Ferdinancl P. Beer . f;. Russell fohnston,
|r"
.
Wílliarn E. C[ausen
MECANICA VECTORIAL para INGENIEROS s,F&
8ST&KXXnCü[
Contenido Prefacio
xiv
Agradecimientos
xtx
Lista de símbolos
XX
11 CIN EMATICA DE PARTICULAS 601
11.1 11.2 11.3 11.4 1 1.5 ll.6 .11.7 .1 1.8
.9
dinámica 602 rectilíneo de partículas
lntroducción a la
Movimiento
Posición, velocidad y
aceleración
603
603
Determinación del movimiento de una partícula 607 Movim¡ento rectilÍneo uniforme 616 Movim¡ento rectilíneo uniformemente acelerado 617 Movimiento de varias partículas 618 Solución gráfjca de problemas de movimiento rect¡líneo Otros métodos gráficos 631
Movimiento curvilíneo de
partículas
641
Vecior de posición, veloc¡dad y aceleración 641 '1 1.10 Derivadas de func¡ones vectoriales 643 11,11 Componentes rectangulares de la velocidad '1
1
y la 1
acelerac¡ón
645
1.12 l\ilov¡miento relat¡vo a un sistema de referencia en
traslación
646
11.13 Componentes tangencial y normal 663 11,14 Componentes radial y transversal 666 Repaso y resumen del capítulo 11 Problemas de repaso 684 Problemas de computadora 687
680
12
c¡ruÉr¡cn DE pARTícuLASi decur.¡on LEy DE NEWToN 691
12.1 lntroducción 692 12-2 Segunda ley de movimiento de Newton 693 12.3 Cant¡dad de movimiento lineal de una partícula. Razón de cambio de la cantidad de movimiento ¡ineal
x
:.rien
do
12.4 12.5
Sistemas de unidades 695 Ecuaciones de movimiento 697 '12.6 Equilibrio dinám¡co 699 12.7 Cantidad de movimiento angular de una partícula. Razón de camb¡o de la cant¡dad de movimiento angular 718 12.A Ecuaciones de movimiento en términos de las componentes radial y transversal 719 12,9 Movimiento bajo una fuerza central. Conservación de la cantidad de movimiento angular 72O 12.10 Ley de gravitación de Newton 721 *12.11 fayectoria de una partícula bajo la acción de una fuerza central 731 .f2.12 Aplicación en mecánica celeste 732 *12.13 Leyes de Kepler del movimiento planetar¡o 735 Flepaso y resumen del capítulo Problemas de repaso 748
12
Problemas de
751
computadora
14.!
'14.!
14.t
'14.',
'14,r
14.1
-14. -
14.
'14.
744
Rel Prc Prc
13 CINÉTICA DE PABTíCULAS: METODOS DE LA ENERGíA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 755
13.1 lntroducción 756 13.2 Trabajo de una fuerza 756 13.3 Energía cinética de una partícula. Principio del trabajo y la energía 760 '13-4 Aplicaciones del principio del fabajo y la energía 762 '13.5
t
15.
t5.
eficiencia 763 potencial 781
Potenc¡a y
13.6 Energía .'13.7 Fuerzas conservativas 783 13"8 Conservación de la energÍa 784 13.9 lvlovimiento bajo una fuerza central conservativa. Aplicación a la mecánica celeste 7a6
-15. 15,
13.10 Principio del ¡mpulso y la cantidad .13.11
13.12 13.13
de
movim¡ento
5.
15.
805
N,4ovimientoimpulsivo 808
lmpacto
115.
820
lmpacto central directo 820 '13.14 lmpacto central oblicuo 823 13.15 Problemas en los que interviene Ia energía y la cantidad de movimiento 826 Repaso y resumen del capítulo
13
Problemas de Problemas de
851
repaso
-15,
.15,
842
848
computadora
Re Pr(
Pft
srsrEMAS
olt*rí"r,-o, 855
'14.'l lntroducción 856 14,2 Aplicación de las ieyes 14.3
de Newton al movimiento de un sistema de partículas. Fuerzas efectivas 856 Cantidad de movimiento lineal y angular de un sistema de
partículas
16
'f6
859
e:\_*_
\ Movimiento del centro de masa de un sistema de partículas 860 14.5 Cantidad de mov¡miento angular de un sistema de partículas alrededor de su centro de masa 862 14.6 Conservac¡ón de Ia cantidad de mov¡miento para sistemas de partículas 864 '14.7 Energía cinética de un sistema de partÍculas 873 14.8 Principio del trabajo y la energía. Conservación de la energía para un sistema de partículas 875 14.9 Principio del ¡mpulso y la cant¡dad de movimiento de sistemas de partículas 875 *14.10 Sistemas variables de partículas 886 *14.11 Corriente estacionaria de partículas 886 *f4.12 Slstemas que ganan o p¡erden masa 889
14-4
Repaso y resumen del capítulo
14
Problemas de Problemas de
91
repaso
904
908
computadora
1
15 CINEMÁTICA DE CUEBPOS RíGIDOS 915
15.1 lntroducción 916 15.2 Traslación 918 15.3 Fotación alrededor de un eje fijo '15.4
15.5 15.6 15,7 15.8 .15.9
919 Ecuaciones que definen la rotación de un cuerpo ríg¡do alrededor de un eje lijo 922 lvlov¡miento plano general 932 Velocidad absoluta y velocidad relativa en el mov¡miento
plano
934
Centro de rotación instantáneo en el movimiento plano 945 Aceleraciones absoluta y relativa en el movim¡ento plano 956 Análisis del movimiento plano en térm¡nos de un
parámetro
958
15.10 Razón de cambio de un vector con respecto a un s¡stema de referenc¡a en
rotación
971
15.11 lvlovimiento plano de una partícula relativa a un sistema de referencia en rotac¡ón. Aceleración de
Coriolis
'15.12 Movimiento alrededor de un punto fijo 984 *15.13 Movimiento general 9A7 *15.14 Movimiento tridimensional de una particula con
973
respecto
a un sistema de referencia en rotación. Aceleración de Cor¡ol¡s 998 *15.15 Sistema de referencia en movimiento general 999 Repaso y resumen del capítulo 15 Problemas de repaso 1018 Problemas de computadora 1021
1011
.16 MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS RíGIDOS: FUERZAS Y ACELERACIONES
1025
16.1 lntroducción 1026 16-2 Ecuaciones de movimiento
L\_--
de un cuerpo
rígido
1027
contenido X¡
X¡i
conten¡do
16.3 16.4 -16"5 16.6 16.7 16.8
Cantidad de mov¡miento angular de un cuerpo rígido en movimiento plano 1028 Movimienio plano de un cuerpo rígido. Principio de d'Alembert 1029 Observac¡ón acerca de los axiomas de la mecánica de cuerpos
rígidos
'1
-1
I t t
1030
Solución de problemas que implican el movimiento de un cuerpo
rígido
1031
Sistemas de cuerpos rígidos 1032 Movimiento plano restr¡ngido o vinculado 1051
Repaso y resumen del capítulo
16
Problemas de Problemas de
1078
repaso
1073
1075
computadora
'17 MovtMtENTo pLANo DE cuERpos Ricroos' MÉTODoS DE LA ENERGíAY LA cANTIDAD DE MoVIMIENTo
:
'1
t081
17.1 lntroducción 1082 17.2 Principio del fabajo y la energía para un cuerpo rígido 1082 17,3 Trabajo de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido 1083 17.4 Energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento plano 1084 17.5 Sistemas de cuerpos rígidos 1085 17.6 Conservac¡ón de la energía 1086 17.7 Potencia 1087 17.A Pr¡ncipio del impulso y la cant¡dad de movimiento para el movimiento plano de un cuerpo rígido 1104 17.9 Sistemas de cuerpos rígidos 11A7 17.10 Conservación de la cantidad de movimiento angular 11O7 17.1 1 l\,4ov¡miento impuls¡vo 1 120
-1
-1
'i
I f I
17.12 lmpacto excéntrico 1120 Repaso y resumen del capítulo Problemas de repaso 1138
17
Problemas de
1141
computadora
'1134
18
ctNÉTrcA DE cuEnpos RÍctDos EN TRES DtMENStoNEs 1
145
.18.1 lntroducción 1 146 -18,2 Cant¡dad de mov¡miento -18.3
.18,4 .18-5 -18.6 .18.7 .18.8 '18.9
angular de un cuerpo rígjdo en tres 1147 Aplicación del princ¡pio del impulso y la caniidad de movimiento al movimiento tridimensional de un cuerpo rígido 1 1S1 Energía cinética de un cuerpo ríg¡do en fes dimensiones
dimensiones
1152 Movimiento de un cuerpo rígido en tres dimensiones 1.165 Ecuac¡ones de movim¡ento de Euler. Extensión del principio de d'Alembert al movimiento de un cuerpo rígido en tres
dimensiones
1
166
l\.4ov¡miento de un cuerpo rígido alrededor de un punto
fijo
1167 Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo 1168 lvlovimiento de un giroscopio. Ángutos de Euler 1183
é-}--
_
*18.10 Precesión estable de un g¡roscopio 1185 *18.11 Movimiento de un cuerpo simétrico respecto a un eje y que no se
fuerza 1186 Repaso y resumen del capítulo 18 1199 Problemas de repaso 1204 somete a ninguna
Problemas de
computadora
1208
19 VIBRACIONES MECÁNICAS 1213
19.1 lntroducción 19.2 19.3 .19.4
1214
Vibracionessinamort¡guam¡ento
1214
Vibraciones libres de partículas. Movimiento armónico simple 1214 Péndulo s¡mple (solución Péndulo simple (solución
aproximada)
1Z1B
exacta) 1219 '19.5 Vibraciones libres de cuerpos ríg¡dos 12zB
'19.6 19-7
Aplicac¡ón del principio de la conservación de la V¡brac¡ones forzadas 1251
energía
Vibracionesamort¡guadas 126'l Vibraciones l¡bres amortiguadas 1261 Vibraciones forzadas amortiguadas 1264
.19.8 .19.9
.19.10 Analogías eléctr¡cas
'1265
Repaso y re$umen del capítulo 19 1277 Problemas de repaso 1282 Problemas de computadora 1285
Ai-ü
Apéndice A
U
¡C;ilt"i cs y F nf.¡r¡ x gen trEL dxLüEEÉ?,4'{/ÉCTüHIAL
Ft¡l,:! $FF¡
r'l
er; rlrnsi
1289
Apéndice B
MSMEí\üTSS üE INFREIA
tri:
i\4.{SA$
1295
Apéndice C
FLIF¡BA4IISNTOS FAR4 LA CEÉ"rIF¡CACiüI{ glr¡ l$leeN¡gnía HÍ\3 E$TAD*S Li¡,¡¡ür:]$ 1333
Créditos de índice
fotografías
analítico
Respuestas a
1
1335
337
problemas
1345
1240
contenido
Xiii
Lista de símbolos a.a aLt
/,\
ap /::¡,
at.
C,... 4.8,C,...
A. B,
€r,
Áreo
b
Archo; distancia; eje semimenor de la elipse
€¡ eo
E
.f fr
t,
F
G It
Y.t H,, (Hc;)r;'u.
i,j.k í
1,1,...
I 1.,t,...
l fr
^.1.
Puntos
A
C
e,,
Aceleración Constanter rudior distancia, eje semimayor de I:r elipse Aceleración del centro de mása Aceleración de B relativa al sistema de referencia en traslación con A Aceleración de P relaüva al sistema de referencia en ,oi""i¿; S Aceleración de Coriolis Reacciones en sopodes concxiones )
^' ^o
l
L L
¡¡¿
,,_''-
M V,, M¿] )l .\/,,¡ ¡r
Constante; coe{iciente de amortiguamienio viscoso Centroide; centro instantáneo dJrotación; capacitancia Distancia Veclores unjlarios a lo largo de la normal y la lanÉente Veclores un¡laúos en las direcciones radii v traniversal Coeficiente de restitución; base de los log"iit-os naturales
EnergÍl rnecánica totaj; volLaie Función escalar Frecuencia de vibración forzada
Frecuencia nah¡¡al Fuerza; fuerza de fr.icción Aceleración de la sravedad Cenlro de gr^ued"?, cenlro de masa: conslante de graüfacjón Momento angular por mast unifaria Momento angular alrededor del punto O Razón de cambio de la cantidad áe rnovimiento angular H6 con respecto a un sistema de referencia de orientación ffja Razón de cambio de l¿ cantidad de máümiento nngular H¡; con respecto a un sisternl de re[el.encia en rotación Cxy¿ Vectores unitarios a lo largo de los eps de coordenadas
Corriente
Momentos de inercia Momento centroidal de inercia Productos de inercia Momento polar de inercia Constante de ¡eso¡te Radio de giro Radio de giro centroidal
Longitud Cantidad de movimiento lineal Longitud; inductancia Masa Masa pur unidad de longitud P¿ur rnomento
Mornento aJrededor del punto O Momento resultante alrebedo. del punto O Magnitud de par o momenlo; masa cle la Tierra Momento alrededor del eje OL Dirección normd
xxt
-*_
¡
r XXii
Lrsta de
símbolos \
7t)
Componente normal de la reacción Origen de coordenadas Fuerza; vector Razón de cambio del vector P con respecto a un sistema de referencia de orientación fijá Razón de flujo de masa; carga eléctrica Fuerza; vector Razón de cambio del vector Q con respecto a un sistema de referencia de orientación ffja Razón de cambio del vector Q con respecto al sistema de referencia. Oxgz Vector de posición Vector de posición de B relaüvo a A Radio; distancia; coordenada polar Fuerza resultante; vector resultante; reacción Radio de la Tierra; resistencia Vector de posición Longitud de arco Tiempo; espesor; ürección tangencial Fuerza Tensión; energía cinéüca Velocidad Variable Trabajo Velocidad Rapidez Velocidad del centro de masa Velocidad de B relativa al sistema de transferencia en traslación con A Velocidad de ? relativa al sistema de referencia en rotación g Producto vectorial Volumen; energía potencial Carga por unidad de longitud
l,t/
Peso; carga
o
,P
i q
a ó (Q),,,r"
r rB//\ R s s
t T T
u u U L)
t,t
vr / ..j
v V
w,
r.l/,: t. ,i. : ', t . (!. a ' 3y ¿
¡
Coordenadasrectangulares;distancias Derivadas temporales de las coordenadas r. 4. z Coordenadas rectangulares del centroide. centro de gravedad o centro de masa Aceleración angular Angulos Peso específico
Elongación Excentricidad de sección cónica o de órbita \-ector unitario a lo largo de una línea
Eficiencia Coordenada L
)
-angular;
ángulo euleriano; ángulo; coordenada polar
Coeficiente de fricción Densidad; radio de curvatura Feriodo Pe:iodo de übración libre "i¡.¡¡lo de fricción; ángulo euleriano; ángulo de fase; ángulo fld'rncia de fase lgrit euleriano
Go1rl E¡ry<¡
r
l
.angular
I
¡ ci¡cular de vibración forzada circula¡ natural ¡¡gular del sistema de ¡eferencia
i ) i I I
J
----1.1. TNTRODUCCTéN A LA OtñtÁtüfc,A Los capítrrlos 1 ¿r l0 se declica¡o¡t,¿Lla 1
CINEIV1ÁTICA DE PABTíCULAS r
1.1
'1? .J ".4 1 1.5 ]lt ,.tI 1,8
1
1
1.9
1
1.10
lntroducc¡ón a Ia dinámica
l\¡ovimiento rect¡líneo de partículas posición.
veloc¡dad y aceleracion Ljeterminacidn del mov¡m¡ento de una partícula
l\4ovimientorectilíneouniforme I\,4ovimiento rectilineo
uniformemente acelerado Movimiento de varias partrcufas botucron gráfica de probtemas de movimiento rect¡lineo Oiros métodos gráf¡cos
Movim¡ento curvilíneo de partículas Vector de posición, vefocidad y aceleración Derivadas de funciones vector¡ales
11
.11
11.12 11.
1
13
1.14
Componentes rectangulares de la veloc¡dad y Ia aceleración l\ilovimiento relat¡vo a un sistema de réferencia en traslac¡ón Componentes tangencial y normal Componentes radial y transversal
astrífü:a, e¡^to es, ¿rl ¿n¿ílisis cle los (uclri,s Frr repov, \lrorj, rinir i;r cl eslu,lj,, d- lr,i¡,,",,,;,1). ¡"i, n.,-,_ rnot ini(.r,luc se r¡li.r. ¡lrnriljsi.,l. 1,,r, ,,:r;,,";.;',;;;;,;';,"1;; tn r¡r,r,,,ru,., I,.slr¡,1j,,,1. la n,¡,ir¡,rr.,' ; ; ;i "i ;;i:,,1, U",,. lil,6,,t¡s{riog,,i Ia p.m.¡,r,,¡ntril,r¡, i" ,i n, ,,t.,, iri,,,,r,"l,-, ,, ., ., (l¡l;1",' lizri "¡" (t564 t642). L,,s
r,,.,";;;;,;';;;ü.i*,' u,#,lli^Ti:'i::;' lcyes de movimierto f undamenti¡les. I-a dirán.iica itcft ryc:
l.
!.
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La r:inentcítíca. la r:r*rl c.o¡¡¡5p1,ucle .rl estr¡dir, de l,r gt,,¡uretría del rnc¡virnicnto. Sr utilji.r p"r" .a"|"_.r:a'á,ipt""n_ rnielto, la veloci
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IeciIrCo
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; ;l:*'[ll:]::
_ lrx ctrpítrrlos I I a 14 abt¡rdut it Jitrimü.a ¿1. paftict píttrlo I1 se considcr¿¡ la cin¡:mtt¡r:a d.c p.n.rcrtla's.
.\: cr el c¿nt ,rl ,i" ü prto, siqnifir..r q,¡* , i ,:r;;,ñ;';_ ;'1i,.,;¿ l;','l:r', "" qr¡o ( o¡pr¡( tos. rir,o e\to\ pnt.ncros r;rpilrrlo. el ln,,uilnieirlo "ll crrerpos 'ir["a,,.rle tan g,inr.,d,,, ,rriorre5--posiblernentc .eri, , onrid,.r.¡,rlo .i,, t.,,,,,,,. ",,,,r,i "","1,J"i,,r. " ",, ,.,,1,,ti :;;,,;, ;;r: ;i:l';i,, i: quc los cucrpos se alirliziltr conro ltarhcuias, sc r:rLtlerclc r¡ur:' s
,.,::::,",,',,:,i',,,,"
"r*
l]il,;l d,.l r a¡ítrrkr t 1 se estutha el üro\.imiento rec_ ,,,r:l,l ,""1-",'. J]:1,:11¡ar.te rrna pirrlt(ulir: c\to o.. s(.,Jetot¡linu itl fprirciór,lc rrnr nrrlicu1,,.,, r^,f^
Lr ¡,,si,.irin. -1 ":'"'',*t,,.¡,1,.1 , -.^,,,.,.,,.,. r'o¡rfi'r,re i irr\lr¡rrr, r. ,'',,.'.
:r ro r¡,¡^,,,r,. r¡n¡ rr,,,,, ".',, a.ll'tl '.,.",,,. 'j;llIl:l:i:l:':,j:l::,' . d-,,,,iri.l..;:.;;,i;,;.;i',"l,lu',,,,:::.j:. {or.r.\i,1, ri¡rr do. r.rs,,s lurlicrlarcs i,"prnrn,"..,il,:;,'.i ,;'jrlll|.|",; urrilor¡¡¡p y,,l r,.,,rir,¡i.nro,,,,iri,,,;;,, ,.; .:.. .,11-'lil'l; er rrr()\rrnr' (,"".¡u,,",' r'i.i',, i;;.' r;""i1':::Tj;"ii::::':ii:i:,.]""i il:l.llHij
silr'rrlllri..n.J" vrrir.i ¡,arlri.rrla.. ) sr pr.rscrrti¡,.1 t.onr *ltn rl,. rno\._ rrtcrrl,) ñ lrti\o rle rr,,x p¡¡¡1¡¡,,¡^ (1)n rc\n(.clr,,r ,rir¿. L,r prirrrot.i, (tc ¡:tc, rpitrl() r.o,.,.lu\. trarle cor ,¡r.,,slu¡lio,l,. ,"a 1,,.A, *1,ii",,,,r',i" sr's v su rLplicación elr la "J", sohrción c j, rri¡,, , , ,,or i,, iel,,c, *, ,ir,. , ¡jri,,",j:J:'ll:l:l;]::"] l:] l,i;,1" r,n t:¡ scqr¡nLl.r l)" 1e de e\le c¡pilr¡lo ie ¡¡rllizi el ,,ro\;t i, .rlo !lL ut.L l,i¡r'ticrl¡ , rrr'1,, o\l,r r. ,n,,,1r".,, L l,;r;:; ;; ;,"';1.,, 'll ', , .un t. lrrerto,¡rra l¡ ¡rrsiniriri. r,,l,u.i,l,d ¡ r,.i"l.*.,n,,,i, ,,J'.;:.,,,, culrr se dcfirre¡ rr,¡rr ;c¡lrtirl.r(lÉ\ t.l.f'onllot el, r'er" .¡,¡o ,l- i,¡' ¡' ., prese't¿t eu la secció¡ 11.10 , s, '.r,la rlc ,na llr,,ri ,r r, ",or,u, r", i,".i",;;;,;;;"-;:,;: iiicas. Después se cstrrclian lns ",ru,1., " ripi:_ I
¡
m2
caciones en las que el novir¡iento de una partícula se define rnedian_ te las componentes lectanguJares de su rielocidad y aceJeración; en este punto se an¿rliza el moümierto tle un proyecti) (secc1ón 1l.l l).
11.2. Posiciór1, velocidad y aceteración
En la secciólr 11.12 se estrrdia el movimiento de una partícula en relación con el sisterla de refer.enci¿r en traslación. por írltir¡o, se ¿na liza el ¡rovirniento cun'ilíneo de unn pattícula en términos de componentes que no sea¡ las rcetenguJares. Las conrpolentes tangencia)
¡
nolrrrrl d* la r,,locirLr,l¡
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Jrr
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¡
ll.l:i¡
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lcel.raciórr ,lc unr p,tr1ú ula.. fr"**,,_ (ornnonerle: l-rdinl l tron.,r.r.ol ,J" ru
ll ,.c,ión ILl4.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE PARTíCULAS 11.2. POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIóN Una partícula que se rnueve a 1o lar.go de una línca rect¿ se dice qLre se encuertra en moDilhíento rectilíneo. En cualquier instaDte d¿do f, ln partícula ocupar-ir cierta posición sob¡e ln línea recta. p¿ra clefinir la posicicin P_ de h ¡rarticula se elige ur.r or-igen fijo O sobre la djrecci
desde O ¡l rrrov-e rse ¿ lo lrrrgo de la lfue¿in l¿ clirección positivrr o el la negativa. La distancia r, con eJ signo apropitdo, tlelile nor cornpleto la po.i, iórr r.le lrr prrlri.rrli,. ¡ l'" d"n,,,',i,," i.r no 1,, ,r,n;¡lc,tqtlo ',1¿ l,t posü i',tr de la prrl ri rrl.r. Por ejerrrplu. Lr c.oor.deni,da , h. la pr rsilicin rr. rreipotrüctr¡e rr P el lir l'igrru ll.l,r, es r. l5 n,; L c.oorderr,,dr ,,. nespondiente P' cn la figura 11.1b) es r' : 2 lr. Cuando se conoce l¿ coordr:n¿rd¿r de ln posición r de rua partícula para cualquier valor- de tiernpo ¿, se afirn; que se conoce'el nrovi rliento de la partícula. El "itiner¿rio dc.l moüil rieutu Due(lc c¡olr-esar se en fbn¡¿ de rrn¿r ecuacitjn en r r /. t corro.r : 6¡l - ¡., cr'"n ,,r,o grálica de r e¡r funciót rle f, como se indicii en l¿ figur.:r 11.6. Las rrnidades que se us¿n con rnayor. frecuencia p¿r¿ meclii la c
¡osición P'ocu¡ld,¡ p9¡lrrprrlicrrl:rerr ln licnrpo p¡,\lc¡iori I Ai: l.L ourder¡¡d¡ de lir po*iciún f' pll.d* ohf "n.r.,..ru,n,,n.lo,r lu coorde n¿dr l de I cl prgueñu tle.pluz¿rnionlo Ar.. el cua.l selJ pusilir,r o rieg¡livo seqrinsi l'eslri u h dnr.echr u.r h iz,¡rri,,r.da
dad prornedio de la partícula sol)re el ¡rten
xl; de tiernpo
OP
.t.1
]--H+ H
lm
ll
H 1m b')
F¡gura 11.1
\/
Figura
1 1.2
I
(¡ +
^rl
A¿ sc deii_
ne como el cociente entre el desplazamiento Ar y ei inter.ralo de tiempo At: Velocidad promedio
Aa
Af
j etsLlorecr 9 -a-tt¡u*¡kruoContou
". 1C1. Seccntr 1.3.
{s-
/,
":
603
604
Si se usan unidades del SI, At se erpresa en metros y Af en segundos, la velocidad promedio se expresa consecuentemente en metros por segundo (m/s). Si se recurre a las unidades de uso común en Estados Unidos, Ar se expresa en pies y A/ en segundos; la velocidad promedio se eryresará entoüces en pies por segundo (fVs). La aelocidad. instantdnea o de Ia partícula en el instante , se obtiene de la velocidad promedio al elegir interwalos Af y desplazamientos At cada vez más córtos:
cinemática de partícutas
Velocidad instantánea
P
l_-
a>0
: o:
lím
Af.+O
A{ Af
La velocidad instantánea se expresa también en m,/s o fVs. Observando que el límite del cociente es igual, por definición, a la derivada de:c con respecto a ¿ se escribe
n)'
dx.
(11.1)
dt
Figura 11.3
La velocidad o se representa mediante un número algebraico que puede ser positivo o negativo.l Un valor positivo de o indica que r aumenta, esto es, que la partícula se mueve en la dirección positiva
P,. f---*
(figura 11.3a); un valor negativo de o indica que r disminuye, es decir, que la partícula se mueve en ürección negativa (figura I1.3b). La magnitud de o se conoce como la rapidez de la partícu1a. Considere la velocidad o de la paftÍcula en el üempo , y también su velocidad o * Au en un tiempo postedor r + Al (figura 11.4). La aceleración promndio de Ia partícula sobre el intervalo de tiempo At se refiele como el cociente de Ao y At,
b)
(fl Figura 11.4
(i
+
^tl
Aceleración promedio
:
Atr
At
Si se utilizan las unidades del Sl, Au se eryresa en m/s y Af en-segun-
dos; la aceleración promedio se erpresará entonces en m/s'. Si se recurre a las unid¿des de uso común en Estados Unidos, Ao se expresa en ftls y Af en segundosr la aceleración promedio se expresa entonces en ftlsz. La aceleraci.ón instant(inea a de la partícula en el instante ¿ se obtiene de la aceleración promeüo al eicoger valores de Ar y Ao cada vez más pequeños:
Aceleración instantánea = a
Ao
E ^'+o
- lím
iComo se ve¡á en la sección 11.9, l¿ velocidad es en ¡ealidad una ca¡tidad vectorial. Sin embargo, puesto que aquí se considera el movimiento rectillneo de una partícula, en el cual la velocidad de la nism¿ tiene una dirección conociria y ffja, sólo es necesario especificar el sentido y l.r nagnitud de la velocid¡d¡ esto puede llevaise a cabo de manera con venierie utilizando un¡ c¿nfldad esc¿lar con un sigro mA o r¡enos. Lo misDro se cumple p¿ra I¿ ¿celeüción de una p.rltícula en moümiento rectilíneo.
La aceler¿rciílr inst¿r'lt¿inea se expres¿ taübién en rr/s2 o ftlst. El lini te clel cocierlte, el cual t-:s por.definicinn l¡ deivirclu rle L corr rest)icto a /. rrirl. ll r¡zdn Jer'¡,rnl¡io dc l.r rel,,tiLlltl. Sc,:scrib. ¿1)
o.
,or
lir \uslilu(ión
11.2. Posición, velocidad y aceteración
605
(11.2)
d., ,le ll.f7, (r 1.3)
La ¿rcelelricióu ¿ se representa lnecliante un nírmero algebr.aico que puecle ser positivo o ncgativo.l Urr r alor. ¡tositir.tl de u inclic,r q,,,i Ia velocidad (es clccir', el nriuielo alqelrrair'J r ).rnleutr. Est,, liucdc significar r¡re la pnrtícuJa se estli noviendo r.iríis r.ripido c,r, l,r iir.e"-
ción positiva (figura 11.5n) o quc se ltueve ll¿is lólt¿imeltc en l¿,r dirección negativa (figula ll.5b); eD ¡urbos casos, Ao es positi|a. U[ r llor ncgrtir u de ¿ indic¡ r¡re disminuve la veJocidrid; 1i sel.r c1,,e la Frtí(ul¿ sc r.sté ltnrientlo rnás leltiunente el Ja dir-ección positivl (figura 11.5c) o que sc csté rnoviendo rnás rhpido el la diiecciril rleqltr\ it (fiqlir¿ I 1.r¿l ).
t'l
velocidad y y su aceleración a.
t'
I
l-..-
1
t'l
;,,i;i
I
d Figura 11.5
El férntto desaceLeracitin sc utiliz.¡, t:n algnnas oc¿siones par¿ re-
férjrse r,¡ cuirntlo liL rr¡itlcz dc la partícula festo es, la -ngriit,r,l ,1" r ) tLislirurye; 1a pallícula \e rnLlevc entonces con mnlrrr leniltud. por ejernplo LL¡articr¡lr¡ rle lrr ligur':L ll.-r se d..lt.elerrr *rr las ¡,¡¡.1-5 /, ¡ , i err \(rdrd \i- Jceler¿ (es d.cir.. se nrueve nrr.rs rápido) en'las plrtcs
ayd.
_ Es posihJc ohtener otrit c\pr-esjór para l¿r ¿cele¡.¿rción elirnil¿¡clo l¿r dilerencial r/f en l¿s rcuacir'nes ¡11.1) y (I 1.2). Al resoh.er (11.1) para dl, se ohtiele d¿ : dx/q ¿tI sustituir en (11.2), se esc¡jbe da
f\ró¡se l.r,,ot¿
¿rl
pie. pígiD.r 60.1.
(r l.,1)
It.l
'Cuando un tractocamión se mueve a lo largo de una trayectoria recta, su rnov ^niÉ1lo esta caracterizado en cJalqu er inslanrp por sL coo-delaoa de posición sL
Fotografía
^,
/ L
Ejemplo.
Considere la partícula que se rrueve en una lÍnea r.ecta
y suponga que su posición está deffnida por la ecuación
x:6t2 f donde
f
se e\T)resa en segundos y r en rnetros. La velocidad de o en se obtiene al diferenci¿r r con respecto a Í
n:
DE
E:L
c[alquier tiempo t
dr
1'1 I
üe: ne co!
ció
l2t
-
tell
3t2
lll
I
dr'1
La ¿rceleracíón ¿ se obtiene al diférenciar. otr¿ vcz con respecto
¿
l:
re!
l6
t¡¡.
d¡¡ a:+-12-Ot
lnI
0
1! 0
-Il 21 rlri
tt 0
1l
t1
L¿ coorden¿rda de la posicirin, Ia velocidad y la aceleración se han glaficado contr'¿ t en la figura 11.6. L¿s curv¿rs obtenidas se conocen corio atrcas dt: lnoDimiento. Recuérdese, sin embargo, que la par:tícula no se rnueve a Io largo de ninguna de estls cuwis; li par.tícula se rnuevc en ul¿r línea rect¿. Puesto que la derivnda de una función mide la pendiente de la curwa correspondiente, la pendiente de la curva:r-f en cualquier tiempo dado ei igual al valor- de o en ese tiempo y la peridiente de l¿r cun l r -t es igurrl al vrtlor de ¿. puesto que a : 0 en t : 2 s, la pendiente de la cun'a t¡-f debe ser cero en f :2 s; la velocidad alc¿rnza un mírximo en este instante. Adenás, puesto quer: : 0 en t : 0 y I : 4 s la tangentc a la cur-va r-Í debe se¡ horizontal para ambos de estos valores de f.
Un estudio cle l¿s tres cun'as cle nto\inrielto de la figura 11.6 rllrestr¿ que el moümietto de lii pnrtícr a desde ¡:0 h¿rsta /: cc puede dividirse en cuatro etap¿s:
I.
La partícula inicia desde el origen, I : 0, sin velocidad pero con un¿ aceleración positiva. Bajo esta ¿celer¿rción, garriuna velocidad positiva y se rnue\€ en Li <{irecciór.r positn'a. De ¡ : 0 at - 2 s, Í, D y a son tod¿rs positivas.
2.
En
Figura 1l,6
t:
2 s, la aceleración es cero; la velocidad ha alcanzado su r.-¿rlol márimo. Det:2 s at:4 s, o es positiva, pero l7 es neg¿tiv¿r. La partícula aún se mueve err dirección positiva, pero cada vez más lent¿unente; la partícula se est¿i désacelera-ndo.
3. El ú :4
s, l¿ r'elocid¿rd es cer.o; l¿¡ coordelada de la posición ha alc¿nz¿do su valor rnírúlno. A partir de ahÍ, tanto^..- cotro 4 son negativas; la partícula se está acelerando y se ltueve en la dirección negaür'a coti rapidez creciente.
¡
4. Enú:6s,
la partícula pasa por el or.igen; su coorclenada
r
es
en ese caso cero, en tauto que la distancia total recorrid¿ desde el principio del moümiento es de 64 n. Par¿ valores m¿yores de i que 6 s, r:, o y a serán todas negativas. La partícula cor.rtinúa r¡or.iéldose en la üi-ección negativa, alejándose de O, cada r.ez uás rápido.
1 1.3. DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTíCULA
1
En la sección anterior se affrma que el movimiento de una partícula es conocido si se sabe la posición de la particula para todo valor del iiempo L EI la práctica, sin embargo, un-movimieito ra¡a vez se defi_
ne por medio de una relación entie r y f. Con mayor frecuencia, las condiciones del noümiento se especiiicarán po, ál tipo de acelera_ ción que posee la partícula. Por ejemplo, ur.-crr"rpo -"r, criÍda libre tendrá un¿i aceleración constante. illrigda hacia ab-ajo e igual a g.g1 m/s2, o 32,2 fVs2; una masa unida a un iesorte que se ha eii¡ado tendrá una aceleración proporcional a la elongáción instantánea del resorte, medida. desde la_posición de equilibiio, etc. En general, la ¿celer¿ción de la partícula puede etpreiarse coÍio una firnción de
una o nrás de las variables_r. oyt.paia deteminar la coordenada de td posrcron.r en lerminos de /. serú necFsario efecluar dos infegr¿ciones sucesiyas, Se considerarán tres clases comunes de movimiento:
L a : fG) . La aceleracíón es una .función dadl (te t . Al resolver (11.2) para do y
sustituirfr) por a, se escribe
&;:adt da A1
: f(ü
rtt
integrar ambos miembros, se obtiene la ecuación
Ido:Jf@dt que deffne o en términos de f. Sin embargo, debe notarse que una constante arbitraria se introduciri como resultado de la integración. Esto se debe al hecho de que hay muchos rnovirrientos que r.orresponden a la aceleración drda a : lLt . Para defi nir en lorma rinice el moümiento de la partícu la, es necesario especificar las corz diciones irticiales dál moviniento,_esto_es,-el valor de r,'¡ de la velocidad y el valor re de la coordenada de la posición en t: 0. Al sustituir las integrales indefinidas por integrales defínidas con los límites infeliores correspondientes á las condiciones iniciales / - Q 1 u = uuy1os lÍnrites superiores correspondientes o, se escribe
[' a,: f' ¡o 1)
-
1)o:
aI I¡ o'=
a,
I" lo, o,
lo cual produce o en términos de f. La ecuación (11.1) puede resolverse ahora para á;,
dr:adt y la erpresión que se acaba de obtener sea sustituida por u. {rnbos miembr.os se integran después. el miembro izqiierdo coll respe( lo a l desde r : ,r,, hasta r' - \.. el miemÉro de )
\-
1.3. Determinación det movimiento de uña partícuta
607
608
cinemática de Partículas
0 hastat: t. La coordenada de recho respecto at desde t la posición r se obüene de ese modo en términos de f; el mo-
-
ümiento está completamente determinado. Dos casos particulares impodantes se estudiarán con gran detalle en las secciones 11.4 y 11.5: el caso en el que a : 0 que corresponde a \tn moDiniento uniforme, y en el que a : constante, que corresponde a rJn nToDimi'ento uniformemente aceleraclo.
a = f(x). La aceleración se da en función de x. N reordenar la ecuación (11.4) y sustituir/(r) para a, se escribe
adr:adx x dn
:
f(x) dx
Puesto que cada miemblo contiene sólo una variable, se puede integratla ecuación. Denotando de nuevo mediante o0- y re, respectivamente, los valores iniciales de la velocidad y la coordenada de Ia posición, se obtiene
f' u du: f' ft¡ ;u2
¿,
- ,u,?,: |"' /t*) ¿'
la cual produce o en términos de r. A continu¿ción se resuelve (11.1) para dt,
dt-
dx 1)
y se sustituye por
D
la expresión que acaba de obtenerse Ambos
miembros pueden integrarse entonces para obtener la relación deseada entre l y f. Sin embargo, en muchos casos esta úlüma integración no puede llevarse a cabo de manera analíLica ¡ debe recurri¡se a un método de inlegración numérico.
: f(x). La aceleración es una función dada de o. Es posible sustituirfu) por a en (I1.2) u (11.4) para obtener cualquiera
a
de las relaciones siguientesr dD
AI
u tlo
f(u)
La integración de la primera ecuación producirá una relación entre o y ,; la integración de la segunda ecuación originará una relación enhe u y r. Cualquiera de estás relaciones puede utilizarse junto con la ecuación (11.1) para obtener la relación entre I y t que caracteriza el moümiento de la partícula.
PROBLEMA RESUELTO 11.,I La posicicjn de una lartícüla gue se^ mueve a lo la¡go de una línea recta está delinidu por la relacidn r. - t'' 6r' - I5t - 40 dónde r se exprcsir en Die\ y f en segundos. Determine ¿) el tieinpo aJ cucl l¿ r,ekrcidatl ,"iá d¡ h ""ro, posicidn.y l d¡st¿ncia recorrida por l¿ ¡¿ftícula en ese tienrpo, c) la acelera_ cidn de Ja partíeula en ese tieLxpo. rl) la distancia recorrida por la partículr
desdet:4shasta¿=6s
soLUctóN Las ecuaciones de moümiento son
r:
- 6t2 ISt + 40. t -i.d¡ 3t. -l2t ¡5 t3
(1) (2)
o: th¡- :6t 12 (3) a) Tiempo cn el cual ¿ : 0. Se fija = 0 en (2): 3t2,I2t - t5:o f :-1 s y r:*5s I .l5 : Sólo la rafu t s corresponde a rrn tiempo después de que el moümiér.rto r_r
se ha iniciado: par¿ tila; par¿ f > 5 s, o ¡,
tfvs)
f < 5 s, o < 0, la partícula se ,rru""," ürecció:.r "i, posiüva. > 0, la partícula se mueve en dirección
b) Posiciírn y distancia r.ec<¡r.r.id¡ cuand<¡
+5 s en (1),
¡r
se tiene
:t5:
(5)3
- 6(5)':-
t5(5) +
=
0.
Al sustitui¡ ¡ =
r; :
40
La posición inicial en f = 0 fuer¡: +40 ft. puesto qr.re o teñalo t : 0 ¿f = 5 s se tiene
nega-
*
(i0
.(
fi
0 durante elin_
: l!5 - ¡¡ : 60 ft - 40 ft = -100 ft ])ist¡llciiLl-cc¡lrl-itl¡:l()()liclrIittlil.e('('i
Dist¿ncia recolrida
c) Aceleración cuando
¡: =
O.
¿; =
Se sustituve ú
6(5)
12
:
+5 s en l3): ri;
:
a 1,!
lils: {
d) Dist.rncia rec¡rr.rid¿
clesde ¿ = 4 s lr¿rstr, = 6s. La p¿rticula se rnue\een la direcejcin ncgativrr desde I -.1 shastrL/-Ssl"nüreccion positiva desde ¿ : 5 s h¿sta f : 6 s; por lo tanto. la distancia reco¡rida dur¿¡te c¿da uno de estos intewalos deliempo se calculará por separado.
Dc/-4sa/ -5.: \ :
.t5- -60ft
-
6(4)2 - 15(4) + 4o = -b2 ft : 15 :ta : -60 ft (-52 t0 : _8 ft : B ft en la di¡ección negativa De/-5sa/-6s: .r; - -60tt : (6)i :16 - 6(6), - rE(6) + 4o = -Eo ft Distancia recor'Éda : .16 - :li5 = -50 ft - (-60 ft) : + l0 ft : 10 ft en la di¡ección positiv¿ (4)3
Distancia r€conid¿
La
tli*t
: l¡i fi
¡
t¡:i¡t tu¡tal
rttorrkl
r¡ desde ¿
= 4 s hasta ¿ = 6 s es de
B
ft + l0 ft
609
¿' .// )
PROBLEMA RESUELTO 11.2 Una pelota se lanza con una velocidad de 10 tnis dirigida verticalmente hacia arriba desde una ventana ubicada a 20 m sobre el sujo. Si se sabe que la ace leración de la pelota es constante e igual a g.8l m/s¿ hacia ablio, áetermrne
a)lavelocidadr ¡ Laelevaciónyde lapelotasobreel suelo en cualq uier t ier n_ po L b) la eler ación más aJla que alcanza la pelota y el r alor co¡reüondionte de f,_ c) el tiempo en el que la pelota golpei el sueJo y Ia velocidad corres_ pondiente. Dibuje las cuñas D-f y
y-¿.
soLUclÓN
¿ e\irA:
H"
a) Vclocidad v elevación. El eje y que mide la coo¡denada de la po_ sición (o elevación) se elige con su origen ó sobre el suelo y su sentido oo_ sitivo hacia arriba. El valo¡ de l¿ aceleiació¡ y los r alores iniciales de u y y son Uomo se ¡ndica. A.l sustituir ¿ en a -- d, /di obsen.,r que en I _ 0. ui _ ) * l0
m./s, se tiene
dp
q0=+20m
I
9.81 m,/s2
o, -- -['su Jo
' . ,0
loli6: r¡ I0:
a,
[9.81r]i 9.81¿
¡:
Al sustituir ¿ ena = dy/dt y observar que en ¿ =
d,t
Y",
dt
'3.
tlt
: t0
O, Vo
9.811
(t)
<
= 20 m, se tiene
- r-ru-r.ot, tl
I dv - I ,t0 - e.Btr) d/ 'u :2O lvlLo:ltu-4905t'z16
y-2O=Ilt_4.90ú2 4 : 20 + 101 4.9t)5fr (2) < b) Máxirna elev¿ción. ción, se tiene o
:0.
Cuando la pelota alcanza su mádma eleva_ AI sustituir en (1), se óbtiene
I0-9.81f=0 Al sustitui¡ t :
/:1.{)19s {
1.019 s en (2), se tierre
y:20 + 10(1.019) - 4.905(r.019),
y = 25.1
¡r {
c) La pclotr gol¡rea ol sucl<¡. üene y
:
Cuando la pelota golpea el suelo, se 0. Al sustituir en (2), se obtiene
llt 4.905¿2:0 t=-L243s Sólo la raíz f : *328 s a un tiempo 20
+
_corresponde
miento se ha iniciado. Al conside¡a¡ este valor de o
= I0
-
9.81(3.28)
y
/:
+13.23s
{
después de que el moü_
t en^(I),
= -22.2 n:¡/s
o
:
se tiÉne
29.1 rn/s J
610
b"
PROBLEMA RESUELTO 11.3
Enbolo
El mecanismo de freno que se
de caione,
reducirel retroceso en cier¡65
usa
¡¡no, -^o* el r¡n énrbolo.unido a un canón que se mueve en un cjlindro"."il"ri#Ira¡a fi¡o llon6 ¿s r, cuando el ccñón ¡et¡ocedo.o'n relocidad inrcial r-,1. o,ni"i" una i'j"""" o ¡j.rici os c n e r ;_u".r ", " 0,", "i"." a" i;J?l :'Jr;; ;:,t:^A1".: ;::::.f i.; a una razón pr.opo¡cional
té.'"i no. d.
; ; :;
a su veloc
.;";# il ;"T ::: """'i:,.; i:r"i:
uer rno\.1mrento correspondiente.
".,;l,T;:íl;::
soLUCtóN . a) r
términr¡s de
ral quc dellne
"
l"
/.
Al sustjtr
-k":# f In
:
a:
r
rór'¡nula rund¿¡nen
[' @: -*['¿,
-r,a, -l¿
OO
l.r)
r¿
"J".*,J',i'-Y.Jl;,;o:"o.Ti;J
en términos de f. Al a = d,xfdt,."
rier.se pa¡a o en
l"
su
expresión que acaba de obte-
"r"nbJotutt ".oa( kt - dt dt
l" a' ' '"1" " *a,
,= -?t"*'ti: -f,{n-"_
r¡
.'-=f,{l , . ,c) ¡ ¿¿¿ldr,
se
cn ttjr¡nin¡rs de
esc¡ibe
¡.
-"'")
Mer:liante la sustitución _ka para a
_ku =
srL 6
<
=
¿
u d*4a
dp= _kdÁ
1)o
k
[' ¿" --- t Jo[' ¿, I
,
-¡
rio* **^" ..rr.,,. o1 método alten,ativo "'"li",,"j., puede ,"" I I9 I''" se obtiene e-h ".,";;oi;;J".' La paj-re.
.(.omprobaciót¡.. ras,respuestas obtenldas pañ las uhli.zarse como susrituir en r^
oai',l:
t".p".r," 5"il-i",ii ,""r"""til1'"j
lt\ - o'l=*fu_ '=fn-n k at'-;)
'-'o-kj.
'
u)
uo, ol
rcomprobación.
611
.-:
En los problemas de esta lección se pide determinar la Ttosicitin, I¿L oelocidacl o \a aceleración de una partícula e\ rn()üitniento tzctílíneo. En cada problenra, es importante identificar tanto Ia variable independiente (por. lo con.rún fo r) y qué es lo que se pide (por ejemplo, la necesid¿d de expresar.o como una funciór.r de r). Se recomielda en.rpezar cada problema escribiendo t¿nto la infor.mación d¿d¿ col.ro un enuDciado simple de lo que se va a deterl.rinar
1.
Obtención cle a(t) g a(t) para una x(t) dacla, Como se explicó en la sección 11.2,la primera y segunda derivadas de r con respecto ¿r, son respectivanente iguales a la velocidad y a la ¿celer¿rción de la partícula lecuaciones (U.1) y (11.2)1. Si la
velocidad y la aceleración tieren signos opuestos, la partícula puede llegar al reposo y después moverse en Ia dirección opuesta fproblema r-esueltó 11.1]. Aií, cuandt se c¿lcula la distancia tot¿l recorrida por una pattícula, se debe deterrniuar prinero si la partícula llegó al reposo dur-ante el interwalo de tienrpo especificaclo. AI construir un_ diagrama similar al del problema resuelto 11.I que nuestra Ia posición y la velocid¿id de la partícula y cada instante crítico (o : D,.,i., D : 0, etc.), se colt¿rá con una avuda para üsu¿lizar el rnovirnjento.
2.
P]
t-
tr
h'i
ci
Obtención ile x(t) y {t) para u.na a(t) dailu. L¿r solución de problemiis de el la primerii parte de la sección 11.3. Se recurre a las condicio
este tipo se an¿rlizó
lesiniciales,J:9fu:u1¡,comoloslínitesirlerioresdelasintegr.alesenfyo,
pero es posible utilizar cualquier otro estado co:rocldo (por ejenrplo, i - t1, o : o1). Además, si la función a(t) contiene una constante desconocida (pór ejemplo, la const-ante * si a : /rt),-primero se debe determinar la coDst¿lte al sustituir.un conjuntt> de valores conocidos de f y a en la ecuación que cle{ine a a(t).
3. - Obtención ile t(r) q x(t) ¡tara uno a(x) rlada. Éste es el segundo caso con sidelado en l¿ sección 11.3. Los límites inferiores de integración prlden ser los cle cualquier est¿do conocido (por ejenplo, I : rr, ü : o¡). ademas, puesto que ü : o,,,,.o cuando r¿ : 0, las posiciones donde ocur¡en los valores rnáimos de li veloci dad se determinan con facilidad al escribir a(r) : 0 y al resolver para r.
:i
].¡
_l-
tl
r:
jr
¡ J.
Obtención de a(r),
{t)
g r(t) paro una a(u)
b
dada.
Éste es el últino caso
que se abordó en la sección 11.3; Ias técnicas de solución apropiadas para problen.ias de este tipo se ilustran en el problemir resuelto 11.3. fodoi lJs coneirtari^os genera les correspoldientes a los casos anterior.es también se aplican en esta situaciól. El problema resuelto 11.3 proporcion¿ un resumen de cómó y cuándo utilizar las ecuaciones u - dtlclt, o: tla/dt y a: x dar/d.Í.
612
c
11.1 El
uovimiento de un¿ pirtícul¿ estir defintdo por la rel¿icicjrr r y t .e e*f."r,rn err mbtros ¡,.seguldos, respecti\.¡neDte. l)etennine zr) el morlento en el c¡re la ¿rceler¿ció¡ lr¡ ln '.
: ¡l
(t
-
3):r, donde
'Josjción \, la r.elitcid¿icl de l:r pal1ícrrla en esé momentr¡.
11.2 El ¡rovinie¡to
de
r
y r.,
", "",o,
partícula está clelinido por ia rel:rcicin en tretros 1,segrindos, respecti" "r-pr"r,rn ld¡rente. Detelüine rz) el rlorlento en el que la ¿rcejeración ü¡ lo "li ""ro. posición y la velocid:id de la partÍcula en esá mor¡ento. .r
: t¡ - (f
2)2, clonde
un¿r
11.3 El mor.iniiento de un¿ partícula está definido por la r-elación 4t') + 3t 2, donde r y r se expr-esirn en pies y segunclos, res-
r : 5f'1
pecti\'¿nente. l)etenni¡e tícul¿ cu¿rndo
f=
l¿r
posiciólr, la velocid¿rd y la aceleracién de
9s.
11,4 El morinriento
de
un¿r
Ja
pnr
pattícula cst:i definitlo por la relación
- 14fe lOi + 16,d,rncLr¡ ¡ \r ejpresrn e¡'pulgad,rs r se'gulrdos, .espectivarrente. Deterr¡ilrr Iu p,xiciril, la r.loc;daá yiu n..i".o .rrj¡ ,ln l:L lrrlr( ltln , i rdo / - J .. = 6lr + 8f¡
1 1.5 El r¡ovimieuto de l¿r cor.r.ede¡a A se define medi¿t¡te l¿r relación 500 sen k¡, do¡de r y I se expre\tn en rnilDretros ) scAulalos, lcspec tiv¡Drente, )' t es co¡stante. Si ft : l0 r¿cLs. detelnti¡re la pcrsic.irin. J.r ielo, cidad y la aceler-aciór cle la co¡.r:eden A cuando f : 0.05 s.
r:
1.6
El mt¡vir¡iento de la co¡reiler.a A se clefine nredi¿rnte la rel¿¡ción sen(f,t - krr:), dolrle'ri y Í se expresan e)i r¡ilí¡retros v segundos, rcspectivarnerlte. Las constantes /t¡ I k. son, respeutj\ arnerte. isuJes ¿ 1 1
r:50
raüs ¡,0.5 raüse. Considere el ¡rter-v.,lo o < ¡ < js y la aceleración de la con.eder¿ A c¡ranclo ¿r : 0.
l7.Z
r : t'
_El
r,ror
il'irrto
6t' + 9t +
de unr parlrc,rl¡ .c
r clet"r,rln.l?
,l¡lin.
posictírn
Figura P11.5 y P11.6
,ne,liante l:, r.l¡cion
5, clonde r se er?resa e¡ pies y f e¡r segundos. Deter_ rnine n) el momelto en el que la velocidad es cer.o,-ó) la poiición, la acele_ :-ación y la distaDcia total ¡ecorrjd¿r cu¿ndo ¡ : 5 s.
l_7.8 El ¡-rovimierto de una partícula se deff¡e rnecliarte la relaciól 2)', donde r_ y f se exprcsan en pies y segunclos, l€specti\,¡rme.nte. Drte¡rinc ¿) las dos posrciones en lai que l¿lelocidacl es ce¡o, bl 1.,di:1.¡nci¡rot.Jrr(onidaporl.r¡rrtrurrl;rJ"s,l"I - lr:rstir I -.ts.
r = /' -- (t -
11.9_ La irt.elerucicj I rle lna pu,1ícul.r se drfin¡
la : 3. " -. dor rrle ¿ r f se erp es¿1 eri fi^2 v scgu¡dos, r¡.di¡rtl respectivanerrte. Si ri = 0, y r = 0-er ¿ : 0, deter.r'r'rine lir velocidad y la posición cle la parlícula (ur ctul:u.5\. ,¡
..1¿r.lon
F
lf,As rcsfrL'strLr a todos los problornas cwo iÍunero está cr tipo rccro (conro en 11.1) r) p¡eselt¿n .rl fin¿l del lib;.o. No sc dan las lesirucstas a 1os problcrnas con ¡úmeros cn it¿'rlic¿s (colno e¡ tt.Z.
613
tn,-F 614
_l
La aceleración del punto A se deff¡e mediante la ¡elación ¿ : f se eqrresan en fVs2 y segundos, respectivamente, y -5.4 ft : 3 raüs. Si :r : 0 y o : 1.8 fVs cuando t : 0, detemline la velocidad y la posición del punto A cuanclo t - 0.5 s. 'I 1
cinemát¡ca de partículas
,10
sen Ár, donde a y
l1 .1 I La aceleracion del punto A se define mediante la relación ¿ : 3.24 r.n kl 4.32 ( o. (/. dond. a y r \e e\pre(dn cn li,. \.segundo". r,,s_ pectivanlente, y ft : 3 r¿üs. Con x : 0.48 liyu = l 08 fl, cJando ¡ = 0, determine la velocidad y la posición del punto A cuando I = 0.5 s.
11.12 La acele¡ación de una paftícula es di¡ectamente propot-cional al tien,po L Cuando f : 0, la velocid¿d de Ia partícula es de ¿0b nrm/s. Si o : 370 mmA y r : 500 mm cuando ¿ = 1 s, dete¡mine la velocidad, Ia posición y la distancia tot¿l ¡eco¡¡ida cuando f = 7. s. Figura P11.'10 y P1f.11
:
11.13 La aceleracicin de una partícula está definida por Ja relación ¿ 0.15 rn/s!. Sir 0.15 m/s cuando ¡ -I0nrcu¿rdof = 0yo 2 s, dete¡rnine la velocidad, la posición y la distancia total ¡eco¡rida cuando f 5 s.
:
9-
:
=
:
11!4 La acele¡ación de una partícula está definida por.la relación a : - 3t' La partrtula ilicia en ¿:0cono = 0yr:5 m. Determine rz) el.
tiemp! en que 1a velocidad
es de nuevo cero, b) la posicjón y la velocidad tot¿¡l recorrida por lipartícuú desde ¿ 0
:
= 4 s, c) la distancia hastal:4s. cuando ¿
L¿ aceleución . ¿?)11.15 Sir
estí definida por la relación a = 2 s, determ¡re la constante /r. ó) Escriba las ecuacio¡es de mo\.intiento. con ,r; : 0
-
cle una p:rrtícula
= -I0nr/scuanduf :0yo = I0 m/s cuanlo I :
k¿'.
cuandof=2s.
Figura P11.16 y
P1
l"'t7
1 1.16 El punto A oscila con una ¿rceleración ¿ : 40 160r, donde ¿ yc\Trc
:
11.17
El punto A oscila cor una aceleración a 100(0.2b -r),donde se expresan en m/s2 y mehos, respectivamente. Si el sistema inicia en el iiempo 0 con u 0yt 0.2 m, determine la posición y la velocidad ¿¿
y
r
t-:
:
:
deAcrrandof:02(
.18
La ¿celer¿ción del punto A se define mediante la relación ¿ : donde. ¿ ) -r se_expresan en fVs2 y pies, respectivamente, y A es constante. Si la velocidad de A es de 7.8 fVs c.uando r:: 0 v de 15 iVs cuando ¡ : 0.45 ft, determine el v¿rlo¡ de k. 11
600t(1
Figura Pl1.18 y P1t. tg
+ frr").
1.19
L¿ ¿celeracicj¡ del punto A se define mediante l¿ relación a : 20hJ. clunde a y x se rxpresan en fVse y pies, ¡espectivaúente. Si la velocidad de A es de 10 lils 1 r : 0 cuando f : ó, d"te.-i r" la velocidad ¡ la poricidn de A cuando I - 0.05 <. 1
80ü, +
3
1 ,20 La acelerución de una partícula se deffne por merllo de la rela ctó¡a:1 . - 28, donde ay:L.. se expresan en m/s2 j metros, respectiva_ meÍte. Si ¿ = 8 m/s cuando ¡ : 0, determine d) el valor rn:Lrimo de r-, b) la 1
velocidad cuando la partícula ha recorrido una djstancia total de 3 m.
11.21 La
aceleración de una partícula se define mediante la relacjón de la parlícula es o : *9 m/s cuando r = -3 m y la partícul:r queda en reposo & el origen, de_ termine a) el valor de ft, b) la velocidad di la partícula cuanclo r =' -2 rr.
Prorrremas
a: kll - e '), donde ft es constante. Si la velocidad
:
615
1 1 .22 A partir de r 0 sin velocid¿d inicial, la acele¡ación de un ¿uto de car¡eras esti delinida pc,r h relación ¿¿ 6.8e (100057., doncle ¿r y r se er_
:
presan en úr/s- y mehos. respecüvarrente. Deterrrine la posiciól del auto de c¿r¡¡erus cuando ¿ = 30 m/s. '1
1.23
- !4", velocidad n
La aceleración de una partícula se define rnedjante la rcl¿ción
d¡nde ¿ se expr.esa en mnVs2 yo en rnli/s. Si crr¿nclo f
es de 75 urm/s, determine a) la distancia que recor.r.er:i la
= 0la
partícula
antes de quedar en reposo, b) cl tienrpo requerido para que la velocidacl de
la partícula se reduzca al uno por cierito de s,r.,aloi in;cii
.
L¿ acele¡ación de rLna partícula está de{inida por la relacjón r¿ : d"nde ¿ se c-r1lres¿ en m/.2 ^y t, en m/s. La partícriJa inicia en r : 0 con.una relocidad de g m7s. ¡ cua¡jo r : 13 m se'observ:r que la velociclacl es de i m/s. Detrrmine la üst¡rncja qrre recorrerá la partícLrla a) antes de que su velocidad dismimry:r a 3 n/s, ól alites de quedai er reposo.
^11.24
-k¡r.
a:
11.25 La acele¡¿ción cle una partícrrla se define meclja¡te la rel¿ción kl6, donde k es constaDte. Sir:0 yu:25 ltls el¡: U. r¿: L2
ft/s cuando r : 6 lt, deter-mine a) ia reloridad de la particuh b) el tieurpo lequerido para r¡re ln partícula quecle en'reposo. "n
11.26
A partir de
a:
r:
i:
S ft,
0 sin velocid¿rd inici.rl, un¡ Dcrtícul¡ r.ecibe uua
O.E\/É | 49, donde d y r sc c\presJn en fVsr r lVs. res_ pecti\amente. Deterúine ¿) la posición de la partícula cuando o = 24 fVs, b, la relu, irlad de la partri ulr cúand,, r ¡0 it. acele¡¿ción
-\r:. 11.27 La acele¡ación de la co¡r.ecle¡a A se defire por medio de la re lr¡¡iún,¡ 2kVA' - . rlt,nde,r ¡ ¡ se F\pl,.sdn .n tl,'s ¡ tt ., n.p."ti,rrnenle. r k e5 con\tantc. El si.t"m¿ init i.r cll el tipmnu / - 0,rn r = l.S lt y o : 0. Si r : 1.2 fi cuando f = 0.2 s, dete¡r.rine el valo¡ de /r.
.28
La aceleración
y
cor¡edera A se clefine rnedi¿inte la ¡elación : -2\,T- É, cloncle a y de u se expre."" fv.t t it;, ;;p""ii,r"""i". nt "" 1
a
I FiEuñ P11.27
1
inicia e¡ el tieürpo sición deA cuando a) u: sistema,
.29
A partir de
l¿r
0 con jr : 1.8 {t y t, : 0. ñeter.mine la pcr 0.6 fVs.ü)la posiciin cle A cu.r¡rl,r 1:03 s.
I=
r = 0 sin velocidad
inicial, la aceler¿rción de un auto de carreras está definida pol l¿r relación : 154\E {,.1oo5-^, clonde o y "t se e\l)resa e tn < ) tnetro\. respe(.li\arn{" lc. Dplcrn inn la p,,sici,,n t. l:r aceler¿cion del arLu dc { dn.cra\ cuindo ¿l r 20 rnls. b¡ r - 40 n,s 11
11,30 Con base en observaciones, la velocid¿d dc un atlet.¡ Duede aprox¡narse mediante la relación ¿ = ?.5(l - 0.04i),,3. üonde. 1.r'r" presan en hlh y kilónetros, respectivanente. Si r = 0 cuantlo I : 0, de"r_ tennine a)la distancia que ha reconido el atleta cuando f : t h, b) la ace_ leracjón del atleta en rn/s2 cuando ¿ = 0, c) el tienpo requeltlo para que eJ atleta reco¡¡a 6 knr.
Figura P11.29
:
F¡gura P11.30
P11-28
-'-----.
-----._l
616
11,37
Cinemática de particulas
-I
P?
1
L¿ aceleración, debida a la gravedad, de una partícula que caiga gnz/P, donde r es la distancia desde el centro de la l.¡acia la Tierra es ¿ Tiera hasta Ia partícula, R es el ¡adio terrestre y g es la aceleración de la gra3 960 mi, detetmi¡e l¿ oelocídnd de vedad en la superffcie terestre. Si n
I I
escape, eslo es, la velocidad mínima con la cual una partícula debe proyectarse hacia arriba desde la superffcie tefiestre para no regresar a la Tierra.
a
=
:
(Srgerencia:tt = 0 para
r=
a
c'.)
I
l Pg
-I
11.32 La xelerución debida a la gravedad a una altura y sobre Ia superficie de l¿ Tiena puede erpresarse como 4
I
32.2 L1
+lvlzoe;'loqP
donde a y r7 se erpresan en fils2 y Pies, respectiv¿mente Uülice esta eryresión para calcular la altura que alc¿mza uú proyecül lanzado verticalmente lraciiarriba desde la supertcie teirestre si su velocidad inicial es a) ú = 2 4OO ft/s,b) o :4 000 fvs, ¿) ¿¡ = 40 000 fi:/s. 11
,33
o'
sen(<'r,,f
La velocidad de una corredera se define meüante la relación + {). Si Ia velocidad y la posición de la co¡redera en f = 0 se denota con oo y itq, respectivamente. y sabiendo qle el desplazatniento má¡imo de Ia cor¡ederu esrro, muestre qr¡e ¿) u' : hi¿ + riu.:,z,) lzro,n.. b) el ralor mirimo de la relocidad ucu¡-re cu¿ndo ¡ = xu'3 - pu/xou.ll/2
o ll
=
:
La velocidad de una partícula es o = ooll - sen(r¡t/T)]. Si la partícula parte desde el oigen con una velocidad inicial o¡, determine a) su poslción y su acelemción en f : 3T, b) su velocidad pron.iedio durante el intervalo de f = 0af: ?.
11.34
Figuta
P1
1
,32
11,4. MOVIMIENTO BECTILíNEO UNIFOFME
EI movimiento rectilíneo uniforme es un tipo de movimiento en línea recta que a menudo se encuentra en las aplicaciones prácticas. En este movimiento, la aceleración o de una partícula es cero para todo valor de ,. En consecuencia, la velocidad o es constante, y la ecuación (11.1) se tr¿nsforl-ra en dr,
dr
:
1,
:
constante
La coordenada de posición r se obtiene cuando se integra esta ecuación. Al denotar mediante r0 el valor inicial de r, se escribe
I dt:aldt x:.xO+uf
(11.5)
Esta ecuación puede utilizarse sólo si la ueloci'dad de la partícula
es
cotTstLrlte.
t_
1I.5. MOVIMIENTO RECTILíNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
'
l,;i;Jilfl"?:13"';';'li',1ff et z
EI morimiento rectilíneo uniformemente acelerado es otro tipo común de morimiento. En éste, la aceleración a de la partícuto y ", "oi"rt"r.L, la ecuación (11.2) se convierte en da
E:o=constante I-¿ ¡elocidad o de la partícula se obtiene al integrar esta ecuación:
I da=o I dt D-Do:at D:Do+at
(1r.6)
donde u6 es la velocidad inicial. Al sustituir por o en (11.1), se escribe
&_ dt.Do+at -{
denotar mediante
r¡
r
el valor inicial de
t^
e integrar, se tiene
tt
I d, : I tto- at) d¡ .r-r¡:uot+jaf r: xu + o6t + L"atz
(1I.7)
También se puede recurrir a la ecuación (11.4) y escribir dD :a= D-.
constante
ada:adx --
integrar ambos lados, se obtiene
[" udu:of'¿^, Jt,,
t
u,
i@n
-"?,)=a(r_
ro)
u2=al+2a(r-xo)
(r1.8)
Las tres ecuaciones que se han deducido ofrecen relaciones útiles
entre la coordenada de posición. Ia velocidad y el tiempo en el caso
det mo\.,rm¡ento unilormemenle acelerado. al sustituir loJvajores apro_ piados de a, uo y jre El origen O del eje -r debe definirse rr¡*"ro u'"r_ cogerse una dirección positiva a Jo largo del ejer esta dirección se lsará para deterrninar los signos de a,aoyrs. La ecuación (11.6) relaciona c v f ¡.. debe utilizarse cuando se deiee que el valo¡ de , ¿ un r,alor determinado de f, o de maneia inversa. r,a ecuaciOn "or."roorrd" iii.7)
-.4
618
cinemát¡ca de partículas
relaciona a )c y t: la ecuación (11.8) relaciona a o y r. Una aplicación importante del movimiento uniformemente acelerado es el movimiento de-un cuerpo en caídn libre. La aceleración de un cuerpo en caida libre (usualáente denotada mediante g) es igual a 9.8I rn-/se o 32 2 fi/s2. Es importante recordar que las tres ecuaciones anteriores pueden
T
r]nlizarse solo cuandn se sabe que la acaleracíón de la paúíc¡lla es constante. Slla aceleración de la patícula es variable, su moümiento se debe determinar a patir de las ecuaciones fundamentales (11 1) a (I1.4) según los métodos señalados en Ia secciól 11.3.
11.6. MOVIMIENTO DE VARIAS PABTíCULAS Cuando varias partículas se muevert de manera independiente a lo largo de la misma línea, es posible escribir ecuaciones de movimiento independientes para cada partícula. Siempre que sea factible, el tiempo debe registrarse a pattir del misn.to instante inicial pala todas las partículas. y es necesario medir los desplazamientos desde el mismo órigen y en la misma &rección. En otras palabras, deben usarse un solo reloj y una sola cinta métúca.
Mov¡miento relativo de dos partículas. Considere dos partíA y B que se rnueven a lo largo de la misma línea recta (ffgura 11.7). Si las coordenadas de posición:r¡ y rB se miden desde el mismo origen, Ia diferencia rs - :r¡ define la coordenada de posición relatiaa cleh con respecto a A y se denota por medio de r¡7a. Se escribe culas
Figura 11.7
:iB/A: rB -
xA
.tB -^A
I .tElA
(r1,e)
De manera independiente de las posiciones de A y B con respecto al origen, un signo posiüvo para r:¡7¿ significa que B está a la derech¿ de A, y un signo negativo inüca que B se encuentra a la izquietda de A. La razón de cambio 167¿ se conoce como la pelocidad' relatiaa de B con respecto a A y se denota por meüo de u37¡. A1 diferenciar (11.9), se escribe
DB/A: DB I)¡
i)B
:
DA
+ DB/A
(11.f0)
Un signo positivo de o37¡ sígnifica que a pat'tir de A se obserao qre B se mueve en dirección positiva; un signo negátivo indica, según se obsewa, que ésta se mueve en dirección negaüva. La razón de cambio de o37a se conoce como Ia ac,¿leración relatioa de B con respecto a A y se denota. me díanre as1¡. Al diferenciar (11.10), se obtiene
AB/A: aB - aA
as:
a¿
I a3¡¿
(11.11)
Mov¡m¡entos dependientes. dgunas veces, la posición de una partícula dependerá de la posición de otra o de varias partículas. En ese lAdüerta que el producto de los subíndices A yB/A que se usa en el miembro izquierdo es igu¿l ¿l süblndice B utilizádo en el miembro de l.rs ecuaciones (11.9), (II.10) y
(ILll)
del lado izquierdo.
\_
iÉ dice que los movimientos son clependienfes. Por ejemplo, la :. :-:.ión del bloque B en la figura 11.8 depende de la posición del blo:',¿ -t Puesto que Ia cuerda ACDEFC es de longitud constante, y
-':i:
11.6. lllovimiento de varias
.--oo qr,r" las longitudes de las porciones de cuerda CD- 1' EF dt-edel-: le l¿s pole,rs pérmanece constante, se concluye que la suma de las
,-: alldes de los segmentos AC, DE y FG es constante. Al observar' -::. l: longitud del segmento AC üfiere de l¿ sólo por una constante y
:':..
-:
Ce m¿ner¿ similar', las longitudes de los segmentos DE y PG difiede ru únicamente por una constante, se escribe
r¡ 'f 2xp : P-.::o que
constante
sólo una de l¿s dos cooldenadas
l¡
y f,B Pueden elegjrse .le
-:-r-era arbitraria, se afirma que el sistema que
se presenta en la figu:= I X-5 tiene an gra da de libertad. De la relación entre las coordenadas i. :.rsición ,t-1 I' r¿ se deduce que xa plesenta un inclemento A r¡. esto bloqu" ¡ desciende.un¿ canlidad Ax 1. la coordenada.16 recihi-,iel :, ii¡ irr( rernento A.r, = -16t.. En otras palabtas. cl bloque B ascen l¿rá l¿ nitad de la misma cantidad; lo anierior puede veri{icarse con ::riiidad de modo directo de la figura 11.8.
Figura 11.9
En el caso de los tres bloques de la ffgura 11.9, se puede observar de nuelo que la longitud de la cuerda que pasa por las poleas es const¿uite r'. en consecuencia, las coordenadas de posición de los tres blo,¡ue: deben satisftrcer la siguienle relucicin: 2r.A
+ 2tB + rc :
constante
Puesto que es posible elegir de marlera arbitraria dos de las coordenados. re afirnra qu. el sistema tlue se muesLr¡ en la figura I 1.9 tiene ¡los orndo< de I ibertad. Cuando la lelación que existe entre las coordenadas de posición de larias partículas es línaal, se cunrple una relación similar eltre las velocidades y entre las aceleraciones de las paftículas. En el caso de los bloques de la figula 11.9, por ejemplo, se diferencia dos veces la ecuación obtenida y se escribe
a1t.: .rk^ -dt * rtl:;a -¿t * lt o dr- du. 2 d;+;:t)
,,
2ua!Zxsior:g
o
2a¿*2asta.:g
-1..
F¡gura I1.8
partículas 619
PROBLEMA RESUELTO 11.4 Una pelota se lanza verticalnente hacia a¡¡iba desde una altu¡a de 12 met¡os en el pozo de un elevador con una velocidad inicial de 18 m/s. En el mismo instante un elevador de plataforma abierta pasa por el nivel de 5 m, moviéndose hacia arriba con una velocidad constante de 2 m/s. Determine a) cuándo y dónde golpea al elevador, b) la velocidad ¡elativa de la pelota con respecto al elevador cuando ésta Io golpea.
SOLUCIÓN
ri¡ = 16 rrtÁ
t=0 ¿ = -9.31 u/s2
Moümiento de la pelota. Puesto que la pelota tiene una aceleración constante, su nrovimientó es uniformelnente acebrada. AI colocar el origen de O del eie ¡r a nivel del suelo, es decir su di¡ección positiva hacia arriba, enconlramó, que Ia posi.icirr irricial es yo -' l2 m. Ia relocidad in¡cial corresponde aof : f 18 m/s, y la aceleración equivale a¿: -98i- m'/s' Sustituiendo estos valores en las ecuaciones Pam movimiento uniformemente acelerado, se escribe
o6:18 98lt ye:
9o=12nr
yo + ost +
f,atz
VB
:
12
+
18¿
-
(1)
(2)
4 905t'z
Movimiento del clevador. Puesto que el elevador tiene una velocidad constante, su moümiento es ü nfurme. N 'tbicar el origen O en el nivel del suelo y elegir la ürección positiva hacia a¡riba, se obsewa que y¡ = *5 m y se escribe t¿
:
(3)
12 nls
yE= Yo+ DEt La pelota golpea el elev¿dor.
IJE
(4)
=5+
Se usaton el mismo tiempo f y el eiscribir las ecuaciones de moür¡iento tanto de la-pelota como del éle",ador Se obserwa en la figura que cuando la pelota golpea el
mismo o^rigen O
á
elevador,
YE:
(5)
YB
Al sustituir para ye y y¡ en (2) y (4) en (5),
se
tiene
5+2t=L2+l8t-4.905f f = _0.39s y
f=
3.65
s {
t : 3.65 s corresponde a un tiempo después de que se ha iniciado el moümiento. Al sustitut este valor en (4), se obtiene
Sólo la raíz
y¡:5+2(3.65):12.30m Elev¿ición desdc el suek¡
:
19 30
n {
La velocidad ¡elativa de la pelota con respecto al elevado¡ es
aB/E:1)B
-
ou
=
(18
-
9.81,
- 2 = 16 -
Cuando la pelota golpea al elevador en el tiemPo
opp = 16 -
9 81(3
65)
El signo negatívo signi{ica que desde el elevador mueie en el sentido negaüvo (hacia abajo)
620
f=
9.81¿
3 65 s, se tiene
o¡l¿ = -19 81
r¡/s {
se obsewa que la pelota se
PROBLEMA RESUELTO 11.5 El collarín A y el bloque B están conectados por medic, .le un cable que Dasa por tres poleas C, D y E, como se indica. Les poleas C y E se m,rntie,ren iiius, en_ta¡to que B está unida a un collarin que se jala hacia :rbaio con una r elo, cidad constante de 3 in./s. En l: 0, el A empieza a moverse hacia "utlo.in abajo desde la posición K con una aceleraciór constan'te y sin velocidacl inicial. Si se srüe que la velocidad del coll¿nn A es I I in./s cú¡¡clo ésie p¿rs¿ oo¡ "1 purrlo L. dctenrirc el , arnbi,¡ de l, elprr¡, iór,',, relo,.idrJ r 1o.,.-'l.r,,cion del bloque B cr¿¡ndo el colla¡í¡ A pasa por L.
soLUctÓN Nlovirnient<¡ dcl collar-ín A. Se sitú.r el or-igen O clr lir superlieie ho fizontal supeúor y_se elige l:r direcciúrr positiva lL¿rcia lbqo. Se tlbsen.r rlucr uantlo / - 0. eJ cullrrrir A.str cr l. po.irió¡ A n - 0. puFjto,trp, \ l2in..\r\ '.t1',.-- \ irr.. cuanJo.l ,.ollarin l,,, p:rsaporL rc t-s,.riú,.
oi :
(on)f;
+
[r,1 (ra)¡] - (12)::0 ¿?,{ = 9 irr_/s-
2a.
El tienpo en el cual el collafn A ¿r
:
¿ cance
el punto
t
+
2¿,r(8)
se obtier.re al
¿rAf 12:0 + 9f f = 1.333 s de Ia polea D, Recordando que la direcci(i¡ (t,,!)0
+
,haciaNl()vimiento abajo, se escribe nu-tt ril
"
rl
li
i¡
.l
t
\'¡ -/¡o\,, I u",/ - .rii,),, ,
rD-iin..\
Cuando el collarín A
D
|
',,
=
't
u'"
positiva es 3/
JJega a L, en I : 1.333 s, se tiene r:D : (riD)o + 3(1.383) : (rr)u + 4
r¡-(:r¡1,={i¡.
En consecuencia,
¡.
esc¡ibir
, . Nlr¡virniento dcl bloquc B. Hay que observar que la longitucl tot:rl del cable ACDEB difie¡e cle la ca¡tid;rj (.i + t,r., + _ru) sólo oo..,nn "n,,r_ tánte. Puesto que la longitud deJ c¿blr es constante dur¿nte ei rroürniento, est¿_cantid¡d trrnhién del,e pemtanecer constante_ De tal modo, consiclerando Inr fiornfos i - 01 I - LJ33 s. :e rs,.rihe r,\ + 2\D + rB : (r.4)o + 2(rrr)u + (ru)o Ito - ("o)ul + 2[¡o - (ro)rJ + l.-¡] - (...B)01 :0 Sirr nmbalgo \csj¡bFquer'4 estos \ ¿llores en (11. se obtieDe B
De tal
+ 2(4) +
lr¡
¡todo:
-
rA,,,-qi¡.\ \./, ,t¡, ,-4
(r¡)¡l
:0
El crLr¡bio
r¡
(1)
(2) in.: al .ustit¡rir
(r¡). = -16 in. r:t¡ l¡ r:ier¡ci
-
j¡.l {
Al_diferenciar (1) dos veces, se obtienen ecuaciones que relacionan las velo cidaJes ¡ l.rs ¿celrr.rciones de A. B y D. Al sustjtui¡ üs velocidacles ¿cele_ v 'acione. de 4 ) D en i - l. i33. sc tirne
r^+
2aD + 1)R=
O
12 + 2(3) +
on:
Q
o¡ = -18 ir./s aA+
2.rD
+
ats=0. I
+ 2(0) +¿B =
r:7;
=
1,3 irr./s
| {
2,,
:
9l¡.rs:
I I
0
ax: -9 tt¡./s2
621
',.-
¿
q
En esta lección se obtur.ierol l¿s ecuaciones que describen el nu¡aintientt¡ rectiLíneo mífonne (velocidad colstante) y elntoaintie'nto n:ctilínett unifttnnentente ru:ektracl¡t (aceleración constante). T¿mbién se presentó el concepto de nu¡uiutíento relatírt¡ Las ecuaciones para el novimiento relativo lecuaciones (119) a (I1.I1)] pueden apli carse ¿r los niovimientos independientes o dcpendientes tle cualcsc¡uiern de las partícr ¿s que se mueven a lo Jargo de Ia ntisrna rect¿l. Xlot:itnienl¡¡ inclependíente da unu o nuis purlículus, Ln solución de plo blemas de este tipo debe or'Élrurizarse del t¡odo sigtriente:
A.
lct soluciótt list¿ldo l¿r infbrmación proporcior.rada, elabonindo un clibujo del sister.na y seleccionando el origen v la dirección positivrr del cje de coordenaáas fproblema re¡ruelto 11.4]. Siernpre es ventaja tenel una represenlrción visrral
l. lniciur
de problerlias dc este tipo.
los et:uttt:iones que desc bel los t.r.roümicltos cle lns diversas ptutículiis,:tsí conto irqucllas r¡e deicriben cómo sc relaciollan estos mor'itlientos lecltirción (51 del problerlir resuelto 11.41.
2. Itscril¡ir
:).
es, espccifique e) cst.rdo del sistdna co0. Esto es en especial irlrport¿nte si los movimientos de las par tícuias se inician en liempos difercnies. En talcs casos, es posible recuuir a cu¿rles quiera de los dos enfoques.
De.fitrir ltts c¡nxliL'i¡¡tes irricinles' esto
Irespondiente a
f:
¿¡) Sea ú : 0 el tiempo cnando las partícultrs empiezan a lttovcrse. Se debe determiD¿u entonces la posición inicial r¡ y la velocidad inicitrl o¡ tle r:ada rrnir de las denás partículas.
D) Sea f : 0 el tiempo en el rpe ernPieza a moverse 1a primera partícula. Eu ese caso, en cada ¡rn¿ de l¿s ecuaciones rlue desciben el movimicnto de otra partícr a, se reemplaza f por f f¡, clonde t0 es el tiemPo en el cual esa partícula cspecífica en,piezJa noverse. Es impoftante leconocel rlue las ecuaciones que se obtielel de est¿ rn¿rrela sólo sou válidas p¿r¿r f > /o.
622
B.
Morimiento depend.iente cle cl¡,x o mas partiulas. En proble:nas de este tipo las partículas del sistema están conectedls entre si. por Io general medi¿nte cuerd¿s o cables. El niétodo de soluciórr de estos problenrai es similar al del grupo de problerLras precede'te. s.ho que en este caso no será ¡recesario describir ias ion¿:r--i¿ln¿s fsrr¿s entre las particulas.- En Jos siguientes problemas, l¿r conexión la proporciona unr¡ o más cables. P¿ra cada cable se tendrán que escúbir ecuzrciones siinilalres ¿r l¿s últimas tles ecuaciones de la sección 11.6. Se sugiere eJ sigrúente procedirriento:
7.
IIq.cer un bosquejo clel sistemq y seleccionar urr sistema de coordenadas, in dic¿rdo de manera clara el sentido positivo p¿ra c¿da uno de los ejes coordenados.
lI.5las longitudes se miden liacia abajo a p¿rsoporte holizontal De tal modo, se concluye que estos d"rplLo_superior'. mientos, velocidades y aceler acioncs. los cu¿les tienen v¡lores poiitilror, están áirigidos hacin abajo. Porejen.rplo, en el proble"ma r.esuelto
lir del
2. Escribir
Ia ecuación que describe la repreüón impuesta por cada cable sobre el movimiento de las paftículas implicadas. Al difér-enciar doi veces esta ecuación, se obtendrán l¿s rel¿rciones cor.respondientes entr.e velocidades y aceleraciones.
3,
Si r¡cri¡¡s clirecciones rle mor¡imiento eskin implicatlas, se debe seleccionar.
un eje de coordenirdas y ul sentido positivo par¿ cada un¿ de est¿rs direcciones. T¿mbiél se debe irrtentar ubicar los orígenes de sus ejes de coordenadas, de modo que las ecuaciones de lestñcciones sean lo más sinplei posible. por ejemplo, en el pioblena resuelto I1.5 es nás fácil definir las di.,.-rsas coorden,¡dm. niiciéndolas b'acia abajo desde el soporte superior., que hacerlo haci¿r arriba desde el soporte inferior
Por úl.tím.o, se ¿ebe rec¡¡rdqr que el n.rétodo de análisis que se describe en esta lección y l¿rs ecu¿rciones corr.espondientes únic¿unelte pued-en utiliztrrse para partículas que se lrueven con tnoDínliento rectílíneo ttnífoinrc o unifonnemeltte aóelerado.
623
11.35 A una vagoneta se le pmeban Ja aceleración y los fienos. En la prirnera prueba de aceler¿ción en l¿i c¿rlle, tlanscurrió un tiempo de 8.2 s para lograr un incremento de velocidad desde I0 km/h hast¿r I00 kr¡/h. En la pmeba de fienos, la vagoneta lecorrió u¡a distancia de 44 m du¡¿mte el frenado desde 100 kr¡,/h hast¿ cero. Si se suponen valores constantes para la acele¡ación y la desaceleración, dete¡mine a) la áceleración dur:rnte la priner¿r pn¡eba en la calle, ü) la desaceleración durante la prueba de frcnos.
Figura Pl'f .35 y P1'1.36
11,36 En el problena 11.35, deternine ¿l) Ia distancia recorida durante la prueba de aceleración en la calle, b) el tiempo trunscurido durante la pmeba cle frenos, 11 .37 Un aüón inicia su despegue en A con velocidad 0 \' ¿celeración constante c. Si elnpiez:r a volar 30 s después en B v 1¿r dist¿rncia AB es de 2 700 ft, dete¡lrine ¿) la acelelación a, ó) la velocid:rd de despegue o¡.
F¡gura P11-37
11.38 Al lado de ¿utopistas molt¿ñosas se colstluven rampas de seguridad para perl, itir que los vehículos cou fienos defectuosos frenen de manera segur¿. Un tractoc¿mión entla a una ramp:r de 750 fi a ula alta velocidad o¡ y lecorre 540 ft en 6 s con des¿celeración constdlte ¿ntes de que su lapidez se red\vat a aof2. Suponiendo la misnra desaceleración constante, deterrine a) el tiempo adicionnl requerido pala que el tractocamión se detenga, b) la distancia adicional recorrida por el tractocamión.
Figura Pí1.38
624
11
,39 E¡ u¡a c¿r'rer'¿r de 400 n-i. un ¿tleta aceler¿¡ de modo
Probremas
unilon¡e
d'rr¡nte los ptin-ieros 130 rn y luego corre a velocidad co¡sta¡te. Si el tiempo :ieL atleta pala los primeros 130 m es de 25 s, detet-rnine a) su aceleración, :, .rr relocidacl fin:rl, c) el tiempo ell que cotnpJeta la carrera.
,40
UrL grtrpo de estudiantes l¡lza un cc¡hete ¿ escala en di¡ección Con base en los datos registrados, detennilan que la altitud de] co : ¡t., lire de 27.5 m en Li pnrte final clel vuelo, cuanclo arín tenía in-tpulso, y i:. ¿ltenjz¿ 16 s después. Si el pnmcaídas de descenso no pudo türir y el - hete clescendió en c¡íd¿ libre hasta el srrelo despucs .1" alc¿rnz¡r ll rLltrrr¿r :r -i\iura. \ srlponienclo que g : 9.lJl rrr/s2, deterrnire n1 h vclociü.id u¡ deJ - ,!,ete ,rl finil del melo con impulso, ü) la altu¡¿r máxima alc¿rnz¿ida 1
.
1
-nt¡il.
2i.5 m I
11 .41 Un attomóül A sale desde O y aceJet'ir a trzól colst¿rnte de ,.;5 nts¿. En poco tieúpo, se encuent¡a i¡l autobris B que se desplaza en 1.r -iifcc.iór opuest¿r ¿r velocidad const:rnte de 6 m,¿s. Si el autobús B pas:r por
.1 pLrnto
,
O10
s después que el autornt'¡vil
A salió de ¿hí, detenr.iine cuándo
clr'¡rcle se encontr-¿riln estos vebículos.
Figura P11.41 Los automóriles A y li viai¿rn en caniles :rdyacentes de una ca0 tienen Jas posiciones ¡ v.l,r.id¿rdes qrt indica la figura. Si el arrkr¡rór'il A tiene acele¡¿rción coDst¡nte llc U.6 ¡r/sr v B tiene rlrLx dL-sa (- "r.r idrr ¡on.l¡nte de U.4 rn sj. Jelelrnjn, ,r , 'rlndo j ,lti'de { alc:,r,¿ar:i ¡ B. l:¡) l¿i velocid¿d cle cad¿r ¿urtonór.il en ese üolnento.
11.42
¡Tetela v en
t=
i,
\rr =
l5lir¡r
rL
71\,
=
ir] lnr'/lr
Figura P11,42
'¿-
.i:¿:__
1L43 En un¿ disputada carrerlr de ci[los tiraclos por caballos, el cabalb 2 r'ebasa al caballo I en el punto A, donde las dos velocidades sort o2 : 21 1'Vs v o¡ :20.4 fVs. El cab¿llo l pasa después al cab¿rllo 2 en el punto B v se e¡flla a garal la carrera eD el punto C, a 1200 ft de A. Los tieüPos transcun'idos de A a C para el c:rballo 1 y el cab:illo 2 son, resPectivamente,
:
:
1r 61.5 s \'¿2 62.0 s. Si se supo¡el ¿rceleraciones unifonnes Pilra ar]lbos caballos entle A -v C, detenrire a) la distancla desde A hasta B, ó) la posición del c¿l¡allo I en ¡el¿rción con el c¿üallo 2 cuando el caballo 1 alcanza la lí¡e¿r de rnet¡ C.
Figura Pl l.43
Figuta Pl 1 ,40
625
11.44 En una
exhibición de fuegos aftiffciales se lanzan dos cohetes. la¡za con velocidad inicial o0 y el cohete B, 4 s después, con la misma velocidad inicial. Los dos cohetes están programados para explotar de manera simultánea a una altula de 240 ft. cuando A desciende y B asciende. Considerando una acele¡ación constante g = 322 fL/sz. detelrlline a) Ia velocidad inicial os, b) la velocidad de B en ¡elación con A al momento
El cohete A
se
de la erplosión.
11,45 En
una carrera de botes, el bote A está 38 m por delante del vi¿j¿m con raPidez constante de 168 kr¡/h. : 0, los botes aceleran ¿ razones constantes. Si cuando B rebasa a A, s yo¡ = 228km/h, determine o) la aceleración deA, b) la acele¡ación
bote B y ambas er¡barcaciones En
f
f :8 de 8.
F¡gura P11,44
11 .46 El automóül A está estacionado en el carril de una autopista con di¡ección norte, y el automóvil B viaja a una'velocidad constante de 96 knr,4r en el car¡il que va en ürección su¡. Eü f : 0, A enlPieza a acelerar ¿ razón constante dá aa, rrientns que en I : 5 s, B erirpieza a fi'enar con desaceleración constante de magnitud n¡/6 Si ;u = 90 m y o¡ = oB, cuando los automóüles pasan uno al ladó del otro, determine ¿) la ¿rceleración ¿¡, b) el momento eJque los vehículos pasan uno al lado del otro, c) la dist¿ncia entre los automóviles en f : 0.
A(L\)o=0
Figura Pl l.46
I l.4Z Dos automóviles A y B que se desplazan en la misma dirección' sobre car¡iles adyacentes, se detienen ante ul semáforo Cuando el semá foro se pone en verde, el automóül A acelera a ¡azón constante de 6.5 fVs2 Dos .egundos después. el autornóül B PrnPie¿a t nroverse ) acelcra a razon const¡nite de I 1.7 lvs). Deterrnine a) cuándo y dónde B alcanza¡á a A. b'la velocidad de cada autonóül en ese rrromento.
11,48
Dos automóüles A y B se aproximan uno al otro en los carriles de una ¿utopista. En t : 0, A y B están a 0.62 mi de distanciaadyacentes sus velocidades son oo : 68 millt y as = 39 mi,&, y se encuentran en los pu¡tos P y 8, respectivarnente. Si A pasa por el punto Q 40 s después que B estuvo ahí, y B pasa por el punto P 42 s después que A, determine a) las acele¡aciones u¡ifórmes de Ay B,b) en qué momento pasan Jos vehículos uno al lado del otro, c) la velocidad de B en ese momento.
Figuta
P1
1
.48
11
.49
El bloque A se r¡ueve hacia abajo a velocidad colstaute de
1
Problemas
627
ln s, Determine ¿) l'a velocidad del bloque C, b) la velocidad del collarÍn B en relaciór't con bloq.,e A, c) la velocidad relativa de la porción D del ca"i ble respecto al bloque A.
Figura P11.49 y P'l1.50
C inicia su rnoümiento desde el reposo y descierde con aceleración conitante. Si después que el bloque A se h0 movido 0 5 n su velocidad es de 0.2 m/s, determine ai las acele¡aciones de A y C. b ) Ia velocidad y el cambio en la posición del bloque B después de 2 s'
11.50 El bloque
abajo a velocidad constante de 2 A, ü) del bloque D' del bloque vilocidad a) la ft/s. Determine 1
1,51 El bloque C se mueve hacia
Figura P1l.5l y P11.52
1
1.52
El bloque C inicia su moün'¡iento desde el reposo y
se
mueve
hacia abaio con aceieración constante. Si después de 5 s la velocidad del bloque A en relación con el bloque D es de 8 fVs, deterrnine la aceleración a, d"l bloqu" C. ór del tlamo E del cable
L
)
628
cinemática de Particulas
11.53 En la posición que se muestra' el collarín B se mueve hacia la izouierda con veiocidad cónstante de 300 mm/s. Determine a) la velocidad del collarí¡ A, b) la velocidad del tramo C del cable, c) Ia velocidad relativa del tramo C del cable respecto al collarín B
F¡gura Ptl.53 Y P'l1.54
11.54 El collarín A empieza a moverse desde el reposo y.se desplaza a""le.aáón constante. Si después de 8 s Ia velocidad hacia la derecha "on ,"l"ti r" d"l colla¡ín B resPecto al collaín A es de 610 mnVs, determine oj i", u""l".o"ion"t de A i B, b) la velocidad y el cambio en la posición de B después de 6 s. mostrado en la figura. el bloque deslizante B se constánte y su velocidad es de-6 in /s. aceleración mueve hacia la derecha con lra movido l0 in hacia la der"cha A se deslizante bloque el ii á"-.,¿t oue ." t"tá"i¿"a'"t de 2.4'in./s, deternine a) la acele¡ación de A y B, b) la aceiou"i¿" ¿"t tt"-o p del cable, c) la velocidad y el cambio en la posición del bloque deslizante B luego de 4 s
11.55 En el instante
Figuia P|1.55 Y Pl1.56
11.56 El bloque deslizante B se mueve hacia la derecha a velocidad d" 12 inis Determine a) la velocidad del bloque dgsllz?nt: A'
"onri* il-i^l"f*¿"Já"f ¿i i,
""io"ia"¿
,¡amo C del cable, c) la velocidad del tramo D del cable' t"f"tiva del tramo C del cable respecto al bloque deslizante A
veEl bloque deslizante B se mueve hacia la izquierda con una h¿cia mueve A se deslizante bloque 0, el ¿ Cuando = mm/s'. locidad áe 50 f 2s aceleración constante y velocidad de 100 mm'/s Si en = i^ J"re"tt" "on determine de¡echa Ia lracia mm bioqu" d"rlirunl" C se ha movido 40 "i ,l r" "ii."ñ"J ¿J ¡loque deslizante C en r : 0, b) Ia velocidad del tramo D del cable.¡ r = 0, c7 las aceleraciones de A y C
11,57
deslizante A empieza su movimiento¡on velocidad El inicirl en / - 0 1 aieleracicin constanl; de 2'.,0 mtnls hacia !a derecha hacia la de/ Q1 5e-muere en reposo = d"td" ini"i" c üii""" +tl't*É "l Si en ¡ = 2 los r eiocidades respectiras de ;#;;;*b;;¿n ' "on't"nt" J;;t0 fus hacia la de¡echa v de 30 mm/s hacia Ia izquierda' ;;; i.í.t-t"" rif" *"ieruciótt de ¡, b) Ias veiocidades iniciales de A y B' c) la velocidad inicial del t¡amo E del cable
11.58 EI bloque
Figura Pil.57 Y Pi1.58
t
11
,59
El collafn A inicia su movinriento desde el rePoso en
t:
0y
se ¡uueve hacia a¡riba con aceleración constante de 3 6 in /sj ín se mueve hacia abajo con velocidad constante de 18 in/s, determine a el tiempo en que la vélocidad del bloque C es cero, b) la posición co
Si el colla-
I
rrespondiente del bloque C.
Figura P11.59 Y P11'60
Los collarines A y B inician su moümiento desde el reposo y aceletaciones: a^=25t lÍt /s2 hacia- arriba en que la velocidad del ',1¿" : t5 ln.,ls! hacia a'baio. Determine a) el tiempo la cual se hab¡á mopor la distancia b) blo-,loe C es de nuevo igual a cero' tienlpo. ese du¡ante C rido el bloque 1
1.60
s" -r"",un con las siguienteí
l,6l
su movimiento desde el reposo constante Si Ia aceleración recon acele¡ación mueve r cacla comoonente iot." a"t Uioqu" C resPecto al rollarín B es dc 120 mmrs2.hacia arriba v I¡ acele¡ación re'lativa deibloque D respecto al bloque A es de 220 mm'/s'hat ia abaio. delerrnine ¿ ' l¡ v"tocidad del blor¡ue C después de 6 s b\elcambio en la posición del bloque D luego de l0 s
I
El sistema que se muestra inicia se
Figúra P11'61 Y P11'62 que se muestra empieza su movimiento desde el reposo y la Iongitud del coidón superior s9 ajusta de nanera que A, B y C se -encuéni¡en inicialmente al mismo nivel. Cada componente se mueve con acele¡ación constante. Sabiendo que; cua¡do la velocidad ¡efativa del collaín B respecto al bloque A es de 40 mnvs hacia abajo. los desPluamientos de .t ' B son, r.rpeát ivamon te. de 80 y 160 mm hacia abajo. determine ¿ Ias á".l.ra.ionos de A ¡ B. b, el cambioen laposición del bloque D cuando la relocidad del bloque C es de 300 mm/s hacia ar¡iba.
*11,62 El sistema
Problemas
629
-11,7. SOLUCIóN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE MOVIMIENTO RECTILíNEO
Cjnemática de particutas
En la sección 11.2 se obserwó que las fó¡lnulas fundarnentales d.r
Ev
dn
dt
tienen un significado geométrico. La primera fórmula erqtresa oue Ia velocidad en cualquiei instante es iguil a la perdiente de'la c.,ria r-¿ en el mismo instaDte (figura 11.10). La segu;da indica que la aceler¿r_
,L
Flgura l1.l0
ción es igual a la pendiente de la curva u-¡. Estas dos propiedades pue_ den.utilizarse para determinar de mane¡a gráffca la's cu*"s de J-r y ¿-f de un movimiento cuando se conoce la cirrva r-t. las dos fórrrulas fundamentales desde el tiempo f1 ,hastaAl.integrar el tiempo f2 se escribe
r"-.r'1 |ft udr y
f' r"-,..=laú Jt
{tt.12)
La primera lórrnula erpresa que el área meclda baio Ia curva uJ desde hasla.t,¡ es igual al carnbio en r durante ese intervalo dc dempo r figu.
t¡
ra 11.11). De manera simila¡ la segunda fónnula e{ores¿ quá el área medida bajo la cun'a a-r desde t1 hasta t2 es igual al camblo e'n u d.,.ante ese intendo de fiempo. Est¿s dos propiedad.s pueden utilizarse para determinar de manera gráfica la cun¡ de movimjento r_l cuando se conoce su culva rr-t o su curva ¿-t (véase el pr-oblema lI 6).
Las soluciones gráficas resultan en particular útiles cuando el movimiento que se considera se deffne a parür de datos e,,perimenta_ les y cuando x. r y lt no son funciones an"jí1i"", de L Tirnbién es oosi_ ble utilizarlas de rnanera venlaiosít cu¿ndo el rrovimiento consta dÉ dis_ tintas paftes, y cuando su análisis requiere escribir una ecuación diferenle para cada una de sus parles, Sin ernbargo. al uti[i¿ar una solución grdfica_ debe lenersc el cujdrdo de notar qu-e ll el árer bajo Ia cuna
o-t rnide el cambio en r, no la r misma, y deia misma forrnu. á.,e el á."u bajola curwa a-f mide el cal.rbio ,,'2) on área sobre el qá t corres_ ponde a tt incremento enr o r, "n en tanto que un área ubicada debajo del eje t mide un decremento en x. o a. . Se_rá_ útil recordar al dibujar las cunas de movimiento que si la
Figura
1'1.11
velocidad es conslante. se representa:.á mediante una linea recta hori zontal: la coordenada de posición r será entonces una función lineal de t y se representará por medio de una línea ¡ecta oblicua. Si la acelera_ ción es constante y diferente de cero, se representará mediante una Iínea recta horizoial; o será en ese ca* .,nn i.,."i¿o hná;;;, ;dr"
como un poli-=:rd¿ por una línea recta oblicua, y x se expresará Si I¡r parábola por una :r::-', de >equndo grado en /. reprc;entado la coordenadr velocidad y l. la ¡-¡-cr¿t ión Á una iunción lineal-de
11.8. Otros métodos
sráfl"* 631
i so:ición serán iguales, respectivamente, a polinomios de segundo y :-ier q.ados, a sJ rep.esentará entonces meüante una línea recta
una parábola y .t Por una función cúbica En .:,--<..¡l- siia aceleración es ui polinomio de grado n en f. le velocidad 1y la coo.denadr de posición un poliile glado n -:i,:rr polinornio se representan mediante curqrado 2; estos polinomios n ,-: r:ic' de correspondiente, un grado , de ie noüniento
:iji"¡¿
r-
por nedio
di
f
*
-.
--11.8. OTBOS MÉTODOS GRÁFICOS
F¡¡a detendnar Ia posición de una partrcula en un instante dado a par:: ,lrectamelte dJ la cuwa ¿-t p.rád" e-pl""ts": una solución gráfica i:.m¿ür'¿. -{ denotal los valores de r y D en ¿ 0 colro :ro y u¡ y sus -';i¡¡es en f : tr col¡o xr y lrr y obsen ar que es posible di"iür el área i¿ir la cun'a o-f en un rectángu1ó de área Dofl y elell]entos diferencia;: horizontales de área (t 1- r) du (figura 11.12a), se escribe
' - r,r: drea b,rjo la cuna u-f lnt¡ + f 'r., t) dt) ,ll .ustituir dr, : ¿ dt en la integral, se obtiene rr
I
_t_______ I 1
I I
rr .\'o,d,- [' tt|- l\odt -t: reterirse a la figura 11.12b), se advierte que la integral representa ;i primer rnoto"oó del área bajo la curva ¿-f con respecto a la línea . :'i, qu" limita el área de l¿ dérecha. En consecuencia, este método .{¿ w,lución se conoce con.ro el n¡áro do del nomento-óre¿ Si se conoce
ir /-
¡-l--, I
l¿ abscis¿i del centroide C del área, Ia cooldenada de posición t1 puede
.rbtenerse al escribir 11
:
r:6
*
Dofl
*
(área bajo Ia cuwa ¿-¿)(¿r
* i)
(I1
13)
>i el área bajo la curva ¿-, es un área compuesta, es posible obtener el ¡ltimo téri.nino en (11.13) al multiplicar cada área componente por l¡ dist¿ncia desde su centroide h¿sta Ia líne¿ ¿ : f1. Las áreas sobre el eje ¡ deben consideralse como positivas y 1as ríreas por debajo del eje
i
t b)
Figura 11.12
Éoüro negativas.
Otro ü'po de curva de r.i'iovin'liento, la curwa o-r' se utiliza en al-
clrs {-r¡nas ocasiones. Si se ha graficado una curva de estas caracterís
teur¿ 11.I3), se puede obtener la aceleración a en cualquie-r tien.tpo dibui¿ndo l¿ norm¿r] AC de la curwa v mídientlo la subnormal BC En l,¡alirtail ¿l obsewar que el ángulo eirtre AC y AB es igual al ángulo 0 entre el hoúzontal y la t¿ngente en A (cuya pendiente es t¿n 0 :
dr
d-t - se escribe
BC:ABtrn0- u4,u a\ r
i).
en consecuencia. de la fórmula (11.4),
BC:a Figura 11.13
I
..-v' ¿7
PROBLEMA RESUELTO 11.6 Un vasón cle tr¿rlsDorte subterríneo sale de la estación A; aumenta sú velo-
-
l
rur¿n,1" q
it,.'
durrnt"
6
s
I
tlespuÉs a razón de 6
lu'
hasta r¡ue llega
"ido.l a la velocidad tle 48 fVs. El vagón mantiene la r¡isma lelocidad hasta que se aproxima a la estación B; en esle momento se aplican los fienos, impütiéDdo-
sále al vagón una desacele¡ación constante y provocando que se detenga en 6 s. El tiemipo de recorrjdo total desde A hasta B es de 40 s Dibujr hs curv'as a-f, o-f y;-f y determine la üstanci¿ ent:e las estaciones A y B
soLUctÓN Cun'¿ ¿rceler¿¡cirín-tiemPo. Puesto qtre la ¿ceieracjón es constirnte o cero, la curva ¿-¿ está conformida pol segrneltos de linea recta lLo¡izo¡tales
¿(fds2)
Los valores de {J
ú2
O. t / 6.
6
y ¿a se determinan de la maner¿ siguielte:
Cambio en D -
1
61
2
t '-t2:
0
-2
4
t2
-6 -8
úcr [,Ijo
la
|uñx a-l
ru 0- 6* 4lt s r--24
ftls
Puesto que la velocidad se incrementa de 24 a 48 fVs, ( rnrbio en r - irea baio la curra al 4cns 24 fUr - 1f¡ 6'16fi/s / -lOs Puesto que la velocidad es constante' la aceleración es celo Ca¡nbio' - rirea hajo la culva d-l -
0
48
ltr'-16''rl.,
a4-
8
fL"
Al ser negativa la aceleración, el á¡e¿ coÍesPondiente está Por debajo del eje f; esta áréa representa una disminución en la velocidad
Puesto que la aceleraciól es corlstante o por segrnerltos de línea recta que conec conformada cero, la curva o-f está tan los puntos determin¿dos antes
Curla velocidad-tiernpo.
t
r : área bajo la curwa o-1 *-o - 0:+(6)(24):72 ft rro -16: f,lt)lzt + +a¡ = vl' tt
Cambio en
0
<¡<6:
6<¿<
t0:
10
ú
<
40:
= (24)(48) : r152ft x4o r¡4: l(ox¿s) = t¿¿ rt
:r34
-
r1o
AI sumar Ios cambios en:r, se obtiene la distancia de A a B:
d:r¿o-0=1512ft
¿:
1512
ft
<
Culva posición-tiem¡ro. Los puntos determinados debot unirse mediante tres a-rcos de parábóla y un segrnento de línea recta. Al construir la curva r-1, se debe tener presente que para cualquier valor de ú la pendiente de Ia tangente a la curva r-f es igual al valor de o en ese instante.
632
lccci(lr (sccciones 117 v t1.8) se rt:r.isaror v tlesrulolllrro¡ \'¿r as ¿¿crl¡c¿ls ortilirtLs ottnt la st,[u,:iótt ,1" ¡,rui,[enws cle nu¡uinúr:tttt rectiliú'o Es posilllc utilizar ..i1' ,!.it."t f,tt., ..ro1."'' ¡rnhlotis direcl¿lmente o parit comple"'eni¡r nrétoclos \"€n crrn\c(\rentirl ulril clc solrrciól otl'"Iíti"o, al proliorciolar utl¿ clescripción \islri¡l rreior cornrroisicjn clel inor'irtri.llto clc un cuetpo clt:terllintrlo Sc sugiere dlbujar in á *ir llr.t.,,, de I rrovirr'lirr Lto p{rir va os dé Jos prcblerntrs de esta.lccclón' ',rr" si ristos rro sou p¿n-te tle la tarea migtrndr't'
E¡
est¿r
cluso
I. [)iltuit, '-. t;';i
¡lr tnrr.r-- r-1. r'-a r¡ rr-l t¡ , ,i'l,, r"f i'',li,
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Je ', 'hrciclu gliitieos r ri t, ,Jos'"1LJ;';
rr¡li. tiótt lr n<:l"los gnrli< o^-' I :rs siirrierr i"i" l l ; r rl'1" I 11a1'rllr.sF.rr:¡rrtlu 'o rrlili' crr
tt) Lus ltcntlic¡ttt ll.'f(¡s (.1?''Y,'- 't-' y iorrLlrs.r
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,
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lc,,tt'i",' rrr'IliFrrrfo/'
,t¡ Lq$úreas ba',iolrts cttr¡'as n-I r¡ r:-f entlc los tielnPos ¿r \'t2 son l.tlspectiv¿l , i trr"f ". '¡ ,,',rrí,1., l',r' l'tt' lo' iii ulr 'tl ''rrtrrbi" A¡ -rr l¡ 'oc'r''len'r'lr (lF l\osi'
i,ir' J'ri,,r'1,
rs.
,rrlcr'r Jo
,l- li' rrr¡o
c) Si t;e conoce ttntt bajo cttrt)(tli (le ¡t¡¡t.,imiettto' las plopic'dtrrl<:s funcl¿llrertp.l-t.,foa n ¡ /r ¡ctrnitit ur colstnut l¿s otr¿u clos ctrLt"t,,, i* ,". trrnt lcsunliclo "n"ln, trrnoccr' lti velo ,',rt. Si" .t"tt"tg", ¡rl usal l¿rs ¡,t'o¡i,",1.r,1'-t dcl p'i" ''fo b es I Lccesario rnl'u i'lrrl r Lr rLcLt lrr rrrrirr'rt ri'"'l'o/r l , i,l,r,l r Ia ..u,)ricrra,l'r,l- ¡,o*i' i.in -,' ' IJrrr''r resuclto 11'6' cl problerna er t¿rrlo I'or-io f2. .l tl"t.ttlru .,,r,¿, ,*¡" de ¡,,.iciól "i l¡ velocid¿rd err erc.ritr¡r pe'nritc ccro e*r t.láldad l¿ ;;"; Ñ ¡ r.al'or nricirrl de :24tVs : + ftls 0 2'1 ¡: 6 r, ¡,r - t¡ * Ao rlotnento flexio-
v Se h¡in estntliaclo plevi¿lnellte los cliagrallas cle ltrelza cortalte entlc l¿rs tr-es i¡rc cxiste l¿ ¿Dalogíir sc debeireconocelviga, y ura uante o flectol parir d" nurui,iti"lto .n lás ties ,liagralr¿ls (llle rcpl'es(lllt¿u r-espilcti\'¿ll[elltt: lir carga ill ¡nodo' tocl¿¡s ".,r.a, tlistribuicl¿r, l¿r f¡relz¿i cortaute ¡'' el ,iunelto 11t'"tór'ut una viga l)e aplicnlse ctr¿uclo se las técnic¿s relativas I la constrircción de estos cliagrartras pueden clibujen las cuwt¡s dc rrrovilnicnto
t' f no se rePl'esentül crr oc¿ierpcir'entales' r're.iio cle firneiorlcs ,r,t,,liti".,r,, cutL.clo sc b¿ts¿trt en dirtos eslir\ L rlll¡\' h:io rtl"t las irr¡' lj(rrrcs r. recc\rrio rrr'tt ln,i{odos.r|r'oritn $Irs ¡"rt:l t'r'' (rlrqulus ll rtr,"l'ct rl' le' rir C,' -.o. .,,t",. el ir', n rlr,l.t es ailroxilrr:rJrr ¡'o'i """ " ',le l:r pur ¡l rl''¡t irrlroclrrli'l'r ( r.Lr'tLr rrtis lreorlt tlo.' rt.l r,,lár d' l/ t'ri'lo trrlror 'eri:r r escribir (le ttbticnen st: qlnriu,",l,;t,i L,ir vel.,ti,Lcl r l.l coor(lel¿dl Insición r : r¡ i 2¡,,,,,,,, Al D - üe * )an.,,,, At
2. ¡o'
l')nrylco tlc meü¡tlt¡s uprorimttclrts (luanclo las cuñ'as
¿r-l )'
rlolcle ri,o,,, y ul,,,,n sol) l¡rs alturas cle urt lectálgulo de acelcraciritt v nn lectángulo dc velocitlatl,
resPÉrctivamente
bo,tüní(i)
633
3.
Aplicación del métod.o ilel momento-úrea. Esta técnica gráffca se emplea
cuando se proporciona la cuwa a-f y el cambio en la coordenada de posición se va a determinar. En la sección ll.8 se mostró que es posible erpresar la coordenada de posición 11 como 11
:
rs
*
oetl
*
(fuea bajo la curva ¿-¿)(¿r
-
f)
(r1.rs)
Hay que tener en cuenta que cuando e1 rárea bajo la curva ¿-f es un área compuesta, es necesario usar el mismo valor de f1 para calcular la contribución de cada una de las áreas componentes.
1, Detetzninación tle la acelerqción a par-tir ile la curuq lo-x, En la sección 11.8 ümos que es posible determinar la aceleración de una curya ü-r mediante me&ción directa. Sin embargo, es importante advertir que este método resulta aplicable sólo si se usa la misma escala lineal para los ejesoyr (por ejemplo, I in.:10 iiy 1in.: 10 fVs). Cuando no se satisface esta conüción, Ia aceleración puede aun determinarse de la ecuación
"-"
dD
d,
donde la pendiente d.o/dr se obtiene como sigue: primero se dibuja la tangente a la curva en el punto de interés. Después, mediante el empleo de las escalas apropiadas, se miden a lo largo de esa tangente incrementos correspondientes At y Ao. La pendiente deseada es i gtal ala nzón LofLx.
".53 - -- r-
Lna partícula se mueve en línea ¡ecta con acele¡ación constante
I du¡ante
6 s, con aceleración cero en los siguieútes 4 s, y corl ace-
- 1 : Jrnstante de *2 m,/s2 en los 4 s posteriol-es. Si la partícu)a inicia r:::: :. ]lgen \ su velocjdad es igual -4 n-i/s du¡ante el inteNalo de ace deter'::r. : -Ér¿.¿ colstruya las curv¿s u-ty:t-f Par'¿0 <¡< 14 s. b) recorricla total la disianci¿ y de Ja partrcula v velbcidad la :^ sición --. i - : 11s. =
-,
.¡
In/s2) 2 0 2
Figura P11.63 Y Pl l.64
'' ,64 Una patícula se mueve en línea recta con aceleración constante cero duraDte los siguientes 4 s, y - l:,sl d.r¡ante 6 s, con ¿celeración '::. :¡¿l¿¡ación constante de *2 m/s2 en los 4 s posteriores Sl la partícula r:::i:.r el origen con oo:8 nVs, a) construla las cun'a.s de 9+ y-t.' p"to = r 5 1l
:- :,:¡iá 1
s.
¿) dete¡mine la cantidad de tiemPo durante el cual la par-
¿ más de 8 m del origen.
1,65
Una partícula se r¡ueve en línea recta con la velocidad que in-
::= =:lgura. Si¡: 48ftenf :0, trace las cu¡,¡as ¿-¿ y ri-f para0<ú< de posición de la par= '..lJtemrine¿) el valo¡ nátimo de la coordenada a 108 ft del se encuentra la partícula los cuales \:üores de ú para :, -- ¿, los a-
-:-:.
r:
(ft^) 18
F¡gura P11.65
.,.
'11,66 Para la partícula y el movimiento del problema 11.65, giafíque ;,¡¡..as ¿ r v r+ pira 0 < f < 40 s, y determine ¿r) l¿ distanci¿ total reco0at 30 s, b) los dos vala pá.tí".tia durante el perioáo de f
,.-ü.o, :.. .1e r paia los cuales la partícula
:
:
pasa por el origen.
635
,1
f--
636
de una miquir u se recubre con Pjntlua e¡¿euna tlriÚa que se desplaz'tr a 12 tt en 20 s sobre rosol mientras se minta de 3 in /s y puede ¿lcelera$e ¿ una razón inicial velocidad ti""" tJ-r f,o ¿" 2 in./s2. Si el prt,oso de pirrfura reqrriere cle, l5 s Püa termi de'*i"¡n, na¡se v se llev¿r a cabo cua;do la t¿¡li¡l1a se rnueve a velocidad constante l¿ tarima de mí\im¿l velocidad l¿r cle posible pequeño ,",it rí" áf
11.67 El componente
clner¡áilca de Partículas
i"tn
"lot
ab¡e 11.68 Un paracaidjsta cae libremente a ¡'¿rzón de 180 fVs crrando (on'tllnte rápid" Je D|sprrés l't I900 de ) oaracricl.s a 'ln" 'rna "lruro 'u d,',r,tele¡trciún..l.s,i. r'd, r rarórr t onstdnie d" 44 lysd'sd" 1300 ll lraslr
fienar lún,r¡ás su iOO lt, d,rn,t" maniobla el piuacníclas cntre el vicnto para descendenteinsignjlic¿üte' \ elocida'l cor descenso. Si el par ac¿idist¿;teÍiza lrter'¡izirr después de abrir su pati",ttpo qo" requiere
I
á"i"rrni,t"
r; h"idtsacele¡aeicin inicial
Par¿r
rac¿ídas. b)
de un¿r es.69 Ur tren que üaja a 64 km/h se encuentra a 4 8 krrknVh cuando 32 de es su velocidad que d""ltndu á"rn"ei"ra tu"i¿n. iitr"n / 5 nl1n l'r cstacjon I llega se encuentr¿ ¿ 800 tr cle la estación Si el tren ons lelaciones de'iact \ sufoniPndo ' ;;";r ,,r" ernpie/¿ r l¡-cacelelirr' 11
tanior,
d.i.'
,,
'nit,e
;;i;;"b"iilJ ¡;i
el tiem¡o nece'rtri' ' ¡ilrr ' lue rc(-orri¡.los frirnPro( +Lm'
' i''en c.alndo llega a lo estación' c) l¡ desaceleraciól ffnal
constante del tre[.
l:_-"*.,-l
6l krr/lr Figu(a
P1
1
.68
Figura P11.69
I
11.70 En un¿ carrera' clos ptntos de verificrcj'jn A 1 B se ubicar soIrri Lo' lrrnilcs d' reloci bre lr rni\rnd dutofrl5tr curr unrr sc¡l|Jt ión 'le 8 \on rÉsPecli\arnerLte dc 60 ¿"i + l^" orit"" "'r 5 rni y de lar rilrirr"* 3 rni cn cadJ PUnlo de vel',i,4r r de i5 rnih. Lu: condrtctores Jel'en delen'rse con A los frrnlus ) B es d" I0 rn¡n ,iii.olión., tsl firrnpo esle( ilicado errrre cnns{itllt" dclerltuil rni5lna la ¿ \ des,,crlelr 20.. 5i Lrn conclrr, l,l ír(áleril *,rg"jr'J¿" su lceleracidn al desplnzarse el nayor tiempo posible r""i"" l"
en el lírrrit.j tle velocitlad
A
l-)
3 rni
rnr
Figura P11.70
11.71 En un:r pmeba realizacla en u¡ titnque de.agua Pan,la bota¿,r.. ¿. un n*u.oo ¡o,- ., e'url¡ la velocidad I'o¡zont¿l in¡'"i"I del ml'delo :$;a i;tJil"r"t-nJ¿n ¡.ti,.*or varí¿ linealmente desde -40 fvs2
a. 6.tt/s2 1 cl"'pues se rnantirrre iqual valor Lle /r' el detellnine ll '¡ lLiLsta uuc I - 1.4 s. Si u -- 6li;s trr.rndu / ¿ s 4 l -en lr7 I.' vllocidacl v Posicjdn del mr.,delo
:;; 1;;'l
¡ri
Figura P11.72
..' -...*
r*'-
--']
',
una c¿ure¡¿ de 1/4 r¡i. la co¡r'edt-'r¡ A alcanz¿r su velocidad veLocidad hista máxima o4 en 4 s con aceleraciól¡ const¿ttc y ll]dntiene es¿ lJ alcanz¿ srl con-edcJra La i5 s de tiem?o ul1 en que llega nl Punto rnedio esta ve.,'.elociclid míxlma oB en 5 s con aceleración const¿nte y lni¡útiene ¿tletas Anrbas 2 s cle 25 locirlad hasta Jlegir al punto meclio en t1n tie¡lPo pl¡¡ar'ión ds5¡1 con ld lnisma la
-L
:;'ñ,:'';',;
.72 E¡
I
¡
i
¡
I
1.73 U¡
¿rrtobris se encue¡trr est.¡cioniLrlo ¿l l.rLlo de una autot)ist¿ él lr' , i,',,;ón ,r \ elu jdril c.on:t¡r,tr rle 7l lr rL h. l)uj Lri : rios después, el ¿utoltÍts elrpieza ¿ r]rove$e l¡ aceler¿ hast¿ ¿Ilc¿¡nzi¡r- tüü -bciclacl de 100 km,4, l¿ crral rD.D.rticne p, ,steriulnlrute. Si 12 ninut(,s des_ - r-. r¡re el carlicin pasti al Lr,lu tlel ¿utobús éste se encuettr¿ a 1.2 l
: ,r,1,, I'as'L i'rn1,,' ir
Problemas
637
,.-¿nciLr tlel cJrridn, clctelmine,r) cuhndo v clóntle pasó el ¿rutobÍrs ¿l laclo l¿l canión. ó) Ja aceleración unili¡rme del autobris. '
11.74 Los autoñó\'iles A v B están separ¡clos
;.r rr r
por.
u¡a
clist¿rnci¡r
11
=
(o,)¡¡ : 32 lriel,,. Si l;. J, sn,re
se trusl¿d¿rn, r-espectivarnénte, :r velociáacles coirst¿ntes cle
. | ' ' /J - - 14 Lrr L :ol,r" un,.ar.iro crlricr{,, Jr ''r,rrclot r\ dl\li(.¡ l,^ lrcnur n.rrJ eütar,.hur.:u.c'n cl ¿utc¡ B nero ¿l¡. . rrrrnr .úril,: clrular. tjel, nlirrr ¿, l¡ tl -.:¡celera,.itir, ur ilnlrr. d, I auto .i. l l¿ r'elocidad ¡el¿tiva del autonci.,.il B cuaDdo sucede l:r colisirin
Figura P11.74 y P11.75
11.75 Los .¡rtor¡¡jrjles ¡\ ) B vinjan, respectjvarnette, con velociclacles :rst-lntrs tle lr'"),, = !2 ntr,A r (061, : 13 mi/h sobre tn c¿unitlo cubielto de : iclo. Pi¡¡ evitar- choc¿1r' con el irutornriril B, el co¡ducto¡ clel ¿utornrivil A ..:rlica sus frenos de ntanera que sll c.lt lo (lrsrceiera ¿ LlDa trs¡l constantc de j-1 fVs:. Deter-rnire la dista¡cia 11 e¡tre los autornóviies a l¿ cual el con I rrt,,r',11,e.4 debe .r¡rlical los i.eLr,-rs par.ir e_\/itiu ¿pen¿s el chor¡re con el au_
.
r
¡',ril ll
1.76
Un elev¿dor inicia desde el r.eposo v se rrueve h¿icj¡ arriba, ace_ ¡¿zón de 4 ltls2, hast:r que ¿lc¿rrzi Lrna r.elocjrlad tle 24 fils. la cual r ltlerc. Dos srAunrl ,s dr',,fués ,irre el elevaclor. entpiez¿ a rnoverse, Lin 'rrDre '|rr se encr¡eltra a 4l) lt por eDcin¿1 de la posició inicial clel ele - lol lar,Ta rrn.r fel,,ta luci.r.rrTil,.r con velocid¿rcl triicial cle 64 ft¡s. Deter_ :..¡le el üo ento en qre la pelota golpeará al elcvaclor 1
.:¿¡do
¿
Figura Pf 1.76
/-
't'1.77 Un
Cinemáijca de partículas
automóvil y un camión viajan a una velocidad constante de 54 km,/h; el automóvil está a 30 m por detrás del camión. El conducto¡ del auto quierc ¡ebasa¡ al camión, esto es, desea colocar su auto en B, 30 m por delante del camión, y después regresar a la velocidad de 54 km/h. La ¿celeración mádma del automóvil es de 9 m/s2 y la má¡ima desacele¡ación obtenida al aplicar los fienos es de B m/s2. ¿C;ál es el tiempo más corto en el que el conductor del automóvil puede completar la operación de ¡ebase si en ningrin momento sobrepasa la velocidad de 90 km/h? Trace l¿ cu¡va o-ú.
Figura P11.77
11.78 Resuelva el problema 11.77, suponiendo que el conductor del automóül no presta ninguna atención al límite de velocidad mientras rebasa y se concentra en alcanzar la posición B y volver a tomar la velocidad de 54 km,& en el menor tieD'ipo posible. ¿Curil es la máxima velocidad alcanzada? Trace la curua de o-ú. 11.79 Durante un proceso de manufactura, una banda transportadora empieza a move¡se desde el reposo y recoÍe un total de 0.36 m antes de quedar temporalmente en reposo. Si el tiún repenüno, o tasa de cambio en la aceleración, se limita a 11.5 rVs'zpor segundo, determine a) el tiempo más corto requerido para que Ia banda se mueva en 0.36 m, á) los valo¡es má{imo y promedio de velocidad de la banda durante ese tiempo. 1 1.80 En un aeropuerto, un tren de enlace viaja entre dos terminales que se encuentmn a 5 km de distancia. Pa¡a mantener el confort de los pasajeros, la aceleración del tren se limita a 11.25 m/s'. y el tirón repentino, o tasa de cambio en la aceleración, se Iimita a :t0.25 m/sr por segundo. Si el t¡en de enlace tiene una velocidad máxima de 32 km,4i, determine a) el tiempo más corto pam que se desplace entrc las dos terminales, b) su velocidad promeüo correspondiente.
? Pl1.81
f(s)
11.81 U¡ elevador inicia desde el reposo y asciende 40 m a su velocidad mátima en T s con el registro de acele¡ación que muestra Ia ffgura. Determine a) el tiempo requerido T, b) la velocidad máima, c) la velocidad y la posición del elerado¡ en I - ?2. 11.82 Ur registro de acelerómet¡o correspondiente a.l moümiento de cierta pieza de un mecanismo se aproxima mediante un arco de parábola durante 0.2 s y una línea recta por los siguientes 0.2 s, como inüca Ia ffgura. Si o : 0 cuando ¿ = 0 y r = 0.3 m cuando I : 0.4 s, a) construya la curva o-, para 0 f s 0.4 s, b) determine la posición de la pieza en
t:0.3syr:0.2s. =
alm/s2) B
0.4 i(s)
11.83
Se requieren dos segundos para dejar en reposo ei vástago de
un pistón neuüático; el registro de aceleración del vástago del pistón du ¡¿nte los 2 s es como indica la figura. Deteruine de mane¡a aproúmada a la velocidad inicial del vástago del pistón, b) la distancia recorrida por el
P,obem¿s
639
rástago del pistón antes de quedar en reposo.
-r
(ftlsr) 4.0 3.0
2.0
1.0
0
0 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5 1.7ó 2.0
¡ (s)
F¡gura P11.83
1.84
El registro de aceler-ación rnostrado por la figu¡a se obtuvo du rirnte las pruebas de velocidad de un automóvil cleportivo. Si el automóvil inicia desde e) reposo, determine de manera aproúmada a) la velocidad en i : B s, b) la clistanci¿ reco¡rida por el autonróüJ er I t 20 s. 1
¿
(fiÁr) 21
t8 t5 T2
I 6 3 0
0 9 4 6 8 10 12 14 16 18 90 22
fls)
Figura P11.84
11,85 Un avión de entrenamiento tiene una velocidad de 32 n/s cuando aterriza sobre un porlaaüones. Conforme el ütecanísmo de reten ción del carguero detiene al avión, se legistran la velocidad y la aceJeración de este último; los ¡esult¿dos se muestran en l¿r figura (curva continua). De ierDine de manera aproximada a) el tiempo requerido para que el aer.opl:rno se cletenga, b) la distancia recolrida en ese tiempo. -¿, (m/se)
t5
-\ 10
\
5
0
0
t0
¡
(nr/s)
Figura P11.85
/at
640
Cinemátlca de partículas
1'l
.86
En Ia figura se n]uestl¿ úna pa¡te de la curr¡a u-r determinada
er?e ment¿lmente para un c¿maje. Calcule de manera aproximada la leración del canr.raje a) ctando
r:
0.25 m, ü) cuando o
:
ace-
2 nr/s.
¡ (n/s)
2.0
I.5 1.0
'0
0
1.25
0.25
:r (m)
Figura Pí1.86
11.87 Utilice el método
.yñ
de la sección 1L8 y deduzca la fó¡rirula
r:
+ r'o/ I .a/j ¡ara la co.rr.len'rdr de ¡usitión de unLr ¡rLtrticul,t en,noü
r¡iento rectilíneo unifomlemente aceleraclo.
11.88 Utilice el rnétodo de la sección 11.8 para detern.tinar la posición de Ia patículr del problena 11.63 cuando f : 12 s. I 1,89 En un autornóül se empiezan a aplicar los fienos cuando l¿r velocidad es de 90 fVs en t = 0; el ¿utomóül se cletiene en f : ¿r con el rcgistro de ¿celerución que se muestr¿ en la figura. Si el área bajo la curwa a f desde ¡ = 0 h¿uta I - T es semipar:üólica, utilice el r¡étodo de l¿r sección 11.8 para detemira¡ la dist¿¡ncia recorrida por el ¿utomóvil ¿ntes de detenerse cuando ¿)
?
:
0.2 s, b) ?'
=
0.8
s.
FiguJa P1 1 ,89
I
11.90 P¿r¿ ln partícula del problema 11.65, tlace la curva a-f y detennine mediante el nétodo de la sección 11.84) la posición de la partícula cuando t = 20 s,b) el v¿lor ¡rárir¡o de su coorderada de posición.
.,,OVIMIENTO CURVILíNEO DE PARTíCULAS
.. :
11.9. Vector de
::: ilo u1l¡ partícul¿ sc nlue\re a lo l¿rgo cle una cu¡¡a difelette il lrn¿l , r.(t¿. se trlinna que tlosc ríbe ttn ttutxin'tiento ct.utilínet¡. Para deli-
: irosición P ocupada por la p¿rrtícula el ul tiempo dcteminado f, de re1érencia lijo, tal colro los ejes r. ¡/, : que se .-jtriur er 1¿l figurn 11.1,1a), v se tlilrrja \cctol r que une al origen "l . t\ rrlr, P. Prr,stc¡quecl reclor r¡-sLici,r'rc[,tizrdopol..l ln.rgnl- : : - r sri clirecciól con respecto a los ejes tle rr: lcrencia, éste defile pol . .:rleto 1¿r posición de Ia paftículn col lespecto a csos ejesj el vector r -- - 'ro(e coi\o elL.cctor deposícl¿ir? de lrr p¿rtícrrJa en e) tiernpo f. Colsiclér'ese ¡rlurr¿ c:l vector r' que deline ln posición P' ocupnda -. : .. rrrisrlra ptrrtícula en un ticurlto ltosterior f + A/. EI vector Ar que : -. ,' P r ¡r P' r'eplesentir el carrbio en el r,ector de l¡osición duriinte el :... irlo (lel tienrpo A/. pues, corno se puecle verificnr fiicihrente el la ---:-. ILl-1ri), cl vcctol r' se obtierre ¿] surr¿r-los vectores l v Ar de - r rlo col el uiétoclo tle triÍntgulo. AL r-e|rerc-rtr un cl r¡ bio dc dl rcc
,. - iIc rur sistema
.
.. .rsí conio un c¿rnbio dc nwgnitud del vector cle posiciór r. 1,rr ':,lacl pronu:clb de l.L partícuJa sobre el irten'¿rlo de tiempo At sc -: :.( corno el cociente de Ar r.At. Puesto qrte Ar es rrl vector y Af cs : - .c,J¿r'. el cociente cle Ar¡,1¡ c¡s u¡ vectór unido a P. cle la misma --riril t¡re Ar v de nragritud igual a la rnaglitud de Ar dir.idicl¿ .:- Ji , ligura 11.14b). I ¿ r¿aci¿ü¿ intt¿rrfrírr:n de llL putícula en el iienrpo I se obtiele al . .-:: irten¿los de tierr. po Ar cacla vcz más cortos v, cl<: rrarx:ra cor-res . :cllte. ilcrc]ncltos vectori¿les Ar cada vez melores. La vi:lociclacl ::-.rrtále¿l se reprersenta ell corlseclter-rcia l¡ediante el vector
,, n
t
A.
-,
-r
,
(11.14)
^/
.-1ida r¡re At y Ar clisrniluycn, las posiciotes P v P' sc ¿ccrcan c¿d¿l ..1: eDtle sí; cl vecto¡ v obtenido en eJ linite debe, por-lo tanto, ser
' ::r,te il l¿l tr¿ivectoria de la prutícr
a (ligura 11.14c).
:rrrsto.lue elvector dc posición r depenrle tlel tieltpo f, se cono. tio lllta Junción xect¡t¡i¿l cle la variable escal¿rr I v se denot¿ :.-.rte rt¡). Extendtendo el conccpto de derir,¿rla cle una futción r:. ,lue se prc.scnta en cálculo clcment¿1, el lírnitc tlcl cociente -\: .. coloce c<¡trrc la derü:acla de la lunciól vector-ial r(l). Se i,..
dr
(11.15)
,fr :r,agnitucl
¡
dcl vcctor v se c(nroce como la rapir/e: dc la par-
' : -,, . -. posiblc obtelerla ¿rl sustitui¡ en vcz del vector Ar cr la fór. ,l.l-1r. 1a magnitrrd de este vector n:presentirdo por cl seg : :- lirerr lccta PP'. Sir crnbargo, la lougitud del sefnento PF' - ,:-. -. l¿r k¡rgitucl As del arco PP' cu¿rlclo At disuinu¡,e (figura ''. l'' 1rr, .n¡uede e.t ril'ir PP'
fr-o Af
A' ,. llltl
r7-,, A/
t):
,ls ----
dl
veocdad 641
y ¿ce eracro¡
9, VECTOF DE POSICIóN, VELOCIDAD Y ACELEFACIÓN
r¡-r'
posic,o¡
(r r.16
)
F¡gura 11.14
642
Ciñemática de partículas
La rapidez o puede obtenerse entonces diferenciando con respecto
a
t
la longitud s del arco que describe la partícu1a. Considere la velocidad v de la partÍcula en el tiempo I y su veloci-
dad
v'
en un tienpo postedor r + At (figura 11.15a). Se dibujarán v' a partir del mismo origen O' (figura 11.15b). El
an.rbos vectores v y
vector Av que une a Q y a p' representa el canrbio en l¿ velocidad de la partícula durante el interwalo de tiempo At, ya que el vector v' puede obtenerse al sumar los vectoles v y Av. Hay que advertir que Av iepresenta un cambio en It direccíón dehvelocidad, así como un cambio en Ia rapidez. La aceleración pro?¿¿dio de la p¿utícula sobre el intervalo de tiempo Af se deffne como el cociente entre Av y At. Puesto que Av es un vector y Af un escalar, el cociente Av/Ar es un vector de la misrna dirección que Av. La aceleración instanténeu de la parlícula en el tiempo f se obtiene al tomar valores cada vez nás y más pequeños de A¿ y Árz. La aceleración instantánea se representa en consecuencia por medio del vector
a:
Av lím A¡-0 Af
(11.17)
advertil que- la velocidad v es una función vectorial v(t) del tiempo f, es posible referirse al límite del cociente Av/At como la derivada de v con respecto a /. Se escribe A1
dv
E _
Se obserua que la aceleración a es tangente a la cuwa descrita
la punta
i
¡
(r 1.18
)
por
del vector v cuando este úlümo se dibuja desde un origen fip O' lfigura 11.15c) y que. en general, la aceleración lo es tangente a If, trayectoria de la partícula (figura 11.15d). La curwa descrita por la punta de v e inücada en la figura 11.15c) se conoce como la hodógray'r del movil.rielto.
?
11.10. Derivadas defunciones
I1.10. DERIVADAS DE FUNCIONES VECTORIALES En la sección anterior se estudió que la velocidad v de una partÍcula en
sp(imiento curilíneo puede representarse mediante la derivada de la fución r.ectorial r(f) que caracteriza a Ia posición de la partícula. De nanera similar, la acelemción a de la paftícula se representa mediante L¡ deri ada de una función vectorial v(l). Esta sección proporciona una &finición formal de la derivada de una función vectorial y establece reglas que gobieman la diferenciación de sumas y productos de funci¡nes lectoriales. Sea P(r) una función vectorial de la variable escalar ¡¿. Por lo anterior se entiende que el escalar u define por completo la magnitud y di¡ección del vector P. Si el vector P se dibuja desde un origen fijo O
r
se deja variar el escalar rr, la punta de P describir¿i una curva deternin¿d¿ en el espacio. Considérense los vectores P que corresponden, rery€cüvamente, a los valores u y t * A¿ de la variable escalar (figura ll-16¿). Sea AP el vector que une las puntas de los dos vectores dados, ¡e escribe
AP = P(¿ +
-{ di\idir
todo entre Au y dejar que cada rle la función aectorial P(u):
r¡
dP nm AP -- : ,A!-0 A, tlu -:
Iin EI
le le e-
:n
ie es na
At
lllf)
P(¿)
ttenda a cero, se defi,ne la deri-
P(t+Ar¿)
A,-0
(i1.i9)
freura 11.16b). Las reglas comunes para la diferenciación de sumas y productos de ñrnciones escalares pueden extenderse a las funciones vectoúales. Considérese primero Ia suma d.e dos funciones aectoriales P(r¿) y Q(u) de l¿ sma vari¿ble escalar r. De acuerdo con la deffnición dada err 11.19), l¿ derjvada del vector P Q es
r
*
d(P+Q) ,. A'P+Q) ,. iaP a,-o Au 4,,-o \ Au tlu
a
o- puesto que el sus términos.
límite de una suma
AQ\ Lu
J
es igual a la suma de los límites de
,tlP + Q) ,, AP , AQ . lrln f tnt-I - aa n Aü Ar 'o A¿i du
Po
de
Q) dP d" - du-
d(P + t8)
)or
-P(r)
L.u
Conforme A¿ tiende a cero, la llnea de acción de AP rrelve tangente a la curva de la ffgura 11.16¿). De este modo, Ia derivada dP/dr de la función vectorial P (u) es tangente a la ann:a descrita por la punta P(u)
ne
Í)
Ar¿)
dQ d"
(r1.20)
Hay que considerataltora el producto de una función escalar f(u) y una función aectoríal P(u) de la misma variable. La derivada del vec-
tor.jlP
es
fte
rla m-
AfPt lílr-#:lim rf I AP) - fP ^f,{Ptltt -\',-0 Au
-\¿
u
aPrl -AP\ lILf \ A¿r ' Au I
l
F¡gura
tl.l6
vectoriales 643
Cinemática de particulas
o al recordar las propiedades de los límites de sumas y productos,
dtfP\ df j-P+f -dP ?_ , au 0u au
(11.21)
Las deriv¿das dd prodacto escalar y el produ.cto aectorial de dos funciones vectoriales P(r) y Q(u) pueden obtenerse de manera similar. Se
tiene
d(P.Q) _
dP du
du
'Q+P.
dQ du
%9:o'i"'-'"#
(rr.22) (1r.23)t
Las propiedades antes establecid¿s pueden emplearse para deterla d¿riaada de una función oectorial P(u). Descomponier.rdo P en componentes a lo largo de los ejes rectangulares fijos r, y, :, se escribe min¿rr las componentes rectangulares de
P:P.i+Pli+P"k
(t7.24)
donde P., P' P" son las componentes escalares rectangulares del vector P, e i, j, k los vectores uüitarios correspondientes, respectivámente, a los ejes:r, y y -z (sección 2.12). De acueldo con (11.20), la derivada de P es igual a la suma de las derivadas de los términos en el miembro del l¿do derecho. Puesto que cada uno de estos términos es el producto de una escalar y una función vectori¿rl, se debe usar (11.21). Pero los vectores unitarios i, j, k tienen una magnitud constante (igual a 1) y en direcciones fijas. Por lo tar.rto, sus derjv¿das son cero, y se escúben
dP dP,. , l+ du - du
. -- l( -_::t -l. du " dtt dP,,.
dP,.
(1r.25)
Si se adviede que Ios coeficientes de los vectores unitarios son, por definición, las componentes escalares del vector dPfdu, se concluye quelas componentes escalares rectangulares de la deríaada dP/&t cle la _fitnción aectorial P(t ) se obtielen al diferenclar las componentes escalares correspondientes de P.
Razón de cambio de un vector. Cuando el vector P es u¡ra ¿, su derivad¿r dPftk representa Ia razón de cambio de P cor respecto al sistena de referencia Oxyz. Descomponiendo P, en componentes rectangulares, se tiene, por (11.25),
función del tiempo
dP ,it:
. dtt'
dP,.
. , dP- , dtJ'-r!t*
dP!
o, al utilizar puntos para indicar diferenciación con respecto ¿ t,
É:r.i+i,,,¡+i,,t
(1r.25',)
lPuesto que el prcducto vectorii:i no es conmut¿tivo (sección 3.4), debe m¿ntenene el
i
o'den d"'or luctuFi
'r L é(,,r'idn
(11.23).
: sr estudiará en la sección 15.10, la r'¿rzón de c¿l¡bio de un ' - - , -.r(lo se obsen'¿r desde un sislerno tle refetznci¡t riríoll es, en -' --- Iii¡elte de su razón cle canbio cuando se ol¡sen'a desdc'un - . :. ¡eferenci¿ ffjo. Sin embargo, si el sistern¡ de rcfereuci¿ rró., : est¿i erl traslación, esto es, si sus ejes pcrm¿urecel parale! - .jes colrespondientes del sistem¿ fijo Ory: (figrrla 11.17), se : rnisnros vecto!'es urjt¿rrios i, j, k en aürbos sistem¿rs de re{e - - '. a-n Lur ilstante deteruin¿rdo el vector P tiene las rnisül¿rs coll - -: ::j Pr. P,r, P. cn anrbos siste¡r¡rs de refer-enci¿¡. Se concluye tle - ,Ire l¿i razón
--,:.:i.
."
1
1.1 1.
Componentes rectangulares
de la velocidad y la acelerac ón
se
i 1, COMPONENTES RECTANGULARES
] 1 iA VELOCIDAD Y LA ACELEBACIÓN ...rc1o ltr posición cle untr partícultr P se define en cutrlquier instante !¿rlte sus coorden¿rd¿rs rectangulales r, q 1':, r'esulta convellientc
.
-
::-rnlponer la veJocidacl v y I¿r ¿rceleración a de la partícuJa en com:,.rtcs rect¿ugulares (ligura 11.1,9). \1 descornponer el vector de posicirirr -:ries lect¿rngulales, se escribe
r
cle la partícirJa en compo-
r:ri*rfi*:k rlonde las coolden¿rcl¿rs eces, se olrtiene
r,
V,
i
(11.26)
sor frurciones dr: f. Al difererrcitu dos
'.
dr ,k
:r"i+ii+:k
(11.27)
dv
:ii+ii+ik
(11.28)
,11
i,
: \ i,
A. z rcpleseltan, respectiv¿rnette, la prirircr a y la vadas de r, q v; cor lespecto ¿r L Se tiene de (11.27) V I L2E) qrrc las comporeltes escal¿rres de l¿r velrcidad y la r,Lceleración
loncle
y,
de 'equnda !oll
o.:i n.:r Ll
ry:ll ay:Ü
0":i 4::
(r l.29) (11.30)
valor positivo de o, indica que el componente vectori¿rl v, está di ¡Jc, h¿ci¡ h derechu. ¡ un r Jor negativo, que se dirige hacia la izquier..l^. El serlido rl" crd¿ r¡no de lr,, olr..' (urnponcnlcs'\F¡.J,,ri,tles pu,..le
rleter'rinarse cle n¿rera riroil". n p"rti. J:i"gr;;" i" rscalal correspoldiente. Si se deserl es posible óbtener l¿rs""'rrrp"lr"-," mafnitudcs
r clilecciones de la velocid¿rcl I' l¿¡ acele.¿ción de s.,s ",r,,,porr"nt.-a, "r"l.,iales medi¿nte los rnétodos ie las seccioles 2.7 v 2.I2. fl u'o d¡ hs corrponertc\ rpctJrg}tliLre\ l,r;r dci(.dLir. lr,¡uriciórr.
r elocidad ¡ h ¡celeracicil Je una pnrtÍculJ es en particular: efectivo cuando_la componente a, de la aceler¿rción sólo dependc de ¿ r, v/o o., r euando. en fr¡rrrrr sinrilar. a,, dcpelde únicarnente de t. q y/o;,,, y u" 1.r
,
Je
t : ¡ /o r', . L¿s ecurci(nres
(11.30) pueder jntegrarse
et
ese c¿iso dc
L
Figura 11.18
645
I
l'"
646
cinemática de partícu as
nranela ¡tdependientc, y lo misrno sucede corr las ecu¿ciones (11.2g). En otlus ¡af.rhr-as cs prrsible considertrr por separarlo el rror¡ilijento de Lr prrl rt ull err ,lir., , iór' r. sr rnur irni".nio .r, L, rlir,,ct.i,irr y. \u rro\ irniertr¡ en l¿r dirccci
lra
)
ut pnt¡r:ctil, por cjel.rplo,
se dcrnues_
l2.i ,¡r. l,ts lrrnrp,rnclLcs,l. l¡,u.cl, ra,.¡ór, *¡, .¿r:i:0 Qy: lj :-8 ¿--::0 iÁr
\¿it5e Ia scc¡
si se igrora l¿,r resr'stencia dcl aire. Al denot¿r ¡terlirurte r., 4r, \ :,, l¿ts ct¡o|del¿das del cañórr y por rredi, cle (L , )¡. 1u,,)e r 1r -),, Ji ., cornpo' nentes de l¿r veloci(l¿d inici¿Ll v0 del pr,,yectil (rn¡ halLL). se irtc.gr.zr áos veces ell ¿ y se olltiene
o.:r': (tl,)q Du: il: (ur)o- gt o.::: (o.)q r:ru a (o.)¡t LJ:LJo+ (a,t),f - lrgtt :::0 + (u.)o/ Si el provectil sc lanz¿ en el plmro rq clestk: el origcn O, se tiene r,, : : : llo 7o 0 y (t.)¡ : 0, y las ccrrirci,,lt-s de rrovi¡rirltcr se retlucen ¡r
¿.
r
¿) I,lovjmient.r de
I
pro.,(ctil
: (o,)o D,t:
(D,r')o
-
gt
- (o,f1r lJ : 6,)nL !gr"
ü=:0
:-0
Estas ecu¿rciones rnucstral qrrc el proycctil pcnrJnece c.n el phrro ry, (lr{ ilIroümierrlo.trl¡rIilec, lrir lrorizr¡lrt;tl e, ll,ilol¡r..yqr¡esl lnoü micnto en la tlirección vertic¿l es unifbrn¡emerrtr: aceleiacilo. El u.,,,vrmiento de un proyecül puede entolces srrstjtui$e por. dos rnovil]ientos rectilírrcos ildepenclientcs, Ios crr¿les se üsu¿liz¿u col f.trciljd¿cl si se supone (iue el pro)¡cctil se llrrza ver-ticalrnente con una velociclad inicial (vr)o desdc una plataforrr a ouc se rnueve con unir velocjdad horizorrtirl colstdrte (v,1, (figura 11.I9). La cr,orderuth r del pro¡ er:tiJ cs igual en rrtulqrrir.r irrsl:rnl. r¡ h,lisl¡rrr i:r r'.,.,rri,lrt por ll pl.rlufi,rlr,r¡. r cs posible calcul¡r srr crx¡'delatll y corrx, si el pr-,,r nc.til sei n,rr.ic.u , k, l ,rglo tle un¡r líre¿ vertic¿¡].
/]) Vo|i|,iertos recfi h,cos equjv¿lcntes
Figura 1 1.19
Sr, puede observal quc las ecrraciones que deliren l:rs coorclerad¿rs r y y de un plo¡:ctil el crralcluier.instante .sol las ccuaciones paramó tricas dr una pnr/rlxrla. Por lo tanto, Ja traycctoria rle ul proyectil es parabólíu. Sin ernbargo este resultaclo deja de ser r,áliclti cu¿rdo sc
tom¿ on cuerrta
l¿r
lesistencia dcl aire o l¿ v¿rri¿ciól con l¿
¿rltul.¿r
de la
aceleración cle la gravedad.
11.12. MOVIfVIIENTO RELATIVO A UN SISTEMA DE BEFERENCIA EN TRASLACIÓN En ]¿ sección anterior se utilizó lrr solo sistcma Lle refer.encia ltrrl clescr-ibir el rnovinierto de unu p:rrtienla. Err lir mayoria cle lt,s irt s cste sisten¡r de reférencia estirb¿r unirlo n ln tierrn y se considcró fijo. A continuacií)n se analiza¡ál situ¿ciones (.[ las | |te es cnrrvcniente utiliztr- cle
simr tíurc¿r varios sisten¿s de relére¡nci¿r. Si uno dc los sistemas de referenci¿r está unido ¿ l¿r tjer.r-1, sc der ¡ ¡ rrjnar.á slsl entt Je refcrencia fijo, v los otros sisternas de refer"ncir sistcnuts dt. rdcr,,ncia en )tlori ¿¿en)/¿. N¡¡ o)¡st¿tnte, deltc t:t¡tentle¡.se tlrc Lt seleccíón dc u¡¡ .sr.stdr:r clc ¡-rfrrerrc.i¿_lijo es |rrrarnente ¿¡bitr¿¡i¿. Cualquier sistenra cle rclér-encia fnc(le d(.siqr¡rrse coruo ,.fijo',; toclos los r'lemíis sistemas rn¿rner¿¡
Fologralía 11.2 Cbando se;onala t¿ Gs¡stencid det ¿tre. et satlado! de esqút puede can
de rel, rerrli;r qr¡( rñ \c r¡niur Ií{idalro¡rleJcrtcsistetn¿de r.ferr . sc dcs(.l
lhtrin en
,.se (.aso {1,tno rntit i]es.'
n,.irL
, -.19
: r rlo\i-
:tjr
: .irk.re clos pmtículas A y B r¡re se [rueven cn el espacio (fi--:11 : los vectores r¡ y r¡ de{inen sus posiciones er cualquier -: -: :- cl¡rclo con r-especto a un sisten¿ de referencia fijo Ory:. -ol. :'. ..i,or¿r un sisteD.r¿r cle c,jes r', y', :' centr¿rdo en A y par.alelo a los . r ,; :. \lientrils eJ oligen de estos ejes se mueve, su orient¿ción - -'.r,rcc ini trrirülc; el sistern¿r de referencia A:r'r7' :' estit en trctsla-, rri lcspecto a Orry:. El vector rol^ que rrnc a A y B define lo pol, B n:lotü'a al sistenta de rdercnc:io nóxil h;'y':'(o, el forn.ra :- .. iti po.sición de B relatiou a A). Er, la fiqur-ir 11.20 se advicrte clue eJ vectot de posición r¡ de la
).
(lC
'::to
¡es-
:,j]
: , lirs ']lrPo-
:,i
dos
ILl2.
Mov mrento,rélalivo a L'n
-
--
.
srstema 647
oe rererencla en trastacron
-- -
-,rl¿ B es la suli¿r del vector de posición r.1 de la partícrrla A y del r dc posiciírn r¡7¡ de B relativa a A; se escribe
rB:rA+rB//\
(11.31) Fiqura 11,20
arll
¿1
- i::erenciar(1I.31) con rcspecto aúderrtro del sistem¿r de rc¡ferencia :r' i lltjliz¿rr puDtos pala ildicar clerivadas respecto al tiel.rpo, se tiene (1r.31) ie-i¡1i61¡ --.' derir adas i¿ y ia representiln, r'espectivamelte, las velocidades v,,
IO
r1/,
llrr¡ritrroriL:ÉntoS
lsi
sc
irrici¿l
.
A y B. Cono Ar'q':' está en traslnción, la cleriv¿r\ r'epresent¿r la razórr de cambio (le rBlA con respecto al sister.tt¿t -- :eférencia Ar'y':', así cor¡o con lespeclo al sistema cle referenci¿r , sección 11.10 ). Pol lo tanto, esta derjr'¿d¿r cle [i ne lo relctcíclad v ¡ 1¡ . B rclatíut oL sistemo de refe rcnciu Ar'y':' (o er.r fbrtr.ra b ret e,lrt. ael.o: v61¡de B rehtípa a A). Se escribc r
.
cle l:rs ¡rar-tículas
irj
"icl
:ltol\ !:$ral
Ya:vA+vBl^
: posi-
.:!) de
(11.33)
il
diferenci¿rr la ecuación (11.33) col lerspecto ¿r t, y utiliz¿r l¿r derivai o , , pnr:r rlefjnil La acelcracíón a¡21dr: B relathn nl sistena d.e refe.,tiu Ar'y':' (o, en forn.r¿ b¡eve, La acclcracíón a¡a1¡ lc B relatiao rt .1 . se escribe :.
:-"d¿rs
r:trlér'¡iL es
.do se
AB:aA+aB/A
d.' l¿
i
des-
i i.5te r
aoll
r...¡ clc:
..C n
ir¡
¿¡t
ir sis,¿ clc
(11.3,1)
rroür¡ielto de 13 con le
Foloqrafía 11.3 Cuando un s¡stema de referencia unido al portaaviones se mueve en traslación, el movimiento relativo del hel¡cóptero con respecto a la embarcación está caraclerizado por las ecuaciones (11.31) a (1 1.34).
Í\otc quc ol froducto de los subín(licos ), ¡JlA que se usa cr cl nilmbro del lado d-. rclio clc l¿s c.crracio,¡:s (11.31) a (11.34) rx^ igral al subirdicc B utilizrdo en el njer¡bro :iel lado izr¡ricrdo.
t
I
PROBLEMA RESUELTO 11,7 Un proyectil se lanz¿ desde el borcle de un acantilado de 150 n con rrl¿r velocidad inicial de I80 ri'i/s a un ángulo de 30' con l¿i holizontal. Si se ignora la lesistencia del aile, encrentle r¿) la dist¿rncia horizontal desde el c¿ñón h¿rsta el punto en el Ere el proyectil golpea el srrelo, /¡) la elevación míti¡.ra sobre el suelo que alcanza el proyectil.
soLUctoN Los ¡rovir¡ientos vertical y horizontal se considerar'án pol separado. Nl
tiene
(o,,)o: (180 r¡/s)
'
¿¿
=
sen
30'
:
*90
m/s
9.81 tn/s:
Al sustituil en las ecuaciones del rnor.i¡riento unifomeme[te aceler¿clo,
se
tiene
at o,, : 90 - LBlt (a,)ot + laf y:90r - 4.9oie x2r: |o,,)l + 2ay ,:ut: sfoo - fO.Ozy : y:
.x,,
(.t,,)¡ +
(1) (2) (3)
lllovirniento horizontal. Mot:in.iento uniforme, Al elegir el tido positivo del eje
r
sen-
hacia la delecha, se tiene
(¿.)o:
(160 r¡-/s) cos 30"
Al sustituir en las ecu¿rciones
:
clel mor,irniento
*155.9 n/s unifbtrne. se obtiene
r:(o.)o¿ r = 155.9l a) Distrncia holizont¿rl.
(4)
Cuando el proyectil choca con el suelo, se
tiene
Í:
-150
rn
Al sustituir este valor en la ecuacií¡n (2) para el mor.imiento vertical,
se es
cribe
: 90¡r 4.90t2 r: - 18.3? 30.6 = 0 t: 19.91 s Si se sustituye f : 19.91 s en l¿r ecu¿ción (4) para el rnoüniento horizontal, -_
se
150
encuentla
r:
155.9(19.91)
r':;ll{)0 rr (
D) Elevrcirin mrüirn¿¡. Cuando el proyectil alcanz¿ sr rr-i¿irrir¡¿r elev¿ció[, se tiene que o,, - 0; ¿rl consjder¿r¡ este v¿ or en la ecuación (3) para el moüüiento vertic¡l. se escribe
- 19.62q 17 :4I3 rn solrrc r'l suclr : 150 ¡r * 413 r¡ :
0 = 8100
\lirrinr¿ eler'¡cirirr
\
648
56:j
¡¡ {
B
/t-Ánn rl t
PROBLEMA RESUELTO 11.8 Un proyectil se lanza con uta velocidad inicial de 800 fi/s tr un blanco ubica do a Z ó00 ft por arlba de) cañón A y a una distancia horizontal de 12 000 ft Si se ignora la resistencia del aire, determine el valor del ángulo de disparo
1000 fr
-
n'
SOLUCIóN Los movimjentos horizontal y vertical se considerarán por separado'
Nlovimient<¡ hr¡r'izontal. AI ubicar el origen del eje de coordenadas en el cañón, se tiene
:
(o..')¡
800 cos a
Al sustituir en Ia ecu¿ción de moviniento horizonti¡l unifo¡me,
r : (o.)¡l
:r
li
(800 cos ¿r)t
se requiere para que el proyectil se nueva una distancia 000 ft sé obtiene al fij¿r igu¿l a 12 000 ft
El tiernpo que z.ontal de
:
se obtiene
hori-
t
12 000
= (800
t:
cos
a)t
12 0u0 800 cos d
_15 cos c!
trl<¡vimiento ¡'eI'tical (o,r)6
--T 2
000 ft
I
:
800 sen
n
u.
= -32.2 ftls2
Al sustitui¡ en la ecuación de moümiento verlical uniformemente ¿celerado, se obtiene
q
=
G,/)ot
+
!2at2 y :
(800 sen o)r
*
16.11
El ur'¡rrcctil d¿¡ "n cl bl.r¡rco. Cu¿ndo ¡; = 12 000 It, se debe tener 4 = z dOO ii. Al srlstituir el valor'úe y y clejando f igual al valor que acaba dc cnr'ontrrffe se escibe
2ooo -8oo..n Como 1/cos2 o = a""' o
: I*
o(]os'=-o -
t¿rn¿
a
12000
16.1(152)(1
0565 v
se tiene
tand:2.75 ')
El p¡oyectil daú en el bl¿lco sj
+ tan2d)
lal\d+5622:0
Al ¡esolver esta ecuación cu¿rdrátic¿ Para tan d, t¿n a =
(--15 l\cos d/
a, se tiene
2000:800(15) tan ¿y 3622 tan2
I
16
t.'
\
¿,
;().{r
se usa cualquiera de estos dos árgulos rle
disparo (véase la figur:r).
649 ' ' .,4
Solución de pnitlemas ile mr¡oimientt¡ relaiioo en traslución bitlimensio'
B,
En la sección 11.12 se vio que el movimiento absoluto de una partícula B puede obtenerse al combinar el moümiento de una partícula A y el nio oímiento relatíao de B con respecto a un sistema de referencia unido a A que estí en traslación. En ese caso es pásible expresar la velocidad y Ia aceleración de B como se mtrestra en las
rul.
ecuaciones (11.33) y (11.3a), respectivamente.
f.
Par¡t tisualizur el mooimiento relatia¡¡ de I) con respecto a A, imagine que
está usted unido a la partícula A cuando observa el movimiento de la partícula B Por' el automóvil A del problema lesuelto 11 9, el autontóejemplo, para un por-u¡".o "tt 'tit f pu.""" dirigirse én dirección suroeste (el sur debe ser obüo; v el ocsfe se debe
al hecho de que-el automóvil A se mueve hacia el este: el automóvil B Parece üajar entonces hacia el oeste). Esta conclusión es colsistente con la dirección de v¡7¡'
reu¡laer un ¡trr.tblema d,e moaimiento relutir:o pnnero se esc¡iben las ecuaciones vectoriales (ff.St), (1L33) y (1f.3a). Ias cuales relacionan los movi'rientos de las partículas A y B. Después debe usarse cualquiera de los siguientes méto-
2. Para dos:
a)
ConstÍu.ir
kx trióngulos aectotiales
correspondienles y resolverlos para
el o.ecior de posición, velocidad y aceleración deseados fproblema resuelto
Il'9]
b) Expresur toik¡s los oectores en ténninos cle sus cttmponentes rectun' g,.lares y resoLret'los dos conjuntos independientes de ecuaciones escalares que se ibt.,ui"rált d" ese modo. Si se'decide por este rnétodo, asegúrese de elegir la mlsma dirección positiva para el desplazarniento. la velocidad y la ¡celelación de cada partíorla.
652 !x.
y(lt)
11.91 El moü¡riento dc urrrr par-tícula se clefinc mcdiante las ecu¿::.:.\ : (f + 1)2yr7:,1(f n 1) 2, dor
-..-:¡rrlos. Nlucstre que l¿ t|a¡ectoria cle I¿r p.¡tícula es p¿1rte.le
-.
Lgrrlal rnostlird.r
er la figru¿
- lu¿)f :0.ü)i:r-r.
Ja
hipérbola
¡ cletemire lir velocidircl y l¿r aceier¿ción
1.92 El lovimiento de rnir partícula se define nedi¿nte l¡is ecua :.r\r:6 0.81(1'? 9¿+ lS) yt= 4 + 0.6t(t2 9i * l8), donrle :v y . .\prcsan ex rnetros v f en segunclos. N{uestrc qtle la tral,ectoriir de la 1
0J F¡gura P1 1.91
,:ii(de ei p¿rte de rura lírca recta, r'dete¡nine la velocjdad v ia acelerai -¡s,, i-.1 *. 'r..rJo¿ r-lJ,
11.93 El rnoütriento de urra partícula se definc ¡lc..üante las ecu¿l :rcsr: (4 cos rrl 9)/(2 - cos,nt) yy:3 scttú/(2- cos nf), doncle
.
,t se exprcsiln el'l lnetros y I en segúndos. Niluestre qlle l¿r h-avecto¡ia de r:1ftíctla es püte de Ia elipsc rnostr.irda cn la ligrrtr, v dcten¡ire la volo
: i-.rl cuanclo a)
t : 0,b) t: t/3
s, ¿)
r=I
s.
11.94 El movi¡tiento dc ula pirrtícula se
F¡qura P11.93
11.95 El lro\¡imicrrto de una p:rltícula se defiue nediante el vcctc¡¡ r: / + ¿ sen t)i + Á(sen f - f cos f )j, dondc, se expres¿ _1.tosi ^(cos .: \egrnck)s. Deterlnine krs r'¿¡lo¡es tle I p¿r.a los cu¿les el vector de . .l r el cle llceler¡cjí son ¿) perpendicrrlares, ü) paralelos. :.
posici¿xr
11.96 El mo\¡imiento anoltiguaclo cle rrra par.tícula que r.ibra se de-::,., rnedi¿ntc el vector de posiciaD r: rrll - 1/(t + 1)]i + (y¡r #/, cos -;i j. clonde I sc cxpres¿ en segun¿los. Para r¡ : 30 ln_ v i¡1 : 20 in., de::IriDe l¿1 posicióD, lir I'elocid¿cl r' l¡ ¿cclelr..irn ,lo l,r'¡artÍcule c ,Lnclo
: ¡:0.¿) t:1.5s
Figwa P11.95 !//ltl
1.0
05
Figura P11-96
653 1"
ti54
1 1.97 El movimiento tridimensional de una pardcula se deffne mediante el vector de posición r : (fif cos ar,i)i + ctj + (Rt seÍ @^t)k. Determine las magnitudes de velocidad y la aceleración de la padlcula. (La curva espacial que describe la partícula es una hélice cónica.)
Cinemática de pariículas
^,2
A2
-2 82
*1 1.98 EI movimiento tridimensional de una par{cula se deffne mediante el vector de posició¡ ¡ = (,{¿ cos f)i * (A\/P +l) j * (Btsent)k donde ryt se expresa¡ en pies y segundos, respectiv¿mente. Demuest¡e que la cr,[va descri-ta por la partrcula se encuent¡a sobre el hiperboloide ty / A\' - \x lA)r : L Para A : 3 y B : 1, determine a) las magnitudes de velocidad y I z / B l" acele¡ación cuando t = 0, b) el valor de cero más pequeño de f para el cual los vecto¡es de posición y velocidad son perpendiculares ent¡e sí.
11.99 Un saltador de esquí inicia su salto con una velocidad de despegue de 25 m,/s y aterriza sobre una pendiente recta de 30' de inclinación. Determine ¿) el tiempo transcurido entre el dq3pegue y el aterrizaje, b) la longitud d del salto, c) la máima distancia vertical que hay entre el esquiador y la pendiente sobrc la que alerriza.
11.100
Un jugador de golf dirige su tiro paru que pase por encima de una üstancia ft, en el punto máimo de la trayectoria y eütar que la pelota caiga en el estanque del lado opuesto. Si la magnitud de v6 es de 30 m,/s, determine el rango de valores de h que debe eütarse.
un árbol
¿
f-_
50
ü
Figura Pl1.100
F¡gura P11.101
1 1 .101 Un jugado¡ de balonmano lanza una pelota desde A con velocidad horizontal ve. Si d = 15 ft, determine a) el valor de oq para el cual la pelota golpeará en la esquina C, ó) el rango de valores de oo para los cuales Ia pelota golpeará la región esquinada BCD.
ft-llP L n heJicópte¡o ,"uela con velocidad horizontal consta¡te de 90 rt ¡ esÁ direriamente por encjma del punto A cuando una pieza suella . La pieza toca tierra 6.5 s después. en el punto d, sob¡e una T =r ¡ i ú¡,='¿ inicial ñ.
Problemas
F¡gura P11,102
17,103 Una bomba está ce¡ca del borde de la plataforma horizontal lDe muestra Ia figura. La boquilla colocada en A deicarga agua con velord¿d i¡icial de 25 ftls fo¡mando un ángulo de BS. con l"a veiücal. Dete¡_ rine el rango de valo¡es de la altura /r -para los cuales el agua entra en la rbertu..36.
11.104 Un rociado¡ oscilante de agua rlano incünado que foma un ángulo o
opera en el punto A sob¡e un
ón h ho.irontdl El rociador áes_
carga agua con_velocidad inicial ve a un ángulo f con la vertical, el cual va_ :ía desde /6 hasta + óo. Si oo = Z4 l¡Js, óo = 40" y ot = 10., determine la _dlstancia horizontal ent¡e el rociado¡ y los puntos 'B y C que delimitan el área regada.
Figuta P11,103
Figwa Pl1.104
Figura Pi1.105
05
1 1 .1 En un lanzamiento lento de softbol, el tiro por debajo del brazo debe alcanzar una altura má¡ima de entre 1.g m y 3.2 m'po¡ ar¡¡i¿"i*u1..
Se ¡ealiza un lanzamiento con velocidad inicial vu de iagnitud isual a tS nr,/s a_un ángulo de 33'con la horizontal. Determine a) íi el lanTamiento cumple con la altura máxima requerida, b) la altura de la pelotu c,randoliegu al baieador
655
656
c ner¡áilca de partículas
1 1 .l 06 Una jugadora de tenis sirve la pelota a una altu¡a /¿ con velocidad inicial de 40 m./-s y ángu1o de 4o respecto a la hodzontal. Si la pelota pasa 152 mm por arriba de la ¡ed de 0.914 m de alto, dete¡mine a) lailtura h, b) la distancia d, desde l¿ red, en la que aterriza la pelota.
l_,,.
*
Figura Pl'f .'106
I 1 . l 07 Una banda transportadora que forma un ángulo de 20" con la horizontal se usa para cargar un avión. Si el trabajador lania el paquete con velocidad inicial v¡ a un ángulo de 45' de manera que su velocidad es paralela a la banda cuando entren en contacto a 3 ft sob¡e el prnto de linzamiento, determine ¿z) la magnitud de r.16, ó) la distancia horiiontal d.
Figura P11.107
I 1 .1 08 Un jugador de golf golpea una pelota con velocidad inicial de m¿€¡itud oo a un ángulo o con la horizontnl. Si la pelota debe pasar por encima de los dos áüoles y aterizar lo más cerca poiible de un¿ bandé.a, detennine on y la üstnncia d cuando el jugador utiliza a) un palo número seis con a = 3l ", b) un palo número cinco co¡ a : 27".
l-'
nun
9r01¡
..1_¿l 30 f+
Figura Pl l.l08 11 ,109 Un hombre utiliza una barredora de nieve para limpiar el acceso a su cochera. Si la nieve se descarga a un ángulo prómedio de 40. "on la horizontal, determile la rapidez inicial o6 de linieve.
F¡gura P'l1.109
Figura pl t.i10 1 1 .1 10 Una jugadora de baloncesto lanza un ti¡o cu¿ndo se encuen_ tra a 5 m del tablero. Si la pelota tiene velocidad inicial v6 a un ángulo de 30'con la horiz-ontal, deten¡ine el v¿¡lor de oo cuando d es igual a'a) ZZg
mm, ú) 430 mm.
F
a
e
Probremas
11.111 IJna pelota se prcyecta desde un punto A con velocidad n¡ ¡rpeodictlar al plano inclinado que muestra la figura. Si la pelota golpea el
fu
rr&
¡nclinado en B, determine la rapidez inicial o6 en términos del rungo
Flgura Pl1.111
h É
ttle D-
F
12
En un juego de béisbol un jarünero centlal lanza Ia Pelota con inicial de magnitud o¡, a un ángulo de 10' con la horizontal, hacia <*he¡ que se encuentra a 50 m de distancia. Si la pelota debe llegar a ¡lur¡ de ent¡e 0.5 y 1.5 m, determine a) el rango de v:üores de o¡, d rmgo de valores de la altura h má¡ima de la trayectoda.
ILl
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l-
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r
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5U rn
EnPr1.112 c-
n
iiJ
se lanza desde el punto A con velocidad r¡, de 86 rn/s. Si el paracaídas de descenso del cohete no se abre y éste a lO{ m de A, deternrine ¿) el ángulo (! que vo forma con la vertih mírima altura h que alcanza el cohete, c) la duración del vuelo.
11-113 Un cohete a escala
d, -b l
11.114 La velocidad inicial
vo de un disco de hockey sobre hielo es Determine ¿) el valor más alto (menor que 45') del ángulo a cr¡al el disco entra en la porteía, b) el tiempo co¡respondiente re-
* rll) h/h. d
Arib -
¡nra que el disco Ilegue a la porteía.
t F t¡-
ib 28
EtE
Pll.l14
Figqra Pl1,'f 13
657
658
Cinemática de partículas
11-115 En un iuego de softbol el lanzado¡ tira una pclota con veloci_ dad v6 de 40 milh a un ángulo a con la horizontal. Sl Ia altura de la pelota en el punto B es de 2.2 ft, deterurine a ) el ángulo d. b) el ángulo g que iorma ' Ia velocidad de la pelota en el punto B con la ho¡izontal. "
f,
F¡gura P11.115
11.116 Un trabajador uüliza agLra x alta pre(ión para limpiar el interior de un largo tubo de desagtie. Si el agua se desc¡rga con relocidad jni_ cial vp de 35 fVs, dete¡mine a) la distancia d hasta el óunto más aleiado B sobre la parte superior de la tubela que el agua puede limpiar
F__ ttB
¡t _
rc-
______
Figurc P11.116
. 11-.117 Una rnanguera situada en A descarga agua con velocidad inicial de 36 lVs a un ringulo a con la horizontal. Determine ¿) la distancia d hasta el punto mis alej4o B al que el agra puetle llegar sobre el techo. b r el án_ gulo a correspondiente. Veriffque si la corriente supera el bo¡de del techo.
--r I
l
l8 fi
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d
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F¡gura P1l.1l7 11.1 1^8 Un proye,ctil es lanzado desde el punto A con velocidad inicial . v¡ de 120 f/s a un dngulo o con la veftical. Detérmine a) Ia distancia d hasta el punto alejado B sobre la pendierrte a Ia que puede llegar el proyec_ _más,
til. br Figura Pll,118
ángulo o correspondiente. ^el superficie.
r)
la
altur¡ márim¿ del projecnl iobie
la
11.119 El aüón A
É I *idd aia
rruela hacia el este a 200 km.lh. mientras que el rr¡el¿ a 500 km/h a la misma altura pero en ürección suroestel Si h de B respecto a A es de 1125 knfor, determine la dirección de la del vlelo de B.
11.120
! ¡ i-
Los insh.umenLos de un aüón en welo indican que la \.eloci_
rclrtira al aire (velocidad de aire)
es d;1;ó f""r1, ñdr;¿;;i;" de relocidad relativo (vrrelo) es de 70. al noreste. Los instrumentos el iodic-an qle la velocidad del avión (velocidad de tierra) es de 110 km.4r L &eción de r,uelo (curso) es de 60. al no¡este. Deteráine la rapidez y ¡ l&ecr:ión del viento.
'f :>f-
F¡gura Pl
l.l20
f1.121
En un cruce de dos calles el automóül A se dirise hacia el su¡ de 25 mi,4r cuando lo choca ej carro B que via¡a 50" al noreste r rek¡cidad de 30 mi/h. Determine la velocidad rálau,ra'del automóül B qrcto al automóül A.
¡-locidad
1'R ^r#
,.*ffT., Figura pl.t.l21
1
-.tt
l
tiüd
I.I22
Unas medas pequeñas están unidas a los ertremos de la barra a lo largo de dos superficies. Si en el instante mostrado la velo_ Srrar r t de la rueda A es de 4.5 fVs a Ia derech4 y la velocidad relativa vBlA
& h rueda I respecto a la rueda A es perpendicular a la bar¡a AB, deter_ ioe ¿) la velocidad relativa v¿7¿, ó) la velócidad v¡ de la rueda B.
Problemas
659
6(;0
Cinemática de partículas
11.123 Las velocidades de los trenes A y B son como indica la ffgura. Si la velocidad de cada tren es constatte y B alcanza el cruce 10 min"después de que A Io hizo, determine a) la velocidad relativa de B respecto a A, b) la distancia entre los frentes de las máquinas 3 min después deiaber pasado A por el crucero.
Figura P11-123
11.124 Los aüones A ¡ B vuelan a la misma altu¡a v rastrean el ojo del humc¿in C. La velocidad relativa de C respecto a A es de v.,^ = 4iO
Wn/hf
75', y la velocidad relaüva de C respecto aB es de vg /B = E2}kmlh 40o. Determine ¿) la velocidad relativa de B respecto a A, b) la velocidad de A si el radar ubicado en üer¡a inüca que el huracán se mueve corr rapi-
X
Figuta P11.124
F¡gura P11.125
ry,
dez de 48 km/h rumbo al norte, c) el cambio en la posición de C respecto a
B du¡ante un intervalo de 15 min.
11,125 El bloque deslizante B inicia desde el reposo y se mueve hacia la derecha con aceleración constante de 1 fVs'¿. Deté¡mine ¿) la aceleración relativa de la parte C del cable respecto al bloque deslizante A, b) Ia velocidad de C del cable después de 2 s. 11.126 El pasado¡ P se mueve a una velocidad constante de 8 in./s, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, a lo largo de una ¡anu¡a circular ¡ecortada en el bloque A como se inüca.'Si el bloque se mueve hacia arriba por la pen&ente a una velocidad consturte de 4.8 in./s, dete¡mine la magnitud y la üreccióu relativa a los ejes :ry de la velocidad del pasador P cuando ¿) d - 30'. b) 0 - 135'.
Figura P1l.t26
_F
:¡¡
'l'l.1,127 E¡
ú
:
0, Ia cuña A comienza a moverse hacir la izquierda
¡ele¡ación constarte de 80 mm/s2. y el bloque B empieza urnoi,err"
u b l*reo de la cuñayhacia la de¡echa con aceleración constirte de 120 mm/s2 r¡ ¡el¿ción con la cuñ¿. Dete¡mine r¿) la aceleración del bloque B, b) la ve
irt¡l¿d del bloque B cuando t = 3 s.
F¡gura P11.127
.128
Un bote se r¡ueve hacia la derecha con desacele¡ación corsun niño parado sobre la cr¡biert¿ D lanza una pe_cuando cr¿ con velocidad inicial ve¡tical en relación con la cubiert¿. La pelota al-q;" una altura rnáKima de 8 m sohre el punto de lanzamiento v el nijlo iete c¿ninar hacia adela¡te una distancia ipara atraparla a la misía altu¡a '7re Ia del punto de lanzamiento. Determin; a) la diitancia d, b) la veloci.i¡d relativa de la pelota respecto a la cubie¡ta cuando es atrapada. 11
:¡n¡e de 0.3
nV_s2
Figura P11.128 11 .129 La banda tr¿nsportadora A se mueve a velocjdad constante l; descarga arena sobre la banda B como indica la ffgura. Si la .,,elocidad de h banda B es de B fVs, dete¡mine la velocidad de h á¡ena en r.el¿ción con la l¡,¡¡da B cuando cae sob¡e ésta.
]--r" (Me
A
Figura P11.129
-1.=-'\
Problernas 661
656
Cineñática de partÍculas
1 1 ,106 Una jugadora de tenis sirye la pelota a una altura h con velocidad inicial de 40 m./s y ángulo de 4. respeclo a h horizontal. Si la pelota pasa 152 mm por arriba de la red de 0.914 m de alto, determine a) la altura h, b) Ia üstancia d, desde la red, en Ia que aterriza la pelota.
Figura P11.106
l.--'.-,,,
11.107 Una banda transportadora .horizontal
I P ¡
* que forma un áagulo de 20. con la
se usa para cargar un avión. Si ál trabajador lan"za el paquete con velocidad inicial v6 a un ángulo de 45. de nranerá que s.r velociáad es para-
lela a la banda cuando entren en contacto a 3 ft sobre el punto de linzamiento, determine a) la rnagnitud de o¡, ó) la distancia horizontal d.
Fiqura Pl1,l07
1 1 .1 08 Un jugador de golf golpea una pelota con velocidad inicial de magnitud o¡ a un ángulo a con la horizontal. Si la pelota debe pasar por encima de los dos á¡boles y aterizar lo más cerca poiible de unabandÉra, determine o6 y Ia üstancia ¿ cuando el jugador utiliza a) un palo número seis con a : 3t', b) un palo número cin co cott ot: 27",
c.l
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Figura Pi1.108
11.109 Un hor¡bre utiliza r¡a baredo¡a
de nieve para limpiar el
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ceso a su cochera. Si la nieve se descarga a un ángulo prómedio die 40. con la horizontal, determine la rapidez iniciá oe de l"""ie*.
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Figura pl1,t t0 1 1.110 Una jugado¡a de baloncesto lanza un tiro cuando se encuen_ tra a 5 m del table¡o. Si la pelota hene relocidad jnicial ro a un ánsulo de 30" con la hori¿ontd. detq¡mi¡s el valor de us cuando d.s lgual a at ZZS rirm, b) 430 trm.
Fil
"..1
7
7
L,nr ¡eloia
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euta desde un punto A con ve)ociclacl v¡ _se fro\ lJaruir,L.linado,lre r,rur.iirj¡ lu ligurr. Si I:r p.lor., g6¡n",
'L¡J,, pI B. d-rcr¡ine
1a r.:rpidez irri<.ial r 6
cn ré¡.n,ir,o,
Probremas
"¡ ,.1"1 r¡nqo
Figuta P11.111 a
-1,.1,12
jrr*go lo I'-ishol r¡nia.Llinero,tsr,tr.¡l larrz;r E¡ h¡eluhr run ' . 1.r'lI .¡,rl ,l:¡tr'll¡t] iluLl ;,,.;r rrninXuloLJo lt,. L,rn lr hurizontiJ, l,,rc¡,, .. . qrp \c Fr,Lr¡entld.,50 r¡, d- distar(.it,. Si la pel,,t:r J"b" ll,.c.rr a . I r...1- -ntr- 0.J ) f.S ,n Ll,.t.nnr¡É,¡ ¡anto,l"'.rl",;,;:-,, "l .-r 1,,J, rllor.r tlc I.r rl(rrn, .n;trirn., /, rl, l,r trrl*itorir. r
J
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s,, ,,1
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---. .--. .--. .----.
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F¡gura P11.f l3
-1gura P1 1.112
11.113 U¡ cohete a escala se le¡za clesde cl pu[to :.:-i¿J v¡ tile 86 rnls. Si el paracidas cle dercenso del c',rhete
,-. -T^r,.r 1l)4.nr
cle
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rehrcidad
rr.,.
u lrr" "t,r" A dete¡nile ,r) el ángrrJo a que nl fóma co¡ la'.,,e.ti_
.: /r l¿ Dl¿xLm¿L attura h qLle ¡lcanza ei cohete, c) la clu¡aciórr del r.relo. 11 L" \elocidad inicral h de un disco de hockev sobre hielo es ].] :1 . .Lr) ln,/h. Deternrirre ¿ el rrlnr n,is .¡lLu , rnrno, qu.4í.,dcl ,ing,,L, o r ' "l .ual rl
di't.o entlir,r r¡ lu porh.r., b, el tiern¡o r Lr ¡orteria.
. :, ri(Jo pJra grr. el di,r.o lleqrrr-
F¡gura P11.114
," r.r¡"",J1.,i.
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657
658
Cinemática de Pariiculas
En un juego de softbol el lanzador tira una pelotacon velocihorizontal. Si la altura de la pelota dad vo de 40 mi,¡h a un áng.,lo o cottr Ia horizontal forma ángulo a, b) el ángulo 0 que forma a) ¿) el ft. d-ete¡mine de 2.2 ft, punto B es cle en ". el"l i,,nto horizontal. con Ia B el punto pelota en la velocidad de Ia
7l.l 15
50li Figt.JIa
Pl1.115
Un trabajador utiliza agua a altl presió¡ paru lim¡iar el interior de u¡ largo tubo d" tlesagÚe. Si el agua '" descarga con \elocidad iniB ciat v¡ de 35 íV.. dete.tnin" ¿-l la distancia d hasla el punto má: alejado la podesde limpiar ,obre"la pu.te s.tpe.ior de la tubería que el agua puede sición del traba¡rdor en A. b ) el ángulo corresponÜente a
ll,116
Figura P11.116
11.117 Una manguera situada en A descarga agua con velocidadinici¿l ft/s a un ángulo J con la horizontal Determine zr) la distancia d hasta 36 de rl'l,i. aleijáo B aL qu" el agua puede llegar sobre el lecho b) el á¡ "ioun,o tpoia"nte Verifique ii la corriente supen el borde del techo o iuio
"ott
Figura P'l1"117 Un proyecül es lanzado desde el puntoA con velocidadinicial 11.1 hasta vo de 120 fVs a un ánfulo ct con la vertical. Detérmine c) la distancia d el llegar proyecla que puede penüente a Ia el ounto más aleiado"B sobre c) la altura márima del proyectil sobre la iii,'¿i ¿"gtt. ,;
18
F¡gura P11.118
"i superficie.
".rrespondiené'
11.119 El aüón A
li
larela hacia el este a 700 km/h, mientras que el
B r¡rela a 500 km/h a la misma altura pero en dirección suroestei Si la Ér¡dad de B rcspecto a A es de 1 125 krr,zh, determine la dirección de la
-¡.rr.fi.
del vuelo de B.
11.120
Los instrumentos de un aüón en vrrelo indican que la veloci-
& reldir¿ al ai¡e (velocidad de aire) es de 120 km,4r y la ür"""iór, d"l l,""¡elocidad (r,uelo) es de 70. al noreste. Los instrumentos en - & iodican querelativo la velocidad del avión (velocidad de tie¡¡a) es de lI0 km/h -n r E ürccción de \,'uelo (curso) es de 60. al noreste. Determine la rapidez y l&tcciío del viento.
'l :t9'
11.121 En
un cmce de dos calles el automóvil A se di¡ise hacia el sur
r=lcllad de 25 mi,& cuando lo choca el car¡o B que üaja 50. al noreste r ¡Cociilad de 30 mi,4i. Determine la velocidad rélativa"del automóvil B qrrO al autornóvil A.
I'R
^f#
"*@T, F¡gura pj1.12t
11-122
-5 r
Unas ruedas pequeñas están unidas a los ertremos de la barra a lo largo de dos superficies. Si en el instante mostrado la velo=ira¡ r. & la rueda A es de 4.5 fVs a la derech4 y la velocidad relativa v¡7¡
d - h rcda B respecto a Ia meda A es perpendióuhr a la barra AB, deierÉ¡ h relocidad rclatla ve1a, b) la velócidad v6 de la rueda B-
Problemas
659
11,123 Las veloctdades de los t¡enes A y B son como indica la figura. Si la velocidad de cada tren es corsta[te y B alcanza el c¡uce l0 min después de que A lo hizo, determine a) la velocidad relativa de B respecto a A, b) la distancia entre los f¡entes de las máquinas 3 min después de haber pasado A por el crucero.
padiculas
Figula Pl1.123
I'
& Figuta P11.124
F¡qura P11.125
oY"
11.124 I-ns aviones A y B wrelan a la misma altura y rastrean el ojo del huracán C. La velocidad relativa de C respecto a A es de vq1¡ = 470 lan/h F 75", y la velocidad relativa de C respecto a B es de vcTr : 520 km,| T 40'. Dete¡mine ¿) Ia velocidad ¡elativa de B respecto a A, b) la velocidad de A si el rada¡ ubicado en tierra i¡üca que el huracán se mueve con r¿pidez de 48 krn/h rumbo al notte, c) el cambio en la posición de C respecto a
B dunnte un intervalo de 15 min.
11.125 El bloque deslizante B inicia desde el reposo 1, se ¡rueve hacia la derecha con aceleración constante de I fUs2. Deten¡ine d) la aceleración rclativa de la parte C del cable respecto al bloque deslizante A, b) la velocidad de C del cable después de 2 s. 11 .126 El pasador P se mueve a una velocidad constante de 8 in./s, en sentido contmrio al de las manecillas del reloj, a Io largo de una ranura ci¡cula¡ recort¿da en el bloque A como se indica. Si el bloque se mueve hacia arriba por Ia pendiente a una velocidad constante de 4.8 in./s, determine la magnitud y Ia di¡ección ¡elaüva a los ejes ry de Ia velocidad del pasador P cuando a) 0 : 30', b) 0 = 135'.
I
Figura Pl1.l26
\L
L
tll.-l?7 E¡ t = 0, la cuña A comienza a moverse hacia la izquierda rr*l¡ciir¡ crnstante de 80 mm/s2. y el bloque B empieza a moverse a b cr¡¡a v hacia la derecha con aceleración constante de 120 mm/sg llfr& r& cm l¿ cuñ¿. Determine a) la aceleración del bloque B, b) la vebloque B cLrando t - i s. Hd
r I
r F¡gura P1l,l27
ll-128 fn bote se r¡ueve hacia la derecha con desaceleración cor¡s I} I O-i r¡vs2 cuando un niño parado sobre la cubierta D lanza una pe.chcidad inicial vertical en relación con la cubierta. La pelota alhc ¡ rr ¡ltu¡a márima de 8 m sobre el punto de lanzamiento y el niño ü¡cir¿¡ h¿cia adelante una dista¡cia d pa¡a ahap¿rla a la nisma altu¡a ; Ld pünto de lanzamiento. DetermiÍe ¿) la distancia d, b) la velociI d*irr de la pelota respecto a la cubierta cuando es atrapada.
tgura Pl l.128
t1.129
¡üre¿ LLüB E I
La banda transportadora A se mueve a velocidad constante ¿rena sobre la banda B como indica la figu¡a. Si la velocid¿d de es de 8 ft/s, determine la velocidad de la a¡ena en relación con la o¡a¡do cae sobre ésta.
F¡gura
P
11.129
Problemas 661
662
11.130 Una maleta puede deslizarse hacia abajo desde una banda transportadom montada sobre un caÍo que no tiene frenos. Cuando ¿ = 0, la maleta está en el punto A y las velocidades tanto del ca¡ro como de la maleta son cero. Cuando la maleta Ilega al punto B su velocidad relativa al carro es de 15 fVs y el carro ha recorrido 6 in. a la de¡echa. Si se suponen aceIeraciones constantes, dete¡mine la velocidad de la maleta cuando, = 1.2 s.
C¡nemática de partículas
Flgura P11.130
11.131
Cuando el conductor de un automóül üaja hacia el
note
a 20
h¡,4r en un estacionamiento, obsewa que un camión se acerca desde el noroeste. Luego de reducir su velocidad a 12 lcm,ih y dar la rarelta de manera que se desplace entonces al noroeste, el camión parece aproximarse desde el oeste. Si la velociilad del camión es constante dumnte ese periodo de observación, determine la magnitud y la dirección de la velocidad del camión.
11.132 En el aüón A, los instrumentos indican que, respecto al aire, la dirección de r,uelo es de 30o al noreste con una velocidad del aire de 480 km/h, Al mismo tiempo, el radar del ba¡co B señala que la velocidad relativa del avión respecto a la embarcación es de 416 km/h haci¿ el noreste a 33'. Si el ba¡co se dirige hacia el sur a 20 km,4r, determine a) la velocidad del aüón, b) la velocidad y la dirección del viento.
f,"'-n Figura
Pll.l32 Flgura P1l.133 11 .133 Cueu;rd<¡ un pequeño bote üaja hacia el norte a 3 mi,/h, una bandera montada sobre su popa forma un ángulo 0 : 50' con la llnea cen-
t¡al del bote en la forma que inüca la ffgura. Un breve tiempo
después,
cuando el bote se desplaza hacia el este a 12 mi,4r, el ángulo 0 es otra vez de 50'. Determine Ia rapidez y la dirección del viento.
I 1.134 Cua¡rdo se observa desde un barco que se mueve hacia el este a 6 mi/h, el viento parece soplar desde el sur. Después que el barco cambia su curso y velocidad, y se desplaza hacia el norte a 4 mi,4.r, el viento parece soplar desde el suroeste. Si la velocidad del viento es constante durante el periodo de observación, determine la magnitud y la dirección reales del viento.
1 1 ,1
11.13. componentes tansencial y
3. COMPONENTES TANGENCIAL Y h¡ORMAL
En l¿ secciól 11.9 se indicó que la velocidad de una partícull es un cctol talgente a la trnyectoria de la ¡risnra, pero que, en general, la .¡eler'¿rción no es tangente a la tra;,ectoriir. En ocasiones lesulta con -niente descomponer la aceleracirin er con.rponentes dirigidas, res:rictj\.¿nente, a lo largo de la taugente y la nolntrl de la trayectorir
-it la partícula.
f!¡rviúxi*fitn p;üncl 'ie
1..
i.rrxa
fsriiciila
Primero considér'ese
-la partícula que se rnueve a lo largo de ur-t¿t curt'¿t contenid¿ en el :l-.no de la figura. Sea P la posición de la partícula en un insttnte dado. ): ule en P a un vector unitar:jo er t¿ngente a la trayectolia de la par-.,rl¿ r'que apunta eD la dirección de mor.imiento (figula 11.21o). Sea e el r.ector unitario correspondiente a la posición P' de la partícula en r. ilstaDte posterior. Si se dibujan ¿rmbos vectores descle el rnismo ori :-r O'. se deffrre el vector Aer: ei et (figura 11.21b). Puesto que e1 e son rle longitud ulitarin, sus pu)rtts se rr,ctrentru sobre un círculo i- r'¿clio L Si se denota por A0 el ángulo folmado por e, y e1, se en-(ntr¿] que Ia magritud de Ae, es 2 sen (A0/2). Al considerar rüora , :¡ el vector Aer/A9, se adüefte que a medicla que A0 se ¿pro¡iima ¿1 ,::,) este vectol se vuelve tangerltc al cí¡culo unitario de ltr figura llb). esto es, perpendicular ¿r e/, v (¡re su nagnitud tielde a
:
,-
2
lltn \d .,,
sen,A0l2 a0
son 1A9/2, ,. l n.n------:-:-L0/2
AÉ
:
Figura 11.21
I
i:
colsecuenci¿r- el vector obtenido en cl límite es lrn vector unit¿uio . . , lirrgo de Ia norrnal a la travectoria de la partícula, en la direccidn .-:i¡ l¿r cual cambia e,. Al denotar este vectol por e,,, se escribe e,,
: Iúl
e": Puesto que la velocidad
:
Ae, A0
de,
(r l .35)
^
v de l:r partÍcula
es t¿rngente a la tr:ryec-
ra. puede expresarse como el producto clel escalar o y el vector uni-
:,jlD e¡. Se tiene (l1.36) J..:¿ obtener la aceleración de la partícula, (11.36) se diferenciará con .s:recto a t. Al aplicar la regla de la dife¡enciación del producto de un -:rrl¡rr de un¿ función escalar (sección 11.10), se escribe
dn
dv
¡et
Is.
d.e, u¡i
+
(r
I
Ar
37)
: -ro
de,
.h
_
de, d.0
ds
i0 d.s dt d recordal de (11.16) q\le dsldf : o, de (11.35) qwe de,fd1 : i¿l cálcrLlo eleniental qre
cln
d.0
/ds
es igual ¿
1/p, donde p
atura cle la trr,Lvectorja en P (figura 11.22), se
tiele
e,,, y
es el radio de
Figura 1'l.22
normal 663
trl 664 .
n:mái ca de Padicllas
de,
1)
dr
p
(11.38)
Si sc sustituve ou (11.37), st: olrtier¡c
a I
l)r: t¿l nodo,
Jas
la pista, cada ciclista está sujeto a una componente normal de aceleración dirigida hacia el cen_ tro de curvatura de su trayecloria.
/ll39r
comporrr:rttes escal¿rrcs de la lceler¿ció¡ son tlt:
Fotografía 11.4 Alviajar sobre la parle curva de
dt; T D2 --e,¡ ;e/ p ttt da Ltt
(1,,:-
D2
(1r.40)
P
Las lel¡rcirnes obtclid¡rs expres¿rl quc la cttttL¡ntLetttc lalrgenci.a.l. rle ln acclcraciórr es igrial a It rtL:órL cl.t: ¡nnltio tlc fu aeLocülatl ic l.a púttkltltt, cn t¡Dlo ,1ue ).1r',,ttqn,nenle tiontTol es igr:uJ al cuadracLo tle la tcl.¡ ¡lal ,lit irlü[ct entr, ¿l r,rclio d¿ crtn)a[uro dc la tmt¡tt:toría en P Si ¿rulelt¿r l¿r velocitl¿d de li'r partícula, .¿/ es Positi\'¿i v la conrponcrrte vectorial ar ilpunt¿l el la tlil-ecciól dc rnorinjettttl Si disninuve t. t"io"i¿na cle l.r p'artícula, a. cs negativ¿ y a¡ aPunt¿r contr'¿ I¿ clirec ciór llel rrrorirnicrrio. La cornPolente vcctorial a,,, pol otro lado, sietirpre se dirígc lutr:irL cl cenlro (h: aú'L(ttu'Q C cle la trat¡ectttrírL (figt:l'a I1.23).
Figura 11.23
Dc
lc¡
¿urte or se concluvc quc la cornponcrtte tangencial dc l¿ ¿ceer la velocidad dc ln ptutícula, trrierttras quc
Icraci<'rr refleja un c¿rnbio
su cornporentc nonrral rcllcja un car¡bio en su ilirccciórt de riiovi nriento. L¿r ¿rcclclirciól de trrrir partícrtll scL¿i ceto sólo si ¿tnb¿s dc sus corrponclrtes son ccro. Erl consecut:nci¡r, lir acclcr¿rción dc una partícul:r quc sc rnue\/e ct¡r velocid¿rd constante tr lo largo de una cü¡¡a no seriicero, ¿ rncnos que la ptrrtícuh P¿se pol un prtDto de inflexi(irr dc l¿r cu¡"u¿r (doncle el ladio dc cuw¿rtur¿r es infinito) o ¿1 trenos qlrc la clu'\'¿ se¿ un¿r líDe¿r r'ect¿. El lrecfto tle que la componente norrl¿l tle lir ¿rcelcración dependtr del ¡adio dc cun/atur¿ tle h trrryectoria que sigue la par-tícr a se tonln e¡ cuent¿ el el diseño de estllctru¿s o lnecilnisDros t¿l diferentes co¡ro las ¿rlas de los ¿wit¡nes, l¿rs r'ías de 1érroca¡ril ¡,las levzrs P¿ra eritiu clrll¡ios repcltillos el ]a ¿rct:ler¿cióu de 1as partícultrs de ait-e cltre fluyen por las alas, los perfilcs de ést¿rs se tliseñ¿n sin nirgútr carnbio brrsco en la cuw¡Ltur¿r. Se tieue igual cuidado al diseñar curv¿rs de ví¡s de férrocarril, p:rra evital cambios bruscos en la acelcraciól de los v¡rgones (lo cual podr'ía rlañu el equipo y ser incórlorlo para los pasaje-
r..r8)
I
r:s .r' : ejemplo, a una sección recta de la vía nunca le sigue de inu':l:¡:: '.:¡a sección circular. Se reculre a secciones de transición es-
:e--r;i- iue arudan
ri.39)
enCíaI
de la
do de aia en
)mpo-
únule
tuéc-
relaciones - - .:i r i1.10) se cumplen en el caso de una partícula que se mueve r r; --¡,r de un¿ cun/a en el espacio. Sin embargo, puesto que hay un rr:=-.:r-' infinito de líneas rectas que son pe¡pendiculares a la tangente .{ :- :i¡nto d¿do P de una cu¡va en el espacio, es necesario delinir
::c :-i:
precisión la dirección del vector unitario
L¿rs
e,,.
- consider¿r¡án de nuevo los vectores unitarios e" y ej tangentes a .i:.-.rc'toria de la paftícula en dos puntos vecinos P y P' (figura 11.24a) 1 .:t-ior -\e¡ que representa Ia diferencia entre e, y ef (figlura 1I.24b). -::.e.::e irhora un plano que persa por P (figra 11.24a) paralelo al plano
--:.J,r por los vectores er, ej y Ae, (figura 11.24ü). Este plano con--r-'= f iangente a la cun'a en P y es paralelo a la tangente en P'. Si
sieulñqura
-a)"tt¡ 4,ta I aceque mo.\ias de -s
rpar(ur\ a erión ¡ue la
rnda tonra entes a
e\i-
r que
mbio
11.24
'Jeja que P' se acerque a P, se obtiene en el límite el plano que mer:f !e ajuste a la cuwa en la vecindad de P. Este plano recibe el nom:--: de plano osculador en P.t De esta definición se deduce que el :'-:¡o osculador contiene al vector unitario e,,, puesto que este vector l-:esenta el línrite del vector Aer/AO. La norrial definida por e,, está
-
..-.-.€cueDtemente contenida en el plano osculador; ésta recibe el nomde nonnal principal en P. El vector unitario e¿ e¿ X e,,, que conl:ie-'¡ la tíada derecha er, e,,, e¿ (figura 11.24c) deffne \a binormnl en En consecuencia, Ia binormal es perpendicular al plano osculador. concluve que la aceleración de la partícula en P puede descompoen dos componentes, una a lo largo de la tangente, y la otra a lo -::'.o de la nonnal principal en P, como se indica en la ecuación (11.39). H.r que obsewar que la aceleración no tiene componente a lo largo
-:r;
:
i :;-e i
l¡
binornral.
¡ rías ¡5
\?-
tsaje-
-D.l
normal 665
a pasar de manera suave del radio de curvatura
¡i=-:: ie l¿ sección recta al radio finito de la vía circular Del misu¡cr ¡.:.i: .:, el diseño de ler.as de alta velocidad se evitan los cambic¡s ir=c -: en l¿ aceleración utilizando cuffas de transición que produr:.,: :: r-.-mbio continuo de aceleración. llovimiento de una partícula en el espac¡o,
r1.10)
11.13. Componentes tansencial y
l¿tín os¿al¿n, besar
l"='\'ti\
/+' i
sreutotrcr $'
lilaunlommcomu'r,
665
Cinemática de partículas
11,14. COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL
En cieftos problemas de movimiento plano, la posición de la partícula P se define mediante sus coordenadas polares r y 0 (ffgura 11.r5¿z). En ese caso es conveniente descomponer la velocidad y la aceleración de
la parlcula en componentes paralela y peryendicular, respectivamente, a la línea OP. Éstas se conocen como componentes radíal y transaersal.
o)
b)
Fiqura 11.25 Se unen a P dos vectores unitarios, e, y e6 (figura 11.25b). El vector e,- está dirigido a lo largo de O? y el vector ee se obtiene al rotar e.90" en el senüdo contrario al de las manecillas del reloj. El vector unitario e, define la úrección radial, esto es, lá dirección en la cual P se movería si r aumentara y 0 se mantuviera constante; el vector urritario e6 define la direcciór transversal, es decir, la dirección en la que P se moveía si 0 aumentara y r se mantuviera constante. Una opera-
ción similar a la que se usó en la sección 11.13 para determinar Ia derivada del vector unitario e, produce las relaciones
de"
,le
:
de, "u
(11.4r)
rlH
donde -e, denota un vector unitario de sentido positivo respecto a e,(figura 11.25c). Mediante la regla de la cadena, sé expresan Iis derivadas del tiempo de los vectores unltarios e. y ee del modo siguiente:
de, de, d0 d0 dt dodt'udt
de. de^ d0 dt-do¿t
d0
o, al utilizar puntos para indicar derivación con respecto a f,
é, =
0e6 és: -0e,
(rr.42)
Para obtener la velocidad v de la partícula P, se e:r.presa la posición del vector r de P como el producto del escalar r y él vectoiunitario e" y se deriva con respecto a t:
v
:
d, fi(re,\
:
ie. + ré,
o, al recordar la primera de las relaciones (11.42),
¡,u¡¡;,+,reg;
(11.43)
\1=
60
PROBLEMA RESUELTO 1 1.10 UÍ automovilista üaja sobre una sección cur¡¡a de una autopista
ini/h
de 2 500 ft de ¡adio a una velocidad de 60 mi,&. El automoülista aplica-repentinamente -a los frenos, provocando que el automóül se desacelere una tfua constante. Si se sabe que después de 8 s la velocidad se ha reducido ¿ 45 mi/h, dete¡mine la aceleración del automóvil inmeüatamente después de que se han aplicado los frenos.
SOLUCIÓN r
_ Componente tangencial de la aceleración. Prirnero
se expresan las
eloeidades en ly¡.
.i
60 mi/t,
5?80 n l/ !!- 160mi)f \ h i\ I mi /\360us/
-- ss rr.,
:
45 r¡i,A 66 fVs Como el automóvil desacelera a una tasa constante, se tiene 4/
a/=275ii^:
,. = Au 47
promedro n/
66 [t/s
- 88 ft./s &,
-2. t5
IUs
Componenlc norrnal de l.r ar.elcración. lnmediatamente drspués de que los frenos se han aplicado, la velocidad se mantiene en 88 fVs, y se liene
.
3.1{) fi /s2
-
-
Magnitud
r88 fus)2 a,.---12 p i:_5uu tt - u.t0 tus y dirección de l¡ acoler.aci<ín. La magnitud
de la resultante a de las componentes 4r
y dirección
/ & son
ta¡ta=4t 3lofi/s2
or: Lzs tv"'.: 310gÉ a:-!L sen d sen 4lJ 4"
a
:
'18
4' {
a:4.l4ftrsr
.(
PROBLEMA RESUELTO 11.11 Determine el radio mínimo de curvatu¡a de Ia trayectoria desc¡ita por el pr(r ¡ ectil considerado en el problema resuelto I L7.
soLUcróN
:
o2/p. tenemos que p : a2 fan El radio será pequeño cuan¿?,, sea grande. La velocidad ¿ ei m'ínirra en la parte supeúor de la tmyectoria, pues o,/ = 0 en ese punto; an es máxima en el rnismo punto. ya que h direccidn dc la vcrtical coincidc con la direccicjn de la normal. Por lo tanto, el radio mínimo de curvatura ocurre en la parte supcrio¡ de la trayectoda. En este punto, se tiene Puesto que 4,,
do o sea pequeño. o cuando
tJ
= rr,
:
155.9
' 668
ln/s
D2 4,,
a,I= a = g.8l n/s2 (155.9 rn/s)z 9.8I m/s"
p
:2480 rr {
PROBLEMA RESUELTO 1 1.12 La rotación del brazo OA de 0.9 rn alrededor de O se deffne mediante 1¿r ¡ela ción 0 = O.lút2. donde 0 se erpresa en mdjanes y f en segundos. El collarín B desliza ¡_lo lrlgo del br,zo de rnodo laJ tue su distanci¡ J.sd. O es r 0.9 0.12t'. donde ¡ se erprrsa en üetros y I en segundos. Después de que el bmzo OA ha girado 30', deteru.rine a) la velocidad total del collarín, b) la aceleración total del collarín, ¿) la aceleración ¡elativa del coll¿ín con ¡es pecto al brazo.
soLUcroN Ticrnpo ¿ ¿¡l cual 0 = plesión p:ua 0, se obtiene 0
-'.,.
par¿1
¡,
Al sr.rstitui¡ 0 :30'
rnovirnionto.
Si se sustituye
0.9 0.12¿'¿= 0.481 m i ' -u.24t -U.449 rlr, s r : 0.24: 0.240 rn/st
B
o,: i:
\¡'' rn \,= r+19 ,\¡.
r0
O 6
',t
:
0.449 nr/s 0.481(0.561)
:
B.
ao=r(i+2ta)
obtienen los
0.270 m/s
:
0.ñ2-1
r/s
p
: rl l.0'
<
Mediante las ecuaciones (11.46), se obtiene
0.4B1(0.561.)'z: -0.391 m/se
:0.481(0.300) +
i:15.9
se
di¡ección de l¿ velocidad.
a,:r-rá2 = 0.240 0
0.¡tli - 0 56I r'rd ' = 0.30 = 0.300 r'arl/s:
AI resolver el triángulo rectángulo ![ue se nuestra, se obtiene la magnitud y
b\ Aceler¿rciírn de
I
1.869 s en las ex
0 = 0.151 = 0.524 rad
¡:
I
¡=
a) \/elocitlad de B. Mcdiante las ecu¿ciones (11.45) rul"r"r ,-le ¡.. v uo clrnrlo / - J.869 s.
xo: '//
0.524 rad en la ex-
á y su prin-rela y segunda de¡ivadas, se tiene
r=
\¡, = tlrlil) rrr \lL'd
:
: 0.15/:2 0.524:0.15t2 r:1.869s
Flcu¿¡cioncs clc
presioÍes
llo".
2(
rlr/sllee
:
0.449)(0.561) ¿ 0 5lll
:
0.359 rn/s2
rrr/s: 1 :
'lt
(i'
<
c) Acelcr:rci
-0.240
m/s'9
rr¡,11-1
:
0.2.10 r¡/sr hiitirL
O. {
669
lr relc,uitlrrd r l-r .rtclr raciótr tle lrrs par-ftut:at¡ittl y tt,,rtttnl. u de stts r.,lrlltpoilettfrr'l ¡it(r .1rl[l]or¡l tícnlas erl tét-rrrirrós clc SUs (llle llo le scitD t¿ul friillli c(nllfotlclltes cs¿ls es ratliu.L 4l.t,ut"xcrsrl. r\tlllLllre llosiLil<: puetlerr- sirnplictltlrllorreltcs atltrellu que tl.icrrbrilii li.u'*..iu,,o I,,' r'e.t.,r,g,J.,r','s. (le to se dcscribe rrovinie tjPo cierlo flcar I¿i sc¡h¡cjórr ,1. uuclios pr-olllelras, r't1ut: ellas cle rrarrc'tn rt/ts sencill¿r cort
tir
los siguieltes problclrns se pide "'.|r-esrtr
tle c
L limpleo
'lil
",tr,,tjo ( ¿rr rlbio. estril en cor15t¿rrlte
's
2. Eqtresüírt d.e l¡t ¿tcelerocíón an ténnin¡¡s tle sus cont1lonetttes tangencíul q ,rrrrrroi, Err la secciírl 11.13 se olrtrrvo la siguicrrte ecu¿rciórr' aplictblc:rl nrorirnicnto t¿¡rto bicliltcusior¡lil ctlrno triclinlellsitln¡rl dc uln pu'tícrtla:
i2 rh a: -;e, * rtr -e,, P
(11.39)
Li$ siguicDtcrs ohservirciorres posiblementc ¿rvutlctt rt rcsoher llrs prollltlrn:rs cle estir leccirin.
Ln cotnponertte longenciol de lu ¿celcración ritle I¿r r¿izór rle crtnbio dc l¿t velociclacl: tL, : iuldt. Se deürce quc crriudo ¿11 es corlst¿l¡tÉr' es posiblc r¡tilizar hs el rroritniettto rrn+orlllelllelltc ¿rceler¿clll cou la:rcelt:nciól igllal a ecuacirntes pata -cr : 0 a,. Atlenrits. taldo urr¿ ptutícttlrr sc llilieve li r'eltrcjcl¿rd collst¿llte, sc ticle qut: r4
tl)
r.'l¿ ircc]c¡ación clc la paitícul,r se rt:tltrce a su cornp<)uentc
nolrltll
nortnc de l¡¡ aceler¿citirt sicmple eslí dirigid¡ h¿icia ('l tralcctolia tle la partícula' r'stt rn.lgnitud es a,, : xt fp ?or colrsiguiCjtte, h conrpolente tror.u¿rl si: deienr-riD¿r corr lircilitl¿tl si Sc (r)r-ioce l¿ velo ciclrrd dc ln par-tícrrl¿ r. cl raclio cle cruwirtura p de la tr¿reclor-i¿. l)e ,rr',r,erI i,r\,,r-sir crr,urclo se óonoce la-Í,locicl¿rcl v l¿r acek:r¿ción nonn¿ll (le la pir|tícultr, es posiblc olrt,¡rer el rarlio cle cur-r¿rturii rle. l¿r trl'Lvccto tr lll I'esoh'cr ttstl ectlacitin pal a p lprcl lrleura lcsucltc.r I 1. I l].
b) Ltt
com.ponente
c,,.lrtrá clc crrr.vrrtli.a de la
en lrea tlitnensiones, se l-ocltl re a uu tercel- \tctol LLnitario' crr,rl clefirre Li dirccción cle l¿ binonl¿l En vist¿ de quc este vect(n es puCde obterrerse ¡Ll cscribir Itcrleli(li(.ll]¡r.t¿trto ¿r la r.elocicla
:
cl lln nr¡t iniettto e.
x
e,,.
cl
et,
670
-
\,xa lvxal
3, Enpleo de lrs c-omponentes Íqdial y transxersal. Esttis col.rponentes se uti_ liztrl par-a analizar el movi .liento plano de una parúcula p, cuando t posición p se clefine mediante sus coordenad¿s iolares r y 0. óorno se muestra en la'figura 11.2i,
el r.ector,unitario e., que de{ine lá direcci¿n ra.dial, se rure al punto p y ri¡rrrnt" jiinclose del punto fijo O, en tanto que el vector unitrr.io e,, que definé la dirección "letro¡tsocrsal, se obüene ¿rl rot¿t 90' é, ett tl senti,l,, L.ontrLtrit, ál tlt las ¡nanecillas clel ir:/ol. La velocidady la aceleración de )a partícula sc eE)resar.on en té¡n.iir¡os de sus cor'rponentes radial y tr.anwer-sal en las ecu¡rcjones (I1.43) y (I1.44), respectjvamen te. Se puede advcrtir que las erpresiones_obte,r.ridas contienen la primeri y segunda rle;\ird,rs (on respe( lo a t de lrnb¡ts coordclradr¡s ¡v á.
Er est¿i lección se encoltralán los siguie'tes tipos de proble'rns que i'rplican a las corrponentes radial y tr.ansversal,
qt Tdnlo r t.omo Q xon funcíones tonoci¡lcts ¿,le l. En esl, clso .. ..,Llcularán :, lrtitlr,-r;r \'iequtrdt tl"liv¿drs ,le r ¡ 0 se JUslil ¡ )r.n lrs erll.esionc.i que se ob_ Ietrqjrr en las c"ur¡ ion.s ' I 1.,f 3,¡ , ti.++1.
bl
Existe cierta relación entre r q g. Prinero, es neces¿rio que determine relación a partir de la geometía de un sjstemi¡ dado, y utilizarla para expr.esar r corro una función de g. Una vez que se conoce la funció".í : f@), se puede ryJlcar la regla de la cadela p¿rra determinar ien téminos de g y g y I Ln térrrinos de b, úi y 0, est¿r
i f'00
¡,- 1",0\é:-.r\0)0 Las e:rpresiones rlue se obtienen se sustituyen entolces en las ecuaciones (11.43) y 11..14).
cl El mouimiento trirlimensir¡nal
d.e
una partícula, corro se indicó ¿l final
cle l¿r sección 11.14, er.r muchos casos puede clesci.ibirse de nr¿urer¿r eficaz en térrni, de las c
'os bel consistir en e¡i,
cilí
:
k. Las componentes"correspoldientes'ectores de la velocidad y la aceleraciór se indican en las ecuaciones (11.49) y (1i.b0). Advier-t¿r que la dist¿ncia rrrdlal R sienrpre se ¡ride er un pl:uro par.alelo ál pl"no,r'/, y terga cuidado de ncr !orrl rrdir el re|ror de ¡osi,.ión r col¡ su (.ontlonelll. radiriJ Re¿. eo y
671
-t)
--
1 1 .135 El diámetrc del ojo de un huracán estacionario es de 32 km y la r¡áxina velocid¿rd del üento corresponde a 160 knVh en la pared del ojo, r : 16 krr. Si la velocidad del viento es const¿nte par¿r r constante y üsndnuye de rnanera uniforr¡e con el aumento de r hast¿ 6'1 kn/b en r : 176 km, determine la magnitud de l¿ aceleración del aire en ri) r : 16 krir, b) r:96 km, c) r: 176 km.
Figura Pl1.f35
Figura Pl1.136
11.136 En el inst¿nte que üluestra l¿ ffgura, el auto de carrer¿¡-s A rebas¿ al auto¡¡óvil B a velocidad relativ¿ de 1 nVs. Si las velocidades de arubos son const¿ntes. ¡ la aceleración relativa del ¿ruto A respecto al auto B es de 0.25 m/s2 dirjglda hacia el centro de curv¿tura, deternine la velocidad del auto a) A, ü) B.
11-137 DeternirLe la velocidad má{ima que los c¿¡¡os de la r¡ontaña rusa pueden alcanzar a 1o largo del t¡amo circulu AB de la pista, si la componente normi de su acele¡ación no puede ser nrayor de 39.
Figura Pl
672
1 .1
37
I l.
138
Problemas
Conforme gira la leva A, la rueda B del seguidor gira sin res-
*r sobre Ia can de la leva. Si las componentes no¡males de aceleración i he puntos de contacto en C^de la leva A y de la meda B son, respectiva*rr¿-
de 0.66
lDtr
m,rse
y 6.8 r¡,/s2, determine el diámetro de la r-uedidel
se-
l l.l39 Un automovilista via;a sobre la porción curua de una autopista rn rüo de 350 m a una velocidad de 72 km/h. De ma¡era súbita, aplica L +s. lo cual ocasiona que Ia velocidad üsminuy¿ a una tasa constatte * .5 ¡¡. s-. Detemrine Ia magnitud de l¿ aceleración total del automór,'il r [rrÉ&¿i¿mente después de aplicar los frenos, b) 4 s después. ). )-
i-
6 L
'! 1
.140
Una pista al ai¡e libre es un círculo courpleto con díámetro de rapidez en ¡! ¡ r,a 'rna aceleración tangencial constante y después mantiene la rapidez Lr ¡re conpleta el círculo en un tiempo de 54 s. Deterrnine Ia magnitud & ir reler¿ción total máxima de la corredora.
lll ¿ f n¿ corredora inicia desde el ¡eposo y alcanza su rrárima
11,141 La velocidad periférica de los dientes de una hoja de
L*r'-J
Figuta
P1 1 .1 38
sierra
de los dientes disminuye a una tasa constante, y la hoja queda en reDetermine el tiempo en que la aceleración total de los dientes
,'= r A-q: -J' tts-. r1"I42
Un automoülista empieza a conduci¡ desde el reposo en el
p -l sbre una rampa de ent¡ada circular cu¿ndo ú : 0, aumenta l¿ ¡aautorróvil a velocidad constante y entra a la autopista en el punto ¡-a i.-i-.elo<.idad t 5L continúa aumentando a la misr¡a ¡azón hasta que alca.nza b,ñ =ih en el punto C, dete¡mine a) la velocidad en el punto B, b) la Q¡x de la aceleración total cuando ¿ = 15 s,
r-
s00
I¡
.+----.1t0 k¡n/lr
reÍi€5
// 51t)l,r'/ll
l¿d
¡n¿
-¡ lt¡
nr-r4z Pll-1¡12
Figuta P11,143
rlli-
ff"ld3 Err un instante determinado, durante una carrera de aüones. ¿.r. -{ uela horizontalmente en línea rect¿, y su velocidad aumenta a r¡¡r Je 6 m/s2. El avión B r,uela a la misma al'tura que A y. al rodear un ¡t rurr una tralectoria ci¡cula¡ de 200 m de ¡adio. Sien un insta¡te dado Lri¡r:d de B está disminuyendo a razón de 2 m,/se, determine, para la :l.:bir'¿d¿. a) la velocidad de B relativa a A, ó) la aceleración de B
r -{, I -riE t?,l.r.f Los autos de carreras A y B se desplazan sobre trumos circub i cie pista de carreras. -En el instante que se indica, la velocidad de ¡fur-rr ¿ r¿zón de 8 m/s2, y la velocidad de B se incrementa en una I ¡:=. Para las posiciones mostradas, determine a) la velocidad de ¡i lúlq¿;{ ú la acele¡ación deB relativa a A.
Figura P1l.144
673
674
Cinemáiica de partículas
1 1 ,145 Una boquilla descarga un chorro de agua en la dirección que se muestra con una velocidad inicial de 8 n/s. Determine el radio de cu¡vatura del chorro a) cuando sale de la boquilla, b) en la altua máxir¡a del
cho¡ro.
Figura
P1
l.l45
1 1 .146 Una niña lanzn una pelota desde el punto A con velocidad inicial v¡ a un íngulo de 3o con la horizontal. Si la pelota golpea una pared en el punto B, detennine c) la magnitud de l¿r velociüd inicial, b) el radio de curvatura mínimo de la trayectoria.
.147 Desde el prrnto A se lanza un proyectil con velocidad inicial 120 fVs a un íngulo de 30" con la vertical. Determine el radio de cu¡-
11
v¡ de
vatura de la tlayectoria descrita por el proyectil a) en el punto A, b) en el punto de la trayectolia donde la velocidad es paralela a la pendiente. 11 .'148 El moümiento de la partícula P sobre la trayectoria elíptica most¡ada se define mediante las ecuiciones r = (2 cos rrf -'l)/(Z - cos ¡t) y y = I.5 sen m/ (2 - cos rrf), donde r y y se er?resan en pies y ¿ en se gundos. Determine el ¡adio de cuñatura de la trayectoria e1íptióa cuando a) t:0,b) t:1/3 s, ¿) ¿ = 1 s.
Figura
P'f 1.147
Fiqura
Pll.f48
11.149 El ¡novimiento de una partícula se clefi¡e mediante las ecuax: lQ - q3/61 + t2 yy = (t3/6) - (.t - 1)2/4, donde;u yg se erpre_ en metros y t en segundos. Deterrrine Ia acele¡ación de la paitÍcuhl el
ciones san
r'¡(lio dc (.rrrvaturil de la trayectoria cuando
f-
2 ..
Fióri que 5 de c r-
r"
u"'
ll-150
h¡¡
lÉinm
Un tubo horizontal descarga en el punto A un chorro de agua
de?;;;;i;;;"i;"1i
rese¡vorio. Exprese el radio de las velocidades va y v¡.
Problemas
"
Desde el punto A se dispara un proyectil con velocidad inicial ,¡'., lr--:51 yrlestre que el radio de curvatlu¡a de l'a tiayectoria ¿"l o."*"tif'A
*:+r
mínim¡ en el-punto más alro dc r" #,y""r"ir, ri íi'si." a. 0 eJ ángulo fonnado por la trayectoria lu horironij on ¡ c,^muesrrJ que el r¡dio do --*,^ ál i",..y;;;;;;"'¿ "l
= =1f1f FElms'0. =¿f
", F¡Eura
I
cr(Iad lnr-
pared en
radio de
Fr7.151 y P|1.152
d
inicial
de currD) en el u
flJ52 el punto A se dispara un proyectil con relocidad ini_ ,D"esde o lorma un ángulo o con la horiionial. Erprese el raüo de :E de Í+ ta trayectoria del proyectil en el punto C en terminos de r,
rgI, Dete¡mine
el ¡adio de curvatu¡a de la trayectod¿ que describe del problema 11.97 cuando f : 0.
F i eliptica
! cps ¡,'t) lf en sei cuando
'11.154 Delennine el radio cle cunatura de la t¡alectoria que des_ rLpttrLJa del problema .98 cuando l = 0. ; -l;;: l* "''
tLf56 y,11.156 satélite üajará de manera indefinida en una ór_ -L'n Grü_ralredcdor de un planeta si ]a componcnte no¡mal de acelera_ a gi.Rir)r. donde g l" *"l"ro"i¿n ái;;;"d"d 151,:::,,E" ". det,ptan:la. R el.radio del ptanera T :cle ¡ r la üstancia"desde el
t
práneta aJ saté[te. Si el diámetro de] Sol'es cle L39 Gm v la ace_
¡-l^---,r de la graredad.en sr s.perscie
E
d.
27;-,;{;;."i;;t"i";d;
rJue srgrre el ptaneta indicado ".alrededo¡
es ci¡cular.
del
11.155 Tierra: {u-".r")¿,uiLo - t07 M m,/h 11.156 Satumo: r¡,ñ.ü,J.i,r,nu - 34.7 Mm/h
h
ecua-
E e¡?re-
tula y el
SoJ
suponiendo que
P1t.t50
675
676
Cinemática de Particulas
11.160 rJ¡ satéIite para el sistema de posicionamiento global (GPS'
oor sus siglas en inglés) se encuentra en una órbita circular a 10 900 mi soi'" l, o,,i.fi"i" de"la Tierra Si el raüo de la Tierra es de 3 960 mi, deterrin" i"-po de una órbita del satélite (Vea la información dada en los
"l 11.155 y 11 156 problemas
)
11.161 Un satélite viajará de m¿nera indefinida en una órbita circude la Tierra cuando su componente nonnal de aceleración sea alrededor Iar izuut a s(&t)', donde g = 9.81 m./s2, R ei el ¡adio de la Tierra = 6370 km lr',]i*r¡cia desd"e el centro de la Tierra hasta el satélite. Si el diáme'i. ". iro de la Luna es un círculo de 384 x 103 km, determine la velocidad de la Luna en relación con la Tierra. 1'1.162 Los satélites A y B viajan en el mismo plano en ó¡bitas circuSi lares al¡ededor de la Tierra a alturai de 190 y 320 km. respectivarnente. radio y el muestra se la forma que = O f.t s¿télites están alineados en "", tenestre es R = 6 370 km, dete¡r¡ine cuándd volve¡án a estar alineados radialmente. (Vea la información dada en Ios problemas 11 f55 y fI 156 )
.ir r-/B ll
\,, F¡gura Pt
l.l62
de la varilla OA ¿lrededor de O se deffne Por lne8' sen 3¡¡t, donde 0 y f se erpresan en radianes 0.5¿-0 dio de la relación El collm'n B se desliza a-lo lar-go de la r"rilla [e. ,, sezundos, respccli\ amcn 2t 6/- 81' donderesii O es desde qu".., dislancia á" ñ"n"ro en úies v, ár, ,esondos En t = 0.5 s, determine a) la velocidad del colladel collann. c) la aceleración del collaín relativa a la ¡n,'b) ú
11,163 Larotación 0:
r- I
-
-
"""letoɿn
varilla.
Figwa P11.163 Y P1'l '164 La oscilación de la va¡illa OA alrededor üe O se deflne por meüo de la relación 0 : (41¡)Ger- ¡f), donde 0 y t se er?resan en radianes y a \o \argo de [a varilla cle tan*t*, tÑo,"a¡rrenie. E\ co\arin B se dei\i¿a + 6r' dondé r esrá erpresarla 10/ri r-es o ¿"',1" ;:;;;;"'ilü;;"1" velocidad del colla¡ín' la ¡¡' determine I s i En ;;;; ;;;;r"g*dos. a Ia ¡i ü1"á"t""roti*al del collarín, cj la aceleración del collarín ¡elativa 11
.164
varilla.
Probremas
" ! 55 El rnoritniento en dos dimensiones de una partícula se define exr ¡-:. i- l¿s relaciones r = 28 coslAt/2BJ y 0: At/98 ' donde r se deE¡= 1---ros. t en segundos y á en raüanes SiAy B son constantes' ; ,r. magnitudés de velocidad y acelemción en cualquier instante' =rm¡ rl o -ri i. cun""atura de la trayectoria. ¿A qrre conclusion puede llegarse ?...l¡r:-:.
. -r tra\ectoria
de la partícula?
- ' 56 L¿ tl avectoria de una partícula P es ul caracol El moümiento r i¡ :;r'-:-ia está áefinido por las relaciones r : b(2 + cos ñ) y 0 : trt' dri - : r eplesan en segundos 1 r¿didnes resPectiva) nente ,DetenniDe * " -. , ¡;.d .laceleraciónle la parlr'cula cuand<-' f : 2 s, b) el valor de 0 ¡c. -- ,',= l; relocidad es mríxima. '
fl
: L-
Si ¡:,
" 157 Ll rro\irnicnto
de la ¡artítula P sobre la t r'ryecto ri a ,Prlabcjia ri¡- ::rrstr¿ la figura está deffnido por las ecuaciones r = 6tVl + .4t2 , : --,:. ' \. clondá r se exPresa en Pies. 0 en radianes y t en seguÚdos' i¡.t'= < l. velocidad y la aceleración de la particula cuando ¿) ¡ : 0' --
Figura Pt 1,'167
l€16 5-¡;
[-r 1¡
':.168 El movimiento bidimension¿l de una partícula se de{ine por 3r r F-d::, i{ r---senu-cosu )tan0- |-,; I' donde ry 0 se ex¡resan -a :r-+ ::Cianes, r'espectivanente, y f se exPresa en segundos Deterlrineel * * --,-:-itudes'
r]lr€5\ ¿d¿ s¿dl ¿ric
al¡
Figuta
P1 1 .1 69
Figura Ptl.166'
677
fi78
C¡nemática de partículas
11.170 Delermi¡e la magnitud de la acele¡ación del auto de c¿r¡¡eras del problema 11.169 en términos de 0, 0 y 0. 11.171 Después de despegar, un helicóptero asciende en línea recta en un ángulo constante B. Un radar sigue su n¡elo desde el punto A. Dete¡mine la velocidad del helicóptero en términos de d, B, 0 y 0,
Figura Pl
Figun P11.172
l.l7l
11.172 EI pasador C está unido a la varilla BC y se desliza libremente en la ranu¡a de lá varilla OA que gira a.rMón constante to. En el instante que B = 60', determine a) i y 0, b) i y0. Exprese sus respuestas en términosdedyar.
11.173 Un cohete de prrreba se dispara verticalmente desde una plataforma de lanzamiento situada en B. Cuando el cohete está en P, el ángulo de elevación es 0:47.0". y 0.5 s después es 0:48 0'. Si b = 4 km, áete¡mine aproximadamente la velocidad del cohete du¡a¡rte el intewalo de 0.5 s.
Figura P11.174
11,174 Un aüón pasa sobre una estación de rastreo por radar en A y continúa su melo h¿cia el este. Cuando el avión está en P, su distancia y su ángulo de elevación son. respectivamente, r = 12600 ft y d : 31.2'. Dos segundos después Ia estación de radar ve al aüón en r = 13600 ft y d : 28.3'. Determine de manera aproximada la rapidez y el ángulo de inclinación a del avión durante el intervalo de 2 s.
rSV 11.176 Una partícula se mueve
Problemas
a lo largo de la espiral que bc fuuras. Determine Ia magnitud de la velocidad de Ia parúcula
Etits
G&b,0y0. Ea:h
De-
2^ FiEuta P11.175 y P11.177
Figwa P11.176y P11.17A
|'LI?7 t! 11.178 Una partícula se mueve
F
a lo largo de la espiral que bc fouras. Si 0 es constante y se denota con ¿¡, determine la magI¡ ¿eleración de Ia partícula en términos de b, 0 y o.
Muestre que i : hó sen 0 si, en el instante mostrado, el esde h escaladora está girando en sentido contrario al de las ma¡re-
rli e[te mte
rEi-
a
ula razón constante $.
tr k
El moümiento tridinensional de una partícula se deffne por coordenadas cilíndricas (vea la ffgura 1 L26) R = A/ (t + 7) , 0 Ctllt + I). Detelrnine Ia magnitudes de la velocidad y la acelera-
:
¿lt:0,b)t:*
pl* I
El movimiento de una parlícula sobre la supeficie de un cise define mediante las relaciones R : A,0 = 2¡tyz = Atzl4,
áü-
lm, v¿Io
co¡stante. Determine las magnitudes de velocidad y la aceleraen cualquier tiempo f.
Gr
¡rtícula
Figura Pl1.179
f,"
, fuura 'A
)-
ysu
6 Se-
&3'_ r
del
I
d
P11.181
Para la hélice cónica
del problema
1
l
97. determine el ringulo
1üno oscilarte con el eje q. Determine la dirección de la binormal para la tmyectoria des11.98, cuando ll) t : O,b) t : n/2 s.
patí-ula del problema
679
- .i.:t1i
.-.1,
Coordenada de poslcjón de una partÍcula en rnovimiento rectilíneo
+r+ffi
OP
Figura 11.27
t --l
Velocidad y aceleración en movimiento rectilíneo
En la primera rlitad del capítulo se analizó el ¡/loü¿miento rrctílíneo de uti panícula, esto es, el rllovirnjento de la partícula a lo largo de unlr lín;a recta. Para definir la posición P de la partícula soble esa lílea se elige un origen fijo, O, y una direcciÓn positiva (figura 1l 27) La distancí r desd'e O irasta P, con el signo apropiado, defir:e por completo la posición de la partícula sobre la línea y recibe el ¡ombre áe coordenada cle posición de la partícula lsección 11.21. Se deurostró
qle la aelocidacl a de Ia parlícula era igual
vadn respecto al tiernpo de la coordenada cle posición
c'.:
::== r
a la deri-
r,
dr tlt
(11.1)
y la aceleración a se obtuvo diferenci¿rndo o con respecto a ,,
dn
(rr.2)
dt 7l NI
(n
E
3)
:r i=:
También se señaló que a podría expresarse cono
o-u dx rt* Se obsewó que la velocidad u v la aceler¿ción
(11.1)
í
se rePresen-
-tt: : ',:
...
::::
tarán mediante números algebraicos que pueden ser positivos o negativos. Un valor positivo de r.¡ indica que la pattícula se mueve en dirección positiva, y un valor negativo que lo hace en dirección negativa. Sin embargo, un valor positivo para a tarl vez signifique que la partícula realmente está aceler¿d¿ (esto es, se mueve nTás rápido) en dirección positiva, o que está desacelelada (esto es, que se mueve con mayor lentitud) en dirección negativ¿l. Un valor negativo para ¿ está sujeto a una inter?retación simil¿r lproble[ra re-
suelto
'r'ai!
11.11. ':
Determinación de la velocidad
y la aceleración mediante integración
En la mayoía de los probleriias, las condiciones de movimiento de una partícula se definen mediante el tipo de aceleración que ésta posee y por nredio de l¿rs condiciones iniciales fsección 11.3]. La velocidad y posición de la partícula pueden obtenerse entonces integrando dos de las ecuaciones (11.1) a (11.4). Cuál de ellas seleccionar depende del tipo de aceleración implicada fproblemas resueltos 11.2 y t 1.31.
680
-:
"-!fT
ü¿.? }' :-:u"-
-E
{
: rcct ilíneo unfu-rul lsección :.¡rtíc¡rla es constante v
,r*:.-
>.:
ureludo se encuentran dos tipos de movimierrto el moaí-
ll.4],
en el cual la velocidad
X:x.o+Dt -..
n
r.r
inúento rectilíneo unifot-mzmente acelerado lsección 1l-5], es constante y se tiene
o-Do+at r:ro+L)ot++út2 x2:a3+2a(r-ro)
11 681
lvlovimiento rectilíneo uniforme
(11.5)
:- ¡r¿l la aceleración a de la partícula
+=
Repaso y resumen del capítulo
lvlovimiento rectilíneo uniformemente acelerado
(1r.6) (1r.7) (r1.8)
l-:.,¡rdo dos partículas A y B se mueven a lo largo de la misn.ra ¡:lr-- :r{ta- es probable que nos interese considerar el naahniento -,,;::,- de B con respecto a A
lvlovimiento relativo de dos partículas
oAIS
ca¡l
F¡gura
I
L28
.--.
r,r
z
'':¡-1ta de B con respecto
n.
11.6]. Si se denota mediante r¡¡16la coordanada de posia A (figura 11.28), se tiene r¡J
u l---enciar lr:arE
:
.IA
+
.rBlA
(11.e)
la ecuación (11.9) dos veces con respecto a t, se ob-
iiiÉsi\ amente
DB: üA + DD/A aB:aA+ats/A
(r1.10)
(rr,r1)
rn,i :; . \ dBlA representan, respectivamente, \a aelocitl'ad relat '- crcleración relatiaa de I con respecto a A.
¡r
!¡rr
-
,¡rdo
n-:-::-.
:eIl-
oso tie\ e
úlón
iqut :llli
qur r ne¿ fe-
*. --== É1!*.-
>-rr
¿\ei¡te{{.iGrelto.
Bloques conectados mediante cuerdas de longitud constante
ruo\{niento lproblema resuelto 11.5].
l: -<-¿sioues resulta conveniente utilizar una solución grófica rn:rllemas que implican el movimiento rectilíneo de una paru¡u, ='rtiones 11.7 y 11.8]. La solución gráfica que se usa de mar:;i :--. común incluye a l¿s curvas r-t, D-t y a-t lsección 11.7; proü3Li :-uelto 11.6]. Se demostró que, a cualquier
Soluciones graficas
tiempo f,
u: a-
¡r iÉr-!to
r.arios bloques se conectan mediante cuerdas de longies posible escribir una relación ftn¿¿l entre sus coorcle posición. Es posible escribir entolces rel¿ciones simila¡us lelocidades y entre sus ¿celeraciones que se usan para
-.::4nts,
pendiente de la curva :r-f penüente de la curva o-l :.¿.L rue. sobre cualquier intewalo de tiempo dado de t1 a t",
:r2
t2
1)t 11
: :
área bajo la curva ¿-f área bajo la curva o-f
:- - -qunda mitad del capítulo se estudió el moÚimíento curliuc ; ,i\a paúíL'ula, es decir, el moümiento de una partícula a 1o ¡8" i -:r¡ trar,ectoria curva. La posición P de la partícu1a en cualry rÉ::po dado lsección 11.9] se definió por tre&o del aecnr de !.rB2 ¿ r ¿ue u¡re al origen O de las coordenadas y al punto P ({i-
Vector de pos¡ción y velocidad en movimiento curvilíneo
682
Cinemática de partícutas
gurarr11.29). I-,a aelocidnd, v de \a partícu1a se definió mediarte la re_
dr
(r1.15)
dr
y se.enconlró que era un ue¡1or tang?nle o la froq?ctorio de lu oar_ lírula y de magnitud u_ r denom inada"m pldrz a" tu p".ti"rlrl ig.,A';i" denvada en et tiempo de la longitud s del arco descrito por Ja p-ar-ttu.la: ds
(r r.16)
dr
Figura 11.29
La eceleración a de la pattÍcuJa se deffnió mediante la relación Aceleración en movimiento curvilíneo
a:Edv
(r1.18)
y se señaló que. en general, la aceleracióñ no yectoria de la pafttcula.
es tangente a
la
tftL_
Derivada de una función vectorial
Antes de proceder a la consideración de las componentes de ve_ locidad y aceleración, se estudió la definición formj ¿" f" ¿.¡r"j de una función veclorial ; se establecieron ¿gunu, ,"n1", o;" or_ biema¡ la dilerenciación de sumas y productoid" iuno"on"J u"ño_ riales. Después se mostró qrr" lu .arár, de cambio de ,r, -,."to. ra mrsma con respecto a un sistema de referencia ", fiio y con resDecto a un sistema de referencia en traslación lsecciOn ti.í01.
Componentes rectangulares de la veloc¡dad
N 9:T,T mediante x, y y z las coordenadas rectangulares de una parbcu.la P. se enconbó que las componentes rectanzu'Íares de la velocidad y la aceleración de p resultan iguales. respeciívamen te, a la primeray segunda derivadas ...p"""to ¿ de ia, coo.derrad", "on " correspondientes:
y la aceleración
,
D,:i a,=t Movimientos de las componentes
D..: ¿ az=Z
rll.29, (11.30)
Cuando la componente ¿.. de la aceleración depende única_ mente de t. x. y/o ur. y cuando de manera similar a,'a"p"n¿" ,Jlu de t y/o D!. y a, de L z y/o u.. )as ecuaciones r t.l .30)"se integran de lorma independiente. El análisis del rnoümjento curvilíneo tado se reduce de ese modo al ¿nálisis de tres movimienlos de componen_ tes rectilíne-as independientes fsección ll.l tl. est" onfoqlrJ., ln paftr'cula_r electivo en el estudio del moümienro de proleciJes [pro_
blemas resueltos 11.7 y l\y'ovimiento relativo de dos partículas
Dr-- A ay:ü
Il.8l.
En el caso de dos partícu1as A y B que se mueven en el esna_ cio (ligura I1.30). consideramos el movimiento relativo de B ion respecto a A, o más precisamente, con respecto al sistema de refe_ rencia en movimien to unido A y en t raslaciSn con A [sección
ll.
I2
Al denolar mediante rB/A el Dector de posicíón reiatíua de B ¡. con respecto a A (ligura 11.30), se obtuvo
rB:
rA
+ rB/A
(Il.3l)
Al denotar con vBlA ) aBlA. respectivam ente.la oclocídnd relatíca vla arplerarión relatiaa de B con respecto a A. se demostró también {ue
vB=vA+VB/A
(11.33)
ats: aA+
(11.34)
aB/A
I
d
b
Repaso y resumen delcapitulo
-{lgunas veces es conveniente descomponer la velocidad y la acekrrión de una particula P en cornPonentes di[erenles a las recran-
r. y y z. En el caso de una partícula P que se muere a lo Ergo de la trayectoúa contenida en un plano, se unen a P los veckres unitarios eú tangeüte a la trayectoria y e, normal a Ia trayectria r. dingido hacia el centro de curvatura de la misma fsección 11,f3]. Se erpresa entonces la velocidad y Ia aceleración de la partí'ula en términos de las componentes tangencial y normal. Se esgulares
)
or-
rla n¿
11 683
Componentes tangencial y normal
cribe
)
(r1.36)
I
t-
l
alD
t'Ú-
re-
da go-
to'es cio de
¡la ]-a dás
)
\
ka-
ólo de )5e CTF
e¡l
Ii'
- er +-e,, atp
a:
donde o es la rapidez de la partícula y p el radio de curwatura de su Se obsela que tr¿\'ectoria Lproblemas resuellos ILIO mientras la ilelocidad v eslá dirigida a lo largo de la langente a la ba\ectoria, la aceleración a consta de una comPonente a, dirigida a b iargo de la tangente a la trayectoria y de una componente a, que ryunti hacia el céntro de cuwatura de la trayectoria (figura 11 31)
¡ ll.lll.
Movimiento a lo largo de una curva espacial
Cuando la posición de una pardcula P que se mueve en un plano se define mediante sus coordenadas polares r y 0, es conveniente uützar las componentes radial y transversal dirigidas, rcspectivamente, a lo largo del vector de posición r de la partícula y en 1a ürección obenida al rotar r 90" en Ia dirección contraria a la de las manecillas del reloj fsección II.l4]. Se unen a P los vectores unitarios e,y e6 dirigidos, respectivamente, en las ürecciones radial y tralsversal (ffgura 11.32). Después se erpresa la velocidad y Ia aceleración de la pardo¡la en términos de componentes radial y transversal
Componentes radial y transversal
: te, 't
v
pa-
1¡ - r02)e, + (ré + ztl)e" ^donde los puntos se usan para indicar diferenciación
fe-
D":i a.=i-r02
con
rla $e
rQe6
(rr.43) (11.44)
con respecto aI tiempo. Las componentes escalares de la velocidad y la aceleración en las direcciones radial y transversal son en consecuencia
r2l-
i
Figura 11.31
Para una partícula P que se mueve a lo largo de una curva err el espacio, se definió el plano que se ajusta mejor a la cuwa en Ia recindad de P como el plano osculador Este plano conüene a los rectores unitarios er y e¿ que define, respectivamente, la tangente r la normal principal a la curva. El vector unitario eb que es per¡rndicular a1 plano osculador deffne labinormal.
tffF
@n
(11.3e)
D6:r0 ao:r()+2f0
(11.45)
(r1.46)
Es importante obs ervat q\re arno es igual a la derivada en el tiempo de o,, y que ¿0 no es igual a la derivada en el tiempo de o6 [pro-
blema resuelto 11.121.
i)
El capítulo finaliza con el eitudio del uso de las coordenadas ciIíndricas para deffnir la posición y el movimiento de una partícula
)
en el espacio.
Figura |1,32
proporcional
,184 La aceleración de unaIpartrcula es directamente 0 lo Particulo.está en r = 36 lt 1 ¡ """¿t"i. ¿Ji'".po / Cuando cxPresel) uen térmrnos oer' t - gs,¡ - ta4ff fu - 27fLls 11
Si en
define mediant: ]l i11* 85 La aceleración de una partícula srse en inicia t = o la partícula lr';ii"- ff ffi;;;"; 4i la a) ¿ r tl) c delefmrne "o'nr,*,". ^,,--.1^ = cuand¡ -/" a*a" *i *p"'á en r - 6 m y.u -- 6-m{s I :. 1o.s'm/s' c) la veloci-
":
1 1 .1
Siili#Jii?iti
ii,i"ia""'iJ u p"x"ula
cuando o
7
'5
dad máxirna de la Particula a 25 mi'4r y acelera automovilista entra a unr üa rápida 17,786 Una 'ft"ti" con el ádómetro del automóvil'
."rf-iái""","
os
'"n
De acu"'do
Determine"¿) la 65 mi'4r'
iu:;ná.'"ct;;;;ilq,''" '""o"io o r ,,'i mient¡as aceleraba ftl",,i;;il"i;*"itouil. b el ti'mPo requerido ¡ara alcanzar '
uu = 25 r rri/lr
Figuta Pí1'186
1 1 .1
87
reposo I t" El bloque C inicia su movimiento desde el "-1"u"
haciaabaioconaceleracidnconstanre.sidespuesc|eI2slave]ocid¿ddel B y C btla i,ilil?;t;--+!u mmA determine ar las ac'el'rrciones. de A
ó despues oe o \' relocidad 1 el canrbio en la posición del bloque
11.1-88- Un¿ partícula se mueve en línea recta con Ia velocidad que la ffgura. Si r = -540 m en f : 0, c) construya las cu¡vas -¡ y r-ú 0 < r < 50 s, y determine b) Ia distancia total recórrida por la patícuh ¿u
-fa ¡n crdo f :
50 s, c) los dos tiempos en que
-
r : O.
20
tgura
I l,
¡ L
a
P11.188
189
El automóül A viaja sobre una autopista
a
velocidad constante
t. a = 100 kru4-r y se encuentra a I20 üt de Ia entrada de una rampa de acc* cr¿ndo el autonóvil B entra al carril de ¿cele¡ación en es" prrnto u ue Hd c¡)¡ = 25 km/h. El automóül B acelc¡a de mane¡a unifi¡me v en¡ rl c¿rril de tráfico- principal después de ¡ecor¡er 70 m en 5 s; Íuego ¡i¡i¡ acele¡ando a la misma tasa hasta alcanzar los 100 kru,4r, en los cua b ¡e ma¡tiene posteriormente. Detemine la distancia fin¿l entre los dos .r'-ri¡iles.
e
:l h
-zPtl-189 Una máquina lanzadora "dispara"
pelotu de béisbol a unave_ - -11.]90 b*d lorizo¡tal q,. Si Ia altura /r varja éntre ?SS y I OOS mr-rr, determine a d d
l¡r
ñ1-rSO
Problemas de
repaso
685
686
'11,191 Una pelota
cinemática de partículas
F¡gura
se deja caer sobre un escalón en el punto A y rebota con velocidad v6 a un ángulo de 15' con la vertical. Determine el valor de o6 si justo antes de que la pelota rebote en el punto B su velocidad v¡ forma ur-r ángu1o de 12' con la ve¡tical.
Plf.l9l
( 1
1
C
.192
Se descarga ca¡bón desde un camión de volteo a velocidad ini1.8 m,ls 50'para que caiga sobre la banda transportadora B.
cial (v¿)¡ = F Determine la velocidad requerida v¿ en la banda si la velocidad ¡elativa con la cual el ca¡bón hace contacto con la banda debe ser a) vertical, ó) lo más
t
i
! c
pequeña posible.
11.193 El pasador A, unido al eslabón AB, está restringido a moverse en la ¡anu¡a ci¡cul¿r¡ CD. Si en f : 0 el pasador empieza ¿ moverse de manera que su velocidad aumenta a ¡azón constante de 0.8 in./sz, determine la nragnitud de su aceleración total cuando a) t = g, b) t = Z s,
-úc ll
a
r
L !
F
a
F¡gura P11.193
F¡gura P11.'194
¡ l¡ ¡ ri F
a I
'11
.194
Se descarga carbón desde la puerta trase¡a de un camión de
F 50'. Determine el radio de cu¡vatura de la trayectoria descrita por el carbón a) en el punto A, b) en el punto de la tmyectoria situado a 1 m por debajo del punto A. volteo a velocidad inicial de vA = 2 IIt/s
I1.195 El movimiento en dos dimensiones de una partícula se deffne r¡eüante la ¡elación r : 6(4 - 2p-") y 0 = 2(% + 4e-2t), do¡Lde r se expresa en pies,, en segundos y 0 en radianes. Determine la velocidad y la aceleración de la partlcula a) cuando t : 0, b) cuando f tiende a infinito. ¿A qué conclusión puede llega¡se respecto a la trayectoria final de la patícula?
Be-
h
AB
-{
2 I
ioi-
aB@t¡
I
üás rlerse I
gur-
ll.Gl Un proyectil entra a un meüo ¡esisüvo en r : 0 a velocidad lra: :300 m/s y recorre una üstancia d antes de quedar en reposo. La iH del proyeciil se define mediante la ¡elación o = o¡ - 2700¡, donde r+es. Én ietros/segundo y t en metros a) Determine Ia- üstancia d J*" e.pr"riones páru poii"iótt. r elocidad y aceleración del proyectil ñ-"ión del ri"*po. ó)
C ra-ffque
h
posición. velocidad
¡
ac"lera
d- prorectil como fuiciones de tiétnpo desde el uromento.en que el d e"ü ¡ meüo hasta que penetra una distancia de 0.99d. It-Cz La magnitud en fVs2 de la desaceleración debida a la resisteniie sobre la n"ariz de unpequeño cohete experimental es de 0 00015o2, r r etpresa en ft/s. La parte delantera de ta n¿riz se ProyecLa vertiI desde el suelo a velocidad inic¡al de 420 lvs Enclrentre ex?rcsior h rapidez de la parte delantera como una función de la altura cond¡ sectión del cóhete asciende hasta su altura márima y mientras ¡l s¡elo. Graffqrre la relocidad de la parte delantera como una lun* h elnrra para lós moümientos ascendente y descendenre iSugarcn-
de la parte delantera cuando ésta se mueve hacia arriba es g
O-ffi15u2, y ': la acéleración cuando se mueve hacia abajo - ibnde
reh
tt-Gt
g
-
32.2 fils2.l
EI movimiento de una partícula se deffne mediante las ecuaI20t y u : ]r2}t2 - }ts,donde r y y se etPrcsan en mi-
dIl
Encuentre Lncuentre r f eú segundos, en segundos, '-¡^" p."',".r'"
emresio¡es velocidad y v la acepara la velocloacr e¡?resiones nara 0< , < interyalo el de ú. Considere funciones parúcub como & Ia las compob) en el plano-rg-, de la partícula h truyectoria rdrye;,
&irlocidaci j. y uu ¡ la magnitud de la velocidad u. c) las ..ornde releración a. y a, y la magnitud de la aceleración
¿
llGl
I-¿ rotación de la va¡illa OA al¡ededor de O se define por meL ¡el*ión g : t3 + 4¿, donde 0 se erpresa en radianes y t en segunl<¡l¡r¡o B se desliza a Io largo de la varilla de manera tal que su dis-
Ir
É
*
f3 + 2te, dondé r se erpresa en pulgadas yf en segundos. para la velocidad y la áceleración del colla¡ín como funt- C-onsideñ una ¡evolución de Ia varilla empezando en t = 0 y h t¡arectoria de la partícula en el plano ry, b) las comPonentes
o es r = qresiones
¡
üd r- r: u6 ¡, la ¡.ragniiud de la velocidad o, c) Ias componentes c r ae r' la magnitud de la acele¡ación a liú le
de
¿l€
cu¡-
I¡¡nto deffne
ryfesa celer¿iA qué
b?
Figura P1l.C4
687
688
Cinemática de partícutas
, 1 1,C5 La trayectoria de ura pardcula p es )a dipse definida por las relaciones r = 7.75/(I -0.75cos Ít) y 0 = Ít, donde i se erpresa én p.,lgadas, t en segu¡dos y 0 en radianes. Deduzca expresiones para la velocidad y la aceleración de P como funciones de t. Considere el intérvalo 0 < ¿ < q ; y grafique 4) las componentes de velocidad q- y rre y la magnitud de la velocidad o, b) las componentes de aceleración n, y ae y la magnitud de la aceleración ¡¡-
-t1.C6 El
dispositivo que se muestra en la figura se conoce como mecanismo de retomo rápido de Whitwofih. L¿ va¡illa de ent¡ada Ap gi¡a a una nzón cor'star'te ó, y el pasador P tiene la libe¡tad de deslizarse e¡ la ranura de la v¿rilla de salida BD. Use un programa de computadora para calcular y glaffcar 0 en función de @ y 0 en función de { para una revolirción de la rarilla A?. Suponga que ó: I raüs. 1 : 80 mmy a) b: S0 r¡m, b) b = 60 mm, c) ó : 70 nm.
l
F¡gura Pl1,C6
" .C7 En un par-que de dive¡siones, el "aüón" ::..: : :-.do
A está unido
¿r
un ele
OB de 35 ft de largo. Para oper'¿lr este juego mecánico, el avión -- i - .-iran de manera que 70" < 0o < 130' y luego se dejan oscilar- librcr-,r:- -:.declo¡ de O. El avión está sujeto a ll aceleracion de la grauedad y . * :¡.¡..rleración debid¿ a la lesistencia del aire, k¡:2. la cual actú¿ en di?'-:r:-- :lrrest¿ ¿r la de su velocidad v. Ignorando la masa y el arrastre aeroc:--- l¿ OB r,la fricción del cojinete instalado en O, uiilice rn prog¡¿m¿
r -- r:: -:edora para detelminar la velocidad del aüón corespondiente a .rr d ::: de d¡ r, 0 y el valor de á para el cual el ¿üón quedar:i en reposo ¡.:-rrr-. --¡.
r-.:e se
suelta. Use valo¡es de 0¡ desde 70 hasta 130" en increme¡-
,-'t ., detemine la velocidad márirna del avión y los primeros clos va,.r^ :- - -'. lot.'rrl"s ' 0. P¿Lra L.rJa rnJor de 0¡, con.idere que ¿/ I = : ,::-.1 {10 6in.-l,c)ft:1X10 ril.-r. \Sugeftnciot Expr-ese Ia ace-
'r,"
É-¿r i .-gencial en términos de g, k y 0. Recuerde que oe = r0 y utilice s:i-- - . :le tienpo At : 0.008 s.)
Figura Pt l.C7
l¡_l|ts.Fst*--
Problemas de computadora
689
I
-!
cAPirulo
"- i.:i-x,;
wzt:-é .::'
I l
ir
I!
- : -::¡óvil se despraza sobre er tramo curvo de una pista de carreras, está suieto a una componente ' I : : 'igida hacia el centro de la curvatura de su trayectoria. La fuerza de gravedad y las otrás fuerzas ' j : ::s sobre er aulomóvir deben considerarse ranto como ras componéntes de acereración. En este , ::'-.2tá ¡a relac¡ón entre la fuerza, la masa y la aceleración.
12.1. INTR0DUCC|0
CINETICA DE PARTICULAS: SEGUNDA LEY DE NEWTON
La plirreray la terceru leyes de Nervtol del r.iror.irnicrito se ernplealol de rtranera arlplir en esthtica para cstucliar cuerlxrs en r-eposo v l¿rs firez¿rs que actúan soble ellos. Est¿rs dos lcles tnnbión se utilizan en dinriliricq en ¡e¿lid¡d, soll suffc.ientes para el e"^hrdio clel rlovjlr¡ielrtr¡ cle cuerpos qlre no tienen ¿celer¿rción. Sin crnbalgo, cualdo lc¡s cuerpos estál acelerrdos, esto cs, cuan&> canrbia la ni:lqnitr¡cl o lir direccióu clc su velricl¿rcl, es r lecesrlrio reqrrril I la segrr ndl lev tle niorimietto de Nerr.ton para rela_ ¡iulrar'rl lnr,ürrri-lrto del t'r,rl,o,ul lrr. ll,.r.zls ql, .¡.lrl¡rn solric el El este capítulo se estudiirr¿r la srgrrr,du l<,i de Nerrt.,n 1 sL: .rpli_
12.1 12.2 Segunda ley de mov¡miento 'ntroducción 12.3
12.4 12,5 12.6 12"7 12.8 12,9 12.10 12.11 12"12 12.13
t
de Newton Cantidad de movimiento lineal de una partÍcula, Razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal Sistemas de unidades Ecuaciones de movimiento
dcl mor.irrielto tle prrtrculrs. tl,,r¡., s. est,Ll,l'e.:e cn Li seccií¡r 12.2, si la lesultiulte de lrrs lur:rzas rluc rutriill sobrc urr¿ l¿Ll,_ l,, rllit l¡,' n. ¡ ero éslr [elrtlrj r¡¡¡ i,,.el-¡rr,.ión propr,,,.ior¡rl o 1,, n,,,',-,,i lrrd tJc lr¡ r.:ullarrlc r .rr ll Jirnnci,i¡r,le c.1,, l,¡.r¿,i ln.ull.urte. {J¡riri", -für, es posible rtilizar ei cocjelte entr.e Jirs nagnitucl"" ¿., l" t."*rf c¿u¿i ¿rl ¿rnálisis
Equilibriodinámico Cantidad de movimiento angujar de una partícu¡a. Bazón de cambio de la cantidad de
iiu¡le
)
de l:r .rceleraciri¡r
lr
¡.rr.rL
d, linir Lr ,,¡,,r,¿ d- L, ¡.rr1icrrLr.
seccicirl t!.3 se defir,- lt cu¡ttkltul. rle nicn intie.ntc¡ li¡teal tle u a ptrr-tícul:r conro el ploducto L : llv cle la rrtirs¿r ll t, l¿ r.elt¡cjclnd v de la prirtículn, y se (letnuestr.a r¡re la sr:gunfla le1, clc Ner¡.to¡ pueclc cxpresarse cr ur¿ forni¿r altenrativ¿r que r:clacior.ii la razón de ciimbi
mov¡miento angular Ecuaciones de movimiento en términos de las componentes rad¡al y transversal Movim¡ento bajo una fuerza central. Conservación de la cantidad de movim¡ento angular Ley de gravitación de Newton Trayectoria de una partícula bajo la acción de una fuerza central Apl¡cación en mecánica celeste Leyes de Kepler del movimiento planetario
Err
solucitin de_ problemas'dinÍunjc.os y ofrecr urr rcp.Ls. .l-l Si.i;,rlo Intern¿rcioral dc Uriclades (rrnidadcs del Sl) y el sisteinri cle uso corrún , r, Ertrdor L ridL,s. l¿r
Enl'¡.se,tlorre' 12.5r ¡¡ 6, .l¡
lns |)¡.,,l,l"l i|. l.esr¡ellos qr¡e siau.lr de Nerrl,,n:L lr¡ ¡oluc.ió1 ,1, ¡,ro1,1"r,,,,, J,.ii,g._ lr'rtlrr. ulili,/irndo cotrf,rrerics r-, lilt¡.rrtlarr,. o r1,lnp(,rer¡l( s f, rllrr_
¡c irlli(i,
llseglndrl,r
r nonnjrles,l- Lrs fu¡r'z:r. r L¡i:¡.ellr.lcir¡rrn. r,,plic,,.l,,r H.,¡ qu_ orJrl qr. en ur tuer¡o r-eal, ilcluidos cue¡tos tan'g.ur]d", .,r, rr¡lorrrriil. rrrrcolr, f* o un Jer,,¡rl¡¡¡q. Pr¡-dericor,.i,ler,¡.se r1,,o "n,í,u I,jLr_ ti|rl¡ con "l lin de r,¡r¡liz,,r su rllor ilnienlo rnie lrt. \cir pusil,l,. iglrl,rill el eli clr',le rrri¡ rolr(.iór dcl , 'r, 1,o rrlr.ed-,1.,r.d" ,u ,.,.,,i,,-,.1" ,n,.-.,, Lrr .egrrr,da p.rlc dcl , r¡frlul(' se rl,,tlit..r r Lr s,,l¡¡cicjr ,1,.n¡oLl.rus en t;r'tninos ,le lai ¡olrlol¡, rrle.i ¡¡11¡¿l lrirr¡sr,.l.sal, s,ll,r,rr.rl,,lo ) cl., , ilrles rcL
mancra pafticuJar.el n¡oürlierrto dc la paiícu1a b4o rura fuerl¿r ccntrul. En l¿ sección I2.7 la cantitLLd da uL,tuitttivttt,t ,utgL LLr II¡¡ cle Ja paltrcrr_ la ah'ededor- del puntr¡ O se define c,,nro .l r,ror¡fnt,, ,,h"¿"¿,,,1á" ó ¿" la cantidad de li¡oümiento li¡eal de l¿ ¡tiutrcul¿: Hp - ¡' , ,r.r.. L¡.* ,. -que deduce de la segulda ley dc Neuton lir rrzor cle c.Lrrbio ,[ i,';r_ tidad de noviuiento angular H¡ dc la'partícula es igual tu,"rl,",t" l* " cs¿ p¿rtrcula. rrornertos ¿rhededor de O de las fi¡erzas qrc .rctüarisubre La sección 12.9 t¡at¿r el urovimicrrt,
.nnt
ftvr:r
ck- Un
r
clr nna
pllrtuh
b.rj,,
h
)rccior
r
de
co¡tn¡l. esto es. sujct.r a untr fuerzl ,ii,i$¿" t,n"i" u ,¡"j¡lr.lur"
Puut() +ijo O. Prristo que rr rir fircrza de estc tipo tienc m,u,.,"r.rto ¡üeded, ,r' Jt- O. sc torclu¡ qrit- se conserva la cantid¿cl de rno\.i]¡ielto ".ro
"
ugl¡Jlurlnl¿prrrti.uL,rlr"dedorcl.O.fsl,rpropir.rla,l.irrrllifir.r¡rle¡rurc_ ra corsider¿rblc el ¿nailisis del novimiert, d. uir,r p,utr.ufr l,.io u,r. {Lrcr_ zJcer,lriJi.rj L¡secr.iorr I2. l0sr a¡lic.,,Lrsol,r,.i,inri,.¡,r,,1,|e,,,r's,r,,.i,nnli_
¡ r el mor
ir,riento orhit,,l .1c ,.rr, .r1,61 5orr r-licle5 ;1 ,,1,1.,"..¡6n gr, n il,.,.in,l ,l. L¿s secciorlr¡s de l¿r 12.Il a l¿ I2.li3 sol opcionales. plcseltan una ür, lsi,lr rr:r. :rrrrpli'r ,lel roülnielrto,,rl,ilrrl ., I.rlrlieror ,";;. ;., I'lerr¡r r-l,rt iorr,tlos corr r¡rtr..irier r:rlerte t
692
E¡ tr& ra. iic. ?f¡
rlfr¡1¡r¡ -: _ r-:r
-'::rcrtF e\perirnerrlo: unl partícuh se sorn;le a un" fr.rro I .r LlDstiulte ) rirlgnitud colstante F1. Bajo la acción de esa ---. T r '.i--.¿ ,1ue la p.utr'cuh se mueve enlínea rlcÁ y enla clirec_ =¿
.I
af-
¡i-
^|t de
lr
T ú i .--...-:t: tiE_¡n Il.l¿\. Al detenninirr la posición áe LL parlícu_ ¡ ! j:;:-::- i: instantes, se encuentra q"" ,., i l;J;';'r' ""i".,oiJlf,]".r* f;, - -::t¿rric c1. Si el e.rperjmená se repite _¡q¡nr.,: f. "o,, rj, ," a", --,ltérenrc nagnitud o dirección lttg*" U.il f !!n1 :r''.,,ia_r ez que la patícula se mueve en"la di.eccióí de l¿ fue._ ¡ ú¡!ir- .d--- j i 'obre ella y que las magnitudes a ¡, az, as. . . .. d" l* ;;" r4r¡:r-rj ; rr proporcionales a las rnagnitudes Fr, Fr, F3.... , de las F::¡s -. -:i:lorldientes:
de
Fl
F,
F"
til |li
OI
0.2
aB
tú l¿
il 'L
"cr,r,lo
accleración pro¡torci¿n,tl a
l,l
-
l¿¿
IL
1ri a
12.2. Segunda tey de movimiento Oe
i,t ttwgnitud de lu rextl_ ¡E r r _':-,ri,;nd, csto [ut,r.4 resttlloulr. -, -- ! ler cle niovir¡r'ento de Neu¡ton se corlprende rleior. al
eL-
PL-
LEy
DE MOVTMTENTO DE NEWTON =!üftDA ¿ i=--I:' j =. l- \etrton 5e pue
:
..
