Detaljna Rjesenja Zadataka Iz Udzbenika

Branimir Daki´c Neven Elezovi´c MATEMATIKA 1 zbirka detaljno rijeˇsenih zadataka iz udˇzbenika za 1. razred gimnazija i tehniˇckih sˇ kola 1. dio



Intelektualno je vlasniˇstvo, poput svakog drugog vlasniˇstva, neotudivo, zakonom zaˇsti´ceno i mora se poˇstovati. Nijedan dio ove knjige ne smije se preslikavati niti umnaˇzati na bilo koji naˇcin, bez pismenog dopuˇstenja nakladnika.

CIP zapis dostupan u raˇcunalnom katalogu Nacionalne i sveuˇciliˇsne knjiˇznice u Zagrebu pod brojem 000912225.

ISBN 978-953-197-814-9 (cjelina) ISBN 978-953-197-822-4 (Dio 1)

Branimir Daki´c Neven Elezovi´c

MATEMATIKA 1 zbirka detaljno rijeˇsenih zadataka iz udˇzbenika za 1. razred gimnazija i tehniˇckih sˇ kola

1. dio

2. izdanje

Zagreb, 2015.

c 

Branimir Daki´c, prof. prof. dr. sc. Neven Elezovi´c, 2014.

Urednica Sandra Graˇcan, dipl. ing. Lektorica Dunja Apostolovski, prof. Crteˇzi, slog i prijelom ELEMENT d.o.o., Zagreb Dizajn Edo Kadi´c

Nakladnik ELEMENT d.o.o., Zagreb, Menˇceti´ceva 2 tel. 01/ 6008-700, 01/ 6008-701 faks 01/ 6008-799 www.element.hr [email protected]

Tisak ELEMENT d.o.o., Zagreb

Sadrˇzaj

1. Brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Prirodni i cijeli brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Realni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 7 22 28

2. Potencije i algebarski izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

31 Pojam potencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Raˇcunanje s potencijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Znanstveni zapis realnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Algebarski izrazi. Potenciranje binoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Razlika i zbroj potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Rastavljanje na faktore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Algebarski razlomci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Linearne jednadˇzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

- na skupu realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Uredaj 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

Svojstva relacije uredaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearne nejednadˇzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apsolutna vrijednost realnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Udaljenost toˇcaka na brojevnom pravcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jednadˇzbe i nejednadˇzbe s apsolutnim vrijednostima . . . . . . . . . .

4. Koordinatni sustav u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Koordinatni sustav u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Udaljenost dviju toˇcaka u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Povrˇsina trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poloviˇste duˇzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. 5.3. 5.4. 5.5.

Definicija i opis vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zbrajanje vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rastav vektora u komponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektori u koordinatnom sustavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135 136 138 172 177 183 195 196 211 219 229 239 240 241 247 251

1

BROJEVI

1.1. Prirodni i cijeli brojevi Zadatak 1.

1) Zapiˇsi prirodni broj koji neposredno slijedi iza prirodnog broja n . 2) Zapiˇsi prirodni broj koji neposredno prethodi prirodnom broju n − 2 . Kad zadatak ima rjeˇsenje? 3) Zapiˇsi broj koji je za 2 ve´ci od zbroja brojeva m i n . 4) Zapiˇsi broj koji je dvostruko ve´ci od razlike brojeva a i b . 5) Zapiˇsi broj koji je tri puta manji od umnoˇska brojeva a i b .

Rjeˇsenje.

1) Sljedbenik broja n je broj n + 1 . 2) Prethodnik broja n − 2 je (n − 2) − 1 = n − 3 . Zadatak ima rjeˇsenje kad je n > 3 . 3) To je broj m + n + 2 . 4) To je broj 2(a − b) . ab . 5) To je broj 3

Zadatak 2.

Ispiˇsi: - cijelih brojeva k − 1 i k + 5 ; 1) sve cijele brojeve koji su izmedu 2) sve neparne cijele brojeve koji su ve´ci od 2k − 1 i manji od 2k + 7, gdje je k cijeli broj; 3) sve parne cijele brojeve ve´ce od 2k − 5 i manje od 2k + 1, gdje je k cijeli broj.

Rjeˇsenje.

2

1) To su brojevi k , k + 1 , k + 2 , k + 3 i k + 4 . 2) To su brojevi 2k + 1 , 2k + 3 i 2k + 5 . 3) To su brojevi 2k − 4 , 2k − 2 i 2k .

Zadatak 3.

Marko je dvostruko stariji od Filipa, a Filip je 3 godine stariji od Luke. Ako je Luki n godina, koliko ukupno godina imaju sva trojica?

Rjeˇsenje.

Ako je Luki n godina, a Filip je 3 godine stariji, onda Filip ima n + 3 godina. Marko je dvostruko stariji od Filipa pa ima 2 · (n + 3) = 2n + 6 godina. Sva trojica ukupno imaju n + n + 3 + 2n + 6 = 4n + 9 godina.

Zadatak 4.

Zamisli neki broj. Dodaj mu 1 pa zbroj pomnoˇzi s 4. Zatim oduzmi 4 pa dobiveni rezultat podijeli s 4. Koji je broj rezultat? ˇ primje´cujeˇs? Obrazloˇzi! Ponovi ovaj postupak nekoliko puta. Sto

Rjeˇsenje.

[(n + 1) · 4 − 4] : 4 = (4n + 4 − 4) : 4 = 4n : 4 = n. Tako ovim raˇcunom uvijek dobijemo broj od kojega smo krenuli.

Zadatak 5.

Neka je d dan, a m mjesec rodenja tvojeg prijatelja. Evo kako c´eˇs odrediti koji je dan njegov rodendan. Zadaj mu neka provede sljede´ci raˇcun: — Podvostruˇci broj d. — Pomnoˇzi dobiveni rezultat s 10. — Dodaj 73.

PRIRODNI I CIJELI BROJEVI

1.1

— Pomnoˇzi s 5. — Dodaj broj m. Neka ti sada prijatelj kaˇze rezultat koji je dobio. Oduzmi kriˇsom od tog rezultata broj 365 i dobit c´eˇs datum njegovog rodenja. Obrazloˇzi matematiˇcku pozadinu ovog op´ceg rjeˇsenja. Rjeˇsenje.

