Dinámica de fluidos y ecuación de Bernoulli
Hasta ahora hemos descrito a la presión sólo cuando se aplica a fluidos estacionarios. Ahora consideraremos los fluidos en movimiento: la dinámica de fluidos. El movimiento produce una influencia adicional sobre un fluido. En general, es difícil analizar el movimiento de fluidos. Por eemplo, !cómo describiríamos el movimi movimient ento o de una partíc partícula ula "una "una mol#cu mol#cula, la, como como apro$i apro$imaci mación% ón% de agua agua en un arro&o arro&o agitad agitado' o' El movimiento total de la corriente sería claro, pero prácticamente sería imposible deducir una descripción matemática del movimiento de cual(uier partícula individual, debido a los remolinos, los borbotones del agua sobre piedras, la fricción con el fondo del arro&o, etc. )btendremos una descripción básica del fluo de un fluido si descartamos tales complicaciones & consideramos un fluido ideal. *uego, podremos apro$imar un fluo real remiti#ndonos a este modelo teórico más sencillo. En este enfo(ue de dinámica de fluidos simplificad simplificado o se acostumbra acostumbra considerar considerar cuatro características características de un fluido ideal. En un fluido así, el fluo es 1) constante
2) irrotacional
3) no viscoso
4) incompresible
Condición 1: flujo constante implica que todas las partículas de un fluido tienen la misma velocidad al pasar por un punto dado.
+n fluo fluo cons consta tant ntee tamb tambi# i#n n pued puedee descr describ ibir irse se como como liso liso o regu regula lar. r. *a tra&ecto tra&ectoria ria de fluo fluo constan constante te puede puede represe representa ntarse rse con líneas de corriente. "igura A%. -ada partícula (ue pasa por un punto dado se mueve a lo largo de una línea de corriente. Es decir, cada partícula sigue la misma tra&ectoria "línea de corriente% corriente% (ue las partículas partículas (ue pasaron por ahí antes. *as líneas de corriente nunca se cruzan. i lo hicieran, una partícula tendría tra&ectorias alternas & cambios abruptos en la velocidad, por lo (ue el fluo no sería constante. Figura
Figura
Para (ue ha&a fluo constante, la velocidad debe ser baa. Por eemplo, el fluo relativo relativo a una canoa (ue se desliza lentamente lentamente a trav#s de aguas tran(uilas es apro$imadamente constante. i la velocidad de fluo es alta, tienden a aparecer remolinos, sobre todo cerca de las fronteras, & el fluo se vuelve turbulento. "igura "igura /%. *as líneas de corriente corriente tambi#n indican la magnitud relativa de la velocidad de un fluido. *a velocidad es ma&or donde las líneas de corriente están más untas. Este efecto se observa en la figura A.
Condición 2: flujo irrotacional significa que un elemento de fluido (un volumen pequeño del fluido) no posee una velocidad angular angular neta; esto elimina la posibilidad de remolinos. remolinos. (El flujo no es turbulento.)
-onsideremos la pe(ue0a rueda de aspas en la figura A. El momento de fuerza neto es cero, así (ue la rueda no gira. Por lo tanto, el fluo es irrotacional. Condición 3: flujo no viscoso implica que la viscosidad es insignificante. insignificante.
1iscosidad se refiere a la fricción interna, o resistencia al fluo, de un fluido. "Por eemplo, la miel es mucho más viscosa (ue el agua.% +n fluido verdaderamente no viscoso fluiría libremente sin p#rdida de energía en su interior. 2ampoco habría resistencia por fricción entre el fluido & las paredes (ue lo contienen. En realidad, cuando un lí(uido flu&e por una tubería, la rapidez es menor cerca de las paredes debido a la fricción, & más alta cerca del centro del tubo.
Condición 4: flujo incompresible significa que la densidad del fluido es constante.
Por lo regular los lí(uidos se consideran incompresibles. *os gases, en cambio, son mu& compresibles. 3o obstante, ha& ocasiones en (ue los gases flu&en de forma casi incompresible4 por eemplo el aire (ue flu&e relativo a las alas de un avión (ue vuela a baa rapidez. El flujo teórico o ideal de fluidos no caracteriza a la generalidad de las situaciones reales; pero el análisis del flujo ideal brinda resultados que aproiman! o describen de manera general! diversas aplicaciones. "or lo com#n! este análisis se deduce! no de las le$es de %e&ton! sino de dos principios básicos' la conservación de la masa $ la conservación de la energía.
Ecuación de continuidad
i no a$ p*rdidas de fluido dentro de un tubo uniforme! la masa de fluido que entra en un tubo en un tiempo dado debe ser igual a la masa que sale del tubo en el mismo tiempo(por la conservación de la masa). Por eemplo, la masa " Δm5% (ue entra en el tubo durante un tiempo corto " Δt % es
donde A1 es el área transversal del tubo en la entrada &, en un tiempo Δt, una partícula de fluido recorre una distanciav1Δt. Asimismo, la masa (ue sale del tubo en el mismo intervalo es
Puesto (ue se conserva la masa 6m+, 6m& sigue (ue
Este resultado se denomina ecuación de continuidad.
( para un fuido
Av
i un fluido es incompresible, su densidad ρ es constante, así (ue Esta se conoce como ecuación de tasa de flujo.
es el volumen de la tasa de flujo & es el volumen del fluido (ue pasa por un punto en el tubo por
unidad de tiempo. "
Av
: m7
m8s 9 m8s, o volumen sobre tiempo%.
・
*a ecuación de tasa de fluo indica (ue la velocidad del fluido es ma&or donde el área transversal del tubo es menor. Es decir &
v
es ma&or (ue
7
v
1
si 7 es menor (ue l.
Este efecto es evidente en la e$periencia com;n de (ue el agua sale con ma&or rapidez de una manguera provista con una bo(uilla, (ue de la misma manguera sin bo(uilla.
*a ecuación de tasa de fluo puede aplicarse al fluo sanguíneo en el cuerpo. *a sangre flu&e del corazón a la aorta. *uego da vuelta por el sistema circulatorio, pasando por arterias, arteriolas "arterias pe(ue0as%, capilares & v#nulas "venas pe(ue0as%, para regresar al corazón por las venas. *a velocidad es más lenta en los capilares. !Es #sta una contradicción' 3o: el área total de los capilares es mucho ma&or (ue la de las arterias o venas, así (ue es válida la ecuación de tasa de fluo.
Ecuación de Bernoulli
>?5=@7%, encontró (ue la presión en las paredes de los tubos disminu&e conforme aumenta la rapidez del agua. /ernoulli descubrió (ue esto es un principio válido tanto para los lí(uidos como para los gases. El principio de /ernoulli, en su forma más sencilla, establece (ue: Cuando se incrementa la rapidez de un fluido, disminuye la presión interna en el fluido.
*a conservación de energía, o el teorema general trabao?energía, nos lleva a otra relación mu& general para el fluo de fluidos. /ernoulli en 5=@ fue el primero en deducir esta relación (ue recibe su nombre. El resultado de /ernoulli fue
neto Δ! B Δ"
tenemos "energía8volumen% &
ρ #y $ m#y&" "energía8volumen%.
i cancelamos cada Δm & reacomodamos, obtendremos la forma com;n de la ecuación de Bernoulli:
) bien
*a ecuación o principio de /ernoulli se puede aplicar a muchas situaciones. Por eemplo, si ha& un fluido en reposo a ecuación de /ernoulli se vuelve
'asa de flujo y (resión
i consideramos insignificante la diferencia horizontal en las alturas de fluo dentro de un tubo constre0ido, obtenemos, para la ecuación de Bernoulli,DD.
En una región con menor área transversal, la rapidez de fluo es ma&or4 por la ecuación de /ernoulli, la presión en esa región es menor (ue en otras regiones. /as cimeneas son altas para aprovecar que la rapidez del viento es más constante $ elevada a ma$ores alturas. 0uanto más rápidamente sople el viento s obre la boca de una cimenea! más baja será la presión! $ ma$or será la diferencia de presión entre la base $ la boca de la cimenea. Esto ace que los gases de combustión se etraigan mejor. /a ecuación de 1ernoulli $ la ecuación de continuidad (
v
, constante) tambi*n nos dicen que si
reducimos el área transversal de una tubería! para que aumente la rapidez del fluido que pasa por ella! se reducirá la presión. El efecto 1ernoulli (como se le conoce) nos da una eplicación sencilla de la sustentación de los aviones. En la figura se muestra un flujo ideal de aire sobre un perfil aerodinámico o un ala. (e desprecia la turbulencia.) El ala es curva en su cara superior $ está angulada respecto a las líneas de corriente incidentes. "or ello! las líneas de corriente arriba del ala están más juntas que abajo! por lo que la rapidez del aire es ma$or $ la presión es menor arriba del ala. l ser ma$or la presión abajo del ala! se genera una fuerza neta acia arriba! llamada sustentación. Esta eplicación bastante com#n de la sustentación se calificó de simplista porque el efecto de 1ernoulli no se aplica a esta situación. El principio de 1ernoulli requiere el flujo de fluidos ideales $ conservación de la energía dentro del sistema! ninguno de los cuales se satisface en las condiciones de vuelo de los aviones. 2uizás es mejor confiar en las le$es de %e&ton! las cuales se deben satisfacer siempre. 1ásicamente las alas desvían acia abajo el flujo del aire! ocasionando un cambio acia abajo en la cantidad de movimiento del flujo del aire $ una fuerza ascendente (segunda le$ de %e&ton). Esto resulta en una fuerza de reacción acia arriba sobre el ala (tercera le$ de %e&ton). 0uando la fuerza ascendente supera el peso del avión! se cuenta con suficiente sustentación para despegar $ volar.
