Determinarea suprafeţelor. 1. Generalitati.
Suprafaţa reprezintă in cadastru un element de identificare a unui teren, respectiv a unei parcele, alături de număr şi de proprietar. Stabilirea mărimii ei constituie o problemă topografică curentă şi, uneori, obiectivul principal al ridicării. Indiferent de relief pe planuri se reprezintă şi valoric se dă întotdeauna suprafaţa productivă, utilă construcţiilor, respectiv suprafaţa terenului proiectată în planul orizontal de referinţă. În principiu, ca metode de determinare a suprafeţelor pe planuri şi hărţi se cunosc următoarele: -
numerică;
-
grafică;
-
mecanică;
2. Metoda numerică.
Se utilizează pentru suprafeţe cu un contur regulat. Se bazează pe relaţii matematice aplicabile figurilor geometrice. 2.1 Determinarea suprafeţelor utilizând relaţii geometrice.
Se consideră un
poligon care poate fi descompus în triunghiuri (Figura 14.23). În aceste triunghiuri se pot determina fie toate laturile, fie laturi şi înălţimi. În acest caz se pot aplica următoarele relaţii: S
=
p( p
a )( p
−
b)( p
−
c)
−
În care: p
=
+
(a
+
b 2
c)
şi este considerat semiperimetrul triunghiului respectiv, iar a, b şi c sunt laturile riunghiului. De asemenea, S
BI =
2
în care B este baza, iar I este înălţimea triunghiului. 2.2 Determinarea suprafeţelor utilizând relaţii trigonometrice.
Se consideră cunoscute atât laturi cât şi unghiuri ale triunghiurilor. Relaţiile de determinare: S
=
(
ab 2
) sin C
(
=
bc 2
) sin A = (
ac 2
) sin B
în care a, b şi c sunt laturile triunghiului iar A, B şi C sunt unghiurile triunghiului. 2.3 Determinarea suprafeţelor prin metoda analitică.
Aceasta metoda utilizează în calcule coordonatele punctelor pe contur al triunghiului, respectiv ale poligonului. Este cea mai precisă metodă de determinare a suprafeţelor, atunci când coordonatele sunt determinate prin măsurători in teren. Se calculează analitic suprafaţa poligonului ale carui varfuri au fost numerotate in ordine astfel (Figura 1):
Fig 1. Determinarea suprafeţelor prin procedeul analitic
Relatiile generalizate pentru un poligon cu un numar oarecare de laturi vor fi: 2S = ∑X i (Yi
1
+
−Yi
1
−
)
sau 2 S = ∑Yi ( X i +1 − X i −1 )
2
Formula se pretează la programe pe calculator. Pentru cazul reprezentat in figura 1 in cazul punctului 5, termenul i + 1 este punctul 1 (punctul care urmează). La fel pentru punctul 1, termenul i - 1 îl reprezintă punctul 5 (punctul dinainte). 3. Metoda grafică.
Aceasta metoda nu este foarte precisă. Depinde de scara planului de pe care se determină elementele. Cu cât scara planului este mai mică, cu atât precizia determinării suprafeţelor este mai mare. De asemenea, determinările trebuie să fie efectuate de două ori, pentru control. 3.1. Descompunerea suprafeţelor în figuri geometrice
În principiu, funcţie de tipul suprafeţelor de determinat se disting două metode: descompunere în figuri geometrice simple (pentru suprafeţe regulate) şi aproximarea în trapeze şi pătrate a suprafeţelor curbe.
b Figura 2. Determinarea grafică a suprafeţelor:a - prin descompunere în triunghiuri; b - prin descompunere în trapeze şi triunghiuri
3
3.2 Metoda paralelelor echidistante.
Se aplică suprafeţelor neregulate curbe şi prelungite (Figura 3). Pe o foaie transparentă (calc, astralon, etc) se desenează linii paralele şi echidistante. Foaia transparentă se suprapune peste suprafaţa de determinat. Se măsoară toate laturile notate cu bi. Echid istanţa a se determină de asemenea. Se consideră că figura rezultată între două baze (bi, bi+1 sau bi-1) este un trapez cu bazele b şi înălţimea a. Suprafaţa totală rezultă din însumarea suprafeţelor tuturor trapezelor: S
=
a
b1
+
2
b2
+
a
b2
+
2
b3
+
............a
bn
1 +
−
bn
2
Considerând că b1 şi bn sunt egale, se poate scrie: S =a
∑b
i
Figura 3. Metoda paralelelor echidistante
După cum se observă, la capete rămân două triunghiuri care se calculează şi adaugă separat. Este foarte important ca a şi bi să fie exprimate în distanţe reale la teren şi nu în milimetri la scara planului. Este mai dificil de transformat ulterior. 3.3 Metoda pătratelor module . Se aplică suprafeţelor neregulate, curbe, de formă rotunjită. Ca şi în cazul precedent se desenează pe o foaie transparentă o reţea de pătrate cu latura a (Figura 4). Se suprapune foaia transparentă pe suprafaţa de determinat. Conturul suprafeţei va intersecta anumite pătrate, iar alte pătrate, întregi, se vor afla în interiorul suprafeţei de determinat.
4
Figura 4. Metoda pătratelor module
Metoda de determinare este simplă, dar puţin precisă. Se numără pătratele întregi şi se notează cu n. De asemenea se apreciază numărul pătratelor aproximate (intersectate de suprafaţa de determinat), n'. Suprafaţa finală: S
=
a
2
( n + n' )
4. Metoda mecanică.
Aceasta metoda utilizează pentru determinarea suprafeţelor un instrument denumit planimetru. În accepţia clasică se foloseşte planimetrul mecanic, iar în accepţia modernă planimetrul electronic. Planimetrul se utilizează pentru determinarea suprafeţelor cu contur sinuos. Planimetrul clasic este de mai multe feluri: polar, cu disc, cu role, liniar, automat, etc. În cursul de faţă va fi descris planimetrul polar. Acesta este compus din două braţe: braţul polar P şi braţul trasor T, care se mai numeşte şi braţul căruciorului. Cele două braţe se întâlnesc în punctul O (Figura 5). Braţul polar P are lungime fixă, iar la un capăt are o greutate. Această greutate se numeşte pol şi rămâne fix în timpul planimetrării. Punctul O, de intersecţie a celor două braţe, împarte lungimea braţului trasor în două: L şi l. Lungimea L este reglabilă în funcţie de scară. La un capăt are un stilet (D) care urmăreşte conturul suprafeţei de determinat. La celălalt capăt este amplasată o rotiţă care se roteşte în funcţie de deplasarea braţului trasor. Rotiţa este cuplată la un contor de înregistrare (Figura 5 b).
5
La determinarea suprafeţelor, acestea se asimilează cu un dreptunghi care are ca laturi circumferinţa parcursă de rotiţa înregistratoare şi lungimea L a braţului trasor. S = n ( rL )
În care: n este numărul rotaţiilor rotiţei înregistratoare; r este circumferinţa rotiţei înregistratoare.
b
Figura 5. Planimetrul polar: a - schema de alcătuire; b - detaliu de cărucior; P braţ polar; T - braţ trasor; O - articulaţie; s - stilet; C p -- pol; R - ruletă integratoare; V dispozitiv de citire (vernier); contor.
Valoarea rL este diferită în funcţie de lungimea L a braţului trasor şi scara planului de pe care se determină supraf aţa. De obicei se notează cu Ks. De asemenea, n, numărul rotaţiilor nu este de obicei un număr întreg. Se calculează exact prin citirea gradaţiilor la contorul de înregistrare a rotiţei înregistratoare la pornirea în planimetrare (CI) şi la sfârşitul planimetrării (C2). Astfel, formula de determinare a suprafeţei devine:
6
S = KS(C2-C1)
Pentru determinarea efectivă a suprafeţelor se parcurg două etape. Prima este determinarea constantei planimetrului, Ks, utilizând o suprafaţă cunoscută: KS
=
S C2
−
C1
În care: -
S este o suprafaţă cunoscută (un cerc cu raza cunoscută);
-
(C2 - C1) citirile la contorul rotiţei înregistratoare la pornirea în
planimetrare şi la terminarea planimetrării pentru suprafaţa cunoscută. Planimetrarea se poate efectua cu polul planimetrului situat în interiorul suprafeţei de planimetrat sau în exteriorul suprafeţei de planimetrat. Formula este valabilă pentru suprafeţe determinate cu polul în exterior. Pentru suprafeţele determinate cu polul în interior, formula devine: S = (C ± n ) K S
Bibliografie: 7
Tamaioaga, GH., Tamaioaga, D., “Cadastru general si cadastre de specialitate”, Ed. MATRIX ROM, Bucuresti 2005, Moca, V., “Topografie si cadastru”, 2002, Paunescu, V., “Curs Geodezie-Topografie”, 2008
8