Prati niz zapisa: 2d → 20d → (20d + 73) → (20d + 73) · 5 → (100d + 365 + m) → (100d + m) . Rezultat je cˇ etveroznamenkasti broj cˇije su prve dvije znamenke redni broj dana, a posljednje dvije redni broj mjeseca rodenja.

Zadatak 6.

Neka tvoj prijatelj broj svojih godina starosti pomnoˇzi s 4. Tom broju neka doda 10 pa rezultat pomnoˇzi s 25. Neka potom od dobivenog rezultata oduzme broj dana u neprestupnoj godini. Konaˇcno, neka razlici doda iznos sitniˇsa u lipama koji ima u svojem dˇzepu (svakako neka je manji od 100). Nakon ovog raˇcuna zahtijevajte da vam kaˇze rezultat. Dodat c´ emo tom rezultatu 115 i oˇcitati: prve dvije znamenke su godine, a sljede´ce dvije iznos sitniˇsa u dˇzepu vaˇseg prijatelja. Moˇzete li razobliˇciti ovu “ˇcaroliju”?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo sa n broj godina, a sa s koliˇcinu sitniˇsa. Slijedi niz zapisa: 4n → 4n+10 → (4n+10)·25 → (4n+10)·25−365 → (4n+10)·25−365+s = 100n + s − 115 . Dodamo li ovom posljednjem broju 115 dobit c´emo 100n + s . Oˇcigledno, prve dvije znamenke su broj godina, posljednje dvije iznos su sitniˇsa.

Zadatak 7.

Na polici se nalazi sˇ est svezaka Op´ce enciklopedije, poredanih slijeva udesno, jedan do drugog. Svaki svezak ima 515 stranica ne raˇcunaju´ci korice. 1) Koliko ukupno stranica ima Op´ca enciklopedija? - 313. stranice drugog sveska i 127. stranice 2) Koliko stranica ima izmedu petog? 3) Brojimo li stranice enciklopedije redom te izbrojimo 1784, u kojem svesku i na kojoj stranici smo se zaustavili? 4) Brojimo li stranice enciklopedije redom, ali otraga prema naprijed te se zaustavimo na broju 3000, u kojem svesku i na kojoj stranici smo se zaustavili?

Rjeˇsenje.

1) 2) 3) 4)

6 · 515 = 3090 ; (515 − 313 + 1) + 2 · 515 + 127 = 1360 ; 1784 − 3 · 515 = 239 , zaustavili smo se na 239. stranici cˇetvrtog sveska; 3090 − 3000 + 1 = 91 , zaustavili smo se na 91. stranici prvog sveska.

Zadatak 8.

- brojevima 1, 2, 3, . . . , 9 odaberi dva medusobno Medu razliˇcita broja. Ispiˇsi sve dvoznamenkaste brojeve kojima su znamenke ti brojevi, te ih zbroji. Taj je zbroj uvijek djeljiv s 22. Zbog cˇega? Obrazloˇzi! Moˇzeˇs li provesti analogno zakljuˇcivanje za tri odabrana broja? Napomena: Dvoznamenkast broj xy zapisujemo u obliku 10x + y . Jednako je tako xyz = 100x + 10y + z .

Rjeˇsenje.

Odaberemo li primjerice znamenke 2 i 5, svi dvoznamenkasti brojevi su 22, 25, 52 i 55. Njihov zbroj je 154 i on je djeljiv s 22.

3

1

BROJEVI

Op´cenito, odaberemo li dvije razliˇcite znamenke x i y , svi dvoznamenkasti brojevi su xx , xy , yx , i yy , a njihov zbroj je xx + xy + yx + yy = 10x + x + 10x + y + 10y + x + 10y + y = 22x + 22y = 22 · (x + y).

Zadatak 9.

Broj 100 zapiˇsi povezuju´ci raˇcunskim operacijama 1) pet jedinica;

Rjeˇsenje.

Zadatak 10. Rjeˇsenje.

2) pet trojki;

Primjerice: 1) 111 − 11 ;

2) 33 · 3 +

3) pet petica. 3 ; 3

3) (5 + 5 + 5 + 5) · 5 .

Ispiˇsi redom brojeve 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Poveˇzi te brojeve znakovima + i − (koriste´ci ih ukupno triput) tako da dobijeˇs 100. Primjerice: 123 − 45 − 67 + 89 .

Zadatak 11.

Zapiˇsi broj 100 uporabom svih 10 znamenki i uporabom cˇ etiriju osnovnih raˇcunskih operacija.

Rjeˇsenje.

Primjerice: 0+1+2+3+4+5+6+7+8·9 , 0−1+3·5+4+6 : 2+7+8·9 .

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Rijeˇsi rebus: +

O A

H H

O A

H H

O A

A

H

A

H

A

H

A moˇze biti samo 1 pa imamo: +

O 1

H H

O 1

H H

O 1

1

H

1

H

1

H

Odatle je O = 9 , pa sad rebus izgleda ovako: +

9 1

H H

9 1

H H

9 1

1

H

1

H

1

H

Lako se vidi da je H = 0 . Dakle, rjeˇsenje je 90 909 + 10 101 = 101 010 .

Zadatak 13. Rjeˇsenje.

Odredi cˇ etiri uzastopna prirodna broja kojima je zbroj jednak 1258 . Neka je n najmanji od traˇzena cˇetiri broja. Onda mora biti n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 1258, 4n + 6 = 1258. Odatle je n = 313 , te su traˇzeni uzastopni brojevi 313, 314, 315, 316.

Zadatak 14. 4

Zbroj pet uzastopnih parnih prirodnih brojeva jednak je 6080 . Koji su to brojevi?

PRIRODNI I CIJELI BROJEVI

Rjeˇsenje.

1.1

Oznaˇcimo tre´ci po redu broj s n . Onda su ostala cˇ etiri jednaka n − 4 , n − 2 , n + 2 i n + 4 pa mora biti (n − 4) + (n − 2) + n + (n + 2) + (n + 4) = 6080 5n = 6080 te je n = 1216 . Rijeˇc je o brojevima 1212 , 1214 , 1216 , 1218 , 1220 .

Zadatak 15.

Zbroj sedam uzastopnih neparnih prirodnih brojeva jednak je 581. Koliki je zbroj sedam narednih neparnih prirodnih brojeva?

Rjeˇsenje.

Srednji c´emo broj oznaˇciti s n . Onda su preostali brojevi n − 6 , n − 4 , n − 2 , n + 2 , n + 4 i n + 6 pa mora biti (n − 6) + (n − 4) + (n − 2) + n + (n + 2) + (n + 4) + (n − 6) = 581 7n = 581 te je n = 83 . Rijeˇc je o brojevima 77, 79, 81, 83, 85, 87 i 89. Sedam narednih neparnih brojeva su redom 91, 93, 95, 97, 99, 101 i 103, a njihov zbroj iznosi 679.

Zadatak 16.

Umnoˇzak triju uzastopnih prirodnih brojeva jednak je 4080. Koliki je zbroj tih triju brojeva?

Rjeˇsenje.

Rastavljanjem broja 4080 na proste faktore, dobivamo 4080 = 24 · 3 · 5 · 17 = 16 · 15 · 17 . Dakle, rijeˇc je o umnoˇsku brojeva 15, 16 i 17. Njihov zbroj je 48.

Zadatak 17. Rjeˇsenje.

Zadatak 18. Rjeˇsenje.

Zadatak 19. Rjeˇsenje.

Zadatak 20.

Koja je posljednja znamenka umnoˇska 1 · 3 · 5 · 7 · . . . · 99? Rijeˇc je o umnoˇsku uzastopnih neparnih prirodnih brojeva od kojih neki zavrsˇ avaju s 5, te i cijeli umnoˇzak zavrˇsava s 5. S koliko nula zavrˇsava umnoˇzak 1 · 2 · 3 · 4 · . . . · 33 ? Broj je djeljiv s 10 ako je djeljiv s 2 i s 5. Kad bismo zadani umnoˇzak rastavili na proste faktore, zanima nas koliko u tom rastavu ima petica (dvojki oˇcigledno - zadanim brojevima imamo tri koji zavrˇsavaju s ima viˇse nego petica). Medu 5 (5, 15 i 25 – njihov je umnoˇzak djeljiv s 5 cˇetiri puta), te tri koja zavrˇsavaju s nulom (10, 20 i 30 – umnoˇzak je djeljiv s 5 tri puta). Stoga cijeli umnoˇzak zavrˇsava sa sedam nula. Koja je posljednja znamenka umnoˇska prvih stotinu prostih brojeva? - njima je i Broj 2 jedini je paran prost broj. Svi su ostali prosti brojevi, a medu broj 5, neparni. Zbog toga umnoˇzak zavrˇsava nulom. Prepiˇsi, pa umjesto kvadrati´ca upiˇsi broj tako da dobijeˇs toˇcne jednakosti: 1) −11 + 3) 23 +

= −24 ; = −1 ;

5) 33 − (−44) = 7) −61 +

= 77 ;

;

2)

− (−45) = 13 ;

4)

+ (−17) = −34 ;

6) −75 − 28 = 8)

;

− (−111) = −205 .

5

1

BROJEVI

Rjeˇsenje.

Zadatak 21.

1)

= −24 + 11 = −13 ;

2)

= 13 − 45 = −32 ;

3)

= −1 − 23 = −24 ;

4)

= −34 + 17 = −17 ;

5)

= 33 + 44 = 77 ;

6)

= −75 − 28 = −103 ;

7)

= 77 + 61 = 138 ;

8)

= −205 − 111 = −316 .

Izraˇcunaj: 1) −5 · (2 − 11) − 4 · (3 − 12) ; 2) 2 · (−3) − 4 · (−5) + (−6) · (−7) ; 3) (−12) · (−11) − (−10) · (−15) ; 4) −12 · (−3) − 5 · 14 − 11 .

Rjeˇsenje.

6

1) 2) 3) 4)

−5 · (2 − 11) − 4 · (3 − 12) = −5 · (−9) − 4 · (−9) = 45 + 36 = 81 ; 2 · (−3) − 4 · (−5) + (−6) · (−7) = −6 + 20 + 42 = 56 ; (−12) · (−11) − (−10) · (−15) = 132 − 150 = −18 ; −12 · (−3) − 5 · 14 − 11 = 36 − 70 − 11 = −45 .

Zadatak 22.

Raˇcunamo: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + . . . Ako imamo konaˇcan broj pribrojnika, recimo n , koliki je rezultat ovog zbrajanja?

Rjeˇsenje.

Ako je n paran broj onda imamo (1−2)+(3−4)+(5−6)+. . .+[(n−1)−n] = n n · (−1) = − . 2 2 Ako je n neparan broj onda imamo (0 + 1) + (−2 + 3) + (−4 + 5) + . . . + n n [−(n − 1) + n] = · 1 = . 2 2

Zadatak 23.

Najviˇsa ikad izmjerena temperatura zraka na Zemlji zabiljeˇzena je u Libiji 13.9.1922. Iznosila je 57.8 ◦ C ili 136 ◦ F . Najniˇza je izmjerena na Antarktici (Vostok Station) 12.1.1983., kada je termometar pokazivao −89.2 ◦ C ili −128.6 ◦ F . - najniˇze i najviˇse temperature ikad izmjerene na ZemKolika je razlika izmedu lji? U Hrvatskoj je do sada najviˇsa izmjerena temperatura iznosila 42.8 ◦ C ili 109 ◦ F , a izmjerena je 5.8.1998. u Ploˇcama. Najniˇza temperatura izmjerena je ˇ u Cakovcu 3.2.1929., a bilo je −35.5 ◦ C ili −31.5 ◦ F . - najviˇse i najniˇze izmjerene temperature u Hrvatskoj? Kolika je razlika izmedu

Rjeˇsenje.

Na Zemlji: 57.8 ◦ C − (−89.2 ◦ C) = 147 ◦ C ili 136 ◦ F − (−128.6 ◦ F) = 264.6 ◦ F . U Hrvatskoj: 42.8 ◦ C − (−35.5 ◦ C) = 78.3 ◦ C ili 109 ◦ F − (−31.5 ◦ F) = 140.5 ◦ F .

Zadatak 24.

Arhimed je zˇ ivio od 287. g. pr. Kr. do 212. g. pr. Kr. To bismo jednostavnije mogli zapisati: Arhimed je zˇ ivio od − 287. do − 212. g. Koliko je godina poˇzivio Arhimemed? Odgovori na isto pitanje za sljede´ce matematiˇcare: Tales je zˇ ivio od − 620. do − 540. godine. Vitruvije je zˇ ivio od − 75. do 15. godine. Heron je zˇ ivio od 10. do 70. godine.

Rjeˇsenje.

Arhimed je zˇ ivio −212 − (−287) = 75 godina. Tales je zˇ ivio −540 − (−620) = 80 godina. Vitruvije je zˇ ivio 15 − (−75) = 90 godina. Heron je zˇ ivio 70 − 10 = 60 godina.

RACIONALNI BROJEVI

1.2

1.2. Racionalni brojevi Zadatak 1. Rjeˇsenje.

Zadatak 2. Rjeˇsenje.

Zadatak 3. Rjeˇsenje.

Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

Rjeˇsenje.

Zadatak 6. Rjeˇsenje.

Razlomke

5 5 3 15 , , , prikaˇzi u obliku decimalnog broja. 2 4 8 16

5 5 3 15 = 2.5 , = 1.25 , = 0.375 , = 0.9375 . 2 4 8 16 Brojeve 0.5 , 0.25 , 0.125 , 0.75 , 0.625 prikaˇzi u obliku razlomka. 0.5 =

1 1 1 3 5 , 0.25 = , 0.125 = , 0.75 = , 0.625 = . 2 4 8 4 8

Poredaj po veliˇcini brojeve:

2 , 66 % , 0.666 , 0.6˙ . 3

2 Prikaˇzimo razlomak i postotak u obliku decimalnog broja: = 0.6˙ i 3 66 % = 0.66 . Brojevi poredani po redu od najmanjeg prema najve´cem su: 2 0.66 , 0.666 , = 0.6˙ 3 1 ˙ koliko je 1 ? = 0.3, 3 30 2 ˙ ˙ koliko je 2 6 ? Ako je = 0.28571 4, 7 7

Ako je

1 1 1 = · = 0.3˙ : 10 = 0.03˙ . 30 3 10 14 + 6 20 2 6 ˙ ˙ = = · 10 = 0.28571 4˙ · 10 = 2.85714 2˙ . 2 = 7 7 7 7 Odredi period u decimalnom zapisu racionalnog broja: 3 5 5 2) ; 3) ; 1) ; 6 11 13 1)

5 = 0.83˙ ; 6

2)

3 = 0.2˙ 7˙ ; 11

3)

5 ˙ = 0.38461 5˙ ; 13

4) 4)

6 . 7

6 ˙ = 0.85714 2˙ . 7

Koja se znamenka nalazi na 101. mjestu iza decimalne toˇcke u decimalnom zapisu svakog od cˇ etiriju brojeva iz prethodnog zadatka? 5 1) = 0.83˙ . Na svim decimalnim mjestima je znamenka 3 pa je i na 101. 6 mjestu. 3 2) = 0.2˙ 7˙ . Uzastopno se ponavlja skupina od dvije znamenke (27). Podi11 jelimo li 101 s 2 dobit c´emo 50 i ostatak 1. To znaˇci da c´ e na 101. mjestu biti prva znamenka iz skupine, a to je 2.

7

1

BROJEVI

5 ˙ = 0.38461 5˙ . Uzastopno se ponavlja skupina od sˇ est znamenki 13 (384615). Podijelimo li 101 sa 6 dobit c´emo 16 i ostatak 5. To znaˇci da c´ e na 101. mjestu biti peta znamenka iz skupine, a to je 1. 6 ˙ 2˙ . Uzastopno se ponavlja skupina od sˇ est znamenki (857142). 4) = 0.85714 7 Podijelimo li 101 sa 6 dobit c´emo 16 i ostatak 5. To znaˇci da c´ e na 101. mjestu biti peta znamenka iz skupine, a to je 4.

3)

Zadatak 7. Rjeˇsenje.

Zadatak 8. Rjeˇsenje.

Zadatak 9. Rjeˇsenje.

Zadatak 10.

Odredi 303. znamenku u decimalnom zapisu broja

15 ˙ 5˙ . = 0.405405 . . . = 0.40 37 15 uzastopno se ponavlja skupina od tri znamenU decimalnom zapisu broja 37 ke (405). Podijelimo li 303 s 3 dobit c´emo 101. To znaˇci da na 303. mjestu zavrˇsava navedena skupina, te je traˇzena znamenka 5. Odredi 777. znamenku u decimalnom zapisu broja −

Zadatak 11. 8

111 . 11

111 = −10.090909 . . . = 0.0˙ 9˙ . 11 15 uzastopno se ponavlja period od dvije znaU decimalnom zapisu broja 37 menke (09). Podijelimo li 777 s 2 dobit c´emo 388 i ostatak 1. To znaˇci da c´e na 777. mjestu biti prva znamenka iz skupine, a to je 0. −

Odredi 1500. znamenku u decimalnom zapisu broja

3 . 13

3 ˙ = 0.230769230769 . . . = 0.23076 9˙ . 13 15 U decimalnom zapisu broja uzastopno se ponavlja period od sˇ est znamenki 37 (230769). Podijelimo li 1500 sa 6 dobit c´emo 250. To znaˇci da na 1500. mjestu zavrˇsava navedena skupina, te je traˇzena znamenka 9. Za koje su cijele brojeve a brojevi ni?

Rjeˇsenje.

15 . 37

a+2 a a+2 1 , , , racionala a(a − 3) 2a − 10 a2 − 4

1 a+2 je racionalni broj za sve cijele brojeve a , a = 0 . Broj je a a(a − 3) a racionalan za sve a , a = 0 i a = 3 . Broj je racionalan za sve a , 2a − 10 a+2 a = 5 . Broj 2 je racionalan za sve a , a = −2 i a = 2 . a −4 Broj

Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak

6 cijeli broj. n+1

RACIONALNI BROJEVI

Rjeˇsenje.

Zadatak 12. Rjeˇsenje.

Zadatak 13. Rjeˇsenje.

Zadatak 14.

Razlomak

Zadatak 15.

Zadatak 16.

6 cijeli broj? n−1

n ∈ {−5, −2, −1, 0, 2, 3, 4, 7} . Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak Zapiˇsimo

n+2 cijeli broj. n−2

n+2 n−2+4 4 = =1+ te je n ∈ {−2, 0, 1, 3, 4, 6} . n−2 n−2 n−2

Odredi prirodni broj x tako da vrijede jednakosti: 2 x = ; 12 3

2)

4 2 = ; x 5

3)

3 x = . 7 21

U rjeˇsavanju primjenjujemo definiciju jednakosti racionalnih brojeva. 1) 3x = 24 , slijedi x = 8 ; 2) 2x = 20 , slijedi x = 10 ; 3) 7x = 63 , slijedi x = 9 . Za koji cijeli broj x vrijedi: 1)

Rjeˇsenje.

6 je cijeli broj za n = −7 , −4 , −3 , −2 , 0, 1, 2 i 5. n+1

Za koje je cijele brojeve n razlomak

1) Rjeˇsenje.

1.2

x 1 = ; 5 20

2)

x 1 =− ; 6 3

3) −

x 5 = ? 24 6

1) Iz 5x = 20 slijedi x = 4 ; 2) Iz 3x = −6 slijedi x = −2 ; 3) Iz −6x = 120 slijedi x = −20 . Za koji je broj x ispunjena jednakost

9+x 2 = ? 15+x 3

Rjeˇsenje. 9+x 2 = , 15 + x 3 3(9 + x) = 2(15 + x), 27 + 3x = 30 + 2x, x = 30 − 27 = 3.

Zadatak 17.

Za koji je broj x ispunjena jednakost

123−x 5 = ? 101+x 9

Rjeˇsenje. 9(123 − x) = 5(101 + x), 1107 − 9x = 505 + 5x, −14x = −602, x = 43.

9

1

BROJEVI

Zadatak 18.

15 oduzmemo isti broj x , dobit c´ emo Ako od brojnika i nazivnika razlomka 32 4 . Koliki je x ? razlomak 21

Rjeˇsenje. 15 − x 4 = , 32 − x 21 21(15 − x) = 4(32 − x), 315 − 21x = 128 − 4x, −21x + 4x = 128 − 315, −17x = −187, x = 11.

Zadatak 19.

113 dodamo neki broj, a isti taj broj oduzmemo od 212 2 nazivnika, dobit c´ emo razlomak . O kojem se broju radi? 3

Ako brojniku razlomka

Rjeˇsenje. 113 + x 2 = , 212 − x 3 3(113 + x) = 2(212 − x), 339 + 3x = 424 − 2x, 5x = 85, x = 17.

Zadatak 20.

Rjeˇsenje.

10

Skrati razlomke: 105 1155 1) ; 2) ; 168 5775

3)

6930 ; 12 870

4)

3 333 333 ; 5 555 555

5)

135 135 . 234 234

3·5·7 5 105 = = ; 168 8·3·7 8 1155 1155 1 2) 5775 = 5 · 1155, = = ; 5775 5 · 1155 5 7 6930 = ; 3) 6930 = 10 · 9 · 7 · 11, 12 870 = 10 · 9 · 11 · 13, 12 870 13 3 3 333 333 = ; 4) 3 333 333 = 3 · 1 111 111, 5 555 555 = 5 · 1 111 111, 5 555 555 5 5) 135 135 = 135 · 1001 = 9 · 15 · 1001 , 234 234 = 234 · 1001 = 9 · 26 · 1001 , 135 135 15 = . 234 234 26 1) 105 = 3 · 5 · 7,

168 = 8 · 3 · 7,

RACIONALNI BROJEVI

Zadatak 21.

1.2

Poredaj po veliˇcini brojeve: 3 13 29 3 11 19 17 67 , , , , ; 2) , 0.7˙ , , 0.7 , ; 4 12 24 18 72 4 16 32 3 11 19 17 67 3) − , − , − , − , − . 4 12 24 18 72

1)

Rjeˇsenje.

Zadatak 22. Rjeˇsenje.

Zadatak 23. Rjeˇsenje.

Zadatak 24.

Rjeˇsenje.

Zadatak 25.

Rjeˇsenje.

Zadatak 26.

3 19 11 67 17 3 13 29 , , , , ; 2) 0.7 , , 0.7˙ , , ; 4 24 12 72 18 4 16 32 11 3 17 19 67 3) − , − , − , − , − . 72 12 4 18 24

1)

Ako je a = 0.3˙ , b = 0.25 , koliko je

a 1 2 , a , a + b, a · b, ? a b

1 1 25 1 1 1 7 1 =⇒ = 3 , a2 = , b = = =⇒ a + b = + = , 3 a 9 100 4 3 4 12 1 1 1 1 a 4 a·b= · = , = 3 = . 1 3 4 12 b 3 4 a=

Ako je a=

1 1 1 1 1 1 + = 1 , + = 2 , + = 5 , koliko je a + b + c ? a b b c c a

1 1 1 , b = −1 , c = , a + b + c = − . 2 3 6 1 1 1 − = izraˇcunaj: n n+1 n · (n + 1) 1 1 1 1 + + + ...+ . 1·2 2·3 3·4 99 · 100

Primjenjuju´ci jednakost

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +. . .+ = − + − + − +. . .+ − 1·2 2·3 3·4 99 · 100 2 2 2 3 3 4 99 100 99 1 = . =1− 100 100 Izraˇcunaj:

1 1 1 1 + + + ...+ . 1·3 3·5 5·7 99 · 100

1 1 1 1 1  1 1 1 Imamo + + + ... + = 1− + − + · 5 5· 7 99 · 100 2 3 3 5  11 · 3 1 3   1 1 50 ... + − = 1− = . 99 101 2 101 101 Izraˇcunaj:  4  3  1 · −2 − 0.2 : − ; 1) 1.6 − 5 4 5   4  5 4 − 1.8 : −1 + 0.1 · − ; 2) 5 5 9

11

1

BROJEVI



   2 2 3 2 3) − 1+ : 0.75− : 1.25−1 ; 2 3 3 3      1 2 7 3 −1.2 1 + 1 : 2.5− : −3 . 4) 5 2 5 8 Rjeˇsenje.

