Ley de Fourier para la conductividad la ley de Fourier, que establece que el flujo de transferencia de calor por conducción en un medio isótropo es proporcional y de sentido contrario al gradiente de temperatura en esa dirección. De forma vectorial:
Dónde: -2
: es el vector de flujo de calor por unidad de área (W m ). -1
-1
: es una constante de proporcionalidad, llamada conductividad térmica (W m K ). -1
: es el gradiente del campo de temperatura en el interior del material ( K m ).
CONDUCCIÓN A TRAVÉS DE PAREDES PLANAS EN SERIE En estado estacionario el flujo de calor a través de todas las secciones debe ser el mismo. Sin embargo, los gradientes son distintos La integración de la mencionada ecuación es particularmente sencilla en el caso de una pared plana homogénea y delgada, es decir, con un espesor relativamente pequeño en comparación con su superficie.
Fig. 7.3. Para resolver la integral hay que tener en cuenta si el área transversal al flujo del calor es o no constante, y si la conductividad calorífica lo es.
Si esta ecuación la escribimos en función de la resistencia térmica, R, es fácil comprobar que ésta es directamente proporcional al espesor de la pared,
, e inversamente proporcional a
la conductividad calorífica, k, y a la sección transversal de la pared, A. Este concepto de resistencia térmica resulta de gran utilidad para el caso de transmisión de calor por conducción a través de paredes compuestas de diferentes materiales, ya que en ellas, la resistencia térmica total es igual a la suma de las resistencias térmicas de cada uno de los materiales que la integran.
PARED PLANA COMPUESTA: Sea una pared plana compuesta por tres materiales A, B, y C, a través de la cual se produce una transmisión de calor por conducción en estado estacionario:
Fig. 7.4. Las conductividades caloríficas de los materiales A, B, y C son, respectivamente k A, kB, kC; los respectivos espesores son los indicados; y las diferencias de temperaturas entre las superficies que
delimitan
cada
, exteriores que delimitan la pared es:
uno
de
los
materiales:
. La diferencia de temperatura entre las superficies .
Si se aplica la ecuación vista para una pared simple a cada una de las capas:
y sumando miembro a miembro, resulta:
de donde :
o bien
De acuerdo con las ecuaciones anteriores:
es decir, las diferencias de temperatura a lo largo de una pared compuesta son directamente proporcionales a las correspondientes resistencias térmicas. Hay que tener en cuenta, además, que siempre que los sólidos están en contacto, suelen establecerse resistencias adicionales de contacto entre cada dos de ellos, debidas a las imperfecciones superficiales de los mismos, por bien pulidos que estén. Siempre quedará ocluido aire entre ambos, a cuyo través, el calor que pasa por conducción se verá muy impedido, originando descensos importantes de la temperatura. Otras veces los sólidos que se ponen en contacto son metálicos, siendo frecuente entonces que sobre sus superficies se formen finísimas capas de óxidos de conductividades caloríficas muy inferiores a las de los metales, determinando nuevas resistencias. En la bibliografía se encuentran datos para evaluar estas resistencias, en función de la diferencia de temperaturas entre ambas superficies de contacto.
PARED CILÍNDRICA HOMOGÉNEA:
En la figura 7.5 se encuentra representada una pared cilíndrica homogénea y gruesa en la que el área transversal perpendicular al flujo del calor varía con la distancia, es decir, A no es constante. Sean r1 y r2 los radios de las paredes interior y exterior, respectivamente, y T 1 y T2 las correspondientes temperaturas. Si se aplica la ley de Fourier a una porción de
Fig. 7.5. Conducción de calor en una pared cilíndrica. pared cilíndrica de espesor infinitesimal, dr, y longitud L, a la que le corresponde una diferencia de temperaturas, dT, resulta:
de la que, por integración, se obtiene:
Suponiendo que el flujo de calor se produce en régimen estacionario y que la conductividad calorífica es independiente de la temperatura. En la ecuación anterior T 1 es mayor que T 2, y r2 es mayor que r 1. Esta ecuación se puede modificar introduciendo en ella los conceptos de radio medio logarítmico, rm l , y área media logarítmica ,
Am l.
La velocidad de flujo de calor en función de la diferencia de temperatura y de la resistencia térmica es:
. Comparada esta expresión con la que vimos al introducir el
concepto de resistencia térmica, se deduce que ésta, para una pared cilíndrica, está dada por la expresión :
.
Cuando se trata de una pared cilíndrica delgada en la que las relaciones A 2/A1, o r2/r1 son menores que 2, se puede tomar el valor de la media aritmética en lugar del correspondiente a la media logarítmica con un error menor del 5%:
.
PARED CILÍNDRICA COMPUESTA: Sea una pared cilíndrica compuesta de dos materiales A y B, en la que r i , rm, y re, son, respectivamente, los radios interior, medio ( de la superficie de separación de los dos materiales), y exterior; Ti , Tm , y Te, las temperaturas correspondientes, y L la longitud del tubo. La velocidad de flujo del calor se puede calcular tomando en consideración las resistencias térmicas de los dos materiales que constituyen la pared cilíndrica.
El aislamiento térmico de una tubería por la que fluye un fluido caliente es un ejemplo de este caso. El calor pasa por conducción a través de la pared de la tubería y a través del aislante. Si éste tiene baja conductividad calorífica, al aumentar su espesor disminuye el flujo de calor a su través. Por tanto, su espesor óptimo resultará de un balance económico. Si la longitud del tubo fuese pequeña se presentarían otros efectos, y ya no sería posible aplicar las ecuaciones anteriores.
PARED ESFÉRICA HOMOGÉNEA: Se considera una pared esférica homogénea en la que los radios correspondientes a las superficies interior y exterior son r 1 y r2 , respectivamente, y T 1 y T2, las temperaturas en dichas superficies, (figura 7.6). Para una porción de pared esférica de espesor infinitesimal, dr, para el que la diferencia de temperaturas es dT, la ecuación de Fourier queda como sigue:
En la que por integración se obtiene:
Si se define un radio medio geométrico:
, la ecuación anterior queda en la forma:
. Por otra parte, se puede introducir el concepto de área media geométrica:
con lo que la ecuación anterior queda en la forma:
De esta expresión se deduce que la resistencia térmica de una pared esférica homogénea está dada por: .
Fig. 7.6. Conducción de calor en una pared esférica. Como en el caso de la pared cilíndrica, si la relación entre las áreas es inferior a 2, puede sustituirse la media geométrica por la media aritmética, con errores despreciables. Sin embargo, para una relación entre las áreas de 4, el error ya se hace superior al 20%.
PARED ESFÉRICA COMPUESTA: El cálculo de la velocidad de flujo de calor a través de una pared esférica compuesta de dos materiales A y B se puede realizar fácilmente considerando las resistencias térmicas de los dos materiales:
