BAHAN AJAR
MEKANIKA TEKNIK STATIKA
Disusun oleh: Ir. Dwi Basuki Wibowo, Wibowo, MS, Ir. Djoeli Satrijo, MT & Agus Suprihanto, MT
0
PENGANTAR
Mekanika teknik statika erupakan salah satu atakuliah !ang uun!a "iberikan kepa"a ahasiswa jurusan teknik. Matakuliah ini erupakan #abang "ari ilu ekanika. Mekanika a"alah ilu $isika !ang epelajari kea"aan status ben"a, baik "ala kea"aan "ia atau bergerak akibat pengaruh ga!a%ga!a !ang bekerja. Ilu ini sangat penting perann!a "ala siste analisis kereka!asaan, "an seringkali orang en!ebut bahwa awal "ari reka!asa a"alah ekanika. $okus utaa ateri atakuliah ini a"alah eberikan peahaan kepa"a ahasiswa jurusan teknik bagaiana enganalisis kesetibangan ben"a%ben"a kaku atau gabungann!a "ala kea"aan "ia. ontoh%#ontoh persoalan "ala bahan ajar ini "ipilihkan untuk persoalan%persoalan !ang u"ah "iteui sehari%hari. Tujuan instruksional uu atakuliah ini a"alah setelah mengikuti kuliah ini mahasiswa diharapkan mengetahui dan memahami knsep dasar ga!a dan kndisi keseim"angan serta #ara$#ara perhitungann!a%
A"apun tujuan instruksional instruksional khusus pebelajaran pebelajaran atakuliah staitika staitika
struktur ini a"alah : '.
Maha Mahasi sisw swaa enge engena nall #ara #ara eng enghi hitu tung ng resu result ltan an ga!a ga!a,, pengur pengurai aian an "an "an penj penju ula laha hann ga!a ga!a baik baik se#ara aljabar aljabar "an (ektor, "e)inisi "e)inisi oen, kopel, kopel, oen lentur "an oen puntir, puntir, operasi (e#tor oen serta apu en!elesaikan soal%soal sisti ga!a "an oen "ala "ua "iensi
*.
Maha Mahasi sisw swaa ea eaha hai i pers persa aaan aan++ s!ara s!aratt keset keseti iban banga gann stati stati## "ala "ala "ua "ua "an "an tiga tiga "ie "iens nsi,i, a#a%a#a tupuan "an ga!a%ga!a reaksi tupuan, "iagra ben"a bebas "an apu en!elesaikan soal%soal kesetibangan "ala "ua "an tiga "iensi
.
Maha Mahasi sisw swaa ea eaha hai i peb pebua uata tann "iagra "iagra ben"a ben"a beb bebas as trus trusss "ua "ua "an "an tiga tiga "i "iens ensi,i, anal analis isis is truss "engan eto"e joint- potongan- kobinasi joint "an potongan- apu en!elesaikan soal%soal truss "ala "ua "an tiga "iensi "an apu engebangkann!a untuk enganalisis struktur en!ajian ateri "ala bahan ajar ini "iawali "ari penjelasan engenai perkebangan ilu
ekan ekanik ika, a, sist siste e satu satuan an,, huku huku /ewt /ewton, on, opera operasi si (ekt (ektor or,, sist siste e ga!a, ga!a, kese keseti tib bang angan an "an "an aplikasin!a "ala ee#ahkan persoalan%persoalan struktur !aitu trus, rangka "an esin. Materi bahan ajar ini "ibagi enja"i bab !aitu Bab '. en"ahuluan, Bab*. Siste 1a!a, Bab . 2esetibangan, Bab . Analisa Struktur "an Bab. 3 1a!a Te"istribusi. Tiap%tiap bab "ibagi enja"i beberapa sub bab !ang "isertai #ontoh pen!elesaian soal%soal. Diakhir setiap bab "iberikan soal%soal
'
lati latiha hann !ang !ang "ise "isert rtai ai "enga "engann kun# kun#ii jawa jawaban bann! n!a. a. 2un# 2un#ii jawa jawaba bann ini ini "ihar "iharap apkan kan eb eban antu tu ahasiswa !ang berlatih engerjakan soal%soal latihan "ala en#o#okkan hasil perhitungann!a. Diak Diakhi hirr buku buku ajar ajar ini ini "iber "iberik ikan an "a)t "a)tar ar buku buku teks teks !ang !ang enj enja" a"ii re)er re)erens ensii "ari "ari buku buku ajar ajar ini. ini. Mahasiswa "iharapkan epelajari juga buku%buku teks tesebut agar eperoleh peahaan !ang lebih baik. Mahasiswa !ang enggunakan bahan ajar ini "iharapkan epelajari ateri sesuai urutan pen!ajian !ang a"a. Materi tiap%tiap bab saling terkait "engan bab%bab sebelun!a. 4leh karena itu peahaan !ang kurang "ala suatu bab akan enghabat peahaan "ala eelajari bab%bab berikutn!a. Dianjurkan ahasiswa epelajari #ontoh%#ontoh soal !ang a"a "an selanjutn!a en#oba engerjakann!a kebali se#ara terpisah. 5ntuk engukur seberapa%jauh peahaan ateri !ang telah "ikuasai, ahasiswa "ianjurkan untuk engerjakan soal%soal !ang a"a "isetiap akhir bab "an soal%soal !ang a"a "i buku%buku !ang ter#antu "i "a)tar pustaka. en!usun en!usun en!a"ari en!a"ari apabila bahan ajar ini asih asih jauh "ari sepurna. sepurna. en!usun enunggu "an eberikan penghargaan penghargaan !ang sebesar%besar sebesar%besar untuk setiap setiap asukan asukan !ang ebawa perbaikan bahan ajar ini. Seoga bahan ajar ini "apat eberikan tabahan an)aat bagi penggunan!a. Searang, *0 $ebruari *006 en!usun
Agus Suprihanto 7urusan Teknik Teknik Mesin 5ni(ersitas Diponegoro Diponegor o
*
&A'TAR ISI
engantar Da)tar isi Bab ' en"ahuluan Sub%bab '.'. 8ingkup Ilu engetahuan "an 9eka!asa ;ngineering< Sub%bab '.*. erkebangan Ilu Mekanika Sub%bab '.. Be"a $orulasi pa"a Mekanika Sub%bab '.. Da)tar Istilah pa"a Mekanika Sub%bab '.3. rinsip%risip Dasar Mekanika Ben"a 2aku Sub%bab '.=. 8angkah % 8angkah en!elesaian Soal a"a Mekanika Ben"a 2aku Sub%bab '.>. Siste Satuan Bab * Siste%Siste 1a!a Sub%bab *.'. en"ahuluan Sub%bab *.*. Si)at%Si)at 1a!a pa"a Ben"a 2aku Sub%bab *.. 9esulante Dari Siste%siste 1a!a Bab 2eseibangan ;?uilibriu< Sub%bab .'. 2eseibangan Sub%bab .*. Diagra Be"a Bebas $ree%Bo"! Diagra< Sub%bab .. Ma#a%a#a Tupuan "an Si)atn!a Sub%bab .. 2eseibangan "ala Dua Diensi Sub%bab .3. 2eseibangan "ala Tiga Diensi Bab Struktur Sub%bab .'. en"ahuluan Sub%bab .*. Trus Sub%bab .. 9angka $raes< "an Mesin Ma#hine< Bab 3. 1a!a Ter"istribusi Sub%bab 3.' en"ahuluan Sub%bab 3.* usat Massa Sub%bab 3. Sentroi" Dari 1aris, 8uas "an olue Sub%bab 3. Ben"a Bentuk 1abungan Sub%bab 3.3 Teorea appus Sub%bab 3.= Balok Sub%bab 3.> 2abel $leksibe Sub%bab 3.6 Statika $lui"a Ba#aan Anjuran
' 3 = 6 '0 '* ' *' *' ** * > > 6 @ * 30 3= 3= 3= >' 6' 6' 6* 6 63 6@ @0 @3 @> '00
BAB I PEN&AH()(AN
Mekanika a"alah ilu $isika !ang epelajari kea"aan status ben"a, baik "ala kea"aan "ia atau bergerak akibat pengaruh ga!a%ga!a !ang bekerja. Ilu ini sangat penting perann!a "ala siste analisis kereka!asaan, "an seringkali orang en!ebut bahwa awal "ari reka!asa a"alah ekanika. Dala riset "an pengebangan !ang o"ernpun ilu ekanika juga asih "iserapkan, isaln!a "ala bi"ang%bi"ang getaran, stabilitas, kekuatan "ari struktur "an esin, per)oransi engine, aliran )lui"a, esin%esin listrik "an peralatann!a, perilaku olekul, ato "an sub ato. Disaping itu ilu ekanika tergolong iu )isika !ang paling tua "iban"ingkan ilu% ilu )isika !ang lain. *%* )ingkup Ilmu Pengetahuan dan Reka!asa +Engineering ,
2ereka!asaan a"alah suatu akti(itas !ang berhubungan "engan #iptakan "ari siste%siste !ang baru untuk ean)aatkan uat anusia. roses "ari pen#iptaan "apat "itepuh ealui berbagai #ara, isaln!a riset eran#ang, "an ebangun serta engebangkan. Dari kaus The 8i(ing Webster ;n#!#lope"i#, ;ngineering "i"e)iniskan sebagai :
”the art of
executing a partial application of scientific knowledge”. erlu "iketahui bahwa perkebangan suatu teknologi bergantung "ari tiga hal, !aitu : tuntutan jaan, perkebangan ilu pengetahuan, "an perkebangan ilu reka!asa. 7a"i sangatlah penting untuk engerti perbe"aan antara ilu reka!asa "an ilu pengetahuan. Ilu pengetahuan ialah sesuatu !ang berkenaan "engan paha !ang terstruktur "an kupulan "ari berbagai )akta, huku, "an prinsip tentang penguasaan )enoena gejala < ala. Se"angkan ilu reka!asa a"alah sebalikn!a !aitu suatu seni !ang ber"asarkan "ari penerapan berbagai )akta, huku, "an prinsip untuk en#ipta )enoena tertentu !ang "iinginkan, hal ini "apat "ilihat pa"a gabar '.'. 7a"i kegiatan "ari ilu pengetahuan "an ilu reka!asa a"alah "ua kegiatan !ang saling berlawanan arah, tetapi hasiln!a saling en"ukung, walaupun #aran!a hapir saa, !aitu "engan #ara anlisis "an sintesis.
1abar '.'. eranan Ilu engetahuan "an Ilu 9eka!asa. *%-% Perkem"angan Ilmu Mekanika
Dari sub Bab '.' telah "isebutkan bahwa ekanika erupakan ilu )isika !ang tertua, aka jelaslah "engan perjalanan waktu ilu ini engalai perkebangan sehingga elahirkan #abang% #abang ilu !ang baru "ala bi"ang reka!asa. a"a "asarn!a ilu ekanika "ibagi enja"i tiga kelopok "an pengelopokan ini ber"asarkan si)at ateri pebangun ben"an!a, !aitu : 1. Mekanika ben"a pa"at (solid body) 2. Mekanika kontinu 3. Mekanika )lui"a gas atau #airan< Mekanika ben"a pa"at "ibagi enja"i "ua !aitu statika ben"a kaku "iana ben"a "ianggap kaku sepurna rigi"< "an pengaruh ga!a%ga!a luar !ang bekerja pa"a ben"a ti"ak en!ebabkan tibuln!a per#epatan tanslasi atau per#epatan su"ut, ja"i ben"a asih "ala kea"aan "ia kalau awaln!a "ia< atau bergerak translasi "engan ke#epatan konstan kalau awaln!a bergerak<. Tetapi bila ga!a%ga!a luar !ang bekerja pa"a ben"a en!ebabkan tibuln!a per#epatan translasi atau per#epatan su"ut aka kea"aan ini "isebut "engan kea"aan "inais, ilun!a "isebut "inaika ben"a kaku. 7a"i ekanika ben"a pa"at "ibagi enja"i "ua !aitu statika "an "inaikan, se"angkan pa"a "inaika ben"a kaku bisa "ibagi enja"i "ua #abang ilu !aitu kineatika "an kinetika. 2ineatika a"alah ilu !ang epelajari tentang seluk beluk gerak ben"a ke#epatan "an per#epatan< tanpa eper"ulikan ga!a%ga!a pen!ebab tibuln!a gerak. Bila ga!a pen!ebab tibuln!a gerak "iperhatikan aka ilun!a "isebut kinetika.
3
erkebangan lanjut "ari ilu "inaika ben"a kaku a"alah ilu ekanika ruang "an ekanika giroskop. Mekanika kontinu enganggap ben"a sebagai kontinu. Bila peninjauan han!a "itujukan pa"a salah satu partikel pebangun ben"a aka "isebut ekanika partikel, tetapi bila peninjauann!a se#ara #urah (bulk) aka "isebut ekanika ben"a !ang u"ah berubah bentuk (deformable bodies) !ang bila ilu ini "ikawinkan "engan statika aka enja"i ilmu kekuatan material .
A"apun bila "itinjau "ari si)at perubahan bentuk !ang terja"i terha"ap ga!a%ga!a !ang
bekerja aka "apat "ibagi lagi enja"i "ua, !aitu bila ga!a%ga!a bekerja pa"a ben"a "itia"akan "an ben"a kebali ke bentuk seula aka topikn!a enja"i elastisitas , sebalikn!a bila bentuk ben"a ti"ak kebali ke bentuk seula "e)orasi kekal aba"i< aka topikn!a "isebut plastisitas . Topik elastisitas han!a "ipakai "ala ran#ang bangun "ari suatu struktur, se"angkan plastisitas ban!ak "ipakai "ala prses$prses pem"entukan isaln!a proses tepa "an ekstrusi. Bila topik "ari elastisistas "an "inaika "ikawinkan aka tibullah ilu mekanika getaran. Mekanika .luida erupakan
#abang lanjut "ari ilu ekanika kontinu untuk ben"a !ang
u"ah berubah bentuk, tetapi "isini proses perubahan bentuk !ang terja"i akibat ga!a%ga!a luar berupa ga!a geser engakibatkan perubahan bentuk !ang kontin!u terus enerus < "an biasa "isebut "engan aliran. Bila )lui"a "ianggap ti"ak ber(iskos, "an si)atn!a ti"ak berubah terha"ap perubahan tekanan (inkompresibel) aka "isebut "engan aliran .luida ideal +newtnian, , sebalikn!a apabila (iskositas "an )aktor kopresibilitas "iperhitungkan aka "isebut "engan aliran .luida nn$Newtnian .
Apabila )lui"a !ang "itinjau berwuju" gas, isaln!a u"ara aka topikn!a
"isebut aerme#hani#s , topik ini akan berkebang enja"i h!personi#s bila ke#epatan u"ara !ang engalir jauh lebih besar "ari ke#epatan rabat gelobang suara pa"a kea"aan tero"inais !ang saa "ala e"iu u"ara. Sebalikn!a bila )lui"a eiliki si)at antara pa"at "an #air aka topik lanjutn!a berupa /iskelastisitas "an ilu tersebut ban!ak "ikebangkan isaln!a pa"a perkebangan "ari teknologi #at, a"apun se#ara khusus biasa "isebut "engan ilmu relgi. *%0% Beda 'rmulasi Pada Mekanika
Ilu ekanika telah "ikebangkan oleh berbagai iluwan ulai "ari Ar#hii"es *6> *'* SM< sapai Albert ;instein '6>6%'@33<. eisahan "ari perkebangan sejarah terha"ap ekanika engakibatkan pengklasi)ikasian "ala ekanika. Cal ini "isebabkan oleh perbe"aan aksioa an prinsip !ang "ipakai, sehingga ekanika "iklasi)ikasikan enja"i tiga, !aitu :
=
'. Mekanika klasik *. Mekanika kuantu atau ekanika gelobang . Mekanika relat(itas Mekanika klasik bertupu pa"a lan"asan !ang "iletakkan oleh 1alilleo, 2epler, /ewton "an ;uler. Cuku gerak linear oleh /ewton "an Cuku gerak angular oleh ;uler telah "ipahai "an teruji "engan baik, tetapi ke"ua huku tersebut han!a berlaku untuk perilaku "inais "ari ben"a% ben"a !ang u"ah "iaati. 8an"asan lain "ari ekanika klasik juga "itetapkan oleh 8agrange !ang populer "engan sebutkan persaaan 8agrange "an oleh Cailton !ang sering "isebut persaaan kanonik. 2eu"ian, prinsip least a#tion !ang ber"asarkan konsep (ariational "iusulkan sebagai prinsip tungga untuk enguasai perilaku "ari ben"a%ben"a "ala berbagai kea"aan. ola keberlakuan "ari ekanika klasik ti"ak berlaku lagi bila ben"a bergerak "engan ke#epatan en"ekati ke#epatan #aha!a "an bila ukuran partikel en"ekati ukuran ato. Cal inilah !ang en!ebabkan isteri pa"a struktur ato "an ben"a%ben"a !ang berke#epatan tinggi sebelu prinsip ekanika kuantu "an ekanika relati(itas "ikeukakan. Mekanika relati(itas "ilan"asi konsep baru "ari ruang, waktu, assa "an energi, serta kerangka a#uan. Topik%topik lanjut "ala bi"ang ekanika "isajikan pa"a gabar '.* berikut "an reji%reji pa"a ilu ekanika "itunjukkan pa"a gabar '... Aliran )lui"a non%/ewtonian C!personi#s ke#epatan "iatas ke#epatan suara< iskoelastisitas (is#oelasti#it!<
Mekanika 9uang Spa#e Me#hani#s< Mekanika 1iroskop 1!roe#ani#s<
1etaran ibrations< ;lastisitas ;lasti#it!< lastisitas plasti#it!<
T4I2 8A/75TA/ DA8AM M;2A/I2A Aliran )lui"a /ewtonian i"eal< : non is#ous, inkopresibel Aliran )lui"a (iskos Aliran )lui"a kopresibel Aeroe#hani#s is#oelasti# )lui"s
Mekanika ben"a !ang u"ah berubah bentuk ilu kekuatan aterial< Mekanika partikel
Dinaika ben"a kaku kineatika&kinetika< Statika ben"a kaku
M;2A/I2A $85IDA
M;2A/I2A 24/TI/5M
M;2A/I2A B;/DA ADAT
8A/DASA/ M;2A/I2A T;9AA/ A2SI4MA, C525M,9I/SI
1abar '.* erkebangan Ilu Mekanika Daa Ilu 9eka!asa.
>
erlu "iingat bahwa kegunaan "ari ekanika klasik sapai saat ini asih utlak "iperlukan "ala bi"ang reka!asa, karena itu utlah ilu ini harus "ikuasai "engan baik "an benar.
1abar '. 9egi "ari Ilu Mekanika *%1% &a.tar Istilah Pada Mekanika A% Prinsip &asar Mekanika
9uang : Daerah !ang "apat "iperluas ke segala arah. osisi "ala ruang "apat "in!atakan "ala siste re)erensi linear atau siste re)ensi angular. Waktu
: 5kuran "ari segala keja"ian%keja"ian !ang saling berurutan.
1a!a
: Aksi "ari suatu ben"a ke ben"a !ang lain, atau suatu aksi !ang #en"erung engubah kea"aan "ia "ari suatu ben"a !ang "ikenain!a.
Materi : at !ang enepati ruang. Inersia : Si)at atau perilaku "ari ateri !ang en!ebabkan tahanan atau habatan terha"ap perubahan gerak. Massa
: 5kuran kuantitati) "ari inersia.
Ben"a
: Materi !ang "ibatasi oleh suatu perukaan !ang tertutup. Ben"a "ala ekanika "apat "ii"ealisasikan sebagai berikut :
6
'. artikel
: Bila "iensi atau ukuran "ari ben"a "iabaikan , ja"i "ianggap sebagai titik berassa.
*. Siste partikel : Bila "ua ben"a atau lebih "ipresentasikan "ala bentuk partikel%partikel, ja"i "ianggap sebagai gabungan "ari titik%titik !ang berassa, gabungann!a "apat ebentuk gabungan !ang rigi"+kaku atau gabungan !ang u"ah berubah bentuk. . 2ontinu
: Bila si)at ikroskopik "ari ateri ti"ak "iperhatikan "an perilaku si)at< "ari Eat "i"e)inisikan sebagai perilaku #urah (bulk) !ang ter"istribusi kontin!u.
. Ben"a kaku
: Bila "iensi "ari ben"a, baik linear "an angular ti"ak berubah selaa pengaatan berlangsung. Atau ben"a "ianggap kaku bila perubahan bentuk relati) antara bagian%bagian !ang "ianalisa "apat "iabaikan selaa pengaatan.
3. Ben"a Mu"ah Berubah Bentuk (Deformable odies) : Bila "iensi "ari ben"a, baik linear "an angular berubah selaa pengaatan perubahan bentuk karena suatu ga!a !ang bekerja, si)atn!a "apat seentara elastis<, kekal plastis<, sesaat, "an bisa juga kontin!u aliran<. =. $lui"a
: Suatu Eat !ang berubah bentuk se#ara kontin!u karena pengaru tegangan geser, walaupun ke#il. erubahan bentuk !ang kontin!u "isebut aliran. Bila teganan geser ti"ak a"a aka )lui"a "apat "iperlakukan sebagai ben"a kaku "ala gerak.
>. a"at
: Suatu Eat !ang eiliki si)at bentuk "an (oluen!a tertentu.
Diagram enda ebas a"alah penggabaran "ari suatu ben"a !ang "iisolasi "engan engikutsertakan seua ga!a luar ga!a aksi aupun reaksi< !ang bekerja pa"an!a. !kalar a"alah suatu kuantitas !ang han!a eiliki besar, tanpa pun!a arah, isaln!a: assa , waktu, (olue, laju (speed)" "an energi. #ektor a"alah suatu kuantitas !ang eiliki besar "an arah. Misaln!a: ga!a , oen, kopel, ke#epatan ($elocity)" per#epatan "an oentu. #ektor bebas a"alah (ektor !ang "apat "ipresentasikan "ala ruang "ianapun bera"a "engan besar "an arah !ang tetap, tanpa eperhatikan titik tangkap "an garis kerja (ektorn!a.
@
#ektor geser a"alah (ektor !ang harus "ipresentasikan pa"a garis kerjan!a "engan arah "an besar !ang tetap, tanpa eperhatikan letak titik tangkapn!a. Misaln!a : ga!a !ang bekerja pa"a ben"a kaku, torsi pa"a ben"a kaku "iana seuan!a han!a eberikan pengaruh luar saja lihat prinsip transisibitias<. #ektor tetap
a"alah (ektor !ang harus "ipresentasikan pa"a titik tangkapn!a "engan arah "an
besar !ang tetap. Misaln!a ga!a atau oen, torsi pa"a ben"a !ang u"ah berubah bentuk, "iana (ektor !ang bekerja eberikan pengaruh "ala lihat pa"a ilu kekuatan aterial<. *%2% Prinsip$Prisip &asar Mekanika Benda Kaku
Dala ekanika ben"a kaku a"a ena prinsip "asar !ang "apat elan"asi "ala proses pee#ahan asalah , !aitu : '. Cuku aralellogra atau 7ajaran 1enjang : !aitu resultan ga!a%ga!a luar !ang bekerja pa"a ben"a erupakan julah (ektor !ang engikuti prinsip jajaran genjang lihat 1abar '.<
1abar '. 4perasi enjulahan ektor *. rinsip Transibilitas : !aitu ga!a%ga!a !ang bekerja pa"a ben"a kaku "apat "ipin"ahkan titik tangkapn!a "engan besar "an arah !ang saa sepanjang garis kerjan!a, tanpa berpengaruuh terha"ap kea"aan ben"a seula. lihat gabar '.3<.
'0
1abar '.3 rinsip Transibilitas . Cuku /ewton I : 7ika resultante ga!a !ang bekerja pa"a partikel F 0, partikel akan "ia jika awaln!a "ia<, atau akan bergerak lurus "engan ke#epatan konstan jika awaln!a bergerak<. Cuku inilah !ang elan"asi mekanika statika. . Cuku /ewton II : jika resultante ga!a !ang bekerja pa"a partikel G 0, aka partikel akan engalai per#epatan !ang searah "an seban"ing "engan resultante ga!an!a. Cuku ini !ang en"asari "ala persaaan mekanika dinamika . 3. Cuku /ewton III : ga!a%ga!a aksi "an reaksi antara ben"a%ben"a !ang berkontak akan saa besar, segaris kerja "an berlawanan arah. Cuku ini erupakan "asar bagi kita untuk eahai tentang knsep ga!a. =. Cuku 1ra(itasi /ewton : bila "ua partikel asing%asing berassa M "an , ke"uan!a terpisah sejauh r, aka akan tibul ga!a tarik enarik !ang arahn!a saling berlawanan, segaris kerja "an saa besar, "iana besarn!a berban"ing lurus terha"ap perkalian antar assa, "an berban"ing terbalik terha"ap kua"ara jarakn!a. Cuku inilah !ang enjabarkan tentang "erat "enda. '
&. % .m r *
"iana : 1
F konstanta gra(itasi
$
F ga!a tarik enarik
''
1abar '.= 1a!a 1ra(itasi /ewton *%3% )angkah $ )angkah Pen!elesaian Sal Pada Mekanika Benda Kaku
Supa!a ti"ak terja"i keka#auan "ala pee#ahan soal pa"a ekanika ben"a kaku, aka sebaikn!a "iperhatikan langkah langkah berikut ini : '. ersoalan !ang a"a harus "in!atakan "engan jelas "an teliti, terutaa pa"a saat pengabilan asusi anggapan<. *. Solusi harus berpijak pa"a ena prinsip "asar ekanika atau teorea teorea !ang "iturunkan "ari keena prinsip "asar ekanika lihat sub bab '.3<. . Buatlah o"el o"el )isik "ari persoalan !ang a"a, isal ebuat "iagra ben"a bebas "ari siste !ang enja"i pusat perhatian kita. . Susun persaaan ateatik "ari o"el )isik !ang a"a ber"asarkan point * "an point <. 3. eriksa apakah julah persaaan ateatik !ang terse"ia su"ah en#ukupi "engan julah (ariabel !ang "i#ari, apabila belu en#ukupi bangunlah persaaan ateatik !ang baru "an persaaan tersebut harus berpangkal "ari huku%huku )isika !ang a"a hubungann!a "engan asusi "ala persoalan kita. ersoalan akan engalai jalan buntu bila asusi !ang "iabil ti"ak tepat. Bila julah persaaan ateatikan!a lebih besar "ari julah (ariabel !ang "i#ari, aka persoalan akan terjawab bila "iberi s!arat batas, "iana julah s!arat batasn!a harus saa "engan selisih antara julah persaaan ateatik !ang terse"ia terha"ap julah (ariabel !ang "i#ari. ontoh Soal '.' : Tentukanla reaksi ga!a noral ga!a !ang tegak lurus terha"ap perukaan kontak < antara lantai "an blok H 7awab : ben"a "ia "ala arah !, $! F 0 Dari DBB "iagra ben"a bebas < $! F 0
/ W F 0, / F W '*
1abar '.> ontoh soal '.' *%4% Sistem Satuan
Ilu ekanika ban!ak elibatkan epat besaran "asar, !aitu panjang, assa, ga!a, "an waktu. Satuan !ang "igunakan untuk engukur besaran tersebut ti"ak "apat "ipilih se#ara bebas karena seuan!a harus taat asas konsisten< "engan huku /ewton II $ F .a < . Siste satuan !ang a"a pa"a saat ini a"a beberapa, "iantaran!a siste satuan Inggris atau 5.S. ustoar!, "an siste Metrik SI<. Tabel '. Siste Satuan Diensi
Massa
M
Satuan SI Satuan Sibol kilogra kg
anjang
8
eter
)oot
)t
Waktu
T
"etik
s
se#on"
se#
1a!a
$
newton
/
poun"
lb
Besaran
Sibol
Satuan Inggris Satuan Sibol slug %%
Satuan SI : Siste Satuan Internasional, "isingkat SI "ari bahasa eran#is, !!*%* +*,+--+/ D0+*! <, telah "iteria "iseluruh "unia "an erupakan (ersi terbaru "ari siste etrik. Ber"asarkan perjanjian internasional satuan SI akan enggantikan siste%siste satuan !ang lain. a"a tabel ' "ala SI satuan assa "ala kilogra kg<, panjang "ala eter <, "an waktu '
"ala "etiks< "ipilih sebagai satuan "asar, "an ga!a "ala /ewton /< "iturunkan "ari ketiga satuan sebelun!a. 7a"i, ga!a /< F assa kg< J per#epatan +s*< atau / F kg. +s* Sehingga kita tahu bahwa ' newton a"alah ga!a !ang "iperlukan untuk eberikan per#epatan sebesar ' +s* pa"a assa ' kg. Dari per#obaan gra(itasi "iana berat W< "an g a"alah per#epatan akibat gra(itasi, aka ber"asarkan huku /ewton II $ F .a<, .a<, W /< F kg< J g +s*< Satuan Inggris : Siste Satuan Inggris, juga "isebut siste )oot%poun"%se#on" $S<, siste ini su"ah laEi "ipakai "ala berbagai urusan "an in"ustri "i negara%negara !ang berbahasa Inggris. Walaupun siste ini akan "igantikan "engan satuan SI, naun bukan berarti bahwa siste $S ti"ak "igunakan lagi "ala bi"ang reaka!asa, karena itu para reka!asawan harus apu bekerja "engan ke"ua siste satuan tersebut. Seperti pa"a tabel ' satuan panjang "ala )eet )t<, waktu "ala se#on" se#<, "an ga!a "ala poun" lb< seuan!a "ipilih sebagai satuan "asar, "an assa "ala slug a"alah "iturunkan "ari huku /ewton II. 7a"i ga!a lb< F assa slug< J per#epatan )t+se#*<, atau Slug F lb%se#*+)t ern!ataan tersebut eberikan arti bahwa ' slug a"alah assa !ang engalai per#epatan sebesar ' )t+se#* bila bekerja ga!a ' lb. Dari per#obaan gra(itasi "iana berat W< a"alah ga!a gra(itasi "an g a"alah per#epatan gra(itasi. m: slug <
2 :lb< g : ft + se# * <
Dala Dala satu satuan an aer aerik ikaa poun" poun" juga juga "ipa "ipaka kaii seba sebaga gaii satu satuan an "ari "ari ass assaa teru teruta taa a bila bila en!atakan en!atakan properti panas "ari #airan, "an gas. Bila satuan ga!a "an assa perlu "ibe"akan "ibe"akan aka satuan ga!a "itulis lb) "an satuan assa lb. Satuan ga!a !ang lain "ala siste satuan Aerika isaln!a kilopoun" kip< !ang saa "engan '000 lb, "an ton !ang saa "engan *000 lb. Siste Satuan Internasional SI< "iistilahkan sebagai siste absolut karena pengukuran "ari besaran "asar baku< "ala hal ini a"alah assa !ang ti"ak bergantung "ari sekelilingn!a. Sebalikn!a siste Aerika $S< "iistilahkan sebagai siste gra(itasi karena pengukuran besaran bakun!a "ala " ala hal ini a"alah ga!a !ang "i"e)inisikan sebagai tarikan gra(itasi berat< !ang beraksi berak si pa"a assa stan"ar pa"a kea"aan tertentu perukaan laut "engan garis lintang 3o<. oun" stan"ar
'
a"alah ga!a !ang "iperlukan untuk eper#epat satu%poun" assa "engan per#epatan sebesar *,'>0 )t+se#*. Dala satuan SI kilogra "igunakan tersen"iri sebagai satuan assa, ti"ak pernah sebagai ga!a. erlu "itekankan bahwa "ala siste M2S gra(itasi eter, kilogra, "etik < !ang biasa "igunakan "i negara%negara !ang ti"ak berbahasa Inggris, kilogra seperti poun", "iana ke"ua% "uan!a telah "igunakan sebagai satuan ga!a "an sebagai satuan assa. Stan"ar rier untuk pengukuran "ari assa, panjang, "an waktu telah "itetapkan oleh perjanjian internasional sebagai berikut : Massa satu kilogra "i"e)inisikan sebagai assa "ari suat suatuu sili silin" n"er er plat platin ina%i a%iri ri"i "iu u !ang !ang "isi "isip pan an pa"a pa"a 5Interna 5Internatin tinal al Bur Bureau eau . 6eights eights and Measures7 "ekat
aris, eran#is. Salinan +tiruan !ang akurat "ari silin"er tersebut "isipan pa"a
Biro Stan"ar /asional "i negara%negara !ang su"ah enganut siste SI, sebagai stan"ar assa bagi negara penganutn!a "ala hal ini terasuk In"onesia<. anjang satu eter awaln!a "i"e)inikan sebagai seper sepuluh juta "ari jarak kutub ke ekuator ekuator sepanjang sepanjang garis eri"ian !ang elalui elalui aris, aris, keu"ian keu"ian "i"e)inisi "i"e)inisikan kan sebagai panjang "ari suatu batang patina%iri"iu patina%iri"iu !ang "isipan pa"a KInternation KInternational al Bureau o) Weights eights an" MeasuresL. MeasuresL. Stan"ar ini juga engalai kesulitan "ala pebuatan tiruann!a, terutaa asalah ketepatan, ketelitian, "an pengkalibrasiann!a. 5ntuk enghin"ari persoalan tersebut saat ini "i"e)inisikan sebagai '.=30.>=,> kali panjang gelobang "ari suatu ra"iasi ato 2ripton%6=. erban"ingan antara siste SI "an 5S untuk berat "an panjang "iilustrasikan pa"a gabar '.>. Waktu satu "etik ulan!a "i"e)inisikan sebagai )raksi '+6=.00 "ari suatu hari. 2arena keti"akteraturan "ala rotasi bui aka "e)inisi tersebut enibulkan kesulitan, sehingga sulit juga "ala " ala enetapkan stan"ar tiruann!a. Sekarang satu "etik "i"e)inisikan sebagai @.'@*.='.>>0 kali perio"e "ari ra"iasi suatu ato esiu%'.
'3
1abar '.> ontoh erban"ingan Siste Satuan SI "an 5S untuk 1a!a, Massa , "an anjang Dari uraian "i atas aka untuk persoalan%persoalan bi"ang reka!asa, "an untuk tujuan kita "ala epelajari ilu ekanika, ketelitian "ari stan"ar%stan"ar tersebut benar%benar elebihi "ari keperluan kita. Carga stan"ar untuk per#epatan gra(itasi g pa"a perukaan laut pa"a garis lintang 3o. a"a "ua siste SI "an 5S< hargan!a a"alah : Satuan SI
g F @,60==3 +s*
Satuan 5S
g F *,'>0 )t+se#*
Dala praktekn!a harga%harga tersebut "i"ekati "engan harga @,6' +s* "an *,* )t+se#*, "an harga tersebut biasan!a "ala bi"ang reka!asa su"ah "ianggap #ukup teliti.
ontoh Soal '.* :
'=
Berapa newton berat "ari *00 lb ee#ahan asalah : Tiap ' lb setara ,6* /, ja"i *00 lb F *00 lb J ,6* /+lb, sehingga berat W F 6@0 /. ontoh Soal '. : Citunglah kerja !ang "iperlukan untuk engangkat '000 kg satelit "ari perukaan bui ke suatu orbit !ang jarakn!a "ari perukaan bui '00 il aturan Aerika< "an ke#epatan saat asuk ke orbit '>300 il+ja. Bila engine !ang "ipakai ber"a!a 0 hp berapa laa waktu !ang "iperlukan untuk en#apai orbit tersebut Sean"ain!a engine tersebut "igantikan "engan a##u obil !ang kapasitasn!a =00 Wh, berapakan julah a##u !ang "ibutuhkan ee#ahan asalah : erhatikan bahwa siste satuan !ang "iberikan pa"a soal a"alah #apuran antara siste SI "an 5S, agar "ala perhitungan ti"ak terja"i kesalahan aka siste satuann!a harus kita seragakan "ahulu, isal kita pilih "engan siste SI. 2erja !ang "ibutuhkan 2
'dx m#d#
$F 1 M +J* , "iana : $F ga!a tarik gra(itasi /< MF assa Bui F 3,@>='0*< MF assa satelitF '000 2g 1F konstanta gra(itasi uni(ersal F =,=> '0%''< +kg.s*< F ke#epatan satelit NF jarak antara pusat bui terha"ap pusat satelit 9bF jari%jari bui F =>''0< , 9s F 9b O h , s
WF1M
'
#
x dx m #d#
,b
0
W F 1 M P '+9 b< '+9 s
'0%''='0*''0< '+>,@60'0=6*,0<* F ,** '0'0< 7 waktu !ang "iperlukan untuk enghasilkan kerja: '>
T F kerja + "a!a F ,** '0'0<+0 J >,3>0J'0*< F '@*03>,> s F 3=,> ja 7ulah a##u !ang bisa enggantikan engine : F kerja total + kapasitas a##u F ,** '0'0<+=00J=00< F *0 0'0 a##u ontoh Soal '. : 7ika sebuah pesawat ruang angkasa se"ang bera"a "i sebuah titik, !ang ana titik tersebut terletak pa"a garis !ang elalui titik pusat atahari "an bui, "iana ga!a tarik gra(itasi "ari bui aupun "ari atahari terha"ap pesawat saling enghilangkan. Citunglah jarak h "ari titik tersebut terha"ap perukaan bui. erban"ingan antara assa atahari terha"ap assa bui 000, jarak antara atahari terha"ap bui '@,='0=< k, jari%jari atahari "an bui =,@= '03< k "an =>' k. ee#ahan Masalah :
$' F 1 b p+r *'
.............................. '<
$* F 1 p+r **
.............................. '<
2arena ga!a tarik tersebut saling enghilangkan aka $' F $* Sehingga "iperoleh bentuk persaaan b + p F r ** + r *' ............................. < "iana : $' F ga!a tarik gra(itasi "ari bui terha"ap pesawat $* F ga!a tarik gra(itasi "ari atahari terha"ap pesawat p F assa pesawat ruang angkasa '6
b F assa bui F assa atahari r ' F jarak "ari pusat bui ke pesawat F r b O h r * F jarak "ari pusat atahari ke pesawat F 9 % r ' "engan eo"i)ikasi persaaan < "iperoleh + p F 9 % r ' <* + r *' *@@@ r *' O *@@,* '0=< r ' **60,'= '0'*@= k ja"i h F r ' r b F *3* *3 k. ontoh Soal '.3 : Diketahui sebuah ga!a $ !ang "itulis "ala bentuk (ektor $, "iana $ F *i O =j O k< /. Tentukan besarn!a ga!a $, keu"ian hitunglah su"ut !ang terja"i antara (ektor $ terha"ap arah N, , "an . ee#ahan Masalah :
$ F ** O =* O *< Uss $F>/ VJ F ar# #os *+>< F >,o V! F ar# #os =+>< F ',0o VE F ar# #os +>< F =,o
'@
S4A8%S4A8 8ATICA/ ' . Sebuah ben"a "engan berat 000 ton pa"a perukaan laut "engan garis lintang 3o. Tentukan assa ben"a tersebut "ala satuan SI "an 5.S. *.
Citunglah berat Wren#h "ari sebuah ben"a !ang terletak pa"a pun#ak gunung Seeru ketinggian === "i atas perukaan laut <, bila ben"a berassa '00 kg. 1unakan ga!a F @,60==3 +s* pa"a perukaan laut.
.
Sebuah lokooti) "iesel pa"a ro"an!a enghasilkan "a!a *000 hp, bila lokooti) tersebut bergerak "engan ke#epatan =0 k+ja, hitunglah ga!a tarik pa"a perangkai lok tersebut. Bila ga!a tarik !ang "iperlukan untuk enarik sebuah gerbong sebesar *00 /, berapa gerbong !ang bisa "itarik oleh lok tersebut.
. erkirakan energi kinetik pa"a seorang !ang se"ang berlari "engan ke#epatan '0 il+ja "ala satuan 7,Btu, "an e. erhitungan "isesuaikan "engan assa ba"an an"a. ' e F',=0* '0%'@< 7. 3. '00%ega ton hi"rogen elepaskan energi sebesar '0'6 7. Ban"ingkan le"akan tersebut "engan energi kinetik !ang "iiliki sebuah steroi" "ari besi < !ang ber"iaeter '0 k se"ang en"ekati bui "engan ke#epatan 30000 k +ja. 9apat assa besi F 30 lb+)t*. =. Sebuah ro"a !ang berjari%jari '=,0 in. Mengalai slip "i atas perukaan jalan !ang koe)isien gesekn!a 0, . a"a saat slip ro"a ti"ak enggerakkan ken"araan. 2alau ro"a pa"a saat itu berputar '*0 rp putaran tiap enit <, berapa 7oule panas !ang "itibulkan selaa ' enit. Beban !ang "iteria ro"a 0,3 ton.
*0
BAB SISTEM 8 SISTEM GA9A -%*% Pendahuluan
Siste ialah suatu !ang enja"i pusat perhatian kita "ala pengkajian suatu asalah, ja"i siste % siste ga!a !ang enja"i pusat perhatian kita a"alah ga!a. 1a!a telah "i"e)inisikan sebagai aksi "ari satu ben"a pa"a ben"a !ang lain. Marilah kita tinjau suatu siste ga!a !ang ter"iri "ari tali, bra#ket, "an baut lihat gabar *.'<. 1a!a tarik !ang bekerja pa"a kabel terha"ap bra#ket "apat "igabarkan seperti pa"a gabar *.'.b !aitu "engan (ektor ga!a . engaruh "ari aksi ini akan bergantung pa"a besarn!a , su"ut V , "an lokasi titik tangkap A. erubahan salah satu "ari tiga spesi)ikasi !ang a"a akan berubah pengaruhn!a pa"a bra#ket tersebut . 7a"i untuk epresentasikan ga!a "iperlukan tiga spesi)ikasi, !aitu : besar , arah, "an titik tangkap.
a< #<
b<
1abar *.' Sisti ga!a 1a!a "itibukan elalui "ua #ara !ang berbe"a !aitu elalui kontak ekanis se#ara langsung atau elalui aksi "ari jauh, isaln!a ga!a akibat e"an listrik, ga!a tarik bui gra(itasi<. 1a!a%ga!a sebenarn!a !ang lain a"alah tibul karena kontak phisik se#ara langsung. Aksi "ari suatu ga!a pa"a ben"a "apat "ipisahkan enja"i "ua pengaruh luar "an "ala. 5ntuk 1abar *.' pengaruh luar terha"ap bra#ket a"alah ga!a%ga!a reaksi !ang bekerja ke bra#ket akibat aksi "ari baut "an pon"asi !ang enahan ga!a . 7a"i ga!a luar !ang bekerja pa"a *'
ben"a "apat "ibe"akan enja"i "ua jenis, ga!a kerja aksi< "an ga!a hasil reaksi<. engaruh "ala terha"ap bra#ket engakibatkan gerakan%gerakan "ala "an "istribusi ga!a elalui aterial pebangun bra#ket. Cubungan ga!a%ga!a "ala "an gerakan%gerakan "ala !ang elibatkan si)at aterial "ari ben"a erupakan #abang ilu tersen"iri "ala ekanika, !aitu ilu kekuatan aterial , elastisitas, "an plastisitas. Dala pengkajian ekanika ben"a kaku "iana perhatian han!a "itujukan pa"a pengaruh netto "ari ga!a%ga!a luar saja, aka "ari pengalaan enunjukkan bahwa ti"aklah perlu ebatasi aksi "ari ga!a !ang bekerja han!a pa"a titik tangkapn!a saja. 7a"i ga!a !ang bekerja pa"a bra#ket 1abar *.'.#< akan saa pengaruhn!a bila terletak "i A atau "i B asalkan asih terletak pa"a garis kerja (ektor . rinsip ini "ikenal "engan prinsip transmibilitas, akibatn!a ga!a !ang bekerja pa"a ben"a kaku "apat "iperlakukan sebagai $ektor geser . -%-% Si.at 8 Si.at Ga!a pada Benda Kaku -%-%*% Pen:umlahan
Bila a"a "ua buah ga!a $' "an $* !ang sebi"ang aka penjulahann!a engikuti huku jajaran genjang, "iana garis kerja "ari hasil penjulahan "ua ga!a harus elalui titik sekutu "ari garis kerja (ektor $' "an $*. Apabila ga!a $' "an $* garis kerjan!a sejajar aka agar "iperoleh titik sekutu "ari "ua (ektro tersebut, asing asing (ektor $' "an $*< harus "itabahkan ga!a seu !ang saa besar segaris kerja "an berlawanan arah. Dan perlu "iingat jangan enjulahkan "ua (ektor "ari ujungn!a, ulailah penjulahan "ari pangkaln!a lihat 1abar *.*."< karena hasil penjulahann!a ti"ak akan elalui titik sekutu (ektor $' "an $*.
1abar *.* ontoh%#ontoh enjualah 1a!a Dala Bi"ang. **
1abar *. ontoh%#ontoh enjualah 1a!a Dala Bi"ang. -%-%-% Penguraian Ga!a +Reslutin,
1a!a 9 pa"a gabar *..a "apat "iuraikan "ala arah 0 ' !aitu koponen $' "an arah 0 * koponen $*, a"apun orientasi !ang "ipakai a"alah sebarang tergantung keperluan "ari kita. 7ika koponen%koponen ga!a saling tegak lurus aka berlaku Cuku hitagoras lihat gabar *..b, #, "<. Aksi "ari sebuah ga!a "an koponen%koponenn!a pa"a titik tangkapn!a "apat juga "in!atakan seperti pa"a gabar *..".
1abar *. ontoh ontoh enguraian 1a!a
*
erlu "iingat apabila suatu ga!a telah "iuraikan, aka ga!a luar !ang beraksi pa"a ben"a a"alah ga!a ga!a koponenn!a saja. Se"angkan ga!a resultann!a su"ah ti"ak "iperhitungkan lagi. Suatu ga!a "ala ruang "apat "iuraikan enja"i tiga koponen koponen ga!a !ang saling tegak lurus lihat 1abar *.3 <, sehingga "apat "iperoleh hubungan : ' 3 ' #os x ' y ' #os y
"an
'
' * x ' * y ' * 3 ................................................:*.'<
'3 ' #os 3
1abar *.3 ontoh enguraian 1a!a Dala 9uang ontoh Soal *.' : 7ika berat "ari truss "iabaikan , ga!a pa"a pin !ang bekerja "i A saa besar "an berlawanan arah terha"ap ga!a resultante "ari beban '0 ton "an ga!a tegang tali T. Sean"ain!a beban '0 ton "igantikan "engan ga!a !ang terletak "i ujung sebelah kiri garis putus%putus <, aka tentukanlah besarn!a ga!a "an penabahan ga!a tegang tali T< bila ga!a !ang bekerja pa"a pin "i A tetap seperti seula. T
A 4
4
4
*; tn
*
1abar *.=. 1abar #ontoh soal *.'. Diensi "ala )eet.< ee#ahan Masalah :
9esultante ga!a tegang tali "an beban '0 ton 9 F '0* O T*<'+* ...................'< V F ar# tg '0+T< ................... '.a< 1a!a "i A F % 9 ..................... '.b< 9esultante ga!a pa"a truss saat "ibebani : Dengan prinsip transibilitas ga!a A, , "an T O ∆T< "apat "itarik ke titik Bi"ang, sehingga "iperoleh persaaan:
Arah !, sin F '0 ton .......................................... *.a< Arah J, #os O T F T O T .................................... *.b< Diana F ar# #os >+'< ........................................ < X F =0o Dengan ensubstitusikan persaaan < ke *.a & *.b "iperoleh hasil F'',33 ton , T F 3,>> ton. -%-%0% Mmen
2e#en"erungan ga!a untuk eutar ben"a terha"ap suatu subu "isebut oen "ari ga!a terha"ap subu putarn!a. a"a 1abar *.=.a perhatikan oen M terha"ap subu 0 0 akibat ga!a 9 !ang "iterapkan "i titik A pa"a ben"a. Moen ini "iakibatkan sepenuhn!a oleh koponen
*3
"ari 9 "ala bi"ang noral terha"ap subu bi"ang !ang tegak lurus terha"ap subu 0%0< !aitu koponen $ !ang "ikalikan terha"ap jarak !ang tegak lurus antar garis kerja $ ke subu 0%0,". Sehingga besar oenn!a a"alah : M F $ " ...........................................................*.*< Se"angkan koponen "ari 9 !ang tegak lurus terha"ap $ a"alah sejajar "engan subu 0%0 sehingga ti"ak #en"erung eutar ben"a pa"a subu 0%0. Moen a"alah besaran (ektor, "iana garis kerjan!a terletak sepanjang subu putarn!a, se"angkan arahn!a engikuti aturan tangan kanan lihat 1abar *.=.b<. ektor oen engikuti seua aturan kobinasi (ektor "an juga "iperlukan sebagai (ektor geser "engan garis kerja selalu berhipit "engan subu oenn!a subu putarn!a<.
1abar *.= Moen "an ara enggabarann!a Bila pengkajian !ang "iha"api han!a elibatkan siste ga!a "ala "ua "iensi ga!a%ga!a !ang sebi"ang < aka oen !ang bekerja pa"a suatu bi"ang biasan!a "isebut sebagai oen terha"ap suatu titik. Cal ini terja"i karena penggabaran oen pa"a siste ga!a "ua "iensi subu oenn!a selalu tegak lurus "engan bi"ang gabar, sehingga (ektor oenn!a selalu tegak lurus "engan bi"ang gabar, sehingga (ektor oenn!a han!a tapak sebagai titik saja karena enebus tegak lurus bi"ang gabar<. A"apun pengoperasian (ektorn!a "apat "ilakukan se#ara aljabar skalar, "iana tan"a positi) atau negati)n!a tergantung selera kita asing%asing. Tetapi perlu "iingat bahwa pa"a saat enerapkann!a "ala pen!elesaian suatu asalah kita harus konsisten, artin!a kalau enurut perjanjian "ala benak kita bahwa positi) bila searah "engan putaran jaru ja #lo#kwise < aka bila arah oen berlawanan "engan putaran jaru ja harus negati).
*=
Salah satu "ari prinsip ekanika !ang #ukup penting a"alah Teorea arignon, atau prinsip penjulahan oen, !ang en!atakan bahwa : K Moen "ari sebuah ga!a terha"ap suatu titik a"alah saa "engan julah oen "ari koponen%koponen ga!an!a terha"ap titik !ang saaL. 5ntuk ebuktikan pern!ataan "i atas aka arilah kita lihat 1abar *.>. Diana ga!a 9 !ang bekerja pa"a titik A "iuraikan enja"i "ua koponen "an Y. Titik 0 "ipilih sebarang sebagai pusat oen, keu"ian tarik gari A4 "an pro!eksikan (ektor , 9, Y ke garis !ang tegak lurus garis A4, berikutn!a tariklah asing%asing garis "ari titik 4 ke garis kerja "ari asing%asing (ektor ,9,Y < sehingga "iperoleh lengan oen , r, ? "ari asing%asing ga!a ke titik 4 "an berilah tan"a su"ut "ari asing%asing (ektor ke garis A4 "engan notasi ,Z,[.
1abar *.> ebuktian Teorea arignon 2arena prinsip parallelogra untuk sisi%sisi "an Y , aka a# F b", sehingga : a" F ab O b" F ab O a#, atau 9 sin Z F sin O Y sin [, "iana sin F p+A4, sin Z F r+A4, sin [ F ?+A4, sehingga apabila persaaan "i atas "ikalikan "engan A4 aka akan "iperoleh persaaan : 9r F p O Y? ang ebuktikan bahwa oen "ari sebuah ga!a terha"ap suatu titik saa "engan julah oen "ari "ua koponen ga!an!a terha"ap titik !ang saa. Teorea arignon ti"ak han!a "ibatasi untuk kasus "ua koponen saja elainkan "apat juga "ipakai untuk enjulahkan oen "ari tiga ga!a atau lebih terha"ap suatu titik. Teorea ini "apat juga "iterapkan pa"a oen "ari (ektor tetap atau (ektor geser. -%-%1% Kpel
*>
Dua ga!a !ang sejajar, saa besar, "an ti"ak segaris kerja "isebut kopel. Misal aksi "ari "ua buah ga!a seperti pa"a 1abar *.6.. Dua ga!a tersebut ti"ak "apat "ikobinasikan enja"i ga!a tunggal karena julahn!a "ala setiap arah saa "engan nol. ;)ek "ari ga!a%ga!a tersebut a"alah satu !aitu ke#en"erungan untuk eutar ben"a. 2obinasi oen "ari "ua ga!a terha"ap sebuah subu noral "ari bi"ang !ang elalui titik 4 a"alah : M F $ a O " < $a M F $" Dala arah berlawanan arah putaran jaru ja. ;kspresi ini enunjukkan bahwa besarn!a kopel M ti"ak tergantung pa"a pusat oenn!a. Dengan kata lain besarn!a kopel akan saa untuk seua pusat oen. Dari pern!ataan "i atas aka kopel "apat "iperlakukan sebagai (ektor bebas M, seperti pa"a 1abar *.6. Diana arah M a"alah tegak lurus terha"ap bi"ang kopel "an arah putarann!a engikuti aturan tangan kanan.
1abar *.6 2opel "an ara enggabarann!a 2opel ti"ak berubah selaa besar "an arah (ektorn!a ti"ak berubah. Suatu kopel ti"ak akan berubah oleh pergantian harga "ari $ "an " selaa pro"ukn!a tetap saa. Cal ini bisa "ilihat pa"a 1abar *.@ !ang enunjukkan epat kon)igurasi kopel !ang berbe"a "engan hasil kopel !ang saa M F $". Apabila a"a sejulah kopel !ang bekerja pa"a sebuah bi"ang atau pa"a bi"ang%bi"ang !ang saling sejajar aka
pengoperasian (ektorn!a "apat "ilakukan se#ara aljabar skalar, a"apun
perjanjian positi) atau negati)n!a tergantung kita.
*6
1abar *.@ ontoh erbe"aan 2on)igurasi "engan 2opel !ang Tetap 2opel%kopel !ang bekerja "ala bi"ang%bi"ang !ang ti"ak sejajar "apat "ijulahkan se#ara (ektoris "engan enerapkan huku%huku kobinasi (ektor . 7a"i kopel M' "an M* pa"a 1abar *.'0.a "apat "igantikan oleh (ektor M lihat gabar *.'0.b < !ang en!atakan kopel akibat ga!a% ga!a pa"a bi"ang !ang tegak lurus terha"ap (ektor M.
a.
b.
1abar *.'0 ontoh enjulahan ektor kopel. -%-%2% Penguraian Ga!a ke &alam Ga!a dan Kpel
engaruh "ari ga!a pa"a ben"a pa"a uun!a a"a "ua , !aitu ke#en"erungan untuk en"orong atau enarik ben"a searah "engan arah ga!an!a, "an ke#en"erungan ga!a untuk eutar ben"a terha"ap sebarang subu asalkan ti"ak berhipit atau sejajar terha"ap garis kerja ga!an!a. Analisis "ari pengaruh gan"a tersebut seringkali "iu"ahkan "engan penggantian ga!a oleh ga!a !ang saa besar "an searah tetapi ti"ak segaris kerja "engan ga!a seua sejajar < "an sebuah kopel untuk enghin"ari perubahan oen akibat perubahan posisi ga!a !ang baru. Misalkan pa"a sebuah ben"a bekerja ga!a $ "i A seperti pa"a 1abar *.''.a, keu"ian ga!a "i A ingin kita pin"ahkan "i B. Agar ti"ak terja"i perubahan pengaruh luar pa"a ben"a aka "i Bi"ang "ipasangkan "ua buah ga!a $ !ang berlawanan arah 1abar *.''.b<, akibatn!a ga!a $ "i A arah ke kiri "an ga!a $ "i B arah ke kanan akan enibulkan kopel M F $" !ang berlawanan arah putaran jaru ja, sehingga ga!a "i A enja"i 0 "an "i Bi"ang a"a ga!a $ !ang garis kerjan!a sejajar "engan garis kerja ga!a "i titik A "an arahn!a searah "engan arah ga!a seula serta a"a kopel M lihat 1abar *.''.#< !ang arahn!a saa "engan arah oen !ang "iakibatkan oleh ga!a ula terha"ap titik !ang terletak pa"a garis kerja !ang baru. *@
1abar *.'' enguraian 1a!a ke Dala 1a!a "an 2opel 7a"i sebuah ga!a selalu "apat "igantikan oleh sebuah ga!a !ang saa arah "an besar < "an sejajar garis kerjan!a serta kopel !ang besarn!a bergantung "ari jarak antara garis kerja ga!a%ga!a !ang laa "an ga!a !ang baru. Cal ini juga en!atakan bahwa bila a"a kopel "an ga!a !ang terletak " bi"ang kopel "apat "ikobinasikan enja"i ga!a tunggal !ang saa terha"ap ga!a seula, tapi garis kerjan!a sejajar. enguraian sebuah ga!a enja"i ga!a "an kopel "ala bi"ang reka!asa sangat ban!ak "igunakan. ontoh Soal *.* : Sebuah otor bakar torak "engan silin"er tunggal epun!ai panjang langkah torak *00 , "an panjang batang penghubung 30 !aitu jarak antara pusat pena torak "an pusat pena engkol <. Bila pa"a posisi seperti pa"a gabar batang penghubung "ikenai beban kopresi sebesar **,3 k/, hitunglah Moen M akibat ga!a terha"ap pusat poros engkol.
1abar *.''. 1abar #ontoh soal *.* 0
ee#ahan Masalah : 8angkah torak ialah panjang lintasan torak !ang "iukur pa"a saat engkol pa"a posisi 0o "an '60o <.
* r F *00 , r F '00 8 F 30 segaris "engan subu batang penghubung.
Beban segaris "engan garis B "engan prinsip transibilitas ga!a "igeser ke B "an "iuraikan "ala arah J "an !. J F #os V , ! F sin V ABF r, B F 8 , F @0o 0o F =0o 8ihat AB : Sin V
F r sin <+8, V F ar# sin r sin <+8<
V F ar# sin '00 sin =0o <+30< F 'o'@\ MA F J r sin V O ! r #os V J F **,3 #os 'o'@\ F *',6 k/ ! F **,3 sin 'o'@\ F 3,= k/ '
MA F *'=6 k/. F *'=6 /. -%0% Resultante &ari Sistem$Sistem Ga!a
9esultante ga!a%ga!a "ari suatu siste ga!a a"alah ga!a tunggal pa"a siste ga!a !ang ana "apat enggantikan ga!a%ga!a asli "ari suatu siste ga!a tanpa erubah pengaruh luar pa"a suatu ben"a kaku. 2eseibangan pa"a sebuah ben"a a"alah kea"aan "iana resultante "ari seua ga!an!a saa "engan nol, "an per#epatan pa"a sebuah ben"a "in!atakan "engan kesaaan ga!a resultante terha"ap perkalian antara assa "an per#epatan. 7a"i penentuan "ari resultante erupakan lan"asan untuk pengkajian "ala statika aupun "inaika. Si)at%si)at ga!a, oen, "an kopel !ang telah "ibahas "ala sub bab ter"ahulu sekarang akan "ipakai "ala enentukan resultante "ari siste%siste ga!a !ang sebi"ang. 9esultante "ari siste ga!a%ga!a !ang sebi"ang "apat eliputi penjulahan "ua ga!a !ang keu"ian hasil kobinasin!a "apat "ikobinasikan "engan ga!a%ga!a !ang lain. Cal ini bisa "ilihat pa"a 1abar *.'*.a !ang enggabarkan tiga buah ga!a !ang sebi"ang bekerja pa"a subah ben"a. 5ntuk enentukan resultante ga!an!a ula%ula "itentukan terlebih "ahulu titik teu "ari "ua buah garis kerja ga!a !ang saling berpotongan, isal kita tarik "ua buah garis !ang elalu $* "an $ sehingga "iperoleh titik A ingat prinsip transibilitas<, keu"ian $* "an $ kita pin"ahkan ke titik A pein"ahan ti"ak terja"i kopel karena "ilakukan sepanjang garis kerja "ari asing%asing ga!a<, lalu $* "an $ "ijulahkan sehingga "iperoleh ga!a 9 ' ingat prinsip jajaran genjang<. 2ita tarik garis !ang elalui 9 ' "an $' sehingga berteu "i titik B, keu"ian kita pin"ahkan 9 ' "an $' "i titik Bi"ang "an ke"uan!a "ijulahkan sehingga "iperoleh ga!a 9. 1a!a 9 erupakan ga!a resultante "ari ga!a%ga!a $', $*, "an $ !ang garis kerjan!a elalui titik B. 7a"i pengaruh luar pa"a ben"a akibat ga!a%ga!a $', $*, $ "ipasangkan sebuah ga!a !ang besaran!a saa "engan 9 "an arahn!a berlawanan, garis kerjan!a tetap elalui titik Bi"ang aka kea"aan "ari ben"a "ikatakan seibang, atau resultanten!a saa "engan nol. enentuan besar "an arah "ari 9 "apat juga "iperoleh "engan #ara penjulahan segitiga seprti pa"a 1abar *.'*.b. Di sini ga!a%ga!a "iperlakukan sebagai (ektor%(ektor bebas "an "ijulahkan "ari ujung terha"ap pangkal hea"%to%tail <. 9esultante "ari $'"an $* a"alah sebuah (ektor !ang arahn!a "ari 0 ke * "an bila "ikobinasikan "engan $ "iperoleh besar "an arah "ari 9. oligon 0%'%*% "isebut poligon ga!a. Se#ara aljabar
*
hasil tersebut "apat juga "iperoleh "engan ebentuk koponen%koponen segiepat "ala "ua arah !ang tertentu "an saling tegak lurus "ari asing%asing ga!a.
1abar *.'* 9esultante Dari 1a!a%1a!a ang Sebi"ang a"a 1abar *.'*.b hasil penjulahan aljabar "ari koponen%koponen !ang berasal "ari penguraian ga!a $', $*,$< "ala arah J "an !. 7a"i koponen%koponen "ari ga!a resultante 9 untuk siste ga!a%ga!a !ang sebi"ang "apat "in!atakan sebagai : 9J F $J , 9! F $! Diana 9 F R $J<* O $!<* U ..........................................*.< Su"ut antara 9 "engan subu J a"alah V F ar# tg $!+$J<
............................................. *.<
8okasi "ari garis kerja (ektor 9 "apat "ihitung "engan enerapkan teroea arignon. Walaupun teorea ini terbukti untuk "ua koponen "ari sebuah ga!a,, hal ini juga berlaku bagi siste ga!a%ga!a !ang sebi"ang. Moen "ari 9 1abar *.'< terha"ap suatu titik isal 0 harus saa "engan julah "ari oen akibat koponen $' "an 9 ' terha"ap titik !ang saa 0<.
Moen "ari 9 ' juga harus saa "engan julah oen "ari koponen $* "an $ terha"ap titik !ang saa 0<. Cal ini berarti oen "ari 9 terha"ap suatu titik isal 0< akan saa "engan julah oen "ari $',$*,$ terha"ap titik !ang saa isal 0<. eakaian "ari prinsip oen ini pa"a 1abar *.' terha"ap titik 0 eberikan suatu persaaan : 9" F $'"' O $" $*"* Dala penulisan persaaan ini oen "ala arah searah jaru ja "ire)erensikan positi). 7arak " "ihitung ber"asarkan persaaan "i atas, "an 9 arah "an besarn!a "apat "ihitung "ari persaaan *. "an *., sehingga besar, arah "an garis kerja (ektor 9 su"ah lengkap "iketahui. a"a uun!a untuk enentukan lengan oen oent ar< "an "ituliskan persaaan : 9" F ∑ M0 .............................................................. *.3< Diana M0 a"alah penjulahan aljabar "ari oen akibat ga!a%ga!a "ari siste pa"a titik 0.
1abar *.' 8okasi 1a!a 9esultante 5ntuk siste !ang seua ga!an!a sebi"ang "an terletak pa"a satu titik aka resultante ga!an!a "apat "itentukan "engan #ara gra)is paralellogra atau segitiga< atau se#ara analistis !aitu "engan eakai persaaan *. "an *. "an gra)is kerja ga!a resultanten!a akan elalui titik tersebut. 5ntuk siste !ang seua ga!an!a sejajar aka besarn!a resutlann!a a"alah saa "engan penjulahan alajabar "ari ga!a%ga!a !ang bekerja, "an posisi "ari garis kerjan!a "apat "itentukan "ari persaaan *.3. Besarn!a kopel saa "engan julah oen terha"ap sebarang titik. 7a"i jelaslah bahwa resultante "ari siste ga!a%ga!a !ang sebi"ang "apat berupa sebi"ang "apat berupa sebuah ga!a atau sebuah kopel.
S4A8%S4A8 8ATICA/ *%
Sebuah ga!a ' '600 / "iterapkan pa"a ujung balok pro)il I. /!atakan ga!a ' sebagai (ektor "engan enggunakan (ektor satuan i "an :. 7awab : $ F '060i '0 :
1abar soal no '. -%
2oponen ga!a ' "ala arah ! "ari tarikan tangan anusia pa"a han"el sebesar >0 lb. Citunglah koponen ga!a "ala arah J serta besarn!a ga!a resultan '% 7awab : '< = *@,*lb > ' = >3,6lb
1abar soal no * 0%
1a!a sebesar 0/ bekerja pa"a ro"a gigi seperti pa"a gabar berikut. Tentukan besarn!a oen terha"ap pusatn!a. 7awab : Mo F 3,= / W<
1abar soal no . 3
1%
1a!a '*0/ pa"a suatu kun#i seperti pa"a gabar berikut. Citunglah oent pa"a titik 4 "an #arilah harga !ang enghasilkan oen terbesar. 7awab : a. Mo F ',3 / W<
b. F ,*o & MoaJ F ',= / W<
1abar soal no . 2%
Tentukanlah resultante 9 "ari ketiga ga!a !ang beraksi pa"a ata baut, "an hitunglah besarn!a ga!a resultante "an su"utn!a. 7awab : 9 F '>,k/ & V F *=,'o
1abar soal no 3. 3%
7ika resultan "ari ga!a "an oen pa"a pengungkit berikut elalui titik 4, tentukan besarn!a oen M. 7awab: M F '60/ W
1abar soal no = =
BAB 0 KESEIMBANGAN +E?(I)IBR(M, 0%* Keseim"angan
2onsep keseibangan "iturunkan "ari ga!a%ga!a !ang seibang, lebih khusus lagi keseibangan a"alah kea"aan "ari suatu ben"a "iana resultante "ari seua ga!a%ga!a !ang bekerja pa"a ben"a saa "engan nol. a"a bab ter"ahulu "ijelaskan bahwa suatu siste ga!a "apat "in!atakan "ala bentuk resultante ga!a 9, "an resultante oen M. 7a"i suatu siste ga!a "ikatakan "ala kon"isi seibang bila : 9 F 0 ]]]. .'.a< "an M F 0 ]]].'.b< 7a"i pa"a persaaan .' erupakan suatu s!arat #ukup !ang inial harus "ipenuhi oleh suatu siste ga!a agar "iperoleh kea"aan seibang. 8ebih jauh lagi bila kita kaji arti kata "ari s!arat #ukup itu berarti bila s!arat "ilebihi aka kea"aan siste ga!a akan tetap seibang, tetapi bila s!arat ti"ak "ipenuhi aka siste ga!a akan ti"ak seibang, sehingga ben"a akan engalai gerak translasi, rotasi atau kobinasi "ari ke"uan!a. Bila persaaan .' "ijabarkan "ala bentuk gra)is aka poligon ruang "ari ga!a%ga!a akan tertutup atau berteu pa"a satu titik. Se#ara phisik persaaan .' berarti ga!a%ga!a aksi !ang bekerja pa"a ben"a akan "iseibangkan oleh ga!a%ga!a reaksi, "eikian juga oen !ang bekerja pa"a ben"a akan "ilawan oleh oen%oen !ang terja"i akibat ga!a%ga!a reaksi pa"a ben"a. ersaaan%persaaan !ang berhubungan "engan ga!a "an per#epatan untuk gerak ben"a kaku erupakan #abang ekanika "ala ilu "inaika !ang "iturunkan "ari huku /ewton II, keu"ian "ikebangkan oleh ;uler, sehingga "iperoleh pertan!aan sebagai berikut : 4bila resultante dari sistem gaya yang dinyatakan oleh gaya tunggal , dimana garis ker5anya melalui pusat massa suatu benda dan mengikutsertakan kopel %" maka percepatan linear pada pusat massa benda akan sebanding terhadap ," dan percepatan angularnya terhadap sumbu yang melalui pusat massa benda akan sebanding terhadap %”. 7a"i persaaan .'.a penerapann!a ti"ak han!a untuk ben"a "ala kea"aan "ia saja, tetapi juga untuk ben"a "iana pusat assan!a bergerak lurus "engan ke#epatan konstan tanpa per#epatan<. Deikian juga pa"a persaaan .'.b juga berlaku untuk ben"a !ang berotasi terha"ap subu !ang elalui pusat assa "engan ke#epatan su"ut !ang konstan. 2eungkinan%keungkinan !ang terja"i "ala siste ga!a:
>
I. Siste Seibang , bila 9 F 0 & M F 0 2ea"aan ben"a : ( F konstan & F konstan , a F 0 & F 0 a. Dia, ke#epatan translasi ( F 0 , ke#epatan su"ut F 0 b. Bertranslasi tetapi ti"ak berotasi ( G 0 & F 0 < #. Berotasi tapi ti"ak bertranslasi ( F 0 & G 0< ". Bertranslasi "an berotasi ( G 0 & G 0 < II. Siste tak seibang arah translasi , bila 9 G 0 & M F 0 2ea"aan ben"a : ( G konstan & F konstan a. 2ea"aan awal "ia "an "iper#epat linear, a G 0 , ( F 0 & F 0 b. 2ea"aan awal bergerak tapi ti"ak berotasi, a G 0 , ( G 0 & F 0 #. Bertranslasi "an berotasi, a G 0 , ( G 0 & G 0 ". Awal ti"ak bertranslasi tapi berotasi, a G 0 , ( F 0 & G 0 III. Siste ti"ak seibang arah rotasi, bila 9 F 0 & M G 0 2ea"aan ben"a : ( F konstan & G konstan, per#epatan angular G 0 a. 2ea"aan awal "ia "an "iper#epat angular, G 0 , ( F 0 & F 0 b. Berotasi tapi ti"ak bertranslasi , G 0 , ( F 0 & G 0 #. Berotasi "an translasi, G 0 , ( G 0 & G 0 ". Awal ti"ak berotasi tapi bertlanslasi, G 0 , ( G 0 & F0 I. Siste ti"ak seibang arah translasi "an rotasi, bila 9 G 0 & M G 0 2ea"aan ben"a : ( G konstan &
F konstan "an a"a per#epatan angular G 0 "an
per#epatan linear a G 0 0%- &iagram Benda Be"as +'ree$Bd! &iagram,
Dala ekanika statika !ang enja"i perasalahan ialah en#ari besar "an arah "ari ga!a% ga!a reaksi !ang tibul akibat ga!a%ga!a luar !ang bekerja pa"a ben"a !ang enja"i pusat perhatian kita. A"apun ga!a%ga!a luar !ang bekerja "apat berupa ga!a berat "ari ben"an!a sen"iri, ga!a%ga!a aksi akibat suatu proses )isika "an kiia, atau ga!a%ga!a aksi !ang tibul karena reaksi "ari kontak phisik "ari ben"a%ben"a !ang lain ke ben"a !ang enja"i pusat perhatian kita. 5ntuk "apat enerapkan per#epatan .' "ala penganalisisan ga!a%ga!a !ang bekerja pa"a suatu ben"a "engan benar "an teliti aka "itetapkanlah suatu #ara penggabaran ga!a%ga!a pa"a
6
suatu siste ga!a !ang enja"i pusat perhatian kita !ang "isebut "engan DIA19AM B;/DA B;BAS $9;; B4D DIA19AM<. Diagra ben"a bebas )ungsin!a akan saa "engan nera#a pebukuan pa"a ilu tatabuku, assa atur "an (olue atur pa"a ekanika )lui"a, tero"inaika "an perpin"ahan panas. A"apun #ara ebuat "iagra ben"a bebas "ari suatu ben"a a"alah sebagai berikut : '. isahkan "an isolasi ben"a !ang enja"i pusat perhatian kita "ari ben"a%ben"a !ang berhubungan kontak "engann!a. *. 1abarakan ga!a%ga!a aksi !ang bekerja pa"a posisin!a asing%asing sesuai "engan "ata !ang a"a pa"a ben"a !ang "iisolasi. . gabarakan ga!a%ga!a reaksi !ang tibul akibat peisahan kontak phisik "engan ben"a% ben"a !ang lain Cuku /ewton II< "ari ben"a !ang "iisolasi. . Dengan siste ga!a !ang a"a "ari DIA19AM B;/DA B;BAS kita bangun "engan persaaan .'a &b, sehingga "iperoleh persaaan ateatik, keu"ian pe#ahkan "engan operasi ateatik sehingga "iperoleh solusi !ang "i#ari, atau hasil "ari solusi tersebut erupakan ga!a%ga!a reaksi !ang "i#ari. 3. Bila hasil "iperhitungkan "ari ga!a%ga!a reaksi !ang kita hitung bertan"a negati) %< aka arah ga!a !ang sebenarn!a a"alah berlawanan arah "engan arah ga!a !ang kita gabar pa"a DIA19AM B;/DA B;BAS. erlu "iingat bila saat enggabarkan DBB aka ben"a !ang "igabar erupakan suatu ben"a !ang kaku "an kokoh, bila "ala penggabaran ben"a !ang akan kita buat tern!ata ti"ak kokoh aka abillah "ari koponen pebangun ben"a !ang kokoh. 0%0 Ma#am$Ma#am Tumpuan dan Si.atn!a
Sebelu elangkah lebih jauh tentang perhitungan ga!a%ga!a reaksi aka utlak perlu "ipahai arti "an )ungsi "ari tupuan. Tupuan ialah suatu ben"a !ang erupakan bagian "ari suatu bangunan !ang ber)ungsi sebagai sarana penahan atau pen!angga "ari bangunan agar bangunan ti"ak roboh bila "ibebani, pebebanan "apat berupa beban akbiat berat sen"iri, atau akibat beban "ari luar. a"a tupuan "ibagi enja"i tiga , !aitu :
@
"asarn!a
1abar .'. ontoh a#a%a#a tupuan '. Tupuan !ang arah ga!a reaksin!a "iketahui, tetapi besarn!a ti"ak "iketahui, tupuan ini si)atn!a han!a bisa enahan gerak translasi ben"a !ang "itupun!a "ala arah tertentu, tetapi utlah ti"ak bisa enahan gerak rotasi ben"a !ang "itupun!a "ala segala arah subu ben"a. Misal pa"a : tupuan roller, ro#ker, kontak antara perukaan !ang li#in, pegas, kabel, gerak pin pa"a alur !ang li#in, sabungan bola "an soket. *. tupuan !ang arah "an besar reaksi ti"ak "iketahui, tupuan ini si)atn!a "apat enahan gerak translasi ben"a !ang "itupun!a "ala segala arah, tetapi ti"ak "apat enahan gerak rotasi ben"a "ala arah subu%subu !ang tertentu "ari ben"a !ang "itupun!a. Misaln!a: tupuan engsel !ang li#in, sen"i, bantalan lun#ur, roller bearing "an thrust bearing.
0
erke#ualian !aitu pa"a tupuan kontak antar perukaan !ang kasar, tupuan ini bisa enahan gerak translasi sapai batas ga!a gesek reaksin!a ti"ak "ilapaui,, tetapi saa sekali ti"ak bisa enahan ga!a rotasi "ala segala arah. . Tupuan !ang arah,besar ga!a reaksin!a ti"ak "iketahui, serta "apat enahan oen atau kopel "ala segala arah. Tupuan ini si)atn!a kokoh sepurn!a, artin!a "apat enahan ga!a translasi "an rotasi "ala segala arah "ari ben"a !ang "itupun!a. Misaln!a : tupuan jepit )iJe"<, lasan, hubungan "ua ben"a !ang "isabung "engan baut atau keling "engan eleen pen!abungn!a "ua atau lebih, hubungan satu ben"a !ang kontin!u, hubungan "ua ben"a !ang "ile.
1abar .*. ontoh #ontoh pebuatan Diagra Ben"a Bebas DBB< '
0%1 Keseim"angan dalam &ua &imensi
Suatu ben"a "ikatakan seibang "ala "ua "iensi bila seua ga!a !ang bekerja pa"a ben"a terletak pa"a suatu bi"ang tunggal , isal bi"ang J%! , "iana ga!a resultanten!a a"alah nol "an oen resultanten!a "ari seua ga!a !ang bekerja pa"a ben"a terha"ap sebuah subu !ang sejajar garis noral bi"ang ga!an!a a"alah nol. ern!ataan ini erupakan penjabaran lanjut "ari persaaan .' untuk keseibangan "ala "ua "iensi, "an persaaann!a enja"i :
'
*
,
x
*
'
y
F 0
M F ME F 0 Atau ' x 0- ' y 0- % 0 0 ]]]]]]]]]]]] .*<
"iana
% 0 en!atakan julah aljabar "ari oen%oen akibat seua ga!a !ang bekerja pa"a
ben"a terha"ap sebuah subu !ang sejajar garis noral bi"ang ga!a "an elalui suatu titik "i 0 !ang terletak pa"a ben"a atau "i luar ben"a tapi asih terletak "ala bi"angn!a. Se#ara phisik ekspresi "ala persaaan .* en!atakan bahwa suatu ben"a "ala keseibangan "i bawah pengaruh siste ga!a%ga!a !ang sebi"ang #oplanar < berarti a"a sejulah ga!a !ang bekerja "ala suatu arah !ang saling berlawanan arahn!a "an a"a sejulah oen terha"ap suatu titik "ala suatu arah !ang arahn!a saling berlawanan. Se#ara gra)is persaaan .* en!atakan bahwa poligon ga!an!a harus tertutup karena ga!a resultanten!a nol, "an poligon talin!a )uni#ular pol!gon < juga harus tertutup karena kopel resultanten!a juga nol. ersaaan .* erupakan s!arat #ukup !ang harus "ipenuhi untuk keseibangan "ala "ua "iensi, seperti !ang telah "ibahas pa"a sub bab .', "an persaaan .* erupakan suatu kon"isi !ang ti"ak saling bergantung. Salah satu hubungan "apat "iperoleh tanpa "ipengaruhi oleh hubungan !ang lain bilaana keseibangan ti"ak "ipenuhi, isal ' x 0 tapi belu tentu ' y 0 "an % 0 0 bila kea"aan belu seibang. ' x
0- % -
0- %
0 ]]]]]]]]]]]]]]. .<
"iana garis !ang elalui titik A "an B ti"ak tegak lurus "engan arah J. Cal ini juga berlaku untuk arah !ang lain, isah arah !, ' y 0 - % - 0- % 0 , asalkan garis !ang elalui titik A "an B ti"ak tegak lurus "engan arah !. % -
0- %
0- % 6 0 ]]]]]]]]]]]]]] .<
"iana titik A , B , ti"ak terletak pa"a satu garis lurus.
*
5ntuk #ara !ang pertaa pebuktiann!a a"alah sebagai berikut, isal pa"a suatu ben"a bekerja ga!a 9 !ang elalui titik A, "iana % - 0 , ingin "ibuktikan bahwa % 0 "iana garis AB ti"ak tegak lurus arah J, "an
' x 0 aka 9 akan saa "engan nol.
Bila "ala kea"aan seibang "i bawah pengaruh siste ga!a%ga!a !ang #on#urrent berteu "i satu titik < aka julah oenn!a akan saa "engan nol, "an persaaan keseibangann!a enja"i ' x 0 - ' y 0
5ntuk kasus keseibangan akibat ga!a%ga!a !ang sejajar, aka persaaann!a "itulis "ala bentuk ' x 0 - % 0
0
"iana J a"alah arah "ari ga!a%ga!a !ang bekerja pa"a ben"a, "an titik 0 a"alah suatu titik !ang terletak pa"a bi"ang ga!a. ara lain !aitu "engan persaaan "ua oen, "iana garis perteuan antara pusat%pusat oenn!a ti"ak sejajar terha"ap arah ga!an!a. 2eban!akan siste ga!a%ga!a sebi"ang !ang seibang hapir selalu "apat "ise"erhanakan enja"i siste tiga ga!a !ang #on#urrent, !ang ana pen!e"erhanaann!a "apat "ilakukan "engan engkobinasikan se#ara langsung "ari ga!a%ga!a !ang a"a. rinsip ini sangat berguna untuk pee#ahan se#ara aljabar aupun se#ara gra)is "ala enentukan arah "ari suatu ga!a !ang ti"ak "iketahui. erke#ualian "ari prinsip titik teu han!a a"a pa"a kasus keseibangan "ari tiga ga!a !ang sejajar. a"a kasus ini titik teun!a bera"a "i suatu tepat !ang jauh tak behingga. 2eseibangan "ari ga!a%ga!a !ang segaris #ollinear < han!a "iperlukan satu persaaan saja, "an hal ini ti"ak perlu "ikobinasi lebih jauh lagi. 0%1%* Kategri Persalan Keseim"angan &alam &ua &imensi
Dari penerapan persaaan .* "an beberapa #ontoh "iatas aka persoalan keseibangan "ala "ua "iensi "apat "igolongkan enja"i beberapa kasus seperti pa"a gabar .. 2asus ', keseibangan ga!a%ga!a !ang segaris kerja #ollinear )or#es <, pa"a kasus ini han!a eerlukan satu persaaan ga!a "ala arah garis kerjan!a isal : arah subu J <, karena seua persaaan !ang lain se#ara langsung "ipenuhi.
1abar .. kategori kesetibangan 2asus *, keseibangan ga!a%ga!a !ang terletak "ala bi"ang J%! "an berteu "i satu titik 0, han!a eerlukan "ua persaaan ga!a , karena julah oen terha"ap titik 0, !aitu terha"ap subu E !ang tegak lurus bi"ang J%! "an elalui titik 0 a"alah nol. 2asus , keseibangan ga!a%ga!a sejajar paralel< !ang terletak pa"a satu bi"ang, han!a eerlukan satu persaaan ga!a !ang sejajar ga!a "engan ga!a%ga!a n!a isal : J < "an satu persaaan oen terha"ap sebuah subu isal : E < !ang tegak lurus terha"ap bi"ang ga!a "an elalui suatu titik sebarang !ang terletak pa"a bi"ang ga!an!a. 2asus , keseibangan siste sebarang !ang terletak pa"a sebuah isal : bi"ang J%! <, eerlukan "ua persaaan ga!a "ala bi"ang "an satu persaaan oen terha"ap subu isal : subu < !ang tegak lurus bi"ang ga!an!a. A"a "ua situasi keseibangan !ang seringkali ebingungkan. Situasi !ang pertaa a"alah keseibangan "ari satu ben"a !ang engalai aksi han!a "ari "ua buah ga!a. Cal ini bisa sau"ara lihat pa"a gabar ., "an kita tahu bahwa untuk sebarang batang "ua ga!a , ga!a%ga!an!a harus enja"i saa besar, berlawanan arah, "an segaris kerja. A"apun bentuk "ari ben"an!a ti"aklah berpengaruh, karena "ianggap ben"a tak berassa. Anggapan ini #ukup baik untuk kasus "iana ga!a%ga!a !ang "iterapkan pa"a ben"a jauh lebih besar "ariapa"a berat ben"an!a.
1abar . Batang Dua 1a!a Situasi !ang ke"ua a"alah keseibangan "ari sebuah ben"a !ang engalai aksi "ari tiga ga!a. 2alau ga!a%ga!a tersebut ti"ak #on#urret, aka salah satu ga!a !ang eberikan oen resultante terha"ap titik teu "ari "ua ga!a !ang lain, !ang berarti enggagalkan keseibangan oen terha"ap setiap titik pa"a bi"ang. erke#ualian han!a berlaku bila tiga ga!a sejajar. a"a kasus ini kita boleh enganggap titik teun!a bera"a "i jauh tak berhingga. rinsip titik teu "ari ketiga ga!a "ala keseibangan "apat "ipakai "ala en!elesaikan persaaan ga!a se#ara gra)is. Dala kasus ini poligon "ari ga!a%ga!an!a "igabar "an "ibuat tertutup, seperti pa"a gabar .6.b. Bila ben"a "ala keseibangan engalai aksi lebih "ari tiga ga!a, aka "apat "ise"erhanakan enja"i batang tiga ga!a "engan #ara enggabungkan "ua atau lebih "ari ga!a%ga!a !ang "iketahui. 0%1%- Ketentuan Statis dan Kekkhan
Sebuah ben"a atau kobinasi kaku "ari berbagai eleen !ang "ianggap ben"a tunggal, !ang epun!ai tupuan luar atau ken"ala lebih "ari K#ukupL untuk enjaga posisi keseibangann!a "isebut statis tak tentu. Tupuan%tupuan !ang "apat "ilepaskan tanpa erusak kea"aan keseibangan "ari ben"a "isebut sebagai lebihan re"un"ant<. 7ulah kelebihan eleen tupuan en!atakan tingkat keti"aktentuan statis "an besarn!a saa "engan julah total "ari ga!a%ga!a luar !ang belu "iketahui besarn!a "ikurangi julah persaaan !ang terse"ia "ari persaaan keseibangan !ang ti"ak saling bergantung. Sebalikn!a untuk ben"a%ben"a !ang "itupu oleh sejulah tupuan !ang iniu #ukup untuk enjain kon)igurasi keseibangan "isebut statis tertentu stati#all! "eterinate<, "an sebutan statis tertentu juga berlaku untuk ben"a%ben"a !ang
3
julah persaaan keseibangann!a #ukup untuk enentukan ga!a%ga!a luar !ang besarn!a belu "iketahui. ersoalan%persoalan "ala artikel keseibangan ini "an juga untuk seluruh persoalan "ala ekanika teknik statika pa"a uun!a "ibatasi sapai ben"a%ben"a statis tertentu "iana ken"alan!a su"ah #ukup untuk enjain agar posisi seibang "an julah ga!a%ga!a tupuan !ang belu "iketahui besarn!a "apat "itentukan se#ara lengkap oleh a"an!a persaaan keseibangan !ang ti"ak saling bergantungan. Cal ini perlu an"a perhatikan pa"a saat akan en!elesaikan persoalan keseibangan, sebab bila asalah !ang sau"ara ha"api a"alah ben"a statis tak tentu aka penggunaan persaaan keseibangan !ang ti"ak saling bergantungan saja belulah en#ukupi untuk en!elesaikan persoalan, "an bila an"a tetap berkeras kepala "ala en#ari jawabn!a, aka usaha an"a akan sia%sia saja. Supa!a hal ini ti"ak terja"i sebaikn!a an"a hitung "ahulu julah besaran !ang akan sau"ara #ari, keu"ian ban"ingkan "engan julah persaaan keseibangan !ang ti"ak saling bergantungan !ang terse"ia "ari siste ga!a !ang sau"ara ha"api. Dari peaparan hubungan antara ken"ala pebatas< terha"ap keseibangan , berikutn!a kita lihat lebih jauh lagi tentang hubungan ken"ala terha"ap perubahan bentuk bangunan. 2ebera"aan "ari ketiga ken"ala untuk persoalan "ua "iensi ti"ak selalu enjain kon)igurasi !ang stabil. a"a gabar .3 enunjukkan epat perbe"aan "ari jenis%jenis ken"ala. a"a gabar tersebut enggabarkan sebuah plat !ang "itupu oleh beberapa link, hubungan link terha"ap plat aupun terha"ap lan"asan "ilakukan oleh sebuah pin, "an asing%asing link "ianggap apu enahan ga!a "ala arah subun!a.
1abar .3 Ma#a%a#a ken"ala a"a bagian a< "ari gabar .3a, titik A "ari plat ben"a kaku< ti"ak "apat bergerak translasi karena "itahan oleh "ua buah link, "an link !ang ketiga enjaga gerak rotasi terha"ap A. 7a"i ke"u"ukan plat ti"ak "apat berubah baik translasi, aupun rotasi, kea"aan ini "isebut kokoh sepurna "engan julah ken"ala !ang en#ukupi.
=
a"a bagian .3b link ketiga bera"a se"eikian rupa sehingga ga!a !ang "itransisikan olehn!a elalui titik A "iana ke"ua ga!a pebatas !ang lain beraksi. 7a"i kon)igurasi ini ken"ala% ken"alan!a ti"ak "apat elawan rotasi terha"ap titik A, !ang ana bisa terja"i saat ben"a eneria beban "ari luar. 2on)igurasi .3# juga eberikan kea"aan !ang saa seperti pa"a bagian .3b karena ketiga link !ang paralel ti"ak "apat enahan gerakan ben"a arah (ertikal, kea"aan .3b "an .3# "isebut kokoh bers!arat, !ang artin!a kon)igurasi "isebut akan kokoh untuk suatu pebebanan !ang tertentu, perlu sau"ara ingat untuk kasus .3b "an .3# walaupun julah ken"alan!a a"a tiga , tetapi resultante "ari ken"alan!a han!a a"a "ua. a"a gabar .3" kea"aan "ari ken"alan!a kokoh sepurna walaupun link "ilepas, ja"i "engan a"an!a link berarti enabah julah ken"ala untuk enjaga agar posisi ben"a ti"ak berubah. Dala hal ini link sebagai ken"ala berlebih, "an kea"aan ben"a sebagai statis tak tentu. Dari keepat #ontoh pa"a gabar .3 "apat kita sipulkan bahwa ken"ala%ken"ala pa"a ben"a "ala keseibangan "ua "iensi "apat berupa #ukup, bers!arat, atau berlebih. Dala pelajaran ekanika teknik ini persoalan sebagaian besar a"alah statis tertentu "engan julah ken"ala !ang #ukup. ontoh soal .'. : '.
Tentukan besarn!a tegangan tali T pa"a seutas kabel !ang "ibebani "engan '000lb pa"a siste puli seperti gabar.
1abar .=. 1abar #ontoh soal .' 7awab. >
8angkah pertaa !ang "ikerjakan a"alah enggabarkan "iagra ben"a bebas. DBB "itunjukkan pa"a gabar berikut.
8angkah selanjutn!a a"alah en!usun persaaan kesetibangan. a"a langkah ini "iulai "ari puli A. %o 0
T'r T*r F 0
T' F
T*
'y 0
T' O T* '000 F 0 *T' F '000 T' F T* F 300lb
Dari DBB pa"a puli B "apat "iketahui bila: T F T F T*+* F *30lb Dari DBB pa"a puli "apat "iketahui apabila: T F T F *30lb 1a!a "ukung $ pa"a bantalan "apat "ihitung "engan #ara enerapkan kesetibangan ga!a pa"a arah J "an !. Cal ini enghasilkan 'x 0
*30
#os 0o $J F 0
$J
F *'> lb
'y 0 $! O *30 sin 0o *30 F 0 $! F '*3 lb
Dengan "eikian "iperoleh '
' x ' y *
*
F
:*'>< * :'*3< *
F *30 lb
ontoh soal .*. :
6
*.
arilah besarn!a ga!a T !ang en!angga suatu batang I "an ga!a%ga!a reaksi "i titik A seperti "itunjukkan pa"a gabar. I%bea stan"ar 0,3 "an berat @3kg+.
1abar .>. 1abar #ontoh soal no .* 7awab. 8angkah pertaa !ang "ikerjakan a"alah enggabarkan "iagra ben"a bebas. DBB "itunjukkan pa"a gabar berikut.
8angkah selanjutn!a a"alah en!usun persaaan kesetibangan oen "ititik A. % - 0
T#os*3o<.0,*3 O Tsin*3o<3 0,'*< '03 ',3 0,'*< ,== *,3 0,'*< F 0 Sehingga "apat "iperoleh T F '@,=' k/. 1a!a%ga!a reaksi "i titik A "apat "ihitung "engan en!usun persaaan kesetibangan pa"a arah J "an ! sebagai berikut. 'x 0
AJ
'@,=' #os*3oF 0
$J
F '>,>>k/
'y 0 A! O '@,=' sin *3o F 0 $! F =,> k/
@
Dengan "eikian "iperoleh '
' x ' y *
*
F
:'>,>>< * :=,>< *
F '6,66 k/
0%2 Keseim"angan dalam Tiga &imensi
Sekarang kita perluas prinsip%prinsip "an eto"e%eto"e !ang telah "ikebangkan untuk keseibangan "ua "iensi kepa"a kasus keseibangan tiga "iensi. a"a sub bab .' kon"isi uu untuk keseibangan "ari sebuah ben"a "in!atakan "ala persaaan .', !ang isin!a a"alah ga!a resultante "an kopel resultante pa"a ben"a "ala keseibangan haruslah saa "engan nol. ern!ataan tersebut bila "itulis "ala bentuk skalar tiga "iensi a"alah sebagai berikut ' 0
atau
' x 0 ' y 0
' 3 0
....................... .=< % 0
atau
% x 0
% y 0
% 3 0
Tiga persaaan skalar !ang pertaa en!atakan bahwa sebuah ben"a "ala keseibangan bila ga!a resultanten!a "ala tiga arah subu koor"inatn!a saa "engan nol. Se"angkan pa"a kelopok !ang ke"ua lebih jauh enerangkan bahwa keseibangan eerlukan oen resultante "ala tiga arah subu koor"inatn!a saa "engan nol. 2eena persaaan ini a"alah perlu "an erupakan s!arat #ukup untuk en!atakan kea"aan keseibangan "ala tiga "iensi. eilihan subu a#uan re)erensi< "apat "ipilih sesuai kehen"ak kita, untuk operasi (ektoris harus tetap "igunakan aturan tangan kanan. 2eena hubungan skalar "ari persaaan .= kea"aann!a ti"ak saling berhubungan in"epen"ent< karena keberlakuan !ang satu ti"aklah epengaruhi !ang lain. Sebagai #ontoh, untuk sebuah otor !ang "iper#epat "i atas jalan ra!a !ang lurus "an perukaan jalan "ianggap sebagai subu J, "ari Cuku /ewton II en!atakan bahwa ga!a resultante pa"a otor saa "engan assa otor "ikalikan per#epatann!a. Berarti
' x 0 pa"alah
persaaan keseibangan
ga!a pa"a ke"ua subu !ang lain a"alah nol. Cal ini serupa , kalau sebuah )l!wheel ro"a gen"heng< "ari sebuah esin !ang "ipakai untuk eper#epat obil, !ang berarti ro"a gen"heng engalai peningkatan per#epepatan su"ut terha"ap subu J, hal ini berarti keseibangan
30
rotasin!a ti"ak "ipenuhi. 2arena itu , untuk )l!wheel sen"iri % x 0 , "an ' x 0 , tetapi persaaan keseibangan !ang lain % y
0 , % 3 0 , ' y 0
,"an ' 3 0 < asih "ipenuhi
pa"a subu%subu pusat assan!a.. Dala bentuk (ektor persaaan .= "in!atakan "ala "ua tahapan. Tahap pertaa ga!a% ga!a "in!atakan "ala koor"inat satuan (ektor i,j, "an k. 5ntuk persaaan !ang pertaa, $ F 0 julah (ektor akan enja"i nol jika "an han!a jika koe)isien "ari i,j,"an k a"alah nol. 2etiga penjulahan ini irip "engan penjulahan skalar pa"a persaaan keseibangan. Tahap !ang ke"ua, untuk persaaan M F 0 , "iana julah oenn!a "iabil terha"ap suatu titik 0, keu"ian n!atakan oen "ari setiap ga!a "ala operasi #ross pro"u#t r J $ "iana r a"alah (ektor posisi "ari 0 ke suatu titik !ang "ilalui garis kerjan (ektor ga!a $. 7a"i M F r J $ < F 0. 2oe)isien%koe)isien "ari i , j, "an k pa"a hasil persaaan oen bila "i nol kan, akan "iperoleh hubungan seperti bentuk persaaan oen skalar. ontoh Soal .: Sebuah batang baja !ang berpenapang seraga "engan panjang > , assan!a *00 kg "an "itupu oleh sabungan bola "an soket "i A pa"a batang horisontal. Bola "i ujung B en!entuh "in"ing (ertikal !ang li#in. Citunglah ga!a%ga!a reaksi "i A "an B.
1abar .6. 1abar #ontoh soal no . ee#ahan Masalah : Buatlah "iagra ben"a bebas "ari batang AB, pa"a B karena bertupu pa"a perteuan "ua "in"ing (ertikal aka tibul ga!a noral "ala "ua arah. Di tengah%tengah batang a"a ga!a berat W F .g
3'
F *00 @,6'< F '@=* /, ga!a reaksi "i A oleh lantai terha"ap bola "in!atakan "ala koponen J,!, "an E. osisi (ertikal B "iperoleh "ari >* F ** O =* O h*, h F . Buat subu koor"inat siku%siku.
DBB Batang ee#ahan se#ara (ektor . 2ita gunakan A sebagai pusat oen untuk engeliinir ga!a%ga!a "i A A J, A!, "an AE <. 2eu"ian kita tentukan (ektor posisi B "an 1 terha"ap A , untuk enghitung oen terha"ap A r A1
F %'i j O ',3k "an r AB F %*i =j O k
"iana pusat assa 1 bera"a "i tengah%tengah AB. ersaaan (ektor oenn!a terha"ap A ∑MA F 0, r AB
J BJ O B! < O r A1 J W F 0 i
j
k
%*
%=
BJ
B!
0
O
i
j
k
%'
%
',3
0
0
%'@=*
% B! O 366=
F 0 , =3 % AJ< i O '@=* % A!
"an AJ F =3 /
A! F '@=* / AE F '@=* /
sehingga 3*
- -
*
x
- * y - * 3 =3 * '@=* * '@=* * *630 +
pee#ahan se#ara skalar. Buat persaaan oen terha"ap subu !ang elalui A "an sejajar terha"ap subu J,! ∑MAJ F 0 , '@=* < % B!F0
B! F '@=*/
∑MA! F 0 , %'@=*'
BJ F=3 /
"ari persaaan ga!a%ga!a ∑$J F 0 , %AJ O =3F0 AJ F =3 / ∑$! F 0 , %A! O '@=* F 0
A! F '@=* /
∑$E F 0 , %AE % '@=* F 0
AE F '@=* /
S@A)$S@A) )ATIHAN
'.
usat asa 1 "ari sebuah obil seberat '00kg "itunjukkan pa"a gabar. arilah besarn!a ga!a noral pa"a setiap ro"an!a ketika obil tersebut "ala kesetibangan. 7awab : /) F *6*0 / & /r F 030 /
1abar soal no ' *.
Sebuah bola hoogen "an perukaann!a li#in "iletakkan pa"a suatu alur seperti "itunjkkan pa"a gabar. Citunglah ga!a kontak pa"a titik A "an B. 7awab : /A F '0',= / & /B F '@=,* /
1abar soal no *
3
.
uli A eneruskan torsi sebesar @00 lb%in kesebuah popa elalui poros "i . Tegangan sabuk pa"a sisi bawah sebesar '30lb. Motor penggerak B eilik berat *00lb "an berputar searah jaru ja. Citunglah besarn!a ga!a 9 !ang bekerja "i titik 4. 7awab : 9 F *6> lb
1abar soal no .
Suatu ga!a sebesar 0lb bekerja pa"a suatu han"el esin seperti "itunjukkan pa"a gabar. Tuliskanlah ga!a "an oen reaksi "ititik 4 "ala bentuk (ektor. Abaikan berat "ari han"el tersebut. 7awab : 9 F %6,=i '0,3k lb
M F %'0,3i '@,*j O 6=k lb%in
1abar soal no 3.
Suatu gerobak pengangkut barang bero"a tiga engangkut ben"a seberat '00kg seperti "itunjukkan pa"a gabar. Citunglah pertabahan besarn!a ga!a noral "isetiap ro"an!a akibat berat ben"a !ang "iangkutn!a tersebut. 7awab : ^/AF ==,' /, ^/BF @ / & ^/F 3** / 3
1abar soal no 3 =.
Sebuah papan naa toko asan!a '00kg "engan pusat asa "itengah papan seperti "itunjukkan pa"a gabar. Tupuan "ititik "apat "ianggap sebagai sabungan bola "an soket. Tupuan "ititik D han!a ebatasi gerak kearah subu ! saja. Citunglah besarn!a ga!a tali T' "an T*, besarn!a ga!a reaksi "i "an ga!a lateral "i titik D. 7awab : T' F >/, T* F '/, 9 F =,'/ & F >=6/
1abar soal no =
33
BAB 1 STR(KT(R 1%*% Pendahuluan%
a"a bab sebelun!a pebahasan "itujukan pa"a keseibangan ben"a kaku tunggal atau struktur !ang ter"iri "ari bagian%bagian !ang "ihubungkan, se#ara keseluruhan telah "ianalisa sebagai ben"a kaku tunggal. Sekarang kita akan ebahas lebih jauh persoalan keseibangan struktur, !aitu engenai penentuan ga!a%ga!a "ala struktur atau ga!a%ga!a aksi "an reaksi "iantara bagian%bagian !ang "ihubungkan. Dala enganalisa ga!a%ga!a "ala ini bagian%bagian struktur harus "ipisahkan "an "engan enerapkan persaaan keseibangan pa"a asing%asing bagian atau kobinasi "ari beberapa bagian, ga!a%ga!a "ala struktur tersebut "apat "itentukan. Analisa ini enerapkan kai"ah huku /ewton ketiga, !ang berbun!i K1a!a%ga!a aksi "an reaksi "iantara ben"a%ben"a !ang saling berkontak saa besarn!a, saa garis kerjan!a "an berlawanan arahL. a"a bab ini akan "ikeukakan struktur statis tertentu, !aitu struktur !ang eenuhi s!arat #ukup persaaan keseibangan statika. 1%-% TR(S 1%-%*% &e.inisi Trus
Suatu rangka !ang "isusun "ari batang%batang lurus !ang "ihubungkan pa"a ujung%ujungn!a untuk ebentuk struktur !ang kokoh "isebut trus. Trus "engan susunan batang%batang terletak pa"a satu bi"ang "isebut trus bi"ang plane truss<, sebalikn!a bila susunan batang%batang trus ebentuk kon)igurasi tiga "iensi "isebut trus ruang spa#e truss<. ontoh%#ontoh uu trus a"alah struktur jebatan, atap , esin "erek, enara "an beberapa struktur !ang lain. Batang%batang !ang "igunakan a"alah pro)il I, kanal, su"ut, "an batang%batang "engan pro)il khusus !ang "ihubungkan bersaa%saa pa"a ujung%ujungn!a "engan sabungan keling, las, baut atau pin. ontoh trus bi"ang se"erhana "itunjukkan pa"a 1abar .'. B
A
1abar .'. Struktur trus se"erhana 3=
Struktur !ang sebenarn!a "apat tersusun "ari beberapa trus bi"ang !ang "ihubungkan bersaa%saa untuk ebentuk rangka ruang spa#e )rae<. Setiap trus ini "iran#ang untuk eneria beban !ang bekerja pa"a asing%asing bi"angn!a "an "engan "eikian "apat "iperlakukan sebagai trus bi"ang. Beberapa #ontoh trus !ang uu "igunakan "itunjukkan seperti pa"a 1abar .*.
1abar .*. Beberapa bentuk struktur trus !ang laEi "igunakan 1%-%-% Asumsi dan Persa!aratan Trus
Sebelu kita ebahas beberapa eto"e untuk enganalisa ga!a%ga!a luar "an ga!a%ga!a "ala struktur, terlebih "ahulu perlu "itentukan asusi "an pers!aratan trus !ang ter"iri "ari: '. Trus eenuhi s!arat #ukup untuk kon"isi keseibangan statika 3>
*. Cubungan antar batang han!a ter"apat pa"a ujung%ujungn!a atau ti"ak a"a batang kontinu !ang "iantaran!a ter"apat titik hubung joint< "engan batang%batang !ang lain . 1a!a%ga!a luar !ang bekerja pa"a trus "ianggap terkonsentrasi pa"a titik%titik hubung "an ti"ak ter"apat ga!a%ga!a atau oen%oen luar !ang bekerja pa"a batang "iantara "ua titik hubung . 5jung%ujung batang "ihubungkan oleh sabungan pin tuna )riksi, walaupun sebenarn!a "ikeling atau "ilas. Dengan "eikian ga!a !ang bekerja pa"a setiap ujung batang berkurang enja"i satu ga!a "an ti"ak a"a oen kopel. Dari uraian "iatas, ga!a%ga!a !ang bekerja pa"a setiap batang trus "iasusikan "ua ga!a, satu garis kerja, saa besar, "an berlawanan arah !ang "iteria pa"a setiap ujung batang. Dengan "eikian setiap batang "apat "iperlakukan sebagai batang "ua ga!a two )or#e eber<, "an keseluruhan trus bisa "ianggap sebagai susunan batang%batang "ua ga!a. erlu "iperhatikan, batang "ua ga!a ti"ak harus berupa batang lurus "engan garis kerja ga!a% ga!a beripit "engan subu batang. Can!a saja, setiap bagian "ari batang tersebut selain eneria ga!a%ga!a "ala berupa ga!a aksial juga ga!a geser "an oen letur M. Apabila beban luar terkonsentrasi pa"a batang "iantara "ua titik hubung atau beban luar ter"istribusi sepanjang batang seperti pa"a jebatan, aka perlu "ilengkapi sisti lantai "engan kobinasi stringer "an batang%batang lantai agar "apat entransisikan beban pa"a titik%titik hubung seperti terlihat pa"a 1abar ..
1abar .. Stringer pa"a jebatan 36
1%-%0% Trus Bidang Sederhana
9angka tiga batang !ang "ihubungkan oleh pin%pin pa"a ujungn!a "an ebentuk struktur trus segitiga a"alah eleen "asar "ari trus, seperti terlihat pa"a 1abar .a. 9angka ini bila "iberi beban pa"a titik B akan ter"e)orasi ke#il sekali "an "e)orasi han!a ungkin terja"i karena perubahan panjang batang !ang ke#il, eleen "asar segitiga ini ebentuk trus kokoh. Ban"ingkan "engan rangka epat batang !ang "ihubungkan oleh pin%pin pa"a titik%titik A, B, "an D. 7ika beban "iberikan pa"a titik B, rangka ini akan roboh "an kehilangan bentuk aslin!a seperti terlihat pa"a 1abar .b.
1abar .. 2on)igurasi beberapa "isain rangka 5ntuk trus bi"ang se"erhana seperti terlihat pa"a 1abar . ter"apat hubungan antara julah batang, "an julah pin atau titik hubung j. Dala kasus ini ulai "engan segitiga a awal AB, !ang ter"iri "ari tiga batang "an tiga titik hubung, untuk setiap titik hubung ter"apat "ua batang. engebangan selanjutn!a a"alah "engan penabahan "ua batang "an satu titik hubung baru, begitu seterusn!a.Dengan "eikian "apat kita tulis: F * j < Dari sini F *j ..................................................................................................... .'< Cubungan !ang "ikeukakan seperti pa"a persaaan .'< a"alah kon"isi !ang "iperlukan untuk stabilitas tetapi bukan erupakan kon"isi #ukup, karena satu atau lebih batang%batang "apat "isusun "engan beberapa #ara tetapi ti"ak eberikan subangan terha"ap suatu kon)igurasi !ang stabil "ari keseluruhan trus. Berkaitan "engan stabilitas tersebut, se#ara uu struktur trus bi"ang "apat "iklasi)ikasikan ke"ala bagian : 3@
a< Ti"ak kokoh not rigi"<. pa"a kon"isi ini O _ *j "an trus ti"ak stabil. Setiap perpin"ahan atau pergeseran "ari kon"isi keseibangan akan en!ebabkan struktur roboh #ollapse<. 2ontruksi sea#a ini bukan "isebut struktur trus, tetapi suatu ekanise. 1abar .@a<. b< 2okoh just rigi"<. a"a kon"isi ini persaaan .'< "ipenuhi, bila satu batang "ihilangkan akan enghan#urkan kekakuann!a "apat en!ebabkan sebagian atau keseluruhan struktur roboh 1abar .@b<. Struktur sea#a ini a"alah struktur statis tertentu stati#all! "eterinate<. #< Sangat kokoh o(er rigi"<. a"a kon"isi ini O ` * j, "engan enghilangkan satu batang ti"ak akan enghan#urkan kekakuann!a 1abar .@#<. Struktur sea#a ini a"alah struktur statis tak tentu stati#all! in"eterinate<. 1%-%1% ANA)ISA TR(S
5ntuk enganalisa ga!a%ga!a "ala struktur "an reaksi tupuan, ter"apat tiga eto"e !ang biasa "igunakan "ala analisa trus, !aitu : '. Meto"e titik hubung etho" o) joints< *. Meto"e potongan etho" o) se#tions< . Meto"e gra)is "engan "iagra MaJwell Analisa trus "engan ketiga eto"e ini bertitik tolak "ari asusi "an pers!aratan trus seperti !ang telah "ikeukakan sebelun!a. a"a ateri ini, eto"e analisa trus !ang "ibahas han!alah eto"e titik join "an eto"e potongan. 1%-%1%*% Analisa Trus &engan Metde Titik Hu"ung
Diatas telah "ikeukakan pengertian trus !ang ter"iri "ari sekelopok sabungan pin%pin "an batang%batang "ua ga!a. 2arena batang "ua ga!a selalu bera"a pa"a kon"isi keseibangan, aka enurut Cuku /ewton ketiga tiap%tiap titik hubung juga bera"a "ala kon"isi keseibangan. engertian ini en"asari i"e untuk enentukan ga!a%ga!a tiap batang "engan enganalisa kon"isi keseibangan ga!a%ga!a !ang bekerja pa"a tiap titik hubung tersebut, prose"ur ini "isebut eto"e titik hubung etho" o) joints<.
=0
Dala enganalisa keseibangan setiap titik hubung ini han!a "iperlukan "ua persaaan keseibangan ga!a, !aitu :
' x 0 "an 'y 0 ............................................................................ .< Dengan "eikian, analisa sebaikn!a "iulai "ari titik hubung !ang sekurang%kurangn!a ter"apat satu ga!a "iketahui "an ti"ak lebih "ari "ua buah ga!a !ang ti"ak "iketahui. 7ika pa"a trus ter"apat sejulah j titik hubung, aka "iperlukan *j persaaan keseibangan ga!a. Dari persaaan .'< "iperoleh bahwa, julah ga!a !ang ti"ak "iketahui !ang "ihitung "ari "iagra ben"a bebas pin%pin a"alah O. Artin!a ga!a%ga!a pa"a seua batang, terasuk reaksi tupuan, "apat "iperoleh "ari "iagra ben"a bebas pin%pin. Se"ikit kesulitan ungkin akan "ijupai "engan #ara ini, karena ga!a%ga!a pa"a seua batang "an reaksi tupuan baru bisa "iperoleh setelah ee#ahkan persaaan siultan !ang seringkali #ukup ruit bila julah titik hubungn!a ban!ak. Ber"asarkan asusi bahwa trus a"alah ben"a kaku !ang bera"a "ala keseibangan, aka koponen ga!a%ga!a reaksi tupuan lebih "ahulu "apat "ihitung "engan enerapkan persaaan keseibangan ga!a "an oen.
' x 0 , 'y 0 "an % 0 ................................................... .< Selanjutn!a ga!a%ga!a tiap batang "apat "ihitung "engan enge(aluasi keseibangan setiap titik hubung seperti !ang telah "iuraikan "iatas. ara ini lebih eu"ahkan "ala ee#ahkan persaaan siultan "aripa"a #ara tersebut "iatas, "an penjelasan hal ini akan "iberikan "ala bentuk #ontoh soal. Berikut ini a"alah prose"ur uu analisa trus "engan eto"e titik hubung : '. Tetapkan sisti subu J "an !, sebagai perjanjian untuk ewakili ga!a%ga!a ke"ala "ua koponen, koponen J "an !. *. Buat "iagra ben"a bebas seluruh trus, "an asusikan arah ga!a%ga!a reaksi tupuan. Tentukan ga!a%ga!a reaksi tersebut "engan enggunakan persaaan .<. Teliti kebenaran asusi "i atas "engan elihat tan"a besaran ga!a%ga!a reaksi tersebut !ang "iperoleh "ari hasil perhitungan. Apabila tan"a besaran ga!a tersebut negati), aka arah ga!a kebalikan
='
"ari asusi seula- sebalikn!a bila tan"an!a positi), aka arah ga!a sesuai "engan !ang "iasusikan. . Buat "iagra ben"a bebas setiap pin "an asusikan arah ga!a%ga!a !ang ti"ak "iketahui. 8akukan analisa keseibangan ga!a tiap pin, "iulai "ari pin "egan "ua buah ga!a !ang ti"ak "iketahui. 1a!a%ga!a ini "apat "iperoleh "ari per .< "an hasiln!a "ipin"ahkan "engan engingat kai"ah Cuku /ewton ke tiga< ke pin !ang ber"ekatan "an "iperlakukan sebagai besaran !ang "iketahui pa"a pin ini. rose"ur ini "apat "iulangi sapai seua ga!a% ga!a !ang ti"ak "iketahui telah "iperoleh. 5ntuk engetahui apakah batang eneria ga!a tarik+tekan, "apat "itentukan "engan elihat "iagra ben"a bebas pin. 7ika arah ga!a enuju pin, aka batang eneria ga!a tekan sebalikn!a jika arah ga!a enjauhi pin, aka batang eneria ga!a tarik. ontoh Soal .'.: Tentukan ga!a seua batang "engan eto"e titik hubung untuk trus seperti "itunjukkan pa"a gabar.
1abar .3. 1abar #ontoh soal no .' 7awab. 8angkah awal a"alah engabarkan erlebih "ahulu DBB, selanjutn!a en!usun persaaan kesetibangan sehingga "apat "ihitung besarn!a ga!a%ga!a reaksi "itupuan. DBB trus "itunjukkan pa"a gabar berikut. =*
ersaaan kesetibangan !ang "apat "isusun "an besarn!a ga!a reaksi !ang "iperoleh a"alah sebagai berikut :
8angkah selanjutn!a a"alah enggabarkan kesetibangan ga!a%ga!a pa"a tiap%tiap titik sabungan seperti "itunjukkan pa"a gabar berikut.
1a!a%ga!a pa"a titik join =
2esetibangan ga!a pa"a join A "an besarn!a ga!a pa"a batang AB "an A a"alah sebagai berikut.
2esetibangan ga!a pa"a join B "an besarn!a ga!a pa"a batang BD "an B a"alah sebagai berikut.
2esetibangan ga!a pa"a join "an besarn!a ga!a pa"a batang D "an ; a"alah sebagai berikut.
2esetibangan ga!a pa"a join ; enghasilkan 0,6==D; F '0, sehingga D; F '',33k/. 1%-%1%-% Analisa Trus &engan Metde Ptngan
Meto"e ini "apat "igunakan untuk enentukan ga!a aksial beberapa batang !ang "ipilih tanpa perlu enghitung ga!a%ga!a seua titik hubung, seperti pa"a eto"e sebelun!a. 2eberhasilan atau kegagalan "ala penerapan eto"e ini tergantung pa"a peilihan seksi peotongann!a. a"a uun!a, seksi peotongan ter"iri "ari batang, ja"i han!a ga!a !ang ti"ak "iketahui "an "apat "ihitung "engan tiga persaaan keseibangan. 1abar .=. enunjukkan bagaiana eto"e ini "igunakan. 2a"ang%ka"ang untuk eperoleh hasil !ang "iinginkan, kita perlu ebuat lebih "ari satu seksi peotongan atau enggunakan gabungan eto"e potongan "engan eto"e titik hubung.
=
1abar .=. Ilustrasi eto"e potongan. isalkan ingin "iketahui ga!a%ga!a pa"a batang B & B;, aka peotongan elewati batang $;, B "an ;$. Batang !ang terpotong tersebut selanjutn!a "igantikan "engan ga!a%ga!a seperti "itunjukkan pa"a gabar .3b. Selanjutn!a "engan enerapkan persaaan kesetibangan, "apatlah "i#ari besarn!a ga!a%ga!a batang tersebut.< ontoh soal .*. Citung ga!a pa"a batang D7 "ari trus atap Cowe seperti "iperlihatkan pa"a gabar berikut. Abaikan seua koponen ga!a horisontal pa"a tupuan.
1abar .>. 1abar #ontoh soal no .* =3
ee#ahan soal: 8angkah awal a"alah enggabarkan DBB "ari trus tersebut. Selanjutn!a en!usun persaaan kesetibangan untuk en#ari besarn!a ga!a%ga!a reaksi "i tupuan. O % -
0, ,& '6 ' ' = ' '* 0 ,&
' 7 0,
*' '6
','> k+
, - ','> 0 , - ',6k+
5ntuk enghilangkan ga!a pa"a batang D7 kita gunakan eto"e potongan, naun ti"ak ungkin ebuat seksi peotongan elalui D7 isal, seksi peotongan *< tanpa eotong epat batang !ang ga!a%ga!an!a ti"ak "iketahui. 5ntuk itu perlu "ilakukan satu seksi peotongan lain isal, seksi peotongan '<, sebelu eperhatikan seksi peotongan *, "iana han!a eotong tiga batang !ang ga!a%ga!an!a ti"ak "iketahui. eilihan seksi peotongan ini harus "apat "igunakan untuk enghitung sebagian ga!a% ga!a batang "ari seksi peotongan * inial satu batang< agar selanjutn!a ga!a batang D7 "apat "ihitung "ari seksi peotongan * "engan enggunakan prisnsip%prinsip keseibangan ga!a "an oen. Dari seksi peotongan ' :
O % -
0,
0,>0>68 @ ' ' =
O %
0,
0,6@6D ,3 ',6 @ ' ' = 0
8
6D ',6= k+
0 68 ',k+ tekan<
6D ',6=k+ tekan<
7a"i D seharusn!a batang tekan "an bukann!a batang tarik seperti "iasusikan pa"a gabar "iatas. Dari sisi peotongan * "iperoleh: ==
%
&
0, '*D7
O '0'=< O '0*0< '6,*< ,'0,>0><'*< F 0
7a"i D7 F '=,=> k/ tarik< 1%-%1%0% Trus Ruang +Spa#e Trusses,
Trus !ang telah "iuraikan sebelun!a a"alah trus bi"ang "engan seua batang trus terletak pa"a satu bi"ang * "iensi<. Dala juga ter"apat kontruksi trus !ang "ibangun "ari batang%batang !ang "ihubungkan bersaa%saa pa"a ujung%ujungn!a "ala ruang "iensi< untuk ebentuk struktur !ang kokoh rigi" stru#ture<. Trus "engan kon)igurasi batang%batang sea#a ini "ikenal sebagai trus ruang spa#e truss<.
1abar .6. 2on)igurasi trus ruang Seperti haln!a trus bi"ang "engan eleen "asarn!a a"alah trus segitiga, sebalikn!a untuk trus ruang eleen "asarn!a tersusun "ari ena batang !ang "ihubungkan pa"a ujung%ujungn!a "an ebentuk sisi "ari suatu tetrahe"ron, seperti pa"a 1abar .6. a"a 1abar .6a "ua buah batang AD "an BD "ihubungkan "i titik D eerlukan batang D sebagai tupuan ketiga untuk enjaga agar segitiga a"b ti"ak berotasi terha"ap AB. a"a 1abar .6b lan"asan penupu "igantikan "engan buah batang lagi AB, B serta A "an ebentuk susunan tetrahe"ron !ang kekakuann!a
=>
ti"ak bergantung pa"a lan"asann!a. Susunan batang%batang seperti ini erupakan unit )un"aental pen!usun trus ruang !ang kokoh. engebangan selanjutn!a "ari eleen "asar ini untuk ebentuk trus ruang !ang kokoh !ang lebih besar "apat "ilakukan "engan enabah tiga batang !ang ujung%ujungn!a "ihubungkan pa"a tiga titik hubung tetap "ari eleen "asar trus tersebut, seperti terlihat pa"a 1abar .6#. Trus ruang !ang tersusun "ari eleen%eleen "asar sea#a ini ebentuk kontruksi trus ruang se"erhana siple spa#e truss<. 2eepat titik hubung ti"ak boleh terletak "ala satu bi"ang. Cubungan julah batang < "an titik hubung j< untuk trus ruang se"erhana "apat "iturunkan se#ara analog seperti pa"a trus bi"ang se"erhana. Dala hal ini eleen "asar trus ruang ter"iri "ari = batang "an titik hubung, untuk setiap titik hubung ter"apat batang. engebangan selanjutn!a a"alah "engan penabahan batang "an ' titik hubung baru, begitu seterusn!a. Dengan "eikian, "apat kita tulis : = F j%< "ari sini
F j %= ....................................................................................... .3<
Seperti haln!a trus bi"ang, hubungan !ang "ikeukakan pa"a persaaan .3< akan "ipenuhi jika trus ruang a"alah statis tertentu. 7ika O= ` j, ter"apat sejulah batang berlebih re"un"ant ebers< "an persaaan%persaaan !ang ti"ak saling bergantungan in"epen"ent e?uations<, "an trus sea#a ini a"alah statis tak tentu o(er rigi"<. Sebalikn!a jika O= _ j, trus ti"ak stabil "an beban !ang "iberikan pa"an!a akan en!ebabkan struktur trus roboh #ollapse<. Bila trus ruang se#ara keseluruhan kokoh "an seua ga!a reaksi tupuan a"alah statis tertentu, aka tupuan akan berupa kobinasi bola%bola, roller, "an bola%"an%soket !ang enghasilkan = buah ga!a reaksi tupuan ti"ak "iketahui. 1a!a reaksi tersebut "engan #epat "apat "ihitung "engan enerapkan = persaaan keseibangan ga!a "an oen,
' 0 "an % 0 ............................................................................. .=< Diana asing%asing "ie(aluasi pa"a setiap subu ruang trus tiga "iensi. Disaping itu, "iasusikan batang%batang trus ruang "ihubungkan pa"a ujung%ujungn!a "engan sabungan bola% "an%soket tak ber)riksi, walaupun sebenarn!a "ihubungkan "engan sabungan keling+las. Dengan "eikian pa"a seua batang ti"ak ter"apat oen kopel "an setiap batang trus a"alah berupa batang "ua ga!a. 2on"isi keseibangan setiap titik hubung ini "apat "ikeukakan "engan persaaan keseibangan ga!a ' 9
0, ' 7 0 "an
=6
'
:
0
"an untuk eu"ahkan
perhitungan ga!a%ga!a batang sebaikn!a analisa "iulai "ari titik hubung "engan ti"ak lebih "ari ga!a !ang ti"ak "iketahui. ontoh Soal .: Trus ruang tersusun "ari tetrahe"ron ABD "itupu "i A oleh sabungan bola%"an%soket, serta rotasi terha"ap subu J, ! atau E "itahan asing%asing oleh link ', * "an . Beban 8 "iterapkan "ititik hubung ;, !ang se#ara tetap "ihubungkan pa"a tetrahe"ron "engan buah link. Tentukan seua ga!a%ga!a batang pa"a titik hubung ;.
1abar .@. 1abar #ontoh soal no . 7awab: ertaa kita bahas keseibangan seluruh trus seperti pa"a 1abar DBB trus. Ter"apat = buah ga!a reaksi tupuan, tiga buah ga!a "i A "an buah "i link ',* "an . 7uga terlihat bahwa julah batang F@ "an titik hubung jF3, "engan "eikian persaaan O= F j "ipenuhi "an struktur kokoh "an statis tertentu.
=@
DBB Trus 2eseibangan Seluruh Trus :
% atau :
-
0, i 5 k x /i i x D y 5 i x D 3 k k x y 5 0
/k /5 D y k D 3 5 y i 0
Dengan engelopokkan seua koe)isien ke"ala (ektor satuann!a asing%asing "iperoleh : y i / D 3 5 / Dy k 0
Dengan en!aakan seua koe)isien (ektor satuan i, j "an k "engan nol, "iperoleh tiga persaaan berikut : y 0
/ D3 0
/ D y 0
Dari ketiga persaaan tersebut "i"apat : y 0
D 3 /
D y /
atau "ala bentuk (ektor : y 0
D 3 / k
' 0, -
x
atau - x / 0 aka : - x
/
D y /5
/ i - y D y y 5 - 3 D 3 k 0 - y D y y 0
- y /
- 3 D3 0 - 3
>0
/
Sekarang kita ulai analisa keseibangan ga!a pa"a titik hubung !ang sekurang%kurangn!a ter"apat ' ga!a "iketahui "an ti"ak lebih "ari ga!a !ang ti"ak "iketahui, "an tern!ata titik hubung ; eenuhi s!arat tersebut. Dengan "eikian "apat kita analisa langsung tanpa enganalisa keseibangan pa"a titik hubung !ang lain. Dari 1abar #, tiga (ektor ga!a !ang ti"ak "iketahui pa"a titik hubung ; tersebut a"alah : ' *
' * *
i 5
'
' *6 3
i k
' *D
' *D 3
5 k
2eseibangan ga!a "ititik hubung ; :
' 0 ,
/ ' *
/i
' *6 ' *D
' * *
i 5
0
' *6 3
i k
' *D 3
5 k 0
2elopokkan ke"ala (ektor satuann!a asing%asing : ' ' ' ' ' ' / * *6 i * *D 5 *6 *D k 0 3 3 3 3 * *
atau : ' *
' *6 3
*
/
' *
' *D
*
3
0
' *6 ' *D 0
Apabila ketiga persaaan tersebut "ipe#ahkan se#ara siultan, aka : ' *
/ *
' *6
3 =
/
' *D
3 =
/
1%0% RANGKA +'RAMES, &AN MESIN +MAHINES,
9angka "an esin a"alah struktur !ang se"ikitn!a ter"apat satu eleen in"i(i"u in"i(i"ual eber< berupa eleen ban!ak ga!a ulti)or#e eber<. a"a struktur ini, se"ikitn!a satu eleen "ikenai ga!a atau lebih. 5un!a, arah ga!a%ga!a tersebut ti"ak "iketahui "an ti"ak searah eleen- "an biasan!a "in!atakan "engan * koponen ga!a !ang ti"ak "iketahui. 1a!a%ga!a !ang bekerja pa"a tiap eleen tersebut "apat "iperoleh "engan engisolasi eleen "engan "iagra ben"a bebas "an enerapkan persaaan keseibangan .<. Carap "iperhatikan "ala enerapkan prinsip aksi%reaksi jika hen"ak enggabarkan ga!a%ga!a interaksi "ala "iagra ben"a bebas !ang terpisah. 7ika struktur ter"iri "ari eleen%eleen atau tupuan%tupuan !ang lebih ban!ak "iperlukan untuk enjaga supa!a ti"ak roboh, aka proble ini a"alah statis tak
>'
tentu, "an pee#ahann!a ti"ak #ukup "engan enggunakan prinsip%prinsip kesetibangan statika walaupun asih tetap "iperlukan. 9angka a"alah struktur kaku sepurna !ang "iran#ang untuk enahan atau engangkat beban !ang biasan!a stasioner. Mesin "iran#ang untuk entransisikan "an eo"i)ikasi ga!a% ga!astasioner atau tak stasioner< "an biasan!a ter"iri "ari bagian%bagian !ang bergerak. Baik rangka aupun esin, setiap bagian atau eleenn!a berupa eleen ulti ga!a. 5ntuk enentukan ga!a seua eleen, sebaikn!a "iulai "engan enentukan ga!a%ga!a luar struktur !ang "ianggap sebagai ben"a kaku tunggal. 2eu"ian setiap eleen "ilepas "an "ihitung seua ga!a !ang bekerja pa"an!a "engan persaaan keseibangan ga!a "an oen. a"a esin hal tersebut ti"ak selalu bisa "ilakukan, terutaa apabila keseluruhan struktur esin tersebut ti"ak kokoh Misaln!a, ekanise sli"er #rank<. 5ntuk itu analisa "iulai "ari keseibangan eleen !ang "ianggap rigi". 1%0%*% RANGKA +'RAMES,
rose"ur analisa rangka se#ara uu hapir saa "engan trus. rose"urn!a sebagai berikut:: '. Tetapkan sisti salib subu sebagai perjanjian untuk ewakili ga!a%ga!a ke"ala "ua koponen, koponen J "an !. *. Buat "iagra ben"a bebas seluruh rangka "an terapkan persaaan keseibangan untuk en#ari ga!a%ga!a reaksi tupuan. . Struktur "ilepas "an "ihitung keseibangan untuk setiap bagian. Dengan engingat kai"ah huku /ewton ke tiga aksi%reaksi<. Setelah seua arah ga!a terasuk arah "an besar ga!a beban< "i"e)inisikan, aka ga!a%ga!a !ang bekerja pa"a setiap batang "apat "ihitung. Cal%hal berikut perlu "iperhatikan "ala elaksanakan prose"ur analisa "i atas : '. Dala ebuat "iagra ben"a bebas asusikan arah ga!a%ga!a !ang hen"ak "itentukan. Apabila "ari hasil perhitungan ga!a%ga!a tersebut "iperoleh tan"a inus, aka arah ga!a seharusn!a berlawanan "ari asusi seula. *. Carap "i#hek apakah persoalan terasuk statis tertentu atau statis tak tentu. Apabila kasusn!a a"alah statis tak tentu, aka pee#ahann!a ti"ak #ukup "engan han!a enggunakan persaaan keseibangan statika hal ini akan tersen"iri "ala buku !ang lain<. /aun
>*
ahasiswa jangan terke#oh "engan enilai kasus statis tertentu atau statis tak tentu "engan han!a elihat "ari reaksi tupuan. . Mahasiswa "ianjurkan untuk en#hek kebali apakah ga!a%ga!a tiap batang !ang "iperoleh "engan ee#ahkan persaaan siultan eenuhi pers!aratan keseibangan pa"a tiap% tiap batang. Akhirn!a, gabarkan "iagra ben"a bebas tiap bagian "engan arah ga!a%ga!a !ang benar, "an #antukan besar ga!a tersebut pa"a tepat !ang sesuai. ontoh Soal .: Citunglah besarn!a ga!a%ga!a pa"a seluruh batang pa"a struktur rangka seperti pa"a gabar berikut.
1abar .'0. 1abar #ontoh soal no . 7awab. 8angkah pertaa a"alah enggabarkan DBB lalu en!usun persaaan kesetibangan untuk en#ari besarn!a ga!a%ga!a reaksi "i A "an . DBB rangka a"alah sebagai berikut.
>
1abar DBB rangka ersaaan kesetibangan enghasilkan :
8angkah selanjutn!a a"alah enggabarkan DBB untuk tiap%tiap batang pa"a rangka seperti "itunjukkan pa"a gabar berikut.
DBB pa"a tiap%tiap batang Selanjutn!a "isusun persaaan kesetibangan untuk asisng%asing batang sebagai berikut. Batang ;D.
Batang ;$. $ saa "an berlawanan arah "engan ;, sehingga $ F ; F 30lb Batang AB
>
Batang B
1%0%-% MESIN
Mesin a"alah struktur !ang "iran#ang untuk entransisikan "an engubah ga!a%ga!a. Tujuan utaan!a a"alah engubah ga!a input enja"i ga!a output, atau karena pa"a esin selalu ter"apat bagian%bagian !ang bergerak, atau "apat juga "ikatakan engubah gerakan input enja"i gerakan output. 4utput tersebut ti"ak selalu berupa ga!a, tetapi bisa juga berupa oen torsi. Deikian juga gerakkan output ti"ak selalu berupa gerak berputar, tetapi "apat juga berupa gerak bolak%balik. Mesin "apat berupa peralatan%peralatan !ang se"erhana sapai pa"a ekanise% ekanise !ang sulit "an kopleks. Dala kasus%kasus esin !ang lebih sulit, biasan!a eerlukan beberapa "iagra ben"a bebas, "an besarn!a ga!a%ga!a "ala ungkin baru bisa "iperoleh setelah ee#ahkan persaaan siultan !ang terbentuk. Dala ebuat "iagra ben"a bebas sebaikn!a "ipilih !ang en#akup ga!a%ga!a input "an ga!a%ga!a reaksi output "an julah koponen ga!a !ang ti"ak "iketahui ti"ak elebihi julah persaaan !ang terse"ia. Se#ara uu prose"ur analisa esin a"alah sebagai berikut : '. Tetapkan sisti salib subu J "an ! sebagai perjanjian untuk ewakili ga!a%ga!a ke"ala * koponen, koponen J an !. *. 2aji apakah esin tersusun sebagai suatu unit !ang rigi" atau sebalikn!a. 7ika struktur tersusun sebagai suatu unit !ang rigi", buat "iagra ben"a bebas seluruh struktur, "an terapkan persaaan keseibangan untuk en#ari ga!a%ga!a reaksi tupuan. 2eu"ian struktur "ilepas "an "ihitung keseibangan untuk setiap bagian. Sebalikn!a jika struktur tersusun sebagai suatu unit !ang ti"ak rigi", isolasi bagian !ang "ianggap rigi" "an buat "iagra ben"a bebasn!a serta terapkan persaaan keseibangan untuk en#ari ga!a%ga!a keseibangan pa"a bagian tersebut. 1a!a%ga!a pa"a bagian !ang lain "an reaksi tupuan
>3
selanjutn!a "apat "i#ari "engan ebuat "iagra ben"a bebas "an enerapkan prinsip% prinsip keseibangan !ang berlaku. ontoh Soal .3 Sebuah esin "iran#ang untuk pengaan terha"ap suatu beban berlebih. Suatu pin !ang "ipasang "i S "ari bahan !ang lebih lunak "igunakan sebagai pebatas, apabila beban elebihi suatu batas, aka pin tersebut putus sehingga pen#epit ebuka. Citunglah besarn!a ga!a T apabila ga!a !ang en!ebabkan pin S putus a"alah sebesar 600/ "an ga!a%ga!a reaksi "i tupuan.
1abar .'0. 1abar #ontoh soal .3 7awab. 8angkah awal !ang "ilakukan a"alah enggabarkan DBB, lalu en!usun persaaan kesetibangann!a. Dari persaaan tersebut "apatlah "ihitung besarn!a ga!a%ga!a !ang belu "iketahui. 2arena sietri, aka DBB "ari esin pengaan beban berlebih "ibuat sebagian seperti "itunjukkan pa"a gabar berikut.
DBB Mesin pengaan beban berlebih >=
ersaaan pa"a join enghasilkan
Substitusi sinV+#osV F tanV F 3+'*, enghasilkan
ersaaan kesetibangan pa"a arah subu ! enghasilkan
Sal$Sal )atihan
a"a soal%soal berikut ini kalau assa ti"ak "isebutkan berarti "iabaikan<. '. Citunglah besarn!a ga!a%ga!a pa"a setiap batang pa"a struktur trus berikut. 7awab: AB F 3k/ tarik<, B F 3
*
k/ tekan<, D F '3k/ tekan<, A F 3
AD F 0
1abar soal no '
>>
3
k/ tarik< "an
*. Citunglah besarn!a ga!a%ga!a pa"a setiap batang pa"a struktur trus berikut. 7awab: AB F D; F @=k/ tekan<, AC F ;$ F >3k/ tarik<, B F D F >3k/ tekan<, BC F 1 F D$ F =0k/ tarik<, C F $ F 6k/ tekan< & 1C F $1 F ''*,3 k/ tarik<
1abar soal no *. . Citunglah besarn!a ga!a pa"a batang 1 pa"a trus berikut ini. 7awab: 1 F ',' kips tarik<
1abar soal no. . Citunglah besarn!a ga!a pa"a batang B, B; & B$ pa"a trus berikut ini 7awab : B F B; F
* /
tarik< & B$ F
* /
tekan<
3. Citunglah besarn!a ga!a%ga!a pa"a batang AB, A & AD untuk trus ruang berikut ini. 7awab : AB F ,=k/ tekan<, A F ',3*' k/ tekan< & AD F ','@ k/
>6
1abar soal no.
1abar soal no.3 =. Citunglah ga!a pa"a batang $7 "an 17 pa"a trus ruang sebagai berikut. 1unakan eto"e potongan. 7awab : $7 F 0 & 17 F >0,6 k/ tekan< >. Citunglah besarn!a ga!a%ga!a reaksi tupuan "i A "an $ untuk struktur berikut ini. 7awab : AF @@@/ & $ F'/ keatas< 6. Suatu "isain esin peotong "igunakan untuk enggantikan "isain !ang laa. Citunglah besarn!a ga!a potong "i apabila ga!a pa"a grip sebesar '30/.
>@
7awab : F '=> /
1abar soal no. =
1abar soal no. >
1abar soal no. 6 60
BAB 2 GA9A TER&ISTRIB(SI
3.'. ;/DAC585A/ Dala bab%bab sebelun!a, ga!a !ang bekerja pa"a suatu ben"a "iasusikan bekerja pa"a titik kerjan!a. 1a!a !ang "eikian "isebut "engan ga!a terpusat. Sesungguhn!a ga!a !ang bekerja pa"a ben"a ter"istribusi pa"a suatu bi"ang kontak !ang eiliki luasan tertentu. Sebagai #ontoh ga!a !ang bekerja pa"a ban "engan jalan seperti "itunjukkan pa"a gabar 3.'a. Apabila "iensib "ari luas kontak "apat "iabaikan "iban"ingkan "engan "iensi ben"a se#ara keseluruhan isaln!a jari%jari ro"a ataupun ken"araan aka ga!a tersebut "apat "iasusikan sebagai ga!a terpusat. 1abar 3.'b enunjukkan #ontoh lain ga!a kontak antara bola baja "engan lintasann!a pa"a suatu bantalan gelin"ing !ang sebenarn!a eiliki luasan kontak tertentu, tetapi untuk keperluan analisis tertentu "apat "iasusian enja"i ga!a terpusat. 1abar 3.'# enunjukkan "istribusi ga!a pa"a batang "engan engseln!a. Meskipun pa"a hakekatn!a ga!a !ang bekerja pa"a suatu ben"a ti"ak terpusat pa"a suatu titik kerja, tetapi untuk kepentingan analisis e)ek !ang "itibulkan oleh ga!a tersebut pa"a ben"a se#ara keseluruhan ga!a tersebut "apat "iasusikan terpusat. Se"angkan apabila "iperlukan analisis untuk en"apatkan "istribusi ga!a internal pa"a ben"a tersebut, aka "istribusi ga!a kontak tersebut ti"ak "apat "iabaikan.
1abar 3.'. Ilustrasi 1a!a 2ontak Apabila ga!a "iterapkan pa"a suatu "aerah !ang "iensin!a ti"ak "apat "iabaikan "iban"ingkan "engan "iensi lainn!a, aka ga!a tersebut "iperlakukan sebagai ga!a ter"istribusi. 1abar 3.* enunjukkan #ontoh%#ontoh !ang eperhitungkan ga!a sebagai ga!a ter"istribusi. Ter"apat kategori "istribusi ga!a !aitu: 6'
'.
Distribusi garis Apabila ga!a ter"istribusi sepanjang garis, seperti "itunjukkan pa"a gabar 3.*a, aka intensitas w "ari ga!a "in!atakan sebagai ga!a persatuan panjang. Satuan w a"alah /+ atau pon+)oot. ontoh "ari "istribusi garis ini a"alah berat kabel.
1abar 3.*. 1a!a ter"istribusi *.
Distribusi luas
Apabila ga!a ter"istribusi pa"a suatu luas, seperti "itunjukkan pa"a gabar 3.*b, aka intensitas w "ari ga!a "in!atakan sebagai ga!a persatuan luas. ontoh "istribusi luas ini a"alah tekanan hi"rolik air pa"a ben"ungan. Satuan w a"alah /+* atau "isebut "engan pas#al pa< atau pon+in* psi<. =6@3pa F 'lb+in*<. 5kuran pa terlalu ke#il, sehingga laEin!a untuk tekanan hi"rolik enggunakan kpa '0 pa< "an tegangan "igunakan %pa '0= pa<. .
Distribusi (olue
Distribusi ga!a(olue "ikenal sebagai sebuah ga!a ben"a. 1a!a ben"a !ang paling uu a"alah ga!a gra(itasi !ang beraksi "iseluruh eleen assa "ari suatu ben"a. Sebagai #ontoh, penentuan ga!a pa"a tupuan struktur kantile(er, gabar 3.*#, akan ebutuhkan perhitungan "istribusi ga!a gra(itasi terha"ap seluruh struktur. Intensitas ga!a gra(itasi a"alah berat 5enis ;g <, "iana ; a"alah kerapatan assa assa persatuan (olue< "an g a"alah per#epatan gra(itasi. Satuan berat jenis a"alah /+ "ala satuan SI atau lb+in "ala satuan AS. 3.*. 5SAT MASSA Tinjaulah sebuah ben"a "iensi !ang "igantung "engan sebuah tali "ititik A seperti "itunjukkan pa"a gabar 3.. Ben"a akan bera"a "ala kesibangan "ibawah aksi tarikan pa"a tali "an resultan w "ari ga!a gra(itasi !ang bekerja pa"a seluruh eleen assa pa"a ben"a tersebut. 9esultan ini a"alah kolinier "engan tali "an isalkan kita enan"ai posisin!a "engan ebor sebuah lubang hipotetis "engan ukuran !ang "apat "iabaikan sepanjang garis kerjan!a. 8alu
6*
per#obaan ini "iulangi "engan enggantung ben"a "i titik B "an . 1aris%garis !ang "iperoleh akan berpotongan "isatu titik &. Titik ini "isebut "engan pusat gra(itasi ben"a.
1abar 3.. enentuan pusat gra(itasi ben"a 5ntuk enentukan lokasi pusat gra(itasi ben"a sebarang se#ara ateatis a"alah sebagai berikut. 1abar 3. enunjukkan siste koor"inat !ang "igunakan berikut "engan notasi% notasin!a. Moen akibat resultan ga!a gra(itasi terha"ap suatu subu besarn!a saa "engan julah oen !ang "ihasilkan oleh ga!a gra(itasi dw !ang beraksi "iseluruh partikel ben"a tersebut. 9esultan ga!a gra(itasi besarn!a saa "engan
xdw 2
,
y 3 ,
y
y
x
=
, sehingga "iperoleh 3
x
=
= <dw. Dari hubungan ini
< pusat gra(itasi ben"a tersebut.
ydw 2
3
3dw 2
3.'a
Seperti !ang telah "iketahui sebelun!a, bahwa berat a"alah perkalian antara assa m "engan per#epatan gra(itasi g sehingga "iperoleh = mg "an w =gdm. Dengan "eikian persaaan 3.'a "apat "itulis enja"i x
xdm m
y
ydm m
3
3dm m
3.'b
Se#ara (ektor, koor"inat pusat gra(itasi "apat "in!atakan sebagai r
rdm
3.*
m
6
1abar 3.. eilihan koor"inat penentuan pusat assa 2erap 2erapat atan an ass assaa ; ; "ari suatu partikel ben"a a"alah assa persatuan (olue kg>m kg>m3<, sehingga dm = ; d# . Dala hal kerapatan assa ini konstan+seraga pa"a seluruh ben"a, aka persaaan 3.' "apat juga "itulis sebagai x
x d# #
y
y d# #
3
3 d#
3.
#
ersaaan 3.'b, 3.* "an 3. enunjukkan bahwa pusat gra(itasi su"ah ti"ak lagi engan"ung (ariabel g (ariabel g . 4leh karena itu persaaan tersebut en"e)inisikan sebuah titik tunggal pa"a ben"a !ang han!a erupakan )ungsi "ari "istribusi assa. 3.. S;/T94ID DA9I 1A9IS, 85AS DA/ 485M; Apabila kerapatan assa ; assa ; "ari "ari suatu ben"a seraga, aka persaaan 3. "apat "ituliskan han!a sebagai )ungsi "ari geoetri ben"a saja. Dengan "eikian pusat assa enja"i titik pusat !ang han!a erupakan )ungsi "ari geoetri ben"a. Titik ini "isebut "engan istilah sentroi". 4leh karena itu apabila kerapatan assa suatu ben"a seraga, aka psat assa "an sentroi"%n!a terletak pa"a titik !ang saa. '.
1aris 1abar 1abar 3.3. enunjuk enunjukkan kan sebuah sebuah batang raping raping atau atau kawat kawat "engan "engan panjan panjangg / / "an luas penapang -, -, aka #=-/ #=-/ "an d#=-d/. d#=-d/. Dengan ensubstitusikan ke persaaan 3., aka akan "iperoleh sentroi" "ari kawat tersebut a"alah : x
xd/ /
y
yd/ /
3
6
3d/ /
3.
1abar 3.3. enentuan sentroi" kawat *.
8uas 1abar 3.=. enunjukkan enunjukkan pelat "engan ketebalan ketebalan t < seraga "engan luas luas -,, aka #=t- "an #=t- "an d#=td-. d#=td-. Dengan ensubstitusikan ke persaaan 3., aka akan "iperoleh sentroi" "ari pelat tersebut a"alah : x
xd- -
y
yd- -
3
3d -
3.3
1abar 3.=. enentuan sentroi" pelat .
olue
5ntuk ben"a sebarang "engan (olue # "an partikel ben"an!a d# , aka persaaan 3. "apat "itulis enja"i: x
xd# #
y
yd# #
3
63
3d# #
3.=
3.. B;/DA B;/T52 1AB5/1A/ enjelasan engenai pusat assa "an sentroi" "iatas "apat "engan u"ah "iterapkan pa"a ben"a%ben"a !ang eiliki geoetri se"erhana. 2esulitan akan un#ul apabila akan enentuan pusat assa "an sentroi" ben"a%ben"a !ang geoetrin!a ti"ak se"erhana. 4leh karena itu "ikebangkan suatu eto"e untuk keperluan tersebut. 2onsep "ari eto"e ini a"alah "engan ebag ebagii ben"a%b ben"a%ben"a en"a terseb tersebut ut enja" enja"ii beberapa beberapa bagian bagian !ang eili eiliki ki geoet geoetri ri se"erha se"erhana, na, selanjutn!a "itentukan pusat assa ataupun sentroi" untuk tiap%tiap bagian. usat assa aupun sentroi" ben"a tersebut "apat "iperoleh "engan enerapkan prinsip oen. Dengan "eikian akan "iperoleh pusat assa aupun sentroi" ben"a tersebut sebagai berikut: 9
m x m
-
7
m y m
-
:
m 3 m
3.>
ontoh Soal '.
Tentu entuka kann sent entroi roi" sebu sebuah ah busu busurr lingka ngkara rann sepe sepert rtii !ang !ang "ipe "iperl rlih ihat atka kann pa"a pa"a gab gabar ar 3.> 3.> berikut.
1br. 3.>. 1abar Soal /o. ' en!elesaian : eilihan subu J sebagai subu sietri akan ebuat y ebuat y = ?. Sebuah eleen "i))erensial "ari "ari busu busurr ep epun un!ai !ai panj panjan angg d/ F rd@ !ang "in!atakan "ala koor"inat kutub "an koor"in koor"inat at x "ari "ari ele eleen en a"alah a"alah r cos@ . Dengan enerapkan persaaan 3., aka akan "iperoleh :
6=
2Ar < x F
:r #os
x
*.
F rsinA<+A
Tentukan jarak
h
"ari alas segitiga !ang erupakan ketinggian "ari sentroi"n!a.
1br. 3.6. 1abar Soal /o. * en!elesaian Subu J "iabil beripit "engan alas, pilih lajur "i)erensial "ar luas d- = xdy. Ber"asarkan kesebangunan segitiga, aka x+hBy< F b>h. Dengan "eikian "iperoleh : R - y F yd-
y
bh *
h
y y 0
F h>3
6>
b:h y < h
dy
bh * =
.
Tentukan lokasi pusat assa "ari gabar suatu eleen esin berikut. 7enis bahan !ang "igunakan a"alah saa.
1br 3.@. 1abar Soal /o. en!elesaian Ben"a !ang "ianalisis eilki bentuk geoetri !ang koplek, oleh karena itu perlu "ibagi%bagi enja"i geoetri !ang se"erhana seperti "itunjukkan pa"a 1br. 3.@.
1br. 3.@. ebagian ben"a "ari 1br. 3.6 8angkah selanjutn!a "ihitung koor"inat pusat assa tiap%tiap bagian. Casiln!a "itabelkan pa"a tabel 3.'. Tabel 3.'. 9esue perhitungan tiap%tiap bagian Bagian ' * 3 Total
Massa kg< 0,0@6 0,3=* %0,0@ 0,=00 ',>= *,=*
y
3
0 0 0 30,0 >3,0
*',* %>3,0 %'00,0 %'30,0 0
my 0 0 0 0,0 ''0,> '0,>
m 3 *,06 %*,'@ @,6 %@0,00 0 %'*0,>
atatan : Mahasiswa "apat enge#ek perhitungan !ang a"a "i tabel 3.' 8ubang berbentuk segitiga "apat "ihitung sebagai bi"ang segitiga, tetapi assan!a enja"i negati)
66
Dari tabel 3.'. "apat "ihitung pusat assa eleen esin tersebut a"alah : 7
m y m
7
:
m 3 m
:
'0,> *,=*
3,mm
'*0,> *,=*
3,> mm
3.3. T;49;MA A5S Sebuah eto"e se"erhana untuk enghitung luas perukaan !ang "ibentuk "engan eutar sebuah kur(a bi"ang terha"ap subu !ang tak berpotongan pa"a bi"ang kur(a tersebut. 1abar 3.'0 enunjukkan sebuah kur(a !ang "iputar "engan subu putar subu x sehingga enghasilkan sebuah perukaa. Misalkan akan "ie(aluasi suatu #in#in "ari gabar 3.'0. 8uas #in#in tersebut a"alah keliling lingkaran "ikalikan "engan tinggin!a d/ <, sehingga d- = 2C ∫ yd/, tetapi karena = ∫ yd/, aka luas tersebut enja"i
- * y /
, "iana
y
y/
a"alah sentroi" pa"a pa"a subu y.
1abar 3.'0. erukaan !ang "ihasilkan "ari sebuah kur(a !ang "iputar rinsip !ang saa "apat juga "igunakan untuk enghitung suatu (olue !ang "ibentuk "engan eutar sebuah luas terha"ap suatu subu. 1abar 3.''. enujukkan ilustrasi sebuah bi"ang !ang "iputar pa"a subu x. Apabila "ie(aluasi sebuah #in#in !ang erupakan eleen "ari (olue ben"a tersebut, aka, luas penapang #in#in tersebut a"alah d- "an jari%jarin!a r . Sehingga (olue #in#in tersebut a"alah d# = 2Cyd-. Dengan "eikian (olue total ben"a tersebut a"alah # = 2C ∫ yd-. 2arena y -
yd- aka # *
y-
.
6@
1abar 3.''. olue ben"a !ang "iperoleh "ari eutar bi"ang 3.=. BA842 Batang struktural !ang eiliki ketahanan terha"ap lenturan akibat beban !ang "iterapkan "isebut "engan balok. Sebagian besar balok a"alah prisatis "an bebann!a tegak lurus terha"ap subu batang. Balok erupakan eleen struktural !ang ban!ak "igunakan. Analisis balok en!angkut kapasitas beban !ang "apat "itanggung. Analisisn!a ter"iri "ari * bagian, !aitu kesetibangan balok "an kekuatan bahan. Analisis kekuatan bahan ti"ak "ibahas pa"a buku ajar ini. Balok !ang "itupu se"eikian rupa sehingga ga!a%ga!a reaksi tupuann!a "apat "ihitung "engan eto"e statika saja "isebut "engan balok statis tertentu (statically determined), se"ang !ang ti"ak "isebut "engan istilah statis tak tentu (statically indetermined). ersoalan statis tak tentu eerlukan e(aluasi terha"ap "e)orasi !ang terja"i. ebahasan engenai asalah ini "iluar lingkup buku ajar ini "an biasan!a "iajarkan pa"a atakuliah tersen"iri. 1abar 3.'*. enunjukkan #ontoh%#ontoh tupuan balok. Beban eksternal pa"a balok "apat berupa beban terpusat aupun beban ter"istribusi. Beba "istribus ini "apat berupa beban luar !ang eang kontakn!a eiliki luas !ang ti"ak "apat "iabaikan atau juga "apat berupa berat balok itu sen"iri. Selain tarikan "an tekan, sebuah balok epun!ai ketahanan terha"ap geseran, lenturan "an puntir. 1abar 3.' enunjukkan pebebanan !ang ungkin "ikenakan pa"a balok. Distribusi beban internal sepanjang subu balok eberikan in)orasi !ang sangat "iperlukan untuk peran#angan balok. 8aEin!a "istribusi tersebut "igabarkan "ala suatu "iagra "iagra oen lentur, "iagra ga!a geser, "iagra ga!a aksial "an "iagra ga!a puntir< @0
1abar 3.'*. Balok statis tentu "an statis tak tentu
1abar 3.'. Beban pa"a balok Balok !ang "ikenai beban ter"istribusi eerlukan perhatian tersen"iri pa"a saat analisisn!a. Analisisn!a "apat "iulai "ari enghitung resultan "an letak titik kera ga!a ter"istribusin!a. Dengan enggabarkan "iagra%ben"a bebasn!a, aka akan "iketahui ga!a%ga!a @'
reaksi tupuan !ang belu "iketahui. Dengan enerapkan persaaan kesetibangan aka "apat "ihitung besarn!a ga!a%ga!a reaksi pa"a tupuan bila kasusn!a statis tertentu<. Apabila "iperlukan penggabaran "iagra ga!a geser atau oen lentur, aka beban ter"istribusi ta"i ti"ak "apat "iperhitungkan sebagai beban terpusat. 1abar 3.' enunjukkan hubungan antara ga!a ter"istribusi "engan geseran "an lenturann!a. 2orelasi antara beban ter"istribusi w < "engan geseran "an oen "iberikan sebagai berikut : # wdx (# E d#) = ?
w
d#
3.6
dx
% E wdx.(dx>2) E (# E d#)dx (% E d%) = ? #
d% dx
3.@
Dengan ensubtitusikan persaaan 3.@ ke persaaan 3.6 akan "iperoleh : *
w
d %
3.'0
*
d x
ontoh Soal .
1abarkan "iagra oen "an geser !ang "ihasilkan pa"a balok seperti gabar 3.'.
1br. 3.'. 1abar soal en!elesaian Dari "iagra ben"a bebas, "iperoleh reaksi tupuann!a 9 ' F ',=k/ "an 9 * F *, k/
Sebuah potongan balok sepanjang J keu"ian "ipisahkan "ari "iagra ben"a bebasn!a, "ari kesetibangan "iperoleh R $! F 0
',= F 0
@*
F ',=k/
R M9' F 0
M ',=J F 0
M F ',=J
/ilai%nilai ini han!a berlaku pa"a bagian balok "isebelah kiri beban k/, untuk bagian "isebelah kanann!a "ihitung sebagai berikut : R $! F 0
R M9' F 0
O *, F 0
*,<.'0 J < O M F 0
F *, k/
M F *, '0 J <
/ilai%nilai "an M !ang "iperoleh selanjutn!a "iplot sepanjang balok sehingga "iperoleh "iagra ga!a geser "an oen sebagai berkut.
Diagra 1a!a 1eser & Moen 3. 1abarkan "iagra oen "an geser !ang "ihasilkan balok !ang "ibebani oleh beban ter"istribusi w = wo sin (Cx>l) seperti "itunjukkan pa"a gabar 3.'3.
1abar 3.'3. Soal /o. 3 en!elesaian Diagra ben"a bebas "igabarkan terlebih "ahulu sehingga "apat "ihitung besarn!a reaksi "i tupuan.
@
l
R $! F 0
l
# o wdx 0
# o
w
0
o
sin
0
x l
dx
l
l
R M F 0 % o x:wdx< 0
% 0 wo x sin
0
0
# o
x l
*wol *
dx % o
wo l
Integrasi terha"ap ga!a geser "an oen !ang "iakibatkan oleh ga!a ter"istribusi enghasilkan : #
Rd# = wdx
x
d# wo sin 0
# 0
%
Rd% F #dx
% 0
x
d%
0
x
l
dx
# w0l
'
:' #os
x l
<
w0l x % ' x ' x ' sin ' #os dx * l l w0l l
Dari "ua persaaan terakhir ini selanjun!a "iplot pa"a sepanjang balok sehingga "iperoleh "iagra ga!a geser "an oenn!a.
Diagra ga!a geser "an oen 3.>. 2AB;8 $8;2SIB;8 @
2abel )leksibel ban!ak "igunakan untuk jebatan gantung, jalur transisi listrik, jaur telephon "ll. Analisis engenai kabel )leksibel uun!a en!angkut tarikan, bentangan, len"utan "an panjang kabel. 8enturan pa"a analisis kabel uun!a "iabaikan, "engan "eikian ga!a pa"a kabel selalu bera"a "ala arah kabel. ebebanan pa"a kabel "apat berupa beban terpusat "an ter"istribusi seperti "itunjukkan pa"a gabar 3.'=. Dala hal%hal tertentu berat kabel "apat "iabaikan, tetapi bila beratn!a signi)ikan "iban"ingkan "engan beban luarn!a, aka berat kabel ikut "iperhitungkan. Besarn!a resultan ga!a pa"a kabel "engan beban ter"istribusi sebesar w "apat "in!atakan sebagai , =
xd, . ,
1abar 3.'= ebebanan pa"a kabel )leksibel 2on"isi kesetibangan kabel akan terpenuhi jika tiap eleen kabel !ang sangat ke#il juga "ala kesetibangan pula. 1abar 3.'=# enunjukkan "iagra ben"a bebas suatu eleen ke#il "ari kabel. Dengan enerapkan prinsip kesetibangan, aka akan "iperoleh : ( E d)sin(@ E d@) = sin@ E wdx
&
( E d)cos(@ E d@) = cos@
&
( E d)(cos@ sin@ d@) = cos@
sin d@ = ? dan cos d@ = 1, sehingga "iperoleh ( E d)(sin@ E cos@d@) = sin@ E wdx
Dengan enghilangkan suku beror"e * "an pen!e"erhanaan enghasilkan : cos@d@ E dsin@ = wdx
&
sin@ d@) E d cos@= ?
Atau "apat "itulis sebagai d( sin@) = wdx "an d(cos@) = ? ersaaan d(cos@) = ? enunjukkan bahwa koponen horisontal tetap ti"ak berubah. 7ika "iberikan notasi = ? >cos@ untuk ga!a horisontal ini, aka d( sin@) = wdx "apat "itulis sebagai d( ?tan@) = wdx. Dari gabar "iketahui kalau tan@ = dy>dx sehingga "iperoleh persaaan
@3
d * y dx *
w ) 0
. ersaaan ini a"alah persaaan "i))erensial or"er * untuk kabel )leksibel. en!elesaian
persaaan ini eerlukan s!arat batas !aitu kon"isi "iujung%ujung kabel. ontoh soal =.
Citunglah besarn!a tarikan pa"a "ibagian tengah kabel )leksibel seperti "itunjukkan pa"a gabar 3.'> berikut bila assa !ang "isangga oleh kabel '*kg+.
1br 3.'>. 1abar #ontoh soal no = en!elesaian Dari soal "iperoleh h F =0, / F 00, berat pebeban w F '*.@,6'<'0%< k/+, "an kon"isi "i ke"ua ujung kabel "itupu. *
ersaaan "i)erensial untuk kabel )leksibel a"alah : Integrasi pertaa "iperoleh
dy
dx
wx ) 0
d y dx
*
w ) 0
6
Dari gabar "iketahui untuk x = ? "iujung kabel<, keiringan kabel F 0, "engan "eikian dy dx
0 , sehingga "iperoleh 6 = ?. Dengan "eikian integrasi pertaa enghasilkan
dy dx
wx ) 0
,
persaaan ini en"e)inisikan keiringan "isepanjang kabel. Selanjutn!a "ie(aluasi besarn!a len"utan "isepanjang kabel !ang "iperoleh "engan engintegrasikan y
sepanjang kabel a"alah
x
dy
0
pa"a kabel a"alah
) 0
) 0
wx
*
* y
wx
dx .
Casiln!a a"alah
0
y
wx
dy dx
wx ) 0
. 8en"utan
*
*) 0
. Dengan "eikian tarikan
Dari gabar "iketahui apabila "ibagian tengah kabel kon"isi
@=
batasn!a a"alah x =1F? "an y =G?, sehingga besarn!a tarikan "itengah kabel a"alah 0,''>> '30
*
) 0
* =0
F **,0> k/.
atatan : Bila panjang bentangan 00 "an len"utan "itengah sebesar =0, "apatkah an" enghitung berapa panjang kabeln!aH 3.6. STATI2A $85IDA Dala bagian ini akan "ibahas kesetibangan ben"a !ang "ikenakan ga!a akibat tekanan )lui"a. $lui"a a"alah suatu Eat !ang ti"ak "apat enahan geseran, sehingga apabila "ikenai ga!a geser akan engalir. 7a"i )lui"a !ang "ia han!a "apat enahan ga!a noral saja. Tekanan "i setiap titik "ala suatu )lui"a a"alah saa untuk seua arah huku as#al<. Dala seua )lui"a "ia, tekanan erupakan suatu )ungsi "ari "iensi arah (ertikal. Besarn!a tekanan pa"a suatu eleen ke#il "ala suatu )lui"a "apat "in!atakan sebagai dp = ;gdh. Diana dp en!atakan tekanan ga!a per%satuan luas<, ; en!atakan kerapatan assa )lui"a, g en!atakan per#epatan gra(itasi "an dh en!atakan ketinggian "ari eleen tersebut. ersaaan ini en!atakan bahwa tekanan )lui"a erupakan suatu )ungsi "ari posisin!a saja. $lui"a !ang ti"ak "apat "iapatkan "isebut "engan )lui"a incompresible biasan!a "ala kea"aan #air isaln!a air, oli "ll. Si)at incompresible ini enunjukkan bahwa ; konstan. Dengan "eikian tekanan )lui"an!a a"alah p = p? E ;gh. Satuan tekanan !ang laEi "igunakan a"alah pa pas#al< "an psi lb+in*<, terka"ang juga "igunakan satuan bar , Cg "ll. Se"angkan )lui"a "apat "iapatkan ti"ak "ibahas "ala buku ajar ini. Dala analisis ga!a%ga!a !ang "iakibatkan tekanan )lui"a, perlu "iingat eto"e analisis ga!a ter"istribusi. Tahapann!a a"alah enentukan resultan ga!a totaln!a, selanjutn!a enentukan titik kerjan!a ataupun garis kerjan!a "an selanjutn!a "igunakan prinsip kesetibangan ga!a. Suatu ben"a !ang terletak "ala suatu )lui"a akan "ikenai suatu ga!a angkat. 1a!a ini "isebut "engan ga!a apung "an "iteukan oleh Ar#hie"es. 1a!a ini "iperoleh "ari selisih antara ga!a berat ben"a "engan ga!a !ang "ihasilkan oleh tekanan )lui"a !ang bekerja pa"a ben"a tersebut. Bila sebuah ben"a "iasukkan "ala sebuah wa"ah !ang penuh berisi air, aka air tersebut akan tupah. Apabila air !ang tupah ta"i "itapung, aka akan "apat "iketahui berapa besarn!a (oluen!a. Besarn!a (olue air tersebut enunjukkan besarn!a ga!a !ang en!ebabkan air "engan (olue tersebut terangkat. Besarn!a ga!a apung ini a"alah ' = ;g# "iana # a"alah (olue )lui"a !ang "ipin"ahkan. @>
ontoh soal >.
9uang u"ara "ala tangki air tawar tertutup "ipertahankan pa"a tekanan k/+* "iatas tekanan atosphere< seperti "itunjukkan pa"a gabar 3.'6. Tentukan besarn!a ga!a resultan !ang "isebabkan oleh u"ara "an air pa"a sisi tangki. 0,'=
0,3
0,=
1br. 3.'6 1abar #ontoh soal no > en!elesaian Distribusi tekanan pa"a perukaan sisi tangki a"alah "istribusi persegi epat akibat tekanan u"ara "an ter"istribusi segitiga akibat tekanan air.
0,6 0,3=
Besarn!a tekanan air "i "asar tangki pa = ;gHh = (1???kg>m3 )(1?m>s2 )(?"Gm) = Gk+>m2 " "iana ; a"alah berat jenis air tawar !ang besarn!a = 1kg>liter = 1???kg>m3. Sehingga tekanan "i "asar tangki a"alah pdasar = p? Epa = I E G = 1? k+>m2. Se"angkan tekanan rata%rata air pa"a "in"ing tangki pa$ = ;g h = (1???kg>m3 )(1?m>s2 )(?"Gm>2)=3k+>m2. 1a!a resultan akibat tekanan u"ara ,1 = p? - = (I).(?"Fx?"JG) = 1"F2k+ , "iana - a"alah luas "in"ing tangki sebelah sisi 0,3 J 0,>=<. 1a!a resultan akibat tekanan air ,2 = pa$ -1 = (3)(?"Fx?"G)= ?"Kk+. "iana -1 a"alah luas "in"ing sisi tangki !ang teren"a oleh air. Dengan "eikian ga!a total pa"a "in"ing sisi tangki , = ,1 E ,2 = 1"F2 E ?"K = 2"I2k+. Dapatkah an"a enentukan letak titik kerja ga!a resultan , @6
Soal%soal '.
arilah sentroi" "ari bentuk berikut. jawab : 9 ,==in <
1br. 3.'@. 1abar soal ' *.
1br. 3.*0. 1abar soal no *
Sebuah kabel "engan berat *3/+ "igunakan untuk enggantung suatu ben"a seperti "itunjukkan pa"a gabar 3.*0. Citunlah berat ben"a apabila besan!a len"utann!a @, tentukan pula jarak antara titik A "an . 7awab : F *>0kg & -6 F >@,'<
.
arilah besarn!a oen aksiu "an letakn!a, gabarkan juga "iagra ga!a geser "an oenn!a untuk balok seperti "itunjukkan pa"a gabar 3.*'. 7awab : % max = F??lb.ft di x = Gft <
1br. 3.*'. 1abar soal no. .
Sebuah bagian "ari "a berbentuk busur lingkaran "engan jari%jari 300)t seperti "itunjukkan pa"a gabar 3.**. Citunglah ga!a resultan !ang bekerja pa"a bagian tersebut, apabila ke"alaan air '00)t.
@@
