crecimiento poblacional - ecuaciones

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado no lineales 1. La cantidad N(t) de supermercados del país que están usando sistemas de revisión computarizados se describe por el problema con valores iníciales

a) Use el esquema de fase de la sección 2.1 para predecir cuántos supermercados se espera que adopten el nuevo procedimiento en un periodo de tiempo largo. A mano, dibuje una curva solución del problema con valores iníciales dados. b) Resuelva el problema con valores iníciales y después utilice un programa de graficación para comprobar y trazar la curva solución del inciso a). ¿Cuántas compañías se espera que adopten la nueva tecnología cuando t=10?

Solución

a)

Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES

Realizado: JAVIER O. GUERRERO R.

Revisado y complementado: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede UIS-Socorro

Puntos críticos de la ecuación diferencial:

Eje N

N

∞ Decreciente

2000

2000 Decreciente (0,1)

0

0

-∞

t

Decreciente

Respuesta: se espera que en un periodo de tiempo largo las empresas que adopten el nuevo procedimiento sean 2000.

b) Variables separables




Entonces:

Condiciones iniciales: N(0)=1

Remplazando:

En T=10 entonces:

Respuesta: son 1834 las empresas que se esperan que opten la nueva tecnología en 10 años Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES



2. Cantidad N(t) de personas en una comunidad bajo la influencia de determinado anuncio está gobernada por la ecuación logística. Inicialmente N(0)=500 y se observa que N(1) = 1000. Determine N(t) si se predicen que habrá un límite de 50000 personas en la comunidad que verán el anuncio.

Desarrollando la anterior ecuación diferencial se obtiene.

Aplicando N(0)=500

Sabiendo que Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES



Usando N(1)=1000 y a=50000b tenemos:

Despejando=

ECUACION LOGISTICA 3. Un modelo para la población P (t) en un suburbio de una gran ciudad esta descrito por el problema con valores iníciales: Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES



Donde t se expresa en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población? ¿Cuánto tardara la población en alcanzar la mitad de ese valor limite?

Solución: Es difícil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante largos periodos de tiempo, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerán restricciones sobre el crecimiento de la población. Por ello es necesario emplear un modelo no lineal que pueda determinar el crecimiento de una población en periodos que oscilan entre meses o años. Para esto se tiene la siguiente ecuación llamada hipótesis de dependencia de densidad:

Ecuación logística Llamaremos K la cantidad máxima de individuos en una población. Así para la función en la ecuación se tiene que y simplemente hacemos . La hipótesis más sencilla es que

es lineal, es decir,




.

Si aplicamos las condiciones anteriores tenemos:

Así

adopta la forma

Por lo tanto la ecuación se convierte en:

Redefiniendo las constantes se tiene la ecuación logística:

Esta ecuación se acopla perfectamente al modelo poblacional propuesto, por lo tanto se tiene:

Desarrollamos la ecuación mediante variables separables:




Descomponemos el lado izquierdo en fracciones parciales e integramos:

Por propiedades de logaritmos tenemos:

Aplicando Euler a ambos lados de la ecuación se obtiene:




Dividimos numerador y denominador entre

y tenemos:

Aplicamos condiciones iníciales establecidas en el problema:

Remplazamos

en la ecuación:




Ecuación final:

Teniendo la ecuación desarrollada podemos responder propuestas

las preguntas

 El valor límite de la población es K, por lo tanto se tiene :

 El tiempo que tardara la población en alcanzar la mitad del valor máximo es:




Aplicamos logaritmo a ambos lados de la ecuación:

Año 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930

Población según el censo (millones) 3,929 5,308 7,240 9,638 12,866 17,069 23,192 31,433 38,558 50,156 62,948 75,996 91,972 105,711 122,775




1940 1950

131,669 150,697

4. (a) Los datos del censo de Estados Unidos, de 1790 a 1950 se ven en la tabla. Formule un modelo demográfico logístico, con los datos de 1790, 1850

y 1910. (b) Formule una tabla para comparar la población real censada, con la que determine el modelo de la parte (a). Calcule el error y el error porcentual para cada par de poblaciones. Solución:

PARTE (a) Según la ecuación logística tenemos:

usando separación de variables

Como P(0)= 3,929 , entonces tenemos:

; si c=

Si en el año 1850 cuando t=0 la población es de 23,192 millones; entonces

(1) Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES



Si en el año 1910 cuando entonces tenemos:

t=120 la población es de 91,972 millones;

(2)

Despejando en la ecuación (1) tenemos= (3) Reemplazando (3) en (2) tenemos:

=




Reemplazando en la ecuación (1), tenemos:

Finalmente tenemos el siguiente modelo demográfico logístico

PARTE (b) Para completar la tabla nos apoyamos de el resultado de la parte (a) El año 1790 corresponde a t=0, el año 1800 corresponde a t=10 y así sucesivamente hasta llegar a t=170, cada valor se ubica en la columna correspondiente a la población según las predicciones, y se hace la comparación con ayuda de las siguientes formulas:




Año 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950

Población Población según el según las censo predicciones (millones) (millones) 3,929 5,308 7,240 9,638 12,866 17,069 23,192 31,433 38,558 50,156 62,948 75,996 91,972 105,711 122,775 131,669 150,697

3,929 5,333 7,222 9,745 13,088 17,472 23,138 20,332 39,257 50,018 62,560 76,605 91,651 107,023 121,983 135,872 148,212

Error 0,000 -0,025 0,018 -0,107 -0,222 -0,403 0,054 11,101 -0,699 0,138 0,388 -0,609 0,321 -1,312 0,792 -4,203 2,485

% Error 0,000 -0,471 0,249 -1,110 -1,725 -2,361 0,233 35,316 -1,813 0,275 0,616 -0,801 0,349 -1,241 0,645 -3,192 1,649

5. a). Si se pesca un numero constante h de peces de pesquería por unidad de tiempo, entonces un modelo para la población P(t) de la pesquería al tiempo t esta dado por: P (0)=Po Donde a, b, h y Po son constantes positivas. Suponga que a=5, b=1 y h=4, puesto que la ecuación diferencial es autónoma, utilice el Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES



concepto del esquema de fase de la sección 2.1, para dibujar curvas solución representativas que corresponden a los casos Po> 4, 1 < Po < 4 y 0 < Po < 1. Determine el comportamiento de la población a largo plazo en cada caso. P(0)=Po

(p-4)(P-1)=0 P1=4

p2=1




 En R1 a largo plazo la población va a ser 0 en el intervalo Creciente 0< Po < 1  En R2 a largo plazo la población tiende a 4.  En R3 a largo plazo la población tiende a 4.

b). Resuelva el problema de valor inicial del inciso a). Compruebe los resultados de su esquema de fase del inciso a) utilizando un programa de graficacion para traer la grafica de P(t) con condición inicial tomada de cada uno de los tres intervalos dados.

))= t+c Ln ( ( P-1=

P(0)=Po Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES



Po-1=PoC-4C

P(t)= 4
3. P (t)=

c).Utilice la información de los incisos a), b) para determinar si la población de la pesquería desaparece en un tiempo finito de pescas. Determine ese tiempo.




Grafica P (t)=




Grafica P (t)=




Grafica P (t)=

Ln 3t=Ln Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES



T=0.186

6. Investigue el modelo de pesca del ejercicios 5 tanto cualitativa como analíticamente en el caso en que a = 5, b = 1, h = 25/4. Determine si la población desaparecerá en un tiempo finito. De ser así determine ese tiempo.

Analíticamente

Reemplazando los valores:




Desarrollando la Integral (fracciones parciales)

Entonces si

Reemplazando A y B se obtiene:




La solución general es:

Aplicando EULER

Despejando P




Si

Reemplazando (2) en (1)




CONCLUSIÓN: La población desaparecerá en un tiempo finito, ya que la siguiente ecuación permite asignar un tiempo y una población inicial para determinar cuál sería la población en ese instante.

Para saber cuando la población se extingue se tiene que evaluar en un Intervalo de y fijando una población

Si




Si

Para finalizar se obtiene: EL TIEMPO EN EL CUAL DESAPARECERÁ LA POBLACIÓN.

Cualitativamente Según el concepto o esquema de fase las ecuaciones autónomas se hallan los puntos críticos:




Reemplazando los valores:

Así que las soluciones de equilibrio son:




Realizando un esquema de fase utilizamos estos puntos críticos y el 0 ya que en este punto desaparecerá la población. Analizando en cada intervalo: La población decrece tendiendo al punto de equilibrio de en un tiempo infinito. La población crece tendiendo al punto de equilibrio de conforme el tiempo tiende a infinito. La población decrece tendiendo a CERO donde allí desaparece en un TIEMPO INFINITO.

7. a).Suponga a=b=1 en la ecuación diferencial de Gempertz, puesto que la ecuación diferencial es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para dibujar curvas solución representativos correspondientes a los casos Po> e y 0 Po < e.

) Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES



PUNTOS CRITICOS:

1-LnP=0 →LnP=1 →P=e

 Para 0



b) Suponga que a=1, b=-1 en la ecuación (7) utilice un nuevo esquema de fase para dibujar las curvas solución representativas correspondientes a los casos Po> y 0
PUNTOS CRITICOS:

1+LnP=0

→LnP=-1 →P=

 Para 0
 Para



c) Encuentre una solución explicita de la ecuación (7) sujeta a P(0)= Po (7) ------------- (7) Geometriz

Sea U= a+blnp→dU = dp→ dp = dU




Aplicando

tenemos:

= →

= Ln p =

→

=

→p=

Como piden p(0) → p(0) =

=

8. Dos sustancias A y B se combinan para formar un compuesto C. La rapidez o velocidad, de la reacción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B que no se transforman en C. Al inicio, hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B se emplean dos gramos de A. Se observan que en 5 minutos se forman 10 gramos de C. ¿Cuánto se forma en 20 minutos? ¿Cuál es la cantidad límite de C después de un tiempo largo? ¿Qué cantidad de las sustancias A y B permanecen después de un tiempo largo?




A+B

C

Donde se necesitan 2 gramos de A por cada gramo de B; entonces se puede expresar la siguiente relación estequiometrica 2B=A. Para obtener cierta cantidad de C necesitamos (c) gramos de A y B; en este caso supondremos que se han obtenido 4 gramos de producto C

2B+B=4 Recordemos que 2B=A.

Siempre se necesitaran

se tiene Entonces

ó ó

gramos de A

y

gramos de B

Por ello se puede afirmar que el reactivo limite es A, (se acaba primero). Y que las cantidades A y B que quedan en cualquier tiempo respectivamente son: y La rapidez de la formación de C satisface

Al realizar las restas fraccionarias, sacar factor común

y multiplicarlo

con la constante de proporcionalidad obtenemos otra constante




Se puede evidenciar que se pueden separar las variables

Utilizando fracciones parciales se obtiene

+

K1dt

Al integrar encontramos

-

Organizando y aplicando la propiedad de logaritmo natural




Aplicando Euler (1)

Es claro que en un t=0 la cantidad de producto C es cero, por ello

Reemplazando en (1) el valor de C2

Utilizando las condición inicial C (5)=10 podemos encontrar el valor de K1 siendo esta igual K1= 0,0001259

Finalmente despejando a C se obtiene la siguiente expresión que denota la cantidad de C para cualquier tiempo

¿Cuánto se forma en 20 minutos?




