Detaljna Rjesenja 1 Dio1

Branimir Dakić Neven Elezović

MATEMATIKA 1 zbirka detaljno rijeˇsenih zadataka za 1. razred gimnazija i tehniˇckih sˇ kola

1. dio

1. izdanje

Zagreb, 2014.

c

Branimir Dakić, prof. prof. dr. sc. Neven Elezović, 2013.

Urednica Sandra Graˇcan, dipl. ing. Lektorica Dunja Apostolovski, prof. Crteˇzi, slog i prijelom Element d.o.o., Zagreb Dizajn Edo Kadić

Nakladnik Element d.o.o., Zagreb, Menˇcetićeva 2 tel. 01/ 6008-700, 01/ 6008-701 faks 01/ 6008-799 www.element.hr [email protected]

Tisak Element d.o.o., Zagreb

Sadrˇzaj

1. Brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Prirodni i cijeli brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Realni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Potencije i algebarski izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

Pojam potencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raˇcunanje s potencijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Znanstveni zapis realnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebarski izrazi. Potenciranje binoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Razlika i zbroj potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rastavljanje na faktore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebarski razlomci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearne jednadˇzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- na skupu realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Uredaj 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

Svojstva relacije uredaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearne nejednadˇzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apsolutna vrijednost realnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Udaljenost toˇcaka na brojevnom pravcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jednadˇzbe i nejednadˇzbe s apsolutnim vrijednostima . . . . . . . . . .

4. Koordinatni sustav u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Koordinatni sustav u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Udaljenost dviju toˇcaka u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Povrˇsina trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poloviˇste duˇzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. 5.3. 5.4. 5.5.

Definicija i opis vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zbrajanje vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rastav vektora u komponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektori u koordinatnom sustavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 6 18 24 27 28 31 42 48 63 70 79 94 129 130 132 166 172 177 189 190 205 213 223 233 234 235 240 244

1

BROJEVI

1.1. Prirodni i cijeli brojevi Zadatak 1.

1) Zapiˇsi prirodni broj koji neposredno slijedi iza prirodnog broja n . 2) Zapiˇsi prirodni broj koji neposredno prethodi prirodnom broju n − 2 . Kad zadatak ima rjeˇsenje? 3) Zapiˇsi broj koji je za 2 veći od zbroja brojeva m i n . 4) Zapiˇsi broj koji je dvostruko veći od razlike brojeva a i b . 5) Zapiˇsi broj koji je tri puta manji od umnoˇska brojeva a i b .

Rjeˇsenje.

1) Sljedbenik broja n je broj n + 1 . 2) Prethodnik broja n − 2 je (n − 2) − 1 = n − 3 . Zadatak ima rjeˇsenje kad je n > 3 . ab . 3) To je broj m + n + 2 . 4) To je broj 2(a − b) . 5) To je broj 3

Zadatak 2.

Ispiˇsi: - cijelih brojeva k − 1 i k + 5 ; 1) sve cijele brojeve koji su izmedu 2) sve neparne cijele brojeve koji su veći od 2k − 1 i manji od 2k + 7, gdje je k cijeli broj; 3) sve parne cijele brojeve veće od 2k − 5 i manje od 2k + 1, gdje je k cijeli broj.

Rjeˇsenje.

2

1) To su brojevi k , k + 1 , k + 2 , k + 3 , k + 4 . 2) To su brojevi 2k + 1 , 2k + 3 i 2k + 5 . 3) To su brojevi 2k − 4 , 2k − 2 , 2k .

Zadatak 3.

Marko je dvostruko stariji od Filipa, a Filip je 3 godine stariji od Luke. Ako je Luki n godina, koliko ukupno godina imaju sva trojica?

Rjeˇsenje.

Ako je Luki n godina, a Filip je 3 godine stariji, onda Filip ima n + 3 godina. Marko je dvostruko stariji od Filipa pa ima 2 · (n + 3) = 2n + 6 godina. Sva trojica ukupno imaju n + n + 3 + 2n + 6 = 4n + 9 godina.

Zadatak 4.

Zamisli neki broj. Dodaj mu 1 pa zbroj pomnoˇzi s 4. Zatim oduzmi 4 pa dobiveni rezultat podijeli s 4. Koji je broj rezultat? ˇ primjećujeˇs? Obrazloˇzi! Ponovi ovaj postupak nekoliko puta. Sto

Rjeˇsenje.

[(n + 1) · 4 − 4] : 4 = (4n + 4 − 4) : 4 = 4n : 4 = n. Tako ovim raˇcunom uvijek dobijemo broj od kojega smo krenuli.

Zadatak 5.

Neka je d dan, a m mjesec rodenja tvojeg prijatelja. Evo kako céˇs odrediti koji je dan njegov rodendan. Zadaj mu neka provede sljedeći raˇcun: — Podvostruˇci broj d. — Pomnoˇzi dobiveni rezultat s 10. — Dodaj 73. — Pomnoˇzi s 5. — Dodaj broj m. Neka ti sada prijatelj kaˇze rezultat koji je dobio. Oduzmi kriˇsom od tog rezultata broj 365 i dobit céˇs datum njegovog rodenja.

PRIRODNI I CIJELI BROJEVI

1.1

Obrazloˇzi matematiˇcku pozadinu ovog općeg rjeˇsenja. Rjeˇsenje.

Prati niz zapisa: 2d → 20d → (20d + 73) → (20d + 73) · 5 → (100d + 365 + m) → (100d + m) . Rezultat je cˇ etveroznamenkast broj cˇije su prve dvije znamenke redni broj dana, a posljednje dvije redni broj mjeseca rodenja.

Zadatak 6.

Neka tvoj prijatelj broj svojih godina starosti pomnoˇzi s 4. Tom broju neka doda 10 pa rezultat pomnoˇzi s 25. Neka potom od dobivenog rezultata oduzme broj dana u neprestupnoj godini. Konaˇcno, neka razlici doda iznos sitniˇsa u lipama koji ima u svojem dˇzepu (svakako neka je manji od 100). Nakon ovog raˇcuna zahtijevajte da vam kaˇze rezultat. Dodat c´ emo tom rezultatu 115 i oˇcitati: prve dvije znamenke su godine, a sljedeće dvije iznos sitniˇsa u dˇzepu vaˇseg prijatelja. Moˇzete li razobliˇciti ovu “ˇcaroliju”?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo sa n broj godina, a sa s koliˇcinu sitniˇsa. Slijedi niz zapisa: 4n → 4n+10 → (4n+10)·25 → (4n+10)·25−365 → (4n+10)·25−365+s = 100n + s − 115 . Dodamo li ovom posljednjem broju 115 dobit cémo 100n + s . Oˇcigledno, prve dvije znamenke su broj godina, posljednje dvije iznos su sitniˇsa.

Zadatak 7.

Na polici se nalazi sˇ est svezaka Opće enciklopedije, poredanih slijeva udesno, jedan do drugog. Svaki svezak ima 515 stranica ne raˇcunajući korice. 1) Koliko ukupno stranica ima Opća enciklopedija? - 313. stranice drugog sveska i 127. stranice 2) Koliko stranica ima izmedu petog? 3) Brojimo li stranice enciklopedije redom te izbrojimo 1784, u kojem svesku i na kojoj stranici smo se zaustavili? 4) Brojimo li stranice enciklopedije redom, ali otraga prema naprijed te se zaustavimo na broju 3000, u kojem svesku i na kojoj stranici smo se zaustavili?

Rjeˇsenje.

1) 6 · 515 = 3090 ; 2) (515 − 313 + 1) + 2 · 515 + 127 = 1360 ; 3) 1784 − 3 · 515 = 239 ; 4) 3090 − 3000 + 1 = 91 , zaustavili smo se na 91. stranici prvog sveska.

Zadatak 8.

- brojevima 1, 2, 3, . . . , 9 odaberi dva medusobno Medu razliˇcita broja. Ispiˇsi sve dvoznamenkaste brojeve kojima su znamenke ti brojevi, te ih zbroji. Taj je zbroj uvijek djeljiv s 22. Zbog cˇega? Obrazloˇzi! Moˇzeˇs li provesti analogno zakljuˇcivanje za tri odabrana broja? Napomena: Dvoznamenkast broj xy zapisujemo u obliku 10x + y . Jednako je tako xyz = 100x + 10y + z .

Rjeˇsenje.

Odaberemo li primjerice znamenke 2 i 5, svi dvoznamenkasti brojevi su 22, 25, 52 i 55. Njihov zbroj je 154 i on je djeljiv s 22. Općenito, odaberemo li dvije razliˇcite znamenke x i y , svi dvoznamenkasti brojevi su xx , xy , yx , i yy , a njihov zbroj je xx + xy + yx + yy = 10x + x + 10x + y + 10y + x + 10y + x = 22x + 22y = 22 · (x + y).