-
a)
"./ d
'f. b)
constante
c)
Figura 12.1
a- :
,. const¿rnte que se obtiele para el cociente las magnitu_ É! e- ¿. :aerz¿s I'aceleraciones es cáractenstico de ladeparticulla oue r ::r-{.r:.ar se deno¡rina Ia z¿sc de la paftícu1a y se deiota ,ledi-irr_
t ¿. una pitrlicuru derrrarn,, o"íú,, r"" ir"-,, e. ¡, -. r-r a, eleliición L-- l_--rdo.oble a de la pirrlicula deben sahsf¡cer ertonces l¿
t?t::r:
a_
:to !-
F=rna ai:. ::,-r:ión
(r2.1)
proporciona una formul¡rción corrpleta
la segunda ley r \-,- . , rro sólo erpresa que la magrritud d. h 1 de ,,,n orri"r.or. F. <' :orrrb¡err /pues[o q¡e ¡¡ es^un esc.alar positiror " quÉ loi veclores I ¡'--',Én la r,risma dirección ,figura 12.2i. D.b" ¡jr"¡¡.5" llf ¡"
//
rf
¿
¡a -.-:enpo laría de magnitud o dirección. Las magnitudes de Fi, a D.i-T g flen ¡roporcionales. y l,_rs dos rectores tiencn lu misnri diráe_
:-_ c n¿lqlriel. inst¿rnte determinado. Sin enbargo, g"lre.nl, no "r., fentes a la trayectoria de la partícula. rl':l¡¡ido ula pariícula se ,orrlát" ,1" maner¿ simultánea a va¡ias r-¡tr=-. l¿ ecuación (12.1) debe sustituirse por
$n
--=:
XF:
ma
iinu," r".,
(12.2)
¡:r:,= :F ¡epresenta la sumatoria, o resultante, de todas las fuerzas Ju: a:ri,¡n sobre la partíctrla.
loE,/vt
notarse eJ sistema de ejes col respecto al cual se deter_ ,nlr-+r<¿celeración que a ro es arüit¡¿rio. Estos ejes deben tener una o¡ien_ r+a.- Ín \t¿m tc resnt-clo a las esl rellas. y es rrecesario q ue u orige n ,cun + _ -qo .U )ot , o 5r- mue\ I con velocidad (.onstante
ljr,ruortrot{ (J.¡
s
i' r, -:_
!r
¡
con resp"cló
5istet]¿ de ejes de estas car¿cteísücas ,ecibe el nombrÉ de
::{is¿Drente al centro de m¿sa del sistema sol¿r.
J
s¿s_
liliuridohüiloC$lür]
\l
t'tewton $$$
_{ (
694
C néiica de partículas: segunda
temn tle referencia n¿tL,'toniano.I Un sistema de ejes unido a la Tierra no constituye un sistema de referenci¿r ner¡,toniano, ya que la Tierra gira con respecto a las estrellas y está acelerada con respecto al Sol. Sin embargo, en 1a mayorÍa de las aplicaciones de ingenierÍa, la aceleración a puede determin¿rse con respecto a los ejes unidos a la Tielra y las ecuaciones (12.1) )' (12.2) se utilizan sin ningún error apreciable. Por otro lado, estas ecuaciones no se cumplen si a represent¿ una ¿celeración relaüv¿ medida con respecto a ejes en movimiento, tales como los ejes unidos a un automóül acelerado o a una pieza de maquinaria lotatoria. Se obserua que si la resultante )F de las fuerz¿s que actúan sobre Ia partícula es cero, se deduce de la ecuación (12.2) que la aceleración a de la partícula tünbién es cero. Si Ia patícula se encuentra inicialmente en reposo (ve : 0) con respecto al sistema de referencia nevto niano utiliz¿rdo, así se nantendrá en reposo (v: 0). Si en un principio se movía con una velocidad v1y, ]a partícula mantendrá una velocid¿rd constirnte y : v0; esto es, se tloverá con velocidad constante oo en un¿ línea recta. Esto es el enunciado de la primera ley de Newton (sección 2.10). De tal rnodo, )a prirnera ley de Ne$ton constrituye un caso particular de la segunda ley y puede omitirse de los pdncipios fundamentales de la mecánica.
12.3. CANTIDAD OE MOVIMIENTO LINEAL DE UNA PARTíCULA. RAZÓN DE CAMBIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Si se reemplaza la ¿celeración a por la derivada dv/dt en la ecuación (12.2), se escribe
,1.
)F: rn]
o, ya que la masa rrr de la partÍcula es const¿nte,
>r:
frwut
(12.3)
El vector riv se denomina como h cantitlad. de moaimiento linealo simplemente c¿¿ntidad de mot¡imi,ento de la partícula. Tiene la misma dirección que la velocidad de la partícula, y su nagnitud es igual al producto de l¿ masa m y la velocidad o de la partícula (figura i2.3). La ecu¿ción (12.3) er?resa que la resttltante de las fuetzas qu.e actúot.
igtal ala razón de cambío de Ia cantiúLd de mouimtento lineal tle la partícula. En esta forma fue que Newton enunció originalmente la segulda ley de movirniento. Al denotar por L la cantid¿d de r¡oümiento lineal de la partícula,
sobre la partíanla es Figura 12.3
L = mv y po,
i
,n derivada con lespecto a f,
(12.4)
es posible escribir Ia ecuación
(12.3) en la forri,a alternativ¿
)F-L
(12.5)
iPuesto que la5 estrell¿rs no están realnente lijas, una defi ición más rigurosa de s$terld de relé¡enci¿ ne\r,toni¿no (denomin¿do tambié.n sistetna inercial) es a1o respecto al
r:nl
se
cwnple la ecuación (12.2).
zt IOm
ús mde
fIE ests
E& ¡tm
, Debe ¡rotarse que la masa m de la partícula se supone constante rk €('u¿ciones (12.3) a (12.5). La ecuación (12.3) o (12.5) no debe para resolver problemas que impliquen el movimiento --16 r¡s¿rse como cohetes. que ganan o pierden masa. Los problemas -crposle- t¡tb se considerarán en Ia sección 14.12.1 ; 3c &sprende de la ecuación (12.3) que la razón de cambio de la éd de moümiento lineal mv es cero cuando )F = 0. De tal ti
Juena resuhante que actúa sobre una pat"tícula
la
es cero, la
nhrc
de nwDimiento lineal de la partíatla pennanece constante, romn en direccíón. Esle es el principio de conseruanwqnitud 'cr * h iantidad de nor:imienÍo line part una parlÍcula. el cual
idal.
b rrtonocerse como un enunciado alternativo de la primera ley de sección 2.10).
¡ú
:Fto-
dF irhd I IIIB
ccfto pañi_
€uF
SISTEMAS DE UNIDADES
: ma, las unidades de fuerza, elegirse de manera arbitraria. Si eso hqitud r'üempo no pueden la magnitud de la fuerza F que se requiere para proporcioreler¿ción a a la masa nr no sería numéricamente igual al prosólo sería proporcional a este producto. En consecuencia,se releqir tres o óuairo unidades de manera arbitraria, pero se debe cuarta unidad de manera que se saüsfaga la ecuación Se dice entonces que las unidades forman un sistema de uni-
&=¡ h
ecuación fundamental F
r:
¡r h r-
.*licas consistentes lÉ utilizarse dos sistemas de unidades cinéticas consistentes: el ,
rxtl
lüemacional de Unidades (unidades del SI{) y unidades utilien Estados Unidos. Ambos sistemas se estudiaron en la sección L3 y se describen só1o de manera breve en
lnternacional de Unidades (unidades del Sl). En longitud, masa y tiempo y respectivamente, el metro (m), el kllogramo (kg) y el s - l-¿s tres se definen en forma arbitraria (sección 1.3). La & herza es una unidad derivada. Se denomina nerulon (N) y se an l¿ f¡s¡7¿ que produce una aceleración de I m/s2 a una
i*na ll23r
M.
dsm ü
pro-
3)-
I¡
Efifun
,rndn¡ú,cit a can-
(r24 naci¡in
(lz;'
l¿s unidades básicas son las de
I
k
ffgura 12.4). De la ecuación (12.1) se describe
|
\ : (l kg\r L¡752) :
n qrr las unidades
I kg.m/s2
del SI forman un sistema absolufo de uni-
l.o úterior significa que las tres unidades
básicas elegidas son
de la ubicación donde se efectúan las mediciones. El r, d hbgr¿mo y el segundo pueden ser utilizados en cualquier * b Tierra; incluso pueden ser usados en otro planeta. Y *lrí¡rr el mismo signi{icado. TF de un cuerpo, o la fuena de graaednd que se ejerce crrrpo- al igual que otra fuerza, se eqlresará en newtons. e rm ('uerpo sometido a su propio peso adquiere una acelerarhh ¿ele¡ación de la gravedad g, se deduce de la segunda ley qrr la nagnitud W del peso de un cue¡po de masa lr¿ es (12.6)
r ¡le sis-
Fto ¿
É
lx
ecuaclones (12.3) y (I2.5) se cumplen en mectuLica relúti1)ista,
p h masa nr de la paftlcula vaí¿ con la velocidad de la misma. tu¡¡rra de syst¿"E Intemational d'unités (eÍfiancés)
el:la
12.4. Sistemas de
unidades
695
596
Cinética de partículas: segunda
lry "-"'"^'l l*'".''
:
9.81 m/sz. se encuentra que el peso de un cuerpo de masa 1 kg 1figura 12.5) es
Al recordar que g
w:
(1 kg)(g 81 mis2)
=
9 81 N
Los múlliDIos v submLiJtiplos de Ias unidades de longitud' masa y son ' fucrza se usan'con ?recuencia en la práclica de Ia ingeniería - Eslos lmln\: mcgograel resoeclivamenle. el ki!ómetro lkmt 1 el milínwlro ,no'l t Mg' y el gra mn tg): ) el k¡loneolon tkNt Por definición'
m IMg:1000kg 1kN : l km:
Figura 12.5
1000
1 mm
= 0001 m
Ig:0001
kg
1000 N
resLa conversión de estas unidades a metros. kilogranos y newtons' decimal el punto simplementc desplaiando ," ;;;;.;;,
i..s """ lusare,
"r""t¡, a la derecha o a la izquierda'
pueden ói^t ttJ^d". aparie dt las'de masa longitud y hempo la ejemplo' Por 6ásicas unidades en lérminás de eslas tres "-..*r"" á,iá"i en *ot imieoto lineal se obtiene al recordar su defi','íirJ¿".
nición y al escribir
rno
:
(kg)(m/s)
: kg' n/s
mayoúa de Unidades de uso común en Esiados Unidos' La común un de forma siguen utilizando los ingenieros esladounidenses hre^rza y longitud' las de son básicas sistenia en el que las unidades /fi) la pie nte' al ame respeclir corresponden Jnidades ti"rrroo, corres"rtu, Iibro' 116) y el segundo ( s ). El segundo es el mismo que la unicllld define libra se La m 3048 0 como pie deine se ;il;;,¿ á"1 ír el que estóndn¡ libra pátrón platino, denominado de I"-" rr-, at
"i Nojtional Insdtute of St¿ndards and TechnoloS" cerca a "" "" Puesto qrre el de "o"r"i"" Washington, y cuya masa equivale a 0 453 592 43 kg r"
la ;;.;;";";;;;tdáp"nd. il" iu "t'ucción gravilacional de Ia Tierra' debe ñ Jii"cl¿o se especiftca lue la libra-estándar :;;iil; de manera situarse a nivel del inar y a una altura de 45' para delinjr comú¡ uso de ft"tz" de i lb. Es claro que las unidades ui"l"ua"
""" )soluto Én \4ren Estados Unidos no forman un sistema de unidades se señala terrestre' de 1a atracción.gravitacional orre forman un sistema grauila cional de unjdades' Ia lib-ra estándar si¡/e también como la unidad de no puede utimasa en transa'cciones comerciales en Estados Unidos' tipo no será ese de unidad de ingenierla, pues una ilt"tt" anterior' "" el párraLo en consislcnte con las unid-ades básic¿s definidas cuanes' 1 lb' esto de fuerza ."¿i¿ua, cuando actúa sobre ella una
;;;;áó;;á"ncia *" ;; *; ;;; "A*ft.
¡"
r = 32.t lils2
Figura 12.6
la aceleración do se somete a su propio Peso, la libra estrándar recibe unitaria 1a aceleración J no 6) y 12 lizfvt" lfigura áá iu nruu"dud, s con e1 consistente masa (12.l).ia unidad'de i""-.3""tát" i" ?"uación de I aceleración una recibe que masa' la Jl. i"i¡* "r segunclo es unidad' T) Esta " lb l tFigura.le de fuerza una ñ;;;;;;;';l" ^?lica un slug, puede deducirse de Ia ecuaclírL F = ma o"urionis
llÁud"
a=l͡irr
á" á"r1"?t "n esqibe
.t"i*ir F
1
lb y
: ma
ffs2
en vez de F y a, respectivamente Se
I lb =
iconocido t¿mbién como tonela¿a rnéfriú.
tl
slug)r
i
ftls2l
cuerpo
r
12.5. Ecuac¡ones de
I mrst
movim¡ento
rlb
- I ftls2 - ' lb.s%i
slug
1_
tos sor!-
egogro-
{F c l-. D5_
res-
brim¿1
tráta principalmente con pesos y otras fuerzas, y rart vez con Sto embargo, en el estudio de l¿ cinética. Ia cual
h
t
ulttsa ,r de un cuerpo. cu¡o peso M- se ha la ecuación (12.6i, se escriÜe
'.r
neden
w
rplo- la
e
u deff-
ría de
ú¡
un efza \
ft).
l¿
oITeS-
lefi¡re que c€rc¿ ¡ue el ¡_:
r¡¿ la
mn
será
trior. uan-
:
(lb. s?ft¡1fVs¡
:
lb . s
otro. Las converde las unidades del sistema de uso común en Estados Unidos a del Sisten.ra Intemacional de Unidades, y viceversa. se estudió en la -t'rión 1.4. Ha¡ que recordar que los facioros de conrersiólr que se ¡lturielon &u\ieron para las unidades de longilud. fuerzl y masa rnasa son, resneclj respecti,
lr
wrente,
\lasa:
I ft r lb
1 slug
:
: :
0.3048 m 4.448 N
1 lb . s%t
:
14.59 kg
-lulque no puede utilizarse corrro una unidad de masa consistente, la r¿s¿ de una libra estándar es, por definición,
dde uti-
(t2.7)
Convers¡ón de un s¡stema de unidades a
Longitud
r
Al
ines
Fuerza:
eñala
ras.
3 es h aceleración dc la gnvedad ,g : 32.2 fysj). Otras unid¡rdes rpade de las de [uerzi. Iongitud y hernpo pueden q)resarse en ténrinos de estas tres unidades básicas. po¡ éieirolo. la nidad de cantidad de movimiento lineal puede obten".se i üliiar.do h deff¡rición de cantidad de moümiento liieal para escribir
debe
ri¡-
fuerzas,
&&
a¡era rmún n
iiplica
I
libra,/masa
:
0.45J6 kg
! posible utilizal esta constmte para determinar la masa en unid¿des del SI r hlogramos) de un cuerpo qur. se ha caracterizado r¡or su Deso en unidades de uso cornún en Estados Unidos (libras).
rión taria ¡n el ale
I
¿.^¿
' ,na '- Se
12.5. ECUACIONES DE MOVIMIENTO C-onsidérese ura-partÍcula de masa r¿ sobre la que achiat varias fuer_ ñ. Se tiene de la sección 12.2 que la seg.,ndaiey de Neuton puede
Epresarse mediante la eclración
)F:
ma
gue relacionl las fuerzas que achian sobre la parhcula \ el veclor,ra ügu ra Sin embargo..para resol, er los próblemas que ir nplican el .12.8). rnorimiento de una partícula se encontrará más conveniánte suitituir la eclación (12.2) por ecuaciones equivalentes que ilcluyen cantidades esc¿lares
,,I
(12.2)
/
697
.,r{i"" 698
: -::.¡ ce fra.t c! as: seslfda :. i: !errto¡
^trfl
_ {,¡: ñr l:t l-¡+::l¡ ti::,; tn!|ttr¡!y¡¡tús. Al clcscorupo er c¿d¿r fucrza v lir ¿cole¡¿rciól a cn colnl)(nlentes r.ccliurgulirres. ie esc¡ibc
:(F.i +I,/j + f.k) :
i tL,,ji
a.k)
)F. : rrirz, )F,, : nvt,, 2L. -
nm.
tn(o.,i
F
de kr riue se clcducc (12 8)
\l rte,,rd.rlJ, \orr rgrrrllcs
laseccir¡r 11.11 t¡rc 1as cornponentcs de l¿ ¿celer¿rción r l.r \r'grndr J, rir':trl.r cle l¿s coorrlcn¿rd¿s
lielre
)I. : rrr-t
2F,,
: tttij
)F. : riri
(12.8',)
(lonsidérese, crorro ul cjcrnphr, el rnor,jniicnto de rn provectil. Si sc iglor-a It ¡esistc'rrci¡ clc.l uire, I¿ única lircrzrr r¡rc actíra óltre el pro, 1't'ctil dc'spuós tle r¡re r-lste se ha liuzado es su peso \{ : Il¡j. fln colsccLrclciu. las c.cu¿rciolrcs que rlefiren eLrnovitnieltt¡ del provcctil sol
ltij :
¿ri:0 t
\I,
/,¿::0
las cornporrrrrtes de la ¿ccler'¿cirjr del 1>rovcctil c{r-respoldcn il
:
i¡
\I/
s ::{)
-:
donclc g e,s 9.8I ¡r/s: o 32.2 1i,ls2. L¿rs ccuirc,ioles quc sc olrtit:nen se rr¡rc+-r, rli rr.rrrer,L intL,¡',rrJr.ute. (!uto ¡^e nlocs:tr¿ e¡l l¿r secció¡r I t.11, ¡¡r.1 ,,Lter, r i.L rel,,t.irl;rrl v cl clesplazanricnto ciei prcryectil en
clr¿rlrluier- illsLütte.
l-,r,,r,,lo,rrr,¡,rol,l,
. , , ¡,¡.¡.,.,,, ,n,,.. I;¡s, r r¡;¡t.jor,o. rle ,1J,, ,,,,o ,1" ,, ,,r.e lo. ,r.r, "11,,., r,1 Jr r, Se¡,,.,r_,rtrrt_t,, .er..i,,r, rj.2,l,r*r,l],,. "l 11,,. rirs it(eret-it(rrtHs delr,rt rrtc(lir_\c (rrl l_cspecto a un sislelta
l'rr, lrl,, rjelr lr
ll:l::ll
A
rrr,r
i
r,r
¡
,
I i,
.
,
,
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,
esr r.ilrir.s,. ¡,,,r,r
l:
Figura 12-9
,;7,í:í;,1í,,.í:í:::,:::í;í#Kír|,,(,
j,"*=
A\ srrsrit'ir. a, v a,,,
I,:lf *irli:l, .o, _ u, Ís':j:",'""Jrá,:;"," oÁ á ui#'-u-"'i :,y::".?:!?":"" er cen''o de.u,u",u." ::l::.i^::"" oJ"" !dyeu¡ona.
,}"],tJ;,];:;.,., ir1:;.:: ;,",,. >F,
L¡u ecu¿cjoncs que
.,7rs-tftuú.¿\ í7ecilar:irj¡ (12 2),
se
-,,#
>F,,
obticrel put:clel
(12.s)
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lesolvc'r-se p¿u¿i cLrs incógriitas.
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¿ I¿
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xril- si el proin con-
ti]
son
>F ma:0
a
(12.ro)
lE se evresa que si se suma el vector -?na a las fuerzas que ac*e Ia partícula, se obti,ene un sísteÍvf de aectores equiDalente & 12.10). El vector -ma, de magnitud ma y de dirección 'ús¿ ¿ l¿ de la aceleración. se denomina aector de inercia. De Ial c¡ f¿ctible considerar que Ia paftícula
-0
está en equilibrio bajo Ia
& I¿s ftierzas dadas y del vector de inercia. Se afirma que la par*ieü equilibrio dintímico, y elproblema que se considera puede Í;r
d¡námico
ecuación (12.2) y trasponer el miembro del lado derecho, segunda ley de Newton en Ia forma alternativa
I12.6. a-¿cióu
12.6. Equ¡libr¡o
DINÁMICO
mediante los métodos que se desanollaron antes en estátic¿. el caso de fuerzas coplanares, todos los vectores que se muesh ffgura 12.10, lricluyendo aI aector cla inercía, pue
0en 5e ección
ctil en nes de
E prr> : todas
fereos
pGi-
Frerr¿
)F,,
: 0
inclugendn el aector ile inercia (12.LI)
r
usan las componentes tangencial y normal, resulta más conrepresentar el vector de inercia por medio de sus dos compo-
y -m^ú en el mismo dibujo (figura 12.11). La comt¿ngencial del vector de inercia ofrece una medida que la ia de la patícula presenta a un cambio en la velocidad, en qr¡e su componente normal (también llamada/rierza centrífuga) ruta la tendencia de la prutícu1a a abardonar su trayectoria curv¿. -rr,z.t
órilesrse en ;
firr-
h tan(hada
¡t
t\_
t¿9 L?-9'
p¡trs-
de este misnro, los vectores de inercia a menudo se denorricle inercia. Sin embargo, las fuezas de inercia no son simie bs que se encuentran en estátic¿, que son fueras de contacto o gr¿litacionales (pesos). Por consiguiente, muchas personas el uso de Ia palabra "fuerza" cuando se refferen al vector -m4 eritan el concepto de equilibrio dinámico. Otros afirman que s de inercia y las fuerzas reales, como 1as graütacionales, afecÉos sentidos en la misma forma y no es posible distinguirlas Íísicas. Un hombre que viaja en un elevador que se acekia arriba puede sentir que su peso se ha incrementado de mane.lEütinar y ninguna medida efectuada dentro del elevador podla Htter si éste en verdad está acelerado o si se ha incrementado de rre repentina Ia fuerza de atracción ejercida por la Tierra. 5e ha llegado a las solucionds de los problemas resueltos de este I nediante la aplicación directa de la segunda ley de Newton, como ik^a en las figuras 12.8 y 12.9, y no mediante el método de equili-
&ámico.
-0 Figura'12.11
699
PROBLEMA RESUELTO 12.1 Un blo-que de 200Ib descansa sobre un plano horizontal. Detemine la rnagnitud de la fuerzl P que se requiere para dar al bloque una aceleración de 10 fVs' hacia la de¡ech¿. EI coeffciente de fricción cinéüca entre el bloque y el plano es ¡r,r
:
0.25.
SOLUCIÓN La masa del bloque
\l'
es
lv 200 lb '' - T - 3r2 ft; '6¿1 lb's-/ft Se tiene que F = ¡r,¡N : 0.25N y que ¿ = fO ft¡,. Al erpresar
= 2(J0lb
P
zas
que las fuerque irctúlLr.obre el bloque son equivalcntes al vector /na, se cs(.ribc
\>F,: t o. ,r = 6.21 Ib s2lft
P cos P cos
+f)F, :0:
-
N
30'
-
30'
P sen
0.25ñ
:
0.25N
= 62.f lb
30'-
(6.21 lb . srlftXlo fvsz)
200 lb
(1)
:0
(2)
Al resolver (2) para N y sustitutu el resultado en (1), se obtiene
N:
P cos
30.
30'
-
P sen 30'+ 200 Ib 0.25(P sen 30' + 200 lb) = 62.1 lb
P:
r51
lL
<
PROBLEMA RESUELTO 12,2 Un bloque de B0 kg descansa sobre un plano hodzontal. Determine la mag-
nitudde la fuerza P requerida para dar al bloque una aceleración de 9.S n/;2 hacia la de¡echa. El coeficiente de f¡icción cinéüca ent¡e el bloque y el plano es ¡r,¿
=
0.25.
soLUCtÓN EI peso del bloque es
W Se
tiene que F
: mg:
:
(80 kg)(9.81 tr/s2¡
= 0.25N y que ¿
= 765 *
2.8 m/s2. Al expresar que las fuer_
= -¡,c¡N zas que actúan sobre el bloque son equivalentes al
1.>F,: r"n. +'l>Fli =
0.
P cos 30. P cos
-
30'
ñ
-
0.25N
:
vectoi¿ra, se'escribe
(80 kg)(2.5 m/sr)
0.25N = 200 N Psen30" 785 N = 0
-
Al resolver (2) para N y susütuir el resultado en (1), P cos
700
30'-
(1) (2) se obüene
N:Psen30'+785N 30'+ 785 N) = 200 N
0.25(P sen
p:535
N
<
PROBLEMA RESUELTO 12.3 s-
Los dos bloques que se muestra[ enlpiez¿¡ a r¡overse a parti¡ del ¡eposo. El ¡lano horizor,trl y Ia ¡ol"n no ¡r"senirn lriccidn y se 5¡pe¡q quo l, lra*n de l¿ polea pu-ede ignorarse. Deternine la aceleración de cada bloque y la ten_ sión de c¿rda cue¡d¡r.
I0
el
soLUctÓN Cinernátic¿¡. _ _ la derecha,
Se tiene que si el bloque A. se mueve la distancia el bloque B desciende
:
r¡ AI üferenciar
1)
hacia
ir,r
clos veces con respecto a t, se tiene
?)
I
l$ffi"'
,?¡ = 100 kg
1l
,rB = 300 kg
F¡"1
T*
lo
= l1)
.
A, el bloque B y la polea C. Blot¡ue A, Al denota¡ ¡nediante Tr la tensió¡ en la cuerda ACD.
se
escribe
l>2F,: nt¡at: T1 : I00a¡ Illoque I), Al observar que el peso del bloque B es we = nyg = (S00 kg)(9.8l m/st) : 2g4u *
(2)
y al denot:rr mediante T2 la tensión en la cuerda BC. se escribe
t !2F,, :
291U T2:
m6u¡:
10
o, al sustituir.a¡ de
I +'t' @i! - 0 T
(1)
Se aplica sucesivamente la segunda ley de Newton al bloque
,Cinétic.¡.
300u¡1
(I),
2940 r,:3oo(|a¡) 'I'z:2e10
polea
I
+ ]>F,
:
Al sustituir a-
(:, l?rcd.
- 1'5ou¿
(3)
p:Jesto que,¿c se supone igr¡al a cero, se tiene
:
T2 2Tr=g
{r:
(4)
T1 y ?e de (2) y (3), respectivamente, en (4), se obtiene
2940
-
- 2(100¿e) 350ao : g
I1Oa"
2940
l) l)
r¡
:
0 ri_1
:
1i.,10
rrr/s:
{
Mediante la sustitución del valor que se obtuvo para a¡ en (l) y (2), se tieue
at
:
!"ao: l(s.¿o -zs")
?¡ = I00a¡
:
(I00 kg)(8.40
n7;
=
'1.20
mAr) 7', :
llt/sr .(
¡j.10
\ <
l6E0
\ <
Recordando (4), se escribe
Tz:27'L ?r:2(840 N) Se
tiene que el valor que se obtuvo para ?2 no es igual
7! rLl
:
peso del bloque B.
701
PROBLEMA RESUELTO 12.4 El bloque i3 cle 12 lb empieza a noverse clesde el reposo y cilesliza sobre la A de 30 lb, Ia cual está sobre una strperficic ho¡izontal. Si se ignora
cuñ¿¡
la fl-icci¡in, deter¡ri¡e ri) la aceleración dc li¡ cuña, l¡) que relativii a la cuña.
l¡
¿rcele¡¿ciórr del
l¡lt¡
SOLUCIÓN Cinem¿itic¿r.
Se ex¿rrrlirr¿
Pli¡tc]'o la ¿cc'ler¿rción de la cuño y
Ja acele
raciór de1 bltx,1ue. Cuño A. Puesto que la cuña está restlirigicla a nove¡se solrrc 1¿r supel ffcie hoizo¡t¿¡l, su acelelación a.1 es horizt¡lt¿rl. Se supondr'á que ést:r irpunta hacia la de¡ech¿.
B.
L¿ acelcr¿ciórr a¡ clel bloclue B pttecle erpresalse corno surna cle l¿r ¿celeración de A v de la ¿¡celernción de B rel¿tiva a A. Se tiene
Bloque
I:r
¿¡:a.,r+¿r¡l^ ¿londe a¡rlj está alir-igicla a lo largo dc la super'licie inclirracla cle Iir cuñ¿. Cinitica. Sc dlbl¡,rt los diagrirnts deJ crreryo libre c'le la cuñt y del
l'loqrro v se rPIir':r lr 'tsSrrdir lt
( ,i¡¿
4.
s. d.ll,,1¡r
) rle \e*ior,. *l 'jerci,la. ¡t,r [,1,"¡uc ¡
las llrelzas
I,t
su¡rrficie
hodzont¿l sol¡re l¿r cr¡li¿r A necli¿nte Nr ir N2, respecti\'¿imente.
5)F. :
rr^a¡,
:
tn¡a,1
=
(!V1lg)n,1
N1 ser 30o 0.5N1
(1)
Illot¡ue 13. Al utjljzll los ejes de c
'2f
\",
\\'u scrr 3U'- rrFa.\ r1).3{ro tttttttp \ : l\Yu/g)l.a¡ cos 30' - n¡7¡) oR/A : 0A cos 30' * g sen 30'
-,t,¡,r,:
\:i/o 5el 30'
(2)
+\ -'tÁlt : tjlt:,ont N¡ - 1I/¡ cos 30' : -n¡¡r¿¡ scn 30" ' (3) Nr ¡t/" ¡os 30': -(lV¡/g)a.a sen 30" 4, Accler¿ciítn de la cuñ:¡ A' Si se sustituve N¡ de l¿ ecu¿ción (l) en la ecuación (3), se tiene
2(\vo/g)a¡ IV¡ cos 30':
-(Wu/g)o-a sen 30'
Al resolrcr pala aa y sustituil los ddtos nrunéricos.
IV¡
cos 30'
,
se escrjbe
I 12 Ib) co" 30" -----------: l
^ó¡ñ.-
" l(3u Ib) + (11 lh) scD30" '-- a I : 5.07 ft/s:-' '( d.\: +5.07 fi/s2 b. Acclelaciírn del bloque ll lel¡tiva ¿¡ A. Al srlstituil el valor que 2W¡ *
IVs
se obhrvo pi¡r'a ¿,!
sen
e¡ ln ecuaciírn (2),
rtct¡: at¡ :
702
30'
se
tiene
(5.Oi fVsi) cos 30' -120.5
ftls2
+ (32.2 ft/s2) seri 30' ¡r,i \ : l().5 lt/\r
F:llF <
'.,__ _ __-,,---------,--.{t
PROBLEMA RESUELTO 12.5 La plomada de un péndulo de 2 m describe un ¿uco de círculo en un plano veltical. Si la tensión de la cuer.cla de estos puntos es cjnco veces el peio cle la plonad,r en la posjción que se inclica, dcürrrine l¿ velocicl¡rd r la i"ele.ución de lri plornada en esa posición.
soLUctÓN
x']r
--€
El peso de ln plonrada es lI/_ = n?g; la terlsión en ia cuerd¿ cor-responde con secuentet:¡tente a 2.5 mg. Al recordar quc a,, ¿pUnta hlcia O iuponicndo 1 qle a, en la lorma que se muestr.a, se aplica la iegunda Ie¡ cle Ne*ton y se c¡btiene
!y'2Ft = ¡nq
r¿g sen 30o
=
¡r?¿rr
m/se a, : 1.90 ¡t/s2/ 1 : 2.5 mg ing cos 30. na,, u,, : L634 g : 116.03 :n/sz .r,, : 16.0;) r /s:\ { que ¿,, : oJp, se tiene ¿2 : p¡¡,: (9 m)(16.03 m/s2) o = f5.66 m/s v:5.66 rn/s,zz (anilrrL o abajo) {
or:
g
sen
30':
+4.90
*\EF,, = rira,,: Puesto
PROBLEMA RESUELTO 12.6 Deterr¡ine
:
velocidacl r¡i,'uiilita de lir cun,i cle un¿1¿tutopist¿r de radio p 100 cle peralte d 18". La xclocitlcicl ndtinttt ,1" j¡ o peraltada de una autopistn es aquella ¿ Ll cu¡l ul urrtorrLlil del¡r ,..iajal",u,, par:r Littc no eüslr flrerz;l Je r,,zall rllto lIer,.l clr .rr\ | , r,llr.i,:(r,.. l¿r
:
ft que tiene un ángulo
soLUctóN El autorlóvil se t¡aslada en u¡a trayectori¿ circul¿¡¡ horizontal de r adio p. La con¡ponente nonral a,,, de la aceleración apunta haci:r el centro de la tr¿yec_ tori¿; su magnitud es ri,, : r,2/p, donde u eslavelocidad del automór,il en l[t/s. La rn's¡ ¡,¡ dcl arrto es ll /¡ dund. \l/ cs,u pcsu. puesto,lue no se lu r eicr_ (erluerz.¡ de liicuiór¡ l¡¡eral rol¡re ll ;rrtr¡rnór il. ia l..rc.ción R del carniro," presenta perpendicul¿¡ al mismo. Al :rplicar la seguncla ley de Nervton se escribe
+f)Fr:0:
Rcos0-II¡:0 n= w g cos
(r)
1ls",r0:I,,,,
(2)
!:2F,, = na,,,
g
Al sustituir R de (t) en (9), y recordat q,rc a,, : x2fp.
IV
d^ _
cos 6
Al sustituir p
:
400-sen ft y 0 D2 :
D
IV ¡rr __
gp
= IB" e¡
a2:gplan0
est¿ ecuación, se obtiene
(82.2 fys2x400 ft) tan 18"
= 64.i
ft/s
t,
:
11.1
¡ri/lr .( 703
.¡- - _
I
4F-
En los problemas de esta sección se aplicarír la segi.ur da ley tle nTof ilniaTto ¿.e Nebron, )F - ttia, parir rolaciolar las fuev¿s que nctúan sobre una pariírrrla con el r¡o-
üniento de esta misma.
1. Escritttru rle las ecuacfu¡nes cle ntr¡oitnienlo. Al aplicirr
la segulda Jey de se enco¡tr¿rrá nlás estn leccicin, que se estucliall en
Ne*tol a los tipos de uroüniento conveüieüte expresar 1os vectores F y a en témtinos tle sus corlponentes rect¿uglrlarcs o de sus componentcs tmgelcial v nonnal.
q)
Cuanclo se utilicen comporTenle$ rectangulures, y recrlrdnndo de l¿r st¡cción 11.11 lls explesior.res que se obtuvielon Par¿ (v aq y rt., se debe erscrillir'
)F. : rrr
2F,,
: ntj
)F. :
nr.2
b) Cuantl¡¡ se usen las componetTtes tangencial y normttl' ¡' rcc,ttdando de Ia sección 11.13 las expresiones que se obtur.ieron par¿ ¿¡ v ¿1,¡ se tlebe escribir 2
dr )Ft : n -
p
2.
h)l clihujo tle un diagrunu tle un cu.erpo libre r¡te muestre las {ierzas rtpJicay un dia.gron'ta equíaalente que indique el veclor rna o sus corrPonentes proporcionirá una represeltación gráfica de la segrrncla le1 de Ner¡ton lprohle,nm resrreltos 12.1 a 12.6]. Estos diagrarras ¡estrlt¿rr'án de gran a¡.uda cu¿rndt¡ se escriban l¿rs ectr¿rciones de movirrielto. Hav que obserrrar c¡re ctr,urdo el ptoblenra inclul'e rlos o más cuerpos, suelc ser mejor considelnr cada cuerpo pot- separldo das
i3, Aplicación de la
segunda l.ey cle
Netton,
Con.io se obsewal en la sección
12.2, la aceler¿ciór utiliz¿d¿ en la ecuación )F : rria siernple debc s er la aceleracitin absohtta d,e la partícula (es deci¡ es necesario ueürla con respecto i tln sisterna dc referencia nentoniano). Además, si s e descttttooe el sentitlo de la oce[era.ción a o no es fácil deducirlo, hay que suponer un sentiilo arbilrario para 1a tnisma (por 1o geuelal la dirección positiva de un eje de coordenada) y tlejar que la soluciól plopolciore después el seirtido correcto. Por último, ha1' que adveftir córlo l¿s sohrciones de los pro-
blen,as .esr,eltos I2.3 y 12.4 se diüdier
Cttuntlt¡ trn problentt inchtye fritclón scca,hl; que terciorarse de Levis¿r l¡Ls iulportantes ,"""irtt", de ¿sr¿t¿cr; lsecciones 5 l a S.3l rtes de trat:u de resolverk¡' : p*N y E,rr ¡.rrti.:ul.rr. sc debe s¡ber- cui[rdo recurrir ¿ cadtr unir de las ecuaciones F
1,
, 1,., '{ia:;:\.
-. ..,-!,.i.i -.ii_..,-:::i.:::-".--"
"
,...
..'
,,., r.. -.¡--..i\i.,*.\
rr,óirrir..rrts \e ran i\s\\ vñ\\ !...,s, \a-ric\c!\
5.
Solución ile problemas que im.plican moaimiento relatiao. Clando el
cuerpo B se mueve con respecto al cuerpo A, como en el problema resuelto 12.4, menudo ¡esulta convenieüte er?resar la aceleración de B como
a
aB-aA+aB/A donde a¡7¡ es la aceleración de B relativa a A, esto es, la aceleración de B según se obsen'a desde un sistema de referencia unido a A y en traslación. Si se observa que B se nueve en línea recta, a¡7a estará dirigida a lo largo de esa línea. Por otro lado, si se obsen,a que B se mueve en una tr¿yectoria circular, la aceleración relativa a37¿ debe descomponerse en las componentes tangencial y normal a esta trayectoria.
6. Por úl.timo, hag que consiilerar siempre las implicaciones ile cualquier sttposición qu.e se
haga,
Por consiguiente, en un problema que incluya dos cuer-
das- si supone que la tensión en una de lás cuerd¿s es igual a su máximo valor perm! sible. se debe verificar si algún otro requerimiento impuesto para la otra cuerda será
¿tisfecho en ese caso. Por ejemplo, ¿la tensión 7 en esa cuerda cumplirá la relación < I < T,..6*? Esto es, ¿la cuerda perrnanecerá estirada y su tensión será menor que ¡u r alor náximo permisible?
tl
705
12.1 En Mar1e, la ¿celer'¿ción clebid¿r a la glavedad es de 3 75 lVsz Si ofici¡hnente se ha design:rdo lir r¡ias¿ de unil b¿1rra de pllt:r cotlro igtal a 20 kg, c'letermine este Peso en rlewtons en Nla¡te. de la ¿celeración cle la gr avetlacl a cualquiel latitucl Q 9.7087(l * 0 0053 sen2 f) rn/s'?, dorrde se. h¿ tomado en cuent¿ el électo de l¿ rot¿rción cle la Tierra junto con el hecho cle que ésta
12-2 El ¡¡lot
está dado pol g
:
no es esféric¿r. Si oiicialmentc se Jta designado la rr¡asa de lrna b;lrr'¿ de o¡o como igunl a 2 J
123
la fblma indicnda paquetes idénticos. Sj en el mourento que ei elevador se mrrc've hacia abajoloil ¿rceleración de I fVs: la b¿iscrrl¿r de resc¡rte indica una cargl de 7lb, detelrnine a) el peso dc los par¡retes, b) la cnrga indicada por la úi1scula ile resorte y la rnasa necesJri¡ p.tri¡ eqtülihr-.rr lLt báscrrlr de br¿rzo ru.¡n.'l.' c'elcr."lnr ¡.rierde corl rt¡ler'aciórr de ! li s .
l2-4
Un s¿rtélite piirir el sistern:r cle pc)sicionnüierto global (GPS, por' sus siglas en inglés) se értcuentr¿L eD ó¡bita ci¡cular a 12 580 mi sobre l¿ su¡-'ritie cle I:r Ti-rir \ (orrPlpl:r rrr¡ir o'l'il', t:rda lr. Si l;r rnaqlritrrd dc la
ll
i.r'nJ.,J ,1, rn,^irricnl,,lir'-J J"l s:rtclftc cs d' i5tt lu'' ll, ' ¡ cl radi" de l¿r Tiern es de 3960 ¡ri, detennine ¿¡) la m¡sa del satélite, lr) el peso del satélite aites de ser' l¿rnz¿clo descle
l¿r
Tier'¡a.
12.5 El bloque cle 40 lb inici¿i su moümiento destle el reposo clesplazii¡dose h¿rci¿ ¿urjba cu¿tnclo se i:iplican lirelzas const¿[tes de 10 y 20 lb so brc las cue¡d¿rs que 1o sostienen. Si se ignoran las m¿rsas de las pttleas y el ei'ecto cile Ia fhcción, deten¡jne la velocid¿d de1 bloc¡te después qre se ha no\irlo
1.5 lt.
12.6 Ul ¿rutomoülist¿r .lue ü¿ja ¿ una velocidad de 108 kwh aplica los frenos de nr¿nerr súbit¿ y se detiene después de patjnar 75 ¡r. Deter rnile zr) el tiernpo requerjdo para que el automór.il se detenga, b) el coeffciente cle ficci
Figura P12.5
12-7 IJtt autonóvil de 1400 kg se conduce h¿ici¿r abajo por unn pendiente cle 4' ¿r rrna velocidad de 8B krn4r cu¿¡rdo se aplican los freuos, lo Ere ocasjora un¿1 fuerza cle fien¿rdo total de 7500 N aplicrla sobre el auton.iór'il Dete¡mine l¿ distancia recorridir por el auto ¿¡rtes cle detenerse por completo
12.8 Er la prueba de fie¡¿rdo cle un automóvil deportivo, su veloci d¿d se redrrce de 70 mi/h a cero en un¿¡ dista¡cia cle 170 ft con resbalaniento ir-rninente. Si el coeficiente de fiicción cinética corresPonde a 80 por ciento del coeficiente de Il'icción estirtica. detennine a) el coeffciente de liicciorr l¿r dist¿urci¿ de flenndo para la ntisnl¿l velocidad inicial si el auto mó\-il prrtin¿¡. Ignore la lesiste[ci¿ del aire y Ja rcsisterlcj¿r ¿rl rod¿u¡iento
estática, ü)
706
a. esca.la
que pesa 0.2 lb se lanza verti(.almeúte
I
desde _41-Tb"* c.:el treTpo / = O,con un empuje constante de Z lb duranll ,],, remp-uje en f > t s. Si se iqnora la ' resistencia ) la ..ducc¡¿n Je .rrÉtr. determinc ar la alr'rJm¡r¡ma ñ q"";&; ;i;i;il;; ¡r-e llegar a su altu¡a máxima
-gi:"."J:l
;11""i ::'t 5Í ? -t:t _ ñ, ,^ -t paquete re(.orra ¡-queel
.*
1"]"^r".:lnl:"-) de 0.30 y 0.25.
en
rra
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b'.
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lu magnitud de p si se requie t0. ',1" "t cinéLic¡ entre.l puqrei" ¡
u.".nJ:;p;;;ifi;l;.t"l: "l;ü";;,;;,
I
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Problemas
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de trenado de un automóviJ a paflir de 100 km,4r .t^'.|-,^*.il."cia sobre soore paümento pa\,l¡'tcnto parcjo. dplermine d;cha dis¡anc;a ,uromóüi " "";;;; a.cicn.t" po. 6; b) va :l plano con ¿r :obre un 2 por c.ientoie l"ltriJ¿*".
?12 t¡s dos bioques rnostrados en lu llguru se encuentran en ¡eDoso b si se ignoran las masas d. Iu, pot"i, y.l .i..i;¿i ¡;:;;Í:; bloques 1 plano incünadá. d"ierrnlne o, "l b' la tensión en el cable.
lo,s
la aceleración cle
r¿do
o&l
T¡* b soird
e [¡r
Figuta p|2.12 y p12.1g
PO-
fF úl-
leb.
hd-
r¡-
ciÍt sb-
?.r3
en la ffgura se encuentran en reposo Í: *l,l.ny:: ,nu'^ "T.::"f.s d" r", por"ull l:T.,'q.^it^ Ujenoo que los componcntes de fricción "i;i;;j:T'r;:"i;i":; én+ra.ñL^. Lr^^. rrcii¿n ¡.3'jli: ]"j.::.1ry1.*".,áe xn U. 1"; = 0.25 ".ri, uLq",l".l y y,¡: 0.20, determine ¿r) "",,. l" #;;; Ó h te¡sión en el óutl. ^""ü;;
3Í*l_1^"*
Jn:¡o
const¿ de dos caros y üaja a ES mi,4r cuando se
H.ff::::Íp: i1.,", ¿"l,"jiooo T:9r¡ -:313ii t,Tl"e
A p*".ss ooo ii, y
"i"J" i
", ji"l*liji""iJ:?;"T:::Hl:Jl "í""¿";;:i¿.ilil:; j*:::T:_1"".",¿"i" :s::entre mientrus el t¡en disminuye los
sri velocidad.
s5 nrph 55 000 th
Figura P12,14
B
44 0001b
707
708
Cinéüca de partículasr segunda
12.15
Resuelva el problema 12.14, suponiendo que los frenos del ca-
rro B no funciona¡.
12.16 El bloque A pesa 80lb y el bloque B 16Ib. Los coeffcientes de fricción entre todas las superffcies de contacto son p" = O.2Oy ¡t'¡: 0.15. Si P : 0, determine a) la aceleración del bloque B, b) la tensión en la cuerda.
Figura Pl2.16 y Pl2.1t 1 2.17 El bloque A pesa 80 lb y el bloque B 16 lb. I-os coeffcientes rle fricción entre todas las supeúcies de contacto son ¡r" : 0.20 y ¡t'7,: 0.15 Si P = 10 lb -+, detemine a) la aceleración del bloque B, b) la tensión en Ia
crrerda.
--)s.e I Figura P12.18
12.18 Las cajas A y B están en reposo sobre una banda transportadora que se encuentra inicialmente en reposo. La banda se empieza a mover de manera repentina en ürección ascendente de modo que ocurre deslizamiento entre la banda y Ias cajas. Si los coeffcientes de f¡icción cinética ent¡e la banü y las cajas son (p¡)^ = 0.30 y (frr)a:0.32, determine la acele¡ación inicial de cada caja. 12,19 EI sisterna que muestra la figura se encuentra inicialmente en reposo. Ignore las masas de las poleas y el efecto de la fricción en las mi¡mas, y determine a) la aceleración de cada bloque, b) Ia tensión en cada cable 12.20 Cada uno de los sistemas que muestra la ffgura está al principio en reposo. Ignore la fricción del eje y las masas de las poleas, y determine para cada sistema a) la acele¡ación del bloque A, b) la velocidad del bloque A después de habe¡se movido 5 ft, c) el tiempo necesario Para que el bloque A alcance una velocidad de 10 fVs.
@@ ÁJ' M6-
F¡gura P12.19
r00 lb
1100lb
100Ib
(1)
Figura P12,2O
(¿)
(3)
i& ;-i i,
:22t El remolque de platafbrma plana transpofta dos vigas de 3 000 Lr ¡r.--¡ superior asegurada por medio de un cable. Los coeficientes de LEr i.eiifi(¿ ent¡e las dos vigas y entre la viga inferior y la plataforma del lrzr irri- respectivamente, de 0.25 y 0.30, Si no hay desplazamiento de i::ernri¡e a) la aceleración má.
Problemas
709
F¡gura P12.21
:.,€iciente de fricción estática enhe los bloques.
a-4 ln paquete está en reposo sobre una birnda traDsportadora que elcrientn en reposo. La banda ernpieza a moverse despla-rrr :Er?iol¿sede¡echa du¡ante i5 s con acele¡ación constante de 3.2 nVs2. *:¡; D!- i ¡únda se nueve con des¿cele¡ación constante a2 y se detiene luego 5r a.s,l,¿¿¡riento total de 4.6 m. Si los coeffcientes de fricción ent¡e el I i " r i barda son ¡r," = 0.35 y p¡:0.25, dete¡nine r¿) la desaceleración ió i lr:d.a b) el desplazamiento del paquete relativo ¿ I¿ banda cuando {lr i=-.rieF(lÉ
;,i ro i! &r¡ f(E
ff: ¿l.lr
Figu.a P12.22
:22J P¿¡a transportar una serie de bultos de tejas A hasta un techo, ü -rr:o¡talutiliza un montacargas r¡otorizado compuesto por una plata BC que se monta sobre los rieles instalados a los lados de b --*3 m.a¡=.i El rnontacargas empieza su moümiento desde el reposo; al prinqt - !r-\e con aceleración constante a1 como indica la ffgura. Después r:d=:i j, 'úa tasa constante a2 y se detiene en D, cerca de la parte supec i ¡¡ =*:-a]era. Si el coeficiente de fricción estática entre el bulto de teF! ¡ ¡r¡:i:brm¿ ho¡izontal es de 0.30, dete¡mine Ia acele¡ación mádma a¡ r l¿ desacele¡ación mrí,rima permisible a2 si el bulto no resbala Fiie Ó ¿ -'¿.¡ornlo.
ltc¡a
3e[ l¡! F.
.]É ki.¿iE r
{r}
q-Pr224
:!!r
.{
71
o
12,25 Par¡ baj:l de un camií¡n rr¡¿ pila cle rnadcla comprimida, el conducto¡ inclina prinrero l¿r citt¡¿r clel vchícrrlo y después aceler:r desde el rcposo. Si los coélicientcs de [hcción cntre l¿t líu¡lina tle m:rdera con¡li rnida del fondo y I:r carna sol ¡rs : 0.40 v lra : 0 30, cleterminc o) la ¿cele¡¿¡cr'ón mínima ciei camió¡ r¡re provocar:i cl dcsliz:rnrie¡to de Ja pila clc 'nadc¡a, b) l¿ aceler¿ción tlcl cr¡¡rií¡n necesaria para tluc la est¡riri:r A de la pila de rnarlera llcgre al e¡t¡erno de la c¿rna en 0 4 s
c:-,-:""-d:r:irr.uLas: sesunda
12,26 Los proprrlsores cle ttn Lrarc¡r dc lll¿sa r¿ puccler geler':rr una fuerza irnpulsora F1); cuaÍido los notores se itviertct, se prochtce rura firelz:i de igual mngnitucl pero dirección oprrr:sLa Si cl I¡¿rco sc cstá desplirzarrrlo Iaci¿r del¿¡tc a su vclocitlarl mírima oo cuanclo los motoles se Poücn cn r-e versl, clctermine l¿r dista¡ci¿¡ qrre recolre el ba¡co antes de cletclie¡se. Sr¡ponga q¡re l¿¡ rcsistencia fricciona¡lc rlel irgua varia dircctanrenle cot el cua
Figu'a P12.25
,ir,'lo dc
'
. -.
Figüñ
i
P12-27
Se:rplica una fuerza constante P :rl pistt'rn y l¿r viuill¿de masa .¡re se rnuevan el un cilincl¡tl lleno clc irccite. Confoltrle se nrreve el pistóir, el aceitr: es
12.27
,-.f:=-J------] -F-r¡."¿J-
l:r r"l,u idad.
total
?7¿
par¿1
lh
prcrycctil de 4 kg se dispara vefticaiúentc con velocidad ini cial de 90 m/s, alcanza srr altur¿ rnári¡r:r v cae al steltl. El arrast¡c ac¡odi¡i 0.0024 ¡2, tlolclc D y o se erTlesal cn ne$'tons mico D tiene magnitud D \ D/s, respecti\ xmcn tc. Si h dire(eión del iu_¡irstre sicrrPrc es opllest¿ a la
12,28
:
j. lrr"l,"i,l,,.l.rlel-nnin¡ ¿ la,rlr'r'rrn¿rir",del.rllr¡-cl.ri:r'b lar.l,ur dacl del proyectil cuando lleg:r :rl suelo.
Figura P12.29
12.29 Un ¡cso¡1e AB clc constarlte ft se urre a un soPortc A y r rrn co ll¿rrí¡ de mas¿ r¿. La longitud nolmerl dcl reso¡1e es I Si se suelt:r el collarirr t : t,, y.e ignora la lricciírn cntre el cnllnín y lii varilla rk:scle el reposo "tr ho¡izontal, deterúine la magnitud tle la velociclacl del colln¡ín crrl¡n.lo Pasrl por el prurto C. 12.30 El sistem:r dc tres bloques cle 10 kg sc sosticne
err rrn Pl¿1no
lel
tical y cstá inicii¡lmente en rePoso. Igno*rndo l¿s rnasas de las poleas . .' elécto cle l¿r f¡iccir'rn soble éstas, tlete¡rninc n) el c:rmllitl ctt posicirin clcl blo r¡re A después de 0.5 s, b) l¿r tensitin en el cablc
|
:,:, B
Figura P12.30 Figura Pl2.31
12.31
Los coeffcientes de hicción cntre el bloque B y cl bloque --I . : 0.10, y entre el btxlue A y el plano inclinaclo sor ¡r," : 0 := 0.20 El hloque A tienc nras¿ cle I0 kg y el bloque B de 5 kg respe v¿1rncnte. Si el sistema se libe¡¿ dcsdc el rePoso en la posiciórt inrlic¿rcl¡r. tennine ¿¿) la acclcración de A, b) l¿ velociclad dc B relttiva :r Á en f : I
: /rk : /¿.
0.12 y j¿(
iu¡il¿ el
¿¡!
¡¿ desde
=_D
L
compri-
h
¿rele-
f,c pesos tle los bloques A. B r C sun r.¡ , = r:^ = 9o th ¡ se igrorün las .o."" d" lu. pol"i, y ¿. l', l { - a);0.1b d*rmine la aceler.¿rción de cada bloq.,e, áf h t r.,ior, "i "f."* ", "i"r¡f".
Problemas
St
a de m¿-
debpü Eaar oa
ula
Frrz¿
Figuta P12.32 y p12,39
p¡¿zando
tll(l
m eu fF-
e¡--
5u-
¡o el c¡¿-
n¡a for¡r¡e r .de
:l--H.,: G, - rlre b¡*'--D
rcnte
iúi rrodin; ciabd
h
l,"iláq""I ,."
i.-; ;;;;;;;;l;
B de 15 kg se une ¿rJ cable e¡ TTaP.:9 h üctión,
don&
I Der¡ta3r r¡est¿ a
-
123. l'n bloque A de !5 kg descansl sohre una srperllcie irrclinadl,
muedfe
es
-
- o
stóú pdr¡ ¡¿ al r¡o,
Los coeficientes de friccidn enlre los tres l,,lorlue: las I suoerji. sorr ¡r -.0.25 y ir{ 0.20. Los pesos ¿J = :f) l[,. . rr l0lb. Si los bloqrres están inir.idmnnte en ¡eooso hacia 1,, "dereclra 2.4 lt cn 0.4 s. dcterrnine ¿?) l. o""l"ro"l¿i .]. Ia tensión en el cable, c) la fueza p. No el eje ni las masas de las poleas.
l¿ for.rna qLre se indica. Si se
dete¡mine la aceleración de A y l" t""riá, *frf"'ir_ "f el redespués de que el sisterna empieza a l¡overse""desde
1PJ5 t rra cajrr B de 250 kg está.uspe¡rdjda de un c¡ble urjdo a unl j0 kg nontada I¡ -{{ de 20 rrronlada sohre una rrn, r,iga \io,¡ I_I inclinada in..ti--¡" en r., fbnr.ra r].-.-- qne ....^ -- la 5i en el inst¿¡te indicado la c¿rrLtila tiene .,n" u""t"ro"i¿,iJ" arriba y a la
la.elcci
-;
tatDo(> d coII¡¡-
ü¿36 [-na eslé¡-¿ de 2 kg girr en rn <.í¡culo horiz,¡nt¿] a unu veloci_ .¡r{a.Dle de 1.5 m/s. Si L - 60o r¡n.. deternrinu n. el ángulo 0 que b crerda con la veftical, b) la tensión en la cuer.cl¿.
¡ Ia
r¿¡ ¡
udo
ua
plam.c-
okrrC
o del i,lo-
l- á
l¿ tensión en el cable CD.
1ü237 lir¡ ala¡lb¡e ACB de 2 m de longitud pasa por un anillo colo_ 'a C el cu¿¡l está unido a una esfera qué gra'a velicidad constanü o l
Figura P12.36
(
Figuta P12.37 y p12.39
q.E.:l
¡r:0-g ¡ : (I5¡"
Figura P12.34
1238
Dos alambres AC v BC están unidos a una esle¡a de 15 lb ore ¡selocidad constantc ¿ en el r.írculo ¡o,tr"nt¡ ¡1oriroán;;r l; f,g-.r";;.
: ]o' v 6. I
25" t d = 4 t¡ dcfc.nin.. .rngo d" , ¿mbo. alarnbres':e InantienFn tensu\. "L
rJ.|;J; ;"p;;;
7'l
1
?{ t ttta¡
cinética de Paniculas: segunda ley de Newtbn
12,39 Durante
b';;ñ#i;*Bt* " í"lo"lá"¿p "ontt*t' determine ¿) la tensión ;""td Ia ffsura si = 3 ft v 0 = 60"' i;;;; martillo del ll]'li"ili¡'i" it, ¿il"?"r""á"á ¿" la clbeza 16
w
A de Ia prácüca de un la¡zador de martillo' la cabeza o en un círculo horizontal en la
Figwa P12'39
L-r,"--'l ,t,\,!
F¡gura P'l2.40
12.40
r,""
a un plato parabóUna esfe¡a de 1kg está en rePoso resPecto la
de un eje veftical si se ignora I m, determine n) b vllocidad r¡-de la es[era'.b) oo'*al ejercida por Ja esfiera sobre Ia suPett¡cre ro-
iÍi-ir" i'r-o"""otii-üfut"¿"¿or
r:
iilti?""."ir*.¿""Lre
i"."g"íta
a"
h lritra
clinada del plato. kg se desliza sin fricción a lo largo de la-vaLas sin fricción]a h varilla BC médiante un-pasador' ,ilf. óf u rofa Bc inüca' se que instante "rtá,rrrido, En el hot;-"t"l ;"tñ'i;;;';ipl-o es de al de las manecillas del relo; yia rapidezde c deterseñal¿do' ";;;ii;;.*';il d" 13 m'ls En eiinstantÁ i;t. ñ;;;;iu "."'¿" ¡c, ¿) u r""rza que ejerce el collarín sobre
12.41
Un collaln C de
il"i;) #;JiZn;;iu la varilia OA.
I
',^.ilt^
I
0.3
m
t Flqura Pl2.4t
** -,1
ftLA, Las esferas de 0.5 kg del regulador centrífugo giran a velociu en el cí¡culo horizontal de 150 mm de radio que muestra la fmte tr 5-r tomar en cuenta las masas de los eslabones AB, BC, AD y DE, y ll-*¡icción.de que los eslabones sólo soportan fuerzas de tensión, deel inten'alo de valores pennisibles de o para que las magnitudes de n. de los eslabones no excedan de 75 N. bk
Probremas 71
05kg
Figurc P12.43
Figura P12.42
-E{l Como pute de una erposición al ai¡e libre, un r¡odelo C de la BC y se nace hace gllar girar a *¡¡¿ oe de t5 kg, Kg, se une a tos los alamDles alambres .!IU AC y rtQ ¡,r r lri¡'tr üÉ¿nte
¿i en el cí¡culo horizontal mostrado por Ia figura. Deterde valo¡es permisibles de o si ambos alambres permanel¿ tensión en cualquiera de ellos no será mayor de I l6 N.
\ ¡
f-na pequeña esfera de peso W se sosüene como inüca la {idm alambres AB y CD. Si se cota el alambre AB. dete¡mine d ct¡o alambre ¿) antes de co¡ta¡ AB, b) inmediatanente des-
rB. f-ca serie de pequeños paquetes se traslada por uredio de una rudora delgada que pasa sobre las poleas locas de 300 r¡m de d¡ inici¿ su moümienlo desde el reposr-' en el tiempo / = 0^y r ifirementa a una tasa conslanLe de 150 mrws:. Si el coefiG*ío estática entre los paquetes y la banda es de 0.75, dete¡qp Eresario para que el primer paquete resbale.
E
tco
gloto de un avión comercial asciende a un nuevo nivel de
l¡ travectoria
inücada. Si la velocidad del
+l
de
dismidesde 540 fVs en el punto A hasta 480 fVs en el punto
L ú¿snitud de este brusco ¡
lb cuando el avión
Figura P12.,15 U.5
'¡L t.----*l
¿rvión
cambio en la fueza ejercida sobre por el punto B .
pasa
A B
-t@--'¡--Í
\
-¡.-¡^
P=+mi
\t\t
E ¡rico de un avión
comercial asciende a un nuevo nivel de de I¿ tr¿\'ectoria inücada. El movimiento del avión entre A la relación s : 3(f80 - t, donde s es la longitud del t el tiempo en segundos, y I : 0 cuando el avión está en el Ia fuerza ejercida po¡ el asiento de un pasajero de 165 d eractamente después que el avión pasa por el punto de gue el avión alcance el punto B.
\l\
\ Figu.a P12.46 y P'12.47
lC
3
71
4
|
""ot"i"a;0"'ticulas:
sesunda
de una persecución-a alta velocidad' un autocon rapidez de t60 km'/h apenas pierde -oUil"oo,ot ¿" I I I0 kg que üaja lu c'""tu A de una colina d ' .Deteral"án"u ;;*¡no ".";;;t;;i ;;;;*ra ".3"ldo p del perffl vertical del camino en A b) utilizando
12,48 Ettel transcurso
;#.i;,; .i r¡"r'i"
"
tn el inciso c) determine la fuerza S": "j".1: f]
"A"tladc,sobre
asienro del conduclor :l,t]l:T 1400 kg cuando este últiüo' \'ralano( por A.
12.49 Figura Pt2.48
V
"t:el]?",:,il::J,*:,:
JJrl,"ffi
ü;
se le imprime una relocidad Auna pequeñr esléra B de 0 2 kg
:T:íYr:.:?'"i"{n'[l*n*;::"llxüf"*,%[üflri:::r "o"'"'tin" vo si la tentu *to"idad rnrixima permisjble :ft l"i"Í;:ia;; "i¿n "r't
l"
".,"rdu
no es maycrr de I0
r'tr
I
\,/ '-----.3--' C
Figura Pl2'49 de una pequeña ca12.50 Un bloque B de 0 5 lb se encuentra dentror e.i ical a razcin tons-
.^r".i'*iit "ir'"" irazo oA. el cual gi ro en el plano una luerTa de rna€lrueierce i;1. ;,:;J;;;'e "i u - 9 lvsysisinelJesote h fuerza de lricciórr' en tomar B ilip] di it t"r,tl el bloque d" 0 p*a el cual eláuenta B está en contacto bloque i".i*t"*""i1^"g. ¿" ualoie' al eje de rotación'
li"
dt" Figwa P12'50
á"l""*-dad trás cercana "."" 12'51 Unr piloto de 'l20 lb wela
i"
u
n iel de entrenarnienlo e'n Yn'a que velocidad deL'meiet
lt rle manera ;'"ii"'"";;uj|iJ'i..ijn ¿.3600pesos aparentes
la
áe la piJoto en los pr'rn. .^.,1n .nnshnLe 5i los urLrrrrrur\ ' o('40 t 80 Ib' dtt"t'nine la tuerza que e¡erce tos A Y C son, respectivamente' oe el punto B del ¡er cuando se encuentra en 1""r,."'"i r"
"l ".i"i"o
Figwa P12'51
úo¡de
H-
¡ü :d ,&
¡ür
Ln dutonróül viaja a velocidad constanterl sobre un camino pe_ ?+Deiem ne el intervalo de valo¡ de o para el cual el automóül no paü 5F.trt*e su respu€st-a en ténninos del radio r de la curva, el ángulo-de r e[ rlngulo de fricción estática ó, entre las llantas y el paviíento. fLJ l25B En una pista de can.eras, cierta curva tiene ¡adio de 200 m y t ni¡ima de I80 km,4r. (Vea en el problema resuelto 19.6 la defini-
1_
Problemas
*lridad rnárirla.7 Si un aulo de .arre¡o, cornienza a der¡anar so. ¡.¡ nz onndo ct¿¡do viaja viaia a una ¡rna velocidad velo¡ida.l de d- 320 .lr0 km/h, L'-,4. determine .1"r..-i-- al ¡. -i-lel án-
pcralte 0, ü) el coeffciente de fricción estáüca entre las llantas y la r be condiciones prevalecientes, c) la veJocidad mínir¡a a la cuj el
imóril
podía pasar la curva sin dificultades.
?51
l-os t¡enes de inclinación como el Acela, qte vaja desde Wash\ue\¿ Y9r\ y Boston, están disenados para desplaza$e con se¡bs =!re relocidades sobre secciones curvas d; vías dis;ñadas para tretr iona]es más lentos. Al entrar a una culva, cada vagón só inclina r ¡ci¡r¿dores hidráulicos montados sobre sus plataformÁ. La inclina*ística de los vagones también inc¡er¡enti el confort de los pasa¡t ;n¡r o reduci¡ de mane¡a considerable la fueza lateral F, (para¡ir del rag0n) a la cual los pasajeros se sienten sujetos. para uritren ir la5 mi/h sobre una sección curva de vía con ángulo de pera.lte de r r4rllez máxima permitida de 75 mi.A, determiie a) la'magnitud cr tatgral que siente un pas¿jero de peso W en un vagón esiándar n inclinación ($ = 0), b) el ángulo dé inclinación S re"querido si el ¡ debe sentir ninq.¡a ninguna fip¡,e (Vea .. fueza l¡ter¡l lateral. lvc¡ en .l el problema -"^ht-.'-" resuelto "^-.-:+^ de velocidad máxima.)
.c¡-
ñ-
Fr¡tr-
É
F¡gura P12.54 y P12.55
I-s pmebas llevadas a cabo con los trenes de inclinación desFóhma 11.54 revelan que Los pasljeros se lnarc¡¡ cuimdo rni& l¿ r'entana del ragón si el nán rácone ¡rnr curya a s.lta velo.
¡in senti¡ una fue¡za late¡al. En consecuencia, los diseñadores
pero no eliminar., -ir deternúne
¡jb
esa fuerza. Para el caso del tren del pro_ el ángu1o de inclinación { requerido si los pasajeros iuer¿¡s laterales iguales al 12 por ciento de su pe-so.
F¡gura P12.52 y P12.53
715
716
uaril) wa uarilJa 25:0 g g puede deslizarse 1nr una mllaín o C de zDU teno mlann 12.56 Un pequeño de Ia ve¡fical AB a una tasa consíranlar díseñada paru l¡aft ginr eirar alrededor cle semicircuJa¡ tante de 7.5 rad/s. DelermiÁe ios bes valores de 0 para los cuales el crlllarín (rlla' no se deslizará por }a wri '4 suponiendo que no exkte fricrción entre el ín y la varilla.
Ciaéttca de patubu/as. segunda leY de Newton
Para el collarln y Ia variJJa del problema 12 56. suponga.que los coe{icientes de fticción son ¡-c" = 0 25 y p¡ = 0 2U, e indique si el collarin se p 75'' deslizará por Ia varilla a] ,oliarlo en la posición corr"sPondienle s a\ b) 0 ¿ú. Tambjén detennine la magnihrd 1 la dirección de la liicción ejercida sob¡e el colla¡ín inmediatamente después de haberlo soltado
!:r
b-
és¡
ft/s
Pü
12.57
:
-
pequeño bloque B encaja en el interio¡ de un- corte -de ranu¡a hecho en el'bru?o OA, el coul glta en un plano vertical a velocidad constante. El bloque permanece e¡r contacto con el.extremo de la ranura más cercrno a A. i su'*,elocidad cs de 4.2 fys para 0 = 0 < 150" S¡ el bloque se comienza a desLza¡ cuando 0 : 150', détermine el coeffciente de fricción estática entre el bloque y la ranura.
12,58 Un
po E-
cij
& ED
rn
Di
Yz
T :
w
Lunl
..*it¡F-' -' <+.il>
Figlura P12.59
Figura P12'58
r: !-12.
\_. _
12.59 Un bloque de 6lb está en rePoso resPecto a un plato parabóSi el coeffIico que gira a veloci'dad constante alrededlor de un ^eje.vertical la máxima 6 ft, determine r a 0.5 y = coÍesponde cien¿ de"fricción estática velocidad perrnisible o del bloque. después que una pulidora emPiez¿ a moverse 12.60 Cuatro segundos -obs"*u el welo de pequeñas borlas de lana que sao r¡artir del ."poro. s. l.,r de Ia ci¡cJnl"rencia de l0 in de diámet¡o d" Ia alnrohadil]a de pulido Si la pulidora se enciende de tal manera que Ia lana de Ia circunferencia se ,o-"L orlu aceleración constante de 1tfys2, determine d) Ia velocidad o " cuando ésta se desprende de la almohadilla, ó) la magnitud de la de la bo¡la fuerza requerida para -liberar 1a borla si el peso promedio de Ia misma coooz. rresponde a 60 - 10
*b
¿
d ! J
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Í
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I
F¡gura Pi2.60
L.-,
-
¡,1
¡A
a¡illa )ons-
la¡ín plla-
e los
ín se 75", ejer-
I raonsmás
ese ción
bóeff
'1
2.61
Sobre un escenafio se construye una plataforma giratoria A que
:ilüará en una p¡oducción teatral. D.,iarrt" .rn
-
se
Problemas
ib."r,uu q.,e
"rrsayu :,= - B crnpjezrL a deslizarse sobre la plataforma giraloria "l I2 s d.rpuÉs .Égu* rr¡piez¿ a girlr. Si el baúl se sornete a una a-celeración constinte de --: 0.75 :- r- dete¡mine el coeliciente de fricción estática presente entre el baúl y la
:;.
rbri¡ri. giraloria
12.62 El meca¡isrno de
enlace paralelo ABCD se utiliza D¿ra trans_ un cornponente ¿ cnlre loj proce\os de rn.{nulAclur¡r dc l¿s eslaciunes : . \ C al iomarlo en u¡a estrcidn cu¿ndo 6 = 0 y depositarlo en la esta_ "fr.nr"r,"f -:, siguiente cuando g = 180.. Si a f ó'p".í"""""á "t"-.nto l--jlie, su noviniento y los enlaces AB y CD giran ¿ velocidad coÍstante -- '¡ pllno verticd, de ¡lanera que oB =-0.7 m/i, tletermine a) el valo¡ r¡í_ : dcl coefirientt- de lriccjón e-státiea fresent" entrc el (.ornDonente \ B(, :--: -¿s se efectú¿ la transfé¡encia, ó) los vdores de 0 para Jos'crules el'tles_ :r- --.-:J
i:iiento
aLra
es
inminenie
P12.62
inla
rse sa-
do. Lse
12.63 Si los coeffcientes de fricción entre el conrponente 1v el ele_ ¡F1:r BC del mecanismo del problema t2.62 son p" :'O.SS y p1: O-eS, i--- ine ¿\ lr\elocidad nr.iim.r per-rnilida t.3:i el ,.omponentÉ nora, des_ i-__= .ohre BC mientras
se transffere,
b) los v¡¡lores dJ 0 par.a los curües el
d¡
:l-.,r..m iento es inminente.
:IA
12.64 En el tubo de rayos catódicos que se muestra en la ffgura, los -:F--:'nes emitidos IIruus por et el carooo cátodo y atratdos por eJ el á aloclo odo pasan ¡a t"rar,és tra\e. de ) ,¡Lrajdos :¡-.:Flu:ño rrgnjero ubicado en el ánodo, -r-.;'.,iueño agujero ánodo. y luego iuego üalan üajan ü e; hDe¿ h¡ea lírea ¡ecta recta (.on con lrasia que inciden sobre pantalla "situaáa -i:'::Jad u6 h¿sta_qle :obre la la pantalla situráa en A. A Si" Sjn emh,,roo ,.* -::=-blece¡ .::-blece¡ una diferencia de potencijde V entre las ao, pt^"u. "-l"rg", pu.nl"ür, r-! r-r ¡-t :r{r¡ones :r{i¡ones estan están sujetos a una luerza per¡endicul¿¡¡ a ias fuerza F per¡endicul.r¡ fue¡za las placzrs ¡laá,s _t"._
Ánodo
:-': :-r.¿n entre éstas, e inciden en la-pantalla en el punto B quie estzi mien_ rs''.::¡ ó¿i de A. La magnitud de la fue¡za F es F ] ey/tl, dánde ¿aesunala as,=::.:á elect¡ón vy ¿l -::¡. 1e un erec¡¡on d es la .irst¡ncia üsta¡cia entre ent¡e l¿rs placas. placas. Ignore plaCas. i-o.. los 1.,. efectOS "tJ.," :': , .--'¡' edad y deduzca una exp¡esión pa¡a la deivi¿ción 5 té"r-o;;" I - =.a¡ga "" e y la masa m de un electrón, electrón así como ¡omn las l¡. ,tiñ.--"r^-^" , = aa¡ga s dimensiones ¿l 12.65
el problema 12.64, dete¡n.rine el valor míninro pennitido del , Enté¡rninos ',.-_-.-,llen de ¿. rn. u,, ¡ \'si en.r = / l¡ cJistancia rnrllima oer :..-j: ,trc la lra)ectoria de los ele, Lrones ¡ la pla"a 1,o.iLira er igui a
F¡gura Pí2.64 y Pf2.65
712
71
I
9l""j5i:,1,::rtic!ras:
sesuñda
12.7. CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA. RAZÓN DE CAMBIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Considérese una ptrtícul:r P dc- rn¿rs¿ r¿ (Ire se mueve con respecto i1 un sisten¿ de refererici¿ rx:ttoriano Orr¡:. Como se estudió en la secció¡ 12.3, l¿r cantidad de lirorilnielto lineal de la partícula en un ils-
tante deteminado se define corro el vector lrv obtenido ul multiplic¿rr la velocjclacl v tle )a partícula pol su rnasil ¡?!. El rnomcnto alrededor dc: O dcl vector tnv se tlcnontina ¡tt)/ ento r/e h cattir/ad d¿: nu.¡cinúelxto, o It canticLocl. d.c ltr:o.oilniento angiar cl<: la paltícula el torno a O en ese inst¿nte v se delota pol rledio de II¿. Al recoi:dar la defi üción del rlort.rento tle ur vectt¡-(sección 3.6) y denotal mecli¿rnte r el vector de posición de P, se cscribc
HO-rX?71v se
(12.121
tjene que He es un vector perpendiculrr al plano que contiene r..
nrv y de rragnitud
H¡,
:
ntrc sen $
(12. 1:l
donde { cs el ángulo entre r y lrv (figrrra f2.12). El sentido de H. puede detenninarsc a partir del sertido de nrv aplicando la tegla cle 1. nano derecha. La uniclad de c¿rutidad de novimiento iurguJar se olrtiene al nultiplic¿r l¿s r¡ritlaclcs de longitud y de canticlad de rrounriento lire¿rl (secciól 12.4). Con unidarlcs dcl SI se tiene
(n)(kg nA) -
kg ' rn2/s
el Estados Urridos. (ft)(lb's) : ft lb's
Con rrnidacles de uso conún
A1 desconponer los vr:ctr¡-es fi'rrmu)a (3.10), se escribe
lr H.,:lt
r
\¡
???v
sc esclibe
en cornponentes v aplicirr
j
1:,
k
rt
-
(12.1-1
1,,t.. ,,,.,, ,,,.. Las colrponentes cle H., l¿u cuales represeltar tarnbién los rnomerto: de la c¿urtidad cle movilniento hle¿rl mv alrededor de los ejes de coorden¿rdas, se obtienen erpandiendo el determin¿mte en (12.14). Se tier.re
H,: mQ¡u. zD,) : rn(zv. - xa.)
H,,
(12.15
Il-:rn(xau-yt,)
12.2 DúanIe los ba anceos de práctica de un lanzador de martlllo, este último adquiere una cant dad de movir¡ ento angu ar alrededor del eje vertical en e centro de su Fotografía
trayectoria circular.
En el c¿so de urrr pnrtícula que se mueve en el plano rr,r, se tiene 0 y las conponertes H. v H,, se reducen a cero. De tal modo. l¿ cantidad de n.iovimielto algllar "s ¡erpendicular-al plano ry: el ese caso se define por cotnpleto rnediante el cscal¿rr
: : o: :
I'1,,:
17.
: ttt(tt,, lir.)
(12.16
de acuerdo con el sentido en el cual ry*. : negaüvo se h prtícula se mueve desde O. Si se recurre a.coórdenadas derompo'e la cantidad de movimient" lt;á-j; ü;;;;:
ip€rto ¡ t la s€rrm irx-
radial y transversal (ffgura t2.13) y se escribe
Hq: tmu sen $ :
!uliiPü-
€dedr I nutci r torD h dee iante
de i11.45)
q1ne
Ds
Ho
mu:6
(12.77)
= r0,
:
rm2e
(12.18)
r
se calcula la derivada con respecto a
, de la cantiH6 de la partícula lque ," _"""" * ál .angular arnbos mi.mbás ¿. i" .",álion ,i;:i;; ;".:_'
-nu¿ciór rimiento -erenciar
. -r¡
dir.
lxda
r tlerf
para la dilerenciación rsc.¡ibe
Eo=ixmv+r
X
a",^ p..a""i,,"ito',.i."i¡;;J"lT;
mi=v x
mv+
rxm
F_kts t"¡¡6."t
v y mr son co]i¡eales. el primer término de la y. mediante la i"gunda t"y deñ.rv_ c igual al?f.n" la suma )F dé hs fuerzas que achian sobre p. Si ryresenta la. suma )M¿ de los *o_"rrio, alre,ledo. de O d"e
:l:.:i
"'::o;
se escribe
)Mo = cr¡¿tión.
ll!.[9).
¡¡.-,
(r2.1e)
que resulta direclirmente de la segunda Iey
tos mnmentos a" o aF t", }-,j:.:^ol::",-o::'lsu¡rn ¡ii ttúan sobrc !a ¡tartícula es (e igtnl a lu ,"rir')" rl*,"' iri ,í"_ & la cantidad di nuaínientno n ),anli'lnd dz moDim¡ento anguL yrtíarla ulret¿edor de o
r
glltglgryEs
DE MovtMtENro EN rÉRMtNos rsi COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAi rrt¡.le una partícula p. de coordenadas polares d9 rarias ruerzas.
::i"p]i:l^_1L]a ¡c1ión r"la acete-raóión de l" p'ttuia
r y 0. que se ¡J dá,"orn,lplne.
i;ññ";il;t:jij
"n tigura l2.14ry sustituir la ecuación ,lz.Zi, escal¿ues
,",üni"""i
fJ,
12.8. Ecuaciones de r¡ov¡mtento en term¡nos oe las componentes radi"lv
trun"u"o.l 719
720
2F,.
=i;"'ij;,3:no"*'*n'*' Al snstituir (r. y
- nta,.
(r 1 20)
¿e (le ¿cuetdo cou las ccuaciones (11.46), se tiene
)Ir, : ZFo L¿s ecu¿ciorres
2F¡1: nu4
t¡re
se
¡r¿(;'
-
(t2.2r)
r0:)
- nlrd + 2i )
(.r2.22)
obtielen puctlcn resolrerse para dos incírgritas.
Era posible declucir l¿ ecu¡ci(in (12.22) de la ccLt¿rción (12.19). Al recoxlar-(12.18) ¡, notar quc )t14¡1 - rXF6, 1a ecLraci(rrr (12.19) pr-oduce
.l -. ,',"|:l:l!o'1, Fotografía 12.3 La Irayeclo'ia oe ,1 espécimer bajo prueba en una cenirífuga es un ckculo horizonrd . I as fuer/as que dcludn sobre el espéc rnen y su aceleración pueden descomponerse en componentes radial y fansversal con componentes r constante.
:
,,,,u, -r',
rlesllués dc dir.idir lrr. bos rnienrbros crttre r,
21ia:
nt.\r0
* *'0)
¡
I
2.12)
I
12.9. MOVIMIE}.ITO EAJO UIIA FL'EHZI\ CFN¡TRAL. CONSERVACIÓN OE LA CAI'{TIDAN DE ru¡OVIMIENTE ANGULAH Cln¿lclo la iinic¿ firelza r,1ue ilctír:r sobrc una partícula l'es urrn fuerza F dirigida hacia O ejrindose cle un punto fiio O, se clice r¡re lrr partícula se estri rrrr¡rienclo átjo trtta fuet;a cenlrul, r' cl pulto C) se conoce como tI c:entro tle .fuena (figura 12.15). Puesto tlue la línea de ¡rcción ile F pasa por O, se clebe teuer' :Mo : 0 cn cualquier inst¿rnte. Al sustituir' la ccuaciór.r (12.19), se obtiene
É.r:
tl
ptrrl todos los r.¡lor-es (le ¿ e. integr'ru er l,
Ho :
(12 23)
colsl¿lrl lc
Sc conclul'e eD colrsecLrenciir rlue lrL carLtídad tle ntor:bnienlo unguLor rle wn 7xtt1íatla qua s€ nurcl.)e btjo trno Juer:a ¡:eutrrLl c¡; ct)ntttLnte, tanto ctr l\ogtTitud. ct¡t¡Lt¡ ttt tlire,cción.
Al lecorcl¿u
ll
dcfinición
cle ln carticlacl clc
rtorir¡tienttt augular de
ulitr ptrrtículir (secciírn 12.7), se escr'lbc
r X ,?¿y: H() -
constante
(.t2.24)
rle l¿ cu¡il se co¡cluvc que el vector de posiciírn r cle la partícula P debe scl perpendicrrlar aJ vectol constlurte H(). Por consiguiette, unn piiftícrrl;r sonetida ¿r Lurn fuelz¿r centr¡rl se nuret'e en un plano liio pcrpcndicultrr ir H¡¡. !il vr:ctol FI¡¡ v el plano lijo se defiren rreüutte el vector de posicióti
5:¡
v Ia relocidad inicial vp de la partícula. Por conveniencia, se q¡p sl plano de Ia figura coincide con el plano Gjo de movi-
12.10- Ley de gravitac¡ón de
.b tküra 12.16). -I¡.rá ko qué la magnitud Ifp de la cantidad de moümiento anqular ÜL¡rtirrla P es constante, el miembro del lado derecho de la áual:l
debe ser constante. Por lo tanto. se escribe
nnu sen
f :
remu¡ sen
@¡
(12.25)
al moüm¡ento de cualquier parlicula someüda central. Puesto que la fuerza gravitácional que ejerce drc r¡¡r planeta es una fuera centraf dirigida hacia- el cántro h ec'u¿ción| (12.25) fundamental pafa el estudro estudio del mO\4_ movi\r..2¿l es rurrqament Por una razón simila¡ también es fundamental para
Itrz¿
se aplica
del mor.imiento de vehículos espaciales en órbit¿ alredádor
l u¡rera altemativa, al recordar la ecuación (12.18), es posible rel hecho de que la magnitud 116 de la cantidad de movimiento de la partícula P es constante al escribir
méé =
aEe
Ho:
constante
rn v denotar por h el movimiento
F
a
algular por masa uni-
(t2.27)
I
r I ¡
(r2.26)
da¡ a la ecuación (12.27) una interpretación geométrica in5i se observa en la ligura 12. l7 que el vector. radial Op :¡ in$nitesi¡nal dA : lÉ dg conlbrme gira t un ángulo dg. y b celocídad d¿ t:írea de la partícula com o el cocieÁte dA/dí , ¡re el núembro del lado izquierdo de la ecuación (12.27) rcr cl doble de la velocidad de área de la partícula. por consi- cuclur e que ru ando urut partícula se nuteoe ba¡o una fuerza c¿lxitlad-d e rirea es ct¡nitante,
IEI
Figurc 12.17
DE GRAVITACIÓN DE NEWTON
¡dió en la sección anterior, la fuerza gravitacional que ejerce m planeta o por la Tierra sobre un latélite en órLita;s un de una fuerza central. En esta sección se aprenderá la nagnitud de una fuerza gravitacional. de Ia grauitacíón unioersal, Newton postuló que dos parrc¡ Jl v l¡ a una distancia r una de la olra se alraen entre (rua.les r opuestas F 1 -F dirigidas a lo largo de [a línea gu¡-¿ tZ.tA). te,tra l!. l8). La magnitud'com"ún magnifud común F de las jos dos fuerzas fire¡zas es
,,\ ',// (' F¡gura 12,18
F:
GY+
r'
(72.28)
Newton 721
722
Cinélica de partrcutas: segunda
dorde-G es una constante universal, llamada la constante clr sraDita_ j;'á1;;;r"1ft indican-que ^Los-expenmentos 166.73 "l "J"; ¿A Si , -t 0.03) < l0 .r2 rn-./kg. se en unidades "
ci.ón.
menre 34.4 .< I0 s lL4Ab. s{ ón unidades "prJ¡rl¿"_ Estados U nidos. Las lue rzas o¡ ¡ütacionales p", de cuerpos. pero su elecro sálo .s pos tiene una m¿.'a muy grande. El"pr.ci"bl" efecto d" 1", les s5 p¿¡.o¡" lot moüLnienlo de un planeta alrededor del "nque "^íoíde Sol. de serétires orbtan á. "j'.ed"do," caen sobre la superficie terrestre. . Puesto- que la fuerza que eierce la Tierra sobre un cuerpo de masa m localizado sobre o c.rc,á a. io,up"rff"i" r" a"rr# del cuerpo. es posibte sustjtuir t¿
d"Lr¡;;;r;""_rJ;;;; "" ".,irt"r-;";;;;;ü":l j;';;" ;;; d:il';'r". f;;r;;;;;;;;rrr_ ;i#r. ; j"?;""ry*',r*
el radio R de
li
""_.?""'"ji * ilgrir;j it:';; jj';;;# ,
Tierra por r. en la ecuacjón 12.2g). Se 1 obtiene
w:
CM nW: -lr m
GM
-6ñ2
(r2.2s)
donde M es l¿ masa de la Tierra. En üftud de que la Tierra no es ver_ .:fn,ica. la disrancia-/i a"r¿" J""'l,,,'ri"r..ri"T*"a" 119:lT:",,. oer punro etegldo sobre su super{icie. y los valores de W y e v;riarán entonces con la alrura la latiiucl del pí"t, I q"" * ür'".íÍ+*"¿. Otra. ra7ón para.la variación de W g'con t" i"ut"a qr" 1 de ejes unido a la Tiera no constiíule ," ", ";;;"*" ,ird; d";i;r;;:";.* toniano (véase la s ección I2.2). Un" á"ti"i"tOn _¿, 0."J" jr'f *r. a" un^cue?o debe. por lo tanto. incluir.-.", la roración "".;;;;;i;;;;;;il;r," l:.1,"::l:::'""!*" {"bj1:: nl\ et del mar \ an'an dc 9.791 ¡n/s2. o 32.0g lUs:. en el ."ur¿or, ob-.U¡¡" m/sz, o 32.26 fvs2, en los polos.l La fuer.za que ejerce li Tierra sobre un cuerpo de masa r¿ ubic¿do en el espacio a una djstancia r de su centro. puede determinarse a oar_
,";'#;. ;;,i;,,.:;:'s
lir de la ecuación i 12.2g). Los cá.lculo, ," de acuerdo con ta e¡¡¿q¡6¡ r I s ze | ;i JJ ülación C y de la masa M de Ia I rerra puede er?resa_rse como
;;plrlr";;;;;;J. ; i ;;J;"Í; ffi;J:ffi: Í.:"-
GM:
gR2
(12.30) donde g y el radio R de ra Tierra serán dados en sus valores promedio
C
- 981. m,rs: ¡ .Á :6.J7 < lon m en ,"id"d"r';;i'irl ",j"" : j n - i¡'goo mi){5280 iu;r, ;; ;rd;d",'d;..j.,":;J.1,s;
3:2luJ
Estados Unidos.
.buidonl adescubrimiento menudo
de la ley
de la gravitación unive¡sal se ha atri_ a la creencia 'de que, luego de observar la caída de
una manzana de un árbol, Newton ófl"rdo"? q;. h l;;.r" á"u'Ji*", a un¿ rnanzana.) a la Luna de la rnisma ma¡rerá. Sl bl;;;J;;;;; este incidente haya ocu*ido
*"rrd"dj ,Í
";ü,'###: ll: ;;á#i,l""jl,i" ,
Newton no habríá fonirulado "" su ? ley si no hubieri percibido primero de un cuerpo q,í" d;b"
ll:j
i::]:""'0",
m,rsma causa que la aceleración """ que mantjene a la
El concepto bisico de Ia conr¡nJdad a. f"
Luna.n ru-¿rb,to.
," "ro""iJr-i.;i#;; .f;il;;;", '-'.. ""-d;
comprende mejor en la actualidad. i;br."h; y la Luna se está llenando de satéhtes terrestres
"rtln"iui*.-'
lUna ftnnula que erpresa g en térrninos de
la latitud
f
valor de - ]El= 40 x 106R m.se encuentra fácilmente si se recuerda 2nn
se
proporcionó en el problema
qDe Ia
circunfer"n"i^
t2.t.
t"o".t."..
PROBLEMA RESUELTO 12.7 Un bloque B de masa nr se puede deslizar librenente sobre u¡ brazo OA sjn lrirtidn. quc gira en un ¡lar'o lrorizorrLal a rú.jn nlnstantcÉ0. Si se sabe que B se suelta a una distancia r¡ de O, erprese corno firncií¡l de r, a' 1r, orn¡orrerrh- ¡, Je l¿ r"lo, idrrd de B a lo largo ,1" O \ h l:r rnrgnitutl clo lr irerza ho¡izontal F ejertida soble B por -l L,r'rzo O \.
e
IT
soLUcrÓN Puesto que tod¡s las otras ftrer-zas son perpenüculares al plalo de la figura, la única fi.rerza que se rrtest¡a actuando sohre B es 1l lirerza F perpendir ul¡¡ ¿ OA.
'\_. -{\ -,'.::,.;.
\'"'
_W,,
Ecu¿ci¡rnes
movinfento. Al usiu. l¿s ctn'tponentes
o=m(i-ro2) F:m(rd+zré)
+V>F, = na,.. *\)F6 : ma6: o. Componentc
r:,-
(1) (2)
tlc In vclocid¡cl. Puesto que
(b, cb,. dr dt,. 1':4= dt: d, dt="n Al su.titrir
inr {l )
rctortlar q,'e
0-Ou¡
o, da, = 0l¡r
Ja
F
r,-:.¡,
se tiene
sc¡rr.ar las rirri.rbles.
dr
Al multiplicar por 2 e integrar de 0 a o,- v de re a r, ti:0"\r r^) lr, Frrerz¿r ho¡izont¿rl F. Al dejar' é : 0,,, 0 ción (2), y sustituir
radial y tr¿nsver¡¿¡l.
,:,.: i)ut,rt ,-,i)r/r <
:0, / :
o, en la
ecua-
erpresión para or que se obtuvo en la pate a,
:2nto,,(F
'i)t
F: lr/r)i(; - , i)'/'
/n o u
<
PROBLEMA RESUELTO 12,8 Se lanz¿¡ un s¿rtélite en dirección paralela a la superficie de la Tie¡.¿r cr¡n u¡a velocidad de 18 820 ni/h desde un¿r altur¿r de 240 nli. Dete¡rline l¿1 \,eloui dad del sotélite cu¿ndo éste ¿Llcanz¿ su ¿ltur a mírrirna cie 2 340 ¡ri. Recuérdese que el ¡¿dio de la Tie¡¡a es de 3 960 mi.
SOLUCIÓN Puesto qLre el satelite se mueve balo sl s¡¿.¡. ¿. una [uerza central dirigida h¿cia el centlo O Je la Tierr¿1, su cantidad de tnoviniento angular H; es constante. De la ecuación (12.13) se tiene nlto sen rf : Ho : constante que rnuestra que o es mínima en B, donde tanto r corno sen $ son nrádrnos.
Al eqrresar la conseruación de
l¿ c¿r¡tidad de
ri17oA
tu'
.a
:
rBnlp
moümiento angular entre A y B. B
- ^^^ " 3960 nri F 31U n,i t¡'' rH- (|ó.JZU tn/lt) 3960 rni r 23¿f 0 rni .
r,,
: ll55l) nri/lr .(
723
En est¿r lecció¡ se contimró el estr¡dio de la seguncla lcv de Nel'tol erlresanclo ln fuerzn ¡' l,i ¿ce]eración en télmiros de sns conrytorutte.s rad.ial. g trcttst¡ersal, dotde l¿is ecuaciorrcs de movilitiento colresponclientes son
Zli,: :
2F¿ Se
)F,. : n(i . rg2) . 2lte : ¡¡t(r0 'l 2¡ 0)
nm,:
nae:
iritlotlrrjo cl rnt¡ntentt¡
angr.LLar,
H¡
cle kL canliclacl de ttlo1,ínLiento, di: una partícula aheclerlrr de O
<¡
I¿ c:rntklocl clc nnDitnicnlo
fI¿:rXlrv ),se errcontr-ó que trutL cc¡tt stt
[Io
(12. 12
cs constante cu:rnclo l:r piiltícuJil se rrrleve bajo
unafrt:r:a
)
cr:rr-
ccntlo lociiliz¿iclo r:lr O.
,1, ,{-'rl¡rL,r-r ric los coli¡rolrclles rutlktl r¡ 1r'rtr,-r-cr"sai. Las corlpolentes raditrl v transvc¡sal se present¿roir en l¿l riltir¡a lccción del c¿pítrrlo 11 [sección It.14]; es necesario (¡ie se tepase dicho m¿rteri¿l ¿ntes rlr: tr¿itar de resolrer los siguientes pro blern¿s. Acletrrirs, los cornert¿trios en l¿ lección alte or respecto a la aplicación de ln segunda lcv de Neu,tori (dibujo de un diagr¿rna de cucrpo Iibre v ul tliagrarna r¡'¿a, etc.) sjgrrerr apiicándose Lproblolia resuelto 12.71. Pr¡r r'rltinro, hay que pelcatarse de que la soluciór cle ese pnrLlt:rn.r resuelto deperLde J. h rrplicacióir dé l¿s técni cils llire se clesa¡roll¿rron el el ciipítulo 11 es necesar-io rccurrir ¿1 téclicas sinrila les para resolvcr- algulos de los problernas de est¿r lecciól-.
J.
Il¿solr¡r'irj¡r dc ¡troblenvts r¡ue in¡ii
n ser$:lt
,,
,20
:
h.
dolide r v 0 sol las coorden¿(l¿rs polares
clc P, y { es el ringulo que la velocidatl v de h partícula forlra col la Iíne¡r OP (figura 12.16). La corstantc l¿ ie determina n parlir cle l¿rs condiciones inici¿lcs v es posible resolvcr cuillrluiera de las cct,¿rc-ioles
¿nteriores paril rrna de las irrcágnitns.
.J" i-¡¡ J¿s pntltletnos ¡lc n¡ecúnícu e/esfc <
cle un planetn al¡'ededo¡
724
tlel Sol,
que irnplican el rno\.irrielto orbjtal torno i{ l¿ Tic¡r..r, la Luntr o nlgúl
c, un satelite eD
:ro pl¿neta, la fuerza central F es la fue¡za de la atracción graütacional; ésta se di::1e hocía el centro de fuerza O y tiene Ia magnitud
F:C Mm,
(r2.28)
\-:\icrtrce quc en el caso párlicular de l¡r,fuerza graütacional que ejerce Ia Tie,ru. CM puede sustituirse por qÁ2. dondifi es el radio rerrástre [ecuacirir -prodlcto ,i.:101.
-
Con fi'ecuencia se encuentran los siguientes dos casos de movimiento orbital:
a) :na r
En, el cq,\o de
se puede,escribi,r
: : t-/p:
u'lr,
un salélite en órbit..t circulur,la fuerza F es normal a la ór_ F : na,,: al susütuir F de la ecuación (12.2g) y obse* . q.,"
se obtendrá
^Mn L,------
l]] rrf -
Dz
o
, GM r.-_
l¡) Pora un satélite en unu órbita elíptíca, el vector del radio r y la veloci_ --'d r.del satélite son perpendiculares ertre si en los puntos A 1.8, los ál,ol"r roo, :. l)e.iivrmente. el mds alejado ¡ el rniis cercano ¿J r.enlro de fuerzr O l¡roblema :-:uelto 12.8]. De tal manera, la conservación del momento angular del s..jtélite en_ ::e estos dos puntos se expresa corno
r
TrcA
:
rBanDB
725
12.66 Un bloque B de 0.5 kg se desliza sin friccióD dent¡o de la ra nu¡a del brazo OA que gila en un pl¿llo vertic¿rl a ¡azón const¿nte, 6 : 2 rad,/s. Cuando 0: 30", r:0.6 n ¡' la fuerza que el brazo ejerce sobre el bloque es cero. Deterrnine a) la velocidnd relativa del bloque respecto al brazo, b) la aceleración lelativa del bloque.respecto al brazo.
F¡gura P12.66 y P12.67
12.67 U¡
bloque B de 0.5 kg se deslizt sin fiicción elentro de la ¡¿del brazo OA que gira en un plano veftical. El movit¡iento de l¿r rar, lla se clefine mediante la ¡elación 6 : I0 ¡ad,/s2. constante. Cuando d : li. r = 0.8 m y la velocidad del bloque es cero. Detennine, en ese instaDte_ t la fuerza que el brazo ejerce sobre el bloque, ó) la aceleración relatir.a C. bloque respecto al brazo. nur¿r
12.68 El rnuürniento de un bloque B tle 4 lb en rrn plrrnn hori,,on:, se deline medi¿nte las relaciones O :i'z. donde r se e\p¡e!: en pies, f en segurrdos, y 0 en radiales. Deternine las compone¡tes ¡¿dii,t transversal de la füerza ejercida sobr.e el bloque cu:rndo a) O,b) t I.
¡:3t2-tJ)
:
i:
Figura Pl2.68 y Pl2.69
12.69 El moviúiento
:
de un bloque B de 1 lb en un plauo hoúzor,:-
:
se define mediante las relacio¡es r 6(1 + cos2ltt') y 2¡¡ú, doncle ¡ :expresa en pies, f en segundos, y 0 en radi¿nes. Dete¡nine las componer,:r r-adial y transversal de la fuerza ejercida sobre el bJoque cu:rnclo a) ? rr .
0:
:
f=
0.75
s.
12.70 El collarñ B de 6 lb se desliza sob¡e u¡ brazo .4,4, sin lric!:: , El b¡azo está unido a un tarnbor D y gir.a alrededor de O en un plaro :- :z¡ntal a una velocid¿d 0 = 0.8¿, donde 6 y r se expresan en radTs ,, se.-,dos, respectivamente. Cu¿ndo el arreglo brazo-tambor gira, un rr;c¿ri.-r. dent¡o del tambor libela una cuelda de manera r¡Lr e] cóll¿tr'n s. nrr., cia fuer':r a partir de O con velocid¿d constante de 1.5 ft/s. Si en f : r-' - -= Figu'a P12.70
726
0, determine el tiempo al cual la tensión en la cuerd¿ es igual a la tra:-_::,r: de la fuer-za horizontal que ejer.ce el br-azo AA' sobre B.
l¿ ¡¡rilla
horizonta.l
OA h¿;"T":'il|í*Í::i':i:t:*.unaiiechaverricarde ,udr, y."gu,,_ y scqun. L n,collann ¡ ¿. r.ílú,",iir"ii¡.elr Lj.s.::?:"r- "n racvs .;il: d" o rb rb:iJ";; s;;",s..;; ffriJ:*: t h 'uprura i#:fi-: *^I. -a i:: T,*" d.; *::*.:Í:.:::,:",-,1r""i"'fi:,il:iT"j"ki::f; ;' ;; L,i" ff . J: j il"i:J:,ilil *.";l¿ r.arill,¡. +
Ptobtemas
ffi;:
"f
F__-
ra-
1.5
fr
rel
'al
12.72 F,t.t¡<.^ ¡ ;-^ o"¡ rl^,i1","''¿Jii:i,flJl"¿1 fir""io¡izonral atrcdedor de un eic ,e¡_ ilo g y sc ,nu"u. .in t ii.*""-.":,-. '_" ..ü, Ll Sur¡ede¡¡ B tiene m'asa ¿e j-'oi",i,ii" t*o La coreclera se unc d un .r'eso,te ¿. .o",,"ni. i" 1,"-o:l (t¿¡do uil].se manlicne sin delormar ' r - 0. Si en un ¡nsfante,t,¿^'i^" 'r' oJ dj"co ec ¡ de l¿. co¡redera relariua = - lz ,n,," v Il i,;;;'].'^:i:".,:.i"ió"
;rf,"Ji jj. j",:,:*-,ft
tir*;i;:i:xi:""!*;.":,:::i:,JJ;
12.73
tJn cotr¿n¡ coll¿dn de 1.5 ks sF r1s._a1 ,";;;,il:'",""-h:"J1',T:j::-'.|: se desriza sin rrjc1 es T Si plano.vertical. resotte '^' Pra¡ro,vefljcal St t" la t""d;;;:; de 70 rv ¡ ta tensión en el rirr cs de 3 8 m¡s Fl,punro A ¿"t""ní,.. ""to";JuJa} m,s cuando p",n pas¿ po, prri'"1" po' p,,i' ,;;;::'T]'-1'_0" :l,pio,o 4 las componcntcc "u"ndo '"rt'irrre r¿J de acclcr¿ción *diol ¡ f'.r,,rr'"r_ ¿.¡
ilii
11
a""",í,.
Flgura p12-72
"lli,il"il-'Tl'
"áUn¡r"'
g,ffi Hllit*$*Tifffi li;f r*É,* d er oe de b 6 tvs,hacia rvs.hacia la l1Ltr fty0r"1:*."'r1X11*ll:t::: ra derecha cuando ':2.1 =so" St cu¿¡ndo ""1*".i1; I ':{e,instanre. fffi í, ;]..fdere¡mine. TJl""# )¿r; Ial, 1::l :"": :" ldu¡e I *arii'$:,3 ill,.li l" j::: para rens¡ón;;;i ' la '' accleración ¡ele¡ación ¡r:le¡ación
r
I
Figwa p72.74 y p12.75
l2Z
728
Cinética de pariícLrlas: seounda lev de Neúnón
Una partr'cuja de masa m se lanza desde ql (r¿o,1?.19 lnlcral vo.pefpendcular a la línea OA se
,
tueza ce¡tra.l F que
se aleja del centro de
pu¡¡e¡
con veloci_
mue\e bajo la acción de una
)
[uerzg!,
Si la partr.cula sigue una 1 ie usa la e"cuación lur radial y transve¡sal de velocidad v de la par_ llz.3/). "r?."r" "onrponentes ticula como lunciones
tra)ecto¡ia dehnida por la ecuación r = de
Flguta P12-76 y P12.72
rs/'"6120
0_
, 12..77 Pan la partícuJa del problema 12.76. dem uestre que ¿) la velo_ cidad de la partcula ¡ la fueva cent¡al F son proporcionales a'la dirfancjal^ que v,a desde la partícula hasta el centro de fie¡ia O, b) el ¡adio Je curva_ lL¡ ra de la |r¡)ecforia es proporcional a r3. . .12.78veUna partícula de masa r¿ se lanza desde el punto A con veloci_ perpendicular a la línea OA y se mueve Ui;o f""o" 9"9 p"ld tral "nu a lo largo de una trayectorja semicircular de üámátro OA. Si r:".rr_ rq cos 0^¡ es
y se usa la ecuación (12.27), demuestre que la velocidad de la partícula
o = au fcosz
0.
12.79 Para Ia partícula del problema J2.7g. derermine la comDonente tangencial F, de la fuerza cent¡al F a lo largo de la tangente a h t¡aiyector¡a de la parlcula pata o\ 0 = O. b) 0 - 45". Figura P12.78 y p12.79
12.80 El ¡adio de la órbita de una luna de determinado planeta es tres veces má.s grande que el raüo del planeta. Si la densidad ¡re&a del pla¡eta se denota nediante p, demuestre que el uempo requerido por
completar una revolución alrededoi del plarei u la constante de gravitación.
la iufa"para
., 61r¡cpl,", á.J" c
",
12.81 tos saréütcs de rcmunjcaciones se ubican en una órbita eeosin_ crónica, esto es, en rma órbita circular tal que corrpletan una revolució? al¡e_ dedo¡ de la Tier¡a en un día side¡al (2¡.gS¿ h), y dá esa m"** p*"*rl *,"_ cionarios respe-cto ala superffcie terrestre. Detennine a) la altura de'"sto, ,ut¿l:tes sobre la superlicie de la Tiena, b) la velocidad con que describen su órbita. pro_ porcione sus respuestas ta¡rto en unidades S[ como en las dei sistema inglés. 12.8? Demuestre que rldio de la ¡rbita de una luna de cierto pla_ I - . puede. calcularse a partirel del neta radio Á del planeta, de la aceleración- de la gravedad sobre la superficie del planeta. del tiempo r requericlo por Ia ¡ runa p¿_ra.complefa r rcvolucicin alrededor del planeta. Dele"mine l'a ac.e_ _una leración de la gravedad sobre lr superfcie del planeta _ Júpiter si R 44400 mi. r = 3.55J dras. y r - 4 t7000 mi en el caro de su iuna Europa.
, ,12.83x La ó¡bita del planeta Venus es casi circula¡ con velocidad o¡bi_ 10" mi,/h. Si la distancia media desde el centro del Sol hasta el centro de Venus es de 67.2 X 106 mi y el radio del Sol .. de ¿CZ x lól ml determine a) Ia masa del Sol, ó) b aóeleració" a" h g.;"".d"lrobrJi" .u_ t¿r de /6.J
pertcie del Sol.
_ 12.84
Se ha observado que los periodos orbitales de los satélites Ga_
nÍmedes y CaüsLo de Júpiter son. reqpectivamente. de ?.15 y 16.69 días. Si Ia masa de Júpiter es 319 veces la de La Tierra las ó¡b¡tas de los dos satéli_ ¡
tes mencionados son circulares, determine a) ál radio de la órbitaáe éaní_ medes, ü) la velocidad con la cual Calisto describe su órbita. pr"o"-_ri resPuestds en unidades Sl. tEI pcriod.o ,,rbital de un sat¡l¡te "". ei tiernpo que ésle requiere prua completar una revolución a.lrededor de "s un plan"talt
12.85 El periodo orbital (vea el problema 12.84) de un satélíte te_ üestre en órbita ci¡cula¡ es de 120 minl Determirre o) iu nlt,r.a h d"i sateIite, b) el tiempo durante el cual el satélite se rot." o¡^n* para un observador ubicado en el polo norte.
"""u"ni*
"i't
I]nil 'ión
tJn r.lriculo es¡a,.iai se erri.,rrntrir en úrl,iL.r cilc.ul.¡r a 200 mi , 12.86 supe icie de ir Luna. Si el r:rdio y Ia trasa de I¿ Luna son cle I0g0 ' i r 5 u3 z l0:r lb . sr4t. ¡esprctir amenie, rletenrine a) tn o""i".n"iOn ¿"
)r.¡-
¡¿ci¿1l (\:ea
l:ltil
,lo
r
i.1
.
Probremas
,I)rE l¿
, qra\ edird en l.r
I
superlicie tle Ia Luna, b) el periodo orüital clel vehículo el problena 12.84).
729
es_
12,87 5e lrl oh..n,,do qr- ln\ l)criodo( orbit,rle. re¡ prohl, r,r¡ "l lr dc l:: ..,rélil-5 T.tis ¡ R., .lel plrrneta :arumLr son j. ,nb*l'.t.S,
:¿s. ¡espectiv¿u¡ente. las órüit¡s soi ci¡cula¡es u á" io'';-.--';, ¿,.dito nr'de 183.3 x X 103^Simi, mi determine rlat¡,-.i-- a) l¡.."t,-o¿n r^ ...-',.. cle . ne¿. ó) a"l,, -^ri^ áe -, el -r ¡adto la,;rbita
Ltis ..tis
:..¿sa cle Satur¡to. rc
i-
:11-
.J ¿1
ite
12.88 Dur¿¡nte un vuelo de inspección cle la Tierr¿, la velocicl¿rcl cle l¿r r i!e_ esp¿cial es de 10.4 X 10'l r¡r/s cuando ésta alcirnza su ¿rh¡-a iiíni¡.ra de -t'lrrr ."L,rl I:r srrpcrli, i. cr, i.l punlo l.5-,,hs.nr -,, ¡r,,iu Á-,¡u.," \c csfilr'Irt lrene )d r,n.r allurrr de Á300 k|r. 5upunier,do"t qu_ l,¡
,
1F ¡
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n.r\'.,* ¡rr'rl'óli,.a rlqle¡¡¡r¡,,-
s,r rc[,ridLLJ
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la Ticrr¿
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Como
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¡rirnerr unro\i.,rJL.ion al .,r¡"li:r, tlc ln rn r lo e.p.¡L.ial de ., ^12.89 lielra a \i[iu1e supongd qrre las órlritas dc ¿r¡bus l,lanetirs son,]i.,.r1r,.. ,olt¡ndrc5. Las rlist.¡rrli.L. rre,lias d,,l Sul a Lr Ii¡na y ir \4i11_
du¡ante ¡rn l¡reve interwalo'hasta o¡,
qí"
l.As.Jriri,
:.ipklo que la velocidad orbital tenÉstrc. Cu.rndo t" ", if"Á" r.rc, B sobrc la rjrbir" rl" lrarst*rerci.¡ eliprica .r,el".j,lr,l'; ""r'" ".p".r"1 h"h",;,n_¡ ;.; :¡ene¡tado^ hasta h velocidad orbit¿l de i4arte. Corno l" ;;.;;;i¡; 112.8 X 103 veces la masa ile la Tierr¿r, clete¡mine "" a oul,l"l,tu-"J üu"iiacl lequerido el B. 12.,90.
,u¡ r ehíorlo
espacial cstá en rna órbitil cir.cular de 1400 mi de de.la luD¿. ?ara pesar a una órbit¿r l¡ás pequeña cle 1300 : li rr l?ue ill:1.0:' laolO cl \elir(lllu .. ubi(.¡ prin,ero r,n nit tt.aye(.tot.iit ol,pti,.., ,lB .._ : rcrFndo su \eloLidrd cn 96 lL s r.ll,Urdu pa.tr fror A: rj l¡ m¡s.r de lr Lurrir -¡ cle 5.03 x 10:r lb . s%t, deterni¡e ai la váloc;clad ¿"f i'u"--.¿" ""f.i".f. ir B sob¡e h tr¿)*ctori¿ elíptica, ó) la cantidacl que sulr"ln"iá"¿ li,"ptn*lm1 rerle reülcrrse cuando se apro\im¿¡ .r B par¿i incol?ora$e en la ó¡bita ci¡cu, ar rnás pequeña.
..
Ó¡b*a
Figura P12"89
730
Cinet'ca de particutas: sesunda tey de Newton
. , .12.9-l ,Un tr¿sbo¡d¿rclo¡ espacial S y un satélite A se etcuentr¿n en las orortas clrcülares que se muestran en la ffgura. par¿r recuper¿r el satélite, el 1¡lsbordador se ublca prirnero en una tra)e.toria clrptica'BC al incrernent¿r su vetoctdld en AD, 8b n r/s cualdo prsr ¡or B. Cu¿ldo el trasbordado¡ se aproxima a C, su velocidad se inc¡eruenta en Au6 = 79 m/s par.a incoru<.r_ r¿ulo en la segunda órbita CD de transferencir st i" airt*ii" áJ o "U¡i.". a C es de 6900 km, deter.mine la cantidad rnedianie l"
-
t¡asboldador debe inc¡ementarse cuando la órüita cilcular del satélite.
610
l"""i""iJ"Jia ñr;;.1;'""
," ap.o"i,,ln a """f D fu*
L¡
Figura pl2,91 Dos collarines ,llre un12.92 irr¡¿zdn cornpuesto
A y B de 2.6 lb pueden cleslizarse, sin fricción, so_ por la r lrilla lrorizonta] OE lu varilla r ertic¿rl CD, I la cual puede gitar (on überiad alrededor tle CD. l¡s dus r.ollirirres c
12.93 Dos collarines A y B de 2.6 lb se pueden deslizar, sin fricción, sobre un urn¿zón compuesto por la varilla horizontal OE y la varilla vertical Cr. la cu¿l puede moverse con libe¡tad alrededor de Có. Los dos collari nes están conect¿dos mediante uu¿ cuerda que se desplaza sobre rrna polea O. y,,n top^emanriene fi¡o al co ai.n a o,," .,Íol tZ racys ).r = 0.6 lt |u¡ndo (e quita el tope pcrrnjtiendo que 1= A se r¡''e\¡^ a l<,.1,rg" jg la r arilla OE. Si se iqnoia Ia fricción j h :lrDas¡ :ory," del irn¡azón. detennino. par¡ la posicirjn r = 1.2 tt, d.l la cotnDonente tlrnsve$al de reloeidLLd del coll¿dr A. b)la lensidn en la ct¡erda I iu acole. ración del
iL"rr-oíg,.,
:lltl^I;lr1?:."
Figurc P12.92 y p12.93
Figuta P12,94
1.2.94 lJ¡t-collarin de 300 g puede deslizrrse sobi.e una varilla ho¡i_ zontal que_gir¿ libreDe¡te al¡ededor de un eje vertical. El collarín se sos_ tiene inicialmente en A media¡te una cuerda unitla aI eie y ,o.._ sorte con una constante de 5 N/m; el resorte está s;¡"dáformi¡ "ornlr.i* cuando el collarín se localiza a 750 mm del eje. Cuando el gir" u i"'i"o á-= fZ ¡aüs, la eue¡da se corrl r cl coll,rín' se m¡reve hacia"p fuer.a a lo largo de la va_ ignora la l"rit áir;n y ,la rn.aa de l^,rri r. ¿.ier*in".'pil-ú ".l]r ¿r del :: coltctin. ¿) o.r, ( ron B ción oet collafn, (ransver:iLJ d" la 4 ' la td componente cor¡ponente trans"er.ol l¡ u"locid"ái.i velocidad del coll.,rÍn, á),las r-adial yiransr erseü de st aceleración, iá ,componentes
l'
uer couaDtl ¡elauvÍ ¿ la varilla.
"j
^""t".""1¿"
"12.95 E¡ el probletra ríri
¿i)
12.94 deternrine, p¿ra 13 posicidn B del collala cornponente radirl de la velo.id¡d del collr¡in. á; ,r1,,,1,1"-6--
"l
]l¡ú
b ¡e-
d
etrE
:ffi"f$,?fli-A
b
PARrícuLA BAJ. LA AccróN
;trT;",,"?,í fJ:ff"ffi "el?."i",,;
rPodeO
tdc
j*l ;Txl
Fe {ue la fuerza F está dirigida hacia el centro de fuerza .F )¡. r )F6 se reducen. rásner a -Fycero *. 12.21) li.rr t\tttooo\ o^-,, i"nto, i .uu"ttnle y (12.22). fo.lo ,e'er"¡h" m(r-rg2)=-p (r2.37)
bcr
¡
nt(r6+2rg¡:g
(12.32) p_.
sin embargo, se susti_ |;!;i::r;:1.,?lt",dj (flZZ),"ü"uul
12.32) por la ecuaci¿n
¡
j:,J":;';;;h""l,iili",l,i,X".i,J,:::'"ii#: ".
::1i:
f- p€ro cuyo uso es más conveLiente. Se escribe
lo=h ,',-,',:
-n
(
d0 h á: " ¿t-_ f-
q,
r
dt
12.33)
fi ijlJ, #: ;,:u:lJ: ; ufJi,Tf B"JS%f
1
l-
l,
.de
(72.34)
dedlce que
.dr
dr dt
_dt
dr
dt
i
hdr
de
Édo- -^*!(i)
de dt d0
(12.3s)
ndr
d0 dt
édo
de I t2.3b). htd 3- .tS
? [-h!-' ü$(:¡\ h'
d'I
I
(r2.36) d0"\ -{ sustituir 0yi de (12.34), v tle " "v"''"attrenle eo en la ecurción !..--.36),, respectivamente, ecuación {l2.Bt) e {[2.3]) c i'i"^¡,,^:_t^ intróducir la c fu,,cián f l"-". = t/r. se obtiene después de simpli_ ffcaciones hcaciones .
d2u
F
if;+u=;"tPF
(72.37)
Para obtener la ecuación (12.37), se
:l,iH1ii;**:#; ;*LT*"b;",;:l"i*_",i"",""rru1H:.ffi ;#;:17 sr f /^¡regaüva apunta aleiándose de (tu"rza Xpl;¡:j:"j1_o, 1tu"-" ó "ú"ü";ü tun"ión *p"frt""L ii)?r"vd¡ conocida Lu'ru(¡ua de r y. ue V. en con\ecuencia. de consecre u. r¡ la r, ecuación .^,,"^;^- ,(J2.37) ,. .-, diferenciai en ri y 0 que deffne define a ra la rravectorja travecrn;c ,""",a"1",'i" .^-,.,r-"j^l-11 ""ul-"ión il*al;: illTiil,ffl iuerza central F. La ecuacióride ÍJ 3 h trayectoria trávc.r^"io , --*t"-'"""cc-
se uuuene obüóne ^L,:^_-al resolver la ecuación dife¡enci al (12.37) o-",-' ¡ con una función de g y al delernri_ nar tas constaniÉ¡< consranres a" .1. ;-r^__j^,, ,
'""g'i"io"l p"r;;'::ff':;^d;i.# ,TÍ::.
12.11. Trayector¡a de una partjcuta
baio ,/31 r".".i¿"¿"u".iuláilli#
r
-12.12. API-ICACIÓN EN MECÁNICA CELESTE Dr:spués de que ha finalizado Ja últirrra etapa
tos rrllo r l¿ atr¡cci,trr gravitlcir,nal cle l¿'llerr.a. Eln colsecuencia, es posible detenninar su rnoürrrient(i rle lm ecurrciorres (11.38) 1 112.37), las cu¿les gobiernan el lnr¡ütnientu de un.L par.trcr rr bajo unu luerza celtral, luego de que F se ha sustituiclo por.la expresir'rn que se obtuvr¡ pala la iuolza de atracciól grar.ittrciorial.l Al srritituir. la-expresirin en la ccuación (12.37)
C)Iut -, r-
f donde Fotografía 12.4 La Estación Espacial lnterñacional y el vehícu o espacial están sujetos a jalón gravirac ona, de la Tie.ra. V si se tgnora l todas las demás fuerzas, la trayectoria de cada uno será un círculo, elipse, parábola o hipérbola.
C)Iu ¿ t-
l{ : mas¿ de la Tielr'¿ ,1 : masa del vehículo r : dist¿nciu del centro de la Tierra tt:Ur
se obtiene l¿ ecuación
al vehículo
üferelci¿l
tl\t +r.t: CX4 ,¡ ^2
(12.38)
tlonde se obsen.a que el rriernbro dcl lado derecho es una const¿nte. La solución de la ecuación dife¡enci¿l (l2.3fl) se obticne al strnar la solución paÍiculal u: GMllt2 a Ia solución general t : C cos (6 - 0o) de lir ecu¿rción ltonogér.rea correspondier,t.. (esto es, la ecrución quc se obtiene al igualar a 0 el rnierrbro tlel l¡rdo dt.r.echol. Si se lijr el eje po lrr de r'r.u'crl qu, 0,, - () .* escril'r
!
Glf l¡2
Ccos0
(12.3e)
La ecuaciól (12.39) es la correspoldieltr ir una r( ccr,jir r ? j,?¡c¿ ((,1 llse, parábola o hipérbola) el las coord.nldrs poJzires r 0. El origen O de ¡ l¿rs coordenadas, el cual se ubic¿l er el centrr¡ de lá Tier.¡¿r. ei un fbco de csta secciót crinica, y el eje polar es urro de sus e_jes cle simetría ([i gura 12.19). El cociente entle las colstlrlites C y GtrI /h2 def.;rte la crcentricidad e dc la sección cónica; al dcjar F¡gura 12.19
"
C
Cl¡2
cM lh2
Gt4
puede escribirse la ecu:rción (12.39) en
i¿r
(r2.10)
forn¿
lCM ,:17ttiacos0)
(12.39',)
Esta ecuación representa las tres posibles tr¿yector:ias.
l. e)
I, oC> GMllf: la¡ deffrido cos 0,:
lSe
supole qrre 1os vehículos ,l¿ Tiern v quc s,rs
r.r
g¡116lrr. para los
-01 del ingulo po c.r,ales el ,ii-m6ro
ospaci¿lcs colsidcrados á.1,rí son ¿t.¿ídos ,injca¡rente pul m,isrs s(r¡ igrxrables en courp nci(h;o l¿ mas¡ de l¿ Tier¡¡. Si u¡ rnuy alcjado de ta Tieua su rr¿),ectori¿ qüi7¿i ser ectadr por la dirac_
vehículo se muoc ció dcl Sol, 1¿ Lllna ¡r oho pl¿ner¿.
I
ha1 clos valores 01 1
lanzaI suje-
2.
ci¿, es _2.37),
3.
ñlerza rbtuvo ón en
derecho de la ecuación (12.39) se r..uelve cero. Para estos dos valores, el vector radio r se r.uelve infinito; la sección cónica es unn hipérhoh r ligurr 12.20r.
: l, o C : GMfht, el vector radio se r.uelve infinito 0.: 180'; la sección cónica es una parábola.
e
12.12. Aplicación en mecánica
para
e < 1, o C < GMfhz: el vector radio perrnanece finito para todo valor de 0; la sección cónica es :una elipse. En el caso particular en que I - C : 0, la longitud del vector radio es constante, l¿r sección cónica es un círculo.
Ahora se verá cómo las corstantes C y GMllf . que caracterizan la trayectoda de un vehículo espacial, se detelminan n partir de la posi, ción y velocidad del vehÍculo al principio de su r.uelo libre. Se consi, dera que, como es en general eJ caso, la fase impulsada de su r..uelo se ha programado de manera tal que al consumirse la última etapa del cohete de lanzamiento, el vehículo tiere una velocidad paralela a la superficie de la Tierra (figula I2.2I). En otras palabras, se supondrá que el vehículo esp¿cial empieza su r.uelo libre en el vértice A de su tra2 38) mte. n¿r la oo)
-
ue se e po-
rectoria.l Al denotar el vector radio y la velocidad del vehículo al principio de su r,.uelo libre, respectivamente, por l) y t o, se obsewa que la velocidad se reduce a su componente transversal y, en consecuenci¿, que ro: ¡000. AI record¿rr la ecuación (12.27), se erlpresa el mollento aügular por masa unitaria /¿ como
h:rf,?n:rnan
(13.41)
E< posible utiliz.rr el valc,r obtenjdo para /r para deteminar la cons, t¿nt" GM/ñ'. Tarnbién se tiene que el cálculo de esta constante se simpliffcará si se usa Ia relación que se obtuvo en la sección 12.10:
2.39)
CM : pR2
lipse,
donde R es el r¿dio de la Tierra (R 6.37 X 106 rir o 3960 mi)y g es la aceleración de la glavedad e:r Ia superffcie terrestre. La constante C se obüene fijando 0, re en (12.39):
(r2.30)
:
Ode
9:
foco á (fi-
tricí-
I
CM rl
\l
r:
(12.42)
sustituir /r de (f2.41), es posible expresar fácilmente C en términos
cle re y o¡¡. Se deterr¡rinarán ahor¿ las condiciones iniciales correspo:rdieltes r ,10)
a cada una de las tres trayectorias fundamentales indicadas iurtes. Al considerar primero la trayectoria parabólica, se hace C igual a GM/h2 en la ecuación (12.42) y se elimina /z entre las ecuaciones (12.4I) y l:. l2\. A1 resolver para r ,,. .e obtiene
39',)
I
po-
nbro
5e puede verificar fácilmente que un valor mayor de la velocidad inicial colresponde a una trayectoria hiperbólica y que un valor nrás pequeño corresponde a una órbita elíptica. Puesto que el valor de o¡ que se
€ por 5i un I t,os
problenas que impliquen l¿nz¿nientos oblicuos
se cousiderarán en l¿ sección 13.9.
Figuta 12,2'l
celeste 733
734
Cinética de Partículas: segunda
más pequeño para el obhlvo Dara la trayectoria parabólica es el valor de inicio' recibe el nomHi"i-i"ffii";t'*iuioo?gt"tu " 'o punlo se escnDe bre de uelo,:idad de escape Por consiguienle
4*:{;@M
trt= v'o
(re.43)
será I) Se adüerte que la trayectoria (, o"" si u6 el-rpticr 3) t si un 2 r parabólica .Y
si se recurre a l¡r ecuación
\1230)
: ; ,"*. i'a"tUtft"^ '": "t'¡;;; t'1""üu"*"t óibitas e)ípticas posibles la que se obnene i", interés especlal se enC :0, Ia órbita circular, resulta de "u"Jo ;"" ;"illd"J q"" el valor de la velocidad inicial corresponilffi;
diente a una órbita circular
es
ral
"".:J
o
Ücirc:
gR"
(t 2.44)
rO
"
*
(12 30) De 1a frg:;ra !2 22 si se toma en cuenta la ecuación pequeños que u"'"' el punto A ,.r"re r alores u,, r nayores que üci. pero rnás a la lre5".1"-.. itti"i^ a ielo libre es efpunto de la órbjla rnás c'rcano
PT:*
.i;;t;" h' p¿rigPo mient'"s que el punro-A" :"-::,:;-i.;;b" r/pog?o Yltr¡r \alores ;; ;". ;f;tu aleiado de la Tier-ra' se (onoce como en tanro que el apogeo es A punto ::',I"j; ;:;i;;ü "1 de uo n Lu'"'. valores Para geo eJ pe ¿" i" o'situ :: ;; ;):' - ";Ji;i;álio -" l-*''" "s del vehículo espacial intercePta :ctoria que Dcir. la tfiry( cho mfu eJ
ri
Figu'a 12.22
Pequeños Ia supertcie de la Tiena:
er lai caso €l relúculo no entra en ótlU";^ que se diseñan p¡]ra golpear contra la
Lás misile. baiísticos.
su-
elíplicas En ..rtili.,"tr"t,r", larrbién;ajan a lo largo de trayictorias ob¡ero hnzado en-el #ffi: ';;;;; ,l"áno""' Jho" q'" cualqujer que *oY.ll' u ", r;;;;" unr velocidad inicial uq rnis Pequeñr '"u" f"ir.t" ¿" una ltavectoria elíptica Scilo en el casoq":cn que las drsr¡n:lJii""lt:J; # p"lu'n^' posible suponer :;"TP' q:T
"l
"' la. lra)cctona elrPo('a PUctrr tacionai de la Tierri e" unifornrc- y que como se hizo antes trayectória-parabólica una .oro¡rrrnrr" tnedi¿nle proyectiles convenclonales' , iecclón I l.l Il en el caso de d-: Una'caractefisüca importalte del mtttl"l: t' pT",d"::13":l requjere éste es el tiempo que or'r ,u,áli d" dit-l1t:lll"","lT"toe;;tocido cámo' el peri'¿". :¿',td, primero' en vista de Ia delinicion de ve-
Periodo
orbital'
üi"iñ.;;;;;; iot" -"4""*'"
::
Observarlos
el área dentro it"-;tó" 12 9), lue r se obtiene a1 dividir ffid;á;" áe ¿irea Al advertir que d *"1 los semr'"-l*i¿áá igunt a zab. donde a y b denotrn' resPectivamenle se escribe a h/2' "tipt" "t rrr"nor, y que 1a velociclad de área és igual
á ü;:t#;;i"
d:-li
"p', -uyoiy
2¡rab
(.12.46)
En tanto que h puede detenninarse de inmediato
Flgura 12.23
a
partir de rq y
i",¿fn" Ianzado en una dirección-paralela a.la suáJ ," "" """ "f'"ir. no se relacionan directamente con o""r+i"J t".t"ttt", tos semiejes ¿ y b ralores de ro y iniciales Puesto que' por otro lado' los i^. oe"|"¿i""t", al perigeo y al apogeo de la órbjla pueden r,-.1" , "orrerpondientes .in dificultades á partir de la ecuación 112 39) se exPresan iár-in"rt" los semieies c 1 b en tórminos de ro r rr' '"' qJJ s' *ue'tt" en la figura 12 93 El o,üii"
"il;$;"J""l. "llpti"" .."o;"ül;i;; ,e ubi"o J,''' o y'"uincide
con uno de los dos focos
d"
ael om-
rl e' h elipse, en Ianlo qr¡e los puntos A y A' represenlrn' respeclivar] rer que conlilma se Flcilmcrrle la órbita. el per-igeo y apogeo de
"l
r0+
r1
:2a
.43)
v consecuentemente
a r)
foSi se recuerda eue la suma de las distancias desde cada uno de los h"<" cuolqrii"r punto de Ia elipse es conslcnte se escribe
iene
"os
O'B+BO:O'A+OA:%
en-
ton'
Por otro 1ado, se üene que ¡rz
:
(BC)2
'.44)
¡A', lres ¡e el Itrlu-
o
BO:a
16 Por lo tanto, es posible escribir
(Bo)" - (co)2 : a2 b2 = r,,(2a - r0) : r¡h
\', por consiguiente,
Tie-
CO=a-
:
'que
¡oA
(t2.46)
,r:f,(rn+11)
b: {r,t\
@
-
"r)n
(r2.47)
Las fór'mulas (I2.a6) y (I2.a7) indican que los semiejes mayor y.mey nor de la órbita son iguales, r'espectivamente, a Ia media aritmétictr \ez Unr \eclor radio oeornétrica de los vulóres nráximo ¡ mínirno del de los semiejes prleden iu. r",, y., se han clelenninado. lai longitudes en lr fórrnula ( 12 45)'
Ppta I SU-
,En
nel ráa *anr¿vi¡ede mtes
bde r ór; de""
\€-
Itro una
emi-
ribe t.45)
rrol ¡ suI
con
rro,v
l
deesan 3. El
mde
-12.13. LEYES DE KEPLER DEL MOVIMIENTO PLANETARIO Las ecuaciones que gobiernan el moümiento de un satélite terrestre pia describir el moümiento de 1a Luna alrededor *",iltrrL """J"" no es des;"i;i¡;t;t. En eri. ""ro. sitr enrbrrgo la masa de la Lunr que se oblos resultados y con ia masa teriestle' pl*iuUt" "o-pal"aa ü"nerl ----in r,o son del todo Precisos.
t"o.iu que se de'salrolló eu las secciones Plecede¡tes también Sol se roiican al esiucl¡o del rnoümienlo dc los planetrs :rlrededor del planelas los que luerzas al igorar-.las olro error -\u,ique ,. inlroduce heeiercLn entle sí, la lprorimlción qu"e se obtiene es ercelente De fund¿leoría su forrnu]ado hubiera Neu'lon i"¡rtt antes de'que "i ", f"t urooiedades "xpresoda, pot la e( uación r12 39' donde M ' '" 'Ñ."rt"r."i" fi ,ia.n del Sol,'l m.dia;le la ecuación t12 33l lrabían sido ¿""""Ul.tart por el astr'ónómo alenri.n Johann Kepler.ll5Tl-1630) a oortir de obsen.rciones asi ronórnicas del rnoürnienlo de los planelas ''-- fÁ x"ttuy^ ,tnl nouímiento pkmetario de Keplel se enuncian del modo siguiente.
l. 2, 3.
Cada planeta describe una elipse, con el So1 ubicado en uno
de sus focos.
EI vector radio trazado desde el Sol hasta un planeta barre 6¡e¿. iguales en tiemPos iguales Los cu"adrailos de tieir.rpos"periódicos de los planetas sol proporcionales a los cubosle lós ejes semiüayores de sus órbitas'
La primera ley establece un caso pafticular del resultrdo que se establ.ció en la se'cción 12. t2. y la segunda ley erpresa que la veloci-
dad de área de cada planeta es constante (véase la sección 12 9) Tambien .s posible obte;er la tercera ley de Kepler de los resultados a los que se flegó en l¿ sección 12,]2.1 l\'éase el problema 12 I90
12.13. Leyes de Kepler del
movimiento Planetario
735
PROBLEMA RESUELTO 12.9 Un salélite se lanza on unu dire.cidn p¡r¿lcla a la suoerfcje dc una vetocidad de 36 e00 k"r,h d",J"
l¡ Ti.","
;;;Jtu;Hr;tfü. ;"i"-;: -;ii""l: ' titud máxi¡¡a .ücanzada ¡or el srtéLite. ¿ el periodo orbit¡l )
¿"1
,,,i¡lii.
soLUCtóN Allitd_Trixim:r. Después de que se lanza el satélite, éste se er_.,-_ -1) cüentra sujeto únicamente a la atracción-gravitacional de h T;;;;;.. secuenc¡a. su moürniento lo gobierna la ecuación ,l2.3gl
IGM -
(1)
--rLcosfl
Puesto que la componente ¡adial de la velocidad es cero en el punto de lan_ zamiento A, se tiene h = roon. Al recordar.qu" pur" h n"..u n'l ; 3ñ k,,,, se calorla
= 6370 km + 500 km = 6870 ktr :6.87 X 106 m 36.! z , - 36900 k^/h t0.25 < 103 m/s ' -- 3.6 \ lql" ^ I0rs = \: : 16oo = (6.87 x 106 tr)(I0.28 x 103 m,rs) = 70.4 x lf 4.96 X loer m4ls2 16
Puesto que GM = gR2, donde
GM
cM h-:
:
gR2
=
_R
es el radio de la Tier¡a, se üene
(9.81 nvs'?X6.37
x l0r2 m3/s2 496 x tpl*%t: 398
x
106
n)s = g98
80.3 X 10-e
Al sustituir este valor dentro de (1),
]:soi"
10e m2ls
x
10r¿ ms/s2
mI
se obtiene
to-qmr+ccosg
A] a{vertillue el punto A es 0 = 0 y r r0 = = 6.87 constilnte C:
I 6j? xl0G:80.3 X to-s m-r + 6 "o. ¡o
(9\
x
C
106
:
nr, se calcula la
65.8
x
En A'. el.punto de la órbita más alejndo de la Tie¡¡a, se tiene g diante,2'. se c.alcula ll disLancla coE"spondiente rt:
10-e l11-r
= 1g0.. Me_
I
= 80.3 X 10-s n-r + (65.3 X 10-e m i) cos I80. r¡ : 66.7 X 106 ¡¡ = 66 700 km Altu.ra nuítima = 66 700 km - 6870 k¡r = 60U(X) kr¡
-
b) Per.iodo ()rbit¿I,
puesto r¡ue A y
A,
{
el perigeo y eJ apogeo, rcspecrivamcn re. de la órb¡ta eLnriia. se utilizan,las ;";?;;"r",';lí;á y 112.47) 1 :e calculan los semiejes ma)or ) rnenor de lc órbil.r
! = +$1", )../Aaz¡taañ -l(o.sz + g6.zxr0o) =
b = ^"Gdrt 2r-ab
x106
_
2,¡r(36.8
x
n
lO6 m)(p1.4
son,
m = 36.8 X 106 m
:
21.4
X
106 rn)
x
i0;;
70.4 X los m2ls
r=70.3X103s:tITlmin: 736
t9 h
:lt ¡ril
<(
rl tl-
En esta lección se continuó el estudio_del movilniento cle urra piutícula bajo unn fuerza central y se aplicaron los r.esnltodos a problemu" celeste. Se en_ contró que l:r trlyectoria de una partícula bajá u'a fuerza";,;;í;" central se cleline
l¿ ecuacroD drleren{.iAl
(L
11
(tA
'redialte
F
=;"h"F
(12.37)
donde u es el recíproco de la distancia r de f¿ par tícula al centro de fi.terza (u : I lr), F es la magnitud de l¿r fuerza cent¡al F, y /, o,.o corrstante igu"l ¿ ln canticlad de "',p.rriíc.ulr. En proi,l"r,,,,s ¡rroürnientr) lrn.'J'lar por uniducl tJc rlu.¡ dc l¿ de nrec¡init.ir cereste. ¡ es ta tuerza de ltracci(jn gravit¿cional ejercida sobre el s¿télite o n¿ve espacial p^or el Sol, la Tierra u otro p)aneta al¡"cledo, a"f : ¡f Gxtnlf : CMtrut2 e¡t la ecuación'(12.37), ,. """i "rq".' sustituir F
"¡rti;r. ;;;;;;jr"
d'u
_ GM -.. " ¿0. - l,:
(r¡.38)
donde el miemb¡o del l¿do derecho es unll const¿nte.
1,
Anúlisis
del ntoci¡niento de s¿télítcs y natcs
espcrcíales,. La soluciól cle la
ecuación diferencial (12.33) define Ia tra¡,eciorir de un s¿télite o,ro"" Érin se obtuvo el la sección 12.12 v se "rpn"iut. clos for.rnls ,,f*r""a"
7CM -: --lCcosd
"*pr"r;
o
IGM : ¡;
A1 aplicar estas ecu¿ciones recuérdese rlue 0
prrnto cle ¡ná{rno.rcer.i,mienro, tle
",
"r.,
(1 + a cos
0)
(12.39, 12.39,)
= 0 corresponde siempre al perigeo (el
h liir¡ecruria ng",j r¿.ici ioü"/, u,li".,n.. tante para ula trayectoña deterr¡in¿da. tleperdic"üu "j del val,rí d'c la excentricidad r. la lra¡et.loria seii una Li¡rérbolr. una parihcrla,, unr eliDse l: Lu tntqct.trtria cs unu hiperbolo. po, lo qi,. Trrr.:r cstc L.rso l.r r¡jr\c ") : nrnc¿ cspilctat rerorna ¡ su purrlo de parlida. truryeL.toiru c* uncipatúbctkt. Éste es el caso límite . .1, :.: 1: (hi¡erhólica) .La e¡tr.e trayec_ y cerrada (Lhptica). par¿r este i" u"t,r"iaoa un :r]ll^"bl:".r pengeu es lgual a lu relo,.idad de es,.¡pp p-., ""* "n "t
rO
(12.43)
Adviértase que la velocidad de escape es la relocidad uris pequerla para la cual la nave espa, irl no rogresa al punto de ' '
¡adidr.
737
c) e 1 7: La treqectoria es una órbito elíptice. Ett problemars que implican órbitas elípticas, tal vez se encuentre útil en la solucjón de problenras zubsecuentes l¿r. relación que se obtuvo en el problema 12.102,
i1
zGM
10 rr
h.2
Cuando se aplique esta ecuación, hay que recordar que r¡ y 11 son I¿s distanci¿s desde el centro de fuerz¿r desde el perigeo (0 : 0) y el apogeo (0 : 180'), respectivamente; gue 1r : rip¡ : rror y que, para un satélite que orbita a la Tierra, GM,¡.,..,, : gR2, donde R es el radio terrestre. Recuérdese también que la travectoria es un círóulo cuando ¿ : 0.
2.
Deter¡nineción clel punto tle hnpacto cle unu note espacial qu.e tlesciende. En problelras de este tipo, es posible que se suponga que la trayectoria sea elíptica, y que el punto inicjal de l¿ trayectoria de descenso es el apogeo de la trayectoria (figura 12.22). Adviéftase que en el punto de irrpacto, la distancia r en las ecu¿ciones (12.39) y (12.39') es igual al radio Á del cuerpo sobre el cual la n¿ve espacial aterriza o se estrella. Además, se tiene que /r : Ro, sen S¡, donde o¡ es la r.elocidad de la nave espacial en el impacto y ór es el Írngulo que su trayecto a forma con la vertical en el punto de impacto.
i].
Cúlcuk¡ del üetnpo
el movimierto de
d,e
recorrid,o entre
d,os
pünto$ sobre una
traqectorio.
para
tienpo t que se requiere para que una partícula lecoü¿ una porción de su trayectoria se determina ¿l recordar de laiecclón 12.g que la,¡azór a la cu¿rl el vector de posición r barre el áre¿ en la ulridad de tiempo es iglal ¡ l. mil¡rd de l¡ contidrd de rnoürnienro angular por rnisa unitrri, /r d" la p,'rric"ula, dA/¿t : h/2. Se concluye que, dado que /r es-consiante para una trayectoria áada, que fuerz¿r central, el
donde A es el íuea total bar¡ida en el tiempo f.
En el
de
nu,l rutl?,c
torio elipticu.el tiempo gue se requicre d.e pt riodo oiúilnl y se expr.esa conro
, ,a\ una órbila ,ruvrecibe :t pletiu el ¡rombre
2(nab)
pi,rra com_
(12.45)
, t b son Jos. seniejes uayor y.rnenor, respectivamente, de Ja elipse, y se rei:ld" lir(.ionan con las dislancias (, \ rr rnedial,te
n:!(.,n+,¡
y
b
:
,vGrr\
(r2.16, 12.17)
. .b) t1 .1e1*r1 ley ilc Kepler proporciona una relación conveuiente entre los pe_ riodos o.rbitales cle dos ¡¡télites que describ.n órbitas ehplicus alrededor del rnisilo cucq)o lsec(.ión i2.13. {l denotar.lossemiejesnra)oresd"lasdosórbitasderz ¡ a2. Iespectivan.tente, y los periodos orbitales coirespondientes por ,r y 12 se tiene
4:4 T2 ai cl En el caso de una traycc-totiu parbólicu,
es posible que se r.ecurra a la exl¿ poftada,del libro para un ár.ea parabólica o un área semiparabó_ de calcul¿r el tiempo que se requiere p¿ra üajar entre los dojpuntos
ililrn "l
f:l:11 rlc¿ con el de
734
l¡ tr¿ve.iori,
12.96 Una partícula de masa r¡ se proyectadesdeuna "] P* cenlral F luerza {^'-t.l-"* brtio f".;¿,1'i,i"i"l u" i"'¡"n'li' uttr. a oA r se rnrrcrela e':uat iórr r - r¡lr1 - o' por ' li" ,i. t"" ,l.vletori¡ elíptic¿ d'flnida
',-" : . ü;:;;i.;;;
,áciún ' 12
3í'
:ional al cu¡cl¡ado cle la clistancia
den'¡restrc oue F es irrve'sarncnre ProP'rr medida desde la ¡artrcula hzsta el cen-
iro de fuerza O.
F¡gura P'l2.97
F¡gura P12"96
1
deffnida por la Una pa¡licula de masa ¡¡ describe la trayectoria F ürigida cent¡al ,'"u fuerza ;nlá J" o""io'.' '1" demucitre 1237' ion ecuil( la ¿"1 ,i.ntro de lu'rz' O Mcdjarrtr al cu'rdrrdo de l'1 disr'ür' ia r medi'l¿
2.97
-"'',,já;:
i" l;;^"^Jrr" i:"
:;;iffi;;
;';;;,;;nü
;l
1',"¡o."i"nol
iescle la parlícula hasta O'
12.98
-
r /'4ro Urra pertículo de mlrsa ¡n d-rcrihc la ¡arábolu las ecueM'di¡nle C fuerza Je cl dirigidr hacia '"cniro proi*ersirr.ente F es qre demriest¡e I' ¿ u (tz.¡s'i"on = cenbasta.el descle Ia partícula údi,to,,"in 'o"didr angulal por masa unitaria es " de moüúiento q'
bajo
lirrl, "",ri'r ;; ¿üt;i -,il;Jl -=; "i;id;;JáJcantidad ,üiu"ü;Jia .¡ : t/2cMro. It qq I n, nj,rlicrrhtle rne'ar¡
1 llegó al punto de su tra-
ul ¡lanet" Júpiter' se'ob"scn
qu" hrbía una distan' i¡
-1"; ""..,-o desdJ"l'"""t'o del,planeta l .],]il i'ió'"il;;;did'o
I L7',il lt
Ll--o
F¡gura Pl2.98
logantmi"" -'Íh lu lu-erzrr o- Us¡ndo le á" ,'. lí:i".;"'"ff,r.r n'Jt'g'J' h^:l^ el cent.o d" invFrsanrenie ¡ropor'lion'rl al cubo .ll';lloi ,ü;;i'i;;;;'; q";;F "' . Jirtolt"in , ,rl"dida desde li partícula hmta O Vol ager 12-100 ',;l Cuando la sonda espacial
cl/ -r¡-
Ia sonda tenia-una
.ocicl¿dcle26'9krrr/s'Deteln-iinelam¿s¿deJúpite¡suponiendoquela en parabólica -.,.""toria tie la sonda espacial
I
740
cinetrc¿ de partrcutas: sesunda tey de Newton
I
175 mi
12.101 Clnndo tna sonda espacial que se aproxima al planeta Venus en una trayectoria parabólica alcanza el punto A de máximo acercamiento al planeta. su velocidad se reduce para incorporarla en una órbita circular. Si la masa y el radio dc Venus son áe 334 \ i0er Ib . sz¡fi I S76t rni. respech_ vamente, determine a) la velocidad de la sonda cuando se aproxima a A, b) la reducción de velocidad que se requiere para incorporarlá en una órúita circular. 12.102 Cuando la nave espacial Galileo alcanzó el punto de su tra_ yectoria más prórimo a Io, una de las lunas de lúpiter, se obieryó que se ubi_ caba a una distancia de 2 890 km medida desáe-el centro de Io v'tenía urro velocidad de 15 kr¡,/s. Si la masa de Io es 0,01496 veces la nas; de h Tieüa, determine la excent¡icidad de la trayectoria de la nave espacial cuando se aprodmaba a Io. '12.103
Figura P12.101
z6t t{0 tua
Fú
ibd
n¿nl
ceol
rdr órbi
h?a' del IDT
informó que un pequeño satélite de Túpiter, descubiefto en 2002. ticne una órbita con semieie mayor a 23.6 v i06 krn y ercentricidad Je 0.45. S¡ la masa de Júpiter es 318 veces la masa tle Ia Tiér¡a, determine las velocidades márima y rnínima del satélite. Se
}]2. esP€
cirst
12.104 Un satélite desüibe una órbita eJíptica alrededor de un pla_ neta de masa M- Si se denotan mediante r¡ y r1,-respectivamente, los áo_ res rnínirno y márimo de la distancia r meüda desdeil satélite hasta el cerr_ tro del planeta, deduzca la ¡elación
I
-+ fo
1_ r1
2GM
,"
n
donde h es la cantidad del momento angular por unidad de urasa del satélite.
Figura P12.104
12,105 Un satélite describe una órbita circula¡ a una altura de 1lgZ0 mi sobre la superffcie de la Tier¡a. Determine a) el aumento en velo"iáad requerido en el punto A pTl.S"" satélite a.lcance la velocidad de escape -"1 e ingrese a una órbita parabólica, b) Ia distrinución en velocidad necesaria en el punto A para que el satéIite entre a una órbita elíptica de SSOO mi de aitura mínima.
¡'
la ercen(ricidad e de la órbita ebpUca.
1
lúd la
scm
\-eErI
leloci
-{Ih
T
plaoo
su raP
la órtr es 0-8 la son, debe ¡
1:
3 960
ni
F¡gura P12.105
ylave Dete¡
cantid; vameD
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l¡",l
Lsi I .. ECII-
ta, b)
bbita
r trar
ubi-
a
una
r
Tie-
l¿ndo
to en icidad rmine
Problemas 741
obsewatorio de rayos X Chandra, lanzado en 1999, alcanzó una órbita elíptica de altura mfrima iguat a 10000 km y altua máxima de 140000 k-rn sobri la superficie terrestre. Si se suPone que-el obsewatorio se transffrió a esta órbita áesde una órbita ci¡cular de 10000 km de altura en el punto A, deterrnine ¿) el aumento en velocidad requerido en A, b) la velocidad del observatorio en B.
12.106 EI
12.107 Corforme describe una órbita elíptica alrededor del Sol. una nare esoacj¿l alcanz¡ una disiancia r¡¿irima de 323 x l0Ú km medjda desde el centro áel Sol en el punto A (llamado a/elio) y una distancia mínima de 148 X una 106 km en el punto B (llamado períhelío) Pa¡a coloca¡ la nave espacial en B' se locaA' y B donde ' perihelio ' . afelio,A y con más pequeña órbita elípüci li"ar, ,especuvumá tá, a 264.7 x 106 km t 137.6 " lOc km. desde el centro del iol, l'a velocidatl de la nave espacial se reduce primero cuando-ésta Pasa por A v después se reduce má¡ óuando pasa pot B' Sl la masa del Sol es 132.8 i 10tu"""t la masa de la Tierra, délermine a la velocidad de la nave espacial en A, b) la cantidad que la velocidad de la nave espacial debe reducir'se en A y B' para que ingreie en lc órbita etpÜca deseada
140 000
km
Figul¡a P12.106
n plai
148
valo-
x lo6km
I cen-
úélite. 11870
*
ridad rscape
=saria 264.7 x
106
km 13?.6
x
106
Tmyectoria de ap¡o)dm¿ción
km
Figuta P12.107
Una sonda espacial se colocará en una órbita circula¡ de 9000 km de radio alrededor del planeta Venus en un plano especiffcado Cuando la sonda alca¡za A, que es él punto de su tnyectoria original más cercano a venus, se inserta en ina priméra órbita de transferencia álíptica-al-reducj¡ su velocidad en Au^. Esta óibila Io ller a aJ punto B con u na velocidad más baja Alll, la sonda selnserta en una segunda órbita de t¡ansfe¡encia ubicada en el pl¿¡6 s5pecificado al cambiar la ái¡ección de
12.108
'12,109
:
x
103 krrr 15 Pa¡a la sonda espaci4l del problema 12.108' rA por A. ésta pasa m/s cuando hasta 6500 reduce la sonda se v la velocidad de rz) Ia distancia desde el centro de Venus hasta el punto B, ó) la cantidad en que debe reduci¡se Ia velocidad de la sonda en B y C, respectivamente,
betermine
Segunda órbita de transferencia.
J 742
'12,110 Una soncla
Cinética de paticu as: sesLnda e) de Newio| Tr¿rvecto
Scgundr óririta de
a
espacial se cncrrertra en ór.ltit¿ ci¡cular alredecl.r.(lÉ larfe. L¿ &l¡ífa
I El coDreta Ilalley üaj.r err un¿ r'¡hit¡ eJipticr elzrrgarla pera l:r cual l¿ dist¿1lci¿r úínim¿¡ desdc el Snl es de ap-oxim¿d.lrncrtr ]r¡.. donde rE = 92.9 x 106 ¡ri es l¿ clist¿nci¡r r¡edia del Sol a la Ticrr¿¡. Si cl pcriodo or.bit¿rl del comet¿ Hdlev es dc. ¿lredcdor de 76 años. dete¡rine l¿ distancir nríuima clesde el Sol aicanzacla por este cotrreta. '12.1 'l
órbih.Le
Figura Pl2.110
12.112 Ilna
nave espacial y un satélite est¿ín en posiciolles di¿rnet¡ai-
nlente opucst¿ls c¡ l¿ r¡r'st¡a ó¡bita circulir¡ a 310 mi cle ¿¡lt¡rra soblc l¿r Ticn-a. Al pns:u por el punto A, la lave esp:rcial enciendc su n-urtr¡r dura¡te un .or lo inlen alo Pr.rrr irr' r.r r-r rtrf su r el, ¡,lar I ¡ tngtr\ar it Ll I¡ .irl,ii it clil,ttcr. " Si l:r nave regresa a A al misr¡o tierlpu qrre el s.riéllte llcg.r .. A .l.sprres de completar una v rnedia órbitas, detenniñc ¿J el arr¡rnto .lr velocrd.id requericlo, ó) el periotlo orüit:il colrespondiedie a l¿ órüita elíptica.
]j
.
-.."
I I
,Fq '.:.qFiguta Pl2.112
12,113 C¡L bus. el l¿,, olrscn'acioles efectuacl¿rs ilur¿ulte el ¿1\'ista Il]iento e¡ 1996 clel co¡reta Hvakr¡take, se conclu\ó quc li¡ tr'¿ryectoria de éste
:
Figura P12.114
es una elipse sumarnente alargacla para l¿ cud la ;xc¿nticidai es casi ¡le ¿ 0.999¡:l¡17. Si par¿l el avistar¡icnto dc 1996 Ia ¿ista¡cid nrírlirn¿ entrc el cometa y el Sol e1a de 0.230Rr", donde R¡ es l¿r dist¡nci¿ medi¿r dcsde el Sol hasta la Tier¡a, detcnnine el periotlo orbitirl
12,114 Se obser¡¡ó que durante su prirler\¡uelo sobre la Tier¡a,l¿ nave espacial Galileo tt¡vo una velocid¿d dc 6.48 mi/s ¿l alcanza¡ su distanci¿¡ rni nima de 4560 uri desde el celtro tenestre- Suponie¡do que l¿ tlavectori¿r de Galileo fuc pnr-abólica, deteni-ii¡e el üenpo r¡ecesario p¿r¡ qrre l¿r nave viaje deB ¿C soble su trayectoú¿l.
12.115 Un trrsl¡orclador espacial sc cncnent¡a en una ótüita elípticrr con excent¡iciclad de 0.0356 v ¡r u¡¿ altura ¡rí¡ina de l82 ¡ri sob¡e la su peÍ)cie terrestre. Si el radio de la'llierra es de 3960 llri, detennine el pcritxlo orbital para cl t¡asbord¿rdor. F¡gura P12.'116
12,116 Un¿r soncl¿r espacial describc ula ó¡bit¡ circular cle ¡adio nR con una velocidad o¡ irlrededor de un planeta de r¿dio Il v centro O. Cu¿urdo la sonda pasa por rrn punto A, su velocicl¡¡d se ¡educe tle ro a B¿jo, donde B < 1, para sitüarl¿¡ en rú¿r t¡¿rvectoria cle imp¿cto. Exprese eti ténninos dc n v B el írngulo AOB, cloncle B clerota el punto clc impacto de la sonda sobre el planet:r.
.lor
de
1lo
es-
12.117 Antes tle l:rs nrisiones Apolo a la Lun¿r, se utjliz¿l¡oD varjos or :ir.,'l',"¡c.lun.,r.. par.r lolograti.,r. .,¡¡,-,¡..;, l¿ J"l sJi;lit¡ , ,,f.,-,.".r. ;",,,. ' .¡c.or rpl¡tir,,r p,'sihlc< sitios rlc.rl n.zrje. ! tinrrd, , ad¡ rnis,cjI..( ¡ir¡:td l¿ h ayectoli¿1 tle cad¿¡ nave de malera que se estrellara tli á" :rr¿¡ estudios adiciola]es de las c¿racte¡ísticirs clc la srper.ficie ",,,l "f fr-". n.l""¡"n
lriudo -rano a r ¡edtl
lur.¿ se r¡uesb-a la órbtta clípticn dcl LuD¿rr- Orbiter. 2: Si l¿ ¡rasa cle i¿ Lrrn¿ t1.01230 r,eces la r¡¿rsa ile la Tie¡¡¡r, clcterrrti¡c l¿r eirntrtlad,r,,. Jebe l'" \rcilse ia velociclad del orl¡jtirclor en el puntn B a" ,,,,,a.
I redu-
.s
¿ cle l¿ j
ae
i
743
unil
rl'erfi,
esPa
i" lr¡nrr cn -l ¡rrr,r,,l- .Stti, t)nrio: El
pu,rr,r B
.¡t
= t080rri
-'.ri ectutiuL elípiic.r dts iDrplcto.l
1,,".fI,,i,,. "", f" ", -l "f"g_".f.f ,
:¿r¡a l¿
donde
do orii¿¡cia
,etr'¿Ll
a Tie1te
un
íptica. iés de
I
id Ic-
ll0
lni
Figura Pl2.1t7
12,118 IJ¡a
ttavectori¿ balístiu¡ ile l¡r.g. ,rlc.rrcc ertre hrs purtus A v 6. st¡b¡e la super{icie ie'restr.e collstir tle ul tr.',n, d" .lips. -rr;;;";;;í -l prlto C. Si el punto C está a g30 rni subre la suprrffci" ¿-f" i;i.,:i. r''.1
fló,J. l¡ rr,rrecLor.r,, r, {¡41 h 3;0r,ni. ¿"r..,,,¡,,-,, l,,l :-''r'c, ¡rreroctil , n l- i, l¡ err..,,tri,.i,latl ¡ rlr l;r lrrrrer to,ia
.i
'
1-2,119 Un
Figura Pl2,118
lr,.i¿,.i 200 nii
tr'¿sl,t¡drLdor es¡lcial descr.ibe una
r,.,,le _0(l rnrsoL'r. lirsll¡.rli,.ir.t_rr¡!trc.rjl.¡rrrlulrrr.rt,u,,.1 nlrrrn \.Er, ' rd' .r¡ l,r,lor 'lur'¡rl, u,r Lrern irh rr.rlo Ir¡rrr redl, ir'1.¡,_1o,.,,¡.,,¡ ., ,,,, ;r por ciento y enpez¿l'sll .lesceDso l¡acia I¡'Tierr¿i. Deter,¡i'e la aii'¡a clel . r.l,nr,l¡rd,,r'nI .l ¡'¡¡¡¡¡ 6 si -l irrg,¡I, AOB c. igu.J , ¡0". S,,a"..,.,i,, ¡l :'l|,lo.\ É\ el a¡og.', ¡1,.lr drl,it {-lilti"., dc.._nd_rrrn.,
12.120 Un
'ist¿r' éste
lco I
satólite clescril¡e rurr drLitir eliptiua .rh.rclctlur cle r¡n ol¿_
:.'r D, lnrando me,[i ¡ll¡. ,.,, ¡ r, . .ll]: ¡re¡isnor ¡l
l,,s dishrrr,.r,rs "c,rr.rnon,li_11". rnsoJcfi L, urhir.r ,1.rn,r..t,.,, qu" 1., ,1, "i ipogro,h ",rr^:rr,ir,, _.i¿ últirnx en cadu ¡rno de l ,s ,los funtos indic:rdos puede e\pLes¿rse co¡]o
1 t/] * t\ ;:.\; ;/
Soi
úave r nríi¿ cle
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Pe-
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ol¿ <1.
8el et¿.
la ,.rcerrtr-icidacl ¿ cile la rirüita elíptica descr-t¿1 por ll:1nFlr e.r tc.¡Iino. d¡ l:s,Jisl, r,.ir,. r,, t ,, ,,, rr, .ÍrorrrlronlFs ,,,, rnancr.r r, \p, ¡ ti\¿. al ¡e¡ign,,1 ll apo¡_,, d. l.¡ ü;hit.,. ó ,.rr(1 .'J tr-s¡lr¡do qrF ohtr¡\o el *l ilr<.,.o,¡ r l,^ Jalrrs ,lndo. .ll el nr,, ',|-t,rrr '1.I l3 d,,rdc fi. - 93.0 \ l0 r,r.. ¡,¡¡¡.i,1, t,..rnr,;r. l;r ,1i.1"n",,, ',1,,, rima apropiada desdc eJ Sol que ¿lc¿rrza elicometa H1_akutakc.
:
. r.. \atFDre , l-Er¡rrsc "].3,;1,r,illrcrt{-oñt ,tr.un
12-122 Dedv,caIa terccr:r lcy drl rno\ irliL!rto planet.Llio lle Keplc¡ r'"' "" '' 1"' LLs d.u,,r.iure. li.tC \ l'.4i.
',:r,ri" dr
¡r
12,123. L)errrl".rtre,llnlac¡¡rtitl.r,ldcrr¡oril¡iertnarrJlr¡,irrnnruniL.¡J i', rra:a /¡ rle ll.¡dh"litF qrr- describ. ,¡ra ri,bir:, _li¡rir r,l. .n,,,'i_¡. ,n,u,,|' ,: \ e\cent cidad e alrededor cle un plaleta .1. r¡ai,r .1/ pn*I.. ao]]to "ifr"r,u."
1r:\,,EMl|
"1
Figurc P12.120 y p12.121
Este capítulo se dedicó a la segunda ley de Ne$tor y su aplicaciór al ¿rnílisis del movimiento de partículas. Segunda ley de Newton
Al denotar nedialte rn l¿r nasa de una pnrtícula, por )F la sunra, o result¿lte,-cle las fuerzas que actúar sobie la particula, v por. a la aceler¿rción de la partícula r-elativa ¿r w sistenti tl¿: referehcla neta-
toniano lseccró:ir 12.21,
se esclibe
)F : Cant¡dad de movimiento lineal
(r2.2)
nra
Al presentar )¡ untidad de nnDüiLiento liracl de una partícula, ley de Nel.,ton tnl.r-
L : r'riv lsección 12.3], se üo que la segunda biél puede escribirse en la lbrma
)F:L
(1
2.5)
la cual explesa que la resultante tLe kt fuet;a que actúu .sobre urto patlíaia es igtLal a la ra:tin d.e cantbio rfu la cantirlad de tnol)inLiento lüteal tle Ia paftíalla. S sternas de unidades conslstentes
L¿ ecuación (12.2) se cumple sólo si se usa utr sistem¿r consis-
Itrrle er rnid¡des. ( un unid,rJ,"s del Sl. l:rs frerz.rs se er.nresalin cnrre\\lorrs. las rr¿s¡¡. , n ldlograr''os r l¿r¡t.eler.rciorrc.",, ,i, ,a,,.on r¡rridacle. d. llro con,ún en Estirdos Ulrídos la. fuerz¡s,l"ben.rIlre\lrse er'ilrr¡s. Ia. rn¡s.ts en lb.s'fi ,tunocidar tarnhierr r.omo sárgs), y las ¿celeraciones en fVs2 lsección I2.4]. Ecuaciones de movimiento de una partícula
P¡tr¿
pariícul:r.
re'uhe¡ ur' problern'r,¡rre implicrr el rnoürnientu de unr¡ lr¡ ecuacicjn I 12.2 debe'lsliluir\r porc.ua(.iore\ quc con-
tengan cantidades escalares lsección 12.5]. Al usar curlp one,1tus reclangulares de F v a, se escribe
)F. : rnz.
2F,,
- nLa,, 2F. -
nm_
Medjante las comptn'Letúes tangenciol U nonlwL se lier\e ,tt
Zrt
Equilibrio dinámico
t-,,
:F,, ,,1'
(12.8)
(12.e',)
Tarnbién se señaló lseccjón 12.6] que l¿rs ecuaciores del novirnjento do una padícul¿ pucdel sustituir.se por ecu¿ciones sinilares r. las de e,lrriiibrio quri 5e u\rn cn esliticd si rn veclo¡ -l¿a cl" m¡gnilutl nrn pcro de serrlido o¡rrre.¡q ¿l d,-l;r acel.r¡ción, .e luinde o li. fuerzas aplicadrs a la partícula; en ese caso se dice que la partícula eslá ett equilíbrío dinrí¿lco. Sin embargo, por uniibrnidad, iodos los ploblenras resueltos se solucionaron utiliz;do las ecuaciones de no\ irni{.nto. prirrrero tr.rrr cnmponcntes rc(.tttrgulurei Iproblernirs r.e_
suellos
li.l r
11..1]
¡
despues con hscornp,,rrcnle¡ t¡rngerrciej
nrrl lproblerrras resuelio' ll.5
r
12.61.
r
nor
Er' la scgundrr prrle dcl (.cfítJlo se delin¡ó llt t-,tntidal tlp ntt_ qn{ulo r Ho de u r¡ pr'¡ rtic¡ lla alrede, lor de un Dut lo O cor no
, imiPnf o
r
t2
745
¡
el rnornentu aJrededor de O de la c.rrtidarl cle nror irniento de esa partícula lsección 12.7]. Se esc¡ibe
Hn.rXr¡¡v
Hp
-
lirre
¡rrv
Cantidad de movimiento angular
tl2.l2l
\. se ¡icnp,¡rre-H,, es un veclor perpcrrdic.r¡ll¡.en trenc r ) ,/\ rligur.r l:.24) y dc m.rgnitrrd
:rlicación
Repaso y resumen detcapiiL o
cl plar,o,¡¡e ca¡ (r2.13)
rn'La sen S
descornponnr lo. ve,1o¡e. r ) ltr en lo¡npon{.n{c\ l.é¡1;¡l \c crpresa l¡ r'antidad de rno\jrnicnt,, angrrfru H¿,.n la
,{l g,r.rlrc5. F iir Surna,
r porala ¡cit netu-
fonra deterr-irilad¿
li H":l.r
12.2) partícula,
ioll
tam-
12.;
l,nt
,.
j kl q ;
I
nt,
,,
(.12.14)
nt -l
En el caso de una partíclla que se mueve en el pliuio ry, se tiene pl rrro lr¡ y eihi r'6r n pl-t¡rn.nte defin ídn p,,r .,, ,,,ogi,itrd. S.
)
-It¡z una Iintiento
Hc,: H":
nt(xa,
-
Ua,)
"",.ri¡.
(12.16)
Al c¿lcular la tasa de c¿¡nbio úo de la cantidad de moümiento angular H¿¡, y al aplicar la segunda ley de Neu,ton, se escrib. l"
"";;_
i
cotlsislresarán i 5_i COtl 'L,e¡r ex-
:¡i ccl¡lio
)M¡ = H¡
i:'is rec-
r:.5
la cual est¿blece que la sumtt cle los .tn¡nwntos alred¿dt¡r rJe O tlc l.ns
En
r,iliues e 1r rrqle a las
no-
rai Ienor-
m
con\ enienle utiljz¿lr
l*,t,t,tltotetirs ludiol u lrat¡_
12.b. ¡roblcrrra rresu,.lto 12.71
2F,: )F,:
mG - r02) t,'r¡r6 *, ,
\
cs(.ribir la\
Componentes rad¡al y transversal
"""á.1.¡'*s
(r2.21) (12.22)
- Cu¡ndo la úni¡.¿r fucrzl ,¡ue rclril solr.c rinr purlic.ufa p es I.r luelza F dirigidrr hatia n aleidndo
l\,4ovimiento baio una fuerza central
consecuencia, que
Ho :
Cos los
\
\ 'cr(nnlró
¡¿¡r¿l se,r ión
¡iícu]a le
nruchos ¡roblernas,¡ue irnplicur r.l rnuümicnlo plu,o de rrnr
prd-tr( ula.
)
lr¡oli-
(r2.1e)
It:cru\ tluc,4.1¡i4t.t ,oLre ¡tno pañitrltt , s iqtnl o lo ntt,it, ,lc cnnl,io ,1, lu rontü1,¡l rL l nutt ¡nút lttL, ,tttgttlor rl. ln pnit,t n ln lt)rtr. o O.
cie un¿ lrie con-
Fazón de carnbio de la caniidad del rnovimiento anqular
S,-
const¿Dte
(r2.23)
conclu)e qrro la crnLidad de tnouinticttto nttgulnr tle ¡tta ooñtculn \e mu.Dr h,tjo un,, Juer-Q r.llml p\ ..1) \tqnll. lqntu en núon¡-
lttc
ltul r,ot,1D cn ,dircn-i,iu. ¡ qrre la partri"ula sc rnuevc on u,, pl",,o perdicular al r ector H6.
i..
¡
,il,itt
746
Cinética de particulas: segunda ley de Ne$ton
Al recordar la ecuación (12.13), se escdbe la relación rma
serr Q
:
rpmu6 sen
@9
(r2.2s)
el moümlento de cualquÍer partícula bajo una fuerza cent¡al (figura 12.25). Mediante coordenadas polares y recordando la ecuación (12.18), se obtuvo también paxa
.fo:h
(r2.27)
donde h es una constante que representa la cantidad de movimiento angular por unidad de masa, Halfm, de la partícula. Se señaló (ffgura 12.26) que el área inffnitesimal dA que barre el radio vector OP cuando gira un ánguJo d0 es igual at"F aO y, en consecuenciaq]re el_miembro del lado izquierdo"de la ecuaciOí (tZ.Z7) representa el doble de la o¿lo cidad del órea dNdt de la partícula. porlo tanto, la oeloc¡dad dp drea de una poñhula qüe se mueae bajo una {uerca
central es constan,fu
Figura 12.26
Ley de Newton de la gravitación universal
2\ ,// ,/,('
Una aplicación importante del movimiento bajo una fuerza cen-
tral la ofrece el moümiento orbital de cuerpos sometidos a la ahacción graütacional fsección 12.10], De acuerdo con la ley de New,ton de Ia graoitación uniaersal, dos partículas a una üstancia r una de la otra y de masas M y m, respectivamente, se atraen entre sí con fuerzas iguales y opuestas F y -F ürigidas a Io largo de la línea que une las partículas (frglra 12.27). La magnitud común F de las dos fuerzas es
-
M
^Mm
(12.28)
FiguJa 12,27
donde G es la ¿orxtmúe de graDit&ci,ón En el caso de un cuerpo de masa ??x sujeto a la atracción gravitacional de la Tierra, eI producto GM, donde M es la masa de la Tierra, puede erpresarse como
GM: donde g l\ilovimiento orbital
:
9.81 m/sz
:
gR2
(12.30)
32.2ltls2 y R es el radio de la Tiera.
Se demostró en la sección 12.11 que una partícula que se mueve bajo una fuerza central describe una trayectoria deffnida por la ecua-
ción diferencial d2u
AF
F 12 2 mnu
(12.37)
:
donde F > 0 corresponde a una fuerza atractiva y a l/r. En el caso de una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza de atrac_ ción gravitacional fsección 12.12], ie susütuye F por la expresión dada en la ecuación (12.28). Midiendo g a parúr e¡e OÁ que une el foco O ion el punto A de la trayectoria ñas O 1ffgu ru 12.2g), "ercarro"a se encuentra que la solución de la ecuación (12.87) era
Repaso y resumen dei capituto
dj
!aI
ICM -:u=-=rh'
Io (ff-
*Ccos0
(r2.39)
br 14 Eta
to, tzt
Esta es la ecuación de una cónica de excentricidad e: Chz/CM. La cónica es una elipse si e ( l. una pardbola si e : l. v una hi_ pérbola si e > L Es posible determinar las constantes C í h de las condiciones iniciaiesr si la parL'cula se proyecta desde eÍ punto A la - 0, r - rs) con una velocidad inic¡al ve perpendicu)ar a OA, te_ - nemos ñ : roo¡ lproblema resuelto l2.g]. Se indicó también que los valores de la velocidad inicial correspondientes, respectivamente, a una trayectoria parabólicay a una circular eran
D
:
tzGM
/-
,"," = IGM V ," ]ll¡c,Ít de tfx¡
pe b6
de
:fe te-
(t2.4s) (r2.44)
v que el primero de estos valores, denominado la aelncid,ad. d.e escape, e.s el valor más pequeño de o¡ para el cual la partícula no regresará a su punto de partida. El periodo orbital r de un planeta o satélite se definió como el tiempo requerido por el cuerpo para describir su órbita. Se mostró
periodo orbital
que
2rab
tu
Velocidad de escape
do"1.
(72.45)
i
; íg:o I d 9n!e 1 V.b representan los semiejes mayor y metror de Ia órb¡ta. Se indicó además que estos semiejeison igualás res_ pectivamente a las medias aritmética y geométrica de los áores má_ rimo y mínimo del vector radio r.
ys
La sección del capÍtuJo Jsección 12. l3l presentó las /e_ ,riltima de Kepler del mnvimiento planetario y moshó que eslas leves
empÍricas. obtenidas a partir de anüguas ábservaciones astronóíü_
cas- conlirman las leyes de movimienio de Newton, así como su le1
de graütación.
Leyes de Kepler
12 Z4Z
12,124 Determine la velocida,l teórir¿ rnáxirna que puecle alcanzar un o::,': {-pn{o de\pr,És ,r. ,";;;;,' iuu u' .,,i""s" :' que cr ¡oelrcren{r, dc llic,joll e\tñtiL'rr e\ de 0.\0 entre I¿s llant:r, r el.o¡ri_ mento, v que-el ¿utomrivil tiene 4) tr_ircciJn a"U"t"," fi"",-,r_j.J ¿"jj'aLi:.'"f."ri el G5 ¡or cierto del_peso, ¿) trammisión t.í"r",1".-rrJ-",
;i:'::li:llf,"jll
iÉr¡r\ sñportatr el 42 ¡or cirnto del ¡e:o
""
r.rujrr a 9o knulr .uar,do ol londrrt.for ar¡licl ,12.125 .,Un^trJcto,.Jrniórr rFDos .)r las rucrza\ de l|e¡rld d_i ¿raclor r _l r_¡,rolqrr" \nri, ¡c\p!c.t¡_ v:Lmente, de-16,y 60 kN, detenr.rine a) l,r dist¿lci¿ ,.""o,,i,ü;o;;i irná¿.u_
,
r{Js
r'ión ¿nles d. detenelre. /, la c.onrlunerte lruriznnlirl de f" i,,*rr" nr.r*," cn er engan, l¡, ,.rtre ¡l frlr..'lor -l r.rrrol,¡re rnientrr( dslus ron fl.nrndo. )
Figura p.t2.i25 50 ll)
El hlo,¡ue B do 3u lh pstj sostorido rnccliante rrn blo,¡rre 4 de .- ,,12.12.2 ¡D ID \ r¡nrdo ir unr r.ucrdr ¿ l.r c.rral .r .rpli,-a un.¡ f¡rcr4l lrorizonl,l á* .j0 lb, couro indica Ja figurLL. Sin tor¡a¡ en cue'nta la fijccjón, d;;;1"" " " lera, rón del blc,,jic ,\ b, lr dceler¡( ión J.l i,t",{,;"ll;;." ; ,j:ii;
; l.
)5 Fíguta P12.126
74A
th
12.127 U¡¿ hol¿ B pura tlerroJición pesa 1g0 lb, está unicla ¿ un ca_ ., ble Cle ücl.m AB dc 40 fl rlc
larqo yo.cilaon_l ,r"oret1iral qrrc rnuesfr li. lrg¡rd. Defpnrinc l.r ttsnsión lrc
Figuta P12.'t27
"12.128 Un automóül que üaja a una velocidad de 110 km/h se aproxima a una curva de 50 m de radio. Si el coeffciente de fricción estática entre lru llantrs y el camino es de 0.65, determine cuínto debe reducir el conductor su rapidez para librar con seguridad la curva si el ángulo de peralte debido a un desagiie que pasa por debajo del caurino es ¿l g = iO.. b)
run )¡ga
12.129 UrL pequeño collarín D pesa 8 oz y puede deslizarse por el tramo AB de la barra doblada en Ia forma que indica la ffgura. Si la bar.ra gira cJrededor del eje vertical AC a reloc.idad conslanLe qué a - 40. y r = 24 in., determine el rango de valores de la velocidad o para el cual el collarÍn no se deslizará por la ba¡ra si el coeficiente de fricción estáüca entre Ia barra y el collaín es de 0.35.
t¿I\1-
mte-
tra-
Figuta P12,129
tde r
lb.
12.130 La varilla OA gira alrededor de O en un plano horizontal. El moümiento del collann B de 400 g se deffne mediante las relaciones r : 500 * 300 sen rt y 0 : 2r(t2 2t). donde r se expresa en rtilírnetros, t en segunqo:, y 6 en radianes. Detennine las cornponentes radiales y transvena les de la fuerza ejercida sob¡e el collafn cuando c) t = 0, b) I : 0.8 s.
¡a€-
F¡gura p12.130
12,131
El pasador B de 4 oz se desliza
a
lo largo de la ranura del brazo
Etatorio OC y de la ranura DE, la cual se ¡ecortó en una placa horizontal ti¡a. Si se ignora la fricción y el brazo OC gira a una razón constante 0o = 10 r¿d,/s. dete¡mine para cualquier valor dadó de O ¿) las cornponentes radial y ¡ansvenal de la fuerza resultante F que se ejerce sobre el pasador B, b) las i:erzas P y Q ejercidas sobre el pruador B por.el brazo OCy la pared de la :;nura DE, respectivamente.
*r!--
Problemas de
repaso 749
750
Cinética de partículas: segunda ley de Newton
12.132 Determine la masa de la Tie¡ra si el radio medio de la órbita de la I¡'na alrededor de nuestro planeta es de 384.5 Mm yla Luna requiere 27.32 días para completar una r,uelta completa al¡ededor de la Tie¡¡a.12.133 Una nave espacial de 540 kg se ubica primero en una órbita circula¡ alrededor rle la Tierra a una ¿ltu¡á de 4 500 hn y después se transfiere a una ó¡bita circula¡ al¡ededor de la Luna. Si la masa áe la Luna es de 0.01230 veces la masa de la Tierra y su radio corresponde a 1740 km, determine a) la fuerya giaütacional ejercida sobre la nave espacial cuando orbitaba la Tierra. b) el radio requerido de la órbita de la nave espacial al¡ededo¡ de la Luna si los periodos orbitales de las dos ó¡bitas van aier iguales,c) Ia aceleración de la gravedad en la superficie lunar (El periodo lrbifal de u¡ satélite es el tiempo que éste requiere para completar una revolución alrededor de un planeta.)
12.134 Una bola A de 1 lb y una bola,B de 2 lb se montan sobre u¡a varilla horizontal que gira Iibremente alrededor de un eje vertical. Las bolas se mantienen en las posiciones indicadas rnediante pasadores. El pasador que sostiene a B se qüta repenünamente y la bola se mueve a la posición C cuando gira la varilla. Si se ignora la fricción y la masa de la varilla y la velocidad ini-
cial de A es r1 = 8 fi/s, dete¡mine ¿) las componentes radial y tranwersal de la aceleración de la bola B inmediatamente después de quitar el pasador, b) la aceleración de la bola B ¡elaüva a la varilla en ese instinte, c) li velocidad de la bola A después que la bola B ha alcanzado el reposo en C.
Figura P12.134 72. 135 Un t¡asbordador espacial describe una órbita circula¡ a una altu¡a de563 km sobre la superffcie de la Tierra. Cuando pasa por el punto A, enciende su motor durante un breve intervalo para reducir la velocidad en 152 m/s y empezar su descenso hacia la Tierra. Determine el ángulo AOB de manera que la altura del t¡asbordador y del punto B sea de 1ZiLm. (Sugerencia: El pwrto A es el apogeo de la órbita élíptica descendente.) 563 k¡n
I
*i
¡
-¡fte
bita iere
bita ans-
aes de-
ndo
I algua-
nlíción
ürla
nlas que
mdo
Ir
-
'12.C1 El bloque B de
18 lb de peso está inicialmente en reposo, tal supirior de una cuña A de 45 lb. la crral la superffcie como se indica, sobre horizoltal Un bloque C de 4lb se couna superficie mediante se sostiene necta al bloque B mediante-una cuerda que pasa sobre ula poleo de masa nsiqniflcan(e. Si sr lecurre a un flograma de cómpulo ¡ denotando me diaJt" ¡, al coeficielte de fricción de tádas las super{icies' encuentre Ia acele¡ación inicial de la cuña y del bloque B relativa a la cuña para valores de p > 0. Utilice increnentos de 0 01 para ¡r, hasta que Ia cuña no se mueva, y luego use inctenentos de 0 l hait¿ cesar el movimiento.
de rdor, ¡1
loci-
Figura Pl2'C1
na
al-
to A, rd en
AOB . (S¿-
12.C2 Un
pequeño bloque de 0 50 kg está en rcPoso en !a parte su-
c¡lindricl Al bloque se le imPrime Irnavelocidxdini p..ior de una ".rp..ffcie lial n¡ hacia h áerecha con magnitud dJ¡ mls. la cual prot'oca que se-des-
lice sobre la superffcie cilíndrica. Utilizando ul programa de ccimputo. calcirle r grafique los ialores de g a los cuales e! blL4ue PiFrde conlaeto con ld supe-rficie'para ualores de p¡, que es el coeficiente de fricción cinética entre el tloqu" y la .rp"tficie. desde 0 lrrsla 0.4. en i¡crementos de 0 05
Figura P12.C2
751 L!¡4
,*fS
cAPírulo
cuando la cabeza del palo de golf golpea la.pelota y la arena, parte de su energía y de su cantidad de movim¡enlo se transfieren a ra perota y a ras partícuras d" ,*"". ra energía y/o ra cantidac de movimiento de una partícura es' con frecuenc¡a, ""llni¡a"ru"¡on un,
r.r", rorau
"t""t¡ua-oe
estudiar su movimiento,
13.1. t JTR0EUCC tüN
clNETteA BE p,qFiTi{:L¡ ¡_A$: ['1EToDüS üH t-.r\ EruERCiic{ Y LA CAI\¡T¡ÜAD NE MOVI|I,I!ENT{:'
El eJ
13.5 13-6 13.7 13.8 13,9
col
:
"".,u"iOn tr¿¿. l)atl¿ rur¿ p.,,to,,lu rubr= i, o,r. ,. ei.f' e rtl r.r fi r, ¡z.r F. .. lruJri,r l.s, nr e.tr¡ e<.u,¡ci, ilr pr¡¡r l" ,,, 'I "j,.l,u.i,n a lr¡e:¡o .,rl,li<-¡rrlo.l,^ prirrr i¡'i,n ,l- I:,, i¡-,¡.rh.rr n.,l,o..il,l",lnl.rr'in.rr u " pru-hl rle a lu rr-lucitl¿rl r lrr pusición dc ln patícrrlil ón cuiLlqr er ücuqro. EI rro rle l.r r'cnrLciúr F : rrajulto corilos principios clc in cjriernírtica 1>crrrLitr:n obterrer cios rnétrxlos cle ¿uriirisis ,idi"r,¡rolei, t'.r uuirotro rler tra-
Principio del trabajo y la energra Aplicaciones del principio del trabajo y ¡a energía Potencia y eficiencia FnergÍa potencjal Fuerzasconservativas Conservación de la energía N,4ovimiento bajo una fuerza
ln jo y kt-entt-gítt. y cI nu:toclo cbL ítnpttlso q la cuntükri clt: ,rlr,r,¡,rrintu. renlaja cle estos ¡r(.todos r.¿clica en el l,*cir,, ¿",r,," Lrrcen que necesali¿l
trzbajo v
lil rleternitircirin
fl
,"r,,lt" ir-
dc, lrr .Lr,elclrrcicir r.
Ja encr.gí,r rel¿rcjol¿r
rlirectrLnrcrte
Eri re.ürlaJ. ál r,rétoLlo del
t"."in"i¿,¿ r r I 'l-:l'l:¿,u'ri, rrlo. , r t:¡rrlo,¡r, ,l r,,cr,¡d,, rl*l irrr¡,rrl*,, 1,, ",,,,f,..l,ulcle rr,c,r irli-rr,, relat iorrr I , li r, ,r,r 1,, r,r.rs,r. 1,, , el, n.1,1,,, i r cl iier,,no
cenrral conservativa. Aplicacion
l.L
lirerzir, t,l ,n.r".
Prir¡ero se considcril ei n¡ét, ¡dn rlt I tr-rLLljr , 1, 1l clcr l¡i¡. El lirs sec_ cir¡res lll.2 ¿ l.l.,1sc ¿ur¿liz¿rn cl/ r,th,r¡, 1,. rur,ilui r:l y l.titrcruút ,.i¡tético ,l'. t, .. ,,¡r1i,.,, -l i¡i,, ,l"l lra[,,ri,, ¡,,.i r i,, ¡ ,, 1,rir( ln *,1,,_ .,t,u,t .,tlt
a la mecán¡ca celeste 13.1i) Princip¡o del impulso y Ia cantidad de movimiento 13.1 1 Movimiento ¡mpulsivo
,lorl r,F ltuL,lelli¡, '1, 'rr(, lrieli:¡. Los,.ol,.¡1,1,^ r¡r'r||t:¡ t,r,¡rlt¡r||lr \. lrn \É||tj t *1, Jl sr c,.i,,¡l j;li.
lmpacto 13.13 13.14 13.15
¿rterior Li rlil\.or p¿ltÉr clc Lts proLrlerrru r,l¡rci¡¡r¡rdos clc p¿rfcul¿rs se reioh,jerorr lleili¿,urti¡ el uro,i" 1,,
lirnd¿lrreltal del lro\.ilniento F
13.1 lntroducc¡ón 13.2 Trabajo de una luerza 13.3 Energia cinétjca de una partícula. 13.4
eJ cnpítrLlo
liorirnierto
,1,.
",,.rg"-,
p,,t,
t
tr,.i,t
,
fi, irn,.in
L¿s secciones 13.6 :r ltl g .c dedican al conccpto de en¿rgíct lencíal. dc iur¿ 1ie.r.za consen.irtiviL .r ll .rplic,rcicir r'del pr¡,.ipil .todó la ¡ .urrw rr:¡r'iJrr ilc er', rgji¡.r,lir-r.,,, ¡,r',,1,1.r,,n.,1- ir,lerj, ¡,r,ul1i,.,,. Ir, irr .r, r'icir. 1.1.U ¡rr.irrr i¡rio: d* Lr ¡or,serr,rciór J,. h , r,ergr.r ,ie Lr r'otrsnn'rr ior,r ¡lol,lo. l ,¡l *lrl,,:U¡!:lll.rr ,. -r,r¡,1-i,n,.,, Io.,,,,,,..,,,i,,,,i,,1
lmpacto central directo lmpacto central oblicuo Problemas en los que interviene la energía y la cantidad de movimiento
1,,,,,, d¡ r.r.L rlnic:r lel, ile ,p;r'r.,1-l r';¡¡,irr¡1u.. d.,li,..L .l ¡ ri i , , I I i,,, ¡u, ¡ r,, , tt 1 ttt,ttttt ,.-i.;. tlt ljl D t ¡ t¡,.ttt,, \ 1¡t I ¡rr irl\lic.rIidtr , r, ,.1 e.l di(' d.l ruori, lricrlr 'J, r,ri, p:rni(ltl:¡. r.olr.o.e rer,r clr 1,,.,..¡iolr ll.jl. estL.uritr
r'-r'rlrer ¡rr'Lrlorrrrr.
,
tr,
.
,
i
,
,
cipio cs en palticular. eficaz err el lst¡rrliu dt,l ¡r¡,,r ilrlr r¡i,, ilLtttLl.s¡i:o
l¿is
scccit¡res 13.12 ¿ lB.14 se colsider¡r cl ittltttc:lo t:entrol de
'ln' ' rrnr¡,,1' ) 'l ',nu-.tr¡ qr{oilor':
, \isLo l'i, r'lr¡ 'el.rc.iórr er,tr" l,rs r*l,r,.itÉtJtt\:¡.\ dc lr,. Llu. ¡ ¡rr tT)(r\ rrl |oli¡io illtl,.s r ,les¡,r¡_r ¡lpl ¡¡1_ l,,Rr,'. l-..1i, r'rl.ri iórr- jurrlo r,,rr .l l¡p¡.1¡q,1, qrr, .- c..,n.crrl, Lr ..¡rli,l.rrl dc rr\ ¡uri¡ rtto totll ,le los dus cucrltos. pucde ritilizur_se piLr.¿ r.esolvel
v:rlios problcrlirs cle irterris 1tráctico.
Por'últirrro. c¡ lrr secciól lll.15 se ¿bord¿r l¿ se]ección cle l¡rs tr_cs lrelu'lr¡c furrJrrlrclrl.Ll,.,¡rrr.{.l,r.r-\tstrl¡¡lr rrr Lrr r.¡¡pi¡¡¡lr5 lj r ll r ,.1 rn,s;¡rlr, r:,cI,'.p:rr I'r ¡o¡, ,1,, Lr,l,r,,Ll-rn;r,l,rdn
trirrro,
s
¡r,r.il¡l,
,
n
f.rr bi,:ir s, r_r¡ 1,,.,,.."
"'l¡¡,
rl,ir,,¡r'el ¡rir,ci1,i,,,l,.,.orr., n¡ci,rr, ,1.
, "r,url, r, r ;, fur.,, , r , ,i ;;:i,,i ;r,';,,',; ,;,,i', r]],.',"l,illl;l;l.l r)lelll¡\ 'lr¡F llr,l'lti irtj lltri( jrllr,.1{. ll¡, rz,l. I.O¡t\et\irli\:l:. ,,O,, "r.,.,.1,,.iaj,, d' l¡r Ir'¡ de, r,r1u irrr¡,;u.lu dr¡ru,l, lr,,.r¡;¡l lrrrbi,:n,1.¡, n i,,n,r,l_, n (Lrent.l t¡s tllelzits iI nlll]lsi\ its. ,r
13.2. TFIABAJO DE UNA FUERZA Se dtliner prirnero los té¡uirros ¿/¿,1r1¿:,r¡ ni.,nttt ¡.trultLtjo t;l quc se utillzarr en rnecíiric¿.1 C¡insjri,-l-. .,na ¡",tí.1,1., , ¡.ic: ,.
l¿r
lbrrla
"_.., "
, ,
756
1tr ,triini¡un ,t,,¡.rt,,.Ltn,\ p,*,!t,
r
.. rl
Ln l,r
,r.".. ..,,,t.t .r,. ¡r t,..,,;
, "
se(i(rr
10.2
,-., i ,,, ... ..
v
t.1s
pr(,pi(rl¿des l,¿isirjl|s
,,, ,,, ,.r. ,'.
;.,'',i,"
'
¿" clel
13.2. frabajo de una
fuerza
I
I las secicinéüca la solut^. h
,tlencNa I
'7gío
po-
fio de la lrco. En
!y iata i
de la para
fo"Lto ,1 Ll moü-
!.
p.i"-
ilhoo
de
E ün ln-
un punto A a un punto ce¡cano A' (figura 13.1). Si r denota el vector de posición correspondiente al punto A, el vector que une a A y a A, puede denotarse mediante la diferencial dr; el vectór dr se denámirr¿ el desplazamiento de la partícula. Suponga ahora que una fuerza F actrra sobre la partícula. Eltrabajo d.e ln fuerza E correspontli,ente aI des' plazamiento dr se deline como la cantidad (13.1)
obtenida al formar el producto escala¡ de la fuerza F y el desplazamielto d1 De^notando por medio de F y rh, respectivamente, las magnitudes de la füerza y el desplazamienio, y meáiante cr el ángu1o formado por F y dt y reco¡dando la deffnición de producto escalar de dos vecto¡es (sección 3.9), se escribe
f
¡¡tral cl" i veloci
[+tmimtidad |."".,1.,".
dLl:Fdscosa
Uülizando la fórmula (3.30), es posible erpresar también el trabajo dU en térr.ninos de las componentes rectangulares de la fuerza y dei derplazamiento:
dU:F"dx+FudxJ+F.dz
I
[b, ,,",
fuyel ise
verá
perga y
p'9F pepcron b¡se I
"t,
I
que se obtienen al multipltcar unidadés de longiiud por unidades de hrerza. Así, si se recurre a las unidades de uio común en Estados uru$o;, el. g1!ap. debe erpresarse fr. f¡ o in. ¡i "" en N . m. La unid¡d de rába¡o unidades del SI. el t rabajo se erpresará \ . m se denomina como joub (J).1 AI reco.dar los factores de con_ versión indicados en la sección 1i.4, se escribe
.il.
r
i
ft.lb:
(1 f0(1 lb)
:
(0.3048 m)(4.448 N)
I
forma
Lt"
,1.
I I
bcas del L repiten
(13.1")
A), ser ulna cantid,ad escala¡ el trabajo tiene magnitu
I
i
(13,1',)
Se ded uce de r 13. i
r
negativo si
o
') que el trabajo dU
es
:
;";;i"""
r.356
J
positivo si el ángulo o es aqudo
es obtuso. Son.tres los casos de
inteG parHculi.
Sl
JEI joxle (J) es la unidad de energía del St, ya sea en forma mecánica (trabajo, energía potencial,-energía cinética) o en forma qulmica, eléctrica o térmic¿. Se debe senalar que ar:n cu¿ndo N .m = J, el momento de un¿ luerza debe erpresarse en N . m yno en jouies, \a que cl momento dts una lucrza no es un, lo,ma dc energh.
4"',\
¡-'stgl-torecn
-C
o4
É,*rri*CamCUot>;
757
758
c
,
r eL
ca d- p¿rtrcJlas: métodoq de ,a Fnersid
¿ cantrdad de movrmrento
l¿ fuerza F tiene ll nTislra dirección clue /r, y e) trabajo r1U se reduce : F a F ¿ls. Si F tiene dirección oPuesta a la de d¡ eJ tubaio es dU
,/'. si F." pern.rreli. ul,rr ir,/r. el lr'.rh¡jl,r/l esc.ro El trub:iofe F dulrmte ul desplazanrierto finito de la partícula de A1 a A2 (iiguru 13.2a) se obtierrc tl integrar l¿r ecu¿ción (Ll 1) a lo Iargo de la tlayectorin c¡e desclibe la paftícula Este trabajo, denotado por Ur-2,
es
Ur-l
:
F'dr
I
(13.3)
Al utilizar la erpresión ¿lternativa (13.1') par:r el trabajo elemental /{.1 1 obser.rar-que F cos cr lcPr-csenta la compolleute t¿ngencial
lue|zr. es po\iblr e\frcsirr el
r)
Ur-z:
Figura 13.2
tnbui,'
1,,
,F
I
n) ds
"o,
4
de la
.- cotno
:
ls, J,
4,1"
(13.2')
cloncle l¿ vari¿rble de irttcgración s ¡nicle la distancia lecorrid:r por )a partícula a lo largo de la trayectorin. EJ trabajo Ü1-2 se representa Por irredio del área bajo la cur.ra que se obtiele al graficar 4 : F cos ct contla ,s (figrra 13.2b). Cuando la fuerz¿ F se define pctr rnedio de sus con.rponentes rectangulares, la erpresiól (13.1") puede utilizarse p¿ra el traba¡o elemental. En ese c¿so se cscribe
fá.
-(F, ¿r + F, dq + F. dz) Ll,-z: ,,\' | donde la integrLrción se
v¿r
¿r
t
lealizar
(13.2")
lo largo de la trayectoria descfita
pol la partícula. Trabajo de una fuer?a co$stante en movirnierlto rectilíneo" Culndo una partícula clue se rnueve en una línea recta se somete ¿ ultil fuerza F cle rnagnitud conslante y direcc:ión constante (figura 13.3), la fórmula (13.2') produce U
o Figura 13.3
>z:
(F cos a) Ar
(13.3)
: áng o que forna la fuerza con la dirección de rnoümiento Ar : desplazamiento de A1 ¿ 42
donde a
'l^raha¡o realizads 'üür la fusrua de la gravedad. El trabajo del peso W de un cuerpo, esto es, de la fuerza que la gravedad ejelce sobre ese cuerpo, se obtiele al sustituir las componentes de W en (13.1") y (13.2"). Al elegir el eje y hacia aniba (figura I3.4), se tiene F,: 0, Fr: -\V, y 4 : o, y se esclibe
du:-wdy Ur ." -
|
IJt-z:
WlJ"
\V
rltl \Vyr -
y
')
:
\,.f/
\Vy:
Ay
(13.4)
(13.4',)
donde Ar7 es el desplazamiento vertic¿l de A1 a 42. En consecuencia, el trabajo del peso W es igttaT u.l prohtatt de W y eI desplazanieryLo Defticol
del centrut de grtn:,edad del cueryto. El trabajo es poslrloo cuando Ay esto es, cucndo eI cuerpo se nw.eue hacia abajo.
(
T'rabajo realizado por la fueffia que ejerce un resorte o muelle. Considere un cuer?o A unido ¿r un punto fi¡o B por rnedio cle un resorte; se supone que este último no está deformado cuando el cuerpo se encuentra el Ae (figura 13.5a). La evjdencin e¡pedtlertal rruestrr que la magnitud de la fuerza F ejercida pol el iesorte sobre un cuer?o A es proporcional a I¿ deformación r del resode nredid¿ a padir de la posición A¡. Se tiene
F:/rr
13.2. rrabajo de una
0,
fue"" 759
Reso¡te snr defbrmar
l,i,j
yr.;f,Í: 1,,,,,,,,,,,,,,,,/
r';r'!i;.'..J'..1'1r
lr i.i taí]
!.,-lt;
(r3.5)
".4,f.1
Jonde k es l¿ constante del resorte, expresada en N/tn o kN/rn si se rs¿n unidades del SI y en lb/ft o lb/in. si se recurre a las unidades de :so común en Est¿rdos Unidos. f El trabqo de la fuev¿ F ejercido por el resorte durante un des:l¿z¿rniento fi:rito del cuerpo de Ar(r : ll;1) a A2(r : 12) se obtiene al
o)
-¡oibir
dU:-Fclx:-lr¡d,'
u-. -I kr,A:lkri
-+ftri
(13.6)
Debe tenerse cuidado de expresar k y l en uuidades consistentes. Por Est¿dos Unidos, /t ='en.iplo, si se utiljzan unid¿des de uso común en iebe erpresarse en lb/ft y r en pies, o ft en lb/in. y r en pulgadas; en el :rinrer clrso, el trabajo se obtiene en ft lb, en el segundo, en in. lb. \d\iértase que el trabajo de l¿ fuerz¿r F ejercida por el resorte sobre .l cuerpo es ¡:rosiliuo cuando 12 < rt, esto es, cu.rLntk¡ el resoñe esté re:"¿sondo a la posición no clefonruada. Puesto que la ecuación (13.5) es la de un¿ líne¿ recta de pendiel-= I que pasa pol el origen, el trabajo U1-2 de F durante el desplazaiento de A1 a A2 puede obtenerse ¿l ev¿rlu¿rl el área del trapezoide -De se muestra en la figura 13.5b. Esto se h¿ce al cdcular F1 y Fe y ,rltiplicar la base A'r del trapezoide por n.redio de su altur a media - Fr + F2). Puesto que el trabajo de 1¿ fuerza F ejercido por el resor .- es positivo para ul valor negativo de A¡;, se escribe
ur-z Lr fó¡mul¿ (13.6') suele ser
: -l(Fr * F") Ar nrás
!*-l L)
Figura 13,5
(13.6')
colveliente que la (13.6), pues son
:...nores las posibilidades de confundir l¿s unidades que se utilizal.
Trabajo realizado por una fuerza grav¡tacional. En la sec12.10 se vio que dos partículas de mnsa M y ¿¿ a una distancia r -:,-i de la otra se atraen entre sí con fuerzas iguales y opuestas F y -F, :-iqidas a lo largo de la línea que une a las partículas y de ri.ragnitud 1¡r
-
^trItn
r
:r rponga que la partícula M ocupa una posición iija O rnientras la partícrrl:r ' , se niueve a 1o Lr-rgo de la trayectoria indicada en la figura 13.6. El tra-
:
rL¡ relación F: Lr es conect¿ úrúc¡rnerte b¿jo condtcioncs osiíriic¿s. Bujo condicio-¡ dinírnric¡s, la lór1llrl¿ (13.5) del,e rodific¡rsc p¿ra tomar en crtcrt¿ l¿ ilerci¿ del re-
-:ie.
Sin emba¡go, ol error que se irirodrce .J utiliTar h relacióIl É = /ra- er 1¿ solución ploblemas de cinétic¿ es rtuimo si 1¿ masa del resortc cs Pequeñn conparada con hs :'¡r.il1 ¡rlrsff en cl mo\ilnieüto.
::
i'b¡¡
760
C nét ca de particulas: métodos de la energía
y
La
b,rio de l.r luerza F eielt ida suhre l:, pr t-hcula ,¡¡ drr t rr rle
,
u¡ l'-'plazrr n ierrlo
p'r, de oL,i'-r,ers" J rnulhplit ar 1:' inllttcrim,rl cle l:r partrcrrLr ^ r'¡diJ r1r del tlesphziu I tieuto la com¡onclte ftier-za por magnihrd F de la nr neqirli\r' ) se evribe el tr'.Lh:Ljo h¿cir O esti ürigirl:r Pucsto qrt. F
¡' ',
J"
cantidad de r¡ovimiento
dU
\,|
:
, Ur: -GY+ a,
El tlabrrjo lealizaclo ¡or la luerzr gril-ilacional F dulante un desplaza rnierrto filritt-r rle A¡1r'- 11 :r {"'t - 12\ o' Por tirnlo
u,": -1,'9! a'-
,/ li
o
Gtrlut
12
(13.7)
1'1
Tielra. Es posible [tiliz¿lr est¿ fórmula parir ileterminal el trlbqo de la ftrelza cjercida por Ia Tierr¡ sobre- un rrrcr¡o de rt-t"ro rr', ,, ,.,rt,, distancia r- del cc ¡tro tle h nisrna, cuando r ,,iá, g."lt,I" rlue el radio R terrestre. Al recordal la primera de las cloncle
Figura 13.6
GMnt
l{
es
I¿r
rnasa de
l¿r
", rclacion".s
(11.2ú), s., t)uedc srstitrrir- el p'-oductrt Crl4r¿ en la ecu¿ción : 6 37 x 10" m o 13.7 ) nor' 1Vfi2. donde R .. el radio de la Tierra (R (tel en ie lorleslrc ,rr' la suPer-fit , rTo r \V e: l 3 960 iri, leso r.ien , nnt llecurlrci,t on uclltlall se \;¡¡j¡5 fr¡.¡7¡5 grte Probl( lnus de fijos en prmtos apLicadas fuerzas de Se t¿ta intboio nét,c¿ tto tzalí:art (c1s : 0) o actuando en un¿r dirección perp"ndicular rLl des¡lrLzarriento 0 . Enlre hs llrcrzirs qr¡e no r.aLi7.rn lrrtbrjo sc encucttlratr lrt' si\¡1rs d c,rdeltes: h rcaecidr ÉrI ult p¿lsiidor sin fricciól cua¡rdo el cuer?o que se .qrort.r gtrt dledcd.r del ¡^t adot, l¿ reacción cn- una superficie sin frir:cián c.,airclo el cr,erpo en óntacto se muer'e a lo LLrgo de la supertcie, la reacción en .,n ,odjilo <1ue se dcsplaza a lo largo de su pista, y el peso dr: un cueryo cuardo el céntro de gravcdad se rnueve en fbrma l.rorizontal (
13.3. ENERGÍA CINÉTICA DE UNA PARTICULA. PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGIA Considele una partícula de rn¿s¿ t¿ que se s(trete a una fuerza F y oue 5( rouc\( e lo lrrc. dc r¡nu lru\erlotiir r¡ue es re|lilín'-a o cttnr
t]igur¡ 13.1,. \l erprnc¡1¡ l¡ .-qrtndi, lor d" \errton ¡'tr lertnirtosd' las i orrponellte\ l ¡nfcncirtl". de l¿ fuerz r ¡ dt 1a aeel{-rur irin r éase h sr t ción 12.5), se escribo
Fr- tno,
o
F,:tn
dx
dt
doncle r,'cs l¿ vclocidad de la partícula Al ¡ccorda¡ de la sección 11 9
quea:
d.s/dt. se ohtienc
Al iltcgrar-desde t, :lrq, Se eSC be
,lt ds : - |t ,lo 11: t^ dl ,liD r/s F, ds - nLo d.a : A1, donde s - sr y D = 1,r, fiasta A2, donde s
i r,,l: J.J,-
,,,
| ,,r, . :,ttrr'.-
t,t,,t1
s2
y
(13. E)
El niembro de la izqrierda de la ecu¿rciól (13 8) representa el tlabajo Ur-: de la fuerza F ejercida sobr-e la patícula dura¡te el desplazar.niento de e, o ¡r; couo se indic¿r en l¿ sección I3.2, el trabajo U1-2 es una
uurtjdad escalar. La eqrresiór lnlo2 es tanbién una canticrad escalar; .t, define corno la energia cineticr de la partic.,h
f.
I
Se escfihe
se
á;,r;i;;il;,"
r: +*, .{l sustituir en (13.8),
(13.e)
se tiene
U1_2_72_71
(13.10)
.V..;, que c,rrndo la ¡arúcula *e rr¡ue\e Jc A1 a A baio L ,rc. pt tr4L):J,, ,1, h fu, r:u F es igtr,ri ,tl .r,nli¡o ,jo t,, lu"'1 lo-,1o: lni !. Ittct¡ctt tl? l(t
11."r]
patit-ntlq Lo ¡lrleliol se |ono¡c como el p,in,.inio 4l r.l¡¡pgl¡. los téflni¡rt¡s en 13.101, i "r.ú1,*
'ncrgt/]tt
(ttt
trttDoJ¿ tl to ?ttt'rgtu.
7't+U1_2:72
(13.11)
\'í. l,n ,'uet¿_to tint li,I dy trtto ¡ndittltt ,,t, \ ¡ttr,.dr ,,hte¡prsc ,,,,r,_ :44rltr 4 tiu r',t,er¿út tint:tí,1 ,.r1 A, ,.1 ¡r,¡[¡¡,, rooli:.,,,1o,],,ru,,1. pttt:,tt¡ttttPtll,::lp 4,1 n \,.t¡rr,- ll",r¡¡ a ,1¡1o.' l,r "l)rs.lu frtcr,r F ej, tr-irln s,,hrc jr¡ {t rg¡lrd que ¡14t1t.uttr. segundr le¡ de Ner\jorr de IJ..unl se dcriv¿, el prir,cipio tlel tr,rbajo linrrc¡q;,,'.," aplicr sólo ¡ 'r rrco d. ret;¡ cr ¡c jilieuri on iuno "",,;;;;;;, ',,r. "" .". I¿" i 1.: . l_, ,"i-1,ajj) * enplea para dete¡ninar l¿ energia cirrútica iá"¡", i",ri" ,i"¿r. o". (1)n \F rcsl)cclo a uIl l ¡rco dC I.eferel¡t.ia ner\toniuto_ el trahajo , o.ro li¡ encrg'. .:;nJti,." ., c(r.atilfes fr"f,o queSt¡ lar¡lo oes st¡l¡ pucde t..llcularse (.orno ;¡na \urn.r itjgeLrrjcn 'rn "o,,,,¿,,_ oI_ Ji¡rni¡. tonsjderdndose el trabajo U, ... positirrr, do cor.i la dirección a" ".g",Jr),'á" ",.".._ c.i,ur¿o,";J'ir;;.;';;,ú""',.üi" r" L expresión U¡_2 representa el tr.abajo que,actutn sobre la partícula; ésta se obtjene sumiurclo algebraicanren,
r.
t"t"iJ;l;r;;;-*
l.lúitl
t" el lrrb¡¡jo Je
las dirc¡5¡¡5 ¡¡p¡r,,.. Como se señaló antes. la energta cinéüc.l cle una partrcula cs nn¿ can_ tidad escal¿r Además, pr,ria
defiliiión
f:
jrrr",
lo
pre es posiüva, Jndepenüentemente de lo dt,=""i.in plticula 41 mnsiderur el c.rso puticul". u, ".,orla,, 0¡ 12= f en 13. jU,s. obserua qu"
l,uu
l,-
:::lj:.ii:_q:" :ll-.-rqi
"i:ri
Á".!";;;;; rr"rr,_ d",irovir"*rr" ¿" f" : g f r, : ,.
"Lf'.,,r_ tr.b'nitl. r.Jiriin pallít.ula es ig, ial ,r"t7. En consecuor¡r iri,"". la ", Iran Lle uDa partr¡ula que se mueve con una velocid¿rd u re_ sr¡brc
h
l,j;::: l1i.iilx":l?,:ff ,s:i::["::il',""i""?, ":? i",i,$"1ii:1i,;i que po,tí"ul" qr" rá;í"r" ;;;; *_ ll1l]:i '".?advierre "u"r,dn.,ro c\J J reposo. el trrl,¡jo cjct.utrdrr pur l¡s fuerzas,rueuc. ::,fl:, ta nris¡na cs .f. Suporriend,r q,," no...lirip^ o,,.r*iu in [u, "l"n i:n.: (.itlor. ta (.un(.lusión es orre eJ llrJ oo trlbujo reJzudo ¡or lij. fucr.rrs eierci,Jas ¡or l,.t portút rt sobre t, ,.u.,¡o, que que qued" eu leposo e5 ig¡¡,1 a T. por r.,nsigui.nte. 1,.'en"rg.a fro\o(.an l.l*n"" aJ"il""*.. c:lle-sfr]tji,ra
r r bié.n 1,1 c,t¡trt,.idnl ¡nra ,"nlii,,, t, nb,,p t,, ld.l L(t(¡(tQ4( At [d potf¡c u[rt. ^,,,.i^i,1",, Lrr errergra cinéhca se mide en l¿ts.rnism¿s unidades ,¡ue el trabaju. esro es..er joules si se usan ,nidades Llel Sl y en li . f¡ d:rdcs de uso comúrr cr¡ Eslados Uniclos. s; .;nfl.,;,,
del
ST
"i,"'"ioi-" í"i ;;';T;;;:", :,\rrcn : kg(m/s)2 = (kg. m/s2)rl : N.. : 7 J
en tanto que, en unidades de uso colr.rrín en Estados Uridos,
7
*É-
:
\nn2
-
(lb. s%t)(fvs)2
:
{¡.
1l)
13.3. E¡ergra uinerrca de una panrcuta. Principio det trabajo y t¿ enerqia
761
762
Cinéticade padicutas: métodos de y la caniidad de movimienro
ta energia
13,4. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERG|A I a aplicación principio del trabajo y la energÍa sir n pli fica en forma (ursloeraDle ,del ta solución de muchos problemas que imp[can f¡erzas, desplazamientos y vetocidades. Coosiá".", po. plo, 5üj"al"f" o¿ compuesto por una plomada A de pe5e W'un¡dá "¡ a una gitud 1 (figura 13 8aj. El péndulo se suelta sin "ui.J"J. too_
""1""iJ"ál"i"Lf*i"r¿" horizontal oA¡ y-se deja que osciJe ,n ftuno detcrm¡nar la relocidad de la plomada "n cuandá pasa "o**i""l. por A2. directamente abajo de O. Primero se detennina el trabajo realizado cluranfe el desplazamien_ lo desdeá1 hasta Ae por las fuerzas que actúan *lr* l" pü_itls" ¿i DuJa un dragrama de cuerpo libre de esta riJtima- indicandt todas lu fuer_ zas rcot?\ quc achian sobre ella- eslo es. el pesó W y la fuer¿a p eiercida por la cuerda (figura I3.8ó). (Un vector a"'in"."i" í. ,""f y no d"be inclü rse en el dagrama de cuerpo UUr".l "r]""-f"*'^ niJinrr"'""" f" P¡o.5aliz1 rraba¡o. ya lue es no.-"r á r, u.y"",r":",l;';ilir., llerza eleclúa trabajo es cor]secuen te¡ren le e¡ peso W. El trabaio de W 1q,u: ro:"T^1 muthplicar su magnitud W por el desplazamiento Jerticaj :: 1 lfa,Ros:ci9n )e oesea
")
Figura 13.8
b)
{secoon tJ.z.):*en üsta de que el desplazamiento ejhacia abaio, el traba_ JU es posrDvo. t or to lanto- se escribe U r ,2 = Wl. Si ahora la energr,a cinética de la plomada, se encuel_ , queseI considera rra r : U en A, v oue f"-rraba¡o, = '!W/guá en 42. Después de esto es posible apli¡¿¡ p] principib del i^
la (13.f1), re
-
"'""rsr.:
"sctib" T1
IW 0+Wl: ;;,t
IUL2:T2
Al resolver para u2,
se encuentra t-l2
"1"r:":;#; il;"
:
quc se obtiene es la de. un
tt
in
¿ tr el
¿lt
et
.k
p,(
dr
"
f,@7, Ad,rie.t"se que la velocidad
Con- el ff¡ de encontrar la velocidad en 42, no hay necesidad de determinar la aceleración en una posjción intermedia A v oe tnregrar la e_rpresión que se obluvo de
A¡
{
el
E
qu" ;;; ;;r: ,. "r"rpo ¡,r eJempto considerado ilustra las"""Tib."r;;ü"1; siguientes ventajas del método del trabajo y la energíar
t.
g
a A2.
todas las cantidades implicadas son .sc"lures'y pu-eden 5e de manera dire¡¡¿ t¡n uülizar las
su_^._
a fu.Í* que no realizan rrabajo se"o_pon"nt"r.a .r¡ii,*" J. il'rÍlr"i¿" !": uer proDlema. ,r_
la le\
ED
de
re:
13
I-a
tr¿l
rio
ca¡
par
,^.._t:,!1" ".
u.na
ve_ntaj1:n un problema. sin embargo. quizá sea urra
;"ii'i",ll¿ffi:::li_"üJi::,:;:ü,f
,#x;;¿nm*f,l:;:ll
lucrza que es normal a la travcctoda de la particula. ;;;];;;;';; ,," realiza,trabajo. el método doi rr"ba¡o y l" se mediante la aplicación di¡ecta dÉ lá ,"g""aif"y a" que^inlercsa determiür la i" Íi:"j.i:r-,"]i'"P". pelrouro oe Ia trgura 13.8¿ cuando la plomada""iiá" ", A-""".jí¿A qa ¡ih pasa nor i, e.po r; b,e de J, pr o,.'ia J,'ÁilJ,3:úl y_" se expresa" Í" ta segunda ley de Nerl46¡ en términts ¿" l^,
tor
la(
,Á
int€
";".g;r'JJ;';;;;i;* N"#5;:ffi;"
F¡gura 13.9
aId
il";fi;fi;
:*{T
nó.mal. úas ecuaciones : 0v
f]-ranSenciai.t ducen. respectivamente, ai
"jrn*n'.n_ t¡;= ,[";:ii, f'#:;r.
:t
a&
13.5. Potenc¡a y
w"Z
gI
lrlna rzas_
rOA lon-
Sin embargo, la velocidad en Ae se determinó antes por el método del uabajo y la energía. Al sustituir o! : 2gl y resolver para P. se escribe
esde
P:W
ical.
úeIr-
dii¡ere
cid¿ real
T1
fuerical I
abauen-
pes tnu-
w4l gI
:3W
Cuando un problema implica dos o más partícu1as, es factible aplicar el principio del trabajo y Ia energía a cada partícula por separado. ,{ sumar las ener$as cinéücas de las diversas pattículas y considerar el trabajo de todas las fuenas que actúan sobre ellas, es posible escribir una sola ecuación del trabajo y la energía para todas las partículas implicadas. Se tiene
re la
b\1.
+
I U1-2:
T2
(13.11)
donde ? representa la suma aútmética de las energías cinéücas de las ¡rartículas que se consideran (todos los términos son positivos)y U1-2 es el uaba¡o de todas las fuerzas que actúan sobre las paftic,ias, íncluyenlrzs fuetzos de accíón y reacción que ejercen las partículas entre sí. Sin embargo, en problemas que implican cueqpos conectados m eüante aterbs o enlaces ínerternibles, se cancela el trabajo de las fuerzas ejercidas ¡nr ula cuerda o enlace determinado sobre los dos cuer?os que conec\a que los puntos de aplicación de estas fuerzas se mueven a tmvés & distancias iguales (véase el problema resuelto 13.2).t Puesto que las fuerzas de fricción tienen una dirección opuesta a h del desplazamiento del cuerpo sobre el cual actú.an, el traba¡o de fuerzas de frícción siempre es negatfuo. Esle trabajo representa la erergÍa disipada en calor y siempre da por resultado una disminución de Ia energía cinética del cuerpo que se considera (véase el problema Esuelto 13.3).
ú r
id¿d
r¿ lkxlo
h
'35. m¿r-
cron
una
rtilir di-
una
9no úar-
ún,
del
POTENCIA Y EFICIENCIA
l-;. potencía se deffne como Ia tasa en el tiempo a la cua.l se efectúa el trabajo. En la selección de un motor o máquina, la potencia es un crite¡io mucho m¡ás importante que 1a cantidad real de trabajo que se lle'"a a cabo. Es posible utilizar un motor pequeño o una gran planta eléctrica para realizar una cantidad determinada de trabajo; sin embargo, el motor pequeño quizá requiera un mes para efectuar e1 trabajo que la planta eléctrica realizaría en uros cuantos minutos. Si AU es el trabajo realizado durante el intewalo A¿ entonces la potencia promedio duralte ese intervalo es Potencia promedio
al dejar que At tienda a cero, se obtiene en el límite
buja
3e) tenPro-
: {{ A1
Potencia
:
dU (lt
(13.12)
il,a aplicación del método del traba¡o y la energía a un sistema de p¿¡tlqrlas se estudia en detalle en el capítulo 14.
ericiéncia
763
Onética
cle partículas: métodos de la energía
y la cantidad de movim¡ento
Al susütuir el producto escalar F Potencia y, al recordar que
dr/df
'dr
por dU,
se
puede escribir también
: du_ F'dr dt
dt
representa la velocidad v del punto de aplica-
ción de F,
Potencia:F'v
(13.13)
Puesto que Ia potencia se definió como la tasa en el tiempo a la cual se realiza el trabajo, ésta debe expresprse en unidades que se obtienen al üüdir unidades de trabajo entre la unidad de tiempo. De tal modo, si se usan unidades del SI, la potencia debe e:'presarse en /s; esta unidad se conoce como r.o¿r¿ (W). Se tiene
1W=I/s:1N'm/s Si se emplean unidades de uso común en Estados Unidos, la potencia debe erpresarse en lt . Ibls o en caballos de potencía (hp), con esta ú1tima unidad deffnida como
t
hp
:
55¡ ¡,
AI recordar de la sección 13.2 que
r ft . lb^ t
hP
-
:
.
t'r.
I ft . lb :
:
1.356 J, se verifica que
1.356 JA r.356 W 550( 1.356 Wr 746 w 0.7a6 kW
:
:
La eficiencia mecriníca de una máquina se deffnió en la sección 10.5
como Ia proporción entre el trabajo de salida y el trabajo de entrada:
trabajo de entrada
(r3.r4)
Esta deffnición se basa en la suposición de que el trabajo se realiza a una_ tasa constante. La proporción entre el trabajo de salida y el de entrada es, por tanto, igual a la proporción de las tasas a las cuales se realiza el trabajo de salida y de entrada, y se tiene
(rs.15) Debido a las pérüdas de energía resultado de la fricción, el trabajo de salida siemprg es más pequeño que el trabajo de entrada y, en cónr"cuencia, la salida de potencia es siempre menor que la entrada de potencia. La eficiencia mecánica de una máquina es entonces siempre menor que
1.
Cuando se usa una máquina para transformar la energía mecánica en energía eléct¡ica, o la energla térmica en energía mecánica, su cíencin o rendimi¿nto total prede obtenerse de la fórmula (f3,15). La effciencia total de una máquina es siempre menor que 1; proporciona una medida del total de las diversas pérdidas de energía impiicadas (pérdidas de energía eléctrica o térmica, así como pérdidas por fricción). Adüerta que es necesario erpresar la salida de potencia y ia entrada de potencia en las mismas unidades antes de utilizar la fórmula (13.15).
f-
rmbiér
PROBLEMA RESUELTO 13.1 Un autolróvil que pesa 4 000 lb descie¡de por una penüente tle 5. de inclinación
a
una velocidad cle 60 nii,4r cuando se iLpJlc:ur los frenos, Io que provoca una
fueva de flelarlo tot¿l constante (,rplicada por el canrino sob¡i lai llantas) de I500 lb. Determine la distancia que rccoüe el automóvil antes de detenene.
¿Plica-
13 13)
SOLUCIÓN lpo
:
¿r l¿i
llncrgía cintitica
se ob-
t: ,
Posícíón
. De t¿l
'en
1?! iL 1¡ ]! l- o, ru. lco'fi 11 ' lr i\ lrni /\3f'r)0s/
J,/s; 100011)
't'y
: ltul :
l(¿ ooo/¡z.z)(¡¡s),
1,2:0
Posición 2:
'l'r-tbajo U¡-: :
rcteDci!1 est¿i
írl-
Plirr<.i¡rio
461000 ft . lb
?::0
-1500r + (4000
tlrrbljo.r
:
5')r
seú
:
1I51r
l:r cnt.r.qr:r
I U¡-2: - l15h :
T1
481000
T2
.t: llSli
0
{
lL¿ (rue
PROBLEMA RESUELTO 13.2 I)os bloques estiin unidos por ur cable inextensible en la lorma que se nues-
tra. Si el sisteüa se suelta clesde el reposo, cletemrine la velocidad del bloque.A desprrés de que éste se h¿i mori
i'in 10.í :¡rt¡¿rcl¡r:
D.t1 ÉJiz¿l ii I cle en-
SOLUCIÓN
: 5e lea-
1-r'abaio v encrgí.r dcl blo<¡rre -.1. Al detona¡ la fuerz¿r de fricción Fa y la fuerza ejercid:r por el c¿ble Drediirnte Fc, se escribe ?'¿^
F¡: Tt t Ut-o: Tz:
1:1.1;
--9
:200 J
¡¡
F6.(2
de
'l'¡o r {'O¡lSe
,=,li-l
?-il ii:1,
pc' !]:r]]Pr. r
Trzrbajo
:1e
,i
rr,
i
$*
I '"
=,liil '_- _i l
I
f
r
:
(200 kg)(9.8f nrls2)
m)
(a90 N)(2 m)
cner.gít del bloqnc 13.
m¡ :300 T1
II.'_1
I U1-2: T2:
:
1962 N
&rA¡¡ = ¡¿&II¡Á = 0.25(1962 N) : 490 N 0 + F¡.(2 n) - F,1(2 m) : jrn,1o2
kg
lVB
:
jlzOo
m)
Lg¡rr'
(1)
Se escrjbe
(300 kg)(9.81 m/s2)
0 + WE(2 ur) (2940 N)(2
:
F¡_-(2
:2940 N
m) = lmexz
F¡,(2 m)
:
]{SOO t
g¡u,
(2)
Al sumar los rniembros izquierdo ¡' derecho de (1) y (2), se obsen:r que se cancela
el trabajo de las fuerzas ejercidars por el cable sobre A y B:
(2e40 Nx2 m)
-
(4e0 NX2
n) = jlzoo
+ :oo rg¡u' 4 900 T = +(500 kg) a2 t: t lrt|r'¡ .( kg
765
PROBLEMA RESUELTO 13.3 Se utiüza un ¡esc¡rte para detener un paquete de 60 kg que se desüza sobre una superficie irorizontal. El ¡esorte tt:ene una const¿Dte ¿-: 90 kN lt y se sosüele mediante cables_de m,¿nera que se encuentre iniciirlmente compúmido 120 mni. Sabiendo que el plrquete tiere una velocidad de 2.5 m/s en li posición que se inüca. y que ln mídma cor¡presión aücional clel resorte es dJ40 r¡m, r¡m. áet.rú1ine urine ¿) o) el r'oelirienic coeficiente de fri¡¡ión f¡icción ¿inÉ¡i^! cinética éñrré entre al el ñi^,.-+paquete .,ly la ",,-^-Jl,; supertcie, b) la vclocidad del paquete paquete cüando cüaitdo éste éste pasa otra vcz vcz por ilasa oha oor L posición oosición nostracla. nrostr¡rl¡
soLUctÓN ¿r \lr)\¡rnicnto rk.s
9
:
!ma1: j(oo Lgxs.s m/s)2 : tgz5 N. m : 187.5 J Posición 2: (defbr.mación márima del ¡esol1e)r o::0 'l\tlnjt t Tt
FrLera
f\\
ftl.**Ni
F
de
fricción F. Se tiene
:
¡.r.¡N
El trabajo de F
L]=
I l*," P
:
¡1.¡\y
:
¡1.¡ntg:
es negativo e
¡r_¡(60 kg)(9.81
Te
=
rrs2) = (588.6 N)&i
igual a
(U,_,n)¡
= -Fr = -(588.6 N)¡rr(0.600 m + 0.040 m) : _(377 J)p¡. Fuetza del reso¡te p. Ln fuerza variublc p cjercida por el resode rcaliz¿ ur¿ cantidad rJe trabaio rreqaiir.r iguol al áreu l,aio lu fu.,r.'¿"iJ"rr.,0" de la fi¡e¡z¡r del resolte. Se tiene "',,,.o (20 kN/mXr20 nm) = (20000 N/n)(0.r20 m) = 2400 N {-- = q": p,,,i" +ft A¡=2400 P",¿,: ru + (¿O IN¡¡X¿O mmj:"3;ó N -" (u'-.). = -J(P,,,,,, + p,,,¡*) ax : -j(z ¿oo x +'i zoo ñlio.* : _r'
ll
u
El tmbajo tot¿l es entonces
U1-2:
(LI1-2)¡
*
(Ur-¿),,
:
(377 J)p¡.
- ¡2.0 J
f12.0J =
0
Príncipio tlel trulnj,t t¡ ltt cttrrgtrt Tt
* U¡-z:Tz:
tS7.5J
-
(377 J)¡rr.
-
pi.:0.lg {
rk.vtc ta ¡rrxir.irirr 9 tr¡rt¡r ta porir.ion ,,.-jl .tf:ll.:1".'o Lu('rqut t.¡n( ttcu. posición 2: , _ 0 f, __ {)
\:
Posición 3:
640,,.'"- -l
;t
lnn'l = j{oo rg¡ui
Traba)1.
Pxesto.que l¿s distanci¡s irirplicadas son las mism¿s, los va_ ,rr.rrraju de ti, tue,zi. tl" r,.i*i." r liT) f ,t."r" rl;;;" j:] ,. \ule ?ll^1.',:'d:l r son ro! tntsrnos rtuc anles \in .rnbargo. rnienir.,r,lr. '"l t."huio sigre rirndo nÉqrri\ñ ct i,'obo;n dn p _, " ""J I, "" .J" *.; ;;:;,,1;. Uz-,:t: -G77 l)p.r+112.0J= -iS.5l+ It2.0J = +36.5J
Prinúpio tlcl trulnjo t¡ lu rnergtu T2-r
766
0
u2-3:
T3:
0+
36.5J:+(60 kg)r3 o3 = 1.103 m/s
r',r: l.lOil
nr/s
+
{
I
PROBLEMA RESI,.'ELTO 13.4 Un vehículo de 2 000 lb pate del reposo en el punto J y desciendc sin friccitin por' la pist¿ que se indica. ¡?) Detennir,e la fuerza que ejerce la pista sobre eJ vehícr o en el punto 2, doncle el ¡adio de curvatuü de Ja pisti es de 20 ft. b) Detennine el rtüor míúmo segrurr del r¿rdio rle cun'atura in el punto 3.
iene :llllL
ia
se
:.ter-
r,
la
soLUctéN r¿) Fuclz:¡ t'iclcida ¡ror pista en cl punto 2, Se utilizn el principicr dei trabajo v l:r energía p¿r¿ detenniniu l¿ velocitlacl del veliículo culldo es te pasa por el pulto 9.
Energút
cinólicu.
7'1
:0
'l'nrbtjo. La (nictr frrerza quc cfectría tr.üajo cs el peso I{. Puesto que el despl¿1z¿lrliento vertical descte el punto I hasta -.1 punto 2 es de 40 fi ira ,
rt.,h:rir' *l rrdLdio d¡l
l-'.,.\
= +W(40 ft) I'rintiy t ,lel tnrlnj,' 4 lt en riir U1-1
Tt
,
1,Y(.10
ftl : lI{'r3 zg
sog
¿1,¡
;..
t-l-l
lirev¡s extenas que ¡ctúan \ulrrr t-l relLior]o
Prresto que las
c. I
:.'r J
:
0+
: 80(32.2) o::50.8 lils Segnxla ley dc ñ'¿¿.fr¡n en el ¡tttnb 2. La ircelención a,, dci vehícu : tl/p y estÁ clirigida hacta arriba. 1o en el punto, tjele una m¿rgritud ¡,;
ji¡
\
+ Ut-2:'t2
ril¡c
+J)F,,:rira,,:
son
W ¡ N,
se
\I/+N:r¿d,,
_lYoi gP \v : B0g -,' 2t)
t:rr,,
N-
ri){xnr
r,J {
b) \hlnr rnírrilro dr: p cn c[ pLrnto 3. I'rirrt i¡r i,, rlel truhujo 4 de la energítt, Al aplicar el pdrcipio (lrl trrh¡jñ 1 la cnergia rntre el ¡urito I )' el punto 3, se obticle
:'t t.,-t, 1]i
:F
LI &
:
o u!25r,=1[,, !g
50g =
50(3t.2) ¡: = 40.1 fVs
Segtnvla let¡ d.e Netton en el
punto.J. El valo¡ llírinio seguro de p 0. En cste c¿so, l¿l ¿lceler¿ciótl a, de rlagnitud a,, = r,.2/p, gid¿r h.icia abajo, y se escribe
ocrr¡re cuando cst¡r
i
di
N
[2F,, = na,;
:
IV:Tlq gp _ Iy
509
gp
p:;0 li
<
PROBLEMA RESUELTO 13.5 U*11"1i","":r ** D I sLr c¡rga.tielren un peso combinaclo cle 600 ll¡, en tanto lle er oontrJpe(o ( pesr S{)0 ll,. DFrpnnin- l putclcia errllngadl ¡or el rrro lor FiÉ(fri( u M , urnrlo el t¡,nta(.xt.gits 4 sF n Icvr¡ lraci¿:rrriharr un,, r*lo_ cidad co¡sta¡te de ¡i fvs, á) tie'e Jnr¡ veioctclad i"rt";i,i,,;;.;;; fv;';;r," ace]e¡¿ciónde2'5fVs,,allbasclirigiclrrsl'""i.".¡i,"'....,... r
soLUCtóN Puefo que Ia lirrr zrr F eiercicl¿r n cron ,lu{- rr ,.lot idrrl r¡,1.1
ront',r ijen- l" dir*c, ,""1,::."1.:"1'li'rel .,,*',,1 furcn, ia F\ jl,,:,t .r'¡isn,,, ¡ b ¡ s n.,, ;i,_;;; ;":.illf f¡ ¡,,¡.,,,de oj¡ ¡'ra rte ta. do. rj,,,a,.ior,"i,",J,]i,:'i,r'' rlFl'" dFiFr,,,i'rr p'i,n.,o"F, n,.n. r
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*,í;,11n,0 ll, _ 400 lb _.20{) l; " Fr^_,¡r¡lh,\ir ,,_ t600fi tb;
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¡r) rlo'imi(xrto ¿rcerer-atl¡¡. se
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= (209;
it. ,/s)ñltil
=.r.st
lrt, (
:rlltO i :¡ro '.
elo-
'
11¡¿1
El
el capítulo antelior se resolüelon problen¿rs rel¿cionados con el movimiento de una paftícula utilizando la ecuación fundameuti F : 'irza para detelminar la ¿celeración a. Al aplicar los principios de la cinernática se pudo determinar a partir de a la velocidad y e1 desplazal.riento cle la partícula en cualquier tiempo. En est¿ lección se col.rbinó F : ila v los pr:incipios de la cinemática para obtener ul método cle análisis adicional que se conoce cc¡rno el r¡ultc¡tLt del trtbojo y h energftt. Éste elilrina la necesidad de calcul¿r la ¿celeración y per¡ite lelacionar las velocidades de la partícula en dos puntos a Io largo de su trayectoúa de moürniento. Par¿ r'esolvel un problema mediante el nétodo del trabajo y la energía se deben seguir los siguientes pasos: r:icle _1
c¿t-
l. Calcular eL trabajo ¿e cqdq unq de las Juerzas. EI trabajo U1.-2 de una fuerza dada F durante un desplazauriento finito de la paftícula desde ,41 h¿st¿r Ao se deffne como
u,-n:It.a,
U,-. - I|
1F cos a7
Jr
qI3.2, 13.2'7
donde n es el ángulo entre F y el desplazamiento dr. El trabajo Ur-r es una cantidad escalar y se er?r'esa en ft . lb o in. . lb en el sistem¿ de unidades de uso cor¡rún en Est¿rdos Unidos y en N n o jor es (J) en eJ SL Hay que obser-var que el trabajo efectuado es cero para la fuerza perpendicular al desplazamicnto (c : 90'). El trabajo negativo se realiza para 90o < a < 180'y en particular para una fuerza de fricciór.i, l¿ cual siernpre se opone en ürección al desplazamiento (a : 180").
El trabajo Ur-o pr,ede evaluarse fácilmente
el
los siguientes casos:
u) Truba.io de la.fuerzu constante en mooimiento rectilíneo U
: Ar :
donde 5lb
a
pz :
(F cos cr)
A,r:
(r3.3)
ángulo Ere forna la fuerza con la dirección del moümiento desplazan.riento de A1 a 42 (figura 13.3)
b) Trabajo
cle
la.fuerza
cle gruuetlad. U
pz: -W
(r3.4',)
Ltl
donde Aq es el desplazamiento ve¡tical del centro de gravedad del cuerpo de peso IV. Advierta que el trabajo es positivo cuando A4 e. negitiuo. esto es, cuando el irerpo desciende (figura 13.4).
c) Trubajo
de la fuerzo ejercidu por un retsorte
rr ut_2-
_ l/"-_¡ .¡i.rl
I
r_-_f
t^.rl
(13.6)
donde /t es la constante de resorte v rt y 12 son las elongaciones del resorte conespondienle( l hs posicioncs A¡ y A- figura 13.5'. (contínúa)
I
cll Trubuio de unu.fuerza grutítacktnul C\t[n CMm Ut-z: l| 12 par:L
ul
desplazamiento del cuerpo A1(r
2. Cqlculer la energíu
<:inética en
:
Lt
11) a
A2(r
(13.7)
:
rq) (figura 13.6).
tJ Az, La cnergía cirétic¿l
f
es
(13. e)
-l
donde ri¿ es la rrr¿s¿r de la partícula y o es la magritud de su vr:locidtd Las unidades de Ia encrgía cinética sor las rnisrnas que Jas u dadcs del trabajo, esto es, li lb o in. 'lb si se usan urrid¿rdes de uso comúl en Estados UnÍdos y N li o joulcs (J) si se
¡'r¡'
SL 'r'¡r' rridndc. del
ll.
S¿rsfifr¡ir los ool
I
U
1-2:
U
T2
¡
,2 q las
energías cinéti-
56::: la (1.1. r
-
la tsst en el tiemPo q I( reqlirt eI trabujo, P = cIU ldt. L¿ potencia se mide en ft ' Il¡/s o rtLballos
cle 1:totenaía
r' i¿.
¡i..::
nro]p.
1. Lu.potencio se presentó en estu lección cuul se
r.
r)
H¿tbrá uta. eatacíón qte puede resolvel par¿ una incógníto H.ly que ollsen'¿u que esta ecuación no proporciona (lir-ect¿lüentc el tiempo cle recorrido o l¿r aceleració1. Siri embargo, si se conoce el radio dc cun'¿tura p de lrr tra¡ectoia de la partícula en .l pulto dóude sc I'a r,lrterrido lit velocirl¿d o, puede cxpresnr la compouelte lolnal de ll accl,-r¡ciór conro /r,r : r:/p ¡, obtelcr la conponente rt<¡nriirl cle la fuerzai ejer'-
cicla sobre Ia partícula ,rl escribir F,,
c,i,¡
.:i:
c<¡mo
(hp) cn el sistem¿ de uuidades de ttso con.iún en Estados Unidos y J/s o
taffr
(!V) en el sisterna dc unid¿rdes dr:l SI. Pala c¿rlcr ar la potcncia, puede usar la Itinnula eqniviLlentc,
?:F.v dolde F y v denot¿rn Ia
I'rrerza ¡, la vclocidad, r'espectiv¿r'lente, en un tiel.rpo deter-
lproblerria resuelto 13.5]. El algunos pr-oblemas fvéase, por ejemplo, el pro blern¿ 13.50], so pcdirá l¿ pofencia prornedict,l¿r cual es posible obtener al diüdir el trabajo total entre el irtewalo durantc cl cual se efectú¿ el trabajo. rninr,Lclo
770
'--at-..
(13.13)
1;a
satélite de I 000_lb se pone en un¿ ó¡bit¿r ci¡cular situada
,U" l,r^ruprrfirie a .ln l¡ Ticria A "llr]1'i,] -hi" altur¡ l¿ f, ircele¡ación ,".f"r,.i¿" de J.ll "slr altura, )riY
cdad e\ e' dde b.03 lvs --.'r''llrLr-
-
l¡1
Si srr r .lo.id.rr l , ,'hir¿l
eDergí¿ ci¡ética del satélite.
13.2 U¡
l;,r
"r de I1000 mi h, ,ier.rmi-
satélite de cornunic¿ciones de 500 kg estír en una ó¡bit¿¡ cu,na.¡uelta at¡eclerloi cte t" .n;;;; .::1,::::'T,::::.i ' I ll .r una.iltur¡ ItLe 35ljl)0 km sohre la superficie tel-restre. Si el ladio y de . r,cr,.. cs dc 6310 km. dnLÉrn¡nts t, i." ,;i.j;
.:,Jfl*
j.i
"n..s,, "i,u
-
;;.ñ ; :l "'"
t ,", d.¡,,, descle attura tr y golpea el ,.Y¡:^1*ij",de,24 ].F 1aer _una .::.:t-1i-1 "tÍ:1 m/s. ¿) E,,t,,ent¡. r., _.,g" .iJeti.,,' j" r" ," ]:l:"id¿rd t,,"tt,,,"t,¿",¿,ni^;;,1,_i.i.j.jjliir_l 1"/..,,-j"),11,. l,{ ',,i11,,,/"*::/f1 irr( ¡\u ,,,( /7, sllpr)IlcD(J(, i\u,/, sr¡poricllclt, ,is,nr fiedra s" doia c¡el.rubre li¡ Lr¡ ¡rr,. Lr rr,isrnr ¡ieJra se .¡-1"r,* jrin dc de l:r l,r gr,,vcdad sobr., t" r',,,... es - .¡-/"r,(,ñn ^-;igrrnJ I l.6i rnl",r ',r.,"".1,,1cnh- la L,r¡rrr
,'
'3.,4 t' i.
golli.t,, {olj-¡*r,
'¡¡,, pelutrr rl.
l.ul i.ngrl(, de i5" : - ,r:,é.i.¡ lt: iricird de la pelotr, _l9rr
- -:- s¡ altur¿ ¡rárii¡a.
,
1.62 L,/
on l¿ horizontal.
(.or unit !clo(idad ini
D"t",1;ir;;i'I;;;",
D) la energía cinética a"
l" p"i.i"
"i"rj"
"f
'33,55 prr,,¡rn1es rlr,¡ {, rnue\tr,¡n en ll ligrrr,r." lalz:rn lra, ir ab:rio ,Ln' i¡clin¿do rrrr plaro : - uu rCI]Jnird¡r en lrlaIn f,n A A co' ,.^,, vel,¡ciüad .-1,,,.1,1.,,t .t^ Á t,^ i;, t. ,1" *1t.. . . ABC h.,.i, ,,n, t,",Jn to"*i;;l;;;;,; ";;;,;r:;;l; que liiqlli.,,',lr ll,:tttai, ;,;..se .p a veloci,lad \ fys. 5i ¡r, u:5 enlre los p:r,lrrotcr r L superfi,.i. / .l^r.._...:.^r r., ,,.; Í:l:l' ::1. t¿ ,tisr¡ ci, ,r ,i t"., p,,,,,"r*. ,1";:íliü";;;::";, l;;. j;. 1
.-:rl¿cl ,l.rd de 8 fvs.
'f
3.6
U¡ paqnere
JL ll' se ti'",:.u. 50 lr:¡t.i,¡ suhrc rrn planU in ?9 ^¡rjl,r :¡r,¡do dc, un un ángulo dc de lU" i(1" v v tir¡c LirIe relocitl:¡l re inici¿i inici¡i de fl s Si s; _t .^.r¡-r-40 fVs. :. ,lr fiicciún cinétice entir el .n.l,n,,ete y el plano inciinaclo el coeticien_ , es cle 0.15, de -¡ri¡e ,¡ ) la dist¡r¡ci¿r nüjrn¿ ,r ri¡,ir se lnove¡á el cle
.r.nr,,).ccth
paquete sobre ei plano, ', l¡,,-l^.;J",t l^r ,' ."d",;,, ;;p;;.ü;i;;"J,lilj',Í'll'i,i dd paq'ete -....--^,.cuandci ..,li l:1::'9id ''larl totnl de
.',"'úi.
,li.ip,,,Jn
¡.,. "r,o. ¿. i, i,i:,.1;;.
Figura P13,6
771
772
Crneljca de particulas: métodos de la eneroja y la cantrdad de mov¡miento
'13.7 Un automóvil de 2000 kg parte
desde el reposo en el punto A
sobrc un plano indinado a 6. ¡ se desplaza cuesta aba¡o una distancia je I50 m hasta el punto B. Después se aplican los frenos. lo cual provoca que el auto_ móül se detenga en el punto C. a 20 m de B. S¡ el de;lüamie;to es jnmi_
nente durante el periodo de frenado y se ignora Ia resistencia del aire y la ¡esistencia al rodamiento, determine ¿) la velocidad del automóvil en el
n'r.,r,_
to B, b) el coeficiente de fricción estáüca entre las llantas y el pavimÉnto.
2Om
Figura Pi3.7 y Pl3.8
13.8 Un automóvil de 2 000 kg parte desde el reposo en el punto A sobre un plano inclinado a 6.1 se desplaza cuesta aba¡o uná distancia d! IbO m hasta el punto B. Después sc aplican los frenos. lo cual provoca oue el auto_ mtivil se detenga en el punto C. a20 m de B. Si el coeliciente'de fricción dinámica entrc las Jlantas y el camino es de 0.75, determine el trabaio reali_ zado sobre el automóvil por los efectos combinados de !a resistenciá al ¿ire y aI rod.amiento entre los puntos A y C.
, 13,9 Un paquete de g0 \b se encuentra en reposo sobre un plano in_ clinado cuando se le aplica una fuerza constmte p. E-l coeficiente dé fricción cinéüca entre el paquete y el plano inclinado es de 0,3S. Si la velocidad del paquete es de 2 fVs luego de haberse moüdo 3 ft hacia ¿riba sobre el plano. determine la magnitud de la fuer¿a p. '
Figurc p19.9
13,10 U¡ cohete modelo de 3 lb se lanz¿ en forma vertical desde el reposo con un empuje constante de 5.5 Ib, el cohete alcauza una altura de tt, f termina. Si se ignola Ia resistencia del aire, determine a) f0 9! ".-¡gl" Ia velocidad del cohete cuando ffnaliza el empuje, b) la altura márima alcau_ zada, c) la velocidad del cohete cua.rdo regrásJ al suelo. 13,1 1 El bloque A de 7 kg se suelta desde el reposo en la posición que indica la figura.-lgnore el efecto de h fricción y la masa de las ioleas. y determine la velocidad de) bloque después de que se ha mo,.ido 016 m ha_ cia arriba por la penüente.
13.12, El bloque A de 7 kgse suelta en la posición que indica la ligu_ ¡a a velo¡idad de [.5 m/s ¡ asciende por la pendiente. Si la velocidad del blo_ que es de 3 m/s luego de que se ha movidó 0.6 m hacia arriba, determine el
Figura P13.1'l y P13.12
trabajo realizado por la fuerza de fricción ejercida sobre el bloque. Ignore la masa de las poleas.
lt¡o
Problemas
t3. t3 Se transpodan cajas sobre una banda sin fin a velocidad ve hasB lind caen en B' en A, donde se deslizan ¡y al final ffja ta unao ."r',liente penüente ffia'localizada j las cajas si si O +0. deteínine la velocidad de la banda transpodadora ", lu p"ndi"nt" en B con una r elocidad de 2 mls d"j-
hto A
-
I auto-
t.rnmlI
773
hyla rl punmento.
Figura P13.13 Y P13.14
v¡ hasSe transportan cajas sobre una banda sin {in a velocidad en B caen llnal al ,rna oendiente ffia'localizadá en A. donde se deslizan y veloc¡la si transpodadora de Ia banda ¡r^ O.¿0. dereimine ta velocidad
13.14
u¡rto A
ta
rl50m
ii
¡l auto-
I
dad de las cajas en B es igual a cero
Ficción
13.15 El t¡en subterá¡eo mostrado en la liigura viaja a una velocidad t" aplican por completo los Gnos en.las r¡¡edas de los d" ¡¿ f"t¡h ".,*Jo lrenos carros B v C. lo cual cauia que?stos s.. deslicen sobrc la vía' Pero los cinética de fricción coeffciente el A. Si car¡o iel l"t ruedas ,ro ," "pú"* "n l"t ruedas v la vía, determine ¿) la distancia requerida para i. óisl ". tren"ntt" se detenga, b) lá fue¡za en cada acoPlamiento'
p realir
al ai¡e
lano in-
fticción dad del
que el
r el pla54
B"
45
knrh Mo
C
35 Mg
Resuelva el problema 13.15, suponiendo que los frenos se aplican ¡ólo sobre las ¡ledas del ca¡ro A
13.t6
desde el ütu¡a de
mine d) na alc¿¡-
posición
,po\e*-
)-
0-6 m ba-
la figud del bloermine el Ignore la ea
13.17 El automóvil B remolca cuesta arriba al automóvil A con un cable de 15 ft a velocidad consta¡te de 30 ft/s cuando los frenos del automó;tl t;;"1"". oor completo, lo cual provoca que B patine y se detenga El ¡tomóvii A. cuvo conductot tto adüerte que el automóvil B amino¡o la velá parte posrerior de B lgnorando la resisten^cia del ai¡e-v la ¡"¡ati. "no"u y suponiendo un coe{iciente de fricción cinética al rodamienio, tesñencia Á O.é, d"t".-in" l" velocáad áel automóvil A justo antes del choque' 13.18 El automóvil B remolca cuesta a¡riba al automóvil A a velocide 30 fVs cuando los frenos del automóvil A se aplican por ctnstante ¿d cm¡oleto. lo cual provoca que patinen sus cuatro neumáticos El conductor del áutomóvil B no acelera ni áesacelera ni cambia la velocidad l-os pesos coede los automóviles A y B son, respectivamente. de 3000 y 25001b' yel aire dcl resistencia la ignora Si se a 0.8. es ig;al cinelica fricción ffciente de los aupor v Ia resistencia al rodamiento, dótermine a) la distancia recordda cable' en el iomóviles antes de detenerse, b) la tensión
.10 tVs
5.4
15
{r
ilo ii/s
11
Figura Pl3.f7 Y Pf3.tg
l
,t
I
774
c|4eljca d," partículas: metodos de la energra v lá .-ant¡dád de movimiéntó
.13.19 Los
dos bloques mostrados en la ffgura se sueltan desde el reposo. Si se iSnora la masa de las poleas y el efecto de la fricción en las mismas y entre Ios bloques y el plano inclinado, determine a) la velocidad del bloque A después de que se ha movido 1.5 ft, b) la tensión en el cable.
Figura Pl3.l9 y P13.20
13.20 Los dos bloques mostrados en la figura se sueltan desde el re poso. Si se ignora la masa de las poleas y el efecto de la f¡icción en las mismas, y los coeficientes de fricción entre ambos bloques y la penüente son : 0.20, determine a) la velocidad del bloque A después de ¡t" = 0.25 y p¡ que se ha movido 1.5 ft, ü) la tensión en el cable. 13.21 El sistema que se muestra, compuesto por un colla¡ín A de 20 kg y un contrapeso B de 10 kg, está en reposo cua¡do se aplica una fuerza constante de 500 N al collarín A. a) Determine la velocidad de A justo antes de que golpee el soporte colocado en C. b) Resuelva el inciso a) supo niendo que el contrapeso B se sustituye por una fuerz¿ hacia abajo de 98.1 N. No tome en cuenta la fricción ni la masa de las poleas.
ffi [-ll
trffi 1
aigul|a P13.22
Figwa P13.21
I f
É
. 11.22 : altura
I]
El bloque A de t0kgyelbloqueB de 4 kg se encuentran a una /¡ 0.5 m sob¡e el suelo cuando el sistema se suelta desde el reposo. Después de que A golpea el suelo sin rebotal se obserua que B alcania su altu¡a mátima de 1.18 m. Dete¡mine ¿) la velocidad de A juito antes del impacto, b) la cantidad de energía üsipada por causa de la ?ricción del eje en
,l
la polea.
i
d
t
) el re¡s mis-
hd del
b.
. 13.23 ,Dos bloques A y a. de 8 y 10 kg de masa, respectivamente, es_ tán ( oneclados ¡nedianLe una cuerda que pasa sobre las pbleas en la lorrrra -O qr.re indica la ffgura. Un colla¡ín C de kg se coloca sobie bloq,r" a y "l s" muoien sislema se suelta. desde el r"poso. Después de que los bloques "l 1.8 m. se ¡.eüra el collarín C y los bloquis A y B üntinúan m'ovi¿ndose, -De_ termine l:r relocidad del bloque A jusio antes de que goLp"".t .uetn.-
Problemas
. 13.24- Cuatro paquetes de 3 kg se mantienen fijos debido ¿ la l-riccidn sobre una.band¡ transportudora desacoplada de su n¡olor Cua¡do el siste_ ma se sueltir desde el reposo. el paqueLe I deja la banda.n prnto ¡ iu, "l to cuando l-l paqueLe 4 ingresa a la p¿u-t e inclinad¿ de la b¿nda'en punto "l la velocidad paquere ! r.uando saie de lu band. en ¡, l: ,D",:t..':.,o] {el Dl Ia velocidad del paquete 3 al de;ai la banda en A. No tome en cuenta la masa de la banda nL de los rod¡llos
el ¡e! mise son es de
te 20 llerza o anmPo.1
\.
T "^'
2.4
mY--
F¡gura Pí3,24
, 13.25 tJ na pesa de 8 kg se suelta clesde el repo,o en la posici
quc
indi|r la figura y se detiene por nredio de do, resorles an¡cladoj; la te del resorte exterior es ft1 = 3 kN/m y Ia del resorte intefior es "ons¡ln_ ke:10 kN/m. Si se observa que la deflexión mátma del reso¡te ete¡or es áe 150 mm, determine Ia ¿ltura /r desde la que fue soltada la pesa.
Figurc p1g.25 y p1J.26 Una pesa de 8lg se suelta desde el reposo en la ooricirin r - 13;26 rdr-a ta figrra. li p.,a .e a"ir""" i., ..a1";: :R\1lt:-det resodc c).terior es k¡ -_ 3 kNzm y la del resorte interior cs
;fi;on:rtffiftJi;
t,: ]E¡ qt II
I ar¡
Er
la pesa fue_ soltada desde una altura /¿ 10 la delleión márima del rFsorle c\tcrior.
fIl": !t
:
OOO
-*,
á1i"._
'13.27
Un bloque dc 0.7 lb desc¿nsa:obre )a par.te superiorde un blo_ "l?,t:p.tludo por. pero no unido a. un rcso,1. cuya constente es !-^S: !E 9lb/ft. EI uruque bloque rulrenol sryerio;se se retrla retira de manera repentina. ,"p""tr"1b",i.--" Determine a) ..
L reloddad ma,iiia alcLzada por el bloque ¿" o.sli,7l-i"
4'-'¡da +-?¡cla por el et bloque
de 0.5 ib. lb.
Jt";;;;*" "l Figura P13.27
775
776
Cinética de panícu¡as: métodos de Ia energía y la cant¡dad de mov¡miento
13.28
Resuelva el problema 13.27, suponiendo que el bloque de 0.5
Ib está unido al resode.
13.29 Un colla¡ín de 7.5 lb se suelta desde el reposo en la posición que indica la figura, se desliza hacia abajo por la varilla inclinada, y comprime el resorte. La ürección del movimiento se ¡eüerte v el collaín se desliza hacia arriba por la varilla. Si la deflexión mátima dei resorte es de 5 in., determine a) el coeficiente de fricción cinétic¿ presente entre el colladr y Ia varilla, b) la velocidad márima del collarín.
F¡gura P'l3.29
13.30 Un bloque de l0 kg está unido a un resorte A y se conecta a un ¡esorte B mediante una cuerda y una polea. El bloque se mantiene en la posición que indica la {igura, con ambos resortes sin deforrnar, cuando se eJimina el soporte y se suelta el bloque sin ninguna velocidad inicial. Si la constante de cada resorte es igual a 2 kN/m, determine a) la velocidad del bloque después de que se ha movido hacia abajo 50 mm, ó) la velocidad urrlxima alcanzada por el bloque.
a=2kN/n Figuta P13.30 y p13"31
13,31 Un bloque de 10 kg está unido a un resorte A y se conecta a un ¡esode B mediante una cuerda y una polea. El bloque se mantiene en la posición que indica Ia figura. con cl resode A estirado 25 mm y el resorle B sin defo¡mación, cuando el soporte se elimina y el bloque se suelta sin velocidad inicial. Si la constante de cada resorte es igual á 2 kN/m, determine a) la velocidad del bloque después de que ha descenüdo 25 mm, b) la velocidad má'.ima alcanzatla por el bloque.
13.32 Er
utr¿l ¿ütopist¿,
un ¿utornóvil lirela de control c¡rc va a
Prcbte.r.as
100
777
.:r¡''h golpe¿ en lil-rna per¡endiculo rln ¿niortigrr¿(lor de impactos, er el cual ¡- (ietie¡e rletie¡e al ll oplistil ¡nl¡si¡r'cn s¡cesiv;r altr¡nos balrik:s de dr: ¿cero. L¿t ni¿lgnt¿¡pcn fonna srcesjv¿ ¿lgunos balrilcs .r Ios l¡arriles niuestla cor¡o rura firncrión lunción dc : rtucl F le
r(n') =gura P13.32
13.33 Un piskin (le nras¿ m 1'ár'ea de sección tr¡ursversill A estír en :,rilibrio bajo la plesión p cjercicla c¡ cl cc¡rtro clc un cilindro cerr:rdo por' . rrbos extremos. Si el pistón se rnueve hacia l¿ iz(luicld¿r Lri¿lcl;st¿lnci¡r ¿/2 y ,uelt¡r,
I
si
1¿
p¡esión sobre cada l¡cilo clel pistóri varía irrversarne¡te con el
,r¡rcn. dcternrine la lelociclacl clel pistírrr crLrrdo éste regresa ¿rl centro dcl :nclro. lgrrole I¿ fricciírn erntle cl pistón ) cl ciJindro v exprese su resprres . -¡ térmilos ile n, zi, p y A.
:
Figura P13.33
13.34 Explcse la ncclcr¿lcjón dc l¿1 glrlvcd¿d gl, ¿ Lrr¿ ¿hrlrir /¡ sobre Lr :-.-rficie de lir Tie a en ténniros de la irceleracitin rle la glar,eclad g¡ cn Li .erficie tenestre, l¿r ¿rltun /¿. v el mclio R de l¡ Tierl¡. Dete¡¡rine el elrc¡r :.cntü¿l si cl peso quc ticnc un objcto sobre la srrperlicic rle nuestro p1:t :.1 se us¿ conr) su peso d rrna altur¿ cle ¿r) 1k¡r, b) 1000 krn. ,
:
t)
P
1 3.35 t]¡ cohete se .lispfi'¿r verlicalnlente clesde 1ir srrpelficie de l¿ Lrrrol rclocicl¿d r-0. Dcdozc¿ una ló¡nrLrla par-a el cocientc /r,,//i.,, de las a1-
¡.rs ¿rlc¿nzaclas colr rDra
,.iól
vtlocidi¡d o, si se usir la lev cle Nervkrri rle la grarr ¡ un carnpo gr¿\'itacion.rl unilirmre para
para calcrrlar /r,¡ -\'se r'ecurre
.:i:rnrinar h,,. Exp:'cse srr r(rsprrcst¿ cn tór-rrinos clc la accleración de 1:i gra-,lad g,,, soble la superficie rle la Lula, el ladio,ll,,, rle la Lul¡. v lts velo .:,l.rcles o
yo¡.
!
13.36 U¡ rnetcorito i¡ici¿l su ¡roviuic¡to tlcsdc cl rcposo ¿r Lu1¿l dis:licia nuv grlnclc cle l¡ -llelr¡. Si el rutlio terrestre es de 3960 r i v se ig uür todas l¿s fue¡z¿s cxccpto la de l¡ ¿¡tracción gr¿I,it¿cional de la Tielr¿r. ictenrine l¿ velocirlad del meteorito cuando ¡¡) entra a l¿ ionosfer¿ a una ¿rl:,rr¿r cle 620 mi, ó) cntr:r ¿ la cstr'¿tosléra ¿ rn¿¡ ¿ltula cle 30 ¡ii, r:) choca cori ., superficie de i¿ illerra.
llgfi{) mi \!-
)d\ .'üffi {":t
13.32 Dunnte ulr vuelo de acercarniento :r ]¿r il'ier'¡a. l¡ r'el<¡cid¿cl de jln¿l 1i¿ve espaci¿l es cle 6.5 miy's cu¿Dalo ¿lc¿nzil su ¿ltu¡¿ mínim¿ de 620 mi .r¡ble l¡r snperficie el el punto O. En el punlo B se obsewa que la nave es paci:rl tienc un¿¡ altrl.a dc 5 200 rli. Si la tlaycctoia de est¿ navc cs parabolic¿, dctermine su velociclacl a) en el punto A, b) er el punto B.
T 620 rni
Figuta Pl3.37
I
778
13.38 Una bala se dispara hacia arriba desde la superffcie de la Luna yelocidad inicial de 600 m,/s. Determine la elevación márima alcanzada por la bala si, a) se supone un campo gruütacional con g : 1.62 Í/s2, b) se ;sa la ley de la gravitación de Ner¡.ton. (Raüo de la Luna = 1740 kn.)
Cinetica de partículas: métodos de la energia y la csntrdad de movrmrento
a
13.39
Un bloque A de 1.5 kg descansa sobre un bloque B de 1.5 kg y está unido a u¡ resorte de constante igual a 180 N/m. Los coeficientes de fricción entre los dos bloques son ¡-c" : 0.95 y &l = 0.90, y los coeffcientes de f¡icción entre el bloque B y la superficie horizontal son ¡.r," : 0.15 y p,¡ : 0.10. Si los bloques se sueltan desde el reposo cuando el resofte está estirado 100 mm, determine o) la velocidad del bloque A cuando alcanza la posición en que el resote no está estirado, b) la velocidad rnáxima del bloque A.
1
locid:
neh comP
signif
1
ro en con lc
13.40 Un bloque A de 1.5 kg descansa sobre un bloque B de f.5 kg y está unido a un resorte de constante igual a 180 N/m. Los coeficientes de fricción entre los dos bloques son ¡,c": 0.35 y p¡ = 0.30, y los coeffcientes de fricción entre el bloque B y la superffcie horizontal son p" : 0.15 I F¡ =
0.10. Si los bloques sé sueltan desde el reposo cuaado el resorte está estirado 100 mm, determine a) la velocidad del bloque A cuando alcanza la posición en que el resorte no está estirado, b) la. velocid.ad máxima del bloque A.
13.41 A una esfera colocada en A se le iraprime una velocidad hacia abajo vqy oscila en un círculo vertical de raüo l-y centro O. Determine la velocidad mfu baja v¡,para la cual la esfera alcanziá el punto B cuardo gi_ re en tomo al punto O si a) AO es una cuerda, b) AO es-rma varilla delgaáa de masa insigniffcante.
Pu* 1
dos a¡ de AB
sa tcú übrcu úa sd
aire
y
t----
1¡
¿lrcG c
esdei F¡gura P13.41 y P13.42
.
13,42
A la esfera colocada en A se le imprime una velocidad hacia aba_ jo vo de magnitud igua.l a 16 fVs y oscila en u-n plano vertical en el ertremo de una cuerda de longitud / = 6 ft unjda a un ioporte en el pur¡to O. De_ termine el ángulo d al cual se romperá la cuerda.-sabiendo qrie ésta puede resistir una lensión máxima igual al doble del peso de la "sle-ra.
de2fi
te¿lo normal
Ignore
13
mente
cia del
i
Luna da por lse usa
13.43 La esfera C y el bloque A se mueven hacia la izquierda con velocidad v¡ cuando el bloque es detenido súbitamente por la pá¡ed. Determine la velocidad más baja ve para la cual la esfera C oscilará en un círculo completo alrededor del pivote B si a) BC es una varilla delgada de masa insignificante, b) BC es una cuerda.
,
L5kgy rtes de Eientes
iestirah posique A.
15\s v :ntes d€ Ecientes
ít p+: á
efira-
,la posi-
@ueA.
d
hacia
13.44 Una bolsa se empuja suavemente desde la parte alta de un muro en el punto A y oscila en un plano vertical unida al extremo de una cuerda con longitud rgitud l. /. Determine Dete¡mine el ángulo rínguJo 0 para el cual la cue¡da se rcmpeú, rcmperá. si soportar una tensión máxima igual a dos veces el peso de la bolsa.
13¡15
Una sección de vía de una r¡ontaña r.tisa está compuesta por circulares AB y CD unidos mediante un tramo ¡ecto BC. El radio es de 27 m y el de CD mide 72 m. EI cano y sus ocupantes, con maa tota\ d.e 250 kg, \ega a\ punto A prácticamente sin velocidad y \uego cae bremente a lo largo de la vía. Determine la fuelza uo¡mal ejercida por la ri¡ sob¡e el carro cuando éste alcanza el punto B. Ignore la resistencia del -E v la resistencia al rodamiento.
rc
rmine la
mdo giblgada
Flgura P13.45 y P13.46
xia abagt¡emo r
O. De-
a puede
t3.¿16 Una sección de vía de una montala rusa está compuesta por dos rcirculares AB y CD unidos mediante un tramo recto BC. El raüo de AB b* !7 m y el de CD rnide 72 m. El carro y sus ocupa¡tes, con masa total & ?50 kg, llega al punto A prácticamente sin velocidady luego cae üb¡emene a lo largo de la vía. Detemline los valores máúmo y nínimo de la fuerza normal ejercida por la vía sobre el caxrc mientrus éste viaja desde A hasta D. Ignore la resistencia del aire y la resistencia al rodamie-nto-
13.47 Un velocista de 150 lb parte desde el reposo y acelera uniformemente durante 5.4 s a lo largo de una dista¡cia de 110 ft. Ignore Ia resistencia del aire y determine la potencia promedio desar¡ollada por el velocista.
Prob¡emas
779
780
Cinetica de partículas: métodos de la eneroia y la canndad de movimiento
13.48 ¿) Una mujer de 60 kg conduce cuesta arriba una bicicleia de por una pendjente ¡cndiente de 3 por cienio cie¡to a velor.idad constante de 2 m/s. ;Cuán_ ¿Cuán_ ld potencia debe generar la mujer? á) Un hombre de g0 kg sobre uia bici_ cleta.de 9 kg empieza a desplazarse hacia abajo por la mñma pendiente y manüene una velocidad conitante de 6 m,¿s acáioiando los frenis. ;Cuánta potencia disipan los frenos? No tome en clrenta la resistencia del ai¡e ni la ¡esistencia al rodamiento. 7 kg
6 ¡Vs
pendiente 3%
13.49 Se requieren 16 s pa¡a elevar un automóvil de 2 800 lb y la plataforma de 650Ib del elevador hid¡áulico que lo sostiene basta una átu¡á de 6.5 ft. Si la effciencia de conve¡sión total de potencia eléctrica en potencia mecánica para el sistema es del 82 por ciento, dete¡mine rz) la potencia de salida promedio entregada por la bomba hidráüca para elevar ei sistema, b) la potencia eléctrica promedio requerida. Figura P13.49
I I
I t
13.50 Se va a deducir una fórmula para especificar la potencia de u¡ motor eléctrico que acciona una banda uanspotadora que t¡isl¿da material sólido a üfe¡entes veloc'idades y distintas alturas y distancias. Si se denota la effciencia de Ios motores meüínte t¡ y no se toma en cuenta la potencia necesaria para accionar la propia banda, obtenga una fórmula a) in unidades del SI para la potencia P en kW. en término; del {lujo másico rn en kgA.r, la altura b y la distancia horizontal I en metros; b) en u¡idades del sisteáa inglés para la potencia en hp, en términos del flujo másico rn en tons,/tr, la allura b y la distancia horizonlal / en pies.
¡
( {
,i
C
s I
5
z b
¡r
d F¡gura Pí3.50
'13.51 El líquido de transmisión de un camión de 15 Mg permite al motor entregar una potencia esencialnente constante de 50 kW a las ruedas impulsoras. Determiüe el tiempo requerido y la dista¡cia recorida mient¡as la velocidad del camión se incrementa ¿r) de 36 km,& a E4 km/h, b) de B4 k¡¡¡,rh a 72 km.4r.
13.52 Una co¡redora de 60 kg incrementa su velocidad de 2 m/s a 4.3 m/s en 5 s. Si la co¡redora desarrolla una potencia constante durante este in tervalo de tiempo y se ignora Ia ¡esistencia del aire, determine a) la potencia desa¡rollada, b) la distancia recorrida.
!
rá
F
I d
s
en dá
1 3.53 Un automóvil de 3 000 lb parte del reposo y recorre I 200 ft durante rura prueba de desernpeño. El movimiento del automóvil está deffnido por la relación r = 12000 ln(cosh 0.03r), donde r y f se erpresan en ft y se, gundos res¡ecüvamente. La magnitud del arr¿slre aerodinámico es D 0.01oi. aquí D y u se e:qrresan en Ib y fVs, respectivamente. Determine la potencia disipada por el a¡rast¡e aerodinámico cunndo a) f : 10 s, 12) t : 15 s.
le D.
jr\
ú¿
te
Figurc P13-53 y P13"54
13.54 Un automóül de 3000 lb parte del reposo y recorre 1200 ft durante una prueba de desempeño. El movimiento del automóvil se deffne media¡te la relación ¿ : l1e Ir'0005¡, donde a y l se er?resan en fús2 y pies, respectivamente. La magnitud del arrastre ae¡odinárnico es D = 0.01u'z, aquí D v o se eripresan en lb y fvs, rcspectivamente. Detennine la potencia disi pada por el ürastre aercdinámico cuando c) r = 600 ft, lr) ¡ : 1200 ft.
üile
.
Eia de
.l
rrn
,
13.6. ENERGTA POTENCTALT Considere de nuevo un cuer?o de peso W que se mueve a lo largo de una trayectoria curwa desde un punto A1 de elevación yr hasta un punto A2 de elevación ye (figura 13.4). En la sección 13.2 se estudió que el trabajo de la fuerza de gravedad W durante este desplazamiento es
U1-2: Wyt
rial
al¡ oe-
d€s ¡- la L
in-
r ¿l-
(i3.4)
W!1.
El trabajo de W puede obtenerse entonces al restar el valor de la fun, Wy, corresponüente a la segunda posición del cuer?o, del valor que corresponde a su primera posición. El trabajo de W es independiente de la trayectoria real seguidai depende sólo de los valores iniei¿l v final de la función Wy. Esta función recibe el nombre de ¿rl¿rzía potencíal del cuerpo respecto a la-¡lL ena de graxed.od,W, y se denota cir5n
mediante V*. Se escribe
U1-2: I
(Y")1
>
- (Vg)z conVr:
Wy
(13.16)
b
5e observa que si (Vg)z
l
tu durante el desplazamiento (como en el caso considerado aqttí), el irubajo Ut-z es negatiao. Si, por otro lado, el trabajo de W es positi-
te al ed¿s otr¿s
e
->4
a
4.3
e
io-
(Vg)1, esto es, si la energía potencial aumen-
\¡.
disminuye Ia energía potencial. Por lo tanto, la energía potencial Vs del cuerpo proporciona una medida del trabajo que puede realizarse mediante su peso W. Puesto que en la fórmu1a (13.16) únicamente está implicado el crumlio en la energía potencial, y no el valor real de V*, puede agregarse una constante arbitraria ¿ la expresión obtenida para I -. En otras palabras, el nivel de referencia desde el cual es medida la elevación y se puede elegir de manera arbitraria. Advierta que la enerda potencial se expresa en las mismas unidades que e1 trabajo, esto es, en joules si se usan unidades SI y en ft .lb o in. .lb si se utilizan unidades de uso común en Estados Unidos.
)ten+P¿rte del rn¿tei¿l de est¿ sección ya se consideró en la sección 10.7.
13.6 Enersía
potencial 781
782
r t Ll:Ll
é^'^roar1Á'o'
'
.l
no!L¡cnl.
Htw que obsewrr r¡re ln expresión que se acaba de obtencr para la elelgía potcnciiil de
ul
cuerpo con respecto a la gravedad sólo es vir-
lida r¡ientriu es posible suponer que el peso W dcl cucrpo pcr-manece const¿ntc. Esto es, sielnpre v cuanclo los desplazarrrienttts rlc:l cuerpo seiln per¡t:iios compirrados con el racljo dc la Ticrra. Sin cnbargo, el cl caso de un vehículo espiurial rlebe'rrtos t(rn¿r en colsiclel¿ción la r'¿ ri¿citin de la fuerza dc la gravedacl con la distnlci¿r r clesde el centro de 1¿r Tieua. Con basc r:r la erpresiól que se obtuvo el la sección 13.2 palLr el trtrbajo dc uri¿r hrerz¿ grar.itaciorral, se esc¡'ibe (figura 113.6).
[,'r-::
(lIIn.
CMtn
'r2
rI
(13.7)
l¿r fuerza de gravcdad pucdc eltor.rces obtelerse ¿l sus valor cle l¿ frnctón -CMttf r correspondiente a la segunda pot¡¿rcr cl sicitin rlel cuerpo de su viüor corlespdndiente ¿r la p nera posiciri,n. En consecuencia, lii expresirirr rlue debe usi,rrse para la cncrgía potencial V- cu¿udo la r'¿rriación en 1¿r fuerza tle la gravctlarl no puecle igno
El tr-ubajo tle
o Fiqura 13.6 (/epetlda)
(13.1?
)
Si se tonra la prirrer¿ cle li¡s lel¿rciones (12.29) cn cucnta, se escribe Va en 1¿r fol rna altarmativa
\I/R2
Rcsortc snr
B '
..,.,:, r:1.
dondc R cs c.l r-¿clio de h'[ierra y W ers erl r'¿L¡r tle] ¡reso clel cuerpo en la super-{icie terrestre. Cuando cualqricr-¿r de l¿s rel¿rciones (13.17) o (13.17') se us¿l p¿rra expr-es¿u-\/", la tlistalcia r debe, desde luego, rre clilse desde el centro dc la Ticrra.I Adliertn que V. siempre es regati vr1 y que se aproxirlir ¿ cero p¿rr¿ \¿loles rl. uv grandes de r. Colsiderc ahora rrn cuerpo urido ¿r un lesorte v que se rnueve tle ura posicií At, correspondiente ¿ una ilefolnación 11 del resor-te, a una posicióu A2, colrespondiente ¿r una defonliación r'2 dd resorte (f1grra Ii3.5). Recuértlese dc l¿r sccción 1,3.2 que el trabajo rlc l¿ firerza F ejercida pol el resorte sobrt: r:l cuerpo es
dcimrnr
i' j'r,,
:t,'.
i:;t". +'t
¡
(13.17',)
\.
U1-2
: ]/rrl
El trrihüo de la fuerz,r el¡istic¡ sc obtienc de
,-
I
(13 6l
]¡.t3 t¿rl
t¡odo
¿Ll
srLstr¿er el va-
lor de l¡1l¡ncidn llr' , .,n-..1',,r rte a la si:gr rnrlu pr¡sicirin clel cner''tlier po cle su valol corrcspondicntc ii la primcra posición. Esta lunción se cle¡ota nrerli¿utt' \/. )' sr: tleloltinir I t enet'gkt. ¡tote,nt:ittl tle:l crr:rpo col lcspccto ¿r Ia.fircntL eltístico F. Se escribe
U1-2
F¡qura 13.5 (¡epetida)
: (Iu"), (V.):
con
V.:
J/rr2
(13.18
)
,v se obscn a t¡re chrralte el clesplazuniento colsidel-¿do, eJ tnbajo cle Ja fuerza F cjcrcido por cl r-esortc soble el crrer¡o es negativo -v que ¿ru-
rnenta la enr:rgía pott:ncial \/.,. ILiy que obsen¿u (lite la erpresitil que
iLrs er¡resiones es, cu¡ndo
dadas p,rra 1i"
c¡ il13.l7) r (13.1Í'l \on riilj.las rtl{) or¡ndo ¡ > ll,
cl cucno considerarlo está sobre lá srperlicic
(1c l.t Tir:n.r.
est,
se obtuvo para V¿ sólo es válida si las deformaciones del resorte se miden a partir de su posición no deformada. por otro lado, es posible uti-
13.7, Fuerzas
lizar la fórmula (13.18) incluso cuando el resorte se gira aliededor de su extremo ffjo (figura 13.10a), El trabajo de la fuerá ehstica deper_ de únicamente de las deforriraciones inicial y final del resorte (fflura 13,10¿ ).
b)
Fgura 13.10
Es posible recu¡rir al concepto de energía potencial cuando están mplicadas fuerzas diferentes a lás de Ia gravedid y elásticas. En reah t l- sigue siendo válido siempre que el tiabajo de la fuerza consideraIe sea independiente de la trayecioria segu¡d; por su punto de aplicar! cu¿ndo estc punto se rnueve de una posición dada Al a una pos¡c¡ón +q, Ao g.ste tipó de fuerzas se dice qtá sonfuen^ coirn*aiir^;las tnpiedades generales de las fuerzas conservátivas se estudian en la si_
gk'üte
sección.
N3.7. FUERZAS CONSERVATIVAS
ümro se inüca. en la sección precedente, una fuerza F que actúa soir ura pariicula A se dice que es conservatjva si su lroüaio Ll,_o es *pendiente de lo trayer.toria seguida por la pañú^ulo i ruondá ," ¡te A1 a A" (frg¿¡q 13. ).la). Se puede esc¡ibi¡. en¿once.
-te
U1-2: Y(ry yr n
zt)
-Y(xz,yz,zz)
(13.re)
resumida,
U1-2=V1-Y2
(13.19',)
["¡ fuicr.ói VG, y, z) recibe el nombre de energía potencial, o función
*íaldeF. \ote
que si '42 se elige para coincidir con A1, esto es, si la partícula una trayecloria cerrada ifigura I3.llbt. Vt: V2 y el tiabaio es - De Ial modo. es posible escribú para una fuerza cons"naüua ir
Ée
fr.a,:o
(r3.20)
el círculo sobre el signo integral inüca que la trayectoria es ceFigura 13.11
conservat¡r* Z8g
7U
C.nelica de pariiculas: metodos de ta ene.qra v a cantrdad de movimiento
Al aplicar ahora (13.19) entre dos puntos vecinos A(.t, a,z\vA'lx + U dU -- + r/.: I. El lrahajo elemental ./U corresponjientá d d.splazamiento r1r de A a A' es
,k.
clu
:
V(x, y, z)
-
La fór ción d, aía po1
romin
Y(x + dx, y + dg, z + dz)
de E.
Cr
dU
:
1il,-1. (
-ilv(x,
y, z)
(13.21)
Así, el trabajo elemental de una fuerza conservativa es
Lnta
]¡¡cee ¡ial de
cliferencial
etcacta. A1
sustituir
p-ara
dU en (13.21) la expresión que se obtuvo en (13.1,,)
y recordar la definición de la diferencial de uni función de v¿rias
va_
riables. se escribe
F,dx+F!dV+F.dz: -( !!¿, + !!,tu + !I¿.\ \dr áu " Az. l de la cual se sigue que
_dv "6y
-óv
Es claro que las componentes de
p-: - -oY
lrrgt)
ó.2
F deben
ser funciones de las coc,r_
r, y y z. En consecuenci¿, una condición necesaria Dana tlra fuerz¿ conservativa es que ésta sólo depende de h posición de su oun_ to de aplicación. Las rel¿rciones (13.22)pueden tle r,alera den¿das
"*f."r".r"
más concisa si se escribe
p:
S- reri ,*rlo e
:lfterrt ¡énd'r
l',r[dc
Pr -.jrflie :_rl
1
ele\
."¡Jes l':r-id;¡<
p,i + Fyj +
4k: _(#,.1
idi?d(
#,. #9
-i¡go
El vectol entre paréntesis se conoce como el gradiente tle la funci1n es, nlar V y se denotil por grad V. Se escl.ibe enlorr(.es para .ualq.,ie.
Iuelza c()nserwetrvá
p
(13.23)
Se dernostró que las relaciones (13.19)
por cualquier fuerza conseñ/ativ¿. También
¡len
a (13.23) serán satisfechas
se mostró que si una fuerza
F satisface una de estas relaciones, F debe ser una fudza consen ativa.
13,8. CONSERVACIÓN DE LA ENERGíA
,<¡
,,rri¿ I -::i pla ',
- -grad V
c
:lúrá
+l ¡c-ic
s; :a
s¡Jtl
9-
rr,-Ji
:.-¿
:f¿tza i¡]tc-f -- :sg¿
*-:,.l]
En las dos secciones anteriores se ha visto que el trabajo de un¿ fuer_
za cor.rsewativa, tal como el peso de una paitrcula o la ?uerza eiercida por u¡ resofte. pucde erlresarse corno un carnbio en la enerEh poten_ cral. Luando una padicula se mue\e bajo la acción d" luerzás conser
vativas. el principio del trabajo y la enLrgía enunciado en la sección 13.13 puede e¡?resarse en fornra modlfflcada. Al sustituir U1_2 de (13.19') en (13.10), se escribe
Y1-Vn:7n-7, T¡*Y1-72*V,
:--':r-nr
:ileri'¡;
oi
:¿rli l .:i.:,:* :-i¡{-.. :,::r ir
(13.24)
:a::d : E¿:
13.8. Conservación de la
bqo la ac-¿:;irmul¿ (13.24) indica que cutmdo una paftícula se mueve la ener' y de cinúíca *c de fuerzas con sewattvis,la wnw rb li encrgío
Ia r.¡añícull permnnece constante La suma ? * V se delu energtlo ntecdnica total de la patícula y se denota por medio
t¡t ttt¿ncial -:r--io"
d,e
tu8,
Conridere. por eiemplo- el pénduJo que se anirlizó en la seccirjn l-: -!- cl , uul se iuella sin relocidad de.de A¡ y se pcrrnite que cc ba-eo¡:t-e en un plano vertical ( tigula I3.I2). AI medir la energía potenJescle el nirel de Ae, ha1, en Ar.
=¡i
?r
: 0
Vt
- Wl
T¡'t Y1-
ü rcordar que en ,4.2 Ia velocidad del péndulo T2
= tmlr?: 1E1:glr T2
:Wl
Wl
es u2
Vz
: \@,
se tiene
-0
+ vn:1Y¡
'.eriica de ese modo que la energía mecrínica total E : T + V del Pénñr es l¿ misma en '41 y en Ae. En tanto que 1a energil es entenmenteel rencial en '41, ésta sá'ntelve por comp)eio cinética en A¿. y cuando ii¡dulo se ma¡tiene oscilando hacia la derecha, la energÍa cinétic¿ se
Ir
t-
c ltil
i*lbnna
*ixjdad ü
h5
rzl ñ¿
€rida en-
€rión de
de nuevo en energía potencial En43,T3
-' 0yY3:W'L
hresto que la energía mécánica total del péndrrlo permanece consxe r d"biáo r que li energra potenciel depende exclusivanrente de r eleiacirjn. la er iergir cinerica del péndulo lendrá el rnismo valor en ubicados al mismo nivel De tal manera, la ve'arrksquiera dos punios n ¡:"d ¿et péndulo es la misma en A y en A' (figura 13 12) Este redrdo ou"áe exlende: se al caso de una partícula que so muer e a lo ir:u de cualquier lraycciorir delerlninadi independienternenle de la ir'¡'a de la tiayectoria, siempre y cuando l¿s únicas fue'zas que acta,s soble la páúcula sean su peso y la reacción norma-l de la trayecua La partíáula de la ffgura 13 13. por ejemplo. la cu¿l desliza sobre a rlano-vertical a lo largo de una Pista sin fricción. tendrá la misma en A,
A' y A" .
Si bien el peso'de una partícula y la fuerza ejercida por un resorr¡:a hrerzas ionservatlvasl laslu eás de fríccíón son fuer':ts no 'onEn otras palabras, aI trobuio de la fuer^a de- fricción no pue-
-Ícticas.
ctt [a inergin potetrcinl El trabajo de la .zttr,'snrse co^o i, "ombiu la tra¡ectoria seguida por su punto de d" depende f-á ¿" fricción el U¡-2 definido por ' t3 l9' es Positivo llabaio mientlai rclicacióu. r de morrmiento' ¿l irobojo de uno ientido con e\ acuerdo o'o.satruo be la sección l3.4 siempte es negaseñaló en r'omo se do ñreia frir,'ión. un sistema mecánico implica friccuando que concluir Hay"que iuo. constante. sino que distotal no perm¿nece tnecániü su enirgía c-ión, minul e. Sin en rbarqo. la energía del sistemr no se pierde: se translorma y la s.,tou"d" l" enelgía mectínica y de la energía ténnica rlel "n "rilor, sistema perr-nanece constante. Otra's formas de energía también pueden estar implicadas en un sistenra. Por ejemplo, un generador conüerte energía mecánica en energía e!éctrica; rn mótor a gasolina convierte energírt química et ener$a me(ánica; ur reactor nuólear convierte lfl¿so en energia térmica. Si se to¡i¿¡ s¡ c¡enta todrs las lorma¡ de enerEá. Ia energÍa de cualquier sisterrra puede considera¡se como constanle ¡ er principio de consenación
L
I cil,
de lo energía 'igue siendo railido bajo lodas las condiciones'
Figura l3.13
energia
785
786
C net:ca de partrculas: metodos de y L¡ c¿nl dacl oe movlmlenro
l"
or ergra
13.9. MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL CONSEFVATIVA, APLICACIÓN A L,q MECÁNICA CELESTE En la seccrión 12.9 se analizó que ctraldo una partícula Z se rnueve baio l¿ ¿ccitil de ul¿ firelz¡ cr:ntr¡l F, la c¡ntidad de ¡rtx'imiento ¿rngtia, He ,1" la puticul.t ¡lr-cdedol rlel ccntlo dt: fuerza O es constante' Si ll.i fircrz¿r Fi:s también corlsewativa, exlste iüí ut¡a enelgía potcncial \/ asociacla con F, y la encrgía total E - T + \¡ dc la partícula es constante (socción fg.g. esi, crrildo un, ¡'.r'tícul'r se r'nrevc 1'ajo tma fuerconse¡/ativa, ianto el prjniipiu tle colrsen'rti'¡t dc la c¡rnti,o "",,t.rrl angtrlar colio r:l principi" cle consen¡'Lción de l¿r r.iror.irnierto Jacl dc crcrpii¡ nucdell rttilizrr.o p tt r esIttt]ilr rr nro\ ilrrielrl(' óoo.i.l"r". por-elernplo. rut vehículo espacial de rn¿rsa m que se mueve bajo la frieza gravitacional de ia Tierla Supong¿l que' inicia slr r¡relo libr''e en el pultir P¡ a una distancia ri¡ del celitro de la Tie'rr¿' cl ladio vector OP¡ cc¡r.r urr,r velocjdati v¡ lbrrrando ul .ingrlo @,, con rL"scrilr rliorrra l3.14r. >ert P rtlr prllrlo rle lu tlrtr"' l'rrirr ¡or el rehicutelotrtlrtl rlel vel'ic'rl,' loll',or, ¡,or r l,r .Ji.t,'ri, i., d, O ¡ P. pol v l'' (lf Al rr¡ltca' r"tl'rr el .n l. 1 p,,':$ nl rrngrrlo lolrrr:r,lo ¡or v ¡ ra'lio angul¿r' novir¡iento de .i rrrií"'¡riu .le la cónscn rrciun .É l¿ c¿urtid¿d
,,1'i.l ,,ln. llc O , rrlrt /',,1
Figura 13.14
P
/iy'r¿üo
seLt
idr'
sen rfl¡
:
12
9'
sn
-rcrihe
nit,r serr @
(13.2ó)
Al recoldal la expr-esión (13.17) que se obtuvo pala la energía potencial dr:blda a unriftet-za gravit:rcióna1' se aplica el púncipio de conservrrción de Li energía entrc P¡ Y P y se cscrilx:
T¡*\ru:f{f It"ul donde nI es
l¿l
-
Cl[n't rO
:
\rnx2
-
GMn't
(13.26)
r¡lsil dc l¿ 'l'iern
ectr¡rción (13.26) puede resolverse para la liragnitud o de la ve locirl¿d clcl vehículo cn P crtando se cortoce la distalcir¡ r de O ¿r P; es posible rltonucs utiliz.rr l¿ ecurciól (13 25) pnra dcterninal el ángui,, ó orrc forr'',, el vnlrí, rrl,, ton el r,tdio rcctor OP L¿r
' 1.1r., e.u,,.iot.. (13.15) \ (13 26) t¿mbiél se errplean rril¿r los vul,rres r,tá,ri-.,t mirimo rle r en el caso de ul
para deter-
s¿rtélite
lal-
ílgr o Ó¡) üorr la \eltizado de lxle¡ei Los l-1/ [i¡'rr,r l3 .r1 9¡,, ' " obli"nen lr''t ien']" 'l*'eado. qf = glt' 1ln 113.¿5) \ elir¡irrxDdo ¡ entre las ccuaciones (1325) r clesde P¡¡
en trna dir;cci(iu cluc lbrlr.t rlu
(13.26).
Figura 13.15
I)ebe notiu'se que la aplictrción de los pr:rncipios de conservaciórr de la enelgía y de li colscw¿rciórr de la c¿ntjchcl de novimiento algu i .,,ta lbrmrrlación rnás firndamcnt¿Ll clr: los problerlas de 1". "on.l.,ái,t l¿ rrecánic¿r celeste que con el método iuücado el la sección 12 12 En toclos los casos qie implicnn Jalzanieltos oblicuos' también- protlucirá cálculos tnuciro más-simplcs Y si bien cs neceslrio us¿r el mé-
todo cle l¿ sección 12.12 cuandcj se r'¿rn a detenliin¿rl la trnyectoria le¿l o el pcriodo orbital del veliículo esprcial, los cálcrrlt's se sirrrpliffcarál si sei .an primer-o los principios di colsen lción ¡ar'r cJcular los valores lT áxituo 1' tlrínimo del ¡¿clio vector r.
-!
PROBLEMA RESUELTO 13.6
b¿-
Un- collaún de 20 lb desliza sin fricción ¿ lo largo de una varilia veftical en la forma q_ue se inüca. El ¡esofe unido ti"''r"-.,,.,n ü.irji"'¿" formada de 4 in. y una constante de 3lblin. "t "ott"rir., St ;¡".;;;:;"ii" i*á" a reposo en la posición ¡, determine su velocidad "ldespués d" ñ;" h;;;;ü do 6 in. hasta la posición 2.
gu
rie. 1¿l
Li-
er rül¿ 5€ 5U
soLuctóN
r¿ P,
Posici<ín
u-
I.
Energíu TtotencioL El alargamiento del resorte
: B in.
r:1
Llct
Nivel de
v" =
+ki:
in.
j1s tuzin.¡1+ i".¡" = 24 in.
Al elegir el nivel de referencia como )
r-
es
y se tiene
'¿t
1-
:4
4 in.
I
10
in
V\ =
Vn
.lb
se muestra, se tiene Vs
:
0. por lo tanto,
+ Vr = 24 in.. lb = 2 ft. lb
Elergía cinéticct, Poesto que la velocidad en Ia posición I
^Ti:0.
Posición
2.
Energíu potencial, El alargamiento del ¡esofte
i;¿=l0in. y
es cero,
es
4in. =6in.
se tiene
v" = +k
Y":
3:
j1:
Wy = (20
tbzi".¡1o in.¡" = 54 in. . lb
lbX-6 in.) = -120 in. .lb
Por lo t¿nto,
V2=Vo+Ve=54-
120
in..lb = _5.5 ft . lb : -66
Energía cinética
-t, = t, ttnDt= l2O i
SlZ
..
Conse¡rrci¡in de la energírr.
cron de lil energt'a cnlre l¿s posiciones
{
u,
__
0.3J
tuj
aplicar ei principio de la cunserr¡
/ y 2. sc escribe T1+Vr=72+Vz 0 + 2 ft. lb = 0.3110i _ 5.5 ft. lb 0q = 14.91 fVs
v¡
:4.f)l
fVs
J
.(
787
PROBLEMA RESUELTO 13.7 Un objeto de 0.5 lb se empuja contra el resorte en A y se suelta desde el reposo, Ignorando la fricción, determine la deformación mínima del resorte .t = s lblin. para la cual el ob;eto via;ará al¡ededor del ¡o ABCDE y permanecerá en contacto con él todo el üempo.
soLUcrÓN
b, C.rundo el objeto pasa por el su energía potencial con respecto a la gravedad es máxima y consecuentemente su energía cinética y su velocidad son mínimas. Puesto que el objeto debe permanecer en contacto con el aro, la fuerza N ejer cida sobre el objeto por el aro debe ser igual o mayor que cero, AI dejar N : 0, se calcula la velocidad míniúa posible oD. Rapidez necesaria en el punto
punto más alto
T
T
+
¿
!2F, = mt^: ,.!
an
- e,
: ma,,
\Y
rL = ,,t,
Posición
l.
-
rg.
-
mg
12
: ma,
fr.)t322 lvs2)
a,,
-
:
64.4
g
ffls"
Energía potenciaL Si se denota por r l¿ deformación : 3 lb/in. : 36 lb/ft, se escribe
del resorte y se advierte que ft
v. =
: "+r"
J{:o lbzfO",
:
rs",
Al elegir el nivel de refe¡encia en A, tenemos que Vs = 0; por lo tanto
Yt:Y"+Ve:I8re Enetgía
oY?1
:o'
cinética.
Posición
2.
Puesto que el objeto se suelta desde el reposo, o¿
:
Energía potencial, El ¡eso¡te ahora no está defbrma: 0. Puesto que el objeto está 4 ft arriba del nivel de ¡e-
do; de tal modo, V"
ferencia se tie¡e
:
vs
wy = (0.s lb)(a ft)
Y2:V"'rVe=2ft'lb
:
s ¡¡
. 16
Energía cinética, Al utilizar el valor de r,l; que se obtuvo antes,
se
escribe
, 1 0.5 ll.l T'=Imalrri'ffi'uoo
lt2ls'¿j
-05ft
lb
Conservación de la energía. Al aplicar el principio de conserr¡ación de ener$a entre las posiciones -l y 2, se escribe
TliV¡:72!Y2 f 1812 = 0.5 ft. lb + 2 ft.
0
Ib
r:
4.47
in. 1
PROBLEMA RESUELTO 13,8 Una esfera de masa nr : 0.6 kg se une a un cordón elástico de consta¡te ft : 100 N/m, el cual no está defonnado cuando la esfera se localiza en el origel O. Si se sabe que Ia esfera puede deshzarse en fricción sob¡e la superficie bodzontal y que en la posiciól indicada su velocidad v¡ tiene una m:rgnitud de 20 m/s, deten¡ine a) las distancias iráinra y mínima de la esfera al origen O, b) los valores conespondientes de su velocidad.
re)rte eIl
SOLUCIóN La fuerza que ejerce la cuerda sobre l:i esfer:r pasa por el punto fijo O, y su trabajo puede erpresarse corro el canbjo en l¿ energía potencial. Por lo tan to, es una fuerza central conseñativ¿, y se'conservan tanto la energía total de lu rrl.ru er'rn¡' sr cuntjJuJ de rnovirnicrrto angular alredndnr dc O.
rel ;n .l.t
Conserw¿ción de l¿¡ cantid¿d dc movimiento angular nlrededor En el punto B, donde la dist¿nci¿ desde O es ¡irírima, la velocidad de la esfer¿r es peryendicular a OB y la cartidad de moümiento atgular es ¡,,mo,,,. Una propiedad similar se cumple en el punto C, donde la dist¿¡nci¿ desde O es r¡ínima. AI erpresar la conserwación de la cantid¿rd de moümien to angular entre A y B, se esc¡ibe
de
60'
0.
r¡r¡rr¡ sen 60o : r,,,tno,,, (0.5 mX0.6 kgX20 mls) sen 60" = i',,,(0.6 kg)o,"
,,,,:866 r,..
(1)
Conscr-v¿ción dc la encrgía
: 12¡¡ ¡ ]10.0 t gXzO n,rs)2 = ,rt^ = jlfOO NZlrrXO.S rn)2 : 12.5 t : !*1,: i{o.o Lg),"', : o.sui,
En el punto A:
Ta: f,tnal,:
En el punto B:
V^ t.u
vu: !lo?,,: ](roo N¡-)""",:
so',',
Al aplicar el prjncipio de conservación de la energía entre los puntos A y B,
T¿1,Ya:Te*Y¡ I2O
+ I2.5 = 0.&r:, + 50r;,
a) Valores rnáximo y mínirno de l¿r clistanci¿¡. ecuación (1) en
l¿r
ecuación (2) y resolvel pala
,?,,:
Z.qAS
o
O.LSU
r-,,,
:
f.,
(2) AJ sustituir c,,, de la
se obtiene
1.571 rrr. i-j"
:
0.127
nr {
D) V:üorcs dc vclocidacl cor-r-espodientcs. AI sustituir los valorcs que se obtuüeron parar,,,y r',,, en la ecuación (1), se tiene 8.66
I
,
"^ Nof¿.
571
8.66
- oAn
r.,,,,
:5.51 rrr/s {
oi,,
:21¡.,t
n,r, a
Puede rnostrarse que l¿ trayectoria de la esfé¡a es un:r elipse de
centro O.
789
PROBLEMA NESUELTO 13,9 Se lalza un satéljte en dirección paralela a l:r srrperficie de l¿r'llierra con un¿r veiocidad de 36 900 krn/h desde un¿r ¿rltu¡a de 500 krr. I)etenr.rine ¿) la ¿ltur¿r ü1áúr¡a idcanzad:r pol el satélite, ü) el error rnírino pennisible en la dirección de lanzamiento si el satélite v¿ a errtral a u¡a ó¡bit¿r en la que su mí\ino acercamierrto a la supertcie terestre va a ser- rle 200 kli.i.
SOLUCION ¡r) .\ltur':¡ m¿irirn¿. Sc denot:r por A' eJ punto de la órbita más :rlej.rdo de la Tierra y por rr la distancja con'espondiente desde el ce¡tro de nues t¡o pliilleta. Puesto que el satélite se encucntril e¡ \.relo librc entre A y A', ." .,pli, a el pn¡, ipiu ' lÉ ( u'r5Én.rc or de l:' .n.rqra
?,il¡,1 :
)¡n[r
To,
*
V.,
GM¡¡I
-
CAtr¡n
(1)
rl
Puesto quc la única fuerz¿r que actria sohre cl satélite es la {uerzn de la graveclad, que es lrna firerza centr-¿l, se cc¡nserwa la cantid¡rd de rro\,ir¡iento an
gulrr del satélite al¡ededor de O. Al consideral los puntos A ur =
y
(2)
sustituir est¿1 expresjón p¿l¡a ¿t en la ecu¿ción (1), y dn'idjr entre l:r r]lasa nr y reilgrupar los ténnillos, se (tltie¡e
Al recordal qrre el radio de l¿'lle¡r¿r
r¡ oo
: :
CM = Á.1
Altu¡a
*
6 370 km 500 lcn (36.9 36 900 krn¡r
:
:
es
61170
, T]
R
kn =
se esc¡ibe
oo! fj
A.l
il('-*):#(' f) :
A',
c¿d¿l
ténrino
ro 2clf roaó \
6 370 km, se c¿lcula 6.87 X 106 rn
i06 rr)/(3.6 x 103 s) : 10.25 x 103 n/s gR2: (9.81 rn/s2x6.37 x 106 rrr): : 398 x 1012 rn3/se
sustituir estos valores
x
el
(3), se obtiene
náríra:66.8 X 10ri m -
6.37 X 106
¡j = 66.8 X 106 m.
¡r :60.4 X
106 (i(
rn
)
:
100
l¡r {
D) IJr-r'or' pennisibltr en I¿r dirccciirn de l¡nz¡nriento. El satólite se lanz¿ desde P0 e¡ una tlirección que folrrra un írngulo con la vertical OP¡. El valor de d, corresponde a r,,,," 6 3?0 knr ¿OO k,rr 6 570 lcm se obtiene aplicando el principio de consen/ación de la energí¿r y de li¡ con servación de l¿r cantidad de movimie¡to angular entre P¡ y Ar
:
tmül) ro7¡¿¡io
GM¡n sen óo
I
:
*,n.i
=
r,,.í,,mo,,,,r"
{¡
:
Cl\Í¡t¡.
(1)
,-
(5)
Al r-esolve¡ (5) para o,.¡" y hrego sustituir
o,..,i, en (4), se puede resolver (4) respecto a sen {u. Utilizando los v¿rlores de u¡ y GM ci¡lcul¿dos en el incisu a) y al advertir que ri¡/r,";. :6870/6570: 1.0457, se encuentra
sen é0
790
\
: 0.9801
óo
: 90' I 11.5'
Erlor permisible
: I I t.i"
.(
ir ¿l
1l¿
En est¿,lecció¡ se upre.ndió que crrando cl trabajo retrlizado lxrr una fuerza F que ¿ctú¿r,sobre ura plltículn,\ cs incltpt ndit ntt Jt [i r ttty ect, n-itt'qu. sigue la ptutíci.tla c¡r¿ndo se nuevc,de-rrna posición Ll.rrl.r A1 a rurl ¡r,sicicir ,1".1., er'ifig.,ra tl.ffo¡, entrlnccs es p
t
..'
: \
.\
l. //t.
:.t, \
.r'.,.
ry.. :.,
(13. r e)
o, en forrl¿r bleve, il i: ¡in-
:be
:
U1-2
ILu que ,,I¡sen al que el tr.llrajo es negativo irl es lositiro F.lo e¡. (uirrrJ() \ , \
(
cuando e] c¿nbio
¡
Al sustituir la erpresión ¿rnterior.en la ecu¿ci(lr de cscribir
.:no
l
: I/r \t,
1'r
par.a el trabajo
+I/r:?,+V,
el h
r3.19',)
erergíir poterr_
v la cnergía,
se
pnc
(13.24)
que Diuestr-¿ rlue cu.ncl. rrntr p.r1ícula se muevc bajo la acciórr de u,a fuerza co'ser-vativ¿ kt .sLutto rle ku energía.s cíLútíco rJ po/encíul tle lo panículrt. pej nTanece cotstante. L¿i solucirin de problelras grlieDtes pasos.
el
los r¡ri: se use la fónnula allc¡ior. cotrsistir-h cle los
si_
l. l)ttt:nninr
si kxku lts.fitr;as itnpliurtlos t¡¡tt ct¡ttsartatíras. Si algunas de firerzu no sr¡r corrscn ¿tir.Ls. por- ejemplo, si está irnplicadn l¿ fricciri¡,'se debe ts*r , I nrelr¡rlo dcl tr.al,rrj,, ¡ l¡., r,crgr.r ,l* l.r l, cció' ,,r,terior. ,¡rr. el trrL'tjo eL,, ¡,, lr:rdo p'r l¡lc' fr¡.rz,rs dcpr.r,cl- de lt Lr.¡re,.lo¡.irr scglida n()r ll ¡r,rrtrlrrl.r r no cris te un¿r funcií¡r pote'cial. si no lia' fricciiir si toclis l¿s i.,"r"nr'run coniun¿tirus. se puede procedelde I¿ nalel¿ sr'guiettc. ' las
i:e c -,ii
,.ll
2. =
+
I)etennirutr lo energíu cittétiut T = jrn,.: en t'rttlu e¡lrem¡¡ tle kt truyectoríu.
i]. (lulcular La energíu poten<,itl tlc Itl.ltts l,rs fircr-:trs inplictrtltts eD cudtt et_ trenr¡ de lo txu¡ectoria, Recucirdesr .lue las siqrii,,ntes exprÉsi,,nes piira la erergía potclci¿l se obtuvierr¡n en csta lección. , a) Lu .enargío potetciul rlcl peso \I'ccrca clc altura r¡ sobrc un nivel dc rel'erencia dado.
I-:IVy
1tr
super.ficio de la Tierr¿ v a una (13.16) (.contitttia
)
791
r del b) La energía potencíal ile una masa m locc izq¿q a unu ilistancir I¿ fuerde variación Ia que manera lrloán lo rfnrrá, suficientemente grande de
"n za de la gravedad
deba tomarse en cuenta,
v*: - (lMr1
lr3x)
"
donde la distancia
c)
Itt
P:kr.
r
se mide desde el centro de la Tiena y V* es igual a cero en
¡:
c€'
energía potenciul ile un cuetpo con respecto a una fuetza elústica
v,.
:
!kx2
(13.18)
desde su posición donde la distancia r es I¿ deformación del resorte elástico medida ercLusiuamenV" de que Advierta resorte. de ¡tentle n.n ,leformntln v k es la const¿nte Adernis. V" resorte. al unido cuerpo del l, trayectorja no cj. ,i" ¿'|u i"n,i""¡,;, I " ;;"*p;";t posiliva. ya sea que el rásorte esté cornprirrrido o exlendido'
Sustituir las expresiones para las energías cinética y potencial en la ecua(iS.Z¿) anteriorl Se puede lesolver esta ecuación para una incógnita' por ejem"iO" o"t"l" t"fácldad lproblema resuelto 13 6] Si eitá implicada más de una in"'f". i;;il-";-;;";"; .,lu ü'"r""t otra condición o ecuación, ta] como una velocidad nñ'ir"" ltt"fri.ttt r'esu.lro ll.r] o la enetgía polencial rrLinima de la partícula En .l .¿so dÉ oroblernas que irnpliquen una fuerza cenlral' puede obtenerse un¿ segunla coise'rvación de Ia cantidad de mo'imiento angular [proá. *""J0", "nfir^ndo' mecánica celesblema resuelto 13.8]. Esto es en especial útil en las aplicaciones a la te fsección 13.91.
1,
792
i
13.55 Un¿ fue¡za P se aplica lentaüente r una placa urida a dos re) provoc¿ cierta detormación r¡. En c¿d¿ uu¡¡ de los dos casos inclica-
rtes
obtenga una expresión par':r la colstante k.,, en términos de k1 y Á2, del ::rico resorte equivalente ¿l sisten¡¿ dado, esto es, de un resorte que exPeri -eltaría igual deformación r¡ si se sornetier'¿¡ a la ¡lisna fuerza P. i.-,s.
al
b)
Figura P13,55
13.56 Un collarín C de peso tn se desljza sin fiicción en una varilla :rolizontal entre los lesoftes A 1' B. Si el collaín se ernpuja hacia la izquieria hasta comprimir al ¡esorte A en 0.1 m y después se suelta, detemine la ijst¿rnci¿1 que recorrerá y su lr¿úir¡a velocidad alcruizada si a) rr : I kg, b) ''r
:
2.5 kg.
.l
;, \
ri/:=11!Yl l:3:l Figura Pi3.56
13,57 Un coll¿rín de 4lb puede deslizarse sin fricción a lo largo de 'rna varilla horizontal y está en equilibio en A cuando se le empuj:r 1 in. ha:ia la derecha y es libelado desde el reposo. Los resortes están sin defi¡rtla¡ ¡uando el coll¿¡ín se encuentr¿L en A y 1!r constante de cada resorte es de I 300 lb/in. Determire l¿ velocid¿d máxima del collarín.
Figura P13,57 y
P'f 3.58
13.58 Un collarh de 4 lb se puede deslizar sin fricción a lo largo de una vaúlla horizontal -r' es liberzrdo desde el reposo en A. Las longitudes sin üe{orrrr¿r üe \os resories BA J CA so¡ üe \\l Y rr'. rt\ecti\amenic J \¿ constante de cada resorte es de 2 fj00 lb/in Deternrine la velocidacl del coll:rrírr cu¿ndo se ha novido I in h¿ci¿ la de¡echa.
I
793
794
Cinéiica de partículas: métodos de ta energía y la cantidad de mov¡miento
t3.59 Un collarín de 750 g puede deslzarse a lo largo de Ia varilla hori¿ontal most¡ada por la figura. El collarÍn está unido a u-na cuerda elfutjca cuya longitud sin deformar nride 300 mm y su constante de resorte es de 150 N/m. Si el collaln se suelta desde el reposo en A, y no se toma en cuenta la fricción, determine la velocidad del cofaír en a)'8, b) E.
13,60 Resuelva el problema 13.59, suponiendo que la cuerda elástica tiene una Iongitud sin defor.ma¡ de 450 mm y constante de resofie de 150 N/m. Adüerta que-la cuerda pierde lensión duáte un¿ parte del moümjen¡o. 1 3.61 _ Un collaln de 6 lb puede deslizarse sin fricción por una va¡illa vertical y descansa en equilibrio sobre un resorte. El collaíi es empujado hacia abajo, comprimiendo el ¡esorte en 6 in., y entonces se su"lt". Si li "orrstante del resorte es ft = 15 lblin., determine a) la altura márirna á que alcanza el collarín sobre su posición de equilibrio, b) l¿ velocidad máriira del
colla¡ín-
Figura P13-6'l y P13.62
13.62 Un collaín de 6lb puede deslizarse sin fricción por una varilla vertical y se sostiene de manera que apenas toca un ¡esorte io deformado. Dete¡mine la defo¡mación máxima del ¡esote si el collaún se suelta o) lentamente hasta alcanzar una posición de equilibrio, b) de forma súbita.
--.
li¡¡
-.'tic¿r 150
i-
r,¿r'illa circular clelgacla se ü¿ntiene en in plitlo nctlical una blicla colocilcl¿ en A. U¡ido ¿ l¿ l¡rid¿r y enroll¿do liols¿d¿¡ner:e i¡l¡edeclor de la v¿rrilla estii rüt r-esolte de const¿¡te ir : ,10 N/n t, longi ¡rcl no defor¡r¿cl¿ igu:rl irJ arco de cir, nlo AB. Un (ull¿rnrL C tle lrlig que :ro estii unido al lesorte, prrede desliz:rrse si liiccióú ¿l lo ]argo de 1a vdri]la.
.-13.63 tlna
Problemas
ledil¡te
795
¡i el coll¡r'ín se suelta clescle cl reposo cuiurdo 0 : 30", detelrrrire a) la altu
..1
nrá\inr¡ qrle
.rlc¿nz¿r
sobre el punto.B, ü) su velociclacl rnírinta.
13.64
Una r'¡r-illn circular delgada se ¡rantiene cD rt pLanLt aeftical r¡ia lrrjda colocirda eú A. Urritlo ¡ LLr l,rida r -lrolla,lo hulgai¡ncnte ¿rlreclcclor cle la v¡rilla estir lrn rcsorte (le const¿nte /¡ : 40 N/rr.r v -,lgitud rro defbnntda igual irl ¿rco (le círculo AB. Un coll¿rín C de 200 g.
--o¡ r¡edio dc
rrre ¡o est¿i urido ¿l resorte, puede desliz¿rrse sjn friccir'l.r a Jo largo de la va-ill¿. Si el c¡¡lla¡ír se suelta desde el rcposo a un ángtio 0 respr:cto ir lir ver ::cirl, clctclri-iine n) el v¿1lol mínirno cle 0 para el crul el col1aríri pasará por D . ll,-gará ¿1 prrnto A, &) la vc'locicl¿d clel collar.ín cuirndo llegue al prurto A.
.,8 Figura P13.63 y P13.64
13.65 P¿¡a deteler rrn p¿lquetc de 200 lb, se usa un r.esortc (¡re se '|ueve hacia abajo sobre un¿ pendieDtc de 20". El rcsofte tiene colstante .:: I25 lb/in. v se sostie¡e rrcdi¿l¡te cables" dc trarer¿ q¡e ¡l i¡icio está 6 i,r. Si l¿ r,elocirlacl clcl p:iquete es de 8 fti cuanclo sc en -,rnprirnido ,rentr¿¡ ¿r 25 ",i fi del ¡esofe, y sc ignora la {iicción. cletemrinc l¿r delormirción
6 ft/s
I
,¡licional míri¡ra dei rcsorte para llcvar. el parluete al r.eposo.
13.66 Un coll¿ín de l0 lb csth uniilo a r¡r r.esorte y sc dcsliza sirr fiiu-ión a lo lirrgo de una va¡illa lija que se enoLcntra cl ,rir ¡l,l'o r, rtic¡l. El .rsorte tiene klrgitucl no defbrm¿d¿i cle i,:l itr. y corrstiurte /t : 4lblin. Si el ,
Figurc P13.65
rllirrín se suelta descle el reposo cr lir posicióD rnostradi¡ en la figur.a. deterrc s,¡ r, l,¡ i,l:rtl cr ¿ .l nur¡r".\ L .l¡rrrrto H.
Figurc Pl3.66
13.67 Los bloques A y B tienen r¡i1s¿i de 4 ) 1.b kq, r.cspcctivamente, están conectailos por medio de un sistem.r de.,r.rc]as ¡ pt,l.os quc se suelta desde el reposo en la posicirir lnostr¡rh en la ffgrra cr,n el ¡esor.tc sin ¡le .cnnar Si la cor¡stantc del rcsor1e es de 300 \Án, deternrinc a) la relocicl¿id lrl bloqre B dcsprés de haberse r¡ovido 150 mú, b) la velocidad :irx¡c B, c) el desplazarnicnto r¡r./rrimo del bloquc B. No ton¡e enr¡íxin¿r del cue;rta la rcción ni la m¿rsa dc las pole¿Ls v el resortc.
r
t
= rl{10 N/r,r
Figura P13.67
'.dl
796
Cinética de partículas: métodos de la energía y la cantidad de movimiento
'13,68 Un collaín A de 4 kg puede deslizarse sin fricción a lo largo de una varilla vertical y se suelta desde el reposo en la posición mostrada en la ffgura, los resoftes están sin deformar. Si la constante de cada ¡esorte es de 300 N/m, dete¡mine la velocidad del colla¡ín después de que se ha movido c) I00 mm, b) 190 mm.
I
0.6
f
*'--*l
n
I
0.6 l}l
Figura P13.68
13.69 Una varilla circular delgada se sostiene en un plcno oertical por medio de una brida colocada en A. Unido a la brida, y enrollado holgadamente al¡ededor de la va¡illa, está un resorte de constante ft = 40 N/m ; Iongitud no deformada igual al arco de cí¡culo AB. Un collarín C de 20d g no está unido al resorte y puede deslizarse sin fricción a lo largo de la va¡lla. Si el collarín se suelta desde el reposo cuando 0 = 30', determine a) su velocidad cuando pasa por el punto B, b) la fuerza ejercida por la varilla sobre el collafn cuando éste pasa por B, 13.70 Un collaún de 500 g puede deslizarse sin fricción a lo largo de _ la varilla semicircular
BCD. EI resorte tiene una constante de 320 N/ni v su longitud sin deformar mide 200 mm. Si el collaín se suelta desde el reóoso en B, determine a) su velocidad cuando pasa por C, b) la fuerza que eprce la varilla sobre el collaín en C.
Figura P13.69
Figura P13.70
ú
13.71 ciin
Un colla¡ln de 2.5 lb está unido a un resorte y se desliza sin frica lo largo de una varilla circular en wr plano pettícal. EI resorte üene
ale
oa
longitud no deformaü de 4 in. y constante
iakr
€stá en reposo en C y se Ie da un ligero empujón para ponerlo en moümiento, determine su velocidad y la fuerza ejercida por la varilla sob¡e el collarín
de
¡la
k
-
Problemas
20 lb/ft. Si el collarín
cuando pasa por a) el punto A, b) el punto B,
13.72 Un collarín de 2.5 kg está unido a un resorte y se desliza sin fricción a lo Iargo de una varilla circular en w plano oeúical. El resofte tiene longitud no deformada de 4 in. y constante k. El collarín se encuentra en reposo en C y se le da un ligero empujón para ponerlo en movimiento. Si la lelocidad máxima del colla¡ín se alca¡rza cuando éste pasa por el punto A, determine a) la consta¡te del ¡esorte k, b) la velocidad máüma del colla¡Ín, 13.73 Un
paquete de
I
oz se lanza hacia arriba con velocidad vq ne-
üante un resorte colocado en A; el paquete se desplaza sin fricción por un conducto y se deposita en C. Para cada uno de los dos conductos mostrados, determine a) la velocidad mínima ve mediante la cual el paquete llegará a C, ü) la fuerza corresponüente ejercida por el paquete en el conducto justo antes de abandona¡lo en C.
Pot
rada¡
lon-
gno
[¿- Si elocibre el
go de tr \' sll EPOSO
(r)
(2)
Figwa P13.73
ejerce
13.74 Si el paquete del problema 13.73 no debe golpear en C la superficie horizontal con velocidad mayor a I0 fVs, a) muestre que este requisito sólo puede satisface¡lo el segundo conducto, b) determine la velocidad inicial mátima permisible vs cuando se emplea el segundo conducto.
13.75 EI péndulo most¡ado en la figura se suelta desde el reposo en A y oscila 90' antes de que la cuerda toque la clavija ffja B. Deterrnine el valor mínimo de a para el cual la bola del péndulo describirá un círculo alrededor de la clavija.
\
{",1__-/
Flgura Pt3.75
+-.. I
7
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797
CirÉtica de partículas: métodos de la energía y la cani¡dad de movimiento
798
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no*.
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\ C
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40 nr
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Figura Pt3.76
_ 13.76 Un esquiador de 70 kg parte desde el reposo en el punto A y desciende la pendiente que indica lá figura. Si se ignora la fricción, determine la lueza ejercida sobre el esquiador por Ja nieve a' justo antes de que és. te llegue a B. b) inmeüatarnente después de haber pasado por B. c) jEl esquiador se elevará por el aire antes de llegar a C? tgnore la altura del "squiador compa¡ada con el radio de cunatur-a. 13.77- Demuestre que una fueza F(x, y, z) es conservaüva si, y sólo si, se satisfacen las siguientes relacionesl
!& !!t: ap" d& Ay= Ax óz AV ¿r:
ó4
óF, Az
13.78 La fuerza F : (yzi + :rj 1- ryk)/r4: dctúa sob¡e la parlícula P(x,y,z) que se mueve en el espacio. a) Utilizando la relación deducida en el problema 13.77, demuestre que F es una fuera conserv¿tiva. b) Determine Ia función potencial asociada con
F.
.
13.79 La fuerza F : (ri + gj -l zk)/(x2 + y' + zt)Y" actúa sob¡e la partícula P(r, y,:) que se mueve en el espacio. c) Utilizando la relación deducida en el problema 13.77, demuest¡e que F es una fue¡za conservativa. ó) Determine la función potenciarl V(r, y,;) asociada con F. "13,80 Una fuerza F actúa sobre una paftícula P(r, y) que se mueve en el plano:uy. Determine si F es conservaüva, y calcule el trabajo de esta fue¡za cuando P describe la trayectoria ABCA si ¿) F : (kr + y)i + (/cr + y)j, b) F = (kx + y)i + (x + ky)j. 13.81 Ciertos resortes se c¿racterizan po¡ tener úgidez creciente con una deformación que aumenta de acuerdo con Ia relación F : k6 i k2x3, donde I es la fuerza ejercida por el resofte, k1 y ft2 son constantes positivas, y r es la deformación del resorte medida desde su posición no defor.mada. Deternine c) la energía potencial Vn como una función de r, ú) la velocidad máxima de una pafícula de masa r¿ unida ¿l resorte y liberada desde el reposo con :! : r0. No tome en cuenta la fricción.
tq
¡ro
(l¡ F¿
Figura P13.80
Pq¡ ei¿ F=
f,rr
+ /crr3
\o h
ñe Fe
Figura P13.81 y P13.82
13,82 Cieftos resortes están caractedzados por tener rigidez menqu-te con una defo¡mación creciente de acuerdo con la relación F = lc¡r *
¡h i¡
13.83 Cierta nave espacial describe u¡a órbita circular a una altu¡a de $30 mi sobre la superficie de la Tier¡a. Cuando pasa por el punto A, su velocid¿d se reduce en 40 por ciento e ingresa a una h?yectori¿ de impacto elíptica con apogeo en el punto A. Si se ignora la resistencia del aire, detennine Ia veiocidad de est¿ nave cualdo alcanza la superffcie terreshe en el punto B.
Problemas R = 3960 mi
13.84 Un satélite describe una ó¡bita elípüca de 376 mi de ¿rltura mÍnima sobre la superficie ter¡estre. Los ser¡iejes mayor y lnenor son, respectiamente, de 10840 y 8670 mi. Si la velocidad del satélite en el punto C es de 2.97 mi/s, determine a) la velocidad en el punto A, que es el perigeo, b) h relocidad en el punto B, el apogeo.
I¡
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j
a-
Figuta P13.83
b leñ¡ = 4300krr
aÉ
5t¡ Figura l.frú
*-o
1
Si la velocidad de una sonda espacial experimental lanzada dessu
relocidad cuardo pasa por el punto B.
'13.86
¿¡d
¡¡-
3.84
tb la Tie¡ra tiene magnitud Dt = 32.5 Mrr/h en el punto A, determine
¡d¿ I
3.85
p1
Para ahorrar combusüble al hace¡ innecesaúo el lanzamiento de
rcda la nave espacial Apolo desde Ia superffcie de la Lru.u en su üaje de retorD a la Tierra, en las r¡isiones de alurizaje Apolo se utilizó un módulo de ex-
ausión lunar (LEM, por sus siglas en inglés). Verifique la effcacia de este plmP¿miento calcul¿r-rdo la energía por hlogramo que requiere una nave espacial inra escapar del campo gravitacional lunar si la nave pafte desde a) la superffcb de la Luna, b) una ó¡bita cicular situada a 80 kr¡ sob¡e la superffcie lunar. \o tome en cuenta el efecto del campo g¡aütacional te¡Testre. (El radio de la [¡ma mide 1740 krn y su masa es 0.0123 veces la masa de la Tierra.)
'13.87 Un satélite se coloca en órbita elíptica ahededor de la Tie¡ra. i el cociente o¡/o¡ de velocidad en el apogeo A a la velocidad en el perileo P es igual ala relacíít rpfr¡ de la dist¿ncia al cent¡o de la Tie¡¡a en p r la distancia co¡¡espondiente en A, y la distancia entre A y p es de 50 000
r t
determine Ia energía requerida requeridzr por por-unidad unid¿d de peso para para poner el satélien su drbiLa lanzándoloo desde l¡ l;r superlicie sunerficie terrestre. rcrrcqrre Excluye Fy, la energra dicional necesaritr para superu el peso del cohete impulsor, impulsor, la resistencia
&l qtr4-
--tr'
iti.lÉ :cr¡dr
dnld reit'
aire y las maniobras.
13.88 Mientras describe una órbita ci¡cular a 200 mi sob¡e la Tierr¿, rehículo espacial lanza un satélite de comunicaciones de 6000 lb. Deter-ne a) la energía ¿dicional necesaria para poner el satélite en órbita geoit-ro¡a ¿ una altura de 22 000 mi sob¡e sobre la superficie suneíicie terestre, terrestre /r) lá é;.'ó) la enerf requerida para poner el satélite en l+ misma órbita lanzándolo desde la ¡h ryerñcie de la Tie¡¡a, sin incluir la energía necesad¿ para superar la resisb(i¿ del aire. (Una órbín geosíncrona es una ó¡bita cir.cul¿r en la cual el
r
üéüte parcce estacionario respecto al suelo.)
Figura P13.85
799
I
800
: --
,
¿
-¿ oe p"1,cu as: r'Flodos de ra ÉnFrsia
ca¡i dad de movlm ento
13.89 Ula nave espacial lartztr dos satélites de cor¡unicaclones nlientras describe un¿ ó¡bita circular, a 296 km sobre la superficie de I¿ Tierra. Si uno de estos s¿télites tiene r¡asa de 3600 kg, deterrnine a) la enelgía adi cional necesaria parir polerkr en órbit:r geosíncrona (vea el plobler¡a l2 B1) ¿ una altur a cle 3,5?80 ktr sobre la superficie ter'¡estre, b) 1a energía requeritla para ponerlo en l¿ misr¡a ór'bita lanzhndolo descle la stperlicie de la fier¡a. ln desc be u¡¿ ór'bit¿ circula¡ de ¡aüo ¡ una lunción de r' ri) la ene:gía potel cotlo Exprese, alredec'lor de la Tie¡tit. c) su energía total. Denote el radio cle cinética, b) srt ener!íir alel satélite, cial la Tiena r¡edi¿rnte R ¡'' la iceleración de h glavedad er Ja super'licie terrestle úediante g' )' suPong¿ (lre h energín potencial del satélite es cero en su pl:rtafbr ri, a de lanz¿nniento.
13.90 Un
s¿ltélite cle n-ras¿
La órbita del plirneta vtnus es c¿Lsi circul¿lr )¡ tiene velocid¿d o' x 103 mi./b. Si h distancia mecli¿i desde el celtro del Sol hast¿ .le 78.3 bital el cent¡o de Verus es de 67.2 X 106 rl i r'1¿r tnasa del Sol es 407 X 10' re ces la mas¿ cle \¡enus, deter¡tine a) la masa del Sol' b) l:r ener gía total de
13'91
\¡cnus-
r: R * y en el miemblo del (13.17') se la ecuación de lado clerecbo ¡ 'les-rrrulla ere ntiernbto en rrn¿ se ¡ie l- ¡nlnrrti.r' en y /i. Lr, \nre
r-. l.-u
?.
a./t;
L
n,-
ln
.(Figura P13.93
,---J I
ln
13,93 El collaíu B tiene ma-sa de 4 kg y está uniclo ¿ un Lesorte crr\" constante es de 1500 N/m y su longitud sin deft¡rt¡al mide 0.4 m El sistE-
i :02ln'oú
= 6ln/s)t1',:0 Si se ignc' deten¡ine las comPolre iÉ! l¿ liicción, rl l¡ rn"sa ,le l¡ r ¡rille r tl etécto de r 0.5 m' cuando collaúr'r velocid¿d del y de la raüal transversal
urusrpone clr lnu\ilLiellto ut¡r
:
13,94 Par¿r el rrloümiento desc¡ito en el problena 13 93, cleternlr'' a) la distarcia mí\ir¡¿1 medida entre el origel y el colJar'í1, b) l¿ velocid¿: correspondiente. (Sttgercncia: Resuelv:r por prueb¿ y error la ectrlrción obtrnida par:r r:)
Dos colladnes idénticos A -v B, de 4 lb, se u¡en a un resoñ' de const¿lnte igual a 7l1/ft y pueden deslizalse por una variJla horizorLi¡t,rÉii-rr. l, l¡i'erl,,.l d" gira. alred.tlur,le un cj' rerli':rl Err Lrrr fr'r' rrn lo¡, crrantlu1"'''r ¡,,, al ,.,lla.in B s- le irri¡itl" 'le.lizar'." nrFdidntÉ : ilr gira a rvón const:uteO¡ 5 rircVs y el resorte estír corl¡rrimi
13.95
r-"i,¡
3 ti.y
ven a
A ¡=r-lb/lr
r, : 7.5li Después de que se quita el toPe' ar¡bos collarines se muÉk l.lgo de la v¡irilh cn cl iúst¿nte en que ra = I lt' detelmiDe d) /-'
)0. r')1.r en"rgín la v¿rilla.
b
ciletita totul No torne en cuenta la fricciótl ni la m¿rse 11¿
Dos coll¿rlines iclénticos A y B, dc 4lb, est¿in unjrlos a ur resorte ale corst¿r1te igual a 7 tb/ft y puecler deslizarse por una varill¿, horizoDtti que tiene l¿1 libcrtacl de girar :rlrededor de un¿ flecb¿r vefiical. -Al principio ¿r'l collarír B se le inlpide ¿lesljz¿rrse ¡redi¿¡nte un toPc crtl¿ndo la varilla gr.i a razón constante 0¡ : 5 r¿I(Vs y el resorte estír comprimido con rA : 3 {i l rn : 7.5 ft. Después de que el tope se qrrit¿, anbos coll¿r¡ines se rnueven ¿
13,96
Fiqura P13.95 y P13.96
tk \¿ r¿r\\\¿.. En r\ iNt'..\te e\ q\e e\ reso\te esti comprinido 5 la energía ciretica iot¡l es rle 100 tt lb, determile u) r¡,b'1 rs, c) 0 lgnore h tncción .,; la mn-sa de la varilla.
\o hrqo
I Tiel.Ia.
13.97 tJtilice los prilcipios de consen iición de 1:r ener-gía v cle conscr. 'acirin tle la c¿¡ntid¿rl de Fovimicúto argrrllr-par-ir ¡csoh.c¡ el i¡ciso a) clel
:¡d
¡robleura resuelto 13.9.
i! llllell ¿ol
Probremas
.12.81)
:
13.98
tln¿¡ bol¿i de {).i kg pucde deslizalse sin ñ.icciítn por urra supert rn punto fijo O rrecliante un¿ crre¡d¿r el¿is ic¿r cle const¿urte k = 150 N,h v h¡-igitucl ro defbm¿rd¿r de 600 nm. T,¿r boi¡ se coloc¡ er e1 punto.,\. ¿r lJ00 trnr de O, _r' se le irnltrintc ru¡r velociclad inicial v0 pcryerr(licu]¡¡r ¿ OA. Deter-llire ¿¡) cl v¿rlc¡r. liírLirrro pernisible de .L r elocid¿d ilici¿rl ¡¡ si e1 coldón no sc- allojarir, b) la clistnnci:i r/ rrrás próxi:rra a Ia qrre la bola pucclc tcerlcarse al ptüto O si se Je implintc l¿r ¡rit¿tl rle ¿ r'clocidacl inicial calcul¿cl¿ e¡ el irrciso ¿¡).
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:icic hori:ontdl que estír rrnida
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. ¡adio r ." poten r¿1clio de
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Figuta P13.98 y P13.99 rrte cu\a
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E1 siste-
: ic igúo
13,99 Una bol¿ de 0.7 kg prrede clcsliz¿ir.se sirr fricciórl po1 un¿r snper. :jcie /¡¡^l;¡rrlr¡1 ulida a rrr punto li.io O uediarte un¡ crrercl¿ e]ística de cons:¿nte /i 150 \/m v longitucl uo defb¡n¿rcl¡ cle 600 nr¡r. L¿r bol¿ se ct¡loca n el punto A. :r 800 rnn dc O, r' se 1e inrplintc rrna velociclad iuitizrl r1¡ per. :¡erdic¡rlu a OA. pernitier(lo qrrc sc aprorirne ¿r unl (list¿r¡cir.1 271) r¡nr lel punto O después rluc cl collírn se ha aflojado- l)ctcrrninc a) la veloei 1:icl iricial o¡ clc la bola, f) su velocid:icl rriixirna.
:
IJoIlentes
:
l¿ier'rnine elocid¿rd
r
r.ión obtc-
nl
13.100 Despnés cle corrpletar su rlisiírn erploratori:r clc la Ltna, los l.)s ¿rstronarrt¿ls inlcqrlntcs cle la tripr aciól rlel r¡óduhr dr: excut'si
r-esor'te
l,orizontd
,ir Pr.inciio l¿r v¿rri
:i
se mue ine ri) r¡, l.i ¡r¿s¿ de
1
¡1¡ r-esor-
hoúzont¿¡l
lJrjncipio, ,.
uillrr girn
1=3lty ¡lueven
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rrirido
¡
.ncontr'al¡r
oüit¡tdo
Figura P13.100
Lrrna a u¡ir altrr¡a de 140 k¡t. Los ¿str.on¿utis err . dieroD el ¡rotor' rlel LENil. lleviinclt¡lo por rlna b-alccto¡i¡r cuna lrast¿ el )nrlto A, ¿1 8 knr sobre la superlicie 1rmar, para després irpagar cl motor'. Si -l LENI sc' riroría eu cse ollento cr tl ecciür ¡Lu.ieJa.L 1.r sn¡, r.iicic dc la Lrur¡ r clesprrc
13.101 Nliert¡¿s pclficie
descrfibe un¿r rírbita circrrl¿u.,
¿r
26,1
krn sob¡e l.r
sLr-
Tierlir. rrn tr-asborclarlor esplci.rl lilter.a cn cl prurto A una pla :.Íirma srrper-ior i¡crcial con utt s¿rtélite ck cornrrnicircit¡ies rlrre debe colo¡r\r- e¡ órl'ita gcrrslltLforrr t¡"¡ cl p¡ol¡lerrr¿ 12.111) n rura ¿ltr¡1.¿r de 3571J0 cle l¿
R=6370krr
rur s¡,lrr* l¡ srrle :lrrÉ tcrrcstle. D"iermi¡e a) l¿ r,elocidad de h platafor.ma .n rel¿cióú cr¡n cl tlirsborcl¿clo¡ clesprrés dc que su rreciulisrno sá :rctir'¿ en f. D) cl inclerlerto de velocricl¿d rcquericlo eu B piua crrloc¿r cl s¿tólite en .¡r rirl¡it¿ fin¿I.
ffi
I
F¡gura P'13.101
801
ao2
Cinética de par¡ículas: métodos de la energia y la cantidad de movimiento
13.102 Como primera aproximación al análisis de un r,uelo espacial de la Tie¡ra a Marte, se supone que las órbitas de ambos planetas son circulares y coplanares. Las djstancias medias del Sol a la Tierra y a Marte son. respectivamente, de 93.0 X 106 mi y 141.5 ) 106 mi. Para poner h nave espacial en un¿ órbita de transferencia elíptica, su velocidad se incrementa en el punto A durante un corto intewalo hasta t-r¡, la cual es mayor que la velocidad orbital de Ia Tier¡a. Cuando la nave alcanza el punto B sob¡e la ó¡bita de la transferencia elíptica, su velocidad o¡ se incrementa Ilasta la r,elocidad orbital de Marte. Si la rirasa del Sol es 332.8 X 103 veces la masa de la Tierla, determine el aumento de velocidad requerido a) en A, b) en B.
el
ii
¡o
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at d 6
all
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Ó¡bita de t¡ans{e¡encia
1-
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*
l¿r
Tiern
'.i Sol
Figura P'|3.102
13.103 Una nave espacial que describe una órbita elÍptica alrededor de un planeta tiene velocidad máxima oa : 5 mi/s a su altura mínima há : 1200 mi sobre la superlicie del planeta y velocidad mínima ü¡ : 1.2 nri/s a su altu¡a r¡fuin.ra /¡¡ : 16300 mi. Dete¡mine a) el radio del planeta, b) la m¿rsa de éste.
:t ;!
1 3.1 04 La manera óptima de transferir un vehículo espacial desde una ó¡bita ci¡cular hasta una órbita coplanar exterior es ¿ctiva¡ los motores cuando el vehículo pasa por A par¿ aun.ientar la velocidad y ponerlo en una ó¡bita de transferencia elíptica. Otro incremento en la velocidad al pasar por B lo colocará en la órbit¿ cilcula¡ deseada. Para un vehículo instalado en uua órbit¿ circular al¡ededor de la Tier¡a ¿ urra a]tu¡a hr : 320 km, y que se va a tr¿nsferir a una órbita circular de altura he : 800 km, determine c) el incremento en velocidad requerido et A y B, b) la energía total necesaria por
¡e
h
*
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unidad de masa para ejecuti¡r la transferenci¿r.
nt L]
& Figura P13.1U
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de ci¡úi1¿-
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t¿ en el r
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r órbiá ¡o(.id¿d
'l¿ lre-
. 13.105 Una nare espacial que se ap¡oxima al pl¿ncla Satumo alcarzir tt 3.úto .-t ron velocidad v^ de 2 L lo1xzs de magnirLrd. Entra en órbita eL?_ ¡i.¡ ¿.]¡ededo¡ de Satumo de nianera q,r" ,"" üp", de examina¡ periódica_
185
x
una de las lunas del planeta. Tetis se ubica en un"'¿.bitu
.o,",, T:!t jvb \ l0' km de ¡adio ¿lrededor del cenlro
o!!¿r de
"i._ de Saturno v üaiu a relocidad de ll.3 km/s. Determine a) Ja reducción ¿" ,j"r"ia" rn -{ por la uave espacial prua alcanza¡ la ó¡bita deseada, ""1""¿"J ¿l lo
es,
oave cuando alcance
1
l¡
""to"i¿J
órbiLa de Tehs en B.
a"
Un trasbordador
t
espaci¡¡l se encont¡a¡á con un laboratorio que _ 1 96_. úrr¡nda la Tierra en una órbita ¿ altura constante de 360 km. El t¡asborha_
ü¡
ha alcanzado una altura de 60 km cuando ,",n.l* "rá"r*i;;;,;r" un ingulo @e - 50" con l"."rh"rl Ot;;,;-.o,i"'n.. -t,r¡ debe ser la magnitud dt, vo si lt trayectoria del trasbordador tiene oue r- tangente en A d la órbita del labo¡atorio?
',io.:ldi{ .o lorma
360lo¡
R = 6370 km
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mis
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o
h
F¡gura p13.106
13.107 .Una sondu espacial experimental se lanza desde la Tier¡¡ e rn ¡re5a ¿ una órbjfa eb?tica altamente excéntrica cuando JJeg" al punfo A. Si Gen a que en ese momcnto su r elocidad es un _. 30 000 knr, É lonnando se u¡r beulo de 60' con
k u¡'¿ c,t¡a!, r
órtú-
po.
I
o llt";r 5e
\¿
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vertical, determine la altura mini*o á" U
á.irü'*"
13.108 Du¡ante un acercartierlto a la Tie¡ra, la velocidad de una rra_ ne espacial es de 6.5 mi/s cu¿ndo alcanza su altu." -¡rirrl" a" ¡ái _i-rot..
,r; ;;;;r"
F¡gura Pí3,107
plnto A. En el,punto B, .e obse*o q.,e la "l Detemine úu¡¿ de 5190 mi. a) la magnitud de la velüdud en el punto B,
t*p"S::jl á
el ángulo @¡.
el itri" po.
3 960
mi
567 mi
Figura pi3,i0g
'13.109 Un satélite describe una órbita elíptica
p1i r:1.:
)c superficie de la Tierra
de 377 mi de altura mí-
10840 nri de sernieje maror. Si la re_ b(idad del satélite en cl punto C e. igual a 2.97 mi/s. apllque lás principios
¡
(.onservac¡on
!_Lde ta cnergia y de consen ación de la cantidid de n,ovim¡en_ io anglrla¡ para determinar .¡) la velocidad en el punto A, que es el perigeo, á el semieje nenor b.
Figura Pf3.l09
103
hn
804
Clnética de partÍculas: métodos de la energía y la caniidad de movimiento
R
=l 080 mi
13,llO Cua¡do el módulo de excursión lunar (LEM) se puso a la deriva después del regreso de dos de los astronautas de la nave Apolo al módulo de mando, que orbitaba la Luna a una altu¡a de 87 mi, su velocidad fue reducida para dejar que se estrellara con la superffcie lunar Detelmine a) la c¿ntidad mínima mediante la cual la velocid¿d del LEM tuvo que reducirse para aseguru que se estrellara sobre la superficie de la Luna, b) la cantidad en que se redujo la velocidad piua provociu que el LEM golpean la superficie lunar en un árgulo de 45 . (Sugerencia: El punto A está en el apogeo de la trayectori¿ de impacto elíptica. Recuerde también que la masa de la Luna es de 0.0123 veces la nlasa de la Tierra.) 13.111 U¡ satélite se lanza al espacio con velocidad v¡, a una distancia ro del celtrc de la Tier¡a, mediante la rlür¡a etapa de su cohete de lanzamiento. La velocidad v¡ fue determinada para e ,iar el satélite hasta una órbita circular de radio r¡. Sin embargo, debido a mal funcionamiento del control, el satélite no se lanzó de manera hoúzontal sino a un ingulo a respecto a la horizontal y, collro consecuencia, fue impulsado hacia una órbita elípüca. Detemrine los valores mírimo y mínii¡o de la distancia medida desde el centro de la Tierra hasta el satélite. 13.112 Un vehlculo espacial se encuentra en órbita circular a una altura de 362 km sobre la Tierra. Para regresar al planeta, cuando p¿sa por A disnimrye la velocidad encendiendo su motor durante un breve inter.¿alo en dirección opuesta a la de su movimiento. Si la velocidad del vehículo espacial debe fo¡mar un ángulo f¿ : 60' con la vertical cuando llega al punto B a una altur¿ de 64.4 km, determine a) la velocidad requerida cuando el vehículo abandona su ó¡bita ci¡cular en A, b) la velocidad en el punto B. *13.1
Figuta P13.111 362
k,r
13 En el problema 13.112, la velocidad del vehÍculo espacial se redujo cuando éste pasó por A al activar su r¡otor en dirección opuesta a la del rnoümiento. Una estrategia altem¿tiva para sacar esta nave de su órbita circular sería girarla, de manera que su motor apuntara como alejándose de la Tierra, e itrprirnirle después una velocidad incremental Av¡ hacia el centro O del planeta. Esto requeriía, probablemente, un gasto mfu pequeño de energía cuando se encendiera el motor en el pulto A, pelo podría provocar un descenso demasiado rápido en B. Suponiendo que se recufie a esta estrategia con sólo un 50 por ciento del gasto de energía correspondiente al problema 13.112, dete¡mine Ios valores resultantes de $e y os. 13.114 Muestre que los valores oa y o¡ de la velocidad de un satélite terestre en el apogeo A y en el perigeo P de una órbita elíptica se definen mediante las rel¿ciones
2GM
re
l
¡t=6370kl1l Figura P13.112
2GM r¡ rA+ rp rp
donde M es la masa de Ia Tierra, y r¡ y r¡ representan, respecüvamente, las distancias máxina y mínim¿ desde la ó¡bita hasta el centro del planeta.
Figura P13.114 y
Pl3.ll5
13.115 Muestre que la energía total E de un satélite terrest¡e de ma nr que describe una órbita elíptica es E : -GMml(ry * r¡), donde M es la masa de la Tierra, y rá yrp representan, resPectivamente, las distancias r¡á(Recue¡de que la rima v mínima rnínimA desde desd; la órbita hasta el centr; centro del planeta. (Recuerde xima y energía potencial gravitacional del satélite se deffnió cor¡o igual a cero a una distancia infinita de la Tierm.) sa
i l¿ de.rl r¡ó-
¡d
fue
,e a) la
16
13, 1 Un¿r nave espacial de mas¿ rn descr-ibe una órbita ci¡cula¡ de raclio r¡ alrededor de l¿r Tier'¡a. r¿) Muest¡e que la energía :rdicional AE que debe in-rprimine a esta mve pala transleri a a una órbjt¿ ci¡cular de ¡adio
r'r ¡r¿lor es
iucirse
ar'
¡-rticlad
-
C\t"' r'
z'-"
!uPer¿pogeo ¿ cle l¿¡
dist¿rn
tle lan:aa lrrla r¡to del
¡'
clonde M es la rn:rsa cle la Tier¿. b) Demuestre :rdenírs que si 1a transferencia descle ura ó¡bita circul¿r¡ hasta otra ó¡bita ci¡culirr se ejecuta ¡rl colocar lir rave esp:rcial sobre u¡¿ tr¿lvectolia sen-iielíptica de t¡¿msición AB, las c¿rn, ticlades de energí:r M¡ y AE¡ que debel imprimirse en A y 13 son, r'espectiva rente, proporcioldes a r¡ y 12:
aEA
: --LaE
A¿n: 11 ^E
)(1Ies órbit¿i clr desL
¡r¡a
¿r1-
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o
esP¿r-
runto B
13.117 Utilice las lespuestas
obtenidas en el problema l3.1ll p:rla ostr¿r'Tre la órbita circul¿r intentada y la órbita elíptica resultante se intelsecan cn los ext¡emos del eje menor de la
13"118 Se i¿rnza un misil descle el suelo con velocid¿rd inicial v¡ furnlando un ringdo @¡ con la veltical. Si el rnisil v¿r alcanzar'rln¿1 ¡lt1rr¿1 mí\i rla igual a oll, dc¡¡cle R es el r'¿rdio cle la Tiena, a) rnuestre que el ángulo rcqrrerido $¡ se deffne necliante la relación
r el !€srn
B
;cial
se
.t¿i ir Ia r órbit¿r
l:'se
ó,):
(1 + d)
, '
g / f,-'. \' t+a\o¡ /
.loncle t-'.". es l¿r vekrcidatl de escape, ó) cletelliine el inten'¿lo de valores :rerurisibles de o¡.
cle
-l ce¡ :¿¡o
cle 1
3.10. PBINCIPIO DEL IMPTJLSO Y LA CANTIDAD
DE MOVIMIENTO
:i:ric
¿]
...iéLitr-
¡l:rinen
:-:.. liri
I
coDtiruación se considerará ulr terrer nétodo básico ¡itil nara la sol -:rin rle problemas que involucran noümierlto cle partícuJrl. Este mé,clo se basa en el principio del impulso y la cantidad de movirniento, y :i Lrs¿ p¿r-¿r resolver problemas que ¡nplic¿n fuerza, masil, velocidad iienipo. Es de paÍicular interés en l¿ resolución de problernas Ere ili¡lcan trovimiento irnpulsivo e impacto (secciones 13.11 y 13.12). Considere una partícula de mas¿ r¿ sobre la que actúa un¿r f erz¿r F. Con.ro se vio en la seccitin 12.3, la segunda ley de Neuton puede :\?resarse en la forma
r: ft6,)
(
r3.27)
: ¡tcle r¿v es la cantidad de mo\.irdento lineal de la partícula. Al mul:::rlic¿rl ambos lados de l¿ ecuacjóD (13.27) por.rfu e integr-ar a partir .-1 tle,lpo f1 hasta el tleltpo ,2, se escr-ibe
F dt
:
d(tnv)
(t'.
I Fdt -tnv.-ttvl .J tr,rsponer el írltimo término,
- '¡re
la
13.10. Principio del impulso y la
mv,+ ' ).I Fdt:ntv.
(r3.18)
F¡gura P13.f l6
cantidad 805
806
Cinética de partículas: métodos de la energía y la cantidad de movim¡ento
4
La integral en la ecuación (13.28) es un vector conocido como impulso lineal, o simplemenle ímpulso, de la fuerza F durante el intervalo considerado. Al descomponer F en componentes rectangulales, se escribe
Impr-z
: lFrlt
i
[" r, d, + i l''
'1t
p,, ,tt
+
't t
t J"r. at
(13.29)
deJ. impulso de la fuerz¿ F son, resPeciguales a las áreas bajo las cuwas que se obtienen al gaffcar las componentés F.. F, y F. en función de f (figura 13.16). En el caso de una fuerza F de magmtud y dirección constturtes, el impulso se representa meüante el vectoi F(¿2 f1), que tiene Ia misma dirección que F,
adüerte que las componentes
y
se 'tñamente.
-
Sí se usan unidades del SI, la magnitud del impulso de una fuerza se ex?resa en N ' s. Sin embargo, al recordar la definición del new-
ton, se tiene
N
's:
rkg' rn/.21
s
: kg
nvs
que es la unidad que se obtuvo en la secció¡ 12.4 para la cantidad de Áovirdento lineai de uoa paltícuJa. De tal modo, se verifica que la ecuación (13.28) es dimensionalmen le correcta. Si se usan unidades de uso común en Estados Unidos, el impulso de una fuerza se expresa en s, la cual es también la unidad que se obtuvo en la sección l2.4para la cantidad de movimiento lineal de una p:utícula. La ecuación (13.28) erpresa que cuando sobre una partícula achía una fuerza F durante un intervalo dado,la c&ntidad de mnoimíento fínal mv2 d,e la pañícula puedz obtenerse al sumnr aecforialtnente su cantidnd de ru:ain'¡iento ínicíal mvl y el ímpulso de ln fuetza F durantc cl
lb
o
tt
F¡gura 13,16
,",, ,-' =/t'o.r,
É.¿{ Figura t3
17
intet"aalo consí.derado (figura 13.17). Se escribe
mYr
+ lr͡pr-2
:
mv2
(rs.3o)
Adviértase que si bien 1a energía cinética y el trabajo son cantidades escalares, la cantidad de movirniento y el impulso son cantidades vectoriales. Para obtener una solución analítica, es necesario entonces sustituir la ecuación (13.30) por las correspondientes ecuaciones de componentes
,¡np,.t,
+ |tl "t,
1mu,,)1
+l
ft'.-
trno,)r
F,
tlt
F,r
dt
(,¿u,)z
- (rmu)z
t l.ft. F- Jt :
(tnu.)"
(I3 31)
Cuando varias fuerzas actúan sobre una partícula, debe considerarse el impulso de cada una de las fuerzas. Se tiene
fr F' )e
mv1*2lmpr-2:mv2
(1s.32)
De nuevo, li ecuación que se obtuvo representa una relación entre cantidades vectoriales; en la solución real de un problema, ésta debe sustituirse por las correspondientes ecuaciones de las componentes.
Cuando un problema incluye dos o más partículas, cada partícula puede considerarse por separado y la ecuación (13.32) se escribe para cada partícu1a. También es posible sumar vectorialmente las cantidades de moümiento de todas las paftículas y los impulsos de todas las fueras irnplic.adas. Se escribe entonces
tcIas
úa
te'
)mv1 F ) Impr-z: )nlv2
ef-
Puesto que las fuerzas de acción y reacción ejercidas por las partículas entre sí forman pares de fuerzas iguales y opuestas, y puesto que el inten alo de tr a t2 es común para todas las fuerzas implicadas, los imgrlsos de las fuerzas de acción y reacción se cancelan y sólo necesitan :er considerados los impulsos de las fuerzas externas.l
tde
Si no se ejerce fuerza externa sobre las partículas o, de manera más general, si la suma de las fuerzas exterrras es cero, el segundo término én h ecuación (13.33) se anula y la ecuación (13.33) se-reduce a
ela ;de leü
2nv1 :2mv2
P¿-
(13.34)
que er?resa qre Ia canticl.ad de moaimiento total de las partícu.las se c¡'ns¿ru¿. Considere, por ejemplo, dos botes, de masa nr.¡ y nr.¡, inicialmente en reposo, que están siendo jalados uno por el otro (figura I3.18).
ctúa o
(r3.33)
fi-
can-
,rÁvi
te el
--t tgura
trleh
13,18
5i se ignora la resistencia del agua, las únicas fuerzas exterras que act¡ian sobre los botes son sus pesos y las fuerzas de flotación ejercidas sobre ellos. Puesto que est¿s fuerzas están equilibradas, se esc¡ibe
2mv1= 2mv2 0 : m6v'¡'l m6v'6
vi y vi representan las velocidades de los botes después de un intervalo finito. La ecuación obtenida inüca que los botes se mueven er direcciones opuestas (uno hacia el otro) con velocidades inversamente proporcionales a sus masas.{ donde
3.30
,
es es-
toria-
tse debe advetir'la diferencia entre este enunciado y el couesponüente que se hizo
tuir la
tn
lentes
jcdas. Si bien Ia suma de los impulsos de
Ia sección 13.4 respecto al trabajo de las fuerz¿s de acción y rcacción entre v^rias pa¡est¿s fuerzas siempre es cerc, Ia srllrl¿ de su tru-
bdjo es cero sólo bajo circunst¿ncias especiales, por ejemplo, cualdo los diversos cuerpos implicados se conectan por r¡edio de cuerdas o e¡l¿ces i¡eltensibles y están, er conser1lenci¡, restringidos a moverse l Io largo de distancias iguales.
fl-os signos de igu¿ldad azules usados en la {igura 13.18 y en el resto de este capítulo ie usarr para expresar que dos sistemas de vectores so\ equipolentes, es decit que tienen h nisma result¿nte y nomento resultante (véase la sección 3.19). Los signos de igualüd rcjos se seguirán usando para indicar que los dos sistem¿s de vectores son equiralentes, esto es. que tieDen el mismo efecto. Esto y el concepto de conseF,,¿ción de c¿ntidad de molimiento p¿Ia un sister¡a de partícülas se estudi&án con gran detalle en el c¿pítulo 14.
13.10. Principio del impulso y la cantidad
de movimiento
ao7
808
13.1X . MOVIMIEt{T0
l&rX
l-$ [1/0
F!t-¡
Unrr lirer-za r¡rc. actúa soltr-c ull prrftículr ch¡r.¿iltti: rur brcr e irrtenitlo qne r:s k¡ snficicrtcnrcnte gr':urdc ptra plorhrcil rrri ctrririo tlefilticlo cn cl lro rlrcnto se ((rtoc(' tLtttto.ftrr:u inql sitrL v el ntor.ilicnlo resltlt¿lte se tler ronrinir llro¿¡i¡rric túo intptrlsü:o. Por ejcrnplo, cruiuxb st: €cilperr una 1tc lot¿ ilc br
(
(h¿rrdo ¿ctti¿n llerzas irnptrlsiras lll.il2) se co|\'icflc ell rrn'1
sobr-e
i )F Al :
Es posible igrrolar t,uilquitr'Iircr-zl clue
llresto clue el
irl¡nlso collcslxrlrlit-rrtc
F'
rtta
piLr-tícul¿r, l¿
¡r¡v,
ecir¿ci(in
(
lrl.35
)
ro s('l rni! {ircrzl iltpulsirl, -lf
ts
rur¡ pcc¡reÍto. Las-f rr:r
no intpulsit:tts irrcl¡rri el peso clc un cucrpo. Ja firr:r-za ejc-rcirla ¡ror. lul res(n-Lo ri crriilquiel otla lircrzir c¡re st'.snóc que es pcqueirl corrrpir
-::ts
lura fuclzl irtrltulsir a. L¿s ¡e¿cciorcs clcscorxrcjtl¿s quiz:i seirr-r o no irnprrlsir.rrs; srrs inrpr sos clcbcn colsecur:rterlelitc inclrrilse el l¿ ecrriiciórr (13.35) sic,npre (llre r¡r se h¿v¿r rlcnrostr¿rclo r¡rr,'se puedeu iqrrolar. El irrpuiso clt:l peso cle la pclotrr cle lrcisbc¡l colsidc¡¿cl¿l ¿¡ltes, lxl ejcrrplo, puecle ignorilr'se. Sj s¡: rur¿liz¿r el rriorintiento
)rrrv¡ clolde ei sequlclo tér'nrilo
itr.
1
IF &: )irrv,
plicn sírlo luclzris iupulsivas
c\tcln¡¡ :
tocl¿s l¿s lirelz¿rs e\ten¿rs
!¡re ¿rctíriil soln-- lirs rlivers¿rs plrtícu1us . no irrpulsilirs. se ¿urula el segundo ténnilro en l¿r ecu¿rcióri (1,1.,16 r ., t¿ ec¡raciri¡r se r-e(hrce ¿ l¿ ecrr¿ciór (13.34). Se esc¡ilxr
)rriv¡ : )rrrv, .luer expr-esa (luo
13.1 Un gran peso se levanta rnediante un martinete y luego se deja caer. Esto libera una gran jueÍza impulsiva al pilote, el cual se encala dentro del suelo. Fotografía
Ü,
Llrl :.
cl rlrorir'lto tot¿l cle las p¿r'tíclrirrs se cousen ¿L E:' situ¿ci(jn ocurc, pol ejenUrlo. cu¿rúclo d.ls p¿r¡tícirlas que se ¡rueven i lrrerrrerLte chociu erltle sí. Sil ernl¡¿rrgo, se debe ¿rdlertil !¡re rnielrtlir: se corsen¿r l¿1 c¿lnticlac] cle movinrie¡to tot¿l cle las ptutícu1ls, su e¡ergí¿l tot¿l /io se colscrl'l cl gcrcr¿rl. Los ploblcrnas c¡rc irnplicirn cl choque o ¡lrlpdcfo cle tlos ¡lLr-tíurlls se estrrcliuriur eri
PROBLEMA RESUELTO 13.10 Un autonrór'il que pesa 4000 lb desciende por rrna pendie¡te de 5o a u.ra velocidad de 60 mi/h cuando se aplican los f¡é¡os, lo {ue provoca una firerza cle ñ'en¿rdo tot¿l constante (aplicada por el cami¡o sob¡e loi neu¡r:iticos) cle 1500 lb. Deten¡ine el tiempo que se requiere parl que el ¿utonióül se deteDgir.
SOLUCIÓN Se"aplica el principio del inrpulso y la c¡rtiüd dc mor.imiento. puesto que una cle las fuerz¿rs es coust¿nte c.n rrirgnitud dileccion, cacla impriso r'¡res|¡rndjenle er ir¡rtLJ;rl ¡r,rlrrcto,l' Ir fi¡*r.z¡ r al irrtcnalo /.
l
c¿rda
+ +\
,¡
*)Imp1-l=rnvz 5't - Fl = 0 fVs) + (4000 sen 5")1 - 15001 :0
l)
nrv¡
conponeútes: mo1 1 (I,V sen
(,1000/32.2)(88
PROBLEMA RESUELTO 13.1
."1,u,,
r' -
/:9.41)s {
1
Una pelotn de béishol de 4 oz se la¡z¿r con una velocid¿rd de 80 fils hacia un
hate¡dor: Dr\¡res rle que la bola es golpeada por el bnt ts, adquiere unr veIo.idad de I2{r ftls L.l la rlireccirin que ie inüc¿. Si eJ bat y la bola están en co[tacto 0.015 s. (letermine h firelz¿ i1¡p¡]sjy¿i prornedio ejer.cicla soltr.e la pelota durante el iüpacto.
, ).-J--;-:----¡j+
80 ll /s
soLUctÓN Se nplica el
prircipio del inpulso y la cantidad dc movimiento a la pelota. Puesto que el peso cle est¿l ¡risnra es una fuer.z¿ rro jrr.rpulsiva, pr,eclÉ igno IAl..sE,
t7¡vl
,f\
3 r componentes: 40
Ir,,
ai
+'ly
lr '1" o
+>Impl-e:r¿v2 mrl t F, At: mu¡ cos 40o
: S (r:0 tvs) cos ao" F. : +89.0 Ib 0 + ¡,/ Af : nro2 sen 40o
(80 iVs) + F.(0.015 s;
componentes:
F,,ro.Ols
'
s Fu
A ¡artir de sus conpone¡ies de l¡ firerz,' F
4¡
! t20 lLs).en -.1ú:l), t
= +39.9
40
Jb
F,, se deterr¡ina la r¡¿rgnitucl y dir-ección
F:
{)7.5 tb
zt 21.7" <
809
PROBLEMA RESUELTO 13.1 2 Un paquete de 10 kg cae desde una rarnpa a una velocicl¿xl de 3 r¡/s el un car¡o de 25 kg. Si el carro está irl inioio e¡ reposo I' puede rodar libremente, deterrrine a) la velocicl¿d fil¡ del c¿rr¡o, ü) el impulso ejercido por.el carro sobre el paquete, c) la fracción de Ia elergía inicid perdida en el impacto.
SOLUCIÓN Se :rpJica prirnero el pr-incipio del irlpulso y la cantidacl cle rloümiento lrl sistern¿ p¿tquete-cat ro p:rra determin¿r'lu v.l,rcidld v2 .lrl .¡r'ro v el ltaquete. Desprrés se :rplicir el ruismo principio al pirt|rete s, rl r ¡.r|ir rlrtcr.¡ ritrar- el I ¡.1pulso F Af ejelciclo soll.e éste.
o) Principio dcl irn¡tulso-curticl¿¡d (lo movhnicnto: l)aquete y c¿r.ro I
Uf
c::::ja-----',r
&l
*J*,,,,.,,n,
----, v-- nr
u
dtt \/ !
* ) Impl_: = (rr¡ * lr¡.)vo : (m7, i n¿fu2 (10 kg)(3 nvs) cos l0' : (10 kg + 25 kg)ou \': : {).711 rl/s-
3 r cornponerrtes:
nr¡v1
rl¡o1 cos 30t + 0
{
Se advierte que la ecrración utilizada expr.esa la consenación de l¿ c¿ntid¿d (le Dlovimiento en l¿ dir-ección r.
ü) Principio clcl im¡rulso-ctntidatl rlc
mo.r'i¡rrie nt<): lt¿(luetc
"'%q,,*
il-f-i*-,,,,,': F,/^/
3 r co¡,pone'tes: *
f i7
(10 r.sx3
conpone.tes: -(10
,Jli:",:i.Tg:i; I '('i'0te)(0.7a2 ,n¡,)
El inrpulso ejercido sobre el paquete
0
l/ :
\
es
l¡
c) Fr:rcción ilc ln crrergíl ¡rcrdidn. T1 :
!n1a,l =
T" = !(n,,
+
i{ttt
t
gXS n/s), = 45
n6)af, =
i{rOtg+
La &¿rcción cle energía perdída
810
e.
T'
56
N
s
F,iAr:+t5N.s 2;1.!)
.s
L
rll.!1. .(
Las enerqías inicial y ffnal son
¡
2B kg)(o.712
;lt
18
*" - ;; ^^1 : + F; Af :
-??¡¡r,ir ser kgX3 rn/s) sen 30.
1''t
m/s)r:
: {JjI9J: 45
1
9.63
¡
tr.;si, <
i11
En esta lección se-integró la segund:r lel de Newton pLrra cleclucir el ¡:trircltio clel 11 h
t7¿vt
tl
+>Irnpt-2-/nv2
(13.32)
Est¿ ecuación eryresa que l¿ canticlad de lioürrieuio lineal nrv. dc'ula partícula el el tictnpo 12 pucde obte-¡erse surnar¡I,, .r su ciuti,-l¡d (L. ltourr;uto lineal lrvl el d
tierrp(, tr los itt4:ntlsos dc l¿rs fire'z.rs ej, r'cidas sr,b'e h partrc'lir rlu.a'rc el i.torr¿rro fr a f2. CoD ff¡es dc crlcuft¡, las crntiJ¡tlcs rle rrrorirlielt,, y 1os irnpulsos pueclen e:i_ pr9sa1¡ g1térninos cle sus comltonentes rcct¿uglrla¡es, v Js posilrJr: sustituir l¿¿ ecu¿rciírn (13.32)
tlo'i'rie'to
lnr
las ecuaciones escalarcs er¡rivalentes. Las unid¿cles clc la c¿ntid¿rtl cle
v del imprJso son N s er el sI v lb s err l¿s ruridades cle uso conrí'l e' Est r,l,,s urridor. Prrrr ri rol'e¡ ¡rloblnrrrrs utrliz,u,rlo .st¡ e.r¡:¡ icjrr r,. prrerl,.n seguir.
lns srgurertes p]so\:
l. Dibujur utt tlíogrtunu qlre la pLrr.tícri1a. su c¿rnticl¿d cle e' 'ruestr.e 'io'iu.iiento e¡er.cidas sobre la ptrtícula dur¿nte ) er ¿2, y los irnpulsos de l¿s firerz¿rs el i¡ter._
lr
valo f1 a f2.
:
l-Lrl
2, Culcular el ün¡ttlso tle cadu fuer:tr, exprestinclolo el térütinos cle sus co¡r porentes rectorgularcs si estíi ir.irplicadrr rnirs de ula direcció1. Es posible que ercuentle lt¡s siguientes c¿rsos: a)
Iil.
intertolo
es
füüto
ry l.a
fuer:o
e!.,
cottstqtttc.
Impr_,:: F(f: lt) El incten olo
es
.finito r¡ Lu .ftter:u es
tmp,
. c) l intcrtulo (,i núq pcq
.-
f'
¡r) una
r',
Jiuu:ión de t.
,t,
q kt Jirer;tt es mtrq gunule.I.a fucrz¡l - ¡r : A¿ es Impl-2 - F Ar eñ()
Llcnonln¿i ulttt Jucr:e inr¡ut[sita v su irnpulso soble e] iltcrvalo fe
lr
se
Hq que obstrviu lun.estc impr so es cero p¿u.¿r rrrtt ft.Let:tt no irttptLlsixa tal corttt> *l pcs,' de r¡n cu.Tlo. h fuer.zl ejercidn por irt rcsoftL, o cualquiei otr.a fireva que sc sep¿ que,es pe(lueña cn cornparaciól ion l¿rs fucz¿s irnpulsii,as. Sir errbargo, ias desco'iociclas no pueden u.L¡t,rLet-re i'p.lsi'as'y sus inrp'lsos deliri to'e¿ccioDes rllarse eri cuenta.
'o
3. Srrstifuir lr.¡s t:ul.ores
pn
prohlerna
¡ suellr¡ li. lul u¡t;t,rluri,lftl ) tn ¡,nt,trlstt,1,rubl",,,n rr.s,r.lto l3.fll ,, '' tt]. (r:orrtíntia.)
lna.fiLetza itn¡.t.l.síta promel.ío lproblerrr,r r.eí,elto tb.
811
.J
1, (luuxl¡¡
eslún inplicodas
[(riu$ p(rtículus,
dcbe dibujruse un ülgrarna in-
clepeudiente para cada una de ellas, en el que se mrrcstreD la c¿rntidad de moüüiento inicial y final de la partícrrla, así corro los impulsos dc las luerzas ejerciclm sobre ésta.
a)
5ín enburgo, suele scr <,ontenienle consideral prilnero lur diagr.arna i¡rc
inchrya a todas las partículas. Este diagralia conthrcc a la ecu¿rción
)rlrv1
*)Imp¡-2:)lrv2
donde los ir.rprrlsos cle úricarnente Las .fucrzns ex[,ornas al sistenm necesit¿D ser cotsicleradas. Por lo t¿rnlo, las dos ecu¿ciones escalues r:r¡rivalentes no coltendríin lirl guno de los irnprrlsos de las fuerzas interlas desconc¡cidas.
D) .5i lrr srora rlr: los int¡ntlrlts (13.33) sc redrrce a
tle kts -llerzus e);tcr as e:j
)nrv¡ : )nr.v2
¡:¿r¿¡. la ecu¿ción
(13.34)
quc Lryrcsa qüe s€ conseru! ¿l runtu:trto total de las paftíct¿¿J. Esto ocurre si lir result¿nte clc las fuerzas extem¿ls es cero o, cuando el ioten alo A¿ es rnuv corto (rnoümiento ir.npulsivo), si todas las fuerz¿s e\tenr¿s son no impulsivtrs. No obstantc, hay que tener plesente qrre es posible que se consen/e la cantidad de movimiento total e¡t unrL tlírección, pcro no ctl la otra lprr.rblenin resrrelto J 3. L2].
812
:r'
13.119 Sob¡e una partícula de 3lb actú¿r una fuerza F : (20 sen 2r)i i+ .os 9r)j. donde F se eyresJ en libns y f en segundos. Deternine la :
-
:r:
i5 ceto en
f:
0,
73.120 Sobre una partícula de 4 kg actíra una firerza F = (4t - 8)i -'n,leFseer¡re(irennc\4ons)/eniogundos.si lr r elocided Je la ¡ar :r'. ¿ F\ ccro en f 0. deternrinr su r"locitlad m¿n-rna cr el inte^alo 0 s
J
-= ls. Unveleroysus ocupantes, con i¡asa total de 440 kg, navegan - f 3.121 -;o¡ del üento a 12 km/h cuando se lev¿inta otra vel¿ par.a incrémentai l¿
"
-rrcidad. Detemine la fuerza neta proporcionada por la segunda vela du::-:¿ el interwalo de 10 s que requiere el velero pari alcanza¡ una velocidad
r
-5 kn4r.
13.122 La velocidad i¡icial del bloque localizado en la posición A
F I n/s. Si el coeficiente de fricción
es
cinético ent¡e el bloque y el piano es .,q-: 0.30. determine el tiempo que tarda el bloque en alca¡zai B ón velo_ ::'d cero, si a) 0 : 0. b) 0 : 20'.
- 1_3.123 En regiones montañosas se construyen r¿r'npas de segur-idad al -ic,r de las autopistas para permitir que los vehículos con?renos deiectuos,rs - jetengan. Un camión de 10 ton ent¡a a una rampa de lE" a gran veloci_ ;i r:¡- = 108 fVs y se desplaza durante 6 s antes de que su rapidá se :.eduz- : ,f6. ft/s Suponiendo una desaceler¿ción const¿nte, determine a) la mag. ,J d" la fuerza dc lrenado. b, cl liemlo aJicionrl requerido p"r" qu"ll -!:iión se detenga. No torre en cuentir la resistenci¿ del aire niia resisterr-- ¿l rodamiento.
F¡gura P13.122
Figura p13.123 y pt3.l24
13.124 Un camión de 10 ton entra a una rampa cle seguridad de 15. = gran velocidad r-r¡ y recorre 540 {t en 5.5 s antes cÉ que su"rapidez se re tvca a a¡f2. Suponiendo des¿celeración constante, deier.mine a) la veloci_ :,J rnicjal.,u. b' la magnitud de Lr luerza de frenudo. fgnor.c :rl airc t la resistenci¿ aJ ¡odamient¡,
l.] reJislcncia
2S Anticipandose a una larga cuesta de 6., el conductor
813
814
C
-"'( " oF partrcu aq: rnerodos de td Fnerqra
r ia cantidád de movim,entñ
_ 13.126 Un bloque de 20 kg está en reposo sobre una pendiente cuando se le aplica una fueúa constante horizontal P. Los coefcientes de friccjón estática y cinética entre el bloque y la pendiente son, respectivamente, de 0.4 ¡' 0.3. Si h ve\ocidad de\ btoque es cle 15 m./s después de 6 s, deter mine Ia magnitud de P. 1
Figura P13.126
3.127
iui
Ifa
Los coeficientes de fricción entle la carga y la cama plana del
trailer qrre muestr¿¡ la ligura son p.,:0.40 y ¡.r,¡: 0.35. Si la velocidad del arreglo es de 55 rni,4r, deter.¡tine el tiempo nás corto en que puede dete
¡e¡se si la carga no debe deslizarse.
Figula P13.127
13.128 El blocpe de 40 lb se nueve h:rcia abajo o velocidad de 3 fVs f = 0 cuando se aplican las fuerzas P v 2P mediante las cuerdas. Si el blo_ que se mueve hacia ¿rriba con velocidad de g ft/s cu¿nclo f : 4 s, detemien
ne rz) la_ magnitud de P, b) el tiempo en rlue la velocidad es cero. Ignor.e el efecto de l¡ fricción y l:r masa de las poleas. Figurc P13.128
13,129 Un tilctocamión cori un¿ c.rbina de 2000 kq. un ¡ernululre de 4500 kg, y otlo renolque cle 3600 kg va sobre ul clrnino-plano a g0'k¡n/h. En el remoJque trasero, los fienos fallan y el sistema antideriapante de la ca_ bina y el remolque delantero proporcionnn Ja moyolfuerza fosible que no provoc:rrá deslizaniento de los neu¡ráticos. Si el coeficiente-& friccün cs_ tática es de 0.75, deterrnine a) el tiempo Dás corto necesario para que Ia ca_ bina se detenga, b) la fueza presente en el aropl.rriento d. jos dós ,e,nol ques durante ese_tiempo. Suponga qrre la fuerzaijer.cida por el acoplamiento sobre cadir remoJque es ho¡izontal.
Figura P'13.129 '13.
130 Un tren ligero fbrrirado por dos virgones üaia a 72 krnA. La nraso del vagón A es de 18 Mg y la del vagon B de Mg. Cu¿ltlo se ¡pli_ ' ar rrlcntirtnrnenlÉ lc,. lrenos. se ejcrcc r¡na luerzo de lre-nad,-, tonstJnte de 19 err |adü vlgó|L l)oternrine 4 rel lie, po reqrrerido para qUe pl tren se detenga después de aplicar los {ienos. b ) l,r fuerzá en el ,icopla'mientc, enhe los vagones tnientras el tr.en está desacelerando.
tl
k\
Figura P13.130
IL
it- {., - -
¡¡-
.i,{::
.é¡¡.
.-:I
F
13.131 Resuelva el problema 13 I30. suponiendo que se aPlica urla i*¡z¿ de f¡enado constant¿ de 19 kN al vagón B. pero que no se aplican los
e-
i:-.nos en el vagón A.
!_-
Probren'as
815
el re3.1 32 , Los dos bloques mostrados en Ia figura se-sueltan desde de los efectos y las poleas t¡asa de la ignora 0 Si se f tie¡Tpo en el = r¡,: velo Ia n' deterrrrine pendiente *".¡ó" ésias v "nt¡e lo, bi.'quet 1 la ^:rJrcl del bloque "n A en I - 0 5 ' b: 11 tensión en el eable 1
H H Le-
13.133 Los coeficientes de fi'icción entre Ios tres bloques y las sulrorizontales son ¡.rr = 0'25 y p'¡ :0 20 Los pesos de los bloques -:ficJs r= t, = trVc : 20 lb, y fV¡ = lo lL Las velocidades de los bloques A y C.n ' ti",ofo ¿ = 0 sán D¡ = 9 fvs y us: 15 fvs anbas hacia Ia de¡e"i a) la velocidad de cada bloque en f = 0 5 s b) la tensjón 'i:- Deterr¡ire
x
el c¿ble.
Figura P13.132
bk*
Biee{ Figura P13.133
e& BL ¡ c2-
eÍ n É!-
¿('F flÉL iÉ*
El sistema que rnuestra Ia ffgura se suelta desde el reposo De *::.ine el tiempo req.te.ido patu q.te Iu válocidad de A llegue a 0 6 m/s Igr:rt la fricción y la nasa de las poleas. 13,
134
13,135 Dos paquetes se coloc¿n sob¡e una pendiente como indica la ls:¡a. Los co.fi"iát""s de fricción son ¡¿s = 0 30 t p/' = 0 25 entre la penüt¡te t el paquete A, y ¡¿" = 0 20 y irk = 0 15 entre la peudiente y el pa-
Figuta P13.134
É. Sj'lo;paquete; están en contacto cuando se sueltan' determine a) i...locidad de iad'a paquete después de 3 s, b) la fuena ejercida por el pa-
Gte
,¡-te J
sobre el paquete B.
h t-¡
e$-
Figwa P13.135
ot¿ ,l¿
IEA )
JE
É!!1-
13.136 Soble un collarín de 2 kg que puede deslüarse sin fricción por u¿ r a¡illa ve¡tical actúa una fuerza P que .'aía en magnitud como se indir-o la figlra. Si el collann está inicialmente en reposo' determine su velo
¡lenol¡:zs,a)t
Sobre un collaún de 2 kg que puede deslizarse sin fricción por *¿ r ¿¡illa vetical aciúa una fuerza P-que varía en magnitud colro se inüá;n la figura. Si al pdncipio el collaún está en reposo, determine a) su veir:.üd máxn¡a, b) Jl ti.*po ett qn" la velocidad es cero
13,137
,r, .!.!
-- "* .l
s Figura Pi3.136 y P13.137
"¡L
¡(s
816
métodos de ra enersía
iff:'"?fl:iilrcuras:
en Sobre un bloque de 12 Ib que puede desüzarse sin fricción rnse como en mrgniLud r anh rln¿ suDeillcie inclin¡da achia una fuera P que I en \elocidad su c) delermine en reposo inici¿rlmcrrte dica. Si el bloque
13.138
-
"stú
5 5. ! r el ti"mpo "n qu" su velocidad e5 eero' P 0b)
20
Figwa P13.138
13.139 Se va a obLener un modclo simpÜficudo (onsistenle en un¡ li(añón ¡de 04 in de *,í¡ llrl,r presión nresión dentro del (anÓn -^^,.. nledÚ cülno raría Iler reclir D¡m ^.- ..-,-l¡'..i,nn se requiere de 07 Si se 7 o¿ oz 0 bah bala de se lanzi lanzl una se lln cu¿ndo crr¿mdo rifle ¡n" d" .," diárnetro itir""ü á" de ;";."r la longitud clel cañón y la velocidad la bala al salir i.;;';; es de 2i00 fVs, determine el valor de p¡
^Nr
p (ksi)
0
1.6
Figuta
P1 3.1
/ rrrs'
39
n tenist¿ golfea una pelota de tenis dc 2 oz con v*locidad de 4 5 ft. La pelota rebota e¡ el Punr"l de 54 ll¡i a u,r" ini"i"il,o "ltu.r 'i"on es de 30 fVs' io a y as"iend" a una ¿rltura r¡áxima de 3 ft tlonde la velocidad sobre la ejercida impulsiva la fuerza s' determine il el'impacto dura 0 004
13.140 t
A' Pelot¿ en el PuDto 54
li/s
30 lUs
re------___** fr
Figura P13.140 es una prueba de pista y camPo en la cual un tle ll"ga lo n'ís lejos Posible dando. u¡1 zan trala carre¡riy atlet:r ini, ia unir ;;. ;;;; i un s¿ltol En la ffgura se mue^itrr la zanerda inici¿l tlel atlc-
13.141 EI s¿rlto lriple
tlr..*ii
i.tJ *" n'ptotlnra
a la Lnea
cJ"e
despegue desde.la izrluierda a relocidad
018 s' r liorizontal de áO fut, permanece en contacto con el suelo durante compofv.f determine,la 39 velocidad con áe 50" ángulo á"rp"gu 9" ^ "" ¿""1" el suelo sue sob¡e su por ejercloa ejercida luerza impulsiva promedio de )a t"erza Por nenre \er+i(al ."t':,"i"m"¿ Promecuo Proporciotre .u:-eslue.lo en términos del peso W del atlera
Figura Pl3.141
¡ie.
50 tnm
.\/
,,.i
.. ¡l lc
Figura P't3.142
-..-L¡;.-t0'
13.142 Un¿r b¿la de 28 g, recubiefia con acero, se- dispara a una velotrayec cidad de 650 n.i/s hacia una plica de acero y rebota a Io largo de-una mm sob¡e de 50 mana una tle 500 mls. Si la bala deja toJo Cb o ""lo"idnd esrnienlras 600 m/s de promedio relocjdad plar'a r tiene la srrr¡erficie de la luerz¿ la de dirección magnitud la pli,o. delernrinP 1" ci ¡ contrcto ta "o,' impulsiva ejercida por la placa sobre la bala' 13.143 Un collafn de 1 5 kg puede deslizane sobre una varilla ho¡igirar"al¡ededor de una flecha vertical. Al prini que l, liberlad Iihe*¡d de girar tiene la zontal ^,'^ t¡.'" en A mediante una cue¡da unida a Ia flecha' cinio el coll¡nn se sostiene eir crpro,
v¿úlla gtra a velocidadO : 18 raÜs, la cuerda se corta y el col1aCuando Ia *¡if" ó"""ti¿á f" Ignorín se rnueve a lo iargo de la vnrilla y golpea el tope en B sil-r rebotar' del impulso imPulso la maglitud ."-,r^ l" r"t"^;;. l,'mas¡ de l^.'aili. dete¡miné la 1a rna'a rando Ia lriccicin 'y "rrilla de Ia fuerza ejercida por el tope sob¡e el collarín'
13"144 Utapelota
de goll de 45 g es golpead:r con rm palo de golfy sa-
le clespedida a una velocid¡d de 138 rn/s. Suponga rlue para 0 = I s lo, dorrde l¡ es la cluaciírn deJ impacto, la magnitucl F de la luerza ejercida sobre la pe lot:i puetle erplesalse como F : F,,, sen(zrf/fo). Si fo : 0.5 ms, dete¡mi¡e el va lor mlximo fl,, dc la fueza ejercicli sobrc la peJota.
13-145 Antes de tüseñar ur plototipo de cirrtu¡í¡n de segurid:rd que se elirluiirá en pruebas de choque de arrtoruiviles, se rc¿liza una estirnació¡ dc lir cargn espelnd:r en el tranro cle cintürón quc pasa pol cl holrbro. Si ul au tomór'il quc viaja n 72 km/h se cletiere err ll0 r!rs, detennine a) la luerza irrpulsira promeclio ejercicla por ul hombre de 100 kg sobre el cinturr'rn, b) la lirelza rrrlüma F,,, que se ejerce sobr-e el ci¡turón si cl diagr:rma fuerz:r-ticmp ticnc la lornra quc irclic:r la ligrlra. F
(\)
llu
i (r,s )
Figura P13,145
13.146 tln
remolcaclo¡ cle 120 ton se tlespl.ua:r 6 fVs rneüante urr ca b1e cle renolque de b¿in terrsi(in unido a una b¡¡caza de 100 ton qlie estír en reposo. El ciüie se clesc.moll¿r de u¡ tmrbol rrbic¿do sol¡'e el remolcaclor a rr¡:r tas¿1 constante de 5.¿t ltls, la cual m¿ntiene después de que el cable se tensu. Si se ignora Ia lcsistencia clel agua, cleternire a) la velocic'lacl clel rcnolc:rdol después de h¿üeme tcns¿rdo el cable, b) el ilrpulso e.jercido sobre l¿ ba¡c¿z¿
cualdo
se tensa
I00 ton
F¡gura P13.146
el c¡üle.
13.147 Una bal.r de I r¡z se dispar:r hacia rrn bloqrre de rrade¡a cle I lb en el cual queda i¡cnrst¿rcla. Si el bloque v Ja baln se ¡rucvc¡ entonccs h¡r ci¿l arrjb¿l por-una pcndjcntc dur¿Dte 1.2 s antes de detene¡sc, dete¡minc ¿) lzr magnitud cle Ia velocid¿d inicill dc l¿ b¿la, b) la magnitud clel inpulso de Jt luerzr ejelcidn por la bnl¿r sol¡-e eJ bloque. 13.148 Ur bloque A cle 2 kg puecle deslizl¡se sin fricción h¿rci¿r ¿b¿r io por la ranura de un bloqre B de 10 kg, el crrd puede deslizarse sjn fric.ión soble un¿ srrpelficie horizo¡tal. Los clos blocluc's estáu en reposo cuan ¡lo,1 se suelta desde 1.1¡rosición rnostradl el h figur:r. Jrrsto rutes tle qrre el bloqre A lJegue al e¡t¡elio de lir lruirua, srr veJocidad en relación co¡ el blo,1ue B es de 3.59 ¡r/s. Si se igrora la fricciór y los dos bloques se deslizal jrrnios clespués dc que el blorlue A golpea el exberno de la lamua, deternn le rt) el iltpr so ejerciclo por el bloqrre B sobr-e el blor¡re A, b) In energía peldicla en el inpacto.
Figura
P
l3-148
Figura P13.147
81 8
C
r"r .¿ de o.n LLld,: merodos de
.:
.áni dád de movrmrento
lá enersia
13,149
Dos nadadores A y B cott rrasas de 75 y 50 kg, resPectiv¿men-
te, se Janzan aJ agua desde el ertremo de un bote de 200 kg. Cad¿ nadacilor tiene una velocidod horizontal rel¿rtiva de 3 nVs cuando deja eJ bote. Si el bote está inicialmente en reposo, dete¡nine su ralocicltd fin¡I, suponiendo que a) los dos nad¿rdores salt¿ur en fbn¡a sim rltáne:r, lt) el nadador A se lan-
z. ¡rirn"nr
rdador B
' "l
13.150
\,
l.jntu lrrllrcro.
bola de 3 oz se lanz¿ desde un¿r ¿¡ltu¡a de 4.8 f:t con velo y rcbota en rrra placa lisa de 14 oz que se sostiene medi¿nte resortes. Si l¿ nltura del reboLe es cle 1.8 ft, determine n) la velociclad de la placa inrnedi¿rtamente clespués deJ impacto, D) la energía perdi da debido ¿l i¡rp¿cto. Un¿r
ciclacl ho¡izont¿l de 6 lVs
Figura Pl3.l49
4.8li
', ,r,-"-. 1 / _--
-r
t.¡i ft
rL tr
I],'. --l'"r - - I
I
a
I
:
]L F¡gura P13.150
::
13,151 Con el fin de probar Ia resistencia al inrpacto
de una c:rdem,
ésta se suspende de tna r,iga rígida de 120 kg sostelid:r mediante dos columnas. Una varilla unitl¿r ¿r1 úrltimo esl¿üí¡n se golpea con un bloque de 30 kg c¡re se deja cael desde un¿¡ altr¡ra cle 2 ¡r. I)etermine el impulso inicial eielcido
sobre la cadena y la etergíá que ést¿r ¿l¡sorbe, suponiendo que eJ bloque no rcbota er lir viuilla y qre las columnas que soportan la viga son a) perfectrrnente r'ígidas, b) equivalentes a dos rcsoftes perfectancnte elít^sticos.
Fiqura
P
l3.l51
13.152 Un pequeño:emache que conecta dos piezas cle hoja de lTe - .. encaja mediante trartilleo. Determine el impulso ejercido sobre el re=-:-e r la energía absorbida por éste bajo cada golpe, sabiendo que la ca-:- jel rnartillo tiene masa de 750 g y golpen al remache con velocidad de - - : Suponga que el martillo no rebota y que el )unque está apoyado en
-¡
-es
\
Probremas
¿) tiene nasa infinita (soporte ígido), ü) tiene uiasa de 4 kg.
a,'rrl
Figura P13.152
13,153 AI capturar una pelota, un jugador de béisbol puede suavizar inpacto jalando su mano h¿cia ¿rtrás. Si una pelot¿r d.e 5 oz llega a la ura:ropla a 96 mi/h y el receptor jala h¿cia at¡ás su m¿lno dur¿nte el impacto ir
.
,rn¿ velocidad
p¡omeüo de 25 fVs sob¡e una dist¿ncia de 8 in., y la bola que
-la en reposo,
detennine la fuerza iri,pulsivn promedio ejercida sobre l¿ m¿r-
ro
del jugador
un¿1
13.154 U¡¿ esfe¡a A de 4 lb se conecta a un punto ffjo O nediante cuerd¿ inextensible de 3.6 ft de longitud. La esfela descansa sin fricción una superficie horizontal a una distancia de I.5 li de O cuando se le
'obre imprime velocidad vo en una dirección perpendicular ¿ la líne¿ OA. La esi¡¿ se mueve entonces libremente hasta llegar a la posición A', cu¿ndo se iensa l¿ cue¡da. Determine l¿i mátin,a velocirlad pernisible v¡ si el impulso de la fuerza ejercida sobre la cuerda no debe ser ma1'or a 0.8 lb . s.
Figwa P13.154
Figuta P13.153
819
C¡nética de partÍculas: métodos de la energía y la cantidad de movimiento
13.12. TMPACTO Un choque entre dos cuerpos que ocurre en un intervalo muy pequeño y durante el cual los dos cuerpos ejercen fuerzas relativamente gra[des entre sí recibe el nombre de írlpacto. La notm¿l común a las superficies en contacto durante el impacto se conoce como línea d,e impacto. Silos centros de masa en los dos cuerpos que chocan se ubican sobre esta línea, el impacto es rL impa.-to central Er otro caso, se dice que el impacto es ex.céntrico. Nuestro estudio se limitará al impacto central de dos partículas. El análisis del impacto excéntrico de dos cuerpos rígidos se considerará después, en la sección 17.12.
F¡gura
13.20
a) Impacto cent¡al directo
b) Imp¿cto central oblicuo
Si las velocidades de dos partículas se dirigen a lo largo de 1a línea de impacto, se dice que el impacto será ürecto (ffgura 13.20¿). Si alguna o ambas partículas se mueven a lo largo de una línea que no sea la línea de impacto, se dice que el impacto será oblicuo (figura 13.20b).
13,13. IMPACTO CENTRAL DIRECTO
un
,
t'-
@@ ¿) Antes del impacto
b) En la defo¡mación máxima
a ....>
Considere dos partícu1as A y B, de masas m¿y ms, las cuales se mueven en l¿ misma línea recta y hacia la de¡echa con velocidades conocidas v¿ y v3 (ffgura 13.21a). Si va es mayor que vs, la partícu1a A golpeará ffnalmente a la partícula B. Por el impacto, las dos partículai se deformanin y, al final del periodo de deformación, tend¡án la misma velocidad u (ffgura 13.21b). Se presentará un periodo de restitución, al final del cual, depenüendo de la magnitud de las fuerzas de impacto y de los materiales implicados, las dos partículas habrán recobiado su forma original o permanecerán deformadas. El propósito aquí es determinar las velocidades vi y vi de las partículas al ffnal del periodo de restitución (figura 13.21c). Considerando primero las dos partículas como un solo sistema, se advierte que no hay fuerza impulsiva extema. De tal modo, se conserva la cantidad de moümiento total de las dos partículas y se escribe mAv A
mBv B
:
m^v'o
I
m"v'"
Puesto que todas las velocidades consideradas están ürigidas a lo largo del mismo eje, es posible susütuir la ecuación que se óbtuvo por Ia siguiente relación que incluye sólo componentes escalares
c) Después del impacto
Figura 13.21
+
m¡D¿
I
tksos
:
m¿al
I
mua'"
(13.37)
L n r,alor positivo para cualquiera de las catüdades escalares aa, o3, a'a o
r!
significa que el vector correspondiente está dirigido hacia la derecha; un valor negativo indica que el vector correspondiente está dirigido ha-
quemtn-
cia Ia izquierda.
s 5u-
s
Para- obtener las velocidades
v'¡ y v's, es necesario establecer una
segunda relación entre los escalares o'¿ y al. Pan este propósito, se mnsidera ahora el moümiento de 1a partícula A durante el periodo de deformación y se aphca el principio del impulso y Ia cantidad de mo\imiento. Puesto que la única fuerza impulsiva que actia sobre A dur¿nte este periodo es la fuerza P ejercida por B (figura 13.224), se escribe, utilizando de nuevo componentes escalares,
¿le
ubicaso-
I im-
nde
m¡o¡-[Pdt:mp.
(r3.s8)
donde la integral se extiende sobre el periodo de deformación. Al considerar ahora el movimiento de A durante el periodo de restitución, y denotar por R la fuerua ejercida por B sobre A durante este periodo ñgura 13.22b), se escribe
_la,
e
mat.
- I Rdt:m"o;
(f3.39)
donde la integral se extiende sobre el periodo de restitución.
+@e ¿) Periodo de deformación
r línea
+ @É"
Si alno sea t.20ú
).
@t3"'
b) Periodo de restitución
Figura 13,22 ) muei
cono-
A golul¿s se
misma tución, impacobrado í es de-
En general Ia fuerza R ejercida sobre A durante el periodo de restitución differe de la fuerza P ejercida durante el periodo de deforrnación, y Ia magnitud I R d.t de su impulso es menor que la magnitud f P dt del impulso de P. El cociente de las magnitudes de los impulsos correspondientes, respectivamente, al periodo de restitución y al periodo de deformación se denomina coef,ciente de restitución y se denota por ¿. Se escribe
e: I Rdt Pdt-
priodo ema
¡
5€
conserescnbe
(r3.40)
El r¡lor del coeficiente ¿ siempre está entre 0 y 1. Depende en gran redida de los materiales implicados, pero también varía de manera con la velocidad de impacto y la forma y tamaño de los
*-iderable orerpos que choca4. a
lo I¿r-
oporL
-{.1
resolver las ecuaciones (13.38) y (13.39) para los dos impulsos en (13.40), se escúbe
r dituir
u-D^ 13":l
1)A-U
(13.4r)
13.13. lmpacto
centrald¡recto 821
822 i 1"::?ri:iX:icuras:
métodos de ra enersra
Un
a l¿ I'elaciór an¿ilisis similar de la partícula B conduce
t:'¡ - lt
(13.41)
LI_DB Pfleslo oue los cot ienles en ' 13
4lI )
13
42r :on iguJes l¡mbiért lo
nunreradore\ .on al .r.ient. obtenido ¡l sunr'rl: rcsPer'li\ itmenle 'us v srrs denon, ir.radores. Se tiene, Pol lo tanto
Qt-u'a)*(a's-u) tlu,- u) + (u - tD) u3
-
1)A
Du
.--a\:e(o¡-a¡)
(r3.43)
relativr de. las dos En viltucl de que o! - uj1 representa la velocldad lel¡narlicul¡. ¡lespues del ¡rnlr.r(to) ¿-l\ - ¡s repre:enll su,v'locidaLl tt t?ttt tt,tott lot lir" ,rnle. del irnp¡rciu l¿ lilrrnuh ' lJ'13\ erl¡r'es'r quc 'i,:ti t'tultin.l r','," ,,i"" ,i;" ei,,;ilui,' -,, i"'p"u 'lul itnpo't'iprt"'lu'"btetvrsc ':'i,i.i;;':,';;:;,:,i;i t,,,¡,',, 'ttttcs tict' ittt¡"r:'1o par et couficien,tu 'te rncrrt¡l mcn ' n-:;li! utíótt. E\lr pronieJrd :e u lilizr ¡ar't deterr n inar e\Tcn ri¡rle"laclos ot" Jot r* -l .,J,'r,\, I c,;.,ft:ientc de r¡slituciórr d' 'l r
Las ve\ocidades de las dos pl{rticu'Ias ürspues de\ impacto pueden obtenerse ahora al resoh'cr sinultánean.rente las ecuaciones (13.37) r (13.43) para oj1 y oi. Hay que recordar que la deducción de las ecu¿cioles (13.37) y (13.43) se b¿s¿ en la suposición de que la partícula B se locüza ¿r la derecha de A, ¡' que ambas partículas se están movieDdo.rl principio haci¿ l¿ derech¿. Si la partícula B se mueve inicialmente hacia la izquierda, el escalar o¿ debe consider'¿rse negativo. La misma colvención de signo se cumple para las velocidades después del impacto: un signo positivo parn oi indicará que la partícula A se mueve hacia la derecha después del impacto, y un signo negativo señalará que se mueve hacia la izquierda. Dos casos de impacto pafticulares son de especial interés:
l.
: 0, in4tacto perfecturcnte plós¿icr¡. Cuando ¿ : 0, la ecuación (13.43) produce o! : ol. No ha;' periodo de restitución y ambas partículas permanecen juntas después del inpacto. A1 sustituir o; : D'^: u' en la ecuación (13.37), la cual erpresa que Ia cantidad de moviuiento total de las partículas se cone
sewa- sr: esc¡ibe
ITAD^+ntBDB:(no*m)a'
2.
(13.44)
Esta ecuación puede resolverse para la velocidad comÍrn o' de Ias dos partículas después del inrpacto. e -- 1, intpacto perfectumente ehístico. Cu¿ndo s I la ecua-
:
ción (13.43) se reduce uB
a
urt - u_\
uB
(13.45)
que eryr'esa que las velocidades relativas antes y después del inrpacto son igurles. Los irrrpulsos rec bidos por cada parhcu lu tlrrranre el periodo de Jelormación ¡ durrrnle el periodo de restitucióD son los mismos. Las partículas se alejan una de la otra después del impacto con la misma velocidad con la cu¿l
sc ¿lproxinral)¿i¡ ¿rntes de ril. Llr I elucithder cl, r ¿í. orrerlen olrteric'rse ¿l resolve¡ sirl r LltJ)erlrrer,t.- 1.,, ".,,,,"i',.ná'1ill:7¡ r'(13.45).
\ .r,
13 r:1.
lmf¿cto.e¡nJ obi.uo g2g
pel', l¡oti¡r Lllc r,/ ,l , n,,,,1,.,tn it,tptt, 1,,1t, tjt t.tt¡¡,.ttl, ..tos_ i.,.¡,tt\t t.¡tt I,t, uttoit t¡t, ,1, lqt,lu., ¡,,tai"ttli*,,1,, ,.,,no.,,,.,,,,. . trL, Drur inrieDtc¡ t,,tul. L¡s |tl¿rciones i13.37) y(13.48) pLre(leD os LL
:1rse corno sigue:
- t;1) : o,i * ul :
¡l?.\(t;,r
::rrrJtiplicar ( 13.37')
1.
nrB(Lh o7¡
_ nR)
(13.37,)
i ¡1,
(13.,15,) rniernbro
(13.,1;,)
por miernl)ro, sc tiere
- r!)(o¡ i xlr) : tn7J,x,¡ oB)\Dit + nz.o.]1 - rl.1(cjr)2 - mee,e)2 tn¡.-]
rn,r(u_,
\l
leagmpar lus térrnilos en l¿ ecu¿rcitir quc se obtuwr y liultipJiclr
:ror'
*.
sc
esc
lihe
far.ru], +
'¡
DB)
LU¡l r'\pt-r sil
i
l
jrrr-1(cL)2
]rr¡r,2o:
+ ltnn||)2
(13.40)
e Lr errt rqra citrética cle Jas p¿rtícnlns se cortscll,¿. SiD
lr',i¡r{,,, lri¡\ ,lf¡, ol''Ht\¡jr-,||c,,t,l,tr,, jttttLt,.ltt. \\1.¡ "-,,,, nl ,1, ttr . r'I:tltrf,rr ',O r\ lgrt.tl l¡ l. ¡,,,s,.,.,,¡,s¡¡rrt ln,.,t,.,it,.l lOt,,l ,1, l,¡^- ¡,,,,',/,¿.'. 1.o;rrie¡iorl¡rre,lp,l¡r,r,,.lr.,r¡i¡p,,r.,,.u,,1,¡,,i"i,,,*,,,i,¿o,i,í,, 'r' l.rr ctrrrqi¡¡ ( i¡r,:li( i¡\ , rte. \ d-sI r:. de' irrrpa|iu. La c,',.¡.gtj¡ .i_ l¡.1 l)r-r(ltdi¡ e¡t pittlc \r I rir I \ l, r't ¡a cll r,¡tJ,,r r r-l¡ piI.lÉ ic gJalj, _ r".rr.orr(l.r\ e|,¡tir.,r. der,lrr¡,1. 1o.,1,,, i.ucrl,uj ¡1uc,.1,",",,1-' e|l I
-3,14.
,
I
IMPACTO CENTBAL OBLICI,JO
:, scguicla sc estuclia¡á el c¿so er c[ .¡ue lu rulocirl.rclcs d,. l.rs dos r¡¿r_ ,¡las q.c choc¿rli,?o están dirigidas. j" lo Jrug,, ,1c I" i"
":
i; pL;"
F¡gura 13.23
113.23). Cono se ildica en la secciól 13.12, sc afir.rna que el in rr. seri ,,L/i¡¿r¿. ? estu q e rro se corlocel) tri l¿r clrecCiór¡ i; tn ,rrrn ' .'l ,re lri r, lot i,lrcl, . r', r rj, rle l;rs r¡l¿rr
lrrra
''-r rrinr¡( iún rclrr-riri el
..
.
,le.¡,rris del imo.Lcti l,;r¡.iiL d" ..,,ilro e,.lllr lorre. ind¡Dendicnle*.
'1.r. Sc eligier-on como ejes coorderados irl ejc rr a ilill¿cto. esto es, a lo.largo de la l,¡.lL¡l árn,u,
lo l".,Iri. i"lrn.o l.s srqterficies en " .., to. ¡ .1 'lie / rr lu Itr{u do \l lilroert- cr_,r,¡¡1,. Sut¡,'r,iel,clo,¡u. '.11i( lrlirs s n l, t.fr-( lrtnetrtF li,,ts r¡ sitt [¡.,.i.tt¡. se 'És.11,r rll¡c los
Fotografía 13.2 Debioo a qlle el coe,tc ente oe restrluctoT es re tor qLe Lno. ds pelotas de lenis prerden algo de enerqla en cada rebote
Figura 13.24
únicos impulsos que se ejercen sobre las partícuJas dur¿¡nte el inpacto se deben a l¿s fuerzas internas dirigidas a la líne¿ de impacto, esto es, a lo largo del eje n (figura 13.24). Se éolcluye que
l.
La componente de I¿ cantldad de movirnjento de c¿d¿ paftícula a lo largo del eje f, consillcrada pol separado, se corlserva; en consecuencia, la componente f de la velocidad de cada partícula permanece invariable. Se escribe (uo)'
2.
Fotografía 13.3 En un juego de billar la bola blañca acaba de golpear a otra bola, y la mayor parte de su energía y cantidad de movimiento se ha transfer¡do a la última-
Fiqura 13.25
(uh)'
(r3.47)
La componente a lo largo del eje n de la cantidad de n.rovimiento total de las dos partículas se conser-va. Se escribe nr6(o,1),,
iJ.
: (ri), 0:d,:
+
m,s!),,:
m¡(a¿),,
+ nt:¿b6)'.
(13 48)
L¿ componente a lo largo del eje n de la velocidad relativa de las dos partículas después del impacto se ohtiene multiplicando la componente n de su velocidad relativa antes del impac-
to por el coe{iciente de restitución. De hecho, una deducción silflar a la que se dio en la secciór 13.13 pala eJ impacto central directo produce
(ui),,
-
(o
¡)"
-
¿[(¿r¡),,
-
(13.19)
(r¿),,]
I)e esta maner¿r se h¿¡n obtenjdo cuatro ecu¿lciones independientes que pueden resolverse para las corrponentes de l¿¡s velocidades dc: A y B
-F
pués del inpacto se representan mediante tres incógnitas: la magnitud de la velocidad vi del bloque A, Ia cual se sabe que es }rorizontal, y la
824
l
Figura 13.26
magnitud y dirección de la velocidad vj¡ de la bola B. Por lo tanto, se deben escribir tres ecu¿ciones en las que se exprese que
1.
La conponente
a 1o
largo del eje
t de la cantidad de movimien-
to de Ia bola B se conserva; en consecuenci¿I, la componelte I de la velocidad de la bol¿ B perrr.unece invaú¿üle, Se escribe
(u 2.
,-(x',
(13.50)
La componente a lo largo deJ eje r horizontal de Ia cantidad de rnovi:niento total del bloque A y de la bola B se consenT¿r. Se escribe
rn¡a¡
3.
*
m.6(ap),
: nt¡x'¡'l
ms(al)*
(13.5r)
La componente a lo largo del eje n de la velocidad relaüva del bloque A y de Ia bola B después del irirpacto se obtiene al multiplicar la compolente n de su velocidad rel¿rüva antes del impacto por el coeficiente de restitución. Se escribe de nuevo
(ui),
- (,i)" : ¿[(DA), (,,),,]
(13.49)
Sin el.rbargo, se debe advertir que en el c¿uo considerado aquí la vade l¿ ecuación (13.49) no puede establece¡se a través de una mera -riensión de la deducción que se dio en Ia sección 13.13 para el inpac: -' central directo de dos patículas que se mueven en una línea recta. De -(üo, estas paftículas no estaban sujetas a ningrin impulso ertemo, en --r¡to que el bloque A en el análisis presente est¿i sujeto al impulso ejer:ido por la superffcie horizontal. Para der.nostrar que la ecuación (13.49)
ilez
.izue sieldo vríLida, se aplica primero el principio del nirpulso y la canül¿d de movimiento al bloque A sobre el periodo de defolmación (figura i3.27). Al considerar sólo las componentes horizontales, se escribe
m¡u,¡-(lPdt)cos0:m¡u
(13.52)
dorde la integral se ertiende sobre el periodo de deforri, ación y donde u representa la velocidad del bloque A al final de ese periodo. Al con.:cle¡ar ¿üora el peliodo de restitución, se esc¡ibe de manera similar
tnñt
- (l R dt) cos 0 : m¡a'¡
Jonde la integral se extiende sobre el periodo de restitución. tl
].'.
---'? ,.
-
\ -'-*-'*,.-.--, t*-\-
re|']',a 13.27
-f
(13.53)
,¡
¡vjr
826
Cinética de particulas: métodos de ta energía y la cani dad de rnovimienio
Al recordar de la sección 13.13la definiciól del coeffciente de res_ titución, se escribe
I R¿t TP¿t
(13.40)
Al resolvel las ecu¿rciones (13.52) y (13.53) para las integrales [.
R ¿t,
f
),- sustitui]' en la ecuación (13.40), sá tiene, desp"ues de
ficaciones,
p dr y
siinpli
tt - a'¡ DAU o multiplicar todas las velocid¿des por cos 0 pnra obtener sus proyecciones st¡bre la línea de impacto,
- (a'),,. e: u,6;;i
(13.54)
Note que la ecuación (1u.54) es idéntica ¿r la ecuaciúi (13.41) de la sección 13.13 e\cepio por los sub¡ndir."s,,? que se us,Ln aqui pirra indicar. que se_ estíin consider¿rndo conponelttes de velocidad i lo largo de la lin"a ds ilntu.a.. Puesto que el uoümiento de l¿ bola B no Átá restrinqldo. la denostración de la ecu¿ción (13.4g) puede completarse de la r.r.iisma rnanera que la deducción de la ecuaciói (13.43) dá la sección 13.13. Así, se concluye que la reJación (13.49) entr-e las comporentes a lo lar-go de la línea de inrpacto dc las velocidades relativas de las clos padícula-s que chocan permanece válida cu¿rndo se restringe el rrloviniento de ula de l¿s padíct as. La v¿lidez de esta rel¿rciórl se extien de sin dificultad al c¿rso en el que ambas pnrtículas se restringen en su
movimiento.
13.15. PROBLEMAS EN LOS QUE INTERVIENE LA ENERGíA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Fotografía 13,4 Cuando el automóvil choca contra ¡a bar¡era, se disipa una energía co lsioerable como calor duranie la deformacion permanente del automóvil y la barrera.
Ahora ya se tienen tles niétodos diferentes paru h solución tle problemr. Je cinétic¿: lr aplic.rt.ion directa de la v.gr_nda l"y de ñer,rron, )F - r,'rar el_nrélodo clel trabajo ¡ I;t energía: fel rnétodo del irrrpul_ so r la cantjd¿d dc movimiento. para obténer'el mayor benefició de estos tres r¡étodos. se debe ser capaz de eJegil el ntétodo más adecuado para h solución de un problerira deter:iir.rado. T¿nrbién se de_ be estar preparado parl utiliiar difere:ttes métodos para resolver las diversas partes de un probleml cuando ulo de los práceclinrientos re_ sulte aconselcllle. Ya se vio_ que el método del trabajo y la energía e¡r n.iuchos casos es más expedito que la aplicación djrect¿r de la sÁgunda ley de New ton. Sin embargo, conro se indicó en la sección 13.4, el mét;do del tra_ bajo y la energía tiene lirritaciones ¡ en oclsiones, debe cornplenen_ t¿rse con el uso de )F: rza. Este es el caso, por ejemplo, currndo re dese¡¡ delenninar unl acelcracióll o un,, fu"rrl nor-rl.' Para 1¿ solución de probJenns en los que intervienerl fuerzas no impulsivas. suele encontrarse q.re la ec.ración )F: ¡i.¿a produce una solución igual de_rdpida que el método del impulso y cant'id¿d de mo_ vimiento y que el método del trabajo 1 la eneigra, sj se ¿nlica. es más r'ápido y convn¡ie¡1.. Sin ernbarqo. en p.oble,ia, de irn¡rrclo. el rné_ todo del impulso y la cantidad dá moviiriento es el únici que resulta
FH
:ráctico. Una solución
en la aplicacirirr directa cle
)F :
13.15. Problemas en los que lnterviene la energía y la ca¡iidad de movim¡enio
l¿a se,i.r tediosa, y cl método del trabajo,v la elergía no puede utilizarse, 'fuesto qrre cl impacto (a r.irenos que sea per{ectamente el,}stico) im'1i",, r¡na |erdid¡ dc "¡p¡no rr¡c(iini, ir. Nluchos problernas inrplican sólt¡ luerzas consen ativ¿s, salvo para rn¿r l¿rse de iürpacto corta durante l¿r cual nctúan fuerzas impulsivas. L¿ solución de problenas de este tipo se dividc el varias plrtes. L¿ '.rafte con-espondiente a la fásc de impacto reqr ere el uso del método Jel irnpulso y la cantidad de r¡roü¡¡iento y de la relación ertre l¿s ve,rcidrides lel¿itivas, en t¿uto que las otras partes suelen resolverse por .l nétodo del trabajo y la energía. Sin errbargo, si el problenra irnpli -¿ la deterrnin¿rcitin cle una firerz¿r norn¿rl. es necesario el rrsr¡ de
lF :
bas¿rda
a¡a.
Considere, por ejcmpJo, un péndulo A, de ur¿rsa nr¡ y longitud l, lLre se suelta sil velocidad desde una posicirin A1 (figura 13.28a). El :réndulo oscila con libeft¿rl en un plano vertical y golpea a un segun 1o pénclulo B, de masa in¡ c iguail longitud l, qué e-.-stír inicialménte :u Ieposo. Lucgo del irnpacto (corr coeficiente de restituciól e), el pón:lulo B oscil¿ rrn iirgulo 0 que se dcsci¡ dctcnninar. La solución del probletrn puede dividirsc en tres partes:
l, 2.
EI ¡ténchtb A oscila de A1a A2. Es posible utilizar el principio de l¿ colsen'aciírn de la energía para determin¿rl la velocidad (v¿)2 del péndulo cn A. (figura 13.28b). El péndub A golpea al péndulo ll. Utilizando el hecho de que s<: conserva la c¿ltidad de rnoümielto tot¿l de los dos példulos v la rclació¡ entle sus velocidades relativas, se determinan las velocidades (ro)" y (.'r)" de los dos péndulos rlesprrés rleJ
impacto (figura 13.28c). pílncl:ulo B oscílu de B' n Ba. Aplicando el principio de la corrserv¿cicjn cle la energía al péndulo B, se tleter.rnina I¿r elevaciórr nrárinra y4 que ¿lc¿nz¿ este mismo (ligura 13.28d). El iilgulo 0 pueclc cleteuin¿rrsc cntonces por tdgonomctría.
:1. El
de la crrcrgía
Imp¿cto: conserv¿ció¡ dc h c¿ntid.rd (lc r¡ovi i-.¡t., \rr'locidlt.les relrri\'¡s
C0nscrw¿Ni(in
de
1á
e
eIgíIl
.l) Figura 13.28
Adüerta que si se van a deter¡lin¿r las tetsiones en l¿rs cuerdas 1ue sosticncn a los példulos, el método de solución que acaba de des-ril¡ilse delrc corrplerrentarse con el uso de )F : ma.
-
PROBLEMA RESUELTO 13.13 Un vagón de fe¡¡ocarril de 20 Mg que se mueve a una velocidad de 0,5 n/s hacia la de¡echa choca con u[ vagón de 35 Mg que se encuenha en reposo. Si después del choque se obsewa que el vagón de 35 Mg se mueve hacia la de¡echa a una velocidad de 0.3 r¡/s, determine el coeficieúte de resütución entre los dos vagones.
soLUctÓN Se expresa la conseruación de la cantidad de
moüniento total de Ios dos va-
gones.
|r/s ----.¡+
r.r = 0.5
!;;-l
\1r = 0
vir = (J.3
'i
..+
,,,
l=,-,,1
[q,,*-l ".-****-.¡.>!¡¡r+ r¡
\\,'1
|r/s
tr-l *.#
rr ¡;r,i]
tnA\A + mBvB : m¡v'¡ I m¡v'6 (20 Mg)(+0.5 n/s) + (35 Mg)(O): (20 Mg)a¿ + (35 Mg)(+0.3 mk)
a'^- 0.025tns t^-0.025n/s*
El coeficiente de restitución
se
obtiene
¿rl
escribi¡
¡ u" T0.3 r -0.0251 aA-1)B +0.5-0 r
0.325 0.5
¿:0.65 I
PROBLEMA RESUELTO 13.14 Se lanza ur1a
pelota contra una
p:
ed vertica] sin fricción. Inmediatamente an-
tes de que la pelota golpee la pared, su velocidad tiene una magnitud o y foma un írngulo de 30' cor la horizont¿I. Si se sabe que e 0.g0, detertrine ia nragnitud y dirección de la velocidad de la pelota cuando ésta ¡ebota en la pared.
:
SOLUCIÓN La velocidad inicial de la pelota se desconpone en las componentes per?endicular y paralela a la pared oJ¡
= o cos 30'=
0.866¿ or:
o sen
30'=
0.500o
.11r N{ovirniento paralclo hacia la par.cd. Puesto que no hay fricción en pared, el impulso que ejerce sobre la pelota es perpendicular a aquélla. De tal modo, la componente paralela hacia 'la pared de la cantidad de moümiento de \a pe\ota. se co\\seN.¿
'\-'I ....:1
se
vl:
tie\e,
v¡ = 0 5000 'l
Nlovirnicnto perpcndiculrr lracia lt pared. Puesto que la masa de pared (y Ia tÍerc¿) es esencÍaine¡te inlinrta, erT)res¿¡ que la cantidad de mo_ ürriento total de Ia pelota y la pared se conse¡v¿ no pioduciría información útil. Al uüljzar la rclación (13.49) ent¡e las velocidades-relativas, se esc¡ibe I¿r
0
v"y
828
)
- oi.: oi, :
e(a" - 0) -0.90(0.866o)
: -0.779x
vl,
= 0.77
<-
Nlovimicnt<¡ r'csult¿¡¡rte. Al suma¡ vectorialmente las componentes v'r.
v' :
0.926u
L 32.7" <
PROtsLEMA RESUELTO
\lr = 10
1
3..I 5
La m¿gnjhrd v dirección de las velocidades de dos pelotas icló¡ticas sin liiccia)n antes de que choquen entre sí son cor¡o se indica cl la figura. Sulxrniendo que ¿ :0.90, dete¡rine la nragnitud y direccióu de l¿r relociclad cle cad:r pelota después del imp:rcto.
li /s
soLr.,crÓN Las lucrzas ili-rpr sivas que Jas pr.lrtas ejelceú enb-e sí dur¿nte el irrpacto están dirigidas a lo largo cle la línea quc unc los centros de las pelotns v rlrLe recil¡e el nonrl¡re cile l.ínca de itryxrctut. Al descouipoler l* velocid¿dcs en l¿rs conpo¡cntes dirigirlas, respectivamelte, a lo largo de la línca de inrpacto _f a lo lar-go de la t¿ngerte con¡rin :r l¿rs supcrficics cn contacto, se cscribe
\/ = llrlr
: o,r cos il0" : *26.0 lVs : ¡¡ se¡ 30o = +15.0 fi/s (¿¡), : r,¡ cos 60' : -20.0 lVs (.t:), : oa sen 60o : +i1,1.6 lvs (¿-r),,
\
(u1!
r
Princi¡tio dcl inrprrlso
¡
f
I.\/
.-)..
i_o"-.--*.-
i
l¿r
cl¡rti
ns
¿rdjunt¿1s
sos
y l:rs cauticlacles cle rnovinieltos fin¿les.
Jas
sc r¡ucstr¿rn las carrticlades de ilovimiento iniciales. Jos
ligu
ilipul
llot:imienlo a kt lorgo tle la lcngente cr-¡r¡r¡i¡t, Al colsider sóio las corrponentes l, se aplicn el principio de1 inrpulso la caltidad dc ¡rorirrriento a cirdir pehrtá por $epu'odo. Puesto que las fjrezas inpulsivirs están dirigidas a Io largo de la lírea de iliprcto. Ta uom¡otclte r de l¡ cLurtidrd cle mo\imiento \', elr consecuencia, ltr corlpotente I de l¿r velocid:rd de cada peiota, no se ahc¡an. Así.
l
ll/ '.*-( ,r
(v!).: llot'itníentr¡
t
15.0 lVs
(vj3),:34.6 ltls
|
I
lo largo ¡le kt lít¡eu tle ínt¡tacto. En l¿ clir.ecció¡ r,
se cousider¿ a las clos pelotas cr¡nro un solo
sistella )' se nota que por la tcl-lev cle Nelvton, los impulsos internos son, respecti\.arncnte, F A/ \' F Al y sc cirncelar. De t¿l mod¡¡, se escribe qrre Ia cilntida(l de ütovirltiento to tal tle las pelotas se conserva ce¡¿r
+ rrr¡(o¡),,:
nr,1(o,1),,
nr(26.0) +
,r¡(
20.0)
:
rrr,1(rl.),,
+ nr¡(oj,),,
a(oj,),, + rrr(r:i),, tr1),, + (.;),,
\l= r
Ir\
: 6.0
(1)
Si sc rrtilizr l:i lelaciór (13.49) entre lelocidaclcs ¡cl¿tiras, se escdbe
(oi),,
-
(ur),,
(L,h),, (¡lr),, Al resolver las ecrr¿ciones (I) (ol),,
(¡i),,
: :
¡
: ¿[(t-'),, (.u),,] : 0.90)126.0 (-20.0)l (¡h),, -
(r..!),,
= 41.4
t.2)
(2) de m¿ne¡¿ siri-irrltánea. sc obtiele
-17.7 r7.7 lVs
<
(vh),,
:23.7
fVs ---'
\[ot'imie¡to resull nlrle, Al suntar vectoriahnente lls conponentes cle la velocidad de ca
\,1:l]].]l.t,.s:c.l()';].,\'il:11.|)fil'sli5'6'< 829
r¿l
PHOBLÉMA' HESUELTO
1
3,X6
I cnelga de un¿ orer(l¿ incxlensil¡lc BC. Una peJota icléntica A se suelta dcsdc cl reposo cu¿¡do ¿peniis toc¿ la cuerda v adquiele nna velociclad v¡ antes de choc¿r¡ corr l¡ pe]ot¿1 L Suponienclo ur irnpacto perfect¿ rnente elástico (¿r : 1) r'¡i¡grr¡a fricción. clctcrmile l¿r Velocidad de cacla pelr¡ta inmccliatamcntc dcspués del irr¡racto. La pelota
soLUet0$¡ Presto qrre la pelot:r B estÍ r'estrir'igirla a rrovelse en ur cfuculo de centr-o C, su vclocid¿¡d v/J dcspués dcl irnp:rctr-r debq ser liorizortirl. En consecuctciir, el problerla irnplicir tles incógDit¿si h rnaglitucl rl de la r.elocidacl de /3 y lr
se¡A-I -05 2r
¡llgnitud ).dirección de h
d=30
velocid:rcl vj1 de A ilespués clel inrpacto.
Principio rlt'l irnpulso-ctnticlld: ¡rclota,1
.í.
+\ ¡ comporentes:
I
,x-
rnvl ¡r1o0
(oi),
''-'r'rLr t
' t. .\r
i F Af:
sen 30o
:
rnvl1
+ 0 : rn(u.il (r)
0.5o¡,
Obsen'e que la ecuacirin utilizircla exprcsa l¿r consen'¿¡cirin de l¿ canticlad clc rlovirniento cle la pelota A a 1o largo rle la ttngente comíu :r l:rs pelotas A 1' 13.
Prirrcipio rlcl ilrprrfso-ctrntid¿rd cle ltrovirnienlo: pclotts A \rL,
i/tt
1,, A] -L
\ B
3r
: ¡¡¡vl, * rr¿vl; ,riv,\ + T conrponentes:^f 0 : r¿(¡.,r), cos 30" rrr(o!),, sen 30"
B
rttx'¡
]
C)bsene qrre l¿ ecrración obtcnid:r erpres:r la corse¡'v¿ciírl de l¿r c¿rnticl¿rd cle ¡roviniclto tot¿rl en l¿ clirección r. A1 stlstituir (oj1), de la ccunciól (I) v re ilgr-up¿rr térmi1los, se escdl)e 0.5(c1'),,
+ ol
:0.43310
\'<'locidadcs rcl¿ti\¿rs ¡ kr Lrlgo dc que.r : l. l¿ ecuación (13.49) prodrrce
oi r\ I
-
r
,,
(o!),,
:
l¿r
(¡'!),,
:
0.520o0
1'
0
(3)
(3), se obtiene
oi¡ :0.693.-"
i i' Al reco¡d¿r la ecuacióri
(l)
Presto
(¡¡),,
(¿tl'), = ¡o cr¡s
Al resoh,c¡ sir¡ultileamenle las ecoacioles (2) = {);11)¡,r ',
líler¡ de i,lp¡cto,
- (¿r),, il0'0.5t:'6 (ol1),, :0.866o¡ 1t,
sen 30"
(2)
:
t'tlg';"'
-
<
se realiza eJ dibujo adjunto v se obtiene por
t¡i-
:46.1' 30" : 16.1" r'r:0ill¡,, ,:l lti.l''
.(
go¡orrretl-ía
al1:0.721t¡ B:16.1"
830
a
30 kg
810
PROBLEMA FESUELTO 13.17 Un bloque de 30 kg se dejir caer desde una altu¡¿ de 2 n sobre el plato de 10 kg de una balanz¿ de resorte. Suponiendo que el inpacto es perfécta mente plástico, deten¡ine el desplazarniento míxímo del plato. La constante cle resote es I = 20 kN/m.
SOLUCIÓN El impacto entre el bloque y el plato tlcbe tratarce por sep¿rrado; por lo tanto, se üvide la solución en tres partes. TrnprLcto: sc
ile l¡ ene¡Ji.1
crnst'l,r
c,r¡ti¡.r(l rh l1lo\iüric¡,t,r
l,r tdr'l
(
i,ir\err,r( i(in
rLe l.r
o,r.rqí,r
ti
l1'r'l +
/
| . I!
L/
"J.1
I
lrr
i-__;üe
i"/rl:r = 0
Ninf'utl.r defornrcidn\
'"*"t"
I
L
;:
W¡: (30kg)(9.81m/s!) :294 N ?, = ]rn¡(t¡)!: 0 Vr : w¡9 : (294 N)(2 m) = 566, T":1,,^(un)3: ]1:o kg)(o")3 V9: o * ?1 vl : T¿ -1- ve: 0 + s8s J: i(30 kg)(ü,1); + 0 (o¡)z : i6.26 ¡Vs (v¡)2 : 6.26 m/s I Consen¡¿¡ci<ín dc la
cnergía.
Bloquer
Impacto: conscra¿rci
:
*4.7O
+
nls
I
*
m¡)o3
= (30 kg + i0 v3
:
kg)o3
4.70 m/s J
Consen'¿rción de la energía. Inicialmente el resorle sostieüe al peW¡ del plnto; en consecuencia, la deform¿¡ción inici¿¡l del resofte es
\l* k
'
rrL/s!, 98.1 N 10" N,rn 20x L0 N/rn
..¡0 Lg,i9.Bl
20¡'-
.1.91
X l{) 'm
Al denotar por la la defon¡ación máúma total del ¡esorte, se escribe
:
*
:
ms)tl jlso tg + r0 kgXa.7o n/s)2 v¡ = vs + v. = 0 + +/ü: j(20 x 10tx4.9l x 10 T"
t@L¿
:
T¿:0 va=vs+ve= (w^+ wE)(
h) +
ltrl=
Al advertir que el desplazamiento del plato es ñ :
:
442
3)2
:
¡ 0.24I
¡ssz¡t' + +(90
ra
-
x
J
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0.24r: 0 - 392(r+ - 4.91 xlO 3) ++(20xto3h; r¿:0.230 m /r: ra ¡¡:0.930 r¡ - 4.91 x 10 3 r¡ h. = 0.225 n /i :225 rr¡n {
442 +
831
'{-
En esta lección se estudi¿ el it4ncüt de los urLetpos, estt¡ es, el choque que ocurre un interv¿lo rnu) pelupño. se rcsolveri ,"gr"i ,,ri i"i,uh1",,,,,.. to lJ cprcsirr que se uonserl jr.l¡r r.rntidatl ""i",oi"t'¿e jos Je irnpac. cle ,i"¡,n,"ni-o do. r.uerpb. v qu{'eKiirc o rI¡"l¡s verocid¿rl"';;;ff;l.
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l?: 1::, 1'. :' ) "1 "j:,,: 1 detir¡e tr dc osrr r,j. rJ" r, rr,.. i" i,;;p;,;; i::,::,,ii,:!,;':_u:,,,;:oi:,''":ll-n'","d\ ;:.,'r;; rpos que chocan,
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y el impacto se retieie
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2.- Ll xiquiettt< paso
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***J.i:*l*r*r.f"T:í**-:;,":¡;.*,":,í,í PI rls.r
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irrrlicacl,rs
I En esta lección sc cstudi¿r c\ intpocto da rLos orcryos, esto es, el choque que ocuue el un irtery¿rio rruv pc'(iucño. Se resolvelá ul gr¿iD lúrncro clc ploblcmas c1c inrpacto al cxprcsar quc sc conscn'a la cantld¡rd cle rrcwir¡iento tot¡l tle los (los cuel)os \ ¿rl adveltir la rc:lucitin (¡re existe eltre las velocidadcs ¡r:ladv¿rs cle los cuerpos irltes y despuós clcl inrpacto.
1. (knnr¡ ¡tríncr ¡xtso en lu solu<:í¡itt debe elegir- )' dilrrrjar. los sigrúentes ejes tle coorcler¡rchs: el cjc: f, el crral es talgelte a las supcr'licics cle colt¿rcto de los clos cr¡er pos quc chocirl, v el eje l, clue es nor-nrirJ a las srrpelficies de colt¿rcto v dclilc la líneo lt hn1ttr:to. El todos los ploblcmas dc est¿r lecciór l¿ lhea cle inpacto p¿rsa p(tlos centros cle uts¿r cle los c'uerpos t¡re chocirl, r' el ilup:rcto sc lclicli: it in hnpu)to
r:ent raL.
2.
siguientc ¡tuso es dibujur un di,rgt'rttttct cn el que se rruestr-¿rr las c¿¡titla noürnielto cle los crrerpos untr:s del ilipacto, los irnpulsos cjcrcidos sobrc los cuerpos durlnte el ilrpacto r'las c¡rutid¿rcles de movjr¡iento fi¡¿les cle los cuerpos luego clel impacto (ligrrra 113.2,1). Desprrés se obsen'¿r'¿i si cl inrpacto cs iD i¡t1pu)lo I'.1
des de
cetúral cl)rectt¡ o \út i¡t4xtcto centraL oblirstt¡.
::i. l¡npocto cenlrol dirccl¡¡. Ocurre
cu¿lnclo l¿rs veiocitl¿tles cle Jos crtetpos
AvB
iurtes clel irrrpacto t:stúrt dirigidas u lo Ltu"go tle lo línoo tlc inryxu;ut (ligula I3.20c).
a) (lonsertacíón de la canlítlul de n:rrn'intienl¡¡, Puesto que l¿rs luetz¿s impulsivirs son intem¿s ¿rl sistenr¿r, es posible ersctilrir i¡re lo untirl¿rl de na1)itnicttto totol dc ¡\ t B se consenla, tn^o1i_ ttrst'p: nt¡:\ l n4t'1¡ cloncle r,1 v oE denot¿u l¡rs velocid¿iles cle )os cui'rpos A -r'B arrtes tlel irupacto I' o], ¡, ol denotrur sus velocid¡,Ldcs clcspuós clcl irrrpacto.
b)
Coc-licíentc cle restítuciótt. Tanbiér es posible escibir la siguierte rel¿ición uloúdules rclatíxts rle los dos cuerpos artcs v clcspuós tlcl inipacto,
etttre l¡s
t'6
- t'a:
c(o1
- o¡)
(r 3
r3)
dc¡nclc e cs cl cocficicntc dc r-cstituciíll cntre los dos cuerpos.
Hiw que observar que las ecutrciones (111.37) v (lll.,1ll) son eqraci¡rucs escaliues rlue pucderr resolvcrsc parir dos incógnitas. Adcniírs, cs ncccs¿r-io Lcr.ic'r- cuidaclo v aclopt¿r' rrn¿ ct¡lvencirin tle signos corisisterte par:r toclas l¿s velt¡cid¿Lcles.
J. Inpocto
canlru[ oblícuo. Ocrure cn¿rtlo tuut t¡ ¡t¡¡LLns de l¿rs velocirl¿
c¡ el di¿lqr'¿rll]il. 832
Con:seroación tle lq cqntidad de mr¡aimiento, Puesto que las fuerzas itlpulsivas actúan a Io largo de la linea de impacto, esto es, a lo largo del eje n', se coni.r.rr la componente alo largo del eje t de la cantidad de moümiertlo ¡/p radt cuerpo. Por lo tantc,. es posible éscribir para cadr cuerpo que las cotnpon"nles / de su velocidad rnles 1 después del impacto son iguales.
u)
(uo)'
- (o'o), (a),:
(13.47)
(ab),
Además, la componente a lo largo del eje n. de la cantítlad de mttoitníento total del sistema se conserva.
ma(a¡),,
'l
ms(un),
:
m^(DL)" + ma(ub)
"
(13.48)
bl CoeJicíente ile restilución. La relación entre l¿s velocidades relativas de los dos cuerpoi antes y después del impacto puede escribirse sólo en la dirección n, (ráL
- (oit:
el(a¡),
-
(xs)"1
(13.49)
Ahora se cuenta con cuatro ecuaciones que es posible resolver para cuatro incógnit¿s. Obser¡¡e que después de encontrar todas las velocidades, es factible determinar el impulso e¡e'rcido pór el cuerpo A sobre el cuerpo B übujando un diagrarra de in.rpulsolcantldad de ñovimiento-sólo para B e igualando las componentes en la dirección n. CuuruIo estti restringiilo eI morimiento de uno de los cuetpos que choca, exter''nas en el diagrama dibujado En fueruas externas es necesario ecesario incluir los in, pulsos de las fuerzas esas condiciones se observará que algunas de las relaciones anteriores no se cumquó se n'tuestra en la figura 13 26 l¿ canüd¿d de ejemplo qué plen. Sin embargo, en el ejempio et una ürección perpendicular al impulso i¡ovimiento movimiento total del sistema sá "ottie*a externo. Es necesado advertir que cuando el cuerpo A rebota en una superficie fiia B la única ecuación de conserváción de la cantidad de movimiento que puede utilizarse es la prinera de las ecuaciones (13.47) lproblema resuelto 13 14].
c)
5.
Har¡ que recorilar que se pierde energía ilurante la mayoría de los imp1ctos, alos ixnpaclos petfectamente eltísticos (e : 1), donLa únicá éxcepciót "otréspond" de se conservi la energia. be tal modo, en el caso general de impacto, donde ¿ < l, la energía ,ro ," conse-". Por lo tanto, es necesario tener cuidado y no aplicar el de conservación de la energía en una situación de impacto En vez de eso, principio -apliqrie este principio por separado a los moümientos precedentes y siguientes al impacto lproblema resuelto 13.17].
833
13,155 Los collarines A y B, de igunl rnasa m, se desplazan uno hacia el otro con las velocidades que se indican. Si el coefíciente de restitución ent¡e los colla¡ines es de ce.ó (impacto plástico), demuestre que después del inpacto ¿) la velocidad común de los coll¿uines es igual a la mit¿d de la diferéncia de sus velocidades antes del impacto, b) la pérdida en lir energía ci,., 1 , . nenca es :im(oÁ t D"l
+ F¡gura Pl3.t55
+
13,156 Los collarines A y B, de igual masa rn, se ürueven en el r¡ismo sertido con oA > DB. Si se ignora la fricción y el coeffciente de restitución es de 0.5, determi¡e ¿) l¿r velocidad de cada collarí¡ después del impac to, ó) la energía que se pierde dur-aúte el imPacto. '13.157 Dos bloques
se deslizan sin fricción sob¡e una super{cie ho ñzontr¡l inmediatamente antes de ir¡p¿tctiLr, sus velocidades son las que lT uestra la figura. Si ¿ : 0.75, determine n) las velocidades después del irlpacto, ü) la energía perüda durante el impacto.
A+
1n/s
B
+
2,r/s
Figura P13.157 y Pl3.l58
13,158 Antes de impactarse, los dos bloques de acero tienen las velocidades mostradas en la figura. Si se obsen'a que después del impacto la veIoc'idad del bloque B es de 2.5 ¡r/s hacia la de¡echa, dete¡mine el coeficiente de restitución entre los dos bloques. 13.159 Una pelotaA de I.2lb se mueve a velocidad v¡ cuando la golpea una pelota B de 2.4 lb que tíene velocidad v¿ de magnitud o6 : 18 fVs. Si la velocidad de la pelota B es de ce¡o luego del impacto y el coe{iciente de restitución es de 0.8 determine, para la pelota A, la velocidad a) antes del impacto, b) después del impacto. Figura P13.159 y P13.160
13.160 Una pelota A de 1.2 lb se mueve a velocidad v,1 de magnitud x¡ = 24 lüs cu:rndo la golpea una pelota B de 2.4 lb que üene velocidad v¡. Si l¡ wc-.locidad de l¿r pelota A es de cero después del imp¿cto y eI coeficiente de restitución es de 0.2, detelnine la velocidad de la pelota B a) antes del
^&
(D'
,& &,
Figurc Pl3.161
834
irirpacto, ü) después del impacto. 13. 16l Dos discos se deslizan sin fricción sobre un plano hofizonta.l a velocidades opuestas de igual magnitud ou y chocan entre ií de mane¡a frontal. El disco A tiene masa de 6 kg y se observa que su velocidad es de ce¡o luego del inp:rcto. Determine a) la masa del disc; B si el coeffciente de ¡estitución entre los dos discos es de 0.5, b) el interwalo de posibles valores de la masa del disco B si se desconoce el coeficiente de restitución que hay en, tre los dos discos.
il,r! I
hacia ción enrués del Do
Probremas
13.162 T¡es esferas de acero de igual masa se suspenden del techo mediante cuerdas de igual longitud espaciadas a una distancia ligemmente mayor que el diámetro de las esferas. Después de jalarla y soltarla, la esfera ,{ golpea a la esfera B, la cual golpea Iuego a la esfera C. Si se denota mediante e ql coeficiente de restitución entre las esferas, y con v6 la velocidad de A justo antes de que golpee ¿ B, determine a) las velocidades de A y B inmediatamente después del primer choque, b) las velocidades de B y C inmeüatamente después del segundo choque. c) Suponga ahora que se sus¡rnden n esferas del techo y que la primera esfera se jala y suelta como se describió antes, dete¡mine la velocidad de la última esfera después de recibir el primer golpe. d) Utilice el resultado del inciso c) para obtener la veloodad de la última esfera cuando n : 8 v¿ : 0.9.
i
835
,i i
ii .l
ii ;l
le la diergía ci-
I i:
el rnis-
L
restituI
li
iorpac-
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fi
!rcre no-
tu
Í
e mues, mpacto-
Figura P13.162 6 ivs
'13,163 Los paquetes de una fábrica de refacciones para automóviles :e transpoftan hacia el muelle de carga empujándolos a Io Iargo de una pisde rodillos con muy poca fricción. En el instante que se indica, los paquetÉs B y C están en reposo y el paquete A tiene una velocidad de 6 ftls. Si el coeffciente de restitución entre los paquetes es de 0.3, detennine a) la velocidad del paquete C después de que A golpea a B y B golpea a C, b) la veIocidad de A luego de golpear a I por segunda vez.
b
[s r ele
k¡lare effcien-
o
la gol-
asnitud
twil
AB
Figura P13.163
v¡=25nls
'13.164 Una esfe¡a A de 1.1 kg cae verticalmente con velocid¿d de DA : 2.5 n/s cuando es golpeada, como inüca la {igura, por una esfem B de 0.7 kg que tiene velocidad de magnitud u¡ = 2 m/s. Si el coeff-
I I
ciente de restitución entre las dos esferas es ¿ : 0.75 y no hay fricción, derermine la velocidad de cada esfe¡a inmediatamente después del impacto.
f3,165
Dos bolas de billar idénücas pueden move¡se libremente sobre
u¡a mesa horizontal. La esfe¡a A üene velocidad v9 como inüca la ffgura y rolpea a la esfera B, que se encuentm en reposo, en un purto C definido por 0:45'. Si el coeffciente de ¡estitución ent¡e las dos bolas es ¿ : 0.8 y no ba1'
fricción, determine la velocidad de cada bola después del impacto.
ilad.¡eFcienntes
ffil m
Eagnitud
15fts. ffciente ntes del
@
Figura Pi3.164
I
c I
l
del
I i
zont¿I ¿ ra fion-
ik
ce¡o de resores de bar eoFigura P13.165
{
J
836
Cinética de partículas: métodos de la energía y la cantidad de movimie¡to
13.166 Una esfera A de 17.5lb y 4.5 in. de radio que se mueve con velocidad v6 de magnitud o6 : 6 ftls golpea a una esfe¡a B de 1.6 lb y 2 in. de radio que estaba en reposo. Ambas esferas cuelgan de cuerdas idénücas flexibles y ligeras. Si el coeffciente de restitución es de 0,8, determine Ia velocidad de cada esfe¡a inmediatamente después del impacto.
l&
i'"F rmF
:lo'
,
la es
dtur
¡ed t cirín
!r Figura P'l3.'166
13.167
Resuelva el problema 13.166, suponiendo que las cuerdas flexibles de las que cuelgan Ias esferas se sustituyen por varillas f$das ligeras.
I TFiguta Pl
3-1
68
Figurc Pl3.169
13.168 Una esfera A de 58 lb y 4.5 in. de radio, que se mueve cpn velocidad de magnitud o0 = 6 fils choca contra una esfera B de 5.3 Ib y 2 in. de raüo, Ia cual en un principio está en reposo. Todas Ias super{icies de contacto no presentan fricción. Si el impacto es perfectan'rente elásüco (e = 1) y no hay fricción, determine lavelocidad de cada esfe¡a inmediatamente después del impacto. 13.169 a) Muestre que cuando las dos esfe¡as idénticas A y B, cuyo coeficiente de ¡estitución es ¿ : l, chocan mientras se mueven a velocidades v¡ y v¡ que son perpendiculaJes entre sí, rebotnn con velocidades vi y vi, las cuales también son perpenüculares entre sí. E) Para veriffca-r esta propiedad, resuelva el problema de muestra 13. 15, suponiendo qu e e : 7, y determine el ángulo formado por vi y vi.
I 0.6
ú
T_ F¡9u:
1
¿ltura
ttt:
¡ed e: el pie de rel
1 3.1 70 EI coeficiente de restitución entre dos bolas de bill ar A y B de 60 mm de diámetro es igual a 0.9. La bola A se mueve en la ürección indi, cada con velocidad de 1 m,is cuando golpea a la bola B, que está en reposo. Si después del impacto B se mueve en la dirección x, determine a) el ángulo 0. b) la velocid¡d de I después del impacto.
1
forma
e) mut
Figura Pl3.170
cial
l
_ir 13.171 En el problema I3.I70, determine a) la velocidad de la bola
{e con r2il1.
-1 después del impacto, b) la fracción de energÍa inicial perdida durante el
énticas
ir¡pacto.
Problemas
13,172 Una esfer'¿ rebot¿ cono indica Ia ffsura después de soloea¡ un planci inclinado a velocid¿d vertical vu de ,ragiitud ,o ': 5 r¿.."gi^o = 30' y- a : 0.8 entre la esfera y el plano. determine Ia altu¡¡ h que alcanza l¿ esfe¡a.
13.173 Un niño lanza una pelota con velocidad horizontal inicial a una ¿ltu¡a de, 0.6 m. La pelota rebota en el suelo en el punto A, rebota en la ¡rared en eL punto B.I welve a golpear el suelo en el punto C. lgnole la friccion y deterrninc el (oeficientp de restifucion en el punro a l. ó B
F¡gura P'f3.f72
'
I d¡s flelige¡as. con
T
l--- ,,,
\e-
r2in. i"
-
5.25 m
Figura Pl3.'173
"o,r-
rte des-
B- cnlo
rlanrl¿ les r'L r sia pro-
I
r- de-
lr
8d¿
13.174 Una ¡iña lanza una pelota hacia una pared iuclinad¿ desde una altu¡¿ de 3 ft. golpeando Ia pared en A con una vilocidad horizontal v¡ de :; li./s de m¡gr¡tud. Si el (.oeliciente LIe rpjtitución entre lr pelota y la prred es de 0.9 y se ignora la lricción. dctprmjnc la distrneid d rnedid; de;dc el pie. de la pared hasta el punto B donde la pelota golpea el suelo después de rebot¿t
tn
lncltrePoso rl áner¡-
Figura P13,174
13.175 Uta bola se lanza a velocidad inicial v hacia una esquina que :onr.ia un ángulo de g0'. Si el coeficiente de restitución se denota mediante :. muestre que Ia velocidad final es de magnitud eo y que las tr¿yectorias ini:ial y final AB y CD son paralelas.
Figura P13.175
837
838
C
.éi ca de pariÍculas: métodos
!
la cantidad de movimiento
de la energía
13.176 Un bloque B de 2.5 lb se mueve a veJocidad v¡ de magnitud o0 6 lVs cü¿ndo golpea la esfera A de 1.5 lb, la cual está en reposo y cuelga de una cuerda arnarr¿rda en O. Si p¡ = 0.6 entre el bloque y Ii superficie horizontal y e O.8 entre el bloque y la esfera, para después del impacto detemine a) la ¿ltura náxirna /z alcanzada por l:r esléra, ófla distancia r re-
:
:
corrida pol
eJ
bloque.
I- ,'-i Figura P13.176
13,177
Lrrego de ser empujaclo por el empleado de un:r aerolínea, un v¿cío de 80 lb golpea con un¿r velocidad de 15 fVs un carrito B idéntico, el cual contiene una maleta cle 30 lb equipada con rue das. El impacto causa qr.re la maleta se desplace hacia la pared izquierda del caüito B. Si el coeficiente de restjtución entre los dos carritos r:s de 0 80 y el coefjciente de restitución entre l:r naleta y la pared del carrito es de 0.3d, deten¡ine a) la velocidad deJ carrito B clespués de que Ia maleta golpea la pared por primera vez, b) la energía totnl perdicla en el impacto.
carito de equipaje A
F¡gura P13.177
13.178 Dos ¿utomóüles de igual masa chocan f¡ontal¡¡ente en el punto C; después del choque, patinan con los frenos aplicados y se detienen en la posición indicada en lo parte inferior de la figura. Si l¿ velocidad del autor¡óvil A justo antes del inpacto era de 5 km/h y el coeficiente de fricción cinética entre el pavirrento y los neumáticos cle arnbos ar¡tomóviles es de 0.30, deterririne z) la velocidad del ¿utonóül B justo antes del inpacto, b) el coeficiente de restitución efectivo entre los clos automóviles.
:.. itt !I
F¡gura P13.178
13.179 uno de los blor¡ues A B tiene masa de 0.4 le ¡ , v la ma_ ^Cada r¡ detrbloque es igual a I 2 kg. El coel.iciente d" fric(.ión C entre lo'r,büou", * t¿Á -,0.30. En un principio. el bloque A se rnu.ue a uelociiad :.lPl-: '-. -.r rrys v ros Dloques I v C e\tiín en reposo (llgura lJ. Después de oue { cboca con B ¡ B clioca con C. los tres bloquos q"?.f", ." xlón inücada (figura 2). Determine a) t", i*n"i""i*-¿" ;.;;;;""ir;" ,"rirt;""-;r,.r" *.'*-*' *' 1_r B v entre B y C, b) el desplazam;ento r del bloque ó.
fura
P13.179
t!¡ tts-
d¿ l-r
l
:Ir 1iÁ
C de 8 kg se suelta desde el reposo en la posición A de 5 kg, la cual se -encu.rr_
].1:119^ ürdica ,- uruu¿ rla .Ll ra figura:lL'*o xBuray y cae sobre una una'platafon¡a platafolla :i en reposo y está sostenida por una cuerd¡
jnextensif,le u"ida ; r;-;."un con=4eso B de 5 kg. Si el coeficie-nte drI restitr'.ión entre el cilindro Cylaplas:nm." ¡ r^,^-_--. ,,
-"r^ha d:0.8, determine ¿) las velocidades d" c i:T111:: t;l;;;dr¿;át" itspués det tspues del primer primer impacto, b) el impulso
:rorma 4 ¡or lu cuerdu durante el pnnrer
de Ia fuerza é¡erciao ,oU."
iult"_
rmpacto.
qr-
et T! ¿t dÉ
?
T¡¡m -L
150
Figura P13.t80 y p13.l8t
'13,181 Un cünd¡o C de g kg se sueita desde el reposo posición "n la h figl ra y cae sobr" ¡¡i¡¡¿¡¡o.rna a d. s kglla cuJ s; il;;,, T T*-" :a €r reposo y está sostenida por uni cuerda inertensibÉ untd" ; ;r-;;;;" -v B -lde 5 kg Si el-coeficienie de restitución entre el cilindro l¡ nler, v vy/ la ra plata " -'- v C Prd Tjrma cs de U.B y la rclocidad de,.:, ce¡o mmediatamente después del riñér i.n^"^¡^ r^r^-__:_, , , deterrine ¿' la velocidad d. C A,n.;;i;;;;;i;;;., IT:r_lltf":,r ) Fr :esundo impacto. bt la relocjdad de C A inmediatar""t" á"rf"t, j.f ¡ *€r-rndo irrDacto. ¡-rndo irnpacto.
Probremas
839
840
Cinét¡ca de partículas: métodos de la energía y La cantidad de movimiento
13.182 IJr coll¿í¡tA
de 0.6Ib se suelta desde el reposo se desliza sin
fricción haci¿ abajo por una varilla y choca con un collaín B de 1 8 lb que uni
r
13. elociC-
raüo- l: ble. Si I
coeficii
Figu.¡a P13.182 Y P13.183
Un coll¿rín A de 0.6 lb se suelta desde el reposo, se desliza sil fricción hacia abajo por una varilla y choca contr¿r un collaín B de l 8 lb que '.r. ^ea"at"utau uniio a un resorle cuya constante es jgual a a"ooao r ".u, "r'r i,t l¡¡fi. si f" váloclcl¡t.l clel coll¡nn A es ce¡o inmediat¿mente después del imnacto. detenniúe a) el coeficiente de restitución entre los dos collarines' B bli,,r energi¿ perdi.la en el impiruto. c) la distancia níririra clue el collarín impal{o del r.rrilla des¡rués la por Iracia abaju des¡lrá 13,
183
""
La bola B cuelga de tna cuerda inextensible Una bola idéntica A se suelta desde el reposo jüsto cuando toca la cue¡da y cae a 1o largo de la antes de golp.ar la bol t B suponiendo un imdi\trncia \edicdl /rA -- !00 ",. d' oilcto Derlertrrnrnte eli'tico ¡ - I 1 Ánsi'lerando 9ue no lra¡ lrirticin 'tor',,in".1 dcspl¡z,,mi.nlo rrrticcl r¡iÜmo resultanle /¡¡ d' la hola B
cid¡¡
la ct
aaor:
13.184
Figura P13.184
13.185 Una esfera de 2 kg se mueve haci¿ la de¡echa con velocidad de 5 nVs y golpea en A la supeIffciJ de un cuarto de c indro de 9 kg' el cual estí iniciat'mánte ,"poro^ y "n contacto con un r€solte cuya constante es de "r-t se encuentra sostenido por cables, de manera que inicial20 kN/nr. El resofie mente está cornp mido en 50 mnr' Si se ignora la fricción y el coe{iciente de restitución es dé 0.6. determine ¿) la velocidad de la esfe¡a inmedi¿tamente después del impacto, b) la fuerza compresiva máúma en el ¡esorte
Figura P13.185
C¡, 1.1
aiia Ii
:,
egn ÍIIF ¡al a .
de-
ede
Problemas 841
13.186
Una esfera A de 50lb y 4,5 in. de radio que se mueve con una o0:6 fVs golpea una esfera B de 4.6 lb y 2 in de ndio, Ia cual está inicialmente en reposo y cuelga de una cuerda inextensible. Si Ia esfera B oscila hasta una altu¡a mátima h = 0.75 ft, determine el
rebcidad de magnitud
ceffciente dg restitución entre las dos
esfer¿x.
oll*-
Figura P'!3.186 y Pl3.l87
I Stú (IrÉ
ul¿ r
del
D€S.
íDB
rti¡
leh imde-
tde I es-
13.187
Una esfera A de 20 Ib y 4.5
il.
de raüo que se mueve a velo:
cilad de megnitud r¡ = 6 fus golpea une "s["ra B de 2 lb y 2 ¡n de radio' T,a está en reposo y cuelga de una cue¡da inertensible. oscila hasta una altura mríxima ft. después del impacto. Determine el intervalo de valo¡es de h para valores del coeficiente de restitución ¿ ubicrdos entre cero y uno.
h cual inicialmente efera
-B
13,188 Una pelota B de 340 g cuelea de una cuerda ine\tensible unia un soporte C.'Una pelota A dE tzO-g golp"u a B con velocidad vq de 1,5 m/s de magnitud y a un ángulo de 60" con la vertical. Suponiendo un impefectamente elástico (¿ 1) y ninguna fricción, detertrine la altura E¿.to perfectamente F¿.to f, que alcanza la pelota B.
ü
:
T_ h
sde
dal : ile
Figura Pl3.188
rnte
13.189 Una esfe¡aA de 2 kg choca sin fricción sobre Ia superficie inclin¿da de una cuña B de 6 kg a un ángulo de 90' con velocidad de magnitud igual a 4 m/s. La cuña tiene la posibilidad de roda¡ libremente sobre el suelo y al principio está en reposo. Si el coeficiente de restitución entre la cuña y la esfera es de 0.50 y la superffcie inclinada de la cuña fo¡ma un ánqulo 0 = 40" con l¿ horizontal, detemine a) Ia velocidad de la esfera y de la iuña inmediatamente después del impacto, b) la energía perdida debido al impacto.
Flguta Pl
3-1
89
Este ca¡itulo se ded¡r'ó.rl rnctodo del trahirio y l¡r energío r aJ del irnpulso r ll cantid¿d de rnoürniento. En l, prim.rr mitü del capí-
tulo se estudió el método del trabajo y la energía y su nplicacióri al ¿inálisis del movimiento de las partículas. Trabalo de una lueza
Se consider'ó unl fuerz¡ F que ¡c¡¡¿b¿.obre una ¡ra¡lri.ulr A v s¡'Jeliióel trolntio dr F a'¡ ¡es¡¡¿¡¡r!¡¿uh nl l,cqueio d¿s¡,!tt:an,iento dr lsettión 13.21 corrro la cantidud
d.U-F .dr
(r3.1)
o, si se recuerda la defirición del producto escalar de dos vectores,
donde
dU:Fdscosct o .s el ángulo entrc F y,/r ,ligur.r
(r3.1',)
13.197. El tr¡b¿io de F durunle un desplazarnienlo linito desJ" A¡ lrlsla A . dcr,olodo por Ur-',.se obtuvo al integrar la ecuación (13.1) a lo largo de la tr¿yictoria descrita por ln partícula:
u'-n:f,'r'¿,
Figura 13.29
(13.2)
Para una fueza definida por: sus compor.lentes rectangulares, se es-
cribe
Ur Trabajo de un peso
f,\,
.. I
F.
,A I
F,,
tl4
-
F.
r!:.t
,13.2",
El trabajo del,peso W de un cuerpo cuando su centro de gravedad
{r (figua 13.30) se obtuvo- al sustilVen la ecuación (13.2,,) e integrar Se en_
se mueve desde l¿ arltur.a y I hasta
tuirF.:p :0yFr: cuentr¿l
u
842
,-"
:
-
Iu,
Figura l3.30
tv ,'
,1,,,1
- wlJt
(13.4)
Repaso y resumen delcapítulo
Resofte sin deform¿r
13 843
" I-¡v'v,t ¡t¿' wvür¿w-{ffi L., -l^ e+iffil
.---t;
rur,,¡ñ,
u fe'w
t-
o
s,rvlnf@ ':------.]Aj
Figura 13.31
El trabajo de una fuerza F ejercida Por un resorte sobre un tuerpo A durante un desplazamiento {inito del cuerpo (figura 13.31) desde Ar (r : 11) hasta A2(r : rz) se obtuvo al escribir
: -F
dU
d^.
:
Trabajo de la fuerza ejercida por un resorte
-kx dx (r3.6)
,*,
es por tanto positivo ¿ll¿nd'o eI resorfe regres& a su no dafotmada. Fssición
El trabajo de F
7.F 0
Figura 13.32 o
Eltrabajo d.e la fuena graui,tacional F ejercido por una partícula de masa M Tocalnada en O sobre una partícula de masa m cuando la última se desplaza desde A1 hasta .42 (figura 13.32) se obtuvo el recordar de la sección 12.10 la expresión para la magnitud de F y al
Trabajo de la fuerza gravitacional
escribir
_Ut-z-
-l
t':GMm, dr r,
CMm
CMm
12
rl
llJ.¡/
La energía cinéti,ca de una partícula de masa m que se mueve v lsección 13.3] se deffnió como la cantidad escalar
con velocidad
r:
tm2
(13.e)
Energía cinética de una partícula
Prjncjpio del trabajo y la enérgía
De la segunda ley de Nerton se dedujo e7 principio del trabajo y l-a energía, el cual señala que la ci.n¿tica de una partíatla en A2 puede obtenerse sumando a su energía en A¡ el trabajo realizado d rante el-d,esplazamiento dn A1 a A2 por La fuerza F ejercida sobre la pa
rtículo:
T1
* U1-2:
T2
(
13.1r)
I
Método del trabajo y la energia
El método del trabajo y la energía simplifica la solución de muchos problemas que tienen que ver con fuerzas. desplazamienlos y velocidades. ya que no requi.ere \a, de\ermlnac\ón de ace\erac\o\és lsección 13.4]. Además se adürtió que sólo incluye cantidades escalares y que las fuezas que no realizan trabajo no neces¡lan considerarse lproblemas resuelto. i3.l 13.31. Sin embargo. este
-
a
I
I
y
método debe complementarse con la aplicación directa Je la segunda ley de Ner,r,'lon para determinar una luerza normal a la trayectoria de la partícula lproblema resuelto 13.4].
t
s s
o Potenc¡a y efic¡encia mecánica
La potencia desarrollada por una máquina y su effciencia mecánica se estudiaron en la sección I3.5. La potencia se definió como la tasa en el tiempo a la cual se efectúa el trabajo:
c
b
h ü
hr
Potenc¡a:
(13.12. 13.13)
ff:r-t
don.le F es la fuerza que se ejerce sobre la partícula y v la veloc! dad de esta misma [problema resuelto 13.S]. La dicieniia mecdníra, denotada por r¡. se e:.presó como
?
Fuerza conservativa. Energía potencial
:
potencia de salida
p"t"*i"
d"
(13.15)
""tt"d"
V1
tr
ra
(¡
T1
&
Cuando el trabajo de una fuerza F es independiente de la trayectoria qu-e se sigue fsecciones 13.6 y 13.71. se iffrma que la fueria F es unaJuerza cons?rxafiDo, y que su trabajo es igual al rcgotíuo d.el rambio en la energía potenciol V asociado con F:
U1-2:
la
-V2
Il
s{r
(13.re',)
Ise
YS
Las siguientes expresiones se obtuvieron para la energía potencial asociada con cada una de las fuerzas consideradas ante"s: Fuerza de gravedad (peso):
Ye= wY
L,
(13.r6)
dor Fuerza graütacional:
Fuerza elástica ejercida por un resorte:
,ve: GMm --
v.:
+k
n
Par (13.17)
don
ink (tB.tB)
que
pafi
u4
Repaso y resumen del capítulo
Al susütuir U1-2 de la ecuación (13.19') en la ecuación (13.11) y reagrupar los términos lsección 13.8], se obtuvo
T1IV1=72*V2
(t3.24)
Este es el princípio d.e la conseroación de la energía, el cual establece que cuando una partícula se mueve bajo 1a acción de fuerzas consewativas, la sumn d,e sus energi.u ctnética 11 potenciaL permanece constanle. La aplicación de este principio facilita la solución de problemas que incluyen únicamente fuerzas consewativas fproblemas resueltos 13.6 y f3.7]. Al recordar de la sección 12.9 que, cuando una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza central F, su cantidad de moümiento algular alrededor del centro de fuerza O permanece constante, se señaló fsección 13.9] que, si la fuerza central F también es conservativa, es posible utilizar de manera conjunta los principios de la conservación de la cantidad de momento angular y de la conservación de la energía para analizar el moümiento de la partlcula [problema resuello 13.81. Puesto que la flerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre un vehículo espacial es tanto central como consenativa, se utilizó este enfoque para estuüar el moümiento de tales vehículos [problema resuelto 13.9] y se enccontró que era en particula¡ efectivo en el caso de tn lanzarnier¡to oblicuo. Al considerar la posición inicial P¡ y una posición arbitraria P del vehículo (figura 13.33), se escribió rHs)g
:
H6:
ro?¿üo sen Qs
Iq*V6=r4v: +,*e-
:
rmt: sen $ CMm
":-h-tn,
13 845
Principio de la conservación de la energía
Movimiento bajo una fuerza gravitacional
(13.25) (13.26)
F¡gura 13.33
donde m fue la masa del vehículo y M la masa de Ia Tierra.
La segunda mitad del capÍtulo se dedicó al método del impulso la cantidad de movimiento y su aplicación a la solución de diuersos tipos de problemas que implican el moümiento de partícuJas.
r
La
cantid.a.d, d.e mooími,ento li,neal de una par-tídrla se deffnió isección 13-10j como el producto mv de la masa m de la partícula r su velocidad v. De la segunda ley de Newton, F : ma, sé dedu¡o h relación
,"r
n
Jn
F
dt:
mv2
(r3.28)
donde nrvl y mye representan la cantidad de movimiento de la parbtula en un tiempo /l ) en un üempo 12, respectiva I nen Le, y doode ia integral define el inrpulso lineal'de lo fuerza F durante él irten-alo correspondiente. Por lo tanto. se escribió
myr +
lmpL-2: mv2
(13.30)
qoe er?resa el principio del impulso y la cantidad de movimiento ¡rara una partícula.
Pr¡nc¡pio del impulso y la cantidad de movimiento para una partícula
846
a ¡eiica de partícu as: métodos de la energÍa j 3 caniidad de movimiento
Cuando
l¿r
necesario us¿rr
partícula consider¿da está sujeta ¿r varias fuelzas, sun,¿ de los inipulsos de estas fuerzas; se tuvo
l¿r
flivl+)Impr-2:,¿v2
(13.32)
Puesto que las ecu¿lcioües (13.30) y (13.32) implican cantidades uectoriales, es reces¿rio considerar pol separado sus cornponentes r y 17 cuando se aphcan a la solución de un problenii detenlinado
lproblemas resueltos 13.10 y 13.111.
l\/lovlmienio por lmpulso
El método dcl impr so y de la cantidad de novimiento es en particular efectivo en el estuüo del mor¡húento itnpulsiao de nna partícula, cuanclo firerz¿s rnu¡' grandes, denominadas /uenas ittt-
ptLlsixas, se aplican durnnte el jnteryalo Ar, mu), corto, y¿ que este rrétoclo jmplica los impulsos F Ar de las fuerzas, más que las fuezas mismas fsección 13.11]. Ignorar.rdo el impulso de toda fuerza no im-
pulsivn, se escribió mv1
* )F Lt : rnv2
En el caso del n.tovimiento impulsivo
)rnvr
* )F
A/
:
(13.35)
cle vnrias pnrtículas, se tuvo
)rnv2
(r3.36)
donde el segundo término implicl srilo fuerz¿s externas in,pulsivas lproblen.ra resuelto 13. 12].
E¡r el c¿rso particulnr en el que Ia stmu dc los irnptLlsos fu las _fueras extet-nas es cero, Ia ecuación (13.36) se reduce a )nzv1 : )rrrv2; esto es,la contidad de moaimiento total de Las pat tículas se consen)4.
lmpacto central directo
En l¿s secciones 13.12 ¿ 13.14 se consideró e\ünpacto central de dos cuerpos que choctrn. En el caso de un itrytacto central directo lsecci1n 13.13], los dos cuerpos que chocan A y B se urovíar.r a lo lnrgo de la línea de in4tar:to con velocidades vÁ y vB, respectivamente (figura 13.34). Podrían usalse dos ecuaciones para detennjDar sus velocid¿des vl1 y vi después del impacto. La primera
.{xesaba la conservación de la cantidad de n.rovimiento total de
L
Repaso y resumen der capituto
13 847
dos cuerpos, mADA
+ wBDB: m4:'¡ * m6:'6
(13.37)
dmde un si$no posiüvo indica que la velocidad correspondiente está dirigida hacia la derecha, en tanto que la segunda relaciona las o¿locid,ades relaü¡.:as de los dos cuerpos antes y después del impacto, o'6
- u'": e(aa-
ap)
(r3.43)
La constante e se conoce como el coeficíente de restitución; su valor se encuenha entre 0 y I y depende en gran medida de los materiales implicados, Cuando ¿ : 0, se dice que el impacfo es petfectamente pllistico: cuando ¿ : 1, se afirma que es perfectamente el(ístico lproblema resuelto 13.131.
En el caso de un imp acto central oblícuo fsección 13.14], l¿s veIocidades de los dos cuerpos que chocan antes y después del irirpacto se descompusieron en las componentes n, a 1o largo de Ia línea de impacto y de las componentes t ¿ lo largo de la tangente común a las superffcies en contacto (ffgura 13.35). Se observó que la componente f de la velocidad de cada cuerpo pennaneció inalterada, en
lmpacto central oblicuo
\'\ Figura 13.35
tanto que las componentes ¿ satisfacían ecuaciones similares a la (13.37) y a la (13.43) fproblemas resueltos 13.14 y 13.15]. Se demostró que aunque este método se desarrolló para cuetpos que se rnueven con libertad antes y después del impaco, sería posible extenderlo al caso en el que uno o ambos de los cuerpos que chocan presenta restuicciones en su rnovimiento fproblema resuelto 13.16].
En la sección 13.15 se analüaron las ventajas relativas de los tres métodos fundamentales que se presentaron en este capítulo y en el precedente, esto es, la segunda ley de Newton, el trabajo y la energía, y el nnpulso y la cantidad de movimiento. Se señaló que el método del trabajo y la energía, y el método del impulso y la cantidad de movimiento pueden combinarse para resolver problemas que implican una fase cofta de imp¿cto durante la cu¿l las fuerzas impulsivas deben tomarse en cuenta fproblema resuelto 13.17].
Empleo de los tres métodos fundamentales del anális¡s cinético
t.t-
Sin
s
_::
I" 13.190 Las marcas dejadas sobre una pista de car-reras que mide 400 m inücan que las ruedas traseras (las de la tracción) de un automó.r'il pahnaton en los primeros 18 m y rodaron con desliz¿rmiento inminente durantÉ Ios rcstantes 382 m. Las ruedas frontales del automóvil apenas se despegaron del suelo en los pi.mercs 18 n, y para el resto de Ia carera un 75 por ciento del pe6o del automóvil se apoyó sobre ias ryedas tra¡eras. Si la velo cidad del automóül es de 58 km4i al final de los primeros 18 m y el coeficiente de fricción cinética es un 80 por ciento del coe{iciente de fricción estática, determine Ia velocidad del automóvil al linal de la pista de 400 m No tome en cuenta la resistencia del aire ni la resistencia al rod¿miento.
F¡gura P13.190
't 3.191 Un collarín C de 3 kg se desliza sin fricción por una varilla vertical. Se le en.ipuja hasta la posición indicada, lo cual comprine el resorte superior en 50 inm, y luego se suelta Determine ¿) la deformación máxima iel resort. ¡nferior. ór Liuelot iüd rnixima clel collarín.
:.:} -l
=¿
i¿_:
-
¿iJ -l
at:1
:?¡:
Figura
P
l3.l91
13.792 Un pequeño bloque se desüza con velocid¿d o = 3 m/s en una superffcie horizonial i una altura /'¿ = 1 m sobre el suelo. Determine a) el dnqulo 0 ol nual el bloqLre rbandonará la suPerlicie cilíndrica BCD. b ' la distaricia t a la.ual el bloque golp"ará el suelo No lome en cuenla la fricción ni la ¡esistencia del ai¡e.
848
\-\\-
El sistema que muestra la ffgura está en equilibrio cuando @ = - - 13,193 0. Si inicial¡¡ente é : 90' y el bloque C recibe un lig;¡o golpe cuando el sistema está en esa_ posición, detemine Ia velocidad del bloque cuando pa_ sa por la posición de equilibrio { : 0. Ignore la masa de la va¡lla.
Problemas de repaso
194
Ciérta nave espacial describe una órbita elíptica de altura mímáxima /l¡ : 6 000 mi sobre-la superficie de la Tie¡ra. Dete¡mine la velocidad de la nave espacial en A, 13,
nima A,
= 1500 mi y altura
F¡gura P13.194
1_3195, Un camión viaja sobre un caülino plano a 60 mi,4r cuando se -h aplican los frenos para llevarlo
hasta 20 mi,4r. ún sistema de f¡enado au_ tiderrupante limita la fue¡za de frenado a un valor en el cual los neumáticos del camión están a punto de patina¡. Si el coeffciente de fricción estática entre el camino y los neumáticos es igual a 0.65, determine el tiempo más corio necesaño para que el camión f¡ene.
-
13.196 Lariltima pate
sl.l.t
\
\
">.A ¡s'
\
de Ia competencia atlética de salto triple es el
salto en el cual el atlet¿ ¡erüza el último de sus tres avances, aterriz-ando en ¡m foso de a¡ena. Si la velocidad de un atleta de 84 kg justo antes de ate¡Ti¿a¡ es de 9.14 rls a un ángulo de 35. con la horizont"al, y el atleta se detiene por completo en 0.22 s después del aterrizaje, dete¡mine la componente hor¿ontal de.lafuerza impulsiva promedio qué se ejerce sobre sus pies du-
rante et aternz¿Je.
13.197 En un cn¡cero, el automóül I viaiaba hacia el su¡ v el automóril A a 30' en dirección noreste cu¿mdo choóaron ent¡e sí. Lueso de la ú\estigación se determinci que después del choque los dos automóüies quedaron trabados ¡ palinaron a un ángulo de 10. noresle. Cacla conrlucto¡ ¿Jl rmd que üajaba al limite de v€locidad de 30 mi,¿h e intentó frenar, pero que Ío pudo evitar el choque debido a que el otro conductor iba bastánte más ráprdo. Si los pesos de los automóülei A y B eran, respectivamente, de 3 600 v 2800 lb, determine a) cuál automóül iba más rápid;, b) la rapidez del au_ toriróül que_ iba a mayor velocidad si el vehiculo -,L l"nto,rin¡"b" li-it" "l
de velocidad.
N /,
Áffi-;$p"Y
' -L
""1 Figsru P13.197
Foso de aterrizrje
F¡gura Pl3,l96
cinética de partículasr métodos de la energía y la cant¡dad de movimiento
13.198
Dos automóviles idénticos A y B están en reposo sobre un mue-
lle de descarga, sin que actúen los frenos. El automóvil C, de estilo un poco diferente pero del mismo peso, ha sido empujado por los trabajadores del rnuelle y golpea al automóvil B a velocidad de 4.5 fVs. Si el coeffciente de restihrción es de 0.8 ent¡e B y C y de 0.5 entre A y B, determine la velocidad de cada auton.róvil después de ocurrido el choque. 45 \ils
F\gura P"\3.19t
13.199 Una pelota A de I.5 lb se mueve a velocidad de 18 fÍls de magnitud cuando la golpea una pelota B de 2.5 lb, la cual llega con velocidad de 12 fVs de [ragnitud. Si el coeficiente de ¡estitución es de 0.8 y no e]dste fricción, detelmine la velocidad de cada pelota después del impacto.
F¡gura Pl3.l99
13,200 IJna pelota golpea el suelo en A con velocidad v¡ de 6 m/s a un ángulo de 60' con la horizontal. Si ¿ = 0,6 entre la pelota y el suelo, y después del rcbote la pelota llega al punto B con velocidad horizontal, determine a) las dlstanclas /r y d, b) la velocidad de la pelota cuando llega a 8.
Figura
f
P1
3.200
13.201 Una esfera A de 1.5 lb que se mueve con velocidad v6 paralela al suelo incide sob¡e la cara inclinada d e tna cufla B de 4.5 lb, la cual puede ¡oda¡ libremente sobre el suelo y se encuentra en reposo al principio. Después del impacto, desde el suelo se observa que la esfera se mueve hacia ar¡iba en línea recta. Si el coeficiente de restitución entre la esfera y la cuña es ¿ : 0.6, determine a) el ángulo 0 que la cara inclinada de la cuña fo¡ma con la horizontal, b) la energía perdida por causa del impacto,
tl€-
ro del
de
ri-
13.C1 L n collann de 6 kg está unido ¡ uLr resorle ancl¡do en el punto r puede desli¿arse sobre una rarilla sin lricción que lorma un ángülo de jff con Ia vertical. El resorte tiene una constante ft y eitá indeformadoiuando
C
rg-
¡l colllrín :e encuentra en A. Si sc sabe que el coÍlrrín sc sue'Ld desde el re?oso en A, utilice software para calcular y graffcar la rapidez del collarín en ¿l punto B para valores de k desde 20 N/m hasta 400 ñ¡m.
ic-
]: 400 rnm
i
','l'
!Á
k, 6
'13.G2
Un saco de 10 lb se empuja suavemente fuera de una pared y :s
kÉ.-
f, ¡¿-
ú¡
Figura Pl3.C2
851
852
Cinética de partículasi métodos de ta energía y la cantidad de movimiento
13.C3 Los dos bloques que se muestran se sueltan desde UurU" el reposo" r"o.r. I _ Los coe{icientes coeficienles de fricción estática y cinética entre el bloque A "ty la la^penpen- | üente son p,":0.25 diente p- - 0.25 y p,¡: p¡ - 0.20. Ignore lgnore las masas masas de las poleas y'el efecio Ia. poieas eiecio I de la fricción en las mismas. a) Si sJ se'denota denota por s,s Ia la &stancia &stanita quá quJ el bloqrr bloqrc I A se mueve, determine y graffque la velocidad velocitlatl del bloque A como funci&r f,rn"ii, I "i-o .r, el i* de s para 0 s < 1.8 m. b) Uülizando la expresión qud qudse se obtuvo en io- | = ciso a), deduzca una erpresión para la distancia s comó una función del tiemtiem- |
-'
po f y graffque esta función para valores de s de 0 a 1.8 m.
l,:'Jr:;":; il
:::::l:":
13.C4 Un bloque de 3 kg está unido a un cable y a un resorte en b n ",,¡eforma indicada ¡y se encuentra ii]icialmente inicialmente en reposo. rcposo. ía La constante del resorte es k : 2.5 kN/m y la tensión inicial en el ca6le sorte_ caÉle corresponde a 18 1S N. Si S
":,:"::
"","..*"
I
| I se sabe que el cable se se'corta, corta, a) obtenga una erpresión erpresiOn para velocldad rH pará la h velocidad dd I bloque como cómo una función de su desplazamie¡to despla"zamiento s, b) ddtermine dJtermine el desplazadesplaza- |
Figura P13.C3
r- y la velociüd mátima u,,, c) grafique gra'Íique'IaIa ve'Ioci" velocidad que como una función de s para 0 <-s < s-. miento márimo
ili:1':#T#",l;J--$ffic)
"
d;l bb-
"
p13.c4
Fisura 13.C5 Los resortes no lineales se clasi{ican como duros o blandos, dependiendo de la cunatu¡a de su curva fue¡za-de[ormación iréase Ia fisu¡a. Un delicado insLrumento que ticne un peso de l0 lb se coloca sobre rín re. sorte de Iongitud I de matró.a qn"..r báse apenas toque al resorte no deformado ¡ des¡ués. de mane¡a inadr ertida. se'ruelta dÉsdo esa posición. pa¡a cada, uno de los siguientes Lres casos. ¿.¡) deduzca una e:rpresjbn para la relocidad del instrumento como una función de su desplaiamientá r, b) de*'"nne ra ra¡idez del instrumento
::TiT""l *,T5iá:T':T:.TfT: :?;1
I I
| I I t I | I
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iii*:ilr:il:J:h,:'."r:H?Tiylli'iit,',m;,,
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^2:"":":..,,^^. Figura Pl3.C5
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I '. i; perr el
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r' Il l::Cl.: : a:i É] i:: .-,
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Ln colhnn de I Lg esrá unido a un resorte .e de.l¡r, .',n ,, ,._ 11{a ) ro.l a lo largo de una r iLrilla ci¡cular quc sc cn(.uentra en " un plano rertical.
El ¡e_sorte tiene una constante k = 0.60 kN/m y ¿"f"irrr",ú ".ae se ubjc¿ en el punto B. Si ." sube qíe"" a ,"1i"""""¿" ¿"r¿" ,l -eposo cn e¡ punto a.4\ dcterrnin. y grafique la""UJl," reloci
-l collarin
r r:¡ ¿' .= r:. iel :.-
:
15
\
S
cnC¿i ,i-
ii i;t
b .-
Figura pl3.C6
- 13:C7 Sobre un bloque de 25 kg inicialmente en rcposo dctúa ur¿ :.Fra P que \aría en rnagnitud c.on el üempo '.( renles de frit ción estitic¡ "n lo l"n.,n" ¡nii"adu. io...o_ v cinética entie el bloque y la ruperficie hori :.. 't¿l \un ¡¡. -- 0.5 y ¡r^ - 0..i. d, Dctermine grlf)que la ielo,.i.lad del ¡ -. ,1ue cumo ua función de t para 0 < < , 16 s. bl Deiermine la velocljad :\rnra oet tltoque y el valor no¡¡pspo¡jje¡1p d€, ¡.
? (N)
..,.
0
F¡gura P13,C7
-='
Problemas de
computad-" gS3
CAPITULO
I :'
determinación de la fuerza de empuie creada por ei g¡ro de las aspas de un helicóptero en vuelo está basada el análisis del movimiento de un sistema variable de partículas, es decir, del movimiento de una gran cantidad :e partículas considéradas como un todo, no por separado_
'|
.t '14.1
14.2 14.3 '14.4
14.5 14.6 14.7 14.8 ' 14-g 14.10 14.11 14.12
.:.r:-i_: l,:i:: ::ri!i.i.i ill:!.rr" li
i:l
lntroducción Apl¡cación de las leyes de Newton al movim¡ento de un sistema de partículas. Fuerzas efectivas Cant¡dad de movimiento lineal y angular de un sistema de partículas lvlov¡miento del centro de masa de un sistema de partículas Cant¡dad de mov¡miento angular de un s¡stema de partículas alrededor de su centro de masa Conservación de la cantidad de mov¡miento para s¡stemas de
partículas Energía cinética de un sistema de partículas Princip¡o del trabajo y la energía. Conservación de la energía para un s¡stema de partículas Principio del impulso y la cantidad de movimiento de un sistema de particulas Sistemas var¡ables de partícu¡as Corr¡ente estacionaria de partículas Sistemas que ganan o pierden masa
4.1 . TNTFODUCCTON
En este capítr o se estudia el movimiento de sistetnas de partícalas, esto es, el moürriento de un gran número de partículas consideradas en conjunto. La primera parte del capítulo se dedica a sistemas consisteütes en partículas bien rlefinidas; la segunda considera el movimiento de sistemas variables, esto es, sistemas en los cuales se ganan o pielden paftículas de rnaner¿ continu¿, o en los que ocurren ambas situ¿ciones de manera simultánea. En la sección 14.2, Ia segunda ley de Nellton se ap)icará primero a cnder patícula del sistema. Al deflnir Ia fuerza efectir:a de una partícula como el producto rn,a¡ de su rnasa ?¿, y su aceler¿ción 4, se demostrará que las -finzas ex.terna.g q\te actilan sobre diversas partículas fonnan un sistema equipolente al sistema de las fuerzas efectivas, esto es, ambos sisten-ras tieneü la rnismn resultar-rte y el mismo mometto resultante ¿rh'ededor de cualquier punto dado. En la sección 14.3 se mostrará que la lesultante y el rnomento ¡esultante de las fuerzas externas son igu:rles, r espectivamente, a la razól tle cambio de l¿ cantid¿d de moümiento lineal total y a la car.rtid¿¡d de novinierto angulal total de las partículas del sistem¿. En la sección 14.4 se defile ef centn¡ de ncsa del sistema de par tículas y se describe su movililiento. En t¿nto que en la sección 14.5 se analiza el rnoümiento de las partículas ahededor de su centro de m¿s¿. L¿s condiciones bajo las cuales se conserv¿ la canticlad de movi miento lineal y la cantidad de mor.il.felto ar.rgular de un sistema de partículas se estudian en la sección 14.6, y los lesultados obtenidos en esa sección se aplican a la solució¡ de diversos problen'ias. Las secciones I4.7 y I4.8 abordiur la aplicación del principio del trabajo y la energía en un sistema de partículas, y en la sección 14.9 se estudia la aplicaciór.r del princrpio del inpulso y la cantidad de novimiento. Est¿rs secciones contienen tanbién \,?rios problemas de ir:terés pr'hctico. Hay que obserrar que si bien l¿u deducciones dadas en la primera parte de este capítulo se refieren a un sistema de partículas indepenüentes, éstas siguen siendo vírlidas cr¡¿indo las partículas del sistema están conectadas úgidamente, esto os, cu¿üdo forman un cuerpo rígido. De hecho, los resultados obtenidos aquí contjenen los fundamentos del estudio de Ia cinétic¿ de cuerpos ígidos presente en los capítulos 16 a 18. La segunda parte de este capítulo se dedicir ¿l estudio de sistemas va rirüles de partículas. En la sección 14.11 se consideriuán corrieltes esta cionarins de partículas, corro un chorro de agua desüado por una paleta o el flujo de aire que pas¿r por un rnotor de reacción, y se aprenderá a deterrlrinar la fuerza que ejerce la corriente sobre la pnleta y el empuje desarrollado por el motor. Por írltimo, en la sección 14.12 se aprenderá cdmo ¿unlizar los sistemas que g:u.r;m masa de manera conünu¿ al absorbe¡ partículas, o que pierden m¿¡^sa al desechar partículas de m¿rüera continua. Entre las diversas aplicaciones prácücas de este auáLisis se elcuentra la detenr, inación del enpuje des:Lrrollado por un motor de cohete. 14.2. APLICACIÓN DE LAS LEYES DE NEWTON AL MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. FUERZAS EFECTIVAS Para deducir las ecuaciones de moüniento de un sister¡a de n pa:tículas se empieza escribiendo la segunda ley de Neuton para cada pa:tícula indiüdual del sistema. Consiclere la partícula P,, donde 1 < i < n. Sea nr, la mas¿ de P¡ y a¡ su aceler¿ción con respecto al sistena i.
8s6
ñícIL(LS, der'¿das _r¿5
I
COn-
¡eferencia newtoliano Ory:. La fuerzir ejercidl sobr.e p, por otra paltícula P, del sistema (figura 14.l). derrunrin.rdrt fucro itticma. se- denotarí por fo. La resultante de las fuerzas intemas ejercidas sobre p, por toclas las denrás partículas del sistema es
mor.i-
",,torl"",
e gaD¿ü
no tiene signilicaclo y se supone que serír igual o
r! ¿unbas
otro lado, medi¿nte F, la resultante de todas
prirlero
r,lurrn solrre P¡. so cs,.ril,e la scflr¡nLIrr P, cn la tor-nra signit-nte
rr paftí¿¡tículas ,. ¿s- esto
.{
iento r-ese lttos-
¡e escribe
iiclacl cle ¡otal de L
cle ptrr-
ión 11.5 .niro cle f¿ nor"i
¡¿lt¡r
cle
:riclos en
P"-*"-
denotar, por
l.rs ""ro).lii fii..r:as crfcrrrcr qut: le. ,1,- \"riton plr:r lr¡ l¡¡trcuLr
(14.1)
derotar por r, el vector. de posición de P, y tomar los rnomentos al¡ededor-de O de los cliversos térrl.iinos er la ecuacií¡r (14.1), también Figu¡a 14.1
e\telnas
ri x F¡+) (., x
f,¡) :
r¡ x
(14.2)
/r1¡a¡
Si se repite este procedin.iiento par.r cadtr parlícula p¡ del sistema, obtienen n ecuaciones dcl tipo (14.1) y rr ecuaciones del tipo (14.2), Jonde i tom¿r sucesiv¿üente los v¿lores I, Z. . . . ,1. Lt s .recLres ,1.,¿',, .e denominan lasy'terzas efcctiuas de las par.tículas. i En consecuencia, l.rs ecuaciones que se obtienen erpr-esan el hechc, de quc las luevas :rteuas F¡ y las fuerzas iltelnas f,, tlue attriar sobre lai dluersls pariícui¿rs forrnan uD sistelira equivalente al sisten¿ de las fuerz¿rs efÉcti. as rn¡a¡ (csto es, uri sistema puede sustituirse por el otro) (figura 14.2). se
: cirl tra / :e eshl-
-r;"-.9
,i
.i!r,ieniL)
:¡¡icticr, :rrintera-.
t,
:¡,-rcliet,-
ts:ár ct,,. De h.-
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P 3-.¿"
rKoo
r,
¿sb rcli' :.IlL¡L< \i-
n. r.¡le:. [.rá r d¿- -ll]P::r-
i.¡:i
-'
.:':,,:':a'lr::-:i
i:r'¡ , -i--
F¡gura t4.2
Artes de continuar col la dedtrcció1.r, ha¡. que examinar l¿¡s fuer.irterlas fi'. Advierta que estas fue.ras o.o.i.n en p¿res f,,, f,,, donde f repre:entrt la fuerza ej,-rtidr por la p,rtícula p, sotr. l,r paiiiculn f, f -epresenta la luerz¿ eior.cija pur P ,,rbre P. ,ligura 14.2. nhop l"rr dc acuerdo con la le¡r'erl ler tJe l\err,,ton , s,,cciór 6.1 arnl,lird.r rr la ley de la gravitación dc Nér¡,ton a partículas clue actiran'a dis . r.':t /setción 12. 10. l¡s luerz.rr fl¡ 1 fl, sor, igu.Lle. 1 opue\tl. \ ti.:.:l la misma líne¿i de ¿ccjón. Por lo t¿uto, ,rr"r.rrlo i, + q, I O,y ", .,.u'r'r cle \l¡s ntorrr.nlos ¡ll.edetlc,r de O es -.s
r, x :. que
*
+ $,) + (.r-r,) x $,:0 los vecloles 1' - r¡ I {¡ en el itltil.ro ténlino son colineales. Al f,,
r, X f¡r: r¡ x
at sJ, oEz
movrmie'rto de Jn sts¡ema da parlrcu."s. Fuerzas efectivas
j f¡ (cloncle fi¡
F,*)f.:¡r,a.
.. se cle-
14.2. Apliuacrón de laq leyes cle Néwton
't\ BIB|IOTECA
hii&úftdor¡¡1
(f¡,
rPucsto que estos veotores r.eprcsertal i¿s rcsrrltarrcs de f crzas que rciú¿n sobrc r: rertos partículas de1 sistoma. pueden realmonte conside¡¡¡sc como firerzas.
l¿s
-"r
-t
858
sistemas de partícutas
agregar todas las fuerzas intemas del sistema y sumar sus momentos alrededor de O, se obtienen las ecuaciones
))fr=o
(14.3)
t:1j:I
que^expresa el hecho de que la resultante y el momento result¿nte de
luerzas inlemas del sistema soll cero. Al volver ahora a las r¿ ecuaciones (14.1), donde i l, 2, . . ., n, se suman sus miembros del lazo izquierdo y los del lado derecho. io_ mando en cuenta la primera de laslcuaciones (14.3), se obtiene Las
:
) p,: ) -,q t:l
(r4.4)
i:l
Al proceder de manera similar con las ecu4ciones (14.2) v tomar cuenla la segunda de las ecuaciones (14.3), se tiene
)
(r,
i:I
x E)
:)
(r,x m,4)
Juerzas
efect
ioas de las
as son
las
partírulas t¡ el
equ ipolen
el
F
lr¡
I.
'.¡ h
CF
(14.s)
i=I
a¡iúan sobrp
padín
s
en
Las ecuaciones (Ia.e y 'l4S) expresan el hecho de que el siste_ ma de las lueruas extemas F, y el sistema de las fuerzas efectivas ra¡4 tienen la misma resultante y el mismo momento resultante. Al recor_ dar la definición dada en la sección 3.lg para dos sistemas equipolen_ tes de vectores. se puede consecuenlemente enunciar que el sislcuut
de fuenas^ pxlcmas quc
h
5€
'sislema
tesl" ligura L
14.3
do
la9
).
ter bt;
s
do:
lFf tií ¡ttr
P3 @
r
Fa
tu
/"'", P2
Je ir
kü qlk (Pe
Frt Figura 14.3
1¿tl DE
I¡q
afrrr . 5e er
lEl
re:ult¿do que acab¡ de ohrenerce.oD frccuéncia recjbc el nombt? ¿e p.in.ipio e n t,o ior at matcmár i.o fran.és JFr ; bargo, el enunciado original de d Alembert se reffere a un " srstem¿ ¿le c".rpo. d
¡t em b. ¡
t;-;;;;; ;ñ;;
f,
i;;;; ;r;; ";;;.
representando las luerzas restrictivas, l¿s euales si las "on*oao", aplican a \ocanín cl moümicnlo delsistcma. puésto qup. co¡no s" demo"tr¡,á o c"*Ülr*,U",'¿o. no es en gener'al elcaso para las luer,,as rnrema\ quF ¡¡Lú¿n sobre un s¡51¡¡¡" ¿" o"r¡"rr_ tas Iibres. ra consid'rJció; det principjo de d ;" pr -e mor/rmrFnro dé .uetpo. ngidos tcapítulo t6, con
el;;r.;;;;;-r,.
^J.,;;"
,;;;,;;;;;;;".i;;,.
#;""
uuel
de r¡
carü
Secf
ilto5
--l
.T .
Las ecuaciones (14.3) erpresan el hecho de que el sistema de las nerzas intelr.ras f;¡ es equipolente a cero. Sin embargo, observe quc ao ,. ,rlirlira que las fuerz¿rs interlas no tengan efecto sobre las patículas ite se están considerurdo. De hecho, las fue¡zas gralitaciorales quc 'i Sol v los planetas ejercen ertle sí son jDtern¿rs al sistema solar y etlui'olentes a cero. A pcsiu de cso, estas fuor-z¿rs son únicamente respon. ,bles clel lllovinierlto de krs pJanetas ¿lrededor clel Sol. De rnanela sirnilar, lo se ildica a partir de l¿s ecuaciones (14.4) y i-1.5) que los dos sistemas de fuerzas extern¿s que tienel la lristra re,:lttrnte y el misrro momerto result¿nte tendrán el misrro efecto sor¡e un sistema detelminado de partÍculas. Es claro que los sisten.ias , re se ¡nrrestran en Jas f:iguras J1.4a y I4.1b tienen l¿ r'r.risrn¿ resultan-
Ap
.Pe
dn a)
b)
Figura 14.4
-.
. el mismo momento resultante; sil embargo, el primer sistena ace.:,.. la padícula A y deja inalterada a la particula B, en tmto tlue el se-::rclo ¿rcelcra a B y no rifecla a A. Es import¿nte recordar que cu¿n .-lo se seññó er-r\¡ sección 3.19 que dos sisten-ras de {uerzas equrpoler-rtes que actiran sobre un cuerpo úgrdo también son equivalentes, se advir' tió de manera específica que esta propiedad no podr'ía extenderse n un
un conjurto de partículas inde pendientes como las considcradns en estc capítulo. P¿ra eütar cualquier confusi(rn, se rrtiliz¿uál signos de igudd.id de sistern¿r de firerzas que ¿rctuab¿ sobre
tono claro para conect¿r sisternas de vectores equipolcntes, cono los que sc indican en las figuras 14.3 y 14.4. Estos signos ildical que los dos sistem¿rs de vectores tienen la misnr¿r resultante y el misrno no¡nento re sultante. Los signos de igualdad se continuarán utilizando para inücar' que dos sistenas de vectores son e(lui\'¿rlentes, esto es, (|re lut sistemír puetle realmente sustituirse por el otro (ligrra 14.2).
14,3. CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALY ANGULAR DE UN SISTEMA DE PAHTíCULAS Las ecuaciones (ta.a) y (1a.5), que se obtuvieron en l¿r seccicin aute:ior para el movimiento cle un sisterna de paftículas, pueden expresar.r en una forma m¿is condens¿rda si sc introduce la cantid¿d de rnovirriento lineal y angular del sisten¿ de plrtículas. Al clefinir la cantidad ie novimiento lineal L del ststen¿r de partículas como la suura de l¿rs -.ntidades de moümiento lineal de las diversas partículas del sister¡a .ección 12.3), se escribe
L:)m¡v, i:l
(14.6)
14.3. Cantidad de mov¡m¡ento l¡nealy angular de Lrn sistema de pa¡ticulas
859
860
Sistemas de part¡cu,as
Si se deffne la canüdad de movimiento angu)ar Hs alrededor de O del sistema de partículas de una manera similar (sección 72.7), se tiene
H":)(r¿xm¡)
(r4.7)
¿:1
Al diferenciar ambos miembros de las ecuaciones (14.6) y (14.7) con respecto a J, se escribe
L:2t:l *'"':2i=\ *,^, Ho
:)
(i,xm,v,) i:1
+)
(14.8)
(r, x nqi,)
t:I
:)(v,xm,v,) +>
(r, X mtq)
t:I
i:l
que se reduce a
rr":)t:I (r¡ x m¡4)
(14.e)
ya que los vectores vi y mrr¡i son colineales. -Obserue que los miembros del lado derecho de las ecuaciones (14 8) y (14.9) son Ápectivamente idénticos a los míembros del lado derecho .ir4.+) 1a.5). Se concluye que los miembros del áe las ecuacioies lado izquierdo de estas ecuaciones son respectivamente iguales. Al recordar que el miembro del lado izquierdo de la ecuación (14.5) representa la suma de los momentos Me alrededor de O de Ias fuerzas externas que achian sobre las partículas del sislema. y aJ omibr el subínüce i de las sumatorias, se escribe
'
y
:F: 2Mo :
L
(1¿.to'
Ho
(14.1r
Estas ecuaciones elT)resan que Ia resultante y el momento resultant¿ fijo O de las fuerzas acterrlas son, respecth)amente , iguales a Las razones de cambio de la contidad d¿ moDbniento Line¿, y dlla cantidad de moDimiento angular alrededor de O del sistem'a ¿l¿
alrededor del punto
pañículas. ,14.4.
MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA DE PAHTíCULAS La ecuación (14.I0) puede escribirse en una forma alternativa si se crnsidera el cenfro cle inasa del sislema de partículas EI centro de m¿s¡ del sistema es el punto G definido por el vector de posición i, eJ cnl
r. O cl.
.aüsface l¿ relación
!.:alre
'o"
,¿i: ) i:l
1l.;
r I1.i
londe m representa la l.rixa total
'\ \c(tores.de posición
(14.72)
rir, de las partículas. Al desconponer
r. en conrpotrcrrles
-t t¿( SrgutentFs lres ecua(.ionFS escal¡res. jirsreclangulares. se obtie_ cu¿leise ulilizr.n O¡r¿ i-ter'¡¡¡u,- L. coordenadas t. y.;. del..nt.o de n,^., "' -' '- ' ,'" .
1li
r)
)
Il7¡f¡
ntx
: ),nixi
,Ii :2rm,y,
m-:)
(74.72',)
n't¡zi
,:1
q¡s ,?/,o rep¡escnla el.pesg is la parlícula p. y ,rg ei peso .Puesto ,ial de las partr'culas. b es ta¡nbién el centro de grar.drá de?.i.,ü,n" ;e.partÍcuias. Sin enrbargo, eütar lara ár" f. -drei tri cot no el t pnt ro ""dqrri"r-"olrL,riJ,., d? ¡¡¡¿s¿ del sislerna " se ."_ de pirrl icu las crrtfldo
rrdien propiedades asociadas con la ¡¡rrua ¿" :entrc de graoeda.d del sistema cu¿ndo
fl, p"ri_rf",
1,
""r- "f ," "o"rid"'r;;-;;;;i;á;;;" I-", parti"rl", tocij"il,r-i""rJa
:iadas con-el paso de"las partÍculas. .r'r¡o gruülacion:rJ de la Tierr¿. por ejernplo. Hen.n Inasr Oo.o ,,o
t-l.9
.s 11.5 Ir¡echo
mi:)
r¡os clel . .{l re-
n,i,
i:l
repferz¿5
,.
*. crso f.s posible relcrirse de manerit apropiada ,, l-o ]r^ :i pe¡'o. eüdenlelnerrle. lc n¡asa " ".ni no a 5Il (.entro d.'gr¡', edrd.I Ar olerenr'rü tmbos mienr[rros d. la ecuación r l4.12,con r.espec_ lo a¿ se escribe
_:l:
e\
tnv
bíndice
Z
l:1
m,vi
(14.13)
donde v representa la velocid¿d del centro de m¿rsa G del sistema de p¿)tículas. pero el miembro del lado der.echo
á"l"
defirición, la c¿ltidad de movimiento lineal """"i_r'f ¿
l-1.I0
es, por
11.l1
ción 14.3). Por lo tanto, se tiene
L: ni thante tnntell-
i¿jsl
;ü;i;;"- i;;"
(14.74)
v, al diferenci¿rr ambos miembros con respecto a ,,
¿ lineal
L=ma
,.1t0 da
SE
(.:1--
;L1
,,r
bier n. posiLrq
(14.15)
vi.iar,1u".. ...¡¡," 4... -.", ,1.,,,,ru.l" g-,r"drJ d" ¡¡ .:.."
t,"¡ri ,,lr,,,^,.,i,,. id,,, e,r,,,.,e,,,e ,q, ,". t,-.". J" " do'I¿cia eJ t,ntro du la Ticr¿ por alu, nu) fn.n,¿n.J¿i,,r.,,," ),
il;;;.;,,. ,:.; ;; il;;;.;;1,,
i.,*.
"iT':l'l,i*Trti'p:;lt3
B6i
862
s ster¡as cre particl,ras
dorrrle á renlcst:nt¡ l¿ rrcelerlci.ir clel cerrtro de rn¿sa G. Sustituvcndo
i, ¿" . tl. ti, eu ,I1.I0r-
se
cscribt l¡
)F :
rL
rrciórr
n¿a
(
14.16
)
que deline el rnoürnierrto del centlo de nas¿r G clcl sistcrra dc partícu1¿rs.
L¿r
ecrrirciírl (1,1.16) es jdéntica
iguJ
¡
l¿r
ccuaciól obtenidtr para
url
rnas¡ tot¿rl de las partículas del siste¡ra, partículir de sol¡-e l¿ cu¿rl ¿ctúan todas las fuelz¿s extemts. Pot lo tanto. el ce¡rtro d¿ ¡tttt.sa de un \i\tetn tle puttía as se truueDe ccnno si lu n6ia total rnasi,r rrr
sístenn puilto. de L
t1
¿r I¿r
toclas las.fuet:as extet-nut etürcierun qnu:entrarkn en. ese
Este pincipio se ilustr¿ r¡ejor- rnedi¿nte el ruor.irnielto de una bombn que erllota. Si se ignora la resistenci¿r del aire, es posible suponer quc Lun bor¡b¿r desc l)irí url¿ trriectoda parabóJica. Lucgo de la er¡losiól, el certro dc r.n¿rsa G de los fragmentos tle l¿ bornb¿r con tinuar¿i rnoüénclosr: a lo Lirgo de la nis¡ra tralectori¿. En reahd¿d, el punto G se mucve co[io si la tnasa y cl peso de todos los fragmentos estuüer¿rn cr¡rcentrados en G; en ur)Iseüuerrcit, se nrLre\ e (1rr n, ) si no hubicra erplotado la bornba. Es lecesario señalar que l¿r conclusiól anterior ro incluye los nio nientos de l¿rs fuer-zls externi¡s. Pot consigujentc, seúu errthtect suponer quc las l¡rerz¿s externas son eqtiipolcntr:s it lul vector ¡l¿á ulrido al cr¡¡tro de rn¿si¡ G. Este no es cl caso cn general, va que, como se verá el ln siguiente sección, l¿ srrnr¿r tle los rnomentos alrecledor de G dc las fuerzas externas no es el gelerirl igual a cero.
14.5. CA¡¡TIDAD DE MOVIMIENTO AI\¡GL¡LAR DE UN SISTEMA DE PARTíCUI-AS ALREDEDOR DE SU CEÍ\¡TRO DE MASA
En algurins aplicaciones (por e.jernplo, en el ¿ní¡lisis clel lrtoüutielto de un cuer?o rígido) cs conveniente consider'¿rr el noviniento de las par tículas del sisterril con lespecto a ul sistena de refelencia centroid¿rl Gr'y':' qnc se traslada con lespecto ¿l sistenia de referencia nerüoniauo Orq: (figura 14.5). Si biel el sistcma dc rcfcrcncia cert¡oid¿¡l no es, en genelal, un sistema de referencia newtoniitrur, sc obsen'arí r¡re 1¿r lel¿ción fu¡darrertal (14. 11) se currple cu¿rndo el sister¡r¿ de relerencia Oryz se sustitule por Cx'y':'. Al dcnotar, respectivamente, l.reclialte rfy viel vector de posición y la vr:l
Ia siguiente
H¿:>
(rj x nr,vj)
(r,1. r 7
':l Después de esto se diferencian ambos miembros de laecuación (14.1i con lespecto a f. Est¿r operación es similar a la que se efectuó el l; sección 14.3 en l¿r ecuación (1,f.7), y pol ello se escribe de lunedi¿¡t
Éir-)
(ri x
nr¡a1)
(I4.1S
dondc aj denota la aceler-¿ción cle p, reltrtiva ¿rl sisterna cle referencia .n rno\.irrielto. Corr refércnciri a la sccción I L12. se escr-ibe
a¡:A+al lolde a, v á denotal, r.espectir.arnente, l¿s ¿celcr¿cjouos de p, v G rcli\as ¿l sistema de refércncia Org:. Al res.,lver ¡rr.l ajy s,rstiír,ir en:c (14.18), se tiene
É¿':
)
(.i
x,r¡a¡)
¡=l
'
(i
-";) - u
(14. r9)
err¡Larf,l
I'or 14.12 lx 5, gurrtli, surrr¡lorir¡,.n l:r ,r.uaci¡ir,l4.lg //¡r' ¡ Por colsiguit trte. a ccro, ya que cl vectqr de posici
:Mc :
É¿;
(11.20)
- i.\plesa qtre el nnnrcntct resull,utt. ,lre,l,.dL,r rlt. de l.t; fuenos - .in; es igual a la razón i.e canLhi,,, tl¿ lo cunt itlt,lG,le ¡tu,titni, ¡|,:tr
rtlr¿tltitn
nto
G del sistrl.nn dc partíankn. Debe obserr'¿rlse que or la ecuticiól (14.17) sc defire la canticl¿cl .oliriticuto angulu Hi como la srrrn¿r de los rrrclmentos ahecledor , rlc los nrorrrcntos de las partículas n,vi cn. su 11lt)DílLient(, relati_ 'í\tetn( de rcfure ncia. unh-oidal Cr,r7,:,. Es lxrsible que algunas : lecesiternos calcular la suü¿l Hc dc.los rnomentos aliededá. cle . Lrrs c¿ntid¿ides rle movintctnto dc las partículas ,Liv¡ etr su tfLol)i_ .,) obsoluto, esto cs, en su nrovirniento^ según se observ¿ desdr: cl -.: ,.r cle rc.ferenci¡r newtoni¿Do O:r4: (figrrra-14.6):
-
cl.e
H"-)
(r1
x ri,v,)
(r4.21)
rlr¡table que las caDtidades rle ruoviniicnto a[gu].ir H¿; ].fl.l -léltjcan.icnte igualcs. Esto pucde vt:rific¿rrse ¿l ,Éi¿rirr" ,""_ "'tí i.2 r' escribir
:.1 :
JH
v¡:v+vj
(11.22)
.::tuir-v¡ dc (14.22) en la ectración (14.21), se encLrentra
.ia
H, {) r,r,ri )x v ) \, r I ¡, -
:,..tt.go,
corno sc señ¿ló ¿urtes, l¿ prirncr¿l sulnatol.ia es igual a ce_
:¡i r¡odo Hc se r€duce a ltr segulida su[¡atoria, lo ",,ii 1nr..l"_ : es igual a fli;.1 ,:.
-
.rt x,,r,v,
1ue esta propiedad cs p¿rricul¿r dcl sisie,nrL de ,cfcftjncir centronl¿l
Cr,,,:,
::1 no se curnpie pnm c,tro sisternd dc r(:ti.re ci¿ l\é¿so el problen,a t.1.2s).
r¡q oe
c"1..
!n
rrr.j
oJi,I-r roalorar 863
srslem.r dLr rjañrcurás ¿trcdedor de su centro de masa
864
s stemas de particulas
Si se aprovecha la propiedad ¿cabada de estableceq se simplific; la notación al elirninar la prina (') de la ecuación (14.20) y se eicribe
)M¿ : H6
(r
1.
rl
dolde se entiende que la cantidad de ¡roviniento angular H,; pued. calculalse ¿l evaluai los l.ior¡entos alredeclor de G dé las cantid¿de. de movirniento de las partículis cn su moümiento con r.especto al si.tenia de referelciir ne$,'toniano Ory: o al sisterna de referencia cel, troidal Gr'y';':
Hc;:) (r',xm,v¡):) i: L
(rj x rn,vj)
(14.r1
i:1
14.6. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA SISTEMAS DE PARTíCULAS Si no ¿ictúa una fuerza externa sobre las partículas de utr sistema, los lTiembros del lado izr¡rierdo de las ecuaciones (14.10) y (14.1f) sor iguales a cero v estas ecuaciones se ¡eclucen a L : 0 y H,, : 0. Se co¡-,cluye que
L : constante Ho -
const¿rnte
(r1.2ó
Las ecuaciones que se obtieneu expresan que la cantid¿rd de movimien-
to line¿rl del sistern¿ de partículas y su cantidad de noümiento angul|¡r ¡lredetlor del prrnto lijo O.. cor's"r-rrn.
En algunas aplicaciones, como los problemas en los que intenienen fuerzas centrales, el momelto .rlrededo¡.del punto f¡ó O de cad¿ una de las fuelzas exterlas puede ser cero sin que njnguna de las fuerzas sea cero. En tales casos, se sigue cumpJiendo la segunda de las ecutr cionei r I4.25 : el monrenlo.nqullr d"l sislerna de parLiculls alred.do' de O se consewt¡ T¿mbién es posible aplicar el concepto de colsewación de la cantidad de n.roümiento al ¿nírlisis del moümielto del celtro de masa G de un sistema de partículas y al análisis del movirniento del sistema ¿lrededor de G, Por ejemplo, si la suma de las fuez¡rs externas es cer.o. se aplica la prinera de las ecuaciones (14.25). Al recordar la ecuación (14.14), se escribe
Fotografía 14.1 Si el sistema de partículas se define como las dos etapas del vehículo espacial y no actúa ninguna fue¡za externa, se conservan la cantidad de movimiento lineal del sistema v la cantidad de movin.ierro algLla. a,rededor desu centro de masa.
v:
constante
(14.26l
r¿ue erpresa que el celtro de rnasa G del sisten.ur se mueve en líne¿ rec ta y a una velocidad constante. Por otro lado, si la suma de los momerrtos ¿lrededor de G de las fue¡zas extelras es cero, se concluye de la ecuación(1423) que se consewala calti,.lad de rnoümiento angular del sistem¿ alrededor de su centro de rrrasa:
Hc :
constante
(t4.21)
,i¡rplifica e escribe
PROBLEMA RESUELTO 14.1 Se obsewa que en
L¡ puede ¡rüd¿des
:to
¿ri
I
:
0 un vehícrrlo espacial de 200 kg pasa por.el origer dc:
un sistena de referencia ne$toni¿¡no Or4: ct)n \ elo(id.ul v,r : tl50 rn/s )i r.e l¿üjva al sisteü¿ de leferencia. Luego de la detonociól cle c¿¡ e¿ts explosivas, el vehículo se separ¿ en tres p¿1rtes A, B y C, de masas respectilas igrrales a 100 kg, 60 kg y a0 kg. Si eD ¿ - 2.5 s se obsel rL qu- J;rs ¡usrriones tl,- las piutes A y B son A(555, -180, 210) t, 131255,0, -120), clonde las coorcloltlas se expresaú en r-netros, dete¡trine la posició de Ja patle C e¡ ese tiempo.
r4.23)
sis-
lci¿ cen-
soLUcróN Pliesto que no hav fire¡za ertema, el centro dc l¡¿s¿r G del sistelra se lnueve con l¡i velocid¡rd const¿nte \) : (150 n/s)i. En I : 2.5 s, slr posición es
i: vd:
(r50 m/s)i(2.5 s)
tTo
Al recordar l¡ ecnacir'rr (14.12),
erna, los !.11r son
(200 kg)(375
. 5e
col-
rril¡ielt, i l ¿lrguú:enie-
nti: rt.1r¡ + nrBf1 + (100 kg)[(555
u)i
',.-.l!, roti,
\ár
I ------¿+r8
¡lr()fc (180 m)j + (240
(60 kg)l(255
r(
ótb.-1"
:
(105
m)i
|r)i +
r
n)kl
(i20 r¡)kl + (40 kg)r¡
150
rr[ -
i12{)
rrr)k
(
PROBLEMA RESUELTO 14.2 Un proyectil de 20 lb se rnue\ie con un¿r velocidatl de 100 it/s cuando ex¡Jotir er dos fragrnentos A y B, quc. pesa¡, respectiva¡tente, 5 y 15 lb. Si se snbe quc inrnecliataliiente después de la explosión, los fi¿g¡tentos A v /l vja-
jar en clirecciones clelinidirs respectivalnclte
tsll,q\
¡r)i
(375
se escribe
+
1-1.25 )
Ce
m)i:
:
deter¡rine
l¿¡
por' 0A :45o
v
OR
=
30ó,
velocidad de cirda fragu'rerto.
\l;
c¿rd¿.
l** firer i.,-. ecu¿r-
¡Éde(lo¡
soLUctÓN : la can nras¿l
Puesto que no bal.fuerz¿ exterra, se corselva ia crntidatl cle ¡tovi¡tiento lj neal del sistena, y se escribe
c
trm¿L al-
,¿AvA+lrBvB:ltlvo
És cer-o.
(5/g)vo + (l5lg)vr : (20lg)vo 5 r cor¡ponentes: 5o¡ cos 45" * 15oB cos 30' : 20(i00) *J y conponentes: 5"-¡ sen 45o - 1fr6 sen 30" : 0
tu¿ció¡t
¿] t. 11.26) nea
lec-
lrOllleD
I
Al
r'esolve¡ simultirneamente las tlos ecllciorres p¿r'a
r,. y
L,¡: 20 ¡- [Vs os : 97.6 lVs v r : 20i li/s I .15" v¡ :
L
E, sc erlcuentr.¿¡
97.1i li/s
\ rl()'
.(
,e cle 1¿r lrl¡rr del
l
l.l; 865
En cste c:rpítulo se estúli:L el novir¡ic¡to de sisk:¡¿¿¿¡
d.t: paftbulos, csto es, el lnovinlien grirn mimero de partículas colsider-adas cn conjunto, \'no en fór'lr¿l seP¿1r'¿1d¿1. En est¿ p r¡c¡a lccción sc ¿pr-e¡dió ¿r ca]crrl¿rl h ¿¿¿¡tfl¿1¿¡¿l ([.e t)u)Dil]úento lineo.l ¡')a cantitlad. de rnoLütrit ttt) artguhu' t\e urr sistcrra clc partícrrlirs. Se ileiiniti l¿ c¿ntidacl de rnovirniento line¿l L de utl sisterna ¿le pu1ículirs conro la suma dc l¿s c¿rnticliicles cle ¡roü¡-iientos lineales rlc Lrs partícrlas v l¿ c¿ntid¡rl de rovirrierrto angtlar H¡¡ dcl sisten¿r conro l¿t srrrra de l¿rs c¿ntidirdes de rro\irnicrrto angular dcr las par-tículas ah'edcrlor de O,
to de
ru
L: )
¡:
lr,v, I
H¿:)
(r,
x
rrr,v,)
,:.: ' -:ii
:
=gura
i
(14.6, 14.7)
¡-l
En estr lección sc resoh'er¡ur varios ploblcmas clc interés ptictico, .il obser.r'¿r'que se contorlsidelrr'el ¡rtx'isc¡r'a l¿ cantidli(l d(: rlro\irrielto liur',tl ,1" rrr' sister¡iL tlc P¿rtrcrrlit\,r ''l rrriento dcl ccntro clc mas¿r clc: lrrr siste¡¡¿1 de pntícuJas.
(l¡¡tseraqción de lo cantidotl de ntooiniento Líneol de un sislemu de Pdt'tíotlus. Esto ocrrr'r'c c¿r¿,¡.lo La ¡'esullo¡ttc dt: lts.fuet:as eúcrnas qLrc acttia tobre kB Potlículas ¿el sistetna ct ccro. Es posible oncoltr¿¡ csta sibraci(iü eú los sigúientes tipos de ploblernas. al Problemus que imTtlican el n¿otim.iento rectilíneo dc objctos cor¡o attouróliles v \:Lg(mes dc l¡ü'ocir-ri] su.ictos a chor|res. Desptés dc \'eriiical que la Iesrrltrrntn rlc l¡s f'rorz¿s exterDils es cero, es necesado igu¿llar l¿s sunras tlgebraic:ts cle l¿s cantidades de rtlori rie¡to inici¿1les -v tle l¡s crltidades de rnoviltrielito linales prun oblerler rrrla eclr¿cióI que sctr posiblc lcsoh'c.r p¿¡a rrra cle las ilcógnitm.
7,
b) Problenas que irnplican eL motlimicnl¡.t bi o tt'idimensi<¡tttLl de objetos corrro borrbirs qre e\plotarl o ¿rcrcn¿\'es, ¿irtorró\iles o bolas cle billar sujctos a chor¡res. Después clc r'e¡ific¿rr qL¡c l¿1 resultante cle l¡rs firerz¿s e\teniN es celo, se sulnarl vectu'i¿rllnelte l¿s c¿ntitlirtlc.s de rrrorilirierrto inicialcs clc 1os objctos, así co¡to sus cantidades de tnoviniie¡to fin,rles, y se igralrn liis dos su¡r¿s p¿ra obte¡er rüa ecü¿ción veclorial r¡re expresa qlre l¿ ca¡ticlacl clc rlovirlliento lineal del siste¡r¡ se conscr.¡¿. lfn el c¿rso de r¡n rncir.itnicnto b;dinens'onal, esL¿r ecrraciór prrecle slstituirse pol dos ecuaciüres esc¿ ares que se resuelvell p¿u'¿ ü)s ilc(jg¡it:ls, cn tanto que en el c¿rso clel ¡loürniento tridirlrension¿l se slrstihr) en por tr€s ecu¡cioncs esc¿l¿res qrle se rtslrelvel piuil tles incóg¡itas.
2,
trkn:imiento tlel. centro tle musu d.e n siutenld de partículus. En la secciín
14.4 se
cl celrfro de tndso (le u1 \i\ten1u de poúialhtt se ltLuete conro si ln nnsa cottrpleta del sistc¡ .tt q la l:oklitlad dt: las ftrcntts (r;t.)rrLas estLLLierdn conccntro(ktt eL ese proTto. señaló
r,1rre
ul En el coso ile un cuerlto que exploto níentras estú en mlttimiertct, el cenbo cle ilasa de los fi'¿lgllientos resl t¿utes se mueve colllo el 1lrisDro cuerpo se habría niovido si la ex plosión no Jrubiera oculrido. l,os problemas tle este hpo pueden rcsoh'ere escdbieldo la ecu¿ción de nroünlieDto del cent¡-o de masa del sisterra en fbnna vectoü¿l v e-rpresando el vector de posición del cent¡o de rn¡s¿ e¡ tér r¡rinos tle l',s rectnres Je ¡osici'rn ,lei krs diversos fragrnentos lecuación (14.12)]. Es posible en ese caso leescribjr'la ecuación vectori¡ ct¡rno rlos cr tr-es ecu¿cioúes esc¿1l¿1r€s y rtsolver-las piirit ün nú¡lcro equiviücnte cle itcógnitas. b) Iln el caso del
cluxpre cle oarios cuerpos en mo.ximienfo, el moümiento del cel, t¡o clc ¡ias¿ de divelsos cllc{)os lo resrrltl ¡lterarb por el choquc. Los problernas de este tipo pueden resolve¡se escibiendo l¿ ccuación dc rito\iritiento rlel cent¡o dc nas¿r del sis te¡r¿ e¡ firrma vectori:rl v erplesar,rlo su vector de posición zrntes y desprrés del choquc en tóminos de los vectr¡rcs dc posición de 1os cuerTrs inrpor-tantcs [ccu:iciírl (14.12)]. Luego se puecle recscr'lbir J¿r ecrraciórr veciorial coluo dos o tres ecrr:rciones esc¿l¿rcs \¡ tesolver es t¿ls ec ircirnles para un ¡úlrrcro equivdlente cle irrcógrritas.
866
I
-l
Flgura P
t4.:
tírt etr ¡, r¡órile. -.l¡tes
ri
.les¿cel.-
ib¡m¿. S Les 5e lltl no¡e l¿ :
14.1
Dos dutont(ivilcs iclénticos, -\
_r
B, tlc
lJj()
kl: esta¡ cr r-c¡osr¡ (iu¡;;n C Llr 5 +0h ke brspucs ocrurc unt sesulda
,:rlic,iu los fi-eros cuardo B es crlbrstldn por rür
.e clesp):rz¿ h:rciir h izquierda a 8 knt/h. ' r'r¡.rr'lLJ H qol¡'a;r \. 5i el l,¡.irrrr ,.lro,¡rr"., ¡-r.lentL,r,nrrr- pl.isr, - sc$rnLl¡, c\ Ircr'lcct. rrerrtc elrsHco, detct.¡tine l¿s velocid¿des de los '' rrr' ,¡ro\ ir''1,' ,1-.r1rrr.. dc l. .eqrrrrda toli,iú,r
=EJra P14.1
-
14.2
Ul¿r bal¡ clc 2E g se clispara a r,ekrcicl¿¡cl de 550 nr/s hi¡ci¿ rn blo_ \ rle 5 kg. El coeliciente dc flicuror einitiL.a rntlc cl Lloqu, A v lrr ca ll¿ Bó' cs de 0.50. Si l¿ carr.etilla Lierrc r,r.rsu de 1kg r p,t.,l'..od,í librc_ ::e. dctennine a) su velocid:rd final v la clel Utoq"é, b) la posiciól ffnal i'lorlte sobre l¿ carretilla.
.
'14.3 El ¿ut<¡nrór,il u! que pesa 4 000 lb ¡, el ¿rutomí¡ül B de 3 700 lb '. ::r en Ieposo sob)¡ rul¿ plntafor.rna de 22 ton que tnrnbiól se encrrentr¿l :e¡oso. Los ¿t¡ton,óviles A v B aca,leran c[tunc¡s \ ].ápi(lamente iJc¿ltzalr ricl¿rcrles collst¿ntes r-ciilti\.as ¿¡ la ¡latalc,rnta ,lr 7 ¡ 3.J lt/, ,.rp:¡ir.
l-_t
¡r _
t,,
-,1
i:::;{
'-18*
_1G.=:1 Figura Pt4.2
.le. ¿ntes dc des¿celerar hasln llegar ¡r un tope sih,,rrlo cl el éxtuemo r:sto de la platafo¡ura. Si¡ to¡r¿r en crrent¿r la ir-iccir,rn ni la ¡esiste¡cia irl : ,rrierlto, detcr.i¡ine l:i velociclad cle la plat¡ifbma c¡¿u.iclo los ¿utornóviles ::¡
Lreven
-!u.a
.
¿r
P14.3
velocid¿id consti¡nte.
y P14.4
14.4 ljl I . .\ r li
-
riuto¡rór'jl,'\ rlue pesa 4000 lby cl automólil Bcle3i00 lbes_ 'r.'.r ¡l:,t,.1órr,rr,lre r.rr;l,i;rr c.t,r,.r --novr Lñ.,,uLo
f¿pl,n, ,nl,r,
.r -1, r'iur crrton(.É\ \ r..rl)iLlil.rÉnre ,,'r.n ,z.rn ,elo,.idr,l*. c,,,,,_ a ln plataforna de 7.65 7.50 fvs, respecti\,¿unente. ;nt;; de )' :rr l,asl r lloqn .r rrn tope siruad,, cn cl ertlerro opue.ln rlc ].¡ oluta
:is relaiivas ' , ¡le
' si ',, r¡'lo, icl¿d dc l:r l,lalafonn:r e. d- L02 it ..u.,n,1,,ro. n,,n,n,óur_ : :É..¡lucvel a ve]ocidad coDstantc, deternrine el peso de la platafblnta. Ig - l¡ fiicción v la resistenci¿ ¿1i lod¿rriento.
867
':*.*fi****
868
Sistemas de pan¡culas
14,5 Una locomotora A de 80 Mg que viaja a 6.5 l
Figura P14.5
14.6 Se dispara una bala con velocidad horizontal de 500 m,/s hacia un bloque A de 3 kg; la bala at¡aüesa el bloque y queda incrustada en otro bloque B de 2.5 kg. Si los bloques A y B se empiezan a move¡ con velocidades resPecüvas de 3 y 5 m,/s, determine a) la masa de la bala, b) su velocidad cuando viaja del bloque A al bloque B.
l4,Z Un hombre de 180 lbyunamuje¡de 120 Ib está¡ de pie, uno al lado del otro, en el mismo extremo de un bote de 300 lb. listos pira lanzarse al agua, cada uno a velocidad de 16 fVs relativa al bote. Determine la velocidad del bote después de que se hayan lanzado ambos al agua si a) la mu, jer se lanza primero, b) el hombre se lanza primero.
Figuta P14.7
14.8 Un hombre de 180 lb y una muje¡ de 120 lb están de pie en extremos opuestos de un bote de 300 lb. listos para lanzarse al agua,-cada uno a velocidad de 16 fils ¡elaüva al bote. Determine la velocidad del bote después_ de que ambos se hala¡ lanzado si a) la mujer se lanza primero, b) el hombre se larza primero.
Figufa P14.8
A
Un sistrmu csta lormado por tres partícuJas idónticas A, B y C de .Lq.14.9 L:r r -locidrrdes_ rcspecLi\ as de Irrs partícuJas son, vA : o,\j, n6 : a¡i, y r. : o¡k. Si la cantidad de novi¡riento augrrlar del sistema alrcdeclc¡r de O, :\presada en kg . rn:/s es Ho : - 1.8 k, déiernrine ri) lru velociclacles cle las
Problemas
:artículns, ó) la cattid¡d de ¡¡oüúiento :rngular del sisten¿ ¿rl¡ecledor de su (le mas, (] - Érltr'()
Figura Pl4.9 y P14.10
p(r-trcs partículas itlénticas A, li v C i4,1O U]r sistema cstá lbrmrdo respectiv:rs (le respectiv¿ls de lirs lils larticul.rs partícul¿s so]r son v v,\\ : ra,rj,v¡: rEi, \i, v¡ : t,oi. : \'r6 r,,¿,k, o¿k, ocK, y l¿ la t¿ naÉ¡itud nagnitud nlagDltun de oe la c¿rntidad c¿rntirlad c¿rrlt(tad Jc dc noümiento rrovimiento novjmjento lirerl i, dcl c l¡,..1 L lire¿i .lel sisredel ststesiste_ .ra es de 45 kg . m/s. Si H¡;: I{¡, dolde Hr, es l¿ cantid¿d de movimierl
:.: V9 Kg. kg. L¿ls Lns velocrd¿des Las veJociclades veJocidades
r angular del sistema al¡ededor de su cent¡o de masa G v H¡; es la cantii-rcl de moümiento arrgulrr. del sjstcr¡a rlredcdor ,le O,'rl*t*rnine a) Jas . ¿locid¿¡des cle las p:rtícuJas, b) la cantid:rd cle rnoviniento angular del sis-
e¡rn i¡I¡ecledor de O.
Un sistem¿r consta de tres paftículas A, B v C. Si W^ : I,yB : 4 28 lb y las velocid¿des de las partículas, eipresaclas en fVs, sor, :-\Pectivarnente, vA : 42i + 63j, v¡ : - 42i + 63j, y v6 : -9j 6k. Deter_ :¡e la cantidad de moviniento irngular H¡¡ del sistema aliededor cle O. 14,1
.-r r,
f
IV. =
Figura P'14.11 y P14.12
'14,12
P¿¡a el sistem¿1 de partícrrlas del problerna 14.1 l , determile a) ector de posición i clel centro de masa C del sisterna, ó) la canticlad de ecto¡ ¡rimiento lineal ¡rv del sr'stema, c) l¿ canüd¿d dc rnoür¡ie¡to angular H¿ H:.1 srstema ::l sistema alredeclor al¡ededor de G. Verifique Verilique trtrbien rmbiénquelas q[e las respuestas (le estr pro .. d,l 11.I I .¿tisll¡, en Lr e, I.¡ icin rl¡Lla -n el p,oblF,,,a t4.2\ r\
',"
14.13 U¡ sistem¿r está foni.iado por trcs p:utículas A, B y C. Si no : I .1. m" = 2 kg, ¡' ar,_ : 3 kg v las velocidades cie lts padícul:ii expresaclas en :r'r \_son, respectivarnente, v,r : 3i - 2j +,1k, vu = 4i + 3j, y v6 = 2i + bj - 3k. Dete¡nrine l¿ cr¡ntid¿rd ale moüI.¡lierto angulirr. 116 dél siste,na ¿lrecle:o¡ rle O.
14-14.
Par¿ eI sistena de partículas del probiema 14.13, deterrrine a) posición i del centro de m¿rsa G del sistem¿r, á) l:r canticlad de lng.ulár,H,. H,, '..iliiento lineal ¡rv del sistem:r, c) la c¿rntidacl de moüniento lngrlar :=l sistema r¡lrededor ue \et-l¡lqUt] también de U G. \¡erifique tarnt'tF quc c\lJ\ las l.rs r.espuestas fc.f csl¡ a'áste ¿ pro lrtr.
-
r\ector er:tor de
,.',r"1l:,,,l*l t.r.t3.,rti.taq.¡nlae,.,,:¡.i,in.la,i,.r, .l ¡ml,lnm.r
t4.2b.
Figuta P14.13
869
Sistemas de particulas
14.15 Un proyecül de 20 kg pasa por el origen O con velocidad v¡ = (60 m,/s)i cuando erplota en dos fragmentos A y B de 8 y 12 kg, respectivamente. Si 2 s después Ia posición del fragmento A es (120 m, -10 m, 20 m), determine Ia posición del fragmento B en el mismo instante. Suponga qlre av = -g = -9.81 m,/ss e ignore la resistencia del aire. 14,16
Un vehículo espacial de 500 kg viaja con velocidad
:
ve:
a
I
n b
(450
m,/s)i y pasa por el origen O en ¿ 0. Debido a cargas explosivas, el vehícu lo se fragmenta entonces en tres pafes A, B y C de 300, 150 y 50 kg, res4 s las posiciones obser¡¡adas de las partes A y B son pectivamente. Si en f A (1200 rn, -350 600 n) y B (2500 m, 450 m, 900 m), detelrrLine Ia posición correspondiente de la parte C. No tome en cuenta el efecto de la gravedad.
