INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL “ESCUELA
SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA” UNIDAD ZACATENCO
INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA . MATERIA: Teoremas de Circuitos Eléctricos PRÁCTICA N°:6 “REDES CON MULTIFRECUENCIAS”
GRUPO: 4CM1
FECHA DE ENTREGA: 21/NOVIEMBRE/2018
OBJETIVO:
Verificar que una onda cuadrada puede expresarse mediante una serie de Fourier y aplicarse en una red con multifrecuencias. INTRODUCCIÓN TEÓRICA :
Se trata de redes en las que los voltajes y corrientes tienen términos senoidales de diferentes frecuencias, los que pueden ser causados por: a) Fuentes senoidales de diferentes frecuencia. b) Fuentes con funciones periódicas, las que al ser descompuestas en sus series de Fourier quedan expresadas por una suma de senoides de diferente frecuencia. Una red en el estado permanente (con frecuencias naturales – cero) la cual es excitada por fuentes de la forma:
() + ()
Puede ser analizada descomponiéndola en 2 redes auxiliares: 1ra.- RED AUXILIAR DE CORRIENTE DIRECTA (CD) En esta red sólo se consideran los términos constantes de las fuentes y las ecuaciones son: VK = RKIK-EK-DK……… para elementos sin capacitor VK = EK-VK……… para elementos con capacitor
∑= (,) 0 ∑=(,) 0
, n=1,2… μ-c… (Ecs. De la 1ra. Ley de Kirchhoff) , m=1,2… μ… (Ecs. De la 2da. Ley de Kirchhoff)
De resolver está red se obtienen valores V 0, I0 para cada elemento. 2da.- RED AUXILIAR DE CORRIENTE ALTERNA (CA) En esta red se consideran las fuentes como senoidales de una frecuencia genérica ω, las ecuaciones para el caso de elementos generales tipo serie son:
∑= ∑= (,) 0 ∑=(,) 0 VK =
, k = 1.2… λ
, n=1,2… μ-c… , m=1,2… μ…
La correspondencia entre senoides y complejos está dada por: A Sen (ωt+ϴ) ↔ A ∟ ϴ (k=1) Una vez resuelta la red auxiliar de CA se dan a ω los N diferentes valores de las fuentes, obteniéndose valores V n sen (ωn+ t αn), In sen (ωn+ t βn), n=1.2,…. N, para
cada elemento. Los voltajes y corrientes de la red original serán la suma de los valores encontrados en las redes auxiliares, obteniéndose para cada elemento:
= () = ()
VALORES EFECTIVOS DE VOLTAJE Y CORRIENTE
1 √ 2 = √ 12 = POTENCIA MEDIA CONSUMIDA (O SUMINISTRADA)
1 2 = ()
SERIES DE FOURIER Sea f(t) una función periódica, ósea, en la que se cumple que : F(t)=f(t+nt), n=0, +- 1, +- 2,…. En donde
es llamada el periodo fundamental.
Sí además se cumplen las condiciones de Dirichlet, dadas por: 1. La función, en caso de ser discontinua, tiene un número finito de discontinuidades en el periodo T. 2. El valor medio de la función en el periodo T es finito. 3. La función tiene un número finito de máximos y mínimos en el periodo T. Entonces puede expresarse mediante una serie trigonométrica, llamada serie de Fourier, dada por:
∞ () 2 = ( cos )
En donde a0, an, bn son los llamados coeficientes de Fourier, los cuales se calculan de:
∫ () (Valor medio de f(t)) ∫ ()cos , n=1,2 ∫ ()sen , n=1,2… A ω se le llama frecuencia fundamental, a 2ω la segunda armónica, a 3ω la
tercera armónica, y así sucesivamente. SIMPLIFICACIONES EN EL CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER 1. Sí la función es PAR, ósea, cumple que f(t) = f(-t), entonces b n = 0, n=1.2,…., y la serie de Fourier sólo contiene término constante y términos
cosenos. 2. Sí la función es IMPAR, ósea, cumple que f(t) = -f(-t), entonces a n = 0, n=1,2,…., y la serie de Fourier sólo contiene términos senos.
3. Sí la función exhibe SIMETRÍA DE MEDIA ONDA, ósea, se cunple que f(t) = -f (t + t/2), entonces la serie de Fourier sólo contiene armónicas impares.
DESARROLLO EXPERIMENTAL:
()()
Sea la siguiente Onda Cuadrada
Dónde:
50
− 10 10 1
50
La cual puede expresarse mediante una serie de Fourier pero en nuestro caso tenemos:
50,2 2×10 6283 ⁄ () [6283 (3)(6283) (5)(6283)] 63.66628321.221884412.7331415
Por lo tanto:
Verificación Grafica:
Y se aplica dada una resistencia de 10 :
() Simulación:
() () 10
() ()10 63.66sin 628321.22sin 1884912.75sin 31415⋯) ∴ √ 12 (6.3666 2.122 1.273 4.8299 ()()⇒ √ 12 (63.666 21.22 12.73 48.2995
CONCLUSIÓN:
BIBLIOGRAFIA:
