Bronislao Yurksas, S.D.B.
Yurksas, Bronislao Dibujo geométrico y de proyección / Bronislao Yurksas. — Santafé de Bogotá: Ediciones don Bosco, Panamericana Editorial, 1998. 164 p . ; i l . ; 24 cm. ~ (Paraeducativos) ISBN 978-958-30-0017-1 1. Dibujo técnico 2. Proyección 3. Dibujo geométrico I . Tít. n.Serie 744 c d l 9 e d . AGE2550 CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis-Ángel Arango
Dibujo Geométrico y de Proyección
C PANAMERICANA")
INDICE PRIMERA PARTE NORMAS PRACTICAS
I II III IV V VI VII
Material de dibujo y su empleo Instrumentos del estuche y otros accesorios Formatos de los dibujos Clases de Kneas Acotaciones Rotulación Procedimiento para seguirse en el dibujo
5 13 20 22 24 25 29
SEGUNDA PARTE DIBUJO GEOMETRICO
Decimaquinta reimpresión, febrero de 2010 Primera edición, abril de 1991 © Ediciones Don Bosco Centro Don Bosco - Av. El Dorado 66 A - Tel.: 2630768 © Panamericana Editorial Ltda. Calle 12 No. 34-30, Tefe.: (57 1) 3603077 - 2770100 Fax: (57 1) 2373805 www.panamericanaeditorial.com Bogotá D. C , Colombia ISBN 978-958-30-0017-1 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso del Editor. Distribución: Librerías Panamericana - Calle 12 No. 34-30 Conmutador 2770100 - 3603077 Librería Salesiana - CarTera 5a. No. 8-31 Tel.: 2422452 Diseño de carátula: ® Marca Registrada Impreso por Panamericana Formas e Impresos S. A. Calle 65 No. 95-28, Tds.: (57 1) 4302110 - 4300355, Fax: (57 1) 2763008 Bogotá D. C , Colombia Quien sólo actúa como impresor. Impreso en Colombia
Printed in Colombia
Escuadrado de la hoja Lámina I Construcción de líneas diversas (Perpendiculares) Lámina II Paralelas y ángulos Aplicaciones: Perpendiculares y paralelas Lámina III Bisectrices - Operaciones con ángulos Lámina IV Triángulos Lámina V Triángulos Lámina VI Paralelogramos (cuadrado y rectángulo) Lámina VII Paralelogramos (rombo y romboide) Lámina VIII Trapecios Lámina IX Proporcionalidad Lámina X Polígonos regulares inscritos Lámina XI Polígonos regulares Lámina XII Polígonos estrellados Lámina XIII Polígonos estrellados Aplicaciones: Polígonos Aplicaciones: Rosetas estrelladas Lámina XIV Rectas tangentes a circunferencias Lámina XV Circunferencias tangentes a rectas Lámina XVI Circunferencias tangentes entre sí Lámina XVII Otras tangencias Lámina XVIII Empalmes de líneas Lámina XIX Empalmes de líneas Lámina XX Empalmes de líneas Aplicaciones: Enlaces de rectas y curvas Lámina XXI Rectificación de curvas Lámina XXII Arcos arquitectónicos Lámina XXIII Molduras
32 34 36 38 40 4
2
44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 63 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84
Lámina XXIV Molduras Aplicaciones: Remate Aplicaciones: Balaustre Lámina XXV Ovalos y espirales Aplicaciones: Llave de boca Aplicaciones: Cadena Lámina XXVI Ovoides, Evolvente y Espiral de Arquímedes Lámina XXVII Elipses Lámina XXVIII Curvas a pulso Lámina XXIX Otras curvas a pulso Lámina XXX Líneas de sombra Aplicaciones: Anfora Aplicaciones: Anfora Recopilación
86 88 89 90 92 93 94 96 98 100 102 104 105 106
DIBUJO DE PROYECCION
Lámina Lámina Lámina Lámina Lámina Lámina Lámina Lámina Lámina Lámina Lámina Lámina Lámina Lámina Lámina Lámina
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI
109 Proyección sobre un plano Proyección del punto Proyección de rectas sobre dos planos Proyección de un plano Líneas contenidas en un plano Proyección de superficies planas Proyección ortogonal de los poliedros Cambios de planos de Proyección Giros o rotaciones Rebatimientos Proyección sobre los tres planos Desarrollo de los sólidos geométricos Desarrollo de otros cuerpos geométricos Desarrollo de los cuerpos truncados Intersecciones de superficies Perspectiva paralela
112 114 114 116 119 120 123 125 127 128 130 133 133 134 138 141
CUARTA PARTE PERSPECTIVA ISOMETRICA Lámina XVII
Perspectiva isométrica
APENDICE Fórmulas de la geometría plana Fórmulas de la geometría sólida
dibujante
' s instintivo en toda persona el deseo de dibujar, como una ayuda complementaria para las ideas que desea explicar, especialmente si se trata de describir piezas de maquinaria, mecanismos, esquemas, etc. Con el progreso de la técnica, ha progresado también el dibujo técnico. Existen afortunadamente ciertas normas y reglas universalmente adoptadas, para que los dibujos puedan ser entendidos y utilizados en cualquier parte del mundo. Con razón se dice que "el dibujo es el idioma internacional del técnico".
E
TERCERA PARTE
Preliminares
Al joven
144
Antes de dedicarte al dibujo especializado, como principiante, debes conocer a fondo el dibujo geométrico y familiarizarte con los métodos de la geometría descriptiva, dominando todas sus reglas. Aquel te enseña las construcciones y trazados fundamentales, ésta la manera de obtener las distintas vistas sobre cada uno de los planos de proyección, cómo se obtiene una sección determinada, cómo se halla una intersección o un desarrollo, etc. Una vez dominadas estas disciplinas, el.dibujo de taller no será otra cosa que la aplicación práctica de los problemas contenidos en este libro. La ejecución de un dibujo cualquiera supone fuerza mental suficiente, cierto golpe de vista y habilidad manual en el manejo de los instrumentos de dibujo. El dibujante debe conocer cuántos recursos le ofrece el arte, para conseguir dibujos claros, limpios y bien ejecutados. La primera parte de este libro, precisamente, te ofrece importantes normas generales y reglas prácticas adquiridas con la experiencia. Con mi modesto trabajo técnica integral y ofrecerte inteligible.
deseo ayudarte en tu formación un manual de dibujo sencillo e
EL
AUTOR
PRIMERA PARTE
NORMAS PRACTICAS OBJETIVOS: 1. El Dibujante debe conocer y usar convenientemente y con precisión el material empleado. 2. Esmerarse en el aseo, la limpieza y en la buena presentación de los trabajos realizados. 3. Esforzarse por despertar la creatividad y el desarrollo de sus propias capacidades. CONTENIDOS: 1. Conocimiento del material que va a emplear. 2. Buen uso de dicho material. 3. Formatos - clases de línea - acotaciones - rotulaciones - normas prácticas - ejercicios complementarios. APLICACIONES: 1. Trazados correctos. 2. Conocimiento de las normas. 3. Clases de rotulación. 4. Normas prácticas.
I MATERIAL DE DIBUJO Y SU EMPLEO La perfección de un dibujo cualquiera d e p e n d e en gran parte de la calidad del material empleado y de la habilidad al usarlo. Cuida de adquirir un buen instrumental, ya que el falso ahorro se paga siempre caro. 1. Lápiz El tipo más corriente consiste en un cilindro de madera de cedro rojo, que contiene una barrita c o m p u e s t a de grafito y arcilla. Según el grado de dureza los lápices ordinarios se clasifican así: -Duros: H, 2 H , 3H.... -Intermedios: HB -Blandos: B, 2 B , 3B, 4 B , 6 B , carboncillo. Es conveniente sacar al lápiz la punta más fina que sea posible, empleando un cortaplumas bien afilado y frotando frecuentemente la barrita sobre una lima fina, sobre piedra asperón o sobre un pedacito de papel de lija No. 0.
Fig. 1. U n sencillo a f i n a d o r p a r a lápices: a) e s m e r i l g r u e s o ; b) e s m e r i l fino; c) fieltro p a r a limpiar.
Hay quienes acostumbran trabajar con el lápiz afilado a bisel en los dibujos en que las líneas deban ser muy finas. C r e e m o s , no obstante, que lo más conveniente es sacar la punta redonda, sobre todo tratándose de principiantes.
A
B
Fig. 2. M o d o correcto d e afilar un lápiz: A) punta c ó n i c a ; 8 ) punta a c i n c e l a d a .
5
Al trazar las líneas, el lápiz se sostendrá en posición vertical, algo Inclinado en el sentido del movimiento que ha de seguirse, con el brazo libre y separado del cuerpo. Adáptese la punta ligeramente contra el borde de la regla o escuadra, para evitar oscilaciones, moviéndolo siempre de izquierda a derecha o de la base a la cabecera del tablero. En el trazo de líneas, girar ligeramente el lápiz entre los dedos, ayuda a conservar afilada la punta del mismo. Hoy día se encuentran en el comercio vanados lapiceros o portaminas, que presentan muchas ventajas sobre el lápiz ordinario y cuyo uso no hay por qué prohibirlo en el dibujo. 2. G o m a de b o r r a r Una buena goma de borrar lápiz ha de ser blanda, flexible, de grano fino y exenta de materias extrañas y pegajosas. Para borrar líneas trazadas con tinta se emplea una goma especial, que se diferencia de la ordinaria por su mayor dureza, poca flexibilidad; contiene además del caucho, vidrio finamente pulverizado. Como la acción de la goma de borrar tinta es mecánica, a guisa de una lima finísima, se c o m prenderá que no debe ser usada para borrar líneas de lápiz, puesto que c o m e el papel, produciendo manchas traslúcidas. Se pasa la g o m a suavemente sobre el papel, preferiblemente en un solo sentido, para evitar arrugas en el papel. En los dibujos pasados a tinta no se usen nunca gomas duras. No se moje la goma con la saliva. En todo caso nuestro consejo es que, sobre todo los principiantes, se abstengan del uso de la goma de borrar, trabajando como si tal remedio no existiese y recurriendo a su uso solamente en casos extraordinarios. El que abusa de la goma difícilmente obtendrá nitidez y claridad en su dibujo. Es aconsejable utilizar un cepillo de barrido para los residuos de grafito y de goma de borrar.
Para borrar determinadas porciones de líneas, sin perjudicar las demás, d e m a siado próximas, existen unas delgadas planchitas de latón o celuloide, provistas de unas perforaciones, que sirven de escudete. Fig. 3a. 3. Papel Para delineación en tinta un buen papel debe tener las siguientes características: ser blanco puro, grueso, resistente al borrado y desgarramiento, bien encolado, no levantar fibras, liso al anverso (apergaminado) y al reverso granulado. 6
Hay papeles que con la luz pierden su blancura, volviéndose amarillentos y quebradizos, otros que al borrar se deterioran y se deshilan fácilmente, otros que por f a l ta de homogeneidad de pasta extienden la tinta. Por estos motivos conviene usar papeles de marcas acreditadas como: Whatmann, Guarro, Hércules, Sena, Ribes, Cansón, Schoellers Hammer, Schoellers Parole, Eichelzweig, etc. Hay papeles prensados en caliente y en frío. Para los dibujos a tinta, si no ha de ir lavado, el más conveniente es el prensado en frío. El anverso del papel es liso o brillante y con frecuencia es fácilmente visible la marca de fábrica. El reverso, al contrario, es más granulado y la marca invertida es casi invisible. Para dibujar a lápiz solo y para croquizar pueden usarse papeles más económicos y algo más ásperos para que el lápiz marque mejor. Del papel de calco y de otras clases de papeles se hablará a su debido tiempo. 4 . Tablero de d i b u j o Debe ser de un material de buena calidad, generalmente de pino bien seco, cortado longitudinalmente en el sentido de la fibra y exento de nudos. Su tamaño será proporcionado a las dimensiones de los dibujos que en él deban realizarse. Para los formatos de papel según las normas DIN resultan cómodos los tableros con estas dimensiones: 4 7 por 3 7 , 63 por 4 7 , 9 0 por 65, 125 por 100 c m . La cara inferior debe estar reforzada mediante dos listones fuertes, en forma de cola de milano, que impidan que el tablero pueda alabearse. Con el objeto de formar una arista lisa, a lo largo de la cual se pueda deslizar con facilidad la regla T; el tablero lleva en sus lados menores unos listones machihembrados de madera dura, que forman con la base del tablero ángulo exactamente de 9 0 ° .
Fig. 4 . A n v e r s o y r e v e r s o del t a b l e r o de d i b u j o .
La cara superior del tablero debe ser completamente plana, no alabeada y el tablero no debe bambolearse sobre la mesa. Para reducir la contracción y dilatación transversales de la madera y permitir las longitudinales, algunos tableros llevan en su cara posterior unas ranuras, cuya profundidad es igual a la mitad del espesor del tablero. El papel bien estirado y en escuadra con los bordes del tablero se sujeta en el mismo mediante unas chinchetas o unas tiras de papel engomado. 7
5. Regla T y regla paralela La regla T consiste en una regla ordinaria que lleva en uno de sus extremos un travesano ya fijo, ya sujeto por un tornillo de presión. En el primer caso el travesano forma un ángulo recto exacto con la regla, en el segundo caso puede formar cualquier ángulo con el filo normal de la regla.
de los á n g u l o s . C o m o las escuadras son quizás los instrumentos que más tiene que emplear el dibujante, los alumnos deben adquirir práctica en su manejo. Para esto observe atentamente algunos ejemplos adjuntos sobre el diverso empleo de las mismas.
Fig. 5. Regia T
Esta regla se emplea para trazar líneas rectas horizontales y paralelas. Para esto se coloca el travesano acoplado a uno de los bordes del tablero, se ajusta a la regla a la dirección en que han de trazarse las paralelas, se aprieta el tornillo y se tiene el instrumento en disposición de trazar todas las paralelas que se deseen, siempre que la cabeza de la T se adapte al borde del tablero. Siempre que haya que usarse la regla T, antes se aprieta firmemente el travesano al borde del tablero y se sujeta la regla en el medio con la mano izquierda. Fig.6.
Fig. 7. E s c u a d r a s de 60° y 4 5 '
/
Trazado de líneas verticales a otra horizontal. borde superior de la regla. Fig. 8.
Las escuadras
a
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Fig. 6a. Instalación de la regla paralela.
l
6. E s c u a d r a s Estos instrumentos, que se emplean para trazar líneas verticales, oblicuas, perpendiculares y paralelas deben ser construidos con mucho esmero, de maderas flexibles, como peral o caoba (pueden estar enchapados de ébano, madera dura e insensible a la tinta china), caucho endurecido o celuloide transparente. Su espesor no debe pasar de dos milímetros, precisamente para que se adapte fácilmente a la superficie donde se dibuja.
8
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0 e
Fig. 8. Trazado d e lineas verticales a otra horizontal.
//
Trazado de líneas paralelas verticales a una línea dada que no es vertical ni horizontal. Manteniendo fija la escuadra A con la mano izquierda, se corre la escuadra B a lo largo de la escuadra A. Si después de trazar varias líneas el borde de la escuadra A es insuficiente para apoyar bien la escuadra B, se sujeta un momento con la mano derecha la B y con la izquierda se corre la A paralelamente a una nueva posición y se prosigue el trazado como antes. Fig. 9.
III
Trazado de perpendiculares a una línea dada que no es vertical ni horizontal. El lado mayor de la escuadra B se desliza sobre el lado mayor de la escuadra A, que per-
Las principales formas de escuadras son de 60° y 45°. La primera tiene los otros dos ángulos de 30° y 90°. Se usa para el dibujo corriente y para construir hexágonos regulares. La segunda tiene dos ángulos de 45° y uno de 90° y sirve para trazar cuadrados y octógonos regulares, en el rayado de las sombras y en la perspectiva caballera. Las escuadras combinadas con la regla facilitan el trazado de líneas paralelas, verticales, oblicuas, en gran número y sin dificultad, como también la construcción
9
sobre el
e
1
Fig. 6. E m p l e o de la regla T para trazar líneas paralelas
se deslizan
9
manece fijo. Las líneas punteadas representan la posición de la escuadra do se mueve a lo largo del borde de la escuadra A. Fig. 10.
B, cuan
Fig. 1 3 .
IV Otro modo de trazar perpendiculares y la manera de disponer las escuadras para trazar una figura rectangular. Permaneciendo fija la A, la escuadra B de 45° se invierte como lo representan las líneas punteadas en B'. Fig. 11. V
Combinando las escuadras se pueden 90, etc. grados y dividir la circunferencia les. Fig. 12 y 13.
trazar ángulos de 15, 30, 45, 60, 75, en 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 partes igua-
7. C o m p r o b a c i ó n y c u i d a d o de las r e g l a s y d e las e s c u a d r a s Para comprobar el borde de trabajo de una regla se traza una línea entre dos puntos; volviendo luego ésta del otro lado, en posición simétrica, se traza otra línea. SI la regla no está deformada, las dos líneas se confundirán, en caso contrario las líneas trazadas no coincidirán. Fig. 14.
a
o
b
Fig. 14. C o m p r o b a c i ó n de una regla.
Para comprobar el ángulo recto de las escuadras basta apoyar uno de sus catetos sobre el canto de una regla y trazar, sirviéndose del otro como guía, una perpendicular a la regla. Invirtiendo la posición de la escuadra y trazando una nueva perpendicular, será necesario que ambas coincidan exactamente. En caso contrario la escuadra es defectuosa. Fig. 15.
Fig. 1 0 . T r a z a d o de p e r p e n d i c u l a r e s a u n a o b l i c u a .
Fig. 1 1 . Trazado de u n a f i g u r a r e c t a n g u l a r
* \
o
i _ . _ L . y l . . ¡ \ y \
Fig. 1 2 .
10
•—
Fig. 15. C o m p r o b a c i ó n de u n a e s c u a d r a .
Es sumamente necesario el cuidado de las reglas y de las escuadras. Manténganse siempre limpias, antes de comenzar el trabajo. Las escuadras y reglas plásticas sólo se pueden limpiar con agua y jabón no detergente. Los disolventes orgánicos las arruinan y los detergentes las opacan. Las manchas de tinta se retiran con alcohol diluido en agua y secando en seguida. Al terminar el trabajo cuélguense las reglas y nunca se arrimen a una pared. 11
8. P l a n t i l l a s ( c u r v í g r a f o s ) para el t r a z a d o de las c u r v a s El trazado de curvas (cuando son muy abiertas y no pueden ser trazadas con el compás), de elipses ¡guales, de contornos cicloidales, epicicloidales y envolventes, etc., exige el empleo de plantillas curvas, construidas de madera, caucho o celuloide, en las que se procura tengan partes de muy diferente radio de curvatura con el objeto de que puedan adaptarse en alguna porción a cualquier línea continua. Al usar la plantilla conviene marcar previamente unos cuatro puntos suficientemente próximos por los que ha de pasar la curva. Seguidamente se aplicará la plantilla, de modo que pase, a lo menos, por tres puntos de la curva. Al cambiarla de posición, se colocará de modo que coincida con parte de la curva ya trazada, de esta manera hay menos peligro de que se forme un ángulo en el punto de intersección con la parte siguiente de la curva. La plantilla se adapta tantas veces como lo exija la curva que se desee trazar. Fig. 16.
Existe en el comercio la tinta china también en tubos, en lugar de frascos, que presenta la ventaja de fácil y cómodo manejo al cargar el tiralíneas y no se derrama tan fácilmente. Fig. 17. Las tintas de color (encarnado, azul, verde, etc.) se emplean poco y sólo para determinados trazados. Deben cumplir igualmente la condición de ser inalterables.
II INSTRUMENTOS DEL ESTUCHE Y OTROS ACCESORIOS DE DIBUJO
El curvígrafo flexible puede sustituir a las plantillas fijas. Fig. 16a. C
f -
El estuche de dibujo debe contener las siguientes piezas: 1. un compás grande para lápiz y tinta con alargadera; 2. un compás pequeño para lápiz y tinta; 3. un compás de puntas fijas; 4. un compás de muelle o bigotera; 5. un compás divisor con tornillo central; 6. un tiralíneas grande y otro más pequeño con todos sus accesorios. Fig. 18. Posición eiongada
Perfil del curvígrafo flexible
Fig. 16. U s o de la plantilla en el trazado de las c u r v a s
Fig. 16a. Curvígrafo flexible.
9. T i n t a c h i n a Se utiliza generalmente tinta líquida y sólo en casos excepcionales, cuando se trata de dibujos muy perfectos, se prepara la tinta partiendo de las barritas, que se expenden en el comercio. Una buena tinta para dibujar ha de ser profundamente negra, fluida, secarse rápidamente y permanecer inalterable a la acción del tiempo y de la luz; provisto el frasco de un tapón de cierre hermético, con una pluma de ave que suele ir empotrada en la parte Inferior del tapón y que sirve para alimentar los tiralíneas y plumas, sin necesidad de introducirlos dentro del frasco. Los frascos de tinta no han de dejarse abiertos largo tiempo, para evitar que se evapore la tinta y que le caiga polvo. La tinta china es la única indeleble, pero al mismo tiempo es sumamente delicada y no tolera la mezcla con otras tintas. Basta a veces unas gotitas de tinta ordinaria para descomponerla e Inutilizarla por completo. Fig. 1 8 . E s t u c h e de c o m p a s e s .
£ = = _ • — f f i f l
Fig. 17. 12
T i n t a
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• indeleble '
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A » B_l/
Estos instrumentos deben elegirse con gran cuidado, atendiendo tanto a sus formas como a su calidad. Por desgracia, el material empleado en la fabricación de muchos de estos instrumentos suele ser de tan mala calidad y tan mal ajustados, que muy pronto se hacen inservibles. Los buenos instrumentos son de metal blanco, de la mejor calidad, y acero, con articulaciones y ajustes perfectos, que resisten, como es debido, al uso constante por muchos años. Evítese una mal entendida economía. Con un estuche barato, y por lo tanto, de calidad inferior, no es posible obtener dibujos limpios y perfectos. 13
1 . C o m p á s de piezas Se compone de dos ramas {piernas del compás) a las cuales se empalman, a caja y espiga, y se sujetan por medio de tornillos de presión, según la necesidad, las siguientes piezas cambiables: portalápiz, tiralíneas, portaaguja y alargadera. Fig. 19. - X H - 8 X
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2
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B
X Fig. 1 9 . C o m p á s de piezas: A) las r a m a s : B) el p o r t a l á p i z ; C) el t i r a l í n e a s ; 0 ) la a l a r g a d e r a .
La articulación más importante del compás es la de sus ramas, o cabeza del compás, que puede ser de dos maneras: la articulación de lengüeta y la articulación a pivote. Importante es que dicha articulación permita abrir y cerrar con facilidad las ramas del compás y al mismo tiempo no sea tan floja que altere la abertura durante el trabajo. Las articulaciones laterales que lleva el compás sirven para mantener las extremidades del instrumento aproximadamente perpendiculares al papel, cuando el compás es muy abierto. Cuando hay necesidad de trazar circunferencias de radio muy grande se usa la pierna de extensión o alargadera, que sirve para alargar la rama que lleva el portalápiz o el tiralíneas. El pie del compás, o sea el que se fija sobre el papel para que sirva de eje, está provisto de una punta de aguja cambiable con un tope, que no le permite hundirse demasiado en el papel. Esta punta de aguja se puede también graduar por medio de un tornillo de seguridad alargando o acortando la longitud del pie del compás, según convenga en cada caso. No se ejerza demasiada presión ni sobre la pierna que lleva la aguja, ni sobre la que lleva el tiralíneas o el lápiz, sino la suficiente para trazar una línea bien definida. No se deje nunca caer el compás, pues las puntas dobladas producen grandes agujeros en el papel y son causa de circunferencias inexactas. Cuando hay que trazar muchas circunferencias con el mismo centro, se emplea punta de centrar. Fig. 2 0 . El modo de colocar y afilar la mina de lápiz del compás, véase en la misma figura A.
Fig. 2 1 . C o m p á s d e p u n t a s fijas.
2 . C o m p á s de puntas fijas Las dos ramas de este compás t e r m i n a n en puntas de acero, muy aguzadas y de longitud exactamente igual, juntándose con una gran precisión cuando están cerradas las ramas del compás. Fig. 2 1 . Se emplea para transportar las medidas de una parte a otra de un dibujo, o de un dibujo a otro; para fijar distancias iguales sobre una línea o para dividirla en partes iguales. Para dividir una línea en partes iguales, se coge el compás de puntas fijas entre el pulgar y el índice y se hace girar sucesivamente sobre la línea que ha de ser dividida, marcando cada vez un punto. Si ésta no queda dividida en partes iguales, habrá de variar la abertura de las puntas y repetir nuevamente la operación y así cuantas veces fuere necesario para que la línea quede dividida en partes iguales. Conviene no hacer mucha presión sobre las puntas, para que la línea no quede llena de agujeros. 3. Bigotera Así se llama un pequeño compás construido expresamente para el trazo de circunferencias de poco radio. Las dos piernas de la bigotera (tanto de lápiz como de tinta) deben ser exactamente iguales de largo y su abertura se regula por medio de un tornillo. Las bigoteras en las que el portalápiz o el tiralíneas forman una sola pieza con las piernas, son preferibles a las que llevan piezas intercambiables. Fig. 22. Es muy práctica la bigotera giratoria, en la cual la pierna correspondiente al portaaguja constituye un eje vertical de rotación a cuyo alrededor gira suavemente y es desplazable hacia arriba y abajo la pierna móvil que lleva el portalápiz o el tiralíneas. Para usarla se pone el dedo índice sobre el botón del eje de rotación y entre los dedos pulgar y corazón se hace girar toda la parte giratoria de la bigotera. De esta manera pueden trazarse sin gran dificultad circunferencias de hasta un milímetro de diámetro. Fig. 2 2 .
EL compás se maneja con el índice y el pulgar de la mano derecha, tomándolo por la cabeza, que generalmente lleva un pequeño mango. Para abrir y cerrar las ramasientra en juego también el dedo medio. Nunca se debe manejar el compás con las dos manos.
Fig. 2 2 . B i g o t e r a s : A | c o n el p o r t a l á p i z ; B) c o n el t i r a l í n e a s ; C) bigotera g i r a t o r i a p a r a c i r c u n f e r e n c i a s de radio pequeño.
4 . Tiralíneas
Fig. 2 0 . M o d o de colocar la m i n a en el p o r t a l á p i z del c o m p á s , A); y la p u n t a de c e n t r a r , 8).
14
Es un Instrumento que se emplea para trazar líneas con tinta. Los hay de mano, que se usa en combinación con la regla o con la plantilla de curvas, y de compás, que sirve para trazar circunferencias y arcos de ellas. Se componen de dos hojas, 15
generalmente de acero, colocadas una en frente de la otra y perfectamente Igualadas, las cuales se acercan o separan por medio de un tornillo regulador. Fig. 2 3 .
6. El tiralíneas no debe apretarse mucho contra el borde de la regla, para que se produzca la abertura entre las puntas, haciendo variar el grueso línea. El borde de la regla ha de servir de guía y no de apoyo.
evitar de la
7. También el tiralíneas del compás debe caer aproximadamente perpendicular al papel, lo cual se consigue mediante las articulaciones de las ramas del compás. 8. El grueso de las líneas a trazar se regula por el tornillo de presión que une las dos hojas. Antes de trazar ensáyese el tiralíneas sobre un papel aparte. 9. Una vez terminado el trabajo, limpíese el estuche con las hojas aflojadas.
Fig. 2 3 . T i r a l í n e a s .
El uso de tiralíneas es tan delicado e importante, que creemos necesarias las siguientes advertencias: 1. Para cargar de tinta el tiralíneas se emplea una pluma que la tinta no rebase el exterior de las hojas.
o un pincel,
procurando
2. La cantidad de tinta, que se pone en éste, no debe ser sino la indispensable llenar unos 6 u 8 mm del tiralíneas. Si se pone mucha puede derramarse, borronar el dibujo o manchar el borde de la regla.
También puede tocarse la punta del tiralíneas con el dedo humedecido, o pasar por entre las hojas un papel, cuando la tinta se hace demasiado espesa y no corre con facilidad. 4. Nunca se debe raspar la tinta china endurecida entre las hojas con un cuchillo u objetos análogos, sino con un trapo húmedo. Un lienzo fino y usado es articulo de primera necesidad para atender a la limpieza del mismo. 5. Al dibujar manténgase el tiralíneas vertical a la regla, de modo que sus dos puntas descansen sobre el papel, como representa la Fig. 24.
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Fig. 2 4
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Bien
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F o r m a s d e f e c t u o s a y c o r r e c t a de llevar el t i r a l í n e a s al dibujar.
Si el tiralíneas se coloca de manera que sólo una de las puntas descanse sobre el papel, la línea resultará desigual o la tinta correría hacia la parte inferior de la regla, produciendo manchas desagradables. 16
con un trapo y guárdese
en
Cuando el grueso de las líneas pasa de 1,5 m m se utiliza el tiralíneas sueco de hojas anchas, con el cual se obtienen trazos gruesos, con la ventaja de que guardan una gran cantidad de tinta y no hay necesidad de llenarlo con tanta frecuencia. Fig. 25.
para em-
3. Al cargar el tiralíneas, manténgase oblicuo hacia abajo, para que la tinta corra bien hacia la punta. La tinta china se seca muy rápidamente lo cual es ventajoso, pero tiene el inconveniente de que se seca también entre las hojas del tiralíneas y no corre hacia las puntas. Para remediar esto hay que limpiar con frecuencia el tiralíneas con un trapito o piel de gamuza.
1
el tiralíneas
Fig. 2 5 . T i r a l í n e a s p l a n o l l a m a d o s u e c o .
5. M o d o de afilar el tiralíneas Cuando el tiralíneas se desgasta debe afilarse en una piedra de asentar fina, suavizada con aceite. Para esto lo primero se cierran completamente las hojas del tiralíneas, fijándolas por el tornillo regulador de grueso. Luego, manteniendo el tiralíneas casi perpendicular a la piedra, se mueve hacia adelante y hacia atrás para que las puntas salgan bien iguales y ladeándolo a un lado y a otro en el sentido del plano de unión de las hojas, para matar los cantos y darles una forma característica de lengua de pájaro, que tienen las puntas de todos los tiralíneas. Después de esto, se separan las hojas por medio del tornillo y se frotan separadamente hacia adelante y hacia atrás formando con la superficie de la piedra un ángulo de unos 1 5 y dándoles un ligero movimiento de torsión. o
El interior de las hojas no se afila nunca, se puede solamente pasar unas cuantas veces entre las hojas el papel de lija más fino, para que desaparezca la costra que haya podido formarse. La operación de afilar el tiralíneas no es tan fácil, exige mucho cuidado y cierta experiencia. Por esto lo mejor será que los principiantes se abstengan de hacerlo, enviándolo para esto a talleres de reparación. 6. T r a n s p o r t a d o r (Goniómetro). Es el instrumento que sirve para medir y transportar ángulos, dividir circunferencias, construir polígonos, etc. Se construyen de dos formas: circular y semicircular, siendo este último el preferido en el dibujo ordinario. El borde exterior es un semicírculo dividido en 180 partes iguales, correspondientes a otros tantos grados, subdivididos en medios grados y cuartos de grado, si el tamaño del transportador lo permite. En la parte inferior tiene un borde dia17
metral sobre el cual está marcado el centro del semicírculo. El transportador se hace c o m ú n m e n t e de latón, metal blanco, talco y celuloide, siendo este ú l t i m o muy práctico por su transparencia. Fig. 2 6 .
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Para medir u n ángulo se coloca el transportador de modo que su diámetro coincida con uno de los lados y el centro con el vértice del ángulo. En las divisiones del borde semicircular el segundo lado marcará la abertura del ángulo. De modo análogo se prosigue para transportar y construir u n ángulo. Fig. 2 6 .
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10
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20
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30
40
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Escala 1:5
Fig. 2 7 . Escala de 2 0 c m por m e t r o .
Los
constructores
de instrumentos
para
el dibujo proporcionan
al dibujante
reglas graduadas y series de escalas dispuestas en forma y tamaño de doble y triple decímetro. Para apreciar y transportar dimensiones, se emplea una reglita de boj barnizado o de hueso, llamada el doble o el triple decímetro. Tiene dos cantos biselados: uno de ellos dividido en centímetros, subdivididos en milímetros; otro, además de las divisiones anteriores, subdividido en medios milímetros. No hay que emplear esta regla para el trazado de líneas, con peligro de manchar y dañar la división m i l i m é trica, sino exclusivamente para medir y transportar dimensiones. Fig. 2 8 . Fig. 2 6 . Transportador de celuloide y m o d o de medir un á n g u l o .
7. R e g l a s g r a d u a d a s y e s c a l a s El dibujo de un objeto puede ser de tres maneras: 1.
En el tamaño natural: esto es, cuando las líneas que forman el dibujo corresponden exactamente a las dimensiones del objeto. La relación o la escala que hay entre el dibujo y el objeto en este caso es d e 1 : 1 .
2.
En un tamaño aumentado: esto es, cuando las líneas que forman el dibujo s o n 2, 5, 10, etc., veces mayores que las dimensiones reales del objeto. En la escala de 2:1 p. e j . los 6 cm del objeto corresponderán en el dibujo a 6 por 2 Igual a 12 c m .
3.
En un tamaño reducido: esto es, cuando las líneas que forman el dibujo reducen las dimensiones del objeto a su mitad, a su tercera, cuarta, quinta, etc. parte. En la escala de 1:2,5 p. e j . los 6 cm del tamaño natural corresponderán en el dibujo a 6 dividido 2,5 igual 2,4 c m . Y como el dividir una cantidad por 2,5 es lo mismo que multiplicar por 0,4 será más cómodo multiplicar todas las medidas del objeto por 0,4 en la escala de 1:2,5; por 0,2 en la escala de 1:5, etc.
A d e m á s el doble o el triple decímetro sirve de escala cuando los t é r m i n o s que se comparan están expresados por la unidad sola o por ésta seguida de ceros. Se encuentran también en el comercio reglas de forma prismática triangular con tres caras, conteniendo u n total de seis escalas diferentes. Este modelo de escalas es el más práctico, por la comodidad que ofrece su manejo y por reunir en poco volumen seis relaciones distintas, que suelen ser: 1:500, 1:1000, 1:1250, 1:1500, 1:2000, 1:2500. Obsérvese que la escala 1:500 sirve igualmente para 1:50 y 1:5, y lo mismo pasa con las demás escalas. Fig. 2 9 .
De lo dicho se deduce la necesidad de construir escalas que, en cada caso, respondan a la relación que hay entre el tamaño natural del objeto y el de su representación en el dibujo. EJEMPLO: Hay que dibujar un objeto en escala de 1:5. Un metro del tamaño natural del objeto corresponderá en el dibujo a 100 -r 5 igual 20 cm. Se toma una tira de cartulina y a lo largo de uno de sus bordes se lleva una longitud de 20 cm.; esta medida será el metro con que habrá de dibujar el objetivo. Dividiéndola en 10 partes iguales, cada división representará un decímetro. Añadiendo luego desde el extremo 0 y en sentido contrario una división más y dividiéndola también en 10 partes iguales, cada división (equivalente a 2 mm) representará un centímetro del tamaño natural del objeto. Fig. 27. 18
Fig. 2 9 . Escala o d o b l e d e c í m e t r o t r i a n g u l a r
Las escalas normalizadas, que ordinariamente se emplean en el dibujo profesional son: 1:1 (tamaño natural), 2 : 1 , 5 : 1 , 10:1 (para aumentos), 1:2,5, 1:33V, ,1:5, 1:10, 1:20, 1:25, 1:50, 1:75, 1:100, 1:125, 1:200, 1:250, 1:500, 1:1000 (para reducciones). 19
)
NOTA: Se ha hecho la descripción de los instrumentos de dibujo elementales. Una buena oficina de un delineante será además dotada de otros instrumentos y accesorios más complicados, que facilitan notablemente el trabajo y lo hacen más exacto. Así p. ej, la mesa de dibujo provista de un tecnígrafo, compás de barras (para grandes circunferencias), compás de reducción, pantógrafo, escuadra-transportador de ángulos, compás elíptico (para trazar elipses), máquina reproductora, etc.
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Hoja cortada
Hoja sin cortar
Rotulo y —*• a-*-
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III
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Despiece
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Fig. 3 0 . F o r m a t o d e papel s e g ú n las n o r m a s DIN.
FORMATOS DE LOS DIBUJOS
2 . F o r m a t o s de las N o r m a s A m e r i c a n a s Las dimensiones de los formatos según las Normas Americanas están dados en
Desde los primeros ejercicios de dibujo, conviene que los alumnos se acostumbren a dibujar en los formatos de papel establecidos por las Normas Oficiales Alemanas (DIN 823); o por las Normas Americanas (ASME 921).
el esquema adjunto. También aquí los formatos pequeños son fracciones regulares de los grandes. FORMATO
1 . Las normas D I N establecen: a) Los formatos de la serie A (DIN 476) se emplean en toda clase de dibujos técnicos en esquemas, impresos y hojas de normas. b) Las hojas deben ser utilizadas en la posición apaisada; sin embargo, cuando se trate de objetos muy altos respecto a su tamaño y de dibujos pequeños pueden utilizarse las hojas en la posición vertical. c) En dibujos pequeños se permite un margen de 25 m m para el archivado, quedando reducida en otro tanto la parte útil de la hoja (DIN 280).
NUMEROS
4A0 2A0 A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6
H O J A RECORTADA
{acabada)
1682 - 2378 1180 - 1682 841 - 1180 594 - 841 4 2 0 - 594 297 - 420 2 1 0 - 297 1 4 8 - 210 105 - 148
ESPACIO a
20 15 10 10 10 10 5 5 5
H O J A SIN CORTAR
(dimen. mínimas) 1720 x 2420 1230«1720 8 8 0 x 1230 625 x 880 4 5 0 x 625 330 x 450 2 4 0 x 330 165 x 240 1 2 0 x 165
d) Existen además las series auxiliares normalizadas B, C y D. Sin embargo, deberán utilizarse principalmente los formatos de la serie A. Obsérvese el esquema de los formatos de la serie A, en que consta el número del formato, las dimensiones del dibujo recortado, las dimensiones mínimas del dibujo sin recortar y el margen que ha de tener el rótulo. Puede observarse que los formatos pequeños son fraccicnes regulares de los grandes. Fig. 30. 20
D I M E N S I O N E S EN P U L G A D A S
A B C D E
8 V " por 11 " p o r 17" por 22" por 34" por 2
MARGEN
11" 17" 22" 34" 44"
V," V " V " 1" 1" 2
2
F o r m a t o de papel s e g ú n las n o r m a s A S M E .
3. N o r m a s prácticas Puesto el papel sobre el tablero de dibujo se trazará primero el margen según el cual habrá de recortar el dibujo terminado. Seguidamente se trazará otro marco que limite el margen y la parte destinada al dibujo. No se permite nunca dibujar en el margen. Se procurará distribuir los objetos a dibujar en forma más racional, uniforme y estética. La vista principal del objeto o el conjunto se pone en la parte izquierda s u perior de la hoja; las demás vistas y elementos se dibujarán a la derecha y abajo. En la parte derecha inferior de la hoja se dejará el espacio necesario para el rótulo y para la escritura de todo lo necesario para la fácil interpretación del dibujo. Para las láminas elementales de dibujo geométrico y de proyección es bueno el formato A 4 (DIN), que podrá llevar el rótulo de la Fig. 3 1 .
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(Firmas)
80 Escuelas Profesionales Salesianas
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Nota
Designación
No. —— 2 5 — 1 21
IV
OBSERVACION. La unión de una línea de trazos con otra, visible o no, debe hacerse siempre con toda claridad. En la Fig. 33, por ejemplo, no puede verse claramente la forma del vaciado, pudiendo ser rectangular o redondeada.
CLASES DE LINEAS 1. Normas DIN Cinco clases diferentes de líneas pueden utilizarse en el dibujo: a) líneas llenas gruesas, b) líneas llenas delgadas, c) líneas de trazo, d) líneas delgadas de trazo y punto, e) líneas a mano alzada. Fig. 3 2 .
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d) LINEAS DELGADAS DE TRAZO Y PUNTO. Deben ser más delgadas que las líneas de trazos y algo más gruesas que las líneas de cota. Se emplean para ejes de simetría (líneas medias), para signos convencionales, como, por ejemplo, circunferencias primitivas de ruedas dentadas (DIN 37), para indicar las creces para la labra, como, por ejemplo, en las piezas de forja, para piezas colocadas delante del objeto representado en el dibujo; para indicar las trazas de los planos según los cuales se ha supuesto cortada una pieza, haciéndolas más gruesas que las líneas de contornos visibles.
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En las tres últimas de estas aplicaciones los trazos deberán ser más cortos que para los ejes. O B S E R V A C I O N . En las intersecciones de las líneas de trazo y punto procúrese ante todo que realmente se corten los trazos largos, aunque a veces resulta más claro el corte de trazos cortos. Fig. 33.
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Fig. 3 3 . E m p l e o d e f e c t u o s o y c o r r e c t o de las l i n e a s de trazo y de trazo y p u n t o .
a) LINEAS LLENAS GRUESAS. Se usan para aristas y contornos visibles, trazándolas de 1,2 a 0,6 m m de grueso. Se trazarán tan gruesas como lo permita el tamaño y la naturaleza del dibujo, especialmente tratándose de dibujos de taller. El espesor será Igual para todas las representaciones de un objeto, dibujadas a la misma escala. Si en un dibujo hay representaciones a diferente escala, las líneas serán más delgadas en las reducciones y más gruesas en los aumentos.
e) LINEAS A M A N O ALZADA. Se emplean para representar grietas y secciones de rotura en los metales, aislantes y piedras; para trazado de curvas de muy pequeña curvatura, etc. A estas líneas se da una pequeña ondulación y el espesor de las líneas de trazos. Cuando se trata de madera cortada, las líneas se hacen en zig-zag y su grueso ha de ser el de las líneas que indican los ejes. Para indicar en corte y en vista longitudinal las fibras de la madera, se utiliza el grueso correspondiente a las líneas de cotas. Fig. 34.
También se usan para representar el límite común de dos partes contiguas de un cuerpo y ver la relación que tienen entre sí, para Indicar las posiciones límites de palancas, émbolos, manillas, etc., y en vistas de secciones rebatidas sobre la superficie del dibujo, como, por ejemplo, en las secciones de los brazos de las poleas y ruedas dentadas. En estos casos las líneas llenas se trazarán de un espesor igual al de las líneas de trazo y punto empleadas en el mismo dibujo. b) LINEAS LLENAS DELGADAS. Se usan para las cotas y líneas de referencia con el espesor de 0,5 a 0,1 m m . Para el rayado de las secciones se emplea el mismo espesor de las líneas de cota. c) LINEAS DE TRAZO. (Más delgadas que las líneas llenas gruesas) se emplean para aristas y contornos no visibles; para líneas convencionales, como, por ejemplo, líneas de núcleo en tornillos (DIN 27), circunferencias de pie de ruedas dentadas (DIN 37), etc. Los trazos no deben hacerse demasiado cortos dependiendo su longitud de la total de cada línea. 22
Fig. 3 4 . R e p r e s e n t a c i ó n del c o r t e de m a d e r a .
f)
COLOR DE LAS LINEAS. Tanto en los originales, como en las copias las líneas y la escritura van en tinta negra. Sólo se admiten otros colores, cuando el dibujo con un solo color no es suficientemente claro, p. ej., en los planos de tubería y en los esquemas eléctricos. 23
II 2. N o r m a s A m e r i c a n a s Las líneas convencionales admitidas por estas normas, son: a) Líneas continuas gruesas: indican contornos visibles, vistas de secciones abatidas y contornos de cortes, b) Lineas continuas finas: indican líneas de referencia, de cota y rayado, c) Líneas de trazos: representan contornos invisibles y líneas de movimiento, d) Líneas de trazo y de punto: indican ejes y su grosor es el mismo que el de las líneas continuas finas. Con trazo más grueso, intercalando dos puntos, se representan las trazas de planos seccionados, e) Líneas a mano alzada: indican roturas. Se usan a veces otras clases de líneas como se puede observar en la Fig. 35.
Para escribir la cota correspondiente hay que interrumpir la línea de medida en un lugar conveniente (con preferencia en la mitad). Si la distancia entre las dos flechas es demasiado pequeña, se puede colocar el número de la cota encima de la línea o bien colocando las flechas en sentido inverso, según la Fig. 37.
III Las cotas deben ser claras y orientadas en el mismo sentido que las correspondientes líneas; por lo tanto, cuando las líneas son horizontales, también los n ú meros se pondrán en dirección horizontal; si son verticales, los números irán de abajo hacia arriba; si son oblicuas, en la forma como se escribe c ó m o d a m e n t e con la mano derecha. Fig. 38. Aunque para mayor claridad es mejor acotar siempre en sentido horizontal. Fig. 38a.
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Fig. 38a. A c o t a c i ó n horizontal
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10 Fig. 3 8 . O r i e n t a c i ó n de las cotas.
11
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Fig. 3 5 . L i n e a s e m p l e a d a s en las N o r m a s A m e r i c a n a s : 1) l i n e a de c o n t o r n o : 2) l i n e a d e r e f e r e n c i a ; 3) cotas; 4) c o n t o r n o i n v i s i b l e ; 5 | línea d e m o v i m i e n t o ; 6) ejes; 7) c o r t e de u n p l a n o ; 8 | línea de e x t e n s i ó n ; 9) p o s i c i ó n alterna; 10) línea repetida; 11) m a t e r i a l roto; 12) l í m i t e q u e b r a d o .
VI
I Para que las líneas de cota no se confundan con un borde visible, se trazan delgadas y terminadas en flecha. Las flechas han de ser puntiagudas, pero que no sean triángulos llenos de tinta, ni tengan los picos retorcidos. Fig. 3 6 .
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24
cotas internas
• 2,00
Respecto a las normas de la acotación se tratará ampliamente en el dibujo de croquis. Por ahora téngase en cuenta lo siguiente:
Fig. 3 6 . F l e c h a s para las líneas d e cota.
IV Con el fin de no recargar demasiado la vista con líneas de medida, es preciso a veces sacarlas fuera paralelamente, por medio de las líneas auxiliares o de referencia. Fig. 3 9 .
Nota: En planos arquitectónicos es posible encontrar ción de las flechas por puntos o trazos oblicuos:
ACOTACIONES
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Fig. 3 9 . L í n e a s de r e f e r e n c i a .
V En los ángulos las líneas de cota son arcos de círculo interrumpidos, cuyo centro está situado en el vértice del ángulo.
V
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3,840,5
0,2 Fig. 3 7 . M o d o de e s c r i b i r las cotas.
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y la sustitu40,5'
Indicación d e m. c m y m m
ROTULACION En todo dibujo lineal, los letreros y las explicaciones deben hacerse con caracteres de imprenta, la escritura corriente no puede admitirse más que en los croquis. Es un error muy común entre los principiantes el creer que sólo debe tenerse cuidado con los dibujos y que no vale la pena dedicar atención a las letras y números empleados en ellos. Tengan en cuenta que la mala escritura echa a perder el mejor dibujo. Por consiguiente habrá que dedicar algunas horas a ejecutar las letras según los modelos de las normas DIN 16, que son de fácil lectura y agradables a la vista, o bien de tipo americano. Antes de empezar a poner letreros debe trazarse con la regla T y con las escuadras la pauta que sirva de guía para los bordes de las letras. 25
OBSERVACION: No se adapten en un mismo dibujo dos estilos distintos de letreros, sino uno solo, variando únicamente su tamaño, según la importancia de las inscripciones. Sin embargo, el titulo principal de un plano puede trazarse con caracteres completamente distintos de las demás inscripciones.
1. Rotulación DIN He aquí la muestra de la escritura cursiva media escrita con pauta. Fig. 4 0 .
Fig. 4 1 . La i n c l i n a c i ó n de las letras OIN.
2. Rotulación Americana
Fig. 4 0 . M u e s t r a s d e las letras c u r s i v a s de las n o r m a s D I N , e s c r i t a s c o n p a u t a .
La altura de las mayúsculas es de V La altura de las minúsculas V
7
Damos a continuación el alfabeto de tipo americano normalizado de palo vertical. Fig. 4 2 .
de la altura nominal (h).
7
h.
La longitud en que sobresalen las líneas por debajo V
7
h.
El espesor del trazo Vj h. La distancia media entre las líneas / n
7
O S OH
h.
Las alturas nominales (hj del letrero reglamentario en m m . son:
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5
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10
12
16
20
25
32
40
50
A l reunir las letras para formar palabras téngase cuidado de que no queden espacios demasiado grandes en algunos puntos. Estos dependerán del espacio total disponible y de la forma de las letras. Preferiblemente será de V , V ó / de la altura nominal. El espacio será más pequeño cuando se encuentran juntas dos letras de curvatura contraria, como pe; ff, tt, ft, pueden escribirse tan cerca unas de otras, que los trazos transversales se toquen. Las minúsculas se colocarán tan cerca como sea posible de las mayúsculas L, P, T, V y Z. 7
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La Inclinación de la escritura con respecto a la horizontal es de 7 5 ° (Fig. 41) pero se usan también las letras de palo lleno vertical. La separación entre dos palabras consecutivas será aproximadamente igual a la altura adoptada para las letras. 26
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& a 'lo c efe f d ni k m notó o o s t u v w x v u z 27
Modelo de escritura normalizada americana inclinada. Las flechas dan la dirección para la ejecución de líneas y los números la sucesión de los mismos. Fig. 4 3 .
limpiarse antes de usarla mojándola en el tintero y secándola con un trapo para removerle la capa de aceite que la protege.
Fig. 4 5 . U s o de la p l u m a de r o t u l a r .
Los trazos de letras deben hacerse con la mano en la misma posición, dibujando las líneas verticales con el movimiento de los dedos únicamente y las horizontales con el movimiento de la mano usando la muñeca como punto de apoyo. La pluma debe tener una cantidad moderada de tinta, pues si la pluma quedase muy llena corre el peligro de que las líneas salgan muy gruesas en los primeros trazos, o bien que la tinta se desprenda goteando sobre el dibujo. A l entintar una letra que antes se ha dibujado a lápiz, es necesario hacerlo con trazos firmes y decididos, pues de lo contrario los rasgos de letras resultarán ondulados. Se usan generalmente las mayúsculas y su ejecución es muy sencilla. La inclinación de las mismas viene dada por la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos horizontal y vertical son proporcionales a 2 y 5, respectivamente, según se indica en la Fig. 4 4 .
A l trazar las letras no se apoye demasiado la pluma contra el papel, pues esto es causa de que las puntas de la pluma se abran y la línea salga desigual. Limpíese frecuentemente la pluma para que no se acumule en su punta la tinta seca o sus sedimentos. El uso de las variadas plantillas para la escritura normal de las letras, que existen en el comercio, no aconsejamos a nuestros alumnos.
VII PROCEDIMIENTO PARA SEGUIRSE EN EL DIBUJO
Fig. 4 4 . I n c l i n a c i ó n de las letras s e g ú n las N o r m a s A m e r i c a n a s .
El alumno debe adquirir, realizando repetidos ejercicios fáciles, una especie de rutina en el método de trabajo, s u m a m e n t e necesario para evitar equivocaciones y omisiones. Se aconseja seguir el siguiente orden: 3. N o r m a s prácticas
1 . Trabajo a lápiz
El grueso de la escritura se imprime cada vez con la pluma. Para esto existen en el comercio plumas planas de varios tamaños: V , V , 1 y hasta 5 m m . En la Fig. 45 se muestra la forma de la pluma plana " R e d i s " y modo de sostenerla durante la escritura. Después de utilizar dichas plumas, se saca la sobrepluma y se limpian ambas partes con un trapo.
Se traza el marco, que limita la parte de la lámina utilizable para el dibujo. Luego, según las figuras, se trazan los ejes de simetría, se dibujan los contornos visibles e invisibles de la figura en alzado y de la planta. Terminadas las figuras a lápiz, se trazan líneas de cotas con las flechas y las líneas de referencia. Por último se anotan las cotas, se dibuja el rótulo, etc.
La pluma debe insertarse firmemente en el manguillo, de manera que no se mueva, pues esto daría por resultado trazos defectuosos. Toda pluma nueva debe
Un dibujo a lápiz bien ejecutado debe aparecer tan claro como si estuviese pasado a tinta.
2
23
4
29
2. Pasar a t i n t a Se seguirá el siguiente orden: a) los ejes; b) circunferencias y arcos, empezando por los de mayor radio; c) las líneas llenas horizontales, ayudándose de la regla T y empezando por las superiores; d) las verticales, ayudándose con la regla o escuadra y empezando por la izquierda; e) las líneas de trazos; f) las líneas de cota, y de referencia; g) las flechas que limitan las líneas de cota, ayudándose de una plumilla; h) las cotas; i) el rótulo y anotación de todos los datos necesarios. 3. U l t i m a s o p e r a c i o n e s a) Comprobación de todos los detalles del dibujo, corrigiendo con el mayor cuidado posible todas las inexactitudes; b) limpieza, borrando con la goma todas las líneas de lápiz hasta su completa desaparición; c) recortar el borde del papel a la medida normalizada. No se use para esto las escuadras ni la regla para no estropear sus bordes.
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3. Continuar el proceso de creatividad y de potenciación de sus aptitudes. CONTENIDOS:
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2. Lograr solucionar de un modo lógico y natural los problemas prácticos de la especialidad.
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1. El dibujante en forma 'progresiva debe completar los conocimientos de la geometría plana y realizarlos prácticamente.
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OBJETIVOS:
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DIBUJO GEOMETRICO
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SEGUNDA PARTE
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Líneas - triángulos - cuadriláteros - polígonos - tangencias - empalmes - óvalo ovoide - ovolvente - espiral - curvas de segundo orden - cicloides - hélice - modos de copiar un dibujo - líneas de sombra - sombreado. APLICACIONES: Construcción: de diversas líneas - de paralelas y ángulos - de perpendiculares y paralelas - de triángulos - de paralelogramos - de trapecios - de polígonos - de tangentes o circunferencias y viceversa - de circunferencias tangentes entre sí - de empalmes - de rectificación de curvas de arcos - de molduras - de óvalos y espirales de envolventes - de curvas a pulso.
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DIBUJO GEOMETRICO En la práctica del dibujo los alumnos se encontrarán muchas veces en el caso de tener que trazar ciertas figuras, para cuya realización será preciso el conocimiento de los problemas geométricos. Por ello, al principio, se ejercitarán en el trazado de éstos, aprendiendo de memoria los métodos empleados para resolverlos, a fin de poder aplicarlos en la práctica, sin necesidad de recurrir cada vez al texto. Antes que empiecen a copiar los principales problemas de la Geometría Plana, tengan en cuenta los alumnos, además de las normas dadas sobre el empleo del material de dibujo, las siguientes advertencias: 1. Mantengan la mayor limpieza en el dibujo. Por esto conserven bien limpias las manos, no poniéndolas sobre el papel sino cuando sea absolutamente necesario. 2. Copien siempre la figura entera con lápiz, antes de repasarla con tinta, trazando las líneas lo más finas posible. 3. No usen la goma de borrar más que cuando sea absolutamente necesario. Después de borrar líneas o manchas de tinta, conviene alisar la rugosidad del papel, frotándolo con una sustancia dura y suave. De este modo las fibras del papel quedan comprimidas, permitiendo el trazo de otra línea de tinta. Para que la tinta no se extienda, sirve a veces pasar la parte borrada con lápiz, o bien empaparla con una solución de alumbre potásico ¡unos 50 gms por litro) y dejándola secar antes de corregir el trazo. 4. Tracen las figuras con la mayor exactitud posible, distribuyendo las vistas, partes y detalles del dibujo, de tal modo que no queden ni muy cerca ni muy separados unos de otros, formando un conjunto agradable para la vista.
2. C o n el c o m p á s Se trazan los ejes perpendiculares. Para esto se describen arcos desde los cuatro ángulos del papel (A, B, C, D) con Igual abertura de compás y que se corten en E y F. Luego, desde los puntos E y F, se describen otros arcos, que se corten en los puntos G y H. Los ejes £ F y GH pasarán por las cuatro intersecciones de los arcos descritos. Para trazar el cuadro, se describen cuatro arcos de radio igual desde los puntos E y F, y otros cuatro desde los puntos G y H, trazando las paralelas a los ejes por las tangentes a dichos arcos. Fig. 47.
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ESCUADRADO DE LA HOJA
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1. C o n la regla de T Se trazan las diagonales del papel en las proximidades del centro y en los extremos de la hoja; con la regla de T se traza el eje horizontal y con la escuadra apoyada en la regla de T, se traza el eje vertical, que han de servir de guía para el trazado de las horizontales y las verticales del dibujo. Luego se toman a un lado y a otro de dichos ejes las longitudes convenientes, trazando paralelas a los ejes por los puntos previamente marcados. Fig. 46.
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Hay varios modos de escuadrar la hoja de dibujo. Indicamos dos: con la regla T y con el compás.
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Fig. 4 7 . E s c u a d r a d o de la hoja c o n el c o m p á s .
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LAMINA I CONSTRUCCION DE LINEAS DIVERSAS
Problema
1 . Trazar la perpendicular en el p u n t o m e d i o de la recta AB. dividirla en 2 , 4 , 8 , etc. partes iguales.
o bien,
Haciendo sucesivamente centro en A y B, con un radio mayor que la mitad de AB, se describen los arcos por cuyas intersecciones C y D se traza la perpendicular pedida. El punto E divide la recta AB en dos partes iguales; para dividirla en 4, 8 partes bastará repetir el mismo problema en los segmentos parciales. Problema
2 . Trazar la perpendicular a la recta dada AB por u n p u n t o exterior C.
Con centro en C se describe un arco cualquiera, con tal que corte a la recta en dos puntos D y E. y haciendo centro sucesivamente en dichos puntos y con radios iguales se obtiene la intersección F, que unido con C da la perpendicular pedida.
Problema
3. Trazar la perpendicular en el e x t r e m o B de la recta dada AB.
Haciendo centro en un punto cualquiera, por ejemplo en O, y con radio OB se describe un arco, que cortará la recta dada en el punto C. Se une C con O y se prolonga la recta hasta D. Uniendo D con B se tendrá la perpendicular pedida.
Problema
4.
Trazar la perpendicular en el e x t r e m o B de la recta dada AB. Seg u n d o procedimiento.
Desde el punto A se traza un arco con un radio cualquiera y con el mismo radio se marcan los puntos D y E sobre dicho arco. Desde los puntos O y £ se describen dos arcos iguales que se cortarán en el punto F. La recta que pasa por los puntos A y £ es la perpendicular pedida.
Problema
5. Trazar la perpendicular en el e x t r e m o B de la recta dada AB. Tercer procedimiento.
Se prolonga la recta dada AB. A continuación se hace centro en B y con un radio cualquiera se determinan los puntos E y F. Haciendo centro en E y F se trazan dos arcos con igual radio que se cortarán en el punto G. La recta que pasa por B y G es la perpendicular pedida.
Problema
6. Trazar la perpendicular a la recta AB desde el p u n t o P situado en dicha recta.
Con centro en P y un punto cualquiera se determinan los puntos E y F. Se traza la perpendicular al segmento EF en su punto medio. La perpendicular QQ' que pasa por el punto P es la solución al problema. 34
L A M I N A II PARALELAS Y ANGULOS
Problema
7. Trazar la paralela a una recta AB por u n p u n t o M, exterior a ella.
Con centro en el punto M, se traza un arco que cortará en N la recta AB. Desde N y con el mismo radio se traza el arco MP; tomando la medida MP, se transporta sobre el otro arco, cortándolo en R. La recta que pasa por / W y S e s la paralela pedida.
Problema
8. Trazar la paralela a una recta AB por un p u n t o M, exterior a ella. Segundo procedimiento.
Haciendo centro en un punto cualquiera 0, de la recta, se traza una semicircunferencia que pase por M y que determina los puntos,/ y Q sobre la recta. Desde Q y con un radio igual a PM se determina el punto N. La recta que pasa por M y N es la paralela pedida. 3
Problema
9 . Trazar la paralela a una recta AB. a una distancia dada d.
Por un punto cualquiera M de la recta AB, se traza una perpendicular. Sobre esta perpendicular se lleva la distancia dada d, a partir de M (d= MN). Haciendo centro en N y con un radio cualquiera se determinan los puntos P y ü . Se traza la perpendicular en el punto medio del segmento PQ y se obtiene la recta RS que es la paralela a la recta AB situada a una distancia d.
Problema
1 0 . C o n s t r u i r un á n g u l o igual a o t r o dado aob.
Se traza la semirecta OB y con centro en O se describe un arco de radio Igual al del ángulo dado; es decir, de radio on. Se toma la abertura nm del ángulo dado y se lleva a partir de N, obteniéndose el punto M, que al unirlo con 0 nos determina el lado OA del ángulo AOB igual al dado.
Problema
1 1 . C o n s t r u i r un ángulo d o b l e , t r i p l e , etc. de o t r o dado.
Haciendo centro en el punto O se describe un arco de radio igual al del ángulo dado. Una vez obtenido el arco se lleva a partir del punto A la abertura ab del ángulo dado, una, dos, tres, etc. veces. Uniendo el punto O con cada una de estas divisiones se obtiene un ángulo igual, doble, triple, etc. que el ángulo dado.
Problema
1 2 . C o n s t r u i r un ángulo de 6 0 ° por m e d i o del c o m p á s .
Haciendo centro en un punto cualquiera 0, de una recta, se describe una semicircunferencia de radio arbitrario que determina en la recta los puntos C y D. Con centro en O y con el mismo radio tomado anteriormente, se traza el arco OE. Se une O con E y se obtiene el ángulo EOD, cuyo valor es 6 0 ° . 36
37
PERPENDICULARES Y PARALELAS: APLICACIONES
PERPENDICULARES Y PARALELAS: APLICACIONES
La presente lámina consta de tres ejercicios. Su ejecución es muy sencilla y, como puede verse, se hace valiéndose de una cuadrícula hecha previamente.
Esta lámina al igual que la anterior es de fácil interpretación y de ejecución sencilla. Mediante estos ejercicios, u otros parecidos, el alumno adquiere práctica en el manejo de las escuadras.
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LAMINA III BISECTRICES A ANGULOS Y A RECTAS CONVERGENTES. OPERACIONES CON ANGULOS
Problema
1 3 . Dividir un ángulo recto en tres partes ¡guales.
Con un radio cualquiera y haciendo centro en B se describe el arco mn. Con el mismo radio y haciendo centros sucesivos en m y n se trazan los arcos Br y Bs. Se une B con s y r y se obtiene la división pedida. Problema
1 4 . Trazar la bisectriz de u n ángulo dado, AOB. 4 , 8, etc. partes iguales.
o bien d i v i d i r l o en 2 ,
Haciendo centro en el vértice O se traza el arco mn y desde estos puntos se trazan los arcos que se cortarán en el punto C, que unido con el vértice O nos da la bisectriz pedida. Para dividir el ángulo AOB en 4 partes iguales, se trazarán de igual manera las bisectrices OD y OE de los ángulos parciales AOC y COB. Problema
1 5 . Trazar la bisectriz del ángulo f o r m a d o por las rectas AB y CD cuyo vértice cae fuera del c a m p o del dibujo.
Se toman dos puntos arbitrarios £ y F sobre las dos rectas dadas y se unen entre sí. Se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos formados por la recta EF con los lados AB y CD. La recta que pasa por los puntos H y G de intersección de dichas bisectrices, es la bisectriz pedida. Problema
1 6 . Por un p u n t o dado N. trazar una recta c o n c u r r e n t e al m i s m o punto que otras dos rectas dadas AB y CD.
Se traza una recta cualquiera EF, que no pase por N pero que corte los lados AB y CD. Unido el punto N con los extremos £ y F de esta recta a una distancia cualquiera se trazan las rectas E'F', E'N' y F'N' respectivamente paralelas a EF, EN y FN. Uniendo los puntos N y N' se obtiene la recta pedida. Problema
1 7 . C o n s t r u i r un ángulo igual a la suma de o t r o s dos dados
ayo.
Se trazan con el mismo radio arcos en los ángulos dados. Se traza la recta OA y con centro en 0 un arco de Igual radio al de los ángulos dados. Se trasladan las aberturas de los dos ángulos a y b, a partir de C. Se unen O y D y tendremos el ángulo suma BOA. Problema
1 8 . C o n s t r u i r un ángulo igual a la diferencia de otros dos ángulos dados a y o .
Se trazan con el mismo radio arcos en los ángulos dados. Se traza la recta OA y con centro en O un arco de igual radio al de los ángulos dados. En el arco trazado y a partir de C se lleva la abertura del ángulo mayor a. Desde el punto E se lleva la magnitud del ángulo menor ó. Uniendo 0 y D se obtiene el ángulo diferencia BOA. 40
LAMINA IV TRIANGULOS
Problema
1 9 . C o n s t r u i r un t r i á n g u l o equilátero, c o n o c i e n d o el lado a.
Trazado AB = a, se hace centro sucesivamente en A y B y con un radio igual a a. se describen los arcos cuya intersección C se une con A y B.
Problema
2 0 . C o n s t r u i r un t r i á n g u l o equilátero c o n o c i e n d o su altura h.
Por los extremos de AB = h se trazan dos paralelas entre sí y perpendiculares a AB. Haciendo centro en B. se describe un arco conveniente que cortará una de las paralelas en C y D. Desde estos puntos y con el mismo radio se obtienen los puntos de intersección £ y F. Se trazan las rectas BE y BF y se prolongan hasta los puntos de intersección con la segunda paralela G y H. BGH es el triángulo pedido.
Problema
2 1 . C o n s t r u i r un t r i á n g u l o , c o n o c i e n d o los tres lados a. b y c.
Sobre una recta indefinida se toma uno de los lados, por ejemplo, el lado c y haciendo centro en los extremos, A y B, con radios iguales a 6 y a, respectivamente, se obtiene el vértice C del triángulo pedido.
Problema
2 2 . C o n s t r u i r un t r i á n g u l o , c o n o c i e n d o los dos lados a y b y el á n g u l o c o m p r e n d i d o m.
Se traza la recta AB = b. Con vértice en el extremo B, se construye un ángulo igual al dado m y tomando sobre el lado BC un segmento igual a a, se une C con A. El triángulo resultante ABC es el triángulo pedido.
Problema
2 3 . C o n s t r u i r un t r i á n g u l o , c o n o c i e n d o el lado a y los ángulos adyacentes m y n.
Se traza la recta AB = a, y en los extremos de dicha recta se construyen dos ángulos respectivamente ¡guales a m y n. El punto C. donde se cortan las prolongaciones de los lados de dichos ángulos, es el tercer vértice del triángulo pedido.
Problema
2 4 . C o n s t r u i r un t r i á n g u l o , c o n o c i e n d o los lados a y o y el á n g u l o opuesto al lado a.
En el extremo B de la recta AB = 6, se construye un ángulo igual al ángulo dado m. Desde el extremo A y con un radio igual a a, se corta el lado, que pasa por el extremo B, en los puntos C y C". Cada uno de estos dos puntos es vértice de un triángulo que satisface igualmente las condiciones del problema y así hay dos soluciones: los triángulos ABC y ABC, porque el lado a es mayor que la distancia del vértice A a la base. Se tiene una sola solución, cuando el lado a es Igual a dicha distancia, o cuando es igual o mayor que el lado 6. Y no tiene solución, cuando el lado a es menor que la distancia de B a la base. 42
43
LAMINA V TRIANGULOS
Problema
2 5 . Construir u n t r i á n g u l o conociendo los dos ángulos m y n y el lado a opuesto al ángulo m.
En un punto A de la recta indefinida se construyen el ángulo m y a s u lado el ángulo adyacente n. Se toma AB = a y por el punto B se traza la paralela a la recta AD, que cortará a la base en el punto C. El triángulo pedido es ABC, ya que el ángulo ACB es igual a m por correspondientes y el ángulo ABC es igual a /7 por altemosInternos. Problema
2 6 . Construir un t r i á n g u l o rectángulo, c o n o c i e n d o los dos catetos ayo.
En el e x t r e m o / ) de la recta AB igual al cateto a sé levanta la perpendicular, sobre la cual se toma AC Igual al cateto 6. Uniendo C y B se obtiene el triángulo pedido. Problema
2 7 . Construir un t r i á n g u l o rectángulo c o n o c i e n d o la hipotenusa h y un cateto a.
Desde el punto medio O de la recta AB - h se describe una semicircunferencia. Desde un extremo de AB y con un radio igual al cateto dado se traza un arco que cortará la semicircunferencia en el punto C, que unido con los extremos A y B dará el triángulo pedido. Problema
2 8 . Construir un t r i á n g u l o rectángulo, c o n o c i e n d o la hipotenusa h y un ángulo agudo m.
Se describe sobre la recta AB = h una semicircunferencia. Desde uno de los extremos de AB se construye el ángulo dado m y prolongando su lado hasta el punto C de la semicircunferencia, se une dicho punto con el otro extremo de la recta AB. Problema
2 9 . Construir un t r i á n g u l o conociendo la suma de los otros dos lados d.
la base a, un ángulo m, y
En el extremo A de la base AB - a se construye el ángulo dado m y en la prolongación de su lado se toma AD igual a la suma de los otros dos lados. Unido D con B, en medio de ésta se traza una perpendicular que cortará en C a la recta AD. Uniendo C con B se obtiene el triángulo pedido ABC. Problema
3 0 . Construir un t r i á n g u l o s i m é t r i c o a o t r o , con respecto a un eje de simetria xy.
Sea el triángulo ABC y el eje de simetría xy. Por los tres vértices se trazan perpendiculares al eje, que cortarán dicho eje en los puntos s, t, u. Desde estos puntos se señalan sobre las perpendiculares los puntos A', B', C, a distancias ¡guales del eje que sus correspondientes A, B, C. El triángulo que se obtiene uniendo los puntos A'B'C es simétrico al triángulo dado ABC. Observando la figura se notará que si se prolongan los tres lados del triángulo dado y del triángulo obtenido, se cortan sobre el eje de simetría xy. 44
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L A M I N A VI PARALELOGRAMOS (CUADRADO Y RECTANGULO)
Problema
3 1 . C o n s t r u i r un cuadrado c o n o c i e n d o el lado a.
Se toma AB = a y en uno de sus extremos se construye un ángulo recto, tomándose en el lado indefinido BC = a. Desde A y C como centros y con un radio igual a a, se describen dos arcos que se cortarán en D. Uniendo el punto D con A y C se obtiene el cuadrado pedido. Problema
3 2 . C o n s t r u i r un c u a d r a d o c o n o c i e n d o la diagonal d.
Por el punto medio de AB = d se traza una perpendicular. Con centro en O y con un radio igual a OA se describe la circunferencia que pasando por los extremos de la diagonal AB cortará la perpendicular en los puntos C y D. Uniendo por medio de las rectas estos cuatro puntos se obtiene el cuadrado pedido. Problema
3 3 . Construir un cuadrado c o n o c i e n d o la diferencia d entre el lado y la diagonal.
En el punto A de una recta indefinida se levanta una perpendicular y sobre los lados del ángulo recto se toma AB y AC igual a d y luego la longitud CB a continuación de AB. El segmento AD es el lado del cuadrado pedido, porque el lado de un cuadrado es igual a la diferencia entre el lado y la diagonal más la hipotenusa de un triángulo isósceles, cuyos catetos son iguales a la misma diferencia. Problema
3 4 . Construir un r e c t á n g u l o c o n o c i e n d o la base b y la altura a.
Se traza la recta AB - b y en uno de sus extremos se levanta una perpendicular en la cual se toma con el compás la altura AC = a. Desde los puntos flyCy con radios respectivamente iguales a a y o se describen los arcos, que se cortarán en el punto D. Uniendo este punto con dichos extremos se obtiene el rectángulo pedido. Problema
3 5 . Construir un r e c t á n g u l o c o n o c i e n d o la diagonal o* y el lado a.
Tomando la diagonal d como diámetro se traza una circunferencia. Con la magnitud del lado a y haciendo centro en A se traza un arco que corta a la circunferencia en el punto B. Se une B con A y D y se traza por el punto A una paralela a BD y por el punto D una paralela a AB, con lo cual el problema queda resuelto. Problema
3 6 . Construir un r e c t á n g u l o c o n o c i e n d o la diagonal o* y el ángulo m que ha de f o r m a r ésta c o n un lado.
La solución de este problema es idéntica a la que se sigue para construir un triángulo rectángulo, conociendo la hipotenusa y uno de los ángulos agudos (problema 28). La diagonal viene a ser la hipotenusa común de los dos triángulos en que se descompone el rectángulo propuesto. 46
LAMINA VII PARALELOGRAMOS (ROMBO Y ROMBOIDE)
Problema
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C o n s t r u i r u n r o m b o c o n o c i e n d o las diagonales d y e.
Se levanta una perpendicular en el punto medio deAB = dy llevando una distancia igual a la mitad de e a-ambos lados de la perpendicular se obtienen los puntos C y D que unidos con A y B darán el rombo pedido.
Problema
3 8 . C o n s t r u i r un r o m b o c o n o c i e n d o la diagonal d y el lado a.
Desde los puntos extremos de AB = d y con un radio igual a a se trazan arcos a ambos lados de la recta, que se cortarán en los puntos C y D. Uniendo estos puntos con dichos extremos se obtiene el rombo pedido.
Problema
3 9 . C o n s t r u i r un r o m b o c o n o c i e n d o el valor del lado / y de uno de sus ángulos.
Se construye un ángulo igual al dado y con centro en el vértice B y con radio igual al lado /, se describe un arco que corta a los lados del ángulo en los puntos A y C. Con la misma magnitud se trazan arcos desde A y C que se cortan en D. Uniendo D con A y C se obtiene el rombo pedido.
Problema
4 0 . C o n s t r u i r un r o m b o i d e c o n o c i e n d o los lados a y b y el ángulo c o m p r e n d i d o m.
En el extremo A de la recta AB = a se construye el ángulo m y en su lado se toma AC = 6. Desde los extremos B y C del ángulo construido se trazan dos arcos con radios respectivamente iguales a b y a. que se cortarán en el punto D. Uniendo este punto con dichos extremos se obtiene el romboide pedido. Problema
4 1 . C o n s t r u i r un r o m b o i d e c o n o c i e n d o las diagonales d. e y uno de los ángulos f o r m a d o por ellas.
En el punto medio O de la recta AB = d se construye un ángulo igual a m. Tomando una longitud igual a la mitad de e y con un centro en 0 , se marcan los puntos C y D sobre el lado de dicho ángulo y su prolongación, que unidos mediante las rectas con A y B darán el romboide pedido. Problema
4 2 . C o n s t r u i r un r o m b o i d e c o n o c i e n d o el valor de los lados a y b y de la diagonal d.
Se traza un segmento AB igual a la diagonal. Con centros en A y B y radios a y o , respectivamente, se describen arcos que se cortan en D. Con centro en A y radio 6 y con centro en B y radio a se describen arcos que al cortarse determinan el punto C. Se unen los cuatro puntos y se obtiene el romboide pedido. 48
L A M I N A VIII TRAPECIOS
Problema
4 3 . C o n s t r u i r u n t r a p e c i o c o n o c i e n d o las bases a y 6, la altura h y el ángulo m.
Sobre un punto cualquiera, E, de la recta AB igual a la base mayor a, se levanta una perpendicular EF igual a la altura h. Por F se traza una paralela a AB y en el extremo A de la recta AB se construye el ángulo m cuyo lado corta en C a la paralela trazada a la base mayor. Desde C se toma la magnitud de la base menor b, determinándose el punto D. Se une D con B y tenemos construido el trapecio pedido.
Problema
4 4 . C o n s t r u i r u n t r a p e c i o c o n o c i e n d o las bases a, o y los lados no paralelos c y d.
Primero se construye el triángulo AED cuyos lados son AD = c, DE= d, y AE = a - 6. En la prolongación del lado AE se toma EB = b. Luego con un radio igual al lado dy centro en B se describe un arco; con radio igual a la base menor b y centro en D se describe otro arco, los cuales se cortan en C. Uniendo A. B. C y D, obtenemos el trapecio pedido.
Problema
4 5 . C o n s t r u i r u n t r a p e c i o r e c t á n g u l o c o n o c i e n d o las bases a, b y la altura h.
En el extremo A de la base mayor, AB = a, se levanta una perpendicular sobre la que llevamos la altura, AC = h. Por el punto C trazamos una paralela a la base mayor AB y sobre ella llevamos el valor de la base menor, CD = b. Se unen A, B, C y D, y está resuelto el problema.
Problema
4 6 . C o n s t r u i r un t r a p e c i o isósceles c o n o c i e n d o u n o de los lados no paralelos c y el á n g u l o m.
la base m a y o r
a,
Se traza AB igual a la base mayor a. En los extremos A y B se construyen ángulos ¡guales al dado y se lleva AC = c y BD = c. Se unen los puntos C y D y queda resuelto el problema.
Problema
4 7 . C o n s t r u i r un t r a p e c i o isósceles c o n o c i e n d o las bases a. o y la altura h.
En el punto medio de la recta AB - a se levanta una perpendicular en la cual se toma EF = h. Por el punto F se traza una paralela a /4fl y a ambos lados de dicho punto y sobre la paralela trazada se toma una longitud igual a la mitad de b. Uniendo los puntos C y D con A y B se obtiene el trapecio pedido. 50
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LAMINA IX PROPORCIONALIDAD
Problema
4 8 . Dividir la recta dada AB iguales.
en u n n ú m e r o cualquiera de partes
Por los puntos A y B, extremos de la recta dada, se trazan las paralelas AD y BC, formando un ángulo cualquiera con AB. Sobre dichas paralelas se marcan tantas distancias ¡guales menos una, en cuantas se desea dividir la recta dada (cinco por ejemplo).
Se unen las divisiones 1 , 2, 3 y 4 de la recta AD con las divisiones 4, 3, 2 y 1
de la recta BC y la recta AB quedará dividida en cinco partes iguales. Problema
4 9 . Dividir la recta dada AB en un n ú m e r o cualquiera de partes iguales. (Segundo p r o c e d i m i e n t o ) .
Por el extremo B se traza una línea BC que forme un ángulo cualquiera con AB. A partir del punto B y sobre BC se llevan tantas medidas iguales (esta medida es arbitraria), como partes queramos dividir la recta AB. En este caso seis. Se une la última división (punto seis) con A y se trazan por los puntos 1, 2, 3, 4 y 5 paralelas a A6, determinando los puntos 1 ' , 2 ' , 3', 4 ' y 5' que dividen a la recta AB en las partes iguales pedidas. Problema
5 0 . Dividir el s e g m e n t o DE en un n ú m e r o cualquiera de partes iguales por m e d i o del t r i á n g u l o equilátero.
Sea el segmento DE igual a una longitud dada m, que se trata de dividir en siete partes iguales. Sobre la recta Indefinida AB se t o m a n siete segmentos arbitrarios ¡guales entre sí y sobre el segmento total AB se construye un triángulo equilátero ABC. El vértice C se une con cada una de las siete divisiones y desde el mismo vértice se describe el arco DE con un radio igual a m. El segmento DE. igual a m, por ser el triángulo CDE equilátero, queda dividido en siete partes iguales. Problema
5 1 . Dividir el s e g m e n t o AB en partes proporcionales a o t r o s segmentos dados m, n, s.
Se traza una línea AC que forme un ángulo cualquiera con AB. A partir de A y sobre AF se llevan las magnitudes AC. CD, DE ¡guales a los segmentos m, n y s. Se une E con B y por los puntos C y D se trazan paralelas a EB, las cuales nos determinan los puntos C y D', que dividen el segmento rectilíneo AB en las partes proporcionales pedidas. Problema
5 2 . Hallar la media p r o p o r c i o n a l a dos s e g m e n t o s dados a y o .
Sobre una recta cualquiera se llevan las magnitudes AB - a y a continuación BC = b. T o m á n d o l e como diámetro se traza una semicircunferencia y por el punto B se levanta la perpendicular BD a la recta AC, la cual es la media proporcional de los segmentes dados. Problema
5 3 . Hallar la cuarta p r o p o r c i o n a l a tres s e g m e n t o s dados AB, AC y AD.
Se traza un ángulo cualquiera y sobre uno de los lados, a partir de A, se lleva la magnitud AB. Desde el mismo punto A se lleva el otro segmento AC. Sobre el otro lado del ángulo se lleva AD y se une D con B. Por el punto C se traza la paralela CE a BD obteniéndose el punto f . El segmento AE es la cuarta proporcional pedida. 52
53
LAMINA X POLIGONOS REGULARES
Problema
5 4 . D i v i d i r la circunferencia en 3 , 6, 12 partes iguales e inscribir en ella un hexágono regular y un t r i á n g u l o equilátero.
A partir de un punto de la circunferencia dada se llevan unas a continuación de otras, magnitudes iguales al radio. El hexágono regular se obtiene uniendo por medio de las rectas los seis puntos de división. Uniendo alternativamente estas d i visiones se obtiene el triángulo equilátero. Problema
5 5 . Dividir la circunferencia en 4 , 8, 16 partes iguales e inscribir en ella un cuadrado y un o c t ó g o n o regular.
Trazando dos diámetros perpendiculares, la circunferencia queda dividida en 4 partes ¡guales. Trazando además las bisectrices de los 4 ángulos rectos, la circunferencia quedará dividida en 8 partes ¡guales. Y dividiendo éstas en dos partes, quedará dividida en 16 partes iguales. Uniendo por medio de las rectas los puntos de división se obtendrán polígonos regulares de 4, 8, 16 lados. Problema
5 6 . D i v i d i r la c i r c u n f e r e n c i a en 5, 1 0 partes iguales e inscribir ella u n p e n t á g o n o regular.
en
Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD. Se halla el punto medio del radio OB y haciendo centro en él se traza el arco CN. Finalmente, haciendo centro en C y con radio CN se traza el arco NX. que cortará la circunferencia en el punto X. La recta que une los puntos C y X es el lado del pentágono pedido. El segmento ON es el lado del decágono regular inscrito en la misma circunferencia. Problema
5 7 . Dividir la circunferencia en 7 partes iguales e inscribir en ella un h e p t á g o n o regular.
Se traza el diámetro AB. Haciendo centro en B y radio igual a BO se traza el arco ON. Desde el punto N se levanta una perpendicular al diámetro y haciendo centro en este mismo punto y con radio igual a la perpendicular NM se traza el arco que cortará a la circunferencia en el punto C. La recta CN es el lado del heptágono regular. Problema
5 8 . Dividir la c i r c u n f e r e n c i a en c i e r t o n ú m e r o de partes iguales; por ejemplo, siete.
Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD. Se divide AB en tantas partes como lados ha de tener el polígono (siete en este caso) y haciendo centro en B, con un radio igual a AB se describe un arco que cortará la prolongación del diámetro CD en el punto M. La recta que pasa por el punto M y la segunda división del diámetro AB cortará a la circunferencia en el punto N. que unido con A, nos dará el lado del polígono pedido. Problema
5 9 . Inscribir el o c t ó g o n o regular en un cuadrado.
Se trazan las diagonales AC y BD y desde cada uno de los puntos A. B. C y D con un radio igual a la mitad de la diagonal se describen arcos que cortarán a los lados del cuadrado en los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Uniendo dichos puntos por medio de las rectas se obtendrá el octógono pedido. 54
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LAMINA XI POLIGONOS REGULARES
Problema
6 0 . C o n s t r u i r el p e n t á g o n o regular, dado el lado /.
Se traza AB = / y desde uno de sus extremos se levanta la perpendicular BC. Desde B, con radio AB, se traza el arco AD que cortará la perpendicular en el punto C. Desde el punto medio de AB y con radio EC se describe el arco CF, que cortará a la prolongación del lado AB en el punto F. El segmento AF es la diagonal del pentágono, y por lo tanto, haciendo centro sucesivamente en A y B se obtendrán los puntos de intersección D, H y G, que unidos con A y B nos darán el pentágono pedido. Problema
6 1 . C o n s t r u i r el hexágono regular, dado el lado /.
Sobre la recta AB = I, tomándola como lado se construye el triángulo equilátero AOB. Haciendo centro en O y con radio OA, se describe una circunferencia que al cortar en C y D las prolongaciones de los lados del triángulo citado y en E y F, las de los arcos AO y BO, determinan los cuatro vértices que unidos con A y B darán el hexágono pedido. Problema
6 2 . C o n s t r u i r el decágono regular, dado el lado /.
En el punto medio C de la recta AB = I, se levanta una perpendicular y se le traza por el extremo B una' paralela, sobre la cual se toma BD = AB. Haciendo centro en C y con radio CD, se describe el arco DE, que cortará la prolongación del lado en E y haciendo centro en A y con radio AE se traza el arco EO, que determinará sobre la perpendicular el punto 0. Haciendo centro en 0 y con radio OA se describe una circunferencia. Tomándose en ella como cuerda diez veces el lado AB. se obtendrá el decágono pedido. Problema
6 3 . C o n s t r u i r el o c t ó g o n o regular, dado el lado /.
Se levanta la perpendicular en el punto medio deAB = ly con centro en C y radio CB se describe una semicircunferencia que cortará a la perpendicular en O. Con centro en O y radio DA se describe la segunda circunferencia que cortará a la perpendicular en O, que es el centro del octógono pedido. Descrita la circunferencia de radio OA se tomará en ella como cuerda ocho veces el lado AB. Problema
6 4 . C o n s t r u i r el d o d e c á g o n o regular, dado el lado /.
Se levanta la perpendicular en el punto medio de AB = / y con centro en A y en B y radio AB se describen sucesivamente los arcos BD y AD. Luego, con centro en O y radio DA se traza una circunferencia que cortará a la perpendicular en el punto 0. que es el centro del dodecágono pedido. Descrita la circunferencia de radio 0-4 se tomará en ella como cuerda doce veces el lado AB. Problema
6 5 . C o n s t r u i r un polígono de cualquier n ú m e r o de lados, dada la long i t u d / de u n o de ellos. (Por ejemplo pentágono).
Con un radio cualquiera se describe una circunferencia, se divide en cinco partes iguales y se construye un pentágono regular, uniendo sus vértices con el centro 0 . En un lado de dicho pentágono se toma an = I y por el punto n se traza la paralela nB al radio Oa. Haciendo centro en 0 y con radio OB se describe una circunferencia que cortará a los radios en los puntos C. D, E y A que unidos con B darán el pentágono pedido. 56
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r L A M I N A XII POLIGONOS ESTRELLADOS
Problema
6 6 . C o n s t r u i r u n p o l í g o n o estrellado de 5 puntas.
Se describe una circunferencia y se divide en cinco partes iguales (problema 56), uniendo los puntos en la siguiente forma: 1 - 3 - 5 - 2 - 4 - 1 .
Problema
6 7 . C o n s t r u i r un p o l í g o n o estrellado de 6 puntas.
Se divide la circunferencia en seis partes iguales (problema 54), y se u n e n los puntos así: 1 - 3 - 5 - 1 y 2 - 4 - 6 - 2 .
Problema
6 8 . C o n s t r u i r u n p o l í g o n o estrellado de 8 puntas.
Se divide la circunferencia en ocho partes iguales (problema 55), y se unen de tres en tres los puntos de división.
Problema
6 9 . C o n s t r u i r un p o l í g o n o estrellado de 8 puntas. S e g u n d a s o l u c i ó n .
Se unen los puntos de división de dos en dos, resultando una figura de dos cuadrados superpuestos.
Problema
7 0 . C o n s t r u i r un p o l í g o n o estrellado de 9 puntas.
Se divide la circunferencia en nueve partes iguales y se unen los puntos 1 7 - 1 , 2 - 5 - 8 - 2 y 3 - 6 - 9 - 3 .
Problema
7 1 . C o n s t r u i r u n p o l í g o n o estrellado de 9 puntas. S e g u n d a s o l u c i ó n .
Una vez dividida la circunferencia en nueve partes se unen los puntos de división de cuatro en cuatro.
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LAMINA XIII POLIGONOS ESTRELLADOS
Problema
7 2 . C o n s t r u i r u n polígono estrellado de 1 2 puntas.
Se divide la circunferencia en doce partes iguales y se unen de cuatro en cuatro los puntos de división, resultando triángulos equiláteros superpuestos. También se pueden unir de tres en tres, resultando en este caso cuadrados superpuestos. Problema
7 3 . D a d o c o m o núcleo un p e n t á g o n o regular c o n v e x o (u o t r o políg o n o regular cualquiera), c o n s t r u i r el polígono estrellado correspondiente.
Prolongando los lados del pentágono convexo hasta que se corten, se obtendrán cinco puntos de intersección que serán las puntas del polígono estrellado. Para asegurar la equidistancia entre el centro y las puntas del polígono, es bueno describir desde el centro una circunferencia que pase por dichos puntos de intersección. Problema
7 4 . Construir un polígono estrellado de 6 puntas, por m e d i o de arcos de circunferencia.
Se divide la circunferencia en seis partes iguales. Haciendo centro en dos p u n tos consecutivos y con un radio igual al de la circunferencia, se trazan arcos que se cortan en A. Desde este punto y siempre con el mismo radio se traza el arco 1 - 2 . Análogamente se hará con los otros puntos, hasta terminar la construcción del hexágono pedido. Problema
7 5 . Construir u n h e p t á g o n o estrellado curvilíneo.
Se divide la circunferencia en siete partes iguales y se unen los puntos de división de dos en dos por medio de curvas, según se puede ver en la figura. Problema
7 6 . Construir un polígono estrellado de 1 2 p u n t a s , por m e d i o de arcos de circunferencia.
Se divide la circunferencia en doce partes iguales, se unen los puntos de división por medio de diámetros. Se traza una perpendicular por la mitad de cualquiera de los radios or por ejemplo. Esta cortará a los dos Inmediatos en los puntos m y n. Con el radio om u on se traza una circunferencia que cortará todos los radios en puntos equidistantes del centro. Estos puntos son los centros de los arcos que forman el dodecágono estrellado pedido. Problema
7 7 . C o n s t r u i r un m o t i v o d e c o r a t i v o estrellado.
Este ejercicio es similar a los problemas anteriores. En lugar de una circunferencia se traza un hexágono regular al cual se le dividen sus lados en tres partes iguales. Su ejecución se comprende fácilmente con sólo observar la figura. 60
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POLIGONOS: APLICACIONES
Como aplicación de lo indicado respecto a polígonos, el alumno dibujará esta lámina que puede considerarse como el dibujo de un embaldosado o motivo alegórico. Los polígonos estrellados de seis lados le dan cierta tendencia árabe a todo el conjunto. La base para la ejecución de estos dibujos son los triángulos equiláteros.
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ROSETAS ESTRELLADAS
Estos ejercicios artísticos tienen la virtud de exigir en el alumno un alto grado de exactitud y limpieza, condiciones básicas e indispensables en todo aquel que aspire a ser un buen dibujante. Infinidad de estrellados y rosas arquitectónicas pueden lograrse con los polígonos. Aquí sólo damos unas muestras de los muchos ejercicios que pueden obtenerse.
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L A M I N A XIV RECTAS TANGENTES A CIRCUNFERENCIAS
Problema
7 8 . Trazar por un p u n t o A de la circunferencia una t a n g e n t e a la misma.
Se traza el radio OA y en su extremo A se levanta una perpendicular, que será la tangente pedida. Problema
7 9 . Trazar una t a n g e n t e por un p u n t o A de una circunferencia c u y o centro no se conoce.
Desde un punto cualquiera B de la circunferencia (o arco) y con radio igual a AB se describe un arco indefinido CD. Haciendo centro en A y con un radio AC se describe otro arco que cortará al primero en el punto D. La recta que pasa por A y D es la tangente pedida. Problema
8 0 . Por un p u n t o A, t o m a d o fuera de la circunferencia, trazar a ésta dos tangentes.
Se une el punto A con el centro de la circunferencia y desde el punto medio B del radio OA con radio BO se traza un arco, que cortará a la circunferencia en los puntos C y D. Las rectas AC yAD son las tangentes pedidas. Problema
8 1 . Dada una circunferencia de radio r y una recta cualquiera AB, trazar una tangente a la circunferencia, que sea paralela a la recta dada AB.
Desde O. centro de la circunferencia, se traza un arco que corte a la recta en los puntos m y n. Se traza la perpendicular al segmento mn en su punto medio, la cual corta a la circunferencia en los puntos T y T. Levantando por T y 7" perpendiculares a la recta 77" se obtienen las dos tangentes a la circunferencia que solucionan el problema. Problema
8 2 . Trazar las tangentes exteriores a dos circunferencias dadas.
Se determina la linea de centros 00' y se traza su mediatriz. A continuación se describe una circunferencia auxiliar con centro en O y radio igual a la diferencia entre los radios de las circunferencias dadas. Desde A y con radio OA se traza una circunferencia que corta a la circunferencia auxiliar en los puntos B y C. Se une 0 con B y C. y se prolongan estos radios hasta que corten a la circunferencia mayor en los puntos D y £. Desde O' se traza O'F paralela a OD y O'H paralela a OE. Las rectas que unen D con F y E con H son las tangentes pedidas. Problema
8 3 . Trazar las tangentes interiores a dos circunferencias dadas.
Se unen los centros O y O', se traza la mediatriz de 00' y una circunferencia de diámetro 00'. Con centro en O y radio igual a la suma de los radios de las circunferencias dadas se describe una circunferencia auxiliar que corta a la anterior en los puntos B y C. Se une 0 con B y C, y 0 ' con B y C y se traza O'D paralela a OB y O'E paralela a OC. Las rectas EG y DF son las tangentes interiores. 64
L A M I N A XV CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A RECTAS
Problema
8 4 . Trazar una circunferencia t a n g e n t e a dos rectas paralelas AB y CD.
Desde un punto cualquiera de la recta AB. E por ejemplo, se levanta una perpendicular hasta cortar la recta CD en el punto F. El punto medio de EF es el centro de la circunferencia pedida. Problema
8 5 . Por u n p u n t o D del lado de u n ángulo d a d o ABC,
trazar una cir-
cunferencia t a n g e n t e a a m b o s lados. Se traza la bisectriz del ángulo dado y se levanta desde D una perpendicular, que cortará a la misma en el punto O. Haciendo centro en 0 y con radio OD se trazará la circunferencia tangente pedida. Problema
8 6 . Trazar una circunferencia poligonal convexa.
tangente
a los lados de una
línea
Se trazan las bisectrices de los ángulos ABC y BCD, que se cortan en el p u n to 0, y con radio igual a OE, perpendicular bajada desde O a uno de los lados, se traza la circunferencia tangente pedida. Problema
8 7 . Inscribir
una circunferencia
t r i á n g u l o dado
tangente
a los tres lados de u n
ABC.
Se trazan las bisectrices de los ángulos del triángulo que se cortarán en O. Desde O se baja la perpendicular OD a uno de los tres lados del triángulo, haciendo centro en O y con radio OD se trazará la circunferencia tangente pedida. Problema
8 8 . Trazar tres circunferencias tangentes entre sí y a los lados de un t r i á n g u l o equilátero.
Se trazan las bisectrices de los ángulos del triángulo y la bisectriz DE del ángulo BDC. que determina el punto O en la bisectriz CH del ángulo ACB. O es el centro de una de las circunferencias tangentes y su radio es la perpendicular OF. Problema
8 9 . Dadas las rectas c o n v e r g e n t e s AB y CD, trazar circunferencias tangentes entre sí y a las rectas.
Se traza una paralela a AB y otra a CD, separadas a igual distancia, y se determina la bisectriz del ángulo formado. Desde O con radio OT se traza una circunferencia y por el punto R se traza una perpendicular a la bisectriz. A continuación se traza la bisectriz del ángulo REC que corta en O' a la bisectriz de las rectas dadas. Con centro en 0 ' y radio O'R se traza una circunferencia tangente con las rectas dadas y con la anteriormente trazada. Por el punto S se traza una perpendicular a la bisectriz y repitiendo el método anterior se puede continuar trazando circunferencias tangentes en forma indefinida. 66
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LAMINA XVI CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SI
Problema
9 0 . Trazar tres circunferencias t a n g e n t e s entre si, de radios conocidos, R, R' y R".
Describir c o n c e n t r o en C una c i r c u n f e r e n c i a de radio fl'y trazar el s e g m e n t o BC = R' + R". Desde el punto B trazar una circunferencia de radio R", tangente a la primera. Finalmente desde C se traza un arco de abertura igual a R' + R, y desde S, otro arco de radio R" + R. La Intersección de dichos arcos nos dará el punto A, centro de la tercera circunferencia. Problema
9 1 . Trazar t r e s c i r c u n f e r e n c i a s i g u a l e s , t a n g e n t e s e n t r e sí y a u n a circunferencia dada.
Se divide la circunferencia en seis partes iguales y se trazan los diámetros. En el punto C se traza una tangente Indefinida, que será cortada en D por la prolongación del diámetro AB. Se traza la bisectriz del triángulo CDA, que determinará el punto O, centro de una de las circunferencias inscritas. Para determinar los demás centros bastará pasar por O una circunferencia concéntrica con la circunferencia dada. Problema
9 2 . Trazar cuatro circunferencias t a n g e n t e s entre sí y a una cunferencia dada.
cir-
El procedimiento no varía, solamente la circunferencia se divide en ocho partes ¡guales. Problema
9 3 . Trazar siete circunferencias t a n g e n t e s entre si y a una c i r c u n f e rencia dada.
La circunferencia se divide en doce partes ¡guales, siguiendo luego el procedimiento anterior. Una de las siete circunferencias será concéntrica con la dada. Problema
9 4 . Trazar dos circunferencias t a n g e n t e s a otras dos dadas, situadas a una distancia c o n o c i d a .
Suponiendo que EE', es la distancia entre centros, se toma E'C igual al radio EA, y AD igual a CB. Con centro en E se describe el arco OCO', y con centro en E', el arco ODO'. Se une O con E y E' y se prolongan las líneas hasta determinar los puntos R y /?'. De igual forma se une O' con E y E' y se prolongan hasta determinar los puntos T y T. Los puntos O y O' son los centros de las circunferencias tangentes a las dadas. Problema
9 5 . Trazar dos circunferencias t a n g e n t e s a otras dos dadas, situadas a una distancia c o n o c i d a . S e g u n d o p r o c e d i m i e n t o .
Suponiendo que EE' es la distancia entre al radio EA. Haciendo centro en E se traza un se describe otro arco de radio E'D, los cuales son los centros de las circunferencias tangentes 68
centros, se toma AC y BD ¡guales arco de radio EC, y con centro en E' se cortan en los puntos O y O ' que a las dadas. 69
L A M I N A XVII OTRAS TANGENCIAS
Problema
9 6 . Trazar c u a t r o circunferencias t a n g e n t e s entre si y a los lados de u n cuadrado.
Se trazan las diagonales del cuadrado y se unen los puntos medios de los lados del mismo. La recta CD determinará en la diagonal AB el punto O, centro de una de las circunferencias tangentes. Problema
9 7 . Trazar cinco circunferencias t a n g e n t e s entre sí y a los lados de un p e n t á g o n o dado.
Se trazan las perpendiculares desde los vértices a los lados opuestos y la bisectriz del ángulo CDA. que determinará en la perpendicular AB el punto O.
cen-
tro de una de las circunferencias tangentes. Problema
9 8 . Inscribir una c i r c u n f e r e n c i a t a n g e n t e a los lados de un t r i á n g u l o mixtilineo.
Se traza la bisectriz del ángulo ABC. que cortará al arco AC en D. Haciendo centro en D y con radio DB se describe un arco que cortará a la bisectriz en E. Haciendo centro en E con radio EF se describe otro arco que cortará a la bisectriz en el punto O. centro de la circunferencia tangente pedida. Problema
9 9 . Inscribir una circunferencia t a n g e n t e a los lados de un t r i á n g u l o curvilíneo ABC.
Se une A con C y en el punto medio de AC se levanta una perpendicular, que encontrará el punto B. El segmento DE se divide en tres partes iguales y llevando desde E una de estas divisiones se obtendrá el punto O, centro de la circunferencia pedida. Problema 1 0 0 . Inscribir tres circunferencias tangentes entre si d e n t r o de una semicircunferencia. Se encuentra el punto medio del diámetro AB y se traza el radio CD, perpendicular a AB. Se divide CD en cuatro partes iguales y con centro en el punto 2 se traza la primera circunferencia inscrita. Posteriormente, por el punto 3 se traza una paralela a AB y después con centro en D se traza un arco que corta a la paralela en E y E', los cuales constituyen los centros de las otras dos circunferencias inscritas. Problema 1 0 1 . Inscribir las mismas tres circunferencias t a n g e n t e s , en el espacio de la semicircunferencia circunscrito I por otras dos semicircunferencias cuyos d i á m e t r o s son el radio de la primera Esta vez se divide el radio CD en seis partes iguales y la primera circunferencia se traza con centro en el punto 2 y radio de .dos segmentos de CD. Por este mismo punto 2 se traza la paralela a AB y con radio de cinco segmentos de CD y centro en C se traza el arco que corta a la paralela en £ y £', centros de las otras dos circunferencias inscritas. 70
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LAMINA XVIII EMPALMES DE LINEAS
Problema 1 0 2 . E m p a l m a r t a n g e n c i a l m e n t e u n o o m á s arcos al e x t r e m o B de la rocta AB. En el extremo B se levanta una perpendicular a la recta dada, en la cual se tomarán los puntos C, D, E, etc. y haciendo centro en dichos puntos y con radios CB. DB, EB. etc. se describen arcos que se empalmarán con la recta dada, por ser t a n gentes a la misma en el punto de empalme. Problema 1 0 3 . Dadas dos rectas AB y CD. que se c o r t a n f o r m a n d o un ángulo recto, enlazarlas m e d i a n t e un arco de radio R. Haciendo centro en el punto de intersección P y don un radio igual a R se traza el arco MN.
Con el mismo radio R y haciendo centros, alternativamente, en M y
N se describen dos arcos que se cortan en 0, centro del arco que enlaza a las dos rectas dadas. Problema 1 0 4 . E m p a l m a r dos rectas que f o r m a n un á n g u l o , m e d i a n t e u n arco de radio r. Se trazan dos rectas paralelas a las dadas a una distancia igual a r. Del punto de intersección 0 se bajan las perpendiculares a las rectas dadas en D y E y haciendo centro en 0 y con radio r se describe el arco DE. Problema 1 0 5 . Empalmar dos rectas paralelas por m e d i o de una s e m i c i r c u n f e rencia. Se traza la perpendicular AB común a ambas paralelas, y con centro en el punto medio 0 y radio OA se describe una semicircunferencia, que será tangente a las dos paralelas en los puntos A y B. Problema 1 0 6 . E m p a l m a r dos rectas paralelas por m e d i o de dos arcos de igual radio, t a n g e n t e s a las rectas en los p u n t o s A y B. Se unen los puntos A y B y se determina el punto medio C. En A y B se trazan las perpendiculares a las rectas dadas y en los puntos medios de AC y CB otras perpendiculares que cortarán a las primeras en 0 y 0 ' , centros de los arcos t a n gentes. Problema 1 0 7 . Empalmar dos rectas paralelas de d i s t i n t a l o n g i t u d por m e d i o de dos arcos de c i r c u n f e r e n c i a . Se une A con C y se prolongan las paralelas hacia E y F. En las prolongaciones se t o m a n AE y CF ¡guales a la mitad de AC y se une E con F. En A y C se levantan dos perpendiculares a las rectas dadas y se trazan las bisectrices de los ángulos en E y F, que cortarán a las perpendiculares en 0 y 0'. centros de los dos arcos pedidos. El punto de empalme se obtiene prolongando hasta G la linea de los centros. 72
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L A M I N A XIX EMPALMES DE LINEAS
Problema 1 0 8 . E m p a l m a r dos rectas c o n c u r r e n t e s a un p u n t o A, por m e d i o de un arco que pase por el p u n t o B. Se traza el arco BC con radio AB
y de B y C se levantan dos perpendiculares
que se cortarán en el punto 0, centro del arco pedido. Problema 1 0 9 . Dadas dos rectas AB y CD. u n arco de radio R.
que se c o r t a n , enlazarlas m e d i a n t e
Se traza la bisectriz del ángulo que forman las rectas AB y CD, y por un punto cualquiera E se traza una perpendicular a AB. Sobre la perpendicular se lleva EF igual al radio, y por el punto F se traza una paralela a AB. que cortará a la bisectriz en el punto 0, centro del arco pedido. Los puntos de tangencia se determinan bajando perpendiculares desde O, a las rectas AB y CD. Problema 1 1 0 . Dados una recta AB, un p u n t o C situado en ella y un p u n t o exterior D, trazar un arco que pase por D y sea t a n g e n t e a la recta dada en el p u n t o C. Se unen los puntos C y D y se traza la mediatriz del segmento CD. Por el punto C se traza una perpendicular a AB que cortará la mediatriz en el punto 0 centro del arco pedido. Problema 1 1 1 . Empalmar dos rectas cualesquiera AB y CD sobre los p u n t o s E y F. por m e d i o de dos arcos, u n o de ellos de radio R c o n o c i d o . Por el punto F se traza una perpendicular a CD y sobre ella se lleva FO = R, por E se levanta una perpendicular a AB y se prolonga hacia abajo llevando EG = R. Se une G con 0 y se traza la mediatriz del segmento GO. que cortará en el punto 0 ' a la perpendicular levantada por E. El punto O es el centro del arco FH, y el punto 0 ' del arco HE. P r o b l e m a 1 1 2 . E m p a l m a r una c i r c u n f e r e n c i a de centro O m e d i a n t e u n arco de radio R.
c o n una recta
AB,
Por el punto C se traza una perpendicular a AB y sobre ella se lleva CD = R. Por el punto D se traza una paralela a AB y con centro en 0 se traza un arco auxiliar que tenga de radio el de la circunferencia 0, más el radio dado R. el cual cortará a la paralela en el punto 0'. centro del arco pedido. Los puntos de tangencia T y T' se obtienen uniendo 0 con 0' y bajando una perpendicular desde 0' a la recta AB. Problema 1 1 3 . E m p a l m a r u n arco de circunferencia c o n una recta por m e d i o de un arco de radio c o n o c i d o R. Haciendo centro en 0 se describe un arco auxiliar con radio igual a la diferencia del radio del arco de la circunferencia dada menos la magnitud R. Se traza una paralela a la recta dada a una distancia igual a R. que cortará al arco auxiliar en el punto 0', centro del arco pedido. 74
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T L A M I N A XX EMPALMES DE LINEAS
Problema 1 1 4 . Empalmar dos arcos de circunferencia por m e d i o de o t r o arco de radio c o n o c i d o r. Se describen dos arcos desde O y O' con radios respectivamente iguales a la suma del radio de cada circunferencia dada más la magnitud r. Las intersecciones M y M' de dichos arcos son los centros del arco de empalme. Problema 1 1 5 . Empalmar dos arcos de circunferencia por m e d i o de un arco de radio c o n o c i d o r. ( O t r o caso). Se trazan dos arcos auxiliares a los arcos dados con radio igual a la diferencia del radio del arco menos la magnitud r, el punto de intersección D de dichos arcos será el centro del arco de empalme. Problema 1 1 6 . E m p a l m a r dos circunferencias dadas por m e d i o c o n o c i d o el p u n t o B de c o n t a c t o en una de ellas.
de un arco,
Se une el punto 0 con B y se prolonga la recta, tomándose en ella desde B una longitud BC = O'A (Radio de la circunferencia O'). En el punto medio de la recta O'C se levanta una perpendicular que cortará la recta OB en el punto O", centro del arco de empalme. Problema 1 1 7 . C o n s t r u i r un c u a d r i l ó b u l o de radio c o n o c i d o . Se divide la circunferencia de radio conocido en ocho partes iguales y se trazan los diámetros correspondientes. Por el punto D se traza una tangente que cortará en F a la prolongación del diámetro contiguo. Se describe el arco DE con radio FD y se traza por el punto E una perpendicular 01 04 al segmento OF. Finalmente se construye un cuadrado de lado 01 04, y se obtienen los vértices 02 y 03, centros de los arcos respectivos que componen la figura. Los puntos de tangencia están situados en los lados del cuadrado. Problema 1 1 8 . Dados varios puntos A, B, C. D, etc., enlazarlos m e d i a n t e una curva. Bastará unir dichos puntos por medio de segmentos rectilíneos y levantar en el punto medio de cada uno de ellos una perpendicular. Los centros de los arcos quedarán determinados por los puntos de Intersección de dichas perpendiculares con la prolongación del radio del arco anterior. El centro del primer arco, ABC, se determina de la siguiente forma: se unen AB y BC mediante dos segmentos y se levanta una perpendicular en el punto medio de cada uno de ellos. El punto 0, intersección de ambas perpendiculares, será el centro de la circunferencia que pase por los tres puntos no situados en linea recta. Según este problema se deduce que cualquier curva dibujada a pulso se puede trazar a compás, dividiendo la curva en segmentos fácilmente adaptables a otros tantos arcos de circunferencia. 76
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APLICACIONES ENLACES DE RECTAS Y CURVAS
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APLICACIONES
LAMINA XXI DESARROLLO O RECTIFICACION DE CURVAS
Problema 1 1 9 - Rectificar la curva AB. Se divide la curva AB en un cierto número de partes, preferiblemente que sean iguales y de pequeña magnitud. Se llevan estas mismas divisiones sobre un segmento rectilíneo y tendremos el desarrollo propuesto.
Problema 1 2 0 . Rectificar un cuadrante de c i r c u n f e r e n c i a . Se traza el diámetro AB y con centros en A y B, y radios iguales al de la circunferencia, se describen los arcos OD y OC. Desde B se traza el arco CE, y desde A, el arco DE. Finalmente con centro en D se describe el arco EF. El segmento BF es la longitud correspondiente a un cuadrante de circunferencia.
Problema 1 2 1 . Rectificar miento.
un
cuadrante
de c i r c u n f e r e n c i a .
Segundo
procedi-
Se traza el radio OA y el diámetro FB y se prolonga este último. Se divide el radio OB en cuatro partes iguales, y sobre la prolongación del diámetro se llevan tres de estas divisiones determinando el punto C. Trazar la tangente que pasa por f y corta en el punto £ a la prolongación de CA. El segmento EF corresponde a la longitud de un cuadrante de circunferencia.
Problema 1 2 2 . Rectificar una s e m i c i r c u n f e r e n c i a . Se traza el diámetro AB y el segmento OC que forme un ángulo de 3 0 ° con dicho diámetro. Por el punto A se traza una tangente que cortará al segmento en el punto C. Sobre esta tangente y a partir de C, se lleva tres veces la magnitud del radio de la circunferencia. Es decir CD = DE = EF = ai radio. El segmento BF corresponde a la longitud de la semicircunferencia.
Problema 1 2 3 . Rectificar una circunferencia. Se traza el diámetro AB y se divide en siete partes iguales. Sobre una recta se lleva la magnitud de tres diámetros (de 0 a 21) y se añade una de las siete partes en que se dividió el diámetro (21 -22). El segmento CD es el desarrollo de la circunferencia dada. 81
LAMINA XXII ARCOS ARQUITECTONICOS
Se llaman A R C O S a las superficies de curva cóncava que cierran partes superiores de vanos en la construcción (ventanas o puertas). A P O Y O S o ESTRIBOS son los puntos en donde arranca el arco. FLECHA es la perpendicular trazada desde el punto más alto del arco a la línea que une los apoyos. Problema
124. Trazar u n a r c o de m e d i o p u n t o c o n o c i e n d o la d i s t a n c i a e n t r e a p o y o s A y B. Se une A con S y con centro en O, punto medio de AB, y con radio OA se traza una semicircunferencia. Problema
125. Trazar u n a r c o e l í p t i c o c o n o c i e n d o la d i s t a n c i a AB y la f l e c h a co:
Se une A con S y A con C. Con centro en O', punto medio, y abertura O'A se describe el arco AD, y con centro en C y radio CD, el arco DE. Se traza la mediatriz del segmento A E l a cual determina los puntos My O, que junto con M' son los tres centros del arco. Problema
126. Trazar u n a r c o r e b a j a d o c o n o c i e n d o AB y la f l e c h a MO'.
Se detemina el punto medio O' de AB y se traza el eje geométrico de la figura. Se une M con 6 y se traza la mediatriz de MB, que cortará en O al eje. El punto O es el centro del arco pedido. Problema
127. Trazar al a r c o r a m p a n t e c o n o c i e n d o los a p o y o s A y B.
Se traza la línea de rampa AB, y las horizontales AC y DB. Con cent.o en B se traza el arco CE. Al segmento DE se le saca la mediatriz que cortará en O y O ' a las horizontales, que son los centros de los arcos AE y FB. Problema
128. Trazar el a r c o o j i v a l o g ó t i c o , c o n o c i e n d o l o s p u n t o s A y B.
Unir A y B, y con centro en A y radio AB se traza el arco BD. Desde S, con igual radio, el arco AD, y así obtenemos el arco ojival normal. Si queremos un arco ojival peraltado cuyo punto más alto sea C, se unen C y A y se traza la mediatriz de AC, la cual cortará en O, a la prolongación de AB. El punto O es el centro del arco ACy su simétrico, el centro del arco BC. Para dibujar el arco ojival rebajado cuyo punto más alto sea £, se procede de Igual forma obteniéndose el perfil AEB. Problema
129. Trazar el a r c o a r á b i g o o de h e r r a d u r a .
Como su construcción es muy sencilla, queda como ejercicio para el alumno la interpretación del dibujo. 82
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LAMINA XXIII
Problema 1 3 5 . Gola. Es una moldura de doble curvatura, como el talón, pero de sentido contrario. Sus dimensiones, por lo tanto, son las mismas. Lleva un filete en la parte superior. Puede hacerse invertida y obtenemos la llamada gola inversa. Su trazado es análogo al del talón, con la única diferencia del sentido contrario de los arcos.
MOLDURAS Llámanse MOLDURAS a unas formas o perfiles usados en arquitectura para conseguir efectos decorativos de luz y sombra, asi como de esbeltez. Estos elementos decorativos se utilizan, así mismo en ebanistería. Hay que señalar la importancia que tiene la proporcionalidad entre sus diversas dimensiones.
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Problema 1 3 0 . Filete. Es una moldura plana rectangular de pequeñas dimensiones. Suele colocarse de tal forma que sobresalga del plano contiguo, aproximadamente la mitad de su altura. Faja. Tiene forma análoga al filete, siendo su anchura cuatro veces mayor. Chaflán. Es la parte plana que queda cuando a un cuerpo se le quita un ángulo o esquina. Plinto. Tiene idéntica forma que el filete,
pero su anchura es tres veces mayor. Sirve
de base de decoración de edificios. Problema 1 3 1 . J u n q u i l l o . Es una moldura curva y pequeña. Su perfil está formado por un semicírculo que sobresale la mitad, aproximadamente, de su anchura. Bocel. Es Igual que la anterior. Su anchura es tres veces mayor que el
junquillo.
Toro. Tiene también la misma forma y es cuatro veces más ancha. Lleva un filete en la parte superior, de anchura igual a la cuarta parte de la moldura.
i—r
Problema 1 3 2 . C u a r t o bocel. Está formado su perfil por un cuadrante de círculo con arco hacia afuera. Lleva adosado, generalmente, un filete en la parte inferior. Si hacemos invertida la moldura, obtenemos el cuarto bocel inverso. Problema 1 3 3 . C a v e t o . Su perfil es análogo al del cuarto bocel, con la diferencia de que el cuadrante del círculo está hacia adentro. Al Igual que la anterior moldura existe el caveto inverso.
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I
••-•••.0
Problema 1 3 4 . T a l ó n . Es una moldura compuesta de doble curvatura en sentido contrario. La de arriba, convexa, y la de abajo, cóncava. En la parte superior lleva adosado un filete. El talón inverso lo lleva en la parte inferior. Para su construcción se une A con B y se determina el punto medio C. Con centro en A y C describir dos arcos de radio AC que se cortarán en 0 centro del arco AC. Con centro en B y C se describen dos arcos de radio BC, en sentido contrario a los anteriores, los cuales se cortarán en 0' centro del arco CB. 84
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L A M I N A XXIV MOLDURAS
Problema 1 3 6 . Gorguera a t o d o c e n t r o . Se trazan los dos filetes: uno en la parte superior y otro en la inferior, teniendo en cuenta las proporciones. Se une A con B y se determina O, punto medio de AB, centro de la semicircunferencia de la moldura. Problema 1 3 7 . Gorguera achaflanada. Es análoga a la anterior. Unicamente el punto C está desplazado hacia afuera. Para dibujarla basta unir C con A y B. Después hallamos la mediatriz del segment ó l e , que cortará a! eje de la moldura en el punto O, centro de la curva. Problema 1 3 8 . Doble corona. Es una moldura parecida al caveto, aun cuando es de dimensiones más reducidas. Su trazado es sencillísimo y basta observar la figura. Problema 1 3 9 . Escocia de dos centros. La escocia es una moldura utilizada mucho en arquitectura y decoración. Lleva adosados dos filetes de anchura Igual a la quinta parte del ancho de la moldura. Para construirla, primero se dibujan las partes planas, teniendo en cuenta que BH es la tercera parte de AH. Trazar AH perpendicular a AC y dividirla en tres partes iguales. Desde 1 se traza el arco RAS y tomando centro en R y con radio RS se describe el arco SB, con lo cual tenemos la parte curva de la escocia de dos centros. Problema 1 4 0 . Escocia de tres c e n t r o s . Se dibujan las partes planas, se traza BH y se divide en tres partes ¡guales. Desde 1 se traza el arco BF de la escocia. Tomando S, punto medio de B1, y haciendo centro en / se traza el arco SO. El punto 0 es el segundo centro de la curva, arco FE. Finalmente se levanta una perpendicular a la base por el punto A y se toma AG igual a OF. Se une G con O y se traza la mediatriz del segmento GO determinando O ' que es el centro de la curva, arco EA. Problema 1 4 1 . Escocia de c u a t r o centros. Se dibujan las partes planas, se traza AH y se divide en tres partes iguales. Desde 1, primer centro de la curva, se traza el arco AO. Desde O y con radio OS, siendo S el punto medio del arco AO, se describe una circunferencia auxiliar. Dividir 01 en tres partes iguales y llevar una parte hacia la izquierda, obteniéndose el centro V del arco 0/V. Con centro en V, y con radio V1, se describe un arco que corta en R a la prolongación de VN, y que es el tercer centro de la escocia, arco NP. Finalmente la distancia NR se lleva a BF, sobre la perpendicular trazada por B. Se unen F y R y trazando la mediatriz a FR se obtiene M, cuarto centro de la escocia. Uniendo M y R y prolongando queda determinado el punto P. Desde M se traza el arco PB. 86
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APLICACIONES
L A M I N A XXV OVALOS Y ESPIRALES
Problema 1 4 2 . C o n s t r u i r un óvalo c o n o c i e n d o el eje m a y o r AB. tres circunferencias.
por m e d i o de
Se divide AB en cuatro partes iguales y haciendo centro sucesivamente en C, D, E y con radio igual a la cuarta parte de AB se describen tres circunferencias. Las rectas que unen los puntos C y E con m, n, p, q (intersecciones de las circunferencias) determinan los puntos f y G, que con C y E serán los cuatro centros de los arcos de que consta el óvalo pedido. Problema 1 4 3 . C o n s t r u i r un óvalo c o n o c i e n d o el eje m a y o r AB. cedimiento.
S e g u n d o pro-
Se divide el eje mayor en tres partes iguales, AC. CD y DB. Con radio igual a AC describir dos circunferencias con centros en C y D que se cortarán en E y F. Se unen y prolongan las rectas FC, FD, EC y ED. Los puntos m, u, r y s, sobre las circunferencias ya trazadas son los de conjunción de los arcos con centros en E y F. Problema 1 4 4 . C o n s t r u i r un óvalo c o n o c i e n d o el eje m e n o r ED. Se trazan desde E con ayuda de la escuadra de 4 5 ° las rectas Er y Es. Hacer lo mismo desde D trazando las rectas Dm y Dn que se cortan en O y O'. Con centros en f y D y radio ED trazar los arcos rDs y mEn y se completa la figura con centros en O y O'. Problema 1 4 5 . C o n s t r u i r un ó v a l o , c o n o c i e n d o los dos ejes perpendiculares AB y CD. Haciendo centro en O y con radio OA se traza el arco AE. En la recta AC, partir de C se toma CF igual a CE (diferencia de los dos semiejes). Se levanta perpendicular en el punto medio de AF que cortará al eje mayor en G y al eje nor o su prolongación en M. Y buscados los puntos H y N, simétricos a G y W , dremos los cuatro centros de los arcos que f o r m a n el óvalo pedido.
y a una meten-
Problema 1 4 6 . Trazar la espiral m e d i a n t e arcos de c i r c u n f e r e n c i a . de en de de
Se construye un pequeño cuadrado de lado igual a la cuarta parte del paso la espira. Con centro en el vértice 1, se traza la circunferencia / -2; con centro 2 se traza el arco AB; con centro en 3 el arco BC; con centro en 4 el arco CD. Y nuevo con centro en / , el arco DE y así sucesivamente hasta tener el número espiras que se desee.
Problema 1 4 7 . Dibujar una espiral por el m é t o d o a p r o x i m a d o del r e c t á n g u l o . Se construye un rectángulo en el que la longitud y el ancho estén en la relación de tres a uno. Se prolongan sus lados en la forma que indica la figura y haciendo centro en- / se describe el arco 3A; con centro en 2 se traza el arco AB; con centro en 3 el arco BC; con centro en 4 el arco CD. Y de nuevo con centro en 1 el arco DE y así sucesivamente hasta tener el número de espiras que se desee. 90
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APLICACIONES LLAVE DE BOCA
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L A M I N A XXVI OVOIDES, EVOLVENTE Y ESPIRAL DE ARQUIMEDES
Problema 1 4 8 . C o n s t r u i r un ovoide c o n o c i e n d o el eje mayor AB. Se divide el eje mayor en seis partes iguales y se levanta por la división 2, una perpendicular al eje. Con centro en 2 y abertura 2D se traza la semicircunferencia CBD, y con radio 2A la semicircunferencia O'AO". Unir O' y O" con 5 por medio de rectas hasta m y n puntos de tangencia de los arcos. Finalmente con radio O'D y centros en O ' y O " describir los arcos Dm y Cn, y con centro en 5 trazar nAm.
Problema 1 4 9 . C o n s t r u i r un ovoide c o n o c i e n d o los dos ejes AB y CD. Haciendo centro en 0 y con radio O A igual a la mitad de AB se traza una circunferencia. Se unen A y B con C y desde A y B se toman las distancias AE y BF, ¡guales a CG. En los puntos medios de EC y FC se levantan perpendiculares que determinarán los puntos H, M y N, centros de los arcos que completan el ovoide pedido.
Problema 1 5 0 . C o n s t r u i r un o v o i d e c o n o c i e n d o el eje menor AB. Se traza una circunferencia de diámetro AB y el diámetro CD perpendicular al anterior. Luego se trazan las cuerdas AC y BC y se prolongan. Haciendo centro en A y B se describen los arcos Bm y An y con centro en C, el arco mn quedando completa la figura del ovoide.
Problema 1 5 1 . Trazar la evolvente del c i r c u l o . Se divide el círculo en un número cualquiera de partes ¡guales, ocho por ejemplo, y por los puntos de división se van trazando sucesivamente rectas tangentes a la circunferencia. Haciendo centro en los puntos de tangencia se trazan arcos AB, BC,... limitados por dos tangentes consecutivas.
Problema 1 5 2 . Trazar la espiral de A r q u í m e d e s . Se divide la circunferencia y uno de los radios en el mismo número de partes ¡guales, doce por ejemplo. A l trazar arcos a cada radio, quedan determinados los puntos de la espiral, que se trazará a mano alzada. 94
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L A M I N A XXVII ELIPSES
Elipse es una curva plana, cerrada, tal que la suma de las distancias de cada uno de sus puntos a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a la longitud del eje mayor. Problema 1 5 3 . C o n s t r u i r una elipse, dados los dos ejes, por m e d i o de una tira de c a r t ó n . Se disponen los ejes en ángulo recto de modo que se corten por la mitad en el punto 0. En una tira de cartón se toman, a partir de E las distancias EH y EG, iguales a los dos semiejes. Moviendo la tira de cartón de modo que el punto H quede siempre sobre el eje menor y el punto G sobre el eje mayor, el punto E determinará una serie de puntos, que unidos a pulso o mediante un curvígrafo, darán la curva buscada. Problema 1 5 4 . C o n s t r u i r una elipse, dados los dos ejes, por m e d i o de radios vectores. Haciendo centro en C y con radio OA se buscan los dos focos F y F'. Se divide OF en un número cualquiera de partes y haciendo centro alternativamente en F y F' con los r a d i o s ^ / , BU A2, B2. etc., se trazan arcos por cuyos puntos de i n tersección se trazará a mano alzada la elipse pedida. Problema 1 5 5 . C o n s t r u i r una elipse, dados los dos ejes. ( O t r o p r o c e d i m i e n t o ) . Dispuestos los ejes en ángulo recto, se describen dos circunferencias de centro O y de diámetros respectivamente iguales a los ejes. Se dividen ambas en un número de partes iguales, doce por ejemplo, y se unen estos puntos con el centro. De los puntos de división de la circunferencia mayor se bajan perpendiculares al eje mayor, las cuales se cortarán por medio de las paralelas al mismo eje trazadas por los puntos de división de la circunferencia menor, determinando así una serie de puntos, que unidos darán la elipse buscada. Problema 1 5 6 . C o n s t r u i r miento).
una elipse c o n o c i e n d o
los dos ejes. ( O t r o
procedi-
Se divide en varias partes ¡guales el semieje OB, por ejemplo en cinco, y se traza el lado EB igual y paralelo al semieje OC. El lado EB se divide a su vez en igual número de partes iguales. Unir D con / , 2, 3 y 4, por medio de rectas indefinidas. De igual modo se une el punto C con 2', 3' y 4'. Los cruces de las rectas determinan los puntos de la elipse. Problema 1 5 7 . Describir una elipse llamada de j a r d i n e r o , c o n o c i d o s los dos ejes. Trazar dos perpendiculares y llevar desde O, punto de intersección, una distancia Igual a la mitad de los ejes AB y CD. Se determinan los focos F y F' y se fija en ellos con ayuda de unos alfileres, un hilo, que no ceda, igual al eje mayor AB. Colocar la punta de un lápiz bien afilado según muestra la figura, y se describe sobre el papel la elipse que se busca. 96
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L A M I N A XXVIII CURVAS A PULSO
Parábola es una curva abierta y plana, cuyos lados equidistan del foco y de la directriz. Problema 1 5 8 . Trazar la parábola, dada la directriz AB y el f o c o F. Sobre el eje CD se toman arbitrariamente unos puntos y se trazan por ellos paralelas a la directriz AB. Haciendo centro en F y con radios respectivamente iguales a C1, C2, C3, se cortan las paralelas en un punto a cada lado del eje determinando asi una serie de puntos, que unidos a mano alzada, o ayudándose de una plantilla de curvas, nos darán la parábola pedida. Para trazar una tangente en el punto P de la parábola, bastará trazar la bisectriz del ángulo formado por el radio vector PF y la perpendicular trazada por P a la directriz. Hipérbola es una curva abierta y plana en la cual la diferencia de distancias de sus puntos a otros dos fijos, llamados focos, es siempre constante. Problema 1 5 9 . Trazar la hipérbola, dados los f o c o s y la diferencia
constante
de los radios v e c t o r e s AB. Sobre el eje que pasa por los focos se t o m a n arbitrariamente unos puntos y haciendo centro en F y con radios Al,
A2, A3, se trazan arcos de circunferencia a
ambos lados del eje, que cortarán a otros de centro F' y radios BI, B2. B3. La hipérbola pasará por los puntos de intersección de dichos arcos. La bisectriz del ángulo formado por radios vectores del punto P de la hipérbola es la tangente en dicho punto a la misma. Hélice es una curva engendrada por un punto que gira alrededor de una recta llamada eje, conservando la misma distancia y ascendiendo con una velocidad constante. Paso de la hélice es la distancia que hay entre dos posiciones del punto después de dar una vuelta completa. La hélice es la generadora del tornillo. Problema 1 6 0 . Trazar la hélice, d a d o el paso y el d i á m e t r o del c i l i n d r o . Se traza una circunferencia de diámetro igual al dado y se divide en un número de partes iguales, trazando por los puntos de división rectas paralelas al eje. Se divide el paso en igual número de partes iguales, trazando por los puntos de división rectas perpendiculares a las anteriores. La curva que une los puntos de intersección de dichas rectas será la hélice pedida. 98
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LAMINA XXIX OTRAS CURVAS A PULSO
Cicloide es una curva plana, abierta, engendrada por un punto de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre una recta. La recta sobre la cual gira el circulo se llama directriz y el círculo, generador.
Problema 1 6 1 . Trazar la cicloide, dado el radio del círculo generador. En el punto medio de la recta AB igual al desarrollo del círculo generador, se levanta una perpendicular y se describe una circunferencia de radio dado, t a n gente a la directriz. Tanto la circunferencia como la directriz se dividen en un n ú mero de partes iguales, doce por ejemplo. Por los puntos de división de la circunferencia se trazan rectas paralelas a la directriz, y" por los de la directriz, rectas perpendiculares a la misma, hasta cortar la paralela mn que pasa por el centro del círculo generador. Los puntos de intersección con dicha paralela son los centros de los arcos, que cortarán a las paralelas en los puntos, que unidos entre sí, nos darán la cicloide pedida.
Pericicloide o cicloide exterior es una curva engendrada por un punto situado en una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre la parte exterior de otra llamada directriz.
Problema 1 6 2 . Trazar la pericicloide, c o n o c i e n d o el redio del círculo generador y del c i r c u l o directriz. La pericicloide se construye siguiendo un procedimiento igual al empleado en el caso de la cicloide, salvo que en lugar de una recta directriz, tenemos ahora una curva directriz y por consiguiente las paralelas son arcos y las perpendiculares, radios. El arco ACB de la circunferencia directriz es igual ai desarrollo del círculo generador.
H i p o c i c l o i d e es una curva engendrada por un punto situado en una circunferencia que rueda sin resbalar, sobre la parte interior de otra llamada directriz. Problema 1 6 3 . Trazar la h i p o c i c l o i d e , c o n o c i e n d o el radio del círculo generador y del círculo directriz. El procedimiento a seguir en su construcción es idéntico al empleado en la pericicloide.
Si el diámetro de la circunferencia que rueda es la mitad del de la circunferencia directriz, la hipocicloide engendrada es una línea recta de la misma longitud que el diámetro de la circunferencia directriz. 100
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L A M I N A XXX LINEAS DE SOMBRA
Para obtener mayor efecto y dar más relieve al dibujo, se hace uso de líneas f i nas y de líneas algo más gruesas, llamadas de sombra: las primeras para indicar las aristas que son comunes a dos superficies iluminadas y las segundas, para las aristas comunes a dos superficies cuando una de ellas, o ambas están en sombra. He aquí las principales normas para dibujar a sombra: 1. Se supone que la luz viene de la parte superior izquierda, formando los rayos l u m i n o sos un ángulo de 4 5 ° con todas las horizontales y verticales del dibujo. Para una superficie en relieve los trazos verticales, serán finos los de la izquierda y gruesos los de la derecha. Los trazos horizontales, serán finos los superiores y gruesos los de abajo. 2 . Los trazos oblicuos serán finos o gruesos según su posición respecto a los rayos luminosos, siendo finos cuando son paralelos a los mismos. 3. También las curvas tienen una parte iluminada y otra en sombra; la parte de sombra empieza en el punto de tangencia de los rayos luminosos con la superficie circular, pasando gradualmente del trazo fino al grueso. Para esto se corre el centro del círculo a lo largo del diámetro que forma ángulo de 4 5 ° con el diámetro horizontal, una distancia igual al espesor que se ha de dar a la línea de sombra. 4 . Para sombrear orificios o cualquier parte del dibujo que indique una superficie vaciada o hundida en otra, se invierten las reglas precedentes. 5. Los cuerpos redondos se dibujan siguiendo las mismas normas como si se tratara de superficies planas. Figura 164. Un dibujo en relieve (A); y este mismo hundido (B). Figura 165. Las aristas oblicuas iluminadas o en sombra, según su posición respecto a los rayos luminosos. Figura 166. Modo de trazar las sombras en las líneas curvas. Figuras 167 y 168. Aplicación práctica de las líneas de sombra: un compás de espesores y una bola egipcíaca. NOTA: En los dibujos técnicos corrientes las líneas de sombra no se usan. Pueden no obstante emplearse en ciertos proyectos que exigen una buena presentación. 102
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APLICACIONES ANFORA
APLICACIONES ANFORA
Módulo = 15 mm. 104
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PRELIMINARES
1 . Tres sistemas de representación gráfica de los objetos. Hay tres diferentes sistemas para representar los objetos en una superficie: perspectiva cónica, perspectiva paralela y proyección geométrica ortogonal.
TERCERA PARTE
DIBUJO DE PROYECCION
a) Perspectiva cónica. Es sabido que los objetos en el espacio no se presentan a nuestra vista con las dimensiones reales, sino que se nos aparecen como deformados. La perspectiva cónica es precisamente aquella parte del dibujo que trata del aspecto o de las deformaciones que hay que dar a las imágenes de los cuerpos, para que nos produzcan igual sensación visual que los cuerpos mismos. Esta forma tiene la ventaja de proporcionar dibujos de muy fácil interpretación. No obstante en el dibujo técnico este sistema apenas si se usa, porque es muy trabajoso y las dimensiones no quedan a escala. Fig. 5 1 .
OBJETIVOS: 1. El dibujante capte los conceptos fundamentales de la teoría sobre la proyección. 2. El dibujante los use convenientemente en forma tal que pueda descubrir la forma de los objetos. 3. El dibujante prosiga el proceso de desarrollo de sus aptitudes. CONTENIDOS: Preliminares - proyección sobre un plano - punto - rectas - planos - superficies planas - poliedros - cambios - giros - rebatlmientos - desarrollos - cuerpos truncados intersecciones - perspectiva paralela. APLICACIONES: Sistema de representación gráfica de los objetos - proyección sobre un plano proyección: de un punto, de rectas - de planos, de superficies planas, de poliedros, de cuerpos geométricos sobre los 3 planos de proyección - cambios de planos de proyección - giros o rotaciones - rebatimlentos - desarrollo - sólidos y otros cuerpos geométricos.
Fig. 5 1 . R e p r e s e n t a c i ó n d e u n c u b o e n p e r s p e c t i v a c ó n i c a , r e d u c i d o en t o d a s d i r e c c i o n e s , F y F
b) Perspectiva paralela o caballera. Es una representación convencional, en la cual se considera un objeto como visto desde un punto infinitamente lejano, pero de modo que dos caras opuestas quedan paralelas al plano del dibujo y las aristas perpendiculares a éstas toman una determinada dirección oblicua. Fig. 5 2 . Este sistema da una imagen del objeto muy semejante al real, es mucho más sencillo que el anterior y tiene frecuente aplicación en el dibujo técnico.
Fig.
52. Representación
de
un
reducido
108
s o n los
p u n t o s de f u g a .
cubo
en
en
sentido
el
perspectiva de
paralela,
profundidad.
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c) Proyección geométrica ortogonal. (Ortos, recto; gonia, ángulo). En este sistema propiamente técnico los cuerpos que se han de reproducir se imaginan rodeados por tres planos, que se cortan perpendicularmente y sobre los cuales se forman las imágenes por medio de rayos visuales imaginados paralelos. Los tres planos, llamados normales u ortogonales, vienen rebatidos sobre la hoja de papel en dirección de los rayos visuales. Fig. 5 3 .
correspondiéndose con él, su planta o vista por encima; en la parte derecha el perfil lateral izquierdo y al lado izquierdo el perfil lateral derecho. Fig. 5 4 . c
B
Fig. 5 4 . P r o c e d i m i e n t o e u r o p e o de r e p r e s e n t a c i ó n o r t o g o n a l .
Fig. 5 3 . R e p r e s e n t a c i ó n d e u n c u b o e n p r o y e c c i ó n g e o m é t r i c a o r t o g o n a l . A
C u b o v i s t o de f r e n t e y 8
su
p l a n t a . A ' C u b o v i s t o de c a n t o y B' s u p l a n t a .
Este modo de representar los objetos tiene la ventaja de que todas las partes del cuerpo aparecen representadas en sus verdaderas dimensiones.
En la representación americana se supone el objeto colocado en el tercer ángulo diedro y el espectador lo ve a través de los planos de proyección que se suponen transparentes. A l rebatir dichos planos resultará que la planta quedará encima de la proyección vertical o el alzado y las proyecciones laterales se situarán en los lados izquierdo y derecho correspondientes. Fig. 5 5 .
2. Proyección. La proyección de una línea, superficie o cuerpo es pues, el contorno o la sombra que proyectan sobre un plano. Las proyecciones de un cuerpo pueden ser infinitas, según la dirección de los rayos visuales. En la práctica se usa sólo la ortogonal, o según el ángulo recto, que es la que proyecta un cuerpo, trazando, desde todos sus puntos, perpendiculares al plano de proyección. 3 . Planos de p r o y e c c i ó n . Los planos de proyección pueden ser también infinitos, pero se consideran sólo tres principales: el horizontal, el vertical y el de perfil. En su virtud habrá tres principales proyecciones: la proyección horizontal o la planta del objeto, el alzado y la proyección lateral o vista de perfil, que puede ser derecha o izquierda según el plano de perfil esté a la izquierda o a la derecha del alzado. Siendo dichos planos i n definidos, bastará indicar en la hoja de papel sus líneas de intersección, o trazas horizontales y verticales de los planos. La línea de intersección del plano vertical con el horizontal se llama línea de tierra. 4 . D o s p r o c e d i m i e n t o s de representación: europeo y a m e r i c a n o . Prolongando indefinidamente los dos planos coordenados más allá de la línea de tierra, se forman los cuatro ángulos diedros. En la representación europea de un objeto en proyecciones ortogonales se coloca el objeto en el primer ángulo diedro, suponiendo opacos los planos de proyección. Rebatidos los planos el alzado se colocará siempre en la parte superior y debajo, 110
Fig. 5 5 . P r o c e d i m i e n t o a m e r i c a n o d e r e p r e s e n t a c i ó n o r t o g o n a l .
Ventajas muy notables de un sistema sobre el otro no las hay. El procedimiento " a m e r i c a n o " tiene la ventaja de que los cuerpos se representan tal como los ve el observador, sin necesidad de recurrir a una imagen supuesta del objeto sobre los planos de proyección, tal como sucede en el procedimiento " a l e m á n " . Sin embargo, son muchísimos los dibujos ejecutados según este procedimiento, por lo cual, en modo particular en los países europeos, se emplea con preferencia. 111
LAMINA I PROYECCION SOBRE UN PLANO
La proyección ortogonal de un punto sobre el plano de proyección es el pie de la perpendicular, llamada proyectante, bajada desde dicho punto al plano de proyección. La proyección ortogonal de una recta perpendicular un punto.
al plano de proyección es
La proyección ortogonal de una recta cualquiera sobre el plano de proyección es otra recta, resultante de la proyección de los puntos de la primera. La proyección de la recta será de igual o menor longitud, según que dicha recta sea paralela u oblicua al plano de proyección. Lo mismo se diga de las lineas poligonales y curvilíneas. La proyección ortogonal de una superficie o de un cuerpo cualquiera se obtendrá proyectando todos los puntos sobre el plano de proyección y será siempre una figura plana. Problema 1 . Proyección ortogonal del punto A, es el punto a Proyección ortogonal de la recta AB. perpendicular al plano de proyección, es el punto ab. Problema 2 . Proyección de la recta AB, paralela ai plano de proyección, es la recta ab, igual a la recta dada. Problema 3 . Proyección de la recta AB, oblicua al plano, es la recta ab, menor que la primera. Problema 4 . Proyección ortogonal de la línea poligonal ABCDE, paralela al plano, es la línea abcde, igual a la primera. Problema 5. Proyección ortogonal de la curvilínea ABC se obtiene proyectando algunos de sus puntos y uniendo sus proyecciones con trazo continuo. Problema 6. Proyección ortogonal de una superficie curva es otra superficie plana, resultante de proyectar el contorno de la primera. Problema 7 . Proyección ortogonal de una pirámide, es una superficie plana, resultante de proyectar todas las aristas de la pirámide dada. 112
L A M I N A II PROYECCION DEL PUNTO Problema
8.
P r o y e c c i ó n del p u n t o en el p r i m e r á n g u l o d i e d r o .
Un punto puede ocupar en un ángulo diedro cuatro distintas posiciones. 1. El punto A está situado en el plano vertical: este mismo punto será su proyección vertical a' y su proyección horizontal a será situada en la línea de tierra. 2. El punto B está situado en el plano horizontal: este mismo punto será su proyección horizontal, b, mientras que su proyección vertical b' será situada en la línea de tierra. 3. El punto C está situado a cierta distancia de los dos planos de proyección: el punto c será su proyección horizontal y el punto c' su proyección vertical. Las líneas de referencia c'n es la cota del punto y en su alejamiento. 4. El punto D pertenece a la línea de tierra. El mismo punto D es a la vez su proyección vertical y horizontal, siendo su cota y alejamiento nulos. NOTA: al lado del dibujo Problema
9.
en perspectiva,
se representan
los planos
rebatidos.
Proyección del p u n t o en los c u a t r o á n g u l o s diedros.
En el primer diedro: al efectuar el rebatimiento característico, la proyección horizontal del punto A viene a cambiar su posición, quedando en la prolongación de su cota a'n. En el segundo diedro: las proyecciones o y ó ' del punto B, al efectuar el rebatimiento, quedan hacia el mismo lado en línea recta. En el tercer diedro: al efectuar el rebatimiento, las proyecciones c y c del p u n to C quedarán a distinto lado de la linea de tierra, pero en orden inverso al primer diedro. En el cuarto diedro: las proyecciones d y d' del punto D, al rebatir quedarán al mismo lado, debajo de la línea de tierra. NOTA: la designación
de las proyecciones
sobre elPH ¡plano horizontal)
se hará de
este modo a, b, c,... sobre el PV (plano vertical): a', b', c',...
L A M I N A III PROYECCION DE RECTAS SOBRE DOS PLANOS Para construir las proyecciones horizontal y vertical de una recta sobre los planos de proyección, se hacen pasar por dicha recta dos planos proyectantes, perpendiculares a los planos de proyección: la traza del plano proyectante vertical determinará la proyección horizontal y la traza del plano proyectante horizontal determinará la proyección vertical de la recta. En otras palabras: las trazas de una recta contenida en un plano estarán siempre situadas en las trazas del mismo nombre de dicho plano. 114
115
Problema
1 0 . Proyección de la recta AB perpendicular al PH y de la recta CD perpendicular al PV.
La proyección vertical a'b' es la verdadera magnitud de la recta AB; su proyección horizontal es un punto. La proyección horizontal cd es la verdadera magnitud de la recta CD, siendo su proyección vertical un punto. Problema
1 1 . Proyección de la recta AB paralela al PH y oblicua al PV.
La proyección horizontal rebatida es su verdadera magnitud. Problema
1 2 . Proyección de la recta AB paralela al PV y oblicua al PH.
La verdadera magnitud es dada por su proyección vertical a'b'. Problema
1 3 . Proyección de la recta AB
paralela a los dos planos de pro-
yección. Sus proyecciones vertical a'b' y horizontal ab son ¡guales y dan la verdadera magnitud de la recta. Problema
1 4 . Proyección de la recta AB yección.
oblicua a los dos planos de pro-
Es la única de las representadas que no se proyecta con su verdadera magnitud a ninguno de los dos planos, por no ser paralela a ninguno, ni estar en ellos contenida. Problema
1 5 . Proyección de una linea p o l i g o n a l ABCD
paralela al PV.
Las proyecciones horizontales de los segmentos de que consta la están en línea recta.
poligonal
L A M I N A IV PROYECCION DE UN PLANO
Para determinar un plano bastará con conocer dos rectas contenidas en él; o una recta y un punto situado fuera de ella, o bien tres puntos no situados en línea recta. Para representar un plano bastará por lo tanto indicar sus trazas con los dos planos coordenados. Así, por ejemplo, el plano oblicuo del problema 16 corta a los planos de proyección según las dos rectas OM' y ON, llamadas trazas del plano proyectante (P). Efectuado el rebatimiento del plano (P) será representado por sus proyecciones horizontal ON y vertical OM'. He aquí las distintas posiciones que puede tener un plano proyectante respecto a los dos planos de proyección y su representación por medio de las trazas: 116
117
Problema
16.
U n plano oblicuo a los dos planos coordenados: sus trazas son dos oblicuas concurrentes. Problema 1 7 . Un plano paralelo al PH tendrá sólo la traza vertical paralela a la línea de tierra. Problema 1 8 . Un plano paralelo al PV: su única traza horizontal será paralela a la línea de tierra. Problema 1 9 . Un plano perpendicular al PV y oblicuo al PH: sus trazas serán dos rectas concurrentes en un punto de la línea de tierra, perpendicular en el PH y oblicua en el PV. Problema 2 0 . Un plano perpendicular al PH y oblicuo al PV: su traza horizontal será una recta concurrente oblicua y su traza vertical, perpendicular a la línea de tierra. Problema 2 1 . Un plano perpendicular a ambos planos coordenados (plano zas estarán en línea recta y perpendicular a la línea de tierra.
de perfil):
sus tra-
Problema 2 2 . Un plano paralelo a la línea de tierra y oblicuo a los dos planos coordenados: sus trazas serán dos líneas paralelas a la línea de tierra. Problema 2 3 . Un plano oblicuo a ambos planos coordenados y que pasa por la línea de tierra: en este caso, para que quede determinado, se recurre a un plano auxiliar de perfil. Cuando un plano de esta clase divide al ángulo diedro en dos partes iguales recibe el nombre de plano bisector.
LAMINA V LINEAS CONTENIDAS EN UN PLANO Las trazas de una recta contenida en un plano están situadas en las trazas vertical y horizontal del mismo plano. En la lámina anterior se ha visto la representación de las diversas posiciones de un plano respecto a los dos planos coordenados; las rectas contenidas en un plano tomarán las siguientes posiciones respecto a las trazas de su plano: 1. Cuando una recta contenida en un plano es paralela al PH, su proyección horizontal será paralela a la traza horizontal de dicho plano y su proyección vertical será paralela a la línea de tierra. 2. Cuando una recta contenida en un plano es paralela al PV, su proyección vertical será paralela a la traza vertical del plano y su proyección horizontal, paralela a la línea de tierra. 3. Cuando una recta contenida en un plano es oblicua a los dos planos, también sus proyecciones serán oblicuas a las trazas de dicho plano. 118
119
Problema
2 4 . Representación de la recta R. paralela al PH y oblicua al PV.
Se la considera como una intersección de dos planos: M paralelo al PH y N oblicuo. La proyección vertical de dicha recta se halla en la traza vertical del plano M y, por lo tanto, paralela a la línea de tierra; la proyección horizontal es paralela a la traza horizontal del plano N. Problema
2 5 . Representación de dos rectas secantes R y S, c o n t e n i d a s en el plano M: R paralela al PV y S paralela al PH.
La proyección horizontal de la recta R será paralela a la traza horizontal del plano M y su proyección vertical paralela a la línea de tierra. La proyección horizontal de la recta S, al contrario, será paralela a la LT (linea de tierra) y su proyección vertical paralela a la traza vertical del plano M. Problema
2 6 . Representación de la recta R. c o n t e n i d a en el plano M y oblicua a los dos planos.
Sus dos proyecciones r y r' serán también oblicuas a las trazas de dicho plano.
L A M I N A VI , PROYECCION DE LAS SUPERFICIES PLANAS Las proyecciones de las figuras planas, al Igual que las de las líneas se determinan proyectando todos sus puntos a los planos de proyección. En particular, si el contorno de la figura es poligonal, bastará proyectar sus vértices y unirlos con líneas rectas. Si el contorno es curvilíneo, se proyectarán varios de sus puntos, uniéndolos luego con una línea continua. Es importante observar que: 1. cuando la figura proyectante es paralela a un plano de proyección, su proyección sobre dicho plano es otra figura igual a la dada; 2. cuando es perpendicular a un plano, su proyección sobre dicho plano es un segmento rectilíneo; 3. cuando la figura proyectante es oblicua a un plano, su proyección sobre dicho plano, es más o menos reducida, según la oblicuidad de la misma con el plano de proyección. Problema
2 7 . Proyección de un t r i á n g u l o equilátero paralelo al PV y u n o de los lados paralelo al PH.
Como se puede observar en la figura, las perpendiculares trazadas desde los vértices del triángulo al PV, determinan los tres vértices de la proyección vertical, que es igual al triángulo dado; su proyección horizontal, es un segmento rectilíneo igual al lado del triángulo y paralelo a la línea de tierra. Problema
2 8 . Proyección de u n hexágono perpendicular a\PV y paralelo al PH.
Su proyección vertical es un segmento rectilíneo, mientras que la proyección horizontal nos dará su verdadera magnitud. Problema
2 9 . Proyección de un círculo oblicuo al PH.
Su proyección horizontal es una elipse, cuyo eje mayor ab es la proyección del diámetro AB paralelo al plano y cuyo eje menor cd es la proyección del diámetro CD, perpendicular al PV. 120
121
LAMINA VII PROYECCION ORTOGONAL DE LOS POLIEDROS La proyección de los cuerpos sólidos se halla proyectando sus vértices o puntos que determinan su contorno sobre los planos de proyección. Las proyecciones sobre los planos horizontal y vertical se llaman planta y alzado, respectivamente, y la proyección sobre el plano de perfil, vista lateral, que puede ser derecha o Izquierda, según que el plano de perfil esté a la derecha o a la izquierda del alzado. Cuando un cuerpo está paralelo a todos los planos de proyección, todas sus vistas proyectadas sobre los mismos, presentarán forma y dimensiones reales. Cuando, al contrario, está oblicuo a uno o a los dos planos de proyección, sus vistas proyectadas tendrán un tamaño más o menos reducido. El número y clase de vistas necesarias para determinar un objeto, no se puede indicar con una regla general, ya que para ciertos objetos, con dos vistas habrá suficiente, mientras que para otros será preciso no solamente las cuatro, sino que en muchos casos habrá que acudir a las llamadas vistas auxiliares, obtenidas mediante el cambio de los planos de proyección, o bien por variaciones de la posición del objeto mediante giros, como se verá más adelante. Problema 3 0 . Proyección de un prisma triangular sobre dos planos con una cara paralela al PV y con la base sobre el PH, dadas las dos dimensiones: / = lado del triángulo equilátero y h = altura del prisma. Primero se construye el triángulo equilátero como base, luego por medio de las líneas de referencia se traza la proyección vertical como alzado del prisma. Problema 3 1 . Proyección de un prisma recto de base rectangular puesto sobre el PH y con las caras laterales oblicuas al PV, dadas las dos dimensiones de la base m y n y la altura h del mismo. Problema 3 2 . Proyección de un prisma oblicuo cuya base hexagonal descansa sobre el PH y las aristas laterales son paralelas al PV, dadas las siguientes dimensiones: r = lado del hexágono, h = altura y x = grados de inclinación del prisma sobre el PH. Problema 3 3 . Proyección de una pirámide recta cuya base triangular descansa sobre el PH y todas las caras laterales son oblicuas respecto al PV, dado el lado / del triángulo de la base y la altura h de la pirámide. Las aristas ocultas se representan con líneas de trazo grueso. Problema 3 4 . Proyección de una pirámide oblicua cuya base pentagonal descansa sobre el PH y la recta que une el centro de la base con la cúspide de la pirámide es paralela al PV y con una inclinación de x grados respecto al PH, dado el lado / del pentágono y la altura h de la pirámide. 122
123
Problema 3 5 . Proyección del tronco de la pirámide recta cuya base cuadrada descansa sobre el PH y la recta que une el centro de la base con la cúspide de la pirámide es paralela al PV. dado el lado / del cuadrado de la base, la altura h y la altura h' de la pirámide y la inclinación x del plano que la corta. Primero se traza la base, luego el alzado, el plano secante y por medio de las líneas de referencia, la sección del tronco sobre la base. Las secciones de los cuerpos en el dibujo van rayadas con líneas finas de 4 5 ° de Inclinación sobre la línea de tierra. Problema 3 6 . Proyección de un cilindro oblicuo, cuya base descansa sobre el PH y el eje es paralelo al PV, dado el radio r de la base, la altura h y la Inclinación x del cilindro. Los ejes de los cuerpos de revolución y los diámetros de las circunferencias se representan con líneas de trazo y punto. Problema 3 7 . Proyección de un cono recto truncado por un plano secante paralelo al PH. dado el radio r de la base, la altura h del tronco y la altura h' del correspondiente cono. Problema 3 8 . Proyección de una esfera dado el radio r de la misma.
L A M I N A VIII CAMBIOS DE PLANOS DE PROYECCION
Tres principales métodos se emplean en el estudio de las proyecciones: 1. cambios de planos de proyección; 2. giros o rotaciones, y 3. el método de rebatlmientos, el más usado en el dibujo técnico. Hemos visto que la situación de una recta oblicua respecto a los dos planos de proyección queda interminada y que solamente cuando una recta está paralela respecto a un plano, proyectará sobre él su verdadera magnitud. De aquí la necesidad de cambiar ¡os planos de proyección, ya para determinar la verdadera magnitud de las rectas, ya para buscar nuevas vistas de los cuerpos, como puede verse en los problemas adjuntos. Problema
3 9 . Hallar la verdadera m a g n i t u d de la recta AB. c a m b i a n d o el PV.
En este caso la proyección quedará la misma. Para buscar la nueva proyección vertical se traza la LT ¡linea de tierra) paralela a la proyección horizontal de la recta; se levantan perpendiculares indefinidas desde los extremos de la proyección horizontal sobre la nueva LT y a partir de la misma se tomarán las mismas cotas que se fijaron en el primer PV y uniendo los puntos así hallados, tendremos una nueva proyección vertical que determinará la verdadera magnitud de la recta. Problema
4 0 . Hallar la verdadera m a g n i t u d de la recta AB, c a m b i a n d o el PH.
El procedimiento es análogo al anterior. La nueva LT se traza paralela a la proyección vertical de la recta, que queda invariable y sobre las perpendiculares levantadas a la nueva LT se tomarán las mismas cotas que se fijaron en el primer PH.
124
125
Ocurre a veces que para apreciar más claramente un objeto se precisa proyectarlo sobre un plano oblicuo respecto a los planos principales de proyección. T a m bién en este caso se recurre al cambio de los planos de proyección. Problema
4 1 . Dada la planta y alzada de un sólido rectangular en situación oblicua respecto al PH. hallar una nueva p r o y e c c i ó n del m i s m o , m i r á n d o l o en la dirección que indica la flecha. Se traza la nueva LT que forme ángulo recto con la dirección de la flecha y que representará la posición de un nuevo PV en el cual ha de ser proyectado el nuevo alzado. Para esto se levantarán perpendiculares indefinidas desde cada uno de los puntos del sólido a la nueva línea de tierra y a partir de ésta se tomarán las cotas que se fijaron en el primer PV. Uniendo los puntos así obtenidos se tendrá la proyección pedida. Problema
4 2 . Dada la planta y alzada de un t r o n c o de p i r á m i d e cuadrangular, hallar una nueva proyección horizontal m i r á n d o l o en la dirección que indica la flecha.
El procedimiento es análogo al anterior, con la diferencia de que sobre las perpendiculares levantadas a la nueva LT, se tomarán las cotas que se fijaron en el primer PH.
LAMINA IX GIROS 0 ROTACIONES
En el método de giros, en lugar de suponer que el cuerpo quede fijo en su posición en el espacio, como se ha visto en el método de cambio de planos, se admite que los planos coordenados permanecen fijos y que varía únicamente la posición del cuerpo mediante giros convenientemente ejecutados. De este modo se obtienen los mismos resultados que en el método anterior. Los cuerpos pueden colocarse en la posición que se desee, haciéndolos girar alrededor de un eje ¡eje de giro) perpendicular a cualquiera de los dos planos de proyección, describiendo todos los puntos del cuerpo el mismo ángulo de giro. Problema
4 3 . G i r o de una recta paralela al PV.
Suponiendo que la recta AB permaneciendo paralela al PV gira alrededor de un eje que pasa por A, perpendicular a dicho plano, su proyección vertical tomará distintas posiciones en el PV conservando la misma magnitud, mientras que las proyecciones horizontales se hallarán sobre la misma recta. Cuando la recta al girar se coloca en posición paralela al PH, su proyección horizontal tendrá la verdadera magnitud. Del mismo modo se podría efectuar el giro de una recta paralela al PH. 127
Problema
4 4 . Hallar la verdadera m a g n i t u d de la recta AB, oblicua a los dos planos, haciéndola girar alrededor de un eje que pasa por S y es perpendicular al PH.
Se gira hasta colocarla paralelamente al PV, obteniendo la nueva proyección vertical A'B' que es la verdadera magnitud de la recta AB. siendo su proyección horizontal / 4 , f i , paralela a la LT. Problema
4 5 . Hallar la verdadera m a g n i t u d de la recta A B oblicua a los dos planos, haciéndola girar alrededor de un eje de giro que pasa por A y es perpendicular al PV.
Se dará un giro a la recta hasta colocarla paralelamente al PH. dando su nueva proyección horizontal ab, la verdadera magnitud de la misma, siendo su correspondiente proyección vertical paralela a la ¿7".
LAMINA X REBATIMIENTOS Para definir exactamente una superficie o cuerpo no siempre son suficientes sus dos proyecciones, horizontal y vertical, y entonces hay que proyectarla sobre un tercer plano, llamado de perfil, el cual, una vez rebatido sobre el plano vertical u horizontal, permite conocer una tercera proyección que define la figura. Rebatir un plano, como ya se ha visto, significa girarlo generalmente en escuadra, o sea, un ángulo de 9 0 ° alrededor de un eje como bisagra, hasta colocarlo en un plano paralelo al del papel. En los problemas 46 y 4 7 de la lámina puede observarse que las proyecciones horizontal y vertical del cuadrado y del círculo, perpendiculares a los dos planos coordenados son las mismas y solamente la proyección de perfil determina exactamente la figura. El plano de perfil puede ser rebatido tanto sobre el PV, como sobre el PH. Problema 4 8 . Representa precisamente el rebatimiento del plano d e ' p e r f l l de la figura anterior alrededor de su traza horizontal. Cuando una figura es perpendicular a uno de los dos planos coordenados y oblicua al otro, su verdadera magnitud la dará un plano auxiliar paralelo a la figura dada y rebatido sobre el PV o sobre el PH. Problema 4 9 . Proyección de un círculo perpendicular al PH y oblicuo al PV. El rebatimiento del plano auxiliar es efectuado alrededor de su traza vertical. Problema 5 0 . La misma figura rebatida alrededor de la traza horizontal del plano auxiliar. Problema
51.
Proyección de un círculo perpendicular al PV y oblicuo al PH. El rebatimiento del plano auxiliar es efectuado alrededor de su traza vertical. 128
129
Problema 5 2 . La misma figura rebatida alrededor de la traza horizontal del plano auxiliar. NOTA: la designación de las proyecciones sobre el plano auxiliar se hará de este modo: a", b", c", etc., cuando es rebatido sobre el PV; A,, fl C,, e r e , cuando es rebatido sobre el PH. v
L A M I N A XI PROYECCION DE LOS CUERPOS GEOMETRICOS SOBRE LOS TRES PLANOS DE PROYECCION Problema 5 3 . Proyección de un prisma regular hexagonal en la posición normal a los tres planos de proyección, dado el lado r de la base y la altura h del prisma. Primeramente se traza la base, luego por medio de las líneas de referencia el alzado y por f i n , por medio de las líneas y arcos de referencia se construye la vista general. Y en general: dadas dos vistas de un poliedro, siempre tercera vista por medio de las líneas y arcos de referencia.
se podrá
obtener
una
Problema 5 4 . Proyección del prisma de la figura anterior, descansando sobre una cara en el PH y con la base en posición oblicua (60°) respecto al PV. Primero se traza la proyección horizontal y luego las demás proyecciones. Problema 5 5 . Proyección de una pirámide regular de base pentagonal, en posición normal respecto a los planos de proyección, dado el lado / del pentágono de la base y la altura h de la pirámide. Problema 5 6 . Proyección de la pirámide de la figura anterior en posición oblicua (30° de i n clinación) respecto al PH. Primero se traza la proyección vertical y luego las demás proyecciones. Problema 5 7 . Proyección de un tronco de pirámide pentagonal, dado el lado / de la base, la altura h del tronco y la inclinación de x grados (30° en la figura) del plano secante. Primero se traza la base, luego las proyecciones vertical y de perfil de la pirámide primitiva y por último, la proyección de la sección. Problema 5 8 . Proyección de un cilindro en posición oblicua (60° de inclinación) respecto al PH. dado el radio r de la base y la altura h del cilindro. Para determinar mejor las proyecciones elípticas de las bases, se puede dividir la semicircunferencia auxiliar en mayor número de partes ¡guales, obteniéndose así mayor número de puntos proyectados. 130
131
LAMINA XII DESARROLLO DE LOS SOLIDOS GEOMETRICOS El desarrollo de un sólido geométrico consiste en abrirlo por sus aristas y extender todas sus caras sobre un plano, sin rotura ni doblez. E inversamente: dado el desarrollo de un sólido se puede " c o n s t r u i r " dicho poliedro. Problema
5 9 . El desarrollo del t e t r a e d r o .
Se construye un triángulo equilátero cuyo lado sea el duplo de la arista del tetraedro y uniendo los dos puntos medios de los lados por medio de segmentos rectilíneos se obtienen cuatro triángulos equiláteros, iguales a una cara del tetraedro y que juntos representan el desarrollo del mismo. Problema
6 0 . El desarrollo del hexaedro o c u b o .
Bastará trazar seis cuadrados iguales con lado igual a una arista del cubo y disponerlos en la forma indicada en la figura. Problema
6 1 . El desarrollo del o c t a e d r o .
Se trazan ocho triángulos equiláteros ¡guales, con lado igual a una arista del octaedro y dispuestos en la forma indicada en la figura. Problema
6 2 . El desarrollo del d o d e c a e d r o .
Se trazan doce pentágonos regulares e iguales, cuyo lado sea igual a una arista del octaedro y dispuestos en la forma indicada en la figura. Problema
6 3 . El desarrollo del icosaedro.
Se trazan veinte triángulos equiláteros iguales, cuyo lado sea igual a una arista del icosaedro y dispuestos en la forma indicada. Estos cinco sólidos se llaman cuerpos regulares. NOTA: por falta de espacio su desarrollo no corresponden.
las dimensiones
del sólido
en perspectiva
y las de
L A M I N A XIII DESARROLLO DE OTROS CUERPOS GEOMETRICOS Problema
6 4 . El desarrollo del prisma hexagonal.
Se trazan seis rectángulos iguales a las seis caras laterales y dos hexágonos iguales a las bases del prisma, dispuestos en la forma indicada. Problema
6 5 . El desarrollo de la p i r á m i d e p e n t a g o n a l .
Se traza un arco con centro en O y radio igual a la arista lateral de la pirámide; sobre dicho arco se trazan cinco cuerdas consecutivas e iguales al lado del pentágono regular, quedando así desarrollada la superficie de la pirámide. 132
133
Problema
7 0 . El desarrollo de la p i r á m i d e hexagonal t r u n c a d a .
El procedimiento es análogo al anterior y de fácil interpretación. Las secciones oblicuas del cilindro y del cono se determinan mediante las proyecciones de varios de sus puntos, unidos con un trazo continuo. Su desarrollo se hará en la misma forma que el del prisma y el de la pirámide.
L A M I N A XV INTERSECCIONES DE SUPERFICIES Para dibujar cuerpos compuestos de otros sencillos es preciso determinar las líneas de intersección que forman las superficies de contacto de dichos cuerpos, las cuales se obtienen hallando las intersecciones de sus partes y uniéndolas convenientemente. Dichas intersecciones serán líneas quebradas o alabeadas según la clase de los cuerpos. Además, la intersección de los cuerpos puede realizarse por penetración (Fig. 72), esto es, cuando una de las superficies atraviesa a la otra totalmente, quedando la línea de intersección desdoblada en dos independientes, llamadas de entrada y de salida; o bien por mordedura (Fig. 71), cuando parte de una superficie no es cortada por otra, siendo la línea de intersección continua. De muchos y complicados problemas relacionados con las intersecciones de superficies, materia de un estudio detenido, damos por ahora sólo unos pocos ejemplos. Problema 7 1 . Intersección de dos prismas, uno hexagonal y otro rectangular por mordedura. (Para determinar las intersecciones habrá de reunir una tercera vista). Problema 7 2 . Penetración de un cubo con un cilindro en distintas posiciones. Problema 7 3 . Intersección y desarrollo de dos cilindros de distinto diámetro y cuyos ejes se cortarán en ángulo recto. Convendrá seguir el siguiente orden: se traza primero la proyección vertical de frente, menos la curva de Intersección; debajo la correspondiente proyección horizontal y luego la lateral a la derecha. El círculo de la proyección lateral se divide en un número de partes iguales, doce por ejemplo, proyectando los puntos de división sobre las otras vistas, obteniendo así en la proyección vertical varios puntos, que unidos darán la mitad de la curva de intersección, quedando otra mitad semejante en la parte del sólido que queda oculta a la vista. Para desarrollar la línea de intersección se traza una horizontal, igual a la longitud del círculo que se ve en la vista lateral, se divide en doce partes iguales, levantándose desde los puntos de división perpendiculares indefinidas, sobre las cuales se tomarán las distancias la, 2b, 3c, etc., de la proyección vertical, en la forma que indica la figura. Problema 7 4 . Intersección y desarrollo de dos cilindros, cuyos ejes se cortan oblicuamente, formando un ángulo de 65°. El procedimiento es análogo al anterior. 138
139
LAMINA XVI PERSPECTIVA PARALELA
Ya se ha dicho al principio en qué consiste la representación de los objetos en perspectiva paralela o caballera. Damos a continuación las principales reglas de la misma. 1. Se dibuja la cara principal del objeto en su verdadera magnitud, proyectándola sobre un plano paralelo a dicha cara. 2. Las proyecciones de perpendiculares a la cara principal se representan con oblicuas, formando una inclinación conveniente, generalmente de 4 5 ° a 3 0 ° con la linea horizontal. 3. La longitud de dichas oblicuas se reduce en una proporción constante, llamada razón de reducción y que generalmente es de un tercio, un medio o dos tercios. Problema 7 5 . Trazado de la perspectiva paralela de un cuadrado. A n g u l o de las lineas de huida 45°; razón de reducción 0,5. El resultado es un romboide. Problema 7 6 . Trazado de la perspectiva paralela de una circunferencia. El resultado es una elipse. Trazada la perspectiva paralela del cuadrado circunscrito a la circunferencia, se buscan los ejes de la elipse de la siguiente manera: desde el extremo del diámetro AB se baja una perpendicular al diámetro MN, tomando sobre ella a partir de A la distancia AC, igual a la mitad de MN. Con OC como diámetro se describe una circunferencia auxiliar. La recta que pasa por A y D, centro de la circunferencia auxiliar corta a la misma en los puntos £ y F. Las rectas OF y OE dan la dirección del eje mayor y del eje menor respectivamente, siendo el segmento AE el semieje mayor y el segmento AF, el semieje menor. Para la inclinación de 4 5 ° de las líneas de huida y reducción de 0,5 el eje mayor de la elipse forma un ángulo de 7 3 0 ' con uno de los diámetros conjugados de dicha elipse. o
Problemas 7 7 , 7 8 , 7 9 y 8 0 . Representan cuatro piezas sencillas en perspectiva caballera. Problemas 8 1 , 8 2 , 8 3 , 8 4 , 8 5 , 8 6 y 8 7 . Otras piezas en perspectiva caballera.
140
141
CUARTA PARTE
PERSPECTIVA ISOMETRICA OBJETIVOS: 1. El Dibujante conozca y aplique los conceptos de la perspectiva isométrica. 2. Se ejercite en una metodología de trabajo que facilite el aprendizaje. 3. Complemente el desarrollo de sus aptitudes. CONTENIDOS: 1. Descripción de la perspectiva isométrica. 2. Obtención de algunas perspectivas isométricas. 3. Planos isométricos. 4. Curvas. 5. Perspectiva isométrica. APLICACIONES: Ejercicios de perspectiva isométrica.
142
L A M I N A XVII
Cuando una pieza tiene tres planos o aristas no isométricas es necesario dibujarlas por medio de métodos de coordenadas, tomando como base los ejes isométricos bajando perpendiculares de cada punto a un plano isométrico de referencia. Estas perpendiculares quedaron definidas por dimensiones señaladas en las vistas de la pieza.
PERSPECTIVA ISOMETRICA Una proyección a perspectiva es isométrica cuando las dimensiones del modelo en sus tres direcciones principales (altura, ancho, profundidad) se dibujan utilizando la misma escala. Para ello se requiere una colocación especial del cuerpo con relación al plano de proyección, de tal modo que la forma del efecto producido por la proyección sea el mismo para las tres dimensiones tomadas en las tres direcciones ya citadas. Partiendo de un cubo como elemento o modelo más simple se ve fácilmente que su perspectiva isométrica se hallará dibujando su proyección de tal forma que la diagonal que une dos vértices opuestos sea perpendicular al plano de proyección.
G
Las curvas situadas sobre vistas aparecerán con elipses situadas en los planos isométricos. Existen varios métodos aproximados en un dibujo, los cuales Indicamos en la figura.
La perspectiva isométrica de un prisma rectangular se obtiene con tres aristas concurrentes en vértice y se llaman ejes isométrlcos. Que forman ángulos ¡guales de 1 2 0 ° .
Cuando se desea mostrar parte inferior de una pieza se recurre a la perspectiva isométrica invertida cuyo dibujo se realiza de igual forma pero teniendo en cuenta el cambio de orientación de los pianos isométricos principales.
Las rectas o aristas paralelas a los ejes isométrlcos se llaman isométricas y se cortan en la perspectiva bajo ángulos de 60° ó 120°, según sea su posición. Los planos paralelos a los formados por los ejes isométrlcos se llaman planos isométricos. A l dibujar perspectivas isométricas, solamente pueden tomarse medidas sobre rectas o planos isométricos. 144
INVERTIDO 145
146
APENDICE
PRINCIPALES FORMULAS DE GEOMETRIA QUE COMPLEMENTAN LOS CALCULOS DEL DIBUJO
Dibujo
Longitudes sn «I t r i á n g u l o rectángulo (Teorema de Pitágoras)
Cuadrado
Símbolo
Magnitud
Hipotenusa
mm, cm, m
Catetos
m m , cm, m
h
2
= l
+ l
3 2
3 2
Longitud lateral
m m , cm, m
I =
Medida entre vértices
m m , cm, m
fr= V 2 • I
Area
mm , cm , m
Circunferencia
mm, cm, m
1
J
2
n/A
A= I
2
A = 0,5 • e
2
U = 4 • I
Rectángulo
m m , cm, m
e= V I + b
Ancho
Longitud
m m , cm, m
A= I • b
Medida entre vértices
m m , cm, m
U = 2 • (I + b)
Area
mm , cm , m
Circunferencia
m m , cm, m
2
2
2
2
2
Geometría
Dibujo
Símbolo
Paralelogramo
Geometría Dibujo
Fórmula
Magnitud
Longitud
m m , cm, m
A
Longitud del lado
mm, cm, m
U = 2 • (I, + Ijí
= I, •
Circulo
b
oblicuo
Trapecio
i. 3
u
Ancho
mm, cm, m
Area
mm , cm , m
Circunferencia
m m , cm, m
Longitud
mm, cm, m
A
= I •
Ancho
m m , cm, m
U
= 4 • I
Area
mm , cm , m
Circunferencia
mm, cm, m
Longitud mayor
m m , cm, m
Longitud menor
mm, cm, m
Longitudes de los
mm, cm, m
A
=-¡4-!l 2
m m , cm, m
A
=
m m , cm, m
U
* I, +
Ancho Area
2
mm , cm , m 3
2
Circunferencia
m m , cm, m
Longitudes
m m , cm, m
Ancho
m m , cm, m
Area
mm , cm , m
Circunferencia
m m , cm, m
Angulos del triángulo
Polígono regular
2
2
2
2
0
2
A n i l l o da c i r c u l o
b
d
lm •
Sector de anillo de círculo
b
h + l + I. 3
2
m d
U
2
(Grado)
= I, + I, + l
a
+ (3 +
I
= D • sen
Diámetro del círculo inscrito
m m , cm, m
D
= Vd
Diámetro del círculo circunscrito
m m , cm, m
Ancho
m m , cm, m
Angulo de centro
0
+ I
m
3
y = 180°
mm, cm, m
2
Diámetro
m m , cm, m
Radio
m m , cm, m
Area
mm , cm , m
Circunferencia
mm, cm, m
Diámetro interior
mm, cm, m
Diámetro exterior
m m , cm, m
2
A = ir • 2
(?)
A r c o de c i r c u l o
2 d
0
0
(Grado)
- 180°-
m m , cm, m
dm
= D -
L =
7T •
Longitud recta
mm, cm, m
A
=JL-
Area
mm , cm , m
Diámetro interior
m m , cm, m
Diámetro exterior
mm, cm, m
2
Circunferencia
mm, cm, m
r
Diámetro medio
m m , cm, m
Ancho
m m , cm, m
d L
• (DÍ - d ) 2
«
dm •
b
d + D
d
d
b dm
4
1
m
m
= d +
b
=D -
b
-
*
a *
d
2
i • d 4
a
360° Angulo interior
0
Longitud recta
mm, cm, m
Area
mm , cm , m
Diámetro
m m , cm, m
Radio
m m , cm, m
Angulo de centro
0
Longitud de arco
m m , cm, m
(Grado)
2
4n* • • 3 6a0 °
2
~ •
d m *
mm, cm, m
r •
360° jr • r • a 180°
180°
Longitud de arco
m m , cm, m
Area
mm , cm , m 2
2
b •
360°
tt •
(Grado)
' (Grado)
2
2
2
Angulo interior
• (D - d )
360°
ir m d • o
ñ
vértices 2
= d + b
m m , cm, m
a
|n - 2) •
Número de
mm , cm , m
m
Ancho
2
1
d * D
m m , cm, m
Area
r
U = » • d
_360° n
(Grado)
2
2
Diámetro medio
Sector de c i r c u l o
0
Fórmula
.b
Longitud lateral
Angulo entre vértices
Magnitud
2
lados oblicuos Longitud media
Triángulo
2
Símbolo
2
4 • 360°
2
a
O
2
Geometría
Dibujo
Símbolo
S e g m e n t o d e circulo
Magnitud
Fórmula
Diámetro
Radio
Dibujo
Cubo
m m , cm, m
A n g u l o interior
1
Sfm bolo
Magnitud
/
2 « r « b - b
m m , cm, m mm , cm , m
Superficie lateral
mm , cm , m
Volumen
mm , cm , m
Longitud
m m , cm, m
Ao = 2 » ( l « b + l « h + b « h )
Ancho
m m , cm, m
A
Altura
m m , cm, m
A " l« b
Superficie total
mm , cm , m
2
r • l
B
- I •
í r - b)
m m , cm, m
mm , cm , m 2
L o n g i t u d e s en t r i á n g u l o s semejantes (Ecuaciones de relación)
li.li
2
2
2
2
3
A„ = 4 • I
2
V= I
2
3
2
3
3
mm, cm, m
Longitud de
2
Eje menor
m m , cm, m
Eje mayor
m m , cm, m
2
Semieje menor
m m , cm, m
Semieje mayor
m m , cm, m
Area
m m , c m , nv
Circunferencia
Fórmula
Superficie total
cuerda
Elipse
Unidad
Longitud lateral
(Gradoí l = 2 « v
Longitud de arco
Estereométria
2
A
= —3
• I • b
A = -
A =
T
Superficie lateral
mm , cm , m
Area de base
mm , cm , m
Volumen
mm , cm , m
Longitud
m m , cm, m
2
Longitudes
m m , cm, m
Longitudes
m m , cm, m
2
2
2
2
3
3
V = I • b • h
2
V = A»
2
h
2
3
m m , cm, m
2
m m , cm, m
2
= 2 • h • (I + b)
• r • R Pirámide con base cuadrada
U
2
M
= ir • (r + R)
A
Altura de la superficie lateral
m m , cm, m
A, = I • 2 t | .
Longitud de la superficie lateral
mm, cm, m
A„ = 2 • I •
Superficie total
-Jli
Superficie lateral
mm , cm , m 2
2
2
mm , cm , m 2
A = l
2
2
2
2
l .
h
!
Area de base
mm , cm , m
Volumen
mm , cm , m
3
3
3
A • h L o n g i t u d e s y ángulos en triángulos rectángulos (Funciones trigonométricas!
Hipotenusa Catetos
Angulos
m m , cm, m
0
Tronco de pirámide con base y tapa de formas cuadradas
(Grado)
sen
¡i
eos
¡i
tan
jl -
col (i =
3
3
3
I, * \
Longitud del lado de base
2
Altura
mm, cm, m
A, n =
Longitud media
m m , cm, m
A
Longitud del lado de tapa
m m , cm, m
Area medía
mm , cm , m
Area de base
mm . cm , m
Area de tapa
mm , cm , m
Volumen
mm , cm , m
2
2
2
3
2
2
2
3
L
2
=V
Aj = ',» 2
2
2
3
V = A V
m
• h
•*•«*
h,
h,
Estereométria
Dibujo
Cilindro
Slm bolo
Magnitud
m m , cm, m
A o = * r » d « h + 2»
Radio
m m , cm, m
A
mm, cm, m mm , cm , m
Superficie lateral
mm , cm , m
Area de base
mm , cm , m
2
Volumen
Cilindro hueco
2
2
3
Diámetro interior
m m , cm, m
Diámetro exterior
m m , cm, m
Altura
.
m m , cm, m
Diámetro menor
mm, c m , m
1=
Altura
mm, cm, m
AQ= A,
Radio mayor
m m , cm, m
A
Radio menor
m m , cm, m
A =
Diámetro medio
h
Altura de la superficie lateral
• r • h
Superficie total
mm , cm . m
Superficie lateral
mm , cm , m
Area media
mm , cm , m
Area de base
mm , cm , m
Area de tapa
mm , cm . m
Volumen
mm , cm , m
Diámetro
m m , cm, m
Radio
m m , cm, m
2
3
V =
ÍT
2
D + d 2
m m , cm, m
d
- D - b
m
Ao
A
m m , cm, m
=
—•
T
(D - d ) + 2
2
• h • (D + d)
Volumen A •
m m , cm, m
ir • d
• b
m
Segmento
Diámetro
esférico
Cono
2
Superficie lateral
mm , cm . m
Area de base
mm , cm , m
Volumen
mm , cm , m
2
2
3
2
2
3
• (D - d )
J
2
2
V=
2
V = A»
3
V»
a-• d
m
1= ' r * h
Altura
mm, cm, m
Ao =
Radio
m m , cm, m
Ao
v
m m , cm, m mm , cm , m 2
2
A
2
M
J
7T
M
• b • h
+ h * r) 2
=-
Vr
= f • r«
A n i l l o con sección de círculo 2
* h
2
2
mm , cm , m 2
2
Area de base
mm , cm , m
Volumen
mm , cm , m
2
3
2
3
M
* r, • I * r,
22
2
4
2
2
7T»
2
d d
• d • I
2
=
ir • d 2
• d
3
3
3
2
4 JT
O,
1
2
2
3
2
4
2
2
2
3
• d,
7T
2
2
• (d, + d )
2
2
1
3 a
B*
3
"
3
2
"
2
d
h
• (d, *d 2
+ di.d )
3 2
2
2
• r
• JT
mJL . d
V
2
1
*•
Ao =
Ag = 4
mm , cm , m 3
3
3
2
3
V =
•ir
•
r
3
3 mm, cm, m
Radio
mm, cm, m
Altura
mm, cm, m
Diámetro del segm. esférico
mm, cm, m
AQ = A
Superficie total
mm , cm , m
Superficie lateral
mm , cm , m
2
2
2
2
TT
=
M
a h • (4 •
2 a
TT
r-h)
• r • h
2
3
A . h 3
Area de base
mm , cm , m
Volumen
mm , cm , m
Diámetro del anillo Diámetro exterior
mm, cm, m
d m = d¡ - d,
mm, cm, m
d
2
2
3
3
2
\ T /
i
y
7
Diámetro interior
m m , cm, m
Diámetro medio
m m , cm, m
Sección del anillo
mm , cm , m 2
2
Superficie
mm , cm , m
Volumen
mm , cm , m
2
3
2
3
/l
2
h
m
.
= d _
2
*"e)
+ di
2
d
h \
2
" '• *(e
v
3
2
2 Superficie lateral
2
t r a I • (r, * ri)
2
• r • (y/r*
ÍT A
2
h
m m , cm, m
Superficie total
2
M
2
i r » h • (R - r »
2
Diámetro
Altura de la superficie lateral
A
Superficie
Jr • h • (D + d)
=
M
Diámetro medio
2
+
2
mm, cm, m
1
mm , cm , m
t A
= rr#
0
A
mm , cm , m
Superficie total
2
dh = d + b
Esfera
Espesor de pared
vV+í/, - r )
M
m m , cm, m
w • d • h
2
Radio interior
Radio exterior
d, » dj
Diámetro mayor
2
mm , cm , m 3
Magnitud
2
w 2
3
^¡—
V = A* 2
d
T«
A
2
T r o n c o de c o n o
= rr • d • h
M
=
Superficie total
Slmbolo
Dibujo
Fórmula
Diámetro
Altura
Estereométria
a
* d.
2 r • d,
2
AQ
= r
• d
2
2
V = r a d
3
V
M
2
•
T
d
m
• S
• d,
=——=í- •T. d T
4
2
m