1)

      3 4 1 4 16 3 9 2 1.6 − − : − · −2 − 0.2 : − = · − − 5 4 5 10 5 4 10 5     5 9 1 8 3 9 1 9 1 − = · − − · − = 1· − + =− + 5 5 4 5 4 4 4 4 4 8 = − = −2; 4

     4 4 4 18 5 5 9 1 − 1.8 : −1 − · − 2) + 0.1 · − = : − + 5 5 9 5 10 5 10 9    5 5 1 10 − 1 4 9 5 1 1 − = −1 · − = − = = · − − − 5 5 9 18 9 18 9 18 18 1 9 = ; = 18 2 



    3 2 2 2 3) − 1+ : 0.75 − : 1.25 − 1 2 3 3 3     2 125 3 2 3+2 75 − · − −1 = : : 2 3 3 100 3 100         3 2 5 3 10 3 2 5 9−8 4 = − · − − · −1 : : −1 = : 2 3 3 4 3 4 2 9 12 5    1 4 7 1 7 1 − 15 27 − 20 : · −1 = : −1 = : = 18 12 5 18 15 18 15  15 7 5 · − = =− ; 18 14 12      1 3 2 7 − 1.2 1 + 1 4) : 2.5 − : −3 5 2 5 8      3 12 25 2 7 3 − − = 1+ : : −3 5 10 2 10 5 8     3 6 2+3 5 2 8 = − · − : · −3 5 5 2 2 5 7         3 21 8 3 6 5 25 − 4 8 − · · −3 = −3 : · −3 = : 5 5 2 10 7 5 10 7    12 3 − 15 12 12 12 − 15 5 = : −3 =− : =− · − = 4. 5 5 5 5 5 3

12

RACIONALNI BROJEVI

Zadatak 27.

1.2

Izraˇcunaj: 2 3 2 7 1 + − − 7 3 12 4 1) − 4 5 − ; 3 1 3 4 2 − − 4 2 2 5 4 2 8 8 1 − − 3− 1 3 3 15 3 2) − − 3 2 − + ; 4 2 2 5 20  2 3 1 1 3 − + : 2 − · 4; 3) 5 20 10  2 + 1 1 3 20 25 + − ·5 20 10 8 13 7 2  3  11 1+ − + 2− : 5 2 7 5 ; 4)  : 7   4 2 13 5 1 :4+ : 1− : 2− 5 3 2 7 7

 5 3 16 5  7  13  − + + − : 4 3 12 8 2 . 5) 2     5 3 3 15 5 7 + · − + − ·9 12 4 2 14 4 6

Rjeˇsenje.

2 3 2 15 − 8 7 1 8+7−3 + − − 7 7 3 12 4 4 5 12 1) − − = − 20 − 3 1 3 4 3 − 2 15 − 8 2 2 − − 4 2 2 5 4 10 8−1−7 1 7 = 0; =− − = 2 2 2 2 10 − 4 9 − 8 16 − 3 4 8 8 1 − − 3− 1 3 1 3 3 15 3 3 2 2) − − − + = 15 − 3 − 6 − + 4 2 2 5 20 4 2 2 5 20 =

1 1 13 1 3 6 − 10 − 65 − 12 + 9 72 6 − − − + = =− =− ; 10 6 12 5 20 60 60 5

2

8−3+2 3 1 1 3 + : · 2 15 − 8 2 5 20 10 2 20 3)  − ·4= + +  3 1 1 6+4−5 20 25 100 + − ·5 ·5 20 10 8 40 −

7 28 7 35 7 7 10 = + = = ; + = 5 25 25 25 25 5 8

13

1

BROJEVI

1 14 − 5 10 + 26 − 35 3 1 1 3 1− : + : 2 5 20 10 2 10 7 7 + · − ·4 =  4)  3 1 2  2 2 14 − 3 5 1 1 20 25 + − ·5 + · + · 20 10 8 5 3 13 7 7 11 2

−

1 8 1 7 1 1− 1− · 3 3 7 9 = · 9 = · 9 = 2; = 10 · 13 2 2 11 5 4 2 5 4 1 3 · + · + 15 13 7 7 11 7 7 5 3  16 5  7  13  5 3  64 + 5 7  2  − + + − − + − · : 4 3 12 8 2 4 12 8 13 5) 2 = 2      5 3 3 15 5 7 5 + 9 21 − 15 15 − 14 + · − + − ·9 · + ·9 12 4 2 14 4 6 12 14 12 5 3  69 7  2  5  3 138 − 21 2  − + − − + · · 4 12 8 13 = 2 4 24 13 = 2 9 14 6 1 3 · + + 12 14 12 2 4 5 6 5 3 3 − + − 2 4 4 2 4 = 4. = = 5 5 5 4 4

Zadatak 28.

Izraˇcunaj: 4 + 0.59 ; 1)  25  3 − 0.15 : 4 4 3

Rjeˇsenje.

7 : 0.125 + 3.5 2) 24 . 2 − 0.25 3

79 59 4 316 + 59 + 0.59 + 100 1)  25 =  25 100 =  15 3 3 75 − 15 1 − 0.15 : 4 − :4 · 4 4 100 100 4 375 375 375 = 25 ; = 100 = 100 = 60 1 15 15 · 100 4 100 3

125 35 7 1 7 7 7 : + : + : 0.125 + 3.5 2) 24 = 24 1000 10 = 24 8 2 2 2 1 25 2 − 0.25 − − 3 3 4 3 100 7 7 14 + 21 35 7 7 + ·8+ 70 3 2 6 24 2 = = 14 . = = 6 = = 8−3 5 5 5 5 12 12 12 12

14

RACIONALNI BROJEVI

Zadatak 29.

Rjeˇsenje.