:
n,
a
ti
d
I
D
'14.'17 y 14.18 El automóvil A estaba en reposo a27.8 ft al sur del punto O cuando Io golpeó en la parte trasera el automóvil B, que viajaba hacia el norte a velocidad o¡. El automóül C, que se desplazaba hacia el oeste con
velocidad oc, se encont¡aba a 120 ft al este del punto O en el momento del choque. Los automóviles A y B quedaron enganchados y, debido a que el paümento estaba cubierto de hielo, patinaron hasta el crucero y chocaron contra el automóül C, el cual no había alterado su velocidad. Según mediciones basadas en una fotografía tomada desde un helicóptero de trá{ico poco después del segundo choque, las posiciones de los automóüles, erpresadas en
pies, correspondían
a r¡:
-30.3i + 50.7j,
rB:
-30.3i + 61.2j,
y 16:
-59.41- 45.6j. Si los pesos de los automóviles A, B y C son, respectivamente, de 2 800, 3 600 y 3 200 lb, resuelva los problemas que a continuación se indican.
b cf b
utt
b a
dd
& ra
Ld t)
dil
Icd Figura P14,17 y Pl4-18
F bl
- 45 mi/h, determine la velocidad inicial del automóril I y el tiempo transcurddo entre el primer choque y el momento en que se tomó la fotografía.
tu
14.17
14.18
Si a¿
Si el üempo transcuüido entre el primer choque y el momento en que se tomó Ia fotografÍa fue de 3.4 s, determine la velocidad inicd de los automóüles B y C.
r¡I
Ef bd -r f¡¿
14.19
fiiri¡,
-t)
Pmg
'+io üíct¡,
Bs[ h po-
¡5}.
Dos balas de cañón se encadenan y disparan ho¡izont¿lmente a
871
¡elocidad de 165 m/s desde la parte superior dá un -muro de lB m. La cade_ u se rompe_durante el vuelo de las balas y una bala golpea el suelo en I = l5 s, a un¿ distancia de 240 m meüda desde el pie de'Í duro. v 7 m a Ia de_ rcha de la línea de fuego. Dete¡mine Ja posición de la ot¡a báa en ese ins_ Énte. Ignore la resistenci¿ del ¿ire.
14.20 Un cohete de pmeba de S kg se lanza veficzürrente y alcanza altura de 60 m a velocidad de 28 m,/s á final del vuelo impulsado, en el &mpo t = 0. Cuando el cohete se ¿proúma a su máúma altura erplota en fu tu_ partes cuyas masas son ?nA : L 1 kg y ms nr¡ : 2 )kq. kg. Se obs"*u observa q,re'la que'la porte pa,te l*_p".t". ¡ nlr "hnzami"nto cboca en el suelo a 74.4 m al aJ oeste del -{ choca dél punto de -l d" en ¿ - S]gS s. Determine la posición de la parte B en ese instante.
¡a
Fn-
há
ecü
o&l
:lp (¡'E ,
60m
de!-
6eo llF]
ónr Figura P14.20
14.2i Dos esfe¡as, cada rura de masa rn, pueden desüzañe libremen_ sin fricción sobre una superffcie horizontal. ia esfera A se mueve a velo_ ciüd oe : 4,8 m,/s cuando golpea la esfera B que está en reposo y el impac_ kr pror oca que la esfera B se rompa en do. pedizos. cada fragtn"nio .onri." rma masa igual a n/2.-Si 0.7 s después del choque un pedazó alcanza el pun_ b C y 0.9 s.después del impacto el otro pedazo üega al punto D. cletermine ¡ la velocidad de la esfera A después del choqu.,"ó; el ánzulo 0 y [s velo. cilades de los dos f¡¿g*"n1or deipués del choque. b
I I
&{-
. F¡gura P14.21
'14.22
En un juego de billar, la bola A se desplaza a velocidad v¡ cuan_ ü_ choca con las bolas B y C, que están en reposo y alineadn, r"" irr,li_ ca- Si después del choque las lres bolas s" rrlrer"n en lu di¡eccjones "o*o seiat*..y ?o : ! At y : 2.I nts, determine la nagnitud de la velociüd de ". B. r la bola A, á) Ia bola 14.23_ Un heücóptero A de 10000 lb viajaba hacia el este a una velo_ 190 mVh y una r.ltura de 2400 ff cuando lue qolpeado oo¡ un he EÉptero B dc I3000 lh. Como resultado de la colisjón.ioj do5 hili"apt"ro. r""s restos mezllados cayeron al suelo en 12 s en ui pun_ nü"19r l :T^{ b localüado I 600 ft aJ este y 400 lt al sur'del punto de imD¿clo. Si ;e ;;o ¡h resistencia del aire. dg16il¡¡¡. las compon"ntes de la ieloc¡clad deihe_ B justo ¿mtes del choque.
- de cihd
11.24
Un pájaro de 6 lb r.uela hacia el este a 45 ít sobre el suelo con = 139 fus;i y recibe el impaclo de un¡ llechir de 2 oz cuva re esr" -(I80fus)jT (240 fuslk. dondc.i apunla hacia arriba. óeter_ b posición del punto P donde eJ pá¡aro cñoüá contra el suelo, ¡elaü_ prto O localizado directamente abajo del punto de impacto. rd v¿
Figuta P14-22
Llm
872
Sistemas de partículas
14.25 En un er?erjrnento de dispersióu, una partícula alfa A se proyecta con la velocidad u¡: -(600 m/s)i + (750 mÁ)j - (800 nVs)k dentro de una corriente de núcleos de oigeno que se mueven a velocidad común v(¡ : (600 rrls)j. Después de chocar sucesivar¡ente con los núcleos B y C, se obser,'a que la partícula A se mueve a lo lar€o de Ia trayectorÍa deffnida por los puntos A1 (280, 240, I20) y A2 (360, 320, 160), mientras que los núcleos B y C se mueven ¿ lo lar€o de tlayectod¿rs definidas, respectivamente, por' tsr 1147, 220, 130) y B¿ (114, 290, 190), y por C1 (240, 232, 9O) y Cz Q40, 280, 75). Todas las trayectorias están a lo largo de líneas rectas y todas las coo¡denadas se elprcsan eD milímetros. Si la masa de un núcleo de oígeno es cuatro veces l:r de una partícula alfa, determine la velocidad de cada una de las hes partículas después de los choques. 14.26 Urc bornb¿ de 18 lb que se ¿lesplaz¿ con velocidad v0 = (60 fVs)i - (45 fVs)j - (1800 ft/s)k erplota en el punto D en tres fragmentos AB y C que pesan, respecti\,¿mente, 8, 6 y 4lb. Si los fragmeltos se impactirn contra lir pared vertical en los puntos indicados, dete¡mine la velocidad de cada fragmento
i
ú.tediatanente después de la erplosión.
Figura P14.26 y P14.27
14.27 U¡a bomba de 6 lb se desplaza con velocidad -o1¡k y explota en el punto D en tres fragmentos que se impactan sobre la pared en los puntos mostrados en la {igura. Los fragmentos A, B y C se impactan en la pared en 0.010 s,0.018 s, y 0.012 s, r'espectivarnente, después de la erplosión. Deternine a) Ios pesos de los tres fi'agrnentos, b) la velocidad inicial oo.
.{
14.28
Obtenga la relaciórr ',.7.
Ho=ix?¿v+Hc .-rtre l¿s c¡ntidades de r¡oüDtiento :rngular
' ,Il-.
H¡,t H.. clelinicl.rs,
lespcutiva_
cll la' c(r¡rrcion.s.14.1 \.14.21,. Lns,.."r,r.".., i ,j, l";n.,,.'je,,,, -.¡ re.lc.hvrL. Lr ¡o.ir irirr r l:, r-loL.id"J d_l c*rrllo,1. i,,o.,, C del sj.t¡ rna : lartreuhs en rela(.ión coD rl sirteüra de relc¡eDcia ne[to¡i¿¡to Oty:,v tn.
:-presenta la rnasa total del sistema.
14,29
Considere el sisteln¿i de relrrc¡cia .Lr1y,:, en trashrcirin lesprcto
- sisten¿ de referencia newtonidro O,ti7:. Lir cintidi,.l d. ,r.rnV,,l i".t .rrrsu_ ,: II1 de un sistema de ir piulículas aliecleclor cle A ," ,l"fir; ;",;;;l;;i;,, Hl:)
r'j
xn,vj
(t)
¡:l
i-
los ¡-ro¡re¡tos ¿lrecledor de A de l¿s catticlatles de rnovinriento m,vl cle -. partículas en su nrovirniento l el¿rtivo al sisterna (le reférenciri A...,r7;:i. Al :-notar rnediante H1 la suna
II.r:) i.
rj x rn,¡
(2)
los nior¡entos ¿lrcdedor de u{ de l¿s cmtidatles .le
moürtielto rr,v¡ de lirs
.lículas en su moürniento rcli¡tivo ¿l sister¡a cle refércnci" ,r"*tnninrrá áy", -:nuestre que H1 = H¡ en rrD iÍstante claclo si, y sólo ¡;1, ,","f*f""" ,l"" ¿"
-. siqrientes contliciones en ese r¡o rnto: ,l ) A iiene r elociclrrcl r.r¡o ttslrecto - ..¡crna de reli-rn¡, j1f¡sli; 1., ,,\ coirL.irlp L.on nl r-ntr,,rl,.,",,.rGd;l',ir," - i I l.r r elocidarl v , reJrtiva lL O.r¿/: est¿i dirigid¿1 ¿r lo lar go de ia línen AG. Muest¡e que Ja relación >M. : üi. tlorrde H! rstj dcfnricla .14.30 li..rLe l.r e, la,;úrr I d, lprohl.rnr 14.!9 Jorrde )M. renr.,cnL" l,r,,,_ 1 . ,l- lo. rnor¡"rtns 4 rlc t¿s lurrz.¡. crl.¡n¡s ór¡c a¡.tr;rr .,, 'rlr,.le,lor,l¡ ':- el siste¡ra de paftículas, es r,álid¡ si, y sólo si, se s.rtls1.¿ce'un¿'de l,u's¡_ -. -r tcs condicioner: ,i ) eJ ¡ropio sistemaáe referenciaAr,ri,:,es un sisierrra -elelcncia ne\ 4oDiNno, h) A (,oLlcide con el cenb.o cle iasa C. r:) l¿r act .:,ción aA de A relativa a O¡.l/: está dir-igid¿ a 1o Lrrgo cle 1,r lí,,";;¿. ''
.J,7. ENERGíA CINÉTICA DE UN SISTEMA DE PARTíCULAS cinética ? de un sistema de partículas - . enelgí¿ cle las ener.gí^as cinéticas
se
defile como la su ,i;;;.,n.'p,rr.
de l¿s diveisas p¿utícul¿rs,l"l r.rnto, con refér.encia ¿r la sección 13.3. se escrib¡:
/ m,Ll ' i:1
i-l.iil tls
(14.28)
$isfe!-f,* ,je t*fÉ,.*r;¿"-ia ¡ler?trñ!dü¡, Al c¿lcular Ia do u¡r rislemr¡ qr¡,.(.o \la de,ll,gr¡n |lúmero rL- Dar . J ¡s r.omo cn ej crso de ¡¡rr crerpo lgitlor. I rnenrdo lciulll lu¡ -:,e rle con'iderar por separudo el l¡roü¡níenlo del celrt-o ¿. n,,,." C ,-r srstern¡ y el no\4rmento del sistema rel¿tjvo al sistema de refé¡.en_
7'
¡.j.f¡
-
r'g]r, r'inéliC¡
.
unido a G.
¡nerq a,iner,c¿
o;#;*:[:
873
874
Sistemas de pañícu¡as
I
I (
P
t.
P II
¿l
r€
d
iisura t+.2
hr
H 0t
[¡
una partÍcul¿r del sistema, v1 su velocidad relaüva ¿l sistema de referencia ner¡.toniano Oryz y vj su velocidad relativa ¿l sistema de referencia en moviniento Gx' y'z' que está en traslación con respecto a Ory: (figura 14.7). Se recuerda de Ia sección anterior que Sea
¿
v¡:t+vl
L!,**r: !i,,{*' '")
1r
Elr
1¡l.l lm¿Q
/
DE
+ vi) ' (t + vj)l
1tn :fl-.1;2+n't o t-
4 \¡:1
do
cb ist
o, al susütuir v; de (14.22),
T:
n¿
(t4.22)
donde Í denota la veLocidad de1 centro de masa G rclativa al sistema de referencia nervtoniano Oryz. AI obsewar qu" rf igual al producto escalar v¡ .v,, se erpresa la energía cinética T del"rsistema relativa ¿I sistema de referencia newtoniano Orqz en la forma siguiente:
T:
r¿l
i:l
-,r1 +
-rl
n
c¡ib
19.
" 2i *.,1n
La pdmera sumatoria representa Ia masa total m del sistema. Al recordar la ecuación (14.13), se nota que la segunda sumatoia es igual r
nr.v' y, en consecuencia, a cero, ya que Í' representa la velocidad de G relativa al sistema de referencia Gl'y'z', es claramente cero. Por lo ta* to, se escribe
-ll
¡r
roL
r:lna2+
I),-n,"
(14.29
¡€pñ bre I
lb
ln
dedo Esta ecuación muestra que la energía cinética T de un sistema de partículas puede obteterse al sumar Ia energía cinética d.el centro de rnas G (suponiendo que toda la masa está concentrada en G) y la energb cinéticu del sistem& en su nu)Dimíento relatioo al sistema de referencit
Cx'g'z'.
Epr€
qre¿ ¡imie
Fesa
;uIs er
del :-i
]
.
i
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E,
PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA. CONSERVACIÓN
""'-'"'
rA E¡¡ERcíA pARA uN srsrEMA nr panricuins 'r' ilf'o 'lel, L-al';rjo r,h rn, rAi.r 1.,¡,.1- ,,lli",,r*- a caJr partri.rrlr
..r \isl,.r,l.r de n,ll1ri.lll¡ts Se ,.s¡.ribe
l'i+Ur-2:T2
14.9. Principio dei impu so y ta canridad de
'''"i'.¡.i',i"0"""'"i"t"i";;;'il"r;: 875
/,,
(14.30)
': ' cacla partícula P., dond. u¡-,e repr-eserta cl ti-abrrjo reirlizado u,¡r. ¡t. rzlts inlr'''rr fl. r l,r fl¡, r.,,¡ c\to;tr;¡ I.c\'ll.rnl,.F; i,cl,l¡lr,l,,.rrLl_ \l ',rr,r,rI Ijr\ l-n{ r.fiirs (.ireti(.a\ de lrrs rlil_rentcs pr,rlic.rL,s del . itr. .rl,r'orsiderrr ,.1 trlhrjo,lo t,¡Lrs I.s fire,,,¿. ir¡rplit.,¡,1r.. se pleLlc '.rr rr, ccl.i, iún 1i4.JU, jJ .irterrr¡ r.ornlletu. Lrrs,.rtntidrtJ,.s l¡ r /.. 'i.Ftrl¿rr iJ¡r,¡J lir Fnctelt (.inetic:¡ dcl .ist,.rrr¡ ejrlcfr, \ ,. ."1.i,1,,, .r .i r¡irciúl ¡1,1.2\\,, d, ljl tl!g. Lr,..¡¡r¡tirl,Ld I ¡ ._ r, ¡,r.seltr.l ,j",1, j'"1,,. l¡rs ñ¡er2,..,¡u-.'...triitrr ,,ot,r" t,,,,,,,,t,1.,,1n-,i;i.";:';, ('bs, rl,rrLluc.i bi¡n L.r llrn¡u.r. lrre i tcl1,rs f 1 1,. s,,r, iLrr.rl,., " restas, el tlabajo de estas
firezas cr,
1
gcner-rLl
,,,,
,.'.1,,,i.,t".rni
un
iu,á
. l,, linul¡. P. ¡ l, s,,hr" lr,,.u,rJes :u.ll¡n, rp.rir,r,,;;,;;,';_i,,. . lc¡plxzi¡mtÉtrlos dilcrolrl-, por L, l:ilrlo. ,rl ,,rL.r¡1,,1. l .,. ,1, 1, i'l,rnt ¿l ttnhnj,,,L 1,t., ftr, t-.,t, i,tct,t,ts f. ,,,,,u,1jt ,'-¡ ,",¡,,,,
'tl\ JU¿r:d\, \fL / /i¿s F,. Si todas las luczris que ¿ctíran sobr.e lns partícrrlas clcl sjstelr¿r son
:,senativ¿s, l¿ ec¡¡ación (14.30) puede susütuirse por
?'¡
lclc I/ representa
I¿r
+Vr:¡,a1'"
(14 31)
ener-gír potcnci¿ asoci¿rcla
cr¡i las
fire¡z¿rs irr-
..ras-)'extern¿s que actú¿Il sobre Jas partículis dr.l sistetn¡r. L¿r ecua_ el principio
]E
PRINCIPIO DEL IIVIPULSO Y LA CANTIDAD MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTíCULAS
integrar lirs ecrraciones -.ibe
2
(1,1.10) v (14.1 1) en t clescle l1 hasta /1- se es-
[,',,'n ,h
: r"
Lr
(14.32)
t i,'t,, dt: |.Hr,,1, (r{o), \l
(14.33)
ulJar Lr.defirriL.iórr ,1,.1 ir,,prrl.o lir,.rrl ,le r¡n.r f,rer.zrr q,,e ,,'l tJ.t(r \c rrot.r qrrr l¿s.ir,te{rul.. er, L e|rrrt.ic;r s_ dio 14.3:17 1.,.1 "1 .l)r'r'Se ti t tos rtlrulf rs line¡¡le, de l:ts llrrl.zlts crl,,l.lrirs I ll,c JCtri.Lll \r, '. ljri prrlí( rlir. rl, I ¡i,lerr¡. ll;,r ,ll. reli rirsc ,lo ¡r,Lr'r, r.¡ iirnilal rr re,
,l
.rs integrales cn l¡r ecu¿rción (14.33)
i,
uo 1.,,
j,;;;ir, ;;;{;;;,,;;';."
.ledor de O de l¿rs lirr¡zas extern*. Dc tul l,odl,, f" f i¿.Ssl -\pr-t s¿_q.c h surrrir de Jos irrpulsos li'eales cle las ".,,,ii_, i""rr"r'"ii".,,,,, llie.ac rirn sol,rcel si\terna igual al calnbio er
"s 'rrlllelto llneirl del \jstr mr. De
ln cnlttidad cle riro_
rnane¡¿r similar, la ccuaciótr
rres:r que la surr.ia dc los ir.irpulsos a'gul"r", ulr"d"áu. á" ,-,.: r's iqtal ul c.r¡rbio crL el mornento
oel :I1"",n, slstellil
(i4.38)
o J;
er_
i"ri".
"ng,rl,,. "l.ed",lu,.d"
O
Fotogratía 14.2 Debido ¿ q.re el btoqLe de concrelo es uT stslerra de oa,ticu as s n caal,Oad oe 1ov¡n enlo nicial. la canlioad oe rtov,miento l'reo' L2 ec igual a la sur"a de los rmpulsos irneales de as fuer,/as exre,nas que áctron soore el sistema
.Ydd
876
Sistemas de partículas
.,
clariffcar el_significado Íisico de las ecuaciones
QaS\ y
-P,ara (14.33). se rearreglan los ténninos en estas ecuaciones y se escribe
ft"
L'_ + -_>l Jt1I F.dt:t^ ftp (Ho)r+) - | ,a,
M6
dr:
(14.34)
(H6)2
(14.35)
En los incisos a) y c) de la figura 14.8 estár dibujadas las ca¡rtidades de movimiento de las partículas del sistema en los tiempos tl y te, respecüvamente. En el inciso b) se indica un vector igual a la suma de los impulsos lineales de las fuerzas extemas y un momento de par igual a la suma de los impulsos angulares ahededoi de O de las fuerzai exte"mas. Por simplicidad, se ha supuesto que las patículas se mueven en el plano de la
(rr¡\.)r
s ['¡,n
¡t.r"
s -[,,'"tu * b)
F¡gura 14.8
¡v
"?/
/\-.,,,* (rn¿v¡i1
(tu
c)
figura, aunque el aaálisis presente sigue siendo váIido en el caso de parlculas que se mueven en el espacio. Al recordar de Ia ecuación (14.6i que L, por definición, es la resultante de la canüdad de movimiento nr, v,, se nota que la ecuación (14.34) e4rresa que la resultante de los vectores mostrados en los incisos a) y b) de la ffgura 14.8 es igual a Ia resultante de los vectores indicados en el inciso c) de la misma figura. Si se re, cuerda de la ecuación (14.7) que H6 es el momento resultante de las cantidades de movimiento rn¡v¿, se advierte que la ecuación (14.35) e¡presa de manera similar que e1 momento resultar.rte de los vectores en Ic incisos a) y ó) de la ffgura 14.8 es igual al momento resultante de los vectores en el inciso ¿). Juntas, las ecuaciones (14.34) y (14.35) erpresan enlonces q;;le ku cantil.ad,es de mooimiento d.e los partíallas en el tiempo tr y los impulsos dn las fuenas ertema; desdn t, hasta t2fonnnn un siatenü de aectores equipobnte al sistemn d.e las canüdadzs d.e mooi.miento de partía.tku en el üempo t2. Esto se ha indicado en la {igura 14.8 mediante el uso de signos de más y de igualdad en color azul, Si ninguna fuerza extema actúa sobre las pafilculas del sistema, Ias integ¡a-¡es en las ecuaciones (14.34) v G4.35) son cero, v estas ecuaciones producen
lc
Lr:Lz : (H,')o
(14.36)
(Ho)r
(r4.37)
De este modo
se veriffca el resultado obtenido en la sección 14.6: si nin_ guna fuerza extema actúa sobre las paúculas de un sistema, Ia cantidad de mor.rmiento linea.l y la cantidad de moümiento angular alrededor de O del sistema de partÍcu1as se conservan. El sisteña de la cantidad de movimiento inicial es equipolente al sistema de la cr¡.ntidad de movimiento final y, por_lo talto, la canüdad del moümiento angular del siste_ ma de paúculas rededor de atal,t¡ui¿r punto fijo ,"
-nü-o.
PROBLEMA RESUELTO 14.3 Para el vehículo espacial- de 200 kg del problema resuelto 14.1, se sabe que e: t 2 s, si la velocid¿d de la parte A es vÁ = (270 m/s)i (120 m/s)j +
:
.5_
(160 m/s)k y Ia velocidad de la parte B es paralela al plano velocidad de la parte C.
4_:i5
-
r:.
Determinó
h
És&
Eti-
d g¡II¡r
soLUctÓN
'd&¿le
Puesto que no hay fuerza extema, la cantidad de movimiento inicial mvo es equipolente al sistema de las cantidades de movimiento finales. Igualando primero las sumas de los vectores en ambas pates del dibuio ad¡unio y después las sumas de sus momento< alrededor de O, se escribe
h
L1 = Ls: lnvo: mAl,A + tnBvB + mcvc (H¿)1 : (He)2r 0: r¡ x aoy^ + rB x mBvB +
:
Al recordar del problema resuelto 14.1 que vo
:
m¡
100
ra
:
16
=
rc
:
y utilizar la info¡mación que
'pü-
l{6
reescriben las ecuaciones
kufo
200(150i)
E"
E IÉ-
ek is-
o
I
:
nl¡ =
kl
J
roolsls -180 I zto -120
-
60
m¿ = 40 kg + (240 m)k
(i20 m)k + (450 rn) - (420 m)k
se dio en el enunciado de este problema, se
¿¿o 160
l+
I
160k)
li
+ 60[(o¿),i + (o¡).k] + 401(ug),i + (r6),j + (oq),kl
eol zss
1,,",,
jk 0 -120 o (o" +
\€c-
lr r05
401 I
l(o6),
I etl-
fedr
(150 m/s)i,
kg
(180 m)j
tr Iró
|rr f:
450
(o¡¡,
(z',)
(r.).
a
(os)r-3oo=o
LK
450(pd" + 420(D)! = 0 115(o¿)u - 450(u6), - 45000 : 0
Ia-
las cuales producen, respectivamente, (r-16),
,.36
k -420
J
el coeffciente de j en (1') y los coeficientes de i y k en (2,), -cero se escribe, después de simpliffcaciones, las t¡es ecuaciones escalá¡es
Al igualar
bIÁ
rci)-
(2)
??xcvc
(l) y (9) del modo siguiente:
:100(270i- r90j +
ilEC-
es+
kg
(555 m)i (25ó m)i (105 m)i
(1)
rc x
=
300 (od=: -280
(r"). = -so
La velocidad de la parte C es entonces
niF id¿d
rde idad
ni
iste.
v,.
= -(30 rl/s)i +
(300 nr/s)j
-
(2Ít0
ur/s)k {
FROBLEMA RESUELTO
14.¿T
La bol¿r B, rle rnasa rn¡;, sc suspcncle clc una cuerclir de longitucl I u¡icl¿r ¡l ca 1ro A, de nl¿sa rr^, qlre rucd¿ co libeltad sobre una pist¿1 hrll.izrlrrtal sin fiicción. Si a la l¡ola sc lc d¿l urr¿r ve]ocidild horizontal iliicial vu mientras el ca r-r-o est¿i en reposo, detejni[c zi) la velocirilad clc B cuanrlo ést¿ alc¿¡nz¿ srr elevación l¡¿'rxi¡ra, b) Ia rlistrucia vertlcal ¡tíúma l ir quc se eleviuíi B. (Se
supone q,,e
oi < 2gl.)
sor-ucróN El principio del imprrls¡¡cantidad de lioürniento y el pdncipio dc conscn,ación cle ]a energía se aplicarán al sistema c¿rr.r.o,bola entre slr posición inicial I v l:r posición 9, cudrdo B alc¿nz¿r srr elevación rrárir¡¿. \¡olocid¿rdes Posición 1: (v.r)r : 0 . (.'¡)r : to (t )
Pot¡íciótt 2: Cu¿rnclo Ia bola ll alcanza su cler'¿rción nlárirna. su velri dad (v¡71), r'cl¿tivir ¿ su sopotte A es cero. De tal Drodo, c¡ ese irst¿nte, su velocidrd absolutii es
(vr)": (t,.)r + (v¡¡o)r: (1,),
(2)
Principio dcl irnpulso-cantid¡¡d de movirniento. Al obsenar r¡re los impulsos exte os consistcn cn W,\f, W¡/, y Rl, donde R es l¿r ¡c¿cció¡ de la pista sobrc cl cirrro y recorclando (1) y (2) se dibuja el diaarana de irrpulsocantidad de nroürniento y se escribe
llrv¡ * ) Ext Impl-2 : )nv2 5 r conrponentcs: n1¡1)t): I,nrA + rn¡)(o¡)2 c¡re expresa qrie ll c¿rntid¿rril rle nrovj¡riento lile¿l del sisten¿
se conscn¡¿ en
la dirccciórr borizr¡ntal. A) rcsolvel para (o,)2:
, lD\rl: Posición
I
losicirin
f
lnA
ma -f
\/ -:
tLr ü1P
r
r,r:
I--
üt \ i tlt
¡,,-
<
t,
(jonscrr¿ción do cnergía
I\*lrion l. Posición ?1
*
l/1
:
?'e
2.
potencial: cinétíca: ¡totencial: cinética:
I:nerqiu Lnergía Energía Energía
* 1r2:
!1trt¡1xf,
\
r
,¿qgl
- ,,r¡ri lt : nt4tl + m6glt T": llnn + nts)(a;)Z l'1
+ nogl: lo(,r^ + rn¡)(o.,r)j + n6g[
!
ntngh
Al lesolver para h, sc ticne
t, !"
/¡/\ -n¡¡ r\-
!1
o, al sustituf p¿r¿r (o¡)2
Ja
.
ttt
¡
2F
cxpresión que se cncontró *rriba,
'; 2g
tn' 117^
+
,,j
tlrB 2g
Jo 7,:-'/¡¡ 1lt-\ + r,lrr 2g
.1
(lomcntarios. (1) Al recordar que ol < 2gl, clc acuerdo con Ia riltjma ecri¿ción ñ { I, se veriflc¿ de t¿i noclo quc B penlanece debajo clc A cori-icr se supuso en la solución.
2 para ,,,, ,r¡ la tns¡rr.sta quF :e oht \u ,. rcdll,." ,, .r¡': : 0 r l¡: uí/2g: B.scil,¡ qrm6 rt. t¿ndrilo sirnple conA fijo. para ra¡ ni¡, el probler-ra se rcduce :i (v¡)2 : 1r-\)3 : v0 ) /¡ : 0; A ¡;B se rnue
lva)¡
(
ven con la ¡risrn¿ velocid¿rd const¿1nte vo.
878
PROBLEMA RESUELTO 14.5 En rn jucgo de bjllar. a la Lola A se le Ja una r¡locidad inic.ird r,, de nra{nioo = 19 ¡y, a 1o largo de la lí¡ea DA paralela al eje de l¿ ¡r.s¿. Est¡ i.rola choca con la bola B y luego con la bolic, las cuales se encue¡traD en reposo. Si se sabe que A y C inciden perper¡diculalnente en las lateuües de la
ttd
mesa en los puntos
A' y C', respectivarnente, que B cüoca con la later¡l
de
nanera oblicua e¡ B', y se suponen superficies sin liicción, así como ilrpactos peilectamente ell'rsticos, determine las velocidades ,ro, u" ur,.. las "orieste cu¡rles las bolas chocan con las later¿les de la rnrsa. (C,,n¡¿nrán,,. En probJema_re-suelto y en vario-s cle los problernas que siguen, se supore qrre las bolas de billar son partículas que se m.re.,en con libeitad et, .,,.r ],lnno Írnrizontal, y no corlo la-s esferas lod¿ntes y deslizantes que realmente son.)
soLUcrÓN
.f,-
?-- - á.-.*
Consenación clc la clntidrd dc movimiento. Puesto que no h:ry fuez¿¡ extema, el rnomento inici¿ü ¡l1vo es equipolente al sister¡a áe canticl¿des tle movimiento después de los dos cfioquis () ruLrs de que cualquierir de lns bolas golpee las laterales de la nresa). Con refelencia af.lih,,1" a,liunto. se escdbe
¡,rv, = ,,, (ro nrs)
ll o |
5r conrpouentes: *fy componentesr
8ft. _l 6C ,¡ (,8)"
+\
I
3ft
_I
nonentos alrededor
: nt(xe'), t na¡; 0: nm¡ nlas),, de Or -(2 ft)ri(lO fVs) : (8 ft)¡¿o¡ - li- ft)nr.(o',), (3 ft)no.j rir(10 ltls)
(t) (2)
(3)
Al resolve¡ las tres ecuaciones p:rra on, (o¡)., y (o¡),, en ténninos de o¿,
¡¡ : (o¡)r: 3o. 20 ("^¡), : I0 t)c Conserv¿¡ci(ir'¡ de ln energír. Puesto que iirs superficies
(4)
son sjn f¡ic ción y los impactos perfectaüente elásticos, la energí:riinética inicial ]liofi e< igrral a la crr-rgr¡ cinéücí1 final dcl si.Leln¿:
lnnf, = lnoa"o + ttLut:,2¡ + lm¡af o? + (or)i + @B)?t + D?) = (10 fvs)¿ Al sustjtuir D^, (o6),, y (ae)u de (4) en (5),
2(3u¿
20)2
+ (10
2\xl
se tiene
- o¡)'+ ¡:. : 260r¡- +
169
800:0
se encuentr¿1 que ¿c : 5 fVs y og = 8 fVs. puesto que sólo la segunda raíz produce un valor positivo de oo después de sustituiien las ecuacioúes (4). se concluye que r-16 : B lVs y
Alresolver para o6,
D^-
- 20:4 fvs (o¿)": I0 - B:2 ft/s v.t : 1 filsf v¡: 4.1i li/s T 6:1.1" vc. : 8 llls --+ { (DB)y
= 3(8)
En la lección aDterior se delinió la c¿ntidad de rnovirniento lineal y la cantidad de moümiento angulnr de un sistem¿ de partículas. En esa leccióu se delinió lt energia cínético T
utr sister]1a de partículas:
l':!),,,.,,i 27' "
(14.28)
L¿r solución de los probJemas en la sección ¿nterior se basó en la conserr¡¿ción de l¿ cantidad de moürniento lineal de un sistem¿r de padículas o en la observación del rnr¡r.imiento del centro de masa de un sistelna de partícuJas. En esta lección se ¡esolverírn problernas que implican lo siguientel
1,, C¿íIcu.lo de la energía cinética perrlidu en clrtr¡ues. La energía cinética ?1 del sistem¿ de paltículas antes de los choques y su en¿rgí¿ cir.iética Í2 después de los mismos se calcula a patir de lu ecurrción t 14.2U) y se rista ula de la otra. Tenien do presente que, si bien la caltid¿d de movimiento Jineal y la caltidad de urovimiento angular son carrtida
2.
(lonsen¡ación de lu contid,ucl cle m¡¡ximient<¡ lineul conserr,ttción tle kt ry energía. Corrc se estudió en la lección aliterior, cuando la resultante de l¿s fuerzas que actú¿n sobre uD sisterna de partículas es cero, se consewa l¿ cantidad de rlrovimierto lineal del sistema. En problemas que implican moviniento en dos dimelsiones, el señalamiento de que la car.rtidad de n¡oviniento lineal ilicial y la cantidad de rnoümierrto lineal final del sistem¿ son equipolertes produce dos ecuaciones algebr-aicas. La igualación de la energía tot¿l jnicid clel sistem¿ de partículas (incluyer.rdo la ener€í¿ potelci¿I, así como la energía cinética) con su energín total final produce un¡i ecuación adicional. En consecuencia, es posible escribir tres ecuaciones que pueden lesolverse para tres ¡rcógnitas lproblema resuelto 14.5]. ÉIay que observar que si l¿ r'esultante de l¿rs fuerz¿s extemlts no es cel'o y tiene una dirección extet'D¿rs
fija, la cor.r.rponente de la c¿ntidad de moün.iiento lineal en un¿r dirección perpendicul¿r a la resultante se sigue conser-valdo; el número de ecuiiciones que es posible utilizar se reduce entonces a dos lproblema resuelto 14.4].
3,
Oonserceciótt cle kts cttntidades de m<¡aimienk> lineul q ungukrr. Cutndo no actúan fuelzas externas sobre un sistem¿ de partículas, se conser-van tanto la cantidad de moviniento line¿l del sistema corno su cantidad de morrirnielto angulai-alrededol de algún punto arbitrario. En el c¿rso de nroümiento en tres dirrrensiones, lo anterior pern]iti::á escribir h¡rsta seis ecuaciones, aunque quizá sea necesario resolver' únicamente alguna de ellas para obtener l¿s respuest¿ls deseadas lproblenia resuelto 14.3]. En el caso de rnor.irniento bidimension¿¡l, ser'á f¿ctible escribi¡ tres ecuaciones que podrán r-esolverse p¿r¿r tres incógnitas.
1.
Oon"sen¡ución cle lcrs cqnti(kt¿t ¿e moximiento líneul y ongukrr y cotlaserxaciótt de kt energía. En el c¿uo de nrovimiento en dos din.ie-nsiones de ul sistema de piirtículas r¡re no está sujeto a ninguna fuerza ertem¿r, se obtendrán dos ecuaciones algeblaicas aI e,rpresar la conservación de l¿r c¿rüd¿d de moümiento line¿l del sisteura, un¿l ecuaciól al escribir clue se consena la cantidad de moümiento angular del sistena alrededor de algrfu prrnto arl¡itrario, y urra cu¿lrta ecuación ¿l eryr€s¿rr que se consewa la energra total clel sistena. Con
880
esta^s
ecuaciones se pueden despejar cuatro incógnitas.
¡
14,31 En el problema 14.6, dete¡mine la enerEa que se pierde cuando la bala a) pasa a través del bloque A. b) queda incrustáda en el bloque B.
- 14.32 En el problema 14.1, determine la energía perdida como result¡do del primer choque y compruebe que el total de e;ergía cinética no camhe corno resultado del segundo choque. 14.33 En el problema 14.3, determine el trabajo total realizado por moto¡es de los automóviles A y B mientras los vebiculos rceleran para'alc¡nza¡ velocidades constantes.
h
14.34 En el problema
Éca
14,27, deterurine el aumento en la energía ci como resultado de la e¡plosión.
14.35 Dos aulomóüles A ¡ B. de mzoa nt4y mB. respecti\ amente. üa en direc-ciones opueslas cuando chocan dc manera frontal. El i¡npacto se qrone perfeetamente plástico y, además, se considera que la enersía abs,r¡Lda por cade automóül es igual a su pérdida de .nerEá cinetica rispecto a E sistÉma de referencia en moürnienLo unido a] centó de masa del iisLema & Ios dos vehículos. Denotando mediante EA y E.6, respectivamente, la energra qne absorben-los automóviles A y B, ¿r) demuestre que Ea fEs = msf rna, t¡ decir, la cantidad de enersa que absorbe cada vehíóulo, es inversamente ¡rqrc¡cion:ü a su masa, ó) calcule E¡ yEB,silnA:2400kgymB = l350kg r h lelocidad en A y B es, respectivamente, de 135 y 90 kñÁ.
F
-;+
_
v¡
F'4uta P14,35
14.36 Cada automóvil implicado en el choque descrito en el probleu¡a 14.35 se h¿ diseñado para soportar de mane¡i oanera segura una prueba en la oral se ler cüal Ies estrella contra una lrn^ pared sólida e inamovible a la velócidad velocidad o¡. ¡" La T,¡ sereridad del choque del problema 14.35 puede medirse entonces para ca_ da vehículo_ por- meüo del cociente de la inergía abso¡bida en el y la energía absorbida en la pmeba. Sobre esa baie, demuest¡e qrr" "i,oqrr" ch'oq.," "l eI autodescrito en eI problema 14.35 es (mA/mB)¿ veces más severo para móvil B que para el A. 14.37 En un juego de billar, la bolaA se mueve con velocidad v6 : u¡i cuando golpea las bolas B y C, las cuales están en reposo una al lado de la otra. Suponiendo super{icies sin fricción y un impacto :o perfectamente elástico (esto es, conserwación conseNación de de energía)l determine la velocidad ffnal de cada bola cuando.la trayectoria de A c) está perfectanente centrada y A golpea de mane¡a simultánea a B y C, b) no está per{ectamente centraáa y "A golpea a B un poco antes de golpear a C.
f t: I
882
Slster¡as de partículas
14.38 Solucione el problema resuelto 14.4, suponiendo que al carito se le imprime una velocidad horizontal inicial v6 mientras la bola B está en reposo.
A
I
la cr
sek ü"tr
14.39 y 14.40 En un juego de billar la bola A se mueve con velocidad v¡ de magnitud o¡: 15 fVs cua¡do choca contra las bolas B y C, las cuales
I
cúm
se encuentran en reposo y están alineadas como se muestta. Si después del choque las tres bolas se mueven en las direcciones indicadas y se suponen superficies sin fricción y un impacto perfectamente elásüco (esto es, conservación de energia). determine las magnitudes de las velocidades vA, vB y vc.
rEni
tfo( iii
,
1¡¡rl
-tr ciDét
lHt tfo
c:
i*Í CS
(üi
F¡gura P14.39
Fiqura P14.40
h
14.41 T¡es esfe¡as, cada u¡a de masa m, se pueden deslizar lib¡emente sin fricción sobre una superffcie horizontal. Las esferas A y B, unidas a una cuerda inelástica e inextensible de longitud l, están en reposo en la posición indicada cuando la esfe¡a C, que se mueve con velocidaA v¡, chocJfrontalmente con la esfer¿ B. Si la cuerda se mantiene tensa cuando la esfe¡a C choca con la esfera B y se supone un impacto perfectamente elástico entre B y C y, en consecuencia, conservación de la energía para el sistema completo, detemine la velocidad de cada esfe¡a inmediatamente después del choque.
S(
erx
1
Ie- se b- L¿ do- re I¡ c¿¡
-Eu} qrr l¡
F¡gura P14.41
1
14.42
T¡es esferas, cada una de masa m, se pueden deslizar lib¡emenesferas A y B, unidas a una cuerda inextensible e inelástica de longitud l, se encuentran en reposo en la posición indicada cuando la esfera C, que se está moviendo a ve-locidad v¡, choca frontalmente contra la esfe¡a B. Si la cuerda no está tensa cuando la esfera C choca cont¡a B y se supone un impacto pedectamente elásti
l.im hido
te sin fricción sobre una supertcie horizontal. Lás
-22
co entre B y C, determine a) la velocidad de cada esfe¡a inmediatamente después que la cuerda se tensa, b) la fracción de energÍa cinética inicial que
I
I
se &sipa
I
$pu
:160 le e¡[
Figura P14.42
iel
t€rmir
sistema cuando la cuerda se tensa.
14.43 La bola B cuelga de un¿ cuerda de longitud I unida al carrito A, el cual puede roda¡ Iibremente sin fricción sobre una pista horizontal. L¿ bola_y el carrito tienen igual masa rn. Si a la bola se le imprime u¡a velociüd horizontal inicial v0 mientras el carrito está en reposo-, describa el mo ümiento subsecuente del sistema, especiffcando Ias velocidades de A y B para los siguientes valores sucesivos del dngulo 0 (supuesto positivo en ienüdo contrario al de las manecillas del reloj) que formará la cuerda con la vertical: a) 0 - 0" -. b\ 0 = 0, c) 0 - 0,",".
1¿
¡lmdi ti:ás e
fft{iór bddad 5e
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Figwa P14.43
I
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lo está -ilkr ¿
i
del
Ec
cr
del
: clue al calrito -. l¡ bol¿i B estir
lr llolLr B Lte 6 kg parlc clesde el rcposo v se.:lesljz¡r sobre _ .\.cle.l0 kg. la cral cst.i :r¡oyaclir sobre un¿ sirpcr.iicte Jrorizontal. Sl -. ignor:r la fricción, cletenrinc a) Ia reh,
P'.::-::
14-44
-
c0n \'elocicla
i . C. l¡u cui¡les . :i dcspue-
rriL.L
883
14.45
Cu¿tro cliscos peqrrerios A, B, C ,t. D se pueclen clcsliza¡ lihre_ .. hjccir'rn sobre u¡¿_sr¡pe icie horizc¡lt¡1. Lós cljscos /:1. C v D cs ''re,.t",1,.¡ r,"¡1ir¡¡¡¡* 1,,'¡t¡,,, liAer:,i I ." *n,..rer tr.,n ,,rr r-po.,,.i, 1.,1,,_ ' ir,li,a,l.,cu,,r,l,',1J.,.,¡ ,,,,nr, r,d,,.,.1,.,, ¡.r 1,,,1-¡.1,,,',onr.l.,.ij¡r,t = 12 n/s)i, choca lioltt¿l¡rentc con el disco ll. L¿s nas¿s cle los discos :: /r¡ \ : ,r1B : )tr(. : 7.5 kg, y rl¡¡ : 15 kg. Si las velocid:rdes cle los discos ' li:u¡rnc r{* ,1,.,p.r, s 'l"l irn¡,.,,.., r,,r r, - 1, l.S rn s i r, - ¡, i r
.rk'si¡
lr: 1r. \:U V V(.
.
Figwa P14.44
.:r¿i.'["tt¡rrrnc¿]lusrel,'riicl¡desq.ya¡.,b)llf¡¿cciónclel,rc¡e,-gia ,i, a irrilr,,l 'l.l \i.r, ,,r ,¡rrn .* rli.,rp., drrra.,r* *l ,lruqrr,.. 14.46 Cuat¡o pequeños cliscos A. B, C v /) prreclen clesliz¿lse librc_ .iite sin i;icciór sobr-e un¿ supcr.ficie hor-izoirtal. i,os discr¡s B. C y D es ,, r-r tr¡1,,s l c,lirur ,.rrrrill:rs i{, r',r, r . crr(.,r, ltrdr, -rr r"¡oro.i, 1.,1u, ,n ir,lir'¡d.r .r ¡arL.l' -l rli'.,,1. rroviéndose h¿ici¡¡ l¿ cle¡echa'con vekrcidacl '
= 12 m/s)i, choc¿ {iorrt¿l¡relte co¡tra cl disco B. l,as nas¿s de los dis r¡r ¡¡r-! : 1¡tB:1tr(.:7.5 kg. v rrr¿¡ : 15 kg. Si l¿s velocid¿des dc los clis_ - irnrcüirt¿mentc clesprrés dcl irrrpacto iol r¡ :0, v¡: (3.5 rn/s)i, = r'¡-i ¡' v¡ : ri¡i, deterrri n c a) las vekrciclacles L)(. \, L D, b ) ia li¿cción clc "t.¡, ir,l.li(,, ini, i.¡l ,1(.'.irt( rrr.. ,¡rrn . ,l¡.¡p¡rlr,r., rt. -l crr,¡l¡r, -
.
¡
t.¡
Librerrr.:
rini(l¿1s a
.::
r:
'14.47 Dos eslcns pcqueiras A r /3, curr trris.rs r¿ I.tslreutivarrrcrr .. co¡ectill n]ediantc u¡¿ r,¿rilla r.rAirlrr de l ,ngitu.li1.2rrr. r r,,us., insrsrrili.¿ur
.
lrr posicr'
-l , c¿ frr¡-,t..
u¡r super llt ic |,,r iz, rLi.¡l sin fi icr,iún cn¿r_ i l)errtin.¡lrc¡t(-. ir.{ r. 1¡ i¡]p,¡ur" la r.cl
-.itr¿ C cl
.
i
ira
¡.
. -.,rr¡)leto. l tI
:
le r':rrilla AB gira 1{10".
lrtr
- :: .r lil¡r -r:.. :-i
::
14.48, Ul vehículo
espacirrl dc 750 lb quc viaja con vclocicl¿cl vo: s)k p¿rs¡ po¡ el or-igen O. lirrtoncts, caigas eiplosivas sepiuan al ve , Frl tre\ p¿fiF\ A. B r C. ,r'n pesos respecti\/os de l2S, 250 \, 37i lb. .,:ff"ll,l'y rles¡rrns J.t ¡o\i(.ioncs dc l¿rs lrcs p¿rtes son A(.210.2 0, , B(600, 1390.3240), C(-4u0. -960. 1920), dondc las coor.den¿cl¿s
_
'l
t,j'.'
-
1.4,49 T¡-s
::.
-,1
esferrrs
pe,¡rrrirs,l
de
¿OO
fi¡.. ¿.
i
,L]
B y C, crrla rura
de m¿lsa ,?t. se co¡ectan ' I r illr', rrnrl[, /] , r¡).r nr:r.a ¡. irrri¡¡rrili,-r rt,. u..lr,l,, rnc (.u, ¡L.irnlls . i,'rtrn'il,l,.,lelunehrd/.L:r:,ste¡^..r,,.,¡.r,,1..1/,rr.lil,r.,r,r.rrt_sirl 'rr :i,l¡ e uniL sulel licic l¡ rrizn|ttLl, c i ici¿rL¡entc est¿in rot¿ndo a un¿r r c_
..=
;
:l
(800 fils)i + (t 100 fi/s)j clc (.t es
fi-¡-"-* I
),
,\!resln.:n pies, la velocirlad (le R cs v¡: ll00 iVs)k. t, la compotier)te:r dr: la vekrcr'dacl r- 1.,'-lutid.,,ldo':, ¡.rr1" \.
': -.1:.,i¿n..: , -,:trici¡.1
''
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L
:: -....
,L
¡,,¿l¡edednr dcl zorill,, D lrrn per1¡¿l¡ecc e¡ rcposo. Rcl)ent¡r¿l¡r¡ntc,
Figuta
P1
4.47
r lc latrLer(Ll Cl) Des¡ucs ú",|re Jas otlas dos crrclcl¿s sc h¿rn tcllsado, nire ri) ]a vclocicl¿d dcl alilb D, bl lir r elocr,Lrcl rcliLht u ¡ l:L cu¡Ll gjriut l¿rs ' . .' .t r /J al¡eclcclor dc D, j. ¿) ln t.o".i.. ¿" ";"r;" ,;tl ,"il.r.s,¡r.;, "li-,r., n '. ,L,ip.,, rr,rrr'[, 1.,.¡'r-rdrr \D., A/-rs"rreh-n.r
., l. rr5-
:
'J,50 'l¡es eslér.¿1s cLic¿rs A, B v C, c¿da ur¿ cle ¡¡¡rsn ,1. sc cdlectan '- :,¡¡irr¡ unillo D dc nlasa 2?)? polrncclio de tres cuercl¿s i¡r:rtcnsibles , :-
'
s
cte
loDgihrd I v csp¿cind¿ls
i¡teN¿lk)s rcgulares.
L¿s esléras se '/.., lil,rerni nl,..in i,,r io 5uh.- rrn:r .r¡l\ rfi, ic lr,, i/,, t.¡l \ qr : -: rrtrte a ur¡¿r velocidacl o¡ alrederlor , t.l anjl,, n ,1,r* est,i c,r r.fo_ :.:d¡ CID se nrrpe cn el tielrpo f : 0 cu¿nclo l¡s'esfer¿rs v el linj - .rr Jir posición rnostr¿rdl_ Corisidere cl sistem¿t coruprresto por el '. , ,ti.r.r..\ r B r ,1"t, r.,,jr,. / (r..r ,Ir_1.1,r¡,l. ¡o..,.¡,;,, .,,1* rrr.,r C d,.l si.terr,r /,,1.,n.rr¡ c."rri,l,r,ltl¡ rro,ir ,r.rlo,r,S,rl.,r
::iientn alredeclor tle C, c)
1a
¿1
cnergírl cinótica T dej sistclr¿r.
Figura Pf4.49 y P14.50
'q
884
sisiemas de partículas
74.51
Tres esfelas pequeñas idénticas, cada rma con peso de 2 lb, pue librenente sobre un¿ superficie sin fricción. L¿rs esferas B v C están colect¿rd¿s por uredio rle una varilln delgada y per-rnanecen en reposo en la posición que üuestla la figura cuando 1¡ esfén B es golpeada de nanera {ionti por lir esfe¡¿ A, la cu¿¡l se nucve h¿rcia la derecha con velocirlacl (6.5 fVs)i. Si 0 = 30'y las veJocidacles de las esferm A y B inmecli¡t¿1-
c'len deslizarse
..\
v¡:
mente después del irnpacto son v,1 : (0.5 fVs)i y v¡ = (3.75 fi/s)i + (v¡)rj. determine (v6), y la vekrcidacl de C err cuanto se produce el imp:rcto.
14,52 Figu.a P14.51 y P14.52
T¡es esfer¿s pequeñas idénticas, cada una con peso de 2 lb, pre
den deslizru'se libreltrer¡te sobre lrla super-f)cie sir li-iccjón. Las esfens B r' C cstárl conectadas pol rnedio de una va¡ill¿r delg:rd:r y pelnianecen en re poso en Ja posición que nuesba la figura cuando la eslé¡¿r B es golpeada cle ñ¿1rter¿1 fiontal por la esfera A, l¿r cu¿l se ¡rueve hacia la clerecha con velocidad v¡ : (8 fvs)i. Si 6 :45" y l¿rs velocid¿des de l:rs eslelas A -v B inrne diatiunente después del rrnpacto son v,1 : 0 y v6 : (6 fvs)i * (v¡),,i, deter,,,ine r',!.. r 1., rclncid,d,le C Lrn ¡rorrtn se pro(lr.e irnf¡( lo.
14.53 Dos per¡reiros tliscos A 1 B de 4.8 y 2.4 lb tle peso, respectira nente, se pueclen deslizar sobre una superficie horizont¿l si¡ f¡icciól. Los discos están co¡ectados meüante una cuerda cle 3
li
de laryo y girun en sen
tido contr.ario al de l¿s nanecill¿s del reloj, llrededor dc su centro de m¿lsiL G, ¿¡ vekrciclad de lJ racVs. En f : 0, las coorden¿das cle G son iu : 0, ry¡ = 7.,14 ft, v su velocicl¿id es vo : (5.76 lVs)i + (1.44 fvs)j. Prico tierrpo clespuc: l¿i cuercl¿ se rcmpe; se obsen'¿ entonces que el disco A se mrreve a lo largrr de rrn.r Lr-¿rl'ecto a paralela al eje r7 y qrre el clisco B lo bace po¡ un¿ tr¿vec'
tolir que intelsec¿r ¿.1 eje r a una dist:rncia b : 21 lt de O. Deterni¡e ¿r) las velocidades de A y li luego cle que se ronpe l¿ cuerd¿l, b) la dist¿rncia ¿ me did¿r descle el eje y h¿ista h trryectoria de A.
,
r
Fig!
Figura P14.53 y P14.54
14.54 Dos pequeños discos A y B de 6 v 3 lb de peso, respectivamentc, pueden desliz¿rrse sobre una superlicie horizont¿l sin fricciírn. Estos cliscos se conecLalr media¡te una cue¡dir de rn:rsa ir'rsignificante 1' giran aL'ecle alor de stl centro de m¡s;r (l lin f : (). C sr mrreve con velociüad v,, ) sus coo¡den¿rdas son i¡ : 0, úa : 7.5 ft. Poco después, la cuerda se rompe y se observa clue el disco A se rnrreve con velocidad v-, : (7.68 lVs)j en líleii r.ect¿l v a un¿l dist¿¡ncia ¡¿ : 5.58 ft desde el eje 17, en talto que B lo hace ¿ r'elocidad i¡ : (10.8 lVs)i (6.72 fvs)j a lo irrlgo rle unr tra\ ectori¿ qre inter' seca al eje r a una dist;rncia ü = 21.6 lt desde el origen O. Detemrine zi) lir velocid¿rd ilici¿rl v¡ del centro de nas¿r G de los clos cliscos, b) ltr lorgitud de la cuerda que inicialnerlte conecta a los dos cliscos, c) Ja veJocidad en lnüs a la cual estos discos girü:rn alrededor de G.
.
at
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-i::.::
-:r
tr¡e-
lrc P@ ftEided
idrb¿
tFB¡ L
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Elo-
f¡FtÉ-r-
14.55
juego de billar, a la bola A se le imprime velocidad ini_ En un
aJ r'¡'¡ a lo largo
del eje longituünal de la mesa. A choca con la bola B y lue¡o con la bola C, las cuales están en reposo. Se obsen,a que las bolas á y C üocan de lrauer¿ manera rronr¿u frontal con las late¡Jles rarerales de la mes¡ en A ¡,"y C,, c, respecti\,a_ l¿ mesa C' '""."*i-"" A'v rnte, y que la bola B choca en fo¡r¡a oblicua con la late¡al en 8,..Siun=4 Si o^ = 4 rs- o¡ = 1.92 m/s mls y a : 1.65 m, dete¡mine c) Ias velocidades vn y v¿ de bs bolas B y C, b) el punto C' donde la bola C choca con la late¡al dá la"mer- Suponga super{icies sin fricción e impactos perfectamente elásticos (esto s- conservación de energía),
14,56
Para eljuego de btllar del problerna 14.SS, se supone ahora que 3.2 n/s y c = L22 m. Determine a) las vélocidades va y
r,i = 5 nvs. u¿
:
16 de las bolas A y l*e¡al de la mesa,
B,b);l
punto A'donde labolaA hace contacto con la
14.57
Tres pequeñas esferas idénticas A, B y C, que pueden deslizaruna superficie horizontal sin fricción, están uniáas i tres cuerdas de bngitud l atadas al anilLo C. Al princip¡o. las esleras giran alrecledor del anilo. que se muer e a le l¿¡gq del .je r ion r elocidad v-r. De rcpente. el anillo r rompe y las tres esferas se mueven libremente en el plano ry. Si v¿ : (2.6 n/¡)j, vc = (4.5 m/s)i, ¿ = 260 mm, y d = 150 mm, determine a) la velocidad inicial del anillo. b) la longrtud I de las cuerdas, c) la tasa en rad./s a la o¡al las esleras rolaban a]rededor de C, se sobre
nll-
te et} Ets¡ ¡¡éJ
r*s FC-
t¡s De-
Figula Pl4.57 y P14.58
lF
= ls
e :! at
e
i
14.58 Tres pequeñas esfe¡as idénticas A, B y C, que pueden deslizarse sobre una superúcie ho¡izontal Iibre de f¡icción, esián un]das a tres cuerdas de 75 mm de largo, las cuales se atan ¿ un anillo G. Al principio. laj esferas siran
.
en sentido contra¡io al de las ma¡ecill¿s del reloj aliededor del anillo coi uelocidad relativa de 0.75 mrs. y el anillo se muevá a lo largo del eie x a relocidrd vo - 10.4 m/s)i. De repente. el rnillo se romp" y iaslres erferas se mue_ ven üb¡emcnte en el pluro ry. con A y B siguiendó trayectorias paralelas al eje y a una üstancia a - 130 mm una de l¡ otra y C en trayectória paraleta al eje.r. Determine a) la velocidad de cada eslera, b) la üstancia ¿1.
Problemas
885
r' 886
-14.10. SÍSTEMAS VARIABLES PE PARTíCULAS
S sremas de Padjculas
Todos los sistem¿rs cle padículns consirlerirdos hast¿r ¿rhora t:stán cotrpuestos por-paltículas bier clcfinidas. Eslos sistern¿s no ganaríul o perdert'u, pittícirlas clur¿utte stt noürnlento. Sin enbalgo, en utr gran lrilrero ile nplicaciones cle ingeniería t's neccsario cr¡nsiclerar sistal¿¿s t:rtríables dt. pa.rtítt.¿l¿s, csto ós, sistemas que esthn ganirndo o pcxlielclo continrrartretttc partícrrlis o atttb¿ts cos¿ts al lnismo tielnpo Considere. n,,r "icrnulo. 'rrir' I'trLir'¡ lri,lr,,'rli, ¡ Su 'trriilisis irnpli"t lrulelelrrrii" l.ir f.,er"ns *jtrr:idrs por rtna coLrielte tle ngua sobre lrrs ''*.ió,r álabes girntorios, v se ¿rdvierte t¡re las partícul:rs dc, agutr r:rr coltacto c,,n los'írlabe. lbriral urr sistena que c¿r'ubia er'¡ ttxltl mornento y tltte atlquierc y piclde partículas de rn¿rncra contimr:r' Los cohetes propol-.i,r,".r-, otin .i..rnplio .le sisterrl.Ls r':uiables, ya que su propulsión clepel-
d, d. l.' -r¡,ul*icir' ¡.,nlinu r J"
¡r.tt1ícrrl.ts
'¡"¡'¡[¡'¡'til'lr"
dc 14 cirrt-ticrt.st¿bl"ciJos hasRccuérllese cluc toclos los pincipi,'s -.ontttrntes tle plrticulas' los cu¡les si.ütn,r, pnra se c1ccl.,¡i,.,,u ta ahor¿ elcolrtra¡' ul tii lbrtrt¿r ¡le debe sc g¿r¿tr pier.Lu lo t¡nto, l'or rti l,rs rd I¿s re,l ,.il el arlili\i' ¡c rul si\terLl¿l r'ari¿rblt: de p:utícl r-s al clc un sisten¿ col$t¿lDtc ¿rr-rili¿u'. El procediniento scgrrido se ilxlic¿r erl lirs sccciolles crtegoíirs clc lplicacioncs: rnr¿! corricrlte 14.11 1 14.11¡.rta cl,ri .rr I 'pli,l" ,..1.r< i,i'r'ri.r,l,l ¡',ttrcul,,s \ r¡rr 'i\lcrnir Llrrr'{i{nl o Pitsr(lr lnr\ir'
,14.I1. CORRIENTE ESTACIONARIA DE PARTiCULAS
r/r
l¡-,/ //
.''
,.,,:. ...." I il i
...
,/ .r)"
Figura 14.9
i
C-lolsitlcle una colriente estircioli¿Lri¿r tle patículas, tal couo ulr chollo 11' agun t¡re dcsríl ruta palc:ta fija o un fhtjo de aile que pas:r por un dttch liua detcnlinar l¿ icsult¿rnt<: cle las lirerzas eiercidr' n'pur. i n 'l,.rttil,,,1nt sile l,rs p.utícul.rs crl uunt.Lcto cort Ia paletri, cl clucto o el vcrtül¿rclor' '"
¡isl.ur".1r,.prriúulrrs¡ s, Jcrrol¡ ¡u,r's' I'isl' r"''Jclinido'l' "" rr''r' ' r, fieur., Ii.9 Ol*en. ,l're S , ' un 'isternr' '''ri''l'l* 'l' p'rrtrnrrl'r' ,t',.,i ,'t,,,', ,', ,,,t¡¡i¡¡¡¡ g¡¡'¡ l:r' ¡r:rltttrtlls '¡te fluren llrtirnrl itrl'' c irLLahnerrt, t,ierd,'rm r,,i,,eroigunl cle llru1ículas t¡re fluyct lincia llr:"se h'rrr ' ' r'., ,1, I ri.lcr,'n. l\,r lo trr¡lo. los ;'rinci¡rio' rl' lrL t irr' ti¡r qrrr s it ürn(l:r lrrln.r't d' hl, tirlo lr,¡tl;r ¡¡l'6¡.1 ¡,,1'rtcdcn q'litr,rse ¿rur-iliirr' ' sjstern¿ fircjlidad urr Sil crnbtugo, se puede d"finil-col i' it'letr;tlr"le r,arri,ttl".rrLlcDermrllc(e(1)n.l,ttll''lltr¡,lllnulrl'reri erit:-que l¿s partículas S r¿á,: f cl sistenra tie,',p,, i,n Ar. corrLlJJr" ,rl . r.in ,, S chrr¡lte cl irrtelr alo tl" tiempo At ({igrtla 14 10o) A coltil : ción, consiclere ¡l tienrpo f + Ar el si.stenl¿ 5 rlás las partículas. qui: I s¡rliclo clc S cluriutte el interv¿lo de ticnpo Af (figura 14 10c)' Clalal ': 1,.lt1\ !,tiIt1ft\ t)tt¡Jt,1tltt:, . st,í,, it,t¡'li,',,1n' u,t n",b"* '4("s \ es l!' ,,¡li,,r' ,' ,,qu.ll',. ¡,trticulr' -l ¡rinci¡'intl.l irnprrlv'¡ l'rt rrrtiJad 'le rirrri"rl,,. úr,.lo qrre I.t rnr,r.r lol¡,1 ,,, dcl ii'lem.r S ¡rcrrnrnen' ''ir': J si\t, lrrl I r'¡rtelllr' 'lu' 'ul'lr d' ' l te. l¡s It.ull, rtl.r. q',' ",'lr'',' li*rur,r li.l.be', i' n"l l.' ll,isnri¡ lrritqa A,,, D"rr"l;rndu1'orv\ \ \/ po, lir',rrrr' r'te. Lrt rel,x i,l:tJcs J' l.Ls p.'rrri ul.r' (luetrrlrrLrr it S,' I,r ',\ i¡'," rr1",'d" S, ,, B. s( Ienr"\r'rrlrr err Lr liqrrr',r 14- 10'r la t rrrlitl t¡l 'l' ürnjento de las patícr ai quc entrau ¿r S por (Ñrr)v-' y la c:urtiiLe rnor.imientri tle las parlícula's que salen cle.S por (Anr)v¡ (fi¡¡rla 11 \F rct\r'esclrli r t,rrnltién m, diir't" \e( lurt s rlrroPi ulo¡ ll¡s clnli'lr''l rrr,nii'rient,',,, v. rle l.s Pi¡Ér(rrlrr¡ que L'trrra'r:r 5 ¡ l'* irrrprrl'"' ñrer ¿a' ¡i, rci,L'r',1'r, 5 r .e it'r[i,.t rnr di.tr'te'i[nos trrrs e igrr J -' ' qro el iiil.rnrll' 1,,. ,,,r'iid,rdc' de rn,,ütnir trlos ' irll'r.rl'ot etr ' rl,s ¿) v b) de la figura 14 10 es equipolente ¿il sist
de ¡r(Ninierlto en
tl
inciso c) de
Ja
misrnri ligrrra
14.11, CoÍiente estacjonaria de
a)
tgura
b)
14.10
La sumatoria )mav¡ de las cantidades de movimiento de las partícude S se encuentra a ambos lados del signo de iqualdad y por ello pue& omitirse. Se concluye que el sistema fármado por la cánlAdnl de- moúniento (Lm)va dz las partíatlas que entron a S en el tíernpo Lt y bs -q;ulsos de las fuerzas tjercidns sobre S durante ese tíempo es equípohte a la cantidad dr mouímiento l\m)v6 d.e la;s partículas que salen de S m el mi"smn tiempo N. Por lo tanto, es posible escribir
k
(Am)v^ +
)F
At = (Am)v¡
(r4.38)
puede obtener una ecuación similar considerando los momentos de vectores que intervienen (véase el problema resuelto 14.6). Al ¿lirilir todos los términos de la ecuación (14.38) entre At v deiando que lI tienda a cero, se obtiene en el lÍmite Se
h
>r:ff{oo-oo) fude
(r4.3e)
-
v¿ vA representa la diferencia enhe el oector v1y el oector v¡, Si se usan unidades del Sl. dm/dt se e{presa en kfs y hs velociüdes en m/s; se veriffca que ambos miembros de la eóuación (14.3g) erpresan en las mismas unidades (newtons). Si se recurre a unidades de uso común en Estados Unidos, drn/dt debe expresarse en slugs/s rbs velocidades en fi/s. Se veriffca de nuevo que ambos miembroide h ecuación se erT)resen en las mismas unidadés (libras).} El principio establecido se usa para analizar un gran número de arlicaciones de in_genieía. Algunas de las más comunés de estas aplieiones se considerarán a continuación.
-
l\fuchas veces es co¡veniente e4)resar el g¿sto de mas¿ ¿m/¿f como el producto pe, p es la densidad de Ia coniente (masa por uridad de volumen) y e su gasto de vo ben (volumen por unidad de üempo). Si se usan unidades del SI. p se-er.presa en
_
&de
(po¡ eje-plo, p = 1000 lg/m3 para el rgua) y p en m3ls. Sirr embarso, si se recu¡¡e de uso co¡nún en Estados Unidos. p por fo general tendrá que ialcula;se a parÉ del peso esp"cr$m correspondiente ,), (pe"o por unidad de volurnenr p = y/g. pueslo y se expresa 62.4 lb/13 par¿ el aguar. p se obUene en "n llrl¡r por ejemplo. IeJft'. ga.io de volumen Q se expresa "n 41rs.
V-"
enidades
F
fl
¡
padícutas
887
888
Sisiemas de partícLrlas
*ürr¡*ntts de fiu¡dü des\¡¡áda por Lrnfi i:¡al€ta" Si la paleta está f¡a, el nrétodo de análisis que se indicó antes puede aplicarse de ma nera directa para determinar la fuerza F ejercida por la paleta sobre Ia coniente. F es la única fuerza que necesita considerarse, ya que la presiól en l¿ cordente es constante (presión atmosférica). La fuerza ejercida por la corieüte sobre la paleta será igual y opuesta a F. Si la paleta se nueye con unavelocidad constante, la corriente no es estacionari¿r. Sin embargo, parecerá est¿cionaria para un observador que se mueve con la paleta. Por 1o tanto, se debe elegir un sistema de ejes que se muev¿1n con ella. Puesto que dicho sistema de ejes no está acelerado, la ecuación (14.38) puede seguirse usando, aunque vA y v¡ deben sustituirse por las aelocidades relatiuas de l¿r cor¡iente con respecto a la paleta (véase el problerna resuelto 14.7).
FlHi* cie f|!Ji$o Far el int#niür e{e un tuhó. La fuerza que ejerce el fluido sob¡e un¿ transición de ur¡ tubo tal corno una cunra o urr estrechamiento puede determinarse ¿l considerar el sistema de partí culas S en cont¿cto con la transición. Puesto que en general variará Ja presión en el flujo, también se deben conside¡ar l¿s fuerz¿s que ejercen sobre S las partes colindantes del fluido.
Fotografía 14.3 El análisis de un motor a reacción se reduce al de una corriente estacionaria de partículas de aire con todas las velocidades medidas con respeclo al avidn.
fu'lüi{]¡ á {eñcñ¡dri" En un motor a reacción. el aire entr'¿ sin velocidad por el frente del notor y sale por la parte posterior con una velocidad elevada. La energía que se requiere para acelerar las partícul¿s cle ¿ire se obtiene al quemar el combustible. La lrasa del combustible quemado el los gases de escape será de manera usual lo suficientemente pequeña conpru¿d¿r con la nasa del aire que fluye por el motor y debido a ello será posible ignorarla. De tal ruodo. el ¿nálisis de un motor a reacción se reduce al de una corriente de aire. Esta puede colsiderarse como una corriente estacion¿rria si todas las velocidades se midel corr respecto al avidn. Er¡ consecuencia. se supondrá que )as corrientes de aire entr¿n al motor con un¿ veJocidad v de tragnitud igual a la velocidad del rwión y que s¿¡len con una velocidad u igual
Figura 14.11
a l¿ velocidad rel¿tiva de los gases de escape ({igura 14.11). Como las presiones de entrnda y s¿lida son casi iguales a la atmosférica, Ia única fuerza externa que necesita consider¿rrse es la ejercida por el motor sobre la corriente de aire. Esta fuerza es igual y opuesta al empuje.l
lAd\,ieún que si se ¿celera cl avión, no es posible utiliz¿rlo cono un sisten¿ de refe¡enci¿ ncrtonjano. Sín embargo, se obtendrá el mismo rcsr t¿do para el ernpuie, al recurnl ¿ Lu1 sistem¿r de ¡eferencia en r'eposo con rcspecto a la atnósfér¿, )¡.lue en ese caso se obserar¿i que las p¿rtícul¿s de aire entr¿rán ¿l r otor sin velocid¡d v s¿ldrfu de él con una velocidad de magnitud u - o.
Ventilador. Considere el sisterna de partÍculas S que se muestra .n la figura 14.12. La velocidad v^ de las parf ículas que entran a.l srs_
terna sc supone igual a cero, y la velocidad-v6 de las óaftículas oue sa_ len del sistema es la relocid¿d tlel uiento de ltelire o-torbelhno. La r._ Iocidad del gasto se obtiene al mulüplicar o3 por el área de la sección -puesto tr¿nsversal del viento de hélice o torbellino. que toda la n¡esión alrededor de S es la atn.rosfé¡ica, la única fuerza ixterrla oue'ac_ iri¿ sobre S es el empuje del r entilador
Helicóptero. La deterrninación del empuie creado por las héli(€s giratorias de un helicóptero en vrelo es sl-milar a la deierminaci
SISTEMAS OUE GANAN O PIERDEN MASA Fn.eguida se analiza un Lipo diferenle de s¡stema variable de pafilcu_
j
Lrs. ¿ sirber.
un sistema que ganr masa ¿[5e¡ls, continuamenie parli_ -ulas o que pierde masa al e:rpulsar partÍculas de manera continua.tol_
A,r)i\' + ^\
)
silere el sistema S que se muestra en la ffgura 14.13. Su masa, iqual
a
'¿ en el instante ¿ aumenta en Anr en el iitervalo de tiempo A¿]pa¡a -¡plicar el principio del impulso; la cantidad cle moümiené al -¿iliris dÉ este sistema, se debe conside¡ar en el tiempo f al sistema S más las ¡rrtículas de masa Am que absorbe S durante e'l intervalo de tlemoo A¿. I¿ r elocjdad de S en el hempo r¡ sc denota mediante ,0, Ia ,relocid'ad d" A/ se denota mediante v I Av, 1 la relocidad abso -\ en el tiernpo I lrta de las partículas absorbidas se denota por mediá de.r0.,, Al alilcar el principio del i:npulso y l:r cantjdad de rnoirnjento, ,.
-
"rJb. mv i (Lm)v" + )F A¿: (m + Aar)(v + Av)
'
(14.40)
14.12. Sistemas que ganan o pierden
+
tf--:=-
Figura 14.12
masa ggg
Viento de hélice
890
s stenas de partÍcu as
)F
A1 resolver para la sulir¿r At de los inrpr sos dc l¿rs lucrzas exterl¿rs que irctúan sobre S (excluyendo las firerzas e.jerciclas por lir-s padícultu que se absorüel ), se tiere
)F
A¿
:
rnAv
i Arn(v
+ (Ar¿)(Av)
v.,)
(14.41)
Al irrtr
:
nr
v de.jar que
A¿
)F Al dilidú'entrc
A¿
A¿
Av tielda
tlv
)F:ttti
(A¡n)u
Al rcrrgrupar los tírrminos v rcct¡rtlar
i1
cero, se tiene en el lírnitel
,l¡l .tt
-
q.l.c dv
fdL
(I4.42\
:
a, dolde a es
1¡r
¡rce
lelaciórt clel sister)r¿ S, se escribe
2F +
*t:
(1,1.,13)
nra
qLre rrLrestra que la acciól soble S de las pnrtículns ¡orbicrrdo es eqrrir.rlenle.r r¡ll et |uj-
r¡rc sc cstár iü-
¡lnt *: Eu
tieltle
¿ frerrar el rnoürlricrto de S, ya que l¿ I'elocidad rel¿rtiv¿r u pmtículns está dirigid¿r hncin la izquicrda. Si sc us¿rn ulid¿des dcl S1, rhrr/r1r se explesa el kg/s, la velrcirl¿d relativ¿r ¿¡ en nr/s v el elr prrjc:
que
de
Foiografía f4.4 Cuando se encienden los cohetes propulsores del trasbordador espacial, las partículas de gas que emiten proporc onan el empuje necesario para eL despeque.
1r4.44)
l.r
lr,rs
lCu¡udo l¿ vrlocitl¿d ¿brtrtl v,, de l,$ p¡tícuhs quc se absorb-ar (1.1.42) sc colvicrtc cl
e
ló¡¡rrla
)t
'! t""'' -
Ál comp:rÍar'1a lil rrrla oLtenid.r par¡ la ecüxciói (1t.3) dc l¿ sccció r2 13. r' ol)se¡1á que cs posible ;rplicar la segr¡xl¿ kv dc Ne$,to[ I r¡n sistem.r quc g¿ ¿ nras¿, sienprc qü. lns patlíd1las ahst)rhi¿^ 4tút i ici(la1.nte etl reposo. T.rrDbnii pLreclc' aplic¿rs0 a sist.¡I ¿s t¡,e picldan rnasa. tirn4tre que ln u:locidutL de ltts ptttículas r:rpu lsarla.r sla cal curr r.cspccto ¿l sisicrn¿ d.r rtfi.rrllcla obgiclo. (
l\¡(.r l¿ ,rota al pie de
l¿ trágirl¿
88t
PROBLEMA RESUELTO 14,6 1
l¿. Pe
--
ór'
De una loira cre gralo $hre una rar¡pir CB a ¡atón de j40 lh,s. El grlno la rulrpa c¡ A corL un.¡ rel¡cid.rd dc j0 iys r sale *u B c.rr u rio ve_ FolPea.a locjdad de 15 liÁ. formando
rrl dngulo de 10. con la horizontal. Si el peso combin¿do de h ¡ampa ¡ eJ gr.r ro que,se transporta es una fuerza W cle ,'nngnitud igu¿l ¿ 600 lb aplic¿da en i. dete¡mine la r.eacción el el ¡odillo de apo¡o B ¡ las contponertrs de la l.pac.c.jólr en L¡ o¡tieulación C.
-ei
SOLUCIÓN
$ AL
S. aplica el pdncipio del irnpuJso 1 la cLrntidad de mor¡miento durr¡rte el in_ tenalo de tiernpo A/ tl sisterna compuesto por la ranrpa y el gr¿no uue lralrs_ porlLrn. y la carrtidLrd d" grano ,1ue golpea a-1" r.",l,pu.,n Él iniervaln il. p,re.. to que la rarnpa no se r¡ue\.e. no tiene cantidad de rnoümiento. También se obsewa que la suma )m,v, de las cantidades de moümiento cle las partícu_ las que transporta la rampa es el mismo en I y , + A¿ y que, ur, "on|""u",,_ cia, es posible omitir.
+
au
c, a/
rle.¡
B\/
:¿l-ri _IL
Puesto que el sisterra forrrado por la cantidad de moümiento .los inrpulsos es er¡uipolente a
5 r componentes: *f y componentes: +\
= (A,n)oD cos (Arn)oo + Cu Ar
C" A,
momentos alrededor de
(Anr)v¡ y
l¡
c::
10. M,
(t) + B Af
- ;-li'?iil'^ll' 6(Aar)o¡ cos 10. , 12(Am)o¿ sen fó.
t'
-3(an¿)t¡¡
1S¡
:
I,V= 600ib, ¿¡ = 20 ftls, os rS fvs y *t "jiP*l:l9llr:proporcionados. tSZ Z^= 7.45 slugs/s, y resolver la ecuaciór.i (3) para B y la !11rL 110
-o1.=(1r p¿r¿ ur. ecuaclon
I2B :7(600) + 3(7.48)(20) + 6(7.45Xt5Xcos 10. _ 2 sen r0.) l2B
-5O15 B - 4231h A: (7.45)(15) cos 10.:
110.1
lb
Al sustituir B y resolver la ecuaciór (2) para Cv
:600
-
423 + (7.45)(20
-
B:423ib J {
C,
=
110.1
ll¡
_ {
C'
lE sen 10") = 307 lb C,,
:
:i07 llr
|
.(
891
PROBLEMA RESUELTO 14.7 Unir tobela desc:rrgo un chor-ro cle agua de ¿ir'e¿r cle sección t¡lnsve¡sal A con vclociclad v¡. La conielte se desría por rrcclio de rura,roln palet:r qrre se rnueve h¿ci¡ l¿i clerecha
$o[-ucrÓf{ r¡) (lrn\)oúentes dc Ia lucrzn eicr-cidn sobre cl chorrrr. Se elige rrn sistema de coorden¿d¿s quc sc úuevc c'-,rL lir p.rlrtr .r urr¡r r elocid.kl const¿nte V. Las parlículu de :igrra golpean la paleta corr un¿l velocidad rclatjva u,1 vA V v se alejan de la p¿rlct¿r co¡ un¿r r,elociclail relativir u". Prresto que las partícrr l¿s sc litreven l lo largo cle ]a pnlcta ¿1 Lrnir \rh)ci'lud (úrstrote, lts r.lr,r'id¿clcs rcl¿tiv¿s u.\ \,'us tierren ]a rnisrna rrragnitud ¡¿. Al denotar la cLensidird de agua por p. lir rn:rsa cle las pirt1ículas (,llte h¿1ce¡ contaclo con la p:rlcta tiru-arte cl inten'irlo de tiempo At es Arn Ap(oo V) Al; una n:ua igual de partícr1:rs se aiejn de la p.ileiu dur-¿ürtc At. Sc aplic¿ el prircipio clel inrpr so y Li cantidad dc nnñil¡iento ¿11 sistcrna li¡lrado por las piirtícr as contacto con lrr paleta y l¡-s jntcnalo A¿. ¡r:rrficulzrs qrlr: incidelr en est¿r rnisülr e]r el
:
:
e
E¡
cl¿rd
Al reco¡dal que u.,{ }'uB tiete¡ la misnra m¿gnitud t¿, y omitir de r¡roü¡ticnto }n,n qrre ¿parccc e[ al¡rbos ]¡iclos, se escribe
h
canti-
1>
r componeltes: (Ani)rr - F. Ar = (Arl)a cos 0 corlponentes: *F,, Af = (Alr)zr sen 0 : Ai sustitui¡ An¡ Ap(¡,o - I¡) A¡ v u : oo - V, se obüenc l¡,:..\p(r1 \'lr(1 (,os 0r+ F,,:,\¡r(r 1 l l: sc ll'l { b) ltloci
La potenciil sc obtiene iil rnultiplicar Ia velocidnd V cle la paleta por la crorn poncnte.¿i" cle la firerza ejercid¿ por cl chorro sobre 1:r paleta.
poteDcja: F,v Al dilérerrcifi
=
Ap(a¡
l:r potencia con respecto
- I/)ril _
¿1
cos 0)I/
V e igral¿u a cel-o l¿ der-i\,ilda,
se
obtiene r/(potenciu)
,^ V: o.1
-{p,, tt = it^
4u,\ -:,V:,. 1-co. lt -t) I)¡rii pr)t(rrcia Lríl\irr¡ \¡ : ],,, -t
{
Not¿r. Estos ¡esr tados sólo son ví¡liclos cr¡ando un¿ soL¿ palct¿r des\,ía chorrr¡. Sc obtienel ¡esrrlt¿rclos difc¡entes cu¿rndo rrna serie dó paletas des \'ían cl cliorr-o co¡io eri una tu¡bini¡ Pelton. (\¡é¿se cl oroblenlr i 4 Sl ) erl
892
f.*
PROBLEMA RESUELTO 14.8 Un cohete de mxa inicial m¡ (incluido el armazón y el combustible) se lan_ za vertic¿.lmente eú el inst¿nte f 0. El combustibÍe se consu¡re a una tn"u constante g = dnr/dr y se eqtulslL a un¿ velocidad constante ¿ r.elativ¿ ¡l co_
:
hete. Obtenga ula expresi
]j
t: l
L
SOLUCIÓN En el tiempo f, la ¡¡as¿ del arrrazón del cohete y el combustible que queda m : r¿o - fl y la velocidad es v. Durante el intervalo de tiempo At ie ex_ pulsa una m¿-sa de conbustible Ln : q A¿ corr una velocidad ¿ ¡elativa al cohete. Denotando por v, la velocidad rbsolut¿ drl combustible erpulsado, se aplica el principio del impulso y la cantidad de moüLniento ent¡e el tiem_ es
pofyeltieDpof+A¿.
ffi
+
,1-,^¡'{f+^\l
T^,|'
[1I/^¿=g(,rro qr)Arj
[^,¿D¿=q^("_D)] Se escribe
(m¡ c¡t)o g(.nr¡
qt.\
At=(m\)-qt -q
Lt)k) + Ao)
Al dividi¡ ent¡e Af y dej¿r que A, tiend¿ a cero,
g'm,t' qtt
-
tl¡t tlu ( "\ ¿, \n¡. rtt -)
o:l uh(mn Sü Comentario. La
Ar(t
-o)
se obtiene
'n,o -
qti!, -
f:0,
o=0
Al separar vadables e integrar.clesde
-g
qrt
.¿t: t,[
=
[,
' I ,ud'lo\;; * -"1n, t'I
gtli
rnasa que
ntt
,:rrh' .4
¡tLr
-
t11
1l
.(
quedr en el tiernt]o 1/ dcspuós cle qu. re
ha consumido todo el cornhustibJc. es tgurl n la n,¡sa dál a.marí,n deli.oh"_ te ms :.n7o gtt y la márima velocidad que alcanza el cohete es o,n a ln =
- g¡
Suporiendo que el combuitible se e"p.,lsa peíiodo."latjvsrnente codo. el término g¡l es pequeño y se tiáne o,""rr,rn tt [n Qn¡fm"). Para escapar el canrpo gr.aütacionallenestre, u¡ cohete cilebe alcanz¿¡ uua velocidad de 11.18 kú,is. SJ se supole que u : 2 200 n/s y a,,, = ll.lg km/s, se obtiene rru/nr": 161. En consecuenci¿, para lanzar óada hlograno del arnazón del cohete al espacio, es necesario cilsurnir rnás de 16l k"s de co¡n_ brtstible ',i se rrsd un ir¡pulsor que produce ¡r l!0U rru<.
¡nu/m")
893
I
Esta lección se dedicó ¿rl estudio del rnoüniento de sistenns Laríables de paúíulas, esto cs, sisternas qu€r estiur ganando o perdLendo partíuils en forlr¿r contilua o erl los clue irrnbos procesos se producen ¿l nismo tierrpo. Los problemas (lue se ploponcn p¿rr¿1 r'esc¡h'er incluyen (I) corrientes estacionui(s de patlíankts ¡-' (2) sisfelrni qtrc g0na11 o pierulen nusa.
7.
Purq resoh:er pr
siclerará unir parte S clc la corriente y sc expresará quc el sistenla forrnado porla car¡tidarl de movimiento tle las pattículns que entr¿rn a S en A e¡ c-:l dernpo Af y Jos irnprrlsos de las f:ucrzas ejercidas sobre S durante ese tiempo e-s t:r¡tipolente ¡r l¿r car.rticlad áe nor'irniento de lal par-tículas que salen de .S en B en el rnisno tiernpo Al (ligura 14.10). Si se corsiderlm srjlo l¿rs lesultautes de los sistelnirs vectoliiilcs inplicados, es
posible escibir l¿ ecuiición vectorial
(Arn)v^
i :F
A¿
:
(Ar?)v¡
(1.+.38)
Quizá tanbiér se¿r clesciüle consider¡rr los r.nomentos alrededor de un punto dado rlel sisten¿r vectorial parn obtener u¡r¿r ecuación adicional lproblema resuelto 14.6], aunque muchos ploblernns sc resuelven utilizanclo la ecuación (14.38) o Li ecurción r1.,e ie obtu.'o ril dividir todos krs términos entre At y al dejar que Af tieud¡r ¿r cero,
>n:ff$"
v.r)
(t 4.39)
v,\ represeltil u:na re:tta [ectoríal y dor.rde la tasa de nlasa de fltjo dnrldl se ex-pres¿ cono el producto pQ de ltr densidad p de la corrientt¡ (masa por unidacl cle volunel) v la t¿rs¿r de flujo de volumcn Q (r'olumer por urridacl de tielnpo). Si se recur-re a las urid¿rcles de uso conrún er Est¿dos Unidos, p se erT)res¿ coltto el cocietrte y/g, dorde 7 es el peso especílico del flujo ;' g es lt ¿celeración de la gravedad donde
v¡ -
Los problemas c¿r¿cteústicos que implical una cor ente estacionalia de partículas se hal dcscrito er.r l¿r secciór L4.1L Se le podría pedir que determjn¿ra lo siguielte:
ul Enpuje causutkt por un flujo tlesoiailo. La ecuaciór¡ (14.39) r-esulta apli c:üle, pero se obtendrá una mejor corrprensión del problema si sc usa una solución b¿rsada en Ja ecrración (14.38).
b) Reuccionw en solrortes de paletus <¡ bonclas trunsportudoras. Es necesnrio dibujal plimero un diagrirnia que nuestre a uno de los lados del signo de igualdad Ia cantidad
894
I ,¡¡d
., c\ Empuje desurn lado pttr un m(,tor u reucción. un proptrlsor o un lilqdor, En la mavona de los ¡asos.inLerwi"o" un" ,ot" in"og,,í¡".'l'" , ,"1
oen_
¡uede d.s.
pejarse al resoL.erl la ecuación escalar que se obtuvo de l¿ ócu¿ción (14.3g) o de la (r4.39).
,: r¿l
rcsoltter problemqs cn los que los süstemas gqnan m(Ba se considera_ masa ?n y se mueve con vejocidad v en el tienpo f. y
rl.rlro srsterra 5, el cual tiene una
las ptrftículas de mas¿ Am con velocidad v"-que S de tienpo At (ffgura "br*b";;;;üntewalo Luego se e:rpresará que la'cantidad d" ,,lo,ri-i"nio tot¿l de S r. de ,14.13). ras prl-ucut¿s que se ubsorberrin. r,aiis el inrpulso de las fuerzrs ertemrs eje¡.cidas ,o bre S, son eqüpolentes a la c¿urtidad de nioimie,,to s *, ;i;;;;; * Af. Al adver_ tir que^la masa de_ S y que su velocidad err ese tiempo sorr, ,"rp""i
yv
-
mv como
rnrlr"ot" , m
Av. se escrjbe la ecuación vectori¿l
*
(Lm)v,,
+ >F
Ar:
(m + Am)(v + Av)
u
:
rigJ"nr. orpr"rión
>F,,#_,t,rT,
Artt
(14.40)
se mostró en ]a sección 14,12, si se introduce ra velociclad relativa
que sr esriin absorbientlo. se obLiene t" 9: ]Í:-l:'Oj:1"r resutllnte de lcs tuerzas e\tetnas aplicidas il S:
I
v.,
-
v
paru lu
(r4.42)
Adenrás se mo\lró que la acqión sobre S de lirs partri.ulas que están siendo absorbioas es equlvalente a un empuje
,:#" ejercido en la dirección de la velocidad relativa de las partículas que
(14.44) se absorben.
O: los que ganan mas¿ son las bandas transportadoras y los .sistemas vagones vagones de let rocarril moürniéntñ quc se ca están ac+¡ñ cru.glndo en moürricnlo --- o urena. asÍ ^-,.-.,-l^ -^- g,:"u" ^,,é como las cadenas que se "on ;e están están jalando ialando áe de un rn carrete. c¡rrcte -
-L,::t""ln]t
3,, Parl
resol oer ,problemes de sislemux que pierclen mosa, co¡no los cohetes y ro5 Irrotores de cohetes, coheles. es er posible.recurrir posible recut.rir a i"r-.:";";;;;'ii;?o¡ ]rrs ecuaciones .14 4Ot . ¡¡rr.++¡, tt .i^,., ,,"n.,l-!r i-"1..",' pre que " se den val.ores n"gotño, a los incrementos d" *oro L.-, f" "la tasa^tde cam_ lro dp rnrsa dnt/dt. De esle rnodo. el.empuje definido por. la áuacirjn t14.4Al se opuesra r la
895
d
i
.i
:1
C
14.59
Un cho¡ro de agua con área de secció¡ transve$al A y velocidad v1 golpea una placa que permanece sin n-iovimiento mediante una fue¡za P. D-etÉrmine li n.tagttit,cl de P si A : 500 mm2, trr : 25 m/s y V = 0.
Figura P14.59 Y Pt4.60
14.60 Un chor¡o de agua con área de sección transversal A y velocidad v1 golpea una placa que se mueve hacia la derecha a velocidad V. Deterl.rinJh-magnitud de Vsi A = 600 mme, u1 : 30 m/s y P = 400 N.
+
ñl
14.61
La manguera que se muestn descarg¿r una coriente de agua a 475 gaVmin con velocid¿d v de 60 fVs de magnitud. La corriente se divide en dos co¡íentes con iguales gastos mediante una cuña sostenida en posición fij¿. Detemine las conPonentes (¿rrast¡e y elevacion) de la luerza Álerci.la por Lu corrienlc sobre la crrño.t I l'f' - 7.48 gtl.'
un gasto Q
14.62
F¡gura Pt4.61 y P14.62
:
La nranguera que se muestra descarga una coriente de agua
a
un gasto Q : 500 gaVmin con velocidad v de 48 fVs de magnitud La co¡riente se diüde en dos corrientes de iguales gastos mediante una cuña que se r¡ueve h¿cia la izquierda a una rapidez constante de 12 fVs Determile las componentes (arrastre y elevación) de la fuerza que ejerce la coriente sob¡e la cuña. (1
fir =
696
!,
;1i
7.48 gal.)
14.63 T¡es t¡oncos y algunas ramas se int¡oducen en A ¿ ¡¿zón de 10 lb/s en una picadora que lanza las astillas ¡esultantes en C a velocidad de 60 ft^. Determine la componente horizontal de la fuerz-a que ejerce la picado¡¿ soble el camión en la unión D.
Figuta
F
P1
4.63
:¡-i
14-64 lt¡ r'rur'quelir tle., rrg;r aq¡:¡ ir -1znn d,. : rn n,irr run \cl,x.i_ de lF 50 m./s pon.¡ de n .,le\d¡.'" desde la pop:i rlo un ur Lute rle bo¡rberos. Iror,,l,¡,o. Detennine D¡r.r,,,i,,p eJ el ernpu.,,,^,, -.les¿rrollado por el motór para m¿útener al bote eir posición est¿cion¿;;.
Probremas
'.cl
14.65
La ar.ena qre se ¡rrrestr¿1 en ln ligura cae descle t¡es contenedo-
- suhle r¡n. I'and- trirnslurt.(lorr a r¿zón áe 40 kg/s por. conteneclor_ La -,' qolp-. l¡1,,,r,la,,-r' r clo, ith, l r .rt i, r l , , -- t ,,. .'r' so,[-11.¡,¡g., ¡ . '"'u,ji.lad lrulizorral ¡ . - f r,.. Si l, ,,,,.n,..,,,1,¡,,,,,1" J. i" Jo,",. ",,,r.. "f :':]i¿ de ba¡lcla y la arcüa que soport¡ es ür 6r)0 kg cun reÍtro .1" ,,,,,r" en --: aLeterlnirle ]¿ ¡e¿rcción
eI
E.
Figuta P14,
¡]--
2," -- _
Figura Pf 4.65
14.66 Si la c¡rchilh AB drl ¡r.oblema r.esuelto 14.7 tiene ll fbrma de rrcu tle,ciculo. r¡rrestr.e (Irc h fuerz¿r r.esultante F e.iercitla por la cuchi ..ol're-l ,l'urrr',e dnlr'a. el pl|Il,r rn,,dio C J.l :rrco 4F tS ,l, t.r,tr¡a:
I9l) mnr
:L
an¡iero rnuestre (lue la línea rle ¿rcción de F
deL,c
:¡cLrlo.)
¡rrsrr por *J cenii , O
clel
. 14.67 L:¿ manguera que nuest¡¿r Ja figura clescarga astr¿1 ¿ r¿zíln de :J{) l7nin. Si ta¡to en B como ct C l¿r cor¡ilcnte d" ngun ."_ ',lr,,"ue u n"ln_ tl¡tl de 30 m/s de magnitud. ¡ se ignora el pcso de la'pnleta, dete¡ninc el . .'P-ra luer,/a-firr qu, ,l.he rr¡li,:rr,. cn 4 p¡urr rnrrnt,.ncr lijrr la ¡,rl-lrr 14.68
La manguera q're ¡nrrestrir la ffgur¿ descar.ga agua a
r¡zó¡
¡le
40
- rrin. Si ti¡nto en A como c¡ B l¿ cotriente de ,rg,ra sc rnileve ¿ vclocid¿d i ;l ft\ de,rnaAritud. y rc iquo¡x pl pcso de l:i pileta, .I"t".,l,tn" l,o t.rlpntus de
Las
reaccioncs en
(' v D
15
i,,
-l
"n,n_
;_-
Fiqura P14.67
__t
u_>T r,l
Ln.
20 in.
Figura P14.68
..fl
gg7
898
Sisienras de particulas
14.69 Un chorro de agua que flu,ve :r lazón de 300 gal/min y se trueve ¿ velocidad de 90 lVs cle magnitud tal to en A coüo eD B es desviado mediante una paleta sold:rtla a ura placa articul¿rda. Si la lusa cor¡binada de la palet:r y la placa es de ,10 lb co¡ el centro de masa en el punto G, determr re a) el ángr o 9, b) la reacción en Cr. (I fi'r
:
7.a8 grn.)
14.70 Un chono cle agu¿ que flrj'e a ruzírn cle 300 gal/min y se mue, ve cor velocit'llcl de m:rgnitucl o tanto eú A cor¡o en B se desvía mediante una p:rleta soldadir ir unl placa articulada. El peso conbin¿do de 1a paleta r la piirca es de 40 lb con el centlo de r¡as¿ en el punto G. Si d : 45., dete¡ rnine a) Ja velocidad r: del flujo, ú) Ja reacción en C. (l ft3 : 7.aE g¿1.) 14.71 El rr?stre total clebido a la fücción del y' Figuta P14,69 y P14.70
li,
kr
¿rire
sobre Lln avi(in jet
h es de 35 kN. Si la relociclacl de escape es de 600 r.n/s r.el¿rtir,¿ al avióri, dete¡¡rine l¿ n¿rsa cle aire que debe pirsar ¿ tÉvés del r¡otorpor segundo, p¿rr-¿r r¡antener un¿ r,elocicl.¡
14.72 Artes del
clespegur:, el piloto de1rr aviór birrotor de 6000 lb propulsores dc elgranaje reversible ¿rl increr¡ent¿r el cmpuje in r.erso apJic:rndo los fienos er el punto B. Si el punto G es el certro de gravcd¿cl del ¿r'ión, cletermine l¿ velocirl¡d del re en ias dos cstel¿¡^s de 6.6 ft de diíunetr¡ crranclo la nrecla de l¿ pulta A erlpieza ii despegarse del suelo. Stponga y: 0.075 lb/ft'' e ignore Ja velocidird cle aproxirración del aire.
pnrebl
Jos
0.9Ii Figuta P14.72 y P14.73
14.73 ,\¡tes clel clespegue, el piJoto de un ¡vjól binrt¡to¡ de 6000 1b prrreba los propulsoles de engranzrie rer.ersible urplicando los f¡enos en el purto B. Si la velocicl¿rcl clel aire en l¿rs clos estelas de 6.6 ft cle diír'net¡o es de 60 lVs _1'cl purrto C es tl certro de gravcd¿d del ¿wií¡n, cleteurine la r.e¿rc ciór en los purtos A v B. Supongir 7 = 0.075 lb/ft3 e iguore l:r velocidad de apro¡ii¡n¿rcióD
del
ait-e.
14,74 El motor
deJ lviírn jet que se üluestr¿¡ succiona aire en A a ralo descarga en B con velr¡cidixl de 600 m/s respecto al aüon. -r' Deter¡rine lir rr:rgnitud y lii lílea rle acción del entpuje proprrlsot. desarro-
ztin de 90 kg/s Jlaclo
pol el ¡¡oto¡
crr¿rndo
la vclocidatl del ¿wión es ¿) de 4¡0
knA, ó)
de
960 k¡r/h.
Figwa
P'14.74
----------......'..#
mueI ¡nede l¿
gfmi-
. 14,75 El helicríptero que muestra la ffgura puede producir una velo_ cidad máxima del aire hacia abajo de 24 m,/s en uni estela de 9 m tle diáme_ tro- Si el peso- del helicóptero y Ia tripulación es de 15 kN y se supone p : 1.21 kgm' para el aire, dete¡mine la carga mádma que pueáe levantar áste apa_ Éto cuando eslá suspendido en el aire.
mr¡€-
i¿nte let¿ r-
letei
hir rdor,
anel
mlb ie i¡-
9m
I g.¿-
6.6
ft
F¡gura pt4.Z5
¡relo. e-
'14.76 Un aüón
comercial viaja a una velocidad de 860 r¡i/h, con sus motores succionando aire a razón de 720lb,rs y descargándolo ¿ l g60 fVs res_ pecto al avión, cuando una flalla de la superficie de óntrol ocasiona rcpen_ tinamente un 20 por ciento de incremento en el arrastre. Si el piloto martiene el nivel de welo bajo el mismo llujo másicoy la misma velot.iLd relativa de desca¡ga. determine la nueva uelocidad de r.,r¡elo. Sunonsa oue el ana\ ue debido a la lricción del ajre es proporc.ional al cu*dád,,?e ir vcloc¡dad del avión.
mrb ea el ¡D es
l€tf-
*l
de
14.77 Co¡la finalidad de acortar l¿ distancia requerid¿ para aterizar, un avión jet estí equipado con paletas móüles, las cur¡les inüerten oarcialmente la dirección del aire descar.gado po¡ los moto¡es. Cada ,rro d" ios ,ro_ tores succiona ai¡e a una tasa de 120 kg/s y 1o descarga a velocidad de 600 m/s en relación con el motor En el instinté en que h íelocidad del aüón es de 270 km/h, detemine el ernpuje inverso proiorcionado por catla motor
- 14.78 Un jet de línea viaja a velocidad de g00 kr¡,4r mientras c¿da uno de:us lres rnotore: descarga aire con velociclad de g00 rnls relatjra al aürin. Deternine la veloci¡lad Determine velocidad del jet iet después desnr¡¿s de ¡le haber h¡he" per.dido ,..^ de t^ a) ,,-,.. -t uso -t úno -.",1i,1^ el ala
¿ t¿-
niio arr(>
b&
Figuta P14,78
14.79 En una turbina Pelton, una serie de álabes desvía un cho¡ro de agua de manera que_Ja tasa a la que el agua es desviada es igual a ia t¿sa con la que el agua asü¡ sale de la boquilla boorilh (Am1Ar t Amtit a^, , Si si se .- usá ,,"; la r^ misura notaApo¡). -^...
:-
-:...--
ricin que en el ejemplo 14.7. ¿r delermine lu veloc.idad V de los labe: o¿r¿ la cual se desa¡rolla la potencia rnáxima. ór obtenga nna expresi<;n paia la expresión para Ia potencia nráxima, c) obtenga una expresión para la-effciencia-mecá¡iia.
Probremas
899
900
Sistemas de Particulas
14.80 Un ,"""¡o"" ¡t.
570- mi'4.r' avión iet viaia en un \arelo de nivel a velocidad de {Vs rede,2200 velocidad con a"scarga to aL zOitt', y
"l*on en realidad Para Prolativa al avión. Deternine a) Ia Potencia que se utilüa cl cl la etlclcncla motor' desarrollada rota! la bl Por aüón. pulsar el Potencia mecánica del aüdn
cro s¡ na qr gón s
\su gón
r
14.81 El aerogenerador que se muestra operu a una velocidad del es üento de 30 km,/h con eficiencia de 0 4 Si el área^barrida por las ?aietas
a) 1","T:S1 de diámetro ¿l : 65 ríy p: 12 kg/ml' deterrnine de o ¡ m circulo al segundo por entran cinética de las partlculas de aire que potencía de de diámetro, b) la salida
;;;;;";i.
sc mueslra tiene unil salida de potencia oil" una velácidad de "iento de 36 knr'4r y opera con eff"","t"--i¿-" I ¿ kg/mr' determine ¿) el diámetrc d del área circu¿" o^ls Si "1"""i" ilpaletas, bila energía cinética de.las partículas de ai¡e que
14,82 EI aerogenerador que
s3Ñ
i".lr-¡4" l";
;:
enlran al área circular por qgundo'
.14.83
de La prolu¡didad del agur que fluye en un canal reclangular cI2 di prolundidad hasfa una profundidád d, aumcnta hasta dr aumenta r' yv profunüdád l, ea velocid'ad or ancho.' b d2' d1 y de b' htpr"r" el gasto Q en térr¡inos
"".-íttt"-nárátoro.
¿
T¿'2
I]1€I¡
coml
tern
*'14.84 ch
=
1.25 m Y
m' Determine el gasto en el canal del problema 14 83' si b = 3
d'z: I.5 m'
14.85 Urroriffcio circular entrante (conocido también como boquilla de la sude Borda) ile diámetro D se sitúa a una ptofunüdad ñ- po¡ debap V{li y es tl e:'puJsado del cho¡ro oeÉcie de un tanque Si la velocidad el muestre-que d" ceto, es o1 aproximación de t" r,'elocidad í"."rá* la seccicinde agua "* Considere D esd ¿i l,i*itt. l\f2.$ugore¡rri¿: "ttotr. que P es igual a la presión a una profundidad h muliirná,""á". y
"¿r"n" plicada por el área del orificio
)
sobr
ier 50-
(
bl¿ aspersor de jarün tiene cuatro brMos rotatorios, cada uno de los cuales consta'de dos secciones rectas hoizontales de tubo que forman reun ánsulo de 120'. Cada brazo descarga agua a razón de 5 gaVmin con móviles las partes ¡ esl.,cida; de 60 fi/s relatira al br¿zo. Si la lricción enl¡e 02i5 M magnihrdpar de un tacionarias dpl ¿5persor es equiralente a t iú Jiá"r"-,in" ü rasa constinte a la cual giriel aspersor' (l fr ' - 7 aa gal
14.86 rJ¡
Figura
P1
4.86
ll'i
¡¡n(
de¡
drr
14.87 Un vagón de ferrocarril de longitud
ó_ ter(>
úa
ltl
cir
,L
y masa nrg cuando está va,
901
lib¡emente sob¡e una vía horizontal mientras se c¿uga con arcna que proviene de un conducto estacion aio a :ura tasa dm/dt = g . Si el va3ín se aproximaba al conducto a velocidad o¡, determine a) la masa del vagón 5 su ca¡ga después que ha dejado atrás al conducto, b) la velocidad del vase mueve
5ón en ese mómento.
et
? -
cta
'& XF
14,88
La componente {inal de un sisterra transpoftador recibe irrena
razót de 100 kgis en A y la descarga en B. La arena se mueve horizontalmente en A y B con velocidad de magnitud DA: DB = 4.5 m/s. Si eJ peso mmbinado de la componente y de la arena que soporta es IV = 4 kN, de, ¿
termine las reacciones en C y D.
I
nIt-
d
,Dr
E. F¡gura P14.88
Figura P14.89
'14.89 Una cadena de longitud I y m¿Lsa rn se encuent¡a
amonton¿da
sobre el piso, Si su ext¡emo A se levanta verticalmente a velocidad constante tl, er?rese en téminos de la longitud y de la cadena que no está en el pi so, en cualquier instante dado, a) la magnitud de la fuerza P aplicada en1,
b) la reacción del piso.
DO
14,90 _ hacia
Resuelva el problema 14.89, suponiendo que la cadena se baja el suelo a velocidad constante o.
E¡II
14.91 Loi es-
It ü
eslabones de Ios extremos de una cadena se encuentrun
¿montonados en A y C. Cuando se le imprir¡e una velocidad inicial r¡, la cadena se manüene en moümiento libre a esa velocidad sobre la polea situa-
da en B. Ignore la fricción y determine el valor de h requerido.
Figuta
P1
4,91
902
Sistemas de particulas
14.92 U¡a caclc¡a
por¡n peqreño aguje es rnry pequeñ¿r, la cadcn¿¡ cstá e¡ roposo. E¡ c¿da caso rnostra(lo, dete¡rnine r¿) la aceleración del primer eslabó¡ A conro un¿ luncirin de r¡, b) l¡r velociclacl tle l¡r cacle¡a cu¿nclo cl último esliilxin pasa por el .rgujero. Fir el cirso I, suponga que los eslirbones indiü drrirlcs cst¿in en rcposo hast¿ que caen por-r:1 agrrjero. En el ccso 2. conside rc quc todos k¡s eslabones tierre¡ la misna velocidad en cu:rlcluiel inst:rnte. ro
cle uua
dc longitud
1
y nrasa lrr cae
pliicl. Al principio, crrando t
Igrrore el elécto cle
l¡ fiiccirjn.
gx (t)
(2)
Figuta P14.92
14.93 El
sistcma dc proprrlsión principal del trasborcludor espacial consiste en trcs lnotores tle cohete idónticos, cacla rlno de los cll¿les qrrenl¿ cl prope)ente de hidrógeno-oígeno a raain dc 750 lb/s y lo cxpl¡ls¿ con le kricla
Figura P14.93 y P14.94
14.94 El sistemn (le propulsiór princip:rl clel tnsbordador cspacial consiste en tr'cs üotorcs dc cohetes idénticos quc proporcioDan url ernPrrlr total cle 1200 kips. Deterrnine l¿ t¿rs¿r ir l¿r cual c¿da uno de los tres motore\ qucrna el propelente de hitLógeno
tr:i
14.96 Urr cohctc dc ¿1sa iguul a l500 1
se
U:r satélite clirn¿rtológico dc masa igual a 50{X) kg, la crral ir. cle uu trasbordador cspacial r¡rc clc:-: bc un¿r órüit¿r circul:rr b:rja alrededor de la Tierra. Después de que el s":. ie se ha ale.jaLlo lent¿uncntc dcl tr¿sborclaclor hast¿ ma distar(ia seqrtr.. motolse enciende p¿ra incrc entar-l¿ \'elociclatl en 2430 r¡-/s corno pi.
14.97
ye el
corbrstible, ha sido c'xpulsado
cn su tnnsfcrcnci¡ a rrra ír'bit¿1 geosíncron¿. Si cl cornbustib]e '- ' col unn velocidacl relativ¡ de 4200 m/s, dctermine l¿r mas¿ .le c.rr ' tible ct¡rs¡rr¡ido e¡ est¡ ln¿niobr¿.
p¿rso
pulsa
rI
F¡gura P14.97 y P14.98
Determine cl ¿rune¡to er h relocirlad del . . -14,98 14.9, lrrnqu,t, l,.rhnr.r ,.or\r,rnrd,, l;0rr trg ,.", Llel
.
^_.1-4,,.e9
satcilite clel nrobleL,r.li,i " ' "
nf_peso de rn¿ nave esp¿cj¿rl, i¡chy,enclo el combrrstible, es de
se encienrlen para incrr entüI¿\cLlli1,l: yr"rll* rus. ¡oror..s,1.,1coh'ete ¡r \e clrLtsirllcn t!00 ll¡ de co¡rbustil¡lc. clelc¡uinc i¿
'r,', rrl¡,1 r, l.(li\jr,ll.t . o,nl,¡¡.ril,l-.vprrl.
r,1,,.
', \.-J ,/- ---'Í_-'r ' 'i"';1""
..:,.at".:\:r/
{l ^.\ ..;¡fiiltr'-
Figuta p14.99 y p14,100
14.100 Lc¡s motorcs tlel cohe.tc de urra :. i¡c¡e¡re¡ta¡ l¿r r..elocicl¡d c, 450 fi,¡s Si ,," rave. espaciai se elcierrclerr pa¡ ¿ un¿ r,eloci
el coniilrstible.
tn ,,1ü,u ,t"t
"ut,"t"
:,,il;i:"';#il]i.
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14.102 l)cte¡¡¡inc
la clistalci¡ i.l.r por ll nave espac,ial del eu,1,,r,¡ntr el _¡,..¡,,¡¡,r,,,1"1,r.ec,r.r ,,,,,r,,.,f,]t,,,i,, ;;''., . , l:i;, ¡.i.,J1;ro ,", :.1 firc de 7 500 fVs y el lanzaniento chrrrj 60 s.
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'14.103 U¡ colrete tic¡c r¡¡s¿ cle 96U kg, h uual incLuye g00 kq cle r, . ,hr,,ruc \^ io,,\,,,,, ,, ,,,..,;,,i, r,i;:.':,' ;irJ;iliil,, 1l i ),n., ' 'i'r rd. 1tj0r, r,r c ri ,lc,,l,crcw.ta,rz.r,.¡rlic,,lr.rrl,,l¡.r1, _l lr.l,,.d. -''ri¡e ¿rl¡.rltrr..r ,r Lr rl,,L- se ha consurri.üil;;;:;rrlr,*f'i.;;,::,,.. ' 'l.l d-l , olr-rc c¡, c.¡ ¡nnrn, rtr,.
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Lr drsl,¡rrr i., que i, .lrr,.t ,lirrrr,,loújco d-l tr.,sl,r,r.,l,rrJ,,.,.¡", i,,t rO r,i.rp,,". j"', ¡i,r.:r ..1 s.r ,,i_ el rnotor si cl com|¡rstil¡Je sc consrrDre "1,,.'i'l ¿ ura t¿s¿r
cle 1S.75 kg/s.
,,O. r-!.U.
rÉsl,c,t1 jr la pro¡rrlsirirr
¡1, ,r'rr¡ún inl :c ,l¡sncr -,rr,t.,.l* i¡,pi¡rlirlr ., l,,: grr.,s ,lo r.!.¡p¡-. f_,1r"f.*.rrilt * --.rl ;1 ¡ro,lucto Je la luerja tlisrr,ni .,.',, .. r,,',.i"",,r,, ii"i,l,.? I l;,i il iji;lij, :; iiil, I j:, ;: ;:l:] .'1.r,tc,.. ,.,1n.,¡,"r,r*ri,.i,.r,,.i,,;í,,il,,
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,
Probreñ.ras
903
don
refl
ped
don
racir
obt¡
En este capítulo se estudió el rnoürniento de sjs/emcs de,pañíur/¿s, eslo esl el moümiento de un gran número de partícufas consideradas iuntas. En Ia primera palte del capÍtulo se consideraron los sistemas compueslos por partrculas bien dellnidas. mientras que en la segunda parte se analizaron sistemas que continuamente ganan o pierden partículas, o arnbas cosas al mismo üempo. Fuerzas efectivas
AP¿
dzp
ft-
suel
lafuena efeait:a de una partícula P1 de un sistema dado como el producto nr.¡a1 de su masa rn¡ y su aceleración 4 Se definió primero
con respecto al sistema de referencia ne\atoniano centrado en O [secL\fu I[.2]. Se mostró después que el sistemtt de iuenas extemas que actúan sobre las partíatlas y el sisfema dz las fuenas efectiuas dP hs partíatlas son equipolentes; esto es, ambos sistemas tienen la nzászr¿ 'rextltonte y el misnn mr¡mento rezultante alrededor de O:
der Gr't rcsP
Sed
des
de( ülü/
) r'=) -'q )
(r, x F¡)
t:] Cant¡dad de movimiento lineal y angular de un sistema de Partículas
:)
(ru
x
Q4.4)
(14.5)
m¡at)
AI definir la cantidad. de moairniento lineal L y la canüdncl de mnaimiento angular H6 alredednr del punto O del sistema de partículas fsección 14.3] como (r¡
>4
n¿v¡)
(14.6, t4.7)
I;
rtel v€Tá
las ecuaciones
Yim¡
)M,,: Éo
(14.10, 14.1r)
que expresa que la resultante y el momento rewltante alreded'or dn Ó de las fuerzat u*tenxas son, resPectü)alnente, iguales alas tasas de c&mbio de la cnntidacl, d.e mot:imiento lineal y de la cantidad de mao/,tniento angular alrededor de O d.el sistema de paúículas. Movim¡ento del centro de masa de un s¡stema de partículas
i'
En la sección 14.4 se definió el centro de masa de un sistema de partículas como el punto G cuyo vector de posición satisface la ecuación
(
lls tt (r4r
rLú t12
Lr,I hd
i
,¿i=)
i:1
904
flue
se mostró que las ecuaciones (1a.a) y (1a.5) pueden sustituirse por
>F: i
I
Ise
-:1Et ¿
,:l
h
m(m las ¡
i=1.
L:2 mú, H": ) i=I
t.
advn
(r4.12)
¡L
I
Repaso y resumen del capítulo
donde nz representa la masa total
)
í-1
m¿ de las partículas.
AI dife-
14 905
renciar dos veces ambos miembros de la ecuación (14.12) con respecto a ,, se obüenen las relaciones
L
: mi
L: má
r.
Ia.14, 14.15)
donde v y á representan, respectivamente, la velocidad y la acele¡ación del centro de masa G. Al sustituir L de (14.f5) en (14.10), se obfirvo la ecrración
)F :
V.
n-
(x
(r4.16)
nrá
a partir de la cual se concluyó que el centro de mssa de un sist¿m¿L de paftíankts se mueL)e conlo si la masa total del sistema y tod.a.s ks fuerzas etternas estuui,eran concentrúdas en ese punto lproblema re-
,5n
to
suelto 14,11.
En la sección I4.5 se consideró el movimiento de la partícu1a de un sistema con respecto a un sistema de referencia centroidal Gr'y'z' unido al centro de masa G del sistema y en traslación con respecto al sistena de referencia newtoniano Oxyz (figara I4.I4). Se dehllr'ó la cantidad de moaimienfo angular del sisfema alrededar de su centro de masa C como la suma de los momentos alrededor de G de las cantidades de movimiento m¡' de las partículas en su movimiento relaüvo al sistema de referencia Gr'y'z'. Tarnbién se adürtió que el mismo resultado puede obtenerse considerando los momentos ahededor de G de las cantidades de movimiento rn¡v¡ de las partículas en su moümiento absoluto. Por lo tanto, se escribió
l:-
4 ?l'_-
F¡.
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H":) l¿¿
Pf;
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I ¡r& LidE' '
ttt:!
r
(r',x miv,): i:l
)
i:I
(rí x m,vi
)
Cantidad de movimiento angular de un sistema de partículas alrededor de su centro de masa
04.24)
se dedujo la relación
Figura 14.14
)M6 : H6
(t4.23)
que er?resa que el momento resultante alred.ed.or d,e G de las fuer:es aitet'nas es igual a la razón de cambio de la cantifutd de m.oai,miento angular alrededar de G del sistema de partíatlas. Como se rerá después, esta relación es fundamental para el estudio del morimiento de cuerpos rígidos.
ó.,undo ,to achian fuerzas ertemas sobre un sistema de partículas lsección 14.6] se concluye a partir de las ecuaciones (1a.10) y 14.11) que la canüdad de movimiento lineal L y la cantidad de morimiento angular H6 del sistema se conseryan lproblemas resueltos 11.2 y 14.31. En los problemas en los que intervienen fuerzas centrales, la canüdad del moümiento angular del sistema alrededor del cenüo de fuerza O también se conseruará.
Conservación de la cantidad de
La energía cinética T de un sistema de partículas se definió como la suma de las energías cinéticas de las partícu1as lsección 14.7]:
Energía cinética de un sistema de partículas
movimiento
teú¿
[€
It
T¡
-_ 1$
m¡D7
(14.28)
906
Sistemas de partículas
Utilizando el sistema de referencia centroidal Gx'y'z' de Ia figara 14.l4 se adüftió que la energía cinéüca del sistema también puede
,
obtenerse al sumar la energía cinética ,mDz asociado con el moümiento del centro de masa G y la energía cinética del sistema en su moümiento relativo al sistema de referencia Cx'y'z':
.t
T Principio del trabajo y la energÍa
C
5
: lmoz + 1) z o-
(14.2e)
m'¡r12
El príncipio del trabqjo y la energía puede aplicarse a un sistema de partículas, así como a paúículas individuales lsección 14.8]. Se escribe T1
€
I U1-2:72
(14.30)
t
a
L
j
d
y se señaló que U1-2 representa e1 trabaj o de tod.a.s las fuerzas que achian sobre las partículas del sistema, intemas y e¡ternas. Conservación de la energía
Si todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema so\ consercatit)&s, es posible determinar Ia energia potencia V del sistema y escribir (14.3r) T1IY1:72*Y2
que erpres¿ el princ'ipio de conseraación tema de partículas. Principio del impulso y la cantidad de movimiento
d,e
Ia energía para un sis-
Se vio en Ia sección I4.9 que eI principi.o del impulso E la cantíd.ad, d,e mooimíento para un sistema de partículas se expresa gráffcamente como se muestra en la figura 14,15. Se establece que las
cantidades de moümiento en las partículas en
tiempo t1 y los imforman un sistema de vectores equipolentes al sistema de cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo f2. pulsos de las fuerzas extemas desde f1 hasta
e1
ú2
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¡l
/ *.--- +
s
Lr¡,\,L
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irr¡\¡)1
doi dm
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{rn¡'v,')1 a)
Par
e\p lül
b)
r
Figura 14.15
als Si ninguna fuerza ertema actúa sobre las padícu1as del sistema,
los sistemas de las cantidades de moümiento indicados en los incisos a) y c) de la figura 14.15 son equipolentes y se tiene
Lr Uso de los princ¡pios de conservación en la solución de problemas en los que intervienen sistemas de partículas
: Le
(Ho)r
: (Ho)z
c'lü
lpn
sist lent
(14.36, 14.37)
Muchos problemas que implican el movimiento de sistemas de partículas pueden resolverse aplicando de manera simultánea el principio del impulso y la canddad de moümiento y el principio de la conservación de la energía lproblema resuelto 14.4] o erpresando que la cantidad de moümiento lineal, la canüdad de movimiento angular y la energía del sistema se conservan lproblema resuelto 14.5].
don la rr que
eml part
ii i,
!:-
En la segunda parte del capítulo se consideraron los sittema,s Dariables de pattículas Primero se estudió una cordente estacíonaria d! plt¡!íatlas, como una coriente de agua desviada por. una paleta ffja o el flujo de aile a través de un notor. i leacción lsección f4.1ll. AJ apli.ar'e1 prirrcipio d.l impujso y ll cirrrfidad de rnoürniento a un sislernl . de partículas elurute un jnlerr¡rJo de tiernpo A/ ul incluir las pu ¡ ieulas que cnlr,Ln ¿J sislernr en A dur¡urle e'e jnlen¿lo de tiernpo 1 rquel)as,de Ia misrn¡ rnasa Amrque dcju el :istenra en B ...on,lut<) gue el sistenu Iontado por l,t rtuttiLl, l d" tth,t ¡úti'lttto ¡L,ttr1v¡ tL ln.s ptdirahu quc etttrtta por S cn ?l ti¿utln Lt | los inp,tls,,, tl¿ l+, .fi;enas ejercídas sobre S durante ese tienpo es eqtLípolente a la canti-
Repaso y resumen det capítuto 14
Sistemas variables de partÍculas Corriente estacionaria de partÍculas
darl de mooinúento (ün)vp de las partícuias que saien de S erL el r¡tis,^r| \r.
i¿l
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1.-! t,t t,- ¡l)
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F¡gura 14.16 a,-
-':
tno tienlpo At (ffgura 14.16). AI igualar las cornponentes r, las componentes q y los morrentos ¿rlrededor de un punto fi¡o de los vectores tlue itrleruierrcn. se podnu olrtelre¡. lrastl tres e.uilcione5, en hs qu,, .e podnhn resolr"r las incógrilas tle'eldas .problen'¡tr res'¡¡ltos ji.6 v 14.7]. De este resultado seúa posible obtener la sigurerte expresióri pala la resulttmte )F de las fuerzas ejercidas sobre S,
{onde
tln/dt
v¡ es
>t: ffft"-u)
(14.39)
va representa l¿ diferencia enüe los vectores v¡ yva y donde m¿¡sa de la con iente (véase la nota al pie, pág. S87).
eI gxto de
Considerando a continuación un sisterra de partículas que gala al absorber partículas de manera continua o que pierde rrrña al erpulsar paúculas continuamente (sección 14.12), ómó el el c¿so de n.rasa-
ur.r
cohete, se aplica el principio del impulso y la cmtidad de rnoürniento
al sistema dur¿nte el intervalo de tienpo Át, teniendo cüdado cle in cluir las patículas ganadas o perdidas dur.ante ese inferualo cle hernpo lprobl.ma rr.suelto 14.81. También se adü rtid que h ucción ,obre un sislema S de lus paltc.ulus que se e.tán qbs,\+iu,lo ¡or S era equivarente a rln empule I¿
:, ¡j
,: #-
(.r4.41)
donde dnt/dt es la tasa a la cual se está absorbiendo la masa 1, ¡¡ s5 la relocidad de-las pirrfículas relot¡ua a S. En el crscr d. p.riícuJas que están sietd,o expulsadas por S, la tasa dm/dt es negativa y el empuje P se ejerce en una dirección opuest¿ ¿ aquel en el cuai las pattulrs eslán siendo erpulsadas.
Sisterras que qanan o pie.det rrasa
907
14.107 El empleado de una líne¿ aé¡ea coloca en rápida sucesión dos maletas, una de 30 lb y otra de 40 lb de peso, sobre un canito Para equipaje de 50 lb. Si al principio el ca¡rito está en reposo y el empleado imprime una velocidad horizontal de 9 íils a la maleta de 30 lb y una velocidad horizontal de 6 fVs a la maleta de 40 lb, dete¡mine la velocidad final del carrito si la primera rnaleta que se coloca sobre él es a) la de 30 lb, b) la de 40 lb.
08
1 4-1 El empleado de una línea aérea coloca en rápida sucesión dos maletas sob¡e un car¡ito para equipaje de 50Ib, con velocidad horizontal de 7.2 ffJs. a) Si Ia velocid¿d final del carrito es de 3.6 fVs y la primera maleta que el empleado coloca tiene un peso de 30 lb, dete¡mine el peso de la otra
b) ¿Cuál seía la velocidad fínal del carito si el empleado inüúiera el o¡den en que acomoda las maletas? ma.leta.
Figwa
P'14.1o7
y P14.108
14.109 Un sistema está formado por tres partículas A, B y C. Se sabe que kg, mv=2 kg y nk::4 kg, y que las velocidades de las par tículas expresadas en ntls son, respectiv¿rnente, va : 4i * 2j + 2k, ve = 4i + 3j,
ai¡:3 y
v¿: -2i+ 4j *
2k. Determine la cantidad de movimiento angular H¿ del
sistema al¡ededor de O.
Figura Pl4.l09
1 4.1 1 0 Para el sistema de partículas del problema 14.109, detennine a) el vector de posición i del cent¡o de nasa G del sistema, b) la c¿ntidad de movimiento lineal nlv del sistema, c) la cantidad de movimiento angular IIq del sistema al¡ededo¡ de G. Verifique también que las respuestas a este problema y las del 14.109 satisfacen la ecuación dada en el problema
14.28.
14.111 Un avión pequeño de 3000Ib yun helicóptero de 6000Ib welan a una altura de 3600 ft y chocan directamente a¡riba de una tore ubicada en O en un área boscosa. El helicóptero fue visto cuatro minutos antes a 5.5 mi al oeste de la torre, y el aeroplano a 10 mi al oeste y 7,5 mi al norte de la torre. Como consecuencia del choque, el helicóptero se partió en dos fragmentos, I11y I12, de peso respecüvo igual a 2000 t 4000 fu el aüón cayó al suelo pero no se fragmentó. Si los dos fragmentos del helicóptero se localizaron en los puntos I11 (1 500 ft , 300 ft ) y 112 (1 800 ft, - 1 500 ft ), respectivamente, y todas las partes golpearon el suelo al mismo tiempo, determine las coordenadas del punto A donde se h¿üaron los restos del aüón. ¿6
"P* riE iri rfifo D
lb-
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rdc üib tlel¡
ú¿
ii:f¡
I
q0e
F ++
Fiqura Pl4.111
)d "14,112 Ert el problema 14.111, si los restos del avión
se encontraron
A (3600 ft, 240 ft) y el fragmento de 2000 lb del helicóptero en el punto Hr (1200 ft, -600 ft), y se supone que todos los fragmentos golpearón el en
suelo al mismo tiempo, determine las coordenadas del punto H2 donde se encontró el otro fragmento del helicóptero.
14.1 13 Dos hemisferios se conservan juntos mediante una cuerda que mantiene comprimido a un resorte (el resorte no está unido a los hemisferios). La energía potencial del resorte comprimido es igual a 90 ft .lb y el ensamble üene velocidad inicial vo de magnitud oo : Ztfvs. Si la cuerda se rompe cuando 0 = 30', ocasionando que los hemisferios se separen, deter-
mine la velocidad resultante de cada hemisferio.
e
[tÉ Edad
/
pht a es-
lerna Figura Pl4.l13
Problemas de
repaso 909
\ 910
Sistemas de partículas
14.114 Dos esferas pequeñas A y B con masas de 2.5 y 1 kg, respectivamente, se conectan mediante una varilla ígida de masa insigniffcante. Las dos esfe¡as descansan sobre una super€cie horizontal sin fricción cuando, repentinamente, se le imprime a A la velocidad vo : (3.5 m/s)i. Determiúe ¿) la cantidad de movir¡iento Iineal del sistema y su canüdad de moümiento angular alrededor de su cent¡o de masa G, b) las velocidades de A y B des pués de que la varilla AB ha girado 180".
II
ei
d d
b fi
tr
CI
Figwa P14-114
14,115 Entre dos placas A y B fluye agua en foma laminar a velocidad v de 90 fVs de magnitud. La con:iente se divide en dos partes mediante una placa horizontal lisa C. Si los gastos en cada una de las dos corrientes resultantes son, respectivamente, Q t : 26 gaVmin y Qz : 130 gaVmin, determine a) el ángulo 0, b) la fuerza total ejercida por la corriente sobre la placa horizontal. (1 ft3 = 7.4B gal.)
F¡gura Pf4.115
14.116 Una co¡riente de agua con área de sección transve¡sal de 1.5 in.2 y que se mueve a velocidad d! 60 fVs de magnitud es desü¿do tanto en A como en B por dos paletas soldadas, como se muestra, a una placa vertical. Si el peso combinado de la placa y las paletas es de 10 lb, dete¡mine las reacciones en C y D.
5C
F
rE
te c¡
ci
P(
É
ti
& Figura P14.116
éL
l.l
Eq¡edi-
É-I¡do, rc-
*rtr-
ritrú:rtBrJf5_
14.117
La hélice de un aüón pequeño tiene una estela de 2 m de diáproduce ,,n empuje de 3.6 kN cuando el avión está en reposo sobre d-ho.y suelo. Suponiendo p/ l.2I kglm3 para el aire, determine a) la velocidad d aüe en la estela, b) el volumen de aüe que pasa por Ia hélice por segun-, c) la energía cinética impartida al aire en la esteia por segundo.
Problemas de
14.118 U¡ cohete tiene masa de 960 kg que incluye 800 kg de comble, el cual se consume a una ulra ras¿ tasa (le de ru 10 kg/s Kg/s y se expursa expulsa con con"velocidad velocldad de 3600 m,/s. Si el cohete se lanza verticalmente-desde el suelo. deine su aceleración cuando ¿) es la¡zaü, b) se consume la última partíile combustible,
rtlri-
#
ui.iG tiD. dé-
obre
h
&t5 úq
lrdiEb
. 14.C1
Un bJoque B de
I
kg pa:te del reposo
¡
se desliza hacia abajo
nbre la superffcie inclinada de unicuña A de iS t
Gña A, b) la velocidad de la cuña A. c) Graffque la velocidad de B en rela_ ci¡ln con A y la velocidad de A como funcionis de s para 0 < s 0.6 m.
=
1!,C2
Un sistema de partículas está formado por n partículas A, de
¡rso W1 y coordenadas r,, y, y &, teniendo velocidades de coirponentes (u,),, (rr)¡y(o.)¡. Deduzca expresiones aprbpiadas para las componátes de la cantlladde moümiento angular del sistema alrededor del origen O de las coor_ denadas. Utilice un programa de computadora p".. r"róhr", el problema 14.109.
F¡gura Pl4.Cl
computad.ra 91 1
912
Sisiemas de particulas
14,C3 Una bomba que se mueve a velocidad de componentes corr€F o., o,, y o, erplot¿ en tres fmgmentos de masas m1, nr2 y m3 en el prd A¡ a una distancia d de una prued vertical. Deduzca o,?resiones apropiadr das
para las velocidades de los tres fragmentos inmediatamente después de la aplosión, si se conocen las coordenadas t, y y¡ de los puntos.,{ (i = 1, 2, 3) cloaüe los fragrnentos inciden sobre Ia ¡ared. Utilice un programa de computadora para resolver el problema 14.26.
14.C4 Cuando un aüón de ent¡enamiento de 12000Ib aterriza sob¡e un poil¿¿üones a velocid¿d de I50 mi,4r, su cola se engancha en el ertremo de una lalga cadena de 260 ft que se encuentra amonton¿da debajo de la cu bierta. La c¿dena tiene un peso por unidad de longitud de 24 lb/ft y no har otra fuerza de ¡eta¡do. Si la distancia recorrida por el avión mientras la cadena está siendo a¡¡ast¡ada se denota mediante r, utilice un programa de cómputo para calcular y graffcar corno funciones de r a) el tiempo transcurrido, b) la velocidad del aüón, c) la desaceleración del aüón.
912
Figura P14.C4
14.C5 Un ¿vión ¿ reacción de 32000 lb m¿rntiene una velocidad corrs--:.:e cle 645 mi/h nient¡as ascie¡de ir ur ángulo a : 18". EI avión succion¿ -:: ir razón de 600 lb/s y lo descrga con una velocid¿d de 2000 nri,t rela : ir la aeronave. Si se sabe que el piloto cal,bia el ángulo de ¿¡scenso o .:intl.as rnantiene a los rnotoles funcionando igual, calcule v gr.alique como ::-ciones de a para 0 < a = 20'a) la aceleración del avión, ó) l¿ velocid¿rd -\in¿r que alcanzará. Suponga que el iirrastre debido a la liicción del aire - ':roporcional al cuadro de I¿r velociclad.
Figura P'14.C5
'14.C6 Un cohete tiene un¿ mas¿ de 1200 kg, lo que incluye 1000 kg :- conbustjble, el cuai se consu¡re a razón de 12.5 kg/s y se expulsa col una ..ocid¿rd ¡el¿tiva de 3.6 km/s. Si se sabe E.re el cc¡hete se lanza vetticalmente
:-¡de el suelo y se srpone un valot- const¿nte para la aceleración cle la .:-.¡ edad, utilice softrvare para calcular ¡, graficar a partir clel tiempo de en, : ,dido basta el tiempo en el que la ultirna partiuLla de combustible se con.,:¡e zr) la aceleración ¿ del cohete en nr/s'/, b) su velocicl¿d o en m/s. c) su -.r¡ción /¡ sobre el suelo en kilór¡et¡os. lSugerencia: Utilice para o la ex, ::.rrsión que se obtuvo en el problena lesuelto 14.8 e integre esta expre;:
rr alalític:inente pala obtener'ñ.)
1 4.C7 Dos herrisfedos se nlantieneú unidos nedi¿rnte ulia cuercla que .mtieDe un resorle en compresión (el resote no está unido a los hemisle ,sr. La erlergía potencial del resorte cornprimido es 90 ft.lb y el ensam: . tiene un¿r velocidad inicial de vu de n.ragnitud o¡ 24 fVs. Si se sabe que . cuerd¿r se rompe, lo cual provoca la sepalación de los her¡isferios, c¿rlcule qrafique la n.iaglitud de l¿r velocidad ¡esultante de cada hemisfé¡io como
:
:
¡rnción de 0
:
par¿1
30"<0s120'.
\ ::.:
l.
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l:, c'--
¡rr
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-,. .
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It to
b II l! -;J 'oi.& l-*,#'"' F¡gura P14.C7
Prob'emas de
computad-, 913
h, bt ür
CAPITULO
j i: ¡.:i.
t
-1, este capítulo se anal¡zará el mov¡miento de sistemas mecánicos tales como el sislema del motor mostrado en fotografía. Se ped¡rá, por eiemplo, determ¡nar la velocidad angular y la aceleración angular de la b¡ela cuando :e conoce la velocidad y la aceleracíón del p¡stón. =n ?
7 rg.r.ll'lrnonueclé¡l
c neñráiica de cuerpos ríqidos
916
Err este capítrrlo se ctrnsiclera la cinenálica da cuetpos rígftl¡rs. Se irves tigan las r-elaciones e)ristentes eltre el tiernpo, Ias posiciones, las veloci dades y las accierraciones de las üferentes par-lculas que fonran rü) cuer?o úgiclo. Corno sc vcrí1, los dilerentes tipos de rnoürnietto de cuerpo úgido
puetlen uqrrr¡r,rs,
(l'
rnirnpnr |onvenie le elr Ii,
lLnn¡ qrrc sigrrr:
Figura 15.2
Figura 15.1
l.
t\
'litt.s!.ación. Se alirrn¿r quc un nrovirnietto ser'ír cle tr¿sl¿cirin si
toda lílea lecta derrtro cleJ cuerpo malttiene la rnisrna dilección cluralte el mo\.in.iieuto. Tarnblén puede obser-varsr: que on lr lrlsl¡cicjrr lod,,s l.r. ¡'.r11ú rrlr,i,ll, r'un\lill)en "l .',,'lu, se rnucven a Jo llrgo de tral'ectorias paralelas. Si est¿s tr¿ryectolias s(n líncas ¡ect¿rs, se ¿rfirrna que el rnoümiento es unit lraslo.ci(t¡t rectilítea (figru-a 15.1 ); si las tr¿yectodas son líne,rs crrn'as, el molinielto es urra lrzsl¿ciót'¡ cut xilhrcl (iigura 15.2l.
l .."'/ x\ \,s
Rotacíón r¿tle¡h¡r do ut eje.fíjo. En estc r¡olirniento, lns partículas que fbrriinn al cuerpo rígido se r)tue\icr er plnnos paralclo. a lo l.rlqo rle, ír, rrlos <.llrldos sobr, ,l 'risrno ei. lijo (ligula 15.3). Si estc cjc, llarnado efa de rotrtción, ittersecit al cucrpo rígido, las putículas loc¿ilizadas sobrc cl eje tielen
\
vekrcirlarl celo v ¿rceleración ccro. La rotación no debe confirnclirse con ciertos üpos de traslación curr.ilíie¿. Por e.jemplo, ln placa que se muestra en la fiEr
Figura 15.3
n¡ l;.4rl
eS u nr
ll. r.li¡c icin t r¡ rr ilíne¡.
,
',lr to,lirs sl¡s p'Lr-hr.ulas l no
':¡
r.iéndosc a lo largo de círctlos porolelos, nricntras que la placa Llr¡r-.ir- lllllt.\tlr cI| lil ligUri¡ l5.,lb.cslri etr |1)ji¡(iú]r con loda. sur partículas ¡roüéndose a lo lar-qo de circtlos cc¡nc:énüicos.
D
-:...
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utta
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C, n)Tradación
cu*ilirea
_t:Éi.-:
l,)ltotacirir
F¡gura 15.4
: .a t'1
-u
En , l |drnlr c,aso. cualouier r^ pr ,,I n,,;,,i";;;; ij
;;l;; l,lll:::,;;l:l,i:]l rr \r' - ' l,l;;,:!;: iur rrr :1,:: O pHrn.rn,.(.r, ,l; l'or',o,.¡,tln prr.lri.rrll se rrur,\e \( :¡lljrni. ,l¡rri Jlr re¡,¡,.¡,,n del ,.rr,.r.¡r,,crr un nla¡r,r dt[errllin:,r],, ,,1r.,,j,,1,,r,1" ,,,, _; fi¡; (r¡¡rd,',
es
r.,' ¡l
pr¡n1,,
rn tntx;itttiento
:]. \t,a
plano.
il,ti, t,tt,, pltut,t
!nctitl llrrr llrr¡r.l¡or oltrA tit)r,\ (lr I n\¡ r'¡rcnlu l,)t, ro csl,, cs. troüt¡rjr.lrtI\.,tr Jo,,.|l ¡1l.\ ina.^ 1,,. U(utits n, ti. Ir.l)o \c rlrur_\,.n j.n "-,,._ p,rrl¡lelur. f u,,t,¡1,i"l¡,l,rrro. üo\iiuiento piarro que l¡o es m ur¡a rot¿ción Dl.,na tr¿islacirit
;t ;"lJ ::;;
;:
l'"il,tll'l
i.lil,i,l l;i ll..;
:li
_
l
j:
li
iiiJ,;
15.1
15.s 15.4
Rotacidn alrededor de un eje fijo rcuactones que definen la rotación de un cuerpo flgjdo alrededor de un e¡e fiio 15.5 l\4ovimiento plano general 15.6 Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento olano 15.7 Centro de rotación instanláneo en el movim¡ento plano 15.8 Aceleraciones absoluta v relative en el movim¡ento plano 15.9 Análisis del movimiento olano en terminos de un parámetio 15.1 0 Razón de cambio de un vector con respecto a un sistema de 15.1
¿,)
Figura
Rud¿,r,d¿,,(Jo
l,) Ba¡¿ cor¡c(tiz¡
lntroducción Traslación
1
referencia en rotación Movim¡ento plano de una partícula relat¡va a un sistema de referenc¡a en rotac¡ón.
Aceleración de Cor¡ol¡s
15_s
15.12 Movimiento alrededor de
1,
lltx;it¡tientL¡ aLr¿:clctlor dc
:il;;:,:':fi riig,,.'" ís.or, punto fijo.
i
u pLúLto.fijo. El rnovirricnto tr.irli_ # ,,1:;l: i'*''l',"''ii'1 " '' r' 'i" i:'i" o ." ";;;;:: ::,il ii :';i:"::J1,il:li¡:l,jy;';
*
\.!::^iut¡¡'ul" ¿,,t, rol. L rrLlrior rrorirrierrlrr
I.rcto ¡lllr tjo n lri¡ ,.n l,jnqItrjl'le r'Ot¡(rcc I.ul,r, l¡lOr j¡lrienl. ge¡lcr¡¡1.
rl¡ ¡,,
punto fijo
un
15.13 Mov¡miento general
'15.14 Mov¡miento tridimens¡onal de una
partícula con respecto a un sistema de referencia en rotac¡on. Aceleración de Coriolis '15.15 S¡stema de referencia en movimiento general
r_¡cr.1,o d.
hs ,.;rl, g,,n.rs ,rnlnrioi.o. r.]
l)cspuc
r¡r brcv¡¡ ¿¡¡61¡5i5 cn Ia secciór 15.2 tlel movimier¡to Lr seccirjr l5.3 sc,.onsirlera f,, -,,,,'¡¡,, ,f.',',.',1,'," l.l:il ll" riio S. d.fi¡ i,.j t,,,,,ti.),i,,),i'),,,"li,i,,i,,lipll, ,,,,.i,. t.,tr.tr, - l':dl!,:ld.' ott:ttt4t. dF llr, (.l¡,.r.Tro r.íqi,lo:rlr, J,.clor ¿,,,,, ,iii;io i"l Lr,r, f,u.itl,,,t) 1,, ,¡cet.ru,.j
_
1,rr¡u Fnqr¿rcs. Licla. \'\,rill.r¡,. ,.orreclr¡J6s ¡e¡,;;'¿,. ;"r,h, \',le1e¡¡pe¡,.¡p¡ r,,orir,,jerrl,, d. rrnu ¡Jf"," ¡lar,o : .i r.tación (secciones 15.5 v t16¡ ""1,", ir,liiJl., ,.
:'r R de,la placa comt¡
I¿r
"{r;r;..'';;;bl*f"i,ül*, suíla.cle l¿ r,elocidad clc un punto de relé_
t-,:.ir.,iiilit:ii":l:ü1".:i,fi
F¡gura 1S.6
::,:":*lÍ:*;:li:irul:;r
i:,rrl,'rrrrienlo sc utiliza nosl.rio¡nenl"
.cjór, l;..., ;;, :^ '.-I,r ¿celer¡r'iór, ,l* A, n'r¿r,ni,,,^ "n 1,, .l J. i, ..,"l.,.,rr,r,lli";l :,_ ] [i:l - . Je t, rellhv¡r I ur sjslemr rjc reler,,nli;¡
'
g¡¡e se t¡rrsjrdrr rr¡n,,1
917
\ 918
Cinemática de cuerpos rígidos
Un método alternaüvo para el anrálisis de velocidades en movimien-
to plano, basado en el concepto de centro instantáneo d,e rotaci,ón, se proporciona en la sección 15.7; e incluso otro método de an¡ilisis, basado en el uso de expresiones paramétricas para las coordenadas de un punto dado, se presenta en Ia sección 15.9. El moümiento de una partícula relativo a un sistema de referencia en rotación y el concepto de aceleración de Coriolis se estudian en las secciones 15.10 y 15.11, y los resultados que se obtienen se aplican
al análisis del movimiento plano de mecanismos que contienen partes que deslizan entre sí. La parte restante del capítulo se deüca aI análisis del moümiento en tres dimensiones de un cuerpo ígido, a sabe¡ el movimiento de un cuerpo rígido como un punto fijo y el movimiento general de un cuerpo rígido, En las secciones 15.12 y 15.f3 se utiliza un sistema de referencia fijo o sistema de referencia en traslación para realizar este análisis; en las secciones 15,14 y 15.15 seri considerado el moümiento del cuerpo relativo a1 sistema de referencia en rotación o a un sistena de referencia en movimiento general, y se volverá a usar el concepto de aceleración de Coriolis.
L
dl
!i
E
tr
r¡I
n
1!
a
15.2. TRASLACIÓN
Considere un cuer?o ígido en traslación (ya sea rectilínea o cun ilínea), y deje que A y B sean cualesquiera dos de sus patículas (figura 15.7a). N denotar, respectivamente, por r¿ y rs los vectores de posición de A y B con respecto a un sistema de ¡eferencia fijo y me&ante rBlA a.l vector que une a A y B, se escribe
rB:rA+ÍB/A Se diferencia esta relación con respecto a
P
re
cir
to
l¡r
(15.1)
f. Hay que resaltar que
de
la definición pura de traslación, el vector rBlA debe mantener una dirección constante; su magnitud también debe ser constante, ya que A
p,(
cn
\?
de
si(
Pa
do
ra Af
dor
lo(
de,
rlto\'llrreni7ción,
se
\
B peftenecen al misnro cuerpo rígido. De tal modo, la derivada de es cero y Se tiene
15.3. Rotación alrededor de un eje
rsl1
r1álisis, b¿
vB:vA
-,:l¿s de un
i.
refcren-
-.:[cli¿ el
\l
diferenciar una vez más, se escribe
.e aplictur
át:: L.c
: eli partes
.isterr.
¿r
dE
.-Jiz¿r estr rr'ro\irttien¿1 Llll 5it-
i.l cl cor,-
;
pun_tos
l_
.l-¡ ij¡::'.::rc¡:11.,.:.:'
ii , -::,r 1l:. ..
: ar r ]]1.r ---
: \-t :lr:. .-,
dnl
cue:o tienen lu ntkmít oela¿idad q la misma aceleracitin
crnlquier instante rlrrl,' (hgur:a I5.7b y r:). En ei caso de tra,slación curhne¡. la velc¡cidad y Ia acelemción carnbian en dirección, así como el :rLrrqnitud, en cada instmte. En el c¿rso de tr¿islación rectilínea, todas l¿u t
'::rtículas del cuerpo se mueven a lo largo de hneas rectrs puralelzs, y su rlocid.rd y aceleración se mantienen en l¿¡ rnism¡ dirección dur¿ntc el
:rro\iniento
,5,3.
: ,r Crll-\:
(15.3)
En consecuencia, aundo un arcryo rígtdo está en tnakrjón, todos
:rio\ir]lien:::rielrto clt ,.:41 de ril-,
(15.2)
colr.
pleto.
ROTACIÓN ALREDEDOB DE UN EJE FIJO
, rnsidere un cuer?o rígidr.r que gira alrededor de un eje fijo .,L{,. Sea -: ,rn prlto.del cuerpo y r su vector de posición con reipecto a un sis-lLa de lefe¡encia fijo. Por conveniencia, se supone qué el sistel.ra de :.:é¡encia está centr¿do en el punto O sohre AA'y que el eje: colnle con AA' (figura 15.8). Sea B l.r ¡royecci
r:urrrdoporryAA'. Lr posición de P y Jel cuerpo completo está de{inida totalmente - e ángulo 0 qrre forrrr.r la líner BP con cl :r. El pLno 0 se ¡larro
:roce como ct¡onlenado angular dcl cueryo y se delirre comr, positi. cuando se ve en sentido contrario ¿i de las manecill¡r del relo¡ des :- t'. La coordenada algulir se expresará en radianes (rad) o, u"o :: nes, en grados (") o revoluciones (rev). Recuérdese que "n
I
rev
-
2t¡ rad
:
360"
Recuérdese de la sección 11.9 que Ia velocidad v - dr/dt de unzL un vector tangente a l¿ tayectoia de p y de magnitud : ds/J¡. dl observar que la longitud As del arco descito po, p "r.,u,.r-l cuerpo girrr un ángulo A0 es
: -rtícula, P es
As
i-
,i
:
(Bp),Ap
(r sen
@) A0
cLiridir ambos miembros entr.e At, se obtiene en el límite. cuando
iende a cero.
ds
dt
:
:
-
r0 sen
(15.1)
I de¡ota la derivad¿ en el tiempo de 0. (Advierta que el ángur depend: de la posición de P dentro del cuerpo, pero q.,e la raz'ón :- c¿r¡rbio 0 es en sí misma independiente de p.)La concluisión es que :,de
Figura '15,8
frjo 919
920
cinemática de cuerpos rÍgidos
la velocidad v de P es uú vector perpendicular al plano que contiene a AA' y r. y de magnitud o definida-por (15.4). Pero est¿ es precisamente el resultado que se obtendía al übujar un vector ¿¿ :0k a lo Iargo- de AA' y se formara el producto vectorial <¿ x r (tigura 15.9). EnLonces se escribe
3
:{ i i
',i
dr
(l)Xr
(r5.5
a¡:¿ok-rik
(r5.6
¿r.
El vector
Figura 15.9
que está dirigido a lo largo del eje de rotación se denomina la oel..-'rdad angular del cueryo y es igual en magnitud a la razón de cambío I de l¿ coo¡denada angular; su sentido puede obtenerse mediante la ft.gla de la mano derecha (sección 3.6) con base en el sentido de rot¿c-i¡tu del cuerpo.l La aceleración a de la partícula P se determinará a continuaciir: Al diferenciar (15.5) y recordar la regla de diferenciación de un pr ducto vectorial (sección 11.10), se escribe
dvd :
^ dt ,it'- "' : da ¿t "+ ax
!! E
dr
q
dt
da¡ -ffxr+z,oxv
L i;
(75 7
EI vector'io/rtt se denota mediante c y se denomina rr celeración angrlar del cuerpo. Al sustituir t¡mbien v de r 15.5r. se tjene
a:aXr+arX(rrrxr) 15,1 Para el engrane central rotatorio alrededor del eje tijo, la velocidad y la aceletación angulares de ese engrane son vectores dirig¡dos a lo largo del eje de rotacjón vert¡cal. Fotografía
(15.6
Al diferenciar (15.6) y recordar que k es constante en magnitud y di, rección. se tiene
,.t
a:ak:ók:9k
(rs.9
De tal modo, la aceleración angul¿r de un cuerpo que gúa alrededor de un eje ffjo es un vector dirigido a 1o largo de1 eje de rotación, y es igual en magnitud a la tasa de cambio ¡ir de la velocidad angular. Volviendo r (15.8), observe que la aceleración de P es la suma de dos vectores. El primer vector es igual aJ producto vectorial a X r; es tangente al círculo descrito por P y, por lo tanto, representa la componente t¿ngencial de la ac* leración. El segundo vector es igual al produao tríple aectoríal (rnirto iL tres Dectores) ¿d x (
¡
d E
Lr flr '1,
-,rt¡
il
Botación de una placa represenlativa. La rotación de un cuer_ po rígido alrededor de un eje ffjo puede de{inirse meüante el movimien-
to de una placa representativa en un plano de referencia perpendicular al eje.de rotación. Se elige el plano rr,, como el plano de r-efeiencia y se supone que coincide con el plano de la figura, con el eje r. apuntando hacia fuera del papel (figura 15.10). Al recórdar de (15,é) qd
:
Figura 15,10
nota que un valor positivo del escalar r.r corresponde a una rotación en el sentido contrado al de las manecillas del reloj de la placa representativa, y un valor negativo a una rotación en el sentido-de las iranecinas del reloj. Al sustituir ork por ¿r¡ en la ecuación (15.5), se expresa la relocidad de cualqüer punto P dado de Ia placa como
v=¿¿kxr ?uesto-que los vectores k y nitud de la velocidad v es
r
(15.10)
son mutuamente perpendiculares, la mag-
(15.10') y su dirección puede obtenerse al girar r 90. en el sentido de roi¿ción \' de Ia ak en la ecuación (15.8) y obsewar quo . . Al. sustituir ar rl,k_y el doble producto cmz de r por k origina una rotación dá Ig0. del.vlctor r, se e\T)resa la aceleración del punto P como
placa.
:
a:
a:akxr-o9. AJ, descomponer
a en
las componentes tangencial
(15.11)
y normal
(figura
(
15.1r',)
15.11), se escribe
ar:akx r 2.n: -a2r
at=rtt ar- ra\
La componente tangencial a¿.apunta en la dirección contraria a la del movirriento de las manecillas del reloj si. el escalar a es positivo, y en la dirección del movimiento de las mánecillas del reloi si a es neqativo. T ¿ ¿61¡ps¡6¡L normal a, siempre apunta en la dirección opu'esta a la de r, esto es, hacia O.
15.3. Rotación alrededor de un eje
fijo 921
a fenrática rle cucrpos r!l dos
15.4" ECI,.}ACIONES QUE DEFI¡{EN LA HOTACION
DE UN CUERPO RiGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO qlre se cor?oc¿ cl nor.iuicrto clc un cucrpo rígiclo quc: gir.r ur eie fiio AA'cutrclo sn crxrrtlerrtda iingrlar'0 puc-tle c\pr-cs¿rrse corro lur¿r fr¡rciti¡ colocicl¿r clc /. Sin cmbnrgo, eu lii pr.,. ticr la rcit¿ciól de rrn cuorpo rígido rLrla vez se clefine mediantc rr: lel¿rción cntrc 0 l f. (loll rriwor frecuencia. l¿s conclicioles de rr¡¡ rniento se especificanin tl. edi¿rr.itc cl tipo cle ¿rceler'¿cirin angular.r1L.. posetr el cricrpo. Por cjcrnplo, es ¡, 'sil,l" qre n se d,i c(mo urlii lir , ciór cle ¡, conlo lull hurció¡ de 0 o cr¡no u¡¿r fulciól cle ¿.r. Al recor
Se afirrr
¿l
ah'edeclol de
rl¿rr l¡rs rel¿rciones
(ló.6) v (15.9), se escril¡e d0
da rl.t
(r5.r1
(120
(15.1:l
d.t2
o, ¿l despc'jar (15.12J dl v sustitrdl en (15.13),
da ,
(15. r 1
te
Puesto r¡re (ist¿s ccrraciones sc¡r sil¡ilirres :r las quc. sc obtuvieron en el ciipítulo 11 para cl llo\''iDricnto lcctilíneo de urra piLltículii, su inte gración puede efectuirlse sigriielclo el procedirrierto descrito cn la scc-
citir I l.ll. (ion ñ-ccuenci¿r se eücuerrtriur (los
l.
c¿sos particul:ues clc lotación:
Rotoción unifontu:. Estc c¿so se c¿r¿cterizii prir e1 hecho de rlue la ageleracitir artlirl¿r es cero. Colsecrrt'rrtcrnc¡te, la ¿rce Ieración argultu es constantc, v la coordenada arrgrrlar estli da da por la f órmull
0-0¡'lat 2.
(15.15
Rotut:itin ¿r:clet'odrL uúl:onnennntc. En este c¿so. la acelern ciól irngulal cs constante. Las siguicnies fórlulas quc telacio n¿l la vekrcid¿d argular, 1tr cooralenada algrlar I' el tienrpo pnecletr obtenelse enlonccs de tr ¿rlerl sjrniltrr a la quc se des cribc cr la secciól ILs. La sintilitud crrtrc ]¿rs fór.ul ¿s dei vaclas arluí y aquellns obtcniclas pilla el rnorirniento rectilíneo unilolliierircnlc accler'¿1do rle una partículn es manifiestir.
0:0¡ia1.fi!at) .t: Fotografía 15.2 S el rollo inferior llene una .: :a cad ang! ar constante, a veocidad del ::,:: 3ue se está enrollando sobre él aumenta
:,a^1.
ir-
se incrementa el radio del ro\lo.
ot?,
+
2ot(0
-
(15. r 6l
0i)
Debe sulrrryarse que Ia fórrrula (15.15) sólo se rrsiL cuando a:0, r, l¿s fórlirulas (15.16) sólo cu¿rrtlo a : colistatte. En cualquier otro caso, deben elrp\r:nrse \¡s fórmr as gcnc,-a\es (Ió.I2) t (15.fa).
l
PROBLEI\fA RESUELTO 15.1 jile gila
L:r carga B sc conect¿L a un¿ polet cl¡¡ble nrcdi¿rnte urrr¡ de los cal¡les inexiensibles r¡re se lltuestr'¿ll. El molintjcnto cle la polea se cr¡ntrola lnediante el c¿ble C, el crr¿l tie¡c un¿¡ ¿cele¡ación const¿nte dc 9 i¡./s2 _r, ula veloci (1.¡d ir,i, ii,l rl¡ ll ir. s.;rlrl,:s Jiridrl.'' lr'¡, i.¡ I.r,l¡r¡t1,.,. tr-r, n,,j ,-¿ el rrmero dc Lcw)hrciones rjecutaclirs por Ja polca er 2 s, b) ln vek)cid¿1cl y c,l carn bio el la posición de J:r calga B clcspués de 2 s, y c) la acclcr.ación clel pulto .l) sr¡bre el lnrde dc la polea irtern¿l cu¿l¡.lo 1 : 0.
i
Puecle .r lr-¿lc irta tnl ¡1
i: lllo\i_rl¡¡ aJre :.:i,r fiut-
15.11
SOLUCIÓN
a) l\lovinricrrto rle lt ¡rolc:r, Puesto quc el c¿rble es incrtcnsible, l¿r veiocidad del prrnto I) cs igLul a Ja velocidad rle1 ¡unto C ) la cornponente tengcnciiil cle la lceler¿ción cle D es igrral a l¿r ¿rcclcr.acióu dc C. (vr;)o:
(vc[:
]2 in./s
(a.),
=
:
ac'
Al obsc¡r,¿ir que lir distalcia descle D hasta cl celtro
:
9 in./sr >
cle
ll
pole:r es cle 3 irr.,
se escribc (t7¡11
ll
(ar'),
11
Con base e¡
: rr'.r¡ : ,o
g irl.75:
0: : IiLclotl:
(o0
+ df
jot?:
: :
(3 (3
irr.)cu1¡ ar¡:.1 racVs f in.)a a : :l ¡¿cVs2 J
del llori¡ticnto llllifonne elrte i¡ce]er¿do .
l¿rs ecu¿crio¡cs
obtiere,ptral:2s,
.d:
il./s
12
:4
r¿üs + (3 rd/s':)(2 s) = l0 ¡¿üs a¡
:
l0 r;rd/s + ](*g )
s)i: 1.1 r¿cl 0:14ndJ '.arVs:)(z t'' Número de reroltciones : (1 1 ,',l.lrf -1 l.l j rr r I i¡¡ l.t(L, ) =
r,r,¡t
+
(.t. r¿cVs)12 s)
\
, -l,,r cl¡
se
lJ. \,1e(liantc cl rrst¡ cle l¿rs r.el¿rcir¡ncs lile¡l v t:l angulal con r: 5 in., se csc¡ibe rnL:: ra = (5 nr.)(I0 raüs) : 5{) ¡n./s r7; : i0 i ./s J { Lye:r0: (5 in.Xl,t rad) :70 irr. \77;: i0 ir¡. lriLria ¿L¡.r'ilrL {
D) \lo,rinric'ntr¡ dc
Il
/
car.ga
siguielLes cntre cl ¡-iovirniellto
l; l¡ ,1,
c) A<:clclnci<ín tlcl ¡rrrrrto l) cn I = 0, La coniponentc t:rngencial lr,u cler¡ciün er
A
(ar,), Prcsto que,
eD
I:
(ao),,: rDai:
tan
!l
il./s2
>
0, r,lo : rl raüs, la corupo¡elte lronn¿l rle I¿ ¿celelación
r-arVs)r:46;r,.7r:
(3 in.)(4
La magnitud v rli¡ecciót de n¡¡
: ar,:
f:
(48
sel 79.4"
(a¡),,
:48
úr./s: J
l¿r
¿celer.irciór¡ total puetle obtenerse
i
./s2)/(9
:
¿rl
csc¡ibir
i[/s2) ó= 19.4" r4¡ : 48.8 in./s: ¿¡/r - lS. in./sr =d i9 l' <
,18 in./s2
923
I
En est¿r lección se inicia el estudio del moünjento de cuerpos ígidos considelando dos tipos particulares de su moümielrlo'. trctslac)út y rotr¿clór¿ alrededor de w eje fiio.
L (hrcrpo rígitlo en trqslación. En cualquier instante dldo, todos los puntos de un cuerpo r'ígido en trasl¿rción tienen l¿ nisnr¿ rclocítl.ad y la tttLvno rtr:el¿rctciótt lfigura
15.71.
Cuerpo rígiclo r¡ue giro ulrecleclor ile m eje Jijo. La posición de rrn ctrerpo rígido que gira ah'ededor de un eje fi¡o se delinió en crralquier instanie dado rneáitnte la ioorilenacla anguhr 0, que suele medirse e¡ ratlianes Al elegir el vector ulitario k a Io 1.rrgo del eie fllo, de mlnera tal que La rotación del cuerpoaparece elt seltido contrlrio al de l¿rs rnanecill¿rs deJ relrj cualdo se obser¡¡¡r desde la punt:r dc k, se delinió la u-ektcíchcl nngular o y la aceleracíón angl,tr a del cue4;o'
2.
.-Ok
a:Ok
(r5.6, 15.e)
En l¿ solución de probJemrrs, téngase plesente que krs vectoles ar y a estírn djúgidos ambos a lo lalgo del eje fijo de rot¿rción y que su sentido puede obtenerse mediante la regla cle Ia mnno derecha.
a) Lo relocickrcl tle un punro P de un cuerpo que gira alrededor de un eje {ijo se determinó como (15.5) donde o¡ es la velocidad angular del cuer?o y r es el vectol de posición dibuiado desde cualquier punto sobre el eje de rotaciór basta el punto P (figula 15 9)
b) Lo oceleración
a:cXr+<¿x(a¡xr)
(15.8)
Puesto que los productos vectoriales no son conrnutativos, hay que asegtrarse rb escribir los Dectores en el ortl¿n inrlicudo cuando se use cualquiela de las dos ecuaciones anteriores.
3.
R¡¡tacióll. d.e unu plucu Íepresent.ttixu. En muchos problemas se puede reducir el análisis de la rotación de un cuerpo tridimensional aL'ededor de un eje fijo r¡ediante el estudio de la rotación de una plnca represent¿tiva en ul plano perpendicular al eje ffjo. El eje: debe dirigirse a lo largo del eje de rotación y rpuntal hacia fuer¿r del papel. Así, la placa replesentativa gir¿uá en el plano l;r7 alredetlor del origen O del sistema de coorden¿d¿s (ligula 15.10).
Pala resolver problem¿s de este tipo es Decesa¡o
re¿rliz¿rr
lo slguiente;
qüe muestle sus dirrenlos vectores que rensí como la ¿celer¿ciól angular, velocidad angular y siones, su la para los cu¿rles se de placa de los puntos las velocidades y acelelaciones presentan busca inform¿rción. tiene o se
a) Dibu.jar un d.íogruma tle lu placo representatbo
924
\-
b) Relacionar la rotación ile la placa y el mouimiento ile
los puntos cle la
mistna aI escribir las ecuaciones af
D-ra : rc! a,, :
(15.r0') ra2
(15.11',)
Recuerde que la velocidad v y la componente a, de la aceleración de un punto P de la placa son tangentes a la trayectoria circular descrita por ?. Las direcciones de v y ar se encuentran al girar el vector de posición r 90" en el sentido indicado por ú) y c, respecüvamente. La componente normal a, de la aceleración de ? siempre está dirigida hacia el eje de lotación.
1,
Ecuaciones que ilefinen la rotación d.e un cuerpo rígiilo. Es posible que Ie complazca la similitud que existe entle las ecuaciones que definen la rotación de un cuer?o rígido alrededor de un eje fijo lecuaciones (15.12) a la (15.16)l y las del c¿pítulo 11 que definen el movimiento rectilíneo de una partícula lecuaciones (11.1) ¿ (11.8)1. Todo lo que se necesita hacer para obtener un nuevo conjunto de ecuaciones es sustituir 0, a y a por x, o y a en las ecuaciones del capítulo 11.
f
6(r
5.-l El mor.imiento clc rrn ¡otor. se define rnedirnLe l¿¡ relacirin g : lJfr - 2):, donde g sc cxpresa eD radianes v f r:n segurclos. Deter.nline
¿) e¡ qué rromclto lir acele¡¿rciór'r anguJar-es ccro, b) lir cocirdenarla :rrgul:rr r. la relocicl¡d ¿trgi ar'e¡ ese morrclrto.
15.2
El rnor.i¡-iier¡to de rrn
vol¿r¡Le
quc oscila se delinc por neilio
clc
0: 7ac jnt cos 4r¡1, clonclc 0 ie.expresa en r¿rliiirics v t el se gnrrdos. Si 0¡:0.5 rad, dctcnline iir cooldelatl¿r rrngula¡ i:r veiocid¿d ¿ngrrlal v la accleración angr ar del volante cuanilo o) t : O, b) ¿ : 0.125 s. la rcl¿rcirin
Figura P15.2 y P15.3
15.3 El r¡ovi¡riento dc ün volalte que oscil¿r se dr:finc rncdiante la lel¿rción 0 : eú 7T!/6 scn 4¡rf, clonclc 0 sJ ex¡rresa c¡ ra(üares v ¿ en se grn
ft¡¡lenette a) llegre
aJ
¿lceler¿rdo,
determine eJ tiernpo rer¡rericlo
p¿rr.a
que el vol¿ute
leposo, ü) ejecute las prirneras 900 r.cvohrciolles.
15.5 Cuanclo se pone cl opelación, urr úloto]- ¿lc¿1nzd su vclocicl¿rcl rromirrlrl de 2uf(X) rprl clr 4 s v, ¿l desactiv¿lse. t¿¡cla 40 s parl llegar aJ re, poso. Si el üovinierrto es urliforüenrc-ntc acciera,-lu, Jetelrninn ci ¡riure¡ de lcvohrcic¡nes que e-jecut¿ cl lrrotor-¿/) i¡l alcanzar l¿r vclociclad nonil¡rl D)
¡l detelelse.
Figura P15.5
15.6 L¿ ,r'cler:r, iLr'r :¡ngrlrrr dc 'rn volrrle , rleli¡- ¡,,¡1.,,,¡, lelLliúro -30, '".Jnn,l.o se c\Tresrl.rr r.rrls r/err.pg¡¡¡¡lu. \i d: : l¿r velocidad ringular.v Jt coor(lenad.r lin.quiar ¡ o 0 e,¡ I 0, determine : ll
o
partícll:r cuando
15.Z
ci,hd
O.5u,.
f
0.5
s.
L.r'rc, l¡raLidn rng,l:rr do urr
;rrrgrrlar
-j, , delir,. n¡di.nr-
l.r r.-
.c c\ph sa r.r rirtl s- r'o e., r,rJ s. Si , n / -- l':. dp l¡ ll-cl',. Á., .J, 3,r r,',ts. deler,rin, ¡ .' ,,úr c,r,,l-
Jon'|"
cv
,,
\-
-
r.pr -
ltciones que^Ja {1echa ejecut¿r.ir a¡tes de detenerse, D) el tierrpo reque:ri para que. ia, flerha se deterga. c) el tiempo necesario pal¿ qre la veiocicl.:rngulal de la flecli¿ se r-e.luzca en rrn 2 por ciento de.srr r,¿lor i¡icial.
926
15.8 La aceleración angular de un disco oscilante se deffne medianie la ¡elación o : -&á. Deterrnine ¿) el valor de fr para el cual r¡ : 12 ¡ad,/s cu¿ndo d : 0 y 0 : 6 ¡ad cuando a : O, b) Ia áo"ia"a á"f dir-
Problemas
"rg"h.
. 1 5.9 El bloque- rectangular que se muestra gira alrededor de la diagoo¿l OA con velocidad angular constante de 6.76 iaüs. Si la rotación es err rentido cont¡¿rio al de las manecillas del reloj cuando se observa desde A, dete¡mine velocidad y aceleración del punto E en el instante indicado. 15.10 En el problema
15.9, detenirine velocidad
y
aceleración del
Frnto B en el instante mostrado, suponiendo que la velocidad angular es de i..I8 raüs y que disminu¡e a ra¿ón de 5.07 raüs:.
15.11 El ensarnble que se muestra está compuesto por dos varillas y a placa rectangularJCDE soldadas ent¡e sí. El insamúe grra alrededor del eje AB con velocidad angular constante de 10 rad/s. Si la iotación es en ¡e¡tido contrurio a.l de las manecillas del reloj cuando se obseru¿ desde B, dete¡r¡ine velocidad y aceleración par¿ la esquina ¿. un-
Figura P15,11
15.12 En el problema 15.II, dete¡mine velocidad y aceleración nara h esquina C. suponiendo qre la velociüd angllar es de irr rad/s que'disI ninuve a razón de 20
rad./s2
13 La varilla acodada ABCD gira con velocidad a¡gular constante ¡adis-rbededor de unc línea quiune los punLos A y ó. Si el in._ "n veiute considerado lx velocidad de la eiquina C vüacia ar¡ita, determine hcidad y aceleración para la esquina B-. 15.
.t ñ
15,14 En el problema
15.13, dete¡mine velocidad y acele¡ación para
hesqüna B. suponiendo que la velocidad angular lü¡u\ e a razón de 600 r'aüs'.
es
de
i5
rad,,s
y que'üs_ Figura P15,13
15.15
La Tierra completa una revolución alrededor del Sol en 365,24 ñrs._Suponiendo la órbita de la Tierra circular y que tiene radio de 98000000 ui detelmine la velocidad y la aceleración dé 6 Tiena.
927
F
928
Cinemálica de cuerpos rígidos
1 5.1 6 La Tteta completa una revolución sobre su eje en 23 horas 56 minutos. Si el ¡adio medio de la Tier¡a es de 6370 kn, determine la veloci, dad lineal y la aceleración de un punto sobre la superffcie de la Tierra a) en el ecuador, b) en Filadelfia, 40' latitud norte, c) en el Polo Norte.
nz{t taút 12- I
t6( 15.17
Una serie de pequeños cornponentes de máquina se mueven por medio de una banda transportadora que pasa sobre una polea guía de 120 mm de radio. En el instante mostrado. la velocidad del punto A es de 300 mm/s hacia la izquierda y su acele¡ación es de 180 mm/sz a la derecha. Determine ¿¿) la velocidad angular y la aceleración angular de la polea guía, b) la aceleración total de los componentes de la máquina en B.
I lr
zonf
CD¡s
l-r:
dek
i:
nitu(
i'
15.18 Unr serie de pequeños .omponenLes de már¡uina qe mueven mue ¡edio de una banü por medio banda transpo¡tadora transpodadora que pasa sobre sobre una polei'guía polea guía de 190 mm de ¡adio. En el instante most¡ado, la velocidad angular de la polea
I
guía es de 4 radls en el sentido de las r¡anecillas del reloj, Determine la ¿ce-
reloj
leración angular de la polea para la cual la magnitu'd de la aceleración total del componenle de la rnáquina en B es igual a 2400 mm¡s2.
bre
ti
il
Figura P15.17 y P15.18
engn cidad
l
;
15.19
il
La ba¡rda r¡ost¡aü se mueve sin deslizamiento sob¡e dos poleas.
En el instante indicado, lns poleas giran en el sentido de las manecillas del reloj y la velocidad del punto B sobre la ba¡da es de 12 fVs, aurnentando a razón de 96 ft/s. Determine, pala ese instante, a) la velocidad angular y la ace-
I
leración angular de cada polea, b) Ia aceleración del punto P sobre la polea C.
1,' I
1,
eng¡ar
Figura P15.19 y P15.20
üemlx
15.20
La banda que se muestra se mueve sin deslizamiento sobre dos poleas. La polea A parte del reposo con aceleración angular, en el sentido de las mauecillas del reloj. reloi- definida deffnicla mediante la relación o ry : 120 190 0.00fu,¡':. O 0O2¡¡2 donde o se e\presaa en md./sz yv ro t¡ en raüs. ¡ad-/.. Determine, Determine luego lreso de meüa medie re.c volución de la polea A, a) la magnitud nasnitud de Ia aceleración del punto ¡unto B sobre la banda, b) la aceleración del punto P sobre la polea C.
I I
angula
el tien
c,b)L
tacto c
'f5 bles c'o
15,2"1 'ltes bandas se mueven sin deslizamiento sobre dos poleas en el sistema de reducción de velocidad que muestra la figura. El punto A sob¡e la banda de entrada se mueve hacia la de¡echa con velocidad constante de 0.6 m/s. Determine c) la velocidad del punto C sobre la banda de salida, b) la aceleración del punto B sobre la polea de salida,
queBr cia la
i
clnsta¡ que B-
,
te el ini
\ Figura P15.21 y P15.22
15.22
"lres bandas se mueven sin deslizamiento sobre dos poleas en el sistema de reducción de velocidad que muestra la figura. En dl instar¡te mostrado, la velocidad del punto A sob¡e la banda de ent¡ada es de 0.6 m/s hacia la de¡echa, disminuyendo a una tasa de 1.8 m/s2, Determine, para ese instante, ¿) la velocidad y aceleración del punto C sobre la banda de salida b) la aceleración del punto B sobre la polea de salida.
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la itzl ¡ogular (
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Fcto aI'
r ,\ ;rl : i)cI-
15.?3 El arillo
B tienc ul radio interior r., v crrelga de ul¿r flechl lio A en la fo¡nr:r indic¿ida. Si la fleclr.L 1 qirl ..,r, r.,li,.i, Lul uguliLr u,,ns:¿nte ¿,r,r I no ocrrr'tc (leslizaüiento, obtenga uD¿ rel¡ción c¡ tértrrinos de r1, 'i, r:r, )r (¡),1 I ¿) lá velocidacl angLrlar. del alillo B, D) la aceler rción .le los ptrr os de la flecha A y del anillo lJ quc est¿il en corltilcto. dzont¿rl
15.24 El alillo B ticle un r¿dio inleríor.r-2 v crrelgn rle la flecha irod Á e[ la for-nrir r|re se ilclica. L¡ lleclr,r -1 giL.r cc,r, r el,ruirl.rtl lrr¡Llar. ',r.llnlc '1, i5 r':,d ¡. 'ro n, r-rn J,.l z,..ri, rrr,, si , - l.-r i | / i-'¡ l r13 : 3.5 ir., cleterniine a) la relocidad angular del alillo B, l) l¿ accleraciírn i. krs puntos de l¿ flcclia_A l del anillo B r¡re estirn en cont¿1cto, c) l¿ rr¿s
-ontdl
.
:
rtud de
l¿r
acelc¡¡rcitin del ¡lunto soble la stiper.licie cxterio¡ del ¿nillo B.
15.15 Un sislerr¿r de rccluccitjn clc engrancs csti compuesto por-tres rqlales A- /J _r'C. Si cl crrgr-¿le A gir:r en ci scrrticlo cle ]as nranccillas del .Lrj_con lelociilacl ¿rrrguliit co¡tst:1ntc r.l-1 = 600 ry¡t, clc.tcrrtri¡e rz) las ¡elo :d¿des iurgüllres cle los ergrancs B I C, b) l¡ ¿1c;lcr.¿1ci(')r de los prrlos sor'e los e¡grunes B r' (i quc estílr e¡ colt¿cto.
Figurc P15.25 y p15.26
i5.?6 tl¡
sistema de rer}rr,r,irirr de cngrlnes cst:t cornplesto por trcs A. B v C. El errgri¡¡rc ul ilicill st ¡rovittiento desde el r.cpo.so err el rnpo t : 0l gir-:r en cl sentido cle l¿s ¡r¿rnecill¡s del reloj col ,ri,elcr¡ci,¡r .inldr colstalte. Si la velocid¿d angr ar clel engr¿nc u{ e.s de 600 rpnr cl iiernpo ¿ : 2 s, dete¡¡tine ¿) l¿ ¿celcrlción angulal rlc los errgrancs i3 r, lr'¿lnes
I
r
la ace-ler'¿ción rle los purrtos sobre los crlgr-dles B v C qL¡c
.-to crranclo
f:
0.5
s.
e.ü,,
"n "n,i
15.27 Dos bloqrres _r' un:r polc¿1 se unetr ne(lia¡te cueldas ilexte¡tsi.. ctnioinclica la ligu¡a. La vclociclad ¡el¿tivr dcl blocluc A r.especlo irl b1o_
es dc 0_.E l/s h¿lcia la izquicrda en cl tie¡rpo t : 0. ¡, dc 0.+ rn/s lia izr¡rierda cu¿nclo f : 0.25 s. Si l.i ,,ngul.rr rle l.r l)ole,r cs ".*l"r,rci.irr '.itante. encrrenttu.r) la aceleraciórr rrlrtj\.1 ,lÉl bLo,¡r" -1 re,pe,.t,,.rL Lkr B /,) la di\i Lrri L rl're blo,¡r" A r" rn,,",," r",p""tn l..i lilociuc 13 clura¡ "T - rrlcr\.lI(J 0 015 \ .'. ts
:.
Jti
=/=
:l
Figura P15.27 y p15.28
15.2á Dos bloqtes l
un:r polc¿ se unen medi¿rite cuer.alas incrteusi_
-. .ouio_irilica la 1igu1.a. La vclocidad .elaHva del bltx¡re A r.cs1.rc-cto al blo ...8 es dc 0-!l m/s hacil la izquierda en cl tiempo f : 0, r de b.45 r¡/s h¿ . la izc¡rierda
¡recli¿r
revolucirjn de. ln poiea.-Si l.r actlc¡acjol
:,rlr cle l¿ polea es corst¿lrtc, ercuentre .r) l¿r acelir¡ción r.cl¿rtiva clel blr : { rcspecto al bloquc B, b) Ia distanci:r que el bloque A se rnrle\€ rcs-to
aJ
bloc¡re B durarte el i¡fen,¿rlo 0 < f
=
0.3
s.
Prob
emas g2g
930
Cinemática de cuenos rígidos
15.29 Ura polea y dos bloques se conectan mediante cuerdas inerten ., . srores como lndlca la hgura. La carga A üene acele¡ación constante de l0 in./se y \ elocjdad inicial de 8 in./s. ¿m bas dirigidas hacia r-rriba. Detennine ¿ cl
,
I
nú_
rnero de revoluciones ejecutrdas por La"polea en.t s. b, l" *iu"lJJ v oori"¡on de.t¡ carga d dcs¡ues de 3 s. rr lir aceleracidn del punto D sobre l"
poleaen, =
"í*o
0.
d"
Figura P15.29 y p15.30
15.30 Una polea y dos bloques se conectan mediante cuerdas inex_ tersibl,.s como indica la figura. Lá polea pale dorde el ¡eposo i-- u , sc aceter¡ a unt razón r¡niforme de 2.4 radls2 en el "n moneci_ sentiJó de las llas. del reloj. En r : 4 s, deten¡ine 1a uelo"idad y posiciO" ai"'rl i" A. b) la carga B. "".g" 15.31
Dos üscos de fricción A y B se pondrán en contacto sin desli_
zl¡¡ienlo crtando
l¿ rrlor.idad angularr del disio A seu de Z¿O
,pr¡
serrU_
do con¿rario al de las manecill¡s del reloj. El disr.o A "n empieza su ,noün,ien_ to desde el.reposo en ..l tier npo / - 0 y se le impri me un. 1."1".r"¡Jn ¡rr. conslantc de rnagnrtud c. El üsco B parte d.i reposo en ¿ _ 2 s Le"nnu lSilr_ parte una,r(elerición angular consLarite en el sentido ¿" 1". ,uí""¡ a"l reroJ., ramoli"n dc magnitud d. Detcrrrrine ", a' la magnitud de la acele¡acio¡ angular o reLluerida. ó\ el tiempo al cual ocurre el iontacto.
Figura P15.31 y p15.32
5.32 Dos discos de fricción A y B se ponen en contacto ,bcidad .f cuando la ve_ angular del disco A es de 240'rpn il;;" neciJlas del reJoj y el disco g está en rep^oro. "i,"r,ij" """i.J" Stgu" ,r. p".ioáo ;;;-*;;;i", to r
.el
disco
B completa dos ¡evoluciones antes de alcanz¿r. su velocidad
Si la.acgleracicin argulu.cte
T^:l]1 1Id mente proporcional
¿sco
"ilL;;;;"
"u¿* cubo de srr ¡adio. deler¡nine r,".lo ,,nn'u1", de c¿da disco. br el riempo durr.rrc _l .,,J1.; .lr',.;;." "".1"r,,"i¿n "' ,' Lrl
ü;;;.'"
15.33
Una corede¡a cle,fricción co¡rsiste en dos
lig;
1ÍÍÍ_-3.: sentido co¡trario
fricci,in
r.srran con libert¿d :r 800 rpn en l*1t'de de las m¿necillas {dálI r.lü ;;,ñ;;;
¿rl
p::r io, d. r, ; ;; ;.ü;;;;;:"i J;[]¿ j :,i'J:: :: j:'[:"il;""# ::,: 75.rpnr m .",,tido -------'" Jj; ¡qr '- uv il;";;:",ü;l'"i." l:1"1y ""g"1-.*" 'rdr¡Eu'ra¡ ucr reloj. deter'rine a) la acelÉ¡ación anorlla¡ "o,,t,-io de cada¡rreda durante el periodo ¡-.ti-"_r^-,^ &) L\ el , ^r tiempo -en !"¡ u u"to"i¿J;suüil; h ilH:: de 1::11'T"".' ." igual a cero. "r Una cinta para grabar señales de teleüsión se rebobina en un que.gira con uetocidnd anguhr coñ""i" To""t*Ortlora Iii]: mcounte r el radio dcl can.cte *. i, * uerora en cualquieriempo dndo v cJn b el derire una p.,o ia urrrta i aproxlnlarse ¿l carrete. "*p,.sion "cJ.."iá"'q*i""J.¡ u -115;35. o:
,
l,.jljli 1",]::lljl
F¡gura Pf5.3S
Problemas
931
932
*15,36
Cinemática de cuerpos rísidos
En un proceso de impresión continuo las prensas tiran del papel con rapidez constante o. Si se denota mediante r el radio del roüllo de papel en cualquier tiempo dado y con b el espesor del papel, obtenga una expresión para la acelelación angular del rollo de papel.
,rl
Figura P'l5.36
15.5. MOVIMIENTO PLANO GENERAL Tal como se indicó en la sección 15.1, el noümiento plano general es un movimiento plano que no es ni una traslación ni una rotación. Sin embargo, como se verá, un nnDlmiento plano general síempre puedt considerarse comn la suma (le una traslación y una rctación. Considere, por ejemplo, una r-ueda que gira sobre una pista recta (figura 15,12). A lo largo de cierto intervalo, dos puntos dados A y B se habrán moüdo, respectivamente, desde A1 hastaA2 y desde 81 hasta 82. El misn.ro resultado podría obtenerse neüante una traslación que llevaría a A y a B hacia A2y Bi (la lÍnea AB se mantiene vertical), seguida por una rotación alrededor de A que llevaría a B a 82, Aunque el movimiento de giro oúginal üfiere de la combinación de traslación y rotación cuando estos rnovimientos se toÍran en forma sucesiva, el movimiento orlginal puede duplicarse de manera exacta mediante un¿ combinación de traslación y rotación sinultáneas. Otro ejemplo de movimiento plano Io proporciona la {igura 15.13. la cual representa una varilla cuyos eltremos se deslizan a lo largo de una pista holizontal y una vertical, respectivaÍiente. Este mo\rimiento
Frgt
pue rot¿
reat
d"q
tatir
plat \€tr
e]c
Pan
una
Br
---9.-/'1" lt
¡t
laür
+
-l( ma
sult
Moümiento plano
F¡gura 15.12
+
.ígr aur Rotación álrede{lor de A
ción
úcu
ArF-lAr
Ai
\lo\imiento pl¿no
l=+lAq
T¡aslación con
A
a)
B1
_I -82
Arl----NAr
Uo\imiento plano
Tr¿slación con B
Rotación alrededor .le u
b)
t5.13
sustituirse por una traslación en una dirección horizontal y una (figura 15,l3a) n alrededor de A (ligura 15,13a) o por una traslación en una di-
=:ión rción vertical y una rotación
al¡ededor de B (figura 15.13E). En el caso general de movimiento plano se consideró un pequerio _ &q azamiento que lleva a dos partículas A y B de una placa répresenItirz, respectivamente, de Al y Br a A2 y 82 (figura 15.14). Este des¡rbzamiento puede dividirse en dos partes: en una, las partículas se mueren hacia ,{2 y Bi mientras Ia línea AB mantiene la misma dirección; en el otro, B se mueve hacia 82 mientras A perrnanece fijo. La primera prte del movimiento es claramente ura traslación y la segunda parte rrrra rctación alrededor de A. Si se recuerda de Ia sección 1l.12la deffnición de moümiento relativo de una partícula con respecto a un sistema de referencia móvil que se opone a su movimiento absoluto con respecto a un siste-1o ma de referencia ffjo- es posible enunciar del modó síguiente el resultado que se obtuvo antes: dadas dos partículas A y B de una placa úgida en movimiento plano, eI movimiento relativo de B con respecto a un sistema de referencia unido a A y de orientación fija es una rotación. Para un obsewador que se mueve con A, pero que no gira, la parlcula B parecerá describir un arco de un círculo centrado én A.
FiEura 15.14
ii i
li ,ti
ii i
i .t
i
934
cinemática de cueQos rígidos
15.6. VELOCIDAD ABSOLUTA Y VELOCIDAD RELATIVA
EN EL MOVIMIENTO PLANO En la sección anterior se analizó que cualquier- rrovinriento plano de una pluca pued" *er reetnplazad,t por una lraslación defirÚdr nedia¡te el-movimiento de un ¡.,nto d. t'eferenci¿r ¿rbitrario A y unlr rot¿1ción simultánea ¿lrededor dd A. La velocidad absoluta v6 de una partículrr B de la cadena se obtiene de la fórmula de velocid¿d relativa que se oht¡rvo en la sección 11.12,
vB-rJA+VB/A
(15.
r;
Mo\ir
Figura 15.
donde el miembro de l¿ mano derecha representa uná suna vectorial' La velocidad va corresponde a la traslación de la placa con- A, mientras que la velocidad reiativa v¡7¡ se ¿socia con la rot¿ción de la placa en toino a A y se mide cou respecto a ejes genttados en A de orientr ciór llia (figuia I5.15). \l denolal rnedianl' 167 1 el veclor de posición de Ii ielatiio a A. )' pol c,¡k la velocidad angular de la placa con respecto a los ejes de oientación fija, se tiene ile (f5 10) y (15 10')
yB/L: (,kX tB/A
DB/A: r0)
(15.1S
El rn rencia. Al
uná rotac
ción
que se re y vB/A i(
to, el sen
que se ha
el diagrar
Movirnietto plano
'frlldáción con
A
+
ltotación ¿lrededo¡ de A
-1
F¡gura 15.'15
donderesladistanciadeAaB sustituyendo v¡7¿ de (15 18)en(15 1' también se puede escribir
vs : v¡ * l,lkX rp¡¡
(15.1;'
Movi¡ Figura 15.
ñ
o ejemplo, se necesita considerar otra vez la varilla AB de la sura 15.13. Suoóniertdo que se conoce la velocidad va del extremo A' se la velácidad v¡ del ertreno B y la velocidad angul;r iropolt" "n"oltt.", L die la varilla, er'r ténninos de la velocidad va, la longitud I y el ángulo g, Al elegir A como un punto de referencia, se erT)resa que el movimien-"es equivalente a la trasl¿ción con A y una rotación- simultáne¿ to dado alrededor de A (figura 15.16). La velocidad absoluta de B debe enton ces ser igual a la sum¿r vectorial ConT
yB:
vA + vB/A
(15.17)
direcció¡ de YBIA, su magnfud ¡(, compélsa por el hecho- de que esto se embargo, es descon-ocida. Sin
Advierta que mientms se conozca la
se conoce la di¡ección vs. Por lo tanto, es posible completar el diagrama de Ia ffgura 15.16. Al despejar las magnitudes de o¡ y to se escritr
DB-xAIan0
a:
DA lJlt/A : I lcos0
(15.r9
.Pori
rotación i En ambo
te result¿ qu.e es
la
u
indepe
Lan
partes mr
meüante
siderandr
Ios puntc
absoluta lisis simil to tambi{ cuando u locidad n se las sec
15.6. Velocidad absotuta y velociclad retativá en et movjmje¡io plano
É\
I
//l Movir¡i()rto
.\ iIt,)r pl¿r¡ro
Itot¿ciór ¿lredcdor de
Figura t5.f6
,,{
El misuro ¡esultado se obtiene utilizürdo B cuuo un punto dc r.efé_ rencia. Al descornponer el rnoürniento d¿ulo en ,."ri"iolr ._, y ur¿t lot¿rció¡r simultáne¿r ¿Lhedeclor dc lJ (figura 15.17), sc es"¡b" i"
i
"".
tiou
"",,u-
vA:v¡+I/A/¿
(15 20)
'ltte se reproscnla de rnrnur¿ gr.ilica
\ ra,r
Lient,.n I,a
nri*¡ra ¡nr{r¡itud
.o. r'r scnndo de
lue.sÉ hd elegido
la figrr,r 15. 17. \ott.out.v r- "¡ p, - ."i,1ij., ip,i"r,r" ,"]] i,lj""
tr \clo{.idr¡d relrrtjra cl,.Penrl. del punlo,ln r,,lérr..lr,.i,r
) e,5 ncces¿rio determinarlo tle ' rl|lgrillnl i¡pr,,pi:rcto ligrrrr 15. lti "inlr"." "ui¿-,,¿rn o li. li7.
""
'it'. t \\\ |-á-'.''t\\l t,,
+ \" Movirniento
Figura 15.17
¡lano
=
Tr¡sl¿ció cor
I] B
+
Rot¿ción ahcdcdor de
B
Pol riltir¡o..obscrve que la r elrcid¿rcl angulir ro de la varill¿ en srr , rotd(roD alrededor dc ts es l¿ lrisma rltre e[ su rot¿ciól en torlo ¿r A. Er anbos casr¡s se mide medi¿nte h razci, d" á;l ;;;i;;.;, rc resr¡lLld,' es basl¡rrlc qer.ral: llnto."",rbi; se
¡.1," r,.".? oi*.,,," I,o¡.h) ,: n,nput,rr.a rL un ,.u/qn n.¿iJ, ,,tt n,uuítnü.rr,, pl,,,,o lti :..,.:i:*,:, ''.* tDn¡'pctñtt ntt rl?t pu lt,,l, rc[,.r¿n,.íl
jos rnecanislnos La rnrryoría no cotrstslen r,n l¡rl sino cntlri/ts '1" partes móüles. Cuando las distintas pades d" .rn _"";;;J;;".;;r"r, r¡ediante pasadores, el análisis dr:l riecanis'io ;r, ;,r;¿. ;;;; .idtsrando cadl t1,ln^ ull
cr¡r..rp() rígidrr t,.'rri.ndo liulr. ",, ",,",,,, nr. dondc sc rrnerr J,,s pari.s del,*¡ fcnFr l¡ ris¡n¡ ,,,lo..ij,,rl Yt lrlro. a,rr, irsn el problem,L rcs¡¡elto 15.3 . Es uli]izlr urr :rnj,lDslttf ¡usil,l* Ds¡s itrnrtar cuJndo intclvierlen enq.anes, ya qué los dientes
en coDtac-
to t¿übiérl deben tener la mis,,.l ,r"lo"i
se las seccioDes J5.10
¡
en cuenta (véan-
15.11).
\.r\ =
v, + \,.1/¡r
935
PROBLEMA BESUELTO 15.2
6=l00mm
remallera eslacionaria inEl engran" doble que se muestta ruedl sobre una ' hacia la derecha Dei-.r:i" t"ü"1¿"i ¿e \u ccrrtro { es I 2 m/( dirig:da de la cremavelocidades ,"t-i""11 ü ta*t
SOLUCIÓN
* a) \¡elocidad nngular clel engrrtne' Puestogue el engran: ,T:11 crqrn a,la igual distancia inferiór, su centro A se mueve u]-la
bre la cremaller¿r
cada rcvolucicjn conrpletr del engrane Al oDsenar 0\ el en A sc mu"ve hacia la derecbu r¡q """'¿" l4< cscribe 0r' se .""ítd-o- Je las ,nan"cillus del reloj
i.,"r'r.ia e'rt"rior'l¡rr'¡ por
)
;,. it"t - r; ñ t'í* lr:*. j " "" "r
# =+
ra--r1o
los v¿lores conocidos o¡ Al dife¡eDciar con resPecto al tiempo t y- sustituir : se obtiene : m' 0150 150 mi¡ 1.2 m/s y 11 1)17
=
-r¡@
1.2
-7, = -(0.150
t)'-
=
:
iu=:-l¡TY*,,U
¡punra haci'r fuera .deJ papel donde k e, un \ Pcior que en dos lrl V.t.r.ftu¿.s. 'EI irovimiento de ¡odamiinto se transforma alrotación una Ay centro el con ttutto"ion -"#*;;;;;;;llnt"r, En h .,,t" sc mueengrue del los punros todos l¡r'lacicin ."á"á"t á"1 """,á ^. v¡ En la rotació¡ cada punto P del engrane se ven con Ia misrla velocidad ula u"lo"idad relativa v¿7^ : c"k x r¡l¡' donde A
rrr"# "i."á"á'"t ¿" -,r rpl¡! es el vector de posición
Traslación
de P relativo a A
Rotacióú
+
=
Movimiento de rodamiento
de la cremallera Yelociclad de Ia cre¡nallera superior' La velocidad escribe B: se superior es igual a Ja r elocidad del punfo
\A" -vB=vA
-
=
,J.z
-\B
-r.,i
(1.2 m/s)i
+
A
=vn r4k X r¿
a
{8 raüs'k x ¡0100 m)j (0.8 m¡s)i = (2 mA)i
vn=2lrls-+
Yelobidad del Punto D.
vD " -v/\- vDA--vA1(!)kxrDA -_ r i.Z *ls)¡ -_ 18 racLs 'k x r -U I50 nr)i rl.2 nr/sri ¡I.2 rn/s\j v/,
936
__
l.G:j; ,r .
j 15. {
PROBLEMA RESUELTO 15.3 En el mecanismo most¡ado, la manivelaAB tiene un¿ velocidad anÉula¡ cons_ tante eri el sentido de las manecillas del reloj de 2000 ryrr. p"ru iu porl"iOn indicada de la manivela, determine a) la veiocidad -gin", a" i" bi"i^ il, b) la velocidad del pistón p.
soLUCtóN Movimient<¡ de l¿r m¿nivel¿ AB. La r¡anivela AB gira alrededor del punto A. Al expresar (rAB en raüs y escribir tiu : s""obti"rre
".^,
-nu
¿a-I4d I - f\ zooo min/l 'lr)f +tq)f tiO s /\ Ire\./
o¡ = (AB)oo¡ = (3 nr.X209,4 raüs) =
v¡
:
\ 80. de l¿¡ bicl¿ BD,
20e.4 rarirs 629.3 ;o.r,
628.3 in./s
Movimicnto Este movimielto se considera como un rnovir¡iento plano gene¡al. Utilizando la ley de los senos, se calcula el ángu_ lo B entre la biela y la horizontal: sen
8 6
L
-
E
b
40"
in.
_
senB 3 in.
B:13.95.
Lu velocid¡d v¿ del punto D donde la biel! e5t¡i unidu al pistón, debe :vr hori¿on¡irL. en tan¡o que la relocided del purrto B e, igu,rl a Ia velocidad v¡ que se oblrrvo antes. Descomponiendo t-l rnoümiento"cJ. SO un, t;or¡^. cion con
I)
una roiacióo alrededor de
"n
B ¡e obtie¡e
1
I
iIrj0)
+ Movimiento pl¿no
At
exp¡
la relación ent¡e las velocidades
./ / A/eonnnuacion cron.
)l
!D: vB +
v¡, v¡ y v¡7¡,
se escribe
vD/B
sedibuja el diagrame rectorial correspondiente a esta ecua_ - l3 95.. se detenninun los ánqulos del tl:ingu_
se recuerda ouc lJ
/o y se escribe
1)p _ pp/B _ 628.3 in./s sen 5395. sen 50" sen76.05. opls : 495.9 in./s vp|¡ = 495.9 tn./s "4 76.05" u1, = 523.4 in.,s - 43.6 tVs vD - 43.6 fvs .. v¡, : v/) : ,t3.6 fils -+ { Puesto que oDlB = /c,_,¡¿, se obtiene 495.9 in./s
= (8 jn.)¿dBD
@t¡t¡
:
62.0 mcys
1
\ {
En esta lección se aprendió ¿ irnalizar la velocld¿rcl de cuerpos en moaimiento-plano tlenertl. Se obser-vó que uD rnoviniento plano general siempre puede colsiderarse en esta lección, a sabe\ una trcrs.lnrlro lo ,.l,,l., de los ios oümientos "ttndi"dó, lación y lma rotación. resolver un problema en el que inteniene l¿ velocidad de un cuetpo en movinfento plano deben seguirse los siguientes pasos P¿rrtr
Determinar síempre t¡ue seu posible Iu telociducl ¿Ie.Ios ¡nnú
.
lproblema
2. A continttoción, übrtjar luciór.r (figurru 15.15
y 15.i6).
unu "ecuación
¿\e
cliugramo" que se rrtilizarii en la
so-
Esta "ecu¿ició'" consistirá en los siguiertes diagramas.
a) Dittgntma tle nu¡aitnienft¡ ¡rlnnt': Dibuje ul diagrrma del cuerpo que in-
clula todas'i¿s dimensiones y que nrlrestre aquellos puntos para los que se conozca o ró b.,rqrl" la velocidad.
bl Diugrama ile lraslución: Elija un pulto dereferencia A para el cual conozca la clireccién /o la r.ragnitud de ll uilocidid v ,. y dibuje un seguldo diagrama que velocidad v¿ muestle el
tráslnción con todos sus puntos con la misma
"u"tpu "r.t c) Diagrarnu tle rotqciótt: Considere el punto A como un punto fijo. y dibuje
.,r'r üngrr,-"o que rnuestre al cuerpo en rotacién alrededor de A lndique Ia velocirelaüvas con respecto a A de los dad t,fi.tla,. c,i = .ok Jel 1i l,,t velocid¿des "u"tpo otros puntos. . omo l¡ relocidad v¡ o de B relaliva a A
3. fscril.¡ir lu lirmulu
de relot'idud
YB:
\ rclulira\
vA + vB/A
Aulque es f¿rctible resolver estt ecuación vectori¿l en form¿r analítica al escribir las .scal^.es correspondientes, usualmente usted encontrarí más sencillo re"".raiiolt", un triángulo de vectoles (figula 15.16) utilizando solverla h)s ¡tosible utilíxr un purtto cle referencio difure,7te Puru obrener un't sol,l.ción. equíaalenle. Por ejemplo, si se elige el punto B como el punto de referenci¿r, l¿ velocidad del punto A se expresa corl, o
1.
YA:vB+vA/B Adviertn que l¿s velocidades relativas v67¡ y v^/D tienen la misn, a.magnitud, pero sentido opluesto. Pot'lo tanto, las velocidades relatÑas depender.r del punto de, refe.encia que se ha seleccion¿rdo. Sin embargo, la velocidad angular es independiente de la elección del punlo de re[erenci¡¡.
938
15.37 El movimiento tos
el A y B, los
de l¿ va¡ill¿rAB es guiado por los pasado¡es Dues_ cua.les se desliz¿n en las ,anu¡as inilicadas. En el ¡r;¿¡te
¡¡ost¡ado, 0 :40' y el pasador en B se mueve hacia arriba y a Ja izquierda :on velocidad constante de 150 mm/s. Determine zr) la relo"idod urrsula, d" -, r'arilla. ór la relr¡dad del pa,ador en el ertrernc, A.
15.38 El movimiento de l¿ varilla AB es guiado por los pasadores pues_ :os en A y B, los cu¿rles se cleslizan en l¿s ¡anuras inálcados. Eu el in;¿nte :rostr¿do, 30' y el pasador en A se mueve h¿rcia ¿b¿jo con velocidad :onst¿nte de 225 mm/s. Determine d ) Ia vel,rcidad angular áe Ja variJla, b) la
0:
'clocidad del pirsador en el extremo
'
B.
varilla A.B puede deslizarse libremente , plano ,15.39 ,.La inclinado. En el instante que
a
lo largo del
pis<-r
y
se muestra, la velocidad-del ertrerro r es de 4.2 lus haci., la izquierda. Determine a7 la velocidad ansular de la ."rilla, b7 la relocidad dcl enre¡no B de h r,,rill¡
=l
S
in.
Figura p15.89 y pf 5.40
15.40
La rr¡iJh AB puede deslizarse libremente a lo lugo tlel njsovdel la relocidacl ,,ür1.,, á" l.'uo¡. t es igual a 4.2 rad/s en sentjdo contrario al de lls ¡nanecill¡: d"el reloi. prr¡ la rrrilla, determine a) la velocidad del ert¡emo A, ó) Ja velocidad del extleno B.
:üno incli¡ado. En el instdnte que se muestra.
15.41 El disco que r¡uestra la ffgura se mueve en el plano r¿. Si -,.6 í"lo
11 7, m,.. 1ua,. 7.4 m/sy 11, r, = -1.4 rrys. defennin'e a7 3¿¿d angular del r.lisco. ó) la velocidad del punto B. \'/r = Lr'¡r, I + r¡ ¡r,/.1
\'r = (\l' + (t;
\
)rj
Figurc P15.41
ti.).i
+ (r..),,.i
Figura Pf5.37 y P15.38
940
Cjnemática de cuerpos rígidos
15.42 En el problema 15.41, determine a) la velocidad del punto Ob) el punto del disco cuya velocidad es cero.
É-
¡I
15.43 El perúl de hoja de límina que muestra la ffgura se muere e el plano ry. Si (u¡), = 100 rnm/s, (o6), : -75 mm/s y (oct = 400 mm/s, d+,
É
termine ¿) la velocidad angular de la placa, b) la velocidad del prrnto A.
-T-l ¡=(r,¡.).i+(o,.)rj
150
I
I
vr=(r"),i*(o,, )l
-I
75 mnr
Figura P15,43
15"44 Er el problema 15.43, determine el Jugar geométrico de los puntos deJ perfil de hoja de rneta.l para el cual Ja magnitud de I¿ velocidad es de 200 mnVs.
15.45
L¿ varill¿ AB se mueve sobre una pequeña rued¿ colocada en C mientüs el ext¡emo A se desplaz.r hacia la de¡ech¿ con velocidad constante de 25 in./s. En el inst¿nte que se muest¡¿, determine a) la velocidad angular de la varilla, /:r) Ja velocidad del ext¡erno B de la varilla.
3 a
:
{
a
! I
Figura P15.45
15.46 L¿ varilla AB está unida a un collaín en A y se ajlrsta con una pequeña rueda en B que gira sobre una superfic'ie circular. Sabiendo <1". cuando 6 : 60' la velocidad del collaín es de I.2 fVs hacia abajo, determi ne, par-a ese instante, o) la velocidad angular de la varilla AB, b) la velocidad del punto B.
\ del punto O-
se mue\.e
el
'15.47 El engrane erterio¡ C gira con velocidad angular de 5 raüs en d sentido de l¿s ma¡ecillas del reloj. Si el engrane interior A es estacionari¡- determine la velocidad angular a) del engrane intermeüo B, ü) del braD,-lB.
Problemas 941
ffi
mms- depunto -1-
Figura Pl5.47 y P15.48
l¡ ¡elailrl
étuict de r l¿
c iladc':¡* ¡elotil¡d rl cok)c¡ür
15.48
El engrane intermedio B gira con velocidad angular de 20
nüs
rl el sentido de las manecillas del reloj. Si el engrane exterior C es estacio¡io, dete¡mine la velocidad angular a) del engrane interio:: A, á) del bra.4.8. 'f
5.49
En la representación simplificada de la chumacera de bolas que la figura, el diámet¡o del canal i¡terior A es de 2.5 in y el diimetro cad¿ bola mide 0.5 in. El canal exterior B es estacionario, mientras que *-stra d c¿nal interior tiene velocidad angular de 3600 rpm. Determine a) la vedel centro de cada bola, b) la velocidad angular de cada bola, c) el de veces por minuto que cada bola descibe un círculo completo.
Figura P15.49
iÉt¡
cü
;¿üi¡úib
qa ¡h
15,50 El engrane o.terior A gira con velocidad angular de 3 rad,/s en .stido contra¡io al de las manecillas del ¡eloj. Si la velocidad angular del engrme intermedio B es de 6 raüs en el sentido de las manecillas del reloj, l¡termine la velocidad angular de a) elbtazo ABC,b) eI engrane exterior i.
Figura P15.50
942
Cinemática de cuerpos rígidos
15,51 En el sistem¡ d" planetrrio: que rnuestra la figura.,"ngranes ¡adio de los cngrane: A. B. C ¡ D es de 60 mm y el-radio del engran-. erterior f mide 180 mnr. Si el engrane E tiene telocidad angular dn iltt,p,,,
-
el sentido dc la. rnanecillus del reloj. I el engrane centrJ riene velocidad a¡gular.de 150 rprn.en el misrno senHdo. deiermine la relocidacl angul.u & a) cada engrane planetaio, ü) la aruña que conecta los engranes plaiietarit-*.
Figura P15.51 y P15.52
_ 15.52 En el sisterna de engranes planetarios que muestra la figurn ei radio_del engrane central A es ¿, el r.aüo de los engianes plauetarioies ü.. el radio del engrane exterior E es ¿ + 2b7la velocidad angular del engrane A es @,{ en el sentido de las manecillas del relo¡, y el engrane exterio¡ és e¡tacionario. Si la velocid:rd angula¡ de la ararla BCD va a ser oo/5 en el ser tido de las manecillas del reloj. deterrnine o) el valor requerido del coc.iente /r¡¿. b l¡ co¡respondicnt" relucidad angular de c.ada enq.ole plúetario.
15.53
Tres engranes A, B y C están conectados en sus cent¡os a l¿¡ r.i+ ¡ill¿ ABC. Si el extremo C de la v¿rill¿r ABC está ffjo y el engrane A no gira determine la velocidad angular de los engr.anes B y cuandó h varilla .iBC giru en el sentido de las manecillas del reloj a velocidad angular. constintÉ
É
¿Io
.!¡d
¡¡ hE
e&
t,.e hid
i
de 75 rprir.
Figura P15.53 y Pl5.54
15.54 Tres engranes A, B y C están conectados en sus cent¡os a la r-a, rilla ABC. Si el ertrerno C de la rarilla ABC está iUo y el engrane C no gi¡a, determiue la velocidad angular cle los ergranes B y C cu'ando la variil¿ ABC gira en el sentido de las manecillas del reloj a veiocidad anguJar cons tunte tle 80 rprn.
15.55 En l¿ meda excéntrica que se muestra, un disco de 40 mm de radio gira drededor del eje O situadó a 10 mm del cent¡o A del disco. t_¿ distancia entre el centro A del disco y el pasador colocado e¡ B es cle 160 mm. Si la velocid¿d angular del disco es dá900 rpm en el sentido de l¿s na_ necillas del reloj. deterrnin, la r-locidad det b)oque cuando g - 30..
1
msh
Ioci&
nir eL l¿s
¡r¡
C,tl* Figura p15.55
15.56 cuando 0
la ma
Dete¡mine la velocidad del bloque descrito en el problema 15.5,i
= 120'.
ddo
d
c{dad
rd * -. "r,
'15.57 Si el disco tiene velocidad angular constante de IS
rad,/s
en el
tido de,las ma¡recillas-del reloj, determin-"e la velocidad angul¿r de la ba¡¡a I)r la velocidad del collarín D tuando_ a) 0 = O, b) g = 90{ c) d : 1S0".
Prob¡emas
Figura P15.57 y P15.58
15.58
El disco tiene velocidad angular constante de 20 raüs en el
sen_
S de las manecilJas del reloj. a r DeLe;ine los dos valores del ánsulo O Da_ lhs cuales la velocidad deLcolh¡Ín D es de cero. ó7 puru codu unó d" esio. rkes de 0, determine el valor corespondiente de la velocidad *g,rlu, de L[úra
BD.
15.59 Si en el instante mostrado la velocidad angula¡ de la varilla BE ode I ¡ad./s en sentido cont¡ario al de las manecillas dÉl reloj, detertrine a) angular de la varilla AD. b l¡ relocidad del colla',iu D, c) lu , * l:+iq^d ' brlvl dsl pr.1. 4.
b [¡
15.60 Si en el instante mostrado la velocidad del coll¿rín D es de 1.6 m/s hacia arriba, determine c) la velocidad angular de la varilla AD, b) la ve_ locidad del punto B, c) la velocidad del punto"A. 15.67 En el mecanismo que se muestn,l = girr.,yb = 3 in. Si la ma_ nivela AB gira cor velocidad angular constante d.e 1000 rpm en el sentido de las manecillas del reloj. determine la velocidad del pistón-p y la velocidad an_ gutar de Ia biela cuando at 0 = 0, b) 0 - 90..
15.6? En el mecanismo .la manivela
que muestra ld figura. / - g in. yb _ 3 in. 5j AB gira con r elocidad anguJar consta_nte de .l.000 óm en el sen_ tid¡ de las manecillas del reJoj. determine la velocidad deL pistán p y la relocidad angular de Ia biela cuando 0 - 60..
Figura P15-61 y P15.62
943
944
15,63 En la posición que se muestr¿, la barra AB tiene velocidad angulal de 4 rad,/s en el sentjclo cle las ma¡ecill¿s del reloj. Determine la velot itl,rd anqulrrr d" Ia' hara. BD ) Df .
c ner¡ática de cuerpos rísidos
L 250 nnn
/i
,i/l //
I
L I
/ ^"{--\*'.'" /,\ tbu¡'i"r , -\ c' oo / "¡' \ 1 \"* rir/ t o. .. \ '9.-i t)
t
_rlt
Figura P15.64
I
150,n¡rr i
.
tj
15.64 La ba¡r¿r AB gira en sertido cont¡ario i de las rira¡ecillas clel leloj y, en el instarte mostndo, la nagnitud de la velocidad del punto G es dc 2.5 m/s. Determine Ia velocidad algr al de cada una de las tres bal ras instante.
15.65
En el instante que se muestr¿, l¿ b¿rra AB tiene velocidad ancmstaúte de 25 md,/s el sentido contrario al de las manecillas del re loj. Determine, para ese inst¿rnte,.r) la velocidad :rngular de la placa rectalgtiar FBDH. Lt) l.r velocid¿d del punto F. gul¿rr
ti ':.
ir
1
iu.
IL
Figura P15.63
p¿rra ese
16
)vt 1 ---l
nr
ir.
JI ¡l
l6
6 i]r.
I F¡gura P15.65 y P15.66
15.66 En el ¡rst¿ute qre se muestr¿, Ia barra DE tiene velocidad ¿ngul¿r'constante de 35 ¡ad,/s en el sentjdo de las manecillas tleJ reloj. Deter mine, p¿r¿ ese instante, a) lavelocidad anp¡:lar de Lr plac:i rectangular FBDH. b) eJ prurto sobre la placa FBDH con velocidad ce¡o. 15,67 Si en el hstante mostrado la velocida
r¡
-1
:r:
6(X) mm
Figurc P15,67
15.68 En
la posición que se muestra, la b¿rrra AB tiene velocidad a¡-colst¿rlte de 3 racVs er] sentido contrario al de las m¿necillas del ¡elt' Determine la velocid¿rd :ingulal de las barras BD y DE.
gul¿¡r
Figwa P15.68
Un automóül se desplaza hacia la derecha a velocidad constanSi el üámet¡o del neumático es de 560 mm, dete¡mine la vebcidad en los puntos B, C, D y E del bo¡de. 1
bde80
F¡gura P15.69
15,70 La rueda de 4 in. de ¡aüo que muestra la figura gira hacia la i4uierda erda con velocidad de 45 in./s. Si la Ia distrnc¡a distancia AD es és de 2.5 2,5 in., tletermidetermir la velocidad del collarín y Ia velocidad angular de la varilla AB cuando a)
F:o,b)B=eo'.
Figura P15.70
15.7. CENTRO DE ROTACIÓN INSTANTÁNEO
EN EL MOVIMIENTO PLANO Considere el movimiento plano general de una placa. Se intenta demostrar que, en cualquier instante dado, la velocidad de las diversas partículas de la placa es la misma como si la placa girara alrededor de ciefto eje perpendicular a su plano, el cual se conoce como eje de rotación instantóneo. Este eje interseca el plano de la placa en el punto C, denominado ¿¿ntro d.e rotacíón instantdneo de Ia placa, En primer luga¡ recuerde que el moümiento plano de una placa siempre puede sustituirse mediante una traslación Aefinida por el mo¡imiento de un punto de referencia arbitrario A y mediante una rotación en tomo a A. En cuanto a las velocidades, Ia traslación se caracteriza por la velocidad v¡ del punto de referencia A, y la rotación se caracteriza por 1a velocidad angular ar de la placa (que es independíente de la elección de A). De este modo, la,velocidid vo del p^unto A y la velocidad angular ar de la placa deffnen por completo las v6locidades de todas las demás partículas de la placa (figura 15.18a), A continuación suponga que se conocen vA y ar y que ambas son diferentes de cero.
15.7. Centro de rotación instantáneo en el movimiento plano
945
946
Cinemática de cuerpos rígidos
\í/'
.)
b)
1s.18
F¡gura 15.18
rSi
v¡
:
0. el mismo punto A es cle rolación instantáneo ) si misma velocidad va). Estas velotodas las partículas tienen"lla""r.tro cidades podrían obtenerse dejando que la placa gire con la velocidad angular or alrededor del punto C ubicado sobre la perpenücular a v¿ a una distancia a¡fot de A, como se indica en la figura 15.18b. Se veriffca que la velocidad de A sería perpendicular a AC y que su magnitud sería r<¿ (u¿l<'t)¡t r)A. De esta manera, las velocidades de tod¿s las demás partículas de la placa serían las mismas que se definieron oñginalmente. Por lo tanto, en cuanto a lo que se refi,ere a las aelocidades, la placa parece glrar alrededor del centro instantáneo C en el instaúte considerado. ¿t¡
:0,
r:
:
:
La posición del centro instantáneo puede deffnirse de otras
dos
formas. Si se conocen las direcciones de las velocidades de las dos partículas A y B de la placa y si éstas son diferentes, el centro instantáneo C se obtiene dibujando la peryrendicular a rzA a través de A y Ia perpendicular a vB a través de B y determinando el punto en el cual se intersecan estas dos líneas (ffgura 15.19a). Si las velocidades va y v¡ de las dos partículas A y B son perpendiculares a la línea AB y si se conocen sus magnitudes, el centro instantáneo puede encontrarse intersecando Ia línea AB con la línea que une los ertremos de los vectores v¿ y v3 (figura 15.19ó). Adüerta (ue si v¿ y v3 fueran paralelas en la ffgura 15.19a o si v1 y v¿ tuüeran la misma magnitud en la figura 15.19b,
a)
Figura 15,19
b)
C estaría ¿r.una distancia infinita y r,r seí¿ cero. :t^::l\rll lotlos lo. ll"1r,Oleo pt\,to\ d(, la pl*ca tendrirrr i.-. ,,;;,;" ;;i;;i;l.j. o
l.r ¡-r r )bscn irr cómo ( ljj I r' es és posible,poner n, rcihlen práctica el colcepto de cen_ '
d"'r:;i;-,;ift"t,:..iá; d"; y t" pñ;;;,#
rotaciór imt¿ntáneri corsicli." a v^ a través ]t ?a _*-t]':f:lLperpendirc'lar. r¿ rts.r tlaGs de B (figura ( 15.20), se obriene el h
15.7. centro de roración
cle
ilxtalte consideru(lo,
irt"it¿í_-ó. i'".1" L ,i.iff"
""rtr" las veloc.idacles de toclas las p,"*,ri", aá
lJé"='\ -'n 3 BIBLI0TEcA "\ Í.
truri¡is'C¡ilil|0 Coilorr
\,/
Figuta 15.20
.ol las rlisrnas, ct¡r.ro si esta última girara en tomo a C. Ahora bie', r cnro¡ 1- la rr rrrgrritud.r l de',L vel, u.jdird l. lu,n"E,iiu.l j"
'la.r rlllqr¡tiu
rtr tr rrrrilla
La ltagritucil de
1¿
¡¿
prrede ,,blenerse ,J erctibr:r
L,1
Dj
AC
lcos0
si
i",.ln.i
r,elocidad cle B se obtier.ie entonces al escribir
rs -'BCu =/s"¡¡ g,-\^
ICOSd
r,
tirnÉ/
\dviefta que sól
¡.rnJc, alretledor cle C.
Confonue
el moüüiento de la placa, el centro inst¿uttánec) Si¡ e,rbargo, se sen'ata qire ta :l -:^,1:":::l_1, , ,1,1:" ra pt c¿ 5e rnar¡ri,,ne sin carnhio. Énr.consiguienr,,, l::11" rnstr¡ntáncr) :j rlescribc Una t.unl ( cnlrr) "n el esp,(.io, ll,rmado ,.c,,'',1,' c'pn' itl. y,,tra cuna en LL plec.a. ll";"J;;;;;;;;i,;, ;;::_;',rl -- ¡r,, li.2 I '. Es po5i[],- c]n most rar'q u" ." ,",,i" ;". ::;; ,l,,. -rljr{ son,lung¡nles c¡r C r rlr¡e,.urr,.l^ la"r"f1",".¡iai.,, 5e rnue\ts. .l ,i"ntro_ :o r.{r¡l)oriü Irtttrn¡ sñhre cl t.entr0tlo espucirl. ¿v¿urce
espacio,
pos;i;;il;"
F¡gura 15.21
¡:
iFti"tl:"" g4Z
PROBLEMA RESUELTO 15.4 Resrrelv¿r
el probleura resuelto 15.2 con el rrétod
rotación.
SOI-IJCIÓN b¡e
a) \'clocidtd nngular dcl cngranc. Puesto r¡rre el engr-ane rued¿ socrem¿llen ilferior est¿ciolariJ. rl pnrrhr Jc iolt¿cto C Jel errgr.rLne
l¿¡
col.} ]a crernaller¿ no
tienc velocid¿rd:
tro inst¿ntáneo de rotación.
eL
punto C es cn crrn\ec[encid efccD-
Se escil.,c
D^: r|¿.l
1.2 m/s
:
b) \iclocidtdcs. En lo qrre se reliere
(0.150 m)r,r
¿r
r.r: Sr.,rrl/sl {
DR
= 1;B:
rloo
o¡
:
pur
las velocid¿des, toclos los
tos clel eriglane p¿ueccn gjr¿r alrededol del centr-o instanLáneo. Yek¡citl.ud de la tremullent *rperior. Si se lccuerda que se cscribe (0.250 r¡)(B racVs)
:
2
¿ra
:
o¿J.
tl-i/s
{
Yr':2lll/rYel.¡¡citlutl
l).
tlel punto
Puesto que
r"¡:
(0.150
m)\6:0.2121
tn.
se escribe
: 1.697 m/s rlr: l.li9i rrr/s i '15' {
DD: (O.2l2I r¡)(8 ¡aüs)
PROBLEMA RESIJELTO 1 5.5 Resuelv¿r el problema r
resuclto 15.3 con el rnétodo clel centro instirlt¡rneo (le
ot¿ci(ilr.
SOLUCIÓN
llorirnicnto de l¿ rn¿r¡ivcl¿r AJJ. Con relerencia al prob]eni¿ ¡esuel 50". 62E.3 in.A 15.3, se obtie¡e l¿ velocid¿d del punto B; v¡ Se localiz¿l Primelo el celtro instADtiil\Iovimie¡to dc l¡ I¡iela neo C dibujando líneas perpendiculares ¡r l:rs velocidades absollrtas vB \' \ Al recorda¡ del problernir lesuelto 15.3 que B 13.95'y qrre BD 8 in. :-
:
to
S
BD.
:
:
j
resuelve el triángulo BCD.
T]= I h
..<$a
ii
I I
Plresto que la biela BD parece girar ¿l-ededor del punto C, se esclibe
as: :
&
628.3 in./s
I
t,p:
(.CD)a¿¡:
(BC)aaD (10 14 in.).r,rD
<ü:t¡:621) l¡rL's(8.4,1
948
{
in.X62.0 r¿iüs)
- 5!3 ir. s = 13.6 [r s
$
h
B:5395' 7,D:90'- B:7605" 8 in. BC CD ,jr ;6 (15" ..n 50' BC : 10.14 in. CD = 8.141¡.
10" +
\'/':1'/-):
'lil
6lir's-
<
En est¿ lección se presentó eI centro de rotación ínstant(ínr:o en ur mor.imiento plano. Esto proporcionó una rn¿lera alternativa de resolver problemas en los que intei. vienen xe,ktaidacles de diversos puntos de un cuer?o en novimiento plano. Como
srr nombre sugiele, el canfro rle rotaciótl instant(í.nco es el punto nJr-ededor del cual es posible suporlel que un cuer?o está girando en ul inst¿uie cl¿rdo, al deteru.ri nar las velocidldes de los pultos del cue4to en c\e itlstante.
A.
I'qrct determinsr el centro de rotución instc.nt(ineo deJ cuerpo en rriuvinienlo plano, es necesalio utilizar uno de los siguiertes procedimientos.
1.
Si se conocen tqtTto
Lu
relociclatl v¡ del ¡tunto
Iar a ilel cuerpo (figura 15.18):
^
como lq oelocitkul ongu-
a) Dibujar un bosquejo del cucrpo, en eJ que se muestrc el punto A, su ve-
,
locidad v.1 v la velocidad
angularr- <,r
del cuerpo.
b) A partír tle A dibujur unq líneo perpenclict .ur a v¡ del hdo va desde a. c) Locoliza.r eL centr¡¡ instqntdneo C sobre esta línea, a una distalcia r : o¡ /rr.r
doncle se ve que esta velocid¿d tjene el misno sentído que desde el punto A.
2.
.Si lns direcciones tLe las oek,ci¿latles r¡ son diferentes (figura 15.19a):
(Ie.
los
rkn puntox A y I) se conocen,
a) Dilruju un bosqueio tlel cueryo eÍ el que se mlrestr€n y
sus velocidades v,1 y
, b) Desde Ay
los puntos A y B
v¡.
B clibujar líneas perpencliculares a \ q l B, reÍlpectioamenle. se ubica en el punto donde se intcrsec¿n l¿i dos líne¿rs.
El centro instanthneo C
c) Si se conoce la aelociilad de unct cle los ilos puntos es posible determinar la velocidad angular del cuerpo. Por ejemplo, si se conoce DÁ, se iuede escr:ibir (d : o¡/AC, donde AC es la distancia desde efpunto A h¿r.sta el cerltr; instantírleo C.
3, Si se conocen las oelocida¿les de los rlos puntos A pentlicul.ares a lo línea AA (figura 15.19b): a) Dilruju-r
y I) q ambas sotT per-
u.n botquejo del cuerpo e\.t el que se rruestren los puntos A y B
con sus velocidades vn y v6 dibu,iad.as a
esca.lú.
una líneq ( tfttoés de los puntox A q B q otra línea a lravés de pultas de los.vectores v1 y v¡. El centro jnstantáneo C ie localiza en los puntos
_ b) Dibujar las
donde se cortan las dos líneas.
c) Lu oelocíd.acl angulur del cter"po tre BC.
se obtiene al dir.idir vo entr.e
AC o v¡ en, (contüuia)
949
aek¡ciclodes v^ ll vrr tienen lu mismu mugnitucl,las dos líneas que se clibuiaron en la parte b no se intersec¿n; el centro instantáneo C está a una distancia iifínit¡r. La rllocidacl ,lrgular <,r es cero y el arcwo está en trnsl¿t¿:i¿in'
rl) Silos
li.. Llna t)ea qu.e se ha tletermin¿ttlo eI centr¡¡ instunláneo y Iu telociclail angukr de). cueryo, se puede deteminar la velocidad v2 de cualcluier punto P del cuerpo de Ia siguiente m:rnera:
7, Dibujur un bosquejo ilel cuerpo
en el que se muestre el punto P, el centro inst¿ntáneo de rotación C y la velocidad angular ar.
2. Dibujur
unq línea desde P hasla el centro instantúneo lal la distancia desde P hasta C.
C'
y
nT
edir o calcu
il. Lq uelocitlad. v p es un oector perpend'icular a la línea PC' de) rnismo sentido que rrr, y de magnitud u¡ : (PC')@. Por tillimo, tenga prese te que el centro de rotación inst¿ntíueo sólo se puede utilizar para determilar velocidades. No rack¡nes.
950
es
posible etrupleado para detennintLr acele-
*ul @L_!_-;
15.71 Un helicóptero se rn[eve horizonta]nente en la direccióú r ir l¡i0 .r¡,/h. Si Ia¡ aspas principales gir.an en el sentido cle las m:rnecillas del reloj ,rr velocidad irnguJar de tBO rym, deternile sü cje (le rotación inst¿útáneo. '15,72
- , ¡l
Una viga AE de 5 m se baja por rredio de clos grúlrs viajer.as. irsrarte 'lr.e .É r,ru,"qtr.¡. la r.lur'¡drd d.'¡rrnto D,. ,i" I 'r.lr,¡ i.,
.lrrjo v la velocidad en ¿ -ur1ción ir\t¡,,t:in, n
es
de 1.5 n/s hacia abajo. lJetennine a) el centro t 1., ..l", id,,idel ¡rrrrt,, A.
d" l, r,ei.
F¡qura P15.71
Figura P15.72
15.73 El bnzo ABC gira con velocidad angrrlar de 4 r¡¡üs en sentitlo ¡rtrario ¿rl de las r¡¿rnecillas del r.eloj. Si l¿ velociclad angular. del engrirne .te¡üedio B es de I ¡acVs en sentido corLtr¿rio de l¿s rn¿necill¿¡s rlel ¡ei. determine .r) k)s centros inst¿ntárreos de lotacia)n de los engrares A ¡, C, l¿rs r.elocid¿¡des angulares cle los cngrirnes A v C.
15.74 Un tat-lbor de 4 in. cle r¿dio está molt¿1do sobre un cilindr-o de in. dc ¡adio. Al¡ededor ilel tambor se enrolh un¿ cuerda cuyo ertrerno IJ .- jala h.rcia la izquierd¿r cor velocid¿rd cunst:¡nte tlr 6 in /s. lo urirl lcrDrite , re el cilindr-o ruede sin desliz¿rne. Deter.mine a) la velociclad angular del ldro, b) Ia velocidad cllel cent¡o del ciiindrc, c) la longitud de cuerda e¡ - ,l¡rd¿ o desen¡ollacla por segunclo.
Figura
P'f
5.73
Figura p15,74
15.75 En el instüite que se n-iuestt.a, du¡ante l¡ desacele¡ación, l¡r r,e.id¿il de un automóül es de 12 m,¡s h¿cia la derecba. Si l¿ vel<¡cidacl riel - rlrto de cont¿cto A del neumático con el suelo es de 1.5 m/s hacia la de¡e::,i deternine a) el cento de rotación instant¿ineo del neumático, ü) la ve-idad del punto B, c) la velocidad del punto D.
15.76 En rl insia te que se muestftl, durante la aceler¿rción, la velo :rd de un auto¡róvil es de 12 m/s h¿rcia la de¡echa. Si Ia velocidad clel pun(le colt¿rcto A del neutrático con el suelo es de 1.5 m/s h:rcia la izqirier r.. detemiÍe n) el centro de r¡tación irstantáneo del neunático, b) l¿l ..,rciclacl del punto B, c) la velocidad clel punto E.
Figura P15.75 y P15.76
951
952
Cinemát¡ca de cuerpos ríg¡dos
15.77 U¡ rollo de papel descansa sobre una superffcie horizontal como indica la ffgura. Entonces, el ertremo D del papel se jala hacia la derecha con velocidad constante de 8 in./s, y se observa que el centro A del rollo se mueve hacia la de¡echa a velocidad constante de 3 in./s. Dete¡mine a) el eje de rotación instantáneo del rollo de papel, b) Ia velocidad del punto B, c) el núrnero de pulgadas de papel desemollado por segundo.
'-'**. P
Figurc P15.77
Fígura P15.78
?5.78 Una polea doble se ffja a rur bloque conedizo mediante un pa sador colocado en A. La polea interna de L5 in. de raüo se une ígidamente a otra polea exterio¡ de 3 in. de ¡adio. Si cada una de las dos cue¡das se jala a velocidad const¿nte err la forma indicada, dete¡mine a) el centro instantáneo de rotación de la polea doble, b) Ja velocidad del bloque corredizoc) el número de pulgadas de cuerda en¡ollada o desenrollada de cada polea por segundo. 15,79
Si en el instante mostrado la velocidad angular de la varilla BE cont¡ario al de las manecillas del reloj, determine a la velocid¿d angul¿¡ de la varilla AD, b) la velocidad del collafn D, c) la vees de 4 rad/s en sentido
locidad del punto A.
15.80 Si en el insti¡nte rnost¡ado la velocidad angulal de la va¡illa AB es de 15 rad/s en el sentido de l¿s m¿¡necillas del reloj, deternrine a) la velocidad angular de la varilla BD, ü) la velocidad del punto medio de la va¡illa BD,
Figura P15.79
600 mm
F¡gura P15.80
15.81 Si en el instante nTostrado la velocidad angular de la barra DC es de 18 raüs en senüdo contrario ¿l de las manecillas del reloj, detennine c) la velocidad angular de Ia ba¡ra AB, ó) Ia velocidad angular de Ia bara BC, c) la velocidad del punto meüo cle la barra BC.
F¡gura P15.8'l y Pl5,82
15,82 Si en el instante mostrado la barra AB gira en sentido cont¡¿rio a.l de las manecillas del reloj y la n.ragnitud de l¿ velocidad del punto medio de la barra BC es de 7.8 ftls, dete¡mine a) la velocidad angular de la ba¡¡a ABb) Ia velocidad angular de la barra BC, c) la velocidad angular de Ia ba¡ra DC.
mtal coa h de¡eA del rormiE€ t punto B-
I
, 1!.83
'
L:as ruedas en A y B gjran sobre los carriies cal inücados y guian a la., arijla ¡Bd. si en el insranie
iue
rla
horizontal
;;;;;;d
r r efti.
.Problemas
l'.0.
velocidad de la rueda I es de gOU mm,/s h¿cia abaio, dete¡mine ¿) la ve_ bcidad anguJar de la va¡illa. á r la r elocjdad d"f pu;i; d."'
Figwa P15.83
E¡d¡ ic
Una puerta levadiza se guía mediante dos ruedas colocadas en :5.84giran sob¡e las cor¡ede¡as iro.i"o"tA y *rtilj *..""á^üi" ú ^que :r¡ra. Si cuando 0 - 40. la reJocid¡d d" lu,r"dá t;; d" ó.;;;;;, ;"
ofuD rr¡t-
f,¡o
F rm i¡rdda¡!Ér-
. -l r
B
bo- deterrnine ¿) la velocidad angular de r"
D de la puefta.
p*"f Aff","i*il;'dJil,"
trrdizn-
ü
po¡É:r
rrilh BE
la_posición mostrada, la ba¡ra DE üene velocidad ansula¡ J5185, T3 constante de 15 rad/s en el sentid",l" 1". In*""i11". á"i;l;i. il;;r# r) h distancia b par, ta c'al t, p;;i" "el."id"d dad correspondiente del punto F.
;;j
ñ* ,""ilaliji"'llil",
amioÉ a
c h rth-lB t¡ doddd BD
Ftgura ptS.85
*r,.?llarines A y g
están conectados con pasadores a Ia barra oesltzarsc a lo laron rlp barras fijas. Si en el instante mostr¿ do la velocidad de A es de O.S #s hacia la derecha. *vlv¡¡¡¡¡uu cletermjne ¿) r¿ vúrt dad angular de ABD, b) la velocidad "/ la ..elocr_ del p.,rrto
,,^t.?._19^,, .r,u v lJueoen
á*'
ra DC
rmitre r
t¿rn
wb¿
A" d" .a
a
-{8,
fE.
Figura P15.86
Flgura P15-94
9S3
954
unido-Pequeñas ruedas 15'87 A los extremos de la bana AB se les hamostradis si el valor de to tu'go a" t^' tup"tl"i"t "' " 3" I s ft/s hrcia la derecha en e] inst¿nte 'que e ;""ü [T"'I."'i"d "; A de-la bara b) la veloci,).a1"^* J.r"r¡"" '¡) la velocidad del ertrerno la barra .^ t' u"to"i¿^¿ ¿el punto rnedio de
Ciñemática de cuerpos rÍgidos
;^l"J#;ui
il
1,""J'frÁ,'lii" i"
;;^ '
'15
esdeu izqüe¡ a¡sulal
t""u
barra
de la se indica' la velocidad argular Deter reloj' del m¿necillas las de ¿l S ¡-aüs err sen¡ido contrario de la br-
15.88 En el insta¡te que
l¿ ", ¿. ¿ ) la r el¡cided
angular de rt
'nine
-^ arl "i i".'"f";t¿ad?el
24 trL.
punto
Al lu u"locidad angular de la bara BD
0""'Áo'
m'üo
I
,lel ct ¡neul
d¿á d
meüante un pasador
15-89 Dos va¡illas idénticas A-BF y DBE se unendel punto D es de 900 'elo"idad -*",'"""L" u I ""?i't"'o*" tu'"¿"¿"'ra el punto F' tJ,iii¡"t"" i"*,nt"t" u"to"i¿o¿ cle a) el puntó E' b) "Jrr", B se une rv\qr'-*-Elpasador 1''YU 15.90 t't I'asduur localizadoen 4:t:T:'l:"-f::-tP$:: ' .rnrr.u ¡eco.t"du err la placa {i¡a Si en l¿. de largo rdrÉu ru ir lo lrbremcnre a dcsüzerse libremenle dcsUzxrse Y' lJ r;;"i;. ñ6 cs raüs 3 radlq -. ,la de 1t d"l braz_o Db
Fig/'ra P15.89
\e
er instante qlre, manecillas de1 reloj' .*""d" de lasT::::T ¿) la velocidad del punto A'
;;';i
angular ,etocidad angula¡ ¿) 1¿ velocidad ],1:'lT',::;"';r.,:;*,";;ii,
dica I Lr. ni .¡¡rgrl
EI pr
\¡rill
li¿ci¡
t¡d
,
iil"i"*il'" ¿¡l'
Ia varilla vertrc¿l C y I) se mueven a lo largo de 15.91 Dos colla¡ines in /s hacia ahajn s¡ d' c ¿i 'i ;"":,i'-" ;;;"; sl "to"i¿"¡ "oll"¡n del ele ang'Jar velor'idad la ",," ¿' o l.lilill''li,1"i:'i""""t'"'¿"¿ ¿"r "olr"i"
nento AB.
Figura
P1
5,90
15.92
n"";:;:'"1
indica l¿
tres colla¡i¡es'como Dos varillas AB y BD se unen a velocidad de' 6 itu/s dercrcon abajo hucia muJu" ;ií;;;;;;
*1o". paru el inslante indicado.4l '" D'
ttl""j¿¡
angrlar d" cad¿
\"rilla brla
velocidad del collaín
16
i¡. Ila
Tin.
est
5
l__ 5
t
in.
I
Figura Pt5.91
Figura Pi5.92
15.93 IItr el instante quc
iuclica la ligura, Ja velociclacl del collarír ¡1 I'r J, r, , lrr. h r*r"t.irl,r,ld, I,t,ll:rr¡lr F..,1" ri.rd¿1. Detcniriri.. .¿) la r eloá;dacl angriar. cle la barm AD, ü) 1.. ,"fi,"iJJ
., I r',5lrir(ir
--:i¿r cle
l¿r
biur¿r
Probtemas
1,,..i,
'
BD, c) la vclociclad iicl punto D.
250 rn¡ir
Figura p15.93 Figura P15.94
15,94 En el irst¿¡te
,
itrlic¿ido, l.r.el,.,cr,l¿cl .r¡gul.rr clc lir b¿rrl AIJ es =.5 ¡¿rüs en scrti(lo contr-¿do ¡l clt las r¡rLnccillits ácl relc,j, 1 l" r"l,.i.lnd r¡rll¿rín E es de 700 rr¡n/s h¿rcja LL derc.lrr Detc¡r,rine'¿l l",.ir"lJ*t :,ri¡r' dc l¡ b¿rn.i¡ BD, ó) 1a velocid:itl alguiar. rlc tu ¡n".n l¡. ,,1 tn :
,lel ¡rrr, t, D. '
""io"¡
75.95
Dos vnr.ill¿s ABD _r,Dn cstán irniclas a tres colla¡[es corix) ir_ 5il¡ r, Iociclud rJgrrlaL tle A73D ,1" S l-o,U, ¿" ", rrrrccill¿s J"l reJ,,i tl.t,-¡r||ir,c. "n l¿ velocltlad fJl.¡lel ilstante ntostr¿clo. ¿)"i.",roáá
. la tigura.
. --
lU ,lc D¡. /,\ lir \cl,,, i,ld,l Ll"l ,oll rri,
f.
/5.96
Dos v¿rrill¿s AB y D¿ de f0 Ln. sr rlncn corro indica la tisura. rJ) es el punto medi; de l¿1 \ ¿rilir AB. r err r.l ¡"rt""i. i.,f,",r,ir-1" ¡rrn .rll¡ Dl est¿i e¡ posicr'rin liorizortal. Si l¿ velociil¿tl clel r-r,,nt,, ¡ ,i.-i"fl. ..ia_:ürjo, dctc-r.rnire r¿) ia vekrcid¡d ingular-de l¿ r,arili¿ DE, ¿l",lu :, I rlel prrnto I-. ""l,oi
:
Figwa Pl5.95
Figvta pl5.96
15.97 Desc ba el centr.odo espacial el ccrrfrLxl() corpor.¿l .lcl rngru_ ) -.clel problena rcsuelto I5.9 confbÁ,. .J .ngro,r. gir.l ruirr'=-",r"
:" horizollt¿l
"r"",,,]1"
est¿cionaria.
15.98
Describ¿ el ccltrodo cs¡lacial v el centrodo corporal de la vari ¡roLl.rra l.5.S.l. (.sr/g.r-, i¡¿i¿¿: Él centroclo co,1.,u'.nt ,,u ii""" q.," 't.1r' cD lir par tc lisrcs rlr la r ruillir. )
.
r A-FD d*J
15.99
Con el rnéttxlo de
15.100 Co¡
el mótoclo de
15.101 Co¡ el método 15.102
l¿r l¿r
secci¡in 15.7, resueh,¿
e1
problema 15.69.
seccirjn I5.7, resuelva el problema 15.55.
cle l¿r secciór¡
i8.7, resuelva el problema I5.63.
(',on el ¡létodo de la secciór i5.7, resrrelva el ¡rrr¡bler¡a 15.70.
955
95ti
Cinemáiica de cuerpos rís¡dos
15.8. ACELERACIONES ABSOLUTA Y RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANO
En l¿ sección 15.5 se ¿nalizó que cualquier movimiento plano puede sustituirse por una traslación definida por el n.)ovimiento de un punto de referencia arüitrario A y una rotación simultánea ah'ededor de A. Esta propiedad se utilizó en l¿r secciól 15.6 para determinar la velocidad de los diferentes puntos de ltr placa en movir.riento. La rrrisma propiedad se utilizará üora para detenninar la aceleración de los puntos de la placa. Hay que recordar pr:imero que la aceleración absoluta a¡ de una paltícula de la placa puede obtenerse de la fórmula de la acele¡¿ción relativlr que se dedujo en la sección 11.12,
(r5.2r)
AB-A.A+aB/A
donde el miembro del lado derecho lepresenta una suma vectori¿ü. La aceleración aA corresponde ¿ la tr¿rslirción de la placa con A, en tanto que Ia ¿rceler¿ción relativa a¡lA se asocia cor.r la rotación de la placa en torno a A y se mide con respecto a los ejes centrados en A y de orientación ffja. Hay que recordar de l¿ sección 15.3 que la aceleración relativa as71 puede descomponerse en dos componentes, un a conryonen-
te tangencial (a¿7¡), perpendicular a Ia línea AB, y una componente not'mal (ap¡¿),, dirigida hacla A (figura 15.22). Denotando por rBlA el vector de posición de B rel¿tivo a A y, respectivamente, mediante cok y ak la velocidad angular y la aceleración angular de la placa con respeclo a los cje\ dc orienlación [ija. se lienc (a6
^), ll¡ ¡r,,
: ak x ro¡s -(!'tu.¡
'eB A)L: rc( lastt)n nD'
Q5.22)
donde r es la distancia desde A hasta B. Al sustituir en (15.21) Ias expresiones que se obtienen para las componentes tangencial y normal de as7¿, también se puede escribir
ap- a¿* o,kx rs¡¡ - ,"rn/o
(15.27')
nX\,!^,,,),, ^t
lvlovirdenio pl¿no
Figura l5.22
Rotncnin alredr..lor dP A
.-- tat t\,
15.8. Aceleraciones.absotuta y retatjva en el movimienio ptano
q5Z v.
ra:-
ro-
E E
¡n \loüDÍento
¡
el t_ F' F
t
d
I
Tr¿d¿ción con A
Rotación
Fgu¡a 15.23
ll
t¡
A (1i¡' pi¿r1o
¿L
ededor de A
Con ro ejeinplo. hay que considerar otra r ez la r arilla AB cuvos ex_ TFmos se des¡izan. -respecli\ Lt¡nenle. a lo Lirrgo de una correder,a hori_ unu vedical (figurr fl',ol I t^,) la ¿celeración 15.231. Si se,upón" que r. "ono""n l, u"_ a¡ de ¡{. 5s detéln¡na la aceleración an de yllio D \ ra a( ercrac¡on angujar a de la rarilh. AJ elegr
rA
-f
un ornlo
& relerencia. se expresa q ue el r noüm ienlo dado' es equ"o,,,o ir alen le'l u, ro tr¿slaclon ¡on A \ a unl rol¡r.ión ajrededor de A. La acele¡acirjn absoL¡ia de B debe sár igual a Ia surna
F
ap:a6Ia731¡ : aa * (as¡6), -f
(o¡¡,*l a)
(15.23)
(az/¿),
donde (a37¿), tiene la magnitud la2 y está dírigída haciaA, en talto qle laau)l tiene la magnitud lcy y es-peryendiJuf", ¿á.1" " g:: l,g lry forma de indicar si-la cornplnente rorg"""i"i "ár"rti_ i *_lgd" ,"rr]l)., hacil la izquierda o hacia la je,.echa y. po-. Iri",rüi #rr* i (rones posrlltes para esla componenle u!e( se indican en Ia figura 1S.23. De rnodo sjrnilar. se indican ambos sentidos posible, p*ra ?r. ,"' ,a qu" no se sirbe si ei punto B se acelera f,""." r.rlb"-o i,n"i"";;;" - La ecu¡ciúrr r15.13) se ha erpresado a" ""n.r"-g"o,-#i¡"o lu Ésura 15.24. Es posible obtene¡.iuat¡o "n polígonos re:. dependiendo del sentido de ao y d.'la "."i;;;;,ff;""_," , i"g","Jr.¡iu"i" va r determinar o" y oÁo,,", ¿.ir., t ¿i"*_;;;" ;:al ,1, i ,S¡ se n se debc conoccr d^ \ 0. sino ¡ámbién c,,,. por consiguie;te. la r eloci_
l,t¡r,'), c)
dad angular de la
va¡Iá debe dete¡min".r" po. ,"p"riáo-_"-*urriJ ino los mélodos jndjcados .n la. secciones 15.6 y l S.Z. Los v¿Jores de 6a \ pueden oblencrse de ese rnodo considerrndo -a d" trrun"r, ,u,.a_ :rvalas co¡nponenlesx y dc los veclores mostrador.o l^ fi2r, tSlZ+. ) Lí er (.aso qe un potigono 4. por ejernplo. se est,ribe de
---r
:r componentes:
-ly r. se resuelve paril ¿B
I
'0
0:a¡11a2sen0. lqcos0 -ez : -Ia2 cos 0 - la sen g ) a. Las dos incógnilas lambién
diante n medición diieoa sobre.r be tenerse cuidado para dibu¡ar pime"ro 1",
(a¡¡,r),,
sc obtienen nrs_
p;rE";;;;;;;;i: ;" "*:;::.'d" ,^
aet¡)",
"";;;;r;;;,¿",
,
Resulla baslante eüdenle que la determinación de las ar.e]eracio_ _ xc¡ es cot.rsloerabtemente más complicada que la determinación de las relocidades. Sin e.rbargo,
",
"t "¡"i"pto
q,i-;"il;ril;;;#$;",
d)
Figura 15.24
l/ d 'r.,n,.
r,,
958
Cinemáiica de cuerpos rígidos
Fotografía 15.3 El engrane central gira alrededor de un eje fijo y se conecta mediante un pasador a tres barras que eslán en movir¡iento plano general.
trcmos A v B de la valilla se estaba¡ n.roüendo a lo lnlgo de cor-redr.{s r-ectrs, y l.,s dirrgr',rrnas dibujados eran rel¿rtivaireute siritples. Si .'y B se hubiernn nror.ido a lo latgo de coredelas cun'¿rs, liabría sido rt¡ cesalio descorrponel l¿s ¿rceleraciones a.\ y a¡ err I¿rs contPonerttes lt( I nitrl y tangencial y ltr solución del problerna babúa irlplicado seis Ie,tores diferentes. Cuando ul lrreciurislro consta de vari¿s paftes mór-iles que est; conect¿rdns mediarlte pas:rdores, el análisis del nrecadslio puede ele.tualse consider¿rndo cada partc corno Irü cuer?o rígiclo, tcnjer.rclo pre sente que los purtos en los cu¿rles se conectan las dos partes debel ttnel l¿r mism¿i ¿rceleraciór absoluta (véase el problernr resuelto 15.7). F' el caso de elglanes dentados, las cornpotrentes tangenciales cle l¿ ¡celeraciól de los dientes en coüt¿cto son igrnles, iirlrrque sus comPonerltes nolniales son diferc:ntes.
-15.9. ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO PT.¡ruO EN TÉRMINOS DE UN PABÁMETBO c¿rso de ciefios rnec¿nisüos, es posible expresnr las coordel¿rd,¡ de todos los puntos inpofartes del rl.iec¿nismo por medio de e:presiones antrlíticas simples que contiertert un solo par'ámetro. En es tos c¿rsos a \€ces es ventajoso determirar cle lnrrnera directa l¿ v¡:locid¿rd absolut¿ y lrr aceleración ¿üsoluta de los clil'erentes puntos clel mecanismo, ya Ere las componcntes de 1¿r velocid¿d y de la aceleración de un ¡lmto dado pueden obtenerse diférencianclo lrrs coordela
En el
r
+$l t\
t
,lt 'l
'/
I L- --.l- , !'* i
y
17
dasryydeesepunto.
Hay que considelar. otr'¿ vez la varilla AB qwos extrelros se desLizan, de malierr respectiv¿, en una colredera horizont¿l y en untr vetticd (figura 1ó.25). Las coordenad¿s :\:,r y qts cle los extremos de la varilla pueden erpresarse
el
tér'rr.tinos del
árgub 0 que foruan la varill¿i con l¿r
vertlcal
r¿:lsen 0
Figura 15.25
q3:lcos0
(r5.24)
Al dilerencial l¿s ecu¿rciones (15.24) dos veces con lespecto a ,, se escribe
o,¡:i¡:lgcos0 102 sene * lg cos 0 ¿7¡ -i¡: a6 - y¡ - ld.set 0 aa:ÚB : -lg2 aos 0 - l0 sen g Si se recuerda q.," 0 :, yg : o, se obtiene u¡ : -lc,r sen I o¡ : Lr., cos 0 0A
: -la2 sen 0 * lcr cos 0
ur
(15.25)
: -la2 cos g - la sen 0
(15.26
)
Hay que obsewar que el sipro positivo de u¡ o a¿ indica que la velov¡ o la aceleración a.1 está dirigida h¿cia la derecha; un signo positivo para ra o ¿¿ ildic¿ que v/:r o aD rpunta hacia arriba. Las ecuaciones (15.25) pueden utilizalse para determina¡ por ejemplo, o¡ y c,r cu¿rndo se corocen ü¡ y 0. Al sustituir ¿o en (15.26), se puede detellrinar ertonces o¡ y a si se conoce ú^.
cidad
"*¡@"-"..!{l1l
rürredaei. Sr 1
PROBLEMA RESUELTO 15.6
sido r rr:es l¡r-:-
lr=12lrr/s
€i5 \'r--
lc as:-a. i¿ e¡r,p:-"J,
*lJrL=150mm
El centro del engrane doble del problema resuelto 15.2 tiene una velocid¿rd de 1.2 r¡/s hacia la derecha y un¿r acelemción de 3 m/s2 hacia I¿ de¡ech¿. Re_ cordnntlo que Ia cremalle¡a'inf,erior es estacionaria, cleterniine a) Ia acelera ción angulm clel engraue, b) la aceleración de los puntos B, C y D del en_ gr¿lne.
i:-
:1,
i.i
E
lP{:,:
soLUctÓN -
c) Acclernci<ín nrrgulrtr
xA: -r70 y.oA: ticrnpLJ. 5r.
= -rta 4t\: -r7c'
len¿,:i-. r de .','
ongr.nnc. En
el problerira resuelto 15.2,
- -¡,o. 1.2
n/s
3 r¡/s'z
: :
-(0.150
(0.150
m)¿¿ = -8 ra
b) Acelcrnciones. El moümiento cle rodamiento clel engrane se des_ cor-npone en un¿ traslaciór con A y una rotación alrededo¡ de Á.
Er. e:'.
obtiene a^
D¡
)S
clel
rr(o. Diférenciando l¿ última ecuacíón con respecto al
cll {l
Ltos
i¿
rc=le¡.rrCe:..-
ie]:i r¿r:-1 tclr- : ;a
=
Moümiento d€ rod¿t¡iento
Aceleraciótt del punto B. Al su¡nar \€ctori¿rh¡ente las ¿celeraciones correspondientes a la traslación y a la ¡otación, se obtiele
a¡
: : -
a^
+
aB/A
=
aA
+ (au1), + (ao1^),
* ak X r¡lo -.!.or, ,3 nys',¡ ,20 r¡Js',k X 0.100 rrrri r3 rnl:i,i r 'i nvs'ri .6.1U rtu.-:i
a¡
:r¡
{
i",
rb
:
raüc/
1.i.1! rn/sr
T 52.0. {
Acelerución tlel punto C
,',,
I .ll:l''t¡
ac:
an + \:/¡: as + ok X rcl4 ,.r./o (3 m^z)i - (20 ¡ad/s2)k x (-0.1b0 rr¡ - ,3 m,sr'i - ,3 ¡¡,r)r¡ I r9.60 m,s rj
=
ó
lr::
(8
raüs)r(
:r¡.
:
0.150 m)j
9.60 rrr/sl
J {
Aceleración del punkt D
;i:
(¡¡r, rl,
á'.a,-tr.,-.:.r-
.:É-
0.100 rn/¡
aD : -
T{o r- ar -ak X r,,¡ --ir¿, - ,j0 r¡üs:k x ,-0.150 mli" - rg rad,/st2L _0.150 rnti ¡3 m/s2,i - 13 rn,s j ,9.60 m/s!,i ¡,, : 12.95 ¡r/sr I lil..t' < aA
3 In/\z\i
_
959
.N
/"..=-
PROBLEMA RESUELTO 15.7
l=¡Jin.
La r¡anivela AB del mecanismo del problema resuelto 15.3 tiene una veloci dad angular constante en el sentido de Ias m¿necillas del reloj de 2000 rpm. Pirra la posición que se muestra de la manivela, determine la aceleración irngular de la biela BD y la aceleración del punto D.
G
SOLUCION
).
,:3í,,.'I
('-/-.#.-.^ 74o'
A[9{T
\ftr¡i¡nie¡to de l¡r m¿urivol¿ AJl. Puesto que Ia manivela gira alrededor de A con una velocid¿rd ¿ngulu constante r'.r,e : 2000 rpm : 209.4 rad./s, se tiene dá¡ : 0. Po¡ lo tanto, la aceleración de B está dirigida hacia A y li{-ne una rnaqnilud
ou: ,r?on: (+ fO(209.4 raüs)e = 10 962 fVsz ar : l0 962 lt/s2 F 40" Nl
BD.
La velocidad angular ar¡¿ y el valor de
B se obttrüeron en el problena resuelto 15.3,
<'.r¡7¡:62.0 rad/s
\
B = 13.95'
El movirniento de BD
se descompone en una t¡asl¿ción con B )i una rotaal¡ededor de B. La aceleración relativa aDlB se descompone en las componentes llon¡al y tangencial:
'ción
(+ ftX62.0
(.a¡¡16),,: (BD)a26¡1(a1111)¡:
rad/s)2
:
2563 ¡yrz
(BD)a6¡: (+)",f?",1.'ñ#,ui
rvsz
L
13'e5'
(aotn)¡ = 0.6667aao <4 76.05" Si bien (ap7¡), debe ser perpendicular a BD, no se conoce su sentido.
"
.'",*;-l* = f 't;,fMovimiento
plano
-*
Tr¿slación
=
+
Rotación
Al advertir que la aceleración a¡ debe se¡ horizontal,
: = [10 962 t á¡
faD<-'l
-*
t3 s-,.
\r i ..-
iL/ri/
]'l -¡
i
t,
Al igualar
FJ*^
T
13.95"
Jas
aB + (aD/ .+ la.D/;t + 40') [2 563 L 13,95'] + 10.6667a¡ D <4
á¡
componentes
aD/B=
r y y, se obtie¡ien
76.05"1
las siguientes ecuaciones esca-
lares,
3¡
cor¡ponentes:
ao
t
i
,,1
*
se esc¡ibe
=
IO962 cos
* f y componentes:
0:
10962 sen
10'
40'+
2563 cos 13.95' 2563 sen
i
0.6667o¡¡ sen 13.95"
13.95'* 0.6667a¡¡
cos 13.95'
¡esolver simultáneamente las ecuaciones, se obtiene a6¡¡: *9940 a¡r= i9290 fVss. Los signos positivos indicrur que los sentidos mostrados sobre el polígono vectorial son conectos; se esc¡ibe a¡l) : ,9910 rarl/s2 1 {
Al
tad/s2 y
¿r/):9 290 ll/s2
< '(
PROBLEMA RESUELTO 15.8 El varillt(: ABDE se lruevc erl eJ pliuro vcrlical. Si se sllte qr¡c,el l.r posición rnostn(la l¡r m¿nitel¿r A1J tio¡c u¡¿i velociil¿d inguliu constnrte ;r .le 20 r'acVs er cl se¡ticb contr io ¿11 cle de l¿rs ntnecillas tlel rcloj. rletcr.nrirrc l¿s velocid¿des angulrrles v las ¿celer-LrLiu¡cs i¡r$ ,¡Fs de lrL l,i.l¡ Ff r ,Le l¿ rlanir'¡.la DIi
soLUcréN
r¡:6i+14j
l1i + lij rDlB = I2i + ü
b=
Este problcmir poclr'í¿ resolvc¡sc riledialte el ruétodo qLrc so ntilizii en tl pr rr ble¡r¿r resuelto I ó.7. Eli este c¿so, sin er ll,i¡-go. sc urt.o á cl lrttotl , r e.+, ¡.j¿1. L,os vcctores tle posicrióu r¡, r,) y r.¿rl¿r sc ciligen cotno se llluestt-¿1 a,n 1,1 l¡rs quejo. \ clocidlrlcs. Pucsto qrre el rDovillie¡to de cacl¿t eleurento cle,l r ¿rüll¡ je estÍr contcniclo cl el plauo cle la ligrrra, sc ticne .d.vJ
= .'r.,{¡k: (20 r.rüs)k
:
aBDk aDt :
tjt)Lk
ctncle k es un vector rrnitario quc .rpunta hacia ftera clcl papel.
ci(i¡
\
contiure
se escr-ibe
d,,/kx.
@DFk
Vt): r.D :
x
vE + tD (¡),,\nk
X
/u
r¡ * anrk X r,,¡,
- t;i -lukx \i trj -
t;¡
-lic,t¡¡¡.j 17o¡7.i: 160j
Al igunlal los coeficie¡tes de los vcctoles guieltes
uDit¿1jos
x Iti
u-,",.k
2li0i + 12to¡¡j
-
tj
3ro67,i
i vj, sc ol)tiererr lds sr-
clos ecrl¿lci(rr{:s csc¿ll:lrc-s:
Ii-aDt,: 28O :)a)Bt) 160 i 12ccr¡7¡ -Iia'o: ar,,,, : r11) i)t) r'rulr'stk ¿4l)r : ill lf; -1-
I
Accl¡:r¡cir¡ncs. Al lotal tlirc en el instarltc AB tiere
un¿¡
=
l¡
,k {
r¡¡rnivel¿
vcl
a.r¡
: 0
atBD:
¿D: C¡rcl¿
cr¡lsiclcl¿rc1o
rL,l
(tltDk @DF : a'J + ¿Dlts
ctDr.k
(l)
tó¡mino de l¿ ccu¡cirin (1) se evahíir por sepirrado:
aD:
:
¿Yl)¿.k
X
f/)
(
dD¿jk x 11o,,¡ j
a2ot:ru
l7i +
r-/j)
(tr.29)¿( t7i + 11)
l,o,¡i ll;Oi-ll:(j att ar¡k X r¡_ ,,r:,¡r,. 0 lrl s¡ = -3200i 5 600j
aD/B:
Al sustitrril
rrBDk
_
r-1¡
X fr)/R a2¡>rt¡/s
: dsl)k x (12i + 3j) (29.33)t(12i + 3j) : I2daDj - 3a¡¡;i - 10 320i - t;30j en l¿ ecriaci(ir (l) c igualar los coeflcieltes de i v j, se obticle I t-a¡1. I 3a¡71: -15690 -lia71¡ l2a7¡¡¡ = 6010 tr,,,, : lli li |rLrlr'sr)k a/, : l\0!) r.¡rl,s:tk .(
961
Esta lección se detlicó a la tleterminaciól dt'.Ias aceleraciottes de los puntos de rur ctu:t1xt rígido en nroDintíet1to pLano. Co:nto se hizo prev'iamcnte parn ve)ocidades, se considerará de nuer,o el rnor''irniento plalo de un cuer?o úgiclo como la sunra de dos rno\irnieDtos, a sal¡er, anr¿ trasLa.cíón LJ uno rotocíó|7. Par¿ resolver un pxrblerrrir que s¿rio seguir estos pírsos:
L
inplica aceler¿rciones en rnovimicrrto plano es nece-
Deternünar lo tck¡ciclud atgular del crteryo. Par-i cncontl'ar t'r es posible
a) Oolsidelc cl n.iovilirie¡to tlel crtelpo ción. corno se hizo
<:n
comt¡
l¿r surn¿r
de )a tr-asl:rclón y la rola-
la sección 15.6. o
D) Utilice el centro dc rotación instaltíirleo del cuerpo corno en l¿ secciórl 15.7 utili;ar el centrt¡ illstant(íw'o paro. detenú'
Sin cmbargo, reurtrd.e c¡ue no es posíble n¿r o.celeraciotlr .
2. lniciat tlíbujatdo
unu "ecuqci¡l de diugrumu" cltte us¿uá cn su soluciól: Es "ccuación" ilcluir¿i los siguicntes diagr:rluas (figula 15.4'1): t¿¡
u) Dítrgrutnu cle n¡
l¿rs dimc-'lsiones, así cor¡o l¿ velr¡cid,rd angr ar
chry¿r
todas
algular I
c
b) Diagrumo cle lrosloción. .lllija un punto de rcfcrcncin A pnra el que conozl¿ clireccitjn, la rnrgritud o LIna cornpo erte de la aceler'¿cióIi a¡. Dibujc un segunclo cliagrarua que rnuestre el cuetpo el tr'¿rslaci(lr cn el que cada purrto tenga Li
I
c¿r
:l
rnisrrr¿r ¿celer¿rclón
que el punlo A.
cl Díugruma tle rotttción, Consicler¿ldo
el punto A con.io un punto de refernuestre al cuerpo err rot¿ción alrededor rencia fijo, tlillrje rrn telcer diagrama que nonnal tnngenci¿rl dc las acelernciones relativas clc dc A. Incliclue las compoleltes ¡r los otr-os prrrrtos, del nismo modo que las componentes (ap1¡), y (,a¡ I.a'1, de la acelernción del punto B cor respecto ril punto ul.
3. Escribir kt fórmula de lu acelera<:í¡itt relatittt aB: a¡ I a¡1t
o
:l¡;
- r1 |
(a¡7-a),,
*
(a7r, r),
Los problenras resui:ltr¡s ihrstr¿rn tles forrnas difolcntr:s de utilizal esta ecuacitin vcc-
torialr
a) Si a sc rlo o puede deternúnurse con -fucílídud, es posible utllizar esta ccuacitin parir determin¿rr las aceler¿rciones de diferertes puntos del cuerpo lproble ma rrsuelto 15.b1.
L
962
Itt \i
(\ ¡¡¡
,t
l¡uulc letcrmitur ctt,n rttrílitlutl. ,lijrt par,r nl prrrrlrr fi 61r.6 ¡¡¡¡¡_ lo en el qre usterl (.oroz(.il l¿ direcr icin. la rn¡,rg¡riluJ . ,,,,n,,.o,n1,o,,",,1" d,. lrr r¡t.elc_ ¡r|iÚr, aB y tlihui,. rrn ,li,rsr.r¡n., ,."r,,,i,,i ,r".l" .,"1, i,i"."a,lil)", o" .rr el r,|i.r,,o pttnto díbrrje lotias lirs Lorirnone¡rlei coro.iJrrs,J. l" *iquir rr,lo *l
Ílllj;il::"* Jl:lli,:;.l,llJ:il
,r."
úl;',;;;,:;;
,.,,,h ,ni.,,,ü,o
",,,i";,;l;, ;,",.lcr, ,i" r".:",':,:;;1,
clireccio'es
¡,¡e,.¡_ cr ,ii,,q ,,
apropiadasl ;:::i::;:::T:e'tr.ra-s 'r" '",,"'lli.r rrrnrler'r ell rrn punto conún.
Las maglitudes de los clos vecto -;'ñ:;:i::,l.]XÍ:"t:',,1.j.;';\:.::il,l';
camentJ. po¡ ro
:f i::
"nn,,i;;;;r.es'elto :.11.;:ill_ nes simultáue¿s lproblema 15.7]. Si,, r. ornPonenlrs rle dife¡crrtes reclo.rs lr. '-11'" ;" ",rü.,.g;, r r, ,n.,i";-,;^-::._'.^, "urria"ron peryÁ a rt'o rle los tores incógnjta, res'lt¿ fáctjbte ,,i:;::]]'lT,i:!.:::.iór 'dicrrhr UIc¡tr'r' U ,t,r.l¡;rt.iól¡,.on lllra 'eciOl¡
,;';;;.i.n
I
inr.dqnill.
Ur¡o de los rlos veclores obte¡ido rnetfiante cl rrrétorlo que acabir de clescribirse ser¿i a¡ 1,. d.t cu,rl e. po.ibt,,r.rt,.,,r", cv , ,-,;, :.:",t;,;, ;,;;'; rir,,(.u,r(.jó,, \c(. y rurijtl se uLiliz.L
p,,i
J,.r"r.r,,i,r¡r l¡,r.,.fer.u.¡cjr, ltJ,,;,,;;r;,:,:
c) (ln procedimientr¡ t¡:¡,torirtl. cont¡
ecu¿rción vecto¡i¿rl. Éste sc jlustra
.n
..1
;l;: I,,,¡ro,t.t t.,rerp,,.
.et
pr,,'bl.,r,:,n'r";.i
,
j;;-"'' "t"hl"
pnra rt¡solver
l¿¡
.tr. lil anúIisis clel nt¡¡t¡inientr¡ eslr lec¡ icin E:re ¡rrr.rodo,l.h,- ,l,il:1'j" t'tr,ltr.tttitttts tlc ur Pqrdtnelro currtplelc) ffi ):rl:''-: i' )iI l' ::'; rl 13; i;f i li r'csPe(lo jr / l¡¡ (-oorLlcnaLhs r y y 11" rrr, p¡r¡lo dirdo. p""l- a.,.r,,,,,,";i';:::^::: Iectarrsulures J" i'r r' incill¡d s,,lut., y la *1.1.'".', ',bi: :;, T]lLt"""'tre' '"',,t-"i";:
r[i:j,,tj:r, r ]
;'.'i:i:
;::il:tli
96s
15.103 y 15.104 La b¿ur¿ BDE está unida ¿ dos eslabones AB y CD Si en el instante que se muestn el eslabón AB giru con velocidad angular constante de 3 ¡aüs en el se¡tido de las manecillas del reloj, detern.rine Ia aceleración a) del punto D, b) del punto E.
lFigura Pl5.'104
n
'''.
15, 105 Los colla¡ines B y D se conectan por medio de pasadores a la barra ABD y pueden deslizarse a lo largo de varillas ffjas. En el insti¡nte que se muestra, la velocidad angular de la b¿ra ABD es de cero y ltr aceleración del punto D es igual a 7.2 n/se hacia la derecha. Detemine ¿) la ¿celeración angular de la barra, b) la aceleración del punto B, c) Ia aceleración del punto A.
Figura P15.105 y Pl5,t06
15.106 Los collarines B y D se conectan por medio de pasadores a la barra ABD y pueden deslizarse a lo largo de varillas {ijas. En el instante que se r¡uestra. l¿ velocidad angular de la ba¡¡a ABD es de cero y su aceleración angula','s tle l2 raüs? en el
Figuta P15.107
964
15.107 La aceleración del punto C es de 0.9 ftls2 hacia abajo. y la aceleración angular de la üga es de 0.8 raüs" en el sentido de las m¿necillas del reloj. Si la velocidad aagular de la viga es de cero en el instante considerado, determine la ¿celer¿ción de cada cable.
15,108 Si en el instante moshado la velocidad del collarln A es de cero y su aceleración es de 0.8 fi/se hacia la izquierda, determine ¿) la aceleración angular de la varila ADB, b) la aceleración del punto B. 15.1p9 Una caja
pesada se t¡aslada a una distancia corta usando tres cilind¡os idénticos como roüllos. Si en el instante mostrado la caja tiene velocidad de 200 mm/s y aceleración de 400 mm/s'. arnbas ürigidas hacia la
de¡echa, dete¡mine c) la aceleración angular del ¿celeración del punto A en el cilindro del cent¡o.
cilinüo del centro, lr) la
965
T-
r-':[
L
r.cD-
;F& iÉh
i..---l Figura P15,1OB
Figura Pt5.l09
15.110 En el instante que se muestn, la velocidad angular del neumático es de 2 raüs en el sentido de las manecillas del reloj, y su aceleración angular es de 3 ¡aüs2 en sentido contrario, Si las ruedas giran sin deslizamiento, determine la ubicación del punto sobre el neumático cuya aceleración es de cero para ese insta¡te.
abb¡rqE!a
údd riin
ú-
Eto-{
'15.111 Una meda gira sin desliza¡se sob¡e un cilind¡o ff¡o. Si en el instante que se muestra Ia velocidad angular de la rrreda es de 10 raüs en el sentido dé las manecillas del reloj, y su aceleración angula¡ es de 30 rad/sz en sentido contrario, determine la aceleración de a) el punto A, b) el punto B, c) el punto C.
Figura P15.l l0
resah
qc lerrñ aÉrtrlerria úlÉ
rb¡e-
dd lider¡ilb6
Figura Pl5.
t 11
15.1 12 El volante de 360 mm de radio está ígidamente unido a una üecha de 30 mm de radio que puedp roda¡ a lo largá de rieles paralelos. Si en el instante que se muestra el cent¡o de la fleclia tiene velocidad de 24 1m/s y aceleración de 10 mm./s2, ambas dirigidas hacia abajo y a la izquier' da, dete¡mine la aceleración a) del punto a, b) del punto B.
Figura Pl5.l12
966
15.113y 15-114 Un iarnborde60 i.tir."t i" roo nt. ¿" radi<¡ en
cinemática de cuerpos rígidos
¿.
m¡n de radio está ngidamenle uniI¿ lorma que se.inÜca Uno de Io"
" "ir. rueda sin deslizarse sobre la superffcie tnostrada y- una cuerda se tambores ertremo D,de lr"á"J.t ¿"1otro tambor Si en eiinstante indicado-el ¡rnvsamu¿s ti00 de "ir"ü la cue¡da üene velocidad de 160 mrVs y aceleración A' B Ios puntos de aceleraciones las ft*i. f" tquierda, determine
Itl4á'"t
y C de los tambores.
Figwa
Figwa Pl5.113
P1
5.1 1 4
nre15.115 El movimiento <1e uu cilindro de 3 in de raüo se cont¡ola de velocidad t".str¿da. Si el extremo E de l¿ cue¡da tiene ¡t"",.. i^ """t¿" rle 19 2 in /s2, ambas dirigidas hacia arriba' determine i;. ;;j.;;;b*.tót
la acelei¿ción de los puntos C y D del cilindro'
Figura Pt5.f l5
el tranio 15.116 El tambor de 5 in de radio gira sin deslizarse sobrevelocidad con izquierda a-Ja se mueve hacia aba¡"o y f" ¿" ".,J la acele¡a¡ión del ".i'U""¿r, de 6 in./s. Si en un instante dadá ü velocidid y constaute la {igura' deterr¡ine la acele centro A del tambor son como se nuestra en D. ración del punto
t) irr./s 116
ir./sl
á
Flgura Pi5.116
15.117 El collaín D se desliza sob¡e una varilla horizont¿l fija con 'e.' f""i¿"á'"""rt*t" á" i 2 m/, hu"ia la derecha si en el instante most'¡il t = zOo-**. i.i.tmine la aceler¿ción angular de a) la bara BD' b) l¿ h¡na AB.
r+
F¡gura P15.117 Y Pl5.1l8
15.118 El coll¿rín D se desliza por una "arilla horizontal fija con f""i¿"á'."ái.t""i" á" b.6 -.¡, ha"ia la derecha Si en el instante indic'ó la bar¡¿ -ll = ó, ¿"i".-it" Ia acele¡ación angular de a) labana BD' b)
"
fe útri'
ale 106
¡d¿
se
oD& amb¿s
E -{- 6
15.119 Si la.manivela AB gira alrededor del punto A con velocidad angular constar¡tc de 900 rym en el sentjdo de las manecillas del reloi, de_ termrne la aceleración del pislón p cuando 6 - 60..
Prob¡emas
15.120 Si la_manivela AB gira alrededor del punto A con velocidad angular constante de 900 ¡pm en el senüdo de las manecillas clel reloi. de_ termine la ar.c¡eración del pistón p cuando g _ 120". 15,121 Elbrazo AB tiene velocidad angular comta¡te de 16 rad/s en sen_ tido contra¡io al de las manecillas del reloj. ñara el instante e" o* á = ó."a" termine la acelemción a) del collarín D, bideJ punto medio G dá h bana ¡t.
Figura P15.119 y P1S.t20
sr'idád * :terúb¿ rd¿
el
t¡ar"r
elocid¿d
ción del
h
Figura pis.12t y p1s.122
15.122 El brazo AB
tiene velocidad angular constante de 16 ¡aüs en pYara el instante * qo" O : ó0", dete¡mine la acele¡ación a) del collaÍn D. ü) del punto meüo i á"'U ¡".r" BD. sentido contrario al de las manecillas del ¡eloj.
¿cele-.
15.123 El colla¡ín D se desüza por una varilla vertical fiia. Si el üsct¡ qe,nc eloc]dad angxlar constrnrc de tb raüs ,"nti¿o J" l'., lrn"¡lt* I ocl leloJ. dclermine la acFleración orgular de"nla"lba¡ra BD \ la aceleración del colLarín D cuando¿r e-O.b'O -90.,c1 á - iSO". 1,5.124 En el compresor de aire con dos cilincl¡os que muestra Ia fi_ gura las bie¡as BD y BE tienen longitud de 7.5 in.. y Ia manivela ¡B ei¡a al_ rcdedor del punto fijo A con velocid¡d anguJar coniLante de I 500 mri en el sentido de las manecillas del reJoj. Delermine la acele¡ación de caáa pisfón cuando 0 : 0.
¡con\enostr¿do b l¿ ba-
r cori
re-
indicado arr¿ -{'B.
Flgun P15.124
Figuta
P1 5.1 23
967
968
Cinemática de cuerpos rígidos
15.125 Si en el instante mostrado la ba¡ra AB tiene velocidad angular constante de 5 rad/s en sentido contrado al de las manecillas del reloj, determine ¿) la acele¡ación angular de labarta BD, b) la aceleración angular de 1¿ ba¡¡a DE. 15.126 Si en el instante que se muestra la barra AB tiene velocidad angrl¿r const¡nte de 4 rad./s en el sentido de las manecillas del reloj, determine l¿ aceler¿ción angular de l¿ b¿rra ¿) BD,b) DE.
\
Figura P15.125
I
120 mm
15.127
Si en el instante que se indica la barraAB tiene velocidad an-
gular constante de 19 ¡ad/s en el sentido de las r¡anecillas del reloj, determine a) la aceleración angular de la brlrra BGD, b) la aceleración angular de la bara DE.
c
I
15.128 Si en el instante que se indica la barra DE tiene velocidad an gul¿r constante de 18 r¿üs en el sentído de Ias manecillas del reloj, determine a) la nceleración del punto B, ü) la aceleración del punto G. 15,129 La crrz BHDF se sostiene por nredio de dos eslabones AB -v D.E. Si en el instmte most¡¿do el eslabón AB gira con velocidad angular consF¡qura P15.127 y Pf 5.'128
tante de 4 raüs en el sentido de l¿rs manecillas del reloj, determine a) la velocidad angular de la cr-uz, b) la aceleración angular de Ia cruz, c) Ia aceleración del punto H.
d
)
n,
4in. 4i¡ Figura P15.129
Figurc P15.130
15-130 En el instante que se muestra, la velocidad angular de Ia barra DE es de 4 rad/s en el sentido de las manecillas deJ reloj. ¡ su aceleración angular coresponde ¡ l0 rrd/sr cn sentjdo contrario al de las manecillas del reloj. Determine a) la aceleración angular de la barra BGD, b) la aceleración del punto G.
15.131
-.
el nrec¿nis¡rr¡ que muestllr el problel.ra 15.6E, tletelni, iugular de a) i¿ b¿rrr¿r BlJ, b) labata DL,.
P¿rra
.¿ ¿rceler¿rción
15.132 Si en el inst¿rDte rnt¡strado Ia b¿¡¿ AB tienc velocidaci iurgurle 15 nicVs el,l sentido contr.a¡o al dc l:rs rnaleciilts del reloj, -oustante =.::rrrine d) la acele¡ación aligrrlal de l¿ l¡¡tra DE, b) la aceleración del ' .".ia D.
Figura
::l
P1 5.1
32
15,133y 15.134
Resuelva el problerr¿ indic¿rdo I'ecur.r'iendo por corr al conto se hizo eD cl prol)lenl¿l r.esuelto 15.8. Proble¡ra 15.126. Ploble¡r¿ 15.132.
dl proceümiento
15.133 75.734
\€cto
'1 5.135 Si se .lenota rncdi¿nte rA el vecto¡ de posición del pulto ,1 cle , piacn rígida que se etcLteltra en moviltiento plano, clelruestre que a) :ctor de posición r¡; clel centro inst¿nt¡rneo de rotación es
,
- x\ "' - "t ' angular ,1" lo pl,lln y..,
-k'
. I
d aA:lty,r+(,)Xv.,r
r
::Je
c : ak es l¿r ¿rcele¡¿citin arrgular de ln placa.
Figura P15-'135
"15.
'
136 Ll
ntanir ela AB gir,r en sentido ct¡rtrario ¿rl cle las uriurecill¿rs o- Usc el rnétoclc¡ cle ll secciórr I5.9 clcduzca una expresión pala la velocidad algular de la vnriila DE en tér¡i-
i"i reloj con
r
eJocirlacl arLgr ar cunst.rnte
:rosc1e0v¿,r.
l.
l,i b..
tr.rler.::t.rr réc
D.
b
i1,..
l.-,, _l
Figurc Pl
5.1
36
Probremas
969
\_
Cinemática de cuerpos riqidos
-15.137 El collaÍn D se desliza por
una varilla veftical ffja. El disco gira con velocidad angular constante ¿¡ en el sentido de las manecillas del reloj. Aplicando el método de la sección 15.9, deduzca una erpresión para la velocidad del punto D en términos de 0, a, b y L
c c
I
d d
h
Figura Pl5.l37 y Pi5.138
.15.138 El collaln D se desliza por una varilla vertic¿l ffja. El disco gira cor velocidad angular constante o¡ en el sentido de las manecillas del reloj. Aplicando el método de la seccjón 15.9, obtenga una expresión para la acele¡ación angular de la varilla BD en términos de 0, o¡b y l.
*15.139 Un
disco de raüo r meda hacia la derecha con velocidad constante v, Denotando meüante P el punto del borde que está en contacto co! el suelo en f : 0, deduzca e),?resiones para las coutponentes hoúzontal r vertical de la velocidacl de P en cualquier tiempo f.
t15.140
*
d !
d !
't
La varilla AB se mueve sobre una pequeña rueda localizada
Io
en C mientras el extremo A se desplaza h¿ci¿ la derecha con velocidad co¡rstante vA. Aplicando el método de la sección 15.9, deduzca expresiones par¿ Ia velocidad angular y la aceleración afgular de la varilla.
L E
¿
11
A
F
F¡gura P15.f40 y P'l5.141
*15,141
La varilla AB se mueve sobre una pequeña rueda colocada en C mient¡as el ext¡emo A se desplaza hacia l¿ derecha con velocidad constante vA. Aplique el método de la sección 15.9 y deduzca erpresiones para la: componentes horizontal y vertical de la velocidad del punto B. Figuta Pl
5.1
42
L\ te Iil
ci
m
ct
fe
*15.142 El r¿mura recortada
pasador C está unido a la varilla CD y se desliza por una en elbraz¡¡ AB. Si la varilla CD se mueve verticalmente ]ra-
cia arriba con una velocidad constante v6, deduzca una expresión para la ace-
leración algular del brazo A8.
'Itr
El diso ;lLrs rbl
n*tr
*
l 5.143 La posición de la varilla AB se controla por medio de un dis_ co de ¡adio r quc se L¡nc a la hor.quilla CD. Si l¿ horq'uill;," ,"r^"-"""1 calmcnte h¡c¡a aniba con velocidad conslante ro. detluzca un¿r erp¡esiólr pa_ ra l.¡ aceleración argu Lur de la varilla Ag. "
15.10. Razón de cambio de un vector respecto a un sistema de referencia en rotación
La rn¡nivela AB gira con velocidad urngular (oostante ú, en el .*1b.144 senlido de las manecillas del reloj. Aplicando el m¿¡ádo d. l, se".ión i5.9, deduzca explesiones para la velocidrd angular de la varilla BD y la velociüd del punto sobre la vailla que coincide c8n pr.i" t;;¿;;t;;;;;:.u,
b,vl.
"l
Figura P15.1/t4 y pt5..l45
dr.. ill*&l
Figuta P15-143
El
.*15.145 LamanivelaAB girl con relocidarl angular const¿¡nte (o en el d" las manecillas del relot Apticando et mürádo de la.ecc¡rin ii.9,
rpanh
T-119: eduzca
dcryflo cd{r eEz¡
dcm;
¡rOS
u na ex?resión para Oe d. rrr. y L
,
Ja
aceleracicin angular de la r rrill¿ gD en térmi-
-15.146
Una rueda de radio r.gim sin desliza¡se a Jo largo del in¡eno¡ y:r cilin.¡-9 lijo de.radio R a vetoclclad ó"""i""¿. ""g,t;;';;;;.;;';: P el punto de la rucü que eslá en ionLaclo con el cilindro en f = -úed¡ante para las componentes horizontal y veftical de la ve_ l--:ll:nga -e¡"resro:es cualquier tiempo f. (La curua que describe el punto p es una
de
:f]1l.o,o:,".* ntpoctcto¡de).
tes pɡr
"_l5.147 En el problema 15.146, demuestre que la trayectoria de p es orla Irnea recta vefical cuando r = fu2. Obtenga expresione, para *" - '. la - veloci_ dad y aceleración correspondientes de p en cuilquiár u"-po i.
15:'1-9.i4!gN DE cAMBto DE uN vEcroR coN RESpEcro A UN SISTEMA DE REFERENCIA EN ROTÁCIéN
r¿d¿ e¡ ('ú5ñ¿n-
r¡¿ nr
I¡
ferencia.
lú¡
úte.hel¿
En la sección 11.10 se analizó que la razón de cambio de un vector es ra mrsma respecto a un sistema de referencia fijo y respeclo a un sis_ tema de referenci¿ en traslación. En esta seccián'se razones de cambio de un vector "á"ri¿"r"ra"l^ e respecto " ,irt"r;; J; ;i;;"rr_ cia fijo-y a un sistema de referencia roiato¡io.l ""S" ;d;;", minar la^razón de cambio de e respeclo a un siste'rrra ^p..;á; de referencia cuando Q se deffne mediante sus conpoüentes en otr-o sistema de re_
xe-
lDebe
recordarse que I¿ selección de un sistema de relerencia fijo es 4rbitra.dA. Cual_ quierlistem¿ dc rel¿remia puede denominarse cono..fi,;o,,; todos ios ¿e,o¿s mnsrderun entonces como r¡óvilc\ "i"temus ".
Figura P15.146
971
972
c nemática de cuerpos rísidos
Consiclerc clr¡s sistemas cb referelci¿s cerrtl¿rdos en O, un sister¡¿r cle ¡elerencia Íijo OXYZ v rl sisterr¿I de refi:renci¡r OrrT: que giran aJlededor del e.je {ijo OA; deje c¡rc O delote la velocidad ¿rngulai del sir-
el ul inst¿nte dado (ligura l5.l6J. Consiclcrr.c lunciól vectofi¿l Q(r) r'cpi-csentada pr¡-elvector-Q filo en O; cu¿urclo el tielrpo ¡ \'¿rría, c¿rrnltiiitr t¡tt,' ll dilcc,:idn colllo Lt rnil$litn(l de Q.-Pucsfo que lir r,¿Lri¿rcitin de Q cs vista difi:r-errcialnrelte por iin obscn.aclol rlue tliliz.:,t O[fZ cotro rur \i\t,-n rit de rclir cl]cit \ I]or Lüt ,,l,.errr¡lor',lr, rr.rrrrp ,r U.rr/: \e ,leb" , r¡r, r.rr r¡rre Lr tlr,.t dc i,,r,,t,io cle Q dcpeld.r tL:J sistenr¿ de rcli'r'clcin clrie se htL elegido. Por.lo t¿rrto. l,r r,r¿,'r',1",,,rll1'io rl, Q, orr.r.'¡,r.l,r,rl sisl¡.rr,rrl, r"ler'-rrt i,, li.io O,n Z se den, ,ti¡ ii fnl rteth,, ,le (Q r¡.11 ¿ _v Ja r¿rzón tle c¿ntbio de e col r.especto aJ sisterl:r dr: rt:fcrcnci¿r lotato o Or4: sc denotari¡ rnediarte (Q)o,u.. La pr-opr¡est¿ es cli:termin¿rr la rcl¿rción (¡re ('xiste eltrc cstas ten¿ rle refé¡elciu Orr¡: ¿hoL¿r
rura
(los r¿zoles tlt, cturbio. P¡irnelo sc dcsconipolie cl r.ectol Q cn cólnporientes a lo lnrgo clc Ios tjcs r, ry r' : rkl sistenra cle r-r:li.rcncirr ri,t.Lt,,rio. \I derr,,tar rne-
dio (le i,
¡oi j v k los colrcspoldierltes \rctores unitar-ios, se escrilre
Q=?.i+?,,j+?"k
(ló.27)
Al dilcrelcj¿r'(15.27) con lcspcclo il f v cr¡¡sider¿rr lijos los vector.es ruriLrnirrs i. j, k, sc obtiele la razrin cle cnnbio de Q con rt:s¡tccto al sis, tct¡n cle rafcrc¡v:í¡t i?t(torio Or!J:: (Ó)c,,,,.
:
?.i + ?,j
+
8.k
(15.25
l'¿r¿ obtcncl la razón de calitbir¡ tle Q c:on respecto o Lü1 sistaltn d. fijo OXIZ, se tl:hn consjder'¿rl lr¡s vcctor.es unitarios i, j, k co, rno r¿ui¿rlrkrs cu¿lndo se rr¿üza la difelenc.iacnir (15.27). Por lo t¿uto, sr ref/rr:trcio
c.
ril "
(ó)o.,',: e,i+ ?,j + ?k+e,+ (lt
*p,,9 * p.# - tll di
(r5re
(frc lir sunr¿r de los primcros tr.es ténr,r, nos el el.rrriorl¡r¡ del l¿rclo delecho dc (1ó.29) r'eplrseuta la nzól cl. canblo (Q),,.,,.. Sc rotr,r, por otro lado, r¡re Ja r.uón de car¡bio (Q)orr. sl: reduciríl ¿ los rilti¡ros tles tér'[lir]os (ló.29) si el vect(r- Q estu\ier. iijo dentro dcl sisk:¡r¿ de ¡eferelciir OrrT:, vrL que(Q)¡¡.,r- sería crtolrcr., ccro. I'elc¡ el ese c¿so (Q).) rz t'epreseltaúa la vclocid¿rd cle Ja parlíc h rlric¿rcl¿r er la prult¿r do Q v correspolclerí¿ ir rrn cuepo rígidanrcr,:. .. rri,lu rrl sislerrr,r,l- r-li rr r,, i;r OlrT:. lte lrl 'r'o,lu lu. últirro* {r., rrriros er (15.29) r'e¡r'escntan la ülocld¿cl cle esa par1ículq puesto (t -. cl sistcur¿ de referelcia O.ry: tiene urrn rclociclad angulal O cor.r resp.-, to ¿ (lXlZ e¡ el inst¿rlte corrsidcrado- se escribe. mtrli¿nte (15.51
i\l
r'ecor-clar-(1ó.28). se ol)ser\¿
¿i ,/k a,¡ t(,.,i, *Q,,¡=flxg Al sustitui¡ (1ó.28) ¡'(I5.ll0) en (15.29), lre¡tal
(Q),,t',
:
t-.
se obticnc Ia rel¿cirir hu
(Ó)o.,,. +
o
x
q
(1;:
conchrsión cs quc la rirzól cle c¿¡rnbio rlel vector Q con rcspe[: fip OX|Z se componc de dos partes: la pr : r¿ r-epresentii l¿r r-¡rzórr dc carlbio de Q con rcspecto al sistenri 11. lcrcrcia lotirtr¡rio {)rr¡:; la seguntla pafie, O x Q, sc induce pol i., ' L¿r
sistern¿r cle r.elt:xrricia
trcií¡r
L--
clel sr'steli¿r de refi:rcncia
Ory;.
-
I El uso de l¿ relacjón (15.31) simplifica l¿r detelliin¿rciól de la r'¿rzírl 1: c¿rnbio del r,ector Q con rcspccto a un sistern¿r de lefelencia {ijo \l Z crr¿urdo eJ r.cctor Q se define medialte sus cornpolentes a lo lar: cle ios ejes de ul sistc¡ra dc refcrencia lotatorio Or4:, ya r¡re esta re-
15.11. Movimiento plano de una partícula relativa a un sistema de referencia en rotación. Aceleración de Cor¡olis
.-uin no requiere el cálcnlo separarlo clc las tleriv¿d¿s de los lectores --:.rrios que defilen l¿r orient¿ción clcl sjstcma de referelci¿r rotatorio. .5.11.
MOVIMIENTO PLANOáE UNA PARTÍCULA RELATIVA UN SISTEMA DE REFERENCIA EN ROTACIóN. {CELERACIÓN DE CORIOLIS
:
'rnsidele clos siste¡r¿rs cle referencia, ¿urbos centr¿rdos en O I'e¡ el .rno dc la ligura, un sistcma de rcfelcnci¿r lijo OXI y uu sistcn¿r c1c .ie¡encia en lotación Ory (figura 15.27). Sea P nna prrtícula qrrr: sc irelc cr cl plano dc la figura. El vcctor clc posición r clc P cs cl rriisr cn arnbos sisternas de rcfex:uci¡. ¿lrnqlre slr ¡-azí¡r rle c¿unbio cle- nclc dcl sislcrnii dc rcii:renci¿r quc, sc l.ra elegiclo.
Lr velc¡ciüd
¿rbsohrtir v¡ de lir piutícr a se define corno 1¿r relocidird desde el sjsterna de reférencia fijo O-X-i'v es igual a lu nrztin : c¿ulbio (i).),\).dc r co1l rcspccto a csc sistcllr¿l clc rcfcrcDcia. Sin cr¡.rqo, cs posilrk: er7-cs¿r-v¡ cn ténninos rle l¿ t¿sr rle carrllio (i)¡,,, que ,.- ol)serva desde el sistem¿r de refér'enci¿ er lot¿lci¿m si reculirnos ¿r l¿r - rr.rcióri (15.31). Denot¿rndo rnedi¿nte O Lr velocirLicl rrngrlal del siste : cle lefbrencitr Ory con respecto ¿r O,{}- er el inst¿nte que se conside -- se escribe : ¡en
¿rd¿r
v¡: k
(i)p11
:O x r+(i),,,,,
I
se
Figura 15.27
(15.,12l
.. ro (iJ¡¡,,, dcfinc la vclocidad dc la p:utícula P rzLatiua al sislenw cle ¡v'|¡tci c núat:ítit On¡. Al denotar el sisterna rlc relerencia r:u ¡rt¿citirr -cüalte
vo
repleselta la r.elocidad (i),r.,, dc P r cl¿rdva i¡l
\/"=l):
I
sistcm¿r (le
.irelcia por v¡73. In.rirgine que uln placa ígicla se lra utido ¿rl sisterla . relerenci¿r en rot¿ción. Er ese c¿lso ü¡l3i lepresenta l¿ r'elocriil¿d de P 'r ltrrgo de la travectoria que éste describe sobre lrr plaor (figula 15.28),
I
.l ténnino O x r en (15.32) representa l¿ r'elocid¿rd v¡, del pturto l'' ,. la placa del sisterna dc rclcrcnci¿ cn rotaciótr quc coincidc con .
-o r|re - :n el iüstarte
v?:
,
])c tal
se esth consiclerando-
vp, + vp/?j
r,
v¡ - velocjd¿d ¿rbsoluta de la prrltículrr
rcle
v?,
:
v¡79
:
rnr¡clo, se tiene
15.J3)
P
velocidad de punto P' dcl sistcrra clc rclclcr¡cia c¡ rnorj rnientr¡ I coincitlierdr¡ con P velocidad de P rel¿rtiva ¿l sisterna tle refercrrci¿i r:n mr¡r.i-
I
liriento
La irceler'¿cirjn ¿bsoluta a¡ de la pattícu1u se define corlio la r¿zól de -.urbio de v¿ con respecto al sistena de relerencia fijo OXf'. Al c¿rlcular'
-'
razones de cambio corl respecto ¿ O-X-I- ck: los ténrinos en ( 15.i32), se
-:.úbe a¡,
-
ir,
: óxr+oxi
+
*l(i),r.,/l
(r5 34)
derivatlas se delilel con respecto:r O-Xr", exce¡rto cbrrde otro rnodo. Con ref'erenci¿ a la ecuaciól (15.31), se ad:efte que el último tér-mino en (15.34) pnede exples,rrse corno
, rnde todas las
:¡
se indic¿r
,l ,, alt
',
i)r,,
,t.r,,, _
ox
i,,.
,,
Figura '15.28
973
974
Cinemática de cuerpos
rígidos
¿
Por otro lado, i representa la velocidad v¿ y puede sustituirse por el miembro del lado derecho de la ecuación (15.32). Después de completar estas dos sustituciones en (15.34), se escribe (15.35) Con referencia a la expresión (I5.8) que se obtuvo en la sección 15.3 para la aceleración de una partícu1a en un cue¡po lgido rotatorio alrededor de un eje ffjo, se nota que la suma de los primeros dos términos representa la aceleración a¡, de1 punto P' del sistema de referencia en roF ción que coincide con P en el insta¡te en que se ha considerado. Por ot¡o lado, el último ténrrino define la aceleraciót ap/s; de P relllTva al sisterm de referencia en rotación. Si no fuera por el tercer téI'mino el cual no se ha tomado en cuenta, podla haberse escrito una relación similar a (15.331 para las aceleraciones y a¡ podría expresarse como la suma de av' y ap¡s' Sin embargo, es claro qtte una relmión d.e este ti'po sería in!:orrecta y debemos incluir el térrrrino adicional. Este término, que se denotará por ase denomina ac:eleracíón conxplalwntaritl, o aceleratión de Corialis, ett honor al matemáüco fra¡lcés De Coriolis (1792-1843). Se escribe
a.p=ap,+.Ap/s'+ac
(r5.36)
:
aceleración absoluta de la partícula P del punto P' del sistema de referencia en moaceleración = ümiento que coincide con P aplsÉ = aceleración de P relativo al sistema de referencia
donde a¿ ap,
a- : -
I
2O x
(i1¿.,,
: 2fl x vpTe'
I
aceleración aompjemenlarin. o de Coriolisl
Al obserwar que eI punto P' se úlueve en un círcufo ai¡ededo¡ del oigen O, su acefetacjón ap, tiene, en general, dos componentes: una componente (a¡,), tangente al círculo y una componente (ar)" üñgida hacia O. De nanera similar, la aceleración ap¡s; por lo general cuenta con dos componentes: una componente (avg,)t tangente a la trayec-
=2f¡xq,/n
toda que describe P sobre la placa en rotación, y ura componente (ap7s)" dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria. Además adviefta que puesto que el vector O es perpendicular al plano de moümiento y, en consecuencía, avp/s,la riragnitud de la aceleración de Coriolis a. : 2f) X vplsr es igu a 2Au7s,, y su d:.rección se puede obtener al girar el vector v¿7e 90" en el sentido de rotación del sistema de referencia en movimiento (figura 15.29). La aceleración de Coriolis se reduce a cero cuando ya sea O o vplg es cero. El siguiente ejemplo ayudará a compránder el signiTióado físico de la aceleración de Coriolis. Considere un collaín P que se hace desli-
Figura 15.29
fEs iüportante notar la diferencia ent¡e la ecuación (15.36) y la ecuación (15.21) de la sección 15.8. Cwrndo se escdbió
(rs.2r) en la sección 15.8, se exp¡esó la aceleración absoluta del purto B como la süma de su aceler¿ción aslÁ rel¿t1va a u^ sist4ilvt ¿z rqeÍencía en traslación y la a4 de un punto de ese sistema de rcfercncia. Alora se trata de relacion¿r la^celer^cíón ¿celeración ¿bsoluta del punto P con su aceleración a77s' rel¿tl^ .ort srskma de r4erencid eú rotacíón g y a l^ ^ aceleración a¡, del punto P' de ese sistema de referencia que coincide con ?; la ecuación (15.36) muestra que debido a que el sistema de referencia está en mtación, es necesario inclui¡ un término adicion¿l que represeüta la ¿celeución de Coriolis a".
,¡r\*
.t
zilr' ¿ unr vebcidad relativa constanto u a lo l¿rgo de unn varill¿ Oll 1ue gira a un¿r velocidad angulrrl constrntr: <¿ al¡ededor de O (ligula 5.30a). De acuerdo con la fórmula (15.36), la accleración absolutri de P puede obtenelse surratdo vectori¿hirente l¿r aceleración aa del pun: r -1 de la v¿rdlla (:lue coincide col P, la aceleración rclativa a¡7¡¡¡ de I corr rcspecto ¿r l¿r v¿rrill¿r y la acclelación de Coriolis ac. Puesto qr¡e . , r elocidad angultrr
lír¡
TT' : ,, llln At
r/-u i-,
AO
i:r
1r jli¡n,,¡tfrli.-r ¡1¡irc na Lrra patlicula r,:, rr | ¡ :: I ri s .Jema cle -3iare¡cia ¡r ,i:r,-- rii ;r..lerJci.¡ .le Coriolis
:.r@@:r@_aA
A/
b)
:
..ector-RR' mide el c¿ltbio r:¡ la clirección cle u dcbido ¿ la rot¿rciól ,, , , ;;n;i - L¿ \.rr- lir; elvcctor' -/ '1 ' rnidu cl c¿unbio el tragnitutl
,
-
lr
:
t RR' r¡ lf
--1'\ ^f
:
.r
t LH
Ar-r
lí¡¡ ItI,'t At ) r¡-', \ A/ \t
-t:
I
:
-
: ua I att :
i
F¡gura 15'30
2anl
)
Lrrs fórn-rulas (15.33)
v (15.36) se puetlen rsar para irntr\izar el mo ::rriento de neclnismos que conticncn partes rlte sr rl.*ljz.r¡ unit res .icto ¿r otlas. PosibilitaD, por ejeliplo, relacion¿u mor,-irnieltos iüsolu :i¡s v rclativos de pasadores y collarines dcslizantes (r'éanse los rrol)leurin rr.:sueltos 15.9 v 15.10). El concepto thr ¿rceleración de Coriolis talibién cs muv írtil en el t:studio cJe ployectilcs clc largo alcrurce v de otros clrer?os cuyos moürnicntos lesult.rn rfectrdrrs tle ,r'r.rnera apreciable por la r-otación de la Tierr¿. Ct¡r¡o se señaló el la scccicjtr 12.2, ul sisterna de e.jr:s unitlos a la Tierr-a no constituve en ver(l¿d ulr ¡ister¡r¿ de refererrci¿t ne\\¡toDiano; un sistcrr¿ de ejes de este tipo c¡ realidad debe considerirrse como rot¿rtorio. L¿s fónnulas que se obtrrriel'r¡¡ en est¿ sección facilitarál cotseclre]ttelDcnte el estudio del nru rjrl. iento de cuer?os col rcspecto ¿r eies fiios a la Ticra.
&
f-.,ltri
975
PROBLEMA RESUELTO 15.9 El mec¿¡ismo de Gineb¡a o Cn:z de Malta que se muestra se utiliza en muchos instmmentos de conteo y en otras aplicaciones donde se ¡eqldere un moümiento giratorio inte¡mitente, EI disco D gira con una velocidad angula¡ cons_ tante (oD en el sentido contr.ario al de l¿s m¡necillas del reloj de l0- ¡ad/s. Un pasador P se coloca en el disco D y desliza a Io lrugo de varias ranuras que se cotan en el disco
S. Es deseable que la velocidad angular del disco S sea ce¡o cuando el pasador entra y siüe de cada ranura; en el caso de cuatro ünuras, esto ocr,rrirá si la distuncia cnlre los centro. de los discos es 1 V2 fi_ En el iüstante e1 que ó = 150", dete¡l.fne ¿) la velocidad angular del 9l disco S, b) la velocidad del pasado¡ P ¡elativa al disco S.
-
_
soLUctóN resuelve el triángulo OPB, el cu.rl coüespolde a Ia posición ó Utilizando l¿ lev de los cosenos, se esc be Se
12:
R2
+
12
-
zRl
cos
30"
:0.551Re r:0,742R:
=
ISO".
37.1 ¡rm
De la ley de los senos, sen 30'
sen É
selB:
sen
30'
o.712
B
:
42.4"
Puesto que el pasador P está unido al disco D, y en üsta de que D gira al¡edcdor del punto B la mrrgnitud de le relocidad ¡bsoluta de p es D¡
= Rr.¡ =
(50 nim)(10 r ad./s)
:
500 mm/s
v¡ = 500 mm/s
F
60'
Hay que considerar ¿üora el movimiento del pasador P a lo largo de la ranur.r eu el disco S. Al denotar por P' el punto del disco S que cóincide con P rr el inslanle que se consiJera 1 al seleccionar un siitenrd cle relerencia en rotación .9 unido al clisco 5, se escr-ibe
vp:
vp, + vp/s
Al notar que vo,
es perpendicular al ¡adio Op y qúe vp/s está dirigida a lo largo de lo ranu¡a. se dibuja el tr;ángulo de Ia ""locidad cor.responidiente a la ecu¡ción anterior. De a¡ uerdo con eL tridngulo. se celc.ula
- 90' 42.1. 30": 17.6. = Dp sen 7 : (500 mm/s) sen 17.6" vp, : 151.2 mrvs N 42.4. l)p/s : Lp cos y : (500 mm,is) cos 17.6. yt,/s : v1,/.9 : 4i7 n¡l/s [? y
1)p,
42.1"
Puesto que vp, es perpendicular al radio Op, se escribe
Dp': r@s
15I.2 mm,/s: (37.1 mm)cog (,r! = ¿!.)-<: 4.08
racl/s
I {
PROBLEMA RESUELTO 15.1 O En el mecanismo de Ginebr¡ o C¡uz de Malta del problerra ¡esuelto 15.9, el disco D gira con una velocid:rd anguhr constante L¡ en senticlo contrario ¿rl cle l¿rs nranecillas dei reloj y de mrLgnituü igu.rJ a 10 r¡üs. En el ilstante on ,lr¡e ó - l5t)o dFter',ri,,- l.¡ ¡r.clcll iún ¡nguLLr del div o 5
: r:¡t lo-
-:¡ co¡s'.:i
s.
Un
¡. llre
se
rr'.l!. es-
SOLUCIÓN -:l¡.¡ del
Si se recure :r1 problerna ¡esuelto 15.9, se obtjene la velocidacl angular del sistema de refe¡encia 5 rniclo ¿l disco S v la velociclad cleJ pasaclor"relativ:r a S: r,r3
P = 12
= l-l
4"
:
Prresto que eJ pasador P se ltueve se cscrjbe
150'.
r
Cad¿r
4.08 raüs
vpp
:
17 r-
I
F
nn/s
co¡ lespecto
¿ll
12.4"
sister¡a de relercncia S,
= ap, + ar/s + a,. ^p ténnino de esta ecu{ción vectorial se irvestig:i por separaclo.
(1)
a¡.
Puesto que el disco D gira con unir veloci_ _ _ Acclcr¿rci¡in absoluta d:rd angular constante, l¿r ¿rcele¡ación absoiuta a¡ se clirig"e hacia B. Se tiene
ap
:¡¿,.1
a¡
= R'f¡ =
:
(500 rnm)(10 r.aüs)2
:
5000 r¡rr./s2
5000 ¡.rrn/s? =5 30.
Aceler¡ción 1", dcl ¡runto cr¡inciclcnte p,. La acelención a¡, clel purto P' del sistern¿r de refér.encia 5 que coincjcile con p en el instante con_ sidc¡¿rlo srdescoLnponr en lirs corrrp;neites nolmal y tangelcial. (Recue¡
J. tl"l fr,'blcrn¡ :r:¿::Ll
r-5¡¡clt,, l5 9.1un
(ar,),,
-
:
ra2"
:
i - r:.1'n,n,
(37.1 mn)(,1.08 r.aüs)2
(.",),, = OtS mm/s2 ¿- 42.1' .,,,. - ra - 3i.lu .a¡, ,
616 ,,,,,.,r"2
- 3i lo
A" .j¿.+.
r.clatilnl¡,,s.
Puesto quc, eJ pasatlo¡ p se mueve en un¿r cort¿rdn en el disco S, la aceler¿cirjn ielatir a ap,-, clebe ser D.rr.a_
Acelcr¿¡cir'¡n
rarufti recta
:
lnl:r a l¿ rarunL, e\io cs. iu dire(. idn J, bp
Aceler¿cií¡n dc Cor.iolis
.n el srnljdo de ¿o ublerernos lir acelemcion
\
s.r¿l 1j.4".
a,..
Si se hace girar la velocldacl relativa la dircc¡ iúrr de la,.orrl,onerh dc Coriol
vp¡_e
. de
42.4". Se escrihe
a, = 2astpl-e
:
2(4.08 r.acys)(477 mm/s) =
a.:3890
mm/st
\
3
890 4¡r/s2
42.4.
Se ¡eesc¡ibe la ecu¿rción (1) y se sustihryen las aceleruciones encontrad¿ls antesl :]0
15000 I
rL/ r¡ =
il;.l(/.
\
,/-
42.4
\
.¿p: l^p),, + (ar,)i + apÉ + a.. 30.1 : l6t8 7 42.1.1+ [37.1dr \ 42.4.] + lay6,4 42.1"1+
13
890
\
42.4"1
Al igualar \.rs cor¡ponentes er, \a dirccción pcqrendicular ¡ l¿ ¡¡mrra, 5000 cos 17.6'
:37.1o_<
3890
ds:
@..
:213;3
I'rx1/s:l
{
977
En esta lección se estudió la razón de cambio de un vector con respecto a un sistema de reférencia en rotación, y luego se aplicó lo aprendjdo al análisis del moümien to plano de una partícula relatir'¿ a un sistema de referenci¿ rot¿torio.
1. Ra;tit
cle cumbi<¡ de un oector con respeclo a un sístema de referencia fijo con respecto u utt sisletna de referencia rotak¡rkl Al denotar por (Q)¿¡¡7 la U r¿rzón de cambio de un vector
I
Q con respecto a un sistema de referenci¿ lijo OXYZ
por (Q)o.u. su razón de canbio con respecto
a un sistema de referencia en rotación
Oryz, se obtuvo la relación fundamental
(Q)oxrz:(Q)o*.+Oxq dr.¡nde
O
es la velocidad angular
(r5.3r
)
del sistema de referenci¿ en rotaci
Est¿ relación fund¿rment¿l se aplicará ahora a la solución de problemas bidirnensionales.
2, LI
Vp: \r?' + Vp/?t n¡:a7r*ar/p¡1a,,
(15.33)
(r5.36)
En estas ecuaciones:
o) pl subínilícc P se reliere al movimiento absoluto de la partícula P, esto es, ¡ su rróürrrirnlo con re
I
que coincide con ? en el instante que se considera.
c) EI urbíntlice l'/S
se
lefiere al n.roünriento de la partícula P relaüvo ¿l sis-
tema de relerenci¡ de lol¿ción "r.
d) El término q. representa la ocelerqciótt tle Ooriolis del punto P. Su nagnitrrd es 2f)ri¡¡g' y su dirección se encuentra al rotar vp11¡ 90" en el sentido de rot¿ción del sistema de referencia 9. No_hay que olvidar que la aceleración de Coriolis debe tomarse en cuenta si una parte del mecanismo que se anrüza se mueve con respecto a otra p¿rte que está girando. Los problelras de esta lección incluyen collarines que se deslizan sob¡e varillai rotrrto rias, plumas que se ertieuden sobre grúas rotatorias en un pLuro vertical, etcétera.
Al resolver un problema que ilrplica ur.r sistema de reférencia en r.otación, se encontr¿rír conveniente dibujar diagranras vectoriales que representen, respectiv¿rmente, las ecuaciones (15.33) y (15.36) y utilizarlos para obtener la solución analític¿ o la so-
lución gráfica.
15-148 Dos varillru
giratorias se conectan por medio del bloque desA gira con velocidad angular consti¡nte úrá en d ¡entido de las manecillas del reloj. Para b : 300 mm y toa = 10 raüs, dela =rnine para posición mostrada a) la velocidad angulru de l¿ varilla unicla ":: B. ü) la velocidad relativa del bloque deslizante P respecto a la v¿¡rilla so!c. I¿ cual se desliza.
b:¡rte P. La varilla unida
en
15.149 El movirniento
del pasador P se guía por medio de ranuras reen las varillas AE y BD. Si las varillas giran con velocidades angula:tr cpnstantes
.¿
¡osición mostrada. F¡qura Pl5,l48
f -r50nm--
Flgura P15.149 '15.150
y f5.151 El pasador P se coloc¿r en la ¡ueda nostrada y se
ie-.liza por una ranura recoltada en la barra BD. La rrreda gira hacia la de -th¿. sin deslizarse, con velocidad angular constante de 20 nd,/s. Si r 24
:
r
cuando 0 = 0, determine la velocidad angular de la barra y la velocidad í-:tir a del prxador P respecto a la varilla para los datos proporcionados. 15.150 a) 0 = 0, b) 0 :90".
15.151 0 :30'.
15,152
Figura P15.150 y P15.151
Si en el instante most¡ado la velocidad angular de la b¿¡¡a AB
¿: le 15 ¡aüs en el sentido de las manecillas del reloj y la velocidad anguk de la barra EF corresponde a 10 raüs en el r¡ismoientido, determine a) L-.elocidad angular de la varilla DE, ü) la velocidad ¡elativa del collaín B
*cto
,=
a
i
a la
varilla DE.
15.153 Si en el instante mostrado la velocidad angular de la varilla DE l0 ¡ad/s en el sentido de las manecillas del reloj, y la velocidad angu-
de la barra EF corresponde a 15 ¡ad,/s en el sentido contrario, detemine r elocidad angula¡ de la bar¡a AB, E) la velocidad relativa del collaín B :escto a la varilla DE.
ci
Figura Pl5.152 y P15.153
979
p
980
15.154 La baraAi9 gira en el sentido de las manecillas d"l."lo¡ -rt velocidad angular constante de 8 rad,/s y la varilla EF gira en el sentido de las manecillas del reloj con velocidad angular constante de 6 ¡aüs. Pa¡a el instante mostrado, determine a) la velocidad angular de Ia barra BD, ü) la velocidad relaüva del collarín D respecto a la varilla EF.
Clnemática de cuerpos rígidos
t
B
k
l(
!
Figuta P15.154 y P15.155
15.155 Labarra AB gira en el sentido
de las manecillas del reloj a velocidad angular constante de 4 raüs. Si la magnitud de Ia velocidad del c<> llaín D es de 20 fVs, y la velocidad angula¡ de la bar:ra BD tiene un sentido contrario al de las manecillas del reloj en el instante mostrado, detern']ine ¿ la velocidad angular de la b¿r¡a EF, b) la velocídad ¡elativa del colla¡ín D respecto a la varilla EF.
Fl
200 mm
200 mrn
lÁ--T H
AI
]--
600
Figuta P15.156
,"'"
--!
t
aa
{_
15,156 En el arreglo para soldadura automática que muestn la ffgura, Ia posición de las dos puntas soldadoras G y H se controla media¡te el ci lind¡o hidúulico D y Ia varilla BC. El cilindro se atorrrilla a una placa vertical que, en el instante mostrado, gira en sentido contrario al de las manecilla. del reloj alrededor de A con velocidad angular constante de 1.6 ¡aüs. Si e¡ el mismo instante Ia longitud EF del ensamble para soldadura se incremeúta a una tasa constante de 300 mm/s, determine a) la velocidad de la puntr
:f
t
+
H, b) la aceleración de la punta H.
15.157 Et eI problema 15.156, determine a) la velocidad de la punta G, b) la aceleración de la punta G.
15.158 Cuatro pasadores se deslizan por cuatro ranuras independientes recortadas en una placa circular tal como se muestra. Cuando Ia placa e*tá en reposo, cada pasado¡ tiene una velocidad dirigida como se indica e iguJ magnitud constante u. Si los pasadores mantienen la r¡isrna velocidad rel; tiva a la placa cuando ésta gira alrededor de O con velocidad angular corltante ú, en sentido cont¡ario al de las manecillas del reloj, determine la actle¡ación de cada pasador
.La
= P; l¿
t¿
r€
F¡gura P15.158
15.159 Resuelva el problema 15.158, suponiendo que la placa ei¡a al¡ededor de O con velocidad angula¡ constantel en el sátido á" hs"man"cillas del reloj.
\t
]a
'15.160 El pasador P está unido al colla¡ín clue se muestra; el movi-
Probremas
::lto del pasador se guía p.n medio de un¿r ¡anu¡a recortada en I¿r barra : D r el collarín qrre se desliz:r sobre la barra AE. La ba¡ra AE gira con ve.:idad angular constante de 6 rad/s en el sentido de las manecillas del ¡e, r i¿r distancia de A a P aumenta a razón constante de 8 fus. Detem-rine. -.:¿i el ilstante n-iostrirdo, a) la aceleración angular.de la harrn BD, b) la ace.:.!ción r-elativa del p¿rsador P respecto ¿r la bara BD.
15.161 El pasador P está unido nl collarí¡ que se muestra; el mori :cnto deJ p:rs:rdor es guiado por medio cle ura ranur¿i r.ecotada en la ba. BD v el collarín qrre se clesliza sob¡e l¿ barra AE. La barra BD gira con .-ocidad angular constante de 6 raüs en sentido contratio al de las rnirne1as del reloj, v la distancia de B ¿ P disninuve a razón constante de 10.5 \ Deterlnine, pilr'a el instante tnostr'¿do. ¿) la acrlet acion angular de T.r ba -, -\E, ü) la aceleración lel¿itiva del pasador P respecto a la barra AE. '15,'162 U¡ cohete trineo se sornete a prueb¿r en rün pista recta que construve a lo lalgo de un me¡idiano. Si l¿ pista se ubica a,10" latitud nor .. cleteniline la acelelación de Coriolis del t¡ineo cu¿rndo éste se r¡ueve L¿. r-r el norte ¿r velociclad cle 600 r¡i4r.
.
15./63
Lajaula del eler'¿dor de una min¿ desciende
a
velocidad cons
-.rte de 12.2 m/s. Deternline l:i magnitutl y dirección de l¿ ¿rcele¡ación rliolis cle )a jaula si el elevaclor se loc:rliza a) en el ecuador, ü)
:
.'rte,
r)
Figura,P15,'160 y P15.161
¿
de
40' latitud
a zt0" l¿titucl sr¡r
15.164 El collaín P se desliza hacia el punto A a velocidad relatil¿ mstante de 6 ft/s a lo largo cle la varill:r AB rlue gira en sentido contrario al :. L¡s rnanecillas rleJ rcloj con velocidad angular. constante de 5 raüs. P¿¡a i¡stlnte que se muestra, deteruile a) lo velocidad y aceler.ación del pun-
:
,l.
ü) la r,elocidatl y aceleración del punto D. 8
in. B
I
16
in.
I Figura P15.164 y Pf5.165
15.165 El collarín P se desliza h¿cia el punto A con velocidacl relaticonsta¡te de 9.6 fVs a 1o largo de la varilla AB, la crral gira en sentido corr :r¿uio ¿l de las manecill¿¡s del reloj a velocidacl angular constante de 4 r¡d,/s. P¿u¿1 el instante qüe se muestra, deternine o) las velocic,lades angulares de l;rs barras PD y DE, ó) las aceler-aciones irngulares de las barras PD y Dn. .
¿
75
15.166 El b¡¿zo AB cont¡ol¿r el movimiento de la tober.a D. En el irrsinte que se indica, el brazo gira en sentido cont¡a¡io ¿1 de las manecillas del -loj a_la-velocidad const¿nte ¿d = 2.4 rad/s, v la extensión BC se alalga a la -locid¿rd constante r.¿ = 250 mm/s respecto al b¡azo. P¿r¿ cada ,rno ile ios -reglos rnostraclos, detel¡ine la acele¡oción de la tobera D.
:
15. 167 Resueh'¿ el problema 15.166, suponiendo que la dirección de ,, relocidad relativ¿1 u se inviefte cle mdlera que se retriiga el tr.ano BD.
b)
Figura P15.166
nm
,
98'l
982
C¡nemática de cuerpos rígidos
15.168 EI collaín E se desliza hacia el punto A con velocidad ¡elativa constante de 3 m/s a lo largo de }a var la AB, la gira en senüdo co47) tra¡io al de las manecilias del reloj a velocidad angular constante de 15 radls. Para cl insLante mostmdo. dctermine la velocidád angular y Ia aceleracicjn angular de Ia varilla DE.
cu
Figrrc P15.168 y P15.169
15.169 El collaín E se desliza alejándose del punto A con velocidad relativa constante de 2 m,/s a lo largo de la vaúlla AB, la cual gira en el sentido de las manecillas del reloj a velocidad argular constante de 10 raüs. Para el instante mostrado, deterr¡ine la velocidad y aceleración del collaín D. 15.170 El pasador P se desliza por una ranura recortada en la placa que se muestra a velocidad relativa constante t : 180 múr/s. Si en el instante indicado la placa gira en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de A con velocidad constante ¿d = 6 raüs, determine Ia aceleración del pa sador si éste se ubica en a) el punto A, b) el punto B, c) el punto C. 15.171 El collaín P se desliza hacia fuer¿ a velocidad relativa constante o a lo largo de la va¡illa AB, la cual gira en sentido cont¡ario al de lls manecillas del reloj con velocidad angular constante de 20 rpm. Si r : l0 in.-cu¿ndo 0 : 0 y el collarín llega a B cuando 0 = 90', determine la magnitud de la aceleración del collaín P justo cuando llegue a B. Figwa P15.171
15.172
La v¿¡illa AD está doblada en forma de un arco de cí¡culo cu150 mm. La posición de la varilla se controla mediante el pa-raüo sador B qrre se desliza por una ramrra horizontal y también se desplaza á lo largo de la vailla. Si en el instante mostrado el pasador B se niuevé haci¿r la de¡echa a velocidad constante de 75 mm/s. deterr¡ine c) )a velocidad angul.rr de l¿ variJla. bt h ac.leración arguJar de la varilla.
yo
b
:
Figura P'l5.172
15.173 Resuelva el problema 15.172 cuando 0 = 90'.
15.174 y
Problemas
15.175 El pasador P está unido a la rueda que se muestm y por una ranura ¡ecortada en Ia birrra BD. La rueda gira hacia la derecha, sin desliza¡se, con velocidad angular constante d.e 20 rad,/s. Si r : 24 in. cuando 0 = 0, determine ¿) la acele¡ación angular de la barra, b) la ace, leración ¡elativa del pasador P respecto a Ia barra para los datos inücados.
se desliza
15.174 0 :0. 15.175 0 = 90'.
Figura P15.174 y P15.f75
15.176 El üsco que se muestra gira con velocidad angular constante de 12 rad,/s en el sentido de las manecillas del reloj. Para el instante mostrado, determine a) la velocidad angular y la ¿celeración angular de la varilla BD, b) la velocidad y aceleración del punto de Ia varilla que coincide con E.
Figuta Pl 5.1 76
15.177 EI collaír B se desliza a lo largo de la varilla AC y está unido a una pieza que se mue-ve por una mnura vertical. Si R 18 in., 0 = 30.,
a:6 tí¡
B.
raüs y o
:
:
4 raüs'. determine la velocidad y aceleración del colla-
Figura Pl 5.1 77
983
984
Cinemática de cuerpos rígidos
Rs = 3R¿
de Ginebra o Cruz de Malta que se muestra se rotatorio intenritente del disco S' movimiento utiliza Dara DroDorcionar un <,r¡ de 8 raÜs en sentido constante velocidad angular D con fl d¡sá ii¡J contrario aláe Ias r¡anecillas del ieloj. Se une un pasador P al disco D, el cual tiene Ia posibilidad de deslizarse por una de las seis-¡anu¡as recortadas
15.178 EI mecanismo
con iÉucl esp-acianiento en el disco S. Se desea que la velocidad angular del d¡.cds ..u de cero crrando cl pi¡sador enLrc y salgr de.oda una de las sei' r¿nurasr esto ocurrirá si la distincia entre loí cenl¡os de los discos y los radios de éstos se relacionan de la r¡anera indicada. Determine Ia velocidad 1'' la aceleración angulues del disco S pa¡a el instante en que { : 150'
15.179 En el problema 15.178, deterrrine la velocidad angular y la aceleración angular del disco S en el instante en que ó = 135". 15.1
80
En el problema 15 149, determine la aceleración del pasador P'
Figura P15,178
-15,12. MOVIMIENTO ALBEDEDOR DE UN PUNTO FIJO En la sección 15.3 se consideró el movimiento de un cuerpo rígido restringido a girar alrededor de un eie fijo A continuación se examinará el cáso rirás general del n.rovimiento de un cuetpo ngido que tiene un
punto fijo o. ' En p.in,er lugar
se demostrará que el desplttzamiento mtís genernl de un cue,yn rígi&t con un punto fijo O es equiaalente,o. urLa rolacíón del cweryo en torno a un eje que pasa por O.I E\ vez de considerar al cueryo úgido en su totalidad, es posible desprender una esfera del centro Ó del cuerpo y analizal el movimiento de tal esfera. Queda claro que el moümiénto de la esfera caracteriza por cor.i,pleto al-movimient-o del cuerpo dado. Puesto que son tres los puntos que definen la posición de un sólido en el esp¿rcio, el centro O y dos puntos A y B sobre la superficie de la esfera definirár la posición de ésta y, en consecuencia. h posición del cuerpo. 5ean A¡ ¡ B¡ las que carilctericen la posición dó la esfera en un instante dete¡minado, Y Az Y Bz las que caracterjcen su posición en un instante posterior (figura 15 31¿). Como la esfera es ígda, las longitudes de los arcos de mayor círculo A¡B1y A2B2 deben ser iguales, aunque, salvo por este requefimiento, las posiciones de 41, A2, Bl y 82 son arbitrarias AquÍ se preteride probar que los puntos A y B pueden trasladarse, respectivamente. desde-A1 y 81 y hasta ur e\e A., u b" Á"tüant" una so\a To\tc\ór üe \¡ es\er¡ Ñedeüsr {e
'''
se elige.el punto 1 sin pérdida de generalidad ini'cial de "nnu"nioncia. B de manera que su pósición lnicial coin-cida con la posición de círcuarcos Á, L iJ-"¿á, B. JAt (fig"ta 15 31b) Se trazan los \ l. *ttt"\io A,Ar' A;Br Y los a"tcos que bisecan respettivamenle AiAr e+ la illirnos-arcos: Ar8r.'Sea C ei punto de inlersección de estos dos como fue señal¿& Tal B2C y A2C ArC, trazar al coJ¡leta i."*i tr" r" : Pttesto que c ': A'B" Já r" rigidez de la esfera, ÁtBt ""i.*1"""t" hene.también ri)"."*t"",Jt: ;quidirt"nr" desde A¡' 41 ¡ 82 .se esféricos A'C'{:q.¡1 \" i=" l"i e"c.'Co.o ,""sulludo los triángulos fly los ángulos ArCA: v BlCB¿ son iguales J" ¡jlés,
'Poi
-"gt"entes
Figura 15.31
lÉste se conoce como teorema de Euler'
notando por 0 el valor común de estos ángulos, se concluye que la esfera puede llevarse desde su posición inicial hasta su posición Tinal mediante una sola rotación 0 alrededor de1 eje OC. Se concluye que el movimiento durante el intervalo de tiempo At de un cuerpo ígido con un punto fijo O puede considerarse comó una rotación A0 alrededor de cierto eje. Al dibujar a lo largo de ese eje un vector de riragnitud d0/Ar y al dejar que At tienda a cero, se obtiene en el límite eI eje de rotación instantdneo y la velocidad angular or del cuelpo en el instante considerado (ffgura 15.32). La velocidad de la partícula P del cuerpo puede obtenerse entonces, como en la sección 15.$ formando el producto vector"ial de <,r y el vector de posición r de la partícula:
15.12. Movimiento alrededor de un punto
fijo 985
(r5.37)
a:cxr*arX(orXr) donde la aceleración angrrlar
a
(15.38)
se deffne como Ia derivada
da
(15.3e)
dt de Ia velocidad angular @.
En el caso del movirniento de un cue¡po ígido con un punto ffjo, la dirección de al y del eje de rotación instantáneo cambia de un instante a otro. La aceleración angular c refleja mnsecuentemente el cambio en dirección de o¿, así como su cambio en magnitud y, en general, no estó diri$da a In largo del sje i,nstantóneo de rotación. Si bien las partículas del cuerpo ubicadas en el eje de rotación instantáneo tienen velocidad cero en el instante considerado, no tienen aceleración cero. Además, la aceleración de las diversas parlculas del cue¡po no pueden determinarse como si e1 cuerpo estuüera rotando de manera pennanente alrededor del eje instantáneo. Si se recuerda Ia definición de Ia velocidad de una partícula con rector de posición r, se adüerte que la aceleración angular a como se
e¡presa en (15.39), representa la velocidad de la punta del vector o¡. Esta propiedad tal vez sea útil en la deterrninación de la aceleración angular de un cuerpo ígido. Por ejemplo, se concluye que el vector o es tangente a la curva descrita en el espacio por la punta del vector a¡. Obserwe que el vector ¡r¡ se mueve dentro del cuerpo, así como en el espacio. En consecuencia, se generan dos conos denominados, respectivamente, cono corporal y cono espacial (figura 15.33).i Es posible demostrar que en cualquier instante dado los dos conos son tangentes a Io largo del eje de rotación instantáneo, y que conforme se mueve el cuerpo, el cono corporal parece rodar sobre el espacial.
lSe recuerda que un mno es, por deffnición, una superffcie generada por una línea recta que pasa por un punto lljo. En general, los conos considerados no senin 6nos ^qrJi
Cono Cono corporal
$ '¿ ::
Figura 15.33
986
cinemáuca de cuerpos rísidos
Antes de concluil este análisis del movimiento de un cuerpo rígic1 (:on LLn Durto fiio, se dehe dernoshlr r¡rtc las relot idades angu)ues 'o Cor¡o s" indicó ei' l¿ sec' i'in g 3 algrrna< cunlirl rt
."j "r '5rJ f"t""it'".. t"r, ciones á"r,'-*.
rigido' tiexen magnihl(i
t'initas cle un cuerlo v tlilección n"ro no.umpl"n ' on l" le¡ dn la sum¡ del parrlcloqratlo: i"i;;-";;ú"i; t" ¡.,ecl'en consicleratie como \€cto.es En conlraste' 1 laml'ien l¿s ¡'l4ri'rttrr infittíte*itttles\^to la Ie1 del palulelogrrmo ¡' por'bl1o /unrpl''n lrari
i,.-""1""¡¿r¿.t,,ng,iI.,r",
t" Ját"
¿"**
"" son cantidades verdaderatllente vectoriales'
b)
F¡gura 15,34
CorrsiJere un cucrpo rígido corr ur'
¡unto
li.io O '1ue en rrn
in\iar-
vele tLJo rolr.im'rlláneamente alreded"r d" los ejes OA ¡ OB con rnor'rt,r"i.la.lc. arr[r]lirre: @r ] úr' rligula 1534¿ 5e s¡be qrre esle ei el instante considera
",1.,1un1",'ü rotación de velocidad angulal ar. Se trat¿ de delnostrar que
(15.40)
Foborafía 15.4 Cuando la escalera gira
alredédor de su base ti.¿. es posible obtener su velocidad anqular al sumar las velocidades anqulares que coresponden a rotacrones sir;ultaneas alreoedor de dos eles diferenles
al sumar esto es. que Ia velocidad angulrr resultante puede obten-erse ,r¡., m"
"o-eltt" se escribe
v] :
v:ú)xr
ú)1
Xr
v2-(l)2xr
(I54Il
Pelo el c¿rácter vectori¿l de las velocidades lina¿l¿s está bien establecido (p.l"rtn qr," tePreseütan las derivad¿s de los vectores de posición) Por lo LunLo. se lietre
v:v1 *v2 clonde el signo más indica suma vectori¿l (15.41), se escribe
Al sustituir los v¿lores de
(t)xr-(rrxr+02xr co X r= (ar1 + 02)xr que-la re doncle el signo más sigue indican
lo"ión obt"ii,l" r" debe se¡ cierta.
".t-pl"
D
n F
d
I t-
-15.13. MOVIMIENTO GENERAL
15.13. ltlovimiento
A continuación se considerará el movimiento más general de un cuerpo rígido en el espacio. Sean A y B dos partícu1as del cuerpo. Hay que recordar dela sección Il.12 que la velocidad de B con respeclo al sistema de relerencia fi¡o OXvZ puede eryresárse como (15.42)
YB-YA+YB/A L
B relativa al sistema de ¡eferencia fijo en A y de oríentación fija (figura 15.35). Puesto que A está fijo en este sistema de referencia, e1 movimiento del cuerpo relaüto a AX'I'Z' es el movimiento de un cuerpo con un punto ffjo. En consecuencia, la velocidad relativa v37¿ puede obtenerse de (15.37) después de que r sea sustituido por el vector de posiciótrB/A de B relativa a A. Al sustitür vsTa en (15.42), se escribe donde v¡7e es la velocidad de
-\X'I'Z' c
(r5.43)
vg-Y¿*anXrB/A
<^¡ es la velocidad angular de1 cuerpo en el instante considerado. La aceleración de B se obtiene mediante un razonamlento similar,
donde
Se escribe
prinero aB=AA+AB/A
r'- si se ¡ecuerda la ecuación (15.38),
IF
e-
as
ii'
¡a 0 ÉE
t> ad
0i b, ,t
btl-
A4
I
a.
x
rB/A
I a x (a x
(15.44)
r61a)
donde a es la aceleración argular del cueryo en el instante considerado. Las ecuaciones (I5.a3) y (fs.aa) muestran que el m.oDimi'ento mds general de un ate:o rígíd.o es equi,oaJente, en cualquier i.nstanfe dada, a la suma de una traslaci,ón, en e1 cual todas las partículas del cuerpo tienen la misma velocidad y aceleración que una partícula de referencía A, y de un mouimíento en el que la pa*íatla A se supone Jija.I Al resolver (15.a3) y (I5.aa) para vA y aA, se demuestra con facilidad que el movimiento del cuerpo con respecto al sistema de referencia fijo a B se caracterizaría por medio de los mismos vectores ar y c como en su movimiento con respecto a AX'Y'Z'. La velocidad y la aceleración angulares del cuerpo úgido en un instante dado son asl independientes de la elección del punto de referencia. Por otro lado, debe tenerse presente que si el sistema de referencia en movimiento está fÍjo en A o en B, debe mantener rrna orientación fija; esto es, debe conservarse paralelo al sistema de referencia frjo OXYZ durante todo el movimiento del cuerpo ígido. En muchos problemas resultará más conveniente utilizar un sistema de referencia en movimiento a.l que se Ie permita tanto 1a rotación como la traslación. El uso de este tipo de sistemas de referencia en moümiento se estudiará en las secciones 15.14
fet0
:
y 15.15.
tHay que recordar de la sección 15.12 que, en general, los vectores
<,r
y
c
no son coli-
neales, y que la aceleración de las partículas del cueryo en su moümiento relativo al sistema de referencia A-X'Y'Z' no puede determinarse como si el cuerpo estuüera rotando per-
manentemente al¡ededor del eje instantá¡eo que pasa por A.
Figura 15.35
sene*l 987
PROBLEMA RESUELTO 15.1
1
La rrreda que se nuestra gira mn una velociclad angular constante ar1 de 0.30 raüs. De rn¿mer¿r sirnultáne¿r, se está elevando Lr plu:la con una velocidatl angular constante @2 de 0.50 r¿d/s relativa a la cabin¿¡. Si la longitud de la pluma OP es I : 12 m, detennine o) la velociclad angular <,r de la pluma, b) la nceler¿rción angular a de la pluma, c) la velocidad v de Ja punta cle Lr pluma, d) Ja aceleración a de la punta de la pluma.
soLUctÓN a) \'elocidad zrngular dc la ¡rlum:r. Al sun¡ar la velocidod angular
ro1 de la
crüina y la velociclad angular o.r2 de la pl¡.lm:r relativ¿r a la cabin¿, se
obtie¡e la velocid¿d angular
a): lrr
¡
@1
+.i2
.rr
:
10.30 rrrd/s)j
+ (0.50 rltl/s)k .(
ó) Accleraci
tud y dirección const¿ntes, se tiene
a
=rb:
¿i¡r
+
t;t2:0 + 62
donde la razón de cambio
(Ó)o*r',
o
-
:
(Q)u.,,, +
oxq
(d¡)onz = (
:
(0.I5 r'¿cVs:)i
{
c) Velocid:r
k
I
v-oxr-l t'''-----*"1 0 0.30 ¡aüs 0.50 ¡",].1 rn 6 rn 0 110.39 y:
@. = 0.5(lL
j
li
@r = 0.lJ0j
|
(13
nr/s)i + (5.20 rr/s)j
d) Acelernción cle ln punta cle ln a¡ X r, se escribe
pluma.
-
(:3.19
{ que v:
rrr/s)k
Si se recuerda
a:oXr+arX(|
jk ijk 0.15 0 0 0 0.30 0.50 10.39 6 0 -3 5.20 -3.12 = 0.90k - 0.94i 2.60i - 1.50j + 0.90k a: -(3.54 rn/s:)i - 1L50 rú/s2)i + (1.S0 rn/s:)k i
PROBLEMA RESUELTO 15.12
30 ¡¡t-
d: longitud. está conectada al disco meüante una a¡li :14" 4r. rorula. 9" j at co ann B por meüo de una horquilla. ) El discq g¡_ ::::.?i,:. y:,a una üzón,constante t,,ll :
2 in.
lul¿
12 ¡aüs, mientras
"",",,8oo9 r¡ere ta loe¡tad de des¡iz:rr a lo la¡.o de.la rarilla hori¿ontal CD. "lEn"oiiurrn Ia po_ detennine a) to velocftacl d"t
:_u-
::lih":.
";lü,;;;;;;;J;sú*
SOLUCIÓN
a) Vclociclad dcl collaún. pu€sto que el punro A está fiio al disco y conro el coll¿nn B se mueve en una direcci'ón p*J"l^ I #l i" il#'' vA
Denotando por
= (l)r x rA = Izi x 2k= -zLj
<,r
la velocidad angular de la varilla, se escribe vB
:
vA
+ vts/A:
osi= -24j +
t-
! ¡
pBi: -24j +
vA
+ td X rBl,a
li .i ..kl -,t l-, l6 3 I
-21
(,-2a,.,
- 3ro.)i + (6cr.r, + 2rr.r.) + (3ro, _ 6arr)k igualar los coeffcientes de los vectores unjtarios, se obtiene
_ Al
@r= 12i
r¡=9k rs=6i+3j f¡r¡=6i+3j-2t
:
24 2u. 0 = 3¿,r",
-Za,J -3@=
*6a.
(r) (2) (3)
B
ill' i3in
tt rI.12
^.
rr¡=-3j+9k (4)
I l
En esta leccirirr se inició el estudio de la ci?srtútica de u,aJ)as rígídos en trcs dinr:nsiones. Prirrrer-o se estudió el rnoainientt¡ tle un umpo rígickt alrededor dt un pr.Lrtto fijo s, lt.eg
{. 'JIo¡'il¡ie¡rtn dt un L'trerpo rígído alredcdrr de ur ¡ttrttto.lijo' P¿rra ¿rnalizal el moviliielto cJe un punto B cle rur cuerpo cn r-otación ¿rh'ededol cle un ptrnttr . fi¡o O, es lxrsible seguir los pasos siguientes: I
.
I)eterntinqr el tecl¡tr tle ¡rosiciriu
l
r¡re conect¿¡ cl Punb fijo O con
punto B.
eJ
2, l)etcrnúwtr la wlo< itlui
uttgttlur o¡ del cuerPo cot\ tesPecto ¿ lul sisternir de rclcrcncia lijo. La lelocidad angular ro sc olrtendrá nuchas vc,ccs al sum¿rr dos velo cidades angnlires conpoDeDtes rdr y ar2 lproblerna resudto 15.11].
i). Culutlor lo tclocklud
R utilizanclo
l¿¡
ecuacitirt (
rJ.,J / /
Su círlculo casi siernprc se f¿cilitnrÍr si se expres¿r cl producto vectoritrl como un rletorminanlc.
J, I)eterntínor Io o<:clcruci¡in ltttgulur u dcl cuerpo. L¿ ¿rceler'¿ción
tnguliu c
replescnt;r la razór-i cle can-ibio (<ó)¡¡¿ del vector ai d)rr respecto a un sistetna cle referenr:ia fiio O-X)Z y r-efiejri trt ca¡nbit¡ en Ia nwgrtittLd r¡ un cantbio en la rLireu:ititt de la r'clocid¿d nngular. Sin embargo, al calcular c se ercrrentr¿ que es convenientc crrlcular prlnelo la razón de carnblo (ar),,.,,. de ¿¿ col respecto ¿ un sistetna cle relérencia en rotación Ory: de su eiección, v ¿l rrtiliz¿rr 1¿ ecuación (15.31) dc la lección anterior para obtener a. Sc cscribirá
q : (ú¡)onz: (ó)o,v" * O x
¿'¡
donde O es ln r.elocidacl angular clr:l sisterr¿ de referelcia en rotación O:ry: fproblcrna rcsuclto 15.11].
5. (lqlculqr la ucelerocitirt
¿l¿
lj
utilizando
l¿r
ecu¿citirr
a:aXr*rox(arxr)
(15.38)
Obsen'e que eJ producto vectorial (ar x r) represent¿ l¿ r'elocid¿d del prrnto B que se c¿lculó en el paso 3. Adernás, el cálculo del prinrer producto vcctorial cn (15.3E) se lacilita¡á si se cxprcsa cslc producto en forma de determinante. Recuerde que, como en ei c¿rso del movimiento plano de un crrerpo ígido, d e.je tlr: rot¿cirin ins-
tilltíueo
990
i¿¿)
Ttucde
.ritilizrl;se pari.r deterrnilar' ¿rceleraciones.
B.
Mooimiento general cle un cuerpo rígiilo. El movimiento general de un cuerpo úgido puede considerarse como l¿ suma de una traslación ! LLna rotación. Tome en cuenta lo siguiente:
al En la parte ile trqslqción ¿lel moaim.iento, todos los puntos del cuerpo tienenla misma aelocidad va y la misma aceleración aA qu'e el punto A del cuerpo que se ha elegido como el punto de referencia.
bl En la parte ile rotqción ilel moaimiento de referenci¿
A
es
tn
se supone que el mismo punto
punto fi,jo.
f.
P.tra d.eterminql Ia aelocid.qd. d.e un punto B del cuerpo rígido cuando se conoce la velocidad va del punto de referencia A y la velocidad angular o del cuerpo, simplemente s€ Sür1á y¡ a la velocidad v¿7¡ ar X r¿7¿ de B en su rotación alrededor de A:
:
v6:v¿-Fl'd\te/,\
(15.43)
Como se inücó antes, el cálculo del producto vectorial casi siempre se facilitará si se er?resa en forma de determinante.
La ecuación (15.43) también se puede utilizar para determinar la magnitud de v3 cuando se conoce su dirección, incluso si se desconoce ¿¿. Si bien las tres ecuaciones escalares correspondientes son linealmente dependientes y las componentes de a¡ no están determinadas, éstas pueden eliminarse y es posible encontrar v¿ utilizando una combinación lineal apropiada de las tres ecuaciones lproblema resuelto 15.12, pafte a]. De manera alternativa, es factible asignar un valor arbitra¡io a una de las compoüentes de o y resolver las ecuaciones para vA. Sin embargo, es necesario buscar una ecuación adicional para determinar los valores verdaderos de las componentes de r,r fproblema resuelto 15,12, parte b].
2,
Para determinsr la aceleración
d,e
un punto B del cuerpo rígido cuando se
conoce la aceleración a¿ del punto de referencia A y la aceleración angular a del cuerpo, simplemente se suma aA a la aceleración de I en su rotación en tomo a A, como se erpresa mediante la ecuación (15.38):
L6
:
a4
t d x rB/A+ a x (a x
rs¡a)
(r5.44)
Obsewe que el producto vectorial (ar x r37a) representa la velocidad v67¿ de B reIativa a A y es posible que ya se haya calculado como parte del cálculo de v6. También es impofiante recordar que el cálculo de los otros dos productos vectoriales se facilitará si se erT)resan estos productos en forma de determinante. También es posible utilizar las tres ecuaciones escalares asociadas con la ecuación (15.44) para deterrninar la magnitud de aB cuando se conoce su dirección, incluso si se desconocen or y c. Si bien las componentes de @ y a están indeternlinadas, se pueden asignar valores arbitrarios a una de las componentes de or y a una de las componentes de c y resolver la ecuación para a6.
aLm(
dian
relo
gran
15,181 La placa y las varill¿s mostladas en la figura se sueldan parir fo¡rnar un ensamble que gira alrededor de la junta de rótula O con veloci dad anplrlar'¿o. Si la velocidacl del punto A se denota cono v,r = (or).,i -F (o¡),j + (oa).k, y (u¡). = 10 mnVs y si (o¡).: 80 mnVs, dete¡mine la cornponente de velocidad (r.,¡),,. F¡gura P'l5.181
15.182 La bola de boliche c,1ue se muestru rueda sirr desliza¡se sc¡bre el plano lrorizontal r: con velocidad irngular <.r : .o,i + altj + ¿d.k. Si vA : (14.4 fvri - (ta.a fvs)j + (I0.8 fVs)k y v¡ : (28.8 fvs)i + (21.6 {Vs)k, de termine r¡) la velocidad angular de la bol¿r de boliche, b) la velocidad de su centro C. 15.183 La bola
de boliche que se muestra ruecla sin desliz¿rse sob¡e
el plaro hor-izontal .r: con relocidrd :rngul:tl c'r - u,i a,,j + .,.r k. Si v¡ (10.8 fVs)i (14.4 lVs)j + (I4.4 fvs)k ¡ v¡¡ : (21.6 ft/s)i + (28.8 tils)k. determine a) la velocidad angular de 1¿ bola de boliche, b) la velocidad de su centro C.
Figura P15.182 y P15.183
15,184 El brazo BCD en form¿ de L gira alretledor del eje: con velocidad angular const¿nte rdr de 5 raüs. Si el disco de 7.5 in. de radio gira al¡ededor de BC a velocidad nngultrr const¿nte ¿o2 de 4 ¡ad/s, determine l¿ acelerución angular del disco. 1
¿unqu
üanie 'eloc.ir
:¿¡te
¡
*gul,
1l r¿d s :¡¿ hor i¡dic-¿t
i
l¡rrlto
i= I
el
1€
¡.¡d
s
:--" hor
=rr;nr
15
15.185
Las aspas de un ventihdo¡ oscilante giran a velocidad angulr constante .dr : -(450 rpm)i respecto a la carcasa del nrotor. Detennine l: aceleración angular de las aspas si en el instante indicado la velocidad anzular y la aceleraciól de l¿ ca¡c¿sa del motor son, respectivamente, ¿o2 : - l
rpm)jya2:0.
992
r=; o-',il t g:,:, tk i-
5
c
:
:r-¡'
está ¡estringi.lo a ¡od¿¡ sobrc et engrane fijo B 1i.í3,?",llTS::A .rnqrre tiele libertadu par.a p a grrar girar en torno al eje AD. Este eie se conect¿l nle_ , -:ante.una horquilla ¿ rd la lcull flechaa verflc¿1t ve¡tic¿rl U DE, Í,, i" I¿ c|il gira como se muestra a ;:.,r:;--'. I "_.r " Deternine a) "rJ;r;;;;;;,;: jj::T"ril*].T,::11!T," la veiociclad ¿ngular clet en_ .:ane A, b) la ¿celeración ungula, cl"l errgran" A.
Prob
.i
Figuta P15.106 y p1S,1A7
15-187
-El
engrane A está restrjlgido a ¡c,cl¿r subre el elgrane ftio B,
liherl,hrl
par {irdr -n ro,¡,, rt ,.i" rn Iú rrrL{'rr¡¿ -?ll ll:i"norqr¡rlJír a Ja ljcr jra rcrfi,.¿l
c.r,
.¡...:;;;;.r;
,,.
DE. lr¡c Éir,, r.o¡nñ sé ,nrrestrJ ,.orr
-'o, iriacl urgularcnnsiJnre ür. si Él ,.rqr."". a g.-,,,"f",.,Jrj ,"rl'"r1, , ,LrF ¿o. dproririne ¿ ta r-lo, ida,1,,,,e.,,1.. " d"t;;,g;;n;;;"t;,l:il
,":],;
"nqular del engrane A.
:
15,188 r"d
Un rl¡sco d* 6U mrn dc radio gira . \Fl¡x.idad lorstimte dc ün ¡"jr .o.rFnirlo ."d;^;i. ;" ,;; ,;:r;;l,lii
s ¿Jrededor
:.1,1:l'1"lll1l1r: nLUraca. or¡term¡ne4
,;
relo.idrd
runto P sob¡e el borcle clel tlisco :,¡e er borde del disco si 0
si
: 90.
consia,,rF
:;;
6 = 0, c) la aceleración del punto p
rlel
Un cañón ¡le longitutl Op pa¡a
Figura P15.188 y pfS.189
so
,15.189_ Un disco de 60 mrn cle raclio gir.a a velocitlad constante ¿0, _ I ra'ls.o¡r"¿"U,. rlc un eje sosr¡nidn ;" .rp;;;';,;;;: ];:L, fr¿ horizontal que girr a la r elocidad ".di";i; const¿rnte ro¡ = 5 rad/s. Si g = 30.. de_ re¡nine la aceleraciírn del punto p sobre el ¡".á" ¿"1 ,iirio
-^---11t* :rrm¿ como
j
.,i
,,.
.p¡,a Lr poricj.n ",. J .¡¡t s. l:L,rcelrr;r¡irin lnqul.rrdnl tlisco. /, Lra,*J, rrcior,
C'r'¡ a rn
,Í
tI I
I
-r',
=
12 ft se mont¿ sob¡.e una olat¿r
se muestra. ¡.i¿ntcnrr.rl c¿rjcjn l"O, cl án$lo,¿zimul,rl Bseincremenra aratóttlerlB.rlt "p""tunao 'r'l ",,_tí"rr., -Jo.s.rel _ up tslp\.tcrñn ¿n 7 sc arrncnll a rarc¡n de dy/rll = l0" s. para l¡ ouri.,idn :,90'y : j,,guJu, 7,: 30", deternrile a) lo
'.
orr angulz.r del canrin.
,.
;j ;;, ó ü:::1" p,."-;;;,; ;;:" ", "1.;";;;,,
ueloci.ln,l la relorida,l
)
Figura P15_190
emas 993
994
ciñemálica de cuerpos rísidos
"l
T-
9
in.
l"
15.191 En el sistema de engranes planetarios que se muest¡a, los engranes A y B se conectan lgidamente entre sí y giran como una unidad al¡ededor de la flecha FG. Los engranes C y D giran con velocidades angulares constantes de 15 y 30 raüs. respectivamente, en ambos casos en seitido contrario al de las manecillas del reloj cuando se obsewan desde la de¡echa. Si se elige el eje ¡ apuntundo hacia fuera del plano de Ia ffgura, determine a) la velocidad angula¡ común de los engranes A y B, b) la aóleración anguIa¡ común de los engranes A y B, c) Ia iceleracirjn del üente tlel engmne B que está en contacto con el engrane D en el punto 2. En el problema .bre el15.192 engrane A
15.186, determine la aceleración del punto so' que está en contacto con el engrane B.
15.193 El cono most¡ado en la ffgura rueda sobre el plano at con su ápice en el origen de Ias coordenadas. Si se denota con <,r1 la velocidad angular constante del eje OB del cono alrededor del eje y, determine a) la velocidad de giro del cono alrededor del eje OB, b) Iá válocidad angular total del cono. cl la aceleración angular del cono.
Figura Pí5,191
¡
d
11.2
ii.
Figura Pl5.l93
15.194 Dos varillas se sueldan entre sí para formar el ensamble que se muestra y que está ffjo a una unión de bola y cuenca en el punto D. Ia va¡illa AB se mueve sobie el plano inclinado E perpendicular jphno q:. Si en el instante indicado la velocidad del punto ¡ ei d" ¿ in.rs y L,, < ó. determine ¿¡) la velocidad angular del ensamble, b) la velocidad'deÍ punto A_
I
A zón
15.195 Fn el problema
de
15.194 la velocidad del punto B aumenta a ra_ B in./s:.. Para la posición indicada. de(ermine a Ia aceleracicin ongu-
' lar del ensamble. ót el radio de curvatura de la tra)ecrorja del punto B.
l
1 5. 1 96 La varilla AB de 325 mm de longitud se conecta mediante uniode bola y cr.renca a los collarines A y B, los cuales se deslizan a lo largo de las dos varillas que se muestran. Si el collaín B se mueve haci¿ el Dunto D a velocidad constante de 1 m,/s, determine la velocidad del collarÍn A'cuan-
nes.
dob:100mm.
Figura P15.196 y P15.'197
15.197 L¿ vaúlla AB de 325 mm de longitud se conecta media¡te re tulas a los collarines A y B, los cuales se deshz; a lo largo de las dos va¡ill¿s que se muestrat. Si el collaín B se aleja del punto D a velocidad constante de 1.6 n/s, determine la velocidad del óolaín A cuando b : 156 mm.
rt
lro
15.198 y 15.199 La varilla BC, con longitud de 18in,, se conecta me_ diante juntas de bola_y cuenca al brazo giratoio AB y al collaín C, el cual puede deslizarse por la barra fi¡a D_8. Efbrazo AB tiéne longitud de 2 in, y gra a razón constante ¿¿,0 :24 raüs. para la posición mostráda, dete¡mine la velocidad del collarín C.
Problemas
r9t
-ott 12
F¡gura Pl5.198
F¡gura P15.199
15.200 La vanlla AB de 15 in. de longitud se conecta mediante rótu_ l¡s a los collarines A y B, los cuales se desliian a lo larqo de las dos bar¡as most¡adas. Si el collaín B se mueve hacia el punto D a velocidad constante de 2.5 in.,/s, determine la velocidad del colla¡in A cuando c : 4 in.
FI¡
:5 ür,!tr
n} F |rf> ¡'_p
ú
Tú [6_
¡te
15.201 La va:irJla AB de 15 in. de,longitud se conecta meüante rótu_ las a los collarines y B, los cuales se deslüan a lo largo de las ¿o" b""r", _A mostradas. Si el collarÍn B se mueve hacia el punto D a"velocidad constante de 2.5 in./s, determine la velocidad del colla¡in A cuando c 6 in.
:
in.
995
996
c nemáilca de cuerpos rísidos
15.202 La varilla AB de 500 mn.i de Iongitud se conecta mediante rótulas a los collarines A y B, los cuales se deslizan a lo largo de las dos vari llas como se indica. Si el collain B se mueve hacia el punto E a velocidad const¿nte de 200 mm/s, determine la velocidad del collain A cuando el collarín B pasa por el punto D.
arucei
1i rrDiórr
ll¿ín U
(
deter:r rr¿.
Lt
Figr
Figura P15.202 y P15.203
15.203 La va¡ill¡ AB de 500 nm de longiiucl se conecta media¡te tulas a los colla¡ines A y B, Jos cuales se deslizan a lo largo de las dos ..: ' llas como se indica. Si ei coll¿uín B se mueve hacia el punto E a velocilconstante de 200 nrm./s. dete¡mine la velocidad del colla¡ín A cuando el Jlarín B pasa por el punto C. Dos ejes AC y EG, que se encuentün en el plano r.erh:- . nediante uúa juútn univenal en el punto D. El eje AC r- , velocidad angular constante @r en la forma indicada. Pa¡a el lron!.:: que el bruo de la cmceta conectada a la fleclu AC está en posicií:: .c¡I, deterrnine la velocidad angular de la flecha EC.
15.204
se conectan
-rl¡E
'15.2'
15.2 ne la acel F¡gura P15.204
L
Éní
5 q|ri-
15.205 Resuelva el problema 15.204, suponiendo que el brazo de la cruceta cqnectada a la flecha AC está en posición horizontal.
bddad ¡
el co-
15.206 La barra BC de 42 in. de longitud se conecta mediante una uaión de. bola y cuenca al collaún B y con una conexión de horquilla al collarín C, Si el collarín B se mueve hacia A a velocidad consta¡te de 19.5 in./s determine, para el instante que se muestra, a) Ia velocidad angular de la bana, b) la velocidad del collaín C.
Flgura P15.206
rú r¡É
ürre bc
¡oddd odcoti:al 5i.e
F.
ca
e[to er h ¡sti
15.207 Labar.a AB de 11 in. de longitud se conecta media¡rte una rótula al collarfu A y empleando uaa conexión de horquilla al collarfn L Si el coIla¡ín B desciende a velocidad constante de 4.5 fVs determine, para el instante mostmdo, ¿) Ia velocidad angular de la barr4 b) Ia velocidad del collarín A.
Problemas
997
15,205 Resuelva el problema 15,204, suponiendo que el brazo de la cruceta conectada a la flecha AC está en posición horizontal. 15.206 La ba¡ra 8C de 49 in. de longitud se conecta mediante una unión de bola y qrenca al collaín B y con una conedón de horquilla al co, llarín C. Si el collaín B se mueve hacia A a velocidad constante de 19.5 in./s determine, para el instante que se muestra, a) la velocidad angular de la bana, b) la velocidad del collaín C,
iigura ers.2o6
15.207 Laba¡ra AB de 11 in. de longitud se conecta mediante una róürla al collarín A y empleando una conexión de horquilla al collafn 8. Si el colla¡ín B desciende a velocidad constante de 4.5 fvs detemine, para el instante mostrado, a) la velocidad angular de la barra, b) la velocidad del collarín A.
Figurc Pl 5.207
15.208 En elproblema 15.209 Et
eI problema 15.197, determine la aceleración del collafn A.
'15.210 En el problema 15.21
r
I
15.196, determine la aceleración del collarín A.
15.198, dete¡mine la aceleración del collaln C.
En el problema 15.199, dete¡mine la acele¡ación del collaín C.
'15.212 y 15.213 Para el mecanismo del problema indicado, determila aceleración del colla¡ín A. 15.212 Mecanismo del problema 15.900. 15.213 Mecanismo del problema 15.201.
998
cinemáiica de cuerpos rísidos
-15.14. MOVIMIENTO TBIDIMENSIONAL DE UNA PABTíCULA CO¡I RESPECTO A UN SISTEMA DE REFEHENCIA EN ROTACIÓN. ACELEBACIÓN DE CORIOLIS
En Ia sección 15.10 se analizó una función vectori¿l Q(f) y dos sistesistem¿ de reférencia fijo OX) Z mas de referencia centrados en O -un y uno rotatoño Ort¡z- las razones de cambio de Q con respecto a Jos
()
tlos sistemas de referencia satisfacen la relación
lQ)onz:(Ó)o.,-+oxq
(15.31)
En esa ocasión se supuso que el sistema de referencia Oryz e-staba restrjnsido a eir¡r ¡ireá.dor del eie liio OA Sin emhargo' la deducciórr qu.i. p."énló en Ia sección l6 J0 sigue siendo vúüda curndo el.sitle áa de ieferencia O¡yz se restringe únicamente a tener un punto fijo o' O" o".,"rdo con está suposiciórimás general, e1 eje OA representa al (sección eje de rotación ittstantineo del sistem¡ de'referencia Oryr 1i.12) y el vector O representa su velocidad angular en el instante cor
siderado (figura 15.36). Se coníiderará ahora el movimiento tddimensioDal de una partícul¿ P relativa al sistema de referencia en rotación Oty: restringido ir.is a tener un oriqen fiio O. Sean r el vector de posición de P en un cort Oxyz referencia de tante dado v d Ia váocid,rd angular del sistem¿
.ef.r.,r"cia tijo OYYZ en el mismo inst¿nle ' li en la scccirjn 15l I para los do' bidimensionales de una partícuJa pueden ampliartt ' or F iacilidad al caso en tres dimensiones. y la velocidad absoluta v¡ de
d.
r.ro.",o
^l"ir,".o *,i^ 15.371. Las dedutciones i¡d¿' omovimienlos
(esto es. su velocidad con respecto al sistema de referencia tijo
OÑ'Z
se puede erpresar como
v¿:Oxr+(i)o.v"
(15.15
Si se denota por I el sistema tolatorio Oxyz, se escribe esta relacio:en la forma ¿ltemativa
YP: YP' +
YP/IJ
(15..16
v¡ : velocidad absoluta de la partícula P v¡, : velocidad del punto P' del sistema de referencia en movimiento S que coincide con P vpls - velocidad de P rel¿tiva al sistema de referencia en rlor:-
donde
miento
I
La aceleración absoluta a¿ de P puede erT)resarse como
a¡-Ó
x
r+o
IIn¿ forma alternativa
x (o x r) + 2o x (i)o'v. + G)o'y" (154; es
av=ap'laP/g;+a. donde a¡
:
ap, :
E=
(15.1!
aceleración absoluta de la partícula P aceleración del punto P' del sistema de referencia en rnoümiento I que coincide con P
::
O
ap/s;
=
aceleracióD de P relativa al sistema de referencia en rro_
vímiento
ID
*tu F. o_
¿
a
nlf-
ü !'-
¿
IF h¡ tl
:? TA
15r
II
o dc CorioLs i
Obsewe que la aceleración de Co¡iolis es perpenücuiar a los vectores ? y : r,*. Sin embargo. puesto que estos vecloies no suelen ser perpen_ drcu-lares entre si- la magni{ud de a" ro es en general izud a 2f!o",*. ro_ mo lo fue en el caso del moümiento plano dá una p"ít"rla, Uá" t"-_ bién que la aceleración de Coriolis s" .educe a t* u""to.", O y_v¿79 son paralelos, o cuando cualquiera de"ero'"uundo ellos es cero. Los sistemas de referencia en rotaclón son particularmente útiles en el estuüo del movimiento tridimensional de crrárpos rígidos. Si un cue. po rígido tiene un punro ffjo O. como fue el caso de la"erúa del proble_ ma resuello 15. I l. se puede uúlizar el sistema de ,"f.."n"cia O"u" ,trr" no está ni ffjo ni conectado de manera ígida al cuemo ríqido. Al d.íotá. ,r,"_ dia¡rte O la velocidad angular del sistéma de refárencla Oxq.r, se descom_ pone entonces la velocidad angujar
-15.I5. SISTEMA DE REFEBENCIA EN MOVIMIENTO GENERAL Considere un sistema de referencia ltjo OXYZ y w sistema de referen_ cia AxAz, q\te se mueve de una manera conocida, aunque arbitraria, con respecto a OXIZ (ffg-ura 15.38), Sea p una partícuJa q,ie se mueve en el espacio. La posición de P se deffne en cualqüer instanie mediante el vec_ tor r¡ en el sistema de re-ferencja fijo. y rnediante el veclor r¿,^ en el sis_ tema de relerencia en moümiento. 4.i denotar por ,.íoi de oási_ ción de A en el sisiema de referencia fi¡o. .e Uene "^ "l
rp:r41'rp1¡
(r5.49)
La velocidad absoluta v¡ de la partícula se obtiene al escribir
vp: ip: i^ * ip¡o
¡.l-
(15.50)
donde las deúvadas se deffnen con respecto al sistema de referencia f! OylYZ. El primer término en el mGmbro del lado derecho (18.50) represenla enlonces la velocidad v¡ del origen A de los eies en moü_ miento. Por ohro lado. puesto que la razón áe camb¡o de;n vector es l,a misma con respecto a un sislema de relerencia [i¡o y con referencia a uno en traslación (sección 11.10). el segundo términJ puede considerarse como la veloeidad vp,^ de p reláti"a aJ sistema'de referencia -d{'Y'Z' de la misma or-ientacjón oue O)afZ y el mismo origen que Atyz. Po¡ Io tanto- se tiene
p
vp=v4lvp¡6 [¿
f5.15. S¡stema de referencia en mov¡miento general
: Zll x tit6,,,, = 2{l x tp,3 : acejerac¡ón complernenlaria.
F-
iZ
I
(15.5r)
lEs importante ¿dveltil Ia diferencia entre la ecuación (I5.,1g) y Ia ecuación (l5.2t) de secció¡ 15.8. Véase el pie de la página 974.
999
1O0O
c¡nemática de cuerpos rísidos
i¿r velocidad v¡7¡ de P relativa a AX'I'Z' se obtiene de (15.45) al sustituir r¡l-1 en vez de r en esa ecu¿tción. Se escribe
Pero
vp:\¡
{lXr,
o
* tii.¡r+,1,
(t5.52)
donde O cs la velocidad angular del sistena de referencia Ary: en el inst¿nte consider-lrdo. La aceleración absoluta a¡ de la padícula se obtiene al diferenciar (15.51) y al escribir
a¡:'i¡:+^+úpl,1
(15.53)
donde las delivadas se definen con respecto a cualquiera de los sistemas de referencia OXIZ o LX'-('Z'. De t¿l modo, el primer término del nrienb¡'o del lado derecbo de (15.53) representa la aceleración a¡ del orlgelr A de los ejes en moümiento, y el segundo término, la aceleración a¡7,1 de P r-elativa.il sistem¿ de referenci¿ AX'Y'Z' . Esta aceleración puecle obtenerse de (15.47) al sustituir r27a en lugal de r. En consecuencia, se escribe
ny
Fotografía 15.5 El movimiento de las partículas de aire en un huracán puede considerarse como el movimiento relativo a un sistema de referencia monlado sobre la Tierra y que gira con ella.
:
a¡
I A x rp¡¿+
O x (O x rpl^) + 2f,) x (iplA)Ay= *
(irl¡)¿.y.
(15.5.1)
Las fórnul¿rs (15.52) y (15.5a) posibilitan h dete¡minación de la velociclad y la aceleración de una partícula dada con lespecto a un sistema de referencia [ijo, cualdo se conoce el rnovin.fento de la paftícula con respecto aJ sistema de referenci¿r en novimiento. Estas fórmul¿rs se volver'ár.r más irnportantes, y bast:urte más fáciles de recorda¡ si advefii nos que la sulnir de lt¡s dos prinreros términos en (15.52) representan la velocidad del punto P' del sistema de refelelcia en moümiento que coincide con P en el ilst¿nte considerado. y que la sulra de los primelos tres térrninos el (15.54) representa la aceleración del mismo punto. Por consiguiente, l¿s lel¿cioles (15.a6) y (15.a8) de la sección anterior sjguen sieudo válidas en el caso de un sistema de referencia en movimiento general, y es posible escribir
vp: vp' + Yp/!j; a¡ : ap' -l ap/st +
a¿
(15.46) (15.48)
dolde los diversos vectores inplicados han sido definidos en l¿ sección 15.14. Hay que obser-var que si el sistema de referencia % (o Axyz) están en tr¿rsl¿ción, la velocidad y aceleración del punto P' del sistema de reférencia que coincide con P se r,.uelve, respectivamente, igual a la relo.idrel ) lir ¡(elerr(ión del origen 4 tJel sislerna de rcleráncia. Por otlo lado, puesto que el sistema de reférenci¿ m¿urtiene una orientación fija, a. es cero, y las relaclones (f5.46) y (15.a8) se reducen, en
forna respectiva, ción 11.12.
a las
relacit¡nes (11.33) y (11.34) deducidas en la sec-
'l
PROBLEMA RESUELTO 15,13 La b¿rra acod¿rda OAB girL alrededor del eje veftical OB. ED el instante con_ siderado, st r rlocidaü y aceleracidn angula¡es son. respectivanrente, 20 rirrVs y 20o raü{, ambas eri el se¡rido de iis m¿necillas a'"f .J.¡ ".*,lá.."',,1l serwan, desde el eje I positivo. El coll¿ín D se rrueve a lo Jargo de la bar.r-a. y en el instante considerado, O,D : 6 in. La velocidad v la ¿icele¡aci¿in clel collann relaLiras I la balra rulr. respecfi\ir¡irntr. 50 il., r 60rt ir¡. . . rrr,lr.¡ Lacia ¿r'¡ib¿. Deter.rninr ¿) h velo.idad del collarín, ü) la aceleraciól clel co llarín.
8in
SOLUCIóN Sistemas de r-efcrenci¿r. El sister¡ii de leferenciir OITZ estri fijo. Se conecta el sistema de rcfet€ncia en rotación O.rr¡: a la banl uc
"l
r:
: (a in.)i + (6.93 in.)j por lf' el pruto de la barra que cojDci-
(8 in.)(sen 30.i 1cos 30J)
a) Velocidad vrr, Denotando de con D y por
I
el sister¡a de refe¡e¡cia en rotación Oly:, se escribe de
acuerdo con la ecuación (15.46)
VD: vD +
V
(1)
t) /.n
donde
fo=rro'*u'ri ln= :,,, ,,r,.
t
u,,, :9 x r: (-20 raüs)j x [(4 in.)i + (6.93 in.)jJ = (80 in./s)k v¡7e = (50 in./s)(sen 30"i * cos 30:t) = (2S in./s)i + (43.3 ir./s)j ¡
Al sustitrrir los valores que se obtienen v7¡
b) Aceleración ¿¡D. De aD:
par'¿LvD, y vD/?¡ en (1), se encrrentra
= (25 ill./s)i + (.lj].ll in./s)j +
(,S0
i¡./s]k I
¿rcuerdo con la ecuacirin (15.4g) se escribe AD'
+
a,D/g
+ ,t
(2)
donde
ao,:Óxr+Ox(Oxr) . ( l0O rrdsrj x I4 in.,i | ,6.93 in.ii ,20 r:rüs,i x ,A0 in.rs,k -- +'81)o in./s')k - ( I 600 irr. .i)i app : (600 in./se)(sen 30.i + cos 30T) = (300 nr./sr)i + (520 in./sr)j a,,=2dlxv,r¡*
:
2(-20 raüs)j x [(25 in./s)i + (43.3 nr.A)j] : (1000 in./s2)k
Al sustitui¡ los valores que se obtienen para a/,
:
(1300 nr./sr)i
+
a¿ ,.
aD¡n, y
(520 jrr./sr)i
q
+ (l
e\t (2). ¡100
ir./sr)k <
100'l
PROBLEMA RESUELTO 15,14 La grua que se muestr¿ gira con una velocidad angular constante atr de 0.30 rad,/s. De manela sinultánea, la plu:ra se levanta c<¡n una velocidad angular constante ar2 of 0.50 ¡aüs relativ¿ ¿ I¿ cabina. Si se sabe que la lonqitud de la pluna OP es I : 12 m, determine ¿ I la velocid¿d tle la puntr di Ia plu ma, ü) la aceleracirin de la punta de la pluna.
SOLUCIÓN
.-10.39
Sistem¿¡s dc lcfe¡.cnci¿. El sistema de ¡efe¡encia OXIZ está {ijo. Se coloca el sistem¿r de re{ér'encia en rotación Ory; en 14 cabina. Su velocidad angular con respecto al sistema de refe¡encia OXYZ es entonces O = .or (0.30 racVs)j. La velocjdad angular de la pluma relativa a la cabina y el sistema de referencia en rotación óxyz (o 9i, abrevlado) es .n1/s: <¿r: (0.5U rad./s)k
:
ül P
lá =,, :
,,
,0 1
6n
I
a) \'elocidad v¡,. De la ecuación (15.46) vy=v¡, l
se escribe (1)
vp1.o¡
donde v¡, es la velocidad del punto P' del sistema de ¡eferencia en ¡otación que coincide con P: vp,
:
Ox
r:
(0.30 raüs)j
x
[(10.39 m)i
+ (6 r¡)j]
: -(3.I2
n/s)k
y donde v¡79 es la velocidad de P ¡elativa al sistema de r.efe¡encia en ¡otacrór' Oxy:. Pero se encontró que la velocidad angular de la plumn reJativa a Oxyz es ap¡lj,: (0.50 rad,rs)k. L¿ velocidad de su pun r P relativa a Ory: es entonces
vt. . -.')^.., x r Al sustituir los valo¡es que
- r'U.50 ra¿l,,s.k x I,10.39 rr,i = /3 n u/5)i , 5.20 r vi se
obtuüeron para vP y
vr: D) Aceleración
a¡,.
ap, :
(3 nr/s)i + (5.20
en (1), se encuentra
ur/s)j
(3.12
r¡/s)k .(
De la ecuaciórr (15.48) se escribe ap
Prresto que
v¡ls
.6 rn'ji
:
ap,
Q y a"/, son ambas
+
^p/.¡
+
a.
(.2)
constantes, se tiene
: (0.30 rad/s)i x (-3.12 nVs)k: -(0.94 m/se)i atB/!t X (aB/s. X r) ^p/.q: t0.5u '¡üstk x = | 3 rrusri ' ,5.10 n"s,il ,1.5U r/s2il - 3.60 rnlsl i O x (O x r)
a,,:2dLxvr,lr¡ = 2(0.30 ¡aüs)j x l-(3 m/s)i + (5.20 m/s)j] = (1.80 m/s2)k Al sustitui¡ a?, ap/s y a.: e\ (2), se encontró ¡r, - - .ljl r , i l.-,{t r,,.- j-.l.\ Ir .j k <
1002
PROBLEMA RESUELTO 15,15 El üsco D, de radio R, se üorita por edio de un pasadol al e¡¡tle¡ro A del brazo OA de longitud I, tbicado en el plano del disco. El blazo gir¿ ¡ürededo¡ de O en un eje vertical a Ia velocidad const¿nte r.r,, y el clisco gill alrededor'de A a la velocidad constante o'. Deter ine n) la ve)ociclad del pun to P loc¿liz¿do di¡ect¿mente ar-rib¿r de A, D) la aceler:rción de P, c) la,,'elocidad y la aceleración angularcs del disco.
SOLUCIóN
O = i¡rli
Sistcm¿rs do roferenci¿r. El sisterna de referencia OXYZ está Iijo. Se coloca el sisterna de )'eferet.tcia en movimiento Arya a] brazo OA. Pol consiguiente, su velocidacl angular con respecto i sistem¿r de referencia OX)Z es O : ro1j. La velocidad :rngr :u del disco D relativa ¿l siste ¿ dc rcfére¡cia en rnoün-riento A:r¡/: (o 9" ab¡evjado) es .DD/¡¡ : ro2k. El vector de posición de P relativo a O es r: ¿i +.¡tj, y su vector de posición relativo ¿1 A es
tr/t = Rj
tr) Velociclacl vr,. DenotiLndo por P' el prrnto clel sister¡a cle refererrci¿ en rnovirniento que coinci(le con P, escribirllos ile la ecuaciín (15.46)
vp: vr' + vrE¡ dondev"':O x r:ro1jx (l:i + Rj) : -¡¡rlk ÍP/'j: aD/li x rp/¿: (,zk x Rj = (,)zlti Al sustiürir los valores que
se obtuvieron
(1)
pua v¡,y v¡le- err (]), se encue¡tr¿l
r'r,: -r,r¿lii b) Acclcraci
A y -r/,
=
á¡'*
¿,-'
/,k {
(15.48) se escribe
a],/"i +
a,.
son ambas const¿ntes, se tiene
a¡'= O x (O x r) : (,¡jx (-a1Lk): - olli = .,tD/!j x (arD/q x t4¡): ot2k x (-(,rrlii) : a¿ = 2(} x v¡¡s : 2a¡j x ( co2lti) : 2rara2Rk
o;/tj
Lp/."t;
Si se sustituyen los v¿lorcs obtenidos en (2), se obtiene
itr: -till, c) \¡clocidad v
oj/1.¡
+ lo,r,-,,ill< {
¿rceler'¿¡ción angrrlar.cs clcl disco.
o: (l I a1¡1,¿¡, Utilizando la ecuación (15.31) corr
a=
Q:
ot
:
ro¡j
i ro.k {
escribe
+ O x or :0+ro1jx(ro¡j+ro2k)
(1b)¿;11.2: (
Cr
:
ro
¡c.r.ri t(
En esta lección se concluye el estudio de la cine¡rátic¿r de cuerpos rígidos al npren del cómo se usa un sistem¿ de refrerencia auúliar F para analizar el movimiento en tres djnensiones cle ul cuerpo rígido. Este sistema de reférenci¿ auxiliar puede ser ttll sistelna de referencia rotatorio con un oligen fijo O, o un sístemú. de refercn.cia en tnouit niento generrrl.
A,
Ernpleo cle un sislemo d,e referencia en rotacíón. Cuando en el.plantease incluye el uso de un sistema de referelrcia en rotación S de-
niiento del ploblerna
ben seguilse estos pasos:
L jal
2. to
Elegir eI sistema cle re-ferencia en reloción'.1; que se ilesee utilizar los ejes coordenados corespondientes r, ¿/ y: a padir del punto fijo O.
y
übv
Determinar l¿t oel<¡cidad angular dl clel sistemq de referncia,'l con respec¿ rrD sistema cle referenci¿ f\jo OftZ. En la mayoría de los c¡rsos, se habr'á elegi-
ul sistema de referencia que se nontn a algírn elemento rotatofio del sistema; será entorces l¿ velocidad angular de ese elemento. do
O
Designar como P' el punto tlel rri$temu en raferencie en rotación 'if rlue coircida con el punto P de interés en el instante que se esté consider¿ndo. Determine la velocidad vr,,y la aceleraciólr a¡, del punto P'. Puesto que P' es parte de I v tiene el rrisr.iro vectol de posición r que P, se eDcontrar'á que
3.
v¡':Oxr
Y
ap':axr+Ox(Oxr)
a es l¿ aceler¿rción angular de 9. Sin embargo, en muchos de los problemas que se encontr'¿rán, la velocidad algular de I es constante tanto en magnitud como
donde
endirecciólr,yc:0.
1,
Determinar la oelociclad y la acelerución del pwtto P con respecto al sisse encontrará útil vitema d,e referencia ,"i. AI tratar de determinat vp/s; y sualiza¡ el movimiento de P en el sistena de referencia I ^p/s; cuando éste no se encueútre eu rotación. Si P es un prrnto de un cüer?o rígido 9d que tiene una velocidad angr al c,.r* y una aceleración angular ae relativa a S fproblema resuelto 15.14], se encontriuír que
vp/!¡:(DnAXr
y
ap/í,
-
&rk X
r+
@,A
x
(ar.¡
x r)
Elr n.iuchos de los problenras que se encontrarán, Ia velocidad angular del cuerpo gJ rel¿tiv¿ al sistern¿ de referenci¿ S es coustante tanto en magnitud como en direc-
ción,ya¡a:0.
5, Determinar la acelerucíón tle Coriolis. Consider¿ndo la velocidad angular O del sistema de relerenci¿r I y la velocidad v¡,7r del punto P relativa al sisten.ra de referelrcilr, que se calculó en el p¿so anterior, se escribe
a,.-2AXv¡¡at
6.
Lo xelociclad y la aceleración ¿e P con Íetpecto al sistemq ile referencia OXYZ puede obtenerse ahora sumando las eqrresiones que se han deterninado:
vp:vp'+vp/n á¡,:a¡,,*a?/tj+ac
fijo
(15.46)
(r5.48)
sistetna cle reíerencia en moDimiento generzl. Los pasos que se seguirán difieren sólo un poco de los que se indic¿rr-crn en la parte A. Consisten en lo siguiente:
B, Dnpleo tle un
f, Seleccionqr el sistemu de referencia l,)' que se ¿esee utilizqr lJ u.n punto ¿e referenciu A en ese sistema cle re.ferencia, a partir del cual se dibujaráll los ejes de coordenadas i;, ¿/ y: que definen al sisterna de refelencia. Se considerará el movirnieDto del sistema de referencia como la suma de una traslaci(¡rt uttt A y untt rotación alrededor de A.
Determinar la ttelocidad v¡ clel punto A y la xelociilurl angular ll clel sistemu de referenci¿¡. En muchos casos se seleccion¿r-/r ul sistetla de rel'elencia qtle se monta sobre algúrl elemento del sistema; O será eltonces lar velocldnd argular de ese elemento.
2.
punto tlel sistema cle reíerencia I que coincida con el punto P de interés er el iüstante considerado, y detelninar l¿r velocidad v¡, y Ia aceleración a¡, de ese punto. En algunos c¿sos, esto puede efectuirrse üsu¿rlizando el movimiento de P si se evitara que ese purto se llro\¡iera col respecto a I lproblema resuelto 15.15]. Un plaritearniento nás general consjste en recordar que el tnoün'iiento de P' es I¿r sun.ra de una trasltción con el punto de leferencja A y una ro tación ¿lrededor de A. Por consiguiente, la velocidad v¿, y la aceleración ap' de P' pueden obtenerse sumando v¡ )' a^, respectivaüelte, a las explesiones que se encontraron en el párrafo A3 y sustituyendo el vector de posiciól r por el vector r¡7,1 dibujadodeAaP:
3,
Designar como P'
v¡,:v¡iO
el.
x r¡7a
a¿':a4* qxrp/^ +O x (Oxr¡/A)
y 6 son
igu.alet clue en lu parte A, sJvo pol el hecho de que el vector r debe sustituirse de nuevo er.r vez de r¡7¡. De tal manera, es posible seguil' utilizando las ecuaciones (15.a6) y (15.a8) p¿rra obtener la velocidad y la aceleración de P con respecto ¿l sistema de leferencia fijo OXt-2.
Los ¡tuso; 1, 5
1005
cf
¡!1
15.214 La varilla AB se suelda a la placa de 12 in. de raüo clue gira o razón constante ¿r1 : 6 raüs Si el colla¡ín D se mueve hacia el e¡trer¡o B de la v¿rilla a velocidad constante x, : 78 in /s dete¡mine, para la posicidn mostrada, ¿) la velocidad de D, b) la aceleración de D
15.215 La placa circular que rlluestra la figura gira alrededor de su
Fiqura P15,214
i
:
10 raüs: Si en la posición nostrarazón constante ro¡ da el disco yace en el plano XY y el punto D del elemento CD se mueve hir4.5 ftls, dete¡mine r¿) 1¿ veloci cia aniba a velocidad ielativ¿r constante u
diámetro veftical
-
d¿d de D, b) la aceleración de D.
c,.r
1
15.216 EI tubo doblado que se muestra giru a velocidad constante = 10 raüs. Si u¡ colinete debola D se mueve en la Pade BC del tubo
: 0 6 nrls determine, pa ¿r velocidad ¡elatjva constante & la aceleración de D. de D, b) la velocidad r¿) mostr¿do, ra el instante
hacia el extrer¡o C
15.217 La b¿r¡ra doblada que se muestra gira a la velocidad constan te ro¡ = 5 raüs y el collaín C se mueve h¡cia el punto B a velocidad relati-
constante r¿ : 975 mm/s. Si el collarin C se encuentra a la r¡itad de los puntos B y D en el instante indicado, determine su velocidad y aceleracicir'
v¿r
--a
1l
ú
]i:
¡:
,
ún É
300 mm
Ei
lr :
ü Figura P15.2't6
1006
ü,!
15.2"18
tante ¿02 :
I-,a placa rectangular que se muestra
Problemas
gira a la velocidad cons-
12 raüs respecto al brazo AE, el cual gira a su vez a la velocidad constante ¿dl = 9 raÜs al¡ededor del eje Z. Para Ia posición mostrada, deter-
mine a) la velocidad de la esquina B, b) la aceleración de la esquina B.
F ,a -
* -,F t-)4 eb
rlh-
Figura P15.218 y P15.219
ta¡te
15,219 La placa rectangular que se muestra gim a la velocidad cons(os = 19 raüs respecto al'btazo AE, el cual gira a su vez a la velocidad
mnstante @r : I ¡aüs alrededor del eje Z. Para la posición mostrada, determine ¿) la velocidad de la esquina C, b) la aceleración de la esquina C
15.220 Una placa cuadrada de 360 mm de lado se articula en los punA y B de una horquilla. La placa gira a la velocidad constant e @2: 4 rad/s respecto a la horquilla, la cual gira a su vez a la velocidad constante ol :3 raüs alrededor del eie Y. Para la posición most¡ada, determine a) la velocidad del punto C, b) la aceleración del punto C.
toe
15,221
Una placa cuad¡ada de 360 mm de lado se articula en los puna la velocidad consta¡rte a2: 4 raüs respecto a Ia horquilla, la cual gira a su vez a la velocidad mnstimte co1 = 3 raüs alrededor del eje Y. Para la posición que se muestr4 determhe ¿) la velocidad de la esquina D, b) la acelemción de la esquina D.
tos
A y B de ura horquilla. La placa gira
15.222 Resuelva el problema 15.216 suponiendo que en el instante mostrado la velocidad angular <'r1 del tubo es de 10 raüs y disminuye a món de 15 raüsz, en tanto que la velocidad ¡elativa u del cojinete de bola es & 0.6 mls y aurnentu a ¡azón de 3 nvs2.
'!5.223
Resuelva el problema 15.217 suponiendo que en el instante iqdicado Ia uelocidad angrlar ,.r1 del tubo es de 5 ¡ad,/s y aumenta a razón de l0 rad./sz. en tanto que Ia velocidad relaüva ¿ del collarín C es de 975 mm,is s disminuye a ruzón de 6.5 m/s2.
15.224 Resuelva el problema 15.219 suponiendo que en el instante rado la velocidad angular anoular ,? ¿¡o d: de.la olaca resoecto del brazo AE es de oost¡ado li fli:". 12 rad/s y disminuye a razón de 60 rad/s2, en tanto que Ia velocidad angular * del brazo hrazo alrededor del eje eie Z es de 9 raüs y v üsminuye üsminuve a razór de 45 o1
T:l*:
radls!.
F¡gura P15.220 y P15.221
1007
1008
15.225
Cinemática de cuerpos ríg¡dos
Con el método de Ia sección 15.14, resueJva el probler¡a 15.186.
15,226 Con eI nétodo de ia sección 15.227 Co¡ eI ¡tétodo 15-228
cle
l¿r
15.14, resuelva el problema 15 187.
secciór 15.14, resuelva el problema 15 188
C<¡¡ el nétodo de la sección 15 14' resuelva el problema 15 lB9
15-229 La grúa que se rrruestr¿ gir¿l a la razón coDstante or:0-25 raüs; simultáneariente, la pluri,a telescópica desciende a Ia velocidad cons-
:
0.40 r a
t¡nte
.,ro
-v
15.230 El ,oror de rrn rerrlilador gira alrededor del eje ) a relo'id¿rd constante to1 :0.8 ratVs. Al mismo tieinpo. las aspas girat a larelocidad A constante ¿¿' - d\/dt :300 rym. Si la distancia entre el rotor y el punto
:
:
45' en el instante que se mues 160 mm y 0 de liL punt¡ dc las ¿spas es r trr,.l.i.r'nir'e l¿ relu' idad ¡ rrr -l.r.l ión clel ¡unt" A
Figura Pl5,229
15.231 La l¡an¿ AB de 16 in se pone :r girar a la I'elocidacl constante ¡l,z: tllf tlt = 8 l'aüs resPecto ,¡l ¿rrn¿v-ón CD, el cual g¡ra a su vez a la y Si 0 = 60'er el insveloi'ic'l¿rd constante ¿,rr : li racVs alrededor del eje t¿nte rrrostrado, deten¡ine la velocidad y aceleración del punto A'
X
Figura P15.231 Y P15.232
: de 16in. se pone a girar a la velocidad co¡ d" f J- '-r uelocidad alrededor .et gita a la -¡ resp-(lo al arrnazón CD que 15.232 Laba¡raAB
Y Énelinst¡nrrrro¡lrador¡r ".u - l2raü'.da1fdt -- l6 ¡ad/s' ¿tr.: =delbr':'--':r: Determine la velocidad y aceleración 60'. y 0 dat"fdt = I0 raüs2 to A paru ese instante
56
sl 5!-
15,233 Elbrlzo AB de 5 m cle largo se usa para proporcionar una talo¡¡ta elevada a trabajadores de la consfn¡ccicjn. En la posiciólr
Prob¡emas 'l O0g
pla_
oue se rnucs[ft. et br¡zo AB se está elerando a relocidad constanie dOldl = 0.:S raüs; en forma simultánea, la unidad se gir"nd. ;; ,;;ird"
dells
manecillas del reloj alrededor del
rad./s.
5i 0
t9.
-
¿ y i""to"¡aJ.onrir",",.' "'"i""n" ej.".to = O l¡
20". determine la relocidad y aceleracidn del punto B.
J] aFr€5
Et-
t¡d
'-]l tÉJ!F
rL r¡F
15.234
La van)la CD está uni
comil";";;;;;;d-'¿ái"t" ili
pecto al brazo ABC. El ensamble .azón constante col = 8 rad./s. Si 0 = ¿5", = s ,^ü, v ,t-)ái en el instánte moshado, deterüine la velocidad y acelell.;í
.i
i.'" r"
='i i^U"' áa pu* O
15.235
Un disco de g in. de radio gira a la velocidad constan te e)2 = 12 Cp.. gT a su véz gira o l" u"to"idud t,l, Tgr l::ry:,","1,b'r?", atr:ded:] del €je y. Determine, para el instante mostrado, - ?1rádls "or,rt"ít" la ve_ t
_
Figuta P15-234
7.5 iñ.
¿ *
b_
--
Figura Pí5.235 y pi5.296
- 15.236 Un disco de g in. de ¡adio gim a la velocidad constante o, = tz ':rl:1..,t,0,,Í? lD-.q1" a su.,?z gira " r" ,"ü"ü"J ".".,,ii." u,, = ) rad,/s al rededor del eie Y. Pa r¡ cl ins tan te lnostrado. dete flline Ia r
1'
od¿d.v aceleración del punto e sobre el borde del üsco.
elo_
1010
Cinemática cle cuerpos ñgidos
15.237 y'15.238 En la posición que se muesha, la barra delgada se mueve a velocidad constante t¿ = 60 ürm/s hacia fuera del tubo BC. Al mismo tienpo el tubo BC gira a la velocidad constante @2: 1.5 raüs respecto al brazo CD, Si el ensamble cornpleto gira en torno al eje X a la velocidad constante úor : 1.2 ¡ad,/s, dete¡n.¡ine velocidad y aceleración para el extreuro A de la barra.
I
I,
t! a Figura P15.237
Figura P15.238 EI ciündro que se muestra gira a la velocidad constante ¿r2 = I raüs respecto a la barra CD, ia cual gira a su vez a la velocidad constante ro1 : 6 raüs alrededor del eje X. Para Ia posición indicada, determine la leIocidad y aceleración del punto A sobre el bo¡de del cilindro.
15.239
d
n
o
I
100 mrn
Figura P15.239 y Pl5.240
I
:
15.240 El
60 mm
cilirLdro que se muestra gira a la velocidad constante r,r2 8 rad./s respecto a la ba¡ra CD, la cual gira a su vez a la velocidad constante o1 = 6 rad/s alrededor del eje X. Pala la posición inüc¿da, determine la ve-
Iocidad y aceleración del punto B sobre el bo¡de del cilindro.
I I
120 mm
15,241 La placa vertical que se muestra está soldada al brazo EFG, y la unidad completa gi¡a a la velocidad constante @r 1.6 raüs al¡ededor del eje Y. Al mismo tiempo, una banda continu¿ eslabonada se mueve alrededo¡ del perlmetro de la placa a velocidad constante ü 90 mm,/s. Para la posición most¡ada, determine la aceleración del eslabón de Ia banda ubicado ¿)
:
:
en el punto A, b) en el punto B.
15.242 La placa veftical que se muestra está soldada al brazo EFC, y la unidad cornpleta gi¡a a la velocidad constante (o1 1.6 r¿üs al¡ededo¡ del eje Y. Al mismo tiempo, una banda conünua eslabonada se mueve alrededo¡ del perímetro de la placa a velocidad const¿nte u = 90 mm/s. Para la posición mostrada, determine la acele¡ación del eslabón de la banda ubicado ¿) en el punto C, b) en el punto D.
:
a
r
fuada
ÁI úirl€spe(to .
dmidad Efuemo
Este capítulo se dedicó al estudio de Ia cinemática de cueqpos ígidos.
Primero se consid er6la traslación de un cuerpo rlgido lsección 15.2] y se observó que en un moümjenro de es¡e tioo. rSdo to,
tos del cue tpo fienen La mísm¡t uelocídnd q rual q uie r i,nrtant e dndo.
,
'ú¡f : 5 nsta¡!te e la re-
" ",r-rIa misita aceleracík e:n
Después se consideró la rotación de un cuerpo
de un eje
Cuerpo rígido en traslación
Íjo
lgido alrededor
lsección 15.3]. La posición del'cuefro ," a"nrliO mediante el ánguJo 0 que la línea B? dibuiaba desde ál a" J^_ el punto P del cuerpo. formado con un plano"¡" hio (ffer.o :t-ól^h"r]u 1b.39). 5e encontró que la magnitud de la veloc¡did de p-es " ds a=¿:r0sen$
Cuerpo rígido en rotación alrededor de eje fUo
(15.4)
donde
úi es la derivada respecto al üempo de 0. Luego se erpresó la velocidad de P como
d'r
(15.5)
lJ.l
Figura 15.39
ar:¿¿k:Ak se Ü rige a
angunr o$ante
: la r-eEFC-
ilor
s
*l
qdedr a p.rÉ
ú¿
IFC- s lor del
iedÉ' l pc+ ado
¡
(15.6)
lo largo del eje de rotación 0jo y representa la uclocidad
CIet cLrerpo.
Si se denota por a la denvada , aceleración de P se expresa como
da/dtde
la velocidacl angular. la
a=cxraoox(coxr)
(15.8)
(15.6t
y recordar que k es una constante en magn! lrtt",,l:l:lf rud y dlrección. se encuentra que
a=ck:ók:0k El vecto¡ c representa la oceleracíón angular d,el cuemo rigrda a lo largo del eje de rotación fijo.
(15.e)
!
está di_
1011
1012
C¡nemática de cuerpos rigidos
Fiqura 15.41
F¡gura 15.40
Rotación de una placa representativa
Después se consideró el moümiento de una placa representativa ubicada en un plano perpendicular al eje'de rotación del cuerpo (figura 15.40). Puesto que la velocidad angular es perpendicular a la placa, la velocidad de un punto P de la placa se erpresó como
v:rokxr
(15.10)
donde v está contenida en el plano de la placa. AI sustituir o¿ = ¿¿k a ok en (15.8), se encontró que la aceleración de P podía descomponerse en las componentes tangencial y normal (figura 15.41) iguales respectivamente a
y Componentes tangencial y normal
(
I
:
d
¡
q
si
ar:
ak x An: -a2t Veloc¡dad angu¡ar y aceleración angular de la placa en rotación
r
or:
ra
an: ra2
(15.1i')
I
Al recordar las ecuaciones (15.6) y (15.9), se obtuvieron las siguientes eryresion es para la aelacid,ad, angular y la aceleración angular de la placa lsección 15.4]: d0
s{
tc
tr tr
(15.12)
dt
Ur_
da
d20
tJl'
m!
(15.13)
bt
ca
o:,
da d0
(15.14)
Estas erpresiones son similares a las que se obfuüeron en el capípara el moümiento rectilíneo de una partícula,
tulo
ll
Dos casos particulares de rotación se encontraron con frecuencia rotación uniforme y rotación unifut"mem.ente acelerada. Los problemas en los que interviene cualquiera de estos movimientoi se pueden resolver utilizando ecuaciones similares a las que se emplearon en las secciones 11.4 y 11.5 para el moümiento rectilíneo uniforme y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado de una partícula, pero donde K, D y a se sustituyen por 0, a y a, respectivamente lproblema resuelto 15.Il.
_--
*.-.
Flepaso y resumon detcapítuto
+ Movimiento plano
Tra¡lación con
Rotación alrcdedo¡ de A
,A
Figura 15.42
rsentatiI
orerpo
o]a¡ a Ia
¡o
5.r0)
El mouimiento plano mtis generol de una placa rÍgida puede con_ siderarse como la suma de uia troslación q'una rítacián lsecci.ón 15.5]. Por ejemplo. es posible suponer que"la placa que se;uestra en la figura 15.42 se traslada con el punio a- mientás gira de ma_
nera simultánea alrededo¡ de A. Se concluye lsección li.6l oue fa velocidad de cualquier punto I de la placa'puád" .rpr".urr"'"o^o
vB:vA+vB/A
:
C r,rk ilía des¡ 15.41)
;-1r')
¡ l¿s s¡*in an-
Í.t2) .í.13)
ú
(r5.17)
donde v¿ es la velocidad de A y vs¡ a la velocidad relativa de g con respecto a A o, de malera más precisa, con respecto a los ejes x,¿¡, que se trasladan con A. Denotando-rneüante 16ra el ,ecror'de pá_ sición de B relativo a A, se encontro que
vB/A= @kX rB/A
DB/A: ra
(15.18)
La ecuaciór fundamental ( lS..l7) que relaciona las velocidades ab_ solutas de los punlos A ¡ B y la velocidad relativa de B con resoec_ to a A se expresó en la lorma de un diagrama vectorial v se uülizó para resolver problemas que implican elloümiento de áiversos ti_ pos de mecanismos lproblemas resueltos 15.2 y I5.3].
Otro planteamiento para la solución de problemas en los oue intervienen las relocidades de los puntos de rina placa ígida en'un moümiento plano se presentó en lá sección 15.7 r'se usó én los nro_ blemas resueltos 15.4 y 15.5. Está basado en la'determinación' del cenlro d" rotación instantdneo C ¡le la placa (ffgura 15.43).
opí
í: I
:
bgren-
FPt* úos
Velocidades en movimiento plano
se
mplea-
udib una m
+.ti
b)
Figura 15,43
Centro de rotación ¡nstantáneo
15 1013
1014
Cinemática de cuerpos ríg¡dos
tudi sec udo
cmt
.Ltn Movimiento plano
Tmslación
conÁ
+
Rotación conA
F¡gura 15.44
Aceleraciones en movimiento plano
El hecho de que sea posible considerar a cualquier moümiento plalo de una placa lgida como la suma de una traslación de la placa con un punto de referencia A y una rotación al¡ededor de A se utilizó en la sección 15.8 para relacionar 1as aceleraciones absolutas de cualesquiera dos puntos A y B de la placa y la aceleración relativa de B con respecto a A. Se tuvo (15.21) A6 = A¿ -l á6¡4 compon?ntc normnl (as¡a\, de magntud r@' dirigida hacia A. y una componente tangencial (as7¡)¡ de magnitud ra pe¡pendicular a la línea AB ffigura 15.44]. La relación fundamental (15.21) se er?resó en términos de diagramas vectoria1es o ecuaciones vectoriales y se empleó para determinar las aceleraciones de puntos determinados de diversos mecanismos fproblemas resueltos 15.6 a 15.81. Debe señalarse que el centro de rotación
donde as7¿ consisüó en
wa
Ob6e ref€rr
Gtra¡x
hq
+ds
&_* dm&
a
instantáneo C que se consideró en la sección 15.7 no puede utilizarse para determinar aceleraciones, puesto que el punto C, en ge-
R¡es¡n
nera.l, r¡o tiene aceleración cero.
rimie¡ nagrn
Coordenadas expresadas en términos de un parámetro
Flazón de cambio de un vector
con repecto a un sistema de referencia en rotación
En
e1
caso de ciertos mecanismos, es posible er:presar las coorde-
r y y de todos los puntos importantes del mecanismo por medio de expresiones analíticas simples que conüenen un solo parámetro, Las componentes de la velocidad absoluta y la aceleración de un punto dado se obüenen entonces al diferenciar dos veces con respecto al tiempo , las coordenadas r y y de ese punto lsección 15.9] nadas
Si bien la raán de cambio de un vector es la misma con respecto a un sistema de referencia ffjo y a un sistema en traslación, la razón de cambio de un vector con respecto a un sistema de referencia en rotación es diferente. Por lo tanto, para estuüar el movimiento de una pafllcula relaüvo al sistema de referencia en rotación primero tuümos que comparar las razones de cambio del vector general Q con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ y a úD, sistema de referencia Oxyz et rotaciórt con una velocidad angular O lsección 15.10] (ffgura 15.45). Se obtuvo la relación fundamental
(Q)on":(Q)o'e,+OxQ
(15.31)
drcct
etl ltto
ra ad sded
It
deon bdeu dend
uIm
o¡a¡qui
oydr
Edo- L
qr€sa
Al difer
se concluyó que la razón de cambio del vector Q con respecto a un
Figura 15.45
sistema de referencia frjo O)AZ consta de dos partes: la primera 'parte representa la raz6n de cambio Q con respecto al sistema de referencia rcfatoio Oxyz; la segunda parte, O x Q, se induce por la rotación del sistema de referencia Oxyz.
Sin eul otoo, la go del e
La siguiente parte del capítulo lsección 15.11] se dedicó al estudio cinemáüco en dos dinensiones de una partícula P moviéndose con respecto a un sistema de referencia I en rotación con una velocidad angular O alrededor de un eje fijo (figura 15.46). Se encontró que la velocidad absoluta de P podría expresarse como
vp:rr'p'+yp/gt donde v¡ :
v¡,
:
ypls
:
¿le
l¡
de -r
üEc
riin
(15.33)
F
Obserwe que la misma expresión párá v¿ Se obtiene si el sistema de referencia está en trásl¿ción en vez de en rotación. Sin embargo, cuando el sistema de leferencia está en rotación, se encuentla que la expresión para la aceleración de P contiene un término adicional a. denominado aceleración complementaría o aceleracíón de CorioIts. Se escribió
ap:ap,*ap1s;1-a.
¿1
..qni-
tr&
donde a¡
:
a¡' :
aci{tn
torúreleú1€-
ap/s;:
¿ción
:
üEHn qe-
(15.36)
I
I
a.:2f} x (t)6,r:2dL x vvp, aceleración complementaria o de Coriolis
ráme-
Puesto que O y v¿lsÉ son perpendiculares entre sí en el caso de movimiento plar.ro, se encontró que la aceleración de Coriolis tiene una nagnitud ¿" :20ap¡sy qt:,e apúnta en la ürección obtenida a.l girar el vector v¡7s: 90o en el sentido de rotación del sistema de referencia en movimiento. Es posible utilizar las fórmulas (15.33) y (15.36) pa¡a analizar el movimiento de mecanismos que contienen paftes que
de r¡¡,
se deslizan unas sobre otras [problemas resueltos 15.9
ffdF r llle-
F¡gura 15"46
aceleración absoluta de la partícula P aceleración del punto P' del sistema de referencia en movimiento que coincide con P aceleración de P relativa al sistema de referencia en mo-
vimiento
y 15.10].
esp€{I
{r resión-
La
ferenimien-
ln pripneral r
ísie-
a¡Q nent¿l ;-:l
I
.o a uI!
rinrerz :m¿ de
r€- por
La última parte del capítulo se dedicó al estudio de la cinemática de cuerpos rígidos en tres dimensiones. Se trató primero el moviniento de un cuerpo ígido con un punto fijo lsección 15.12]. Después de demostrar que el desplazalriento más general del cuerpo úgido con
lvlovimiento de un cuerpo ríqido con un punto fijo
un punto fijo O es equivalente a una rotación del cue¡po alrededor de cualqüer eje que pase por O, fue posible deffnir la velocidad angular a y el eje dz rota.cíón instúnt(ineo del cuerpo en un instante deter-rninado. La velocidad de un punto P del cuerpo (ffgura 15.47) se puede eryresar nuevamente como
v: dr dt -(,Xr
(15.37)
.Ll diferenciar esta eryresión, también se escr:ibió
a:dxr*
Figura l5.47
(15.38)
Sin embargo, puesto que la ditección de ar cambia de un instante ¿ otro, la aceleración angular c, en general, no está dirigida a lo largo del eje de rolación instf,ntáneo lprobJemo resuelto 15,1L
15 1015
l\,4ovimiento plano de una partícula relativo a Ln sistema de referenc,a en rotac or
velocidad absoluta de la partícula P velocidad del punto P' del sistema de referencia en movimiento I que coincide con P velocidad de P relativa al sistema de referencia en mo-
vimiento 0rer¡-
Repaso y resumen de¡ capítulo
101
6
c ¡emái ca de cLrerpos rísidos l,4ov m
ento general en
e
espac o
En la sección 15.13 se dernostró cyre el tnoainúento rtuís gener,tl '1, un tt' ry,' rí¿i,lo pn el psp,ri,, ¿s ¿tl¡tirql, ,tlp , r¡ r'ttnl,piet it'tstante datLo, ( lo sun7e de una trasLació¡t y una rotación. Al colsidelar clos partículis A y B del cuer?o, se encontró que
vB-vA+v¡lÁ
La
clor
(15.42)
donde v¡7¡ es l¿ velocidarl de B rel¿tiva al sistema de re1'erencia AX'Y'Z' nontado en A y de oriertación fija (figura 15.48). Al delotal por rBlA el vectol de posiciín cle B rel¿rtivo ¿ A, sc cscribió
v¡:v¡
l a)1 r¡¡1t
(r5.43)
Se ¡
1qr 1¿
donrle ¿o es la velocidad angular del cuer?o en el inst¿nte consider¿ido lproblema resuelto 15.12]. L¿ aceler¿ición de B se obtuvo ne diante un razonan.liento simil¿r. Primero se escribió
eni
'
arJ:a/t+a¡r\ ¡
al rccordar la ecuacióD (15.38),
Z
á¡ : á¡ *
Figura 15.48 Movimiento tridlmensional de una partÍcula relat vo a un sistema
de referen( ia en rordc ón
{¿ X rtslA
+
(l)
x
((')
x ID,
E¡ l¿rs dos secciones fin¿rles del capítulo se col,>:: miento en tres dinensioles dc urn partícula P relai: . cle rcfr:re¡cia Orr./: en rotación co¡ u¡a velr¡cicl¿rrl .: Iespecto ¿ un sistcma de referenci¿ fijo oIl'Z (figlr:. ,' sección 15.14 se exPlesó la velocidrid absohrta r¡ cl. -
Yp: dolde v¡ v¡,
: :
yplr :
vp' + vp/Ji
velocid¿d ¿bsolut¿ de ula partícula P velocidad dcl pulto P' de uli sisterr¿r ri¡ :. rnovjrniento S que coincitle con P velocidad de P relativa al sistema de re.-miento I
Fiqura 15.49
¡¡l
t¿-
-er
La aceleración absoluta a¡ de P se e>.presó entonces como
ap=ap. 1-ap/g;+ac
tD-
donde
a¡ ap,
= :
ap/st
e-
a"
=
15 1017
(15.48)
aceleración absoluta de la partícula P aceleración del punto P' del sistema de referencia en
movimiento
la G
Repaso y resumen del capitulo
I
que coincide con P aceleraciór' de P relativa al sistema de referencia en mo-
ümiento I : 2{l x (i\6,r, : 2A x t p¡s : aceleración complemenlaria.
o de Coriolis
Se obserwó que la magnitud a. de la aceleración de Coriolis no es igoal a 2dh:pp' lproblema resuelto 15.131 salvo en el caso especial en el que A y or/* son pe¡pendiculares entre sí.
e-
También se obsewó fsección 15.15] que las ecuaciones (15.46) (15.48) siguen siendo válidas cuando el sistema de relerencia AnTz se mueve de una manera conocida, aunque arbitraria, con respecto al sistema de referencia fijo OXYZ (figura 15.50). Siempre que el moümiento de A se incluya en los términos v?, y ap, que representan la velocidad y Ia aceleración absolutas del punto coincidente P'. r-
t¡a
{t
h
Figura 15,50
Los sistemas de referencia en rotación son en particular útiles en el estudio del movimiento tridimensional de cuetpos rÍgidos. De hecho, hay rnuchos casos en los que la elección apropiadá del sistema de referencia en rotación conducirá a un análisis más simple del moümiento del cuerpo rígido que el que seria posible con e¡es de orienlación fija lproblemas resueltos 15.14 y l5,l5l.
Sistema de referencia en movimiento general
I
(
(
I
I
15.243 La va¡illa acodada ABCDE gira con velocidad angular c!ústante de 12 raüs alrededor de una línea que une Ios puntos A y E. Si la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj, üsta desde E, detemine la velocidad y la aceleración para la esquina C. '15.244
La velocidad no¡ninal del tambor B de la lijadora de banda que 2400 rpm. Cuando se apaga, se observa que la lijadora si gue funcionando Iibremente desde su velocidad nomiual hasta detene¡se en 10 s. Si hay movimiento uniformemente acelerado, determine la velocidad y la aceleración del punto C de la banda a) inmediatamente antes de que se apague, b) s después de apagarse. se muestra es de
I
Figura P15.243 Figura P15.244
1 5.245 El brazo ACB gira alrededor del punto C a velocidad angular de 40 raüs en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Por meüo de pasadores insertados en sus centros, dos discos de fricción A y B se montan sobre el brazo ACB como se muestra. Si los dos discos ruedar-r sin deslizarse en las superficies de contacto, detennine la velocidad angular de a) el dis-
da
el
co A, b) el üsco 8.
co ta¡
15.246 La barra AB gira en el sentido de las manecillas del reloj J', en el instante mostrado, la magnitud de la velocidad del punto G es de 3.6 m/s. Determine la velocidad angula¡ de cada una de las tres barras en ese instante.
.ltOmm
.r"¿,m Figurc
P1
5.245
l20m'¡
Figura P15.246
1018
d
15.247 Un tambor de 60 mm de radio se une ígidamente _ a un tarn_ bo¡ de 100 mm de radio en la forma que su inü"". U;?;i;; ;#;r;"sobre la superlicie mostrada. y una cuerda se en¡olla alre_ 9",t1':-* li,.li det oeoor otro tambor. Si el ertremo E
ar,elocidad de 120 mm/s. dete¡min. o) á) la velocidad del cent¡o de los llada o desenrollada por segundo,
de la cuerda se lala ha"i, ¡u i.q;¡er¿a
l" ""lo;ij;J;é;ü,áit;,;ffi;:"r, t"*b;,;r,;ti;;;;ffi;;::*#:T.
coost¿E-
rúcióa la rek¡ nda que
dor¿ sierse eE
ridad que
Figwa P15-242
_r
-
15,248 Elbrazo ABD
se r¡¡e meüante pasadores a un collaín en B y DE. Si la vetocidad del c"tú; lr""* ¿" tennine ¿) la velocidad angular del braza ABD. ¿l l" ¿
;'ü;l;;¡,
a Ia manivela
#ü
""f"ái¿"J¿"fp"ri"
€utr
Flgura
üo& or¡ta
üza-
ilü{4
l
P1
15.249 El tambor de
5.249 6 in. de radio rueda sin desliza¡se sob¡e una ban-
;:i; l;i:il" fi i#,ill,""
haciala rquierda Án-;i;;d# J*,."#ü 1,",-n::-':ra veloodád y h acei".""i¿, JJ ¡i cor¡! se muestra, determine las acele¡aciones """.." a" 1., prÁ,
T'*"
:*:ii ::l l* tambo¡.
€l-n
a €t€
Figura P15.249
l.'¡'yv Z
¿a
Problemas de
repaso 101g
1O2O
ciné,¡áiica de cüerpos .ís¡dos
15.250 En el inst¿nte indic¿rdo, la \afilla AB tiene velocid¿d ¿¡-g-'-co¡stante de E ¡aüs en el serrtido de las r¡¿¡eci/Jas del rdoi Sl I : 12 ' deternine la ¿tcele¡'¿tdón tbl punto ned)r¡ C clel nie¡¡b¡o BD.
T'-f"r-' i ,
I
lr
I .."io
--- ---t
- -----,t -l¡--._ !-
-_\
I I
500 rnu
I
l
Figuta P15.250
15.251 El pasador P está unido a los colla nes que se rnuestran: Lanu¡¿ ¡ecorlacl¿ en l:r varill:r BD -v el collarín que se desliz:r polla varilla -guían el morirrierto del prisador Si en el ¡rstante conside¡aclo las va¡ill¿. ¡nn en el sentido de las r¡anecill¿rs del leloj con ro¡p: 8 r:rcVs v co¡p = raüs, deten¡ine l¿ r'elocidad del pasador P.
:
F¡gura Pf5.251
15,252 Un¿r c¿1dena se enrolla ¿rlrededor cle dos engnnes de 2 1r raclio que giran Jibrerrente respecto al brazo AB de 16 jn. L¿¡ cadena se l. ve al¡ededor del brazo AB en el senticlo de las rnanecillas del reloj a reJ d¿id const¡rnte de 4 in./s ¡el¿tiva al blazo. Si en la posición que se inclic. br¿1zo AIJ gira en el sertido cle l¿rs ¡r¿necillas del reloj alredcdol de A r locidad const¿lite ¿o :0.75 ¡¿üs, determine 1¿ aceler-aciór de catl¿ u¡r los esl¿rbones I )'2 de l¿ c¿clenl.
F¡gura P15.252
15.253 La va¡ill¿ AB se concct:¡ medi¿nte rótül¿s al collar'ín I 'li'tr, l- d- J2u rn J" Ji.lr,"lro. Sj -l rli.,,, C g.r.r nn sertido.ontr,rr
de l¿s mnnecill¿rs de1 r'eloj a velocida(l const¿nte ro¡ :3 raüs en el pl-, ;r, deteminc la velocicl¿¡d del colla¡ín,,\ pala la posición llue se mres::
:
15,254 La bar¿r dobl:rd:r EBD gira a relocjclad constante .or 6 ri r. Si el collarín A se mueve hacia ¿uribn a 1o Iargo de la barra a velocidad rel.: \,¿ co¡stante ¿¿ = 600 ll¡,/s y 0:60', detemire a) la velocidacl cle A, 1r aceler¡rción dc A.
Fieüa P15.253
Figura P15.254
d
¿¡eul¿¡
, t9o15.C1
EI disco que se muesfrn tiene una velociclad angular constante con¡rario.at del .r^: n.,,?*liUll i"ji :.:,,do "" aD ol ld barra mide l0 in. de largo. utilice soft,rare orru ¿"1"..ii, ^)l pll" .do':' 6 ctp 0 a sooi , ; i" .' ¿"Í .ero(roae angL¡Jar de ,d: "1"",¿rl la bana BD. r Delerminelos dos valores de 0 pa_ra los cr¡ales la velocidad del collarín D es cero.
."ü;;;";;";
Tl
..]*:ii
*
"ffi;';";T,l
iL,¡¡¡: il¡; ra:-ill¿ 1f
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=-
e:i¡i. ¿
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i¡dic¿
¡
e -1 ¿ 1a¿ u¡o i¿
í¡ -{ ', ataá¡ia,
F¡gura PlS.Cf
-
-
el pi,--
Il¡UeS-:
ñid: ad rel,:=5
:-L-, L
d: .l*: ql" :g..":stra gira hacia la izquier_ ¿" ol i¡ ; ;;;i;"? "":.:::1"^t ;:;:;"; , ,1,::: ::".::$'g:d para u"to.", vatorei dc d" B'"li. de 0 ó,Ti6,i:,;ifi;iiil5 a :.':,"1,,': ¿ ts¡a que. pu'" á;i .l: *::TT-f,{r'"1q", 15.C2
1 l": consranre
B;
i;';l
.l¿rin B. b) la r elocidad angular de la barra AB.
F¡gura Pt5.C2
b: orrr' B in. si )r la ;; ;, J;;;ffi #iT;:":i;i:: T: "t :1'"1 i"i;r"j:';il;;d#'5u,',i'".tlL, t-*jiJ'_.,.
:!:i:-"
se -muest¡a, *u: . "-""* t = 8 irL. y 'mani\ ela AB gj rd con una velocidacl l, g:_' id" del ido d"r moümienro de t"s ::,'L ur r, gralicar. p,ar¿ '¿) para rvto:es. alores '"ane"iua, de 0 cle 1g0., a) r" la relocidacl v {9 de 0 a r80., ¡¿:'¡la¡e' de ta barra BD. ó,la ""r""¿"j'" ueto"¡dal y
1l;"Í"
;;ñ;;;;
T_i^ql{:l
loly.ru"
lul";i";ilili;l,ill;
F¡gura P15-C3
Cinemática de cuerpos rígidos
15.C4 Si la ma¡ivela AB tiene una velocidad angular constante de 160 rpm en sentido contra¡io al de las manecillas del reloj, determine y graffque, para valores de 0 de 0 a 360', ¿) la velociüd angular y la aceleración angula¡ de la ba¡ra BD, b) la velocidad y aceleración del collarín D.
deh l¿s
il
port€
tanci
r
Figura P15.C4
15.C5 Dos ba¡¡as rotatorias se conectan mediante un bloque corredizo P en Ia folma que se indica. Si la bar¡a BP gira con velocidad angular constante de 6 raüs en sentido contra¡io al de las manecillas del reloj, utilice software para determinar y graffcar, para valores de 0 de 0 a 180', ¿) la velocidad angular y la aceleración angular de la ba¡ra AE. b) Determine el valor de 0 para el cual la aceleración angular a¡¡ de la barra AE es míxima y el valor correspon&ente de a¡¿.
Figura P15.C5
P15.C6
15,C6 La ba¡¡a AB se mueve sobre una pequeña rueda en C mientras que el extremo A se desplaza hacia la derecha con una velocidad constante de I in./s. Use software para determinar y graffcar, respecto a valores de 0 de 20 a 90', a) la velocidad del punto B, b) la aceleración angular de la barra. c) Determine el valor de 0 para el cual la aceleración ángular c de la ba¡¡a es mráxima y el valor correspondiente de o.
gra
b ile
160
gFafiqoe.
thqu-
- _ 15.C7 La bar¡a AB de F00 mm de longitud se conecta mediarte unión de bola y cuenca.a los collarines A y g. los'cuales ," J"rlir""', ülar"" ¿. tas clos-Daras en.la lo¡Tna que se inüca. EI collaÍn B se mueve hacia !l so_ Pone ¿ a una velocidad coDstante de 400 ¡nm/s. Si se denota por d la dis_ tancia desde el punto C hasta el collarin B. utlice soft*;;;-;;"";;;;",
y graficar la velocidad del collatn A respecto a valores d"
ortedib¡ cposice soft-
:loddad lor de 0 el r¿br
üueftconsalores I
rdela
¡ade
Figura Pl5.C7
d'.iló;:óó';*.
Problemas de
computadora
1023
CAPITULO
Los acelerómetros colocados en varios puntos de un maniquí para pruebas de ¡mpacto proporcionan datos de aceleración que los ingenieros ut¡l¡zan para est¡mar las fuerzas generadas durante el movimiento. En esle capítulo, y en los capílulos 17 y 18, se analizaá el movim¡enlo de un cuerpo rígido al considerar el movimiento de su centro de masa, el movimiento relativo a su centro de masa y las fuerzas externas que aclúan sobre é1,
16.1. TNTRODUCCTóN MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS RíGIDOS; FUERZAS Y ACELERACIONES 16.1
16.2 16.3
16.4 16.5
16.6
16.7 16.8
lntroducc¡ón Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido Cant¡dad de movimiento angular de un cuerpo ríg¡do en movimiento plano Movim¡ento plano de un cuerpo rígido. Principio de d'Alembert Observación acerca de los axiomas de la mecánica de cuerpos rígidos Solución de problemas que implican el mov¡m¡ento de un cuerpo rígido Sistemas de cuerpos rígidos l\ilov¡miento plano restring¡do o v¡nculado
f""'"\
frag,*i L'ffiÑ*'t
En este capítulo y en los capítulos 17 y 18
se estudiará
lt cinéti¡tt de aner-
Txts rígítlos, esto es, l¿u relaciones existentes entre las fuerzas que actú¿rn sobre un cuerpo ígido, l.r fbrma y ln m¿s¿ del cuerpo, y el movimielrto que se produce. En los capítulos 12 y l3 se abordam ¡elaciones sindlares, suponiendo en ese caso que el cue¡po puede considerurse co¡ro un¿l partícula, esto es, que srr masa podría corcentrarse en un punto y que tod¿u las fuerzas actÍratr en é1. L¿r form¿ del cuetpo, así cono l¿r rüic¿ción ex¿rcta de los puntos de nplicación de l¿u fucrz¿¡s, no se¡¿ír'r tom¡rdos er cuenta. Se estudi¿rrá no sólo el rnoünjento del cuerpo como un todo, sino t¿rrnbién cl rrovimiento del cuerpo er toralo a su centro de m¿s¿t. EI plantealriento será corside¡¿r a Jos cue{Pos r'ígidos conlbnnados por-un gra nírmero cle partículas y utiliz¿ü los resultados que se obtu r.ieron en el capÍtulo 14 prua el noümiento de sistemas de partículas Do rirAneLa específica, se ernpleirriitt dos ecuaciones del c¿Pítulo 14: la ecruLción (14.16), )F - l¡á, la cu¿rl rel,reiona lrr resultante de las luerzas extemas v l¿ aceler¿ción del cent¡o de nr¿u¡ G del sistelr¡ de particulas, y h Jcrución (14.23), >Mc : É,r. qu" rel¿ciona el nromenti' ¡esul tante dc l¿rs fuerzIu ertemas y la cantidad de moümiento angulal del sistcrnl de partículas rrlrededol de G. Excepto por la sección 16.2, la cual se aplica nl caso rnás gener¿rl del movimiento tle un cuerpo rígido, los result¿rdos que se obtendrán en este capítulo se lin.tit¿rrán en dos [onri¿s: (1) se restringirán ¿l tnat)imiento plraro de cuerpos úgidos, esto es, al novirnientt¡.el el que cada partícuJa dcl crrcrpo pelmauece ¿r un¿r dist¿rncia constalte de un plano de referctrci:rfijo. (2) Los cuerpos rígidos consiclerados constarán únic¿rmente de plactrs pJantis y'
lO, rás gcnol¿lrnc¡rte, nreDos qne pendicrrlar al plano dc relér-.ncia.
ti.u'., u" . ¡,
rlp inrrcr.r centroirt ,t pnnLin¿t per
F
::.
ir.1r
.]a
:
r6.2. Ecuac onos de movrm efto ate !rr cLerllo Íqjco
2, ECUACIOT\¡ES DE IvlOVlMlEhlT0 DE Ur\¡ CtiERF0 RíG!D0
1027
,
r¡lsiclcrc Lro cuerlo úgitkr sobre e1 clue actr'ral vali¿s fuerzas extem¿s Fi, F2, F3, . . (figurti 16.1). Sc pucde supoler (¡rc el cueryo está inte¡rado de ul grlrr nirrlero t tle partículas de nasn Alr, (i : 1, 2, . . . , n) r .rplical los resultnlos obteniclos cn cl clpítulo 14 para ul sistetta dc parfículiu (figun 16.2). Consiclerarrrlo prinelo cl morirnielto del centro cle m¿rsa G dcl cueqxr con lespecto al sisteltrr cle relerenci¿r lc-r,to¡i¿rno Or¡:. se retorna l¡r ecuaciór (14.6) y sc esoibe
)F :
I
.,t ,
(r6.r
nrá
)
clol¡le lr cs la ¡r¿rsa dcl cuerpo y á es la ¿celer.¿rción dcl centr.o cle rrr¿rstr C. Volvicrrdo i ror'¿r ¿l rrovin¡ielto dcl cucrpo lei¿Ltjvo ¿l sistem¿r de r.cl'erenci¿ celtr<¡icl¿l
Gr'y'z'. sc retorn¿ l¿ r:cuaciól (14.23) r, sc escfilte
)M¡;
-
H¡;
(16 2)
clolcle Ii¡-- r'epresenttr la r-az(¡r cle c¿rltbio tlc H¡;, la cantid:rcl dc ltovi rriento angular- alrccleclol tle C clel sisterl¿r dc p¿ntícr rrs i¡re for-rra el crrcrpo rígido. Eu Lr subsecueltc, H¡; hará refi:r'trrcia simplernentc a la tantid.a¿l de nol)inli¿nto anguLor d¿ ukr-l)o rígiclo en lonTo o \Lt ccütft) le
nast (]. Junto col
l¿s r:cu¿Lcioles (16.1.) v (16.2) r:r¡rrersa que el sisnto cLa.fi.utras externas e'^ ar¡uipolent( I \itl.qno. cottsittenlc e¡7 atl nac-
clc
t,', u6Jij.'ett (.,¡ , ¡,¡t,¡, ,,,,',,u,,r,, É,'llgrr:r 163.r
.. ¡t. -_.-.,
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iÍ,
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t lttt: -:0r -
i-lt:.. lr¡
-i ..,t" -l r.I\ : i('
F¡gura 16.3
L¿ts ccu¿rciones (16.1 ) y (16.2) sc altliclrr aJ ctiso niiis gcncrill del rrx¡virniento rle un cuei?o r-ígiclo. Sil , rrrbulgo. or cl ¡esto tlc t,st* elptulcr r:l ¿nírlisis se limit¿¡r'¡i il r¡u¡t,intiento ¡rlario de crropos ríridos, csto es, a uD moülrietto er el que catia pr,rrtícula pr:rmarecc a un¿i dist¿nci¿ cons t¿nte tle rrn plano clc rclereucia fijo, v se supondrá que krs crrerpos úgclos est¿u-hrr colnplrestos srílo pol las placas planas v los cuer?os iluc sol simétricos con respecto al plano de r-eliler rt irL. Un cstuüo ¡diciorul dcl lnovirniento plano dc cue4xrs trjclirnensionalcs [o siltétrjcos y del rnor.irnielto clc cue4ros ígiclos el el (sl¿l(io triürrrt nsjorrd se 1,',s¡ondrri lrasta el capítrrlo 18.
.l-L\
lPruxto qrre ios sistcrr¡s n¡,plir¿Llos ¡ctr1.1,r srnre rrn cLrer¡o Ígicl¡r sc podrí¿ concln,r cstc prnto. en l¿s rclir.e,rci¡s a l¿ scccnin 3 19, .trr: los dos sistc,n¿s son cquiúLr1tt.N sí corro.q,ripole tes \' usatr sigro dc ieual r.r;jo en hrgrLr de az[l rié¡sc ligun I6.J) snr c,rrLargo pospoliendo est¿ .oncl,,siói,. sc ¡,rr,lt ll qr . -ll¡ J. ¡,,e, , ,,J, f,,,,rtl nro (scocñrcs 16..1r' 18.5). elinrin¡,ld., (le elrL ür'lrra l¿r necesiclad dc tnclrLir el1,ú,cifio (1t'
c
tmr$nrisil)ili(l.r(l
.¡tre
los ¿rionr¿s de l¿ ¡¡,cciuric.l
lr)ccióll
lai.5).
Fotografía 16.1 El sistema de fuerzas externas que actúan sobre el hombre y el esquí i¡c uye los pesos, la tensión y la cuerda de remolque, y las fuerzas ejercidas por el agua y el aire.
,fl
1028
Movimiento pranode cuerpos risidos: tuetzas y aceteracrones
16.3, CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN CUERPO
16.4.
RíGIDO EN MovIMIENTo PLANo
PRINCI
Considere una placa fgida en rnoülriento plano. Suponiendo que la placa está integrada por un gran número n de partículas P, de masa Arnr y retomando la ecuación (14.24) de la sección 14.5, se advierte que
Conside va¡ias fi
ca (figur y escrih
la cantidad de moümiento angular H6 de la placa alr"dedor de su cintro de masa C puede calcularse considerando los momentos alrededor de G de las cantidades de movimiento de las partículas de la placa en su moyimiento con respecto al sistema de referencia Oxy o Gx'y' (frgura 16.4). Si se elige este último, se escribe
Hc:
)
(rl x
v'¡ Ltn¡)
M
forma e
Las masa C una vez
(r6.3)
i:l
actúan ¡
F¡gura 16.4
condicir cualquit
donde r] y vj Arr.¿ denotan, respectivamente, el veptor de posición y la c¿nüdad de moümiento lineal de la partícula P, relativa al sistema de referencia centroidal Gx'y'. Sitt embargo, en vista de que la partícula pertenece a la placa, se tiene que vi: a x rj, donde ar es la velocidad angular de 1a placa en el instante considerado. Se escribe
denada tanlente G de las
Esi¿
H":)
i=I
frj x
(
x ri)
miento Anz¿]
vimieDt{
el morir conecta{
Con referencia a la figura 16.4, se verifica con facilidad que Ia erpresión que se obfuvo representa un vector de la misma dirección qui o lesto es. perpendicular r la placat y de magnilud igual a tu)rir An,. Recordando que la suma )rj2 Arn, representa el mómento de inercia I de la placa alrededor del eje centroidal pe¡pendicular a la r.nisma, se concluye que la cantidad de movimiento angular H6 de la placa en torno a su centro de masa es
actúan s Pue
resultan sobre él
t¿s, esto sultánte.
mo efec'
H¡;
:
Iar
Con tria¡r sob
(16.4
tivas áso,
En la
Al diferenciar ¿mbos miembros de la ecuación (16.4) se obtiene H¿
: li¡= ¡s
se
son eqü ahora c.c rior que
(r6.5
es posibJ
En consecuencia, la razón de cambio de la cantidad de movimiento angular de la placa se representa mediante un vector de la misma dirección que c lesto es. perpendicufar a la placa r y de magnitud 7a. Hay que tener presente que los resultados que se obtuvieron en esta sección se han derivado para una placa rígida en movimiento plano. Como se verá en el capítulo 18, siguen siendo vrálidos en el caso de movimiento plano de cuerpos ígidos que son simétricos con respecto -cueral plano de referencia.t Sin embargo, no se aplican en el caso de pos no simétricos o en el caso de moümiento tridimension¿I.
lO, rrás genera}nente, cue{ros que tienen un eje de inercia centroidal pdncipal pendicular .rl plano de referencia.
pe¡-
po rígidt
q d'alenlt tículos
1783), ¿r nera un
Elb sistema
(
uos de il
sultados fuerzas t placa r' ¡
,
+Este re sección :l-;
mitirá elim
16.4. TVIOVIMIEN\iTO PLANO DE UN CUERPO RíG|DO. PRINCIPIO DE tr'ALEMEEHT
16.4. Movimrento ptano de un cuerpo
e ,lsidert
rrnrr pl.rc,r ngidrr ,le lrasa i¡¿ quc se muc,r,e bajo la acciól de ..rnas lr¡eLz¿s ertcr.l,u F1. F¡. F1. . . . coltelidas en el plalo cle ll pla, .r 1igrra16.5). Al surhtuir-H¡; rle la ecrr¿ción (16.5) cn l¿'ecu¿ciól (1b.2) .. escribir las ecuirciones cle rrorirnientc¡ fruxlaruent¿rles fjy
ürrn¿
esc¿r]ar'. se
tit:ne
)F, : l¿r.¿..
2F,,
: no,,
>l,I(.
tio.
fic;.zi"r,
¡c
(16 0)
:
1029
rigido. Principio cte d Atemberi
Las ccu¿rciotes (16.6) nucstrar quc la acelcr.aciól clcl cr:rtro cle lr¿sa G cle la placa ¡ su aceler.¿rcirirr ,r,,gul", a se obtieren t.,cillrtr,nte ,lna vez rlue sc h¿ cletennirr¿rdo l¿r rt:sultilte de l¿rs hrcrz¿ls cxter_n¿ts glle -rehrLur_so!¡g Lr phc.r \ su rnorrellto resri]tantc ¿]redr:dor ,l" C. ¡t ,l r. oIl(lrcrort i r¡llcliú, i itl,rolt.l(l¡s e. pusibln,,irle¡r, r jr,,, itricif.Í.iuD (.tr
i
tl
Fiqura 16.5
l Jrllier ilr.l.lrt. / I't., oortl.l.r,l,,..rr ri,l.l ,., lr,r,,i¡ rr,,.:, r lat.o,,¡. Jenrda angrrl:rr.0. D¡r tal rloclo, ,l n,ti:inti¿nt¿,.t., tu plru,,r orr;, ;turentc dcfhicb porla rcsuLtanb 4 ,,1 u j(tn! nttt t.¿rtit,tnt, olr, rl¿tlor ",,,,4r1" de
C de Los J)rcrzus cÍlenlos qrrc ¿<:ttirn st¡ly-e clla. E,tjL I,rol'i, d.ul. ,¡rrt ,*;,r,,¡lir.r,i *r, nl t.rr¡itrrl,, l\ r¡l c¡su Je rnoü_ lrljer¡tu tridi ntcl tsionitl (lL. rul cucrpo r-ígi
ri1irl,, J.rdo. Considere en pafticular ei sistelrrl clc l¡s fiierzas rxtcl.¡As (rLle ac lrr,rr¡.olrri ull (r, rlo r.igi,lo.liqrrr.r I6.6¿ r el ,iirlrr¡r,r rle 1,,,.,r.,'. \,r\j'so, ilLl,L\ (.on_].r. lrc|l1,r.qr¡r.fn,,,,a,i,11,.1,,,",,",1..,r¡ "lI,r ligr¡ra lfi.tj/,r r la .e se,ritir l4.j ' rroslró ,¡u- rlos sisfrrnas d"ljr,iior d* i¡l LoJ,, .'¡r grlrupolcltes. Sin crnbrrgo. puesto (lue las llartículas considerad¿rs dlL()rir constrtr¡\ en uÜ curJ?,) ngido, se conchr_ve tlc l¿ discusi
I 'nqtlt,:,',,t ',¡ttir,tlettt, s t ll,rttto\
l,ts
ltt,:,t,,frr-tirts rl, l,r,
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6' oc
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Figura 16.6
tl¡[,tvt,t,., t,,¡_
t.lttt 1 '.,\tsl¡lt J2tt E:tc r l|ul|c.i.¡lr, se (.ot¡r .e ,.L¡ t,', pri,t,.it,ji,, Jc 'I Al¿,,t1'p,1.,.rr I'or,,r d rr¡rrt,.rritiro le,rrr l- ltorrrl ,l tl"r,lL"ri 1 7b3). unnquc_el,-nur¡c,i¿tlo or.igiral ric cl,Alernbert,",""¡i¡á j",uu rlell llll Prr(O tliferc 0te. El lreclro dc qrre el sisterna de fuerzJs c\tcnt¿s se¿ etlt tiLd.L¿ j tl.e Lrl
'l;l:
I
¡.
"1ll
,i.t:
,isl,
rnr¡ 'le Lrs l¡¡,,rrn. elit.lirrs sr hr, srl,r,rr.r,lo r,,,,dj,,r,1. Jl u,,, l_ *,o rro:,le igr¡¿l¡l¡,j rojo. err lr. ligrrra. lAti i tn.:. ,1o,,,1.,,j ,, , ll. ,..' \rltados rlre sc r¡lrturieti¡r iullcs e. cst¿l sección, se sustitltrer_on las fucrz¿s efcctir'¿s por. ur) \,cctor rirá lijo en ,,1 *ri." ¿"Z',f" l" "'l,tr,; placa y por rui par dc riionerrto ia.
C
lat '' I.
u)
lEste r¡rs,,lt¡do i'¿ v,h¿üí¡ oLtc,rido --n l¿L sección 3 19.let prn¡cil)jo de r¡¿usr¡isiLjli.l.rd Figura 16,7 ,L{ci,r, I t). \,ri e¡ rt¡.rrq¡, t:r ,l ttr rcoor csr.llre es i,¿.pe,,lúe,rtc ;t. esc |rj¡!¡rio 1 per 1,, hi, ,,lilni ,., ¡r,,,, ,.i,,r tr-.i ",','".,,.i ,r,,,, l.
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ir-.tr:i¿,'liir;1.
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El
el ctrso de un cuer¡o er tr¿isl¿rción, l¿r ¿¡cek:li es iclóntic¿ulleltc igrul ¿l coro v srrs firt:r.z¿rs elcctiv¿s se reclucc'n ¿rl vector i¡¿I fl¡o en G (ligrrra I6.8). Dc t¿l ltcxlo, la lesrrltantc de lu fuelz¿rs c\tcr-ltas (:llre iictúal sobrc rrn crrr:rpo úgiclcr cl tr'¿sl¿crirln pma por cl celrtlo rle ruma dcl cuerlxr v es igual a lñ. i,i ri;,,.!.:iI I it'!,:3-i,ti-i!,:iii) fluiurch¡ rurii pl¿ca o, rnás gererdmt:ntc. ull cueTo sirnétr-ico corl r'espcct( ll |hno de rcf,,r"n, i.r, girrr rtlrerle' rlor de urr {c fijo 1x:ryendicular ll ¡hrr,, ,l rel.rr:rcn \ l).r\l p'r su ccntlo de rnrsa G, sc afirrll r¡re rl cuerpo t:sIá ctt rt¡tat:itii ccntroiclol. Pru:sto quc la ¿rceler¿Lcitir á es iclóntjc¿rrnelte igual a cc:ro, las fiu:rz¿s elcctivas del cuer?o se ¡t:r}rccn ¿rl par 1o (figuia 16.g). De t¿rl ri.iarrc¡¿r, ]¿s fire¡z¿rs c\lcl1]¿ls (llre ¿rctú¡D srilrtc ji.citefprr c]| utlJ rottci(ill certtroid¿rl sol cr¡rivllentes a un par.tle rlornelto ¡o. rjl,:r'rrjr¡,;¡:ll'ti.¡ i¡lanl-, ,:"t+lt:l¡i. A1 crtntp¿riil Ja ligLrrl 16.7 con lns f ilrrr. l6.b r I6 9 .e oh.nrr ;¡ qr¡. Je.r l-, l |rrrrto Jo.r i,l.r de l:,, tút ir.q ci
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Figuta 16,7 lrcpetida)
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6.6. S ( EL MO\
el rnor.irrriento plano rniis gerieral rle un cucrpo rígido sirrrétrico con rcs pecto ril plano de refercncria puedc rccrlpllz:u-si: por lti sutla dc ul¿ tr¿s, lación v unli irrt¿tjón cclrhojtliiles. IIx\ r1lÉ udr. ttir q'1" csh- i-trir¡ciad
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F¡gura 16.8
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16.9 Floi:r..r, at,r 'o.a
cl qtLn¡ clc nvct C] cLe tot cLrcu)t:) t-ígido qt rru¡..-intietlto l)l(nro sc 1turcl,t cütu) \í lo nrosú tolol clel urcqtt e:;ttLtiera ccncentra.i¡¡ ttt ese plLnlo, tl conto sí tcxlas las.fttctzos e:itenlas adudntl.r,,/'ri r/ Ilr cr ¡e¡Je\c , tre estc lcsultado ¡.a se hrüí¿i oblcuiclo err LL secti 'r¡ I4.1 er ,,1 t.rso gtrrc,.al cle lrr sistetn¿l dcpartícr as, rlonde éstas no rleces¿ri¿ eltc cst¿biirr coltec tndns cn lolrla ígicl¿. Sc. sciraló t¿rurlrjrir, como sc hizo er I¿ seccrirírr 1,1..1. que e1 sistenr:r clc l¿rs lirevls exter.l¿ls rr) sc re(hce. en gencral, a ur so lo vectol l¿á fijo cn Ci. Por-lo t¿rtto, el el c¿tso gcncral (lel rnoviutic¡lo plaro cle nn cruerlo r(ido, kt rcxltcutt, ,l,- lrt, ftttr,ts tth rnns tlttt (!(t¡i¡ttt s,'Ltt,l,tt,t1,'tu',rt,a ¡¡,r,1 r',ttt,,,1, t,,q¡ntl, c.t, ,ti,utt¡. Por riltir¡ui. clelrc obscr"ilrse r¡re Ia últirlir de las ecutrciolcs (16.6r segrúría siendo r,lida si el crrerpo rígiclo, :rult¡u: sujeto a lirs rnisrn¿s luerzas aplicadls, se l¡rbier¡r restrlngido aJ girar. rrJrrxlulor. rle urr eje lijo qrre pas¿ra ln)r C. l)e t.rl rnütel'il, ¿li¡ ttrctlxt rígido ut uotirni.t ttlo phtLtf gi ra a.l¡erlcdor dc st úr';|.ft) ¿? nlasa ca))no ti este l)ult/o es uticru.fijo.
.1$.5. 0EsEnV,q*!é$ü ACERCA SE LOS AXt$tu{AS üÉ ¡. A ¡íÉCÁN!ÚA L"E CUERPOS F;GIDAS El lieclro cle r¡rc clos sistcrnls etlrripolentes de firer-z¡rs e\tenlas qlrc ac tú¿¡i sobrc utl clt(:t?o r'ígiclo sol t¡rtbiéu, guirrlcrries est,,,.s iietren c] rrisno r:fecto sobre ese cuer?o rígido, vrisr: h¿rbía cst¿blecitlo el la
Fotografía 16.2 Cuando et vehículo se .Jer"a er 'eposo coa el .rotor en opetac on, movin'riento de cada engrane es un ejemplo de rciac ón cenkoida .
:
seccirin i3.19. Sin e-rrbargo, eu csc criso se cledrrjo del Tlrirr:i¡tio d.c lrutsu¡í.,iltilidotl. rrro dr lr,s it\iorrJ\ se us,rl ¡uestro óstucljo de l¿r 'fue cstiticrr,le crr, r¡os t-igirlus lI¡ que oltsen ar",rquc este ¿L\io.'ti:l no se lr¿ utiliz¡do err rl r'upihrlr, plesrrrtr: clelticlo ir que la regurxln v tercera l,rc. d, \, rrlo'r I¡¡, er.r¡ r',, inr ,r.ns:,rio, r,"l ¡,lr,lio,l* Lr rlil.ir,rr ca cle cuc:rpos r'ígitlos.
De heolrci. el prhcipio rle tr¿rnsn.iisibihd¿d ahora sr: puede r1r:rftrir. cle los otros ixiornas crnpleilclos clr el estrrclio dc l¿ mecírriica. Estc prirl-
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r'íqidos 1' raal{-(lr)r ci¿- l {,r ri
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bles les¡, jas prrecl'
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cipio cstablecía,
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aqrúlil)r'io o lno\irniento de rnr cuel.xr
r(icb pennirlecen iri¿rlter.acl¿rs
si
rr.r fr-r,,', F r¡rr*,rr'tú:r, rrr, ¡rrrrlo,l,rJ,,,l.l ruer1r,, nE,l.,,, .,,.ti1.,r,. 'r 'n'' ltrl ll, r'zr¡ F' ,1, l, lni.rr,:r r¡rrllril,r,lr lr l,,iir,,, ,Iir.,,., inr, _ i,raldo eli, u prrnto diierentc, sierirprc v crrarrdo lu. dos lL,e.rai¡,_rr,.,, t",,gn,, l.r r¡isrra lírx:a dc lccirin. Sil t:nrbaigrr.'r,a que F l F/ ti.r,"n l.l ,ul.rn r tollelto .rlrcdedor.clc. cualquicr p,,i tn'd",lrr, q,,,, fi¡_lr¿r.i tlos ", rroJrr"1".,, irlrtrr.¿ .istemtrs cqtiipolerrtcs rle firc¡z¿s ertr:r.ns. l)e t¿rl s,.. orerle '. nt,'"-ti,tt. < or,r,, r'-snlt,¡,lo,l,. lo,¡ue *.*str¡hl.r.iu, l,,.,, ¡,;, ,, i, ,1,,l. ¡re F y F' delelr el ruisrrro elcctó sobrc eJ <,uerlto rígido (iiguti 3.,3). c, ,t rsecr rlrciLl el prirLc i¡io cle tr¿ls¡risiliiliclá ,l' ,[iEn l>,u,cl'É c,li,ni,,a.sc, ]ist,t .rü, ,r rus .lne .e rt luieren par.r eJ estudio iie l¿r mec¿inica cle
16.6. solucrón de probremas que imptican el movrmiento de un cuerpo rígrcto
¡ CJ
t
.d. r, ¡o\ r'¡tt,to\ L,lo.;¡¡,,',,.,*:e ri rlrt._r, ,1,, l_r ,lel ¡r;rr.:,1, luq;rrr,,r ¡,:r ..' l,.rr'',' ,i, rr¡ lulc: r ,r Lrs I, vcr,l, ,,,.,r;,, ,*ui,,,1.'i"rr,",;
]6.6. SOLUEIÓN PE PROBLEMAS QUE IMPLICAN EL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO '- ri¡' er¡ Lr ., '. i,,n I6 f ,¡rrr ('rr:rrrrIl, llt, ,.r-tT)1, rigirlr e.l;i r rIrÍ,ri_ rLerlo fltno. r'\ist, Ltlr lel.rri,]lr finicl¿uuetrtal c,ntt.e. Ias Iircrzas F¡. Fo, F,. . . . ,. rlrre ¿rctú¿ut sobrc el
o
Figuta 3.3 (tepetidal
¡,,rr,r,,,,1_ reclcc]ol rlel cu¿ sc c¡.lcul¿r los rlrrreutc,s ,1. Ius li-r,:r ri,s. En c,,,',r"c,,.r, cirr,.resulta preleriblc recorl¿u. l¿ relaciínr e\ist",tte eltrc l¿s lirerzls v l¿s .,. *l, r'.r,irr,e', rr Ii¡ llrrr,r sert.r ,,, t,, lgr,,-, ii,; i,t" 1r:ilir;r,¡rr, .c
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\tjr l.l:¡ i'ilr II¡Irr|.rIrr,.IrIlI l.s,..l:¡ iolr, .,1, , ¡¡,,¡u,¡,, ¡,¡,.. 9 r,,,, rr()rtos que rrejor se rrdrplcl rr I¿r sol Leirirt rlcl .¡11.1 i1¡15¡l¡¡¡1,1 1,rr,lrl l.,r ',l,,,i,lr flrrdr¡rr,*rrt rl ,LlF \,. ,rr¡r\r..r , r, l;r ligrrr,, lG.i .,. urr_ . , ', Ji,nr,r jrlt, nr,rti\ir.ii (r- jrtrig:r.r l,r, llr_rz.r,,..i_,,,,,.,,,, ,_iLol' 'l.r 1.
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rlel¡cu us¡r.v,t(,s nr¡r(xtr)s (l(t capí;tio ts
rre .,oirH,, t(xl,,s
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F¡gura 16.10
lr,
1031
1
032
yovrmienro qranode cuerpos risi.ros' tuerzas y acelerac¡ones
9.
ll.
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'\,fr aceé
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i¡' I b)
Figuta 16.7 (rcpet¡da)
4.
5.
=0 Figura 16.10 (repelda)
Este plantearniento posibilit¿ diüdir l¿ soluciór de un pr.oblema dinámico en dos partes: en la primera, el análisis de l¿u c¿r'acteístic¿rs cinernáticas y cinéticas del problema corduce ¿r los diagramas de cuerpo libre dc la figum 16.7 o 16.10; en la segunda, el diigrtuna obtenido se usa para analizar las diferentes fuerz¿rs v vectores implicados n.iedi¿nte los métodos del capítuJo 3. Par¿r el análisis del novirr. ielto plano de un cuerpo ígido se
plopolcion¿r un planteamiento unificado, independienteurente del tipo particular cle movirniento irnplicado. Si bien la cinerrirtic¿ de los diversos movinientos considerados varía de un c¿so ¿ otro, el pl:rnteaniento de la cilética del movimiento es consistente rente el misrrro. En cada c¿so se djbujarh un rliaglama que denruestre Lis fuezas exte¡ias, los vectores nrá ¿rsociados con el movimiento de G -v el par /ct asociado con la lot¿rciól tlel cuerpo alrededor de G. L¿ resohrcirin del urovimiento plnno de un cuerpo r'ígido en un¿ trasl¿rcióu y un¿r rot¿rción centroid¿I, utilizado aquí, es un conccpto básico que es posible ap)icar cle naner'¿r efectiva en trxlo el estuclio de l¿r rnec¿inic¿r. Se volverá a utilizar en el c¿pítulo 17 con el rnétodo del tr:üa¡o v la energía v el método del impr so y la cantidad de tnoütfento. Corno se verá er.r el capítulo 18, es posible :rmpliirr este planLerarriento ¿l estudio del moürrjento genelal en tres dilnelrsir¡nes rle un cuer?o rígido. El rrovimiento del cuerpo se vol verá a desconrponer en un¿r trasl¿rción y en una r-otación ¿h'ededor del centro de mas¿, y se utilizarán las ecu¿ciones de cliagrarnn cle cueqro libre parn indic¿rr la relacjón que exisie entrc l¿s fuerz¿rs extemin y ]as razoles de cambio de las c¿nticl¿des de movi[]iento lincal y angulal del cuerpo.
16.7. SISTEMAS DE CUERPOS RíGIDOS El n.rétodo quc se describe en la sección ¿ltedor tarnbjén puede ernplear se en problerras que impliuu.i el rnor.imiento plano de varios cuerpos úgjclos conectados. Pzua cada parte del sistena, es posible dibujar un diagrarna similar al de Ja figura 16.7 o 16.10. Las ecuaciones de rroümielto rlue se obtienel cle estos üagramas se resueh.en de maler¿r simultánea. El zrlguros casos, colno en el problema resuelto 16.3, b¿rsta cou dibujar rrrr solo dlagrana para todo el sistema. Este diagran.ia incluira tod¿rs l¿s firelz¿¡s externas, así colto los vectores rtá y los par-es Ia aso-
ciados con
16,3 El montacargas y la carga en movimiento pueden analizarse como un sistema de dos cuerpos rígidos conectados en movimiento plano. Fotografía
l¿rs
diversas partes del sistema. Sin embargo, fuerzas exter-
nas corro las ejercidas por cables de conexió1, puedel omitirse, ya que ocun-en en pares de fuerz¿s iguales y opuestas y, por e)lo, son equipo-
lentes a cero. Las ecuaciones obtelid¿rs ¿rl expresar.que el sistemfde las firerzas e\tern¿ls es equipo)ente ¿rl sistema de l¿rs fueruas electivas se resuelve para las incógnitas restantes.I No es posible utilizar este segundo planteamiento en probJemas que implican míts de tres incógnitas, ya clue sólo se dispone de tres ecu¿rciones de movimiento cuando sc usa un solo diagr.ama. Nt¡ es neces¿llio cornentar nhs ¿cerca de este punto, ya que el análisis correspondiente sería completamente sinilar aJ que se dn en la sección 6.11 en el c¿rso del cquilibrio clc un sisten.ia de cuerpos rígidos. lolrsene qnc no es posjblc h¿bl¿r'dc sistemas &l1tiall.nL¿s, t-{ con r¡r solo cner?o rísido.
t:Jle
io
sc csih b.atando
I
1:
;tl\¿ .1¡ ¡
I
PROBLEMA RESUEI-TO 16.1 Cuando la velocjd¿d hacia adelante de la camioneta que se nuestr:r era de 30 ftls, se aplicaror-r repeDtinamentr los tienos, 1,, que proro.,, eue Lrs cua_ lro red:rs dcjalrrn de gir,,r. Se prrd" ob
soLUctoN Ciincnr¿itic¿r de rnovimicnto. Eligiendo el sentido positivo hacia Ja delechn y utiliz:rndo las ecuaciones de móvimiento unilbnl'emente ¿celer¿ do. se escribe
qr
= +30 fVs F:
i:
22.8
qa,
+
ftls2
zar á:
0:
(30)e
+ 2a(20)
22.8 f|s2 <_
nrovimicnto. Lm fiterz¿s exte¡n¿rs consisten en el pe l¿ camioneta y en lds re¿cciones normales y luerzas de fiiccirjn en (Los vectores N^ y F.A rcpresentnl, la s,,n-,a de las ¡eaccioles las -¡uedas. el las t rred.rs posteriores, err tanto que-N¡ y F¡ Ia suma de la. .""""inn". Ecuaciones clo
so
W de
"r, f¡ont¿rles. ) Puesto qur h camioneta estí en traslación. las fuerz¿s eféctiv¿rs se ¡educen ¿l vector /r¡á fijo en C. AJ expresar que el sistern¿ de l¡s r¡redm
fuerzas cxtenas es equivirlerte ¿rl siitem¿ de las fiierzas eiectivas se obtie, nerr tl€s ecuaciones cle rnoümiento.
+f)Fr: )(F,,).1r A7¡ *N¡ - W: Q Puesto qre F^ : ¡rlA¡¡ ) F¡ : p¡A¡¡. donde p¡ es el coeficie¡te
cirjn cinólieir :e (trcr¡pn{ra qrl.
F^+ Ftr: ',>F,
¡r,¡(Ar,1
,t,.f¡¡
-: F,,,.r:
:
p¡IV
- ni
: - :Y - (22.5 " 33.1 - tils' -- - Ívs2)
-¡ri.w
'
¡r.¡ :
+\)M¿ : )(M,.)¡:
+ Ns)
li-ic-
cle
0.699
-w(5 f0 + N¡(12 lt) =
ly(5 ft) + Nu(12 ft)
¡,,¿14 ¡¡¡
: J .'(22.5 ftls')(4 fi) ;J:.i ivs-
ND = 0.650ly Fr = ¡¡rN¡: (0.699)(0.650W) F¡:0.45,ftI'
+f )F,,
: )(F,,).1r F,r =
N.a
* N¡ - I,V : 0 A¡A+0.6501y_IV:0
N^ = 0.3501V /¿¡N,r: (0.699)(0.350ly) I..,:0.245\V
Hi\
Reaccioncs en c¿rcl¿ rucd¿r. que recordzrr. que l<¡s valo¡es ca.lcu_ Jados representan la suma de las ¡e¿cciónés de l¿s clos nreclas fi¡ntales o las
dns ruedas traseras. por cad¿ ruedr al esrrribil
lo.Ire
se
obtie e lir magnitucl de
: ]\,, : 0.;125\j, \r ,., : : 1i,,,,,,, ]/.j, : 0.22i\r' /',,,,.,.,.,, :
Nr,",,,r
,
las ¡eaccic¡re-s
.fr,,
!',:
- o.t;¡u' o.t::rr'
e¡
{ <
1033
PROBLEMA RESUEUTO 16,2 B _T 900
ñm
I
soo
*-
La placa delgada ABCD de 8 kg de masa se mantiene en la posición indicada n.iediante el rüambre BI1 y dos eslabones AE y DE lgnorando la mrua de los eslabones dete¡mine a) la aceleración de la placa, b) la fuerza de cada eslabón innediatamente después de que se corta el alambre BH.
,]c
soLUctoN Cincrnática de movimiento, Después de que se ha cortado el alambre BH, se observa que las esquinas A y D se rrueven a lo lalgo de círcr os paraleJos de I50 mm de ¡¿dio cent¡ados, respectivamente, en E y F, por lo que el lnoüDliento de la placa es una traslación cur.¡ilíne¿. Ln-s p:rrtícultrs que la forman se mueven a lo largo de círculos pirralelos de I50 mnr de r¿dio. En el instante que se cota el al¿nbre BH, la velocid¿d de la placa es ce¡o. Así, l¿r acele¡ación a del ce¡tro de r¡asa G de la placa es tangente a la trayectoria circul¿lr que se describi¡á rnediante G. Ecu¡¡ción dc movimicnto. Las fuerzas exte¡nas consisten en el peso W y Ias fuerzas F¡¿ I F¿¡ ejercidas por los eslabones. Puesto que la plactr está en haslación, l¿s fuerzas efectiv¿s se reducen al vecto¡ má fíjo en G y dirigido a lo largo del eje ú. Se dibuja una ecuación de diagran.ra de cuerpo libre para mostlar que el sistem¿ de las fuerzas extemas es equiv¿lente al sisde las fue¡zas e{ecüvas.
ten-i¿r
al Aceleración a /sD
de Ia placu.
2\a tlcl -\r/D\
\4 cos 30" ¿¡g coi 30Ó g cos 30'
¿:
-
¡¿¿ ,r¡¿
=
(9
8l
n/se) cos ¿
b) Fuetzas en los
r00I;
+\EF,, =
XF").r,r
esLtbones AE Fa¿
*
Fpp
+l)M¡; = )(M6).¡: t)
(F¡¡
sen 30')(250 mm)
+
-
(FA¿ cos
-
y
Fp¡ Al sustituir Fp¡ de (3) en (2),
=
1J.50
(1) rn/s:
F 60' <
Dfu'.
W sen 30' = 0
30')(100 mm)
(Foo sen 30')(250 l.rrn) 38.4FA¿
30"
t
(Fp¡ cos 30')(f00 mn)
+ 2IL.6FDF =
:0
0
= 0.1815F1¿
se esc¡'ibe
- 0.1815F,!¿ - lV sen 30" = 0 : 0.6109W' Fo¡= 0.1815(0.6109W) = ¡.11¡9Ou Al notar que IV = arg : (8 kgX9.8I m/s2) = 79.46 t, t", ",t" FAE : 0.6109(78.48 N) /i,rr.:.17.9 N'l' F¡¡¡ = 0.1109(78.48 N) F/r/..: 8.70 N (l F^¿
F¡¿
(2)
(3)
'' l0 in
i' .' -'.
-,1
PROBLEMA RESUELTO 16.3 Una polea de 12 lb y de 8 in. de r¿dio tle giro se conect¿ ¿ dos bloques en Ia foma indicada. Suponiendo que no hay f¡icciól en el eje, cleter-nrine lir ¿rceler¿ción algulal de la polea,rr la ¿cele¡ación de cada bloque.
SOLUCIóN Scntido dcl movimiento. Aunque puede suponerse un sentido arbitr¿¡io del movimiento (ya que no inter'\.ienen luerzas cle liicción) y tlespues verificarse mediante el signo de la respuesta, es pleferible ¿leter'rrin¿1r' prine¡o el sentido de ¡otación real de la polea. Se detenrjna prirlero el peso del bloque B que se requier-e para nantener el equilibío de la polea cr.ran do éste ¿rctúa sobre el bloque A de 5lb. Se esclibe
+l)Mc :0:
trVB(6
h.)
(5 lb)(10 ln )
=
O
l,f/r = 8.33 lb
Puesto que eJ bloque B reahrente pesa 10 lb, l:r polea girruá eD el sentido conlla.io al J" las rn:Lrrecillrs Je1 reloj. Cinemática del rnovimicnt<¡. Suponiendo c e¡ el sentido ct¡ntr¿rit-, al de las manecillas del leloj y adürtiendo que e,\: r^d y (18 = qa, se ob
a"
:
1$
tt;a1
¿"
:
(*
tt)a
J
Ecuaciones de rnovirnieht<¡. Se consicle¡a rrn sistema simple compuesto de la polea y los dos bloques. Las füelz¿-s extem¡-s a este siste a consisten en los pesos de las poleas y de los dos bl<-rques y en la ¡eaccjón en C. (Las fuerzas que ejercerr los c¿rbles sob¡e las poleos y sobre los bloques son internas al sistema considerado y se cancelur.) Puesto que el mor.imiento de la polea es una ¡otlció¡ centroidal y el rnovi]niento de cada bJoque es una traslación, las fuerz¿s efectivas se reducen al pnr 1o y los dos vectores lra.l y ma¡. El momento centroiclal de inercia de la polea es
I
\V,, gx
tn"
I:IL! ,, .. fL.: 0.1656 lb li = 211/\' '
32
s'
Puesto que el sisteura de fuerzas externas es equipolente al sistena de firer zas efectir,¿s. se escribe
_ \r?r, \ rÑs¡, tLtr\() -\.tttclPt:
(t0
lbx*
: +7o + ni¡a¡($ ft) +ltr,.,ao(j] ft) (10)(+) - (E)(19) : 0.r656" + #(+")(*) + r¡r(!,,")(19) f0
(5 lbxj+ fD
:
: a!\ = r,\d = (# f0(2.374 raüs2) a.1 : eB : rtsrt : (* {i)(9.374 raüs'9) a¡ : a
'12.374
r¡üs2
a
| { 1.97ti lvsr 1 < L l87 ftlsr J {
2.i37 rutVsr
1035
,'
PROBLEMA RESUELTO 16.4 Se en¡oll¿ un¿ cuerda alrededor de un disco homogéneo de ¡adio r = 0.5 m y masa ,¿ = 15 kg. Si la cuerda se jala hacia arriba con una fuerza T de 180 N de magnitud, determine ¿) la ¿rcele¡ación del centro del disco, ü) la ace Ieración argulnr del disco, c) la lceleración de la cuerda.
SOLUCION IJcuaciones dc moümiento. Se supone que las componentes a. yá,, de l¿ ¿cele¡¿ción del centro están dirigidas, r€spectivamente, hacia la derecha y hacia arriba, y que la aceleración angúlal del discb es en el sentido coútmrio al de las ¡¡anecillas del reloj. Las {ieza-s extem¿s que actúan sob¡e el dis co consisten en el peso W y la fuez:r T que ejerce la cuerda. Este sistem¿r es equivalente al sistem¿ cle las fuezas efectivas, las cuales consisten en un vector de componentes m+ y n-au fljo en G y un par 14. Se escribe
3>r, : +f )F,,
:
á,:(l
{
147.t
*,."
2.19 r¡/s'?
J '(
0=ma,
>(4)"r, )(Fu).r:
?-IV
'L. [ ,-'-]----,. ,----\ \ a""" |!' .l-t"I )-,' rb'
Puesto que tiene
?=
_,
\\,/\,/ ,/-'.'Ft"'./
0,J
+\)M¡;
:
180 N,
n:
15
kgyllu =
180N-147.tN : 15 lru
(15 kg)(9.8f m/s¿)
-12.19
¡r/s2
'Li : Ia _.¡ : ¡!"ml2)a 2(ld0 \) (15 kg)t0.5 rr) -
)(l{,-;),.¡
2T tnr
a,,
:
:
-lb.O rxLLs-
¿t
-
.,tr8.0 r'¿cVs¿
J {
Acclcración dc l¡ cuerd¡. Puesto que la aceleración de la cuerda es igtal a la cornponente tangencial de l¿r aceleración del punto A sobre el disco, se escribe
a,--¡,, = (a^)r
:
:
á
*
12.19 m./s2
(a1¡¿)'
1l + t(0.5 m)(48
rad/se)11
a..,,,.,,¡,,: 26.2 ni/s2
1036
| {
PROBLEMA RESUELTO 16.5 unifbn¡e de masa m y r:rdio r se lanza a 1o lar.go de una srrperlicie horizontal rugosa con una velociclad lineal vo v sin velocidicl ,rnguJtr. ñ de.,otar por ¡,rk el coeficiente de f¡icción cinétic¿r entre la esfera v el piso. deterni ne a) el tielrpo f1 en el cu¿.l l¿r eslen ernpezar:i a rodar sin deslii¿r ü) la relociclad üneal y la velocidad angular de la esfera en el tienpo t,. Un¿r esfera
soLUcrÓN Ecu¿¡cioncs de movimiento. El sentido positivo se elige hacia ln cle reclia para Á y el sentido de l¿s rr.¡anecills del ieloj prua a. Lrs firerza" cxte¡us que achian sob¡e la esfera consisten en el péso W, l¿ reacción nor.¡-ral N y la fuerza de f¡icción fdcción F. Puesto (lue que el pu¡to punto ¡ie la esfera et1 cont¿cto .ol la srrperficie se está deslizando h¿cia la cleñch¿r, 1¿ lüerza de fricci
+f )F,, = )(Fr),+:
5>R
:
>(F,)"r,
+l!M6 : )(M¡;).¡: Al notm'que
N IV:0 N: fV: rlg F: ¡t¡N = ¡l¡arg F:ma -pktlrg: nrá ¿: -pt.g
i: ]rlr2
Fr =1o y sustitrrir el va.lor obteniclo para d se e¡rresa
l,¡t¡.ttry)r:
_
I p'rg 2r
ntr'a
Cincrnátic¿¡ dc rnovirniento. Conlbrme Ia esfera gira 1'se deslizir, rnoünientos line:ü y argulu son unifo¡nen-rente ¿rcelerirrlos.
t:0.o:
Do .,:
Do+
at:ua-
(r
Itt,gt
u)-L,),,tcrt O fl u'*), \2 r
/-u.to¡-tt
sus
)
(2)
I
La esfela enrpezará ¡odaldo sin desliz¿¡se cu¿ndo l¿rvelocidad v,_- clel prnr to de contacto C sea cero. En eJ tie[rpo, f : fr, el punto C se vue]r,e el'cerr tro iistant¿ineo cle rotación, y se tiene
o1: ftD;
(3)
Al sustituil en (3) los valores obtenidos para d1 v or¡ al liacer / (2), r'espectivamente, se escribe
Eo_ Al sustitrir
',:
tl
&,\t:,-(i#',)
r,
:
úr en (1) ).
:: t rtt ltt,g
<
en (2), se encuenba
l#',:
++(+fr)
5ou i;
't: _
D_
al
5
o,,
i;t 5-
,
'r:^,='(1?)) 1037
E
cste capítulo se estuclia el nooúnienlo T tuto de cuerpos rígidos, y en esta primeleccirin sc cor.rsider¡n cuerpos úgidos r¡ue tienel la libert¿rd de noverse bajo la ¿cción de firerzas aplicadas.
rl
f.
Fuerzas efectixas. Hny clue recordar primero que un cuer?o ígido consiste <:n un gran núl.rero de partículas. Se elcontr'ó que las fuerzas efectivas de las partículas que forman el cuerpo son equivalentes a un vector ma fijo en el centro de m¿sa G dcl cuerpo y a un par de r¡omentt¡ Ic [figura 16.7]. Al percatanios de que )as fuer zas aplicaclas son er¡uiv:Llentes ¿ l¿rs firerzas efectivas, se escribe
)F, : n¿¿¿..
2F,,
: m,a,,
2L,[ ¿
:
Ia
(r6.5)
donde Á. ¡' a, son Jas cornponentes r y y de lir aceleraciól del centro de mas¿r G del cur.rpo v a cs h aceieracirin angulrr cle este mismo. Es importante advertir que cuando se usar.r estas ecu¿iciones, los ¡ntnnentos tLe Las fuerzas trylicadas deben utlatlurse con respccto al ccntro cLe nwsa deL cue:o. Sin ernbargo, usted aprenderá un método rnás eficierte de solución bas¿rdo en el uso de l¡ ecuacií¡¡ de diagramas de cuer-
po libre.
2, nr.r
Ecuqción d.e d.iagramas cle cuer¡to libre, E) priurer paso en la solución problerria debe ser dibujar tntL eqtación de diagramrLs dr; aLetyo líbre.
cle
u) IJna ecuación cle cliagramus tle cuerpo libre c¡¡nsiste en dos dlngramas que represelrt¿n dos sistemas equivalentes de vectoles. En el printer diagrama delrn nrostrarse las fuer=as que se ejercen ,sobre el cueryo, incluyendo las fuezas aplicadas, las rcacciones en los sopofies y el peso del cuerpo. ErL el segundo diagrotno es necesario indic¿r el vector ara y el par 1c que representtt kts .ftLetzas efectioas. b) El uso ¿e
unct ecuación de diu.gramus de cuery
libre
permlte xnnar
co1¡4)oneht?.s en a.uLlqrLiu- tlirección y sumor ntonrcntos alrerledor de r:utLlqu.ier
pun-
fo. Al escribir las tres ecuírciones de movimienlo necesarias para resolver un problema detelliinado, es posible seleccionar una o rrás ecu¿ciones c¡uc incluyen una soJa incógnita. Al resolver primero estas ecuaciones y srntituir los valores obtenidos para las ircógnitas en las ecuaciones rest¿utes se obtendrír una sohrcirin mi'rs simple.
3.
Mooimiento plano tle
solverse entrarán
deltro de
u.n
rígido, Los problenras que tendrál que rede l¿s siguientes c¿tegorj¿rs.
cuerpo
un¿r
u) Cuerpo rígitlo en lrqslación,
Pai'a un cuetpo en trasl¿ciólr, la aceleración
angular cs cero. Las fuerzas efectiv¿s se reducen aI aectc¡r de masa lprobJelras resueltos f6.1 y 16.21.
na
aplicado en el centro
Iz) Cuerpo rígíd.o en rotación centr¡¡idcl. Para un cuerpo err rotación centroi ln acek:ración del centro de [ras¿ es cero. Las fuerzas efectir'¿rs se reducen ¿l pr¿¡ lou lprrblerna resrrelto I6.31.
d¿rl,
c) Cuerpo rígiib en moximiento plano general. Es posible considerar el moümiento plano general de un cuelpo ígido como la suma de una traslación y una rotación centroidal. Las fuerzas efectivas son equir.'alentes al vector rná y al par 1a [problemas resueltos 16.4 y 16.5].
4,
Mooimiento plano ile un sistemq ile cuerpos rígiilos. Es necesario dibujar primero una ecuación de diagramas de cuerpo libre que incluya todos los cuerpos rígidos del sistema. Un vector may wn par Ia se aplican a cada uno de los cuerpos. Sin embargo, las fuerzas que ejercen entre sí los diferentes cuerpos del sistema pueden omitirse, puesto que ocuffen en pares de fuerzas iguales y opuestas.
a) Si no interaienen tnós d.e tres incógnitw, es posible emplear esta ecuación de diagramas de cuerpo libre y sumar las componentes en cualquier dirección, así como los momentos alrededor de cualquier putto para obtener ecuaciones que pueden resolverse respecto a las incógnitas deseadas fproblema resuelto 16.3].
b) Si inten:ienen mdt d,e tres incógnitas, será necesario übujar una ecuación de diagramas de cuerpo libre independiente para cada uno de los cueryos ígidos del sistema, Se tienen que incluir tanto las fuerzas interuas como las erterras en cada una de las ecuaciones de diagran.ras de cuerpo libre, y es necesario tener cuidado para representar con vectores iguales y opuestos las fuerzas que dos cuerpos ejercen entre sí.
cad
rte a )izar
r olc,
nrɡr
16.1
Un panel delgado y unifon¡e de 30 kg se coloca en un camión con el extrenio A descansando sob¡e una superficie horizontal rugosa y el extreúo B soportado por una superlicie vertical lisa. Si l¿ des¿celeración del c¡mión cs de 4 nr/s:, determine a) las reacciones en los extremos A y B, b) el coeficiente de fricción estática rrínimo requerido eD el e)'tre¡'lo A.
ten lb er ralo
Figura Pl6,'f y P16,2
16.2 Un panel delgado y uniforme de 30 kg se coloca en un camion con el extremo A descansando sob¡e una superficie mgosa horizontal y el estlemo B soportado por una superficie lisa vertical. Si el panel permanece er la pc.rsición mostlada, determine ¿) la mltima ¿celeración permisible del camión, b) el correspondiente coeffciente de fiicción estática nínimo requendo en el ext¡emo A16.3 Dos varillas delgadas idénticas AB y BC de 0.9 lb se sueldan para forr¡ar un ensamble en forrna de L. El ensamble es guiado por dos pe queñas ruedas que corren libremente por ranuras paralelas inclir¡adas ¡ecortadas en una placn vertical. Si 0 :30', determine a) la aceleración de, ens¿mble, b) las reacciones en A y C.
Figura P16,3 y P16.4
16.4 Dos vadllas delgadas idénticas AB y BC de 0.9 lb se sueldan p"¡a formar un ensar¡ble en fonna de L. El ensamble se guía meüante dtr ruedas pequeñas que corren libremente por ranuras paralelas inclinadas rtcoftadas en una plac¿ vertic¿¡I. Deternrine ¿¡) el ángulo de inclinación 0 pr. el cual la reacción en A es de cero, b) Ia colrespondiente aceleración del e:samble.
16.5 Para la camioneta del problerna resuelto 16.1, determine l¿ drtanci¿ que se deslizará si le fallan los frenos de las ruedas ¿) tr¿seras, ü' i=lanteras.
Figura P'16.6
1040
16.6 Si el cge{iciente de fricción estática ent¡e los neumáticos v el t= rrino es de 0.80 para el automóvil que se muestra, detemine la rná\irna ¿.Jeración posible sobre un camino plaro si eúste translnisión en n) las cuo:. ruedas, lr) las ruedas traseras, c) las rrredas delanteras.
::=
16.7
Probremas
La ménsula mostrada se utiliza para tünsportar una lata cilíndri= 0.30 entre la lata y la ménsula, determine a) la magnitud de la aceleración asce¡dente a para la cual la lata se desJizará por la ménsula, b) el cociente más pequeño h/d para el cu¿l la lata se volc¿rá antes. de deslizarse. ca de una elevación a ot¡a. Si p,"
16.8 Resuelva el problema 16.7 suponiendo que la aceleración a de la ménsula es hacia abajo. E
16,9 Ut gabinete de 50 lb está montado sob¡e ruedas que le permiten moverse con libertad (¡.r,:0) por el piso. Si se aplica una fuerza de 25 lb en la fo¡ma indicada, determine a) la aceleración del gabinete, b) el intervalo de valo¡es de h para el cual no se volcará el gabinete.
Figura P16.7
Figura P16.9
ar"
16,10 Resuelva el problema 16.9 suponiendo que las medas están blo0.25). queadas y se deslizan sobre el piso rugoso (¡¿,
:
16.11 Las bar¡as AB y BE, cada una de 8lb de peso, estón soldadas entre sí y se conectan mediante pasadores a dos eslabones AC y BD. Si el ensamble se suelta desde el reposo en la posición indicada y se ignoran las masas de los eslabones, deterurine a) Ia aceleración del ensamble, b) las fue¡zas en los eslabones.
,l..\30. I
16.12
'iF]
lc'i
Los elementos ACE y DCB, de 30 in. de longitud, están conecoasador en C. El cent¡o de rirasa r¡asa del eler¡ento AB de 20 tados¡ mediante un pasador lb se localiza en G. Dete¡mine ¿) la acelelación de AB inmedi¿tamente después de que el sistema se suelta desde el reposo en la posición rirostrada, D) la fuerza correspondiente ejercida por el rodillo A sob¡e el elemento AB. No tome en cuenta el peso de los elementos ACE y DCB.
aÉ-
t.¿ fn-
Es1¿-
=Ll,
Figura P16.12
I
Figura P16.11
1041
1042
Movimiento plano de cuerpos rígidos: fuetzas y aceleraciones
_ 16.13 Una varilla delgada y uniforme AB de 4 kg se mantiene ffja media¡te,dos cuerdas y el eslabón CA cuyo peso puede ignorarse. Después de cortar la cue¡da BD, el ensamble gira en un plano vertical bajo el efecto combinado de la gravedad y un par M de 6 N . rr aplicado al eslabón CA en la torma que se muestra. Determine. inmediatamente después de que ha sido cortaü la cuerda BD, a) la aceleración de la varilla AB, b) la tensión en la cue¡da EB.
16.14 Una varilla delgada y uniforme AB de 4 kgse mantiene ffja mediante_dos cuerdas y el eslabón CA cuyo peso puede ignorane. Después de cofta¡ la cue¡da BD, el ensamble gira en un plano vertical bajo el efecto combinado de la gravedad y un par M aplicado en el eslabón iA como se indica. Si la magnitud de la aceleración de la varilla AB es de 4 m,/s2 inmediatamente después de haber cortado la cuerda BD, determine a) Ia magnitud del pa¡ M, b) la tensión en Ia cue¡da EB.
_
Figura P16.13 y Pl6.l4
16.15 La barra BC de 7 ,5 kg conecta un disco centrado enA con la manivela CD. Si el disco fue hecho para girar a velocidad constante de 180 rym, detennine, para l¿ posición mostrada, las componentes ve¡ticales de Ias fuerzas que los pasadores ubicados en B y C elercén sob¡e la ba¡¡a BC. 16.16 En el instante que se muestra, las tensiones en las cuerdas verticales AB y DE son, respectivamente, de 300 y 200 N. Si la masa de la barra uniforr¡e BE es de 5 kg, determine, para ese instante,rt) Ia fuerza P, b) la magnitud de la velocidad angular de cada cuerda, c) la aceleración angular de cada cue¡da.
f6,17 una de
l¿¡.s
T¡ace los diagramas de cortante y momento flector para ca¡]a
ba¡¡as AB y BE del problema 16.1L
- '16.18 Trace los diagramas de cortanle y momento llcctor lara la varilla horizontal BC del pro6lema 16.15.
Figuta P16.16
_ - 16-.19 Para una placa ngida en traslación, demuestre que el sistema de las fuerzas efectivas consta de vectores (Azi.)á fijos a las üversas partículas de la placa, donde á es la aceleración del cent¡o de masa G de li placa. Además, muestre que al calcular su suma y la suma de sus momentoi al¡ededor de G, las fue¡zas efectivas se reducen a un solo vector má fijo en G.
(^
pr6,19 F¡gura P16,19 Figura
i)(dx ri)
Figura p16.20
16.20 Para una placa ígida en rotación centroidal, demuestre que el sistema de las fuerzas efecüvas consta de los vecto¡es (Am¡)r,r)rj l I Am t\.x \ r'tt mociados a lirs diversas particulas p, de la placa, dorrj" - v o r€presentan la velocidad angular y la irceleración argutar de la placa. y' rl denota la posición de la patícula P¡ ¡elativ¿ al centró de masa i de Ia placa. Demuestre también que, al calcular su suma y la suma de ,us rlro*"ito. al¡ededo¡ de G, las fuerzas efectivas se ¡educen n rrt
pa,
1o.
)-':r¡ér
621_ ] Y. lg!l"1" de 200 kg está en r-eposo cuanclo se le irplica un par .o¡stante M- de 300 N . rr en el tiempo ú = 0. En I = 2ll s, ei volante al_ ca¡za su velociclad ¡¡áxinla de 2400 rpm,v.el par se reti¡¿. Si el nclio cle gi_ lr¡ del v¡rla¡te es cle 400 trm, deten¡iie ¿j h megnitucl plorne¿. J"l p". ¿"
cl¡-
:a:¡r] coltl
:: C-l
i¡
i-,.
I'id., a l;, fni, irir, ( in( ti.¡r cj¡r(.ida err el cc,jileri. ol.rnte se drttene.
\
16.22
P¡obrenras
/r.-l'ri_,,,¡n "" "f'1,," "f
Un vol¿trte de 500Ib se encuertra en reposo cuarxlo se Ie apli
ur par co¡stalte M de 200 lb . lt en el tierlpo I : 0. El ¿ : 30 s, el vol¿lte ¿lcanza su velocid¿id rnriima de 3 000 rpá y el par s" ."t¡-o. Siiu f¡"_ L,ion cinetica ¡esr¡lt¿ rn rn p¿r- (.onstirnte ón ,"ogirit.rd de 12.5 lb . ft, .¿1
)..:¡rés:l¿ :--irl
(1ti tl
:
inil:-
s¿
:- -:- -)
LteLelminr ¿l el ¡¿,lio de giru del v,,lante, b) el n,i,nJio cle revolucr.ones quc .p..lizr el rol¿rt, de'¡r,ós d,. retir-r Él lrr \ lra:1.¡ rlr¡e .e deljer,,
F¡gura P'l6.21 y p16.22
, Llrrmetro .16.23 El \ñl.inte,lro rrr,csl-a l.¡ t:trr.:r corsir¡r er r¡n rli,to,l_:j0 ir. .le ¡r¡1 pp5. de !4t)lh. El coeficje[te cle fricció¡ entre Ia ba[cla y el rol¿rnte es de 0.35. Si la velocidad angular iniclal clel vol¿nte ili0 rprrl en el sentido de l¿rs n¿necillas Jrl relol, ,letrrmine l¿ m¿slitucl "l;; l"; cle '^ "u.rza P rc,¡rr-¡jd;¡ p;¡;¡ cl,.lenello "r 25 re,,ilulinne.r. 16.24 El tanbor de f¡e¡ado de 100 tr¡r cle rarlio está uniclo a rrn vo l¿nte quc nr' se muesha cn h flgura. El tar¡bor. l, c,l volante tie¡eD juntos 'r¡ra r.,.||-ln 3rU lq y r.d:,, ,1- q;,u .1" 6oU n r,r El contii-ntc de tri,.,.io|' !.ircli,¿nrtr, l,r h,urd:r dc ticnad,,¡.l rrnhor -s Jc U.30. Si.,,rnlrnr ulx
t vtPtt'¡
rr,rqrinrd,1, S0\cn 4,.rando'arelurid;r¡Jllgrrlrr.,l, lrrz., lu, rpm en scntido inve*o iü de l¿s m¿¡ecill¿r rl.,l rrloj. d.iernr;ne eJ tir.n po leqrrerido para detene¡ el volante cuanck¡ ¿ = 200 i¡m y ó 160 ;;,r. 1S0
=
Figura P16,23
F¡gura P16.24
16.25
Un clisco uniforme de l0 kg se pone en contacto con ulra slr ,rn par constnn^te M de lI N . rn corno indi_ 'i1,i, lrg!rir Uf posudel eslabr,n AB .de ien,,r¡r.se r el r,,elici¡||t-de fri,. f LrorL c¡netl(a en D rs igual a 0.4, deten¡ine a) J:r aceleraciór.r angular clel h,,cr,. ñ) la fiLr¡zr en el e,labó¡ AB i.*r'ficie inrlimJa ¡ s. le apli.a
:.
r
'16.26 Un disco unilbn¡e de l0 kg se pone en contacto col rma su_ ¡ sn l- r¡lrc:r ur prr (.onst:Lrlr M r,,.r,,, indi,..r 1,, llq,rra. L.r ,lt,sr del c:lJl,'in u¡,jlonr,n AB e. dn j kg el ,.o¡fir.jente rle lriccrrjn ci,reti_ I
ne iit ie ir,, linadr c¿ en D_es
igr:rl
"l ..rh,io d* l¡s
L
a 0.25. Si la:rceleración ángula¡ clel cljsco es cle 16 racVs2
jlhr d"l reloj der-rnrinc l:t lt,ert.t ej-rcida ,ohr. "l di\(.o ¡|| i ). rn^n-t
, f, ..f"iru.f j"ip,r"
er U, F¡gura P16.25 y Pl6.26
1043
1044
[4ovimiento plano de cuerpos rig¡dos: aceleraciones
f uerzas y
16.27 Cada una de las poJeas dobles en Ia {igura tiene un momento de inercia de 20 kg . mr y está inicialmente en repóso. EI radio exterior es de 400 mm y el interior de 200 mm. Dete¡uine ¿) la aceleración angular de cada polea; b) la velocidad angular de cada polea después de que el funto A localizado en la cuerda se ha movido una üstancia de 3 m-
pond
If
c.(
ocu¡
caü c¿ al
do u¡
cpefir es de
leraci cient( ?¡i5 N
80 kg
(1)
230
kg I50 kg (3)
40lg 14)
Figuta P16.27
76,28 El volante que se muestra üene radio de 600 mm, masa de 144 kg y radio de giro de 450 mm. Un bloque A de 18 kg se rure a un alambre en¡ollado al¡ededo¡ del volante y el sistema se suelta desde el reposo. Si se ignora el efecto de la fricción, determjne a) Ia aceleracicin del blóque A, ü) la velocidad del bloque A luego de habe¡se moüdo 1.8 m.
16,29 Para determina¡ el momento de inercia de un volante de 1.5 ft de radio, se une un bloque de 20 lb a un alambre enrollado al¡ededor del volante. Se suelta el bloque y se observa que desciende 12 ft en 4.5 s. pa¡a eliminar el cálculo de la fricción de rodamiento, se usa un segundo bloque Figurc P16.28 y P16.29
de 40 lb de peso, y se- observa que desciende 12 ft en 2.8 s. Suponiendo que el momento del par debido a la fricción perma¡ece constante,-determiná el momento de inercia del volante.
'16.30 Dos üscos A y B, de masa m" :2kgy ms = 4 kg, están conectados por medio de una banda como indica Ia ffgura. Si no Éay deslizamiento entre la banda y los discos, determine la aceleración anguiar de cada disco ¿l aplicar un par M de 2.70 N . m al disco A.
'ff do u¡ coeffc¡
tedef
0.15. d
.t6
n¡ed¿s
Poso ]' el seoti entre e cióD ci¡
Figura P16.30
b¡e -{-
,
.t6
16.31- La polea doble de 25 lb que muestra Ia figura está en reposo ' y en equilibrio cLando se aplica un par constante M de 3.S lb . ft. Si s; igF¡gura P16.31 '
¡L
nora el efecto de la fricción y el radio de giro de la polea doble es de 6 in., determjne a) la aceleracicin angular de la polea doble, ú) la tensión en cada
orerd¡
n
ento el c l¡( Deduzr do cpot
tacto cr
::.ollle¡to
-ierior
es
::r¡ll¿u c1e . tilnto --\
_v el r.adio del disco de fricción A son lVr : 12 li) y fi irr.. r-espectivalne¡te: el p.so y el radio del disco de lricción B co¡es_ purrderr a \l o - 6lh v r,. - 4 in. L¡s rljs,,,..:t.in err reno\o,.r¡endu r¡n p¡r M con rn ,nornerto á. ;.S ll' . ,n. s" rplicr al dis(.u A. 'S;,n"";;;l;;r;- ;; ocu¡re cleslizamiento entre los discos, dárermine a) I,r ¡celeiacion a¡ctil.rr
¡-,r
:
16.32 El peso
Probremas
"l
16.33
r;
erL
Jef
al dis.o
Resueha
B.
-l nlohle,n,
'
16.32, srrporie¡do que el par
M
sc
rpli-
15.34 Dos cilindros unilbnnes idénticos de 16lb estiin er¡ reposo cu¿¡ do un par M corstante co¡iitarte de 3 ft . lb de nagnittcl nagnitrd se aplica al al cilirdro A. Si el coel:lcientc (le coerclentc de tncción lricción cinétic¿ entre el cilindro ciiindro B yv'l;r srnr la sr{rerficie Liorizorrtal es de 0.2 y no ocune desliz¿rürjento entrc los cilináros, cleiermine ¿¿) la ¿ce lelación :rngul:rl cle cada cili¡dr-o, b) el valor pennisible mínimo clcl coelj_ cie¡te de fricción estátic¿ entre los cilind¡os.
Figura
P'f 6.32
i t-
Figura P16.34 y P16.35
16,35
Dos cilin
ur pal M constante de 3 ft . lb de nragnitucl
'. .i. tlct.nnin. Lr;¡reler¡ciún angul,,r d.,.rd,, ,.ilin,lro.
16.36 Ul cililrdro de r.¿rclio ¡
v ¡-r¿sa r¡r descals¿ sobre clos per¡reñirs A y B er )a forlna que se n-luést¡a. Al principio, eJ .,'.rl'"ll ,":iorl )/ se pone e¡ Dto\¡jmiento al h:rcer gir.ar la nrecl¿r B "ilirclr-u a ¿rlta velocidad en I sentido.cle-lus nraoccrllas del reloj, de mnner¿l que ocrrüe clesliz¿imiento - rl'e ¡l , ililJro ) la nr.tl'r B. Si se denot.¡ rrrcdiarrt. ¡r¡ loc,l, i_nte ,J,. frr, "l ció¡ c¡rética y no se tom¿l en cuent¿ el rnomento de jne¡ciir tle la ruecl¿ li_ ble A, obteng:r una expresión pir¿r la ¿iceleracitin angular clel cilindro. :.redirs
i
16.37 E¡ rePos,
S: se en
::-
r"i--
el pr-oblerna 16.36, supongn clue no puecle ocunir.clesliza
diento e¡tre I¿ meda B v el cilindro (un caso-de este_- Upo se prese¡taÍ¿ sr el cilindro v la nreda hrüenn cliertes cle engrane a lo t*grl aá,." lr.;,il.)
Deduzca trna expresión par-a la níurima aceleración perrisible @, en senti do contrario ¿l de las manecillas del reloi, del cilindr;, si éste no piercle con_ t¿rcto
con la ¡ued¿r en A
Figura P16.36
1045
1046
l,4ovimiento plano de cuerpos rig¡dos: y aceleraciones
f uerzas
16.38 El disco B tiene velocidad angular r.16 cuando se pone en contacto con el disco A, que está en rcposo. Demuestre que a) Ias velocidades angulares finales de los discos son independientes de los coeffcientes de fricción ¡¿r entre los discos conforme p,r * 0, b) la velocidad angular ffnal del disco B depende sólo de ar¡ y del cociente de las masas ma y rn6 de los dos
cr€
{{
de
discos,
disco A de 12 lb tiene radio ry : 6 in. y velocidad angular inicial ar¡ = 750 rpm en el sentido de las manecillas del reloj. EI disco B de 30 lb tiene radio rs = 10 in. y está en reposo. Una fuerza P de 5 lb de magnitud se aplica después para poner en contacto Ios discos. Si p¡ : ¡,25 "tttre los üscos y se igno¡a la fricción de rodamiento, determine a) la acele¡ación angular de cada disco, b) Ia velocidad angular ffnal de cada disco.
16,39 El
Flgwa Pl6.38, P16.39 y P16.40
16.40 Resuelva el problema 16.39, suponiendo que el disco A está inicialmente en reposo y que el disco B tiene velocidad angular de 750 ¡pm en el sentido de l¿s manecillas del reloj, 16.41 Muestre que el sister¡a de las fue¡zas efectivas de una placa rígida en movimiento plano se reduce a un solo vector, y exprese la distancia medida desde el.centro de masa G de Ia placa hasta la línea de acción de este vector en términos del radio de giro centroidal ft de la placa, la nagnitud ¿ de la acele¡ación G, y la aceleración angular a. Pa¡a una placa ígida en movimiento plano, demuestre que el
ÉI d¡
sistema de las fuerzas efectivas que consiste en los vectores (Aa1,)á.
le
16.42
(Lm¡)
Figura P16.42
,1
(o x ri)
asociados a las diferentes partículas P¡ de la pla-(Nn')azr'1,y ca, donde á es la aceleración del centro de masa G de la placa, <.¡ es la ve locidad angular de la placa, cr es su acele¡ación angular, y ri denota el vector de posición de la patícula P¡ relaüvas a G. Muestre además, por medio de su suma y Ia suma de sus momentos alrededor de G, que l¿x fue¡zas eféctivirs se reducen a un vector má fijo en G y a un par Ia.
an
16.43 Una fuerza P de 0.75 lb se aplica a la cinta enrollada alrededor del aro delgado de 6lb de peso. Si el aro desca¡sa sobre una superffcie horiz,ontal sin fricción, determine la aceleración de a) el punto A, b) el punto B.
?
Figura Pl6.43
FiguJa PI6.44
16.44 Una. fuerza P se aplica a una cinta enrollada al¡ededo¡ de un disco uniforme que descansa sob¡e una superficie horizontal sin fricción. Demuestre que para cada rotación de 360' del disco su cent¡o se moverá a una distancia
ú.
:t:
¿
¡ciri¿des
de
¡
fiic-
6¡al det
do
: Iors
16.45 Una barra delgada y uniforure AB descansa sobre una supe¡fi_ cie ho¡izontal sin fricción. y una Íirerza p de 2 N cle magnitud se aolica en A en dirección perpendicuiar a la bar-ra. Si la barra ti.ne"una masa áe 3 kg. determine Ia aceleración de a) el punto A, b) el punto B.
Problemas 1
ary¡rl¡¡ ¡:o B de
ib m¡eD25 en-
¿eler+' m_ e5üí
ini
rPm
€!
pla
rí-
hsta¡
ndee+oDih¡d
16.46
Un satélite de 120 kg bene un radio de qiro de 600 rnm uLe_ ) e5 simétrico respecto d plano;.r. Se iambia su orientación empleando cuaho pequeños cohetes A. B, C y D, cada uno de los cuales oro_ duce una luerza de ernpuje T de 16.20 N di¡:gida como jnüca la ffruru.'l_1"te¡rnine la aceleración angular deJ satéLte y j-a aceleración de su ienrro de masa G cuando a) se encienden los cuatro cohetes, b) se encienden todos los coheles exceplo el D. ded.or del eje g
que el
r
l.lqae
la pla-
s la reL
el re<-
r
medio
as efe(--
rededü iie bo.úto B,
_ .16.47 _ Una placa semici¡cular uniforme de 12 lb de masa se suspende de tres alamb¡es verticales en los puntos A, B y C,y se aplica una fler_ za P de- I lb de magnitud en el punto B. Tnrrediriamente dÉspués de apli_ ca¡ P. de(ennine Ia ac.leracidn ie ¿, el cent¡o de masa de li placa. üi el punto C.
Figura Pf6.46
16.48 lnmediatamentc después de aplicar la flerza p a la placa del problema 16.47. determine la aceleración de n) eJ punto A. ó' el 'punLo B. 16,49
Una bar¡a delgada uniforure ABC en forr¡a de L está en reDo_ superficie horizontal cuando se rplica una fuerza p de ¿ t'de _una magnitud en el punto A. Si se ignora la l¡icción enhe la barra I la supe¡fi_ cie y la masa de la bar¡a es de 2 kg. determine al h aceleración'ansular ini_ " cial de la barra. b, Ia aceleración inicial del punto B. so sobre
F¡gura P16.47 y P16.48
&¡m c De-iarma
047
1048
Movimiento plano de cuerpos rígidos: y aceleraciones
f uerzas
16.50 El rollo de acero mostrado en la ffgura pesa 2800 lb, tiene un radio centroidal de giro de 6 in. y se eleva por medio de dos cables que pasan alrededor de su eje. Si para cada cable f" - 690 Ib I fB - 7301b. aeternine a) la aceleración angular del rollo, b) la aceleración de su cent¡o de masa.
encu
ascer
deter punt(
F¡gura P16.50 y P16.51
16.51 El ¡ollo de acero mostrado en la ffgura pesa 2800 lb, tiene un radio-centroidal de giro de 6 in. y se eleva por medio de dos cables que pasan al¡ededor de su eie. Si en el instante inücado la acele¡ación del rollo es de 6 in./s! hacia abajo y para cada cable ?A : 680 lb, determine a) el valor coüespondiente de la tensión Tp,b) Ia acelencrón angular del rollo.
1Í
me est
te2se ga,
b) |
16.52 Un tambo¡ de 200 mm de radio se une a un disco de radio ro :- 150 mm. El disco y el tambor tienen un peso combinado de 5 kg y radio de giro conbinado de 120 mm, y se suspénden mediante dos ñidas. Si.?¡:35 N y ?e :25 N, deterrnine la aceleración de los puntos A y B sobre las cue¡das.
16.53 Un
tambor de 200 nm de radio se une a un disco de radio 140 mm. El disco y el tambor tienen ur peso combinado de 5 kg y se suspenden rrediante dos cuerdas. Si la acele¡ación del punto B sobre la"cuerda es de. cero. T^ = 40 N. y T6 : 20 N, deterr¡ine ei radio de giro combinado del üsco v el tamhor r¿
Figura Pf6.52 y P16.53
=
16,54 El disco unifo¡me de masa m y radio r que se muestra gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Su cent¡o C está restingiclo a moverse por una ü¡u¡a recortada en el miemb¡o vertical AB. y una f;er_ za horizontal P se aplica en B para mantener el contacto en D entre el disco y la pared vertical. El disco se mueve hacia abajo por la influencia de la -p¡-el gravedad y la fricción en D. Si se denota mediante coeficiente de fric ción cinética entre el disco y la pared y se ignora la fricción en la ¡anura ver_ tical, determine a) la aceleración angular del üsco, b) la aceleración del cen_ t¡o C del disco. 16.55 El disco uniforme de 12 lb que rnuestra la figura, con radio 3.2 in.. gira en sentido contrado al de las manecillas de1 reloj. Su cen_ tro C está restringido a moverse por una r¿urura recortada en el elemento vertical-AB. y se le aplica una fuerza horizontal p de tt lb en B para mantener el contacto en D entre el disco y la pared vertical. El discá descien_ de bajo la influencia de la gravedad y la fricción en D. Si el coeficiente de fricción entre el üsco y la pared es áe 0.12 y se ignora la fricción en la ranura vertical, deten¡ine a) la aceleración angulai del disco, b) la acelera_
r=
ción del centro C del disco.
16.i dos reso
instante
c) la ace
¡EÉtl.
r¡" r-
y 16.57 Una bar¡a delgada uniforme ABC en fb¡ma de L se en reposo en un plano vertical cuando se le aplican dos fue¡zas -cuent¡a r--
Problemas
16.56
:!¡to
B.
110
\
lolr
\
03n¡
1.2
ln
Figura P16.57 É ¡¡t
: :¡g I?!
r¿¡
16.58 y 16.59 Una viga AB de masa m y sección t¡ansve¡sal uniforme está suspendida r¡ediante dos resortes en la forma indic¿da. Si el ¡esorie 2 se rompe, determine para ese instante a) la aceleración angular de la ü, ¡a. úr la acelención del punlo A.
.r
la aceleración del punto B.
;ri: ¡ce
ri
¡¡:
\¡é
t_]i'f
-i-
Figura P'l6.58
F¡gura Pt6.59
ii at
e¡i:
-.ta-
ne
L;¡ =r-
16.60 Una barra delgada uniforme AB de r¡asa m está suspenüda por dos resortes corrro se muestra. Si el ¡esorte 2 se rompe, determine paraLse 'n.tantc a) la aceleracicjn ,rngular de la barra. ó r la aceleracicin del punto A.
_
r
La
acelerilción del punto B.
clia-
'¡:¡:
a,-lt: úB-!-
Éa, ¡ :¡¡¡.F
Figura P16.60
"_l
1
049
t
1050
Movimiento elano de cuerpos risidos: iuerzas y aceleracrones
a 10.63 Una placa delgaü con Ia forma que se muestm y masa de dos resortes como indica la figura. Si el resorte 2 se rompe, de termine la aceleración en ese instante 4) del punto A, b) del punto B. 16,61 Una placa cuad¡ada de lado b. '16.62 Un arc delgado de radio b. 16.63 Una placa ci¡cular de ¡adio b. 16.61
ar. cuelga
16.8.
L¿m
pos n
I
ploben
Presc nente
dor
dienr
L
trirg,
sidert
e\tre¡
liz¿n , .¿ de sabe
Figura Pi6.62 Figura P16.61
' trwr{ Figurá P16.64
Figwa P16-63
16,64 A lo ltrrgo de una
superffcie horizontal r"ugosa se Ianza una esfera de radio r y masa r¿ con las velocidades iniciales indicadas. Si la veloci dad ffnal de la esfera va a ser de cero, er?rese, en términos de ao, r y 1tk e) la magnitud requerida de
16.65 Un jugador de boliche lanza una bola de 200 mm de üámetro y 5 kg de rrasa con velocidad hacia delante v¡ de 5 m/s y contragiro coq de I rad,/s. Si el coeffciente de fricción cinética entre la bola y el carril es de 0.10, determine a) el tiempo tr en el cual la bola er¡pezará a rodar sin deslizarse, b) la velocidad de Ia bola en el tiempo ¿r, c) la üstancia que la bola habrá recorrido en f1.
r
r¿¡ill¿ sición
irrstaú
en un te de
temit Cme
pio d(
turier nan d
16.66 Resuelva el problema 16.65, suponiendo que el jugador de boliche lanza la bola con la misr¡a velocidad hacia delante pero con un contragiro de 18 rad/s.
¡-ery!ry Figura P16,65
16.67 Una esfera uniforme de radio r y masa nr, se coloca sin velocidad inicial sobre una banda que se mueve hacia la derecha con velocidad constante vr. Si se denota rnediante /.¿¡ el coeffciente de fricción cinética pre, sente entre la esfera y la banda, deternine a) el tiempo t. en el cual l¿ esfera empezará a rodar sin deslizarse, b) Ias velocidades lineal y angular de la
S¡
la velt
16.68
Resuelva el problema 16.67, suponiendo que la esfera se reemplaza por una rueda de radio ¿ úasa ?n y radio centroidal de giro ft.
Flgura P16.67
Figula P16.69
16,69 Una esfera de radio r y masa rn tiene velocidad lineal v¡ dirigida hacia la izquierda y ningrrna velocidad angular cuando se coloca sobre una banda que se mueve hacia la derecha a velocidad constante vr. Si después del priner deslizamiento sob¡e la banda la esfera no tiene velocidad lineal relativa al suelo conforme empieza a rodar sob¡e la b¿nda sin deslizarse, determine en términos de o1 y del coeficiente de fricción cinéüca ¡r,¡ entre la esfera y la banda a) el valor requerido de ou, ü) el tiempo á1 en el cual la esfera empezará a rodar sobre la banda, c) la distancia que la esfe¡a habrá recorido en rel¿ción con el suelo en f ¡ ,
s€a e{
o.:
dt
mo la blema
braci< se ha¡ adecu
POnetr
c'es en
qur¿
l
s€ res
-{ihier
16.8. MOVII\lIEI\ITO PLANO RFSTHINGIDO O V!NcULADO
1(j.8. Movimiento prano
L¿r rnar-or'í¿r de Lis aplictrcioncs de ilgenieríir tiencn que \:er-con cuer¡'o. riqirl,,s gr¡c \, rnle\el I'rrjo re.lriclioncs,l-i,.1,,ir,;,drr.. I-or ejer,rll,'. 1,,. r'r¡rircl,r. 'l, l'"rr qir.rr ,rlr', d.,l,,r rl,. rrrr -j,. li¡o. 1,. ,rr,.,l,ri Jelrcn ¡od¿r siu patilar v l¿rs bie]as dcscibir cieitr¡s niovirnicntos prr:scritos. El la]cs c¿rsos, eristc'n rcl¿cioles clelllidas cntre las corripo-
nentcs dc la acelc.r'¿ción á clcl centrrr tle nasa G del crrerpo colsidcr-a do ¡ srr acelelación iuigrrhr d; se dicc que el rnorimierrio corr.esp{rrclierte cs un vDitLiento rt:sl.ríngklo. Lrr sohrción de un proltlerna que inplica ull rrro\¡imietto plnno resilingido r-cqiricre ¡t ¡uvílisís c|nciúlít:o ytiitttt.im' clcl problerrra. Con:iclcre, lxrr cjenrplo, un¿r v¿ill¿ lig"r'l All 'lc lorgitr,l / i rrilsrl ¡r (.u\ros .'\trernos cstirn colect¿rlos I blor¡rcs dc rr.rsrr clcsPl,c.j,rhlc r¡'t. s",Íes iizal a lo largo de cor¡etlcr¿rs lx¡iz<¡rrtales r.rcrlic¿,úes sir fi-ic¡iór. Sc ti:.r cle l¿L vmjlla r¡cdiiurte un¿ flr:rz¡ P rpli, rtl.L "n A LliErrrr 16.11.t. Sr: .¿bc clc l¿r secci
\,,
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t..
B
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1,[!
1i!.,
tt i '"'"' ,1,f
t' -l
::il F¡gura 16.12
Srrpóngase iiJrorn quc sc col{)ce ln fucrza iiplicatla p, el ringulo 0 v
rclo,
i'L'l
,rng¡rl'.r
-,1-
l:¡ r,rrill.r ,
rlrr jr.t;,lrle J,,,lu r
,¡,r. s,
,1"
:r-x (ircontt'al-l¿r_¿rceleración angulirr.d de lt vri¡ill¿r y las cclipolcrrtcs ', i,, de l¿r ¿celer¿rcií¡lr de sn centro dc Dtils¿ cn ese inst¿ltl, así co
:
o l¿s rcacciones cn Á r lJ. El csLLLdio cincnrático preliurinar clel prollrrrr terrtLli c.o¡rn r,lrjetir o i.17li s¿r /a s cotttponentes i, t¡ 0,, tlc l.o olt:_ iLLt ¡lü LIL C |tt tct1tti lt s ,L l,t ucaLerrtc,ititt angttl.o.r u dc la xaril.l¡t. l)slo .. liar-ii _erpresando prinrero la aceler¿cirir de un pulto de refélc¡ci¿ - lecu¿ido tal corno A en tórrnilos tle l¿r ¿rcclcracirin'an gul¿r d. L¿s c(¡ l -,, dc la ¿celer¿rción tle C pLreden dctlnriirr¡irse eltr¡n- r)rentes a v j err tó]-ntiltos dr: a, 1-las expresioles obir:nidas incorporarsc cl la fi--:r¡ 16.12- Se obdcnen tr-es ecuacioltes err ténnilros cle c, -\t1 y Ns 1 . resuc-lvcti p¿r¿ tres ilc(igt tas (r'éase el problerrra resuelto i6.ltt;. . - h ierta r¡re tarnbiól es ¡ro.sible ntilizar. el rirótudn d" cquilibrio rlinti-
+-Figura 16.11
r":t,"rg]:: 10S1
r i
1052
Movimiento elano de cuerpos risidos: tuerzas y aceleÉcrones
I í I ;
Figura 16,13
mico para obtener la solución de los dos tipos de problemas considerados (figura 16.13). Cuando un mecanismo consta de aarias pat'tes móoil¿s, el rrétodo descrito se puede utilizar con cada parte del mecanísmo. El procedimiento requerido para determinar las diferentes incógnitas es en ese caso similar al procedimiento que se sigue en la situación del equilibrio de un sistema de cueryos rígidos conectados (sección 6.11). Altes se analizaron dos casos particulares de moümiento plano restringido: la traslación de un cuerpo ígido, en la cual la aceleración angular del cue¡po se restringe a cero, y la rotación centroidal, en la que l¿ aceleración á del centro de masa del cuer?o se restringe a cero. Los otros casos particulares de movimiento plano restringido son de interés especi¿'L la rotacíón no centroidal de un cuerpo n$do y el moa'hniento de rod,amiento de un disco o rueda. Es posible analizar estos dos casos rediante uno de los métodos generales descritos antes, Sin embargo, en vista del rango de sus aplicaciones, éstos merecen unos cuantos comentarios especiales.
Hotación no centroídal. El movimiento de un cuerpo ígido que está restringido a girar alrededor de un eje ffjo que no pasa por su cent¡o de masa se denomina rotación no centroi.dal. El centro de lrasa G del cuerpo se mueve a lo largo de un círculo de radio F centrado en el punto O, donde el eje de rotación interseca aJ pJano de referencia (figura 76.14). N denotar, respectivamente, por @ y a Ia velocidad angular y Ia aceleración angular de la línea OG, se obüenen las siguientes erT)resiones para las componentes tangencial y normal de la aceleración de G:
Si¡
¡ni
¿ln
-lu
t¡i¿
IE -t"
t te¿
lot ilo i:1:
-< ir¡j
¿üu
coI]
der
m¡€ suP ¿c'e
04: rq
-ai:
-2 rQ)
(16.7)
Puesto que la 1ínea OG pertenece a.l cuer?o, su velocidad angular ar y su aceleración angular c también representan la velocidad angular y la aceleración angular del cuerpo en su movimiento relativo a G. Las ecuaciones (16.7) deffnen la relación cinemáüca que existe entre el movimiento del centro de masa G y el movimiento del cue¡po en torno a G. Estas deben usarse para eliminar Z, y Z, de las ecuaciones que se obtienen al aplicar el principio de d'Alembert (ffgura 16.15) o el nré-
t-
c'rib
9dr
toP
todo del equllibrio dinámico (figura 16.16).
c¿tlc
Se obtiene una relación interesante al iguajar los momentos alrededor del punto ffjo O de las fuerzas y los vectores mostrados, respectivamente, en las partes a) y b) de la ffgura 16,15, Se escribe
las I
b)
Figura 16.15
50n
nen
F¡gura 16.16
C¡
e\te qul:
+\:Mo :
1a
+ Qnra)i : (j +
16.8. Movimiento pLano
nt72)a
Sil embargo, de acuerdo con el teorem¡ clc ejes parr,lelos. se tiene 7 i nti2 : Iq, donde 1¿¡ denot¿ el nomento de inercia del cuerpo r'ígido ,rlrededor del eje fijo. Por lo tanto, se escribe
)M¡, : l6a
(
16.8)
-\unque la fórmula (16.8) er?resa una relación importante elitre la su na de los momentos dc las fuerz¿s exten.t¿is alredeclol del punto f¡o O i el producto locv, es necesado comprender con toda claridad que esi¿ fórmul¿ no significa que el sisteua de fuerzas exterlas es equivaleüie a uD par de morner.rtc¡ 1¿¡¡4. El sisterna de las fuerzas efectivas y', por lo tiinto, el sjsten¿ de l¿s fuerzas exteln¿s, se reduce a un par sólo cuan:lo O coincide col G esto CS, es. sól¿r atandl¡ la rotacitht es centroídal 16.4)-. En el caso nlas genelal de rotación no centroidal, el 'ección .istena de lutlzas ertern¿s no se reduce a ul pitr. Un caso particular de rotación no cenhoidal es de interés especill
ifsi¡irnientü d+ rúd¿ftrients" Otro
caso irnpodante de mor,inroünientr¡ de un clisco o rueda que glr¿ sobre una plana. Si el disco está restringído a rodar sjn desliz¿rse, la 'uperficle .celcración á de su centro de m¿rsa G y su aceJeración angular c no .,rn independieutes. Suponiendo rlue el disco csté equiliblado, cle mn..ela que su centlo de masa y su centro geométdco coincidal, se esibe prinrero que la distancia - recorrida por G dur¿rnte un¿ r'otacióD ¡lel disco es t: r0. donde ¡ es el ratlio del clisco. Al cliferenci¿rr dos
:lit:nto phno
es el
.ces esta relación. se cscr-ibe (16 e) Si se recuerda que el sisterra de las fuerzas efectivas en mo\,infen
- plano se reduce ¿l un vectol irzá y rrn par 14, se encrrentra que en el ,lo particular de rno\riüiento de rod¿miento de un disco equilibrado, .. hrerzas cfectivas
Ir
se reducen ¡r
ur vectol
de magr-ritud
lrra ffjo err
a un par de mngnitrrd 7a. Así, se p,,ede e^¡resnr q.,e lns l.,L.ras -::enras son equivalentes al vector y al par que se muestlan en la fi.-:r¡r 16.17.
=L
Figura 16.17
re:trns;lo 1053
1054
Movrr¡ienio plano de cuerpos rísjdos: fuerzas y aceteraciones
¡' ta l át ,ttt (¿ = ta) \
\.G
Fi9urc 16.'17 (rcpet¡da\
Cur¡do un disco ntech
sí¡t dc,slizarse, no hay
noümiento r.elativo
entre el pulto del disco en colttactu col .J suelo 1 el suc.lc¡ rnismo. _El rorrsrr¡ ren(iil. r, \lecti¡ ir lo qrie r.nn,.ie¡n. nl ..,ilt,ulo rlo la fuerz. de lricciún F. un rlist.o qr¡r.rucdi¡ p¡ed{ co¡rp¡rtr\É con ,¡n [lo.luc en r" poso sobre unn superficie. La magnihrrl F de la iirc-rzr dc fric.citin pue_ de tener cualquici' r'alor; sienipre r.currdo este r rlo¡ uo exced¿ ei valol nírximo F'^: tt"N, donde p" es el coeficiente de lijcción estíitica y N,es.la rnagnitud de la Ílerza no¡mal. En el caso cle rrn disco que rueda, la urngnitud F de l¿ fucrza de fiicciór.i debc, por lo t¿into, deterrninarsede_ manerl inclependicnte de N ¿rl resolverla ecuacirin que se obtuvo de la {igura 16.17. Crra:¡
deslizarniento:
< ¡-r-,N 7:ra : ¡i,"N Z: rcr F - p,¡N ay a índependiente
Cuando no se s¿ibe si el disco se desliz¿r o no, pr.irrrero debe suporelse que meda sin cleslizarse. Si se encuentr¿r que F es más poqie ña o igual que ¡r,"N se denruestra que la suposici
lniento. Cn¿urdo un clisco está dcsegrrlliltnulo, esto cs, cuando su centro cle lo coincide col su centr.o geométr.ico O, Ia r.elación (16.9) nr, se cul.iplc entre o y a. Sir.r cmbar.g,,. se crtlple rrnrr ¡eLcjdn sirrila¡ cntre la nagnitud a¡2 de la aceJeración del cettro geornétrico y la ace-
nas¿ G
Fotografía 16.4 Cuando una bola cae en el callejón de boleo, primero gira y desllza, y luego rueda sin patinar.
leración augular
c
de un disco desequilibrado q.rJ n eda sin áesliz¿rr,
se. Sc tiere (16.1{r P¿rra
deterninar 7
locidad angular' ración relativa
¿,-,
el
tér-minos de la ¿celeraciól nngular a y de la r e,
del disoo, es posible utilizrr la fóimula de l¿ acele
a:ac:ao+e,(.-/o : a,7 F (a¡;7¡¡), + (.aclo),
Figura l6.lS
(16.11
doncle las tres aceleracior¡es contponcDtes obteDídas tienen l¿rs tlirecir¡res ilidicird¿rs en la figulri 16.18 y las magnitudes ae : rct, (ac / () . : OC'o ¡ 'r1; ,, ,, - OC a2.
¡t
llr
::
lt
t.'
i1 ii o: Il
I
(; .
,
i I
I
PROBLEMA RESUELTO 16.6 La parte AOB de un necanis¡-ro se compone de una b¿r¡ra de acero OB de 400 nrm rcldada ¿r un engrane E de 120 l.rrir de r¿dio, que puede girar.alre dedo¡ de una flech¿ ho¡iz<¡ntal O. L:r inpulsa u:r engt-e ó ¡ en-el inst¿¡nte que se muestra, tiene una velocidad angular en el sentido de las r¡anecillas del reloj de 8 raüs y una aceleración ingular en el sentido contr¿úo de las.na¡ecill¿¡s del reloj de 40 ¡ad,¡s2. Si la bai¡a OB tiene una masa de 3 kg y el engrane E una masa de 4 kg y un radio de giro de 8E mm, determine aj la fuerza tangencial ejercida por el engrane D so-bre el engrane E, b) las comfunentes Lle lir r'.at c ión en lu llecha O.
SOLUCIóN En la determinación de las fuerz¡s efectivas tlel cuerpo rígido AOB, el engrane E y la barra OB se consideran por separado. Por lo tanto, las componentes de la ¿rceleración del centro de rlasa G,,7, üe l¿ ban¿ se detelmjnar'án primero:
lao), :7a = (0.200 rnX40 raüs:) : (io), = ia" : (0.200 m)(8 rad/s)2 :
0 190 nrm
6
*,.:
12.5
,r.r7ru
Ecuacionos de movirniento. Se han dibujado dos bosquejos de cuerpo ígido AOB. El primero muestra l¿s fuezls ertern¿¡ consistenies en el pe so W¿ del engrane E, el peso WoB de la b¿rra OB. la fueza F e¡ercida por el engrane D, y las componentes R. y R,, de la reacción en O. Las magnitudes de los pesos son, respectiv¿mente,
mLg: (a kg)(9.8r m.is'9¡ : 39.t t : n63g: (3 kgX9.SI nVs2) : 29.4 *
wE = Woa
pl
segundo bosquejo muestra
l¿rs fuerzas efectivas, que consisten en el pa:' está en rotación centroidal) y en un par v dos coú-iponentes vectoriales en ei centro de nas¿ de OB. Puesto que se conocen las aceler¿rciones, se c¿¡.lcrrlan ias magnitudes de estas componentes \¡ p¿ues:
I¿o (puesto que el engnne ¿
:
= (a kg)(0.0S5 m)'?(40 raüs') : 1.156 N . m nes(a6e), = (3 kg)(8 ü/s¿) : 24.0 N n s11(a¿6),,: (3 kgX12.8 m/s2) = 38.4 N ie,¡ct : ($m6¡L')o : $1s t g¡10.+oo ri.r)e( o raüs2) = 1.600 N . I¡a
nt¿k2¿a
'r.r
Al eqrresirr que este sisterna de las fuerzas externas es equir zrlente al na de las fuerzas efectivas, se esc¡iben l¿s sig[ientes ecu¿ciones:
siste-
+\2M6 = 2(M).¡: FrU.l20 m F(0 120 rn)
3>F" = >(r
-i¡.a -
=
- /6¡o ' ¡t't (.21.0 NX0.200 m) { 1.600 N nt ¡:63.0N lr : 6rt.t) N J <
n,ua'ie6,.0.100 rn,
1.156 N
R^:
).-r.
moa@oe)'
&=24.0N +f )Fr
: )(Fu).r: Ry-
Rlj 63.0 N -
R,:21.0N >
F WE - Wsp = nt¡1¡bep),. 39.2N 29.4 N:38.4 N Ru
=
170.0 N
R,i 170.0
\
1
.(
PROBLEMA RESUELTO 16.7 Una pJaca rectangulirr de 6 X 8 jn. r+re pesa 60 lb está suspendkla de dos pasacloles A y B. Si repeútin¿melte se quit¿l el p:rsador B, dete¡mine ¿.¡) 1¿ aceleración algulal de la placa, b) las conponentes de la reacciírn en el pasador A, jrrnediatar¡erte clespués tle cluitar el pasador'lJ.
soLUcroN ¡¡) Acclcr'¿rci<ín angular'.
r--- ,, r
Se obsen'a que cuarrclo la placa gira ¿lrede-
dor del punto A, su centro de n-rasa G clescribe rn mdio circul¡'i co¡ cen t¡o rn A. Puesto que la piaca se suelt¡ clesde el reposo (o = 0), la comporente nonnal de la aceleración de G es ce¡o. Ln lnagnihrd de l¿r aceler¿rción a del centr-o de ¡-i¿sa G es, en consecuerrcia, a : -rd. Se dibuja el cliagrama rrostrado para expresar que las fuerzas exten¿s son eqriv¿lentes ¿ l¿s fi¡erzas
0
lrr
efectir'¡s:
\l'-JlVq-I'.V,. Puesto que a, : ra, se tiene
r,,ñi
7o
lVr
lVi : rn(ia)i + Ia
II'
c)
**.
El rnornento centroicl¿¡l
cle inerci¿ de la placa es
t-ilvr l: '-
-Al
a. ..,.¿ ^ -ta"
:i
sustituir este valor cle
ecuación (1), se c¡btiene
r,-7- 12(32.2 Ir
:
7
-$!
0.107E
:
*46.
s)
'. ".¡. ,',fi.1
lb . ft .s2
¡unto cor lV cr
r,j
(1)
.
1
:
6u lb. L
:]
lrüsr
tt.
¡-r
l-¡) R<*rcción en A, Utilizando el valc¡-calcrrlado la rnag rilrrd dcl rn,,or',rá fijo, rr C.
* :
lx n
60 lb na: ¡nio': Ufu
.-
¿>.i'"
sA¿r
t.+ 10(,16.4 r¿¡üs')
i : l;
It en la
: .lli.l lltl/sr J { cile
a,
se determin¿
36.0 lb
Al ¡lostrar este resultado del diagram:r. sc escfiben las ecuilc.iolles de t¡or¡inierrto
: -:(36 lb) = 21.6 lb A, 60 tb : -+(36 Ib) A,/ : +31.2 lb A,
+f )F,,
:
)(F,,).r:
EJ par /o no participa en las últimas dos ecuacioDest üc¿¡se sobre el diagrama.
1056
:
¡
A,:2l.lilb<
{
A,r:;ll !llr1 '( a pesar
de eso debe in
PROBLEMA RESUELTO 16.8 ' dos
Una esfera. de radio r y peso W. se suelta sin velocid¿d inicial sobre una pen-
ala
üente y rueda sin desliáaxe. Determine n) el valor mínimo del coeffciiente de fricción estática compaüble con el movimiento de rodamiento, b) Ja ve_
I pa-
locidad del centro G de la esfera después de que ésta ha rodaclo I0 ii, c) la velocidad de G si la esfe¡a desciendJ l0 ft sobre una pendiente de 30" sin
f¡icción.
SOLUCIóN a)
ed¿(ÉE-
mínimo p.rra cl movimiento de rrxlamient<¡. Las fuerzas
¡r,*
ex_
temas W, N y F forrna¡ un sistema equivale¡rte al sistema de fuerzas efec, puesto que la esfera meda tivo y _representado por el vector má el pa'r Ia. sin desliza¡se, se tiene 7 : ra.
ÉniÉ
I del
- )>M.
tr16-
- >tMct^i:
,lV sen 0rr -- ¡nn1r
,\y ser' g/r
-
¡mt
t ja
r tia
a
: ]rnl, se escribe /I,I/ \ OI¡/ (W sen d)r: lLrcrlr * ?r2a \t I 50
Al notar que
rl
= Wlg e I
0 77
+\>F.
59 ser
=>(F)ef.
5'3:.2 lu:!/
5c sen d
7r
scn 30'
:
11.50 ftlse
Wseo0-F = t¡ta
\t sera -¡-\v59s"no F : +fw sen e = flv sen sog I : o.rrrou * ,n" +V2F, - 2(Fr).r: N Wcos0:0 N = lV cos 0 = 0.866IV N:0.866Wi 60. 0.I43W ¡'': tF = os66rv
elr r¿
b) \¡elocidad dc l¿ mente ¿celerado:
¡r"
:
l).1115
{
csf'er¿ rod¿¡nte. Se üene moümiento r¡niforne
r¡o:0 a= II' SOfüs2 i=I0ft ro=0 u':ü,+ .(I -io) d = 0 + 2(11.80 fvsr)(lo f¡) o = 15.17 fVs v = 15.17 fils X ll0" { r.) ü.lrida
- 0 ¡ se obtierre +,))Ms = XM(;).¡: 0:ic' a:0
(
Ii(]\l
ión pn este c¿so. sc ti.ne ,F
+\)F"
= XF.).r:
IV sen 30'
: mZ
0.50W
qrre no ha1 frir.
:Ya c
7:
+16.1
fVs2
á = 16.1 fvs2 =5 30"
Al sustituir ¿ : 16.1 fVs2 en las ecuaciones paü Doütniento uniformemen)€ in
te acele¡ado, se obtiene
D2:D?,+ %1(i -in)
ó:
17.94
fUs
d:0
+ 2(16.1 fys,)(10 ft)
v:17.94
lt/s
E tl0" { 1057
i l
100
mm
60 rnm
PROBLEMA RESUELTO 16.9 Una cuerda se enrolla al¡ededor del tambor intemo de una rueda y se jala ho fzontalmente con una fuerza de 200 N. La n¡eda tiene una masa de 50 kg y un raüo de giro de 70 mm. Si se sabe que ¡r" = 0.20 y p¡ = 0.15, dete¡mine la aceler¿rción de G y la aceleración angular de la rueda.
soLUctoN a) Suposición de rodamiento si¡r
¡a =
¿=
(Q.100 m)a
Se puede determinar si esta suposición se justifica al cotrparar la fuerza de fricción que se obtiene con la fuerza de fricción mríxima disponible. El rnomento de inercia de la r-ueda es
- ;k' :
1
(50 kg)(o.o?o [r)2 = 6.245
¡t . -'
Ecuttciones ile mcnimienü¡
-J)M, - I'M¡r,,: 1200 1r\.0.040 rn'-,r¡¿?r0.lO() mr F7a 8.00 N m : (50 kg)(0,100 m)n(O.100 m) + 10.245 kg'mz)a a = *1Oj4
r'ul/s2
- ra : (0.100 m)(10.74 rad/se) = I.074 r¡/s2 '¡ 3)F, = )(F..)"¡: F+200N=n¡¿ F + 200 N = (50 kg)(1.07a nvs'z) F: -146.3 N F: ¿
14r.d ot t
!/D -\L
N
-
tl
de
0
N:I,V: rlg:
)
(50 kg)(9.81 m/se) = 49¡¡.5
*
N:490.5N1
fticción má*ima üsponible 4",r.
Puesto que F
<
\t,,l,
W=
Iuetra
146.3 N
:
r¿.JV
:
0.20(490.5 N)
:
98.1 N
F-¡", el moümiento supuesto es imposible.
b) Rotnción y deslizamiento.
Puesto que la rueda debe girar y desa son inde-
liza¡ al mismo tiempo, se dibuja un nuevo diagrama, donde á y pendientes y donde
P=
Pr:
Del cálculo de la parte
¿r,
¡r.¡N
:
0.15(490.5 N)
:
73.6 N
parece ser que F debe dirigirse hacia la izquierda. de movimiento:
Se escriben las siguientes ecuaciones
5>¡, : >(4)."r,
2oo
N
+l)M¡_-
:
:
.r
:
?.53 ¡r/s¿
>
)(M¿)"¡:
(73.6 N)(0.r00 m)
----..-J058
¡ = (50 kg)a t2.53 nls2
73.6
a
NX0.060 m) = (0.245 kg.m')a - (200 a : -18.94 raüse c : Ill.94:.ncVs2 \
PROBLEMA RESUELTO 16.10 Los ertremos de una b¿rra de 4 ft S0 lb pueden morerse libremenle v sin ) rnr'clón a lo larqo de dos corredcrrs rectas en la forma que se indic¿.'Si lo barra se suelta sln velocidad desde t, leración angular de la bana, b) las reicciones en A y B.
p".i;;;.;;;:j:;H#;i":i"
SOLUCIóN
- Cincmática del movindento. puesto que el moümiento está restrin_ gido, la aceleración de G debe ¡elacionarse con la aceleractón anqui". o. p"." obtener esra ¡elacicin. se derermina primero la .,l"gr,"Já" i"liX"f;iu".^ dcl punto A en rérminos dc d. Supo"i.ndo qr" o?rii a,rigiü."'f; [r:".,u" contraria de las manecillas del áo¡ y adüÉendo que a6o^ _ á, ," l*nO.
X
[a3
f:
Al notar que
AB=aA+aB/A 45.] = lao_>l + l4aF
6C.1
75. y utilizar la ley de los senos, se obtiene
aA: 5.46d
ae = 4.90a
La aceleración de G se obtiene ahora al escribir
t: á
ac = a^ + Lc1a
:
i5.46a
+l + l2a F
60"1
Al descomponer a en las componentes r y y, se obtiene a, = 5.46a
-
2cv cos
60.
