Dimension Amen To Di Un Muro in Cemento Armato

MURO DI SOSTEGNO IN CEMENTO ARMATO

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Il muro di sostegno in cemento armato è maggiormente utilizzato per altezze di terrapieno superiore a 3 m, in quanto le elevate caratteristiche di resistenza del materiale impiegato (conglomerato cementizio armato) permettono di ottenere spessori notevolmente minori di quelli necessari per il muro a gravità. È formato da una parete verticale e da un solettone di base e proprio quest’ultimo elemento, per effetto del contributo fornito dal peso della terra gravante sulla porzione a monte del solettone, assicura la stabilità al ribaltamento dell’intero manufatto. La parete verticale risulta incastrata alla base sul solettone e, quindi, soggetta a flessione e taglio; pertanto occorre posizionare armature metalliche nella parte tesa della parete. Il solettone di base viene scomposto in: - solettone interno , incastrato sulla parete verticale, soggetto al peso della terra sovrastante e alla reazione del terreno sottostante, per effetto dell’azione di schiacciamento. Potendo prevalere sia il carico superiore sia la reazione inferiore, il solettone interno è progettato con armatura doppia simmetrica; - solettone esterno , anch’esso incastrato sulla parete verticale, soggetto alla sola reazione del terreno sottostante, risulta teso esclusivamente nella zona inferiore.

DIMENSIONAMENTO MURO IN C.A. Mentre i muri di sostegno a gravità sono dimensionati, mediante la formula di verifica a ribaltamento, imponendo che il momento resistente M R sia maggiore del 50% rispetto al momento spingente M S, i muri di sostegno in cemento armato sono dimensionati con criteri empirici. spessore parete in sommita: a ≅ 20 cm spessore parete alla base: bp ≅ 1/10 h lunghezza solettone di base : s ≅ 1/2 h lunghezza solettone interno: si ≅ 1/3 h lunghezza solettone esterno: se ≅ s-si-bp spessore solettone: hs ≅ bp+5 cm altezza parete verticale : hp ≅ h-hs Al dimensionamento di massima fa seguito il procedimento di calcolo delle armature metalliche nella parete verticale, con relative verifiche a flessione e taglio.

ARMATURE PARETE VERTICALE Come detto, la parete verticale viene studiata come una mensola incastrata alla base e soggetta al carico rappresentato dal diagramma delle pressioni del terrapieno. Per semplicità, gli sforzi di taglio T e di momento flettente M sono calcolati prendendo in esame alcune sezioni caratteristiche (il numero è in relazione all’altezza della parete, comunque almeno tre, compresa la sezione di attacco sul solettone). Sulla parete si individuano le sezioni: B-B alla base della parete C-C a circa 1/3 h p dalla base D-D a circa 2/3 h p dalla base

http://web.tiscali.it/docentinervi/murocemarm.htm

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A-A in sommità della parete

In seguito si calcolano le spinte sulla parete di altezza AB – AC – AD rispettivamente e i relativi punti di applicazione mediante le note formule: γ 2h 90 − ϕ S = t h 2 tg 2 ( )(1 + 1 ) intensità della spinta di un terrapieno con sovraccarico 2 2 h h h + 3h1 y = distanza del punto d’applicazione della spinta dalla base 3 h + 2h1 Ottenendo, così: Spinta S (KN/m) 2h 90 − ϕ )(1 + 1 ) 2 2 h AB γ 2h 2 90 − ϕ S AC = t h AC tg 2 ( )(1 + 1 ) h AC 2 2 γ 2h 2 90 − ϕ S AD = t h AD tg 2 ( )(1 + 1 ) h AD 2 2 S AB =

γ t

2

h AB tg 2 (

Distanza y (m) y AB =

h AB h AB + 3h1

3 h AB + 2h1 h h + 3h1 y AC = AC AC 3 h AC + 2h1 h h + 3h1 y AD = AD AD 3 h AD + 2h1

Taglio T (KN)

Momento flettente M (KNm)

T B = S AB

M B = S AB y AB

T C = S AC

M C = S AC y AC

T D = S AD

M D = S AD y AD

Imponendo le caratteristiche dei materiali R ck e FeB, nonché la tipologia di armatura semplice, in queste sezioni si calcolano le armature necessarie a flessione, non prima di aver determinato il coefficiente r ed il relativo coefficiente t tabellati, necessari per applicare le seguenti formule: Area acciaio teso Dati coefficiente r coefficiente t (cm2) h spessore utile parete nella sezione h r = t (letto in b 1 m di profondità della parete Aa = t Mb M tabella) M momento flettente nella sezione b

ricordando di non scendere sotto la quantità minima di acciaio, pari allo 0.15% della sezione di conglomerato. Lungo la parete deve essere sempre prevista un’armatura trasversale di ripartizione, almeno pari al 20% dell’armatura longitudinale necessaria. Si procede, quindi, alle usuali operazioni di verifica a flessione e taglio: y =

nAa b

(−1 + 1 +

2bh nAa

) distanza dell’asse neutro dal lembo compresso verifica a flessione nel calcestruzzo compresso


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σ c max =

σ a max =

τ c max =

2 M by (h −

y

3

≤ σ c

)

M Aa ( h − T

0.9bh

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y

3

≤ σ a

)

≤ τ c 0

verifica a flessione nell’acciaio teso verifica a taglio nel calcestruzzo compresso

VERIFICHE DI STABILITÀ DEL MURO Prima di procedere al calcolo delle armature nel solettone di base, verifichiamo a ribaltamento, scorrimento e schiacciamento l’intera opera di sostegno. Calcoliamo dapprima la spinta del terrapieno sul paramento verticale fittizio passante per il punto D a monte del solettone interno: γ 2h 90 − ϕ S = t h 2 tg 2 ( )(1 + 1 ) essendo h l’altezza complessiva del h 2 2 muro comprendente l’altezza della h h + 3h1 parete e del solettone di base. y = 3 h + 2h1 scomponendo la sezione del muro, otteniamo i pesi: P1 peso della parte rettangolare della parete P2 peso della parte triangolare della parete P3 peso dell’intero solettone di base P4 peso della terra gravante sul solettone interno P5 peso dell’eventuale sovraccarico sul solettone interno la distanza di ciascun peso dal punto R di ribaltamento sono: d1 distanza di P 1 d2 distanza di P 2 d3 distanza di P 3 d4 distanza di P 4 d5 distanza di P 5 Possiamo, ora, calcolare il momento spingente M S e il momento resistente M R Momento resistente M R = P1 d 1 + P2 d 2 + P3 d 3 + P4 d 4 + P5 d 5 Momento spingente M S = Sy Sommatoria dei pesi ΣP = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 Controlliamo se risulta: M R verifica a ribaltamento del muro di ≥ 1.50 sostegno M S Nel caso in cui non fosse verificato il ribaltamento, occorre far crescere il momento resistente M R aumentando la lunghezza del solettone esterno oppure, se ciò non fosse possibile, aumentando la lunghezza del solettone interno, per avere una maggiore collaborazione dal peso della terra sovrastante. Nel caso opposto in cui il ribaltamento fosse troppo verificato, con rapporto M R /MS>>2, occorre diminuire la lunghezza del solettone interno in modo da far diminuire il peso della terra collaborante,


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permettendo l’insorgenza del congruo cedimento in avanti, eliminando così il rischio della spinta iniziale di quiete, come dimostrato dalla teoria di Coulomb. Passiamo, ora, al controllo dello scorrimento che deve risultare f ΣP verifica a scorrimento del muro di ≥ 1.30 sostegno S Se la condizione è soddisfatta, si passa direttamente alla verifica a schiacciamento, altrimenti occorre intervenire realizzando un dente nella parte interna del solettone di base. Ma prima di procedere in questo senso, è consigliabile verificare a schiacciamento. La stabilità a schiacciamento è accettabile quando verifica a schiacciamento del muro di σ t max ≤ σ t sostegno Occorre innanzitutto determinare la posizione del centro di pressione, ricavando la sua distanza u dal punto a valle del solettone, e confrontare se la posizione di C è esterna o interna al nocciolo centrale d’inerzia della sezione di base.

u=

M R − M S

e=

ΣP s

2

−u

relazione posizione del punto C formula di verifica 1 2ΣP u< s ≤ σ t centro di pressione esterno al terzo medio σ t max = 3 3 * 100 * u ΣP 1 6e u≥ s (−1 m ) ≤ σ t centro di pressione interno al terzo medio σ t max, min = s * 100 s 3 Nel caso non fosse verificato lo schiacciamento, occorre aumentare la lunghezza del solettone soprattutto nella parte esterna. Prendiamo ora in esame la realizzazione del dente nel solettone l’altezza del dente è fissata dal progettista in funzione del risultato della verifica a scorrimento: - l’altezza hd sarà tanto maggiore quanto minore risulta il rapporto f ΣP/S rispetto al valore 1.30; - la larghezza do deve essere almeno 1.5*hd


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Lo scorrimento avviene lungo un piano in parte orizzontale (do) e in larga parte inclinata (di). Dividiamo, in parte percentuale a queste lunghezze, la sommatoria dei pesi ΣP e la spinta S del terrapieno ΣP H = ΣP

d o s

ΣP I = ΣP − ΣP H S H = S

d o s

S I = S − S H

i = arctg

hd di

percentuale della sommatoria dei pesi che compete alla parte orizzontale percentuale della sommatoria dei pesi che compete alla parte inclinata percentuale della spinta che compete alla parte orizzontale percentuale della spinta che compete alla parte inclinata angolo d’inclinazione i del piano di scorrimento

1 peso della terra racchiusa tra il piano inclinato e la base del γ t * di * hd * 1 solettone 2 Lungo il piano inclinato il coefficiente d’attrito f t è dato dal valore della tangente dell’angolo d’attrito ϕ, essendo terra – terra i due materiali a contatto coefficiente d’attrito lungo il piano f t = tgϕ inclinato Pt =

Occorre, ora, scomporre le azioni ΣPI e SI lungo le direzioni perpendicolari e parallele al piano inclinato dell’angolo i.

scomposizione della sommatoria ΣPI lungo la retta perpendicolare e parallela al piano inclinato dell’angolo i

scomposizione della spinta S I lungo la retta perpendicolare e parallela al piano inclinato dell’angolo i La formula di verifica a scorrimento diventa f ΣP H + f t [(ΣP I + Pt ) cos(i) + S I sen(i)] S H − (ΣP I + Pt ) sen(i) + S I cos(i)

formula di verifica a scorrimento ≥ 1.30 nel solettone con dente di fondazione

ARMATURE METALLICHE SOLETTONE DI BASE La verifica a schiacciamento fornisce la tensione massima σR in corrispondenza del punto R a valle ma, nel caso di centro di pressione C esterno al terzo medio della sezione di base, non abbiamo né il valore della tensione σD nel punto D a monte né la posizione dell’asse neutro.


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Determiniamo la posizione dell’asse neutro N attraverso la sua distanza x dal baricentro G della sezione di base; applicando la relazione esistente tra eccentricità del centro di pressione C e distanza dell’asse neutro, scriviamo e= e * x = i 2 y

in cui i 2 y

x =

i

2

y

e

=

s s

s

2

−u

1 100s 3 s 2 I y = = 12 = A 100s 12

pertanto

2

12( − u) 2

distanza dell’asse neutro dal baricentro della sezione

Dopo aver ricavato la distanza GN=x, ricaviamo la distanza NZ=z z =

s

− x

2 La tensione nel punto D, a monte del solettone, si ottiene applicando le proprietà di similitudine tra i due triangoli STN e VZN ST = σ R

ST : VZ = SN : NZ

in cui

VZ = σ D SN =

s

2

+ x

e quindi

NZ = z

σ D =

σ R* z s

2

+ x

tensione nel punto D a monte del solettone

SOLETTONE INTERNO


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Il solettone interno risulta incastrato, nella sezione B, alla parete verticale e caricato, dall’alto, dal peso della terra e dell’eventuale sovraccarico e, dal basso, dalla reazione del terreno . Le tensioni agenti dall’alto sul solettone interno valgono: σ T = σ Q =

P4 si

*100 P5

( KN / cm 2 ) ( KN / cm 2 )

* 100 Le tensioni agenti dal basso sul solettone interno dipendono diagramma di reazione del terreno σt; pertanto ricaviamo la ten d’incastro mediante la similitudine dei triangoli: σ B : σ D = ( si − z ) : z σ D ( si − z ) si

σ B =

z

Il diagramma risultante si ricava sommando algebricamente le D e nel punto B: σ D = σ T + σ Q + σ D σ B = σ T + σ Q − σ B

Il taglio TB e il momento flettente M B nel punto d’incastro B del solettone interno valgono:

T B = − R1 + R2

R1 risultante delle tensioni nel prisma triangolare ABE R2 risultante delle tensioni nel prisma triangolare CDE d1 distanza di R 1 dalla sezione d’incastro d2 distanza di R 2 dalla sezione d’incastro

essendo

M B = R1 d 1 − R2 d 2

Occorre, ora, determinare il punto in cui il diagramma risultante di carico passa per zero. Dalla similitudine tra i triangoli ABE e CDE, otteniamo AB = σ B

AB : CD = AE : EC

poniamo

CD = σ D AE = n

e sostituiamo

EC = s i − n

σ B : σ D = n : (si − n)

applicando comporre n=

la

proprietà

del (σ B + σ D ) : σ B = ( n + si − n) : n

σ B si σ B + σ D

Quindi, possiamo scrivere: 1 σ * n d 1 = n R1 = B *1 3 2 s −n σ ( s − n) d 2 = s i − i R2 = D i *1 3 2 Si richiama l’attenzione sull’utilizzo delle unità di misura!


