Descripción: Interpretación estadística de la función de onda
DETERMINAR COS'sDescripción completa
Descripción completa
Descripción: Determinación de La Longitud de Onda Óptima
Determinar los frentes de onda de la radiación expresada por:
RESPUESTA 1
Teniendo en cuenta que se verifica:
podemos escribir:
y se trata de una onda esférica de amplitud 1/(x2+y2 cuyas superficies de onda vienen determinadas por la ecuación: !(x 2+y2 " cte# $robar como soluciones de la ecuación de ondas unidimensional funciones de la forma:
%ncontrar como &an de ser dic&as funciones de las variables 'nicas x y t escribiendo entonces la solución eneral# RESPUESTA 2
)a ecuación de ondas unidimensional es :
%scribiendo la función de ondas en la forma expresada en el enunciado y diferenciando:
1
*ustituyendo los valores anteriores en la ecuación eneral tenemos:
que también se puede escribir:
puesto que cada miembro se refiere a una variable distinta ambos deben ser iual a un valor real constante# ,btenemos se'n eso dos ecuaciones diferenciales de la forma:
cuyas soluciones son:
,perando con estas dos soluciones encontramos que la solución eneral ser-
si la exponencial se &ace infinita cuando tiende a infinito pero para que esta expresión tena sentido f.sico como onda debe conservar su amplitud finita por lo que dic&o valor no es v-lido# Toma Tomamos mos entonces a " 02
con lo que la solución ser-:
y si si &ac &acem emos os ! " 0/v 0/v " plana:
obt obten enem emos os la expr expres esió ión n con conoc ocid ida a de de una una onda onda
2
*ustituyendo los valores anteriores en la ecuación eneral tenemos:
que también se puede escribir:
puesto que cada miembro se refiere a una variable distinta ambos deben ser iual a un valor real constante# ,btenemos se'n eso dos ecuaciones diferenciales de la forma:
cuyas soluciones son:
,perando con estas dos soluciones encontramos que la solución eneral ser-
si la exponencial se &ace infinita cuando tiende a infinito pero para que esta expresión tena sentido f.sico como onda debe conservar su amplitud finita por lo que dic&o valor no es v-lido# Toma Tomamos mos entonces a " 02
con lo que la solución ser-:
y si si &ac &acem emos os ! " 0/v 0/v " plana:
obt obten enem emos os la expr expres esió ión n con conoc ocid ida a de de una una onda onda
2
allar la perturbación resultante de componer n perturbaciones planas cuyas amplitudes decrecen en proresión eométrica de ra3ón 4 1 y cuyas fases var.an en proresión aritmética de ra3ón # 5alcular el valor de la intensidad# RESPUESTA 3
)a expresión eneral de una perturbación plana es:
y para cada una de las perturbaciones que &emos de considerar tenemos:
de donde resultar-:
y esto es as. porque los términos entre corc&etes representan la suma de n términ términos os de una una prore proresió sión n eométr eométrica ica de de ra3ón ra3ón #exp #exp(i# (i# # )a intensidad de la perturbación resultante vendr- dada entonces por:
%ncontrar por el método r-fico y por c-lculo directo la perturbación resultante de superponer las perturbaciones:
%studiar los resultados en cada caso calculando la separación entre puntos
3
consecutivos de amplitud cero (nodos RESPUESTA 4
$ara el primer caso tenemos:
y resulta la ecuación de una onda estacionaria# $ara un instante t determinado su amplitud vale 2#6#cos (!x# *u representación r-fica es similar a la que se detalla en el esquema ad7unto# )os nodos son aquellos puntos en los que la amplitud es nula# %sto es: 2#6#cos(!x " 8 !x " x" !"
