UNIVERSIDAD AUTÓNOMA SAN FRANCISCO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
DISEÑO GRÁFICO GRÁFICO CURSO: PROYECCIONES AXONOMETRICAS AXONOMETRICAS
PRESENTADO POR: GINO GUTIÉRREZ VILLANUEVA
DOCENTE:
AREQUIPA – 2015 20 15
ÍNDICE RESUMEN................................. RESUMEN........................................................ .............................................. .............................................. ......................................... ..................33 INTRODUCCIÓN................................ INTRODUCCIÓN....................................................... .............................................. .............................................. ...............................4 ........4 1. DEFINICIÓN DEFINICIÓN..... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............ ...............5 ........5 2. ELEMENTO ELEMENTOS S DEL SISTEMA SISTEMA DE PROYECCIÓ PROYECCIÓN..... N.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... .........5 ...5 3. PROPIEDAD PROPIEDADES.. ES....... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... .........5 ...5 4. COORDENA COORDENADAS DAS Y ESCALAS.. ESCALAS....... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .............. .................. .............5 ....5 5. CARACTER CARACTERÍSTIC ÍSTICAS AS DE LA PROYECCIÓN PROYECCIÓN AXO AXONOMÉT NOMÉTRICA.. RICA.......... .................. .............6 ...6 6. MÉTOD MÉTODOS OS DE CONSTR CONSTRUCC UCCIÓN IÓN EN PROYE PROYECCI CCIÓN ÓN AXON AXONOMÉ OMÉTRI TRICA.... CA........6 ....6 . FUNDAMENT FUNDAMENTAC ACIONES IONES DEL DEL SISTEMA SISTEMA AXO AXONOMÉT NOMÉTRICO.. RICO....... .......... .......... .............. ............. .... !. TIPOS DE PERSPECT PERSPECTIV IVA A AXO AXONOMÉ NOMÉTRICA. TRICA...... .......... .......... .......... .......... .............. ................... ...................! .........! !.1. P"#$%&&'() *+#)#,-"'&* #"#/#)*0................................. #"#/#)*0........................................................ .......................................! ................! !.2. P"#$%&&'() *+#)#,-"'&* #0'&*......................................................................... #0'&*.........................................................................13 13
CONCLUSIONES BIBLIOGRÁFICAS
RESUMEN
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PROYECCIÓN AXONOMETRÍCA 1. DEFINICIÓN
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3. PROPIEDADES
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4. COORDENADAS Y ESCALAS
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5. CARACTERÍSTICAS DE LA PROYECCIÓN AXONOMÉTRICA
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7. FUNDAMENTACIONES DEL SISTEMA AXONOMÉTRICO
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BIBLIOGRAFÍA
C*""*)@*9 A. )royecci'n *+ono$trica. U)';%"'8*8 N*&'#)*0 8% R#*"'#. A"/%)')* W*""$ O%". Estudio de la -eo$etra D%&"'';*. N'�* L*"".1!4. /cnicas del dibu0o. P*"*)')7#. 3 %8'&'().