Zadatak 9.

Broj 100 zapiˇsi povezujući raˇcunskim operacijama 1) cˇ etiri jedinice;

Rjeˇsenje.

Primjerice: 1) 111 − 11 ;

2) cˇ etiri trojke; 2) 33 · 3 +

3 ; 3

3) cˇ etiri petice. 3) (5 + 5 + 5 + 5) · 5 .

3

1

BROJEVI

Zadatak 10. Rjeˇsenje.


Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Ispiˇsi redom brojeve 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Poveˇzi te brojeve znakovima + i − (koristeći ih ukupno triput) tako da dobijeˇs 100. Primjerice: 123 − 45 − 67 + 89 . Zapiˇsi broj 100 uporabom svih 10 znamenki i uporabom cˇ etiriju osnovnih raˇcunskih operacija. Primjerice: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 · 9 . Rijeˇsi rebus: +

O A

H H

O A

H H

O A

A

H

A

H

A

H

A moˇze biti samo 1 pa imamo: O H + 1 H

O 1

H H

O 1

1 H 1 H 1 H Odatle je O = 9 , pa sad rebus izgleda ovako: 9 H 9 H 9 + 1 H 1 H 1 1 H 1 H 1 H Lako se vidi da je H = 0 . Dakle, rjeˇsenje je 90909 + 10101 = 101010 .


Odredi cˇ etiri uzastopna prirodna broja kojima je zbroj jednak 1 258 . Neka je n najmanji od traˇzena cˇetiri broja. Onda mora biti n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 1258, 4n + 6 = 1258. Odatle je n = 313 , te su traˇzeni uzastopni brojevi 313, 314, 315, 316.

Zadatak 14.

Zbroj pet uzastopnih parnih prirodnih brojeva jednak je 6 080 . Koji su to brojevi?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo treći po redu broj s n . Onda su ostala cˇ etiri jednaka n − 4 , n − 2 , n + 2 i n + 4 pa mora biti (n − 4) + (n − 2) + n + (n + 2) + (n + 4) = 6080 5n = 6080 te je n = 1216 . Rijeˇc je o brojevima 1 212 , 1 214 , 1 216 , 1 218 , 1 220 .

Zadatak 15.

Zbroj sedam uzastopnih neparnih prirodnih brojeva jednak je 581. Koliki je zbroj sedam narednih neparnih prirodnih brojeva?

Rjeˇsenje.

Srednji cémo broj oznaˇciti s n . Onda su preostali brojevi n − 6 , n − 4 , n − 2 , n + 2 , n + 4 i n + 6 pa mora biti (n − 6) + (n − 4) + (n − 2) + n + (n + 2) + (n + 4) + (n − 6) = 581 7n = 581 te je n = 83 . Rijeˇc je o brojevima 77, 79, 81, 83, 85, 87 i 89. Sedam narednih neparnih brojeva su redom 91, 93, 95, 97, 99, 101 i 103, a njihov zbroj iznosi 679.

4

PRIRODNI I CIJELI BROJEVI

Zadatak 16.

Umnoˇzak triju uzastopnih prirodnih brojeva jednak je 4080. Koliki je zbroj tih triju brojeva?

Rjeˇsenje.

Rastavljanjem broja 4080 na proste faktore, dobivamo 4080 = 24 · 3 · 5 · 17 = 16 · 15 · 17 . Dakle, rijeˇc je o umnoˇsku brojeva 15, 16 i 17. Njihov zbroj je 48.


Zadatak 18.

Koja je posljednja znamenka umnoˇska 1 · 3 · 5 · 7 · . . . · 99? Rijeˇc je o umnoˇsku uzastopnih neparnih prirodnih brojeva od kojih neki zavrsˇ avaju s 5, te i cijeli umnoˇzak zavrˇsava s 5. S koliko nula zavrˇsava umnoˇzak 1 · 2 · 3 · 4 · . . . · 33 ?

Rjeˇsenje.

Broj je djeljiv s 10 ako je djeljiv s 2 i s 5. Kad bismo zadani umnoˇzak rastavili na proste faktore, zanima nas koliko u tom rastavu ima petica (dvojki oˇcigledno - zadanim brojevima imamo tri koji zavrˇsavaju s ima viˇse nego petica). Medu 5 (5, 15 i 25 – njihov je umnoˇzak djeljiv s 5 cˇetiri puta), te tri koja zavrˇsavaju s nulom (10, 20 i 30 – umnoˇzak je djeljiv s 5 tri puta). Stoga cijeli umnoˇzak zavrˇsava sa sedam niˇstica.

Zadatak 19.

Koja je posljednja znamenka umnoˇska prvih stotinu prostih brojeva? - njima je i Broj 2 jedini je paran prost broj. Svi su ostali prosti brojevi, a medu broj 5, neparni. Zbog toga umnoˇzak zavrˇsava nulom.

Rjeˇsenje.

Zadatak 20.

Prepiˇsi, pa umjesto kvadratića upiˇsi broj tako da dobijeˇs toˇcne jednakosti: 1) −11 + 3) 23 +

= −24 ; = −1 ;

5) 33 − (−44) =

Zadatak 21.

;

2)

− (−45) = 13 ;

4)

+ (−17) = −34 ;

6) −75 − 28 =

;

= 77 ;

8)

− (−111) = −205 .

1)

= −24 + 11 = −13 ;

2)

= 13 − 45 = −32 ;

3)

= −1 − 23 = −24 ;

4)

= −34 + 17 = −17 ;

5)

= 33 + 44 = 77 ;

6)

= −75 − 28 = −103 ;

7)

= 77 + 61 = 138 ;

8)

= −205 − 111 = −316 .

7) −61 + Rjeˇsenje.

1.1

Izraˇcunaj: 1) −5 · (2 − 11) − 4 · (3 − 12) ; 2) 2 · (−3) − 4 · (−5) + (−6) · (−7) ; 3) (−12) · (−11) − (−10) · (−15) ; 4) −12 · (−3) − 5 · 14 − 11 .

Rjeˇsenje.

1) 2) 3) 4)

−5 · (2 − 11) − 4 · (3 − 12) = −5 · (−9) − 4 · (−9) = 45 + 36 = 81 ; 2 · (−3) − 4 · (−5) + (−6) · (−7) = −6 + 20 + 42 = 56 ; (−12) · (−11) − (−10) · (−15) = 132 − 150 = −18 ; −12 · (−3) − 5 · 14 − 11 = 36 − 70 − 11 = −45 .

Zadatak 22.

Raˇcunamo: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + . . . Ako imamo konaˇcan broj pribrojnika, recimo n , koliki je rezultat ovog zbrajanja?

Rjeˇsenje.

Ako je n paran broj onda imamo (1−2)+(3−4)+(5−6)+. . .+[(n−1)−n] = n n · (−1) = − ; 2 2

5

1

BROJEVI

Ako je n neparan broj onda imamo (0 + 1) + (−2 + 3) + (−4 + 5) + . . . + n n [−(n − 1) + n] = · 1 = . 2 2

Zadatak 23.

Najviˇsa ikad izmjerena temperatura zraka na Zemlji zabiljeˇzena je u Libiji 13.9.1922. Iznosila je 57.8 ◦ C ili 136 ◦ F . Najniˇza je izmjerena na Antarktici (Vostok Station) 12.1.1983., kada je termometar pokazivao −89.2 ◦ C ili −128.6 ◦ F . - najniˇze i najviˇse temperature ikad izmjerene na ZemKolika je razlika izmedu lji? U Hrvatskoj je do sada najviˇsa izmjerena temperatura iznosila 42.8 ◦ C ili 109 ◦ F , a izmjerena je 5.8.1998. u Ploˇcama. Najniˇza temperatura izmjerena je ˇ u Cakovcu 3.2.1929., a bilo je −35.5 ◦ C ili −31.5 ◦ F . - najviˇse i najniˇze izmjerene temperature u Hrvatskoj? Kolika je razlika izmedu

Rjeˇsenje.

Na Zemlji: 57.8 ◦ C − (−89.2 ◦ C) = 147 ◦ C ili 136 ◦ F − (−128.6 ◦ F) = 264.6 ◦ F ; U Hrvatskoj: 42.8 ◦ C − (−35.5 ◦ C) = 78.3 ◦ C ili 109 ◦ F − (−31.5 ◦ F) = 140.5 ◦ F .

Zadatak 24.