por ser
$ara el seundo caso podemos escribir:
y tenemos de nuevo una onda estacionaria (su perfil no se mueve en el espacio cuya representación r-fica es similar a la ad7unta y para cuyos nodos tenemos: sin(!x " 8 !x " x"
4
)os esquemas inferiores nos dan la resultante para cada uno de os casos cuando esta se obtiene por el método r-fico#
ea una lente delada converente de 9 cm de focal que tomamos como centro de referencia para medir distancias usando el convenio de sinos# %n s " +18 cm se encuentra un espe7o plano# *i colocamos en s " 12 cm un ob7eto luminoso ;dónde se forma la imaen del ob7eto<= ;es real o virtual<# ;5u-l es el aumento<# -ase también un esquema r-fico de la formación de la imaen# RESPUESTA 5
%n primer luar los rayos emerentes del ob7eto se encuentran con la lente por lo tanto:
pero tenemos que a 18 cm de la lente se encuentra un espe7o plano por lo que la imaen se convertir- en virtual de las mismas dimensiones que el ob7eto y tendr- su posición en s " 1> cm# %n dic&a posición los rayos encuentran de nuevo en su camino a la lente por lo que:
%s decir la imaen final del ob7eto luminoso se encuentra a ?@> cm de la lente &acia la i3quierda= es una imaen virtual y est- invertida# Aeamos el aumento# $ara el primer caso a través de la lente# Teniendo en cuenta los tri-nulos de l.neas de tra3os podemos escribir:
5
( y1/y " (9/(B y1 " B#y %n el seundo caso el espe7o mantiene el tamaCo de la imaen= de ese modo: m2 " y2/y1 " +1 y2 " y1 y2 " B#y inalmente nos encontramos de nuevo con la lente: mB " y/y2 " 9/(?@> " 1?> 6s. pues considerando todas las etapas tendremos: y " 1?>#y2 " 1?>#(B#y " E>9#y mfinal " y/y " E>9# *ea una sucesión de dioptrios planos contenidos en el plano y " 8 limitando medios de .ndices de refracción n 1 " 1? = n2 " 1E = nB " 1> = nE " 1? y espesores d12 " > = d2B " E y dBE " 2# *uponamos que incide una onda plana cuyo vector de onda es :
Describir cual ser.a la radiación que obtenemos en el 'ltimo medio (ténanse en cuenta los efectos de refracción solamente# ,btener el valor el camino óptico recorrido por este &a3# ;5u-l ser.a el -nulo de incidencia para que este camino sea m.nimo# RESPUESTA 6
)a solución al problema se obtiene aplicando la ley de *nell en cada superficie de discontinuidad:
*e'n eso la radiación que obtenemos en el 'ltimo medio tiene como vector de ondas:
%l camino óptico recorrido por el &a3 ser-:
F sustituyendo valores tenemos:
%n cuanto al camino óptico m.nimo es claro que éste se da para un -nulo inicial de 8G 6
Tenemos una lente delada diverente construida con un material cuyo .ndice de difracción es n1 " 1?# )as distancias focales de esta lente cuando el medio que la rodea es aire son f H " f " B# ;5u-nto valen estas distancias focales cuando la lente se sumere en un medio cuyo .ndice de refracción es n 2 " 1@<# RESPUESTA 8
*i el medio que rodea a la lente no es aire sino que su .ndice de refracción vale n2 la expresión:
que nos da el intervalo óptico debe sustituirse por:
donde &emos &ec&o uso de la relación:
que indica que los focos quedan uno a cada lado de un dioptr.o y siendo n2 el .ndice de refracción de la lente# 6n-loamente considerando la ecuación:
tendremos:
con lo que la ecuación que nos permite calcular la potencia de una lente en función de sus constantes queda en la forma:
6plicando esta ecuación a la lente delada diverente rodeada de medios con .ndices n " 1 y n2 " 1@ se tendr-:
ya que los radios de las caras no &an variado al cambiar el .ndice de refracción 7
del medio que rodea a la lente# Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones tendremos:
%ncontrar por el método r-fico de composición de ondas y por c-lculo directo de la perturbación resultante de superponer las siuientes ondas:
5alc'lese la separación entre puntos consecutivos de amplitud cero# RESPUESTA 9
Iesolvemos primero el problema por el método r-fico# De la fiura ad7unta podemos comprobar la siuiente relación:
$or otro lado se cumple:
%s decir que tenemos una onda de amplitud 2#6#cos (0t y fase !x# )a resolución por c-lculo directo es como siue:
y pasando a la forma real:
5uando 6T " 8 se tiene:
$or lo tanto tomando dos valores consecutivos de m por e7emplo m " 8 y m " 1 la separación entre puntos consecutivos de amplitud cero (nodos vendr8
dada por la diferencia entre los correspondientes valores de t para los cuales:
*ea un sistema óptico centrado compuesto por dos lentes deladas converentes de distancias focales fH 1 " B y fH2 " > separadas una distancia de quince unidades# Determinar los focos las distancias focales y los planos principales de este sistema# -ase una representación r-fica esquem-tica y coméntense las caracter.sticas principales del sistema# RESPUESTA 10
6plicando las ecuaciones :
que nos determinan los par-metros de un sistema compuesto conociendo sus elementos cardinales a los valores numéricos:
,btenemos las expresiones:
$ara determinar los planos principales anal.ticamente basta con tomar desde y H las distancias calculadas Jf y JfH respectivamente# Kr-ficamente el procedimiento est- esquemati3ado en la fiura ad7unta# 6l tratarse de lentes deladas los planos principales de cada una de ellas se confunden en uno sólo que coincide con el plano de la lente es decir con ) 1 ó con )2#
9
*ea una lente esférica converente de distancia focal imaen fH# Determinar la reión en la que &a de situarse un ob7eto y cual es su naturale3a para que el aumento tena un valor comprendido entre J2 y JB# Determinar cual es la naturale3a de la imaen as. obtenida# RESPUESTA 11
6plicando la ecuación :
,btenemos:
$or lo tanto al ser la lente converente su focal f ser- neativa y en base a la doble desiualdad escrita la distancia LaM también lo ser-# )a situación viene esquemati3ada en la fiura ad7unta# %l ob7eto real deber- estar situado en la reión desinada por ∆# *u imaen ser- real invertida y de mayor tamaCo# Demostrar que la expresión
10
*atisface la ecuación de ondas monodimensional y escribir la velocidad de fase de dic&a onda# %ncontrar la expresión de una onda cuyo perfil para t " 8 sea la curva:
)as ondas que aparecen en este e7ercicio ;son monocrom-ticas<# RESPUESTA 12
)a solución eneral de la ecuación de ondas monodimensional es de la forma:
Donde f 1 y f 2 son funciones cualesquiera# *i en particular &acemos:
,btenemos la solución:
Nue es la función descrita en el enunciado# 6s. pues la función dada si satisface la ecuación de ondas unidimensional y la velocidad de fase de dic&a onda es v# *iuiendo un ra3onamiento an-loo al anterior podemos demostrar que la función:
Aerifica la ecuación de ondas por ser función de (x J vOt# adem-s para t " 8 tenemos la expresión del enunciado# Pi u(x t ni (x t son ondas monocrom-ticas ya que no corresponden a la forma:
5omo ser.a en el caso de que fueran monocrom-ticas# Dos perturbaciones de la misma frecuencia v " (1/2s1 y de la misma amplitud propa-ndose con velocidad de B88 m/s parten de dos puntos 6 y Q situados a >88 m y B88 m respectivamente de otro punto $# Determinar la perturbación sobre $ procedente de 6 y Q as. como la suma de ambos# *upónase que ambas perturbaciones parten en fase de 6 y Q respectivamente# RESPUESTA 13
11
$uesto que tenemos:
5on los datos del enunciado resultar-:
F la perturbación en $ procedente de 6 y de Q valdr- se'n el orien:
6l superponerse sobre $ el módulo del cuadrado de la amplitud resultante valdr-:
F la superposición en $ ser- nula en todo instante# Determinar el valor de la perturbación resultante de la superposición de las ondas:
;$ara qué valores de ∆ la intensidad de la perturbación resultante es m-xima<# ;$ara cuales es nula<# I%*$R%*T6 1E )a suma de las dos ondas nos da:
$ero &aciendo:
F aplicando la fórmula trionométrica:
12
$odemos escribir la expresión anterior en la forma:
F vemos que la suma de ambas perturbaciones es otra onda de la misma frecuencia que ellas pero de amplitud 2OaOcos(! ∆/2# )os valores m-ximos y nulos de la intensidad vendr-n dados respectivamente por:
Rna onda plana monocrom-tica de lonitud de onda<< incide sobre una superficie reflectante formando un -nulo con la normal a dic&a superficie (ver fiura ad7unta# Después de la reflexión las ondas incidente y refle7ada se superponen en cada punto# %scribir la expresión de la onda resultante de dic&a superposición indicando en qué dirección se propaa as. como su velocidad de fase# 5omparar ésta con la velocidad de fase de la onda incidente# Determinar también la situación de los nodos de la onda resultante y la separación entre ellos# I%*$R%*T6 1? 6l refle7arse la onda en la superficie reflectante se modificar- la dirección del vector de onda manteniéndose constante su módulo ya que l a lonitud de onda no &a variado# Aamos a considerar que toda la ener.a incidente se refle7a# %n esas condiciones las amplitudes de la onda incidente y refle7ada son iuales y tenemos:
$or lo que la onda resultante de la superposición de ambas valdr-:
13
$ero se tiene:
*ustituyendo estos valores en la ecuación anterior lleamos a:
Donde &emos puesto !1 " !Osin α# *e observa que la onda es proresiva propa-ndose se'n el e7e S con una velocidad de propaación (velocidad de fase:
$uesto que sin α es menor que la unidad esta velocidad de fase ser- mayor que la de la onda incidente# )a amplitud de la onda resultante depende de la coordenada LyM y vale:
%sta amplitud es nula en aquellos valores de y " yP tales que cos(yP!Ocos α " 8 por lo que tendremos:
Donde m es un n'mero entero λ viene de ! " 2π/λ y la ecuación de la posición de los nodos representa rectas paralelas al e7e S con una separación de l/2Ocos α unidades entre dos nodos consecutivos# $ónase un e7emplo de onda tridimensional en cada uno de los siuientes casos: a ,nda plana monocrom-tica b ,nda plana no monocrom-tica c ,nda no plana monocrom-tica d ,nda armónica no plana RESPUESTA 16
$ara el primer caso tenemos:
14
6ra el seundo caso escribimos:
*iendo A una función arbitraria# %n el tercer caso podemos escribir:
inalmente para el 'ltimo caso tenemos que cualquier solución de la ecuación de ondas tridimensional es de la forma:
Pota# para la resolución del problema &emos empleado la notación comple7a exponencial= también podr.amos &aber empleado la notación real por e7emplo como siue:
F as. sucesivamente# $uede existir una radiación polari3ada el.pticamente a derec&as propa-ndose en la dirección (8 8 1 cuya elipse representativa sea del tipo:
Discutir los valores de a b y c que &acen posible la existencia# RESPUESTA 18
$ara que la radiación dada se propaue en la dirección (8 8 1 es necesario que se tena c " 8 por lo tanto la elipse representativa queda en la forma:
5omparando esta expresión con la ecuación eneral:
15
$ara que esta ecuación sea una elipse &a de tenerse que a1 sea distinto de a2 lueo en nuestro caso:
6bundando m-s en la expresión del enunciado podemos ver que
F la elipse dada si puede ser representativa de una radiación polari3ada a derec&as# Po obstante lo dic&o también podemos tomar:
5on lo que la polari3ación puede ser también el.ptica a i3quierdas#
Calcular gráficamente la imagen del objeto O en el sistema !tico re!resentado en la figura adjunta" #ndicar la naturale$a de la imagen obtenida"
RESPUESTA 19
16
)a imaen se forma sobre el foco ob7eto de la lente es real e invertida y del mismo tamaCo que el ob7eto# (Pótese la iualdad de los -nulos que se muestran en el esquema respuesta# *ea un sistema óptico formado por una lente delada converente de focal fH " 18 cm y a continuación a una distancia de 2@ cm una lente delada diverente de focal fH " cm# *i se coloca un ob7eto puntual sobre el e7e óptico a 1? cm a la i3quierda de la lente converente calcular a que distancia de la lente diverente se forma la imaen final del sistema# Tra3ar un esquema de la marc&a de los rayos# RESPUESTA 20
6plicando la ecuación:
17
6 la primera lente tenemos:
%s decir que la imaen a través de la primera lente estar- a B cm a la derec&a de $2# $odemos a&ora aplicar la fórmula anterior a la seunda de las lentes con lo que tendremos:
F la imaen estar- a la derec&a a la distancia indicada de la seunda de las lentes# %sto coincide con la situación de ,H obtenida r-ficamente en la fiura que se representa ad7unta# 5onsideremos un medio de vidrio bidimensional comprendido entre las rectas r 1 y r 2 de la fiura# *ometemos dic&o medio a un radiente de temperatura constante y positivo en la dirección de las x positivas es decir:
18
%l .ndice de refracción del vidrio variar- con la abscisa de cada punto dependiendo de la temperatura# *i suponemos lo que experimentalmente es cierto que el .ndice de refracción del vidrio aumenta linealmente con la temperatura en un ran intervalo de valores de T obtener por aplicación de la ley de *nell la ecuación de la trayectoria de un rayo de lu3 incidente sobre el plano x " 8 formando un -nulo 8 con el e7e x# Ténase en cuenta que en este caso &ay infinitos medios sucesivos cuyos .ndices de refracción son n " n(x# RESPUESTA 21
$or los datos del problema tenemos:
F si n aumenta linealmente con T:
*iendo a el .ndice en x " 8 pero dentro del vidrio o sea a " n(8 y b " qc1 una constante# 6plicando la ley de *nell a cada uno de los infinitos medios situado cada uno paralelo al e7e y nos queda la ecuación:
Donde n8 y 8 corresponden a condiciones iniciales de incidencia del rayo en el medio y por tanto conocidas#
19
$odemos escribir entonces:
$ero se tiene:
5alcular la desviación de un rayo monocrom-tico después de una reflexión parcial en una ota de aua y mostrar que la desviación pasa por un valor extremo lo que permite definir una incidencia efica3 para la desviación# %xplicar as. la formación del arco iris calculando las desviaciones eficaces de las luces amarilla ro7a y violeta para las que el .ndice del aua es respectivamente na " 1BBB= nr " 1B29= nv " 1BE2# %xplicar as. mismo la formación del seundo arco# RESPUESTA 30
%l -nulo de desviación depender- de la incidencia pero &ay un -nulo de incidencia para el cual es estacionario para un entorno de i#
,perando con los -nulos y por consideraciones eométricas tenemos que la recta $N es la bisectri3 del -nulo # %l -nulo $,5 es iual al r por ser ,$ " ,5 " radio# De ese modo:
F derivando la anterior expresión:
20
Pecesitamos conocer (dr/di y para ello aplicamos la ley de la refracción para el caso en que el rayo incide desde el vac.o#
*ustituyendo este valor en la expresión anterior e i ualando a cero obtenemos:
F &aciendo operaciones:
$odemos a&ora eliminar cos r teniendo en cuenta de nuevo la ley de refracción#
F sustituyendo en (6:
Nue es el valor del -nulo de incidencia que nos expresa la condición de estabilidad# 6plicando en (Q los datos del enunciado se obtienen las desviaciones eficaces de las luces amarilla ro7a y violeta y puesto que son distintas para cada caso tenemos la explicación de cómo se forma el arco iris# Rna varilla de vidrio de .ndice de refracción 1? termina en ambos extremos con caras convexas de radio 8? cm (ver fiura ad7unta# *i el medio que le rodea es aire calcular donde se forma la imaen de un ob7eto situado a 2 cm del vidrio# )a lonitud de la varilla es de 1> cm# RESPUESTA 22
$ara resolver el problema aplicamos a la primera cara del dioptrio la ecuación:
21
Tenemos entonces que la imaen a través de la primera cara estar- a 1B cm a la i3quierda de $2 por lo que aplicando de nuevo la expresión anterior a la seunda cara del dioptrio con los datos s " 1B cm = r " 8? cm = nH " 1 = n " 1? resulta:
)a imaen final estar- a la derec&a de $2 Nué sinifica que una radiación esté plano J polari3ada<;$uede una onda esférica estar plano J polari3ada< $on e7emplos concretos de la expresión de vectores eléctricos que correspondan a una radiación plano J polari3ada y otros a una radiación circularmente polari3ada a derec&as# RESPUESTA 23
*e dice que una radiación est- plano J polari3ada o polari3ada linealmente cuando el plano de vibración que contiene al vector campo eléctrico y al vector propaación de la onda es un plano fi7o# Dic&o de otro modo cuando la orientación del campo eléctrico es constante aunque su manitud y sino var.en con el tiempo (esta definición no se cumple para el caso de una onda esférica ya que no &ay nin'n plano ortoonal a todas las direcciones de propaación# *ean dos perturbaciones ópticas ortoonales expresadas por:
Donde es la diferencia de fase entre las dos ondas# )a perturbación resultante es:
*i " 2mO las ondas est-n en fase y se tiene:
%l coeficiente de cos(!3 J 0t tiene un valor fi7o por lo que la perturbación
22
resultante est- linealmente polari3ada# *i " (2m + 1O las ondas est-n desfasadas y resulta:
5on lo que de nuevo obtenemos una onda linealmente polari3ada# *i suponemos a&ora que:
5ada una de las componentes del campo eléctrico valdr-:
F la perturbación resultante vendrdada por:
)a amplitud de %(3 t a&ora iual a %o es constante pero la dirección es variable en el tiempo y no est- restrinida a un plano como antes# %l vector campo eléctrico va irando con una frecuencia 0# De esta onda se dice que est- polari3ada circularmente a derec&as (el vector % rota en la dirección de las manecillas del relo7# Rna radiación electromanética plana totalmente polari3ada est- definida por los siuientes par-metros de *to!es:
*e pide: a %scribir expl.citamente la expresión del campo eléctrico en dic&a onda como función del tiempo y de la posición b Determinar qué punto de la esfera de $oincaré le corresponde y cual es su tipo de polari3ación c %n caso de ser el.pticamente polari3ada encontrar el -nulo que forma su e7e principal con el e7e S y determinar los valores de los semie7es de la elipse# d *i colocamos un polari3ador que solo permite el paso de lu3 polari3ada formando un -nulo de E?G con el e7e S encontrar la expresión expl.cita de la radiación emerente y sus par-metros de *to!es# RESPUESTA 24
Rtili3ando las definiciones de los par-metros de *to!es dadas por l as fórmulas:
23
F considerando los valores del enunciado tenemos:
Tomando entonces 1 " 8 y sustituyendo en las expresiones del campo eléctrico dadas por
lleamos al resultado:
b para saber qué punto de la esfera de $oincaré le corresponde a la radiación dada tenemos:
)as coordenadas del punto en la esfera son entonces:
F estos valores coinciden con los del enunciado para (s 1 s2 sB# 5ómo a1 es distinto de a2 la polari3ación es el.ptica y adem-s:
F tenemos polari3ación a i3quierdas# $or todo lo visto el punto representativo se encuentra en la semiesfera inferior# c $uesto que &emos visto que la polari3ación es el.ptica calculamos el valor del -nulo # 6 partir de lo encontrado en el apartado anterior tenemos:
24
%stos dos valores corresponden respectivamente a cada e7e de la elipse# Tomando el correspondiente al primer cuadrante resulta para un valor de E? G# $ara calcular los semie7es de la elipse utili3amos las fórmulas:
Iesolviendo el sistema anterior para a y b obtenemos los valores:
d 5ómo el polari3ador forma un -nulo de E? G con el e7e S la radiación emerente es la componente en la dirección por lo tanto siendo:
%l campo eléctrico vendr- dado a partir de las ecuaciones:
,perando con este sistema resulta finalmente:
F teniendo en cuenta los valores numéricos:
inalmente para encontrar el valor de sus par-metros de *to!es aplicamos las fórmulas enerales (U con los valores numéricos:
)o que nos lleva a obtener:
25
*ea una l-mina plano J paralela de B cm de espesor e .ndice de refracción1? rodeada de un medio de .ndice de refracción 1B# *obre esta l-mina incide una onda plana monocrom-tica representada por:
)a l-mina tiene una de sus caras en el plano 3 " 8# allar la expresión en amplitud para las radiaciones refle7ada y transmitida# RESPUESTA 25
)as amplitudes se pueden calcular directamente a partir de las fórmulas de resnel
$ero previamente &ay que calcular la amplitud incidente en el plano de incidencia# $ara ello es preciso efectuar una rotación se'n el e7e V y con un -nulo tal que:
F esto nos lleva a:
F adem-s:
$or lo que podemos escribir:
5on lo que tendremos para la superficie de incidencia:
26
6plicando a&ora la ley de *nell obtenemos el -nulo de transmisión:
Donde el valor de sin
lo &emos obtenido de:
Rtili3ando las ecuaciones de resnel (U con 6p " 8 y 6a " *qrt(18 resulta:
F la amplitud del campo refle7ado ser-:
%l rayo refractado sufre una seunda refracción en la otra cara de la l-mina# %n este caso n2 coincide con n 1 del caso anterior por lo que:
Rtili3ando de nuevo las ecuaciones de resnel tendremos:
F la amplitud total transmitida ser-:
,btener el despla3amiento lateral de un rayo al atravesar una l-mina de .ndice n y espesor e# RESPUESTA 26
Aamos a llamar LdM al despla3amiento del rayo emerente respecto del incidente#
27
*e'n la ley de *nell y observando la fiura ad7unta podemos escribir:
$ero como W y WH son paralelos tenemos r H " iH y finalmente nos queda
F esto sinifica que el rayo incidente y el emerente son comparables# %l despla3amiento d del rayo emerente valdr- se'n tenemos en la fiura:
%n el tri-nulo ,N,H de la seunda fiura tenemos:
F llevando este valor a la expresión anterior:
28
Teniendo a&ora en cuenta la primera de las ecuaciones escritas y desarrollando sin (i rH tenemos:
*i consideramos n1 aproximadamente iual a la unidad y llamamos n a n2 resulta finalmente:
%l refractómetro de 6bbe destinado a la medida de .ndices de refracción de l.quidos consta de dos prismas rect-nulos (B8 >8 98 idénticos con las caras &ipotenusas en contacto# 5uando una delada l-mina de aua se interpone entre las dos la incidencia en la cara 6Q tiene que sobrepasar un determinado valor para que la lu3 emer7a por la cara 6HQH# obtener este valor en el supuesto de que el .ndice de vidrio es nv " 1@28 y el del aua n " 1BBB para la lu3 utili3ada#
