CAPITULO V: DINAMICA DE PARTICULAS INTRODUCCION
Si en el movimiento interactúan un grupo de partículas, éste se analiza como un sistema de partículas el cual posee características propias como velocidad, aceleración, posición, energía, momentum, etc. Para poder analizarlo es necesario que se lo idealice como una sola partícula ubicada en el Centro de Masa del Sistema (CM).
1. CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS PARTICULAS
Es el punto donde se considera está concentrada la masa de todo el sistema.
Xm=
∑ ∑
Y
m2
mi
∑ Ym= ∑
zm=
m3
Z
O m1
X
∑ ∑
CM (xm; ym; zm)
1.1 MOVIMIENTO DEL C.M. a. Posición. Es el vector posición del CM con respecto a un punto fijo de referencia. Y
∑ = ∑
m3 mi
m2
⃗2
O X
m1
⃗1
⃗cm
CM
Z
b. Velocidad.
∑ = ∑ c. Aceleración.
=
∑ ∑
∑ = ∑ = ∑ ∑
=
TOT
d. Ecuación de movimiento
= ∑ =
; pero: =
∑ = ∑
, entonces:
=
Ejemplo 1. Un sistema de tres partículas se halla ubicado según la figura. Encuentre el CM del sistema, si m1=1Kg, m2= 1 Kg; m3= 2Kg Y m3 2m
= CM (xcm; ycm) m1
O 1m
m2 1m
∑ = xcmi + ycm j + zcmk ∑
Xcm=
∑ + + = 0,75 m = ∑ ++
ycm=
∑ + + = 1 m = ∑ ++
X
= (0,75; 1) m. Ejemplo 2: Una partícula aislada de masa m o se mueve a lo largo del eje X cuando de manera repentina explota en dos fragmentos de masas
mo y mo. Después
de un tiempo el fragmento más pequeño se halla 15 cm. encima del eje X ¿Dónde se encuentra el fragmento mayor en ese tiempo?
Xcm=
∑ xm+ xm = 0,75X1 = ∑
ycm=
∑ y/mo+ y/mo = ∑ 0 = y1(3/4) + 0,15(1/4) = -
m1 m0
X m2
Ejemplo 3: Un sistema está formado por tres partículas con masas m 1=1Kg, m2=2Kg y m 3=1Kg. Sus posiciones se definen por los vectores = 2t i, = 3t2 j; = t k (metros). Determinar el vector posición, velocidad y aceleración del CM en t=2 seg. a. Posición del CM.
+ + ∑ + ¨+ = ∑ = ++ = ++ = (2ti+6t2 j+tk)/4; En t = 2 seg:
=i + 6j + 0,5k (m)
b. Velocidad del CM. = 2t i; = = 2i m/seg; = = o = 3t2 j; = = 6t j m/seg; = = 6 j m/seg2 = t k; = = k m/seg; = = o
= c.
+ + ∑ + + = = ∑ ++
= 0,5 i + 3tj + 0,25k
En t = 2 seg
= 0,5 6 0,25 / c. Aceleración del CM.
=
+ + ∑ = = = 3j; En t=2seg; = 3j m/seg2 ∑ ++
2. MASA REDUCIDA Cuando dos partículas interactúan con fuerzas internas
mutuas y , su movimiento relativo es equivalente al movimiento de un observador inercial de una partícula de masa igual a la masa reducida µ bajo una fuerza igual a la interacción.
Si m1 = m2, µ= ½ m1. Si
= y = ; restando ambas ecuaciones:
− = - ; pero = - − = ( + ) y
2 = 12 ) velocidad relativa de 1 respecto a 2, 1
= = …. (segunda ley de Newton)
3. MOMENTUM LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
⃗ además, ⃗ = ∑⃗ = ∑
⃗ ∑ ∑ = = =
∑ ⃗ = ∑ ⃗
…. La rapidez de cambio del momentum
lineal total de un sistema de partículas es igual a la resultante de las fuerzas externas actuantes sobre el sistema.
4. MOMENTUM ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
= ∑ = ∑⃗ x⃗i ⃗ ⃗ ; además: = ∑ ∑ = =
……. La rapidez de cambio del momentum angular total de un sistema de partículas es igual al momento total respecto al mismo punto de las fuerzas externas actuantes sobre el sistema.
