Dinámica Poblacional

Dinámica Poblacional

1,

1. Con base en las mismas hipótesis detrás del modelo de la ecuación determine una ecuación diferencial para la población de un país cuando se les permite a las personas inmigrar a un país con una razón constante , ¿Cuál es la ecuación diferencial para la población del país cuando se les permite a las las personas emigrar del país con una razón constante ?

 >

Datos:

  > 



Hipótesis de la ecuación (1): entre más personas estén presentes al tiempo , habrá más en el fututo.



 =

1

Donde es una constante de proporcionalidad Población:



Constante de inmigración: r

Desarrollo:

 >0         <0  =  =  =.       ó  =.        ó 

Respuesta: Las ecuaciones resultantes de población son:

Conclusión: En las ecuaciones la población que inmigran va aumentando en función del tiempo, mientras que las que emigran hace que vaya decreciendo la población en función del tiempo.

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2. El modelo de población dado en la ecuación (1) falla no considerar la tasa de mortalidad; la razón crecimiento es igual a la tasa de natalidad. En otro modelo del cambio de población de una comunidad se supone que la razón de cambio de la población es una razón neta, esto es, la diferencia entre la tasa de natalidad n atalidad y la de mortalidad en la comunidad. Determine un modelo para la población si tanto la tasa de natalidad y la mortalidad son proporcionales a la población presente el tiempo.

  

Datos:




 =



1

Donde es una constante de proporcionalidad de crecimiento de la población Tasa de natalidad es:

 =   = 

Tasa de mortalidad es:

Desarrollo:

La ecuación de población es:



 =   =   

Donde es la constante de proporcionalidad



Planteamos que

  =   

Ya que con la población aumenta y con (1) se tiene:

Respuesta:

la población disminuye reemplazando en la ecuación

La ecuación diferencial del crecimiento poblacional con referencia a la tasa de natalidad y de















Conclusión: La diferencia entre la tasa de natalidad y la de mortalidad nos da una ecuación con dos constantes individuales respectivas a cada variable.

3. Utilice el concepto de razón neta introducido en el problema 2 para determinar el modelo para una población si la tasa de natalidad es proporcional a la población presentada en el tiempo , pero la tasa de mortalidad es proporcional al cuadrado de la población presente al tiempo .



Datos:








 =

1

Donde es una constante de proporcionalidad de crecimiento de la población

 =   =                       ó: ó :  =  ∗           ó:ó: = =  ∗     ∗     ∗   =  ∗    ∗   =1∗ =1∗ 2∗

Tasa de natalidad es:


Desarrollo:

Tasa de natalidad es proporcional a la población establecemos: es proporcional al cuadrado de la población tenemos:

y la tasa de mortalidad

Planteando la ecuación tenemos:

Respuesta: La ecuación de la diferencia entre la tasa de natalidad y la de mortalidad en función del tiempo en la comunidad es: Conclusión: La ecuación diferencial nos resulta al sumar la tasa de natalidad y de mortalidad

















4. Modifique en el problema 3 para la razón neta con la que la población de una cierta clase de pez cambia al suponer que el pez está siendo pescado con una razón constante de .

>

En el problema 3 se plantea que: Tasa de natalidad es proporcional a la población establecemos: y la tasa de mortalidad es proporcional al cuadrado de la población tenemos:

   ∗     ∗ 

La ecuación es:

Datos: Razón constante de

=

 =  ∗ ∗ 

h>0  =   = 

La población de peces

Tasa de natalidad es:


Desarrollo:

h>0  =  ∗ ∗   ℎ

Si se sabe que la razón de pesca es nos queda así:

, la población de peces va disminuyendo, y la ecuación

Donde h es la razón constante de pesca.

Respuesta: La ecuación de la población de peces al ser pescados con una razón constante es:

Conclusión:

 =  ∗ ∗   h

h>0

En la EDO tenemos que la variación la población de peces en inversamente proporcionas a la















5.- Una taza de café se enfría de acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, ecuación (3). Utilice los datos de la gráfica de la temperatura en la figura 1 para estimar las constantes , y en un modelo de la forma de un problema con valores iniciales de primer orden:

 

  

Ley de enfriamiento de Newton: la rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y al del medio que lo rodea. La rapidez con la que cambia la temperatura del cuerpo es:

Donde:

= =  =

 =   

3

Una constante de proporcionalidad

La temperatura del cuerpo La temperatura del medio

Datos:

0 =0 0 =175° 25 =80° Desarrollo:

 =   ,  =















FIGURA 1: Curva de enfriamiento Fuente: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Autor Dennis Zill

Desarrollo Tomamos la ecuación (3) y al integramos:

 =    3     =∗    =    =ln − = +    =  5.1  = 75 0 =175

Se aplica eleva a la exponencial a ambos lados para eliminar el logaritmo natural:

Al observar en la gráfica se determina que Y al observar la gráfica sabemos que

, reemplazando en la fórmula

5.1

a un tiempo



















Despejando :

Por lo tanto la ecuación

17575= =100 5.1 =75100  5.2 25 =80 5.2 80=75100∗ 5=100∗ ∗ = 201  ∗ 25 = ln 201  =0.12  =75,=100 =0.12 nos queda así:

Aplicando la condición de la gráfica, cuando

Respuesta: Se determina el valor para observadas en la gráfica determinamos que Conclusión

en

por inspección en la gráfica. Con las condiciones por y .

La temperatura va descendiendo rápidamente hasta llegar a un punto en donde se mantendrá constante a un tiempo determinado con una constante de proporcionalidad

















FIGURA 2: Temperatura ambiente del problema 6 Fuente: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Autor Dennis Zill

Ley de enfriamiento de Newton: la rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y al del medio que que lo rodea. La rapidez con la que cambia la temperatura del cuerpo es:

Donde:

= =  =

 =   

Una constante de proporcionalidad

La temperatura del cuerpo La temperatura del medio

DATOS:

3















= =

La velocidad angular Un ángulo de desfasamiento

Debido a que no existe un desfase inicial.

=∗cos =∗cos 6.1  = 30 6.2  = 2  = 2  = 24ℎ2  = 12 6.3  6.3  6.2 6.1 =30∗cos12 ∗ 6.4  =   

Mediante la gráfica se puede ver que

Y calculando B, si sabemos que el periodo es:

Temperatura del medio total es:















Conclusión:

 =[8030∗cos12 ∗]

La temperatura en un ambiente controlado es una función periódica de donde se tiene una función periódica con una frecuencia y una amplitud.

PROPAGACIÓN DE UNA ENFERMEDAD 7. Suponga que un alumno es portador portado r del virus de la gripe y regresa al apartado campus de su universidad de 100 estudiantes. Determine una ecuación diferencial para el número de personas que contraerán la gripe si la razón con la que la enfermedad se propaga es proporcional al número de interacciones entre el número de estudiantes que tiene gripe y el número de estudiantes que aún no se han expuesto a ella



Datos:

 = Y= =1000

Personas enfermas

Personas no enfermas Estudiantes

Desarrollo:

 = 1

La propagación de una enfermedad se da mediante la siguiente fórmula:















 =1000



Donde es la constante usual de proporcionalidad

Conclusión: La ecuación diferencial de una propagación tiene que estar en terminos de dos variables para lo cual se necesita relacionar la otra incógnita para poder estableer la ecuación diferencial.

=

8. Al tiempo denotado se introduce una innovación tegnológica en una comunidad con personas. Determine la ecuación diferencial para el número de personas que hayan adoptado la innovación al tiempo t si se supone que la razón con la que se propaga la innovación es conjuntamente proporcional al número de personas que ya la han adoptado y al número de personas que no la han adoptado.





Datos:

t=0 = y= n=Personas

Personas que la han adoptado

Personas que no la han adoptado

Desarrollo:

 = 1

La ecuación diferencial de propagación se da mediante la siguiente fórmula:

















x0 = 1     . .

Respuesta:

 = x0 = 1     . .

La ecuación diferencial para el número de personas que hayan adoptado la innovación es:

Conclusión:

La ecuación diferencial de una propgación tiene que estar en terminos de dos variables para lo cual se necesita relacionar las otra incognitas para poder estableer la ecuación diferencial con una poblacion n. Para que la propagación se s e de al la cantidad mínida de personas que deben adoptarla son .

x0 = 1  

MEZCLAS

t=0

  

9. Suponga que un tanque de mezclado contiene inicialmente que disolvieron de sal. Entra agua pura a una un a región de

 

de agua en los y cuando la solución















ó ó  áá = 3  ∗ 300   ó  á= 100   2  =  100   ;   = = 0  ℎ  50    At  =    ;   = = 0  ℎ  50    Reemplazando (2) en (1)

Respuesta:

La ecuación diferencial que expresa la cantidad de sal que hay dentro del tanque al tiempo es: y

Conclusión:

t















Desarrollo: La ecuación diferencial de mezclas es:

 = ó ó    ó ó áá 11 R = 3 migaln ∗ 2 lb = 6 lb 2 3 migaln  2 migaln = 1 migaln t 300  t   lb = 300 2   lb 3 R = 2 migaln ∗ 300  =  lb   lb

Como la entrada es más rápido que la salida entonces tenemos que:

Lo cual hace que se vaya acumulando más el Q inicial en minutos

Reemplazando (3) y (2) en (1):















= 2   = 300300 galgalones ones

Concentración

Y la ecuación diferencial resultante es:

Datos:

 = 6 lb  300  lb

= 3  =3,5  = 2   = 300300 galgalones ones

Entrada Salida

Concentración

Desarrollo:

La ecuación diferencial de mezclas es:















 = 300  12  gallb ∗3. ∗3.5 min  = 3003.5 12   milbn 7  milbn 3  = 600  =  lb    lb Reemplazando (3) y (2) en (1):

Respuesta:

Por lo tanto, la ecuación diferencial es:

 =  lb    lb

















 = 6  100

Donde

= c t  = a  t =

Número de galones de salida Concentración de entrada

Concentración de salida

Desarrollo Con estos datos remplazamos en la formula y obtenemos que:















El radio del agujero es de

 = 32 / /

.

2 















Área del agujero:

 , :   =2. 121  = 16   1   =  =  6  = 36  2

Área del cubo contenedor:

 =  = 1010 = 100100  3















del



agua al tiempo . El radio y el factor de fricción/contracción es

=  .

DATOS

r=2 pulg = 16 pies g=32 pises =0, 6

del

 = , 

agujero

es

 =  

,















 = 475 3ℎ ℎ ℎ = 4ℎ25   =  2ℎ2ℎ  1   =  ==>  = 6 ==>  = 361  Reemplazando en (1) tenemos:

















L=L∗  R=R∗i















16. Un circuito en serie contiene un resistor y un capacitor como se muestra en la figura 6. Determine una ecuación diferencial que exprese la carga en el capacitor si la resistencia

















Para integrar buscamos el factor de integración:

 = 1





























La ecuación diferencial encontrada es:

Conclusión:

  =  





























































































































Dinámica Poblacional

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