5uando el l.quido problema mo7a las caras en contacto se observa que el &a3 paralelo emerente desaparece para una incidencia de 28G# 5alcular el .ndice del l.quido problema y la precisión en la medida si la incidencia se miede con un error de ?H y el .ndice del prisma se conoce con un error de 18E# RESPUESTA 27
%l mayor -nulo de refracción posible se tendr- cuando el rayo emer7a rasante a la superficie# )a ley de *nell nos dice:
F definimos el -nulo l.mite por la relación:
29
*i el -nulo del rayo incidente fuera mayor que el -nulo l.mite ) no &abr.a refracción# *i es menor que ) parte de los rayos se refractan y parte se refle7an# $or todo lo visto podemos escribir:
De donde se deduce que ) vale aproximadamente ?8G y para que el rayo emer7a por 6HQH se &a de cumplir iH 4 ?8G#
Teniendo en cuenta la fiura:
6plicando a&ora la ley de *nell tenemos:
Donde &emos considerado que el .ndice de refracción del aire vale 1 y que n 2 " nv " 1@28# Tenemos entonces que para que emer7a el rayo por la cara 6HQH el -nulo de incidencia por la cara 6Q &a de ser mayor de 1@G# $ara obtener el .ndice de refracción del l.quido problema desarrollamos el proceso inverso al anterior es decir:
F a partir de a&. por las relaciones eométricas de la fiura:
%l error presentado en la medida del .ndice de refracción del l.quido viene dado por la expresión (que no demostraremos:
30
Demostrar que la desviación que producen dos espe7os planos que se cortan se'n un -nulo sobre un rayo cualquiera que incide en un plano perpendicular a la recta com'n es independiente del -nulo de incidencia# RESPUESTA 28
*i LdM es el -nulo de desviación en el tri-nulo ,$N tenemos:
$or otra parte llamando
al -nulo suma de
se tiene que dic&o -nulo
es iual al -nulo de corte de los espe7os por simetr.a de rectas perpendiculares se'n la cual resulta:
Nue es independiente del -nulo de incidencia# %l compensador de Xamin representado en la fiura ad7unta es un dispositivo que permite introducir una diferencia de camino raduable entre dos &aces paralelos# %l compensador de Xamin est- formado por dos l -minas de caras paralelas del mismo espesor e .ndice que forman entre si un -nulo # %n posición simétrica cada una es atravesada por un &a3 ba7o la misma incidencia i " /2 y es nula la diferencia de camino introducida#
31
5alcular la diferencia de camino que introduce al irar un pequeCo -nulo i# 5alcular el espesor de las l-minas necesario para que introdu3can una diferencia de marc&a de 18# al irar el dispositivo un -nulo /2 # Datos " ?E> nm= n " B/2= α " 12 G# RESPUESTA 29
5onsideremos una l-mina de espesor LeM e .ndice n# el camino óptico recorrido por un rayo que atraviesa la l-mina desde &asta N es:
32
*i el rayo no atravesara la l-mina el camino recorrido ser.a:
F de la fiura ad7unta tenemos:
$or lo que la diferencia de caminos vendr- dada por:
$ero tenemos:
5on lo que nos queda:
F desarrollando esta expresión:
Donde &emos aplicado la ley de *nell :
5on n1 " 1# $asamos a&ora a considerar el compensador de Xamin# 5on el dispositivo en posición simétrica tal como se muestra en la fiura ad7unta y puesto que se trata de l-minas iuales la diferencia de camino introducida en con7unto es nula#
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5uando se ira un -nulo i el rayo 1 disminuye en incidencia y el rayo 2 aumenta con lo que se produce una diferencia de caminos# *i consideramos la aproximación:
F tenemos en cuenta la ley de la refracción para el caso de que uno de los medios sea el vac.o:
($or aproximación cuando los -nulos son pequeCos podemos escribir en (1:
