Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco gaussiano

DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES Roque Sáenz Peña 352 – (B1876BXD) Bernal – Buenos Aires – Argentina

TEORÍA DE LAS TELECOMUNICACIONES DETECCIÓN

DE SEÑALES BINARIAS EN PRESENCIA DE RUIDO BLANCO

GAUSSIANO Una vez que los símbolos digitales son transformados en señales eléctricas, pueden ser transmitidos a través del canal. Durante un intervalo de tiempo T un sistema binario transmitirá una de dos formas de onda, indicadas por s1(t) y s2(t). (t). La señal transmitida durante el intervalo (0, T ) se puede representar como:

s1(t ) 0 ≤ t ≤ T para el 1 binario s2(t ) 0 ≤ t ≤ T para el 0 binario

si (t ) = 

Por ejemplo, un 1 puede ser representado por una tensión eléctrica V que V que se mantiene constante durante un tiempo T , y un 0 por una tensión –V que –V que también se mantiene constante por igual duración de tiempo. Esta señal puede ser transmitida directamente (transmisión en banda base) o bien puede ser usada para modular una portadora. La señal recibida está afectada por el ruido y por lo tanto existe una cierta probabilidad de que el receptor cometa un error al decidir si se transmitió un 1 o un 0. La señal recibida por el receptor, r(t) se puede representar por: r (t ) = si (t ) + n(t ) i = 1, 2; 0 ≤ t ≤ T donde n(t) es el ruido blanco gaussiano aditivo, de media cero y varianza σ 2, que interfiere sobre la señal que fue transmitida. Trataremos de encontrar qué características debe tener nuestro receptor para que pueda hacer una detección lo más fiel posible del bit que fue transmitido. El transmisor “sabe” que fue transmitido un 1 ó un 0, pero debido al efecto del ruido esas señales eléctricas que representan al 1 y al 0 fueron deformadas y eso puede “confundir” al detector a la hora de dicernir qué señal se transmitió. Supongamos entonces que una secuencia binaria consiste en señales de niveles +V y +V y -V , o sea, una secuencia de pulsos positivos y negativos aleatorios. Realmente no interesa conservar la forma de la señal en el receptor, sino que lo que interesa saber es si en el intervalo de bit T se T se transmitió +V o +V o –V . Pero, como se dijo antes, con el ruido presente, el receptor ciertamente ciertamente nunca va v a a detectar exactamente ± V V. Supongamos que el ruido es Gaussiano. Debido a la simetría de la función de densidad de probabilidad que lo representa, la probabilidad de hacer aumentar el valor de la muestra de señal tomada es igual a la probabilidad de hacerla disminuir. Entonces, como primera aproximación, es bastante razonable diseñar un detector que tome una muestra cada T segundos, y, si el valor es positivo asumir que transmitió +V , mientras que si el valor es negativo asumir que se transmitió –V . Por supuesto, es posible que en el instante del muestreo la tensión de ruido pueda tener una magnitud mayor que V y V y de polaridad opuesta a la del bit transmitido en ese momento. En tal caso se producirá un error en la detección. En la Figura 1 se puede ver este efecto.

Detección Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano

1

Figura 1. Efecto del ruido en una señal digital binaria de amplitud V y duración T .

Podemos reducir la probabilidad de error procesando la señal recibida junto con el ruido, de manera tal de encontrar un instante de muestreo adecuado en donde la tensión de símbolo sea enfatizada frente a la tensión de ruido . Además, intuitivamente se ve que es necesario agregar algo delante del muestreador, ya que con un esquema como el que hemos planteado como primera aproximación indudablemente se está desperdiciando todo el tiempo de bit. Es decir, ¿para qué transmitir un bit con una duración T si finalmente se lo está “mirando” en un solo instante? ¿No sería mejor que el receptor haga una “observación” de todo el bit para recién luego concluir si fue un 1 ó fue un 0? Tendremos que pensar en un esquema que aproveche todo el tiempo de bit. Entonces planteamos lo siguiente. La señal transmitida s(t)(representada por uno de sus dos estados ±V ), junto con el ruido Gaussiano n(t), se la hace pasar por un integrador y luego sí es muestreada. Esto se puede hacer con un amplificador operacional con una resistencia de entrada R y un capacitor de realimentación C , como se muestra en la Figura 2. Por lo tanto, la salida del integrador produce una señal que es la integral del pulso enviado, multiplicada por una constante 1/RC = τ . Al final de cada tiempo de bit T , una llave en paralelo con el capacitor se cierra para descargarlo y así comenzar la siguiente integración desde cero. A la salida del integrador y justo al instante de tomar la muestra, tenemos: v 0 (T ) =