: 4.46a 4
= 4.46a _>
= -2a sen 60. = -t.Z32o .i, : ii¡i" ¡ del moürniento, Se dibujan unos diagramas de - Cinética cuemo li, ecla:ión que expresen que el sísrerna ¿" Ui fr"-"r'"rü_r", fl-e.d:, ]a equr\atenle al :istema de las fuerzas efectivas representadas ". po, ,""io, ¿" ma" f ma, {ijo en G y el par ¡o. se'"nlcula,, "¡ lao i g"i;;;;"g dy
;:.fit5o¡entes
;t -' 1.m[',, - I i
ru¿
-50-5o : ,, , (4.46a) = ma,
E
t-T i4.46 fr
50lb 82.2
4 trP .- 2.97 lb . fr .
6.93a
rtua!
s,
Ia = 2.07a
: -ffi(1.732a) :
2.Uno
Ecuaciones de tnooimiento +
\)M¡
= !(M¿L¡
(50)(I.732): (6.93a)(a.46) + (2.6sr¡)(r.7s2) + 2.07a o : *9.30 raüs2 a : 2.30 n¡Vs!
i;>F.
= z(F.)"r:
Re sen 45. = (6.95)(2.80) Rs
+f)F, : )(FrLr: E¡ * R¡
:
-6.19
:
22.E
Ib
:
tí.g4
R¡
:
22.8 U¡
.t 45" 1
R¡ cos 45. - 50 = -(2.69Xq.30) 15.94 + 50 = 27.9Ib R,, = 27.9 lb
-
I {
T <
Er
estr lecciórr se consiileró el nor:ínúenfo planct de urctpos rígklos bajo rcstríccíor¡¿!. Sc'erlcorltró quc los tipos de restricci<¡les implicatlas i:u pnrblerrns de ingenierí¿r var'í¿rl cle rn:urela arnpliti. Por ejemplo, un cuer?o úgido qrúzás cstó rcstrilgido a girar alrecledor cle rur cjc fijo o a rodar sol)re un¿r srrperficie clad¿, ¡r tal vez esté colect¿¡clo rledi¿rnte p¿s¿r(lorcs ii coll¿u'ines r otros cuel?os. I . I¡t sc¡htciótt d.e utt ¡roblem.tt t¡rte im.Ttliqu.e eL mot imiento ,o"t i)gidu ,1. un cuerpo rígirlo ccinstará, er general, dc dos pasos. Primcro, sc consiclerarÍr l¿r cinernci.tico rLe r¡¡t¡t;i¡nienLo v luego se resolverír la 7ra,fe ciultírtt dcl TnttLl,enn.
2, I)l
uruílisis cinem.¿ít.ico tlel ntopíntiento sc realiza utilizurclo los liét<¡dos r:stunl capitulo 15. Dclrirl '
restricciones, se rel¿rcioli¿rrÍrn l¿s ilcelcracioncs lrr últirn¿ sección.) Es rrecesario establecel reloaiones entrc las u:clcr¿c:ione.r (tiurto rutguhl cono line¡rl), v la rnet¿r delx: ser erpres¿r'tod¿rs las ircelerirciorres cn tórminos dc unil sol¿¿ qc:el.uttciti'L desco¡tocicLrt. Éslc cs cl primer paso qlre se sigue el crrla ruro tle los plo blernas rcsucltos de esta lecciól. diaclos
JirLr.Jes
"r'
t
¿ las
,trgrlrrr"s. (Flstas ¡irr seriin ildcpcnücntos, conro lo lucron en
tt) Pttnt un cuerp{r en Íotoción. tto centroidal,
ración clcl ccntro de ¡iirsa sor Z, : la ce lploblernas resueltos 16.6 y 16.7].
_v
0,,:
Jas
l¡,,,', donde
corr¡ronentes cle l¿r ¿,iceler,-, por lo gcncral se cono-
I¡) Por¿t un clísco o rueda n¡tlonle- l¿ acclcr¿rción ilel celtlo de rr¿s¿ c's 7: ra l¡rroblenra resuelto 16.8]. c) Ttara un cuerpo ctt tnt¡L:inúentr¡ pluno generol, el rne-jrlr procedinrielto, si ni 7 ni ¿r se corloccn o cs posible olttenr:rl¿s con fucilid¿d, es explesn J cn tinnilos dc a lproblelrrr resrrelto I6.10].
3. Iil
¡¡r¡¿íl¡lsis
u)
Sc
cinético del moritnient¡¡ se eléctír¿r del rriodo siguiente:
inícia clibujuwlo un tlíugrum.u de <:uerpo líl¡re de Iu ecuución. Estt¡
sc llcva a c¿rbo en toclos krs problemrs Lesucltos tl: cada sección. El c¿dl
reaccit¡nes y el peso tlel cr*r'po. Los diirgrau,* los tecto¡es lrá v d pal Io. d¿rs, l¿rs
.lci l¡tlo .lereclir¡
mrrelstr¿in
b) Después, se retluce eI ntinten¡ de incógnitcts en l¿ ecu¿rcitin tle cliagramas cle cuerpo libr¡: utiliz¿uido l¿rs rclaciones eltre l¿s ¿rcclc,r¿rciolres que sc cncontrar.orl er el análisis cincmirtico. Así, se esth listo para considerar ccuaciones rlue prrcdt n es cribirsc al surr¿r'c(nnponentes o rnoflcntos. Se elige plirnero rrna ecrrrciol quc irn plit¡re una soln ircógnita. Luego de rcsolver con lespecto a csta última, se sristituye el r'¿rlor obterido el l¿s r¡tras ecuacior-ies, las crLales se lesolve¡iur par',1 lls irrr'ógriias r'est¿rltes. 1060
\-.
1, Cuundo se rexreh:en problemas en lt¡s que intercienen cliscos o ruetlos danles, téngase presente lo siguiente:
rt¡_
ul Si el tle izomiento es intninente, Lt Ltrclza de frjcción que se ejerce sob¡-e cuerpo lodarte ha ¿Llcanz¿rrlo su v¿rlor máúrno, l',,: p,N, do,l,cle N és la f.,e.ra normril cjercicla sobre eJ cuerpo v ¡.r,, es cl coeficicnte de;fricción estófica e\lre las superficics de contacto. d
b) Si el ileslizumiento ru> es inminente,l¿ fue¡z¿ cle fhcción F puede tener. utalquier urtlor nás pcqueiro tltre fl,, r', por t¿nto, debe consiclera¡se cono unil in, cógnita independiette. Después que se ha determinado d es necesaio verificar que ésta es n¡ás per¡reñ.r quc F,,,; si rro es .LSí. el clleryo no gü2, silo rlue rueda y sc d'es_ liz¿r
corno se dcscribe en el siguicnte pírrrafir.
_ c)
Si eI cuerpo gira q se tleslizu al. nistno Ite¡npo, cltonces no
estil.
roclañt¡
v l¿ aceleración Z del centro dc nasa es ítulepentlíe¡rle cie l¿ aceler¿rción angrlar a del cuer?or d # ro. Por otro l¿rdo, la firerzn dc fricción tiene un r'¿rlor ltier deflnickr. F = ¡l¡N, donde ¡.¿/r cs cl coeliciente dc fticciól cirética erltrc las srrperficries tlc conttctr¡.
tl) lüt el cu,so tle un tlísco o ruetkt rorluntes desbulanceculos,l¿ ¡el¿rción Z : ¡¡r errtre la accle'aciírn z clel centro de rn¿s¿r G y ln aceler.cr'rin a.gular c clel rlisco ', ruedr yd ¡ir, ¿ r¡tf(. Sir "mhrrgo, se cumplc una relaciól sinil¿u ántrc la acelcra cidrr a¡ Jr1 Lct¡trtt gctltltltt'¡t\t O v la ¿rceleiuciírn algrrlar a del clisco o ruecla: rl¿ : tr.
Ilsta r-claciór sc puede uúJizar para erpresar 7 en iénninos dc a y ro (figura 16.ig).
5. [,n el cast¡ cle un sistetno
tle cuerpos rígidos conectodos. el objetivo tlel anl_ dcterninrl tod¡s l¿is las acele¡-¿rciones ¡cel.r,,r.i,,nes a; paftir n¡r+i¡ rlo dci lnc los rt¡+n. dntos pro^"^ porcionados o erprcsallas cn téminos de una tlri¡ \oll sola irrcógnitn. i¡r(dgrril,r (btr Err sisl.llr. r'nl vrrio\ ' lísis cinentético tlc¡be ser
gr'¿dos de libeft¿rtl, se¡ir neccs¿n'io
t¿r't¿rs ircógnitas co'.io gracl.s rle liber-tacl.)
'tiliz¿u El antílL^is cit'tético por lo gener.al sc electu¿rrír dibu¡ando uria ecu¿rciól cle tli¿ g'.n:rs de cucrpo librc: p¿t.a el sisternl contpleto, nsí corno ptrra u'o o r,¿irios de ]os cuerpos r'ígid.s inplicirdos. Er el últino caso, dr:ben irrcluii.se l¿s fuerzas t¿rnt¡r i. ternas c(nno extcrl¿ts, v cs necesario te cr cuid¿rclo p¿¡r.¿r repr.eserrlar co]l vectores iguales y opuestos l¿s tuerz¿s qne clos cuerpos e¡er-ct:i entrc
ií.
1061
16.; sado de
un plurc
de
160
¡
la compr e1
puntcr
16.;
lbn¡¿u 1 6,70 Demuest¡e que el par Ia de la figura 16.70 puede elimina¡se ¿l colocar los vectores nr.a, y ma. en el pun to P ll¿maüo csnln ' d c pt rcusión . eI cual se localiza en la línea OC a una distancia GP: k'/7 del centro de rna sa del cuerpo.
F¡gura P16.70
16.71
Una barra delgada y uniforme de longitud 1-
:
e
del reloj
.ed¡d . el sentid
36 in. y peso
W=
10 lb cuelga libremente de una articulación ubicacla en C. Una fue¡za ho¡izontal P de 15 lb de magnitud se aplica en el extremo B. Si = 9 in.. detennine a) la acele¡ación angular de la ba¡¡a, b) las componentes de la
i
reacción en C.
i
16.72 En el problema 16.71, dete¡mine c) la distancia para Ia cual Ia componente horizontal de la reacción en C es cero, ó) la correspondiente aceleración angular de Ia barn. 16.73
Una barra delgada y uniforme de longitud 1-
:
900 mm y mas¿
m = 1 kg cuelga lib¡emente de una articulació¡ colocada en A. Si la fue¡z¿ P de 3.5 N de magnitud se aplica en B horizont¿lmente hacia la izquierda
I), determine a) la aceleración angular de la barra, b) las componentes de la reacción en A (h =
16.74 E¡ el problema 16.73, dete¡mine o) la distancia /r para la cual la componente horizontal de la ¡eacción en A es cero, E) la correspondiente ¿cele¡ación angular de la barra. Figura P16.73
16,75 Una parte de urra coraza cilíndric¿ circula¡ fo¡ma una pequeil¿ aleta que se suelda a la flecha vertic¿l AB. La aleta y la flecha giran alrede dor del eje y con una velocidad angular constante de 180 qrm en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Si la :rletn pesa 5 lb, deter¡¡ine las componentes horizontales de Ia reacción en A.
'1
6,
fo¡¡ra ir telDrine ledo '16.1
se indicr ¿) l¿ dis
acelerac '16.1
la posici AB. Det
tro de n
,4.
lF
L"], lil
tli ilirl
L,J_I B
Figuta
1062
P1
6,76
Figura Pl6-75
16.76 Una barra delgada y uniforme AB de longitud tr y masa rn se articula en el extremo A y se suelta desde una posición horizontal. La velocidad angular de la barra cuando pasa por la posicicin vertical et - : t/Sg/f. a) Erprese la tensión presente en la barra a una distancia: del ert¡emo B en términos de z, m. gy L parala posición vertical /r) Si la barra pesa 2 lb, deterüine su tensión mádma para la posición vertical.
16. mo inclir ne, pa¡a los cabL
16.77
Se recorta un oriffcio de 120 mm de diámetro en un disco del_, de 600 mm de diámet¡o, como se muestra en la ffgura. El en un plano horizontal alrededo¡ de su centro geonétrico"A, a ,azór, de 480 rpm. Si el disco tiene masa de 30 kgtesp"¿. ¿"1 .""o.t., "oíst*te
la componente horizontal de la fuerza ejeád" iro. el punto A.
16.78
ninarse al n¡s-ió¡ - el
o de ma-
Problemas
dis;;¿;
gado_
Una barra delgada
¡ uniforme
JJr*in"
"i "¡"
,ot."'"i dir-
"n
de 360 Em cle rnasa se utiliza p¿,ra
^ lonnar el ensamble que se muestra. É.te gira en e'Í sentido de lus mun"J¡llus del. reloj a la ra,/ón constante de 120 rpm 6ajo el efecto cornbinudo de la qra_ vedad.y,el par M.,que varía en magnitud y sentido. Determine i; rrr;;*? y el sentido delparM yla rearción en el puntoA parant e 90., bl 0": 190". -
o- \- Peso oa frrerz¿
Figura P16.77
r=9i¡--
rtes de ]a ¡a l¿ c.ui¡l
)'
pondieotr¡
r
m¿¡¿
l¿'fuerza
z$rierd¿ PODeút€s
¿ I¿ c"¡l
oúüenie
- 16,79 Una ba¡ra unifo¡¡¡e de longitud L y masa m se sostiene en la forr¡a indicada. Si el cable unido en B só rompe tle mane¡a ¡epentina. de_ termine a) la aceleración del extremo B. b)la ¡eacción en el sopote articu_
Figura Pt6.79
lado. Pequer¡¿
¡ ¿lredrr senüdo
mine Ls
16.80 Una barra uniforme de longitud t y rnasa ?¿ se sostr.ene como indica. Si el c¡ble unido B se r.,'ni" d. lnanorl repenlina, ,t"t".r¡,n" a) la distancia b para la cual"nla u""leru"iór, dej ext¡emo i ¿l f" aceleración correspondiente del ertremo A y la reacción ", "r¿"f-", en C. se
16.81 La mitad de un cilind¡o de masa m se suelta desde el ¡eposo elr la posición indicada y oscila libremente alrededo¡ del ¿¿r""trá t o'.i"olrt¿ .{8. Determine, para ese instante, la aceleración en a) el purt. D, ¿J ;i;;"_ t¡o de masa del medio cilindro.
s¿m !€
Figura Pf 6.80
F¡gura p.t6.81
-¿-]Eb
\tL
remo B
s¿2É.
16.82 Una b¿¡ra uniforme de longitud ¿ y masa ¡n está suspendida co_ mo indica la figura. Si el cabLe AB se .J,r,pe dá m-era r."p"nrii" a"t"r.t_ ne, para ese instante, ¿r) la aceler¿ción angular de la ba¡¡a,-b) la tensión en los cables AE y BF.
Figura Pí6,82
1069
1064
Movhrento planode cuerpos risidosi luefzas y aceleracrones
16.83 Una varilla delgada de 4 kg se suelda al borde de un disco uniforme de 3 kg como indica la ffgura. El ensamble gira alrededor de A en un plano vertical bajo el efecto combinado de la gravedad y de la fuerza vertical P. Si en el instante mostrado el ensamble tiene velocidad angular de 12 ¡aüs y aceleración angula¡ de 36 ¡ad,/s2, ar¡bas en sentido contrJrio al de Ias manecillas del relof, determine a) la fuerza P, á) las cornponentes de la ¡eac-
ción
Figura P16.83
e
P¡T
se
de
A.
16,84 Dos barras delgadas e idénticas AB y BC de 4 lb se conectan mediante un pasador en B y una cuerda en AC. El ensamble gira en un plano veftical bajo el efecto combinado de la gravedad y un par M de 6lb ft aplicado a la barraAB. Si en la posición indic¿da la velocidad angular del ens¿mble es de ce¡o, determine ¿) la aceleración angular del ensamble, b) la tensión en la c¡erda AC.
do
¡l;¡ 111¡i
a¿r
d€'l
üe
¡¿r X¡t
&1 Figura Pí6.84 y P16.85
16.85 Dos balras delgadas e idénticas AB y BC de 4 lb se conectan en B medi¿nte un pasador y una cuerda AC. EI ensamble gira en un plano verticr bajo el efecto combinado de la gravedad y el par M aplicado
]t'
,
F
a Ia ba-
AB. Si en la posición mostrada la velocidad argular del ensamble es de cero y la tensión en la cue¡da AC alcx¡za 0.45Ib, dete¡mine a) Ia aceleración angular del ens¿mble, b) la magnitud del par M. r.ra
76.86 Dos varillas delgadas, cada una de longitud I y nasa m, se sueltan desde el reposo en la posición que liluestru Ia figura. Si un pequeño botón sin friccióú en el extremo B de la varilla AB se apoya sob¡e la va¡illa CD,
dÉ
(or
llll¡ ¡< (q
detenrine inmediatamente después de soltar las varillas n) la aceleración del extremo C de la vanlla CD, b) la fuerza ejercida sob¡e el botón B. 164
rEd f¡
tric
mn
Ln Figwa Pt6.86
16.87
Obtenga la ecuación
)Me
:
Iqc para el disco ¡odante de la fi-
gura 16.17, donde )M6 representa la suma de los momentos de las fuezas externas al¡ededor del centro instantáneo C, e i6 es el momento de inercia del disco ¡lretledor de C.
16.88 Mrrestre que, en el caso de un üsco desequiJibrado, la ecuación obtenidtr en el probler¡a 16.87 sólo es válida cuando el cent¡o de masa G, el cent¡o geonétrico O, y el centro instantáneo C se encuentran en una línea rccta.
! TEI. en uD
erti"l 2r¿ds aL<
Probtemas 1
Un volante fgidan.rente unido a una flecha de 30 mm de ¡adio rodar a lo largo de rieles paralelos en la forma que se indica Cuando puede ie suelta desde el reposo, el sistema rteda 5 m en 40 s Determine el radio de giro centroidal del sistena.
16,89
I
I
¡r ¿
I rga-
I
o€{ü: o¡ pl;-
;tb.r:
e¡-
ilel
:.
b !. Figura P16.89 Y P16.90
16.90 t n rolanle de radio de giro centroidal k está ngidamente unido a un eje que puede rodar a Io largo de rieles paralelos Si se denot¿ mediante ¡.0¡ el óoeficiente de fricción estática entre el eje y los rieles, deduzc¿ una expresión para el ángulo de inclinación p más gr ande donde no ocurrirá deslizamiento. 16.91 Una esfera horrogénea
Figura Pl6.9l
S, un cilindro uniforme C, y un tubo
delgado P están en contacto cuando se sueltan desde el reposo sobre la pendiente que se muesha. Si los tres objetos ruedan sin desliza¡se, dete¡mine para doipués de 6 s cle rroü rnienro la d istancia libre enlr," a I el tubo y .l ciind¡o, bl el cilindro y la esfera. Proporcione la respuesta tanto en unidades
del sistema inglés como en unidades SI.
)nectia4
o plarc ¿ I¿ l¡-eesd¿
reler:se
s¡¿l-
eño
t¡:*
ill¿ CD. áón del
16.92 Un cilindro uniforme de 80lb actúa gracias a una fuerza de 50 lb como se muestra en la ffgura. Si el ciünd¡o meda sin deslizarse, determine a) la aceleración de su óent¡o G, b) e) valor mínimo del coeffciente de fricción estática compatible con este r-noümiento.
Figura P16.92
16.93 a 16.96 Un tambor de 4 in. de radio se une a un üsco de 8 in. de raüo. El disco y el tambor pesaa en total 10 lb y tienen un radio de giro combinado de 6 in. Una cuerda se une como se muestr¿, y se tira de ella con una fuerza P de 5 Ib de magnitud. Si el disco rueda sin deslizarse, dete¡mine o) su aceleración angular, y la aceleración de G, b) el valor mínimo del coeficiente de f¡icción estática compatible con este moümiento 16.97 a 16.100 Un tambo¡ de 80 mm de radio está unido a un disco de mm de radio. El disco y el tambor henen una ntasa conbinada de 5 kg y radio de giro combinado de 120 mm. Se une una cue¡da en la forma indicada r se ti¡a de ella con una fuerz¿ P de 20 N de magnitud. Si l¡¡s coeffcientes de iricción estática y cinética son, respecüvamente, p, : 0.25 y ¡-t¡ : 0.20, deter160
F¡qura P16.93 y P16.97
mine ¿) si el disco se desliza o no, b) la aceleración angular del disco y Ia aceleración de G.
&l¿ifue¡z-. '
i¡erri.
f'u¿c'ión sa G. ¿l na ün¿--
ft"'¡-
065
Figura P16.94 y P'l6,98
Figura P16.95 y Pt6.99
Figura P16.96 y P16-100
1066
llovimiento plano de cuerpos nsidos: luezas y aceleracrones
16.101 Una placa cuad¡ada uniforme de 10 lb se sostiene por medio de dos ba¡¡as delgadas y unifbrmes AD y BE de 3 lb. La placa se manüene en la posición indicada por medio de la cuerda CF. Determine, inmediatamente después de que se corta la cuerda CF, a) la acele¡ación de la plac4 b) la fuerza ejercida sobre la placa en el punto B. 16.102 Resuelva el problema 16.101 suponiendo que la barra AD se sustituye por un cable de masa insignificante.
enl
simi
tea de¡
br¿
a. I 16.103 y 16.104 El engrane C tiene masa de 5 kgy radio de giro cent¡oidal de 75 mr¡, La barra unifo¡me AB üene masa de 3 kg, y eI engrane D es estacionario. Si el sistema se suelta desde el reposo en la posición que se muesüa, detemine ¿) la acele¡ación angular del engnne C, b) la aceleración del punto B,
Figura Pi6.101
Figura P'l6.'103
F¡gura P16.f04
16.105 Una semieslera de n.rasa rn y radio r se suelta desde el ¡eprr en la posición que muestra la ffgura. Si Ia semiesfera rrreda sin desliza¡se3rlE termine su acelelación angular'. lSugerencia. Observe que oG t"o."ña de los"qes paralelos, T J !mr2 mlOG )de acuerdo "or.r "l
L r'-F,
:
-
Figura P16.105 y Pl6.106
'16.106 .n luga¡
'l'll¿i
-L
*r.-
..1:
-J
Resuelva el problema 16.105, conside¡ando un medio de una semlestera. lSugen'ncia: Obsen e que O-C = Jr ii; r
acuerdo con el teorema de los.jes parulelos.
¡ = )nr' -
tn
OC-
16.107 La mitad de un tubo delgado unifo¡me de masa m esi poso cuando se Ie aplica una fue¡za P en la forma indicada. Supoir la sección rueda sin deslizarse, determine a) su acele¡ación anqul¡ &) el valor mínimo del coeliciente de f¡icción estática que es
el movimiento.
16.108 Fiqura P16.107
Resuelva el probletra 16.107 si la fuerza P aphcada
to A está ürigida ho¡izontalmente hacia la derecha.
o
iLl
I.G
ruer
min
Dr rrr€dif, úantiÉE'
DBdüi¡r h plda
r?:fr? Una semieslera de peso rV ¡ radio r se ljbera desde el ¡eoosu - _ ,ra plstcton en ¡ndicada. Dclermine a7 el valor minimo de ¡r. paro ol cJd lu simiesfera comienza a rodar sin desliza¡se, ¿ir" te al punto B. lSu ge reneia: ,r d.,,t",r a qu. Oc """1"r""r¿i'.5;il;i""
de los ejes paraleJós.'J
rr¿ -l'D
-
SirD c¡rrnga¿De D
in quE r
sÉ
¿¡ek¡i
-
+nr2
-
Jj;"qie.;;;.i",H:",
,
mtt)C\r.t
de
Probremas
G de una rueda de tracción desequiül3.ll?,Il^":11: gralgdad a¡g""i" ;:;;üffi:H:: " 1í" de la meda es R : 3 in., y su ,"dr; á; IinF"fl"*,y.,1,:"_"r,:" ll.fi. ;;;;io;dff;iil'r, En el instante que se m.estra,^el cá"t- ¡ ¿"i" ñ,"á" i"""lJ*i¿i ¿" 105 fvs y aceleración de 3.6 fVs2, dliád*-h;; i" ,rr","r¿Jl", f" rueda_gira ru€da,gird stn n¡eoa.g¡rd sin deslizarse y se se ignora "-b^ la masa d"j ;;,';;;
;lñ;;" ,
mrne la tueza P horizontaL aplicrda al ¡,ugo.
tg.-¡;
ü;*,
Figura Pl6.1O9 r = 0.9 in.
Figuta Pl6.110
:l
repo
z--L ór'pe
16,1'11 El ext¡emo A de la bar¡a uniforme de lE lb está unido ¿ una cuerda horizonl¿J y el extrcnro B estj ds'tn;"";; del_reposo en la posición que se muestm,
¡;l; il;.;,;"hb";'jji.?::l'::'i^"::.:i:":.*"T:".Y.11-
*"j::'f:::"j¡*"l"nte
después de
lar de la bara, á) la tensión er,'la
ise,iro;;"i;;Jl;;¿r;;;;;s,
",rerda, ")
lu rea"cl¿rl "_n-f-.
16.112
La barra delgada y unilor¡¡e AB de l6 lb se sostienc Dor me_ , oe una rueda t¡lo pe-queña instalada en C y el ertremo A puede clislizarse soDre una superticie horizontal. Si la barrr se suelta desdá el reposo en
te ignorala fricción en A C. derermine,"rÉ.ñ";;" ¡ llrl.,ó" idl"1d",I re oe ta trberación _oespues
ción en el punto A.
Ílind¡o que- de I
en redo que r
iniciaL üe con
:l punFigura Pl6.112
la
d) la aceleración angular de la barra, á) la reac_
Figura Pí6.111
1
067
1068
[aovimienro pl¿node cuerpos 'is.los: luefzas y aceleracrones
16.113 La v¡rilla uniib¡nte AB de 2 kg tiene Lr fblma de un cu¿uto de círculo y sus extrer¡os se fijan a collariues de peso i¡sjgri{ic¿ulte qte se desli zan si¡ h'icción a lo largo de barras lijas. Si la varilla AB se suelt¿¡ desde el reposo en la posiciói ilidicad¿, detelrnine ir1üeüatarrente clespués de la libernción a) la aceler:rcjón angulal cle la vailla, ó) la ¡eacción er) el extrcno B 16.114 L¿r v¿r'ill¿ u¡ifonne AB de 2lcg tjene la form¿ de urt cuarto de círculo y sus extremos se ulen ¿L collarines dc peso insigrlificante que se des liz:rn a lo largo cle barras fi¡as. La varilla AB se suelt¿r desde el reposo en le posición intlicrdr. Su¡onieldo que r'o ha¡"fricción en A y que ha¡t una fueti¿ de liiccion cle 0.9 N de nrugnihr,l en B, detenuire lrr aceleración irngulrr de l¿ va¡illa inriredint¿rrente desPliós de la libe¡ación
F¡gura P16.113 y P16.114
16,l15 El ertrenio A de la balr'¿r unilornre AB de 6 kg desca sa sobre uli:r superlicie inclinacla, mientras que el extremo B se une I un coll¿uí¡ (le masa insignilicante que puede deslizirrse t lo largt-r tle la b¿u ri¡ vertical mostracla. Si l¿ b¡rra se libe¡a del lePoso cuando 0.:35" )' se ignor':r el efecto de la iiicció¡. clete¡nine, inrre¿liata¡relte después cle Li liber¡cií¡r, ¿¡) la acelcración algrrlar de 1¿ b¿¡'a, b) la re¿rcciín en 1l 16.1 16 EI cxt¡emo A de la baln uniforrlr: AB de 6 kg descansa sobr e inclin¿dir, mje¡t¡¿rs qlle el ertremo B se ule ¿l r¡ collarir rle supeficie rma rnasa insignilicante que puede desliztrrse a lo largo cle la b¿rr'¡¿ vertical ¡lost¡acla. C¡u¡do la b¿rlr¿ está en reposo, se Ie aplica rrna firerza veftical P en /3, lo cu:Ll provoctr r¡te eJ extremo B de l¿ ba¡ra corrience ¿l noverse h¡ci¡ ¿¡rriba co¡ ¡celelació¡r de ,1 DVs2. Si 0 = 35o, deter¡rine l¿ luerza P.
Figwa P16.115 y P16.116
o.is,"
16.117 L¡ v¿uill¿ t¡nifi¡-¡re BD de 3lb se cr¡riecta ¿r nn¿ nla¡i!€l¿14,8 y a un colJarín de peso insigüificante. Un pnr'(que no se lmrestra en la {igrr ra) se ¡rplic¿¡ a l¿ nl¿rnivel¿ AB, lo ct:rl ocasiont qtre ésta gire a r'elocidad alg, ,rr .li 1l raüs cn sentido cont¡¡rio al de l¿rs r¡¿¡rrecill¿rs deJ leloj, y con acclerociórL ungular.le 50 racl/st err el sentido cle l¿s rn¿necill¿¡s del r-eJcrj en el instante jndic¿rdo. Si se ignor:r el electo de la fi'icciíln, detennine l¿r leacción e-¡ D.
----] ,,,>
Figura P16.117
16.118 En el prol:lernn 16.117, detenrfne la ¡e¡rcción e¡ D, si en l¡ posición mostracla l¿ ma¡ivela AB tiene velocidad angultu de 12 raüs y acele:'ación angul:u de 80 ¡aüs', a ib¿rs en sentjdo contr¿rrio ai de las rnane.i' llas del reloj.
19
Ul¿ b¿r¡¿ delgada y unifolrne BD cle 4 kg está cotectada a un,i 16,1 barr':r AB 1 a unit meü de nasa insignificurte rlue rueda sobre u:ra superficit Fiqura P16.119
ci¡cul¿¡¡. Si en el instante r¡ostr¿rdo l¿ ba¡¡¿ AB tiene relocidad angldar d. 6 mcVs y ningun¿ aceleració¡ ongular-, deten¡jne la ¡eacción en el puDto D.
i. {rl
I
¡fr, de desh-
tdrclber¿-
B.
It#n6
ftbT::i^ 16.120 El collaín B de masa insignificante puecle deslizars" la.posición en kg Si 9"t:" 1"1.":T-"de' te oor una ba¡ra unilorme CD de 4 angular velocidad angulár de 5 raÜs v aceleración :;#""";;il;";" la tuerdetermine .""tiJ' ¿" ***ittas del'reloj' el collarín B sobre la bata CD' q.,u
ri
;#d;P.;í"f;'";"r ,u
"¡o""
rto de
r
des-
¡ola
r fuer-
ngut¡¡
r
sobre
uÍo de ü moaefecto b ace-
¡ sobre íD de
¡l moalPeu e hacia
rela
-{3
h fig"d¿d a¡ri )- coo rebj en h reac-
Figura P16.t20 Y Pi6.121 deslizar,lib-re-
16,121 EI collaÍn B de masa insigniffcante se puedeindicada la ma4kg' Si en la losjcidn -".t.-oo, u"" tt".c unil^orrne CD de anguJar de 60 v aóeleración il:]ilü'*:;;;';.i*tá"á "'u"r-al +de S"rad'/s del reloj' deternine r¡¿íecillas las contrano ambos en sentido
'o,l/c¿
i"J*tt^ q"" 16.122
ejerce el collann B sobre la barra CD'
. rJnabutalxliforme
AGB de
8 05
lb
está unida a
do:::Y:?:
d"pf;ff s#:."i;t;;:":":t-::*"*i:i j:*:::'HYJfl:T:"it; ,la ñs1;;ffi ffn!. s.i -o1'"'"1tg': TI"11J::T:*; t^ li ii"" :ii"J"^pfi;?r ffiJ'^. ":t::'*lJ 9'fl::l""*'"'?:jid" ¿e 9 ft/s v cero' determinez)la fuer:ffi [iffi:f"ffi'i'"'ry"i'"Á""'"' Iu bo''a fija ;obre el collaln en A' ililiíl'""¿r,i1'r' il;álue
Figwa P16.122
"ier"e
16.123 Laba.r'a tniforme ABD de 10 lb está conec"i" i lll,iiT que puede rodar si¡ fricción a lo '""¿" gr'ra maniveh BC gira ".1^;Zí;t#:#; """'p"q*o" niostrado la manivela instanie mostrado s'i en ct ¡nstaujte
i:j::; i'";":;,,;"J"j de las. rn¡yfls j:*lli:"r:: fi?i,::#ii';ffi á"'á'"¿' "" "i *"'idocontrario al de las manecillas del t¡''Jtt ;; il:l",llJ# ffi"H "" '""'i¿.,
largo de una ranura
reloj, determine la reacción en A'
Un indiüduo arraüca su autor¡óvil con la Pu9la $el lado l"l *dt" abiertu (B = 0) La Puefta de 36 kg' tiene S: qlT-:": una a tJcitrzi se "ond',-r-cto. masa de .-''' y t\LD' A¿v o troruar t "- "",',io Si el conductor mantiene acele¡a440 mm de su eje de Iotación verti cal ia uelo"ldad attgular de la puerta cuarclo ción constante ^jÁ^^ñr¡artc de 2 m/f. deternine
16.124
ilili"ii':;ñ;il, * se cie¡m de golPe (0
i1{1il'i-]
= 90")'
Flgura Pl6'123
!sienla üs s acei maneciF¡gura Pt6'124 ¡d¿ a rm¿
flper¡rcle ¡gula¡ de Éto D,
,
la acele¡ación
16.125 Para el automóvil dbl problema 16 124' determine .",..r'rlli"-roni." o,,e el concluclor puede mantener si la pue+1d"b":"Ti:: el rnarco' su veP"li:1:Ifl- *'" i",+*urrr"n," y. cuando la pue'ta golpee la cerraouJ ir' i", t"rro, dé 2 raü. para que opere el mecanjsmo de "l
1{¡69
1070
l\4ovimienro plano de risidos: ^uerpos luer¿as y acelerac¡ones
16.126 La eshrctur¿r ABD se form¿ conectando dos barras de 4 kg l un coll¿rín de masa insigni{icante. El n-¡oümiento de la estructur¿ se contro la n-rediante l¿r fue¡za P aplicada al coll:rún. Si en el inst¿nte nrostrado lrt velocidad angular y la aceleración angular de la barra AB son de cero y 10 raüs: en qenlido contrariu al d|" LL' rnan"cilla. del reloj. re.peciiral crrlo.,lcterrni. ne la fuerza P. 16,127 Resuelva el problerra 16.126 suponiendo qr¡e en el i$t¿¡te irl dicado la velocidad angular y la acele¡ación angular de la bara AB son de 5 rad/s en la ürección de las manecillas del reloj v de cero, respectivanrente. 16.128 La barra delg:ida y unifbrme AB de 4 lb, Ia barra clelgacla unjfo¡¡¡e BF de 8 lb, y la camisa delgada y uniformc CE de 4 lb se conec, tan como indica Ia ligura y se trueven sin fricción en un pl¿1no ve¡tical. El _r
Figura P16.126
rnovimiento cle la estructura se controla mediante un p:rr M aplic¿rdo ¿r la ba rr-a AB. Si err el instante mostr¿do l¿r velocidacl ringular de ll b¿rra AB es de 15 raüs y la rnagnitud del par M corresponde a 5 lb . fi, deterrrine a) la ace leración anguliu de la barra AB, ó) la reacción en cl punto D.
16.129 La barra delgada y unifonne AB de ,1 lb, la bara delgada r unilbrme BF de 8 lb, y la canisa delgada y unilbrne CE de 4lb están conectadas conro se ¡nuestra y se ¡tueven sin fricción en rrn plano vcrtical. El moviiniento del varillaje se cont¡ol¿ mediante un par M aplicaclo a la barra Si en el instalte ¡rostrado la velocid:rd angular cle la ban¡ AB es clc 30 raüs ¡' la aceleración angular de la barr¿ AB es de g6 r¿rrVs2 e¡ el sentido de las manecill¿s del reloj, deterrnine a) la nagnitud del par M, ó) l¿ ¡cacciorr en el punto D.
A-¡1.
Figura P16.128 y Pl6.f29
16.130 L¿ ba¡r¿ AB de 2 kg y la bana tsC cle 3 kg están concctadas co¡ro se muestra en la figura:r un disco puesto a girar en un plmro vertical a velocicl¿d ¿mgtlar constante de 6 ¡¿d,/s en el sentido de las manecillas clel leloj. Parn Ja posición indic¿cla, deter¡rine las fterzas ejercidns en A r. B sobrc la barra All
Figura P16.130 y P16.13 t
16.131 La barra AB de 2 kg y la barra BC de 3 kg están conectird¿s indica a un disco puesto a girar en rLn plano rertjcrl. Si en el inst;lnte indic¿clo el cüsco tiene aceleracidn angr ar de ld ¡¿üs: rn el seltido cle las r¡anecillas del reloj y ninguna velocidad angular-, detemrine las componentes de l¿rs fuezi¡s ejercidas en A y B sobre la ba¡¡a AB. c<¡mo se
:
Figu¡a P16,132
:
16,132 En eI sisterna rnotriz que se muestra, / 10 in. y b 4 i¡. Se supone que la biela BD es urra b¿u¡a u¡ilbnne y delgadr de 3 lb que está uli da al pistón P dc ,1.5 lb. Durante una pnreba del sistena, l¿ mirnivela AB sc pone a giral con velociclad angula:- constante cle 600 rpm en el sentido de l¡¡ rnanecillas del rekrj sin ninguna fuerza aplicada a la cara del pisttin. Detcmine las firerzas ejercidas sobre los puntos B y D de la biela cu¿urdo 0 = 180". (Ignore el efecto clel peso de la biela.)
a
lst
úo¡bre'
,.ád^¡
ttFtr;
16.133
Resuelva el problema 16.132 cuando 0
=
Probremas
0.
16.134 T¡es ba¡¡as uniformes con longitudes diferentes pero masas iguales se conectan para formar una estruchrra que descansa en un plano veúical. Si el sistema se libera desde el reposo en la posición mostr¿da, determine l¿ aceleración angular inicial de b"rt". "idu
[b
io-
n&
E@te,
-T
geda ü cq¡ec-
200 mm
I
.áL El
rbbalesde
I
200 mm
JiI
h¡e-
g*r Étr cobáL Fl ¡ barr¿
de .lO
r
Edo
de
ácfito
*16.135
:
Una varilla uniforme AB, con mas¿ de 4 kg y longitud 11.5 m, se libera desde el reposo en la posición mostrada. Si F = 20', inmediatamente después de la liberación determine los valores de a) la acelera-
ción angular de la varilla, b) la aceleración del extremo A, c) la reacción en A. Ignore la masa y la fricción del ¡odillo en A.
tt¡d¿s Érdcat ta6 dÉl
fBso-
B
F¡gura P16.135
*16.136 La barra delgada y unifolnre BD de 2 kg se une a un disco uniforme de 6 kg meüarte un pasador en B y se suelta desde el reposo en la posición inücada. Si el disco meda sin deslizarse, determine ¿) la reacción ínicial en el punto de contacto A, b) el colrespondiente valor mínimo permisible del coeliciente de fricción estLiüca. rtadas
el ¡¡senüdo
i
com-
ti¡.Se rá lmi-
-{B rde
r k
thuÉ =
16tr,
1071
1072
¡rovimiento planode cuerpos rig¡dos: luerzas y aceleracrones
*16.137
Dos discos, cada uno de masa rn y radio r, están conectados como se muestra por nedio de una cadena continua de masa insignificante. Si un pasador ubicado en el punto C de la cadena se retira de manera re pentina, determine a) la aceleración angular de cada disco, b) la tensión en la ptule izquierda de la cadena, c) la aceleración del cent¡o del disco B.
'16.138 Una ba¡¡a delgada y uniforme AB de masa m está suspendida cono se nuestra de un disco unifortre con igual rnasa rir.. Dete¡mine las aceleraciones de los puntos A y B inmediatamente después de que se aplica una fuerz¿ horizontal P en B.
Er
las
Po
du
c?l
re{
Figura Pl6.'137
siú
mi
CUr
pít
tal
sisl
ra] DE
:
*16.139
Cada una de las ba¡¡as AB y BC de 6 lb tiene longitud L 25 in. Se aplica una fue¡za horizontal P de 5 lb a la bar¡a BC cor¡o se muestm. Si b = ¿ (P se aplica en C), deten¡ine la aceleración angular de cada
¿or
barra.
:
grü
6. t 40 Cada uua de las b¿r¿s AB y BC de 6 Ib üene in. Se aplica una fuerz¿ horizontal P de 5 lb a la ba¡¡a BC Para la posición indicada, determine a) la üstancia b para la cur¡l la b¿r:r¿ se mueve como si fo¡mara un cuerpo úgido, b) Ia correspondiente aceleraciótr urgular de las barr¿.. *1
longrtud ¿
de
¿5
do
gu¡
*16,14l
Figura P16.139 y P16.140
Dos varillas uniformes idénticas se conectan mediante ún P¡* sador colocado en B y se sostienen en Posición horizontal gmcias a los t¡e. alambres que se muestran en la {igura. Si los alamb¡es conectados en A r- E se cortan de m¿rnera
sir¡ultánea detennine, Par¿ ese instante, la aceleracióc
ocr
rE
p
de a) el punto A, b) punto B.
b¡
Gf,
a
&
Eri
-16.142
a) Determine la magnitud y la ubicación del máximo mo¡¡rtoto flector en la valilla del problema 16.73. b) Muestre que la rcsPuesta al Éciso a) es independiente de la masa de la varilla,
*16,143
Trace los diagramas de momento flector y de cortante I¡4 la varilla del problema 16.79 inmediatamente después de que se roniF a cable B.
+
16
F
i
dI E¡r
:É-
Lef
¡rl-
Lt ü¡al
En este. capítulo se.estuüó la cinética de cuerytos rígiclos, esto es, las relacionés que existen entre las fue-", qr; forma y la masa del cuerpo y ei moümi"nto qu" qo ñg9g la f"tT" se o._ pro¡ "i_'r',ovimier.to q,r" r" ry,199:: 1" duce. 5alvo por las- prj meras dos secciones. las cuales se
J¿r"i;;;;;;;:
caso más general del moümienlo de un cuen:o rísido. ^pü""ron ^l el'anll¡sis se
restringió al mnuintiento plano de placas nErl¿, "y cuemos rísidos srme[ricos con respecto al plano de relerencia. El estudió del ñovi_ miento plano de cue¡pos rígidos no simétricos del moümiento de ) cuerpos niidos en el espacio lridimens¡onal se considerará en el ca_
pítulo
18.
Se recordó primero fsección 16.2] las dos ecuaciones fundamen_ tales que se dedujeron en el capítulo 14 para el srslem,a de pl{culas y se observó que se aplican al caso más gene_ ral det moümiento. de un cuerpo rí$do. Lá primera ecuación"defi_ oe cl moüm¡enlo del centro de masá C del cuerpo: se tiene
.
EF
;;;t";i;;;;
)F:
*
donde m es la masa del cuerpo
5 b-
Ecuaciones f undamentales de movimiento
de un cuerpo rígido
(16.1)
ma=
¡ á es la aceleracjón de G. La se_
se relaciona con el moürnienlo del cuerpo relativo al sistema de referencia centroidal; se escribe
+nda
:Mc : É.
(16.2)
É6 es la razón de cambio de la cantidad de moümiento angJar H6 del cuerpo alrededor de su centro de masa C. Iunlas. las ecuaciones (1o.lt y I,L6.z)erpresan que donde
e/ sÁ t". a" ¡rn"á, nes cs pquipotenl?.ol si.st?ma compuesto por el uectoi má en par dc monwnto H6 (figura 16.19'.
iito,
C u el
. .Restringiendo el análisjs en este punto l para el resto del caoitu_ lo al moümiento. plano de placas y i"!,pá, (ún respeclo al plano de referencia,"glit^ se demoslró lsecñón 16.3 | cue la ca¡¡bdad de movimiento angular del pod?n ;rpr".;;}l;;
,i*;; J;;"n-,
Figura l6.19
Cantidad de movimiento angular en movtmiento plano
"u"¡po
IJc: la
(16.4)
donde / es el momento de inercia del cuerpo alrededor del eie cen_ troidal al pJano de referencL ;;;;r"b;ü;j;_ ,perpendicular 1
guiar del cuerpo. Al dilerenciar ambos miámbros 16-4) se obtuvo
H¿ = li,¡ .= 7o
d.
la ecuacián (16.s)
que nruestra que en el caso restringido que se consideró aour. la
a',
de cambio de la cantidad d"
,nü^i"nro -grl' d;l ;"ü;;;
-rt_
1073
1074
Movimiento plano de cuerpos dgidos: y aceleraciones
f uerzas
Ecuac¡ones para el movim¡ento plano . de un cuerpo rígido
c
puede representa$e meüante un vector de la misma dirección que (esto es, perpendicular al plano de referencia) y con magnitud Ic-
Se concluye de lo a¡terior fsección 16.4] que el moümiento plano de una placa rí$da o de un cuerpo úgido simétrico con respecto C plano de referencia se deffne mediante las tres ecuaciones eicala¡es
>F, Principio de d'Alembert
- ma,
2F,
- ño
ZMa;
-la
(16.0)
Se concluye además qtoe las fuerz.as externas que actúan sobre un cuerpo rígiÁa son realmente equiaalentes a las fueftns fertípas dE la-s ¿\twrsos partía.tlas que formnn eI aterpo. Este enunciado, conocido mo princlpio dtz d'Alembett, puede expresarse en la foma del üagrama vectorial que se muestra en la figurz 16.20, donde las fuerzas efe-ctir.zs se han representado mediante un vector má fijo en C y un par 7a. Eo el caso particular de una placa en traslación, las f:uev;as eféctivas que se muestran en la parte b) de esta ffgura se reducen a un solo vector má en ta¡rto que en el caso particular de una placa en rotocíón centroídnl, se reducen a ul solo par Ia; en otro caso de movimiento plano, tanto el vector má como el par Ia deben incluine.
e
a)
b)
'16.20
Ecuación de cuerpo libre de d¡agramas
Cualquier problema en el que interuenga el movimiento plano de una placa rígida se resuelve dibujando una ecuación de dlagramas m¿ts de atemo sirnil¿Lr al de )a le fio¡'r¡ 16 9O [sección tcen¡ión t16.6]. A Al- FEsc akrpo lihre similar ffgura 16.20 posible obtener tres ecuaciones de movimiento al igualar las componeltes r, las componentes y y los momentos alrededor de un punto arbitrario A, de las fuerzas y vectores que paúicipan lproblémas resueltos 16.1, 16.2, 76.4 v 16.5]. Una solución alternativa se obüe, ne al agregar a las fuerzas extemas un o ector de inercia -má de sentido opuesto aJ de á. fijo en G. ¡ un par de ínercia -iq de sentido opuesto al de o. El sistema que se obtiene de este modo es equivalente a cero, y se üce que la placa está en equilibrio dinfu.Níc;.
Cuerpos rígidos conectados
Movimiento plano restring¡do
1
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io-
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E¡úl h¡: s
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1
+9J rl
_ El método que acaba de describirse se emplea también para resolver problemas que implican el moümiento plano de variós cuerpos ígidos conectados fsección 16.7]. Se dibuja una ecuación de diagramas de cuerpo libre para cada parte del sistema, y las ecuaciones de moümiento obtenidas se resuelven de manera iimultánea. Sin embargo, en algunos casos es posible dibujar un solo diagrama para todo el_sistema, en el que se incluyan todas las fuerzas extemis, así como los vectores r¿á y los pares ia asociados con las diversas partes del sistema fproblema resuelto 16.3]. En la segunda parte del capítulo se estudian cuerpos rígidos qae se rruteoen bajo restricciones determína.dns fsección 16.8]. Si bien el análisis cjnético del moümiento plano restringido de una placa ngrda es el mismo que antes, debe complementa"rse con un ¿ndl¡is ánemdlico que persigue expresar las componenles ¿, y 7,, de la ace-placa leración del centro de masa G de la en tárminos de su aceleración angular o. Los problemas qué se resuelven de este modo incluyen la rota ción no centroidal dé barras y placas lproblemas resueltos 16.6 y 16 .71, elmoaimiento dn. rodami¿nto de esieras y ruedas fproblemai resueltos 16,8 y 16.9], y el movimiento plano áe dioersos tiytos de aaüüajes lproblema resuelto 16.101.
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1
ro¡l¿d t¡n¿
I
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iin que_ c Fitud Ic. L'nto pla-
ryecto al escal¿res
i16.6 j un aterde las diI
rcidoe
diagrama efectiras ¡r
Ia. En
16.144 En el instante que se rnuestn, la velocidad angular de Ios eslabones BE y CF es de 6 ¡aüs en sentido contrario al de las manecillas del reloj y disminuye a razó¡ 12 raüs2. Si la longitud de cada eslabón es de 15 in. y se ignora su peso, determine a) lafixrzaP,b) la fuerza corresponüente en cada eslabón. El peso de la varilla AD es de t5 lb. .
.
ü
tir¿s que Lr rector ión cen-
mto plaP
to plano '
diagra-
16.61. Es
hs comrm pun-
oblemas
e obtieide sensentido
equira¡ico-
Para re-
6 guerde diaaciones lea- Sin r
lllra Parternas-
lirersas
f*
,0,n.
Figura P16.144
16.145 El tambo¡ de frenado, de 160 mm de raüo, está unido a un volante más grande que no se muest¡a. El momento de inercia total del tarTlbor y del volante es de 18 kg . me, y el coeficiente de fricción cinética ent¡e el tambor y la zapata del freno es de 0.35. Si la velocidad angular del volante es 360 rpm en sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando _de se aplica una fuerza P de 300 N de magnitud al pedal C, dete¡nrinl Ia cantidad de ¡evoluciones completadas por él volantJhasta que se detiene.
Figura P16,145
16.146 El disco A tiene masa de 8 kg y velocidad augular inicial de 480 rpm en el sentido de las manecjllas del relojr el disco B tiene r¡asa de 4 kg e inicialmente está en reposo. Los discos se ponen en contacto aplicando una lüerza horizontal de 30 N de tragnitud al eje del disco A. Si ¡r; : 0.1S entre los discos y se ignora la fricción de ¡odamiento, detemine a) la aceleración angular de cada üsco, b) la velocidad final angular de cada disco. 16.147 Una fuerz¿ P de 0.75 lb de magnitud se aplica a la cinta en¡ollada alrededo¡ de un disco uniforme de 6lb. Si el diio descansa sol,re una superficie horizont¿l sin f¡icción, deter.mine la ¿celeración de a) el punto A, b) el punto B.
F¡gura P16.146
fus gue
bien el
.íS-
". l¿sú ci-
la ace-
de s¡
tere
bleoas ;
f n¡eU¿¡Figuru
P1 6.1
47
1075
1076
lvlovimiento plano de cuerpos rig¡dosr fuerzas y aceleraciones
1 6. 1 48 El embalaje de 400 lb mostrado se baja por medio de dos gnias elevadas. Si en el i¡stante que se muestra la desaceleración del c¿ble A es de 3 fVse y la del cable B corresponde a I fVs?, determine la tensión presente en cada cable.
Figura Pt6,'148
16.149 Una viga AB c1e nasa m y sección transversal uniforme se suspende de dos resortes en la forma indicada. Si el ¡eso¡te 9 se rompe, determÍne para ese instante rr) la acele¡ación angular de h viga, b) la aceieración del punto A, c) la aceleración del punto B.
F¡gura
1 6. 1 50 Una bana uniforme de longitud 1- y nasa m se sostiene eD la fbrma indicada, cotb = 0.2L, cuando el cable unido al extremo B se rourpe de manera repentina. Detennine, p:tr¿ ese instante, a) la aceleración del ertremo B, b) la reacción en el soporte articulado.
Figura P16.150
16.151 Un neumático de radio r y radio de giro centroidal - se suelta desde el reposo sobre una pendiente y rueda sin deslizarse. Obtenga una expresión para la aceleración del centro del neunáüco en términos de r, /r,
Pys.
Figura P16.151
le d6 9rú6 I cable I e¡
flin gesei
16.152 Una
pequeña abrazadera de masa rirg se une en B al a¡o de
Problemasde.epaso
El sistema se suelta desde el reposo cuando 0 : 90" y rueda sin desliza¡se. Si m¡ : 5m6, determine a) la aceleración angular dei aro, b) las masa m¿.
mmponentes horizontal y vertical de la acele¡ación de
B-.
16,153 El rnovirriento de una ba¡ra uniforme AB de 8 kg de nasa y L : 900 mm se guía por medio de dos ruedas pequeñas de masa
longrtud krrme se su--
om¡r. detera
acelerriin
insigniffcante que coüen sobre la superficie mostrada. Si la ba¡¡a se suelta desde el reposo cuando d :20", deti¡mine a) la aceleración angular de la barra, b) Ias componentes de la reacción en A
h ¡m-
retiene eu oo B se
denació¡
&l
klal ft se sr¡elObteog¿ u¡¿ rrinos de r- L
'f 6.154 La ba¡¡a unifo¡me BD de 300 mm y 3 kg de masa se conecta como indica la_ffgura a Ia manivela AB y al collaln D áe masa insignilicante, el cual puede gira¡ lib¡emente a Io l¿rgo de la barra horüontal. 5i h ura_ nivela AB gira en sentido cont¡aúo a.l de las manecillas del reloj a velocidad constante de 300 rpm, detennine la reacción en D cuando á :0.
Figura P16.154
16.155 Dos barras uniformes de 3 kg se conectan para fo¡ma¡ el en_ samble most¡ado. Si se ignora el efecto de iá fricc.ión, deti¡mine la ¡eacción en D inmediatarnente después de que se suelta el ensamble desde el reposo en Ia posicicin indicada.
Figun
P1 6.1 55
1077
I
b
:
:
16.C1 Un cilindro de 15 kg, de üátretro b 160 r¡m y ¿ltura h 140 mm se coloca sobre una plataforma CD de 5 kg, la cual se mantiene en la posicíón indicada por medio de t¡es cables. Se desea dete¡minar el valor mínimo de p" entre el cilindro y la plataforma para la cual el cilindro no se desliza sobre la plataforma, inmediatamente después de que se corta el cable AB. Utilizando softwa¡e, calcule y grafique el valor mínimo permisible de p" para valores de 0 desde 0 hasta 40'. Si se sabe que el valor real de ¡r, es 0.75. determine el valor de 0 en el cu¿l es inminente el deslizamiento. Figura Pl6.Cl
16.C2 Las manivelas BE y CF se ponen a gi¡ar a una velocidad constante de 90 rym en el sentido cont¡ario al de las manecillas del reloj. Determine y grafique las componentes verticales de las fue¡zas ejercidas sobre la ba¡¡a unifo¡me ABCD de 12 lb por los pasado¡es B y C como funciones del ángulo 0 desde 0 hasta 360".
p
d
c
1,
l0 in.
30 in.
,a -l
li
1,
d
lr
¡
c
F¡gura Pl6.C2
16.C3 El extremo A de una ba¡ra AB de 10 lb se mueve hacia la izquierda a una velocidad constante oa : 60 in./s. Utilizando software, calcule y grafique las reacciones normales en los extrerros A y B de la barra para v¿lo¡es de 0 desde 0 hasta 40'. Detern.iine el valor de 0 al cual el ert¡emo B de la barra pierde contacto con la pared. 16.C4 Una ba¡ra Iigera y uniforme AB de peso W se suspende de los resoftes AC y BD en la forma que se muestra. Utilizando software, calcule y graffque las aceleraciones de los extremos A y B, inmediatamente después de que el resorte AC se rompe, para valores de 0 desde 0 hasta 90'.
F¡gura P16"Cg
1078
l_L Figura P'16.C4
16,C5 Un tablón de 60 lb descansa sobre dos tubos horizontales AB y CD de un andamiaje. Los tubos están a una distancia de 10 ft y el tablón sobresale 2 ft en cada extremo. Cuando se rompe de manera repenüna el tu-
bo CD, un trabajador de 140 lb se encuentra sobre el tablón a una distancia r del tubo AB. Calcule y grafique la aceleración inicial del trabajador para valo¡es de
r
desde 0 hasta 10 ft.
2lt tur¿
h
2ft
:
rtieDe en r
el .-¿Lcr
Lo no se rta el cae.misib¡e
ol d. ¡r, amieúto-
Figura Pl6.C5
hd coos-
i
Deter-
; sobrc
b
irnes del
15 C3 del capítulo 15 se sulige¡a de 5 Ib que está unida al pistón P barra la biela BD es una pone que de 6 lh Si se sabe que durante una prueba del sistema Ia manivela AB se h¿ce girar con una velocidad angular constante de 1000 rpm en el sentido de las manecillas del reloj sin ninguna luerza aplicada a la ca¡a del pistón. utilice software para calcrrlar y graffc* las componentes horizontal y veftical de las ¡eaccioneJ dinámicas ejercidas sobre la biela en B y D para valores de á
16.CG En el sistema motriz del problema
desde 0 hasta 180'.
16.C7 La barra ligera y uniforme AB, de 10 kg de masa y 720 mm de longitud, se suspende como se indica desde un ca¡ro C de 15 kg. Si el sistema se suelta desde el reposo y se ignora el efecto de la fricción. calcule y grafique Ia aceleración inicial del caro y la acele¡ación angular de la barra como funciones de 6 desde 0 hasta 90'.
E-l¡L ¡e. cJ¡ba¡r¡r aüe¡l ¡deabL
e-c* F¿"a* ü-
Flgura Pl6.C7
Problemas de
computadora
1079
CAPITULO
En este capítulo se agregarán los métodos de la energía y de la cantidad de movimiento a las herramienlas
d¡spon¡bles para el estud¡o del movimiento de cuerpos ríg¡dos. Por ejemplo, cuando se aplica una fuerza ¡mpulsiva a un balón de fútbol, ex¡ste un periodo de deformación y restituc¡ón después del cual el balón se muevé con cantidades modif¡cadas de movim¡enlo l¡neal y angular,
17.1 . TNTRODUCCTON
MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS RíGIDOS: MÉTODOS DE LA ENERGíA V LA CANTIDAD DE MOVIMIE¡¡TO lntroducción 17.2 Principio del trabajo y la energía para un cuerpo rígido 17.3 Trabajo de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo ríg¡do 17.4 Energía cinética de un cuerpo ríg¡do en movimiento plano 17.5 Sistemas de cuerpos rígidos 17.6 Conservación de la energía 't7.7 Potenc¡a 17.A Princ¡pio del impulso y la cant¡dad de mov¡rniento para el movimiento plano de un cuerpo rigido '17.9 S¡stemas de cuerpos ríg¡dos 17.10 Conservación de la cantidad de movimiento angular '17.11 l\ilovimiento impulsivo 17.12 lmpacto excéntrico 17.1
En este capítulo se usa el nétoclo del trdiajo y la energía y el dcl in pulso y la c¿ntidad clc rnovitriento para analizal el noürniento plano rlc cuerpos rÍgidos y de sistern¿rs de cuerpos rígidos. Prinrero se considern el rnótodo del tlrüajo y la cncr.gía. En l¿s sccciones 17.2 a 17.5 se delinerr cl trabalo de una firerza ¡-de un par, _r' sc' obtendr¿i un¿ erprcsión para ln energía cjnética de urr cucrpo rígido el moürniento 1.rlano. El principio del ttüajo v la erergía se utiliza después
para resolver problcmas en los que participan clespl:zanlentos ,v veloci claclcs. Er 1¿ seccirin 17.6 se iiplica tr1 principio dc la conservacirjn de la energía a )a solución de ul¿r clivcrsicl¿rd de problernrs dc ingenierín. En la scgunda parte del crpítul,' el principio dcl irrLpulso v la cantid¿cl de rnovimielto se aplica eri la solución cle proltlernas que intpli cal velocidaclc:s y tienpo (seccioles 17.8 _v 17.9) v se plesentarít v es tudinrá el c(nrccpto rle l¿i conserv¿rciól de la cantid¿rd de movirnicntir angular (sección-17.10). En Ja última prrlte del c.rpítrrJo (secciores 17.11 y 17.12) se consi derar problerrts que ilcluveu el iripacto excéltlico de cucrpos rígi dos. Con.it¡ sc hizo el el capítukr 13, tlortle se ¿rn¿rliza el irnpircfo dc paftículns, se rrs¿uíi el cc¡eficiente de restitución cntrc cuer?os r¡re clxrc¿rn ¿uu¿rdo al priucipio dd impulso y la canticl¿d cle moümiento er l¡ soluciól de problenras rkr impacto. 'l-ambién se dcr¡uestr¿r que el rnétodo rrtiliz¿do se aplicn no sólo cuardo los cuerlos t¡r<: chocan se muevel con libcrtad después del irnptcto, sino tlrllién cuando los cuer'pos est/in sujetos ¿r rest¡cciones parcidcs en su t1o\,jmiento.
17,2. PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA EI\¡ERGíA PARA UI{ CL'ERPO HíGIDO
El prilcipio dcl trabqo ¡, la er.iergía sc utiiiz¿uá aholn para ¿rnaliz¿rr . üovimielto plano de cuerpos r'ígiclos. Cono se seii¿ló r:n el ctrpítulc 13, este método cn particLúar se aclapta Lien a la solución dc pr.oble rttas cn los que intelienr:n velocid¿rdes v dr:splaznmientris. Srr vetrtiri.. principal raclica en el hccho de que el tr-abajo de fuerz¿rs y la ctrcrgt.. cinética dc partículas son c¿nticludes escal¿r'es. Para aplicar el principio del trabajo ¡,'la ener-gía er el ¿rnálisis del rnr¡ümiento dc un cuerpo rígido, se srrponclrá otra vcz quc el cneqtr rígido cstá cornpuesto por un gr'¿rn nir¡rcro ¡ de prutícrrlas de litas,. Am;. Si sc recuerd¿r la ecuaciór (14.30) cle la sección 14.8. sc escr.ibe T1
I Uy-2:
(r, I
T2
donde ?¡, ?2
:
v¿lores inicial y final de la elergía cirrética tot¿rl de l¡¡
(/1-2
:
paltículas que forliran al cuetpo úgido trabajo de todas l¿¡s firerzas que actiran sobre l¿s diversas partículns del cuerpo
La energía cinétic¿r tot¿rl 1r'
T:1tA,,,,1 se obtienc ¿rl surn¿rr ciurticl¿rdes esc¿rl¿rcs positivas,
(1;.t y e]la misrna
es ur
,
cnnticlncl escalal positiva. Después se verá cóno puede dcterrninilr.se -
para diversos tipos de lnoürniento de un cucrpo rígido.
1082
--ff
z.¡i
:iii:
i...,, :lÉ t::
lo tl -1 i4. 71:1
-
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:¡: :: -i::
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SOBi
z¿s
l. llrL-
L¿r erp¡esión U¡ .-2 cl (17.l) representa el trabajo de todas las fuer_ que actúan sobre las distintas p:rrtículas d,.l cu,:r po. \ x \ea ql¡e es_
tas fuerz¿s sean intern¿ls o extern¿Lc. Sin
.lii¡c
'"'''*"*:x;i:"J'f:,::;"Ti:;:
crnbugo,.,r't¡o ie,,eri,'e] tra_
bajo total de las fue¡z¿s inter.n¿rs qur, lr¿rijer-cn uniclas l.Ls particulas ile un cuer¡o rígido cer.o. Consid-er,, dos particr rlls A Bdr'uncrrer_ _1 -es iqualcs y opuesias F y F que se ejerccn l.o. ttg,,l9n) las dtx -fuerzas étrtrc si ligrtrr l,.l Vi.l¡{rrs ,lrre er got¡-rirl, los jesnll,
ne,ir¡ei,os p,,r:ti..rrln. i,n ,lif.,rentJs, i,,, tc. rie eslu\ de.¡l,Lzrrrri-nto. rr lo lrrrgo dr AB ,lelrcr .er "o,,,,,r,1",,_ ig,rlln., cl* otla fo¡m¿, las partícrrlas no perm¿urecérjal a l¿r misl.i¿ cljstarici¡r una de olr:r ¡ el crrrr¡o nu .rrju rig,rlo. Por. Io ilrnlo. nl lrrl,¡io d¡ er F iuull trr rr:tgnitrd ) r'ple\to etr .;iglro ¡rl trrbljo tlc F. r sl .urr:¡ *s r.ero. A.i r I tralujo total dc las ller.i.rr intemasi¡re actria; sol)r.e l¿s partículas clt: rrrr-cuerf)o ngido ts cert'. t l,r er¡ut:sión (J1_, (r1 la eanac)rin (IT.I) st t, rluce ,l tmhr¡o losfuen,r ¿ú¿?-nds,v éstas actír¿n sobre cl cucrpo '1, Jrrrrrnle nl de.plvr,mierrlu c'lrsiJef¡(lo /:Lr
a-.
,-.:..¡, :: '. ri:::rlrir
ricrit,'\,/r¡ ,/r'de lr* do.
Figura 17,1
. -trliSi-
,:í:i
17.3.TRABAJO DE 1.AS FUERZAS EUE ACTÚAN SOBFE IJI,¡ CUERPO RíGIDO
r:¡ dro-
:
En l¿r seccj'jn 13.2 se vio que el trabajo de una fi¡evri F clurante rrn ,lnsphzrrrrir-nlo d, sr¡ I'url,,,le l¡licu,:i,ln dcsde A¡ lr;tsla \, e*
¡t-, l.i
i:lllLE
:
Jl:a r
ur-t -
" -. -:::: ::l::l:
-- :,
a_
:
I,'
I
F.dr (F cos a)
(r 7.3)
r1s
(17.3',)
clonde F es la magnitud de l¿ fuer.z¿, cr es el ángulo tlue tblna con Ja rLr-, ción de rruülrlclll,' rl..rr pu rrrr l le aplit.:r,.iurr A s e. l;¡ 1,¡¡.,¡,¡" ¡ de integrLr'icin qrre rnide la distrLnci¿r r.ccoirjd¿ por A a Jo largo de sri
t-¿)e(fori,|.
Al c¿rlcrrlirr el tlalrrrjo d, las fi¡*l.z,Ls,.\,.ienrri,lrtr- r¡.lri¡¡n sohl.c ul ¡-s ¿ ln"nutJo,.,l,r"ninnl,, d.l",.lrril,¡u- el tr.,rb:rjo dc rrrr ¡,;rr sirr,,,nsicl rar'¡,,r sep.rru,l,' el trab.rj,, cle c.r,lu urr_r ,t. t". t'",^l. ,
'rcrpo nddo.
1""
-:-al'
to
lorlran. Considern l¿s dos lirc¡.2,'s F v -F que fbrur¿u ¡n par.dó ni,,_ 'l'onlo M ¡ ,¡uc a, friun .ol,r'" r¡n cr¡, r¡o rigiáo ligrrr..r 1,.2.t. Lllr'qr¡ieI 'leiplvamierrl', pequer-r,',lel ,.',.'1-r,, ngi.lu qu. ll",e 1,.\ , B re,¡,i,.ti \,rrn¡nlp. lrjr( ¡il ,\' ¡ B'prrcde,li'idir*r- er, rLs p.rrle.: , n-u,,, r,1. lr, t puttos A v B erperincntan iguales tlerplezamicr rt,,s r1r1; cr l¡ otr.a. A, l,crm¿necc lija nricrrlr.rs qu, B'., ,ru.ichrr.i¡,B" rlollrgo11, urr rl,.r ¡rluanrilnlo r/r, de.rrr,L1¡nitud,/s2 ,-,/6 g¡ ¡,, li¡dc del nroü_ rri.nlo ¡l lrah.rjo do F es igurrJ cn nrjrgnitld 1 l)ri¡ner¡r ,,p¡er¡e er, siqno irl lr,r_ I'ljodo. Fysusurrr¡es(.{r.o.Errl.rscgurrrlir¡artoclel mo, irrr;ent,r.[]o 'r'¡baj¡¡ lrr luerza F .r trdlj¡,io es,/l t tl,,,' = f,.tlO pnr.o.l nr.,,Llu.. ) r,r Fr es,igual .r la magnilud M d-l nrnrnent,,,lel p.rr. D,.t.rl r,iocl,,. trahajo rle un par dt rnomentri M que nctútr sobre rrn cuerpo rígiclo "l es dU
:
A,I Le
(17.1)
l:,nde d0 es el pequeño ángulo, expresaclo err radi¿nes. oLre cl cuenx¡ -'¿. \d\ irld¿s{. dc -nu.r o .1i¡" el I rrbrrjo, l"he r"' ",'r,,,¡J",t, rJ rnuhipliear ur,idades ¡le f,r"rz, por"r1,..,r, uni,l:rtles de l,,ngirud . 'idi. : . ,r'rr)q() oel p¿r dur¡rl¡lc unr rol.rqiólr linilr del cu, rpo rigid,, se,,h
Figurc 17,2
é"''\
i
erarroircl'-,,1 ¡ilíooCdt,Co,h,,
"q
1083
1084
Movimiento plano de cuerpos rígjdos: métodos de la energía y la cantjdad
tiene integrando ambos miembros de (17.a) desde el valor inicial del ángulo I hasta su valor {inal 62. Se escribe
u
r-"
: to,[" M do
(17 5r
Cuando el nlomento M del par es constante,la fórmula (17.5) se reduce a
Ut-z= M(02- 0t)
(17.6
)
En la sección 13.2 se señaló que v¿rias fuerzas que se encuentran en los problemas de cinética no realizan trabajo. Son fuerzas aplicadas en puntos ffjos o que actúan en una dirección perpendicular al desplazamiento de su punto de aplicación. Ent¡e las fuerzas que no trabajan se han listado las siguientes: la r'eacción en un pasador sin fricción cuando el cuerpo soportado gira alrededor del pasador; la reacción en una superficie sin fricción cuando el cuerpo en contacto se rrueve a lo lugo de la super{icie, y el peso del cue¡po cuando su certro de gravedad se mueve horizontalmente. Aden-rás es posible agregar ahora que cuand.o un cuelo rígid.o rueda sin deslizarse sobre una superficie fi.ja, la fuena de fricción F en el punto d.e contacto C no realka traba¡o. La velocidad v6 del punto de contacto C es cero, y el trabajo de la fuerza de fricción F durante un desplazamiento peque-
ño del cuerpo ígido es
dU:Fdsc:F(Dcdt):0 17.4. ENERGíA CINÉTICA DE UN CUERPO RíGIDO EN MOVIMIENTO PLANO Considere un cuerpo ígido de masa ??1 en movimiento plano. Recuerde de la sección I4.7 q:e, si la velocidad absoluta v¡ de cada paftícula Pt del cuerpo se erpresa como la suma de la velocidad i del centro de masa G del cuerpo y de Ia velocidad vi de la partícula relativa al sistemá de referencia Gx'y' trjo en G y de orientación fija (figur.a 17.3), la energía cinética del sistema de partículas que forman al cuerpo rígido puede escdbirse en la forma
r = +nn'*
Figura 17.3
!>¡-,':
(77 .1)
Pero la magnitud uj de Ia velocidad relativa de P, es igual al producIo r'ta de la distancia ri de ft desde el eje que pasa por G perpendicular al plar.ro de moümiento y de la magnitud <¿ de la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituir en (17,7), se tiene
r:
+,,-n
* l(L,';" t",),,"
ot puesto que la suma representa el momento de inercia alrededor del eje que pasa por G,
r:
lmr:2 + !io2
(17.8)
I
del cuerpo
(17.e)
=ú
inicial 0i
(17.5)
Hay que obsewar que en el caso particular de un cuerpo en traslación (<,r :0), Ia erpresión que se obtiene se reduce *- . eI, tqnto " que en el caso de una rotación centroidal 6:0), se reduce a ji.z. Se concluye que la energía cinética de urr cuerpo rigido en moümiento plano iruede descomponerse en dos partes: (1) la enirgra cinética jmú'z ásociada con el moümiento del centro de masa G del óueqpo, y (2) la energia cnéfLca
'-5) se re(17.6)
¡cuentran as aplicaücular al rs que no sador sin
¡r la re¿:
ntacto
lÍa2
asociada con la rotación del cuerpo
ahl¿Jaor'a" C.
Rotación no céntroidal. La relación (I7.9) es válida para cualquier tipo de noümiento plano y, en consecuencia, se usa para expresar la energía cinética de un cuerpo ígido que gira con una velocidad angular ro alrededor de un eje fi¡o que pasa por O (figura 17.4). Sin ernbargo. en cse c¿Lso la energía cinéüca del cu.rpo puéde er?resarse de manera más directa al notar que Ia velocidad u¡ de la partícula fl es igual al producto r,r,r de la distancia r, de P¿ desde el eje ffjo y la magnitud a.¡ de la velocidad angular del cuerpo en el instante consideradó. Al sustituir en (17.2), se escribe
se
lo su cen-
r
ible agrembre una
: +27tj am,{r,t.r\z : *2\;'I i.i
m,')'l
u,'
lcto C no
cero, t el to peque-
o, ya que la última sum¿ representa el momento de inercia I¿ del cuerpo alrededor del eje ffjo que pasa por O,
(r7.10) Observe que los resultados obtenidos no están limitados al moyinriento de placas planas o a.l de cuerpos que son simétricos con respecr- Recuer-
partícuh cenho &
r
':a
aI siste-
a r¡-.J tl
to al plano de referencia, y es posible aplicarlos a.l estudio del mlvimiento plano de cualquier cuerpo ígido, sin que importe su forrn¿. Sin embargo, puesto que la ecuación (17.9) se aplica a cualquier movimiento plano mientras que la ecuación (17.10) iólo se aplióa en casos que implican rotación no centroidal, la ecuación (I7.g) sé ufilizará en la solución de todos los problemas resueltos.
tpo ígdo
.
l;-;
J pm&nperpen& ridad r-
'tl7.i r
lel
-
r
17.5. SISTEMAS DE CUERPOS BíGIDOS Cuando_ un problema implica varios cuer?os ígidos, cada cuerpo ígido puede considerarse por separado y el principio del trabajo y I-a energía aplicarse a cada cuerpo. A.l sumar las energías cinéticas de todas las ¡rarlÍculas y al considerar el trabajo de todas las fuenas que participan, es posible esc¡ibir también la ecuación del trabajo y la á"r.i'iu poi" "l sistema completo, Así, se tiene
l-.-fl
cnerp
T1
* U1-2:
T2
(17.
r1)
donde 7 representa la suma aritmética de las energías cinéticas de los cuerpos rígidos que forman hl sistema (todos los términos son positiUr-z representa el trabajo de todas l¿s fuerzas que actúin soLe los distintoi cuerpoi. ya sea que estas {uer"n" o er".^n'intn*as tr¡¿s consideradas desde el punto de vista de un todo.
lc )
17.5. Sistemas de cuerpos
ríSidos 1Ql$$
1086
Movimiento plano de cuerpos rigidos: métodos de la energ¡a y la cantidad de movimiento
d.f
El método del trabajo y la energía es particularmente útil al resolver problemas que implican miembros conectados por medio de pasadores, bloques y poleas que se conectan mediante cuerdas inerténsibles, y engranes dentados. En todos estos casos, las fuenas internas se presentán porpares de fuerzas iguales y opuestas, y los puntos de aplicación de las fuerzas en cada par s¿ rateoen distancia.s i,guales durutte un pequeño desplazamiento del sistema. Como resultado, el trabajo de las fuerzas internas es cero, y U1-2 se reduce al trabajo de las fuerzas externas al sistemfl.
-{o
17.6. CONSERVACIÓN DE LA ENERGíA
Ala
bajc
en(
ti :i
il
En la sección 13.6 se analizó que el trabajo de fuerzas consewativas, como el peso de un cuerpo o la fuerza que ejerce un resorte, pueden
,l
expresarse como
e1
cambio en la energía potencjal. Cuando un cuerpo
rígido, o un sístema de cuerpos ígidos, se mueven bajo la acción de las fuerzas conservativas, el principio del trabajo y la energía enunciado en la sección 17.2 se expresa en una forma modiflcada. Al sustitui¡
i
.li
Ur-g de (13.19') en (17.1), se escribe (17.12)
I
La fórmula (17.12) indica que cuando un cuer?o ígido, o un sistema de cuerpos ígidos, se mueve bajo la acción de fuerzas consewativas, la zuma
d.e
la energía cínética y de la energía potencial del sistema per-
nrtnete constante, Hay que obsewar que en el caso del movimiento plano de un cuerpo rígido. la.energra cinética del cue¡po debe incluir lanto el térrrrino lraslacional imu' y el tér1níno rotocional tlet2. Como ejemplo de la aplicación del principio de la consewación de la energía, se considerará una barra esbelta AB, de longitud I y masa nr, cuyas extremidades se conectan a bloques de masa insignificante con deslizamiento a lo largo de sendas correderas horüontal y vertical. Se supone que la barra se suelta sin ninguna velocidad inicial desde la
i I I I
posición horizontal ({igura 17.5a), y se desea determinar su velocidad angular después de que ha girado un ángulo 0 (figra 17.5b). Puesto que la velocidad inicial es cero, se tiene que ?1 : 0. Al medir la energía potencial desde el nivel de la corredera horizontal, se escribe Vt : 0. Después de que la barra ha girado el ángulo g, el centro
1
I
\€nt elm ción
tres , c¡ilar
ffgur
d.t
par j med cionl
r-imir
por
l
del
1
17.7
En l:
se r€
fuen sigui
I t Nivel de ¡eferenci¡
Nivel de referencia
Pa¡a
I
s€ so
taciól
a)
Figura 17.5
b)
I¿s d satt ,
.!
aEs-r--
l- p.... -In¡¡:a J. ap':.1rir:r,, -r¿1.;.
¡
¡le
de gravedad G de l¿ barr¿r se encuertr.¿ a la distancia L.rjo tlel nirel de re[ercnr.ia ) 5e tiene
V,
:
-+\Yl
sen g
:
- j.nrgl ser
]l
sen g por de-
17.7.
Potencia
1087
g
\l obsen a r que en 15l.r nosic ión el , (nfro instiin fineo d. l¿r b¡ra ,r- rrbl,.r¡ t,l. -l/.¿ s,, obti"n,. se escril¡e ¡. ' rr C y tlrre CC )
T,
1,.'
:
!;ntrl + +1@?, - !,"(!t.¡" + f,(lnt2)
: ++," :.J {l a:: '
!_
aplicar el plincipio de conservación de la energía, se escribe
Tt'lY1-Tt*Y2 ¡l1l " tt I ----(r-
--,!.
:, iei.¡:. ! .,aIl
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!r-iüi r-:
i;. 1: ::5iarr. :i'. -.
r.
,.,.: L. ,::1.:a:.:
: ia.:r:r l[:::a::
aI:a:
r-
-i -i:-: l
.
t:
.-
rrr¡l sen
0
,- (+,"' o)'"
.:iLIC:-=
'.
]
^
Las ventajas del rnétodo del trabalo y la energía, así col.ro sus clesrentajas, se_indicaron eD la seccií'n I3.4. A,lui es precjsu rgregar que el nétodo deJ trabajo y la energía debe coi la-apiica"olr-rpl"ro"lrt".s. ción del principio de d'Alembert cu¿rndo se i,an a detennin¿r r.eicciorle.s en ejes ffjos, rodillos o bloques corredizos. por ejernplo, para calcul¿r las reacciones er los extrenros A v E de la barra nr-ostrid¿ en la ligura 17.5b, se debe trazar ul üagr.lrna flra exprc-sirr que el sisterna
de fuerz¿rs extemas aplicaclo a la h¡¡-ra es equivalerrte al iector rrra y nl lr r¡-lq. La reiociJ'¡tl rngul.rl r,r de lu I'llrr. sírr enrbargo. .* delrnnina rreJiante el metodo deJ tr.rl'rj,, v la energía ¿ntes de resolve¡ las ecua
cioles de movir¡¡entu parr l:rs retcciones. El análisis conpleto del norinriento de l¿ ll¿rra y de Jas fuer-zas que se ejercen sobre Ssta requiere, pol lo t¿nto, del uso cornbinado del nétodó del trabajo y la enÉryía y .clel prilcipio de equivalelcia de las fuerzas exten¿s v efectivas. .17.7.
POTENCfA
En la secciór'r l3.5,1t potencia fue definida como la rapidez con l:r cual re¿1i2.1 eJ trabajo. El el citso de ul cuerpo sobre el que actúa la tuerza F. r. qr re se rnue\.e a vclociLlnd v, la potencia se expreió del nodo siguiente:
re
Potencia
.L
- # -u."
(13.13)
P¿ra el caso.de un cuer?o rígido que gj::a con velociclad angular or y :e somete a la accióu de un par de. rnomento M paralelo al á¡e de ro_ ¡ción, se tiene, de acuerdo col la ecuación (17.4),
Potencia
- ff -
M
(l.e
dt
:
M<'t
(17.13)
-¿s clistintas unidades que se utilizan para niedir la potelcia, como el ,. ¡tt v el caballo de fuerza, se definieron en l¿ secciSn I3.5.
Fotografia 17.1 Cu¿roo se ut t,,za et pr,lcipro de conservaciol de d enerqta y a ecuación oe diagramas de cuerpo libre, es posible determina¡ una fuerza ejercida sobre las manos del gimnasta que es nds de cuatro veces su propio peso. El g¡mnasta genera dicha fuerza al mantener su cuerpo recto y girar '180. alrededor de la barra horizontal.
PROBLEMA RESUELTO 17.1 Un bloque de 240 lb se suspende de un cable inextensible que está enlolla do alrededo¡ de un tambor de 1.25 ft de radio unido rígidamente a un volante. El tambor v el vol¿rnte tienen u¡ rnomento de inercia centroidal combinado I : f0.5 li . ft . s". En el instante úostraclo, Ia velocid:rd clel bloque es de 6 fVs dirigida hacia abajo. Si el cojinete en A está mal lubricado y la l¡icción en el rnismo es equivalente a un par M de 60 lb.ft de nagnitud, clete¡:mi¡e la velocidad del bloque después de que éste se ha movido 4 ft hacia nbajo.
SOLUCIÓN Se consider¿ el sistelna fbrmado
por el volzmte v el.bkrque. Puesto que el ca-
ble es inextensible, se cancela el trabajo realizado por \r
= rn) llJ.1l
Jas
fuezix internas
ejercid:rs por el cable. Se rnuestlan las posiciones inicial y final del sistem:r y l¿rs fuerzas extern¿s que actúan sobr-e el mismo. Encrgía cinótica. Pot¡ici¡jn 7.
Bloqrre: \¡ol¿rnte:
or
= 6 ftls
al
=i.
=
6 {i/s
r.25
fi =
4.80 ¡ad./s
r,:lntl+!1al r )40 lb - t¡tf t;'
ir=6fi/s
n li
',' '
:255ft.lb Posición
\r
-
) 11).li
2.
T": -
AI notar que az
:
l
2'
r0.5 lb .
li . qj,r4 e0 raclls
)z
iz/1.25, se escvibe
-mD; + +ld;
, u.\' - 709'Il40 ur,'I{.)'10.5'[ , ,l' r-) _=-1J "-JZZ \-i
'l'r'¿blio. Dur¡nte el rrro\irnjento, sólo el peso W del bJoque y el par dt fric.ión M rfectúnn trzürio Al ¡dve¡tir que W realiza trubajo Positivo \' que la firerza de fricción M lleva a cabo trabajo negativo, se escribe
s 0 *.-4[t ''3.2t, B, " -- O 0.' - r = ,1-t'r.l l.l5 It = U1-2 : W(s2 - s¡) M(02 - 0r) : (240 lb)(4 ft) - (60 lb'fi)(3.20 r'ad) Plint ipio
=768ft'lb rlel trrbujo r lrr cnelgia
TtiUt-z:Tz
255
1088
ft.lb + 768 ft.lb : 7.09t3 ó¿: 12.01 fVs
n::
12
0l
fi/s
I t
PROBLEMA RESUELTO 17.2 El engrane A tiene una m¿sa de 10 kg y un radio de girc de 200 rnDr; el en_ grane B tiene una de 3 kg y un radio de giro de g0 mm. El sisteDra es_ -masa tá en reposo cuando un par M de 6 N . rn de magnitud se aplica al enerarre B. Si se ignora la fricción, determine r¡) el núme¡o de revoluciones ejóuta_ 9T por" "l engrnne B iLnte:. de quc su \rluciducl angular lJeEre a 60b mr,, órh fuerza ' tungen( ia¡ que eJ engrune B ejerce sobri.l engran. A.
soLUclóN M<¡vimiento del sistema completo. Al observar que las velocidades periféricas de los engranes son iguarles, se escribe
= ¡.t,co]1 .,,
t.a.,)A
Para cou
- .,,.i; = ,^ l3o,!o"I -
o.,1o.,^
= 600 rprn, se tiene ror = 62.8
r'arVs
!,'- ^l!": I¿: n¡k26:
ro¡
:
0.40ro¡ = 25.1 ¡aüs (10 kg)(0.200 rn)'¿ = 0.400 kg . m¿ (3 kg)(0.0s0 m)e : 6.6rn, or, l-lrr
,
Ene4!ía cinét¿c.t. Puesto que el sistema se encuentr¿ iniciaLnente e[ reposo, ?1 = 0. AI wrn¿¡ las energÍirs cinéticas de los dos engranes cuando c,r¡ - 600 rprn. se uhli"ne
rt= : :
+ f,1ool2u J{0.+oo tg. m2)12b.t rad.zs)2 + +(0.0192 kg.
!io.?n
Trabajo. se tiene
rnr)162.8 rad,zs)2
163.9 J
Al denotar por d, el despluamiento angular del engr:me B,
U1-2: M9e:
(6 N
.tr)(0¡ rad) = (60¡)
J
Plincipio del tr.abajo y la cnergía Ty
I U1-2:
T2
0 + (608)
J: 163.9 J 0s: 27.32 rad. 9¡:,t.35 r.ev { Movimiento del engranc A. Energía cináúic¿, Inicialmente. el cngranc A esti., n reposo, lor ¡o quc Tr - 0. Cuando ta,s - 600 lpm. l, ener_
gía cinética del engrirne A es
f, = li
o.-¡,2¡
= ]¡r.+oo tg . r¡rX25.t ¡ad/s)z =
126.0 J
Trabajo. Se muestran l¿rs fuerzas que actúal sobre el engr:ure A. La ^ lirerza tilngcn( ial F relliza un lrabajo iguj aJ prodrrclo cje ,u rna'sn¡Lud r.de la lonqitud 0¡rr. del arco descrito 1or ál puntó de contacto. En ,irt* de ,1,,. O¡ra : 0¡r¡, se tiene U¡-2 = F(0er)
:
F(27.3 rad)(O.r00 nr)
:
F(2.73 m)
Principio del trabajo y la encr.gía
Tr+Ur_2=7, 0 + F(2.73 m)
=
F:
12u.0
+46.2
t
N
F= 46.2N/ <
PROBLEMA RESUELTO 17.3 Una esfe¡¿, un cilindro y un aro, que tieúen la misna masa y el mismo ra dio, se sucltan c'lesde el reposo en ün¿ ratnpa. Determine la velocid¿d de cada cuerpo después de t¡ue éste ruecla una distanci¿ correspondiente a un cirmbio en l¿ ¿ltu¡¿ lr.
SOLUCIóN se lesolverá primero en términos generales y después se encontralán los ¡esult¿rdos para cada cuerpo. Se denota la masa por m, el momelto ce¡t¡oid¿l de inercia por 1, el peso por ltr'y el radio por r.
El problema
Ci¡¡crn/rtic¿r. Puesto que rotaciün sq loc,¡lizr
"n
C
cacla cr.rerpo meda, el centro inst¿nt¡rneo de
r s- "s|rib. L)
Enor¡¡ía cinóticn
Tt:0 rn:Intt?+!1.2 _ 1,,,,1: ,t/i),'_ :/"' _ f )' r,/ \r,/ \ Trab.ri
,l:ú,,i,-,,{., ,,u re,Ji/¿ rr"hri
,
U;z:
\Yh
Principio dcl trab.rjo y ln cncrgía T1
i U1-2:
T2
0+\Y/':+lr+4) r'l \
Al advertir qrre
W:
L,-
¿-:-
2
tyñ
ttt -l l/ rz
mg, se escúbe de nuevo el resultado y se obtiene
\¡clocidaclcs de ln csfera, el cilinch.o y cl ¿u.o. Al intloducir de rra lr ernresión partit rrl,r ¡ara 7. *" ,rhtien.
ner¿ sILFsi\ il
Esfera:
r:
(lilíndx¡:
t:0.¡ir6v2f,
Aro:
¡
:
0.i1.15V2g/r
0.707v2gi¿
Obsen:ación.
Se cotrparan los result¿dos con l¿ velocidrl que alciuz¿L un bloque que desliza sin fricción a lo largo rle la misma distancia. ia solución es idénhca r la antprior iaho qur &r - 0: se cnc.urntr¡ , - \5.5],. { cornprri'r los rosrrltado.. se obsend quc l:r relocidad del c.,r"ll.o.. independiente tanto d€ su m¿rsa como Jel radio. Sin ernbargo, lu velocicl¿d cle_ pende r.1el cocient. Ilmi - k-/i.,]u" rnideel rolienteirrtro la.-nergia cinética rotacion:r.l y la energía cinétic¿r traslacion.¡l AsÍ, el ¿ro. el cuul tlene la /t más grande u¡ radio dado r, alcanza la velocidacl rrlás pequeña, en _para tanto que el bloque deslizante, que no gira, alcanza la,¡¿wo¡ vdloc'idad.
1090
'...-
PROBLEMA RESUELTO 17.4 +rti+
r r':
i
*r tfiLol -_-,;|ry_
l rJ
Un¿r barra esbelta AB de 30 lb v 5 ft de longitrrd se ¿¡rticula alrerleclr¡¡ cle u¡ pulto O qrre se cncuentr¿ ¿ 1it del cxtreriio B. El otro cxtremo se presio-
na contr-a un reso¡1e de colstantc 1 in. L¿ barra se cncuentr¿!
I:
prime
eÍ
I 800 lb/in. h¿¡sta que el ¡esorte s-e c¡r¡ r ese c¿so e¡ una posición horizontal. Sl
se.suelt¿ desrle cstil Ir)siciórl, deterrninc la velocitlad-angular y la reacciiin dcl pivote O cualclo la barra pas¿¡ por unir posición vetic¿I.
soLUctÓN Prrsitirín I. llnargíu ¡totctttirl. Puesto que el rcsorte se conpr-ime I_irl., se lienc r-.r : I iD. v, : +hi: jlisrrr tt,rin.Xr in.)2: eso rn. . Il, Al clegir cl nir,eJ rle lcfolc-ncri¿ co¡to s.- n'u.,"tr,, se tiele quc \', : U. |or kr
tanto
V¡ \iiel
de
h,nergía
tioie'lt:0.
<
:
l/,.
írtétícu.
* I/,::900 in.
Ib
:
75
ti'lb
Pucsto rluc h velociclad err lii posicirin
I
cs
cer¡,
se
Prrsicirir¡ 9, l)nergiu ¡totattcíul, Lir elongacirin dcl resorte es ccro 1.. tiene V. : 0. Puesto que eJ ccntro cle graretlad dc la l¡¿rt.i se cncrc¡tr; ¡lrora rr I 5 ll .r¡l're el nir,lrl rrl, r', n, i:r se
v" = (30 lb)(+].5 ft) :,15 fi Y2 : \/,. + V" : '15 fi lh
.
11,
littergítt cittétit:u. Si se clerrot¿ prtr.r,r2 Ja vclociclad angulal de la ba¡'a en l¿i posicií¡r 9, se aclvierte r|re esir giriL.rlrrrletl,,r dc O I sc es.rilre
,
ru -
LJL'),.
I 30 lh - ll ¡_r,,i s[, -I9.11ll,.lt .. _1,,'i- rr,: 2ltz' | 1,. ,.r-.,,-. t.e4rt¿-- t.0tr-, I-,,tl:
I (
j
Tr.+ Ir,
:
7!
*
V¡
f¡.lb:2.0t9¡¡3 + 45 ft.th o: = l.\6 rLrrl.s; { Hcrtccirjn crr l:r posici
Se expresa lluc el sistcn¿r de fuerziu exter-nas e! equivalente ¿l sisteni¿r dc por el va,cto¡ de corni(ncntes ara-, 1, na,, con
fuerz¿rs cfectivirs represerta(lo oris, rr rn C r ,1 1,.rr'/o.
.r
+l),t1,1¡¡
!>¡,:
:
+fld, :
X(il/¿).¡: >(F,)"r,
)(r,,).i:
0 = Ia -t nt(ic,)r
li.: lr(ia) Rtt Il0 ll¡ : -r¡¡7,,
R,/
30 lb
: R,
-.r,!3+(22.i1
:
+9.22
Jb
fvs,) R
: 9:t ll) i
<
1091
PROBLEMA RESUELTO 17.5 Cada u¡a cle las d"s barr.rs delgadas que se muestran tiene un¿r longitud de 0.75 m y unr rnusa de 6 kg. Si el sistema se suelta desde el reposo con -B : 29. B : 60', deternrire ri) la velocidad angular de la b¿r¡a AB cuando D) la velocidad del punto D en el rrisrno instante.
soLUcrÓN (lincm¿itic¿r dc ¡rovin¡ionto cunndo B = 2O'. Puesto que vn es per?endicular a la barra AB y v¡¡ es horizontal, el centro instantánio cle ¡otación de la b¿rra BD se localiz¿ en C. AI considerar la geometría de la figur¿. se ohhene
BC:0.75 m
I
CD:2(0.75 n)
sen
20":
0.513 m
Al aplicar la ley de los ttt,.,, = ,,t-
cosenos al triángulo CDE, donde Z se localiza e¡ el centro de m¿rsa de la b¿¡¡a BD, se encuentra ¿C = 0.522 m. Al denotar rrrediante r¿ la velocid¿d angular de la b:ura AB, se üene
-- 4C
: o¡ :
'
--\
r-r¡¡
D i:¡;
¡.
tl.._rliio
(0.75
I. V¡
l'osici(in
0.375ar\
P<¡sici¡irr
Nivel de refercnaa
9,
IV:
:
\
.. Al elegir el nivel de reler.encia co(6 kg)(9.8f n/s2¡ : 56.96 N, se tieDe
2Wttl = 2(58.86 N)(0.325 nr)
:
3B.26
J
eD reposo,
?, =
0.
linergío polencíal
V2:2Wyz =
l
r¡¡
Energítt ¡totettcü
Itrrcrgía citrélicct. Puesto que el sistena está
DI
\
:
vn = 0.75r.¡\
xe = IBC)a.¿¡ (0.75 m)<.r : (0.i5 n)a¿¡ a¡¡o : t:6p = (EC)a¡¡: (0.592 m)ro v¡¡:0.522o\ P<¡sici<ín
l)
v1¡
Puesto que la bar:-a BD parece girar alrccledor del punto C, se escribe
mo se indica, y observar que
I=0325m
m)¡¿ rir)o
(0.375
2(58.86 N)(0.i283 m)
=
15.10
I
Etrergfu cinéIictt
;s!)\
l^aD
Iao - ¡tnl - , ,6 ke,,0.75 m'' tt29t lg. rnj T2= !nw1¡¡ + tJnu-to" + \tna2sp + Jupa?¡p = |10){0.:zs.)" + +(0.281)ú,'? + +(6X0.522@), + +(0.2s1)(,)E
:
'l
.520¡¡2
1)
Conscr-v¿rcirin dc l.r cnergí:r
Tr+Vt:72+V2 : 1.520@2 + 15.10 J ro : 3.90 rad/s co,7; :
0 + 38.26 J
,3.!)l) r'llrl/s
J {
\¡elocid¿¡d dcl punto D
o¿: (CD)a:
(0.513 mX3.90 rad/s)
:
2.00 m/s
v7¡:
1092
2.1X)
lt/s
-
{
_::
1]:
:rr
lln estn lección se presentiiron los rnétodos de la encrgía parn deter-rnin¡rr l¿r velocidad cle cuerlxrs ígitlos en variits posicioles dur¿ute slr rnol'imiento. Cot-ic¡ se üo en cJ cripítulo 13, los métodos de la erergía cleben colsiderarsc el problel.rirs r¡re inplical despilzarnientos v velocicladcs.
1. lil
ní.tod¡¡ tlcl trabujo y lo enargíu. cu¿n(lo sri aplica a todtrs las partículas
que constituvcl un cuer?o úgiclo, ltroduce
ecu¿rción
l¿r
'I'1*Ut-2:72
(17.1)
donde ?1 ¡, ?¿ sor, respectivamontc, los v¿rlores inici¿l y linal de la energía cinótica l¿rs partículas que lbrrrar' *l ¡r11 ¡¡,,1 t' ei el tr,brtj,, reali:ido porlas -¡ .[ttt ]-,a:\ t tl?t u,t\ ejrr, i' 1, ' subre el ,.rrer¡ro rigirlo.
total cle
a) Tialxrjo d.e fuerzos r¡ pares. A la ex¡resión p¿ra el tr¿,ib¿jo de un¿i fuer.za (capítr o 13) se agregó la exprcsiór para el tr¿bajo de rrn par y se escribió
u,-,:
f"r
ur,,: 'e[" v Jo
...1.
(17.3, 17.5)
Ch¿ndo el rlorncnto de un par es constante, el trabajo dcl par es
L'r-r dolde
01
v 6o se erplestrn eu
-
il4(0¿
-
(1
0r )
r¿rdi¿rncs lproblernas
7.6)
r:sueltos 17.1 v 17.2].
lt) Lu energía cittéIico de un cuerpo rígkl
T: lnttl + \i-: donde u es la I'elocidad dcl centro de rrasl y [problenias resueltos 17.3 v 17.4].
2.
¿,.¡
(t7.9)
es la velocid¿rd angular tlei cuerpo
rígidos otra vez se litilizó la ecuación 'l'| + Ut-2: 'l',
Pant un sistetna tle cuerpos
(
17.1)
dolde T es l¿r suna dc las energías cinétic¿rs de los cucrpos que lom¿ut el sisterta v U es el trabajo que realizan todas las
fueras
t¡La rLcttitut sobrc los crrerTr,'s. rrrternus
cxterl¿s. Los cálculos sc siniplificarírn sj se tiene en cuctta
1o sigrrientel
a)
Lus Jlerzos eiercidas entre sí ¡tor nientbr¡¡s coneckul.os cott ¡tttsatlor o ('r¡qf¿¡¡.s dcnludos sorr iqrra]es opuest¿ts corlio tietren el ntisli.lo \,, punto de lrrr)/
:rpficrciún. c\pelirnertrn desplazarnientos pequeños e iguales. Por lo tanto, su fr¿bt¡jo totnl as cer-o v es posible ornitirlo ,le los c¡ilcnlus lpiohlernl resuelto 17.2].
(,continun)
1093
b)
Lus
fuertas ejercicl.as por unu urcrtlu inexlensil¡le sobre los dos cucrpos
que conect¿ tiene l¿ misma llagnihrcl y sus prrntos cle aplicación se rueven cn distanci¿rs iguales, ¿unque el trabajo de una luerza es positivo y el de la otra es negafivo. Por lo larrIo, su trabojo total es cero y también es posible ornitirlo de n¡revo en los cílcrrlos lprobJema resuelto 17.11.
c) Lus .fuerzus ejercitlas por n resorle sobre krs dos cueryos (llre conc)ct¿n t¿rmbién tienen la misma magnitud, aunque sus puntos de aplicación por lo geleral se moverán diferentes distancias. Por lo t¿nto, su trabajo total no utele ser de,:e,nt y dr:}rc ti¡marse en cuenta er los cálct¡los.
i3, IiI prínci¡tio de kt c¡¡nserración de lu energíu T1
IY1 : T2IY2
puede expresarse corno (17.12
)
donde'l/ representa la r:nergía potencial de] sistem¿. Es posihle rrtiliz¿r este principio cuando sobre un cuerpo o sistena de cuer?os ¿rctúan fierzas consery¿tiv¿rs, tales cono la que ejerce urr resorte o l¿ fuev¿ de la glavcdad [problcmas rcsue]tos 17.,1
y
17.51.
,t.
Lu últímu sección de esto lección se clcdicó u lu potenciu, que es h rapi dcz a la cual se re¿rliza el trabajo. Para un cuerpo soble el que actúa ul par de no mento M, cs posibJr: erpresar la potencia como Potencia
-
Mú)
(r7.13)
donde r,.¡ es la velocidad angular del cuerpo expresada en racVs. Como se hizo en el capítulo 13, debe erpresar lt potencia ya se¿ en $'¡tts o r:n c¿rblllos de frrerza (1 hp : 550 {i ' ll¡/s).
1094
r(
angular de"3600
El rcto¡ de un motor eléctúco tiene velocidad carga y L' r'rrerqir eléclri''a- El rotor' Je llll '-'. .,,,,nrlo je inlernrlnnen Ias i" *'í l'*1o ..le¡.'¡crse Si latii'tióncinetic¡ ii;. .,,1;;";;,; "";i'' '-l'"i¿' el p", J" n'ognit"i ieuul a 2 5 Ib li. ''lri"rn'irre I'rrnr"ro ;""i ;üi;;.Í;;;
17.1
',; d. r,"nhicion", que Éje( rttr di'lro t¡ec¡ni
ha
llégar l rcPo\o'
le 'rplicrr r,'l¿rrtc clP 100 Lg se en( rrentra en r"¡o''' ' uold'','c revol'rciones 560 ,,n ñxr {r}n\LlnlF de 30lr \ ' t Uttp"'t 'le "¡ecuier ,el el rrdro de grrr) {rer ."r,ini. J."n^ s,r,reloc.idud r¡¿rim¿ de 340{t rprn. si
'17.2
.;ffi";t
Ln
*, á"t""'it'"
;",-i0ó.,t
tn'tngnitud ¡rorred;o del pa' debido
a la
ñicrción cinética en los cojinetes'
gira l 360 7.3 El volante cle una peqtreña míquinr cle per{orrciór't rrahajo cl' l se-dc d. p'rL'iad'' 'e'r"i"'e 'l'.zora ¡ -'',.'i "i, ;";;;;' clel \eJ,rrrenor rr'r *olanre de'¡rré' dc crda ¡erluracirin .1,, r* i, *i*i¿r¿ original aIDete rirreel rnomenlo de rrr¡'r' reloeidurl l.r ,iJdS ""t.t"t',,'¿" de 24 4 \ 'rn r .', '.,'it.¡¡t en el rolunte ó7 Si se-rr¡lir'r rrn PdrcorrstírnlÉ d' h.n c¡)rnqrr. iones revolui ],,'n""ill-¿"i ta-t", clcterntin" ll ernridad 'le iricial es de f
velocidid pletarse entre clos pertoracir-'ues sulesjv¿s cuando la perforjrción cadJ norlrFnz.rr {60 r1rln rl
aplica
clrando,st'le 17.4 Un volante cle 500 lb se encrle¡tra en reposo750 rP\ ('hlci¡.'r'r¡" Pl ej"''rirr d* ll D'sPrrcs lh 200 ",' ...', nn*r,r," dF relocitla'lrníri na d'-?ult:: -.ri"i" l.:],l:'.il l"J l"'il "r".","." culrstí¡ntc cun lnrtLlnlrncr, ¡rt- '"," ':' ''^ (inéticx Iesulla uiorr 'i que "n un fdr_ de rerolü(rone-s l¿ c¿nticlud b) ;;';i;;;i ¡ raclio de giro iel 'ol¡nte'
'li
"¡"",,i" "i ".f-*"
l""go á" q".: t"
retjr'¿ el Par y h¿st¿
rlut guedd en refoso'
masa nr y radio r' tjene velocidatl an cilináro idénüco ts <1ue est'í en reun con qular too cuanclo entr¿ en contacto
17.5
El cilinüo uniforme A' de
D vs ¡r" ,,."1i.'.,'," dc frrcuion ' inéric¡ en el punto tle r'ontrrclo ¡l rnismo I'tcunz¡r' "i )"" r"n"¿l J" ¿"'lizrrniento lo'
.^-"
ItJ[i]'il iii¿'"i'.'i"0." a á"J"'
:i:;:l;r;;il
"ñ','üáo'
pn'
angulat constante
adp< u¿rla:'
" "''presioner antes
""an "lti"a'n
Prrr
l
(
:rniida'l
cle alc¿¡rz¡¡ una vel"cicl¿d
r 150 r.nm' tieEl cilioclro unilbrtne A de 4 kg' cuyo r¿rdio es = n",r"lo"i.lnd angular to¡ = 50 raüs ¡¡¿¡llo sc P""" ",1 :':,1:1:T-::1.111 :t: reposo El co':ticiente de triccion (tretl(ra eil 17.6
iin¿-;¿¿n,t"n ii que
está en
pl nrrrLlo cic conla(lo D es
&¡
Dcsftrés de un ¡criodu de deJiz"rniento L's relo' id:'ies angular-s tonstrtrrl's de
t""'it"
.irÍt.1"" ¡,""),", i "*,,i" ig;;l ,naenltud v dirección c'puertr'
Si Pl cilindro A 'J1't11,' 1et rcv rL¡crorngul'ir conslarrte ) el cilindro B r unrplelu 'eloci'd¡d L reLx.idad arrguhr t.unstrntc. del, rnri";;^;;;ll"á,;,, ,, r,"" ,"r"lrl¿" "",e, rle al,.anz,u cl cocticiente cle tr-rccron ,t" ,,) to u"to.¡¿n,l ongular final de eada ciljndro' b)
::nética P¡.
Figura P17.5 Y Pl7.6
1095
1
096
Mov,mienro o ar o da cLerpos qrdos: aetodoc dF la ó1órqi¿ y ld c¿ntiddd de movm¡énió
'l7.7
Dos discos unilbrmes del n¡isr¡o nate al se fijan ¿i una flecha en la íolnr¿ indic¿¡cil¿r. El disco A tiene un peso de I0 lb I' radio r 6 in. El disco B es clos vecc.s nrás gmcso que el disco A. Si se aplica un par NI co¡ rn¿grlitud dc 92 . ib al disco A cu¿ndo el sistern¡ rstá cn reposo. tletrn¡iLre el rarlio ¡¡r del tlisco B si l¿ r'elociclacl angul¿rr clcl sistema clebe ser de 480 q¡¡
:
li
clcsprrés cle
5 rer¡rh¡ciones.
Figúta
17.8
l)os b¿¡
¿s
p'17 .7
delgadas y
tni{omes AB v DE
clc peso ro por
rnii..
'1"L,rr1i'r.,1 e.t.,r,lij:rsa l,r tl-ulri,r'f,.o.,,,,\,.r¡u(
:
:iplic:r a la flócJra CF cu¿rndo el sistcriia estiicrr r.eposo l sc supirle clesp,: qutl el sistcDi¿ e-jecuta Liri¿ revolución cortpleta. Si se igrrora ln rnasa dc.i. . rl,hr,irr" l,r lorrqitrr,l,l. lu ¡.',rr., l.lf qrrn rr.rrlt.r - li r,ltcid:r,l lrrr
grllrle dcl prrlto /).
'17.9 La doble polea de la figrrr.a tieúe r¡as¡ de 14 kg y r.¡rclio de r: centroiclal clc 165 rnu. El cilir
F¡gura P17,8
-.nrr¡llatlas err las poleas tal corno estír indicado. El coeliciente cle fricc: : cirrética entre el bloque B ¡'lir super.ficie cs cle 0.25. Si el sjsteüA se sui . rlesde el reposo cu la posiciór'r nlostr¿cl¿r, detetmine a) la vebciclacl del cilr: , (L'o A cü¿irlclo_éste golpea el suelr, ú) la distancin total que el bloque I .. niucve altcs de r¡redar err reposo.
F¡qura Pí7.9
Figura P17.10
17.10 El t¿rmbor cle flen¿do de 200 ¡rm de rrdio se lija J ul \olsnte r¡... gr,rrrJe rl r*.ro rn e.lr¡ l¡ ligrrra. El rrrurnento rJc i c|1 ia lnl¡l ,lcl r,,lar,r. v clel tanrhor.-s igu.rl a 19 kg . ó:, r el coeficjente cle fricciírn cinética e¡tr.e el tarnbor )/ la zapata del lrino cor:responde u U.15. Si l¿ relocidad anguliir inicial dcl lol¿rnte es de 360 rpm en scntido rontriLrio ¡l de jas r¡rnecill¿i clel rekrj. detennine la fuerza veticirl P que debe aplicarse ril pedal C cuanclo e] si.l, rr,l*l'- dcrerrerr, nr l0L) ¡rrohcionc.
flecha e¡ in. El disco (on magnieternine el de 180 rpn ¡a
Problemas
17.11 Resuelva el problema 17.10, suponiendo que la velocjdad angular inicial del vol¿nte es de 360 rpm en el sentido de las manecillas del reloj.
.17.12 Caü uto de los engranes A y B tiene peso de 5 lb y radio de giro de 4 in., mientras que el engrane C pesa 25 lb y tiene radio de giro de 7.5 in. Se aplica un par M de magnitud 6.75 lb , ft al engrane C. Dete¡mine a) la cantidad de revoluciones del engrane C requeridas para que su velocidad angular aumente de I00 a 450 rpm, b) la correspondiente {ue¡za tangencial que actúa sob¡e el engrane A.
por unidad od de la b,¿ronstante s€ me despué r:s¡ del eje,
d fi!¿l rúÁ
17.73 Resuelva el problema lb . ft aJ engr.rne B.
17.12, suponiendo que se aplica un par
de 6.75
¡dio de eiro
. .',r"fo.. & friciar
o
D¿ se
suelt¡
ad del clE¡bloque B *
17.14 Una bar¡¿ delgaü de longitud I se articula alrededor del punto C ubicado a una distancia b de su centro G. La barra se suelta desde el reposo en posición horizontal y oscila libremente. Detemine a) la üstancia b para Ia cual la velocidad angular de la barra cuando ésta pasa por una posición vertic¿l es n-rhima, D) los valores corresponüentes de su velocidad angular y de la reacción en C. 17.'15 Un¿ ban¿ delgada de 3 kg puede girar en un plato oeúical alrededor de un pivote colocado en B. Se ffja un resorte de const¿nte k : 300 \/rn y longitud no defo¡mada de 120 rnnr a Ia barra, tal corno indica la figura- Si en Ia posición most¡ada la barra tiene velocidad angula¡ de 4 ¡ad,/s en el sentido de Ias manecillu del reloj, determine su velocidad rugular después de lraber girado ¿. 90'. b\ 180'.
17,16 Una esfera uniforme de ¡adio r se coloca el Ia esquina A y se le aplica un pequeño moümiento en el senüdo de las m¿necillas del reloj. Si la esquina es aguda y se inc¡lsta un poco en Ia esfera, de manera que el coeñciente de fricción estática en A es muy grande, determine a) el ángulo p ¿ que gir¿ú la esfera cuando pierda cont¿cto con l¿ esquina, b) la velocidad corresponüente del cent¡o de Ia esfera.
rm rr¡ldelr¡l* in¿t.¿ €rdad¡EL ;rrc!il¡; g C (r¡e& d e
Figura P17,'16
F¡gura P17.15
1097
1098
lvov mienlo plano de cuerpos .isidos: métodos de la Fnérqra y la cantidad de movimiento
17. ¿1r'rn¿r
17
Dos bar¿s delgadas idénticas A.ts y BC se sueldan entre sí pirr':r
rr¡ ¡nec¿nisrllo en fo¡ma de L, el cual se presiona coDtra un ¡esorle
en D v se srelta desde ln posición indicada. Si el ángr o máúmo de rotacidn clel n-rec¿risr¡o en su noviniento subsecuente es de 90" en sentido contrario ¿¡l de l¿rs r¡¿rnecillas del reloi, detelmile Ja riragnitud de su velocidrLd angular cuando pasa por la posición donde l¿ ba¡r¿r AB forma un ángulo de 30' con la horizontal.
I
17,18 EI
clisco de una turüina de 30 kg tiene ladio de gilo centroidal rn y gila en el sentido de las manecillas del reloj a velocidad constante de 60 rym cuardo una peEreña cuchilln de 0.5 N de peso se desprentle v slle clespedicla en eJ punto A. Si se igrora la fiicción" deterr¡ine el c¿rlnbio en la velocidad angulrr del disco de la turl¡ina después de que éste ll¿ gir¿do ¿) 90", ü) 270".
de I75
I
D
Figsta P"l7.17
rr.
17.19 U¡ girnnast¿ de 73 kg ejecuta un¿r serie de oscilaciones conr pletas sobre ia biura hr¡rizont¿I. En la posición que se muestr¿i, el ¿tleta tiene una velocidad nngrJ¿u' rnuv pequeñ¿ en el sentido de l¿rs n:rnecilJas del reloj y mantenchá su cuerpo r-ecto y rígiclo al oscilar hacj¿¡ abajo. Si dulante la oscil¿ición el raüo cle girr centroidal de su cueryo es cle 457 mm, determinc su velocjcl¿d angular y la füerza ejercid¿ sobre sus rnanos luego de haber gJrado a) 90", ó) 180'.
Figu.a Pl7.18
Figura Pl7.19
17.20 Un¿ cue¡da se enrolla como se indica ¿rlrededol de un cilild¡o de radio r v masa l¿. Si el cilindro se suelta desde el reposo, dete¡mine l¿ l'''., reloci¡Jrrrl 'le .rt c¡lrtro llcgo clc ,¡ue lra d..c.ndido unrr distanci¡ '. 17 -21 Un roüllo cilíndrico unifonne de 24 kg, inicialmente en reposo, se sor¡ete a la accióD de un¿ fuerza cle 100 N en la forma <1ue se indica. Si el cuerpo rueda sin deslizarse, determine a) la velocidad de su centro G después de que se ha moüdo 1.8 m, á) la lueua de f¡icción requerida par:r
Figura P17.20
evitar el desliz[n']iento.
100 N
Figura
P'17 .21
tre sí para
u¡ resorte e ¡otación contrario dad ¿¡ sr ¡1o de 30' ¡
17 .22 La mitad de un cilind¡o de masa m y rudio r se suelta desde el reposo en la posición indic¿d¿. Si el rnedio cilindio rueda sin desliz¿¡se, determine a) su velocidad angular después de que ha grrado g0", b) la reacción en
Probremas
la superiirie lrorizontal err "l rnislno insta¡te. lSugerenriu: Adüertt que CO 4r/3tr y qu.e, mediante el teo¡enra de ejes paralelos. I : ! nl mlGO)2]
c€ntroidal
iüc.
cons , desprenoe el
c¿¡r-
rÉ éste h¿
,¡e_( c1ft-r.k¿z xe¡¡¿
)l¡ l¿,'s tenttiDe raber gi-
Figuta p'17.22
'17.23 U¡
coll¿¡ín I, de masa n y dirnensiones insignificantes, está fijo al bo¡de de un aro de rgual masa nl y radio r que rueda iin deslizarse sobre üna superficie horizontal. Deten¡ine la velocidad angular ar1 del ¿¡o en té¡rninos de g v r cuando B está directamente arriba del centro A, considerando que la velocidad angular es 4arL cuando B está directamente debajo de A. L¿ barr.r AB de 9 kg se conecta trediante pasado¡es a dos discos -17.24 unilórmes de 6kgcorno se muestra e¡ l¿ figura. El ensamble rueda sin deslizane soble una superficie horizontal. Si el n;canisr¡o se suelta desde eJ reposo cuando á:60', determine a) Ia velocidad angula.r de los discos cuinclo d = 180', b) la fuerza ejercida en cada disco por iu supeÉcie en ese instante,
Figuta
cündro mrine
l¡
a-- :=n-
P1
7.24
17.25 UrLa ba¡a de masa m = 5 kg se sostiene en la forma indicada enhe cuatro discos, cad¿ uno de masa m' - 2 kg y radio r = 75 mm. Si Ias fuerzas ejercÍdas sob¡e los discos son suffcientes pára eüta¡ el deslizamiento v la ba¡¡a se suelta desde el reposo, determine, para cada uno de los casos nrostrados en la figura, la velocidad de la bar.ra después de que ésta se ha ¡orido
hasta una distancia h.
- ¡rlr!
T I
Figula Pl7.25
'T
_T
h I
h
{
Fiqura P17,23
1099
1
100
Movmrento elano de cuerpos nsidos: -rélodos de la energia y la cdnticlad de movimiento
17,26 La barrrr delgada y unifbrme AB de 3lb esLá conectad¿ iil el6lb que encaja coú el engrane extet'iol' est¿rcionalio C. El ¡adio
glane B de
de giro centroidal del engr:rne B es de 1.9 in. Si el sister¡a se sr.relta clesde el reposo en la posición mostrada, aletennine rz) 1a velocidad angular de Ia l¡¿¡r¿r cu¿ndo ést¿ pas¿1 por la posjción vertjc¿I, ü) l¿ velocidad angular co¡r'esponaljente del engrane B.
Figuta P17.26 y P17,27
17.27 L¿ b¿¡¡¿ delgada v unilornre A/3 de 3 lb se corect¿r dl engr.¿rre B de 6 Jb qrre encaja con el engr¿ne exterior est¿lcionalio (;. -El radio de guo centroiclirl clel engnne B es cle 1.9 in. El sistem¿r sc suelta el Ja posición mostruda cualdo Ia velocid¿d angular de l¿ ba¡¡a es ile 4 r'acVs cn senticlcr coDtr¿rio ¿ü de l¿is m¿necillas del reloj. Si la magnitud de la velocitlacl angul¿rr
t7.28
Dos cili¡dros unifonnes idérlticos se conect¿n ediante uD c¿ri¡sig ficalte )/ gil¿l sirr deslizarse sobre Jas supcficies que mrestra la {igura. Si el sistem¿ se suelta descle el rcposo cu:rndo B : 5", determine l¿¡ velocidad argrrlar cle c¿da cilindro cuando É : 15".
ble de
rn¿rs¡r
17.29 El rrovitl.iento de l¿i l¡arr'¿r u¡ilorrne AB se guíir media¡te ¡ued¿is pequeñas de rnas¿r imignific¿rDte que se desplazan sobre la superlicle rurostrirc{a en Ia
Figuta P17.28
ten¡inc
I¿rs
figura. Sj la b¿r¡¡a se suelta desdc el rcposo cu¿ndo 0 vebcidades de A v B crrando 0 : 30'.
Figura P17,29
:
0, de
Ad¿ ¿l enl- EI radio
El,mecanismo que se rnuestra es uno de dos mecanismos idén_ ,._.^"9-* ambos lados de una puert¿ rc(.tangulrr rnitorln" ¿" S0 ko ¡l ll::jl'l::j oorde Ad( de pucrta sc gui¡
eka desde r¡l¿¡ de l¿
merlirnte rredi d",n"ru jnrinni;¡;n;;";,,," ,re_ grra¡r en una correder¡ ho.izont¡l v otr¡ vedicul. En la ,u.da ñ.e fiiu un soft€ de c-onstante k = 600 N/m. éi *"ii; ¿"ri" r" 30. cq¡ q I reso,re no de t"irmodo. ¿.i"..,,*ü' üt."ld;; l" l_":ll. l": 9 : ¡ uFua ,¡ Jü(to cuandu la pueda alcanza Ia po
Dgul¿r c1]
r"p*"","
á.""jlJii
F¡gura Pl7.3O y p17.31
enqr¿:.a de :r-
)
Posic¡:,:":-
senCd,
d ang.tL
El,rlecanismo que se muestra es uno de dos meca¡isnros icléu_ _^^-t1-tt ,,('is tos .l ar¡Dos ttdos de una nllelta rectungular uniforme de 90 kc. El l,ordc {Bc tJe ta ¡uerla.se g"i, *"á.1;;;;;;;.igffi,.il',,}.1r" horizonrirl"i"ai""t" y orr¡ ve¡tical. U" *r.n. ¿." ¡, -glrl:^.:,:"" "y.:dera se rUa a ta rueda I de manera oue su tensión d" "o"_i^"," : 0 iói. Sl la pucda se suelta desde el reposo ", 0 ""ro "uondo en la posi-ión = ¿i;, rf"_^ |""""*, ción veftic¡l a relor.jdad anE¡ll, de o.O rd.d,/r. ¿"i""n¡nJl"r;;i:;1" i: . sorte ft.
s, áe-
ur¡ ca-
es que
l'-
. 17.32 El movimiento de la bar¿ delgada y unifbr.rle
guía-en A )' C mediante collarines de mar" tniigrr#""rrt". desde eJ-reposo en la posición 0 45.. = Si f"
lennile la relo.ida
AB de 5 lb se Ai'"r,"rrl" ," .*la"
ilr",. ,pii*a"?".
.Lngular de la barra AB cuando f, 30" =
""".i1'¿"
de-
rued¿s
erücie 0. de-
Figura P17.32 y pl7.g3
moürniento de un¿ bara delgad ay unifórme AB de5lb se _El C mcdiantc collarines de mas¡ insignill,-¿rnte. gt.r.r..no r..r"lt, desde el reposo en la posición 0 .- 30.. si f" "r"g.ii"; .1. ü-¡;"rr, irr, c¿da ¿l collanh. 4 e: d; 2 lb. dere¡mine r" ,"r."Ia",j " ou iii"'r,"'.r" crando 0 = 45'. "igi,i",
.
l7-?3 ^ elr gú,rA)
Problemas
11Oi
1
102
Movimrenlo plano de cuerpos rigidos: mérodos de la enerqia y la cant;dad de movimiento
17.34 La batta AB rle 8 lb se lija a un collarín de peso insignificante en A y a un volante en B. El volante pesa 32 lb v tiene r¿dio de giro de I ir. Si en Ja posición r¡ost¡ada la velocidad anguiar del volante es de 60 rpm en el sentido de las manecillas clel reloj, determine su velocidacl cuando el punto B estí direct¿nrente abajo de
C.
Figuta P17.34 y P17.35
17,35 Si enel probJerna 17.34 l¿ velocidad angular deJ volante será la misma en la posiciór nrostrada y cuando el punto l3 esté directar'úente drril)il de C, detern-iine el r'¡lol requerido de st velocidad angular en la posicion que se indica.
17.36 Una placa cuadlad¿r unifor'¡re de 5 kg se sostiele medi¿rnte c]o' varillas delgadas unilbmes e idéntic¿rs, AD y BE, de 1..ó kg y se suelta clesci. el reposo en la posición 0 : 45". Si \:r velociclad :rngular tle AD cuando pi'-^. por la posición vertical es de 5.2 raüs, deter¡ri¡e la c¿urtidad de energía disrpacla por la fiicción.
F¡qura P17.36
I
17,37
L¿s barras uni{bnnes A.ts y.tsC tienen m¿rsas de 3 y 8 kg, resI el coll¿ín C pesa 4l
pectivanente,
360 nnn
_l
17.38 La rueda A pesa 15 lb, tiene radio de giro centroidal de 6 il. ' gira sin deslizarse sobre la superficie horizontal. Cad¿ un¿ de l¿s bafias ur-:' fb¡r¡es AB y l3C tiene 20 in. de longitud v 8 lb de pesc.r. Si el pu:rto -1 :mueve ur1 poco hacia la izqrrierda y luego se suelta, dete¡mine su velocicl,.j cuando la varilla BC pas¿ por una posición hor-izc¡ntal.
Figura P17.37
F¡gura P17.38
\
Eniffca¡te
-
17.39 es de 1.75
O rpm en r e[ punto
flecha a a) 180 rpm, ü) 480 rprn.
Ée
Problemas 1
Si el má¡imo par permisible que puede aplicarse a una flecha
kN . m, deterrnine la potencia rná\ima que puede transmitir la
ode9in.
17.40 EI volante que se muest¡a tiene radio de 500 mm, masa de 110 kg, y radio de giro de 375 mm. Se fija un bloque A de 20 kg a un alambre enrollado al¡ededor del vola¡rte. Determine la potencia entregada por el motor eléctdco fijo en Ia flecha del volante para el insta¡te en que la veloci, dad del bloque A es de 7.5 m/s hacia arriba y su aceleración es ¿) de cero, b) de 0.9 m/s'hacia a¡riha
s
dE-ñ rpGiFigura P17.40
I*L b¿.¿ ¡rdo
p
e¡sád4
17.41 El arreglo de flecha, üsco ybanda mostrado se utiliza para tra¡s mitir 3.2 hp desde el punto A hasta el punto D. Si los márimos p¿Ies permisibles que es posible aplicar a los ejes AB y CD son, respectivamente, de f8 y 58 lb . ft, determine la velocidad mínima requerida de la flecha AB.
p- res-
klociF oun-
6 in. r' ias
uni-
toA
se
locidad
17,42 El ensamble er?e ñental mosbado en la {igura se usa para medir la salida de potencia de una pequeña tu¡bina, Cuando la turbina opera a 200 rpm, Ias lecturas de las dos escalas de resorte son de 10 y 22Ib, respectivamente. Dete¡mine la potencia que está desarrollando la turbina.
¡L
Flguta
-"
P17 .42
tL.
1
03
r
1
04
H:|J?""P
il*'
de movim¡ento
:,:fi
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17.8. PRINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD lr,lOVltuleNrO PARA EL MOVIMIENTO PLANO DE UN CUERPO RíGIDO aplicará ahoEl orincipio del impulso en Ia cantidad de moümiento se
pi
de
a"l t"5;';i"*" plano de cue¡pos rígdos y de sislemas del unneidos Como se apuntó en eJ capítuJo l3' el método a la bien "rremos particularmente s' i.li",i rr ?"^,i¿JJ. -oJ'ti"n,o "drptn " Adevelocidades las tiÉmpo el v ii;'¿ñ;;;;Ü;-", lu" in"tu¡"n del il'rpuko y Ii cantidad de movimiento proporciona t",i.. "Jont*. pr,ictico pará la solución de problemas :i J?' i";i;-t;J;i.'d" 17 12) 17 It y -q1"
* i'r"ií'i,
tr
ol pl
fE
tc
e:
,oouiiltiento olmpacto impulsiuos Isecciones por un gran Considelando de nuevo un cuerpo rígido conlormado el sisJ" ouni"ulas P, ha¡ que recárdaide la sección 14 9 que
i"*i"nurl
"1
",i-Ir" i:;; i;;á;;;;i;;;"ijá"¿",
de moümiento de las padícuras en er J" io' i^p'ltos de las fiuerzas extámas apljcadas equipolenres al s¡stema formado por "oniroio de lal pártícuJas en el liempo /2. Puesto
;;;;' ;;ii;.* ;:;it:;'J;;';n-"n d-e mo,,imienio i^ ""ia"+t r'.relosrecloresasociadosconuncuelpongidopuedenconslderarse
(sección 319) que el slstema Jomo uectores deslizantes. se conclule
h
p
d
f
¡
6
I
¿c \ecrores ouc se mucs!ra en Ia [iguta 17 6 no só]o son equipolenies' -¡.- -..a.a.i.*""te "tpiL)alPnt"s en ef sentido de que los vectores en el lado izquierdo del signo de igualdad pueden transformarse en los vectores del lado derecho mediante el uso de las operaciones fundamentales expuestas en la sección 3.13. Por lo tanto, se escúbe Sist. Cant.
(t7.r4) Pero las cantidades de movimiento v¡ Arn¡ de las partículas se reducen a un vector ffjo en G, igual a su suma
L: )
t:l
v, Am¡
y un par de momento igual a la suma de sus momentos alrededor de G
H": ) ri x v, Lm" i=I Hay que recordar de Ia sección 14.3 que L y H6 definen, respectivamente, la cantidad de moümiento lineal y la cantidad de movimiento angular alrededor de G del sistema de partículas que forman a1 cuer-
0-
¡k TF
l¿
po ígiqo. Se obsewa también de la ecuación (14.14) que L : mv. Por otro lado, restringiendo el presente anrálisis al movimiento plano de una placa rígida o de un cue¡po ígido simétrico con respecto al plano de referencia, se recuerda de l¿ ecuación (16.4) que Hc : Ia¡. Pór lo tanto, concluimos que el sistema de las cantidades de movimiento v, Arn¿ es equivalente al aector de canfidad d.e m.ouimiento lineal mv fijo et C y al par d,e momento angtlar lt't (figura 17.7). Al observar que el sis-
tr
fi¿ l12_ ¡Itr Lre1
Ias
or
Figurc 17.7
5¿
rli
terra de cantidades de movimiento se reduce al vector mv en el caso padicular de una traslación (ar - 0) y al par 7<,.r en el caso particular de una rotación centroidal (v : 0), verificamos una vez más que el movimiento plano de un cue?o ígido simétrico cor respecto al plano de referencia puede descomponerse en una traslación o en el centro de masa G y una lotación alrededor de G. Al sustituir el sistema de cantidades de movimiento en los incisos a) y c) de la figura 17.6 por el vector de c¿ntidad de movimiento lineal y el par de cantidad de movimiento angular equir.alentes, se obtienen los tres diagramas que se l'tuestraD en la figura 17.8. Esta fi-
=ea
G
t¡-
Figura 17.8
C
},.
b f-
gura expresa como una ecuación de diagramas de cuerpo libre la relación fundamental entre (17.14) en el ciso del rirovimiento plano de una_placa rígida o de un cuer?o ígido simét co con respecto al plano de referencia. - Es posible obtener tres ecuaciones de movimiento de la figura l7.B; dos se obtienen al suma¡ e igualar las componentes r y y delas cantidades de movimientos e irnfulsos, .y la teicera al suáai e igualar los tonTentos de estos vectores alrededor de atalquier punto dado. Los ejes de coordenadas pueden elegirse {ijos en el espacio o permitir que se rrruevan con el cent¡o de masa del cuer?o mientras mantienen una
de
17.8. Principio del impulso y la cantidad movimiento para el movimiento plano de un cuerpo rigido
1
105
1
106
Mov,miento prano de cuerpos nsr.ros' mFtodos de la enersia y la cantidád de movimiento
dirección fija. En cualquier caso, el punto alrededor del cu¿ü se consideran los momentos debe rnanteler la misma posición rel¿tiva con los ejes coordenados dur¿nte el jnteryalo de tiempo considerado. Al deúvar las tres ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido. es neces¿io tener cuidado de no sum¿r de manera indiscrimin¿rda cantidades de n.ioün,iento lir.reales y angulares. Es posible evitar l¿ confnsión al recordar que nro, v nrrr,, representin las cortponentes tle un uec a saber, el vector de cantidad de rnor.imiento linea.l i¿Í, rnientras que representa la nra gnitud, de un pa¡ e_sto es, el pzu' de cantidad de moünriento angular Ia¡. Así, la canticlad lar clebe sumarse sóIo ¿f notnen¿o de la cantidad de moümiento lineal nñ, y nunca a este mismo vec tor ni a sus componentes. Tod¿s las c¿ntidades inrplicadas se expresarín entonces en las nT ismas unidades: N . n . s o lb . li' s.
fo¡ 1r'r
Rcltmú¡én no centro¡dai. En este caso particular del movlmiento plano, la magnitud de la velocidad deJ ce¡tro de masa del cuerpo es ó - iro, donde F represent¿r l¿ dist¿nci¿ desde el centro de nr¿rsa hast¿r el eje de lotación f¡o, y
tidad de moümiento (figura J 7.9) y al utilizar el teorema de los ejes paralelos para n'romentos de inercia, se encuentr'¿ que la catrtidad de moümiento rmgular H¿ del cuerpo alrededor de O tiene la magnitudl
la- 'nico)V 'l I
mr"
a-l.p
(17.15)
Al igualar los momentos ¿lrededo¡ de O de las cantidades de moümiento e impulsos en (17.14), se escribe l¡r,.,1
*
)
I,',,'rnnr: ru.,
(17.16)
En el caso general de n'toviütiento plano de uu cuerpo rígldo si métrico con respecto al plano de referenci¿r, la ecuación (17.16) puede utilizarse con lespecto al eje de rotación instantáneo bajo ciertas condiciones. Sin embargo, se recomienda que todos los problemas de
moüniento plano se resuelr,¿n medi¿nte el método general que se desc bió antes en est¿r sección.
lAdriefta quc la suna H,1 de los rnomentos .rlcdcdor de un punto arbftrario A de
1:l
c¿ntid¿rd de m.Jvirnicrto de las partículas de rma placa rígida no es. en general, igual a l,1ro.
(\:éase el problcma 17.67.)
17.9. SISTEMAS DE CUEBPOS RíGIDOS úgidos aplicando el Es nosjble analizar el movirliento de ratios cueqlos por se¿"t i.o"lso v Ic cautidad de movimiento a cada cuer?o
"¡ii,rln .."r,1"lto 17.6 \in er nb'trgo 'rl retolver problema' que l,;;.;,: ";;r""1" l. iret in' dgnit" renl re las luÉ sc cucn lxn los irnpr Ll-el l',,' ,J"i"""' ",ll aplicar ,
r;:;i;;#;;;t;;s"ot,o"i,ll,)' .'rochas ueces- es conveniente ,,;;;;á;i ;;;"iso v lo c,rntiá"cl cle üovimiento al sistema consider¿ e impulso i;;i;; ;¿¿ ioJ ding,"'n"' de cantidad de novimiento cadr prde moül
." ¿l"i^, o"t el risletrrr totrr¡leto d" cuer¡o' P¡ra irrclril ¿"1*t'.,1,"ri f". Jiogrn,n,,'.le rlutiJ"d"' tle morirnienlo 'lebcrr movirniende de cantidad .ur *"itt a" *"ti¿íd c1e rliovimiento. un ¡at ';,,;';b". Es posiL,l, onrilir los irnpuJ'oi d' l'r' fuelzas inlemrr al sis-
d" irn¡rrls" yii lrrP ocurre cn ParF' de \ecjorFs rFra e igui" d" trritneti¡ srl|esira lrs colnlollclrle\ '.' u nou"rru.. Al suln,tr lo, rnon,Jntos de todos los vectores que inten¡iellen' ,1. lrr',r. ^ri "nttn i,i"' ,.lr"l',n", quc e\t'esrrr que l"' cantidade'.de mori'-ri,¡1"",' lorl nan un cl ticrrrp,, i, 1 lo. ilnpult"s dc lur lucrzus erLemrs ,,'¡.¡1¡9 "r, moümjento en el de cantidades las H;;;;;l;;," neccs¿no ser cuidadosos y no sumar de mane n.u-n t i ó" r',,,"r'o,"i es "i',"'"o'¿' rl tilr"r"" "'*¿" ",,ntidrd*. d, rnoür'iento linoai"t y angulrrns' ,t 'da ¿"¡" velific¿rrse par'¿r asegur'¿r que se- han utiliz¡do unidades
."rnr del
"""""i¿t ha erlpleadó en tl problem¿ f u" "nfoque'se """"rt*"üt. li9 v l7 L0 e r lo' r. rn:s,rdcl.rntt. Problen'as re'rrellos
resuelto 17 8
17.10. CONSEBVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
ígido' o un sisten-ia Cuarrclo no ¿ctú¿ fuerza externa sobre urr cuelpo son cero y el slseitelnis las fuerzas ,r";;;t t-tll,lor, lo, itltpol,os de es equipolente f1 el tiempo en di moümiento i.,"" iJ"i"t "lt,:.fadcs f2' Sunando el iiempo en movin-riento i rtr,"r"" á". i"t canticl¿des de y componentes las r' las compoüe)rtes .- i',.¡;rl¿rntlo tle m¿rnera sucesiva y t2' tiempos los eli tr.rovimjento de l¿s cantid,rdes
. li. n utn.,,to, de ..,.""i.tu. oue la calticlLd de movimieüto
'l se lineal total del sistema '". Jualquier ürección, y que su carntidad rle moümiento ¿n .,r,rr",. " Erl¡r iotrl s" , on."n, ¿lrcded'rl d' cu'rlquiel punlu'
erl las qte no Sir, ,:tttb,.rgo, hay rnuchas aplicaciones de ilgenieria ta cü1:t consen.'a Ia can.tida.d. tle ntoahnitttttr liitral aunque su cotls-¿ruc un punto alrededor de ,|'¡rin l-'rin ,rrou¡*nrto angulttr Hp del sisten.ra
'
cl¡do O, esto es, en el que
(H,r)L
-
(r7.r7)
(Ho)z
todas l¿rs fuerzas exTtrles c¡sos ocrrrren cuando las líneas de acción de
*,lrn. ltorot por O o, de ltl¿nera
-'
r,'rlsi-r rng,'rlor.. d* lat fuerz¡
más general, cuando la sun-ra de los eriernus alredtdor de O cs cer"'
dt
ltt runtidtul Jc 'tarirneÜrnlc el resolverse ',¡",,tn uiy,,lo, ,lt",J.dor. d.,,n punlo O puederr Ps drhu c\lñ :, -loJ,, gr.rerül del irnprrlso I l.r c¡rntidad de rnovirniento
' Lo.-proBl".,,. que irnplican t"ttscttn'
é".,, t" "5t¿ ,-'r"lt* t r u ts pásiblt f.,
i'itt
esclibir dos ecuaciones adicionales,que pue-
',,ifir-í'¡t"t,heterminardosirr'1PUI'o'[ineu]e'dn'tonot'idos cle rcaccirin err un Punto fijo ^ i'nlul'os i. 1.,. c,-,rnPon.nL"s
corno
Fotodrafia 17.2 Una palinaoora al prrncipio y a final óe ,Jn qiro. Enpleando el p'incipio de la de la cantidao del movlmienlo "nn.ervac'o-T anqular encontrará que su velocidad angular es mucho más alta al final del giro.
lÁdliert¿ que ,rotro en la secciórr 16 i I1o podcmos hablar de sistern¿s ¿quirdl¿rrfes yn 'l1r€ ]lo esirimos tr¡tando co¡ ,m solo cuelPo ígido
PROBI-EMA RESUELTO 17,6 EI eugranc A tiene
urra m¿rsa cle ] 0 kg un r..rdio dc gir_o de 200 lrm v cl erlr';rrr, B ticnr- rrir.¡4.rcir ,ln.l kqr rrn .t i,,,1i,,,1. qi,u iJr \o ¡¡¡¡., f_i.1.,, , r¡.¡rdo ulr rr V rle rrr:Lqnitrrd fi N . r¡ ", s_ ¡t,li,.a ,rr .¡sri,¡. ¡ ñ. 'Ls{o\ cnJr¡ i . s|r,nsicle|r,r,,n , r, ,.t p|oLrl,.n,a r",Iclln lT 2. lc Ur.,n_
r.,i.,rt.rie po,'.,¡,..ia"¡,,,, ,,i, t,,,i,",.r ,i.,,,* l:: ],-f": :::ll l,,l;llni lJ eer¡,,,60fr rt,rn. /, l.¡ tu,,.za t^llre,,ci,¡l ,¡rr, ,l_rrg-,r,. B ili*l-, cll; r qr.]lIts A. c-lelcL^lr.il \r)t,tc
SOLUCIóN se aplic¿i el principio del inrpr so y Ia.¡ntitilatl Jc rrorirrrierto ¿ e¿tri¿ e.u¡a rte por sepirrlclo. Co¡lo todas li.rs i.,e.zar, el I pat sorr .61,U"rnr..--,,"' ,r'iu l_ si,s *Jl,t:prnrrl ,,rrlti1,li,.,,los pur , l ri*,n¡,, ,1",,n,,o, i,1" ,. i, ,. ,rr,, (rer prul,tenriL r"rs¡cltu l7.l qu. lns nrorncntós ".,,y de inerci¿ cent¡oicl¿rles l¿s \r rrrlotrtr-.,¡t,gr¡lar, \ (otl
i
.1.,
(r¿
r)-
: :
0.,10U
kq
1¡
rrr:
!5.1
(to¡),1
: :
0.0192 ltg . rn: 62.8 r.ad/s
'r,fs r l:¡ r.¡rrrtirl¡r¡l ¡h. rr¡n irrrir.rrt¡¡ ¡r:rlrr r.l r.rr,¡rrrrrr. t. L¡. .istrrr.,.,l, ,,,.rh,1:L,i.s d, rrurirrient. i¡,¡..;.r1". r.,,,,1,1.,,,, ' .r,ii,l". 'l- r','rirr'.r {,, tir Je..r rllstr:1, ¡., rres rl,Lrrrjo. i ,f_p., ,fi" f_s " ' I'r'irrci¡lio dcl irrr¡,rrl,,
A
í.t
Cant. Mov. Sist.r + Imp, Ext. +\monrclrrtos alredeclo¡ de A: F¿(0.250 rn)
:
'
Sist,r_,: Cant, NIov. F¿r, = -1.r(or¡),
0
Sist."
(0.400 kg.nr:¡(25.1 r¿üs)
Fl=40.2N.s I'r'irrci¡rio rL.l irl¡rulsrr gr:rrtc B.
r
l¡r r,¡ulti¡lrrl ¡l¡.
¡n¡ ¡r
irrrir.rrkr pala el en-
tit
¡ -t-
"n€ /í:l\ / \".\ il ifF/3! jJ\t/ \-i_-/
=
lJ,tl
Cant. Mor. Sirt, + lmp. Ert. Sisl., - _ Cant. Mov. Sist., -Itrrorrr"rrtos rlre,lrtl,,r tlc B: rr \/, ftr¡-- l^ .,, +(6 N .ln)/ (40.2 N .s)(0.100 r¡) : (0.0192 kq.rn2)(62.,S raüs) .
Si se recuercl¿ rlue Ff = 40.2 N . s, se esc be
=40.2 \'s F: +46.2N l)e tal rnodo, la fuerza ejercida po:.el elgriile B sobre el engranc A F(0.¡171 s)
!':16.1
1
¡..,.
108
N
es
z/ {
'{ PROBLEMA RESUELTO 17.7 Ünl esfi.rt ulrilbrme de tnJ\d /¡¡ rddio rr sF ) nrL,\ect:r ¿ lo l¡rtn tlc un-r rrr pen rcr,' rronz,nt.rl I'u{osd (.oI un¡ reloc.irhd line,rl v r :j,, ,.l,,ii.l.,d a,,u,11.,. t-,plro(anfl(, mrüdnle,uÁ el cocliL.ier¡te J" lriccjúrr cin¡"lir.r eItrc 1.,
sl¡e"fit ic tlererinine¿,,,1 tienrpol¿,,r"1 .,,,¡ "sl;; \ l, l, ,1,; ," ;, .;:j;. ; ", derlizar.e ó I'. relo,.id¡,les fi,,*"f .re"lr. á. i,"ri".l, _.f.," ",1'"1"J1i,,,i;l' i
SOLUCIÓN Si bjen l¿ esfer¿ se desliza en rel¿rció¡ con la stperficie, sobre ella ¿ctira la '¿g'".ñr,\t fuerza normal N, l¿ fuerza tle tncción s y !",i ,,N rdii:':', ,g
", u:lt*lplit tle\ irnpu\srr r \a clnrirl¡rrl de morimir.nto. s" -__ del irnprrls,r v
.,r,li,.r .l Pnn..rfju i.r r'¿nri,r;rrl de rnuürnitsnr(¡ ir t,,.,r"r" ,r,..,r. li'ii_,,._ : po l¡ 0 cuando ésta se c.loca sobre 1.. ,,,1r"rÉ"l" i;":;;;i;;:;;;:':
tsl
rror){-nlo
qLre
" rod¡r \jn,I.*l¡za¡s..
..rtfieri¿
-
'(
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",,
,;, , lN't".;1 / ¡@ 9 f ' l: c¿ ,ilr - I {9,.,"; HT" i. \ 'ri,,. -..r¡i,/ .,ir...¡-;'l {,..::. .a ¡r@-"r -+"c .
ü., Cant, Mov. Sist.1 + Imp. Ext, Sist.r-e Cant. = NIor¡. Sist..
+tt compo¡e¡ttes: !r cornponentes, +J orneDtos al¡ededor Du Il,¡el¡¡p¡.\
I¡l -
cle G:
-\V_
¡r¡,..
Ftr
,,",''.,i'
u,,,*i,,í;:'li;;J: lnDt
Al srrstitui¡ F
- pktllgt =
: ¡t¡ng.Í ¡1.¡mgtr
=0 :
tli
tllt.
i2)
I at"
rl)
Drrr,,nteel intcn.rJorL,hierrr¡ru,,,.,¡¡¡1e16,.r,, . F -- ¡t - p "l
ritlerado, ocurre,iesüzurniento en
*r
\4.21
lnL) - lt:
Xl
\
I':l; l,; "'"-',"' ü.:Lt
111ó,
""-
utFt
= lrlr? en (3),
= itnJl,,o
d_ = -1 t__t:,.
lr
La e.fera erllpczrrú i¡ rodar sjr clesliz,rse cu¡ndo lLr \,1,,..i,l"d v, del Dltntr) de conl.¡ulo ser (Éro. En c(e ti,.r,pn. el C ¡rrrrrn tin"o de rotuciún, y s. tiene !, : i,,,.. Al rrtilizar *," _1,. "i"" ., ,i,i.r" lus erpr_esiones 14)y (51. se escfibc
t.-ro: Al sustituir esta erpresión
,,.lrr, 1-,1 7 t':t t\ t: ,. I par-a
ó2:
5.l.
I
ra2
<
t en (E).
5 pAg._,- /2 l. \ - ! r \7 p.kg' J
ll)o:-
t- It - -1 - i r'
-
/5
ri, \
- \7,1
ir.
: i.'1109
I
PBOBLEMA RESUELTO 17.8 Dos esfé¡as sólidas de 3 in. de radio, cada rrna de 2 lb de peso' se montan en A v ll sob¡e l¿ barr¿ hofizontal A'B', le cuuJ gira libremente rhedtdo¡ de la.,"riical con una velocicl¿rcl angular de 6 raüi eontr¡ria al sentiLlo de las manecill¿s clel reloj. Las esferas ie tn¿rntienen en su posición nedi¿rnte-un¿ de replqte se corta. Si el momento de ine¡ci¿ celtroidal de l:r cuerda que -e\ pivote es l n : o .15 \\'r ' ft sl , üe\eñ\!e o) \u re\ociüaü arrgrr\nr b'arra y de la bar¡a después de que las es{ér'as se h¿rn movido a las posiciones.{' r B', b) la energí:r que se piercle debido:rl impacto plástico de las es{eras r lo. topes en A' y ts'.
SOLUCIÓN
a) l'r'incipio del inpulso l la c¡nti
te¡minar la velocidad angular
de ¡'lovirnieDto inici¿les de l¿s dist;ntas pates del sistena y los impulsos c1e las fuezas extem¿s son eD conjunto eqüipolerrtes a la cirntid:rd de mtlüliiel
to lin.J Jel sisre
Lr.
\l
ii
¿¡
lu - ,lt
Cant. Mov. Sist.1 + Imp. Ext.
Sist.r-¿: Cant. Mo!.
Sist.2
Al observar que las lueúas extern¿s consisten en los pesos y las reaccio nes en el pivote, el cual no tiene motrento alredeclor
:
)L¡,,V¡u V1- 21t- -i^-, (2tn"v1 + 2r, + i B)q
:
iu,r.r-¿,r¡ r'¿ I 21 --2 7¡,a2 (zm"tZ + u, + Í
)a.
(1)
lo cual erpresa gae se conserco kt uL¡tticltd. ¿e rrurlílniento ongrLar ¿eI sistenta al.retl.edor d.el eje y. A continuación se calcula
n,il
:
:
!12 |r¡sz.z = 12/32.2)($¡2 0.0108
1,
!^rn"
:
tv*y.$
ft¡n
:
o.oorb5 lb . ft . .n
tns73: 12/s2.2)t.3)2
Al sustituir estos valores, e 1¡ :0.25 y c,.r1 :
6 rad/s en
0.275(6 r'aüs) :0.792,¿2
b) Encrgía pcrdida. tante
:
0.2696
(l):
¡'r,
:
2.0S r.¡d/s
| {
La energía cinética del sistena en cualquier ins-
es
l'=
2l!nsa2 +
!r.21 + !¡o.2: !{z"it + 2i" + 7A).¿e
Al ¡ecord¿rr Ios valoles numéricos que se encontraron antes, se tiene ?1
1110
:
+(0.275)(6)'2
Tr: +(0.79s)(2.08)2 : 1.713 ft . llr AT : Tz Tt = 7.77 - 4.95 A1' : -,i.:,+ lt llr I = 1.95 ft . tb
En csta lección se aprcndió rl utj]iz¿r-el lnétodo clel impulso v l¿r c¿lticlatl de rnovi rnienlo pala lesoh'er-pr(t)lerr¿rs que irnplican cl novirnielto plaro tle cuerpos rígiclos. C<¡no se estudió prcr.ianelte en el cirpítulo 13, este método cs más efe.:tiir, cualdo sc utiliz¿ en l¿ solucj(rn de ploblerniis rluc inclu',.e1 velocirl¿clr:s _v tienpo.
L I:l princi¡tio del itnpulso q la cunlídod rle nctrilniento punt el nrotitniento pktno de ut cuerpo rígirlo se expLesa rnetliantr: Ja siguiente ecuaciérr r.cctorial: Cant. Mor,. Sist.¡
i Imp. Ert. Sist.l-2 = Cant. Sist.2
(17.14)
donde Cant. Nlov Sist. r'epresert¿ el sister¡¿r de l¿rs c¿rnticl¿dcs dc movirnientr¡ rl<: las prutículas c¡re f:or-nran al cueqto rígiclo, c Imp. Ext, Sist, repr-escrt¿ al sisterl¿r cl. I,"l',. 1". i lprrlsr,s crl¡r ror ojeli idr¡. rlr¡r¡r¡ir, l la,r\ir¡riFrrlo.
a) Ll síslclra de los cu¡rlitlocles tle nt¡titníetttr¡ tle un <.uerpo rígido cs cqui valente a un vcctor-clc cantid¿d clc rrr¡ürriento line¿l ¡r¿v lijo cl el centro tle rnasl clel cuerpo v ul ¡rar de c¿nticl¿d dc rro\jrnicnto .lrguhr' ftrr tliqrlrL 1 7.7).
b) Seni necesorio dibujur tuu c<'ltocíón de dicrgunul tle cueryxt libre ptnr cl cuerpo rígíth it ftl de expresiu cr lorrl a gr/rlicl lu ccrraciórr vector.ial ¡urlcrior. La ecurci(rn de diirqrarras colstar'¿i de trr:s clibujos del cuerpo, cluc lcpresentar.írn dr: rnn nera rcspcctir.a la c¿ntitlad cle lrorirnicnto iriicial, los inpr sos clc l¿s fuerz¿rs extemas )¡ l¿r c¿ltid¿cl cle nror.imiento fin¿rl. Se derlostriirá c¡ue el sistern¿r dc las c¿urtid¿rdes de rtorinrjento ilici¿rlcs ! el sister¡l¿ de los irnpulsos dc l¿s luerzas extenr¿s son en conjunto cquilalentes ¿l sistem¿l de las canticl¿rdes rle rrurvi¡rietto lilales (figura 17.8).
c) llediuttte el usr¡ dc lu ecutcíótt de diugrantas ckt cuerprt lióre seri'L posible sulri¿r cornponentes or cualquiel clireccirir I'sumar car-itidadcs dc lior.irniento alrededor de cualquiel pulito. Al sr¡r¡¿rr curtiJaclcs de norintielto Jrcdetlor de un punto, re cuerde inclr;ir l¿ cantidad d.a na)intiL ntt i n,,g,,lnr7-,lel cuerpo. irsr'corno lú l¿¿¡r¡¡:r¿fi.,s de las componcntcs de su c¿¡¡fl¡1¿rl. de motintíe,nto línr:al. En la rriayoia cle los c¿rsos usted scr¿i citp¿v tle scleccion¿rr v ¡csolvcr un¿ ecu¿rciórr r¡rc inrplicn scilo a una incógnita. Lo iurtclior se e1éctuó cl todos los problenras resueltos dc csta lecció1.
2.
lin problenas r¡uc inplícutt ütr ltí$tenle dc cuerprts rígirlos puecle iLpliclr.se el principio del irripulso 1 la ctrnticlad de tnovirniento ¿l sjstenr¿r couo Lur tocló. Puesto_que las luevas inte¡r-ras ocLtlrerl err pares igutrles r opucstos, rio ser.íur parte cle la
\rrl ¡ ton lllublctnk tc\r.Flirr L
i), In
E
ut eje para un sisterla tle ciir:ryos ñg¡dos.la sunn cL: los t¡Loncntosle kts írnprLlsos ertentr¡s alretLedor de ese eje cs ceft). De hecho, resr ta fiicil obsen ar de la ecuación de cliigrarnas de cuer¡o lible que las c¿ntjdacles de liiovinriento rurg ar inj cial -v firal clel sistelna ¡rlrededor cle ese eje son igu:Llcs )', eD consecucn(iil, que itl consen a kt. ctntidatL rlc inotinriento angtlar del sistenn nl,rcdtrlor del eje dru.lr,. En ese caso es posible sunar' las cantidlrdes dr: moril¡iento nlgular dc los ür,er-sos cuerpos del sistema y los luottentos
tlaclr.¡ outtre
cLt¿¡nclo,
1111
17.43
Un volante de 400Ib se encuentra en reposo cuando se le rrpl-Lr" lb ft. Se observa qire son necesa¡os 4.3 rliin par. que el volnnte alcance su velocidacl má¡ima de 2400 rpm. Si eJ rndio de gir, del volante es de 14 in., dete¡r¡ine la ma¡pitud promeüo del pal debido o I¿ fiicción cinética presente en los cojinetes.
un par colstante de 18
1 7.44 Un r olant¡. rls ig0 Lg sc errcrrer rtra en t ep',*' crr¡n,l', :. l- irpli.., un par consta¡te de 300 N m en el tiempo I : 0. En f : 28 s, el voli¡nte ¿lcaúz¿ su velocidacl máxi¡¡a de 3000 rpm y el par se retir¿. Si Ia fiiccion cinética reslrlta en l¡ pal const¿nte con mirgnitud de 19.5 N m, deterriie c) a) el rndio rLLdio de siro giro del volante.. b) ü el titiern¡o rpcps.rrio pari, qrre ol vol.rnte
Figura Pf7.45
quede en reposo.
17.45 Un perno ubicado a 2 in. det centro de una rueda de autoLnrj vil sc ltornilla apiicando el par mostrado clu¡¿nte 0 10 s' Si la meda gira ct: lü"rto,l lr s" en'ctentra inici¿rlrnelte el reposo. deterr¡ine st relocicLd ¿rr' gul"r' r..1rtt ,nt.. Lrr nrcJ't pe'r 1i ll' I li'nc radio d- giro dc ltt b irr'
Figura P17.46 y P'17,47
17-46 IJn cubo rrnifon¡e de 144 lb se fija a un eje ci: cul¿¡' unifbn¡e clc 136 lb, tal corx) sc indica, y |)l cje se le aplica un par M de magnitucl 12in,ylavcconstante cua¡do el sistem¿ est¿i e[ r'ePoso. Si r:4in.,¿: locid.rd angular c'leJ sistema es de 960 rpm después de 4 s, determine la nragnitrrd del par M.
17,47 tJ¡
cubu unilbn¡e dr 75 kg se fija a un eje circula¡ u¡ifonre de 70 kg, tal corno se indica, y al eje se le aplica rm par M de magnittd const¿urtc igü¿l a 20 N' ¡r. Si r : 100 ¡rn vI : 300 ürn, detennine el tiempo requericlo ¡lala que l:r velocidad angular del sistem¿r se incre¡lente desde 1000 hasta 2000 rprn.
17.48 Un clisco A, de espesor uniforme, inici¿lmente en leposo, se pone en cont¿cto con una b¿¡nd¿¡ que se rnueve a velocitil¿rd constante v. Si se denota con p¡ el coeiiciente de friccióú cinética p¡esente entre el disco y la b¿¡nda, clechrz-c¿r una er?resióú para el tiernpo requerido para que el disco alcance un¿r velocidad irngular corrstante.
Fiquta P17,48 y P'17,49
Figura Pf7.50
1112
17.49 U¡ disco, de masa igual a 2 kg y ladio r = 60 mli.i, est:r en reposo cualclo se pone en contacto con rrn¿r b¿urda que se nueve ¿ r'elocidad constante t; : 15 rnls. Si ¡i-¡ : 0.20 entre eJ disco y la banda, cleten¡ine el tiempo requerido piua que el disco alcance una velocid¿rd ¿ngular const¿nte. 17,50 Un¿ esfe¡¿ de radio r y peso IV coD velocid¿d ¿ngul¿r inicinl ro¡ en el sentido de las nanecilJas del r-eJoj se coloca er Ja esqrrina firnnnda por el piso v una pared verlical. Si se denot¿ con /¿t el coeficiente de f¡icción cinética en A y B, obtenga uua er?resión del tiernpo requelido para que la es{era quede en reposo.
17.51 Dos cilindros unifomes idénticos de masa m v radio r están en reposo en el iempo_f : 0 cuando un par M de magnituá constante M < ngr se aplica al cilindro A. Si el coeffciente )oeffciente -de de fricción fricción-.inéri.e cinética cnrre entre el ¡it¡ncilindro y Ia superffcie horizontal es ¡r,¡ o"r;;; u
I
. +-
tre los dos cilind¡os. obt"ng" unu
dro B en el tiempo t.
"o
"*pr"riOffiJru
Problemas
;J;;;;;;;"
la velocidacl
angulrr del cilin.
Figura P17.51 y P17.52
17.52 Dos cilind¡os unifomes idénticos de 16 Ib y radio r = 4 ín. es_ tán en reposo cuando se aplica al ciündro A un par M deinaqnitud const¿mte igual a 4 fi. Ocu¡re deslizamicnto entre los dos cüncl¡os-v entre el cilin_
lb
dro B y la superffcie horizontal. Si el coeficiente de f¡iccióí cinética es de 0 5.eltr: Ios u.,\ dos (rn cilind¡os o¡os y oe de U.z 0,2 enfre entre el cú¡ndro cilind¡o B y\ la Ia suDerlicie superffcie hori_ ¿ontaJ. determinc la velocidad angular de caü cijind¡o áespuei d" S s.
12.53
Cada una de las poleas dobles que se muestran en la llgxr¡ tiene
molncnlo clp ine¡cia de lnasa cen(roidal de 0.25 kg. rn'. radjo interior de I00 mm, y radio exterior de 150 mm, Si se ignora h"fricción de los cojinetes, determine a) la velocidad del cilindro 3 s de'spués de soltar el sistemj desde el reposo, b) la tensión en la cuerda que conácta las poleas.
. 17.54 Cada ur'o de los engranes A y B tiene rnasa de 6Zb g y radio de giro de 40 ¡nm. mientras quc e¡ engrane C tiene masc de 3.6 ki í su radio de gjro mide 100 rnm, Suponga que la fricción cinéüca en los ioiinetes de Jos engranes A. B ¡ C produce pares de magnitud constante cur.o valor res_ pectivo es.igual a 0.15 N . m. 0.15 N . ,n ó.3 \. m. Si la velácidad angu_ ¡ lar inicial del engrane C es de p000 rpm, áetermine el tiempo ."qu"rldo p* ¡a que el sistema quede en reposo. 17.55
Una c'¡ta de computadora se mueve sobre los dos tambores que la figura. El tambor A pesa 1.4 lb y tiene radio de siro de 0.i5 in-. mientras que el tambor g p"siS.S lb y deíe radio d. g,ro Í. t.US in. En.la parte inferio¡ de la cinta la-tensión es óonstante e igual"aTn: g.75 Ib. Si la cinta se encuentra inicialmente en reposo, d"t"r*i,r" rJ ü't"nri¿r, consta¡te ?B requerida si la velocidad de la cinta debe ser o = l0 fVs des_ prés de 0.24 s. b) la tensión corresponüente en el t¡amo de cintu qre q.,e_ da ent¡e los tambores.
Fígura P17.54
se muestran en
17.56 Muestre que el slstema cle las cantidades de moürnjento de un¿ ptaca ngtda en moümiento plano se reduce a un solo vector, enrrese la dis_ \ tancia üedida desde el centro de masa G hasta la lÍnea dJ d"
,
rtctor en términos del radio de "¡ro centroidal de Ia r elocidad de G y la veiocidid angxtar rr,.
I
"rt"D de la placa."""'t¿r, la magnitud
0.9 in
T,r=o75lh Figura P17.55
1113
11
14
N4ovimiento plano de cuerpos rigidos: métodos de la eneroía v la cantidad de movimiento
'17.57
que, cuando una placa ígida gira alrededor de un eje ^ que pasa Muestre fijo por O perpendicular a la placa, el sistema de las cantidades áe
moümiento de sus partículas es equivalente a un solo vector de rr-ragnitud mir,.,. perpendicular a la [nea OG. y aplicado a un punto p sobre esti]ínea,
I
denominado cenfro d¿ percusión, auna distancia de masa de la placa.
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I Figura Pl7.57
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de 0.6 r { sr¡hn
17.58 Demuestre que la suma Ha de los mornentos alrededo¡ del punto A de las cantidades de moümiento de las partículas de una placa rígida en movimiento plano es igual a l^ar, donde <,r es la velocídad angular di la placa en el instante considerado e I¡ es el momento de inercia de la placa al¡ededor de A, si, y sólo si, se satisface una de las siguientes coudicionés: a) A es el centro de mdsa de La placa. b ' A es el centro iLrstanláneo de rotación. ¡) la velocidad de A está dirigrda a Io largo de una línea que une al punto A con el centro de masa G.
Figura P17.59
17.59 Considere una placa rígida inicialmente en reposo y sujeta x una fuerza impulsíva F contenida en el plano de la placa. El cintro de'percusitin P se deffne como el punto de inte¡seccitjn de la línea de rcción de F con la perpendicular trazada a partir de G. o) Muestre que el centro instantáneo de rotación C de la placa se ubica en la línea GP a una distancia GC = l? /Cp sobre el larlo opuesto de G. b) Muestre que si el centro de percusíón se hubiera localizado en C, el centro de rotación instantáreo estaría localizado e¡ p.
17.60
Un volante está ígidamente conectado a una flecha de 38 mm de ra&o que rueda sin deslizarse a 1o largo de rieles paralelos. Si luego de soltar al sistema desde el reposo éste alcalza una veloóidad de 152 mm/s en 30 s, determine el ¡adio de giro centroidal del sistema.
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17
fi¡aar Fr¡to
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Figura P17.60
'17.61 Un tambo¡ de 100 mm
de raüo se fija a un üsco de radio iqual mm. El üsco y el tambor üenen una masa cornbtnada de 5 kg y rádio de giro cornbinado de 150 mm. Una cuerda se une al tambor en el"punto A y se jala con una fueza constante p de 25 N de magnitud. Si el diico gira sin deslizarse y su velocidad angular inicial es de I0lad,/s en el sentido-de las manecillas del reloj. deLermine a7 la reJocidad angllar del disco despues de 5 s. ór el correspondiente impulso total de la luela de l"ricción ejeicida sobre el üsco en el punto B. a 200
F¡gura P17.61
-
rn'i
-t I
U¡r elc
17.62 Alrededo¡ de un tubo de pared delgada y de un cilindro sólido en¡ollan cuerdas, tal como indica la ff'gura. Si eitubJy el citin¿," ,,r"ltun desde el reposo en el tiempo ¿ 0. dáLe¡mine .n ol'ü".po ¿ l" ,.["i¿r¿ del cent¡o dc d) el tubo, ól .l cil¡ndr().
de. C¡
Problemas
se
Enitui C-La:
17.63-- U¡r cilind¡o de 12 in. de radio y i6 lb de peso descansa sob¡e una ca¡retill¿ de 6lb. El siste¡n¿ está en r"páro .uorr,lo'.r" apli"".,.r,, f.*.ro P tlc 2 5 lb d. mugnitud. tal (.omo indica lo figura. clurrnte i-Z .. ij .f oro {1r¿ Srn cleslizarce sobre Ja c::rretilla y se ignora lir masa de "¡f¡" sus r.uedas, detemine la velocidad resultante de a) lu'"n.."i11", b) ¿"1
"i "ñ"ilir¿r". 17,64 La ba¡¡a AB de masa insigniffcante se conecta mecliante
n¡sadores a-los dos disnos. y el :istema :e suclla desde el reposo en po:r_ Ia L-ión indir^rda por Ja ligurr. EI disco A tiene peso de tZ lb i"d;o de siJo de I :1.6 in-. El disco B ti.ne un peso de 6 lb y rrjio de giro dei.Z in. S¡ ol dir,.o -\ no l¡egü a lr esq uina D. detc¡m ine ¿ r lu vclor.id.,d de la barra AB cjesoucs ,ie l) 6 s bl.e¡ corres¡onüente rmpulso totaJ de la luerza ejercidrr por- el ,iir"., -{ sob¡e la h¡rra
ted
lli
f:\r 'ffi\i/' \:=rr Ka)
Figura P17,62
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n:t::: F¡gura P17.63
:--'-
1..¿
r.
Figula p1Z-64 y p17.65
.a
.f ,., É:¿:-
/7,65 La bar-ra unifo¡me AB de I0lb se conecta lnetliante pasatlores los do. d¡516,. unifirrme. y c¡ .islerna se sueLta clesde.l r.po.,, Jrr l,r o,r.r .ión qrn, rrrrestra la fiqrrra. El peso del disco A *s d. l2 lb y el del d¡sio B -\ cle o tD. br el drco A no elcanza l¿ esquina D, clete¡nine la velocidad de l¿ barr¿ AB luego de 0.6 s, =
):.-
17.66. Lna pole.r tlobk,dc lS kg herro r.:r,üo dn giln de 125 mm y se :td a ulr hLoque desliTante de l0 kg rncdiante un prsrrlor coloc:rdo eí :rnto G. El sisterna está en reposo cuando las {ue¡z¿r's constantes p¡ y p¡ el se
+lrc¡n ir las crrerclai como se Dtuestra. Si después de 2 s la velociáadlel r¡/s haci¡ la izrluierda, y la velocidad a"t p,r,,tn f-o a" ?r_"1:,O, "t.,\l¡3.3 )., rt/s h¿lcir dercrllrL. tlctennine l¡ l¡¡gnilr¡d de |us luerzás p^ pp. 1
É¡ ú at
¿
Figura P17,66
--iJ-
b)
I
111S
I I
11
16
Movimiento plano de cuerpos nsdos: métodos de la energia y la canlidad de movimientó
17.67 Un tubo de 160 mm de diámetro y 6 kg de masa descansa sobre una placa de 1.5 kg. EI tubo y la placa están inicialmente en reposo cuando se aplica una fuerza P con magnitud de 95 N dura¡te 0.75;. Si ¡1,,: O.25 y p,¡: 0.90 entre la placa y el tubo y el piso, determine a) si el tubo se desliza respecto a la placa, b) las velocidades resultantes del tubo ¡ la placa.
F¡gura P17.67
17.68 Una esfera de radio r y masa m se coloca sobre un piso horizontal sin velocidad lineal, pero coí velocidad angular are en el s'entido de las manecillas del ¡eloj. Si se denota con ¡r,¡ el coeficiente de fricción cinética entre la esfera y el piso, determine a) el tiempo 11 en el cual la esfera empezará a rodar sin deslizarse, b) las velocidades lineal y angular de la esfera en el tiempo tl.
Figura P17.68
Figura P17.69
17.69 Una esfera de radio r y masa m se p¡oyecta a lo largo de una super{icie horizontal rugosa con las velocidades iniciales indicadas. Si l¿ velocidad ffnal de la esfera debe ser de cero, exprese a) la magnitud requerida de or¡ en términos de asy r,b) el tiempo necesario para que la esfera quede en reposo en términos de o¡ y el coeficiente de {ricción cinética pft. 17.70
Un panel semici¡cular de ¡adio r se ffja mediante afticulaciones r y se manüene en un principio en la posición vertical mostruda. La placa y el panel estrín hechos del misrro rnáterial y tienen igual espesor Si el mecanismo completo gira übremente a velocidad angular inicial or0, determine la velocidad angular del ensamble después de que ei panel sea liberado y quede en reposo contra Ia placa. a una placa circular de raüo
17,71 Urt tubo AB de 1.6 kg puede deslüarse con libertad por la varilla DE, la cual a su vez puede girar libremente en un plano ho¡izónt¿I. Ini-
Fiqura Pi7.70
cialmente, el ensamble gira a velocidad aagular
F¡qura P17.71
a
( ( (
t
17.72 Dos discos de l0 lb y un motor pequeño están moütados sobre una _plataforma rectangular de 15 lb, la cual es libre de girar alrededor de . una ba¡¡a vertical central. La velocidad de operación normá del motor es de 180 rpm. Si el notor se enciende cuando el sistema se encuentra en reposo,
Problemas
determine la velocidad angular de todos los elementos del sistema luefio de que el motor ha alc¿nzado su velocidad nonnal de operación. No toñe en cuenta la nasa del motor ni la de la b¿rnda.
17,73 Un disco de 10 lb se une a la {lecha de un moto¡ montado sob¡e el brazo AB, el cual es libre de girar alrededor del eje vertical CD. La unidad fon nad-a por el brazo y el molor tiene mor¡ento de inercia igual a 0.032 lb.ft ." respoctq al eje CD. ¡ Ja velocidad norm¡l de op"r'acidn del motor es de 360 ¡pm. Si el sistema se encuentra inicialmente en reposo, detemine las velocidades angulares del brazo y del disco cuando el inotor ¿lcanza una velocidad de 360 rpm.
Figura
P17 .72
F¡gura P17.73
17.74
Dos bol¿s de 0.36 kg se introducen en forma sucesiva por el 1.8 kg. Si en el mornento que la pr:imem bola se introduce en el tubo la velocidad arlguJar de éste es d" 8 tuüs, y s" ignora el de la fricción, dete¡r¡ine la velocidad angular del tubo justo _efecto después de que a) la primera bola ha salido del tubo, á) lá segunda bolá sale del tubo.
celtro C del tubo delgado AB de
17.75 EI disco uniforme A de 30 kg y la barra BC están en reposo, y el üsco uniforme D de 5 kg tiene velocidád angular inicial ar1 de malnituá igual a 440 rpn cuando se suelta el resorte comprimido y el disco _d hace contacto con el disco A. El sistema gira con Iibetad alrededor del eje vertica] BE. Después de un periodo de desli¿amienro. el disco D ¡ueda sin desliza¡se. Si la magnitud de la velocidad angular final del disco D es de 176 rpm, determine las velocidades angulares finales de la barra BC y del disco {. No tome en cuenta la masa de la ba¡ra BC. Figurc P17.74
Figura P17.75
1117
11
18
N¡ov¡miento plano de cuerpos flgidos: métodos de la energia y la cantidad
dé movim¡énto 4.5
ir
17.76 EI üsco B de 8 lb está conectado a l¿ flecha de un moto¡ mon tado sobre una placa A, la cual puede gi¡a¡ lib¡emente a.lrededor del eje vertical C. La unidad de motor, placa y flecha üene un momento de inercia de 0.14 lb'ft s2 respecto al eje de la flecha. Si el motor entra en operación cuando el sistema está en reposo, determine las velocidades angulares del disco y de la placa luego de que el motor ha alcanz¿do su velocidad de ope ración normal de 360 rpnr. 17,77 Uraba¡a delgada B, de 1.2 lb, se ajusta a un¿ r'¿rnuru reco¡1ada en una placa triangular horizontal, la cual es libre de girar alrededor de un eje vertical a través del punto O. En un inicio, la velocidad angular de la placa es de l0 ¡aüs en el sentido de las m¿necillas del reloj, y la barra se encuentra en reposo, respecto a la placa, en la posición rnostrada. Después de que la barra recibe un pequeño impulso se mueve hacia el extremo de la ranura. Si el momento de inercia de la placa ¿lrededor de O es de 0.2 lb ft' s2, determine Ia velocidad angular del sistema luego del impacto plástico de la bar¡a contra el extremo de Ia ¡anu¡a.
Figu¡la P17.76
Figurc P17.77
17.78 La varilla AB de 4 kg puede deslizarse libremente dentro detubo CD de 6 kg. La varilla estaba completamente dentro del tubo (r.. : t, y se liberó sin velocidad inicial relativa al tubo cuando la velocidad angub: del ensamble era de 5 raüs. Si se ignora el efecto de la fricción, detemirF la velocidad de la varilla en relación con el tubo cuando r : 400 mm. 17.79 lJtt pequeño collarín C de 3 kg puede deslizarse con libertpor un aro delgado de 4.5 kg de masa y 325 mm de radio. El a¡o está:tid¿do a una flech¿ vertical coda que puede girar con libertad en un cojine=
fijo. Inicialmente el a¡o tiene velocidad angular de 35 rad,/s y el collaín es-
Figura P17.78
en la parte superior del aro (6 = 0) cuando se le da un ligero golpe. Si se tnora el efecto de la fricción, determine a) lavelooidad angular del aro cua¡ü el collaín pasa por la posición 0 = 90", b) la velocidad correspondiente ód
coll¿rin relalirr d a¡o.
Figura P17.79
17.80 U¡
Probremas
coll¿rtu A de 3.6 lb y un collarín B de 1.4 lb pueden desli, poL una a¡¡adu¡¡ consiste te en una b¿rr¿ horizontal OE l una b¿r¡¿r vertical CD, l¿ cu¡l tiene la libertad de gir.ar alrecledor.de su eje de simet¡í¿ veftic¿J. Los dos colla¡ines se conectan nediante una cuerda que :,ne sob¡e una polea fija aJ armazón en el punto O. ED el instante indica-- . Ia lelocidad v.1 del collarín A tiere m¿gnitud de 6.3 ftls y un tope e\,-ita -¡re el collarín B se desplace. El tope se retila repeltinanente y el collarln A se rrue--e \¡ci,¡ Et c\ra\\üo recq\-!e \r {is\¿nci.¡ de 4.8 \\. desüe O. se obsen/n que la nagnihrd de su velocidad es igunl a 7.5 {Vs. Determile, para ese inst¿nte, la rnagnitud cle la velocidad angulu cle la arnrtrürra y el momento de ine¡ci¿
sil fricción,
17.81 El coll¿l.ín C pesn 18 lb v se clesliza con libeftad sobre l¿ bar¡a la cuirl a su vez tiene la posibilidad de girar libremente en un plirno ho¡izorrtal. El mectnisrro gir.a con velocidad angrrlar <,r de 1.5 rad,¡s c.,¿ndo se suelt¿r un resr¡rte r¡bicado ent¡e A y C, lo cuni proyecta al collaín a lo largr_r cle la bar¡a ¿i velocidad relativa inicial cle u. : ¿.-S tiZs. Si el mor¡ento de i¡rer ci¿r conbinaclo alrededor.cle B de l¿ bana y el ¡eso¡te es de 0.84 lb . li. s2'r-tÉrmine ¿ l.r distrr¡ ia rníninr.¡ rn.re ol , ull,,'in y el ¡rrnto B ¡n el rlurinliento resultante, b) la correspondielte velocidad angulal del sistema.
lB,
Figura P17.80
Figura P17.8t
--
17,82 E¡ el problema 17.71, deter.rnine la velocidad del tubo relativ¿ la l¡arra crr¿rnclo el tubo golpea el extr.emo ¿ del ensar¡ble.
/2,83 En el probler¡¿r 17.74, dete¡mine la velocidad de ..tir a al tubo cuando sale de éste.
c¿rd¿
bola re-
17.84 Un cilindlo r¡nifrrrne A de 6lb puede rod¿rr sin desliza¡se soun c¿¡¡o C de 10 lb y esth conectado a ui ¡eso¡te AB de constante i I lb/ft cono indica la figura. El siste¡¡a se suelta desde el reposo cuanck-r -eJ r.jorte está estirado 0.8 iu. Si se iglor:r la lricción de las rue-das, determine . r'elocidad del c:rrro y la velocid¿d angular del cili¡dro cuando el resorte Jcirliza por prilnera vez el est¿do no deib¡r¡¿rdo. ':¡e
17.85 Lr b.,rr¡ AF pc.a 6lh ¡ esta lija a un crrr,, C d* t0lb. si el sj\-, rr,a .c .uelt,t de"le pl r"f'uso er la po.it.icirr ,irre.r indica ¡ se ignora la lric ú . dctennjnr" ¿'ld r.lolidad dcl prrnto B c.rrlndo la b,rrr., AB !,sa pur una ¡osición veftical, ü) la velocidad correspondiente en el carro C]
Figura P17.85
Figura Pf7.84
1119
' 120 --
1 '
Naovimisnto plano de cuerpos rigidos: métodos de la energia y la cantidad
17.1 1. MOVIMIENTO IMPULSIVO
de mov¡miento
En el capítulo 13 se üo que el método del impulso y la cantidad de movimiento es el único método práctico para la solución de problemas que implican el movimiento impulsivo de una pardcula Alora se verá que loiproblemas que conlleva el movimiento impulsivo de un cuerpo fgiaó son en particular muy apropiados a una solución por e1 méiodo del impulso y la cantidad de novimiento. Puesto que el intervalo de tiempó que se considera en el cálculo de los impulsos lineales y de los impulsós angulares es muy corto, es posible suponer que los cuerpos que particip;rn ocupan la misma posición durante ese interualo dé tiempo, lo que hace el cáIculo bastante simple.
choc cas
f
aplic
nec€
toe:
17.12. TMPACTO EXCÉNTRICO
En las secciones 13.13 y 13.14, se aprendió a resolver problemas de impacto central, esto es, problemas en que los centros de masa de los doi cnetpos que chocan se ubican sobre Ia línea de impacto A conünuación ie aiali.zarí el impacto ercéntrico de los cuerpos rígidos. Considere dos cuerpos que chocan y denote Por vA y vE las velocidades an-
I
Frg.¡
ffi @w ,)
(ffi ,narTf!
Sed
aI pr
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o=l
elqlr
p,rl"
c)
b)
Figura 17.10
tes del impacto da hts dos puntos de contacto
Ay B (figura
17.10¿). Ba-
jo el impicto, 1os dos cuerpos se deformardn y al final del periodo ih deformación, las velocidades uA y uB de A y B tendrán componentes iguales a lo largo de la línea de impacto nn. (figura l7.l0b). Luego oct rrirá un periodo de restituci.ón, al ffnal del cual A y B tendrán velocidades v! y vi ({igura 17.10c). Suponiendo que no hay fricción entre los cue¡pos, se halla que las fuerzas que eiercen entre sí están dirigi das a 1o largo de la línea de impacto. Al denotar la magnitud del i* pulso de una de estas fuerzas durante el periodo de deformación p
'-
IRdt IPdt
&
bd *i 'iFJ
(17.15'
Se demostrará que Ia relación establecida en la sección 13.13 ent¡e
k
velocidades relativas de las dos partículas antes y después del impacü también se cumple entre las componentes a lo largo de la Iínea de in-
+ rrd
pacto de las velocidades relativas de los dos puntos de contacto A y B. Por lo tanto, se demostrará que (17.1e) Se s¡'p''ndrá que el movimiento de cada uno de los cuerpos que chocan de la figura 17.10 no tiene restricciones. De tal manera-las ínicas fuerzas impulsivas ejercidas sobre los cuetpos durante el impacto se aplican en A y B, respectivamente. Consideré el cuerpo al cual pertenece el punto A y dibuje los tres diagramas de cantidad de movimiento e impulso correspondientes al periodo de deformación (ffgura 17.11).
-
+ tgura
@M{"1
17.11
Se denota
por v y
[,
respectivamente, la velocidad del cent¡o de masa de deformación, y se denota por pofr,,y ar y la velocidad angular del cuerpo en los mismos instantes. Sumandó e {'ualando las componentes de las cantidades de movimiento y los im¡dsos a lo largo de la línea de impacto ¿n. se escribe
J principio y al ffnal del periodo
¡'
-"" d
IP dt
:
nu,,
(17.20)
sumar e igualar los momentos alrededor de G de la canüdad de moy los impulsos, se escribe también
iniento
la - r[P dt : lto.
(17.21)
&ode r representa la distancia perpendicular
* -
desde G hasta la línea impaclo. Considerando ahora el periodo de resülución. se obtie-
de una manera similar
iot. -
ma"
IR dt = moi. rJR rlt - ia'
(r7.22) (77.23)
&de
V' y ar' representan, respectivamente, la velocidad de un cen-
-de
masa y la velocidad angular del cuerpo después del impacto. Re-
(17.20) y _(17.22) para los dos impulós y sustituyendo en ), y resolviendo después (17.21) y (IfJi) paia los ,irismos dos y sustituyendo de nuevo en (17.18), se obtienen las siguiendos expresiones altemativas para el coeficiente de restituciói:
n"- rl
(17.24)
17.12. lmpacto
excéntri."
1121
1'
122 '--
Movrmienro or¿no cre cue,pos rioi.los: melodos dé la enarc¡ra y la cdllro¿d de movim¡ento
Si se rnr tiplicíi pol r el numerador v el derlomin¿dor de la segunda expresiólr que sá obtu,ro Par'¿ ¿, y se surn¿r respectivamente al nurnerador y nl dcnomin¿clr¡r cle la prirr.rela expresión, se tiene
i,.,
I
u,,
I nt
rro"
-
(ai. (¡.¿,,
+
rco')
(17.25
+ r¿0.)
)
i,, *
rto rePresenta la con,ponente (t,1),, a lo largo de n¿ de la velocidad del punto de contacto A y que, de nr¿rner¿t sirril:rr. i,, i rrlo y E',,'l ra' rePresentan, I esPectjv¿inente, las conrponentes k,o),, y (ul.t),,, se escribe
Al obse¡¡ar tlue
(r,t),, ("'.i), ": (r^L (r^[
(r7.zot
an¿'rlisis del nTovi¡riento ilel seguldo ctrerpo conduce ¿1 rrua expresión sirdlar par':r e en lér'[]inos de hs cotlponentcs I lo lrrgo de nrr de : (ua),,. las velociclades sucesivas clel punto B. 5i se recuerdl que l¡¡-J,, y.lirriDudt, estrrs dos crrrtr|rrne¡rtcs de velocidad mediante un m¿ne ],, sirrilirr al que se usó t'n la secciún 13 13,seobtienelarelación(17.19
El
tlc lo. euetlos que cbocu está rcstringiclo a glriu ¿rl'ededor de rrn punto fijo O, conro en el caso cle nn péndulo compuesto (figura, 17.12¿), sé ejercerá una reacción il.rpulsiva en O (1)grrSi
rno
o-
rrn¡l,os
O?'
Figura '17.12 Fotografía 17.3 El método del impulso y la cantidad de movimiento se utiliza en el análisis de datos de una prueba de impacto de péndulo. El sislema que se muesira sirvió para probar el cumplimieno de normas de seguridad de respaldos de asiento, iableros de insfumentos y otros componentes del interior de un vehículo.
t¿ Li.I2b). \'erificar que si bien su declucciól debe rnodificarse, l¿' ecu¿rciones (17.26) y (17.1.9) siguen siendo válidas. Al aplicar la fónur:1¿ (17.16) aJ peiodo de defbrmación y al peúodo de restitución, se e:-
cibe
- r[P dt : lo@" lc,
(17.2:
16,.,
(17.25
donde r represertr la distalcia perpendicular del pulto fijo O hasta I . línea de inipacto. Al resolr'er (17.27) y (17 28) para los dos impulsos ti.: después qrre ra, ro- y r@ represellr':obsen':rl desPues 17.-Ll1), y obsen'¿lr' sustjtuir en ((17.16), snstjtuir el pu:,sucesivas en las velocidades las componentcs a lolargo de nn. de to A, se escrihe
rr.¡o a' n¡ - o)*
rao ra
ra' rolo
_
k,A),, (o,.,),,
-
(t',0,, (¿¿¡),,
y se coniprueba que la ecuación (17.26) sigue siendo válida._De tal
lr
do, l¿ ecu¿ción (17.fS) sigue siendo válida cuardo uno de los cuer¡ , que chocal está restrilgido a girar alrededor de ul punto fijo O . Par¿r determinal lal velocid¿rdes de dos cuerpos que chocan cli .pués clel inpacto, la rel¿rción (17.19) debe us¿lrse junto con una o \: iias de l¿s ecu.lcjones que se oLttuvieron a) aphcar d princifio del )nt pulso y Ia c¿ntid¿r.l de nroüiniento (problenra resuelto 17.10).
'l eSu¡d¿ nrrlne-
i
l;35
a¡So
di
si¡r¡iLr )nent6
fl;J6 r
e¡PrF
tfr*-
ll;_19. a
.
in.
14
IP I
v/r=l500li/s
Una bala B de 0.05 lb se üspara con una velocidad horizontal de 1500 fvs cont¡a el costado del panel cuadrado suspendido de 20 lb de una bisagra en A. Si se sabe que el panel está inicialmente en reposo, determine a) livelocidad angular del panel inmeüatamente despuéi de que la bala quede incrlstada, b) Ia reacción impulsiva en A suponiendo quJla bala quedi incrustada en 0.0006 s.
SOLUCIÓN
enr¡&
I
PROBLEMA RESUELTO 17.9
girz
bcm) fi:r-
Plincipio del impulso y la cantidad de movimiento. Se consideran la bala y el panel como un solo sistema y se expresa que la cantida
14 in.
C
* Imp. Ext. Sist.1-e = Cant. Mov. Sist,g +\rnomentos al¡ededor de A: moou($ ft) + 0 : moo2(+ fl) +1rr componentes: mBoB + A, Lt : mpa2 e) *fy componentes: 0 + Ay At:o (3) Cant, Mov Sist,¡
rse, Lé
fórmq€!-
L Se
ll;5 l; "5 h¿st¿
xrlsc
El momento de inercia de masa centroidal del panel cuadrado
It =
,t
mú'¿
Al sustituir este valo!
= 1/i9*'1, ' 6\ sz2 1 '': frrr
t
Seute el pra:-
0.232e rb . rt . s'
así como los datos dados
I¡
o,
-
es
l
,N lt,r,
se escribe
i
j
/0.05\._ 500X+) = 0.232eo2 + /
t
2o Ls o ar¡ | /, r,:,.,, i a2:
32.2 /r1
:
4.6 i- racVs
t, = (+ f0¿0, = (+ fO(4.67 rad/s) :3.50 fVs
á*trerP¡c: o_
m de:-
ao\.¡.
l¿*
l
en (l), y al notar que
Al sustituir
r,2
=
3.50 ft/s, A¿
= 0.0006 s, y los
| .(
datos dados en la ecuación (2),
se tiene
/0.05
\
I ¡z.z J(tsoor
A.(0.0006)
A"
De la ecuación (3), se
=
-
-259 ]b
enantró An : 0
¡ 20
r
l\32;J3.50, a,
:
259 lb <-
n,,_O
I
L
.l
PROBLEMA RESUELTO 17.10 tlrrll nt- lra¡i r la dr "¡clr'r ' o| Lrrrr Un, ."f', r,r,l" 2 (g r¡ue s' rnrr|r' [u|izorrl irrf¡r¡or d- urra l' ¡r'1 ri{i'la {¡r rnu ¡l ¡ ¡¡ . golp.a ¡'l c\in ..,.i:,1¿,J;;;, en \ \ r'r r iniL irrlrr' r''p ::'-,J.,.'''n;'r: dc rrn' :rrri.rrl rcidn )i;"; i:-J i 'J nl* l:.' b:rrr¡ r i:'e'lcra e( 'lc 0 \0 I","i1.,'j' ¡,t,"nci'rri" 'l- re'lit'r,.i¿'r' l' h"rr;t r ln r'"l"crd''d 'lc Ir esre'ir i'r"r
i,,"i." i'i^'r " '* l" 'le ';: cli¿tar¡ente
a:-i
soLuclÓN irr¡it rrl" Lrr I'i'r'r"¡ r l:r Plirrli¡i. rlt'l irrr¡rrrl'o I IIr,t :rrIIi¡I:r¡I rk rrr¡¡r É\frr\rr¡,:'ll^1]:l]Jl:' t" e\r;r.r\tron'irlFra"(rrr"uurr'""';:;;;;")ct d- ra' rucr'/ rs,'\rer. ;;', i,i;l* l'' l"'rr' r l'r e'lir:' r lo' inrrrrl'or it¡to li..¿r ,in,.;;;ilntn"'q,'ipnJ"n-t"t srsm' de ';:;;;";'',; ¿ I'L c¿rrtitL¡cl 'tel ^in 1l:. l¡Ir:¿c Jsistt'r:Lts i""t"^i;;¿;"t," que l'i ítnica fuetza irnprll\i\ae\terLri¡ titin r¡rPlbir
a
el' A
¿ \,41
't'
t
1
..
-TI
o.,¡ Cant. NIov' Sist'1
F
-),rl,trr, rrlos rlr'tsJeduf rirrr.o"(1 2
Imp' Ext' Sist'r 'u = Cant' N{ov' Sist'¿ A
n) : t¿.¡l(I2 n) * iriilt'i
clc Puesto que Ia b:tn'a gim ah:cleclor Aderliás,
1 --
A'
sc
tiene (¡rc
l'g)(r'z r¡)2 =
lnú2: ilt¡
(0 6 rn)
0 96
+
úi :
kg
= (0'6 rn)d
¡@/
r¡2
propolcion¿dos en la ecuación Al sustituir estos vnloles v krs cLüos
¿ts' Eligicndo ct¡tro positivo ul
¡, =
se
ticl'
rr''
/ll liG \c rrr- t' 12:24D'"+ ') 84|,'
rr:ch¿. se escl ibe
AI srlstituir
(l)'
2lqr'''llrr' r . \ lq '0 6 l'"''ltr'6
iks 5rr,' l?r'r Vt'locid¿ldes rel¿rtir
rl
1¡o'
5 ¡Vs, u¡
:
ol
-
0 )'¿
:
: ¿(¡"
el sentido h¿cia I¿
d'-
¡rr)
0 80' se obtie¡e
xh-L'i':080(5m/s) de A' Al ¡ot¿¡ otr¿ vez que Li bara gira ¿rlt'erledor
ol: (2) Al ¡esolver las ecuaciones
¿r
(1
('1) cle
2n)o'
1124
:
1
ua¡ela simr¡ltiinea'
c¿'= 3.2l raüs
ol
se escribe
-0.1411 ¡r/s
se
c¿' :
obtiele
ll.l l
r¡rL's
rl=011:lrrrls
PROBLEMA RESUELTO 17.1 1 Un paqueLe cuadrado de lado a y r-nasa r¿ se mueve hacia abajo por ula b:rn transportrrdora A con unavelócidad constante tr. En el extiemo de la l¡a¡da tr':rnsportadorir, Ia esquina deJ paquete choca corrtra un soporte rígiclo en É. Suponienclo que el irlpacto en B es perfectamente plásticó, obtenga ul:r expresión para l¿ tnagnitrrd n-rínima de la velocidad v1 par:r la cual el paquete gir:rr'h alrededol cle /3 y llegará ir la banda transporladora C. d:r
soLUctÓN
. Princi¡rio de'l irnpulso v l¡ c¡nticlad dc rnorirnicnt<¡. puesto que el impacto ertre el paquete y eJ soporte es perfcctirnrente plástico, el paqie te gira alrededol de B clurantc el impacto. Se:rplica el principio deJ impulso y la c¿rnticlad dc ovirniento al pnquete y se nóta que la rinica füerza irl pr sivir extern:r al paquetc es l:r reacción irnpulsivo er.i B.
)
\_,1
.*2\+ .|is'
o(l
'
B
* Imp. Ext. Sist.¡_,2: Cant, Mov. Sist.2 +lrnoüentos ¿rl¡ededor de Br (¡r¡or)(*¿) + O: 0ntz)é\6a) + 7ra, (l) Pue.LLr que el p:rrlrte'n qir:r alri tl"dor rl. B :¡ rie,,e que i. - CB u.r; ;VJlor¡. Se srrstitnr c est.l cyresirjn, jülto con 1 : flia2, en ln ecuación (l): ntll. t t,,".1,/2t-. =\/!,t. - i,t,o:-. rl : i/cur ll) Cant. Mov. Sist.1
.
Plirrr.i¡rio rk. l¡r r.¡l.r.r.r¡¡.iorr rL. l;r crrcrgiu. S" ,rplitr el prir,r.ipio , ru i,in rle la "rer'on nlre lir\ lnsirron'.. 2 \ '}
dc ]ir torrsrn
l¿
Po:¡ickin
Nivel
(.15
= 0.6i9¿
+ 15)
Yo
:
Whz. Reco¡d¿ndo que r,,
|\4a.2, se escrjl¡e - ,i-i . )'n,t.\/j,t..,r t .,Lnu. a¡ t ,,,,,'I'osícíón lj, Puesto qurl el paquete debe ¿lc¿lzi,r l¡ b¡r-r.r tl.irnsDorta_
ct=!*,=o,-0,-" l¡, = cB sen
2.
T. -. 1.,,t,
dcl
=
clora C, debe pasar por l¿ posici¿)n 3 donde G c\tá di¡ect.r¡rente dr ¡ilr.r'cle B. Atlemás, puesto que dese¿üos dete¡ninar lu r elociclad rnilim.r prr.r lir cual el paqrrete llegará a esta posiciólr, se rJige L¡ : tr,= O. por ln ¡¿11¡6 7.,:9
y V3
:
\,V/r¡.
(i¡li"sen:ackin tle la energítr
Irrn"r| .,:Al $rstjtuir los vi ores
l¡=
CB = 0.i07a
a..
-
T,+V2:73+VB i tvh" = g'a lYht
ttl-,1, lt|¡I
-t-,-'ti.hr-h.1 ¿
calcul¿ck¡s de h2 y h3 en l¿ ecuación (3),
3{ 3d = -,r t(\.701q - 0(,th - +,0.09s,r.
i -'.,,- - ,,Va2i;q^h ,
sr
,
rhtierre
0)85 r,/n
.';L\ I. 1125
Esta lccción se dedicó al mt¡xin'¡iento inprtlsiao y rípi¡l¡¡t
,a1
imltocto etccéntríco
d.e
ate:os
L EI norímienlo im,pulsiro ocrrrre cuando un cuer?o rígido se somete a una fueva nuy grande F por uu cofto inter,'alo de tiempo At; el lnpulso result¿xrte F A¿ es tanto firito como diferente dc cero. Tales hrerzas se conocen col.rofre rzas inpulsiorzl y_se plesentan cuando lray un impacto en los cuerlos úgidos. L4s fuerzas par.a las cuales el impulso es cero se conocen cornoy'rzra.s no irnpulsiuo,l Corlo se vió en el capítulo J3, las siguientes fuerzas pueden supor.ierse no impulsivas: el peso de un cue¡po, la fuerza que ejerce un resode, y cualquier otr¿ fircrza que.5¿ c(.,?¿¿)¿-¿ que es pequeña en comparación con las fuerz¿s irnpirJsivas. Sin embargo, las re¿ccir¡ues desrtr'rc.id¡s no lnh\l.n f]tfttnt r:r no inrpul.irlr.
2. I,ntput'to ¡'xt:cntriL,t¡ de cucrpos rígidos. Se vio que cuando dos cuerpos cho can las componentes de la velocid¿d a lo largo de l¿ línea de impacto de loi purttos de contacto A 17 B antes y dcspués del inrpacto cumplen la siguiénte ecuaciól:
l"h),.
(u^'),,: eL(L^),,
(ro),.1
(17.1e)
donde el mielrrl¡o,del Jado izqrúer:do es la aelocidad rekttíaa d.espttés dzl impacto, v el miembro del lado derecho es el producto del coeliciente de restitución y Ia uelácidítd relatiau antes del inLpacto. _ Est¿r ecuació¡r cxpresa la rnisrr¿r relación de las conrponentes de la velocid¿d de los p-ulrtos de cor)tlcto antes v después del inrpacto q.re ie usalon pu,-a Jas partículas er el capítuio 13.
:)_, Pyra resctlxer un problemu que implica un
ím¡tucto
rlebe us¿rrsc el náf¡r-
cantidul de .DroDínriento y segui' l
l¿rs
ecu¿rciones obtenidas a1 sumar con.iponentes y rnomentos lproblema resuelto 17.9].
t ) dn ¿/_t.¿so lc un im¡tutto en que e ) 0, el número tlc incóguitas serír nás grande que el número rle ecu¿ciones que es posible escribir al surn¿r cornponentes y momentos y será neces¿rio col.rplementar l¿s ecu¿ciones que se obtuüeion de la ecuación de diagramas de cuerpo libre con l¿ ecuación (17.1b), l¿ cual rel¿ciona las velocidades relativ.as de los puutos de contacto antes y después del inipacto lproblema resuelto 17.10].
d,) I)urante un im:pucto es necesario usr,r el ,nétodo ilel impulso q lo can., tidud cle morimiento. Sin en.rbargo, anfas g cLesynés del intpacto es positle, si es neces¿rio, utilizar ¿lguno de los métodos de solución que se han tol", "pr"l,iiido, "o_ mo el del trabajo y la energía fprobJerna resuelto 17.il I.
1126
17.86 Dos bar¡as delgadas idénticas AB y BC de l0 lh se sueldan juntiu para obtener un ensamble en fo¡nra de L. el currl se s,rspende de una artjolacidn puestx en B y se encuentru en reposo en un plirno ve¡tical, Una bala de 0.03 Ib golper el ensanble a velocidaá, peqrendic.ul¿r ¿ BC, de I800 fVs. Si d
:
0, determine la velocidad angular del ensamble inrrediatanente
después de que la bnla se incrusta.
F¡gura P17.86 y P17.87
17.87
Dos baryas delgaclas idénücas AB v BC dr l0 lb se sueldal iunun ensamble en form¿ de L. eJ cud se suspelrle d. rrn.r articulación colocada en B y se encuentr¿ err reposo en un plino veftical. Un:r bda de_0.03 lb golpea el ensamble ¿ velocidad-, peryendic;lar a BC, cle 1g00 fVs. Si la velocidad angr ar del eusamble es de Z ¡aüs inmedi¿talnente des pués de c¡ue la bala se incmsta, deterrnine la distancin rl. tas para obteaer
17.88 Un i¡nán D de 15g se sueltn desde el reposo en ln posición que se muest¡a, cae una dista¡cia de 320 nrir, y quecla unido en el punto A á la harrlde ace¡o_ A,B de 20{rg. Si el irnpacto es perfectamente plistico, deterLnine l¿ velotidad angular de Ia barra y la velocidad del inrán ininediatar¡ente después del irnpacto.
f
@D
390 mm
]r,
l.*l [*.no-'"
-|_.0u,","-..]
, 17.89 Una_placa circuliu unifolme de B0 kg y radio r se sostiene me_ diante una articulación de rótula colocada el pu,rto A, y se encuentr¿l en "tr de masa lE reposo en el plano vetical .ty cuando una bala g se dispara con ,2J0 mrs:k y golpea ir la placa en el punin c. si r 400 la velocidad r,, = mnr y h - 700 mm. determine ./ | la velocidad ,,ngular rl. la ¡hcc inrnedia_ tarnenle despucs de que la bah queda incrrrsrrLdal b'la reuciión irnpulsiva en el punto A, si la bala queda incmstada en 1.1 ms.
h I
)-" F¡gura P17.89
1127
-'
*'
llllllt{ut¡n¡r¡¡r¡¡¡¡lur$il,,,
.
11
28
l,eüTi.'te
ilT".":;ái:$:"'lir'ff "'
dé movimiento
17. por la r
17.89, determine a) la üstanciarequerida h si la reacción impulsiva en el punto A será de ce¡o, b) la velocidad correspondiente del cento de masa de la placa inmediatamente después que la bala
17.90 En el problema
de desli choca c'
i
se incrusta en C.
locidad
17.91 Una balra delgada y uniforme AB de masa m está en reposo sobre una superffcie horizoná, sin f¡cción, cuando el gancho C queda atorado ,rn oeoueño pasador pueslo en A. Si el gancho se iala hacia arriba con ve"n loc¡daá conslant'e vo, deÉerrnine el impulsoijercido sobre la barra en los puntos ¿) A. b) B. Suponga que la v"locidad del gancho no cambia ¡ que el impacto es perfectamente Plástico.
l-,
17
mesa h,
tillo qu secueni
plete u
17
17.92 lhabarra
delgada uniforme AB de masa m y longitud -L tiene
velocidad vertical de magnitud or y ninguna velocidad angular cuando golun Dea un soDorte nsido, sin fricción. en elpuntoC s¡h - L/4y se suPone i-,rocLo o^efectañente plástico, delermiñe n) Ia r elocidad angular de la barra y li,r"loJidad de s.t cenlo de masa inmeüatamente después del impacto, b) el impulso ejercido sobre Ia barra en el Punto C.
soporte r elocid: soporte fec.tamr la ba¡r¿
porte -l
17.93 La barra delgada y uniforme AB de 3 kg de masa y 750 mm de longitud forma un angulJB = 30" con Ia vertical cuando- golpea la esquina [s;ue se muestra en"lu figo.u cott u.locidad ve¡tical Vt de magnitud de 2 4 determ./s i sin velocidad u"guh; Si el impacto es Pefectamente plástico, del impactodespués inmediatamente la barra de angular velocidad minÉ la
1i eie \
e¡
Facto (
sul¿r
¿
1i
hbrem
&teru c¡s¡ i
Figura P17.93 y Pl7.94
17.94
La barr¿ delgada y unifome AB de 3 kg de masa y 750-mm de
loneitud forma un ánzulo-É con la verticai cuando golpea la esquina lisa qr r se ñuesrra en la ligu'ra con relocidad verticd i¡ de magniiud de 2 4 m'¡s C mas¿ cent¡o de del sin velocidad aneul"ar Si la magnitud de la velocidad de Ia bar¡a inme-diatamente deipués del impacto es de 0 6 m/s y el impaco es per{ectamente pJástico, deter-mine a) el ánguto p, b) el impulso ejercib sob¡e l¡ barra en el Punto A.
C 17.95 Una ba¡¡a delgacla impart un y golpea Suponiendo bo¡de D el renoso en la oosición mostrada de masa rn y longitud L
se suelta desde
pe'rfectamenie elástico (e = 1) óio, determine la distancia b para la cual Larra rebotará sin velocidad angular
L
t:
hr d¡r'
¡¿+ *b
17,96 Una esfera unifome de raüo r meda haciu cbajo, sin d,:sliz.rr-se, -,r,la,t;tnrpa qr¡e rrue.tr.r_lir figrrra: golpea la superll,.ic lrorizorrtal lu,,go
.1l'¡ ¡!-
ri
i '
Lk-\1,/.lr'se rut pucu. etnfieTd d rodar
.ontt
olra vc7. Si lJ
lü suferflcje hr¡rizontd.
Problemas 1 129
¡.
"\f;"t.., rr, reb,rt,r'"ull,Jo
dclcnlin¡ s¡ vclocjdr,liil{rlul.Vla \r_ .rrrl.rl ,le sr centlo Je m¡.a,le'pu"s rlp qre lunrienz:r ,r i.otlir de nrre.,,. a a
a¡l :ltD: IÚ-
Figura p17.96
17.97
Una
h¡ru
delgarle v urrilbrme AB
est¿.r
eD rcposo enci¡1¿ de una
..¿ horizu¡t¿I. sin f¡rcciúrL, err¿rnrlo srr exb.emo A es goipeado con un lilAr_ r que liben un irnpr so perpendicrrl¿¡ ¿ l¿ hrrr¿. É¡ JI , nori ntr."ltu ,ub_ i:rrente. dete line la distancia r:!ente, dist¡nc;¡ ü /r que nré se <é rnover ,¡^-é'óá la l" bana h,.,." cada ,,,,.t..,,,,.. .,..^ com_ ....... vez qrre
:Late uDa revolución.
17.98
L,na
burr
delgadr
..'\,r1-\,riqr(tos. coluc¡Jus |"¡ A
-FgD. iÉ l! !,_
¡
urriti,rme de longirrrd L :e dejx,.;¡¡¡,,,1¡."
/1. InrneüalarnerrtF úte. (le gulp,.:r. , 'l;¡ldc la brLl:r es V,. Cor,ruI el .opurle B ¡"st; ur pulo .r;s,,h,,ir,t,,.A ella
- 5
Figura P17.97
xrE
ür ts:!!r¡:ff
Figura p17.98
17.99 Ltt har¡a delgada AB de Iongitucl I, fo¡r¡.r ul ¡ingulo 6 corr el - - ', eftical cu¿lndo llace contacto contra la ir r¡rerficie ,in |icció,t , t,,. ,,e , nrt.r-. É¡ l¿ ffgir¡¿, lleva¡do una velocidrrrl v1 y sin r elrciclud .r rg, rli,u-. Si el inr_ ::jto es perfect¿me te elástico, obtenga una exp¡csi(jn por.r li r.elociclad a -- - u ,le I,, b¡r'r¡ inm¡rliaf ¡rrcnl" .l"snrtos ,iel iin¡a.to.' 17.100 Urrrr bulu dclgatla r¡¡itbrme 48.le m,rsr r,r ¡ lorrgitrrrlL c.ae :. - r,É rte a vFlo( id,ul v, c.u.rnrlo ¡nl -\lre¡no B gulpeir r,nn,i,¡e"rit.ic 1i.,, rrr , ,¿d¿.en l¿ lorma,que se indica. Si el impat.ó Á p"*.",.,,i .l-irii"", --cnrlüe la rrlociJatl angular de la barra y la vel¡cidacil ' -.i, ill rediafirntente,les¡u.s d.l i r,rp:rclo
cle ""," su centro cle
Figuta P17.99
aÍ t!
.l-f-
t¡F !¡<
¿r¡
,?) g
:
l
;J
+t:¡D ór: 9ú lE¡T
¡
'17.101 Un ernbalaje cuadrado se c:rrga de manera unilor.me y cae Ii ,'.-meDte a velocidad q¡ cuando el cable AB se tens,t en for¡r¿¡ repenti¡a. Si -. :lrp.r( lo es ller li-( til rrcrte pl.istir.n. doten nirrr t,r , ,,ng,,to. J.t :-.rje,r la relocidLrd de su ccntro de ¡ras¿i iumedjatanente "to"i,t",t cleipués de ",,,_ que
-
:eDs¿
el cnble.
t, Figura P17.101
1' 1'-30
\¡ovrmiento plano clp cLrerpos r;sr.lo.: 'retodos de la enerq;a v la cdnr;d¿d de movimiento
Una ba¡ra delgacla y unilbnne AB de rnasa n y longitud ¿ se suelta desde el reposo en la posición que se rrruestl-a Si el irnpacto elltle la perilla B y Lr supe icie hoúzontal es perfectamente elástjco, deterrrlile a) io velocidad ar,gul.rt' de la ba¡r'a innediirtatnente después del irnpacto b) krs irrpulsos ejercidos sobre la b¿ula en Jos puntos A y B. (No tome en cuent¿r lai masas ie Jas perillas loc¿liz¿d¿rs en los puntos A y B ni la friccicir e¡tre ést¿s v h superlicie horizontal.)
17.102
--^ f''/....\
.,./,--_-
,,--
,--'' \ , -',,--'l--'"
B
\--''-.. - ''\ -.--' p
A.*"
r __
F¡qura P17.102
ban¿ delgada de 5 kg se suelta desde el reposo el ln po':h figrtr:a. Se obsen'a qrte después de choc¿l-coltlir la sr:' pe¡licie r crtje¡i, h b'rlrl rebot¡ h¡st¿r un¿ Posición hodzorltal ¿) Detemirl' cl coeli,i,r'i-d"re.lihlion"rrlrelaperilJrt/.¡ lasrr¡erli'ie /' Vrrostr''r"
17.103
Un¿r
ción rnostradn por
es¡e|,u.. el rni. rro fehol. firrir crrirl,lrriPr Pr'\ir'inrr d" ]a ¡erilla Ér crcnlír l:t ¡r¡.r dc 1., ¡"rill" A i,,rnÉ prrn,[e
Figura P17.103
K\
17.104 Una bal¿ de 0.06 Ib se dispala con velociclad ho¡izont¿rl har ' el extr-erno illériol de una bana delgadi cle 45 lb que se enclrentr¿ lnicr:mcnte en r-cposo en uli pl:rno vertical. Si la bala qneda incl-ustad¿r en l¿ ll¿r:' \'".el :ln{ulo inárimo cle lotaciór, de la b¿rrra en slr lno\¡imierlto subsecuen::: ,l' +i" -n el .*rlirlu rie I,s rn:r¡,.cillns tl.l rel'j. J"t, rrnine lLr rel'x i'l:r'l la bal¿r antes del irnpacto.
Fiqura P17.104 Y P17.105 17.1
05
Una bal¿ de 0.05 lb se dispara cor velocidad hoúzont¿l de rr
--
nLuJ isral a l5uU fL,¡r hrrcia el ertre¡ro intrrjor rle unr barrrr dplgacl" 'l .^ encue,rtr¿i lr- ln 1.. ciial i.i, i,],,,-,,1é rn plar-rcr nl"r',, rcrtic¿|. Si l.i 1..': =en reposo en un ^,,.l se lb. ^-,,,,^,,r", rnicial¡teDte b:-':- ' de la r de d' giro gi'o el ángulo áqgulo angrrlo in¡,¡,ctr¡l¡ l¡ h:rrm rletermi¡e rráúmo rnriünro elrrri'rimo en herru. cletermi¡e delermir'e la barr¿, ,tueda innrus(atla rlueda incrustada ^,.^,1" I
,ln
"l 'enti¡lo
de l¿. nrtn-tille: del reloj..n ¡rr rrro\imiFnlo
s'rh'c'u'll''
delgada y unifolme AB esth en equilibrio en l¡':' =ción rnost¡¿rda en la figura cuando al extremo A se le da un ligero gol¡c'rol, ausa qrt" h brrra gire en .enli,-lo ( onlrario d de las manelill's
17.106 Labar¡a
Figuta P17,106
\
!'olo.e la .,¡n*rfi"r. h.,rizonrll si
.l
Jr '-
loi
L +d Úr i
br
il¡
17.107 Ura barra
delgada y uniforme AB de longitud 1-
Problemas 1 1 3.1
= 600 mm
! coloca con su cenüo equidista¡te de dos soportes locaüzados a un¿ dishi¿ b = 100 mm uno del otro. El extremo B de la bar¡a se levanta una disio = 80 mm y se suelta; la barra
se balancea en los soportes de Ia
-ia &¡a inücada. Si el impacto en cada sopofte es perfectamente plástico y no o¡e deslizamiento entre la barra y los soportes, detennine a) Ia eJatra h1 ¡r alcanza el ertremo A después dei primer impacto, b) la altva h2 que al, el extremo B luego del segundo irirpacto.
-¡
Figwa Pl €l
ñ É dLf
"ln1 " 7.1
07
17.108
Un embalaje cuadrado se carga de na¡re¡a unifo¡¡re y se suelta el reposo con su esquina D directamente arriba de A, entonces gira qn-ado en A hasta que su esquina B golpea el suelo, y luego rota alrededor l8- El suelo es lo suffcientemente rugoso como para evitar el deslizamiento r €l inpacto en B es pedectamente plástico. Si se denota con ar¡ la veloci-
*glp
& ht
angular del embalaje inmediatamente después de que B golpea el suelo, o) la velocidad angular del embnlaje inmediatamente antes de que I olpee el suelo, ó) la fracción de energía cinética que pierde eJ ernbarlaje L¿¡te el impacto, c) el ángulo 0 a que gira el embalaje después de que B
&mrine
d L
¡{ra
el suelo.
17.109
Una bar¡a delgada AB se suelta desde el reposo en la posición
*ada; se balancea hasta una posición vertical y choca contra una segunda Lra idéntica CD que está en reposo sobre una superffcie sin fricción. Si el cficiente de restitución ent¡e las ba¡¡as es de 0.4, determine
&
l¿ b¿¡ra
la velocidad
CD inmediatamente después del impacto.
17.'110 Resuelva el problema 17.109, suponiendo que el impacto
es
¡rrfectanente elástico,
17.111 Un cuerpo ígido BD de t8 lb está compuesto por dos esferas
*iticas
de 2.4 in. de raüo y la barra que las conecta; el radio de giro cenes de 10 in. El cuerpo se encuentra en reposo sobre una superficie kizontal sin fricción cuando lo golpea una esfera A de 6 Ib y radio de 2.4 \' se mueve entonces como indica la ffgura a velocidad v1 de 12 fVs de
L-il,l
i-
-.gnitud. Si el impacto
es perfectamente plástico determine, inr¡eüata-
después del impacto, a) Ia velocidad angular del cuerpo BD, b) la ve-
-ate lddad del punto G.
Jde5. ¡da&l
.sL* ehün
^@
E¡ts.
::nhl¡.
b 's+bü> lo
i¿ F¡qura Pi7.111
(t) Figura Pl7,l08
' 132 '--
1
[¡ovimiento plano de Luerpos isidos: métodos de la erergra v la cantrdad .le movimiento
17.1 12 Resuelva el problema 17.111, suponiendo que el impacto entre barras es pedectamente elástico.
17,113 El bloque A de masa m está unido a una cuerda enrollada ¿l¡ecledo¡ de un disco uniforme de masa M. El bloque se suelta desde el reposo y c¿re una üstancir ft antes de que la cuerda se tense. Obtenga erpreiionei p,m lu velocidad del blrque y ia velocidad angular rleJ disco inrnedi¡tamené después del impacto. Suponga que el inpacto es a) perfectamente plástico, ü) perfectantente elástico.
Figuta Pl
7.1
1
3
17.114 El tabló¡ CDE pesa 30 lb y descansa sobre un Pequeño Pivote colocado en D. La gimnasttA de 110 lb está parada sobre el tablón en el punto C cuando un gihnasta B de 140 Ib salt¿ desde una altu¡a de 7.5 ft r iolp"" nl tublón "n "T punto E. Suponiendo un impacto perfectamente pláiú"ó y q.r" la gimnasta A está de pie erguida por completo, detennine 1¿ altura a la cu¿l se elevará la gimnasta .A
l_L
,1, r-l
Figurc P17.114
17.115 Resuelva el problema 17.114, suponiendo qrre los atletas canbian Iugales de manera que la gitnasta A salta sob¡e el tablón y el gimnasta B permauece de pie en C. 17.116 La bar¡a delgada AB de 2.5 kg se suelta desde el ¡eposo en la posición mostrada y oscila hasta una posición vertical donde golpea a la barla delgada CD que pesa 1.5 kg. Si el coeficiente de ¡estitución entre Ia perilla K unida a h 6a¡rá AB y la baua CD es de 0.8, deten¡ine el ángulo máúmo 0,,, a que ¡¡irará la ban'a CD luego del impacto.
Figura P17.116
17
La barra delgada y uniforme AB de masa ra¡¿ está conectada mediante un pasador al collarín C de masa rt¿ y el sistema desciende libremente a velocidad v¡ cuando el collarín C choca contla una superficie horizontal en la forma que se indica. Si se denota con ¿ el coeficiente de resti h.rción ent¡e el colla¡ín y la superficie, detemine a) la velocidad angular de la bar¡a irmediatamente después del impacto, b) el impulso que ejerce la superffcie sobre el collarín C. 17.1
Figura P17,117
17.118 La esfera A de masa m y radio r ¡leda sin desliza¡se a velociüd i1 sobre una superficie horizontal cuando choca frontalmente con una esfera idénüca B que está en reposo. Si se denota con ¡r,¡ el coe{iciente de fiicción cinética entre las esferas y la super€cie, se ignora la fricción entre las esferas, y se pupone un impacto perfectamente elástico, detern.rine a) las velocidades lineal y angular de cada esfem inmediatamente después del im-
pacto, b) la velocidad de cada esfera luego de que empiezan a ¡oda¡ uniformemente.
Figura P17.118
17.1 19 Una pequeña pelota de hule de ¡adio r se lanza contra un suelo rugoso a velocidad v¡ de magnitud o6 y contragiro ar4 de uragnitud ro6. Se observa que la pelota rebota deA aB, Iuego de B a A, y de nuevo de A a B, etc. Suponiendo un impacto perfectanente elástico, determine la magnitud o0 requerida para el contragiro, en términos de oo y r.
'
' t''
,r''
Figura Pl7.l19
17.120 En un iuego de billar, la bola A rueda sin deslizarse con vebcidad ve cuando golpea en forma oblicua a la bola B, que está en reposo. Si se denota con r el radio de cada bola y mediante p¡ el ioeffciente de fricción cinética entre las bolas y la superffcie de la mesa, y suponiendo un impacto perfectamente elástico, determine a) la velocidad lineal y angular de cada bola inmediatamente después del impacto, b) la velocidad de la bola B luego de que ha empezado a rodar unifotmemente.
Flgura P17.120
Problemas 11
Pt sa por
donde
flo.
S,
tación no de
En este c¿pítulo se consideró de nuevo el n.iétodo del trabajo y la energía y el método de impulso y la cantidad de movimiento. En la primera pafie del capítulo se estudió el rnétodo del traba¡o de la energía y su aplicación al análisis del movimiento de cuerpos úgidos y sisternas de cuerpos úgidos. Principio del trabajo y la enerqía para un cuerpo rígido
En Ia sect ión 1 7.2 .e eip¡6s¡ p¡r¡ero "l la energÍa para un cuer?o rígido en la forma
del cu
Li
de cur ¿rctúar
extenr en
Élo,
¡ri*ipio
del tralrajo ¡
p:rsadc
sibles
inteni, lt
-1-
Ut'-i
(17.1)
- l¡
donde ?1 y ?! representan los valo¡es inicial y final de la energía cinétic¿ del cuerpo rígido Ur*2 representa el trabajo de las fuetzas eÍtenTas qlre actúan sobre el cuerpo rígido. Trabajo de una fuerza o un par
En la sección 17.3 se recordó la e4rresión que se encontró en el capítulo 13 para el trabajo de una fuerza F aplicada en el punto
A, a saber
u.-,:
ur-.:
ds
(17.3',)
ft' v
,to
L
134
cl
que s€ Iseccii
grar ed
delac aplicac
Er
po qu€
(r7.5) dolde
Después se obtuvo una eqtresión para la energía cinética de un cueryo rigido cr'r moümicnto pl.rno f sección I7.4J. Se esc ribió
r-!mo2+f,1o2
1
bajo
Sin en
"0,
Figura 17.13
CI rllUe\-€
blerra
l"' fe cos a) ,,,
donde F fue la magnitud de la fue¡za, o el ángulo que forma con la dirección del moümiento de A, y s la variable de integración que :r'ride la distancia recorrida por A a lo largo de su trayectoria. También se derivó la expresión para eI trabajo de un pnr de lnonTento M aplicado a un cuer?o úgido durante una rotación 0 deJ cuerpo rígido:
EnergÍa cinética en movimiento plano
c¿ncel
(17.e)
donde ¿; es la velocidad del certro de masa G del cue¡po, r,.r es la velocid¿d angular del e7 su momento de ineriia alrede", dor de un eje que pasa".,erpo pol G perpendicular al plano de referencia (figura 17.13) lproblema resuelto 17.31. Se señaló que la energÍa cinética de un cueryro rÍgido en rnoümiento plano pu"d" s"paraise en dos plrtes: / f r la encrgía cinélir.¿ .l¡rr 2 asocicda ron el rnoümiento del tentru de masa G del cueqro. ¡ '2t la energía cinética ], /¿¿l asociada con la rotación del cuerpo en torno a G.
I_a
la c¿nt versoS
cas rígi
ferenci Se
mo[iDl
un sistr lsecció
C¿nt.
Para un cuerpo 1Sd9 g"u gira alrededor de un eje fijo que pasa por O con una velocidad angular ro se tuvo
7
h
r
L É
: !to,'
Repaso y resumen det caeítuto
i7 1135
Energía cinética en rotación
(17.10)
donde 1p fue el momento de inercia del cuemo alrededor del eie fijo. Se observó que el resultado qu" se obruuo'no se lirnita a la r.átación de placas planas o de cuerpos simétricos con l.especto al plano de referencia. aunque es váJida independlenternentÉde h loimr del cu"rpo o de la ubicación del eje de rotación. La ecuación ( l7.J r puede aplicarse al moürniento de sistemas de cuerpos rígidos fsección I7.51 siempre que todxs las fu"rzas que achian sobre los diversos cuerpos participantes así coilo -internas ertemas al 5¡stema- se incluyan en el cálculo de U1_2. Sin embargo er.' el caso de sisLemas compuestos por elemenlo. co-nectldos por pasadores o bloques y poleas conectadas nediante cuerdas inext-ensibles o engranes dentados, los puntos de aplicación de las fue¡zas intern¿s mueven distancias iguales y el trabajo de estas fuerzas se _se cancela [problemas resueltos 17.I y 17.2]. Cu¿ndo-un cuerpo rígido, o un sistema de cuerpos rígidos, se nueve bajo la acción de fuerzas conservaüvas, el pri-ncipiJdel tra-
Sistemas de cuerpos rígidos
Conservación de la energía
bajo de energía puede erpresarse en la forma T1
I
¡
*Y1=T2IY2
(17.\2)
que se conoce como el principio ,,le la conseruLcüjn de la energía lsección 17.61. Es posible utilizar este prin(,ipio parü resolv"r pr:oblemas que impllinn fuerzas conse, at,ras cotrto Ia fu"rra de l" gravedad o la que ejerce un resorte lproblemas resueltos 17.4y 17.S]. Sin errrbargo. cuando se va a determin¿r una reacción. el pi¡ncioio de la consenación de la energía debe co rnple rne nt"rr" ."di-tÉ l" aplicación del principio de d'Alembeft lp.óbl"-a resuelto 17.41.
f-
) ¡
En la sección 17.7 se amplió el concepto de potencia a un cuerpo que gim y que está sujeto a un pa¡ se escribió Potencia
:
dU dr
M¿O
dt
:
Mot
Potencla
(17.13)
donde M es la magnitud del par y ro la velocidad angular del cuerpo. La parle media del capítulo se dedicó al rnétodo del imoulso r Ia canlidad de rnoümientó. a su aplicación en Ia solución'de di ¡ rcrsos ti,pos de problemls que inclu¡en el moüm¡ento plano de placas ígidas y cuerpos rígidos simétricos con respecto aiplano dJre_ fe¡encia.
Se recordó.primero el principio del impulso y la cantídad de nnDímipnto en la fo¡ma en que se deduio en la slcción l4.g oara un sistcrna de particulas y se iplicri aI máoimiettto t\o ntgido "uetpo lseccjón I7.81. Se escribió
Cant. Mov. Sist.1
*
Imp. Ert. Sist.r-2
:
Cant. Mow Sist.2 (r7 .74)
Principio del impulso y la cantidad de movimiento para un cuerpo rígido
1136 ' '--
laovimiento plano de cuerpos rrgidos: merodos de la enerqia v la canLidad .ie movimiento
A cor.rtinuación se demostró que para una placa rígida o un cuerpo rígido sirnétrico con respecto aI plano de referencia, el sistema de las óantidades de movimiento de las partículas que forman el cuerpo es equivalente a un vectol nÑ conectado con su punto de aplicación er.r efcertro de mnsa G del cue¡po y un par ko (ffgura 17.14). EI vector
Figura 17.14
mv se asocia con la trasl¿rción del cuerpo con G y representa Ia cratfirlrttl tle nnui.ntiento lineal del cueryo, en taDto que el par ft,r corresporrde a lrr lot¡rciór del cue4n alred"dor de C y represenh la rntrfitlorl de nnri¡tiento angular deI tuelpo alrededor de un eje que prrsa
por G. La ecuación (17.14) puede erpresarse en folma gr'áffc¿r cor.no se lnuestla en la figura 17.15 dibujando tles diagramas -que representen, respectivamente, ! sistema de las c¿ntidades de noün'iiento iniciale;del cuerpo, los impulsos de las fuerzas erterras que actúar' sobre el cuerpo y el sistema de las cantid¿des de movimier.rto fin¿les del cuerpo.
+
F¡gura 17,15
Al sunrar
e igualar de manera respectivalas componentes x, las
9o1ylos motnenlos rededor de ruulquier punlo dodL' de l'* vectores que se indican en la figura. se obtjenen lres ecuacione: .r. movimienlo que pueden resolverse respecto a las incógnitas de-idas fproblemas resueltos 17.6 y 17 7].
p,,,nunlvs q
En problernas que tiener que ver con varios cuerpos ngidos ctnectacloi lsección ,t2.9]. c,rde óu.rpo puede considerarse de nr¿¡-ra separadl iproblema resuello 17.61. o si no ¡ntervienen rná\ G rres incógnitÁ. es posible aplicar el principio del impulso ¡ la c. :'
tidad de movimiento al sistema completo, considerando sólo los impulsos de las fuezas ertemas [problema resuelto 17.8].
Repaso y resumen delcapítuio
17 1 137
Cuando las Iíneas de acción de todas las fuerzas extemas que actúan sobre hn sistema de cuerpos rígidos pasa por un punto O, se conserva la cantidad de movimiento angular del sistema alrededor de O lsección 17.101. Se sugirió que los problemas que implican la consenación de la cantidad de moümienlo angulat s" r"suelvan con el método general que se describió antes fproblema resuelto 17.8].
Conservac¡ón de la cantidad de mov¡m¡ento angular
La última parte del capítulo se dedicó af mouimiento impulsioo ext ánlrico de cuerpos rígidos, De la sección 17.l I se lecordó que el método del impuJso de la cantidad de movimiento es el único método práctico para la solución de problemas que implican el noümiento impulsivo, y que el cálculo de impulsó en tales ploblemas es en pafticular simple lproblema resuelto 17.9].
Movimiento impulsivo
En la sección 17.12 se recordó que el impacto excéntrico de dos cuelpos ígidos se define como un impacto en el cual los centros de
lmpacto excéntrico
y al impaclo
masa de los cuerpos que chocan no se localizan sobre la lfnea de im-
pacto. Se demostró que en una situación de este üpo se sigue cumpliendo una relación similar a Ia que se dedujo en el capltulo 13 para el impacto central de dos padículas y en la que interviene el coeficiente de restitución ¿, pero que s¿ d.eben usar ku Delocid.ades de los puntos A y B d.onde ocure el cont&cto darante el irnpacto. En consecuencia
("D"
-
@Á)": el(oi"
-
@a)"1
(r7,le)
donde (r-r¡), y (o¿). son las componentes a lo largo de la línea de irnpacto de las velocidades de A y B antes del impacto, y (oát y (oi)" son sus componentes después del impacto (ffgura 17.16). La
%@ d) Antes del impacto
Eura
b) Después del impacto
17.16
ecuación (17.19) es aplicable no sólo cua¡rdo los cuerpos que chocatr se mueven con libertad después del impacto, sino también cuando están parcialmente restringi'dos en su ñoümiento. Debe usarse
,im.to cor.r una o varias más ecuaciones obtenidas a1 aplicar el prinei¡lo del impulso y la canüdad de movimiento fprobiema resirelto fi.lO]. Tambjén se consjderó un problbma dond-e es Dosible conrifnar el método del impulso v la üt¡dad de moümiento. v el mébdo de trabajo y la enérgía [probl"-, resuelto 17. ] t l.
17."121 y 17.122 Una barra delgada de 6 kg puede girar en un plano veftic¿l en torno a un pivote colocado en B. Un resórte de cánstante k i 600 N/m y-longrtud no deformada igual a 228 mm se ffja a la barra en la forma indicada. Si la brna se sueltr destle el reposo err Ia posición qun se nruestr.a. dcterrnir¡e.u vclocid¿d angular despuÉs de l,aber girado 90.i
Figu'a p17.122
17.123 La platafomra de 18 lb está soportada conro se rlluestra IJcr¡ dos discos unifo¡mes que ruedan sin deslizorsá sobre todas las superficies cle conla(to. El peso de cada disr'o.s 12 lb y el radin correroonde,,, = 4 in. Si el sistema está inicialmente en reposo. ileterrnine la veiocidad cle la plataforna luego de que ésta se h¿ ¡rovidlo 15 in.
,
\l -
Figuta Pl7.123
17.124 Dos barras u¡ifbrmes, conectan para
fomar
c¿cla
una de nasa,?? y longitud ¿,
se
el mecauismo que se muest¡a. El extreío D"de la bá.ro BD ¡rrede d.sliz,trse , libenad pór ld rirnut.ir horizontal, en t¿nto que rl cYl,erno { de la barr.¡ AB se srr\tiene rnerliarte un pxador ,rna rnélsuln 1 Si cl ertrer¡o D se rnueve bgerirmente IraL.ia la izqu'ierclu ir"eo *" .uelf, I
o
detcmrine su relocidad cu.indo 4, esti di¡e¡.tam.nie aba¡o
AB está en posición vetical.
d. a. b,
la ba,r"
Figura P17-124
Figuta P17 -125 't
138
17.125 EI volante de 700 lb de un pequeño malacate tiere un radio de giro de,24in. Si la energía eléctric¿ sáinierrumpe cuando l¿ velociJad angllur del rolante es Je lr,0 i?m en el senriclo de ias manecillas del relo1. deLermine el Liem¡o requerido paru que el siqlema guede cn reposo.
1
7.1
26
Un neumáttco de radio r y radio de giro centroidal ft se suelta
:
desde el reposo sobre la rampa mostrada en el tieü;po t 0. Si el neumáüco rueda sin deslizarse, determine a) la velocidad de su centro en el tiempo r, b) el coeffciente de fricción estáüca requerido pam evitar el deslizamiénto.
t
r Figura P17,126
17.127 U¡ disco de 1.134 kg y 100 mm de radio está conectado a la horquilla BCD mediante flechas córtas provistas de cojinetes en los puntos B y D. La horquilla de 0.68 kg tiene raüo de giro de 75 mm alrededor del eje :r. Al principio, el mecanismo gira a 120 rpir con el disco en el plano de la horquilla (@ = 0). Si el disco se perturba ligeramente y gira resp-ecto a la horquilla hasta 0 : 90', donde se detiene gracias a una birrá pequena puesta - en D, determine la velocidad angular ffnal del mecanismo.
Figurc P17.127 1_7. t 2€ En el helicóptero que muestra la figura, se usa una hélice ve¡_ tical de cola para evitar la rotación de la cabina cuando va¡ía la velocidad de
las héLces principales. Si no está operando la hélice de cola, dete¡mine la ve-
krcidad angular ffnal de la cabina después de que la velocidad de las hélices principales canbia desde 180 hasta 240 rpm. mm. (La lI ¡ velocitlad velo¡id,d de d^ las la< héiices héti¡ac prin_ ñ-i- ¡rincipales cipales se mide respecto a la cabina. y éita tiene un momento de inerci;en_ hoidal de 881 kg . r¡'. Cada una de las cuatro hélices principales es una barra delgada de 4.27 m y masa de 24.9 kg.)
¡.
+ :,
Figura Pl7.128
Problemas dé
repaso 1139
1
140
lrov¡miento plano de cuerpos rísidos: métodos de Ia energia y la cantidad de movimiento
17.129 U¡abela de 40 g es üsparada con velocidad horizontal de 600 contra el e¡tremo inferio¡ de una barra delgada de 7 kg y longitud L = 600 mm. Si h : 240 mm y la barm está inicialmente en rcposo, determine a) la velocidad a¡gular de la barra inmediatamente después de que Ia bala quedaincmstada, b)la reacción impulsivade C, suponiendo que la 6ala quede inc¡ustada en 0.001 s. nr,/s
'17
el cual
lijad( rizontal es
muesta¿
que ést
de ¡ota¡ el ral<
r
17.
Figuta P17.129
17.130 Una barra delgada y uniforme AB de masa nr y longitud 1- golpea un soporte_fgido sin fricción en el punto C a velocidad angular de magnitud r,-r1 cuando la velocidad de su cent¡o de masa G es de cero. Si la veIocidad angular de la barra inmediatamente después del impacto es @r/2, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, y se suponáun impacto perfectamente elástico, determine a) la razón h/L, b) lavélocidad defcentr6 de masa de la bana inmediatamente después del impacto, c) el impulso ejer-
forme d so en Ia
\ate C,
que éstr lo de rot mo r- el
cido sobre la bar¡a en el punto C. Figura P17.130
17.131 Se disp¿ra una bala de 1.25 oz con velocidad horizontal de g50 IVs contra una üga de rnadera AB de 18 libras, La viga está suspendida de un collarín de peso insigniffcante que puede deslizane á lo hrgo de una barr¿ hodzontal. Ignore la fricción entre el collaín y Ia bara y dJtermine el á¡gulo máúmo de rotación de la viga duante su moümienio subsecuente.
*--::T*l
il;l
17.1
d.
I
irl !l ,.t-l +_
4fr I
p.-
Ila¡ín de rertical I utilice so hcid¿d d
cilad a¡:
vo
FiEura P17.131
Figwa P17.132
17.132 EI elemento ABC pesa 5 lb y está unido a un pasador colo cado en el punto L Una esfera D de t.b ib choca en el punio C del ele_ mento ABC con velocidad vertical v1 de 9 fVs. Si I, = 30 ii. y el coeffciente de restitución entre la eslera y el elemento ABC es de 0.5, áetermine par¿ inlnedialamente después del impacto ¿r la velocidad angular del elemento ABC. ó) Ia velocitlad de la esfera.
"r,{
17'C1 d
La bar¡a lieera AB rlé 10 h se suelda al disco uniforme de 6 lb,
lyd, c"3 al¡ededo¡ de] pivote en e. Un resofte es
d-e;;;_i.i'_l
r"! lozn fi¡ado aldisco y está indeformado cuando la barra AB está en posición ho rizonlal. El mecanismo ,e libe¡¡ a p",tir,t"t ."foro'In'ü";.,fi;;"'l'" ," muestra. Calculey grafique la relocidad *grr"ri.i d" que ésle La girado un ángulo o or." ,*r?, á" e ¿"rjJo b,_'"]tCrn de rolacjón má,.ima. Derermjne la vqle¡¡d¿j " ¿¡g¿ary el valor ¡qt artardje¡te de 0.
,"""*r5r;i;::, ,Jm";;jl;;:;i:,n"
Dos
ligeras de 3 kg se sueldan a.l borde de un disco uni_ torma i¡dicada. El.mecanismo .e lib"ra de.de ei l."po_ ::::,:"_1"].-g-.t qüe,se l" muestra y oscila de r¡an_e¡a Libre ul."d"do. á"i pi_ ::,:tt;".f?"1""y gratique.la velocidad amgular ¿"¡ ,""""";,Ilro ¿",rti. ::j^":, a" que esre^",:,:1n rra grrado un ánsulo á nar: y¿l¡¡p5 de 6 desde 0 t*1" O-. if angu_ lo de rotrción rnáxima. Dite.miie ta,eloctdad anjrlai',,rJ;;j"i ;::un,, mo y el valor correspondiente de 0,
,^_^r^r-,91,
falras
, 17.C1 La baua ligera y uniforme AB de longitud de poso desca¡sa sob¡e "una pequena rueda o Ilarín de masa despreciabJe q'ue 'puede "n 1-"rre d".1";.;
l, :
40 in.. v 10 lb
;""";;# "r";',,,, ¿; li;"'n"j'j#i"";^;;
*_a" eT o,
Ia ba'.ra se suelra desde ,"p"." ;.H1^?Lj:l^""'^0-Ln ,) v rleficar urur(rsorrware naja calcuJar "r l¿ velocldad anguJar d" la
¡
¡*
locidad det,e¡trÁmo uí&.. cle d desde 0 r,*i""soi G-dad angular máxima de la ba'a 1 el valor corerf.rará"
bar¡a y Ia vc_
óoi#rl' ' il'" i"r. "ü ri.'
1141
1
142
Movimiento olano de cue,pos nsidos: meLodo< dF la enersia y la uantid¿d de mov¡m¡ento
F¡gura Pl7.C4
17.C4 Cada una de las dos barras liger¿s e idér'rtic¿ls que se muestra¡ tieneD üna longitud 1- = 600 nr¡. Si el sistema se suelta clesde el reposo cu¿rndo las banas están hodzontales, utilice software par¿r calcular y gralicar la velocidad nngular de la bar'¡¿r AB y la velocidad del punto D para valores cle 0 desde 0 h¿rsta 90". 17,C5 El collarín C tiene ur peso de 5lb y puede desliz¿r¡se sin fric, ción sobre la bi¡n'a AB. Un resorte dle co¡sta te ¿le 3.75 lb/in. y longihrcl nrcleforrnacla i-¡ : 95 in. se conect¿1 corno sc rtrLestr-¡ al culJrrin r.al ejr B Se sabe que el rnomento de inercii¡ de l¿r masa tc¡t¿i de l¿r b¿rn a, eJ eje y el re sorte corresponc:le a 0.22 lb . ft . s: ¿l¡ededor de B. Al pr.irrcipio el collarín se mantiene ¿r una clistanci¿ de 25 il. descle el eje de rotación medi¿ute un pe queño pasaclor qrre sobresale en la bir¡¡¿r. El pasador se quita cle repente cuando el mecanisüro est¿i girando en un plano horizontal con velociclacl ¡ugulal r,-,¡ de 10 ra
Figura
P
l7.C5
17.C6 La barr¿r AB tiene uD peso de 6 Jb 1' ss ....a,. en A un carr. C de l0 lb. Si el sistema se suelta desdc el reposo cudndo 0 : 45" y se iqnorr. la fricción, utilice softlv¿re par-a calcular la u.Jocidrtl del c.rrro y lá velocidac del ext¡erno B de Ja barra pala valores de 0 desde *45'hast¿ g0'utilizanclc decrer¡entos de 15". Mediante el e¡rpleo apropiado de decrementos rnás pe, queños, detennine el valor de 0 para el cual la velocid¡d clel car¡o hacii 1. izquierda es n-iírirta y el valor corresponüente de la velociclad.
Fiqura P17.Co
ta¡¡ o50
i:¿r FÉS
tlai¡r-
Si l-
P.-
17,C7
Una esfe¡a unifo¡me de 200 m¡r de radio rueda sobre una se_ barras Lorizontales paralelas separadas por el mismo espacio de d. Cuando rueda sin deslüar.se ah.ededor de una barra deten¡inadia, la esfe¡a choca con la siguiente barra y empieza a rota¡ alrededor de ellas sin desli_ ¿drsc. hrsLa que hace con{aclo con la siguiente barra, etc. Sj se :upone un impacto pedectamente plástico y se sabi que la esfera tiene una velocidad angular <,.16 de 1.5 raüs cuando su centro de mas¿ G está directamente aür_ ba de la bar¡a A, utilice softwa¡e para calcular, t"rp"",o uulor", ,l"i-.-ucia¡niento desde 20 hasta 120 mm. utjlizando incrámentos" de .10 mm, aj la vetocrdad relocidad angula¡ angular rrrl r,-', de la Ia eslera cuando G C pasa ü¡ectamente sobre Ia ba_ rra B, b) el número de bu¡as sob¡e las cu¿lis la esfera rodará después desnués de dejar la barra A.
rie
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Problemas de
computad-" 1143
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lr-l-r-l
(1)
(3)
Figura P'17.C7
u::
¿i ü&
ry
{ü
cAPírulo
si b¡en los princ¡pios generales que sé han aprendido en los capítulos anteriores pueden utilizarse de nuevo para resolvef problemas que ¡mplican el movimiento en tres dimensiones de cuerpos rígidos, la resolución dé dichos problemas requiere de un enfoque dlstinto y résulta considerablemente más amplia que la resolución de problemas b¡dimens¡onales. Un eiemPlo de esio es el estudío del movímiento de un trompo giratorío que tiene un punto f¡jo y un eie, el cual puede asum¡r cualqu¡er orientación en el espacio.
.18.1. !NTRODUCCT0N
18.1 1A.2 18.3
lntrodubción Cant¡dad de mov¡miento angular de un cuerpo rígido en tres dimensiones Aplicación del princip¡o del impulso y la cantidad de movimiento al movimiento
En los capítulos 16 v 17 sc cstudjó el lnovirniento plano dc cuerpo, gidos ¡'de sisternas dc cuerpos rígidos. Er el capítulo 16 v cr la seq da rritad del capítulo 17 (rnétodo dc l¿ c¿urtid¿d de noünricnto). n,:.tlo cstudio se hrnitó aún nírs a las placas pialas 1'de cuerpos sinrótri. (1,rr rpspe( lo Jc reléren, i:r Sir' nrbrrgo. rlr, lr,'. ,1- 1., 'Ll ¡rlrrro sultados fund¿rneltalcs que se obtuvieron en (]sos dos capítulos sigu.l sieldo vr'rlirlos (:n cl caso clel rnovi¡rielto de urr cucr¡o r'ígido err trr. dirnensioles. Por ejemplo, l¿s dos ecuilciones fi¡ndarnelt¿les
tridimensional de un cuerpo
18.4 18.5 18.6
1A.7
18.8 18.9 18.10 18,1
1
rígido Energía cinética de un cuerpo rígido en tres dimensiones lvlovimiento de un cuerpo ríg¡do en tres d¡mensiones Ecuaciones de movimiento de Euler. Extens¡ón del principio de d'Alembert al movimiento de un cuerpo rígido en tres dimensiones N/lovimiento de un cuerpo rig¡do alrededor de un punto fijo Rotación de un cuerpo rígido a¡rededor de un eje fijo l\,'lovimiento de un g¡roscopio. Angulos de Euler.
Precesión estable de un g¡roscopio Movim¡ento de un cuerpo asimétrico con respecto a un eje y que no se somete a ninguna
luerza
)F - niá :M(- : É(.
(15
(1s
:
sobre las cu¿les se b¿só el ¿rlíüsis dcl mor.ir¡iclto plano de un cuerlo : , gido siguel sieldo r,rílidas err el ciiso rnírs gr:nr:riil tlel nror.,imiento cle r: cucr¡o rígido. Como se jndicó er l¿r sección 16.2, est:rs ccuacioncs expr. sarr que cl sistcnra dc l¿s lic¡zas crtcm¿rs es eqrúpolelte ¿l sistcnta co: sistelte err el vcctor aia fijo en C y al par-de nton,ento H,_- (figura 1!.
.t,
l'.'
¿
(:Ó
t'
'-
{ ' tir F¡gura 18.1
Sir ernbugr, la nrlacirjn Hg :7
Asi¡rismo, si bien l¡r c¿r¡¿cterístic¿r p¡ncipal dcl mótodo del irrrprL so-c¿ntitlacl cle movi¡nielto quc sc annlizó en lir sr:cció¡ 17.7, esto c. l¿ reducción dc cantid¿rd cle molir¡ricrto tle lns p:rrtículas de ul cue:, po rígido ¿ rul vector de r¡ovirtiento lincal irñ fijo nl centro de rnris. C tlcl crrerpo v ul par dc cattid¿d de rnovirniento angular- H¡;, sigu. sier.rcl<¡ riílid¿r, la rel¿rcirir.i FI¿: la debe Jrscartalse y srútibrirsc po: la relici
1146
en_tres dimensiones. Sin embargo, la expresión que se obfuvo en la sec_
x¡sÉ %ürIIrc3-
kiE DS
re-
lgtn r tei
ción 17.4 para
eler$a cinética de rrr, ígido en movimiento fa "uerpo plano era sushturda por una nueva erpresión desarrollada en la sec_
18.2. cantidad de movimiento ándrrár de un cuerpo ngido en lres dimensiánes
ción 18.4 para un cue4)o rígido en moümiento tridi rnens ion al. parte del capíhilo capítu1o se aprenderá a det.rminar determina¡ la ¡a_ . En Ia segunda parú zón de cambio cambio H,; Fl6 de la cantjdad de moümiento angular H6 del cuer_ po ngido tridimensional, utilizando un sistema de ,Ef"."rr"ñ ,oi"to¡o con respecto
aJ cual los momentos y los productos de inercia del cuer_ po permanecen constantes (sección Ig.5). Las ecuaciones (lg.I) y (1S.2) se erT)resarán entonces en forma de ecuaciones de diag.arnas je cuer_
po fibre. las cuales pueden ulilizarse para resolver diversos problemas
r<
lp.) mú-
ler
¡Fe-
ct--
erI
que irnplican moürn¡enlo tfidimensional de cue¡pos :ígidos iseccion.s 18.6 a 18.8). La ultima parte del capitulo (secciones lg.9 a lg.1l) se dedica al estudio del movimiento del giroscopio o, de manera más general, de un cueT)o simétrico con respecto a un eje con un punlo fr'jo Iocrliza_ do sobre su eje de simetría. En la sección lg.l0 se considlra el cast_r particular de.1a precesión continua de un giroscopio y, er., l" ,""ciór, 18.11, se analiza el movimiento de un cuerpo siméirico con resDecto a un eje que no está sujeto a elguna frrerza. .ol.o,u p.opio peroi
-18.2.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAF DE UN CUERPO RíGIDO EN TRES DIMENSIONES En esta sección se puede observar cóuo la canüdad de moümiento angular H6 de un cuerpo alrededor de su centro de masa G pl,"d" á"t"._ rninarse a partir de la velocidad angular ar del cuerpo en el'caso de mo_
ümiento tridimensional.
De acuerdo con la ecuación (14.24), la cantidad de movimiento _ gular del cue¡po alrededor de G puede e4)resarse como
H":) (ri xvi Lm¡) dí II
¡rel!b
an_
(18.3)
donde.rj ¡ wj denotan. respectiv¿rmenre. el vector de posición la v \e_ Iocidad de la partÍcula p¡. de masa An4. relativa al sistema d. Áfer.rl_ cia centroidal Gryz (frgura 18.2). pero vi : a x rj, donde .^, la .,."_
",
brh er-
+ ea
tr-
6oE¡D'oi
¡
^"-
!-arauorecnti i,--'--t S. tmi$CrflhContou_ri
gseoj Figura 18.2
i 147
1
148
Cinetica de cuerpos risidos en tres drmenspnes
locidad angular del cuerpo en el instalte considerado Al sustituir en (18.3), se tiene
Hr:)
lrl x
i:l
(ar
x ri)
Anr¿l
Si se recuerda la regla para determinar las componentes rectangulares
de un producto vecto¡al (sección 3.5), se obtiene la siguiente erpresión para la comPonente r de la cantidad de moümiento angular
E
d,
t(
A, =
i t:1
:2 t:L
lVl- x
-
r',)"
z1(a
x ri)rl
ci
Lm1
d
cl
t¿
l,tr(o.t1,
-
@,frr.)
-
zi(a¡,
-
t'tizi)l Lml
ü
c
(1
: ,-2
ii
Q? +
z!)
Ltnt
- a,,2 x,Un Lmi - a.)
A1 sustituir las sumas Por integrales en esta expresión
presiones similares que se obtienen para
H, y H'
¡
zrx, Lm,
y en
1as
dos e]i-
se tiene
u,: rJQ' - z2t dm - .olxg dm - a.[zx dm Hu: -*,lxg dm - u,o[t:" - ¡2) dm -
(r8.4)
Se ouede obser.¡ar que las integrales contienen cuadrados que represen'tan- resoectivam ánte,los molnwntos de inercia centroidal¿s del cuerpo alr"dedir de los ejes r. y y z r sección 9 II ): se tiene
f,
=
ltq
t-
:!) dnt ¡-,
:
jrx2
fa
- J k' I .t') dn
(18.5)
+ y2t dm
De manera similar,
1as integrales contienen productos de coordenadas que representan 1o s productos de inercí.a de masa centroidal¿s del cuerpo (sección 9.16); se tiene
I"r: j xy dm Ir,: I yz dm I*:
J zx
&n
(18.6)
sustituir de (18.5) y (18.6) en (18.4), se obüenen las componentes de la cantidad de moümiento angular Hg del cuerpo a.lrededor de su
A.1
centro de masa
(18.7)
I
Lirs rel¿rcioues (11i.7) muestlan qrrr: Ja operación que transfirrma al vector'(o en el vector H¡; (figura 18.3) se car.acteriza por el arreglo de rnomcntos v ¡r'odrrtto.i de ilr¡rci¡
(i_t i)
18.2. cantidad de mov¡miento ansular 1 de un cuerpo ríqido en tres drmensiones
(18.8)
El arreglo (18.8) delile aI tr:ux¡r tl¿ i¡tercia del crrer-po en su cenh-o de nas¿r G. t Se ollterd¡í¿r urr nucvo allegJo tle monrc¡tos v pr.odrrctos rlc irercia si se usaLa un sistona de ejes diferelte. L¿ trarifor.n¿rción c¿racterizada por-este nuevo ,rneglá. l.ir enrbar-go. scguirÍa siendo l¿ misn¿r. Es claro, 1¿r cortid¡d de moünierto angrrlrrr H¡; correspordiente a una r.elocid¿xl angular dada or
es
independicnte de
la eleccitilr de Ios ejes dc coolden¿tlirs. Couro se ntostró érr hs seccjo les 9.17 y 9.18, sieurprc es posiblc seleccion¿rr un sistema de ojes Cr'q':', derrorrinados cjus princi¡xtlcs cl.e ürct cit, con r.especto a los cuales todos krs productos tle ilercia de un cuerpo d¿rrlo són cero. El arrcglo (18.8) tr¡rra la fomr¿r diagonalizada
/1. r) o\
(l ',t,i)
(1E.e)
dondc 1,',i,r,, 1., r-epresenttrn los ruonr ento\ ¿1? inercia culttttidales TtrbLciprtles de) cuerpo, y las lelacioncs (18.7) se r-cducen a
Ll,,:1¡o.'
Hu':Íu-u
H. :1.a.
(lh.10)
Aclviértasc que si los tres norrclttos de ilerci¿r centroidalcs prirrc{ralcs 1,,, 1,,', 1., son iguales, las cornprnentes H,,,H,,,H.,leLic¿ur-iclarl de rnoviuiento trngular ¿lre.ledor.clc G sor pro¡orcionrles I las - llponcDtes @r,, ú)tt,. @-, de la velocitl¿d angular, y los vectores Hq v ¿¡
sol colincales. Sin etl. bnrgo, en general los l.iolnentos de inercia II¡;y a tendrín. dü-ecciones
: incip¿rles scrán diferentes v los vcctores ::i'.'rcntes, s¿rlvo cn¿rnclo tlos de
l¿. tres corl¡uncrrtes Je or seln cero,
.:-o es, cualdo (o apLllte r Jo largo dc uno de los ejes de coo¡dena..'. Por consiguiertc. la ca.ntidnd Jt ttuttinticttt,, ,tlgular H. ,le u,n .. tlto rígítlo y su acbcidad angulor a tianen ln rtústta direación si. y I , si. a est¿i rlirigído a Lo largt d.c tm cie prirLr:ipaL.l
,:,17,:l,,. lu= /:.,L= 1¡:.1 lr= r,.. 7,.= t,.ut( rst.stri( .. i,,cr(ia
118.8)
er h lor¡¡a
cscrihj, rt
rc.,
est¿'urd¿r
(i'i ;,' ;,') It',rot¡ ¡¡cxliante Hl,1/¡, 1/. llrs cornponertcs dc la cantidad de rno\irxicrk) a¡gut¿r rrcrlii¡rte .o,, or, r¿¡ las compo¡,enics de l.r velocirl.d ¡nerl¿r ro, se pucclcrr cscrjbir. .Lcn,n.\ (l¡i.7) cn 1¡ ¡rr,¿
I
Ht=Vturr ::- ,
\.i toxun
:.::n,i
l: .: :.¡
dc
los v¿lorcs 1. 2, 3. Sc aiinna qUc las Qr|ticlacl0s 1,, sorr l^s cottlpolp tes esto qüe I,j 4¡, el te¡isor de irercj¿ cs r .¡ltcnNor sit11étli.a ¿( ,e-
ircr.iá. P
:
l,: t :7
t1 cavr p:rlicrrlar e. , u.t,¡,i., tnr, r qi," ¡rsc ¡or c ¡ rcctc "i,r"" ¿' !c como un eic prhcip¡Ll dc ino,cia v los \€crores H(; \.(d siemprc ron colitle¡tr:s.
Figura lS.3
149
1
150
rísidos en tres
:r'1".1"j.*""uerpos
Puesto que esta condición se satisface en el caso de noümiento pJalo de un cuerpo rígido simétrico con respecto al plano de reférencia, en las secciones 16.3 y 17.8 se replesentó la cantidad de moümiento ¿r¡gulal H6 de un cuerpo de este tipo por el vector ko. Sin embargo. se debe roconocel que este resultado no puede extenderse al c¿so del no-
:i
¡c :. li:
ümiento pl¿rno de un cuerpo no sinétrico, o al del movirniento tridimensional de un cuerpo rígido. Excepto cuando o¡ esté dirigid¿ ¿ lo lalgo de un ejc principal de inercia, la cantidad de movirrriento anguIar y la velocidad angular de un cuerpo rÍgido tiene direcciones diler-entes, y la relación (18.7) o (18. 10) debe usarse para deterninnr H. a partir de o.r. Reducción de las oant¡dades de mov¡rn¡ento de la$ partículas de un suerpo rígido a L¡n \Jector de cantidad de rno\r¡m¡entc y a un !:ar en 6. En l¿r secciór 17.8 se trató que el sistema form¿clc por la cantidad de movimiento de las diversas partícuhs tle un cue4; ígido puede reducilse ¿ un vector L fijo al centro de n.ias¿¡ G del cuer po, que represent¿ la cantidad de noviniento lineal del cuetpo, I'a u.. 18,1 El diseño de un sistema robótico de soldadura para una línea de ensamble de automóvlles requiere un estudio tridlmensional tanto de cinemática como de cinética. Fotografía
Figura 18.4
par H¡r, que leprescnt¿r a la cantidad de movjmiento angular del cuer po alrededor de C (figura 18.4). Ahor.a está la posibilidad de deter¡,: nar el vector L y el par H¡, en el caso más general del movimiento trdinrensional de un cuerpo rígido. Como en el caso del moümien¡ bidimensional considerado en la sección 17.8. la cantidad de n.rovinier.to lineal L del cuerpo es igual al producto rnv de su r¡asa lr y l¿ r elccidad v de su centro de masa G. Sin ernbargo. la caltidad de movirLierrto angular Hc ya no puede obtener.se multipljcando sinrplenrente i. velocid¿d angular r.r del cuer?o por el escalar 1; ahora deben obtene¡." de lls componenle\ clc ¿d ) dc los rnomerrlos r ¡rotluclor tle inerr.centroid¿ües del cuerpo rneüante el uso de la ecuaóión (18.7) o (18.lr_r Hay que obseruar que una vez que se ha determinado la c¿urtidal de movimiento linenl niv y la cantidad de movimiento angular H,; de ri: cuerpo rÍgido, su cantidad de moümiento angular He alrédedor.de cu..quler punto dado O puede obtenerse sunando las cantidades de mc, vilriento al¡ededor de O del vector ri¿y v del par H6. Se escribe
H¡:Fxmi*H¡; Ir
(18.r1
-:rl -JJ ---t¡ :-a
-:
'.
H-. =:..:
'.:
oh Freo<.i.r q imieoio * :mba¡go- * aso del u' iento
Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido restring¡do a girar alrededor de un punto fi¡o, En el caso pafticular de un cuerpo úgido restringido a girar en el espacio tridimensional alrededor de un punto fijo O (figura 18.5a), a veces resulta conveniente
úento trirL Ürgro.i ¿ .E' iento ¿nelF
ioa€s di&r rtrrinar IIc
ls
partÍ:'
ovimieÍ6 na form¿do
r¡r¡
cnerll}
a)
F¡gura 18.5
!
del c¡rrrpo, \-¿ rE
determinar la cantidad de movimiento angular Ho del cuerpo alrededor del punto fijo O. Si bien H6 podría obtenerse calculando primero 116 como se indicó antes y utilizando después la ecuación (18.11), en muchas ocasiones es ventajoso determinar Hp directamente de la velocidad angular c.r del cuerpo y de sus momentos y productos de inercia con respecto al sistema de referenciá OrVz centrado en el punto fijo O. Si se recuerda la ecuación (I4.7), se escribe
Ho:)(r,xv,Am,)
(18.12)
¡:1
donde r¡ y v¡ denotan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la patícu1a Pi con respecto al sistema de referencia ffjo Ory:. AJ sustituir v¡ : ar X r,, y después de lealizal manipulaciones similares a las que se usaron en la pade anterior de esta sección, se encontró que las componentes de lacantidad de movimiento angular H6 (figura 18.5b) están dadas por las relaciones
H,: *1,a, - I*ra, - I*.a" Ho - -Io"a, + I,tav - I!J.@^ H-: - I-^.to- - I-..to". 1- l-a'-
r del c-wre
deterci-
miellto tri-
lo\imiento mo\in}ien-
¡r'l¿ r elo-
(18.ls)
donde los momentos de inercia 1,. 10. 1. y los productos de inercia I.r, Ir- Io se calculan con respecto al sistemr de referencia Oxyz centrado e}l el punto fijo O.
mo\inüe!emente Ia
l
obterer-
de inercÉ
ó.1S.tf, a ca¡¡tid¿d
H6 de rm rr de cuales
de mo-
ribe ,
15.1
1
-18.3. APLICACIÓN DEL PHINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO AL MOVIMIENTO TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RíGIDO
Artes de que sea posible aplicar la ecuación fundamental (18.2) a la solución de problemas que implican el movimiento triümensional de un cuerpo rígido, se debe aprender a calcuLar la derivada de1 vector
IIc.
Esto se hará en Ia seceión 18.5. Los resultados que se obtuvieron en la sección anterior pueden, sin pmbargo, utilizarse de manera ürecta para resolver problemas mediante el método del impulso y la cantidad de movimiento.
'18.3. Aplicación del pr¡ncipio del
impulso
y la cant¡dad de movimiento al movimiento tridimensional de un cuerpo rigido
1
15'l
1152
Cinéiica de cuerpos rígidos en tres
Si se recuerda que el sistema folmado por la c¿ntid¿d de urorrmiento de las partículas de un cuerpo rígido se reduce al vector de cantidad de movimiento lineal lrv fijo en el centro de masa G del cuerpo y a un par de canüdad de n.ioümiento angular H6, se representa grá{icanente la relación fundanental
Cant. Mov Sist.r + Imp. Ext. Sist.l-2
-
Cant. Mov. Sist.z(I7.
1l ¡r
-¡:,,¡l
T-
1
mediante los tres dibujos que se presentan el la figura 18.6. Para resol ver un problena detelninado, es posible uülizar estos dibujos para e: LII¡1)1
I]
f
t,,4\ ,
Fotografía 18.2 Como consecuencia de la fuerza impulsiva aplicada mediante una bola de boliche, un p¡no adquiere tanto cantidad de movimiento lineal como cantidad de movimiento
E
,.k*^ (:ó
-L
angular.
Figura
,)
/,)
a) '18.6
cribir conrponentes y ecuaciones de momento apropiadas, tenierdo -: sente que las componentes de la canüdad de movimiento angular I1 relacionan con las componentes de la velocidad anÉgl¿r or medi¿nt. ecu¿ciones (lE.7) de la sección precedente. Al resolver problemas que üenen que vel con ei moülriento de Lu, cue?o que gra alrededol de un punto ffjo O, ¡esultará conveniente eün.fnar el in.ipulso de l¿ reacción en O al escribir una ecu¿ción que inclu ya los momentos de las c¿ntidades de rloümiento e irnpulsos con r-espec to a O. iecuérdese que la ca.ntidad de r.noümiento angul¿r H6 del cuerpo alrededor del punto fijo O puede obtenerse direct¿l.rente de las ecuacio r.res (18.13) o calculando pdmero su cantid¿rd de movimiento line¿l nv,, su uomento angular H¿ y utiJizando después la ecuación (18.Il).