Arhimed je zˇ ivio od 287. g. pr. Kr. do 212. g. pr. Kr. To bismo jednostavnije mogli zapisati: Arhimed je zˇ ivio od − 287. do − 212. g. Koliko je godina poˇzivio Arhimemed? Odgovori na isto pitanje za sljedeće matematiˇcare: Tales je zˇ ivio od − 620. do − 540. godine. Vitruvije je zˇ ivio od − 75. do 15. godine. Heron je zˇ ivio od 10. do 70. godine.

Rjeˇsenje.

Arhimed je zˇ ivio −212 − (−287) = 75 godina. Tales je zˇ ivio −540 − (−620) = 80 godina. Vitruvije je zˇ ivio 15 − (−75) = 90 godina. Heron je zˇ ivio 70 − 10 = 60 godina.

1.2. Racionalni brojevi Zadatak 1. Rjeˇsenje.



6

5 5 3 , , , 2 4 8 5 5 = 2.5 , = 1.25 , 2 4

Razlomke

15 prikaˇzi u obliku decimalnog broja. 16 3 15 = 0.375 , = 0.9375 . 8 16

Brojeve 0.5 , 0.25 , 0.125 , 0.75 , 0.625 prikaˇzi u obliku razlomka. 0.5 =

1 1 1 3 5 , 0.25 = , 0.125 = , 0.75 = , 0.625 = . 2 4 8 4 8

Poredaj po veliˇcini brojeve:

2 , 66 % , 0.666 , 0.6˙ . 3

2 Prikaˇzimo razlomak i postotak u obliku decimalnog broja: = 0.6˙ i 3 66 % = 0.66 . Brojevi poredani po redu od najmanjeg prema najvećem su: 2 0.66 , 0.666 , = 0.6˙ 3

RACIONALNI BROJEVI

Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

Rjeˇsenje.




1.2

1 ˙ koliko je 1 ? = 0.3, 3 30 6 2 ˙ ˙ Ako je = 0.285714, koliko je 2 ? 7 7 1 1 1 = · = 0.3˙ : 10 = 0.03˙ . 30 3 10 14 + 6 20 2 6 ˙ ˙ = = · 10 = 0.28571 4˙ · 10 = 2.85714 2 = 2˙ . 7 7 7 7

Ako je

Odredi period u decimalnom zapisu racionalnog broja: 5 3 5 1) ; 2) ; 3) ; 6 11 13 5 3 5 ˙ 1) = 0.83˙ ; 2) = 0.2˙ 7˙ ; 3) = 0.38461 5˙ ; 6 11 13

4) 4)

6 . 7

6 ˙ = 0.85714 2˙ . 7

Koja se znamenka nalazi na 101. mjestu iza decimalne toˇcke u decimalnom zapisu svakog od cˇ etiriju brojeva iz prethodnog zadatka? 5 = 0.83˙ ; Na svim decimalnim mjestima je znamenka 3 pa je i na 101. 1) 6 mjestu. 3 2) = 0.2˙ 7˙ ; Uzastopno se ponavlja skupina od dvije znamenke (27). Podi11 jelimo li 101 s 2 dobit cémo 50 i 1 ostatka. To znaˇci da c´ e na 101. mjestu biti prva znamenka iz skupine, a to je 2. 5 ˙ 3) = 0.38461 5˙ ; Uzastopno se ponavlja skupina od sˇ est znamenki (384615). 13 Podijelimo li 101 s 6 dobit cémo 16 i 5 ostatka. To znaˇci da c´ e na 101. mjestu biti peta znamenka iz skupine, a to je 1. 6 ˙ 4) = 0.85714 2˙ ; Uzastopno se ponavlja skupina od sˇ est znamenki (857142). 7 Podijelimo li 101 s 6 dobit cémo 16 i 5 ostatka. To znaˇci da c´ e na 101. mjestu biti peta znamenka iz skupine, a to je 4. Odredi 303. znamenku u decimalnom zapisu broja

15 . 37

15 ˙ 5˙ . = 0.405405 . . . = 0.40 37 15 uzastopno se ponavlja skupina od tri znamenU decimalnom zapisu broja 37 ke (405). Podijelimo li 303 s 3 dobit cémo 101. To znaˇci da na 303. mjestu zavrˇsava navedena skupina, te je traˇzena znamenka 5. Odredi 777. znamenku u decimalnom zapisu broja −

111 . 11

111 = −10.090909 . . . = 0.0˙ 9˙ . 11 15 U decimalnom zapisu broja uzastopno se ponavlja period od dvije zna37 menke (09). Podijelimo li 777 s 2 dobit cémo 388 i ostatak 1. To znaˇci da cé na 777. mjestu biti prva znamenka iz skupine, a to je 0. −

7

1

BROJEVI


Zadatak 10.

Odredi 1500. znamenku u decimalnom zapisu broja

3 ˙ = 0.230769230769 . . . = 0.23076 9˙ . 13 15 U decimalnom zapisu broja uzastopno se ponavlja period od sˇ est znamenki 37 (230769). Podijelimo li 1500 s 6 dobit cémo 250. To znaˇci da na 1500. mjestu zavrˇsava navedena skupina, te je traˇzena znamenka 9. Za koje su cijele brojeve a brojevi ni?

Rjeˇsenje.




Zadatak 14.

Zadatak 15.

1 a+2 je racionalni broj za sve cijele brojeve a , a = 0 . Broj je a a(a − 3) a racionalan za sve a , a = 0 i a = 3 . Broj je racionalan za sve a , 2a − 10 a+2 je racionalan za sve a , a = −2 i a = 2 . a = 5 . Broj 2 a −4 Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak Razlomak

8

6 cijeli broj. n+1

6 je cijeli broj za n = −7 , −4 , −3 , −2 , 0, 1, 2 i 5. n+1

Za koje je cijele brojeve n razlomak

6 cijeli broj? n−1

n ∈ {−5, −2, −1, 0, 2, 3, 4, 7} . Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak Zapiˇsimo

n+2 cijeli broj. n−2

n+2 n−2+4 4 = =1+ te je n ∈ {−2, 0, 1, 3, 4, 6} . n−2 n−2 n−2

Odredi prirodni broj x tako da vrijede jednakosti: 2 x = ; 12 3

2)

4 2 = ; x 5

3)

3 x = . 7 21

U rjeˇsavanju primjenjujemo definiciju jednakosti racionalnih brojeva. 1) 3x = 24 , slijedi x = 8 ; 2) 2x = 20 , slijedi x = 10 ; 3) 7x = 63 , slijedi x = 9 . Za koji cijeli broj x vrijedi: 1)

Rjeˇsenje.

a+2 a a+2 1 , , , racionala a(a − 3) 2a − 10 a2 − 4

Broj

1) Rjeˇsenje.

3 . 13

x 1 = ; 5 20

2)

x 1 =− ; 6 3

3) −

x 5 = ? 24 6

1) Iz 5x = 20 slijedi x = 4 ; 2) Iz 3x = −6 slijedi x = −2 ; 3) Iz −6x = 120 slijedi x = −20 .

RACIONALNI BROJEVI

Zadatak 16.

Za koji je broj x ispunjena jednakost

1.2

9+x 2 = ? 15+x 3

Rjeˇsenje. 9+x 2 = , 15 + x 3 3(9 + x) = 2(15 + x), 27 + 3x = 30 + 2x, x = 30 − 27 = 3.

Zadatak 17.

Za koji je broj x ispunjena jednakost

123−x 5 = ? 101+x 9

Rjeˇsenje. 9(123 − x) = 5(101 + x), 1107 − 9x = 505 + 5x, −14x = −602, x = 43.

Zadatak 18.

15 oduzmemo isti broj x , dobit c´ emo Ako od brojnika i nazivnika razlomka 32 4 . Koliki je x ? razlomak 21

Rjeˇsenje. 15 − x 4 = , 32 − x 21 21(15 − x) = 4(32 − x), 315 − 21x = 128 − 4x, −21x + 4x = 128 − 315, −17x = −187, x = 11.

Zadatak 19.

113 dodamo neki broj, a isti taj broj oduzmemo od 212 2 nazivnika, dobit c´ emo razlomak . O kojem se broju radi? 3

Ako brojniku razlomka

Rjeˇsenje. 113 + x 2 = , 212 − x 3 3(113 + x) = 2(212 − x), 339 + 3x = 424 − 2x, 5x = 85, x = 17.

9

1

BROJEVI

Zadatak 20.

Rjeˇsenje.

Skrati razlomke: 105 1155 1) ; 2) ; 168 5775 1) 2) 3) 4) 5)

Zadatak 21.