1

T

∫

τ 0

[s(t ) + n(t )]dt = 1 ∫ s(t )dt + 1 ∫ n(t )dt T

T

τ 0

τ 0

(1)

La muestra de tensión correspondiente sólo a la señal es: s0 (T ) =

1

T

Vdt = τ ∫ 0

VT τ

(2)

o bien con el signo opuesto cuando la entrada del integrador es –V. La muestra de tensión correspondiente al ruido es: n0 (T ) =

1

T

∫ n(t )dt

τ 0

(3)

Cabe destacar que n(t) es un proceso aleatorio, mientras que no(T) es una variable aleatoria. La varianza (potencia media) de n0(T) se expresa como: 2

σ 0

2

=

N 0T 2τ 2

Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano

(4)

Además n0(T) tiene una fdp que es Gaussiana. El valor N 0 /2 es la densidad espectral del ruido a la entrada del integrador. No demostraremos aquí la obtención de la última ecuación, pero la misma surge de plantear que: G no (f ) = G ni (f ) H (f )

2

(5)

donde H(f) es la función de transferencia del integrador, Gni (f) es la densidad espectral de ruido a la entrada del integrador y Gno(f) es la densidad espectral de ruido a la salida del integrador.

Figura 2. Esquema propuesto inicialmente para mejorar la relación senal a ruido, en el instante de muestreo, de la señal recibida.

La salida del integrador es v 0(t) = s 0(t) + n0(t). La señal de salida s0(t) es una rampa para cada intervalo de tiempo T . Al final de la rampa, o sea, al instante del muestreo T , la señal s0(t) tiene un valor que es +VT/ τ o –VT/ τ, dependiendo de si el bit transmitido fue 1 ó 0, respectivamente. Mientras que el ruido, en el instante del muestreo, tiene un valor aleatorio n0(T). Ambas situaciones se muestran en la Figura 3. Finalmente, el voltaje total al momento del muestreo es: v 0 (T ) = s0 (T ) + n0 (T )

(6)

Figura 3. Señal a la salida del integrador (a), y ruido a la salida del integrador (b).


3

Naturalmente, buscamos que la tensión correspondiente a la señal sea mayor que la tensión de ruido para mejorar la performance de nuestro detector. Por lo tanto una figura de mérito para este caso es la relación señal a ruido. Relacionando ambas potencias en el instante de muestreo nos queda el siguiente resultado: 2

 VT    2 [s0 (T )] τ  V 2T 2 2τ 2 2 2 V 2T  = = = = V T 2 N 0 N 0 2 τ N 0T [n0 (T )]2   N 0T   τ 2   2 

(7)

Nótese que la relación señal a ruido aumenta con el incremento de la duración de bit T y que depende de V 2T que es la energía normalizada de la señal . Es decir que para mejorar la relación señal a ruido se puede aumentar el tiempo de bit T (transmitiendo menos bits por segundo, o sea, más lentamente), o bien aumentar la tensión V de la señal. Este último caso implica transmitir con mayor potencia, con lo cual se necesitaría un equipo transmisor más grande, fuentes de alimentación más grandes, quizás disipadores más grandes, etc., aumentando el costo y el tamaño del sistema. La primera alternativa, como se dijo, implica transmitir a menor velocidad. Esto puede verse, por ejemplo, en una comunicación vía modem (aunque en este caso no es bandabase sino una señal modulada, el ejemplo vale). Un modem que cumple con la norma de comunicación V.90 debería conectarse normalmente a 56 Kbps. Sin embargo esto casi nunca ocurre, pues la línea telefónica tiene un ruido mayor al esperado y para mantener la relación señal a ruido en un nivel aceptable el modem transmite más lentamente. Otro ejemplo lo muestran los satélites que se envían al espacio (por ejemplo la NASA o la Agencia Espacial Europea) para tomar fotografías, hacer estudios, mediciones, etc. en diversos planetas. Debido a la gran distancia que separa al satélite de la antena terrestre, la relación señal a ruido es realmente muy baja como consecuencia de la atenuación de la señal transmitida. Por lo tanto, para mantener una relación señal a ruido razonable en el receptor la alternativa es aumentar T . La conclusión es que la velocidad de transmisión es muy baja. Hemos visto entonces, que, para el ejemplo anterior de transmisión binaria bipolar, el filtro que nos mejora la relación señal a ruido es un integrador. Esto ha sido para este ejemplo. En los párrafos siguientes trataremos de ver si es éste el mejor filtro que podemos poner o existe uno mejor, y además generalizar la situación y tratarla no sólo para la señal bipolar que se planteó sino para cualquier señal binaria. En la Figura 4 se muestran los dos pasos que se involucran en la detección de una señal. El primer paso consiste en convertir la señal recibida r(t) = si (t) + n(t) en un número real z(t=T). Esta operación se realiza por medio de un filtro lineal seguido de un muestreador. Al final de la duración de símbolo T la salida del bloque 1 (después de la llave de muestreo) da como resultado la muestra z(T). También puede demostrarse que un proceso Gaussiano que pasa por un filtro lineal produce como salida otro proceso Gaussiano. Entonces, la salida del bloque 1 da como resultado: z (T ) = ai (T ) + n0 (T )

i = 1, 2

(8)

donde ai (T) es la componente de señal de z(T) proveniente de si (t), y n0(T) es la componente de ruido proveniente de n(t). Para abreviar la notación podemos escribir z = a i + n0. La componente de ruido, n0, es una variable aleatoria Gaussiana de media cero. Por lo tanto, z(T) también es una variable aleatoria Gaussiana pero con media a1 o a2 (a1 y a2 son dos números reales, obtenidos a la salida del muestreador), dependiendo de cuál de los dos símbolos binarios fue enviado, (s1(t) o s 2(t)). Si no existiese el ruido, z(T) sería un número real con dos valores posibles. La función de densidad de probabilidad ( fdp) del ruido aleatorio Gaussiano n0 puede expresarse como:

4


p(n0 ) =

 1  n  2  exp −  0    2  σ 0   2π  

1 σ 0

(9)

donde σ 02 es la varianza del ruido. Las funciones de densidad de probabilidad condicional, p(z|s 1 ) y p(z|s 2 ) se pueden expresar como: p( z | s1 ) =

p( z | s2 ) =

 1  z − a  2  1   exp  −   2  σ 0   2π  

(10)

 1  z − a  2  2   exp −   2  σ 0   2π  

(11)

1 σ 0

1 σ 0

Figura 4. Esquema básico de detección de u na señal binaria.

Estas fdp condicionales se ven en la Figura 5. La fdp de la derecha, p(z|s 1 ) ilustra la función de densidad de probabilidad de la salida del detector, z(T), dado que s1(t) fue transmitido. De manera similar, la curva de la izquierda ilustra p(z|s 2 ), la función de densidad de probabilidad de z(T) dado que se ha transmitido s2(t). El eje de las abcisas representa el rango completo de valores posibles de z(T) que se pueden obtener a la salida del bloque 1 de la Figura 4. Se ve entonces, que, si no existiese el ruido, z(T) tendría sólo dos valores posibles, a1 y a2, dependiendo de la señal transmitida. Pero, debido al efecto del ruido, z(T) es en realidad un número que se mueve en un entorno de a1 y a2, (una vez más, según la señal binaria transmitida), con una distribución Gaussiana.

Figura 5. Funciones de densidad de probabilidad condicional.


5

El segundo paso en el proceso de detección consiste en hacer una comparación estadística. Esto se representa en el bloque 2 de la Figura 4. Se compara z(T) contra un valor umbral γ para de esa manera estimar cuál valor fue transmitido, si s1(t) o s2(t). Si z(T) es mayor que γ se decide por una señal, caso contrario se decide por la opuesta. Una vez que la señal recibida r(t) es convertida en un número z(T), ya no importa más la verdadera forma de la señal. Todas las formas de onda que sean transformadas al mismo valor de z(T) son idénticas desde el punto de vista de la detección. Veremos más adelante que un cierto tipo de filtro, llamado filtro adaptado, ubicado en el bloque 1, “mapea” las señales de igual energía en el mismo punto z(T). Por lo tanto, lo que importa en el proceso de detección no es la forma de onda de la señal sino su energía. Por eso, el análisis para el proceso de detección en banda base es igual que para el caso de pasabanda (se verá con abundante detalle en un capítulo posterior). El paso final en el bloque 2 es tomar una decisión a partir de la siguiente comparación: H 1

z (T )

> <

γ

(12)

H 2

donde H 1 y H 2 son las dos posibles hipótesis binarias. Elegir H 1 es equivalente a decidir que s1(t) se ha enviado, y elegir H 2 es equivalente a decidir que s2(t) fue enviado. La desigualdad en la relación anterior indica que si z(T) > γ entonces se elige H 1. De lo contrario, se elige H 2. Para el caso de la igualdad la decisión es arbitraria y se ajusta al detector de manera tal que elija una de las dos hipótesis al azar, como si tirara una moneda. Esta comparación es similar a la que se hizo en el ejemplo al comienzo del texto. Allí, una vez tomada la muestra, se la comparaba con cero: si el número era positivo se decidía por un “1” binario, caso contrario se decidía por un “0” binario.

Estructura de un receptor de máxima verosimilitud ¿Qué valor debe tener γ? Hasta ahora no hemos dicho nada acerca de qué valor debe tener para que sea un nivel umbral apropiado. Un criterio para elegir γ se basa en la minimización de la probabilidad de error. Es decir, se busca un valor tal de γ como para que el detector se “equivoque” lo menos posible en su toma de decisiones. Este valor óptimo de γ que hace mínima la probabilidad de error lo llamaremos γ0. Para hallar tal valor partimos de la siguiente relación, llamada verosimilitud :

test de relación de

H 1

p( z | s1 ) > P (s2 ) p( z | s2 ) < P (s1 )

(13)

H 2

donde P(s1 ) y P(s2 ) son las probabilidades a priori de que s1(t) y s2(t), respectivamente, sean transmitidos, y H 1 y H 2 son las dos posibles hipótesis. Según la regla de la ecuación (13), para minimizar la probabilidad de error, debemos elegir la hipótesis H 1 si la relación de verosimilitudes es mayor que la relación entre las probabilidades a priori. Caso contrario se elige la hipótesis H 2. Esta ecuación (13) surge de la teoría de la probabilidad condicional. Si P(s1 ) = P(s2 ) y si las funciones de densidad de probabilidad p(z|s ), (i=1,2) son i simétricas la ecuación (13) queda, luego de dividir (10) sobre (11):

6


H 1

z (T )

> a1 + a2 = γ 0 < 2

(14)

H 2

donde a1 es la componente de señal de z(T) cuando s1(t) es transmitido, y a2 es la componente de z(T) cuando s2(t) es transmitido. El nivel umbral γ0 es el umbral óptimo que minimiza la probabilidad de tomar una decisión incorrecta. Esta estrategia es conocida como criterio del mínimo error . Para señales igualmente probables, el umbral óptimo γ0 pasa através de la intersección de las funciones de densidad de probabilidad, como se ve en la Figura 5. De esta manera, siempre se elige la hipótesis que presenta la máxima verosimilitud (máxima probabilidad). Dicho en términos de las funciones de densidad de probabilidad condicional, el detector elige, por ejemplo, s1(t) si: p( z a | s1 ) > p( z a | s2 )

(15)

en caso contrario, el detector elige s2(t). Un detector que minimiza la probabilidad de error (para el caso en que ambas señales son igualmente probables) es conocido con el nombre de detector de máxima verosimilitud . Una vez más, volviendo a nuestro ejemplo del comienzo del texto, y para el caso particular del circuito integrador que se ha usado, a1 sería VT/ τ, a2 sería –VT/ τ y γ 0 sería 0.

γ 0

Obviamente, si las probabilidades a priori no son iguales (ambas igual a 0,5), entonces se desplaza hacia la izquierda o hacia la derecha.

Si en lugar de una transmisión binaria fuese una transmisión M -aria, debería haber M funciones de densidad de probabilidad representando a las M señales. La decisión de máxima verosimilitud debe ser hecha entonces según el máximo valor de probabilidad de todas las fdp.

Probabilidad de error Para el caso de una transmisión binaria, hay dos maneras por las cuales se puede producir un error. Un error e va a ocurrir cuando se envíe una señal s1(t) y el ruido del canal resulte tal que el valor z(T) sea menor que el umbral γ0 (una vez más la Figura 5 sirve de ayuda). Dicha probabilidad se puede expresar como: P (e | s1 ) = P (H 2 | s1 ) =

γ 0

( | s )dz ∫ p z −∞

1

(16)

En palabras esto es, la probabilidad de que se produzca un error, sabiendo que se transmitió s1, o, la probabilidad de elegir la hipótesis H 2 sabiendo que se transmitió s1. Esto se ilustra en la Figura 5 como el área sombreada a la izquierda de γ0. De manera similar, ocurre un error cuando s2(t) es enviado y debido al ruido del canal el valor de z(T) resulta mayor que el umbral γ0. Esto se expresa como: P (e | s2 ) = P (H 1 | s2 ) =

∞

∫ p( z | s )dz γ 0

2

(17)

La probabilidad de error es la suma de las probabilidades de todas las maneras en que un error puede ocurrir. Para el caso binario, podemos expresar la probabilidad de error de bit P B de la siguiente manera:


7

2

P B =

∑ P (e, s ) i

(18)

i = 1

Combinando las ecuaciones (16) a (18), tenemos: P B = P (e | s1 )P (s1 ) + P (e | s2 )P (s2 )

(19)

P B = P (H 2 | s1 )P (s1 ) + P (H 1 | s2 )P (s2 )

(20)

o equivalentemente,

(Las ecuaciones (19) y (20) surgen del teorema de Bayes). Es decir, dado que fue transmitido s1(t), ocurre un error si se elige la hipótesis H 2; o dado que se transmitió s2(t), ocurre un error si fue elegida la hipótesis H 1. Para el caso en que las probabilidades a priori sean iguales, o sea, P(s1 ) = P(s 2 ) = ½, P B =

1 1 P (H 2 | s1 ) + P (H 1 | s2 ) 2 2

(21)

y por la simetría de las funciones de densidad de probabilidad: P B = P (H 2 | s1 ) = P (H 1 | s2 )

(22)

La probabilidad de error de bit, P B, es numéricamente igual al área debajo de la curva fdp que está del lado “incorrecto” del umbral. Por lo tanto, se puede calcular P B integrando P(z|s1 ) entre los límites - ∞ y γ0 ó también integrando p(z|s2 ) entre los límites γ0 y ∞: P B =

∞

∫ p( z | s )dz 2

γ 0

(23)

Si reemplazamos p(z|s 2 ) por su equivalente distribución Gaussiana, tenemos: P B =

∞

∫ σ γ 0

0

 1  z − a  2  2  dz exp −   2  σ 0   2π  

1

(24)

y como ya sabemos, σ o2 es la varianza del ruido a la salida del correlador. Haciendo u = (z-a2 )/ σ 0 tenemos: du 1 = dz σ 0

Por lo tanto, dz = σ 0 du

En la ecuación (24) la variable de integración es z , que varía entre γ 0 e ∞ . Pero γ 0 es (a1 + a2 )/2. Por lo tanto, el límite de integración inferior, en función de u es: z = σ 0 u + a2 =

8

a1 + a2 = γ 0 2


a1 + a2 − a2 2 a + a2 a − 2 u= 1 σ 0 2σ 0 a − a2 u= 1 2σ 0

σ 0 u

=

Entonces, reemplazando u en la ecuación (24) nos queda: P B =

u=∞

1

u = (a1 − a2 ) / 2σ 0

2π

∫

 u 2   a1 − a2      2 du = Q 2σ 0   

exp −

(25)

donde Q(x) se llama función complementaria de error o función de co-error. Q(x) se define como Q( x ) =

1 2π

∞

∫

x

 u 2  du  2  

exp −

(26)

La variable de integración es u, siendo el límite inferior u = x y el límite superior u = ∞ . Q(x) no puede ser evaluada en forma cerrada y sus valores se presentan en forma de tablas. Si se observa bien, Q(x) no es otra cosa que P(X ≥ x) para una fdp Gaussiana normalizada (es decir, con media cero y varianza 1). De aquí se ve que para minimizar la probabilidad de error, x debe ser lo más grande posible (o sea, lo más “a la derecha” posible debajo de la curva de Gauss). Para el ejemplo visto al comienzo de esta exposición habíamos visto que a la salida del filtro integrador, en el instante de muestreo, obteníamos los siguientes valores de a1 y a2: a1 = a2 =

VT τ

− VT τ

y σ 02 era: 2

σ 0

=

N 0T 2τ 2

⇒ σ 0 =

N 0T 2τ 2

Teniendo en cuenta esto entonces, el cálculo de la probabilidad de error de bit nos conduce a:

 a1 − a2   σ 2 0  

P B = Q

   VT VT   τ + τ  P B = Q  N 0T    2  2τ 2  


9

 V 2T 2

  2   N 0T 2τ 

P B = Q

τ

2

 V 2T   N / 2   0 

P B = Q

Hasta aquí hemos optimizado el valor del umbral γ haciendo mínima la probabilidad de error P B y hallando una expresión para el cálculo de dicha probabilidad de error. Ahora veremos cómo debe ser el filtro que, a la salida del muestreador, maximiza la relación señal a ruido, y cómo puede usárselo para que maximice el argumento de la función Q(x) a fin de que la probabilidad de error sea mínima (es decir, mínima no en función del umbral de detección γ 0 sino en función del valor z(T) que entrega el filtro en el instante de muestreo).

Filtro adaptado Un filtro adaptado es un filtro lineal, diseñado para que pueda dar, a su salida, la máxima relación señal a ruido para una determinada forma de onda del símbolo transmitido. Supongamos que una señal conocida s(t) más RBGA n(t) se presenta a la entrada de un filtro lineal e invariante en el tiempo, seguido éste por un muestreador, como se muestra en la Figura 4. En el tiempo t = T la salida z(T) del receptor consiste en una componente de señal ai y una componente de ruido n0. La varianza del ruido de salida (potencia media de ruido) se denota por σ 02 , de manera que la relación entre la potencia de la señal y la potencia media de ruido, (S/N) T en el tiempo t = T , a la salida del receptor del bloque 1 es: ai 2  S    = 2  N  T σ 0

(27)

Lo que queremos hacer ahora es encontrar qué característica debe tener nuestro filtro. Cuál debe ser su función de transferencia. Para ello, debemos hallar la función H 0(f) que maximice la ecuación (27). Podemos expresar la señal a(t), a la salida del filtro, en términos de la función de transferencia H(f) (antes de su optimización) y de la transformada de Fourier de la señal de entrada: a(t ) =

∞

∫

−∞

H (f )S(f )e j 2π ft df

(28)

donde S(f) es la transformada de Fourier de la señal de entrada s(t). Si la densidad espectral del ruido de entrada es N 0 /2 watts/hertz, podemos expresar la potencia de ruido a la salida como: 2

σ 0

=

N 0 2

∞

∫

2

−∞

H (f ) df

(29)

Recordar que (29) surge de plantear:

∫

∞

−∞

G no (f )df =

∞

∫

−∞

2

G ni (f ) ⋅ H (f ) df

y además G ni (f ) =

10

N 0 2


Combinando ecuaciones, podemos expresar la relación señal a ruido como sigue: 2

∞

∫

 S    =  N T

H (f )S(f )e j 2π fT df

−∞

N 0 / 2

∞

∫

(30)

2

−∞

H (f ) df

Ahora tenemos que hallar un valor tal H(f) = H 0(f) para el cual la relación señal a ruido (S/N)T se hace máxima. Para ello usaremos la desigualdad de Schwarz que expresa lo siguiente: 2

∞

∫

−∞

∞

∫

f 1 ( x )f 2 ( x )dx ≤

−∞

∞

∫

2

f 1 ( x ) dx

2

−∞

f 2 ( x ) dx

(31)

El término de la izquierda es menor o igual al término de la derecha. La igualdad se cumple cuando f 1 ( x ) = kf 2∗ ( x ) , donde k es una constante arbitraria y el asterisco indica complejo conjugado. Si identificamos H(f) con f 1(x) y S(f)e j2π fT con f 2(x), podemos escribir: ∞

∫

−∞

2

∞

H (f )S(f )e j 2π fT df ≤

∫

2  S    ≤  N  T N 0

∞

−∞

∞

∫

2

H (f ) df

−∞

2

S(f ) df

(32)

luego

∫

2

S(f ) df

(33)

2E E  S  =  =  N  T N 0 N 0 2

(34)

−∞

o max

donde E es la energía de la señal si (t): E =

∞

∫

−∞

2

S(f ) df

(35)

De esta manera vemos que el máximo para (S/N)T depende de la energía de la señal y no de la forma de onda que se use. Y para que se cumpla la igualdad en la ecuación (34) debemos hacer: H (f ) = kS ∗ (f )e − j 2π fT = H 0 (f )

(36)

o bien, aplicando la antitransformada de Fourier, podemos hallar la respuesta impulsiva del filtro:

{

h(t ) = ℑ −1 kS ∗ (f )e − j 2π fT

}

(37)

podemos escribir para h(t):

ks(T − t ) h(t ) =  0

0 ≤ t ≤ T para cualquier otro valor

(38)


11

O sea, la respuesta impulsiva de este filtro que tiene a su salida la máxima relación señal a ruido, es la imagen invertida de la señal s(t), retardada en un tiempo T que es la duración de símbolo. En la Figura 6 se puede ver un ejemplo de composición de h(t).

Figura 6. Respuesta impulsiva de un filtro adaptado.

El término filtro adaptado también es usado con el nombre de producto integrador o correlador . La propiedad básica del filtro adaptado es: su respuesta impulsiva es una versión retardada y rotada sobre el eje de las abcisas, de la señal de entrada o forma de onda. Por lo tanto, si la señal de entrada es s(t), la imagen o “espejo” es s(-t), y a la vez esta última retardada es s(T-t). La salida z(t) del filtro (es decir, señal más ruido), puede escribirse en el dominio del tiempo como la convolución entre la señal recibida r(t) y la respuesta impulsiva del filtro: z (t ) = r (t ) ∗ h(t ) =

t

∫ r (τ )h(t − τ )d τ 0

(39)

Sustituyendo la (38) en la (39) y tomando arbitrariamente k = 1 obtenemos: t

∫ r (τ )s[T − (t − τ )]d τ = ∫ r (τ )s(T − t + τ )d τ

z (t ) =

0 t

(40)

0

Finalmente, cuando actúa el muestreador que se encuentra a continuación del filtro z(t) se convierte en z (T ) =

T

∫ r (τ )s(τ )d τ 0

(41)

La operación descripta por la ecuación (41) es la integración del producto entre la señal recibida r(t) y una réplica de la forma de onda transmitida s(t) sobre el intervalo de un tiempo de símbolo T . Esta operación se la conoce como correlación entre r(t) y s(t).

Aplicación del filtro adaptado Anteriormente, al determinar el umbral de decisión óptimo hemos visto que para tal caso la probabilidad de error es P B = Q[(a1-a2 )/2σ 0 ]. El hecho de encontrar un umbral óptimo no es suficiente para optimizar el proceso de detección. Para minimizar P B necesitamos elegir un filtro tal que maximice el argumento de Q(x). Es decir, un filtro que maximice (a1-a2 )/2σ 0, o equivalentemente que maximice

(a1 − a2 )2 2

(42)

σ 0

12


donde (a1-a2 ) es la diferencia de las componentes de señal a la salida del filtro en el tiempo t = T , y el cuadrado de esta diferencia es la potencia instantánea de la diferencia de señales. Hemos visto que un filtro adaptado es aquel que maximiza la relación señal a ruido a la salida del mismo. Consideremos un filtro que está adaptado a la diferencia de las señales de entrada, o sea, adaptado a s1(t)-s2(t). La relación de potencias instantáneas entre la señal y el ruido, a la salida del filtro y en el instante T , se puede expresar como:

(a1 − a2 )2 2E d  S  =   = 2 N 0 σ 0  N  T

(43)

donde N 0 /2 es la densidad espectral de potencia del ruido y E d es la energía de la diferencia entre las señales s1(t) y s2(t) a la entrada del filtro: E d =

T

∫ [s (t ) − s (t )] dt 0

2

1

2

(44)

Finalmente, usando la función complementaria de error, la probabilidad de error de bit es:

 E d    2N 0   

P B = Q

(45)

Aquí se ve que si aumenta E d entonces disminuye la probabilidad de error, como se puede deducir intuitivamente. De igual manera, la probabilidad de error disminuye si disminuye la potencia de ruido, representada por el valor de N 0.

Figura 7. Equivalencia entre (a) filtro adaptado y (b) correlador.

Por lo tanto, del análisis hecho en este apartado, concluimos que el filtro que se usa previo al muestreo de la señal en un esquema de detección binaria, es un filtro adaptado a la diferencia entre las señales s1(t) y s2(t) o su equivalente implementado con un correlador. Ambos casos se muestran en la Figura 7.

Probabilidad de error en sistemas binarios Señalización unipolar. Una señal unipolar se puede representar matemáticamente como:


13

s1(t ) = A s2(t ) = 0

0 ≤ t ≤ T 0 ≤ t ≤ T

para el 1 binario para el 0 binario

(46)

donde A > 0 es la amplitud de la señal s1(t). Supongamos que esta señal unipolar, más ruido blanco Gaussiano, se presenta a la entrada de un filtro adaptado, con tiempo de muestreo t = T . El correlador para detectar este tipo de señal se muestra en la Figura 8. El correlador multiplica e integra la señal que llega, r(t), con la diferencia de las señales prototipo, [s1(t) – s 2(t)] = A, y luego del tiempo T compara el valor obtenido z(T) con el valor umbral γ 0. El valor del umbral óptimo en este caso es γ 0 = (a 1 + a 2 )/2 = (½)A2T . Si la salida del correlador es mayor que γ 0 entonces se declara que se recibió s1(t); caso contrario se declara s2(t).

Figura 8. Señal unipolar y esquema de detección.

Aplicando la (44) la energía de la diferencia entre señales es A2T . Entonces, la probabilidad de error de bit para este esquema unipolar es

 2   E d     = Q A T  = Q E b   2N 0   2N 0   N 0       

P B = Q

(47)

donde la energía media por bit es E b = A2T/2. Señalización bipolar. Una forma de onda bipolar se puede expresar matemáticamente como: s1(t ) = + A s2(t ) = − A

0 ≤ t ≤ T 0 ≤ t ≤ T

para el 1 binario para el 0 binario

(48)

Cuando las señales son como lo describe la (48) se llaman señales antipodales y se puede ver en la Figura 9(a). La detección de la señal se puede hacer mediante dos correladores como se ve en la Figura 9(b). Un correlador multiplica e integra la señal r(t) con el prototipo de señal s1(t) y el segundo correlador multiplica e integra r(t) con s2(t). Un correlador entrega una salida z 1(T) y el otro una salida z 2(T). El punto z(T) en el espacio de decisión está formado por:

14


z (T ) = z 1 (T ) − z 2 (T ) Para señales antipodales resulta ser a1 = -a2, por lo tanto el umbral de decisión óptimo es γ 0 = 0. De esta manera, si el test estadístico z(T) es positivo se decide por s1(t); caso contrario se decide por s2(t).

Figura 9. Señal bipolar y esquema de detección.

La energía de la diferencia entre señales es E d = (2A)2T , por lo tanto, la probabilidad de error de bit para este esquema bipolar es:

 2 A 2T    = Q  2E b  P B = Q  N 0  N 0     

(49)

donde la energía media por bit es E b = A2T . Comparando ambos esquemas, con el bipolar se puede tener una relación E b /N 0 3 dB inferior al esquema unipolar y sin embargo tener la misma probabilidad de error de bit. Cada esquema de señalización tiene su propia performance de error de bit que se describe mediante una curva tipo cascada como la que se muestra en la Figura 10. Normalmente se habla de BER, tasa de error de bit (Bit Error Rate en Inglés).

Propiedades del filtro adaptado El filtro adaptado presenta ciertas propiedades interesantes, que pueden resultar útiles de aplicar (quizás para comprender mejor algunos otros temas) y que describiremos a continuación.


15

Figura 10. Performance de error de bit para señalización unipolar y bipolar.

1. El espectro de la señal de salida de un filtro adaptado, que tiene como entrada a su señal adaptada, es proporcional (salvo un factor de retardo) a la densidad espectral de energía de la señal de entrada. Si So(f) es la transformada de Fourier de la salida del filtro, so(t), entonces, So (f ) = H o (f ) ⋅ S(f )

= S * (f ) ⋅ S(f ) ⋅ exp(− j 2π fT )

(50)

2

= S(f ) exp(− j 2π fT ) Como So(f) es el espectro de la señal de salida, y el cuadrado del módulo de S(f) es la densidad espectral de energía de s(t), la propiedad queda demostrada.

2. La señal de salida de un filtro adaptado es proporcional a una versión desplazada de la función de autocorrelación de la señal de entrada a la cual el filtro está adaptado. Esta propiedad surge de la anterior, teniendo en cuenta que la función de autocorrelación y la densidad espectral de energía forman un par transformado. Por lo tanto, aplicando la transformada inversa de Fourier a la última expresión de la (50), se puede expresar la salida el filtro adaptado como: so (t ) = R x (t − T )

(51)

donde R x ( τ ) es la función de autocorrelación de la señal s(t). Nótese que para t = T se tiene: so (T ) = R x (0) = E 16

(52)


donde E es la energía de la señal. Esto es, en ausencia de ruido, el máximo valor obtenido a la salida de un filtro adaptado, en el tiempo t = T , es proporcional a la energía de la señal.

3. La relación señal a ruido a la salida de un filtro adaptado depende sólo de la relación entre la energía de la señal y la densidad espectral de potencia del ruido blanco a la entrada del filtro. La potencia media de ruido, a la salida del filtro óptimo es:

{

}

E n 2 (t ) =

N 0 2

∞

∫

−∞

2

H 0 (f ) df

Teniendo en cuenta la igualdad expresada por la (36) y haciendo arbitrariamente k =1, la anterior ecuación queda:

{

}

E n 2 (t ) =

N 0 2

∞

∫

−∞

2

S(f ) df =

N 0 E 2

(53)

Teniendo en cuenta la propiedad 2 (máximo valor de energía de la señal, en el tiempo t = T ), el máximo valor de SNR (siempre son potencias normalizadas...) a la salida del filtro es:

(SNR)O, max

E 2 2E = = N 0 E / 2 N 0

(54)

Aquí se ve que la SNR a la salida del filtro no depende de la forma de onda de la señal de entrada.


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Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco gaussiano

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