1.2

Izraˇcunaj:  3 5 2  5  2 · − 0.25+ · 0.75− · 1) 1.5+ : 3; 5 3 3 20 4  5 3  5 3 + 0.5 + · 0.6 2 + − 0.8 · − 2 3 4 3 ; 2) 3 2 + 0.875 −  2 3 5 3 2 0.9− −0.7 · 16+0.4− 2.1− − 6 5 3)  4  9 3 2 . 4 3 6 +0.9−1.2 · − : 1.2 : + 5 4 7 7 5     2 5 2 3 5 1) 1.5 + · − 0.25 + · 0.75 − · :3 5 3 3 20 4  3 2  5  1 2  3 3 5 1 + + · · − · − · = 2 5 3 4 3 4 20 4 3 3 1 19  11 3 1 15 + 4 5  3 + 8 3 · − · − · = − − · = 10 3 12 4 16 3 6 16 16 3 19 1 18 19 1 1 − · = − = = 3; 6 2 3 6 6 6   5 3 3 5 2 + − 0.8 · − + 0.5 + · 0.6 2 3 4 3 2) 3 2 + 0.875 − 2    8 5 3 5 5 6 3 · − + + · 2+ − 2 10 3 4 10 3 10 = 3 875 − 2+ 1000 2 =

27 35 3 20 + 15 − 8 5 9 + 6 + 20 3 · − · − · 10 3 12 5 = 6 12 5 = 16 + 7 − 12 7 3 2+ − 8 2 8 9 7 18 − 7 − 4 = 2 4 = = 2; 11 11 8 8   3 5 3 2 − 0.7 · 16 + 0.4 − 2.1 − − 0.9 − 6 5 3)  4  9 3 2 4 3 6 + 0.9 − 1.2 · − : 1.2 : + 5 4 7 7 5    9 3 7 4 21 5 3 2 − − · 16 + − − − 10 10 6 5 = 10 4 10  4 9 12 3 6 10 7 3 2 + − · − · · + 5 10 10 4 7 12 9 5

15

1

BROJEVI

9−8+4 4 15 − 14 2  63 − 25 − 18 2 9 − · 16 + − − 10 20 5 30 10 9 = =  4   2 28 − 25 7 3 2 9 9 5 7 3 + − − · + · + 5 10 10 7 9 5 35 9 5 1 4 9−8 1 1 − 1 =  2 9 2 =  18 2 =  182 = 18 = . 4 1 1+9 2 3 8 + 9 15 5 15 3

Zadatak 30.

Rjeˇsenje.

Izraˇcunaj: 1 1 2  7 5 2  7 3 2 − − − : − ; 1) 4 10 3 6 10 5  1 3 2  3 2 2  15 25 2 − − · − : 4; 2) 2+ − 4 2 2 3 2 4  3 1 2  1 1 2   1 2 : 1+ 3) − − − ; 2 4 2 4 2  5 5 2  2   5 7 2 15  10 − ; · · 2+ − − · 4) 3 4 5 6 10 4 7  11 1 2 12  8   2 2 15 7 5) − − − : . · · 12 2 5 15 5 4 5 1)

1

1 2  7 5 2  7 3 2 − − : − 4 10 3 6 10 5  5 − 2 2  14 − 5 2  7 − 6 2 = : − 20 6 10 −

1 1 1 9 36 · − = − = 0; 400 81 100 100 100  1 3 2  3 2 2  15 25 2 2) 2 + − − − · − :4 4 2 2 3 2 4  8 + 1 − 6 2  9 − 4 2  30 − 25 2 1 = · − · 4 6 4 4 =

25 25 9 25 25 1 · − · = − = 0; 16 36 16 4 64 64  3 1 2  1 1 2   1 2 3) : 1+ − − − 2 4 2 4 2  6 − 1 2  2 − 1 2   3 2 : = − 4 4 2  25 1 4 24 4 2 − · = · = ; = 16 16 9 16 9 3    5 5 2  5 7 2 15  10 2 − − − · 4) · 2+ · 3 4 5 6 10 4 7 =

16

RACIONALNI BROJEVI

1.2

 20 − 15 2  10 + 2   25 − 21 2 15  10 − · · · 12 5 30 4 7  25 12 4 15  10 · − · · = 144 5 225 4 7 5 1  10 25 − 4 10 21 1 − · = · = = ; = 12 15 7 60 7 42 2  11 1 2 12  8 2 2 15  7 5) − − − : · · 12 2 5 15 5 4 5  11 − 6 2 12  8 − 6 2 15  5 − · = · · 12 5 15 4 7 =

Zadatak 31.

Rjeˇsenje.

=

 52 12 4 15  5  5 1 5 − · = − · · · 122 5 152 4 7 12 15 7

=

21 5 1 25 − 4 5 · = · = . 60 7 60 7 4

Izraˇcunaj: ⎛

⎞ ⎞ ⎛ 1 1 1 1 3 − 3 + 1− 0.875 ⎜ 0.75 ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎠· 2 3 ; 4⎠· 3. 1) ⎝ : 2) ⎝ : 2 1 1 1 1 1.4 1.2 − 1 − 1.2 3.2 − 1 1+ 3 3 4 3 4 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 1 75 3−2 1 3 − 3 + 1 3 + ⎟ 2 3 ⎜ 100 ⎟ ⎜ 0.75 6 2 2 : 1) ⎝ ⎠ · 1 1 = ⎝ 5 12 : 14 ⎠ · 4 − 3 2 1.4 − 1 − 1.2 − 3 3 4 10 12 3 10 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 3 6+3 9 3 3 45 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 4 ·2 =⎝ 4 : 2 ⎠· 6 =⎝ : 2 ·2=⎝ 4 : 7 1 7 14 ⎠ 5 6 25 − 18 7 ⎠ − 5 12 5 15 3 5 15  45 14 1 = · · 2 = · 2 = 1; 28 45 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 875 3−1 12 + 3 3 3 + 1 − ⎜ 0.875 ⎟ ⎜ ⎟ 4⎠· 3 = ⎝ 1000 : 4 2) ⎝ : · 3 32 4 12 ⎠ 4 + 1 1 1 1.2 − 3.2 − 1 1+ 3 4 10 3 10 4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 7 7 7 2 15 25 ⎟ 8 8⎟ 8 ⎜ ⎜ 8 ⎜ ⎟ 8 =⎝ 8 = : 4 ⎠· 3 =⎝ : · · · 16 4 6 48 − 20 8 ⎠ 15 ⎝ 28 25 ⎠ 15 5 − 5 3 5 15 15 4 =

3+1

15 8 8 2 · · = . 32 25 15 25

17

1

BROJEVI

Zadatak 32.

Izraˇcunaj x iz sljede´cih jednakosti, primjenjuju´ci svojstva osnovnih raˇcunskih operacija s racionalnim brojevima: 32 = (2x − 48) : 2.4 ; 1) (5 − 0.2) : (3.3 − x) = 12 ; 2) (184 + x): 5  4  3) 1 : 3 − 0.8x = 55 : (x + 4) ; 4) 1.2 − (0.8 + x) = −3.6 ; 5 5) 1.1 − (5x + 5.5) = 11.1 ; 6) 12 · (0.22 − x) = −1.44 ; 10 = 1; 7) −1.2 · (0.3 + x) = −3.6 ; 8) [(8x + 24) : 5] : 4 + 6 5   (x − 11.875) : (100 − 3x)·4 8 = 1; 9) 208: 112 − =2 ; 10) 1 8 23 −2 0.625 · 25 5 4   3 (145−24x) : 5 3 15 +24 : 5 = 5 ; 12) 11) − 1 = 5.625 . 3 29 8 (5.5 + x) : 21 7

Rjeˇsenje.

1) (5 − 0.2) : (3.3 − x) = 12 4.8 : (3.3 − x) = 12 4.8 = 12(3.3 − x) 4.8 = 39.6 − 12x 12x = 39.6 − 4.8 12x = 34.8 x = 34.8 : 12 x = 2.9;

2) (184 + x) : 32 = (2x − 48) : 2.4 5 5 24 (184 + x) · = 2(x − 24) : 32 10 5 5 = (x − 24) · 2 · (184 + x) · 32 12 1 1 = (x − 24) · (184 + x) · 16 3 3 · (184 + x) = (x − 24) · 16 552 + 3x = 16x − 384 3x − 16x = −384 − 552 −13x = −936

 3) 1 : 3 4 − 0.8x = 55 : (x + 4) 5  4 x + 4 = 55 · 3 − 0.8x 5 15 + 4 x + 4 = 55 · − 55 · 0.8x 5 x + 4 = 209 − 44x x + 44x = 209 − 4 45x = 205 41 ; x= 9

18

x = 72;

RACIONALNI BROJEVI

4) 1.2 − (0.8 + x) = −3.6 1.2 − 0.8 − x = −3.6

5)

1.1 − (5x + 5.5) = 11.1 1.1 − 5x − 5.5 = 11.1

0.4 − x = −3.6 −x = −3.6 − 0.4

−4.4 − 5x = 11.1 −5x = 11.1 + 4.4 −5x = 15.5 x = −3.1;

x = 4; 6) 12 · (0.22 − x) = −1.44 12 · 0.22 − 12x = −1.44 2.64 − 12x = −1.44

−1.2 · (0.3 + x) = −3.6

7)

−1.2 · 0.3 − 1.2x = −3.6 −0.36 − 1.2x = −3.6

−12x = −1.44 − 2.64 −12x = −4.08 x = 0.34;

1.2

−1.2x = −3.6 + 0.36 −1.2x = −3.24

x = 2.7;  (100−3x) · 4 10 =2 8) 9) 208: 112− =1 23 [(8x + 24) : 5] : 4 + 6   400−12x [(8x + 24) : 5] : 4 + 6=10 104: 112− =1 23 [(8x + 24) : 5] : 4=4 400−12x =104 112− (8x + 24) : 5=16 23 8x + 24=80 400−12x =104−112 − 23 8x=80−24 400−12x=−8 · (−23) 8x=56 −12x=184−400 x=7; −216 x= −12 x=18;   5 (145−24x) : 5 (x−11.875) : 10) 11) + 24 : 5=5 8 =1 29 1 8 0.625 · −2 (145−24x) : 5 + 24 · 29 25 5 =25  29 11875 5 625 8 11 · − x− : = 24 1000 8 1000 25 5 29− x + 696=725  5 95 8 5 8 11 24 x− · = · − 725− x=725 8 5 8 25 5 5 1 11 8 24 x−19= − − x=0 5 5 5 5 8 x=0; x=−2 + 19 5 5 x=17 · 8 85 x= 8 5 x=10 ; 8 

19

1

BROJEVI

12)

3

4 15

3 (5.5 + x) : 21 7 49 15

−1

3 = 5.625 8

5625 11 + = 150 1000 8 (5.5 + x) : 7 49 45 11 15  + = 55 7 8 8 +x · 10 150 49 15 · 7 + 7 x = 56 55 150 150 8 10 49 15 =7 7 77 + x 300 150 539 49 49 = + x 15 300 150 49 · 20 = 539 + 49 · 2x −98x = −980 + 539 −98x = −441 9 x= . 2

Zadatak 33. Rjeˇsenje.

Zadatak 34. Rjeˇsenje.

Zadatak 35. Rjeˇsenje.

20

Ako je a : b : c = 1 : 2 : 4 , koliko je

a + 2b − 3c ? 3a − 2b + c

Iz a : b : c = 1 : 2 : 4 =⇒ a = k , b = 2k , c = 4k . a + 2b − 3c k + 2 · 2k − 3 · 4k k + 4k − 12k −7k 7 = = = =− . 3a − 2b + c 3k − 2 · 2k + 4k 3k − 4k + 4k 3k 3 Broj 135 podijeli na dva dijela koji su u omjeru 7 : 8 . Iz x + y = 135 i x : y = 7 : 8 imamo x = 7k i y = 8k . 7k + 8k = 135 =⇒ k = 9 . Odavde sljedi da je x = 7 · 9 = 63 i y = 8 · 9 = 72 . 135 = 63 + 72 . Ako je 3x : 5y = 7 : 11 , koliko je x : y ? 7 x 7 5 x 35 3x = =⇒ = · =⇒ = . Slijedi x : y = 35 : 33 . 5y 11 y 11 3 y 33

Zadatak 36.

Ako su veliˇcine kutova u trokutu u omjeru 1 : 3 : 4 , koliki je najve´ci kut trokuta?

Rjeˇsenje.

 = k ,  = 3k i  = 4k . Iz  + + = 180◦ slijedi k+3k+4k = 180◦ =⇒ 8k = 180◦ =⇒ k = 22.5◦ . Najve´ci kut u trokutu je  = 4k = 4·22.5 = 90◦ .