6 930 3 333 333 135 135 ; 4) ; 5) . 12 870 5 555 555 234 234 3·5·7 5 105 = = ; 105 = 3 · 5 · 7, 168 = 8 · 3 · 7, 168 8·3·7 8 1155 1155 1 5775 = 5 · 1155, = = ; 5775 5 · 1155 5 7 6 930 = ; 6930 = 10 · 9 · 7 · 11, 12870 = 10 · 9 · 11 · 13, 12 870 13 3 3 333 333 = ; 3 333 333 = 3 · 1 111 111, 5 555 555 = 5 · 1 111 111, 5 555 555 5 135 135 = 135 · 1001 = 9 · 15 · 1001, 234 234 = 234 · 1001 15 135 135 = . = 9 · 26 · 1001, 234 234 26 3)

Poredaj po veliˇcini brojeve: 3 3 11 19 17 67 , , , , ; 2) , 0.7˙ , 4 12 24 18 72 4 3 11 19 17 67 3) − , − , − , − , − . 4 12 24 18 72 3 19 11 67 17 3 13 1) , , , , ; 2) 0.7 , , 0.7˙ , , 4 24 12 72 18 4 16 11 3 17 19 67 3) − , − , − , − , − . 72 12 4 18 24

1)

Rjeˇsenje.



Zadatak 24.

29 13 , 0.7 , ; 16 32

29 ; 32

1 2 a , a , a + b, a · b, ? a b 1 1 25 1 1 1 7 1 a= =⇒ = 3 , a2 = , b = = =⇒ a + b = + = , 3 a 9 100 4 3 4 12 1 1 1 1 a 4 3 a·b= · = , = = . 1 3 4 12 b 3 4

Ako je a = 0.3˙ , b = 0.25 , koliko je

1 1 1 1 1 1 + = 1 , + = 2 , + = 5 , koliko je a + b + c ? a b b c c a 1 1 1 a = , b = −1 , c = , a + b + c = − . 2 3 6

Ako je

Primjenjujući jednakost

1 1 1 − = izraˇcunaj: n n+1 n · (n + 1)

1 1 1 1 + + + ...+ . 1·2 2·3 3·4 99 · 100 Rjeˇsenje.

10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +. . .+ = − + − + − +. . .+ − 1·2 2·3 3·4 99 · 100 2 2 2 3 3 4 99 100 99 1 = . =1− 100 100

RACIONALNI BROJEVI

Zadatak 25.

1.2

Izraˇcunaj: 1 1 1 1 + + + ...+ . 1·3 3·5 5·7 99 · 100

Rjeˇsenje.

Zadatak 26.

Rjeˇsenje.

1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + = + − + Imamo 1− · 5 5· 7 99 · 100 2 3 3 5 11 · 3 1 3 1 1 50 − = 1− = . ... + 99 101 2 101 101 Izraˇcunaj: 4 3 1 · −2 − 0.2 : − ; 1) 1.6 − 5 4 5 4 5 4 − 1.8 : −1 + 0.1 · − ; 2) 5 5 9 2 2 3 2 − 1+ : 1.25 − 1 ; 3) : 0.75 − 2 3 3 3 3 1 2 7 4) − 1.2 1 + 1 : 2.5 − : −3 . 5 2 5 8 3 16 3 4 1 4 9 2 1) 1.6 − − : − · −2 − 0.2 : − = · − − 5 4 5 10 5 4 10 5 8 3 5 9 1 9 1 9 1 − = · − − · − = 1· − + =− + 5 5 4 5 4 4 4 4 4 8 = − = −2; 4 4 4 4 18 5 5 9 1 2) − 1.8 : −1 − · − + 0.1 · − = : − + 5 5 9 5 10 5 10 9 5 5 1 10 − 1 4 9 5 1 1 − = −1 · − = − = = · − − − 5 5 9 18 9 18 9 18 18 1 9 = ; = 18 2 3 2 2 2 3) − 1+ : 0.75 − : 1.25 − 1 2 3 3 3 3 2 3+2 75 2 125 − · − −1 = : : 2 3 3 100 3 100 3 2 5 3 10 3 2 9−8 4 5 = − · − − · −1 : : −1 = : 2 3 3 4 3 4 2 9 12 5 1 4 1 7 7 1 − 15 27 − 20 : · −1 = : −1 = : = 18 12 5 18 15 18 15 15 7 5 · − = =− ; 18 14 12

11

1

BROJEVI

2 7 1 3 − 1.2 1 + 1 : 2.5 − : −3 5 2 5 8 3 12 3 25 2 7 − − = 1+ : : −3 5 10 2 10 5 8 3 6 2+3 5 2 8 = − · − : · −3 5 5 2 2 5 7 3 21 8 3 6 5 25 − 4 8 − · · −3 = −3 : · −3 = : 5 5 2 10 7 5 10 7 3 − 15 12 12 12 − 15 12 5 = : −3 =− : =− · − = 4. 5 5 5 5 5 3

4)

Zadatak 27.

Izraˇcunaj: 2 3 2 7 1 + − − 7 1) 3 12 4 − 4 5 − ; 3 1 3 4 2 − − 4 2 2 5 2 8 1 4 8 − − 3− 3 − 3 2 −1+ 3 ; 2) 3 15 − 4 2 2 5 20 2 3 1 1 3 − + : 2 3) 5 20 10 2 + − · 4; 3 1 1 20 25 + − ·5 20 10 8 3 11 13 7 2 − + 2− : 1+ 5 2 7 5 ; 4) : 7 2 13 4 5 1 :4+ : 1− : 2− 5 3 2 7 7

5 3 16 5 7 13 − + + − : 4 3 12 8 2 . 5) 2 5 3 3 15 5 7 + · − + − ·9 12 4 2 14 4 6

Zadatak 28.

Izraˇcunaj: 4 7 + 0.59 : 0.125 + 3.5 1) 25 ; 2) 24 . 3 2 − 0.15 : 4 − 0.25 4 3 4 79 59 316 + 59 3 + 0.59 + 100 1) 25 = 25 100 = 3 3 75 − 15 15 1 − 0.15 : 4 − :4 · 4 4 100 100 4 375 375 375 = 100 = 100 = = 25 ; 60 1 15 15 · 100 4 100 3

Rjeˇsenje.

12

RACIONALNI BROJEVI

1.2

7 125 35 7 1 7 7 7 7 : + : + : 0.125 + 3.5 ·8+ 2 = 24 1000 10 = 24 8 2 = 24 2) 24 2 2 1 8−3 2 25 − 0.25 − − 3 3 4 12 3 100 7 7 14 + 21 35 + 70 6 = 14 . = 3 2 = = 6 = 5 5 5 5 12 12 12

Zadatak 29.

Izraˇcunaj: 2 3 5 2 5 · − 0.25+ · 0.75− · : 3; 1) 1.5+ 5 3 3 20 4 5 3 5 3 + 0.5 + · 0.6 2 + − 0.8 · − 2 3 4 3 2) ; 3 2 + 0.875 − 2 3 5 3 2 0.9− −0.7 · 16+0.4− 2.1− − 6 5 3) 4 9 3 2 . 4 3 6 +0.9−1.2 · − : 1.2 : + 5 4 7 7 5

Zadatak 30.

Izraˇcunaj: 1 1 2 7 5 2 7 3 2 − − − : − ; 1) 4 10 3 6 10 5 1 3 2 3 2 2 15 25 2 2) 2+ − − − · − : 4; 4 2 2 3 2 4 3 1 2 1 1 2 1 2 − ; : 1+ 3) − − 2 4 2 4 2 5 5 2 2 5 7 2 15 10 − ; · · 2+ − − · 4) 3 4 5 6 10 4 7 11 1 2 12 8 2 2 15 7 5) − − − : . · · 12 2 5 15 5 4 5

Zadatak 31.

Izraˇcunaj: ⎛

Rjeˇsenje.

⎞ ⎞ ⎛ 1 1 1 1 3 − 1− 3 + 0.875 ⎜ 0.75 ⎟ ⎟ ⎜ 3. 2 ⎠· 2 3 ; 4⎠· 1) ⎝ : 2) ⎝ : 1 1 2 1 1 1.4 1.2 − 1 − 1.2 3.2 − 1 1+ 3 3 4 3 4 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 1 75 3−2 1 3 − 3 + 1 3 + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.75 2 ⎠ · 2 3 = ⎝ 100 : 2 · 6 : 1) ⎝ 1 1 14 ⎠ 4 − 3 2 5 12 1.4 − 1 − 1.2 − 3 3 4 10 12 3 10 ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ 6+3 9 1 3 3 3 45 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 4 : 2⎠·2=⎝ 4 : =⎝ 4 : 2 ⎠· 6 =⎝ ·2 7 1 7 14 ⎠ 5 6 25 − 18 7 − 12 5 15 15 3 5 5 45 14 1 · = · 2 = · 2 = 1; 28 45 2 3+1

13

1

BROJEVI

⎛ ⎞ ⎞ 875 3−1 1 12 + 3 3 1 − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0.875 3 = ⎝ 1000 : 4⎠· 4 : 2) ⎝ · 3 32 4 12 ⎠ 4 + 1 1 1 1.2 − 3.2 − 1 1+ 3 4 10 3 10 4 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ 2 7 7 7 15 25 ⎟ 8 8⎟ 8 ⎜ 8 ⎜ ⎜ ⎟ 8 · = · =⎝ 8 : 4 ⎠· 3 =⎝ : · 16 4 6 48 − 20 8 ⎠ 15 ⎝ 28 25 ⎠ 15 5 − 5 3 5 15 15 4 2 15 8 8 · · = . = 32 25 15 25 ⎛

Zadatak 32.

3+

Izraˇcunaj x iz sljedećih jednakosti, primjenjujući svojstva osnovnih raˇcunskih operacija s racionalnim brojevima: 32 = (2x − 48) : 2.4 ; 1) (5 − 0.2) : (3.3 − x) = 12 ; 2) (184 + x): 5 4 3) 1 : 3 − 0.8x = 55 : (x + 4) ; 4) 1.2 − (0.8 + x) = −3.6 ; 5 5) 1.1 − (5x + 5.5) = 11.1 ; 6) 12 · (0.22 − x) = −1.44 ; 10 = 1; 7) −1.2 · (0.3 + x) = −3.6 ; 8) [(8x + 24) : 5] : 4 + 6 5 (x − 11.875) : (100 − 3x)·4 8 = 1; 9) 208: 112 − =2 ; 10) 1 8 23 −2 0.625 · 25 5 (145 − 24x) : 5 + 24 : 5 = 5 ; 11) 29 4 3 3 15 12) − 1 = 5.625 . 3 8 (5.5 + x) : 21 7

Rjeˇsenje.

1) (5 − 0.2) : (3.3 − x) = 12 4.8 : (3.3 − x) = 12 4.8 = 12(3.3 − x) 4.8 = 39.6 − 12x 12x = 39.6 − 4.8 12x = 34.8 x = 34.8 : 12 x = 2.9;

2) (184 + x) : 32 = (2x − 48) : 2.4 5 5 24 (184 + x) · = 2(x − 24) : 32 10 5 5 = (x − 24) · 2 · (184 + x) · 32 12 1 1 = (x − 24) · (184 + x) · 16 3 3 · (184 + x) = (x − 24) · 16 552 + 3x = 16x − 384 3x − 16x = −384 − 552 −13x = −936 x = 72;

14

RACIONALNI BROJEVI

3) 1 :

1.2

4 3 − 0.8x = 55 : (x + 4) 5 4 x + 4 = 55 · 3 − 0.8x 5 15 + 4 x + 4 = 55 · − 55 · 0.8x 5 x + 4 = 209 − 44x x + 44x = 209 − 4 45x = 205 41 ; x= 9

4) 1.2 − (0.8 + x) = −3.6

5)

1.2 − 0.8 − x = −3.6 0.4 − x = −3.6

1.1 − (5x + 5.5) = 11.1 1.1 − 5x − 5.5 = 11.1 −4.4 − 5x = 11.1

−x = −3.6 − 0.4 x = 4;

−5x = 11.1 + 4.4 −5x = 15.5 x = −3.1;

6)

12 · (0.22 − x) = −1.44 12 · 0.22 − 12x = −1.44 2.64 − 12x = −1.44

7)

−1.2 · (0.3 + x) = −3.6 −1.2 · 0.3 − 1.2x = −3.6 −0.36 − 1.2x = −3.6

−12x = −1.44 − 2.64 −12x = −4.08

−1.2x = −3.6 + 0.36 −1.2x = −3.24

x = 0.34;

10 8) =1 [(8x + 24) : 5] : 4 + 6 [(8x + 24) : 5] : 4 + 6 = 10 [(8x + 24) : 5] : 4 = 4 (8x + 24) : 5 = 16 8x + 24 = 80 8x = 80 − 24 8x = 56 x = 7;

x = 2.7;

(100 − 3x) · 4 =2 9) 208 : 112 − 23 400 − 12x 104 : 112 − =1 23 400 − 12x = 104 112 − 23 400 − 12x − = 104 − 112 23 400 − 12x = −8 · (−23) −12x = 184 − 400 x = −216 : (−12) x = 18;

15

1

BROJEVI

10)

5 11) 8 =1 1 8 −2 0.625 · 25 5 625 8 11 11875 5 · − x− : = 1000 8 1000 25 5 5 8 11 95 8 − x− · = · 8 5 8 25 5 1 11 8 x − 19 = − 5 5 5 8 x = −2 + 19 5 5 x = 17 · 8 85 x= 8 5 x = 10 ; 8 (x − 11.875) :

12)

3

4 15

3 (5.5 + x) : 21 7 49 15

−1

(145 − 24x) : 5 + 24 : 5 = 5 29 (145 − 24x) : 5 + 24 · 29 = 25 29 24 29 − x + 696 = 725 5 24 725 − x = 725 5 24 − x=0 5 x = 0;

3 = 5.625 8

5625 11 + = 150 1000 8 (5.5 + x) : 7 49 45 11 15 + = 7 55 8 8 +x · 10 150 49 15 · 7 + 7 x = 56 55 150 150 8 10 49 15 =7 7 77 + x 300 150 49 539 49 = + x 15 300 150 49 · 20 = 539 + 49 · 2x −98x = −980 + 539 −98x = −441 9 x= . 2

16

RACIONALNI BROJEVI




Ako je a : b : c = 1 : 2 : 4 , koliko je

a + 2b − 3c ? 3a − 2b + c

Iz a : b : c = 1 : 2 : 4 =⇒ a = k , b = 2k , c = 4k . a + 2b − 3c k + 2 · 2k − 3 · 4k k + 4k − 12k −7k 7 = = = =− . 3a − 2b + c 3k − 2 · 2k + 4k 3k − 4k + 4k 3k 3 Broj 135 podijeli na dva dijela koji su u omjeru 7 : 8 . Iz x + y = 135 i x : y = 7 : 8 imamo x = 7k i y = 8k . 7k + 8k = 135 =⇒ k = 9 . Odavde slijedi da je x = 7 · 9 = 63 i y = 8 · 9 = 72 . 135 = 63 + 72 . Ako je 3x : 5y = 7 : 11 , koliko je x : y ? 3x 7 x 7 5 x 35 = =⇒ = · =⇒ = . Slijedi x : y = 35 : 33 . 5y 11 y 11 3 y 33

Zadatak 36.

Ako su veliˇcine kutova u trokutu u omjeru 1 : 3 : 4 , koliki je najveći kut trokuta?

Rjeˇsenje.

 = k ,  = 3k i  = 4k . Iz  + + = 180◦ slijedi k+3k+4k = 180◦ =⇒ 8k = 180◦ =⇒ k = 22.5◦ . Najveći kut u trokutu je  = 4k = 4·22.5 = 90◦ .

Zadatak 37.

Mjere unutarnjih kutova cˇ etverokuta u omjeru su 1 : 2 : 3 : 4 . Kolika je mjera najmanjeg kuta ovog cˇ etverokuta?

Rjeˇsenje.

Zbroj svih kutova cˇ etverokuta iznosi 180◦ pa iz zadanog omjera imamo k + 2k + 3k + 4k = 360 , 10k = 360◦ . Najmanji kut ovog cˇ etverokuta ima mjeru 36◦ .

Zadatak 38.

Ako su a , b i c duljine stranica trokuta i ako je a : b = 5 : 4 , a : c = 3 : 5 , a opseg trokuta iznosi 156 cm, kolika je duljina najkraće stranice ovog trokuta?

Rjeˇsenje.

1.2

5 4 Iz a : b = 5 : 4 =⇒ b = a , a iz a : c = 3 : 5 =⇒ c = a . Odavde 5 3 slijedi 4 5 15 + 12 + 25 52 a + a + a = 156 cm, a = 156 cm, a = 156 cm, 5 3 15 15 a = 45 cm, b = 36 cm, c = 75 cm. Duljina najkraće stranice je b = 36 cm.

Zadatak 39.

Broj 2 400 podijeli na tri dijela koji su u omjeru 3 : 5 : 8 .

Rjeˇsenje.

x + y + z = 2400 i x : y : z = 3 : 5 : 8 . Slijedi x = 3k , y = 5k , z = 8k . Uvrstimo li to u prvu jednadˇzbu dobit c´ emo 3k + 5k + 8k = 2400 =⇒ 16k = 2400 =⇒ k = 150 . Odavde slijedi x = 3 · 150 = 450 , y = 5 · 150 = 750 i z = 8 · 150 = 1200 .

Zadatak 40.

Broj 697 podijeli na tri dijela, a, b i c tako da je a : b = 3 : 4 i b : c = 3 : 5 .

Rjeˇsenje.

a : b : c = 9 : 12 : 20 , dijelovi su redom 9k , 12k i 20k te iz 41k = 697 dobijemo k = 17 i a = 153 , b = 204 , c = 340 .

Zadatak 41.

Opseg oranice iznosi 2 800 metara. Kolike su duljina i sˇ irina oranice ako su u omjeru 5 : 9 ?

17

1

BROJEVI

Rjeˇsenje.

d : sˇ = 5 : 9 =⇒ d = 5k , sˇ = 9k . O = 2d + 2ˇs = 10k + 18k = 28k . 2800 = 28k =⇒ k = 100 . Slijedi da je duljina oranice d = 5 · 100 = 500 m i sˇ = 9 · 100 = 900 m.

Zadatak 42.

Za 1.5 sat napuni se 0.3 obujma bazena. Koliko treba vremena da bi se napunilo 0.9 obujma bazena?

Rjeˇsenje.



0.3 : 0.9 = 1.5 : x =⇒ 1 : 3 = 1.5 : x =⇒ x = 4.5 . Nakon 12 minuta gorenja duljina svijeće smanji se s 30 cm na 25 cm. Nakon koliko cé vremena svijeća dogorjeti? 5 : 25 = 12 : x =⇒ 5x = 25 · 12 =⇒ x =

25 · 12 = 60 minuta. 5

Ako su od 70 proizvoda 3 s greˇskom, koliko se proizvoda s greˇskom moˇze oˇcekivati u 840? 840 · 3 = 36 proizvoda. 70 : 840 = 3 : x =⇒ 70x = 840 · 3 =⇒ x = 70

Zadatak 45.

U jednom razredu na pismenom ispitu iz matematike 1/ 3 uˇcenika nije rijeˇsila jedan zadatak, 1/ 4 nije rijeˇsila po dva zadatka, 1/ 6 po po tri zadatka, a 1/ 8 sva cˇetiri zadatka. Koliko je uˇcenika toˇcno rijeˇsilo sve zadatke ako je u razredu manje od 30 uˇcenika?

Rjeˇsenje.

Najmanji prirodni broj djeljiv sa 3, 4, 6 i 8 je broj 24 (sljedeći je 48). Dakle, barem jedan zadatak netoˇcno je rijeˇsio ukupno 21 uˇcenik pa je sve zadatke rijeˇsilo samo troje.

1.3. Realni brojevi Zadatak 1.

Rjeˇsenje.

Zadatak 2.

Rjeˇsenje.


18

Koji su od sljedećih √ brojeva racionalni: 11 √ 5  2 − , 17 , , − , 5 , √ , −444 ? 15 2 2 5 11 Racionalni su brojevi: − , 5 , −444 . 15 - kojih se dvaju uzastopnih cijelih brojeva nalaze sljedeći brojevi: Izmedu √ √ √ √ 5 , − 77 , 777 , −15 ? 117 , − 515 , 3 √ √ √ 5 < 6 , −9 < − 77 < −8 , 10 < 117 < 11 , −23 < 515 < −22 , 5 < 3 √ 27 < 777 < 28 , −48 < −15 < −47 . 22 355 √ , , , 9.9 . 7 113 Broj  je iracionalan broj. On je pribliˇzno jednak 3.1415926535 . . . Nadalje √ 355 22 = 3.142857 . . . , = 3.1415929 . . . , 9.9 = 3.14642 . . . je: 7 113 Poredaj po veliˇcini brojeve: 3.14 ,

REALNI BROJEVI

Poredani po veliˇcini dani brojevi cˇ ine niz: 3.14 ,  ,




1.3

355 22 √ , , 9.9 . 113 7

Je li broj 0.3333 . . . racionalan ili iracionalan? Obrazloˇzi! Odgovor je neizvjestan, ne znaju se ostale znamenke danog broja. √ Postupajući kao u “Kutku plus” dokaˇzi da broj 3 nije racionalan broj. √ Kad bi 3 bio racionalan broj, mogli bismo ga zapisati u obliku koliˇcnika dvaju prirodnih brojeva. Pa uzmimo da on to jest, da ga moˇzemo zapisati u √ m obliku razlomka , gdje su m i n prirodni brojevi (jer je 3 pozitivan broj). - moˇzemo npretpostaviti da m i n nisu oba parna. Kad bi oni bili takvi, Takoder kratili bismo ih sve dok to moˇzemo, dok barem jedan od njih ne bude neparan. m √ m2 Kvadriramo jednakost = 3 i dobijemo 3 = 2 , odnosno m2 = 3n2 . n n 2 Ako je n neparan, n2 je isto neparan pa je i m neparan. Ako je n pa√ ran onda je i m paran sto ako je 3 racionalan ne moze biti jer je zapisan m pa bi se moglo skratiti s 2. Dakle, m i n moraju biti nekao razlomak √n parni da bi 3 bio racionalan. Uvrstimo li m = 2k − 1 i n = 2l − 1 , dobijemo 4k2 − 4k + 1 = 3(4l2 − 4l + 1) , 4k2 − 4k + 1 = 12l2 − 12l + 3 , 4k2 −4k = 12l2 −12l+2 . Skratimo sve s 2 i izlucimo: 2k(k−1) = 6l(l−1)+1 . Lijeva strana jednadzbe je ocito parna, a desna neparna sto je nemoguce te za√ kljucujemo da je 3 iracionalan. √ √ √ √ Dokaˇzi da je broj 2 + 3 iracionalan. Uputa: zapiˇsi 2 + 3 = a , gdje je a racionalan broj. √ √ Pretpostavimo √ da je 2 + 3 = a , pri cˇ emu je a racionalan √ broj. Tada je √ 3 = a − 2 . Kvadriramo ovu jednakost pa imamo a2 − 2 2a = 1 . Dalje √ a2 − 1 je 2 = . Kako je s lijeve strane ove jednakosti iracionalan, a s desne 2a racionalan broj (Zaˇsto?), ona je proturjeˇcna. Pretpostavka je bila pogreˇsna i zakljuˇcujemo kako je dani broj iracionalan.

Zadatak 7.

Odredi sˇ est brojeva cˇija je aritmetiˇcka sredina jednaka 3, a svaki je sljedeći od prethodnog veći za 0.4.

Rjeˇsenje.

Tih sˇ est brojeva oznaˇcimo ovako: x − 0.8, x − 0.4, x, x + 0.4, x + 0.8, x + 1.2 . Slijedi da je aritmetiˇcka sredina x − 0.8 + x − 0.4 + x + x + 0.4 + x + 0.8 + x + 1.2 =3 6 6x + 1.2 =3 6 x + 0.2 = 3 x = 2.8. Ti su brojevi: 2, 2.4, 2.8, 3.2, 3.6, 4.

19

1

BROJEVI

Zadatak 8.

Srednja vrijednost 15 uzastopnih prirodnih brojeva jednaka je 14. Koji je najmanji, a koji je najveći od tih brojeva?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo te brojeve ovako: n − 7, n − 6, n − 5, n − 4, n − 3, n − 2, n − 1, n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7 , n > 7 . Srednja vrijednost je

n−7+n−6+n − 5+n−4+n−3+n − 2+n−1+n+n+1+n+2+n+3+n+4+n+5+n+6+n+7 = 14 15 15n = 14 15 n = 14. Srednji je broj 14, najmanji je 7, a najveći 21.

Zadatak 9.

Rjeˇsenje.


Prosjeˇcna teˇzina djeˇcaka u razredu je 55 kg, a prosjeˇcna teˇzina djevojˇcica 47 kg. Koliki je omjer broja djevojˇcica i broja djeˇcaka ako je prosjeˇcna teˇzina svih uˇcenika tog razreda 49 kg? 55m + 47c = 49 slijedi m+c 55m + 47c = 49m + 49c te je c = 3m . U razredu je tri puta viˇse djevojˇcica nego djeˇcaka. Ako je m broj djeˇcaka, a c broj djevojˇcica, tada iz

Koji je od brojeva 28, 30, 26, 37 i 29 aritmetiˇcka sredina ostalih cˇetiriju? 150 28 + 30 + 26 + 37 + 29 = = 30 . 5 5

Zadatak 11.

Odredi sedam brojeva cˇija je aritmetiˇcka sredina 6.6, a svaki je sljedeći broj od prethodnog manji za 0.2.

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo te brojeve ovako: x − 0.6, x − 0.4, x − 0.2, x, x + 0.2, x + 0.4, x + 0.6 . Aritmetiˇcka sredina je x − 0.6 + x − 0.4 + x − 0.2 + x + x + 0.2 + x + 0.4 + x + 0.6 = 6.6 7 7x = 6.6 7 x = 6.6. Ti su brojevi 6, 6.2, 6.4, 6.6, 6.8, 7, 7.2.

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

Rjeˇsenje.

20

Prosjeˇcna starost igraˇca jedne nogometne momˇcadi, njih jedanaestorice, je 25.5 godina. Ako je iz igre iskljuˇcen igraˇc star 20.5 godina, kolika je prosjeˇcna starost igraˇca koji su ostali u igri? 25.5 · 11 − 20.5 = 26 godina. Prosjeˇcna starost igraˇca je 26 godina. 10 U nekom razredu s 30 uˇcenika prosjeˇcna ocjena općeg uspjeha je 3.85. S prosjekom 5.0 razred je zavrˇsilo 6 uˇcenika. Kolika je prosjeˇcna ocjena ostalih 24 uˇcenika? 3.85 · 30 − 6 · 5 = 3.5625 . Prosjeˇcna ocjena ostalih 24 uˇcenika je .5625 . 24

REALNI BROJEVI

Zadatak 14.

Rjeˇsenje.

1.3

2 1 U nekoj je sˇ koli svih uˇcenika zavrˇsila razred s odliˇcnim uspjehom, s vrlo 6 3 1 dobrim, s dobrim. S dovoljnim nije zavrˇsio niti jedan uˇcenik, a 13 uˇcenika 8 upućeno je na popravni ispit. Kolika je srednja ocjena uˇcenika koji su uspjeˇsno zavrˇsili sˇ kolsku godinu? Ako s x oznaˇcimo broj svih uˇcenika sˇ kole, onda je 1 2 1 x + x + x + 13 = x. 6 3 8 Odatle se dobije x = 312 . Sada izraˇcunamo da su u sˇ koli 52 odlikaˇsa, da je 208 uˇcenika razred zavrˇsilo s vrlo dobrim uspjehom, a 39 s dobrim. Raˇcunajmo srednju ocjenu: 1209 52 · 5 + 208 · 4 + 39 · 3 = ≈ 4.04. 299 299

Zadatak 15.

Prosjeˇcna visina djevojˇcica u nekom razredu je 164 cm, a djeˇcaka 172 cm. Ako je prosjeˇcna visina svih u razredu 167 cm, koliki je omjer broja djevojˇcica i broja djeˇcaka u tom razredu?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo s c broj djevojˇcica i s d broj djeˇcaka u tom razredu. Aritmetiˇcka 164 · c + 172 · d sredina jednaka je = 167 . Odavde slijedi 164c + 172d = c+d 167c + 167d =⇒ 5d = 3c =⇒ c : d = 5 : 3 . Omjer brojeva djevojˇcica i djeˇcaka u tom razredu je 5 : 3 .

Zadatak 16.

Hotel Plavi Jadran, cˇ iji je kapacitet 180 postelja, u 7. i 8. mjesecu bio je popunjen 95 % , u 6. i 9. popunjenost je bila 75 % . U trima zimskim mjesecima hotel je bio zatvoren, a u ostalim mjesecima popunjenost je bila 45 % . Koliki je bio prosjeˇcan mjeseˇcni broj gostiju tog hotela u vremenu kada je hotel bio otvoren?

Rjeˇsenje.

Najprije izraˇcunamo broj gostiju po pojedinom mjesecu. U VII. i VIII. mjesecu u hotelu je dnevno boravio prosjeˇcno 180 · 0.95 = 171 gost. U VI. i IX. mjesecu prosjek gostiju je bio 180 · 0.75 = 135 , a prosjek u ostalih 5 mjeseci kada je hotel bio otvoren iznosio je 180 · 0.45 = 81 . I sada raˇcunamo ukupan prosjek za cijelu godinu: 171 · 2 + 135 · 2 + 81 · 5 1017 = = 113. 9 9

Zadatak 17.

Rjeˇsenje.

Zadatak 18.

7 5 i . Uvjeri se da je taj broj veći od Odredi aritmetiˇcku sredinu brojeva 12 15 manjeg, a manji od većeg od tih dvaju brojeva. 5 25 + 28 7 + 53 53 5 12 15 60 Aritmetiˇcka sredina je = = . I sada je > = 2 2 120 120 12 50 53 7 56 , te < = . 120 120 15 120 Koristeći se svojstvom aritmetiˇcke sredine odredi pet brojeva koji su veći od 8 5 , a manji od . 6 9

21

1

BROJEVI

Rjeˇsenje.





Zadatak 23.

22

5 8 15 + 16 + 31 5 8 6 9 18 i je = = . Aritmetiˇcka sredina brojeva 6 9 2 2 36 5 31 30 + 31 + 5 31 61 36 Aritmetiˇcka sredina brojeva i je 6 36 = = . 6 36 2 2 72 31 8 31 + 32 + 63 31 8 36 9 36 i je = = . Aritmetiˇcka sredina brojeva 36 9 2 2 72 5 61 60 + 61 + 5 61 121 6 72 72 Aritmetiˇcka sredina brojeva i je = = . 6 72 2 2 144 8 63 64 + 63 + 8 63 127 72 Aritmetiˇcka sredina brojeva i je 9 72 = = . 9 72 2 2 144 121 61 31 63 127 8 5 < < < < < . Slijedi < 6 144 72 36 72 144 9 Za neku je gradnju potrebno 200 000 komada opeke. Ako je otpad zbog loma 4.5 % koliko komada treba nabaviti? 4.5 4.5 95.5 x− x = 200 000 , x 1 − = 200 000 , = 200 000 , x · 100 100 100 200 000 · 100 x= ≈ 209 425 . 95.5 Kava pri prˇzenju gubi 12 % mase. Koliko treba sirove kave da bi se prˇzenjem dobilo 10 kg prˇzene? 12 88 x − 12%x = 10 , x 1 − = 10 , x ≈ 11.4 kg . = 10 , x · 100 100 Netko za prijevoz robe plati 600 kn sˇ to cˇ ini 1.5 % njezine vrijednosti. Koliko vrijedi roba? 1.5 600 · 100 x = 600 , x = = 40 000 . 100 1.5 U nekoj sˇ koli 55 % svih uˇcenika su djevojˇcice. Ostalo su djeˇcaci i njih je za 60 manje nego djevojˇcica. Koliko je uˇcenika u toj sˇ koli? 45 55 55 − 45 x + 60 = x, x = 60 , x = 600 . U 100 100 100 55 sˇ koli je 600 uˇcenika. Od toga je 55%600 = · 600 = 330 djevojˇcica i 100 600 − 330 = 270 djeˇcaka. 45%x + 60 = 55%x ,

Uˇcenici triju razreda skupljali su stari papir. Razred A skupio je za 20 % veću koliˇcinu od razreda B, a razred B za 20 % manje od razreda C. Ako je ukupno skupljeno 759 kg papira, koliko je skupio pojedini razred?

REALNI BROJEVI

Rjeˇsenje.

1.4

A + B + C = 759 A = B + 20%B = B(1 + 0.2) = 1.2B 1 B = 1.25B 0.8 1.2B + B + 1.25B = 759 =⇒ 3.45B = 759 =⇒ B = 220 kg A = 1.2 · 220 = 264 kg

B = C − 20%C = C(1 − 0.2) = 0.8C =⇒ C =

C = 1.25 · 220 = 275 kg

Zadatak 24.

U predizbornoj kampanji jedan je politiˇcar obećao kako cé za vrijeme svojeg cˇ etverogodiˇsnjeg mandata ukinuti PDV na knjige koji sada iznosi 20 % i to tako da c´ e ga svake godine umanjiti za 5 % u odnosu na prethodnu godinu. Moˇze li taj politiˇcar, bude li izabran, ispuniti svoje obećanje?

Rjeˇsenje.

Ne, ne moˇze. Uz navedene uvjete umanjenje cé biti 18.55 %. Kad bi svake godine umanjenje bilo za 5 % u odnosu na poˇcetno stanje, onda bi iznosilo 20 %.

Zadatak 25.

Novine obavjeˇstavaju kako je porast cijene automobilskog goriva tijekom posljednje 3 godine bio redom za 4 %, 5 % i 8 % Tako je u te 3 godine cijena porasla za ukupno 17 %, zakljuˇcuje novinar. No ta je raˇcunica pogreˇsna. Izraˇcunajte koliko je porasla cijena goriva u posljednje tri godine.

Rjeˇsenje.