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Determinato il momento M B nel punto d’incastro, possiamo ricavare l’armatura in questa sezione, avendo anche stabilito di utilizzare armatura doppia simmetrica, con le usuali procedere di calcolo Dati h spessore utile solettone b 1 m di profondità solettone M momento flettente

coefficiente r’ r ′ =

coefficiente t’

h M

(letto in tabella)

b

Area acciaio teso e compresso (cm2) Aa = t ′ Mb Aa′ = Aa

L’armatura di ripartizione, da disporre sia nel lembo superiore sia in quello inferiore, si ricava calcolando il 20% della sezione d’acciaio longitudinale: Aarip = 0.20 Aa armatura di ripartizione trasversale

SOLETTONE ESTERNO Anche il solettone esterno risulta incastrato, nella sezione E, alla parete verticale e caricato dal basso dal diagramma di reazione del terreno

determiniamo la tensione nel punto E d’incastro scrivendo la relazione tra i triangoli simili STN e PQN: ST : PQ = SN : PN e sostituendo σ R : σ E = ( s − z ) : ( s − z − s e ) otteniamo σ R ( s − z − se ) σ E =

s − z

Il diagramma di carico trapezoidale si scompone in due parti: parte rettangolare la cui risultante vale R2 = σ E * s e * 1 1 (σ − σ E ) * s e * 1 2 R Le due risultanti R 1 e R2 distano dall’incastro E

parte triangolare la cui risultante vale

R1 =


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d 1 =

1 s 3 e

d 2 =

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1 s 2 e

Per cui il taglio e il momento flettente nell’incastro E valgono: T E = R1 + R2

M E = R1 d 1 + R2 d 2

Nel solettone esterno possiamo utilizzare la tipologia ad armatura semplice, essendo certi che la zona tesa è la zona inferiore della soletta, e scriviamo le usuali formule di progetto: Area acciaio teso Dati coefficiente r coefficiente t (cm2) h spessore utile solettone h = r b 1 m di profondità solettone (letto in tabella) Aa = t Mb M M momento flettente b

L’armatura di ripartizione, pari al 20% di quella longitudinale, è disposta sul lembo inferiore del solettone.

VERIFICHE SOLETTONE DI BASE Il solettone interno, essendo stato progettato ad armatura doppia simmetrica, è verificato con le seguenti formule Formule di verifica a flessione e taglio nel solettone interno ′  nAaT   − 1 + 1 + 2b(h + β h )  distanza dell’asse neutro dal lembo compresso y = b  nAaT (1 + β )  σ c max =

My I n

nM ( h − y )

σ a max =

I n

σ a′ max = τ c max =

verifica a flessione nel calcestruzzo compresso

≤ σ c

nM ( y − h ′) I n T

0.9bh

verifica a flessione nell’acciaio teso

≤ σ a

verifica a flessione nell’acciaio compresso

≤ σ a

verifica al taglio nel calcestruzzo compresso

≤ τ co

in cui AaT = Aa + Aa′

b = 1m

h′ = 0.10 * h

β =

Aa′ Aa

=1

Il solettone esterno, progettato a semplice armatura, si verifica con le formule

Formule di verifica a flessione e taglio nel solettone esterno  nAa   − 1 + 1 + 2bh  distanza dell’asse neutro dal lembo compresso y =   b 

σ c max =

nAa 

2 M  

by h −

y 

 3 

≤ σ c

verifica a flessione nel calcestruzzo compresso verifica a flessione nell’acciaio teso


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σ a max =

M

 

Aa  h −

τ c max =

T

0.9bh dove b = 1 m

y 

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≤ σ a



3 

≤ τ co

verifica al taglio nel calcestruzzo compresso

SCHEMA ARMATURE METALLICHE Sulla parete verticale disponiamo l’armatura solamente in zona tesa, rispettando la sezione minima d’acciaio, pari allo 0.15% della sezione di calcestruzzo, e piegando a 45° i tondini non più necessari. Sul solettone di base disponiamo armatura doppia simmetrica nella zona della mensola interna, mentre è sufficiente posizionare armatura semplice in corrispondenza della mensola esterna. Lungo la parete verticale e lungo il solettone di base posizioniamo l’armatura trasversale di ripartizione in misura pari al 20% della sezione dei ferri longitudinali.


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