I,.I
slolli
1;.:
l
el
c¡r
sioni
cle e:
-1S.4^
ENERGíA CINÉTICA DE UN CUERPO BíGIDO EN TRES DIMENSIONES
Iesp(
Conside¡e un cuer?o rígido de masa nr en movimiento tridimensional. Recuerde de la sección 14.6 que si lu velocirlad absoluta v¡ de cada parlicula P, d"l cuerpo se er?resr como l¡ surn¡ de lr relocid¿d i tlel c"rlro de masa C del cuerpo ¡ de la relocidad vl de la pltícula rclali,,. al sistema de referencia G:rq: cor origen en G y de orlentación fila 1figura 18.7), la energía cinética del sistenra de partÍculas que forman al cuerpo úgido puede escribirse en la forrna
T: \niz +1)
a¡¡,12
(18.11
firic. !ef
\l,t¡
15.l
T
'l:l
donde el último térnino representa
Ja enerqia cinética T, del cuen¡o re_ lativa al sjstemr de referencir centroid¿] G-ry:. puesfo que uj : lrr; -
lr,r
x rj].
se escribe
7,:a'
Lm,ui2
:
!),b r,!f t-,
osil
rlx
-1-
e c?!F
üeryo a
sri
Al erpresar el cuadrado en términos de componentes rectangulares del producto vectorial y sustituir las sumas porintegrales, se tie"ne
l153
- ,lltco,g - (l.rsf - ktrz - a,yt2 - (@.r - .,¿t2l dm - il*?l\a" - z2t dm r af;l'22 - r2t dtt, t ,olJ' 2 + r12¡ dm - 2a,aolxy dnt - Zaoa_,[yz dm - Zo'.a,ja dnl
T'
l;_i r€501-
o, al recordar las relaciones (1S.5) y (13.6),
r?
r' - trl,al -
€_{-
18.4. Enersía cinética de un cuerpo rígido en tres dimensiones
lr.l.i,
+
i-.ll?.
- zt^,,.,r,
Zt,uow,
-
2t.,a,u,t (18.15)
/li,
Si se sustituye en (18.14)1a expresión (18.15) que se acaba de obtener para_la energía cinética del cuerpo relativa a ios e¡es centroidales, se escribe
r
:
+^o" +
+ ioal +Í".2;_ zi*r",'__ - 2lo.aro. - 2l^a.a,)
+(i,@?,
(18.16)
. . Si los ejes de coordenadas se eligen de manera que coincidan en el,instante considerado con los e¡es p"rincip ales r' , y, ,'2, del cuerpo, la relacron que se obluvo se reduce a
T
prF-
tc ¡e :e
}¡i
F ÍJII
3r+ rx'L-
p€(ñ-tE
Ti¡f-
'IBL
+1,...,'i.1
(r8.17)
Los resultados obtenidos perrr.riten aplicar al movimiento tridimen_ O5 un cuerpo ngido el principio dél trabajo y la energÍa (sección ;i31at I | .2) y la conservación de la energía rsección I 7.6/.
.
Energía c¡nética de un cuerp_o ríg¡do con un punto
.
fiio.
En
el caso particular_de un cuelpo ngido que gira en el espaclo tridlmen_ sional alrededor de un punto fijo ó, h üerrta cinéuca áel cuerpo pue_ de ex?resarse en términos de sus momentos y productos de ineicia-con ::.p::to.u los ejes con origen en O (figura iS.S). Si ," recuerda la de_ trrucron de la energía, cinétic¿ de un sistema de paftículas y se susütu_ ye D¡ - lv¡l : l@ X 41, se escribe
etr-
r
ü\a
4
+ Itl,.a? r to.al,
donde v : velocidad del centro de masa ar : velocidad angular _ _ ln : masa del cuerpo ígido I¡,Ir,,1,, - momentos de inercia centroidales principales
Hr(6r¿I
t,
= ntu2
: ii,t"el : !i,1.,,,1,
t*,
(18.r8)
Manipulaciones similares a las que se usaron para obtener la ecuación (18.15 ) producen
f
=+Q,@1
+
Itazv
+ l"@:
-
2lora.au
-
2l*r,-o(,-.
F..
-
2l*a"a") (t8. re)
o si los principales .ejes como eJes coordenados,
r:
x,
. y, .
z,
del cuelpo en el origen O se eligen
+Q,,ai, +
r,r,@1,
+ t.,o)!,)
(18.20)
.)
PROBLEMA RESUELTO 18.1 Una placa lectmgrrlar dc r¡¿s¿ ¡r¿ suspeudicla de dos alamb¡es en A v B se golpc:r cn D cn una direcciór per¡endicrrlll a l:r placa. Denotrndo pol F ^f el irrpr so aplicac!.r en D, dete¡minc inmccli¿f ¿¡r¡cntc dcsprrés del inpacto ri) ln vclocidacl tlcl centro de m¿s¿ G, ú) la velocidad argulal tle la placa.
soLUctoN Slponierrtlo que los alanbrcs pcrm¿lnccen tcnsos v que en consecuencj¿ las collrponeútes o,, de v I'ro. de ¿o sorr cero despLrés clel ir¡pacto, se tielle
t:Ai+¡.k a:a,i-lt't,,j v pucsto qllc los cjcs r, 17, : s(ln eies p ¡cip¿lles cle inercia, (r) fI.¡.: l,o¡i I l,,a,,j H": ,fni/rzro.i + lnta2a,,j Plincipio dcl irn¡rrrlso r c¿r¡tid¡r
T\:\/
c) \do<.idltl dcl ccntro dc rn¿s¡.
Si se igralan li,rs componcntes de
los in-rpulsos r' las c¿ntic'lades de rr¡ovimiento en
l¿rs
r- co polrertes: 0 : rrri.. 1i.: 0 i colrporentes: ¡ At = D¡t'. l=: -F t:¿i+-k
direcciones
r v::
Al/nt
i:
iIl¡/l¡rk
{
D) \'elrcidad angulur. Al igual:u los r¡o eltos cle Jos impulsos v las clnticlacles de úro\düiento al¡ededor de los cjes r y 4: Alrededor clcl eje r:
!"bp
Alreclcdor clel eje
!"aF
r¡:
H6:H,i+H,,j Si
.r 'r,rrl.rlar la. o, r¡.r¡ ior'¡: .I ¡ o, : 6F LtfnLb
a:
Se
obseru que
¿d
o4i
* a,j
Lt : u, Lt : H, Hc : +bF 2.
Lti
.. ((,rrll\,
!2aF
Ltj
(2)
qu,.
a,,: -6F Ltf rna a: i6F At f nnlt)i,rti /;jl {
está dirigid¿ ¿ lo largo de la diagoral AC.
Ol¡sen'¡tción: AI igralar las cor-nponentes y de los impulsos r' las cantidades de Doül¡iento, ¿sí corno srls rrorrentos ¡}rdeclor dcl eje :. sc ob ticnel dos ecu¿rcio¡es trclicionales clue producen T.\ = T¡r : j\y. Dr es¡ rna rer¿i se verific¿r que los irlrrnbres pernanecen ígidos v que la suposiciírn fue
1
154
PBOBLEMA RESUELTO 18.2 Un disco homogéneo de radio r y masa rrl se monta sobre unr,r flech¿ OG cle Jongitud L y n.iasa despreciable. El eje se aticula en el punto fijo O. r el clis, co está restringido ¿r rodar sobre el piso horizontal. Si el disco gir¿ en serrti do contüuio ¿rl de las manecill¿rs del reloj a la velocidad o1 nLededor cle la llecba OG, detel¡ine c) la velocidad angular del üsco, D) su cantid¿rd cle r¡o vilniento angular alrededor de O, c) su energía cinética, d) el vector y el pa r. en G equivalente a las cantidades de movimiento de lns parlícul:rs del clisco.
soLUcrÓN a) Velocitlrcl angul¡r, Cun¡do el disco gira alrededor de h llecha OG también gira con el eje ahededol del eje r7 a una velocidad roe en el sentido de l¿rs n¡anecill¿rs del reloj. La velocidad angular total del disco es entonces
=
al1i -rj
(l)
Para cleternrinar t-r2 se escúbe que la velocidad de C es ce¡o
vC=¿dXra-:0 - orej) x (li rj) : 0 (La2-rco¡)k:0 a2 = ra¡f L (ct-r1i
@: (¿ti: t'(,,t/1,)j <
Al sustituir' (1) en o2:
D) Cantidad (lc rnoviúlicnto lngul:rr alrederlor.de
O.
Suponierrdo
que la flecha es p:ute del disco, es posible considerar que este mismo tenga tn punto fijo en O. Puesto qlre los ejes r., y y: son ejes prilcipirles de inercia para el disco,
: I,a, : (jrir.rz)rot H,,: 1,,a,, : (mL2 r lni)(-rar/f) H.: I=a. = (nL2 -r ]rirl)O = O H. : .l¡rr¡rr¿ri rrill,: + lr:)1r-co,/l-;¡ .( 17,
c) IJncrgía cinética.
AI utiüzar los valotes que se obtuvieron para los
mome¡tos de inercia y las conlponentes de @, se tiene
r = lT,ri
+
r ua?t
+
r
=a:) = !t!,.,rf
,l
+ m(L2 + lr2)l - nr,
i
-
,,,-
/ L)21
(,' I )," .
d) !'ector de cantid¿rcl do rn<¡virnient<¡ I' po" ,.pl;.o.t,,
Ut
vecto¡ de cantidad de noüniento Jineal azv y el par de cantidad""de".noviDriento angular Hg son
rtñ
Hc =
l
¿o.i
:
rrrr_o¡k
I
+Í,,,a,j +Í=,a-.k: f,rnfo¡i + lnP(.-raJL)j H.,
:
irrrr-:o
(t ¡¡r¡)
1
.,
155
1
En, esta lección se aprendió ¡ c¡lcrlar la catúi¿lqd rle nu¡ximiento angular tle un cue4to rí gido en tret d:ímensionee y aplicar el principio del impulso ¡, Ja cantidad de moümie¡to al úoümiento tridirnension¿l de un cuer?o rígido. También se aprendió a ctlcl'lar )a energítt cinético cle u¡t cue.o rígitlo en tre, ¿ i¡ncnsú,n¡ r. Es i mportaúte tencr. presente qu", ..rlun par¿ situ¿ciones rnuy especiiJes, la c¿ntirlad cle LDo\i¡ltie¡Lo imgtrlar de ,lr cuerpo rígiclo en tres ümensiones r¡o prrede expresarse como el proclucto 1ar ¡ por-lo tanto, iro terirlrala nLsmrL cl.irección qtLe kr or,tocitlad ancrllnr z,r (figur.a 18.3).
l. Para cqlcukr la cuntiducl cle moximienlo angular lla; de un cuetyo rígido alreded¡¡r tle su centro cle ¿¿¿¡s¿¡ G, es neces¿lrio determin¿rr primero la velocidnd angulrr.<.r deJ crreryo con respecto ¿l sisterna de eaes centra¿os en G q tle orientacicin ./y'a. Puesto quc en est¿ Iección se lc pedir:i sólo dcterminiu la c¿ntitlad de rnovimiento angú1ar del rt ",,eilro urL ínstante dulo, elija el sistema de ejes que resulte más conveniente para los cálculos. a) Si se conocen k* ejes prbrcipules de ínercia del cuer¡xt en G, utilice estos ejes como cjes de coo¡den¿rdas r', y' y a' , y^ que los correspondientes prodrctos de inerci¿¡ tlel cuerpo serán igrales_ a cero. Desconrponga ar en la,s componentes or,, coy v ra=, a Jo Jargo de estos ejes y calcule los r¡omentos de inercia principales 1¡,i, eÍ=,. Las componentes corespondientes de l¿ c¿ntid¿d de moüúiento angular H¡; son Hr' = I¡ar' b)
(18.10)
lot ejes principales tle inercia tlel cuento e/r G, serí necesario (I8.7) para detenninar las componentes de la c¿ntidad de movimien
se cr¡noc¿n
_ _l-i utiljz¿1r l¿is ecuaciones
to angular H6. Est¿s ecu¿ciorles reqrrieren cálcuJos previos tlelprorhr,to tle inercitL d,el ouer po, así conro dc cálculos prer.ios de sus rlonlentos de inercia con respecto a los ejes seieccionados.
c) Lu nagnitttd y los cosenos; direct¡¡res de a l¿rs utilizaclas en Estátic¿ [sección 2.19]. Se üene
H(j
H":fH|jH:+H? H,, cos 0" :H. cos 0u: Hc i
se obtiene¡ cle fó¡r¡ulas simila.es
cos 0-
=
H.
¿
d) Llna xez que se hu determinad<¡ ll¡;, es posible obtcner l¿r cantjdad cle movinie¡ to angrrlar clel cuerpo tLretledor tle anlquier punt; d¿.lo O observando de la figura lg.4 que
Ho:ixrrrv*H¡; donde i es el vector de posición cle C relativo a O, neal deJ cuerlo.
y rrñ
(rs.ri) es
l¿r
canticlad de moümiento
li
2. Pura calcular l¿t cantideú cle moaim,ient¡¡ ary4ular lI¡ cle un cu.erpo úgitlo con utt ¡tunto fijo O siga el plocedirriento r¡re se describe en el párra{b 1, con la excepción de qrre debe utilizar en este caso ejes centr¿dos en el punto fijo O. a) Si te conocen l
1156
(I8.I0).
se coñoce lo$ ejes principales de inerciu del urcrpo er¡ O. es treces:uio los calcular prodrctos, ¿1sí colno los ffornentos cle inerria tlel cuer?o, con rcspecto tr 1os ejes qrre se h¿rr seleccionado y uülizal las ccuaciones (18.13) pnra detenniDar ]as colnPoncntes (le la cantidacl cle nrovi iento angular Ho.
b) 5i rlo
i). I'uru oplícar eI prinL:i¡tio rlcl ímpulso y la cattidutl
cle
motinúe¡tr¡
¿!
l¿ soluci¿nr
rrr problema que iliplica eJ rnovilriento tridiücnsional de ur crrerlo diclo, se utilizarÍr l¿ rnis¡r¡ ccr¡¿¡ción vectorial que se utilizó parii el rnovitnielto Pl¿no or el capítrtlo 17, cle
Cant. Mov Sist. r + Imp, Ext. Sist. r-e = C¿nt' Mov.
Sist.¡
(1Í.'1)
d<¡nde los sisteln¿s dc c¿1r1tid¿des (le rno\.iüierlto inicial -r, firt¡i sc lcPrcscntan c¿d¿r rr¡o media¡te rrn .^¿¿for ¿l¿ ¿antitkrl le nroLinúenlo linea[ nti rn't pttr tlc uLutil.atl tle ¡trooinric¡tto tngular FI¡ . Sin enrbargo, ell este c¿so estos sistem¿s dc vector- v P¿u deben rePresent¿use
t
en tles dirnensiones coüo ¡li, ó err el ¡irr,Jir I
ser
ilustta e¡ la ffgura 18.6 y 116 dcbc dctelnri¡¿rse como se ex-
a) lhr problemas qüe impli<:.l1t la uplicución de un imPulso ut ocí¿o 4totcuarpo cliagramns de cuetpo lible colrcsponclicntes a la ecr¡¿rciór't (17.4). Al igualar las cornponerltcs clc los vcctor-es implicaclos, se detenlliu¿tríI¡ Lirs cantidaclcs de morir¡iento lineal ¡lv del cueryo )/, por consigujente, l¿ velocicil¿cl col resPor rdiente I clc su ccntro dc nrasa- lgrrnlanclo l¿is clntid¿cles de ¡tovi¡ric¡to alretleclor de G, se cletc¡rrin¿rá la canticlad de niovirnicnto angulal liral H¡; del cuerpct. Después sc sllstituiriin los valores qrle se obhrvieroD para las compolentes dc Hc etr las ecrlaciones (fE.f0) o (llJ.7) y sc ¡csolvcrán estas ect¿lciones para ltis valores colresPoldicntes cle las componentes de la velocidarl angul.rr or dcl cucrpo lproblenrr resrrelto 18.l].
rígido. rlibrjc las ccu¿¡ciones cle
b) Ln problenvts qua implican inqtulsr* tlesuntotidos se dibuja una ecu¿ción dc tliagr:rni,rs cle crrer¡o libre corresponcliente ¿ la ecu¿¡ción (l7.,1) v se escl iben eor.rci ,les que no incluycn ilrpulsos desconociclos. Estas ecu¿ciones prredel obtcncrsc al igualar rnonen tos irlretledol clel punto o lírca cle irnpircto.
1, Part <:ulculqr lu energío tiné|.íco
¡le
rn
cuerpo rígklo ccn
ut pu
o
fijo O
se
descornpone la vclociclacl angular ar en cornponentes n lo largo de los ejes que sc clijirn r sc calorlan los moürentos y prochrctos tle iner'ci¿r clcl cuerpo con r-esPecto a esos cjcs. Como ocur-rió en el caso r1el c¿ilculo dc l¿ c¿ltic'l¿d tle rnovimielto :rnguliu, utilicc krs ejes prilci p:rlcs dc incrciir r', i7' ;-:' si es l:1rcil ¡leter¡rtin¿ulos. Los procluctos cile irter.ir scril ctr csc caso cero lproblerna resuelto 18.:] ! l¿r e\presión para Jii energía cilética se rechrcilíl ¿ T
:
j(1. ,ri, +
I,t a?t
+
I=
a:,)
(r8.20)
Si es ¡ecesario utilizal otr-os eies diferentes a los cjes principales tle irt-'r'ci¡, Iir elergíl cirética clel cueryo debe erprcsdse corlo se lldica err la ecnación (I8.I9).
5.
Pura calcular lo energítt cilética de un cuerpo rígitlo en nr¡t'iniento generul.
considere el moür¡ielto como l¿ sur¡lr aIe ütit trasktci(rl catt cl centro de nla\n C q und ra¡. tot:ión olradeclor rJe G. La energí¿l cinética irsociada cori l¿ tr¿sl¿ciór es ],,,r sl es puril'le rtilizar eies principirles dc incrciir, ]a energía cinética asociad¿l con la r¡t¿lción alrededor de C puede expresarse en l¿i loma utiliz¿da en la ecrr¡ció¡ (18.20). L¿ cncrgía cirótica total clel cueryo rígido es eltonces
7:lntl2 + ](l,ri
+ 1,,.1,
+i-.1-1
(18.17)
Si es neces¿lrio utilizd e-ies (liferentes a los ejcs principales de inercia para deterninar la energía cinétic¿ asociada con l¿ rot¿cióD alredeclor cle G, la e ergíir cilétic¿1 tot¿l del cucrpo debe expresirrse corro se indica el la ecuación (18.16).
cu¿d ¿o
al¡
trurii canti
t¡o d
t Una barra delgada_de,5.4 kg se dobla para fomar ur marco , _1,9 , cud reca una flecha ¡ gira ¡lrededo¡ de su diagonul co,no in_ :1lq*l " sr sect une ur( a ra rgürit. (nsamble hene velocidad angular de rnagnitud con
r¡ =.10 ¡adl¡, dete¡r¡ite la cantidad de moümiento a]¡ededo¡ de su cent¡o de masa G.
ang;J ii;d"l ;;..
i
Figura P18.1
1,
tangul gadas
Figura p18.2
UT p]"ca cuadrada delgada y homogénea de masa ltt y lado a se -..^,^l^t:, sueroa a una echa veñical AB cnn la cual forma un ángulo de,45.. Si la flecha girc con vclocid¡d a¡guldi, constanle moümiento angular
úr. detcnninc la - c¡nüdad - * " de
H, de 1,, plara L¡.lrecledor del
punto
a.-
11
tante
ú
const¿l
mientc
18.3- Una bana unifo¡me AB de 3.6 Ib se srreld¿ en su punto medio ^ a una G flech¿ ve¡tical GD. Si la fl"cha grra con ;;'locñJ,;ó;;;';"g nitud.onstante ", - 1200 mm. rlerermjná l" ",ntidn¿-¿o .orgi;;;;,;g, lar H6 de la ba¡¡a ¿l¡ededoi de G .
d*9 d:lg^t hornogéneo ,.1" masa m raüo r eslá r¡ontrdo ^r-^t1Í. Y" nonrcntal 46. El nlann d.l djsco fo¡ma un)anguJo p _
so{Jre er ele
ZO. rcrticd. Si el eje esrá.girando con relocidad ",),, ;;?;;;i;" lormado por el eje y la r.anti.lad de rnoümiento ""g"i";;. jl deJ cli.co ,lr.d"do."iii"[,
la
?1.
F¡gura P18.3
t8.l tante ¿rl
1158
Figu¡a P18.4
DCE qu
de morir
18,5
Problemas 1
Un palalelepípedo rectangular sólido de trasa r¿ tiene una base
cuadrada de lado ¿ y longitud 2a. Si este cueryo gira a la velocid¿rd coustante ¡,r alrededo¡ de su diagon¿¡l AC' y esa rotación se obsewa desde A con-io contraria al sentido de las manecillas del reloj, determine a) la magnitud de la cantidad de movir¡iento angular Hqr del paralelepípedo trlrededo¡ de su cen tro de masa G, á) el ángulo que H6 fbnna con la diagonnl AC'.
l:-
::a L1
Figuta P18.5
18,6 Resuelva el problema 18.5, suponiendo que el pnralelepípeclo rec tangular sólido es sustituido por uno hueco y constituido por seis placas delgadas de metal soldadas entre sí.
L
18.7 Un disco homogéneo de rn¿rs¿ r¿ : 8 kg gira a h velocid¿d const¿nte @r : 12 raüs respecto al brazo OA, el cual gira a su vez con velocidad const¿nte @2 = 4 ¡acVs ¿rl¡ededo¡ del eje y. Detemine l¿ cantidad de movimiento angular IIa del disco en tomo de su centro A.
t:
t: L.
F
¡=100mm Figura P18,7
18,8
:
Un üsco homogéneo de mas¿ nx 6 kg gira a la velocidad cons16 raüs respecto al brazo ABC, el cu¿¡l está soldado a una llech¿r DCE que gira a la velocidad constante o2 = B rad,/s. Deternine l¿ c¿ntidad de movimiento angular H¡ del disco alrededo¡ de su centrc A. tante @r
:
F¡gura P18-8
159
I 160
Cinética de cuerpos ngidos en tres d¡mens¡óñés
_18.9 El proyectil de 60 lb que muestra la figura tiene radio de giro igual a 2.4 in. al¡ededor de su eje de simetía, Gr, y radio de giro de 10 in. en tomo de su eje tranwersal, Gy. Su velocidad anguJar r.r puede descompone$e en dos componentes: una dlriglda a lo largo de Gr, la cual mide la oelocidnd de giro del proyectil, y la otra a Io Iargo de GD, que mide su oelocidad, de prec,esión Si á = 5'y la cantidad de movimiento angular del proyectil alrededor de su cent¡o de r¡asa G es Ha = (0.640Ib . ft . ,i - (0¡18 lb.ft.s)j, determine a) la velocidad de giro, b) la velocidad de precesión.
P¿
t¡
re
F¡gura Pí8.9
18.10 Dete¡mine la cantid¿d de movimiento angular H¡ para el proyectil del problema 18.9 ahededor del centro A de su base, si su cent¡o de masa G tiene velocidad v de 1950 fVs. Proporcione su respuesta en términos de conponentes respectivamente paralelas a los ejes r y y y al tercer eje
¡
d¿
que apunta haci¿ el lector
18.11 Deterrnine la cantidad de moümiento angular He para el disco del problema resuelto 18.2 a partir de Ias expresiones que se obtuüeron pua su caltidad de movimiento lineal mv y su cantidad de uroümiento angular
ü
Hc, utilizando las ecu¿ciones (18.11). Verifique si el resultado
de
es el mismo
Jt si
que el obtenido ¡reüante cálculo directo.
18."12 a) Demuestre que Ia c¿mtidad de moümiento angular H¡ de un cuerpo rígido alrededor del punto B puede obtenerse al suma¡ la cantidad de moümiento angulru Ha de ese cuerln al¡ededor del punto A y el producto vectoúal del vector r1/ts trazado desde B hasta A y la cantidad de movimiento lineal mv del cuerpo: HB
-
l: \
l¿
HA I rA,ax mi
b) Demuestre además que cuando un cuerpo ígido gira alrededor de un eje fijo, su cantidad de moümiento angular es la misma alrededo¡ de cualesquiera dos puntos A y B ubicados sobre el eje fijo (H¡ = H¡) si, y sólo siel centlo de rnasa G del cuerpo se localíza sobre el eje ffjo.
18.13 Determine la cantidad de n.roümiento angular He pa¡a el disco del problena 16.7 alrededor del punto O. 18,14 Determine la cantidad de movimiento angular del problema 18.8 alrededor del punto D.
H¡
para el disco
18.15 Dos b¡azos en forma de L, cada uno de 5 kg de masa, se sueldan a los puntos que dividen en tercios a la flecha AB dJ600 nm para forr¡a¡ el ensamble mostrado. Si el ensamble gira a velocidad constanú de 360 rpm, determine a) su cantidad de movimiento angular H¡ alrededor del punto A. b) el ángulo que lorman H¡ y 48. Figura P18.15
18.16 Pa¡a el ensamble del problema 18.15, determine c) su canüdad de movimiento rovimiento angulru ansuliu H" HB alrededor del puito nunto B, B b) el rncnln ángulo fo¡mr¡^ formado por -^" Hs y BA.
_¡¿
€{r
Lrc
-a$l 18.17 Una b¿rra de 10 lb con sección transversal unifo¡me se utiliza para forrlar la flecha moshada. Si Ia flecha gira con velocid¿rd angular constante @ de 12 ¡aÜs, determine ¿) su cantidad de movimiento angular H¡; alrededol de su centro de masa C, b) el ingulo fornado por Hg y el eje AB.
Probremas 1
nm
750
Figura Pl8.l7
161
/rl
t
18.18 Determine l¿ c¿rntidad de r¡oümiento angular para la flecha del problema 18.17 aL'ededor a) del punto A, ó) del punto B. 18,19 Dos placas triangulares, cada r¡na con n.rasa de 8 kg, están sold¿das a una fleclra vertical AB. Si el sistema gira a la velocidad constante ¡.¡: 6 rxVs, dete¡mine su cantidad de moümiento angulal alrededor de G.
7s01'"",
Figu'a P18.19
18.20 El ensar.nbJe que se muestn consiste en dos piezas de hoja de aluminio co¡ espesor uniforme y masa total de 1.6 kg, las cuales están soldadas a una flecha delgada sostenid:r meüAnte c(¡inetes instalados en A y B. Si el ensamble girn con velocidacl angular de magnitud constante ¿¡ = 20 nüs, deterrnine su c¿urtidad de moümiento angular Hs rürededor del punto C.
18.21 Un
alambre de sección tra¡Nvelsal uniforme cuya rn¿sa es de
1,2 kg/rl se usir para fonnar la {igur¿ que se muestra, la cual se suspende de (5.4 l¿r cueld¿r AD. Si a esta ffgura de alambre se le aplica rn impulso FAr N . s)j en el punto E, determine a) la velociclad de su centrc de masa G, b)
:
su velocidad angular
Figúa P18,20
I 225 mm
F¡gura Pl8.2l y P'l8.22
18.22
Un alambre de secció¡ trunsversal uniforme y masa de 1.2 kg/m formar la ffgura que se muestra, la cual se suspende de la cuerda AD. Si a esta figura de alambre se le aplica un impulso FAf : (5.4 N.s)i en el punto E, determine a) la velocidad de su centro de m:sa G, á) su ve, locidad angular se usa piua
J
I
1
162
Cjnét¡ca de cuerpos risidos en tres
18.23 Ties barras delgadas homogéneas, cada una de masa m y longitud d, se sueldan entre sí para forrnar el ensamble mostrado por la ffgura, el cual pende de un alarnbre conectado en C. EI ensarnble es golpeado en el punto A con dirección vertical hacia abajo. Si el impulso cor:respondiente se denota con F deterrnine para inmedi¿tamente después del impacto o) la velocidad del ^f, de m¿ua G, b) la velocidad angular del ensamble. centro
18.24 peado err
.l
18,25
Resuelva el problema 18.23, suponiendo que el ensamble es gol-
pun(o B con dirección opue'tr.r la del eje :. Una barra uniforme de masa m y longitud 5a se dobla en la for-
rra que se muestra y se suspende de un alambre conectado en el punto B. Si la ba¡ra se golpea en el punto A en la ürección y negativa y el iri.rpulso corresponüente se denotacon -(FAt)j, deterrnine para inmeüatanente des-
pués del impacto a) l¿ velociilad del centro de masa G, b) la velocidad angular de l¿ b¿¡:ra.
ir
F¡gura Pf 8.25
18.26 Resuelva el problema 18.25, suponiendo que la bara se golpea en el punto C en la dirección z negativa. 18.27 Una barra uniforme de masa m se dobla en la forma que se muestra y se suspende de uu alambre conectado a su centro de masa G. La b¿r:ra doblada se golpea en el punto A en ürección perpendicular al plano que la contiene (en la dirección:: positiva). Si el impulso correspondie;te se denota meüe¡te FAf, determine para inrneüatamáte despuéi del i¡rpacto a) Ia velocidad del centro de masa G, b) la velocidad angulár de la barra. Figurc P18.27
se
18.28 Resuelva el problema 18.27, suponiendo que le golpea en el punto B.
a
la barra doblada
r--{ryrr*
18.29 El eje de coolclerudas que se rnuestl¿l leprcsclt¿l los ejes p trcipales centroidales de i[erci¿ de urln soncla esplcirl cle 15001
1
:
Figura Pl8.29 y P18.30
18.30 El eje de coorc'len¿rtl¿rs
qrre se úlrrestr¿i leplese¡t¿r los ejes
plil
cipdes centroiclales de inerci¿ clc una so¡cla cspaci:rl clc 1500 kq cu¡'os r:rdios dc giro son k, : 6.
centro ale
n¿1sa
de la srnda es clc
l
-17 lllrn/s, dcteriiile a) la colipolente
linal de la soncla, b) la velocic'lacl relativa v¡ col r¡re el rneteorito clroca contrr el panel.
ar. de la velociclacl angulirr
ll
Una placa cilculm de rurüo a \'rnasd ,r1 estil sopoft¿idl por r n rritula er el pulto A v gila nh'ededor del eje r7 con r'elocidad ¿rngulü corrstarrte úo : to¡j crrardo se introduce de traler':r r'epeltina ula obs tfircci(in en el punto B en cl pJirno :r4. Si el irnpacto en el punto B es perlcu-
18.31
iulicl
¿ición de
tamente plástico (e : 0), detenline pir¿ ilmcdilt¿ne¡te después del iltplc to zt) la velociclad angrlu de h placa, ü) l¿r velocicl¡rl dc su cent¡o clc m¿s¿r G.
18.32 Detcnrjne du¡iurte el imprrcto pol purito A.
cl impulso ejelcitilo sobr e la plncn del rz)
problen¡
|./
Figura P18"31
18.31
l¿ ol¡st¡ucciól en el punto B, ü) cl sopoltc en cl
18,33 Un satélite de 1200 kg d¡eñado pirr:r estrrdiar el Sol tiene vcc,r¡: (0.050 raüs)i + (0.075 rad,/s)k cuanclo se activar dos pequeños proprrlsores colocaclos en A v ll err dirección paralela al eje y. Si locidad angular
los ejes coordcnados sol ejes certroidales plilcipales, los nclios de giro clel s¿Íélite sor [. = ].i20 ¡r, F,r : 1.200 rr. ( : 0 sji tu,n. r tiLda plnpr s,,r pro duce u¡a fuc¡zir de em¡rrrje dc 50 N. cletennine rz) el tiernpo cle operiición leqrerido rile cacla proptilsol si lir v.-locidad angrrlar del satéJite clel¡e reclucirse a cero, ó) cl ca¡ibit¡ result¿nte en l¿r velocirl¿cl clel ccntro de rr ¡sa G.
18.34 Si el proptlsorA clelproblem¿ 18.33 no fiurciona, cileterrrine a) el tiempo cle operaciól reqrrerido deJ propulsor B para rcduci¡ a ce¡r la cor¡ ponente r de l¿ velocidad angular del s¿télite, b) l¿ velocid¿d algular.final result¿nte, c) el carnbio lesultante en la velocidad del ce¡Lro cle ¡r¿rsa G.
Figura P18.33
163
1164
Cinética de cuerpos rigidos en tres
¿r velocid¿rcl i¡ y sin vclocidad angular crrancilo srr esqirira C golpea una r¡bst¡ucción. Si el imp¿cto cs pcrlcctanentc plástico (¿ : 0), tleterrnine 1:r velociclad nngul:ir de Ja pJaca par-a irrnediatamente clespués rlel impacto.
78,35 Una piaca rccta¡gr ru de
78.36
rn¿sa r¿ c¿re
.1 E
c
1a placr
Para
18.37 Si sc dcrot¿1, r-cspcctivarrentc, con ¿d, II() v 7la velocidad ¿ngular, la curtidad de rnor.inrierrto angulirr y la energía cinética cle ur cuer?o rígido cor nn prrlto {ijo O, (lemrestre qre ¿r) IJ¡¡'
p( i1l
ci
18.38
Denuestre r,¡re la encrgn,, cint-tirir dr: r¡n cucrTu rr'gid, r crru un fijo O purlto pucdc cxprcsarse como T : tJo,..-. tlontle o es l.r velo,:i' L.r,l ¿nt gular ilstantúrel del cuerpo e 1e¡. es su rror¡cnto dc incrciir ¿lrcdcdo¡ clc Ia lí¡e¡¡ cle ¿rcción ()1- de ¿,.¡. Dedruc¿ esta e.r:presión .,) ir pirtir de las ecu¿ciones (9.46) -v (18.I9), ü) considerandr) a ?' conro l¿1 srrürt de Ins elergí¿s cinétic¿ls de lirs paftícuJas P, qre dosclibcn círcr¡los dc radio p; alrccleclor de la líne¿ O/-.
18.39 Detelnine
1o
enelgía cinética p¿r¡a el rrarco rectangular
c'lel
18.40 l)eter¡rine la energía hl¡r¡¡ 18.2 18,41 Deten¡ine
cinética p¿r¿ la placa cuadrada del pro
la encrgía cinética p¿üa la
barraAB
clel
lr.
la erelgí:r cinóticir
78.43 Deten¡i¡e
la ener€í¿ cinétic¿l pam el paralelepípedo sólido del
p¿r¡a
el clisco drll problema I8.,1.
ploblcrna 18.5.
Detemine
t(
proble¡ra 18.3.
18.42 Deteü¡rire
l8-44
ol (l
{:
¡rnrblerna 18.1.
Fiqura P18.38
CI
I¿ energí¿ cinétic¿r parn el paralelepípeclo hueco del
lt'
r:t
tl I'
(.I,
problerrra 1li.6.
18.45 l)eten¡ile
la erergía cinétic¿r para el disco del probleni¿ 18.7.
18.46
1a
Determine
18.47 Dete¡nine
energía cinética para cl clisco dcl problcna 18.8.
la energía cirétic¿r par¿r el ens¿mble clel problerna
18.15.
'18.48 Deten¡ine
H la ener€í¿ cinétic¿¡ para la llecha del problem¿ 18.17.
18.49 l)etennine la cncrgía cinética p¿rr¿r el ens¿rrblc dcl problema 18. r!).
18.50 Deternirre la erer lesueltr¡ 18.1.
gí¿r
cinétic¿ irnpartida
a
la placa del problema
18.51 Dete¡¡ine rna 18.29
er
Ia energí¿ cinótica para la sontla espacial del proble su rnovirniento ¿he(ledor de su centro dc rnasa después del cho
que con el neteorito.
18,52 Detennine l¿ cncrgía cinéticir para 1a sonda cspacial del problerna 1E.30 en su mori¡riento alrededor dc su centro de m¿s¿ desptés cle) c'boqrre con el metcorito.
18.53 Dete¡nine h energía cinética pcrdida cuarrclo la pl:rca blemn 18.31 golpea la obstmccir'rl en el punto B.
de1 prcr
18.54 Deten¡ine la energía cinética pcrdid:r cualdo lir esquina C de la plrcn clel problerna J 8.35 golpca la obstrucciór.
? -18.5. MOVIMIENTO DE tJN GUERPO HIGIDO EN TRES DIñ/IENSIONES
18.5.
Movim,e¡totet!¡
Corno se imlicti en la sección lE.2. las r:crraciones firndamer'¡i¡les
)F : r¡¡a )M¡;: É¡;
(18.1) (18.2)
corscn¡an su \¿lidez err cl c¿so rn¡rs getelal clel rno\inlielrto de r¡n cuerpo ígido. Sin enrbargo, antes dc que pudiera tiplicarsc Ja ecuación (l8.2) al rrioviuricnto t dimension¿l tlt: un cuerpo úgido fue uccesario dedu cir las ecuaciores (18.7), las cuiilcs relaciouan lns colnponentes de Ja cautidad cle movirniento angrrlar flq; co¡ las de ln velocidad angular c,r. Arin lirltr encontlal r¡ra {oll.r¿r efi:ctiva v corweniente de crrlcr ¿r l¿s corrponentes dr: Ja derivadn Fi.-- cl. L.rlti,l,r.l de mr,rr inJento angulnr. Puesto que fI(; r-epresenta la c¿rntidacl clc lrorjniento algulal del cuer?o er sn no\.imicnto relativo a los ejes centr-oidales GX'|'Z' d,e
olientaciór fijzr (figura lE.9), y puesto que II¡, ri:prcscutir l¿r r¿rzcjn de canrl:¡io cle H6 con respeclo a los rnisrnos ejes, paleceríii nirhrrll rtilizirr las conrponentes de ro ¡ H¡; ¿ Io l¿rgo de 1os ejes X', f ', Z' ¿l cs' cril¡ir l¿rs rel¿rciones (J8.7). Pero puesto que cl cucrpo Eira, sLrs rrrorneltos v ploductos dc incrci¿r cambiarí¿rn continrrilrnente, y resulttuía necesalio detenninar srrs vakrres como luncioles dcl ticrnpo. Por lo tan to, es rniLs conveniente utiliz¿r los cjcs r, y, : corl rltigen err r-'l crre¡to, asegurando quc sus lnon-rentos v pr
(É.,)",u.://,i + H,/j + ú-k
(18.2 r )
j, k son los vectorcs unitarios ¿r kr largo de los ejes en rotación. Hav que recordar de l¿ seccirjt 15.10 que la razón de carnltio H6 cleJ lector H¡; col respecto ¿rl sistcma dc referelici¿ GX'1'Z' se elcucrtl ¿l surnando a (H¿)¡,,r. cl productu lectofial fl x H., donde O denot¿ l¿ i'elocidacl argulal del sistenr¿ cle refércncia en r.ot¡rciírn, se escibe clonde i,
Hc:(H<;)c.,r.+OxH.' clolde Hg
:
(É").r.r" :
O:
(1E.22)
canticlad de rnovirnietto :urgular clel cuer.po cotl rcspec
to al sisterna
cle referencia
GX'f'Z'
lija
razón de c¿rrlbio c1e IIs con respecto al sistena de refi:renci¿ en lot¿rciórl Gl.y:, que se calcnla a par.tir dc l¿s re laciones (18.7) 1' (1E.21)
r'elocidad angular del sistern¿i de r.efércncia clt rotaciórr
Gry:
Fiqura 18.9
"or*0..,@
1
165
1
166
3rffiil:?.i:""uerpos
rísicros en ires
É" d" 11S.ZZ¡ eD (18.2),
Al sustitujr
se
tiele
las fut
co¡to
)Mc:(Hc)r,.,r.+OxHrj
(18.23)
secció
conch Si el sistema de reférelci¿l rot¿ttorio
tjele
su origer L en el cuen)o. co_
ttto se ha suplesto en esta discusirin. su velocidurl :urgular O es icleuti camelte igrra) ¿ lir velocicl¿d anguliu. co deJ t.uerpo. Siri emb¡u-go. erister¡ rnrrchas aplicaciones clotde cs ventirjoso utilizori u¡r sister¡¿t je ¡efer.en-
luelz¡ tieDcl
cia que no tiele su origen err realidad er el cuerpo, sino que gira de una rnanera indepeldiente. Por ejernplo. si el cu.1.c, consider-¿ü, es simétrico con respecto a un eje, corno en cl problerna resuelto 18.5 o en la secciór 18.9, cs posible elegir un sistcntL de referencia con r-especto al cral los mo¡rentos v productos de ilercia del cuerpo lrermanecen cons tantes, pero que girc menos r¡ue r:J propio cuer?o.l Conro resultado, es posible obtcner er:presiones rnris simples para h velocidad nns ar'@ v la c¿ntidad dc trovimiento angular H¡; del cuepo qire las que se habrían obteúclo si el sjsten¿ de referencia se Lulrir"rl lijado re.rbnente.rl crrer po. Es clnlo que e,n estos c¿rsos l¿r velocidad angrlar O del sistema de referenci¿ en rotacj(in y la veJocidad angular'<.r del cuerpo sol diferentes.
-18,6, ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE EULER. EXTENSIÓN DEL PRINCIPIO DE D'ALEMBERT AL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO EN TBES DIMENSIONES Si se eliger.r los cies r, y v: de nirneL,r qrre coüicidan con los ejes pril cipnles de inercia derl cuerpo, es posible utilizar las relaciones sin.iplificiidas (18.10) pirra detelnir.rar liu conpolentes cle l¿ catrtidad de lnolinrielto anguliu H¡;. Si se oniten las prin¡as de los subínüces, se escribe
H¿-
:
I.ro,i
*
I,r
+ I.cu-k
1,,
<¿, se obtier-ren
las tles ccu¿ciones esciil¿res
:¡4, : 1, úr, (l!t >I,llt: \@,t (! :¡4. : 1. ó. (1,
l¿r
2F,,
(r3.r;
t
-.1
pueiil
Po) i
lirs ¡.1 iertt¡r:
: ttfa,,
2F=
ir
IePrE:
- na"
siste,r¿ (le rclcreDc.i¿ no tcn(:lrá giro
d¡. ti¿ls
';,
\
-18,7
DE C
U
r.¡
.
-ri',
:la::. : r r:,::
(16.1,.
rrolirniento de ul cuerpo ñgiclo er tres dimcnsiones esth co:rp1enente defirrido por la resultante y por ln lesultante del mon.ientcr rrrris cs¡ccílic¿1.
conñr
1.)ro.r'r,
t,,)a,01
las cuales, jrurto con las ecuaciones de Eulet, forman un sistetna de s. . ecuaciones diferenciales. Al irdicar las condiciones iniciales apropr-.d¿s, est¿s ecLraciores diferenciales tienen un¿r soluciól única. Así. .
lDr: ,,rancla
i
rilrtie: efecti
rrrrpLt .oh e¡
ecu¿rción (1U.1) en form¿ escalar, se obtienen l¿rs tre.
: ,r¿,
r
equir
l,¿l
ecuaciores aücionales
2F,
figur. se clr
l,.)nrot.
Estas ecuaciones, Iltm¿das ectutciones de nnoítniento de Euler enltt¡lor al liralemático suizo Ler¡rliartl Euler (1707-1783), se utilizar par'.. an¿rlizar el rnovirnierto de ul cuerpo rígido nlrededor cle su centro cl. nasa. En la siguiente secció[, sin ernbargo, se utiliz¿rr'á de rnaner.¿ p].É, felelte la ecrraciór (18.23) el vez de las ecuaciones (18.25), ¡'a que 1.. prinrcra es rlás general v la folnra vectolial cornpacta el la que se er, presa es miis fhcil
Al escribir
z¿s e:
(18.24,
y 1. dcnotal los lirornentos rle inercia centroidales prilci pales del cuerpo. Sustituyendo H¡; de (18.24) en (18.23) y lijando O = donde 1-,
5:
actir¡rr
h¿rr) l¿ sec.iór, .
- l,:: ¡
Il¡:i, '
.:
::.:
::-i. .
'tl las fuerzas extem¿s que acfilan sobre é1. Este resultado se reconocerá
t:l f- aa;
Fn=
como una generalización de un result¿do similar que se obtuvo en la sección 16.4 en el caso del movimiento plano de una placa rígida. Se concluye que en tres, asÍ como en dos din:ensiones, dos sistemas de fuerzas que son equipolentes tambíén resultan equivalentes, esto es, tienen el mismo efecto sobre un cuer?o rígido dado.
LÑE:,
(^,¡¡)¿¡
én*e
r
do
18.7. llovimi€nto de un cJeroo ris alrededor de un punto rrlo
rr¡¡
siaé
erL
cto
1
coú:: do-
e
radl ürir: (rtsrd* t-
a)
b)
F¡gura l8,t0
EniÉ5 Si se consider¿rn en particular e1 sistema de las fuerzas extenias que
stÓN
{ i
pr]¡-
rliÉc-¡-
nror::
t5.l{ pri¡c:-
oO:
1!:5 t< l¡;l¡:G. rÉ!:: ;t
:f¿ry rqr r e!ÉD-
l¡ =t: l5.fb de
=-1.í- ¡
)rop'.-
eple= nio i¡ éi l::
actúan sobre un cuerpo rígido (figura 18.104) y el sistema de las fuerzas efectivas asociadas con 1as partículas que forman al cuerpo úgido cuales (figura 18.10b), es posible establecer que los dos sistemas -los también son se demostró en la sección 14.2 que eran equipolentesmode d'Alembert¡l del principio eqdvalentes. Ésta es una extensión üiniento tridin'rensional de un cuerpo rígido. Al sustituir las fuerzas efectivas en la ffgura 18.10b por un sisterna equivalente fuerza-par se confirma que el sistema de fuerzas externas que actúa sobre un cuerpo ígido en movimiento tridimension¿rl es equivalente al sistema com-
p.,esio por el vector má con origen en el centro de m¿sa G del cuerpo y el par de momento H¡; (figura 18.11), donde H6 se obtiene de las relaciones (18.7) y (18.22). Adüerta que la equivalencia de los sisternas de vectores mostrados en la ffgura 18.10 y en la ffgura 18.11 se han indicado mediante signos de igualdad rajos. Los problemas que irrplican el moümiento t¡idimension aJ de un cuetpo ígido pueden resoherse considerando la ecu¿ción de diagramas de cuerpo libre que se representa en la figura 18.11 y al escribir ecuaciones esc¿lares apropiadas que relacionen las componentes o mornentos de las fuerzas erternas y efectivas (véase el problema resuelto 18.3).
-.I8.7. MOVIMIENTO DE UN CUERPO HíGIDO ALBEDEDOR DE UN PUNTO FIJO
Fígura 18.'lf
Cuando un cuerpo rígido está restúngido a gilar alrededor de un punto fijo O, es deseable escribir una ecuación que incluya los momentos alrededor de O de las fuerzas e.rterrras y efecüvas, pues esta ecuación no contendrá la reacción desconocida en O. Aunque una ecu¿ción de este tipo se obtiene de la figura 18.11, es más conveniente escribirla al considerar Ia razón de cambio de la cantidad de moümiento angular H6 del cue¡po alrededor del punto {ijo O (figura t8.12). A1 recordar Ia ecuación (14.11), se escribe
XM¿
- H¿
(18.27)
donde H6 denota la razón de cambio del vector Ho con respecto al sistema de referencia frjo OXYZ. Una deducción similar a la que se utilizó
F¡gura 18.12
1
167
71
168
cr¡ét¡ca de cue¡pos ris¡dos en rras
en la-secciórr 18.5
pcnritc rclacioniu É,¡ corr 1a razól cle czrurbio (É¡¡)¡.,,,,. de H¡¡ col] respecto sisteür¿r clc refere ci¿r elr rotacjón Or,ra. lr.lií,,, titucjón r:n (1E.27) conducc ¿r h ecuación
d mensiones
)M<) dorrde
)M¡1
:
H,,
:
(É,)).-u.
:
O=
alrededor de un punto flo.
(É,r),r.,r. +
o
x Ho
(18.2s)
suu¿ de lroulcntos ¿]reclcclor
lo,rl 'i.t.rnr. d, r.l-r,,nli,r ,ij,, O\)Z r'azó[ th: c¿r[rbio <1. [I,, con,-c,specto ¿rl sisterra clt,reI'e¡crnci¿r cl rotlLción Ori¡:, qur: i calculuii de las rcla ciones
Fotografía 18.3 Et radiotelescopio qiratorio es L r ejemolo de Lina estr ¡clLfa .eslringioa a gr.ar
:
(l8.ljl)
r'elocirlacl mrguiar de1 sistelr¿ de rcle¡encia
oil¡'
e¡ rotación
Si el sistct¡a de relér-r:nci¿ ctr r-crtlciul ,:sta sobtc.,l cutr.Drr. sLr re_ locidacl :rngular O es idéltic¿rncrrte igr,rl r h r el, rt idrLtl ,rlu,il.,r- ,¿ clel cLrerpo. .Sin eniltar.go, colt.u¡ se sci.rló t.n el rltirr,, pjr-r:rfo rlc l.r sec
,
irir l\ 5 L risl-l
rrrr, lr',.;r¡lr,
inrrn. -r¡ Ll5
,l¡c liclr* r,.lrt.ri¡ ¡lilrzrrr
'r, rl r.eli.rr rr,.ir¡ ,lr, ro -\1r; lij,, , ,, ¡,,,iJ.r,l rl ,.,rerl,.r, ,i,r,, qr¡r tili¡ (]c ll,r r, r"rjl irrdel,err,lierri,
,¡rr
iist'"ll,r
.1S.6. AL
iJ.7
Z
Figura 18.13
FüTACIÓN !]E U¡\ C[-!EÉPO RIGIFO HEMEüüR DE [J¡\¡ H.IE FÍJfi
L¿r ccrurciól (18.2E), la cual sr: tledujo eri la sccci
LI,-
: -1,.a
lI,, : -1,.a H= : l.tt
Pncsto qrie t'l sistcrn¿r po, sc tierre d) = o¡ v l¿r ccuación (18.2E) pr-odrrce
:NIo:(Éo)o,y.+(oxH.) . I.i t,, j'tk,,,,,kx t-1.í- t,, j /.kn-.-t
err r¡l cucr
Li_t,-ittk.¡ j- t,,.ia:
El lesult¡rdo qrre se obtuvo pucde expr.csarsr: rledi¿urte las tLes ecrL¡ ci()¡es cscal¡l.es
* 1,¡.¡¿2 : 2,l'li,,, -1,,=u- I^,,az Ill-:1,¿r X,\'1,.: -1,.r¡
I
(r 8.2e
Cu¡rnclo sr: corrocelr l¿s fuerzls l¡rlica,Ls rrl cuc4lo,.s p,_,siblc olr l, ner'l,r:¡, elerr¡cj¡¡r,r¡'q'rlrrl o (lc l:rs e(.r,rci,rno. ls jrt,. L:l ,,1o,1.,1, ..
irtrqrrl.rf.r\r'tlÉlcft,lilrrrlliolr¡.¡r l",li: rL, i l,.ql..rr.irjllt lo.vlrl,rre.,,, .. ,¡bli, r,.r, l,:¡tr 0 \ ¿,r 5r. \u\lirrl\,.n el l.r. lrirl, r,r. ,lo. .,. ,,,.;
t_
,
(18.29). Estas ecuaciones, más las tres ecuaciones (18.26) que definen ¡L.-
¡5 fii-
(ra-
:L-
el movimiento del centro de masa del cuer:po se usan entonces para determinal las reacciones en los cojinetes A y B.
;
'tzi:
principales de inercia del cuerpo. Por lo tanto, resulta pr-udente recurrir a la ecuación (18.28) y seleccionar el sistema de ejes que mejor se ajusta al problema que se está considerando. Si el cuerpo en rotación es simétr:ico con respecto al plano ry, los productos de inercia f.. e 1r, son iguales a cero y las ecuaciones (18.29) se reducen ¿
:M, : 0
2M,: g
:xEl¿ 1:.t*
F i{:
ffil Ef.-
2M.: 7.o
(18.30)
que está de acuerdo con los resultados que se obtuvieron en el capÍtulo 16. Si, pol otro lado, los productos de inercia 1.. e 1r. son diferentes de cero, I¿ suma de los momentos de las fuerzas exte¡nas ¿lrededor de los ejes r y q también serán dife¡entes de cero, aun cuando el cuerpo gire a una velocid¿d constante co. De hecho, en el último caso, las ecuaciones (18.29) producen
2M,: 1,,.a2 tr,, :
SEi
1169
Es posible elegir ejes distintos a los que se muestran en la ffgura 18.13 par'a analizar la rotación de un cuerpo úgido airededor de un eje {ijo. En muchos casos se encontrar'¿i que son nás ventajosos los ejes
tOr!
\c-
18.8. Rotación de un cuerpo rígido alredeclor de un eje fijo
1,"@2
>M=
: 0
Fotografía 18.4 Las fuerzas ejercidas mediante un c¡gúeñal giraiorio de automóvil sobre sus cojinetes soD las reacciones estática y dinám¡ca. Es posible diseñar el c¡güeñal para que esté equilibrado tanto dinámica como estáticamente.
(18.81)
Esta última observación conduce al ¿nálisis de balanceo d.e flechas ntatori&s. Considere, por ejemplo, el cigüeñal que se muestra en la fiqura I8,I4a, que es simétrico alrededor de su centro de m¿ua G. Prine¡o se observa que cuando el cigüeñal está en reposo, no ejerce empuje lateral sobre sus sopoftes, ya que su centlo de gravedad G está localizado directamente arriba de A. Se dice que eI cígpef\d esfá est(íticanente balanceado. La reacción en A, denominada muchas veces como una r¿¿r¿riL;n ?statica. es vertical y su rragnitud es igual al peso W de la flecha. -\hora supóngase que la flecha gira con una velocidad angular constzu.r-
fijar el sistema de referencia en la flecha, con su origen en G. el eje : a lo largo de AB, y el eje y en el plano de simetía de la flecha (ffgura 18.14ü), se adüerte que 1,. es cero y que 1,,. es positivo. De te
co. 41
¿cuerdo con las ecrraciones (18.3I). las fuerzas e.rtemai incluyen un par de momento ly"ú)2i. Puesto que este par se forma mediante la reacción en B y la componente horizontal de la reacción en A, se tiene T:
tJ
B:
L,.-z
I j
1
I
,; t!
¡
C
f -.
t"
1
l
I.'
I
-,{I
I
t,.
a)
(18.32)
Puesto que las reacciones en los cojinetes son proporcionales a 02, la flecha tendrá la tendencia a desprenderse de sus cojinetes cuando gire a elevadas velocidades. Además, puesto que las reacciones en los co-
jinetes d y B, denominadas r¿¿cciones ünámícas, están contenidas en el plano yz, éstas giran con la flecha y ocasionan la vibración de Ia estructura de sopofte. Estos efectos indeseables se evitarán rearreglando Ia distribución de masa aL'ededor de la flecha o agregando masas correctivas, dejando que I,' se ruelva igual a cero. Las reacciones dinámicas en A,, y B se anularán y las reacciones en los cojinetes se reducirán a la reacción estática &, la dirección de Ia cual está fija. El eje estará entonces balanceado tanto dínémica como estdticamente.
Figura 18.14 :
)
PROBLEMA RESUEI-TO 18,3 Ur:r L¡rrr liqer.r \ll de l,'r'qir.rd L R lt 1 per¡ \\ - 4(, IL 5É ¡1)ne.[ir nor ¡r.tlio,le ,,r pai.rdor.rr A a rrr eje v.rri,.J DL lrrr girJ (un .r,,, .,1o,.¡j,,.1 a¡guliu coDst¿nte .d de 15 r¿cVs. J.a b:rr.r¿ nantierie sriposicirin mcdiallte ul alar¡b¡e horjzont¿l BC cor¡ect¿do al eje v d extr-emo B rrine l¿r tensión en el alamb¡e _\,l¡ re¿lcción en A.
cile
la ba¡¡¿. Deter_
soLuctóN L:r. fucrza. clcL H,.1. se r"drllpr ,¡l l."ctor /,r¿i con o*iqen -r, C r ,l p,Lr. I:1,,. que G desc¡il¡e un círculo hurizu¡tal rle ¡rLclir, ¡ : 1l cos B'o l,i ,,,e
Puesto-
locid¿d const¿inte @. se tiene
á:
a,,
= -¡¡o:I : -(j¿ B)@rI: (450 fvsr)I "or 40 na: ,l a50r) = _(559 lb)r g
l)etertrdn¿ción rle II.r. Se calcda primer.o la canticlacl cle rnovirnienangul¿r Hc. Si se rrtilizal los ejes centróidales principales de iner-ci¿ jr, r/, ' :.. rr rscrilJc h
i.-t,,,l.: tr. o t.-,,,,L : -ro cos B_ o, ro senl8 @. = 0 _: Hc : 1..0.i + I,,tt,,j I l,a.k H¡;: fnrl2ocosBi
ro..
La nzó¡ de caDbio Éc cle Hs con rEspcchJ a los eies de orientación ffia ohli*ncdela¡,uacidn,l8.22,Sis-ohserraq,r. I.rr.,r,,,,J,.n,nl,in,É,.].
se
de H¡; con respecto ¿l sisterna tle ¡ef.r.enci¿:n r.otacid. ¿_r;:;.;";;,; ;í; la ¡'elocid¿d angular O del sistema de r.r:lérenci¿r .s igral .r ia r el,rciJai an_ gular co de la barra, se tiene
É.r:(É").^..r.+o,xH.' f- .-91' u-rcosBi'os-nBj x.--r ¡,¡L c,, ¡o, F i H,. '-,nt- t,Ji s.¡ B c,,,{ p L _ 61j tb . tlrk
6.93Íi
Ecuacir¡ncs dc rrr<¡vi¡nicnto. Si se expresa clue e1 sistem¿r de las fuer zas extenras es equivalente al sistenra de las fuerzas efectir,¿s. se escribe
tM¡ :
'l I
T-
3.,16
fr
)(M^).1:
6.93Jx(-?r) +2rx(
)F: )F.¡: I
I,. = ¡1¡;¡¡
40J)
:3.461 x(_559r) +
6.15K
(6.93T-80)K=(1934+645)K l ::jSlllr
ArI + ArJ + AzK 384I -
40J: 559I : 7; ll) )I 1 l 1{) ll)
,\
(1
r.,
Ol¡sL.rtucü¡n, EIr'a]or-de T podrí:r haberse obte¡iclo cle Ho y la ecua ). Sir enbrrgo. rl rnétodo que se utiJizó aquí también pioduce la
cion l1Jj.26
reacción en A. Adernás, centró la atenció¡ en el efecto de la asirnetría cle la ba¡raen la,solución del.problema al denrostrü clara¡lente que tanto el vec tor rirá y el par H6 deben utilizarse par¿ repr€sentar las {i'rezas eféctivas.
1170
PROBLEMA RESUELTO 18.4
b"lt: P.: ll-ch¿,C¿)
A y A de 100 nm. cada rrna de 300 g de nrasa. se suelcla¡ a la que estf sopoduda meditnte c.ojineler en C D. Si ,e al,lira 1 -r la ltccha un prr M de magrritud igu.rl a 6 N.m. dot.nnine 1o.,.,,,,i.,,.,, [e] üe la< re.lccione:, dinir¡ic¡. cn C D en r.l inslante en el ¡ q rp e,,et. 1,., ¡lcant¡.do_un¿ relociLlaJ angular d,. tiOO r¡rn. fg,l.r" ,,,. ,1"," ,f. ,,_
"f
cia de la flech,r.
SOLUCIÓN C¿ntid¿¡d clc mot,inriento angulnr con respecto a O. Se ¿rsocia ¡l cuerpo el sistema de referenci¿r Ory: se ob"ena'qrr. ln, ;1";;;, .,, ¡ "1", qi",'¡l'r". do in.¡r.j¿ par,t et c,rer?o, puesrá 1,,..1'"r_,¡lf 6 ol. lj:. rc(reuor- oel eJe \'. se t¡ene urr : @ @! : ro. : 0. Sustituyendo en l¿i ec.,a_ f
lll
ciones (18.13),
H, =
I,<¿ Hu : -I,ua H.: Ho:(r,i-r.rj_(=k)r,r
_1,"a
trIomentos de l¡¡s fucrz¿rs cxlcrnas con r.especto a rna de referencia gira con la velocidacl iurgrrl* L
-.
l).
"",r""ijn
Como el siste_
(l;ji;;"""
)Mo:(Ér¡)o.,,¡"+<,rxHo - tl.i-1,.,,j 1,.ka L u.ri x,/i /,,,i_ /, k7.,; : I,ai - (I.,ra 1,.a2)j (1,.a + /.,,,,rn1k
'-/
(:'.k
''uj
(r
)
Ilc¿¡ccirín dinhrnic¡ en 1). Las fuerz¿s extemrs son los pesos de los ejes,¡ las barras ql p:¡i M. hs reacciore. estáticas cn C, Oif"l r"l"¡,r^". ctrn.d¡jc¿\ en,C y D. prresto quc los pesos y las reacciones estáticas están equrrloraoos. ta\ tuerTas e{enras j,c I.edut.elr al par M 1 a t.t5 reacniones di námic¡u C y D como se nuestra en la figura. Ál to,ná, lo. ,"á,n.,r1ui.un
tc\pF.to.¡ O.
se
fie
>Mo: Si se igualan
e
x (Dyj + D.k) +Mi:Mi - D.Lj + DlLk los coeficientes del vecto¡ unit¿rjo i en (l) y (2) M= I,a M = 2(trnu:2)a a= BM/2mc2 ¡_¡
Al igualrl los coeficientes de k
Dr: .
-(1,=a +
yj
(2J
en (1) y (2)
t,,/@2)f
L
D-: (I,ua 1..o2)/L
(3)
-Al utiliza¡ el teorema de ejes pararlelos y notar que el proclucto de iner_ (on re\pe.lo a los ejer ,..nrro ¿r'ps. \e tien_
cra de cadir bdrra es ccro
t,, = 2mii
:
ml!l(!c)
r," = >nxtz
-
mq!r¡1!c¡
: lrnrc : finrc
Al sustituir en (3) krs valores que se encontra¡on para 1,r, 1," y o:
D,,: -i(u/") Al sustituir ¿,.¡: 1200 rpm : 0.3r)0
lg. sc ticne
lmca2 o" = l(ttt/c) 125.7 ¡acVs, ¿
tt,,:
lnca2
:6 N.m r ¿r : I29.¡J\ /)-: 'r.S\ {
:0.100 m,
11
Re:¡cción dinhmic¿r en C. Utilizando el sistem¿ de rele¡e¡ci¿ asociaclo eli D, se obtienen ecuaciones similares a las ecuaciones (3), Lrs cuales producen
C,,:
1i2.2
\
(. :
t;;.t \
<
1171
I
l I
PROBLEMA RESIJELTO 18,5 I
Un clisco hornogéneo de radio r y masa r¡ sc rnont¿ sobre un eje OC de lol gitud l, y nrasa rlespreciable. El eje gira en el punto fijo O v el disco estir restringido a rodal sobre ul piso horizontal. Si el disco gira en sentido corltr..t rio al de las ül¿rrrecillas del reloj a la velocidad colstante r,lr ¿l¡edeclol de] eje, deter¡line a) Ia |uerza (quc se supone vc,rtical) que ejerce cl piso sobre el disco, ó) ]a reaccirlrr en el pivote O.
I
i I I
i
I
i
soLUerÓN
i
r, L.¡s fuerz¡s ele, lirin se r, ,lu, -n al r,,lol r¿á ,r¡lrr':,rl', "r' r al ¡.rr É,; Reconlanc'lo dcl ploblem¿r ¡esueltr¡ 18.2 qre el eje gira alrededol del eje r7 a lr rclnt idarl u_ L. sÉ ,-\r r:l\
'a1
ntá: _ntLa3i: Dctclnri¡¡¿ci
_tnL(ra)
(t)
lnt¡2al/1,)¡
lL)2i:
Recuérdese del problerra resrelto I8.2 que ln c¿ntid¿d de rnoviriie¡to:rngrrlar tlel disco lcspccto i1 G cs
H¿:
!nt2,'t¡ ft
- *¡)
clondc H¡; se descornpone en conrpollentes a lo largo de los ejes en rot¿ción
Cl-
o).¡
r', y', ;', con r' a lo largo de OG y y' vertical. L¿ r'azón de carlbio I.I¿ de II¡; con respecto a los cjcs dc oierlt¿rción fija se obtiene de la ecu¿ciol (18.22). Al notar que la raztirr rle carrrl¡jo (H,r).;. u,. de Hg con respecto al siste¡ia de reférencia en rot¿ción es cero. y ,¡rr 1'r velocidad angr rLr O del sistem¿ de referencia es
O:
_co:j
: !:
se tiene
É" :
(É").,.-.,,", +
o x Hc
, /. r -\ x t,u-ut L l' trJ : lnrrt¡r¡r1.lk J
l,l¡rurci¡rn¡:,i ¡l¡'
¡noli¡Iicnto
e)
Si se expresa que e] sislema dc
l¿rs
fuer
I
zas extcrn¿ls es equivalente rü sistem¿r cle las filerzas efcctir,¿rs, se escribe
I
>\1,. ). v ,"¡:
x Aj - \\i - H. (N w)Lk: +¡n)21.r/L)@lk N = lV + ]nir1rl1-)zroi N : i\l'+ 1rrr.1rl/.trr,.,il¡ t3l )F : IF.,¡: R+Nj Wj:rrrñ
i i
Li
i
Al sustituir
-lJ cle (3), y rna
R:
i
I I
1172
de (1) 1-resolvcl
(ntr2al/t )í
-
p¿r¡a
R, se tiene
truorr/t,r.,1,j,.,,,,
It:
/
t.
\
L lt*,,jJ
<
En esta lección se pedirli que se resueh'ali problem:rs rlue ilty)tcarL e) ntoúttienlo Lrid.inrctt sionttl rle. a.Le.wos rígid.ot. El método errpleado es bírsic¿nerrte eJ ruisrrro r¡re se iiplicó el el c:rpítulo 16, dondc sc estud'ó cl r¡ovimje¡to plalio de cuerlos ígiclos. Se dillrjarír una ecu¿rcióD de drirqrllrras de cuerpo libre r|re mucstrc qúc cl sistclna de lirelz¿s ertcrlxs e\ eqrrivalente ¿l sistella ale firerz¿rs efectivas, y se igualiuán l¡¡s surras de c(Dnporloltcs r l¡rs slunas (le ¡lorrcntos e¡ ¿¡r¡bos lados dc esta ecl¡¿lción. Sin embirr'go, en cste.c¿so el sistem¿ de firerzas electiv¿s se represe¡tar-á ¡ledialtc c] vcctot- ntá l' un veckn-par- IIc, cüva cleter' minaci(')n se ex¡1icar'h en los piilrafos I ! 2 siguientes. P¡r¿ resolver-r¡r probierrrl t¡re irupliquc cl üovinricnto tn<[inrerrsiortal rle rrn ctrerpo rígiclo, se segrrir'áú estos p¿sos:
l. l)elerntinor la cuntkhd da ntotímie¡lc¡ ottguktr IIr, tlel tuerpo ú)n reslrecto a NL! celtro de rnnsn (J a partil cle su velocidi(l angul¡r'ao coll rcspccto iJ sisterna de relerenci¿ CX'|'Z'
de. or-ientaciítn [¡a. Esta es un¿l oper¿1ción qrrc sc aprendió eri la lecciórr ¿¡terior'. Sin ernbargo, puesto que 1¿r co¡ff$rración clcl cucryo cambi¿r-á con el tiempo, .rhor¿r ser':i necesrl do utiliz¿r lrn sistema de ejes auxiJiares Cr'y':' (figura 18.9) pala crüculu Lrs cornponcrtcs c1c ¿¡ y los r¡omentos v pxrthrctos de inerci:r del crrerp. Estos ejes pueden estar rígidanlente aso ci:rdos al cuer¡o, cn cuyo crlso su rclociclad angular es igral a o fproblenas rcsreltos 1E.3 r It3.4] o quizír tengan una r.ekrcitlad argulal O propia lproblcm.r rcsrlclto 18.5].
Rccucltle
1o
siguicntc dc lir lccción prcccclcnte:
q) Si se coltocen los ejes ¡trincipales de inercia del cuerpo or Ci, úsclos crolro cjcs cooldeladas r', y' v:', va que los ploductos ale inerci¿ conesponclientes del cuerpo se rán igualcs a ccro. (Advicrta quc si cl cuoT)o es sirlétr-ico co¡ respeato ¿r un e-ie. estos ejes ¡o necesitan estar asociados rígitlarneute al cuer'po.) Descornpong:r co c1l cornporrcntcs ar- oy,J'0(,.' ¿r lo I¡rgo de estos ejes l calcule los noule¡tos prirrcipirles de irer-cia l,.I,, e I.. L¿s (r)nrponentes
H.
I,,
H
I U.
H
T.ú
L
l
S.l(l
b) Si se cottocen los e.jes prittcipales de inerciu del cuerpo cn (,i. sclii ¡c'ccs¿do utilizlu lls ecrracir¡res (I,3.7) pua deter'üin¿1 l¿s co¡rporrclrtes cle l¡ curticl¿cl cle rr.)\i]rierto argrrlal H¿. Est¿s ecrr¿ciones rcrluic:ren el círlculo plelio cl: los Trror/rrcfrrr rlc íncrt iu clel cucr?o, ¿1sí col¡o dc sus ¡romentos de ilie¡ci:r co¡ lcspccto ¿ los cjcs sclcccio¡¿clos.
2. Culculu ltt rt;ri¡ ¡le qtntl¡ü¡ le li¡. rlt lu c,tntitlLtLl dt nun inicntr¡ ungulur ll¡; con retpecto dl sisterna de referettcitt GX'I'Z'. Adviert.r qilc cste sistem¡ de lclereúcia tiene nna orie,rl¡7ciar1 fija en tilnto que el sjstema cile refi.rercil Gr'r7';' r¡re se rrtilizó al calcular las conrgrrientes clel vector a¡ erá \tti tistclú ¿(: reí¿n:¡ri¿ en n)taLirin. Il.N qne re curri¡ ¡l ¿niilisis clc l¿ sccció¡ 15.10 de l¡ l¡zón dc ca¡rbio dc un vccto¡ con lespccto a uú sisten¿ de relere¡ciá e¡ r'ot¿lción. Al ¡ecorcl¿¡ l¿ ecuació¡ (15.31), 1¿ r¿zím de c¡mbio II.; se expresará de la lorrna sigrriente:
H.,
:
(H,,).,.,,,'.. +
o x H.j
(18.22)
prirner térrrino en el mieml¡ro del lado rlerec]ro de l¡r ecu¿rciór't (18.22) rcprcscnta ln racle c¿rnbio cle Hs con respecto irl sisternl dc referenci¿ en rot¿ciól Clr'y':'. tlste térmil]o se alula si ¿¿ L en co]rsccüencia, Ha; pc:rlnanece c()nst¿lnte t¿uto en rn¿gilitlrcl coüo en dirección cu¿udo se obsen'¿r clesde ese sisteni¿.le refereicia. Por otro l¿rclo. si crtalesquiera cle las ¡lerir,¿rdas ¡especto ¿l tierlpo ó-', ó,r, -v ó. es difér-ente de cer'o, tanibiérl serlul EJ
zri¡
lcontinúo)
1173
dilertsntes de c"ro. 1Ér;rc,',r
- \ \u\ componentes
del¡erán cleterminarse ¿l riilerenci¿r. Ias
rrspechr J i. Finalnierlte, recuérdese que si el sisterna de refé¡enci¿ erl_rot¿ción está r'ígidanente asoci:xlo al cuerpo, sn velocjdad angulrr será la rnisna qrre )a ecrl¡LciLrnes 118.10) eon
r O ¡'rredn
trr.rpo.
rlue
rluestre que el sistema de literzas exteüras ejercid¿1s sobre el cuerpo es equivalente al r,-cc tor rná aplicado en G y el vcctor pal Hs (figur.a 18.11). Al igualnr las conp;ncltes er cu¿lqujer dir€cción ): los mor¡e¡tos ai¡edcdor cle cualquier ptnto, es posible escribir hasta seis ecuaciones .le movimieltto esc.d¿lres r inde|entlientns lproblerr.r' rrsrrrltos 18.3 y 18.5].
J. Al rcsober proltlenus peclo ur putrto f-i(t O.
ín¡
icott eI lnoritticnto ¿e ul cuerpo rígitlo cor retses posible que se encuent¡e conveniente utilizar la siguientc eclraciínr, qüc se dedujo en Ia sección 18.7. l¿r cual elirriin¿ l¿rs contpo eDtes de l¿ ¡e¿cción cn el sopolte O,
t¡ue
)M¿:(H¡¡)¿.,,.+OxHr)
rti::
.1r
rii:
(18.28)
donde el prinrcr téni'lirro el el mie¡tl)ro del lado de¡echo repr-eseüt¿ l¿ r.¿12ól't cle c¿rmbio de Ho con rcspecto ¿l sister¡ir de refer-enciir clr r-otacióD OrrT:, y donde O es ]a velocidacl arrgul¿rr de ese sisteii¿r (le l-elcrcncia-
5,
Cuon¡lo se del.crntinett
lts
.tl-: 1,,.j:
:
flet:In rotdtori(,
sostienerr la Jlecho
iirl:
l
reacciottcs ett los cojinetes de unu
lccurra a Ir ecuaci
a) ()oktque el ¡nnto.lijo () en uno dc l¡¡s tlos cojitetes qua
)'sitúe el sistema cle leférencia en rotación Or4: en la llecha. con uno de los ejcs dirigi(lo lol¿rqodeclla.5up,,niend" l,!,r cicJnp ñ. c1u. ., lltrli¡e:'dor,,n lr flnclr¡.J.j" \' ,, t.n. 'r
Jr;-'
ll - or cui lrrol,l.rrra re.r"lto lb L b) I'uesto r¡u<: los ajas elegirkts to
serún-
:ii'-:
at lu
ntuqoríu de los cuxos. Ios ejcs prinicpales de inerciu ¿¡¡ (). es recesa¡io c¿lculir¡ los plocluctos de ¡nercia de la tlef.ha. ¿sí corno sus rromeltos de inetcja, con respecto a estos ejes, \,ütiliz¿i¡ l¿rs ecuaciones (18.13) detel min¿u IIo. Srponierrtlo otra vez que el e. je ciones (18.13) se leducen ¿l
p¿1ra
H, =
I,n
H,,
r
se
lia
alir reado con
= -l,,.at
lir flech¿r. las ecu¿i
d) Ptcsto que el punlo () Lt¡ütcitle <'ot¡ tntt¡ ¡le los cojinetes.l¿s tres ecu¿ciones es c.rlares cor¡espoDdientes a la eou¿ción (18.28) pueclen ¡esolver.se p¿u-a l¿s corrponentes de l¡ r'e¡,:cion dinár¡ic¿ en cl ntrñ Loiinete. Si el ctnt¡o de rrasa C dL 1a llech¿ se localiza c¡ Lr hrea qrre un" lus dos rrrjjnetes, Jr Iue¡za efectiva rr¿á se*'r cero. Al dibrrjar l¿¡ ecu¡ición cle tliagrarnas de cuerpo ljbr.e de la flecli¡, se puede obse^ ar.cu quJ ln, cor¡ponentes ".,ru cle la r-eacción dinámica del prinrer c'rjinete dcbr¡ ser ign¿rle\ ".. \ opuestos a las qr,e ,icaba de detennin¿rr Si G no se ubic¿r sobrc l:r línea que rrne a lis dos cqinetes, es posille tletennilrr leaccio¡ en cl ¡rinrer cojiret" coloca¡clo el pulto fijo O en el segunio cojinete v re
r¡
pitiend,, .1 procedinriento rrrteii,,r lprobl",r.,u ."r,r"ltu I8.4]; o tanlbién ;ueile obi",,". "",,uciones de nlo\,imiento irdicionales de l¿r ecuación de diagratras de cuerpo libr-e de l¿ flecha, asegruándosc de detenninar e inciuir primer.o Ia fuerz¿ eféctir.¿ ¡na- ¿rpllcada en G.
c) La Dratlot í tlc los prol enus requieren la tleten¡ínaciótt de lus ,,reacd¡ntes di¡rir¡ic¿¡s" e¡ los cojinetes, esto es. para las.fae ¡zrLs orl.icionales que ejerce¡ lr)s coji',etes l¿r flecha cuanclo ésta gira. Al deteminar las r-e¿lcciones diná;icas,"ignore el efecto las cargas estáticls, corro el peso cle l¿ flecha.
¡¡.,
l
loc:
l
di.¡
L) 7\tru ohttnLt H,, sttstitullu hs ex¡tresirnvs obtenidtt cn lu ecttut,irin (18.2t)) s, de¡,¡'r. O r¿ - ",i. Si lr rel,,Litjrd ,trq'rln- rl- l, fle,h,r .. (un.t.,ntc. *l p.irl*r rcnnir,, cilel r¡icrnbro del lado clerecho cle la ecuacjón se aüulará. Sirl ernbargo, si la iecha tiene una acelelación angul¿1r'd: oi, el priner tér.ntiDo lo seír cero y debá deten¡ina¡sc clilérenciando con lespecto a t las expresiones en (18.13'). El ¡esr tado serán ccu¿rciones sitlilares a las (18.13'), con rr en lugrr ae .0.
1174
i1l L:r
(r8.13',)
la cnal muesha que Ho no estaré ¿irigido a lo l.argo dc la Jleclu.
sobre
:
clc.
lic¡: dü,1
18,55 Determine l¿ ¡azón de cambio H6 de la cantidad de movimiento angular H¡; para el marco rectangular del problema 18.1. '18.56 Dete¡mine Ia razón de canbio Éo de lacantjdad de moümjento nngular H¡ para la placa cuadrada del problema 18.2.
18.57 Dete¡mine la ¡azón de cambio Éq de la cantidad de moümiento angular Hq para la barra AB del problema 18.3. 18.58 Detenrine la r¿zón de cambio É,; de lacantidad de movimiento angulal H¡; para el disco del problem¿ 18.4 y un valor arbitrario B, si su velocidad angular ar pennanece constal'rte.
1g.59 Determine l¡r ¡azón de cambio É^ de Ia cantjdad de movimiento angular H,¡ para el disco del problema 18.7. 18.60 Detennine la ¡azón de canbio É^ H¡ para el disco del problema 1E.8.
de la cantidad de movimierto
angular
18-67 Dete¡mine la razón de cambio Éa de la cantidad de moviniento angular Ho para la placa del problema I8.2, suponiendo que ésta tieúe ve, locidad angular ar = ruj y aceleración angular @ : ¿!j. 18.62 Dete¡mine la lazón de cambio É6 de la caniidad de r¡oümiento angrrlar Hs para el.disco del problema 18.4 y un valor arbitrario de p, si el disco tiene velocidad angular or : coi y aceleración angular c : ai.
18.63 El ensanble que muestra la {igura consta de piezas de lámina de aluminio de espesor uniforme y masa total de I.5 kg soldadas a una flecha ligera soportada meüante los cojinetes A y B. Si el ensamble gira a Ia veloci dad constante a : 240 rpm, determine las reacciones dinámicas en A y B.
Figura P18,63
18.64
Resuelva el problema 18.63, suponiendo que
r,r:
860 rpm.
1
176
Cinét¡ca de cuerpos 'ígidos en tres
de 8 lb se monta sobre la flecha horizontal 48. El plano del disr'o l"orma un ángulode 20" con el plano y':,conro in dica Ia flsura. Si la flecha gúa con velocidad angular constante ar de magnirB tud igual"a l0 raüs. dererñine las reacciones clnámicas en los luntos A
18.65 Un &sco homogéneo
esl
d¡
Po
si
\t
l?
F¡gura P18.65
Una barra delgada y homogenea de I 61b,se utilizu para formar corstante o Ja flecha que se muestru. Sila flócha giá con velocidad angular los Puntos en dinámicrs re¿cciones las determine de 20 radis de magnitud,
18,66
Dos barras delgadas de 2 4 kg se doblan para formar dos n.iara cos cuadrados, los cuales sJsueldan en los puntos que dividel en tercios po¡ el Si por l¿ la {igura {igura. mostiado i^{r-i. on ,rano fo,'ma¡ el .,rsamLle e' 600 forman mm de la flech¡ AB -- Y', : gt." con .,elocidad angular de magnitud const¿mte ¿¡ 20 raüs""r"-Uf" B' B. A y coiinetes determine"las reacciones dinámicas en los cojinetes dete¡r¡ine
18.67
Figura P18.66
I I
{
tr
5 200 mm
--t
(
Cada una de las dos placas triangulares que se muestran en 1a fisu¡a tiene masa de 5 kg y está s;ldada a uná flecha veftical AB Si el en8 ¡?m, determine las ¡eacciones sa"mble gira a la velocidad' constante ¿,
18,68
:
dinámicas en A y en B.
(ro
:
'18.69
Si el ensamble del problema 18.68 está inicialmente en rePoso
0) cuantlo se aplica a la llecha un par de momento
M-r-: (36.N m)j-
ietermine ¿) la aceie¡ación angular resultante del e¡samble, b) las reacel ciones dinámicas en los puntos Á y B inmediatamente después de aplicar Figwa P18.68
Par'
¡ :
18.70 El componente de lámina de metal que muestra la figura tiene
espesor uniforme y masa de 600 g. Se conecta a un eje ligero sopoitado mediante cojinetes en A y B separados por una distancia de 150 mm. El com_ ponente está en reposo cuando se somete a un par Mo según indica Ia figura. Si la_aceleración^ aagular resultante es o (12 rud/s2)lq áetermine a) ei par Me, b) las reacciones ünálricas en A y B inmediatamente después de haLer
:
aplicado el par
I --' )<
F¡gura Pl8.70
18.71
Sj el ensamble del problema 18.65 está inicialmente en reposo M0: (18 lb .^f|i, determine a) la aceleración angular resultante del ensamble, b) las reacciones dinámicas en los puntos A y B inmediatamente después de aplicar el par,
(<.-': 0) cuando se aplica a Ia flecha un par de momento
18.72 Si la flecha del problema 18.66 se encuentra inicialmente en reposo (@ - 01. determine ¿) la magnitud del par Me = Moi requerido para im partirle una acele ración angular a = ( lS0 ruüs21i, b tlas reaccjones ünimicas en los puntos A y I inmeüatamente después de aplicar el par 18.73 EI ensamble que muest¡a la ffgura tiene masa de 6 kg y está compuesto por cuatro placas semicirculares y delgadas de aluminiJde 400 mm de üámetro soldadas a una flecha ligera AB de 1 m de largo. El ensamble se encuent-¡a en reposo (to = 0) en ;l tiempo f = 0 cuando é le aplica un par M¡ en Ia fo¡ma indicada, ocasionando que el ensamble ¡ealicJu¡a revolución completa en 2 s. Detemine 4) el par Mo, ü) las reacciones dinámi-
casenAyBenf:0. 18,74 Pan el
ensamble del problema 18.73, dete¡mine las reacciones
dinámicas enA y B en
f:
2
s.
18.75 El ensamble del problema 18,63 se encuentra inicialmente en reposo (co-: 0) cuando se aplica un par M¡ al eje AB. Si la aceleración angular resultante del ensamble es c : (IS0 raüsi)i, determine a) el par Mo, ó) las reacciones dinámicas en A y B inmediatamente después de aflicar el par' '| 8.76 . P¡'a el componente de lámina de metal del problema 1g.20, de_ ternrine a\ la velocidad angular del componente 0.6 s después de que se le ha aplicado el par M6. ó r la magnitud dó las reacciones dinám¡cas Én ¡ v B
para ese instante.
Problemas
1177
1
178
Cinetica de cuerpos rigidos en tres dimensiones
18.77 Cada neumático de un autonóvil tiene un peso de 4g lb. Üámefro de 23 in. y radio de glro de g in. El automóül po, unu "iu¡" sin peralle de 450 ft de ¡adio a una r elocidad de 65 millr. Si "ur.,.-u la d]stancia tr¿n"_ ve¡sal entre los neumáticos es de 4.5 ft, determine la fue¡za nor-¡ u¿i"io"¡ producida por el movimiento del automóvil y ejercicla por el sueto ,o¡r" uno de los neumáticos externos. ""¿u
c
a
p
s
18.78 Se muestra l¿ est¡uctura básica de cierto tipo de indicador de ü_ raje_de ¿¡¡in. Cada resorte posee (.onstante de 40 lbzli. y dl."o unifo.*. de / oz) rddio^de 2 in. giru a la velocldad de .t0000 rpm. Los "l resortes sc ¿lar_
y ejercen fuezas vertic¿les idénücas en la horquilla AB cuando el aüón en_ trayectoria recta. Detemine el ánguJo quágirará la horqülla cuan_ do eJ piloto ejecule un giro horizontal de 2iS0 fide".adio t,u"i, tj d"r""i,,, a velocidad de 500 rrih. Indique si el punto A ascenderá o descende¡á. g¿rn
üaja.
18.79 F,tl aspa de un venülado¡ oscilante y el rotor de su motor tienen _ mas¿ tot¿il de 300 g y raüo de giro cornbinado áe ?5 mn). Estos cuemos se
F¡gura P18.78
$poftdn
medjanLe cojinetes instalados en A y B. separados 125 mrn. v'eir¿n Ia velocid¿d c,r ¡ t 800 ?m. Determine la. reacciones dirúmic¡s en"A r B cuando la carcasa del rnolor hiene velocidad angrlar ar, ,0.6 racl/srj.
¡
-
-
la ¡o
¡¡r 600
"1'R\Figura P18.80
d€
Ila
ta¡
Figura Pí8,79
(o el
18.8Q La héüce d" In aüón lesa 160 kg ) tjene radio de siro de 80{.) mm. Si la hélice gira a 1600 rprn nrrando cJ aüón üaia en una t¡av'ectoria cr¡_ cu¡lr vefti(.al de 600 rn de radio á i40 km^. determine h magnitud del par ejercido por la hélice sobre el eje debido a [a rotacicjn del a,ri8n.
cd
a4 tm
18.81 El volanle de un nrotor de uutomóü1. que está ngidamente uni do_al cigüeñal, es equivalente a una placa de o""ro'd" ZO ir.,."¿. ¿¿trr"tror.
ktl
0.75 in.. de espesor. Deterr¡¡ne la rnagnifud del par ejercido o* .i "olrn," sobre.el ci$ieñal horizontal cuando ei automóvif ."d." ;i;p" ülte de 600 ft de rudio a velocidad de 60 mi,4r, con el vola¡t" ";";;; si..rd; ;;ZOO rpm. Suponga que el automóvil tiene d) t¡ansmisión trasera con el moto¡ montado longitudinalmente, b) t¡ansmisión delantera con el r¡oto¡ moniado '''-""' de maner¿ transversal. (peso específfco del acer¡ : 0 2S4 lbri;¡i
ñjc in-
fI¡
crr ü¿
per
El disco delgado I unilorme.de 5lb que rnuestra la ffgura gira - ^,r^t-|r, constantc ^ \etocidad a .d2 - 6 ¡ad/s alrededo¡ de un eie sosteniclJ oor un casco conectado a una barra horizont¿l. la cual gira a velocidad coistante to, :3 rad/s. Determine el par que represent¿ É reacción ¿"¿-1"" soporte A. "" "l
qa¿
aln
lat
--.i-q
h. ¡ltl E-
d rü
18.83 Una placa cuadrada unifo¡me de lado ¿ = 2ZS mm se articula en los puntos A y B a una horquilla que gira con velocidad angular constante
Problemas 1
¿¡ al¡ededo¡ de un eje veftical. Determine a) el ángulo constante B que la placa lorma con el eje r horizonLal cuando ú, - li ¡ad,is, b) el valo; más grande de r'r para el cual la placa permanece vertical (B - 901.
'i+ üF
bla t¡f
E' ise ¡i-
lr
F¡gura P18.83 y P18.84
18.84 Una placa cuadrada y uniforme de lado ¿ : 300 mm se artioula en_los puntos A y B a una horquilla que gira con velocidad angular ro alrededor del eje vertical. Determiie ¿l ei r,a.lór de ¿,, para e) cual Iíplaca forma un ángulo constante P : 60ó con el eie r horizontal, b) el valor m'ás e¡ande de r,, para el cual la placa permanece rÁrtical (B 90.). -
ID
ir-
¡¡tf
E
18.85 Un anillo delgado de raüo r = 8 in. se conecta mediante uD collann en el punto A a una flecha vertical que gira con velocidad angular constante @. Determine a) el ángulo consta¡te B que forma el phnd del anillo con la vertical cuando
18.87 El eng¡'ane A de 2 lb está restringido a ¡oda¡ sobre el engrne frjo E, pero tíene Gbertad de qirar Írero tr'ene én tomo tómñ deleje ¡ol--i- AD, ,r n este último tiene on girar en ^.+-,rl':-^,¡^í^ 20 in. dc longtud y peso insigniffcante. El eje AD se"conectu -"di*i" ,rnu t or_ quilla a la flecha vertical DE que gira como indica la figura con velocidad angular constante <,r,. Suponiendolue el engrane ¿ pÍ"¿" *or.¡."rr"1,.
d-,:.,T disco delgado de 4 in. de radio. deLeimine ei ralor m¿ixir¡o permrsrble de ro1 permisible p @r si el ej engrane ensrane A no pierde nicr.le.óntá.r^ contacto cor, -l f.
^^- "t ^--"^-"rrgr*" 18.88 Detetmine Ia fuerza F ejercida por el engrane B sobre el en_ grane A del problema 18.87 cuando el e;e DE gtra c5n velocidad angular co nstan te (or 4 raü s. ( Sugerew"ia, La luerza É debo se, p",pendicuiu, ,= la línea t¡azada desde D hasta C
)
"
Figura Plg.85 y P18.86
179
1
180
Cinética de cuerpos rigidos en tres
18.89 y 18.90 La barra ligera AB se conec¡a mediante una horouilla a un brazo BCD que gira con r elocidad anguJar constante ¡.¡ aJ¡ededor áe la fnea central de su tramo vetical CD. De¡ermine la magnitud de la veloci_ dad anguJar <,r.
drmensrones
ñ¡¡
Ats
rel
t6 de
(-b,
Flgura
P18.89
Figura pi8.9o Pl8,90
18.91 Un disco delgado homogéneo de masa m y radio a se sostieue medianle la ba¡ra hor¿on¡al ABC. Ia"cual tiene una hoiquilla u,ro Jo,,,' extremos. El disco y Ia barra giran c,on las velocidades angulares "n que se mucs_ tran en la ffgura. Suponiendo que tanto (dr r, ,ñ, constántes, dete¡_
Figura P18.91
mrne las reacciunes dinámicas en A
18
\
B.
"o*o
18.92
Un disco delgado a" p"ro W = .t0 lb gira a velocidad angular .bn¿o-ABC. el cual gira a .u ue, .o-n velocidad angulalr <,r1 alrededo¡" del eje y. Si^@r = 5 rad,/s.,.r2 -- 15 rad.¡s. y ambas son coistantes, determine_el sistema fueza-par que representa la ieacrión ünámica en el
in.
@2 respecto al
soporte colocado en A.
18.93 El disco de 300 g que se muest¡a gira a la velocidad ¿rl : Z5() ryT. T.ltr".. el eje AB qira como se indica a'velocidad anguia, á" de O rad,/s. Dete¡"mine las reacciones dinámicas en A v -g.
r¿n
r
-{B
r
üd
cada
de3
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de su
tidor te
@?
CaL
6r'I
diná¡
cron (
MJ\
resPe es ig!
1
debe Figura P18.93 y p'l8.94
'
18.94
EI dissq ¿s 300 g que se muestr¿ gira a Ia velocidad ro, : fg6 rpm. mientras el eje AB gira como se indica a vélocidad angular @,. Deter_ mine la magnitud máxJma permisible de o¡¿ si cada un" j. 1", re"accion"s cunamrcas pn A y I no deben exceder de I \.
tiene
¡eacci 1
18.93
de4r
reloci
úq¡rin¡
rdela r,eloci-
Pmbter'¡as
radio giDos discos. cada uno de 5 kg de masa y-300 mm de una Darra de rpm alrededor t 200 o¡ velocidad = la a run como se muestra
18.95
alna aB de masa insignlficante, la cual gira -alrededor del eje horizontal,'z punen los dinámicas ¡eacciones velocidad r.r2 = 0,"0 tpm. ¿) Dete¡mine Ias dirección la invierte se que a) suponiendo a"r e y n. il Resuáva el'inciso de grro del üsco A.
:lf
\ {r
'
sctieoe Figura Pi8.95 Y Pi8.96
¡o de sus 5e mues_
x- deterradio gDos discos. cada uno d" 5 kg de masa 1.30O mm de D.arla : t]na de alrededorr?m 1200 ¿or velocidad ran como se muestra a ¿ a la v€loclhorizontal eje al respectogira que insignificante AB de masa -ó"i"t-i"" el valot'máárno p"i*itibl" de -2 si las magnitudes de a'"¿ ,r. ."u"ciones dinámicas'en los puntos c y D no deben exceder
18.96
il anguiar
gular o¡ nstatrte! ¡ica en el
liJ"l"
¿"
i"t
de 350 N.
@t:7':o rtr2de6
tJr,tablero publicitario de 100-lb. lolgrtud 2a = 7 24' y anurl alrededor cho 2b = 4.8 1i se mantiene en rotación a velocidadlonstante A al basünido.en eléctrico molor cle su eie horizonlal rnedianle un pequeño con-sta¡\elocidad a rotación en mantiene se tirto¡ AbB. El mismo bastidor en motorlnido segundo de un meüo por vertical eje iü "fr-*f"t"t" "" en ^ftá"¿"iá. revolución una Cp Si ál tablero y el bastidor completan ó reacción la 0' del ángulo " función 6 v 12 s. resDectivamente, exprese, como diía.lca ei"'r"idu sobre la coiumna CD por su soPode en D'
"18.97
la. reacPara el sistema del problema 18 97, demuestre que a) relación Ia b ¿inÁ-i"u .n o independleite de Ia longitud 2a del panel ) "s "i¿n de los pares e¡ercidos Por los motores,en¿ v C' magnitudes ,"ro""liuu*"nt", ás independiente de las dimensiones y masa del tablero y *
18,98
lrili, i. t^ es
igual a ro2l2ar1 en cualquier instante determinado
Para el disco del problema 18 91, determine ¿) el par M1i que a¡i cuando debe aplicarse a la barra AB para imprimjrle acele¡ación angular r'r2' b ' las constanle la velocidad a .i gira el üsá ;;g"rar u,¡i.
18.99
;;
;:i;";Ñ
reacciones &námicas en A y B para ese instante'
que en el insta¡te mostrado el disco del problema : 12 raüs, la cual está üsminuyendo a raztin fS.gS tiene velocidaá uttg.riut r,lt con á" ¿ r"d¡r'debido a la"fricción en el cojinete puesto-en C Si AB gir: dinámireacciones las rad'/i, determine 6 ro2 de ,r"to"idua *g.,1". "onstante
18,100
d*r:;5o oe.
Dde-
rFea{ior€s
casenAyB.
Se supone
Figwa P18.97
1t8l
1
182
c-inel¡ca de cuerpos nsidos en tres oimenstones
Un disco
de 801b y t0 in. de radio gira como se indica a la ve_ , .di : ¿J0. rad./s respecto al eje dáblado ABC. El sistema se :::'.1t --":i**," * reposo cuando se le aptica ,^^,111.1-9]
un pa; Mo = | I 5 ¡¡ ftl¡ arral1i" s , :"j^1"1:li ucsPues- se supnme. ljetcrmine el sistema fuerza-par que ¡"epresenle Ja
)'
reacción dinámica en el sooode en el punro A
ú;;"'J; ;;;;í;:i;",'
Suponga que el e¡e dobladó ABC tiene m;sa insignilicante.
L^
br
l¡
fT
e5
s€
& la
&
lar
)f
fer
lo: tel
ret ¡ín
ter ¿b
Figura plg.tOf y pi8.102
. 18.1_02 Un disco de g0 lb y l0 in. de ndio gira como se rruestra a la velocidad constante ro1 = g0 radTs respecto al eje doblado ABC. El sistema h_ aplica er pá, r,,r, *ai."a. ,, )' '¡uFBo se supn¡ne. 5i ra mádma verocidad angurar gue"na.lcaná el eie doblado ABC es de 2.4 radls, dete¡mine a) el par lfo, ¿) Ét rirt"_" f,,";;_;; q* representa la reacción dinrámica en a lopo.t" a. suprimir el par. Suponga que el e¡e dobládo "n eBC
;fi;; j:.#
llli^ll :p::r-do,se
"ipr-üi'rriiit", ,,á;;;;i;;;d:;,".
n disco homogéneo de 2.5 kg y 100 mm cle radjo sira a ve_ ,^^,rr^t.r-O: , ¡o( roao aogi rtar úr r respecto al b¡azo ABC . ál cual está ,olau¿o al?i" óC¿ U
que rota como se muest¡a a Ia velocidad constante @! : fZ ."¿2, en,el cojinete instal¿do en A ocasiona que ar1 üsminuya
i" Aiá¿I]
a Una razón de 15 las reacciones dinilmicas en D y en el tiempo en que rol 'E ha disminuido hasta 50 ¡ad,/sz.
Dete¡nine
¡adls
dd en go
Pfi
nul
qrr(
¿lü€
o-t
P¿T
¡' el
"lo del
Pue r l6-,
C
Figu¡a P18.1Ut y p|g.104
\el ft,
corn
-{
OO Un disco homogéneo de 2.5 kg y 100 mm de racüo sira a ve_ , r¿r rocrdad ^^, constante = 50 rad,¿s resDecto al lázo ¡BC. ^t^1.,
,
*,?,ilá"¿" 'a una flecha DCE. si en el instanre'mr¡srrado l. n"J; "i ""J anSulal d9 or2 = (I2 raüs)k y aceleración angular c" = (g rad,rs2)k. deter_ mine a\ et par que debe apliáars" a r" ¡""1; b¿; 1i"," ración anguJar. á r la: correspondientes rpacciones dinámicas
b¿;;;;'*ilil¿"¿
ií. nájlii lli en D
v E_
Pues
coüI ¡lers{
-18.9. MovtMtENTo DE uN
GtRoscoplo. Átrlcut_os DE EULER
18.s. r¡ov miento oé
L1.si'osuoDro.
A¡qUIOS OE EUIET
Un girotcopio colsiste, esenci¿rlmente, en uu rotor que puede gilar libreniente ¿rlrecledor de srr e.je geontétrico. Cururdo está rrroltrrclt, elt una suspensi<ír de C¿rrd¿rn (ligura 18.15), es posible que asunil cualquier o entilcióD, pero su celtro de nas¿r debe per.m¿lrecer f¡o en el espacio. Pirra definir Ja posición dc ul giloscopio err urr inst¿nte d¿rdo, se elige_un sisteüla de refer.encirr {i!o O.XYZ, con el or-igen O localizaüu.Lr, (l o de urtsr tL¡l Erl oscopio v el e.jer Z dirigt jo a kr lar.go de _cLltr lr lrne'r dc[i¡riLll por los , oiinel, s t ¡ Á ,lel b¡l¡trr¡.ín erler.ru. Con.i dér'ese uu.L posicicirr cle r.elér.clci¿ del gir.oscopio en la cuiLl los tlos b¡rl¿incines y un diíimetro driclo .DD' clel-iotor sL ubiciur er el plalo fijo YZ (ligura 16.15a). El giroscopio prrerle llevarse cle su posiciiin de re-
ferenci¿r a cualquler posiciór ¿ubitr-¿r-ia (ligura 16.15bfpor.rnedir¡ cle los siguienics pasos: (1) rurl rot¿rción de uu íutgulo @ del balalcín ex telior r¡h'ecledor clel eje,4-4', (2) ura lotación 0 del b¿l¿lcín intedc¡r-alrecleclor de tsB' y (3) unr r()tirci(ir i,lr del rotol alreclcclor cle CC'. Los írngulos @, 0, y ry' r'eciben el lorlb¡c de títrgrkts d.e Etrler; éstos c¿rrlcteriz¿n p(r-conrpleto la posiciól clel giroscopio en cuirlqrrier instaltc determin¿rdo. Sus ileriv¿¡d¿s rf, 0 y r/r defir.rel, dc llaueril respectiv¿, l¿ velocid¿rd tle yrccx::;ión,l¿r r.elocid¡rd de nutot:itin v 1a ve)ocidad de giri, ,1, I gi¡r,rst o¡io er , I irslarle , orsirl, rtdo. P¿¡ra calcular lns c(nrponentes de la vclocid¿d ¿ingular v dc Ia can tid¿rcl cle morirriento :rngular del gir'oscopio, se usaLá un sisteritíi de ejes en rotación Ory: ubicatlo ¿:n eI baloncín btcnlo, co\t el eje r¡ a lo largo de B1)' v el e.je: a 1o largo dc CC' (figula IE.l6). Estos sol los ejrs pincipales de inercia del giroscopio, \¡ ¿runque siguclr su precesirirr v nutación, sln crnbiugo, lto gil'¿xr; pol csa r-azón, solt lTlás convenientes que el rrso rlr: ejes rnoltados el veldird en el giroscopio. La velocid¿rd tungultrr
del eje fijo Z, se tiene
¿,r:óK+0j+i¡k
(18.33)
F¡gura 18.15
Puesto que lls cornponerrtes dcl vectol 1¡re st: olrtur.ierol pru¿r {o el (16.33) lo son ortogorales (figura 18.16), el vector unit¿rrio K se des comportdrir cr contpotentes ii lo largo de los ejes :r y:; se escribe
K:
sen9i*cos0k
(l ¡j.34)
--lt
y al sustiluir K en (18.33),
o: -ó sen 0i+0j+
0.i
(rf +@ cos0)k
(18.35)
Puesto que los eies de cooldeladas son ejes princip:rles de inercia, las comporentes de l¡ cantidad de rnovirniento algular H¿ pueden obtenerse al rnultiplicar las componentes de r,r por los nTonentos de iner'-
Figura 18.16
11
g3
1144
Cinética de cuerpos ígidos en tres
cia del rotor al¡ededor de los ejes x(, A y z, respeLtayamente. Al denotar por I el momento de inercia del rotor alrededor de su eje de giro, por 1' su momento de inercia con respecto al eje transversa.l que pasa por O, e ignorar Ia masa de los balancines, se escribe
'18.10. Se
inve
cual el pernlan aplicars
Ho =
-t,ó
sen 0 i -r
I'i)j t IU, + {
cos grk
(18.36)
Si se recuerda que los ejes en rotación se asocian al balancín in¡ por ello, se erpresa su velocidad angular como la suma
temo
precesi<
En la suma de cam
caso Pa
gr,l--
larOd
o:óK+áj
(18.37)
O:-ósen0i+á¡+$cosgk
(18.38)
respecti
o, al sustituir K de (18.34),
donde ¡
Al sustituir He y O de (18.36) y (18.38) en la ecuación
Puesto
¡
nitud r
)tr.to:(Éo)o,u"+OxHo
(r8.28)
su r¿zót es cero-
se obüenen las tres ecuaciones diferenciales
la cual ¡
:
-¡' ¡6 t"" 0 + 2Ó$ cos e) + ú (,lr + $ cos 0) >Ms: l'(0 - dn retr g cos g) + I{ sen 0 (fi + $ cos g) 2M"
>M.:
I
,'t
i
(rl,
(18.39)
+ é cos 0)
Las ecuaciones (18.39) deffnen el movimiento de un giroscopio su-
jeto a un sistema dado de fuerzas cuando se ignoran las masas de sus balancines. También es posible usarlas para déffnir el movimiento de rn orcrpo sim,étríco con respecto a un eje (o cue¡po de revolución) ffjo en un punto de su eje de simetía, así como para definir el moümiento de un cuerpo simétrico con respecto a un eje en relación con su centro de masa. Si bien los balancines del giroscopio nos apdan a visualizar los ángulos de Eule¡ es claro que estos ángulos pueden utilizarse para deiinir la posición de cualquier cuerpo úgido óon respecto a los ejes centrados en un punto del cuerpo, independienteménte de la manera en la cual se soporte el cuerpo en realidad. Puesto que las ecuaciones (18.39) son no lineales, no será posible,
en general, erpresar los ángulos de Euler @, 0 y {r como funciones analíticas del tiempo f, y será necesario recurrir a métodos de solución numéricos. Sin embargo, como se verá en las siguientes secciones, hay varios casos particulares de interés que pueden analizarse con
facilidad.
L.
Pue
cio- se
t
al girov de mom Se puet perpen¿
r¿ 1E.16
En
ro forrr¡; 18.-l-1)
r
De tal n peryend
eje pery
d" t"l S res?ectir
Enr cambia¡ iabilizad m¿Dec€I
-18.10. PRECES|Ó¡¡
esrnele
DE UN GtROSCOptO
18.10. Precesión éstabte de un
giroscopio
Se r¡vgstigará ahora el caso panticular de
moümiento giroscópico en el cual el ingulo 0. la velocidad de precesión ,i; y tu i* giro ,l,
permanecen constantes. Se pretende determinar las""t3"ia"a fuerzas que oue áeb"r, aplicarse al girbscopio para mantener este moümiento, cor,o"]do corrru precesión establ,e establ.e de un giroscopio. sirosconio. En v-ez_ de aplicar las ecuaóiones generales (1g.3g), se determina la suma de los momentos de las fuerzai reque¡das calculando Ia razOn de cambio de la cantidad de movimiento angular del giroscopio en el caso particular considerado. Se observa primero pririero que oue ia veloc'icln,l an",,_ gular
.
i
o=@K 4 scn 9i
respectivamente, a
o,l: -ó sen0i+ro,k H.o: -l'ó sen 0 i * Irrr.k
(18.40) (18.41)
O:-ósengi+$cosgk
donde ro,
F¡gura 18,17
(r8.42)
{ coseno de g: componente rectangular a lo largo del eje de giro de la velocidad angular totaidel giroscopio
=g+
Puesto que 0,
óyf
son constantes, el vector
H¿
es constante en mag-
nitud y dirección con.respecto al sistema de referencia en rotación y su razón de cambio tHo)o,r. con respecto a ese sistema de relerencia es cero. De tal modo la ecuación i18.28.t se reduce a
)Mo : ¡¡ * tt,, la cual produce. después de sustituciones de
(18.43)
tlg.4I) y (tg.42). (t8.44)
Puesto que el centro de masa del giroscopio está fijo en el espa_ cio. se tiene. por ll8. l). )F : 0; así. las fuerias que deb.n aplicarse
al giroscopio para mantener su precesión estable se ,"du""n ,'un-on. de momento igual al miembro del lado derecho de la ecuación r 1g.44¡. Se puede obsewar que este par deb-e aplicarse alred.edorutn
pe:endícular al ra
18.
I8)
eje de precesión y aI eje de gíro clel giroscopio
un n¡n (figt_
Figura 18.18
caso particular en el que el eje de precesión y el eje de gi"l un-ángulo rectn entre ro^ lorman sí. se tiene que 0 90ó y h ácuación
.Il
([8.44) se reduce
:
a
Eje de p¡ecesión
>Mo:
LlrÓj
(r8.4s)
De tal modo. si se aplica al giroscopio un par M¿ alrededor de urr eje perpendicular a su eje de_grro. el giioscopió precederá alrededor de un eje peryendtcular lanto aj eje de giro como aJ eie del par. en un senLi_ do tal que los r ec^tores que representan el gro. el par y la precesión, respectjvamen te. forman una frÍada derecha=(figura 'lg. íg). ' En vista de los.pares relaüvamente grandes"que se requieren para lu orientación" de sus ejes, los gi'roscopioi se utÍhzán :1T,!t{ tabilizadores tabüzadores en torpedos y baráos. ";J;.perbarcos. Las balas yi graladas srarada" rotatodas rotátorjás ncr_ manecen tangentes a su tayectoda debido a la acción giroscópica. Áde_
Eje del par
11gs
1
186
Cjnet¡ca de cL,erpos rígidos en tres drmenslones
más, resulta fácil mantener balanceada una bicicleta a altas velocidades gracias al efecto estabilizador de sus ruedas giratorias. Sin embargo, la
acción giroscópica no siempre es pertinente y debe tomarse en cuenta en el diseño de cojinetes de soporte de Ílechas giratorias sujetas a -los precesión forzada. Las reacciones que ejercen las hélices de un aeroplano en un canbio de ürección de r,'¡relb tari.rbién deben considera¡se y compensarse siempre que sea posible.
-18.11. MOVIMIENTO DE UN CUEHPO SIMÉTRICO CON RESPECTO A UN EJEY OUE NO SE SOMETE A NINGUNA FUERZA
(
En esta sección se analizará el movimiento alrededor de su centro de masil de un cuerpo (on respecto a un eje y que no'esli so:nelido a ninguna fueva erceplo su peso. Ejemplos de lai rnovimiento son los pro_ yecliles. si sc ignora la r.esistencia del aire. y los velrículos :r¡t¡llciales en vehículos espaciales después de qrr" se óolrsumen sus cohetes de lanzamiento. Puesto que la suma de los mornentos de las fuezas ertern¿s al¡ededor del centro de masa G del cuerpo es cero, la ecuación (18.2) pro{u3e Éc O. Se deduce q.,e lo "^nitdad d" -o,rl-iento orlguú.'ff" del cuerpo alrededor de G es const¿rnte. De tal manera la dráción dá H6 está fija en^el espacio y puede uüIizarse para de{inir el eje Z, o eje de precesión (ffgura 18.20). Alseleccionar un sistema rotato;io de ejes Cry. c'e¡ el eje : a lo largo del eic de simetrÍJ del cuemo. el eie; en el plano deffnido por los ejes Zy --. y el eje 17 apuntando en Jcnrido conhario a usted. se tiene
:
H. =
-l{6
sen
0
Hu:0
H. = Hc
cos
0
(18.46)
donde 0 representa el ángulo lorrnldo por-los ejes Z y:, v Hc denota Ja rnagnilud corstante de la cuntidad de rnoümiento ánguil:. á"1 "r,.rpo alrededor de G. Puesto que los ejes r, v y ¿ son ejes-principales de inercia para el cuerpu considerado. es posible escribir
H, - I'a,
H, = I'ao
H^
: Ia.
(18.47)
donde 1 denota el momento de inercia del cuerpo alrededor de su eje de símetría e I' su momento de inercia a]rededor de un eje transversj que pasa a través de G. Se sigue de las ecuaciones (18.46) (Ig.47) que
Figura
Hal &
respeo c€sión:
trí¿
s€
nen la
desut
mn res tambié
poser
ffgura Co recuért
dedor
<.¡
form
los ejes
i
^
H¿ sen 0
I'
@y:0
a.:
H¿
cos 0
1.
(18.48)
La. segunda de las relaciones obtenidas muestra que la velocidail an_ gular or no tiene componente a lo largo del eje y, ásto es, a lo largo cle un eje perpendicular al plano Z.z. Por consiguiente, el ángulo 0 {órira_ do por los ejes Z y : permanece constante y al ca etTo se"encuentra en precesiótr estoble con resperlo al eje Z.
Al dividir miembro a miemÉro la primera y tercera relaciones (1b.48). y obseruando de la [igura 18.21 óue -o.fco- fansente"rl. se obtiene la siguien te relación entre los ángulos y l. g que lo, ie"torás r"r y Hs forman, respectivamente, con los-ejes dé simetria del cuerpo; (r8.4e)
r
present sobre u son ciñ
2.
des ¡, lá tnta
1_811. Movimiento de.un
¡sa eno-
trve
¡de dn-
a)
h)
F¡gura 18.22
a]€s
;de he)tD'
Hc rde
"F et= rea Edo
.{6t rotr ¡errde
1a ]de
Hay dos casos particulares de moyimiento de un cuerpo simétr.ico con respecto a un eje y no sometido a alguna fuerza que no irnplican pre_ cesión: (l) Si el cuerpo se pone a giiar alrededoi ile su e¡'e de silne_ tía, se tiene @. : 0 y, por (18.47). fl, : 0; los vectores á y HG tie_ nen la misma orientac¡ón y el cue¡po se manLiene girando íireJedor de su eje de simetnh ( ligura 18.22a). rZt Si el cuedo se pone a girar conrespecto a su eje transversal, se tiene r,.," : 0 y, pór (15.+l ¡, A- : g. también en este caso
dedo: de un punto lijo. con resiecro a su ccntro de masa, pueda re_ presenfa-rse medialrte el moümiento de un cono comoral oue rueda sobre un cono espacial. En el caso de precesión estabie, Ios áo, son^ circulares. ya que los ánguJos y y g "ono, - y que Ia velocidad angular (l) lorma. res pecliva menle. con los ejes de simetría del cuemo v-con los ejes de precesión son conslantes. Deben disfinguirse do,
/7
l. I < 1'. Este es el caso de un cuerpo elongado,
tal como el ve_ hículo espacial de la ftgura 'l8.23. pol 15.+91 se tiene < A: 7 el veclor ¿¡ se encuentia dentro del ángalo ZCz: el cono .r_ pacial y el cono corporal son tangentes extemamente; tanto el giro como la precesión se observan en sentido contrario al de las rnanecillas,del reloj desde el eje: positivo. Se dice que la precesión es direcia.
--
¡de Ela E¡ i-
¡F
t
Figu¡a 18.23
"asár,
fF
áE'
cuerpo 1197
srmetnco con respecto a un eje y que no se somete a ninguna fuerza
2.
1> 1'. Este es el caso de un cuerpo
achatado, como el satéli_ se tiene que ? > g: Duesto que el vector
te de la ffgura 18.24. Por
r 18.4g7
fk
,i^
PROBLEIVIA RESUELTO 18.6 Se sirbe que ¡rn s¿tólite espaciiü de llasil rlt cs dinÍ{¡lic¡rncnte equivirlcntc :r dos rliscos dclgaclos clc'igua1 rrasa. T,os discos ticren rlrr r¿dio n-: 800,uut \ cst¡ur dgid¿¡tclte conec taclos mediarte una bzur-a ligcra cle lorrgitucl 2a. Err utr pri¡cipio, el satólitc gira coll lilter.t:rcl .rL.cdcclor de str ejt'tle sir¡rr:t¡-í¿r ¿r l¡
I
velociducl r,-r¡: 60 r?n1. UD r¡ek:orito, clc rrrasa rr¡¡: /¿/l (X)0 y qre \i.{i.L con untr velociclrcl v1, cle 2000 nr/s relativa ¿l s.itélite, choca col éste ¡ se rrr c¡ust¡ ell (1. Detc¡-nrinc ¿) l¿ r'elocicl.rd Lurgrl.rr'.]cLs.rtélit" in¡redr.¡t.rnrentc desprrés dcl impacto, á) el cje de pr.eccsión dc.l rrrolimielto r.esrrltantt, r;) las lelocicl¿ldes cle prccesión v giro dcl lit()\illlielrto subsecrr:ntc.
i i
I
SOLUCIÓN
incr(.ia. Se prretlc obserr':u'r¡r¡ los ejes qte se ntLlcsp icip¿les (lcr i cr.cia tlel s¿télitc y se esclibe t: ¡--: .L,tLtt' l' : I,: I,t:2]IllntkL2 + llrn)arl = jr¿o':
trftnncnt()s de t¡¡ru sol los ejes
II i!.
Plincipio dcl irnpulso r. l¿r c¿¡nticl¿d dc movirnicnk). Se consiclcra el s¿télite v el ¡tete(n'ik) rc¡to Lln solo siste¡t¿. Pltesto que no ¿rctri.r fuer z¡ c¡iten¿1 sol)r-c cstc sistetla. las c¿ntid¡cles de nrovimiclto atrtes I'despues de1 inr¡racto sorr equipolc.ntes. A1 c¡¡rsidcr¿¡r hrs rlorreltos corl r.especto_a G. sc csclibe ai x r¡¡u1¡k * 1or¡k : H¡;
:
-rrr¡o¡ni i fuo¡k Veloci
tetidos pala las cor¡porentes de
H¡_-,
(l) sLrstituir los valores ol)
v par_a los nit¡nlelitos de in-.rcia cn
H-: l-arttttt)at
: I u\ : tt]ltt'ol 1r¡to1)t)
o P¿r¿r
¡fr.
,t)---t/ :-Y,1
(.,,,(, '\
esplcial
:
consider¿rdo sc
0.1100 rn, c,.,.
ur:
\ ..-. 1\
''.:'i.)l )i:\,
cl satélite a
:
@-
¡tln
r' q¡
:
ticlc
rrl0
:60 r¡lt :
6.2Ei3 r:rtL/s.
(21
rlrl¡/ll :
2000 rn/s; se encrcntr¿l
2 rad/s
r¿-
./..V@. + rr- :65!1.1 rLrLrs
tiin ¡o
l¿r
= ao
:
:
6.283
y: 6il.(l
'1
r'acVs
:
ll¡rrl
+{).311J3
7: 17.7' <
Eje'
Jite prececlerir con resl)ecto cle
px.cesiól v el ejc
:
¿t
esta dir-ección.
lil
iurgnlo d lonniclo pol el .-j.,
es
t,u,0: *H. : ¡i!)Lia 2¡r¿.¿o u.-oo e :;j¡ió,, { I.L, utrao Yek¡cid¿¡dcs do pr.ccesi
corporal piu':r eJ moviniento lib¡c del s¿tólitc. Recuüicnclo a l¿ lcv de rrr* se ':,lc'rl.,r' Lr. ,1, 1,r,., -.i,jr. \ giro
los.r-
'*1,¡,,1.,de. ser
0
sen
scn(á l)
7
L
1188
:
:30.3
r'prr rf:
i35.9
r'¡rrrr
<(
E¡
Iccción se i¡rllizó cl llo\intiento clc gir-oscrr¡,rios l de otr-os cuer.tos sütttltriats ccnt tnt r:j. cotT urr pu'to fij. O. Pala defitiir h posición dtl estos crerlr\ L' urr irs titnte deLer-nrirrado, se irtr¡duicl.on los tres u/ngilos di hLlcr ,l:, g v ry' (iigura 13. l5). r.se adviftió qrre sus de r.aclas c.'respect.,l ticnrpo defiren, respe.ti'ir.rc'ü, l¿r'clocid¿iil dc ¡t t-cccsititt, l¿r velocidarl rle ¡r¡¡l¡¡¿i¡í¡¡ ¡' la vehrcicl rcl clc giir,, (figLr.n 18.I[i). Los pr-oblern¿s q*e sc pr'esentar¿ir eltt-¿D dentro dc ulra cle las sigtieltes catcq()r-ías. esl¿r
reslxrt_L) ¿
1, Precesiótt estal:¡le, Este r:s cl .r.ti.lie'to de rt. girosc
dÉ,
nto\inricnto angullu.H¿-'_r,
1a
vclocitlad angrrlar'
¿¡:-{s--u0i*co-k H": -1'ó ser9iilro.k O: r]' sen0i+$ cos0k clrrde
1: :
nro¡rrclto cle iner.cia rlcl cuer?o coü r.especto
¿1
sr ele
(18.40)
[8.,+ I
L)
l E.,12 )
clc sirretría
rnorllelto de inrrcia del <:u,-t¡', cr'n rcsn.ct,,,r rllr Lie tt.urr\crsa] que .o- = co¡rpolentc rcctangtLlar |]e or rr l,l.rrgc, L1.l ej" : : y', +ú r,)s 0 1'
p¿sl1
por O
b) La sunu de I¡¡s momentr¡s olretled¡¡r de O tle krs.fuer_--cts u¡ icotk* ul cuer¡to le rq:ó ¿e cotl¡i¡¡ rle su cuntitlod dc ntot.iuict¡t,, u,,grrl,,r. ln
es íguul u
"n,,,u "r1rr"_ s¿l¿,ecuaci(')¡(18.28).Pcro,puesto(Ir{,6rLsr.z,¡t+srJnc.Lrtr1,j,,@rry'soncorrstantes,sc ,lur-d, l;r'., 1t, r,,.,-.,1\..1 ,,;," 1 H...,e|r||. r¡,, r.Lrrr5t: r'F,.rr rrr:rq.rilrr,1 r,lir,,.i,,rr ',,r , r:r du.- o1,.,.,:,,l.rJ, ,ls,.t, ,', i1, ."1-',.,,, i:r (rir: D. rr'rr,"1,, . rr..,u,,,, ,1,,-.r,l,n es cero coll ¡(iq)ecto al sistc'lra dr. relcrencir _t, es posible escriirir.
)tr{o:()xH.,
(l
\ lJl
O v fI¡¡ sc clefincl. respectivarnerrte_ ¡tediiurtc l¿Ls ecuilcidrcs (llJ.42) r, (JiJ.41). Ll errucio. qur sc ',¡'tLcrrc- r¡uestr.L qrLe el r'orrrento r'esrlt¿inte cr¡ o er las f,,e'zas ,pJic.rcl.r. tu"r¡ure. ¡" rp, rIlir l'l'rr ti,r,tu r'-i,.d, pr¡,r^iúr ,or,,,,al , ¡"rle r_rr,r ti¡r.r,. lbl\. 'rl r \ Icr{ox lrr t.uctt,t tlu( , :.l nu:tocl', th,x<.rit,, s(.rtr,/ir ¿r rr,, .oln:, ¡i,., 1.i.rs. ,lurr_ de .l pLrnt!, lij,, (J r oi¡c L, Lt c, rn cl c,cntro de nt¿s¿l G, si'o tantl)ié tL c,utlt¡rier ^r-r cuitlt. siné_ ^ tlc sitnctrítt po¡lotan_ lf¡citLrr h\lr.tt'ttutl LJt taü uü pLulto.fijo O kxttli:ado t:n tt tir: ttr. rrr- rn, lo,l,r,¡ue,l- ltrliz,,¡r, p.,r',, .ir.:Ji,/:l l.t ¡,,-,t.i",, .,t,l,t, ,1, ,t,t /,,.,,¡/r,,,i¡_ gif:. _rl clonde
u
\ucLrr ]-ugltl.tf.
d) Cwtntlo uh c7teryo sitn¿h-ico respecto a ut1 ejc no tiene rm punto _cott fijo, pero ae errcuenlra en precesiótt ettable con reljpccto a ,u centro dc ¡¡,¡s¿ G, .,i ir,. rru rc¿/¿/L/,,,r ,1, di,tgratrL..t tlc ctro,1to [il:¡re cttl¡ que se intliq'e que el sis l-rr.r J, l:r: r'ler/1. ,.\t, nrir., .iorr i(l:r. .,hr. , I ,.,r,.r1,c, ir,.llr" ,,i,, .' p.s,, ácl r,,i.,no, _. carrir-J"rrtc al \,1ror,/,á r.,li,:,(1,, -, C r .rl r.clul p,r, ú... S, ¡un,l*.r rrr 1i.,". 1,,s.r.,ra,.i,, nes (18.40) a (18.42). srrstitrn'endo H¡.pol H¡;. r, eiprcsai el ir;nrento del p¿i¡ (r)r¡o rrsLrfi,, dilnLjar
Hc: O x Es p.sible utiliz¿rr en cse caso
.r is
lcr.r ior.s cc,:rl¡r..
in
l¿1
H(;
ecü¿1ció'dc diilgr-arn¿ls cle
l.l¡.rJi-, rl"r
c.erlo
1ib.e para esr.r.ibir Lasta
ica)ttitt¡in
r
1
189
2.
de ut cuetlt
tanT:I¡nnu es rü¡¿ct¿ si 1 { 1, (ligura 18.23)
(18.,19)
afirma qrre Lr precc.sió¡ 1, rzrrrigradtt sj I > 1, (lignun I i.1.24). F,, tnuchos .le lox ¡n oblenus c|re tic'e, ,1u" u"rrno'irüiento ,1,i',u, . .o). "l s-tp,lir,i d,,r-nlir:,rel sirnl.lri(u(1'n rr.n¡.( lo. rrn eje¡ r¡rre rrr) \F \or ,l.tr...,ilrA,¡r,,r"u.ll¡olza ",l",p. Se
,i",1 ¡',",,,i'tt t
l¿s t,lt.cid,ttL r rir 7rr,.,rt,;rr ,¡ ,1. ¿t., lrl,irÉrlx,.\i \-,urrt", l,r ,r.rÉr,i hrd^de su vek¡cr
3..
trIo_ttimic¡tlr¡ genetal de un cuetl)o simétrico con re:rpec[o a tm cjc con LúL punlo O fi.jo krcalirudo en m eje de úmetría q su.jeto rinicamente o ,ju lrr.olr'ío ¡rcso. Éste es un.r'oürricrto cn -l , .c pts.nir' 1., rari;t¡'ún tlcl ,ir{rlo e. E, ,:'r.,li'ri,. ir.r,.rrr",lad,, 'r'¡l debe rl-he considerarsc t'nside,ar', 1¿r r'loli'lad de i:r velociclai pr-rnsi,irr ó. tle precesitirr ¡,r.,, rf ¡ürv la 1,, vclocidtcl rr lo, i,t,,,l,l-,,,,_ d lal¡r,.lotirhLl d. giro de nut:rcirin d, nirgula t¿lclorl mrlgu¡a cle de las cu¿les pertnanÉccril c(,nstiL¡tc. Un ejcntDlu rL: rlor.imicnto de este tipo cs el cle rm tror¡rpo, el cual se anirliza cn los problenriLs 18.139 y nr,,hlerr.rs iS.t'¡st , 18.140. lS.t¿0. lil trll sistena sislc,¡¡ dc ,l¡ re{élenci¿l rotittorio Ory: que se usará sigue_sicirlo el q,re se rn,rert.,r en la figrrr-a lg.lg, aunqre éste no girar-á en c'ste caso ¿rirecledor tlel eje r7 n la'elocidacl é. por lo t¿r¡ó, 1"l; ciones (18.40), (18.4I) v (18.a2) deberr ststituirse plr l¿rs sigujertesl "",,"
: H,, ar
.|
sen 0
i + áj +
Ió.er0ittéj
(r¡
+,f
cos tt)k l,t, I ¿,,,,,p,k
(1s.,10,) (r ¡1.,11') (r
(jumo
l:L
\ustituci,¡t
8.49',)
rrplesioncs en la ecrración (Ig.44) conducirírn ¿r eclracioncs dj lercnciirLes rru lin.¿lcs. es pleferihL, siempre que se¿ {irctible. ¿lplic¿r los sigúertes pr_irci_ pios de consetracióll: u) ('o.ns(n'rrrión ¿? ld cüerEie. Dcnotaldo porc la distitncia c t¡e elprrnto fijo O r' *l. , enlr,' d¡ rn,s C dcl , erllo \ por f l.r en-r¡ir, r,,t..l. ,e -,¡ I.rhi-i ,1,- cstas
T+Y:F.:
+Q'.i + I'@i + I.ol) + ngc cos 6 : x
y sc_srrstitu\en las rontponentrs rlr ar cle Ia expresión qrc se obtrlvo en la ecrnción (1¡J..10,). Aúüert.¡ ,Ire . scrá posjti\ iL r, negrtiva, dependiendo cle la posición de C rel¿tiv¿ a O. Arle_ ruás,_c : 0 si C coincide con O;;n ese cirio Ja energla cir¡ill¿¿¿ se co¡sery¿r. b) (ltttserur,cíón de Ia utntitkul ¿le mot imitntrt dngull r con rc:tpect() (tl eje .le pre_ ccsi.in Pue.to,qr¡¡-l sop.rln cn O ,e ,¡bi, ;r *t,eleit7.t -r, tn.¡., , ¡" ,,,,.'.¡ p..o AJt ..u,,,i.,,. nl
"jrZsorrarrrhusrerji.d,\) po,.llo ¡,ard"lo.crri.eri.."o,nclr.,"qrre)\f7-_or1
si$riente- que H7 pemunece coDst¿nte. Esto puede erpresarse escalar
c)
K.He
es const¿rnte, donde
K
es
.l r..itrr rult,¡io
Cotserr,ación tle la contitktd dc
ntttinicnto
¿L
,1o"
"i".ib:"ndo Iu l¡rrsc, del cje Z.
116¡ ]on e1 plr oclucto
ungulctr c)rn re"fte<:to ul e.ie de giro.
qu. ont)) Fl c¡.nt,u r-l, grarnd¿J C cslLir lo, ¡l¡z,L,ln.'.,,,f ,",,,,'.f .¡ .i' .lll,u" ¡lr,i"l:jf".h rtcrLtrcc iMa i 9l ¡or ello. 1ue,l/, penr¿nece constartc. Esto se eryresa escrilicnclo qrLe rl coeliciente del vrctor r nit¡ri' k en la ec¡ación (18.41,)
tc riltir no frin(ipiñ dc
¡r¡¡ ¿lretledor rle srr 1
lN.
190
es constaltei Aclvierla c,11re es_ prredc :rpJicar c,rando aJ crrer¡c, no l" pe.,iit" g; "-. de \inrctna, .rlrnque en esi caso las ri¡fc¿s r,¡¡riiib]es son d i $.
cr
rjc
nserr rción
ro
se
18.105 El trompo de 3 oz se apoya en el punto ffjo O. Ios radios de giro del trourpo respecto a su eje de simetría y a su eje transversal que pasa por O son, respectiva¡rente, de 1,0ó y 2.25 in. Si ¿ = 1.875 in. y la velocidad de giro del trompo en relación cor sr eje de simetría es de 1800 ryrn, detenr.rine las dos posibles velocidades de pr€cesión estable correspondientes
a0:30'.
18.106 El trompo que muestra Ja ffgurir está apoyado en el punto fijo O y sus nlourentos de inercia respecto a su eje de sirnetía y ¿ un eje trunsversal que pasan pol O se denot¿n, respectivamente, con I e I'. r¿) Muest¡e que la condición para la precesión estable del trornpo es tta. donde
- t'ó
cos gt4t
=
¡.
h
velocidad de precesión y rrr. la conrponente rectangulru de la velocidad angular a lo largo del eje de sirnehla del trompo. b) Demuestre que si la velocidnd de g.ro rl del trornpo es muy gr.ande compar.ada con su velocidad de precesión @, la condición ¡ala precesión estable es lf6 : 1¡2". c) Determine el error porcentual que se presenta cu¿ndo se us¿ la úlüma relación para aproximar ln :nrís baja de las dos velocidades de precesión obtenidas para el trompo del problema 18.105.
$
es
F¡gura Pl8.l05 y P18.106
18.107 U¡ dnco delgado y unifbrrne de 6 in. de diámetro se conecta al extre¡no de una bana AB de masa insignificante que está soportada rredi¿nte uru ¿¡ticulación de r'ótula colocada en el punto A. Si el üsco precede respecto ¿l eje veftical AC a la velocidad constante de 36 rpm en el sentido ildicado, y su eje de simetr'ía AB fol¡ra un ángulo É : 60' con AC, deterr¡ine la velocidad a la cual el disco gira alrededor de la bara AB. 18.108 Un disco delgado y uniforme de 6 in. de diáriretro se conecta extreno de una b¡ura AB de masa insignificante que está sostenida trediante una ¿uticulación de róh¡la colocada en el prurto A. Si el disco gira alededor de su eje de sir¡etía AB a la velocidad de 2100 rpn erl el s;ntido indicado, yAB forma rm ángulo B : 45' con el eje vertical AC, detenrrine las dos posibles velocidades de precesiírn estable del disco respecto al eje AC. al
Figuta P18.107 y P18.1Og
18,109 Un cono sólido de 0 mr¡ de altura y base circular de 80 mm de radio se sostiene mediante una ¿rticr ¿ción de rótul¿ colocada en A. El cono gila ahededor de su eje de simetría AB a velocidad constante de 1600 rpm en el sentido inücado. Si se observa que el cono precede respecto al eje vertical AC a la velocidad constante de 40 r?m en el sentido indicado, determine el ángulo B. 18,110 Un cono sólido de 240 r¡m de altura y base circula¡ de 80 mm de ¡adio se sostiene rnediante una grticulación de rótula puesta en A. Si se obser"ra que el cono precede respecto aJ eje veftical AC a la velocidad corrtante de 30 ryrn en el sentido indicado, y que su eje de simetía fon¡a un ángulo B : 30' con AC, detennine la velocidad a la cual gira al¡ededor de su eje AB.
L-;
CI
Figura P18.109 y P18.110 1
)L--
191
1192
rísidos en tres
31ffiL?"i:""uerpos
18,111 U¡ registlo lbtográlico clc alt.r velocidad Duest¡a Tre cielto ploltctil se l¿rnzó co¡ r,elocidad hodzontal v de 550 ¡r/s l con su cje de si-
¡rctrí¿ fonrrando urr angulo B : 3o col l¿r horizont¿I. La vcbciclad cie gir<, ry' del prol'cctil fue de 6000 r?rn, y cl ¿¡r'rilstle rtmosférico resr tó erlrivalente a rn¿r firerz¿ D dc Ll0 \.' ¿rctrr¿ntlo err el centro tle plesiól C¿,, ubic:rclo:r ul:r clista¡ci:r ¿ = 175 rrrl de C. ¿/) Si el plor,ectil ticnc rn¿si1 rle 11.1 kg l.radio cle giro cle 60 rnm resfectr) a srr ejc clc sirletr'í¿. deten¡ine srr relociclad cle precesiór eslable ¿rproxintirdir. ú) Si ¿clerrrírs el ¡¿rdio de gir.o tlel provcctil rcspecto aI cjc tr¿¡srelsal que pasa por C es de 250 nrnr, clctcmrile los r'¡L¡l es cx¿rctos de las c'los posibles velocirl¿rles clc prcccsitin.
Figura P18.111 Figura P18.l l2 y P18.113
L
t3..15
,
lljc dc
12 Ul cono hornogéneo de ¿rltrrn /¡ r' brrse de diíLrnct¡o 11 {
18,1
L,'ueetr
!urr,
cie B('
h r tl, < i'l,r'l
Lt
iLrJitLr
L {igur
r_l.L trrr:rcl¿
(1rnstt1nlc 4,
.
\
/¡
se
AB. El colo gira irlredectrr.de
srr
plecede respecto al cje veftical r¡rc pirs¿
por el prrnto A ¿i l¿r velrciclacl corrstante f. Detelntire e1 iLngulo B cual cl e-je ll(,' rlel colo se ¿1liúe¿ crltr Ja cLrcrda AB (6 : B).
par-a el
Un (,o¡o hornogéneo rile altura l¿ : 12 il. r'base de di¿'rnetro 6 jri. se colecta corno indjc¿ ln liqru-.1r I't rrL"rtlir AB. Si los .Lngrrlos quc l¿r crrelrla AB y cl cjc BC tlel cr¡rro lbt¡t¿l co¡ el eje vertic¿l son, lespecti vanrc¡tc- B = 15" y 0 :30'. v el cono pr-ecec'lc a l¿r velociclad co[st¿inte ó : ¡j r¿rd/s e[ e] serltido irrclicaclo, clctc¡rnile ¿¡) l¿r yelocidacl de giro r/i dd cono ¿lrecler:lr¡' cle su cjc BC, l) la lorrgitucl dc l¿i crrer¡la AlJ. 11
:
18.113
18.1
Figura
P
14
Si la Ticr'¡a {uese una esfela, la ¿tr-¿cción gravitacional clei Sol. los pl¿rnet¿s scía siellpre eqrrivalcnte a una sola luerza R qrre ac túi¡ e¡ el certro de mas¿ clc Ducstr'o pl¡net¿. Sin embar.go, l¿ Ticr¡ir cs eli ¡c¿licl¿cl rrn esfcroidc ach¿rt¿rdo ! el sist, mr gr-r\itxci, ,nul qirc Lrctir sc,br r ella es arqui\'¿rLcrrte ¿ una fue¡zr R v rlt pat NI. Si cl efecto de] p¿l M es c.trlsiur¡re el eje tcn'estre plecerla alrcclcclo¡ clel eje (JA a la velocidacl dc una revolucirin er t58(X) años. clcter¡tire lir rnaglitrrd pr.onr:clio dcl p:rl M aplicarhr a l¿ Ticr¡¿r. Srporrga que su peso Fsfe(rllco p-r'n¡tetliu es J. ¡++ l¡¡ttr qrc sr r-ddio prorledio rri(le 11960 ¡tr. r que /: i nrRr. rl,,/a: Estir plece sión firrz¿rcl¿r se conocc conn) pl-ecesi(i[ de los eqriDoccios. v no clebá colfiurdir-sr: co¡ Iir plecesiórr librc que se on¿liza cl cl problerLra l[1.121.) l¿r
18.114
l,rur:r
r
'18.115 \l¡tt
sólidr cle raclio ¿ cst¡r co¡ect¿al¿l co¡io se nruestr.¿ ¿ firrrn¿ ur.t ítigulo F con l¿l Vertical v pn:ccde a re loci dircl const:rrr le g!. nr icltr:rs r¡re 1a esféri gir.a :i 1a r.eloc iclnd coristu rte rfi ah.ecle ilor cle su cli¿irlctrr B(,'. I)etcnrine eJ íngulo 0 que filrna IJC co¡ la vertic¿1l. esf¿r¿
una crrer-da AB. L¿r cue
C\
,
z \)vr \
Figuta P18.115 y P18,116
¿r
l8,l 16 Uru esJér'¿ s
r:
:
40 mrrr se coltectx conlo indicil Li
figula a la crtcrl¿,18. L:r
alavclocidarlr/r:l30racVs.c)gilaallecledorrleBCalar,clocjcl¿rdú:30¡,rcl,s
18.117 Demuestre que para un cuerpo simétrico con respecto a un eje y no sujeto a ninguna fuerza, las velocidades de precesión y giio pueden ex_ presarse, respectivamente, como
Hc H6 cos 6lI'
;
donde 116 es el valor constante de cuerpo.
"
- l)
ll*,rd"U de movimiento
angular del
18.118
¿) Demuestrc que para un cuerpo simétrico con respccto a un no sonretido a ninguna fuerza. la velocidad de precerión pu"d" e"p."_ ) sa$e como
cje
, donde
Iu2
I, cos
0
es la componente rectangular de
. .18,1 1 9 Demuestre que el vector de velocidad angular or de un cuerpo simétrico-con respecto a u¡ eje, y que no está someüdoa ninguna fueza, es vrsto desde el cuerpo mismo. que gira alrededor del eje de sñ.netía a la ve_ loodad constante n- I'_I ., , donde ros es la componente rectangular ú, situada alo largo del eje de simetría del cuerpo.
ró.lzu . Pa¡a 18.120 ra_ra rur u¡ cueryo s¡r¡étrico sir¡étrico con respecLo a un eje no sonretido a ninguna lue¡za. demueslre que al la velocid¡d de la precesi
dada en el problema 1g.119, deterririne
el periodo de precesión del polo Node de h he¡¡a alrededo¡ del eie tle simetía de ésta- La fon¡a de la Tierra puede aproimarse mediante un es_ feroide achatado de momento de ine¡cii axial 1! momento de ine¡cia t¡ans_ ve¡sal 1' : 0.996771. (Nota: Las observaciones reales muestran un periodo
de precesión del Polo Norte de aprorimadamente 432.5 dias solares r'nedios; la dilerencia entre los periodos observados y calculados se debe a que la Tie¡ra no es un cuerpo perfectamente ngido. La precesjón lib¡e aoj con_ siderada no debe confi¡¡di¡se con la prácesión mucho más le¡ta'de los equi¡occios, la cual es una precesión forzada. Vea el problema 1g.114.) 18.1 22 El vecto¡ de velocidad angular de una pelota de fútbol ameri_ cano que acaba de ser pateada está en ptsición horizontal y su eje de sime_ tria OC se orienta como indica la ligura. Si Ia magnitud dÉ la rejociclad an_ gular es de Z!!-,rpm, y cociente entre los momentos de inercia axial y _el iransversal es //' : +. determine a) la orientación del eje de precesión OA, b) las velocidades de precesión y de giro.
F¡gura P18.122
Probtemas
i I gg
1
194
Cjnetica de cuerpos rígidos en tres
18.'123 Una moneda se lanza al aire y se obserua que gira a Ia veloci_ dad de 600 rpm alrededor de un eje GC, perpendicuhr á hioneda, y que -Si precede en tomo de Ia di¡ección vertical Gb. GC fo¡ma un ánguloé t5" con GD, determine a) el ángulo que la velocidad angular <.r de"la moneda forma con GD. b7 la velocidad de precesión de la monld¿ al¡ededor de GD,
e¡
po
Pa cal
m(
de
en
Poi Pal
cal
tiel
det
ralr
-{c
hor
F¡gu¡a Pf8.l23
ber de
esti
a-{
Figuta P18.124
18.124 Un satélite geoestacionario de 800 lb gira con veiocidad angular ar6: (1.5 raüs)j cuanio es goJpeado en B por ui meteorito de 6 oz que viaja con velocidad ve: -(1600 ft/s)i + (1300 fVs)j + (4000 ft/s)k relativa al satélite. Si b : 20 in. y los radios de giro del satálite son fr-. : e :2g.g ír. y ko
:
32.4 in., determine el eje de piecesión y las velocidades de precesión y giro del satélite después del impacto
18.125
Resuelva elproblerna 18.124, suponiendo que el meteorito golpea al satélite en A en vez de en B. estación espacial está compuesta por dos secciones A y B de igual masa que están conectadas rígidameñte. Caáa sección es ünámica_ mente equivalente a un cilinüo homogéneo de lE m de longihrd y 3 m de
radio. Si
la- estación precede alrededoi de la di¡ección fija G:D a velocidad constante de 2 rev,4r, determine su velocídad de giro aliededor del eje de
simetfa CC'.
.'\
'18,127 Errcuertre la solución del problema resuelto 1g.6 suponiendo que el meteorito golpea al satélite en C óon velocidad vo
:
(2000'm/s)i.
18.128- Después de que el moümiento determinado en el problema ¡esuelto 18.6 se ha establecido,la barra que conecta los discos A yB del satélite se rompe, y el disco A se mueve con libertad como un cuemo iepa¡ado. Si la barra y el eje ; coinciden cuando la ba¡¡a se rompe, determ-ine ei eje de precesión, la velocjdad de precesión y la velocidad de giro para el mávimiento resultante del disco A.
Figura Pi8.129
lor
r
del
quin
re&
b¡e¡
hori
Peqr
dad
18.126 Una
Flgura P18.126
mol
18.129 Un disco homogéneo de masa m se conecta en A v B al ex_ tremo en fonna de horquilla de una flecha de masa insrgliffcante sostenida mediante un cojinete instalado en C. EI üsco gira libreirente alrededor de su diámetro horizontal AB y la flecha tiene la libertad de rotar en tomo del . eje vetical que pasa por C. Al inicio, el disco permanece en el plano verti_ cal l0¡ - 90') y la flecha tiene r elocidad anguJar $6: 16 radrs. Si el dirco se desestabiliza ligerumente determine, para el movimiento subsecuente, a) el valor mínimo de ó, b) el r.alor máximó de d.
l3r cha
'
h \_erti red€t ra.lor loci¿l e.¡ie
homogénea de
lt;lll^"
masa m ylado c se sostiene Yy"nr::uadrada en los puntos A y d m"cl;rnre ,n rrco de misa ¡ú'q r¡¡'txrrrrr(ar¡re insigrificante que eslá so"Dorfarjn por ñ^, ¡^;iñ-,^ , portado cojinete5 puestos ^..-_,- to.'--" D La placa tiene libetad ¡ p¿¡¡ girar p¿ra nra¡ ¿l¡ederl,r.la aA , el de AB,,y -r"nmarco- gtr" lurE{rcnLc cll torno de la vcrlitib.á;üá 6!4 ve¡til cal CD. Si al inicio go : 4'S", fr; : y,fe = 8 rad'rs determine, para el n'loümiento s'h"o.,,--+I
Problemas
l lgs
-""^lTj:i I
^r,-; má*io,¿Ji¿.;;
-r
ilT1T:i:":*,::T,:l:,.o) "i de ua]o. ,n,a¡-o'j" e. ó, ")
áI
i,ijlillllj;,l?,li,,*
"t
18.131
Una placa cu¿drada homogr vó!¡r'l ¿ u' d: rrrasa /rr qe rostiene ¡¿J¡ y iado raoo r ce :ostiene en los puntos A ¡ ii ,n"alun'" un u,i 'spunrosArB¡¡e,i;,nro," ;l::rr¡qJa masa - ",^^ .-v rt¡srHrrIrc¿r¡te 'oue estri sopodad, por cojinere;, cojinet", Portado i".t"l"dor ;r¡,¿'", i D l.i.,jj""; pluca tiüe libetad para girar atrededor de rle AB, AB y. .r *,"1t^Pliii:,c I .La torno el "r, marco^gira libre'menteá de la verti
",,'ill"J,ÍiJFi ;:
q:5, l
il:i,ill:::
ii;:11; #"3?;**;:;itl:l':.t'.,"..*i"i;iffi"jlil'J:i?T:'fi riene retocidad unsul., go s ,r.t, = siri Jc uFre\Ldorrtza lrcc¡irrncnle ii.;;áj::;;iliJ"l;:; v¡44 Ij;i: dele¡mjne. para eirnoüm"jenlo;;1;. noü jen o ., bso"u" oi.. ¿r . 'cucnte r, cl m
::,"""':,ij_pf va.lo¡ veior máximo mrviñ^ 11 .ra de ",], fi. 18.132
r
r,raior ¿". mínimo ri",1. d. 5.'á] bl ó. [j
"l
\Jn disco hr,mosé.,
Acd;b;;,;'ñj;;:::ii:,r*,1"*,"?:tj;"'"::li:##fr horquill
;
a una lle"lia ue,tical AB. ia bo.r, y ll ¿i."" or"¿"" _,1"11- ,, benad alrededo¡ de un eie hori?ontal AC. y la flechc aIi riene la posibili
Figu¡a P18.130 y pf 9.131
,,"".,ii.ijra
j",..ilÍ#
18,133 Un discu homoséneode g in. de rrdio se suelLla a una brura AC de 18 rn de^longt.d peso insigruricanre-rJuc ¡ sc conccra ¡nediante una hor
qurla a una flecha vertical
¡8. L;br
", "¡" r,""#.aic-
¡"il'li"riffi:;firrn:n 5i.H1t 0¡ - ;0: ; ;; il ;:l#,#r,ü1 Ji":;li j,";: t :i"l""il.; pequeño de 0 en el moümjento sub eioci ái ""s"r". "'"ii d; ;;',il:;l :;T:,:T:;n$ ::ffi :nT¿ ¡_defolcre tlrerrente ho
rizo
n
r
en tomo del eie vertá,|
I
al.r
ra
i
18.134
r
LIna esfe¡a honosénea de masan_y radio a se suelda a la barra
A-8 de masa j¡signiffcante, la cuil so
"; ;;;i
A¿
;'y:il; ;.$Xffi *iiJf .:jffi :l: T; libenad alrcdpdor de un eje r ertjcaj El i" lu"tro'ln'; #:':: 9Y "'l 0 con.rclocidad angula. rededor del 'i't"'" S¡ aJ"1" '""""r1 "i" ""rJ"fi;'.1"1':f -- rspccto ¡l eje horizontal. si rná,cmo'de el '.alor B e;"í ;;;#il;:.*gura-r t3¡"*,p rm ine ¿ Ia r erocidad angura. nr-ci a' ;; ;; ;i' fiJ:d':t'iili.i", É: "h,.,",b",i ele nonzontal e¡r A. y la flecha AC
"i,';$Jnl
Figüa PtB.tA2 y ptg.t39
i
¡
Figura pf8,l34
l
! I I
I
1196
Cinét¡ca de cuerpos r¡gidos en tres
*18.135 Un
disco homogéneo de 9 in. de raüo se suelda a una bar¡a AG de 18 in. de longitud y peso insigniffcante soportado media¡te una articulación de ¡óhrla colocada en A. El disco se suelta con velocidad de giro rl¡¡ = 50 raüs, velocidades de precesión y nutación de cero, y con la barra AC en posición horizontal (00 : 90'). Determine o) el valor más pequeño de 0 para el moümiento subsecuente, b) las velocidades de precesión y giro cuando el disco pasa por su posición más baja.
ür¡ EI
r¿d
te¡ rte
Lti en
*18.136 Un
disco homogéneo de g in. de raüo se suelü a una bara AG de 18 in. de longitud y peso insigniffcante soportado media¡te una articulación de róh¡la colocada en A. EI disco se suelta con velocidad de giro r¡i6. en sentido cont¡ario al de Ias manecillas del reloj cuando se ve desde A, con velocidades de precesión y nutación de cero, y con la barra AG en posición horizontal (00:90"). Si el valor más pequeño de 0 en el movimiento subsecuente es de 30', determine a) la velocidad de giro ry'o del üsco en la posición inicial, b) las velocidades de precesión y giro cuando el disco pasa por su posición más baja.
fl(x
*18,137 El trornpo
mostrado por la figura se sosüene en el punto ff, $, 0 y t! los ángulos de Euler que de{inen la posición del trompo respecto a un sistema de ¡eferenci¿ {ijo, considere el movimiento generul del trompo en el cual varlan todos los ángulos de Euler a) Obserue qre 2M2 = 0 y >M, = 0, denote meüante 1 e 1', respectivamente, los momentos de ine¡cia del tro¡npo respecto a su eje de simetda y al eje transversal que pasa por O, y deduzca las dos ecuaciones diferenciales de primer orden pam el movimiento
jo O. Si Flgura P18.135 y Pl8.l36
se denotan meüante
I'$
sen2
0 + I(¡r + ó cos 0) cos g
:
(r)
a
I(rf+$cos0) =B
Figura Pl8.137 y P18.138
(2)
donde a y B son consta¡tes que dependen de las conüciones iniciales. Estas ecuaciones eryresan que la canüdad de moümiento a¡gular del trompo se conserva en relación tanto con el eje Z como con el z, esto es, que la componente rectangular de H¡ a lo largo de cada uno de estos ejes es constante. b) Utilice 1as ecuaciones (1) y (2) para demostra¡ que la componente rectangular r'l: de la velocidad angular del trompo es constante y que la \,elocidad de precesión @ depende del valor del ángulo de nutación á.
-18,138 ¿) Aplique el principio de conservación de la energía y deduzca una terce¡a ecuación üferencial para el movimiento general del trompo del problerna 18.137. b) Elimine las derivadas
f
1
f(0) = r,
1". \'"
B"
t
I
-
.¿¿ Dei
fres
o¡r
Fd
irt¡, der
red
E¡. del
_nsccosr)_(#)"
d¡lt
variable auxilia¡ r : cos 0, que los valores má¡irro y mínimo de 0 pueden obtenerse al resolve¡ respecto ¿ :v la ecuación cúbica pn
Elr
:
c) Demuestre también, int¡oduciendo
('" -
mIn
zmsa)rL
Ia
- r't -
!,o
Br'"
o
(F
ced
Et c-I
dFE
L.
Problemas 1
.18,139 U¡
cono sólido de 180 mm de altura y base circular cle 60 ::r de r¿rdio se sostiene mediante un¿ articul¿rción de rotula colocada en A' _l co¡o se suelta desde la posición go : 30' con velocidad de gilo ry'¡¡ : 300 ,i s. r'elocidad de plecesiór d0 : 20 r¿rd/s )'velocidad de ¡utación cero De:::rnile d) el vnloi r¡íxino de g en el ¡lo\iniento subsecuente, b) los co
-
197
clc Air-" r Ple¡esior' '5tt:ritttci4l ¡li'e e la ecLrrLci,',rL t2) del problerra 18.138; es posible resoh'er est¿ ecuaciórl lon¡a nur¡érica o r'edtcirla d lrna ecuación cu¿drátic¿, Puesio que se co
.:
.t'o,d'enl, s r"[rres
(e
d. IL¡.'cl,',ida'1"'
llr]¿t de sus r'níces.]
r=60¡rn
Figu(a P18.139 Y Pl8.140
*18,140 IJ¡ cono sólido cle 180 ¡u¡ de alttra y base cilcular de 60 ¡rm de radio se sostiene medi¿lnte urla a]-ticulación cle r'ótula coloc¿rd¿ en A. El cono se suelt¿ desde la posición 0,, = 3¡' cor velocidad de giro r/¡o = 300 raüs, r,elocidnd de precesión Óo = -4 r¿üs y velocidad de lut¿ción cero Dete¡¡rine ¿) el v¿lor má\irfio de 0 en el üovimiento subsecuel'ite, b) los co rrespondie¡tes vi¡lores de I¿s velociclades cle giro y plecesiól' ¿) el valor de 0 para el cual el sentido de la precesión se inviete (\'ea ln sugerencia del
2't
/tIo
problema 18.139.)
*18.141
Considere rü cueryo ígido de fbrma :rrbitrar-ia lijo en su cer-
tro de nasa O y qne sólo se somete ¿r l¿ luerz¿r de su peso y n la correspondiente reacciól en el apoyo O. a) Delnuestre queln cantidacl de movimiento anguJar He del cuetpo alrededor del punto fijo O es const¿ute erl magnitud -v dirección, que l¿r_energía cinética i del cüer?o es constante, y qte la pr-oyecciírn a lo lalgo de H¡r de la velocid¿d angular'
I,a: + I,fni + 1-d: = 2T:
constlnte
El elipsoide (denor¡in¿do elipsoíde de Painsot) estit rígidatnetrte unido al .ueryo y es de l¿r misma forma que eJ elipsoide de ile¡cia, pero de tarnaño clifere¡te.
Figura P18.141
ln
1198
Cinética de cuerpos risidos en tres dimensiones
.18-.142
En refe¡encia al problema , de.de.Poinsot cs
Jg.l4I. demuestre que d) el elipsoi_ tangente al plano invariable. b) el moümienlo ¿"1 ¡_ gdo debe scr tal que el eüpsoide de poinsot parezca rodar sobre el"u"_o plano ¡n_ vanable. lsrgsrei?.i¿: En el i¡ciso a). muesLre que la no¡mal aJ elipsoide de Poinsot cn la punta de- r.r es paralela a H6. S'e recuerda qu" luÍr"""i¿n oF ta.normal a la superlicie de ccuación Ftx. ¡1.7, consta¡te en un punto P es la misma que la del grad F en el punto p.J
*18.143 Uülizando los ¡esultados obtenidos
en los problemas 1g.141 y 18.142. muestrc que para un cuerpo simérrico respeclo'a un u su ce¡tro de.masa O ) que.no se.somete a ninguni füerza qr""i" no ""o"iJ,-, seu ., p._ so o la reacción en O. el eLpsoide de poinsot es un elipsoiáe de revolución y los conos.espacial y corporal son ambos circulares y tangentes entre sí. De_ muestre además que a) los dos conos son tangentes extemamente y que la precesión es directa. cuando I < I.. donde t Jl,denotan. respecüJam'ente, los momentos de inercia arLial y transversal del cuerpo, b) el cono esoacia.l está dentro del cono corpora.l. y la precesión es relrógrada. cuanclo l^> I,.
-18.144 En
referencia a los problemas tg.l4l v 1g..142. ¿) Demuestre gue la curva 'llamada polhodo) qie descrjbe la pu nta del vector.¿ respecto a un sistema de referencia que cólncide con los'eies p¡in_ cipales de inercia de un cueryo rígido esLá deiintda po, 1"" ''
""r""ioii.
a2
tr@\
- t|tt, t t:a: - 21 -
Éa? + Itr@i + t\a2
coDstante
: tÍo: constante
y que la curva puede, por lo tanto, obtenerse al inte¡secar el elipsoide
(1) (.2)
de
Poinsot con ei elipsoide delinido por ¡a ecuación (2). bl Muestre tcmbién. suponiendo que I,. > I, > I.. que Ios polhodos ob_ lenidos_para diuersos valores de Ho tiÁen las foimas ¡ndicadal en la ftsu.a. r) Utilizando el resul¡ado del inciso b). demuestre qu. ur, d. somerido a ninguna fuerza puede girar jr"a"á-"u".pooríg_ J""" :r: ,"g::,u centroidal fijo si. y sóio si. esc eje coincide con u ñ'o cle los eies princir¡alós " "J" de. rnercia del cuerpo. el gue moürniento será estable s; el é¡e de rotJciOn ¡ corncrde con los ejes ma)or o menor del eüpsoide de poinsoi (eie ¿ o r en .la hguraJ. e inestable si coincide con el cje intermeüo {eje y).
f
s
¡
e
Este capítulo se dedicó al análisis cinético de movimjento de cuerpos úgidos en tres dimelrsiones. Se pudo obsewar
primero fsección 18.1] que las dos ecu¿cio
nes fuld¿neutales que se obtur.ieron en el capítulo 14 para el mo vimiento de urr sistena de partículas
)F : :M(.
:
r¿á
(i 8.1)
Éc
(18.2)
Ecuaciones iundameniales del movimiento de un cuerpo rÍgldo
proporcionan el fundamento del análisis, justo col.ro ocurrió en e] c¿pit ilo t6 .,' el , ¿so dcl rno\imienh' plano d. cuerpo' ríEdos El crili ulo d. 1,, r uhdatl de rno\ imicnLo .mgulur H6 del cu" rpo y de su de rivada ü¿, sin enbargo, reüsten ahora una impottamcia considerable
Er l¿ sección 18.2 se vio que las cornponentes rectangulares de l¿ cartidad de mo\irriento angular Hq de un cuerpo úgido pueden expres¿use en tórminos de las componentes de su velocidad angular co--v de sus norentos y productos centroid¿rles de inercia de la ma-
Cantidad de mov¡miento angu ar de un cuerpo rígido en tres dimensiones
nc'r¿ siguieDte:
: +)a, Ilrr, I,"a¿ H,, : -I^a. + I,,t'tu - Ir.a. H.: -1,"a, - 1.,,a,, I I,a, H,
Si se usan los ejes principalet tl.e inercia re
LIy: I-,ay
Hr'
-
l','
<'tu'
(18.7)
Gr'r1':', estas rellciones
H.,: l.'t'tt
se
(18.10)
Se observó qne, el general, la carLtid.atl de tnt¡uin¡iento ongu.lar H¿ y la aeloci
Sin enrbargo, la tend¡án si ar está dirigicl¿r a lo largo de uno de los ejes principales de inercia del cuelpo.
Figura 18.25 1
199
1200
cinetica de cue,pos nsidos en nes drmensrones
Cantidad de movimiento angular alrededor de un punto dado
Como el sistema de cantidades de moümiento de las pnrtículas que fbrrnrn ir un cueT)o ngido pued. reducirse ¡l rector ¡¡r irsocia do ¿ C r ¡l par H¡-- , [igura 16.26'. se ,dürtió quo. una \e1 que se ha deternrinado la cantidad de movimiento line-al mv y la caitid¿d rle rroürrriento angul,Ll H,. del cuer?o rígrdo. lrr carrtiárd de moümiento alrgulal Ho del cuerpo alrededor-
Ho=ixrnv*H¿; Cuerpo rígido con un punto fijo
(18,11)
En el caso pa:ticular de un cuerpo rí$do restringído a gírur alre,lr ttn pr,tt, ftjo O. las r.ornponenles de la c¡ rhdad de moü¡r rierto angular H¡ del cuerpo alrededor de O se obtienen diectanrelte de ,letl, 'r
'
lm componentes de su velocidad angular y de sus nromentos y productos de inerci¿ con r€specto ¿r los ejes que pasan por.O. Se esc¡bió
H,.: l I-L't" - I-...a.. - I.-n¡Hu: -1,,a. I lra,, - 1,,.a. LI- : -1.,@- - I.rLo,, * I"a. Principio del impulso y la cantidad de movimiento
(18. r 3)
El princi¡tio del inpu.lso y la cantidad de noainúento pata tn cuerpo r'ígido en moümiento tddiüensional Isección 18.3] se expr.es¿ medi¿rnte la misma fórmula fundanental que se utilizó en el capítulo 17 p¿r¿ un cuer?o r'ígido en movimiento plano. Cant. Mov Sist.1 f Imp. E\t. Sis.1-2: Cant. Mov Sist., (17.4) aunque los sistemas de l¿ cantidad de moümiento inicial y ffnal ahorr deben rrpresenlrrse corno se indira err Ju figura 19.i6. y es neces¿rio calcula¡ H¡; a partir de las rclaciones (18.7) o (1S.10) lproblemas lesueltos 18.1 y 18.2].
Energía cinética de un cuerpo rÍgido
en tres dinensiones
La energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento túdimersional puede diüdirse en dos pzutes lsección 18.4], una asociada cor
el moümiento de su centro de nasa G y Ia otra con su movimiento con lespecto a G. Utilizando los ejes centr.oídales principales r', r7', ^.'. se escribi
T-)n,u'¿
donde v : ro : _ - ln Ir,I!t,,I. :
-
.,7,.(,,]
-
1,,.a2,,.
'
7...1
t
r18.l7,
velocid¿d del centro de masa velocidad angular masa del cueryo r{ido momentos de inercia centroidales principales
Figura 18.26
1i9,, Se noló lambién.que en el crso de un cuerpo rígido restringiclo a girar olrerledor de trn punto fiju O. la energía d.t cir.,po "i"neri", puede expresarse conto
Repaso y resumen del capítuto
18 1201
'll
r:
.
(18.20) i(r.,r:, + r,t,@1, + r.,@2,) donde los ejes r'. y'¡ :' son los ejes principales de inerciu del cuer_ po en O. Los resultados qu. t" obtui"roñ en la sección fÁl "".¡ bilil¿n exlender aJ rnoümlento tridimensional d" rr .i¡.1,. la aplicrción del pnn cipiu fu,! trabnjo y la etrergía ,¡ ",r"rn., á"i frtí.ryití)i lo conserr)acíón de la energía.
L1 seglndl parte del capítulo se dedit.ó a la aplicación de
ecuacrones tundameútales
)F
= r¿á Hc
)Mc :
las
(18.1) (18.2)
Utilización de un sistema de referencia en rotación para escribir las ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido en el
espacro
al morimienlo de un cuetpo:rgido en lres dimenriones. Se rccorcló lseccion l8.5llque Hc representt la t,rnbdud de moümienlo anorIar del cuerpo rehtiv¿ ¡Ll siste¡na de.relerencir c.enlroiclal CX'y,2,'áe orierrlación fi¡a rfigur.a 18.27'yr¡ue A"en laecuación rlg.2) *pÁ"n_ ta la razón de camLrio de H6 r.on rcspeclo l ese si5lema de r"l' r.n_
Figuta 18.27
cia. Se üo que. cuando el cuerpo gira. sus mon.tenlos I oroduclos d. rnercia con respecto al sistema de réferencia GX,y,Z, ia,iblan en fnr_ ma continua. Por lo tanto, r-esulta más conveniente ,rtilira. .,r, ,isierna de referencja en rofación Cr4: cuando se der"o-oo;;;;;;;;; poncnres ) se calculan los momentos y produclos dá inercia oue se usarán para deterrninarH6 de las ecuaáones, le.Z,o r LS lOj Sin em_ bargo. puesto que H6 err la ecuación r lg.2r representa la razór, de
ca1!io^!e Hc
ciy,t ;;;;;
al sistema de,"l"r"nii" 19n tacron tiJa. se debe utiüzar el método de Ia sección 15.l0 para deter._ minar su valor Recordando la ecuación (1b.31J. se esc¡bii
respecro
É"={É"¡..r-+OxHc
(r8.22)
donde H6 = canüdad de moürniento angular del cuerpo con resDe(_ al sjstema de referenci¿"CX,y,Z, de á.ienf aciOn'fi¡ (Hc)c,q. = razón de cambio de H6 con respecto al sistema de re_ ferencia en rofaciór C)iyz, que^se calculó ¿" f"r-r"l" ciones ( 18.77
O : velocidad angular del cióra C,ryz
sistema de referencia en rota_
t
1202
Citetice de cuerpos rígidos en tres
Al susütuir
it" d. 1rc.22¡ en (18.2), se obüene )Mc=(Éc)c,v,+OxHc
(r8.23)
Si el sistema de referencia en rotación está realmente sujeto al cuerpo, su velocidad angular O es idénücamente igual a la velocidad angular ar del cue¡po. Sin embargo, hay muchas aplicaciones en las que tiene ventajas utilizar un sistema de referencia que no está aso-
ciado con el cuerpo, sino que gira de una manera independiente lproblema resuelto 18.5]. Ecuac¡ones de movimiento de Euler
'prir"ipi" á"
á
ÁÉri"ii
é
I
t
I
) I
Con O = o¿ en la ecuación (18.23) utilizando los ejes principales y escribiendo esta ecuación en foma escalar, se obltenen lx eanacir¡nes d¿ mnoimiento de Eubr lsecclón 18.6]. Un análisis de la solución de estas ecuaciones y de las ecuaciones escalares corresponüentes a la ecuación (18,I) lleva a e¡tender el principio de d'Alembet a1 movimiento tridimensional de un cuelpo rígido y a cóncluir que el sistema de fuerzas ertemas que actúan sobre el cue¡po ígido no es sólo equipolente, sino en verdad equioalente a las fuerzas efectivas del cuerpo representado por el vector ma y el par H6 (ffgura 18.28). Los problemas implican el movimiento t¡idimensional de un cuerpo ígido -que pueden resolverse considerando la ecuación de diagramas dé c"erpo libre representada en la figura 18.28 y escribiendo écuaciones escalares apropiadas que relacionen las componentes o momentos de 1as fuerzas ertemas y las fuerzas efectivas lproblemas resueltos IS.3 y 18,5].
Ecuación de diagramas de cuerpo libre
&
a Figura 18.28
Cuerpo rígido con un plano fijo
A]
En el caso de un cuerpo rígido restríngida a girar alredadar tle un punto frjo O- un método alternativo de sofución. que inclu;e los momentos de las fuerzás y la razón de cambio de la cantidad de movimiento angular alrededor del punto O, puede utilizarse. Se escribió lsección 18.7]:
A]
)M6=(He)¿"r=+OxHo
rel
donde
(18.28)
to l¡¡
lM¿ :
suma de momentos alrededor de O de las fuerzas aplicadas al cuerpo ígido Ho = cantidad de moümiento angular del cuerpo con respecto al sistema de referencia fijo OXIZ . (Ho)o"s": razón de cambio de H6 con re;pecto a un sistema de referencia en rotaciórr Clxyz, que se calculará de las relaciones (18.13) O = velocidad angular del sistema de referencia en ro-
tació\ Oxyz Este planteamiento puede uülizarse para resolver ciertos problemas que implican la rotación de un cuerpo rígido alrededor dé un eje ffjo fsección 18.8], por ejemplo, una flecha rotatoria desbalancLada
lproblema resuelto 18.41,
ci¿
ab
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aIr rai
(ffs
utl
gm
Repaso y resurnen
En la última parte del capítulo se consideró el movimiento de giroscopios y ottos cuer?os sintétricos con respecto a u,n eje. Al introducir los óngulos de Euler S, 0 y ry' para definir la posición de un giloscopio (figura 18.29), se observó que sus derivadas Q,0 y r[ represeütan, respectivarrente, l¿s velocidades de precesíón. nutación y gíro del giroscopio lsección 18.9]. Al expresar la velocidad angul¿rr ¿o en té¡milos de estas derivadas. se escribió
,¿ -ér.n 0i-0j)
,y'
de caeÍtulo
18 I 203
[,4ovimiento de un g roscopio
Iócosg,k ,lb.i5,
Figura 18.30
Figura l8.29
donde los vectores unitarios se ¿socian con el sistema de referencia Ory: asociado con el balancín interno del giroscopio (figura 18.30) y gira, en consecuencia, con la velocidad angular sen g i - áj - ó co. o k f! r19.38'
-g
Al denotar por I el uronento de inerci¿r del giroscopio con respecto a su eje de giro; y por 1' su morreDto de inercia con respecto a un eje transversal que pasa por O, se escribió Ho -/'$rerr0i+tbi - /'¡1, ló,os0rk ,lh.36r Al sustituir H¿ y O en la ecuación (18.28) llev¿ ¿ ecu¿ciones diferenciales que definen el moürniento del giroscopio. En el caso particular de la precesión estable del giroscopio [sec18.101, elángtlo d, l¿ velocidad de precesión d y ia velocidad de giro f permanecen constantes. Se vio que un noüniento de este tipo sólo es posible si los momentos de las fuerzas externas alrededor de O satisfacen l¿r relación
ción
IM,
'la.
I'
ej
Preceslón estable
,I
r1R.4,1,
esto es, si las fuerzas externas se reducen a un par de momento igual ¿rl nriembro del lado delecho de la ecuación (18.44) y se aplican alretledor ie un. eje petpendianlar al eje de precesíón y al eje de giro
(figura 18.31). El capítulo finalizó con el aniílisis del movimiento de un cuerpo simétrico con respecto a un eje que gira y precede sln soln¿terse a ningtna fu.erza lsección 18.11; problena resuelto 18.6].
F¡gura 18.31
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l¿¡ar
de op tir a¡s¡ debe
18.145
Dos b¿r'ras uniformes AB y CE, cada una de 3 lb de peso y 24 sí en sus puntos meüos. Si este ensan.rble tiene velocidad angular de m¿gnitud constante o - 12 rad,/s, determine la magnitud y dirección de la ca¡tidad de moürniento angular H¡ del ensam ble al¡ededor de D.
in. de longrtud, se sueldan entre
18.146 Dete¡mine la energía cinética del ensamble del problema l8
145.
18.147 Um de Ias escultulas
Figura P18.145
que se exhiben en un plantel universita-
rio está compuest¿ por un cubo hueco hecho a partir de seis láminas de alu¡rinio, cada una de 1.5 X 1.5 m, soldadas en conjunto y reforzadas por dentro. El cubo se monta sobre una base ffja A y puede girar con libetad alrededo¡ de su diagonal vertícal AB. Al pasar al lado de esta escultura en car¡ino a su clase de r¡ecá¡ica, una estudiante de ingeniefa sujeta la esquina C del cubo y la empuja durante 1.2 s en ürección perpenücular al plano ABC con una fue¡za promedio de 50 N. Luego de observar que se re-
1
te un¿ loc'id¡ ción €
pl;ásür
ciüd
quieren 5 s para que el cubo dé una ¡evolución corirpleta, la estudiante saca su calculadora y procede a deten¡ina¡ la masa del cubo. ¿Cuál es el resulta do del cálculo? (Strgerenci,a: La disfancia perpendicular desde la üagonal que une dos vértices de un cubo a cualquiera de sglgtros sejs vértices puede obtenerse al multipücar el lado del cubo por V2/3.)
1
inrpul te en 1
mieni
el inv Figwa
P1 8.1
r' ¿cel
47
..|q
de la Luna mide B ft ejes de coordenade 4 ft. I-os lados con de altura y tiene una base octagonal de la soncentroidale^s inercia de los ejei principales son das que sá muestran La sonda i.a5 da, risus ¡adios de giro son con un propulsor principal E de 125 h y con- cuatro propulsoestí equipada -8,-C y D de 5 lb q.,e pu"den e"p"ler combustible en la dirección y- pores A, .ánü tiene t álo"idod angula. ro (0 040 rad/s)i + (0 060 raüs)k sltiuo. l-a cuando se usan dos de los propuhoés de 5 lb para reducir la velocidad angu
'18.148 Una sonda de 5000Ib en órbita alrededor
k":
ft.k,,:zaí ftyk.=255ft
:
la¡ a ce¡o. Deternine ¿) cual de los propulsores debe utilizarse. b) el tiempo de operación de cada uno de estos propulsores c) Por cuánlo üemPo dehc acti,rar-le el propulsor principal E si li .elocidad delientro de rnasa de la sond'r debe permanecer sin cambio.
r\ 1{
*H" De l¿ ts¿lli-
¡ler|Isii¿e ahi-
'denErb¡c lr¿ eú
3T¡¡l pl"se ¡€-
Figura Pt8'149
18.149 Una placa cuadrada, de Iado ¿ y r¡¿rsa m' se sostlene mediante una arliculación áe rótula colocada en A y gira alrededor del eje y con veIocidad angular constante ú, : ruej cuando súbitamente aParece una obstrucción en B én el plano ly. Suponiendo que el impacto en B es Perfectarnente plá.tico (e - 0l]detorriine inmeÜatam"nte d"spué' del impacto ¿'la relocidad angular de la placa. br la uelocidad de:u cenlro de masa C
e s¿(É
isuli¿al
qu-
te o¿*
Figura P18.149
18,150 Cott referencia a la placa del problerna 18 149, determine el impulso que ejerce durante el impacto, a) la obstmcción en B, b) el soporte en A. 18,151 Dete¡mine la ¡azón de cambio H¡ de la cantidad de movimiento anguld H¡ del ensamble del problema 18 145 suponiendo que en : (I2 ¡aüs)i el instantJconsider¿do el ensamble tiéne velocidad angular ar raüs2)i. y aceleración angular c = -(96
Problemas de
repaso 1205
f206
Cinética de cuerpos rígidos en tres
18,152 Cua¡rdo el neumático de 40 lb que muestra la figura se monta en una máquina de balanceo y se hace girar a 750 rpm, se encuentra que las fue¡zas ejercidas por el neumático sobre la máquina son equivalentes a un sistema fuerya-pax consistente en una fuerza F : (36.2 lb)j aplicada en C y un par Mc: (10.85 Ib.ft)k, donde los vectores unitarios forman una tfada que gira con el neumático. ¿) Determine la üstancia desde el eje de
11
constai cha D( ciones
rotación hasta el centro de masa del neumático y los productos de inercia I., e l*, b) si únicamente se usan dos pesos de corrección para balancear estática y dinámicamente al neumático, ¿cuáles deben ser los valores de estos pesos y en cuál de los puntos A, B, D o E deben colocarse?
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blema te, @r
Para P nes dir
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gonale
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k.:
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palEr Figura Pl8.l52
erpele
doa3 recció
18.153 La hoja de una siena portáüI y el rotor de su motor tienen matotal de 1.75 kg y radio de giro combinado de 30 mm. Si la hoja gira como se inüca a la velocidad ro1 : 2500 rpm, determine la magnitud y direcsa
ción del par M que rir.r trabajador debe ejercer sobre la agarradera de la sier¡a para girarla con velocidad angular constarte (¿2 = -(2.4 raüs)j.
Figuta
P1 8.1 53
2s.D,
sión, c
18.154 Un üsco homogéneo de masa m = 3 kg gira a la velocidad constante @r = 16 ¡ad,/s respecto al brazo ABC, el cual está soldado a la flecha DCE que gira a la velocidad constante o, = 8 rad,/s. Determine las reacciones dinámicas en D y E.
Figura P18.154
_ 18.155 Se supone que en el instante mostrado la flecha DCE del problema 18.154^tiene velocidad angular ar2 = (8 raüs)i y aceleración angular a¡: (6 rad/s')i. Recuerde que el disco gira con velocidad angular conitante, ar1 = (16 rad./s)j, y determine a) el par que debe aplicarse a la flecha DCE para producir Ia aceleración angular dada, b) las corresponüentes reaccio, nes dinárnicas en D y E. _
18.156 Un
satélite de 5 kips mtde 7.2 ft de altura y tiene bases octaejes de coordenadas mostrados son los principales ejes centroidales de ine¡cia del satélite y sus radios de giro son k. = k. :2.7 fr ) k.t - 2.94 lt. El satelite c(tá equipado con un propulsor principal E de 1d5 16 y cuatro propulsores a, f, b y A de S lb, lás Juales p'ueden erpeler combustible en la dirccción y positiva. El satélite se encuentri girando a 36 revh alrededor de su eje de simetría Gy, el cual mantiene una dirección fija en el espacio. cuando Ios propulsores A y B se activan durante 2 s. Determine a) el eje de precesión del satélite, b) su velocidad de precesión, c) su velocidad de giro. gonales de 3.6
ft d€ lado. Los
Problemas de
repaso
1207
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18.C1
Un disco homogéneo v
sobre un eje }orizont¿l
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res,pcro .u' n bi,,
P18.Cl
18.C2 Un ¿lanrhre de sec.ción t¡ans ' '' "'r\d urrrrorme v musa ü''r unidat de fongitud ¡¿' -- 0.065 ttr ;;; lor rnar la figrr ra dn alambro qu. se muest¡a,.la muestra. ¡ t.'al que .. cual se suspencle surpeñd" ¿. l" ,.,,'-1 de la lierdo aD. ie
leY :"i,^,H iü;"i :l:J#I::t;j.lt,fff ;mn: :*ll [*.a ai J","t* ffi i"' Xi i.,"" p,".l';e 51fl I:tU.l{,:"' ll : v ;T ; ht" ;;.i',ltl:T software para calcu ;"1) ^-:li, inr¡ediatum..nte y g*l:T". "" "r rr.¡eorarumente dcsn,rér despué: íl )r 5,d,(d,. ¿' l¿ relocidrtl
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1208
L
F¡gura Plg.C2
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18.C3
Dos brazos en forma de L, cada uno de 2 kg de masa, se sueldan a los puntos que üviden en tres a la flecha AB de 600 mm y masa insignilicante. El ensamble se encuentra en reposo (ro = 0) en el üempo / : 0 cuando se aplica un par de momento Me: (f .6 N'm)k a Ia flecha. Determine las re¿cciones dinfiiicas ejercidas sobre la flecha por los cojinetes en A y B en cualquier tiempo ¿. Descomponga estas reacciones en componentes &rigidas a Io largo de los ejes jr y y que giran con el ensamble. G¡affque las componentes de las reacciones y las magnitudes de las reacciones desde ¿ = 0 hasta ¿ = 0.5 s.
18.C4 Un par M¡¡ = (0.036 N ' rrr)i se aplica a un ensamble compuesto de piezas de hoja de aluminio de espesor uniforme y 1.35 kg de rnasa total, las cuales se sueldan a un eje ligero soportado por los cojinetes en A y B. Determine las reacciones dinámicas ejercidas por Ios cojinetes sobre el eje en cualquier tiempo f después de que se ha aplicado el par. Descomponga estas reacciones en componentes dirigidas a lo largo de los ejes y y ; que giran con el ensamble. Utilice software a) para calcular y graficar las componentes de las reacciones desde ¿ : 0 hasta t : 2 s, b) para determi nar el tiempo en el cual las componentes ¡ de las ¡eacciones en A y B son iguales a cero.
Figura P18.C4
Problemas de
computadora
1209
1210
Cinética de cuerpos ígidos en tres
18.C5 Un disco homogéneo con peso de 5lb y 4 in. de raüo puede girar respecto al btazo ABC, el cual está soldado a la flecha DCE sopoftada mediante Ios cojinetes instalados en D y E. Tanto el b¡azo como la flecha tienen masa insignificante. En el tiempo t = 0 se aplica un par M¡ = (5 lb. in.)k a la flecha DCE. Si en / : 0 la velocidad angular del disco es or¡: (60 raiVs)j. y la f¡icción en el cojinete puesto en A ocasiona que la magnitud de r,r1 üsminuya a razón de 15 raÜsz, deterrnine las reacciones dinámicas ejercidas sobre la flecha por los cojinetes en D y E en cunlquier tiempo /. iiesuelva estas reacciones en componentes dirigidas a lo largo de los ejes :r y y que giran con la flecha. Utilice un programa de cómputo para a) calcular y graffcar las componentes de las reacciones desde ¿ : 0 hasta I : 4 s, b) dete¡minar los tiempos ¿l y ts en los cuales las componentes r y y de las reacciones en E son, respectivamente, iguales a cero.
I
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F¡gura P18.C5
18.C6 Un disco homogéneo de 9 in. de radio se suelda a una ba¡r¿ AG de t8 in. de longitud y rnasa insigniffcante que se conecta r¡edia¡te una ho¡quilla a un eje vertical AB. La barra y el disco pueden girar con übert¿d ¿l¡ededor de un eje horüontal AC, y la flecha AB gira librernente al¡ededo¡ de un eje vertical. En un principio la barra AG forma un ángulo dado 0o con l¿ vedical descendente y su velocidad angular Q¡ al¡ededo¡ de AC es de cero. A la flecha AB se le itrprime después la velocidad angular- $s respecto a la vertical. Emplee un proglama de cómputo par¿ ¿) calcular el valor mínimo 0,,, del ángulo 0 en el moümiento subsecuente y el periodo de oscilación en 0, esto es, el tiempo requerido para que 0 recupere su valor inicial 06, b) calcular y graffcar la velocidad angular S de la flecha AB prua valores de 0 desde 0¡ hasta 0,,. -rpndiciones iniciales ¿) 0o: 90', óo Apllque el prograña de.cómputo bajo las : :5 ;ad/s, ,;) 0; = 90", ón 10 raüs, ttt) 0¡ : 60', ri,o = 5 raüs. lgrgerencia' Uülice el principio de consewación de la energla y el hecho de que la cantidad de moümiento angular del cuerpo respecto a la vertical que pasa por A se con ser"ra para obtener una ecuación de la fonn a e' = fl?). Esta ecuaciól puede integra$e mediante un método numérico].
Figura P18.C6
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18.G7 Un disco homogéneo de 9 in. de radio se suelda a la barra AG de 18 in. de longitud y de masa insignilicante que se sostiene mediante una arliculación de ¡ótLrla en A. El üsco se suelta en la posición 0 = 80, con una velocidad de giro rf11, una velocidad de precesión óot una velocidad de nutación cero. Utílice software a) para calcular el valor mínirno 0,,, del ángulo 0 en el movimielto subsecuente y el peúodo de oscilación en 0, esto es, el tiempo que se requiere para que 0 r,Trelva ¿ su valor iticial 66, b) para calcular y graficar L velocidad de giru { y la velocidad de precesión { para valores de 0 desde,Oe hastn 0,,,. A¡lique este softw¿re con las condiciones iniciales í) 0o ; 90',,/o : 50.rad,rs, {e : O, ¡¡) 0¡¡ : 90',.¡ib : 0, óo : 5 raüs, ¿¿¿) 0u = gO",
0¡ = 90i, úo = 10 rad/s, {¡ = 5 rad./s, ¿) 0o : 5 rad/s, oí) áe : 60", ry'¡ : 50 raüs, f¡ : 5 raü s. l&tgeren60', úo = ci¿: Utilice el principio de la conservación de la energía y el hecho de que la cantidad de moümiento angular del cuerpo se colserra con respecto t¿rnto al eje Z corno al eje: para obtene¡ un¿ ecuación de I¡ forma 6':/0). Esta ecuación puede integrarse mediante un método nuüérico.]
ú¡ :.50 rad/s, ps = 5 raüs, g,
6r :
¿o)
/-gir F¡qura P18.C7
Problemas de
computadora '1211
CAPITULO
-w/! Es posible que los sistemas mecán¡cos exper¡menlen vibraciones ribres o sean somet¡dos a v¡braciones forzadas, Las vibraciones se llaman amortiguadas cuando se presentan fuerzas de fricc¡ón y no amort¡guadas en otros casos La suspensión de un automóv¡1, en esencia, está compuesla por resortes y amortiguadores absorbentes, los cuales ocasionan que el cuérpo del vehículo se someta a vibraciones lorzadas amortiguadas cuando se le conduce por un camino dispareio.
19.1. TNTRODUCCTON
!'
19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 1s-7
$ trJ.,i\*i{lt{
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lntroducción
V¡bracibnes s¡n amortiguamiento Vibrac¡ones libres de partículas. Movim¡ento armónico simple Péndulo simple (solüc¡ón aproximada) Péndulo s¡mple (solución exacta) Vibraciones libres de cuerpos rígidos Aplicación del princip¡o de la conservación de la energía
V¡brac¡onesforzadas
Vibraciones amortiguadas 19.8 19.9
V¡brac¡ones libres amortiguadas Vibrac¡ones forzadas
amortiguadas
.19.10 AnalogÍas eléctr¡cas
íot,dt-q\ /!' i ;
BIBLIOTECA IEUA M i DIóLIU Ya Ñ. I¡uido
\.
C¡¡lillo Codou -¡,-,
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Una aibración nrccdnico es el rnovirniento de una partícula o cuerpo que oscila ¿lrededol de ula posición de etluilibrio, Ll maryoría tle las übracioles en máquinas y estr-ucturas son indeseables clebido ¿rl aumento de los esfuerzos y n las pérdidas de elergía que hs ¿cor.np¿lñan. Por Io tanto, es neces¿r'io elimin¿ul¿rs o reducirl¿rs en el nnyor grado posible rrlediute ru diseño npropiirdo. El análisis de übr¿ciones se h¿ r'rrelto c¿rda vez rna'rs ir.r-rportante en los últir¡os años debido ¿ l¿ ten delcia actu¿rl para producir náquinas de níis alra velocidad y estruc tur'¿ls más ligeras. I-iny Iazones p¿r¿r esper'¿r (lue est¿ tendencia cottinuará y que ula incluso mayol necesidad de ¿rn¿ilisis de vibr¿rcioncs se genelará en el futuro. El análisis de vibr¿rciones es un tena truy ampllo al cu¿rl se li¿rl dedic¿do textos comp)etos. Er consecuencia, este estuüo se lirrit¿rá ¿r los tipos rrÍrs sirrpJes de übr¿iciones, ¿ siüe¡ las übraciones de un cuerpo o un sister¡a de cuerpos con ru.r grado de libertad. Un¿ r'ibr¿ción mecánic¿ se ploduce por lo general cu¿rndo un sistema se desplaza de un¿ posición de equilibrio estable. El sistema tiel de a tetorn¿rl a su posición bajo la acción de luerzas lestauradolirs (r'a se¿r fue¡-z¡ts elásticas, como en el casr¡ de una r-nls¿r unicl¿ ¿ un lesoÍe. o fuelzas gravitacior.rales, como el el caso de ul péndulo). Pero el sistem¿l por lo genernl ¿rlcanza su posiciól origirral con cielt¿ velocjdad adquirida que lo lleva nás all¿i de es¿r posición. Puesto que el procescr puede lepetilse de manera indefinid¿, el sistema se mantiene rnoviéndose de ur l¿rdo a otro de su posición de equilibfio. El intervalo de tiempo requeddo pírra que el sisterra lealice un ciclo de rnovirnielto completo r-ecibe el nomble de período de l¿ r'ibración. El núrnero de
ciclos por rrnidad de tiernpo define la _frectLencia y el
les 19.2 a 19.6). Cuiurdo se apJica ura fuerza periódica al sistelr.r¿r, el li.lovimiento resultrnte se clescribe col:r.ro un¿ uibrucitín for;ada (secciórt 19.7). Cuando es posible ignorar los efectos de l¿ fricción se affrna que las übraciones soÁ rut amittigtrarLrs. Sin ernbiugo. tocLs l.u übr'¿ciones son en re¿rlidad r¿m¡rftiguodas hasta cierto grado. Si una übración libre sólo se amortigua de mirnera ligera, su amplitud decrece de m¿rner¿r len ta hasta que, después de cielto tienpo, el moümiento se inter!'umpe. Pero si eJ amortigu¿rmiento es sulicientemetrte largo pala er.itar cualquieir.ibración verdadera, en ese c¿lso el sistena recupera lent¿tltente su posicjón origrnal (secciór 19.8). Una übr¿rción forz¿rda ¿rlrortiguada se mantiene siempre y cuando se aplique la fuerza perióüca que la produce. Sin embiugo, Ia ampJitud de la vibr¿rción se ve afectada pol la nTagnitud de lus lirelz',s d. rrnurtigurmienlo se¡r'iór lg.9 .
VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO 19.2, VIBRACIONES LIBRES DE PARTíCULAS. MOVIMIENTO
ARMÓNICO SIMPLE mas¿¡ n¿ unido ¿t un resorte de constante /t (figura 19.1a). Puesto que en el tiempo presente se considera sólo el mo vilt-riento de su centro de masa, a cstc cuerpo se le consitler¡rá colro una partícula. Cuerndo la partícula está en equiliblio est¿itico, las firer-
Considere un cuer?o de
1214
_{
-l
que aclúr¿rn sobre ell¿ son su peso W y la fuerza T ejercida por el resolte, de rnagnitucl T: /i6..,¡,¡,.,,, donde 6., clenota la elongacién del resorte. Por lo tanto, se tiene, z¿rs
cueryo
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rs.2. v,b,ac,ores ,ib..< de
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Nlovrmrenio armo¡ co s mp e
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Supírngasc aholn que la partículn se desplza a una üstaucia:r,,, desde su posicicirr de equilibrio y se sueltn sin velocid¿d inici¿I. Si:r,,, se ha elegido rr¿is pequeña que 6",,,1¡.., la pa:tícula se move¡á hirc.i¿ un l¿do y otro de su posición de equilibio; se ha generado unt übr¿ción cle .rrrrplitrd -r,,.
Adüerta que la übr¿rción también puede producirue irnpartierido cierta r.clocidad inicial ¿ ll partículn cuando ést¿ se encuentra en la posición de equilibdo r : 0 o, de lranera rnás gererrl, ¿rl iliciar el rnor.irniento de la parlícula desde urli llosición da
F:Uz-k(6.,+r) : -¿.
txidad rroceso
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+C,"o, I
(le 3)
r es wafunciítn periótliuL del üenrpo f v que, por 1o tarto, represent¿ un¿ vil¡-¿ción de la partícula P. El coeficielrte de / en la expresión obtenida se conoce corno lafrccuencia circular natu-al de la w bración y se clenotr por o,,. Se tiene Obserue que
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--.''_-_^'''''',
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(1e.1)
Hrly rlue obser.rar que debe us¿use la r.nislia convención de signos p¿rr¿i la ¿rceler¿ción i y p¿r¿ el desplazamier.ito r, ír sabe¡ positivo hacia abajr;. El rroümielto de{inldo por'la ecu¿cií¡r (19.2) recibe el nornbre de n'¡ooitniento onntinicr¡ s1rrple. Éste se caracteriz¿r por e) hecho de rlne lo aaele,raciótr es proporcional al rlespla-::ruttíetLto t¡ tle d.irección oprnstuL. Se puede verificru que c¿d¿l unil de las lunciones r¡ - sen (\'/klnt t) v¡:2: cos (t/klnt) satisláce la ecuación (19.2). Porlo tant
r:C¡r¡*Cnn:C, ,"rr(
I
r)
De t¿l nrodo I¿ resultante de las fnelz¿s ejercidars sobre la partícula es proporcional al des¡:lazarniento OP nrcdklo desde la posicíón cle et¡uillbrlo. Recoldand
e lrrel-
el rr o-
(19
,", ."
Frecuencia circulal natural
:
ro,,
:
k 1n
(1e.4)
Fiqura 19,1
1216
Vibracionesmecán¡cas
Al sustituir
rtfi
erla
r:
ec:oal:rón (19.3), se escribe
C1 sen @,,t
+ C2 cos @,t
(
1e.5)
Esta es la solución general de la ecuación diferencial
x+(d;jli:0
(1e.6)
que puedeobtenerse de la ecuación (19.2) al üvidir ambos términos enm y al obsewar quek/m r,_,f . A.l diferenciar do, bros.de la ecuación 119.5)con respecto a /. se obtienen lassizuienlescr_ presiones pira la velocidad Ja aceleración en el tiempo " ¡
:
tre
"";";;;-b;;;;"-f
: i : Cpt., cos ('),¡, C2a,, ser ant a : i : -Cp? sen o¿Í - C2al,.cos a,,t a
(1e.7)
(le.8)
Los valores de las constantes C1y C2 dependen de las cnncliciones por e¡empio. se ti'ene 6, Ori = l" *[""1" .mwimiento. se desptaza desde su pos¡ción de equilibrio y se suelta en / = d sin nin_ güna^vetocidad inicial. y Cs : 0 si la partícula empieza O en I : 0 con cierta velociüd inicial. En glneral, al ,,.r'rütrri. desde ¿ : O u lo, vfores,ln^rc3{es.19 u, J"r"I.un del desplazamü"t" y r" crones 119.5'y (']9.7) se halla que Ct - an/,o" C., v = r,,.
lnirialas del
t"r""iJJ*
Eln
tl
obrelidal par.a et d.sptz-irliÁro. ia velocidad ," ra aceteraclon "ji:_:lg:'i"-"es de una partícula pueden escribirse en una loma más¡
compacta sr se obscrva que la ecuación ( lg.5) expresa que el clesplaza_ miento r OP es l¿ suma de las componentes'de doi u"",o."r-C, y Cz., respectiv-amente. de magnitud C, y Cr, dirlgidos
:
," Irr"J"u
en ra tlgura -tg.Za. Cuando f varía, ambos vectores giran "o-oen el sentido de Jas manecillas de-l relojr lambien se nota que t" fi"enitud ¿" ,u'r._ sdJante O? es igual al.desplazarnjento rnáximo ¡,,,. Elíoümiento ar_ moruco slTrple de 1¿ lo largo del eje r puede obtenerse de esta nra_ nera proyectando sobre este eje el moümiento d" un punto-ó ou. describe un ain¡ln aur l/iar de radio r, ,,,.on uno ueloridad Lreuloi rol,,n lanle a,, (Io.cual erplica el nombre de fr"cuso"¡" .rr.r¡;, ;;;;J;, do a .t n/. AI clenot¿ü po¡ ó el ¡íngulo formado por los vectores bp
Cr,
'
se escribe
OP
:
OQ sen (ar,,/ +
{)
(1e.e)
que conduce a nuev&s expresiones para el desplazamiento, la velocidad y r¿ aceleraclón de ¡,
r
= rD sen (a"t + Q)
(19.10r
I-a u rTesl
menl deno etu¿t
u¡¿
I
cid¿ri
ne ql I
teÉr dor', laáln de la
del
rr
L
t¿rse r ¿amie
t9.ll
l¿ r-ek
o: t: xr,,an cos (
(19.
r1
(19.12'
L¿ cur.,'a,desplaza. jg"ig:d"Tpg se representa por medio de una cur_ \.4 senordlJ {t¡gura lg.gb): el ralor míximo.r,, del desplazamiento se
1.19..'"." la.amplitrd de
ta
übración. y
¡"Érf"
O
o"!.i?i';;'ü;
en el círculo se llamo"langíto d" ¿r; E;; il"; 192 se advitió que ut círarlo completo ." ¡"r",ib;';;;"J;'Je"?U" @,t aumenta en 2n rad. El valor córresponüente de ¿ d"notaJo-oo. r,, se llama eI perír,¡rlo de la vibración LÉre y se ,ágrrJ*l s. -iá" tiene "" sicjón inicial de
p
hrcst(
locidd r6Pec D€s ll
dóü d
"{+.t ta re ir.st¿Dt
19.2. Vibraciones libres de partrculas. 1 MOVrmrento arf¡onrco srfnpl€
95
9_6
ietF EITF
;€1[F¡gura 19.2
9,; 9_S
nE cd¿
Periodo
: r,
(1e.
r3)
DiD-
)er ¡hr qBl-
¡d. [É5
El núr¡ero de ciclos descritos por unidad de tiempo se denota mediany se conoce corno frecuencía natural de la übración. Se escribe
te.7f,
Frecuencia natural
:-;f =1:
an
(19.14)
zz¿-
CrI rü:¡
ri&
te!{I
ltEl-
trc¿¡-
Or 99 id¡d
_lr>
rll
La unidad de frecuencia es una frecuencia de I ciclo por seguldo, correspondiendo a un periodo de 1 s. En términos de unidades fuldamentales Ia unidad de frecuencia es consecuentemente l/s o s-1. Se denomina h¿r¿z (Hz) en el SI de unidades. También se concluye de la ecuación (19.14) que una frecuencia de I s-r o I FIz corrcsponde a una frecuencia circular de 2r¡ raüs. En problemas que implican velocidades angulares expresadas en revoluciones por tninulo ' rpm r. se ticneque I rpm ?1, s '= J Hz. o I rpm : tLr/60t rrüs. Al recordar que o, se definió en (19.4) en térmiros de la constar.rte ft del resorte y de la nrasa ri'¿ de la partícula, se obsewa que el periodo y la frecuencia son independientes de las condiciones iriciales y de la amplitud de la übración. Hay que observar qu.e r, y f, dependen de la masa y ro deI peso de la partícula y, por ello, son independier.rtes del valor de g. Las curvas velociüd-tiempo y aceleración-tiempo pueden represeütarser mediante cun/¿s cu¡¡as senoidales del rnismo periodo neiodo que ore la l¡ curva c¡¡rwa despladesnl¡zamiento-üempo, pero con ángulos os de fase diferentes, diferentes. De las ecu¿rciones ecrr¿rciores (19.11) y (19.12), se nota que los valores máximos de las nr¿gnitudes de la velocidad y la aceleración son
-I! cI-. DT
F
t¡ F
i-
5e
Dña
- Xm@n a^: r".rl"
(le.15)
Puesto que el punto Q describe al círculo autiliar, de radio :r,,, a la velocidad angular constante r,r,,, su velocidad y aceleración son iguales, respectivamente, a las ex¡rresiones (19.15). Si se recuerdan las eóuaciones (19.11) y (19.12), se halla, por tanto, que la velocidad y la aceleración de P pueden obtenerse en cualquier instante proyectando sobre el eje r vectores de nragnitudes oo, : rn¡ci'jiy an: r-o,2 que representar, respecüvamente, la velocid¿d y la aceleración de p Q en el mismo
instante (figura 19.3).
217
1
218
Los resultados que se obtlencn nt¡ se lirnitan a la soluclón del pro-
vibraciones nrecánrcas
blen.ia de unrl rnas¿ o tnidad piira un resolte. Es posiltle utilizarlos p:r-
o\,'irniento rectilíneo de ula parlíci n catLa ae: t¡uc It ttstltante F rl.e ks .lueras (frc (ctúatr sobre IUru ¡ttufíatla es proporciorLal al rlesplrr:arlTiento r tl t st¿ dit igida hociu O. La ecuacirin Rrr.rdrr nent¿l clc rnovilnielto F : nra puecle escibirse eltonccs cn la {bllli¿r
ra iirrirlizar
el
es c¿u¿tctcr-ística de un lrorrit¡iento ¿rnnónj que el coeficiente de,l dcbc sc-'r igual tr oi, es co sirlple. r\l obscn'ar l¿r frecuencia circrrlu lrituLLl ro,, clr:l col faciliclad posible cleterrrinar irioviniento. Sustituvenclo el valor rlue sc obtuvo pala ro,, el Jirs ecuit ciones (19.l3) ), (19.14), sc obtiene entonccs el ¡reliodo ¡, v la frccuerr
ile la ccuación (19.6), qne
cin latur trlJ, del
1
¡rolirttielto.
9.3. PÉr\¡DU LO SIIVIPLE (SOLUCIÓN APBOXIMADA)
cler las vibr¿rciotrcs clcontr¿rcl¿rs c:tt rLplicriciolrcs clc irr' gcniería se represent¿u rrediiulte urr ritovlttlicrto ¿lr'nlórlico sirnple.. NIucli¿rs otrns. aut,,¡,e cle urr tipo diférente, se opro\ittlon por- rnedio clc rrr.t no\¡rniclto ¿tn¡tirico sirtiple, sicrnprc que su arnplitrtcl perm¿lrczca pt:r¡rreiu. Considcrc, por ejenrpJo, :utt 7:tóndtLlo siinple, colrsistt:trte
I-a rliq,or pute
lrl urich a rurir cuertla cle longitud I, quc liela posibilidnd cle oscil¿rr er tut plirlo vetical (figun 19.4a). Err rtti ticlrlpo rltLdo /., l¿r cueld¿r lor tl¿t un rfugulo 0 corr ]n vertic¿I. Las lirer' zts clue actúian sobre la plornacli sorl stl pcso W v la luerza T ejercrid'r pol h cuerth (fignla 19.41-,). Al clescotlpensu el vecto¡ l¿a dc las colr poncntcs tirnqencial v rrolnnl, cor ara, clirigidti h¿cia la clerech¡r, estcr es. el Li dirección que couespontlt: ¿r virlores crccicntes de 0, y obser-
er
I
irr.r,i plomadu dc rllils¿l
ner
'l '¡
t..ttir
i..i
r:.. ::
v¿lr que ¿r
i ,]
:
: la :
1L0,
se
escibc
0:
nnr:
\I/ sen
Si sc obsen'a qüe
\I/ : lig v se dividc cntlr:
2F,
I
d*1
i¿10
rrrl, se obtietrc:
senlJ:0
(19.16
Figura 19.4
Para oscjl¿rcioles de arnplitud pequeña, puede srrstitrdlse sen 0 por cxpresado el rndi¿ules, y escribilse
0*7 0:0
É
(19. r 7
La cornparacir'lr con l¿r ecuación (19.6) muestla que Ja ecuacit'rl dite rcncial (19.17) es l¿i cle rur ru¡ririliertto almónico sirnplc corr unir fle cuer.iciir cilcular laturiLl r,.r,, iguril a (g/l)r/2. La solucitil geler.il de lrr ecunción (19.17) puccle, por colsiguientc, cxprcs!üse como 0
:
0,,, sen (@,,t
+
Ó)
doude 0,,, es la anplitud rl<: l¿rs oscili¡ciones y ó es el ángulo de paso. Al sustituir eD l¿ ccu¿rción (19.13) el valc¡r' obtenid<¡ por-c.r,,, se obtieue la siguielte exprcsi
i"
t'J,
L
-'JÍ
l\C
(l s. 1b
-19.4.
PÉNDULO StMpLE (SOLUC|óN EXACTA)
Ll lúrmull
lg. l87 es s,ilo
1s.4. Pénduto simpte (sotución
aororimrd¡ p,,,- ^t.,^^^- ..--
;;o:':".,t9.iil'":ff::,,i::.',ui :jl :i .iil,"¡ ecuncr,n J6) Mulrip¡ichnllu
*r:ij;fril
;:
rmbo* lsr¡¡¡e, ¡e¡ ull¿ Dnsi{.i,jn in¡r.id r.,¡rrespondienl{-, l" ,l"i_ 'tJ,,, mr derürlidr. e.rlo es 0 = ) A = {t, se est.ribe
;;:.e irrreqr-llloo ::":._l :," dqsde :u
/d0 i
eo
l¿l:i{coso-c,rs6,,,) Si sc\u\lit )" r'us 0 por I - 2 sen¿,d/2r y |os 0,, ¡or unir erf¡resión sirlilar. resohiendo p-aru 11¿- u .. dF fe'('du d¡sdcr -0 uh'¡¡sra, =,,r0'l''*!],.ill:,;:,",,n.
0
(. -"'-.lt 'Vs J, La intr:gral en
tl
d0 sen2
(0,,,/2)
- r;PG
niernbro clel laclo clerecho se conoce como una no
i?¿¿_
en tairminos de l¿is firnciones ¡¡¡i¡ :::!.:1,,]'::r",,tjsta qcb¡-i[c.rs (' lrigonornétri(.as usrrles. Sin orrb¡rrg,, J *ir¡f..a, exprc-s¿rse
san
(0/2):
sen (0,,,/2) sen
¿[_
g
se puede escr.ibir-
"'dol'tle
orF,
f'"
(1e.1e)
l,L inleqral
d",'ltrrlarsc
qrrr se t-,hti.ne. Jenolud,r t.omú¡rrnerrl_ Pur K. p,r., utilii,L¡rd,, rnet,rcjos c|",",-g.r",J",,"",;n.,""r,)"[,_"
puede eucontr.arse en tablas de inLegrale"-eLíptícas-n"r:" ái""rrár'"""1,, d.,/2.r p¿rr¡,.or¡rparrr el *.ri,.A" ,.,,i,,{ 'ei,drlJ.l:;;;:;1"':r" rrl . ,l rle l;r so|r.iórr ¡¡nlori,¡¡. s. escrib,. l,¡ c.ur(.ión Ig. lgl r.n h l.o¡m,
iK t lir ¡"--12¡ l!l 7¡ \ 1c/
(1e.20)
l92or
¡¡¡p5¡¡,, q,r¡c *l v¿lor reLrl tJcl ,t^""fll,l'.^ ¡cri,do dc rrn péndu ro slnptc \c prr*jn ,rl¡l¡¡¡¡.¡.iJ rr,rrltiplícrrr el ,uloi ,,1,.r.irr1., d'uáo _,, la er.uacicin , lg.lh po¡ el lrLclor rie r\¡.n-(.(.ión 2K/¡. Los ralores del r.Lctor rlr.r.orre,r.irjrr .e drn,rr
h ral,h f9.t p,.r,
a,..
""i.
.,.iri".-ii.
r,, arnplituJ 0, . {drier-ia qUe prra c¿tUUlo5 dc inger¡ionr ordirrrrios el f,rc_ tor- de cor.rrccidn puecle ornjtirsc ,i"nipr" y i";;;f;; ;;,r,, pere 10'. "i",rdo
Tabla
19.1. Factor - --
simple 0,,,
0'
K
1.571
2K/T
1.0{)0
10.
de --" wvrJn para el periodo de un péndulo -- correcci(. 20"
il0"
60'
90'
L574 1.5u3
1.598
1.686
1.¡154
2.I57 2.768
LO02
1.017
1.u7.1
1.i80
1.373
t\¡énse. por ejenrplo.
pürr ctevcl¿¡d, ohi(,
,Sr
1.008
r20"
150.
180.
I .762
anrtnr¿ tfatlú,)Lt1 'iuLl'thl¡lcs Cl¡cmic¡| RLrbber P,rbiish;rg com
exacta)
l21g
lF
----i-
t k, =4 kN^¡ .-.-..t: '
i
-4
k.=6lN/]n..-: i I
l._t
|ffiit
PROBLEMA RESUELTO 19.1 Un bloque de 50 kg se mueve entre guías verticales como se lnuestra. El blo que es empujado 40 mm hacia abajo desde su posición de equilibrio y se suelta. Para cada á¡¡eglo de resorte, determine el periodo de la vibración, la mátima velocid¿d del bloque y su márima aceleración.
b)
SOLUCIóN r¡) Resortes concctados cn par.alelo.
Se determina primero la cons un solo resorte equivalente a los dos rcsoftes .d¿f¿nni nando la magniad r)e Ia fuena P que se requiere pa¡a causar una deformación 6. Puesto que para una defon¡ación 6 las magnitudes de las fue¡zas ejercidas por el resorte son, respectivamente, kr6 y ke6, se üene t¿¡nte k de
i¡d ir'd
P:k16+kr6:(kr+ftr)6 La constante k del resorte equivalente
k='^ -k +k,, d I'eríodo
d.e
I 6kN/m- l0kNh-
4 kN/m
xibrución:
es
Puesto que m
:
toa
\,m
50 kg, la ecuación (I9.4) pro-
drrce
"k m
104
N/m
au
50 kg
=
14.14 raüs
r,, :0.,1.1.1
= 2n/a,,
I
Yelocidatl
ndxino: o^:
x,n@,,: (0.040 mX14.14 raüs) o,,,
Aceleración m(r:timo:
s {
a,n
= 0.566
: x-l¡,1: u,,,:8.00
m/s
Y",
:
f)5tili ¡r/s
0 {
0.040 m)(14.14 ¡aüs)'
m/s2
¿,,,
:
¡J.(X)
rrr/s:0 {
D) Resortcs conect¿¡(k¡s cn scrie. Se determina primero l¿ constante ft de un solo resorte equivalente para los dos resortes dBterminando Ia elongqción total 6 de los resortes bajo una carga estática determinada P. Para facilita¡ el cálculo, se usa una carga estática de magnitud 12 kN.
P:
. _kP t)_t)t_o_
,P n=5 Perir o dc
12 kN
5m
P _¿ I2I\ k" Lv* : 2.4 kN/m :
I2KN _ 6 kNtr,.,'r
o.
2400 N/m
oilrutión: .i - L -?39-^0,'\'t /}? bU kg
u.,"
¡,,: Yeloci¡lad
i
mdximo:
6.93 radrs
ll.9l)¡
s <
x-¿¡, = (0.040 mX6.93 ¡ad/s) a." = 0.277 rnls v,,, : (l.2i7 rr/s
0 {
a-: ¿,, :
} {
D-:
Aceleración ,ndÍirn6:
1220
-
r,.,rol = (0.040 m)(6.93 raüs)e 1.920
m/se
a,,,
:
1.92{} rrr/s!
Este capíhrio aborda las olór¿cíones tnectínicas, esto es, el rnor.iniento cle nna pardcula o un cuerpo oscilante en tomo a una posición de equilibrio.
Er esta prirnera lecciól se dijo qte :url;t aibracitin libre clc una partícula ocuue cuando ésta está sujet¿ ¿ una fuerz¿ proporcioni,il a su desplazari.riento ;' de dirección opuesta, como l¿r firerza que ejerce un resorte (figura 19.1). El ruorirniento ¡esult¿inte, llanatlo tnoahnietto ¿Lnruinico slnrir/e, estir caracterizado por l¿r ecu¡rción tlilcrencial
lri*kr:0
(1e 2)
¡ es el desplazan.iiento dc la partícula, i su ¿celeración. rr es srr masa -r' /t es la constantc del resorte. Se encontrti c¡rc la soiución de esta ecu¿rciól clifércncial cs clonde
:[
:
i[,ir serl (a,,t
+
(19.r{r)
4¡)
: amplrtud de la übracjón ,,, : \/k/,r: l:recuencia circulu nnturll (raüs) {: ángulo de fase (r'ad)
donde r,,,
También se defnnó d, periotlo de l¿ vib¡ación couro el tielrpo r,, : *rf a,, reces¿1do para qrre la partícula lealizara un círculo corlpleto, v la J:retttencia ¡¡¡¡f¡¡rz1 corno el nírmero de ciclos por segundo, f, : Ilr,: o,,/2rr, expresada en Hz o s t. Al dif¿rcnciar la ecuacitin (19.10) clos veces se obtielc la velocid¿rd y l¿r ¿celer-¿citin tle la partícula en cualquier ticrrpo. Se encorltlo r¡r. los rirlores nríiilLos dc- la lclocid¿rd y la aceleración fuelon
a,',: Para determin¿r los parámetros en
l¿r
(19.15)
x",t,2.
ecuacirjn (19.10) pueden seguirse estos pasos:
1, Dilnrjar un tliugntma dc cuer¡to líbre c¡nto:je nruestru en lus.fircrtus ejerci¡lus s¡¡bre kt partícukt cuando ésta se encuentr'¿l ¿ una distancia -r de su posición de equilibrio. L¿ resultante de estas fuerzas ser'á ploporcional a r v su dirección ser'á opuest¿r a la dirección positiva de
r
2, Iiscríl¡ír lo ecuqción dí.fercnciul
de
lecuación
( l g.
L
)].
nor,ínienk¡
igualando a l¿i la rcsultal
te de las fuerzas quc se encontlaron en el paso L Advierta que una vez tlue se ha elegido la dirección para r, debe usarse la misrla convencirin de signos para la ace leración t. Después de la transposición, se ol¡tel¡drá uli¿r ecuación de la lorrn¿ dr: la ecuación (19.2).
i).
Delernúnar kr .f're<'uencitt circular trutttral zo,, dividiendo cl cooficiente c:le de i en esta ecuación y tonriu.rdo l¿r r-¿íz cuadrad¿r del lesult¡rdcr rlue se obtenga. Asegurarse de que o,, se exprese en rad./s. (untimiu')
r por el coeffciente
1221
1,
Determinar la amplitud
d.e
x* a el dngulo d,e fase @
sustituyendo el valor
que se obtuvo para r,r, y los valores iniciales de r: y i en la ecuación (19.10) y la ecuacjón obtenida al diferenciar la ecuación 19.10 con respecto a t.
La ecuación (19.10) y las dos ecuaciones que se obtuvieron al diferenciar la ecu¿ción (19.10) dos veces con respecto ¿, se pueden uülizar ahora para encontrar el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de la partícula en cua.lquier üempo. Las ecuaciones (19.15) producen la velocidad máxima o", y la aceleración mí'xíma a*.
5.
También para pequeñas oscilq.ciones ilel pénilulo sim.ple, el ángrio 0 que la cuerda del péndulo forma con la vertical satisface Ia ecuación diferencial
0+70:0
(rs.17)
tL
le
c1
dr
donde I es la longitud de la cuerda y 0 se expresa en radianes fsección 19.3]. Esta ecuación define de nttevo tn mat:ilninnto annónico sinple, y su solución es de la misma lorma que la ecuación 119.10). 0
:
0,,, sen (a4t
.l'
+ $)
donde la frecuencia circular natural o, : xGfl t" expresa en rad/s. La determinación de las diversas constantes en esta expresión se realüa de manera similar a la que se describió antes. Recuerde que la velocidad de la plomada es tangente a la trayectoria y que su magnitud corresponde a u : 10. mientras que la aceleración de la plomada tiene una componente tangencial a". de magnitud a, : 10, y una componente 4,. dirigida hacia el cenlro de la trayectoria y de magnitud a, : /0'.
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, 19.1 Una pattícula se mueve de maDeL¿ ¡¡mónrca sirnple. Si Lt arnpli_ tud es de 18 in. I, la velocidacl oráxirr¡a co,.r".p,,,,d" , 6 it;, J;1;r.;;,,;; ,,""_ le:-ación nárirnÁ de h partícula y el pert",l"'d" ;;;;1,_";;. """- " . 19-2 Una partícul¿ se muevr de rnaner¡ a¡múnica sir¡ple. Si la velo_ cidadmr'uirraesd*,200rnrn,s¡ l:r.¡tcl,.r:¡.irin ,",.",""",....,.,,.i.",'].",,.1 dFleIr inc atnllitud ) lrerUen,.i:¡ para,.l rnoürrriento,le e,ta parlrc,rl.r. 19.3 Detel¡ri¡e l¿ amplitud y Lr aceler¿ciúl r¡iuiima cle Llr]¿ D¿rtícula (ltre se nucve en no\.imiento armrjnico simplc con \elr)cid¿J ¡rixim.r cie 4 fVs y frecuenci.r do 6 Hz.
Figura P19.4
19.4 Un bloque cle 20 lb se sostiene inici¿hncnte cle rir¿te¡a oue el resorte veltical conect¿do couro se r¡rrestr-a no está A"tirrr]r".to. ii"i-ü,rqu" se suelta repentinarnente desde el reposu, tletertrin" o1 orr.rpiitrlJ u,fr"".,"rl_ cia para ei.novirnierto resultante, ül I¡ velocid¡cl rll,i*i-.'¡ l, máxirna del bJoque. """-t"*"iOn
19.5 Un bloqun,le 7t, lb se,.orec.ia;r un rrsodr r Duccle ¡norer._ sj¡r " tnc(ión porr¡r.¡ r.rnuraenl¡ lor.,¡a indir¡rll El hloq,ré i" *ncu, nirir er, \u pocieiúrr rle r qr il ihrio. cuando *s g,,lp,.ado co¡ ,¡n r;rtillo q"" i, i,"o,t,n.. ulla\elu(lUad lnlcli¡l dr. Ullf-/s.f)et,,rrn r*¿t.l periudo 1 Ia lr,,crron,ia rJeJ resultarte. ó, lLr r¡r,r¡litud del r¡oürni"r,to y 1., * *t_r,,.iOn-,nl_ 'loü'li:1t: (ret DtL'que. xrrni
I
=9
kifs/tt
Figura P19.5
19,6
Un instmmento de l¿üor¿torio A está ator¡illado ¿ u¡a mesa agita_ la lbn¡¿ indicad¿. La mesa se mr,"u" u"rtJn"ni" ;;',;;;; ," rnónico.sirnple a la misma frecuencia que el notor "; a" u"tn"iará-un.ioúi"'q,r" Ja Jrnp.Js;. El insinrnrento ." u" ,, prniru, o o""l".n .iJ'i'oi"], j"'ló*"v¡. Si la ¿,n?lihr(l de J¿ ,nrsa ogrtu,tor-, c's de 5s "',o j"*;;;;i;;;'"á";',r"" ,,-, ""**" se requiere del motor en rpn, b) l¿ ¡,elocida<,I márirna,t" ln,rt"r". dor¿r en
19.7 Un peudrrlo sirrple colsiste el una plomacl¿r unicla ¿ una cuerda qrln os|rU c,r ¡¡¡ llt¡o vcrticdl .on ¡eriotlo rle 1.3.. SUpunierrdo urr rrroü_ rni-nloar,¡óni(.o sirnpler ,¡ue l¿ r*locidLrd n¡.irjrn:r de fr'pf","."J" ¡rvs. ocren¡r¡ne ar J,, arnpfilrkl ".,f" O.+ del rnoü¡nierlo.r, c¡rdosl ú l¡ ¡c.elera,.icir, tangencial mirxima de Ja plornada,
Figura Pt9.6
Un bJoque A de 10 Ib desc¿¡s¿ sobre una placa B tle 40 lb. la cual está conectada ¿r un resode rro delo¡¡¿do de co¡stanie ft éil ü¡ra c¿ B se m_ueve lentamente 2.4 in. hacia l. irq.,i"rdo "r"
,19.8
:
i^ l" ll;",,. ,l"t;r;;i;";i "jer;;;tr= l_,," f ." .u"i
¡oso. Si , l hlnq,r,, 4 ,¡, se tlesliza sol,re 'rc(ucncrd (jrl mo\ illrjenir) resullJnL{_. ó el corre<¡onLJierrL" r¿lor pcrl,¡isil,le "lri".r, runir¡o d"l coeficiente de fiictirir¡ ertátiua.
Figwa P19.8
122s
1224
Vibracioñes mecánicas
l_i |'!;'-":-]l*dr¡*-- "+
ll
Figura Pl9.9
79.9 Un coll¿¡ín de 4 lb se conecta ¿ un resorte de constirnte igrirl a 6 )blin. v ptede deslizarse sin fricciól por una bana ho¡izontal. El coll¿rir está er-r leposo crrurdo es golpeaclo con un m:rzo y se le imprinie unar veloci tl¿d inicid de 55 in./s. Determine la amplitud y la nceleración r¡áxim¿rs clel collarírr dur'nnte el rr. or.i¡¡iento ¡esr t¿rnte. 19.10 El mo\inrje¡to de una p:irtícula se clescdbe ¡rediante la ecuar : 60 cos l01tt + 4ó sel(l0zl - rr/3), clonde r se expresa en r¡ilír,re tr_os \ I L'rl segur,tlos. Para el lDovinliento result¿nte, dete¡¡rine a) el perio'l',. /, .rr ,, 'r¡,'il,r,l. r' .rr .irrg rl,',lc Ir:n cií¡¡
'19.1
Figura P19"11
Figura P19.12
1
Un ¡rotol de r.elocicl¿d viiriiüle se corectir ígidlrnente a la rig,r poco desbalanceatilo v oc¿¡sion¿r rlue l¿r rig¡ vib¡e con u¡¿ fiecuelci¿ igrnl a ln velociclad clel motc¡. Cuando l¡ r'elocidad del ¡rotor es r¡e¡or- oric 600 rprn o rn¿yor- que 1200 rprn, se obserwa que ul peqreño ob jeto colocaclo en A pelmanece en co¡t¿lcto con Ia üga. Pala velocid¿des de eltre 600 l' 1 200 r¡rn se obserwa que el objeto l)¿úla" e incluso pierde corhrcto con la riga. Dcternrine la:rrnplitucl clel uurvimielto de A c¡rando la velocid¡cl clcl ¡lrtol es de a) 600 rpru, ü) 1200 r¡n. Pioporcione sus respuestas t¿trto ert unicludes SI conio el rntdades de uso coüfü en Estados Ulidos. 19.12 Un bloqrre dc 1..1 kg estír sostenido con¡o se Drrrestr¿ r¡ecli¿ut., rrlr r'csorlc de c(nrstdr)te /c : 400 N/m r¡re prrerle ¿rctuar b¿rio tensióll o colt plesiirrr. El blor,lue sc .rncuentra en Ja posición cle equilibrio cuando se le golpel desde abajo con rur nrarlillo quc le ir n¡rine un¿ vclocidiLd I r¡r'i.r Lu.rjbJ cle 2.5 ¡/s. Detennile zr) el henpo rcquericlo pan quc cl blor¡re se rnuev¿ 60 lu¡ haci¿ ruriba. ó) h r,elocid¿r
lll rrtor está r¡
19.13 En t'l problerna 19.12, detem rre h posición, velocid¿rd v lo¿rción clr:l bloqre 0.90 s dcsprrés de qrre se Je golpea con el ¡r¿rtill<¡.
¿rce
f9,14 U¡ bloque cle 70 lb se colectir a un ¡csorte de constante /r : 9 kips/ft l prrcdc nroversc sirr f¡icción por r1r.tit r.¿rnu]-¿l en la for.m:r inclicada. El bloquc sc-'e cuerrtr-r¡ en su posició¡ cle erluilibrio cuando es desplazado 15 il. hacia abajo v sc' le suelt¿. Deter-nli¡c paru 1.5 s desptés de rlue el bloquc cs solt¿do r¡) l¡r tljst¿ncia tot¿il
leconidl, ó)
¡. =
Figura P19.14
srr aceler¿rcií¡n.
I kil,s/li
Figura
P 19.15
19.15
Un collarín C de 10 lb es soltado descle el reposo en la posiciorr se rnuestr¿ y se desliza sin lricciór'r por una barn vertici¡l hasta golpear un resolte cle const¿nte /t 50 lb4i, nl crral conrpr.ime. La velocidad del ccr
qrc
:
ll¿rír sc rcduce
¡r cero )/
el coll¿rrí¡ inüe¡1e l¿ rli¡ección
¿le
su Dovjrrientc
parir rcgresala Jii p<¡sició¡ inicj¿i. Ettonces el ciclo se rcpjte. Deter-¡.line./ el peri
19.16 La plorrad:r
cle
ur péndr o sinrple de longitud I :
1.2 nr
sÉ
¡rrreve con velocidad de 180 ¡rnr/s hacj.r h der-echa rn ellienrp. f : ¡ ¡¡,¡¡do d = 0. Suponga un movimjento ¿rrmónico sinple v cileterr¡ine, en el tieu po I : 1.5 s, .¿) el ángulo 0, b) las magnitucles de la velocidad t' ¿celencior de la plorr:idn.
Elodió dÉl
19,17 Un collafn de 10 lb descansa sob¡e el resorte mostrado por Ia ffgura, al cual no está conectado. Cuando el collarín se empuja hacia abajo 9 in. o más y luego se suelta, se observa que pÍerde contacto con el ¡esorte. Determine a) la constante del ¡esorte, á) la posición, velocidad y aceleración del collarín 0.16 s después de ser empujado hacia abajo I in. y soltarse.
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da- El rdD ft bloque
P19.17
F¡gura P19,18
19.18 Un bloque de 13.6 kg se sostiene meüante el arreglo de resortes mostrado. Si el bloque es movido, desde su posición de equiübrio, 44 mrn verticalmente hacia abajo y luego se le suelta, determine a) el periodo y la frecuencia del ¡royimiento rcsultante, b) Ia velocidad y aceleración mádmas del bloque.
19.19 Un bloque de 50 kg se sosüene mediante el arreglo de resortes most¡ado. El bloque es desplazado verticalmente hacia abajo a partir de su posición de equilibrio y Iuego se le suelta. Si Ia ampütud del movimiento resultante es igual a 60 mm, determine a) el periodo y la frecuencia del moümiento, b) la velocidad y aceleración máxirras del bloque. .1.9.20 Un bloque de 10Ib, conectado al extremo inferior de un resorte cuyo extremo superior está lijo, vibm en un periodo de 6.8 s. Si la constante ft del resorte es inversamente proporcional a su longitud, determine el periodo de un bloque de 6 Ib que está conectado al centro del mismo resorte si los extremos superior e inferior del resorte están fijos.
Figura P19.19
'19.21 Dos resotes de constantes kr yk2 se conectan en serie a un bloque A que vib¡a en r¡ovimiento armónico simple con un periodo de 5 s. Cuando los mismos dos resortes se conect¿n en paralelo al mismo bloque, éste übra con un periodo de 2 s. Dete¡rnine el cociente kr/fte de las dos constantes de resorte.
Ficiain
dpe¿r el c+ iri'nto ¡iDe ¿ s
&s-
mú+
lmr lq¡a¡rI
tiem
rácitn
Figura P19.21
19.22 Un bloque de 25 kg se sostiene por medio del arreglo de resortes que se muestra. El bloque es moüdo, a partir de su posición de equiübrio, verticalmente hacia abajo y después se le suelta. Detemine a) el periodo y Ia frecuencia del movimiento ¡esultante, b) la velocidad máxima y la aceleración del bloque si la amplitud del movimiento es de 30 mm.
Figura P19,22
1226
Vibracionesmecánicas
19,23 Un bloque de 4.08 kg se sostiene como indica la ffgura mediante tres resortes, cada uno de los cuales tiene constante l. En la posición de equilibrio, la tensión en los resortes A, B y C es, respectivarrenté, de 92, 16 y 12 N. El bloque se desplaza r,e¡ticalmente hacia abajo 12.5 mn, desde su posición de eqtilibrio, y se suelta a partir del reposo. Si en el ü.loümiento result¿nte la tensión mínima en el resorte B es cero, dete¡mine a) la constante t del resorte, b) Ia frecuencia del movimiento, c) la conpresión rráti ma en el resofte A.
20 es¡
c¿r
¿d
sar
19.24
Figurc P19.23
dc
Se observa que el periodo de vibración del sistema de tres ¡esortes y un bloque es de 0.2 s. Luego de eliminar el r€sorte de constante /r2 16 kN/m del sjstema, el periodo observ¿do corresponde a 0.25 s. Deterrnine a) la masa ¿¿, b) la constante ft1 del resorte.
:
s,
I
dt
q¿,
ft" = 3.5 kN/m
ft¡= 16 kN/m
Figura P19.24
F¡gura P19.25
19.25 El periodo de vibr¿ción del sistema que se muest¡a es de 0.2 s. Luego de retirar el resorte de constante &2 : 3.5 kN/m el bloque A se co¡recta ¿l resorte de constante ft1, el periodo obseruado corresponde a 0.12 s. Detemrjne ¿) la corstante k1 del resorte restante, b) la masa del bloque A. 19.26
Figura P19.26
El bloque D de 100 lb está sostenido como se muestra r:rediante ües resortes, cada uno de los cuales tiene constante k. El periodo de la üb¡¿ción vertical pernlanece invariable cu¡mdo el bloque se iustituye por ot¡o de 120 lb, el resorte A se cambia por un resofte dé constante ka, y los otros dos ¡esortes quedan iguales, Si el periodo de vibracicin es de 0.4 s. dete¡mine los valores de I y de k¡.
19.27 El periodo de las pequeñrs oscilaciones del sistenr que se muestra es jgual a 1.6 s. Después de que un coJJarin de 14 lb se coloca a¡riba del collafn A, el periodo de oscil¿ción es de 2.1 s. Determine a) el peso del collaín A, b) la constante de ¡esorte ft.
tr¿¡ c-¿d.
lon: del
e/
\iga iTo
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don
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cuer
do¿
b"l"
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Iqoo Figura P19.27
l¿ rit
Fü¿D-
i¡t¡ de 2¿ 16 de s¡ nÉüt L
,
COL'
u¡á!-
t= rest¿ni€ t- De-
19.28 La barra AB está conectada a una ruticulación colocada en A y a - 700 mm, dos ¡esorles. cada uno de consiante k. Si 300 rnm. v m 20 kg..determine el valor de /c para el cual eL periodo de pequvñas osc.iJáciones
¡
es a) de 1 s, b) infinito. No tome en cuent¿ la masa de cada resorte puede actud a tensión o a compresión.
li
I
19.29 La barra AB está conectada a una ¿¡rticulación colocada en A y a dos resortes, cada uno de constante ft = 1.38 kN/m. a) Determine la ma_ sa ,n d.l bloque C para el cual eJ poriodo de pequeñas oscil¡uiones es de 4 s. b) Si cl e\trcrno se fleriona 6-0 mm; se ie zuolta. determ¡ne h.etrjci_
I
900
Figura P19.28
'nrn
--]--
750 m¡¡
l-+
0lr ¡-
E-l
üóI¡ :P6 \ loÉ de
.&ll¡efr del I co-
I
dad má¡im¿ del bloque C. No tome en cuenta la masa de la barra y supon_ ga que cada resorte puede actu¿u a tensión o a compresión.
Figura P19.29
-ll
1227
barra y sr,ponga q.,e
450 n¡m
e cú-
Prcbte¡r'as
I-
19.30 De acue¡do con l¿ mecánica de mate a.les, una üga de sección t¡ansversal unilorme que soporte de rnanen siinple un,r .org¿.i¡5,., p ar¡t_ c,rda en el centro prcsenta;á una dellexjón
6A-- pL3/48í1. donde L ei
Fígura Pl 9,30
la
Jongitud de la üga. E el r¡ódulo rle cl¡sticidad, o I ei mornento de inercia del área de la sección transr ersal delariqa. SiL = 15 ft.8 - 30\ I0"psr. e I =_2,x 10 3 fta, determíne a) la conitante de resote equivalenü de la viga, b) la frecuencia de übración de un bloque de I S00 lb cáectado al cen_ tro de la viga. Iglore la masa de la viga y suponga que la carga permanece en contacto con Ia viga.
19.31 De acue¡do con la mecánica de r¡ateri¿rles, cuando una carga estática P se aplica en el extremo B de una bana metálica uniforme ffja en el extremo A, la- longitud de la barra aument¿rá en una cantid a¿ a pi/lf, = donde L es la longitud de la barra no defo¡matla, A el área de la seáción transversal. E el mddulo de elasticidad del material. Si L : 18 in., E : p9 , 10" lb/in.:.¡ el di¿imet¡o de l¿ barra mide 0.32 in. ¡ se ignora el peso de és_ ta, determine a) la constante de ¡eso¡te equivalenie de"la ba¡ri ó) la frecuencia de las vibraciones verticales del bloque de peso W : 16 ib conecta_ do al ertremo B de la misn¡a barra.
19,32 Si se deuota meüante 6..¡¿6", la deflexión estática de una üga bajo determinada carga, demuestre que la f¡ecuencia de übración de la carga es
a) Figvru Pl9.31
b)
t- rc-
1J 2; V 6..1.,.t.. Ignore la rnasa de la vigu. y suponga que la carga permanece en cont¿cto con la üga.
I
./
1228
Vibracionesmecánicas
*19.33
La ecuación de fuerza-deflexión de un reso¡te no lineal fiio en F = 4l/2, donde F es Ia fuerza, erpresada en newtonsl qrr. se aplica_en_el otro ertremo, y r: es la deflexión expiesada en metros. c) De_ termine la deflexión r¡ si un bloque de 100 g se suspende del resofte y está en reposo. b) Srrponiendo que la pendiente de la cirva fuerza-rleflexián en el punto corespondiente a esta carga puede utilizarse como una constante de ¡eso¡1e equivalenLe. dcte¡rnine la frecuenci¿ de üb¡ación del bloque sr ésle se someLe a un pequeño desplazamiento hacia abajo desde su pniición de equilibrio y luego se Ie suelta.
un er\tremo
es
de la ecuación (19.19), sección 19.4, se amplía de potencias pares de sen ó y se integra, demuest¡e quá el periodo de un péndulo sirnple de Jongitud / puede apioxir,rarse m.diont" l" a
,:,"f(+ ]
po
5¡)r
pk
di¿
se,',
0,"
,)
2b
r¿ el¿
ció pla
\
Ien
I¿t
tiri nb
donde 6,,, es la anplitud de las oscilaciones.
*19.35
ru¡
fic
É
.19.34
Si el integrando . hasta una serie
fórmr
5€l
Con la fór.mula dada en el problema 1g.34. dete¡mine la amnli_
tud 0,, para la cual el periodo de un péndulo sirnple es I por ciento mfu iar_ go que el periodo del mismo péndulo en el caso de pequeñas oscilaciones.
ne5
sibl estr
obt
-19.36
Con losdatos de la L¡bla lg.I detennjnc el pl.riodode un Den dufo simple de longftud 1 - 800 mm d r para pequeñas oscila.¡one,. ó) 'oor a oscilac iones cle am piitud 0,,, - 30.. r, pa ra oscilacünes dc a m plitud g," ^g0.. =
len
ma irr€
*19.37 das de^un
o- =
60"
Con los datos de la tabla 19.1, dete¡mine la longitud en pulga_ péndulo simple que oscila en un periodo de 3 , y oia umpJiiráL
Si:
tier
Par C\P
19.5. VIBRACIONES LIBRES DE CUERPOS RíGIDOS
El análisis de
las vibraciones de un cuerpo rígido o de un sistema de
cuerpos_ rígidos que posee un solo grado-de lilertad es similar al aná_ lisis de las übraciones de. una partícula. U na va¡iable apropiada. como
una drstanclt.r o un ángulo 0. se eljge para definir la posición del cuer_ po o del sisten'ra de cuerpo_s, y se que relacione esta variable y su segunda derivada"icrib",r.rn respecto a t.""rro"ión Si la ecuición obteni_ da es de la misma fórrna que la ecuaci^ón (1g.6), esto ,i ,"
J+Q,;T:U
i)+.1,0:o
".,
uII
deI tr¿
r
ti"*
(]e.21)
la vibración considerada es un moümiento armónico simple. E] oerjo_ do y la frecuencia natural de la vibración p.,"d"rl obt"rrÉrr" *árr"., identificando o,, y sustituyendo su valor;n l"r lig.tij . (19. ¡4 ).
I¿r
"".,u"iorr",
. En general, una forma simple de obtener una de las ecuaciones (19.21) consiste
en expresar qué el sistema de las fuerzas erternas ", equivalente equivalente al sistema de las fuerzas efectivas si se dih,,i¡,,. dibuja un .l;"o".-,. diagrama de cuerpo libre para un valor arbitrario de la variable,'y ," ur"r?b" l" ecuación de moümiento apropiada. Recuérdese que el'objetivo debe
quel cat
g
seI\'r
sigol
rreg
lizad
el ce
dctenllinaciólr deL (:oeficiente de l¿ v¿riable r o 0, i¿¡¡ l¿ determjl¿ción de la rariable rnisr¡r¿ o cle la derjvada r o g-. Al igualar este coeser la
ficielte a col, se obtiele la liecucnci¿r cilcrrliu' natural á,, de 1,r c.,al es posible deteln.iinal r,, vJ,. El método descrito puecle utilizarse p¿ua alirlizrr r,ibraciones que son en verdtrci leprescntadas ntecli¿rrte ul r¡ovirlüento ar-rnólico simple. o r.ibr-aciones de per¡reña anplitucl quc cs posible ri¡rrrrrllar ntedi¿lte uri moür¡jento ¿rrrlónico sirr ple. Corno ejerlplo, se cletermila rir el peliodo dc pequeñas oscil¿rcjones de ula placa cuaclr¿cla de l¿tkr 2b rlue estír srrspc:rdicltr del purto nedio O rle uno tle sus lados (figura 19.5n). Se corrsiclern ln plaoii er rrlt¿r posiciót arbitraia definicln por el ringulo 0 qrre firlrna la lír'iea f)G con la veftic¿rl v tlilrrrjarnos ura ecuación de clingrnu.ras de cuerlo librc pnra exples¿rl quc ol pcso W de la placzr v que lns corlponentes R. y R,, cle la Le¿cciírn en O sor ecltrit'n lcrtes ¡r los vectoles r'l¿al y ln,, ¡ rl ¡.u -Ia {figur.r 19 5/r). Pncstu quc la velocidad v.la irceleración turgr arcs dc la placa sol igulles, respec tiv¿ulcnte, ¿ 0 v 0, lns rrragnitucles respectiv$ de los dos vectores son tt,h0 ¡ t',1'e: I rr ljrrlo ,i,re rl rr'rrcrrlo d"l ¡,rrl o. /9. fr' Lrr rflit,¡ io rres previ¿rs rle este ¡rétodo (capítulo J 6) se tr'¿t(i siernpr-(] r¡re fue posible tle supoler el sc'ntido co¡recto rk: IIL aceler¿rción. Sil ernbnrgo. cl cstc caso sc debe suporcr el rrjsliro ser)tido positivo lltr¿l {, _v 0 p¿r-¿ olrtenr:r una ecuación dc la forma (19.2I). C, ¡rs"tuenternelte. l¡ acclelnción anguJar I se supondrii positiv¿r eri scnticlo coDtr.¿rr.io al cle l¿s rltanecillis del rdrl, aun cu¿urdo csta suposici(ir es eütlentemente jrreal. Al igunlar los ltorrtentos c(rl resllecto a O, sc cscribc
Si sc obserr'¿r que tieü
\l ,/, s, rr d, - u,t.0l, j0 .I : |rrr (,2b)2 + e\2l: *,rl,t y \.f': ¡rg,
se
1s.5. vibraciones libres de cuerpos
I
T
I l)
'In o^
f\
P¿rr'¿r
\/,
t-\ o
lc
()
.5-
0:0
(1e.22)
oi ll
oscjl¿cit¡nes de pequcña arnplitrrcl, sc puecle sustituir scn 0 por 0,
0+
3s
ti') :0
la
(19.23)
l¿rs
oscil¿ciones es igual a (.3g/ól,lt/:. \l srstitrdr (19.13) se ercn¡rrl¿rs r¡scil¿rcioles cs
tra que el pcriodo de
''
1¡ a,,
l5,h
!
t, Figura 19.5
La coniprulción cor.r (19.21) rr. rrestra r¡e l¿r ecu¿rcjólt obtenidn es la tle un no\.illicnlo anrónico sinrple r.qut la flecueuci.r cir.crr1.¡.nrrtur-d c.r,,
3{
(19.2,1)
El resrrlttrclo qrrc se obtiene es r'ílido sólo para oscil¿ciores de pequeña anplitud. Uua descripción nr¿is ex¿rct¿ tlel rro\.iniento de la plac¡r se obtielc al colirparar las ecu¿cicnes (19.16) v (19.22). IIay que obsen,ar que las dos ecuaci<¡¡es son idér.rtic¿rs si se elige I igual a 5ú/S. Esto
significa c¡re la placr,r osciJar'á corrro rn péndulo siltl)le (l.. Irrgrtud :5b/3, )'es posible utilizar los resrrltados de l.L sttciél 19.J parl co rregjl el v¿lor del pedodo dado en (19.2,1). El pur.rto A de la pl.rca Lrca liz¿do er la lír.rea OG a uri¿i üst¿urci¿r I : 5b/3 desde O se tleÍire como el r:enlro de ost:ilar:iti¡t con'espondiente a O (figura 1g.5a).
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er?res¿rdo en radianes, v esc¡bir'
I
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c)
3g 0+ 5lt
de
risidos 1229
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PROBLEMA RESUELTO 19.2 Un cilindl-o cle peso W v ladio r sc sirspencle cle un¿ cuertla que le da vuel t¿l corno se intlicr¿. Un extremo de la cuerd¿r sc- conect¿ directarne¡tc :r sopofte ígialo, ell ta¡to qlre e] otro cxtr.e to se urle ¿1rul resorte de corrst¿rl-
ul
i,l
te /t. Detenninc el periodo ¡' l¿ fiectrcnci¿r ¡¿rtrual de lindtrr
l¿rs
vibr¿rciones del ci
sol-uclór.¡
f-¡--{ -
[/-@*
Cincm¿'rtica dcl ¡novjmicnto. Se eqrresa cl despluanriento lileal r l¿ rceler¿rción clcl cilincLo cn térrninos del desplnzarriento nngular g. Al clegir cl sentido positir'o en el senticilo cl. l.rs nra¡ccLll* tlel reluj 1 al rnedir los dcsplazanrieutos desde I:r posición dc cquililtrio, se escribe
i: r0 o:O)
6:2i:2r0 a:ra:ré
á:¡0J
Ecuaciones dc rnovimicnto. El sister¡¿ dc
{1)
firer.zas externas que ac
un cilincLo consiste en el peso W y las ftrcr.zirs T1 y T2 que ejer. ce la cue¡da. Se expresa que este sistem¿ es cr¡riralente ¿il de l¿rs fuerzas cfectivas representaclo por eJ vectol rlá aplicaclo a C v al par Ia. hi¿rn sobre
+
'L
))1.1^
: >(l/,1),.1.:
Wr
-
T,(2r) =
nir t ta
"l uilirdr¡r.\t.L or sn posLui in de equililtr.io. l¿ tensión en la cuercla : i\V. I', Nr.,tc qLrc l¿rr rln ,lespl¿u¿lrnie¡to angulirr 0. la magnitucl rle "s C'r.LrL'lc,
/G'' \+7
= r{ .;9 lo)
T2 es
: lw + ft6 : jtv + t(2rg) (3) de (1) f (3) en (2), v el hccho rle quc 1 : ]lrr2, penniten es 1'z:
[,¿ sustitlrcia)n
lrihir
\V¡ El rnovinriento
I'L¡
-r /i6
: nlré), + !nr2é e+9!a:o 3n
(jn, + u/..0)(t')
se obser-v¿ como armónico siruple, 1' ss 2
-!t;lt *
8A
21r
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1230
(2)
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: frrr \ i r3 r
ir¡
\ PROBLEMA RESUELTO 19.3 Un disco ci¡cular, que pesa 20 lb y tiene un radio de 8 in., se suspelcle cle un alambre como se rnúestra. El clisco se hace girar (de nodo que se tuer' ce el alaml¡re) )'l.r"go re suelta; se obsetwa gre el periotlo de vibraciól to¡sional es de 1.13 s. U¡ eügmle se suspende luego del rnisr¡o ala¡tb¡e, r'cl
T L]
rí,,,i) '<--
=d
periodo de \.iblación torsional en este c¿so vale 1.93 s. Si se supone que el mornento del pal ejercido por el alatrbre es proporcioual al ángulo de torsión. detennine ¿l) l¿r const¿rnte de ¡esolte torsion¿l del alambre, b) el lno mento de inerci¿r centrojdal del etgrane, c) la vekrciclad irngular mátima que alcanza el engriure si se h:rce girar 90o y se suelta.
soLucrÓN a) Vibración dcl discr¡. Denot¿ndó por 0 el tlespl:rz:rmiento angu del disccr, se expresa qrte la nagnitud del Par ejelcido pot el alanibre cs - K0- donde l( es la const¿nte rle lesorte torsiolial del alambre Prresto que este par clebe ser er¡rivalente al par 7c que represent,r l,ts lüevus efectiv¿s del disco. se escribe
I¿u
,-"¡
M
fv)
+\)Mq
:
)(tr/o)..¡: 6
Se puede observar que el
I
+K0
=
K :0
=
+
I
lg 0
m
l¡
K
(1)
I
rF,'l rl..'^7
Para el clisco, se tiene
r,,=1.r3s Al srstituir- (1),
i=!nr2:i(#]h)(+-)
=rl3srb tt
s'
se obtiene
Lr3
:
i' : 1!i lll fiÁ¡rl {
2¡
D) Viblación dcl cngrane. Puesto que el periodo de vibraciírn K:4.27 lb'fVr¿d, la ecuacitil (l) produce
clel
engrare es L93 y
r'1J3
t1 t"VE
/ '." -oll:lll'
c) Velociclad angular nrrixirna clel englrmc. niento
i '
{
Puesto rlue el mori-
es arirónico sinple. se tiene
0
:
a:
0,,, sen rr,,f
Si se recuerda que 0,,,
,o.
:
90'
:
0,,aon cos
1.57I rad y
/ lir\ -0 u,, 4,\;l-
a,,t
r:
1.93 s, se esclibe
I 2T \ tt.s;r rad\ros./ ro,,,
:
5.11
rtrl/s {
't231
En estr leccirirr se \io que un cucrllo úgido, o irrr sisten¿ dc cucrpos rígidos, ctl"a posición pucdc delinirse nretli¿nte url¿ sol¿r cooldelt¿lila r. o 0, prodrrrrirh tn movilliento anrxirrjco sirnplc si la ccultciórr tlifex¡rcial c¡te sc obticrte ¿rl ¿lPlic¿r lil segrtnd¿r lcv clc' Ne\\ton es dc l¿ {irnii¿
i+ro,'r:0
ii
+,lo:
o
(r9.21)
La nrr:t¿ es cletelmir¿ir a-r,,, ¿r p¿lttir cle la cutrl se obticne el pe oclo r,, y la frecuel cia lratural.f,,. ¡\l tom¿u el cucll¿¡ lirs coldiciones irriciales, es posiblc esclibir nrrtt ecutción de l¿r fbrrri¿r
rclt¡rrde
r
nirs de
r,,, ser (a,,t
+ $)
(19 r 0)
debe sustituirse por 0 si sc ircluye urt¿r rottici
est¿r
Iil.egír unq ctx¡rtlenatlu que netlirú el clespkr-,
1. til
cle su posicirin tle
r¿ rnedir su rotaciól respecto u G. ck:tentiile l¿¡s relacioncs cinenititicas que )e perrritiliur e\pr-es¿r r (y 17) cr tór'nrinos cle I [pi'oblerna resuelto 19.2].
Dibu.iar utTa ecuociór7 de diagrunus de cuer¡to libre para explesal que el sistelti¡ cle fue¡'zas crtcrn¿rs es eqrirulerrtc J sisten.t de fucrz¡s clectir'¿s, el crral c(rlsiste en el lector rna y cl pat 74. .l',rde ¿ : .t r a : 0. Asegurese de que cada firerzn o pnl aplicaclo se tlibrrie err rur¿r clilecciór consisielte col el desplazarnientct
2,
supuesto ) que los sentidos dc á y cr seirr, 1'espectivirnerlte, irt¡rellos en los cu¡ües l¿rs cooldel¿rdas r v 0 cstán ¿lullert¿lntlo.
i).
b)scríbír lus ecuctcitnres diferenciules de ntoaintientt¡ igualando l¿s sttttr¿ts de lirs compoleltes clc l¿rs fuclzas cxtern¿rs efectjvas e¡ las direcciones r v y y las sutras de sus rnorlertos con respecto ir un purto dado. Si es necesado, utiljce las rel¿rcioncs cincmirticas que se formultu'on err r:l piiso I par:r obtener ecu¡cioncs que implican sólo a l¿r coolclen¿rd¿r 0. Si 0 cs ulr hngulo pequeño reemplace sct 0 por 0 I' tss q !o\ \ , si. estes trsc\srres trlirre,cer en sus ec\r'üciqtes . E\rrrrinurilo tod¡s las re¡tccior-res d.esconocidas , se (i)terdr'ír tnlr ecuaciór de\ \o de \as ecu:rciones \\9 2\) . A.drrer\t qtt-. el ¡rs\\esrus r¡re \r'ir$\trrr r"r.r. t'.rct1s '$e T,\\¡. dkededqr tle ur ey {\1opr,.ii,\" ut¡lcn, r ,le il,rrrcdiul,''rrr,¡ ' (uii( iurr Lle '"st* ti\x' 'rl iqual r' l"' rrrorrrerrroc ". *1" hio ,1.'1.,s lircr'¿,s e"l¡lrr:t: rlccli'rr'' on Ic'l't lt' ril
ilt 1.
se hqn obtenido con una cle las ecuaciones só pueden identificar r,.,f y, por ello, detern'iin¿r Ia frecuenci¿r circtrl¿r natural ro,,. Reci,rerde que el objeto clellníüsis no es resolaer la ecuación diferer.rci¿l que se obtiere, sino ltl.entificar al,.
Al comparar las ecuaciones que
(19.21)
5.
Delermine la amplinrcl q el úngulo cle fase Q sustituyendo el valot'que se obtuvo para ro,, I' los valores lnici¿les de las coordelad¿rs y su púmera derivada en la ecuació; (19.10) y en la ecu:rción obtenida al diferenciar (19,10) con respecto ¿ f. De ecu¿ción (19.1i1) y las dos ecu¿tciones que se obtuvieron ¿l diferenci¿u (19 10) dos veces con lespecto ar f, y al usar la relación cinemática que se desarrolló en el paso-l, se podrá detárnrinar ln posición, velocidad y aceleración de cualquier tiempo dado. I¿r
6.
En problemas que im¡lícan ttibraciones torsionules la constante de resorte tolsional K se expiesa en N ' ¡/rad o lb fVrad. EJ producto de.K y el ángulo de torsión 0 explesadó en ladi¿rnes ploduce el rnolrento del par redtaurador, el cual debe igualarie a l¿ suma de los momentos de las firerzas o pares efectivos con res pecto al eje de rot¿ción lproblema resuelto 19.31.
1233
19.38 L¿ ban-a tnilo¡rne AB de 9 kg st' corLcLtil 11 re\ortes ¡¡ l¡s ¡tttr tos A y B, ca¿la urro de const¡nte igurJ ,r ¡i5tl ¡'/m lus crraln' ¡rr*tlen 'ttin:r ba;o tónsión o coilPresió1. Si el extierno A dc Ja ban'a se baia ln poco r hrtgo.e.'r, lt,, J"lolr,'ir"¿'l,lr., u¡rr,i:' de riLrr,tiúrr' l" rr 'plitu.l r¡ient,, .LngLrlur le Li barrrL. si h \.1' 'Lridad rnllrima del prrlto A es cle 1.1 n¡u :
'l'l lo'
l,
'
'19.39
Urra b¿r¡¡a clelgadn AB de 7 5 kg e"stri renachad¡ ¿ un clisco¡rr nco¡ro i¡dicil¿ ligum tlna bmda se corlectil ¿11 aro del djsc( de 6 kg forme y ¿ u¡ resortJque niürtjene :r l¿b¿üa en rcPoso en la Posición n¡ostr¿rcl¿ S: el extre¡ro A cle 1,r h¿¡¡'a es clesplazado 20 rnrn hacia rüajo r luego se srreltn cletermine ri) el pcrioclo de vibración, ó) la I'elocid:nl rnírxilll¿ del e\tlcrno 1
Fiqura P19.38
e00,,,,n
-- C
l=lkN/L¡
Figura P19.39
19.40 Un cilinclro rmiforne dc 20lb puecle rocl¿rr sirl desliz¡r'sc : l rn.r l,rnü¡ntl r e-l¡ rrnido a rllr feiortr '\B rr'rrroit r-li'.:r l'r li{'ll ' :i I r'.,,iel rilin,lrn se nreri U.5 in l,.rLi:r .tlr'rin ¡r,,r l:r l'"n,li.r't. 'l'',1' l, ción de eqrrilibrio v ]uego se le suclta clesde cJ leposo, tletennilre a ri ¡oclo de vibr¿ci¿n, ü) li velociclad 1nÁim¿1 del celtro clel cjlinclro' Dos bana-s uniforrnes e iclé¡ticas tle 6 lb se ¿lrtictl¿rl e¡ 'l : to ¿l v se conectan a un res.nte de const¿nte k 23 lb/in. L¿s b¿r-r' ' v cl sistenr-' Eriaclas n'iediante pe(lueñ¡s ruedls de tnas:r insignificalte ürclic cono hoúzontales, m¿ntierrerr ia. b"rru, se en equilibrio cuanilo ' {r.9 , rl-l"rrnilr' \ lur 5, I'rja irr' \i r'l co B ''rell {urir. frrlñ 'ts "' l't , r.' LlÉ la \ihra.irjn r' iulta,,l'.. /, I" n'.tgnilrr,l d- l:' ¡r' I' ra(i"r..rrs rirra cle l¿ b¿rra AB.
19.41
Figura P19.40
L
r 1!
-tB( !,9-.
1.5
1234
Figura P19'41
¡
t",
i]
-l-
11
q
rr
--l
-:--tl
I F rb LE-
6+
19.42 Una ba¡ra unifonne AB de 1.2 kg se conecta a una aticulación en el punto A y a dos resortes, cada uno de constante k : 450 N/m. a) Dete¡mine la masa n¿ deJ bloque C para el cual el periodo de pequeñas oscilaciones es de 0.6 s. b) Si el ertreno B se baja 60 mm y luego se suelta, determine la velocidad márima del bloque C.
Problemas 450 mm
19,43 Un ciündro uniforme de 6 kg puede ¡odar sin deslizarse sob¡e una superffcie horizontal y se conecta a Ia barr.a hoizo¡tal AB de 4 kg mediante un pasador colocado en el punto C. La barra se encuentra conectada a dos resoftes, cad¿ uno de constante ft = 5 kN/m, como se muestra. Si la ba¡ra se mueve 19 mm hacia la de¡echa de la posición de equilibrio y luego se suelta, detelmine a) el periodo de vib¡ación del sistema, b) la magnitud de la velocidad márima de la barra AB. 900
lI!1S
nrn
....*l-_
7so mm
Figura P19.42
lEf-
liko
rSi *r o¡L
Figura P19.43 v P19.44
79.44 Se supone que un cilinüo uÍiforme de 6 kg rueda sin deslizarse sobre una super{icie horizontal y se conecta meüante un pasador coloca-
125 mm
125 rnm
do en el punto C a la barra horizontal AB de 4 kg. Ésta se encuent¡a conectada a dos resofies, cada u¡o de constante k = 3.5 kNÁir. como indica Ia figura. Si el coeficiente de fricción estática ent¡e el cündro y la superffcie es de 0.5, determine la amplítud máxima del movimiento del punto C que es compatible con Ia suposición de rodamiento.
19,45 Una c¿vidad semicircular se recorta en una placa cuadruda uniforme que se conecta a un pasador sin fricción en su ce'ntro geoÍrétrico O. Determine ¿) el periodo de pequeñas oscilaciones de la placa, b) la longitud de un péndulo simple que tiene el misnro perlodo. tEÉ
faos;-
r-
19,46
Figura P19.45
Determine el periodo de pequeñas oscilaciones de un cuarto de
cilindro ci¡cul¿r uniforme de radio r = 0.3 m, el cual rueda sin deslizarse. lSugerenria: Oiserve que GO : +\/2rl3r y qre, según el teorema de los ,
jes paralelos.
I -- ', ny' -
rn,
CO':.]
'19,47
It[F
!0t¡
:=¡
Para la plac¿ semicircular unifo¡me de ¡adio r, detennine el periodo de pequeñas oscilaciones cuando se Ie suspende a) de la posición A como indica la {igura, b) del pasador ubicado en el punto B.
rfr-
Figura P19.46
É'tF
úi-
F¡gura P19.47
19.48 Un alanbre delgado y homogéneo se dobla en fo¡ma de triángulo isósceles de lados ü, b y L6b. Determine el periodo de pequeñas oscilaciones si el alambre se suspende a) del punto A como se muestra, b) del punto B.
1.6
F¡gura P19,48
b
__
*]
1235
Vibraciones mecánicas
-I
I
19.49 Una placa rectangular uniforme se suspende de un pasador localizado en el punto medio de un borde como indica la ffgura. Si se considera que Ia ümensión b es constante, determine la razór c/b para la cual el periodo de oscilación de la placa es a) mínimo, b) el mismo que el de un péndulo simple de longitud c. 19.50
Se ha observado que el
periodo de pequeñas oscilaciones de una = 160 mm, determine el
biela alrededor de A es de 1.03 s. Si la distancia r., radio de giro cent¡oidal de la biela.
Flgura P19.49
Figura P19.50
19.51 U¡ disco unifb¡me de radio r : 10 in, se conecta en A a ura bar¡a AB de 26 in. y peso insigniffcante que puede gi¡ar con libertad en un plano vertical alrededo¡ de B. Determine el periodo de pequeñas oscilaciones si a) el disco tiene la libe¡tad de girar en un cojinete instalado en A, b) la ba¡ra se ¡emacha al disco en A. "19.52 Ut péndulo Flgura Pl 9,51
collxpuesto se de{ine como una placa rígrda que os-
cila alrededo¡ de un punto {iio O, denominado centro de suspensión. Demuestre que el periodo de oscilaciól de un péndulo compuesto es igual a1 de un péndulo simple de loqgrtqd OA, donde la üstancia desde A hasta el centro de rnasa G es CA: k't/r. El punto A está deffnido co¡:to el centro de oscilación y coincide con el centro de percusión enunciado en el problema17.57.
( I
F¡gura Pt9.52 y Pt9.53
19.53 Una placa fgida oscila al¡ededo¡ del punto ffjo O. Demuestre que el periodo de oscilación mds pequeño ocure cu¿ndo Ia distancia i desde el punlo O hasta el centro de masa G es igual a k. '19.54
Demuestre que si el péndulo compuesto del problema 19.52 se suspende de A en vez de hacerlo de O, el periodo de oscilación es el mismo de antes y el nuevo centro de oscilación se ubica en O.
1
dor lo coDsi-
crul el de un
de t¡¡¿
nine el
Probremas
19.55
Dos barras uniformes, cada una de masa rn y longitud l, se sueldan juntas para formar un ensamble tipo L. El ensamble está restringido por dos ¡esortes, cada uno de constante k, y se encuentra en equilibrio en un plano vertical en la posición mostrada. Detenrine la frecuencia de las pequeñas oscilaciones del sister¡a.
'-l
19,56 Un disco unilb¡me de radio r y masa m puede roda¡, sin deslizarse, sobre una superffcie cilíndrica cuando se conecta a la bana ABC de longitud I- y masa insigni{icante. La bar¡a se une en el punto A a un resorte de constante k y puede rodar libremente alrededor del punto I en el plano vertic¿rl. Si el extremo A se desplaza hasta una distancia pequeña y luego se suelta, deterrnine la frecuencia de la vib¡ación ¡esultante en térrninos de
¡t*i
rn,L,kyg.
tL I I
I t I
L
r¿un¿
2
lenun dl¿cio-
n-{-ó Iue os-
n- De-
gud
Figura P19.56
ul
!¿sta el
centro r¡oble
19,57
La barla unifo¡me AB de 16 lb se articula en C y está unida en : 50 lb/ft. Si el ext¡emo A tiene un pequeño desplazamiento y luego se suelta, determine a) la frecuencia de las pequeñas oscilaciones, b) el valor mínimo de la constante del resote k para la cual
A a un rcsorte de constante k
ocrrrri¡án las oscilacio¡es.
ruest¡¿ L i des-
9,5!
-
mis¡r¡:,
1237
F¡gura Pí9.55
1238
v bmciones ffecán cas
19,58
Una placa triargulü e(luilátera l uniforme de 20 lb se srrspcrr, un p:rsrrdor ubicado en ur'lo de sus \'ér.tices y se conect¿r a dos r.es(Dte! c¿da ulro do constinte /r : 1,1 lb/ii. Si a Ja plac:r se le aplic:r tn pequeño des plazanlie¡b irngulal y hrego se suelti, deternjle l¡ liecucrcia di l¿ r,¡br¿ción rcsultalte. cle cle
.l
lJ
19.59 Un brazo tnilirmre ABC de 3 1
F¡gura P19.58
t-
/r = 50 NÁn
;"
-
/i = 5{l
\¡¡
n]l
tl
900lllll _ Fiqura P19.59
19.60 U¡ alaubre honogéneo sc dobl:r 1>ara lbrmar. la ligura rlostr.a dalsc correcia ¿ Lln sopofe tile pasircl u crr A Sir:32r)mrrr j-J puntoE se ernpuja h¿1ci¿l¡ü)¡rjo 30 rnrn v luego sc srrelta, ¿celeración c1c B l0 s clespués.
F¡gura P19.60
r= l0 in
cle
1i.
19,61 U¡L tlisco unifo¡lie cle r itdio r : 10 in. sc colect¿ e¡ A a r¡riit b¿rla AIJ clc 26 in. v ¡reso ilsig¡iffc¿lrrte qrrc puecle girar. con liltcrt:rd en ul pliino vcrtical ahededol de B. Si l¿¡ b¡rn se desplaza clos graclrs ¡ partir dr la posición nostr¿ld¿t v lucgo se sueltir, deternrinc la mag,,ltud cle l¿r velocidad rnárinra del p rto..1, suponiendo quc el disco a) tiele Li libct:id de gi r¿r'en un cojilrete coloc¿ldo e¡ A. ü) se lerdacha a la ltiur¿r cl A.
19.62 Unn bann honogélca r1-. peso polrrnidad rle Jongitud igual a 0.3 lltfi sc usa par-a fbtrrrar el ensarnblc qre se ¡ruestr-a- el cuJ gir¿ ¡ol li beftad ¿lredeclo¡ del pivote A cl un pluio verticLrl. Si cl cnsarlble se clesplnza dos glados e¡ el scnticlc¡ cle l¿s ¡ra¡ecjllirs clcl reioj desde su posicitiri cle eqtilibrio v lucgr.r se suelt¿, deter-r¡inc su yelocicl¿d ¿ngular y la aceler.¡cio' Figuta P19.61
:rngular 5 s después.
Figuta P19.62
t.r¡
19"63 Se observa un periodo de 4.1 s para las oscilaciones argulares de un rotor de ¡¡iloscopio de 450 g suspendido de un alamb¡e cono indic¿ 1a ffgurn. Si al stspender una esfera de 50 nm en la mism¿r form¿ se obtiere un periodo de 6.J s. clelernine el radio cle gir-o centroidal del rotor (Densid¿d rlel acer,¡ = 785(l kg/m'.)
Prob
F¡gura P19.63
19,64 Una barra delgada de 3 kg se suspende de un alambre ile aceel cu¿l tiene un¿ constante de resorte tolsional K : 1.S5 N ' m/¡ad. Si la barra se gira 180' ¿l¡ededol de la vertical y luego se suelta, determine a) el perioclo cle oscilaciór, ú) la velocidad máxima clel extremo A de la bana. r-o.
19.65
Un disco circular de 4lb y radio
r:
40 in. está suspendido de
su cent¡o C rnedi¿nte los alarirbles AB y BC solcl¿rdos entre sí en B. Las constaDtes torsioDales de resorte de los alambres son K1 3 ftlrad para AB
y K1 :
:
lb
1.5 lb .ft/r¿tl para BC. Detenri¡e el periodo de oscilación del dis-
co al¡ededo¡ del eje AC.
Figura P19.65
19.66 U¡¿r pJaca circular uniforn.ie de 120 lb se suelda a dos b¿¡¡as elásticas que tienen extrenos fijos en los soportes A y B como indica la figula. La constante torsion¿rl de resorte para cacla ban'a es de 150 lb . ft/rad, 1' el sistema está en equilibrio cuando l:r placa se encuentra en posición veftical. Si Ja plnca gira dos grados alrededor del eje AB y luego se suelta, deternine o) el periodo de oscilación, /r) Li rragnitud de la velocidad márima del .entlo de rnasa G de la placa.
6.4
¡l
Figura P19.66
ernas 1239
1240
vibracionesmecánicas
19.67 Una plataforma horizontal P se sostiene mediante varias bar¡as rigidas conectadas a un alambre ve¡tical. Se encuentra que el periodo de oscilación de la plataforma corresponde a 2.2 s cuando está vacía y a 3.8 s cuando un ob¡eto A de rnomento de inercia uniforme se le coloca encima con su centro de masa di¡ectamente a¡riba del centro de la placa. Si el alambre tiene una constante torsional ft = 27 N ' m/¡ad. detern,ine el monento de ine¡cia centroidal del objeto A. 19,68
Una placa triangular equilátera y uniforme de lado b se suspende de tres alambres verticales de igual longtud l. Determine el periodo de pequeñas oscilaciones de la placa cuando 4) gira a un pequeño ángulo alrededor del eje vertical que pasa por su centro de masa G, b) se desplaza una cofta distancia horizontal en dirección perpendicular a AB.
cot d,o
trr
tlll mc
dis
sisl
Figuta P19,67
Se¡
rin
1
I
l¿¿ ec'l
L._
¿
_______l
ció tiel
Flgura P19.68
op
cil¿
19,6. APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGíA
En la sección 19.2 se üo que cuando una partícula de masa m está en movimiento armónico simple, la resultante F de las fuerzas ejercidas sobre la partícula tiene una magniürd que es proporcional al deqplazamiento:r, medido desde la posición de equilibrio O, y está ürigida hacia O; se escribió -kr. Con referencia a Ia sección 13.6. se advirtió que F es unafuetza cDnsertatú)a conseruatú)¿ y que la energíra enersía potencial es V : *kr2. V *krz, donde v iflral a cero en la posición se supone sunone igual oosición de equilibrio eouilibrio r : 0. Puesto Prres la .que velocidad dé h partícula es igual a i, su eniergía cinéti 7 !m'i? y es posible e{)resar que la energía total de la partícula "u se conserva al es-
F:
:
." :
-{i
qu(
7+V=constante
+miz + +k:e
- constante
Al dividir entre m/2 y recordar, de la sección I9.2 qtek/m <..,,
su
:
crihir
de
Cu
:
@?,,
don-
es la frecuencia circular natural de la vibración, se tiene
.2,22 -1- (0,).r : constante .x
(19.25)
La ecuación (19.25) es característica de un moümiento armónico sinple, puesto que puede obtenerse a partir de la ecuación (f9.6) al multiplicar ambos términos por 2* e integrar.
la<
El principio de conservación de la ener.gía proporcidta una fbrr¡a con\cril.rilÉ ,le cleln¡nirr;t¡ el p, riodo dt r il¡¡,,..¡¿,¡ ¿" un cur"rpo ngrd,, r, rle nn sisi(rna cle cuerpos^rÍgidos (lue poseen un solo grad; de ii-
."
l';3;t5,i,""Xll,1i.1"ii:H3l3 d=0
bertad, una vez (lue se ha est¿blecido que e[ movimiento del sistema es un mo\.irrielto r,rr-mónico simple o que puede iprorimar.se medi¿inte un r norir¡ierrto lnnónir.o sirrplt . r{ elegir una variable npropiada, como la distancir r o el .ilgulo 0. se consideian dos ¡rsjcione,s pirrticrrlares del sistelna:
l. 2.
El dcspLa:tnniento dal sistenn es n¿ítülr.r; se ticne ?'1 : 0, y V, puede.rlr"rrrr" on lélnrilros cle la rrrrrplitrrtl r,,, o á,. .al elegir V : 0 en la posición de equilibrio). F)l sistenw past por nr posiciórt d.a eqttiLibrío; se tiene l/o = 0, y ?. puede cxpres¿rse en tér-rnilos de ]a velocidad máún¿ o l¿r telocidacl angular l.irr-xirna ó,,,.
Se expri:sa
eltonccs que
é,,,
energía total del sistema sc colser¡va r' se r:scfibe 7'r + I./r : ?2 + V2. Al ¡eci,ltlrr d. (l9.lb) que pJril un rnovin.iiento ¿rrmtjuico süuple la velocidud r¡iirir¡¡r es igrrul rl ltrodncto de 1a al.rplitrxl y cle la lrecue¡ci¿r circrrlar natu¡:Ll ,,r,,, se enculntr.e que la r.rrl< iórr qrrn se ohli*ne lrrctlc r.e:¡rlrr.rse p.ua r¿,.. Como e-jemplo, sc consider¿ de nuevo la placl cuadr.ada de la seccirjr 19.ó. En la posicirir de dc,splazarnicrto nálimo (figrra 1.g.6¿), se Ja
C: 9I i?
tiene
Vr :
.|{/¿r(1 1,1(1, - ¿r cos 0,,,) : cos 9,¡,) o ?uesto (lue I cos 0,,, : 2 se:I; (0,,,12) - 2(0,,,/2)2 : 0,2,,/2 par| os-
Tt: 0
cilaciores dc pequeña ¿mplitud, 1'r Ouando la placa pasa
.rr r"lo, idal
T": o
¿tl
¡.
a
:0
y,-+Wb|?,,
(19.26)
tlavés de su posición de equilibrio (figura 19.6b),
rnril'irn¿
\
s( ticnr
!ntii,, + +i,ii,,: +nb'l:. + :Í0:,
rccordar cle la sección 19.5 que 1 T2
:
:
larb2,
V:-0
!t1nn,:W),
(19.27)
Al srstitnir dc (19.26) r. (f9.l7l en ?r + Vr : Tz t Vt, v al obsenar ,lre l,L ',lociJrrl rn.irirra 0,, .i igrral rJ pr.oJuclo 0,,ur,, .á e.r.r.ib"
ltvu oi, : lii cual protlnce
.l :
I é nrb2) e?,p1,
2r
¿ntes.
(19.28)
:lg/Sb y
"' ,,,: cr¡lro se obtuvo
I
\9
lsh
t-" V -ss 1
(19.2e)
Figura 19.6
-
...
I
\-Nivel
de
1
241
PROBLEMA RESUELTO 19.4 Determine el periodo de pequeñas oscilaciones de un cilindro de radio r que rueda sin deslizarse dentro de una supedicie curva de radio R.
SOLUCIÓN Se denota por 0 el ángulo que forma la Iínea OG con la vertical. Puesto que el cilind¡o ¡ueda sin desliz¿¡se, se puede aplicar el pdncipio de Ia conser-vación de la energía entre la posición l, donde 0 : 0,", y la posición 2, donde
l'{)si0ni
l
Nivel de
Posieión I Energía cinética. Puesto que Ia velocidad del cilindro es cero, ?1 = 0 Energía potenciaL Al elegir el nivel de referencia conlo se muestm y denotar por IV el peso del cilind¡o, se tiene
Posiri(i 2
Y1=
\t'tfu
:
W(R
- r)(t -
Al observar que para pequeñas oscilaciones (I 02
f 2, se
cos 0)
-
cos 0)
:2
sen2 {.e¡Z¡
:
tiene
Vt
U'n
-
't!
Posiciírn 2. Si se denota por úi,,, la uelocidad angular de I¿ üne¡r OG cuando el cilindro pasa por la posición 2, y se observa que el punto C es el centro de rotación instantáneo del cilind¡o. se escribe q,,
:
(R
-
r)
l.^. R- r. -,,,: !: r o*
0,,,
Energía cinética
f2:
P0sirió1,9
!rna,n,
+ !¡a1,,
=
l^@
r)2b1,,
:
lm(R
-
r)2á,2,,
+ t¡tmr2)
u=)'n,
Energía potencial
Vz=0 Conservación de la cnelgía
T1*.Y¡:T2IY2 e? 0 w.R r.";' -:ütR rib:^- o Puesto que é,,, : a,0^ y W : ng, se escribe
ng,R
,'! =;.'o
r'¿1,,.,e
",r -f,- Z
^f
,
E!.
11
c
-
Enlosprohlerrrirs\iqr¡ier¡F5sepcdiriiqrroufilit.e,.l¡t¡it¡¡i¡¡¡¿,1¿l/t,o,t>,ita,.i,intlc l4 t ttPr{ttt pltrr rlelIrrnirrar r.l ¡'eriod,r o Ire,.uencir
lirlurlí ,l"l ntovitnieI|lo anndni_ íqdo. Suponiendo.qrre elige un ángulo 0 para :.-_i:Tl:^T.ijl1pj*':]r" (lell¡lI lr¡ po5r( ton del \jslr.l"jr"l"ry'^ lcoll 0 :{l err lu pO:it.iórr ,le "qrrilibrior. l..r-,.ull .e l,¡ l,'. ¡,rnblerrrls dr estl lección .. qrre lr, tc,t,rl
];:,"^lst{lctnil ],i'l'.lll.:,dc Llet sri (^n\ct\¿r T, rnítirno (01 :0,,,, ér:0)
9-.--
,l;
'\
"nergíu L l \... clrfr.e li, "rp,.".,ir,i ¡,,.i,.iór, / i" d"splrT¡¡¡,¡".¡.¡¡6 y ll posictc;n : d" ;i;.1¡,,¡- nírxir.iii (g2 : g,,,, .=
l.:'ser.ín'anrl¡as cer.o, U q".-f" ,1" l" "",,""i0. lrou.,ngelrü, "rrá.gtn L/¡ y T2 sol Jas e^¡r,."iio-r.rer; cuaclráticas Ir cspüctivl '= mer rte. Cotno, par.a un tno\,,irniento annónlco simple, "n 01,,: g,,,rr,,,,
S._
¡ Ito"".:ue.7'¡ 7'¡. dondc
,i
I.
:"u.l:t,, 9n,y u,,,.
) \rsliluir'.sto prtducio en ll r cur¡c.iúr rlc L¡ energrir se,,bt¡.ntlr,i. ,i"l¡rá,,t",irrl' r.rl l)llllcaL Irn¡¡ c¡ uuciól¡ qr¡t e. Itosihle ¡ solrer plrl ,j. L,,, u.r,¡rre rr. hir¡.r rlelerrrri n,Ldr, l,r lrer.rer(i¡r lircrlar rrtrr.rJ -,. pued" shle¡e¡.c.1 p"rioáo r,, v la i.ec.u"n..in r,rlrrlnl.f,, d. I:¡ üLrrciórr. .
Los pasos rlue sc deben seguir son éstos: ,_:, la energia potent iol V , del sistema en xu pttxit.iótt tle rlcs¡tltt:rt_ i ^-l,irr.ll., mtcüto nrdr¡mo. DiLrrrjo rrrr boiqu*i,, dnl..istern" ,,, poii,.id,, tl_,lesl,l,rzirrrrierr ,:'l c\pres. l',_-r'ergr p,,tenr.i.rl ,1, torlls ",, lr¡. [rrerza. ir,,¡1i..¿J.,1 ¡¡,¡.¡,,,,., :ti") ( \tet-n]s) en tjnlliDos del ¿si coDro clcsplaznrlielto tlárino r,,, o 0,,,. tuergía p.otenciul ctsocia¿q c
\t:!: Olrsewe que
l"
.r'l
G se locaLí:a srltre O
+wboi,
::ll.i" rniuse.(:.orro //. . ¡h0- el c.url
lo debajo tle O, .--,i'r,.galiru. .l"lr, r,i ,rprori.
su posición clc cquilibrio (¡,
.el s¡pLr'5lo ..el rles¡lazarnierrto ie.tical 1
r"s,rlhrr,L er, ,rr, r,,l,,r,,_galir,,,le \... Elr d" olr¿ts fucrz¡¡i.,ll posi< icin de n,¡uilibri,, sc¡ri inr.tublc. r' *l .,¡,,.,,,,, ;,. ",,r",,ciu ,'ii
"."i1,"'ii ¡or.iemplo. "l ¡rol,l"rrr,L 19.91.1 b\ La energ¡a potcnLial uso_ciaikt con la fuer;u elcisrica ejercicla prtr rtn resorte es y" = ,!k¡", d, ntle k es la const¿nte cleí resorte r. r es su clelbrn,ación. On r|rr irnplicrn lt rotrción de ur cuery:) ¿J,."
(.continúo)
1243
lo tanto, cuando r alcanza su valor mídmo ble erpresar Vn como
r-
y 0 llega a su valor máximo 0,,, es posi-
v": lt f," - lt o"ei;, c) Lu energíu potenciul Y y d.el sislema en su ¡tosíción d.e tl.esplu;om.iento nvíxím¡¡ se obtiene sumando l¿s diversas energÍas potenciales que se han ca.lculado. Será igual al producto de una con"tante ¡ 0j,.
2. Cqlculur
l.a energía cinética 7'2 ¿el sistemq en nt ¡tosición ile telocülq¿ rn¿írir¡l¿¡. Observe que esta posición es también la posición de equilibrio del siste[]a.
u)
Sí
el sístenta e:|tú compuesto por un solo cuer¡to rígido,la
cuerpo alrededor de G. Por lo tanto, se escribirá
¿
r'
t
r": :^4" + +1,?,,
c
Suponiendo que la posición del cuerpo se ha definido meüante un ángulo 0, erprese a,,, y a,. en términos de la razón de cambio 0,,, de 6 cuando el cuerpo pase por su posición de equilibrio. La energía cinética del cuer?o se expresará entonces como el producto de un¿ constante y 0;,. Adüefta que si 0 mide le rotación del cue¡po alrededor de.su centro de masa, como fue el caso para la placa de la figura 19.6, entonces @,,, : 9,,,. En otros casos, sin embargo, la cinemática del movimiento debe utilizarse para derivar un¿ relación entre c0,,, y 0,,, lproblen,a resuelto 19.41.
b)
Si el sistemu estú compue$to cle xqrios cuerpos rígidos, repita el cálculo anterior para c¿da uno de los cuerpos, utilizando la misma coordenada 0, y sume los resultados que se obtienen.
a
t
C
I
t l
a
l
a
lguol.e lu energía potencütl Yy d,el sislema a su etTergío citéIictt
7'2,
Yt-Tz y, recordando la primera de las ecuaciones (19.15), sustituya á,. en el término del la-
do derecüo por el producto de la amplitud 0,,,y la frecuencia circular o,. Puesto que ambos términos contienen ahora al 1áctor 0j,. es posible cancelar este último y la ecuación resultante puede resolverse para la frecuencia circular r,.r,,.
124r'
,
c
energía ciné-
tica ?e del sistema será la suma de la energía cinétic¿ asociada con el moümiento del centro de masa G del cuerpo y la energía cinética asoci¿d¿ con l¿ rotación del
3,
:
i:
C
]
(
t
19,69 Dos bloques, cada ¡rno de 1.5 kg de masa, se conectan a eslabones que están unidos mediante un pasador a la barra BC en la forma in dicada. Las nasas de los eslabones v la baua son insignificantes, y los bloques pueden desliza¡se sin fricción.'El bloqne D está inido a un resorte cle constante ft : 720 N/rir. Si el bloque A se mueve 15 ¡rm desde su posicidn de eErilibrio y luego se suelta, determine la magnitud de la velocidád r¡árirr-ra del bloque D durante el moümiento ¡esultante. 19.70 Dos bloques, cada uno de 1.5 kg de masa, se conectan a eslabones que están unidos media¡te un pasador a la barra BC en la fo¡ma inücada. Las masas de los eslabones y la barra son insignificantes, y los blo ques pueden desliza¡se sin friccióo. El bloqne D está inido ¿ un ieso¡te de constante k : 720 N/m. Si el bloque A está en reposo cuando se le golpea ho zontalmente con un mazo y se le aplica un¿ velocidad inicial de 250 rnm/s, dete¡niine la magnitud del desplazamiento máximo del bloque D durante el rnovirriento result¿nte. 19,71 Dos pequeñas esféras, A y C, cada una de nasa n, están cor.iec tadas a una ba¡¡¿ AB, la cu¿il se sostiene mediante un pasador y una ménsul¿ colocados en B y por medio de un resorte CD de constante ft. Si la masa de la ba¡ra es insignificante y el sistema se encuentra en equiJibrio cuando barra está en posición horizontal, deten¡ine la frecuencia de las pequeñas oscilaciones del sistema. l¿r
Figura P19.69 y P19.70
D
'
':-, k
11
::'
r_ lrctB_r_ l
____-i
F¡qura P19,71
19-72 Ur
bloque de 20 lb está unido al resofte A y conectado al resofte B mediante una cuerda y una polea. El bloque se sostiene en la posi ción mostrada con los dos resortes sin defon¡a¡ cuando el sopote se r;tira y el bloqrre se suelta sin velocid¿rd inicial. Si se ignora la fricción y las nasas de la polea y los resortes, determine a) el periodo de la vib¡ación resultan te, á) la magnitud de la velocidad má¡ina alcanzada por el bloque.
I !
¡ = l2lh/in
Figura P19.72
1245
124f;
Vibracionesmecánicas
19.73 El borde intemo de un vola.nte de 38 kg se coloca sobre el fflo de ulr cuchÍllo, y se encuentra que el periodo de pequeñas oscilaciones es de 1.26 s. Determine el momento de ine¡cia centroidal del volante.
za$1
long tantr
19.74 Una bar¡a uniforme AB puede girar en un pJano ve¡tical ahededor de un eje horüontal en C localizado a una distancia c por encima del cent¡o de m¿sa G de la b¿rra. Para oscilaciones pequeñas, determine el valor de c prua el cual la f¡ecuencia del movirniento será márima
a.s
ta. d
L.k
'fll
Figura Pl9.73
fFffi
L1.1.
llr
i
HI
BE
I
Flgura P19.74
19.75 Unablela está soportada por el filo de un cuchillo en el punto A; se obsewa que el periodo de sus oscilaciones pequeñ¿s es de 0.895 s. Luego se inyieúe la biela y se le sostiene meüante el {ilo del cuchillo en el punto B, y en este caso el periodo de sus oscilaciones pequeñas es de 0.805 s. Si r" t r5 : L0.5 irL.. deterrnine a) la ubicación del centro de masa G, b) el radio de giro centroidal ft. Figurc P19.75
19.76 U¡a placa uniforme y delgada que se ¡ecorta en forma de un cuarto de círculo puede giru en un plano vertical alrededor de un eje horizontal en el punto O. Determine el periodo de pequeñas oscilaciones de la placa.
una r del c
termi
lindn
t:1
const
queñr
rimie
Figula P19.76 Figura P19.77
L
\
19.77 Una bar¡a unifo¡r¡e ABC pesa 6 lb y está unida a dos reso¡tes como indica la figura. Si ¿l extremo C se le apüca un pequeño desplazamiento y luego se suelta, determine la f¡ecuencia de vibración de Ia barra.
19.78 Un üsco uniforme de radio r y masa rn puede rodar sin deslizarse sobre una superÉcie cilíndrica y está conectado a una bar¡a ABC de longitud L y masa insignificante. La barra está unida a un resorte de constante k y puede ¡odar con libertad en el plano vertical alrededor del punto B. Si al extremo.A se Ie aplica un pequeño desplazamiento y luego stsuelta, dete¡mine Ia frecuencia de las oscilaciones resultantes en té¡minos de m,
L,kve.
Figura Pl9,78
19.79 Un cilindro urifo¡me de 7 kg puede ¡odar sin deslizarse sob¡e una rar¡pa y está conectado a un resofte AB como se muestra. Si el cent¡o del cilind¡o ss r¡ueve 10 mm hacia abajo de la rampa y luego se suelta, determine ¿) el periodo de übración, b) Ia velocidad máxima del centro del cilindro.
19.80
Dos barras uniformes, cada una de masa m = 0.6 kg y lon$tud 160 mm, se sueldan entre sí para formar el ensamble mostrado. Si la constante de cada resorte es k = 120 N/m y al extrenro A se le aplica un pequeño desplazamiento y luego se le suelta, determine la f¡ecuetr"ia del moümiento resultante.
I:
l+ F¡gura F19.80
+
--l
Figura P19.79
Vibraciones mecánicas
19.81 Una barra delgada AB de 10 kg y longitud I : 0.6 m se une a dos colla¡ines de masa insignificante. El collarín A se une a un ¡esorte de constante k : 1.5 kN/m y puede deslizarse por una barra horizontal, en tanto que el collarín B puede deslizarse libremente por una barra vertical. Si el sistema está en equilibrio cuando la barra AB está vertical y al colla¡Ín A se le aplica un pequeño desplazamiento y luego se le suelta, determine el periodo de las übraciones resultantes.
mos r dobl¿
un
P¿
cia dr
1
5 lb. cilaci
Figulla P19.81 y P19.82
Una barra delgada AB de 5 kg y longrtud I : 0.6 m se conecta a dos collaúnes, cada uno de 2.5 kg de masa. EI collarín A se une a un resorte de constante ft = 1.5 kN/m y puede deslizarse por una ban¿ horizontal, en tanto que el collaín B puede deslizarse Jibremente por una barra vertical. Si el sistema está en equilibrio cuando la ba¡raAB es vertical y al collarín A se le aplica un pequeño desplazamiento y luego se le suelt¿, dete¡mine el periodo de las übraciones resultantes.
19,82
kg cr:
cos n
19.83 Ties banas ligeras, uniformes e idénticas, de 3.6 kg se unen mediante pasadores en la forma que se indica y pueden moverse en un plano vertical. Si alabarra BC se le aplica un pequeño desplazamiento y después se le suelta, determine el periodo de übración del sistema.
mde unifo
ángul la fre
1
se mr
pequ
IF_
--. /5U mm
I
__________,1
Figura P19.83
,
19.84 Una esfera A de 0.7 kg y una esfera C de 0.5 kg están conectadas ¿ los extremos de una barra AC de I kg, la cual puede girar en un plano vertical alrededor de un eje en B. Determine el periodo de pequeñas os-
Figura P19.84
cilaciones de la bar¡a.
19.85 Las esferas A y C, cada una de peso W, se conectan a los extre_ mos. de una ba¡ra homogénea del mismo peio W y de longitud 21, la cual se
Problemas
dobla como indica la fígura. Se permite que el siitema oicile alrededor de un pasador sin fricción en B. Si B : 40" i I : 25 in., determine la frecuen_ cia de pequeñas
-oscilaciones.
Figura pt 9.85
19.86
La bana AB de 3 lb está unida mediante pernos a un üsco de Si el disco meda sin desliza¡se, determine el peri-odo de pequeñas os_ cilaciones del sistema.
5lb.
19.87
Dos discos unifo¡mes de 6 kg están unidos a la bar¡a AB de g kg como indica La [ig! ra. S¡ Ia constantc d-el r"sorte es de 5 kN¡m I los dis_ cos rrredan sin deslizarse, detemine la f¡ecuencia de übración deÍ sisten,rr.
19.88 U¡a media sección de un cilindro uniforme de radio r v masa m descansa sobre dos rodillos A y B, cada uno de los .,n áh,rdro "uale, uniforme de radio r/4 y masa m/8. Si el medio cilindro se gira "s a través de un ángulo pequeño y después se suelta, y no ocurre desliza;iento, determine la frecuencia de pequeñas oscilacionei del sistema.
19.89 La barra AB de I0 kg está unida a Ios dos discos de 4 ks como se muestra. Si los discos ruedan sin deslizarse, detennine la frecueicia de pequeñas oscilaciones del sistema.
f-rro,',"-! Fiqura Pi9.89
4
1249
1250
vibracionesmecánicas
19.90
Tres coll¿rúnes, c¿1d¿r rlro de r¡as¡ n¿, se conect¿n medi¿urte p¿saAC v BC de longitucl I v rlasa insignificiute- l,t-is coll¿r¡irtes A y B ¡ltc'cler clesliztrse sir¡ liiccitilt por una bura hodzont¿l v se conectan rrre(li¿ te rrrr resote de const¿1r1te k. El colhíl C prrecle deslizare sil friccirin por lrna bilr'l.a \cftical. ¡ el sisterra se ercuentr-a en eqr librio eD la posició)r l)los tr'¿d¿. Sj ¿l coll¿¡úr (i se le apiica un pe(peño desplaziunielto v Iuego se srelta. cleterli¡e l¿¡ fiecire¡ci¿L ¡lel ltlo\,irnierrto ¡esr turte del sistern¿. clor',:s
¿r
l¿rs barr¿rs
Fiqura P19.90
19.91 Dos placas senic¡'crrl¿rles tlnifor.lres cle 6 lb estír coúectld¿s ¿ birrr¿ A/J de 4 lb ct¡ri'io se nucstr¿l. Si Lrs placas r-rredan sin cleslizarse, determine el periodri clc pctlueñiu oscil¿cio¡es clel sisterna. lt
1-
20
ir.
F¡gura Pl9"9l
19.92 Un tlisco unilbnne de 6 lb prrede rod¿r' sin deslizirrse sobre u¡¿ superficie cilíndrica l está conectado a una barra ligerar y u¡ifb¡r¡e AB de 4 lb. L¿ b¡rr-¿ se encrrentrr rlni(l¡ ¿ rr¡ resorte de colstiintc /i : 20 lb/fi v puccle giral liblementc cr L¡n plaro ve.tical ¿lreileilr¡r'del punto A. Si aJ extlc: rtro lJ se le iiplicir rrn peqrreiro tlesplazamiento v hego se suelta, cleterrniue -' ¡¡"rindo dc Lu ihr'¡ i, 'rr rFqrllitrl, .
-iI +-i'l- lFigura P19.93
Figura P19.92
19.93 U¡¿ balla delgada cle nasa m y krngihrcl I se srrsperde de clos lesortes vertic¿1les, c¿rcl¿r u¡o de colsLiüte ft, colno indica la ffgrr¿l. Ld b¿rr'r'¿r estír en equilibrio cuando se le irplic:r rrnrr pequeña lotaciín alrededor de un cjc lior-izolt¡l a tr-ar'és de C )'luelir¡ se sueltr. Dete¡rnine l¿ fiecuencia de peqlreñ¿s oscil¿1cioúes.
19.94 Un¿ sección de rur tubo uniforrne se suspencle de clos cables ve¡tic¿les co¡ectados en A v B. Determine la fi-ecrre¡cia cle oscilaci¿il clr¿¡l do al hrbo se le ¿rpli( r un pe¡¡ren. giro alrededor clel eje centroidal OO'v Iuego se suelta.
1s.7. vibraciones
forzad* 1251
t- ;-1.-i()
79,95 Una meclia sección de t¡berí¿¡ sc cok)ca sobre una srlper.ficie horizontal, luego se girl ir tlarés dc un hngulo peqrrr:ño _v clespuós sJstclt¿. Su poniendo que 1¿r secciól de trLrerí¡ med¿r sin desliza¡sc. cletenrrire el pcnodo de oscilar:ión.
Figura P19.94 Figuta
P19,95
pt9,96 Figuta P19,96
*19-96
Una placa clelgadn de longitucl I desc¿r¡s¿r sobrc medio cili¡dro de r¿idio ¡. Obtenga una expresióri para el perirxlo cile pequeñas osciluciones de la placa.
*-19,97 Crnndo tícul¿rs de éste
rrn cueryo
suirergido sc rnueve ent¡-e
rLn
fluido,
l:rs
par
fluvel alredeclor del cue¡to y irsí adqtieren energía cinética. E¡
cl c¿so d, r,n:r (\l-ra qlÉ se nrlts\e clr r,n flri,lu irl'J. l:r erers.í.r Lirr¿tic¡ tol.'l aLlqririd.r pL,r"l nri'lo,^ Ir g \i: ,lurr.l, y"..1 ¡"o,".¡.,'l',',.1.1 tlui
do, V ei vohrmen de la esfela, y o la velociclad de la esfer.a. Corrsidere un c¿rscarón eslérico liueco de I lb y 4 in. de ruclio que se rn¿ntieúe slrmergi(lo cD un t¿1nque de agu¿ mediante un t esofte ¿r uo stimtr iglJl , r 40 lb/lt. d ) SiD to r¡ar en cuent¿ h fricción del fluido, dete¡mile el peiodo cle vibr'¿ción clel cir-scarón cua¡do éste se desplazii verticirl¡rente l lucgo se suelta. ü) Resuella el inciso a). supouienllo quc el t.u'qnr re aceler.¿r haci¡r ¿riba ¿ la razón const¿rnte de 24 ttlsr.
1
Figura P19.97
9.7. VIBRACIONES FORZADAS
L¿s übraciones rnás importantes desde el punto de r.ist¡ rlc lm lplicnclones de iugenier'ía son las uib¡r¿ciorr¿s f,,t -,tl,r de un sist¡r¡¡. Est¿s ocurren cu¿ndo un sistema se sujeta ¿r una fuerza pedódica o cuando se le conecta elástjcamette a un soporte que tiene un rnovimienlo ¿rl
ternante. Consiclere priniero el caso de un cuerpo de masa n suspeldido dc Lln resorte )/ sujeto a un¿ fuerza pedódica P de rnaglitud P: P,,, ser a¡t, donde @/es la frecuencia c.ircrrl¿r de Pv sc conoce conofrccre*
cia cirutlar fonadn del movimiento (figura 19.7). Esta hreria prede
..
.:
.,
ula fuerza externa
real aplicadn J cueqro o un¿ lircrz¡i centnlirga producida por la rotación de alguna parte desbalanceada del cuerlxr (vea el problema resuelto 19.5). Denot¿ndo mediante r el desplazase¡
miento del cuerpo nedido desde su posición de et¡uiJibrio, se eicr.ibe
.t .t l,quL1]l,
r',
I
la ecurición de rnoürniento.
'l !2F
- ma:
P,n sen
Si se recuerda que W
:
r: ._i:t:
a¡t + lV - k(6""t,iti.. * r) =
77¿i
ft
ft6..,¡,,",., se tiene /i?1
T=lió. +r)
+ AI = f
,,, SCn @ft
(1e.30)
Figura 19.7
I l'=
I I
e l_ i4\'
/',, !i'r
¡r,1
¡.].¿ t
i
',1
1252
vibracionesmecánicas
A continrración sc consi.lera el crsr¡ cle urr cucrpo de rnasa tn suspcnditlo de un reso¡te unido il Llr'l soportc móvil crrvo tlesplnziirniento^D es igual a 6,,, sen coTf (ligura 19.8). Al rnr:dir el despluaniento r del cucr,
i [)F : Corno
W
ma:
W:
/c(6.,
*
n¿Í
6,,,
scr
rr.r¡f)
- nri
ril (t! /rr
:
(1e.3r )
43,,, sen co¡f
c¿11
ciil
Nótese quc las ecruciones (19.30) v (19.31) sorr rle la misma for.rir:L ¡r que una so)ución de la ¡linrcra ecrrlcitin satisfirr-ri a lir segtrrxla si se de-
rl
l:iO
*r
/r6..r,i,¡,.,., se tiene
:, ja que P,,, :
f t iI .=
c
;-. {\\
Figura 19.8
(If
po desde la posición cle er¡rilibdo esrático cor;spondieltc a (r/ - 0, se cncucntr¿ r¡re Ia elongación tot¿ü del resorte r:n cl tiernlxr l"es 6,.., túticr + x ó,,, scn 1071. La ecu¿rció¡r de rnovilnielto es entonccs
ay'=0
l:.
Al
.r
1-' !
i $ rrl¿
sitr l¡rs
k6,,,.
Una ecuiicirin tliferencial tal cono (19.30) o (19.31). quc posee rrn rnienrlrro clel lado dr"¡ccho diferent<: de cero, sc dice r¡re ei no htnnogín¿:¿¿. Su solución gereral se obtiene ¿l suülar.r:llr¿ solución particulnr tlc la ccraciórr clarla a la solución genelal cle la ecr¡¿rci ót ltotrut!énca utrresgrrdiente (con cl rniemltlo tlel lado derccho igual a ccro). Un¿ s¡ú¿cítll purLict ar de (19.30) o (I9.31) puede olrtererse ¿l tr.atar rLna sohrción de la fi¡r¡ra
=,1i
It,lrr : 't,r sen @/l
tul to clti
Po l¿v
i'\i llli, cio
(19.32)
Al srrstituir r,,.,t por r en la ecuación (19.30), se olrtit:ne r(dix,,, sen
r¡re prrecle resolvcrse
oft + k.\¡,, ser) @/l :
p,,, sr:n co¡t
p¿u¿ la arnplitud,
Etr
Í,,,
(:le
:
k
nwl
¿11l1
ziI
Puesto quc, de ¿crrerclo col la ccuaciriri (19.4), k/m = cs la frecrrcncia circular n¿rtur¿l del sisterna, se escribe
_
ai,
\a|/
c.,,,
lte(
b,r¡
lto
P,,,/k
I
tlondr:
(1e.33)
@,,)-
Al sustituir de (19.32) en (19.31), se r¡lrtr'ene de maner¿
sjrnil¿rr.
fu¡-
etl ó,,,
(i9.33',)
I - \@l/ @")'
Fotografía 19.1 Un sjsmómetro opera at medir : aa¡t dad de energía necesaria para mantener - : _ ó:d celt ad¿ er ra caj¿ en la p'esenci¿ :: --: fLrerte sacudida del suelo.
coll
La ecuación hoturgénea correspontliente a (Ig.30) o (19.31) cs la ecuacióu (19.2), que dcline 1¿r übr.ación librc del crrerpo. Su solucirjn generirl, clenonrinada .fiutr:ión cornplenzrtañrt ," cn la sec-
"n"ont.ó
ción 19.2:
:t,,",,1,: Cr sen
b¡"
(d,,ti
(1e.34)
i¡ I9
nr I
_***--=i¡s!, Al sumar la solución particular (19.32) a la función complementaria (19.34), se obtiene
:r
:
1a
19.7. Vibrac¡ones
soluci,ón general de las ecuaciones (1g.30) y (19.31):
C1 sen
a,,t'l
C2 cos @nt +
x,.
sen
aft
forzad"" 1253
(19.35)
Hay que observar que las übraciones obtenidas consisten en dos vibraciones superyuestas. Los primeros dos términos en la ecuación (19.35) representan una vibración libre del sistema. La frecuenci¿ de esta vibración es Ia frecuencia natural del sistema, la cual depende únicamente de la constante k del resorte y la masa rz del cuerpo, y las constantes C1 y Ce pueden determinarse a partir de las condiciones iniciales. Esta übración libre también se denomina como vil¡raclón tran.sitaríú, ya que en la práctica real se ve amortiguada de inmediato por las fuerzas de fricción (sección 19.9). El último término en (19.35) representa la vibración de estadn estable prodtciday mantenida por la fuerza aplicada o por el moümiento aplicado del apoyo o sopofte. Su frecuencia es 7a frecuencía fotzada impuesta por esta fuerza o moürniento, y su amplitud r,", definida por (19,33) o (19.33'), depende de la razón d.e frecuencios t.t¡f a,,. La razón de la amplitud r,,, de la vibración de estado estable a l¿ áeflexión eslática P,,fk causada por una fuerza P,n, o a la amplitud 6,,, de moümiento del apoyo, s ellamafactor de amplificación. A partir de las ecuaciones (19.33) y (19.33'), se obtiene
Factor
cle.
ampü ficacion
: ;3; : P,"/k
+!r ¿-
: --'l (D^Y I - \@t/^,
(I
9.36)
En la ffgura 19.9 se ha graficado el factor de ampliffcación en función de la razón de frecuencia a¡/a,. Se advierte qué cuando <,r¡ : c0",, la amplitud de la vibracicin forzada se vuelve infinita. Se dice que la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el apoyo está en resonancia con el sistem¿ dado. En realidad, la amplitud de la übración permanece finita debido a fuerzas de amortiguainiento (sección 19.9): iin embarg¡, una situación de este tipo debé evitarse, y la frecuencia forzada no debe elegirse demasiado cercana a la frecuencia natural del sistema. También se pudo obsewar que para @f < an el coeficiente de sen r,.r¡ú en (19.35) es posiüvo, en tanto que pára .¡ > @,, este coeficiente es negativo. En el primer caso la vibración forzada está ¿¡r jtizs¿ con la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el apoyo, mientras que en el segundo caso está a 780' fuera de fasa Por último, se advirtió que la velocidad y la aceleración en la ü-bración de estado estable pueden obtenerse al diferenciar dos veces con respecto a, el último término de la ecuación (l9.SE). Sus valores mátmos se dan mediante expresiones similares a las de las ecuaciones (19.15) de- la sección 19.2, salvo que estas er?resiones incluyen la hora, la amplitud y Ia frecuencia circular de la übración forzaáa:
Dm: xmof
an: xnai
4
rn
P./k 2
,.
1
0
-l -2 -3 F¡gura 19.9
(1e.37)
)
PROBLEMA RESUELTO 19.5 Un motor de 350 lb se sostiene neüante cuatro resottes, cada uno con una consta¡te de 750 lblin. El desbalanceo del rotor es equivalente a un peso de I oz ubic¿do a 6 in, del eje de rotación. Si el motor está restringido a moverse verticalmente, detennine n) la velocidad en rpn a la cual ocurrirá la resonancia, D) la amplitud de la vib¡ación del moto¡ a la velocidad de 1 200 rym.
soLUclÓN a) Velocidnd de reson¿¡nci¿. La velocidad de resonancia es igual a la f¡ecuencia cicular natural @,1 (en rpm) de la viblación libre del motor La masa del motor y la constante equivalente de los resortes de sopote son tir
:
350 lb
---- --:--:-? = 32.2lVs'
ft :4(750 lb/in.)
lb
10.87
sTli
:3000 lb/in. :36000 lb/ft
\¡ekx:irl¿d dc rcson¿urciil:5.19
r¡n {
¡r) Amplitud de l¿ r,ibr¿ción ¿r I 2OO rpm. La velocidad angular del motor y la masa del peso equivalente de I oz son ¿¡
','
=
1 200 rpu-r
-
(1
""\
:
rlh f6;
125.7 r¿d/s
r
J.-.2
tvi -
0.001941
^ lb.s"rft
La magnitud de la fuerza centífuga debida al desbalanceo del roto¡
P,,,:
ma,,
=
nwo)2
= (0.001941 lb s2t[ty$
ftytz'í
raüs)2
La defleúón estática que provocarí¿ una carga constante P,,,
P,"
k
_
15.33 lh
3000
,o
:
:
es
15.33 lb
es
0 00511 in'
La f¡ecuencia circular forzada o7 del movimiento es la velocidad angular del
noto!
a.t @- 125.7 raüs Al sustituir los valores de P.,,/k, a¡ y a^ en la ecuación (19.33), P" t-= T- /k '-t/,;
se obtiene
0 005t I in 001382 in -- l- t¿s.'t lsl.s'2^- - -0wwt¿Ú¿ttt .r-,,, = 0.001352 i¡. (ltrer'¿ de fise) {
No¿rr, Como ú+ > co", la vibración está 180" fuera de fase con Ia fue¡za centrífuga debida al desbalanceo del ¡otor. Por ejemplo, cuando la masa desba.lanceada está directamente abajo del eje de rotación, la posición del Í1otor es r,i = 0.001352 in. sobre Ia posición de equiibrio.
'\
Esta lección se cleclicri ¿l ¿rrlilisis th: las ¡;il¡z¡¿rl¿lr¡rs for;rrclas tle ltn sisteür¿r neciiliccl. llst¡rs ribr'¿rcioles oculrerl cu¿rlclo cl sistenra s('sonl('tc a ula fucrzir peliódica P (ligLrra 19.7), o cu¿¡ldo estÍr conect¿tlo elílstic¿ulrerlte ¿ rul solx)rte (llre tieric rrD rno rirriento ¿rltenr¿urte ({igura 19.6). El c-l plilirel cirso, el niorirlicnto clcl sistcm¿r sc tlcünc ncdi¿ntc l¿r ecu¡rción dil'elerci¿rl .
¡r¡r
* Lr':
(1e.lo)
P,,, serr tuTl
clo¡cle el lrielr]¡ro clel l¿rclo dereclio lepresenta lrr rragnitucl cle l¿r luelzrr P cu urr instantc dctcrnrir¿rclo. Er cl scguldo c¡rso, cl novinicnto se clellle nediante 1¿r ecrr¿-
cirir
clondc cl
+
/(r:
nicub¡o del lado derecho es el producto
plirzarrit'rto rlel so¡rofte en un instirnte
cl¿clo.
viniiento de ¿sr¿á cstrtL¡l¡: d,<:I sistcrra, cl l¿r cle est¿t-s eclr¡ciones. dc' ]¿ f
L P,,,
(1e.31)
/i3,,, sc,D o.r¡l
c'u¿rl
- I,rr
lll
cle lrr constante rle resorte ft -r'el tles intc.r'és se conceltr'¡r'¿i sólo eu cl riro-
SCrl {d1l
{I
Si lu tibruci(tn Jór;udu resultu de uu
^-
P.
P,,,lk I
pltfiu-
sc clclinc ltcdi¿rnte uu¿r so1¡¡¿:ión
Lrl2)
tle rrnplitucl
(r9.33)
ot/ atj
dorrcle or,, es)t frt:tttent:io cinttlo.r notura.!. del sisten¿r .,,: \/kft,,- r'/.. cs l¿r cors l¿r lrccucuci¡ circtrlul cle l¿ r,ib¡¿ciiit r cs..r; r ,¡t" 1.r
t¡nte de resolte. Ach.icrla quc arnpljtud r,,,
lo
depentle rle las cr¡rdicjort,s irriciales.
P¿ir'¿r c,-r¡
:
ro,,.
el clclorrrin¿rdor
ert l¿ ecrracjrin (19.33) es celo y r,,, t,s irrlirit.r ( Iigr tlrL 1 9.9 ): sc tlir r. rlue 1¿l fuev¿ ¿l¡licr¿rd¿r P cst/r c¡¡ t.'.st¡notcio con el sistelrit. Acletrriis, para ol < ot). \,t es positiva v lns ribrtciolies estínr crry'rsa c(nr P, rriertrits que. liu-.r url > or, rr, , r ncgttiva y l:r r.ibract(tn eslá.fiLcro cle -fase.
i¡ I\r
deknninur uno de los porúnte, corocel los clt:lr:is. Srrgcimos que al lesolver este problerra se tengr sierllrr-c cnl¡c¡ic lil ligrrla 19.9. Pol ejcrrrplo, si se pide dcterlr-rilar-l¿r fr-ccuclci¿r ¿r l¿¡ cu¡l lu,Lrrr¡,1itr,l tl rrrr ril¡.rriúrrtor-zlcli dcnc irn valor ilcterrlinirclo, p(:r-o no se s¿be si l¿r r.ibr-¡ciól csth cn o litcr¿r cle f¿rse c(rr i-especto ¿ la hrerzr,r rplicncla, crr la figur:r 19.9 se t¡bsen ¿ r¡re cs ¡rosible c¡re eistnn dos frc los proltlenrus quc siguett se petlirtí
¡r¿¡,- dc l¿l ecu:rcitiri (19.33) cr¡¿ntlo se
cru:ricias que srtislirg¿ll este rr)querirriento- ull quc- coucspondc al valor positivrl tk: y r lnra ribración er lirse ct¡n la hrctzir aplicadrr. r iiL otu corresponrlielte ¿ rrn valor rtcgativo clc r,,, v ir rur¿r ribr-¿rcirin firer¿ de fiLse con lrr hrcr-za aplicada.
r',r¡
(utttlintit)
1255
I b) Una r;ez que se ha obteniilo la amplituil x,, del moümiento de una com_ ponente del sistema con la ecuación (1g.33), puede recurrirse ¿ las ecuaciones (1g.38) para.determinar los valores márimos de la velocidad y la aceleración d" uro
--pol
nente:
a,,,
: r',rj
I
(19.37)
c\ Cuqndo la fuerza uplicoclu p se d,ebe al ilesbalance tlel rotor de un mr¡_ for. su valor máximo es P,,,: mra|, donde m es la masa del rotor, r es la distancia entre su cenlro de rnasa y el, eje,de rotJción.. @/ es_ igual a lr velocidad ra angular ) del rofor elprcsada en rad./s lproblem.r resuelto 19.51.
sin f el cc
2,
5
Dibrució!
fit,rra
(19.33',)
t - (a¡/a,)2
donde ran_ es la frecuencia circular natural del sistena, ,, : rt/* También en es_ te caso advierta.que l¿r frecuencia circular de la übración es ral y que la amplitud r,,. nñ depende de las condiciones iniciales.
a) Asegúrese ile leer nuestr¡¡s comentarios en los ¡tárrafos 1, que éstos se aplican igualrnente bien a una übración prouácado"po. de un sopofte.
, bl Si se especifica plazamiento márimo
"l
la y 1b, ya *oú-i"rrio
Iq aceleración mdrima a,o del soporte, más que su des_ 6,,, recuerde que, ya que el *ár.i-i"r,io del soporte es armó_ nicosinple, es posible uülizar la relacióna_ : 6,.orf para deteminar b,,,; el valor ob_ tenido se sustitu)e enlonccs er la et,uación \ lg.33t;.^
r¿c
si¡r
1r
una:
5 rac coll¿ cacl¿
tal si
fuerz lo¡es
fleni
1
¡t¿¡5¿
C por \reIse eD
p
üagn ten
¿l
sobre 1
nlas¿
C por
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nlagü
inten que
--l 1
600 n
una fil ter'rnir
L
1256
¡
Un collarín de 4 kg puede deslizarse por una b¿r¡ra horizont¿¡l ^19.98y se conect¿r a un ¡esorte sin fricción de constantjigual a 450 N/m, Sobre el collarín actúa una fuerza periódica de rnagnitud F:1,,, ,"n c4f, donde l- . 13. N Determioe la emplitud del rnoünriento del colLnn si r/) (,/ _ 5 rad./s. bt r,.,7 = -10 raüs. Un collarÍn de 4 kg puede deslizarse por una ba¡ra horizortal ^19.99y se conecta a un reso¡te sin fhcción de const¿mte ft. Sobre el collaín actúa una fuend periódica de magnitud P = P,n sen @¡. donde p,,, = g N y oi 5 raüs. Determine el valo¡ de la constante de resorte k si el moviniento'del collarín tiene una amplitud de 150 mm y está a) en fise con la fueva apli_ cada. ár luera de fasJcon la luerza aplóada.
19.100 Un collar.ín de masa ?n que se desliza por una ba¡¡¿ horizon_ tal sin fricción se conecta a un ¡esorte de constante i, y sobre él actúa una fuerza,periódica de magnitud P = P,n sen aft. Determine el interu¿lo de valores de ro¡ para el cual la amplltud de la übración excede tres veces la deflexión estática causada por una fuerza constante de magnitud p,,,.
3r
in.
__
__-.J
F¡gura P19.98, Pl9.99 y p|9.tOO
19.101 Un pequeño bloque A de 40 lb se conecta a la barra BC de masa insig¡iffcante sostenida en B rnediante un pasador y una rrénsula y en C por medio de un resorte de constante k 140lb/ft. El sistema puede mo_ verse en uü plano veftical y está en equilibrio cuando la b¿rr¿ se'encuent¡a
:
en posición horizontal. Sobre la barra áctúa en C una fuer.za periódica p de magnitud P = P,,, seu.,jf. donde p,, : 1.4 lb. Si b : 8 in., dátemine el in_ tervalo de valo¡es de ,,-,¡ para el cual la amplitud de vibración del bloque A sobrepasa de 0.14 in.
P
-
P,,, scn rrrrl
Figura Pl9.10l y P19.102
19.102 Un pequeño bloque A de 40 lb se conecta a la b¿ura BC de mcsa insignificanlc soslenicla en B medi4rte ¡n pasador y una ménsuld en ) C por u:edio de un resofte de constante /r = f4Olb/ft. El sisterna puede mo_ ve$e en un plano veftical y está en equilibrio cuando la bar¡a sJencuentra en posición horizontal. Sob¡e la barra áctúa en C una lire¡za periódica p de magnitud P - P,,, sen o¡1. donde p., = 1.4lb. Si .o, - 15 r.ad/i. deternine el inten alo de valores de b para los cuales la amplitud de la ül¡¡acjón del blo que A es mayor a 0.I4 in.
19.103 La plomada de 1.2 kg de un péndulo sirrple de lonsitud 1 = 600 mr¡ se suspende de un colla¡ln C de f.a kg. Si sob¡e el collairín actúa una luerza periddica P = P- sen t.'¡1. donde p. "= 0.5 N y @r - 3 rdüs, de_ lermine h amplitud y lase del rnoümiento de h plornada.
Flgurc P19.103
1257
)
Vibracionesmecánicas
1258
ó = á,,, sen
I Figura P19.104
19"104 Una viga en volaüzo AB sopoúa un bloque que Provoca una deflerión estática de 40 mm en B, Suponiendo que el soporte colocado en A e{perimenta un desplazamiento periódico vertical 6 : ó. sen t,¡. donde 6,, :- 10 mm, determine el intervalo de valores de u-,7 para el cual la amplitud del moümiento del bloque será menor a 20 mm lgnore la rn¿rsa de la viga y suponga que el bloque no sobresale de ésta. Un bloque A de 2 kg se desliza Por una ranura ve¡tical sin fricción y se conecta a un soporte móül B nediante un resorte AB de constante k = tl7 N/m. Si el deiplazaniento del soporte es 6 = 6,,, sen rr¡f, donde 6,, : 100 mm y @r = 5 raüs, dete¡mine rz) la amplitud del moümiento del bioque. b) lu uipíit.d de la fuerza fluctuante qud e¡erce el resorte sobre el 19.
105
bloque.
tud
pell
P¿lr
uf]a una
ten
rib¡
'19-106 Un bloque A de 16 lb se desliza por una ra¡rula vertrcal sin fricción v se conecta a un soporte móvil B mediante un lesorte AB de consta¡te k-í¡ut¡lfi.Si el de.pla)amienlo del soporte es 6 - f,, sen ar7r. donde 6,, 6 in., determine el inieryalo de valores ;t pam los cuales la amplitud de la fuerza fluctuante que ejerce el resofte sobre el bloque es menor a 30 lb Figura P19.t05 y P19.106
que
sori
nlo l_5
ten
19.107 Un bloque A de 5 lb está unido a un resorte de constante k = lb¡lt 4 r a una ba¡¡a BbD de peso insignilicanLe La barm está coneclada t-n D a un soporte rnóül E por meüo di un resorte idéntico. Si el soporle E
:.10 raüs, realiza un áesplazamiendó = 6," sen @/¿, donde 6," = 0..2-in. y <,r¡ A, b) la magdel bloque mátima la aceleración determine a) ia magnitud de en C. al soPorte tmnsmitida fuerza máxima la nitud de
ge
do so
Figura P19.107
PU ale
tor
Una pequeña esfe¡a B de 2 kg se conecta a la barra AB de pelJcual se sostiene en A mediante un pasador y una ménsula y'se conecta en C a un soporte móvil D por medio de un resorte de consiante k : 3.6 kN/m. Si el soporte D erperimenta un desplazamiento vertical 6 - 6- sen d/. donde ó,, - 3 mm y c,r7 : 15 ¡aÜs determine a) la magnitud de la máxima uelocidad argular de ia ba¡ra AB. bt la magnitud de la aceleración máxima de la esfera B. 1
9,108
so insigniffcante,
F¡gura
P 19.1Og
Una viga ABC se sostiene meüante una conexión de pasador en A y por medio de rodillos en B. Un bloque de 190-kg colocado sob¡e el extrJmo de la viga ocasiona una deflexión estática de 15 mm en C Suponiendo que el sopórte en A exPerimenta un desplazamiento periódi,l^',1" 6,, S = 10 l0mmv¿¡"= raüs- yvel sooo¡el sopormm y co¡ = 18 raüs, ,¡t. donde vetical s6 :l,ró- s"o co ^^i,-,+i^"1 "..-,,,"r mueve. determine la aceleración máxima del bloque en C. te en B no se mueve, No tome en cuenta el peso de la viga y súPonga que el bloque nunca se separa de ésta.
tar
m
\t
&
19.109
Figura Pl9.109
nr b¡
Il¡
¿u
d
t
19.110 Un péndulo simple de longitud I se suspende de un collarín C que es forz¿do ¿ moverse dc maie¡¿r horizo tal de ¿rclle¡do con l¿r relaciLin r:. : 3,,, serr rrltt. Dctcnline el latrgo de valoles de o¡ para Ja cual la amplitud clel moür'irierto de la plomaila es mcnor que 6,,,. (Suponga que 6,,¡ es pequeño compiu¿do con Ja longitud I del péndulo.) 19.111 E¡ par-a lir cual Ja
e1 problema 19.110, detenrine el r,rngo de valores de arrplitutl de nrovirnicnto de la plornada excede 26,,,.
o-r¡
19"1 12 Un ¡Dtor de 200 kg se sostiere meali¿nte soportes que tienen ula corNtaute tot¿l de 215 kN/r¡. El desb¡l¿rnce del rotor es equivalente a
u[¿r üas¿ de 30 g rrbjcada ¿ 200 rnr]l del eje de rot¿ción. Determine el intervalo cle valo¡es pernrisibles de la velocid¿rd del r¡oto¡ si Ia amplitud cle la rib¡ación ¡o superará los 1.ó nm.
19.1'13 Un rnotor de f8 kg de mirsa se sostienc rnediante cu¿tro re sortes, cad¿ uno de const¿rte igual a 40 kN/rn. El r¡otor está restringi¡lo ¿1 ¡rovene vertic¿l¡lente, y se observa que la arnplitud de su mor.irniento es cle 1.5 nrr¡ a u¡a velocid¿d de 1200 rpm. Si lir n¿rs¿r del rotor es dc,1 kg, determi¡e la distarcia entrc el centro de masa del ¡otor v el eje cle la llecha.
Figurc,P19.110
F¡gura P19.113
19.114 Un rnotor rle 360 lb está atornillado ¡ un¿r üsa borizontal ligera. El desequjJibrio clc su rotor es equiva.lente ,r ,rn p".o á" 0.9 oz ubic¿r do ¿r 7.5 in. del eie de rotación, y la deflexjón estática cle la r.iga debida al pe so del nrotor es de 0.6 in. La amplitud de l¿ üb¡ación debid¿ al desl¡alaice puede disminuilse ag: egando una placir u lrr h*e del mutor. Si l¿ implitud de l¿ übracjón debe ser nenor a 2.16 l0 J in. p¿r¿ velouidades ,l.l motor rn¿yores de 300 rpm, deteirnine el peso de la piaca requerido.
F¡qura Pl9.1l4
19.115 Un r¡oto¡ de ¡iasa M se sostiene rnealiante resortes crNa coitstarrte de resote equivalente es ft. El ,lesequilibri' cl. srr ruto¡ eluir iie ¡L rn¿r m:rsa l¿ ubicacla ¿ la distancia r clel eje de r-otación. Denrtestre r¡re cuando l:r velocidad angular deJ rotor es a¡; lir anplitud ir,,, del nroümiento del nroto¡ es
donde
co,,
:
V/r/t14.
16
19.1 La bar¡¿r AB está unicln rígid:rmente al r¡¿r.co de un 1¡otor que funcic¡na a velocidacl collst¿nte. Cha¡do un coll¿r¡ír cle ¡rils¿17?? se colc¡ca s,¡ble el lesorte, se obser.ra que éste r.il¡ra co¡l anplitud de 15 mrn. Si dos ccr llarines, c¿rd¿r uno de l¡¿rsa ru, se colocan sobre el resorte, se obser-va que l:r aniplitud es de 18 mm. ¡ Qué ¿lnrplitud de übraciór debeí:r esperarse cuando se colocan t¡es collarines, cada uno de ¡rasa l¿, sobre el resórte? (Obten ga clos respuestas.)
a't F¡gura P19.116
b¡
'l260
19.117
vibracionesmecánicas
niotol
h¿r siclo
Rcsuelva el problenia 19.116, suponienclo que la velocid¿d del ciunbiada y que un collarín tiene rrna anplitrrd de 9 mm y dos
clc ellos tienen nnrplittcl ile 3
mn.
19,118 El clesb,rl¿nce clcl rotor cle un motol de '100 lb es ecluivalente un peso cle 0.8 oz loc¿liz¿do a 6 in. clel ejc de rotación. Si el ¡rotor est¿i sostenido por mcdio (le curltr'( ) resortes, c¿da uno de constante igual a 5 kips/ft, dc:telmine el rango de valores per-rnisibles cle l¿r velocid¿d del moto¡ si la ace ler'¿rció¡ veftical iuhxi¡ra tlel ,rtir-¡, rtn dcbe cxceder cle 0.,1 li/s2¿1
i::
-.
--I::Figuta Pl9,119
19,119 Un cxcit¿¡dor de rn¿rs¿1 excéntlico rrtilizado para coDt¿r llros, ) que consiste en dos nr¿sas gir'¿toi¿1s dc 3.5 oz que (lescriben círculos de r¿clio r ¿r l¿¡ r¡isnra velocidacl pelo en sentitlos oPuestos, se iistala soble un ele rlento de rnírquina p¡r¿ jnducir ull!r vibr¿rciól de cstado estable del elemento. El peso tot¿l del sisterna es dc 600 lb, l¿ qnrst¿ite cle c¿rd¿r resorte es A : 3,100 lb/i¡., r' ln velocicl¿d rotircioral del cxcitador con-csponcle a 1200 r])1l. Si ]a anplitud cle l¿ firez¿ fluctuante tot¿l ejercicla soble el cirniento es cle 36 lb. detel Drire el r'¿dio r. 19.120 Las figru-as (1) ¡ (2) rnuestran córrxr es posible utiliz¿r resor tes par¡ sostener un blor¡e en dos sitrr¡ciones difereutes. Er la {igura (1), los rcsortes ayrdan a disminuir la amplittcl de l¡r lirerz¿r flnchr¿lrlte tr'¿nsmitirla pol el bloque al ciniento. Eu la iigura (2), colitribuyel a lir distrinucion de la arnplitud del desplaza¡riento lhrctrrante qrre trallsmite el cimiento;rl bloque. El cociente de l¿ fierza tr¿nsmitid¿ \'la fuerza aplicada o el cociente entrc cl clcsplazarniento tr'¿msmitido v el desplazarniento qlrc sc gener-a re cibc el nornbrc cIe transnúvil¡ilid¡d.. Obteng:r rrúa ecuacií)n p¿ra la trans rsibilidad e¡ c¿dlr situ¿ción. IntJirlue su rcspucsta en términos cle la ¡azón a1y' a,, da la ñr'clrenci¡r r.r¡ de la fuerza aplicacla, o el dcspl:rz:rlrlcnto qur: se ge
era r-especto ¿1 l¿1 frecut'¡cir r¡¿rtru¿rl ¿0,, del sistctla resorte-m¿s¿. l)en¡tespar¿ prorociir cu quicl rcdLicción en la trar¡slrisibilicl¿rcl, el cocien-
tle que
le a¡f a,,
V2.
I
4:
li:': '
I
ii':'
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-l
l
Itt =,'.',"r.t
(2)
(1)
F¡gura P19.120
:
F¡qura P19.121
Figura P19.122
19.121 Un clisco dr:27 kg estír co¡ect¿do, coú rn¿1 exceitricidad ¿ 150 ¡,u1, al purrto nreclio de un¡ flech¡ vcrlicnl AB quc gir':r:r velocidad angn1:rl cor]st: te (d¡. Si l¡ colst¿ute de resorte f pala mor.irliieDto horizontal clc u¡ clisco cs de 580 kN/rn, deternline ¿) 1¿r velocicl¿d :rngul:u c,-,¡ a in cuai ocur¡irá resolanci¿, ó) la dcflexión
r
dc la llccha cuando
r.l¡:
1200 rpnr.
1 9.122 Ur per¡reño remolqrre y su carga pesan en total 500 lb. El remolque se sostjcire por meclio dc dos resortes, c:rda uno de constal'ite igual a 350 lb/fi v se jala sobre rm crnri¡o cuyii superficie puede aploximarse por rnedir¡ de u¡¿r cun'a seroiclal con anrplitucl cle 2 ír. v longitud de olda de 15 It (esto es, l¿r dist¿ncia e¡tre cr estas ir rcesivas es cle 15 ii r' la distanci¿r.,,er. ln li,.rj d" r'r"slrr '..-n,, c. de 4 irl. l), tcnnin.4/ r-l.rr id ri r l:r c.lal ocurnr¡r l¿ resonancjl, D) Ia arnplitucl de la vil¡¡ació¡ de remolrlue a una velocidacl dc 30 nri/h.
19,123 El bk4ue A puede rroverse sin li'icción c¡ l¿ t¿¡nur¿ collto se rluestr'¿¡ \i sobre él achir ul¡ firelz¿l periridica vertical cle rt¡grritucl P : P,,, seD @¡/, dorl(le @J:2 r'¿cys v f,,, : 5 lb. UD resor-te de consta te A se co nect¿r ¿r la p¿ute inlcrior del bloque A f a rln l)lo(lue a dc'4,1 lb. Dek:r.r¡ire ¿) el r'¿lor de l¿ co¡sta¡te k qre eütar'í rna ribr¿cririn cle est¿rclo est¿rblc clcl bloque A, b) la:rrnplitud corrcsponcliente cle l¿r r.il¡r':rciri¡ clel blrxlue /i.
19.8. Vibraciones I bres a
r.i.
r.::
.
-
I
-
1261
19.124
U¡¡ vibr(inletro, rrtilizado para rnedir la iurrplitrd dc vibr¿lcrour sisterll¿ nl¿1sa resorte ctl-\'¿ li-ecuell ci¿ natur¿ll co¡ocid¿ es tile 150 llz. La cdl cst¿i rígidamcnte rllidi r l¿ stpcrficie que se ll¡rele ¿le ¿1cuer'do con lt ecuaci¡irr y : 6,,, scll @¡1. Si ltl arnplitucl:,,, dcl r¡ovimiento cle l¿ n¿srr r-el¿rtilo a la cilj¿1se tt)lizit coriro rura r¡edida de la arnphtud 3,,, de la vibración de lir superficie. cilete¡¡ine ¿¿) el eror porcenhral cuando l¿1 frecuenci¿r de l¿ r.ibr¿ciór es de 750 Hz, ü) la frr cuencia a ln cu¡l el error- cs ccro.
ne¡i, consiste erl ulra cala quc contienc
19.725 Cielto ¡celerínnetro estit cornpuesto eserrcii lncltc Pol url¡ c¡r que corrtiele un sistcm¿ ¿s¿l-l-(]solte cr '¿1 fiecrrencia rrltura] co )cidn cs de 1760 I{2. L¿ caia estii rígilarneltc Lurid¿ ¿ unil super-ficie que se rtrueve de acuer(lo cor lir ecrraciól y :6,,, s"rr r,r¡r. 5i h.Lrtr¡JLt'rd :,,, tl,'1 n,,rirrrielt to de 1:r ¡r¿rsa ¡el¿rtiva it 1a caja por- rrr fitctor tlt c:tulir .r,' s" rriilizr co'ro Lrna rneclid¿ cle h ,rceler'¿rción rni)iirn¿1.7,,, : 8,,,rof de Ja superficie vil¡r¿rrte. rleter' rnine e1 error porcentu¿l cuu¡do la fi.-cuelci:r clc l¿ r'ibr'¿rciór es de 480 Hz.
Fiqufa P19.123
j¿r
Figuta P19.124 y P19.125
VIBRACIONES AMORTIGUADAS -1
9.8. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS
Los sisterl¿rs r.ibratolios consider¿rdos en la p¡rnela p¿r-te (le este c¿rpítulo se supusielon libres de iunoltigu¿rmierto. En realidacl, todns l¿rs übr-¿ciones se ¿lrroftiguan en cierto llrado griicias ¿ liN firerzns de fi'ic ción. Estas fuerzas pucdcn dcbcrsc a-fricción seca o,\_fricción (le CouIontb. enlr<: cuerpos úgidos, a fría:iht Jluilt, cu¿lndo uü cuer?o r-ígiclo se l]rucve en un thrido, o a _fri(r:iótt intcnlo ertre l¿rs rno]écul{s rlc rrn cueryo ilp¿lleDteüente elhstico. Un tipo de ¿uoltiguarnierto de jrterés especial es e\ arb¡fí{tlt iriento 1)iscoso ocasion¿do por ll'icciór o IozalnicDto dc un fluickr ¿r relocidades bajas y tioclerndas. EJ anrottigramir:rrto \,iscoso se c¿ir-itcterizli por eJ lreclro de que la fucr-za dc friccióu es ¿irectanúntc pro])ot-cional y opl&st¿ ¿t la aclot:íd.atl del cueqro el rrtor.iruieltr¡. Cono ejeliplo, considérese de mrevo un cuer?o de rnas¿ ll¿ suspendldo de un resorte de constnnte fr, donde se supondrá que el cucrpo está concct¡do al ó¡rbolo de u¡ arrortiguaclor (figurtL 19.10). La rragnitutl clc l¿ fireva tle fricción quc cjcrcc cl fluido dc los ¿ü¡r,dcdor-es sol:rc cl érnbolo es igu ¿r c:t, donde la const¿ute c, expr-esixla el N s/nr o lb ' s/ft y que se co noce corno coeJicíente ¿e oln(ntígtla riento Liscoso, deperrde de lm pro piedndes físicas del flrido y de lir colstrucción clel :rrlortigutrdor'. La ecu¿rción de movimierto es +
J)F
:
rin:
W
k(6.t +
r-) ci : ni
/¡r¡J.,
-
i I
i
i:'|.= 1\ I
I I I
r
1262
Vibracionesmecánicas
Cuando W
:
k6.t, se escrjbc
m,i*t:iI Al sustituir ;r
:
¿^¿
en (19.38) y
kx:0
(r9.38)
diüdir entre ¿^' se c¡scribe la ¿ctir¿-
ción c(racterística
??I2+cI+k:0
(1e.Je)
(#l
(1e.40)
y se obtienen las raíces C
2u,
'
Al definir el coefc iente (b urnot-tígualniento crítíco c, ct¡n,o el valor de c que hace que el radical en la ecuacirin (19.40) se iguale a cero, sc esr:ribr:
/!\'- !m : o \z- )
c"
:
k
2tn
:2nta,,
(f9.41)
t17
donde o, es l¿ frecuencia circul¿r natural del sistema en tuselci¿ de amofiiguamiento. Se pueden üstinguir tres c¿rsos difcrcntes de ¿unortiguanriento, dependiendo del valor del coeficiente c.
1.
Sobreanwrtiguamíento o amoúigu'uníento fuerte: c ) c.. Las raíces tr¡ y,\2 de la ecuación caiacteústic¿ (19.39) son re¿rles y clistirtas, y la solución general de la ecuación diferencial (19.38) es
g
t:
r¿^tr
¡ g rn).zr
(19.42)
Esta solución correspolde a un moülniento no vibr¿torio
Puesto que ,\ ¡ y ,\2 son ambas negativas, r tiende a cero cu¿rido f aumenta de rnanera indefinida. Sin embargo, cl sistem¿r en realjdad r"uelve a su posición de equilibrio después de uli
tjempo finito.
2.
Anwrtigramiento críti,c.): c : q.. La ecuación caracteústica tiec,f2m: -ú),, y 1a solución general ne una doble raíz \: de (19.38) es .¡
:
(cr + c2t)e .,r
(19.43)
se obtlene es otr¿ vez no übratorio Los sisternas crÍtic¿rmente amodiguados son de especial interés en
El moümiento que
aplicaciones de ingenierín, pues r'telven a su posición de equilibrio en el tiempo más corto posible sin oscilación.
ll,
Subamot'tignníento o amolliguamiento débil: c
1
c,. Las raí-
ces de la ecuación (19.39) son complejas y conjugadas, y la so Jucirin general de (19.38) es de Ia foma
r:
e-k'/%¡nl(C1sen
@¿/t
+
C2 cos
o¿tl)
(19.441
donde
a.,¿
19.8. Vibraciones libres
se deffne por la relación
k
AJ susütuir
k/nr
:
al,
y
1263
/ c\z
"" m \2^
(tt):--l-l
amortiguadas
J
recordar (19.41), se escribe
L
^r;
utr {,;l
(1e.45)
donde la constante cfc. se conoce como el factor de amor-tiguamíento. Aun cuando el movimiento en realidad no se repite a sí mismo, la constante
cdbir la solución general de la ecuación (19.38) en la forma
x
: r&
G/ -)t sen (o¿¿ + ó)
El movimiento definido por la ecuación (19.46)
(1e.46) es
übratorio
con amplitud decreciente (figura 19.11), y el intewalo de tiempo r¿ = 2t fo¿ qae separa dos puntos sucesivos donde la cur-
va deffnida por la ecuación (19.46) toca una de las curvas límite que se muestran en la figura 19.11 se conoce comúnmente como elperiodn rJe ai,bración amortigu¿d¿. De acuerdo con la ecuación (19.45), se observa que @¿ < @tuy, por ello, que r¿ es más grande que el periodo de übración r, del sislema no amoftiguado correspondiente.
F¡gura 19.11
i
1264
V¡brac¡ones mecánicás
-19.9. VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS Si el sistem¿r considerado en la sección ante or está sujeto a una fuer zn periódica P de ri,agnitud P P,,, sen ro¡f, lar ecuació:: de novimiel
-
to se (ionüerte en nrt +
ci + kr :
P,,. sen
a¡t
(19.47
La soluci
El intelés en est¿1 sección se centra en la vibración de estado est¿ble representnda por un¿r soluciór paltlcular de (19.a7) de l¿r fonn,i
está compuesta, en esencia, por un resorte y un amorliguador, el cual provocará que la carrocería
rparr
se someta a vibtaciones fonadas antortiguadas cuando el vehículo sea conducido sobre un camino disparejo.
Al sustituir r,,.,.t en vez de r en (19.47), se obtiene ntri,fr,,, sen
Al hacer
r,.r¡t
(a¡t
-
1o
g')
I
:
]im
sel
cri,¡,,,
(
cos
- 9)
(a¡t
g)
sucesivarnente igual a 0 y a
: (k nll/) r-,,. : cof:r,n
-: ='
*
/rr,,,
z/2,
sel t -: ; :P --c.
se escribt
sen
I
.l¡
P,,¡ cos
e
-.i,
P¡,r
Al elevar ¿rl cuadr¿rdo ambos miel.rbros de (19.49) r'
(19 ór
r
-:
-. .--:r,c
resulta
[(/.
"rr]¡"
+ (cr¡)"7
,?,,
: p?,,
_:
=
_
Al lesoh,er (19.51) palar,,, y dividir (19.49) y (19.50) rliemlrr! ='r,F.D-
blo, se obtiene, respectivamente,
( ('){
V (k
tnoÍ)' I kt¡,\-
K - D1A.
De ¿cuerdo con l¿ ecuación (19.4) de que /c/nr
:
c,-,i.
d,:--i
ü ",
-.r
l¿rfi'ecuenci¿cilcul¿rrdel¿rvibraciónlibrenoamortiguacl¿¡-i:.:--':rr a (19.41), de que 2rnor,, : ¿., donde c. es el coeficiente de .'-, ,--tr¡¡¡ niento cítico del sistema, se esclibe
.ll fnL
P,,,/k
)iut _ 6,"
f
¡t
-
¡r¡/a,,)")" +
tanq-
A.
l2(c lc.)(a¡/ a,,''.1
ü
r!¡
ú F -ü
- . La lórrn¡l¿r (19.53) expresa el facto¡ de arnpJificación en firnción d" la r¿zor rle fi-ecLrencirs .,1/r,r,, y del f.lictor de imortiguamiento c/c,.. Es posiblc rrs¡rll fiur dct.r:l,ir¡,,r ]¿ an.iplitucl de la viü'¡ación de estado , sl¡l rle pr', p p,,, sen 'tltrcidrr pol rurir ftrerza nplicada de mag tud : u¡f i, pul el rnorilritnto d,, irpor,r aplicado ó : 6,,, iel o¡l. La f
i=o I t=0.12ó
I'A
3
t2 ¿
r \e
.i=oso !=too
\ i)
oJ
Fiqura l9-12
.19. t0.
ANALOcíes etÉcrRlcas
Los cir-cuitos e.lóctricos osciltrrrtes se c..rt!1crcri7l\\\ ¡,or eq\{<:i<)\\e\ .\itrrrisrrro tjfo quc l-rs que se obtienel in tu, ,""li rno 1lr. f"ll:t.]"r *l (.{lenLcs. Pol lo llrr¡lO .,¡ ¡tniilisi. es si¡nil¡l.al dr lln ,iislt_m¡ lne,.utri_ co, \, lus rcs[]trdus ,1ue se olttienen p¿ir.a un sisten¿ übr¿rtorio clado prledcD ertelrrler\t,de inmediato al circuito equivalente. De rlanela inversa, cualqrier. resuJtado obte do 1.tara ru-ciicuito eléctrico.se apJi c¿r¿i taurbjén al sisterla lrecánico coi.espondielte.
1e.10. Anarosias
eréctric* 1265
1266
vibracionesmecánicas
E = E^ser\
Considere un circuito eIéctrico compuesto por un inductor de inductancia L, un resistor de resistencia -R y un capacitor de capacitancia C conectado en serie con una fuente de volta¡e alterno E = E- sen to¡| tfigura t9.13). De la teoría elemenla] de ci¡cuitosl se sabe que si j denoia la corrienle en el circuito y q Ia catga eléctrica en el capacitor, la caída de potencial es L(di/dt) a través del inductor, Ri a través del resistor y g/C a través de1 capacitor A1 erpresar que la suma algebraica del voltaje aplicado y de las caídas de potencial alrededor del circuito cerrado es cero, se escribe
E-
(DJt
sen ro¡f
Figura 19.13
at
-L dt- -Ri-
q C
:0
obt AS
elr lor do
cá
(re.55)
Al reordenar los términos y recordar que en cualquier instante la corriente ¿ es igual
a la razón de cambio g de la carga
g,
se tiene
(1e.56)
deline las oscilaciones del cires del mismo tipo que 1a ecuación ffgura 19.13, de la cuito eléctrico (Ig.47), la cual caracteriza las vibraciones forzadas amortiguadas del sistema mecánico de la figura 19.10. Al comparar las dos ecuaciones, es posible construir una tabla de las expresiones mecánicas y eléctricas
E
análogas.
ej
Se verifica que la ecuación (19.56), que
ct
tr L
¿t
le ci
19.2. Características de un sistema mecánico y de sus analogías eléctricas
Tabla
si
b o
S¡stema mecánico
Circuitó eléctrico
nr
Masa
L
Inductancia
P
Coeffciente de amodiguamiento
R
viscoso
I/C
Resistencia Recíproco de la capacitancia
d
q
Carga
i
S
Corriente
c
fr r
¿ P
Constante de resorte Desplaz amiento Velocidad F¡erz,a
E
Iicado
c
k I ti c
e
n
)
S
1véase C. R. Paul, S. A. N$ar y L. E. Unnewehr, Introiluction to Electrical Engi' neerin& 2^. ed., Mcctaw-Hill, Nueva Yo¡k, 1992
t
i
La tabla I9.2 puede utilizarse parii ertender los resultados que se obtuvieron en las secciones antedores para diversos sistem¿s mecánicos a sus análogos eléctlicos. Por ejemplo, la amplitud i.,, de la corriente en el cjrcuito de la figura 19.13 se obtiene al notar que corresponde al valor rnárin.io o,,, de lavelocidad en el sistema necánico análogo. De acuer do con la prirrern de las ecu¿ciores (19.37), o,,, : r,,¿(d¡ si se sustitu)€ r,,, de la ecuaciór'r (19.52) y se reemplazan las constantes del sisterla mecánico con expresiones eléctric¿^s correspondientes, se tiene
OIE'
tai
8,,,
El
r¿rdic¿rl
1s.10. Ana osias
,
\l
+ ) 6-,f
(1e.57)
en Ia explesiól ¿llterior se conoce como üi?p{rclan¡:ia del cir-
cuito eléctico.
La analogía eDtre sisten¿N y circuitos eléctricos sc cumple tanto para oscilacioncs traDsito ¿rs como para oscilaciones de estado estnble. Liis oscil¿ciones del circrrjto que se rruestr'¿r en la figula 19.14, por ejemplo, son alálogns ri lns ribraciones libres aliortiguadas del sistema de la figula 19.10. En cu¿ulto ¿r lo que st: r-efir:rc a ct¡tdiciones inicilles. clebe aclvertirse que será del circuito S cuando la carga en el capacitor es ¿/ : q0 es equivalcnte a liberar 1¿¡ m¿rsa del sistenl¿ rnecánico sin velocid¿rd inici¿rl clesde Ia posición r ::!0. Se debe obsen'ar t¿rmbién clue si una bateú¿r de voltaje const¿inte E se introduce en el cir cuito eléctrico dc Jn figura 19.14, el cierre del internrptol S será ec¡ri r'¿lente ¿r ¿l:lic¿¡-en lorna repentintr ula fuer.z¿ de riagnitud constante P a l¿ m¿rsa del sistema mecárico de la ligura 19.10. El ¿rnálisis ¡rntedor serí¿r cle v¿lor cuestionable sl el úlico result¿ido fuera hacer posible que los cstudiantcs de mecánica analizaran circuitos eléctricos sir aprender los elernentos de !a teoría de circuitos. Se esperrr que este alirhsjs sj¡¡a, en carnbio, cle rnotir'¿rcjól p¿rra que los estr¡cliantes aplir¡ren en l¿r solución de probleiras de übraciones mecá¡icas las téclic¿s l'r¿trilrl¿iticas que quizás aprendieron el los úl tinos cursos cle teorí¿r cle cirruitos. Sin emharg.r. el v.rlor princi¡al del concepto dc la analogía eléctrica ¡'eside el su aplicación en nÉtodos er?erinuúalett parl la deteln.iinación dc l¿rs car¿cteústic¿rs dc trn sisten¿ mecár.rico delc¡nriuado. De hecho, un circuito eléctdco se construye corl m¿yor-facilidad que un r.iodelo rnecánico, y el hecho de <1ue sus cu¿cteústic¿rs puedan trodificarse al va¡jtu la ilductalci¿r, l¿ resistencia o la capacidad de sus diferentes comporentes herce que el uso de 1a analogía eléctrica r-esulte particul¿irmente conveniente.
Figura 19.14
eléctrc* 1267
1268
v brac ones mecánicas
F¡gura 19.15
Para determin¿r la analogra eléctrica de un sistema mecánico detenninado. hry que centrar la atención en cada masa en moümiento del sistema y obsewar qué resortes, amoftiguadores o fuerzas e¡ternas se le aplican directamente. Después es posible constr-uir un circulto eiéc_ trico equjvalente parr duplicar cada ul¿ de las ulidades mecánicas de_ linjdas de esa forma; los diferertes circuitos que se obtienen de ese :no_ do formuin en coniunlo el cjrcuilo deseado. Considérese. por, o¡",nplo, el 5iste¡na rnecinico do 1a figu ra lg.I5. Se observa qu" ,nbr" i" ,,i,,." ?nt actúan dos resortes de constantes &r y frz y dos amortiguadores caracterizados por los de anoriiguamiento üscoío c1 cr. El -coeficientes ¡, circuito eléctrico debe incluir consecuenteirente un lazo co,lrirtárlé .r, un inductor de inductancia ¿1 proporcional a m1, de dos capacitores de capacitancia C1 y C2 inversamente proporcionales a k1 y ftel r.espectiva_ rncnle. ¡ de los resislores de resisláncia Á y fi.. pr.,po."i,,nal.J,l" lo,ma, respectir a r'¡ r r ,. PLle5ls g¡e s"br- la masrr ¡n" rchi¿ el rcsode /r2 y el amorliguador,.. asi ( orno h luer¿a P , p,,, .en .d¡i. el .ircuito de_ Lre incluir tarnbién un lrzo qrre con¡e¡g¡¡ al crpa,.itor. C;. al resislor.i1..
J
nucvo inductor
L¡ y a ia fuente áe volt.¡e E : f,,,
sen
,,r7.t
(fi
gura 19.16). Para confirmar que el sistena mecánico de la figura 1g.15 y el cir_ cuito eléctrico de la figura 1g.16 satisflcen en realiclá lus mismás ecr,o_ ciones diferenciJes. se deducirán primero las ecuaciones de movimien_ to Pd¡a r¡ ¡ itr2. AJ denolar. respecl i\ at nenfe por \r ).r,z los despfazirrnrentus de ntt ) m2 ele sus po,iciones de equilibrio. sc obspn¡a áue la elongaciórr tlel resorte /t¡ ,nrr.djd.r desde la posición de eq¡¡l¡[¡¡1'., igual a 11, en tarto que la elongación del resárte it¡ .-s iguai ol despla zamiento relativo :r2 - 11 de m" con respecto a ,21. po-r lo tanto.'las e(uaciunes de ||rovimienlo para //r. /4, son ) E = [,,1, sen
Figura 19.16
aÍ
1??.rir
+crir + ¿2(il -i2)
*k1;r1
m2i2 + c2(i2
-
*
k2(r:1
:tr) + k2(re
- rz) :0 - rr) :
(1e.58)
p_ sen oft (19.59)
Considele ahora el circuito eléctr.ico de la figura 1g.16; se denot¿, res_ pectivamente,. por it e ¿2 la cor¡iente en el piirner.o y el segundo lazos, y por y q2las integrales Jt" dt e [i, dt. -Al notar'que la"carga en el .qt |apacilor Ct cs ?t. mientras que h clrga en C2,"5 q, - O), se exDrcs¿1
rlue la .uma de la. i¡¡é¡pl¡¡.¡,," de polencial obl ienen las siguientes ec.ulcione.
Lút+Rúr+R2(q\
.n .uda
lazo
d*t*T-o
LzQrJ R,Q:
q'-t - g, ,
l.
""-,
(19.60)
E,, sen
o,./
f9.ol
I: lT:l 119.59r. que las ecuaciones (19.60) y (19.61) se reducen ']9.581 ":'lfiSl: respeclir¡¡¡p¡¡p. )
nes indicadas en la tabla 19.2.
."
a
c.uando se efecfúan l¡s suslilucro_
En esta lección se fon¡uló un modelo rlás realista de un sistema r,ib¡atorio al incluir. el electo del anxottiguelnienlo oiscoso provocado por la fúcción fluida. El ¿unortjgua miento üscoso se representó en la figura 19.10 mediarte la fuerza ejercida sobre el clerpo en noümiento por un émbokr t¡re se mueve en el interior de un anortigrra dor'. Esta fuerza es igull en magnitud a cj, donde ]a constante c, erpresada en N . s/rn o
lb
s/fi, se coroce como coefícíente de anunfígntnitttto ulscoso. Téngase presente :r" y r.
que es lrecesario utiliz¿r la misma convelciól de signos para r,
I.
Yibraciones liltres unortígutt¿l¿¡s. Se encontró que la ecuación diferenci¿l
que defino este mo\,jrnie to
es
¡¿Í*ct*kr:0 Pa¡¿ obtener la solución de esta ecu¿ciírn, calcule el coef.ícíente
(1e.38) (1.€
aDrot tigltottTí?,nto
crítico c, utilizando la fón¡ul¿
,'":2m\/fi-2,n-,, donde to,, es la frecrrenci¿ cilcular
tr) Si c )
<:,.
n¿rtur'¿rl
(19.41)
del sisteln¿ ¡¡o ontotliguo.dcl
(xtbrcunnrtigtttrtnienkt). la solución de l¿r ecuación (19.3E) 1: gr¿^t ¡ ¿n¡,^tt (19.42)
es
donde
^tt -
!-
-+
2m-
(+)"
(r e.40)
y donde las coDstantes C1 y C2 pueden determinarse a partir de condiciones jniciales :r(0) y i(0). Esta solución con'esponde a un movirniento no vibratorio. 1r) Si c = t',. (tunortigtrutniento crítico), la solución de la ecuación (19.88) es
r:
(c. + c2t)a .r
(19 43)
que conespolde tallbién a rDr rnovimiento no übratorio. r') Si c ( c,. (subunorligtrttrniento). Ia solución de l¿ ecuación (19.3E) cs
\ : roe Q'/2 r)t sen (c-r.7 r + @)
(19.16)
,t
(19.45)
donde
-,/ y donde
r¡ y ó
,.t' - -,,\ ,- la/
pueden deteln,inarse a partir de las condiciones iniciales r(0) y i(0). I oscil¿rciones de arirplltud decreciente v de periodó 1¿:
Est¿ solu-ción corresp,rntle
lrrlur¿ lliguru 19.11).
(continúa)
1269
2,
Vibraciones forzailas amortigudrt¿rs. Estas yibraciones ocurren cuando un
sisterna con amortiguamiento viscoso se somete a una fuerza periódica P de magnitud P - P- sen roTf o cuando está elásticamente conectado a un apoyo con un moümiento alternativo 6 : E,, sen rr-r¡f. En el primer caso el moümiento se define me-
diante la ecuación diferencial ,¿x +
cÍ + kx
:
P,,, ser'
u¡t
(19.47)
y en el segundo caso mediante una ecuación similar que se obtiene al reernplazar P,,, con k6,,,. Sólo interesa el movimiento de estado estable del sistema, el cual se define mediante vr'a solución particular de eslas ecuaciones, de la forma
xprt:
rm sen (@ft
-
9)
+
lz(c I c")(a¡/ a,,)12
(re.48)
donde
PJK
_
X,,
6_
lt -
tano:
(ar/ a,)212
(1e.53)
/c,.)(or/a,,) _ r \@f/@n)
2(c
(19.54)
La expresión dada en la ecuación (19.53) se conoce como factor de amplificacíón y se ha graffcado en función de la razón de frecuencias a¡/ot, en la ffgura 1g.12 para valores diferentes del factor de amortigu¿mienlo cfc.. En los problemas que siguen es posible que se le pida determinar uno de los parámetros de las ecuaciones (19.53)
y (19.54) cuando se conocen los demás.
'19.126 Denuestre que en c¿r.so de sobreamoftiguamiento
(c
)
c.), un
cuer?o Dunc¿ pas¿ por su posjción de equilibrio O si a) se suelta sin veloci clad injcial desde u¡a posición arüitrañ¿, o ó) empieza desde O con velocjd¿d
inicial ¿r¡bitraria.
19.127 De¡rrrestre r¡ie en cirso de sobre¿mortiguarniento (c ) c,), un cuerpo soJt:rdo desde una posición arbitra¡i¿ con velocid¿d inicial ¿irbitrurja no puede pasar nás de una vez por su posicitln rle equilÍbrio. -19.t28 En el caso de subamortiguamiento,
los desplazamientos :rj l, :re, mostrndos en la ligura l9.tl pueclen suponerse igu:ües a los desplaza mjentos r¡á{irnos. Deli-iuestre que ll razón de dos clesplazarnjentos míximos sucesivos :!,, v ir,r+ 1 es co1lstal'Ite y qrre el logaritnto natural de este cocjente, r¡l cual se le llat¡¡ tl.ec¡'euunlo logaríhnico, es
r¡,
ln1l=
2¡rlc
/c,)
1
(c
/c.)2
19.129 El l¿1 práctica, a menüdo resr ta dificil dete¡minar el decre mento logarítmico (le un sistema con sub¿¡to¡tigu¿nniento, como el definido en el problema 19.128, rirediante dos desplazamientos mixilnos sucesivos. Der¡restre que rl decrenrento logar'ítmico puecle expresarse t¡mbién como ll//c) ln (r,,/r,,*7,), dorde k es el numero de ciclos entre lecturas de clesplazaniento mílxirno.
'19.130 En un sistema con subamoftiguamiento
(c
{
c.), el periodo de
de tiernpo r,t:2Íf@¿ corlesponcliente a dos puntos sucesivos donde la curva desplizamiento tieüpo toca una de los cru'vi¡s límite moshadas en la figura 19.11. Demuestre que el inten'alo a) entre un despJazamiento positivo náriirno y el siguiente disvibración se define comÍrnn¡ente como el inten
_l
plJzarniento negatir
lor crru
es
fr
rs;r,r. r) .rtre -nto
.1,
'-r
r¡laz,.n'i,
r.
¿¡lo
b) entrc dos desplaz:rmientos sucesivos de va
un des¡lazamiento márimo positivo y el siguiente
urro es rn¡\or
,lIe
l¡,/.
19,131 Los desplazamieútos ütá\imos sucesivos de un sistema ¡esor te-masa-amoftiguado¡ sin.rilar ¿l mostrado en Ja figur:r 19.10 son de L25, 0.75 y 0.45 tu. Si W: 36 lb y /t = 175 lb/ft, detemrine a) el factor de amortiguanierLto c fc,, b) el valor del coeficiente de amortiguamiento viscoso c. (Srgarc¡tcir¡: Ve¿r los problemas 19.128 ¡' 19.I29.)
1271
1274
vibracionesmecánicas
A
w -:::,::
':
***.*-:--
19.142 Un motor de 36lb se ¿tornillir a rrna viga horizortirJ ligera que tiene ¿na defleúón est¿'rtic¿r de 0.075 i¡r. debido al peso del motor. Si el deij balance del rotor es equivalente i1 rn peso de 0.64 oz localiz¿do ¿ 6.25 in. del eje tle rotación, deternine la amplitud de la r.ibr¿rció¡ clel nrotor a una velocidad de 900 ryr, suponierclo qrre a) no hal arlorliguamlcnto, b) el firc tol de arnortig¡lamjento r:/c.. es igual n 0.055.
l(
d
¿
cl
Figa/a P/9-./421/ P19- 143
19.143 Un r¡otc¡r de 45 kg se ator-nilla ¿r u¡a
vig¿ ho zont¿il ligera que tiere rna deflexión estátic¿ de 6 rnm dcbido al peso del motor. El desb¡üan ce del rotor es equivirlente a un¿ rlt¿s¿ de 110 g rrbic:rdn:r 75 r'nr clel qe de rotación. Si la anplitud de la übraciór] del rtotor-es dc 0.25 rlr11 ¿1 un¿ ve locidad de 300 rpm, cletenrine ¿) el filctor de ¿rnortigraürierito cfr:,., b1 eI
coeficiente de aliortigual¡iento
el ec
dc
sia
c.
19,144 Resuelvr,¡ cl problcrna 19.113, suponienclo c|re se Jra conectado al n-rotor v al piso un alnortiguirdor cu)'o coeficierrte (le xrnoltigr¿ulriellto
es¿:350N
s/n.
19.145 El desb¿l¿nce del rotor de r¡n motor de 180 kg es ec¡rivalerunn rri¿s¿1 de 85 g ubic:rcla ¿r 150 ¡rn deJ eje cle rotnción. La ¿hnoh¿rdiIJa que se coloca entre el rr¡otor v la b¿se es eqld\,¿lelte n lrn resote de const¿nte k : 7.5 J
¿1
i.
t'!
si
Figura P19,145
Figura
P1 9.1
46
tI
146
Un rnotor cle 200 lb se sostiene por rliedio cle dos resortes. c¿rcla uno de const¿rnte igual a 15 kips/ft, y se conecta al suelo liedi¿¡lte un arrortigrrador qrre tjene rn cc¡eliciente de ¿lmortigtalitiento c : 490 lb . s/ft. El moto-está ¡est¡ingido l niover-se vertic¿lrrrente, ¡'la amplitrrrl de su ¡toviniento es de 0.10 ilr. a urr¿ r'el¡icid¿rcl cle 1200 rpnt. Si cl ¡teso clol r.otor. es de 30 lb, dete¡rnine l¿r dista¡ci¡ entre el centro de ri.¿rs¿ clel r-otor y el cje de 19-
l¿ flech¿.
'19.147 Un elemento ¿le rráquina sc sostie¡e rtreüante
r.esortes
f
se
co¡ecta a un arrortiguaclor conro indic.i lrr figur.r. Dernueshe ,¡r.- si sc,ipli ca rin:i fuerza periódica P z¿
fluctuante tnnsnitid¿1
:
¿1
P,,, sen ¿rlf ¿l elemento, ]a nmplitrd cle la lirer.la b¿se es
I+
ll -
Figwa P19.147 y P19.148
l2(c /c.)(
(a¡l a")el2
+
arl a,,)
12
l2(c / c,.:1@¡/ a,,))2
19.148 Un elemento de lnáqrina de 9l kg sostenido por- cuatro r.esortes, cada uno cle consta¡te igu.ü a 175 N/¡1, está sujeto ¿1 u[:r lierza pedódica de 0.8 Hz cle f¡ecuercia v 89 N de amplitud. l)eterminc- la alnplitrr
*1
9.149
Para una vibración de estado estable con amortiguamiento ba,
jo la acción de una fuerza a¡mónica, demuestre que la energíaiecánica que disipa por ciclo el amortiguador es E = zr.rl.¡ áonde c es"el coeficientetde amo¡tiguamiento. r- la amplitud del movimiento, y ro¡ la frecuencia ci¡cular oe la luelza armomca.
-19.150 La suspensi
. el sistema-
simplificado resofte-amortiguador que se m^uest¡a. a) Escriba la ecu¿rión ditérencial que define aJ desplazamienlo vertical de la masa ?r?. cuan_ do el sistema se mueue a velocidad u iobre un camino con una sección trarNversal senoidal de ¿mplitud 6,,, y longitud de onda 1,. b) Obtenga una erpre_ sicin para la amplitud dcl desplazrmienro rertic¿Ll de la masa ml
Figuta Pl
9,1
50
*19.151 Dos bloques A y B, cada uno de
mas¿ m, están soportados como se muestra mediante tres resorles de igual constante k. Los btques A y B se conectan empleando un amortiguador y el bloque B se conecta J suelo utilizando dos amoftiguadores, cada uno con el nrisÁo coeficiente de arnortiguamiento c. El bloque A está sometido a un¿ fuerza de ¡ragnitud p = p,, sen olf. Esc¡iba las ecuaciones dife¡enciales que deffnen los áesplazarnientos rÁ y jrB de los dos bloques desde sus posiciones de equilibrio.
F¡gura P19.151
Probrernas
1275
1276
vibrac¡onesmecánicas
'19.152 Exprese, en términos de L, C y E, el intervalo de r,alo¡es de la resistencia n para el cual ocur¡irán las oscilaciones en el circuito que se muestra cua¡rdo se cierra el interruptor
S.
ur-------" E Flgura Pl9.152
-J
Este
to
<
es,
oscilar del ca
amDtt aibrsa
'19.153 Conside¡e el circuito del problema
19.152 cuando se quita el capacitor C, Si el interruptor S se cierra en el tiempo ¿ = 0, detemine ¿) el valor final de la corriente p¡esente en el circuito, b) el tiempo ¿ en el cual la corriente habrá llegado a (l - 1/e) veces su valor ffnal. (EI valor deseado de t se conoce como la constante de tiempo del circuito.)
19,154 y 19.155 Dibuje el análogo eléctrico del sistema mecánico que se muestra. (Sugerencia: Ttace los circuitos conesponüentes a los cue¡pos libres nl y A.)
E pañía
fircrza
---{oÍ delal
19.1n do su
segrrlr
la ecu
o, con
P = 4¿ sen
arl
Figura Ptg.t54 y P19.156 P19.156
Figura P19.155y P19.157
19.156 y 19.157 Escriba las ecuaciones diferenciales que definen a) Ios desplazamientos de la masa m y del punto A, b) las cargas en los capacitores del análogo eléctrico,
,----1
-\
Este capítu1o se dedicó al estudio de las aibraciones mecénicas, es' to es, al análisis de moümiento de partículas y cuerpos rígidos que oscilan en torno a una posición de equilibrio. En la primera parte del capítulo lsecciones 19.2 a 19.71 se consideraron r./braciones si.n anot-tiguamiento, mientras que en lll segunda parte se trataron las tíbraciones unoftiguadas [secciones f9.8 a 19.10].
En l¿ sección 19.2 se consideraronlas aibracíones li,bres de una \'.[utíatla, esto es, el movimiento de una partícula P sujeta a una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento de la partícula como la fuerza ejercida por un resorte . Si el desplazamiento r de la partícula P se mide desde su posición de equilibrio O (figura 19.17), Ia resultante F de l¿s fuerzas que actúan sobre P (incluyendo su peso) tiene una magnitud kr y está dirigida a O. Al aplicar la segunda ley de Newton F : ma y al recordar que ¿ - i, se escribe
Villraclones libres de una partÍcula
l¿ ecuación diferencial
o, con
rirl,
-
i¿f *kr:0
(1e.2)
i + co,2r:0
(1e.6)
klm,
l:' '',
1 l\.
ltr:
..,
\
<.-
o
¡
/t
Eqnilib,io
I
a"'-::"-j
J+ +
Figura 19.17
1277
v 1278
Vlbracionesmecánicas
El movimiento definido por esta ecuación recibe el nombre de nr¿uüníento armórúco simple.
La solución de la ecuación (19.6), que representa el desplazamiento de la partícula P, se erpresó como
Í : rn sen (a,,t + ó)
: amplitud de la vibración to,, : {-k/m: frecuenci¿ circular { : ángulo de fase
(1e.10)
donde r,,,
natu¡al
El período de túbración (esto es, el tiempo requerido para un ciclo completo) y su frecuencia natural (esto es, el número de ciclos por segundo) se erpresaron como Periodo
:
o*
r,,
:1
i I I
(19.13)
i
(1e.14)
I I
o)n
Frecrrencir
It nrl¡rr¡l: [ :
r,,
@"
2tr
La velocidad y aceleración de la partícula se obtuvieron al diferenciar la ecuación (f9.10), y se encontró que los valores máximos son Dm
i
I t ! I
I
: rÍ:,n
a- : ,.,r1,
(1e.rs)
Puesto que todos los parámetros anteriores dependen de manera directa de Ia frecuencia circular natural @ny, por ello, el cociente ft/r¿, resulta esencial en cualquier problemá d-ado calcular el valor de la constante i; esto puede realizarse determinando la relación entre la fuerza restauradora y el desplazamiento correspondiente de la partícula lproblema resuelto 19.11. También se demostró que el movimiento oscilatorio de la partícu1a P puede representarse mediante la proyección sobre el eje I del movimiento de un punto Q que describe un círculo auxiliar de radio r,, con la velocidad angular or, (figura 19.18). Los v¿üores ins^ tantáneos de la velocidad y Ia aceleración de P se obtienen entonces proyectando sobre el eje r los vectores vn y a,n qúe representan, respecüvamente, la velocidad y la aceleración de p.
I I
I ¡
I I
?o
a
Figura 19,'18
:r
(
Si bien el movimiento de tn péndulo simple no es verdaderamente un movimiento armónico simple, las fórmulas dadas antes pueden utiljzarse con o| : gfl para cnlcular el periodo y la f:.ecuencia nntural-de las pet¡u.eñas oscilacictnes de un péndulo simple [sección 19.31]. L¿s oscilacjores de gran amplitud de un péndulo simpJe se analizarol en la sección 1b.4. Las xibraciones líbres de un arcwo rígido se analizan eligiendo una v¿riable apropiada, con una distanci¿ i o un ángulo g, pa-ra definir las posiciones del cuerpo, dibujando ,.,r.o de dlagra"".,aiión mns de cuerpo libre pala expr.esar la equivalencia de l¿s fuerzaJex-
Repaso y resumen
de caeiru o
ts 1279
Péndulo simp e
Vibraciones libres de un cuerpo rÍgido
ternns y efectivas, y escribiendo una ecuación que relaciona la variable elegida y su segunda derivada fsección 19.5]. Si la ecuaclón que se obtiere es de la fom¿r
t *co,2r:0
o
O
+ al,O:0
(19.21)
la r''ibr¿rción cor.isiderada es un tnoviltiento anróltico sinple y su periodo ¡ liecrroncia n¡tur¿l se obticnen itletli[i,-nnlt -,, y rr.iitul.n do su v¡Llor en lus ecuirtiones , 19.13, y . lg.14 r , problernls resueltos 19.2 y 19.31.
EI príncipio de consen:o.cirin tle la energía puede utilizarse como un método ¿ltemativo para la determinación del periodo y frecuenci¿ natural del moürniento armólico simple de una partícula o cuerpo ngido lsección 19.6]. Eligieudo de nuevo un¿ variable apropiad¿, como 0, para definir la posicióD del sistema, se expresa que Ia energía total del sistenra se conse¡v¿r, Tr + V1 : T, + V2, enlreJr posición de desplrzrrnienlo mlirirrro,gl : 0,,,r y l posición de velor'idi¡d rnáirna rd: 0,,,1. Si el ,rorimiento coi,sidor.ado es arrmónico simple, los dos mienbr.os de Ia ecuación obtenid¿r consisle en expresiones craJrdlic¿s ho¡rogér'ea" en 0.,, 0,,.. respccti\.a¡ nrente.t suslituyendo 0,, = 0,,.¿.r,, en e"ta c(.ua(.iól. podemos sucar corro.l¡clor 0"', ¡ r'esolver ¡ala la frecuenc.i¡ circula¡-tu,, lproblema resuelto Ig.4].
Empleo del principio de la conservación de
En l¿ sección 19.7 se consideraron las oibraciones fonadas de un sistema mecánico. Esas t4braciones ocur.ren cuando el sistema se somete a una fuerza periódica (figur.a lg.lg) o cuando está conectado el¿isticarnelrte a un apoyo q,.é ti"o" un movimiento alternante (ffgura 19.20). Denotando por r,.rf la frecuencia circular forzada, se encontró que en el primer caso,;l movimiento del sistema se definió por medio de la ecuación diferencial
Vibraciones forzadas
nú
I
kx
:
P,,, ser'
a¡t
(19.30)
y que en el segundo caso se deffnió mediante la ecuación diferencial
mx
I
lex
:
k3,,, ser.r r'.r¡f
La solución general de estas ecuaciones lución particular de l¿r forma fp",r
:
lJn S€n
(19.3r)
se obtuvo al sumar una so-
o¡f
(19.32)
lsi el moümiento considerado sólo pücde aprcrir¡ra:re por medio ile rrn moü Drienio ¿¡nó¡ico sinlplc, como para )as pequeñrs oscilaciones dc un cueryo bajo )a acción de la glaredad, la ener.gía potenciai dcbe aproxirrarse nedtante rrna expresión cuadírtic¿ en 0,,,.
la energÍa
1281t
Vibracionesmecánicas
Equjlibri0
( p
=
I
pn ser' @jt
Figura 19.19
t
F¡gura f9.20
s
C
I
t' a la solución general de la ecuación homogénea corespondiente. La
solución partjcular i 19.32) representa unl oibra¡.ión ic cstada esto_ del sistema. mientras que la solución de la ecuación homoqénea representa u\a oibración libre transítorio que por Io general iuede ignorarse. ¿2¿e
Al dividir la amplitud x- de la übración de estado estable oor P-/k en el.caso de una fuerza periódica. o por 6,, en el caso de'un apoyo oscilante, se define el faaor de amphflcación de la übración y se encuentra que Factorde amplificación
:
fr*
:
:, _]*pln.tu, ;
-{
et
t
T
dr
De acuerdo con la ecuación (19.86), la amplttud r_ de la vibración lorzada s¿ welue infinila cuando
a¡ :
¿rr,, esto es caando
la
fre_
cuencia forzada es igual alnfrecueicia natural dBl sistem¿. Se áice en ese caso que la fuerza aplicada o el moümicnlo de] aoovo ar¡lj_
I I
i
cado están en resononrío con el sistema lproblema r."ruiltá tOiS1. Fn la amplitud de Ia vibración se muestra finita, debido a -realidad Ias luerzas amortiguadas. Vibraciones Iibres amortiguadas
Ta mr esi
En la última parte del capítulo se consideraron las oi,bracíones annñ iguadas de un sistema mecánico. primero se analizaron las vi_
braciones libre.s a-ntortiguadas de un sistema con tnntiguamíento uiscoso lsección lg.8l. Se encontró que el moümiento dÉ un siste_ ma de este tipo se definió mediante ja ecuación diferencial .
mi+ct+kx:0
(r9.38)
ció
ma
dej ele
tud
donde ¿ es una const¿rnte llanada e\ r:oeficiente (le alnrtigLtanLíento u/s, r-rco. t] L)cftnir el ,r,¿licirnh dp oln,,tti{uotrtit uto.rit¡,\, t.. coÍto
",,:
Znr
rE
:
Zr,rr,
Repaso y resum€n de capitUro
1e 1281
(19.41)
donde r,-r,, es la frecuencia circular. natural del sisterra en ausencia cle ¿uroltigu¿rniento, se distinguieron tres casos de arroftigrr¿lniento diférenies, a saber, (1) sobreanuntig.Lanti¿nto, ctsand<> t: > c.; (2¡ anortiguonliento críticr¡, cttando c : c,.; y (3) aitantottiguotni€nto, cltivl do c_( c... En-los primeros dos cirsos, cuando el sisiema se perturba tielde ¿ recobrar su posici(in de equilíbrlo sjn ringuna oscilacitin. En el lorcer.caso. {'l rno\imiclrlo ei übr.:Llorio con ,rnplitrrd de,.r.ncierlte.
En la sección I9.9 se considerarot las uibr¿c:it¡ues .fo,rzrul.ts amotlígtn.tkn de un sistenll tlecánico. Estts \¡ibracioDes ocurren
Villraciones fgrzadas amortlguadas
cuando un sjstem¿ ton amortigu¿rriento üscoso está sujeto a uD¿t firerza periírdica P de ni:rgnitud P : P,,, sen ro¡f o cualdo se conerc ta elástic¿rmelte n .rr'r ,,povo ct¡lr un nc¡viniiei.rto nlternante 6 - 6,,, sen c,r¡f. El el primer c¿rso, el rnor.inriento del sistema se tlefinió rtr¡diante l¿r ecu¿ción diferenci¿l
¡r¡i
i ci i kr :
(1e.47)
P,,, serr ur¡t
r
er¡ el seqr¡nclo c,$o por r't(dio Je nnl er.riicidr¡ \irnilrt qr. sc obluro rl srrslitr¡il P, J, l;6,,, nrr ,19.4i7. La uibración de estado cstabLe del sisterra se represent¿ üecliarrte ul¿ solución particular dc la ecu¿ción (19.,17) de la for.ma
Ipart
:
r..rr
sen (<'l¡f
(1s.48)
- 9)
Al diüdir la amplituclr,,, de la vibraciírr de estado est¿üle entr.e p,,,/fr "n el c.;rso de r¡rl lircrza periddica. o poró,,err el cos,,,l",rn,¡r¡oos|il.irrrle. sr- ublll\o lit siguiente ci¡resiún por,, el lr,.lor de ,irr,Plrt¡citcron
I,¡ D 11-
I"¡
(1e.53)
(r¡/r,)"1" +
donde ro,, -
:,F14*:
l2k: /c.)
(.at¡/ a,,)12
frecuenci¿i cir.cular natural clel sisten.i¿ no
amottiguado
: ZnLa¡t : coe{iciente de arnortiguamiento cf c,.: factor de amortiguan.iierto c.
crítico
T¿rmbién se ercontró rlue la rft/e rencio. de fase g entrc la fuerza o el
rr,ürn¡cnlo del
'r|o¡o r¡L, aLl,,s 1 la übr¡ció¡r rr"ruflrrnt* de ert;tdn del sislernjr amodiguadc, se dc[inír por.nr,.dio rlc ll r.l¡r.itjl "sl¡Lln titn @: '
2ft /c, )lo1lu,,) rr-
--
I
--(a1/-,,)'
(r9.54)
Ei capíhrlo iinalizó con urr ¿rnálisis de unalogítts elér:tricas lsec_ ción l9.l0l "n.l ,.u,rl se demostrci quc )as übrrciones clc los si*le nr¿rs mecánicos v las oscilaciones de los circuitos eléctricos están tlefinidl. por l¡. rnisrr¡s o( uitcionc5 dilerenciirl¡s. La5 JniJogils elécl liL á\ de sist"
n
tudiar o prede¡ir
e1
rar r necrirricos pueden en lonccs rrtilizrtlse prr.Jes_
r'orrrportar rienlo de oslos sislern¡s.
Analog as electricas
19.158 La plomada de un péndulo simple de longitud I : 40 in. se suelta desde el reposo cuando 0 : *5'. Si existe moviniento ¿rmónico simple, determi¡e paru 1.6 s después de l¿ liberacjón ¿) el ángulo 0, b) las rnagnitndes de l¿1 velocidad y aceleración de la plorirada.
.,:
24
24
kN/"'
kN/¡l
19.159 U¡t bloque de 50 kg se sostiene r¡ediante el alreglo de resor tes que se muestra. El blor¡ue se desplaza \,€rtic¡1n-ieúte haci¿ abajo ¿ partir de su posición cle equilibrio y ltego se suelta. Si la arnplitud del rnovirriento resultante es igiral a 60 mm, determine a) el periodo y la fiecuencia del movirniento, b) la velocidad y ln aceler¿rción márim¿s del bloque. 19.160 Una bar¡a de masa nl y longitud.L clescansa sobre dos poleas A y B que gj¡an en direcciones opuestas cor¡o se muestn. Denot¿nc'lo llredi¿nte ¡la el coeficiente de f¡icción cinétic¿ entre la barra y las poleas, c1e termine la fiecuencia de vibración si a la barra se le aplica un perlueño des pJaznmiento Jracia la dereclia y luego se suelta.
Figula P19.159
F¡gura P19.160
F¡gura P19.161
1282
19.161 Un volante de 270 kg tiene diámetro de 1.2 m y radio de giro de 0.5 rn. Sob¡e el bo¡de se le coloca una b:rnd:r que se conecta a dos ¡esortes. cada uno de constante /r - 13 kN/m. La tensión inicial en la banda es suficiente pala eüta¡ el desliz¿r¡iento. Si el extremo C de la banda se empuja 25 mrn hacia la derecha y luego se suelta, detennine a) el periodo de vibmción, b) la velocidad angtlar mírxima clel volante.
19.162
Dos pesos pequeños ¡¿ se colocan en A y B en el borde de un
tlisco unifbrme de radio r v peso
lV Denot¿ndo mediante r¡ el periodo
Probremas de
de
pequeñas oscil¿ciones cu¿nclo B:0, determine el ángulo B para el cud el perioclo de pequeñas oscilaciones es 2q1.
19,163 Dos b¿¡r¿s unilomes, cada una de peso W : 24 lb y longitud 40 in.. se sueltlan entrc sí parl fbrr¡ar el ens¿mble most¡ado. Si la const¿¡te (le cad¿ I'esorte es /r : 50 lb/ft y ¿l ext¡emo A se le aplica un pequeñcr desplazarniento v se suelta, determine l¿r frecuencia del moümiento iesulL
:
ta¡te.
I
-I
It-2
t.
Fiqura P19.162
I
I.
L
t-l
Figurc P19.163
'19.164 Una barra ligera AB de 6lb se atornill¿1 a un djsco unifo¡me de l0 lb. Un lesorte de constante igual a 25 lb/ft se conect¿ ol disco y no está delormaclo en lir posiciór que muestnr Ja figrrrrL. Si al "rtrcmo B de L bar-ra se Ie aplica u¡ pequeño desplazamiento y luego se le suelta, determine el periodo de vib¡ació¡ del sisten.ia.
F¡gura pt9.l64
19,165 Dos b¿¡r'as u¡ilb¡rnes AB y CD, crda una de longitucl I y mam, están conectadas a engranes en la forma que se indica. Si la r¡¿sa del englane_ C es m y la del engrane A es 4rn, deterrrine el periodo de pequeñas oscilaciores del sistema. s¿
Figura P19.165
repaso 1293
1284
Vibracionesmecán¡cas
19.166 Un péndulo invertido que consiste en una esfera de peso IV y una barra ABC, de longitud I y peso insigniffcante, se sostiene mediante un pasador y una ménsula colocados en C. Un resorte de constante k se conecta a la ba¡¡a en el punto B y no está deformado cuando la barra está en la posición vertical mostrada. Detennine ¿) la f¡ecuencia de pequeñas oscilaciones, b) el valor mínimo de a para el cual ocu¡irán las oscilaciones.
dr
AI
m m
Figwa P19.166
79.167 Un bloque de 64 lb se conecta a un resorte de constante ft = I kip/ft y puede moverse sin fricción por una ranura vertical en la forrna indicada. Sobre el bloque actúa una fuerza periódica de magnitud P = P- sen r,.r¡1, donde <,r¡ = 10 rad,/s, Si la amplitud del movimiento es de 0.75 iu., de-
te¡mine P-,
ft =
I kip/ft
Figuta PI9.167
19.168 Una pelota de 360 g
se conecta a una paleta mediante una 70 N/m. Si la paleta se mueve verticalmente de acuerdo con Ia relación 6 = 6- sen
:
I
t:4 á
T = ¿,, son
al
ne€
da, fle¡
ye
ció
f¡e<
1.0
Figura P19.168
def
ü¡a
F¡ rr EC-
rl¡
rh-
79. 169 Una bar¡a unifo¡me de masa rn se sostiene mediante un pasador colocado en A y un resofte de constante ft en B. y se conecta en D'a un amortiguador cuyo coeffciente de amortiguamiento es c, Determine, en términos de m, k y c, para pequeñas oscilaciones, a) la ecuación diferencial de movimiento, b) el coeficiente de amoftiguamiento cdüco c..
Figul¡a Pl
9.1
69
L_ L
in-
seo
dF
lmA
cal
19.Ci
I!
La ecuación fuerza-deflexión para una clase de ¡esortes no neales ffjos en un extremo es F = 0.5:rü", donde F es Ia magnitud. expresada en libras, de la fuerza aplicada en el otro extremo del resort" y * d"flexión expresada en pies.-Si un bloque de peso W se suspende'del"r'1" resorte erperimenta un pequeño desplazamiento hacia abajo a partir de su posición de equilibrio. utilice un programa de cómputo j calcule y graüque la frecueucia- de vibración del bióqrie para valores- de W ig"ut". '" ó.S, ri.ZS y 1.0-lb y valores de n de 1 a 2. Supofga que la pendiente-de la curva fuerzadefo¡mación en el punto corresponüente a F = W puede utilizarse cono
)
una constanLe de resorte equi\.a.lente.
Problemas de
computad-" 1295
1286
vibracionesmecánicas
19.C2 La harra ligera AB de peso W,rB se conecta a dos collarines idénh
de ba
ti\ 11(]
)!
nt(
0l
I I
i ,
F¡gura P19.C2 i i
19.C3
l
Cu¿tro ¡esortes, cada uno de constaDte isual a 350 lb/in_ sonrrr-
ldn rn motor de 30 lh. El de.b¿rlan,.e del motor er equirrlente p.rá le "l 0.04 lb localizadas a 5 in. clel eje de rotación. Si el moior está restri;gido a moverse verticalmente, utilice sofhvar. ¡ara calcular y graficar J.r am"plitutl de l:¡ übración ) Ia aceleración miximr del motor ¡ara r-"loci,lad.,s cI"] rnis mo desde 0 hasta 1250 rtrp y desde 1300 hasta 2800 ryrn.
19,C4-
Resuelva el problema 19.C3 suponiendo que un arnortiguador con un coeffciente de amortiguamierto c 160 lb . s/ft-se ha conect¿irlo a la base del motor y al suelo. Conside¡e velocidades clel motor clesde 0 hasta 2
I I I
:
500 rpm.
19.C5 Un elemento de máquina sostenido por resortes y conecta.lo a un amorliguado¡ se somete a una fueza periódicá de magnitr;d p: p,,, sen @f.t. La trawmí:ribilitlad 7,,, del sistem¿ se define corno li rtzót F,./p,,, úe) valor mátino F,, de la fuerza periódica fluctuante transmitida ¿ l¡r base J va Jor márimo P,, de liL frrerzir periódica ¿¡litada:J el.rnnnto de ILr rrúqujna. Lti_ üc" soltuure paro cirlr'uJar ¡ qrcli, arel valor de f,, para un¡ ra¿ón cl* lr",.uer cias ur¡lr-r,, desde 0 hasta 5 y para fácto.es de amortiguamiento c /c; rguales a 0.I, 0.4, 0.7 y 1. (Sugerencia: Utilice la fcjrrrula dada en el pn,l,lema i9.147.)
Figura P'l9.C5
r-.
cor
tud
\.
Par
\J 19.C6 La suspensión de un automóvil puede aprorimarse por medio de un sistema simplificado de resorte y amortiguador que se múestr.a. Escriba la ecuación diferencial que deline e] rnovimiento ve¡tical de la masa rclativ¿ al camino cuando el sistema se mueve ¿ un¿ velocidad o sob¡'e un camino con una seccjón tr¿rnsversal senoidal 6* y longitud de onda ¿. Detemine y grafique la amplitud del desplrzamiento áe la'm¿sa relativa i¡l camino corno un¿r función de la velocidad o pala fhctores de amortigu¿rmiento c/c.: 0.1, 0,5 y 0.9,
Figura Pl9.C6
19.C7 Un bloque de r'¡lasa m : 90 kg, sostenido por dos resortes de constante ir = /cz:85 kN/m, est¿i sujeto a unir fuerza periódica de magnitud máxima ¿,,:500 N. El coe{iciente de nmoúiguamiento es c:2500 N ' s/rr. a) Calcule y grafique la anpljtud de la übración estable del bloque para valores de roy desde 0 hasta 100 raüs. b) Determine Ia :rrrplitud máxima y la frecuencia conesponüente.
Figura P19.C7
*{lúd¡s.'.
Probremas de
computad*" 1287
\¡"
Algunas definiciones y propiedades útiles del álgebra vectorial En los capítulos 2 y 3 de Meciníca l)ectorial para ingeníeros: estótica
se estudialon de rl¿nera_¿r¡plia las siguientes definiciánes y propieda_ des dol vncloriul. {quí \e re\ll¡nr¡ por c.onvenien(.ia Di¡r¡ el 'ilgebrr leclor h¡tciendo re["r'errr-ja r hs 'rcciones aIropi.r,lus rl..l rn¡o,i," O" Estófica. Los nítmeros de ecuitción ¡. de iJusirrrciól son los qre 5€, us¿ ron en la presentación original.
4.1.
SUMA DE VECTORES (SECCTONES 2.3y 2.4) Lo. t,et lorr-s se dt.lit ter ¡ como prl,/i si, ter ut,tleu,itü.nx qu¿ pt,\c?n nrt¿_ uilurl ¡J dircc, iót,. let tttttL s sr strnntt tle tttttcrdu c,ttt'ltt I'ttt ,l¿l nurrt_ Lelograno. Así, la suma de los vectores p ¡ e se obtiene ,ilri",.ráo lo, dcrs. r ecloros en ei ¡risrno prrrrto A ¡ t.orr*i¡r¡jp¡¿s urr purrLlelograrrro, uliliz¿ndo P r Q como dos do lo. I¡rdos.cle jsl¡,liguru Á.:,. L" cliag,r. nrl quc.p,Lra por d represent.r lir surna rl,- lr" l;0-,;;";r" rnJ se denotu por rnedio d,- p vectorjal es tisÁciutit¿ t e. L¿ surna"",.tr?;,
conmutatüia
.
/t
)
Figuta A.2 F¡gura A.1
El l)ector negatiDo de un vector tlado p se define como el vector que tic¡c la misma maqnilutl P ¡ lu clirec¡i¡i¡ upuest¡ ¿ la de p rljzu¡u A. l l: el negHtivo del vector P se denotl ¡or - p. Cluarnent., ,.irlt"
P+(-P):o
1289
1290
Alsunas definiciones y propiedades utrles del álgef¡ra vector¡al
A.2.
PRODUCTO DE UN ESCALAR Y UN VECTOR
qr
(sEccrÓN 2.4) El producto kP de un escalar k y un vector P se define como un vec, tor que tiete la misma dirección' que P (si ft es positivtr), o una dirección opuesta a la de P (si k es r.regativa). y una magnitrrd igual al producto de l.t rn,Lgrritud de P y el r alor absoluto de k r figuru {.3,. t.5
P
,/ ,/r' r/" Figura 4.3
A.3.
VECTORES UNITARIOS, DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN COMPONENTES RECTAÑGULARES (sEccroNES 2.7 Y 2"12) Los vectores i, j y k, denonrinados t)ectores unitarios, se definen como vectores de uragnitud l, dirigidos, respectivamente, a lo lar.go de los ejes r,4 y; (figura A.4).
Cr
1a
co
ne
cos e-k
\€(
Figura
En
F¡gura A.5
Al denotar por F.. F, y F. las componeutes escalares del vector F,
se
tiele (ligura 4.5)
P:
F.i + Frj +
4k
(2.20)
En el caso palticular de un vector unitario )r, dirigido a lo largo de _ la línea que forman los ángulos 0", 9,, y 0. cor los ejes-de coorden*irdas,
se tiene
DE
EI
)t
A.4,
A.t
:
cos
0,i
*
cos
drj
*
cos 0,k
(2.22)
F
dor
PRODUCTO VECTOBIAL DE DOS VECTOBES
(ffc
(sEcctoNES 3.4 Y 3.5) El producto vectoid, o produAo cru:, de dos vectores P y ne como el vector
V-PxQ
e
se defi-
re5
Pl.
que satisf;ce las siguientes condicioles:
t. 2.
Momenio de
fuerza
La línea de acción de V es peryendicular.al plano r¡ue contlerie aPyQ (figura A.6). La magnitud de V es el producto de 1r magnitrrd de p y e v del seno del ángulo I {brmado por P y Q (crr¡ a medida ;ie; pre será 180'o rnenos); cle tal niodo se tiene
V:P?sen0 ll.
L¡na
(3 1)
La dirección de V se obtiene dela reglu de la mttno tlerecha. Cierre su mano derecha y sostéugala de maner.a que sus dedos se curwen en el r¡ismo selrtido que la rotación del /rngulo 0 que llerr ¡l veclo¡ P en lírci¡ (on ef re, tor Q: su p'rlg,,i in
dicará en ese caso l¿r dirección del vector V (figura Á.6á). Hay que observar que si P y Q no tiener un punto de aplicación comú1, deben redibujarse prinero a paltir deJ rnisrno punto. Los tres vectorcs P, Q y V tomados cn ese orden* se dice
que forrrtrn
ttn:¿
,¡)
t'
tríado derecho.
Los productos vectoriales son dístribtLtit¡os peto r[) coniruttatíDot Con lo que se tiene
(31)
QXP=_(PXQ) Pr,¡:f"iil*t{jig t¡*l:t{rai;.lltaif,i
ait:} 'l,Z{,t\:.J,iIr;t7 :.j,1:
,i1
I
{r::,.
a
L) F¡gura A.6
Se deduce de
la del:inición del producto vectori¿rl de dos vectores que
ixi:0 i x j: k ixk: j
jxi:-k j x j:0 jxk:i
j i kxk-0 k x i: k x j:
C(3¡T¡*]*!iÉiiigg t*f :ltinü*i:rrs€ Cel pr r¡iij:,,.: ",,-, ,¡q,¡1i:r¡¡l i. Al descomponer los vectores P y Q en corrponentes rectangulares, se obtjenen las expresiones parr Jos cori¡roncntes de su producto _siguientes vectorial V:
v,:
vy:
y.:
P,rQ"
_
P"Qll
P.Q.
-
P,Q.
p,e,L
(3.
p,,e,
e)
En forma de determinatte, se tiene
jk
":",o:]i1
Ptt
P.
Q,,
Q.
(3.10)
4.5.
MOMENTO DE UNA FUEBZA ALBEDEDOR DE UN PUNTO (SECCTONES 3.6 Y 3.8) El r.¡iomento de una fuerza F (o, de :nanera más general, de un vector F) alrededor de un punto O se define como el pioducto vector.ial
Mo:rxF
(3.1r
a)
L
)
\ l
donde r denota al vector cle p,tsición del punto de aplicación A de F (figura A.7a ). De acuerdo con la deffnición del producto vectorial de dos vectores dada en la sección A.4, el momento Me debe ser perpendjcular al plano que contiene a O y la luerza F. Su nagnitud er lgú"1 a
Ms-rFsen0:Fd
(3.12)
\t
,1 b)
Figura 4.7
,J,""::ÍiJ 1 2gr
{ 1292
srras de¡nic,ones y propredades ufltes oet argeDra veclofi¿r
A
donde rJ es Ia distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de F, y su sentido se deline por medio del sentido de rotación que llevaría aI vector r en línea con el vector F; esta rolación debe apreciarIa un observador ubicado en la punta deM6 contraría. al serrtitlo de las manecillas del reloj. Otra forma de definir el sentido de M¿ la propolciona la vari¿ción delaregla de la mano derecha, se cierra l¿ l.r¿no derecha y se sostiene de manera que los dedos se cunTen en el sentido de rotación que F impartiía a un cuer?o rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de la línea de acción de M¿; el pulgar indicará el sentidc¡ del momento Me (figura A.7b).
re( tes
(;
Componenles reclangulares del mofiiento de una fuerza. Denotando por x., A y z las coordenadas del punto de aplicación A de F, se obtienen las siguientes expresiones para las componentes del momento Mo de F:
: ,lF= zF! Mo:zF,-xF. M.: xFu yF,
)e( T
M,
(3.18
)
(3.1e
)
(SE
Para calcul¿Lr el momento M¡ alrededor de un punto arbltrario B de una fuerza F aplicada en A, se debe utilizar el vectot rA/D: rA r¡ dibujado desde B hasta A en lugar del vector r. Se escribe
C\T
En fornla de determinante. se tiene
Vo:rXF-:i
ijk
rJ F, Flt
A.i 2.
F.
xF
M6:r¡16xF:(rA-rr) o, utilizar
l¿r
E1
(3.20)
forma de determin¿nte,
M¡;
:
cir(
ijk r¡/¡
obt
Pr
llA/B
--A/t]
(3.21)
S'
44tF=
son las componentes del vector r¡7¡: donde r17¿, VA/8, '.A/B
^A/t¿ ^A
4.6.
¡/r
!4/t1 - I \
lB
-A/8 - -^
net e\p
¡A
PHODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
(sEccréN 3.e)
\.J " \d
"'i"*.
Figura 4.8
El producto escalar. o producto punto, de dos vectores P y Q se define como el producto de las magnitudes de P y Q del coseno del ángulo 0 formado por P y Q (figula A.8). El producto escalar de PyQ se denota mediante P ' Q. Se escribe
P'Q-P?cos0
(3.24)
Los productos escalares son conmutatü)os y üstríbutíaos.
Productos escalares de vectores un¡tarios. Se sigue de 1a definición de producto escalar de dos vectores que
i.i: I i. j : 0
rfr--*
j.j:1 j.k:0
k.k:1 k.i-0
E] i clo
,
4.8 DE
E]
:
\ eci
b¡e
,::.
Producto escalar expresado en términos cle colTtpónentes rectanEula¡.es. Al descour¡oner los vectores p y e en componen
4.8. Momentos de una I
rc's rectangLlLtles. se ohtrene
P.Q:P.9,+PuQ!+P.Q:
(3.30)
Ángulo formadr: por do$ \reútores. Se deduce de (3.24) y
(3.29) que
P'Q
"oro: PQ -
P,Q,+
P,/Q'J
+ P.Q.
PQ
(3.32)
Froyeccion rle L¡n vector $obre un eje detsrmínaclo. La pro_ yección de un vector P sobre el eje OL definido por el vector uniário )t (ligura A.9) es
P¡¡7-:OA:P.)t
A.7.
(3.36)
TRIPLE PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTOBES
(sEccrÓN 3.10)
El tliplc producto nrj,\to de tres vector.es S, p y explesiírr escalar
e
se define como l¿
s.(pxe)
(3.38)
obtenjdo al formar ei producto escalar de S con elproclucto vectorial ile P 1, Q. Los triples productos mi{tos sorl inr'¡riarrtei l¡¿io Dennulacit.¡tvs rirrulqt^. fero (¡mbijrn de 'igno hrrio cu.rJguier.,,tra peinuta,.ión,
s.(Px Q) :P.(e x s) :e.(s xp) : -s.(Q x P) - -P.(s x e) : -e.
(p x
S)
(3.39)
Triple producto mixto expresado en térnn¡nos de c6mfiünentes rectangulares._ El triple producto mixto de S, p y e puede expresarse en la form¿r de un determinante
s.(PxQ)
s, sv s.
- P_ P,
P"
(3.4r)
Q, Q,, Q.
El triple producto mixto S ' (p x e1 mide el r olul.ren del p¿raleleoipe do t¡ue lierre Io. rr ctor-¡ S. P r Q de )adus ligura {.l0r '
A.8.
MOMENTOS DE UNA FUERZA ALREDEDOR DE UN EJE DADO (SECC|óN 3.11)
El momento M9¡_ de una tuerza F (o, de n¡nera uás Éeneral. cle uu r< lor F ulreel"dor de un cje OL se deline co,no 1., pro¡"c..ión Oc ,o_ bre el eje OL del mor¡elto M., Je F al¡ededor de b (hgura A.1l). Al
,/,,¿2.
:)
.
)/", :2 '/t'x I)
/a,ltr
F\qura
\l\
1
294
lli:ix""i;i¿:';jones
v propledades
o,
er-r
forn-ra de determinante,
I¡"
Mor: x
['tl \-
lF, F!
dorde tr., I,,, I^
' r ry. : F,, Fv, F" :
z
F.
osenos dire. torcs del eje OL co,,rden¡Jas del ¡unto de rplicatiórr comPonentes de la fuerza F
r
'l'
F
Los nTomentos de la fuerza F alrededor de tres ejes de coordela(3 18) obtenid¿s- antes para las das se dan r¡ediante las expresiones -del momento M¡ de F alrededor de O: componentes rectangulares
M,:gF.-zFu
:
- rF= M": xF, yF,
M,,
(3.18
zF,
)
De manera genernl, el mon-rento de una fuerz¿ F aplicada en A al-
rededor de un eié que no pasa por el origen se obtiene eligiendo un punltig"t" A 12) y detern.rlnando la proyección to arbitriuio B Jobie "l "p ,áb." e¡" BL clel momLnto'i{¡ de F ¡irededor de B' Se escribe
"l
M¡¿:tr'M":I'(r¡7¿xF)
(3.45)
: r^ -
rB rePresent¿r al vector dibujado desde B aA. Al expresar M¡¿ en la fórmula de un detenninante, se tiene doüde r,17¡
M¡¡. : donde
\.,
\.
\y
\. (3.46)
XA/B AA/B ZA/B F, F,r F.
\" : cosenos directores del eje BL rA/B: xA - rB. llA/B: YA - VB,lA/B:,L F,, Fr,, F=: comPonentes de la fuerza F f,,r,
"o
Debe notarse que el resultado que se obtuvo es independiente de la elección del punto B sobre el e;e dado; el mismo resultado se había obtenido si ei punto C se hubier¿ elegido en lugal de B
L<
)
Momentos de inercia de'masas
l
I
12e5
-l
/
r 1296
Momentos de inerc¡a de masas
MOMENTOS DE INERCIA DE MASAS
diar
8.1. MOMENTO DE INERCIA DE UNA MASA Considérese una pequeña masa Arz montada sobre una barra de masa
insigniffcante que puede girar libremente alrededor de un eje AA' (ffgura B.1a). Si se aplica un par al sistema, la barra y la masa, supuestas inicialmente en reposo, empezarán a girar alrededor de AA'. Los detalles de este movimiento se estudian después en ünámica. Por ahora sólo se quiere indicar que el tiempo requerido para que el sistema alcance una velocidad de rotación determinada es proporcional a la masa Am y al cuadrado de la distancia i: Por Io tanto. el producto 12 Am proporciona una m eüda de la inercia del sistema, esto es, una medida de la resistencia que el sistema ofrece cua¡do se intenta ponerlo en movimiento. Por esta razón, el producto r2 Am recibe el nombre de momento de inerci¿ de Ia masa Am con respecto al gje ,4.4'.
El¡ ma5
cia sea
mo
nt¿tr
met
pan dad
pies que
den 1i-
v
que.
es ^-
eje !
Ett a{tn
F¡Eura 8.1
Considérese ahora un cuerpo de masa r¿ que girará alrededor de un eje AA' (figura B.lb). AI dividir el cuerpo en elementos de masa LmL Lm4 etc., se encuentra que la resistencia de1 cuerpo que se va a
girar se mide por Ia suma rl Lm¡ + rl Nn2 + . . . Esta suma deffne el momento de inercia del cue¡po con respecto a1 eje AA'. Al aumenta¡ el número de elementos, se encuentra que el momento de inercia es igual, en el límite, a la integral
1D
¡@rt¡
(B.r)
r
Eülú
prr
b
o-F
El radío cle giro k del cuerpo con respecto al eje ,{A'se define mediante la relación
o
¿
tr :-
l¡
f
rr
A:
TI
/-
B-1. Momento de inercia de una masa
(B.2)
1m
El radio de giro k representa, en consecuencia, la distancia a la cua.l la masa completa del cue¡po debe concentrarse si el momento de inercia con respecto a AA' va a pennanecer sin canbio (figura B.lc). ya sea que conserve su forma original (figura B.lb) o si se concentrl como se muestra en la figura B.lc, la masa lr reaccionará de la nrisma malera a una rotación, o giro, alrededor de AA'. Si se utilizan unidades del SI, el radio de giro k se er.presa en metros y la masa nu en kilogramos y. por ello, h unid¿d que se emplea
para ei mornento de inercia de un, rnlsa es kg . m2. Si sé uülizLrn unidades de uso común en Estados Unidos, el raüo de giro se erprest en pies y Ia masa en slugs (esto es, lb . s2lttl y. por ello, 1á unidad lerivada que se utiliza para el momento de inercia de una masa es lb . ft . s2.t El momento de inercia de ul cuerpo con respecto a un eje de coordenadas puede exp¡esarse con facilid¿d en términos de l¿rs coordenadas r, y y: del elen, ento de masa dri'r (figura B.2). Al advertir-, por ejemplo, que_el cuadrado de la distancia r desde el eler.nento dm liasta el e¡e y es r.- * t'. se expresa el momento de inercia del cuerpo con respecto a-l eje q como
( ¡'dm- I ' ¡ )d¡n ' Jr Ir Jt:" Es posible obtener erplesiones similares para los mon.tentos de inercia r y :. Se escribe
con respecto a los ejes
,,=It'+z2)dm to-J{zn+xz)dm
(8.3)
L:l{,"+a2)dm
ü=
ñl t¡ ¿a
iDebe tenerse presente cua¡do se con\'ier-te el momento ale inercia de una n¿s¡ de unidades de uso común en Estados Unidos ¿r unidades del Sl qte la unidad lündamental libr¿ utiliz¿d¿ en la unidad deÍvada lb . ft . s' es una unidad de fuerza (no de m¿rsa) v clebe, p^r lo l¿nlñ. convertirs. pn né\\t]on(. SL. t-ene
1lb. ft. s'= o, puesto que
I N: I kg r
(a.45 NX0.3048
m)(t s)'= 1.356
se,
I
Ib.fi.s,:
1.3b6
kg.lTr,
N.m.s,
Fotografía
B.'l
Como esiudiará en su curso de dinámica, el comportamiento rotacional del cigúeñal que se muestra depende de su momento de inercia de masa con respecto a su eje de rotacton
1298
Mornenios de inercia de masas
8.2. TEOREMA DE EJES PARALELOS Ct¡rsidérese un cuer?o de rnas¿ rn. Sea Ori,,: un sistema de cc¡order.r¿rdas rectangulales cuyo ot'igen está en el punto arbitrario O, y Cx'r1,:,
un sistem¿l de ejes centroídales p¿ra]elos, esto es, un sistenrn cuyo tri geü estir€r el centro cle graveclad G tlel cuerpot v cu¡.os , jes .t'. r¡' r.:' son paralelos
r
lt.rs
ejes r'. y
).:,
respectiv¿rmeute (figur.a
B.i). Deiroial
do con i- y y : las cooldenld¡s de C con r.especto a Ory:. se escr-ibc-rr las siguiertes lelaciones entre las coorden¿d.x r, q y: clé eler¡elto 11¡¡¡ corr respecto a
Ory: y sus coordenadas r' , y' y z' con respecto
a Jos eles
centr:oidales Gr:'y'¡':
r:r'+i
LJ:A'
+y
:::,+:
(8.+r
Con referelicia a l¿rs ecuirciones (B.3), es posible cxprcsar cl uonieuto de iuercia del crrerpo con lespecto al eje i de ltr fbr-ira siguiente:
I.
lt
: ll'q' ' - -' -, l ,/,,r r 't ' t t ,1,,, ,'t 7y )',t't ltr' rlt,t - 2: ):' ,t,,, - .;¡ r :: I 'U'
'r
F
¡r, ,/,,¡
1,1,,,
Ln prinera integra) en esta cxpresiíll rcpresenta cJ mol.ielto cle ilelcia 1., tlel cuer?o con respecto al eje cerrh-oidal ,r'; Ja segtnd:r l ter c.er it integrales lepresentaD el prirner lroltento del cucrpo col r-especto ¡-. los ¡rlanos:'r' ,v r'y', r'cspectivar ente, v, pucsto qrre iLrrbos pla,,ios cc,,rtieren G, las dos integrales son cero; ln riltirna integrzrl es igual a la nras.i lut'rl rl del ( ucrpo. Pur lo lantu. ., e.oihe.
1.:1.'+n(y2+i2) 1',
B.;
de nanera similnr,
lu-i,,,
+ nr(:2
+i2)
l.:1,
+nt(i2
+q2¡
LB.;
. Dc Ja_ figura 8.3 se re lácjirnelrtc que lir slun¿r -2 + iJ repr.estr., el cuadrado de la distancia OB, ertre l
l_i
r¿rdios c]¡-
/ij I',1' donde ft 1' /¡ ¡sp¡s5eltan los r¿rdios de giro del cuerpo nlrecleclor y BB', rcspectiviimente.
tOLscIvo que el Érrnino c.,,rr?trl se usr ¡qrií p¿ü dljl¡ir el .cniro (tr rr.r.. cuerpo. aurquc C lo coinci.l¡ con !.1 cortro c cl-"l volululr dr:l crrerpo.
-
: t-
ii. . .
8.3. MOMENTOS DE INERCIA DE PLACAS DELGADAS
8.3. rvlomentos de rnerc'"
.
Considere una placa delgada de espesor uniforme hecha de un mate_ rial homogéneo de densidad p (densidad masa por unidad de volu_ men). El momento de inercia de masa de la placa c'on respecto a un e¡e AA' contcnido en eL plano de la placa r6gurá B.5ar os
Puesto que drn
:
pt dA,
^^,"
r
- | r2 dn
se escúbe
/*, -,," Pero
l2gg
I
:
I^^.
1119".
1," oetgaoas
pt
| ,'
dA
representa la distancia del elemento de área d,A al eje
A4,; la
b)
Flgura B.s
integral por lo tanto es igual al momento de inercia del con respecto a AA'. Se üene 1¿¿,, ,oo"n
:
ptl¿¿,, a,.o
rárea
de la placa
(8.8)
De manera similar. para un eje BB' que está contenido en el plano de la placa y es perpenücular a d4' (ligura B.5b). se liene 1¡a,.
,,*, :
ptlea,. ¡,."
(B.e)
Si se considera. ahora el eje CC' que es perpendírular aIa placa ¡ pasa por el punto de inlersección C d¡ AA, AA, tfigur" B.5crl se es_
i
cribe
Icc,,
donde
/c
(B.10) - ptJc, tLtea '...u es el momento pol¿r de inercia del área de la placa con res-
pecto al punto C. Al recordar la relaciónJc : Ia1, * l¡¡¡,, que existe entre los mo_ mentos polar y.rectangular de inercia de un área. se escribe la siguiente retacron enlre los momentos de inercia de masa de una placa dálgada:
Is¿'
:
lA,\,
t
lsp,
(B 11)
)r
Momenios de inercia de masas
1300
_
Placa
fectangular. En
el caso dc una placa r.ectangular de
dos a y /r (figura 8.6), se obtiencn los siguientes
la_
rnonentoi de inercr¿ de nasa col respecto a los ejes rlue p"iun po. e] centro de gravedad de la pl.rcl 1,r-¡, ,.,... 1a¡,, ,n.,"
: ptl¡t,. ¡,"o: : ptl Ba, , ¡,"u :
pt(+a3b) pt(lnab,))
Al obsewar que el pr-oducto paúl es iguirl a la rnma ¡¡¿ tle h plac¡. se escriben los morrentos dr: inercil de rr,rsa de rrnu phca rectungular delgada del modo sÍguiente:
l,^' - lma2 Ip, : |tnb2 Icc,- l*t,+ Iuo, : ];m@2 +b2)
Figura 8.6
(8.12) (B.13)
circular. En el caso de una placa circular, o disco, de (figura B.7), se escribe
Placa dio
r
1¡.r,.
-*o
:
ptl.^,¡,,.
¡*^:
ra_
ptQma)
obsewnr que el producto prrr2l es igrrJ a la rnasa ilr de h phca y que lrr,, se escriben los rnolnentos de inerci¡ de mlsa dcl ur.r" plu"o circul¿¡r de la manera siguiente: A1
l¡,t,
:
lA,\':
IFB:
It
ttllr'
Ic:c:,: I,tt, I lsB, - !nr2 Figura 8.7
(B.14) (8.15)
8.4. DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE INEBCIA DE UN CUERPO TRIDIMENSIONAL MEDIANTE INTEGBACIÓN
El monento de inercia de un cuerpo tr.idimension¿l se obtiele eva luando la integral 1 : I 12 dnt. Si i-i cuerpo está hecho dc materiai
¿t. = d
\
:r' ú
= ¿r,¡, +
dr.=¿r., Figura
+
f
¿tn =
(:12
e
d1n=
(\
8.8
+
p)¿Dr
12 +
i)¿.n
Determ nac¡ón
de
momenlo
de rnercta dé un cLterpo de revolución.
honogéneo de densidad- p, el elerrentc, cle rir¡sa dn¡ es igual .r prlV y se ptiede escribir / : pI 12 dY. Esta integral depend" s¿loáe la fo¡rra'del cuerpo. De t¡l r¡odo. palrL crlcular el rromelto de inercia de un cuer-_ I.r,r tl idirnensior¡1. por lo gener.ul es lecesario efectuar u[a integraciór tliple, o al menos doble Sin emLrrgo. si el cuel'o posec do.' ¡lanos rle simelna, es posible delcnninar .l momtrto d. in*rt ia del cuepo con ulra solJ inlegrlción al elegir como elen'iento de ¡rasa J¡¡ rrnr-placa .lelgada que !s perpendicular a krs planos de simetír. En el c.¿so de crie¡ros'de reri.,lu ción, por ejemplo, el elemento de m¿sii serí¿r un disco delgado (figura B.8). Utilizando l¿ fórmula (B.15), el momento de jnercia ón resplcto al eje de revolución se puede exf)resar como se indica en la figuri B.S. 5u rrrrrrnenlo.dc inerciir con rn\pe(.tu a catJ¡ uno de lo,, otros'rlos ejes dr coordelad¡s se obtiene utjlizmdo la fórmula (B.14) y el teoremaie ejes paralelos. La integración de la expresión obtenida produce el mo_ nento de inercia deseado del cuerpo.
8.5. MOMENTOS DE INEFCIA DE CUERPOS COMPUESTOS Los momentos de inercia de unas cuantas fonlas cornunes se muestran en la figura 8.9. Para un cueryo consistente en varias de estas formas
sirrrplls. el rnomenlo de incrr'ia d"f cucrno lr¡n respeclo r un eje j¡¡l¡ puede obtenerse calculando prinrero loi mor¡entJs de inercia'de sus partes compolentes ah.ededor del eje deseado y después sumándoios en conjunto. Como sucedió con las iireas, el radio de ziro de un cuerpir compuesto no puede ctbteterse surriLndo los ,.odi rs dZ giro de sus p.rr.tes componentes.
N,_
il
l¿-
ü d
8.5. Momentos de rnercra de cuerpos compueslos
Barra ligera ltt =
5e
L= !mL2
lf
r,= im\b2
tPlaca rectangutar delgada
+
c2)
i͡.2 r"= f,",t't I,J
=
e a
Prisma rectangul¿r
Disco delgado
Cilind¡o circul¡¡
r,=
i1n(b2 + c2)
I,l =
i'|.(c,
+ a2)
r"= in(a2
+ b2)
\= !^a r,r=r.=
I
mr2
\= !n*z t,,=4=L^p6z *
Cono circular
tr= t.=
Esfera
r. = 7,.= ¡. =
Figura B.9
l\¡omentos de inercja de masa de formas qeor¡étricas comunes.
¡-21
lnl n\tz * ¡21
!u,o:
1301
PROBLEMA RESUELTO 8.1 Dete¡mine el rnomento de ine¡cia de una barra ligera de longitud L y masa m co¡ respecto a un eje que es perpenücular a la barra y pasá por un extre mo de la misma.
soLUcrÓN Al elegir el elemento diferencial de masa que
a t ,-=l l¿,1 ' -c:__:___ @
3-
dm: to =
l*n a^
:
se muestra, se escribe
m.
d:t
¡
lL "m - fm ¡31¿ )o '' a' = LZ;l;
¡
!,,
:
,).nl
l 1
PROBLEMA RESUELTO 8.2 Para el prisma rectangular homogéneo que se muestra, determine el
momen-
to de ine¡cia con respecto al eje ;.
soLUcrÓN Se elige como elemento diferencial de masa la placa delgada que se muestru; de tal modo
¿r¡ = pbc dt Refiriéndose a la sección B.3, se encuentra que el momento de ine¡cia del elemento con respecto aJ eje z' es
ü., :
!;b2 dm
Al aplicar el teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner, se obtiene el momento de inerci¿ de masa de la placa con respecto al eje a.
dI. = ¿7., -t Si se integra desde
x2
r:
t- -[at.-[' J -
dn. = $b2 0
dn + x2 dm = (+bz +
x2)
pbc
.h
ar = a, se obtiene
Jo
,',lt'"
¡2tpbt clx = pabcr
Puesto que la masa total del prisma es m
= pabc,
se
-trb2
-fa2,
puede escribir
t.:m(|b2 + la2¡ I-:,t,n(tul+b2) 1 Hay que observar que si el prisma es delgado, ú es pequeia comparada c<.rl a, y la expresión paia 1. se riduce a qo" quÉ se obtu.,o
irol
en el problema resuelto 8,1 cuando ¿ = ¿.
"r "it"ruJtado
PROBLEMA RESUELTO 8.3 Determine el momento de inercia de un cono circul¿¡¡ recto con respecto a rr ejc lonqihrdin.rl b un eje que pcra por el ápit.e del corro ¡ perp"r j¡..¡1lar a.su eje longitudindl.l.,un eje qup f¿\a ¡or el centroide del (.ono v per pendicular a su eje longituünaL
{/)
SOLUCIÓN Se elige el elemento
diferencial de mma que se muest¡a.
,I
--r\l
_/
a
.\,n!.tttt _ pÍr- d.\ pÍ dt l, lt:x
d) Nlorne¡tos
- .r Al irtegrar desde r : ,tr,
dt,t
'/ i - ilrl -\ t, It't\Prtlt' r- Ltt )-
0 ltasta r:
,' ,tt
Puesto que la masa tot¿rl del cono es ¡rr
l.¡)
t'
dx
= /r, se obtiene
I - ) ,tt, - J"' ,"i,. I. : f
tt
otr¡a
-
:
,p,
u' t,) ,'L
\pna.h.
"_
-
\p;r,t't,
se puede escribir.
pnaah : fa2éprazh: : ¡nrf
1,
: ]rrra: {
l\lomcnto <[c increil 1,,.
Se usa e] rnis¡to elelnento difer.encial. teorern¡ do ejes ¡ar..rlelur l.uhli,,arrdo .r , rpresiúrr q¡e .e dpLluio en 1; :L cción ll.3 ¡,rlr urr disco Jelg.rdo. .e e.,.riL"
*l
Aplicrndo
dI, = dIr, + 12 chn Al srrstituir
,,
Lrs expr.esiones
!r2 tlnt -l
i clnt: 1]r2 + r21 din
para r y drrr err ]a ecuación. se obtiene
.ii
,l'l'
:
ut
"
d.r\_ rolrl4. - l\, J t- tti t (,, ¿ ,t,,t] , [' t¿' 1,,)'tt,, - )oo" ¡¡l*. - tJú,4 - o, j,.l ¡-
17J," '/\'"r''
Al introducir la nrasa total del cono n¿, se reescribe
1,,
t, = l(la2 + h2)tprazh c) tr{omcnto de inercia
I-r".
¿^
,1,' t
):5
cono sigue:
1,,
:
.1,,'(ln' +
/,t) {
Se aplica eJ teorema tle ejes paralelos
se escribe
y
1,,:i,,"+nn2 Al resolver para 7r" v recordar que
iu" =
1,,
- mf:
i
= J/i,
se tiene
lnt(!a2
+ h'1
,n(]h)2 1,,"
=
Lnt(02 +
]i ") <
1303
PROBLEMA RESUELTO 8.4 Una pieza de acero forjado est:i compuest¿l Pol un Prisna rectangular de I x 2 in. ), dos cili¡dros de 2 in. de diámetro v 3 in. de Jargo cono se n:':.-t¡¿r. Determine los mor¡entos de ine¡ci¿ de la pieza forzadir con l-especi(r ., . ejes coordenados si se sabe que el peso específico del ace¡o es de 490 lb :
nr' 2
SOLUCIÓN Cálculo de
rn¿rsas
Pt'ism.t
1z:
\r _
(2 ln.)(2 in.)(6 in.) = 24 i¡ir 34 in3 ,fl,o rb rl
,
l;
fl 1. 681 lh ,, 3;l hT - u.2lr ll' .: l
_ nu, ,l'
Cd¡le cilin¿ro
I/:
,¡(1 in.)2(3 in.)
\y
,e 42
-
,,, =
i,,
,,4e0
ut^lb"
-t 3l I |ils' -
:
9.42 in3
lb,ri,,l
#*)
{r.0829 lh .
.'
i 6;
il,
ti
Nlt¡mcntos dc incrcia. Los n-iomentos de inercia tle c¿da conlPotra::: se c¿lculan a partir de la ffgura B.9, utjlizando el teo¡eln¿ cle ejes paral. , cuando es ¡ecesario. Hay que obsen'al qte las longitucles se erPres¿)pies.
:
Prísma
r,:
.seÍt)t(+
ft)'+ (+ +(O.zrt lb rv =+(0.211 lb J4i)l(;1t): + (+fo'l r" =
ft)':1 :4.88 x :0.e77x r0
lb lr'i ¡lb.fi.sl
10-'r
Cada cilintlr¡¡
- I u.ub2v lb..'iL ., lr '¿ 0.0429 l[, . ft. -' : 2.59'rO'lb li.s' 1,,-- ,m.3a: L *tnl - ',0.0929 lh .j-ft lJ',ti, - ¡ ¡tI 0 0829 lL, . lt7'; it7' - 4.17 1 In ll I *,¡,,3, * L', r,,u2 tr - 10.0329 lb'.'1i7 31'r ct': I,o0R2glh.. ti,l,, ri r,, tir:l - 6.48 t0 lr,l::.
1..
-
m,t: , ,nr7:
Cuer¡xt completo. Al sur¡¿r los valc¡res obtenidos,
3) ¡,: l{).(xi x l0 rll).it.-: 1,, = 0.9?i I0- l- 2 4.17 10 t, / -'¡:rl l{r 1'l ' I 4.b8 l0 - 116.48 l0-'7 / l; \ l ll, I I.-:4.88x
10 'r + 2(2.59
x l0
r
,l
PROBLEMA RESUELTO 8.5 pL:",& acero que rride }]:.i 9"1qd" torrnar llt part€ de l¿ rnáquina
x-
Dirnensiones en nr¡r
>-
,?
80
flO
r
4 mm de espesor se corta y dobla par.a quc se muest¡a. Si la densidad deÍ acero ei cle / \JU kq/m". detpflnine los nrolnen.os de in"rci" de la plrtr rle l¿ Ililq ina (oI ¡c5pect J Jus ejes de coord-nadas
SOLUCIÓN Se
obsena que
L.r
p.rde de
La
rnJquina se uompono
d" unr phca
lrnr plac¿ rectanguldr de l, c.u"l se I.er¡orió uno plrca circulnr. Cálcufo de m¿sas, Irlr¡c¿¡ semicirculqr r=
0.08 tn
cir.crrJar 1
d.
v,: lr,rzt = +n(0.0áJ m)2(0.004 m) :40:21 x I0 6 m3 m1 = pY1 : (7.85 x t03 kg/mr)(40.21 x 10 u = 0.3156 ke -a)
Pluca rectangular
Vq:
(0.200 niX0.t60 n)(0.004 m)
pvl : (7.85x Placa circular 11x2:
103
:
kgim3xr28
12U
t ,O-u,r.
x 10 nm3) :
r.005kg
vB: na2t : rr(0.050 nl)2(0.004 m) : 31.t, X t0-6 mj lth= pva= (7.85 x 103 kg/m3X3t.42 x 10 6m3)=0.2466kg N,Iomentos dc inerria, Utiliz¿ndo el ¡tétodo que se presentó
.cq ión B.3.
en la
lo. nromcrlos de incrc.ia de.ado co,npo,r.nle. Placq semicircular. De la figrrra B.9, se obserua que p:rra una plirca se cclculan
r 7' = !nt'2
circular de masa rn y radio
1,,
:
: ltnÉ
I"
Debido a la sületría, se rrdüerte que parir una placa semicirculiu
¡, =
](lau-¿) rr:
t.:
IQ^F)
Puesto que la masa de la placa semicircular.es ar,
=
|n,
se tiene
I, = +nf: - j{o.rtSo tgXO.OS úr)2 = 1.61q x 10 3 kg . n2 v,, = t. = !¡!'n "): Jm,r, = ]1o..trso kg)(0.08 ni), = ó.sos , 10 ,r kg . rn! Pld.'fl r?<,tdn!:uler
1,.- =.,m1-
t0 1kg.n, , t0 kg:rr'
l.Ors kg 0.tG m) = 2.t44 ¿ t.005 kg.,0.2 n,,2 t3.400
-1.'
l.- ,n$- -;r Ir: I,+ I=: (2.141 + 13.400)(I0-¡) = É.844 x t0:3 kq . nr' Plqce
,:
circuhr
i^*',)-tn3a'+
lr0.zq66 kg',0.05
'n
¿ - 0.t5q
, t0 r ls. ,,r
t,t: 7\d' ' = !1o.uai kgX0.0S.m)e + (0.q466 kgX0.t rn)::2.;,1 x 10-3 kg.me ' 1,ts.2466 kg 0.05 '- oIr6bkg 0..trn,! o t = i,:!' .,n¡1,2 , ' : 1.620 . 10 'l
1305
En esta lección se intrxlujo el rntnncrttt¡ de ínerc:it de tnrtsa y eI radio tL¿ gltr cle rtrr cuer?o tr-idinensiolal con respecto a ur ejt: clado lecuaciones (B.l ) v (8.2)]. T¿n bién se dedtrjo vt teorenur d.e tjcs pnraLclcts para rsarlo corl rnorrentos de inr¡rcia cle rn¿rs¿l v sc cstudió el cír]crrlo cle rnoltentos de illerci¿l tle niirs¿r de placas delgadas y crrerpos triclirnc:nsionales.
I. (lúlct o tle nt¡¡ntetúos tlc inercitt ¿le ntastt. El mollielto c1t'ilLerci¿ tle lnas,l 1 de un cucrpo col lespecto a utr eje dado pue,cle cllcttlarse cle mirncra directa tr partir de l¿ definicjtir
Aplicuci(.ut tlel. ler¡renut de kts ejes ¡torulelos' En
teoreln¿ de los
e.jes
piiralelos par¿1 rtrotn€\rtos de jnercil
I clLrc
:i
+
l¿¡
seccitirl R 2 se ohtrrvo cl
cle tn¡ls¿r
(B
¡nrl2
Éi)
oslablece que el r'n
un r:je clado es igual a la sulna de los n¡t¡ne:lltos de inclcia 1de ese crietpo con lespectó al ele ceniroidol. Tnrtlclo v eJ ploducto ir¡12, clondc ¿/ es la dist¿rrrcia eltre los ilos ejes. Cuando el rriornento de jnercia cle_ ul cueryo hiclirnersional se c¿Llctrln col resperto a rrro tle los ejes cle coorclcnadas, d2 prtede strstihrirse pol la suura de los cua dlaiilos dr, las clistucias r¡ediclas ciones (8.5) v (B.5')1.
¿
kl l¿rgo
¿le los
otros dos ejes de cootclenad¿s fecua-
ij. Iittitur errotclj rcl(ciorlldos c¡n las unídacles.
P¿ra eütat-err(D-es, es esen
el uso de las rtnid¿rdes. l)r: tll rriodo, toclas las longinletlos o pies, segirn sen apropindo, v cn problenas en clebel exprcsarsc en trrcles urLidrrtles .1" ttso cc¡¡tin en Est¿rdos Unidos, I¿rs rn¿rs¿rs clebt:ll illlos qttc s,'rtiliccl dicrrse en l[, sr/lt. Aüer'Lis, se lecomienda arnpliirrnente que se itrclnvan unidadcs cial que existii corlsistenciil
el
cu¿rrdo se e1'ectíren los cálculos lecuaciones (11.4) v (8.5')l.
<1. Cúlculo clel ¡nontento de inercio cle nutsu tle plucus clelgoclos' Se denrostró en la seccjí¡r l).3 <¡rt: t:l moürento cle inelcia de rnasa de una placa deJgada cort lespecto ¿ urr eje dailo puedc obtcnerse rnultipl]cando el urornelto de ine¡cia corrcspondicntc dcl ár'ea cle Ja placa pol ll densiclxl p y pol el espcsor-/ cle la n.iisn:r lecutr ciones (B.8) a (B.10)]. Llii-v tlue observar que corno el eje CC' en la figura B.5c es 1tt:4xttd.ia Llt.r t kt. placo, 111¡; , ,,,,,.,, sr: ¿lsocia con el tto]reltto clt: inerciri polar'/¡;, ,i'.,'. En lugirr dc calcular de l.rar.rer¿r directa el rnorrieüto de inercia dc una plncn delgacla corr lespecto a un eje espccificado, en oc¿rsioncs rcsult¿r corveniente calctrl¿r
prirnero su mornento de ir.¡erci¿r coD rcspecto a un eje pualclo al eje especificaclo l después aplical el teorema de Jos ejes paraleJos. Aderiás, prua deterri.rin¿. c.i nomento
pcndiculares en un plalo v hrego utilizrir la ecunci
5,
Ol¡tenci¡jn del momenlo tle üterciq cle un cuerpo merliunte uno solu integruciótt directu. En la sección B.4 se ¿n¿lizír v se ilustró el los problelrris r.c sucltos B.2 y B.3 cóno es posibie utilizar.unrr solii ilt¡.Hrir(.iorl ¡,,ra c^alcular el nrorr ello_de ilerci¡r de ur.r cucrpo qur: puede diviclirsc en ur.i¿ sr:rie de placas delgadas y p¿l'alelas. Par¿r estos cnsos, a menudo es necesar.io exprcsar la rrüsa del cueryo en térnrjnos dc' la densicl¿d v l¿s clinrensior.lcs del nisrnr¡. Suponic.ndo q.,e .e ha dividido,_ conro er los probJemas x:sueltos, el placas clelgaclts pepenclic'ular cs al e-je
r,
resulta¡'¿i necesario expresar las dirriensir¡nes de cada placa como f,ru¡ciones cle l¿r
r. d) En .
v¿u-i¿rble
especial tle un cuerpo de re-^oluckin.la placa elencntal cs rrn cl lr fig,r.a l).8 parn dete¡ninar los [rorrettos de inercia del cuerp.' lprobl.rrr,r r"s,relto 8.3]. eL cuso
clisco dcJgndo y dcben utiliz¿rrsc las ecu¿ciones que se d¿rn
b) En el caso general. cuqndo el cuerpo no es cle reu¡l.ución, el elemeuto difere¡cial lo es un disco. sino ur)¿ plac¿r delgadn de r¡n¿r forura tlile¡e¡rte, v no es l.xrsibJe utilizar l¿rs ecuaciones de la f:igrun B.8. II¿v que oltscr-var, 1x'r- e¡,.rir¡lo. cl ploblerna resuelto B.2, doncle cl elernelto cra una plirca rectangul; delgada. para colfiguracione^s rniis complc'jas, se ¡lrede utiliznr una o rnás de las siguieirtes ecuacioDes, l¿1s cualcs se lliran en l¿s ccuaciones (8.5) v (B.5') dc la seccirjrr B.2.
¿r.:
dt., + lull + z:!l dnL dr,, - d.t,,, + (-)¡ + il¡) dn ü. _ dI=, + (i2¿ + u:t) dilL donde las prirnas dr:notan los r:jcs celtroidirles cle cncla placa elernental, v !,7, gr.,7 y 1,¡ reprcseut¿r l¿s coor-dcn¿rdas de su centroide. Los nomeltos cle ilercia ce.ntroid¿k:s de la p)actL se dctcrminal dc Ja rnalc'ra que se (lesc¡bió artcs paru rur¿ pl¿c¿ delgacla: col ref¿renci¿l en la figura g.12, crrlc.le los rnorL, ntos Je incr uji currcspirndie'tei tlel ir¡e¿r de_ la plac.r y multiplir¡re cl result.r.lo pol h .lensidad p ¡ .l os¡resu-l de I¿r rrrisn¿r. Adenris, suponienclo que el cuerpo se ha dividido en placas deJgadas pcrpcndicr ar.cs alt'jc.r, recrrerde que es posibJr: obterr. r-rl.I,, su¡rur,l , r/I,, ¡ dl cn lugai de hric.er.cl c./rlcrrlo cle rnanera clirect¿r. Por últi¡rro. utjlizrrrrlo h gcornetn,L ,lel cuerpo. x, pLrerle expresar cl lesrrltado oltte¡ido en trinrilos de un¿r sol¿ r,¡rirüle r c intcgr¿lr.el r
6,
Cdlculo clel nu¡ment<¡ de inercia de un cuerpo colnpuealo, Conio se est¿l¿i sccción 8.5. el rnornento de i¡erci¿r dc un cuerpo cornllu(,sto c.on r.r\ p€rcto ¿ lrn eje especificado es igual a L,r slun¿ (le los monrcntos de srrs c.oliponeltes con respecto a ese eje, Los problerras r.csucltos B.,1 y B.5 ilustr.an el ¡létoclo cle solucitir apropiado. T¿mbién se dcbe rcc,¡rllr que tl uour.rt,, tlt irercia de ul contponente serii neg¿tivo sólo sj el componente se renúteDc (colto en i,l ctrso de ul agu_ bleciri en
jero).
Aunrlue los problemns del cuerpo complresto en est¿r lecc.ióri son r.el¿tii anrente di rectos. se tendr'Í r¡re t.ab.rja' co' crriclaclo para e\¡itar er.r.ores cle chlc*lo. Ade¡tás, si algrno rle los ¡rolrer¡t,,s rle inerci¿r lleces¿rios no se inclic¿r elt la fiqur.¿r 8.9, se teldrá que dedricir sus fónnul¿rs utiliz¿rndo l¿rs técticas cle est¿r lecciórr'.
1307
t¡a I
c)
"l
B- 1 EI cuarto de anillo mostrado e¡ la figura tiene masa m y fue recort¿do de una placa uniforme y delgaü. Si r¡ = jr2. determine el momento de inercia del cuarto de anillo respecto a a) el eje AA', b) el eje centroidal CC' que es perpendicular al plano del cua¡to de anillo.
tm
c) e
mal
di¡r Figuta PB.l
8.2
El espaciador que muestra la figura fue recortado de una placa delgada y uniforme. Si la masa del cor¡ponente se denota mediante m, determine su momento de inercia respecto a a) el eje A,4' ,b) el eje centroidal CC', el cual es perpendicular al plano del componente.
8.3 F¡gura PB.2
r¡i¡
ale
vs€
Una placa delgada de nasa m se recorta en forma de triángulo
isósceles de base b y altura h. Deten¡ine los momentos de inercia de la placa en relación con a) los ejes centroida.les AA' y BB' en el plano de la placa, b) el eje centroidal CC' perpenücular a la placa.
i¡, F¡gura PB.3 y PB.4
B.4
Una placa delgada de masa m se recorta en forma de triángulo isósceles de base lr y altura l¡. Dete¡mine los momentos de inercia de la placa
sóli
en relación con los ejes DD' y EE' paralelos a los ejes centroidales AA' y BB', respectivamente, y localizados a una distancia d del plano de la placa.
E*l
e{
,
8.5
Una pl<.a deJgada de mara
liglra Determine ¿) el eje r, b) el eje y. Lra la
a tienc la lorma (r¿pezojdJ que rnues_ los momento\ de inercia de la plica.n relacjón con
Prob/emas
Figura PB.s y PB.6
,
8.6
Una placa de
grdl de
mas., rn I ieue la
lorma I rrpezoid.rl,lue rrrurr-
lra l¡ figura. Detennin¡. el molnento de ine¡ci¡ cle lc pla.a ,ollc¡ón .,rn "n a' el eje , entroidal CC' lcrpcndicul¿r J l:r plar.a. b. el ,te: p"..tJ" t y lo(.alr,,ddo d una distdncir dc l.5a rte la phc". "¡_ "l "¡
8.7 ,La enjuta ¡rrabrilicr rnostrad.¡ girír ah.e,ledor rlcl eje r prru for m.{r' un sot,do LIF_revolu(.ión lrurnogéneo de tnr.a m. Medi¡nie jnreerrc.ion dl re(ta.. exp rese cl rnor¡ento dn incrcjJ en .l rólido resp"r.lo ai eje.r.'en ter minos de n. y b. , . 8.8. , Dclermin*.por integrirciun djrc(id cl Inomento dc inrrci:r ,|"sDecto al cle : dcl , ono.ircular lruncirdo., l_a den,^ha si el r¡rlio,le lo base r, _ 2ry sc supone que cl (q¡r tiene densidad uni[onnc masa ¡,r. \
I b
t_
Figura PB.7
Figura PB.8
Ul área-que se rnuestr¿ gira alrededor del eje r par¿ forr¡a¡ un .,..8.? \(rroo oe¡revotucton homogenFo y masa m. \4Fdidnte integrdcidn direrta, cxprese ef momento de jrcrcia er el sólído respecto a a r eiele,. J- -" ¡, .r. 'J' ,. Erpre:e su. rÉsfueslr\ cr tér¡Iinos de ¿¡ I ¿ '
F¡gura P8.9
I
1
309
1
310
Momentos de inercia de masas
8.10 Dete¡mine, mediante jntegración dirccta, el mornento de jnerci¿ respecto al qje r de la pirámide mostruda si se supone que tiene densi rlad rrnilorme v nl¿sa ,r¿.
8.11
,]
Dctcnnine, nrediaute jntegraci(in directa, el nlomento de iner
cia respecto al eje y tle la pirárnide trostrada suponieldo que tiene densidad
\, ,...),.--'
'
unilomre v
rnas¿l ,¿.
B-11 l)ete¡nine,
ri-iedi¿¡te intcgr'¿1ción di¡ecta, el rnor¡ento de
iÍer-
cia y el ladio de gilo respccto al eje r¡ del paraboloide mostrado si tiene densidacl uniformc y rnasa nr.
*8.11
F¡gura P8.12
Un c'lelgaclo alanbre de acero se dobla en la fonrra inclicada. Denote l¿r nrasa por unidad de longitud clel alambre mediante m', y deter mine por integr'¿ción clirect¿r el ¡rornento de jnercia del alambre respecto a c¡rda uno tle los ejes coordenados.
Figura PB.13
8.14 cle su base
Figu.a P8.14
U¡a deleada placn trinngul¿r'tle masa n está soldada a lo largo All a un bloque, tal co¡ro se lnucstr¿I. Si la placa folm:r un ángulcr
0 con el eje q, detennine por integraciín dil-ect¿r el Dtomento de inelci¿ de la placa lespecto al a) eje r, ó) eje y, c) eje:.
8.15 En la {igura se muesha la sección transve¡sal de la rueda de ur ¡"ollete. Detemine su momento de inercla y su radio de qjro respecto aL eje rEl peso específlco del bronce es de 0.'Sl0 lb¡tn.r; el "del aceio. de 0.2b4
Probremas
M'.
lblin.', ¡ el del plásüco duro, de 0.0+3 lb¡in.3t
0.4 in.
5
in.
in
4
1.2
iú.
4.4 in
F¡gura P8.15
8.16 Se muestra la sección t¡ansversal de un rodillo. Determine su rnomenlo dc inercia y su radio de giro respeclo al eie A,A'. (La densidad del bronce es de 8^580 kg/m3: hdelaluminio.de2TT0Égrm3 yladelneopreno. de 1250 kglm3. )
B.l7 Si la coraza delgada semiesférica que se muestra en la figura tie_ ne masa m. y cspesor /- determine su momento de inercia v el radiJde giro respecto al eje r. (Sugerencia: Conside¡e que la coraza sá fo¡ma al extiaer un hemisferio de ¡adió r de un hemisferio áe radio r * f; luego descarte los términos que contengan I y fa y conserve los que contengan"ú. ) B.18 Para el aaillo homogéneo de densidad p que se muestra en la ffgura. determine a) el momento de inercia respecto aleje BB,, b) el valor de a1 para el cual, dado a2 y h, Iee, es máximó, c) el válor correspondiente de lrn,.
Figura É8.18
Flgu¡a P8.16
131
1
I
1312
8.19 El compolente de rráquind de acelo que se nrtre-stla lue Jor mado al Lrr¿qrdnal ui¡ l,eniisieúo en 1¡r b¿se cle un cono trunc¿clo Si la c'le¡ sidLrcl tlel Lrce'ro es de i b5t) kg^nl. dÉtcnnj¡e el ¡romento de inerci¿r del co¡rponente respecto al eie Y
Momentos de inercia de masas
Luego cle cierto perioclo cle rrso, ulla clc las cuchillas cle tlri desn,e,r,,z,lclo. se dJ-rgastó )' te¡iiró corro indica ]a figur-a v con peso de 0 1 th Si los ¡ro¡ieutos ie ineicia tle la crrchilll rcspect' ' I l¡'5 "ics AA'¡ BB' sor'' llb li s, r'e\Petti\ atrente. tletctde0.6x 10 ¡Ib'ft s2y 1.26x 10 rlrine ¿¡) la ubicación del áje centroldal CC" b) el radio cle giro respecto al
B.20
eje GG'.
Figura P8.19
Fiqura P8.20
r los br¡2,-,s Je un ¿¡lemómetlo se fab¡ican con nltrtep. nrorne¡tn .le illerciir cle un casc¿rró¡ heniislérico clel ei 5i rial de densiducl ú"Llo.,l, rnirsi ¡,, \ P\ne
B,2l
J-as col¡rts
pecto ¿l eje AA'.
U¡¿¡ abertura cuatl¡¿xla centr'¿l ¿tr¿vicsa el conlponelte cl' rnár.¡uirra de aluminio que se muestl a. J)etermine a) eJ valor de n-pilra e1 c'r '
8.22
el niornento de inercia del conpolelite respecto ril eie AA'" que biseca I¿
Figwa P8.21
srL
oeficie superior'üel aÉui.ro, ei rnítimo' bl los r':rlores correspon
.
Figura P8.23
1.8
I
i¡. \-
i 1.2 nr.
_..,,.'::r\t \
1 EUU J
8.23 El cotnponente cle mhquina rlrre se mttstra fire fabrietLdo-a par'hI rle rrna lrrri¿ rlc ac, nr de 0 0b i' d- 'spe'ur' Si el pcso e'pet rfit o rlel arern cs tl-. 490 lb/ftr. JctrrDrine cl nlor¡tnto de inercin del cornponente resPecto a c.rda
uno de
1os ejes coorden¿dos.
Probler¡as
3 mm de espesor se corta,v dobla Si l l"nsirnostrado'nlallgrrra nriiquin:r cotn¡onent" de nara li,rnrarel ¡s i 35rl kg/nrr. cletirmine el momento de ine¡cii¡ del comil..l d.l ", respecto a cad¿r ulo de los ejes cooldenados ponente"""ro
B-24
IJnapleza de hoja metálica
cle
Figura P8.25
Figwa P8.24
Una pieza de hoja metálica de 2 rr,ni cle espesor se corta v dtrbla .l c.imponente d¡ ¡j, ¡uina tltre sc tr-tuestril. Si la densid¿rd del d" 7 85U kg/r13. deter¡lint el rnomento de inerci¿r clel conponente ", respecto a c¿da trno de los ejes coordenados.
B.25
Daro formirr '"."ro
,l
8.26 IJ¡ anclaje cle estructuras
se lorm¿r colt acero galvatizado c{e 2 -sDesor Dcterlline el l¡ornelto de iner-cia del anclaie respecto I cada ru,r. de lc,i cjes c'rñrdenirdos. (La de¡sid¡d del ¿cero galwuizaclo es de 7530
lrm
cle
Lg/rn3.
)
i¡
8.27 Urra pieza de hoja de acero de I de espesor se-corta y doblr D¿¡a forl,r¡ el cámporrente de tr¿lquina que se rllrestr¿. Si el peso esper:íii, n rlcl ,'cero -s i,¡r.il ¿ +C0lb/ft'. d"termine el mc¡¡ento de inercia del cr¡rnponelte respect
cacla
uno
cile
¡-l)-,-"
l',*
los ejes cooldenados.
( 2É
ñti
," Figura P8.26
) .q
in
>,,Fiqura PB.27
*8.28
La pieza de escu¡ridor de techo rnost¡¿d¿ se forrr.ró -¿ paftir de una hoi¡L.le cobre que tiene espesor de 0.8 nn. Si el peso específico del co bre es ie 894r) kg/m1. determi¡e el Inomento de ine¡cia del escu¡ridor respecto a cada uno de los ejes coordenados
F¡gura P8.28
,/
1313
13f4
8,29 El elemento de máquina que se muestra fue fabricado con acero. Determine el momento de inercia del ensamble respecto al eje a) x,b) q, c) ,2,. lEl peso específico del ace¡o.s de 0.284 lb/in.3)
Momentos de ¡nerc¡a de masas
8.30
Dete¡mine el momento de irercia, respecto al eje y, para el ele-
úento de máqui¡a de acero que se muestra. (La densidad dél acero
es de
7850 kg/mr.)
\
Fiqura P8.29
200 mm
\ 50
ü¡n
at' :
100 mm
Figura P8.30 y PB.3l
/
zit.
1^ 2.2
8.31 Dete¡mine el momento de ine¡cia, respecto al eje z, del elemento de máquina de acero que se muestra. (La densldad del aceio es igual a 7850 kg/rn'. )
A
8,32 Una pieza fundida de aluminio tiene Ia forma que se indica. Si el peso especÍico del aluminio es igual a 0.100 lb/in.3, deter¡n;¡e el nrornento de inercia dc esta picza respecto al eje:.
c x n
E
E
fr
)
(
0
n
I
tlt.
d a,
ol
ft
e:
Figura P8.32
A
pr FiEu¡a P8,33
d(
8.33
Delermine el momento de inerciu para el elemenlo de máquina de_ccero que se muest¡a respecto al eje 4 r jr. b) y. 17 .r. (EI peso "rp.iífi"o del acero es de 490 lb/ft3.)
' Figura P8.34
8.34
Un alambre de aluminio con masa por unidad de longitud de 0.049 kg/m se emplea para formar el círculo ylos miembros recós de Ia
ffgura que se -.,eit¡a. Determine el momento de ine¡cia del ensamble ¡especto a cada uno de los ejes coordenados.
c(
se
m
lc
8.35 La figura mostrada se formó con ¿lambre de acero de 3 mm de diámet¡o. Si Ia densid¿d del acero es 7850 kg/rn3, determine el mon.iento de ine¡cia del alar¡bre respecto a cada uno de los ejes cooldenados.
8.36 U¡ alambre hornogéneo, con peso por unldad de longitud de 0.04f lb/ft, se usa p¿r'a form¿1¡ la figura mostmda. Determine el nomento de inercio del alambre respecto ¿ cada üno de los ejes coo¡denados.
con 1 315
8.6. Momento de ¡nercia de un cuerpo respecto a un eje arbitrario que pasa por O
Figwa PB.g6
-8.6. MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RESPECTO A UN EJE ARBITRARIO QI.JE PASA POR O. PRODUCTOS DE INERCIA En esta sección se verá cór¡o detelrlinar el monento de inercia de u1r cueryo respecto a un eje arbitrario OL que pasa por el origen (ffgura B.10) si sus momentos de inercia en relación con los tres ejes coordenados, así como con otras cantidades que se deffnirán más zrdelante, ya fueron determinados. nomento de inercia 16¡, del cuerpo respecto a OL es igual a ^El p2 tl',n, donde p denota la distancia perfendicrilar desde el eleirento I de m¿sa dr¿ hasta el eje OL. Si se denota mediante ¡, el vector unitario a lo largo de OL y con r el vector de posición del elemento dm, se obserua que la distancia perpendicular p es igual a r sen 0, lo cual represent¿ la nagnitud del producto vectorial I x r. Por lo taúto, se
ii i!
,/'
,
Figura 8.10
escribe
to,.:Ip,nrI^:IX>.rnd, Al erpresar ),
xr
e
(8.16)
en ténlinos de las cor.nponentes rectangulares del
producto vectorial, se tiene
/o/
f-
- jL'I,y -^4\''r
,.1,,:
-l.yr2 I ',\.r -,\..:':'/,,¡
donde las conponentes ).,, )., y ).. del vector unitario tr representan los cosenos directores del eje OL y las componentes r, y .' d" . t"p."" sentan las coo¡denadas del elemento de nrasa dm. Al desa¡roilar los términos cuadráticos y reagr-upar los términos, se escribe
t,, -¡ll'y'| -
¿..I,/
<2
ItÍ J
Jm
xy dnt
t Ail,z:-:2,d,n t:l,t:
-2t,)t
I!1, drt
-
Z)t,n,
Iz.x
y',rltn
dnt
rB. l7r
,t
131 6
N/omentos
de nercia de masas
Si se lecuue a l¿ts ecuaciones (B.3), se advierte que las primertis tres integrales er.i (B.17) reprcsent¿n, rcspectivamente, los momentos de inercia 1,, 1,, e l= del cuerpo con respecto a los ejes de coordenadas. L¿rs últim¿s tres integrales en (B.17), que implican productos de coordelradas, se denomlnan los prothrctos de inercíct del cuerpo con respecto ¿ los ejes r y y, los ejes y y 3, y los ejes: y r de m¿rnera respectiva. Se escribe
(t;f
1,": Jry dt,t
1,,.
=
ly'-dt,t
1.,.
-
l'-.r
dn
rB. 18'
Si se reescribe la ecuación (8.17) en términos de lns integrales definid¿is e¡r las
ecu¿cioles (B.3) y (B.I8), se tiene
Ic¡t.: IJi + t,ti?t + I): - 2t,,rL..)'.!t zlu"^a^. - zr",n.I.
(8.19)
Hay que observar que l¿r clelinición de los iroductos de inerci.r de rma rnasa determin¿rd¿r en las ecuaciones (B.18) es una extensión de la definición del producto de inerci¿ de ur: área (sección 9.8). Los productos de inerci¿ de rnasa se reducen a cero bajo las niism¿s condjciones de sinetrír¡ que los productos de inercia de áreas, y el teorema de los ejes paralekts par¿ pro(luctos de llelcia cle m¿rsa se expres¿n mediante l el¿rcjones similares a la folma que se obtuvo para el producto de inercia de un áre¿r. Al sustitujr las expresiones para t, y y: dadas el l¿s ecuaciones (B.4) y el las ecu¿rciones (B.18), se encuertra que
I,r:r,,r,+n*y 1..^
: l. - I nú1
(8.20)
r*:t.,.,+rrxr donde
i, yy :
son las coolden¿rd¿s del centro cle gravedad G del cuerdenotan los productos de inercia deJ cuerpo con (figu¡.a B.3). respecto a los ejes centroidnles r', V'
po e 1,,u,, 1,,,., e I-
¡
y:'
-8.7. ELIPSOIDE DE INERCIA. EJES PRINCIPALES DE INERCIA Supór.rgase que el momento de jnercia del cuerpo que se consideró en la sección ¿ntel:jol: se ha determinado con respecto a un gral lrúmero d" ejes Ol qre pasan por el punto fijo O y que un punto Q se ha graficado sohre cadr eje OL r urrr distancia OQ : I/\,q;, desde O. El lugar geornétrico de los puntos Q obtenjclo de esa rranera forma una superficie (figura B.1t ). La ecuación de esa super.ficie se obtiene ¿l sustitun l/(O?)r el vez de 1¡7_ en (B.19) y multíphcar. después a anbos lurlos de l¿ ecuación por r OP,-. \l obsen ar que
(op)i,: donde
r,
q
y:
1,r.2
r
(oQ)nr:
u
(oQ),\.::
delrotan las coordenadas rectangulares de Q, se escribe
+
l,Ju2
+ l'22
-
zl.yr.u
- 2lu"vz 21..::r:1
(8.21)
La ecuación que se obtiene es la ecuación de una superfície cuadróticr¡. Puesto que el momento de inercia 1e,_ es diferente de cero para cada eje OL, nir:gÍrn punto Q puede estar a una distancia infinita d¿ O. De tal modo, la superficie cuadrátic¡r que se obtiene es una elipsoide.
Esta elipsoide, que defilre el n.romento de inercia del cuerpo con res pecto a cualquier eje que pltsa por O, se conoce como la ilipsoide d.o inercía del cuerpo en O. q"g observar qle si se rotan los ejes en la {igur.a B.11, ctrm_ .bian Iuy los coeficientes de l¡r ecuación que define la elipsójde. \ a que sorr iguales a los mornentos y productos de inerci¿ tlel ,-Ésp""tn ".Lrpo a los ejes de coordenadas rot¿dos. Sin ernbar.go, la e1l psi,kle",,r., nirui permanece sin cantbío, pues su form¿ sólo depÁnde de l" dis¡-ibución de mas¿_en el cuerpo d.rdo. Supóngrrse que sé eligel conio ejes de coordcn¿das los ejes princi¡ales.r'. ii ') ^-' .1" h elipsoidc rle inerr.ir rfiRrrr.r B.l2\. Se sabe que l.r er.urciórr de lu e[ipsoide i.6n resl,ecto a e.tos"eies de coordenadas es de l¿ form¡
I.,x'2 + lr,t¡'2 -l
I.,z'2: l
8.7. Elipsoide de inercia. Ejes
de inercia
(8.22)
que no contiene ningrin producto de las coordenadas. Al comparar las ecurciones '8.! 1 , r , B.2l . se prr.de ol':enf,r rluc los pr,rluctos dc r nerclJ del ( uerpo L oll re\p¡"( lo a lo. cies r". r¡' y :',1,.her, set. ¡.ero. Lo: ejes:r', y' y:' se conocen comolos ejes prúrcíytttles d¿ inercia deI cuer po.en O. y )os coelricientes t, . I,, e I sc d*nolril¡ill utt,nt, ttlo\ j¡t,.¡ f p-ales dc irv-n ia deJ cueqrcr O. Iiay que obserr,'ar que, d¿do un iuer1ru de lorma ¿rbitrrria ¡. u r r pu nto O. iio' npr. posiblo .r,con I r.r r ej.s qu, "s son los ejes principales de inercia del cuerpo ón O, esto es, e¡es con r.especto a los_ cuales los productos de inercia del cuer¡o sol cerc,. De hecho, cualquiera sea Ja for.rna del cuerpo, los rirornentos y pro_que ductos de inercia del üismo con respecto a lós e¡es r, q y. q,,"'piro,l por O delinirún una elipsuide, 1 cs¡c terr,lrJ princio,rl.. "i"i, l,.,po'"n O.'o,,á ,u,, delinición. son los eje. prirr, ip.ries de iner.r i.r d'nl Si los ejes principnles de inercia r', 4, \ :, se usirn colrc, ei.s de coordenadas, la erpresión qr,e se obtiene .n-l.r t.cuaciri¡ rB.1g)¡lra el momerto de inerciir de urr cuer¡o con respecto a un eje arbitrniio que pasa Por u se reduce a
Ior= 1,,\1,+ t,r,Itr, + L,^:,
(B.23)
- _La determinació¡ de los ejes principales de inerci¿ de un cueq.rcr de Ibrml rrbitrrli¿ es .rlgo .oi,rplir'a,la I se arrrlizrrrd err lir siguienle sección. Sin ernblrgo. ltry mu(ljos casos en los qur los eje5 ¡rreierr ü sualizarse de jnnr¡'djrlo Con'idc¡.e. por *l c..r"o 1,,,,nog",,.o "¡errrplá, de base elíptica- que se nuestr.a e" li tiguia Bll3r este pu.á" dn, "o,lo planos perpendicula¡es de sinetría OÁA, y OBB' nutuamilte per_ pendiculares. De la definición (8.16) se puede obseruar que si los'pl¿r_ no5 r''y') y': eligen para qrre coincidrrn con los dn, ¡l,o,o. ¿J ,¡ .se metría, todos los productos de irercja son cero. Los ejés r,, r7, y:, elegid¡s de ese modo son, en consecuencia, los ejes prin"ip"les .1"" iie.-
F¡gura B.l3
cia del cono en O. En el caso del tetr.aed.o reg.,lar yiiomogéneo OABC que se mu€stra en la figura B.14, la lírea qué une Ia esqu"ina O con el centro D de la cara opuesta es un eje púncipal de inercia en O, y cual_ quier linea que pasa por O pery.ndicullr a OD larrhién es ,n, eie prir, tipal de inert ia en O. Esl¡ pro¡icdld e\ palente si obsen¿rnos qi¡,. al girar el lelraedro 120 grados ¡lrededol clc OD no cnrnhi¡ s,r fbrlr,,,, r
su distribución de masa. Se concluve que la elipsoide de ilercia en ó también permanece sin cambio bajo esta rotacián. por lo tanto, la elip_ soide es un cuerpo de revolución cuyo eje de r.evoluciór.r óD, y 1,, línea OD. asi como cualquier lín"r p6¡pe¡¿¡..u¡.r quc p¿se",pu, O,in be ser un eje principal de la elipsoide.
principates
Figura 8.14
1917
131 I
i/omentos de inercia de masas
-8.8. DETERMINACIÓN DE LOS EJES PRINCIPALES Y DE LOS MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA DE UN CUEBPO DE FORMA AHBITRARIA
El método de análisis que se describe en esta sección debe utilizarse cuando el cuerpo bajo consideración no teng¿ ninguna propiedad de simetía eüdente. Considérese la elipsoide de inercia del cuerpo en un punto dado O (figura B.l5); sea r el radio vector de un punto P sobre la superficie de la elipsoide y sea n eJ vector unitario a lo largo de l¿ nor:nal a esa superficie en P. Se obser-va que los únicos puntos donde r y n son coline¿les son los puntos P1, Pt y P3, donde los ejes principales intersecan la porción visible de la superficie de la elipsoide y los puntos correspondientes sobre el otro lado de la elipsoide.
Figura 8.15
Si se recuerda del cá.lculo que la dirección cle la normal a una su
perffcie de ecuaciónfr, y,:) : 0 en el punto P(r, r7,:) se define me üante el gradiente V/ de la función / para oirtenerl los puntos donde los ejes principales intersec¿n la superficje de la elipsoide de inercia, se debe, por lo tanto, escribir que r y V/ son colineales,
donde K es una constante,
vf : (zK)r r: ri + qj +;k,
(8.24) y
;tr t !r' - ul u vI i,i y, u
.,.\
Al recordar la ecuación (8.21) se puede obseruar que la función.f(r, correspondienle a la nli¡soidc de inerr'i¡ es
y,;)
: I,r2 + 1,fl2 + l"z2 2t,ory - 2l,,.yz - 21.-zx I ^) Al sustituir r y V/en la ecuación (B.24) e igualar los coeffcientes de los f(r,
y,
vectores unitarios, se escribe
l,x - I,r1¡ I-,2: -l-,x i Ioy - lo.z: I-r-I*y+l.z:Kz
Iúe
Ky
(8.25)
Al di\jdjr cxdr térnino lor LL,list¿rnci¿r r cle O ¿ p, se obtieler Ii,rtrei sjl¡ril:rrrr ,¡uc int lrtr"rr l,,s r'rl., no. dircctores ¡.. i
1.^. - 1.,/^,/ 1,j,-. = (,\. : {.yI. + 1,/I,/ L/^. : K^,/
-1-..^,
- 1,/-^,/ + 1^,I.
^,/
)
(8.26)
La trrsposicitin de lt¡s rnit:rrblos del lado derecho cond¡rce
- ()i.
:
Kn.
guientes ecuucioncs lineales hornogéncas:
- 1..I.:0 - 1,,.n, : 0 1..I. - I,/.^,/ + (r - K)I. : 0 (1.
ecu¿r-
¿r l¿rs si_
I_rtr,/
-/.vI. + (1,/ -
1()I,/
(B.27)
Pala r¡rc estc sisterna de ccu¿iciones terlg¿ ur.i¿l sohrciól difererte dc : trr : ),_- - 0, su discrinrjlaDte tlcbe ser ceror
,\.
u -r.t l¡.i,,, t, K I
i -/,
-¿.. -1,_
-r,t. ¿
I
]:u
(B.28)
1(l
Al expancli¡ este detennin¿rrte l,c¿¡rbi¿rr siglos, se escriltt:
A -./, - I. -t. K: t,t.t/. t,/,- t t.- tl,,_ t,,. /i/t tr,I ,t ._ t,t:. t,,t ._tt:.. lr..,t.,r.,_ ¡
B.j!J
Ést¿r es rur¿r ecuaci
y
Para r¡lrtcne¡ los coselos dirccto¡r,s clcl eie prineip¿l corresl)()r_ a la laíz (¡ , scr sustituve K1 pur. K.r, l¡s nru.cj,,nei (B f7 ). p'uest() que est¿s ecll¿Lctoncs ¿hora sol lire¿rhtrctrte cleperrdientes. sólo clos de ellas pucden utilizat.se clc detel.urin¿r. I., ,\,, v,\,,. Sin cntl¡irruu. es
diclte
posible obtcner ul¿ ecu¿lciól ¿rdiciorrl .Ll r'""orár. l,r s.ccjori2.t2 "r r¡re los coselos dilcctor-es debcl satisllcer. l¿ r.el¿rciót
^:+^;+^::l Al repetir cste procedirlriento col K,, v Ks, se olrtjencrr
(8.30) los
cosr_,Dos
clj-
n,.loli \ dÉ 1,,. otrus,l¡r..j,.. prirrliprl,.. AlLr ¡.r sc rnostr¿r.i 1ue _ltt: raíccs K1. K2 y Kj d.e kt cctutc:iLin (8.2g) s,)r lt'\ lL,ruLnht\ ¡'rinci¡,rlLs ,lc inen:fu del urttVo d¿¿lr.¡. Se sustitnve lir lrrtz A ¡rrrr':r K r lr lr¡i elr¡lci¡rres B.!G , 1 ¡,¡rrr ,t . ,\ r,\.l,rs r,Lí,_ r,.s corrr's¡rrrrrdi.rrles ,,,\ ,. ,\,.,r r ¡ cl,.'lÁs ¡1)sero\ ;ljrccl¡jros: sc s,rlril: , r hei, , (.r¡ir(jolc\. \r. rrrrrlti¡rlica r¡,,r¿{ l)or,z\ ¡ ,,\,,,¡ 1 r,\. , respectiv¿rillentc, cad¿ téru¡in
cioles y se surnal
l¿rs
to. Se r¡sc¡ihe
/,
h prit rrer a, s,.q,ut,la y ter.,lr¿ ecun ecu¿cir¡nes olrter,id¿rs nreJirrnte cst" p, o"r"cli,njen_
I /;,^,, i , l-,¡ ,,, - 2t ,,A, 1,A,,¡1 ^,'i - 21,,.(,\,r) (,\.)r - 21.,(,{-)11I,.)r : r
K1[r^,)i +
(A,i
)i + (1.)i]
Consitleraudo l¿ ecuaciól (B.19), se puc-:de obsewal qrre el mierrblo L,rdo izqrrierdo de r:sta ccu¿ción r-ópr-esenta el rnorrjento ,1". ir,r.,r"l" del cuer¡o coD respecto al eje pritrcipitl corresponcLiente ,, K,; é.ri. consecLreDtetlente el l1. omenlo p¡.jnci¡al Jr iner-cil co|.espontlielrte ", a es¿r rtíz. Por otro l¿rdo, de acuerd,, (.orL lir eculcj(ir (B.Jrt), 59 ..l¡aa,, que el rrierrblo del lado derecho se reduce a K1. De tal rnancr.a Ia fro_ pia 1( cs eJ moürcnto pritcipal de inerci¿. Sc puede dcrrlostrar cl'c l,t rnislrJ rrlrrer'¿t qre K¡ y K, sou los otros dos rnt¡nentos prirrcipales de irrercir del clerllo.
rbl
I
I
8.8. Determinación de tos ejes pr¡ncipates y de los momentos principates de inercia de un cuerpo
1g1g
PROBLEMA RESUELTO 8.6 ;1
--
"'1t-
-, l
'
//Z-.
r¡¡,j,1.¡*r" url lt-L\tni rretlllqrLliu de ntasa r¡¿ v lirtlos a¿, l), c. l)ctennit]e ¿) \ I,roLlui ln. rl¡ in, r', i:r,l-l ¡r,.rr.r LUtr rÉ\lr1t,).r lo: _¡,.. ,lc coonlc'naclas qrrc se rnuestr.a. á) srr r¡, nr/Lnio Je irler.(.ia ..,i, Áp".,,, i" a* golnl OB. "
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C,
-,.;')i-T
-
ro\ Ir',r ¡ nlus
I
--'=u
.oL'-'- - -,
-l-
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l) l
,,I1
I
I
SOLUCIÓN
|
a) Nltlrncntos ] ¡rr.oduckrs de ir¡cr.cir¡ c(rn r.csl)cc[() ¿r ftrs cies tlc crx¡-
-//
.', y'l':. , col
"",,,r,rilnt", respecto a los cuales k)s morúentos clc ine¡cia'sc ¿un ti_ grua B.9. se lpJica cl teorenra
¡,
+,n(4-: + z?)
Dc' rnodo sirrrilar.,
-T
: +n(bz+
1,,:t",
"t
c¿)
+ irrl]ó2
+
]¿e)
/, : l¡,,q¿: -' ,:1 .¡ I.-1¡ni,i+l|, 1
I
l'r,xluctt¡s tlc itu n it. DeL,i,ln., l,r sirretria. l,-,: t¡r,,rl,r¡.Lus rl_ in.r.r.r¡ uulr rF.l\,1,,.¡ los.i, s c-¡,rrn¡rl.rle. r'. ,/, \ :, \o¡ r_ro. ,.\lu: ci,.r.un cl_. ) prirrcipales de i¡erci¿r. Al rrtjiiz¿rr el t.,,¡e],,¿ rl. los elc' p"r.,l.,tor. r"
ti"rr,.
1,,,:i,,,,, + nrxr:0 + De mrxlo sir¡il¿¡.
,l+n,)(l;b [,,,:),ttrrlt
1,, :
D) trlorncnto de incr.ci¿r con r.(,spcc[(]
ecuacirin (ll.Ig):
I¿u =
1..tr.2
+ I,tIi + I.i:. _ 9I.,/,\..[y
t,
l,:
ttlt
¡ OIl.
t,
1
ttttrt 1
De acuerclo con l¿
- 2T|,:\,t),. 21..^:I"
doncle krs coserurs dircctores dc OB so¡r
OII ,{. :co{H.:_=
iP¡¡¡ +,'V-
OB
: ^!'
l'¡
k2¡ F;
" @:17-JtE
.i),/2-
\l :r¡'lrtrir l'n raln -r ol rfor rir, p¡1¡', ru' r"orr-'rln\ ¡ ¡rud,rc.ro, J, \ P.'ra 'r. ' o., lt,^ (l,fe, lntF\ plr'5.lr .,.u.¡¡icjll l,-ri /-* \_ li.nc t¡
a'+b2+c2tt ttlb2 + t:2)a2 +
"L
irc¡.,.i.r
rr(c2 + u2)b2 + !tr1a2 + b21c2
- !nn"b2 - ! r,.tb2c2 - ! nrc2a2l I /r:,r +, r,, .¡,/ = ,t, ,il,:--,'
1r
,/ + /,- +,
-
<
qltentutitu, El rno¡re¡to cle inercia l¿, se prede olrterrer J. l,r. r,,orrerrlo. ¡,ri.r, rp.ilc.,l, l" rIi-r,"',,. lirrc.r UÉí I'jrj., ¡o, cJ re¡¡rr,ido O. lrro.l,,,¡rre',"r,i^f,"f lu,, ej.s, . ,7, ,-,- ',n,i e1_, ' l\r'rn, iJ)rlps 'jr lrrr.ir. ,c rrtjliz¡ 1,, c.lar ior Li j.t. ¡o'r, *.".itií .
Solucií¡¡t
djr?(lanrFnl.
/.r?r
: l,i.: +1,,,xi, +i,,xl I ;.;Tl
I
',,¡r' rrr
."'" ',i;. o-h ,i,1'" ,n.,,1 ,
1320
tu ,t)l,t - llL t,:,t:
PROBLEMAS RESUELTOS 8.7
:
,
lt - 3" I | 2c para el prisma rectangular del probler¡a resuelto 8.6. cle_ los.momentos¡:rincipales de inercia en el origen O. ú los e¡e. !"j:"t1.,ll de Dercia en (J. pnnclpares
SOLUCIóN ¿.¡)
Momcntos,principnles de incrcia en el origen
O.
Al sustitujr
a = 3c y b = 2c en la solución del problema resuelto Ti.6, se tiene
1,-inc. 1,, = 'nc'
1,,- !- nc, I -t'n,.c2 lr.= - m.cz 1., -- i t,tcz
Al sustituir los valores de los rnomentos y productos de ine¡cia en la ción (B.29) y agrupando térmilos, se e¡cuentra
K3
(# m"n)xt + (I#m"co)x
-
:
ffm3c6
ecua_
g
Luego se resuelve para las raíces de esta ecuación; del análisis de la sección B.18.. se concluye que estas r¿uces son los momentos principnles
del cuerpo
en el origen.
Kr = 0.568867r¿c'? Kz= 4.20888tnc2 Ks:455162mcz K¡
,
: l).569irc2
K2:
4.2lnt:.
b) njes plincipales de ilercil en
O.
li.]
par¿r
:
,1.56rrc:
deten¡ina¡ la dirección
.,e un ejc pr¡ncip..l de inercid. se su.tituye prirnero el r¿lor correspondicnte de K en dos de las ecuaciones (B.27); lai eürcion", ,"rultanto i.,iio f" ecurrción 18.30'consütuvcn un sisler¡a de tres ecu¡t.ionec d"l .lual .s"on nosr_ ble dete¡mi'ar los coseios di¡ectores J" f", A, tes. De tal modo, piua el pdüer mome¡to p.i""ipal dé n".ciu fr'." iiene,
pr-ffir";;;:.;;r5r",
(f
-
o.soesoz¡ mc21,t.¡,
-*¡n¿"(¡.), + (+
-
-
jrncz(tru)r
- ],nc"¡x"¡r: 0.56s867)m"r(r;), f,mc2(t"1r:
o o
(^.)?+(ry)i+(r.)i:l
Al resolver, se obtiene
(I,)r = 0.836600 (I")r
:0.49600r
(I.)r
:
0.23255i
ángulos que el prirner eje principal de ine¡cia fo¡r¡a con los los (reruoas son eDlonces
(0.)r
:33.2"
(0,i
)r =
6t).r1.
id.r,
:
7¡1
e-jes
de coor_
¡;,
Utilizando el mismo conjunto de ecuaciones
(Ér.)2:57.¡l' (f/,,)¡: 1J6(J.
r0 r,:9S.0"
v /É
\-
- rl.s
u,. - ,¡ ,
0
lr,4 :1.
1321
4
En esta lección se definicror ).os prcductos de inercio cle nusa 1,,,. 1r" c 1., de un cuer?o y se mostró la fonnir en l:r r¡re se detennin¿in los n.iomentos deinelci¿ de ese cuer?o corl r'especto a uu eje arüitrario que pasa por el origcn O. Se apr-endió tambjén córno detenrin¿u' en el origen O los ajas pñnciptLles de inerr:ia cle un cuerpo ;' los nnn rerLtos principnlcs tle i[crc¿(¿ co]-respondientes.
1, Determinqción cle los 'procluctos cle inercíq tle nutsct cle un cuerpo com,puesto, Los productos de inercia de masa de un cuer?o corrpuesto con respecto a los ejes de coo¡denaclas puede:r expresarse corno las surras de los productos cle inercias de sus p¿rtes componentes con lespecto ¿ esos ejes. Para cada parte coniponente, podemos utilizar el teo¡erl¿ cle los ejes paralelos y escribir las ecuaciones
(8.20)
l.r-1,',,'*tttxy
Ir.:
1,,'",
* nty:
1.,:1.,.,anr^:i
doncle las primas denotan los eies centroidales de cada parte conponelte y dolde represent¿n l¿rs crxrrclen¿rcl¿rs de su centro de gravedacl. Ha¡ que tener presente que el producto de inercia de nrasa puede ser positivo, nog¿tivo o ccror v ¿se gurarse cle tornar en cuenta los signos de i, q y -.
i, I )':
a) De lus ¡tropieclad.es de simetríu tle una parte compotTente, cs posjble deducir que dos o los tres pr-oductos centroidalcs de inerci¿r sor cero. Pol ejenplo, es posible verificar qrre para ura placa delgada paralela al ¡rlano rr7, rrr.r alanibre que se encuentre en un plano paralelo al plano 14, un crreryo con eJ p)ano de simetríii para Jelo alllanory, y un c¡rcr?o de sirnetría paralelo al eje: los prothrctos dc i crciu de
y I:\, son cero. Para placas rectangulares, cilcul¿rres c¡ senrjcjrculares con ejes de siirettí¿r palalelos a los ejes cle coordenadas; alambres rectos paralelos al eje de coordeuadas; rüarnbles circul¿rres v sernicircrrla¡es con ejes de simetr'ía paralelos a los cjcs de cooldc lndas y prilnas rectangulares con ejes
b) Los ¡troductos rle inercie de nesa que son tliferentes de cero pueden calcularse a pnrtir de las ecuaciones (8.18). Si l:rien, en general, se rcquiere una ir)tegracjórr triple para detern.rin¿rr un producto de inercia de nasa, es posible recrrrrir a una soJa integración si es fáctible cliüdir el cuerpo d¿do en un¡r seúe rle placas delgadas paralelas. Los cálculos en ese caso son similares a los que se an¿lizanrn en l¿ lección anterior correspondiente a monlentos de inercia.
2,
CcíIcull¡ del. momento de inercia tle un cuer¡to con reapecto a un eje arse obtuvo una expresión parr el uromento de inercia Ie¡., la cual se d¿r en la ecuaciór (B.lg). Antes de calcular 1¿7. se debe determin¿u plir.i')ero los momentos y productos de inercia de rnasa del cuerpo con respecto
bítrario OL. En la sección 8.6
a los ejes de coordenadas dados, así como los cosenos dircctores del I'ector unit¿rrio z\ a 1o largo de OL.
i].
CóIcu.lo cle los momentos principales de inercia tle un cuerpo q ¿eteltnínación, d,e sus ejes ¡trincipales cle ínercio, En la sección B.7 se üo que sierLlprc es posible encontrar una orientación de los ejes de coorclr:naüs. para lo cunl los prodrrctos dc ilerci¿r de rnasa se¿r cero. Estos ajes sc colocen corrio los eje.r principales
tI
u) Desurrol.l,o del determinonte en la ecuaciótt (11.28) ry solución tle la ecuación cúbica rew tante, La solución puede ol)tencrse mecli¿lte ens¿lyo v er.r.ol. o, de prcfcrcncin, con el ¿ruxilio de un¿r c¿Llculaclora cieltíficir ¿r'¿urzacla o mediante el soÍtrv¿¡e de cornputadora adecu¿do. L¿rs r¿íces 1(1, 1(1 r 1(,; clc csta ecuáci
b) Puru detennínqr
La dirección cle los e,ies prínci¡tales corresponilietúes se susütuye este valor para K el dos dc las ecuilciores (B.27) )' se resuelven iunto con la ecuación (B.30) para los cosenos directores clel ejc principal corespon
(¡
K/
diente ¿ Kr. c) Repetir esle procedimiento con Ke r¡ K¡ para deterniilar. las direcciones tle los ohos dos ejes priucipales. Como vcrificación de los cirlcukrs. es posible rerificar c¡ue el ploducto escalar de cualesquiera dos de los vcctorcs ultitildos ri lo largo de los tres ejes obtenidos es ccro yr en cotsecrrercia, clue estos ejes son pcrpelclicul¿res en-
tre
sí.
d) Cuanclo un momento principal de inerciu es uproúnntlunente igual a ut7 ttuomento de hterciq con respeclo tt tm e.ie de <:
1323
¿
8.37 Determine los productos de inercia 1,,,, 1,,. e I- del elemento de máquina de acero que se muestm en Ia figura. (El peso específico del acero es de 490 lb/ft'J.)
B.38 Determine los productos de inercia 1.u, Io. e I- de la funüción de aluminio que se muestra. (El peso específico del ¿luninio es de 0.100 lb/in.s)
8.39y B-40 Determine los productos de inercia I,,r,Ir. e 1- del com ponente de máquina de aluminio fundido que se muestra. (La densidad del aluminio es de 2700 kg/mr.)
"l
Áeo
'"1l
--<"\"-
tr $-u..
''-\><¿^-"-\ Figs'a P8,39
1324
i4 6mm
14
mm
r¡m
r
-\ 8.41 a 8.43 Una sección de lámina de acero con B mm de espesor se recorta y dobla para forma¡ el componente de máquina que se muLst¡a. Si la densidad del acero es de 7860 kfm3. determine ios productos de iner_ cla.
I,o,
Ir.
Problemas
e 1* del componente.
Figula P8.42'
F¡gura PB.4t
Figura pB.4g
Figuta P8.44
B./M Una seccíótt de lámina de ace¡o con 0.0g in. de espesor se corta y dobla para formar el componente de máquina q,_r" ," -.r"rtru. Si el peso específfco del acero es de 490 lbifts, dete¡mine loi productos de inercii 1,r, Ir. e I* del componente. 8.45 y 8.46 Para formar Ia figura mostrada se util¿ó alamb¡e de latón cuyo peso- por unidad de longitud es ¿{r. Determine los productos de inercia I,v. lT e 1., de esta figura de alambre.
Figura P8.45
Flgurc P8.46
1
325
Momentos de inercia de masas
8,47 La {igura que se muestra está fo¡mada con alambre de aluminio de 0.075 in. Si el peso especÍfico del aluminio es igual a 0.10 lb/in.3, deter_ mine los productos de inercia 1.r, 1r" e I- de esta {igura de dlamb¡e.
F¡gura pB.4Z
Figura PB.il8
8.48 Un alambre hornogéneo con masa por unidad de lonsitud de I.5 kg/m se rrtiliza para formar la igura mostradal Determine los ploducros de inercia 1,r, 1r. e I- de esta ffgu¡a de alambre.
de
Po¡
um qu(
8,49 Complete l¿ deducción de las ecuaciones (B.20), las cuales e\presan el teorema de ejes paralelos para productos de inercia. 8.50 Pa¡a el tetraedro homogéneo de masa m que se muest¡a, ¿) de termine por integrución directa el producto de inerciá I.,, b) deduzca l,- e 1,,/ a partir de los resultados obtenidos en el inciso ¿J.
F¡gura P8.50
dobl¡ ineIC
I
deter
deffr
f
8.51 El cilindro circula¡ homogéneo que se muestra tiene masa ¡¡_ Detemine su momento de inercia respecto ala hnea oue une el orisen O s el punLo A localizado sobrc el penmeiro de la superficle superior r#l cilin.
mine medi¿
d¡o.
Frgura P8,52
8.52 El cono cí¡cular homogéneo que se muestra tiene masa m. De_ termine su momento de inercia respecto a la línea que une el origen O l el punto A.
E
de los sea
u¡
En la ffgura se mrestra el elerrento de máquina del problerra -_ ^^8,-53 B.29. Dete¡mine su nlorrento de ine¡ci¿ r-especto a la línea que ti¡e el o¡_ gen O y el punto A.
Probremas
Figura pB.53
8.54
'lc for
Det-rrnin- -l rrr',mcnto (lc irrerci:r parir el F¡r ||rcnto de rn.ilru .rJ el.u nroiirtrlu .n 1,,: ¡robl-rrrr. fi.3 t \ g.J;. rec¡ectu.d e¡. q,,"'¡,,,." el ñr'i{cr ¡ lorrn:r ánqul,-rs igrr:rJes lurr 1,,< ej*: r. r :.
:¡'
4
8.55
La placa delgada y cloblada rlue nuestra la figura tiene clensjclad
,. unifo¡r¡e y peso lV. Deternrile su monlento de inercia-r.especto a la línea
que une el origen O y el punto A.
'lt...,
lt t
-...'....*."
F¡gura P8.56
8.56 U¡a sección de lárjna de cspeso¡ f 1, dellsidacl p se recorta y dobla para formar la pieza mostrirda en la'ffg,ra. óeternine ,r, -.-""i" ¿" ine¡cia ¡especto a la línea que une los puntás A y B.
8.57
Prra los componr,,t{.s de rnLiquina de lo5l)roblernus 8.2.1 y B.4J,
, dtstcfl¡rni. ct rnornentu de ir er,.ia res|c<{o al {_jc que pds.l pnr el urigen - -- "-', definido ¡.redirinte el vector unitario
L^: (
¿i
/si i kilg. '
. 8.58 a 8,60 _Par.r la ligura de alarnbre del problemr indicaclo, clete¡ mrn¡ er n,orncrto de innr(ia res¡ecto al cje que pJsa ¡or el oriqen de[inido rre¡lri,nle cl \c( tor unilarjo I - , -3i - 6j t 2L- 7. B-58 P¡ol¡lema 8.36 8.59 8.60
Problema B.35 Problema B.ll4
. , 8.61 P.rra_rl prisrn¿L rectmgular qlre se nuestra, detelmine los vi¡lores de lus cocjenle: h t ¡ , u de rll¡n"ra qu" l:r elip.uide dr irercirr J.l prisrr.r r.,r urrl nsleru cr¡ando,e cak.r,l- ¿ en el punt,,'A. 1r,.,, .l ¡,,nro Á. '
b 2
t Figura P8.61
x
1327
1
328
Mornentos de inercia de masas
8.62 Para el cono circular recto deJ problerna ¡esuelto B.3, detemine el valor del cociente ¿//r pnra el cual la elipsoide de inercia de cono es una esferu cuando se calcul¿ ¿) en el ápice del cono. ó) en el centlo tle la base del cono.
8.63 Pa*r el cilincl¡o circulit honrogénec) .lue se rnuestr-a, cle radio I, deterrnine el vnlor del cocielte a/l pala el crul la elipsoide cle ¿¡
y longitud
ine¡ci¿ del cilinch-o es una eslera cuando se c¿rlcula ¿) en el centloide del cilindro, b) el el punto A.
F¡gura P8,63
8.64 Dado un cuerpo arbitr¿ o y tres ejes rect¿rúgul¿rres:r, y ),:, dernlrestle que el r[o¡-lento de i¡ercia clel cuer?o er] rel¿ción col cu¿lesquiela cle los tres ejes no puecle ser üayor a la surua de los üo¡lentos cle inerci¿r clel crrerpo respecto a los otros clos ejes. Es decir, delruestre que se satis{lce la desigualdal l. = 1,, + i- y las J' 's clesigualclades siu.flares. Adernás, pruebe qu. 1,, > *1, si el rucrpo rs un s,ilido de revolución homogérea, donde r es e1 eje de revohición v y uD eje transvemal. 8.65 Consicle¡e un cubo cle masa m. y lado n. a) Demrestre que en el ceDtro del cubo l¿r elipsoide de inercia es una esléra, y utilice esta plopiednd p:rra detenr-iinal el mo¡rento de i¡erci¿r del crrbo lespecto a rrna de sus diagonales. b) Corrpruebe si en un¿ de las esquinas del cubo la elipsoide de inercia es ula elipsoicle de revolució¡, v determine los lno¡rentos ile inelci¿ princip:rles del c¡rbo en ese prnto.
8,66
D¿rdo un cuerpo
ejes rectangulares
r, y y:
homogéleo de mua li y for-lia irrbitlatia ) ttes con origen en O, dcnuest¡e qrre la snna I.
+ I,/ + I. de los niomentos de inercin de1 crrer¡o no puede sc:r ¡tenol'a la suma simila¡ calculada para una esfer¿ de igual m:rsa y el misrno naterial certrad¿ en O. Además, con los resultados clel problema 8.64, compluebe que si el cuerpo es un sírlido de ¡evoluciór, doncile r es el eje de revolución, su momento de inercia 1,, al:'ededor-cle un eje transversal ¿/ rro pue(le ser rlenol a 3nra"/10, donde ¿ es el ¡adio de la eslera de rnasir _r' ¡r¿rter-ial idén ticos.
.8.67
Figura P8.67
El cilincl¡o cjrcular bornogéneo que se müestla tiene ll-rAs¿,ir?, \' el diámetro OB de su superlicie srperiol fbrn.ra áugulos de 45'con los ejes r v :- a) Deterrline los r¡omentos principales de inerci¿r del cjlindro en el origen O. b) Encuentre los ángulos firrrnados por-los ejes pdnci¡rales de irer cia en O con los ejes de coorden:rd:rs. c) Dibuie el cilindro )' rnuestre la orien t¿ción de los ejes principales de inerci¿ en relación con los ejes
r,
¡/
y:.
8.68 a 8.72 Par:r Ia courponente que se describe en el problena indic¿do, deten¡ine ¿) los mornentos principales de inercia er el origer, ü) los ejes princip¿les cle inercia en el oligen. Dibuje el cuerpo e intlique la orien tación de los ejes prilcipales de inercia eD relación con los ejes r, y y:. *8.68 P:oblenra B.53 *8.69 Problernas B.33 y B.37 *8.70 P¡oblerna B.55 *8.71 Problenra 8.56 *8.72 Problenas B.36 y 8.58
La segurda rnitad del capítulo se dedicó ¿ l¿ detenrinación de ¡¡¡o_ ntentt¡s cle i¡tet-cío tle nutsas,It¡s cu¿les sc t¡ncucntralr en ünlulic¿r en ploblernas que irrplicrur l¿r r.ot¿rción de ul cuer¡o rígido nlrecle dol tlc rrn eje. fl rnoirrerrto d- irrelr.ir de Lus¡ Ji r¡¡r cLle¡)(, co)r
respe.to;r un eje,4"A' figrrrr B.
¡6
sp
¡,4omentos de inercia de masas
/'
d¡.firiri (.onro
t-1,',tu,
(B.1)
donde r es l¿r distar¡cia desde AA' ¿l elemeuto de masa lsecciór B.1]. El rrLdio de giro del cuerpo se definió como
(B.2)
/al
o-;;1 .o ,, \,nl ,
Los rnomentos de inercia de un cuerpo con respecto a los ejes clc coorderrad¡rs se er?res¿r:orr corno
,,:
I e'+:2)
(tnl
\:lé+x2)dn
/
/^ F¡gura B,f6
(B.3)
L: | 6" + rt2) dnL Se lra üsto que el teorerno de los ejes po.rablos o tet¡renut d.e Steiner se nplica también a rnomentos de inercia de m¿s¿r lsección 8.21. De tLrl rnodo. el t¡rr¡nrenLu de inerci¿¡ I del cueruo r.on resuc<:lo r un eje urbitrar.ioAA'rligurl B,.l;l puede F\]rresirlse (,orro
l-I*nd2
Teorema de los ejes paralelos o teorema de Stetner
(8.6)
Fiqura B,'f 7
1329
1330
Momentos de ¡ne,cia de masas
[¡oinentos de inercia de
p
acas delgadas
I es el ruomento de inercia del cuerpo con respecto al eje centroidal BB' que es parllelo al eje,4-4', n¿ es Ia n.ias¿r del cueryo y d es la c'listancia entre los dos ejes. dondc
Los mornelitos de ilercia de llar:n s delgad.us pueclen obtcnerse con facihdad a partir de los mornentos de inercia de sus irreas fsección 8.31. Se enco¡rtró que pil'a rrla plnco tzctangttkrr los rnotnertos dc inclci¿ cori respecto a los ejcs qLte se nuestran (figur-a B.18) s()lt
l¡¡, : |nn2 ln", : |urb2 Icc,: ls.t,+ l,r,r: I n(p2 +b2)
Figura B.l8
Figura B-19
nljerltlas que para una ¡rlccn
clitrlar
(figura ts.19) son
l,Y1':Iss':lntr2 : It,¡,+ Is¡, : f,ntr2
Ic:<:,
Cuerpos c()mpuestos
l\4omentos
de nercia con respecio a un eje arbitrario
(8.12) (B.13)
(B.t4) (B L5)
Cu¿urclo un cucr?o posee d.os pllrnos de si¡nelrítt sueler ser posi-
ble utiliz¿r-ura solu integración pnra detei.ntin¿r su monentó cle r'nelcia con respecto il un eje daclo para deterri.rinar un eje de nnsa /¡i¿ como una placa delgad.r lproblemas resueltos 8.2 y 8.3]. por otro laclo. , ¡¡¡n,lo un ,.',o,1ro ..1á r.o,np,resto p,,r r',rric' f ,ñtttt:
nolrelto
Í(t t,,, l:yrl,'t
t.,.
- jy:,1',t 1,:]:.t¡/¡n
,lJ.t\
se elcuentra que el rnon-ielto de inelci¿r del cuer?o con respecto OL podr'ía cx'presarse colDo
tot.: iisura e.zo
t^)1 +
r,¡i + t.L: -
2r.\i_).q
-
zt,F¡,¡"
- 21.¿.¡. (B t9)
¿r
Repaso y resumen delapéndice
Figura 8.2'l
Al graficar un punto Q a lo largo de cada eje OL a una distan- Wlo¡- desde O fsección B,7), se obtuvo la superficie de una elipsoide, lo que se conoce como la elipsoide de inercio del cuerpo en el punto O. Los ejes principales x', g' y z' de esta elip soide (figura B.21) sotlos ejes princi,pales tle inercía del cuer?o; esto es, los productos de inercia I.,,r,, 1,,,., e I",,. del cuerpo con respecto ¿r estos ejes son cero. FIay muchas situaciones en las que un eje principal de inercia de un cuerpo puede deducirse de las propiedades
Elipso de de inercia
cla OQ
de simetúa de este mismo. Si se eligen estos ejes como los ejes de coordenadas, es posible eryresü entonces I¿¡- como
ts¡,: t).f;,
+
t,r,^tr,
+ t=,i:'
donde 1.,, I,r, e 1., s otlos momnntos princípales
d.e
(8.23) inercía del cuerpo
en O. Cuando no es posible obtener los ejes principales de inercia mediante observación lsección B.7], es neces¿rio resolvel Ia ecuación cúbica
r lt
K3
-
(I, + Iy+ r)K2 +
(1"r,/
-
turn^
(t,I,tt.
-
\I2y^
+
t,rI-^
+
t--1.
- Ér- 4"
- r"F"a - 2t,al,r.t",): o
l?*¡x (B.29)
Se encontró [sección B.8] que las raíces KL, Kz y K¡ de esta ecua* ción son los mornentos púncipales de hercia del cuerpo dado. Los cosenos directores (I,)1, (,\y)r y (trJr de los ejes principales correspondientes al momento principal de inercia K1 se determinan entonces sustituyendo Kr en las ecuaciones (B.27)y al resolver de manera sinrultánea dos de estas ecuaciones y la ecuación (8.30). El
mismo procedimiento se repite entonces utilizando K2 y trG para determinar los cosenos directores de los otros dos ejes principales fproblema resuelto B.7].
Ejes pr ncipales de inercia lvlomef tos prlncipales de inercia
B 1331
Fqndamentos para Ia certificación en ingeniería en Estados Unidos A hrs ingenieros se lcs soljcit¿r que obtcugan un¿r licenci¿r cu¿ldo su trabajo nfecta cn fonla clirecta l¿r salrrd, la segu dad o r:J bienestar públicos. Se ilter.it¿r ¿segur¿rr qrrc los ingenielos ¿lcanccrr Lrn rnínimo de c¿lificació¡r, la cual incluve cornpetencia, h¿bilicl¿d, experiercia v carácter. El proceso de certific¿rción ircluve rrn exr¡rer itici¿rl, ll¿rr.ir¿rdo Funtlanrcrrtrtls of Engütcering l:xaDLination. ¿ce¡-ca de ln erperielcia profésionnl, v tn segunclo c¡x¿urcu denoltin¿i<1o Prütci1tlcs t¡td Proctice of Engineerhg. Quienes a¡rricban estos exllrnenes obtieneu l¿r cer
tificación de lngenie
t'o
profeslord. Lns pmebers se desiirrolJan b4o 1os for Engineering tutcl Sur.
iirrspicios deJ Natü¡¡wl Council tlf Erauúners
El primer-exanren, Furdanrcntol.s of Engirrce ríng Examitl(tiot1, se puecle plesentrir justo ¿ntes o despues de la gruduaciól cle ul pr-ogran.ra de estucljos de cu¿ltro lliros. El ex¿unet ¿rr¿ljz¿ los contenjdos de urr prograna normal de licenci¿tur¿ en ingenier'ía que incluye dinhmic¿r. Los ter.ras que aborda dicho exalrten se cublen en este libro. L¿r siguiente es ull¿r lista de las plincipales hreas tem¿iticas, en refelencia a l¿rs secciones del librc dorde apiuecen. Talrbién incluye problcmm que pueden resolver-se con el objetivo de repasnr el n¿rteli¿rl.
Cinemática (11.f-f 1.6; lI.9-11.14; f5,2-15.8) Problemas: 11.4, 11.5, 11.38, II 64, 1.1..69" I1.102, 15.4. 15.59, 15.64, 15.79, ró.I12, 15.r.{r)
15..10,
Fuerza, masa y aceleración (f2.1-12.6; 16.2-f6.8) Problen¿rs: 12.6, I2.5, i2.30, 12.32, f2.37. 12.48, f2.53, 12.61, 16.2, 16.7, 16.13, 16.22, 16.31, 16.43, 16.56, 16.58, 16.73, 16.79, 16.131
Trabajo y energía (13.1-13.6; 13,8, l7,l-17.7) Plol¡lemas: 13.6, 13.8, 13.15, 13.18, 13.45, 13.46, 13.47, 13.56. 13.61, 13.66, r7.2, ri .4, I7.20, r7 .23
é"''¡ erul.rvtEuA m u !iarauorrcn'? Éññcr,ffiolnilr,,-,^i
lseoj
Aceleracirin, 602, 632, 642 absoluta, 956-958 angular, 920-921, 985 conrplementaria, 974 corrponentes de, rormal, 663-66ó radial, 666,667. 645 646 tangencial, 663-667 tr¿nsver\¿l hl-)b-hh / Co:iolis: en nror.'imiento plano, g73-975
en moümiento tridinrensional. 99E-999 de dos partículas, 648-649 cle la gravedad, 618, 722 en el ¡rovimiento gener.al de cuerpo úgido, g87 en moümiento de cuerpo rígido alrededor de un
punto fijo, 985 en rnovimiento plano, 956-958 en movimiento tridimensional. 998-999 en rotación, 920-92I. 998-1000 rel¿tiva: de una partícula: en movinriento general, 987
con respecto a un sjstema de referencia en movimiento gener.al, 999 1000 con respecto a un sistema de lefe¡enci¿r cle rotación, 973-975,998-999 con respecto a un sistem¿ de referencia de ar¡st¡(ron t14 / en rnoüniiento plano, 956-958
Amortiguamiento coeficierte de, 1261 crítico, coeficiente de, 1262 sobreamoft iguamiento, 1262 sub¿mortigu¿rmiento, 1262 viscoso. 1261
Amplitud, I2I4, 1216 Anrllogo eléctrico, 1265 - f268 {ngulo de fase, 1216 1217 ''ángulos eulerianos, 1183 1184
'
Apogeo,734 Afticulaciones urfversales, 996 Ariomas de mecánica, 1030-103I Bal¿rnceo
de ejes en rotación, 1169
dinámico, 1169
Bino:'nr¿rl.665
Boquill.r de Bolda, 900 Cab¿llo cle potencia, 764 Canticlad de rnovimiento angular (oy'ase Cantid¿d de lirrxin.riento angullr) consenracií)n de, E64-1J65 dc ur cucrpo rígido, 1104-1107, 1147-11SI de una partículir, 694-695 Cantidad cle ltovimiento lineal (udas¿ c¿rntidad de
nrovimieuto lireal) conserl'ación cle. 720-72I, 864, 1107 de ur cuerpo r'ígido, 1027 1028, ll05-1107, 11.171151
de ul sisten¿r de partículas, 859-8ff), 862-E6,1 de una partícula, 718-721 t,rsa rln ¡.arnbi,r (i*. ;l\ ;19. tl60 363, l0l;, ll65_
I166 Canticlad de novirniento line¿rl consenT¿ción de, 694-695, É106, Éi64 de rrn cuerpo ngido, 69,1-695, 1105-1106, 1151-I152 cle un sistena de p¿¡tículas, 8ó9-860 de rina partícula, 694 695 tas¿r cle c¿rnbio de fl59-860
Centro cle rnasa de ul cuerpo rÍgldo, 1029 cle un sistenra de ¡raitículas, 860-8E6, 1104-1107 Cent¡o rle rot¿ci(i¡ inst¿rnt¿i¡e o. 945-917 Centr<¡. Vá,¿.sc r¿¿¡r¿l¡ll¡¡ Cent¡o de masa de oscilacitin. 1229 cle percusiól, 1062, 1114 cle rotació1, ilst¿ntáne¿. 945-g46
Centroclo, 947 cle un cuerpo, 947 espacial,947 Ci¡rétic¿r. 602
de cuerpos ígidos, 1026 1201 de cuerpos rígidos: en movirniento general, 98i en utovilltiento al-ededor de un pu¡rto fijo, gEl_
985.9E6 cn novimiento plaro, 932-958 en ¡otacióD ¿rl:.ededor: de rur e1e filo. 91g. 921
en traslacirin- 9l8-919
1337
2
1
338
nd ce ana írico
cle partícuJas, 602 683
ell ln(Jvirniento cutvilíneo. 641-683 er mo\¡iniento rectilírco. 603-634
¡roriniento relativo, 616-619, 646, 647, 973-978. clc ¡rartículas, 692-843
úgiclo
cle arnortiguamielto crítico. 1262
(}rliete.890
Corr-iponente
r
rclial
ilcelcl-rt( l(,n {-lllh-lrlr, (le ve¡()ctoafl ()l.)ll-llt) / LIC
Cornporrt'nte tangenciirl cle l¿ ¿cele¡-ació¡, 663-664 Corlponcnte tr¿nsven¿l rle aceleración, 668-669 de velrcidad- 668-669 Clo¡nponcntes
de aceleraciót (oy'zrsr: Aceleración, componcntes de) de l¿ deriv¿rd¿r dc urla funci(in vecto¡i¿rl. 644 de nrornelrtr¡ argrrlirr: dc rLna partículi, 720 7g1 dc ur cuerpo rígiclo, 1149 1151 de veL¡cid¿d (oáasr: \¡elociclad) nonnaics de la rceler¿rción. 663-664 Cornponentes rectarrguliues cle aceler¿cirin, 645-fi46 de l¿ dcrivadr de una funciórr vectori¿l, 644 de momeutos angulares, dc una partícrrla, 718 7Ig de ur.r cterpo ígido, 1148-1I51 de r-clocidacl. 645 646 Colo de u¡ cucryo, 9E5, J 1fi7 espacial, 9135, I1f37
Ci¡nsewaciólt de energía: pala partículm, 784 785 de un siste¡ra de partícrrlas, 864, 875 err vib¡¿¡ciorrc¡s.'1 240-124 p¿r'¿ cuerpos rígidos, 1186-1187 1
de tiomento angular, 720-721, 864, 1107 cle ¡¡o¡¡rento lineal, 695, 805-607, 864
rrome¡to.
86.1 865
(i.nrstaDtc de resorte, i.59
clel¿rd¿r i
angular'. 919-920 cle
'
posiciril, fi)2, 603, 604 r.elatir:r.618
(-¡ rorrlen¿clirs
:Lllt(11_1r.t\ O(l
:-
1..:
r I E6-11¡J7
e¡ caíd¿ libre 618
de ¿ur)ortigu¿tnie[to viscr¡so, ]261 de rcstitucitin, ¡J2I-E23, 1120, 1122
Cr¡¡
Cuerpo ¿rliisirrétrico bajo ninguna l:'uerza, movimiento de,
998-I000 de sistenr¿rs de parlículas, 856-g05 Círculo ¿ruili¿r', 1216 Coeficiente de anortiguaniento, J 261
cle
CollienLe de partículas, 886-889
¡s
666
cinemática de (oáase Cinemiitica, de cuerpos r'ígidos)
cinética de, 1026 1201 vibraciones de, 1228 1229, l24l Cuerpos compuestos rronentos de inercia cle, 1300 crrrva de acele¡¿rciór.r, 604 605, 630 de niovirriento, 606, 630-631 velociclad desplazanriento, 631 vekrciclad-tiempo, 630, 631 Curr''atura, radio de. 664 665
D'Alembert, Jean, 1029 I)ecremento logarítmico, 1271 Defi¡:m¿rción, periodo de, ÉJ20,821, I120 Densid¿d. 1299 Derivada de fiucií¡r vectori¡], fi,13-645 cle prorlucto de funciones escalares y vectoritrles, 641 de producto escaln¡ 641 de procltrcto vectorial, 64,1 Des¿cdei'acióri, 605
Dilgrtrnirs ¿iceleraciór tiernpo, 604-605, 630 tk:spl¿z¿rli.iiento tiernpo, 603
velocicl¿tl,tiempo, 603-632 Di{¿¡enci¿r de {irse, 1265 Din¿'uric¿r, delli¡riciti¡r de, 602 Discr¡ dcsbalance¿do, I054 I)istanci¿r 603
Ecu¿ción de diagrari.ia de cuerRo libre, 1031 Eorr¿cionr:s
de lnoürliento: p¡rir un cuerpo axisimétrico, 11861187
par¿
Lrr.t
ouerpo en dos dinrensionesr en rotació[
no centroidirl, 1052-1053 en rllovimierrto plano, 1029 para un oueryo tr.iilinension¿¡l ¿lrededor de su contro cle m¿rsa, 1165-1166 ¿hededor ¿le un prrnto fijo, 1167 l16g eD rno\,irniento general, 11,16, 1165
en rotación alrededo¡ de un eje lijo,
Il68-1169 para
nl
gir-oscopio, lt83-118.4
par¿l un sisterta dc partícrrlas, 860 862, ¡t63, l
¡i68_¡J6!)
piua ura partícula, 697-698, 719-721
r¡dice añalit¡co
Ecuaciones de noümiento de Euler
l
166
Eficiencia, T64 r],nclc¡ncla
l¡ecimcr. /b4
Eje de espín, 1185 de precesión, 1I66-11E7 de ¡otación, 916 instartánea, 9.15-946. 998 Ejes inclinados, liorrentos de inercia, 1315, 1317 Ejes principales de inercia de masas, 1316_1317 Elementos diferenciales paru momerrtos de ine¡cia: de áreas de masas- 1300 Elipsoide de inercia, 1316-1317 de Poinsot, 1198 Elipuje, 889, 890 Energía cinética: de una partícula, 760-762 de un cuerpo rígido: en moün.iiento plano, 10g4_ 10E5
en rotación, i085,1086 en tres dimensiones, lI52-I153 de un sistenra de paftículas, 873-874 conservación de (oáase Consewación, de elergía) niecánica total. 784 785 potencial, 781-782, 785, 1086 Energa |inétita. Vá¡¿ Energ.ra cirretir.¡ ¡,nergra mecamca. /ói) Energía potencial gravitacional, 781,782 Energía potencial, 781-785, 1086-1087 Engranes análisis de, 9s5, 959
planetarios, g4l Equilibrio dinámico de un cuerpo rígido: en rotación no centroidal, 1052
en movimiento plano, 1031 de una partícula, 69g Equinoccios, precesión de, l1g3 Equipoiencia de fuerzas externas y fuerzas efectivas, 856, 1027. 1716 Equivalencia de fuerzas exte¡nas y fuerzas efectivas para un cuerpo ígido, 1029, 1166_1167
Espín, 1180 Euler, Leonhard, 1166 Excentricidad, 7 32, 1260 Facto¡ de ¿moftiguamiento, 1963 Far.tor de rm¡lilir.ac ión. I253-'l265 Flechas
giratorias, 1169 rot¿ción de, 1169
1339
Flujo de fluidos, 886-889 ¡oco (te secc()n cónrcá /:12 Forma de determlnante para momento angular, 718 Fórn.iula de transferencia. Váase 'feorenra de ejes paralelos F¡ecuencia. 1214
crrclllar
lZ
l5
forzada, 1251, 1253
natural, 1217 Fricción en un fluido, 126l Fue¡z¿t
cent¡¿I, 720, 72f,786 ' centrífuga, 699, 1053 conservativa, 7 83 7 84, 785. 7 86, 827 de inercia. 699 efectiva (r:éuse Fuerzas efectivas) efecto inveftido (o/rase Vector de inercia) exte¡na, 856 gravitacional, 7 21 7 22, 759-7 60, 78I-7 82, 7 86 impulsiva, E07-808 interna, 856, E57 no consen'ativa- 785 no iutpulsiva, 808 Fuerz¿ eféctiva in.ertida. Vár¿se Vecto¡ de inercia Fuerzas efectivas, 656 para un cuerpo r-rgido: en nrovin-riento plruto, 1029, 1030 en tres ümensiones, i t67
Función complenrentaria, 1264 de potencial, 783 vectorial, 641-644 derivada de, 643 645
Giro, radio de, 1297 Giróscopo, 1183 1186
Gradiente, 784-785 Gramo, 696 Gravedad aceleración de, 616, 722 Gravitación constante de, 722 ley de Newton, 721 722
Ilelicóptero, 899, 1f 18 Hertz (unidad), 12I7 Hodografa, 6,12
iillili,
1340
jnd ce añalítico
ceniral: directo, 820 823 oblicuo,823-826
rectangular, 1297 tec¡rem¿r de ejes paralelos, 1298 deterriracirin cle, por integracióu, 1300
elástico, 822-823
e\cértrico, II20 I\22 lírea de, E20
ejes inclinados, 1315, 1317 Mr¡mentos cle n¿rsa cle inelci¿. 1296-1317 Momentos pr-incipales de irrcrcia de mas¿s, 1316 Motor a reacció1. 888 Mor.'imiento
plástico, 822
Impulso angular-, 875, 876 lineal, lJ05 lJ0ti
absoluto.647
y canticlad de ¡rr¡ümjento, principio de (oy'znc Principio cle irnpulso y cantidad de rnovinientcr
helcia
¿ilrededor de un punto fijo, 984-986, 1167-1168 ¿il¡:ecleclor del cent¡o de r¡¿s¿, 862 E64, 1035, 11651167
arnoni( o. rirr'¡1". t2l4 lll8 I'ajo urra luerz¡ r.enlral. i3l-732
ejes principales de: para un área
para un¿ m¿s¿, 1316 1.319 elipsoide de, 1316 1317 monento de (o/asc Monrcntos de inercia) productos de: de ¿'r¡e¿rs de rnasas, 13f5 1316 teorena de ejes pardelos, 1316
rrrnrlrnt-r)
{-r!r2
,
¿L
l
de centro de m¿s¿, lJ60-ti62, 1035, 1167 de crierpo ¿L\isimétlico bajo ninguna firer.za, 118611¡JE
cle rodamiento. t 053-1054
de un cuerpo rígido, 916 1202 de un sisten¿ dc partículas, li56 903 de ur.ra pa:tícula, 602-843 ecuaciones de (oácse Ecuaciones, de nor.imiento)
Kepler, Jolrnnn, 735
Kilogranio,695 Kilómetro, 696 Kilonervton, 696 Kilowatt, 76il
general,987
inpulsivo, ¡i08, 1120 leyes de Newton cle (oéasc Le,r'es de mor.imjento de
Ley dc. Neuton dc gravitaci(in 721 722 cle movirnjento: pririrera segunda, 693
Nelton) plar.io (oáase Movimiento plano)
Leyes
rectilíner¡, 603-6,10
de Keple¡ 735 de Nelr'ton (cdasz Ley de Newton)
relativo (oácse Movimiento relativo) Movimiento absoluto de unl paftícuJ:r, 6,17 Movirliento arnórico simple, 1214-12I8 Movimiento curvilíneo de una paftícula
Libra fuerz¿, 696-697 Libra rn¿sa, 697
clnerliirlr(:1 (lc {r4l hr9 cinétic¿ cle. 697-744 Movimiento de rodamiento, 1053 105.1 Movjrnierrto clependiente, 6l g ñIovimiento general de un cuetlo úgido, 987 Movjmiento impulsivo, 807 EOE, 1120 Mor.imiento planetario, 735
Mas¿r,693 N[ecánic¿r
espacial, 732 735, 786, 790
principios de, 103()-1031 \lc',rni\rn.1 dc Cirrel'ru, 9iti, y7? \,legagramo,696
\l{todo
de n.ic¡ncnto-írrea, 631
\Iétoclos prácticos pala la soJuciól de problemas rnovimiento ¡ectilíneo, 630, 631
\tet¡o,695 \lilí¡retro.696 \ Iisiles b¿lísticos 734 \lorrrentos cle ilercia, ].296-1317 cle cuer¡os compuestos, 1300 cle lor¡r¿rs geonótric¿s cr¡nunes, 1301 de n¿¡s¿s. 1296
\.
l3l7
placas delsaclas, 1299-1,300
: : :,ripal. 11316-13I9
Mrximierto plano lestringido, cle
1051-105,1
Movil.iiento plano, 917 ¿ry)teri)Cton Lr )n s en. 9 /J-V , 5 cinemática cle. 932-958
ecu¿ciones de l¡rovilniento en. I029 energía cinétic¿ en, I084-f085 equiJibrio ünánico en, 1031 fuerzas eféctivas en, 1029. 1030 momento en, I104-1106
lestdngido, 1051-1054
Movirrielto rectilíneo de una partícula, 603-640
lnd¡ce anatítico
uniforme,6l6
Peso, 695-696, 729
unif ornlemente ¿celerado. 617-61g Movi¡riento rectilíneo uniforne. 616
Movirr.iiento rectilíneo ultiformeDrente aceleraclo6l 7-
6t8
Movimiento relativo de dos partículas, 6lg 619. 646-647 de una paltícula: co[ respecto ¿ un sisterna de moviniento general, 999_1000 con respecto a u¡t sistem¿ de rotación, 973-975- g9g9C9
col respecto a un sistena de traslación.
646_647
ll87
Plincipio
JE un ( uerTo rigiJo. lI\6 I tA; 1240_t¿4i de un pénclrlo sirnple. 1229
de impulso v morreltoi de unn partícula, g05-g07 de ur cuerpo rígido. 1I0.1 1t06, 11ó1_1152 Je urr ri.jcIrr dL.¡r.rrti, rrlas :ii_),6
Je lr.rhrjo
ll51
Par-es
de inercia. I03i giroscópicos, 1185
monento, 1I05, 1106-1107, ll5I_t1Sq P¿rtículas
cinemática de (oy'ase Cinemática, de partículas) cinética de. 692 893 moümiento ¡elativo de, 61E_619, 646_647. 973_977
Peralte de curva, 6g8 Pe¡cusión, centro de, 1062, l1l4 Perigeo, 734 Periodo de defbmaciól, 820, E2I, Il20 de restitución, 820, B2l. 1120 de vibración, 72f4, 7216-1217 amoftiguada, 1268 subanrortiguada, 1216-1217
de equinoccios, 1l9B
Precisi
Oscilaciones
conpuesto, 1237 simple, J218-1219
Potencir de salid¿, 764 Pr-ecesión, I183. llSb-11á18
Plecesión estable de gir.oscopio. tI85 1186 de tronrpo, 1191 Precesión lib¡e. 1187. I l8ti
Órbita circular, 734 Orbit¿ elíptica. TJ3. 734 Orhita geosincronr, 726 Oscilación, centro de. 1229
PénJLrlo
Posiciót relativ¿, 618, 647 Potencia, 763-764, 1087 Poteucia ile entrad¿, 764
PrecesióD dir.ect¿, 1167
geosíncrona, 728
96;
Pl¿no invariable, l19E Plamr osculante. 668 Polhode, 1198
estable. I 185-1]88 libre. 1187. 1IE8, 1193 retrograda. 1187
órbita, 738-734
P¿rr de inercia, l03l Par de cantidad de rnoviüiento, 1105, 1106, 1150, Par giroscópico, l18b
Pie, 696, 697 Pistola, retroceso de. 1272
directa,
Normal principal, 668 Nutación. 1183
siilern¿s de r.¡,4.!, Si.trnr¿i Je parhi.ul.rs, vrnri¡croIes dc /¡.;1rp \ ibrilt.i(,n¡.Jl
194i
r,le
I
ele¡rlía cJ- rr rr ¡arrr¡¡la. i6o l6J l]qi'1,, lo\.i-rrj\f ll.-,j ltj3
¡¡,r¡e¡p.
de un sistenra de pmtícui:rs, 675 Principio de d'Alembed. 1029. 1167 Plincipios de mecír¡ric¿r. 10110 l03I P¡oblema de movinierrto rectilíneo, solución
¿rnalítica,613-616 gráfica,630-631 P¡oducto de inercia: cle ut ¿i¡e¿ cle ui¿rsa, lil15_1316 vectori¿l t ple, 920 Productr¡ cn¡2. l?¿¡s¿ proclucto vectorial
Producto
cle
esc¿l¿r¡
derivacla de, 641
Producto triple
lectori , 990
P¡oducto vecto¡ial deriv¿da de, 641 Productos de rnasa de inercia, 1315_1316 Propulsor, E89 Prr') c( tii. 616 693
Radio de cun'atu¡a, 664-665 de giro, 1297 Rapidez, 604, 64I-642. yéase tqnbién \reloc1.d:¿d,
roninal, 703
1342
indice analitico
Razón de fi'ecuelcia, 1253 Resonancia. 1253 Resorte
energía Potencial, 7li2-783 luerza ejercida Por, 759 Restitución r:oeficiente de. 821 823, L720,1722
periodo cle, E20, ¡J21, 1120 Revoluciírn cuerPo de, 1300 Rotacirin. 916-91ii a¡:elorada unifo¡'memcnte, 922 centro instarltáneo de, 945-947 centroid¿Ll (o1-as¿ Rotnción certroidal) crinemátlc¿r de. 919-921 ecu¿lciones de ¡rovinriento en, 1052-1054
le irsLJnl,in,1) dr' t"145 946.99q 1694 lrt85 energi¡ rinéticrr "tt. equilibrio dinámico en' 1052 L
fuerzas e{éctivas en, 1030, 1052 rnomeltto en, 1105-1106 no centroidal (tl¿se Rotaciirn no centroidal
unifb¡me),922 Rot¿ción acelerada trniformemente' 922 Rotación centroidal energía cineitica en, I084-1085 fue¡zas efectivas en, 1030 momento en, 1106, 1107 Rot¿rción no centroidal ecu¿ciones de t¡rovir.l-tiento en, 1051, 1052 ener:gía cinétjc¿r en, 1086 equilibrio dinámico en, 1052
fuerzas efectivas en, 1053-l{)54 momelto en. 1106 Rot¿rción unifbrme, 992 Ruedas, 1053-1054 Snlto lidráulico, 901 Satélites, 722, 1'32. 734.736, 790 S¿télites terestles, 7 22, 732, 7E6 Sección cónica. 732
Segurdo,695,696 Serrieje nayo¡ 735 Seurieje menor, 735
Sistem¿.698 centroidr¡]. 863, 864, 1.147 I148, 1152-1153 en ntor-irniento general, 999-1000 er tr¿slación, 614, 646, 647 nesto¡riarlo- 693 694 r¡riatorio. 9i1 975. 998-999
mornerto iugular de, 859-E60, 862 865
¡:entro de masa de, 860, 862 ecuaciones cle movimiento de, f157, E58, E60-864 energía cinética de, 873-874 principio de impulso de un momento, 875-876 principio de trabajo-energía, 785 variable. 886 de unidades, 695-697 Sistema absoluto de unid¿des, 695 Sistcnra de referenci¿r rotatorio, 971-975' 99E 999
Sistella de unidades graütacional' 696 Sistema inerci¿il, 694n
Sistena Interucional de Unidades, 695-696 Sistenas de partículas variables, 886. SJug,696 Suspensión cardán, 1183 T¡sa J" carlhi,' de momento angrla¡ 718-719,836, 1027, 1165-1166 de nomeuto lineal, 859-1160 de un vecto¡ 644-645 con resPecto a un sistema rotato¡io, 971-973 Tensor de inelcia. 1149 Tensot, inercia, 1149 Teorema de ejes Paralelos para momentos de ilercia: de áreas de masas, 1
29ál
para productos Teoren, a cle
c1e
inerciar de áreas de mas¿rs, 1316
Euler 984
Ticnrpo periótlico, 732-735 Tonel¿d¿r métric¿. 69tir¡
'lt.üajo de firerzas sobre ur.r cuerpo rígido, 10fi3-1084 cle la {uerza gravit:rcional, 759-760 de ul peso, 758-759 de una fuerza ejercida por resorte, 759 de ula fuerz¿. 756-760 y energía, principio de (aéosc Pincipio, del trabaio y la energía) Transmisibilidad, principio de, 1030 Trasbordador esPacial, 902 Traslación,916 cantid¿d de movin.iiento en, 1105 cinerní¡tica de, 918-919
crrwilínea.916 energía cinética en, 1086 fuerzas eféctiv¿s en, 1030
rectilíne¿.916 Trayectoria de proyectil, 646, 734 de vehículo esplcial, 733-734
hiperbólica, 733 parabólica, 616, 733-734
índice analítico
Trompo
en rotación. 919-920
precesión estable de, 1191 Tubo de rayos catírdicos, 717
nominal. 703 relativo (oáasa Velocidad relativa)
Unid¿des. 695-697. Véase también sistemas de unídades es¡tecíficos
Unidades del SI, 695 696 Unidades del sistema usual en Estados Unidos, 696-697 Unidades métricas, 695-696
Vek¡cid¿d relativa de dos partículas, 6tE, 646-647 de una partícula: en rnoürniento general, 987 con respecto a un sistema de moümiento general, 999-1000 con respecto a un sistema de rot¿ción, 973-975, 998
Vector de inercia para un cuer?o rígido en movimiento plano, 1031 para una partícula 699 de cantidad de moümiento, 1105, 1106, 1150, 1151 de posición, 641 rel¿tivo, 647 Vectores
inercia, 699, 1027 morrento, 1105, 1106, 1150, tISI posición, 64I, 647 t¿s¿ de cambio de. 971 973 Vehículos espaciales, 732, 734, 7 4L-7 13, 799 Velocidad, 603, 64I-642 ¿bsoluta, 934-935, 945 947 angulaa 920-921, 985, 9E6 componentes de, radial, 666-667 rectangular, 645-646 transversal. 666-667 de área, 72I de escape, 616, 734 en movirniento de cuerpo rígido alrededor de un
punto fijo, 985 en r.novimiento de cuerpo rígido general, 9E7,
con lespecto ¿ un sistema de trasl¿ción, 647 en movimiento plaro, 934-935 Ventilador, 889 Viblaciones, 12L4-1287 amoftiguaclas: [<>rzada, 1264-1265
libres, 1261-1263 de cuerpos rígidos, 1228-1229, L240-124I estado estable, 1253, L264, 1267 forzadas, 125I-1253 amoftiguadas, f264-1265 no amortiguadas, 1251 1253 frecrrencia rte. 1217-1218 libres, 1214 1251, 1261 1263 amortiguadas, 1261-1963 no anortiguadas, L2L4-I24I no ünortiguadas: folz¿da, 1251-1253
libres, 1214-1241 periodo de (oánse Pedodo, de vibración) to¡sion¿I. 1231 transitoias, 1253. 1264, 1267 Vibr¿ciones amortipgadas. \¡éase Vibraciones, amoftiguadas Viento de hélice. 889
988
en moümiento plano, 934-935, 945-947
1343
Watt, 764
iln lls sigtricn(cs
P:iginas sc prcsent¿n las rcspueslrs a los problcrrras cuyo níunero esrli crr crlrcreres rcc(os. Las respucstrs.r
t¡¿ora sc ¿xn cu wrvrv.mhhe.c<¡¡n/bce¡:iohnsronS CAPíTULO
11
11.65 11.66 11.69 11.70 11.71 11.72
,.r) / : 3.33 s. 1r) I = 11.07 ü, ¡ : 6.35 m/s. ¿) ¿ : {1.333 s.1r) jr = ?.i4 ú, ¿ = 3.67 m/s. r : 52lt, t = I l5 ft/s. ¿ = 192 lt/s¡. r- - 562 i ., r' : 770 in./s, ¿ = 76.1 in./s.. r = 2'10 mr¡. ¡ : 4.39 rn/s. ¿/ = 24.0 nr/s.. i! = 24.0 ¡],n, ¿ : 43.9 ¡m/s!. ¿ : 1.,{27 ft/s,1 = 0.363 ii. 1 1.10 o : 0.1973 frls. ¡- = 0.J98 f¡. 11,11 ¡: l.il60 lrls.r = 0.393ft. 11.12 r = 1070 rr¡r/s, r- = 5t0 mrr, 2580 rlrrn. 11.13, =0{. j \= tr,Jsrn. 9';rn
11"1 11,2 11,3 11.4 11.5 1'f -6 11.S
11.16
'11.19
¿
rn.
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¿
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6.30 r¡/st.
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11.30 ¿)7.l5lan.¿) 52 L x l0 rjl/s'c) ,199rnnr. 1 i.34 ¿)r = 2.:l,6o0T,a: ¡ L¡¡l'j'. b) 0.36i't¡,. 11.3s r) 3.05 nvs'. r) 8.77 m^r. 11.36 'f
1.37
11.38
a) 125.3 n. b) 3.17
s.
¿) 6 ft/s, . t') 180 fi/s. r) 6 s. r) 180 fi. 11.60 s. 50.4 rn. ¿) 9.63 s,68.0 rrr. b) o1 a) 976 fi. b) 8.E6 tt +.
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11"52 11.53 11.54
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11.59 11.60 11.63 11.64
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11.58
9.13 km/tr.
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CAPíTULO 12
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13.87
CAPíTULO 13
13.1 13.2 13.5 13.6 13.7 13.8 13.11
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3
cAPrTULO 14
14./1
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1.1¡.3ít 3 240 lr 'lb.
13.159 a) I2 ft/s +. b) 21 li/s +. 13.160 ¿) 6 ft/s l) 6 fiÁ +. 13.163 a) 2.70 li/s b 1 2.12 ft/s +. 13.164 vi = L773 m/s 15.00"; vi¡ 2.19 n/s =d 50'. 13.165 vl1 0.71I u¡.c 39.3': v; = 0.636 ¿o E 15'. 22.6'. 13.166 vi 5.22 ftls +: vl = 9.25 tt/s 13.1S 7 vj vi = 9.90 ftls . 5.10 {t/s
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14.24 152.6 fi)i + (8.?710k. 14"25 ¡1 = 919 m/s¡ oo = 717 m/s¡ uc : 14.31 ¿) 3550 J. b) 1830J. 14.32 2670 J.
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34.7". b) 11.28 J. c) 1.280 Ír/s d) Ll54 nts +.1r) 1.292 nr/s lb. 13. t50 ¿) 6.07 1tls J. L) 0.0611 . s, ,171 13.151 ¿) r¡J7.9 N . s. ó87 J. ó) r50.rl J. s. 11.37 J. ¿) 4.5 s, 13.5I. ,) 3.7s 13.t5? ¿) ¡.i = t.3,n/s +;xl:2.2ttt/s+.b)2.841. 13.158 0.875
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(3300 n)i + (t50 rn)j + (900 rn)k. 30.0 {l/s, 3.64 s = 24.1 ttti/h: ac = 48.1 rri,fi.
a) 2.1.3 ]n/s b) A 36.6". x1 3.46 rn/s, 2.91 m/s. oD 1tN.2.2 a) 2.01m/s. ü) 2.21 m/s. '14.?3 14.69 mi4r al estc, i10.2 mi,4r ¿l sur 8.20 mi4) h¿cir ¿bajo.
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14.101 4 r50 fi. 14.102 87.2 ni. 14.103 ¿) 1ó3.4 km. ¿) 5670 m/s f. 14.104 56.4 km. 't4.1Q7 a) 4.25 fi/s
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¿) (r.867 m)i + (1.5s3 ln¡ + (0.667 l¡)k. L) (12 kg . m^)i + (28 Lg ¡n^)j + (14 kg . (9.8 kg. m'!Z9i + 1]S.SS kg . m?s)¡ (24.3 kg . m?tk.
m/tk.
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't4.l t I 3 510 ft. -267 ft. 14.113 va : 12.00 ftls i 60.3'j vs = 56.B ltls =< 14.115 ¿) 41.8'. b) 45.2lb J. 14.116 C = 30.1 lbJr D:40.1 lb',f. 14.'117 ¿) 30.8 ür/s. D) 96.7 mr^.6) 55.4 kw
17.6".
CAPÍTIJLO 15
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a, = -(126.r in./s:)i (74.3 in./s')j + (246 in./s'])k. 15.10 v¡ = -(18.72 ir./s)i + (6 in.,/s)j - (7.8 in.A)k. a, = -(3 46 h./s,)i (27.6 in./sr)j + (73.I jn./s!)k. 15.11 v¡ : (1.08 D/s)i + (2.4 rn/s)j; a¿ : (11.52 m/s'?)i + (5.r8 nts!)j + (23.r n/s')k. mA¡ (1.8 m/s)k a.. (1e.2 nrs¿)j - (15.6 m/s.)k. 66,-¡00 mi,fi, 19..17 x l0 3 ft/s'
15.12 v. = -(2.a
15.15 15.17
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b) 771 ü¡/s'T 76.5'. 12 raüs!. ¡ o J.
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15.:|l]2 -(0.333 ln^¡. 15.2$3 -(0.12 n/s)j. 15.204 o1lcos 20". ¿) (1.463 ¡¿d/s)i + (0.1052 rad/s)j (L125 in./s)í. (71.3 i,r /s2li + t49 5 in./s'¿)i
b)
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in./s)j (48 in./s)k. (288 in./s')i (864 in.,/s,)k. (7.22 ft/tk. a) (2.25 ttLs)i + (3.90 ¿) -(93.2 lt^!)i + (12.15 fr,/s,)j (48 ft^,)k. a) (0.48 ll/s)i + (1.5 llvs)j + (2.64 In,/s)k.
15.214 a) (72 in./$i + (30
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-(8.16 n/sr)i + (1.970 m,/s¿¡ - (2.96 nvs')k. ,t ' n$r"i-,,353m\j .t.u'5m,k. ¿, q.46. " ¡-,t.9;0n..j,i 4.5h "r k. 1r)
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b) (r50 rad/s')k. ¿) (1f1.75 fvs,)i (200 ftls,)j. 15.1s2 .,,er,0(L,"re -."su)l¿-,e \r ,it\, /L rI \;'eno-'oso/j
15.215
+. rl/s +.
i Z¡rc j: az =2üa í fti2 jl = u = -qj + u2lr + 2ua)i; aa = ta2 + zur,)j. at : rali + züdj: a, = 2uui - tu]j: a r-- - t"t' 2',u.i: a, = t-' 2',- ¡ ,?l 5.1 rad/s2 J. ,) 33.9 ft/s, i 45". aL
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- (1.047 ttls)kj - (3.17 tus¿)k.
15.152 a) 11.25 rad/s f. b) 1.875 m¡s 5.
c)
15.212
15.151
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¡¡ls')i (t.230 nA')j rad/ti
(0.17a5 (0.524 rud/s)j. (0.091a rad/s¿)k.
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'15_20ti
15.148 ¿) 5.16 rad¡s J. b) 1.339 m,/s 60.. 15.149 It67 rnnvs F 51.¡J". 15.150 a) ror,, = 3.61 .o¿r., "p.,BD:27.2ftls D) ro6¡ 3.00 rad/s l; vr.BD 16.6? ft/s
1
(0.83I
a) ó)
r) -(096 m/s,)i + (2.,1 m/s,)k.
i5.?05 ¿rr cos 20".
I
.,,1"",;+ -.-], *,,i*",
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(40.2 l.aüs)k.
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15.191 a) (20
4!9'^ - (b'+xl^f/z 'n"u^ -, -, 1",,1 = '-
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15.188 a) -(20 raüs'¡.
t29 ¿),{ rad/s ¡. ú) 24 r¿d/s'¡. c) t0 m/s'1.
15.1:7
-
15.184.
15.18s
¿) 11.10 rad/s' J.
81..1 r¿d/sr J.
ü) {10.6 fVs)i + (l4.4ltls)k. .
15.t 28 15.
d. =
fvti + (I0.8 fvtk. 15.183 o) (40.9 rad/s)i (30.1 r'ad/s)k. 1r) (14.4
¿) 1.E3 ¡r,/s¿ ó) S.05 1¡/s2 s- 72.5". ¿) 5?.7 rud/s'I. ir) 2s.9 rad/se /. 15"!16 ¿,) 24.8 ird/s' I. l,) 30.6 lltd^'J. 15,127 ¿) 228 rad/s: \. ,) 9t.0 rad/s' J.
15.131
3.81 rad/s J:
'15.182 a) (30.1 rad^)i
ft/s'I.
494
15.120 986 ft/s' 1. a) 24.4 n/s2
=
'15..181 100 mm/s.
l.
15,118 ¿) 3 r¿d/s': \. b) 3 ¡ad/s'J.
15.1!I
rds
15.179 ro, = 1.596 r'ad/s l¡ as = 57.6 x5.180 11.43 m/s2 L 36.7'.
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