Prve godine cijena je porasla za 4 % te je iznosila 1.04c , gdje je c cijena goriva prije poskupljenja. Naredne godine doˇslo je do poskupljenja za 5 % te je nova cijena jednaka 1.04c + 1.04c · 0.05 = 1.04c · 1.05 = 1.092c . I konaˇcno, nakon novog poskupljenja za 8 % cijena iznosi 1.092c+1.092·0.08 = 1.092·1.08c = 1.17936c . Ukupno poskupljenje dakle nije 17 % već je gotovo 18 %.

Zadatak 26.

Odgovori na sljedeća pitanja: 1) Koliko je uˇcenika u tvojem razredu zavrˇsilo osmi razred s općim uspjehom vrlo dobar? Izrazi taj broj u postotcima. 2) Na pismenom ispitu iz matematike u tvojem razredu 32 % uˇcenika ocijenjeno je odliˇcnom ocjenom. Koliki je to broj uˇcenika?

Rjeˇsenje.

1) U mom razredu je bilo 25 uˇcenika. 9 ih je zavrˇsilo osmi razred s općim 9 = 0.36 = 36% . uspjehom vrlo dobar. To je 25 2) 25 · 32% = 30 · 0.32 = 8 . 8 uˇcenika je ocijenjeno odliˇcnom ocjenom na pismenom ispitu iz matematike.

Zadatak 27.

U morskoj je vodi 0.3 % soli. Koliko kilograma soli ima u jednom hektolitru morske vode?

Rjeˇsenje.


1 hl = 100 l pa je u jednom hektolitru 0.003 · 100 = 0.3 kg soli. Od neke svote odbije se 8 % na troˇskove, a ostatak se podijeli na 5 osoba. Koliko je iznosila cijela svota ako je svaka osoba dobila po 930 kn? x − 8%x = 930 , x − 0.08x = 4650 , 0.92x = 4650 , x = 5054.35 kn. 5

23

1

BROJEVI

1.4. Operacije sa skupovima Zadatak 1.

Rjeˇsenje.

Zadatak 2.

Rjeˇsenje.




Zadatak 6.

Rjeˇsenje.


Zadatak 8.

24

Ispiˇsi sve elemente ovih skupova: 1) skup svih djelitelja broja 48; 2) skup svih zajedniˇckih viˇsekratnika brojeva 6 i 9 manjih od 150; 3) skup prostih brojeva manjih od 100; 4) skup svih dvoznamenkastih brojeva cˇije su znamenke 1, 2 ili 3. 1) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} ; 2) {18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144} ; 3) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97} ; 4) {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33} .  0.7 1 Dan je skup S = − √ , 0.11, 3.14159, −101, , . 4 1.23 2 Napiˇsi podskup ovog skupa cˇiji su elementi iracionalni brojevi. 1  SI = − √ , 2 4 Za prirodni broj n definiramo skup Sn = {x ∈ N : x < n} . Odredi skupove S1 , S10 i S1000 . S1 = {x ∈ N : x < 1} = ∅ ; S10 = {x ∈ N : x < 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ; S1000 = {x ∈ N : x < 1000} = {1, 2, 3, . . . , 997, 998, 999} . Odredi sve skupove X za koje vrijedi X ⊆ {a, b, c} . X ∈ {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. ˇ Neka je A ⊆ B . Cemu su jednaki skupovi A ∩ B , A ∪ B ? A ∩ B = A, A ∪ B = B. U kojem su medusobnom odnosu sljedeći skupovi: 1) A = {n ∈ N : n = 3k} , B = {n ∈ N : n = 6k} ; 2) A = {n ∈ N : n = 4k − 1} , B = {n ∈ N : n = 2k + 4} ? 1) B ⊆ A ; skup A sadrˇzi brojeve djeljive s 3, a skup B brojeve djeljive sa 6; 2) A ∩ B = ∅ ; skup A sadrˇzi neparne brojeve, a skup B parne. Odredi neki skup A tako da vrijedi: 1) {1, 2, 3} ∩ A = {1, 2} ; 2) {1, 2, 3} ∩ A = ∅ ;

3) {1, 2, 3} ∩ A = {3, 4} .

1) A je bilo koji skup koji sadrˇzi brojeve 1 i 2 ali ne i broj 3; 2) A je bilo koji skup koji ne sadrˇzi niti broj 1 niti broj 2 niti broj 3; 3) takav skup A ne postoji jer u prvom skupu nema broja 4. Odredi neki skup B tako da vrijedi: 1) {1, 2, 3} ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} ; 2) {1, 2, 3} ∪ B = {1, 2, 3} .

OPERACIJE SA SKUPOVIMA

Rjeˇsenje.

1) B je skup koji sadrˇzi brojeve 4 i 5 i moˇzda joˇs neki od brojeva 1, 2 ili 3, ali nikoji drugi broj. 2) B moˇze sadrˇzavati samo neke od brojeva 1 , 2 ili 3.

Zadatak 9.

Elementi skupova A , B i C neki su od prirodnih brojeva koji su manji od 10. Pritom je: A ∩ B = {3, 8} , A ∩ C = {8, 9} , B ∩ C = {8} , A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 8, 9} , A ∪ C = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} , B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} . Odredi skupove A , B i C .

Rjeˇsenje.



Zadatak 12.

A = {1, 2, 3, 8, 9} , B = {3, 4, 8} , C = {5, 6, 7, 8, 9} . Elementi skupova A , B i C neki su od prirodnih brojeva koji su manji od 10. Pritom je: A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = {3, 4} , A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 7} , A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5} , B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7} . Odredi skupove A , B i C . A = {1, 2, 3, 4} , B = {3, 4, 6, 7} , C = {3, 4, 5} . Skupovi A , B i C podskupovi su skupa prirodnih brojeva: A = {n : n = 2k − 1, k ∈ N} , B = {n : n = 3k, k ∈ N} , C = {n : n = 4k, k ∈ N} . Odredi skupove A ∪ B , A ∪ C , B ∪ C , A ∩ B , A ∩ C , B ∩ C . A = {1, 3, 5, 7, 9, 11 . . .} , B = {3, 6, 9, 12, 15 . . .} , C = {4, 8, 12, 16, 20 . . .} . A ∪ B={1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15 . . .}={n : n = 2k − 1 ili n = 3k, k ∈ N} ; A ∪ C={1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13 . . .} = {n : n=2k−1 ili n=4k, k ∈ N} ; B ∪ C = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16 . . .} = {n : n = 3k ili n = 4k, k ∈ N} ; A ∩ B = {3, 9, 15 . . .} = {n : n = 6k − 3, k ∈ N} ; A ∩ C = ∅; B ∩ C = {12, 24, 36 . . .} = {n : n = 12k, k ∈ N} . ˇ se moˇze reći o skupovima A , B , C za koje vrijedi: Sto 1) A ∪ B = A , 3) A ∩ B ∩ C = A ,

Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

1) B ⊆ A ;

2) A = B ;

2) A ∪ B = A ∩ B , 4) A ∪ B ∪ C = A ? 3) A ⊆ B i A ⊆ C ;

4) B ⊆ A i C ⊆ A .

Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je: A = {x ∈ N : 2 < x < 11} , B = {x ∈ N : 7 x 17} .

Rjeˇsenje.

A ∪ B = {x ∈ N : 2 < x 17} ;

A ∩ B = {x ∈ N : 7 x < 11} .

Zadatak 14.

Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je: A = {x ∈ Z : −12 < x < −1} ,

B = {x ∈ Z : −2 x 5} .

A ∪ B = {x ∈ Z : −12 < x 5} ;

A ∩ B = {−2} .

Rjeˇsenje.

Zadatak 15.

Rjeˇsenje.

Zadatak 16.

1.4

Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je: 1 1 1 A= x∈Q:0
B=

7 4 x∈Q:− x . 9 9

25

1

BROJEVI

Rjeˇsenje.



26

4 x∈Q:− x 9 3 A∩B= x ∈Q:−
A∪B=

Obrazloˇzi: 1) A ∩ B ⊆ A i A ∩ B ⊆ B ;

7 = B; 9 5 = A. 7

2) A ⊆ A ∪ B i B ⊆ A ∪ B ;

3) A ∩ B ⊂ A ∪ B .

1) x ∈ A ∩ B =⇒ x ∈ A i x ∈ B , pa je A ∩ B ⊆ A i A ∩ B ⊆ B . 2) x ∈ A =⇒ x ∈ A ∪ B , x ∈ B =⇒ x ∈ A ∪ B . 3) x ∈ A ∩ B =⇒ x ∈ A i x ∈ B =⇒ x ∈ A ∪ B . Odredi skup X tako da vrijedi: {1, 2, 3} ⊆ X ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}. X = {1, 2, 3} , X = {1, 2, 3, 4} , X = {1, 2, 3, 5} , X = {1, 2, 3, 4, 5} .

Detaljna Rjesenja 1 Dio1

Recommend Documents