Si las fuerzas son nulas,
= 0, entonces, =0, esto es = cte…. ∑
El momentum angular total de un sistema aislado o sobre el cual actúa un momento externo nulo es constante en magnitud y dirección.(Ley de conservación del momentum angular)
5. ENERGIA CINETICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
Ectotal = ½∑ 2 ó también: Ectotal = ½Ʃ mi V 2 CM + ½∑ ′ 2 Ectotal = ½M V 2 CM + ½∑ ′ 2 Ectotal = Ec
CM +
Ec
Donde: : Velocidad de cada partícula V CM: Velocidad del CM respecto a un sistema fijo. ′ : Velocidad de cada partícula relativa al CM .
RELATIVA
Ejemplo 4: Se tiene un sistema de partículas de masas m 1=4Kg, m2=1Kg y m3=2Kg moviéndose en un sistema inercial (x, y, z), con velocidades = 2i-3j+4k, = -3j+4k; = 4j-2k (m/s). Hallar la velocidad del CM, la velocidad de cada partícula respecto a la del CM, el momentum total lineal, la energía cinética del sistema respecto al sistema fijo. El momentum angular si las masas se ubican en P1(3,-2,1); P 2(2,1,0); P 3(0,1,2). a. Velocidad del CM.
+ + ∑ −++ −++− = ∑ = ++ = = 16/7
b. Velocidad de cada partícula respecto a la del CM.
= ⃗ 1 = (2i-3j+4k)- = 0.86i –2j+1,71k m/seg. 2 = 3 4- = -1,14i-2j+1,71k m/seg. 3 = (4 2 )- = -1,14i+5j-4,29k m/seg. c. Momentum total lineal.
⃗ = 8 7 16 (kg-m/seg) ó ⃗ = ∑⃗ = ∑ ⃗ = M⃗ = 8 7 16 (kg-m/seg) d. Energía cinética del sistema. Ectotal = ½∑ 2 = ½{(4)(29)+1(25)+2 (20)}= 90.5 J e. Momentum angular.
⃗ ⃗ = ∑ = ∑⃗ x⃗i = ∑ = 4(3i-2j+k)x(2i-3j+4k) + 1(2i+j)x(-3j+4k) + 2(j+2k)x(8j-4k) = -36i-48j-26k (Kg-m 2/seg) 6. COLISIONES O CHOQUES
Cuando dos o más cuerpos se aproximan entre sí, entre ellos actúan fuerzas internas que hacen que su momento lineal y su energía varíen, produciéndose un intercambio entre ellos de ambas magnitudes. En este caso se dice que entre los cuerpos se ha producido una colisión o choque. Es preciso recalcar que, para que se produzca una colisión, no es necesario que los cuerpos hayan estado físicamente en contacto en un sentido microscópico; basta que se aproximen lo suficiente como para que haya habido interacción entre ellos La característica fundamental de una colisión es que las fuerzas que determinan lo que ocurre durante la misma son únicamente fuerzas internas (de interacción entre los distintos cuerpos que colisionan). Como consecuencia de este hecho la velocidad del centro de masas del sistema durante la colisión va a ser constante ya que la aceleración del centro de
masas es producida únicamente por las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.
Es decir, si dos o más partículas sufren colisión o choque, ambas interactúan, de tal manera que el momentum lineal antes del choque es igual al momentum lineal después del choque, siempre y cuando no actúen fuerzas externas durante el impacto.
En todo choque el momentum lineal total del sistema
es constante.
(principio de conservación del momentum lineal)
La variación de energía cinética de un sistema de partículas viene dada por:
En una colisión las fuerzas relevantes son las fuerzas internas, por lo que la expresión anterior puede escribirse:
A partir de aquí podemos distinguir dos tipos de colisiones: aquellas en que las fuerzas internas no hacen trabajo y en las que sí que lo hacen.
Choque elástico: Un choque elástico es aquél en que las fuerzas internas no hacen trabajo. Un ejemplo típico de colisión elástica lo constituye el choque de las bolas de billar. Puesto que éstas son rígidas no cambian de forma, y por tanto las fuerzas internas no hacen trabajo.
El choque de las bolas de billar es elástico. Durante un choque elástico se conservan el momento lineal y la energía cinética.
Choque inelástico. En un choque inelástico las fuerzas internas hacen trabajo, por lo que la energía cinética del sistema ya no permanece constante, aunque el momento lineal sigue conservándose. Si el trabajo de las fuerzas internas es negativo, la energía cinética del sistema disminuirá durante la colisión.
Cuando un vehículo choca contra un obstáculo se deforma, por lo que las fuerzas internas hacen trabajo y el choque es inelástico. La energía cinética disminuye.
El grado de inelasticidad de un choque viene determinado por el coeficiente de restitución:
Que puede tomar valores entre cero y uno. Para un choque elástico e = 1 y para uno totalmente inelástico (las masas quedan unidas después del choque) e = 0 .
CHOQUES UNIDIMENSIONALES
Luego de la colisionar, los cuerpos se separan uno del otro, en el sistema la cantidad de movimiento se conserva constante y también la energia cinética (K) de los objetos. Esto es:
Conservación del Momentum lineal.
p0 = pf m1. v 01 + m2. v02 =
m1. v 1 + m2. v2
Conservación de la energía cinética. Eco = Ecf 2 m1.v 01 + m2.v202 = m1.v21f + m2.v22f Ejemplo 6. Dos bolas de billar A y B de masa m se dirigen una hacia la otra. Chocando frontalmente. La bola A se mueve con velocidad de 2 m/s y la bola B con velocidad de 1 m/s. a. Determinar la velocidad de la bola A, si después del choque la bola B se mueve con velocidad de 0,6 m/s en dirección contraria a la inicial. b. Construir un diagrama de vectores que ilustre el movimiento de las bolas antes y después del choque. Solución: a. Utilizando la ecuación de principio de conservación del momentum lineal, se tiene: Pantes del choque = Pdespués del choque P A- antes + PB-antes = P A- después + PB-después m.v A-antes + m.vB-antes = m.v A- después + m.vB- después m.(2 i –i) = m.( v A- después + 0,6 i) i– 0,6i = v A después
v A después = 0,4 i m/seg
La velocidad de la esfera A después de la colisión es 0,4 i m/s. No cambio de dirección. b. Diagrama vectorial.
CHOQUES BIDIMENSIONALES.
Para cualquier colisión de dos partículas en el plano, este resultado implica que la cantidad de movimiento en cada una de las direcciones X e Y es constante. El juego de billar es un ejemplo muy familiar en el que se producen múltiples choques entre partículas en dos dimensiones. Para este caso las ecuaciones de la conservación de la cantidad de movimiento para cada eje son: Conservación de la cantidad de movimiento ⃗ =⃗
A lo largo del eje x, la ecuación es: m1v1ix + m2v2ix = m1v1fx + m2v2fx A lo largo del eje y, la ecuación es: m1v1iy + m2v2iy = m1v1fy + m2v2fy
Además en los choques elásticos se conserva la energía cinética, por lo tanto se puede usar la ecuación de conservación de la energía la cual es:
Ejemplo 7: Un protón choca elásticamente con otro protón que inicialmente está en reposo. El protón que entra tiene una rapidez inicial de 3.50 x 10 5m/s y hace una colisión oblicua con el segundo protón, como en la figura. (En separaciones cercanas, los protones ejercen una fuerza electrostática repulsiva mutua.) Después de la colisión, un protón se aleja en un ángulo de 37.0° hacia la dirección de movimiento original y el segundo se desvía a un ángulo Ø con el mismo eje. Encuentre las magnitudes de velocidad finales de los dos protones y el ángulo Ø. Solución.
Se sabe que m 1 = m2 y θ = 37.0°, y se sabe que v 1i = 3.50 x 10 5 m/s. A partir de las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento en X como en Y y de conservación de la energía cinética, se tiene:
Reordenando las ecuaciones 1 y 2
Elevando estas dos ecuaciones y sumándolas, se tiene
Sustituyendo la ecuación (4) en la ecuación (3)
Una posible solución de esta ecuación es v 1f = 0, que corresponde a una colisión frontal en la que el primer protón se detiene y el segundo continúa con la misma rapidez en la misma dirección. Esta no es la solución que se quiere. Para hallar la solución iguale a cero el otro factor, esto es: Use la ecuación (3) para encontrar v 2f :
Use la ecuación (2) para encontrar Ø:
Es interesante que θ + Ø = 90°. Este resultado no es accidental. Siempre que dos objetos de igual masa choquen elásticamente en una colisión oblicua y uno de ellos inicialmente en reposo, sus velocidades finales son mutuamente perpendiculares.
