300
n6 =600
rev min
(c) La rueda gira libremente en superficies congeladas, dejando sin tracción a la otra rueda.
13-27. En el caso del tren de engranes invertido de la figura, calcule la velocidad y sentido de rotación del brazo si el engrane 2 es incapaz de girar y el engrane 6 se impulsa a 12 rpm en el sentido de las manecillas del reloj.
Se analiza el engrane 2 primero, entonces nF=n2=0. Y el engrane 6 sea el último, entonces nL=n6=-12rev/min.
e=
20 16 16 nL −n A = = 30 34 51 n F −n A
( )
16 ( 0−n A ) 51 =−12−n A
( )
nA=
−12 rev =−17.49 35 min 51
13-28. En el tren de engranes del problema 13-27, si el engrane 6 se impulsa a 85 rpm en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, mientras el engrane 2 se mantiene estacionario, ¿cuál es la velocidad y sentido de rotación del brazo? Se analiza el engrane 2 primero, entonces nF=n2=0 rev/min. El engrane 6 será el último, entonces nL= n6 = 85 rev/min. e=
20 16 16 nL −n A = = 30 34 51 n F −n A
( )
16 ( 0−n A ) 51 =85−n A
( )
−n A
(
( 1651 )+ n =85 A
n A 1−
nA=
16 =85 51
)
85 rev =123.9 16 min 1− 51
El signo positivo indica la misma dirección que n6. Por lo tanto, nA=123.9 rev/min ccw. 13-29. Los números de dientes del tren de engranes de la figura son N2 =20,N3 =16, N4 =30, N6 =36 y N7=46. El engrane 7 está fijo. Si el eje a gira 10 revoluciones, ¿cuántas vueltas dará el eje b?
Solución: nF
nL
e=
= =
−20 16
n2
n7
=0
n −n 16 36 −0.5217= L 5 ( 30 )( 46 ) = n F−n5
0−n5 10−n5 = -0.5217
-0.5217 (10 -
n5
-5.217 + 0.5217
)=n5
+
n5
n5
=0
n5 (1 + 0.5217) = 5.217
n5
5.217
= 1.5217
n5 = nb = 3.428 gira en la misma dirección 13-30. Los números de dientes del tren de engranes que se ilustra en la figura son N2 = 12, N3 = 16 y N4 = 12. ¿Cuántos dientes debe tener el engrane interior 5? Suponga que el engrane 5 está fijo. ¿Cuál es la velocidad del brazo si el eje a gira en sentido contrario a las manecillas del reloj a 320 rpm?
d5 d2 = 2 2+d 3 +d 4
d=
N P
N 5 / (2P)= N 2 / (2P) + N5
N4 / P
= N 2 + 2 N 3 + 2 N 4 = 12 + 2(16) + 2(12)= 68 dientes
nF =
n2
= 320 rev/min
nL =
n5
= 0 rev/min
e=
N3 / P +
−12 16
16 12 3 n L−n A ( 12 )( 68 ) = 17 = n F −n A
320 -
nA
=
17 3
(0 -
nA
nA
) 3
= - 14 (320) = - 68.57 rev/min
El signo negativo indica opuesto
n2
por lo tanto
nA
= 68.57 rev/min
ANEXOS: SHIGLEY, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill, 9na Edición.