Reemplazando el valor del tiempo en la anterior expresión se obtiene que la cantidad de producto C es 29.3 gramos

¿Cuál es la cantidad límite de C después de un tiempo largo? Podemos utilizar el concepto de límite para conocer la tendencia de C

¿Qué cantidad de las sustancias A y B permanecen después de un tiempo largo? Habíamos establecido que la cantidad de A y B en cualquier momento estaba dada A= ; B= conociendo el valor de C se puede decir A=0 como era de esperarse puesto que se requiere una cantidad mayor de A B= 30 gramos

8. dos sustancias químicas A y B se combinan para formar la sustancia química C. la razón de la reacción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B que no se ha convertido en C. Al principio hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B se consumen 2 de A. se observa que a los cinco minutos se han formado 10 gramos de C. ¿Cuánto se forma en 20 Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES



minutos de C?, ¿Cuál es la cantidad limite de C a largo plazo?, ¿Cuánto de las sustancias A y B queda después de mucho tiempo? 9. resuelva el problema 9 si hay al principio 100 gramos de la sustancia química A. ¿Cuánto se formara la mitad de la cantidad límite de C?

8. Sea la cantidad de compuesto de C presentes en el tiempo t. Es obvio que gr y gr. Si, por ejemplo, hay 2 gr del producto C, hemos debido usar, digamos, a gramos de A y b gramos de B, así.

Por lo tanto, Y por cada gramo de B se consumen 2 de A

Tenemos, Pero como la razón de reacción es proporcional al producto de las cantidades, se obtiene:

En general, para obtener X gramos de C debemos usar. gr. De A

y

gr. De B




Entonces si inicialmente hay 40 gr de A y 50 gr de B que quedan al tiempo t son:

Respectivamente sabemos que la razón con la que se forma el compuesto C satisface que

Para simplificar las operaciones algebraicas subsecuentes, eliminamos los denominadores y después introducimos la constante de proporcionalidad.

Para el desarrollo de esta E.D, separamos variables.

Y por fracciones parciales escribimos.




Obtenemos

Cuando

se tiene que

Usando

se tiene

Con esta información se despeja X de la ecuación (1)




t

X

5

11.498

10 15

Rta:

20.209 En la siguiente grafica se muestra el comportamiento de función del tiempo. 26.982

como una

X(gr)

20

32.357

25

36.691

30

40.231

35

43.154

40

45.588

45

47.629

Cuand o pasan 20 minuto s, se han formad o 32.357 gr de la sustancia C.

50

49.352

100

57.409

110

58.027

120

58.496

130

58.851 cuando

t

Es claro en la tabla adjunta y de la ecuación (1) que

140

, esto significa que se forman 60 gramos del 59.122 compuesto C, quedando.

150

59.329




,

9. entonces si inicialmente tenemos 100 gr de A y 50 gr de B

Respectivamente sabemos que la razón con la que se forma el compuesto C satisface que

Para simplificar las operaciones algebraicas subsecuentes, eliminamos los denominadores y después introducimos la constante de proporcionalidad.

Separamos variables e integramos

Cuando

se tiene que

Usando

se tiene

Con esta información se despeja X de la ecuación (2) Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES



t

X

5

11.498

100

88.235

200

111.11

300

121.62

400

127.65

500

131.57

600

134.32

700

136.36

800

137.93

900

139.17

1000

140.18

1500

143.31

2000

144.92

5000

147.92

X(gr)

t




9000

148.84

10000

148.95

Es claro en la tabla adjunta y de la ecuación (1) que , cuando esto significa que se forman 150 gramos del compuesto C, quedando.

,

¿En cuanto se formara la mitad de la cantidad limite de C?

Despejando t se obtiene:

10. Tanque cilindrico con gotera. Un tanque en forma de cilindro recto circular en posicion vertical esta sacando agua por un agujero circular en su fondo. Como se vio en (10) de la seccion 1.3, cuando se desprecia la friccion y la contracción del agujero, la altura h del agua en el tanque esta descrita por:

Donde Aw y Ah son las areas de seccion transversal del agua y del agujero respectivamente. a) Resuelva la ecuación diferencial si la h inicial del agua es H. A mano, dibuje la grafica de h(t) y de su intervalo de definición I en términos de los símbolos Aw, Ah y H. Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES



Utilice g= 32 pies/s²

Solucion:

Separando variables se tiene: = Cuando T=0, h(t)= H :

h H

=

2

=

Elevando al cuadrado para despejar h(t):




Al reemplazar el valor de la gravedad se tiene:

Entonces: Para hallar el intervalo de definicion: Cuando h(t) = 0 (tiempo en el cual ya no queda agua en el cilindro) entonces:

t= Entonces se puede concluir que,

I: 0≤t≤

Gráfica:




H

b) Suponga que el tanque tiene 10 pies de altura y un radio de 2 pies y el agujero circular tiene un radio de ½ pulg. Si el tanque esta inicialmente lleno, ¿ cuánto tarda en vaciarse? Solucion: Cuando

t=0 → h=H= 10 pies

(Inicialmente)

t=?→ h=0 Uso la ecuacion desocuparse:

(Finalmente)

para conocer el tiempo q tarda el tanque en

t=

;

(h=0)




t=

;

Entonces se tiene :

Aw= t= 576

pies²

Ah=

pies²

seg= 30,36 min

(tiempo que demora el tanque en vaciarse)

11. Tanque cilíndrico con gotera (continuación) Cuando se considera la fricción y contracción del agua en el agujero, el modelo del problema 10 se convierte en

Donde . ¿Cuánto tarda el tanque del problema 11b en vaciarse si c= 0.6? vea el problema 13 de los ejercicios 1.3.






Para h(0) = H

Ahora bien , según el problema 11b: t=? , h= 0 , C = 0,6 , H= 10 pies Área de sección transversal del agua:

Área de sección transversal del agujero: 0.50 pulg = 0.041666 ft




12. Suponga que se invierte el tanque cónico del problema 13ª como se muestra en la figura y que sale el agua por un agujero circular con un radio de 2 pulgadas en el centro de su base circular. ¿El tiempo en que se vacía el tanque lleno es el mismo que para el tanque con el vértice hacia abajo del problema 13? Tome el coeficiente de fricción/contracción de c=0.6 y

Aw

20 pies h




SOLUCIÓN Del ejercicio anterior tenemos que

Donde

Entonces reemplazo

Separando las variables e integrando

Usando Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES



Reemplazando h=0 para encontrar t

R: El tanque se vacía mas despacio cuando el cono esta con la punta hacia arriba

13.Resistencia del aire. Una ecuacion diferencial para la velocidad de una masa que cae sujeta a la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad instantanea es:

Donde es una constante de proporcionalidad. La direccion positiva es hacia abajo. (A)

Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial:

Se tiene que: Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES



Despejando a

Factorizando

:

Multiplicando por

:

En la integral de la forma

,

sustituimos:




queda:

Despejando a

finalmente obtenemos:

Teniendo en cuenta la condicion inicial:

(B) Utilice la ecuación del inciso (A) para determinar la velocidad limite o terminal de la masa:

Como

1 y el tiempo tiende a infinito (

, se tiene que:

(C) Si la distancia s medida desde el punto donde se libera la masa sobre el suelo, se relaciona con la velocidad mediante , encuentre una expresion explicita para Integrando a

se obtiene:

=




+ Teniendo en cuenta la condicion inicial:

14. Considere la bala de cañón de 16 libras que se lanza verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 300 pies por segundo. Determine la altura máxima que alcanza la bala si se supone que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea. Suponga que la dirección positiva es hacia arriba y tome k=0.0003. Dirección Positiva

Mg

Resistencia del aire (kv2)

Por la segunda Ley de Newton tenemos que: Ma= F M

= -mg - kv2




Haciendo la separación de variables: = = dt Integrando en los dos lados nos queda que: = Donde la parte izquierda de la ecuación la multiplicamos y dividimos por para mantener la proporcionalidad y la no alterar la ecuación. -

v = t +c

Para hallar el valor de la constante c, partimos de la condición inicial V (0) =300 C= Reemplazando el valor de la constante en la ecuación diferencial y despejando el término =

+

+

)




V=

300

V= V (t) =

) (300

-

Reemplazando los valores: M= 16 libras

g=32 pies/s2

k=3* 10-4

Y la velocidad en el punto más alto es cero; todo esto para hallar el tiempo que tarda la partícula en alcanzar su máxima altura. T= 9,37 segundos Integrando la velocidad con respecto al tiempo encontramos: S (t) =

t-

|+

Cuando el tiempo sea 9,37 segundos, la altura de la particular será máxima. S= 14111,45 pies

15. Esa sensación de hundimiento.




a) Determine una ecuación diferencial para la velocidad de una masa m que se hunde en agua que le da una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea y también ejerce una fuerza boyante hacia arriba cuya magnitud está dada por el principio de Arquímedes. Véase el problema 18 de los ejercicios 1.3. Suponga que la dirección positiva es hacia abajo. Primero: El principio de Arquímides dice que la fuerza de flotación o hacia arriba que ejerce el agua sobre la masa es igual al peso del agua desplazada.

Segundo: Empezamos a plantear nuestra ecuación usando la segunda ley de Newton, y tomando el eje vertical positivo hacia abajo.

Donde : es el peso del cuerpo, : resistencia del agua proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea (por eso aparece la constante de proporcionalidad k), y : fuerza boyante hacia arriba que según el principio de Arquímedes corresponde al peso del agua desplazada Ahora expreso como el diferencial Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES



Entonces la ecuación diferencial queda expresada así:

b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Se hace separación de variables

Como la resistencia del agua está dada de la forma entonces asignamos la respectiva constante al diferencial , pero para este caso es porque el diferencial no está elevado al cuadrado; entonces:

Ahora expreso esta ecuación diferencial de modo tal que me quede fácil de resolver, para este caso se puede llevar a la forma:

Entonces,




Despejo

c) Determine la velocidad límite, o terminal, de la masa hundida. Cuando

∞ , entonces

Por lo tanto la velocidad terminal es:

16. COLECTOR SOLAR: la ecuacion diferencial




Describe la forma de una curva plana C que refleja los haces de luz entrantes al mismo punto y podria ser un modelo para el espejo de un telescopio reflector, una antena de satelite o un colector solar. a) Comprube que la ecuacion diferencial es homogenea. Demuestre que la sustitucion y=ux produce:

Utilice un SAC (u otra susutitucion adecuada) para integrar el lado izquierdo de la ecuacion. Muestre que la curva C debe ser una parabola con un foco en el origen y simetria respecto al eje X. b) Demuestre que la ecuacion diferencial puede tambien resolverse por medio de la sustitucion u=x² +y²

SOLUCION

 Si una funcion f tiene la propiedad para algun numero real , entonces se dice que es una funcion homogenea de grado , entonces: f(tx, ty)= f(tx, ty)= f(tx, ty)= t f(x, y)

por lo tanto concluimos que esta ecuacion es homogenea debido a que cumple con la propiedad mencionda anteriormente.




a) Sustituyendo y=ux dy =u dx +xdu

 Reemplazo en la ecuacion original






“solución a la ecuación diferencial”

 Demuestre que la curva c debe ser una parabola con foco en el origen y simetria respecto al eje x.

,

2

Como u= sustituyo 1-

= =

+1 ,

2

2

=1+ 2+ QD. El vértice de la parábola esta en el punto(- ,0), por lo tanto su foco esta en el origen. Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES



sustituyendo u=

, en la original obtenemos.

Reemplazando en la original.

Ahora por el metodo de variables separables obtengo. X+c= u=(x+c)2

y2=2x+c

17. Por un agujero circular de area , en el fondo de un tanque sale agua. Debido a la friccion y a la contracción de la corriente cerca del agujero, el flujo de agua, por segundo, se reduce según . Deduzca la ecuación Diferencial que exprese la altura del agua en cualquier momento t que hay en el tanque cubico. El radio del agujero es 2 in y g= 32 ft/ .El tanque tiene 10 ft de altura. = H= ft

1)




G= ft/ Unidades. El signo menos indica que el volumen (v) esta disminuyendo. Volumen del agua: V(t) =

h

Sustituimos en 1)

Area circlar del orifico ; r = 2 in , entonces r = 1/6 ft. Como el tanque es cubico entonces,




Ecuacion diferencial para expresar la altura del liquido en cualquier momento t.




crecimiento poblacional - ecuaciones

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