Detección de señales de multifrecuencia de dos tonos El DTMF o señalización multifrecuencia de dos tonos es una señal que consiste en una suma de dos tonos, con frecuencias que se toman de dos grupos mutuamente exclusivos de frecuencias pre asignadas. Cada par de estos tonos representa un nmero nico o un s!m"olo. #a decodificación de una señal de DTMF implica la identificación de dos tonos en esa señal $ la determinación de su nmero o s!m"olo correspondiente. #a detección digital de tonos se puede efectuar con facilidad al calcular la TFD de la señal DTMF $ midiendo despu%s la energ!a presente en las oc&o frecuencias DTMF. DTMF. #a duración m!nima de una señal DTMF es de '(ms. )or lo tanto con una taza de muestreo de *+z, &a$ (.(' - *((( /0( Muestras disponi"les para decodificar cada digito de la DTMF. El espectro de una voz &umana contiene componentes en todas las frecuencias, inclu$endo las frecuencias de la segunda armónica. )or otro lado, la señal DTMF generada por el aparato telefónico tiene segundas armónicas que se pueden despreciar. #a longitud 1 de la TFD determina el esparcimiento en frecuencias entre las localizaciones de las muestras de la TFD $ el tiempo que se requiere para calcular la muestra de la TFD. #a frecuencia f +en z correspondiente al !ndice + de la TFD 2numero de casilla3 esta dada por4 f K =
k F T N
, k =0,1, … .. , N −1 ( 15.1)
E5emplo4 )ara una frecuencia de muestreo de *+z, el me5or valor de la longitud 1 de la TFD para detectar los oc&o tonos fundamentales de la DTMF se &a encontrado como 1 0(6 $ el correspondiente a la detección de las oc&o segundas armónicas es 0(7. #a ta"la 76.7 muestrea los valores del !ndice de la TFD mas cercanos a cada una de las frecuencias de tono $ sus segundas armónicas para estos dos valores de 1, respectivamente. Ta"la Ta"la 76.74 valores de !ndice de la TFD para tonos DTMF DT MF correspondientes a 1 0(6 $ sus segundas armónicas para 1 0(7.
Tono
Valor
Error
Entero K
Absoluto
mas Próximo
en K
Valor Fundamental Exacto K en Hz 69
78.*97
7*
(.7/:
!
7:.8/7
0(
(.09:
"#$
07.*//
00
(.798
9%&
0'.77/
0'
(.77/
&$!9
/(.:*7
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(.(7:
&''6
/'.0/6
/'
(.0/6
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Armónica
Exacto <
Error ="soluto en <
mas )róximo
en Hz &'9%
/6.(0'
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'0.*7/
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9(.860
97
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$6$
98.7/'
98
(.7/'
$9#%
8'.07:
8'
(.07:
'$66
*0.(6*
*0
(.(6*
Figura 76.74 Muestras seleccionadas de la TFD para cada una de las señales de tono DTMF para 1 0(6.
An*lisis es+ectral de señales senoidales De manera mas especifica el =n>lisis Espectral implica la detección del espectro de energ!a o del espectro de la potencia de la señal. En muc&os campos se encuentran aplicaciones del an>lisis espectral digital $ son mu$ comunes. #os m%todos de an>lisis espectral se "asan en la siguiente o"servación. ?i la señal en tiempo continuo ga2t3 es razona"lemente de "anda limitada, las caracter!sticas espectrales de su equivalente en tiempo discreto g@nA de"e proporcionar una "uena estimación de las propiedades espectrales de ga2t3. En el an>lisis espectral de señales senoidales, asumimos que los par>metros que caracterizan las componentes senoidales, como amplitudes, frecuencias $ fase, no
cam"ian con el tiempo. )ara una señal de este tipo g@nA, el an>lisis de Fourier puede efectuarse mediante el c>lculo de su transformada de Fourier B2e 534 ∞
jw − jwn G ( e ) = ∑ g [ n ] e n=−∞
276.03
#as caracter!sticas espectrales de la secuencia de longitud finita ventaneada 2Bamma minscula3 γ ,n- que se o"tienen a partir de su transformada de Fourier 2Bamma ma$scula3 ./e 012, se asume que proporciona una estimación razona"le de la transformada de Fourier 3/e 012 de la señal en tiempo discreto g@nA. =ntes de que sea posi"le interpretar el contenido espectral de 2e 53, esto es, B2e 53, a partir de @+A, es necesario volver a examinar las relaciones entre estas transformadas $ sus frecuencias correspondientes. =&ora "ien, la relación entre la TFD de puntos @+A de γ @nA $ su transformada de Fourier 2e 53 esta dada por
@+A 2e 53 0G+H,
( I + J K 7.
276./3
#a frecuencia angular normalizada en tiempo discreto L+ correspondiente al nmero de casilla + de la TFD 2frecuencia de la TFD3 es4
w k =
2 πk
R
276.'3
De igual modo, la frecuencia angular en tiempo contino + correspondiente al nmero de casilla + de la TFD 2frecuencia de la TFD3 esta dado por4
Ωk =
2 πk
RT
276.63
)ara interpretar correctamente los resultados del an>lisis espectral "asado en la TFD, se considera primero el an>lisis en el dominio de la frecuencia de una secuencia senoidal. En este caso, una secuencia senoidal de longitud finita g@nA de frecuencia angular normalizada 2Nmega3 O( corresponde a4
g [ n ] =cos ( ω0 n + ∅ ) ∅=conjunto vacio
276.93
Expresando la secuencia anterior como4
e
j( ω 0 n+∅ )
g [ n]=
1 2
¿ P
e −¿
j( ω0 n+ ∅)
¿
276.83
$ &aciendo uso de la ta"la /./, se llega a la expresión para su transformada de Fourier como4
G( e
∞
jω
) = π ∑ ( e j δ ( ω− ω + 2 πl ) + e− j δ ( ω+ ω + 2 πl ) ) ∅
∅
0
l =−∞
0
276.*3
)or lo que, la transformada de Fourier es una función periódica de ⍵ con un periodo 0G que contiene dos impulsos en cada periodo. En el intervalo de frecuencia KG I ⍵ Q G, &a$ un impulso en ⍵ ⍵( de una amplitud comple5a 4 j ∅
e
$ un impulso
− j ∅
R⍵( de amplitud comple5a 4 e
⍵
5
)ara analizar g@nA en el dominio espectral utilizando la TFD, se emplea una versión de longitud finita de la secuencia dada por4
γ [ n ] =cos ( ω 0 n + ∅ ) , 0 ≤ n ≤ N −1
.
276.:3
El fenómeno de la dispersión de energ!a a partir de una sola frecuencia en muc&as localizaciones de frecuencia de la TFD, se conoce como fuga. )ara entender la forma de la transformada de Fourier que se presenta en la figura 76./
Fi)ura ' transformada de Fourier de una secuencia senoidal a la 7ue se le a+lico una 8entana rectan)ular
que la secuencia de la ecuación 276.:3 es una versión de la secuencia de longitud infinita g@nA de la ecuación 276.93 que se o"tuvo usando una ventana rectangular L@nA4
{
1, w [ n ]= 1, 0 ≤ n ≤ N − 0, enotro cao !
276.7(3
)or consiguiente, la transformada de Fourier 2e 53 de
γ @nA esta dada por la
convolucion en el dominio de la frecuencia de la transformada de Fourier de g@nA con la transformada de Fourier 2)si3S
( e jω )
π
∫
( ./e 012 ¿ 2 π G e −π
j"
) # R ( e j (ω−") ) $"
jω
de la ventana rectangular
L@nA4
1
G( e
/&&2
)
Donde
# R ( e
jω
) =e− jω( N − )/
1 2
en ( ωN / 2) en( ω / 2)
Cuando se sustitu$e
G( e
jω
)
/&$2
de la ecuación 276.*3 en la ecuación 276.773, se
llega a % ( e
jw
)= 1 e j 2
∅
# R ( e
j (ω− ω0 )
) + 1 e−
j ∅
2
# R ( e
j ( ω+ ω0 )
)
/&'2
Como se indica mediante la ecuación 276.7/3, la transformada de Fourier % ( e
jw
de la secuencia ventaneada # R ( e
jω
)
)
γ @nA es una suma de la transformada de Fourier
desplazada en la frecuencia $ escalada en amplitud de la ventana L@nA,
con la cantidad de desplazamientos de frecuencia dado por ⍵(. El anc&o del ló"ulo principal puede reducirse aumentando la longitud de la ventana. =dem>s, un aumento en la exactitud con la que se localizan los picos se logra con el incremento del tamaño de la TFD.
An*lisis Es+ectral de señales no estacionarias5 #a transformada de Fourier discreta puede emplearse en el an>lisis espectral de una señal de longitud finita compuesta por componentes senoidales, siempre que la frecuencia, amplitud $ fase de cada componente senoidal sean invariantes en el tiempo e independientes de la longitud de la señal. ?e presentan situaciones pr>cticas donde la señal que va a analizar es m>s "ien no estacionaria, para lo cual estos par>metros de señal son varia"les en el tiempo. Un e5emplo de este tipo de señales es la señal c&irp dada por
& [ n ]= ' cos ( ω o n
2
)
276.763
#as señales de voz, radar $ sonar son otros e5emplos de este tipo de señales no estacionarias. ?i la longitud de la su"secuencia es razona"lemente pequeña, puede asumirse con toda seguridad que ser> estacionaria para fines pr>cticos.
Fi)ura " E5emplo de su"secuencias de la señal c&irp figura 76.8 generada por medio de una ventana rectangular de longitud 0((
